PYTHAGOROVA VĚTA

4.
5. Pythagorova věta
Pythagorova věta - úvod
Pythagorova věta popisuje vztah, který platí mezi délkami stran v pravoúhlém trojúhelníku.
Věta zní:
Geometrická definice: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou (nejdelší stranou) pravoúhlého rovinného trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami (dvěma kratšími stranami).
Formálně Pythagorovu větu vyjadřuje rovnice c2  a 2  b2 , kde c označuje délku přepony
pravoúhlého trojúhelníka a délky odvěsen jsou označeny a a b.
Pythagorova věta umožňuje dopočítat délku třetí strany trojúhelníka, jestliže jsou známé délky dvou zbývajících stran:
-
Výpočet délky přepony c: c2  a 2  b2  c  a 2  b2
-
Výpočet délky odvěsny a: a 2  c 2  b2  a  c2  b2
-
Výpočet délky odvěsny b: b2  c 2  a 2  b  c 2  a 2
Algebraická definice: V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky přepony rovna součtu druhých mocnin délek obou odvěsen.
-1-
1. Je dán pravoúhlý trojúhelník KLM se stranami délek k = 4 cm, l = 5 cm, m = 3 cm. Ověřte
platnost Pythagorovy věty.
Řešení: Přepona je nejdelší strana, proto musí platit: l 2  m2  k 2 . Dosadíme číselné hodnoty:
52  32  42
25  9  16
25  25
Pythagorova věta platí.
Pythagorovu větu lze použít i obráceně ke zjištění, zda je daný trojúhelník pravoúhlý.
Obrácená Pythagorova věta zní: Jestliže v trojúhelníku platí, že součet obsahů čtverců
sestrojených nad kratšími stranami je roven obsahu čtverce sestrojeného nad nejdelší
stranou, potom je tento trojúhelník pravoúhlý.
2. Rozhodni, zda dané úsečky jsou stranami pravoúhlého trojúhelníku:
a) a  4,5 cm, b  6 cm, c  7,5 cm
b) m  0,6 cm, n  9 mm, p  0,11 dm
Řešení:
a) a2  b2  4,52  62  20, 25  36  56, 25
c2  7,52  56, 25
Platí Pythagorova věta: c2  a 2  b2 , úsečky jsou stranami pravoúhlého trojúhelníku.
b) m2  n2  62  92  36  81  117
c 2  7,52  56, 25
Neplatí Pythagorova věta: p2 ≠ m2 + n2 ,úsečky nejsou stranami pravoúhlého trojúhelníku.
Důkaz Pythagorovy věty:
Důkazů je několik, nejnázornější je důkaz pomocí obsahů. Vezměme dva shodné čtverce, které mají stejný obsah. Jejich strana má délku a  b . Čtverec na prvním obrázku je rozdělen na
čtyři shodné pravoúhlé trojúhelníky s odvěsnami a, b (světle šedé) a na dva čtverce s obsahy
a2 a b2 (tmavě šedé). Druhý čtverec je rozdělen na čtyři shodné pravoúhlé trojúhelníky
s odvěsnami délek a (světle šedé) a na čtverec se stranou délky c, jehož obsah je c2 (tmavě šedý). Šedé trojúhelníky jsou navzájem shodné, proto jsou si obsahy zbylých částí (tmavě šedé)
rovny. Proto platí: c2  a 2  b2 .
-2-
Na dalším obrázku vidíme, že pokud čtverce nad odvěsnami (rovnoramenný pravoúhlý
trojúhelník) rozdělíme na trojúhelníky, lze z nich vytvořit čtverec nad přeponou s délkou
strany rovnající se délce přepony základního trojúhelníku.
Historie
Pythagorova věta byla pojmenována podle Pythagora ze Samu (asi 580 až 500 př. naším letopočtem, řecký filozof, vědec a politik), který zřejmě jako první tuto větu dokázal. Věta byla
pravděpodobně známa i v jiných starověkých civilizacích dávno před starověkým Řeckem. V
Číně a částečně i v Egyptě.
Pythagorejská čísla a jejich výpočet
Pythagorejská čísla jsou tvořena trojicí přirozených čísel a, b, c, pro které platí c2  a 2  b2 .
Jsou to tedy přirozená čísla vyhovující Pythagorově větě. Pythagorejská čísla lze vytvořit
podle následující věty: Čísla a, b, c jsou pythagorejská právě tehdy, jestliže je lze vyjádřit ve
tvaru a  p 2  q 2 , b  2 pq , c  p 2  q 2 pro libovolná přirozená čísla p, q, pro která platí
p q.
Např. pro p = 1 a q = 2 dostaneme trojici a = 3, b = 4, c = 5; pro p = 2 a q = 5 dostaneme trojici a = 20, b = 21, c = 29.
Haperdonapté – napínači lan ve starověkém Egyptě
Před více než 4 000 lety při stavbách egyptských chrámů a pyramid vytyčovali pravý úhel napínači lan. Na provaze uvázali 13 uzlů stejně od sebe vzdálených. První uzel spojili
s třináctým a provaz napnuli do trojúhelníku se stranami 3, 4, a 5 dílů. Z obr. Je zřejmé, že
pravý úhel leží proti nejdelší straně.
-3-
3. Zjistěte, zda trojúhelník daný těmito stranami je pravoúhlý:
a) 5 cm, 7 cm, 8 cm
b) 20 cm, 4,8 dm, 0,52 m
Řešení: Aby byl trojúhelník pravoúhlý, musí pro délky jeho stran platit Pythagorova věta.
Přeponou je nejdelší strana.
a) a = 5 cm, b = 7 cm, c = 8 cm
c2  a 2  b2
82  52  7 2
64  25  49
64  74
Trojúhelník není pravoúhlý, neplatí Pythagorova věta.
b) a = 20 cm, b = 4,8 dm = 48 cm, c = 0,52 m = 52 cm
c2  a 2  b2
522  202  482
2704  400  2304
2704  2704
Trojúhelník je pravoúhlý, Pythagorova věta platí.
4. Vypočítejte délku přepony pravoúhlého trojúhelníku, jestliže délky odvěsen jsou:
a) 6 cm, 8 cm
b) 15 mm, 2 cm
Řešení:
a) a = 6 cm, b = 8 cm, c = ?
c2  a 2  b2
c  a 2  b2
c  6 2  82
c  36  64
c  100
c  10 cm
Délka přepony je 10 cm.
b) a = 15 mm, b = 2 cm = 20 mm, c = ?
c2  a 2  b2
c  a 2  b2
c  152  202
c  225  400
c  625
c  25 cm
Délka přepony je 25 cm.
-4-
5. Vypočítejte délku odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku, jestliže:
a) a = 2 dm, c = 5,2 dm
b) a = 0,16 m, c = 3,4 dm
Řešení:
a) a = 2 dm, c = 5,2 dm, b = ?
b2  c2  a 2
b  c2  a2
b  5, 22  22
b  23, 04
b  4,8 dm
Délka odvěsny je 4,8 dm.
b) a = 0,16 m = 1,6 dm, c = 3,4 dm, b = ?
b2  c2  a 2
b  c2  a2
b  3, 42  1, 62
b 9
b  3 dm
Délka odvěsny je 3 dm.
6. Vypočítejte délku úhlopříčky obdélníku ABCD, jestliže délky stran AB a BC jsou:
a) 16 cm, 12 cm
b) 24 mm, 0,45 dm
Řešení:
a) Úhlopříčka obdélník rozdělí na dva pravoúhlé trojúhelníky. a = 16 cm, b = 12 cm,
u=?
-5-
u 2  a 2  b2
u  a 2  b2
u  162  122
u  400
u  20 cm
Délka úhlopříčky obdélníku je 20 cm.
b) a = 24 mm = 2,4 cm, b = 0,45 dm = 4,5 cm, u = ?
u 2  a 2  b2
u  a 2  b2
u  2, 42  4,52
u  26, 01
u  5,1 cm
Délka úhlopříčky obdélníku je 5,1 cm.
7. Vypočítejte délku úhlopříčky čtverce:
a) jehož obvod je 8 m
b) jehož obsah je 25 dm2
Řešení:
a) Úhlopříčka čtverec rozdělí na dva pravoúhlé trojúhelníky. o = 8 m, a = ?, u = ?
o  4a
u2  a2  a2
a  o:4
u 2  2a 2
a  8:4
o  2 cm
u  2a 2
u  2  22
u 8
u  2,83 cm
Délka úhlopříčky čtverce je 2,83 cm
-6-
b) S = 25 dm2, a = ?, u = ?
u2  a2  a2
S  a2
a S
u 2  2a 2
a  25
u  2a 2
a  5 cm
u  2  52
u  50
u  7,1 dm
Délka úhlopříčky čtverce je 7,1 dm
8. Vypočítejte délku strany čtverce, jehož úhlopříčka má délku 18 cm.
Řešení: u = 18 cm, a = ?
u2  a2  a2
u 2  2a 2
u2
a 
2
2
u2
a
2
a
182
2
a  162
a  12, 7 cm
Délka strany čtverce je 12,7 cm.
9. Vypočítejte výšku rovnoramenného trojúhelníku, jestliže má základna délku 24 cm a ramena mají délku 15 cm.
Řešení:
AB = z = 24 cm, AC = BC = r = 15 cm, v = ?
-7-
Výška půlí základnu a rozdělí rovnoramenný trojúhelník na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky. V trojúhelníku ASC platí: AS = 24 : 2 = 12 cm, AC = 15 cm
AC  AS  v 2
2
2
v 2  AC  AS
2
v
2
AC  AS
2
2
v  152  122
v  81
v  9 cm
Výška rovnoramenného trojúhelníku má délku 9 cm.
10. Vypočítejte výšku rovnostranného trojúhelníku, jehož obvod je 15 cm.
Řešení: Výška rovnostranného trojúhelníku půlí stranu ke které je kolmá a rozdělí trojúhelník
na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky.
o = 15 cm, a = ?, v = ?
Výpočet strany a:
o  3a
Výpočet výšky v:
2
2
AC  AS  v 2
o
3
15
a
3
o  5 cm
a
v 2  AC  AS
2
v
AC  AS
2
v  52  2,52
v  18, 75
v  4,3 cm
Výška rovnostranného trojúhelníku má délku 4,3 cm.
-8-
2
2
11. Vypočítej obvod a obsah obdélníkové zahrady, jestliže úhlopříčka měří 2,6 m a jedna
strana 1,5 m.
Řešení: a = 1,5 m, u = 2,6 m, b = ?, o = ?, S = ?
u 2  a 2  b2
o  2 a  b
b2  u 2  a 2
o  2 1,5  2,12 
b  u2  a2
o  7, 24 m
S  ab
S  1,5  2,12
S  3,18 m 2
b  2, 62  1,52
b  2,12 m
Obvod obdélníkové zahrady je 7, 24 m a obsah je 3,18 m2.
12. Okolo obdélníkového lesa 120 m dlouhého a 50 m širokého je vozová cesta. O kolik metrů si zkrátí chodec chůzi pěšinou po úhlopříčce tohoto lesa?
Řešení: Potřebujeme se dostat z bodu A do bodu C.
a = 120 m, b = 50 m, u = ?
chůze po úhlopříčce: u  a 2  b2  1202  502  130 m
chůze okolo: a + b = 120 + 50 = 170 m
rozdíl: 170 – 130 = 40 m
Chodec si zkrátí chůzi pěšinou po úhlopříčce o 40 m.
-9-
13. Devět metrů vysoký strom se v bouři přelomil tak, že jeho vrcholek se dotýká země 3 m
od paty stromu. V jaké výšce se zlomil?
Řešení:
výška stromu ..................................... 9 m
vzdálenost od paty stromu ................. 3 m
výška zlomu....................................... x
vzniklý trojúhelník v nákresu je pravoúhlý, proto platí Pythagorova věta:
2
 9  x   x 2  32
81  18 x  x 2  x 2  9
18 x  72
x4m
Strom se zlomil ve výšce 4 m.
14. Žebřík dlouhý 9 m je spodním koncem opřen 1,75 m od zdi. Do jaké výšky dosahuje na
zdi horní konec žebříku?
Řešení:
délka žebříku ..................................... 9 m
vzdálenost od zdi ............................... 1,75 m
výška na zdi ....................................... x
- 10 -
x 2  1, 752  92
x 2  81  3, 0625
x  77,9375
x  8,8 m
Horní konec žebříku dosahuje na zdi do výšky 8,8 m.
15. Pan Dvořák vlastní pozemek ve tvaru rovnoramenného trojúhelníku se stranami 50 m,
50 m, 60 m. Pan Novák vlastní pozemek, který má tvar rovnostranného trojúhelníku se
stranami délky 55 m. Kdo z nich má pozemek o větší rozloze?
Řešení:
pan Dvořák ........................................ rovnoramenný trojúhelník: 50 m, 50 m, 60 m
pan Novák ......................................... rovnostranný trojúhelník: a = 55 m
rozloha pozemku p. Dvořáka ............ S1
rozloha pozemku p. Nováka .............. S2
rovnoramenný trojúhelník
rovnostranný trojúhelník
v1  502  302
v2  552  27,52
v1  900
v2  22268, 75
v1  30 m
z  v1
S1 
2
60  30
S1 
2
S1  900 m 2
v2  47, 63 m
z v
S2  2 2
2
55  47, 63
S2 
2
S 2  1309,8 m 2
Větší pozemek má pan Novák.
- 11 -
16. Do jaké výšky sahá dvojitý žebřík 6 m dlouhý, jsou-li jeho dolní konce od sebe vzdáleny
5 m?
Řešení: dvojitý žebřík je rovnoramenným trojúhelníkem a jeho výška je výškou žebříku
v  62  2,52
v  29, 75
v  5,5 m
Dvojitý žebřík dosahuje do výšky 5,5 m.
17. Vypočtěte délku strany čtverce a jeho obsah, jestliže jeho úhlopříčka má délku 5 2 cm.
Řešení: u  5 2 cm , a = ?, S = ?
Platí Pythagorova věta:
- 12 -
u2  a2  a2
S  a2
u 2  2a 2
S  52
a2 
a
a
a
S  25 cm 2
Obsah čtverce je 25 cm2.
u2
2
u2
2
5 2 
2
2
50
2
a  25
a  5 cm
Délka strany čtverce je 5 cm.
18. Na těleso působí v témže bodě dvě síly F1= 160 N a F2= 40 N, které svírají úhel velikosti
900. Určete velikost výslednice těchto sil.
Řešení: F1 = 160 N, F2 = 40 N, F = ?
F  F12  F2 2
F  1602  402
F  25600  1600
F  27200
F 164,9 N
Velikost výslednice těchto sil je 164,9 N.
19. Narýsujte úsečku CD, jejíž délka je 10 cm.
Řešení: Sestrojíme pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu B, odvěsna AB
bude mít délku 3 j. d. (jednotkové délky, např. 3 cm), odvěsna BC bude mít délku 1 j. d.
- 13 -
(jednotkovou délku, např. 1 cm), délka přepony AC je potom
AC  32  12  10 .
20. Krabice tvaru krychle má obsah 384 cm2. Určete délku její:
a) hrany
b) stěnové úhlopříčky
c) tělesové úhlopříčky
Řešení:
a) S  384 cm2 , a  ?
S  6a 2
S
a2 
6
S
a
6
a
384
6
a  64
a  8 cm
Délka hrany krychle je 8 cm.
- 14 -
10
cm.
b) S  384 cm2 , a  8 cm , ut  ?
ut 2  a 2  a 2
ut 2  2a 2
ut  2a 2
ut  2  82
ut  128
ut  11,3 cm
Délka stěnové úhlopříčky krychle je 11 3 cm.
c) S  384 cm2 , a  8 cm , ut  11,3 cm , u  ?
u 2  ut 2  a 2
u  ut 2  a 2
u  11,32  82
u  191, 69
u  13,8 cm
Délka tělesové úhlopříčky krychle je 13,8 cm.
21. Vejde se hůl o délce 70 cm do kufru o délce 60 cm, šířce 40 cm a výšce 20 cm?
Řešení: a = 60 cm, b = 40 cm, c = 20 cm, u = ? (stěnová úhlopříčka dolní podstavy)
u 2  a 2  b2
u  a 2  b2
u  602  402
u  5200
u  72,1 cm
Hůl o délce 70 cm se vejde do kufru, protože délka úhlopříčky dolní podstavy je 72,1 cm.
- 15 -
22. Vodorovná vzdálenost dvou míst je podle plánu 300 m, výškový rozdíl činí 22 m. Jaká je
skutečná vzdálenost těchto míst?
Řešení:
V pravoúhlém trojúhelníku platí Pythagorova věta:
x 2  3002  202
x  90000  400
x  90400
x  300, 7 m
Skutečná vzdálenost míst je 300,7 m.
23. Kosočtverec má úhlopříčky délky u1 = 12 cm, u2 = 16 cm. Vypočítejte:
a) délku strany kosočtverce
b) jeho obsah
Řešení:
a) u1 = 12 cm, u2 = 16 cm, a = ?
Pro výpočet délky strany kosočtverce využijeme vlastnosti úhlopříček kosočtverce,
které jsou k sobě kolmé a navzájem se půlí.
V pravoúhlém trojúhelníku ASB platí Pythagorova věta:
- 16 -
2
u  u 
a2   1    2 
2  2
2
2
2
2
2
u  u 
a   1   2 
2  2
 12   16 
a     
 2  2
a  100
a  10 cm
Délka strany kosočtverce je 10 cm.
b) u1 = 12 cm, u2 = 16 cm, S = ?
Úhlopříčky rozdělí kosočtverec na 4 shodné pravoúhlé trojúhelníky. Délky jejich odu1
u2
věsen jsou
a
. Obsah jednoho pravoúhlého trojúhelníku je
2
2
u1 u2 u1  u2

