předpověď vývoje atmosféry objektivními metodami

Matematicko-fyzikální fakulta
University Karlovy v Praze
MICHAL BAŤKA
PŘEDPOVĚĎ VÝVOJE ATMOSFÉRY
OBJEKTIVNÍMI METODAMI
O autorovi
Doc. RNDr. Michal Baťka, DrSc. je pražským rodákem. Po absolvování gymnasia vystudoval
na Matematicko-fyzikální fakultě UK v Praze obor matematika. Po ukončení studia v roce
1960, jak bylo v této době obvyklé, dostal umístěnku a to do výpočetní laboratoře
ministerstva dopravy. Hydrometeorologický ústav byl v této době řízen ministerstvem
dopravy a bylo tedy logické, že požádal výpočetní laboratoř dopravy, aby s ním začala
spolupracovat na numerické předpovědi počasí. Byl proto pověřen touto spoluprací, a tak se
začal zabývat problémy numerické předpovědi počasí a v důsledku toho také i fyzikou
atmosféry. V této době na základě rovnice vorticity úspěšně realizoval na počítači Ural 2
model pro předpověď hladiny 500 hPa, který byl obdobou modelu vyvinutého v USA v letech
po druhé světové válce. V roce 1965 se stal aspirantem na matematicko-fyzikální fakultě,
nejdříve v Centru numerické matematiky, kde začala jeho spolupráce s katedrou meteorologie
a klimatologie vedenou profesorem Stanislavem Brandejsem. Členem této katedry se později
stal. Vyučoval zde numerickou matematiku a realizaci meteorologických modelů na
počítačích. Pro realizaci složitějších již třídimensionálních modelů měl zde možnost
k výpočtům používat v této době moderní počítače ICT v ČKD a později IBM v ČSAV. Po
habilitačním řízení byl v roce 1984 jmenován docentem v oboru numerická matematika a
ustanoven na katedře meteorologie MFF UK. V květnu 1991 získal hodnost DrSc. v oboru
meteorologie a klimatologie a habilitoval se také i na docenta v tomto oboru. V letech 1991 až
1994 byl členem mezinárodního týmu v Méteo France v Toulouse a zúčastnil se vývoje
lokálního modelu pro předpověď počasí ALADIN, který je v současné době v ČHMU
používán pro každodenní předpověď počasí a jeho výsledky jsou prezentovány v televizi.
V současnosti se jako emeritní pracovník účastní práce na katedře meteorologie a
klimatologie.
MATEMATICKO-FYZIKÁLNÍ FAKULTA
UNIVERSITY KARLOVY V PRAZE
PŘEDPOVĚĎ VÝVOJE ATMOSFÉRY
OBJEKTIVNÍMI METODAMI
Michal Baťka
PRAHA 2014
Vydavatelský záznam
Obsah knížky
Předmluva
1. Modelování vývoje atmosféry a základy numerické předpovědi počasí
synoptickéhoměřítka používaná v meteorologii
2. Kartografická zobrazení používaná v meteorologii
3. Optimalizace geografie modelů na omezené oblasti a optimální volba
parametrů Lambertova konformního zobrazení
4. Rovnice pro změnu hybnosti a tradiční aproximace
5. Rovnice mělké vody
6. Formulace prognostických rovnic na zemské sféře
7. Systémy vertikálních souřadnic, klasická teorie
8. O transformaci dat mezi systémy vertikálních souřadnic
9. Úvod do diferenčních metod
10. Lineární oscilátor kmity a vlny
11. Časová integrační schémata a jejich aplikace na rovnici lineárního
oscilátoru a tření
12. Rovnice advekce
13. Vlnové pohyby v atmosféře a jejich důsledky pro předpovědní modely
14. Hydrostatické modely a modely s plně stlačitelnou atmosférou
15. Početní disperse gavitačních-inerciálních vln v diferenčních schématech
a simulace geostrofického přizpůsobení
16. Nelineární evoluční parciální diferenciální rovnice
17. Aproximace nelineární rovnice advekce - konzervativní schémata
18. Eulerovský baroklinní model v hydrostatickém přiblížení
19. Semi-Lagrangeovské baroklinní modely v hydrostatickém přiblížení
20. Formulace rovnic pro semiimplicitní korekci a jejich řešení
21. Diagonalizace matice pro metodu redukce dimenze
22. Ortogonální vertikální normální módy
23. Metody rozkladu pro řešení nestacionárních úloh
24. Galerkinova aproximace a spektrální metody
25. Finitní Fourierova transformace
26. Spektrální model na omezené oblasti a principy modelu ALADIN
27. Inicializace meteorologických modelů a gravitační vlny
28. Základní informace o parametrizacích používaných v modelech
29. Příprava dat pro předpovědní modely - objektivní analýza
30. Technika programování meteorologických modelů
31. Možnosti objektivní předpovědi počasí a změn klimatu
32. Dodatky
Modifikace rovnic se stavovou rovnicí pro vlhký vzduch
Modelové atmosféry
Horizontální difúze
Rotace sférických souřadnic
Výpočet vah vlivu řídícího modelu
Vztah mezi sférickými a kartézskými souřadnicemi
strana
1
15
35
48
83
98
109
126
144
158
169
187
205
223
247
264
269
281
302
327
335
339
352
359
372
383
408
416
423
428
431
435
438
442
444
447
448
K obsahu jednotlivých kapitol
Text publikace můžeme podle obsahu v podstatě rozdělit na dvě části. První část
skládající se z kapitol 1. až 7. se zabývá formulací rovnic do tvaru vhodného pro výpočet
vývoje atmosféry. Úvodní kapitol krátce popisuje historický vývoj objektivní předpovědi
počasí a pak shrnuje základní poznatky fyziky atmosféry. Další dvě kapitoly 2. A 3. jsou
věnovány matematické kartografii, která se používá pro formulaci modelů na omezené
oblasti. Vzhledem k tomu, že předpověď se provádí na dostatečně velké oblasti, nebo docela
globální předpověď, tedy na celé zeměkouli, jsou v kapitole 4. formulovány řídící rovnice ve
sférických souřadnicích. V této kapitole jsou studovány důsledky zjednodušení rovnic
nazývané Normanem Phillipsem „tradiční aproximace“. Tato část dává také odpověď na
otázku, které členy rovnic je třeba při použití „tradičních aproximací“ v rovnicích vynechat,
aby byl zachován zákon zachování momentu hybnosti. Kapitola 5. Popisuje model atmosféry
zjednodušený na jedinou vrstvu konstantní hustoty. Tento model se nazývá divergentní
barotropní model atmosféry nebo též „Rovnice mělké vody“. Tento jednoduchý model má již
většinu vlnových vlastností jako složité modely atmosféry. Na tomto modelu je možné
demonstrovat názorně mnoho vlastností a také formulací prognostických rovnic. Model je
také používán pro testování numerických metod řešení předpovědních rovnic. V kapitole 6. Je
pak odvozena formulace řídících rovnic pro modely na omezené oblasti, které jako
horizontální souřadnice používají kartézský systém v rovině konformní mapy. Poslední
Kapitola 7. této první části je věnována klasické teorii transformace rovnic do souřadnicových
systémů, které používají zobecněnou vertikální souřadnici. Je třeba zdůraznit, že tato klasická
teorie předpokládá, že atmosféra je stále v hydrostatické rovnováze. Jako základní systém, ze
kterého se pro transformace vychází, je z-systém, kde vertikální souřadnicí je výška nad
hladinou moře. Transformace do nového systému vertikální souřadnice je formulována
obecně pro libovolný monotónní vztah mezi původními a novými souřadnicemi. Hlavní
pozornost je věnována formulaci řídících rovnic pro dva systémy používané pro předpověď.
Jsou to 𝜎-systém a hybridní 𝜂-systém. Obecnou transformaci lze použít i pro transformaci
rovnic do p-systému, kde nezávisle proměnnou je tlak p.
Kapitolou 8. začíná druhá část knížky, která se věnuje numerickým metodám řešení
meteorologických problémů. Tato první kapitola této druhé části bezprostředně navazuje a
doplňuje předchozí kapitolu. Je zde řešena numerická realizace transformace dat mezi dvěma
systémy vertikálních souřadnic. Obsah kapitoly vychází ze zkušeností s transformacemi z psystému do 𝜎-systému a zpět. Tyto transformace byly používány v předpovědním modelu
daného v roce 1988 do provozu v ČHMU. Transformace pomocí kubických splinů se ukázala
efektivní a velmi přesnou. V příloze je také uvedena také transformace s interpolací
kvadratických polynomů, kterou použil Shuman.F., Hovermale J. B. v roce 1968 v provozním
modelu v USA: An Operational Six-Layer Primitive Equation Model. V současnosti, kdy
modely mají vertikálně více než 30 hladin je při tomto rozlišení možné používat i méně
přesnou jednoduchou lineární interpolaci.
Další kapitoly 9. až 11. seznamují čtenáře se základními poznatky o metodě konečných
diferencí, které se v meteorologii používají. Jsou zde zavedeny pojmy aproximace derivací,
ale i evolučních rovnic, numerického řešení evolučních rovnic a podmínek jeho stabilního
řešení. Dále jsou studována diferenční schémata vzhledem k proměnné času.
Kapitola 12. je věnována řešení lineární i nelineární rovnice advekce diferenční metodou.
Kapitola 13. se zabývá studiem vlnových pohybů v atmosféře a plně stlačitelnými
nehydrostatickými modely v souvislosti s vlnovou teorií.
Kapitola 14. S názvem „Hydrostatické modely a modely s plně stlačitelnou atmosférou“. Na
základě vlnové teorie srovnává funkci hydrostatických modelů s nehydrostatickými modely
s plně stlačitelnou atmosférou. Studuje také problémy vnikající při formulaci a realizaci
nehydrostatického modelu v křivočarých souřadnicích kopírujících terén. Stručně se zmiňuje i
o významných nehydrostatických modelech využívaných v meteorologii.
Kapitola 15. Studuje lineární část řídících rovnic, která simuluje proces geostrofického
přizpůsobení. Pro numerické řešení tohoto systému se zde posuzuje aproximace na různých
střídavých sítích z hlediska početní disperse gravitačních-inerciálních vln.
Kapitoly 16. a 17. se zabývá nelineárními evolučními parciálními diferenciálními rovnicemi a
jejich aproximacemi, které splňují zákony zachování.
Kapitoly 18. a 19. Obsahují formulace aproximací Eulerovského a semi-Lagrangeovského
modelu v hydrostatickém přiblížení.
Kapitoly 20., 21. a 22. popisují metodiku řešení implicitní části aproximace předpovědních
rovnic. Celkový postup je následující. Semiimplicitní schéma je formulováno ve dvou
krocích. Prvním krokem je explicitní aproximace, druhým krokem je pak oprava, která změní
toto schéma na semiimplicitní a vyřeší implicitní rovnice této opravy.
Kapitola 32. se zabývá řešením nestacionárních úloh metodou faktorizace, která původní
úlohu rozdělí na několik po sobě jdoucích jednodušších úloh.
Kapitoly 24., 25. a 26. Definují spektrální metodu obecně jako metodu nejlepší aproximace v
metrice Hilbertova prostoru. Tato definice je založena na Galerkinově metodě. Pro model
ALADIN, který je spektrálním modelem na omezené obdélníkové oblasti jsou jako base
použity ve směru obou horizontálních proměnných trigonometrické funkce. Ve spektrálním
prostoru jsou tedy funkce vyjádřeny jako konečné Fourierovy řady. Pro realizaci transformací
do spektrálního prostoru a zpět je pak použita rychlá Fourierova transformace. Protože funkce
předpovědního modelu nejsou na obdélníkové výpočetní oblasti periodické, je výpočetní
oblast rozšířena a funkce na této rozšířené oblasti jsou doplněny vhodným způsobem na
periodické funkce. Kromě transformací do spektrálního prostoru a zpět je zde uveden také
výpočet derivací v spektrálním prostoru.
Kapitola 27. Je vlastně poslední kapitolou, která podrobněji vysvětluje studovanou látku. V ní
je studován problém odstranění nežádoucích gravitačních vln vetší amplitudy, které jsou
způsobeny tím, že v počátečních datech není pole rozložení hmoty atmosféry v rovnováze s
polem proudění. Odstranění těchto nežádoucích gravitačních vln z modelu úpravou
počátečních podmínek se nazývá inicializací.
Další již velmi krátké kapitoly 28. až 31. jsou pouze informačními, aby doplnily celkový
pohled na modelování v meteorologii. Poslední kapitola pak obsahuje osobní názory autora na
možnosti předpovědi počasí a klimatu, globální oteplení a jiné sporné otázky.
Na závěr je uvedeno šest dodatků, které obsahují některé znalosti používané v meteorologii.
Předmluva
Úkolem této knížky je shrnout základní poznatky, které by měl znát meteorolog, který
pracuje v oboru modelování vývoje atmosféry na počítačích. Stěžejním úkolem v této oblasti
je numerická předpověď počasí na základě integrace rovnic hydrodynamiky atmosféry.
Dalšími aplikacemi využívající tuto předpověď jsou například výpočty šíření znečišťujících
látek v synoptickém, tedy územním měřítku z průmyslových aglomerací, zejména po
haváriích v chemických závodech, nebo dokonce i atomových elektráren. Předpovědní
modely jsou po určitých úpravách také používány v oblasti klimatologie.
Pro provedení výpočtů i zobrazení jejich výsledků se používají mapy. Je proto logické,
že výklad začíná některými důležitými poznatky z kartografie. Dále jsou formulovány rovnice
dynamiky atmosféry na rotující Zemi. Přitom je kladen důraz na konzistenci zjednodušení
obecných rovnic dynamiky atmosféry a také jejich formulaci na zakřiveném povrchu Země.
Pro lokální modely na omezené oblasti je to systém ortogonálních souřadnic na konformní
mapě. Závěrem této první části zabývající se formulací modelů jsou studovány systémy
křivočarých vertikálních souřadnic kopírujících zemský povrch používaných pro numerickou
předpověď meteorologických prvků.
Druhá, hlavní část knížky se zabývá problémy numerické realizace této předpovědi.
Tato problematika je velmi složitá, protože se jedná o řešení evolučních nelineárních
parciálních diferenciálních rovnic. Tyto rovnice popisují v podstatě dva základní mechanizmy
změn proměnných popisujících stav atmosféry. Jedním z nich jsou změny způsobené
pohybem atmosféry v poli větru. V rovnicích tento jev popisují právě nelineární členy rovnic.
Druhým mechanizmem jsou vlnové pohyby v atmosféře. Pro meteorologii jsou to zejména
gravitační vlny a nejdůležitější Rossbyho vlny. Po obecné teorii numerického řešení
evolučních rovnic jsou zde formulovány rovnice konkrétního meteorologického modelu
v hydrostatickém přiblížení a vysvětleny metody řešení, tedy časová integrace rovnic tohoto
modelu. Tato část vychází ze zkušeností autora s realizací modelu, který byl v denním
provozu v ČHMU (Českém hydrometeorologickém ústavu), dále z modelů, které byly
zkoušeny v rámci doktorského studie studentů, které jsem vedl pro získání Ph.D. a také
z účasti na vývoji regionálního modelu ALADIN, kde byl autor v letech 1991 až 1994 členem
mezinárodního týmu v Méteo France v Toulouse. Model ALADIN je v současné době
v ČHMU používán pro každodenní předpověď počasí.
Knížka vznikla z přednášek autora na Matematicko-fyzikální fakultě UK pro obor
meteorologie a klimatologie zkušenostech při vedení kandidátských a doktorských prací.
Obsahuje také původní teoretické výsledky autora. Je to zejména kapitola o optimální volbě
Lambertovy konformní mapy a řešení rovnic semiimplicitní korekce tak, aby vzniklá okrajová
úloha byla pro separabilní eliptickou parciální diferenciální rovnici.
V Praze v říjnu roku 2014.
Michal Baťka
1
1. Modelování vývoje atmosféry a základy numerické předpovědi
počasí synoptického měřítka
Úvod
Proč je modelování vývoje atmosféry pro meteorologii tak důležité?
Dnešní meteorologii můžeme chápat jednak jako vědní obor, který se zabývá
fyzikálními zákony, které atmosféra splňuje a na tomto základě studuje různé meteorologické
jevy. Tato vědní oblast se nazývá také fyzikou atmosféry. Jednak jako praktickou činnost
zabývající se převážně zpracováním meteorologických informací, dále poskytující předpověď
počasí, varování před nebezpečnými meteorologickými ději i další informace. Nezasvěceným
by se mohlo zdát, že teoretická výzkumná činnost je v určité míře nezávislá na praktické
meteorologické činnosti a obráceně, že praktická meteorologická činnost používá jen málo
výsledků teoretické meteorologie, ale není tomu tak. Meteorologie jako fyzikální věda má tu
zvláštnost, že atmosféru jako celek nemůžeme napodobit v malém měřítku v laboratorních
podmínkách. Proto laboratoří meteorologie je skutečná atmosféra Země a experiment
v laboratoři je nahrazen měřením údajů, pozorováním a vysvětlením dějů, které v atmosféře
probíhají. K tomu se v poslední době používá numerické modelování studovaných dějů. Tyto
výpočty umožňují současné vysoce výkonné počítače. Při modelování se počítá obvykle
vývoj objektivních parametrů popisujících stav atmosféry vztahujících se k některému jevu
v atmosféře, nebo i celkovému vývoji atmosféry. V tomto druhém případě se jedná o modely
všeobecné cirkulace, tedy globální meteorologické modely a rovněž modely na omezené
oblasti, které dovolují detailnější popis stavu atmosféry. Modelování vývoje atmosféry se
opírá o hluboké teoretické poznatky oboru meteorologie a matematiky, zejména numerické
matematiky a programování počítačů, na kterých se tyto rozsáhlé výpočty realizují. Do
modelování vývoje atmosféry spadá tedy numerická předpověď počasí, jak pro výzkumné
účely, tak i pro každodenní předpověď v meteorologické praxi.
Položme si nyní otázku, co je dnes základním úkolem praktické meteorologie. Řekl
bych, že to je co možná nejpřesněji objektivně zjistit současný stav atmosféry a jejího dalšího
vývoje. Tím rozumíme sběr, kontrolu zpracování a archivaci časového průběhu stavu
atmosféry na vhodných počítačových mediích. Vývoj stavu atmosféry se pak využije pro
předpověď počasí, varováním před nebezpečnými meteorologickými jevy, případným velkým
znečištěním atmosféry kumulací emitovaných látek, nebo při haváriích. Uchovávaná data se
používají také k teoretickým studiím chování atmosféry, posuzování klimatických změn i pro
modelování změn klimatu. Meteorologie zajišťuje tedy informace jak pro občanskou
veřejnost, tak i speciální informace pro národní hospodářství, dopravu, zemědělství, sport i
armádu. Ve Spojených státech spočítali, že ekonomický přínos meteorologické služby je
přinejmenším desetkrát větší než náklady vynaložené na její činnost.
1.1. Několik slov z historie
Na historii vývoje objektivní předpovědi počasí na základě rovnic hydrodynamiky je
zajímavé, že teorie v podstatě o celé století předběhla první úspěšné numerické předpovědi.
Úplný systém rovnic hydrodynamiky pro vývoj atmosféry byl znám již v roce 1858
Helmholtzovi [3], který jej studoval z hlediska řešení meteorologických problémů. Sám
2
Helmholtz si asi ani nemyslil, že by se tyto rovnice daly použít k předpovědi počasí. Může se
zdát překvapivým, proč musel uběhnout tak velký čas, prakticky 100 let, než byly tyto rovnice
úspěšně použity pro předpověď meteorologických prvků, tedy předpověď počasí. Odpověď
na to je následující. Systém rovnic hydrodynamiky a tedy i hydrodynamiky atmosféry je
nelineární a velmi komplikovaný. Neexistuje zřejmě jeho tak zvané analytické řešení
v konečném tvaru a tento systém je možné řešit pouze metodami numerické matematiky.
Druhým problémem jsou počáteční a okrajové podmínky, které je třeba pro časovou integraci
znát na dostatečně velké oblasti, tedy oblasti synoptického měřítka. Pro zadání počátečních
podmínek mohly sloužit synoptické mapy. Jejich název pochází z řeckého „syn optein“ což
znamená „současně vidět“. Již z názvu je tedy zřejmé, že synoptická mapa zobrazuje
meteorologické údaje v daný časový okamžik, tj. v době pozorování na dostatečně velké
oblasti zemského povrchu. Synoptická mapa je pro studovanou oblast vhodná, obvykle
zjednodušená geografická mapa, na které je předtištěna poloha meteorologických stanic. Do
této mapy jsou číslicemi a smluvenými symboly zaneseny výsledky pozorování v síti
meteorologických stanic v daném termínu. Tyto údaje jsou však nepřehledné. Proto se
provádí analýza map, jejímž hlavním výsledkem je zakreslení čar stejných hodnot
analyzované fyzikální veličiny. Zakreslují se například spojnice bodů stejného tlaku –
izobary, stejné teploty – izotermy i dalších veličin. Oba tyto úkony, jak zakreslení pozorování
do podkladové mapy, tak i zakreslení izobar subjektivně rukou, prováděl meteorolog –
synoptik. Takto získaná mapa se nazývá subjektivně analyzovaná synoptická mapa. Taková
mapa je již schopna poskytnout počáteční data pro numerickou předpověď. Když mapu
pokryjeme například pravidelnou čtvercovou sítí a odečteme hodnoty opět subjektivní
interpolací do uzlových bodů sítě, dostaneme na obvykle obdélníkové oblasti počáteční data
pro analyzovanou veličinu. Tak se také skutečně připravovaly počáteční údaje pro první
numerické předpovědi počasí. Po druhé světové válce, kdy byly provedeny první úspěšné
numerické prognózy, byla příprava dat také postupně automatizována. Subjektivní analýza dat
byla nahrazena objektivní analýzou prováděnou na počítačích. Objektivní analýza spočívá
v tom, že z naměřených údajů získáme matematickou, tedy objektivní cestou, data přímo
v uzlových bodech výpočetní sítě. Pak je možné pomocí programů pro kreslení vrstevnic
snadno nakreslit izočáry libovolné fyzikální veličiny. První objektivní analýzy spočívaly na
interpolaci naměřených dat pomocí polynomů. Ukázalo se však, že interpolace pomocí
polynomů ze zcela nepravidelné sítě měřících stanic do pravidelné výpočetní sítě se
neosvědčila. Pro tuto složitou interpolační úlohu se hodí lépe metody založené na
matematické statistice. Statistické metody vycházejí z předběžného pole, které je definováno
v uzlech pravidelné výpočetní sítě. Hodnoty z předběžného pole jsou na pravidelné síti, a
proto je snadné je interpolovat do bodů měřících stanic, například pomocí Lagrangeových
polynomů. Po této interpolaci můžeme vypočítat odchylky předběžného pole od naměřených
hodnot v bodech měřících stanic. Potom pro každý uzlový bod sítě násobíme odchylky
v měřících stanicích vhodnými váhami a po jejich sečtení obdržíme pravděpodobnou
odchylku ve studovaném bodě. Přičtením těchto odchylek k hodnotám předběžného pole
dostaneme výsledné opravené pole analyzovaného meteorologického elementu. Podle
způsobu výpočtu vah této interpolace můžeme tyto metody označit za jednoduché korekční
metody, kde váhy interpolace závisely pouze na vzdálenosti od uzlu, do kterého
interpolujeme, nebo na přesnější statistické metody vyvinuté ruským matematikem-
3
statistikem A. Kolmogorovem při kterých jsou pro analyzovanou veličinu studovány tak
zvané autokorekační funkce. Váhy interpolace pak závisejí i na rozložení stanic v okolí uzlu,
do kterého interpolujeme. Tato metoda interpolace se nazývá metoda optimální interpolace a
byla pro meteorologii rozpracována Lvem Gandinem, (nejdříve v Rusku, později v USA). Při
prvních aplikacích této metody se jako předběžné pole volilo pole statistických normálů
analyzovaných veličin. Později se ukázalo, že je lepší jako předběžné pole vzít pole
předpověděné na prvních 6, nebo 12 hodin. Tak vlastně přirozenou cestou vznikla metoda
asimilace dat do předpovědního modelu, která se ukázala vzhledem k malému pokrytí
některých území měřícími stanicemi jako velmi efektivní. Jistá nevýhoda této metody spočívá
v tom, že pro asimilační proces lze použít pouze data naměřená v časových termínech po šesti
nebo dvanácti hodinách. Tomu vyhovují data z pozemních a radiosondážních stanic a data ze
stacionárních družic. Data z pohyblivých zdrojů, jako jsou družice na polárních drahách, nebo
měření z lodí a letadel se při této metodě se použít nedají. Aby byla odstraněna tato nevýhoda
klasické asimilace dat byla vyvinuta obecnější metoda založená na minimalizaci odchylek od
naměřených hodnot, která je formulována matematicky jako minimalizace určitého
funkcionálu. Proto se tato metoda nyzývá variační asimilací dat. Tato metoda je přesnější a
mimo to umožňuje využít i data z pohyblivých zdrojů, zejména družic létajících na polárních
drahách, které v každém okamžiku měří data v jiné oblasti. Metoda variační asimilace dat
také zahrnuje innicializaci dat pro jejich přímé použití jako počátečních podmínek pro
časovou integraci. Důležitou roli pro včasné získání počátečních dat pro předpověď v reálném
čase sehrál rozvoj telekomunikací, bez kterého by větší rozvoj numerické předpovědi nebyl
vůbec možný.
První přízemní synoptické mapy byly sestaveny německým meteorologem H. W.
Brandesem v létech 1816-1820, ovšem z archivního materiálu. Aktuální synoptické mapy
umožnil sestavit až vynález telegrafu. První aktuální synoptické mapy byly publikovány ve
zprávách o počasí v novinách „Daily News“ v roce 1848 [5]. V této době se jednalo pouze o
přízemní mapy. Výškové mapy, popisující údaje v celé troposféře byly umožněny až
radiosondážními měřeními. To bylo ovšem až v období mezi oběma světovými válkami.
Dvě základní podmínky pro hydrodynamickou předpověď počasí vyslovil norský
meteorolog Vilhelm Bjerknes v roce 1904. Je to jednak dostatečně přesná znalost počátečních
podmínek stavu atmosféry, jednak znalosti zákonů, jimiž se změny atmosféry řídí. Početní
předpověď počasí označil Bjerknes za hlavní a konečný cíl meteorologie jako exaktní vědy.
Norská škola sehrála také významnou úlohu v pochopení dějů synoptického měřítka.
První praktický pokus početní předpovědi počasí provedl Levis F. Richardson koncem
první světové války. Při formulaci rovnic dynamiky atmosféry vycházel Richardson z velmi
známé a obsáhlé knihy Horace Lamb: Hydrodynamics [8]. Tento pokus publikoval v roce
1922 v rozsáhlé knížce [6] mající 236 stran. Tato knížka je z hlediska historického velmi
zajímavá, neboť se zabývá rozsáhlou problematikou meteorologie. Zabývá se problémy, jako
je záření, voda v atmosféře, energetika atmosféry, vertikální pohyby, tření o zemský povrch
atd. I když teorie v knížce je rozsáhlá, pro praktický pokus nezbývalo nic jiného, než se
omezit na základní vztahy. Přesto pokus skončil neúspěšně. Pokus byl formulován jako
prostorově dvojdimensionální model, neboť v té době byla měřena a tedy k dispozici pouze
přízemní data. Výpočetní postup na základě konečných diferencí byl z dnešního hlediska
velmi moderní. Podle soudobého názvosloví používal Richardson v podstatě střídavou C-síť
4
v Arakawově klasifikaci [4]. Tato síť je popsána na straně 149 knížky [6]. Prostorová síť
používala ve směru poledníků krok 200 km a ve směru rovnoběžek 128 km. Časový krok
explicitního časového schématu s centrovanou diferencí byl 3 hodiny. Soustava rovnic byla
však dostatečně obecná, obdobná rovnicím mělké vody, takže její formulace obsahovala i
relativně rychlé gravitační vlny. Pro stabilitu výpočtu by bylo nutné splnit CFL kriterium
stability, které by pro zvolený prostorový krok dovolovalo maximální délku časového kroku
řádově jednotky minut. Toto kriterium však odvodil a publikoval Courant, Fridrichs a Lewy
až v roce 1928 v článku [1]. Dalším problémem mohla být i správná příprava počátečních dat.
Počáteční data by neměla obsahovat gravitační vlny větší amplitudy. Richardson ovšem
neměl tehdy k dispozici počítač, takže místo počítače měl sál s mnoha počtářkami
vybavenými mechanickými kalkulátory. Proto by neměl šanci tuto úlohu se správnou délkou
časového kroku v rozumném čase spočítat.
Po prostudování Richardsonovy práce bych chtěl upozornit ještě na následující
nedostatek jím použitého modelu. Model je totiž formulován na základě linearizovaných
rovnic uvedených v Lambově hydrodynamice. Tyto rovnice, které se nazývají Laplaceovy
slapové rovnice (Laplace tidal equations) neobsahují členy popisující advekci. Rovnice
popisují správně Rossbyho vlny, neboť Coriolisův parametr v rovnicích je funkcí zeměpisné
šířky a tedy proměnný. Rovnice však popisují také rychlé gravitační vlny, které právě pro
stabilitu výpočtu vyžadují relativně krátký časový krok, což bylo hlavní příčinou havárie
výpočtu.
Úspěšná předpověď se podařila až po druhé světové válce skupině vedené Charneym,
Fjortoftem a von Neumannem s použitím prvního počítače ENIAC, vyvinutého v roce 1945
v USA. Tato předpověď byla založena na integraci rovnice vorticity pro předpověď výšky
hladiny 500 milibarů, (v novém označení 500 hPa), za předpokladu že vítr v modelu je
geostrofický. Takto formulovaný model popisuje pouze advekci a Rosbyho vlny, nepopisuje
však rychlé gravitační vlny, a proto i při použití explicitního schématu dovoluje při zachování
stability o řád větší délku časového kroku.
1.2. Rovnice, jimiž se řídí pohyb atmosféry formulované v Eulerově tvaru
v inerciálním kartézském systému.
Zákony zachování
V meteorologii, stejně jako v hydrodynamice, kde vyšetřované jevy mají
makroskopický charakter a týkají se tedy statistického chování velkého množství molekul, se
pro vyšetřování pohybu vzduchu používá představa spojitého prostředí – kontinua. Tato
představa nám umožňuje popis pohybu vzduchu pomocí matematického aparátu
diferenciálních rovnic. V tom je určitý rozpor mezi fyzikou a matematikou. Hovoříme-li
z hlediska fyziky o částici jakožto malém elementu objemu vzduchu, považujeme jej však
ještě natolik velký, že obsahuje velký počet molekul. Matematika nám dává adekvátní popis
pohybu takovýchto částic, i když matematická analýza interpretuje tyto částice jako
„nekonečně malé“, tj. přesněji libovolně malé, a dívá se na ně jako na body. Pro matematický
popis pohybu vzduchu používáme, stejně jako v klasické mechanice Eukleidovský prostor se
systém souřadnic x, y, z, který popisuje polohu bodu v prostoru a čas t. Pro určení polohy
5
bodů v prostoru se v meteorologii používá některý ze systémů obvykle ortogonálních
křivočarých souřadnic. Pohyb vzduchu můžeme nyní popsat, jak je to v hydrodynamice
obvyklé těmito funkcemi: vektorovým polem 𝐯(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) kde v je vektor rychlosti částic, tj.
vektor větru, jehož složky označme 𝐯 = (𝑢, 𝑣, 𝑤) a dvěma skalárními poli, tlakovým polem
𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) a hustotou vzduchu 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡). Protože tlak p, hustota 𝜌 a absolutní teplota T
jsou svázány stavovou rovnicí, 𝑝⁄𝜌 = 𝑅𝑇 kde R je plynová konstanta pro suchý vzduch,
používá se v meteorologii k popisu stavu atmosféry místo hustoty teplota T, a již zmíněný tlak
p, což je přirozenější. Poznamenejme ještě, že fyzikální parametry částice, rychlost, tlak,
teplota a hustota jsou dány její polohou a časem (Eulerova formulace) a jsou nezávislé na její
velikosti nebo hmotnosti. Proto můžeme částice považovat za částice jednotkové hmotnosti.
Rovnice popisující časový vývoj stavu atmosféry, kterým budeme říkat řídící rovnice,
jsou formulovány na základě zákonů zachování. Jsou to zákony zachování:
1. zákon zachování hmoty
2. zákon zachování energie
3. zákon zachování hybnosti
4. zákon zachování vody v atmosféře.
(Množství vody v atmosféře bývá popsáno jedním zákonem zachování a to
zachováním vodní páry, ale ve složitějších modelech s mikrofyzikou i třmi zákony
zachování, pro každé skupenství vody zvlášť.)
5. zákony zachování různých příměsí v atmosféře.
Zákony zachování zde rozumíme podle fundamentální práce P. D. Laxe: „Hyperbolic
systéms of Conservation Laws II“ hyperbolické systémy rovnic, jejichž tvar je definován takto:
Zákon zachování je rovnice v divergentním tvaru, tedy
3
𝑢𝑡 + ∑
𝑗=1
𝜕
𝑓 =0
𝜕𝑥𝑗 𝑗
(1.2.1)
Tato rovnice vyjadřuje fakt, že rychlost změny veličiny u obsažené v každé oblasti G
x-prostoru je dána tokem vektorového pole (𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 ) v G:
𝑑
∭ 𝑢𝑑𝑥 = ∬ 𝑓⃗𝑛⃗⃗ 𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝐺
𝐵𝐺
(1.2.2)
Mnoho fyzikálních zákonů má tvar zákona zachování. Veličiny u a f závisí na proměnných,
popisujících stav fyzikálního systému a na jeho derivacích. Systémům tohoto typu věnujeme
dále celou kapitolu. Na prvé straně rovnice, vyjadřující zákon zachování je nula. Na prvé
straně této rovnice může být i nějaká zdrojová funkce, která pak ovšem hodnoty veličiny u,
mění. Pro zákon zachování energie je to například přítok, nebo ztráta tepla při radiačních
procesech, nebo vlivem fázových přechodů vody, nebo při parametrizacích konvekce. Tyto
zdrojové funkce jsou dány tak zvanými parametrizacemi modelu. Pro rovnice hybnosti jsou
jako zdrojové funkce parametrizace tření. Pouze zákon zachování hmoty atmosféry, který je
vyjádřen rovnicí kontinuity, je obvykle v čisté podobě, bez zdrojových funkcí. Slovo obvykle
je zde proto, že byla zkoušena i parametrizace, která vyjadřovala úbytek hmoty atmosféry,
6
tedy vlastně vodní páry vlivem srážek, která odteče v srážkové vodě. Při studiu této
parametrizace se ukázalo, že tento úbytek hmoty atmosféry je pro meteorologii nepodstatný.
První tři zákony můžeme považovat za základní část modelu. Tato část modelu daná
zákony zachování se obvykle nazývá dynamická část modelu. Tato část modelu nám dává
vývoj základních parametrů určující stav atmosféry, tedy vývoj termobarického pole a pole
větru. Při numerickém řešení se používají dnes obvykle částečně implicitní (semi-implicitní)
schémata, při kterých pro výpočet hodnot proměnných v následujícím časovém kroku
dostáváme složitou soustavu pěti parciálních diferenciálních rovnic, vyjadřujících tyto tři
zákony, kterou musíme řešit. Je-li tendence vývoje atmosféry v daném časovém okamžiku
z dynamické části modelu již vypočtena, pak výpočet časových změn předpovídaných veličin
daných vnějšími vlivy je zahrnuta do pravých stran rovnic vyjadřujících zákony zachování.
Tyto pravé strany rovnic, nazývané parametrizacemi modelu, můžou zahrnout například
změny množství vody a její fázové přechody v atmosféře, při nichž vznikají přítoky, nebo
odběry tepla z atmosféry jsou do změn teploty zahrnuty obvykle až po vyřešení dynamické
části modelu. Tento způsob zahrnutí parametrizace je vlastně metoda faktorizace, které se
věnujeme při metodách numerického řešení rovnic modelů. Výpočet parametrizací modelu
probíhá tedy vcelku nezávisle na dynamické části modelu, zejména na numerické metodě
řešení dynamické části modelu. Výpočet parametrizací proto nezávisí na tom, byla-li použita
diferenční, spektrální metoda, nebo i v meteorologii méně používaná metoda konečných
elementů. Parametrizace jsou formulovány a řešeny vždy na diskrétní výpočetní síti, a proto
jsou vlastně universální vzhledem k libovolnému způsobu řešení dynamické části modelu.
Všimněme si nyní matematické formulace jednotlivých zákonů zachování
v kartézském systému souřadnic.
Eulerův tvar pohybových rovnic
Nechť u, v, w jsou složky rychlosti rovnoběžné s osami souřadnic v bodě (𝑥, 𝑦, 𝑧) v
čase t. Tyto veličiny jsou funkcemi nezávisle proměnných x, y, z, t. Předpokládejme dále, že
nejenom složky rychlosti u, v, w jsou konečnými a spojitými funkcemi proměnných x, y,
z, ale i prostorové derivace 𝜕𝑢⁄𝜕𝑥, 𝜕𝑣⁄𝜕𝑥, 𝜕𝑤⁄𝜕𝑥, . . , atd. jsou všude konečné. Takovémuto
proudění říkáme „spojitý pohyb“ a v dalším studiu se na něj omezíme. Pro každou danou
hodnotu t definují složky rychlosti pohyb ve všech bodech prostoru, ve kterém se nachází
tekutina. Pro pevně zvolené hodnoty x, y, z je dána historie pohybu, která proběhla v tomto
místě. Změny libovolného fyzikálního parametru F jsou v tomto pevném bodě dány parciální
derivací podle času, tedy hodnotou 𝜕𝐹 ⁄𝜕𝑡 která se nazývá lokální časovou změnou funkce F.
Kromě této změny, můžeme studovat časovou změnu vztaženou na jednu konkrétní částici.
Budeme-li sledovat pohyb částice, která je omezena malou uzavřenou plochou obklopující
studovaný bod P pohybující se s kapalinou, pak tato plocha uzavírá ve svém vnitřku, stále
stejnou hmotu obklopující bod P. Změna hodnoty fyzikální veličiny F této pohybující se
konkrétní částice, se nazývá individuální změnou veličiny F a rychlost její změny je dána
derivací, kterou označujeme 𝑑𝐹 ⁄𝑑𝑡. Tuto hodnotu nazýváme obvykle totální derivací, nebo
také individuální časovou změnou.
7
Abychom spočítali změnu funkce 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) měnící se s pohybující se částicí,
všimněme si, že se částice z počáteční polohy (𝑥, 𝑦, 𝑧) v čase t se dostane v čase 𝑡 + 𝛿𝑡 do
polohy (𝑥 + 𝑢𝛿𝑡, 𝑦 + 𝑣𝛿𝑡, 𝑧 + 𝑤𝛿𝑡). Odpovídající hodnota F v tomto koncovém bodě je pak
𝐹(𝑥 + 𝑢𝛿𝑡, 𝑦 + 𝑣𝛿𝑡, 𝑧 + 𝑤𝛿𝑡, 𝑡 + 𝛿𝑡)
𝜕𝐹𝐹
𝜕𝐹
𝜕𝐹
𝜕𝐹
= 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) + 𝑢𝛿𝑡
+ 𝑣𝛿𝑡
+ 𝑤𝛿𝑡
+ 𝛿𝑡
+ 𝑜(𝛿𝑡)
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑡
(1.2.3)
Hodnotu 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) převedeme na levou stranu rovnice, rovnici dělíme 𝛿𝑡 a přejdeme
k limitě pro 𝛿𝑡 → 0. Na levé straně rovnice dostaneme hodnotu, kterou podle Stokese
označme symbolem 𝑑⁄𝑑𝑡 nebo též 𝐷⁄𝐷𝑡 označující derivování sledující pohyb tekutiny a
nazýváme ji tedy obvykle totální derivací, nebo individuální časovou změnou. Novou hodnotu
F můžeme vyjádřit vztahem,
𝑑𝐹
𝐹+
𝛿𝑡
𝑑𝑡
kde
𝑑𝐹 𝜕𝐹
𝜕𝐹
𝜕𝐹
𝜕𝐹
=
+𝑢
+𝑣
+𝑤
𝑑𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
(1.2.4)
Poznamenejme zde, že operátor
𝜕𝐹
𝜕𝐹
𝜕𝐹
+𝑣
+𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
je nelineární a v matematice se nazývá konvektivním operátorem, v meteorologii operátorem
advekce, protože popisuje posun hmoty atmosféry. Vzhledem k nelineárnosti vyžaduje tento
operátor při diferenční aproximaci použít vhodná konzervativní diferenční schémata.
V současné době se používají často tak zvaná semi-Lagrangeovská schémata, kde se totální
derivace v daném uzlovém bodě výpočetní sítě aproximuje následovně. Při obvyklém
označení nechť 𝐹 + znamená hodnotu funkce v uzlovém bodě, v čase t. Pak nalezneme polohu
výchozího bodu v čase 𝑡 − ∆𝑡, ze kterého se částice v čase t dostala do zvoleného uzlového
bodu. Nyní z okolních uzlových bodů v čase 𝑡 − ∆𝑡 interpolujeme hodnotu funkce do
výchozího bodu trajektorie, kterou označme 𝐹 − . Nyní můžeme totální derivaci vypočítat ze
vztahu (𝐹 + − 𝐹 − )⁄∆𝑡.
Při použití například Lagrangeovy kubické interpolace v rovině z okolních šestnácti uzlových
bodů sítě dostaneme velmi přesnou a numericky stabilní aproximaci i pro relativně dlouhé
časové kroky.
𝑢
Matematická formulace zákonů zachování v atmosféře je následující:
Zákon zachování hmoty je vyjádřen rovnicí, kterou nazýváme rovnice kontinuity
Tento zákon lze formulovat pro jednu z těchto veličin. Pro hustotu 𝜌, což je v hydrodynamice
nejobvyklejší, pro měrný objem 𝛼 = 1⁄𝜌 a v meteorologii po transformaci vertikální
souřadnice také pro tlak p. Všimněme si nyní formulace tohoto zákona pro hustotu 𝜌 a měrný
objem 𝛼. Odvození lze najít v každé učebnici hydrodynamiky. Ve většině učebnic
hydrodynamiky se rovnice kontinuity odvozuje pomocí Gaussovy věty. Tento způsob
8
odpovídá matematické teorii nelineárních parciálních diferenciálních rovnic hyperbolického
typu v divergentním tvaru, tedy matematické teorii rovnic zákonů zachování. Z Gaussovy
věty se také vychází při formulaci diferenčních schémat takzvanou metodou kontrolovaného
objemu. Rovnici kontinuity můžeme tedy pro hustotu 𝜌 napsat v advektivním tvaru
𝑑𝜌
𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑤
+𝜌( +
+
)=0
𝑑𝑡
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
(1.2.5)
a pro měrný objem 𝛼 = 1⁄𝜌 ve tvaru
𝑑𝛼
𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑤
−𝛼( +
+
)=0
𝑑𝑡
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
(1.2.6)
Dosadíme-li sem za totální derivaci její rozvoj, můžeme rovnici kontinuity psát
v divergentním tvaru
𝜕𝜌 𝜕
𝜕
𝜕
(𝜌𝑢) +
(𝜌𝑣) + (𝜌𝑤) = 0
+
𝜕𝑡 𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
(1.2.7)
zde vektor 𝝆𝐯 se nazývá tokem hmoty. Vzhledem ke znaménku mínus u součinu měrného
objemu s divergencí se rovnice (1.2.7) nedá přepsat tak jako rovnice kontinuity (1.2.6) psaná
pro hustotu do divergentního tvaru. Proto se asi rovnice kontinuity pro měrný objem  téměř
nepoužívá.
Zákon zachování energie
Tento zákon zachování energie je vyjádřen první větou termodynamiky. Jestliže
atmosféru považujeme za nevazkou tekutinu, pak zákon zachování energie nám říká, že
změna energie určitého objemu vzduchu, pohybující se částice vzduchu, je dána pouze
přítokem energie a to jednak přítokem tepla do dané pohybující se částice, které můžeme
kvantitativně popsat individuální časovou změnou tepla na jednotku hmoty tedy hodnotou
𝑑𝑞 ⁄𝑑𝑡, a jednak prací danou expanzí, (nebo naopak stlačováním) daného objemu vzduchu.
Tato práce je dána zvětšením objemu proti působení normálových tlakových sil působících na
povrch objemu. Práce vykonávaná při expanzi proti síle tlaku na jednotku hmoty za jednotku
času je dána hodnotou 𝑝(𝑑𝛼 ⁄𝑑𝑡). Je tedy dána vlastně součinem tlaku a rychlosti rozpínání
objemu vzduchu. Protože vnitřní energie ideálních plynů závisí pouze na absolutní teplotě, je
rychlost změny vnitřní energie částice dána hodnotou 𝐶𝑣 (𝑑𝑇⁄𝑑𝑡) a termodynamickou větu
můžeme psát ve známém tvaru
𝑑𝑇 𝑑𝑞
𝑑𝛼
𝐶𝑣
=
−𝑝
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡
(1.2.8)
Kde 𝑪𝒗 je měrné (dříve specifické) teplo při konstantním objemu, (𝐶𝑣 je množství tepla které
je potřeba k ohřevu 1 kg vzduchu o 1 K). Pro suchý vzduch je 𝐶𝑣 = 717 𝐽 𝑘𝑔−1 𝐾 −1, T je
absolutní teplota, p tlak vzduchu, α je měrný objem a tedy 𝑝(𝑑𝛼 ⁄𝑑𝑡) nám přestavuje rychlost
9
práce vykonávané reversibilním rozpínáním objemu částice vzduchu, tedy rychlost změny
vnitřní energie částice jednotkové hmoty. Neuvažujeme zde tedy viskozitu.
Při formulaci meteorologických modelů je používáno několik termodynamických
veličin. Jsou to tlak p, absolutní teplota T, měrný objem α a hustota 𝜌. Tyto veličiny však
nejsou nezávislé. Měrný objem je převrácenou hodnotou hustoty, tedy 𝛼 = 1⁄𝜌. Protože
vzduch lze pro naše účely považovat za dokonalý plyn, tři z těchto veličin splňují stavovou
rovnici
𝑝𝛼 = 𝑅𝑇
(1.2.9)
−𝟏 −𝟏
kde 𝑹 = 𝟐𝟖𝟕 𝑱 𝒌𝒈 𝑲 je plynová konstanta pro suchý vzduch. Derivujeme-li stavovou
rovnici, dostaneme
𝑑𝛼
𝑑𝑇
𝑑𝑝
𝑝
=𝑅
−𝛼
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(1.2.10)
Dosadíme-li z předchozího vztahu 𝑝(𝑑𝛼 ⁄𝑑𝑡) do (1.2.8) máme
𝑑𝑇 𝑑𝑞
𝑑𝑇
𝑑𝑝
𝐶𝑣
=
−𝑅
+𝛼
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(1.2.11)
neboli
𝐶𝑝
𝑑𝑇
𝑑𝑝 𝑑𝑞
=𝛼
+
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡
(1.2.12)
Kde 𝑪𝒑 = 𝑪𝒗 + 𝑹 = 𝟏𝟎𝟎𝟒 𝑱 𝒌𝒈 𝑲 je měrné teplo při konstantním tlaku. Individuální
změna tlaku p se nazývá zobecněnou vertikální rychlostí. Můžeme ji také interpretovat jako
rychlost v souřadném systému, kde vertikální souřadnicí je tlak p. Tato veličina se označuje
řeckým písmenem  . Podle definice je tedy 𝜔 = 𝑑𝑝⁄𝑑𝑡. Rovnici (1.2.12) v předpovědních
modelech používáme ve tvaru
𝑑𝑇
𝑑𝑞
𝐶𝑝
= 𝜔𝛼 +
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(1.2.13)
Kde 𝑑𝑞/𝑑𝑡 je rychlost přítoku tepla na jednotku hmotnosti. První člen na pravé straně této
rovnice se nazývá „omega-alfa“ člen. Tento člen vyjadřuje tu část vnitřní energie, která se
mění na práci danou gradientem tlaku. Správná aproximace tohoto členu hraje důležitou úlohu
v meteorologických modelech.
Pro adiabatické děje je přítok tepla roven nule, tedy 𝑑𝑞 ⁄𝑑𝑡 = 0 termodynamickou rovnici
píšeme ve tvaru
𝑑𝑇
𝐶𝑝
= 𝜔𝛼
𝑑𝑡
(1.2.14)
Pro studium entropie použijeme ještě jiný tvar termodynamické věty. Rovnici (1.2.13) dělíme
absolutní teplotou T. Pomocí stavové rovnice (1.2.9) dostaneme
𝑑𝑄 1 𝑑𝑞
𝑑 𝑙𝑛𝑇
𝑑 𝑙𝑛𝑝
=
= 𝐶𝑝
−𝑅
𝑑𝑡 𝑇 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(1.2.15)
Kde 𝑑𝑄/𝑑𝑡 je individuální změna entropie Q. Vztah
−𝟏
−𝟏
10
𝑑𝑄 1 𝑑𝑞
=
𝑑𝑡 𝑇 𝑑𝑡
(1.2.16)
vyjadřuje individuální změnu entropie vzduchové částice, tedy určitého objemu vzduchu.
Tento vztah (1.2.15) můžeme považovat za jednu z možných definici entropie, která je tím
určena až na aditivní integrační konstantu. Pro adiabatické děje je individuální časová
změna entropie hydrodynamickým invariantem. Charakterizuje také adiabatický děj. Je-li
rovna nule, pak děj je adiabatický.
Pro definici a odvození vlastností potenciální teploty, která je hydrodynamickým
invariantem při adiabatických dějích v atmosféře postupujeme následovně. Do rovnice (1.14)
dosadíme za  ze stavové rovnice (1.2.9) máme
𝑑𝑇
𝑅𝑇
=
𝜔
𝑑𝑡 𝐶𝑝 𝑝
(1.2.17)
Bezrozměrná konstanta 𝑹⁄𝑪𝒑 = 𝟎. 𝟐𝟖𝟖 se obvykle označuje řeckým písmenem𝜿, tedy
𝑹⁄𝑪𝒑 = 𝜿. Předchozí rovnici pak napíšeme ve tvaru
1 𝑑𝑇
1 𝑑𝑝
=𝜅
𝑇 𝑑𝑡
𝑝 𝑑𝑡
(1.2.18)
neboli
𝑑
𝑑
ln𝑇 = 𝜅 ln 𝑝
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(1.2.19)
Podle předchozí rovnice je levá strana následující rovnice rovna nule
𝑑
𝑑
𝑇
𝑝𝜅 𝑑 𝑇
𝜅
(ln 𝑇 − ln 𝑝 ) = ln 𝜅 =
=0
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑝
𝑇 𝑑𝑡 𝑝𝜅
(1.2.20)
odtud máme
𝑑 𝑇
=0
𝑑𝑡 𝑝𝜅
(1.2.21)
Vezmeme-li nějakou charakteristickou konstantní hodnotu tlaku 𝑝0 je jasné že platí
𝑑𝑝0 𝜅 ⁄𝑑𝑡 = 0. I když hodnota 𝑝0 se často volí jako 103 ℎ𝑃𝑎, může být libovolná. Vztah
(1.2.21) můžeme psát v obvyklém tvaru
𝑑
𝑝0 𝜅
𝑇( ) = 0
𝑑𝑡
𝑝
(1.2.22)
𝑝
𝜅
Veličina 𝑇 ( 𝑝0 ) se nazývá potenciální teplotou a označuje řeckým písmenem 𝜃. Potenciální
teplota je pro adiabatické procesy v atmosféře hydrodynamickým invariantem a první větu
termodynamiky můžeme psát ve tvaru
𝑑𝜃
=0
𝑑𝑡
(1.2.23)
11
Často se také zavádí tak zvaná Exnerova funkce π definovaná vztahem
𝜋 = (𝑝⁄𝑝0 )𝜅
(1.2.24)
Vztah mezi absolutní teplotou a potenciální teplotou pak můžeme psát ve tvaru
𝑇 = 𝜋𝜃
(1.2.25)
Podle mého názoru není zvláštní důvod nezvolit konstantu 𝑝0 rovnu 1, protože měřítko
Exnerovy funkce se tím příliš nezmění, neboť při obvyklé volbě 𝑝0 = 103 ℎ𝑃𝑎 je 𝑝0 𝜅 pouze
𝑝0 𝜅 = 10000.288 = 7.31139, což měřítka výpočtů v pohyblivé čárce příliš neovlivní.
Studujme nyní vztah entropie a potenciální teploty. Na základě potenciální teploty
můžeme vyjádřit změnu entropie následujícím způsobem. Ve druhém členu pravé strany
rovnice (1.2.15) nahradíme R součinem 𝑅 = 𝐶𝑝 𝜅. Konstantu 𝜅 pak zahrneme do exponentu
tlaku p. Po úpravách pak obdržíme
𝐶𝑝 𝑑𝜃
𝑑𝑄
𝑑
= 𝐶𝑝 ln 𝜃 =
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝜃 𝑑𝑡
(1.2.26)
𝑄 = 𝐶𝑝 𝑙𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
(1.2.27)
Kde const je integrační konstanta. Tento vztah můžeme považovat též za definici entropie,
Podle vztahu (1.2.26) je pro adiabatické procesy individuální entropie rovna nule a je tedy
hydrodynamickým invariantem pro adiabatické děje v atmosféře.
Pro další studia, zejména vlnových vlastností atmosféry, potřebujeme často vyjádřit
vztah mezi individuální změny tlaku p a hustoty 𝜌. Termodynamická věta (1.2.8) pro
adiabatický proces kde 𝑑𝑞 ⁄𝑑𝑡 = 0 má tvar
𝑑𝑇
𝑑𝛼
𝐶𝑣
+𝑝
=0
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(1.2.28)
Derivujeme-li stavovou rovnici (1.2.9) dostaneme
𝑑𝑝
𝑑𝛼
𝑑𝑇
𝛼
+𝑝
=𝑅
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(1.2.29)
Z předešlých dvou rovnic vyloučíme člen se změnou absolutní teploty, tím, že rovnici (1.2.28)
násobíme zlomkem 𝑅 ⁄𝐶𝑣 . Srovnáním s rovnicí (1.2.29) máme s použitím vztahu
𝑅
𝐶𝑣 + 𝑅 𝐶𝑝
1+ =
=
=𝛾
𝐶𝑣
𝐶𝑣
𝐶𝑣
(1.2.30)
Kterým zavádíme novou bezrozměrnou konstantu 𝛾=1.400, dostáváme
1 𝑑𝑝 1 𝑑𝜌
=
𝛾𝑝 𝑑𝑡 𝜌 𝑑𝑡
(1.2.31)
Neboli pro adiabatický proces platí
1 𝑑 𝑙𝑛𝑝 𝑑 𝑙𝑛𝜌
=
𝛾 𝑑𝑡
𝑑𝑡
(1.2.32)
12
Zákon zachování hybnosti, nebo také změny hybnosti v inerciální soustavě
Rovnice vyjadřující zákon zachování hybnosti, formulujeme na základě Newtonova
zákona zachování hybnosti v inerciálním systému kartézských souřadnic, mají tvar
𝑑𝑢
1 𝜕𝑝
=𝑋−
𝑑𝑡
𝜌 𝜕𝑥
(1.2.33)
𝑑𝑣
1 𝜕𝑝
=𝑌−
𝑑𝑡
𝜌 𝜕𝑦
(1.2.34)
𝑑𝑤
1 𝜕𝑝
=𝑍−
𝑑𝑡
𝜌 𝜕𝑧
(1.2.35)
Položíme-li pravé strany rovnic rovny nule, vyjadřují tyto rovnice zákon zachování hybnosti.
Pravé strany rovnic popisují změnu hybnosti silou gradientu tlaku a vektor (𝑋. 𝑌. 𝑍) může
vyjadřovat parametrizace modelu jako je vliv tření o zemský povrch, zahrnutí vlivu orografie.
Protože hybnost je vektorovou veličinou, má 3 složky a hustota a teplota jsou skaláry, je
základní pohyb atmosféry popsán pěti rovnicemi. Pomocí stavové rovnice také redukujeme
počet proměnných dynamické části modelu na pět neznámých, takže výsledně máme pět
rovnic pro pět prognostických veličin.
1.3. Síly působící v atmosféře Země v rotující soustavě
Newtonův druhý pohybový zákon popisuje změnu hybnosti objektu v inerciální
soustavě souřadnic danou součtem všech sil působících na daný objekt. V meteorologii jsou
to následující síly: síla tlakového gradientu, síla gravitace a tření. V meteorologii však
obvykle vztahujeme pohyb vzhledem k systému rotujícím se Zemí, který není inerciální. Pro
studium pohybu na rotující Zemi používáme tíhovou sílu Země, která je součtem gravitační a
odstředivé síly Země. Pro Newtonův druhý pohybový zákon v tomto případě musíme přidat
ještě Coriolisovu sílu. Tato zdánlivá síla je způsobena rotací Země a bude studována
podrobně v kapitole 4.
O sílách tlakového gradientu, gravitace a tření předpokládáme, že jsou dostatečně
známy, proto se zde budeme věnovat pouze silám, které jsou v meteorologii třeba k formulaci
rovnic v soustavě pevně spojené s rotující Zemí.
Síla gravitace
Newtonův zákon obecné gravitace říká, že každé dva hmotné elementy se přitahují
vzájemně silou, která je úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná čtverci jejich
vzdáleností. Obecný gravitační zákon můžeme formulovat následovně. Nechť máme dva
hmotné elementy o hmotnostech M a m a nechť r je vektor směřující od elementu o hmotnosti
M směrem k elementu o hmotnosti m. Síla, kterou působí hmota M na hmotu m je dána
vztahem
𝐺𝑀𝑚 𝐫
𝐅=− 2 ( )
𝑟
𝑟
13
(1.3.1)
kde G je universální gravitační konstanta. Pro objekty jejichž hmota je rozložena symetricky
kolem středu můžeme jejich vzdálenost považovat za vzdálenost jejich středů. Když za
hmotný element M, budeme považovat Zemi a r nechť je průvodič ze středu Země k elementu
m, a za částici m vezmeme element atmosféry, pak síla, kterou je element přitahován k Zemi
vztažená na jednotku hmoty je rovna
𝐅
𝐺𝑀 𝐫
= 𝐠∗ = − 2 ( )
𝑚
𝑟 𝑟
(1.3.2)
V meteorologii se obvykle jako vertikální souřadnice používá výška nad hladinou moře, kde
výšku hladiny moře považujeme za konstantní, odpovídající střední hodnotě poloměru Země,
který označujeme a. Ten volíme obvykle a=6371 km. Položíme-li r=a+z pak můžeme psát
𝐠𝟎∗
𝐠 =
(1 + 𝑧⁄𝑎 )2
∗
(1.3.3)
kde
𝐠0∗ = −
𝐺𝑀 𝐫
( )
𝑎2 𝑟
(1.3.4)
což je gravitační síla pro střední hladinu moře. V meteorologii, kde atmosféra na povrchu
země tvoří jen relativně tenkou vrstvu je z mnohem menší než poloměr Země a zanedbáváme
proto poměr z/a. Gravitační sílu pak považujeme nezávislou na výšce nad povrchem Země,
klademe 𝐠 ∗ = 𝐠 0 ∗ a gravitační síla je tedy konstantní.
Dostředivá síla
Předpokládejme, že částice o hmotě m se pohybuje po kružnici o poloměru r
konstantní úhlovou rychlostí 𝜔. Z hlediska pozorovatele v soustavě rotující s částicí je její
rychlost jeví jako konstantní, ve skutečnosti se však její trajektorie nepřetržitě mění, to
znamená, že její rychlost není konstantní. Abychom vypočítali zrychlení, uvažujme změnu
vektoru rychlosti 𝛿𝐕, která vznikne za časový přírůstek 𝛿𝑡, při kterém částice urazí úhel 𝛿𝜃,
(Obrázek 1.1). Protože 𝛿𝜃 je také úhel mezi vektory V a 𝐕 + δ𝐕, velikost vektoru δ𝐕 je rovna
|𝛿𝐕| = |𝐕|𝛿𝜃. Když dělíme tento vztah 𝛿𝑡 a přejdeme k limitě 𝛿𝑡 → 0, δ𝐕 směřuje k ose
rotace a máme
𝑑𝐕
𝑑𝜃
𝐫
= |𝐕| (− )
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑟
(1.3.5)
|𝐕|
⁄
Avšak
= 𝜔𝑟 a 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 𝜔 , odkud máme
𝑑𝐕
= −𝜔2 𝐫
𝑑𝑡
(1.3.6)
V pevně zvoleném (nerotujícím) systému je dán pohyb konstantním zrychlením směřujícím
k ose rotace. Jeho velikost je rovna součinu čtverce úhlové rychlosti a vzdálenosti od osy
rotace. Toto zrychlení se nazývá dostředivým zrychlením. Odstředivé zrychlení má stejnou
velikost, ale opačný směr.
Síla zemské tíže
14
Na částici vzduchu v atmosféře, která rotuje společně se Zemí, působí dvě síly. Síla
gravitace a odstředivá síla. Součet těchto dvou sil nazýváme sílou zemské tíže. Tato síla je
rovna
𝐠 = 𝐠 ∗ + Ω2 𝐫
(1.3.7)
Síla zemské tíže působí nejenom na atmosféru, ale i na samotnou hmotu Země. Země
proto nemá tvar koule, ale geoidu, jehož povrch je plochou konstantního geopotenciálu a síla
zemské tíže působí vždy kolmo k této ploše, tedy ve směru geografické zeměpisné šířky
(která je definována obecně pro referenční kouli, rotační elipsoid i geoid) jakožto úhel, který
svírá normála plochy v daném bodě s rovinou zemského rovníku a označuje se písmenem 𝜑.
Úhel který svírá spojnice středu Země a uvažovaného bodu s rovinou zemského rovníku je
nazýván geocentrickou zeměpisnou šířkou. Protože rozdíl mezi těmito dvěma zeměpisnými
šířkami je malý, v meteorologii jej zanedbáváme. Považujeme proto Zemi za sféru a sílu
zemské tíže konstantní mířící do středu Země. Podrobnější výklad tohoto problému je uveden
ve čtvrté kapitole. Zrychlení zemské tíže v meteorologii pokládáme tedy za konstantní a jeho
velikost se klade obvykle 9.8 nebo 9.81 𝑚/𝑠 2 . Poznamenejme, že při zavedení technické
soustavy jednotek se používá tak zvané normální tíhové zrychlení, které je rovno zrychlení
zemské tíže na 450 zeměpisné šířky při hladině moře a je rovno g=9.80665 𝐦/𝐬𝟐 .
Literatura:
[1] BRDIČKA M.: Mechanika kontinua. Nakladatelství ČSAV Praha 1959.
[2] COURANT R., FRIDRICHS K., LEWY H.: Über die Differenzengleichungen der
Mathematischen Physik. Math. Annalen 100, 1928
[3] CHARNEY J. G., FJØRTOFT R. VON NEUMANN J.: Numerical integration of the
barotropic vorticity equation. Tellus 2, 1950
[4] HELMHOLTZ H.: Über atmosphärische Bewegungen. Nachr. Ges. Wiss. Göttingen 3,
307, 1889
[5] HOLTON JAMES R.: En Introduction to Dynamic Meteorology. Academic press, New
York and London 1972
[6] Sir HORACE LAMB: Hydrodynamics. CAMBRIDGE AT THE UNIVERSITY PRESS,
SIXTH EDITION 1932
[7] LANDAU L.D., LIFŠIC E. M.: Gidrodinamika. – Teoretičeskaja fizika to VI. Moskva
Nauka 1986
[8] LAX P. D.: Hyperbolic Systems of Conservation Laws II. Communications on Pure and
Applied Mathematics VOL. X, 537-566. 1957.
[9] MESINGER F., ARAKAWA A.: Numerical Methods used in Atmospheric Models. Vol I.
GARP Publications Series No. 17, August 1976, WMO
[10] MUNZAR J. a kol.: Malý průvodce meteorologií. Mladá fronta Praha 1989.
[11] PECHALA F., BEDNÁŘ J.: Příručka dynamické meteorologie, Academia Praha 1991.
[12] RICHARDSON L. F.: Weather Prediction by Numerical Process.Cambridge Univ.
Press. London 1922
[13] THOMPSON P. D.: Numerical weather analysis and prediction. The Macmillan
Company New York 1961
15
2. Kartografická zobrazení používaná v meteorologii
Úvodem
Zobrazení povrchu země, do roviny má pro meteorologii velkou důležitost. Výsledky
měření, pozorování i výsledky meteorologických předpovědních modelů používají zobrazení
povrchu Země do roviny, tedy na mapu. Ať je to mapa na papíře, nebo rovina obrazovky
monitoru počítače. Na mapě jsou zobrazovány skalární pole tlaku, teploty vlhkosti i různá
další pole. Tato pole jsou zobrazována pomocí čar stejných hodnot dané veličiny, tak zvaných
vrstevnicových map. Vektorová pole proudění se často zobrazují pomocí šipek - vektorů
větru.
Při numerické předpovědi počasí je možné postupovat dvěma způsoby. Buďto rovnice
dynamiky atmosféry formulujeme přímo pro křivočaré souřadnice na kouli a jako nezávisle
proměnné jsou použity zeměpisné souřadnice  , , nebo jsou pro předpověď použity
pravoúhlé souřadnice v rovině mapy. V obou případech se však výsledky zobrazují na
meteorologických mapách, tedy v rovině.
Modely na omezené oblasti označované zkratkou LAM (z anglického Limited Area
Model), jako je například model ALADIN, vyvinutý za mezinárodní spolupráce v Méteo
France, patří k druhé skupině. Jako nezávisle proměnné na horizontální ploše používají
kartézský systém souřadnic v rovině mapy. Pro model je podle polohy oblasti možné zvolit
různá zobrazení. Pro oblasti, které obsahují severní pól, se často používá streografická mapa.
Pro oblasti neobsahující severní pól se používají kuželová nebo válcová konformní zobrazení.
Pro oblasti rovníkové je to válcové zobrazení - Mercatorova mapa a pro ostatní oblasti
(zejména oblasti ve středních šířkách) je nejvhodnější kuželové zobrazení - Lambertova
konformní mapa. Všechny tyto mapy jsou konformní a nezkreslují tedy úhly. Ukážeme si
také, že stereografickou a Mercatorovu mapu můžeme považovat za mezní případy
Lambertovy konformní mapy. To je umožněno tím, že Lambertovo konformní zobrazení
závisí na jednom parametru, který můžeme podle potřeby měnit.
V úvodní části seznámíme čtenáře s některými pojmy a poznatky z diferenciální
geometrie, které jsou třeba k dostatečně přesnému pochopení kartografických zobrazení a
jejich vlastností. Na jejich základě bude dále řešen i problém optimální volby kartografického
zobrazení pro lokální předpovědní model, zejména pro model na Lambertově mapě, jako je
například model ALADIN.
1. Základní pojmy a vztahy
Geoid a referenční plochy
Předmětem kartografie je zobrazování povrchu Země. Tento povrch není přesně
geometricky definovanou plochou, nýbrž je nepravidelný následkem působení sil na hmotu
země, která navíc nemá homogenní hustotu. Nejvýznamnější z těchto sil je síla gravitace a
odstředivá síla vznikající rotací země kolem své osy. Výslednicí těchto sil je pak síla zemské
tíže, která je kolmá k povrchu země – je tedy ve směru normály k povrchu země. Plochu
nulové výšky nad hladinou moře tvoří plocha, která je určena hladinou moře ve vybraném
místě a je v každém bodě kolmá ke směru zemské tíže. Tato plocha se nazývá geoid. Tuto
plochu můžeme také považovat za plochu stejného geopotenciálu. Geoid se nedá dosti dobře
16
geometricky charakterizovat, proto pro geodetické výpočty není vhodný. Dá se však s velkou
přesností nahradit rotačním elipsoidem, vzniklým rotací elipsy podél svislé kratší osy, která
splývá s osou země. Tento rotační elipsoid má ovšem malé zploštění a lze jej s určitou
přesností nahradit kulovou plochou, což vyhovuje pro mapy malého měřítka zobrazující
velkou oblast na zemi a tedy také pro účely meteorologie.
Referenční elipsoid je rotační těleso vzniklé rotací elipsy podle malé osy. Referenční
elipsoid je plně určený co do tvaru i velikosti dvěma údaji – délkou velké a malé poloosy a,b
meridiální elipsy. Tento elipsoid je charakterizován také ještě dvěma konstantami výstředností
e a zploštěním  , které jsou definovány vztahy:


(2.1.1)
e 2  a 2  b 2 / a ,   a  b / a
Tento elipsoid není však jediný, neboť se jeho parametry s časem měnily (upřesňovaly).
Parametry referenčního elipsoidu můžeme dnes charakterizovat přibližně těmito hodnotami:
a = 6 378 km, b = 6 357 km, odtud je e 2  0.0067 ,  1 / 298 .
(2.1.2)
Referenční koule
Matematická kartografie formuluje a studuje válcová a kuželová zobrazení pro
referenční elipsoid. Válec a kužel musí být ovšem v tak zvané základní poloze, to znamená,
že osa kužele a válce musí být zároveň rotační osou elipsoidu. Takové zobrazení je přesnější,
než zobrazení kulové plochy. Má však určité nevýhody. Je složitější a platí pouze pro kužel a
válec v základní poloze. V meteorologii se nyní používají často tak zvané rotované
souřadnice. V tomto případě zeměpisné souřadnice otočíme tak, jak potřebujeme. Osa zemské
sféry pak prochází sice středem Země, ale je obecně jiná než osa zemské rotace.
Pro účely meteorologie se proto používá výhradně referenční koule. Tato koule má
přibližně stejný povrch i objem jako referenční elipsoid. Poloměr zemské sféry zaokrouhlený
na celé km je a = 6 371 km. V modelu ALADIN je použita pro poloměr zemské sféry hodnota
a = 6 371.229 km. Pro účely meteorologie je rozdíl mezi těmito hodnotami nepodstatný.
Přechod z referenčního elipsoidu na referenční kouli se v geodézii provádí tak, že se
elipsoid napřed vhodnou metodou zobrazí na kouli a z této se pak převádějí geometrické
prvky do roviny, tedy na mapu. Chyba vzniká tím, že ačkoliv se kulová plocha elipsoidu země
velmi blíží, má konstantní křivost, kdežto elipsoid proměnnou křivost, která se mění se
zeměpisnou šířkou. To způsobuje určité rozdíly v délkách na elipsoidu a na kouli mezi body
se stejnými zeměpisnými souřadnicemi.
Referenční rovina, kdy povrch země nahradíme rovinou, můžeme použít pouze pro
zobrazení malé části povrchu země, pro kartografické plány v oblasti o průměru asi 20 km.
Zeměpisné souřadnice a geografická síť.
Polohu bodu P na povrchu země udáváme nejčastěji zeměpisnými souřadnicemi,
šířkou a délkou. Zeměpisná šířka je definována (obecně pro referenční kouli, rotační elipsoid i
geoid) jakožto úhel, který svírá normála plochy v bodě P s rovinou zemského rovníku.
Budeme ji označovat písmenem  . Proložíme-li osou rotace země svazek rovin a jednu z nich
zvolíme za základní – nulovou, svírají tyto roviny se základní rovinou úhel, který nazýváme
zeměpisnou délkou a označujeme  . Geometrickým místem bodů konstantní zeměpisné šířky
17
(   konst. ) na referenční ploše jsou rovnoběžky (ty vytvářejí na povrchu referenčního
elipsoidu kružnice se středem v ose rotace). Obdobně geometrickým místem bodů konstantní
zeměpisné délky (   konst. ) na referenční ploše jsou poledníky (ty vytvářejí na povrchu
referenčního elipsoidu elipsy). Každým bodem na referenční ploše tedy prochází právě jeden
poledník a jedna rovnoběžka. Tyto křivky tvoří na referenční ploše tzv. geografickou síť. Tato
síť poledníků a rovnoběžek je ortogonální. Výjimku tvoří pouze severní a jižní pól, kterými
procházejí všechny poledníky, tedy pro ně platí   90 0 ,   0 0 až 360 0 . Vzhledem k této
vlastnosti jsou póly singulárními body a při zobrazování se chovají jinak, než ostatní body.
Předmět kartografického zobrazování
Při kartografickém zobrazování je naším úkolem zobrazit povrch země, přesněji
řečeno povrch referenční plochy do roviny. Tento obraz nazýváme mapou. Při tomto
zobrazení se na mapě zkreslují délky, úhly, plochy, poloměry křivosti i jiné prvky originálu a
dostáváme proto obraz určitým způsobem deformovaný. Pro jednotlivá zobrazení budeme
studovat zkreslení délek, úhlů a ploch, po případě, jak se zobrazují přímky a kružnice,
zejména poledníky a rovnoběžky. Prostředky pro toto studium nám dává diferenciální
geometrie, která mimo jiné studuje vnitřní geometrii ploch a také ještě daleko obecnější
problémy vzájemného zobrazování ploch. Skutečnost, že námi uvažované plochy leží uvnitř
třírozměrného Euklidovského prostoru (jsou v něm vnořeny), není podstatná. Pro studium
kartografických zobrazení nám stačí vnitřní geometrie ploch, která je dána metrickým
tenzorem, neboli první základní formou plochy. Pomocí metrického tenzoru jsou také dány
vztahy mezi délkami, úhly plochami na mapě a na referenční ploše aproximující povrch země.
Definice plochy v diferenciální geometrii
Plochy v diferenciální geometrii definujeme obvykle parametrickými vektorovými
rovnicemi tvaru
x  x u 1 ,u 2
(2.1.3)
kde
x  x1 , x2 , x3 


jsou kartézské souřadnice bodu x v třírozměrném Euklidovském
prostoru E 3 . Souřadnice bodu plochy xi u 1 , u 2  jsou spojitými funkcemi proměnných u 1 , u 2
definovaných na společné oblasti  . Tyto funkce nechť mají spojité parciální derivace do
řádu r  1 a matice
x1 x 2 x 3
u 1 u 1 u 1
(2.1.4)
x1 x 2 x 3
u 2 u 2 u 2


má ve všech bodech u 1 , u 2   hodnost rovnu dvěma. Jsou-li splněny předchozí
předpoklady, pak množina všech bodů daná rovnicemi (2.1.3) se nazývá regulární plochou a


rovnice (2.1.3) parametrickým vyjádřením této plochy. Proměnné parametry u 1 , u 2
nazýváme křivočarými souřadnicemi nebo též Gaussovými souřadnicemi bodu x plochy.


Zvolíme-li na ploše pevný bod o křivočarých souřadnicích c 1 , c 2 , pak množinu bodů X̂
, které jsou popsány vektorovou rovnicí
18

ˆx  x u 1 ,c 2

(2.1.5)
kde c 2 je pevně zvolené a parametr u 1 je proměnný nazýváme parametrickou u 1 - křivkou.
Obdobně rovnici
~
(2.1.6)
x  x c 1 ,u 2


kde u 2 se mění, nazýváme parametrickou u 2 - křivkou. Vektory definované vztahy
dˆx
x  x x x 
x1  1  1   11 , 21 , 31 
du
u
 u u u 
d~
x
x  x x x 
x 2  2  2   12 , 22 , 32 
du
u
 u u u 

(2.1.7)
(2.1.8)

jsou tečnými vektory parametrických křivek v bodě c 1 , c 2 . Jestliže tyto vektory jsou
lineárně nezávislé je uvažovaný bod regulární a procházejí jím právě dvě parametrické křivky.
Tyto křivky se v tomto bodě navzájem nedotýkají. Tyto vektory x1 , x 2 v daném bodě c 1 , c 2


určují tedy tečnou rovinu a můžeme je zvolit za souřadnicové vektory. Každý vektor a
v tečné rovině v daném bodě můžeme vyjádřit jako lineární kombinaci těchto souřadnicových
vektorů. Můžeme tedy psát
(2.1.9)
a  x i a i , kde se sčítá přes i=1,2
Čísla a 1 , a 2 nazýváme kontravariantními souřadnicemi vektoru a .
Transformace parametrů na ploše
Tutéž plochu lze zapsat pomocí různých vektorových rovnic.
Studujme libovolnou vzájemně jednoznačnou transformaci parametrů u 1 , u 2 plochy na
nové parametry u 1 , u 2 dané rovnicemi

u1  u1 u 1 , u 2


, u 2  u 2 u 1u 2

kde
u
1

,u 2  
(2.1.10)
při kterých si vzájemně odpovídají oblasti  a  , přičemž funkce definující transformaci
jsou spojité i se svými parciálními derivacemi do řádu r  1 ve všech bodech  .
Jestliže v trojrozměrném Eukleidovském prostoru je dána regulární plocha vektorovou
rovnicí
kde u 1 ,u 2  
(2.1.11)
x  x u 1 ,u 2
pak vektorová rovnice
kde u 1 ,u 2  
(2.1.12)
x  x u 1 u 1 ,u 2 ,u 2 u 1 ,u 2

 

 





je vektorová rovnice téže plochy. Přejdeme-li při studiu plochy od jedné vektorové rovnice
ke druhé, říkáme, že jsme provedli regulární transformaci parametrů.
První základní tenzor plochy neboli metrický tenzor plochy
Skalární součiny tečných vektorů parametrických křivek x1 , x 2 určují čísla g i j která
se nazývají kovariantními složkami metrického tenzoru. Jsou dány vztahy
g i j  x i  x j kde i, j probíhají čísla 1,2
(2.1.13)
Protože skalární součin je komutativní platí
g1 2  g 21
(2.1.14)
19
a metrický tenzor je symetrický. Takto definovaná čísla tvoří složky tenzoru, což může čtenář
najít v každé učebnici tenzorového počtu či diferenciální geometrie.
Jsou-li parametrické křivky k sobě kolmé, což nastává, když jsou kolmé jejich tečné
vektory je
(2.1.15)
g1 2  g 2 1  x 1  x 2  0
Skalární součin vektorů
Skalární součin vektorů v tečné rovině plochy můžeme vyjádřit pomocí jejich
kontravariantních souřadnic.
V tečné rovině zadané plochy zvolme dva vektory
(2.1.16)
a  x i a i ,b  x i b i
a vypočtěme jejich skalární součin. S použitím vlastností skalárního součinu (linearity a
zákona distributivního) máme
a  b  xi  x j ai b j
(2.1.17)
Kde skalární součiny souřadnicových vektorů jsou složkami metrického tenzoru (2.1.13), a
proto můžeme psát
a  b  gi j aib j
(2.1.18)
což je hledaný výsledný vztah. V předchozím vztahu je použita Einsteinova sumace, obvyklá
v tenzorovém počtu. Součty se provádějí přes stejný jeden dolní a jeden dolní index, tedy pro
i  1,2 a j  1,2 .
Délka křivky na ploše
Máme-li v třírozměrném Euklidovském prostoru křivku zadánu parametrickými
vztahy
p  pt 
(2.1.19)
p   p1 , p2 , p3  jsou kartézské souřadnice bodů křivky, pak délka křivky je
kde
dána vztahem
t
dp
kde p 
(2.1.20)
st    p  p dt
dt
t0
kde st  je délka oblouku v intervalu od t 0 do t. Čtverec elementu délky oblouku je tedy dán
vztahem
ds 2  p  p dt 2
(2.1.21)
kde p  p je skalární součin tečných vektorů křivky. Tečkou nad proměnnou se označuje
derivace proměnné podle parametru t.
Máme-li na ploše
(2.1.22)
x  x u 1 ,u 2


zadánu křivku rovnicí
u i  u i t 
vektorová rovnice křivky v třírozměrném Eukleidovském prostoru má tvar
y  xu 1 t ,u 2 t 
(2.1.23)
(2.1.24)
20
kde u 1 t , u 2 t  jsou zadané funkce parametru t. Délka křivky je dána výrazem
t
st    y t   y t  dt
(2.1.25)
t0
Pro úpravu skalárního součinu ve vztahu (2.1.25) použijeme rovnost,
y t   y t   x i u i  x j u j  g ij u i u j



(2.1.26)
kde se, jak bylo již dříve napsáno se v tenzorovém počtu obvyklé sčítá přes dvakrát se
objevující stejné indexy. Je zde tedy použita úmluva, která se někdy nazývá Einstejnovou
sumací. Proto můžeme vztah (2.1.24) napsat ve tvaru
t
st    g ij u i u j dt
(2.1.27)
t0
Vztah (2.1.26) nám ukazuje, že pro výpočet délky křivky nám stačí znát funkce (2.1.23) a
pole metrického tenzoru plochy. O vlastnostech, pro jejichž popis je třeba znát pouze
metrický tenzor plochy, se říká, že patří k tak zvané vnitřní geometrii plochy.
V diferenciální geometrii se většinou studují lokální vlastnosti, a proto se obvykle
předchozí vztahy zapisují pomocí diferenciálů. Označme du i diferenciál funkce u i t  , a tedy
platí
(2.1.28)
du i  u i dt
i
Zvolíme-li si obě proměnné t a dt pevně dt  0 , jsou du kontravariantní souřadnice
vektoru kolineárního s tečným vektorem o kontravariantních souřadnicích u i . Pomocí vztahu
(2.1.28) můžeme vztah (2.1.27) přepsat do tvaru
t
s   g ij du i du j dt
(2.1.29)
t0
Výraz pod odmocninou v předchozím vztahu, který je kvadratickou formou vzhledem
k proměnným du 1 , du 2 se nazývá první základní forma plochy a vyjadřuje čtverec délky
vektoru du i , neboli též čtverec elementu délky oblouky křivky, jejímž tečným vektorem je
právě vektor du i . Proto první formu plochy píšeme ve tvaru
ds 2  g ij du i du j
(2.1.30)
Tvoří-li parametrické křivky ortogonální síť a je tady g12  g 21  0 má první forma plochy
jednodušší tvar
 
ds 2  g11 du 1
2
 
2
 g 22 du 2
(2.1.31)
v tomto případě se zavádějí také Lameovy koeficienty h1 , h2 , jejichž čtverce jsou rovny
složkám metrického tenzoru, je tedy
2
2
h1  g11 , h2  g 22
a první formu plochy můžeme psát ve tvaru
2
 
2
(2.1.32)
2
 
2
(2.1.33)
ds 2  h1 du 1  h2 du 2
Na výraz (2.1.33) se můžeme dívat jako na Pythagorovu větu, kde čtverec elementu celkové
délky oblouku je roven součtu čtverců přírůstků elementů ve směru obou vzájemně kolmých
21
parametrických křivek. Přírůstky délky oblouku ve směru jednotlivých parametrických křivek
jsou dány vztahy
(2.1.34)
ds  h1du1 a ds  h2 du 2
Tyto vztahy (2.1.33) a (2.1.34) vyjadřující délku oblouku se nazývají v kartografii elementy
délkové.
Úhel dvou křivek plochy
Úhlem dvou křivek, které procházejí společným bodem, nazveme úhel jejich tečen
respektive jejich tečných vektorů ve společném bodě. Cosinus úhlu těchto vektorů je roven
jejich skalárnímu součinu lomeného jejich délkou, což vypočteme ze vztahů (2.1.18) a
(2.1.30).
První základní forma sférické plochy
Povrch referenční koule, který tvoří sférická plocha je dán v třírozměrném
Eukleidovském prostoru rovnicemi
x  a cos  cos 
y  a sin  cos 
(2.1.35)
z  a sin 
tečné vektory k parametrickým křivkám   konst. (rovnoběžky),   konst. (poledníky) jsou
x1   a sin  cos  , a cos  cos  ,0
x 2   a cos  sin  ,a sin  sin  , a cos  
kovariantní složky metrického tenzoru dostaneme ze vztahu
g kl  x k  x l
(2.1.36)
(2.1.37)
(2.1.38)
odtud máme
(2.1.39)
g11  a 2 cos 2  , g 22  a 2 , g12  g 21  0
síť parametrických křivek (poledníků a rovnoběžek) je tedy ortogonální a první základní
forma plochy má tvar
(2.1.40)
ds 2  a 2 cos 2  d2  a 2 d 2
odtud vidíme, že pro referenční kulovou plochu je element oblouku po rovnoběžce roven
ds r  a  cos   d a element oblouku po poledníku je roven ds p  a  d .
Zobrazení a rozvinutí plochy na plochu
Řekneme, že je dáno vzájemně jednoznačné zobrazení jedné plochy na druhou plochu,
jestliže je určeno pravidlo, které každému bodu jedné plochy přiřazuje právě jeden bod druhé
plochy a toto zobrazení je vzájemně jednoznačné. Řekneme, že vzájemné zobrazení plochy na
plochu je regulárním zobrazením, jestliže na jedné z obou ploch lze provést regulární
transformaci parametrů, po které každé dva navzájem si odpovídající body obou ploch mají
na obou plochách shodné křivočaré souřadnice. Pak řekneme, že na obou plochách je
zavedena shodná soustava křivočarých souřadnic.
Zvláštním případem regulárního zobrazení plochy na plochu je tak zvané rozvinutí
plochy na plochu. Tento pojem můžeme zavést následující definicí: Regulárním zobrazením
plochy na plochu nazveme rozvinutím plochy na plochu, jestliže toto zobrazení přiřazuje
22
každé křivce ležící na jedné ploše křivku stejné délky na ploše druhé. O rozvinutí plochy na
plochu lze dokázat následující tvrzení: Předpokládejme, že při daném regulárním zobrazení
dvou ploch na sebe jsou na obou plochách zvoleny shodné soustavy křivočarých souřadnic.
Potom toto regulární zobrazení je rozvinutím právě tehdy, jestliže v odpovídajících si bodech
obou ploch jsou koeficienty prvních základních forem stejné. Jinak řečeno kovariantní
souřadnice metrických tenzorů jsou stejné. Plochu, kterou lze rozvinout do roviny (na
rovinnou oblast) nazveme rozvinutelnou plochou. Zvolíme-li na ploše soustavu křivočarých
souřadnic shodnou s kartézskou soustavou souřadnic v rovině, má pak první forma této
rozvinutelné plochy tvar
(2.1.41)
ds 2  dx 2  dy 2
Konformní zobrazení oblasti plochy do roviny
Nechť x, y jsou kartézské souřadnice v rovině a mimo to máme regulární zobrazení
kusu plochy do roviny. Na ploše nechť máme zavedenu shodnou soustavu křivočarých
souřadnic, pak regulární zobrazení plochy do roviny nazveme konformním zobrazením,
jestliže první forma plochy má tvar
(2.1.42)
ds 2  x, y  dx 2  dy 2


kde   x, y  je funkce definovaná pro body plochy. Tato funkce je rovna kovariantním
složkám metrického tenzoru, které jsou si rovny. Parametrické křivky tvoří ortogonální síť.
O konformním zobrazení se dá snadno ukázat, že zachovává velikost úhlů (dvou křivek, nebo
vektorů) a zkreslení zobrazení v bodě nezávisí na směru, a tedy lineární elementy délky
křivky ve směru parametrických křivek jsou si rovny.
Kartografické zobrazení
Kartografickým zobrazením budeme rozumět regulární zobrazení části referenční
sférické plochy (zemského povrchu) do roviny. Obrazem povrchu sféry je mapa. Toto
zobrazení určíme následovně:
Libovolný bod P na povrchu zemském nechť je dán zeměpisnými souřadnicemi  ,  .
Jeho obraz na mapě P  nechť je určen souřadnicemi x, y, v libovolně zvoleném systému
pravoúhlých souřadnic. Aby zobrazení bylo definováno, musí být zadán vztah mezi
souřadnicemi bodu P na povrchu země a jeho obrazu P  v rovině mapy.
Tento vztah nechť je dán rovnicemi
x  f  ,   , y  g  ,  
(2.1.43)
kde funkce jsou spojité a diferencovatelné a zobrazení kromě pólů je vzájemně jednoznačné.
Póly, jakožto singulární body, mohou být na mapě zobrazeny rovněž jako body, ale mohou
být zobrazeny jako křivky.
Délkovým zkreslením (koeficientem zkreslení konformní mapy), který se v meteorologii
označuje obvykle písmenem m, rozumíme poměr nekonečně malé délky na mapě dS k délce
jejího originálu na zemi ds. Tedy
dS
(2.1.44)
m
ds
Protože ds je skutečná délka je podle vztahu (2.1.44) a (2.1.41)
23
2
2

1
1
ds    dS 2    dx 2  dy 2
m
m
Srovnáme-li tento vztah se vztahem (2.1.42) vidíme, že
2

(2.1.45)
2
1
(2.1.46)
     x, y 
m
Nebo jinými slovy, že koeficient zkreslení konformní mapy je roven odmocnině z převrácené
hodnoty kovariantních složek metrického tenzoru, které jsou stejné.
Důležité vztahy používané v dalším textu
Pro další odvozování rovnic kartografických zobrazení budeme používat některé
matematické vztahy – identity. Dále pro zkrácení zápisu vzorců budeme v některých vztazích
místo zeměpisné šířky používat úhlovou pólovou vzdálenost  , která je doplňkem úhlu
zeměpisné šířky a tedy platí


, ale i opačně
(2.1.47)
  
   .
2
2
Rovněž označme doplněk zeměpisné šířky  0 jako  0 , je tedy
0 

 0 .
2
Pro goniometrické funkce těchto hodnot platí
(2.1.48)




sin   sin     cos  , cos   cos     sin 
2

2

(2.1.49)
Dále používáme vztah pro tangens polovičního úhlu, který odvodíme následovně
tg

2

sin
cos

2 

2 sin

2
cos
2 

2
2 cos
2
2
pomocí vzorců pro sinus a cosinus dvojnásobného úhlu pak máme
cos 

sin 
,
tg 

2 1  cos  1  sin 
(2.1.50)
(2.1.51)
dále budeme potřebovat hodnotu následujícího integrálu

d
  
 
 ln tg     ln C  ln tg    ln C
(2.1.52)
cos 
2
4 2
0
který snadno ověříme derivováním. Připomeňme zde, že
(2.1.53)
tg x   12  1  tg 2 x
cos x
Nakonec uvedeme ještě jednu trigonometrickou identitu. Ze vztahu pro cos dvojnásobného
úhlu máme
(2.1.54)
2 cos 2   1  cos 2

24
2. Zobrazení kuželová, válcová a azimutální
V kartografii se pří zobrazení kuželovém, válcovém i azimutálním uvažují dva případy.
Tak zvaná poloha normální, kde osa rotace země je shodná s osu kužele, či válce a při
azimutálním zobrazení je rovina na kterou se zobrazuje kolmá k ose země. Přesněji je tato
poloha definována dále. Při této poloze se zobrazuje v geodesii a kartografii rotační elipsoid
na plochu kuželovou, válcovou nebo rovinu přímo. Druhým případem je poloha obecná, kdy
osa zobrazení není osou rotace země. V tomto případě se obvykle rotační elipsoid zobrazí
nějakým, podle požadavků vhodným, zobrazením (například konformním) na referenční kouli
a pak teprve na kužel, válec či rovinu. Je zřejmé, že pro zobrazení referenční koule zkreslení
povrchu na poloze osy nezávisí a je pouze funkcí rotovaných zeměpisných souřadnic. My se
proto v dalším budeme pro jednoduchost věnovat pouze zobrazení referenční koule.
Poznamenejme zde ještě, že kužel i válec jsou rozvinutelné plochy a proto se dají bez
jakéhokoliv dalšího zkreslení zobrazit – rozvinout do roviny. Ve skutečnosti definujeme tato
zobrazení tak, jako kdyby plochy, na které zobrazujeme, (kužel, válec) byly již rozvinuty do
roviny.
Zobrazení kuželová a Lambertovo konformní zobrazení
Základní vlastnosti normálních kuželových zobrazení jsou následující:
Poledníky se zobrazují v rovině mapy jako svazek polopřímek vycházejících ze středu
V  , jenž je obrazem vrcholu kužele V. Rovnoběžky jsou soustředné kružnice o středu V  . Pro
definici zobrazení použijeme v rovině mapy polární souřadnice r ,  , takže zeměpisným
souřadnicím  ,  odpovídají v rovině souřadnice r ,  (které snadno převedeme na kartézské
souřadnice v rovině mapy). Vybereme jeden poledník, ležící v našem zobrazovaném území,
který nazveme základním a označme  0 . Od obrazu tohoto poledníku budeme měřit úhly
v polární soustavě souřadnic. Obdobně zvolíme jednu rovnoběžku, procházející zobrazovanou
oblastí, kterou nazveme rovněž základní. Tato rovnoběžka zeměpisné šířky  0 bude
zobrazena na mapě jako kružnice o poloměru r0 se středem V  . Poledník procházející
zobrazovaným bodem P o zeměpisné délce  se zobrazuje jako polopřímka vycházející
z bodu V  svírající s obrazem základního poledníku úhel  .
Aby zobrazení bylo definováno, je nutné stanovit vzájemně jednoznačný vztah mezi
zeměpisnými souřadnicemi  ,  a polárními souřadnicemi v rovině mapy r ,  . Protože
všechny body obrazu rovnoběžky o zeměpisné souřadnici  konstantní leží na kružnici a
mají v polárních souřadnicích konstantní hodnotu r, nezávisející na  , je r  f   . Podobně
je to z obrazy poledníků, které jsou polopřímky vycházející z bodu V  a tedy úhel  nezávisí
na zeměpisné souřadnici  . Navíc, aby obrazy poledníků které na referenční ploše svírají
mezi sebou stejné úhly svíraly i na mapě mezi sebou stejné úhly musí být úhly 
a 
úměrné. Tato závislost platící pro všechna kuželová zobrazení má tvar   K   . Protože 
může probíhat úhly v rozmezí 0 až 360 stupňů, aby se mapa nepřekrývala, musí být 0  K  1
.
25
Jeden z poledníků  0 a jednu z rovnoběžek  0 zvolme jako základní. Zobrazení pak
definujeme vztahy
  K    0 
r  f  
a
(2.2.1)
Můžeme ještě také požadovat, aby rovnoběžka  0 se zobrazovala na mapě jako kružnice o
poloměru r0 , a tedy aby
r0  f  0 
(2.2.2)
Nyní v rovině mapy přejdeme od polárních souřadnic ke kartézským souřadnicím x, y.
Systém pravoúhlých souřadnic zvolíme tak, že osa y splývá s obrazem poledníku  0 a je
orientována k severu, osa x je k němu kolmá. Počátek souřadnic zvolíme tak, aby vrchol
kužele měl souřadnici y rovnu y 0 . Přechod od polárních ke kartézským souřadnicím je pak
dán vztahy
x  r sin  ,
y  y0  r cos 
Kuželové zobrazení referenční plochy kulové je pak dáno vztahy
x  f  sin K   0  ,
y  y0  f   cos K   0 
(2.2.3)
(2.2.4)
kde funkce f   zatím není ještě definována. Tvar této funkce určíme z požadavku, aby
zobrazení bylo konformní. Nyní si vyjádříme vztah mezi diferenciály dx, dy a d , d .
Diferencováním vztahů (2.2.4) máme
(2.2.5)
dx  f  sin K   0 d  f  K cos K   0 d
dy   f   cos K   0 d  f  K sin K   0 d
(2.2.6)
po umocnění a sečtení předchozích vztahů dostáváme
dx 2  dy 2   f   d 2   f   K 2 d2
2
2
(2.2.7)
Nyní, aby zobrazení bylo konformní, musí mít první forma referenční sférické plochy
v souřadnicích x, y tvar

ds 2  x, y  dx 2  dy 2

(2.2.8)
přičemž v souřadnicích  ,  má tvar
ds 2  a 2 d 2  a 2 cos 2  d2
(2.2.9)
Dosadíme-li součet čtverců dx 2  dy 2 ze vztahu (2.2.7) do (2.2.8) a porovnáme s (2.2.9)
máme


x, y   f  2 d 2   f  2 K 2 d2  a 2 d  a 2 cos 2  d2
Protože vztah musí platit pro všechny hodnoty d , d musí být
x, y  f  2  a 2 a x, y  f  2 K 2  a 2 cos 2 
(2.2.10)
(2.2.11)
Neboť  x, y   0 , můžeme předchozí vztahy vzájemně vydělit a eliminovat tím   x, y  .
Dostaneme tak diferenciální rovnici pro funkci f   tvaru
f  
K

f   cos 
Pro integraci přepíšeme tuto rovnici do tvaru
ln f    K
cos 
(2.2.12)
(2.2.13)
26
Nyní s použitím vztahu (2.1.52) dostaneme
ln f    K ln tg

 ln C
2
kde ln C je integrační konstanta a připomeneme, že    / 2   .
(2.2.14)
Integrační konstantu ln C určíme tím, že do vztahu dosadíme    0 , respektive    0
a máme
 
ln r0  K ln tg  0   ln C
 2
Odečtením předchozích dvou vztahů pak dostaneme
(2.2.15)
   
 tg   
r
2 
ln  ln 
  0 
r0
 tg   
  2 
K
(2.2.16)
neboli
   
 tg   
2
r  f    r0    
 0 
 tg  2  
  
K
(2.2.17)
Pomocí dříve uvedených trigonometrických vztahů můžeme tento vztah psát též ve tvaru
K
K
 1  sin  0   cos  
 
 .
r  r0 
 cos  0   1  sin  
Vztah (2.2.17) nebo (2.2.18) společně se vztahem
  K    0 
(2.2.18)
(2.2.19)
nám definuje Lambertovo konformní zobrazení.
Ze vztahu (2.2.11) máme
  x, y  
a 2 cos 2 
2
K 2  f  
(2.2.20)
s použitím vztahů (2.1.46), (2.2.20) a (2.2.17) vypočteme délkové zkreslení Lambertovy
konformní mapy
   
tg  
K r0   2  
1
m x, y  

  x, y  a sin     0  
 tg  2  
  
K
(2.2.21)
Pomocí vztahu (2.1.51) můžeme předchozí vztah napsat ve tvaru odpovídajícímu vztahu
(2.2.18)
K r0  cos 

m x, y  
a cos   cos  0



K
 1  sin  0

 1  sin 



K
(2.2.22)
27
Stanovení parametrů jednoznačně určujících Lambertovu konformní mapu
Ve vztazích (2.2.17), nebo (2.2.18), které spolu se vztahem (2.2.19), jednoznačně určují
konkrétní Lambertovo zobrazení, je ještě několik parametrů, které můžeme libovolně zvolit.
Tyto parametry můžeme také určit pomocí dalších podmínek. Je to jednak parametr  0 , který,
jak snadno z rovnic zobrazení nahlédneme, nám dává zeměpisnou délku polohy středu
zobrazované oblasti a je zřejmé, že nemění geometrii zobrazení. Proto se také v koeficientu
délkového zkreslení mapy nevyskytuje. Dále jsou to dva parametry  0 a r0 které nám
společně určují velikost měřítka zobrazení. Zvolíme-li pevně  0 a měníme-li r0 dostáváme
mapy vzájemně podobné. V délkovém zkreslení mapy se proto r0 vyskytuje jako lineární
činitel. Zatím diskutované parametry tedy neovlivňují geometrii zobrazení. Zbylá konstanta
K je proto pro zobrazení nejdůležitější, neboť právě ona je odpovědná za geometrii zobrazení.
Tuto konstantu můžeme zvolit přímo, nebo na zobrazení budeme klást další podmínky, ze
kterých tuto konstantu určíme. Přitom z těchto podmínek vyjádříme i konstantu r0 a ukážeme
její geometrický smysl.
Jedna z možností, obvyklá v kartografii vychází z faktu, že kužel, na který zobrazujeme, je
v normální poloze, a protíná kouli ve dvou rovnoběžkách o zeměpisných šířkách  0   1 .
Proto na obrazech těchto dvou rovnoběžek je zkreslení mapy rovno jedné a máme tedy dvě
podmínky:
m 0   1 , m1   1
(2.2.23)
Druhá možnost vychází z představy, že kužel je tečný ke kouli a dotýká se koule
na rovnoběžce o zeměpisné šířce  0 . Tato druhá podmínka je použita pro určení zobrazení
v modelu ALADIN. První podmínka je tedy stejná jako v předchozím případě. V obou
případech je tedy splněn vztah m 0   1 .
Podívejme se na důsledky vztahu m 0   1. Do vztahu (2.2.21) pro zkreslení m dosadíme
   0 což je ekvivalentní se vztahem    0 . Ze vztahu m 0   1 pak dostaneme že r0 je
rovno
a
a
(2.2.24)
cos  0  sin  0
K
K
Tím je ve vztazích (2.2.17), (2.2.18) pro polární souřadnici r a ve vztazích (2.21), (2.22)
pro délkové zkreslení určen poloměr r0 kružnice, která je obrazem základní rovnoběžky  0 .
r0 
Polární souřadnici r pak můžeme za použití vztahů (2.2.24) a (2.2.51) napsat ve tvaru
K
  