2
2  4  u1  u2 . Obsah 4 shodných pravoúhlých trojúhelníků je
S
2
2
8
u1  u2 u1  u2
. Obsah čtyřúhelníku lze pomocí úhlopříček vypočítat užitím
S  4

8
2
u  u 12 16
vzorce S  1 2 
 96 cm2 . Obsah kosočtverce je 96 cm2.
2
2
24. Vypočítejte obsah pravidelného šestiúhelníku s délkou strany a = 6 cm.
Řešení: a = 6 cm, S = ?
Obsah pravidelného šestiúhelníku vypočítáme jako obsah šesti shodných rovnostranných
trojúhelníků, které nám vzniknou při sestrojení úhlopříček tohoto šestiúhelníku. Délka
strany tohoto rovnostranného trojúhelníku je 6 cm.
- 17 -
Nejdříve musíme vypočítat výšku rovnostranného trojúhelníku va. Tu vypočítáme pomocí
Pythagorovy věty z pravoúhlého trojúhelníku BOS, který vznikl sestrojením výšky
v rovnostranném trojúhelníku ABS.
a
va  BS   
2
2
2
va 
a
BS   
2
2
2
va  62  32
va  27
va  5, 2 cm
S 6
a  va
 3ava  3  6  5, 2  93, 6 cm2
2
Obsah šestiúhelníku je 93,6 cm2.
- 18 -
Užití Pythagorovy věty v planimetrii a stereometrii
1. Vypočítejte délku úhlopříčky obdélníku ABCD o stranách a = 70 cm, b = 40 cm.
Řešení:
Úhlopříčka obdélníka je přeponou v pravoúhlém trojúhelníku s odvěsnami a a b .
u 2  a 2  b2
u  702  402
u  6500
u 80, 6 cm.
Úhlopříčka má délku přibližně 80,6 cm.
2. Vypočítejte délku úhlopříčky čtverce o straně:
a) a = 5 cm
b) a = 1 m.
Řešení:
a) Úhlopříčka čtverce je přeponou v pravoúhlém trojúhelníku s odvěsnami a a a .
u 2  a2  a2
u  52  52
u  50
u 7,1 cm.
Úhlopříčka má délku přibližně 7,1 cm.
b)
u  12  12
u 2
u 1, 4 m.
Úhlopříčka má délku přibližně 1,4 m.
- 19 -
3. Vypočítej výšku rovnostranného trojúhelníku o straně a = 10 dm.
Řešení:
Hledaná výška je odvěsnou v pravoúhlém trojúhelníku, jehož druhá odvěsna má délku
a
2
a přepona délku a.
a
v  a  
2
v 2  102  52
2
2
2
v  75
v 8, 7 dm.
Výška měří přibližně 8,7 dm.
4. Vypočítej obsah rovnostranného trojúhelníku o straně a = 10,4 cm.
Řešení:
Nejdřív vypočteme výšku rovnostranného trojúhelníku pomocí Pythagorovy věty.
2
a.v
a
2
2
S
v  a  
2
2
10, 4 . 9
v 2  10, 42  5, 22
S
2
v  81,12
S  46,8 cm 2 .
v 9 cm.
Obsah trojúhelníku je 46,8 cm 2 .
5. Mostní kruhový oblouk má rozpětí 24 m a výšku 8 m. Vypočítejte poloměr kružnice, jejíž
částí je kruhový oblouk ?
AB  24 m  XB  12 m
XY  8 m  SX  r  8
r  SB  SY  ?
r 2   r  8   122
2
r 2  r 2  16r  64  144
16r  208
r  13
Poloměr kružnice, jejíž částí je mostní oblouk, je 13 metrů.
- 20 -
6. Král smrků v pralese Boubín (před svým pádem v prosinci 1970) rostl šikmo. Vychýlení
vrcholu od svislé osy činilo 11 m, dosahoval výšky 45,9 m. Jaká byla délka jeho kmene ?
Řešení:
délka kmene je přeponou pravoúhlého trojúhelníku
x 2  112  45,92
x 2  121  2106,81
x 2  2227,81
x  2227,81
x 47, 2 m
Délka kmene byla přibližně 47,2 m.
7. Jaké rozměry má obrazovka televizoru o úhlopříčce 60 cm a šířce 45 cm ?
Řešení:
výška obrazovky je odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku
x  602  452
x 40 cm
Rozměry obrazovky jsou 45 cm x 40 cm.
8. Novákovi si koupili televizor s plochou obrazovkou o úhlopříčce 55 cm. Určete délku
a šířku obrazovky, víte-li, že jsou v poměru 4 : 3 ?
Řešení:
délka a šířka obrazovky mají obecně délky 4x a 3x a jsou
odvěsnami pravoúhlého trojúhelníku s přeponou délky 55 cm
552   4 x    3x 
2
2
3 025  25 x 2
x
3 025
25
x  121
x  11
Rozměry obrazovky budou a  4.11  44 cm, b  3.11  33 cm.
- 21 -
9. Obdélníkový obrázek má strany v poměru 4 : 3, jeho úhlopříčka má délku 20 cm. Určete
jeho rozměry.
Řešení:
strany obrázku mají obecně délky 4x a 3x a jsou
odvěsnami pravoúhlého trojúhelníku s přeponou
délky 20 cm
202   4 x    3 x 
2
2
400  25 x 2
x
400
25
x  16
x4
Délky stran obdélníka budou a  4.4  16 cm, b  3.4  12 cm.
10. Kosočtverec má úhlopříčky 24 cm a 10 cm. Urči délku jeho strany.
Řešení:
Úhlopříčky v kosočtverci jsou na sebe kolmé a navzájem se půlí. Z pravoúhlého trojúhelníku
s odvěsnami 12 cm a 5 cm pak určíme délku jeho přepony, která je stranou daného kosočtverce.
c 2  122  52
c  144  25
c  169
c  13
Strana kosočtverce má délku 13 cm.
- 22 -
11. Obvod kosočtverce je 60 cm. Vypočti délku jeho úhlopříček, jsou-li v poměru 3 : 4.
Řešení:
Délka strany kosočtverce je a  60 : 4  15 cm .
Úhlopříčky v kosočtverci jsou na sebe kolmé a vzájemně se půlí. Z Pythagorovy věty pro
3x 4x
pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami
, přeponou délky 15 cm určíme neznámou x.
a
2
2
2
 3x   4x 
15      
 2  2 
9 x 2 16 x 2
225 