K
 tg 
a
a

K 
r  sin  0  2   sin 1 K  0 1  cos  0  tg 
K
K
 2
 tg  0 
 2 
Zkreslení mapy je pak dáno vztahem
 
tg
sin  0  2
m

sin    0
tg
 2





(2.2.25)
K
(2.2.26)
28
Další podmínky nám již určují konstantu K.
První možností je dosadit do předchozího vztahu   1 , neboli    1 . Pomocí podmínky
m1   1 obdržíme po logaritmování rovnice obvyklý vzorec pro konstantu K:
K
ln sin  1 / sin  0 
ln tg  1 / 2 / tg  0 / 2
(2.2.27)
Druhou možností, je požadavek, že kužel, na který referenční sféru zobrazujeme je tečný
k této sféře. Tato podmínka je použita pro určení konstanty K v modelu ALADIN a její
důsledky si ukážeme níže.
Nyní studujme souvislost vrcholového úhlu kužele, s konstantou K. Označme  úhel,
který svírá povrchová přímka kužele s osou kužele, která je zároveň osou země. Podle
(Obr.2.1) máme z trojúhelníka ABV
a cos  0
 sin 
(2.2.28)
r0
Dosadíme-li do tohoto vztahu r0 ze vztahu (2.2.24) dostaneme
K  sin 
Tento vzorec nám dává jednoduchou interpretaci konstanty K.
(2.2.29)
Obr. 2.1. Kuželové zobrazení na sečný kužel zemské sféry
Všimněme si ještě zvláštního případu, když kužel, na který zobrazujeme, je tečný ke sféře a
dotýká se jí na rovnoběžce  0 . Pak trojúhelník SBV (Obr. 2.2) je pravoúhlý, neboť poloměr
SB je kolmý k tečně BV a je
  0
(2.2.30)
29
Obr. 2.2. Kuželové zobrazení na kužel tečný k zemské sféře
V případě kužele tečného ke sféře dostaneme pro konstantu K velmi jednoduchý vztah
K  sin   sin 0
(2.2.31)
Konstanta K nám určuje velikost kruhové výseče, na kterou je sféra zobrazována. Tato výseč
je dána úhlem K  2 .
Všimněme si ještě jedné důležité vlastnosti Lambertova konformního zobrazení. Základní
konstanta K Lambertova konformního zobrazení na kužel, který protíná zemskou sféru ve
dvou rovnoběžkách a konformního zobrazení na kužel, který se pouze dotýká zemské sféry je
dána v obou případech sinem úhlu  který svírají povrchové přímky s osou sféry. Proto
Lambertovy mapy, jejichž úhel  je stejný se liší pouze měřítkem, jsou tedy homotetické a
tedy v podstatě stejné. Liší se tedy pouze celkovým měřítkem zobrazení. Proto stačí studovat
a používat mapy vzniklé zobrazením na kužel tečný k zemské sféře a není třeba studovat a
používat mapy vzniklé projekcí na sečný kužel. Proto také v další kapitole, ve které je řešena
optimalizace Lambertovy mapy jsou studovány pouze mapy zobrazující povrch Země na
kužel tečný k zemské sféře.
3. Zobrazení válcová
Při všech normálních zobrazeních válcových se zobrazuje rovník i všechny rovnoběžky do
roviny mapy jako rovnoběžné přímky a poledníky jako soustava přímek kolmých k obrazu
rovnoběžek. Představíme-li si válcovou plochu, jejíž osa je zároveň osou zemskou, jsou na ní
obrazy poledníků povrchové přímky válce (rovnoběžné s osou země) a rovnoběžky se
zobrazují jako povrchové kružnice (průsečnice válce s rovinami kolmými k jeho ose).
Rozvinutím do roviny pak dostaneme obraz na mapě. Zvolíme-li v rovině nějaký bod jako
počátek souřadnic, pak obrazy poledníků a rovnoběžek vytvoří pravoúhlý systém souřadnic.
Jeden meridián  0 zvolíme jako základní. Jeho obraz zvolíme jako rovnoběžku s osou y o
30
souřadnici xe . Obraz rovníku nechť je rovnoběžka s osou x o souřadnici y e . Podle
předcházejících vlastností mají rovnice válcového zobrazení tvar:
x  xe  n    0  a y  y e  f  
(2.3.1)
Mercatorovo zobrazení
Mercatorovo zobrazení je normální válcové konformní zobrazení. Ve vztazích ,2.3.1) je
zatím neurčena konstanta n a funkce f. Pro nalezení tvaru této funkce, budeme postupovat
obdobně jako pro Lambertovo zobrazení a určíme ji z podmínky, že zobrazení má být
konformní. Vypočteme tedy součet čtverců diferenciálů x a y. Máme
dy  f   d
(2.3.2)
dx  n d ,
odkud máme
dx 2  dy 2  n 2 d2   f   d 2
2
(2.3.3)
Aby zobrazení bylo konformní, první forma plochy v souřadnicích x,y musí mít tvar
ds 2  x, y  dx 2  dy 2

Po dosazení do (2.3.4) z (2.3.3) máme


ds 2  x, y  n 2 d2   f   d 2
2

(2.3.4)
(2.3.5)
Hodnota takto vyjádřeného kvadrátu přírůstku délky oblouku ds 2 musí být stejná jako na
referenční kouli
(2.3.6)
ds 2  a 2 d 2  a 2 cos 2  d2
Porovnáním (2.3.5) a (2.3.6) máme
x, y  n 2  a 2 cos 2 
(2.3.7)
x, y  f  2  a 2
(2.3.8)
Vydělíme li vztah (2.3.8) vztahem (2.3.7) dostaneme po odmocnění diferenciální rovnici pro
funkci f  
n
(2.3.9)
cos 
Pro její integraci použijeme vztahu (2.1.52) a dostaneme
  
 
(2.3.10)
f    n ln tg     ln C  n ln tg    C
4 2
2
Abychom určili integrační konstantu C dosadíme sem pro rovník   0 . Podle (2.3.1) je levá
f   
strana (2.3.10) rovna nule a vzhledem k tomu, že tg

2
Vztah (2.3.7) nám určuje hodnotu   x, y  , máme tedy
 tg

4
 1 dostáváme C=0.
a 2 cos 2 
n2
Odtud dostáváme pro koeficient zkreslení mapy m x, y  vztah
  x, y  
(2.3.11)
31
m x, y  
1
  x, y 

n
a cos 
(2.3.12)
Pro zobrazení jsou rovněž dvě možnosti. Válec na který zobrazujeme protíná kulovou plochu
ve dvou podle rovníku symetrický položených rovnoběžkách, jejichž zeměpisné šířky jsou
   0 . Druhou možností, což je vlastně mezní případ první, že válec se kulové plochy

. Proto pro    0 musí být v obou případech koeficient
2
zkreslení roven 1, a tedy podle vztahu (2.3.12) je
n
(2.3.13)
1
a cos  0
dotýká na rovníku, kde  0 
odkud máme jednak
n  a cos  0
(2.3.14)
a koeficient zkreslení mapy můžeme psát ve tvaru
cos  0
(2.3.15)
m
cos 
Dosadíme-li nyní do rovnic (2.3.1), které definují obecné normální válcové zobrazení za f a n
ze vztahů (2.3.10) a (2.3.14) dostaneme zobrazení, kterému říkáme Mercatorovo zobrazení.
To je tedy dáno vztahy
x  xe  a  cos  0    0 
(2.3.16)
    
y  y e  a  cos  0 ln tg   
(3.3.17)
  4 2 
V těchto vztazích je možné libovolně volit hodnoty xe , y e které určují počátek
pravoúhlých souřadnic v rovině mapy. Do hodnoty y e je také zahrnuta integrační konstanta
ze vztahu (2.3.10). Ze vztahů (2.3.16) a (2.3.17) je vidět, že mění-li se  0 , pak dostáváme
mapy, které jsou si vzájemně podobné, přičemž konstanta úměrnosti je daná vzájemnými
poměry cos  0 . Koeficient délkového zkreslení Mercatorovy mapy je dán vztahem (2.3.15) a
je rovněž úměrný cos  0 .
Všimněme si ještě úhlu, který svírá povrchová přímka válce s osou země. Tento úhel je
označovaný v práci [3] jako  . Pro Mercatorovo zobrazení je tedy roven nule, je tedy   0
.V případě, že se kužel dotýká kulové plochy na rovníku je úhel  =  0 =0.
Na Mercatorovo zobrazení se můžeme dívat jako na mezní-limitní případ Lambertova
konformního zobrazení když úhel  necháme blížit k nule, tedy   0 . V tomto případě se
z kužele stává válec. Problémem je, jak tento limitní přechod správně interpretovat, neboť
vztahy které jsme odvodili pro Lambertova zobrazení, ztrácejí smysl. Pro zápis zobrazení
nemůžeme použít polární souřadnice, neboť obrazy poledníků jsou rovnoběžné. Vyjdeme-li
však z představy, že osa x vznikla limitním přechodem z kružnice, jejíž poloměr vzrostl
k nekonečnu a na této kružnici měříme úhly délkou oblouku, pak si vztahy (2.2.1) a (2.2.1)
vzájemně odpovídají. Protože pro odvození vztahů není možné použít polární souřadnice,
bylo třeba Mercatorovo zobrazení studovat odděleně.
32
4. Stereografické zobrazení
Stereografické zobrazení patří do skupiny azimutálních zobrazení. Na rozdíl od
předchozích dvou námi studovaných zobrazení, které byly definovány pomocí matematických
vztahů, se dá jednoduše geometricky popsat pomocí projekce.
Stereografická mapa pro zobrazení severní polokoule vznikne projekcí země (referenční
sféry) z jižního pólu na rovinu proloženou rovnoběžkou o severní šířce  0 .
Obrázek 2.3 Stereografická projekce
V případě, že  0  90 0 jde o projekci na rovinu tečnou k zeměkouli v severním pólu, což
je nejobvyklejší stereografická mapa. Označíme-li
M  a1  sin  0   a1  cos  0 
(2.4.1)
kde a je poloměr referenční sféry, můžeme při našem obvyklém označení (Obr. 2.3),
z trojúhelníku určeném body jižním pólem, průsečíkem roviny na kterou promítáme se
zemskou osou a obrazem bodu A na mapě vyjádřit pólovou vzdálenost r na mapě. Máme
r  M  tg

 a1  cos  0   tg

(2.4.2)
2
2
Zvolíme-li v rovině mapy soustavu kartézských souřadnic s počátkem v obrazu severního
pólu a záporná část osy y nechť splývá s obrazem poledníku o zeměpisné délce  0 , (Obrázek
2.4), pak rovnice zobrazení můžeme napsat ve tvaru
  
x  r sin   0   M tg    sin   0 
4 2
(2.4.3)
  
y  r cos  0   M tg    cos  0 
4 2
(2.4.4)
33
Obrázek 2.4 Vztah mezi souřadnicemi x, y a geografickými souřadnicemi 𝜆, 𝜑.
Abychom ukázali, že stereografické zobrazení je konformní a vypočetli koeficient zkreslení
mapy, vyjádříme ze vztahů (2.4.3) a (2.4.4) diferencováním
M
  
(2.4.5)
dx  
sin   0 d  M tg    cos   0 d

4 2

2
2 cos   
4 2
M
  
(2.4.6)
cos  0 d  M tg    sin   0 d

4 2

2
2 cos   
4 2
umocněním a sečtením předchozích dvou vztahů máme pro křivočaré souřadnice x, y, na
sféře
dy  
2
2








M
1
 a 2 d 2  a 2 cos 2  d2   M  ds 2
dx 2  dy 2  
 2a
 2a cos  
   
cos   



2

 4 2 

odkud máme, že


2

 2a
ds   cos  dx 2  dy 2
2
M
zobrazení je konformní a koeficient zkreslení mapy je s použitím (2.S1) roven
1  cos  0 1  cos  0
M
m x, y  




1  cos 
2a cos
2 cos
2
2
2


(2.4.7)
(2.4.8)
(2.4.9)
34
Na stereografickou projekci se můžeme dívat jako na zvláštní případ Lambertova zobrazení,
kdy povrchová polopřímka kužele svírá s osou kužele úhel  který je pravý, tedy   
a
2
kužel se redukuje na rovinu, která prochází rovnoběžkou o zeměpisné šířce  0 . Konstanta
K je v tomto případě rovna 1. Povrch kužele tedy vyplní celou rovinu. Položíme-li ve vztahu
(2.2.25) a (2.2.26) pro Lambertovo zobrazení K  1 dostaneme s použitím vztahu (2.1.51)
vztahy (2.4.2) a (2.4.9). Vztah (2.2.19) se redukuje na vztah     0 který je v podstatě
použit ve vztazích (2.4.3) a (2.4.4). Obdobně jako u Lambertova zobrazení jsou mapy, které
promítají zemský povrch na různé roviny kolmé k zemské ose procházející různými
rovnoběžkami o zeměpisných šířkách  0 podobné, tedy homotetické vzhledem k severnímu
pólu. Proto stačí tedy studovat a používat pouze „klasickou“ stereografickou projekci na
rovinu tečnou k zemské sféře v severním pólu.
Literatura:
[1] Baťka M.: Optimalizace geografie LAM Část 1 – Definice kartografických zobrazení a
jejich vlastnosti. Meteorologické zprávy. Ročník 55-2002. Číslo 1. s. 9-17.
[2] Baťka M.: Optimalizace geografie LAM Část 2 – Optimální volba parametrů Lambertova
konformního. Meteorologické zprávy. Ročník 55-2002. Číslo 2. s. 33-39.
[3] Budinský B. - Kepr B. : Základy diferenciální geometrie s technickými aplikacemi.
SNTL – Nakladatelství technické literatury, Praha 1970, 342 s.
[4] Fiala F. : Kartografické zobrazování.
Státní pedagogické nakladatelství 1952, (skriptum ), 240 s.
[5] Joly A.: Geographic parametres of ARPEGE / ALADIN
Interní zpráva Méteo France 1992, 24 s.
[6] Kreyszig E. : Differentialgeometrie. Akademische Verlagsgesellschaft,
Geest & Portik K. G. LEIPZIG 1957, 421 s.
35
3. Optimalizace geografie modelů na omezené oblasti a optimální
volba parametrů Lambertova konformního zobrazení
Úvodem
Tato kapitola rozšiřuje znalosti předchozí kapitoly, ale jejím hlavním úkolem je
studium otázky optimálního zobrazení pro model na zadané omezené oblasti. Tato kapitola je
zcela původní prací autora a byla publikována v Meteorologických zprávách [2]. Pro
snadnější čtení této kapitoly si nejdříve shrneme a doplníme nejdůležitější fakta, která budeme
potřebovat pro řešení úlohy optimalizace zejména Lambertovy konformní mapy. Zejména
rovnice definující Lambertovo konformní zobrazení odvozené a diskutované v předchozí
kapitole. Dále se budeme zabývat transformací geografických souřadnic na kartézské
souřadnice v rovině mapy, a rovněž transformace opačné. Bude též studován průběh
koeficientu zkreslení mapy jakožto funkce zeměpisné šířky. Nakonec se věnujeme hlavnímu
cíli práce – problému určení výpočetní oblasti a optimální volbou Lambertova zobrazení pro
danou oblast. Optimální volbou oblasti je míněno to, že délkové zkreslení mapy na námi
vybrané oblasti se mění co nejméně, tedy délkové zkreslení v celé oblasti je blízké jedné. Pro
hodnotu délkového zkreslení mapy rovnou jedné jsou délky na mapě i skutečné na zemi stejné
a obraz je nezkreslený. Je-li délkové zkreslení zobrazované plochy do roviny rovno jedné, pak
tato plocha je rozvinutelná. Koule však rozvinutelnou plochou není a my se proto musíme
s určitým zkreslením jejího obrazu v rovině smířit, ale chceme, aby bylo co nejmenší.
Požadavek, aby délkové zkreslení mapy ve výpočetní oblasti se měnilo co nejméně je důležitý
z několika důvodů. Jestliže se zkreslení v oblasti málo mění, odpovídá kroku v síti na mapě
přibližně stejně velký skutečný krok na zemi a skutečné rozlišení je na celé oblasti přibližně
stejné. Z hlediska numerické matematiky je tento požadavek důležitý pro efektivnost výpočtů
a také při formulaci semiimplicitního schématu. Ukážeme, že požadavek na malé zkreslení
mapy se dá pro oblast neobsahující severní pól splnit použitím optimálně zvolené Lambertovy
mapy. Zajímavé je, že Lambertova mapa s optimální volbou zobrazení se ukazuje být
efektivnější než stereografická mapa i v případě, kdy se oblast značně přibližuje k severnímu
pólu.
1. Lambertova konformní mapa
Pro definici popis a vlastnosti zobrazení potřebujeme určovat polohu bodů na sféře.
K tomu použijeme křivočaré (Gaussovy) souřadnice zeměpisnou délku  a zeměpisnou šířku
 . Místo zeměpisné šířky budeme raději používat pólovou úhlovou vzdálenost  , neboť
matematické vztahy jsou při jejím použití jednodušší. Pólová úhlová vzdálenost je doplňkem

zeměpisné šířky a tedy se zeměpisnou šířkou souvisí vztahem     .
2
Lambertovo konformní zobrazení je kuželové zobrazení, to znamená, že povrch koule se
zobrazuje na kuželovou plochu. Když tuto plochu rozvineme do roviny, pak vytvoří kruhovou
výseč se středem V. Bod V na Lambertově mapě je obrazem severního pólu.
Lambertovo konformní zobrazení je pak definováno následujícím způsobem:
36
Zobrazuje referenční sféru země do roviny tak, že poledníky zobrazuje jako svazek
polopřímek vycházejících z vrcholu V a rovnoběžky jako soustředné kružnice se středem
rovněž ve vrcholu V. Na sféře vybereme jeden poledník o zeměpisné délce  0 a jednu
rovnoběžku o zeměpisné šířce  0 , nebo o úhlové pólové vzdálenosti  0 , procházející
zobrazovanou oblastí. V rovině zvolíme soustavu polárních souřadnic tak, že úhel  měříme
od obrazu poledníku  0 a poloměr r jako vzdálenost od vrcholu rozvinutého kužele.
Lambertovo konformní zobrazení přiřazuje bodu o křivočarých souřadnicích
v rovině o polárních souřadnicích  , r  daný vztahy
  K    0 
   
 tg   
2
r    r0    
 0 
 tg  2  
  
 , 
bod
(3.1.1)
K
(3.1.2)
Dosadíme-li do tohoto vztahu    0 , vidíme že r  0   r0 . Význam hodnoty r0 je jasný, je to
poloměr obrazu rovnoběžky  0 v rovině mapy. O významu konstanty K pojednáme dále.
Vztah (3.1.2) přepíšeme stručněji
 
r  C  tg 
 2
K
(3.1.3)
kde jsme označili C konstantu
r0
C
(3.1.4)
K
 0 
 tg 
 2
První diferenciální forma, vyjadřující čtverec elementu délky, má na sférické ploše
v křivočarých souřadnicích x,y, tvar
2

1
ds 2    dx 2  dy 2
m

(3.1.5)
2
1
zde   jsou kovariantní složky metrického tenzoru a zobrazení je tedy konformní. Proto
m
mx, y  je délkové zkreslení mapy, nazývané také koeficientem zkreslení mapy. (Tedy pro
měření menších - lokálních vzdáleností je skutečná délka na zemi rovna délce na mapě dělené
délkovým zkreslením mapy.) Vypočteme-li koeficient zkreslení Lambertova konformního
zobrazení, podle předchozí kapitoly obdržíme
   
tg  
K r0   2  
m x, y   m  
a sin     0  
 tg  2  
  
K
(3.1.6)
37
Nyní požadujme, aby kužel, na který zobrazujeme, procházel rovnoběžkou  0 : To znamená,
že buďto v ní kužel sféru protíná, nebo pokud je tečný, se na této rovnoběžce sféry dotýká.
Proto na této rovnoběžce musí být délkové zkreslení mapy rovno 1, tedy m 0   1 .
Dosazením    0 do vztahu (3.1.6) obdržíme
Kr0  a sin  0
(3.1.7)
Pomocí vztahu (3.1.7) můžeme vzorec pro délkové zkreslení mapy přepsat do tvaru,
ze kterého je patrná nezávislost zkreslení mapy na poloměru zemské sféry
   
tg  
sin  0   2  
m  
sin     0  
 tg  2  
  
K
(3.1.8)
Nyní v rovině mapy přejdeme od polárních souřadnic ke kartézským souřadnicím x,y.
Systém pravoúhlých souřadnic zvolíme tak, že osa y splývá s obrazem poledníku  0 a je
orientována k severu, osa x je k němu kolmá. Počátek souřadnic zvolíme tak, aby vrchol
kužele měl souřadnici y rovnu y 0 . Přechod od polárních ke kartézským souřadnicím je pak
dán vztahy
x  r sin  ,
y  y0  r cos 
(3.1.9)
kde  a r jsou dány vztahy (3.1.1) a (3.1.2). Volíme-li počátek souřadnic v obrazu vrcholu V,
potom y 0  0 .
Obrácenou transformaci souřadnic tj. výpočet souřadnic  ,  ze souřadnic  x, y 
vyjádříme následovně. Umocněním a sečtením vztahů (3.1.9) dostaneme pro pólovou
vzdálenost na mapě, tedy polární souřadnici r
r  x 2   y0  y 
2
(3.1.10)
Ze vztahu (3.1.3) pak máme
1
 r K
  2arctg  
C 
což se při výpočtech realizuje podle vztahu
1
r
  2 arctg exp ln
K C
Pro úhel  máme
  arctg
x
y0  y
(3.1.11)
(3.1.12)
(3.1.13)
Předchozí vztah použijeme pro x  y0  y . Při obrácené nerovnosti použijeme vztah
 

2
 arctg
y0  y
x
(3.1.14)
ze vztahu (3.1.1) pak vypočteme
  0 

k
(3.1.16)
38
Je ještě užitečné, si vyjasnit význam konstanty K. Označme  úhel, který svírá
povrchová přímka kužele, na který zobrazujeme s jeho osou, která zároveň splývá s osou
země. (Obr. 2.1). Označme ještě  úhel, který svírá povrchová přímka s rovinou kolmou
k zemské ose. Úhel  je tedy úhlem doplňkovým k úhlu  a tedy platí  

2
 .
Z trojúhelníka ABV máme
sin   cos  
a cos  0
r0
(3.1.17)
Dosadíme-li sem ze vztahu (3.1.7) máme
(3.1.18)
K  sin   cos 
Tento vzorec nám dává jednoduchou interpretaci konstanty K.
Všimněme si ještě zvláštního případu, když kužel, na který zobrazujeme je tečný ke
sféře a dotýká se jí na rovnoběžce  0 . Pak trojúhelník SBV (Obr. 2.2) je pravoúhlý, neboť
poloměr SB je kolmý k tečně BV a je
  0 ,
  0
(3.1.19)
V případě kužele tečného ke sféře dostaneme pro konstantu K velmi jednoduchý vztah
K  sin  0  cos  0
(3.1.20)
Konstanta K nám vždy určuje velikost kruhové výseče, na kterou je sféra zobrazována. Tato
výseč je dána úhlem K  2 .
Zabývejme se ještě otázkou, čím je Lambertova mapa jednoznačně určena. Zadáním
zeměpisné délky základního poledníku  0 určíme na zemi oblast, kterou budeme zobrazovat.
Poledník  0 , který nám určuje směr os x, y, volíme ve středu zobrazované oblasti.
Uvažujeme-li zobrazení na tečný kužel tečný ke sféře, je Lambertova mapa již jednoznačně
určena volbou zeměpisné šířky  0 rovnoběžky dotyku. Tímto je také určena nejenom
konstanta K, neboť K  sin  0 , ale i poloměr kružnice r0 , která je obrazem rovnoběžky o
zeměpisné šířce  0 . Tento poloměr je dán vztahem (3.1.7)
a
a
(3.1.21)
cos  0  sin  0  a tg 0
K
K
Pro jednoznačné určení Lambertovy mapy, která zobrazuje sféru na tečný kužel, tedy stačí,
zadáme-li základní poledník  0 a zeměpisnou šířku  0 dotyku kužele na jehož povrch sféru
r0 
zobrazujeme.
2. Průběh délkového zkreslení mapy v závislosti na zeměpisné šířce.
Pro optimalizaci volby mapy je třeba studovat průběh funkce koeficientu zkreslení
mapy m  v závislosti na  . K tomuto účelu přepíšeme vztah (3.1.8) do stručnějšího tvaru.
Konstantu E zavedeme následujícím vztahem
sin  0
E 
K
 0 
tg


 2
a vztah pro výpočet délkového zkreslení mapy můžeme pak napsat stručněji
(3.2.1)
39
 
 tg 
2
m   E 
sin 
Derivováním tohoto vztahu dostaneme
K
(3.2.2)
K
 
 tg 
dm
2
(3.2.3)
m  
 E  2  K  cos  
d
sin 
Poznamenejme, že pro úpravu výsledku vypočtené derivace jsme použili trigonometrických
identit


sin 
(3.2.4)
2 cos 2  1  cos  a tg 
2
2 1  cos 
a následujícího vztahu, který jsme obdrželi derivováním
   K 
 tg  
 2  

 
 tg 
2
K
sin 
K
(3.2.5)
Průběh funkce délkového zkreslení mapy m  i její derivace budeme studovat na intervalu
0  

(3.2.6)
2
K
 
Proto bude 0  
a tedy odtud 0   tg   1 . Zlomek ve výrazu (3.2.3) bude
2 4
 2
kladný a znaménko derivace m bude tedy záviset pouze na znaménku rozdílu K  cos  ,
který je podle vztahu (3.1.18) roven cos   cos  . Protože funkce cos  je na intervalu (2.6)


klesající je na intervalu :
0     výraz K  cos  záporný a je tady m   0 a funkce m  je klesající,

výraz K  cos  kladný a je tedy m  >0 a funkce m  je rostoucí
2
Pro    , neboli    , nabývá funkce délkového zkreslení m  svého minima jehož
  
hodnotu označme mmin .
 
Nyní studujme chování funkce m  na koncích intervalu  0,  . Všimněme si, že
 2
pro severní pól kde je   0 není hodnota výrazu (3.2.2) definována. Proto studujme limitu
výrazu (3.2.2) v bodě 0 zprava, tedy pro   0  . K tomuto účelu přepíšeme pomocí (3.2.4)
výraz (3.2.2) do tvaru
 
 tg 
2
m   E 
sin 
K
E
1  cos  K
sin 1 K 
(3.2.7)
Protože čitatel zlomku 1 cos   >1 a pro   0  je sin 1 K   0 a tedy pro   0  je
K
m    . Je třeba poznamenat, že m  roste k nekonečnu velmi pomalu, neboť pro
40
oblasti ve středním pásu se K pohybuje okolo 0.8. Pro malé úhly můžeme sin  nahradit
obloukem  a jmenovatel je přibližně roven  1 K . Tato veličina pro 1  K  0.2 když

  0  konverguje k nule velmi pomalu. Pro   je funkce m  definována, dosazením
2
 
do (2.2) obdržíme m   E 2 .
2
Shrneme-li tedy průběh funkce zkreslení mapy m  v závislosti na úhlové pólové
vzdálenosti  máme: Procházíme-li hodnoty  funkce m  od severního pólu, kde m 
nabývá nekonečně velké hodnoty směrem k rovníku, pak na rovnoběžce    nabývá m 
svého minima a směrem k rovníku opět stoupá k hodnotě E 2 .
V případě, že kužel na který zobrazujeme je tečný k zemské sféře, je podle (3.2.1),
(3.2.2) a (3.1.19) mmin  m   m 0   1 . V případě kdy kužel protíná sféru země ve dvou
rovnoběžkách
1 a  0
přičemž
je
 1   0 , potom na těchto rovnoběžkách
je
m1   m 0   1 a platí, že  1     0 a mmin  1 .
Po zjištění předchozích skutečností teprve nyní můžeme formulovat, co znamená, že
délkové zkreslení mapy m se v dané oblasti mění co nejméně. Pro tento účel je proto třeba na
výpočetní oblasti nalézt nejmenší hodnotu m, kterou jsme označili mmin a největší hodnotu m,
kterou označme mmax . Pak proměnlivost délkového zkreslení můžeme kvantifikovat
poměrem mmax / mmin , který je vždy větší než 1. Tím, že pro posuzování proměnlivosti
zkreslení použijeme poměr, nikoliv rozdíl maximální a minimální hodnoty m, vyloučíme
závislost hodnocení na celkovém měřítku vzájemně podobných map. Úkolem je tedy, pro
danou oblast nalézt zobrazení tak, aby poměr mmax / mmin byl minimální. Mapu, která má
tuto vlastnost nazveme optimální Lambertovou mapou.
Na závěr ještě poznamenejme, že všechny Lambertovy mapy, které mají stejnou hodnotu
K, jsou si geometricky podobné. To plyne přímo ze vztahu (3.2.2) pro délkové zkreslení, kde
se vyskytuje výraz E, který je podle (3.2.1) pro celou oblast konstantní a tedy odpovídající si
délky na těchto mapách jsou úměrné.
3. Problém zadání výpočetní oblasti a stanovení optimálního geografického zobrazení
Při volbě výpočetní oblasti se setkáváme se dvěma problémy. Zaprvé jak a čím určit
oblast, kterou jsme si pro výpočet zatím přibližně vybrali a jaké zobrazení pro tuto oblast
zvolit. Na zobrazení klademe požadavek, aby zkreslení mapy se v námi zvolené oblasti
měnilo co nejméně, tedy poměr maximální a minimální hodnoty délkového zkreslení mapy
mmax / mmin byl co nejmenší.
Nyní se podívejme na problém určení výpočetní oblasti. Nejdříve si všimněme, jaké
vlastnosti na výpočetní oblast požadujeme. Z hlediska numerických metod je třeba, aby obraz
oblasti na mapě byl obdélníkem, jehož strany by byly rovnoběžné s osami pravoúhlých
souřadnic x,y, mapy. Tato okolnost vyplývá z konstrukce výpočetní sítě, kterou vytvářejí
průsečíky rovnoběžek s osami souřadnic. Délky stran obdélníka i krok v síti je ovšem měřen
na mapě a neodpovídá přesně skutečné délce na zemi. Na jiné mapě nejsou také strany
41
obdélníka částmi přímek, ale křivky. Je-li zobrazení zadáno, je možné oblast jednoduše určit
například pomocí pravoúhlých souřadnic mapy. To však není náš případ, neboť optimální
zobrazení teprve určíme podle zadané oblasti. Proto obdélníkovou oblast musíme zadat
nezávisle na použitém zobrazení, tedy nezávisle na mapě. K tomu použijeme zeměpisné
souřadnice. Směr stran obdélníka na mapě je určen směrem os x, y, systému souřadnic mapy a
k tomu stačí zadat pouze základní poledník  0 . Základní poledník, který budeme volit vždy
ve středu výpočetní oblasti, však nesouvisí s optimalizací mapy, která je dána výhradně
konstantou K, neboli úhlem alfa (či beta). Proto při zadávání oblasti můžeme tento poledník
zvolit před optimalizací zobrazení. Pro optimální zobrazení je přirozené předpokládat, což
také učiníme, že obdélníková oblast je symetrická vzhledem k obrazu poledníku  0 na mapě,
tedy vzhledem k ose y. Po volbě základního poledníku  0 můžeme obdélníkovou výpočetní
oblast určit různými způsoby.
Jedna z možností jak obdélníkovou oblast určit je že zadáme zeměpisné souřadnice
dvou rohových bodů ležících na úhlopříčce obdélníka, například souřadnice jihozápadního a
severovýchodního rohu oblasti. Bez zadání směru stran, tedy poledníku  0 , nebo jiných
dalších podmínek není obdélník oblasti určen, neboť obdélníků majících stejnou úhlopříčku je
nekonečně mnoho. Zadáme-li poledník  0 , nemůžeme již požadovat symetrii oblasti
vzhledem k tomuto poledníku, úloha je v tomto případě přeurčena. Požadujeme-li symetrii,
stačí, když zadáme místo obou pouze jednu ze zeměpisných souřadnic severovýchodního
rohu obdélníka. Zadání obdélníkové oblasti zeměpisnými souřadnicemi dvou úhlopříčně
položených rohů obdélníka má dvě nevýhody. Po volbě zeměpisných souřadnic jednoho
z rohů, například jihozápadního a poledníku  0 je velmi obtížné správně zvolit zeměpisné
souřadnice druhého rohu v tomto případě severovýchodního, abychom dostali oblast, jakou si
představujeme. K určení souřadnic severovýchodního rohu nám nepomůže ani jiná mapa,
neboť oblast na ní vypadá poněkud jinak. Druhým problémem je v tomto případě nesnadná
optimalizace parametrů Lambertovy mapy, neboť zeměpisné souřadnice nejsevernějšího bodu
oblasti jsou funkcí nejenom zeměpisných souřadnic úhlopříčných bodů obdélníka a
zeměpisné délky základního poledníku  0 , ale i základního parametru  0 (nebo jemu
ekvivalentnímu parametru, například K) Lambertova zobrazení.
Ukážu nyní jednoduchý a efektivní způsob zadání oblasti i výpočtu optimálních
parametrů Lambertova zobrazení. Zadáme zeměpisnou délku základního poledníku  0 . Dále
požadujeme, aby zadaná oblast byla symetrická vzhledem k poledníku  0 . Oblast pak zadáme
zeměpisnými souřadnicemi 1 , 1 
jihozápadního rohu oblasti a zeměpisnou šířkou  S
středu severní strany obdélníka. Tento bod má tedy zeměpisné souřadnice 0 ,  S  a je
průsečíkem severní strany obdélníka s obrazem poledníku  0 , neboli s osou Y. Tento bod je
též nejsevernějším bodem oblasti. Stačí tedy pouze čtyři údaje. Nejjižnějšími body oblasti
jsou oba rohové body jižní strany obdélníka. Volba výše zmíněných údajů pro určení
výpočetní obdélníkové oblasti je snadná a názorná. Můžeme k tomu použít některou z
běžných map, například Stereografickou mapu, Lambertovu mapu s jinými parametry aj. Při
volbě zmíněných údajů se nám také velmi zjednoduší výpočet optimálních parametrů
42
Lambertovy mapy, neboť přímo známe interval, ve kterém se pohybuje zeměpisná šířka  . Je
to interval 1     S . Pro pólovou úhlovou vzdálenost tedy interval  S     1 .
4. Optimalizace parametrů Lambertovy mapy na intervalu  S     1 .
Jednoduchý výpočet optimální hodnoty parametru K pro Lambertovu mapu vychází
z průběhu zkreslení mapy v závislosti na úhlové pólové vzdálenosti  . Jestliže nejmenší
hodnotu mmin nabývá m  v bodě    a bod, ve kterém toto minimum nabývá, leží uvnitř
oblasti a tedy v intervalu
 S     1 potom maximální hodnotu mmax může funkce m 
nabývat pouze v koncovém bodě intervalu. Intuice nám proto říká, že pro optimální volbu, tj.
aby poměr mmax / mmin byl co možná nejmenší, je třeba zvolit  tak, aby v koncových bodech
intervalu bylo zkreslení stejně velké, tedy aby platilo
m 1   m S 
(3.4.1)
Z tohoto předpokladu můžeme již optimální hodnotu  snadno spočítat. Dosazením do
vztahu (3.2.2) máme
 1 
 tg 
2
m 1   E 
sin  1
K
(3.4.1)
a obdobně
 S 
 tg

2 

m S   E
sin  S
K
(3.4.2)
dosadíme-li z předchozích vztahů do podmínky (3.4.1) máme
 S
 tg
2



1
 tg
2

K


  sin  S

sin  1


(3.4.3)
odkud pro parametr K dostáváme
K
ln sin  S / sin  1 
 
 
ln  tg S / tg 1 
2
 2
(3.4.4)
Zbývá nám ovšem ukázat, že takto zvolený parametr K je opravdu optimální a poměr
mmax / mmin , kde mmax maximální a mmin minimální hodnota funkce m  na intervalu
0   S     1 , pro K nabývá hodnotu minimální. Musíme tedy dokázat tvrzení:
K tomu, aby poměr mmax / mmin byl na intervalu 0   S     1 minimální a tedy K bylo
optimálně zvoleným parametrem Lambertovy mapy je nutné a stačí, aby m S   m 1  .
43
Než přikročíme k důkazu, všimněme si, že neměníme-li  a tudíž ani K  cos  a
měníme pouze  0 , že podle vztahů (3.2.1) a (3.2.2) dostáváme ve smyslu geometrie podobné
mapy, neboť zkreslení těchto map jsou si úměrná a tedy i délky na těchto mapách jsou si
úměrné. Mapy se proto liší pouze v celkovém měřítku, a poměr mmax / mmin zůstává stejný.
Můžeme proto bez újmy obecnosti studovat tento problém pro zobrazení na kužel tečný ke
sféře. V tomto případě je  0   , mmin  1 a místo důkazu, že hodnota  minimalizuje
hodnotu poměru mmax / mmin je třeba ukázat, že hodnota  0 minimalizuje hodnotu mmax .
Chceme-li nalézt optimální hodnotu  0 , pro kterou maximum mmax funkce m  na
intervalu  S     1 je minimální, je třeba studovat chování délkového zkreslení mapy,
jakožto funkce  0 v koncových bodech intervalu  S , 1 . K tomu účelu funkci (3.1.8) budeme
studovat jako funkci dvou proměnných  a  0 , a pouze těchto dvou proměnných. Proto do
vztahu (3.1.8) dosadíme za hodnotu K ze vztahu (1.20) cos  0
   
tg  
sin  0   2  
m , 0  
sin     0  
 tg  2  
  
cos 0
(3.4.5)
Tuto funkci studujme v koncových bodech    S a  1 intervalu jakožto funkci  0 .
Poznamenejme, že vzhledem ke svému průběhu, může funkce m jakožto funkce  nabývat
hodnot mmax jedině v koncových bodech intervalu a že tedy mmax musí být buďto m S  , nebo
m 1  .
Funkce m S , 0  je na intervalu  S   0   1 rostoucí od hodnoty 1 kterou nabývá pro
 0   S . Obdobně funkce m 1 , 0  je na intervalu  S   0   1 klesající k hodnotě 1 kterou
nabude pro  0   1 . Proto exaktní podmínka pro výpočet hodnoty  0 , pro kterou je mmax
minimální, je
m S , 0   m1 , 0 
(3.4.6)
Dosadíme-li do této rovnosti hodnoty ze vztahu (3.4.5) dostaneme vzhledem k tomu, že
K  cos 0  po vykrácení stejný vztah jako je (3.4.3) a tedy vzorec (3.4.4) opravdu řeší úlohu
minimalizace.
Nyní si uvedeme vztah pro výpočet poměru mmax / mmin , abychom viděli efektivnost
zvoleného zobrazení. Po výpočtu optimální hodnoty K ze vztahu (3.4.4) a  0 ze vztahu
 0  arccos K je
mmax
mmin
  S
tg 
sin  0   2
 m s , 0  
sin  S    0
 tg  2
 






K
(3.4.7)
44
5. Stereografická a Mercatorova mapa jako mezní případ Lambertovy mapy
Studujme Lambertovu mapu, která zobrazuje sféru na kužel, který protíná sféru na
rovnoběžce  0 . Dříve jsme již označili úhel, který svírá povrchová přímka tohoto kužele
s rovinou kolmou k ose kužele, jako úhel  . Necháme-li nyní  0 konstantní a úhel  budeme
zvětšovat až na hodnotu   90 0 , tedy na pravý úhel, pak konstanta Lambertovy mapy
dosáhne hodnoty K  sin   1 a kužel rozvinutý do roviny vyplní celou rovinu. Dá se
snadno ukázat, že tato mapa je stereografickou mapou, která vznikne projekcí sféry z jižního
pólu na rovinu proloženou rovnoběžkou o zeměpisné šířce  0 . Vzhledem k tomu, že K=1 se
vztahy pro stereografickou projekci značně zjednoduší. Úhly mezi poledníky budou na mapě
stejné jako na sféře. Vztah pro pólovou vzdálenost (3.1.2) s použitím vztahů (3.1.7) a (3.2.4)
můžeme napsat ve tvaru
r    a1  cos  0   tg

(3.5.1)
2
obdobně se zjednoduší i výraz (3.1.8) pro délkové zkreslení mapy. Opět s použitím vztahu
(3.2.4) máme
1  cos  0
(3.5.2)
m  
1  cos 
Z předchozího vztahu vidíme, že délkové zkreslení mapy je od pólu k rovníku rostoucí funkcí,
která z hodnoty m0  1  cos  0  / 2 roste přes hodnotu m 0   1 na rovnoběžce  0 až
k hodnotě m / 2  1  cos  0  . Pro posouzení, jak se pro tuto mapu chová podíl mmax / mmin
na naší obdélníkové oblasti je účelné zvolit  0   S , pak nejmenší hodnota délkového
zkreslení na obdélníku, je rovna m S   1 a podíl mmax / mmin je roven
mmax
1  cos  S
 m 1  
mmin
1  cos  1
(3.5.3)
Studujme nyní ještě dva limitní případy, které nám objasní vztah Lambertovy a
steregrafické mapy, zasahuje-li výpočetní oblast do blízkosti pólu. Zvolme obdélníkovou
oblast poledníkem  0 , jihozápadním bodem o zeměpisných souřadnicích 1 , 1 a
nejsevernějším bodem, bodem o souřadnicích 0 ,  S . Oblast nyní zvětšujme směrem
k severnímu pólu. Studujme tedy limitní přechod  S   2 . Zvolme nyní zeměpisnou šířku
dotyku kužele a sféry  0 postupně dvěma způsoby.
Nejdříve položme  0   S . Obdržíme tak Lambertovu mapu, pro kterou je
v nejsevernějším bodě délkové zkreslení
m S   1 a v nejjižnějším bodě, jihozápadním
rohu obdélníka, dostaneme pro hodnotu m1  podle vztahu (3.1.8) s použitím identity (3.2.4)
45
1 K
 sin  S 

m1   
 sin  1 
Pro  S   2 je K  sin  S  1 . Pro
K
 1  cos  S 

 
(3.5.4)
 1  cos  1 
hodnoty K blízké 1 je vztah (3.5.4) přibližně stejný
jako vztah (3.5.3) a pro hodnotu K  1 v něj spojitě přechází. I hodnota mmax / mmin , která je
rovna m1  je přibližně stejná jako pro stereografickou mapu. Délkové zkreslení monotónně
roste v celém intervalu  S , 1
a dostáváme mapy velice blízké ke stereografické mapě
vzniklé projekcí sféry z jižního pólu na rovinu proloženou rovnoběžkou o zeměpisné šířce  S
. V limitě tyto mapy přejdou ve stereografickou mapu vzniklou projekcí sféry z jižního pólu
na rovinu tečnou v pólu severním.
Zvolíme-li ovšem hodnotu  0 podle vztahu (3.4.4), tedy tak, aby podíl mmax / mmin byl
minimální, bude tento podíl mmax / mmin vždy menší než v předchozím případě nebo pro
stereografickou mapu a dostaneme tak vždy zobrazení z hlediska zkreslení o něco lepší. I
v tomto případě pro  S   2 konverguje K  1 a mapa se jako v předchozím případě
mění ve stejnou stereografickou mapu.
Zcela jinou mapu obdržíme, zmenšujeme-li úhel  k nule. V tomto případě přechází
kužel, na který zobrazujeme ve válec a vrchol V, obraz pólu se vzdaluje do nekonečna a
obrazy poledníků jsou rovnoběžné. V tomto případě musíme pro popis zobrazení použít přímo
kartézskou soustavu, místo soustavy polární. Dostaneme tak válcové zobrazení. Jestliže
požadujeme, aby toto zobrazení bylo konformní, obdržíme Mercatorovo zobrazení. Jeho
rovnice se odvodí obdobně jako pro zobrazení Lambertovo. Při zobrazení rovníkové oblasti se
délkové zkreslení Lambertovy i Mercatorovy mění jen málo a nenastávají žádné problémy.
6. Zadání obdélníkové oblasti a volba optimální Lambertovy mapy - výsledek
Úlohu řešíme pro obdélníkovou oblast, která je symetrická vzhledem k obrazu
základního poledníku, který splývá s osou Y. Pro určení polohy oblasti a optimální volby
parametru K Lambertovy mapy zadáme následující čtyři údaje :
zeměpisnou délku základního poledníku  0 ,
zeměpisné souřadnice jihozápadního rohu obdélníka 1 , 1 (nebo 1 , 1 )
zeměpisnou šířku  S (nebo  S ) středu severní strany obdélníka, neboli průsečíkem
severní strany obdélníka s poledníkem  0 . Tento bod označme S, má tedy souřadnice 0 ,  S .
Nyní postupujeme následovně:
Ze vztahu (3.4.4) a (3.1.20) vypočteme parametry optimální Lambertovy mapy K a  0
Ze vztahů (3.1.3) a (3.1 .4) vypočteme pólovou vzdálenost r1 jihozápadního rohu a stejně tak
pólovou vzdálenost rS bodu S , která se záporným znaménkem je souřadnicí y obou severních
rohů obdélníka. Ze vztahu   K 1  0  vypočteme úhel, který na mapě svírá poledník 1
procházející jihozápadním rohem s poledníkem základním  0 . Pravoúhlé souřadnice
jihozápadního rohu pak vpočteme ze vztahů x1  r1  sin  , y1  r1  cos  . Ostatní pravoúhlé
souřadnice všech rohů obdélníka vyplývají ze symetrie.
46
Nakonec zvolíme krok v síti, nebo počet uzlových bodů v jednom ze směrů. Rozměry
oblasti pak zaokrouhlíme, nebo jinak opravíme na celé násobky kroku sítě. Závěrem opravíme
polohu jihozápadního rohu oblasti podle rozměrů sítě. Polohu středu severní strany je lépe
neměnit, neboť blíže k pólu se délkové zkreslení mění rychleji.
7. Srovnání délkového zkreslení stereografické a Lambertovy mapy a jejich možností
Srovnání provedeme pro konkrétně zvolenou oblast mapy. Abychom ukázali možnosti
Lambertovy mapy, zvolíme pro studium větší oblast, která se extremně přibližuje k severnímu
pólu. Je to přibližně oblast, na které byl na přelomu osmdesátých a devadesátých let počítán
předpovědní model v Československu. Zeměpisné souřadnice, které obdélníkovou oblast
určují, volíme následovně. Základní poledník volíme Greenwichský, tedy  0 =0. Souřadnice
jihozápadního rohu obdélníka nechť jsou 1  330 a 1  230 zeměpisnou šířku středu
severní strany volíme úmyslně velmi blízko pólu  S  89 0 , tedy pouze jeden úhlový stupeň,
což představuje 111 km. Pro tuto oblast vychází zeměpisná šířka dotyku kužele  0  66.36 0 .
Při této volbě vychází poměr maximální a minimální hodnoty zkreslení pro Lambertovu mapu
1.250, zatímco pro stereografickou mapu 1.437. Tento výsledek ilustruje skutečnost, že
neobsahuje-li oblast přímo severní pól, je vždy lepší optimálně vybraná Lambertova mapa.
Zajímavý je také průběh jak se mění délkové zkreslení mapy m , 0  v krajních bodech
tohoto intervalu, tedy pro hodnoty   10 a   67 0 když  0 bude probíhat interval



10   0  67 0 . Zkreslení m 10 , 0 roste od hodnoty 1 až k hodnotě 9.718, zatímco m 67 0 , 0

klesá z hodnoty 1.437 na hodnotu 1. Stejnou, tedy i optimální hodnotu 1.251 nabývají tyto
funkce pro  0  23.64 0 .
Poznamenejme, že ani pro zobrazení celé polokoule není stereografická mapa ideální.
Vlivem zkreslení stereografické mapy odpovídá 100 km na mapě v oblasti severního pólu,
rovněž 100 km na zemi, zatímco v oblasti rovníku 100 km na mapě odpovídá ve skutečnosti
na zemi pouze 50 km. Proto při použití sítě s konstantním krokem je popis proměnných
v rovníkové oblasti zbytečně podrobný, což zvyšuje počet uzlových bodů a tím prodlužuje a
zdražuje výpočet.
8. Závěry
Z předchozích úvah můžeme pro optimální výběr konformní mapy udělat následující
závěry:
1. Chceme-li zobrazit obdélníkovou oblast na jedné z konformních map: stereografické
projekci, Lambertově kuželovém zobrazení nebo Mercatorově válcovém zobrazení
v normální poloze, (osa kužele, válce splývá s osou země), tak, aby poměr maximální a
minimální hodnoty koeficientu zkreslení mapy byl co nejmenší, je situace následující:
Pro obdélníkovou oblast na severní (resp. jižní) polokouli, která neobsahuje pól je nejlepší
Lambertova mapa s optimálním výběrem rovnoběžky, na které se kužel dotýká povrchu
47
Země. Zeměpisnou šířku této rovnoběžky dostaneme z podmínky, že zkreslení mapy je
nejsevernějším a nejižnějším bodu oblasti stejné – vztah (3.4.4).
2. Pro určení polohy obdélníkové oblasti je nejlépe vyjít z volby nejsevernějšího bodu oblasti,
tj. průsečíku severní strany s poledníkem, který prochází středem oblasti a určuje směr stran
obdélníka. Ten určíme pomocí zeměpisných souřadnic. Máme tak přímou kontrolu
vzdálenosti oblasti od severního pólu, což je důležité, přibližuje-li se oblast do blízkosti pólu.
Polohu tohoto bodu po volbě mapy již raději neměníme, protože zkreslení mapy se zde mění
rychleji. Chceme-li velikost oblasti upravit bez změny mapy, provedeme jí změnou polohy
jihozápadního (resp. jihovýchodního) rohu obdélníka. Zde se zkreslení mapy mění málo a
tato změna má malý vliv na volbu optimálního parametru Lambertovy mapy. Optimální volbu
pak můžeme ještě doladit opakováním výpočtu volby optimální mapy.
3. Chceme-li z nějakých důvodů použít obdélníkovou oblast, která není symetrická vzhledem
k základnímu poledníku, provedeme výběr optimální mapy pro symetrickou oblast, která
vznikne zvětšením menší části posunutím jedné ze stran rovnoběžných s obrazem základního
poledníku tak, aby vzniklá oblast byla symetrická. Protože výběr optimální Lambertovy mapy
závisí pouze na zeměpisné šířce nesevernějšího a nejjižnějšího bodu oblasti, zmenšíme-li
symetrickou obdélníkovou oblast na jedné ze stran, optimální výběr mapy se nezmění.
Literatura
[1] Baťka M.: Optimalizace geografie LAM 1 - Definice kartografických zobrazení a jejich
základní vlastnosti. Meteorologické zprávy. Ročník 55-2002. Číslo 1.
[2] Baťka M.: Optimalizace geografie LAM Část 2 – Optimální volba parametrů Lambertova
konformního. Meteorologické zprávy. Ročník 55-2002. Číslo 2. s. 33-39.
48
4. Rovnice pro změnu hybnosti a tradiční aproximace
V první kapitole „Rovnice, jimiž se řídí pohyb atmosféry“ jsme formulovali zákon
zachování hybnosti pouze pro kartézský inerciální systém souřadnic. Za takovýto systém
můžeme například považovat systém pravoúhlých souřadnic, jehož počátek leží ve středu
zemské sféry a jehož osy směřují pod stále stejnými úhly ke hvězdám. Tento systém nerotuje
se Zemí otáčející se kolem své osy. Nyní se budeme zabývat tvarem rovnic v souřadném
systému pevně spojeného s rotující Zemí a nejenom to, budeme se věnovat také
zjednodušením rovnic vyplývající ze skutečnosti, že atmosféra tvoří na povrchu Země
k jejímu poloměru relativně pouze tenkou vrstvu. Zjednodušení rovnic vycházející z této
skutečnosti nazval Norman Philips „tradičními aproximacemi“. Tyto aproximace vedou
k metrickému zjednodušení a zahrnutí odstředivé síly vznikající při rotaci Země do síly
zemské tíže. Síla zemské tíže je pokládána za konstantní, nezávisející na zeměpisné šířce, a
její směr je vždy kolmý k povrchu Země. Pro formulaci rovnic v souřadné soustavě rotující
společně se zemí je výhodné použít vektorový zápis rovnic hybnosti. Všimneme si navíc ještě
jedné zajímavosti, a to formulace rovnic hybnosti pro semi-Lagrangeovská schémata, kde
Coriolisovy členy jsou zahrnuty do individuální změny hybnosti. To nám do jisté míry také
objasní mechanizmy spojené s Coriolisovou silou.
4.1. Rovnice pro změnu hybnosti ve vektorovém tvaru
Vektory v pevné a rotující soustavě souřadnic
Pro studium vztahu mezi vyjádřením vektoru v pevné a rotující soustavě souřadné
vycházíme z důležité vlastnosti vektoru, která spočívá v tom, že vektor je dán pouze svou
velikostí a směrem. Není tedy vázán na pevné místo v prostoru, což je základní vlastností
bodů v prostoru a odtud i skalárních veličin. Studujeme zde tedy tak zvané volné vektory.
Důsledkem této vlastnosti je, invariantnost složek vektoru vůči translaci souřadné soustavy.
To znamená, že provedeme-li rovnoběžné posunutí soustavy souřadnic, složky vektoru se
nezmění a popisují nám stále stejný vektor. Bez újmy obecnosti proto pro názorné odvození
vztahů mezi souřadnými soustavami můžeme tyto soustavy studovat tak, že počátky obou
soustav umístíme do jednoho bodu a to do libovolného bodu na ose otáčení. Při rotaci
soustavy souřadnic se samozřejmě složky vektoru mění, i když studujeme stále stejný vektor.
Z invariantnosti vektoru vůči translaci souřadné soustavy ovšem také vyplývá, že si
můžeme tuto stejnou soustavu představit také tak, že počátek této rotující soustavy je umístěn
do pevně zvoleného bodu na zeměkouli, otáčí se zároveň se zemí a že osa x směřuje na
východ, osa y k severu a osa z kolmo k povrchu země a je kladně orientována směrem
vzhůru. Takováto soustava souřadnic se nazývá lokální soustava souřadnic, nebo též
standardní soustavou. Můžeme ji použít pro studium meteorologických jevů v okolí počátku
lokálního souřadného systému na Zemi. Použití lokálního systému je možné, když chyba
nahrazení zakřiveného povrchu Země tečnou rovinou procházející počátkem lokální soustavy
souřadnic je vzhledem k chybě řešeného problému malá. Lokální soustava souřadnic je
používána především v dynamické meteorologii. Pro studium všeobecné cirkulace atmosféry
49
v meteorologických modelech, které se vždy týkají dějů velkého (synoptického) měřítka na
velké oblasti, nebo i celém povrchu Země však použití lokální soustavy souřadnic nestačí.
Vektor rotace
Při pohybu pevného tělesa otáčejícího se podél pevné osy otáčení (rotace) konají
všechny jeho body s výjimkou pevných bodů na ose rotace kruhový pohyb se společnou
úhlovou rychlostí Ω = 𝑑𝜆⁄𝑑𝑡 . Tento pohyb můžeme popsat vektorem úhlové rychlosti 𝛀,
jehož velikost je 𝛺 a jeho směr je shodný s osou otáčení. Rychlost v, libovolného bodu tělesa
otáčejícího se kolem osy, můžeme vyjádřit jako 𝐯 = 𝛀 × 𝐫 kde vektor r je průvodič vedený
z jednoho pevného bodu na ose otáčení do otáčejícího se bodu. Je to zřejmé z toho, že vektor
v je kolmý k rovině určené dvojicí vektorů 𝛀 a r. Aby tento výraz byl správný, orientace
vektoru 𝛀 je zvolena tak, aby vektory 𝛀, r, v v tomto pořadí tvořily pravotočivý systém.
Délka vektoru v, je dána vztahem 𝑣 = 𝜔𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃, kde 𝜃 je úhel mezi vektory r a 𝛀 . Je-li
počátek průvodiče zvolen ve středu zemské sféry je úhel 𝜃 pólová úhlová vzdálenost. Výraz
𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 je roven kolmé vzdálenosti průvodiče r od osy otáčení. Z toho je vidět, že 𝛺 je
skutečně úhlová rychlost otáčení.
Totální derivace vektoru (individuální časová změna) v rotující soustavě souřadnic.
Než začneme výklad tohoto odstavce o vztahu individuální časové změny částice
v inerciální a rotující soustavě souřadnic chci zdůraznit, že pro tento odstavec je zcela
nepodstatné jaký má rotující Země tvar, tedy geoidu nebo rotačního elipsoidu, který se
používá v geodézii, nebo referenční koule, používané obvykle v meteorologii.
Začneme studiem libovolného se svými derivacemi spojitého vektorového pole A.
Vektor A je funkcí času t a tří prostorových ortogonálních souřadnic x, y, z. Inerciální, nebo
též absolutní kartézský systém souřadnic zvolíme tak, že počátek souřadnic leží na zemské ose,
která je osou rotace a směr souřadnicových os zůstává stejný vzhledem ke hvězdám. Jinak
směr jeho os může být zvolen libovolně. Jestliže i, j, k, jsou příslušné jednotkové vektory na
osách souřadnic, můžeme vektor A psát ve tvaru
𝐀 = 𝐴𝑥 𝐢 + 𝐴𝑦 𝐣 + 𝐴𝑧 𝐤
(4.1.1)
kde 𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧 jsou složky vektoru A vzhledem k osám x, y, z. Nechť x‘ ,y‘, z‘ jsou kartézské
souřadnice v soustavě, která vznikne ze soustavy x, y, z tak, že jí necháme rotovat společně se
zemí a otáčí se tedy kolem zemské osy úhlovou rychlostí Ω. Počátky obou soustav jsou stejné.
Nechť i‘, j‘, k‘ jsou jednotkové vektory na osách souřadnic x‘, y‘, z‘, pak vektor A můžeme
psát také ve tvaru
𝐀 = 𝐴𝑥′ 𝐢′ + 𝐴𝑦 ′ 𝐣′ + 𝐴𝑧 ′ 𝐤′
(4.1.2)
Kde 𝐴𝑥′ , 𝐴𝑦′ , 𝐴𝑧′ jsou složky vektoru A v rotující soustavě souřadnic x‘, y‘, z‘. Při výpočtu
totální derivace musíme vzít v úvahu, že směry jednotkových vektorů i‘, j‘, k‘ se mění
s časem a proto aplikujeme-li totální diferenciál na vztah (4.2) dostaneme
𝑑𝐀 𝑑𝐴𝑥′ ′ 𝑑𝐴𝑦′ ′ 𝑑𝐴𝑧′ ′
𝑑𝐢′
𝑑𝐣′
𝑑𝐤′
=
𝐢 +
𝒋 +
𝐤 + 𝐴𝑥′
+ 𝐴𝑦′
+ 𝐴𝑧′
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(4.1.3)
První tři členy pravé strany rovnice tvoří totální derivaci vektoru A vzhledem k rotující
soustavě souřadnic x‘, y‘, z‘, kterou označme
𝑑′
𝑑𝑡
. Protože na jednotkové vektory i‘, j‘, k‘ se
50
můžeme dívat jako na průvodiče s počátkem na ose rotace, jsou rychlosti i‘, j‘, k‘ dány rotací
a platí
𝑑𝐢′
𝑑𝐣′
𝑑𝐤′
= 𝛀 × 𝐢′ ,
= 𝛀 × 𝐣′ ,
= 𝛀 × 𝐤′
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(4.1.4)
Kde 𝛀 je vektor který definuje rotaci vzhledem k ose Země. Poslední tři členy pravé strany
rovnice (4.1.3) zapsány vektorově nám dají 𝛀 × 𝐀. Zde jsme použili následující vztahy platné
pro vektorový součin: 𝐀 × 𝐁 = −𝐁 × 𝐀, násobení vektorového součinu skalárem
𝜆(𝐀 × 𝐁) = (𝜆𝐀) × 𝐁 = 𝐀 × (𝛌𝐁) a distributivní zákon 𝐀 × (𝐁 + 𝐂) = 𝐀 × 𝐁 + 𝐀 × 𝐂.
Rovnice (4.1.3), která nám dává vztah mezi totální derivací v inerciální a rotující soustavě
má tvar
𝑑𝐀 𝑑′𝐀
=
+𝛀×𝐀
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(4.1.5)
Předchozí vztah platí pro libovolné vektorové pole A. Všimněme si, že v předchozím vztahu
(4.5) je čárkou indikující rotující soustavu označena pouze absolutní derivace, neboť vektor je
geometrický objekt a nezávisí na soustavě souřadnic.
V meteorologii se však všechny výpočty provádějí v soustavě souřadnic pevně spojené
s rotující Zemí, proto nyní změníme označení totálních derivací a totální derivaci v absolutní,
tedy inerciální soustavě označíme
čárky, tedy
𝑑𝐀
𝑑𝑡
𝑑𝑎 𝐀
𝑑𝑡
a totální derivaci v rotujícím systému souřadnic bez
. Vztah (4.5) nabude obvyklý tvar
𝑑𝑎 𝐀 𝑑𝐀
=
+𝛀×𝐀
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(4.1.6)
Aplikujeme-li nyní předchozí vztah a na vektor A za který zvolíme rádius-vektor r
definovaný vztahem
𝐫 = 𝑥𝐢 + 𝑦𝐣 + 𝑧𝐤 = 𝑥 ′ 𝐢′ + 𝑦 ′ 𝐣′ + 𝑧′𝐤′
(4.1.7)
pak rovnice (4.1.5) nabude tvaru
𝑑𝑎 𝐫 𝑑𝐫
=
+𝛀×𝐫
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(4.1.8)
Protože
𝑑𝑎 𝐫
= 𝐯𝐚
𝑑𝑡
𝑑𝐫
je vektorem rychlosti částic vzhledem k inerciální soustavě, který jsme označili va a 𝑑𝑡 = 𝐯 je
vektorem rychlosti částic vzhledem k rotující soustavě, tedy vzhledem k povrchu země, máme
𝐯𝑎 = 𝐯 + 𝛀 × 𝐫
(4.1.9)
Což můžeme jednoduše interpretovat tak, že vektor rychlosti vzhledem k inerciální, nebo též
absolutní soustavě souřadnic va je součtem vektoru rychlosti vzhledem k Zemi v, (tedy
vzhledem k rotující soustavě), a vektoru rychlosti dané rotací v bodě, kde se částice nachází.
51
Vektor rychlosti rotace je přirozeně brán vzhledem k inerciální soustavě, vzhledem k Zemi je
samozřejmě nulový.
Aplikujeme-li rovnici (4.1.5) platící pro libovolný vektor na vektor rychlosti vzhledem k
absolutní inerciální soustavě V, obdržíme obdobný vztah pro zrychlení
𝑑𝑎 𝐯𝑎 𝑑𝐯𝑎
=
+ 𝛀 × 𝐯𝑎
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(4.1.10)
Dosadíme-li do pravé části rovnice (4.1.10) za v ze vztahu (4.9) obdržíme
𝑑𝑎 𝐯𝑎
𝑑
𝑑𝐯
= (𝐯 + 𝛀 × 𝐫) + 𝛀 × (𝐯 + 𝛀 × 𝐫) =
+ 2𝛀 × 𝐯 + 𝛀 × (𝛀 × 𝐫)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(4.1.11)
kde jsme použili skutečnosti, že vektor rotace 𝛀 je konstantní, a platí
𝑑
𝑑𝐫
(𝛀 × 𝐫) = 𝛀 ×
=𝛀×𝐯
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(4.1.12)
Aplikujeme-li rovnici (4.1.5) platící pro libovolný vektor na vektor rychlosti vzhledem k
absolutní inerciální soustavě v, obdržíme obdobný vztah pro zrychlení
proto vztah (4.1.11) můžeme psát ve tvaru
𝑑𝑎 𝐯 𝑑𝐯
=
+ 2𝛀 × 𝐯 + 𝛀 × (𝛀 × 𝐫)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
V předchozí rovnici je
𝑑𝑎 𝐯
𝑑𝑡
zrychlení vzhledem k inerciální soustavě, zatímco
𝑑𝐯
𝑑𝑡
(4.1.13)
je zrychlení
vzhledem k rotující soustavě spojené se Zemí. Na rozdíl mezi těmito dvěma výrazy se
můžeme dívat jako na výslednici virtuálních sil vztažených na jednotku hmotnosti, které
musíme brát v úvahu v rotujícím systému souřadnic i když žádné reálné síly na částice
nepůsobí. Člen 2𝛀 × 𝐯 nám představuje Coriolisovo zrychlení a člen 𝛀 × (𝛀 × 𝐫) dobře
známé odstředivé zrychlení. Abychom tuto skutečnost ještě více objasnili, označme R
projekci vektoru r na normálu k ose otáčení, pak podle obecného vztahu pro vektorový součin
𝐚 × (𝐛 × 𝐜) = 𝐛(𝐚 ∙ 𝐜) − 𝐜(𝐚 ∙ 𝐛)
Máme
𝛀 × (𝛀 × 𝐫) = 𝛀 × (𝛀 × 𝐑) = 𝛀(𝐑 ∙ 𝛀) − 𝐑(𝛀 ∙ 𝛀) = −Ω2 𝐑
(4.1.14)
kde  je velikost vektoru 𝛀 , neboli úhlová rychlost rotace Země. Ta je rovna
2𝜋/délka hvězdného dne = 𝛺 = 7.292 115 9 ∗ 10−5 𝑠𝑒𝑐 −1,
Kde délka hvězdného dne = 86 164.090 54 sec.
Odstředivé zrychlení se obvykle zahrnuje do tíhového zrychlení Země, které se tedy skládá z
tíhového zrychlení země g*, které by vyvolávala gravitační síla Země, kdyby se neotáčela.
Tíhové zrychlení rotující Země je tedy rovno součtu
𝐠 = 𝐠 ∗ + Ω2 𝑹
(4.1.15)
Velikost tohoto vektoru stačí pro meteorologii považovat za konstantní a můžeme pro ni
zvolit hodnotu normálního zrychlení, které je rovno g  9.80665 ms 2 . Tato hodnota
tíhového zrychlení se používá v definici soustavy technických jednotek a je rovna zrychlení
52
zemské tíže na 45 stupni severní šířky při hladině moře. Zaokrouhlujeme ji obvykle na
g  9.8 ms 2 . Za předchozího zjednodušení budeme rovněž předpokládat, že vektor g míří do
středu Zeměkoule. Člen 𝛀 × (𝛀 × 𝐫) v rovnici (4.1.13) je pak zahrnut do síly zemské tíže a
v rovnici (4.1.13) jej vynecháváme. Rovnici (4.1.13) píšeme pak ve tvaru
𝑑𝑎 𝐯 𝑑𝐯
=
+ 2𝛀 × 𝐯
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(4.1.13a)
Důsledky této aproximace je však třeba více vysvětlit, což provedeme dále.
Rovnice pro změnu hybnosti v rotující souřadné soustavě
Druhý Newtonův zákon je obvykle formulován jako zákon zachování hybnosti. Tento
zákon je matematicky formulován rovnicemi hybnosti (anglicky momentum equations).
Protože hybnost je vektorová veličina, můžeme v třírozměrném prostoru, ve kterém žijeme,
tento zákon také zapsat pomocí tří rovnic pro jednotlivé složky vektoru hybnosti.
Když pro formulaci rovnic změny hybnosti použijeme výše zavedené označení,
dostaneme rovnice v obvyklém tvaru používaném v meteorologii. Hodnoty proměnných
v rotujícím sytému již nebudeme označovat čárkou a hodnoty v absolutním inerciálním
systému označme indexem a, tyto hodnoty stejně nebudeme v dalším potřebovat.
Druhý Newtonův zákon můžeme tak v inerciální soustavě napsat symbolicky ve tvaru
𝑑𝑎 𝐯𝑎
= ∑𝐅
𝑑𝑡
(4.1.16)
Levá strana zde reprezentuje změnu vektoru rychlosti v absolutní inerciální soustavě, tedy
vlastně změnu hybnosti částic vztaženou k jednotkové hmotnosti. Pravá strana reprezentuje
součet všech reálných sil působící na částice vztažených k jednotkové hmotnosti. Rovnice pro
změnu hybnosti můžeme s pomocí vztahů (4.1.13), (4.1.14) a (4.1.15) tedy psát ve tvaru
𝑑𝑎 𝐯 𝑑𝐯
=
+ 2𝛀 × 𝐯 = 𝐏 + 𝐠 + 𝐅
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(4.1.17)
kde P je síla tlakového gradientu, g síla zemské tíže a F sílu vnitřní vazkosti vztažené na
jednotku hmotnosti.
Aproximace spojené se zemskou tíží
Na všechny hmotné objekty nacházející se v blízkosti zemského povrchu rotující spolu
se Zemí působí síla zemské tíže. Tato síla zemské tíže se skládá ze dvou složek. Jednou ze
složek je gravitační síla Země podle známého Newtonova zákona. Druhou složkou je
odstředivá síla, způsobená rotací Země a tedy i rotací těles samotných, které se pohybují spolu
se zemským povrchem. Kdyby Země nerotovala, měla by teoreticky tvar koule. Vzhledem
k odstředivé síle rotace nemá Země tvar koule, ale geoidu.
V atmosféře dominantním potenciálním polem působícím na atmosféru je gravitační
síla Země. Poznamenejme, že odstředivou sílu vzniklou rotací Země vyjádřenou členem
53
−𝛀 × (𝛀 × 𝐑) můžeme psát ve tvaru
1
2
∇Ω2 R2 a kombinujeme tento člen s gravitačním
potenciálem Země   abychom dostali geopotenciál  ,
1
Φ = Φ ∗ − 2 Ω2 𝑅 2
(4.1.18)
a označme 𝐠 = −∇Φ vektor zemské tíže.
Nehomogennost zemské kůry i další odchylky způsobují, že plocha konstantního 
není přesně povrchem rotační plochy ideálního geoidu. My ovšem ignorujeme tyto relativně
malé rozdíly a plochu konstantního geopotenciálu na povrchu geoidu budeme považovat
plochu vzniklou rotací. Plocha povrchu geoidu je tedy plochou konstantního geopotenciálu.
Tíhové pole země, které je dáno gradientem geopotenciálu, dobře souhlasí s pozorovaným
skutečným tíhovým polem Země. Ignorujeme také rozdíl mezi geografickou a geocentrickou
zeměpisnou šířkou. Nyní podle N. Phillipse (1973) definujeme souřadnice na základě
tíhového pole Země. Nejdříve definujeme ortogonální křivočaré souřadnice, ty jsou dány
následujícími plochami
𝜉1 = 𝜆 =
východní délku – tvoří poloroviny vycházející se zemské osy, jsou to tedy
poloroviny poledníků
𝜉2 =
rotační plochy kolmé k ploše stejného geopotenciálu, vytvoří se rotací svislé
polopřímky v daném bodě geoidu kolem zemské osy
𝜉3 = Φ
plochy stejného geopotenciálu
Φ0 je hodnota geopotenciálu Φ na povrchu referenčního geoidu, což je „průměrná hladina
moře“. Naše volba souřadnic je diktována přáním, aby se zemská tíže vyskytovala pouze
v jedné složce pohybových rovnic. To je velmi důležité! My jednoduše používáme
geocentrické sférické souřadnice, přestože vzdálenost od středu Země se pohybuje od 6 357
km na pólech k 6 378 km na rovníku a souřadnicová plocha traverzuje výškově atmosférou 22
km. Takováto gravitační síla by byla dominantní silou v rovnicích horizontálních složek
hybnosti. Takovýto systém je samozřejmě komplikovaný, neboť metrické (Lameovy)
koeficienty ℎ1 , ℎ2 , ℎ3 v přírůstku délky
(𝑑𝑙)2 = ℎ1 2 (𝑑𝜉1 )2 + ℎ2 2 (𝑑𝜉2 )2 + ℎ3 2 (𝑑𝜉3 )2
(4.1.19)
jsou komplikovanými funkcemi 𝜉1 , 𝜉2 , 𝜉3
Systém souřadnic zjednodušíme následujícím způsobem. Definujeme referenční sféru,
jejíž poloměr a je průměrnou hodnotou poloměru Země a = 6 371 km a pro libovolný bod P
atmosféry, jehož souřadnice jsou 𝜉1 , 𝜉2 , 𝜉3 přiřadíme sférické souřadnice 𝜆𝑠 , Φ𝑠 , 𝑟𝑠 , že
𝜆𝑠 = 𝜆 = 𝜆𝑠 (𝜉1 )
(4.1.20)
Φ𝑠 = Φ = Φ(𝜉2 )
(4.1.21)
Φ 𝑑Φ
𝑟𝑠 = 𝑎 + ∫Φ
0
𝑔̅(Φ)
= 𝑟𝑠 (𝜉3 )
(4.1.22)
kde 𝑔̅ (Φ) je průměrná hodnota g na ploše konstantního Φ a integrál je vyhodnocován při
konstantním 𝜉1 , 𝜉2 . Protože 𝜆𝑠 → 𝜉1 , Φ𝑠 → 𝜉2 , 𝑟𝑠 → 𝜉3 zůstává 𝜆𝑠 , Φ𝑠 , 𝑟𝑠 ortogonálním
systémem. Protože g se příliš nemění je vzdálenost 𝑟𝑠 stále rovna geometrické výšce nad
hladinou moře pokud bod P není příliš vzdálen od referenčního geoidu.
Nyní tedy připustíme, že jak jsme předpokládali, můžeme metrické koeficienty
aproximovat sférickým systémem tedy
54
(𝑑𝑙)2 = 𝑟𝑠 2 𝑐𝑜𝑠 2 Φ𝑠 (𝑑𝜆𝑠 )2 + 𝑟𝑠 2 (𝑑Φ𝑠 )2 + (𝑑𝑟𝑠 )2
(4.1.23)
neboli
ℎ1 = 𝑟𝑠 cos Φ𝑠 , ℎ2 = 𝑟𝑠 , ℎ3 = 1
(4.1.24)
touto cestou dosáhneme, že tíhová síla Země je komponentou pouze v „radiálním“ směru.
Souřadnice určující polohu na Zemi jsou brány podél ploch konstantního geopotenciálu spíše
než podél ploch konstantní vzdálenosti od středu Země.
Souřadnice můžeme geometricky interpretovat následovně. Pro libovolný bod P, jehož
souřadnice jsou 𝜉1 , 𝜉2 , 𝜉3 je zeměpisná délka dána vztahem 𝜆𝑠 = 𝜉1 = 𝜆; Φ𝑠 je dáno úhlem
mezi směrem zemské tíže a rovinou rovníku když bodem P pohybujeme podél čáry
𝜉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡., 𝜉3 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. na referenčním geoidu. Souřadnice 𝑟𝑠 je definována jednoduše, jako
konstanta plus vzdálenost definovaná prací danou pohybem proti průměrné tíhové síle Země.
Poznamenejme, že když Φ = Φ0 tak 𝑟𝑠 = 𝑎 a 𝑟𝑠 není rovna vzdálenosti plochy referenčního
geoidu od geometrického středu Země.
Při této aproximaci předpokládáme, že atmosféra je tekutina pohybující se téměř po
sférické (s vyloučením modulace dané terénem) ploše a konstantní tíhová síla působí pouze
podél vertikální souřadnice. Obvykle klademe 𝑧 = 𝑟𝑠 − 𝑎. V tomto případě si jednoduše
připomeňme, že všechna data použitá pro předpověď nebo verifikaci jsou dána vzhledem
k plochám konstantního Φ.
Rovnice hybnosti v lokálním systému souřadnic
Pro studium pohybu vzduchu v okolí určitého bodu na Zemi je možné použít lokální
pravoúhlý souřadný systém souřadnic. V bodě P na povrchu Země v tečné rovině k ploše
stejného geopotenciálu (v jednodušší interpretaci v rovině tečné k referenční kouli
aproximující Zemi), zvolíme kartézský systém souřadnic s počátkem v bodě P. Osa y nechť
směřuje k severu, osa x k východu. Svislá souřadnice z, nechť směřuje kolmo k tečné rovině
a je kladně orientována vzhůru. V tomto systému souřadnic si vyjádřeme složky Coriolisovy
síly, které jsou dány vztahem−2𝛀 × 𝐯.
Vektor rotace leží v rovině poledníku, proto složka  x  0 kolmá k rovině poledníku musí
být rovna 0.
Obrázek 4. 1. Složky vektoru rotace v lokální soustavě souřadnic
55
Složky vektoru Ω ve směru souřadných os y, z, jsou jeho průměty do souřadných os y, z
v rovině poledníku. Souřadnice vektoru rotace v našem lokálním systému jsou tedy
𝛀 = (0, Ω cos 𝜑 , Ω sin 𝜑)
(4.1.25)
Kde  je zeměpisná šířka. Rovnice pro změnu hybnosti (4.1.17) které psány ve vektorovém
tvaru jsou
𝑑𝐯
+ 2𝛀 × 𝐯 = 𝐏 + 𝐠 + 𝐅
𝑑𝑡
(4.1.26)
nyní přepíšeme do složkového tvaru. Nejdříve si vyjádříme Coriolisovy členy. Označíme-li
složky Coriolisovy síly ve směru souřadnic x, y, z 𝐂 = (𝐶x , 𝐶𝑦 , 𝐶𝑧 ), máme
𝐢
𝐣
𝐤
𝐂 = −2𝛀 × 𝐯 = 2Ω |0 cos φ sin φ|
(4.1.27)
𝑢
𝑣
𝑤
Z determinantu dostáváme složky Coriolisovy síly
𝐶𝑥 = 2𝑣Ω sin 𝜑 − 2𝑤Ω cos 𝜑
(4.1.28)
𝐶𝑦 = −2𝑢𝜑Ω sin 𝜑
(4.1.29)
𝐶𝑧 = 2𝑢Ω cos 𝜑
(4.1.30)
Rovnice (4.26) ve složkovém tvaru jsou
𝑑𝑢
𝜕𝑝
= −∝
+ 2𝑣Ω sin 𝜑 − 2𝑤Ω cos 𝜑
𝑑𝑡
𝜕𝑥
(4.1.31)
𝑑𝑣
𝜕𝑝
= −𝛼
− 2𝑢Ω sin φ
𝑑𝑡
𝜕𝑦
(4.1.32)
𝑑𝑤
𝜕𝑝
= −∝
− 𝑔 + 2𝑢Ω cos φ
𝑑𝑡
𝜕𝑧
(4.1.33)
Tyto rovnice odvozené formálně z rovnic ve vektorovém tvaru mají stejnou vadu jako
obvykle uváděné rovnice v polárních souřadnicích, kde je polární souřadnice r nahrazena
poloměrem zemské sféry. Neberou totiž v úvahu důsledky zjednodušení geometrie, nazývané
podle Carla Eckarta „tradičními aproximacemi“, publikované roku 1960 v monografii [1].
Podle Normana Phillipse [8] jsou v nich proto obsaženy nežádoucí členy. V první rovnici je to
člen −2𝑤Ω cos 𝜑 a v poslední rovnici člen 2𝑢Ω cos φ. Tyto členy se obvykle v dynamické
meteorologii pro zjednodušení vynechávají se zdůvodněním, že jsou malé. Skutečný jejich
význam i to, že do rovnic nepatří, budeme studovat dále, v souvislosti se zákonem zachování
momentu hybnosti. Pohyby atmosféry synoptického, tedy velkého měřítka jsou
kvasihorizontální, tedy přibližně rovnoběžnými s plochami konstantního geopotenciálu. Pro
modely synoptického měřítka je atmosféra v podstatě stále v hydrostatické rovnováze.
Rovnice hybnosti tak nepopisují tepelnou konvekci, jejíž měřítko je o několik řádů menší, a
proto je řešena parametrizacemi. Poslední rovnice (4.1.33) je pak redukována na
hydrostatickou rovnici. Zanedbáváme tedy vertikální zrychlení 𝑑𝑤 ⁄𝑑𝑡 a samozřejmě proto
také i Coriolisův člen. Problémem tedy zůstává zejména člen 2Ω𝑤 cos 𝜑 v první rovnici.
Tento člen je vlivem malých vertikálních rychlostí nejméně o dva řády menší a v dynamické
56
meteorologii se pro zjednodušení rovnic zanedbává. O tom, že člen 2Ω𝑤 cos 𝜑 je v rovnicích
nežádoucí, neboť způsobuje porušení principu zachování momentu hybnosti (agular
momentum princip), bude pojednáno podrobněji dále. V modelech, které jako horizontální
souřadnice používají kartézský systém v rovině mapy jsou svislé souřadnice kolmé k rovině
mapy a tedy rovnoběžné. Situace je tedy odpovídá tradičním aproximacím, neboť i zde se
vzdálenosti měří po povrchu Země a Lameovy koeficienty nezávisí na výšce nad zemí. V
osmé kapitole uvidíme, že všechny horizontální vzdálenosti a to i v systémech
vertikálně transformovaných souřadnic zahrnujících orografii jsou měřeny v rovině mapy.
Tuto aproximaci umožňuje skutečnost, že atmosféra tvoří na povrchu země vzhledem k jejímu
poloměru nejen tenkou vrstvu, ale i to, že pro synoptické měřítko, vlivem malého
horizontálního rozlišení na výpočetní síti, má takto zobrazená orografie vzhledem
k vodorovné ploše jen velmi malé sklony. Rovnice (4.1.31), (4.1.32), (4.1.33) se pro modely
synoptického měřítka zjednodušují. Bez parametrizace tření je píšeme ve tvaru
𝑑𝑢
𝜕𝑝
= −𝛼
+ 𝑓𝑣
𝑑𝑡
𝜕𝑥
(4.1.34)
𝑑𝑣
𝜕𝑝
= −𝛼
− 𝑓𝑢
𝑑𝑡
𝜕𝑦
(4.1.35)
0 = −𝛼
𝜕𝑝
−𝑔
𝜕𝑧
(4.1.36)
kde 𝑓 = 2Ω sin 𝜑 se nazývá Coriolisův parametr
Rozepíšeme-li zde individuální změny složek hybností, můžeme rovnice pro změny
horizontálních složek hybnosti psát ve tvaru
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑝
+𝑢
+𝑣
+𝑤
− 𝑓𝑣 + 𝛼
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
(4.1.37)
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑝
+𝑢
+𝑣
+𝑤
+ 𝑓𝑢 + 𝛼
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
(4.1.38)
Možnosti použití lokálního systému souřadnic a rotované systémy
Ukážeme si nyní, jak velké rozdíly ve vzdálenostech vznikají mezi vzdálenostmi na
kouli a v tečné rovině v okolí počátku lokálního systému souřadnic. Vyjdeme přitom
z obvykle známé skutečnosti, že délka oblouku do 50 úhlové míry se málo liší od délky
průmětu tohoto oblouku na tečnu. Pro větší úhly se pak tento rozdíl rychle zvyšuje. Této
skutečnosti se používá ve fyzice při studiu kyvadla, aby se rovnice popisující jeho kyvy stala
57
lineární. Budeme tedy studovat rozdíl mezi délkou oblouku daného úhlem 𝜃 na kružnici o
poloměru a=6371 km, což je poloměr Země, délkou jeho kolmého průmětu na tečnu
procházející počátkem souřadnic, což je ve skutečnosti lokální systém souřadnic, a navíc
délkou průmětu kružnice z opačného bodu na kružnici, což je stereografická projekce.
Obrázek 4. 2. Možnosti použití lokální soustavy souřadnic
Uhel 𝜃 můžeme interpretovat jako pólovou úhlovou vzdálenost od pólu osy rotace Země. Trik
s otočením osy Země, která nám pak definuje novou otočenou obdobu geografických
souřadnic, se dnes používá v některých modelech. Tím se rozšíří možnosti pro volby
souřadných systémů v lokálních modelech. Je pak možné použít k zobrazení Země systém
pravoúhlých souřadnic na zvolené obvykle konformní mapě, což může být Mercatorova
mapa, stereografické zobrazení, Lambertova mapa, nebo i přímo systém otočených
zeměpisných souřadnic. Nová poloha osy zeměpisných souřadnic je v tomto případě volena
tak, aby střed mapy ležel v rovníkové oblasti takto otočené sítě souřadnic. Nyní si musíme si
upřesnit, co rozumíme lokálním souřadným systémem. Je to kartézský systém souřadnic
v tečné rovině s počátkem v bodě dotyku se Zemí. Bodům na Zemi budou v tečné rovině
odpovídat jejich ortogonální průměty do roviny lokálního systému souřadnic.
Pro pólovou úhlovou vzdálenost 𝜃 = 50 dostaneme následující vzdálenosti od počátku
lokálních souřadnic:
𝜋
vzdálenost po oblouku je 𝑠 = 𝑎 180 𝜃,
𝑠 = 0.087 266 ∗ 𝑎 = 555.97 km,
vzdálenost d po průmětu oblouku na tečnou rovinu, tedy vzdálenost od počátku lokálního
systému souřadnic 𝑑 = 𝑎 sin 𝜃,
𝑑 = 0.087 156 ∗ 𝑎 = 555.27 km
vzdálenost po stereografickém průmětu oblouku do roviny lokálního systému souřadnic
𝑝 = 𝑎 ∗ 2 tan 𝜃/2,
𝑝 = 0.087 322 ∗ 𝑎 = 556.33 km
58
Vidíme, že chyba v horizontální vzdálenosti, která je pro meteorologii rozhodující, je do
vzdálenosti 555 km od počátku souřadnic lokálního souřadného systému z hlediska
synoptické meteorologie malá. Při průmětu povrchu Země do roviny lokálního systému
souřadnic činí rozdíl vzdáleností po povrchu Země a v rovině lokálních souřadnic 0.7 km. Pro
rotované stereografické souřadnice ovšem a to i bez zavedení zkreslení mapy je tato chyba
pouze 0.36 km. Pro účely geodezie jsou však tyto chyby nepřijatelné a proto je často i pro
meteorologii prezentováno, že lokální systém je možné použít pouze pro oblast čtverce o
straně 20 km.
4.2 Rovnice hybnosti ve sférických souřadnicích
Rovnice hybnosti, které jsme odvodili ve vektorovém tvaru, nyní převedeme do
složkového tvaru ve sférických souřadnicích. Tento tvar rovnic je důležitý pro obecné
studium vln v atmosféře a pro modely obecné cirkulace, neboť rovnice ve složkovém tvaru
potřebujeme pro výpočty numerickými metodami. Právě globální modely jsou formulovány
ve sférických souřadnicích a jsou používány pro studium všeobecné cirkulace a v současnosti
zejména pro střednědobou předpověď počasí, čímž je myšlena předpověď na časové období
do dvou týdnů.
Nechť (𝜆, 𝜑, 𝑟) jsou sférické souřadnice, 𝜆 zeměpisná délka, 𝜑 zeměpisná šířka a r je
vzdálenost od středu Země. Vzhledem k tomu, že elipticita Země je malá, nahradíme plochu
povrchu Země sférou o poloměru r=a, s tím, že zemská tíže nemá 𝜑 - složku. Dostaneme tak
adekvátní popis pro analýzu pohybu atmosféry. Označme písmenem z výšku nad hladinou
moře. Dále nechť (𝐢, 𝐣, 𝐤) jsou vzájemně ortogonální jednotkové vektory i ve směru podél
rovnoběžky na východ, j ve směru poledníku na sever a k, směrem vzhůru. Tyto jednotkové
souřadnicové vektory rotují společně se Zemí, nejsou tedy konstantní. Vektor rychlosti v pak
můžeme vyjádřit v soustavě rotující se Zemí ve tvaru
𝐯 = 𝑢𝐢 + 𝑣𝐣 + 𝑤𝐤
(4.2.1)
kde složky rychlostí v tomto křivočarém systému souřadnic jsou
𝑑𝜆
𝑑𝜆
𝑑𝜑
𝑑𝜑
𝑑𝑟
𝑑𝑟
𝑢 = ℎ𝜆
= 𝑟 cos 𝜑 ,
𝑣 = 𝑓𝜑
=𝑟
,
𝑤 = ℎ𝑟
=1
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
,
(4.2.2)
Kde ℎ𝜆 , ℎ𝜑 , ℎ𝑟 jsou příslušné Lameovy koeficienty. Vyjádříme-li individuální změnu vektoru
v derivováním vztahu (4.2.1), dostáváme pro zrychlení
𝑑𝐯 𝑑𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑤
𝑑𝐢
𝑑𝐣
𝑑𝐤
=
𝐢+
𝐣+
𝐤+𝑢 +𝑣 +𝑤
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(4.2.3)
Podle definice absolutní derivace můžeme jednotlivé individuální změny vektorů (𝐢, 𝐣, 𝐤) psát
ve tvaru
𝑑𝐢 𝜕𝐢
𝜕𝐢
𝜕𝐢
𝜕𝒊
= +𝑢
+𝑣
+𝑤
𝑑𝑡 𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
(4.2.4)
Protože vektor i je funkcí pouze proměnné x jsou všechny jeho derivace kromě derivace podle
x nulové, a předchozí vztah se redukuje na
59
𝑑𝐢
𝜕𝐢
=𝑢
𝑑𝑡
𝜕𝑥
(4.2.5)
Pro výpočet parciálních derivací souřadnicových vektorů (𝐢, 𝐣, 𝐤) provedeme tuto
úvahu. Studujme souřadnicový vektor i, který se pohybuje po kružnici o poloměru R, na níž
délka je oblouku x dána součinem poloměru R a úhlem v obloukové míře 𝜆, kde R můžeme
interpretovat jako vzdálenost od zemské osy.
Obrázek 4. 3. Změna jednotkového souřadnicového vektoru i při pohybu po rovnoběžce
Nechť z počáteční polohy x se vektor 𝐢(𝑥) = 𝐢(𝑟𝜆) pootočí o úhel Δ𝜆 a tedy urazí vzdálenost
𝑅Δ𝜆 do bodu 𝑥 + Δ𝑥 = 𝑅(𝜆 + Δ𝜆) kde vektor i má hodnotu 𝐢(𝑥 + Δ𝑥). Studujme nyní
rozdíl Δ𝐢 = 𝐢(𝑥 + Δ𝑥) − 𝐢(𝒙).
Protože vektory 𝐢(𝑥 + Δ𝑥) a 𝐢(𝑥) spolu svírají úhel Δ𝜆 a jsou jednotkové, proto velikost
𝜕𝐢
vektoru Δ𝐢 je |Δ𝐢| = Δ𝜆 a pro délku vektoru parciální derivace |𝜕𝑥| můžeme psát limitu
|
|∆𝐢|
𝜕𝐢
∆𝜆
1
| = lim
=
=
Δ𝑥→0 ∆𝑥
𝜕𝑥
𝑅∆𝜆 𝑅
(4.2.6)
𝜕𝐢
Pro výpočet délky vektoru parciální derivace |𝜕𝑥| je R poloměr kružnice rovnoběžky, proto
𝑅 = 𝑟 cos 𝜑 a je tedy
𝜕𝐢
1
| |=
𝜕𝑥
𝑟 cos 𝜑
(4.2.7)
Vektor Δ𝐢 po přechodu k limitě pro ∆𝜆 → 0 je kolmý k vektoru i a leží v rovině rovnoběžky
𝜑 i poledníku 𝜆. Vektor
𝜕𝐢
𝜕𝑥
míří tedy směrem k ose Země a jeho složky lze snadno odvodit
v rovině poledníku.
Vektor Δ𝐢 je tedy lineární kombinací vektorů j, k. Promítnutím vektoru Δ𝐢 do os j, k, máme
𝜕𝐢
1
(sin φ𝐣 − cos φ 𝐤)
=
𝜕𝑥 𝑟 cos 𝜑
(4.2.8)
a ze vztahu (4.2.5) je
60
𝑑𝐢
1
(sin φ𝐣 − cos φ 𝐤)
=
𝑑𝑡 𝑟 cos 𝜑
(4.2.9)
Obrázek 4. 4. Rozklad vektoru 𝛿𝐢 na severní a vertikální složku+
;Obdobné vztahy jako (4.2.3) platí i pro individuální změnu vektorů j, k. Pro výpočet
individuální změny vektorů j, k, je třeba spočítat parciální derivace těchto vektorů.
Nejdříve si všimněme vektoru j. Ten je funkcí proměnných x, y, r. Měníme-li souřadnici x,
pak všechny vektory j míří do stejného bodu ležícího na ose Země, který označme V. Změnu
vektoru j vzhledem k proměnné y studujme v rovině poledníku. Obrázek 4.5.
Obrázek 4. 5. Výpočet derivací vektoru j v rovině poledníku
61
Polopřímka ve směru vektoru j vedená z bodu P, ve kterém se nachází souřadnicový vektor j,
protíná osu Země v bodě, který označme V. Střed Země nechť je S. Vrcholový úhel
trojúhelníka ∆SPV při vrcholu V je roven zeměpisné šířce  . Proto jeho odvěsna PV má
délku 𝑟⁄tan 𝜑. Posunu-li nyní vektor 𝐣(𝑥) z bodu P do bodu Q ve směru souřadnice x o délku
∆𝑥, pak dostanu vektor 𝐣(𝑥 + ∆𝑥).
Obrázek 4. 6. Výpočet derivací vektoru j pomocí trojúhelníku PQV
Rozdíl těchto vektorů označme ∆𝐣 = 𝐣(𝑥 + ∆𝑥) − 𝐣(𝑥). Jestliže přejdeme k limitě ∆𝑥 → 0,
pak vektor ∆𝐣/∆𝑥 bude v limitě kolmý k rovině poledníku a tedy také k vektorům j a k. Bude
tedy násobkem vektoru i. Zbývá proto určit tento činitel. Studujme proto trojúhelník PQV.
Otočíme-li vektor 𝐣(𝑥) ve směru rovnoběžky o úhel ∆𝜆 posune se vektor 𝐣(𝑥) ve směru osy x
o délku ∆𝑥 a dostaneme tak vektor 𝐣(𝑥 + ∆𝑥). V trojúhelníku PQV pak označme 𝛼 úhel při
vrcholu V. Vektor 𝐣(𝑥 + ∆𝑥)pak bude s úsečkou QV svírat také úhel 𝛼. Nyní můžeme
obdobně, jako v prvním případě, spočítat velikost vektoru který je derivací vektoru j podle x.
Pro ∆𝑥 → 0 máme
|𝐣(𝑥 + ∆𝑥) − 𝐣|𝑥||
𝜕𝐣
∝
1 tan 𝜑
| | = lim
=
= =
∆𝑥→0
𝜕𝑥
∆𝑥
𝑑𝛼 𝑑
𝑟
(4.2.10)
Výpočet parciální derivace vektoru j podle y je ještě snazší, neboť celý výpočet probíhá
v rovině poledníku a obdobně jako v prvním případě celkově pak máme
𝜕𝐣
tan 𝜑
∂𝐣
𝐤
=−
𝐢 a
=−
𝜕𝑥
𝑟
∂y
𝑟
(4.2.11)
výsledkem je pak, že
𝑑𝐣
𝑢 tan 𝜑
𝑣
=−
𝐢− 𝐤
𝑑𝑡
𝑟
𝑟
(4.2.12)
62
Obdobně obdržíme i vztah pro individuální změnu vektoru k
𝑑𝐤 𝑢
𝑣
= 𝐢+ 𝐣
𝑑𝑡 𝑟
𝑟
(4.2.13)
Dosadíme-li vztahy pro individuální změny souřadnicových vektorů do (4.2.3) máme
𝑑𝐯
𝑑𝑢 𝑢𝑣 tan 𝜑 𝑢𝑤
𝑑𝑣 𝑢2 tan 𝜑 𝑣𝑤
𝑑𝑤 𝑢2 + 𝑣 2
=( −
+
)𝐢 +( +
+
)𝐣 + (
−
)𝐤
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑟
𝑟
𝑑𝑡
𝑟
𝑟
𝑑𝑡
𝑟
(4.2.14)
Tento vztah můžeme napsat také v poněkud jiném tvaru a to
𝑑𝐯
𝑑𝑢
𝑢
𝑑𝑣
𝑢
𝑣𝑤
(𝑣 sin 𝜑 − 𝑤 cos 𝜑)) 𝐢 + ( +
(𝑢 sin 𝜑) +
=( −
)𝐣
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑟 cos 𝜑
𝑑𝑡 𝑟 cos 𝜑
𝑟
+(
𝑑𝑤
𝑢
𝑣2
(𝑢 cos 𝜑) − ) 𝐤
−
𝑑𝑡 𝑟 cos 𝜑
𝑟
(4.2.15)
Dostali jsme tak vyjádření individuální změny vektoru rychlosti ve sférických souřadnicích.
Vyjdeme-li ze vztahů ve vektorovém tvaru (4.1.26) až (4.1.30) můžeme rovnice hybnosti
napsat ve tvaru publikovaném v článku N. Phillipse [8].
𝑑𝑢
𝑢
= 𝐹𝜆 + (2Ω +
) (𝑣 sin 𝜑 − 𝑤 cos 𝜑)
𝑑𝑡
𝑟 cos 𝜑
(4.2.16)
𝑑𝑣
𝑢
𝑤𝑣
= 𝐹𝜑 − (2Ω +
) 𝑢 sin 𝜑 −
𝑑𝑡
𝑟 cos 𝜑
𝑟
(4.2.17)
2
𝑑𝑤
𝑢
𝑣
= 𝐹𝑟 − 𝑔 + (2Ω +
) 𝑢 cos 𝜑 +
𝑑𝑡
𝑟 cos 𝜑
𝑟
(4.2.18)
kde 𝐹𝜆 , 𝐹𝜑 , 𝐹𝑟 zahrnují složky gradientu tlaku a tření na jednotku hmotnosti. Tato formulace
rovnic se pro jednodušší a snadnější užití při numerické předpovědi počasí ještě zjednodušuje.
Vzhledem k tomu, že atmosféra vzhledem k velikosti Země tvoří jen tenkou vrstvu, měříme
horizontální vzdálenosti v rámci „tradičních aproximací“ po povrchu zemské sféry.
Připomeňme ještě, že název „tradiční aproximace“ pochází, jak jsme se již zmínili, od Carla
Eckarta, který jej zavedl v knize [8]. Toto zjednodušení spočívá v tom, že v předchozích
rovnicích nahradíme sférickou souřadnici r poloměrem Země a. Nové Lameovy koeficienty
pak obsahují místo délky průvodiče r poloměr Země a. Horizontální složky rychlosti po
zjednodušení, označme čárkou. Vztahy (4.2.3) se po dosazení r=a redukují na jednodušší,
nezávisející na souřadnici r
𝑑𝜆
𝑑𝜆
𝑑𝜑
𝑑𝜑
𝑑𝑟
𝑑𝑟
𝑢′ = ℎ𝜆
= 𝑎 cos 𝜑 ,
𝑣′ = 𝑓𝜑
=𝑎
,
𝑤 = ℎ𝑟
=1
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(4.2.19)
Obdobně se zjednoduší rovnice (4.216) až (4.2.18). Ty pak budou ve tvaru stejném, jako
v monografiích [2] a [3]. Tedy
63
𝑑𝑢′
𝑢′
= 𝐹𝜆 + (2Ω +
) (𝑣′ sin 𝜑 − 𝑤′ cos 𝜑)
𝑑𝑡
𝑎 cos 𝜑
(4.2.20)
𝑑𝑣′
𝑢′
𝑤′𝑣′
= 𝐹𝜑 − (2Ω +
) 𝑢′ sin 𝜑 −
𝑑𝑡
𝑎 cos 𝜑
𝑎
(4.2.21)
2
𝑑𝑤′
𝑢′
𝑣′
= 𝐹𝑟 − 𝑔 + (2Ω +
) 𝑢′ cos 𝜑 +
𝑑𝑡
𝑎 cos 𝜑
𝑎
(4.2.22)
Poznámka: pro posouzení předchozího zjednodušení studujme změnu horizontální
vzdálenosti ve sférických souřadnicích s výškou
Měříme-li vzdálenost dvou bodů na povrchu Země, kterou si nyní představujeme jako
kouli o poloměru a  6 371 km , pak je jasné, že ve výšce z nad povrchem zemské sféry, je
vzdálenost bodů na stejných polopřímkách ze středu Země větší. Vyjádříme si nyní tuto
změnu kvantitativně. Z podobnosti kruhových výsečí na povrchu Země, a ve výšce z nad
Zemí, platí úměra
𝑐/𝑏 = (𝑎 + 𝑧)/𝑎
(4.2.23)
kde c je délka kruhové úseče ve výšce z nad povrchem Země, b je délka stejné úseče měřená
po povrchu Země, z je výška nad povrchem Země. Poloměr Země a klademe roven a = 6371
km. Z předchozího vztahu vidíme, že
𝑧
𝑐 = 𝑏 (1 + )
𝑎
(4.2.24)
a na příklad ve výšce 20 km nad zemí je 𝑧/𝑎 = 20/6371 = 0.00314 a tedy ve 20 km nad
zemí se délky prodlouží přibližně o 0.3%. Tato skutečnost umožňuje v meteorologii zanedbat
tento rozdíl a měřit všechny horizontální vzdálenosti po povrchu Země, což je předpokladem
pro použití „tradičních aproximací“.
4.3. Fyzikální význam jednotlivých členů rovnic.
Tvar rovnic se zahrnutím Coriolisových členů do individuální změny složek větru
Při použití semi-Lagrangeovy metody pro řešení prognostických rovnic se v současné
době Coriolisovy členy často zahrnují do absolutní derivace, tedy do individuální změny
hybnosti. Abychom obdrželi rovnice v tomto tvaru vyjdeme ze vztahu (4.1.17).
𝑑𝑎 𝐯 𝑑𝐯
=
+ 2𝛀 × 𝐯 = 𝐏 + 𝐠 + 𝐅
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(4.3.1)
Dosadíme-li do tohoto vztahu za člen 2𝛀 × 𝐯 ze vztahu (4.1.12)
64
𝑑
(𝛀 × 𝐫) = 𝛀 × 𝐯
𝑑𝑡
(4.3.2)
můžeme jej zahrnout do časové individuální změny. Dostáváme tak
𝑑
(𝐯 + 2𝛀 × 𝐫) = 𝐏 + 𝐠 + 𝐅
𝑑𝑡
(4.3.3)
Pro použití předchozího vztahu (4.3.2) v numerickém předpovědním modelu musíme tento
vztah napsat ve složkách v použitém systému souřadnic. Je třeba tedy vyjádřit i složky
vektoru rychlosti rotujícího bodu na povrchu Země v souřadnicích použitých v předpovědním
modelu a tyto složky připočítat k složkám rychlosti v rotující soustavě souřadnic. Rovnici
můžeme vlastně interpretovat tak, jako kdybychom individuální změnu počítali v nerotující
soustavě souřadnic a k celkové rychlosti částice v absolutní soustavě, která je rovna součtu
rychlosti v rotující soustavě a rychlosti rotace která je podle (4.1.9) rovna
𝐯𝑎 = 𝐯 + 𝛀 × 𝐫
(4.3.4)
připočetli ještě zrychlení dané rotací vyjádřené v absolutní soustavě, jež je dáno vztahem
(4.1.10)
𝑑𝑎 𝐯𝑎 𝑑𝐯𝑎
=
+ 𝛀 × 𝐯𝑎
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(4.3.5)
proto se člen 𝛀 × 𝐫 ve vztahu (4.3.2) vyskytuje v dvojnásobku. Odstředivá síla zůstává
zahrnuta do síly zemské tíže. Pro lokální modely používající pravoúhlé souřadnice na
konformní mapě to nečiní žádný problém. Tento vektor rychlosti pohybu pevného bodu na
Zemi můžeme interpretovat i odvodit následovně. Je jasné že, směr tohoto vektoru je dán
vektorem tečným k rovnoběžce směřujícím na východ a jeho velikost je dána součinem
úhlové rychlosti otáčení  se vzdáleností od osy rotace, která je rovna 𝑎 cos 𝜑. Poloměr
referenční sféry Země je obvykle zvolen a = 6 371 km. Pro modely na omezené oblasti
(LAM), používající ortogonální systém na konformní mapě, nám tedy zbývá člen 2𝛀 × 𝐫
vyjádřit ve složkách v ortogonálním systému souřadnic na použité konformní mapě.
Pro kvantitativní představu si všimneme ještě jednoho zajímavého údaje. Ptejme se,
jaká je rychlost pevného bodu na povrchu Země v absolutní inerciální soustavě souřadnic.
Tato rychlost je dána součinem úhlové rychlosti otáčení Země 𝛺 = 7.292 115 9 ∗ 10−5 𝑠𝑒𝑐 −1
se vzdáleností od osy rotace. Pro body na rovníku je vzdálenost od osy rotace největší a
rychlost, která je dána pouze rotací Země je rovna Ω𝑎 = 464.5974 𝑚/𝑠 = 1672.55 𝑘𝑚/
ℎ𝑜𝑑 Chceme-li dostat tuto rychlost pro bod ležící na rovnoběžce o zeměpisné šířce  ,
musíme tento údaj ještě násobit cos  , rychlost rotujícího bodu bude tedy a cos  . U nás na
500 severní šířky je tato rychlost rovna a cos 500  1075.094 km / hod . Tato rychlost je tedy
o dva řády vyšší, než obvyklá rychlost větru na Zemi. Z této relativně velké rychlosti rotace
Země vyplývá také skutečnost, že rakety s družicemi směřující na oběžnou dráhu kolem Země
jsou vždy vystřelovány východním směrem.
65
Fyzikální význam členů rovnic v rotujícím systému
Protože předchozí úvahy při studia pohybu na rotující Zemi, při použití vektorového
zápisu, byly sice z teoretického hlediska přesné, ale zejména z fyzikálního hlediska málo
názorné a neukazovaly význam některých členů rovnic, uvedeme si nyní elementární řešení
této problematiky s důrazem na některé další aspekty pohybových rovnic.
Pohyb v silovém centrálním poli.
Centrálním silovým polem nazýváme takové pole, pro které sílu F lze psát ve tvaru
𝐫
𝐅 = 𝑓(𝑟) 𝑟
(4.3.6)
Kde r je radiusvektor (polohový vektor) určující bod, v němž sílu uvažujeme. Při zápisu síly
v předchozím tvaru je střed centrální síly v počátku souřadnic. Velikost r vektoru r je
vzdálenost od středu centrální síly a síla 𝑓(𝑟)je libovolnou funkcí vzdálenosti r.
Pro pohyb hmotného bodu v poli centrální síly platí, že moment hybnosti (točivost) M
hmotného bodu vzhledem ke středu centrální síly, tedy vektor
𝐌 = 𝐫 × 𝑚𝐯
(4.3.7)
Je konstantní po celou dobu pohybu. Toto tvrzení plyne bezprostředně z rovnice zachování
momentu hybnosti
𝑑𝑴
= 𝐌(𝐅)
𝑑𝑡
(4.3.8)
kde 𝐌(𝐅) = 𝐫 × 𝐅 je moment síly F. Podle definice centrální síly je M(F) součinem dvou
rovnoběžných vektoru a proto je roven nule. Je tedy
𝑑𝑴
=0
𝑑𝑡
(4.3.9)
Moment hybnosti 𝐌 = 𝐫 × 𝑚𝐯 je tedy roven konstantnímu vektoru. Z toho vyplývá, že
vektory r a v, leží stále ve stejné rovině, kolmé k vektoru M, a proto pohyb v centrálním
silovém poli je rovinný. Protože vektor M je konstantní, je konstantní i jeho velikost M. Když
vektorový součin geometricky interpretujeme, jako součin délek těchto vektorů násobených
sinem α úhlu, který svírají, máme
𝑀 = 𝑚𝑟𝑣 sin α
(4.3.10)
Výraz (𝑟𝑣 sin 𝛼)/2 bývá nazýván plošnou rychlostí vp hmotného bodu, neboť udává velikost
plochy, kterou opíše průvodič pohybujícího se bodu za jednotku času. Z předchozího vztahu
plyne, že
(𝑟𝑣 sin 𝛼)
𝑀
𝑣𝑝 =
=
2
2𝑚
(4.3.11)
a tedy plošná rychlost pohybujícího se hmotného bodu v centrálním silovém poli je
konstantní.
Závěr pro meteorologii:
Uvažujeme-li Zemi bez její rotace kolem své osy, pak hmotný bod (neboli částice) se
pohybuje v rovině určené středem Země a směrem daným vektorem rychlosti. Když by se
částice pohybovala po povrchu Země, pak by se pohybovala po hlavní kružnici. Hlavní
66
kružnice na povrchu Zeměkoule v centrálním silovém poli Země zde představuje pro pohyb
přímku.
Coriolisova síla
Popis pohybu v systému pevně spojeném s rotující Zemí vychází rovněž z druhého
Newtonova zákona. V tomto rotujícím systému, je třeba kromě tíhové síly Země uvažovat
navíc ještě odstředivou sílu, působí na částici, danou rotací Země. Právě výsledkem zahrnutí
těchto síl nám umožňuje formulaci druhého Newtonova zákona i v rotujícím systému
souřadnic. V tomto systému vznikne při formulaci tohoto zákona síla, která se nazývá
Coriolisovou silou.
Studujme tedy částici v inerciálním systému, na kterou nejdříve nepůsobí žádné síly.
Podle Newtonova zákona se bude pohybovat rovnoměrně přímočaře. Jako první sílu nyní
v tomto inerciálním systému přidejme gravitační sílu Země. Protože v inerciálním systému
chybí odstředivá síla působící vzhledem k povrchu Země, je to skutečně pouze gravitační síla
Země, nikoliv síla zemské tíže. V tomto případě průsečnice rovin určených osami lokálního
souřadného systému a středem Země jsou na Zeměkouli hlavními kružnicemi. A také částice
pohybující se ze středu lokálního systému souřadnic libovolným směrem vytváří v průmětu na
Zeměkouli hlavní kružnici. Pohybuje-li se tedy východním směrem, její trajektorií není tedy
rovnoběžka. Ta se v rovině lokálního systému zobrazuje jako oblouk kružnice. Proto jsou
v rovnicích, které používají zeměpisné souřadnice členy, které můžeme nazvat metrickými
členy. Tyto členy nejsou výsledkem rotace Země, jsou ale způsobeny geometrií použitých
zeměpisných souřadnic. V čisté podobě je dostaneme tak, když v rovnicích hybnosti (4.2.16)
až (4.2.18) položíme úhlovou rychlost rotace Země Ω rovnu nule.
Nyní se věnujme případu, kdy systém souřadnic spojíme pevně s rotující Zemí. To je
zcela přirozené, protože my rotaci Země nevnímáme. Dlouhou dobu si také lidé myslili, že se
Země neotáčí, ale naopak, že se po nebi pohybují Slunce a hvězdy. Z tohoto hlediska i
praktického hlediska, aby se neměnily souřadnice místa na Zemi s časem, se v meteorologii
používá systém souřadnic rotující se Zemí.
Studujme objekt, který se pohybuje rovnoměrně přímočaře, vzhledem k inerciálnímu
systému souřadnic. Když tento objekt pozorujeme z rotujícího systému s osou rotace kolmou
k rovině pohybu, pak se nám trajektorie pohybu jeví jako křivka. V rotujícím systému tedy
existuje zdánlivá síla, která odchyluje objekt v inerciálním přímočarém pohybu na zakřivenou
trajektorii. Výsledná trajektorie je zakřivena ve směru opačném, než je směr rotace. Tato
vychylující síla je právě Coriolisova síla. Pozorováno z rotujícího systému je relativní pohyb
akcelerující pohyb, se zrychlením rovným součtu Coriolisovy síly a odstředivé síly.
Coriolisova síla, která působí kolmo na vektor rychlosti, může měnit pouze směr dráhy.
Jakkoliv odstředivá síla působí radiálně ven, má i složku ve směru pohybu, která zvyšuje
rychlost částice relativně vzhledem k rotujícímu souřadnému systému tak, že částice se
pohybuje po spirále ven. Tedy v tomto případě inerciální pohyb pozorovaný z rotujícího
systému obsahuje oba efekty, jak Coriolisovu sílu, tak i odstředivou sílu. Oba výše zmíněné
příklady jsou jednoduché snadno pochopitelné z každodenní zkušenosti a dávají nám pohled
na kvantitativní aspekt Coriolisovy síly.
67
Studujme nyní částici jednotkové hmotnosti, která se volně bez tření pohybuje po
horizontální ploše na rotující Zemi. Když částice je na začátku v klidu vzhledem k Zemi, pak
na ní působí pouze gravitační síla a odstředivá síla způsobená rotací Země. Součet těchto
dvou sil definuje sílu zemské tíže (effective gravity), která směřuje kolmo k lokální
horizontální ploše. Tato horizontální plocha tuto sílu zemské tíže pokud je částice v klidu
vzhledem k zemskému povrchu zcela eliminuje. V atmosféře je síla, která eliminuje svislou
sílu zemské tíže, Archimédova vztlaková síla. Předpokládejme nyní, že částice je dána
impulsem síly do pohybu východním směrem. Protože částice nyní rotuje rychleji než Země,
odstředivá síla působící na částici se zvětší. Nechť Ω je velikost úhlové rychlosti Země, a
nechť R je vzdálenost částice od osy rotace a u je složkan rychlosti ve východním směru, pak
můžeme celkovou odstředivou sílu psát ve tvaru
𝑢 2
2Ω𝑢𝐑 𝑢𝟐 𝑹
(Ω + ) 𝐑 = Ω𝟐 𝐑 +
+ 2
𝑅
𝑅
𝑅
(4.3.12)
První člen pravé strany je odstředivá síla daná rotací Země. Ta je ovšem zahrnuta do síly
zemské tíhy. Další dva členy reprezentují vychylující síly, působící ven ve směru vektoru R,
který je kolmý k ose rotace. Pro pohyby synoptického měřítka je 𝑢 ≪ 𝛺𝑟 a poslední člen
můžeme zanedbat. Zbylý člen v předchozím vztahu 2Ω𝑢(𝐑/𝑅) je Coriolisova síla náležející
pohybu ve směru rovnoběžky (zonálním směru). Tuto Coriolisovu sílu můžeme rozdělit do
dvou složek ve vertikálním a meridionálním směru.
Obrázek 4. 7. Složka Coriolisovy síly vzhledem k relativnímu pohybu poledníku
Složky Coriolisovy síly pro pohyb podél rovnoběžky. Tedy relativní pohyb ve směru
rovnoběžky východním směrem produkuje zrychlení ve směru poledníku jižním směrem.
Platí tedy
𝑑𝑣
( )
= −2Ω sin φ
𝑑𝑡 𝐶𝑜𝑟
(4.3.13)
a zrychlení ve vertikálním směru je
𝑑𝑤
( )
= 2Ω cos φ
𝑑𝑡 𝐶𝑜𝑟
(4.3.13)
68
kde  je zeměpisná šířka, a index Cor indikuje, že toto zrychlení je dáno pouze Coriolisovou
silou. Částice pohybující se v horizontální rovině na severní polokouli východním směrem je
vychylována směrem na jih Coriolisovou silou, zatímco při pohybu na západ je vychylována
směrem na sever. V obou případech směřuje vychýlení částice doprava od směru pohybu.
Vertikální složka Coriolisovy síly (4.3.13) je obvykle mnohem menší, než síla gravitace, a
efekt zvyšování či snižování zdánlivé výšky podle směru pohybu na východ či západ je malý.
Nyní studujme Coriolisovu sílu vzniklou pouze pohybem částice ve směru poledníku.
Předpokládejme nyní, že na začátku je z klidu vzhledem k zemi částice dána do pohybu
impulsem směrem k rovníku. Když se částice pohybuje ve směru poledníku, je zachován
moment hybnosti (točivost) za předpokladu, že na částici nepůsobí žádná vnější točivá síla ve
směru rovnoběžky. Protože vzdálenost od osy rotace R roste, když částice se pohybuje
směrem k rovníku, když je zachován absolutní moment hybnosti musí se relativní rychlost v
západním směru měnit, aby součin ramene momentu a zonální rychlosti zůstal stejný.
Označme R změnu vzdálenosti od osy rotace mezi zeměpisnou šířkou  0 a zeměpisnou
šířkou 𝜑0 − 𝛿𝜑. Ze zachování momentu hybnosti v zonálním směru dostaneme
δ𝑢
Ω𝑅 2 = (Ω +
) (R + δR)2
𝑅 + 𝛿𝑅
(4.3.14)
kde u je relativní rychlost východního směru, když se částice dostane do zeměpisné šířky
𝜑0 + 𝛿𝜑 . Provedeme-li násobení na pravé straně, dostaneme
Ω𝑅 2 = Ω(𝑅 2 + 2𝑅𝛿𝑅 + 𝛿𝑅 2 ) + δ𝑢(𝑅 + 𝛿𝑅)
(4.3.15)
zanedbáme členy druhého řádu, které při přechodu k limitě konvergují k nule, máme
0 = 2𝛺𝑅𝛿𝑅 + 𝛿𝑢𝑅
(4.3.16)
odtud je
𝛿𝑢 = −2Ωδ𝑅
(4.3.17)
nahradíme-li ještě
𝛿𝑅 = −𝑟𝛿𝜑 sin 𝜑0
kde r je délka průvodiče polohy částice vycházející ze středu Země, dostáváme
𝛿𝑢 = 2Ω𝑟𝛿𝜑 sin 𝜑0
Význam tohoto vztahu je na obrázku.
(4.3.18)
(4.3.19)
69
Obrázek 4. 8. Vztah mezi 𝛿𝑅 a přírůstkem 𝛿𝑦 = 𝑟𝛿𝜑 po poledníku
Vydělíme-li předchozí vztah časovým přírůstkem 𝛿𝑡 a přejdeme-li limitě 𝛿𝑡 → 0, dostaneme
𝑑𝑢
𝑑𝜑
( )
= 2Ω𝑟
sin 𝜑0 = 2Ω𝑣 sin 𝜑0
𝑑𝑡 𝐶𝑜𝑟
𝑑𝑡
(4.3.20)
𝑑𝜑
kde 𝑣 = 𝑟 𝑑𝑡 je složka rychlosti severního směru.
Obdobně můžeme postupovat, když se částice bude pohybovat vertikálně na
rovnoběžce o zeměpisné šířce  0 . Zachování absolutního momentu hybnosti požaduje
zrychlení v zonálním směru rovné −2Ω𝑤 cos 𝜑0 , kde w je vertikální rychlost. V obecném
případě horizontálního i vertikálního pohybu platí
𝑑𝑢
( )
= 2Ω𝑣 sin 𝜑 − 2Ω𝑤 cos 𝜑
𝑑𝑡 𝐶𝑜𝑟
(4.3.21)
Tento vztah ovšem platí v obecném případě polárních souřadnic. Jakmile ale provedeme
rámci tradičních aproximací náhradu průvodiče r, za průvodič konstantní délky a se situace
poněkud změní. Všechny horizontální vzdálenosti měříme pak po povrchu Země a svislé
souřadnice v atmosféře, i když směřují do středu Země, považujeme v okolí studovaného
bodu na Zemi vzájemně rovnoběžné. Tím při vertikálním posunu, nemá-li se měnit její
moment hybnosti, se nemůže měnit ani rychlost částice, neboť její moment hybnosti je
součinem stále stejné délky ramene a s její rychlostí. Stejná situace je při použití kartézského
systému souřadnic v rovině libovolné mapy, neboť svislé souřadnice jsou k rovině mapy
kolmé a tedy rovnoběžné. V této situaci je změna rychlosti dána pouze pohybem částice ve
směru poledníku po povrchu Země. Při tomto pohybu se mění vzdálenost R od osy rotace
podle vztahu 𝑅 = 𝑎 sin 𝜑, kde 𝜑 je zeměpisná šířka počáteční polohy částice. Tato změna
zonální rychlosti u, je dána právě členem 2Ω𝑣 sin 𝜑.
70
4.4. Moment klouzavého vektoru vzhledem k ose
Než přikročíme ke studiu momentu hybnosti, vyjasníme si následující čtyři pojmy.
Pojem volného vektoru, vázaného vektoru, klouzavého vektoru, momentu klouzavého
vektoru vzhledem k bodu a momentu klouzavého vektoru vzhledem k ose. Tyto úvahy jsou
v podstatě určitou geometrickou abstrakcí dále studovaných fyzikálních pojmů. Je třeba
upozornit, že zejména ve fyzikálních aplikacích, kdy vektorem znázorňujeme sílu, zrychlení,
nebo rychlost, záleží často při porovnání vektorů na jejich umístění v prostoru. V tomto
smyslu je pak nutno někdy považovat za stejné vektory jenom ty, jež jsou znázorněny nejen
úsečkami téže délky, směru a orientace, ale jež jsou ještě vázány podmínkou, že leží na jedné
přímce, při jinak libovolném počátečním bodě na této přímce. Takovým vektorům se říká
klouzavé vektory. V učebnicích mechaniky je často studován moment síly aplikovaný na
pevné těleso, což je jednodušší. V meteorologii však potřebujeme zcela obecnou teorii.
Volný a vázaný vektor.
Obecně vektorem rozumíme volný vektor, ten je určen pouze svou velikostí a
směrem. Na rozdíl od toho je vázaný vektor určen nejenom svou délkou a směrem, ale jeho
počátek je umístěn do daného bodu. Příkladem vázaného vektoru může být průvodič bodu
vycházející z pevně zvoleného bodu, často z počátku souřadnic. V geometrii však pracujeme
obvykle s volnými vektory.
Klouzavé vektory
Dva klouzavé vektory budeme nazývat ekvivalentními, jestliže leží na jedné přímce a
mají stejný směr, stejnou délku a tedy také i orientaci. Je zřejmé, že klouzavé vektory kromě
souřadnic volných vektorů, které určují jejich směr a délku, musí být určeny ještě polohou
přímky, na které leží. To znamená také, že klouzavým vektorem můžeme pohybovat po této
přímce, aniž by se měnil.
Fyzikální důvody pro zavedení pojmu klouzavý vektor
Proč tento pojem zavádíme, vyplyne z následujícího příkladu mechaniky. Všimněme
si všeobecně známého pojmu moment síly, který popisuje účinek síly na tuhé těleso. Protože
těleso se může otáčet jak kolem bodu, tak kolem osy, zavádí se moment síly vzhledem k bodu
i vzhledem k ose. Je však třeba říci, že obecně bod nebo osa, ke které moment síly
vztahujeme, nemusí být totožný s bodem či osou kolem které se těleso otáčí. Moment síly F,
která působí v bodě určeným průvodičem r, který vychází z pevně zvoleného bodu O, je
definován jako vektor M, který je dán vektorovým součinem 𝐌 = 𝐫 × 𝐅. Je to tedy vektor
kolmý k rovině určené průvodičem r a vektorem F. Jeho velikost je rovna součinu délky obou
vektorů násobená sinem úhlu, který svírají. Vektor síly F je zde vázaným vektorem
umístěným v bodě daným průvodičem r. Posunujeme-li nyní vektorem F po přímce dané
směrem vektoru síly F, která prochází původní polohou průvodiče r, bude průvodič
posunovaného bodu 𝒓 + 𝝀𝑭 a moment je v tomto případě roven 𝐌 = (𝐫 + λ𝐅) × 𝐅 = 𝐫 × 𝐅 a
tedy se nemění. Tato skutečnost vede právě k definici a studiu klouzavých vektorů. V případě,
když průvodič, jehož koncový bod vytváří přímku klouzavého vektoru, je k této přímce
71
kolmý, neboli je-li průvodič r je kolmý k vektoru F, pak délka vektoru M je dána součinem
délek vektorů r a F a řekneme, že průvodič r je ramenem, na kterém tato síla F působí.
Moment síly vzhledem k ose je definován jako průmět momentu síly vzhledem k bodu
ležícím na této ose do této osy. Tento průmět můžeme chápat jako vektor mající směr této
osy, nebo docela jako skalární veličinu, která je orientovanou délkou tohoto vektoru, kladnou,
jestliže směr tohoto vektoru souhlasí s kladnou orientací této osy.
Moment klouzavého vektoru vzhledem k bodu O
Nechť O je pevně zvolený bod, který nazveme středem momentů. Studujme nyní klouzavý
vektor A ležící na přímce k, a umístíme jej tak, že vychází z bodu A.
Nechť r je průvodič vycházející ze středu momentů O do libovolného bodu M přímky k, a
nechť rO je průvodič do bodu A.
Přímku k pak můžeme parametricky vyjádřit vztahem
𝒓 = 𝒓𝒐 + 𝑨 ∙ 𝑡
(4.4.1)
kde t je parametr, nabývající libovolnou hodnotu.
Obrázek 4. 9. Moment klouzavého vektoru vzhledem k bodu O
Vztah, který nám ukazuje, že bod M daný průvodičem r leží na přímce k, odvodíme
z rovnoběžnosti vektorů A a r-rO. Jejich vektorový součin je pak roven nule a dá nám
následující rovnici
(𝐫 − 𝐫O ) × 𝐀 = 0
(4.4.2)
Odtud máme
𝐫 × 𝐀 = 𝐫O × 𝐀
(4.4.3)
Položme proto
𝐌O (𝐀) = 𝐫 × 𝐀
(4.4.4)
Ze vztahu (4.4.3) vidíme, že 𝐌O (𝐀) nezávisí na poloze vektoru A na přímce k.
Volný vektor 𝐌𝐎 (𝐀) daný vztahem (4.4.4) se nazývá momentem klouzavého vektoru
vzhledem ke středu O.
72
Geometrická interpretace vektoru 𝐌O (𝐀) je následující: tento vektor je kolmý k rovině určené
přímkou k a bodem O. Můžeme si jej představit tak, že vychází ze středu momentů O, což
ovšem není nutné, neboť je to volný vektor. Nyní si ukážeme, že klouzavý vektor A je určen
volnými vektory A a 𝐌O (𝐀) a středem momentů O.
Abychom to ukázali, podívejme se, jak je možné vypočítat opačnou hodnotu ze
skalárního a vektorového součinu. Studujme nejdříve vektorovou rovnici danou skalárním
součinem
𝐚∙𝐱=𝑝
(4.4.5)
Vektor a a skalár p nechť jsou zadány a my chceme určit vektor x. Tuto úlohu můžeme řešit
dělením skalárním součinem a∙ 𝐚 = 𝑎2 . Dosadíme-li do rovnice za x výraz
𝐚
𝐱 = 𝑝 𝑎2 ,
(4.4.6)
vidíme, že tento výraz je jedno z řešení této rovnice. Toto řešení však není jednoznačně
určeno, neboť levá strana rovnice se nezmění, když místo vektoru x vezmeme vektor
𝐚
𝐲 = 𝐱 + 𝐪 × 𝑎2 ,
(4.4.7)
kde q je libovolný vektor kolmý k vektoru a. Protože vektor q jsme zvolili kolmý k vektoru a
je vektorový součin na pravé straně roven nule. Řešením skalární rovnice (4.4.5) je proto
vektor
𝐚
𝐚
𝐱 = 𝑝 𝑎2 + 𝐪 × 𝑎2
(4.4.8)
Vezměme si nyní rovnici s vektorovým součinem
𝐚×𝐱=𝐪
(4.4.9)
Abychom tuto rovnici mohli řešit, je jasné, že z vlastnosti vektorového součinu musí být
vektor q kolmý k vektoru a. Ze známého vztahu pro vektorový součin
𝐚 × (𝐛 × 𝐜) = 𝐛(𝐚 ∙ 𝐜) − 𝐜(𝐚 ∙ 𝐛)
(4.4.10)
Dostaneme, že vektor
𝐚
𝐱 = 𝐪 × 𝑎2
(4.4.11)
splňuje rovnici (4.4.9), neboť
𝐚
𝐚
𝐚
𝐚 × (𝐪 × 𝑎2 ) = 𝐪 (𝐚 ∙ 𝑎2 ) − 𝑎2 (𝐚 ∙ 𝐪) =q
(4.4.12)
𝐚
Obecné řešení rovnice (4.4.9) dostaneme, když k němu přičteme člen 𝑝 𝑎2, kde p je libovolný
skalár. Neboť 𝐚 × 𝐚 = 0 je obecné řešení rovnice (4.4.9)
𝐚
𝐚
𝐱 = 𝐪 × 𝑎2 + 𝑝 𝑎2
Poznamenejme, že soustava rovnic (4.4.5) a (4.4.9) určuje řešení jednoznačně.
Aplikujeme-li řešení rovnice (4.4.9) na vektorovou rovnici (4.4.4) ve tvaru
𝐀 × 𝐫 = −𝐌O (𝐀)
kterou řešíme vzhledem k vektoru r, máme
𝐀
𝐫 = 𝐴𝟐 × 𝐌𝐨 (𝐀) + 𝜆𝐀
(4.4.13)
(4.4.14)
(4.4.15)
kde 𝜆 je libovolný skalár. Tím jsme ukázali, že vektor r, který považujme za průvodič
vycházející z bodu O, vytváří přímku k. Vektor A a moment 𝐌O (𝐀) tedy spolu s jeho
středem O, určuje klouzavý vektor A. Položíme-li ve vztahu (4.4.15) 𝜆 = 0, pak průvodič r
realizuje nejkratší vzdálenost bodu O od bodů přímky na níž klouzavý vektor leží a je také
k ní kolmý. Tento vektor je pak obdobou ramene síly vzhledem k středu O. Odtud zavedeme
tuto definici. Průvodič r vycházející ze středu momentů O, jehož konec leží na přímce
73
klouzavého vektoru A, kolmý k této přímce nazveme ramenem momentu MO. Délka
momentu MO je pak rovna součinu délek ramene momentu a délky vektoru A. To vyplývá
přímo ze vztahu (4.4.14), neboť v tomto případě, kdy jsou vektory r a A k sobě kolmé, je
délka vektorového součinu rovna součinu délek jeho činitelů.
Klouzavý vektor A vzhledem, k středu O, je tedy jednoznačně určen šesti složkami:
třemi souřadnicemi volného vektoru A a třemi složkami vektoru 𝑴𝑶 (𝑨).
Všimněme si ještě, že nalezených šest souřadnic, určujících vázaný vektor není
nezávislých. Z kolmosti vektorů A a 𝐌𝐎 (𝐀) vyplývá pro skalární součin 𝐀 ∙ 𝐌O (𝐀)=0.
Moment klouzavého vektoru A, který jsme označili 𝐌O (𝐀), nezávisí na volbě výchozího
bodu A, kam jsme klouzavý vektor pro odvození vztahů umístili a nezávisí tedy na poloze
průvodiče r. Moment klouzavého vektoru A je určen tedy pouze klouzavým vektorem A a
polohou středu momentů O.
Moment klouzavého vektoru vzhledem k ose
Nejdříve si vysvětleme, čím rozumíme projekcí vektoru na osu Oz.
Máme-li vektor a a jednotkový vektor k osy Oz, potom projekcí vektoru a na osu Oz
nazveme reálné číslo dané skalárním součinem 𝐚 ∙ 𝐤. Geometricky je to skutečně
orientovaná délka průmětu vektoru a na osu Oz. Geometricky ji dostaneme tak, že
z koncových bodů vektoru a vedeme roviny kolmé k ose Oz. Orientovaná vzdálenost těchto
dvou rovin je právě projekcí vektoru na osu Oz. Tyto dvě roviny kolmé k ose z, můžeme
považovat za souřadnicové roviny kartézského systému souřadnic. Číselně je hodnota
projekce vektoru a na osu Oz je dána délkou vektoru a násobenou cosinem úhlu, který svírá
směr tohoto vektoru s osou Oz. Kladné znaménko je dáno stejnou orientací projekce vektoru a
na osu Oz a vektoru k, který určuje orientaci osy Oz.
Předpokládejme, že máme zadánu osu Oz a klouzavý vektor A. Na ose zvolíme dva
libovolné body O1 a O2 .
Obrázek 4. 10. Moment vázaného vektoru vzhledem k ose
74
Dokážeme nyní následující tvrzení:
Projekce na osu Oz dvou momentů klouzavého vektoru A vzhledem ke středům O1 a
O2 , ležících na ose Oz, jsou si rovny.
Důkaz:
Označme průvodiče ze středů O1 a O2 do bodu umístění počátku klouzavého vektoru A
jako r1 a r2 a B vektor B=O2 –O1. Potom je
𝐫2 = 𝐫1 + 𝐁
(4.4.16)
Odtud máme
𝐌O2 (𝐀) = 𝐫2 × 𝐀 = 𝐫𝟏 × 𝐀 + 𝐁 × 𝐀 = 𝐌O1 (𝐀) + 𝐁 × 𝐀
(4.4.17)
Označme písmenem k jednotkový vektor osy Oz, potom délka projekce libovolného
vektoru na osu Oz je dána skalárním součinem tohoto vektoru s vektorem k. Vektor k, je však
rovnoběžný s vektorem B, a proto vektor 𝐁 × 𝐀 je kolmý k vektoru k a tedy (𝐁 × 𝐀) ∙ 𝐤 = 0,
odkud máme
𝐌O1 ∙ 𝐤 = 𝐌O𝟐 ∙ 𝐤
(4.4.18)
Čím je důkaz proveden.
Předchozí tvrzení umožňuje následující definici.
Definice: Projekci momentu M(A) klouzavého vektoru A vzhledem ke středu momentů O
ležícího na ose Oz, na osu Oz nazýváme momentem klouzavého vektoru A vzhledem k ose
Oz. Moment klouzavého vektoru vzhledem k ose Oz je tedy skalární veličinou. Podle
předchozího tvrzení definice momentu klouzavého vektoru vzhledem k ose nezávisí na volbě
bodu O na ose Oz.
Poznámka ke geometrické konfiguraci studovaných vektorů:
Přímka, na které leží klouzavý vektor A, a osa Oz, jsou obecně přímky mimoběžné.
Rovněž roviny, které jsou určené přímkou, na které leží klouzavý vektor A a různými středy
momentů ležících na ose Oz nejsou rovnoběžné, a proto ani momenty klouzavých vektorů
vzhledem k různým středům momentů ležícím na ose Oz nejsou rovnoběžné. Průměty těchto
momentů na osu Oz jsou však stejné.
Volný plošný element a jeho moment
Studujme libovolný element plochy roviny s pevně zvoleným směrem chodu po jeho
hranici. Dva plošné elementy budeme pokládat za stejné, jestliže leží v rovnoběžných
rovinách, mají stejnou plochu a stejný směr obcházení jejich hranice. Za kladnou orientaci
směru obcházení hranice, volíme směr proti pohybu hodinových ručiček. Protože v definici
plošného elementu nezáleží na jeho tvaru a poloze v prostoru, nazýváme jej svobodným
plošným elementem. Ke svobodnému plošnému elementu přiřadíme nyní vektor, který je
kolmý k rovině elementu, směřuje do poloprostoru vyťatém rovinou, ve které leží, a ze které
má obcházení jeho hranice kladnou orientaci, tedy proti směru hodinových ručiček. Délka
tohoto vektoru nechť je rovna ploše elementu. Tento vektor se nazývá momentem plošného
elementu, nebo také jeho doplňkem. Aplikujeme-li tuto obecnou definici plošného momentu
na kosodélník, který vytvoří dva vektory a, b, vycházející z jednoho bodu, je momentem
tohoto plošného elementu vektorový součin těchto vektorů a×b. Plocha elementu je rovna
součinu délek těchto vektorů násobená sinem úhlu, který svírají, což je všeobecně známou
vlastností vektorového součinu.
75
Objasněme si nyní geometrický smysl projekce momentu vektoru A vzhledem ke
středu O na ose Oz do osy Oz:
moment MO, jakožto vektorový součin 𝐌O = 𝐫 × 𝐀 je vektor kolmý k rovině určené
těmito dvěma vektory, jeho velikost MO je rovna ploše kosodélníka, jehož strany jsou tvořeny
vektory r a A vycházející ze stejného bodu. Projekce momentu MO na osu Oz je ekvivalentní
projekci plošného elementu tvořeného vektory r a A na libovolnou rovinu kolmou k ose Oz.
Označme α úhel, který svírá moment MO s osou Oz. Moment klouzavého vektoru A
vzhledem k ose Oz je roven délce vektoru MO násobeného cos α. Proveďme nyní ortogonální
projekci kosodélníka vytvořeného vektory r a A, na zmíněnou rovinu kolmou k ose Oz, pak
dostaneme kosodélník, jehož strany nechť tvoří vektory, které označme r1, A1. Plocha tohoto
kosodélníka je rovna ploše původního kosodélníka násobeného rovněž cos 𝛼, neboť roviny
těchto kosodélníků svírají úhel který je roven úhlu momentu MO s osou Oz. Průmět momentu
MO na osu Oz je stejně velký jako délka vektorového součinu průmětů r1, A1. Moment
klouzavého vektoru A1 vzhledem ke středu momentů který jsme zvolili jako průsečík osy Oz
s kolmou rovinou, na kterou jsme promítali je rovnoběžný s osou Oz. Jeho délka je tedy rovna
jeho projekci na osu Oz.
Závěr: Chceme-li najít moment klouzavého vektoru A vzhledem k ose Oz, pak stačí provést
ortogonální projekci vektoru A na libovolnou rovinu kolmou k ose O. Tento průmět
označme A1. Pak stačí nalézt moment vektoru A1 vzhledem k centru momentu, za který
zvolíme průsečík osy Oz se zvolenou rovinou kolmou k ose Oz. Tento průsečík označme O1.
Tím je řešení této úlohy převedeno do roviny kolmé k ose Oz.. Moment klouzavého vektoru
A vzhledem k ose Oz je stejný jako moment vektoru A1 vzhledem k bodu O1 na ose Oz.
Protože moment vektoru A1 vzhledem bodu O1 je rovnoběžný s osou Oz, je jeho projekce na
osu Oz přímo délka tohoto vektoru.
Obrázek 4. 11. Průmět klouzavého vektoru do roviny kolmé k ose rotace
4.5. Zákon zachování momentu hybnosti
Moment hybnosti hmotného bodu
Obdobně jako jsme definovali moment klouzavého vektoru A vzhledem ke středu O,
je ve fyzice definován moment hybnosti hmotného bodu vzhledem ke středu O jako vektor
M daný vztahem
76
𝐌 = 𝑚𝐫 × 𝐯
(4.5.1)
kde r je průvodič hmotného bodu vycházející ze středu O, m hmotnost bodu, a v je vektor
jeho rychlosti. Součin mv je tedy hybnost hmotného bodu. Moment hybnosti, (anglicky
angular momentum), vzhledem k danému bodu prostoru O, je česky nazýván také točivostí.
Obdobným způsobem je také definován moment síly. Nechť r je průvodič hmotného bodu B,
který vychází z bodu O, a nechť na hmotný bod B působí síla F. Momentem síly vzhledem
k bodu O, nazýváme vektor 𝐌(𝐅), definovaný vztahem
𝐌(𝐅) = 𝐫 × 𝐅
(4.5.2)
Studujme nyní individuální časovou změnu momentu hybnosti. To ovšem provedeme
v inerciální soustavě souřadnic. Derivujeme-li nyní vztah (4.5.1) dostaneme
𝑑𝐌
𝑑𝐫
𝑑𝐯
= 𝑚 × 𝐯 + 𝑚𝐫 ×
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(4.5.3)
Vezmeme-li v úvahu, že
𝑑𝐫
𝑑𝑡
𝑑𝐫
= 𝐯 a že součin 𝑑𝑡 × 𝐯 = 𝐯 × 𝐯 = 0 má předchozí rovnice tvar
𝑑𝐌
𝑑𝐯
= 𝑚𝐫 ×
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(4.5.4)
V inerciální soustavě má druhý Newtonův zákon tvar
𝑑𝐯
𝑚
=𝐅
𝑑𝑡
(4.5.5)
kde F je síla působící na hmotný bod. Dosadíme-li tento vztah do (4.5.4) máme
𝑑𝐌
= 𝐫 × 𝐅 = 𝐌(𝐅)
𝑑𝑡
(4.5.6)
Vztah (4.5.6) se nazývá „zákonem zachování momentu hybnosti“, neboli česky též méně
používaným „zákonem zachování točivosti“, anglicky „angular momentum princip“.
Tento zákon vyjadřuje následující tvrzení: individuální časová změna momentu hybnosti,
(která se také nazývá absolutním momentem hybnosti, neboť tento vztah je vyjádřen
v inerciální soustavě), je rovna momentu sil působících na hmotný bod.
Vztah (4. 5. 6) je možné považovat za druhý Newtonův zákon pro studium rotačních
pohybů.
V meteorologii je obvyklejší, druhý Newtonův zákon formulovat pro hmotný bod
v inerciálním systému, který je interpretován jako vzduchová částice jednotkové hmotnosti.
V tomto případě můžeme druhý Newtonův zákon psát ve tvaru
𝑑𝐯
=𝐅
𝑑𝑡
(4.5.7)
kde síla F je rovněž vztažena k jednotce hmotnosti. Pohybové rovnice meteorologie se však
používají v rotujícím systému spojeném pevně se Zemí. Směr osy rotace Země i rychlost její
rotace považujeme pro účely meteorologie za konstantní.
77
Pro studium všeobecné cirkulace je v meteorologii důležitý absolutní moment hybnosti
vzhledem k zemské ose, tedy v systému, který nerotuje se Zemí. Vektor rychlosti částice,
vzhledem k tomuto inerciálnímu systému, je roven součtu rychlosti vůči Zemi a rychlosti
dané rotací Země. Proto složky rychlosti zvolené částice v systému nerotujících sférických
souřadnic jsou 𝒗𝒂 = (𝑢 + Ω𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑣, 𝑤). Počátek vektoru rychlosti umístíme do polohy, kde
se částice nachází. Tím je určen i přímka, na které vektor rychlosti leží, který proto můžeme
považovat za klouzavý vektor. Tento vektor promítneme do roviny kolmé k ose Země
procházející bodem, polohy částice. Průmětem vektoru 𝒗𝒂 do této roviny označme 𝐯̂𝐚 . Protože
průměty složek vektoru rychlosti ležící v rovině poledníku, jsou rovnoběžné s průmětem
průvodiče částice, je jejich vektorový součin roven nule. Dále zonální složka 𝑢 + Ω𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 je
kolmá na průvodč r, a průvodič je tedy ramenem momentu hybnosti. Uvažujeme-li průmět
vektoru rychlosti 𝐯̂𝐚 jakožto vektorový součet jeho složek, dostáváme, že vektorový součin
𝐫 × 𝐯̂𝐚 kolmý k rovině průmětu a moment vektoru 𝒗𝒂 vzhledem k ose Země je roven součinu
délek těchto vektorů. Tato hodnota, kterou označme jako 𝜇 se nazývá absolutním momentem
hybnosti vzhledem k ose Země 𝝁. Absolutní moment hybnosti vzhledem ose Země je tedy
roven součinu zonální rychlosti v inerciální soustavě se vzdáleností od osy rotace Země. Je
tedy
𝜇 = 𝑟 cos 𝜑(𝑢 + Ω𝑟 cos 𝜑) = 𝑟 cos 𝜑 𝑢 + Ω𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑
(4.5.8)
Hodnotu momentu hybnosti vzhledem k ose Země můžeme odvodit také přímo z jeho
definice ve vektorovém tvaru. Pro částici jednotkové hmotnosti v atmosféře je moment
hybnosti vzhledem k bodu na ose rotace dán podle (4.5.1) vektorovým součinem
𝐌=𝐫×𝐯
(4.5.9)
Tento vztah platí v inerciální nerotující soustavě souřadnic. Kde r je průvodič částice
vycházející ze středu zemské sféry a v je vektor rychlosti částice. V nerotující - absolutní
sférické soustavě má tento vektor složky
𝐯 = (u + Ωr cos φ, v, w)
(4.5.10)
Složky vektoru M pak vypočteme z vektorového součinu
𝐢
0
𝐌=|
𝑢 + 𝛺𝑟 cos 𝜑
𝐣 𝐤
𝟎 𝑟|
𝑣 𝑤
(4.5.11)
Je tedy
𝐌 = (−𝑟𝑣, 𝑟(𝑢 + 𝛺𝑟 cos 𝜑), 0)
(4.5.12)
Abychom dostali moment hybnosti vzhledem k ose Země 𝜇, je třeba ještě moment M
vzhledem k bodu na ose Země násobit skalárně jednotkovým vektorem osy Země Oz. Tento
vektor má stejnou orientaci jako vektor rotace Země Ω, liší se tedy svou jednotkovou délkou.
Je tedy
𝐎𝐳 = (0, cos 𝜑, sin 𝜑)
(4.5.13)
78
Dostáváme tak
𝜇 = 𝐌 ∙ 𝐎𝐳 = 𝑟 cos 𝜑 (𝑢 + Ω𝑟 cos 𝜑)
(4.5.14)
Což je stejný výsledek jako (4.5.8).
Poznamenejme ještě, že tento absolutní moment hybnosti se skládá ze dvou členů. První člen
je nazýván relativním momentem hybnosti a druhý člen obsahující úhlovou rychlost rotace
Země Ω se nazývá Ω-momentem hybnosti.
Nyní je třeba vysvětlit, proč se zachováním momentu hybnosti v atmosféře zabýváme. Důvod
je jednoduchý, moment hybnosti je důležitým parametrem pro zachování střední zonální
cirkulace.
Zachování střední zonální cirkulace
Ze studia rozložení středního zonálního větru u povrchu Země vyplývá, že v zóně
západního přenosu (ve středních zeměpisných šířkách) má napětí tření na povrchu Země
východní složku. Analogicky v zóně východního větru (v rovníkové oblasti) má napětí tření
na povrchu Země západní složku. Země má sice určitá sezónní úhlová zrychlení, avšak
pozorovatelné změny delší periody úhlové rychlosti rotace Země nebyly zjištěny. Celkový
vliv napětí tření musí být proto roven nule.
Zároveň s tím, jak pohyb atmosféry vyvolává napětí tření na povrchu Země, tak podle
třetího Newtonova zákona působí Země stejnou silou opačného směru na atmosféru. V oblasti
tropů, kde převládá přízemní východní vítr, je atmosféra tažena třením na východ. V tropické
zóně proto vzniká absolutní moment hybnosti, který nazýváme kratčeji momentem hybnosti,
od otáčející se Země. Totéž platí i o zóně polárních východních větrů, ale díky malému
ramenu páky velikost momentu hybnosti předávaná Zemí atmosféře je velmi malá. Zóna
západního přenosu středních zeměpisných šířek naopak předává moment hybnosti pevnému
povrchu Země.
Tyto výše popsané zóny existují během dlouhých časových period, proto přebytek
momentu hybnosti v tropické a polární atmosféře musí být předáván do zóny západního
přenosu. Zde zase musí být moment hybnosti přenášen dolu k povrchu Země, aby byla
kompensována ztráta momentu hybnosti v dolních vrstvách v důsledku tření. Zdůrazněme, že
přenos momentu hybnosti vysvětluje spíše zachování obecné cirkulace, než její vznik.
Studiem rovnováhy momentu hybnosti můžeme však obdržet cenné informace o rozvoji
všeobecné cirkulace. Proto je zachování absolutního momentu hybnosti vzhledem k ose Země
pro správné modelování všeobecné cirkulace meteorologickými modely důležité.
Zachování absolutního momentu hybnosti
Zákon zachování momentu hybnosti vzhledem k danému středu je dán vektorovým
vztahem (4.5.6)
79
𝑑𝐌
= 𝐫 × 𝐅 = 𝐌(𝐅)
𝑑𝑡
(4.5.15)
Abychom odvodili zákon zachování momentu hybnosti vzhledem k ose Země, násobíme
předchozí vztah skalárně jednotkovým vektorem k ležícím na ose Země. Prvou stranu
předchozí rovnice můžeme upravit stejně, jako jsme upravili moment hybnosti vzhledem
k ose Země, dostaneme tak, že moment síly vzhledem k ose Země na pravé straně této rovnice
je roven součinu složky síly ve směru rovnoběžky, kterou označme 𝐹𝜆 s délkou ramene síly,
která je rovna 𝑟 cos 𝜑 . Zákon zachování momentu hybnosti vzhledem k ose Země můžeme
pro částici jednotkové hmotnosti psát v inerciální soustavě ve tvaru
𝑑
𝑑
𝑑
𝜇 = (𝑟 cos 𝜑(𝑢 + Ω𝑟 cos 𝜑)) = (𝑟 cos 𝜑 𝑢 + Ω𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑) = 𝑟 cos 𝜑 𝐹𝜆
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(4.5.16)
Tento zákon tedy říká, že absolutní moment hybnosti individuální částice se může měnit
pouze momentem síly a to gradientem tlaku v zonálním směru a třením. Tento moment síly
je dán členem 𝒓 𝒄𝒐𝒔 𝝋 𝑭𝝀 .
Nyní si ukážeme, že rovnice změny hybnosti v obecném tvaru (4.2.16) až (4.2.19)
splňují zákon zachování momentu hybnosti částice vzhledem k ose Země. Mělo by to být
zcela přirozené, neboť jak jsme viděli při fyzikálně názorném odvození Coriolisových členů
rovnic hybnosti (4.3.14) až (4.3.21), jsme použili právě zákon zachování momentu hybnosti.
K odvození zákona zachování absolutního momentu hybnosti nám stačí pouze rovnice
(4.2.16) popisující změnu zonální rychlosti
𝑑𝑢
𝑢
= 𝐹𝜆 + (2Ω +
) (𝑣 sin 𝜑 − 𝑤 cos 𝜑)
𝑑𝑡
𝑟 cos 𝜑
(4.5.17)
která je formulována v rotujícím systému souřadnic. Předchozí rovnici vynásobíme činitelem
𝑟 cos 𝜑, dostaneme tak
𝑑𝑢
𝑟 cos 𝜑
+ 𝑢𝑤 cos 𝜑 = 2Ω𝑟 cos 𝜑 (𝑣 sin 𝜑 − 𝑤 cos 𝜑) + 𝑢𝑣 sin 𝜑 + 𝑟 cos 𝜑𝐹𝜆
𝑑𝑡
(4.5.18)
Derivováním součinu 𝑟 cos 𝜑 𝑢 s použitím definice vertikální složky rychlosti 𝑤 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
a
skutečnosti, že při advekci částice v meridionálním směru se mnění její vzdálenost od osy
rotace v závislosti na zeměpisné šířce 𝜑, a tedy 𝜑 je při derivování proměnná, dostaneme
𝑑
𝑑𝑢
𝑑
𝑑𝑢
(𝑟 cos 𝜑 𝑢) = 𝑟 cos 𝜑
+ 𝑢 (𝑟 cos 𝜑) = 𝑟 cos 𝜑
+ 𝑢𝑤 cos 𝜑 − 𝑢𝑣 sin 𝜑
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(4.5.19)
Pro odvození tohoto vztahu bylo třeba vyjádřit absolutní derivaci součinu 𝑟 cos 𝜑. Vzhledem
k tomu, že r nezávisí na čase t ani na x a 𝜑 nezávisí navíc na r a je 𝜑 = 𝑦/𝑟 máme
𝑑
𝜕
𝑦
𝜕
(𝑟 cos 𝜑) = 𝑣 (𝑟 cos ) + 𝑤 (𝑟 cos 𝜑) = −𝑣 sin 𝜑 + 𝑤 cos 𝜑
𝑑𝑡
𝜕𝑦
𝑟
𝜕𝑟
(4.5.20)
Do vztahu (4.5.19) dosadíme za první dva členy pravé strany (4.5.18). Dostaneme tak
80
𝑑
(𝑟 cos 𝜑 𝑢) = 2Ω𝑟 cos 𝜑 (𝑣 sin 𝜑 − 𝑤 cos 𝜑) + 𝑟 cos 𝜑𝐹𝜆
𝑑𝑡
(4.5.21)
obdobně jako vztah (4.5.19) obdržíme derivováním
𝑑
𝑑
(Ω𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑) = Ω (𝑟 cos 𝜑)2 = 2Ω𝑟 cos 𝜑 (𝑣 sin 𝜑 − 𝑤 cos 𝜑)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(4.5.22)
Sečtením vztahů (4.5.21) a (4.5.22) máme
𝑑
(𝑟 cos 𝜑 𝑢 + Ω𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑) = 𝑟 cos 𝜑𝐹𝜆
𝑑𝑡
(4.5.23)
Shrňme si nyní předchozí výsledek. Pro popis pohybu atmosféry rovnicemi
hydrodynamiky jsou v článku Normana Phillise [8], uvedena následující zjednodušení. Je
použit systém sférických souřadnic s počátkem ve středu Země, kde r je sférická souřadnice
(délka průvodiče částice),  zeměpisná délka,  zeměpisná šířka. Vzhledem k malé elipticitě
Země, klademe-li hladinu moře do r  a , tedy na referenční kulovou plochu aproximující
Zemi, zemská tíže nemá  -složku, což je adekvátní pro exaktní analýzu atmosférických
pohybů. Relativní složky rychlosti jsou pak dány vztahy (4.2.2) a rovnice změny hybnosti
vztahy (4.2.16) až (4.2.18). Přestože tyto rovnice nejsou tedy zcela exaktní, neboť jsou
založeny na předpokladu, že elipticita Země je malá a blízko povrchu Země se geografická
šířka liší jen málo od geocentrické šířky, jsou adekvátní pro popis pohybu atmosféry.
Předchozí předpoklady se dále studovaných aproximací netýkají, nicméně se v dalších
studiích používají pro matematické zjednodušení formulace rovnic. V předchozím studiu jsme
ukázali, že zjednodušení v rovnicích (4.2.16) až (4.2.18) neporušuje zákon zachování
absolutního momentu hybnosti.
Pro jednodušší a snadnější užití při numerické předpovědi počasí se tato soustava dále
zjednodušuje. Toto zjednodušení, které je základem „tradičních aproximací“ spočívá
v záměně sférické souřadnice r poloměrem a zemské sféry. Zavádí se souřadnice
z, definovaná vztahem z = r - a. Všechny horizontální vzdálenosti v atmosféře jsou pak
měřeny po povrchu zemské sféry. Soustava rovnic hybnosti je pak tvaru (4.2.19) až (4.2.22).
Po této aproximaci má ale tato soustava závažný nedostatek, nesplňuje princip zachování
absolutního momentu hybnosti. To způsobuje člen úměrný 𝑤 cos 𝜑. Jestliže tento člen
v rovnici (4.2.20) vynecháme, rovnice přejde do tvaru
𝑑𝑢′
𝑢′
= 𝐹𝜆 + (2Ω +
) 𝑣′ sin 𝜑
𝑑𝑡
𝑎 cos 𝜑
(4.5.24)
Po této úpravě můžeme stejným způsobem ukázat, že soustava splňuje princip zachování
absolutního momentu hybnosti, ovšem ve tvaru, kde r = a
𝑑
(𝑎 cos 𝜑(𝑢′ + Ω𝑟 cos 𝜑)) = 𝑎 cos 𝜑 𝐹𝜆
𝑑𝑡
(4.5.25)
Tato skutečnost se mi jeví jako přirozený důsledek toho, že délka ramene momentu v tomto
případě nezávisí na vertikální souřadnici a zůstává stále rovna 𝑎 cos 𝜑 a rovněž složka
rychlosti u, při posunu částice ve svislém směru se nemění. Změnu ramene momentu
81
způsobuje pouze posun ve směru poledníku, rameno momentu je pak funkcí zeměpisné šířky
𝜑.
V následující kapitole 6., která pojednává o transformaci rovnic do křivočarých souřadnic,
tedy i do sférických souřadnic, vycházíme ze zápisu rovnic v tak zvaném invariantním tvaru
𝑑𝒗
1
= 𝑭 + 𝒈 − 𝛁 ( 𝒗2 ) + 𝒗 × 𝑟𝑜𝑡(𝒗 + 𝒗𝑒 )
𝑑𝑡
2
(4.5.26)
Kde 𝒗𝑒 je vektor rychlosti východního směru o velikosti Ωℎ𝜆 = Ω𝑟 cos 𝜑. V šesté kapitole, i
když jsou studovány rovnice mělké vody, tato skutečnost pro horizontální aproximaci
nesnižuje obecnost. Výsledkem transformace do sférického systému je, že druhá rovnice
(4.2.21) vychází bez členu s vertikální rychlostí w, tedy ve tvaru
𝑑𝑣′
𝑢′
= 𝐹𝜑 − (2Ω +
) 𝑢′ sin 𝜑
𝑑𝑡
𝑎 cos 𝜑
(4.5.26)
Pro globální modely je v současné době vždy rovnice pro změnu vertikální rychlosti w
redukována na hydrostatickou rovnici.
Otázkou zachování momentu hybnosti se při formulacích modelů atmosféry zabýval
ve svém článku o „tradičních aproximacích“ pro mělkou rotující atmosféru Norman Phillips
[8]. Ve svém článku se zabýval dlouho trvající nejasností atmosférické dynamiky, kterou je
role Coriolisova členu úměrného cosinu zeměpisné šířky. V hydrostatických problémech je
tento člen z mnoha logických důvodů ignorován, ale jak upozorňuje Ecart [1] (1960, str. 95101), jeho význam v nehydrostatických problémech není tak jasný. Eckart ovšem studuje
tento problém pro linearizované rovnice metodou perturbací. Jeho poznámka je co se týče tak
zvaných nehydrostatických, neboli plně stlačitelných modelů značně skeptická, „neboť
poskytuje racionální důvody pro to, abychom se vzdali studia obecného pohybu v mělké
atmosféře“.
Shrneme-li nyní co je hlavním předmětem studia „tradičních aproximací“, můžeme
říci, že je to upřesnění formulace řídících rovnic pohybu atmosféry zejména ve sférických
souřadnicích.
Pro formulaci rovnic je možné vzhledem k malé elipticitě Země použít sférické
souřadnice, s tím, že úroveň hladiny moře klademe na povrch sféry o poloměru a, nečiníme
rozdíl mezi skutečnou a geocentrickou zeměpisnou šířkou a síla zemské tíže nemá 𝜑-složku.
Ukazuje však, že zjednodušení takto formulovaných rovnic tím, že jednoduše sférickou
souřadnici r nahradíme konstantou – poloměrem Země a vede k porušení principu zachování
absolutního momentu hybnosti. Aby tato rovnice neměly tuto vadu, je třeba tato rovnice
upravit. Tato úprava spočívá ve vynechání několika členů rovnic. Pro formulaci rovnic ve
křivočarých souřadnicích a to i ve sférických souřadnicích, je lepe vycházet z rovnic v tak
zvaném invariantním tvaru (4.5.25) a příslušné operátory nahradit jejich tvarem v křivočarých
souřadnicích.
Závěrem můžeme ještě jinak objasnit základní princip a důsledky „tradičních
aproximací“ pro formulaci modelu ve sférických souřadnicích. Ten spočívá v tom, že
vzhledem k malé tlušťce atmosféry studované v meteorologických modelech vzhledem
82
k jejím horizontálním rozměrům, tím že v rovnicích nahradíme polární souřadici r poloměrem
Země a, tím první difefenciální forma v atmosféře nezávisí na výšce nad hladinou moře a
všechny horizontální vzdálenosti jsou měřeny v úrovni hladiny moře. To znamená, že
vzdálenost dvou bodů daných jejich zeměpisnými souřadnicemi zůstává v modelu stále stejná,
ať jsou na povrchu Země či vysoko v atmosféře, kde jejich skutečná vzdálenost nad povrchem
sféry je větší. Právě tato skutečnost má za důsledek, že po tomto zjednodušení geometrie
modelu, je třeba vynechat Coriolisovy členy, které vyjadřují změnu hybnosti v závislosti
na pohybu ve vertikálním směru.
Rovnice, kterými se řídí pohyb atmosféry, odvodíme v kapitole 6. ještě jiným
způsobem. Tento způsob, který je v této šesté kapitole použit pro odvození rovnic
používajících v horizontále ortogonální systém souřadnic na konformní mapě, je možné
použít i pro sférické souřadnice. Tento způsob již v sobě zahrnuje skutečnost, že horizontální
vzdálenost měříme v rovině mapy. Dostaneme takto stejný tvar rovnic jako po zanedbání
členů v důsledku použití „tradičních aproximací“. Je tedy zřejmé, že i model používající
sférické souřadnice počítáme po zavedení „tradičních aproximací“ stejně jako lokální model
nad rovinnou oblastí, na které jsou skutečné vzdálenosti dány první diferenciální formou
sférické plochy. Svislé přímky, ve směru kterých působí síla zemské tíže, jsou rovnoběžné
s osou z a kolmé k rovině znázorňující povrch Země. Pro model, který jako systém
horizontálních souřadnic používá konformní mapu, jsou pak skutečné vzdálenosti bodů v této
rovině dány Lameovými koeficienty této konformní mapy, tedy zkreslením mapy.
Literatura:
[1] Eckart, C.: Hydrodynamics of Ocean and Atmosphere. Pergamonn Press, New York 1960.
[2] Haltiner G. J., Martin F. L.: Dynamical and Physical Meteorology. New York Toronto
London 1957
[3] Holton James R.: En Introduction to Dynamic Meteorology. Academic press, New York
and London 1972
[4] Kilčevskij N. A: Kurs teoretičeskoj mechaniky. Nauka, Moskva 1977.
[5] Kvasnica Josef a kolektiv: Mechanika, Academia Praha 1988
[6] Pechala František, Bednář Jan: Příručka dynamické meteorologie, Academia Praha 1991
[7] Phillips Norman A, Sborník, redaktor Morel P. A.: Dynamic Meteorology Sumer School,
Springer 1973
[8] Phillips Norman A.: The Equations of Motion for a Shallow Rotating Atmosphere and the
“Traditional Approximation”. Journal of the Atmospheric Science Vol. 23 p. 626-628, (1966)
[9] Thompson Phillip D.: Numerical Weather Analysis and Prediction, The Mack Millan
Company New York 1961
[10] Veronis George: Comments on Phillips’ Proposed Simplification of the Equations of
Motion for a Shallow Rotating Atmosphere. With Reply by Norman Phillips, Journal of the
Atmospheric Science Vol. 25 p. 1154-1157, (1968)
83
5. Rovnice mělké vody – divergentní barotropní model
Formulace rovnic mělké vody a jejich různé tvary
Jedním z jednoduchých modelů atmosféry, ve kterém se dá studovat mnoho jevů
probíhajících v atmosféře, zejména vlnových pohybů atmosféry, jsou rovnice mělké vody.
Tyto rovnice v podstatě popisují divergentní barotropní model atmosféry. Rovnice mělké
vody se také často používají k testování numerických metod používaných v předpovědních
numerických modelech.
Model mělké vody vychází z představy, že atmosféra se skládá z dvou vrstev nestlačitelné
kapaliny v hydrostatické rovnováze, které se spolu nemísí a mezi nimiž je rozhraní, které je
dáno přibližně horizontálně položenou plochou. Tuto plochu nazýváme hladinou mělké vody.
Síla zemské tíže nechť působí ve svislém směru a je všude konstantní. Dále předpokládáme,
že spodní vrstva kapaliny leží na pevném rovinném povrchu, tedy zemský povrch je zde
aproximován rovinnou, a její tloušťka je malá ve srovnání s horizontální oblastí, ve které
problém studujeme. Horní vrstvu si můžeme představit jako nekonečně silnou a
předpokládáme, že v nějaké pevně zvolené výšce z nad povrchem země je horizontální
gradient tlaku nulový. Z fyzikálních předpokladů vyplývá název modelu, neboť atmosféru
skutečně modelujeme jako tenkou vrstvu kapaliny - vody.
Studujme nejdříve horizontální gradient tlaku. Nechť x, y, z je systém pravoúhlých
souřadnic. Souřadnice x, y klademe do roviny podkladu. Souřadnice z je vertikální
souřadnicí a vyjadřuje výšku nad rovinou podkladu. Výšku rozhraní, tedy výšku hladiny
mělké vody v daném bodě označujeme písmenem h . Nechť  1 označuje hustotu kapaliny
spodní vrstvy a  2 označuje hustotu kapaliny horní vrstvy a hustota vrchní vrstvy  1 je
menší, než hustota dolní vrstvy, takže systém je stabilní. Nejdříve ukážeme, že horizontální
gradient tlaku na vertikální přímce (rovnoběžné s osou z ) je uvnitř obou vrstev konstantní.
Derivujme hydrostatickou rovnici podle x
𝜕𝑝
= −𝑔𝜌
𝜕𝑧
(5.1.1)
Pravá strana je součinem konstanty tíhového zrychlení a hustoty a je tedy konstantní, proto
levá strana je rovněž konstantní. Je tedy spojitá a parciální derivace tlaku p podle x,y jsou
rovněž spojité funkce x,y a tedy záměnné, proto máme
𝜕 𝜕𝑝
𝜕 𝜕𝑝
( )=
( )=0
𝜕𝑥 𝜕𝑧
𝜕𝑧 𝜕𝑥
(5.1.2)
𝜕𝑝 𝜕𝑝
obdobně ve směru osy y. Proto horizontální gradient tlaku (𝜕𝑥 , 𝜕𝑦) je ve vertikálním směru
uvnitř vrstev konstantní. Podle předchozího předpokladu je horizontální gradient tlaku ve
vrchní vrstvě všude nulový. Horizontální gradient tlaku se tedy mění pouze přechodem přes
84
rozhraní vrstev. Vztah pro hodnotu horizontálního gradientu tlaku ve spodní vrstvě odvodíme
diferenční úvahou dle obrázku 5. 1. Tato úvaha je velmi názorná.
Obrázek 5.1. K výpočtu gradientu tlaku pro model mělké vody
Z obrázku je vidět, že přírůstek tlaku ve dvou blízkých bodech na ose x vzdálených od sebe
∆𝑥, je dán u prvního z nich, který leží na hranici obou vrstev, přírůstkem tlaku ve svislém
sloupci horní vrstvy a je z hydrostatické rovnice roven 𝑔𝜌2 ∆𝑥 𝜕ℎ⁄𝜕𝑥. Pro druhý bod, jehož
přírůstek tlaku ve svislém směru je dán kapalinou dolní vrstvy je přírůstek tlaku roven
𝑔𝜌1 ∆𝑥 𝜕ℎ⁄𝜕𝑥 . Přírůstek tlaku po úsečce ∆𝑥 je pak roven rozdílu těchto dvou přírůstků tlaku
ve svislém směru
𝜕ℎ
∆𝑝 = 𝑔(𝜌1 − 𝜌2 )∆𝑥
𝜕𝑥
(5.1.3)
vydělením vzdáleností x obou bodů a přechodem k limitě x  0 dostaneme
𝜕𝑝
𝜕ℎ
= 𝑔(𝜌1 − 𝜌2 )
𝜕𝑥
𝜕𝑥
(5.1.4)
Obdobný vztah můžeme odvodit také pro osu y
𝜕𝑝
𝜕ℎ
= 𝑔(𝜌1 − 𝜌2 )
𝜕𝑦
𝜕𝑦
(5.1.5)
Můžeme tedy říci, že horizontální gradient tlaku ve spodní vrstvě nezávisí na výšce. Závisí
pouze na sklonu rozhraní obou vrstev (sklonu hladiny mělké vody) a je úměrný rozdílu jejich
hustot.
Pro odvození pohybových rovnic předpokládáme ještě následující: kapalina se
pohybuje bez tření a nemá ani vnitřní tření (vazkost), ani tření vzhledem k podkladové ploše.
Volně bez tření tedy klouže po povrchu země (podkladové ploše). Dále ještě předpokládejme,
85
že rozložení horizontálních složek rychlosti v dolní vrstvě nezávisí na výšce., je tedy s výškou
konstantní a rozložení horizontálních složek rychlosti pro dolní vrstvu závisí tedy pouze na
proměnných x, y. V horní vrstvě pohyb neuvažujeme, neboť je nulový. Pro částice jednotkové
hmotnosti můžeme v dolní vrstvě psát zákon zachování hybnosti v obvyklém tvaru
𝑑𝑢
1 𝜕𝑝
− 𝑓𝑣 +
=0
𝑑𝑡
𝜌1 𝜕𝑥
(5.1.6)
𝑑𝑣
1 𝜕𝑝
+ 𝑓𝑢 +
=0
𝑑𝑡
𝜌1 𝜕𝑦
(5.1.7)
Z uvedených rovnic vyplývá, že stačí požadovat, aby rozložení horizontálních složek rychlosti
s výškou bylo konstantní pouze v počátečním časovém okamžiku. Protože všechny členy
předchozích rovnic nezávisí na vertikální souřadnici, pak i zrychlení a horizontální složky
rychlosti budou rovněž nezávislé na souřadnici z, což můžeme vyjádřit vztahem
𝜕𝑢 𝜕𝑣
=
=0
𝜕𝑧 𝜕𝑧
(5.1.8)
Použijeme-li vztahů (5.1.4), (5.1.5) a (5.1.8) a rozepíšeme-li individuální časovou změnu,
můžeme rovnice pro změnu hybnosti v dolní vrstvě mělké vody psát ve tvaru
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜌2 𝜕ℎ
+𝑢
+𝑣
− 𝑓𝑣 + 𝑔 (1 − )
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜌1 𝜕𝑥
(5.1.9)
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜌2 𝜕ℎ
+𝑢
+𝑣
+ 𝑓𝑢 + 𝑔 (1 − )
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜌1 𝜕𝑦
(5.1.10)
Klademe-li hustotu horní vrstvy nulovou  2  0 , pak model mělké vody nazveme
jednovrstvým. V tomto případě mají rovnice pro změnu hybnosti tvar
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕ℎ
+𝑢
+𝑣
− 𝑓𝑣 + 𝑔
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥
(5.1.11)
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕ℎ
+𝑢
+𝑣
+ 𝑓𝑢 + 𝑔
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦
(5.1.12)
V tomto případě je horizontální gradient tlaku ve vrstvě mělké vody roven horizontálnímu
gradientu geopotenciálu Φ = 𝑔ℎ hladiny mělké vody. Rovnice obou modelů mělké vody
86
(5.1.9), (5.1.10) a (5.1.11), (5.1.12) dvouvrstvého a jednovrstvého modelu jsou v podstatě
stejné a liší se pouze konstantním koeficientem ve členu gradientu tlaku. Z toho je vidět, že
dvouvrstvý model mělké vody je ekvivalentní s jednovrstvým modelem mělké vody se
zmenšenou hodnotou konstanty tíhového zrychlení. Místo dvouvrstvého modelu můžeme
proto studovat jednovrstvý model s hodnotou konstanty tíhového zrychlení.
𝜌2
𝑔∗ = 𝑔 (1 − )
𝜌1
Poznámka: Tohoto triku použili Houghton – Kasahara – Washington při testování
numerického řešení. Aby rychlost gravitačních vln při testu byla blízká reálné atmosféře, kde
pro studovanou tlakovou hladinu uvažovali poměr hustot horní a dolní vrstvy 0.86 použili
jednovrstvý model s konstantou tíhového zrychlení rovnou 1.4 𝑚/𝑠𝑒𝑐 2 .
Chceme-li kompletovat rovnice popisující mělkou vodu, tak zvané řídící rovnice, musíme
rovnice hybnosti, vyjadřující zákon zachování hybnosti, doplnit ještě rovnicí kontinuity,
vyjadřující zákon zachování hmoty mělké vody. Tento zákon má pro nestlačitelnou kapalinu,
což je náš případ známý tvar
𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑤
+
+
=0
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
(5.1.13)
kde u, v, w jsou složky rychlosti vzhledem osám x, y, z.
Tuto rovnici integrujme podle z přes tloušťku vrstvy mělké vody, tedy od 0 do h. Máme
ℎ
𝜕𝑢 𝜕𝑣
𝜕𝑢 𝜕𝑣
𝑤(ℎ) − 𝑤(0) = − ∫ ( + ) 𝑑𝑧 = −ℎ ( + )
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦
0
(5.1.14)
Neboť na dolní podkladové pevné ploše nemohou být vertikální pohyby je
𝑤(0) = 0
(5.1.15)
a podle definice složek rychlosti je
𝑤(ℎ) =
𝑑ℎ
𝑑𝑡
(5.1.16)
můžeme integrovanou rovnici kontinuity (5.1.14) psát ve tvaru
𝑑ℎ
𝜕𝑢 𝜕𝑣
+ℎ( + ) = 0
𝑑𝑡
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(5.1.17)
Protože h je funkcí pouze x, y a nezávisí a proměnné z je
𝜕ℎ
=0
𝜕𝑧
87
(5.1.18)
má rovnice kontinuity konečný tvar
𝜕ℎ
𝜕ℎ
𝜕ℎ
𝜕𝑢 𝜕𝑣
+𝑢
+𝑣
+ℎ( + ) = 0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(5.1.19)
Jiný obvyklý tvar rovnice kontinuity je tak zvaný divergentní tvar
𝜕ℎ 𝜕
𝜕
(ℎ𝑢) +
(ℎ𝑣) = 0
+
𝜕𝑡 𝜕𝑥
𝜕𝑦
(5.1.20)
Tvar se nazývá podle toho, že dáme-li druhý a třetí člen rovnice na pravou stranu, má časová
změna výšky sloupce mělké vody h tvar divergence vektoru uh, vh , který vyjadřuje
celkovou hybnost ve svislém sloupci mělké vody.
Rovnice hybnosti můžeme psát také v různých tvarech. Kromě advektivního tvaru (5.1.11),
(5.1.12) je velmi často, zejména pro numerickou realizaci a jednoduché zavedení
ortogonálních křivočarých souřadnic, používán tvar s vorticitou a gradientem celkové energie.
Někdy se tomuto tvaru říká také, podle mého mínění nesprávně, invariantní tvar rovnic. Jeho
použití se v meteorologii objevilo v šedesátých létech, i když tento tvar rovnic byl znám již
dávno předtím, přesněji již v 19. století. Rovnice pro změnu hybnosti můžeme psát
následovně
𝜕𝑢
𝜕
(𝑔ℎ + 𝐾) = 0
− 𝑣𝜂 +
𝜕𝑡
𝜕𝑥
(5.1.21)
𝜕𝑣
𝜕
(𝑔ℎ + 𝐾) = 0
+ 𝑢𝜂 +
𝜕𝑡
𝜕𝑦
(5.1.22)
Kde 𝜂 je absolutní vorticita, která je rovna součtu relativní vorticity
𝜕𝑣 𝜕𝑢
𝜁=
−
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(5.1.23)
a Coriolisova parametru 𝑓(𝑥, 𝑦). Absolutní vorticita je tedy rovna
𝜂 =𝜁+𝑓 =
𝜕𝑣 𝜕𝑢
−
+𝑓
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(5.1.24)
a kde K je kinetická energie
1
𝐾 = 2 (𝑢2 + 𝑣 2 )
(5.1.25)
88
V rovnicích (5.1.21), (5.1.22) má součet gh+K fyzikální význam součtu potenciální a
kinetické energie, tedy celkové energie daného svislého sloupce mělké vody. Správnost
vztahů (5.1.21) a (5.1.22) se snadno ověří. Derivujeme-li vztah pro kinetickou energii podle x,
dostaneme
𝜕𝐾
𝜕 𝑢2 + 𝑣 2
𝜕𝑢
𝜕𝑣
=
(
)=𝑢
+𝑣
𝜕𝑥 𝜕𝑥
2
𝜕𝑥
𝜕𝑥
Dosadíme-li tento vztah a hodnotu vorticity 𝜂 ze vztahu (5.1.24) do rovnice (5.1.21), dva
členy se vyruší a dostaneme rovnici (5.1.11). Obdobně můžeme ukázat i správnost rovnice
(5.1.22).
Dalším důležitým tvarem rovnic vyjadřující zákon zachování hybnosti je divergentní
tvar rovnic. Tento tvar dostaneme tak, že rovnici (5.1.11) násobíme výškou hladiny h a k této
rovnici přičteme rovnici kontinuity (5.1.19) násobenou u. Dostaneme tak
𝜕
𝜕 2
𝜕
𝜕ℎ
(𝑢ℎ) +
(𝑢 ℎ) +
(𝑢𝑣ℎ) − 𝑓𝑣ℎ + 𝑔ℎ
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥
(5.1.26)
𝜕
𝜕
𝜕 2
𝜕ℎ
(𝑣ℎ) +
(𝑢𝑣ℎ) +
(𝑣 ℎ) + 𝑓𝑢ℎ + 𝑔ℎ
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦
(5.1.27)
Druhý a třetí člen předchozích rovnic, tedy členy popisující advekci, jsou opravdu ve tvaru
divergence. Vektor (𝑢ℎ, 𝑣ℎ) popisuje celkovou hybnost svislého sloupce. Proto se tomuto
tvaru říká také hybnostní tvar rovnic. Původní tvar vyjadřuje totiž změnu hybnosti částice
jednotkové hmotnosti a popisuje proto vlastně změnu složky rychlosti.
Rovnice vorticity pro model mělké vody
Tuto rovnici odvodíme nejsnáze z rovnic ve tvaru s vorticitou a gradientem celkové
energie (5.1.21), (5.1.22). Derivujeme-li rovnici (5.1.22) podle x a odečteme od této rovnice
rovnici (5.1.21) derivovanou podle y máme
𝜕 𝜕𝑣 𝜕𝑢
𝜕
𝜕
(𝑢𝜂) +
(𝑣𝜂) = 0
( − )+
𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(5.1.28)
Vezmeme-li v úvahu, že Coriolisův parametr f není funkcí času a je tedy
𝜕𝑓
=0
𝜕𝑡
(5.1.29)
dostaneme s použitím vztahu (5.1.24) rovnici vorticity v divergentním tvaru
89
𝜕𝜂 𝜕
𝜕
(𝑢𝜂) +
(𝑣𝜂) = 0
+
𝜕𝑡 𝜕𝑥
𝜕𝑦
(5.1.30)
Tuto rovnici můžeme napsat též v advekčním tvaru, máme
𝜕𝜂
𝜕𝜂
𝜕𝜂
𝜕𝑢 𝜕𝑣
+𝑢
+𝑣
+𝜂( + ) = 0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(5.1.31)
nebo s použitím individuální časové změny
𝑑𝜂
𝜕𝑢 𝜕𝑣
+𝜂( + ) = 0
𝑑𝑡
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(5.1.32)
Poznamenejme nyní, že hydrodynamickým invariantem rozumíme veličinu  , která se při
advekci nemění. Tato veličina je tedy charakterizována vztahem
𝑑𝜑
=0
𝑑𝑡
(5.1.33)
který vyjadřuje, že individuální časová změna pro tuto veličinu je rovna nule.
Podíváme-li se nyní na rovnici (5.1.31), vidíme, že kromě individuální časové změny vorticity
jsou v rovnici ještě dva další členy, které jsou součinem absolutní vorticity a horizontální
divergence, kterou označme d. Jest tedy
𝑑=
𝜕𝑢 𝜕𝑣
+
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(5.1.34)
Absolutní vorticita tedy není hydrodynamickým invariantem. Ukážeme si nyní, že
invariantem pro rovnice mělké vody je veličina 𝜂/ℎ která se nazývá absolutní potenciální
vorticita. Přesněji tedy se tato veličina nazývá absolutní potenciální vorticita pro barotropní
atmosféru. Pro tuto veličinu platí
𝑑 𝜂
( )=0
𝑑𝑡 ℎ
(5.1.35)
což ovšem musíme dokázat.
Derivujme absolutní potenciální vorticitu, tedy podíl 𝜂/h. Máme
90
𝑑 𝜂
1
𝑑𝜂
𝑑ℎ
( ) = 2 (ℎ
−𝜂 )
𝑑𝑡 ℎ
ℎ
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(5.1.36)
dosadíme-li do tohoto vztahu ze vztahů (5.1.32) a rovnice kontinuity (5.1.17), vidíme, že
pravá strana je rovna nule.
Divergenční teorém
Nyní si odvodíme vztah, který nám vyjadřuje časovou změnu horizontální divergence
d. Derivujeme-li rovnici (5.1.11) parciálně podle x a přičteme k ní rovnici (5.1.12)
derivovanou parciálně podle y, obdržíme vztah pro časovou změnu d
𝜕
𝜕
𝜕
𝜕𝑢 2
𝜕𝑣 𝜕𝑢
𝜕𝑣 2 𝜕
𝜕
(𝑓𝑣) +
(𝑓𝑢) + 𝑔∇2 ℎ = 0
𝑑+𝑢 𝑑+𝑣 𝑑+( ) +2
+( ) −
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(5.1.37)
Kde jsme pro Laplaceův operátor použili označení
∇2 =
𝜕2
𝜕2
+
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2
(5.1.38)
První tři členy vztahu (5.1.37) popisují individuální časovou změnu horizontální divergence,
proto můžeme divergenční teorém psáti rovněž stručněji ve tvaru
𝑑
𝜕𝑢 2
𝜕𝑣 𝜕𝑢
𝜕𝑣 2 𝜕
𝜕
(𝑓𝑣) +
(𝑓𝑢) + 𝑔∇2 ℎ = 0
𝑑+( ) +2
+( ) −
𝑑𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(5.1.39)
Horizontální divergence d je pro procesy synoptického měřítka v atmosféře malá a mění se
jen pomalu, neboť ve skutečné atmosféře se vyskytují gravitační vlny jen velmi malé
amplitudy. Rychlejší změny horizontální divergence právě tyto gravitační vlny popisují. Tato
skutečnost se dá ověřit na průběhu přízemního tlaku měřeného citlivým mikrobarografem.
Proto lze ve vztahu (5.1.39) individuální změnu horizontální divergence zanedbat. V tomto
případě se divergenční teorém redukuje na diagnostický vztah, který se nazývá balanční
rovnice. Tento vztah nám dává velmi reálný vztah mezi polem rozložení hmoty atmosféry
(mělké vody) a mezi polem proudění. Balanční rovnici můžeme psát proto ve tvaru
𝜕𝑢 2
𝜕𝑣 𝜕𝑢
𝜕𝑣 2 𝜕
𝜕
(𝑓𝑣) +
(𝑓𝑢) + 𝑔∇2 ℎ = 0
( ) +2
+( ) −
𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(5.1.40)
Zanedbáme-li divergenci zcela a atmosféru pokládáme za nedivergentní, což znamená, že
𝜕𝑢 𝜕𝑣
𝑑=
+
=0
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(5.1.41)
91
vyjadřuje nám rovněž balanční rovnice rovnováhu mezi silami gradientu tlaku a ostatními
silami, obecnější a přesnější, než je geostrofická aproximace. V tomto případě lze balanční
rovnici ještě upravit. Umocníme-li vztah (5.1.41) na druhou, máme
𝜕𝑢 2
𝜕𝑣 2
𝜕𝑢 𝜕𝑣
( ) + ( ) = −2
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(5.1.42)
Tři nelineární členy balanční rovnice můžeme proto napsat ve tvaru
𝜕𝑢 2
𝜕𝑣 𝜕𝑢
𝜕𝑣 2
𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑣
( ) +2
+ ( ) = 2(
−
) = −2 ∙ 𝐽(𝑢, 𝑣)
𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦
(5.1.43)
kde 𝐽(𝑢, 𝑣) je Jacobiho determinant, který je roven
𝜕𝑢 𝜕𝑢
𝜕𝑥 𝜕𝑦| 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑣
𝐽(𝑢, 𝑣) = ||
=
−
𝜕𝑣 𝜕𝑣 | 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(5.1.44)
Balanční rovnici můžeme pro nedivergentni proudění pasát ve tvaru
𝜕
𝜕
(𝑓𝑣) +
(𝑓𝑢) = −𝑔∇2 ℎ
−2𝐽(𝑢, 𝑣) −
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(5.1.45)
Poznamenejme, že z hlediska matematiky je balanční rovnice nelineární parciální
diferenciální rovnicí Monge-Ampérova typu. Tato rovnice se dříve používala pro inicializaci
modelů atmosféry, jakožto diagnostický vztah, který nám umožňoval výpočet zbalancovaného
pole proudění, nebo rozložení hmoty v modelu, je-li dáno to druhé. Jestliže je zadáno pole
proudění, tj. složky větru, dostaneme snadno pole rozložení hmoty řešením okrajové úlohy
pro h, které je řešením Poissonovy rovnice. Je-li však zadáno pole rozložení hmoty, v našem
případě h, je výpočet pole proudění komplikovaný iterační proces, v jehož každém kroku je
třeba řešit okrajovou úlohu.
2. Zahrnutí orografie do rovnic mělké vody
Předpoklady pro model se zahrnutím orografie zůstávají stejné jako nad rovinným
terénem, s tím rozdílem, že místo toho, aby mělká voda ležela na rovinném terénu, leží na
nerovném terénu zemského povrchu - orografické ploše. Výšku terénu měřenou v metrech
nad referenční rovinnou plochou označme 𝑏(𝑥, 𝑦), což je znázorněno na obrázku 5.2.
92
Obrázek 5.2 Model mělké vody se zahrnutím orografie
Vrstva mělké vody nad orografickou plochou (dnem na kterém leží vrstva mělké vody), má
tedy tloušťku h, zatímco výška hladiny mělké vody je nyní rovna 𝑏 + ℎ. V této vrstvě je
horizontální rychlost s výškou konstantní a i gradient tlaku se s výškou uvnitř vody nemění a
je dán pouze sklonem hladiny mělké vody. Proto rovnice hybnosti pro složky horizontálního
vektoru rychlosti zůstávají stejné, jako v případě rovinného terénu.
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕(𝑏 + ℎ)
+𝑢
+𝑣
− 𝑓𝑣 + 𝑔
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕(𝑏 + ℎ)
+𝑢
+𝑣
+ 𝑓𝑢 + 𝑔
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦
(5.2.1)
(5.2.2)
Rovnici kontinuity odvodíme obdobně jako v případě rovinného terénu, s tím
rozdílem, že rovnici kontinuity pro nestlačitelnou tekutinu (kapalinu) integrujeme od b do
b+h a na dolní hranici není vertikální rychlost w nulová a je dána tak zvanou kinematickou
podmínkou, kterou si nyní odvodíme. Ta vychází z předpokladu, že na povrchu země je
rychlost kolmá k orografické ploše rovna nule. Odtud dostaneme vztah mezi horizontálními
složkami a vertikální složkou větru. Tímto vztahem je tedy dána vertikální složka větru na
orografické ploše. Orografická plocha nezávisí na čase a je definována explicitně vztahem
𝑧 = 𝑏(𝑥, 𝑦)
(5.2.3)
Plocha je pak množinou bodů [𝑥, 𝑦, 𝑏(𝑥, 𝑦)]. Pro další geometrické úvahy napíšeme
raději formálně plochu v parametrickém tvaru tím, že souřadnice x, y budeme považovat za
parametry a formálně položíme
𝑥 = 𝑥, 𝑦 = 𝑦, 𝑦 = 𝑏(𝑥, 𝑦)
(5.2.4)
Tečné vektory k parametrickým křivkám
𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
(5.2.5)
mají souřadnice
93
(
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝜕𝑏
, , ) = (1,0, )
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝑎
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝜕𝑏
( , , ) = (0,1, )
𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝜕𝑦
(5.2.6)
Vektor kolmý k těmto dvěma vektorům a tedy kolmý k povrchu orografické plochy označme
𝐤 a vypočteme ho jako vektorový součin vektorů parametrických křivek. Máme tedy
𝑒1 𝑒2 𝑒3
𝜕𝑏
𝜕𝑏 𝜕𝑏
|1 0
|
𝜕𝑥 = (− , − , 1)
𝐤=
|
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑏 |
0 1
𝜕𝑦
(5.2.7)
Vektor pohybu částic podél orografické plochy (𝑢, 𝑣, 𝑤) musí být kolmý k vektoru k a tedy
skalární součin musí být roven nule. Odtud máme
𝜕𝑏 𝜕𝑏
(𝑢, 𝑣, 𝑤) ∙ (− , − , 1) = 0
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(5.2.8)
A na povrchu orografické plochy máme
𝜕𝑏
𝜕𝑏
𝑤(𝑏) = 𝑢
+𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(5.2.9)
Což je hledaný vztah „kinematická podmínka“.
Rovnici kontinuity odvodíme i v našem případě integrací rovnice kontinuity pro
nestlačitelnou kapalinu
𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑤
+
+
=0
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
nyní rovnici integrujeme na intervalu 𝑧 ∈ (𝑏, 𝑏 + ℎ). Máme tedy
𝑏+ℎ
𝜕𝑢 𝜕𝑣
𝜕𝑢 𝜕𝑣
𝑤(𝑏 + ℎ) − 𝑤(𝑏) = − ∫
( + ) 𝑑𝑧 = −ℎ ( + )
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝑏
(5.2.10)
(5.2.11)
protože vertikální rychlost je v sloupci tekutiny konstantní, máme podle (5.2.9)
𝑤(𝑏 + ℎ) =
𝜕
𝜕
𝜕
(𝑏 + ℎ) + 𝑢 (𝑏 + ℎ) + 𝑣 (𝑏 + ℎ)
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(5.2.12)
Neboť b nezávisí na čase, je první člen pravé strany nulový, derivace b podle x a y
však nulové nejsou. V rozdílu se podle (5.2.12) a (5.2.9) ale tyto dva členy vyruší a máme
𝜕ℎ
𝜕ℎ
𝜕ℎ 𝑑ℎ
𝑤(𝑏 + ℎ) − 𝑤(𝑏) =
+𝑢
+𝑣
=
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦 𝑑𝑡
(5.2.13)
Tento vztah pro vertikální rychlost w je stejný jako „kinematická podmínka“ a vyjadřuje tedy,
že částice kopíruje terén. Dosadíme-li (5.2.13) do (5.2.11) dostáváme rovnici kontinuity
v advekčním tvaru
𝑑ℎ
𝜕𝑢 𝜕𝑣
+ℎ( + ) = 0
𝑑𝑡
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(5.2.14)
94
Rovnici kontinuity můžeme psát také v divergentním tvaru
𝜕ℎ 𝜕
𝜕
(ℎ𝑢) +
(ℎ𝑣) = 0
+
𝜕𝑡 𝜕𝑥
𝜕𝑦
(5.2.15)
Rovnice kontinuity je při tomto označení, kde h je tloušťka vrstvy vody, stejná jako
nad rovinným terénem, ale h zde znamená něco jiného. Není to výška hladiny jako pro vodu
nad rovinou, ale tloušťka vrstvy nad orografickým terénem – nerovinným dnem vody.
Pro dno s proměnnou výškou zůstávají rovnice odvozené pro rovinné dno většinou
s některými úpravami v platnosti. V rovnicích hybnosti (5.1.21) a (5.1.22) v tak zvaném
invariantním tvaru je třeba nahradit výšku hladiny h její hodnotou v novém označení, tedy
b+h. Změna v rovnicích hybnosti se tedy týká pouze členů gradientu tlaku. Při odvození
rovnice vorticity (5.1.32) se členy s gradientem tlaku se opět vyruší, takže rovnice vorticity
zůstává stejná a neobsahuje explicitně členy s gradientem tlaku. Kombinujeme-li tuto rovnici
s rovnicí kontinuity (5.2.14) obdržíme opět zákon zachování potenciální vorticity ve tvaru
(5.1.35)
𝑑 𝜂
( )=0
𝑑𝑡 ℎ
(5.2.16)
Kde ovšem h je tloušťka vrstvy mělké vody. Pro formulaci schémat baroklinních modelů
atmosféry, se používá pojem absolutní potenciální vorticity pro barotropní atmosféru, která je
v 𝜎-systému definována jako absolutní vorticita dělená tlakem na orografické ploše 𝜂/𝑝𝑠 , kde
𝑝𝑠 odpovídá tloušťce mělké vody. Horizontální gradient tlaku je ovšem pro 𝜎-systém odvozen
až v kapitole 7.
Dynamický tlak
V mnoha geofyzikálních systémech se hustota tekutiny mění relativně jen málo,
vzhledem k průměrné hodnotě hustoty této tekutiny. To vede k zavedení pojmu dynamického
tlaku. To platí rovněž i pro atmosféru, kde hustota vzduchu závisí hlavně na nadmořské
výšce. Maximální změny hustoty jsou pak při hladině moře a naopak ve velkých výškách je
pak hustota dána prakticky pouze nadmořskou výškou a její odchylky od její průměrné
hodnoty jsou minimální. Pro kapalinu můžeme tuto vlastnost napsat ve tvaru
𝜌 = 𝜌0 + 𝜌′(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) kde 𝜌′ ≪ 𝜌0
(5.2.17)
pro atmosféru je pak 𝜌0 funkcí nadmořské výšky z, proto je
𝜌 = 𝜌0 (𝑧) + 𝜌′(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) kde 𝜌′ ≪ 𝜌0 (𝑧)
(5.2.18)
Pro tlak v kapalině, kde hustota kapaliny je konstantní, pak za předpokladu že kapalina je
v hydrostatické rovnováze, platí
𝑝 = 𝑝0 (𝑧) + 𝑝′(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) kde 𝑝′ ≪ 𝑝0
(5.2.19)
Kde
𝑝0 (𝑧) = 𝑝0 − 𝜌0 𝑔𝑧
(5.2.20)
Pro atmosféru v hydrostatické rovnováze podle (5.2.19) je horizontální gradient tlaku roven
horizontálnímu gradientu 𝒑′(𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒕), proto jeho účinek v rovnicích hybnosti je stejný jako
pro celkový tlak p. Proto tlak 𝒑′můžeme nazvat dynamickým tlakem. V rovnicích mělké
vody horizontální gradient tlaku uvnitř vrstvy mělké vody nezávisí na výšce a je dán pouze
průběhem výšky hladiny mělké vody nad referenční rovinou, což je pro atmosféru úroveň
95
hladiny moře. V modelu s proměnnou výškou dna nad referenční rovinou je dynamický tlak
dán vztahem
𝑝 = 𝜌1 𝑔(𝑏 + ℎ)
(5.2.21)
V baroklinní atmosféře v hydrostatické rovnováze je tento tlak dán pouze vertikálním
rozložením hustoty nad uvažovaným bodem.
3. Dynamika modelu mělké vody
Uvažujme rychle rotující tekutinu, kde Coriolosovo zrychlení je spolu se zrychlením
daným silou horizontálního gradientu tlaku dominantní člen v rovnicích popisujících změnu
hybnosti tekutiny. Tak je tomu na povrchu rotující Země. Matematicky pohyb této tekutiny
popisují homogenní rovnice nejnižšího řádu rychle otáčejícího se vzduchu bez tření, které
jsou následujícím zjednodušeným tvarem pohybových rovnic.
1 𝜕𝑝
−𝑓𝑣 = −
𝜌0 𝜕𝑥
(5.3.1)
1 𝜕𝑝
𝑓𝑢 == −
𝜌0 𝜕𝑦
(5.3.2)
1 𝜕𝑝
0=−
𝜌0 𝜕𝑧
(5.3.3)
𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑤
+
+
=0
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
(5.3.4)
Tyto všeobecně známé rovnice se nazývají geostrofickou aproximací a definují nám
geostrofický vítr. Z předchozích rovnic pro složky geostrofického větru dostaneme
1 𝜕𝑝
1 𝜕𝑝
𝑢=−
, 𝑣=
𝜌0 𝑓 𝜕𝑦
𝜌0 𝑓 𝜕𝑥
(5.3.5)
Z předešlého víme, že složky rychlosti u, v i gradient tlaku nezávisí na výšce z uvnitř vrstvy
mělké vody. V rovnicích mělké vody tedy platí obdobně jako v atmosféře geostrofická
aproximace. Částice se pohybují podél čar stejného tlaku, a izobary jsou zároveň
proudnicemi.
Studujeme-li proudění v meridionálním pásu, který není příliš široký, můžeme
zanedbat změnu Coriolisova parametru f ve směru poledníků a položit f konstantní. Takový
systém v rovinné oblasti se nazýváme f – rovinou. V tomto případě derivováním předchozích
vztahů podle x a y dostaneme, že horizontální divergence geostrofického větru je nulová
𝜕𝑢 𝜕𝑣
𝑑=
+
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(5.3.6)
a z rovnice kontinuity máme
𝜕𝑤
=0
𝜕𝑧
(5.3.7)
96
jejímž důsledkem je, že vertikální rychlost w je rovněž nezávislá na vertikální souřadnici.
Když kapalina se pohybuje po rovinné ploše, pak vertikální rychlost je nulová a proudění je
(přesně) striktně horizontální.
Homogenní geostrofické proudění nad nerovinným povrchem.
Studujme nyní rychle rotující tekutinu, jejíž proudění je geostrofické, ale podkladová
plocha (v meteorologii povrch Země) není rovinou. Jako příklad můžeme uvést pohyb
mělkého moře (homogenní kapalina) s tloušťkou od 20 do 50 metrů, kde vlny na hladině
tekutiny jsou řádu centimetrů.
Když proudění stoupá nebo klesá s podkladovou plochou, je vertikální rychlost
úměrná stoupání:
𝜕
𝜕
𝜕ℎ
𝜕ℎ
𝑤 = 𝑢 (𝐻 − ℎ) + 𝑣 (𝐻 − ℎ) = −𝑢
−𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(5.3.8)
Kde h je tloušťka tekutiny měřená k hladině a H je konstantní referenční tloušťka tekutiny.
Obrázek 5.3. K problému vertikálních pohybů v okolí izolovaných hrbolů
H-h je tedy stoupání dna (podkladové plochy) vzhledem k referenční ploše. Podle předchozí
analýzy je vertikální rychlost konstantní v celé tloušťce vrstvy. Protože vertikální rychlost na
hladině je rovna nule, musí být nulová i vertikální rychlost na podkladové ploše. To znamená,
že
𝜕ℎ
𝜕ℎ
𝑢
+𝑣
=0
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(5.3.9)
a proudění to zabraňuje stoupat a klesat podle dna (podkladové plochy). Tato vlastnost má za
následek. Jestliže v topografii dna se vyskytují izolované hrboly, (nebo prohlubně) na jinak
rovinné ploše, pak tekutina se nepohybuje přes ně, ale musí je obcházet. Vertikální „ztrnulost“
způsobuje ono obcházení hrbolů. Podobně u prohlubní. Takové stálé válce tekutiny kolem
hrbolů, nebo prohlubní se nazývají Taylorovy sloupce.
V oblastech s rovinným podkladem můžeme geostrofické proudění pokládat
z vzorové, odpovídající počátečním podmínkám. Jestliže ale podkladová plocha má nenulové
stoupání, pak prouděná tekutiny není geostrofické, ale sleduje čáry stejné hloubky,(anglicky
97
isobaths). Tyto čáry se někdy nazývají geostrofickými čarami. Čáry stejné hloubky jdoucí od
hranice k hranici oblasti neurčují žádné proudění, jinými slovy vzduch prochází bočními
hranicemi dovnitř i ven. Tím je proudění jednoduše blokováno. Volné geostrofické proudění
může fungovat pouze podél uzavřených čar stejné hloubky.
Literatura:
[1] Cushman-Roisin Benoit: Introduction to Geophysical Fluid Dynamics, Prentice Hall,1994
[2] Thompson Phillip D.: Numerical Weather Analysis and Prediction, The MackMillan
Company New York 1961
98
6. Formulace prognostických rovnic na zemské sféře
V předchozích kapitolách jsme formulovali a studovali rovnice, kterými se řídí vývoj
atmosféry pouze v lokálním kartézském systému souřadnic. Pro předpověď a modelování
atmosféry však potřebujeme tyto úlohy řešit na relativně velké oblasti Země, kde již zakřivení
zemské sféry nelze zanedbat. Proto musíme řídící rovnice formulovat pro sférickou plochu.
K tomu se používají obvykle buďto sférické zeměpisné souřadnice  , , nebo kartézský
systém souřadnic na některé z konformních map. Ten pak na povrchu zemské sféry vytváří
systém ortogonálních křivočarých souřadnic. My oba tyto systémy budeme studovat
současně, když tyto křivočaré souřadnice zavedeme obecněji. Budeme pouze požadovat, aby
tyto křivočaré souřadnice tvořily ortogonální systém. Oba jmenované předchozí systémy pak
jsou jejím zvláštním případem. Tyto souřadnice se týkají povrchu zemské sféry, tedy
horizontální plochy, proto se zde při formulaci omezíme na rovnice mělké vody. Souřadnicím
na vertikální ose, které jsou používány v obecných baroklinních modelech, bude věnována
samostatná kapitola. Pro formulaci rovnic v ortogonálním křivočarém systému souřadnic
vyjdeme ze studia diferenciálních operátorů v tomto novém systému souřadnic.
6.1 Diferenciální operátory v ortogonálních křivočarých souřadnicích
V dynamické meteorologii se používají následující čtyři diferenciální operátory.
V kartézských souřadnicích můžeme tyto operátory definovat vztahy:
Gradient skalární funkce f x , y , z  je třírozměrný vektor definovaný vztahem
grad f  f 
f
f
f
i  j k
x y
z
(6.1.1)
Divergence vektoru v= u ,v , w je skalární funkce definovaná vztahem
div v  v 
u v w
 
x y z
(6.1.2)
Rotace vektoru v= u ,v , w je vektorová funkce definovaná vztahem
i

rot v  curl v    v 
x
u
j

y
v
k
  w v   u w   v u 

 i   
 j    k .
z  y z   z x   x y 
w
(6.1.3)
Horizontální složka rotace, složka u souřadnicového vektoru k, se v meteorologii nazývá
vorticita.
Laplaceův operátor
Aplikujeme-li na skalární funkci f operátor gradient a pak operátor divergence, dostáváme
Laplaceův operátor
 2
2
2 
f  f   2 f   2  2  2  f
y
z 
 x
Operátory gradient, divergence a Laplaceův operátor se obdobně definuje i ve
dvourozměrném případě.
(6.1.4)
99
Pro meteorologické modely se používají pro určení polohy bodů na povrchu referenční
kulové plochy aproximující povrch Země systémy ortogonálních křivočarých souřadnic. To
mohou být jednak zeměpisné souřadnice, nebo z nich odvozené systémy vzniklé otáčením
zeměpisných souřadnic, tak, že osa a póly těchto systémů souřadnic neleží již na ose rotace
Země. Další možností je použití kartézského systému souřadnic na některé z konformních
map, jehož obrazem na zemské sféře je ortogonální systém křivočarých souřadnic.
Z předpokladu, že studujeme pouze ortogonální systémy křivočarých souřadnic dvou
proměnných x, y, vyplývá z výsledků diferenciální geometrie uvedených v druhé kapitole, že
nenulové jsou pouze dva koeficienty první diferenciální formy (metrického tenzoru), které
jsou čtverci Lameových koeficientů a které označujeme hx , hy . První diferenciální forma má
v tomto případě jednodušší tvar (bez členů, které jsou součinem dx. dy)
dl 2  hx dx 2  hy dy 2
2
2
(6.1.5)
Všimněme si ještě vyjádření vektoru rychlosti uvažované částice v systému ortogonálních
křivočarých souřadnic. Připomeňme, že repér je lokální kartézský systém souřadnic, jehož
souřadnicovými vektory jsou jednotkové vektory tečné k parametrickým křivkám. Neboť
hx x a hy y jsou skutečné vzdálenosti ve směru souřadných os lokálního repéru, které urazí
částice za čas t , definujeme složky horizontální rychlosti větru v = (u,v) vztahy
dx
dy
u  hx
, v  hy
dt
dt
(6.1.6)
Vyjádření gradientu v ortogonálních křivočarých souřadnicích
Nejjednodušší z vyjádření diferenciálních operátorů v ortogonálních křivočarých
souřadnicích je vyjádření gradientu skalárního pole, který si uvedeme pro dvě dimense.
Uvažujeme-li ortogonální lokální repér, pak skutečné délky ve směru vektorů repéru jsou
dány vztahy ds x  hx  dx a obdobně ds y  hy  dy odkud
grad f 
f
f
1 f
1 f
i
j
i
j
s x
s y
hx x hy y
(6.1.7)
Obdobný vztah platí i pro tři dimenze.
Složitější je situace s operátory rotace a divergence. K tomu použijeme jejich integrální
definice.
Integrální definice rotace a vyjádření vorticity v křivočarých souřadnicích
Nechť v je vektorové pole rychlosti proudění tekutiny a P je pevně zvolený bod uvnitř
tekutiny. Bodem P proložme libovolnou rovinu tak, aby její orientaci určoval paprsek určený
vektorem o, kolmým k rovině, ležícím ve směru normály roviny, vycházející z bodu P.
V této rovině veďme kolem bodu P uzavřenou neprotínající se křivku a na ní je kladný směr
orientace, což je ten směr, který při pohledu proti paprsku o, je proti smyslu pohybu
hodinových ručiček. Průmět vektoru v do směru elementu ds této křivky označme 𝐯𝑠 a
utvořme křivkový integrál podél uzavřené křivky S, tedy
 v ds
s
(6.1.8)
100
Nechť s je obsah plochy vymezené uzavřenou křivkou S. Rotaci vektoru v, vzhledem k ose
o, definujeme jako limitu
1
s  0
(6.1.9)
rot o v  lim  vds , pro
s
Je-li v spojitě diferencovatelná funkce, limita existuje a nezávisí na tvaru křivky.
Najdeme si nyní vyjádření vorticity  , v meteorologii nazývané rotace horizontálního pole
větru vzhledem k svislé ose z.
  rot z u ,v 
(6.1.10)
Tuto veličinu nyní vyjádříme v obecných křivočarých ortogonálních souřadnicích x, y.
Za uzavřenou křivku vezmeme obdélník o stranách x ,y jehož strany jsou rovnoběžné
s osami souřadnic. Průměty vektoru větru na strany obdélníka jsou přímo složky větru, které
bereme ve středech stran obdélníka. Plocha obdélníka s je rovna
(6.1.11)
s  hx hy xy
Skutečné délky stran obdélníka jsou zakresleny v diagramu
Obrázek 6.1 Obdélník v křivočarých souřadnicích pro vyjádření vorticity
Podle integrálního vztahu můžeme nyní psát
1
  [x hx x , y  y / 2 ux , y  y / 2 - x hx x , y  y / 2ux , y  y / 2
s
 y hy x  x / 2, y vx  x / 2, y   y hy x  x / 2, y vx  x / 2, y ]
(6.1.12)
po přechodu k limitě máme



 x hy v   y hx u 


což je vyjádření (relativní) vorticity v ortogonálních křivočarých souřadnicích.
 