4
4
2
25x
225 
4
900  25x 2
2
2
x
900
25
x6
Úhlopříčky kosočtverce mají délky u1 = 3  6 =18 cm, u 2 = 4  6 =24 cm.
- 23 -
12. Nádoba tvaru hranolu s podstavou tvaru kosočtverce má jednu úhlopříčku podstavy 20 cm
a hranu podstavy 26 cm. Hrana podstavy je k výšce hranolu v poměru 2 : 3. Vypočtěte,
kolik litrů vody se vejde do nádoby ?
Řešení:
Úhlopříčky v kosočtverci jsou na sebe kolmé a navzájem se půlí. Z Pythagorovy věty pro
u
u
pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 1 a 2 =10 cm , přeponou délky 26 cm určíme dél2
2
ku úhlopříčky u1.
2
2
 u1   u 2 
2
      26
2  2 
 u1 
2
2
   26  10
2
u1  48 cm
Pomocí délek úhlopříček vypočteme obsah podstavy hranolu:
u1.u 2
2
20.48
Sp 
2
Sp  480 cm 2
Sp 
Z poměru určíme výšku hranolu:
26 : v = 2 : 3
v = 39 cm
Určíme objem nádoby:
V = Sp . v
V = 480 . 39
V = 18 720 cm3  18, 72 l
Do nádoby se vejde 18,72 litrů vody
- 24 -
13. Stožár je uchycen pomocí 4 stejných lan. Vypočtěte, v jaké výšce je lano uchyceno, je-li
délka lana 7 m a vzdálenost kolíku lana od paty stožáru je 4 m ?
Řešení:
Ukotvení lana tvoří pravoúhlý trojúhelník KPV podle nákresu
x 2  9 2  52
x  81  25
x  56
x
7, 48 m
Lano je ukotveno přibližně ve výšce 7,5 m.
14. Vypočtěte délku žebříku opřeného o zeď domu ve vzdálenosti 3,5 m a ve výšce 7 m od
země.
Řešení:
Délka žebříku je přeponou pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami délek 3,5 a 7.
c 2  3,52  7 2
c  12, 25  49
c  61, 25
c
7,8 m
Žebřík měří přibližně 7,8 metru.
15. Rozhodněte, zda dosáhne žebřík dlouhý 3 metry na zeď vysokou 2,8 m, musí-li být kvůli
stabilitě jeho spodní konec 70 cm od zdi ?
Řešení:
Pro délku žebříku musí platit 3  x, kde x je přeponou pravoúhlého
trojúhelníku z nákresu
x 2  2,82  0, 7 2
x  7,84  0, 49
x  8,33
x
2,89 m
Žebřík bude opřen o hranu zdi a bude nad zeď přečnívat.
- 25 -
16. Průměr kmene stromu je 30 cm. Lze z něj vyříznout trám s příčným řezem ve tvaru čtverce o straně 20 cm ?
Řešení:
Hrana čtvercového trámu je odvěsnou rovnoramenného pravoúhlého
trojúhelníku s přeponou délky 30 cm podle nákresu
a 2  a 2  302
2a 2  900
a  450
a 21, 2 cm
Můžeme vyříznout čtvercový trám s hranou až 21 cm.
17. Cheopsova pyramida v Egyptě má čtvercovou podstavu o hraně asi 227 m a výšku přibližně 140 m. Vypočítejte:
a) délku úhlopříčky její podstavy
b) délku boční hrany pyramidy
Řešení:
a)
Úhlopříčka podstavy pyramidy je přeponou rovnoramenného pravoúhlého
trojúhelníku se stranou délky 227 m.
u 2  227 2  227 2
u  51 529  51 529
u  103 058
u 321 m
Úhlopříčka podstavy pyramidy měří 321 m.
b)
Hrana pyramidy je přeponou pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami 140 m (výška
pyramidy) a 160,5 m (polovina úhlopříčky v podstavě pyramidy)
h 2  1402  160,52
h  19 600  25 760,25
h  45 360,25
h
213 m
Hrana pyramidy má délku přibližně 213 m.
- 26 -
18. Podstavou pravidelného trojbokého hranolu je rovnostranný trojúhelník se stranou délky
6 cm. Vypočítejte povrch a objem tohoto hranolu, jestliže jeho výška je 16 cm.
Řešení:
pomocné výpočty:
- výška podstavy hranolu v p je odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku
podle nákresu
v p 2  62  32
v p  27
vp
5, 2 cm
- obsah podstavy hranolu (obsah trojúhelníku)
a.v p 6 . 5, 2
Sp 

2
2
2
Sp 15, 6 cm
Povrch hranolu: S = 2.Sp  Spl (plášť hranolu tvoří 3 obdélníky se
stranami 6 cm a 16 cm)
S = 2 . 15,6 + 3 . 6 . 16
S = 319,2 cm 2
Objem hranolu: V = Sp . v, kde v = 16 cm (výška hranolu)
V = 15,6 . 16
V = 249,6 cm3
Povrch hranolu je 319,2 cm 2 a objem hranolu je 249,6 cm3 .
- 27 -
19. V rovnoramenném lichoběžníku ABCD se základnami AB a CD, je a = 80 mm,
b = 52 mm, c = 40 mm. Určete výšku lichoběžníka a vypočtěte jeho obsah.
Řešení:
V rovnoramenném lichoběžníku platí:
x  a  c : 2
x   80  40  : 2  20
V pravoúhlém trojúhelníku AD´D podle Pythagorovy věty platí:
d 2  x2  v2
v2  d 2  x2
v 2  522  202
v 2  2304
v  48
Výška lichoběžníka je 48 mm.
Výpočet obsahu lichoběžníka:
ac
S
v
2
80  40
S
 48
2
S  2 880 mm 2 Obsah lichoběžníka je 2 880 mm 2 .
20. Vypočítejte, jak daleko jsou od sebe hroty ručiček hodin v 15:00 ? (Hrot hodinové ručičky je od středu ciferníku vzdálen 8 cm a hrot minutové ručičky 11 cm.)
Řešení:
podle Pythagorovy věty platí:
x 2  m2  h2
x 2  112  82
x 2  185
x 13, 6 cm
Vzdálenost hrotů ručiček je přibližně 13,6 cm.
- 28 -
21. V kružnici k  S ; 8, 4cm  je tětiva AB vzdálena od středu S 1,2 cm. Vypočítej velikost této tětivy.
Řešení:
podle Pythagorovy věty pro SS´B ( BS = 8,4, BS´ = x, SS´ = 1,2) platí:
8, 42  1, 22  x 2
x  70,56  1, 44
x  69,12
x 8,3 cm
AB  2.x 16, 6 cm
Velikost tětivy AB je přibližně 16,6 cm.
22. Je dána kružnice k  S ; 12,6 cm  a její dvě navzájem rovnoběžné tětivy AB a
CD, AB  19, 2 cm, CD  8, 4 cm . Vypočítej vzdálenost tětiv.
Řešení:
1.Řešení:
podle Pythagorovy věty pro CS1S
( CS =12,6, CS1 = CD :2, SS1 = x1 ) platí:
12, 62  4, 22  x12
x1  158, 76  17, 64
x1  141,12
x1 11,9 cm
podle Pythagorovy věty pro AS2S
( AS =12,6, AS2 = AB :2, SS2 = x2 ) platí:
2.Řešení:
12, 62  9, 62  x2 2
x2  158, 76  92,16
x2  66, 6
x2
8, 2 cm
1.řešení: S1S2  x1  x2
20,1 cm
2.řešení: S1S 2  x1  x2
3, 7 cm
- 29 -
23. Vypočítejte výměru čtvercového pozemku v hektarech, má-li chodník spojující napříč pozemkem jeho protější rohy délku 200 metrů ?
Řešení:
podle Pythagorovy věty pro trojúhelník z náčrtku platí:
2002  x 2  x 2
40 000  2 x 2
/ :2
x  20 000
x 141, 4 m
S  x.x 141, 42
19 994 m 2 . (Ale pozor při výpočtu
druhé odmocniny jsme délku strany pozemku
zaokrouhlovali !)
Je vhodné pro výpočet použít délku strany ve tvaru odmocniny:
S  x.x 