1
hx hy
(6.1.13
101
Integrální definice divergence a její vyjádření v ortogonálních křivočarých souřadnicích
Nechť opět v je vektor prudění tekutiny a P pevně zvolený bod uvnitř tekutiny.
Obklopme jej uzavřenou neprotínající se plochou S. Nechť V je objem vymezený plochou.
Na ploše S zvolme plošku ds . Směr vnější normály k této ploše nechť je n. Ploškou ds
proteče za jednotku času množství tekutiny obsažené v šikmém válci, jehož základnou je ds a
jehož výškou je průmět vektoru v do směru vnější normály n. Označme tento průmět v n
Tedy celkové množství tekutiny, které proteče ploškou za jednotku času je v n ds . Jestliže
tekutina proudí dovnitř objemu V je průmět vektoru v záporný. Sečteme-li v n ds po celé
ploše S dostaneme rozdíl mezi množstvím tekutiny, které plochou S vteče a vyteče. Výtok
z objemu V dělený objemem V se nazývá výtok z jednotky objemové. Existuje-li limita
tohoto podílu při V  0 , nazýváme jí divergencí vektoru v. Tedy obecná integrální definice
divergence v trojrozměrném prostoru je
D  div v  lim
1
v n ds
V S
kde V  0
(6.1.14)
Za předpokladu, že v je spojitě diferencovatelná funkce místa, limita existuje a je nezávislá na
tvaru objemu V . Vyjádříme si nyní divergenci v křivočarých ortogonálních souřadnicích
tří-dimensionálního prostoru. Element délky je dán v tomto případě vztahem
ds 2  hx dx 2  hy dy 2  hz dz 2
2
2
2
(6.1.15)
Kolem středu P opíšeme kvádr, jehož hrany jsou rovnoběžné s osami souřadnic a délky hran
v křivočarém systému jsou x ,y ,z . Skutečný objem kvádru je
V  xyz hx hy hz
Pro složky vektoru divergence Dx máme
1
Dx  lim
[y z hy hz x  x / 2, y , z u x  x / 2, y , z 
V
 y z hy hz x  x / 2, y , z  ux  x / 2, y , z ]
(6.1.16)
(6.1.17)
Po přechodu k limitě máme
Dx 
1 
hy hz u 

hx h y hz  x

(6.1.18)
Obdobné platí pro osy y a z. Celkovou divergenci tedy máme
D
1
hx hy hz




 x hy hz u   y hx hz v   z hx hy w


(6.1.19)
V meteorologických aplikacích bývá, například v z-systému hz  1 . Divergence má pak tvar

 w

(6.1.20)
 x hy u   y hx v   z


Pro dvourozměrnou divergenci – divergenci horizontálního větru platí obdobný vztah
D
1
hx hy
102
D
1 
hy u    hx v 

hx hy  x
y

(6.1.21)
Laplaceův operátor v ortogonálních křivočarých souřadicích pro dvě dimenze
V meteorologii se zejména v okrajových úlohách semi-implicitních schémat používá
Laplaceův operátor, samozřejmě v ortogonálních křivočarých souřadicích. Aplikujeme-li na
skalární funkci f x , y  postupně operátor gradientu a pak operátor divergence dostaneme
vyjádření Laplaceova operátoru v ortogonálních křivočarých souřadicích. Máme tedy
 2 f    f 
1
hx hy
   hy f    h f 

   x
 



x
h

x

y
h

y

 y

  x
(6.1.22)
6.2 Použití diferenciálních operátorů pro přepis rovnic mělké vody do ortogonálních
křivočarých souřadnic
Pro přepis rovnic mělké vody vyjdeme z rovnic napsaných ve vhodném tvaru. Tento
postup zůstává stejný i pro obecnější rovnice baroklinních modelů v hydrostatickém
přiblížení, kde vertikální souřadnici považujme vždy kolmou k horizontálním souřadným
plochám a tato vertikální souřadnice je víceméně na horizontálních souřadnicích nezávislá.
Pro přepis rovnice kontinuity do křivočarých souřadnic vyjdeme z tak zvaného divergentního
tvaru
h 

(6.2.1)
 uh   vh  0
t x
y
Časová lokální změna je závislá pouze na poloze bodu a je na systému souřadnic nezávislá.
Divergenci vektoru uh, vh , která je celkovou hybností ve svislém sloupci mělké vody
napíšeme v ortogonálních křivočarých souřadnicích. Tím bude přepis rovnice kontinuity do
ortogonálních křivočarých souřadnic proveden. Můžeme tedy psát



 x h y uh   y hx vh  0


Provedeme-li derivování, můžeme psát tuto rovnici v advekčním tvaru
h u h v h
h 
hy u    hx v  0




t hx x hy y hx hy  x
y

h
1

t hx h y
(6.2.2)
(6.2.3)
kde operátor advekce pro skalární veličinu je v ortogonálním křivočarém systému dán
vztahem
d  u 
v 
 

(6.2.4)
dt t hx x hy y
103
d
označovat právě tento operátor, zde uvedený pro dvojdimensionální
dt
případ. Poznamenejme, že pro vektorovou veličinu má advekce ještě další, tak zvané metrické
členy.
Protože divergence D je v ortogonálním křivočarém systému daná vztahem
a dále budeme



(6.2.5)
 x hy u   y hx v 


můžeme rovnici kontinuity psát i v našem případě stručněji ve tvaru
dh
(3.2.6)
hD  0
dt
Rovnice hybnosti pro přepis do křivočarých souřadnic použijeme ve tvaru s vorticitou
a gradientem celkové energie. Tento tvar rovnic je uveden v kapitole „Rovnice mělké vody“.
Označíme-li, jak je obvyklé, geopotenciál hladiny mělké vody řeckým písmenem  , je tedy
(6.2.7)
  gh
D
1
hx hy
a rovnice pro změnu hybnosti můžeme psát následovně
u

 v    K   0
t
x
v

 u    K   0
t
y
(6.2.8)
(6.2.9)
Pro systém ortogonálních křivočarých souřadnic má absolutní vorticita  , která je rovna
součtu relativní vorticity  a Coriolisova parametru f  x, y  tvar
    f , kde
 
1 
hy v    hxu 

hx hy  x
y

(6.2.10)
a kde K je kinetická energie


1 2
.(6.2.11)
u  v2
2
V rovnicích hybnosti je třeba napsat rovněž gradient součtu   K v systému ortogonálních
křivočarých souřadnic. Fyzikální význam součtu   K , tedy součtu potenciální a kinetické
energie, je celková energie svislého sloupce mělké vody. Rovnice mělké vody můžeme tedy v
systému ortogonálních křivočarých souřadnic psát ve tvaru
K

u
1 

1  
u2  v2 

0




v
h
v

h
u

vf



y
x

t
hx h y  x
y
hx x 
2 

(6.2.12)



1  
u2  v2 





(6.2.13)
 x h y v  y hx u   uf  h y    2   0




y
provedeme-li derivování a sečteme-li příslušné členy a v zápisu použijeme operátor advekece
můžeme rovnice hybnosti pro mělkou vodu psát ve tvaru
h 
du 
1  hy
1 
 v
f 
 u x  v 
0
(6.2.14)
dt 
hx hy  x
y  hx x
v
1
u
t
hx h y
104
dv 
1
f 
dt 
hx hy
 hy
h 
1 
 v
 u x u 
0
y 
hy y
 x
(6.2.15)
 1  hy
h 
 v

 u x  násobené složkami větru u, respektive v nazýveme
y 
 hx hy  x
metrickými členy. Tyto členy vyjadřují zdánlivou změnu hybnosti způsobenou zakřivením
souřadnic. Všimněme si také, že vektor této zdánlivé síly je stejně tak jako vektor
Coriolisových členů kolmý v každém bodě k vektoru horizontální rychlosti, o čemž se snadno
přesvědčíme pomocí skalárního součinu těchto vektorů. Je to logické, neboť v opačném
případě by tyto členy způsobovaly změnu celkové hybnosti částice.
Rovnici kontinuity můžeme napsat také pro geopotenciál hladiny mělké vody  , když
rovnici kontinuity násobíme konstantou tíhového zrychlení země, máme
d
(6.2.16)
D 0
dt
Na základě předchozí teorie si nyní si rozepíšeme tyto rovnice jednak pro ortogonální systém
sférických souřadnic, který tvoří zeměpisné souřadnice, a jednak pro systém který je
definován kartézským systémem na konformní mapě.
Členy
6.3 Ortogonální systém sférických souřadnic
Tento systém souřadnic na referenční sféře, která aproximuje povrch Země, tvoří
rovnoběžky a poledníky. Souřadnicí na rovnoběžkách je úhel měřený v obloukové míře, od
Greenwichského poledníku kladně orientovaný směrem k východu. Tato souřadnice se
nazývá zeměpisná délka a označuje řeckým písmenem  . Na poledníkách je souřadnicí úhel
 v obloukové míře s nulovou hodnotou na rovníku, kladně orientovaný k severu, nazývaný
zeměpisnou šířkou. V moderní literatuře se často místo zeměpisné šířky používá úhlová
pólová vzdálenost  , což je úhel měřený od severního pólu směrem k jihu. Se zeměpisnou
šířkou souvisí vztahem    / 2   .
V meteorologii považujeme vertikální tloušťku atmosféry vzhledem k velikosti Země
za tenkou vrstvu, proto v rámci matematického zjednodušení měříme horizontální vzdálenost
dvou bodů vždy po povrchu zemské sféry, jejíž poloměr označujeme a. Toto zjednodušení má
za následek i zjednodušení rovnic hybnosti, které Norman Phillips formuloval a nazval
„tradičními aproximacemi“. V modelech je obvykle zvoleno a = 6 371 km. V modelu
ALADIN je použito a = 6 371 229 m.
Ortogonálními křivočaré souřadnice x, y, jsou v tomto případě sférickými
souřadnicemi a jsou tedy vlastně definovány vztahy
(6.3.1)
x   , y 
Lameovy koeficienty jsou rovny
hx  h  a cos 
hy  h  a ,
,
(6.3.2)
složky vektoru horizontální rychlosti větru jsou tedy dány vztahy
dx
d
dy
d
,
u  hx
 a cos 
v  hy
a
dt
dt
dt
dt
(6.3.3)
105
Dosazením hodnot Lameových koeficientů do předchozích obecnějších vztahů obdržíme
diferenciální operátory ve sférických souřadnicích ve tvaru:
1 f
1 f
1 f
1 f
grad f  f 
i
j
i
j
gradient
(6.3.4)
hx x hy y
a cos  
a 
divergenci
D
1
hx hy
relativní vorticitu



1  u 

 x hy u   y hx v  D  v  a cos      cos  v 




 
1 
hy v   hxu   1  v   cos  u 

hx hy  x
y

 a   
(6.3.5)
(6.3.6)
Laplaceův operátor
   hy f    h f 
 1 2 f
1
 
f 
 
   x

 cos 

 

2
2


 
 
 x  hx x  y  hy y  a cos   cos  
(6.3.7)
Operátor advekce pro skalární veličinu má tvar
d  u 
v 

u
 v 
 

 

(6.3.8)
dt t hx x hy y t a cos   a 
 2 f    f 
1
hx hy
Rovnice hybnosti pro mělkou vodu můžeme psát v advekčním tvaru
du 
u
1 

  f  tg v 
0
dt 
a
 a cos  
dv 
u
1 

  f  tg u 
0
dt 
a
a 

rovnici kontinuity můžeme psát ve stejném stručném tvaru
d
D 0 .
dt
(6.3.9)
(6.3.10)
(6.3.11)
6.4 Systém ortogonálních křivočarých souřadnic, definovaných pomocí konformní mapy
Pro modely na omezené oblasti se nejčastěji používá zobrazení povrchu Země na
některé z konformních map. Konformní zobrazení má ty přednosti, že zachovává velikost
úhlů a zkreslení v daném bodě je ve všech směrech stejné. Na konformní mapě tedy platí, že
Lameovy koeficienty ve směru obou parametrických křivek jsou si rovny a pro všechny body
platí rovnost hx  hy . Pro konformní zobrazení se všechny matematické vztahy značně
zjednoduší a rovnice lze dále upravit, zjednodušit.
Protože kartografická zobrazení zobrazují část povrchu Země na mapu vzájemně
jednoznačně, můžeme na zemské sféře definovat systém ortogonálních křivočarých souřadnic
tak, že tento systém souřadnic je obrazem kartézské soustavy souřadnic na konformní mapě
při inversním zobrazení.
Pro konformní mapy se místo Lameových koeficientů používá koeficient zkreslení
mapy, který se obvykle označuje písmenem m a jeho kvadrát označujeme písmenem s. Pro
tyto veličiny tedy platí vztahy
106
1
(6.4.1)
 hx  hy a s  m 2
m
metrická základní forma plochy má pak tvar
1
(6.4.2))
dl 2  2 dx 2  dy 2
m
Složky skutečného větru jsou pak definovány vztahy
1 dx
1 dy
(6.4.3)
u
, v
m dt
m dt
Pro zkrácení zápisu rovnic zavedeme pojem „modelový vítr“ v* , jehož složky nechť jsou


u* ,v* . Tento modelový vítr je definován vztahy
u
v
(6.4.4)
u*  , v* 
m
m
Na tomto místě bych chtěl upozornit, že tento modelový vítr není průmětem větru na
konformní mapu, tedy rychlostí jakou se pohybuje zvolený bod po konformní mapě, neboť
rychlost pohybu po konformní mapě je dána složkami mu ,mv , tato rychlost pro modelový
vítr je tady su , sv . Tato skutečnost je důležitá pro semi-Lagrageovská schémata.
Pro takto zavedené nové označení přepíšeme diferenciální operátory pro souřadnice
konformní mapy a pak dosadíme do rovnic mělké vody ve tvaru s vorticitou a gradientem
celkové energie (tak zvaný invariantní tvar rovnic). Diferenciální operátory mají pro
souřadnice konformní mapy tvar:
gradient
f
f
grad f  f  m i  m j
(6.4.5)
x
y
divergence
   u    v   u* v* 

D  s        s

y 
 x  m  y  m   x
(6.4.6)
relativní vorticitu


 v*
u 
u* 
 
 

  s        s

 x  m  y  m   x y 
v
(6.4.7)
Laplaceův operátor
2 f 2 f 
 2 f    f  s  2  2 
y 
 x
Operátor advekce pro skalární veličinu má tvar
 
 
d 
  
 
  m u  v    s u*
 v* 
dt t
y  t  x
y 
 x
Pomocí složek modelového větru můžeme napsat i kinetickou energii. Máme
    
2
2
(6.4.8)
(6.4.9)
1
u*  v*
K  u2  v2  s
(6.4.10)
2
2
Vydělíme-li rovnice (**) zkreslením mapy m, dosadíme-li do těchto rovnic za Lameovy
koeficienty zkreslení mapy a místo skutečného větru použijeme modelový vítr, máme

107
u*

 v*    K   0
t
x
(6.4.11)
v*

(6.4.12)
 u*    K   0
t
y
Zde jsme ovšem použili skutečnosti, že koeficient zkreslení mapy nezávisí na čase a tudíž
1 u   u  u*
platí
a obdobný vztah platí i pro v.
  
m t t  m  t
Dostali jsme tak rovnic hybnosti, tak zvaném invariantním tvaru v souřadnicích konformní
mapy. Chceme-li dostat advekční tvar rovnic, který se používá zejména při semiLgrangeových metodách, budeme postupovat stejně, jako v kapitole „Rovnice mělké vody“.
Dosadíme do rovnic za absolutní vorticitu její tvar pro modelový vítr a derivujeme člen
s kinetickou energií. Označme ještě formálně
u   v 

* 2
K
*
* 2
(6.4.13)
2
obdobu skutečné kinetické energie pro složky modelového větru. Skutečná kinetická energie
je pak rovna K  sK * a můžeme psát
K 
K *
s
K 
K *
s
 sK *   s
 K*
a obdobně
(6.4.14)
 sK *   s
 K*
x x
x
x
y y
y
y
Při derivování kinetické energie vyjádřené pomocí složek modelového větru dostáváme tedy
s
s
ještě v každé rovnici jeden člen navíc. Jsou to tak zvané metrické členy K *
a K*
.
y
x
Rovnice můžeme psát v advekčním tvaru následovně
*
 * u*
u*
s 
* u 
  fv*  K *
 s u
v

0
t
y 
x x
 x
 v*
v*
v* 
s 
  fu *  K *
 s u*
 v*

0
t
y 
y y
 x
Rovnici kontinuity pak buďto v divergentním tvaru

  

 s
u * 
v*   0
t
y
 x





(6.4.15)
(6.4.16)
(6.4.17)
nebo advekčním tvaru
 u* v* 
  *  *  
0
  s
 s u
v

(6.4.18)
t
y 
y 
 x
 x
Poznamenejme, že používáme-li v modelu vektor a složky modelového větru, pro
zjednodušení zápisu a zejména programů neoznačujeme je obvykle hvězdičku, a složky
modelového větru místo u * a v* označujeme jednoduše jako u a v . V tomto případě, rovnice
až na součinitel čtverce zkreslení mapy s a metrických členů, jsou velmi podobné rovnicím
napsaným v kartézském systému souřadnic.
108
Literatura:
[1] Brdička Miroslav, Ladislav Samek, Bruno Sopko: Mechanika kontinua, ACADAMIA
Praha 2000.
[2] Methods in Computational Physics, Volume 17. General Circulation Models of the
Atmosphere, Volume editor: Julius Chang. (Arakawa - Leng), Academic Press 1977.
[3] Numerical Methods used in Atmospheric Models, Volume II.(Williamson D.), GARP
Publication Series No. 17, 1979.
109
7. Systémy vertikálních souřadnic, klasická teorie
Pro studium problému použití systémů souřadnic pro modelování vývoje atmosféry si
shrňme některé nejdůležitější předpoklady a výsledky obsažené v předchozích kapitolách.
Chci zde zdůraznit, že předkládaná klasická teorie transformace vertikálních souřadnic se týká
modelů synoptického měřítka a vychází z předpokladu, že atmosféra na Zemi tvoří tenkou
vrstvu. V této vrstvě jsou pohyby atmosféry synoptického měřítka kvasi-horizontální. Proto je
možné pro formulaci rovnic použít „Tradiční aproximace“ studované ve čtvrté kapitole. Pro
numerické modelování v meteorologii jsou používány rovnice v Eulerově tvaru. Jsou tedy
formulovány pro změny fyzikálních veličin v pevně zvolených bodech prostoru.
Meteorologické modely počítají předpověď meteorologických prvků pro rozsáhlá území na
povrchu Země. Nemůžeme proto zanedbat zakřivení zemské sféry. Pro určení polohy bodů
v prostoru se v meteorologii jako základní systém souřadnic používá tak zvaný z-systém. Je to
ortogonální systém křivočarých souřadnic x, y, z. Tento systém souřadnic je zvolen tak, že x, y
jsou souřadnicemi dávajícími polohu bodu na povrchu zemské sféry. Vertikální souřadnice z
je kolmá k povrchu Země, směřuje směrem vzhůru a její počátek leží v úrovni hladiny moře.
Tato plocha je povrchem Geoidu a je plochou konstantního geopotenciálu. V meteorologii je
tento systém spojen pevně s rotující Zemí. Není tedy inerciální a v rovnicích se proto objevují
Coriolisovy členy. Jako systém souřadnic určující polohu na Zemi můžeme zvolit zeměpisné
souřadnice  , . Tato volba se používá zejména pro globální modely. Pro modely na
omezené oblasti je používán kartézský systém v rovině konformní mapy. Vzhledem k tomu,
že zemská atmosféra ve srovnání s horizontálními rozměry zemského povrchu tvoří nad
povrchem Země pouze tenkou vrstvu, pokládáme Lameovy koeficienty hx , h y ve směru
vertikální souřadnice z konstantní. Lameovy koeficienty hx , h y jsou tedy funkcemi pouze
horizontálních souřadnic x, y. Svislé osy souřadnic ve všech bodech x , y můžeme proto
chápat jako rovnoběžné. Vzdálenost dvou bodů měříme tedy vždy po povrchu země. Ve
skutečnosti na sférické ploše by svislé osy v každém bodě ležely na polopřímce vycházející ze
středu Země a nebyly by tedy rovnoběžné. To, že tuto skutečnost v meteorologii
zanedbáváme, je součástí tak zvaných „tradičních aproximací“ (N.Phillips [5]), o kterých
jsme pojednali v kapitole 4. Pro formulaci rovnic popisujících vývoj atmosféry potřebujeme
přirozeně ještě jednu nezávisle proměnnou. Touto proměnnou je čas t.
V meteorologii není v současné době příliš obvyklé na vertikální souřadné ose
používat jako nezávisle proměnnou souřadnici geometrickou výšku z, měřenou od povrchu
referenčního geoidu, neboli od hladiny moře. V dynamické i synoptické meteorologii se pro
studium atmosféry od padesátých let minulého století nejčastěji používá na vertikální ose jako
souřadnice atmosférický tlak. Tento systém se nazývá p-systém a byl poprvé použit
Eliassenem v roce 1949, [2]. Nicméně pro transformaci rovnic vyjdeme ze z-systému, jako ze
základní soustavy souřadnic, neboť na rozdíl od systémů souřadnic studovaných dále, se v zsystému souřadnice pevně zvolených bodů v prostoru s časem nemění. z-systém tedy
odpovídá původní Eulerově formulaci rovnic. Pro systémy souřadnic s novou nezávisle
proměnnou na vertikální ose, kterou nazýváme zobecněnou vertikální souřadnici, je
charakteristické, že plochy konstantního x a y zůstávají stejné, tedy jinými slovy horizontální
110
souřadnice bodů x,y se při přechodu k jiné vertikální souřadnici nemění. Pouze na vertikální
ose je jako souřadnice zvolena jiná fyzikální veličina, která je však pro pevně zvolený bod
funkcí času. V meteorologii se jako zobecněná vertikální souřadnice používá nejčastěji tlak,
což je přirozené, neboť vzhledem k tlaku p jsou měřeny a vyhodnocovány také výstupy
radiových sond. Pro některé teoretické práce je jako vertikální souřadnici výhodné použít
potenciální teplotu označovanou  , nebo lg p / p0 . Při teoreticky správném postupu v
systémech zobecněné vertikální souřadnice dostáváme soustavu křivočarých souřadnic, kde
souřadnicovými plochami pro konstantní x, nebo konstantní y jsou svislé k sobě kolmé svazky
ploch, avšak plochy konstantní zobecněné vertikální souřadnice jsou, nahlíženo z hlediska zsystému, plochami v prostoru zakřivenými a navíc tyto plochy se souřadnými rovinami x, y
netvoří ortogonální systém souřadnic. Vzhledem k poměru vertikálních k horizontálním
rozměrům atmosféry pro synoptické měřítko předpokládáme, že svislé přímky svírají s
plochami konstantní vertikální souřadnice s  konst přibližně pravý úhel a plochy s  konst
jsou tedy přibližně horizontální. Vzdálenosti mezi body na těchto plochách měříme pak po
povrchu Země, tedy pro z  konst. To vede k určitým problémům. Důsledkem toho je velmi
zjednodušená práce s vektorovými veličinami. Zavádí se proto pojem horizontálního vektoru
větru, což můžeme interpretovat jako průmět vektoru větru do horizontální roviny v zsystému. Obdobně se zavádí pojem horizontálního gradientu tlaku.
Pro předpovědní modely synoptického měřítka, které splňují hydrostatickou rovnici,
tedy tak zvané modely v hydrostatickém přiblížení, se v současné době používají většinou
prakticky pouze dva systémy vertikální souřadnice. Tyto systémy jsou odvozeny od vertikální
souřadnice tlaku p a mají tu vlastnost, že zemský povrch je v nich souřadnicovou plochou,
proto se jim také říká „systémy kopírující terén“. Tato vlastnost je velmi vhodná pro
formulaci evolučních úloh popisujících vývoj atmosféry a je velmi důležitá pro jejich
numerické řešení. První z těchto systémů formuloval N. Philips [5]. Vertikální souřadnice
označována  byla definována vztahem   p / p s , kde p s je tlak na povrchu země, tedy na
orografické ploše. Druhý používaný systém vertikální souřadnice, tak zvaný hybridní systém
vertikální souřadnice, nazývaný též  -systém, podle označení vertikální souřadnice, byl
vyvinut A. J. Simmonsem a D. M Burridgem [9] v ECMWF (European Centre for Medium
Range Wether Forecast) v Redingu ve Velké Britanii. Oba tyto systémy se používají
v současných provozních meteorologických předpovědních modelech.
V této kapitole všechny následující úvahy o nových zobecněných systémech vertikální
souřadnice vycházejí z předpokladu, že atmosféra, i když se mění, se v každém okamžiku
nachází v hydrostatické rovnováze. V atmosféře zanedbáváme vliv setrvačné hmoty na
pohyby ve vertikálním směru. Rovnice pro změnu vertikální složky hybnosti se redukuje na
hydrostatickou rovnici. Důsledkem toho je, že vertikální rychlosti jsou dány třírozměrným
polem divergence horizontálního větru a k výpočtu vertikálních rychlostí nám stačí použít
pouze rovnici kontinuity.
111
7.1 Transformace rovnic ze z-systému do systému se zobecněnou vertikální
souřadnicí s.
Standardní postup formulace rovnic dynamiky atmosféry v systémech s jinou, zcela
obecně zvolenou, vertikální souřadnicí, než geometrickou výškou z, za předpokladu, že
atmosféra je v hydrostatické rovnováze, byl po prvé popsán Akirou Kasaharou v roce 1974 v
článku [3]. Do učebnice [4] z roku 1979 byla tato teorie zařazena do první kapitoly, jejímž
autorem je švédský meteorolog Hilding Sundqvist. Tato teorie ovšem, jako zvláštní případ,
zahrnuje i transformaci do p-systému vertikální souřadnice, kde vertikální souřadnicí je tlak p,
který je již delší dobu používán jako základní systém v dynamické meteorologii. Pro odvození
rovnic v systému s novou vertikální souřadnicí je možné jako výchozí systém zvolit i jiný
systém, než z-systém, například p-systém. Tento postup zvolil již v roce 1956 Norman
Phillips ve svém fundamentálním, i když pouze v dvoustránkovém článku [5], ve kterém
formuluje  -systém a odvozuje systém řídících rovnic v tomto novém systému.
My vyjdeme ze systému rovnic formulovaných v z-systému. Novou vertikální
souřadnici s na ose z, která se nazývá také zobecněnou vertikální souřadnicí, definujeme
spojitou diferencovatelnou funkcí s  sx, y, z, t  , která má tu vlastnost, že pro pevně zvolené
x, y, t je vztah mezi z a s monotónní a existuje tedy inversní funkce, kterou označme
z  zx, y, s, t . Ve skutečnosti, což uvidíme dále, můžeme tuto záměnu proměnných
definovat zadáním funkce
z  zx, y, s, t  , aniž bychom potřebovali vyjádřit funkci
s  sx, y, z, t  explicitně. Systém souřadnic x, y, s , t se nazývá s-systémem.
Studium transformací mezi jednotlivými systémy vertikální souřadnice začneme
vyjádřením parciálních derivací skalární funkce f ( x , y , z ,t ) v nové soustavě vertikální
souřadnice. Protože skalární funkci v každém bodě v prostoru a čase odpovídá stejná hodnota,
nezávislá na soustavě souřadnic, můžeme tuto funkci v s-systému vyjádřit vztahem
(7.1.1)
F ( x, y, s, t )  f ( x, y, z( x, y, s, t ), t )
Poznamenejme, že F je z matematického hlediska jiná funkce než f a je také funkcí jiných
proměnných. Derivujeme-li nyní předchozí vztah parciálně podle  , kde je postupně
  x, y, t , dostáváme
F f f z


  z 
(7.1.2)
a také
F f z
(7.1.3)

s z s
s použitím vztahu pro derivaci inversní funkce máme též
f s F
(7.1.4)

z z s
Dosazením vztahu (7.1.4) do (7.1.2) dostáváme
f F s z f


(7.1.5)
  z  s
V meteorologii je obvyklé funkce f a F nerozlišovat a označovat je stejně, například malým f.
Abychom rozlišili jejich parciální derivace, které jsou rozdílné, označujeme je, hrozí-li
112
nedorozumění, dolními indexy z, nebo s, podle souřadného systému, ve kterém je funkce
derivována. Je tedy
 f 
 f 
f
F
totéž co   a
totéž co   , což má tu výhodu, že se zápis týká pouze


   z
   s
operátorů derivování a nemusíme vypisovat konkrétní skalární proměnnou a vztahy (7.1.4)
můžeme psát ve tvaru
 s 
(7.1.6)

z z s
Indexy s a z tam, kde nehrozí nedorozumění, jsou vynechány. Vztah (7.1.5) pak píšeme ve
tvaru
  
   s  z  
       
(7.1.7)
   z    s z    s s
Předchozí postup je matematicky přesný, ale nenázorný, proto, abychom si situaci lépe
uvědomili, podáme názorné, ve fyzice často používané odvození pomocí diferencí a limitního
přechodu. K těmto úvahám vyjdeme z následujícího obrázku.
Obrázek 7.1 Transformace do s-systému vertikální souřadnice
Na obrázku 7.1 jsou v rovině řezu svislou rovinou y  const . zobrazeny body, označené 0 a 1
ležící v hladině konstantního z a body 0 a 2 ležící na ploše konstantního s. Z obrázku je vidět,
že máme-li zadánu nějakou skalární funkci f a chceme-li vyjádřit její parciální derivace podle
x v bodě 0 v z-systému a s-systému a odvodit vztah mezi nimi, můžeme postupovat
následovně. Derivaci funkce f podle x v z-systému, tedy při konstantním z, můžeme vyjádřit
limitou kde x  0
f  f0
 f 
(7.1.8)
   lim 1
x
 x  z
zatímco derivaci funkce f podle x v s-systému, tedy při konstantním s limitou
113
f  f0
 f 
(7.1.9)
   lim 2
x
 x  s
Všimněme si zde, že předchozí vztah není zcela korektní, neboť horizontální vzdálenost x
je zde měřena pro z konstantní, nikoliv správně pro s konstantní. To je ovšem v souvislosti
s „tradičními aproximacemi“, kde atmosféra tvoří na povrchu Země jen tenkou vrstvu a pro
všechny vertikální systémy souřadnic měříme vzdálenost po povrchu Země, tedy vlastně v zsystému. Aproximaci v předchozím vztahu odpovídá to, že ve vztahu (7.1.1) pro odvození
vztahů mezi derivacemi je novou funkcí souřadnic x, y, s, t pouze souřadnice z a souřadnice x,
y, zůstávají stejné.
Z obrázku je patrné, že
f  f0
 f  f 0 f 2  f1 
 f 
 lim  2


   lim 1
x
x 
 x  z
 x
Limita prvního členu je dána (2.8) a limitu druhého členu upravíme následovně
f  f1
z s f 2  f1 z s f
lim 2
 lim

x
x z s
x z s
Dosazením do vztahu (7.1.10) máme
 f 
 f   z  s f
      
 x  z  x  s  x  s z s
(7.1.10)
(7.1.11)
(7.1.12)
Tím jsme dostali pro   x vztah shodný se vztahem (7.1.7). Poznamenejme, že derivace
s
z
je nazývána koeficientem roztažení, anglicky „stretching factor“.
Transformace operátorů horizontálního gradientu a divergence do s-systému
Na základě vztahů (7.1.6) a (7.1.7) můžeme napsat vztah mezi horizontálním
gradientem v s a z-systému.
Máme
s 
(7.1.13)
z  s  s z
z s
a obdobně pro divergenci horizontálního vektoru větru v  u ,v  máme
z v  s v  s z 
v s
s z
(7.1.14)
Poznámky k transformaci vertikální souřadnice
Při této transformaci je použito několik zjednodušení, i když se o nich většinou
nemluví. Na tato zjednodušení se nyní podívejme. Zcela jistě nám to více objasní situaci
souřadnicových systémů používaných v předpovědních modelech synoptického měřítka.
Tato zjednodušení jsou následující:
1. Při transformaci do systémů nové zobecněné vertikální souřadnice zůstávají
horizontální souřadnice x, y stejné, jako v z-systému. Polohu bodů definujeme
tedy souřadnicemi na povrchu zemského geoidu, tedy pomocí geografických
souřadnic, nebo kartézského systému souřadnic na konformní mapě. Tyto
114
horizontální souřadnice tvoří vždy na ploše stejného geopotenciálu ortogonální
křivočarý systém. Transformace do zobecněného systému vertikální souřadnice se
tedy provádí pouze na ose z, kde poloha bodů je určena novou souřadnicí s. Ve
skutečných křivočarých souřadnicích v trojrozměrném prostoru by souřadnice x, y
znamenaly něco jiného, parametrické křivky na s-plochách, jinak řečeno,
průsečnice plochy s  const s plochami x  const a y  const . Tento systém
souřadnic x, y, by nebyl ortogonálním systémem, ale podle diferenciální geometrie
afinním systémem křivočarých souřadnic. V důsledku toho i vzdálenost by byla
vyjádřena obecným tvarem první diferenciální formy plochy a nebyla by již
vyjádřena jednoduše pomocí Laméových koeficientů. Pro hodnoty skalárních
funkcí nečiní tato transformace problém. Pro jejich derivace je již situace jiná.
Z tohoto hlediska je derivace v z-systému (7.1.8) aproximována správně, zatímco
derivace (7.1.9) v s-systému aproximována jenom přibližně, protože vzdálenost
x je brána stejně v z-systému na plochách stejného geopotenciálu a ne po sploše. Proto gradient skalární funkce vzhledem k proměnným x, z, musíme chápat
jako horizontální gradient, stejně tak, jako složky horizontálního větru. Podle
definice našeho s-systému je ovšem aproximace (7.1.9) provedena obdobně, je
však užitečné, abychom si tuto skutečnost uvědomili. V odvození transformací
derivováním je toto zjednodušení dáno tím, že ve vztahu (7.1.1) je funkcí x , y , s ,t 
pouze nezávisle proměnná z, zatímco nezávisle proměnné x, y, zůstávají v novém
vertikálním systému stejné, a nezávisí tedy na ostatních souřadnicích.
Podívejme se nyní, jaký maximální úhel může svírat s-plocha kopírující terén
s horizontální rovinou v modelech synoptického měřítka. Vezměme například
globální model s horizontálním krokem x  100 km a náběh na pohoří Himaláje o
průměrné výšce 7 km. Potom maximální úhel  stoupání do Himaláje z výšky
hladiny moře do výšky 7 km na vzdálenosti jednoho kroku v síti 100 km vypočteme
  arctg v / x   arctg 0.07  4 0 . Obrázek 7. 2.
ze vztahu
Obrázek 7. 2. Úhel s-souřadnice s horizontální rovinou
To je také odchylka kolmice k s-ploše od svislého směru osy z. Délka l v systému
kopírující terén je proto delší a je rovna x / cos    100.24 km. Což znamená, že ve
vzdálenosti a tedy i při výpočtu derivace vzniká chyba 0.24% , což je možné zanedbat.
115
Pro lokální model v oblasti Evropy s krokem x  10 km a převýšením v=2.5 km na
přechodu do oblasti Alp máme úhel   arctg 0.25  140 a l  10 / cos14  10.3 . V
tomto případě je chyba v délce 3%. Pro menší měřítka jsou gradienty stoupání a tedy i
chyby větší. Krok 10 km bych podle předchozího proto považoval za nejmenší možný
krok pro tento systém souřadnic.
V přírodě jsou ovšem svahy vyšších hor Tatry, Alpy velmi strmé. Malá délka kroku
v síti pak umožňuje origrafii těchto hor dobře popsat. Systém souřadnic kopírujících
terén v tomto případě již nelze považovat za ortogonální a použitelný pro exaktní
předpověď jejího vývoje
2. Nejvýznamnějším zjednodušením v systémech se zobecněnou vertikální
souřadnicí je popis vektorů pomocí složek v kartézském systému souřadnic x, y, z.
Týká se to zejména složek horizontálního větru a horizontálního gradientu tlaku.
Místo toho abychom vektory v třírozměrném prostoru popisovali pomocí složek
vzhledem k lokálním systémům souřadnic - repéru, což je správný popis vektorů
v křivočarém systému souřadnic, tak místo toho pracujeme s jejich složkami
v základním z-systému a zavádíme proto pojem horizontálního větru a
horizontálního gradientu tlaku, jejichž složkami jsou ve skutečnosti průměty těchto
vektorů do ploch z  const . Obdobně je zavedena i zobecněná vertikální rychlost,
která zůstává stále ve směru osy z. V modelech tedy nepracujeme se skutečnými
vektory větru v třírozměrném prostoru, ale pouze s vektory v dvourozměrných
horizontálních rovinách stejného geopotenciálu. To se týká zejména horizontálních
složek větru a horizontálního gradientu tlaku. Je celkem jasné, že takovýto přístup
odpovídá popisu dynamiky v modelech s hydrostatickou aproximací, kde
vertikální pohyby jsou dány zákonem zachování hmoty atmosféry a můžeme je
vypočítat z rovnice kontinuity. O tom je pojednáno v dalším. Toto zjednodušení
systémů souřadnic kopírujících terén je z hlediska diferenciální geometrie a studia
vektorů v třírozměrných křivočarých souřadnicích fundamentální. V diferenciální
geometrii jsou složky vektoru definovány vzhledem k lokální soustavě souřadnic –
repéru, který je vytvořen jednotkovými vektory tečnými k parametrickým
křivkám.
116
Obrázek 7.3 Systém souřadnic kopírující terén a systém křivočarých souřadnic
3. Na obrázku jsou jednotkové vektory lokálního repéru označeny i a k, zatímco
jednotkové souřadnicové vektory z-systému používané v systému souřadnic
kopírujících terén používané v meteorologii jsou označeny jako označeny jako x a
z. Vezmeme-li libovolný konstantní volný vektor, jehož počátek si umístíme do
počátku repéru. Pohybujeme-li vektorem po s-ploše, mění se směr souřadnicových
vektorů lokální souřadné soustavy a tím se mění všechny tři souřadnice stejného
vektoru. Tento efekt, při kterém se mění složky vektoru při pohybu lokálního
systému souřadnic, se nazývá paralelním přenosem vektoru. Při transformaci
vertikální souřadnice v meteorologii nepoužíváme v podstatě pro popis vektorů
lokální systém souřadnic, protože pro složky vektorů používáme původní
kartézský systém souřadnic. Mluvíme-li o horizontálním větru, je jeho vertikální
složka rovna nule. Důsledkem zjednodušení, které je používáno v meteorologii je
také to, že metrické členy v s-systému jsou dány pouze geometrií v horizontální
rovině a týkají se tedy pouze křivočarých souřadnic x, y určujících polohu bodů na
geoidu.
4. Dalším problémem v takto formulovaném s-systému je problém správného
modelování vlivu orografie, tedy vlivu hor na proudění vzduchu. Horské překážky
mají fyzikálně dvojí vliv na proudění. Je to jednak zvýšené tření, které způsobuje
nehladkost orografie. Druhým vlivem, který brzdí přechod vzduchu přes horské
překážky je síla zemské tíže, která je přibližně kompenzována vertikálním
gradientem tlaku. Rozdíl těchto sil působí ve vertikálním směru. Pro částice blíže
povrchu Země pevný povrch Země neumožňuje jejich čistě horizontální pohyb.
Proto se musí pohybovat také ve vertikálním směru, kde se zmíněné síly uplatní.
Rozdíl těchto sil pak působí při pohybu do stoupání orografické plochy proti
pohybu částic, při klesání naopak. Vlivem účasti těchto sil by pohyb částic
atmosféry měl záviset na tepelném zvrstvení atmosféry. Protože my pracujeme
pouze s horizontálními vektory větru, v z-hladině se tyto síly nemůžou uplatnit,
neboť působí ve vertikálním směru. Ve skutečných křivočarých souřadnicích by se
117
zřejmě objevily v gradientu tlaku. V našich zjednodušených souřadnicích se tento
efekt popsat nedá. V hydrostatických modelech se rovnice hybnosti ve vertikálním
směru redukuje na hydrostatický vztah a žádné síly ve vertikálním směru se
neuplatňují, neboť zemská tíže a vertikální gradient tlaku jsou vždy v přesné
rovnováze. Námi popsaný systém vertikální souřadnice nám nedovoluje zahrnout
vliv orografie přímo do dynamické části modelu a vliv orografie se proto zahrnuje
do parametrizace tření.
Vyjádření individuální a lokální změny skalární proměnné v s- systému .
Všechny změny fyzikálních parametrů, jako je teplota, tlak, vlhkost,… se
v meteorologii vztahují k dané určité částici, která je obvykle jednotkové hmotnosti, a
pohybuje se v poli větru. Rychlost časové změny parametrů této částice vyjadřujeme tak
d
zvanou individuální změnou a vyjadřujeme symbolem
, tedy úplnou derivací podle času.
dt
Změny hodnot těchto fyzikálních parametrů můžeme studovat též v pevně zvoleném bodě

v prostoru a rychlost těchto časových změn je vyjádřena parciální derivací podle času
, tuto
t
časovou změnu nazýváme lokální. V tomto případě se v každém časovém okamžiku bude
nacházet v daném bodě jiná vzduchová částice a změna fyzikálních parametrů bude
způsobena také tím, že se bude týkat jiné částice. Nyní si vyjádříme vztah mezi těmito
derivacemi, ovšem ve zobecněném systému vertikálních souřadnic.
Vezměme nyní libovolnou skalární funkci f x, y, s, t  . Uvažujme nyní částici která je
v čase t v bodě
x, y, s  .
V čase t  t  dt je tato částice v bodě
x  dx, y  dy, s  ds  .
Studujme nyní rozdíl
df  f x  dx, y  dy, s  ds, t  dt   f x, y, s, t 
(7.1.15)
Tento rozdíl vyjadřuje změnu fyzikálního parametru f za časový interval dt. Použijeme-li nyní
Taylorova rozvoje, (stačí pouze jeho první členy) máme
f
f
f
f
df 
dx  dy  ds  dt  odx, dy, ds, dt 
(7.1.16)
x
y
s
t
Tento vztah vydělíme dt a přejdeme v limitě dt  0 . Obdržíme tak operátor individuální
změny (totální derivace) ve tvaru
d




  u  v  s
(7.1.17)
dt t
x
y
s
dx
dy
ds
jsou složky horizontální rychlosti a s 
se nazývá zobecněná
, v
dt
dt
dt
vertikální rychlost. Stejnou úvaha, jako předchozí, se provádí při definici individuální změny
(které se také říká totální derivace) v z-systému. Dostaneme tak standardní vyjádření
individuální změny. Vertikální složku větru v z-systému označujeme obvykle w a je rovna
dz
. Vztah (7.1.15) se podle prací [3], [4] považuje za definici individuální změny v sw
dt
systému. Dosadíme-li do vztahu (7.1.17) ze vztahů (7.1.6), (7.1..7) a (7.1.14) dostaneme
kde
u
118
d 
     z  s 
s 
s 
(7.1.18)
    v z  w      
 v  s  v   s z
w
dt  t  z
z  t  s  t  s z s
z s
z s
neboli

 s 
d 
 z 
    v   s  w     v   s z 
(7.1.19)
dt  t  s
 t  s

 z s
Srovnáme-li vztahy pro individuální změnu (7.1.17) a (7.1.19) dostáváme vztah mezi
vertikální rychlostí w v z-systému a zobecněnou vertikální rychlostí s v s-systému
s 

s 
 z 
w     v   s z 
z 
 t  s

(7.1.20)
V horizontální rovině používáme skutečné křivočaré souřadnice x , y , a proto pro vektorové
veličiny, tedy například pro horizontální složky větru, je třeba operátor advekce (7.1.17)
doplnit o další tak zvané metrické členy. Tato skutečnost byla popsána v kapitole „Formulace
prognostických rovnic na zemské sféře“.
Hydrostatická rovnice v s-systému
V z-systému můžeme jako základní tvar hydrostatické rovnice považovat
p
(7.1.21)
  g
z
přejdeme-li k inversní funkci, dostaneme vlastně tvar hydrostatické rovnice v p-systému
z
1

(7.1.22)
p
g
Hydrostatická rovnice se často formuluje pro změnu geopotenciálu, který je definovaný
vztahem   gz , máme

1

p

Podle vztahu (7.1.6) můžeme hydrostatickou rovnici (7.1.21) napsat v s-systému
p s p

  g
z z s
Přejdeme-li k inversní funkci, máme

z
p

 g

s
s
s
Předchozí vztah je nejobvyklejším tvarem hydrostatické rovnice v s-systému.
Rovnice kontinuity
V z-systému ji píšeme obvykle v divergentním tvaru

w
    v  
0
t
z
Pro transformaci použijeme však raději advekční tvar
d
w
ln     v 
0
dt
z
(7.1.23)
(7.1.24)
(7.1.25)
(7.1.26)
(7.1.27)
119
Z rovnice (7.1.20) dávající do souvislosti vertikální rychlost v z a s-systému máme
z
 z 
w     v   s z  s
s
 t  s
(7.1.28)
Tento vztah je vlastně vertikální rychlost w, tedy individuální časová změna z, napsaná v ssystému. Derivujeme-li tento vztah podle z, s použitím vztahu (7.1.6), dostaneme vyjádření
w
derivace
v s-systému
z
 s
w w s s  d  z  v

   
  s z 
(7.1.29)
z s z z  dt  s  s
 s
Dosazením (7.1.14) a (7.1.29) do (7.1.27) máme
 s
d
v s s  d  z  v
ln    s  v   s z 
   
  s z 
0
dt
s z z  dt  s  s
 s
(7.1.30)
Dva členy se zde vyruší a všimneme-li si, že platí
d  z  d 
z  d
d z d
s d z
(7.1.31)
ln     ln   ln   ln   ln  ln  
dt  s  dt 
s  dt
dt s dt
z dt s
dostaneme tak
d  z 
s
(7.1.32)
ln     s v 
0
dt  s 
s
což je rovnice kontinuity v s-systému. Tato rovnice se dá přepsat také do divergentního tvaru
   z 
z   
z 

(7.1.33)
 t   s    s   v s   s  s  s   0
 s




 
Pro zjednodušení rovnice kontinuity nyní použijeme předpokladu o hydrostatické rovnováze.
S použitím hydrostatické rovnice můžeme rovnici kontinuity napsat ve tvaru
  p 
 p    p 
(7.1.34)
    s   v    s   0
s  t  s
 s  s  s 
Hilding Sundqvist [8] zavádí novou proměnnou, kterou označuje m vztahem, který je
hydrostatickou rovnicí (7.1.25)

p
(7.1.35)


 m
s
s
rovnici (7.1.33) pak píše ve tvaru

 m 
(7.1.36)

   s  m v   m s   0
s
 t  s
Pro numerické předpovědní metody je otázkou, zdali je toto označení vhodné, neboť
v předpovědních modelech používající souřadnice konformní mapy se písmenem m označuje
koeficient zkreslení konformní mapy.
Rovnice horizontální hybnosti
Již v názvu pojem „horizontální hybnost“ nás upozorňuje, že jde o hybnost, kterou zde
uvažujeme je ve směru horizontální plochy, tedy hybnost jak je definována v z-systému.
Název odstavce je anglicky „Horizontal Momentum Equation“.
120
V z-systému mají tyto rovnice tvar
dv
1
 fk  v   p  F
dt

po transformaci do s-systému máme
dv
1
1 s
 s z  p  F
 fk  v    s p 
dt

 z
s
s použitím hydrostatické rovnice (7.1.24) můžeme rovnice hybnosti psát ve tvaru
dv
1
 fk  v   s    s p  F
dt

(7.1.37)
(7.1.38)
(7.1.39)
Termodynamická rovnice
První věta termodynamiky formulovaná jako termodynamická rovnice má v obou
systémech souřadnic prakticky stejný tvar.
V z-systému i s-systému má pro změnu absolutní teploty T tvar
dT
(7.1.40)
cp
   Q
dt
1
dp
Kde  
je zobecněná rychlost v p-systému, tedy individuální změna tlaku p a  
je
dt

měrný objem a Q je přítok tepla za jednotku času na jednotku hmotnosti.
Termodynamická věta se často formuluje jako zákon zachování potenciální teploty.
Pro adiabatické děje ve tvaru
d
(7.1.41)
0
dt
nebo ve tvaru
d
Q
ln  
(7.1.42)
dt
c pT
kde  je potenciální teplota, definovaná vztahem
 T / P
a kde P je Exnerova funkce, která je definovaná vztahem
P   p / p0 

kde
  R / c p  0.286
(7.12.43)
(7.1.44)
kde R je plynová konstanta pro suchý vzduch a c p je měrné teplo při konstantním tlaku a kde
p 0 je konstanta – standardní tlak. Obvykle se volí p0  1 000 hPa . Podle mé zkušenosti je

možné volit p0  1 , neboť pro p0  1 000 hPa je p0  7.211 , což je vcelku malá hodnota a
problémy s měřítky – velkými hodnotami nenastanou.
Horní a dolní okrajová podmínka
Základním principem kladeným na model je zákon zachování celkové hmoty
atmosféry. To vede k podmínkám na horní a dolní hranici oblasti. Pro číselné modelování je
třeba, aby oblast modelu atmosféry byla ve směru vertikální osy byla v s-systému konečným
intervalem. Jestliže předpokládáme, že vrchní hranice, tedy strop modelu, je souřadnicovou
plochou sT  const . , potom hraniční podmínkou pro zachování hmoty je podmínka, aby touto
121
plochou vzduch neprotékal a jako okrajovou podmínku můžeme položit s  0 . Tato
podmínka je pro modely vyhovující, ale je třeba, aby strop modelu byl dostatečně vysoko.
Horní okrajovou podmínku můžeme formulovat vztahem
s  0 pro s  sT
(7.1.45)
Poznamenejme, že vzhledem k numerické integraci modelů, je pro každou vertikální
souřadnici s třeba, aby interval integrace, ve směru souřadnice s byl konečný. V z-systému to
pak znamená, že strop modelu je v konečné výšce. Vezmeme-li jako vertikální souřadnici tlak
p pak například interval integrace p  0, p s  , kde p s je tlak na povrch země je vzhledem
k souřadnici p konečné délky, avšak strop modelu, kde klademe podmínku (7.1.45) je
nekonečně vysoko. Totéž platí i pro některé systémy vertikální souřadnice kopírující terén,
pro klasický Phillipsův  -systém, kde vertikální souřadnicí je   p / p s a nebo hybridní
systém s vertikální souřadnicí označovanou řeckým písmenem  , proto  -systém. Podle
práce [4] mají tyto systémy některé přednosti oproti modelům se stropem v konečné výšce.
Vlny vertikální struktury, a vlastní oscilace atmosféry, tedy vertikální normální módy jsou
v tomto případě modelovány správně, bez určitých zkreslení vznikajících stropem atmosféry
v konečné výšce nad Zemí. Často dříve používaná vertikální souřadnice  definovaná
vztahem    p  pT  /  ps  pT  pro model se stropem v tlakové hladině pT  0 se z těchto
důvodů v současné době již téměř nepoužívá. Poznamenejme, že pro pT  0 je tento systém
klasickým Phillipsovým  -systémem z roku 1957. Jiná situace je pro tak zvané plně
stlačitelné nehydrostatické modely, kde se i pro systémy kopírující terén vychází obvykle se
z-systému.
Dolní okrajovou podmínku dostaneme z kinematické podmínky: normálová složka
větru vzhledem k povrchu Země musí být nulová. Kinematická podmínka má smysl pro
systémy, které nekopírují orografický povrch Země. Pro systémy kopírující terén se redukuje
na nulovou zobecněnou vertikální rychlost. Souřadnice s pevného bodu se na dolní hranici se
obecně mění vzhledem k času. Obecná podmínka na dolní hranici má proto tvar
s
(7.1.46)
s  H  v h  H s H pro s  s H
t
kde hodnota s na dolní hranici - povrchu Země je
s H  s  x , y , H ,t 
(7.1.47)
a v H je horizontální část větru pro s  s H . Jestliže povrch Země je souřadnicovou plochou,
pak podmínka (7.1.46) se redukuje na jednoduchou podmínku
s  0 pro s  s H  const
(7.1.48)
a pro každý bod daný horizontálními souřadnicemi x, y, nabývá souřadnicová plocha s  s H
výšku H x , y  nad terénem. Kinematická podmínka je pro modelování z hlediska numerické
matematiky prakticky neschůdná, a proto dnešní modely používají výhradně systémy terén
kopírujících vertikálních souřadnic.
122
7.2 Tvar řídících rovnic v používaných systémech vertikální souřadnice
p-systém
Historicky prvním systémem vertikální souřadnice používaným v meteorologii jiným
než z-systém byl p-systém. K používání p-systému vertikální souřadnice vedly zřejmě dvě
skutečnosti. Jedním důvodem bylo to, že radiosondy dávají naměřené hodnoty teploty
vlhkosti, větru jako funkce tlaku p a také tím, že na synoptických mapách se analyzovaly a
zobrazovaly hodnoty proměnných v hladinách konstantního tlaku. Druhým důvodem může
být i skutečnost, že v p-systému jsou i rovnice dynamické meteorologie jednodušší. V psystému je zobecněnou vertikální souřadnicí tedy tlak p. Rovnice hydrostatické rovnováhy má
v tomto systému tvar (7.2.3). Dosadíme-li do hydrostatické rovnice za hustotu  ze stavové


rovnice p   R T , kde R je plynová konstanta pro suchý vzduch R  287 J kg 1 K 1 ,
můžeme hydrostatickou rovnici psát ve tvaru

RT

(7.2.1)
p
p
nebo pro aproximaci častěji užívaném tvaru

  RT
(7.2.2)
 ln p
V p-systému je tedy nezávisle proměnnou tlak p. Z hlediska obecného s-systému je tedy
dp
. Protože
s  p . Zobecněnou vertikální rychlost v p-systému označujeme  , takže je  
dt
p
derivace nezávisle proměnné podle času je nulová, je
 0 a rovnice kontinuity (7.1.34) se
t
redukuje na vztah

v 
0
(7.2.3)
p
a v p-systému má rovnice kontinuity stejný tvar jako v z-systému pro nestlačitelnou tekutinu.
Horizontální gradient tlaku v rovnicích (7.1.39) hybnosti se ze stejných důvodů redukuje na
jediný člen  .
Systémy kopírující terén
Systémem kopírující terén budeme nazývat každý systém zobecněné vertikální
souřadnice s, pro který je povrch Země zahrnující ovšem orografii, tedy horami zvlněný terén
je zároveň plochou konstantní souřadnice s. Tato plocha konstantní souřadnice s, tvoří
zároveň také dolní stěnu výpočetní oblasti modelu. Protože tato plocha je fyzicky
neprostupná, je na této ploše zobecněná vertikální rychlost s rovna 0.
Klasický Phillipsův  -systém
Nyní si rovnice napíšeme v klasickém   systému. Zobecněná vertikální souřadnice
je definovaná vztahem
  p / ps
(7.2.4)
123
kde p s je tlak na orografické ploše, tedy povrchu země. Takový systém zahrnuje jednoduše
pohoří do modelu, neboť orografická plocha je pro   1 zároveň souřadnicovou plochou.
Probíhá-li tlak od 0 do tlaku na orografické ploše p s , pak  probíhá v každém bodě
horizontální souřadnice interval 0,1 .
Hydrostatická rovnice (7.1.25) má v tomto případě tvar

1 p


 
Vezmeme-li v úvahu, že p   p s odkud
(7.2.5)
1 RT
RT
p
máme

 ps a 


p
 ps

RT



(7.2.6)
neboli též

  RT
 ln 
Rovnice kontinuity (7.1.34) v divergentním tvaru se redukuje na tvar
ps

 ps   0
  p s v  
t

v rovnicích hybnosti (7.1.39) je třeba upravit pouze horizontální gradient tlaku
1
RT
   p   
 p s     RT ln p s

 ps
a dostaneme obvyklý tvar rovnic hybnosti v  -systému
dv
 fk  v    RT ln p s  F
dt
pravou stranu první věty termodynamiky upravíme též. Neboť  
(7.2.7)
(7.2.8)
(7.2.9)
(7.2.10)
1


RT
RT
a ze

p
 ps
dp
dp d
  p s   p s   s dosazením do (7.1.40) je
dt dt
dt
dp  Q
dT
RT 
  Q
d

 T  ln p s   
(7.2.11)
 p s   s  
dt c p  p s 
dt  c p
  cp
 dt
vztahu p   p s máme  
kde jsme jak je to v meteorologii obvyklé označili  
R
.
cp
Hybridní systém,  -systém (éta-systém) vertikální souřadnice
Uvažujme obecnou vertikální souřadnici  kopírující terén, která je monotónní funkcí
tlaku p a závisející na tlaku p s na orografické ploše:
  h p , p s 
(7.2.12)
kde h0, p s   0 a h p s , p s   1 . Souřadnice  probíhá tedy stejně jako souřadnice 
interval 0,1 , kde  =1 je na orografické ploše povrchu Země. Ve skutečnosti souřadnici 
definujeme implicitně, tím, že zadáme tlak p jakožto funkci  vztahem
124
p  A  p0  B  ps
(7.2.13)
V článku [9] Simmons a Burridge zadávají a tedy aproximují tyto funkce polynomy. Při
numerické realizaci modelů se však funkce A  a B  zadávají hodnotami na diskrétní síti
vertikální proměnné  Simmons and Strüfing [10]. Pro každou  plochu vertikální diskrétní
sítě, které jsou v modelech ECMWF a tedy i v článku [9] označovány lomenými indexy typu
k  1/ 2 , tedy  k 1 / 2 , jsou zadány tabulkou hodnoty funkcí Ak 1 / 2 , Bk 1 / 2 . Tyto  -plochy
oddělují vrstvy modelu. p 0 je konstantní tlak obvykle volený jako 1013.2 hPa. Hodnoty
funkcí A, B jsou voleny tak, že ve stratosféře je systém shodný s p-systémem, který se
s klesající výškou mění spojitě na systém, který se u Zemského povrchu blíží k  -systému.
Při realizaci modelu je tedy tlak na  k 1 / 2 plochách dán vztahy
pk 1 / 2  Ak 1 / 2 p0  Bk 1 / 2 ps x , y ,t 
(7.2.14)
Obdobně jako pro  -systém formulujeme řídící rovnice v  -systému dosazením příslušných
hodnot do rovnic obecného s-systému. Klademe s   , s   a dostáváme:
rovnice hybnosti
dv
RT
 fk  v   
p  F
dt
p
(7.2.15)
d




  u  v  
dt t
x
y

(7.2.16)
kde
hydrostatickou rovnici

RT p


p 
(7.2.17)
rovnice kontinuity
  p    p    p    p 

  u
  v



t    x    y       
(7.2.18)
termodynamická rovnice
dT T

dt
p
(7.2.19)
Poznámka:
V současnosti tento systém je velmi často používán v hydrostatických modelech.
Tento hybridní systém je již podle názvu určitým zkřížením  -systémemu u povrchu Země a
p-systému ve stratosféře, kde přechod od jednoho ke druhému je pozvolný. Dá se říci, že je to
jakási lineární kombinace obou souřadnic s vahami. Je také přímým zobecněním  -systému,
položíme-li A  =0 a B  =  . Rozdíl mezi Phillipsovým  -systémem a  -systémem při
numerické realizaci modelů spočívá v tom, že v  -systémemu všechny výpočty týkající se
vertikálních derivací výpočtu logaritmů, Exnerových funkcí atd. se provádějí vzhledem ke
konstantním hodnotám  k 1/ 2 a nemění se horizontálně ani v čase. Tyto hodnoty tak lze
vypočítat předem, před výpočtem. Na rozdíl od toho se v  -systému vzhledem k tomu, že
tento systém je definován vlastně implicitně vztahem (7.2.12) respektive (7.2.13) se všechny
125
tyto výpočty provádějí vzhledem k tlaku p , který je ovšem podle (7.2.13) na  hladinách
funkcí x,y i času t. Proto výpočty v  - systému jsou asi o 30% časově náročnější (Podle
ústního sdělení A.J.Simmonse). Hlavní výhody  - systémutohoto systému jsou údajně při
asimilaci dat ve stratosféře. Také vyjádření horizontálního gradientu tlaku je v tomto systému
ve stratosféře přesnější, protože je dán stejně jako v p-systému jediným členem, zatímco v  systémemu jako rozdíl dvou členů s opačnými znaménky.
Literatura:
[1] Arakawa A., Suarez M. J. 1983: Vertical Differencing of Primitive Equations in Sigma
Coordinates. Mon. Wea. Rev. 111, 34-45
[2] Eliassen, A., 1949: The quasi-static equations of motion with pressure as independent
variable. Geofys. Publ. 17, No. 3, 44 pp.
[3] Kasahara A., 1974: Various Vertical Coordinate Systems Used for Numerical Weather
Prediction. Mon. Wea. Rev. 102, 509-522.
[4] Lindsen R. S., Batten E. S., Kim J.W. 1968: Oscillations in Atmospheres with Tops. Mon.
Wea. Rev. 96, 133-140.
[5] Philips N. A., 1957: A Coordinate System Having some Special Advantages for
Numerical Forecasting. Journal of Meteorology 14, 184-185.
[6] Phillips Norman, 1966: The Equations of motion for Shallow Rotating Atmosphere and
the “Traditional Approximation”, Journal of the Atmospheric Sciences, 23, 626-628.
[7] Phillips Norman, 1974: Application of Arakawa’s Energy-conserving Layer Model to
Operational Numerical Weather Prediction. NATIONAL METEOROLOGICAL
CENTER, OFFICE NOTE 104
[8] Sundqvist H. 1979: Numerical Methods Used in Atmospherical Models. Volume 2, GARP
Publication Series No. 17, September 1979. Cap. 1. 5-38.
[9] Simmons A. J., Burridge D. M., 1981: An Energy and Angular-Momentum Conserving
Vertical Finite-Difference Scheme and Hybrid Vertical Coordinates. Mon. Wea. Rev. 109,
758-766.
[10] TECHNICAL REPORT No. 28. AN ENERGY AND ANGULAR MOMENTUM
CONSERVING FINITE-DIFFERNCE SCHEME, HYBRID COORDINATES AND
MEDIUM-RANGE WEATHER PREDICTION. By A. J. Simmons and R. Strüfing,
November 1981.
126
8. O transformaci dat mezi systémy vertikálních souřadnic
Transformace meteorologických údajů mezi dvěma systémy s různou vertikální
souřadnicí se používá v současnosti prakticky v každém meteorologickém předpovědním
modelu. Je to proto, že meteorologická data jsou z velké části měřena a analyzována
vzhledem k nezávisle proměnné tlaku, zatímco téměř všechny meteorologické modely
používají pro integraci systém souřadnic kopírující terén. Další transformaci potřebujeme,
abychom předpověděná data prezentovali v synopticky interpretovatelném tvaru, což
souřadný systém kopírující terén rozhodně není. Proto předpověděná data musíme
transformovat do tlakových hladin, tedy do p-systému, nebo také do přízemních map, kde
jsou hodnoty přepočtené na hladinu moře.
Transformaci použijeme také v případě, že v modelu s vertikální souřadnicí kopírující
terén chceme přejít horizontální interpolací na jemnější síť. Tuto interpolaci musíme provést
v systému, který nezávisí na orografii, nejčastěji v p-systému. K této interpolaci by bylo
možné použít též z-systém. Když interpolujeme data ze sítě řídícího modelu do jemnější sítě
vloženého modelu výška orografické plochy v hrubší síti uzlových bodech řídícího modelu
obvykle jiná, než orografie na jemné síti vloženého modelu. To je proto, že jemnější síť
dovoluje popsat orografii podrobněji a tedy přesněji. Z hlediska vloženého modelu, bude také
orografie řídícího modelu hladší než orografie vloženého modelu. Horizontální interpolace
nezávislá na výšce orografie nám dá po transformaci těchto horizontálně interpolovaných dat
do systému kopírujícího terén data odpovídající nové přesnější orografii.
V této kapitole se budeme zabývat transformací meteorologických proměnných mezi
dvěma systémy vertikální souřadnice a to mezi p-systémem a systémem kopírujícím terén 
nebo   systémem. Tyto transformace se v praxi vyskytují nejčastěji. Prezentovaná teorie
nám dá návod pro provedení transformací i jiných systémů vertikálních souřadnic. Tuto
transformaci provedeme pomocí interpolace. Data, která transformujeme, jsou: výšky
tlakových hladin na výšky tlakových hladin systému jiné vertikální souřadnice s, která může
být zejména  -souřadnicí, nebo  -souřadnicí, či ještě nějakou jinou. Dále se provádí
transformace teploty, vlhkosti (obvykle relativní vlhkosti) a složek větru.
8.1 Transformace z p-systému do  nebo  - systému
Studium této transformace začneme transformací výšek, nebo geopotenciálu tlakových
hladin. Touto transformací musíme začít, neboť jejím prvním krokem je výpočet hodnot tlaku,
nebo spíše logaritmu tlaku v uzlových bodech sítě v s-systému. Teprve pak můžeme provést
interpolaci výšek tlakových hladin, nebo geopotenciálu, vlhkosti a složek větru do s-systému.
Transformace geopotenciálu je o něco složitější než transformace ostatních proměnných,
protože ve vstupních datech nebývá zadán tlak na orografické ploše, který je přirozeně na
výšce orografické plochy závislý. Orografická plocha je vždy zadána nadmořskou výškou
nebo geopotenciálem povrchu Země, v každém bodě sítě. Prvním úkolem je proto výpočet
tlaku na orografické ploše, což je v podstatě obrácená úloha, než je ostatní interpolace. Pro
transformaci vždy předpokládáme, že atmosféra je v hydrostatické rovnováze a splňuje tedy
hydrostatickou rovnici. Tento předpoklad se používá pro přípravu dat, jak pro modely
s hydrostatickou aproximací, tak i pro plně stlačitelné nehydrostatické modely. Při
127
transformaci z p-systému je vhodné provádět interpolace vzhledem k proměnné přirozenému
logaritmu tlaku, kterou označujeme h, neboť průběh meteorologických proměnných je
vzhledem k této nezávislé proměnné pro interpolaci vhodnější, než interpolace vzhledem
k proměnné tlaku p. To se týká zejména průběhu geopotenciálu a teploty. Byly zkoušeny
interpolace i vzhledem k jiným nezávisle proměnným, na svislé ose, například Exnerově
funkci    p / p0  [6]. Ukazuje se však, že interpolace vzhledem k proměnné přirozenému

logaritmu tlaku je nejvýhodnější. V současnosti se interpolace provádí obvykle vzhledem k
logaritmu tlaku.
Proměnná h, vzhledem ke které budeme interpolovat, je tedy definována vztahem
(8.1.1)
h  ln p
Hydrostatickou rovnici pak píšeme ve tvaru

(8.1.2)
  RT
h
kde
  g z je geopotenciál tlakových hladin
z jsou výšky tlakových hladin měřené vzhledem k povrchu moře v metrech
g  9.8 m s 2 konstanta tíhového zrychlení
R  287 m 2 s 2 K 1 plynová konstanta pro suchý vzduch
T absolutní teplota ve stupních Kelvina
Termobarické pole je v modelech určeno dvěma způsoby. Jednou možností je zadat
průběh geopotenciálu v závislosti na vertikální souřadnici, což je pak v diskrétní podobě
zadáním geopotenciálu v uzlových bodech vertikální souřadnice. V tomto případě můžeme
pole teploty získat derivováním hydostatické rovnice. Druhou možností je zadáním pole
teploty. Integrací hydrostatické rovnice můžeme získat pole geopotenciálu. Pro určení
integrační konstanty však potřebujeme znát jednu dvojici hodnot geopotenciálu a tlaku (nebo
logaritmu tlaku) v jednom bodě na každé vertikální ose. V modelech bývá tato dvojice zadána
na povrchu Země, tedy na orografické ploše, jejíž geopotenciál je dán výškou terénu a na této
ploše je dán i tlak.
V modelech používajících  nebo  -systém je tlak na orografické ploše, nebo jeho
přirozený logaritmus, prognostickou proměnnou, a proto musí být zadán v počátečních
podmínkách. Je tedy znám po celou dobu časové integrace. Další prognostickou proměnnou
je teplota. Pro časovou integraci modelu však potřebujeme geopotenciál, abychom mohli
vypočítat horizontální gradient tlaku. V modelech, které používají  nebo  -systém, se
proto v každém časovém kroku provádí numerická integrace teploty po svislé ose, čímž
dostaneme geopotenciál v uzlových bodech, ze kterého pak vypočteme horizontální gradient
tlaku.
Zde bychom si mohli položit otázku, proč pro transformaci do s-systému
neinterpolujeme přímo teplotu T, když je prognostickou proměnnou. Důvod je následující,
geopotenciál v s-systému bychom pak vypočítali integrací hydrostatické rovnice od Země
směrem vzhůru. Chyby interpolace by se při této integraci kumulovali, takže geopotenciál ve
stratosféře by byl zatížený větší chybou. Interpolujeme-li však přímo geopotenciál, tuto chybu
tím eliminujeme. Když pak pro integraci modelu vypočteme teploty vrstev z aproximace
128
hydrostatické rovnice, tak je vše v pořádku, neboť jejich zpětná integrace pomocí stejné
aproximace pro výpočet geopotenciálu není v tomto případě zatížena žádnou chybou.
Prognostické modely pracují s naměřenými daty. Je proto samozřejmé, že data pro
model jsou zadány na síti uzlových bodů. V tří-rozměrném prostoru jsou hodnoty
proměnných dány třemi indexy. Dva z nich udávají polohu ve vodorovném směru a třetí ve
směru vertikálním. V našem případě, kdy studujeme transformaci pouze po pevně zvolené
vertikální ose, budeme proměnné označovat pouze jedním indexem. Je to zcela přirozené,
neboť i v programu, ve kterém se realizuje transformace na počítači, přepisujeme hodnoty pro
každý uzel horizontální sítě z třírozměrných polí pro interpolaci do jednodimensionálních
vektorů. Podívejme se proto nyní jak vypadá rozložení údajů na vertikální ose.
V p-systému jsou proměnné zadány obvykle ve stejných uzlových bodech vertikální
osy, tedy na tak zvané standardní síti. Tato síť má však proměnnou délku kroku a proto je
zadána rostoucí posloupností hodnot tlaku – zadaných hladin, ty označíme
pz1  pz 2  pz3  ......  pz KZ
(8.1.3)
KZ tedy označuje počet zadaných tlakových hladin. Výšky bývají často uvedeny v tak
zvaných standardních talkových hladinách. Jsou to hladiny
10, 20, 30, 50, 70, 100, 150, 200, 250, 300, 400, 500, 700, 850, 925, 1000 hPa (8.1.4)
Z předchozího je zřejmé, že v tomto případě klademe vždy p KZ  1000 hPa . V uvedených
hladinách jsou obvykle zadávány i ostatní údaje, složky větru a některý z vlhkostních
parametrů, který je pro interpolaci vhodné převést na relativní vlhkost. Teplotu ve
standardních hladinách není potřeba zadávat, neboť výškami (geopotenciálem) tlakových
hladin je hydrostatickou rovnicí dána i teplota. Pro interpolaci, jak bylo uvedeno, budeme na
svislé ose v p-systému používat přirozené logaritmy tlaku a tedy používat síť uzlových bodů
hz1  hz 2  hz3  .........  hz KZ
(8.1.5)
Tyto uzlové body jsou dány vztahy
hz K  lg pz K pro K  1,...... , KZ
(8.1.6)
V novém s-systému, kde s je  nebo  , ve kterém model integrujeme je pro časovou
integraci rozložení proměnných jiné. Pro integraci se používá ve vertikálním směru střídavá
síť. Model se skládá z vrstev, kterým jsou v terminologii ECMWF (Evropean Centre for
Medium Range Weather Forecast) přiřazeny celočíselné indexy a proto je nazývají „fulllevel“, my je budeme nazývat vrstvami a přiřazovat jim také celé indexy. Tyto vrstvy jsou od
sebe odděleny hladinami konstantní souřadnice s. Tyto hladiny ECMWF označuje indexy
tvaru K  1/ 2 a tyto hladiny nazývá half-level. Tedy vrstva K je omezena hladinami
K  1 / 2 a K  1 / 2 . Plochy zadané konstantními hodnotami s, nazýváme hladinami, na
rozdíl od vrstev, pro které hodnota s odpovídající vrstvě nemusí být ani určena. I když
označení používané v ECMWF je velmi názorné, jeho nevýhoda spočívá v tom, že
v programech se používají pouze celé indexy. Proto na rozdíl od ECMWF budeme i hladiny
označovat celými indexy. Síť v s-systému zadáme uzlovými body
s0  0  s1  s2  s3  ...... s KS 1
(8.1.7)
Volbu indexů vrstev je pak možné zavést dvěma způsoby. Vrstvě omezené hladinami o
indexech K, K+1 můžeme přiřadit index K, nebo K+1. Zvolil jsem první možnost a proto
indexy  - hladin probíhají hodnoty 1 až KS, protože hodnota s 0 se nezadává, zatímco
129
hodnoty indexů vrstev probíhají hodnoty 1 až KV=KS-1. Zde hodnota s 0 odpovídá stropu
modelu a s KS povrchu orografické plochy. Zadaným uzlovým bodům odpovídají v s-systému
hodnoty tlaku. Tyto hodnoty tlaku, a tedy také hodnoty logaritmu tlaku, jsou dány konkrétním
výběrem vertikální souřadnice. Pro klasický Phillipsův  - systém, kde
  p / pS
(8.1.8)
a p S je tlak na orografické ploše jsou hodnoty tlaku dány vztahem
p  pS
(8.1.9)
Pro dnes již málo používaný  -systém se stropem v tlakové hladině pT jehož vertikální
souřadnice je dána vztahem
   p  pT  /  pS  pT 
(8.1.10)
je tlak dán vztahem
p  pT    pS  pT 
(8.1.11)
Pro hybridní systém vertikální souřadnice, vyvinutý v ECMWF nazývaný obvykle  -systém,
není souřadnice s   definována explicitně jako u předchozích dvou, je však pomocí ní
definován pouze atmosférický tlak jako funkce proměnné  vztahem
p  A  p0 B  p S ,
(8.1.12)
kde p 0 je konstanta. V modelech ECMWF je použita hodnota p0  1013.2 hPa . V praxi jsou
ovšem funkce A  a B  zadány tabelárně hodnotami v uzlových bodech  souřadnice,
tedy jako hodnoty s indexy
AK , BK . Všimněme si, že ve všech případech k zadání tlaku,
respektive jeho logaritmu potřebujeme znát tlak p s na orografické ploše. Poznamenejme
ještě, že na rozdíl od systému vertikální souřadnice (8.1.10), kde strop modelu má konstantní
nenulový tlak a je tedy v konečné výšce, Phillipsův  -systém i  -systém zahrnují celou
atmosféru od tlaku p  0 až do tlaku p  p s na orografické ploše.
Provedení transformace dat z p-systému do  a  systému
Postup je následující. Nejdříve sestrojíme interpolační funkci nezávisle proměnné
logaritmu tlaku h aproximující geopotenciál  . Pro tuto funkci pak musíme řešit obrácenou
úlohu – ke známé hodnotě geopotenciálu povrchu Země  s je třeba nalézt přízemní tlak p s ,
respektive jeho přirozený logaritmus hs  lg  p s  . Tím je teprve dána síť uzlových bodů
v novém souřadném systému, která vyplývá z jeho definice. Nyní můžeme vypočítat tlak a
tedy logaritmus tlaku v uzlových bodech sítě v  -systému, který je zadán posloupností
hodnot s l , ze vztahů
pl   l  p S
(8.1.13)
pl  Al p0 Bl p S
(8.1.14)
hl  ln pl  ,
(8.1.15)
pro  -systém pak ze vztahů
a potom
130
což v  -systému můžeme realizovat také pomocí vztahu hl  ln pl   ln l   ln ps  .
Teprve nyní, když známe polohu uzlových bodů, do kterých interpolujeme, můžeme
transformaci interpolací uskutečnit.
Pro přesnost transformace je rozhodující transformace termobarického pole, tedy
geopotenciálu  . Tato transformace je důležitá tím, že definuje tlak na  - respektive  hladinách a je tedy základem i pro interpolaci ostatních proměnných a také pro výpočet
teploty vrstev z hydrostatické rovnice. Transformace geopotenciálu je z hlediska přesnosti
nejcitlivější, proto je ji třeba provést s větší přesností. Podle mne je nejvhodnější použít
interpolaci kubickými spliny. Podle ústního sdělení je tato metoda je používána v ECMWF.
Splinová interpolace je určitě přesnější než použití kvadratických polynomů, které byly
použity Shumanem a Hovermalem [6] v provozním modelu NMC – USA. Některé
meteorologické služby v provozních modelech používají pouze lineární interpolaci, to lze
podle mne použít pouze v případě, mají-li hodnoty pro vertikální transformaci na dostatečně
husté síti vertikální osy. Síť standardních tlakových hladin taková určitě není. Pro složky
větru, nebo relativní vlhkost je lineární interpolace postačující. Techniku kubických splinů, i
když je dosti známá, si nyní vyložíme vzhledem k tomu, že pro určení splinů je možné použít
některé nestandardní okrajové podmínky, které odpovídají zadání některých fyzikálních
veličin popisujících stav atmosféry při povrchu země, či ve stratosféře.
Specifické vlastnosti některých transformací
Systémy vertikální souřadnice odvozené od vertikální souřadnice tlaku můžeme
zařadit do dvou skupin. Do první skupiny, zahrneme modely, pro které se transformace
provádí jen do určité konečné výšky nad Zemí. Jsou to modely se stropem, kde strop modelu
bývá hladinou konstantního tlaku a modely v  -systému, kde od určité s-hladiny výše nad
povrchem Země jsou BK  0 a s-hladiny jsou zároveň tlakovými hladinami. Systém
vertikálních souřadnic se v této oblasti, tedy ve stratosféře stává p-systémem. Nad touto
hladinou, je-li zde vertikální síť vyhovující, není třeba interpolaci provádět. Do druhé skupiny
patří klasický Phillipsův  -systém, kde je třeba transformaci provést pro celou
neohraničenou atmosféru. V tomto systému je tlak v  -hladině dán vztahem  k p s a strop
modelu, pro který  1  0 je sice také hladinou konstantního tlaku, ale nulového. Tato hladina
je teoreticky nekonečně vzdálená a model vlastně fyzikální strop nemá. Rovněž logaritmus
tlaku h1 není pro tuto hladinu definován.
Označme nyní operátorem  diferenci hodnot funkce definované v  -hladinách  k
 k
  k 1   k
(8.1.16)
jejíž hodnotu přiřadíme k-té  -vrstvě. Pro diferenci logaritmu tlaku pak v klasickém  systému máme
hk   ln pk   ln ps   ln  k   ln  k
(8.1.17)
Odtud vidíme, že aproximaci hydrostatické rovnice můžeme psát ve tvaru



  RT
h  ln 
(8.1.18)
131
Vzhledem k tomu, že  1  0 nemá pro první vrstvu předchozí vztah smysl. Předpokládáme-li,
že průměrná teplota první, tedy nejvýše položené vrstvy je konečná, můžeme se na tento
vztah dívat jako na limitní případ pro konečný interval, pro který   0  . Proto pro
hydrostatickou rovnici zvolíme místo  1  0 určitou nenulovou hodnotu souřadnice  ,
kterou označíme strop. Označíme-li v souladu s (8.1.17)
h1  ln 2 / strop
(8.1.19)
v  -systému vychází z energetických úvah a obvykle se klade
h1  2 ln2  ln4
(8.1.20)
odtud podle (8.1.19) je hodnota souřadnice s na stropu modelu rovna
strop   2 / 4
(8.1.21)
Pro model proto definujeme logaritmy tlaků  -hladin vztahy
h1  ln ps   lnstrop
(8.1.22)
tato hodnota je konečná a bude mít smysl i pro první vrstvu. Správná volba h 1 pro modely
hk  ln p s   ln k  k  2,..., KS
(8.1.23)
hKS  ln p s 
(8.1.24)
Protože  KS  1 , je ln KS   0 a
Pro formulaci počátečních podmínek v nejvýše položené vrstvě modelu, ve stratosféře
vyjdeme z předpokladu, že pohyb vzduchu zde ustává a horizontální gradient tlaku se blíží
k nule. Pro integraci modelu potřebujeme znát horizontální gradient tlaku a teplotu i v nejvýše
položené vrstvě modelu. Tyto veličiny však pro jednoduchost chceme počítat stejně jako
v ostatních vrstvách. Proto jsme pro výpočet horizontálního gradientu tlaku a teploty
v nejvýše položené vrstvě zavedli uměle definovanou  -hladinu v konečné výšce o nenulové
souřadnicí   strop , která tuto nejvýše položenou vrstvu ohraničuje. Vztahy pro výpočet
horizontálního gradientu tlaku a teploty v této nejvyšší vrstvě budou pak stejné jako
v ostatních vrstvách. Skutečný strop modelu kde klademe   0 zůstává však pro   0 .
Také pro výpočet změny přízemního tlaku a zobecněné vertikální rychlosti je rovnice
kontinuity integrována od   0 do   1. Pro  -hladinu   strop potřebujeme určit
hodnoty geopotenciálu. Z hlediska proudění v nejvyšší vrstvě je přirozené požadovat, aby
horizontální gradient tlaku byl na  -hladině   strop nulový. V p-systému je to
jednoduché, tam stačí, aby geopotenciál této hladiny byl konstantní. V  -systému při
klidovém stavu celé atmosféry je hodnota 1   s konstantní a tedy plocha   strop
kopíruje orografický terén a není tedy hladinou konstantního geopotenciálu. Pro výpočet
geopotenciálu hladiny   strop použijeme následující trik. Zvolíme vhodně dvě tlakové
hladiny konstantního geopotenciálu tak, aby hladina   strop ležela mezi nimi. Pak
geopotenciál  1 dostaneme automaticky při transformaci do  -systému, interpolací do
hodnoty h1  lnstrop  p s  . Nyní se věnujme vhodné volbě těchto dvou p -hladin. Označímeli
 ps min, ps max
minimální a maximální možnou hodnotu přízemního tlaku p s , pak
transformace do  -systému pomocí interpolace bude probíhat na intervalu
strop  ps min, ps max . Veličiny  ps min, ps max odhadneme takto: ps min hodnotou 500
132
hPa pro výšku Himaláje a maximální tlak na hladině moře ps max hodnotou 1100 hPa. Tyto
dvě tlakové hladiny s jejich geopotenciály přidáme jako první k tlakovým hladinám, ve
kterých jsou zadány analyzované hodnoty geopotenciálu. Stanou se tedy tlakovými hladinami
pz1 a pz 2 a je tady
pz1  strop  ps min  strop  500
(8.1.25)
pz 2  strop  ps max  strop  1100
(8.1.26)
pz 3 je tedy nyní nejvýše položená zadaná analyzovaná tlaková hladina. Zvolíme-li nyní
 2  pz3 / 1000
(8.1.27)
pak  -hladina strop , jejíž tlak je strop  p s leží podle (8.1.21), (8.1.25), (8.1.26) a (8.1.27) v
intervalu mezi tlakovými hladinami
pz1  0.125  pz 3 a
pz 2  0.275  pz 3
a posloupnost prvních tří uměle zvolených tlakových hladin je vždy rostoucí
pz1  pz 2  pz 3
(8.1.28)
(8.1.29)
Konstantní výška těchto dvou položených tlakových hladin byla vypočtena ze standardní
atmosféry NASA [4] podle vztahu
 p   g 10769  6381.6  ln234.52 / p 
(8.1.30)
V provozním modelu Českého hydrometeorologického ústavu byla nejvyšší analyzovaná
hladina 100 hPa a zvolili jsme  2  0.05 a odtud podle vztahu (8.1.21) bylo strop  0.125 a
skutečný interval interpolace byl 6.25, 1100 hPa.
8.2 Realizace transformace pomocí splinové interpolace
Pro daný uzel horizontální sítě určíme nejdříve na vertikální ose interval, na kterém
budeme kubický spline konstruovat. Máme dvě možnosti. Může to být interval všech
zadaných hodnot hz1 , hz KZ  , nebo nejmenší interval na kterém budeme skutečně
interpolovat. Tento interval označme
hz1 ,hz KB  ,
(8.2.1)
kde KB je první index, pro který v daném bodě horizontální sítě leží tlaková kladina pz KB pod
terénem. Leží-li hladina pz KZ nad terénem, pak klademe KB  KZ . Z volby KB vyplývá, že
je-li
 s   KZ ,
(8.2.2)
pak logaritmus přízemního tlaku hs leží v intervalu
hz KB1  hs  hz KB
(8.2.3)
 s   KZ
(8.2.4)
a je-li
KB  KZ a
hs se počítá extrapolací jako argument polynomu, který je definován na
posledním intervalu interpolace, tedy polynomu splinu definovaném na intervalu
hz KZ 1 ,hz KZ  . Protože bod hs v tomto případě leží blízko bodu hz KZ je extrapolace
vyhovující.
133
Konstrukce splinu s vhodnými okrajovými podmínkami
Při konstrukci splinu vycházím z knížky [3] a budu používat i označení zavedené
v této knížce. Proto některá písmena budou mít v této části jiný význam, než v ostatním textu
této kapitoly. Spline bude zde funkcí x, nikoliv h, a bude definován funkčními hodnotami y.
Písmeno h zde označuje přírůstky nezávisle proměnné x a  momenty splinu. Při aplikaci
splinu zvolíme ovšem za x proměnnou h  ln p  , tedy v programu s formálním parametrem x
při volání subrutiny volíme skutečným parametrem h.
Zabývejme se nyní konstrukcí splinu. Nechť máme zadáno n uzlů interpolace
x1  x2  ... xn
a v těchto uzlech jsou dány hodnoty funkce y i . Kubickým splinem na intervalu
nazývá funkce sx  , která je na každém intervalu
xi , xi 1 
(8.2.5)
x1 , xn 
se
i  1,..., n  1 kubickým
polynomem proměnné x, je spojitá se svou první i druhou derivací na intervalu x1 , xn  a
v uzlových bodech nabývá hodnot x i , tedy
s  xi   y i ,
i  1,..., n
(8.2.6)
Poznamenejme, že těmito podmínkami není ještě spline jednoznačně určen. K jeho určení
chybí ještě dvě podmínky, které se nazývají okrajové. Tyto podmínky hrají pro naši úlohu
důležitou roli a jejich volbě je pojednáno dále.
Označíme-li na každém intervalu
xi , xi 1  , i  1,...,n  1
(8.2.7)
hi  xi 1  xi
(8.2.8)
w  x  xi  / hi
(8.2.9)
w  1  w  xi 1  x  / hi
(8.2.10)
 i   yi 1  yi  / hi
(8.2.11)
Lx   yi  x  xi  i  w yi  wyi 1
(8.2.12)
můžeme lineární interpolaci na intervalu xi , xi 1  psát ve tvaru
Z definice splinu vyplývá, že druhá derivace kubického splinu je spojitá po částech lineární
funkce, kterou ve shodě s (8.2.12) napíšeme ve tvaru
s x   6w  i  6w i 1
(8.2.13)
z uvedeného vztahu a definice w a w (9.2.9), (9.2.10) vyplývá, že v uzlových bodech je
s xi   6 i
(8.2.14)
a tedy, že parametr splinu  i je roven druhé derivaci splinu v uzlovém bodě lomený šesti
 i  s xi  / 6
(8.2.15)
Parametry splinu  i , které se často nazývají momenty splinu, nemáme zatím určeny.
Integrací vztahu (8.2.13) můžeme však dostat celkový tvar kubického splinu, který můžeme
napsat v následujícím tvaru
sx   wyi 1  w yi  hi
2
w
3
 w i 1  w 3  w  i 
(8.2.16)
134
Všimněme si nyní, že první dva členy splinu reprezentují lineární interpolaci. Zbylé členy
jsou polynomy třetího stupně a zajišťují nám doplňující požadavek hladkosti. Součet těchto
členů je v koncových bodech intervalu nulový a je tedy
sxi   yi , sxi 1   yi 1
(8.2.17)
což nám zaručuje spojitost splinu. Vezmeme-li v úvahu, že
w  1 / hi a w   1 / hi
(8.2.18)
můžeme derivace splinu napsat ve tvaru
s x    i  hi 3w2  1 i 1  3w 2  1 i 
(8.2.19)
s x   6w i 1  6w  i
(8.2.20)
s x   6 i 1   i  / hi
(8.2.21)
Ze vztahu (8.2.20) vyplývá rovněž spojitost druhé derivace s x  , která je po částech
lineární. Jejím grafem je tedy lomená čára. Třetí derivace je pak podle (8.2.21) na každém
intervalu xi , xi 1  konstantou.
Všimněme si nyní spojitosti první derivace splinu s x  , tedy hladkosti splinu. Pro polynom
na intervalu xi , xi 1  dostaneme ze vztahu (8.2.19) pro koncové body
s xi    i  hi 2 i   i 1 
(8.2.22)
s xi 1    i  hi 2 i 1   i 
(8.2.23)
s xi    i 1  hi 1 2 i   i 1 
(8.2.24)
odtud pro hodnotu s xi  polynomu definovaného na intervalu xi 1 , xi  máme
Podmínka spojitosti je pak v uzlu x i vyjádřena vztahem
s xi   s xi 
i  2,....., n  1
(8.2.25)
Tuto podmínku můžeme interpretovat jako soustavu lineárních rovnic pro určení  i
hi 1 i 1  2hi 1  hi  i  hi i   i   i 1 ,
i  2,... , n  1
(8.2.26)
Soustava má však n-2 rovnic, ale n neznámých. Proto pro určení  i chybějí ještě dvě
podmínky. Tyto podmínky se týkají podmínek pro určení  1 a  n , tedy hodnot momentů
splinu na okrajích intervalu definice splinu, proto se nazývají okrajovými podminkami.
Než přikročíme k podrobnějšímu studiu okrajových podmínek, přepíšeme si spline sx  do
tvaru obvyklého pro polynomy. Na intervalu xi , xi 1  , i  1, ... , n  1 napíšeme spline ve
tvaru
sx   yi  bi x  xi   ci x  xi   d i x  xi 
2
3
(8.2.27)
Místo momentů  i si pak musíme zapamatovat koeficienty bi , ci , d i , jejichž vyjádření
pomocí momentů spline provedeme následovně.
Do vztahu pro spline (8.2.16) dosadíme za w a w (8.2.9) a (8.2.20)
w  ( x  xi ) / hi
w  1  ( x  xi ) / hi
,
máme
135
s( x)  x  xi  / hi  yi1  1  x  xi  / hi  yi
3
3

1
1
1
1  (8.2.28)
2
2
2
 hi x  xi    i1  hi x  xi   i1  hi 1  x  xi    i  hi 1  x  xi   i
hi 
hi 
hi 
hi 




neboť je
2
3

1
1
2 1
3 1
1  x  xi    1  3x  xi   3x  xi  2  x  xi  3
hi 
hi
hi
hi

(8.2.29)
Dostáváme tak
sx  
x  xi 3 1  i1  
hi
i

 x  xi   3 i
2
(8.2.30)
 x  xi  yi1  yi  / hi  hi  i1  2 i 
 yi
Odtud máme
bi   yi 1  yi  / hi  hi  i 1  2 i 
(8.2.31)
ci  3 i
(8.2.32)
d i   i 1   i  / hi
(8.2.33)
Spline v obvyklém tvaru polynomu (8.2.27) je také výhodnější pro výpočet derivací splinu.
Derivace splinu pak můžeme psát ve tvaru
s x   bi  2ci x  xi   3d i x  xi 
2
s x   2ci  6d i x  xi 
(8.2.34)
(8.2.35)
s x   6d i
(8.2.36)
Pro hodnoty derivací splinu v uzlových bodech máme pak jednoduché vztahy
s xi   bi
s xi   2ci
(8.2.37)
(8.2.38)
s xi   6d i
(8.2.39)
Vraťme se nyní k problému okrajových podmínek splinu. Tyto okrajové podmínky pro
interpolaci geopotenciálu  zhodnotíme zejména z fyzikálního – meteorologického hlediska.
Zajímá nás především okrajová podmínka při povrchu Země, tedy pro uzlový bod x n , který
při interpolaci je nahrazen skutečným parametrem hz KB . Aproximujeme-li splinem
geopotenciál, pak podle hydrostatické rovnice máme
s h   RT
(8.2.40)
s h    R
T
h
(8.2.41)
136
Výraz  s h / R můžeme proto interpretovat jako teplotu a s h  jako násobek vertikálního
gradientu teploty.
Nejjednodušší a nejobvyklejší okrajové podmínky jsou okrajové podmínky přirozeného splinu
 1  0 a  2  0 , neboli s x1   0 a s xn   0
(8.2.42)
Okrajovou podmínku s xn   0 můžeme fyzikálně interpretovat tak, že v okolí koncového
bodu x n , tedy při povrchu Země je podle (8.2.41) v atmosféře izotermie.
Z hlediska
meteorologie není okrajová podmínka přirozeného splinu v okolí povrchu Země zcela ideální.
Ideální by bylo při Zemi předepsat reálnější okrajové podmínky. Buďto předepsat hodnotu
s xn  , nebo s xn  . K tomu bychom potřebovali analýzu přízemní teploty, nebo znalost
gradientu teploty. Tyto údaje bohužel nejsou obvykle k dispozici. Podle mého názoru je
fyzikálně nejrozumnější prakticky použitelnou podmínkou, aby na posledním intervalu
interpolace xn1 , xn  byl vertikální gradient teploty konstantní, a tedy, aby teplota byla
lineární funkcí logaritmu tlaku h. Tento fyzikální předpoklad je velmi reálný a v meteorologii
se pro aproximaci lokálního průběhu teploty často používá. Pro spline to prakticky znamená
okrajovou podmínku
s xn   0
(8.2.43)
Podle vztahů (8.2.36) a (8.2.33) máme
d n1  0 a odtud  n   n1
(8.2.44)
Důsledkem této okrajové podmínky je že spline je na intervalu xn1 , xn  pouze kvadratickým
polynomem. Pro nás je tato skutečnost výhodná, protože pro polynom definovaný na tomto
intervalu musíme řešit obrácenou úlohu, ke známé hodnotě geopltenciálu  s musíme nalézt
logaritmus přízemního tlaku hs . Při použití okrajové podmínky (8.2.43) vede tato úloha na
řešení kvadratické rovnice . Tuto úlohu pak můžeme řešit jednoduše bez iteračního procesu.
Okrajové podmínky publikované v knížce [3], které požadují, aby spline v koncových
bodech intervalu měl třetí derivace shodné s polynomem třetího stupně proloženým
posledními čtyřmi body se mi ani při interpolaci horizontálních polí v okolí hranic oblasti
příliš neosvědčily.
8.3 Výpočet logaritmu přízemního tlaku jeho jednoznačnost a realizace
Tento výpočet záleží především na tom, zda na intervalu, který obsahuje tlak povrchu
na orografické ploše je geopotenciál aproximován kvadratickým, nebo kubickým polynomem.
To je závislé jednak jak jsme viděli na okrajové podmínce splinu a také na tom, na jakém
intervalu spline konstruujeme. Tedy končí-li interval splinu v prvním bodě zadaných
tlakových hladin pod povrchem orografické plochy, jehož index je KB, nebo konstruujeme-li
spline na celém intervalu ℎ𝑧1 𝑎ž ℎ𝑧𝑘𝑧 . V tomto druhém případě bude na některých
intervalech geopotenciál aproximován kubickým polynomem a bude třeba pro tlak na
orografické ploše (přízemní tlak) řešit rovnici třetího stupně.
Zdálo by se, že otázka existence a jednoznačnosti řešení úlohy nalezení přízemního
tlaku, při obecnějších okrajových podmínkách splinu bude velmi komplikované. Zejména kdy
pro nalezení hs je třeba řešit kubickou rovnici. Ve skutečnosti tomu tak není. Podíváme-li se
137
na koeficienty splinu a na jeho průběh, uvidíme následující obraz. Koeficienty splinu při
vyšších mocninách h  hi  jsou menší a je tedy
bi  ci  d i
(8.3.1)
a mocniny rozdílu h  hi  můžeme odhadnout následovně
h  hi  hi 1  hi  ln pzi 1 / pzi 
(8.3.2)
Maximální podíl mezi dvěma sousedními standardními tlakovými hladinami (9.1.4) je 1.4.
Odtud dostáváme odhad
h  hi  ln 1.4  0.33647  1
(8.3.3)
Odtud vyplývá, že mocniny se s růstem exponentu zmenšují
h  hi 2  0.11321
h  hi 3  0. 038092
(8.3.4)
Je tedy vidět, že pro průběh splinu na intervalu hi , hi 1  je rozhodující lineární člen, který je
a
největší. Spline má tedy v našem případě relativně malou křivost a je na všech intervalech i na
posledním intervalu obsahující povrch Země monotónně klesající. Proto na intervalu, ve
kterém funkce sh    s mění znaménko existuje právě jedno řešení hs naší úlohy sh   s .
Realizace úlohy je následující: logaritmus tlaku hs musíme hledat podle (8.2.3) na
intervalu xn1 , xn   hz KB1 , hz KB  , nebo v případě KB  KZ i na rozšíření tohoto intervalu.
Při okrajové podmínce (8.2.43) s xn   0 je na tomto intervalu d n1  0 a spline je
kvadratickou funkcí tvaru
sh   i  bi h  hzi   ci h  hzi  , kde i  KB  1
2
(8.3.5)
hs dostaneme pak řešením kvadratické rovnice
ci z 2  bi z   i   s  0
(8.3.6)
z  hs  hz KB1
(8.3.7)
kde jsme položili
Dvě řešení této kvadratické rovnice můžeme psát ve tvaru
2
z1,2    bi  bi  4ci  i   s   / 2ci


(8.3.8)
a tedy
hs  hz KB1  z
Protože geopotenciál je klesající funkcí h musí být
s h  bi  2ci h  hi   0
(8.3.9)
(8.3.10)
Dosadíme-li sem za hodnoty h řešení kvadratické rovnice hs 1,2 z (8.3.8) máme
s hs    bi  4ci  i   s 
2
(8.3.11)
Protože derivace s hs  musí být záporná, je třeba v (8.3.8) vybrat kořen se znamínkem
mínus. Při výpočtu hs se může vyskytnout ještě jedna obtíž. Koeficient c i může být blízký
nule, nebo docela nulový. Zlomek v řešení (8.3.8) kvadratické rovnice proto rozšíříme
výrazem
138
bi  bi  4ci  i   s 
2
Dostaneme tak pro výpočet hs vztah.
hs  hi 
2 i   s 
 bi  bi  4ci  i   s 
2
(8.3.12)
kde
i  KB  1
(8.3.13)
Tento vztah již nemá zmíněný nedostatek.
V obecnějším případě, například okrajové podmínky přirozeného spline, je spline na
intervalu hz KB1 , hz KB  polynomem třetího stupně. Tento polynom je klesající funkcí a je-li
KB  KZ , pak podle (9.2.3) má funkce sh    s v koncových bodech opačná znaménka. Je-
li KB  KZ je tato funkce rovněž klesající, ale v bodě hz KZ může nabývat kladnou hodnotu.
V tomto případě se pro výpočet hs používá extrapolace a interval na kterém hledáme hs
musíme zvětšit. Položíme-li hs max  ln ps max , bude jistě shs max   s záporné a řešení
můžeme hledat na intervalu hz KZ 1 , hs max . Můžeme však zvolit i jiný postup. Hodnotu
konce intervalu pz KZ můžeme postupně zvětšovat, až pro její logaritmus, který označme
rovněž hs max bude ss max   s  0 . Pro nalezení nulového bodu hs funkce sh    s
použijeme podprogram – subrutinu ZEROIN publikovanou v knížce [1], nebo můžeme použít
jednoduchou, ale spolehlivou metodu půlení intervalu, která je pro tyto účely také dostatečně
rychlá.
8.4 Zpětná transformace ze  -systému do p-systému
Tuto transformaci provedeme opět pomocí interpolace dat z výpočetní sítě definované
v  -systému do sítě v p-systému. Interpolace se provádí opět vzhledem k logaritmu tlaku.
Protože hodnoty tlaku v uzlových bodech obou sítí již známe před transformací, je
transformace v tomto směru jednodušší.
Při zpětné transformaci se však vyskytuje jiný problém. V oblasti vysokých hor (Alpy,
Grónsko) leží některé tlakové hladiny hluboko pod terénem. Obraz je pak následující.
Zatímco vstupní data po analýze tlakového pole osahují určitým způsobem definovaná data i
v uzlových bodech, které leží hluboko pod terénem, pracuje model v systémech kopírujících
terén pouze s údaji ve skutečné atmosféře. Při transformaci do  -systému jsme si mohli
všimnout, že údaje položené níže pod terénem jsme pro transformaci nepotřebovali a
informace v nich uložená byla při transformaci ztracena. Ukázalo se, že do bodů ležících
hlouběji pod terénem se nedají meteorologická data po vertikální ose extrapolovat z dat
daných v  -systému, neboť vlivem velkých chyb jsou zcela nereálná. Je to podobná situace,
jako při přepočtu tlaku naměřených meteorologickými stanicemi na hladinu moře. Tento
přepočet s použitím barometrické formule, což není nic jiného, než přepočet pomocí
hydrostatické rovnice, se provádí pouze pro stanice do 800 m nad mořem. Ostatní stanice jsou
považovány za horské a tlak na hladinu moře se v nich nepřepočítává. Ukazuje se, že
zapamatovat si informaci, kterou při transformaci do  -systému ztrácíme, nemá rovněž
smysl. Tato informace není součástí modelu a nemůže se s časem měnit. Po časové integraci
je pak již nepoužitelná. Proto doporučuji následující postup, který se nám osvědčil. Hodnoty
teploty, větru a vlhkosti pod terénem při zpětné transformaci do p-systému nepočítat. Vítr pro
139
zobrazení šipkami můžeme v těchto oblastech volit nulový. Tyto hodnoty nemají stejně reálný
fyzikální smysl. Chceme-li však, abychom pro grafické zpracování dostali plošně kompletní
tlakové pole, můžeme pro uzly pod terénem postupovat následovně. Pro body které leží
nehluboko pod terénem, můžeme hodnoty geopotenciálu stanovit extrapolací po vertikální
ose, obdobně jako se provádí při redukci tlaku na hladinu moře.
Pro posouzení, zda bod již leží hlouběji pod povrchem Země, odvodíme následující
kriterium. Obdobně jako je tomu u přepočtu tlaku na hladinu moře my označíme uzly ležící
pod terénem níže, než 800 m za uzly hlouběji položené. V těchto uzlových bodech nebudeme
již geopotenciál nepočítat extrapolací po vertikále. Toto kriterium musíme ovšem vyjádřit
alespoň přibližně pomocí tlaku, respektive logaritmu tlaku. Vyjdeme-li z hydrostatické
rovnice ve tvaru
z
R
 T
(8.4.1)
h
g
do které na pravé straně dosadíme jako přibližné následující hodnoty v soustavě SI
R  287 , g  9.81 a absolutní teplotu T  300 K , pak předchozí vztah můžeme aproximovat
přibližným vztahem tvaru
z
(8.4.2)
 8777
h
Kriterium pro to, že tlaková hladina p leží již hlouběji (přibližně více než 800 m) pod
terénem, je dáno nerovností kterou obdržíme, když do (8.4.2) dosadíme za z  800 m .
Dostáváme tak pro h   ln p  kriterium
ln p   ln ps   ln p / ps   800 / 8777  0.0911
(8.4.3))
Aplikujeme-li na tuto nerovnost exponenciální funkci, máme pro bod ležící hlouběji pod
terénem, když tlak p v tomto bodě splňuje nerovnost
1.095 p s  p
(8.4.4)
Pro vertikální extrapolaci můžeme použít polynom splinu definovaný na posledním intervalu.
Uzlové body ležící níže pod terénem tvoří určité ostrůvky – oblasti. V těchto oblastech pak
pro doplnění tlakového pole použijeme v podstatě interpolaci v horizontální rovině. V
uzlových bodech těchto oblastí definujeme geopotenciál jako harmonickou funkci, určenou
okrajovými podmínkami, geopotenciálem v bodech hranice těchto oblastí. Tato diskrétní
Dirichletova úloha se dá snadno řešit iterační metodou. Doplnění geopotenciálu touto
metodou se v praxi dobře osvědčilo.
Celkový obraz transformace je tedy následující.
Transformaci geopotenciálu z p-systému do  -systému a zpět provedeme pomocí
splinu. Teplotu ve vrstvách, odpovídající v podstatě tloušťkám vrstev vypočteme diferenčně
pomocí hydrostatické rovnice. Chceme-li vypočítat teplotu v libovolném bodě vertikální osy,
například v  - hladinách, můžeme ji vypočítat pomocí derivace splinu. Transformaci složek
horizontální rychlosti a vlhkosti můžeme provést také pomocí splinu, což je ovšem zbytečný
luxus. Pro transformaci těchto veličin postačí lineární interpolace, kterou ovšem provedeme
také vzhledem logaritmu tlaku h.
Přesnost transformace byla kontrolována a hodnocena následovně. Byla provedena
transformace do  -systému a zpět do p-systému. Výsledek byl porovnán s původními
140
netransformovanými hodnotami v p-systému. V uzlových bodech uvnitř skutečné atmosféry
byly rozdíly mezi původními a transformovanými hodnotami maximálně pouze desítky
centimetrů. Pod terénem byly rozdíly o něco větší, ale též přijatelné. Spliny navíc zajistily
hladkost transformovaných dat v  - systému, zejména v případě, že síť v  -systému byla
jemnější než síť v p- systému.
Příloha: Vertikální souřadný systém Frederika G. Shumana a Johna B. Hovermala
Popis vertikálního souřadného systému vertikální souřadnice Frederika G. Shumana a
Johna B. Hovermala a transformace z p-systému do tohoto systému zde uvedeme, protože
polokulový model popsaný v článku [6] byl ve Spojených státech v denním provozu ve
státním meteorologickém centru „ National Meteorological Center“ od března 1967 po dobu
asi dvanácti let. Tento model je z hlediska historie numerické předpovědi počasí tedy jednou
z důležitých etap. Horizontální oblast modelu tvořila obdélníková oblast o 53x57 uzlových
bodech s horizontálním krokem v síti 381 km na stereografické mapě. Vertikálně se model
skládal ze sedmi vrstev s velmi složitou strukturou vertikálních souřadnic. Ve vertikálním
směru byly použity čtyři různé systémy vertikální souřadnice. V každém z těchto čtyř
segmentů měla vertikální souřadnice tvar
p  pU

(P1)
p  pL
kde pU je tlak na horní a p L tlak na dolní hladině segmentu vertikální souřadnice. Tyto
segmenty směrem od Země jsou:
1. Mezní vrstva, pro kterou p L  p s , kde p s je tlak na orografické ploše Země má
vzhledem k tlaku konstantní tloušťka 50 hPa tvoří jednu vrstvu modelu.
2. Dále následují tři vrstvy troposféry, které od stratosféry odděluje hladina tropopauzy,
která je definována jako materiální plocha určená analyzovaným tlakem hladiny
tropopauzy.
3. Nad tropopauzou jsou dvě vrstvy stratosféry
4. Nad nimi ještě jedna vrstva konstantní potenciální teploty  , která je shora omezena
tlakovou hladinou p  0 pro   0 .
Tento systém je tedy systém kopírující terén. Pro takto řídkou vertikální síť se zřejmě
tento systém při použití časových explicitních schémat osvědčil. Později při přechodu na
efektivnější metody časové integrace pomocí semi-imlicitních schémat se ukázalo, že pro
takto složitou vertikální strukturu se ani v NMC nepodařilo vyvinout správně fungující
semiimplicitní schéma. Proto se v předpovědních modelech začal používat relativně
jednoduchý původní Phillipsův systém vertikální souřadnice   p / p s . ShumanHovermalův model nahradil v roce 1979 Selův spektrální model právě ve Phillipsově
původním  -systému. J.G.Sela [5]
V článku o modelu je však více zajímavých věcí. Jednak Shuman-Hovermalovo
explicitní schéma relativně dobře pracující na standardní síti (Arakawa A-síť) a také
transformace dat z p-systému do  -systému pomocí kvadratických polynomů, kterých si
nyní všimneme.
141
Interpolace vychází z předpokladu, že mezi sousedními izobarickými plochami je
teplota lineární funkcí ln p , což jsme my označili jako h. Zde má však tato funkce obecnější
význam. Je to libovolná funkce pouze tlaku p  ph , kterou při interpolaci použijeme jako
nezávisle proměnnou. Hydrostatickou rovnici můžeme pak psát ve tvaru

(P2)
 
h
kde   RT /  pdh / dp  . Poznamenejme, že pro h   je   c p , kde  je Exnerova
funkce a  potenciální teplota. Pro náš obvyklý případ je h  ln p a   RT . V dalším se
celkem bez ztráty obecnosti omezíme na tento nejdůležitější případ.
Na rozdíl od uvedené splinové interpolace geopotenciálu, která vycházela pouze
z hodnot geopotenciálu v uzlových bodech, Shuman as Hovermale pro určení interpolační
funkce použil i hodnot teploty v uzlových bodech interpolace. Zde bych chtěl upozornit, že
hodnoty teplot jsou zde v podstatě navíc, neboť musí splňovat hydrostatickou rovnici. Z této
rovnice rovněž vyplývá, že máme-li zadány v uzlových bodech teploty, pak jsou tím
v uzlových bodech zadány derivace geopotenciálu podle h podle vztahu

(P3)
  RT
h
Jsou-li dány tyto čtyři hodnoty
     
 1 ,  2 ,
(P4)
 ,

 h 1  h  2
pak je tím na intervalu h1 , h2  určen polynom třetího stupně, který snadno obdržíme jako
Hermitovu interpolaci.
Chceme-li geopotenciál jakožto funkci h aproximovat po částech kvadratickými
polynomy, pak hodnotami (P4) by byly přeurčeny. Proto požadavek (P4) musíme oslabit.
Zjednodušení spočívá v tom, že je-li aproximující funkce h  kvadratický polynom, potom
její derivace je lineární funkcí a podle hydrostatické rovnice je tedy také teplota lineární
funkcí a gradient teploty vzhledem k proměnné h konstantní. Proto nemůžeme splnit
podmínky Hermitovy interpolace, aby tato funkce nabývala v uzlových bodech předepsané
hodnoty derivací. Místo toho Shuman a Hovermale požaduje, aby gradient teploty, který je
dán interpolačním polynomem a je konstantní na intervalu h1 , h2  byl dán diferenčním
vztahem
T T2  T1

h h2  h1
(P5)
Kvadratický polynom h  napíšeme v souladu s Shumanem a Hovermalem ve tvaru
h   c  ah  h3  
b
(P6)
h  h3 2
2
kde jsme souřadnici středu intervalu h1 , h2  označili h3  h1  h2  / 2 . Derivováním
předchozího vztahu máme
RT  

 a  bh  h3 
h
(P7)
142
což vyjadřuje lineární průběh teploty. Derivujeme-li vztah (P7) obdržíme snadno hodnotu
koeficientu b. Máme
R
T
 2
 2 b
h
h
(P8)
Podle (P5) pak máme
bR
T2  T1
h2  h1
(P9)
Pomocí hodnot 1 , 2 určíme koeficienty b, c. Dosazením h1 , h2 do (P6) máme
1  c  ah1  h3  
b
h1  h3 2
2
b
2
 2  c  ah2  h3   h2  h3 
2
Vzhledem k tomu že
h1  h3  h1  h2  / 2
a
h2  h3  h2  h1  / 2
(P10)
(P11)
(P12)
je
a
h1  h2   b h2  h1 2
2
8
a
b
2
 2  c  h2  h1   h2  h1 
2
8
Odečtením těchto vztahů máme
 2  1  ah2  h1 
1  c 
(P13)
(P14)
(P15)
Tento vztah nám určuje koeficient a
a
 2  1
h2  h1
(P16)
který můžeme fyzikálně interpretovat jako průměrnou teplotu na intervalu h1 , h2  , tedy
v podstatě tloušťku dané vrstvy. Sečtením vztahů (P13) a (P14) dostaneme
b
2
(P17)
1   2  2c  h2  h1 
4
odkud dostáváme hodnotu c
1
b
2
(P18)
c  1   2   h2  h1 
2
8
Při této interpolaci je geopotenciál h  spojitou, ovšem jen po částech hladkou funkcí h,
neboť uzlových bodech má jinou derivaci zleva a zprava. Stejně je to i s teplotou, která také
nenabývá v uzlových bodech původní zadané hodnoty.
Máme-li na vertikální ose dán průběh geopotenciálu jako funkce proměnné h potom
teplota je v každém bodě hydrostatickou rovnicí již jednoznačně určena. Proto zadáme-li
v uzlových bodech geopotenciál i teplotu, nemůžou být tyto údaje na sobě nezávislé, protože i
ony musí s určitou přesností splňovat aproximaci hydrostatické rovnice. Máme-li například
průběh geopotenciálu aproximován splinem, pak v uzlových bodech může být teplota dána
derivací splinu. Odtud je vidět, že pro aproximaci geopotenciálu splinem jsou údaje o teplotě
v uzlových bodech nadbytečné. Máme-li zadány údaje geopotenciálu i teploty v uzlových
143
bodech a jsou-li z nich některé údaje chybné, pak je možné provést kontrolu správnosti,
popřípadě i korekturu údajů. To je účelné provést s údaji naměřenými aerologickými
měřeními, které přicházejí po telekomunikační síti před provedením objektivní analýzy. Tato
kontrola se dá například uskutečnit proložením splinu metodou nejmenších čtverců, kde se
minimalizuje součet čtverců odchylek hodnot geopotenciálu i teploty s určitými váhami. Je-li
tento součet čtverců odchylek velký, jsou v údajích chyby, pak geopotenciál a teploty sobě
neodpovídají. Je-li součet malý, pak jsou údaje v pořádku. Pomocí této metody popsané
v článku [2] se dají i jednotlivé chybné údaje opravit. Z toho vyplývá, že údaje teplot
v uzlových bodech jsou pro aproximaci geopotenciálu opravdu nadbytečné. Poznamenejme
ještě, že kdybychom měli správné adekvátní údaje geopotenciálu i teploty, tedy též derivací
geopotenciálu v uzlových vypočtených derivováním splinu, pak při použití Hermitovy
interpolace bychom dostali stejné polynomy třetího stupně, jako při použití interpolace
pomocí splinu.
Literatura:
[1] Baťka M., Bubnová R.: O transformaci dat pro vertikálně diskretizované předpovědní
modely, ve kterých je použita transformovaná vertikální souřadnice. Meteorologické Zprávy,
ročník 41, č. 6, 1988 str.168-173.
[2] Baťka M., Bubnová R.: Vertikální kontrola aerologických dat pro objektivní analýzu
založená na slinové aproximaci. Meteorologické Zprávy, ročník 43, č. 3, 1990 str. 65-69.
[4] Foshyte G. E., Malcolm M. A., Moler C. B.: Computer Methods for Mathematical
Computations. Prentice-Hall, 1977.
[4] Haltiner G. J., Martin F.L.: Dynamical and Physical Meteorology. McGraw-Hill, New
York Toronto London 1957
[5] J.G. Sela: Spectral Modeling at the National Meteorological Center. Monthly Weather
Review Vol. 108, No. 9. 1980, s. 1279-1292.
[6] Shuman.F., Hovermale J. B. 1968: An Operational Six-Layer Primitive Equation Model.
J. of Applied Meteorology 7, No.4, 525-547.
144
9. Úvod do diferenčních metod
Evoluční úlohy
V této části se budeme zabývat časovou integrací evolučních úloh, které popisují
vývoj atmosféry. Evoluční úlohu lze formulovat ve velmi obecném tvaru. V monografiích o
numerické matematice pro matematiky je tato úloha formulována pomocí termínů
funkcionální analýzy v Banachových prostorech [6]. Banachův prostor B je definován jako
úplný lineární normovaný prostor, jehož normu prvku u, označujeme u .
Evoluční úlohu formulujeme následovně:
Hledáme jednoparametrický soubor prvků Banachova prostoru B u t  , kde t je reálný
parametr takový, že
d
u t   Au t  pro 0  t  T
dt
a je splněna počáteční podmínka
u0  u 0
(9.1)
kde A je lineární operátor a u 0 je zadaný prvek Banachova prostoru B.
Pro řešení evolučních úloh meteorologie, které budeme studovat prvky u t  popisují
stav atmosféry a jsou to funkce prostorových proměnných a času t. u 0 tedy charakterizuje
počáteční stav fyzikálního systému. Funkce u t  může být obecně i vektorovou funkcí.
V úlohách dynamiky atmosféry je však operátor A nelineární diferenciální operátor. Pro
takovéto úlohy bychom potřebovali obecnější teorii. I když teorie prezentovaná v monografii
[6] platí pouze pro linearizované rovnice dynamiky atmosféry, dává nám určitý pohled na
problémy jejich časové integrace, neboť mnohé z teorie má smysl i pro obecnější případ.
Musíme si ještě vysvětlit, co znamená derivace dut  / dt . Tato derivace je dána tím, že ve
formulaci evoluční úlohy (1) definujeme, co rozumíme přesným řešením této evoluční úlohy
na intervalu 0  t  T . Řešením je jednoparametrický soubor prvků ležících v definičním
oboru operátoru A pro který u0  u 0 a pro libovolné t z intervalu 0  t  T je
u t  t   u t 
 Au t   0 pro t  0
(9.2)
t
Jestliže jsou zadány okrajové podmínky, pak předpokládáme, že definiční obor operátoru A
se skládá z funkcí, které tyto podmínky splňují. Operátor A může záviset i explicitně na čase t,
což nastává v případě, že koeficienty diferenciálních rovnic jsou funkcemi času t.
Evoluční úlohu nazýváme korektní úlohou, neboli korektně zadanou úlohou jestliže
pro určitou množinu D počátečních podmínek u 0  D existuje jednoznačně určené řešení této
úlohy a tato řešení spojitě závisí na počátečních podmínkách, tedy jsou-li ut , vt  přesná
řešení evoluční úlohy s počátečními podmínkami u 0 , v0 ležícími v D pak existuje konstanta
K, že
vt   ut   K v0  u0 .
(9.3)
145
Základní způsoby řešení evolučních rovnic
Evoluční úlohy, které budeme studovat, jsou formulovány jako řešení parciálních
diferenciálních rovnic, které je funkcí času. Jedná se tedy o řešení parciálních diferenciálních
rovnic hyperbolického a parabolického typu. Pro studium rovnic, které popisují vývoj
atmosféry a jejích řešení, se používá několik různých přístupů. Rovnice skutečných
předpovědních modelů jsou natolik a složité, zejména vzhledem k své nelinearitě, že jejich
řešení není možné vyjádřit pomocí elementárních funkcí, tedy v tak zvaném konečném tvaru,
čemuž se také někdy říká analytické řešení. Rovnice můžeme tedy řešit pouze numericky.
Použití numerického řešení vyplývá také z toho, že vstupní údaje jsou data naměřená
na konečném počtu bodů nepravidelné sítě a jsou zadána tedy diskrétně. Proto prvním krokem
pro řešení těchto rovnic je přepracování vstupních dat do tvaru použitelného pro jejich řešení,
kterému se říká objektivní analýza. Výsledkem objektivní analýzy jsou počáteční data pro
předpověď zadaná již na regulární výpočetní síti, ovšem rovněž diskrétně. Regulární sítí zde
rozumíme síť uzlových bodů v rovině, která vznikne jako průsečíky zadaných souřadnicových
křivek. Obdobně v prostoru jako průsečíky souřadnicových ploch. Například pro systém
kartézských souřadnic v rovině tvoří regulární síť průsečíky přímek rovnoběžných s osami
souřadnic. Krok v síti však nemusí být nutně konstantní. Objektivní analýza je v současné
době stále složitějším procesem, který je spojen s časovou integrací evoluční úlohy, při které
se vkládají v některých okamžicích, nebo i průběžně nové naměřené údaje.
I když pro numerické řešení evoluční úlohy předpokládáme, že počáteční podmínky
jsou zadány hodnotami proměnných na diskrétní síti uzlových bodů, které se říká také
kolokační síť, jsou možné v podstatě dva základní přístupy při numerickém řešení zmíněných
evolučních úloh. Nejběžnější a také nejstarší a nejpoužívanější jsou diferenční metody.
V tomto případě pracujeme přímo s hodnotami na síti, když diferenciální operátory nahradíme
operátory diferenčními. Těmto metodám se budeme věnovat nejdříve.
Druhou možností je dodefinovat funkce diskrétně zadané na kolokační síti na celou
spojitou oblast, tedy i mimo uzlových bodů. To se obvykle provede tak, že funkce definované
na kolokační síti aproximujeme lineárními kombinacemi funkcí nějaké zvolené base. Tyto
basové funkce jsou definované v celé oblasti a jsou tedy funkcemi prostorových proměnných.
Koeficienty těchto lineárních kombinací jsou naopak funkcemi pouze času t. Basi mohou
tvořit například trigonometrické funkce. Mají-li basové funkce derivace, pak tyto lineární
kombinace můžeme derivovat člen po členu a tedy výpočty derivací provádět analyticky.
Chyba při výpočtu derivací je pak dána tím, že lineární kombinace pouze aproximuje danou
skutečnou funkci a tato chyba závisí také na vlastnostech použité base.
Druhý přístup studia evolučních rovnic předpovědi meteorologických proměnných
spočívá v jejich dosti drastickém zjednodušení, zejména odstraněním jejich nelineárních
členů, (linearizace rovnic), abychom tyto rovnice mohli vyřešit analyticky. Analytické řešení
těchto zjednodušených rovnic nám pak dovolí studium jejich vlnových vlastností. To
znamená, jaké vlny dané rovnice popisují, jaké jsou jejich fázové rychlosti, atd. Tímto
146
způsobem se studují i některé jevy probíhající v atmosféře, jako jsou různé případy instability,
například baroklinní instabilita.
Diferenční metody řešení evolučních rovnic
Prvním problémem, kterým se budeme nyní zabývat, je způsob jakým při použití
diferenčních metod nahradíme derivace jejich aproximacemi. Zde bych chtěl upozornit na
jednu skutečnost, která se týká teorie interpolace a numerického výpočtu derivací, že metoda
výpočtu derivací pomocí diferencí je metodou dosti obecnou. Když totiž přibližný výpočet
derivací provedeme tak, že funkci zadanou v uzlových bodech aproximujeme algebraickým
polynomem, který potom derivujeme, neobdržíme nějakou novou aproximaci, ale aproximaci
derivace, kterou můžeme rovněž vyjádřit pomocí diferencí.
Studujme nyní funkci u  ux  zadanou na intervalu x  0, L . Interval rozdělíme na
J stejných dílů délky x , kterou nazýváme délkou kroku v síti, nebo jednodušeji krokem
v síti. Uzlovými body jsou koncové body jednotlivých intervalů o souřadnicích jx , kde
j  0,1, 2, ... , J . Funkce u x  je pak aproximována přibližnými hodnotami u j  u jx  ,
j  0,1, 2, ... , J v uzlových bodech sítě. Často se tyto hodnoty interpretují jako průměrné
hodnoty funkce u x  v okolí uzlového bodu, v našem jednorozměrném případě jako
průměrné hodnoty funkce na intervalech
x
x
x
, x
. I v případě, že bychom znali
2
2
hodnoty funkce u x  v uzlových bodech sítě s velkou přesností, nedávají tyto hodnoty
informaci o tom, jak se chová tato funkce mezi těmito uzlovými body.
Pro vyjasnění některých vlastností aproximací, je účelné vyjádřit studovanou funkci na
intervalu x  0, L
ve tvaru Fourierovy řady, (tedy vlastně jako již zmíněnou lineární
kombinaci base tvořené trigonometrickými funkcemi)
a
x
x
u x   0   a n cos 2n  bn sin 2n
2 n1
L
L
(9.4)
Protože máme zadáno pouze J  1 hodnot u j nemůžeme vypočítat všechny koeficienty
a j ,b j nekonečné Fourierovy řady, můžeme je ale použít k výpočtu J  1 rozličných
koeficientů. Je přirozené určit J  1 koeficientů dlouhovlnných složek, tedy složek
s nejnižšími vlnovými čísly. Připomeňme zde, že vlnové číslo n je počet sinusových vln na
intervalu x  0, L a délka vlny s vlnovým číslem n je rovna L/n. Potřebujeme tedy určit
koeficient a 0 a členy s koeficienty a j ,b j pro n 1, 2,... , J / 2 . Mezi těmito složkami je
nejkratší vlna pro n  J / 2 . Délku této vlny můžeme vyjádřit následovně
L 2L
2L
(9.5)


 2x
n
J
L / x
Z toho vyplývá, že pomocí hodnot u j v uzlech sítě nemůžeme popsat vlnu kratší, než vlnu
délky 2x . Vlna délky 2x je nejkratší vlna, kterou může daná síť popsat. Poznamenejme
ještě, že Fourierovy řady se bez újmy obecnosti obvykle studují na intervalu jednotkové délky
147
a proměnná x pak probíhá interval x  0,2 .
Efektivní provedení výpočtu koeficientů
konečné Fourierovy řady je studováno v kapitole 24. Finitní Fourierova transformace.
Zabývejme se nyní rozdíly mezi hodnotami u j , které v dalším použijeme pro
aproximaci derivací. Tyto rozdíly se nazývají diferencemi, nebo též konečnými diferencemi.
Tyto diference můžeme počítat na jednom i více intervalech x . V závislosti na tom,
vzhledem ke kterému bodu diferenci vztahujeme, což může být i například střed úsečky mezi
dvěma uzlovými body, považujeme diference za centrální, nebo diference vpřed, nebo vzad.
Bod, ke kterému diferenci vztahujeme, označíme indexem u diference. Vztahujeme-li
diferenci ke středu intervalu x označujeme ji lomeným indexem j  1/ 2 . Takže diferenci
u j  u j 1  u j
(9.6)
považujeme za diferenci vpřed, zatímco stejnou diferenci vztaženou ovšem ke středu
intervalu x
(9.7)
u j 1 / 2  u j 1  u j
považujeme za centrální diferenci.
Diference je výhodné definovat obecnějším vztahem, ve kterém nepoužijeme indexy.
Centrální diferenci definujeme pak vztahem
x  
x 

u  u x 
(9.8)
  u x  
2  
2 

u
Aproximaci derivace
centrální diferenci na intervalu délky x pak píšeme ve tvaru
x
u
1  
x  
x  

 u x 
(9.9)
  u x   
x x  
2  
2 
Obdobně, jako jsme definovali diferenci, definujeme i výpočet průměru na síti. Ten
definujeme vztahem
 xu 
ux 
1 
x  
x  
 u x 
  u x 
 .
2 
2  
2  
(9.10)
Tyto dva vztahy můžeme spolu kombinovat a dostáváme tak nové zápisy diferenčních vztahů.
Snadno nahlédneme, že například
 x u   x u x  ux  x   ux  x  / 2x  u j 1  u j 1  / 2x
x
(9.11)
je obvyklá aproximace derivace centrální diferencí na intervalu 2x . Pomocí operátoru  x
můžeme také snadno zapisovat aproximaci druhých derivací. Výraz
 x x u  ux  x   2ux   ux  x  / x 2
(9.12)
je obvyklá aproximace druhé derivace.
Je-li funkce u x , y  funkcí dvou proměnných x, y, můžeme operátory diferencování
 y a průměru u y ve směru osy y definovat obdobně a můžeme také tyto operátory ve
směrech obou os x , y spolu vzájemně kombinovat. Toho se při zápisech aproximací rovnic
předpovědních modelů hojně používá.
Jednou z možností, jak aproximovat diferenciální rovnice, je jednoduše nahradit
derivace jejich příslušnými konečnými diferencemi. Například
148
u j 1  u j
 du 
  
x
 dx  j
(9.13)
Tento podíl diferencí je pouze jednou z možností, jak aproximovat první derivaci v uzlovém
bodě j.
Jestliže jakýkoliv diferenční výraz má být použit jako aproximace derivace, musí být
konzistentní. Tím rozumíme, že limitou výrazu, když se délka kroku blíží k nule, musí být
hodnota aproximované derivace. Hodnoty diferenčních aproximací musí tedy pro x  0
konvergovat k hodnotě derivace.
Důležité informace o aproximaci dostaneme, když přesné řešení u jx  dosadíme do
aproximace derivace místo hodnot u j , zadaných v uzlových bodech sítě, a členy tvaru
ux  jx  rozvineme v Taylorův rozvoj se zbytkovým členem v Lagrangeově tvaru v okolí
centrálního bodu, (bodu ve kterém derivaci aproximujeme). Dostaneme tak vztah
u x  x   u x   du 
x  d 2 u  ~

x 
  
x
2  dx 2 
 dx  j
x leží v intervalu ~x  x , x  x . Chyba aproximace, kterou označme 
kde bod ~
(9.14)
je tedy
rovna

x  d 2 u  ~

x 
2  dx 2 
(9.15)
Tato chyba má tvar konstanty násobené krokem v síti, tedy cx , což označujeme jako ox 
a říkáme, že tato aproximace je prvního řádu. Obdobně můžeme vyjádřit chybu aproximace
derivace centrální diferencí, máme
u x  x   u x  x   du 
x 2  d 3u  ~

x 
  
2x
6  dx 3 
 dx  j
(9.16)
vidíme, že chyba aproximace má zde tvar konstanty násobené x 2 , což zapisujeme ve tvaru
 
o x 2 a říkáme, že tato aproximace je druhého řádu přesnosti. Obdobně můžeme zjistit, že
d 2u
  x x u je rovněž druhého řádu přesnosti. Chybu, která
dx 2
vzniká při této lokální aproximaci, nazýváme chybou aproximace.
aproximace druhé derivace
Diferenční schémata pro řešení evolučních úloh diferenciálních rovnic
Algebraickou rovnici, kterou dostaneme, když v diferenciální rovnici nahradíme
derivace příslušnými konečnými diferencemi, nazýváme diferenční aproximací diferenciální
rovnice, nebo diferenčním schématem. Metodu, při které diferenciální rovnici nahradíme
diferenčními aproximacemi, nazýváme diferenční metodou, nebo také často metodou sítí.
V tomto odstavci zavedeme pojem konsistence, chybu aproximace stabilitu schématu a
chybu diferenčního schématu.
149
Pro snadné odvození i pochopení vlastností diferenčních aproximací rovnic
používaných pro předpověď počasí se nyní soustředíme na řešení evolučních úloh pro několik
jednoduchých rovnic. Výsledky, ke kterým dojdeme lze zobecnit i na mnohem obecnější
případy systémů rovnic popisujících vývoj atmosféry.
Lineární rovnice advekce
Jako první začneme se studiem lineární rovnice advekce v jednodimensionálním
případě. Tato rovnice má tvar
u
u
(9.17)
c
0
t
x
kde u  ux ,t  je funkcí prostorové souřadnice x a času t a c je kladná konstanta.
Předchozí rovnice popisuje advekci proměnné u konstantní rychlostí ve směru osy x.
Tuto jednoduchou rovnici můžeme ovšem řešit analyticky. Je užitečné nejdříve řešit tuto
rovnici analyticky, abychom mohli studovat vlastnosti numerických řešení jejich srovnáním
se známými vlastnostmi přesného řešení.
Pro vyjádření přesného řešení, je účelné přejít od proměnných x, t, k novým
proměnným  ,t substitucí
Použijeme-li označení
  x  ct
(9.18)
ux ,t   U  ,t 
(9.20)
derivováním dostaneme
u U  U t
U U


 c

t  t
t t

t
(9.21)
u U  U t U



(9.22)
x  x t x 
Dosadíme-li nyní (9.21) a (9.22) do rovnice (9.17) dostáváme

(9.23)
U  ,t   0
t
Odtud vidíme, že funkce U nemůže být funkcí času t, ale může být libovolnou funkcí  .
Řešení lineární rovnice advekce (9.17) je proto
u  f    f x  ct 
(9.24)
kde f je libovolná funkce. Toto řešení je obecným řešením rovnice advekce (9.17), protože
může splňovat libovolnou počáteční podmínku
ux ,0  F x 
(9.25)
kde funkce F x  je námi zadaná počáteční podmínka, neboť
u  F x  ct 
(9.26)
je řešením rovnice advekce (9.17) vyhovující počáteční podmínce (9.25).
Pro fyzikální interpretaci je výhodné studovat řešení v rovině x, t. Vidíme, že v tomto
případě nabývá řešení konstantní hodnoty na přímkách
x  ct  const
(9.27)
150
Tyto přímky jsou charakteristikami rovnice advekce. Rovina x, t s charakteristikou
x  ct  const , je zobrazena na obrázku 9.1. Můžeme říci, že řešení se šíří podél
charakteristik.
Obrázek 9.1 Zobrazení charakteristiky lineární rovnice advekce
Nyní odvodíme schéma pro nalezení přibližného řešení rovnice advekce (9.17) pomocí
metody sítí.
Nyní budeme hledat pouze přibližné řešení na diskrétní soustavě bodů v rovině x ,t ,
které tvoří síť, jejímiž uzlovými body jsou body o souřadnicích
 jx,nt  .
Hodnoty
n
přibližného řešení v těchto uzlových bodech označme u j .
Chování přesného řešení, které se šíří podél charakteristik v rovině x ,t nám navozuje
myšlenku sestrojit aproximaci rovnice advekce nahrazením časové derivace diferencí vpřed a
prostorové derivace diferencí vzad. Jako výsledek dostáváme následující schéma
uj
n 1
uj
n
u j  u j 1
n
n
c
0
(9.28)
t
x
Toto schéma můžeme nazvat schématem vpřed, směřujícím proti proudu, anglicky (forvard
and upstream scheme). Poslední slova indikují polohu bodu j  1 vzhledem ke směru
rychlosti advekce. Je to samozřejmě jen jedna z možných konsistentních aproximací dané
diferenciální rovnice.
Numerické řešení pomocí daného schématu dostaneme tak, že vyjádříme hodnoty
uj
n 1
n
pomocí hodnot u j ze vztahu (9.28). Máme
uj
Protože pro výpočet hodnot u j
n 1
n 1
 uj c
n

t
n
n
u j  u j 1
x

(9.29)
nepotřebujeme řešit soustavy rovnic, ale máme explicitně
vyjádřeny hodnoty v čase n+1, nazýváme takováto schémata explicitními. Postupujeme-li tak,
že vyjdeme z počátečních podmínek v čase n=0 a počítáme hodnoty pomocí schématu (9.29)
v dalších časových hladinách pro n  1, 2, 3, …, dostáváme numerické řešení u j . Schéma
n
můžeme zapsat také stručněji, označíme-li
ct

x
ve tvaru
(9.30)
151
uj
n 1
 1   u j  u j 1
n
n
(9.31)
Předchozí schéma můžeme také interpretovat následujícím způsobem. Chceme-li získat
hodnotu u j
n 1
v čase n  1 z hodnot v čase n, víme z analytického řešení, že za čas t se
řešení posune doprava o délku ct . Nechť souřadnice uzlového bodu j je rovna x, pak
hodnota u j
n 1
bude stejná jako hodnota u v předchozím čase n v bodě x  ct , kterou
označme u * , tedy u j
n 1
 u * . Jinými slovy uzlový bod x ,n 1t  a bod x  ct , nt  leží
na stejné charakteristice x  ct  const . Padne-li bod x  ct do intervalu x  x , x , což
nastává v případě, že ct / x  1, pak vidíme že vztah (9.31) můžeme interpretovat jako
lineární interpolaci hodnoty u j
n 1
 u * do bodu x  ct pomocí hodnot v uzlových bodech o
souřadnicích x  x a x, tedy o indexech j  1, j .
Pro malé hodnoty x , t diferenční rovnice aproximují diferenciální rovnici, proto je
možné očekávat, že numerické řešení bude též aproximovat řešení diferenciální rovnice.
V mnohých případech však tomu tak není. Pro studium vlastností numerických řešení je
výhodné porovnávat numerické řešení s přesným řešením, které máme v našem případě
k dispozici. Rozdíl mezi numerickým a přesným řešením
u j  u jx , nt 
n
(9.32)
nazýváme chybou numerického řešení.
Je zřejmé, že chybu numerického řešení obvykle neznáme. Můžeme však určit míru
přesnosti schématu když dosadíme přené řešení u jx , nt  diferenciální rovnice do
numerického schématu. Protože přesné řešení nesplňuje přesně diferenční schéma, dostaneme
po jeho dosazení do numerického schématu hodnotu, kterou označme  . Je tedy
u  jx ,n  1t   u  jx , nt 
u jx , nt   u  j  1x , nt 
c

t
x
(9.33)
Hodnota  se nazývá chyba aproximace. Tato chyba ukazuje lokální přesnost aproximace.
Rozvedeme-li obdobně jako při studiu aproximace derivaci v okolí bodu jx , nt členy
(9.33) v Taylorův rozvoj, dostaneme, že chybu aproximace  můžeme napsat ve tvaru
  ot   ox 
(9.34)
což se obvykle píše ve zkráceném tvaru
  ot , x 
(9.35)
Odkud vidíme, že schéma (9.28) je prvního řádu přesnosti pro prostorovou souřadnici i čas.
Diferenční schéma nazýváme konzistentní, jinými slovy, že aproximuje danou diferenciální
rovnici, když je alespoň prvního řádu přesnosti pro všechny nezávisle proměnné.
152
Konvergence numerického schématu
Chybu aproximace můžeme zmenšováním časového a prostorového kroku t , x
udělat libovolně malou. Bohužel z toho však nevyplývá, že se též zmenšuje chyba
numerického řešení. Proto se nyní vrátíme ke studiu chyby numerického řešení.
Položme si nyní dvě následující otázky.:
1. Jak se chová chyba numerického řešení u j  u jx , nt  v pevně zvoleném časovém
n
intervalu 0, nt , když přírůstky x , t se blíží k nule?
2. Jak se chová tato chyba u j  u jx , nt  , když necháme hodnoty x , t konstantní,
n
ale počet kroků n necháme růst k nekonečnu.
Na první otázku je snadná odpověď. Tato otázka vede k definici konvergence
numerického schématu k přesnému řešení, což je vlastně cílem numerické metody. Řekneme
tedy, že když pro x  0, t  0 rovněž
u j  u jx , nt   0 , pak numerické řešení
n
konverguje k přenému řešení. To však nenastává automaticky vždy.
Nyní se budeme zabývat druhou otázkou, která vede k definici stability schématu.
Stabilita schématu je totiž klíčovou vlastností pro možné použití schématu pro výpočet i pro
jeho konvergenci k přesnému řešení.
K pochopení problému vede také souvislost mezi tím, v jaké oblasti je určeno
numerické řešení ve vztahu k charakteristikám diferenciální rovnice. Při výpočtu numerického
řešení vycházíme z počáteční podmínky, která je pro numerické řešení stanovena vždy na
konečném intervalu. Numerické řešení určené schématem (9.28), neboli (9.30) je definováno
v určitém pásu. Tento pás je dán hodnotami, které jsou pro výpočet hodnot v síti v dalším
časovém kroku k dispozici. Obrázek 9.2.
Obrázek 9.2 Možná poloha charakteristiky a oblasti numerického řešení, které je označeno
kroužky, což je oblast závislosti
Tento pás budeme nazývat oblastí závislosti. Tangens úhlu, který svírají hranice pásu s osou
x, je roven t / x . Vezmeme-li nyní některý uzlový bod na levé hranici oblasti závislosti a
vedeme jím charakteristiku diferenciální rovnice, pak můžou nastat dva případy. Buďto
charakteristika prochází intervalem, ve kterém jsou definovány počáteční podmínky, pak je
153
vše v pořádku a řešení může být definováno. Když však charakteristika prochází mimo
interval počátečních podmínek, pak přesné řešení je dáno průsečíkem charakteristiky s osou x
a nemá tedy nic společného s hodnotami, které určují numerické řešení. Aby numerické řešení
mělo smysl, je tedy třeba, aby sklon a tedy tangens úhlu charakteristiky byl větší nebo roven
než úhel hranic oblasti závislosti. Derivováním rovnice charakteristiky x  ct  const máme
dt 1
t 1
 a tedy
 , odkud máme
dx c
x c
ct  x
(9.36)
což je podmínka stejná, jako jsme výše potřebovali, aby schéma ve tvaru (9.31) jsme mohli
interpretovat jako interpolaci.
Definice stability schématu
Obecná přesná definice stability, která je uvedena například v monografii Richtmyera
a Mortona [6] využívá prostředky funkcionální analysy. Pro naše účely takto obecnou
formulaci nepotřebujeme, protože se týká řešení diferenciálních rovnic, které nemají omezená
řešení. Rovnice používané v meteorologii jsou však takového charakteru, že jejich řešení jsou
omezená, existuje vždy tedy konstanta K, že pro řešení, v našem případě u, platí u  K .
Odpověď na otázku 2. bude tedy následující. Budeme studovat, zda chyba u j  u jx , nt 
n
zůstává omezená při konstantních hodnotách ∆𝑥, ∆𝑡, když n zvětšujeme nad všechny meze.
Vzhledem k předpokladu omezenosti řešení stačí, místo omezenosti chyby u j  u jx , nt 
n
požadovat omezenost samotného numerického řešení. Proto můžeme v našem případě
definovat stabilitu následovně: Numerické schéma nazveme stabilním, když pro konstantní
n
x , t a pro n   je numerické řešení omezené, tedy u j  K , kde K je konstanta.
Laxova věta o ekvivalenci
Nechť máme korektně zadanou úlohu s lineárním operátorem a její
diferenční aproximace je konzistentní (její chyba aproximace je alespoň prvního řádu
přesnosti) pak stabilita je nutnou a postačující podmínkou pro konvergenci.
V tomto tvaru je uvedena Laxova věta například v monografii Richtmyera a Mortona [6].
Metody vyšetřování stability.
Pro studium stability numerických schémat budeme v dalším stále předpokládat, že
přesné řešení aproximované diferenciální rovnice je omezené a proto také můžeme používat
zjednodušenou definici stability.
Pro studium stability schématu (9.28) budeme používat jeho zápis ve tvaru
uj
n 1
 1   u j  u j 1
n
n
(9.37)
kde

ct
x
(9.38)
154
Přímá metoda
Je-li 1    0 , což vzhledem k tomu, že podle předpokladu je   0 není nic jiného
než že ct  x Ze vztahu (9.37) dostáváme odhad
uj
n 1
 1    u j   u j 1
n
n
(9.39)
Odhadneme-li pravou stranu tím, že zaměníme hodnoty u j
přes všechny indexy j dostaneme pro maximum max u
max u j
n 1
 max u j
n 1
n
a u j 1
n
maximem max u j
n
odhad
n
(9.40)
za předpokladu, že ct  x , což je kriterium stability dostáváme, že maxima z absolutní
hodnoty diferenčního řešení tvoří docela nerostoucí posloupnost a diferenční řešení je tedy
omezené a tedy stabilní.
Nevýhoda této jednoduché metody analýzy stability spočívá v tom, že ji lze použít jen
v omezeném počtu případů, například také pro aproximace parabolických rovnic, kde prvá
strana splňuje princip maxima.
Energetická metoda
Výhoda této velmi hojně používané metody spočívá v tom, že ji lze použít pro velmi
širokou třídu rovnic, zejména tím, že je použitelná i pro aproximace nelineárních parciálních
diferenciálních rovnic. Tato metoda je založena na tom, že je-li omezeno diferenční řešení, je
 u 
n 2
také omezen součet
j
a také obráceně, je-li omezen tento součet, jsou omezeny také
j
hodnoty u j
n
a schéma je pak stabilní. Tato metoda se nazývá energetickou metodou, neboť
součty kvadrátů ve fyzice mají často význam energie. Zde se ovšem budeme dívat na součet
 u 
n 2
j
pouze jako na matematickou definici energie, pomocí které můžeme dokázat
j
stabilitu numerického schématu.
Umocníme-li diferenční výraz (9.37) na druhou mocninu a sečteme přes index j,
dostaneme
 u    1    u 
n 1 2
j
n 2
2
j
j

 2 1   u j u j 1   2 u j 1
n
n

n 2
(9.41)
j
Nyní předpokládejme, že funkce u je periodickou funkcí proměnné x, což bývá pro mnohé
úlohy splněno a jsou tedy splněny cyklické okrajové podmínky, například
u 1  u J
(9.42)
v tomto případě je
 u    u 
n 2
n 2
j 1
j
j
(9.43)
j
Na prostřední člen prvé strany (9.41) použijeme Schwarzovu nerovnost
 ab   a  b
2
2
(9.44)
(Levou stranu Schwarzovy nerovnosti můžeme interpretovat jako skalární součin vektorů a
pravou stranu jako součin jejich délek. Podíl těchto dvou veličin je cosinem úhlu, který
155
vektory svírají. Geometrická interpretace nerovnosti nám tedy říká, že cosinus je v absolutní
hodnotě vždy menší nebo roven jedné.) Dostaneme tak odhad
u
n
j
 u   u    u 
n 2
u j 1 
n
n 2
j
n 2
j 1
j
j
j
j
(9.45)
j
Použijeme-li vztahy (9.43), (9.45) a předpokladu, že 1    0 platí pro (9.41) odhad
 u 
n 1 2
j

 1     2 1      2
2
j
což je
 u
j
 u 
n 2
j
(9.46)
j
   u 
n 1 2
j
n 2
(9.47)
j
j
Tím jsme ukázali, že pro cyklické okrajové podmínky při splnění podmínky stability
ct  x je schéma stabilní.
Metoda von Neumanna
Metoda von Neumanna založená na rozvoji do Fourirovy řady je používána nejčastěji.
Nevýhodou této metody je, že se nedá použít pro zjištění stability nelineárních rovnic, a proto
se studium jejich stability musí omezit pouze na jejich linearizovanou versi. Řešení lineárních
rovnic nicméně můžeme vyjádřit ve tvaru Fourierovy řady, jejíž každá harmonická složka je
rovněž řešením. Proto můžeme stabilitu testovat pro každou harmonickou složku řešení a
stabilita všech harmonických složek je pak nutnou podmínkou pro stabilitu schématu.
Pro ilustraci této metody je užitečné odvodit analytické řešení rovnice advekce (9.17)
u
u
(9.48)
c
0
t
x
ve tvaru pro jednu harmonickou složku

ux ,t   Re U t e ikx

(9.49)
Kde U t  je amplituda vlny, komplexní funkce reálné proměnné času t, k vlnové číslo.
Dosadíme-li tento výraz do předchozí rovnice (9.48) dostaneme
dU
(9.50)
 ikcU  0
dt
Problém řešení parciální diferenciální rovnice je tak převeden na řešení obyčejné diferenciální
rovnice. Její řešení je
U t   U 0e ikct
(9.51)
kde U 0 je počáteční hodnota amplitudy. Odtud hledané harmonické řešení má tvar

ux ,t   Re U 0e ik  xct 

(9.52)
Vidíme, že každá vlnová složka se posunuje s konstantní rychlostí c ve směru osy x aniž by se
její amplituda měnila. Poznamenejme, že do rovnice (9.48) jsme dosadili komplexní hodnotu
U t e ikx , která má obě složky reálnou i imaginární a vztah musí platit pro obě složky. Proto
jako harmonické řešení bychom místo (9.49) mohli vzít také imaginární část.
156
Vraťme se nyní k metodě von Neumanna. Budeme proto hledat řešení diferenční
rovnice v analogickém tvaru jako rovnice diferenciální. Do rovnice (9.31)
uj
n 1
 1   u j  u j 1
n
dosadíme řešení v následujícím tvaru

u j  Re U n e ikjx
n
n

(9.53)
(9.54)
Zde U n  je amplituda v časovém kroku n. Výraz U n e ikjx dosadíme do (9.53) a po vydělení
rovnice hodnotou e ikjx , dostaneme
U n1  1   U n   U n e ikx
(9.55)
neboli
U n1  U n 
(9.56)
  1    e ikx
(9.57)
kde
Přejdeme-li ve vztahu (9.56) k absolutním hodnotám, máme
U n1   U n 
(9.58)
U  n    U 0 
(9.59)
Odtud pak dostaneme, že
n
Z tohoto vztahu je vidět, že když   1 , pak pro rostoucí n roste U n  nade všechny meze.
Nutnou a postačující podmínkou pro stabilitu schématu je aby
 1
(9.60)
Poznamenejme, že tato podmínka je nutnou pouze v našem případě omezených řešení.
Studujme nyní stabilitu řešení naší diferenční rovnice (9.53). Hodnota  pro toto
schéma je dána vztahem (9.57). Pro rozbor stability potřebujeme nejdříve vypočítat absolutní
hodnotu  . Protože  je komplexní číslo, jeho absolutní hodnotou je odmocnina ze součtu
čtverců jeho reálné a imaginární složky. Máme tedy
  1  2 1   1  cos kx 
2
(9.61)
V důsledku toho je podmínka 1    0 opět postačující podmínkou pro stabilitu schématu.
Vztah (9.61) obsahuje však další informace o chování řešení, které můžeme dostat
budeme-li studovat závislost  jako funkce  pro různé hodnoty kx . Můžeme si zobrazit i
křivky  jakožto funkce  . V našem případě jsou tyto křivky parabolami. Kromě toho si
připomeňme, že nejkratší délka vlny L na síti je 2x pro vlnové číslo  / x . Nyní si
najdeme ještě minimální hodnoty  . Derivujeme-li (9.61) podle  dostaneme
d
d
2
 21  2 1  cos kx 
(9.62)
1
je tento výraz nulový, a všechny paraboly, nabývají v tomto bodě minimum,
2
protože jsou obráceny směrem vzhůru, je minimum rovněž vrcholem paraboly.
Pro  
157
Pro délku vlny 2x je k   / x a 1  cos kx  1  cos   0 . Odtud vidíme že-je-li
pro vlnu délky 2x hodnota   1/ 2 , v tomto případě stačí jediný časový krok, aby
amplituda této vlny zcela vymazána, tedy nulová. Obdobně pro vlnu délky 4x a   1/ 2 je
k   / 2x , cos kx  cos  / 2  0 a odtud   0.5 .
2
Vidíme tedy, že metoda von Neumanna nám kromě podmínek stability dává i některé
kvantitativní vlastnosti metody, což je její značná přednost.
Literatura:
[1] NUMERICAL METHODS USED IN ATMOSPHERIC MODELS, VOLUME I.
By F. Mesinger and A. Arakawa, GLOBAL ATMOSPHERIC RESEARCH PROGRAMME
(GARP), WMO-ICSU Joint Organization Committee
GARP PUBLICATION SERIES No. 17, August 1976.
[2] NUMERICAL METHODS USED IN ATMOSPHERIC MODELS, VOLUME II.
GLOBAL ATMOSPHERIC RESEARCH PROGRAMME (GARP), WMO-ICSU
GARP PUBLICATION SERIES No. 17, August 1979.
[3] Numerical methods by R. W. Riddaway (Revise by Mario Hortal), Lecture Series
Europiem Centre for Medium-Range Weather Forecast (ECMWF) March 1990
[4] Numerical methods in atmospheric models Volume I. SEMINAR PROCEEDINGS,
Europiem Centre for Medium-Range Weather Forecast (ECMWF) September 1991
[5] METHODS IN COMPUTATIONAL PHYSICS Volume 17.
General Circulation Model sof the Atmosphere, Editor J. Chány.
ACADEMIC PRESS 1977
[6] Richtmyer R. D., Morton K. W.: Diference methods for initial-value probléme,
John Wiley&Sons, NEW YORK 1967
158
10. Lineární oscilátor, kmity a vlny
10.1 Lineární oscilátor a harmonické kmity
Většina fyzikálních systémů má určité vlastnosti, které jim umožňují kmitat. To se
týká i mnoha jevů v atmosféře. Kmity mají také úzkou souvislost s vlnami, což v dalším
ukážeme. Abychom porozuměli podstatným znakům tohoto pohybu, budeme nejdříve
studovat modelový systém, který má pouze vlastnosti nutné pro kmitání.
Náš model nechť tvoří hmotný bod, jehož hmota je m (𝑚 > 0) který leží na ose y.
Nechť bod je v rovnovážném stavu v bodě 𝑦 = 0 ve kterém na něj nepůsobí žádné vnější síly.
Jestliže však bod vychýlíme z rovnovážného stavu, začne na něj působit vratná síla úměrná
jeho výchylce. Vratná síla F bude tedy rovna 𝐹 = 𝑘𝑦 (𝑘 > 0). Podle Newtonova zákona pro
změnu hybnosti tohoto bodu dostáváme vztah
𝑚
𝑑2 𝑦
= −𝑘𝑦
𝑑𝑡 2
(10.1.1)
Aby další výsledky bylo možné snadněji přenést na kmitavé pohyby jiných systémů (kmity
v elektrických obvodech, atmosféře aj.) přepíšeme tuto rovnici do standardního tvaru
𝑑2𝑦
= −𝜔2 𝑦
𝑑𝑡 2
(10.1.2)
kde kladná konstanta  je dána vztahem
𝜔 = √𝑘⁄𝑚
(10.1.3)
Řešením rovnice (10.1.2) je
𝑦(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝛼)
(10.1.4)
kde A je libovolná nezáporná konstanta a  je libovolný konstantní úhel. Že funkce (10.1.4)
je řešením rovnice (10.1.2) snadno ověříme derivováním
𝑦 ′ (𝑡) = −𝜔𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝛼)
(10.1.5)
′′ (𝑡)
2
2
𝑦
= −𝜔 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝛼) = −𝜔 𝑦(𝑡)
(10.1.6)
Jestliže nějaká veličina závisí na čase tímto způsobem, říkáme, že se mění harmonicky a tyto
kmity se nazývají harmonické kmity. Rovnici (10.1.2) pak rovnicí lineárního oscilátoru.
Ukážeme si ještě, že vztah (10.1.4) zahrnuje všechna možná řešení. Nechť 𝑦 = 𝜑(𝑡) je
libovolné řešení rovnice (10.1.2). Položme nyní 𝜑(0) = 𝑦0 , 𝜑 ′ (0) = 𝑦 ′ 0 pak lze zvolit
hodnoty A a α tak, aby splňovaly vztahy 𝐴 cos 𝛼 = 𝑦0 , −𝐴𝜔 sin 𝛼 = 𝑦 ′ 0 .
Fázový úhel 𝜔𝐭 + 𝛂 je veličinou, která řídí chování výchylky 𝐲(𝐭) nazýváme jej
také kratčeji fází. Z periodičnosti funkce cos vyplývá i periodičnost pohybu. Změní-li se
fázový úhel o celý násobek 𝟐𝝅, nabývají všechny veličiny pohybu (výchylka, rychlost, směr
pohybu, zrychlení) stejné hodnoty. To se opakuje vždy po uplynutí časového intervalu 𝝉
daného rovnicí 𝝎𝝉 = 𝟐𝝅. Tento časový interval se nazývá periodou kmitů. Z konstant
pohybu je pouze konstanta 𝜔 zadána v diferenciální rovnici kmitů (10.1.1). Fázová konstanta
159
𝛼 způsobuje pouze časový posun řešení a je nazývána počáteční fází. Konstanta A se nazývá
amplituda a udává maximální výchylky 𝑦(𝑡). Tyto dvě konstanty jsou dány obvykle
počátečními podmínkami.
Počet kmitů za jednotku času je frekvence  ta je rovna
𝜈 = 1⁄𝜏 = 𝜔⁄2𝜋
(10.1.7)
Jestliže čas měříme v sekundách, pak frekvence se udává v hertzích. (Hz). Ze vztahu
(10.1.7) můžeme vyjádřit také 𝜔 pomocí  . Máme
𝜔 = 2𝜋𝜈
(10.1.8)
Abychom odlišili veličinu 𝝎 od frekvence 𝜈, nazýváme ji úhlovou frekvencí, neboť ve
fázovém úhlu vystupuje veličina 𝜔𝑡 jako úhel. I když tyto dvě veličiny mají stejný fyzikální
rozměr, neboť veličina 2𝜋 je bezrozměrná, používají se pro frekvenci jako jednotky Hz, ale
pro úhlovou frekvenci jednotky 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑎−1 . Zavedení úhlové frekvence zjednoduší vztahy,
neboť pak již neobsahují faktor 2𝜋.
Rovnice (10.1.1) je rovnicí druhého řádu, proto pro jednoznačné určení řešení
potřebujeme dvě počáteční podmínky. Jako počáteční podmínku můžeme v čase 𝑡 = 0 zadat
například hodnotu funkce 𝑦(0) = 𝐴 cos 𝛼 = 𝐴1 výchylky a její první derivace 𝑦 ′ (0) =
−𝜔𝐴 sin 𝛼 = 𝐴2 , která má fyzikální význam rychlosti. Pro nulovou počáteční rychlost
𝐴2 = 0, která nastává při maximální výchylce, musí být sin 𝛼 = 1. Volíme-li v tomto případě
konstantu A kladnou, pak musí být 𝛼 = 0, a odtud 𝐴 = 𝐴1 a řešení (10.1.4) má tvar 𝑦(𝑡) =
𝐴 cos 𝜔𝑡
Řešení (10.1.4) se píše často v jiném tvaru. Rozložíme-li cos pomocí součtových
vzorců, máme
𝑦(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝛼) = 𝐴 cos 𝛼 cos 𝜔𝑡 − 𝐴 sin 𝛼 sin 𝜔𝑡
(10.1.9)
Položíme-li zde
𝑎 = 𝐴 cos 𝛼 , 𝑏 = 𝐴 sin 𝛼
(10.1.10)
dostáváme harmonickou funkci 𝑦(𝑡) ve tvaru, ekvivalentnímu předchozímu
𝑦(𝑡) = 𝑎 cos 𝜔𝑡 + 𝑏 sin 𝜔𝑡
(10.1.11)
ve tvaru používaném ve Fourierových řadách.
Metoda komplexních amplitud
Zároveň s reálnou harmonickou funkcí (10.1.4) studujme nyní jí odpovídající
komplexní harmonickou funkci
𝑈(𝑡) = 𝜌𝑒 𝑖𝜔𝑡
(10.1.12)
kde 𝑈(𝑡) je komplexní funkce reálné proměnné t a kde
𝜌 = 𝑟𝑒 𝑖𝛼
(10.1.13)
je komplexní konstanta. Komplexní číslo 𝜌 dané vztahem (10.1.13) je komplexní amplituda
komplexní harmonické funkce (10.1.12). Pomocí Moivrovy věty a Eulerových vzorců
𝑒 𝑖𝛼 = cos 𝛼 + 𝑖 sin 𝛼 , 𝛼 −𝑖𝛼 = cos 𝛼 − 𝑖 sin 𝛼
(10.1.14)
můžeme funkci 𝑈(𝑡) (10.1.12) psát ve tvaru
𝑈(𝑡) = 𝜌𝑒 𝑖𝜔𝑡 = 𝑟𝑒 𝑖(𝜔𝑡+𝛼) = 𝑟 cos(𝜔𝑡 + 𝛼) + 𝑖𝑟 sin(𝜔𝑡 + 𝛼)
(10.1.15)
Hodnota 𝜌 v sobě zahrnuje reálnou amplitudu r, která je rovna absolutní hodnotě
komplexního čísla 𝜌. Je tedy
𝑟 = |𝜌|
(10.1.16)
160
i počáteční fázi 𝛼. Reálná část komplexní harmonické funkce (10.1.15) je tedy reálná
harmonické funkce, neboť reálná část má přímo tvar (10.1.4). Imaginární část komplexní
harmonické funkce (10.1.15) můžeme psát ve tvaru 𝑟 sin(𝜔𝑡 + 𝛼) = 𝑟 cos(𝜔𝑡 + 𝛼 − 𝜋⁄2),
což je rovněž harmonická funkce, pouze fázově posunutá o prvý úhel. Počáteční fázi 𝛼
můžeme vypočítat z konstanty 𝜌 ze vztahu tan 𝛼 = 𝑖𝑚𝜌⁄𝑟𝑒𝜌 , kde 𝑖𝑚𝜌 je imaginární část 
a 𝑟𝑒𝜌 je reálná část 𝜌.
Derivujeme-li vztah (10.1.12) podle času t dostaneme
𝑑𝑈
= 𝑖𝜔𝜌𝑒 𝑖𝜔𝑡 = 𝑖𝜔𝑈
𝑑𝑡
(10.17)
Dostáváme tak diferenciální rovnici pro komplexní funkci 𝑈(𝑡) reálné proměnné t. Tuto
rovnici prvního řádu nazýváme rovněž rovnicí kmitů, oscilační rovnicí, nebo rovnicí
lineárního oscilátoru. Dalším derivováním podle t bychom dostali rovnici oscilátoru ve tvaru
rovnice druhého řádu obdobnou původní rovnici
𝑑2𝑈
= −𝜔2 𝜌𝑒 𝑖𝜔𝑡 = −𝜔2 𝑈
𝑑𝑡 2
(10.1.18)
Rovnice kmitů s útlumem
Studujme nyní ještě obecnější kmitavý pohyb daný rovnicí
𝑑2𝑦
𝑑𝑦
+𝑎
+ 𝑘𝑦 = 𝑓(𝑡)
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(10.1.19)
což je lineární rovnice druhého řádu s reálnými konstantními koeficienty 𝑎 > 0 , 𝑘 > 0 . Pro
naše účely budeme studovat případ, kdy 𝑓 = 0. V tomto případě se rovnice nazývá
homogenní, což znamená, že jde o volné kmity nevynucené vnější silou. Rovnice má v tomto
případě tvar
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
+
𝑎
+ 𝑘𝑦 = 0
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
(10.1.20)
Fyzikální význam této rovnice je podobný jako pro rovnici (10.1.1). Vratná síla −𝑘𝑦 úměrná
𝑑𝑦
výchylce zůstává stejná, navíc je zde síla útlumu kmitání −𝑎 𝑑𝑡 která působí proti pohybu a
je úměrná rychlosti
𝑑𝑦
𝑑𝑡
pohybu kmitajícího bodu. Pro 𝑎 = 0 nepůsobí žádná síla způsobující
útlum a rovnice (10.1.20) je shodná s rovnicí (10.1.1), přičemž 𝜔2 = 𝑘.
Řešení rovnice (10.1.20) budeme hledat ve tvaru
𝑦 = 𝑒 𝜆𝑡
(10.1.21)
Kde 𝜆 zatím neurčená konstanta. Dosadíme-li (10.1.21) do rovnice (10.1.20) dostáváme
(𝜆2 + 𝑎λ + k)𝑒 𝜆𝑡 = 0
(10.22)
𝜆𝑡
Rovnici vydělíme nenulovou hodnotou 𝑒 a dostaneme pro 𝜆 kvadratickou rovnici
𝜆2 + 𝑎𝜆 + 𝑘 = 0
(10.23)
Tato rovnice se nazývá charakteristickou rovnicí diferenciální rovnice (10.1.20). Aby 𝑒 𝜆𝑡 bylo
řešením rovnice (10.1.20) musí 𝜆 splňovat rovnici (10.1.22) což nastává v případě, že 𝜆
splňuje kvadratickou rovnici (10.1.23). Řešením kvadratické rovnice dostaneme
161
𝜆1,2 =
−𝑎 ± √𝑎2 − 4𝑘
2
(10.1.24)
Studujme nyní jednotlivé případy kořenů kvadratické rovnice (10.1.22)
a) 𝑎2 − 4𝑘 > 0. Oba kořeny jsou v tomto případě reálné různé a záporné. Odpovídají jim
dvě řešení, jejichž lineární kombinací dostáváme obecné řešení
𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝜆1 𝑡 + 𝐶2 𝑒 𝜆2 𝑡
(10.1.25)
V tomto případě se jedná o silný útlum, kdy se zvětšujícím-se časem t řešení monotónně klesá
k nule.
b) 𝑎2 − 4𝑘 = 0. Diskriminant kvadratické rovnice je tedy roven nule a kvadratická rovnice
má pouze jeden dvojný kořen 𝜆 = − 𝑎⁄2. V tomto případě obecné řešení rovnice je
𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝜆𝑡 + 𝐶2 𝑒 𝜆𝑡
(10.1.26)
i pro tuto mezní hodnotu diskriminantu řešení monotónně klesá k nule, když se čas t zvětšuje
nade všechny meze. Tomuto případu se říká také kritický útlum.
c) 𝑎2 − 4𝑘 < 0. V tomto případě jsou oba kořeny komplexní, jejich imaginární část je
nenulová a navíc jsou tyto kořeny komplexně sdružená čísla
𝜆1,2 = − 𝑎⁄2 ± 𝑖 𝛽 ⁄2, kde jsme položili 𝛽 = √4𝑘 − 𝑎2
(10.1.27)
V tomto případě má rovnice (10.1.19) dvě komplexně sdružená lineárně nezávislá řešení
𝛽
𝛽
2
2
𝑦1 = 𝑒 𝜆1 𝑡 = 𝑒 −𝑎𝑡⁄2 𝑒 𝑖𝛽𝑡⁄2 = 𝑒 −𝑎𝑡⁄2 (cos 𝑡 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝑡), 𝑦2 = 𝑦1 ∗
(10.1.28)
Řešení (10.1.28) rovnice (10.1.20) nám ukazuje, že se jedná o kmity se slabým útlumem. Ze
vztahu (10.1.28) vidíme, že úhlová frekvence kmitů 𝜔 je rovna 𝜔 = 𝛽 ⁄2. Bod y tedy kmitá
periodicky s konstantní periodou 𝜏 pro kterou platí 𝜏𝛽⁄2 = 2𝜋, tedy 𝜏 = 4𝜋⁄𝛽 a frekvence
kmitů je 𝜈 = 1⁄𝜏 = 𝛽 ⁄4𝜋. Největší hodnota 𝛽 = 2√𝑘 je dosažena pro 𝑎 = 0, tedy pro
případ bez útlumu, proto frekvence kmitů s útlumem je sice rovněž konstantní, ale o něco
nižší. Amplituda kmitů se zmenšuje (kmity zanikají) exponenciálně s časem podle zákona
𝑒 −𝑎𝑡⁄2 . S růstem času se řešení přibližuje k hodnotě rovnovážného stavu 𝑦 = 0. V případě
když 𝑎 = 0 dostáváme harmonické kmity s frekvencí 𝜔 = √𝑘.
Nyní si uvedeme jednu aplikaci rovnice lineárního oscilátoru v meteorologii.
10.2 Brunt-Väisälova frekvence a statická stabilita atmosféry
Jako příklad čistého vlnového pohybu v atmosféře budeme studovat příčné svislé
oscilace známé jako gravitační vlny. Tyto vlny mohou existovat pouze při stabilním zvrstvení.
Pro studium tohoto jevu vyjdeme z metody částice. Předpokládejme, že máme suchou
atmosféru v hydrostatické rovnováze. Studujme pohyb částice vzduchu po svislé přímce, na
které jako souřadnici zvolme výšku z. Průběh tlaku, hustoty a teploty a potenciální teploty na
této přímce označme 𝑝,
̅ 𝜌,
̅ 𝑇̅, 𝜃̅. Pro tyto veličiny nechť je splněna hydrostatická rovnice
162
𝜕𝑝̅
= −𝑔𝜌̅
𝜕𝑧
(10.2.1)
Předpokládejme, že jsme vybrali určitou částici. Na svislé ose z, zvolme za počátek
souřadnic bod, ve kterém se částice nachází, je-li v klidu. Počáteční poloha částice je tedy
𝑧 = 0. Nyní nějakou vnější silou posuneme částici ve vertikálním směru o malou vzdálenost
z. Tato částice bude mít po vychýlení jinou hustotu než okolní atmosféra, kterou označme  .
Protože tlak částice se ihned přizpůsobuje tlaku okolní atmosféry, bude tlak částice stejný
jako v okolní atmosféře a tedy 𝑝̅. Podle Archimédova zákona působí na částici kromě zemské
tíže G také vztlaková síla F, která je rovna váze vzduchu, který by zaujal objem dané částice.
Na částici tedy působí síla zemské tíže, která je rovna
𝐆 = −g𝑉ρ
(10.2.2)
kde V je objem uvažované vzduchové částice. Vztlaková síla, opačného směru je pak rovna
𝐅 = 𝑔𝑉𝜌̅
(10.2.3)
Podle Newtonova zákona je výsledná síla působící na částici součinem hmotnosti částice 𝑉𝜌
A jejího zrychlení ve vertikálním směru
𝑑𝑤 𝑑2 𝑧
= 2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
je tedy
𝑑𝑤
𝑉𝜌
= −𝑔𝑉𝜌 + 𝑔𝑉𝜌̅
𝑑𝑡
(10.2.4)
neboli po vydělení rovnice objemem V máme
𝑑𝑤
𝜌̅
𝜌̅ − 𝜌
= −𝑔 + 𝑔 = −𝑔
𝑑𝑡
𝜌
𝜌
(10.2.5)
̅
Ze stavové rovnice máme jednak
𝑝̅ = 𝜌𝑅𝑇 a jednak 𝑝̅ = 𝜌̅ 𝑅 𝑇 eliminujeme-li z těchto
̅
vztahů tlak 𝑝̅ dostáváme 𝜌𝑇 = 𝜌̅ 𝑇 neboli též
𝜌̅ 𝑇
=
𝜌 𝑇̅
(10.2.6)
Použijeme-li definici potenciální teploty 𝑇 = 𝜋𝜃, kde 𝜋 = (𝑝⁄𝑝0 je Exnerova funkce a
𝜅 = 𝑅 ⁄𝑐𝑝 = 0.288 a skutečnosti že tlak je pro částici okolní atmosféru stejný je hodnota
Exnerovy funkce pro 𝑇 𝑖 𝑇̅ stejná a máme
)𝜅
𝜌̅ 𝑇 𝜃
= =
𝜌 𝑇̅ 𝜃̅
(10.2.7)
Odtud máme
163
𝑑2𝑧
𝜃
𝜃 − 𝜃̅
= −𝑔 + 𝑔 = −𝑔
𝑑𝑡
𝜃̅
𝜃̅
(10.2.8)
̅
V počáteční poloze 𝑧 = 0, má částice potenciální teplotu 𝜃 rovnu 𝜃 = 𝜃(0), pak pro malý
přírůstek z můžeme potenciální teplotu okolní atmosféry vyjádřit ve tvaru
𝜃̅(𝑧) ≅ 𝜃̅ (0) +
𝑑𝜃̅
𝑧
𝑑𝑧
(10.2.9)
Je-li částice posunuta o tento přírůstek adiabaticky, potenciální teplota částice se nezmění je
tedy 𝜃(𝑧) = 𝜃̅(0). Odtud dostáváme
̅
̅ (0) − (𝜃̅(0) + 𝑑𝜃 𝑧)
𝜃
̅
𝑑 𝑧
𝜃−𝜃
𝑔 𝑑𝜃̅
𝑑𝑧
=𝑔
=𝑔
=−
𝑧
𝑑𝑡
𝜃̅
𝜃̅(𝑧)
𝜃̅ 𝑑𝑧
2
(10.2.10)
označíme-li
𝑁2 =
𝑔 𝑑𝜃̅
𝜃̅ 𝑑𝑧
(10.2.11)
2
je 𝑁 mírou statické stability vnější atmosféry a můžeme psát
𝑑2 𝑧
= −𝑁 2 𝑧
𝑑𝑡
(10.2.12)
což je rovnice lineárního oscilátoru, kde 𝜔 = 𝑁. Pro 𝑁 > 0 částice osciluje kolem počáteční
hladiny s periodou 𝜏 = 2𝜋/𝑁. Tato perioda se nazývá periodou vztlakové oscilace a
odpovídající frekvence N se nazývá Brunt- Väisälovu frekvencí.
Všimněme si ještě otázky stability atmosféry. Ze vztahu (10.2.8) vidíme, že jsou
možné tyto případy:
𝜃 𝜃̅(0)
=
<1
𝜃̅ 𝜃̅(𝑧)
a tedy potenciální teplota s výškou roste, tedy
𝑑𝜃̅
>0
𝑑𝑧
je vztlaková síla menší než síla zemské tíže a částice má tendenci se vrátit na své původní
místo. V tomto případě je také výraz (10.2.11) kladný, N reálné číslo a nastává tedy kmitavý
pohyb. V tomto případě říkáme, že atmosféra je v tomto bodě stabilní.
164
Je-li
𝑑𝜃̅
≤0
𝑑𝑧
potenciální teplota s výškou neroste, nepůsobí již síla, která by částici vracela zpět a kmitavý
pohyb nenastane. Teplotní zvrstvení je v tomto případě instabilní, nebo indiferentní.
10.3 Vlny a jejich vlastnosti
Vlnový popis fyzikálních dějů
Studium vln v podstatě do jisté míry abstrahuje od fyzikální podstaty tohoto jevu a
tedy také od prostředí, ve kterém se tyto vlny šíří. V matematice jsou taková zobecnění
obvyklá, aby jediná teorie byla použitelná pro řešení různých příbuzných problémů, musí být
proto dostatečně obecná. Zabýváme se proto matematickým popisem vln. Proto jej můžeme
použít prakticky pro všechny fyzikální problémy, kde se vlny vyskytují. Z hlediska abstrakce
někteří autoři [4] zavádějí pro popis vlny veličinu napětí. Napětí pak může znamenat
například: změnu tlaku pro zvukové vlny, příčnou výchylku struny, amplitudu vlny na vodě
atd. My však místo pojmu napětí vystačíme s pojmem amplitudy vln, který v obecném
významu v podstatě odpovídá termínu napětí, a proto pojem amplitudy v tomto smyslu
považuji za dostatečně obecný. Je to proto, že stejné matematické vztahy, které popisují
příčnou vlnu, mohou popisovat i podélnou vlnu, například stlačení vzduchu v podélném
směru, které fyzikálně popisuje zvukové vlny.
Studujme sinusové vlny libovolné fyzikální povahy, které se šíří ve směru, který
budeme nazývat směrem x. Pro popis vln je vhodnější použít funkci cosinus než sinus. Funkce
cosinus je názornější, neboť interval 𝑥 ∈ 〈0,2𝜋〉 pro cos 𝑥 můžeme interpretovat jako
vzdálenost dvou po sobě jdoucích vrcholů-hřebenů vln. Také při použití zápisu v komplexním
tvaru je reálná část exponenciální funkce 𝑒 𝑖𝛼 rovna cos 𝛼.
Funkce sinus, respektive cosinus jsou definovány na celé nekonečné ose x. Tyto
funkce jsou ovšem periodické. My se však při studiu sinusových vln budeme v dalším
omezovat pouze na interval konečné délky L. A délka tohoto intervalu bude také délkou
nejdelší vlny, kterou budeme uvažovat. Bez omezení obecnosti můžeme na ose x zvolit takové
měřítko, aby nejdelší vlna, tedy sinusoida, kterou budeme uvažovat, jejíž perioda je 2𝜋 měla
skutečnou délku L. Délka intervalu v novém měřítku ve kterém vlny studujeme, pak bude
𝐿 = 2𝜋. Tato délka přísluší vlnovému číslu 𝑘 = 1. Tím se ve vztazích uvnitř goniometrických
funkcí zbavíme koeficientu 2𝜋⁄𝐿. Taková fyzikální realita vzniká v meteorologii, když
studujeme například nějakou funkci na celé rovnoběžce a délku po této rovnoběžce měříme v
radiánech. Taková funkce, i když není sinusová má periodu 2 .
Sinusové postupné vlny
Studium vln začněme nejjednodušším případem, příčnou sinusovou vlnou ležící
v rovině, pohybující se ve směru osy x. Studujme proto závislost výchylky 𝑢(𝑥, 𝑡)
libovolného bodu v čase t ve vzdálenosti x od počátku.
Sinusová vlna se v mechanice, například učebnici [2], je psána ve tvaru
𝑢 = 𝐴 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑)
(10.3.1)
165
kde
A- je konstantní veličina, kterou nazýváme amplituda vlny
t - je čas
x – vzdálenost ve směru šíření vlny
𝜔 - nazýváme úhlovou frekvencí nebo také kruhovou frekvencí
k – nazýváme vlnovým vektorem, nebo též fázovou konstantou
𝜑- konstanta nazývaná počáteční fází vlny
Vidíme, že veličina u, může být vyjádřena pomocí úhlu 𝜃
𝑢 = 𝐴 cos 𝜃
(10.3.2)
kde úhel 𝜃 je dán vztahem
𝜃 = 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑
(10.3.3)
Počáteční fázi vlny volíme obvykle rovnou nule, klademe tedy 𝜑 = 0.
Budeme-li studovat změnu výchylky v pevně daném bodě osy x, a tedy k x bude konstantní,
pak vztah (10.3.1) bude shodný se vztahem (10.1.4). Můžeme tedy říci, že výchylky budou
v každém bodě k x kmitat harmonicky se stejnou frekvencí a kmity mají také stejnou
amplitudu. Fázová konstanta však vzrůstá nebo klesá lineárně se vzdáleností podél osy x.
V každém jednotlivém okamžiku, tedy pro pevně zvolený čas t výchylky podél osy x mají
tvar sinusoidy.
Perioda T je nejkratší doba opakování stejné výchylky v daném bodě x, je tedy 𝑢(𝑥, 𝑡 + 𝑇) =
𝑢(𝑥, 𝑡) . Definice je tedy stejná jako pro lineární oscilátor. Obdobně najdeme vlnovou délku
jako minimální vzdálenost ∆𝑥 = 𝜆, při níž je v daném čase t stejná fáze a tudíž i stejná
výchylka. Převrácená hodnota periody T se nazývá frekvencí, kterou označme písmenem f.
Je tedy 𝑓 = 1⁄𝑇 a f je pak počet vrcholů vln, které projdou daným bodem za jednotku času.
Připomeňme, že mezi frekvencí a úhlovou frekvencí platí vztah
𝜔 = 2𝜋𝑓
(10.3.4)
Nyní si odvodíme fázovou rychlost vln, tedy rychlost jakou se vlny pohybují. Tu
odvodíme následující úvahou:
zvolme si pevně bod x. Když čas t vzroste o přírůstek ∆𝑡 změní se výchylka 𝑢(𝑥, 𝑡) na
novou hodnotu 𝑢(𝑥, 𝑡 + ∆𝑡) výchylky v ostatních bodech v okolí se rovněž změní a v jednom
z těchto bodů, řekněme v bodě 𝑧 + ∆𝑧, bude výchylka 𝑢(𝑧 + ∆𝑧, 𝑡 + ∆𝑡) rovna původní
výchylce 𝑢(𝑥, 𝑡) v bodě x. Výchylky 𝑢(𝑥, 𝑡) a 𝑢(𝑧 + ∆𝑧, 𝑡 + ∆𝑡) budou stejné, když
odpovídající fázové konstanty 𝜃 = 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 budou stejné, máme tedy
𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 = 𝜔(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑘(𝑥 + ∆𝑥)
(10.3.5)
Protože fáze je lineární funkcí proměnných t a x z předchozího vztahu máme 𝜔∆𝑡 = 𝑘∆𝑥
neboli
∆𝑥 𝜔
=
∆𝑡 𝑘
Přechodem k limitě máme
𝑑𝑥 𝜔
= =𝑐
𝑑𝑡 𝑘
(10.3.6)
Protože odvození platí pro libovolný bod x vyplývá z předchozího vztahu, že celý sinusový
profil se pohybuje nalevo nebo napravo rychlostí 𝑐, kterou nazýváme fázovou rychlostí vlny,
166
protože označuje rychlost pohybu bodu ve kterém má fázový úhel stejnou hodnotu. Tím, že
jsme ve fázovém úhlu napsali člen 𝑘𝑥 se znaménkem mínus, tedy −𝑘𝑥 způsobilo, že 𝑣 má
stejné znaménko jako k, takže sinusový profil se pohybuje ve směru zvětšující se souřadnice x
a pro kladnou hodnotu členu naopak. Fázovou rychlost proto píšeme ve tvaru ±𝑐. Tento
pohyb je znám jako sinusová postupná vlna. Ze známé fázové rychlosti vlny dostáváme
ihned vztah mezi periodou T a délkou vlny 𝝀 jednoduchý vztah
𝜆 = 𝑐𝑇
(10.3.7)
Počet vln k, na délce 2𝜋 se nazývá vlnočet, nebo obvykleji vlnové číslo. Je tedy
𝑘 = 2𝜋⁄𝜆,
neboli
𝑘𝜆 = 2𝜋
(10.4.8)
Všimněme si ještě dvou používaných zápisů sinusové vlny. Podle (10.3.5) máme že 𝜔 = 𝑘𝑐,
neboli 𝑘 = 𝜔⁄𝑐 a proto úhel 𝜃 můžeme psát ve tvaru
𝜃 = 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 = 𝜔(𝑡 − 𝑥⁄𝑐 ) = 𝑘(𝑐𝑡 − 𝑥)
(10.3.9)
Předchozí vztah vyjadřuje různé zápisy fáze vlny 𝜃. V meteorologii je používán zápis
sinusové vlny obvykle tvaru
𝑢 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑘(𝑥 − 𝑐𝑡)
(10.3.9)
Vlnová rovnice
V předchozím jsme viděli, že při vlnovém pohybu se nezávisle proměnné vyskytují
pouze v kombinacích 𝑟 ± 𝑐𝑡. Tento poznatek nám dovolí najít odpovídající diferenciální
rovnici vlnového pohybu.
Studujme nejdříve jednorozměrný případ. Výchylka vlny nechť je popsána závislostí
𝑢 = 𝑓(𝑥 − 𝑐𝑡)
(10.3.11)
Tento vztah derivujeme jako složenou funkci 𝑓(𝑠), kde 𝑠 = 𝑥 − 𝑐𝑡 podle x a také t. Máme
𝜕𝑢 𝑑𝑓 𝜕𝑠
𝜕𝑢 𝑑𝑓 𝜕𝑠
=
= 𝑓 ′,
=
= −𝑐𝑓′
𝜕𝑥 𝑑𝑠 𝜕𝑥
𝜕𝑡 𝑑𝑠 𝜕𝑡
(10.3.12)
Po druhém derivování máme
𝜕 2𝑢
𝜕 2𝑢
′′
=
𝑓
,
= 𝑐 2 𝑓 ′′
𝜕𝑥 2
𝜕𝑡 2
(10.2.13)
Srovnáním obou předchozích vztahů dostáváme vlnovou rovnici
𝜕 2𝑢 1 𝜕 2𝑢
−
=0
𝜕𝑥 2 𝑐 2 𝜕𝑡 2
(10.3.14)
Kdybychom místo řešení 𝑢 = 𝑓(𝑥 − 𝑐𝑡) vzali řešení 𝑢 = 𝑔(𝑥 + 𝑐𝑡) dostali bychom stejnou
vlnovou rovnici. Při změně c za −𝑐 se rovnice nezmění. Řešení vlnové rovnice ve tvaru
součtu 𝑢 = 𝑓(𝑥 − 𝑐𝑡) + 𝑔(𝑥 + 𝑐𝑡) pochází od J.d’Alamberta. Vlnová rovnice je lineární
parciální diferenciální rovnice druhého řádu hyperbolického typu. Obvykle se píše také ve
tvaru
2
2
𝜕 𝑢
𝜕 𝑢
2
=
𝑐
𝜕𝑡 2
𝜕𝑥 2
(10.32.15)
K terminologii parciálních diferenciálních rovnic poznamenejme následující: parciální
diferenciální rovnice druhého řádu se dvěma nezávislými proměnnými x, y je vztah mezi
167
těmito dvěma nezávislými proměnnými a prvními a druhými derivacemi neznámé funkce
𝑢(𝑥, 𝑦). Obvykle jsou studovány tak zvané kvasilineární rovnice. Ty mají tvar
𝑎11 𝑢𝑥𝑥 + 2𝑎12 𝑢𝑥𝑦 + 𝑎22 𝑢𝑦𝑦 + 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑢𝑥 , 𝑢𝑦 ) = 0
(10.3.16)
kde 𝑎11 , 𝑎12 , 𝑎22 jsou funkcemi nezávisle proměnných x, y.
Rovnice se nazývá lineární, když je ve tvaru
𝑎11 𝑢𝑥𝑥 + 2𝑎12 𝑢𝑥𝑦 + 𝑎22 𝑢𝑦𝑦 + 𝑏1 𝑢𝑥 + 𝑏2 𝑢𝑦 + 𝑐𝑢 + 𝑓 = 0
(10.3.17)
kde koeficienty derivací a, b, c i funkce f jsou funkcemi pouze proměnných x, y. Lineární
rovnice se nazývá homogenní, jestliže 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0. Homogenní rovnici se často, z hlediska
matematiky nesprávně, říká rovnice bez pravé strany, protože každá rovnice má dvě strany i
když jedna strana může být nulová. Jestliže koeficienty a, b, c jsou konstanty, říkáme, že
rovnice je s konstantními koeficienty.
Homogenní lineární parciální diferenciální rovnice má tu vlastnost, že násobek řešení
konstantou zůstává řešením této rovnice a také součet dvou řešení této rovnice je rovněž
řešením této rovnice. Z toho plyne, že také lineární kombinace dvou řešení homogenní
rovnice je rovněž řešením této rovnice. Tuto vlastnost má tedy i vlnová rovnice, neboť je
lineární a homogenní.
Řešení vlnové rovnice v komplexním tvaru
Řešení rovnice (10.32.15) se pokusíme obdobně jako pro rovnici lineárního oscilátoru
hledat ve tvaru exponenciály s imaginárním exponentem. Tedy ve tvaru
𝑢 = 𝐴𝑒 𝑖𝜃 = 𝐴𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥)
(10.3.18)
Kde amplituda A je obecně komplexní konstanta. Druhé parciální derivace u pak jsou rovny
𝜕 2𝑢
𝜕 2𝑢
2
𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥)
=
−𝜔
𝐴𝑒
,
= −𝑘 2 𝐴𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥)
𝜕𝑡 2
𝜕𝑥 2
(10.3.19)
Dosadíme-li tyto vztahy do vlnové rovnice (10.3.15) dostaneme
𝜔2 𝐴𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥) = 𝑐 2 𝑘 2 𝐴𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥)
(10.3.20)
Tato rovnice pro komplexní hodnoty nám vlastně představuje dvě rovnosti jednu pro reálnou
část a druhou pro imaginární část. Je-li tedy splněna podmínka
𝜔2 = 𝑐 2 𝑘 2
(10.3.21)
Jsou obě části (10.3.18) reálná i imaginární jsou řešením řešením vlnové rovnice (10.3.15).
Pro reálné hodnoty výchylky u píšeme řešení obvykle ve tvaru
𝑢 = 𝑅𝑒 (𝐴𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥) )
(10.3.22)
kde ovšem musí být splněna podmínka (10.3.21). Vztah (10.3.21) je po odmocnění ovšem
splněn ve dvou případech
𝜔 = ±𝑐𝑘
(10.3.23)
Dostáváme tak dvě řešení, která se pohybují opačným směrem.
Závěrem můžeme říci, že jednou z nejdůležitějších vlastností vlnové rovnice spočívá v tom,
že je lineární a homogenní a proto každá libovolná lineární kombinace je opět řešením této
rovnice. Proto řešení této rovnice můžeme vyjádřit pomocí Fourierovy řady, což je základem
spektrálních meto používaných v meteorologii.
168
Vlny šířící se v rovině a prostoru
Zatím jsme studovali jednorozměrný případ, kdy vlny se šířily ve směru osy x.
Veličina 𝑡 − 𝑥/𝑐 nazývaná fází vlny určovala výchylku 𝑢(𝑥, 𝑡) v bodě x v čase t. Označme
𝑡0 − 𝑥0 /𝑐 fázi v bodě 𝑥0 v čase 𝑡0 . Ve všech bodech a ve všech časech pro které platí vztah
𝑡 − 𝑥⁄𝑐 = 𝑡0 − 𝑥0 ⁄𝑐 bude fáze stejná. Pro vlny stejné fáze, které nazýváme vlnoplochy a
tedy i výchylka 𝑢(𝑥, 𝑡) bude stejná. V čase 𝑡0 je 𝑥 = 𝑥0 , je rovnice roviny procházející
bodem 𝑥0 kolmé k ose x. V jednorozměrném případě vlnoplochy jsou roviny posouvající s e
v prostoru as fázovou rychlostí c.
Tuto úvahu nyní zobecníme na dvojrozměrný případ potřebný pro meteorologii, i když
takové zobecnění platí i pro třírozměrný případ. Pro jednoduchost zápisu, nechť v čase 𝑡 = 𝑡0
uvažujme vlnu vycházející z počátku souřadnic O. Nechť n je jednotkový vektor, který určuje
libovolný směr přímky vycházející z počátku souřadnic.
Vlnové číslo je převrácená hodnota délky vlny, neboli počet vln na jednotku délky ve směru
šíření vlny (pohybu vlny). V meteorologii je používáno planetární vlnové číslo k, což je počet
vln na délce celé rovnoběžky: 𝑘 = (2𝜋𝑎 cos 𝜑)⁄𝜆 , kde 𝜆 je délka vlny, 𝜑 zeměpisná šířka a
kde a je poloměr Země.
Sférická vlna
Tekutiny, tedy plyny a kapaliny, a tedy i atmosféra, se vyznačují tím, že jejich
vlastnosti jsou ve všech směrech stejné, což se označuje termínem izotropie. V izotropních
prostředích se rozruch šíři ve všech směrech stejně, proto amplituda 𝑢(𝐫, t) v daném čase t
v daném bodě, (jehož průvodičem je vektor 𝐫 = (𝑥, 𝑦)) závisí pouze na absolutní vzdálenosti.
Šíření vlny vycházející z počátku souřadnic pak závisí pouze na vzdálenosti 𝑟 = |𝐫| =
√𝑥 2 + 𝑦 2 od místa rozruchu. Rozruch se bude šířit v kruzích. Vlnoplochy budou
koncentrické kruhy rozpínající se (šíří se ) fázovou rychlostí c.
Literatura
[1] Holton James R.: An introduction to Dynamic Meteorology, Academic Press New York
and London 1972
[2] Kvasnica Josef a kolektiv: Mechanika, ACADEMIA PRAHA 1988
[3] Main Iain G.: Kmity a vlny ve fyzice. Academia Praha 1990
[4] Pierce J.: Almost all about Waves, The MIT Press Cambridge, Massachusetts and London
1974
[5] Pontrjagin L. S.: Obyknovennyje differencialnye urovnenija. Gosudarstvennoe izdatelstvo
fiziko-matematičeskoj literatury. Moskva 1961.
[6] Tichonov A. N., Vasiljeva A. B. Svešnikov A. G.: Differenciálnyje urovnenija, Nauka
1985.
169
11. Časová integrační schémata a jejich aplikace na rovnici
lineárního oscilátoru a tření
V této kapitole se budeme zabývat řešením obyčejných diferenciálních rovnic s jednou
neznámou funkcí jedné nezávisle proměnné – času t. Tato úloha je jakýmsi prototypem pro
časovou integraci evolučních úloh pro parciální diferenciální rovnice prognostických modelů.
Znalost vlastností časových schémat pro numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic
se pak využijí při formulací řešení parciálních diferenciálních rovnic. Zvláštní zájem pro nás
tvoří rovnice volných netlumených kmitů i obecnější rovnice kmitů s útlumem, nebo přímo
rovnice útlumu, kterou budeme nazývat rovnicí tření.
Je zajímavé, že při řešení evolučních rovnic v meteorologii se prakticky používají
stejná časová schémata nezávisle na tom, jaká aproximace se používá pro výpočet derivací
podle prostorových proměnných. Ať jsou to aproximace diferenční, spektrální, či konečné
elementy.
Další charakteristickou vlastností při aproximaci těchto rovnic je použití relativně
jednoduchých časových schémat. Pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic existují velmi
přesné metody, ve smyslu vysokého řádu aproximace. V tomto případě je dosažena vysoká
přesnost numerického řešení i při relativně dlouhém časovém integračním kroku. To však při
časové integraci parciálních diferenciálních rovnic nepřichází v úvahu. Rozhodujícím
faktorem pro délku časového integračního kroku je stabilita schématu. Ta drastickým
způsobem omezuje délku časového kroku, zejména při použití explicitních schémat. Ale ani
při použití semi-implicitních schémat se délka integračních kroků dostatečně neprodlouží. To
způsobují nelineární členy zejména advekce, které jsou aproximovány vždy v podstatě
explicitně. Win-Nielsen kdysi odhadoval chyby, které vznikají při aproximaci
meteorologických prognostických modelů, a přišel k závěru, že největší chyby v řešení jsou
dány aproximací podle horizontálních proměnných, obvykle označovaných x, y, nebo  ,  . O
řád menší chyby vznikají při aproximaci na vertikální ose, kde jako nezávisle proměnná je
tlak p, nebo od něj odvozená proměnná kopírující terén, například  a  . Nakonec ještě
nejméně o řád menší chybu způsobuje časové schéma. Při použití semi-impliciních metod
zejména v kombinaci se semi-Lagrangeovskou aproximací nelineárních členů by realizace
složitých časových schémat byla zbytečně složitou a nezvýšila by efektivnost metody.
Moderní numerické postupy se proto zaměřily zejména na odstranění vzniku té největší
chyby, tedy aproximace v horizontální rovině, ve které se místo diferenční aproximace
používá často spektrální metoda.
Časová schémata pro obyčejnou diferenciální rovnici
Studujme proto nyní numerické řešení obyčejné diferenciální rovnice
dU
(11.1)
 f U ,t 
dt
kde řešení této rovnice U  U t  je funkcí času t. Časovou osu rozdělíme na intervaly stejné
délky t . Označme U n  přibližnou hodnotu U v čase nt . Předpokládejme, že známe
hodnoty U n  ,U n1 , ... a chceme sestrojit schéma pro výpočet hodnoty U n1 . Pro výpočet
170
této hodnoty máme mnoho možností. Začneme se studiem nejjednodušších dvou-hladinových
schémat.
.
Dvou-hladinová schémata
(anglicky two level schemes) jsou schémata, která pro výpočet hodnoty U n1 v časové
hladině n  1 potřebují pouze hodnoty v časové hladině n a n  1 . Řešení diferenciální
rovnice je určeno počáteční podmínkou, kterou je hodnota U  U 0  v čase t  0 . V prvním
kroku integrace lze proto použít pouze dvou-hladinové schéma.
Přesný vztah pro řešení jednoho kroku diferenciální rovnice je
U
 n 1
U
n 
 n 1t

 f U ,t dt
(11.2)
nt
Jako první studujme tři schémata, která nepoužívají iterace. Jsou to
Eulerovo schéma (anglicky forward scheme) které je dáno vztahy
U n1  U n   t f n  , kde f n   f U n  , nt