20 000

2
 20 000 m 2  2 ha
Skutečná výměra pozemku je 2 ha.
- 30 -
24. Jaký musí být nejmenší průměr kruhu, aby se z něj dala uříznout pravidelná šestiúhelníková podložka, která má vzdálenost rovnoběžných stran 10 cm ?
Řešení:
Pravidelný šestiúhelník lze rozdělit na 6 shodných rovnostranných
trojúhelníků (viz. náčrtek)
podle Pythagorovy věty pro trojúhelník z náčrtku platí:
2
r
r 2     52
2
r2
r2
r 2   25 / 4
4
2
3r
4
 25 / 
4
3
100
r2 
3
r
r
100
3
5,8 cm  d
11, 6 cm
Průměr kruhu musí být přibližně 11,6 cm.
- 31 -
25. Vypočítejte obsah pravidelného šestiúhelníku vepsaného do kružnice, která má průměr
11,6 cm.
Řešení:
Obsah pravidelného šestiúhelníka lze rozdělit na 6 shodných
rovnostranných trojúhelníků (viz. náčrtek), kde pro ABS platí:
BS  d : 2  5,8 cm, BS1  BS : 2  2,9 cm, SS1 je výškou ABS.
Podle Pythagorovy věty pro trojúhelník z náčrtku platí:
5,82  2,92  v 2
/ -2,92
v 2  33, 64  8, 41
v  25, 23
v
5 cm
Obsah pravidelného šestiúhelníka vypočteme:
S  6.S , kde S 
AB .v
2
5,8  5
2
2
S  87 cm
S6 
Obsah pravidelného šestiúhelníka je 87 cm 2 .
26. Papírový drak je upoután na provaze o délce 50 metrů a vznáší se nad místem vzdáleném
12 m. Vypočítejte, v jaké výšce se drak vznáší ?
Řešení:
Výška, ve které se drak vznáší je odvěsnou pravoúhlého
trojúhelníku z nákresu. Podle Pyth.věty platí:
v 2  122  502
v 2  2500  144
v  2356
v 48,5 m
Drak se vznáší ve výšce 48,5 m.
- 32 -
27. Vypočítejte obsah pravoúhlého trojúhelníka, jestliže jeho kratší odvěsna měří 7 cm
a poloměr kružnice opsané tomuto trojúhelníku je 5 cm.
Řešení:
Z nákresu je zřejmé, že střed kružnice opsané
pravoúhlému trojúhelníku leží ve středu jeho přepony,
a proto přepona má délku c  10 cm.
Podle Pyth.věty platí:
7 2  b 2  102
b 2  100  49
b  51
b
7,14 cm
S 
S
7  7,14
2
24,99 cm 2
Obsah daného trojúhelníka je přobližně 25 cm 2 .
Pythagorova věta cvičení I
1. Vypočítejte k následujícím dvojicím čísel a, b takové číslo c, že platí c2  a 2  b2 :
a) 6, 8
b) 12, 16
c) 16, 30
d) 14, 48
Řešení:
a) c 2  62  82  36  64  100  c = 10
b) c 2  122  162  144  256  400  c = 20
c) c 2  162  302  256  900  1156  c = 34
d) c 2  142  482  196  2304  2500  c = 50
- 33 -
2. Sestrojte k uvedeným trojicím čísel a, b, c trojúhelníky o stranách délky a, b, c a změřte
v každém z nich úhel proti straně c. (délky stran jsou dány v milimetrech)
Řešení::
Podle věty sss sestrojíme trojúhelníky. Trojúhelníky a), b) jsou pravoúhlé, ale c) není pravoúhlý.
a)
b)
c)
3. Rozhodněte, zda je trojúhelník pravoúhlý, mají-li jeho strany délky v milimetrech:
a) 4, 2, 3
b) 4, 3, 5
d) 4, 11, 12
e) 5, 12, 13
g) 4, 6, 8
h) 5, 7, 9
c) 4, 5, 6
f) 6, 13, 14
i) 6, 8, 10
Řešení:
a) a 2 +b2 = 22  32 =13
c 2  42  16  trojúhelník není pravoúhlý  a 2 +b2  c 2 
b) a 2 +b2 = 32  42 =25
c 2  52  25  trojúhelník je pravoúhlý  a 2 +b2  c 2 
c) a 2 +b2 = 42  52 =41
c 2  62  36  trojúhelník není pravoúhlý  a 2 +b2  c 2 
- 34 -
d) a 2 +b2 = 42  112 =137
c 2  122  144  trojúhelník není pravoúhlý  a 2 +b2  c 2 
e) a 2 +b2 = 52  122 =169
c 2  132  169  trojúhelník je pravoúhlý  a 2 +b2  c 2 
f) a 2 +b2 = 62  132 =205
c 2  142  196  trojúhelník není pravoúhlý  a 2 +b 2  c 2 
g) a 2 +b2 = 42  62 =52
c 2  82  64  trojúhelník není pravoúhlý  a 2 +b2  c 2 
h) a 2 +b2 = 52  72 =74
c 2  92  81  trojúhelník není pravoúhlý  a 2 +b2  c 2 
i) a 2 +b2 = 62  82 =100
c 2  102  100  trojúhelník je pravoúhlý  a 2 +b2  c 2 
4. Rozhodněte, je-li trojúhelník pravoúhlý, jestliže jeho strany mají délky:
a) 80 mm, 100 mm , 160 mm
b) 80 cm, 150 cm, 170 cm
c) 50 m, 40 m, 30 m
d) 50 cm, 40 cm, 60 cm
Řešení
a) a 2 +b 2 = 802  1002 =16400
c 2  1602  25600  trojúhelník není pravoúhlý  a 2 +b 2  c 2 
b) a 2 +b 2 = 802  1502 =28900
c 2  1702  28900  trojúhelník je pravoúhlý  a 2 +b 2  c 2 
c) a 2 +b 2 = 302  402 =2500
c 2  502  2500  trojúhelník je pravoúhlý  a 2 +b 2  c 2 
d) a 2 +b 2 = 502  402 =4100
c 2  602  3600  trojúhelník není pravoúhlý  a 2 +b 2  c 2 
- 35 -
5. Rozhodněte, zda jsou trojúhelníky se stranami těchto délek pravoúhlé:
a) 4,8 cm; 9 cm; 10,4 cm
b) 3,5 cm; 84 mm; 9,1 cm
c) 1,3 dm; 12 cm; 50 mm
d) 2,4 m; 10 dm; 260 cm
e) 0,1 m; 8 cm; 60 mm
f) 1 m; 23 dm; 240 cm
Řešení:
a) a 2 +b2 = 4,82  92 =104,04
c 2  10, 42  108,16  trojúhelník není pravoúhlý  a 2 +b2  c 2 
POZOR: Délky stran musíme nejprve převést na stejné jednotky !
b) 3,5 cm; 8,4 cm; 9,1 cm
a 2 +b 2 = 3,52  8, 42 = 82,81
c 2  9,12  82,81  trojúhelník je pravoúhlý  a 2 +b 2  c 2 
c) 13 cm; 12 cm; 5 cm
a 2 +b 2 = 122  52 = 169
c 2  132  169  trojúhelník je pravoúhlý  a 2 +b 2  c 2 
d) 24 dm; 10 dm; 26 dm
a 2 +b 2 = 242  102 = 676
c 2  262  676  trojúhelník je pravoúhlý  a 2 +b 2  c 2 
e) 10 cm; 8 cm; 6 cm
a 2 +b 2 = 82  62 = 100
c 2  102  100  trojúhelník je pravoúhlý  a 2 +b 2  c 2 
f) 10 dm; 23 dm; 24 dm
a 2 +b 2 = 102  232 = 629
c 2  242  576  trojúhelník není pravoúhlý  a 2 +b 2  c 2 
6. Zjisti, zda ∆PQR: p = 13 cm, q = 14 cm, r = 19 cm je pravoúhlý.
Řešení:
p 2 + q 2 = 132  142 =365
r 2  192  361
Trojúhelník PQR není pravoúhlý.
- 36 -
7. Zjisti, zda ∆MNO: m = 12 cm, n = 16 cm, o = 20 cm je pravoúhlý.
Řešení:
m2 + n2 = 122  162 =400
o2  202  400
Trojúhelník MNO je pravoúhlý.
8. Vypočítejte délku přepony pravoúhlého trojúhelníku, jsou-li dány jeho odvěsny:
a) 9 cm a 56 mm
b) 18 cm a 0,8 m
Řešení:
a) a 2 + b 2 = c 2
c 2 = 92  5, 62
c 2  112,36
c  112,36
c  10, 6 cm. Délka přepony je 10,6 cm.
b) a 2 + b 2 = c 2
c 2 = 182  802
c 2  6724
c  6724
c  82 cm. Délka přepony je 82 cm.
9. Vypočítejte délku druhé odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku, znáte-li délku přepony a délku jedné odvěsny:
a) 26 cm a 10 cm
b) 18,5 mm a 14,8 mm
Řešení:
a) a 2 + b 2 = c 2  b 2 = c 2  a 2
b 2 = 262  102
b 2  576
b  576
b  24 cm. Délka druhé odvěsny je 24 cm.
- 37 -
b) a 2 + b 2 = c 2  b 2 = c 2  a 2
b 2 = 18,52  14,82
b 2  123, 21
b  123, 21
b  11,1 mm. Délka druhé odvěsny je 11,1 mm.
10. Vypočítejte délku přepony pravoúhlého trojúhelníku ABC, jsou-li dány jeho odvěsny:
a) b  11 cm; c  6, 2 cm
b) a  2, 25 m; b  1, 2 m
Řešení:
a) b 2 + c 2 = a 2 POZOR: strana a je přeponou v trojúhelníku !
a 2 = 112  6, 22
a 2  159, 44
a  159, 44
a 12, 6 cm. Délka přepony je přibližně 12,6 cm.
b) a 2 + b 2 = c 2
c 2 =2,252  1, 22
c 2  6,5025
c  6,5025
c  2,55 m. Délka přepony je 2,55 m.
11. Vypočítejte délku odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku s přeponou c:
a) c  165 cm; a  122 cm
b) b  16, 4 m; c  24,5 m
Řešení:
a) a 2 + b 2 = c 2  b 2 = c 2  a 2
b 2 = 1652  1222
b 2  12341
b  12341
b 111,1 cm. Délka druhé odvěsny je přibližně 111,1 cm.
- 38 -
b) a 2 + b 2 = c 2  a 2 = c 2  b 2
a 2 = 24,52  16, 42
a 2  331, 29
a  331, 29
a 18, 2 m. Délka druhé odvěsny je přibližně18,2 m.
12. Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C. Vypočítejte délku chybějící strany, je-li:
a) a  3 cm; b  4,5 cm
b) a  2,25 cm; c  7,5 cm
c) a  0,8 cm; b  2,5 cm
d) b  34,5 cm; c  50,5 cm
Řešení:
a) a 2 + b 2 = c 2
c 2 = 32  4,52
c 2  29, 25
c  29, 25
c
5, 4 cm. Délka přepony je přibližně 5,4 cm.
b) a 2 + b 2 = c 2  b 2 = c 2  a 2
b 2 = 7,52  2, 252
b 2  51,1875
b  51,1875
b
7, 2 cm. Délka druhé odvěsny je přibližně 7,2 cm.
c) a 2 + b 2 = c 2
c 2 = 0,82  2,52
c 2  6,89
c  6,89
c
2, 6 cm. Délka přepony je přibližně 2,6 cm.
d) a 2 + b 2 = c 2  a 2 = c 2  b 2
a 2 = 50,52  34,52
a 2  1360
a  1360
a 36,9 m. Délka druhé odvěsny je přibližně 36,9 m.
- 39 -
13. Sestrojte pravý úhel, máte-li k použití provázek, který je rozdělen uzlíky na 30 stejných
dílů
Řešení:
Pravoúhlý trojúhelník se stranami 5, 12, 13 dílů
Pythagorova věta – cvičení II
1. Ověřte, zda může mít obdélník:
a) délky stran 8 cm, 15 cm a délku úhlopříčky 17 cm;
b) délky stran 36 mm, 38 mm a délku úhlopříčky 40 mm;
c) délky stran 8 dm, 6 dm a délku úhlopříčky 1 m;
d) délky stran 1,1 cm, 2,4 cm a délku úhlopříčky 2,7 cm
e) délky stran 2,4 dm, 3,4 dm a délku úhlopříčky 4,4 dm
f) délky stran 0,15 dm, 20 mm a délku úhlopříčky 2,5 cm
Řešení:
Sousední strany obdélníka a a b tvoří spolu s úhlopříčkou u pravoúhlý trojúhelník, a proto
musejí splňovat Pythagorovu větu: a2 + b2 = u2.
a) a 2 +b2 = 82  152 = 64 + 225 = 289
u 2  17 2  289  a 2 +b2  u 2 jedná se o obdélník
b) a 2 +b2 = 362  382 = 1296 + 1444 = 2740
u 2  402  1600  a 2 +b2  u 2 není splněna podmínka pro obdélník
c) nejprve všechny délky převedeme na decimetry
a 2 +b2 = 82  62 = 64 + 36 = 100
u 2  102  100  a 2 +b 2  u 2 jedná se o obdélník
d) a 2 +b2 = 1,12  2, 42 = 1,21 + 5,76 = 6,97
u 2  2,7 2  7,29  a 2 +b2  u 2 není splněna podmínka pro obdélník
e) a 2 +b2 = 2,42  3, 42 = 5,76 +11,56 =17,32
u 2  4, 42  19,36  a 2 +b2  u 2 není splněna podmínka pro obdélník
f) nejprve všechny délky převedeme na centimetry
a 2 +b2 = 1,52  22 =2,25 + 4 = 6,25
u 2  2,52  6, 25  a 2 +b2  u 2 jedná se o obdélník
- 40 -
2. Rozhodněte podle Pythagorovy věty, který z trojúhelníků zadaných délkami stran je pravoúhlý:
a) 3 ; 4 ; 5
b)
2; 4; 6
c)
3 ; 2; 5
3 4 5
d) ; ;
7 7 7
7 7 7
e) ; ;
3 4 5
15 20 25
f)
;
;
7
7
7
g) 2x; 4x; 6x
h) 3x; 4x; 5x
i) 4x; 5x; 6x
j) 1 ; 1 ; 2
k) 2 ; 2 ; 3
l) 2 ; 2 ; 8
m) 0,6; 0,8; 1
3 4
n) ; ; 1
5 5
o) 0,5; 1,2; 1,3
Řešení:
 3   4  = 3 + 4 = 7
  5   5  trojúhelník není pravoúhlý  a +b
2
a) a 2 +b 2 =
c2
2
2
 2  4 = 2 + 4 = 6
  6   6  trojúhelník je pravoúhlý  a +b
2
b) a 2 +b 2 =
c2
2
2
2
 c2 
 3  2 = 3 + 4 = 7
  5   5  trojúhelník není pravoúhlý  a +b
2
2
2
2
2
 c2 
2
2
c) a 2 +b 2 =
c2
2
2
 c2 
2
9
16
25
3 4
d) a +b =      =
+
=
49
49
49
7 7
2
2
2
25
5
c   
 trojúhelník je pravoúhlý  a 2 +b 2  c 2 
7
49
 