(11.3)
Toto schéma je prvního řádu přesnosti ot  . Aproximace integrálu je dána plochou
obdélníka se stranami t , f n  . Je to schéma „vpřed“ nepoužívající centrální diferenci.
Zpětné implicitní schéma (anglicky backward scheme) je dáno vztahem
U n1  U n   t f n1 , kde f n1  f U n1 , n  1t


(11.4)
Jestliže hodnota f n 1 je závislá na hodnotě U n1 , nazývá se takové schéma implicitní.
V případě obyčejné diferenciální rovnice je třeba vyřešit rovnici pro hodnotu U n1 , což
nemusí být velký problém. V případě parciálních diferenciálních rovnic to vyžaduje řešit
velkou soustavu rovnic, o počtu rovnic, který je počtem uzlových bodů oblasti řešení.
Většinou se jedná o soustavy rovnic řádu tisíců neznámých. Jestliže v diferenční rovnici
veličina f nezávisí na U n1 , pak schéma nazýváme explicitním schématem. Chyba
aproximace zpětného implicitního schématu je rovněž prvního řádu, tedy ot  .
Lichoběžníkové schéma (anglicky trapeziodal scheme)
Jestliže integrál ve vztahu (1.2) aproximujeme plochou lichoběžníka, jehož střední příčka má
délku f n   f n1 / 2 a výška je t dostáváme schéma


t n 
(11.5)
f  f n 1
2
Toto schéma je implicitní, ale na rozdíl od předchozích je druhého řádu přesnosti, tedy o t 2
U n 1  U n  


 
Další skupinou schémat, kterou se budeme nyní zabývat, jsou schémata s iterací.
Důvodem pro jejich studium jsou jejich vlastnosti. Nejde zde pouze o zvýšení přesnosti, ale
jak uvidíme dále zejména otázky stability při jejich použití. Tyto metody se také nazývají
metodami prediktor – korektor. Jsou zde uvedeny dvě schémata napsaná ve tvaru prediktor
korektor a to Matsunovo schéma a Heunovo schéma. Po dosazení korektoru do prediktoru zde
dostáváme jednokroková chémata, korektor zde není použit pro několik iterací, takže tyto
schémata skutečnými schématy prediktor - korektor valstně nejsou.
Matsunovo schéma (Nebo též Eulerovo schéma s iterací), (anglicky Euler-backward scheme)
171
Prvním krokem tohoto schématu je obyčejné Eulerovo schéma. Hodnotu U, kterou tímto
schématem dostaneme, označme U n1 * a použijeme ji pro výpočet přibližné hodnoty
f n1 * . Tuto přibližnou hodnotu f n1 * pak použijeme místo hodnoty f n 1 ve zpětném
implicitním schématu. Tímto trikem se z původně implicitního schématu stává explicitní
schéma. Dostáváme tedy dvou-krokové schéma
U n1*  U n   t f n 
U n1  U n   t f n1 *

(11.6)

f n1*  f U n1 * ,n  1t
které je prvního řádu přesnosti.
Heunovo schéma
Je to schéma definované analogickým způsobem jako Matsunovo schéma. Druhým krokem je
však obdoba lichoběžníkového schématu
kde
U n1*  U n   t f n 
U n1  U n  

1
t f n   f n1 *
2

(11.7)
schéma je druhého řádu přesnosti.
Tří-hladinová schémata
(anglicky three level schemes)
S výjimkou prvního kroku časové integrace si můžeme pro další kroky uschovat
hodnotu U n1 a pomocí ní konstruovat tříhladinová schémata. Tato schémata mohou být
formulována jako aproximace vztahu
U
n 1
U
n 1
n 1t

 f U ,t  dt
(11.8)
n 1t
kde použijeme hodnotu U n1 pro zvýšení přesnosti aproximace f.
Schéma s centrální diferencí (angl. leapfrog scheme)
(Pro anglicky termín „leapfrog schneme“, navrhuji česky termín „obkročné schéma“,
protože tento termín věcně odpovídá anglickému významu i samotné funkci schématu. Dosud
používaný opis „schéma s centrální diferencí pole času“ je příliš dlouhý.)
Nejjednodušším způsobem, jak dostaneme přesnější odhad integrálu (11.8) že za hodnotu f
vezmeme hodnotu ve středu intervalu délky 2t . Schéma s centrální diferencí můžeme
napsat ve tvaru
U n1  U n1  2t f n 
(11.9)
t
Toto schéma můžeme zapsat také ve stručném tvaru zápisu diferencí  tU  f . Schéma je
 
tedy druhého řádu přesnosti o t 2 . V současné době je to jedno z nejpoužívanějších schémat
v numerických předpovědních modelech.
Adams-Bashforthovo schéma
V atmosférických modelech se používá zjednodušená varianta originálního AdamsBashforthova schématu. Tuto variantu schématu dostaneme tak, že aproximaci hodnoty f ve
172
středovém bodě intervalu
nt ,n  1t 
v integrálu (11.2) vypočteme pomocí lineární
extrapolace z hodnot v předcházejících časových hladinách. Dojdeme tak ke vztahu
1
3

(11.10)
U n1  U n   t  f n   f n 1 
2
2

Schéma je rovněž druhého řádu přesnosti.
Tímto jsme zdaleka nevyčerpali možnosti různých časových schémat. Dají se studovat
například více-hladinová schémata, nejen pouze tří-hladinová. Předchozí formulace byla
zatím značně obecná, proto nemohla zahrnout některá schémata, která jsou formulována
pouze pro některé konkrétní rovnice. Omezili jsme se pouze na základní používaná schémata
uvedená v učebnici [1]. Rozsáhlejší studii lze nalézt v článku [2] Younga (1968).
Vlastnosti časových schémat pro rovnici kmitů
Problémem, kterým se budeme nyní zabývat, jsou vlastnosti již prezentovaných
časových schémat pro řešení rovnice volných netlumených kmitů, tedy rovnici lineárního
oscilátoru. Zajímá nás především stabilita schémat. Volbou této úlohy je dána pravá strana
diferenciální rovnice (11.1). Tato rovnice pro komplexní funkci U reálné proměnné t má tvar
(10.17). Pravá strana rovnice je tedy f  iU . Rovnice kterou budeme numericky řešit je
tedy
dU
(11.11)
 iU , kde U  U t 
dt
Důvod, proč studujeme řešení této rovnice, můžeme prezentovat následujícími příklady:
Harmonická složka


ux ,t   Re U t e ikx
je řešením lineární rovnice advekce (lineární vlnové rovnice)
u
u
kde c je konstanta
c
0
t
x
jestliže komplexní amplituda U t  splňuje rovnici
dU
 ikcU  0
dt
což je rovnice lineárního oscilátoru, kde   kc .
Jako jiný jednoduchý příklad můžeme uvést zrychlení a Coriolisovy členy v horizontálních
složkách pohybových rovnic atmosféry, které jsou
du
dv
 fv ,
 fu , kde f je Coriolisův parametr.
dt
dt
Položíme-li
U  u  iv
pak obě předchozí rovnice můžeme napsat ve tvaru
dU
 ifU
dt
což je také rovnice lineárního oscilátoru (2.1) kde    f
Další a obecnější příklady popisující vlnové pohyby atmosféry, které souvisí s rovnicí kmitů
lze nalézt v článku [2] J. Younga.
173
Obecné řešení rovnice (11.1) má tvar
U t   U 0e it
Pro diskrétní hodnoty t  nt dostáváme
(11.12)
U nt   U 0e in t
Vidíme tedy, že v komplexní rovině argument řešení se při každém kroku zvětšuje o úhel
t , zatímco jeho amplituda se nemění. Řešení tedy leží na kružnici o poloměru absolutní
hodnoty amplitudy U .
Vlastnosti různých schémat aplikovaných na rovnici (11.1) budeme analyzovat
pomocí metody von Neumanna. Tato metoda, jak z předchozího víme, definuje proměnnou 
pomocí vztahu
(11.13)
U n1  U n 
 napíšeme nyní ve tvaru
   e i
(11.14)
Numerické řešení můžeme takto napsat ve tvaru
U n    U 0e in
n
(11.15)
Z předchozího vztahu (11.15) vidíme, že  je změna fáze numerického řešení v každém
časovém kroku. Protože víme, že amplituda přesného řešení se nemění, budeme pro stabilitu
výpočtu požadovat, aby   1 V souvislosti s tím budeme říkat, že schéma je:
Nestabilní, nebo též instabilní, když  >1
 1
Neutrální,
když
Disipativní,
když   1
Můžeme také porovnat změny fáze  numerického řešení se změnou fáze přesného řešení
která je t . Poměr těchto fázových změn  / t je relativní fázová změna numerického
řešení. Řekneme, že schéma:
Je zrychlující
>1

Nemění fázovou rychlost, když
=1
 t
Je zpomalující
<1
Pro zajištění vysoké přesnosti schématu je nutné, aby koeficient přechodu  i relativní
fázová změna měly hodnotu blízkou jedné. Výjimku tvoří tak zvaný „početní modus“ (angl.
computational modes), což uvidíme dále, který se objevuje jako nesprávná superpozice
fyzikálního řešení. Takováto řešení pak nekonvergují k přesnému řešení, když délka
prostorového i časového kroku se blíží k nule. Jestliže takováto řešení existují, pak každé
z nich bude mít vlastní hodnotu koeficientu přechodu. Protože tato řešení nejsou přiblížením
k přesnému řešení, je žádoucí, aby jejich amplituda byla co možná nejmenší, což znamená, že
jejich koeficient přechodu musí být menší než jedna.
Studujme nyní vlastnosti již popsaných schémat.
Dvouhladinová neiterační schémata shrneme do jediné diferenční rovnice
U n1  U n   t  f n    f n1
(11.16)


174
ve kterém je     1 . V tomto případě je toto schéma pro   1,   0 Eulerovým
schématem, pro   0,   1 zpětným implicitním schématem a pro     1/ 2 dostáváme
lichoběžníkové schéma. Aplikujeme-li toto schéma na oscilační rovnici, máme
(11.17)
U n1  U n   it U n   U n1


Pro zkrácení zápisu položme ještě
p  t
(11.18)
Nejdříve jako zvláštní případ vyšetříme stabilitu Eulerova schématu
U n1  1  ip U n 
(11.19)
odkud vidíme, že   1  ip odkud
  1 p2
(11.20)
a tedy Eulerovo schéma je pro rovnici kmitů vždy nestabilní.
Abychom vyšetřili stabilitu schémat v závislosti na parametrech  ,  zápis schématu
(11.17) upravíme následujícím způsobem. Zavedeme nový parametr  , který vyjadřuje tak
zvaný, anglicky „decentring“, který s parametry  ,  souvisí vztahy
1 
1 
, 
(11.21)
2
2
kde  leží v intervalu 0    1 . Z toho plyne, že v tomto případě volby  leží hodnoty  v
intervalu 0    1 / 2 a  leží v intervalu 1 / 2    1 . Pro   0 dostáváme lichoběžníkové

schéma a pro   1 zpětné implicitní schéma. Nyní přepišme schéma v našem novém
označení. Máme
 1   n  1   n1 
(11.22)
U n1  U n   ip 
U 
U

2
 2

Pro zjištění stability a vlastností schématu si vyjádříme hodnotu  . Rovnici (11.21) vyřešíme
vzhledem k U n1 . Dostáváme tak
1 
1 i
p
 n 1
2
U

U n 
(11.23)
1 
1 i
p
2
Máme tedy
1 
1 i
p
2

1 
1 i
p
2
Po odstranění imaginární části jmenovatele máme
1
1   
1  


p 1  i
p
1  i
2
2
2


1   2 
1 
 p
 2 
Po provedení součinu na pravé straně dostáváme
175

1
1   2
1 
 p
 2 
2
 1  2 2

1 
p  ip 
4


(11.24)
Odtud již máme

 1  2 2 1  2
1 
 
p 
2
2
16
 1    2 
1 
 p
 2 
Což můžeme dále upravit do tvaru
1

 1  2 2 1  2
1 
 
p 
2
2
16
1



 2 
1 
 p
 2 
1

2

p 



2

p4  p2 


1/ 2
1/ 2
4
nebo též

 1  2 2 1  2
1 
 
p 
2
2
16
 1    2 
1 
 p
 2 
1

2
1   

2 2
p4
16
1   

2 2
p4
16

p4 


1/ 2
a tedy
1
 
1   2 p 2
1
4

2
 1   2
1  2
2
 1 

p


 
4
16



2
1   

2 2
p
4
16

p 


1/ 2
4
a konečně
1/ 2
2
 1  2
1
 2 4 
2

1 
(11.25)
 
p  
p
2

4
4

1    2  


1
p
4
Ze vztahu (11.23) vidíme, že pro 0    1 je   1 implicitní schéma je vždy stabilní,
nezávisle na výběru velikosti t . Taková schémata nazýváme nepodmíněně stabilní, (angl.
unconditionally stable). Dosadíme-li pro lichoběžníkové schéma do (11.25)   0 dostáváme
 1
(11.26)
což znamená, že lichoběžníkové schéma je neutrální, a nemění tedy amplitudu kmitů. Pro
hodnoty   0 je   1 a schéma je disipativní. Velikost disipace se zvětšuje se zvětšující se
frekvencí  . Taková vlastnost schématu je často žádoucí. Můžeme si například představit
systém, v němž se zároveň vyskytuje velké množství frekvencí. Takovýto jev se vyskytuje i
v reálné atmosféře. Je však nutné, aby tato frekvence zachovávaly správné proporce. Proto se
ukazuje často užitečným zmenšit amplitudy kmitů s vysokou frekvencí, které tvoří ve spektru
frekvencí nežádoucí šum. Pro meteorologické úlohy se proto tato schémata používají
k potlačení nežádoucích krátkých vln, například i gravitačních vln nereálně velké amplitudy.
Velikost disipace je dána absolutní hodnotou  , jejíž velikost je určena parametrem
176
„decentringu“  . Pro   1 dostáváme zpětné implicitní schéma, jehož disipace je největší.
Dosazením   1 do (11.25) pro zpětné implicitní schéma dostáváme
  1  p 2 
1 / 2
(11.27)
Parametrem „decentringu“  můžeme tedy si velikost disipace optimálně zvolit, jak
potřebujeme.
Iterační dvou-hladinová schémata
Podobně jako pro dvou-hladinová schémata i zde napíšeme tato schémata do jednoho
a to následujícího vztahu
U n1*  U n   t f n 

U n1  U n   t  f n    f n1

(11.28)
   1
Pro   0,   1 obdržíme Matsunovo schéma a pro     1/ 2 dostáváme Heunovo
schéma.
Aplikujeme-li nyní toto schéma na rovnici lineárního oscilátoru (2.1) dostáváme
U n1*  U n   itU n 
U n1  U n   it U n   U n1 * 
(11.29)
Z těchto vztahů eliminujeme U n1 * a pro zkrácení zápisu použijeme (2.8), máme


U n1  1   p 2  i p U n 
a tedy
  1  p  i p
(11.30)
  1 p2  i p
(11.31)
Pro Matsunovo schéma je
Pro Heunovo schéma
1 2
p i p
2
Pro vyšetření stability odhadneme  . Pro Matsunovo schéma dostáváme
  1
  1  p 2  p 4 
1/ 2
(11.32)
(11.33)
Schéma je stabilní, když p  1, jinak řečeno, aby schéma bylo stabilní, musíme délku
časového kroku t vybrat dostatečně malou, tak aby
1
t 

(11.34)
Matsunovo schéma je tedy podmíněně stabilní. Čím větší bude frekvence, tím větší omezení
je na délku časového kroku.
Derivujeme-li (11.33) dostaneme, že
d
p
1  2 p 2 

dp 1  p 2  p 4 1 / 2
177
Z tohoto vztahu plyne, že koeficient přechodu pro Mtsunovo schéma má minimum pro
p  1/ 2 . Matsuno v článku [6] poznamenává, že pro systémy obsahující velký počet
frekvencí můžeme časový krok vybrat tak, aby byla splněna podmínka 0<p<1/ 2 pro
všechny vyskytující se frekvence. V tomto případě bude schéma potlačovat amplitudu
vysokých frekvencí, podobně jako zpětné implicitní schéma. Matsuno toto schéma úspěšně
použil pro integraci meteorologického modelu. Výhodou tohoto schématu je, že je explicitní,
je však pouze prvního řádu.
Pro Heunovo schéma máme
1/ 2
 1 
  1  p 4 
(11.35)
 4 
a vidíme, tato veličina je vždy větší než jedna, proto Heunovo schéma, stejně tak jako
Eulerovo schéma je pro rovnici kmitů vždy instabilní. Po rozvinutí vztahu (11.35) v řadu
1
  1  p 4  .... vidíme, že rychlost růstu řešení je menší, než u Eulerova schématu,
8
nicméně řešení roste.
Z dosud studovaných dvou-hladinových schémat bylo pro rovnici kmitů stabilní
pouze jedno explicitní schéma a to Matsunovo a schémata implicitní.
Zajímavé je též studium změny fáze  a také relativní fázovou změnu.  / p , kde
připomeňme, že p  t .
Označíme-li
  re  i im
(11.37)
im
re
(11.38)
máme
  arctg
odkud

p


1
arctg im
p
re
(11.39)
Pro Eulerovo a zpětné implicitní schéma je možné pomocí vztahů (11.21) a (11.22) dostat pro
relativní fázovou změnu následující vztah
 1
(11.40)
 arctg p
p p
Protože pravá strana rovnosti je vždy menší než jedna, docházíme k závěru, že obě schémata
zpomalují pohyb vln. Pro p  1 máme  / p   / 4 .
Pro ostatní schémata není efekt změny fáze tak jasný. Analýza fázových chyb není ve
srovnání s analýzou změny amplitudy, kde jde o stabilitu výpočtu tak důležitá.
Tří-hladinová schémata a početní modus
Studujme nejdříve schéma s centrální diferencí podle času, neboli obkročné schéma.
Aplikujeme-li toto schéma na rovnici oscilací, dostaneme
U n1  U n1  2 i t U n 
(11.42)
178
Pro výpočet pomocí tohoto schématu potřebujeme více, než jednu počáteční podmínku.
Zatímco z fyzikálního i matematického hlediska pro jednoznačné určení řešení diferenciální
rovnice potřebujeme pouze jednu počáteční podmínku. Tato přirozená počáteční podmínka je
zadání hodnoty U 0  . Jako doplňující informaci potřebuje tří-hladinové schéma ještě hodnotu
U 1 . Tuto hodnotu nemůžeme vypočítat pomocí tří-hladinového schématu, proto jej musíme
určit pomocí některého z dvou-hladinových schémat. V souladu s (11.13) můžeme řešení
diferenční rovnice (11.42) psát
U n   U n1 , U n1  2U n1
(11.43)
Dosadíme-li tyto vztahy do (11.42) dostaneme pro  kvadratickou rovnici
2  2ip  1  0
Řešení této rovnice jsou
1  1  p 2  i p
2   1  p 2  ip
(11.44)
n 1
n 
Existují tedy dvě řešení diferenční rovnice ve tvaru U
 U . To je důsledkem toho, že
studujeme tří-hladinové schéma. Podívejme se nyní na obě řešení  kvadratické rovnice.
Jestliže řešení tvaru U n1  U n  je přibližným řešením přesného řešení pak pro t  0 se
musí   1. Pro hodnoty (11.44) je p  t  0 a my skutečně máme, že 1  1 , zatímco
2  1 . Řešení diferenční rovnice spojené s hodnotou 1 se nazývá fyzikální modus,
zatímco řešení s hodnotou  2 nazýváme početní modus.
Pro objasnění této skutečnosti studujme následující jednoduchý případ., když   0 . Rovnice
má v tomto případě tvar
dU
0
(11.45)
dt
Přesným řešením diferenciální rovnice je v tomto případě
U  const .
(11.46)
Aplikujeme-li na tuto rovnici schéma s centrální diferencí, dostaneme
U n1  U n1
(11.47)
2
Všimněme si, že kvadratická rovnice pro  má jednoduchý tvar   1 a řešení jsou tedy
1  1 a 2  1 .
Zadáme-li fyzikální počáteční podmínku U 0  , studujme dvě možná zadání hodnoty U 1
1. Předpokládejme, že hodnota U 1 je rovna přesné hodnotě, tedy počáteční hodnotě
U 0  Podle vztahu (11.47) dostáváme pro všechna n
U n1  U n  .
Vidíme, že v tomto případě je
U n1  1U n 
a tedy 1  1 , dostáváme tak numerické řešení, které je přesným řešením. Toto řešení se
skládá pouze z fyzikálního modu
2. Zvolíme-li hodnotu U 1  U 0  , potom pro všechna n máme
U n1  U n 
179
neboli
U n1  2U n 
V tomto případě se numerické řešení skládá pouze z početního modu.
Obecné řešení rovnice lineárního oscilátoru (11.11) pomocí schématu s centrální
diferencí podle času (11.42) je lineární kombinací obou modů, žádoucího fyzikálního modu i
nežádoucího početního modu. Jejich výskyt v řešení, závisí na doplňující počáteční podmínce
U 1 . Ideální by bylo, kdybychom U 1 uměli zvolit tak, aby řešení neobsahovalo početní
modus. V tomto případě bychom dostali správné fyzikální řešení. To ovšem tak není.
Hodnotu U 1 obvykle počítáme pomocí některého z časově dvou-hladinových schémat,
nejčastěji pomocí Eulerova explicitního schématu a řešení pak obsahuje početní vždy modus,
i když malé amplitudy. Ale i kdybychom uměli zvolit U 1 , tak, že by řešení početní modus
neobsahoval, dostal by se do řešení zaokrouhlovacími chybami, neboť výpočty na počítači
mají jen omezenou přesnost. Poznamenejme, že při výpočtech na obvyklých personálních
počítačích (PC) s dvojnou přesností má mantisa obvykle 16 dekadických desetinných míst.
Početní modus by se tak během časové integrace do řešení vždy dostal, i když je známo, že
zaokrouhlovací chyby při řešení rovnic atmosférických modelů nemají na výsledky významný
vliv.
Studujme nyní stabilitu schématu. Vezmeme-li do úvahy skutečnost, že řešením
schématu (11.42) je lineární kombinace obou módů a početní modus z výpočtu odstranit
nemůžeme, je třeba, aby koeficienty přechodu obou módů nebyly v absolutní hodnotě větší
než jedna. Proto musíme studovat tři případy:
2
1. p  1 . Ve vztazích (11.44) je pak rozdíl 1  p 2 kladený, odmocnina 1  p reálná a tedy
1  2  1
(11.50)
V tomto případě jsou oba módy neutrální a tedy stabilní. Změna fáze, která je dána vztahem
(11.38) nám pro jednotlivé módy dává



 1 p2 


1  arctg 
p
(11.51)



 1 p2 


Je proto účelné studovat chování změny fází  jakožto funkci p zejména když p  0 .
 2  arctg  
p
Studujme napřed případ kdy p  0 . Protože pro oba módy je imaginární část rovna
im   sin   p a je tedy kladná leží  v intervalu 0     . Reálná část je podle (11.44)
rovna re   1  p 2 . Ze znaménka této veličiny máme, že 0  1   / 2 a  / 2   2   .
Ze vztahů (11.51) máme tg 2  tg1  tg   1  , odkud vzhledem k tomu, že 0    
je  2    1 . Charakteristické je, že pro p  0 se 1  p , zatímco  2    p . Pro malá
t aproximuje tedy fyzikální modus přesné řešení, početní modus se chová jinak. V případě,
že p  0 můžeme obdobně dostat, že  2    1 , což můžeme shrnout do vztahu
180
 2    1
(11.52)
Abychom dosáhli přesnost fyzikálního módu  1 je
aproximoval změnu fáze přesného řešení. Rozvineme-li
řadu, dostaneme
1
1  p  p 3  ....
6
Vidíme, že schéma s centrovanou diferencí podle času
hodnoty p je schéma dostatečně přesné. Pro hodnoty
Derivujeme-li první výraz (11.51), dostáváme
d1
1

dp
1 p2
třeba, aby pokud možno přesně
první výraz v (11.51) v mocninnou
zrychluje vlnový pohyb. Pro malé
p  1 chyby však rychle rostou.
vidíme, že fázová chyba pro p  1 rychle roste, když 1 / p   / 2 .
Abychom ilustrovali chování obou dvou módů, dostáváme v komplexní- Gaussově rovině
U1
n 
0 
 U1 e in1 ,
U2
n 
0 
 U 2 e in 1 
(11.53)
Chování obou módů si ilustrujeme na případu, kdy 1   / 8 a kdy pro jednoduchost
v počátečním momentu je imaginární část řešení rovna nule. Fyzikální modus se v každém
kroku otáčí v kladném směru o úhel  1 , zatímco početní modus se v případě p>0 otáčí o úhel
  1 .
Detailní znalost o chování početního módu je užitečná pro zjištění jejího výskytu při
časové integraci. Proto si zobrazíme reálnou a imaginární část početní módy jako funkce času.
Za tímto účelem si vztah (11.53) přepíšeme do následujícího tvaru
U2
n 
  1 U 2
n
0 
cos n1  i sin n1 
Vzhledem k činiteli  1 vidíme, že reálná i imaginární část početního módu krok od kroku
n
oscilují. Podle toho výskyt početního módu v řešení snadno identifikujeme.
2. p  1 . Je to limitní případ řešení studovaný pro p  1 . Ze vztahu (11.44) vidíme, že obě
módy se sobě rovnají a je
1  2  ip
a v důsledku toho je
1  2  1
(11.54)
Oba módy jsou tedy neutrální. Protože ani jeden z nich nemá reálnou část, je p  1
dostáváme
1   2   / 2
(11.55)
Oba módy můžou být napsány ve tvaru
U n   U 0 e in / 2
(11.56)
V komplexní rovině se v každém časovém kroku otáčejí o úhel   / 2 , zatímco přesné řešení
se otáčí o úhel  1 . Proto chyba fáze je v tomto případě velká.
3. p  1 Obě hodnoty  ve výrazech (11.44) mají pouze imaginární část, je tedy


1  i p  p 2  1 ,

2  i p  p 2  1

181
Máme tedy 1  1 pro p  1 a 2  1 pro p  1 . Tedy pro p  1 je schéma s centrální
diferencí podle času insatbilní.
Klady tohoto schématu spočívají v jeho jednoduchosti, druhého řádu přesnosti a neutrálnosti
v oblasti stability t  1 . Jeho nedostatkem je existence neutrálního početního módu. Pro
nelineární úlohy jeví schéma tendenci k pomalému růstu početního módu.
Na závěr studia stability schémat pro rovnice lineárního oscilátoru si uvedeme schéma
Adamas-Bahforta
1
3

U n 1  U n   it  U n   U n 1 
(11.57)
2
2

Dosazením ze vztahů (11.43) dostáváme pro  obdobně kvadratickou rovnici
3 
p

2  1  i p   i  0
(11.58)
2 
2

Řešeními této rovnice jsou
1
3
9

1
3
9

1  1  i p  1  p 2  ip 
2
2
4

(11.59)
2  1  i p  1  p 2  ip 
2
2
4

(11.60)
Odkud pro p  0 dostáváme, že 1  1 , zatímco 2  0 . Proto řešení, pro které je
1 je fyzikální modus, zatímco  2 početní modus. Analýza koeficientů přechodu je zde dosti
obtížná, což způsobuje v koeficientech přechodu se vyskytující člen s odmocninou.
Z předchozích vztahů ovšem pro malá p plyne, že 1  1 a fyzikální mód a tedy schéma je
nestabilní. Na rozdíl od schématu s centrální časovou diferencí je však amplituda početního
módu potlačována.
Vlastnosti časových schémat pro rovnici tření
Studujme vlastnosti diferenčních schémat aplikovaných na rovnici tření. Rovnicí tření
budeme nazývat následující rovnici.
dU
 kU , kde U  U t  , k  0
(11.61)
dt
Není obtížné vysvětlit náš zájem o tuto rovnici. Položíme-li například U  u  iv , pak rovnice
popisuje efekt tření, který je úměrný vektoru rychlosti, což je obvyklý předpoklad pro pohyb
vzduchu v blízkosti povrchu Země. Dalším příkladem může být rovnice vedení tepla neboli
rovnice difúze
u
 2u
 0
  2 , kde
t
x
Když řešení budeme hledat ve tvaru harmonické složky
ux, t   Re U t e ix


182
dostaneme rovnici
dU
  2U
dt
která je ekvivalentní s rovnicí (11.61), když označíme k   2 .
Obecným řešením rovnice (11.61) je
(11.62)
U t   U 0e  kt
Což znamená, že obě části, reálná i imaginární část, se zmenšují exponenciálně s časem, Jako
ve výše popsané rovnici silného útlumu.
Vlastnosti schémat aplikovaných na rovnici tření (11.61) budeme studovat opět
pomocí metody von Neumanna. Jako v předchozí části budeme studovat nejdříve dvouhladinová schémata (11.16) bez iterace. Aplikujeme-li je na rovnici tření, máme
U n1  U n   kt U n   U n1 
(11.63)
Označme
K  kt
(11.64)
n 1
Z rovnice (11.63) vyjádříme U
, máme
1  K n 
U n 1 
U
(11.65)
1  K
Pro Eulerovo schéma je   1,   0 odkud vidíme, že schéma je stabilní, když
1  K  1,
což nastává když
0K 2
(11.66)
Vidíme tedy, že aplikujeme-li časová schémata na různé rovnice, jejich vlastnosti nezůstávají
stejné. V případě podmínky stability (11.66) můžeme na volbu t klást další požadavky.
Můžeme například vybrat K  1 , abychom vyloučili oscilace řešení krok od kroku, tedy
oscilace délky 2t .
Zpětné implicitní schéma   0,   1 je vždy stabilní při K  0 a znaménka řešení
neosciluje krok od kroku.
1
Lichoběžníkové schéma    
je pro K  0 také vždy stabilní. Řešení
2
neosciluje, když K  2 .
Studujeme-li iterační dvou-hladinová schémata (11.28) dostáváme
U n1  (1  K  K 2 )U n 
(11.67)
proto Matsunovo i Hunovo schéma je pro dostatečně malé hodnoty K stabilní.
Je důležité a instruktivní studovat pro rovnici tření schéma s centrální diferencí podle
času, tedy obkročné schéma. Aplikujeme-li jej na rovnici (11.61) dostáváme vztah
(11.68)
U n1  U n1  2KU n 
Pro koeficienty přechodu dostáváme rovnici
2  2K  1  0
jejíž řešení jsou
1   K  1  K 2
2   K  1  K 2
(11.69)
183
Jestliže K  0 , pak 1  1 a 2  1 . Řešení odpovídající 1 je fyzikální mód a řešení
odpovídající  2 početní mód. Pro K  0 , pro integraci ve směru rostoucího času máme
2  1 . Z čehož vyplývá, že početní mód je vždy instabilní. Mění znaménko krok od kroku
a jeho amplituda roste. Protože početní mód nemůžeme z výpočtu plně odstranit a jeho růst
není malý, se schéma s centrální diferencí podle času nehodí pro integraci rovnice tření.
Nakonec pro schéma Adamse-Bashfortha dostáváme
1
3
9

  1  K  1  K  K 2 
2
2
4
(11.70)


Odtud vyplývá, že pro dostatečně malá K je schéma stabilní a amplituda početního módu se
zmenšuje.
Kombinace schémat
Je přirozené si nyní položit otázku, jak je třeba postupovat, když rovnice obsahuje
členy vyjadřující oscilace tak členy tření. Příkladem může být rovnice
dU
(11.71)
 iU  kU
dt
Mohli bychom použít schéma s centrální diferencí, protože je zde člen popisující oscilace, ale
my víme, že je nemůžeme použít pro člen tření  kU . V tmto případě a jemu analogických
můžeme použít různá schémata pro členy různého charakteru. Použijeme-li pro členy
popisující oscilace schéma s centrální diferencí a pro členy popisující tření, tedy i difůzi,
Eulerovo schéma dostáváme aproximaci


U n1  U n1  2t iU n   kU n1
(11.72)
která je v Eulerovských modelech používána nejčastěji. Jsou však možné i jiné kombinace.
Robert-Asselinův časový filtr
Problém odstranění početního modu, tedy časových oscilací vlnové délky 2Δ𝑡 ve tříhladinovém schématu obsahujícím centrální časovou diferenci, jako je schéma (11.72) vyřešil
A. Robert, který ve spektrálním modelu použil časový filtr [5]. Vlastnosti tohoto filtru byly
zevrubně prostudovány Asselinem [2] a proto se tento filtr nazývá často pouze Asselinovým
filtrem. Při časové integraci vznikají pro meteorologické proměnné na časové ose oscilace
vysoké frekvence. Ta nejvyšší frekvence, generovaná početním modem vytváří na časové ose
vlny délky 2Δ𝑡, což jsou nejkratší vlny, které může síť na časové ose popsat. Hlavním úkolem
Asselinova filtru je právě tyto vlny odstranit. Kromě těchto vln se při výpočtu vyskytují ještě i
jiné vlny dosti vysoké frekvence. Tyto vlny jsou způsobeny rychlými mody gravitačních vln
nereálně velké amplitudy, které jsou způsobeny nerovnováhou pole rozložení hmoty a pole
proudění, tedy termobarického pole a pole větru v počátečních podmínkách. Tyto gravitační
vlny relativně vysoké frekvence, i když v reálné atmosféře existují, mají velmi malou
amplitudu. Lze je zaznamenat například na grafu změn přízemního tlaku měřeným velmi
citlivým mikrobarografem. Tyto vlny jsou z výpočtu odstraňovány zejména úpravou
počátečních podmínek, tak zvanou inicializací počátečních dat, kde je odstraněna
184
nerovnováha mezi polem rozložení hmoty a pohybem atmosféry. Další metodou, která krátké
vlny v závislosti na jejich délce odstraňuje je použití decentringu v časovém semi-implicitním
schématu, nebo docela použitím zpětného implicitního schématu. Takové schéma selektivně
potlačuje amplitudu krátkých vln. Existenci gravitačních oscilací v modelu můžeme zjistit
snadno. Stačí si vytisknout hodnoty prognostické proměnné v jednom zvoleném bodu
v prostoru a tuto časovou posloupnost si zakreslit do grafu. V grafu vidíme krásně existenci
početního modu, který jakožto vlna 2Δ𝑡 způsobuje, že graf je zubatý. Zvolíme-li pro studium
časového průběhu vhodnou proměnnou, například přízemní tlak, nebo geopotenciál některé
z tlakových hladin, můžeme se podívat, zda se ve výpočtu vyskytují i gravitační vlny vysoké
frekvence nereálně velké amplitudy.
Idea časového filtru je jednoduchá. Vezmeme-li hodnoty proměnné 𝐹(𝑡) ve třech
časově po sobě jdoucích bodech, kde hodnoty 𝐹(𝑡 − 1), 𝐹(𝑡), 𝐹(𝑡 + 1) známe, vidíme, že
když se prostřední hodnota 𝐹(𝑡) příliš liší od aritmetického průměru obou krajních hodnot,
tedy od hodnoty (𝐹(𝑡 − 1) + 𝐹(𝑡 + 1))/2, pak funkce nebude příliš hladká. Idea vetšiny
filtrů je vlastně snížit odchylku 𝐹(𝑡) od aritmetického průměru (𝐹(𝑡 − 1) + 𝐹(𝑡 + 1))/2. To
̅̅̅̅̅̅
můžeme provést tak, že za novou již filtrovanou hodnotu proměnné F, kterou označme 𝐹(𝑡)
vezmeme lineární kombinaci veličin 𝐹(𝑡) a aritmetického průměru (𝐹(𝑡 − 1) + 𝐹(𝑡 + 1))/2
s váhami, tedy
̅̅̅̅̅̅ = (1 − 𝜈)𝐹(𝑡) + 𝜈(𝐹(𝑡 − 1) + 𝐹(𝑡 + 1))/2
𝐹(𝑡)
(11.73)
kde 𝜈 leží v intervalu (0,1). Tento vztah můžeme ovšem přepsat do obvyklého tvaru
̅̅̅̅̅̅
𝐹(𝑡) = 𝐹(𝑡) + 0.5𝜈(𝐹(𝑡 − 1) − 2𝐹(𝑡) + 𝐹(𝑡 + 1))
(11.74)
Kde druhý člen na pravé straně rovnice je obvyklá aproximace druhé derivace funkce F
násobená čtvercem délky časového kroku (Δ𝑡)2 , což z hlediska diferenciálních rovnic
představuje difuzní člen. ̅̅̅̅̅̅
𝐹(𝑡) je tedy filtrovaná hodnota a 𝝂 parametr filtru.
Studujme nyní funkci
𝐹(𝑡) = 𝐹(0)𝑒 𝑖𝜔𝑡
(11.75)
Která je řešením oscilační rovnice v komplexním tvaru (10.7)
𝑑𝐹
= 𝑖𝜔𝑡
𝑑𝑡
(11.76)
Pro diskrétní hodnoty řešení t  nt dostáváme
𝐹(𝑛Δ𝑡) = 𝐹(0)𝑒 𝑖𝑛𝜔𝑡
(11.77)
Tím je na diskrétní síti s jednotkovým krokem a úhlovou frekvencí 𝜔 je dána časová
posloupnost hodnot F. Pro kvantitativní analýzu filtru označme
̅̅̅̅̅̅
𝐹(𝑡) = 𝑅𝐹(𝑡)
(11.78)
Kde komplexní číslo R koeficient přechodu se nazývá reakcí filtru (anglicky response of the
filter). Dosadíme-li nyní (11.78) do (11.74) a za 𝐹(𝑡) klademe z (11.77) pak po vykrácení
zlomku faktorem 𝐹(0)𝑒 𝑖𝑛𝜔Δ𝑡 dostaneme
̅̅̅̅̅̅
𝐹(𝑡)
𝑅=
= 1 + 0.5𝜈(𝑒 𝑖𝜔Δt − 2 + 𝑒 −𝑖𝜔Δ𝑡 ) = 1 − 𝜐(1 − cos 𝜔Δ𝑡)
𝐹(𝑡)
(11.79)
185
Z velikosti absolutní hodnoty |𝑅| vyplývá, že takovýto filtr zmenšuje koeficient přechodu a
tedy zvětšuje disipativnost schématu a nenarušuje tedy kriterium stability.
Ve skutečnosti je však filtr, který nazýváme Asselinův filtr definován jinak. Filtr se
používá obvykle v každém časovém kroku, přičemž filtrovaná veličina v čase t se stává
v dalším kroku veličinou v čase 𝑡 − Δ𝑡, a je tedy již veličinou filtrovanou z předchozího
kroku. Proto Asselinův filtr musíme napsat ve tvaru
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝐹(𝑡) = 𝐹(𝑡) + 0.5𝜈 (𝐹(𝑡
− Δ𝑡) − 2𝐹(𝑡) + 𝐹(𝑡 + Δ𝑡))
(11.80)
Kde 𝜈 je parametr filtru. Dosadíme-li opět do předchozího vztahu za ̅̅̅̅̅̅
𝐹(𝑡) z (11.78) a (11.77)
dostaneme obdobně že
(2 − 𝜈)2 + 2𝜈 2 (1 − cos 𝜔Δ𝑡) 𝑖𝜔Δ𝑡
𝑅=
𝑒
(2 − 𝜐)2 + 4𝜐(1 − cos 𝜔Δ𝑡)
(11.81)
Změna fáze v tomto případě není nulová. Pro malé hodnoty 𝜔Δ𝑡 je však malá. Amplituda
koeficientu přechodu je pro malé hodnoty 𝜈 je podobná jako u filtru (11.74). Podrobný
kvantitativní rozbor je proveden v Asselinově práci [2]. Je třeba říci, že pro Eulerovské
baroklinní modely v hydrostatickém přiblížení funguje Asselinův časový filtr bez problémů
velmi dobře. Obvykle se používají malé hodnoty parametru 𝜈, například 0.02, nebo i 0.002.
Filtr v tomto případě nemá na přesnost řešení prakticky nežádoucí vliv. Pro modely, kde se
používá pro difúzi implicitní schéma je situace složitější. Větší hodnoty 𝜈 můžou vést
k insatbilitě. Tyto problémy jsou studovány v práci [4]. Vzhledem k tomu, že časový filtr je
při integraci modelů velmi často používán, byl proto studován jeho vliv na integraci
meteorologických modelů. Jeho vliv na řešení rovnic mělké vody je studován ve článku [6].
Problémy spojené s použitím časového filtru v modelech používající pro časovou integraci
Semi-Lagrangeovská schémata jsou studovány v práci [3].
Literatura:
[1] NUMERICAL METHODS USED IN ATMOSPHERIC MODELS, VOLUME I.
By F. Mesinger and A. Arakawa, GLOBAL ATMOSPHERIC RESEARCH PROGRAMME
(GARP), WMO-ICSU Joint Organization Committee
GARP PUBLICATION SERIES No. 17, August 1976.
[2] Asselin R. 1972: Frequency filter for time integrations. Mon. Wea. Rev., 100, 487-490
[3] Cordero E., Staniforth A. 2004: Problem with the Robert-Asselin Time Filter for ThreeTime-Level Semi-Implicit Semi-Lagrangian Discretizations, Monthly Weather Review Vol.
132, No.2, pp. 600-610
[4] Déqué M., Cariolle D. 1986: Some Destabilizing Properties of the Asselin Time Filter,
Monthly Weather Review Vol. 114, pp.880-884
[5] Robert, André J. 1966: The integration of a Low Order Spectral Form of the Primitive
Meteorological Equations, Journal of the Meteorological Society of Japan Ser.2, Vol 44,
No.5, pp. 237-245
[6] Schlesinger R. E., Uccellini L.W., Johnson D.R. 1983: The effect of the Asselin Time
filter on Numerical Solution to the Linearized Shallow-Water Wave Equations, Monthly
Weather Review Vol. 111, pp. 455-467
186
[7] Young, J. A., 1968: Comparative properties of some time differencing schemes for linear
and nonlinear oscillations. Mon. Wea. Rev. 96, 357-364
187
12. Rovnice advekce
V této části budeme studovat parciální diferenciální rovnici advekce s jednou i více
prostorovými proměnnými. Dá se říci, že členy vyjadřující advekci v rovnicích dynamiky
atmosféry jsou jednou z jejich nejdůležitějších částí. Právě tyto členy vyjadřují zákony
zachování pohybu vzduchu. Nejdříve se budeme zabývat zjednodušenými tvary rovnice
advekce s jednou prostorovou proměnnou a potom přejdeme ke studiu složitějších rovnic.
12.1. Diferenční schémata druhého řádu
Studujme lineární rovnici advekce
u
u
kde c  const
(12.1.1)
c
 0,
t
x
kde funkce u  ux, t  je funkcí dvou nezávisle proměnných, prostorové proměnné x a času t.
Rovnice (12.1.1) se proto obvykle nazývá jednodimensionální rovnicí advekce. V kapitole 9.
jsme si ukázali, že obecné řešení této rovnice je
u  f x  ct 
(12.1.2)
kde f je libovolná funkce. Rovnice (12.1.1) byla nazvána „rovnicí advekce“ Normanem
Phillipsem.
Aproximujme nyní derivaci prostorové proměnné v rovnici (12.1.1) centrální diferencí
a časovou derivaci ponecháme, dostáváme aproximaci této rovnice v tak zvaném semidiskrétním tvaru
u j
u j 1  u j 1
 c
(12.1.3)
t
2x
index j zde označuje hodnoty v uzlových bodech sítě, tedy x  jx .
Schémata pro numerické řešení rovnice (12.1.1) pak dostaneme tak, že pro aproximaci
derivace podle času v rovnici (12.1.3) použijeme jedno z uvedených schémat z předchozí
kapitoly. Můžeme například použít obkročné schéma, (schéma s centrální diferencí podle
času). Dostaneme tak aproximaci
uj
n 1
uj
n 1
u j 1  u j 1
n
n
 c
(12.1.4)
2t
2x
jako jedno z možných numerických řešení rovnice (12.1.1).
Vlastnosti takto sestrojených schémat pak můžeme odvodit ze známých vlastností
časových schémat aplikovaných na rovnici kmitů. Abychom vyjasnili toto tvrzení, dosadíme
do semi-diskrétního tvaru (12.1.3) řešení ve tvaru jednoduché harmonické složky
u j  Re U t e i k j x
(12.1.5)


Po dosazení U t e i k jx do (12.1.3) a vydělením e i k jx dostáváme
dU
e ikx  e ikx
 c
U
dt
2x
a s použitím vztahu e ix  e ix  2i sin x máme
188
dU
 c

 i 
sin kx U
dt
 x

(12.1.6)
Označíme-li
c
(12.1.7)
sin kx
x
je (12.1.6) rovnicí lineárního oscilátoru z předchozí kapitoly. Jestliže nyní rovnici lineárního
oscilátoru (12.1.6) aproximujeme některým časovým schématem studovaným v předchozí
kapitole, pak dostaneme stejné diferenční rovnice, jako kdybychom použili toto schéma na
rovnici (12.1.3) a potom do ní dosadili vlnové řešení (12.1.5). Vlastnosti diferenčních
schémat, které obdržíme z (12.1.3) můžeme odvodit z výsledků předchozí kapitoly, přičemž
frekvence  je dána vztahem (12.1.7).
Jestliže například aproximujeme rovnici kmitů (12.1.6) pomocí obkročného schématu,
dostaneme
t


U n 1  U n 1  2i  c sin kx U n 
(12.1.8)
x



Použijeme-li označení z předchozí kapitoly p  t , je podle (12.1.7)
t
(12.1.9)
sin kx
x
Stejnou diferenční aproximaci jako je (12.1.8) můžeme odvodit i jinak. Aplikujeme-li
obkročné schéma na rovnici v semi-diskrétním tvaru (12.1.3) dostaneme diferenční
aproximaci (12.1.4). Dosadíme-li (12.1.5) do (12.1.4) dostáváme rovněž (12.1.8). Vlastnosti
schématu (12.1.4) můžeme proto stanovit z (12.1.7) a ze známých vlastností obkročného
schématu aplikovaného na rovnici oscilátoru.
Studujme nyní některé závěry, které dostaneme tímto způsobem. Pro stabilitu
p  c
obkročného schématu je třeba, aby byla splněna podmínka p  1 , pro všechny hodnoty  , to
znamená, že musí splňovat podmínku
c
t
sin kx  1
x
pro všechny přípustné hodnoty k. Protože sin kx má maximum rovné jedné v oboru
přípustných k, nabývá podmínka stability tvar
t
(12.1.10)
c
1
x
Toto kriterium, které jsme odvodili v kapitole 9, nám ukazuje, že stabilitu nelze jednoduše
dosáhnout pouze nezávislým na sobě zmenšováním časového kroku a prostorového kroku. Ve
skutečnosti, abychom obdrželi stabilní schéma je nutné zachovat určitý poměr přírůstků
t / x . První tuto podmínku (12.1.10) odvodili Courant, Fridrichs a Lewy v roce 1928 [2].
Tato podmínka je proto nazývána Courant-Fridrichs-Lewyho kriteriem stability, nebo
zkratkou CFL kriteriem stability.
Všimněme si ještě, že maximální hodnota p , tedy minimum stability je svázáno
s vlnou kx   / 2 , neboť sin  / 2  1 je právě jeho maximální hodnota. Protože vlnové
číslo (počet vln na vzdálenosti 2 ) je dáno vztahem k  2 / L , kde L je délka vlny. Pro
189
minimum stability je k   / 2x což je pro délku vlny L  2 / k  2
2x
 4x , což je

tedy dvakrát delší, než nejkratší vlna, kterou síť může popsat, což je vlna délky 2x .
Můžeme použít i jiné výsledky předešlé analýzy. Jsou dvě řešení pro U n  , fyzikální a
početní modus
n 
n
0 
n 
n
0 
U1  1 U1 ,
U 2  2 U 2
(12.1.11)
Kde 1 a  2 jsou dány rovnicí (11.44) předchozí kapitoly 11.
V případě stability máme pro p  0 a s použitím vztahu e i  1 je



 1 p2 


1  e i ,   arctg 
p
2  e i     e i
Ze vztahu (12.1.5) vidíme, že aproximace u j
n
(12.1.12)
má také fyzikální a početní modus. Fyzikální
modus
 0  ik  jx  kt nt  

u j  Re U1 e 



n
(12.1.13)
početní modus





n
0  ik  jx  kt nt 
u j  Re  1 U 2 e
(12.1.14)



Tyto výrazy můžeme srovnat s přesným řešením rovnice (12.1.1) ve tvaru jedné harmonické
složky, které bylo odvozeno v předchozí kapitole 11.
ux, t   Re U 0e ik  xct 
(12.1.15)
n


Ze srovnání vztahů (12.1.13) a (12.1.14) vyplývá, že fázová rychlost fyzikálního modu c1 je
  / kt , a fázová rychlost početního modu c 2 , kterou budeme uvažovat pouze
v sudých krocích je  / kt . Z druhého vztahu (12.12) rozvinutého v mocninnou řadu
dostáváme
rovna


  p  1 p3  o p5
 1 p2 
6


a poměr charakterizující změnu fázové rychlosti můžeme psát ve tvaru


1

 1   2 t 2  ot 4   1 pro t  0
p t
6
  arctg 
p
 
vidíme, že když t  0 ,   p a z (12.1.9) vyplývá, že pro x  0 , 𝑝 → −𝑐𝑘∆𝑡.
Tedy když x 0 a t  0 pak c1  c , tedy fázová rychlost fyzikálního modu se
blíží k fázové rychlosti přesného řešení, zatímco c2  c . Navíc početní modus mění
190
znaménko ve všech uzlových bodech krok od kroku v čase, protože (12.1.14) obsahuje faktor
 1n .
Nyní pro časovou aproximaci použijeme jiné časové schéma z předchozí kapitoly a to
Matsunovo schéma. Realizace Mtsunova schématu se skládá z dvou kroků. Nejdříve
vypočteme hodnotu u j
n 1*
pomocí Eulerova schématu
n 1*
 uj
u
 u j 1
 c j 1
t
2x
a v druhém kroku tuto hodnotu použijeme ve zpětném implicitním schématu, tedy
uj
uj
n
n 1
n
n
n 1*
 uj
u
 c j 1
t
n
(12.1.16)
n 1*
 u j 1
2x
(12.1.17)
Z těchto dvou rovnic můžeme eliminovat přibližné veličiny u j
n 1*
, když ve vztahu (12.1.16)
index j nahradíme indexy j+1 a j-1 a dosadíme do (12.1.17) . Takto dostaneme Matsunovo
schéma zapsané v jako jednokrokové
uj
n 1
uj
t
n
u j 1  u j 1
n
 c
n
2x
u j  2  2u j  u j 2
n
 c t
2
n
2x 2
n
(12.1.18)
Bez posledního členu tento výraz představuje aproximací Eulerovým explicitním schématem
použitým pro časovou derivaci ve vztahu (12.1.3). Třetí člen konverguje k nule, když
x 0 a t  0 . Proto (12.1.18) je konsistentní aproximací rovnice advekce. Z jiného
 2u
.
x 2
Tento člen má tedy stejný tvar jako aproximace členu difúze a jeho efektem je snižování
amplitudy. Snižování amplitudy závisí však na délce vlny. Protože tento člen je aproximován
na intervalu 4x , snižuje nejvíce amplitudu vln délky 4x . Amplitudu nejkratších vln délky
2x nepotlačuje vůbec. I kdybychom chtěli použít efektu selektivního potlačování amplitudy
krátkých vln, chybí to nejdůležitější, potlačování amplitudy těch nejkratších vln, tak zvaného
šumu. Proto se Matsunovo schéma pro řešení rovnice advekce nehodí.
Je užitečné studovat také možnosti použití energetické metody pro studium stability
schémat. Je to proto, že tuto metodu můžeme použít i pro zjištění stability nelineárních rovnic
a také ke studiu vlivu okrajových podmínek na stabilitu. Tuto metodu použijeme nyní pro
zjištění stability pro celou skupinu schémat pro řešení rovnice (12.1.3)
Dostatečně širokou třídu schémat pro řešení rovnice (12.1.3) můžeme zapsat
následujícím způsobem
1
n 1
n
u j  u j    u * j 1  u * j 1 
(12.1.19)
2
kde
hlediska pro pevně zvolené t poslední člen (12.1.19) pro x  0 konverguje k c 2 t
𝜇=𝑐
a u* j
∆𝑡
(12.1.20)
∆𝑥
n
je lineární funkcí hodnot u j . Například, abychom obdrželi neiterativní dvou-
hladinové schéma, položíme
u* j   u j   u j
n
n 1
(12.1.21)
191
pro iterační schémata klademe


 u j 1 n  u j 1 n

nakonec pro Adams-Bashfortovo schéma klademe
u* j  u j 
n

(12.1.22)
3 n 1 n 1
(12.1.23)
uj  uj
2
2
Studujme nejdříve stabilitu neiteračních dvou-hladinových schémat. Je vhodné
u* j 
nejdříve vynásobit (12.1.19) u * j a sečíst přes všechna j. Dostaneme tak
 u u
*
j
n 1
j
uj
j
n
   12   u u
*
j
*
j 1
 u * j 1

j
Za předpokladu, že jsou splněny cyklické okrajové podmínky je pravá strana nulová
v tomto případě je
 u u
*
j
n 1
j
uj
n
a
 0 .
j
Přičtením předchozího vztahu k identitě
1
n 1 2
n
j 2 u j  u j

      12 (u
2
n 1
j
uj
n
u
n 1
j
uj
n

j
dosadíme-li za u * j z (12.1.21) a eliminujeme-li   1   po úpravách máme
1
1

 2 u   u      2   u
n 1 2
j
j
energie
1
 2 u 
n 2
j
n 1
j
uj

n 2
(12.1.24)
j
V důsledku toho, jestliže  
neutrální a jestliže  
n 2
j
1
pak schéma je nestabilní. Jestliže   1 schéma je stabilní a
2
1
, schéma je stabilní a zmenšuje amplitudu vln, přičemž celková
2
se s rostoucím časem monotónně zmenšuje.
j
Na závěr podrobíme analýze schéma, které navrhli Lax a Wendroff v roce (1960). Toto
schéma se nazývá schématem Lax-Wendroffa, přesněji dvou-krokovou versí schématu LaxWendroffa. Na rozdíl od dříve studovaných schémat, schéma Lax-Wendroffa nemůže být
odvozeno z nezávisle provedené prostorové a časové aproximace derivací rovnice advekce.
Abychom popsali odvození tohoto schématu, použijeme šablonu zobrazenou na obrázku
192
Obrázek 12.1 Časo-prostorová molekula bodů pro konstrukci aproximace schématu
Lax-Wendroffa
Nejdříve vypočteme mezivýsledky ve středech dvou obdélníků této šablony označených
křížky. To provedeme pomocí Eulerova schématu s centrovanými diferencemi podle
prostorové proměnné x, kde za hodnoty u n ve středech intervalů délky x , které označme
u j 1 / 2
n
a u j 1 / 2
n
vezmeme aritmetické průměry z dvou nejbližších bodů v síti. Pak máme


1
n
n
n
n
u j 1  u j
u
 uj
2
 c j 1
1
x
t
2
1 n
n 1 / 2
n
n
n
u j 1 / 2
 u j  u j 1
u j  u j 1
2
 c
(12.1.25)
1

x
t
2
Pomocí těchto mezivýsledků provedeme ještě jeden krok s použitím centrovaných diferencí
pro aproximaci derivací podle časové i prostorové proměnné. Máme
u j 1 / 2
n 1 / 2


uj
n 1
uj
n
 c
t
Dosadíme-li mezivýsledky u j 1 / 2

u j 1 / 2
n 1 / 2
 u j 1 / 2
n  ě1 / 2
(12.1.26)
x
n 1 / 2
a u j 1 / 2
n 1 / 2
ze vztahů (12.1.25) do výsledného vztahu
(12.1.26) dostáváme
n 1
u j 1  2u j  u j 1
1
 c
 c 2 t
(12.1.27)
t
2x
2
x 2
Je si potřeba všimnout, že tato diferenční rovnice je velmi podobná rovnici (12.1.18) pro
Matsunovo schéma. Liší se pouze v členu difúze. Poslední člen (12.1.27) pro pevné t a
uj
uj
n
u j 1  u j 1
n
n
n
n
n
1 2  2u
c t 2 . Tento difúzní člen má tedy stejný tvar jako ve vztahu
2
x
(12.1.18), je však poloviční. Navíc je tento člen aproximován na intervalu 2x a efekt
potlačování amplitudy bude největší pro vlnu délky 2x . Takováto závislost zmenšování
amplitudy v závislosti na délce vlny je velmi užitečná. Později ukážeme, že je to proto, že
s nejkratšími vlnami popsanými danou sítí vznikají problémy. Tyto problémy často můžeme
potlačit právě pomocí disipativních schémat, které zmenšují amplitudu vln délky dvou kroků
sítě.
Další předností schématu Lax-Wendreffa proti Matsunovu schématu je, že je
schématem druhého řádu v časové i prostorové proměnné, tedy o x 2 , t 2 , zatímco
x  0 konverguje k

Matsunovo schéma mělo časovou aproximaci pouze prvního řádu, tedy ot  .

193
Abychom vyšetřili stabilitu schématu Lax-Wendroffa dosadíme do jednokrokové
varianty Lax-Wendrffova schématu (12.1.27)
u
Dostaneme
n

 Re U n e ilkx

(12.1.28)


U n1  1   2 cos kx  1  i sin kx U n 
Je tedy
  1   2 cos kx  1  i sin kx
(12.1.29)
(12.1.30)
S použitím identit
kx
2
kx
kx
sin kx  2 sin
cos
2
2
cos kx  1  2 sin 2
dostáváme
kx 

  1  4 2 1   2 sin 4
(12.1.31)
2 

Výraz v stojící v hranatých závorkách je rozdílem dvou čtverců, které jsou kladné, když
1   2  0 , tedy když  2  1 , neboli když

1/ 2

t
1
x
což je CFL kriterium stability. V tomto případě je   1 a schéma je stabilní.
c
Účelná je také analýza závislosti potlačování amplitudy v závislosti na  . Pro
nejkratší vlnu zobrazenou na síti, vlnu 2x je kx   a v důsledku toho je
  1  4 2  4 4 
1/ 2
 1  2 2
(12.1.32)
Pro vlnu dvojnásobné délky, tedy vlnu délky 4x je kx   / 2 a
  1   2   4 
1/ 2
(12.1.33)
V obecném případě, derivujeme-li vztah (12.1.31) máme
kx
2

1/ 2
d

2
2
4 kx 
1  4 1   sin 2 
d


4 1  2 2 sin 4


všechny křivky  mají minimum v bodě   1 / 2 . Dosadíme-li tuto hodnotu do (12.1.31)
dostáváme pro koeficient přechodu minimální hodnotu

4 kx 
1  sin

2 

1/ 2
(12.1.34)
V důsledku toho, když vlnu prodlužujeme od délky 2x , minimální hodnota 
se
monotónně zvětšuje od nuly. Když délku vlny zvětšujeme nade všechny meze, minimální
hodnota  konverguje k jedné.
194
Koeficienty přechodu pro vlny délky 2x a 4x vypočítané ze vztahů (12.1.32) a
(12.33) jsou zobrazeny na Obr. 12.2.
Obrázek 12.2 Koeficienty přechodu pro schéma Lax-Wendroffa jako funkce 𝜇 = 𝑐∆𝑡/∆𝑥 pro
vlny délky 2∆𝑥 𝑎 4∆𝑥
Jak je vidět, potlačování amplitudy vln je dostatečně velké pro nejkratší vlny, zejména vlnu
délky 2x . Potlačování amplitudy však závisí na kroku v síti, na rychlosti proudění i na
poměru t / x , což je určitým nedostatkem schématu Lax-Wendroffa.
Studované schéma Lax-Wendroffa můžeme odvodit také jinak. Pomocí charakteristik.
Půjdeme-li z bodu o indexu j v čase t po charakteristice x  ct  const do bodu x  ct v
čase o jeden časový krok zpět. Hodnota v tomto bodě, kterou označme u * je rovna hledané
n
hodnotě u j Obr. 12.3.
Obrázek 12.3 Výpočet hodnoty řešení rovnice advekce v uzlu 𝑗∆𝑥, (𝑛 + 1)∆𝑡 na základě
charakteristiky 𝑥 − 𝑐𝑡 = const
Vypočteme-li tuto hodnotu u j  u * interpolací pomocí Lagrangeova polynomu druhého
n
n
n
n
stupně z hodnot u j 1 , u j , u j 1 ve třech uzlových bodech, dostaneme rovněž schéma LaxWendroffa. Klademe-li pro interpolaci hodnotu souřadnice x v uzlovém bodě j rovnu nule,
195
x  x , uzlovém bodu j  1 je x  x a
souřadnice x bodu do kterého interpolujeme je x  ct . Lagrangeův polynom pak můžeme
napsat ve tvaru
x  x x  x  u n  xx  x  u n
xx  x 
n
L2 x  
u j 1 
j
j 1
2
2x
 x 2
2x 2
Dosadíme-li sem za hodnotu x  ct , dostaneme výslednou hodnotu
pak souřadnice x uzlovém bodu
j 1
je
 c 2 t 2 ct  n c 2 t 2 n  c 2 t 2 ct  n
u j 1 
u j 1
 u *  L2  ct   

u j  

2
2
2x 
2x 
2x 2
 2x
 2x
což je stejný výraz jako (12.27). Tímto odvozením schématu Lax-Wendfoffa je také dána jeho
určitá souvislost se semi-Lagrangeovými schématy, které budeme studovat dále.
Podle mého názoru se v současných modelech synoptického měřítka založených na
rovnicích v hydrostatickém přiblížení toto schéma téměř nepoužívá. Schéma Lax-Wendroffa
bylo vyvinuto v USA pro řešení obtékání křídel nadzvukových letounů, při kterých vzniká
balistická vlna, tedy diskontinuita. Takovou diskontinuitou by měly být v atmosféře
atmosférické fronty. To je ovšem do jisté míry fikce, protože v atmosféře difúzní procesy tyto
diskontinuity eliminují a vznikají tak místo diskontinuit pouze místa s relativně velkými
gradienty veličin, zejména složek větru a teploty.
uj
n 1
12.2. Početní disperse
Připomeňme si znovu, že lineární rovnice advekce
u
u
c
 0 kde c  const.
t
x
má řešení ve tvaru jedné harmonické komponenty
ux, t   Re U 0e ikx


(12.2.1)
(12.2.2)
jestliže je splněna podmínka
dU
 ikcU  0
(12.2.3)
dt
V této rovnici kmitů je součin kc roven frekvenci  , takže c   / k je fázová rychlost vln.
Vidíme, že vlny všech délek se šíří se stejnou rychlostí, jinými slovy, že funkce u x, t  se
posunuje bez změny tvaru konstantní rychlostí c ve směru osy x. V tomto případě se zde
nevyskytuje disperse.
Studujme nyní rovnici
u j
u j 1  u j 1
 c
,
(12.2.4)
t
2x
kterou jsme dostali aproximací prostorové derivace centrovanou diferencí. Rovnice (12.2.4)
není ani diferenciální, ani diferenční rovnicí, ale jejich hybridem, který budeme nazývat
diferenciální-diferenční rovnicí, nebo semi-diskrétní rovnicí.
Diferenční aproximace rovnice (12.2.4), kterou dostaneme aproximací časové derivace
pomocí některého časového schématu, bude konvergovat k rovnici (12.2.4), když se časový
krok bude blížit nule. Tedy pro malá t je rovnice (12.2.4) přiblížením diferenční
aproximace této rovnice.
196
Protože časová derivace zůstává v diferenciálním tvaru, jsou všechny chyby
aproximace (12.2.4) způsobeny pouze prostorovou aproximací. Proto rovnici tohoto typu
můžeme použít pro studium specielně vlivu prostorových diferenčních aproximací na
vlastnosti numerického řešení.
Připomeňme, že (12.2.4) má řešení ve tvaru harmonické komponenty

u j t   Re U t ei k jx

(12.2.5)
jestliže je splněna rovnice
dU
 sin kx 
 ik  c
(12.2.6)
U  0
dt
 kx 
Rovnici (12.2.6) jsme zapsali ve stejném tvaru jako rovnici (12.2.3), abychom mohli srovnat
fázovou rychlost vln. Je vidět, že místo konstantní fázové rychlosti c se vlny pohybují
fázovou rychlostí
sin kx
(12.2.7)
c*  c
kx
která je závislá na vlnovém číslu k. V důsledku toho prostorové diferenční aproximace
způsobují dispersi vln. Tento efekt budeme nazývat početní dispersí.
Když kx zvětšujeme od nuly, fázová rychlost c * monotónně klesá od c do nuly,
kterou dosáhneme pro nejkratší rozlišitelnou vlnu na síti délky 2x pro kterou kx   .
Všechny vlny se tedy pohybují menší rychlostí, než je správná fázová rychlost c. Toto
zpomalení roste s tím, jak se zkracuje délka vlny. Vlny délky dvou kroků v síti jsou
stacionární.
Příčina, proč krátké vlny délky dvou kroků v síti jsou stacionární, je zcela zřejmá. Pro
u j
 0.
tyto vlny ve všech bodech sítě je u j 1  u j 1 a podle (12.2.4) je
t
Vznikají tak dva efekty. Zaprvé, rychlost advekce je menší, než je správná rychlost
advekce. V důsledku toho vzniká celkové zpomalení rychlosti advekce. Zadruhé, rychlost
advekce se mění v závislosti na vlnovém čísle. Tato falešná-parazitní disperse se nejvíce
projevuje u nejkratších vln.
Jestliže provádíme advekci soustavy, která je superpozicí vln, pak parazitní
disperse způsobí deformaci této soustavy. To se nejvíce týká systémů malého měřítka, jako
jsou fronty, linie skokových změn větru, atd., které jsou reprezentovány superpozicí více vln,
obsahujících významnou část nejkratších vln. Proto při numerické předpovědi takovéto
systémy, když se v předpovědi vyskytují, se velmi rychle deformují, dokud nedosáhnou méně
ostrého tvaru, (s menšími gradienty proměnných), než na začátku. Protože při numerické
předpovědi hrají takovéto systémy malého měřítka důležitou úlohu, je třeba, abychom efekt
početní disperse brali v úvahu.
Nyní studujme grupovou rychlost. Pro lineární rovnici (12.2.1) dostáváme pro
grupovou rychlost následující vztah
d (kc)
(12.2.8)
cg 
c
dk
Grupová rychlost je v tomto případě konstantní a je rovna fázové rychlosti c.
Pro diferenciálně-diferenční rovnici (12.2.4) s použitím vztahu (12.2.7) dostáváme grupovou
rychlost
197
d kc* 
(12.2.9)
 c cos kx
dk
Když se kx zvětšuje od nuly, grupová rychlost c * g klesá monotónně od c g do hodnoty
c* g 
 cg

, tedy pro nejkratší vlnu zobrazitelnou na síti délky L  2x . Tyto
x
výsledky jsou zobrazeny na obrázku 12.4.
Kterou nabývá pro k 
Obrázek 12.4 Fázová rychlost c a grupová rychlost c* lineární rovnice advekce
c a cg je pro přesné řešení diferenciální rovnice
*
c a cg* po diferenční aproximaci prostorové derivace
12.3. Schémata s centrovanými prostorovými diferencemi čtvrtého řádu
Hlavním nedostatkem schémat, které jsme studovali v předchozím odstavci, byly
zejména chyby ve fázové rychlosti a početní disperse. Tyto chyby vzniky aproximací
prostorových derivací. Je proto třeba studovat i možnosti konstrukce jiných aproximací.
Jednou možností je použití aproximací vyššího stupně přesnosti. Takovou aproximaci si nyní
sestojíme.
Když rozložíme přibližnou hodnotu u j v Taylorovu řadu v okolí centrálního bodu a
dosadíme do diferenčního výrazu, dostaneme
198
u j 1  u j 1
2x
u 1  3u 2


x  o x 4
3
x 3! x
 
(12.3.1)
Tato aproximace je druhého řádu přesnosti. Je vytvořena diferencemi hodnot u j v uzlových
bodech vzdálených jeden krok v síti od centrálního bodu. Stejnou diferenci utvoříme pomocí
bodů vzdálených dva kroky od centrálního bodu. Když nahradíme v (12.3.1) x hodnotou
2x máme
u j  2  u j 2 u 4  3u 2


x  o x 4
(12.3.2)
4x
x 3! x 3
 
Tato aproximace je též druhého řádu přesnosti, ale s většími koeficienty. Jinou aproximaci
du
derivace
můžeme odvodit jako lineární kombinaci obou předchozích. Tuto lineární
dx
kombinaci volíme tak, aby se chyby aproximace druhého řádu vyrušily. Dostaneme tak
4 u j 1  u j 1 1 u j  2  u j 2 u


 o x 4
(12.3.3)
3 2x
3
4x
x
du
což je aproximací derivace
čtvrtého řádu přesnosti.
dx
Studujme nyní jaký vliv má použití aproximace (12.3.3) prostorové derivace v rovnici
advekce na fázovou rychlost řešení. Nahradíme-li v (12.2.1) derivaci aproximací (12.3.3)
dostaneme semi-diskrétní rovnici
u j
 4 u j 1  u j 1 1 u j  2  u j 2 
0
 c

(12.3.2)
t
3
4x 
 3 2x
Stejně jako v předchozím odstavci studujme řešení jedné harmonické komponenty
 


ux, t   Re U 0e i k jx
Použijeme-li prostorové diference druhého řádu přesnosti, dostáváme pro fázovou rychlost
vztah
sin kx
c*  c
kx
Stejným způsobem, použijeme-li vztahy pro aproximaci čtvrtého řádu přesnosti, dostaneme
následující vztah pro fázovou rychlost
 4 sin kx 1 sin 2k x 

c **  c

(12.3.5)
3 2k x 
 3 kx
Srovnejme si oba výsledky. Pro diference druhého řádu, když pro malá k rozvineme v řadu
vztah pro fázovou rychlost, dostáváme


1
2
c *  c1  kx   ...
 3!

Pro diferenční aproximaci čtvrtého řádu dostaneme


4
4
c **  c1  kx   ...
 5!

Z předchozích dvou vztahů vidíme, že pro malé hodnoty k dochází k menšímu zpomalování
vln, a řešení je tedy jak by se pro aproximaci vyššího řádu předpokládalo, opravdu přesnější.
199
Nicméně se zvětšujícím se vlnovým číslem se fázová rychlost zmenšuje a pro vlnu délky 2x
je opět fázová rychlost rovna nule a tato vlna je tedy též stacionární. Obrázek 12.5.
Obrázek 12.5 Fázová rychlost c řešení lineární diferenciální rovnice advekce.
Fázová rychlost c* po aproximaci diferencí druhého řádu.
Fázová rychlost c** po aproximaci diferencí čtvrtého řádu.
Problém s přesností fázové rychlosti krátkých vln proto zůstává i v tomto případě nevyřešen.
Aproximace vyššího řádu, jak jsme viděli, potřebují v diferenčním schématu i body vzdálené
dva i více kroků v síti od centrálního bodu aproximace. Pro modely na omezené oblasti tím
vznikají problémy s aproximací u bočních okrajů oblasti a formulací bočních okrajových
podmínek. Pro integraci baroklinních modelů v hydrostatickém přiblížení, integrovaných
diferenčními metodami, jsou používány střídavé sítě. Na nich se obvykle používají
aproximace druhého řádu přesnosti. V globálních modelech, v nichž se boční okrajové
podmínky nevyskytují, neboť prognostické funkce jsou periodické, převládla spektrální
metoda. Proto se aproximace čtvrtého řádu příliš často nepoužívají.
12.4. Rovnice advekce pro dvě prostorové proměnné
Studujme lineární dvojrozměrnou rovnici advekce
u
u
u
 cx
 cy
 0 kde cx , c y  const.
t
x
y
(12.4.1)
kde u  ux, y, t  je funkce dvou prostorových proměnných, cx , c y jsou složky rychlosti
advekce. Rychlost advekce je proto dána vztahem
c  cx  c y
2
2
(12.4.2)
Stabilitu schémat pro řešení rovnice (12.4.1) budeme studovat obdobnou metodou jako
v jednodimensionálním případě popsaném v odstavci 12.1. Aproximujme derivace podle
prostorových proměnných standardními diferencemi druhého řádu aproximace
ui , j
u
 ui 1, j
u
u
 cx i 1, j
 c y i , j 1 i , j 1
(12.4.3)
t
2x
2y
Zde jsme použili obvyklý zápis, kde indexy i označují polohu uzlového bodu na ose x a index
j na ose y. Souřadnice uzlových bodů jsou tedy x  ix, y  jy . Hodnoty numerického
řešení tedy označujeme ui , j , zatímco hodnoty přesného řešení v uzlových bodech označme
200
uix, jy  . Řešení hledejme opět ve tvaru harmonické komponenty a proto do rovnice
(12.4.3) dosaďme výraz
ui , j  Re U t ei kx  ly 
(12.4.4)


docházíme tak k rovnici lineárního oscilátoru
c

dU  cx
 i 
sin kx  y sin ly U
(12.4.5)
dt
y
 x

Zvolíme-li pro derivaci podle času obkročné schéma, dostaneme podmínku stability ve tvaru
c
 cx

 sin kx  y sin ly t  1
(12.4.6)
y
 x

Tato nerovnost musí být splněna pro všechny hodnoty přípustných vlnových čísel k a l. Pro
jednoduchost budeme studovat pouze případ, ve kterém x  y , což je ovšem v modelech
na omezené oblasti téměř vždy splněno. Označme krok v síti x . V rovině vlnových čísel,
tedy v diagramu se souřadnicovými osami k a l jsou přípustná vlnová čísla obsažena ve
čtverci souřadnice jehož rohů jsou 0,0,  ,0,  ,  , 0,   . Uvnitř této oblasti levá část
nerovnosti (12.4.6) nabývá největší hodnotu ve středu čtverce. V tomto bodě délka vlny má ve
směru obou os x a y délku 4x . Proto sinkx   sin ly  1. Maximální rychlost advekce je
ve směru úhlopříčky čtverce, tedy když vektor směru vektoru rychlosti svírá s osou x úhel
2
c. CFL kriterium stability má v tomto případě tvar
2
t
(12.4.7)
2c
1
x
V důsledku toho v dvojdimensionálním případě je pro splnění podmínky stability délka
 / 4 . V tomto případě je cx  c y 
časového kroku násobena 2 / 2 . Délku časového kroku musíme je tedy volit menší než
v jednodimensionálním případě. Všimněme si, že minimum stability nastává pro vlny ve
směru osy x a y které mají dvojnásobnou délku, než nejkratší vlny popsané sátí délky 2x ,
což je stejné jako v jednodimensionálním případě. Dvojrozměrné vlnové číslo je pro tuto vlnu
rovno k 2  l 2 a je 2 krát větší než vlnová čísla podél os souřadnic a délka této vlny ve
stejném poměru menší.
12.5. Falešná interpretace vln a nelineární instabilita
Studujme nyní další možné zobecnění jednoduché jednodimensionální lineární rovnice
advekce, kterým je nelineární rovnice advekce
u
u
u
0
(12.5.1)
t
x
Vrátili jsme se k jednodimensionální rovnici a je tedy u  ux, t  . Obecné řešení této rovnice
má tvar u  f x  ut  , kde f je libovolná funkce, což si ukážeme v jedné z dalších kapitol.
Studujme nyní pouze efekt způsobený násobením v nelineárním členu. Používáme-li
diferenční metodu, jsou funkce zadávány hodnotami na síti uzlových bodů. Tím se setkáváme
201
s problémem, že na této síti není možné popsat vlny, jejichž délka je kratší než dva kroky
v síti, tedy, které jsou kratší, než 2x Těmto vlnám odpovídá vlnové číslo k max   / x , což
je maximální vlnové číslo vln které síť ještě popisuje. Studujme nyní funkci u x  , která může
být reprezentována hodnotami v uzlových bodech sítě, například
(12.5.2)
u  sin kx
kde k  k max . Dosadíme-li nyní tuto funkci do nelineárního členu rovnice (12.5.1) dostaneme
u
1
 k sin kx cos kx  k sin 2kx
x
2
1
Vidíme, že když se vlnové číslo nachází v intervalu k max  k  k max , pak nelineární člen
2
produkuje vlnové číslo, které je za hranicemi vlnových čísel, které se dají na síti zobrazit.
Výpočty pomocí konečných diferencí s takto vysokými vlnovými čísly nemohou dát správné
adekvátní výsledky.
Abychom pochopili, co se v této situaci odehrává, uvažujme vlnu, pro kterou k  k max .
u
Například nechť délka této vlny je L 
4
x . Obrázek 12.6.
3
Obrázek 12.6 Chybná interpretace vlny délky 4∆𝑥/3 na síti jako vlny 4∆𝑥.
Tato vlna je na obrázku znázorněna plnou čárou. Jestliže známe pouze hodnoty v uzlech sítě,
nemůžeme odlišit od sebe tuto vlnu od vlny délky 4x , zobrazenou na obrázku čárkovaně.
Tím tuto vlnu interpretujeme chybně jako vlnu délky 4x , neboť ta na síti zobrazitelná je.
Takto vzniká chyba falešné (nesprávné) interpretace vln, která se anglicky nazývá aliasing
error.
V obecnějším případě předpokládejme, že funkce u je součtem několika
harmonických komponent
u   un .
n
Nelineární člen pak bude obsahovat součiny harmonických komponent s různými vlnovými
délkami, jako jsou
sin k1 x  sin k 2 x
Pro tento součin můžeme napsat identitu
sin k1 x  sin k 2 x 
1
cosk1  k 2 x  cosk1  k 2 x
2
202
ze které vidíme, že i když výpočty pomocí diferencí startovaly s vlnami, pro které všechna
vlnová čísla splňovala podmínku k  k max , vzniknou velmi rychle procesem nelineárních
interakcí vlny s vlnovými čísly k  k max a tedy rovněž i chybná interpretace těchto vln.
Obecně můžeme psát
sin kx  sin2k max  2k max  k x
dosadíme-li sem k max   / x a použijeme-li vzorec pro sin rozdílu
sin     sin  cos   cos  sin  ,
dostaneme
sin kx  sin
2
2
 2