2
- 41 -
e) Pozor, přeponou c je první z čísel.
49 49 49.  25+16  49.41 2009
9
7 7
a +b =      =
+
=


5
16 25
400
400
400
400
4 5
2
2
2
2
2
49
4
7
c2    
5
9
9
3
 trojúhelník není pravoúhlý  a 2 +b 2  c 2 
2
2
225
400
625
 15   20 
f) a 2 +b 2 =      =
+
=
49
49
49
7  7 
2
 25  625
c   
 trojúhelník je pravoúhlý  a 2 +b 2  c 2 
7
49
 
2
g) a 2 +b 2 =  2x    4 x  = 4x 2 + 16x 2 = 20x 2
2
2
c 2   6x   36 x 2  trojúhelník není pravoúhlý  a 2 +b 2  c 2 
2
h) a 2 +b 2 =  3x    4 x  = 9x 2 + 16x 2 = 25x 2
2
2
c 2   5 x   25 x 2  trojúhelník je pravoúhlý  a 2 +b 2  c 2 
2
i) a 2 +b 2 =  4 x    5 x  = 16x 2 + 25x 2 = 41x 2
2
2
c 2   6x   36 x 2  trojúhelník není pravoúhlý  a 2 +b 2  c 2 
2
j) a 2 +b2 = 12  12 = 2
c2 
 2
2
 2  trojúhelník je pravoúhlý  a 2 +b 2  c 2 
k) a 2 +b2 = 22  22 = 4 + 4 = 8
c2 
 3
2
 3  trojúhelník není pravoúhlý  a 2 +b 2  c 2 
l) a 2 +b2 = 22  22 = 4 + 4 = 8
c2 
 8
2
 8  trojúhelník je pravoúhlý  a 2 +b 2  c 2 
m) a 2 +b2 = 0,62  0,82 = 0,36 + 0,64 = 1
c 2  12  1  trojúhelník je pravoúhlý  a 2 +b2  c 2 
2
2
9
16
25
3  4
n) a +b =      =
+
=
1
25
25
25
5  5
2
2
c 2  12  1  trojúhelník je pravoúhlý  a 2 +b 2  c 2 
o) a 2 +b2 = 0,52  1, 22 = 0,25 + 1,44 = 1,69
c 2  1,32  1, 69  trojúhelník je pravoúhlý  a 2 +b 2  c 2 
- 42 -
3. Jak dlouhá je úhlopříčka obdélníku, který má délky stran:
a) 8 cm; 1,5 dm
b) 1,5 cm; 36 mm
c) 33 mm; 0,56 dm
d) 215 mm; 32 cm
e) 96 cm; 11 dm
f) 1,8 m; 27 dm
Řešení:
Sousední strany obdélníka a a b tvoří spolu s úhlopříčkou u pravoúhlý trojúhelník, a proto
musejí splňovat Pythagorovu větu: a2 + b2 = u2. Nejdřív převedeme obě délky na stejné
jednotky a pak vypočteme délku přepony pravoúhlého trojúhelníka.
a) a  8 cm, b  15 cm
u 2  a 2 +b 2
u  a 2 +b 2
u
64  225
u
289
u  17 cm
b) a  15 mm, b  36 mm
u 2  a 2 +b 2
u  a 2 +b 2
u
225  1296
u
1521
u  39 mm
c) a  3,3 cm, b  5, 6 cm
u 2  a 2 +b 2
u  a 2 +b 2
u
10,89  31,36
u
42, 25
u  6,5 cm
- 43 -
d) a  21,5 cm, b  32 cm
u 2  a 2 +b 2
u  a 2 +b 2
u
462, 25  1024
u
1486, 25
u
38,55 cm
e) a  96 cm, b  110 cm
u 2  a 2 +b 2
u  a 2 +b 2
u
9216  12100
u
21316
u  146 cm
f) a  18 dm, b  27 dm
u 2  a 2 +b 2
u  a 2 +b 2
u
324  729
u
1053
u
32, 45 cm
4. Vypočítejte délku druhé strany obdélníka, je-li dána jeho strana a délka úhlopříčky:
a) 1,7 dm; 15 cm
b) 34 cm; 3 dm
c) 15 cm; 2,5 dm
d) 0,56 m; 6,5 dm
e) 11 cm; 146 mm
f) 15 mm; 39 mm
Řešení:
Sousední strany obdélníka a a b tvoří spolu s úhlopříčkou u pravoúhlý trojúhelník, a proto
musejí splňovat Pythagorovu větu: a2 + b2 = u2. Nejdřív převedeme obě délky na stejné
jednotky a pak vypočteme délku odvěsny pravoúhlého trojúhelníka.
- 44 -
a) a  15 cm, u  17 cm
u 2  a 2 +b 2
b  u2  a2
b
289  225
b
64
b  8 cm
b) a  30 cm, u  34 cm
u 2  a 2 +b 2
b  u2  a2
b
1156  900
b
256
b  16 cm
c) a  15 cm, u  25 cm
u 2  a 2 +b 2
b  u2  a2
b
625  225
b
400
b  20 cm
d) a  5, 6 dm, u  6,5 dm
u 2  a 2 +b 2
b  u2  a2
b
42, 25  31,36
b
10,89
b  3,3 dm
e) a  110 mm, u  146 mm
u 2  a 2 +b 2
b  u2  a2
b
21316  12100
b
9216
b  96 mm
- 45 -
f) a  15 mm, u  39 mm
u 2  a 2 +b 2
b  u2  a2
b
1521  225
b
1296
b  36 mm
5. Vypočítejte délku úhlopříčky čtverce, je-li délka strany:
a) 4 cm
b) 3,6 dm
c) 400 mm
d) 70 cm
e) x cm
f) 2x cm
Řešení:
Strany čtverce spolu s úhlopříčkou u tvoří pravoúhlý trojúhelník, a proto musejí splňovat
Pythagorovu větu: a2 + a2 = u2. Po úpravě výrazu dostaneme: u 2  2a 2 , u  2a 2
a) a  4 cm
u  2.42
u  32
u
5, 7 cm
b) a  3, 6 dm
u  2 . 3, 62
u  25,92
u
5,1 dm
c) a  400 mm = 4 dm  Převedeme na vhodnější jednotku!
u  2.42
u  32
u
5, 7 dm
d) a  70 cm = 7 dm
 Převedeme na vhodnější jednotku!
u  2.7 2
u  98
u
9,9 dm
- 46 -
e) a  x cm
u  2 . x2
u  x 2 cm
f) a  2 x cm
u  2 .  2x 
2
u  2 . 4x 2
u  8x2
u  x 8 cm = 2 x 2 cm  Po částečném odmocnění 
6. Vypočítejte velikost výšky v rovnostranném trojúhelníku se stranou délky:
a) 4 cm;
b) 60 mm;
c) 0,08 m;
d) 10 cm;
e) 1,2 dm;
f) 20 cm
Řešení:
Výška rovnostranného trojúhelníku je odvěsnou pravoúhlého
trojúhelníku podle nákresu
2
a
2
2
va  a   
2
a
va  a   
2
2
2
a) a  4 cm
va  42  22
va  12
va
3, 46 cm
b) a  60 mm = 6 cm
va  62  32
va  27
va
5, 2 cm
- 47 -
c) a  0,08 m = 8 cm
va  82  42
va  48
va
6,93 cm
d) a  10 cm
va  102  52
va  75
va
8, 66 cm
e) a  1,2 dm = 12 cm
va  122  62
va  108
va
10,39 cm
f) a  20 cm
va  202  102
va  300
va
17,32 cm
7. Vypočítejte délku strany rovnostranného trojúhelníku, má-li jeho výška délku:
a) 4 cm;
b) 60 mm;
c) 0,08 m;
d) 10 cm;
e) 1,2 dm;
f) 20 cm
- 48 -
Řešení:
Výška rovnostranného trojúhelníku je odvěsnou pravoúhlého
trojúhelníku podle nákresu. Stranu a určíme pomocí Pythagorovy věty pro tento trojúhelník.
2
a
a
va 2     a 2 / 
4
2
2
a
va 2  a 2 
4
2
3a
4
va 2 
/
4
3
4
a 2   va 2 /
3
2
4 2
va
3
a
Po dosazení:
a)
va = 4 cm
a
b)
4 2
4 2
va 
6
3
3
va
=
0,08
va
m
va
a
1,2
8
10
4 2
4 2
va 
10
3
3
=
=
cm
11,5 cm
dm
4 2
4 2
va 
12
3
3
=
12
13,9 cm
va = 20 cm
a
4 2
4
va 
 202
3
3
cm
9, 2 cm
=
a
e)
6,9 cm
4 2
4 2
va 
8
3
3
a
d)
4, 6 cm
va = 60 mm = 6 cm
a
c)
4 2
4 2
va 
4
3
3
23,1 cm
- 49 -
cm
8. Vypočítejte poloměr kružnice opsané obdélníku o rozměrech:
a) 6 cm a 3 cm
b) 45 dm a 3 m
c) 6 cm a 11 mm
d) 1,3 dm a 37 cm
e) 2x cm a 3x cm
Řešení:
Hledaný poloměr kružnice je polovinou úhlopříčky obdélníka,
kterou vypočítáme pomocí Pythagorovy věty podle obrázku.
u 2  a 2  b2
u  a 2  b2
Potom poloměr kružnice r = u : 2
a) a  3 cm, b  6 cm
u  32  62  45
r  45 : 2 3,4 cm
b) a  3 m = 30 dm, b  45 dm (Rozměry obdélníka převedeme na stejné jednotky.)
u  302  452  2925
r  2925 : 2
27 dm
c) a  11 mm, b  6 cm = 60 mm (Rozměry obdélníka převedeme na stejné jednotky.)
u  112  602  3721
r  3721 : 2 = 30,5 mm
d) a  1,3 dm = 13 cm, b  37 cm (Rozměry obdélníka převedeme na stejné jednotky.)
u  132  37 2  1538
r  1538 : 2 39, 2 cm
e) a  2 x cm, b  3x cm
u
 2 x    3x 
2
2
 4 x 2  9 x 2  13x 2  x. 13
r  ( x. 13 ): 2 1,8 x cm
- 50 -
9. Vypočítejte poloměr kružnice opsané čtverci se stranou délky:
a) 10 cm
b) 0,04 m
c) 3,6 dm
d) 70 mm
e) x cm
f) 2x cm
Řešení:
Hledaný poloměr kružnice je polovinou úhlopříčky čtverce,
kterou vypočítáme pomocí Pythagorovy věty podle obrázku.
u2  a2  a2
u  2a 2
Potom poloměr kružnice r = u : 2
a) a  10 cm
u  2.102  200
r  200 : 2 7, 07 cm
b) a  0, 04 m = 4 cm
u  2.42  32
r  32 : 2
2,83 cm
c) a  3, 6 dm = 36 cm
u  2.362  2592
r  2592 : 2
25, 46 cm
d) a  70 mm = 7 cm
u  2.7 2  98
r  98 : 2
4,95 cm
e) a  x cm
u  2.x 2  x. 2
r  ( x. 2) : 2 =
2
x
2
0, 71x cm
f) a  2 x cm
u  2.  2 x   2.4 x 2  2 x. 2
2
r  (2 x. 2) : 2 = x. 2 1, 41x cm
- 51 -
10. Rovnostranného ∆ABC je vepsaný do kružnice o průměru 12 cm. Vypočtěte:
a) délku jeho strany
b) obsah tohoto trojúhelníku
Řešení:
Výška va = AP je v rovnostranném trojúhelníku rov2
něž i těžnicí, a proto platí: AS   AP .
3
Je-li AS = 6 cm, pak AP = 9 cm = va
Délku strany a lze určit pomocí Pythagorovy věty z pravoúhlého ∆APB:
2
a
a
va     a 2 / 
4
2
2
2
va 2  a 2 
a2
4
3a 2
4
va 
/
4
3
4
a 2   va 2 /
3
4 2
a
va
3
2
Po dosazení: a 
4 2
 9  108 10, 4 cm
3
Obsah ∆ABC vypočteme: S 
Po dosazení: S 
10,4  9
2
a  va
2
46,8 cm2
- 52 -
Pythagorova věta cvičení III
1. Z kmene stromu je vytesán trám obdélníkového průřezu o rozměrech 50 mm a 120 mm. Jaký nejmenší průměr musel mít kmen?
Řešení:
a = 50 mm = 5 cm, b = 120 mm = 12 cm, d = ?
Nejmenší průměr kmenu je délkou úhlopříčky obdélníku:
b
d
a
Nejmenší průměr kmenu je 13 cm.
2. Z kmenů borovic byly vyřezány trámy, které měly na příčném řezu tvar čtverce se stranou
dlouhou 17 cm. Jaké nejmenší průměry musely mít kmeny borovic?
Řešení:
a = 17 cm, d = ?
Nejmenší průměr kmenu je délkou úhlopříčky čtverce:
a
d
a