 2

 cos
 k  x  cos
 sin
 k x
x
x
 x

 x

Protože v uzlech sítě x  jx je
sin
dostáváme
2
jx  0
x
a cos
2
jx  1
x
sin kjx   sin2k max  k  jx
(12.5.3)
Jsou-li známy pouze hodnoty v uzlech sítě, pak nemůžeme rozlišit vlnu s vlnovým číslem
k od vlny s vlnovým číslem 2k max  k . To znamená, že jestliže k  k max a přijmeme dříve
popsanou konvenci, (že uvažujeme pouze vlny delší než 2x ), můžeme říci, že vlna,
s vlnovým číslem k, bude chybně interpretována, jako vlna délky
k *  2k max  k
(12.5.4)
Napíšeme-li předchozí vztah ve tvaru k max  k *  k  k max , pak můžeme říci, že vlnu, kterou
takto dostáváme má vlnové číslo k * , které je menší než k max o tolik o kolik je k větší než k max
. Můžeme si představit vlnové číslo k * jako určitý zrcadlový obraz hodnoty k vzhledem
k bodu k max do oblasti přípustných vlnových čísel.
4
x , který jsme ilustrovali obrázkem. V tomto
3
případě bylo k  3 / 2x , podle (12.5.4) dostáváme k *   / 2x , což je vlna délky L  4x
, která je znázorněna na obrázku.
Podívejme se nyní na důsledky chyb falešné interpretace vln na numerickou integraci.
Prognostickou meteorologickou proměnnou, která je funkcí prostorových proměnných,
můžeme napsat ve tvaru řady harmonických funkcí. Je užitečné studovat „energii“ těchto
vlnových komponent (složek) a zejména jejich příspěvek do střední hodnoty kvadrátu této
prognostické proměnné jako funkci vlnového čísla. Takováto funkce se nazývá energetickým
spektrem. Například, vybereme-li složky rychlosti větru jako prognostickou proměnnou, pak
tato funkce je spektrem kinetické energie. Toto spektrum popisuje, jakou roli hrají složky
různých měřítek v poli této proměnné. Ze zkušenosti víme, že spektra atmosférických
proměnných se s časem příliš nemění.
Na synoptických mapách se nevyskytují situace, při kterých jeden den dominují složky
malého měřítka a další den se nevyskytují. Tomu odpovídá skutečnost, že tvar spekter se
v čase příliš nemění. Energie některé určité komponenty spektra se sice měnit může, ale
Vraťme se k našemu příkladu L 
203
charakteristický tvar spektra vcelku zůstává nezměněný. Například pro spektrum zonální
rychlosti větru ve středních zeměpisných šířkách je typické, že má maximum pro vlnová čísla
4 až 7, to znamená, pro délky vln od 4 do 7 na kružnici rovnoběžky. Zároveň je pozorováno
rychlé snižování křivky energie, když vlnové číslo je větší než 10. Pro vlnová čísla, která jsou
blízko maximálnímu vlnovému číslu, je tedy příspěvek energie velmi malý.
Při integraci pomocí diferenčních schémat, vzhledem k malým fyzikálním změnám se však
tvar spektra může měnit v důsledku falešné interpretace vln. Jestliže spektrum má námi dříve
popsaný tvar, a uvažujeme různé kombinace k1  k 2 , která jsou větší než k max , vidíme, že
velká část takových kombinací bude náležet ke komponentám s vlnovými čísly, která nejsou o
moc větší než k max . V důsledku falešné interpretace vln vzniká chybný přítok energie
k vlnovým číslům, která nejsou o mnoho menší než k max , a časem energie těchto složek roste
za hranice fyzikálně akceptovatelnou mez. Zkušenost ukazuje, že neučiníme-li nějaká
preventivní opatření, může integrace skončit katastrofou. Tento jev je způsoben nelineárností
studovaných rovnic se nazývá nelineární instabilitou. První kdo tento jev popsal, byl
Norman Philips [3]. Tento jev objevil při integraci nedivergentní rovnice vorticity na 30 dní.
Aby tento jev analyzoval a objasnil, provedl při časové integraci každé dvě hodiny
1
harmonickou analýzu vorticity a eliminoval všechny komponenty s vlnovými čísly k  k max
2
Advekční členy pak nemnohou generovat složky s vlnovými čísly k  k max . Při tom se
předpokládalo, že po určitém čase se amplitudy eliminovaných vln znova objeví a nabudou
určitou amplitudu. Použitá procedura filtrace eliminovala důsledky falešné interpretace vln a
potvrdila existenci nelineární instability.
K odstranění nelineární instability při integraci se v současné době může postupovat
několika způsoby. Způsob, který je nejblíže původní Phillipsově práci je používán ve
spektrálních modelech, kde při použití transformační techniky máme v každém časovém
kroku k dispozici spektrum. Nejkratší nežádoucí vlny můžeme snadno odstranit tak zvaným
uřezáváním, při kterém jednoduše amplitudy nežádoucích vln klademe rovny nule.
Problémem se zabýval Orszag [3], který ukázal, že stačí odstranit pouze jednu třetinu
2
vlnových čísel, protože odfiltrujeme-li vlny s vlnovými čísly k  k max , pak vlnová čísla
3
2
falešně interpretovaných vln budou splňovat podmínku k  k max a v důsledku toho budou
3
eliminovány. V čistě diferenčních modelech je možné postupovat tak, že přidáme difúzní
členy, které krátké vlny potlačují. Schéma, které je také založeno na této vlastnosti a nevede
k nelineární instabilitě je například schéma Lax-Wendroffa. Další možností je použití
kvadraticky konservativních schémat, kterými se budeme zabývat později. Stabilita těchto
schémat je založena na tom, že nedovolují celkové zvyšování energie. Jejich stabilitu pak
můžeme dokázat energetickou metodou.
204
Literatura:
[1] NUMERICAL METHODS USED IN ATMOSPHERIC MODELS, VOLUME I.
By F. Mesinger and A. Arakawa, GLOBAL ATMOSPHERIC RESEARCH PROGRAMME
(GARP), WMO-ICSU Joint Organization Committee
GARP PUBLICATION SERIES No. 17, August 1976.
[2] Courant R., Fridrichs K., Lewy H.: Über die partiellen Differenzengleichungen der
marhematischen Physik Math. Annalen 100, 1928, s. 32-74.
[3] Orszag S. A.: On the elimination of aliasing in finite-difference schemes by filtering highwavenumber components, J. Atmospheric Sci. 28, 1971, s. 1074.
[4] Philips N.: An Example of Non-Linear Computational Instability. The Atmosphere and
the Sea in Motion, Rossby Memorial Volume, New York, 1959, Roockefeller Institute Press,
501-504
205
13. Vlnové pohyby v atmosféře a jejich důsledky pro předpovědní
modely
V této kapitole se budeme zabývat hlavními typy vln, které se v atmosféře vyskytují.
Účelem této kapitoly není zevrubné studium vlnových pohybů atmosféry, což je předmětem
spíše dynamické meteorologie. Tato kapitola je zaměřena na hlubší pochopení způsobu
numerického řešení rovnic dynamiky atmosféry, tedy jejich časové integrace, v souvislosti s
jejich vlnovými pohyby. Úkolem je pochopit, proč se rovnice, jimiž se řídí pohyb atmosféry,
v modelech zjednodušují tak, aby byly odfiltrovány, tedy z modelů odstraněny, určité vlny.
Pro numerické řešení je pak potřeba vědět, které vlny a jakým způsobem z rovnic odfiltrovat a
jak tyto rovnice pro efektivní řešení správně aproximovat. Předmětem našeho studia budou,
z fyzikálního hlediska, tři hlavní typy vlnových pohybů v atmosféře, které si nejdříve názorně
popíšeme a potom se budeme věnovat jejich matematickou formulací, založenou na
zjednodušení rovnic dynamiky atmosféry. Pochopení zejména vlnových mechanizmů je
základem takové formulace rovnic, která umožňuje efektivní řešení prognostických rovnic, a
dává také návod jak správně formulovat numerické postupy jejich řešení. Například, které
členy rovnic v semi-implicitních schématech je třeba aproximovat implicitně. Také, jakým
způsobem je třeba kombinovat semi-implicitní a semi-Lagrangeovská schémata v
numerickém řešení.
Zabývejme se nyní třemi základními typy pohybů, které mohou při velmi speciálních
podmínkách existovat v čistém tvaru. Tyto pohyby tím spíše budou existovat v obecnějších
podmínkách. Pro možnost jednoduchého matematického řešení budeme studovat vlnové
pohyby, které popisují linearizované rovnice hydrodynamiky pro adiabatický pohyb nevazké
tekutiny, za kterou vzduch považujeme. Tyto rovnice mají periodická řešení v čase i prostoru.
Pomocí superpozice jednotlivých komponent máme potom možnost popsat i obecnější řešení.
Pro naše cíle můžeme typy vlnových pohybů klasifikovat a nazvat vlnami podélnými,
vlnami vertikálně příčnými a vlnami horizontálně příčnými. Thompson [8]. Podélné vlny
jsou vlnami lokálního stlačení vzduchu. Trajektorie částic při pohybu těchto vln leží na
liniích, ve kterých se tyto vlny šíří. Na rozdíl od toho při vertikálně příčném vlnění se částice
pohybují nahoru a dolu ve svislém směru zároveň s tím jak se tyto vlny horizontálně
pohybují. Analogicky při příčných horizontálních vlnách částice kmitají ve směru poledníků
na sever a zpět na jih, zatímco se tyto vlny pohybují ve směru rovnoběžek. Nyní si tyto
jednotlivé pohyby matematicky formulujeme a odtud získáme jejich vlastnosti, zejména
fázovou rychlost těchto vln, jejíž znalost je důležitá pro numerické řešení.
13.1. Linearizace rovnic dynamiky perturbační metodou a zvukové vlny
Perturbační metoda se používá pro odstranění nelineárních členů z rovnic popisujících
pohyby různých prostorových a časových měřítek. Hlavním úkolem linearizace rovnic je tedy
oddělit od sebe popis pohybu částic vzduchu, který je dán prostým posunem vzduchu daným
průměrnou rychlostí větru nazývaným advekcí a vlnovými pohyby, které jsou popsány
linearizovanými rovnicemi dynamiky atmosféry. Advekce, tedy prostorový posun atmosféry,
má v podstatě malý vliv na vlastní vlnové pohyby atmosféry, zejména nad rovinným
povrchem. Úkolem linearizovaných rovnic je právě popsat malé odchylky od základního
206
pohybu atmosféry vzniklé právě vlnovými pohyby. Výsledný pohyb je pak superpozicí
(sečtením) vlnových pohybů a advekce. Tato metoda nám pro studium vlnových pohybů
redukuje rovnice na lineární. Tyto lineární rovnice mají analytické řešení v konečném tvaru,
které můžeme použít pro studium vlastností těchto vln. Ve složitějších rovnicích, zejména
třírozměrných modelů, jsou i některé další proměnné rozděleny na hlavní konstantní část a na
proměnnou odchylku od konstantního stavu, která musí být vzhledem k hlavní konstantní
části malá.
Cílem perturbační metody aplikované na rovnice dynamiky atmosféry, je tedy
linearizace těchto rovnic. Metoda se zakládá se na předpokladu, že pohyb atmosféry se skládá
z malé perturbace základního ustáleného pohybu. Smirnov [6] a Haltiner - Martin [2]. Skládá
se tedy základního ustáleného pohybu a malých změn tohoto ustáleného pohybu.
Základní princip této metody jsou následující:
1. Základní ustálený pohyb musí sám splňovat řídící rovnice dynamiky atmosféry.
2. Celkový pohyb atmosféry včetně perturbace musí rovněž splňovat tyto rovnice.
3. Součiny veličin charakterizujících perturbace je možné zanedbat vzhledem ke členům
prvního řádu. Členy prvního řádu jsou samotné perturbace a členy druhého řádu, které
zanedbáváme, jsou jejich součiny.
4. Po odečtení rovnic ustáleného pohybu a zanedbání členů druhého řádu, dostaneme
lineární rovnice, které nám popisují samotné vlnové pohyby atmosféry.
Pro studium perturbační metody vyjdeme z rovnic formulovaných ve 4. kapitole a to rovnic
hybnosti (4.1.34), (4.1.35), (4.1.36) a (1.2.35)
𝑑𝑢
𝜕𝑝
= −𝛼
+ 𝑓𝑣
𝑑𝑡
𝜕𝑥
(13.1.1)
𝑑𝑣
𝜕𝑝
= −𝛼
− 𝑓𝑢
𝑑𝑡
𝜕𝑦
(13.1.2)
Pro nehydrostatické modely, pracující s plně stlačitelnou atmosférou, můžeme rovnici
hybnosti ve směru osy z, psát ve tvaru
𝑑𝑤
𝜕𝑝
= −𝛼
−𝑔
𝑑𝑡
𝜕𝑧
(13.1.3)
Pro modely v hydrostatickém přiblížení
𝜕𝑝
−𝑔
𝜕𝑧
kde 𝑓 = 2Ω sin 𝜑 se nazývá Coriolisův parametr
Rozepíšeme-li individuální změny složek hybností,
horizontálních složek hybnosti psát ve tvaru
0 = −𝛼
můžeme rovnice pro změny
207
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑝
+𝑢
+𝑣
+𝑤
− 𝑓𝑣 + 𝛼
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
(13.1.4)
∂v
∂v
∂v
∂v
∂p
+ u + v + w + fu + α
=0
∂t
∂x
∂y
∂z
∂y
(13.1.5)
Rovnici kontinuity (1.2.5), tedy zákona zachování hmoty atmosféry
∂ρ
+ div ρ𝐯 = 0
∂t
(13.1.6)
Kterou můžeme psát také pro měrný objem ∝ ve tvaru
d∝
−∝ div 𝐯 = 0
dt
(13.1.7)
Nedá se však napsat v divergentním tvaru jako pro hustotu ρ v (13.1.6).
Termodynamická rovnice pro adiabatické děje může být podle potřeby formulována jako
zákon zachování potenciální teploty, nebo entropie.
Do rovnic nyní za hodnoty proměnných celkového pohybu dosadíme součty hodnot
proměnných základního proudění označené pruhem a perturbace označené čárkou
̅ +∝ ′,
u = u̅ + u′ ,
v = v̅ + v ′ ,
w=w
̅ + w ′ , p = p̅ + p′ , ρ = ρ̅ + ρ′ , ∝=∝
(13.1.8)
kde pro jednoduchost zápisu jsme použili i měrný objem α i když je pouze převrácenou
hodnotou hustoty ρ. Proměnná α tedy v podstatě nemění počet neznámých v rovnicích.
Dosadíme-li tyto vztahy do rovnice hybnosti (13.1.4) máme
∂
∂
∂
∂
(u̅ + u′) + (u̅ + u′) (u̅ + u′) + (v̅ + v′) (u̅ + u′) + (w
̅ + w′) (u̅ + u′)
∂t
∂x
∂y
∂z
∂
̅ +∝ ′) (p̅ + p′) + f(v̅ + v′)
= −(∝
∂x
(13.1.9)
Základní ustálený pohyb musí splňovat rovnici
∂u̅
∂u̅
∂u̅
∂u̅
∂p̅
̅
+ u̅
+ v̅
+w
̅
= −∝
+ fv̅
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
(13.1.10)
Tuto rovnici odečteme od rovnice (13.1.9) a zanedbáme-li členy druhého řádu, dostáváme
linearizovanou rovnici hybnosti ve směru osy x.
∂u′
∂u′
∂u′
∂u′
∂u̅
∂u̅
∂u̅
∂p′
∂p̅
̅
+ u̅
+ v̅
+w
̅
+ u′
+ v′
+ w′
= −∝
−∝′
+ fv′
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
∂x
∂x
(13.1.11)
Stejným způsobem linearizujeme i rovnice ve směru os y, z.
Tyto linearizované rovnice si můžeme napsat také ve vektorovém tvaru
∂𝐯′
̅ grad p′ − ∝′ grad p̅ − 2𝛀 × 𝐯 ′ − 𝐠
+ 𝐯̅ ∙ grad 𝐯 ′ + 𝐯 ′ ∙ grad ̅𝐯 = −∝
∂t
(13.1.12)
208
Přičemž základní ustálený pohyb bude splňovat rovnici
∂𝐯̅
̅ grad p̅ − 2𝛀 × 𝐯̅
+ 𝐯̅ ∙ grad 𝐯̅ = − ∝
∂t
(13.1.13)
Pro studium zvukových a gravitačních vln budeme rychlost 𝐯̅ ustáleného pohybu považovat
v čase za konstantní, a bude tedy ∂𝐯̅⁄∂t = 0. V tomto případě ustálený pohyb musí splňovat
rovnici
̅ grad p̅ − 2𝛀 × 𝐯̅
𝐯̅ ∙ grad 𝐯̅ = − ∝
(13.1.14)
Aby vektor 𝐯̅ zůstal stále v čase konstantní, musí splňovat i perturbace stejnou podmínku.
Proto linearizovanou rovnici pro zvukové a gravitační vlny můžeme psát ve tvaru
∂𝐯′
̅ grad p′ − 𝐠
+ 𝐯̅ ∙ grad 𝐯 ′ = −∝
∂t
(13.1.15)
Tento systém linearizovaných Eulerových rovnic hybnosti není samozřejmě úplný a
neurčuje tedy řešení. Aby tento systém byl úplný a určoval řešení, je třeba k rovnicím přidat
ještě rovnici kontinuity a v obecném případě atmosféry i první větu termodynamiky, nebo jiné
předpoklady. Na příklad že studujeme případ adiabatických dějů v atmosféře, nebo že
atmosféra je nestlačitelná, následkem čehož musí být perturbace měrného objemu ∝′ rovna
nule. Další rovnice proto přidáme až pro studium jednotlivých vlnových pohybů, které
budeme studovat za určitých vhodných předpokladů.
Pro studium vln budeme vesměs považovat rychlost základního ustáleného pohybu, za
konstantní v čase i prostoru. Tento ustálený pohyb budeme uvažovat jako advekci, která je
dána konstantním vektorem 𝐯̅ v čase i prostoru. Advekce nebude mít v tomto případě na
vlnové pohyby vliv a v linearizovanou rovnici (13.1.15) můžeme vypustit i členy advekce
𝐯̅ ∙ grad 𝐯 ′ , které můžeme interpretovat jako posun atmosféry konstantní rychlostí 𝐯̅. Na
vlastní vlnové pohyby nemá tento posun vliv.
Nejdříve se zabývejme podélnými vlnami, neboli vlnami lokálního stlačení vzduchu,
což jsou zvukové vlny. Tyto vlny jsou studovány nejčastěji pro prostorově jednorozměrný
případ. Fyzikálně tento případ představuje například šíření zvukových vln uvnitř roury
naplněné vzduchem. Pro pochopení mechanizmu odfiltrování zvukových vln v modelech
raději studujme třírozměrný případ.
13.2. Zvukové vlny v atmosféře
Zvukové vlny vznikají podélným stlačením vzduchu, malé amplitudy, při kterých
v každém místě dochází postupné stlačení a pak expanze malého objemu vzduchu. Při tomto
procesu nedochází k přítoku, nebo odběru tepla, proto je tento proces adiabatický. Tento
jev, protože se týká stlačení, musíme studovat bez předpokladu hydrostatického stavu
atmosféry.
Pro studium zvukových vln vyjdeme z následujících rovnic: zákona zachování
hybnosti v inerciálním systému, který je v 1. kapitole formulován rovnicemi (1.2.33),
(1.2.34), (1.2.35).
du
1 ∂p
= Fx −
dt
ρ ∂x
(13.2.1)
209
𝑑𝑣
1 𝜕𝑝
= 𝐹𝑦 −
𝑑𝑡
𝜌 𝜕𝑦
𝑑𝑤
1 𝜕𝑝
= 𝐹𝑧 −
𝑑𝑡
𝜌 𝜕𝑧
(13.2.2)
(13.2.3)
Tyto tři rovnice můžeme napsat také ve vektorovém tvaru
𝑑𝐯
1
= 𝐅 − 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝
𝑑𝑡
𝜌
(13.2.4)
Rovnici kontinuity (1.2.5), tedy zákona zachování hmoty atmosféry
𝜕𝜌
+ 𝑑𝑖𝑣 𝜌𝐯 = 0
𝜕𝑡
(13.2.5)
Poslední rovnici, kterou přidáme k soustavě, vyjadřuje skutečnost, že se jedná o adiabatický
děj. Ten můžeme charakterizovat tím, že v pohybujících se částicích je zachována potenciální
teplota 𝜃 a tedy také entropie Q, což popisuje rovnice (1.2.26)
𝑑𝑄
𝑑 𝑙𝑛𝜃 𝑐𝑝 𝑑𝜃
= 𝑐𝑝
=
=0
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝜃 𝑑𝑡
(13.2.6)
Předchozí rovnice vyjadřuje, že pohyb atmosféry je adiabatický. Ve speciálním případě se
může stát, že v počátečním časovém okamžiku bude entropie ve všech bodech vzduchu stejná.
V tomto případě s měnícím se časem i pohybem vzduchu zůstává entropie nadále všude
stejná, a tedy konstantní. Podmínku že pohyb je adiabatický můžeme zapsat také vztahem
𝑄 = 𝑄0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
(13.2.7)
Takový pohyb, kde se nemění entropie částic se nazývá izentropickým. V tomto případě
máme
𝑝 = 𝑓(𝜌, 𝑄0 ) = 𝑓(𝜌)
(13.2.8)
Atmosféra, která je z hlediska globálního pohybu v rovnovážném stavu, to znamená
bez zvukových vln, a splňuje tedy rovnici hydrostatické rovnováhy. Tento rovnovážný stav
nechť je popsán hodnotami proměnných označených pruhem 𝜌̅ a 𝑝̅. Tyto dvě veličiny tedy
splňují hydrostatickou rovnici. Označíme-li odchylky od tohoto rovnovážného stavu 𝜌′ a 𝑝′
můžeme napsat
𝜌 = 𝜌̅ + 𝜌′,
𝑝 = 𝑝̅ + 𝑝′
(13.2.9)
Kde ovšem čárkované veličiny – perturbace jsou o řády menší, než jejich rovnovážné
hodnoty. Je tedy
𝜌̅ ≪ 𝜌′,
𝑝̅ ≪ 𝑝′
(13.2.10)
Poznamenejme, že čárkované veličiny, tedy perturbace vyjadřují změny veličin ve zvukové
vlně. Veličina p‘ se nazývá zvukovým tlakem Smirnov [6] . Dosadíme-li vztahy (13.1) do
rovnic zachování hybnosti (1.2.28), (1.2.29), (1.2.30) a zanedbáme-li členy druhého řádu,
tedy součiny perturbací a jejich derivací, zjednoduší se nám tyto rovnice a za předpokladu, že
na částice nepůsobí žádné vnější síly, neboť síla zemské tíže je podle hydrostatické rovnice
zcela kompenzována vertikální složkou silou síly gradientu tlaku , a tedy je
𝐹𝑥 = 𝐹𝑦 = 0 , 𝐹𝑧 = 0
(13.2.11)
Pro přehlednost si rovnice napíšeme znovu, a značení pro zjednodušení zápisu
trošku změníme. U perturbací složek větru vynecháme apostrof. Vektor rychlosti v zde pak
znamená pouze změnu rychlosti částic vzduchu způsobenou zvukovými vlnami.
210
Dosadíme-li do rovnice kontinuity (13.1.5) vztahy (13.1.9) a zanedbáme-li malé
𝜕𝑢 𝜕𝜌′ 𝜕𝑝′
veličiny druhého řádu tvořené součiny veličin prvního řádu (𝜌′ , 𝑝′ , 𝐯, 𝜕𝑥 , 𝜕𝑥 ,
𝜕𝑥
, … ) dostane
rovnice kontinuity tvar
𝜕𝜌′
+ 𝜌̅ 𝑑𝑖𝑣𝐯 = 0
𝜕𝑡
(13.2.12)
Položíme-li
𝑠=
𝜌′ 𝜌 − 𝜌̅
=
𝜌̅
𝜌̅
(13.2.13)
Dostaneme
𝜕𝑠
+ 𝑑𝑖𝑣𝐯 = 0
𝜕𝑡
(13.2.14)
V Eulerových rovnicích (13.1.1) až (13.1.3) nechť nepůsobí vnější síly, neboť síla zemské tíže
je zahrnuta do základního pohybu atmosféry, dostáváme ve stejném přiblížení rovnice ve
tvaru
𝜕𝑢
1 𝜕𝑝′
=−
,
𝜕𝑡
𝜌̅ 𝜕𝑥
𝜕𝑣
1 𝜕𝑝′
=−
,
𝜕𝑡
𝜌̅ 𝜕𝑦
𝜕𝑤
1 𝜕𝑝′
=−
𝜕𝑡
𝜌̅ 𝜕𝑧
(13.2.15)
nebo ve vektorovém tvaru
𝑑𝐯
1
= − 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝′
𝑑𝑡
𝜌̅
(13.2.16)
Rovnice kontinuity (13.1.6) a hybnosti (13.1.16) obsahují neznámé funkce 𝐯, 𝑠, 𝑝′. Pro
eliminaci jedné z těchto funkcí, zvukového tlaku p‘ použijeme rovnici izentropického děje
(13.1.8) podle které je
𝑝 = 𝑝̅ + 𝑝′ = 𝑓(𝜌) = 𝑓(𝜌̅ + 𝜌′) ≅ 𝑓(𝜌̅ ) + 𝑓′(𝜌̅ )𝑝′
(13.2.17)
′
kde 𝑓 = 𝑑𝑓 ⁄𝑑𝜌 . Podle předpokladu perturbační metody je též 𝑝̅ = 𝑓(𝜌̅ ), proto v přiblížení
můžeme psát
𝑝′ = 𝑓 ′(𝜌̅) 𝜌′ = 𝜌̅ 𝑓 ′(𝜌̅) 𝑠 = 𝑎2 𝑠
(13.2.18)
Kde jsme položili
𝑎2 = 𝑓′(𝜌̅ )
A dosadíme z předchozího vztahu 𝑎2 do rovnice (13.1.16) máme
𝜕𝐯
+ 𝑎2 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑠 = 0
𝜕𝑡
(13.2.19)
(13.2.20)
Vztah (13.1.19) vyjadřuje fyzikálně tu skutečnost, která platí pro všechny kapaliny a plyny
v přírodě, že při konstantní entropii s rostoucí hustotou roste tlak. Je tedy 𝑓′(𝜌) > 0.
211
Aplikujeme-li na rovnici (13.1.20) operátor divergence a zaměníme-li pořadí derivování podle
času s operátorem divergence dostaneme
𝜕
𝑑𝑖𝑣 𝐯 = −𝑎2 𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑠 = −𝑎2 ∆𝑠
𝜕𝑡
(13.2.21)
kde
𝜕 2𝑠 𝜕 2𝑠 𝜕 2𝑠
∆𝑠 = 2 + 2 + 2
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦
(13.2.22)
Derivováním (13.1.14) podle času t kam dosadíme ze vztahu (13.1.21) dostáváme
𝜕 2𝑠
𝜕 2𝑠 𝜕 2𝑠 𝜕 2𝑠
2
= 𝑎 ( 2 + 2 + 2)
𝜕𝑡 2
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦
(13.2.23)
2
Dosadíme-li do předchozího vztahu (13.2.23) za s ze vztahu (13.2.18) 𝑠 = 𝑝′⁄𝑎 dostáváme
pro zvukový tlak p‘ stejnou vlnovou rovnici tvaru (13.2.23). Obdobnou rovnici můžeme
obdržet i pro změnu rychlosti způsobenou zvukovými vlnami v.
Předpokládejme nyní, že v počátečním okamžiku existuje rychlostní potenciál, neboli
divergenční potenciál 𝜑, tedy
𝐯|𝑡=0 = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜑0 (𝑥, 𝑦, 𝑧)
(13.2.24)
Z rovnice (13.2.21) dostáváme
𝑡
𝐯(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝐯|𝑡=0 − 𝑎2 𝑔𝑟𝑎𝑑 ∫0 𝑠 𝑑𝑡
Podle vztahu (13.2.24) pak máme
𝑡
𝐯 = −𝑔𝑟𝑎𝑑 [𝜑0 (𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑎2 ∫0 𝑠 𝑑𝑡] = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
(13.2.25)
(13.2.26)
Tento vztah znamená, že v libovolný časový moment existuje divergenční potenciál
𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) který je dán vztahem
𝑡
𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝜑0 (𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑎2 ∫0 𝑠 𝑑𝑡
(13.2.27)
Nyní si ukážeme, že divergenční potenciál 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) splňuje vlnovou rovnici.
Skutečně, derivujeme-li rovnici (13.2.27) podle času t dvakrát, dostaneme
𝜕 2𝜑
𝜕𝑠
= 𝑎2
2
𝜕𝑡
𝜕𝑡
(13.2.28)
Zároveň , když do rovnice (3.2.14) dosadíme vektor rychlosti z rovnice (13.2.26) máme
𝜕𝑠
= 𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜑 = ∆𝜑
𝜕𝑡
(13.2.29)
Dosazením derivace 𝜕𝑠⁄𝜕𝑡 z předchozího vztahu do vztahu (13.2.28) máme
𝜕 2𝜑
𝜕 2𝜑 𝜕 2𝜑 𝜕 2𝜑
2
=
𝑎
(
+
+
)
𝜕𝑡 2
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 2
(13.2.30)
Poznamenejme, že znalost divergenčního potenciálu 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) nám stačí k tomu, abychom
definovali celý proces pohybu vzduchu při zvukové vlně. Je to proto, že
212
𝐯 = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜑,
𝑠=
1 𝜕𝜑
,
𝑎2 𝜕𝑡
𝑝′ = 𝜌̅
𝜕𝜑
𝜕𝑡
(13.2.31)
První ze vztahů je přímo vztah (13.2.26) druhý dostaneme derivováním vztahu (13.2.27)
podle času t jednou a poslední z druhého vztahu pole (13.2.18).
Formulujme si ještě počáteční a okrajové podmínky. Studujme vzduch uvnitř prostorového
objemu V, ohraničeného plochou Σ. V počátečním časovém okamžiku t=0 nechť je zadána
relativní změna hustoty vzduchu s pole vektoru rychlosti v v každém bodě objemu V. Tyto
hodnoty definují počáteční podmínky ve tvaru
∂φ
𝜑|𝑡=0 = 𝜑0 (𝑥, 𝑦, 𝑧)
|
= 𝑎2 𝑠
∂t 𝑡=0
(13.2.32)
Jestliže hranice Σ je pevná neproniknutelná plocha, pak na této ploše je derivace ve směru
normály k této ploše rovna nule, což vede k odrazu vln.
Studujme nyní ještě obvyklý jednodimensionální případ.
Pro adiabatické děje v atmosféře můžeme rovnici kontinuity (13.1.6) psát také v jiném
tvaru Holton [4]. Pro adiabatické procesy v atmosféře podle vztahu (1.2.31) platí
𝑑𝜌
𝜌 𝑑𝑝
=
𝑑𝑡 𝛾𝑝 𝑑𝑡
(13.2.33)
kde 𝛾 = 𝑐𝑝 ⁄𝑐𝑣 . V rovnici kontinuity můžeme proto nahradit individuální změnu hustoty
individuální změnou tlaku. Rovnici (13.1.6) v advekčním tvaru
𝑑𝜌
+ 𝜌 𝑑𝑖𝑣 𝐯 = 0
𝑑𝑡
Dosadíme-li do předchozího vztahu za 𝑑𝜌⁄𝑑𝑡 ze vztahu (13.1.33) dostaneme
𝑑𝑝
+ 𝛾𝑝 𝑑𝑖𝑣 𝐯 = 0
𝑑𝑡
(13.2.34)
(13.2. 35)
Z předchozího třírozměrného studia zvukových vln je vidět, že zvukové vlny se šíří
od počátečního zdroje všemi směry stejnou rychlostí. Proto se studuje obvykle pouze
jednorozměrný případ, což by fyzikálně odpovídalo šíření zvukových vln v rouře. Můžeme
proto studovat zvukové vlny vytvářené stlačením ve směru osy x tím, že položíme rovny nule
složky rychlosti kolmé k ose x tedy v=w=0. Navíc ještě vyloučíme závislost složky rychlosti
u na proměnných x a z. Složka rychlosti 𝑢(𝑥, 𝑡) bude funkcí pouze souřadnice x a času t.
V tomto případě můžeme Eulerovy rovnice psát ve tvaru
𝜕𝑢
𝜕𝑢 1 𝜕𝑝
+𝑢
+
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥 𝜌 𝜕𝑥
(13.2.36)
𝜕𝑝
𝜕𝑝
𝜕𝑢
+𝑢
+ 𝛾𝑝
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑥
(13.2.37)
Řešení budeme hledat perturbační metodou. Rovnovážný ustálený stav je dán hodnotami
proměnných
𝑢 = 𝑢̅, 𝜌 = 𝜌̅ , 𝑝 = 𝑝̅
(13.2.38)
213
při čemž
𝜕𝑢̅ 𝜕𝑢̅ 𝜕𝜌̅ 𝜕𝜌̅ 𝜕𝑝̅ 𝜕𝑝̅
=
=
=
=
=
=0
𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑥
(13.2.39)
Do rovnic (13.2) a (13.2) dosadíme
𝑢 = 𝑢̅ + 𝑢′ ,
𝑝 = 𝑝̅ + 𝑝′ , 𝜌 = 𝜌̅ + 𝜌′
(13.2.40)
′
Pro zanedbání členů druhého řádu si nejdříve vyjádříme převrácenou hodnotu 𝜌̅ + 𝜌 jako
součet řady. Použijeme k tomu následujícího rozvoje.
Následující řada střídající znaménka je pro 0 ≤ 𝑎 < 1 je konvergentní a její součet je
1
1 − 𝑎 + 𝑎2 − 𝑎3 + 𝑎4 − 𝑎5 + ⋯ =
1+𝑎
protože následující geometrická řada ji majorizuje a je za těchto podmínek konvergentní
1
1 + 𝑎 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎3 + 𝑎5 + ⋯ =
1−𝑎
Zlomek 1⁄(𝜌̅ + 𝜌′) můžeme podle předchozích vztahů upravit následovně
1
1
𝜌′
= (1 + )
𝜌̅ + 𝜌′ 𝜌̅
𝜌̅
−1
2
3
1
𝜌′
𝜌′
𝜌′
= (1 − + ( ) − ( ) + ⋯ )
𝜌̅
𝜌̅
𝜌̅
𝜌̅
Po zanedbání členů druhého vyšších řádů můžeme psát
1
1
𝜌′
≅ (1 − )
𝜌̅ + 𝜌′ 𝜌̅
𝜌̅
(13.2.41)
Po dosazení hodnot a zanedbání členů druhého řádu dostaneme
𝜕𝑢′
𝜕𝑢′ 1 𝜕𝑝′
+ 𝑢̅
+
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥 𝜌̅ 𝜕𝑥
(13.2.42)
𝜕𝑝′
𝜕𝑝′
𝜕𝑢′
+ 𝑢̅
+ 𝛾𝑝̅
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑥
(13.2.43)
Eliminujeme-li z těchto dvou rovnic 𝑢′ dostáváme
𝜕
𝜕
𝜕
𝜕
𝛾𝑝̅ 𝜕 2 𝑝′
′
( + 𝑢̅ ) ( + 𝑢̅ ) 𝑝 =
𝜕𝑡
𝜕𝑥 𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜌̅ 𝜕𝑥 2
(13.2.44)
Což je všeobecně známá vlnová rovnice. Tato rovnice má periodické neboli „vlnové“ řešení
ve tvaru
𝑝′ = 𝐴𝑒 𝑖𝑘(𝑥−𝑐𝑡)
(13.2.45)
kde k je vlnové číslo, A konstantní amplituda a c konstantní fázová rychlost. Dosadíme-li
řešení ve tvaru (13.2.45) do (13.2.44) po vydělení faktorem 𝐴𝑒 𝑖𝑘(𝑥−𝑐𝑡) dostáváme
𝛾𝑝̅
(−𝑖𝑘𝑐 + 𝑖𝑘𝑢̅)2 −
(𝑖𝑘)2 = 0
𝜌̅
(13.2.46)
Což je rovnice určující fázovou rychlost c. Tuto rovnici řešíme vzhledem k c a pro fázovou
rychlost dostáváme
214
𝛾𝑝̅
𝑐 = 𝑢̅ ± ( )
𝜌̅
1⁄
2
(13.2.47)
nebo též
𝑐 = 𝑢̅ ± √𝛾𝑅𝑇̅
(13.2.48)
̅
Kde 𝑇 je absolutní teplota rovnovážného stavu. Poslední vztah je znám jako vzorec pro
rychlost zvuku. Hodnota √𝛾𝑅𝑇̅ se nazývá adiabatická rychlost zvuku. Konstantní rychlost 𝑢̅
hraje pouze jako Dopplerův posun frekvence zvukových vln. Pro frekvenci platí
𝜈 = 𝑘𝑐 = 𝑘𝑢̅ ± 𝑘√𝛾𝑅𝑇̅
(13.2.49)
pro pozorovatele, který se vzhledem ke zdroji zvuku nepohybuje.
Srovnáním rovnic je zřejmé, že a z třírozměrného studia zvukových vln je rovno 𝑎2 = 𝛾𝑝̅⁄𝜌̅ ,
tedy pro 𝑢̅ = 0 je 𝑎 = 𝑐 je fázová rychlost zvukových vln.
Rychlost zvuku c je z předchozího vztahu pro T=273.15 K (nula stupňů Celsia), 𝛾 = 1.4
(bezrozměrná konstanta), R=287 [𝐽 𝑘𝑔−1 𝐾 −1 ] odtud rozměr RT je [𝐽 𝑘𝑔−1 ≡ (𝑚⁄𝑠)2 ] odtud
pro rychlost zvuku máme c=331 m/s neboli 1192 km/hod.
13.4. Gravitační a Rossbyho vlny – vertikálně příčné a horizontálně příčné vlny
V předchozí části kapitoly jsme dosti podrobně vyčerpali problematiku modelů, které
v každém okamžiku nejsou v hydrostatické rovnováze a existují v nich vlny podélného
stlačení, tedy zvukové vlny. Pro studium dalších typů vlnových pohybů, tedy vertikálně
příčných vln a horizontálně příčných vln použijeme model mělké vody. Tento model,
nejenom že je hydrostatický, ale na tekutinu je kladena ještě silnější podmínka
nestlačitelnosti, jejímž důsledkem je konstantní hustota 𝝆 a jde tedy vlastně o kapalinu.
Podmínka nestlačitelnosti sama také neumožňuje zvukové vlny.
Gravitační vlny
Abychom ze studia vyloučili horizontálně příčné vlny, omezíme pohyb částic do rovin
rovnoběžných se souřadnicovou rovinou určenou osami souřadnic x, z . V pohybových
rovnicích mělké vody položíme rovu nule složku rychlosti v. Rovnice hybnosti (5.1.9)
(5.1.10) se pak redukují na jednu rovnici pro složku rychlosti u.
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜌2 𝜕ℎ
+𝑢
+ 𝑔 (1 − )
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜌1 𝜕𝑥
(13.4.1)
Rovnice kontinuity (5.1.19) se pak redukuje na rovnici
𝜕ℎ
𝜕ℎ
𝜕𝑢
+𝑢
+ℎ
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑥
(13.4.2)
Tyto dvě rovnice tvoří uzavřený systém rovnic pro časový vývoj proměnných u a h . Pro
řešení těchto dvou nelineárních rovnic použijeme opět perturbační metodu. Rovnovážný
ustálený stav je charakterizován konstantní složkou rychlosti 𝑢 = 𝑢̅ a klidovou výškou
215
hladiny mělké vody ℎ = 𝐻. Derivace těchto rovnovážných proměnných podle času t a
souřadnici x jsou rovny nule. Perturbace jako obvykle označíme apostrofem. Do rovnic
dosaďme tedy
𝑢 = 𝑢̅ + 𝑢′ , ℎ = 𝐻 + ℎ′
(13.4.3)
Po zanedbání součinů perturbací dostáváme
𝜕𝑢′
𝜕𝑢′
𝜌2 𝜕ℎ′
+ 𝑢̅
+ 𝑔 (1 − )
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜌1 𝜕𝑥
(13.4.4)
𝜕ℎ′
𝜕ℎ′
𝜕𝑢′
+ 𝑢̅
+𝐻
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑥
(13.4.5)
Eliminací u‘ z těchto dvou rovnic dostáváme
𝜕
𝜕
𝜕
𝜕
𝜌2 𝜕 2 ℎ′
( + 𝑢̅ ) ( + 𝑢̅ ) ℎ′ = 𝑔𝐻 (1 − ) 2
𝜕𝑡
𝜕𝑥 𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜌1 𝜕𝑥
(13.4.6)
Poznamenejme, že tato rovnice má z hlediska matematiky stejný tvar jako rovnice (13.2.44)
pro zvukové vlny. Perturbace výška hladiny h‘ odpovídá zvukový tlak p‘ a konstantě 𝑔ℎ(1 −
𝜌2 ⁄𝜌1 ) odpovídá konstanta 𝛾𝑝̅⁄𝜌̅ . Rovnice má proto vlnové řešení tvaru
ℎ′ = 𝐴𝑒 𝑖𝑘(𝑥−𝑐𝑡)
(13.4.7)
Když fázová rychlost je dána vztahem
𝜌2 1/2
𝑐 = 𝑢̅ ± [𝑔𝐻 (1 − )]
𝜌1
(13.4.8)
V páté kapitole jsme si ukázali, že dvouvrstvý model mělké vody je ekvivalentní
s jednovrstvým modelem, kde 𝜌2 = 0, ale konstanta tíhového zrychlení je rovna 𝑔∗ =
𝑔(1 − 𝜌2 ⁄𝜌1 ), V tomto případě je fázová rychlost dána vztahem 𝑐 = 𝑢̅ ± [𝑔∗ 𝐻]1/2.
V případě že nás zajímá pouze fázová rychlost vln je 𝑢̅ = 0 a fázová rychlost je dána známým
vztahem √𝑔𝐻.
V baroklinním modelu, který se skládá z více vrstev různé teploty a tedy i hustoty je
spektrum vertikálních vln složitější. V kapitole o vertikálních normálních módách si ukážeme,
že vertikální strukturu baroklinniho modelu který má n vrstev můžeme pomocí normálních
módů rozložit na n modelů mělké vody a pro baroklinní model odvodit fázové rychlosti vnější
i vnitřních gravitačních vln.
Rossbyho vlny
Studujme nyní horizontálně příčné vlny. Tyto vlny identifikoval a popsal švédskoamerický meteorolog Carl-Gustav Arvid Rossby v roce 1939 narozený v roce 1898 ve
Stockholmu. Tyto vlny mají pro meteorologii zásadní význam, protože se jimi společně se
západním přenosem řídí pohyb tlakových útvarů. Jsou způsobeny rotací Země, přesněji
řečeno změnou Coriolisova parametru ve směru poledníků. Mimo oblast meteorologie jsou
však téměř neznámé. Pro objasnění mechanizmu Rossbyho vln použijeme příklad, který
předložil sám C. G. Rossby. Pro jejich studium vyjdeme opět z rovnic mělké vody, které jsou
216
pro modelování v meteorologii nejpoužívanějším zjednodušením, které implicitně popisuje
meteorologicky důležité vlny a hodí se i pro testování a vývoj numerických metod
používaných v meteorologii. Pro eliminaci vertikálně-příčných gravitačních vln požadujme,
aby trajektorie částic ležely v horizontálních plochách. Zvukové vlny jsou eliminovány tím,
že vrstva mělké vody je nestlačitelná. Tím obdržíme Rossbyho vlny v čisté podobě.
Předpokládejme tedy, že vertikální rychlost je v celé vrstvě mělké vody rovna nule, tedy
𝑤 = 0. Konstantní hustotu ve vrstvě označme jednoduše 𝜌. Pro další odvození použijeme
rovnice hybnosti (5.1.11) a (5.1.12) které v tomto označení jsou
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕ℎ
+𝑢
+𝑣
− 𝑓𝑣 + 𝑔
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥
(13.4.9)
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕ℎ
+𝑢
+𝑣
+ 𝑓𝑢 + 𝑔
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦
(13.4.10)
Rovnice kontinuity pro pohyb ve vrstvě nestlačitelné kapaliny s přihlédnutím k tomu, že
𝑤 = 0 znamená, že divergence horizontálního větru je rovna nule, tedy
𝜕𝑢 𝜕𝑣
𝑑=
+
=0
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(13.4.11)
Nyní odvodíme rovnici pro časovou změnu relativní vorticity 𝜁 a absolutní vorticity 𝜂
𝜕𝑣 𝜕𝑢
𝜁=
−
,
𝜂 =𝜁+𝑓
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(13.4.12)
Z předchozích rovnic hybnosti odvodíme rovnici vorticity derivováním rovnice (13.4.10)
podle x odečteme od ní rovnici (13.4.9) derivovanou podle y dostaneme
𝜕𝜁
𝜕𝜁
𝜕𝜁
𝜕𝑓
𝜕𝑓
+𝑢
+𝑣
+𝑢
+𝑣
+ (𝜁 + 𝑓)𝑑 = 0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(13.4.13)
Vzhledem k tomu, že Coriolisův parametr f nezávisí na čase, můžeme rovnici vorticity napsat
stručněji
𝑑𝜂⁄𝑑𝑡 + 𝜂𝑑 = 0
(13.4.14)
Všimněme si toho, že při odvození rovnice vorticity se vždy vzájemně vyruší členy gradientu
tlaku. Tím, že předpokládáme, že vertikální rychlost w je rovna nule musí být h konstantní a
členy gradientu tlaku jsou rovny nule, i když se v rovnici vorticity nevyskytují. Navíc i člen
(𝜁 + 𝑓)𝑑 = 0 je v předchozí rovnici roven nule.
Rovnici vorticity ještě v souvislosti s perturbační metodou ještě zjednodušíme. Podle
předpokladu je horizontální divergence větru rovna nule. Rossbyho vlny se obvykle studují
v tak zvané β-rovině. V této rovině nechť máme kartézský systém souřadnic, kde souřadnice x
nechť směřuje na východ, souřadnice y na sever. β-rovina ovšem spočívá v tom, že Coriolisův
parametr f je ve směru osy x konstantní, tedy 𝜕𝑓⁄𝜕𝑥 = 0 a ve směru osy y se mění lineárně a
derivace podle y je rovna β, tedy 𝜕𝑓⁄𝜕𝑦 = 𝛽 je konstanta. Konstanta β se nazývá Rossbyho
parametrem. Rovnice (13.4.13) se tím zjednoduší na tvar
217
𝜕𝜁
𝜕𝜁
𝜕𝜁
+𝑢
+𝑣
+ 𝛽𝑣 = 0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(13.4.15)
Abychom vyjádřili fázovou rychlost horizontálně-příčných vln, předpokládejme, že vlny se
pohybují pouze ve směru osy x. K tomu stačí, aby složky rychlosti u,v nezávisely na
souřadnici y, směřující k severu. Nezávisí-li u a v na souřadnici y, pak rovnice kontinuity
(13.4.11), říkající že divergence je rovna nule má jednoduchý tvar
𝜕𝑢⁄𝜕𝑥 = 0
(13.4.16)
A relativní vorticita 𝜁 je rovna
𝜁 = 𝜕𝑣⁄𝜕𝑥
(13.4.17)
Nelinearitu rovnice (13.4.15) odstraníme tím, že v souladu s předchozím budeme
předpokládat, že proudění se bude skládat z hlavní konstantní západní složky větru, střední
zonální složky větru 𝑢 = 𝑢̅ a malé meridionální perturbace 𝑣 = 𝑣 ′ (𝑥, 𝑡). Rovnice vorticity
(13.4.15) pro perturbaci má pak tvar
𝜕 𝜕𝑣′
𝜕 𝜕𝑣′
( ) + 𝑢̅
( ) + 𝛽𝑣 ′ = 0
𝜕𝑡 𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑥
(13.4.18)
Řešení této rovnice můžeme hledat ve tvaru
𝑣 ′ = 𝐴𝑒 𝑖𝑘(𝑥−𝑐𝑡)
(13.4.19)
kde A je amplituda vlny 𝑘 = 2𝜋/𝐿 je vlnové číslo, L délka vlny, c fázová rychlost vlny.
Dosazením do rovnice (13.4.18) dostaneme řešení s fázovou rychlostí
𝑐 = 𝑢̅ − 𝛽 ⁄𝑘 2
(13.4.20)
Tento vztah se nazývá vzorcem Rossbyho vln. Hodnota středního zonálního větru 𝑢̅ je vždy
kladná. Rossbyho vzorec nám říká, že Rossbyho vlny se pohybují západním směrem relativně
vzhledem k průměrnému zonálnímu proudění. Rychlost Rossbyho vln závisí na zonálním
vlnovém číslu. Rossbyho vlny jsou dispersní vlny, jejichž fázová rychlost se zvyšuje
s vlnovou délkou. Vztah pro fázovou rychlost Rossbyho vln (13.4.20) nám dává možnost
odhadnout jejich rychlost pro synoptické útvary typických rozměrů Wiin-Nielsen [7]. Pro
střední zeměpisnou šířku 𝜑 = 450 severní šířky máme tyto hodnoty: 𝑢̅ můžeme odhadnout
hodnotou 20m/s pro zimní období a 10 m/s pro letní období a 𝛽 = 𝜕𝑓⁄𝜕𝑦 = (2Ω/a) cos 𝜑 =
1.6 ∙ 10−11 𝑚−1 𝑠 −1 kde je poloměr Země. Hodnota 𝑐𝑅 = 𝛽/𝑘 2 se nazývá Rossbyho rychlost.
Závisí na délce vlny L. Její směr je od východu k západu. Pro 450 s. š. je přibližně 𝑐𝑅 =
(𝛽/(2𝜋)2 ) ∙ 𝐿2 = 0.4 ∙ 𝑙 2 kde l je délka vlny měřená v jednotkách 106 metrů.
Je-li 𝑢̅ − 𝛽 ⁄𝑘 2 > 0 Pohybuje se vlna, tedy tlakový útvar na východ. Při obrácené
nerovnosti na západ. Vlna je stacionární, když pro její délku 𝐿𝑠 platí 𝐿𝑠 = 2𝜋√𝑢̅/𝛽.
V zimním období je délka stacionární vlny 𝐿𝑠 přibližně 7 tisíc kilometrů, pro letní období je
typickou hodnotou 5 tisíc kilometrů. Protože však tlakové útvary mívají rozměry menší,
pohybují se zejména v zimním období na východ.
Závěr pro předpovědní metody
Rossbyho vlny jsou pro meteorologii nejdůležitější. V modelech je nutné se vyhnout
zjednodušení, které by Coriolisův parametr položilo rovný konstantě. V tomto případě mají
Rossbyho vlny nulovou fázovou rychlost, a tedy vlastně neexistují.
218
Vlnové pohyby smíšeného typu
V předchozí části jsme studovali tři typy vlnových pohybů, které existují v čisté formě
jen při speciálních podmínkách. Při obvyklých podmínkách tyto vlny existují zároveň. Je
třeba poznamenat, že vlny v atmosféře se v mnohém od sebe liší. Nejenom v mechanizmu
jejich šíření, ale také jejich charakteristickými hodnotami amplitud a fázové rychlosti. Fázová
rychlost zvukových je zhruba 300 m/s, tedy přibližně 1100 km/hod. Fázová rychlost vnější
gravitační vlny, která je ve spektru gravitačních vln nejvyšší, se rychlosti zvuku blíží a lze ji
odhadnout rychlostí kolem 1000 km/hod. Jsou to tedy rychle se pohybující vlny. Rossbyho
vlny jsou vlny s dispersí a jejich fázová rychlost závisí na jejich vlnové délce. Jejich fázová
rychlost obvykle leží v intervalu 10 až 20 km/hod, což je rychlost relativně malá. Jiná situace
je v amplitudách tlaku těchto vln. Amplituda zvukových vln je nejmenší, je to pouze malý
zlomek hektopascalu. Amplituda gravitačních vln je také malá, rovněž zlomek hPa, zatímco
amplituda Rossbyho vln, která často převyšuje 20 hPa je proti tomu značná. Gravitační vlny
lze měřit a sledovat ve změnách přízemního tlaku pomocí citlivého mikrobarografu. Průběh
gravitačních vln můžeme rovněž studovat při časové integraci modelu, zapíšeme-li si hodnoty
přízemního tlaku v pevně zvoleném bodě v každém časovém kroku. Dostaneme tak
posloupnost, ve které je průběh gravitačních vln vidět. Správně by měly mít stejně jako
v přírodě velmi malou amplitudu. Když malou amplitudu nemají, je to známkou toho, že
počáteční data modelu nejsou zcela v pořádku. V tomto případě pole rozložení hmoty
atmosféry s polem proudění není v rovnováze. Aby tato situace nenastala, musí být před
integrací vždy provedena tak zvaná inicializace, která tuto závadu odstraní. Mohlo by se zdát,
když je amplituda gravitačních vln tak malá, že v procesu integrace nebudou gravitační vlny
dělat potíže. Není tomu tak. Sama existence vln s touto velkou fázovou rychlostí je pro
stabilitu v CFL kritériu rozhodující. Existence těchto vln je rozhodující také v tak zvaném
procesu geostrofického přizpůsobení, který svým působením stále přibližuje pohyb atmosféry
ke geostrofickému proudění. Abychom se v modelu zbavily problému rychlých vln, jejichž
důsledkem je z důvodů stability při integraci krátký časový krok, lze postupovat dvěma
způsoby. Jedním z nich je upravit rovnice modelu tak, aby model tyto vlny nepopisoval.
Tomu se říká odfiltrování vln. Viděli jsme, že pro odfiltrování zvukových vln stačí rovnici
hybnosti ve vertikálním směru zjednodušit na hydrostatickou rovnici. Tato úprava je
nejčastější a používá se ve většině předpovědních modelů. Dalším stupněm by bylo ještě
odfiltrování gravitačních vln. Zůstanou pak v modelu pouze Rossbyho vlny. Tento postup byl
z důvodů efektivnosti používán v první úspěšné etapě předpovědních metod. Tato úprava
vede k formulaci modelů používajících geostrofickou aproximaci. V dalším si ukážeme, proč
to není správná cesta. Později se totiž ukázalo, že z hlediska efektivnosti modelu stačí
hydrostatické přiblížení a stejnou efektivnost zajistí použití semiimplicitních schémat.
Nyní se již věnujme vlnám smíšeného typu z gravitačních a Rossbyho vln
Tyto smíšené vlny budeme studovat opět na modelu mělké vody, který oba typy vln
popisuje. Thompson [8]. Tento model je často nazýván barotropní divergentní model.
Shrneme si nyní systém rovnic ve tvaru, který budeme dále potřebovat. Jsou to jednak rovnice
hybnosti
219
(5.1.11) a (5.1.12)
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕ℎ
+𝑢
+𝑣
− 𝑓𝑣 + 𝑔
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥
(13.4.21)
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕ℎ
+𝑢
+𝑣
+ 𝑓𝑢 + 𝑔
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦
(13.4.22)
a rovnice kontinuity (5.1.19)
𝜕ℎ
𝜕ℎ
𝜕ℎ
𝜕𝑢 𝜕𝑣
+𝑢
+𝑣
+ℎ( + ) = 0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(13.4.23)
Tři předchozí rovnice tvoří úplný systém rovnic pro časový vývoj tří proměnných u, v, h.
Společný charakter vlnových řešení předchozích tří rovnic divergentního barotropního
modelu nalezneme opět perturbační metodou. Chceme-li studovat vlnové pohyby složené z
gravitačních a Rossbyho vln, musíme je studovat v zonálním proudění. Omezíme se tedy na
studium vln pohybujících se ve směru osy x. Tím úlohu zjednodušíme na prostorově
jednodimensionální. Předpokládejme tedy, že složky rychlosti u, v, nezávisejí na souřadnici y
ve směru poledníků. Základní ustálené proudění nechť charakterizují následující hodnoty: 𝑢̅ je
průměrná konstantní rychlost zonálního proudění, meridionální složka ustáleného zonálního
proudění 𝑣̅ je rovna nule. Hodnoty ustáleného proudění musí splňovat rovnice modelu.
Dosazením hodnot základního ustáleného proudění do rovnice (13.4.22) dostáváme, že
hodnoty 𝑢̅ a ℎ̅ musí splňovat rovnici
𝜕ℎ̅
𝑓𝑢̅ + 𝑔
=0
𝜕𝑦
(13.4.24)
což znamená, že složka základního proudění 𝑢̅ splňuje vztah geostrofického větru. Hodnota ℎ̅
ustáleného proudění je tímto vztahem určena. Perturbace od základního stavu označme, jako
obvykle 𝑢′ , 𝑣 ′ , ℎ′ . Rovnice pro odchylky od ustáleného proudění můžeme napsat ve tvaru
𝜕
𝜕
𝜕ℎ′
′
′
( + 𝑢̅ ) 𝑢 − 𝑓𝑣 + 𝑔
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥 𝑀
𝜕𝑥
(13.4.25)
𝜕
𝜕 𝜕𝑣′
𝜕𝑢′
( + 𝑢̅ )
+ 𝛽𝑣 ′ + 𝑓
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥
(13.4.26)
′
̅
𝜕
𝜕
𝜕ℎ
𝜕𝑢
( + 𝑢̅ ) ℎ′ + 𝑣′
+ ℎ̅
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥
(13.4.27)
V rovnici (13.4.25) dolní index M u prvního operátoru zdůrazňuje, že se liší od stejných
operátorů ve dvou následujících rovnicích. Pro zápis rovnice (13.4.27) byl použit vztah
(13.4.24).
Řešení předchozích tří perturbačních rovnic budeme hledat ve tvaru, který zapišme vektorově
220
𝑢′
𝑈
{𝑣′} = { 𝑉 } 𝑒 𝑖𝑘(𝑥−𝑐𝑡)
ℎ′
𝐻
(13.4.28)
Kde U, V, H jsou konstantní amplitudy. Derivujeme-li libovolnou složku předchozího vztahu,
podle t a podle x dostaneme
𝜕𝑢′
𝜕𝑢′
𝜕 2 𝑢′
= (−𝑖𝑘𝑐)𝑢′ ,
= (𝑖𝑘)𝑢′ ,
= −𝑘 2 𝑢′
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑥 2
(13.4.29)
Odtud porovnáním pravých stran předchozích vztahů máme
𝜕
𝜕
𝜕2
= −𝑐
,
= −𝑘 2
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑥 2
(13.4.30)
Použijeme-li tyto vztahy pro úpravu perturbačních rovnic, obdržíme
𝜕𝑢′
𝜕ℎ′
′
(𝑢̅ − 𝑐)𝑀
− 𝑓𝑣 + 𝑔
=0
𝜕𝑥
𝜕𝑥
(13.4.31)
′
𝜕𝑢
−𝑘 2 (𝑢̅ − 𝑐)𝑣 ′ + 𝛽𝑣 ′ + 𝑓
=0
𝜕𝑥
(13.4.32)
′
′
𝜕ℎ′ 𝑓𝑢̅𝑣
𝜕𝑢
(𝑢̅ − 𝑐)
−
+ ℎ̅
=0
𝜕𝑥
𝑔
𝜕𝑥
(13.4.33)
Kde (𝑢̅ − 𝑐)𝑀 odpovídá operátoru (
𝜕
𝜕𝑡
+ 𝑢̅
𝜕
) . Systém rovnic (13.4.31) až (13.4.33) je
𝜕𝑥 𝑀
systémem homogenních algebraických rovnic pro neznámé 𝜕𝑢′⁄𝜕𝑥 , 𝑣 ′ , 𝜕ℎ′⁄𝜕𝑥. Takový
systém má netriviální řešení pouze když determinant soustavy je roven nule, tedy když
𝛽 − 𝑘 2 (𝑢̅ − 𝑐)
0
𝑓
(𝑢̅ − 𝑐)𝑀 | = 0
−𝑓
𝑔
|
(13.4.34)
̅
𝑓𝑢
̅
(𝑢
−
̅ − 𝑐)
ℎ
𝑔
Po výpočtu determinantu a úpravě výsledku můžeme jeho hodnotu napsat ve tvaru
[𝛽 − 𝑘 2 (𝑢̅ − 𝑐)][𝑔ℎ̅ − (𝑢̅ − 𝑐)(𝑢̅ − 𝑐)𝑀 ] − 𝑓 2 [(𝑢̅ − 𝑐) − 𝑢̅] = 0
(13.4.35)
Tato rovnice je tak zvanou rovnicí frekvence, která nám dává možné hodnoty fázové rychlosti
c, odpovídající danému vlnovému číslu k. Tuto rovnici je možné chápat jako kubickou rovnici
pro neznámou (𝑢̅ − 𝑐). S řešením kubické rovnice to není tak jednoduché, proto ji na základě
fyzikální interpretace pro jednotlivé případy zjednodušíme.
Jeden z kořenů kubické rovnice (13.4.35) můžeme přibližně nalézti, vezmeme-li
předem v úvahu, že
(𝑢̅ − 𝑐)2 ≪ 𝑔ℎ̅
(13.4.36)
Když tedy zanedbáme druhý člen v druhém činiteli kubické rovnice, dostaneme takto
zjednodušené rovnice snadno řešení
221
𝛽 + (𝑓 2 𝑢̅/𝑔ℎ̅)
𝑐 − 𝑢̅ = − 2
𝑘 + (𝑓 2 /𝑔ℎ̅)
(13.4.37)
Podíváme-li se na předchozí vztah, pak pro libovolnou možnou hodnotu √𝑔ℎ̅ gravitačních vln
je relativní fázová rychlost vypočtená z předchozího vztahu velmi malá. To ospravedlňuje náš
předpoklad o zanedbání členu v kubické rovnici. Pohyb vln odpovídající tomuto řešení jsou
zřejmě pomalu se pohybující Rossbyho vlny, směr jejich pohybu se s časem nemění.
Přibližné hodnoty ostatních kořenů rovnice (13.4.35) můžeme nalézti, když předběžně
budeme předpokládat, že |𝑢̅ − 𝑐| je mnohem větší, než 𝛽 ⁄𝛼 2 − 𝑐𝑅𝑂𝑆 , kde 𝑐𝑅𝑂𝑆 je fázová
rychlost čistých Rossbyho vln. V tomto případě vynecháme první člen v prvním činiteli
prvního členu kubické rovnice (13.4.35). Všimněme si, že v tomto případě je |𝑢̅ − 𝑐| ≫ 𝑢̅,
odtud dostaneme, že
(𝑢̅ − 𝑐)(𝑢̅ − 𝑐)𝑀 = 𝑔ℎ̅ +
𝑓2
𝑘2
(13.4.38)
kde rychlost čistých gravitačních vln je √𝑔ℎ̅ . Rychlost gravitačních vln je vzhledem
k prostředí je mnohem větší, než rychlost Rossbyho vln, takže náš předpoklad o kořenech
kubické rovnice byl dodatečně potvrzen. V případě, že model popisuje zároveň gravitační a
Rossbyho vlny, je jejich fázová rychlost mírně modifikována.
V dřívějších publikacích i monografiích bylo věnováno mnoho pozornosti problému
odfiltrování gravitačních vln z předpovědních modelů. Také první úspěšné modely pro
předpověď geopotenciálu používaly rovnice neobsahující popis gravitačních vln. Odfiltrování
gravitačních vln však vede ke geostrofické aproximaci. Předpověď je v tomto případě
založena na předpovědi čistých Rossbyho vln. Časový vývoj atmosféry vlivem těchto vln je
v podstatě popsán pouze rovnicí vorticity. Ze změny vorticity se pak odvozuje pomocí vztahů
geostrofického větru změna geopotenciálu, která vede na řešení Dirichletovy okrajové úlohy
pro Poissonovu rovnici. Pro předpověď výšky hladiny nondivergence, za kterou byla
pokládána hladina 500 hPa stačila pouze rovnice vorticity a vztahy geostrofického větru. Pro
třídimensionální baroklinní model v p-systému k nim přibyla ještě tak zvaná omega rovnice,
vyjadřující kvasigeostrofickou vertikální rychlost v p-systému, ze které se pomocí rovnice
kontinuity vypočetla divergence větru potřebná do rovnice vorticity. Takový model pracoval
v podstatě ve vrstvě mezi dvěma tlakovými hladinami. Horní i dolní hranici oblasti tvořily
tedy plochy stejného tlaku. Horní hranici plocha nulového tlaku, dolní hranici obvykle hladina
1000 hPa. Na těchto plochách byla okrajovou podmínkou nulová zobecněná vertikální
rychlost v p-systému, tedy 𝜔 = 0. Tato podmínka není ve skutečnosti reálná, neboť
neprostupnou plochou je jedině povrch Země, nikoliv s časem měnící se poloha tlakové
hladiny 1000 hPa. Také všechny pokusy formulovat okrajovou podmínku pro tyto modely na
povrchu Země pomocí kinematického vztahu skončily neúspěšně. Důsledkem toho je, že tyto
modely nesplňovaly zákon zachování hmoty atmosféry. Další, i když o něco méně závažnou
vadou je, že fázová rychlost Rossbyho vln není v těchto modelech zcela přesná, protože, jak
jsme zjistili při studiu smíšených vln, je přece jenom jejich fázová rychlost mírně pozměněna
222
gravitačními vlnami. Z těchto důvodů se v současnosti kvasi-geostrofické modely již
k předpovědi nepoužívají. Tyto modely jsou nyní používány jenom k některým teoretickým
studiím, kde jsou po vhodném zjednodušení řešeny analyticky.
Z výsledků této kapitoly vyplývá podle mne tento závěr:
Pro předpovědní modely zůstává jako nejvhodnější formulace baroklinní model
s hydrostatickou aproximací v systému souřadnic kopírujících terén odvozených od psystému souřadnic. Tedy klasický Phillipsův 𝝈-systém, nebo hybridní 𝜼 − 𝒔𝒚𝒔𝒕é𝒎.
Literatura:
[1] Baťka Michal: Zpracování meteorologických informací hlavní úkol současné
meteorologie., Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 37 (1992) s. 80-95.
[2] Haltiner G. J., Martin F. L.: Dynamical and Physical Meteorology. New York Toronto
London 1957.
[3] Haltiner G. J., Williams R. T.: Numerical Prediction and Dynamic Meteorology. John
Wiley 1980.
[4] Holton James R.: En Introduction to Dynamic Meteorology. Academic press, New York
and London 2004
[5] Pechala F., Bednř J.: Příručka dynamické meteorologie, Academia Praha 1991.
[6] Smirnov M. M.: Differencialnyje urovnenija v častnych proizvodnych vtorogo porjadka.
Nauka, Moskva 1964.
[7] Wiin-Nielsen A.: Compendium of meteorology. Volume I. World Meteorological
Organization – Geneve 1973.
[8] Thompson P. D.: Numerical weather analysis and prediction. The Macmillan Company
New York 1961.
223
14. Hydrostatické modely a modely s plně stlačitelnou atmosférou
Modely vývoje atmosféry a jevů, které v ní probíhají.
Formulace meteorologických modelů vychází ze tří zákonů zachování. Zákona
zachování hmoty atmosféry, který je dán rovnicí kontinuity, dále zákon zachování energie
atmosféry, který je formulován jako první věta termodynamiky, formulovaná obvykle pro
změnu absolutní teploty. Pravá strana této rovnice obsahuje člen, který vyjadřuje úbytek
součtu vnitřní a potenciální energie atmosféry, která je spotřebována na změnu hybnosti
atmosféry danou silou gradientu tlaku. Část modelu tvořená těmito zákony zachování se
nazývá dynamickou částí modelu. Změny hodnot meteorologických proměnných vlivem
dalších fyzikálních vnějších vlivů jako je ohřev atmosféry slunečním záření, vyzařování tepla
do kosmu, tření o povrch Země, tepelná konvekce a další tvoří parametrizace modelu. Tyto
vlivy jsou vyjádřeny členy na pravých stranách rovnic zákonů zachování. Tato problematika
je předmětem teorie všeobecné cirkulace atmosféry.
Na základě těchto tří zákonů zachování jsou tedy formulovány tak zvané řídící
rovnice, kterými se opravdu řídí pohyb a další vývoj atmosféry. Řídící rovnice jsou systémem
parciálních diferenciálních rovnic popisující v podstatě všechny jevy pohybu atmosféry. Pro
praktickou předpověď vývoje jevů není ovšem situace tak jednoduchá. Je totiž důležité, jaké
je prostorové i časové měřítko těchto jevů a také, zda je možné jejich vznik a zejména místo
jejich vzniku předpovídat.
Každá předpověď vývoje atmosféry vychází z počátečních hodnot, které určují stav
atmosféry na začátku předpovědi. Problémem však je, že systémy parciálních diferenciálních
rovnic popisující vývoj atmosféry jsou nelineární. Jednou z vlastností těchto systémů je, že i
při přesném řešení těchto rovnic chyba v počátečních datech se s časem předpovědi zvětšuje
exponenciálně. Protože nemůžeme našim měřením přesně zjistit počáteční stav atmosféry, a
navíc numerickou integrací přidáváme další chyby, tak po určité době se celková chyba zvětší
natolik, že naše předpověď již neodpovídá skutečnosti. Ve výsledcích to není jednoduše vidět.
Je to vlivem toho, že rovnice vyjadřují zákony zachování a řešení zůstává omezené a na první
pohled nevypadá nevěrohodně. To ovšem neznamená, že bychom nemohli předpovídat vývoj
atmosféry a tedy předpovídat počasí vůbec. Možnost předpovědi vývoje jevů velmi závisí na
jejich prostorovém ale zejména časovém měřítku a čas a polohu kde některé jevy po určité
době vzniknou, není možné určit vůbec. Takovým jevem je například tepelná konvekce, jejíž
problematiku studoval Edvard Lorenz [15]. Ukázalo se, že pro mnohé fyzikální děje není
možná kauzální předpověď na další časovou dobu. Vznikl tak celý nový vědní obor
„deterministický chaos“. Předpověď pohybu atmosféry patří také do této kategorie jevů.
14.1. Měřítka meteorologických jevů
Než budeme studovat možnosti předpovědi různých meteorologických jevů,
upřesníme si zde některé všeobecně známé pojmy, které budeme v dalším používat. Jedná se
zejména o rozlišení měřítek meteorologických jevů, které se v meteorologii používá. K přesné
standardní formulaci měřítek meteorologických použijeme Meteorologický slovník [25], který
také sjednocuje českou terminologii. Největší měřítko se obvykle nazývá synoptickým, nebo
224
makrometeorologickým měřítkem. Popisuje objekty všeobecné cirkulace, pohyb tlakových
výší, níží, atmosférické fronty, frontální srážky i další úkazy vztahující se k velkoprostorovým
dějům. Tyto děje jsou studovány na synoptických mapách. Horizontální rozměr těchto dějů
činí stovky až tisíce kilometrů, což odpovídá rozměrům tlakových útvarů. Důležitá je také
časová délka, ve které tyto jevy existují. Zde je to řádově dny až týdny. Dále je to
mezosynoptické měřítko, jehož horizontální rozměry jsou v řádu desítky až několik stovek
km, například místní cirkulační systémy, bouřky čáry instability apod. Tyto děje mají také
většinou kratší trvání. Subsynoptické měřítko pak zahrnuje děje mezosynoptického měřítka i
mikrometeorologické děje. To jsou děje malého měřítka: jde o děje charakterizované
přítomností vírových pohybů v atmosféře s osami rotace v obecné poloze s poloměry nejvýše
stovek metrů.
Vertikální pohyby vzduchu v atmosféře
Studium vertikálních pohybů vzduchu patří k jednomu z nejdůležitějších problémů
meteorologie. Obdobně jako meteorologické jevy v meteorologii jsou v knížce L. T.
Matveeva [17] do tří měřítek zařazeny i vertikální pohyby atmosféry. Tato měřítka také
korespondují s jevy daných měřítek. Vertikální pohyby vzduchu jsou spojeny s časovými
změnami mnohých meteorologických veličin, teploty, tlaku, vlhkosti i dalších veličin. Velkou
roli hrají vertikální pohyby na tvorbu a vývoj oblačnosti a srážek. V důsledku toho mají pak
vliv na teplotu atmosféry i přízemní vrstvy. Znalost vertikálních pohybů atmosféry má také
praktické použití, neboť vertikální pohyby vzduchu mají přímý vliv na přenos příměsí
v atmosféře a jejich znalost je důležitá i pro letectví.
Nejdříve poznamenejme, že pojmu „vertikální rychlosti“ nebo „vertikálnímu toku“ je
dáván často různý význam. Je to tím, že v atmosféře pozorujeme vertikální rychlosti velmi
různých hodnot i různých měřítek. Měřítkem zde rozumíme velikost té oblasti (objemů
vzduchu), ve které mají vertikální rychlosti stejné znaménko. Velikost - měřítko objemů
vzduchu se stejným znaménkem vertikální rychlosti může nabývat velmi různých hodnot. Při
studiu každého konkrétního jevu však můžeme ukázat na určité měřítko, které je pro tento jev
charakteristické. Analýza rovnice kontinuity ukazuje, že čím větší jsou horizontální rozměry
oblasti, ve kterých má vertikální rychlost stejné znaménko, tím menší je absolutní hodnoty
samotné vertikální rychlosti.
V závislosti na charakteristických horizontálních rozměrech jevů, můžeme všechny
vertikální pohyby v atmosféře rozdělit do tří základních tříd.
Třída I – neuspořádané (pulsující) vertikální pohyby. Charakteristické horizontální
rozměry objemů vzduchu (dyzen) se v tomto případě pohybují od několika centimetrů do
desítek i stovek metrů. Charakteristická vertikální rychlost je obvykle několik m/s, v
mohutných konvektivních mracích zejména dešťových a bouřkových je docela do několika
desítek m/s. Vliv těchto vertikálních rychlostí na přenos a přerozdělení různých fyzikálních
vlastností, teploty, vlhkosti, hybnosti i příměsí se obyčejně popisuje pomocí aparátu polo
empirické teorie turbulence.
Třída II – mezoměřítkové vertikální pohyby. Horizontální rozměry objemů
vzduchu se stejným znaménkem vertikální rychlosti se pohybují v rozmezí od několika
kilometrů do 20 až 30 kilometrů. Charakteristické hodnoty vertikálních rychlostí se pohybují
225
od několika cm/s do desítek cm/s. K této třídě patří pohyby vznikající z nehomogennosti
zemského povrchu, mořská bríza a cirkulace v horách-dolinách.
Třída III – makroměřítkové vertikální pohyby (vertikální pohyby synoptického
měřítka). Takové pohyby se stejným znaménkem vertikální rychlosti mají horizontální
rozměry sta až tisíce kilometrů. Jejich rozměry jsou dány tlakovým polem – cyklonami a
anticyklonami. Vertikální rychlosti se pohybují od zlomků cm/s do několika cm/s . Obvykle
ne více než 1 až 2 cm/s. Vertikální rychlosti Třídy II a III jsou vždy popsány řídícími
rovnicemi pohybu atmosféry přímo. Vertikální rychlosti synoptického měřítka, tedy třídy III.
není možné zjistit přímým měřením, ale je možné je určit několika způsoby, popsanými
například v Příručce dynamické meteorologie autorů Pechala – Bednář [19]. V kapitole 13.7
Vertikální rychlosti v tlakových útvarech, nebo v knize Jamese Holtona [11] v odstavci 3.5
Vertical motion.
14.2 Důsledky hydrostatické aproximace a modely s plně stlačitelnou
atmosférou
V této části o vlnách v atmosféře se nejdříve věnujme důsledkům hydrostatické
aproximace pro meteorologické modely. V dalším také vývoji nehydrostatických modelů
s plně stlačitelnou atmosférou a jejím možnostem a uplatněním v meteorologii.
Úvodem si připomeneme zásadní rozdíl mezi nehydrostatickým modelem s plně
stlačitelnou atmosférou a modelem používajícím hydrostatickou aproximaci, který nazýváme
stručněji hydrostatickým modelem. Tento rozdíl spočívá ve zjednodušení rovnice vyjadřující
změnu hybnosti ve vertikálním směru. Tuto rovnici píšeme v z-systému ve tvaru
𝑑𝑤
𝜕𝑝
= −𝜌−1
−𝑔
𝑑𝑡
𝜕𝑧
(14.2.1)
Pro synoptické měřítko je velikost členů této rovnice odhadována následovně. Členy
této rovnice mají charakteristickou řádovou velikost 𝑑𝑤 ⁄𝑑𝑡 10−7 𝑚𝑠 −2 zatímco členy pravé
strany jsou řádu 10 𝑚𝑠 −2 a mají opačná znaménka. (James Holton [11] strana 41.)
Zanedbáme-li tedy člen 𝑑𝑤 ⁄𝑑𝑡 dostáváme rovnici hydrostatické rovnováhy, kterou píšeme
obvykle ve tvaru
𝜕𝑝
= −𝑔𝜌
𝜕𝑧
(14.2.2)
V tomto případě atmosféra v celém svém vývoji je stále v hydrostatické rovnováze a
proto nemá snahu se rozpínat. Tato vlastnost ji právě odlišuje od nehydrostatického modelu
plně stlačitelné atmosféry. Model, ve kterém je atmosféra stále v hydrostatické rovnováze
nazýváme hydrostatický.
Podívejme se nyní na tyto dva modely z hlediska vln v atmosféře. Připomeňme si,
zpředchozí kapitoly, že v atmosféře se vyskytují tři základní vlnové pohyby. Pro meteorologii
jsou nejdůležitější k rovnoběžkám kolmé horizontální příčné vlny, které první identifikoval
švédský meteorolog, pracující ve Spojených státech, Carl-Gustav Arvid Rossby. Podle něj
jsou tyto vlny nazvány Rossbyho vlnami. Ty společně s advekcí zonálního větru určují ve
středních zeměpisných šířkách pohyb tlakových útvarů. Další vlny v atmosféře jsou příčné
vertikální vlny nazývané gravitační vlny. Přestože mají v atmosféře jen malou amplitudu, jsou
226
důležitou součásti procesu, který atmosféru stále přibližuje ke stavu geostrofické aproximace.
Tento proces se nazývá geostrofickým přizpůsobením. Posledním typem vln jsou zvukové
vlny. Jsou to podélné vlny lokálního stačení vzduchu. Zvukové vlny se v hydrostatickém
modelu nevyskytují. Jsou tímto zjednodušením zcela odfiltrovány.
Z hlediska diferenciálních rovnic je fungování modelu zcela jasné. Nezjednodušené
rovnice tedy rovnice nehydrostatického modelu popisují pohyb atmosféry pro všechna
měřítka meteorologických dějů. Popisují tedy advekci a všechny typy vlnových pohybů.
Vertikální rychlost zde popisuje rychlost částic, tedy velmi malých objemů vzduchu.
V diskrétních modelech je situace poněkud jiná, což je dáno tím, že každý diskrétní model
pracuje s určitým rozlišením a může tedy popisovat jevy a tedy i vertikální rychlosti jen do
určitého měřítka. Tato vertikální rychlost, kterou model popisuje je dána celkovým tokem
hmoty atmosféry ve vertikálním směru určitou horizontální plochou danou rozlišením
modelu. V numerických modelech je tato horizontální plocha ve skutečnosti dána velikostí
čtverců horizontální výpočetní sítě. Když rozlišení modelu pro popis studovaných dějů není
dostatečné, to se týká zejména konvekce, pak nastává situace, že celkový tok hmoty vzduchu
ve vertikálním směru se ve čtvercích horizontální sítě skládá z pohybů směrem vzhůru i dolu
menších měřítek. Model při takovém rozlišení pak nepopisuje fyzikální děje těchto menších
měřítek v atmosféře.
Pro předpověď je třeba rozlišit modely podle typu předpovědi, na modely
meteorologické pro předpověď počasí v časovém intervalu dní až dvou týdnů a modely pro
studium krátkodobých jevů v řádu hodin, například studium vývoje konvektivní bouřky, kde
je tento lokální jev zadán již počátečními podmínkami simulace.
Současné modely LAM, (anglická zkratka Limited Area Model) tedy modely pro
předpověď počasí na omezené oblasti mající rozlišení dané krokem v síti řádově jednotek až
desítek kilometrů se hodí k popisu jevů třídy II a III.
Pro popis konvektivních jevů, tedy jevů třídy I, je třeba ještě jemnější rozlišení. Jinou
otázkou ovšem je, zda pokus o deterministickou předpověď konvekce má v meteorologických
modelech vůbec smysl, to by znamenalo, že je možné přesně předpovědět, kdy a kde takový
jev jako třeba bouřka nastane.
Studujme otázku, jakými mechanizmy vznikají vertikální pohyby vzduchu. Uvažujme
proto svislý sloupec vzduchu. V tomto sloupci studujme, jakým způsobem vzniká lokální
změna tlaku a v důsledku toho změna vertikálního gradientu tlaku. Tady můžeme uvažovat
zejména dva mechanizmy. Jeden mechanizmus je dán divergencí pole horizontálního větru a
ten má v reálné atmosféře synoptický charakter. Druhý přítokem tepla, tedy ohřevem
atmosféry sluneční radiací a také uvolňováním latentního tepla při kondenzaci vodní páry.
Tento druhý mechanizmus umožňuje vznik tepelné konvekce, která vzniká v případě, když
teplotní zvrstvení atmosféry není příliš stabilní. Iniciovat tento proces může také proudění
vzduchu přes horské masivy. Po dodání dostatečného množství tepla vznikají na základě
Archimédova zákona vztlakové síly, které v atmosféře vyvolají konvektivní pohyby. Měřítko
většiny těchto konvektivních pohybů včetně bouřek z tepla je sub synoptických rozměrů, tedy
třídy I. Podle fundamentální práce Edwarda Lorenze [15] se navíc, kde a kdy tyto konvektivní
pohyby vzniknou, se nedá předpovědět. Empiricky tuto skutečnost si lze ověřit pozorováním
konvektivních jevů, jejich vzniku a vývoje na výsledcích měření meteorologických radarů.
227
Všimněme si nejdříve, jak na změny vertikálního gradientu tlaku reaguje tak zvaný
plně stlačitelný, tedy nehydrostatický model atmosféry. Lokálním zvýšením tlaku vlivem
divergence horizontálního větru nebo ohřevem vzduchu vznikne ve vertikálním směru
nerovnováha mezi vertikálním gradientem tlaku a silou zemské tíže, tím vznikne ve
vertikálním směru síla, která podle Newtonova zákona způsobí změnu vertikální rychlosti
vzduchu. Touto silou vznikne tedy lokální stlačení vzduchu, které můžeme interpretovat také
jako podélné stlačení vzduchu i ve vertikálním směru, což vytváří ve vertikálním směru
zvukovou vlnu. Tato vlna urychluje rychlost přenosu síly způsobující pohyb vzduchu advekci ve vertikálním směru. Podobně vznikají i pohyby směrem dolů. Podélné vlny
stlačení, tedy zvukové vlny jsou tedy přirozenou součástí skutečné atmosféry a to samozřejmě
v horizontálním i ve vertikálním směru.
Nyní se podívejme, jak na stejnou situaci reaguje hydrostatický model. Tyto modely
atmosféry jsou charakterizovány tím, že v nich neustále platí hydrostatická rovnice.
Interpretujeme-li fyzikální význam hydrostatické rovnice, ten znamená, že v každém bodě
v atmosféře je síla vertikálního gradientu tlaku stále zcela přesně v rovnováze se silou zemské
tíže. V atmosféře v hydrostatické rovnováze neexistuje ve vertikálním směru žádná síla, která
by podle Newtonova zákona měnila vertikální rychlost vzduchu. Vertikální pohyby jsou
v tomto případě dány na základě přerozdělování hmoty atmosféry a jsou dány rovnicí
kontinuity. V diskrétním modelu je hydrostatická rovnováha splněna na začátku i na konci
každého integračního kroku. Přítok tepla probíhá během výpočtu změn prognostických veličin
během časového kroku. Horizontální i vertikální rychlost je pro průběh daného integračního
kroku dána počátečním stavem na začátku integračního kroku, a vertikální rychlost je dána
jednoznačně pouze třírozměrným polem divergence horizontálních složek větru. Můžeme ji
proto vypočítat z rovnice, která vyjadřuje zákon zachování hmoty atmosféry, tedy z rovnice
kontinuity. Při tomto procesu, který je pro úplnost dále podrobně popsán, obdržíme také
časové změny přízemního tlaku. Samotný tlak v každém místě atmosféry a samozřejmě i
přízemní tlak je dán hydrostatickou rovnicí a to váhou vzduchového sloupce nad daným
místem.
Hydrostatický model mechanizmus konvekce nepopisuje, protože vertikální rychlost
při konvekci vzniká nerovnováhou mezi vertikálním gradientem tlaku a silou zemské tíže, a ta
je v tomto modelu stále v rovnováze. Při numerické realizaci je na konci každého integračního
kroku, tedy na začátku dalšího kroku atmosféra v hydrostatické rovnováze, neboť pole
geopotenciálu je vypočteno integrací hydrostatické rovnice z pole teploty a přízemního tlaku.
V důsledku toho se při přítoku tepelné energie tato energie začne v určitém místě hromadit a
tedy zvyšovat teplotu natolik, že zde dojde k instabilnímu teplotnímu zvrstvení. Ve skutečné
atmosféře tak vznikají místa, kde vztlakové Archimédovy síly zrychlují pohyb vzduchu a
vznikají vertikální konvektivní proudy. Tím je vertikálně přenášena hmota atmosféry a s ní i
tepelná energie směrem vzhůru. V okolí vznikají pak sestupné pohyby, při kterých se
chladnější vzduch pohybuje směrem dolu. V hydrostatickém modelu tento mechanizmus
přenosu tepelné energie konvekcí není a proto je tento stav třeba odstranit parametrizací
konvekce, která přenese potřebnou část tepla směrem vzhůru, aby bylo odstraněno labilní
teplotní zvrstvení. Je-li tento proces konvekce adiabatický je parametrizace formulována tak,
aby při ní zůstala zachována totální potenciální energie sloupců, kde toto konvektivní
přizpůsobení probíhá. Pro ne-adiabatické procesy, kdy je uvolňováno latentní teplo
228
kondenzace, je odstranění instability atmosféry zahrnut do parametrizace konvektivních
srážek. Vzhledem k tomu, že hydrostatické modely nepopisují konvekci, je jejich
nedostatkem, že nepopisují transport znečišťujících příměsí z přízemních vrstev atmosféry do
vyšších vrstev. Nemohou modelovat například modelovat šíření sopečného prachu činné
sopky a podobné úlohy vyžadující advekci ve vertikálním směru, neboť pro tyto úlohy jsou
vertikální rychlosti synoptického měřítka nepoužitelně malé.
Rozměry některých jevů probíhajících v zemské atmosféře
Skutečná atmosféra je ovšem stlačitelná a hydrostatická rovnováha v některých
místech je narušena a vznikají konvektivní výstupné proudy, které musí být z hlediska zákona
zachování hmoty atmosféry kompenzovány proudy sestupnými. Tyto vertikální pohyby, i
když mohou mít značnou rychlost, mají pro globální synoptické modely, ale také i pro modely
na omezené oblasti, vzhledem k čtvercům horizontálně malé rozměry. Celkové průměrné
vertikální rychlosti v objemech tvořených výpočetní sítí (boxech) daná konvekcí je ve
vertikálním směru v modelu synoptického měřítka proto nereálně malá. Uvažujeme-li
synoptický model v současné době s extrémně malou délkou horizontálního kroku v síti 5 km,
je jasné, že konvektivní proudy jsou horizontálně plošně o řád až o tři řády menší, proto jejich
přenos tepelné energie ve vertikálním směru i výpočet konvektivních srážek je typickým
objektem parametrizací. Synoptické vertikální rychlosti, tedy ve své podstatě, vycházejí z
průměrných vertikálních toků hmoty atmosféry ve čtvercích horizontální výpočetní sítě. Pro
názornost poznamenejme ještě, že pro adekvátní popis konvektivní bouřky o horizontální
rozloze čtverečního kilometru nestačí krok v síti 1 km, protože takový jev nemůže být popsán
jedním uzlovým bodem horizontální sítě. To by vedlo k nejkratší vlně, kterou tato síť
popisuje, tedy vlně délky dvou kroků v síti, navíc je tato vlna pro většinu aproximací advekce
stacionární a ve spektrálních modelech jsou tyto nejkratší vlny zcela smazány uřezáváním.
Proto pro odpovídající popis konvekce je třeba jemnější rozlišení, než jsou samotné rozměry
vertikálního proudu. Diskrétní synoptický model, svým rozlišením proto neodpovídá popisu
plně stlačitelné atmosféry dané diferenciálními rovnicemi. Že skutečná atmosféra takto
funguje, potvrzuje také skutečnost, že rychlé oscilace přízemního tlaku dané gravitačními
vlnami mají velmi malou téměř nulovou amplitudu. Pro modely synoptického měřítka je tedy
použití hydrostatické aproximace adekvátní.
Skutečná atmosféra nesplňuje přesně hydrostatickou rovnici a existují v ní zvukové
vlny, přesto se obecně se soudí, že na vývoj atmosféry nemají zvukové vlny z hlediska
meteorologie prakticky žádný vliv. Je to zejména proto, že zvukové vlny se šíří vzhledem k
měřítku meteorologických dějů relativně jen na krátké vzdálenosti, neboť jejich energie se v
prostoru disipuje. Vlny podélného stlačení přenášejí na vzduchové hmoty ve vertikálním
směru zrychlení způsobené nerovnováhou mezi vertikálním gradientem tlaku a silou tíhového
zrychlení Země. Jsou proto přirozenou součástí mechanizmu fungování atmosféry.
Pro fyzikální představu pohybu atmosféry si je dobré uvědomit, o jak velké hmoty se
jedná. Jako příklad uveďme, že hmotnost sloupce atmosféry o průřezu čtverečního metru je
rovna přízemnímu tlaku (v hPa) lomenému konstantou tíhového zrychlení Země g. Pro
přízemní tlak 1013 hPa a g=9.8 ms-2 je váha sloupce vzduchu jednotkového průřezu 1 m2
229
rovna 10.3 tuny. Z hydrostatické a stavové rovnice můžeme též odhadnout hmotnost
kubického metru vzduchu při Zemi. Při teplotě 300 K a tlaku 1013 hPa dostáváme ze stavové
rovnice hustotu 𝜌 = 𝑝⁄𝑅𝑇 = 101 300⁄(287 ∙ 300) = 1.1765 𝑘𝑔 a tedy v 1 m3 vzduchu při
povrchu Země váží přibližně 1.2 kg. Všimněte si zde v rozdílu výpočtu váhy celého
vertikálního sloupce vzduchu, ten je dán přímo tlakem na povrch Země, zatímco pro výpočet
váhy krychlového metru vzduchu při Zemi jsme potřebovali stavovou rovnici a jeho teplotu.
Je to proto, že v druhém případě jde o přírůstek váhy, k čemuž bychom pro výpočet, obdobný
prvnímu, potřebovali znát tlak ve dvou hladinách vertikálně vzdálených od sebe jeden metr.
Při studiu odfiltrování vln v modelech atmosféry je třeba si všímat, jaké důsledky pro
pohyb atmosféry má zjednodušení některých jejích rovnic. Pohyb v atmosféře pak nemusí
odpovídat zcela přesně pohybu v reálné atmosféře, a je třeba posoudit, zdali pro dané měřítko
pohybů atmosféry bude zjednodušení modelu atmosféry nepodstatné.
Hydrostatický model atmosféry a princip jeho numerické realizace
Vraťme se ještě k hydrostatickému modelu. Abychom pochopili, jak funguje model
s hydrostatickou aproximací, nestačí si jen prohlédnout rovnice modelu, je dobré se podívat i
na postup při integraci modelu, který situaci zcela objasní. Časová integrace takového modelu
je založena na časové extrapolaci následujících dvou polí:
Pole rozložení hmoty atmosféry, tedy termobarického pole, je popsáno v 𝜎-systému,
(obdobná situace nastává i v hybridním 𝜂-systému) prognostickými proměnnými
třírozměrným polem teploty a tlakem označovaným 𝑝𝑠 na orografické ploše, jejíž nadmořská
výška a tedy i geopotenciál je znám. Tím je nepřímo dáno také pole geopotenciálu, které
potřebujeme k výpočtu horizontálního gradientu tlaku. Druhým je pole proudění dané polem
horizontálního větru.
Pole proudění je tedy určeno třírozměrným polem horizontálního větru, které je dáno
složkami horizontální rychlosti (𝑢, 𝑣). Vertikální rychlost zde není přímo zadána.
Prognostické proměnné, které nesou celou historii vývoje atmosféry, jsou v hydrostatickém
modelu tedy: horizontální složky rychlosti větru u, v, absolutní teplota T, a tlak na orografické
ploše 𝑝𝑠 (tlak na povrchu Země).
Postup časové extrapolace v hydrostatickém modelu integrovaného explicitním schématem je
v 𝜎-systému, obdobně i v hybridním 𝜂-systému následující:
1. Z rovnice kontinuity postupem popsaným v dodatku z divergence horizontálního větru
vypočteme vertikální rychlost v 𝜎-systému a časovou změnu přízemního tlaku 𝑝𝑠 ,
tedy předpověď přízemního tlaku. (Obdobně v 𝜂-systému).
2. Nyní máme již kompletní sadu hodnot proměnných potřebných pro explicitní časovou
extrapolaci. Třírozměrná pole: termobarické pole, složky horizontálního větru a
vypočtené složky zobecněné vertikální rychlosti. Z prostorově aproximovaných
řídících rovnic pak vypočteme složky horizontálního větru, absolutní teplotu a
přízemní tlak v následujícím časovém kroku.
3. Integrací hydrostatické rovnice ve tvaru 𝜕Φ⁄𝜕𝑙𝑛𝜎 = −𝑅𝑇 po vertikále, tedy podle 𝜎souřadnice z pole teploty a počáteční podmínky, která je dána tím, že známe
geopotenciál Φ pro 𝜎 = 1, tedy povrchu orografické plochy, vypočteme celé
třírozměrné pole geopotenciálu Φ. (V 𝜂-systému integrujeme obdobně rovnici
230
𝜕Φ⁄𝜕𝑙𝑛𝑝 = −𝑅𝑇 od p=𝑝𝑠 ). Tím máme vypočteny hodnoty popisující kompletní
termobarické pole v následujícím časovém kroku. Hodnoty geopotenciálu pak
potřebujeme pro výpočet horizontálního gradientu tlaku pro další integrační krok.
4. Pomocí pole rychlosti větru můžeme z rovnice kontinuity vodní páry, nebo jiných
příměsí v atmosféře vypočítat jejich hodnoty po advekci.
Pro časovou extrapolaci je možné použít například explicitní schéma s centrální diferencí
podle času, tedy tak zvané obkročné schéma (angl. leapfrog scheme).
Z uvedeného postupu je jasně vidět, že rovnice hybnosti ve vertikálním směru, která je
v hydrostatickém modelu redukována na hydrostatickou rovnici, se v modelu používá pouze
pro výpočet geopotenciálu v následujícím časovém kroku. Touto integrací je zaručeno, že
v každém bodě v atmosféře je síla vertikálního gradientu tlaku zcela přesně v rovnováze se
silou zemské tíže. Setrvačnost hmoty atmosféry ve vertikálním směru se tedy vůbec
neuvažuje. Model v hydrostatickém přiblížení bych osobně charakterizoval jako kvasihorizontální. Poznamenejme ještě, že vliv ohřevu atmosféry, který je dán parametrizacemi
pravé strany termodynamické rovnice mění teplotu a geopotenciál. Výsledek tohoto přítoku
nebo odtoku tepelné energie se projeví až v následujícím časovém kroku změnou rychlosti
horizontálního větru. Podrobný popis integrace hydrostatického modelu zde uvádíme
v dodatku.
Závěrem můžeme říci, že formulace hydrostatických modelů je v současné době
ustálená. Základem formulace je p-systém souřadnic, ze kterého vycházejí používané systémy
vertikální souřadnice jak klasický Phillipsův 𝜎-systém, tak jeho varianta se stropem modelu
v konečné výšce, tak i jeho zobecnění, hybridní 𝜂-sytém. Všimněme si, jakou výhodu má,
použijeme-li jako výchozí p-systém. Tato výhoda spočívá v tom, že oblast integrace modelu
tvoří interval 𝑝 ∈ (0, 𝑝𝑠 ), což je interval vzhledem k proměnné p konečné délky. V obou
systémech kopírující terén, klasickém Phillipsově 𝜎-systému i v hybridním 𝜂-sytému je to
interval (0,1). Aby interval po vertikále byl konečné délky v z-systému, což je pro
numerickou realizaci nutné, musí končit v konečné výšce 𝑧 = 𝑧𝑇 , která tvoří strop modelu.
Klademe-li na stropu modelu vertikální rychlost w rovnu nule, strop modelu tvoří
neprostupnou hranici a nastává na ní odraz vln. Horní okrajová podmínka pak způsobuje
určité problémy.
14.3. Nehydrostatické modely plně stlačitelné atmosféry
V posledních třiceti letech začal postupně vzrůstat zájem o modelování
atmosférických dějů mezoměřítka, což umožnil vývoj vysoce výkonných počítačů. Tyto
meteorologické děje jsou charakterizovány svými relativně menšími rozměry i kratším
časovým trváním. Pro výpočet potřebují tedy jemnější sítě. Modely, které simulují děje
mezoměřítka jsou většinou typu LAM, tedy počítány na omezené oblasti a pro výpočet
potřebují předpověď z globálních předpovědních modelů v zónách u bočních hranic výpočetní
oblasti a obvykle také počáteční podmínky. Pro předpověď mezoměřítkových dějů, mezi něž
patří zejména děje s vertikální rychlostí třídy II. Matveev [17], zahrnující cirkulaci vzduchu
v horách, nemůžeme již pro předpověď jejich vývoje používat hydrostatické modely. Proto
pro nehydrostatické modely vznikl v současné době větší zájem. Realizace nehydrostatických
231
modelů pro provozní předpověď počasí naráží na dva problémy. Jeden problém je spojen se
správnou formulací rovnic v oblasti hor a druhým je efektivnost integrace nehydrostatického
modelu, neboť model popisuje i šíření velmi rychlých zvukových vln a to i ve vertikálním
směru, kde má síť modelu nejkratší krok. Vertikální délka kroku je přibližně až o dva řády
kratší, než krok sítě horizontální. Proto se modely často vyhýbají simulaci jevů třídy II
zahrnující přesnou simulaci pohybu vzduchu přes horské masivy a jejich nehydrostatické
modely zahrnují konvekci do modelů jako perturbaci termodynamických proměnných od
základního stavu splňujícího hydrostatickou rovnici. Zahrnují do předpovědi tedy vertikální
pohyby třídy I.
Formulace systémů souřadnic používaných pro formulaci modelů
v meteorologii
Formulace souřadných systémů používaných v meteorologických modelech vychází
z tak zvaných „Tradičních aproximací“, kterými jsme se podrobně zabývali v kapitole 4.
Hlavní zjednodušení této aproximace vychází z faktu, že atmosféra na zemském povrchu je
jen tenkou vrstvou vzhledem k poloměru Země, a proto můžeme svislé přímky směřující do
středu Země ve směru zemské tíže považovat v této tenké vrstvě, kterou tvoří atmosféra, za
rovnoběžné. Základní systém tří souřadnic používaných v meteorologii, tak zvaný z-systém
můžeme proto zvolit následovně. Tvoří jej ortogonální systém souřadnic x, y v rovině mapy a
souřadnice z, kolmá k rovině mapy. Rovinu mapy považujeme také za hladinu moře.
Horizontálně tvoří oblast výpočtu obvykle obdélník se stranami rovnoběžnými s osami
souřadnic x, y. Souřadnice z je tedy výškou nad hladinou moře. Vzhledem k zakřivení
povrchu Země jsou skutečné vzdálenosti mezi body na mapě pak dány 1. diferenciální formou
použitého zobrazení zemského povrchu. Koeficienty této diferenciální formy jsou v tomto
případě nezávislé na nadmořské výšce. Pro konformní mapu je používáno obvykle zkreslení
této mapy. Transformace řídících rovnic do systému souřadnic daného zobrazení je popsána
v kapitole 6. Ze základního z-systému vertikální souřadnice vycházejí přímo některé
nehydrostatické modely. V dynamické meteorologii i pro modelování se v meteorologii
používá častěji p-systém souřadnic. Místo výšky z nad hladinou moře, se jako vertikální
souřadnice používá tlak p, který je vzhledem k původní souřadnici z monotónní. Povrch Země
tvoří tak zvanou orografickou plochu, která je dána výškou povrchu Země nad hladinou
moře. Tato skutečnost způsobuje pro realizaci modelů poměrně značné problémy. Pro
numerickou realizaci se ukázalo, že nejschůdnější cestou je zvolit systém křivočarých
souřadnic tak, aby oblast výpočtu byla omezena souřadnicovými plochami. To platí zejména
pro povrch Země. Tento problém první vyřešil již v roce 1959 Norman Phillips [20]
zavedením svého 𝜎-systému vertikální souřadnice 𝜎 = 𝑝⁄𝑝𝑠 . Tím ovšem zavedl první systém
vertikální souřadnice kopírující terén.
Nehydrostatické modely v systému souřadnic kopírujících terén.
Nyní se zastavme u jednoho zásadního problému systémů souřadnic kopírujících
terén. Transformace navržená Normanem Phillipsem do 𝜎-systému je určena pro modely
synoptického měřítka, ve kterých je s velkou přesností splněna hydrostatická rovnice. Totéž
232
ovšem platí o článku Akiry Kasahary [12], který byl základem kapitoly 7. „O transformaci
rovnic do systému obecné vertikální s-souřadnice“, který je základním článkem o
transformacích řídících rovnic mezi systémy souřadnic pro modely s hydrostatickou
rovnováhou. V článku je vysloveně uvedeno, že transformace jsou provedeny za předpokladu
hydrostatické rovnováhy v atmosféře, i když toto omezení zde není v podstatě zdůvodněno.
Důvod je však jasný. Je to tím, že v tomto případě na částice atmosféry nepůsobí ve
vertikálním směru Archimédovy síly zrychlení, neboť gradient tlaku je stále v přesné
rovnováze se silou zemské tíže. Vektor zrychlení působí na vzduchové částice pouze v
horizontálním směru. Proto stačí studovat pouze změnu horizontální rychlosti vlivem
horizontálního gradientu tlaku. Mohli bychom také říci, že pohyb celé atmosféry je poháněn
pouze horizontálním gradientem tlaku a ostatní pohyb vyplývá z rovnice kontinuity, tedy
zákona zachování hmoty atmosféry. Není-li v atmosféře splněna hydrostatická rovnice, což
nastává právě v nehydrostatickém modelu, pak vektor síly, který působí na vzduchové částice,
neleží obecně v horizontální rovině a není tedy totožný se svou projekcí do horizontální
roviny.
Všimněme si, že transformace rovnic hydrostatického modelu používá zjednodušený
systém křivočarých souřadnic. Skalární proměnné jsou při této transformaci definovány
správně v bodech určených křivočarými souřadnicemi, zatímco vektorové veličiny - vektory
rychlosti a zrychlení, protože leží v horizontální rovině, jsou definovány přímo v původním zsystému, tedy pomocí ortogonálního systému souřadnic v rovině mapy. Hydrostatická
aproximace tedy dovoluje místo studia vektorů v třírozměrném prostoru uvažovat pouze
projekce do horizontální roviny. Tím, že složky větru a síly které způsobují změnu hybnosti
vzduchových hmot, promítneme do horizontální roviny, eliminujeme vliv vertikální složky sil
na změnu horizontální rychlosti pohybu atmosféry i změnu vertikální rychlosti vlivem
horizontálního zrychlení na svazích hor.
Transformace do s-systému popsaná Kasaharou má zároveň dvě zjednodušení. Jedno
odpovídá tomu, že ve vertikálním směru na částice nepůsobí žádná síla zrychlení, což
odpovídá modelům s hydrostatickou aproximací. To je tedy v pořádku. Druhé zjednodušení
spočívá v tom, že pro transformaci vektorů je chápána orografická plocha, a tedy i
souřadnicové plochy křivočarých souřadnic, jako roviny kolmé k ose z. V tomto případě je
zakřivení povrchu Země popsáno správně 1. diferenciální formou sférické plochy a
transformace rovnic je tedy v pořádku. To znamená, že by se tato orografická plocha neměla
příliš lišit od roviny kolmé k ose z, aby bylo možné takto vzniklý systém souřadnic považovat
za ortogonální. To je ovšem splněno přibližně pouze pro modely synoptického měřítka, kde
horizontální krok sítě je vzhledem k výšce hor relativně velký a svahy hor, popsané takovou
sítí, svírají s horizontální rovinou jen malé úhly. Pro modely třídy III. jsou tyto podmínky
přibližně splněny a zjednodušení použité pro systém kopírující terén je akceptovatelný.
Pro modely mezosynoptického měřítka, modely třídy II. ke kterým patří popis pohybů
vznikajících z nehomogennosti zemského povrchu, pohyb vzduchu vzhledem k svahům hor,
cirkulace v horách-dolinách je toto zjednodušení těžko akceptovatelné. Pro dostatečně jemnou
síť se popis hor v modelu blíží k realitě a svahy hor jsou již dostatečně strmé, aby nemohly
být považovány v podstatě za vodorovné. Při pohybu vzduchu vynuceném pohořími vznikají
na svazích hor síly ve vertikálním směru v závislosti na stabilitě teplotního zvrstvení, což jsou
rovněž vztlakové síly Archimédova typu. Tyto síly tedy narušují podmínku, že atmosféra je
233
v hydrostatické rovnováze. Model mezosynoptického měřítka s reálnou orografií by měl být
proto nehydrostatický. Síly působící ve vertikálním směru mají samozřejmě vliv i na
horizontální pohyby atmosféry, tedy na horizontální rychlost větru. Proto není možné použít
zjednodušení, kde místo vektorů v třírozměrném prostoru používáme pouze jejich průměty do
horizontální roviny. Pro nehydrostatické modely není tedy možné zjednodušit transformaci do
křivočarých souřadnic, jak je používána pro modely s hydrostatickou aproximací popsanou
Kasaharou [12]. V tomto případě je správné postupovat striktně podle v souladu s teorií
křivočarých souřadnic jak je prezentována v diferenciální geometrii a tenzorovém počtu.
Rozdíl mezi zrychlením vzduchu daným třídimenzionálním vektorem síly
působící na vzduchové částice a jeho zjednodušením v hydrostatickém
modelu
Pro pochopení, jaký je rozdíl mezi fungováním hydrostatického a nehydrostatického
modelu v hornatém terénu, si uvedeme jednoduchý případ. Tento příklad nám ukazuje
důsledky nesprávného zjednodušení křivočarého systému pro nehydrostatické modely.
Zjednodušení, používané v hydrostatických modelech, ale i v některých nehydrostatických
modelech, má za důsledek, že třírozměrný vektor síly F způsobující zrychlení vzduchových
částic je rozdělen na součet dvou vektorů a to na projekci vektoru F do vodorovné roviny,
která mění horizontální rychlost větru a na nezávislou svislou složku, ta mění opět pouze
vertikální rychlost a nemá vliv na horizontální složku větru. Zjednodušení lze udělat ve dvou
případech. Jednak když výpočet provádíme nad rovinným terénem, to znamená v modelu bez
orografie, nebo v hydrostatickém modelu, kde ve vertikálním směru na částice vzduchu
nepůsobí žádná síla vertikálního zrychlení respektive zpomalení, a svahy hor svírají
s horizontální rovinou jen malé úhly. Pro nehydrostatické modely s plně stlačitelnou
atmosférou, které mají správně popsat dynamiku atmosféry zejména vliv pohoří na proudění,
kde je pro popis orografie používán systém křivočarých souřadnic kopírujících terén, je
zjednodušení používané v hydrostatických modelech chybou.
Abychom si existenci tohoto problému ukázali, studujme pohyb částice pohybující se
podél orografické plochy. V tomto případě této skutečnosti odpovídá teorie pohybu bodu
vázaného na plochu. Třírozměrný vektor síly F v bodu P daný rozdílem gradientu tlaku a síly
zemské tíže zde musíme rozložit na součet dvou vektorů na skutečnou sílu působící
způsobující změnu rychlosti částic a na vhodnou vazbovou sílu G, která je kolmá k tečné
rovině orografické plochy a její vliv způsobuje, že částice kopíruje povrch plochy. Dostaneme
pak skutečnou sílu S, která mění velikost a směr třírozměrného vektoru rychlosti větru V.
Průmětem vektoru S do horizontální roviny, pak obdržíme skutečnou sílu měnící horizontální
vektor větru, horizontální složka této síly dává horizontální zrychlení částice jednotkové
hmotnosti, kterou označíme 𝐯̇ 𝑁 zatímco složku v hydrostatickém modelu označme 𝐯̇ 𝑯 . Tato
skutečnost je znázorněna na obrázku, kde rozklad vektoru síly F na složky G a S je znázorněn
ve vertikální rovině. Z obrázku 14.3.1 je vidět rozdíl mezi horizontálním zrychlením
počítaném zjednodušeným způsobem stejným jako je používán v hydrostatickém
modelu hydrostatickém a při správné formulaci nehydrostatického modelu.
234
Obrázek 14.3.1. Rozklad vektoru síly působící na částice vzduchu na složky.
Na matematický popis tohoto procesu je ovšem třeba použít metodu tenzorového
počtu Mc. Connell [18]. Problém spočívá v tom, že v křivočarých souřadnicích kromě polohy
bodu potřebujeme v každém bodě daném souřadnicemi určit také souřadnice vektorů. Ty jsou
určeny vzhledem k jednotkovým tečným vektorům k parametrickým křivkám křivočarého
systému souřadnic, tento systém těchto tří vektorů, vzhledem ke kterému určujeme souřadnice
vektorů, se nazývá repér. Jednotkové vektory tohoto repéru májí v každém bodě určeným
křivočarými souřadnicemi obecně jiný směr. Vztah mezi souřadnicemi vektorů v různých
bodech je dán afinní konexí. Ta je formulována pomocí Christoffelových symbolů a dá se
proto vyjádřit pomocí koeficientů první základní formy plochy a jejich prvních parciálních
derivací Budinský-Kepr [3]. Volba systému křivočarých souřadnic kopírujících terén je
obvykle následující. Souřadnice z je výškou nad hladinou moře, tedy nad rovinou mapy.
povrch Země tvořený orografickou plochou je zároveň souřadnicovou plochou křivočarého
systému a ostatní souřadnicové plochy jsou odvozeny na základě definice nové zobecněné
vertikální souřadnice a výšky orografické plochy nad rovinou mapy.
Obdobnou úvahu si můžeme představit i v každém bodě oblasti výpočtu, kde můžeme
uvažovat souřadnicovou plochu která je ve stejném směru jako orografická plocha a v tomto
bodě definovat repér, který se skládá s jednotkových tečných vektorů k parametrickým
křivkám. Tyto vektory nám definují souřadnicový systém pro určení kontravariantních
souřadnic vektorů. Afinní konexe nám pak dává vztahy mezi kontravariantními souřadnicemi
vektorů v různých bodech prostoru určovaných křivočarými souřadnicemi. Proto správná
formulace nehydrostatického modelu v terénu s orografií je relativně složitá a bez znalosti
diferenciální geometrie se proto neobejde. Matematická formulace rovnic nehydrostatického
modelu v křivočarých souřadnicích není problémem. Diferenciální geometrie a tenzorový
235
počet nám poskytuje metodiku k jeho řešení Mc. Connell [18], Raševskij [22]. Hlavním
problém je tedy spíše realizace modelu pomocí numerické matematiky. Explicitní schémata
pro řešení by byla neefektivní, neboť by pro časovou integraci z hlediska kritéria stability
výpočtu vyžadovala velmi krátké časové kroky, řádově zlomky vteřin. Při použití
semiimplicitních schémat nedostáváme v tomto případě tak jako je tomu v hydrostatických
modelech separabilní systémy rovnic, které se dají řešit redukcí dimense pomocí spekter
příslušných operátorů. Nehydrostatické modely se bohužel takto efektivně řešit nedají.
Spektrální technika pro řešení rovnic těchto nehydrostatických modelů je také vyloučena, je to
proto, že orografie modifikuje 1. diferenciální formu plochy povrchu Země a není proto
možné použít obvyklou spektrální reprezentaci polí, která se používá v horizontálním směru.
Vzniklé třídimensionální systémy implicitních částí modelu by bylo možné asi řešit
efektivněji multigridními iteračními metodami. Vývoj takového modelu, formulace, navržení
a naprogramování numerického řešení a jeho vyzkoušení je velmi náročné. Jsou k tomu třeba
znalosti z více oborů a je tu také téměř nepředstavitelná práce s realizací takového projektu.
Některé nehydrostatické modely testované a používané do současnosti
Ponecháme stranou některé starší nehydrostatické modely počítané v z-systému
souřadnic nad rovinným terénem, ať už to byly simulace některých jevů v atmosféře, nebo i
předpověď počasí v Británii a budeme se věnovat raději modelům zahrnující předpověď také
nad oblastí pohoří.
Pravděpodobně prvním modelem, který byl vyvinut na základě tenzorového počtu, s
exaktní transformací Navier-Stokesových rovnic do křivočarého systému souřadnic [8] a také
numerické řešení rovnic tohoto modelu [9] publikovali Gal-Chen Tzvi, Sommerville Richard
v roce 1975. Numerické řešení bylo ovšem testováno na prostorově dvoudimensionálním
modelu ve svislé rovině a navíc se Navier-Stokesovy rovnice týkají proudění nestlačitelné
tekutiny. Pro meteorologii proto měla práce jen omezený význam.
Na model autorů Gal-Chen Tzvi a Richarda Sommerville navázal v roce 1977 Terry L.
Clark [5] s realizací nehydrostatického modelu kopírujícího terén. V modelu byla použita
anelastická aproximace, která filtrovala zvukové vlny. Pro model s topografií byla použita
transformace souřadnic kopírující terén 𝑧̅ = 𝐻 (𝑧 − 𝑧𝑆 )⁄(𝐻 − 𝑧𝑆 ), kde H je výška stropu
modelu a 𝑧𝑆 (𝑥, 𝑦) je výška orografie. Varianta s topografií je řešena jako perturbace
termodynamických proměnných od základního stavu. Aplikace modelu je zde rovněž pouze
dvoudimensionální.
Ve vysokoškolské učenici se tematika exaktní transformace rovnic meteorologických
modelů na základě tenzorového počtu objevila v Pielkeho knize [21], ale konkrétní formulace
a řešení rovnic takového modelu zde není. Je zřejmé, jak je tato věc bez zjednodušení obtížná.
Problematikou normálních módů pro globální nehydrostatický model nad rovinným terénem
se zabýval také Akira Kasahara [13], využití globálních modelů v praxi vidí ovšem až ve
vzdálenější budoucnosti.
Nyní si uvedeme některé významné a téměř populární modely, které jsou používány
v praxi pro různé zejména výzkumné účely. Charakteristickým rysem těchto modelů je, že
236
vycházejí z hydrostatického modelu a tento jednodušší model je také používán pro různé
výpočty. Nehydrostatická verse je jakýmsi rozšířením této hydrostatické verse modelu.
Jsou to následující modely:
Americký model MM5.
Tento model zahrnuje dvě verse:
1. Hydrostatický model
Který je formulován v  -systému se stropem v tlakové hladině p t , tedy vertikální
souřadnice  je definována vztahem

p  pt
p s  pt
(14.3.1)
kde p s x, y, t  je tlak na orografické ploše. Pět rovnic popisující vývoj atmosféry je
všeobecně známý.
2. Nehydrostatický model
Je formulován jako perturbace od konstantního referenčního stavu následovně:
px, y, z, t   p0 z   px, y, z, t 
T x, y, z, t   T0 z   T ' x, y, z, t 
(14.3.2)
 x, y, z, t    0 z    x, y, z, t 
Profil teploty referenčního stavu je analytickou funkcí nadmořské výšky tak že
představuje střední hodnoty teplotního profilu v troposféře. Referenční stav se zřejmě
předpokládá v hydrostatické rovnováze. Splňuje tedy hydrostatickou rovnici.
Vertikální  -souřadnice je definována zcela pomocí referenčního tlaku.
p  pt
 0
(14.3.3)
p s  pt
kde p s a p t
je tlak na povrchu Země (na orografické ploše) a stropu modelu
referenčního stavu atmosféry a je nezávislý na čase. Tlak p t je konstanta. Celkový
tlak v uzlových bodech je pak dán vztahem
p  p *  pt  p 
kde
p * x, y   ps x, y   pt
(14.3.4)
(14.3.5)
Třídimenzionální perturbace tlaku p  je předpovídaná hodnota (prognostická
proměnná).
Formulace rovnic modelu je podle práce: Dudhia, J., 1993 [7] a v rozsáhlé 117
stránkové Technické notě z roku 1994. Velká část je zde věnována také
parametrizacím.
Lapriseova vertikální souřadnice „hydrostatický tlak“
Použití tlaku jako vertikální souřadnice pro formulaci rovnic nehydrostatických
modelů pravděpodobně vyplynul z myšlenky, že pak by tato formulace mohla být podobná
237
formulaci rovnic hydrostatických modelů. Skutečný tlak se k tomu však nehodí, protože se
mění v závislosti na vertikálních pohybech nehydrostatické atmosféry. Proto kanadský
meteorolog René Laprise v článku [14] navrhl, aby v tomto případě byl jako vertikální
souřadnice použit hydrostatický tlak i v nehydrostatickém modelu. Formulaci hydrostatického
tlaku v atmosféře, která není v hydrostatické rovnováze, si nyní uvedeme.
Pro zavedení souřadnice, kterou Laprise [14] nazval hydrostatický tlak, vyjdeme
z rovnic v obecném s-systému vertikální souřadnice Kapitoly 7. V tomto systému má rovnice
kontinuity tvar (7.1.33) kterou pro přehlednost opakujeme
   z 
z   
z 