Kmeny borovic musely mít nejmenší průměr 24 cm.
- 53 -
3. Čtverci o straně 5 cm je opsána a vepsána kružnice. Urči poloměry obou kružnic.
Řešení:
a = 5 cm, r1 = poloměr kružnice vepsané ,r2 = x poloměr kružnice opsané
Poloměr kružnice opsané je roven polovině délky strany čtverce: r1 = 2,5 cm. Poloměr kružnice vepsané je roven polovině
délky úhlopříčky čtverce:
x
2,5 cm
.
S
2,5 cm
a
Poloměr kružnice opsané je 3,54 cm a poloměr kružnice vepsané je 2,5 cm.
4. Automobil jel z bodu A 20 km severním a potom 30 km východním směrem. Zastavil se
v bodě B. Jaká je přímá vzdálenost bodů A a B?
Řešení:
Vzdálenost bodů AB je 36,06 km.
- 54 -
5. Vypočítejte obsah rovnostranného trojúhelníku s délkou strany 6 cm.
Řešení:
a  6 cm
S  x cm 2
Obsah rovnostranného trojúhelníku: S 
a  va
2
C
Výpočet výšky rovnostranného trojúhelníka:
a
va
S
A
a/2
B
Obsah rovnostranného trojúhelníku je 15,6 cm2.
6. Vypočítejte obsah rovnoramenného trojúhelníku s délkou základny 6 cm a délkou ramene 8
cm.
Řešení:
Obsah trojúhelníku: S 
z  vz
2
z
Výpočet výšky rovnoramenného trojúhelníka: vz  r 2   
2
Obsah rovnoramenného trojúhelníku je 22,2 cm2.
- 55 -
2
7. Určete délku tělesové úhlopříčky krychle o hraně 10 cm.
Řešení:
a = 10 cm
u1 = ? ( stěnová úhlopříčka)
u = ? ( tělesová úhlopříčka)
u12 = a2 + a2
u12 = 2a2
u1 =
u1 =
u1 =
u11 = 14,14 cm
u2 = u12 + a2
u =
u =
u =
u = 17,32 cm
Délka tělesové úhlopříčky krychle je 17,32 cm.
8. V kvádru je délka tělesové úhlopříčky 60 cm a výška kvádru 20 cm. Určete délku úhlopříčky podstavy.
Řešení:
u = 60 cm
v = 20 cm
x=?
Úhlopříčka podstavy x je odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku a platí:
Úhlopříčka podstavy má délku 56,57 cm.
- 56 -
9. V pravoúhlém trojúhelníku ABC je součet délky odvěsny a přepony 19, 2 cm a délka druhé
odvěsny je 12,6 cm . Vypočítejte délky zbývajících stran.
Řešení:
b = 12,6 cm
a + c = 19,2 cm
a=?
c=?
Platí Pythagorova věta:
Zbývající strany mají délky a  5,5 cm, c  13,7 cm.
10. Vypočítejte obvod rovnoramenného lichoběžníku ABCD , je-li
Řešení:
d
o  a bcd
C
c
D
v
v
b
x
x
A
X
o  12  3,6  8  3,6
Obvod lichoběžníku je 27,2 cm.
- 57 -
a
Y
B
11. Vypočítejte obsah rovnoramenného lichoběžníku ABCD , je-li AB  12 cm CD  8 cm
BC  3,6 cm
Řešení:
d
C
c
D
v
v
b
x
x
A
X
Obsah lichoběžníku je 30 cm2.
- 58 -
a
Y
B
12. Vypočítejte obsah štítu domu tvaru rovnoramenného trojúhelníku, je-li:
AB  9,6 m, AC  5,6 m.
Řešení:
S
a.v
2
C
Výška trojúhelníku rozdělí rovnoramenný trojúhelník na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky.
Z pravoúhlého trojúhelníku BSC vyjádříme
výšku v pomocí Pythagorovy věty:
v
v 2  31,36  23,04
v  8,32
A
v  2,88 m
S
a.v
2
9, 6.2,88
2
S  13,8 m 2
S
Obsah štítu domu je asi 13,8 m2.
- 59 -
S
B
13. Vypočítejte obsah kosočtverce ABCD , je-li AC  e  9 cm, AB  a  5 cm.
Řešení:
e = 9 cm
a = 5 cm
S=?
Využijeme vlastnosti úhlopříček kosočtverce,
které jsou k sobě kolmé a navzájem se půlí.
V pravoúhlém trojúhelníku ASB platí Pythagorova věta:
2
e  f 
a     
2  2 
D
C
f
e
S
2
a
2
e/2
2
2
2
2
 f 
e
2
   a  
2
2
 f 
9
2
   5  
2
2
f
9
 52   
2
2
A
2
f
 2,18 cm
2
f  4,36 cm
e f
2
9  4,36
S
 19, 62 cm 2
2
S
Obsah kosočtverce je 19,62 cm2.
- 60 -
f/2
a
B
14. Do kružnice k o poloměru r = 6,5 cm je vepsán obdélník ABCD s kratší stranou b = 4 cm.
Určete délku delší strany a.
Řešení:
Velikost delší strany vypočítáme pomocí Pythagorovy věty z pravoúhlého trojúhelníka ABC
s přeponou velikosti 2r
k
C
D
169  a 2  16
b
S
A
a
B
Delší strana obdélníku má délku 12,37 cm.
15. Jak daleko jsou od sebe vzdáleny konce písmene L, jestliže vodorovná úsečka je dlouhá
8 mm a kolmá úsečka 1,5 cm?
Řešení:
Vzdálnost konců písmen je přepona pravoúhlého trojúhelníka, jhož odvěsny tvoří vodorovná a kolmá úsečka, tvořící písmeno L
Platí Pythagorova věta:
Konce písmene L jsou od sebe vzdáleny 17 mm.
- 61 -
16. Hlavní stožár cirkusového stanu je upoután na samém vrcholu ocelovým lanem dlouhým
39 m, jež je připevněno k zemi ve vzdálenosti 15 m od paty stožáru. Jak vysoký je hlavní
stožár stanu?
Řešení:
Výška stožáru je odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka
39 m
v
15 m
Hlavní stožár stanu je vysoký 36 m.
17. Jak dlouhou kládu potřebují dobyvatelé hradu, aby ji mohli opřít o vrchol hradeb? Hradby
jsou vysoké 8 m a jsou obehnány vodním příkopem širokým 6 m.
Řešení:
Délka klády je přeponou pravoúhlého trojúhelníka:
v=8 m
d =?
p=6m
Dobyvatelé potřebují kládu dlouhou minimálně 10 m.
- 62 -
Goniometrické funkce ostrého úhlu
V pravoúhlém trojúhelníku ABC popisujeme jednotlivé strany vzhledem k danému úhlu následujícím způsobem:
AB - přepona – nejdelší strana
BC- protilehlá odvěsna vzhledem k úhlu 
AC – přilehlá odvěsna vzhledem k úhlu 
Poznámka: názvy stran se mění podle toho, ke kterému z úhlů odvěsny vztahujeme.
AB - přepona – nejdelší strana
BC- přilehlá odvěsna vzhledem k úhlu 
AC – protilehlá odvěsna vzhledem k úhlu 
Pro výpočty v pravoúhlém trojúhelníku kromě Pythagorovy věty používáme mimo jiné
i goniometrické funkce ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku
sinus úhlu 
kosinus úhlu 
a
c
b
cos  
c
sin  
a
b
tangens úhlu 
tg 
Kotangens úhlu 
cotg 
protilehlá odvěsna
přepona
přilehlá odvěsna
cos  
přepona
sin  
tg 
b
a
protilehlá odvěsna
přilehlá odvěsna
cotg 
přilehlá odvěsna
protilehlá odvěsna
Poměr velikosti odvěsny protilehlé k úhlu  a přepony
Poměr velikosti odvěsny přilehlé
k úhlu  a přepony
Poměr velikosti odvěsny protilehlé k úhlu  a odvěsny přilehlé
k úhlu 
Poměr velikosti odvěsny přilehlé
k úhlu  a odvěsny protilehlé
k úhlu 
Protože se ale mění názvy úhlů i stran v pravoúhlém trojúhelníku, je nutné si pamatovat třetí
sloupec tabulky, nikoliv vzorce z druhého sloupce.
- 63 -
Hodnoty goniometrických funkcí ostrého úhlu hledáme na kalkulačce.
např:
sin 30  0,5
cos15  0,9659
tg20  0,3639
Jedná se o čísla reálná, proto je třeba při výpočtech zvolit vhodné zaokrouhlení těchto čísel.
Hledáme-li naopak úhel k hodnotě goniometrické funkce, používáme taktéž kalkulačku, musíme však zvolit vhodný přepínač ( SHIFT, 2ndF…)
např:
sin 0,4987 = 29,914° = 29°54´
cos 0,8795 = 28,418° = 28; 25´
tg 1,4852 = 56,0472° = 56°2´
Funkce kotangens na kalkulačce není, protože lze zaměnit za převrácenou hodnotu funkce
tangens.
cvičení:
1. Vypočítej:
a)
sin 35°
f)
tg 28°40´
b)
sin 75°15´
g)
sin 78°12´
c)
cos 45°
h)
cos 62°44
d)
cos 68°30´
i)
tg 56°56´
e)
tg 60°
j)
sin 12°58´
Řešení:
a)
sin 35° = 0,5736
f)
tg 28°40´ = 0,5467
b)
sin 75°15´ = 0,9670
g)
sin 78°12´ = 0,9789
c)
cos 45° = 0,7071
h)
cos 62°44´ = 0,4581
d)
cos 68°30´ = 0,3665
i)
tg 56°56´ = 1,5359
e)
tg 60° = 1,73205
j)
sin 12°58´ = 0,2244
- 64 -
2. Urči úhel , pro který platí:
a) sin  = 0,4523
f)
tg  = 0,7833
b) sin  = 0,9785
g)
sin  = 0,4471
c) cos  = 0,4452
h)
cos  = 0,5
d) cos  = 0,8457
i)
tg  = 2,3154
e) tg  = 5,2341
j)
sin  = 0,999
Řešení:
a) sin  = 0,4523   = 26°53´
f)
tg  = 0,7833   =38°4
b) sin  = 0,9785   = 78°5°
g)
sin  = 0,4471   =´26°33´
c) cos  = 0,4452   = 63°33°´
h) cos  = 0,5   = 60°
d) cos  = 0,8457   =32°15´
i)
tg  = 2,3154   = 66°38´
e) tg  = 5,2341   =79°11´
j)
sin  = 0,999   = 87°26´
3. Urči sin  , cos , tg  pro úhel
a)  = 25°15´
b)  = 35°15´
c)  = 78°52´
d)  = 9°11´
e)  = 89°59´
Řešení
a)  = 25°15´
sin  = 0,4266
cos  = 0,9045
tg  = 0,4716
b)  = 35°15´
sin  = 0,5771
cos  = 0,8166
tg  = 0,7067
c)  = 78°52´
sin  = 0,9812
cos  = 0,1931
tg  = 5,0814
d)  = 9°11´
sin  = 0,1596
cos  = 0,9872
tg  = 0,1617
- 65 -
e)  = 79°59´
sin  = 0,9848
cos  = 0,1739
tg  = 5,6617
4. Je dáno: sin  = 0,5443, cos  = 0,8122. Vypočítej:
a) cos 
f)
sin (2 - )
b) sin ( + )
g)
tg ( + )
c) tg 2
d) cos 2
e) cos ( + )
h) tg
i)
sin

2
j)
cos

2
Řešení:
sin  = 0,5443   = 32°58´
cos  = 0,8122   = 35°41´
a) cos 32°58´ = 0,8390
b) sin (32°58´ + 35°41´) =sin 68°39´= 0,8961
c) tg 2 = tg 71°22´ = 4,2678
d) cos 2 = cos 65°56´ = 0,4078
e) cos ( + ) = cos 68°39´=0,3641
f)
sin (2 - )
g) tg ( + )
h) tg

= tg 16°29´= 0,2959
2
i)
sin

= sin 17°50´= 0,3062
2
j)
cos

= cos 16°29´= 0,9590
2

2
- 66 -
Geometrické úlohy řešené pomocí goniometrických funkcí
1. Vypočítej délku přepony v pravoúhlém Δ ABC je-li dáno: a = 6 cm,  = 30°.
Řešení:
C
b

sin  
a
sin 
6
c
sin 30
c  12 cm
c
a
c
A
a
c
B
Přepona má délku 12 cm.
2. Vypočítej velikost strany b v pravoúhlém Δ ABC, je-li dáno: a = 6 cm,  = 30°.
Řešení:
tg 
C
a
tg
6
b
tg 30
b  10,34 cm
b
b

A
a
c
a
b
B
Strana b má délku 10,34 cm.
- 67 -
3. Vypočítej délku strany a v pravoúhlém Δ ABC, je-li dáno: c = 6 cm,  = 60°.
Řešení:
C
b
a
c
a  c  sin 
a  6  sin 60
sin  
a
a  5, 2 cm

c
A
B
Strana a má délku 5,2 cm.
4. Vypočítej délku strany b v pravoúhlém Δ ABC, je-li dáno: c = 9 cm,  = 62°30´.
Řešení:
C
b
b
c
b  c  cos 
b  9  cos 6230´
cos  
a
b  4,16 cm

c
A
B
Strana b má délku 4,16 cm.
5. Vypočítej velikost úhlu  v pravoúhlém Δ ABC, je-li dáno a = 8 cm, b = 5 cm.
Řešení:
C
b

A
a
b
8
tg  
5
  58
tg  
a
c
B
Úhel  má velikost 58°.
- 68 -
6. Vypočítej velikost úhlu  v pravoúhlém Δ ABC, je-li dáno a = 6 cm, b = 12 cm.
Řešení:
C
b
a
12
tg  
6
  6326´
tg  
b
a


c
A
B
Úhel  má velikost 63°26´.
7. Vypočítej velikost úhlu  v pravoúhlém Δ ABC, je-li dáno a = 8,4 cm, c = 11,2 cm.
Řešení:
C
b

a
c
A
a
c
8,4
sin  
11,2
  4835´
sin  
B
Úhel  má velikost 48°35´.
8. Vypočítej velikost úhlu  v pravoúhlém Δ ABC, je-li dáno: b = 0,72 dm, c = 16 cm.
Řešení:
b  0, 72 dm  7, 2 cm
C
b
c
7, 2
cos  
16
  6315´
cos  
b

A
a
c
B
Úhel  má velikost 63°15´.
- 69 -
9. Vypočítej délku výšky k přeponě v pravoúhlém Δ ABC, je-li dáno:  = 60°, b = 5 cm.
Řešení:
v
b
v  b  sin 
v  b  sin 60
sin  
C
b
v  4,33 cm
a


c
A
B
Výška k přeponě má délku 4,33 cm.
10. Vypočítej délku výšky k přeponě v pravoúhlém Δ ABC, je-li dáno: β = 60°, c = 15 cm.
Řešení:
C
b

A
a
c
a  c  cos 
a  15  cos 30
cos  
a
a  13 cm

c
B
v
a
v  a  sin 
v  13  sin 30
v  6,5 cm
sin  
Výška k přeponě má délku 6,5 cm.
- 70 -
11. Vypočítej velikost základny v rovnoramenném Δ ABC, je.li dáno. v =12 cm,  = 38°.
Řešení:
C
b
v
tg 
v
c
2
c
 v  tg
2
c  2  v  tg
a
c  2 12  tg38
c  18, 75 cm

c
2
A
S
B
Základna rovnoramenného Δ ABC má délku 18,75 cm.
12. Vypočítej velikost úhlu  při základně rr Δ ABC, je-li dáno c = 6 cm, v = 8 cm.
Řešení:
C
b
v
v
c
2
8
tg 
3
  69226´
tg 
a

A
c
2
S
B
Velikost je 69°26´.
- 71 -
13. Vypočítej velikost úhlu  při hlavním vrcholu rr Δ ABC, je-li dáno: c = 6 cm, v = 8 cm.
Řešení:
C
c
tg  2
2 v
 3
tg 
2 8

b
v

a
2
 2033´
  416´

c
2
A
S
B
Úhel  má velikost 41°6´.
14. V rovnoramenném Δ ABC je dána výška k základně v = 10,2 cm a úhel při hlavním vrcholu je  = 40°. Vypočítej délku ramene tohoto trojúhelníka.
Řešení:
C
cos

b
b
A
v
c
2
S

2
v

v
b

2
10, 2
b
cos 20
b  10,85 cm
a
B
Délka ramene rovnoramenného Δ ABC je 10,85 cm.
- 72 -
15. V rovnoramenném Δ ABC je dána výška k základně v = 10,2 cm a úhel při hlavním vrcholu je  = 40°. Vypočítej délku základny tohoto trojúhelníka.
Řešení:
C
c

tg  2
2 v
c

 v  tg
2
2
c  2 10, 2  tg20

b
A
a
v
c
2
S
c  7, 42 cm
B
Základna v rovnoramenném Δ ABC má délku 7,42 cm.
16. Obdélník má strany a =10 cm, b = 6 cm. Vypočítej odchylku jeho úhlopříček.
Řešení:
D
C
e
2
S

b
tg  2
2 e
2
 3
tg 
2 5

a
2
b
2

B
A
2
 3028´
  6156´
Odchylka úhlopříček je 61°56´.
- 73 -
17. Úhlopříčky obdélníku o délce 12 cm svírají úhel  = 60°. Vypočítej obvod obdélníku.
Řešení:
D
C
e
2
S

b  e  sin
a
2
b
2
B
A
b e

  sin
2 2
2

2
b  12  sin 30
b  6 cm
a
cos  2
2 e
2

a  e  cos

2
a  12  cos 30
a  10, 4 cm
o  2   a  b   2 16, 4  32,8 cm
Obvod obdélníka je 32,8 cm.
18. Vypočítej obsah obdélníku je-li dáno b = 8 cm, úhel BSC = 80°, S je průsečík úhlopříček.
Řešení:
D
C
b
tg  2
2 a
2
b
a
 2
2 tg 
2
b
a

tg
2
8
a
tg40
a  9,53 cm

e
2
S

A
a
2
b
2
B
S  a  b  9,53  8  76, 2 cm 2
Obsah obdélníku je 76,2 cm2.
- 74 -
19. V obdélníku KLMN známe úhel KML o velikosti 22°30´a straně LM o velikosti 4 cm. Je
jeho obsah větší než 7 cm2?
Řešení:
N
k
l
k  l  tg
M

tg 
k  4  tg2230´
k  1, 66 cm
K
k
S  k  l  1, 66  4  6, 64 cm 2
L
Obsah obdélníku je menší než 7 cm2.
20. Obdélník ABCD má obsah 64 cm2. Vypočítej délku jeho stran, svírají-li jeho úhlopříčky
úhel 45°.
Řešení:
D
C
e
2
S

a
2
A
b
2
B
S  a b
64  a  b
64
b
a
b
 2
tg 
2 a
2
 b
tg 
2 a
64
tg22,5  a
a
64
a2 
tg22,5
a  12, 43 cm
64
b
 5,14 cm
12, 43
Strany mají délky 12,43 cm a 5,14 cm.
- 75 -
21. V kosočtverci ABCD známe délky úhlopříček e = 10 cm, f = 8 cm. Vypočítej velikost
vnitřních úhlů.
Řešení:
D
S
e
2
A
C
f

tg  2
2 e
2
 4
tg 
2 5
f
2

B

2
 3640´
  7320´
  180  7320´ 10640´
Vnitřní úhly kosočtverce mají velikost 106°40´.
22. V kosočtverci ABCD známe úhlopříčku e  16,7cm, a velikost úhlu DAB  68°. Vypočítej
délku druhé úhlopříčky.
Řešení:
D
e
2
A
C
S
f
tg  2
2 e
2
f e

  tg
2 2
2

f
2

B
f  e  tg 

2
f  16, 7  tg34
f  11, 26 cm
Druhá úhlopříčka kosočtverce má délku 11,26 cm.
- 76 -
23. Vypočítej obvod kosočtverce s úhlopříčkou e = AC = 18 cm, je-li velikost úhlu ABC 120°.
Řešení:
D

C
2
S
e
2
A

v
2
 180 

2
 90  30
v
sin  2
2 e
2
v e

  sin
2 2
2
f
2


B
v  e  sin

2
v  18  sin 30
v  9 cm
e
sin  2
2 a
e
a 2

sin

2
9
a
sin 60
a  10, 4 cm
S  a  v  10, 4  9  93, 6 cm 2
Obsah kosočtverce je 93,6 cm2.
- 77 -
24. Lanovka spojuje místo A, které je ve výšce 632 m nad mořem s místem B, jehož nadmořská výška je 1132 m. Jak dlouhá bude trasa lanové dráhy spojující obě místa, jestliže její
trasa svírá s vodorovnou rovinou úhel 25°.
Řešení:
C
SP  1132  632  500 m

P
A
sin  
BP
AB 
BP
AB
sin 
500
AB 
sin 25
AB  1183,15 m
Trasa lanové dráhy má délku 1183,15 m.
25. Jak vysoký je sloup nesoucí dráty elektrického vedení, jestliže jej ve vzdálenosti 50 m vidíme pod úhlem 6°50´.
Řešení:
V
AP  50 m
  650´
tg 
VP
AP
VP  AP  tg
VP  50  tg650´

A
P
Výška sloupu je 6 m.
- 78 -
VP  6 m
25. Jestliže bychom k hradní zdi opřeli pod úhlem 35°žebřík dlouhý 11 m, bude ho na vrcholu
zdi půl metru přečnívat.
a) Jak vysoká je hradní zeď?
b)Pod jakým úhlem musíme tento žebřík umístit, aby se horní konec dotkl okraje zdi?
Řešení:
a) Jak vysoká je hradní zeď?
Q
  35
AP  AQ  0,5  10,5 m
P
sin  
BP
AP
BP  AP  sin 
BP  10,5  sin 
BP  6, 02 m

A
B
Hradní zeď má výšku 6,02 m.
b) Pod jakým úhlem musíme tento žebřík umístit, aby se horní konec dotkl okraje zdi?
Q
sin  
P
BQ
AQ
6, 02
11
  3310´
sin  

A
B
Žebřík musíme opřít pod úhlem 33°10´.
- 79 -
26. Tečny vedené z bodu A ke kružnici k a o středu S svírají úhel 60°. Úsečka SA protíná
kružnici k v bodě B tak, že platí |AB| = 4 cm. Vypočítej poloměr kružnice k.
Řešení:
T
X
k
S
sin

2

B
BX
BA
BX  BA  sin

2
BX  4  sin 30
BX  2 cm
BA
AS

BX
ST
4
2

r4 r
4r  2   r  4 
r  4 cm
Poloměr kružnice je 4 cm.
- 80 -

A
27. Kružnice opsaná pravoúhlému trojúhelníku má poloměr 13 cm. Jedna odvěsna měří
12 cm. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů tohoto trojúhelníku.
Řešení:
C
AB  2r  26 cm
AC  12 cm
12
26
  6230´   2730´
cos  
A

B
S
Vnitřní úhly mají velikosti 62°30´.
28. Určete obsah rovnoběžníku, jestliže strany o velikostech 8 cm a 10 cm svírají úhel 50°.
Řešení:
D
b
A
a  10 cm
b  8 cm
  50
v
sin  
AD
C
v

a
B
v  AD  sin 
v  8  sin 50
v  6,128 cm
S  a  va  10  6,128  61, 28 cm 2
Obsah rovnoběžníku je 61,28 cm.
- 81 -
29. Těžnice a výška na stranu c rozdělí trojúhelník ABC na tři trojúhelníky, jejichž obsahy
označíme S1 , S2, S3. Vypočtěte tyto obsahy, je-li |SC| = t = 4,1 cm;  = 80°,  = 35°,  =
102°.
Řešení:
C
S1 

v
S2 
t
S1
S2
S3
S3 


A
P

B
S
AP  v
2
PS  v
2
BS  v
2
v
sin  
t
v
4,1
v  sin 80  4,1
sin 80 
v  4 cm
  180      
  180  102  35 
  43
PS :
AP :
tg 
v
AP
cos  
PS
Protože bod S je středem
úsečky AB platí:
t
PS  cos   t
SB  AP  PS
PS  cos80  4,1
SB  4, 29  0, 71
PS  0, 71 cm
SB  5 cm
AP  4, 29 cm
S2 :
S3 :
S1 :
S2 
PS  v
2
0, 71  4
S2 
2
S 2  1, 42 cm 2
S3 
v
tg
v
AP 
tg43°
AP 
S1 
AP  v
2
4, 29  4
S1 
2
S1  8,58 cm 2
BS  v
2
5 4
S3 
2
S3  10 cm 2
Obsah S1 je 8,58 cm2, obsah S2 je 1,42 cm2 a S3 je 10 cm. Protože |SB| = |AP| + |PS|
a výška v je společná pro trojúhelník ASC a trojúhelník SBC, musí platit, že obsahy troj-
- 82 -
úhelníků ASC a SBC jsou si rovny. Tohoto lze využít ke kontrole správnosti. Obsah trojúhelníka ASC je roven součtu obsahů trojúhelníků APC a PSC, tedy:
S1 + S2 = (8,58 + 1,42) =10 cm2. Obsah trojúhelníku SBC je rovněž 10 cm2.
30. Vypočtěte délku tětivy příslušné středovému úhlu 65°30´, je-li poloměr kružnice 9 cm.
Řešení:
k
SB  r  9 cm
B
  6530´
sin
O

S

2

OA
SB
OA  SB  sin

2
OA  9  sin 3245´
A
OA  4,87 cm
AB  2  OA  2  4,87  9, 74 cm
Délka tětivy je 9,7 cm.
31. V kružnici k (S, r = 6 cm) je tětiva dlouhá 4,9 cm. Vypočtěte velikost středového úhlu příslušného k tětivě.
Řešení:
k
SB  r  6 cm
B
AB  4,9 cm  OA 
O
sin

S
sin
A

2

2

2

OA
SB

2, 45
6
 246´
  4812´
Středový úhel má velikost 48°12´.
- 83 -
4,9
2
32. Jaký je poloměr kružnice, jestliže středovému úhlu 75°30´ přísluší tětiva dlouhá 18,4 cm?
Řešení:
k
AB  18, 4 cm  AO  9, 2 cm
B
  7530´
sin
O

S
r


2
r
AO
sin
A
AO

2
9, 2
r
sin 3745´
r  15, 03 cm
Poloměr kružnice je 15,08 cm.
33. Rotační kužel má průměr podstavného kruhu 20 cm a jeho strana svírá s rovinou podstavy
úhel 25°. Jaký je objem rotačního kužele? Výsledek zaokrouhlete na 1 desetinné místo.
Řešení:
V
AB  20 cm  AS  10 cm
  25
VS  v
tg 
VS
AS
VS  AS  tg
VS  10  tg25
B

VS  4, 66 cm
S
A
1
V    r2 v
3
1
V   102  4, 66  488 cm3
3
Objem kužele je přibližně 488 cm3.
- 84 -
34. Objem rotačního kužele je 9,4 cm2, výška v = 10 cm. Jaký úhel svírá strana kužele
s rovinou podstavy?
Řešení:
V
1
V    r 2  v
3
3V
r2 
v
3  9, 42
r2 
 10
r  0,95 cm
B

S
A
V
v
r
10
tg 
0,95
  8435´
tg 
v

A
r
S
Strana kužele svírá s rovinou podstavy úhel 84°35´.
- 85 -
35. Hromada písku má tvar rotačního kužele o průměru 2 m. Jak velká je strana této hromady,
jestliže svírá s výškou úhel  = 21°50´. Výsledky zaokrouhlete na 1 desetinné místo.
Řešení:
V
AB  2 m  AS  1 m

sin  
AV 
AS
AV
AS
sin 
1
AV 
sin 2150
AV  2, 7 m
B
S
A
Strana hromady má délku 2,7 m.
36. Vypočítej odchylku tělesové úhlopříčky krychle od roviny podstavy
Řešení:
H
DH  a
G
E
DB  a 2  a 2  a 2
F
tg 
u
D
A
a 2
1
tg 
2
  3516´
C
e
a

B
Odchylka tělesové úhlopříčky od roviny podstavy je 35°16´.
- 86 -
37. Je dán pravidelná čtyřboký hranol ABCDEFGH, ve kterém |AB| = 3 cm, velikost úhlu
BAC = 69°30´. Určete objem a povrch hranolu. Výsledky zaokrouhlete na jedno desetinné místo.
Řešení:
G
H
BEF  d  6930´
E
F
AB  a  3 cm
D

C

a

b
B
c
a
c  a  tg
tg 
c
A
BAC    59
c  3  tg6930´
c  8, 02 cm
b
a
b  a  tg
tg 
b  3  tg59
b  4,99 cm
V  abc
V  3  8, 02  4,99  120 cm 2
S  2   ab  ac  bc 
S  2   3  8, 02  3  4,99  4,99  8, 02   158 cm 2
Objem hranolu je 120 cm3, povrch 158 cm2.
- 87 -
38. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV se čtvercovou podstavou a = 4 cm. Určete jeho
povrch a objem, jestliže úhel V´KV má velikost 69°10´, kde K je střed strany BC a V´ je
střed čtverce ABCD. Výsledky zaokrouhlete na 1 desetinné místo.
Řešení:
  6910´
V
a
2
2
v
tg 
a
2
a
v  tg 
2
v  tg6910´2
V ´K 
D

k
V´
A
C
B
a
v  5, 25 cm
1
1
V  a 2 v  16  5, 25  28 cm 3
3
3
Objem jehlanu je 28 cm3.
39. Vypočítej odchylku tělesových úhlopříček krychle.
Řešení:
H
G
F
E
S

C
D
A
DF  BH  a 3
B
- 88 -
S
sin


sin
sin
a 3

2
B
a
2
O
F
Odchylka úhlopříček je 33°34´.
- 89 -

2

2

2
a
 2
a 3
a

2a 3
1

2 3
 1647´   3334´
4.
Pythagorova věta ................................................................................................................ 1
Pythagorova věta - úvod ......................................................................................................... 1
Užití Pythagorovy věty v planimetrii a stereometrii ............................................................ 19
Pythagorova věta cvičení I ................................................................................................... 33
Pythagorova věta – cvičení II ............................................................................................... 40
Pythagorova věta cvičení III ............................................................................................... 53
Goniometrické funkce ostrého úhlu ..................................................................................... 63
Geometrické úlohy řešené pomocí goniometrických funkcí................................................ 67
- 90 -