(14.3.6)
 t   s    s   v s   s  s  s   0
 s




 
Rovnici hydrostatické rovnováhy (7.1.24) můžeme v s-systému psát ve tvaru
p s p
(14.3.7)

  g
z z s
Přejdeme-li k inversní funkci, máme je podle (7.1.25)

z
p
(14.3.8)

 g

s
s
s
Hilding Sundqvist [24] zavádí novou proměnnou, kterou označuje m vztahem, která je
definována hydrostatickou rovnicí (7.1.36)

z
p
(14.3.9)

 g    m
s
s
s
Veličinu m můžeme interpretovat jako přírůstek tlaku, tedy i jako přírůstek hmotnosti v
závislosti na výšce v s-systému. Při tomto označení můžeme rovnici kontinuity psát ve tvaru

 m 
(14.3.10)

   s  m v   m s   0
s
 t  s
Chceme-li zavésti souřadnici hydrostatický tlak, musíme si všimnout, že v p-systému nemá
rovnice kontinuity člen s časovou derivací. Je to proto, že stejný objem v p-systému má vždy
stejnou hmotnost. Důsledkem toho je, že hodnota m je konstantní, a rovnice kontinuity po
vydělení konstantou m má tvar
𝜕𝑠̇
∇𝑠 𝐕 +
=0
𝜕𝑠
(14.3.11)
Zvolíme-li za obecnou vertikální souřadnici s, hydrostatický tlak, který označme π, má
v novém označení rovnice kontinuity tvar
𝜕𝜋̇
𝑑𝜋
∇𝜋 𝐕 +
=0
𝑘𝑑𝑒 𝜋̇ =
𝜕𝜋
𝑑𝑡
(14.3.12)
Při tomto novém označení je podle (14.3.7)
𝜕𝜋
= −𝑔𝜌
𝜕𝑧
(13.2.13)
Integrací této rovnice dostáváme hodnoty souřadnice π
238
𝑧𝑇
𝜋(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝜋𝑇 + ∫ 𝑔 ∙ 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧´, 𝑡)𝑑𝑧´
𝑧
(14.3.14)
kde
𝜋𝑇 ≡ 𝜋(𝑥, 𝑦, 𝑧𝑇 , 𝑡)
Geopotenciál pak počítáme z hydrostatické rovnice
𝜕Φ
1
= − = −𝛼
𝜕𝜋
𝜌
(14.3.15)
Studujeme, jak je tato souřadnice definována. Objektivní analyza nám poskytuje data, která
jsou v hydrostatické rovnováze. Je to dáno tím, že odchylky stavu atmosféry od hydrostatické
rovnováhy jsou v synoptickém měřítku velmi malé a navíc je neumíme v současnosti změřit.
Dalším důvodem, proč pro časovou integraci hydrostatického, ale i nehydrostatického
modelu, máme k dispozici pouze počáteční podmínky, které jsou v hydrostatické rovnováze,
je dáno tím, že všechny manipulace se vstupními daty, zejména transformace do systému
souřadnic, který je použit pro integraci modelu, jsou prováděny pomocí hydrostatické rovnice.
Počáteční podmínky pro integraci nehydrostatikého jsou tedy v hydrostatické rovnováze.
Vzájemně jednoznačný vztah mezi geopotenciálem Φ a hustotou 𝜌 (nebo měrným objemem
𝛼) dostaneme integrací hydrostatické rovnice. Stavová rovnice nám pak dává vztah mezi
polem geopotenciálu a absolutní teplotou. Abychom mohli hydrostatickou rovnici integrovat,
potřebujeme znát právě jednu integrační podmínku, tedy dvojici příslušných hodnot Φ ↔ π,
respektive 𝑧 ↔ 𝜋. Tím je pak dána celková funkční závislost těchto dvou hodnot. Je také
jasné, že zvolíme-li jednu dvojici veličin Φ ↔ π, pak každá jiná dvojice již definována a bude
funkcí souřadnic x, y i času t. V každém systému vertikálních souřadnic je oblast modelu
omezena horní a dolní hranicí. Tyto hranice jsou v našem případě dány konstantními
hodnotami nezývisle proměnné hydrostatického tlaku 𝜋𝑇 a 𝜋𝑠 , tyto hodnoty určijí také
souřadnicové plochy omezující oblast integrace a jsou pro vzduch nepropustné. To znamená,
že normálová složka rychlosti by zde měla být rovna nule. Pro definování vertikální
souřadnice hydrostatický tlak je ovšem rozhodující dvojicí výška orografie, která je dána
povrchem Země a je v čase konstantní a k ní příslušný hydrostatický tlak na povrchu Země,
který je i funkcí času. Na základě znalosti měrného objemu 𝛼 pak integrací dostaneme celý
průběh geopotenciálu jakožto souřadnice hydrostatický tlak 𝜂 a tedy i výšku stropu modelu.
Podle mne jsou vztahy hydrostatické rovnice v z-systému (14.3.13) a (14.2.14) sice
správné, avšak z výpočetního hlediska pro model nepoužitelné. Průběh hustoty vzhledem
k výšce v diskrétních počátečních datech máme k dispozici obvykle v p-systému nebo od něj
odvozeném hybridním systému a nikoliv jako funkci z. Protože vstupní data jsou
hydrostatická, tak známe hydrostatický tlak na povrchu země vztahy (14.3.13) a (14.2.14) ani
nepotřebujeme.
Studujme nyní souvislost Laprisem použitého hybridního 𝜂-systému s obvyklým 𝜎systémem se stropem modelu v konečné výšce, tedy nenulovým tlakem. Hybridní systém je
definován implicitně vztahem
𝜋(𝑥, 𝑦, 𝜂, 𝑡) = 𝐴(𝜂) + 𝐵(𝜂)𝜋𝑠 (𝑥, 𝑦, 𝜂, 𝑡)
(14.3.16)
kde 𝜋𝑠 je hydrostatický tlak na zemském povrchu a jednotkového průřezu je to tedy váha
svislého sloupce působící na povrch Země. V hydrostatickém modelu je tedy roven
239
skutečnému přízemnímu tlaku 𝑝𝑠 . Konstantní hodnoty 𝜂𝑇 , 𝜂𝑠 souřadnice 𝜂 nám ve vertikálním
směru vymezují oblast výpočtu, souřadnice 𝜂 se tedy pohybuje v intervalu (𝜂𝑇 , 𝜂𝑠 ). Funkce
𝐴(𝜂) a 𝐵(𝜂) volíme tak, aby souřadnicová plocha 𝜂 = 𝜂𝑠 kopírovala terén, tedy aby na této
ploše byl hydrostatický tlak roven 𝜋 = 𝜋𝑠 . Proto na povrchu orografické plochy musí být
splněno
𝐴(𝜂𝑠 ) = 0 , 𝐵(𝜂𝑠 ) = 1
(14.3.17)
Horní hranici oblasti tvoří plocha 𝜂 = 𝜂𝑇 a A a B proto musí splňovat podmínku
𝐴(𝜂𝑇 ) = 𝜋𝑇 ≥ 0,
𝐵(𝜂𝑇 ) = 0
(14.3.18)
V modelu se pak používají jednoduché okrajové podmínky založené na zákonu
zachování hmoty atmosféry. Používají se pak kinematické okrajové podmínky
𝜂̇ (𝜂𝑠 ) = 0 a 𝜂̇ (𝜂𝑇 = 0)
(14.3.19)
Časová změna přízemního hydrostatického tlaku se počítá podle Lapriseho článku [14] ze
vztahu (45)
𝜂𝑠
𝜕
1
𝜕𝜋 ′
𝑙𝑛𝜋𝑠 + ∇ ∙ ∫ 𝐕
𝑑𝜂 = 0
𝜕𝑡
𝜋𝑠
𝜕𝜂′
𝜂𝑇
(14.3.20)
obdobně jako v hydrostatickém modelu, kde V je horizontální vektor větru. Tento postup je
vysvětlen v dodatku této kapitoly.
Ukážeme si nyní souvislost hybridního systému se 𝜎-systémem se stropem, který je
používán právě pro nehydrostatické modely, což je zřejmě spojeno s vlastnostmi plně
stlačitelné atmosféry. Ta se vlivem tlaku má možnost se rozpínat a není tedy možné, aby na
horní hranici atmosféry byl tlak rovný nule. Nulový tlak na stropu modelu je možný pouze u
hydrostatických modelů, kde je atmosféra stále v hydrostatické rovnováze a nemá se tedy
vzduch tendenci roztahovat. Souvisí to také úzce s formulací horní okrajové podmínky, která
je chceme-li potlačit odrazy vln od stropu modelu, pro nehydrostatické modely problémem.
Sigma systém se stropem je definován obvyklým vztahem
𝜎 = (𝑝 − 𝑝𝑇 )⁄(𝑝𝑠 − 𝑝𝑇 )
(14.3.20)
Kde 𝑝𝑠 je tlak na zemském povrchu a 𝑝𝑇 je tlak na stropu modelu. Souřadnice 𝜎 pak leží
v intervalu (0,1). Chceme-li zapsat tento systém jako speciální případ hybridního systému,
vyjádříme si z předchozí definice tlak, jako funkci souřadnice 𝜎. Takto je vlastně implicitně
definována souřadnice 𝜂 hybridního modelu. Máme tedy
𝑝 = (1 − 𝜎)𝑝𝑇 + 𝜎𝑝𝑠
(14.3.21)
Odtud je zřejmé, že tento systém můžeme zapsat ve tvaru
𝑝 = 𝐴(𝜎) + 𝐵(𝜎)𝑝𝑠 , kde
𝐴(𝜎) = (1 − 𝜎), 𝐵(𝜎) = 𝜎
(14.3.22)
Chceme-li tento vztah ve tvaru souřadnice 𝜂, kde tato souřadnice leží v intervalu (𝜂𝑇 , 𝜂𝑠 ),
Pak stačí provésti lineární transformaci proměnné 𝜎za novou souřadnici 𝜂 podle vztahu
𝜎 = (𝜂 − 𝜂𝑇 )⁄(𝜂𝑠 − 𝜂𝑇 )
(14.3.23)
To považuji za zbytečné, protože souřadnice 𝜂 by i v obecném případě hybridního systému
mohla probíhat rovněž interval (0,1). Původní 𝜎-systém Normana Phillipse měl strop modelu
v nekonečnu, což je ekvivalentní s nulovým tlakem na stropu modelu, tedy pro 𝑝𝑇 = 0.
Z fyzikálního hlediska je mezi modelem se stropem, ve kterém je na stropu modelu nenulový
tlak a modelem, kde na stropu modelu je tlak roven nule značný rozdíl.
240
Po definování souřadnice hydrostatický tlak René Laprise [14] provádí transformaci
rovnic modelu do systému kopírujícího terén podle článku Akiry Kasahary [12]. V tomto
případě však atmosféra není v hydrostatické rovnováze, což transformace popsaná v článku
Akiry Kasahary předpokládá. Pomocí obecné teorie transformací hydrostatických modelů
do s- systému, pak přepisuje rovnice do hybridního 𝜼-sytému. To ovšem pro modely
v křivočarých souřadnicích správné není.
V Laprisově pojetí je nehydrostatiký model počítán jako perturbace pro odchylky od
hydrostatického stavu. Vývoj tohoto hydrostatického stavu je počítán obdobně, jako
předpověď hydrostatickéhomodelu. Takový zjednodušený přístup, kdy je nehydrostatický
model počítán jako odchylka od určitého základního stavu, používají i některé jiné modely,
zejména pro výpočty z ekologické oblasti.
Americký model Global Einvironmental Multiascale (GEM)
Tento model je zaměřen na ekologické problémy a byl vytvořen za velké spolupráce
více organizací a publikován Americkou meteorologickou společností ve třech částích. Třetí
část je pak věnována nehydrostatické formulaci modelu. Vertikální souřadnice 𝜂 kopírující
terén vychází z Lapriseovy souřadnice „hydrostatický tlak“ označované písmenem 𝜋. Model
je se stropem, který je definován konstantním tlakem 𝜂𝑇 . Hydrostatický tlak na orografické
ploše je označen 𝜂𝑆 . Vertikální souřadnice je pak definována vztahem
𝜂 = (𝜋 − 𝜋𝑇 )⁄(𝜋𝑆 − 𝜋𝑇 ). Model je diferenční a rovnice pro změnu hybnosti jsou
formulovány pro horizontální složky větru obdobně jako v hydrostatickém modelu. Klíč pro
přepínání hydrostatické a nehydrostatické verse modelu je obsažen v rovnici pro změnu
vertikální hybnosti. Skutečný celkový tlak v atmosféře je reprezentován jako perturbace
hydrostatického tlaku. Na stropu modelu jsou oba tlaky stejné a tedy konstantní. Aproximace
advekce používá semi-Lagrangeovské schéma. Nehydrostatický model je tedy v podstatě
perturbací hydrostatického modelu. Podrobný popis modelu je uveden v rozsáhle publikaci
[N4]. Nehydrostatická verse modelu je zřejmě zaměřena na řešení ekologických problémů.
Podrobný popis modelu GEM je publikován v rozsáhlé třídílné publikaci [N4] vydané
Americkou meteorologickou společností.
Nehydrostatické modely používané v současnosti se od sebe značně liší, jednak podle
toho, které jevy mají simulovat. Má-li to být předpověď na velmi jemné síti [7], nebo pro
použití v problematice životního prostředí [6], který se úspěšně používá v modelování
chemických procesů v atmosféře, nebo populární model MM5 z USA [10] pro různé účely.
Tyto vyjmenované modely používají také nejen různé systémy vertikální souřadnice, ale i
jinou aproximaci horizontální, diferenční, konečné elementy a spektrální techniku. Některé
jsou Eulerovské, některé semi-Lagrangeovské.
Integrace rovnic plně stlačitelné atmosféry spektrálního nehydrostatického modelu
ALADIN v souřadnicích kopírujících terén
V Českém hydrometeorologickém ústavu byl v druhé polovině devadesátých let dán
do provozu na nově zakoupeném Japonském počítači NEC hydrostatický spektrální model
ALADIN pro každodenní výpočet předpovědi počasí na omezené oblasti. Model byl vyvinut
241
za mezinárodní spolupráce s francouzskou meteorologickou službou s naší českou
spoluúčastí. Spektrální metoda řešení modelu je popsána v kapitolách 24, 25 a 26 této knížky.
V současné době je podle mne jakousi prestižní záležitostí významnějších meteorologických
institucí prezentovat vlastní vývoj nehydrostatických modelů. Je to samozřejmě nosné a
zajímavé téma pro další výzkum a získání nových vědeckých výsledků. Proto zřejmě Méteo
France iniciovala vývoj nehydrostatického modelu, na kterém se podílela i česká
meteoroložka Radmila Bubnová-Brožková [1], [2]. Tento model vychází z hydrostatického
modelu ALADIN. Pro svou formulaci používá Laprisevu vertikální souřadnici hydrostatický
tlak a spektrální metodu na omezené oblasti. Prognostickou veličinou v modelu je rozdíl mezi
skutečným nehydrostatickým tlakem a Laprisovým hydrostatickým tlakem. Model používá
křivočarý systém souřadnic kopírujících terén. Vertikální souřadnice 𝜂 je definována na
základě Laprisova hydrostatického tlaku. Transformace rovnic do křivočarého systému
souřadnic se provádí stejně jako pro hydrostatické modely podle Akiry Kasahary [12], což je
popsáno v kapitole 7. Tato transformace je převzata z Lapriseova článku [14], kde je použita
sice pro hydrostatickou souřadnici, ale atmosféra sama zůstává nehydrostatickou, nesplňuje
tedy hydrostatickou rovnici. Třírozměrný gradient tlaku je zde rozdělen na dvě nezávislé
složky vertikální a horizontální, což v křivočarém systému souřadnic není možné.
Horizontální složka gradientu tlaku je pak použita pouze pro změnu horizontálního větru.
Vertikální složka mění vertikální nehydrostatickou složku rychlosti. Časové změny
horizontálních složek větru jsou tedy počítány v podstatě podobně jako v hydrostatickém
modelu a vektory jsou místo v křivočarém systému určeny souřadnicemi v původním
výchozím z-systému souřadnic x, y v horizontální rovině. Důsledky tohoto zjednodušení jsou
následující. Model sice popisuje vertikální rychlosti způsobené tepelnou konvekcí, ale
nepopisuje správně dynamiku atmosféry v oblasti hor, tedy horizontální i vertikální rychlosti
měřítka Třídy II. podle Matveeva [17]. Takto formulovaný nehydrostatický model by zřejmě
správně pracoval nad rovinným terénem. Zjednodušení transformace do křivočarých
souřadnic, která od sebe odděluje vzájemný vliv vertikální a horizontální složky nad horským
terénem, mění tuto úlohu na separabilní a je možné použít stejný efektivní princip řešení jako
u hydrostatického modelu, tedy redukci dimense, a umožňuje také použít spektrální metodu.
Správné nezjednodušené formulace při použití křivočarých souřadnic pro svou složitost a
výpočetní náročnost se vyhýbá i řada jiných modelů. Nehydrostatickou složku formulují jako
perturbaci základního hydrostatického modelu. Tento přístup vyhovuje pro řešení různých
ekologických úloh, protože právě vertikální pohyby vyvolané konvekcí jsou schopny
modelovat přenos znečišťujících látek advekcí do vyšších vrstev atmosféry, což vertikální
rychlosti hydrostatických modelů nedovolují.
Modely pro řešení ekologických úloh a předpovědi počasí
Současná meteorologie společně s numerickou matematikou nám dává možnost
vytvářet modely vývoje atmosféry, které jsou nástrojem pro řešení dvou okruhů úloh. Je to
jednak nejstarší úloha meteorologie, kvalitní předpověď počasí. Druhým okruhem jsou úlohy
z ochrany přírodního prostředí, tedy v našem případě atmosféry. Ty se týkají zejména příměsí
v atmosféře, které způsobují změny chování atmosféry způsobené lidskou činností. Změny
chemického složení atmosféry, které mají pak vliv na radiační procesy v atmosféře, jako jsou
242
skleníkové plyny, množství ozónu ve stratosféře i další úkoly. Podívejme se nyní, jaké hlavní
úlohy řeší meteorologie i který druh modelu je vhodný pro jejich řešení.
Globální střednědobá předpověď meteorologických prvků je jednou ze základních a
nejdůležitějších úloh meteorologie. Je to proto, že nám poskytuje nejen předpověď na dobu 14
dní, ale dává nám v daném časovém okamžiku i analýzou počátečních dat pro předpověď tedy
stav atmosféry na celé Zemi. Tento stav také monitoruje, tedy ukládá jako časovou
posloupnost do speciálních velkých pamětí počítače. Tyto údaje se pak mohou použít pro
studium jevů, které se v atmosféře udály a také v klimatologii. Pro tyto výpočty jsou v denním
provozu používány globální spektrální modely s hydrostatickou aproximací. Tyto modely jsou
dovedeny do velké dokonalosti. Z hlediska vertikálních rychlostí patří do Typu III. Omezení
pro jejich další vývoj spočívá ve dvou problémech. Jedním je rychlé zmenšování efektivnosti
transformací do spektrálního prostoru a zpět zjemňujeme-li horizontální sít modelu. Druhé
omezení spočívá v tom, že pro modelování efektů měřítka třídy II vznikajících v horách je
třeba použít nehydrostatický model. To však spektrální model neumožňuje.
V současných hydrostatických modelech je vliv orografie řešen parametrizacemi tření
o zemský povrch. Vzhledem k tomu, že vektor síly tření má opačný směr, než vektor
rychlosti, nemohou tyto parametrizace i z více důvodů nahradit dynamiku nehydrostatického
modelu.
Nehydrostatické modely pro předpověď počasí popisující i jevy způsobené pohořími
třídy II. nejsou v současnosti zatím běžně k dispozici. Pro velkou obtížnost úlohy je správná
optimální formulace rovnic a jejich efektivní řešení diferenčními metodami stále ve vývoji.
Při zvyšování výkonů počítačů je však možné předpokládat, že v budoucnu i globální modely
budou nehydrostatické a budou přesněji modelovat vliv orografie na vývoj atmosféry. Pro
řešení budou používat zřejmě diferenční metody. V současnosti však žádný takový dokonalý
nehydrostatický model není v denním provozu. I v Českém hydrometeorologickém ústavu je
nyní pro předpověď počasí v provozu hydrostatická verse modelu ALADIN na velmi jemné
síti.
Nehydrostatické modely se zjednodušenou dynamikou. Jsou to modely, které se
vyhýbají problému řešení problému křivočarých souřadnic v oblasti hor. Vesměs vycházejí
z hydrostatických modelů a advekci ve vertikálním směru způsobenou zejména tepelnou
konvekcí počítají jako perturbaci základního hydrostatického stavu. Zahrnují tedy do modelu
vertikální rychlosti Třídy I., ale vyhýbají se správné formulaci vertikálních rychlostí třídy II.
a jejich vlivu i na horizontální proudění. Tyto modely jsou používány zejména pro výpočty
z oblasti ekologie. Pro vlastní předpověď počasí podle mne velký význam nemají. To dokládá
i stálé použivání hydrostatické verse ALADINu pro denní předpověď počasí u nás.
Položme si nyní tuto otázku: proč se pro každodenní provozní předpověď počasí
v současné době nepoužívají nehydrostatické modely?
Moje odpověď na tuto otázku zní, že je tomu z více důvodů. Současná velká
meteorologická centra se zabývají spíše globální střednědobou předpovědí, a proto stále
pracují spíše na zdokonalování globálních spektrálních modelů, které se velmi osvědčily.
Modely na omezené oblasti (LAM) pro přesnější každodenní předpověď počasí, vycházejí
243
z předpovědí globálních spektrálních modelů, které jim poskytují potřebnou předpověď
v zónách kolem bočních hranic modelu a většinou také i počáteční podmínky, které můžou
být pak vlastní asimilací dat upřesněny. Pro přesnější simulaci vlivu orografie nemají zatím
ani LAM dostatečně jemné rozlišení a navíc by byly proti hydrostatickým modelům složité a
zřejmě i méně efektivní, tedy provozně dražší. Měly by tedy přesněji modelovat chování
atmosféry v oblasti hor, než jednodušší hydrostatické modely. Je ovšem problém, zda se toto
zlepšení ekonomicky vyplatí. Dalším problémem je, zda mají tyto nehydrostatické modely
předpovídat jevy spojené s konvekcí, což je předpověď jevů vertikálních rychlosti typu I. Kde
a kdy tyto jevy vzniknou nelze totiž předpovídat. Z jejich výskytu při předpovědi se dá
usuzovat spíše pouze, že se budou v dané oblasti vyskytovat.
Zařazení výkladu nehydrostatických modelů do učebnic a monografií naráží na
problém, že každý model je svým způsobem od formulace až po jeho realizaci unikátem, a
není k dispozici nějaký vzorový model blízký standardu.
14.4. Doplněk-výpočet vertikální rychlosti v hydrostatickém modelu
Tento výklad provedeme ve Phillipsově 𝜎-systému vertikální souřadnice. I když lze
tyto úvahy provést v libovolném systému souřadnic, volba 𝜎-systému má několik výhod.
Tento systém vychází z nezávisle proměnné tlaku a proto horní hranici atmosféry – na stropu
modelu klademe tlak 𝑝 = 0. Poznamenejme, že v 𝑧-systému a ve vertikálních souřadnicích
kopírující terén z něho odvozených, by byl nulový tlak v nekonečnu, proto v modelech
používajících systémy vertikální souřadnice odvozené ze z-systému klademe pro numerické
řešení strop modelu do konečné výšky nad Zemí. Strop modelu je pak ovšem pevnou hranicí
v konečné výšce nad Zemí, což při časové integraci způsobuje nežádoucí odrazy vln od horní
hranice oblasti integrace a problémy s okrajovými podmínkami na této hranici.
Pro naše úvahy vyjdeme z rovnice kontinuity v  -systému napsané v divergentním
tvaru. Horizontální souřadnice nechť tvoří kartézský systém na konformní mapě. Koeficient
zkreslení mapy nechť je m a 𝑠 = 𝑚2 . Nechť u ,v jsou horizontální složky modelového větru,
tedy složky skutečného větru, dělené koeficientem zkreslení mapy m. Dále nechť U,V jsou
složky toku hmoty, které jsou definovány vztahem
𝑈 = 𝑝𝑠 𝑢, 𝑉 = 𝑝𝑠 𝑣
(14.4.1))
kde 𝑝𝑠 je tlak na povrchu Země. Rovnice kontinuity v divergentním tvaru je
𝜕𝑝𝑠
𝜕𝑈 𝜕𝑉
𝜕(𝑝𝑠 𝜎̇ )
+𝑠( + )+
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝜎
(14.4.2)
Okrajové podmínky modelu jsou nulová rychlost 𝜎̇ na horní hranici modelu tedy pro 𝜎 = 0 i
dolní hranici modelu, kde 𝜎 = 1. Vzhledem k tomu, že 𝑝𝑠 nezávisí na vertikální souřadnici 𝜎
můžeme tuto rovnici vydělit 𝑝𝑠 a napsat ve tvaru
𝜕
𝑠 𝜕𝑈 𝜕𝑉
𝜕𝜎̇
ln 𝑝𝑠 + ( + ) +
=0
𝜕𝑡
𝑝𝑠 𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝜎
(14.4.3)
Integrací této rovnice vzhledem k  na intervalu 𝜎𝜖(0,1) dostaneme s použitím horní
okrajové podmínky, která požaduje, aby pro  =0 bylo   0 následující vztah
244
𝜎
𝜕
𝑠 𝜕𝑈 𝜕𝑉
𝜎̇ + 𝜎 𝑙𝑛 𝑝𝑠 = − ∫ ( + ) 𝑑𝜎
𝜕𝑡
𝑝𝑠 𝜕𝑥 𝜕𝑦
0
(14.4.4)
V kapitole 22. jsme podle Kasahary - Shigehisy zavedli označení w pro výraz
𝜕
𝑤 = 𝜎̇ + 𝜎 𝑙𝑛 𝑝𝑠
𝜕𝑡
Který je lineární částí 𝜔⁄𝑝𝑠 neboť
𝑑𝑝
𝑑
𝑑𝑝𝑠
𝜔=
= (𝜎𝑝𝑠 ) = 𝜎̇ 𝑝𝑠 + 𝜎
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡
(14.4.5)
(14.4.6)
a podle vztahů (14.4.6) a (14.4.5) máme
𝜔
𝑑
𝜕
𝜕
= 𝜎̇ + 𝜎 𝑙𝑛 𝑝𝑠 = 𝑤 + 𝜎𝑠 (𝑢 𝑙𝑛 𝑝𝑠 + 𝑣 𝑙𝑛 𝑝𝑠 )
𝑝𝑠
𝑑𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(14.4.7)
Člen 𝜎 𝑑𝑡 ln 𝑝𝑠 násobený 𝑝𝑠 ve vztahu (14.4.7) vyjadřuje individuální časovou změnu tlaku v
𝜎-hladině o souřadnici 𝜎 a 𝑝𝑠 ∙ 𝜎̇ je vertikální tok hmoty. Hodnotu w můžeme vyjádřit podle
vztahu (14.4.4) integrálem
𝑑
𝜎
𝑤(𝜎) = − ∫
0
𝑠 𝜕𝑈 𝜕𝑉
( + ) 𝑑𝜎
𝑝𝑠 𝜕𝑥 𝜕𝑦
(14.4.8)
Pro w můžeme odvodit také diferenciální rovnici derivováním vztahu (13.3.8) podle  a
pomocí vztahu (14.4.1) máme
𝜕𝑤
𝑠 𝜕𝑈 𝜕𝑉
𝜕
𝜕
= − ( + ) = −𝑠 (𝑢 𝑙𝑛 𝑝𝑠 + 𝑣 𝑙𝑛 𝑝𝑠 ) − 𝐷
𝜕𝜎
𝑝𝑠 𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(14.4.9)
Kde
𝜕𝑢 𝜕𝑣
𝐷 = 𝑠( + )
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(13.3.10)
Výpočet vertikální rychlosti 𝜎̇ a w:
Vertikální rychlost 𝜎̇ a w můžeme v každém uzlovém bodě základní sítě vypočítat
následovně: nejdříve ze vztahu (13.3.8) vypočteme 𝑤(𝜎) a pak ze vztahu (14.4.5) máme
𝜎̇ = 𝑤(𝜎) − 𝜎 ∙ 𝑤(1)
(14.4.11)
při tom jsme použili vztah
𝑤(1) =
𝜕
ln 𝑝𝑠
𝜕𝑡
který obdržíme, pomocí dolní okrajové podmínky 𝜎̇ (1) = 0.
(14.4.12)
245
Literatura:
[1] Bubnova R., Hello G., Bénard P., and Geleyne J. F., 1994: An efficient alternative to
z-coordinate for Compressible flow over orography: Use of hydrostatic pressure as vertical
coordinate in a complete NWP mesoscale model. Preprints 10th Conf. on Numerical Weather
Preduction , Amer. Meteor. Soc., 35-37.
[2] Bubnova R., Hello G., Bénard P., and Geleyne J. F., 1995: Integration of the Fully Elastic
Equations Cast in Hydrostatic Pressure Terrain-Following Coordinate in the Framework of
the ARPEGE/Aladin NWP Systém. Mon. Wea. Rev. 123, 515-535.
[3] Budinský B., Kepr B.: Základy diferenciální geometrie s technickými aplikacemi, SNTL –
Nakladatelství technické literatury, Praha 1970.
[4] Byun D. W.: Dynamically Consistent Formulations in Meteorological and Air Quality
Models for Multiscale Atmospheric studies. Part I: Governing Equations in a Generalized
Coordinate System. Journal of the Atmospheric Sciences Vol. 56, 1999, 3789-3807.
[5] Clark Terry L.: A Small-Scale Dynamic Model Using a Terrain-Following Coordinate
Trabsformation. Journal Of Computational Physics, Vol. 24, 1977, pp. 186-215.
[6] Cote J., Gravel S., Méthot A., Patoine A., Roch M., Staniforth A.: The Operational CMCMRB Global Einvironmental Multiascale (GEM) Model Part I., II., III. American
Meteorological Society 2005.
[7] Dudhia, J., 1993 : A nonhydrostatic version of the Penn State / NCAR mesoscale model:
Validation tests and simulation of an Atlantic cyklone and cold front. Mon. Wea. Rev., 121,
1493-1513
[8] Gal-Chen Tzvi, Sommerville Richard C. J.: On the Use of a Coordinate Transformation
for the Solution of the Navier-Stokes Equations, Journal of Computational Physics 17, (1975)
p. 209-228.
[9] Gal-Chen Tzvi, Sommerville Richard C. J.: Numerical Solution of the Navier-Stokes
Equations with Topography. Journal of Computational Physics 17, (1975) p. 276-310.
[10] Grell G. A., Dudhia J., Staufer D. R.: A Description of the Fifth-Generation Penn
State/NCAR Mesoscale Model (MM5), NCAR TECHNUCAL NOTE, December 1994.
[11] Holton James R.: En Introduction to Dynamic Meteorology. Academic press, New York
and London 2004.
[12] Kasahara Akira: Various Vertical Coordinate Systems Used for Numerical Weather
Predicition, Mon Wea. Rev. 1974, Vol. 102, 509-664
[13] Kasahara Akira, Jian-Hua Qian: Normal modes a Global Nonhydrostatic Atmospheric
Model. Mon Wea. Rev. 2000, Vol. 128, 3357-3375.
[14] Laprise Réne: The Euler Equations of Motion with Hydrostatic Pressure as an
Independent Variable. Mon. Wea. Rev. 120, 1992, 197-207.
[15] Lorenz N. Edward: Deterministic Nonperiodic Flow. Journal of Atmospheric Sciences,
1963, Volume 20 s. 130-141.
[16] Martin Jonatan E: Mid Latitude Dynamics J. WILEY 2006.
[17] Matveev L. T.: Kurs obščej meteorologii. Fizika atmosfery, Gidrometeoizdat, Leningrad
1974.
[18] Mc. Connell A. J.: Application of Tensor Analysis, DOVER PUBLICATIONS, INC,
NEW YORK 1957.
[19] Pechala F., Bednř J.: Příručka dynamické meteorologie, Academia Praha 1991.
246
[20] Phillips N., A.: A coordinate system having some special advantages for numerical
forecasting. Journal of Meteorology, 1957, Vol. 14, pp. 184-185.
[21] Pielke R. A.: Mesoscale Meteorological Modeling, Academic Press 1984, 612 pp.
[22] Raševskij P. K.: Rimanova geometrija I tenzornzj analiz. Izdatělstvo NAUKA,
MOSKVA 1964.
[23] Roisin Benoit Cushman, Beckers Jean-Marie: Introduction to Geophysical fluid
dynamics, Academic Press 2011.
[24] Sundqvist H. 1979: Numerical Methods Used in Atmospherical Models. Volume 2,
GARP Publication Series No. 17, September 1979. Cap. 1. 5-38.
[25] Meteorologický slovník, ACADEMIA Praha 1993.
247
15. Početní disperse gravitačně-inerciálních vln v diferenčních
schématech a simulace geostrofického přizpůsobení
V této kapitole budeme studovat rovnice, které popisují inerciálně-gravitační vlny,
jejichž správný popis numerickými metodami je velmi důležitý při modelování vývoje
atmosféry. Podle Arakawy [1], [2], [3] vznikají při integraci rovnic popisujících pohyb
atmosféry diferenčními metodami dva problémy. První problém spočívá ve správném popisu
procesu kvasi-geostrofického přizpůsobení. Díky tomuto procesu se v atmosféře vytváří
charakteristický kvasi-nedivergentní stav, který je výsledkem disperse gravitačně-inerciálních
vln. Při tomto procesu je role nelinearity rovnic malá. Numerické procesy popisující tento děj
budou studovány v druhé části této kapitoly.
Druhým problémem je správné modelování kvasi-nedivergentního pohybu útvarů
velkého - synoptického měřítka po vzniku tohoto kvasi-nedivergentního stavu. Při tomto
popisu pohybu atmosféry je rozhodující advekce, která je ovšem nelineárním procesem. Tento
proces nelineární advekce bude podrobněji studován v dalších kapitolách.
Intensivní studium problému integrace rovnic popisujících chování inerčněgravitačních vln začalo podstatně později, než studium rovnice advekce. První neúspěšný
Richardsonův pokus časové integrace rovnic meteorologie byl založen na integraci
linearizovaných rovnic atmosféry popisujících gravitační-inerciální a Rosbyho vlny. Tyto
rovnice jsou obvykle nazývány Lagrangeovými slapovými rovnicemi a Richardson je převzal
z knihy Horace Lamba: Hyrodynamics. Poznamenejme, že tyto rovnice neobsahovaly popis
advekce, který je pro meteorologii velmi důležitý. Rovnice, které řešil, popisovaly tedy pouze
gravitační a Rossbyho vlny, tedy vlastně pouze proces kvasi-geostrofického přizpůsobení. Je
však zajímavé, že Richardson pro jeho numerickou aproximaci použil v podstatě optimální Csíť v Arakawově klasifikaci. První úspěšné integrace byly založeny na tak zvaných
filtrovaných rovnicích. Tento zjednodušený předpovědní model byl založen na časové
integraci rovnice vorticity s geostrofickou aproximací větru. Popisoval advekci absolutní
vorticity a tedy změny tlakového pole způsobeného pohybem větru a také Rossbyho vlnami.
Tyto filtrované rovnice nepopisovaly rychlé gravitační vlny, odtud také vyplývá název
„filtrované rovnice“. Tento model, založený na časové integraci rovnice vorticity byl těsně po
druhé světové válce úspěšně použit k předpovědi tlakového pole pro hladinu nondivergence,
tedy výšky hladiny 500 HPa v USA Charneym, Fjørtoftem a von Neumannem na prvním
elektronkovém počítači ENIAC. V současné době se modely s geostrofickou aproximací pro
předpověď vývoje atmosféry již nepoužívají. Protože všechny současné modely gravitační
vlny popisují, je dnes studium ineciálně-gravitačních vln důležité. Pro pochopení obecnějšího
dvourozměrného případu studujme napřed jednorozměrný případ šíření gravitačních vln.
15.1 Gravitační vlny a centrální diference
Gravitační vlny-jednodimensionální případ
Tento nejjednodušší případ rovnic pro nevazkou nestlačitelnou homogenní kapalinu
vznikne zjednodušením rovnic mělké vody, kde odstraníme členy popisující nelineární
advekci a Coriolisovy členy. V jednodimensionálním případu se omezíme pouze na dva
248
členy rovnice pro změnu hybnosti složky u a také dva členy rovnice kontinuity, pro změnu
výšky hladiny h. Tento systém rovnic můžeme pak psát ve tvaru
𝜕𝑢
𝜕ℎ
𝜕ℎ
𝜕𝑢
= −𝑔 ,
= −𝐻
,
𝑔, 𝐻 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑡
𝜕𝑥
;
(15.1.1)
Dostáváme tak systém rovnic s dvěma nezávisle proměnnými x, t, který popisuje časové
změny dvou funkcí u, h. Řešení tohoto systému budeme hledat ve tvaru
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑅𝑒[𝑢̂𝑒 𝑖(𝑘𝑥−𝜈𝑡) ];
ℎ(𝑥, 𝑡) = 𝑅𝑒[ℎ̂𝑒 𝑖(𝑘ℎ−𝜈𝑡) ]
(15.1.2)
Dosazením do (15.1.1) dostáváme homogenní soustavu
𝜈𝑢̂ = 𝑔𝑘ℎ̂,
𝜈ℎ̂ = 𝐻𝑘𝑢̂,
A eliminujeme-li z této soustavy 𝑢̂ , je tím eliminováno z rovnic také ℎ̂ a pro frekvenci
dostáváme
𝜈 2 = 𝑔𝐻𝑘 2
(15.1.3)
Pro fázovou rychlost c pak máme
𝜈
𝑐 = = ±√𝑔𝐻
𝑘
(15.1.4)
Gravitační vlny se mohou tedy pohybovat podél osy x v obou směrech rychlostí ±√𝑔𝐻 . Tato
rychlost nezávisí na vlnovém číslu, proto zde nenastává disperse vln.
Studujme nyní diferenciálně-diferenční rovnice
𝜕𝑢𝑗
ℎ𝑗+1 − ℎ𝑗−1
𝜕ℎ𝑗
𝑢𝑗+1 − 𝑢𝑗−1
= −𝑔
,
= −𝐻
𝜕𝑡
2∆𝑥
𝜕𝑡
2∆𝑥
,
(15.1.5)
které jsme obdrželi aproximací prostorových derivací centrovanými diferencemi. Řešení nyní
hledejme ve tvaru
𝑢𝑗 (𝑡) = 𝑅𝑒[𝑢̂𝑒 𝑖(𝑘𝑗∆𝑥−𝜈𝑡) ] ,
ℎ𝑗 (𝑡) = 𝑅𝑒[ℎ̂𝑒 𝑖(𝑘𝑗∆𝑥−𝜈𝑡) ],
(14.1.6)
Dosadíme-li tato řešení do rovnic (14.1.5) dostáváme
sin 𝑘∆𝑥
sin 𝑘∆𝑥
𝜈𝑢̂ = 𝑔
ℎ̂,
𝜈ℎ̂ = 𝐻
𝑢̂,
∆𝑥
∆𝑥
Ze kterých dostáváme vztah pro frekvenci
sin 𝑘∆𝑥 2
𝜈 = 𝑔𝐻 (
)
∆𝑥
.
(15.2.7)
Gravitační vlny se nyní nešíří konstantní rychlostí, ale fázovou rychlostí závislou na vlnovém
číslu, rychlostí
sin 𝑘∆𝑥
𝑐 ∗ = ±√𝑔𝐻
∆𝑥
(15.1.8)
Neboli
sin 𝑘∆𝑥
𝑐∗ = 𝑐
∆𝑥
(15.1.9)
2
249
Tato rychlost je funkcí vlnového čísla a v důsledku toho vidíme, že použitím aproximace
prostorových derivací pomocí centrovaných diferencí způsobuje opět početní dispersi vln.
Vztah (15.1.9) je stejný jako vztah, který jsme obdrželi při studiu početní disperse pro
lineární rovnici advekce, kterou jsme studovali v kapitole 12 o rovnici advekce. Proto fázová i
grupová rychlost závisí na vlnové délce stejně tak, jak jsme ukázali již dříve. Obrázek 12.1.
Je zde nicméně důležitý rozdíl mezi tímto problémem a rovnicí advekce, neboť zde
máme dvě závislé proměnné. Předpokládali jsme, že jejich hodnoty jsou určeny v každém
bodu sítě. Jak je znázorněno na obrázku 15.1.
------ u, h, ----- u, h, ----- u, h, ----- u, h, ----Obrázek 15.1 Síť se dvěma závislými proměnnými,
které jsou definovány v každém bodě sítě.
Všimněme si však rovnic (15.1.5), že v nich každá na obrázku podtržená hodnota proměnné u
nebo h závisí pouze na podtržených hodnotách proměnných u, h. Totéž platí i o
nepodtržených hodnotách. Proto síť uzlových bodů se rozpadá na dvě „podsítě“, na nichž jsou
řešení na sobě zcela nezávislá. Je tedy lepší počítat pouze jedno z těchto řešení, použijeme-li
síť zobrazenou na obrázku 15.2.
----- u, ----- h, -----u, -----h, -----u, -----h, ----- u, ----Obrázek 15.2 Síť se dvěma závislými proměnnými, se
střídajícími se proměnnými v uzlových bodech – střídavá síť
Taková síť se nazývá střídavou sítí, anglicky staggered grid, v ruské literatuře také
šachovnicovou sítí. Výpočetní čas na této síti je pak poloviční a chyba aproximace zůstává
stejná. Navíc jsou z výpočtu eliminovány vlny s 𝑘∆𝑥 > 𝜋/2 což jsou právě ty vlny, které mají
největší chybu fázové rychlosti a mají zápornou grupovou rychlost. V důsledku toho, grafické
zobrazení fázové a grupové rychlosti na obrázku 12.4 se omezuje na vlny délky do délky 4∆𝑥
a graf se omezuje pouze na jeho levou půlku, což je značným zlepšením.
Chceme-li aby v našich výpočtech byly i původní vlny délky mezi 4∆𝑥 a 2∆𝑥, pak
můžeme délku kroku zmenšit na polovinu. Výpočet bude trvat stejně dlouho, jako na původní
nestřídavé síti a bude přesnější.
Gravitační vlny dvoj-dimensionální případ
Pro studium tohoto případu vyjdeme, stejně jako v předchozím případě, ze systému
linearizovaných rovnic, nyní ovšem se třemi nezávislými proměnnými x, y, t. Rovnice pro
předpověď veličin u, v, h jsou následující
𝜕𝑢
𝜕ℎ
𝜕𝑣
𝜕ℎ
𝜕ℎ
𝜕𝑢 𝜕𝑣
´−𝑔 ,
= −𝑔 ,
= −𝐻 ( + )
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑡
𝜕𝑦
𝜕𝑡
𝜕𝑥 𝜕𝑦
15.1.10)
Dosadíme sem vlnová řešení
𝑢 = 𝑅𝑒[𝑢̂𝑒 𝑖(𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜈𝑡) ], 𝑣 = 𝑅𝑒[𝑣̂𝑒 𝑖(𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜈𝑡) ],
ℎ = 𝑅𝑒[ℎ̂𝑒 𝑖(𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜈𝑡) ] ,
(15.1.11)
dostaneme
𝜈 2 = 𝑔𝐻(𝑘 2 + 𝑙 2 )
(15.1.12)
250
Tedy také v dvojdimensionálním případě se gravitační vlny šíří stejnou konstantní fázovou
rychlostí √𝑔𝐻, tedy bez disperse.
Na základě výsledků jednodimensionálního případu studujme možnosti prostorového
rozmístění proměnných. V dvojdimensionálním případě pro tři prognostické proměnné je
možné více variant prostorového rozmístění. Akira Arakawa pro formulaci obecného
cirkulačního modelu [2] studoval vlastnosti pěti různých rozmístění závislýchprognostických proměnných u, v, h na výpočetní síti. Tato rozmístění označil písmeny (A),
(B), (C), (D), (E). Tato rozmístění jsou zobrazena na obrázku 15.3 a jsou všeobecně
používána, jako klasifikace sítí podle Akiry Arakawy.
Obrázek 15.3 Prostorové rozložení závislých proměnných na pravidelné čtvercové síti v
klasifikace Arakawy
251
Pro gravitační vlny v čisté podobě budeme studovat zatím pouze tři možnosti
rozložení proměnných na pravidelné čtvercové síti, zobrazených na obrázku 15.3. Označení
těchto sítí písmeny (A), (E), (C). Nejkratší vzdálenost mezi uzly sítě označme 𝑑∗ . Jak je vidět
z obrázku 15.3, při stejném kroku v síti 𝑑 ∗ je na síti (E) dvakrát méně a na síti (C) čtyřikrát
méně proměnných na jednotku plochy, než na síti (A). Síť (E) můžeme dostat tak, že přes
sebe přeložíme dvě (C) sítě a síť (A) přeložením přes sebe dvou sítí (E), nebo čtyř sítí (C),
samozřejmě s jejich patřičným vzájemným posunutím. Pro síť (E) posunutím sítě (C) o 𝑑 ∗ /2
v obou směrech a pro síť (A) posunutím sítě (E) o 𝑑 ∗ v jednom ze směrů os x, nebo y.
Přípustné oblasti v rovině vlnových čísel můžeme najít ze studia délek nejkratších vln
rozlišitelných na síti. Poznamenejme, že na (E) síti úsečky, které spojují nejbližší uzlové body
se stejnými proměnnými, svírají s osami sítě úhel 45 stupňů, zatímco pro ostatní dvě sítě tyto
úsečky leží na osách sítě. Na obrázku 15.4 jsou zobrazeny oblasti přípustných vlnových čísel.
Zmenšení počtu proměnných na polovinu odpovídá zmenšení plochy přípustných vlnových
čísel také na polovinu.
Obrázek 15.4 Oblasti vlnových čísel přípustných pro tři typy sítí A, E, C v Arakawově
klasifikaci
252
Pro aproximaci rovnic (15.1.10) použijeme tentýž standardní způsob diferenční
aproximace pro všechny tři sítě. Pro zápis těchto aproximací použijeme nám již známé
diferenční operátory 𝛿𝑥 a 𝛿𝑦 . Soustavu (15.1.10) můžeme v semi-diskrétním tvaru
aproximovat následovně
𝜕𝑢
𝜕𝑣
𝜕ℎ
= −𝑔𝛿𝑥 ℎ,
= −𝑔𝛿𝑦 ℎ,
= −𝐻(𝛿𝑥 𝑢 + 𝛿𝑦 𝑣)
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑡
(15.1.13)
Dosadíme-li sem vlnové řešení analogické (15.1.11) dostaneme
2
𝜈 = 𝑔𝐻
𝑠𝑖𝑛2 𝑘𝑑 ∗ + 𝑠𝑖𝑛2 𝑙𝑑 ∗
𝑑∗ 2
(15.1.14)
Zaveďme označení 𝑋 = 𝑘𝑑 a 𝑌 = 𝑙𝑑 . Pak poměr fázové rychlosti 𝑐 , definované vztahem
∗
∗
∗
(15.1.14) k správné fázové rychlosti √𝑔𝐻 má tvar
𝑐∗
𝑠𝑖𝑛2 𝑋 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑌
√
=
𝑋2 + 𝑦2
√𝑔𝐻
(15.1.15)
Tento vztah se pro jednodimensionální případ redukuje na (15.1.8) nebo (15.1.9).
Obrázek 15.5 Relativní fázová rychlost gravitačních vln, když derivace podle prostorových
proměnných v (15.1.11) jsou aproximovány centrovanými diferencemi.
Hodnoty relativní fázové rychlosti (15.1.15) v rovině vlnových čísel přípustných v síti
(E) jsou zobrazeny na obrázku 15.5. Vzhledem k symetrii vzhledem k přímce l=k stačí
zobrazit pouze polovinu oblasti. Z obrázku 15.4 vyplývá, že síť (C) připouští pouze levou
polovinu trojúhelníkové oblasti zobrazené na obrázku 15.5. Je zřejmé, že (C) síť dává
přesnější fázovou rychlost gravitačních vln, než libovolná jiná zde uvažovaná síť. Na této síti
vznikají však bohužel obtíže s vyjádřením Coriolisova členu, neboť každá ze složek rychlosti
se nachází v jiném uzlovém bodě.
Z hlediska rychlosti výpočtu je zřejmé, že výpočty modelů na střídavých sítích jsou
efektivnější. Například na (E) síti je čas výpočtu poloviční a je také odstraněna značná část
253
vlnových čísel spojená s velkou chybou v popisu fázové rychlosti a početní dispersí. Zbylý
výpočetní čas je tracen na výpočty spojené právě s vlnami, které nemohou zlepšit výsledky
integrace.
Z diagramu fázové rychlosti vidíme, že ani (E) síť není zbavena výpočetních
problémů. Analogicky s jednodimensionálním případem se řešení na (E) síti rozpadá na dvě
nezávislá řešení na (C) sítích, ze kterých se přeložením přes sebe tato (E) síť dá vytvořit. Tato
dvě řešení mohou při integraci od sebe vzdalovat a tedy divergovat. Například budou-li na
jedné z (C) sítí konstantní hodnoty prognostických proměnných, potom tyto hodnoty budou
po dobu výpočtu stacionární, nezávisle na tom jaké hodnoty budou mít proměnné na druhé
(C) síti. Dvě stacionární řešení s různými konstantními hodnotami na každé z těchto dvou
doplňujících se sítích budou dávat stacionární vlnu reprezentovanou pravou částí
trojúhelníkové oblasti diagramu na obrázku 15.5 s nulovou fázovou rychlostí. Tato vlna se
obvykle nazývá dvou krokovou vlnou. Stejným způsobem může mít (A) síť až čtyři nezávislá
stacionární řešení, která jsou různými konstantami pro každou (C) síť, z nichž je tato síť
složena.
Dvou-krokové vlny můžou být při výpočtu snadno generována nedokonalými
hraničními podmínkami, dále mohou vznikat například v poli teploty při uvolňování
latentního tepla při procesu kondenzace, tedy při výpočtu dešťových srážek. Tyto gravitační
vlny se mohou šířit také i pouze po jedné z (C) sítí generujících tuto (A) síť.
Tyto krátké dvou-krokové vlny se při procesu integrace mohou na základě nesprávné
interpretace vln, které vznikají vlivem nelineárních členů rovnic a měnit na delší vlny. Když
tyto vlny začnou postupně nabývat větších amplitud, je třeba tento vývoj zamezit, což bude
předmětem dalšího odstavce.
15.2 Aproximace gravitačně-inerciálních vln při procesu geostrofického
přizpůsobení
V této části se budeme zbývat problémy správné simulace procesu tak zvaného
geostrofického přizpůsobení, anglicky Geostrophic adjustment. Tento proces je velmi
důležitý pro integraci modelů atmosféry, které obsahují popis gravitačních vln, nejen pro
jednoduché barotropní modely, ale zejména pro modely baroklinní. Problém je následující.
Ve skutečné atmosféře se gravitační vlny sice vyskytují, ale jejich amplituda je velmi malá.
Tyto vlny se dají detekovat například na průběhu přízemního tlaku velmi citlivými
mikrobarografy. Je to proto, že atmosféra z hlediska synoptického měřítka se nachází blízko
rovnovážného kvasi-nedivergentního stavu a jsou to právě gravitační-inerciální vlny, které
atmosféru do tohoto stavu dostávají. Je proto přirozené, že i při průběhu integrace modelu
atmosféry by měla být amplituda gravitačních vln rovněž malá. K tomu, aby tento stav
v modelech nastal, slouží jednak tak zvaná inicializace modelu, při které se dostává do
rovnovážného stavu pole rozložení hmoty s polem proudění, čímž se z počátečních dat
vyloučí generování gravitačních vln velké amplitudy a jednak správná simulace procesu
geostrofického přizpůsobení během časové integrace. Geostofické přizpůsobení přirozeným
fyzikálním procesem redukuje amplitudu gravitačních vln. O procesu geostrofického
přizpůsobení bylo napsáno mnoho článků. Pro toho, kdo by se chtěl hlouběji seznámit s tímto
problémem lze doporučit například velmi rozsáhlý článek, jehož autor je William Blumen [4].
254
Proces geostrofického přizpůsobení budeme studovat pro linearizované rovnice mělké
vody, které můžeme napsat ve tvaru
𝜕𝑢
𝜕ℎ
− 𝑓𝑣 + 𝑔
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕ℎ
+ 𝑓𝑢 + 𝑔
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑦
(15.2.1)
𝜕ℎ
𝜕𝑢 𝜕𝑣
+𝐻( + ) = 0
𝜕𝑡
𝜕𝑥 𝜕𝑦
kde u, v jsou perturbace složek rychlosti, h perturbace výšky volné hladiny mělké vody, H
ekvivalentní tloušťka hladiny mělké vody, tedy klidová hodnota výšky hladiny mělké vody, a
f Coriolisův parametr. Řídící rovnice v tomto tvaru, ve kterém jsou rovnice pro časovou
změnu složek větru, neboli pro časovou změnu hybnosti, se nazývají anglicky také „Primitive
equations“ což bychom do češtiny měli přeložit jako rovnice v původním tvaru, zatímco
fyzikálně naprosto stejný model můžeme popsat soustavou, kterou můžeme nazvat vorticitydivergenční tvar rovnic. Zjednodušenou rovnici vorticity a divergenční teorém pro
linearizované rovnice mělké vody můžeme z rovnic (15.2.1) odvodit obdobným způsobem
jako v kapitole 5. Místo časové změny složek rychlosti zde bude časová změna vorticity 𝜁 a
divergence D. Označíme-li tedy
𝜕𝑣 𝜕𝑢
𝜕𝑢 𝜕𝑣
𝜕 2ℎ 𝜕 2ℎ
𝜁=
−
,
𝐷=
+
,
∇2 ℎ = 2 + 2
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(15.2.2)
Pak rovnice pro změnu složek rychlosti nahradit rovnicemi pro časovou změnu vorticity a
časovou změnu divergence
𝜕𝜁
𝜕𝑓
𝜕𝑓
+ 𝑓𝐷 + 𝑢
+𝑣
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(15.2.3)
𝜕𝐷
𝜕𝑓
𝜕𝑓
− 𝑓𝜁 + 𝑢
−𝑣
+ 𝑔∇2 ℎ = 0
𝜕𝑡
𝜕𝑦
𝜕𝑥
Pro analytické řešení a studium vln se tyto rovnice uvažují často v tak zvané „beta rovině“,
𝜕𝑓
kde Coriolisův parametr nezávisí na souřadnici x a je tedy 𝜕𝑥 =0 a derivace Coriolisova
𝜕𝑓
parametru f podle y je nenulovou konstanta 𝛽 = 𝜕𝑦, v případě, že i derivace Coriolisova
parametru i podle y je nulová a tedy sám Coriolisův parametr je konstantní, pak rovnice
nepopisují Rossbyho vlny, neboť v tomto případě je jejich fázová rychlost nulová. Rovnice
kontinuity zůstává i pro vorticity-divergenční tvar rovnic ve stejném tvaru. Vorticitydivergenční tvar rovnic v beta rovině pak píšeme ve tvaru
𝜕𝜁
+ 𝑓𝐷 + 𝑣𝛽 = 0
𝜕𝑡
255
𝜕𝐷
− 𝑓𝜁 + 𝑢𝛽 + 𝑔∇2 ℎ = 0
𝜕𝑡
(15.2.3)
𝜕ℎ
𝜕𝑢 𝜕𝑣
+𝐻( + ) = 0
𝜕𝑡
𝜕𝑥 𝜕𝑦
Při použití rovnic ve vorticity-divergenčním tvaru však vzniká určitý problém.
Prognostickými veličinami jsou zde vorticita a divergence, ale my i při jejich integraci
potřebujeme znát také složky větru. Jejích výpočet pomocí proudové funkce a divergenčního
potenciálu nečiní sice v globálních spektrálních modelech problém. Pro modely na omezené
oblasti a zejména pro diferenční modely výpočet proudové funkce a divergenčního potenciálu
není jednoduchý ani jednoznačný, neboť v řešení může být navíc harmonická složka. Výpočet
proudové funkce a divergenčního potenciálu vede k řešení soustav lineárních rovnic
vzniklých diskretizací okrajových úloh. Numerické řešení těchto soustav pak prodlužuje
výpočet. Způsob výpočtu složek větru z vorticity a divergence pro modely používající
diferenční aproximace je popsán v článcích Petra Lynche [5] a [6]. Pro modely na omezené
oblasti se proto obvykle používají rovnice v původním tvaru.
Řešení linearizované soustavy rovnic mělké vody
Pro posouzení vhodnosti diferenčních schémat pro simulaci procesu geostrofického
přizpůsobení vyjdeme se znalosti exaktního řešení rovnic (15.2.1). Řešení tohoto systému
diferenciálních rovnic budeme hledat ve tvaru Fourierových komponent pro jednotlivé
prognostické proměnné
𝑢
𝑢̂
(𝑣 ) = (𝑣̂ ) 𝑒 𝑖(𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜈𝑡)
(15.2.4)
̂
ℎ
ℎ
kde 𝑢̂, 𝑣̂, ℎ̂ jsou konstantní amplitudy. Derivováním vztahů (15.2.4) a jejich dosazením do
soustavy (15.2.1) a vydělením 𝑒 𝑖(𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜈𝑡) dostaneme homogenní soustavu lineárních rovnic,
kterou napišme ve vektorovém tvaru
−𝑖𝜈 −𝑓𝑚 𝑔𝑖𝑘 𝑢̂
( 𝑓
(15.2.5)
−𝑖𝜈 𝑔𝑖𝑙 ) (𝑣̂ ) =0
̂
𝐻𝑖𝑘 𝐻𝑖𝑙 −𝑖𝜈 ℎ
Aby tato soustava měla řešení, musí determinant této soustavy být roven nule
−𝑖𝜈 −𝑓 𝑖𝑔𝑘
| 𝑓
(15.2.6)
−𝑖𝜈 𝑖𝑔𝑙 | = 0
𝑖𝐻𝑘 𝑖𝐻𝑙 −𝑖𝜈
Vypočteme-li hodnotu tohoto determinantu, dostaneme
𝑖[𝜈 3 − 𝜈𝑔𝐻(𝑘 2 + 𝑙 2 ) − 𝜈𝑓 2 ] = 0
(15.2.7)
𝜕
Řešení pro, které je 𝜈 = 0 znamená stacionární případ, neboť v tomto případě je 𝜕𝑡 = 0 což
dává geostrofické proudění:
𝑢𝑔 = −
𝑔 𝜕ℎ
,
𝑓 𝜕𝑦
𝑣𝑔 =
𝑔 𝜕ℎ
𝑓 𝜕𝑥
(15.2.8)
256
Jakákoliv odchylka od tohoto stacionárního proudění generuje gravitační-inerční vlny, které
mají tendenci rozptýlit energii těchto vln do okolního prostoru. Frekvence dalšího řešení je
podle (15.2.7) dána vztahem
𝜈 2 − 𝑔𝐻(𝑘 2 + 𝑙 2 ) − 𝑓 2 = 0
Odkud dostáváme frekvenci
𝜈 = ±√𝑓 2 + 𝑔𝐻(𝑘 2 + 𝑙 2 )
(15.2.8)
Tato frekvence popisuje superpozici gravitačně-inerciálních vln s maximální grupovou
rychlostí rovnou √𝑔𝐻 .
Pro semi-diskrétní případ, při kterém jsou aproximovány derivace podle prostorových
proměnných, upravíme tvar řešení následovně.
Při diferenční aproximaci derivací podle prostorových proměnných se objeví dispersní
faktor. Podle zprávy [8] provedeme ještě určité úpravy tvaru řešení, které dosazujeme do
rovnic soustavy. Při aproximaci na střídavých sítích je v některých případech třeba
průměrovat Coriolisův parametr, což produkuje činitel, který označme m. Pro pozdější
zkrácení zápisu zavedeme ještě tato označení. Po zavedení činitelů dx,dy,m, nahradíme
derivace výrazy:
𝐻𝜕𝑢
𝜕𝑣
= 𝐻𝑖𝑘𝑑𝑥𝑢 ,
= 𝑖𝑙𝑑𝑦𝑣 ,
𝑓𝑢 = 𝑚𝑓𝑢 atd. ,
𝑑𝑥
𝜕𝑦
rovnice po dosazení diskrétního řešení do diferenčních aproximací rovnic pak můžeme napsat
v maticovém tvaru
−𝑖𝜈
−𝑓𝑚 𝑔𝑖𝑘𝑑𝑥 𝑢̂
−𝑖𝜈
𝑔𝑖𝑙𝑑𝑦 ) (𝑣̂ ) 𝑒 (𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜈𝑡) =0
( 𝑓𝑚
(15.2.9)
𝐻𝑖𝑘𝑑𝑥 𝐻𝑖𝑙𝑑𝑦
−𝑖𝜈
ℎ̂
Pro existenci jednoznačného řešení je nutné, aby determinant této soustavy byl roven nule.
Tato podmínka dává pro dispersi vztah
𝑖[𝜈 3 − 𝜈𝑔𝐻(𝑘 2 𝑑𝑥 2 + 𝑙 2 𝑑𝑦 2 ) − 𝜈𝑓 2 𝑚2 ] = 0
(15.2.10)
odchylka od stacionárního proudění generuje gravitační-inerční vlny, které mají tendenci
rozptýlit energii těchto vln do okolního prostoru. Tentokráte, mimo nulové frekvence, je
bezrozměrná frekvence dalšího řešení je podle (15.2.10) dána vztahem
𝜈 2
( ) = 𝑚2 + 𝜆2 (𝑘 2 𝑑𝑥 2 + 𝑙 2 𝑑𝑦 2 )
𝑓
(15.2.11)
Kde 𝜆 = √𝑔𝐻/𝑓 je Rossbyho radius deformace. Temperton [9] ukázal, že 𝜆 je kritická
vlnová délka v tom smyslu, že pro vlny malého měřítka 𝐿 ≪ 𝜆 se rozložení hmoty atmosféry
přizpůsobuje poli větru, a pro vlny velkého měřítka se pole větru přizpůsobuje poli rozložení
hmoty atmosféry s návratem ke geostrofickému proudění. To je důležité pro inicializaci a
asimilační proces, obzvláště v tropickém pásmu, kde 𝜆 je velké, nebo pro malé rychlé vlny.
Pro exaktní řešení můžeme vztah (15.2.8) napsat také pro bezrozměrnou frekvenci ve
tvaru
𝜈 2
𝜆 2
( ) = 1 + ( ) ((𝑘𝑑)2 + (𝑙𝑑)2 )
𝑓
𝑑
(15.2.12)
257
Kde prostorové měřítko je normalizováno délkou d, což je uvažovaná délka kroku v síti. Pro
typické délky kroku v síti:
d km
𝜆/𝑑
hrubá síť
400
12
typická síť
200
15
jemná síť
100
30
mezo-měřítková síť
50
60
Podle Arakawy [2], [3] nebo [4] předvedeme výsledky pro 𝜆/𝑑 = 2 na intervalu
0 ≤ 𝑘𝑑 ≤ 𝜋, 0 ≤ 𝑙𝑑 ≤ 𝜋 , což odpovídá vlnovým délkám Lx , Ly od nejkratších na síti
zobrazitelných vln (vln délky dvou kroků v síti) do nejdelších možných vln. Bezrozměrná
frekvence (15.2.12) je jakožto funkce k a l zobrazena na obrázku 15.5 .
Přesné řešení se skládá z kružnic se středem v počátku s monotónně se zvyšující frekvencí od
1 (čisté inerciální oscilace pro dlouhé vlnové délky), oscilace s periodou 15 hodin, až
například do 8.9 pro nejkratší popsatelné vlny (oscilace časové délky 2 hodin). Grupová
rychlost 𝑐𝑔 = 𝑣𝑘 𝜐,
Schémata pro rovnice dvoj-dimensionální gravitační vlny
Obvyklé rozložení proměnných v uzlových bodech sítě bývá, že všechny proměnné se
nacházejí ve všech, tedy stejných bodech sítě. Takovouto síť můžeme nazvat standardní, na
rozdíl od střídavých sítí, které jsme studovali již na začátku této kapitoly. Pro modelování
pohybu atmosféry jsou ovšem vhodnější střídavé sítě. Aproximace na některých
konfiguracích těchto sítí, jak uvidíme v dalším, daleko lépe simulují procesy v atmosféře. Pro
studium aproximací a přehlednou terminologii zavedl Arakawa označení těchto sítí písmeny
A až E. Toto označení sítí se všeobecně ujalo, takže můžeme říci, že označení sítě je
v Arakawově klasifikaci. Rozmístění proměnných na střídavých sítích je zobrazeno na
obrázku 15. 3. Poznamenejme zde, že aproximace kompletních nelineárních rovnic může být
na těchto sítích různá, avšak aproximace lineární části rovnic centrovanými diferencemi, která
je zodpovědná za vlnové procesy, je v podstatě dána rozložením proměnných na síti.
Všimněme si ještě sítí na obrázku 15. 3. Poslední síť E může vzniknout také ze sítě B
otočením souřadnicových os o 45 stupňů. Efektivní délka kroku v síti E je pak ovšem rovna
𝑑/√2. Při standardním označení diferencí a průměrování jsou aproximace na sítích A až E
následující:
𝜕𝑢
𝜕𝑣
𝑥
𝑦
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
= −𝑔𝛿
= −𝑔𝛿
𝑥 ℎ + 𝑓𝑣 ,
𝑦 ℎ − 𝑓𝑢
𝜕𝑡
𝜕𝑡
(15.2. A)
𝜕ℎ
𝑥
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ 𝑦
= −𝐻(𝛿
𝑥 𝑢 + 𝛿𝑦 𝑣 )
𝜕𝑡
𝜕𝑢
𝑦
̅̅̅̅̅
= −𝑔𝛿
𝑥 ℎ + 𝑓𝑣 ,
𝜕𝑡
𝜕𝑣
𝑥
̅̅̅̅̅
= −𝑔𝛿
𝑦 ℎ − 𝑓𝑢
𝜕𝑡
(15.2. B)
𝜕ℎ
𝑦
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ 𝑥
= −𝐻(𝛿
𝑥 𝑢 + 𝛿𝑦 𝑣 )
𝜕𝑡
258
𝜕𝑢
= −𝑔𝛿𝑥 ℎ + 𝑓𝑣̅ 𝑥𝑦 ,
𝜕𝑡
𝜕𝑣
= −𝑔𝛿𝑦 ℎ − 𝑓𝑢̅ 𝑥𝑦
𝜕𝑡
(15.2. C)
𝜕ℎ
= −𝐻(𝛿𝑥 𝑢 + 𝛿𝑦 𝑣)
𝜕𝑡
𝜕𝑢
𝑥𝑦
̅̅̅̅̅
= −𝑔𝛿
+ 𝑓𝑣̅ 𝑥𝑦 ,
𝑥ℎ
𝜕𝑡
𝜕𝑣
𝑥𝑦
̅̅̅̅̅
= −𝑔𝛿
− 𝑓𝑢̅ 𝑥𝑦 ,
𝑦ℎ
𝜕𝑡
(15.2. D)
𝜕ℎ
𝑥𝑦
̅̅̅̅̅
= −𝐻(𝛿
+ ̅̅̅̅̅
𝛿𝑦 𝑣 𝑥𝑦 )
𝑥𝑢
𝜕𝑡
𝜕𝑢
= −𝑔𝛿𝑥 ℎ + 𝑓𝑣 ,
𝜕𝑡
𝜕𝑣
= −𝑔𝛿𝑦 ℎ − 𝑓𝑢
𝜕𝑡
(15.2. E)
𝜕ℎ
= −𝐻(𝛿𝑥 𝑢 + 𝛿𝑦 𝑣)
𝜕𝑡
Pro zjednodušení, v podstatě bez újmy obecnosti, studujeme případ, kdy šíření vln nezávisí na
souřadnici y. V tomto případě proměnné u, v, h nezávisejí na y. Máme tedy
𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝑡), ℎ = ℎ(𝑥, 𝑡)
A systém diferenciálních rovnic (15.2.1) se redukuje na
𝜕𝑢
𝜕ℎ
𝜕𝑣
𝜕ℎ
𝜕𝑢
= −𝑔
+ 𝑓𝑣
= −𝑓𝑢
= −𝐻
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑥
(15.2.13)
Dosadíme-li sem vlnové řešení
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑅𝑒[𝑢̂𝑒 𝑖(𝑘𝑥−𝜈𝑡) ];
ℎ(𝑥, 𝑡) = 𝑅𝑒[ℎ̂𝑒 𝑖(𝑘ℎ−𝜈𝑡) ]
(15.2.14)
Dostaneme pro frekvenci následující vztah
𝜈 2
𝑔𝐻
( ) = 1 + 2 𝑘2
𝑓
𝑓
(15.2.15)
Protože poloměr deformace
√𝑔𝐻
𝑓
není nikdy roven nule, frekvence gravitačně-inerčních vln se monotónně zvětšuje s vlnovým
číslem k. V důsledku toho grupová rychlost 𝜕𝜈/𝜕𝑘 není nikdy rovna nule, což je důležité pro
popis procesu geostrofického přizpůsobení, protože je tím odstraňována lokálně nahromaděná
energie vln.
Studujme nyní v tomto případě efekt diferenční aproximace . Aproximace systému
rovnic (15.2.13) vznikne zjednodušením aproximace pro dvourozměrný případ. Vzhledem
𝜆=
259
k tomu, že proměnné nejsou funkcemi souřadnice y, odpadá také průměrování přes tuto
souřadnici. Pro sítě A až E v Arakawově klasifikaci je aproximace následující
𝜕𝑢
𝜕𝑣
𝜕ℎ
𝑥
𝑥
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
= −𝑔𝛿
= −𝑓𝑢
= −𝐻𝛿
𝑥 ℎ + 𝑓𝑣
𝑥𝑢
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑡
(15.2. A1)
𝜕𝑢
= −𝑔𝛿𝑥 ℎ + 𝑓𝑣
𝜕𝑡
𝜕𝑣
= −𝑓𝑢
𝜕𝑡
𝜕ℎ
= −𝐻𝛿𝑥 𝑢,
𝜕𝑡
(15.2. B1)
𝜕𝑢
= −𝑔𝛿𝑥 ℎ + 𝑓𝑣̅ 𝑥
𝜕𝑡
𝜕𝑣
= −𝑓𝑢̅ 𝑥
𝜕𝑡
𝜕ℎ
= −𝐻𝛿𝑥 𝑢,
𝜕𝑡
(15.2. C1)
𝜕𝑢
𝑥
𝑥
̅̅̅̅̅
= −𝑔𝛿
𝑥 ℎ + 𝑓𝑣̅
𝜕𝑡
𝜕𝑣
= −𝑓𝑢̅ 𝑥
𝜕𝑡
𝜕ℎ
𝑥
̅̅̅̅̅
= −𝐻𝛿
𝑥𝑢
𝜕𝑡
(15.2. D1)
𝜕𝑢
= −𝑔𝛿𝑥 ℎ + 𝑓𝑣
𝜕𝑡
𝜕𝑣
= −𝑓𝑢
𝜕𝑡
𝜕ℎ
= −𝐻𝛿𝑥 𝑢
𝜕𝑡
(15.2. E1)
Dosazením vlnového řešení do předchozích systémů rovnic A1 až E1 dostáváme následující
výrazy pro frekvence
𝜐 2
𝜆 2
(𝑓) = 1 + (𝑑) 𝑠𝑖𝑛2 𝑘𝑑,
𝜐 2
𝜆 2
(𝑓) = 1 + 4 (𝑑) 𝑠𝑖𝑛2
𝜐 2
(𝑓) = 𝑐𝑜𝑠 2
𝜐 2
(𝑓) = 𝑐𝑜𝑠 2
𝜐 2
𝑘𝑑
2
𝑘𝑑
2
(15.2. A1F)
𝑘𝑑
2
,
𝜆 2
+ 4 (𝑑) 𝑠𝑖𝑛2
(15.2. B1F)
𝑘𝑑
,
(15.2. C1F)
+ 4 (𝑑) 𝑠𝑖𝑛2 𝑘𝑑,
(15.2. D1F)
2
𝜆 2
𝜆 2
(𝑓) = 1 + 2 (𝑑) 𝑠𝑖𝑛2
𝑘𝑑
√2
𝑘𝑑,
(15.2. E1F)
Z předchozích vztahů vidíme, že bezrozměrná frekvence 𝜈/𝑓 je závislá na dvou parametrech
kd a 𝜆/𝑑.
Analyzujme nyní dispersní vlastnosti dané předchozími vztahy pro každou z pěti sítí.
Délka nejkratší zobrazitelné vlny ve směru osy x je pro sítě A až d rovna 2d a √2𝑑 pro E-síť.
Proto pro sítě A až D musíme uvažovat interval 0 ≤ 𝑘𝑑 ≤ 𝜋 a pro síť E je třeba uvažovat
interval 0 ≤ 𝑘𝑑 ≤ √2𝜋.
260
A-síť. Frekvence má maximum pro 𝑘𝑑 = 𝜋/2, což znamená, že grupová rychlost je pro
𝑘 = 𝜋/(2𝑑) rovna nule.
Jestliže gravitačně-inertní vlny s vlnovým číslem přibližně této délky jsou vybuzeny
v některém bodě výpočetní oblasti, například v důsledku nelineárních efektů, přítoku tepla,
nebo orografií, pak vlnová energie zůstává v blízkosti tohoto bodu. Mimo toto maximum, pro
𝜋/2 < 𝑘𝑑 ≤ 𝜋 se frekvence zmenšuje s růstem vlnového čísla. V důsledku toho má grupová
rychlost chybné znaménko. A nakonec vlna délky dvou kroků sítě s 𝑘𝑑 = 𝜋 se chová jako
čistě inerciální vlnění a jeho grupová rychlost je rovna nule.
B-síť. Frekvence roste monotónně v intervalu 0 < 𝑘𝑑 ≤ 𝜋. Frekvence dosahuje maxima na
konci tohoto intervalu a grupová rychlost je rovna nule pro vlnu dvou kroků sítě při 𝑘𝑑 = 𝜋.
C-síť. Frekvence se v závislosti na kd monotónně zvětšuje, jestliže 𝜆/𝑑 > 1/2 a zmenšuje
jestliže 𝜆/𝑑 < 1/2. Rovněž dosahuje extrém pro 𝑘𝑑 = 𝜋 spolu s grupovou rychlostí rovnou
nule. Pro 𝜆/𝑑 = 1/2 je grupová rychlost rovna nule pro všechna vlnová čísla k.
D-síť. Frekvence dosahuje maxima pro (𝜆/𝑑)2 cos 𝑘𝑑 = 1/4 . Vlna délky dvou kroků sítě je
pro 𝑘𝑑 = 𝜋 stacionární.
E-síť. Frekvence dosahuje maximum pro 𝑘𝑑 = 𝜋/√2. Nejkratší zobrazitelná vlna na síti
s délkou 𝑑𝑘 = √2𝜋 se chová jako čistě inerciální oscilace a její grupová rychlost je rovna
nule.
Souhrnné výsledky prezentujeme na obrázku 15. 6. Zobrazuje nám funkci |𝜈|/𝑓
v případě pro y/𝑑 = 2.
Obrázek 15.6 Funkce |𝜈|/ dané vztahy (15.2.15) a (15.2.AF) až (15.2. EF) pro 𝜆/𝑑.
Grafy na obrázku názorně ilustrují nedostatky sítí D a A. Fázová rychlost a dispersní
vlastnosti jsou pro ostatní tři sítě mnohem lepší. Nicméně nulová grupová rychlost se objevuje
pro všechny sítě. V důsledku toho pro každou ze sítí budou s popisem geostrofického
přizpůsobení těžkosti.
Rozdíl mezi výsledky pro B a E sítí je zajímavý protože tyto sítě můžeme obdržet
jednu z druhé rotací o úhel 𝜋/4 . Jestliže uvažujeme jednodimensionální případ, ve kterém
jsou závislé (prognostické) proměnné konstantní podél přímky 𝑦 = 𝑥 + 𝑐, pak dostaneme pro
261
tyto sítě přímo opačné s tím, co bylo prezentováno na obrázku 14. F. V obecném případě
zavedeme novou soustavu souřadnic 𝑥 ′ , 𝑦′ rotací souřadnic 𝑥, 𝑦 v kladném směru o úhel 𝜋/4
s použitím vztahů
𝑢′ =
√2
(𝑢 + 𝑣)
2
𝑣′ =
√2
(−𝑢 + 𝑣)
2
Můžeme provézt záměnu proměnných 𝑢, 𝑣, ℎ za proměnné 𝑢′ , 𝑣 ′ , ℎ. Nalézáme, že systém
(15.2. B) je transformován na (15.2. E) a obráceně, systém (15.2. E) na (15.2.B). Proto
dispersní vlastnosti sítí B a E můžeme považovat za ekvivalentní. Gravitačně-inerční vlna
v jedné z těchto sítí má fázovou rychlost a dispersní vlastnosti identické s analogickou vlnou
v druhé síti s čelem otočeným o úhel 𝜋/4.
Obrázek 15.7 Funkce |𝜐|/𝑓 pro přesné řešení a pro řešení systémů
(15.2.B) a (15.2.C) pro 𝜆/𝑑 = 2.
262
Na závěr je třeba se ještě podívat na plně dvojdimensionální případ. Hodnoty |𝜈|⁄𝑓,
které dostaneme pro přesné řešení a pro B a C síť jsou zobrazeny na obrázku 15.7 pro
𝜆⁄𝑑 = 2. Diagram pro E síť obdržíme otočením diagramu pro B síť ve směru pohybu
hodinových ručiček. Diagram pro C síť nám ukazuje, že tato síť nám dává mnohem lepší
aproximaci přesného řešení než sítě B a E. V diagramu pro B síť čárkovaná čára ukazuje
maximum |𝜈|⁄𝑓 pro daný poměr 𝑙 ⁄𝑘 . Všimněme si, že taková čára se nevyskytuje
v diagramu pro C síť, ani pro přesné řešení. Takové maximum se objevuje pouze ve dvou
krajních bodech digramu C sítě. V důsledku toho na C síti nejsou žádné vlny, jejichž grupová
rychlost má špatné znaménko. Tato vlastnost nicméně závisí na parametru 𝜆⁄𝑑 . Ve
stratifikované atmosféře poloměr deformace 𝜆 závisí na stabilitě atmosféry. Když je stabilita
atmosféry natolik slabá, že 𝜆⁄𝑑 je řádu jednotky, nebo menší, pak C síť ztrácí přednosti,
ukázané na obrázku 15.7. Nicméně pro typické rozlišení sítí používaných v modelech
atmosféry se tento případ nevyskytuje a proto Arakawa dochází k závěru, že C síť je nejlepší
pro simulaci procesu geostrofického přizpůsobení. Proto tuto síť použil ve svém modelu
všeobecné cirkulace [3]. Při použití sítí B a E vznikají problémy ve spojitosti s výskytem
chybných frekvencí nejkratších vln. Vlna délky dvou kroků sítě, která byla jako čistě
gravitační vlna stacionární, se stává čistě inerciální vlnou.
Závěr a další literatura.
Na závěr bychom mohli shrnout následující. Modely popsané původními rovnicemi
(tedy rovnicemi pro časové změny hybnosti), používající pro řešení aproximace pomocí
diferencí je nejlepší C síť. Je to nejenom z důvodů nejpřesnějšího popisu procesu
geostrofického přizpůsobení, ale zejména také proto, že v současné době jsou téměř výhradně
používány semiimplicitní časové aproximace. Při tom je třeba řešit velké systémy lineárních
rovnic vzniklých po aproximaci okrajových úloh parciálních diferenciálních rovnic
eliptického typu. V rovnicích se obvykle vyskytuje Laplaceův operátor. Při jeho diferenčním
odvození z aproximací původních rovnic při použití C sítě vznikne obvyklá diferenční
aproximace Laplaceova operátoru, zatímco při použití B sítě vznikne aproximace otočená o
45 stupňů. Tato skutečnost nedovoluje pro řešení soustav lineárních rovnic použít velmi
rychlé přímé metody, jako je cyklická redukce, nebo FFT. Pro řešení semiimplicitních
schémat na B síti je proto nutné použít iterační metody, které zdaleka nejsou tak efektivní.
Další podrobnosti a rozšíření znalostí o tomto problému je možné získat v technické
zprávě [10] od Hannu Savijärvi, kde jsou studovány na sítích klasifikovaných Arakawou také
aproximace čtvrtého řádu. Aproximace čtvrtého řádu se však z důvodů problémů s bočními
okrajovými podmínkami a také problémů s aproximací horizontálního gradientu tlaku při
použití vertikálních souřadnic kopírujících terén se prakticky nepoužívají. Nejzajímavější
rozšíření znalostí o námi studované aproximaci vlnové části rovnic lze nalézti v článku Beny
Nety a R. T. Williamse [8]. Zde jsou tyto problémy studovány také pro metodu konečných
prvků a pro modely používající tak zvané odvozené rovnice, tedy pro modely s rovnicemi pro
časovou změnu vorticity a divergence. Pro odvozené rovnice mají jejich aproximace ještě
lepší vlastnosti, než aproximace původních rovnic (primitive equations).
V globálních spektrálních modelech se prakticky vždy používají rovnice pro časovou změnu
vorticity a divergence. Tím je odstraněna diskontinuita pole větru v severním a jižním pólu.
V modelech na omezené oblasti se rovnice pro časovou změnu vorticity a divergence téměř
263
nepoužívají. Je to proto, že výpočet složek větru potřebných pro advekci z vorticity a
divergence je relativně složitý a okrajová úloha pro proudovou funkci nemá jednoznačné
řešení. Tímto problémem se zabývají články Petra Lynche [6] a [7].
Literatura:
[1] Numerical Methods used in Atmospheric Models by F. Mesinger and A. Arakawa Vol. 1
GARP PUBLICATIONS SERIES No. 17 WMO-ICSU 1976
[2] Arakawa Akiro: Desing of the UCLA General Circulation Model. Technical Report No. 7,
1972, Department of Meteorology University of California, Los Angeles
[3] Arakawa A., Lamb V. R: Computational design of the Basic Dynamical Processes UCLA
General Circulation Model, METHODS IN COMPUTATIONAL PHYSICS Volume 17,
Editor Julius Chang, Academic Press 1977
[4] Blumen Wiliam: Geostrophic Adjustment. Reviews of Geophysics and Space Physics Vol.
10, 1972 s. 485-527
[5] Lamb sir Horace: Hydrodynamics, Cambridge at the University Press 1932.
[6] Lynch Peter: Deducing the Wind from Vorticity and Divergence. Monthly Weather
Review Vol. 116, 1988, s. 86-93
[7] Lynch Peter: Partitioning Wind in a Limited Domain.
[8] Neta B., Williams R. T.: Rossby Wave Frequencies and Group Velocities for Finite
Element and Difference Approximations to the Vorticity-Divergence and Primitive Forms of
tne Shallow Water Equations. Monthly Weather Review Vol. 117, 1989 s. 1439-1457
[9] Richardson L. F.: Weather Prediction by Numerical Process. Cambridge Univ. Press.
London 1922.
[10] Savijärvi H.: Computational Dispersion of Gravity-inertia Waves in various difference
schemes. Report No. 10, Helsinki 1976
[11] Temperton A.: Some experiments in dynamic inicialization for a simple primitive
equation model. Q. J. R. M. S. Vol. 99, 1973, s. 303-319
264
16. Nelineární evoluční parciální diferenciální rovnice
Rovnice zákonů zchování
P. D. Lax svou fundamentální práci „Hyperbolic systems of Conservation Laws II“ [3]
začíná následující definicí: Zákon zachování je rovnice v divergentním tvaru, tedy
3
𝑢𝑡 + ∑
𝑗=1
𝜕𝑓𝑗
=0
𝜕𝑥𝑗
Tato rovnice vyjadřuje fakt, že rychlost změny veličiny u obsažené v každé oblasti G
x-prostoru je dána tokem vektorového pole (𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 ) ∈ 𝐺:
𝑑
∭ 𝑢𝑑𝑥 = ∬ 𝑓 ∙ 𝑛 𝑑𝑆
𝑑𝑡
𝐺
𝐵𝐺
Mnoho fyzikálních zákonů má tvar zákona zachování. Veličiny u a f závisí na proměnných,
popisujících stav fyzikálního systému a na jejich derivacích. V teorii, která ignoruje
mechanizmus disipace, jako je viskozita, tepelná konvekce, tření jsou zákony zachování
rovnicemi prvního řádu, což znamená, že hodnoty u a f jsou funkcemi stavových proměnných,
nikoliv však jejich derivací. Lax ve svém článku studuje pouze systémy prvního řádu a v
teorii se omezuje, stejně, jako ostatní, na systémy jedné prostorové proměnné. Jako složky u,
jsou zvoleny proměnné, které popisují stav systému. Systém má pak tvar
𝑢𝑡 + 𝑓𝑥 = 0
(16.1)
kde u je vektor o n složkách a 𝑓 = 𝑓(𝑢𝑗 ) je vektor, který je funkcí u.
Provedeme-li derivování tohoto systému (16.1), dostaneme kvasilineární systém
prvního řádu tvaru
𝑢𝑡 + 𝐴(𝑢)𝑢𝑥 = 0, 𝐴 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓
(16.2)
Systém zákonů zachování (16.1) se nazývá hyperbolický, když kvasilineární systém (16.2) je
hyperbolický což je, když matice 𝐴 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 má reálná různá vlastní čísla pro všechny
hodnoty složek u.
Počáteční problém spočívá v určení řešení u systému (16.1) z jeho počátečního stavu
𝑢(𝑥, 0) = 𝜙 pro všechen následující čas. V článku je pak vyvíjena adekvátní teorie řešení
počátečních úloh pro systém zákonů zachování.
V libovolném čase 𝑡0 na funkci 𝑢(𝑥, 𝑡0 ) popisující stav systému jsou požadovány
následující vlastnosti. Označme {𝜙}soubor „přípustných“ stavů. Chceme nyní přiřadit ke
každému stavu ze souboru 𝜙 řešení 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑆(𝑡)𝜙 pro všechen čas 𝑡 ≥ 0 které má
následující vlastnosti:
(1) 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑆(𝑡)𝜙 je řešením systému zákona zachování (16.1),
(2) Operátor 𝑆(𝑡) zobrazuje systém přípustných stavů sám na sebe,
(3) Operátor 𝑆(𝑡) tvoří jednoparametrickou semi-grupu, je tedy
𝑆(𝑡1 + 𝑡2 ) = 𝑆(𝑡1 )𝑆(𝑡2 ),
𝑡1 , 𝑡2 ≥ 0,
𝑆(0) = 𝐼,
(4) Operátor 𝑆(𝑡) je spojitý v nějaké topologii.
Řešení v klasickém smyslu kvasilineárního hyperbolického systému (16.2) vytváří po
konečném čase singularity (diskontinuity), ať jsou počáteční data jakkoliv hladká a není
možné pokračovat dále v regulárním řešení. Můžeme však pokračovat v řešení ovšem pro
265
řešení v zobecněném smyslu. Tento způsob zobecnění je diktován integrální versí zákona
zachování, který vychází z toho, že vektorové pole (𝑢, 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 ) je nedivergentní v prostoru a
čase. Zobecněné neboli slabé řešení, je funkce u, pro které zmíněné vektorové pole je
nedivergentní v zobecněném smyslu.
Definice slabého řešení
Funkce 𝑢(𝑥, 𝑡) je slabým řešením systému zákona zachování (16.1) s počáteční
hodnotou 𝜙 když u a 𝑓(𝑢) jsou integrovatelné funkce na každém omezeném souboru
polorovin 𝑡 ≥ 0 a integrální vztah
∞
∞
∞
−∞
−∞
∫ ∫ {𝑤𝑡 𝑢 + 𝑤𝑥 𝑓(𝑢)}𝑑𝑥𝑑𝑡 + ∫ 𝑤(𝑥, 0) 𝜙(𝑥)𝑑𝑥 = 0
0
(16.3)
Je splněno pro všechny hladké testovací vektory w vektory, pro které je |𝑥| + 𝑡 dostatečně
velké.
Tato situace nastává v meteorologii, jestliže v rovnicích nejsou členy popisující difuzi
a tření. Jestliže do rovnic tyto členy přidáme, změní se systém z hyperbolického systému na
parabolický systém rovnic. Zde ovšem již působením difuze diskontinuity již nevzniknou,
místo toho se vytvoří pouze místa s velkými gradienty. Rozdíl ve vlastnostech rovnic je
poměrně značný. Parabolické systémy na rozdíl od hyperbolických systémů nemůžeme
integrovat časově zpět. To je třeba vědět, protože časová integrace zpět se v současné době
používá pro inicializaci pomocí časových filtrů. Důležité vlastnosti zobecněného řešení jsou
obsaženy v pracích ruské matematičky O. A. Olejnik, zejména v rozsáhlém článku [5]. V
článku jsou důkazy existence a jednoznačnosti zobecněného řešení, je zde studována také
závislost řešení na počátečních podmínkách, je zde ukázáno, že chyba v počátečních
podmínkách se v řešení rovnic s časem exponenciálně zvětšuje. Tato vlastnost řešení
v podstatě omezuje deterministickou předpověď počasí pouze na určitý časový interval.
Numerické metody používané pro řešení rovnic zákonů zachování byly vyvíjeny v období po
druhé světové válce v souvislosti s obtékáním křídel nadzvukových letounů. Tam vzniká jako
nespojitost rázová vlna. Numerické metody pro taková řešení studoval Peter Lax a Burton
Wendroff [4].
Jednoduché příklady typů rovnic používaných v meteorologii
V meteorologii je pro řešení hyperbolických systémů zákonů zachování přirozenější
přístup, který použil Eberhard Hopf [2], nazývaný „metodou viskozity“. Řešení systému
zákona zachování obdržíme jako limitu řešení parabolických rovnic, kde koeficient disipace
necháme konvergovat k nule. Hopf studoval Burgerovu rovnici tvaru
𝑢𝑡 + 𝑢𝑢𝑥 = 𝜇𝑢𝑥𝑥 , 𝜇 > 0
(16.4)
Difuzní člen na pravé straně zde znemožňuje vznik nespojitosti. V meteorologii jsou za
takovéto nespojitosti považovány atmosférické fronty, i když vlivem difuzních procesů
v atmosféře vznikají místo diskontinuit pouze místa s velkým gradientem. Odstraníme-li
z pravé stany difuzi, tím že položíme 𝜇 = 0 dostaneme nelineární rovnici hyperbolického
typu zákona zachování. Je to nelineární rovnice advekce tvaru
𝑢𝑡 + 𝑢𝑢𝑥 = 0
(16.5)
266
Tuto rovnici studoval George Platzman [6]. V jeho článku je podrobný rozbor vlastností a
různých způsobů řešení této rovnice pro speciálně zadané počáteční podmínky. Tato
nelineární rovnice advekce má obecné řešení ve tvaru
𝑢 = 𝐹(𝑥 − 𝑢𝑡)
(16.6)
které má podobný tvar jako obecné řešení lineární rovnice advekce
𝑢𝑡 + 𝑐𝑢𝑥 = 0
(16.7)
kterou jsme studovali v kapitole 9. V této lineární rovnici je rychlost advekce konstantní a
graf řešení, tedy graf funkce u, se posunuje rychlostí c doprava, nebo doleva podle znaménka
konstanty c.
Řešení nelineární rovnice advekce (16.5) tak jednoduché není. Tuto skutečnost si
můžeme demonstrovat na řešení této rovnice na intervalu 𝑥𝜖〈−𝜋, 𝜋〉 s počáteční podmínkou
𝑢(𝑥, 0) = −𝑈 sin 𝑘𝑥
(16.8)
Obecné řešení je potom
𝑢 = −𝑈 sin 𝑘(𝑥 − 𝑢𝑡)
(16.9)
−1
Zvolíme-li konstanty 𝑈 a 𝑘 jako jednotky rychlosti a délky, potom
𝑢 = − sin(𝑥 − 𝑢𝑡)
(16.10)
Kde 𝑢, 𝑥, 𝑡 nyní odpovídají hodnotám 𝑢⁄𝑈 , 𝑘𝑥, 𝑘𝑈𝑡 ve vztahu (16.9).
Na obrázku 30.1 je na levé části znázorněno, jak se mění počáteční podmínka (16.10)
ve tvaru funkce sin při nelineární advekci, tedy x, u – konfiguraci řešení pro daný čas. Na
pravé části obrázku je znázorněn x, t - diagram, který ukazuje několik typických charakteristik
u=0, 𝑢 = ±1 rovnice (16.10). Pomocí silných čar znázorňuje vrcholovou oblast s vrcholem
pro 𝑡 = 1, uvnitř které má řešení tři hodnoty.
Protože každá hodnota u se šíří ve směru x rychlostí u, vyplývá z toho, že hřeben vlny
(𝑢 > 0) se pohybuje v kladném směru osy x a brázda (𝑢 < 0) v záporném směru. Mimo to,
když |𝑢1 | > |𝑢2 | , pak 𝑢1 se šíří rychleji, než 𝑢2 a potom sklon 𝑆 ≡ 𝜕𝑢⁄𝜕𝑥 když S je na
začátku záporné dostáváme profilu vlny strmější, a zplošťuje se, když S je na začátku kladné.
Tento proces můžeme kvantitativně zkoumat výpočtem změny sklonu podle charakteristiky:
Podle (16.5) máme
267
𝑑𝑆 𝜕𝑆
𝜕𝑆
=
+𝑢
= −𝑆 2
𝑑𝑡 𝜕𝑡
𝜕𝑥
(16.11)
Integrací dostáváme
𝑆 = (𝑡 − 𝑆0−1 )−1
(16.12)
Kde 𝑆0 je počáteční hodnoty S. Tato rovnice ukazuje, že pro každou hodnotu u kde 𝑆0 < 0,
dostáváme sklon klesající záporný, až dosáhneme kritického času 𝑡𝑐 ≡ −𝑆0−1 , kdy se stane
nekonečným, pak je kladný a klesá k nule (tak jako 𝑡 −1 ). Minimální hodnota 𝑡𝑐 nastane pro
u=0 pro x =0, poněvadž −𝑆0−1 = sec 𝑥 má minimum rovno 1, což snadno nahlédneme ze
vztahu (30.10). T toho vyplývá, že vrchol zobrazený x, t – rovině je v bodě x=0, t=1.
Důsledky vlastnosti řešení rovnic zákona zachování pro meteorologii
Předchozí příklad ukazuje, jak v meteorologii se vlivem nelineární advekce zvětšují
gradienty meteorologických proměnných. Nelineárnost rovnic vychází z advekce složek
rychlosti větru (hybnosti), ty jsou pak koeficienty kvasilineárních rovnic pro advekci ostatních
proměnných, zejména teploty. Advekce pak zvětšuje jejich gradienty a v případě rovnic bez
difuze dosáhnou až singularity, kdy již nemůžeme uvažovat klasické řešení. Do rovnic vývoje
atmosféry jsou proto dávány i uměle difuzní procesy. Podle předchozí teorie můžeme říci, že
pro synoptické měřítko s jeho idealizací atmosférických front, jakožto diskontinuit, je úloha
předpovědi skutečně správně formulována pomocí nelineárních parciálních rovnic
hyperbolického typu, tedy rovnic bez disipace. Ve skutečné atmosféře vlivem difuze
k diskontinuitám nedojde a nelinearita rovnic vytvoří pouze velké gradienty, což je vidět
nejlépe na poli teploty. Tento proces se v meteorologii nazývá frontogeneze. Je tedy zcela
přirozené, že při integraci modelu, který vychází ze zcela hladkých počátečních podmínek, se
po určité době vytvoří atmosférické fronty. Z pozorování víme, že šíře pásma atmosférické
fronty je několik desítek kilometrů, ve vertikálním směru několik set metrů, přičemž
průměrný sklon frontální plochy vzhledem k povrchu Země bývá úhlových 0.50. Tyto údaje
jsou důležité pro posouzení popisu fronty na diskrétní síti. V globálním modelu
s horizontálním rozlišením, například s krokem v síti 100 km je fronta popsána vždy nejkratší
vlnou, kterou je možné na sítí popsat tedy vlnou dvou délek kroku v síti. Taková vlna je však
pro většinu numerických metod stacionární, tedy se nepohybuje. Model s krokem 100 km také
nemůže popsat dostatečně velké gradienty vznikající frontogenezí. Modely na omezené
oblasti s jemnějším rozlišením - LAM (limited area model) s krokem v síti 10 km velký
gradient v oblasti fronty můžou popisovat lépe, včetně pohybu fronty. Počáteční data pro
model jsou vlivem objektivní analýzy vždy dosti hladké, což pro diskrétní data znamená, že
koeficienty Fourierova rozvoje těchto dat s rostoucím vlnovým číslem konvergují rychle
k nule a neobsahují tedy popis front. Proto si můžeme položit otázku, jak je to s předpovědí
atmosférických front? Je vidět, že globální model vlivem rozlišení nemůže pohyb fronty
advekcí popsat. Zřejmě to příliš nevadí, když model dobře popisuje frontogenzi, která pro
výpočet správných frontálních srážek stačí. Rychlost pohybu front není totiž příliš velká a
některé fronty bývají i téměř stacionární.
Prakticky téměř všechny meteorologické modely jsou numericky integrovány na
obdélníkové horizontální oblasti. Globální modely mají ovšem tu výhodu, že nepotřebují
boční okrajové podmínky, protože jsou integrovány na celé zemské sféře, v systému
268
zeměpisných souřadnic jsou podmínky na okrajích obdélníka periodické. Úloha globální
předpovědi je proto Cauchyho úlohou. Předpověď na omezené oblasti pro určení řešení však
potřebuje mít dány změny meteorologických proměnných na okraji předpovědní oblasti,
změny na okrajích výpočetní oblasti sám vypočítat nemůže. Potřebuje proto ještě tak zvané
boční okrajové podmínky. Není však známa n nebo vůbec neexistuje formulace korektních
okrajových podmínek. Tento problém je řešen tak, že se v pásu podél hranice oblasti řešení
modelu na omezené oblasti přizpůsobuje řešení globálního „řídícího modelu“. Údaje
z globálního modelu se interpolují na sít lokálního modelu s kratším prostorovým krokem a
předpověď v tomto pásu vzniká jako lineární kombinace předpovědi lokálního modelu a
interpolovaných hodnot globálního modelu do sítě uzlových bodů lokálního modelu. Hodnoty
do pásů podél hranice výpočetní oblasti lokálního modelu se předávají z globálního modelu
po třech, nebo i šesti hodinách, a pro jejich kombinaci s hodnotami lokálního modelu se do
stejného času lineárně interpolují. Zdá se, že časový krok tři hodiny je dostačující, protože
globální model prakticky dostatečně nepopisuje atmosférické fronty a zejména jejich pohyb.
Přechod front přes z globálního modelu před hranice do lokálního modelu se v podstatě
nekoná. Důsledkem toho je, že oblast lokálního modelu nemůže být příliš malá.
Literatura
[1] Courant Richard: Partial differential equations, Methods of Mathematical Physics by R.
Courant and D. Hilbert, Volume II, New York-London 1962. (též ruský překlad 1964)
[2] Hopf Eberhard: The Differential Equations ut+uux=c uxx, Comm. Pure Appl. Math.,
Vol. 3, 1950 pp. 201-230.
[3] Lax P. D.: Hyperbolic Systems of Conservation Laws II. Communications on Pure and
Applied Mathematics VOL. X, 537-566. 1957.
[4] Lax P., Wendroff B.: Systems of Conservation Laws. Communications on Pure and
Applied Mathematics VOL. XIII, 217-237. 1960.
[5] Olejnik O., A.: Razryvnyje rešenija nelinejnych differenciálnych urovnenij. Uspechi
matematičeskich nauk, tom XII. vyp. 3. maj 1957. s. 3-73.
[6] Platzman G. W.: An exact integral of spectral equations for unsteady one-dimensional
flow. Tellus XVI (1964), s. 422-430.
269
17. Aproximace nelineární rovnice advekce - konzervativní
schémata
V této kapitole se budeme zabývat aproximací nelineární rovnice advekce. Advekcí
rozumíme posun hmoty atmosféry prouděním, tedy větrem. Tento mechanizmus, spolu
s vlnovými pohyby vzduchových částic nám dává časový vývoj atmosféry. Přičemž advekce,
která je popsána v rovnicích nelineárními členy, má na svědomí vznik míst s velkými
prostorovými gradienty prognostických proměnných, tedy ze synoptického hlediska
atmosférických front. Bez nelineární advekce by tedy nebyla v atmosféře možná
frontogeneze.
17.1 Aproximace rovnice advekce
Rovnici advekce můžeme napsat pro aproximaci ve dvou základních tvarech. První
tvar, který je pro aproximaci vhodnější, je divergentní tvar. Rovnici advekce veličiny α
píšeme v divergentním tvaru následovně
𝜕𝛼
+ 𝛁 ∙ (𝐯α) = 0
𝜕𝑡
(17.1.1)
Kde α je libovolná proměnná, vektor rychlosti v, je buď dvourozměrný vektor 𝐯 = (𝑢, 𝑣),
nebo třírozměrný vektor rychlosti 𝐯 = (𝑢, 𝑣, 𝑤). 𝛁 je dvourozměrný, nebo třírozměrný
operátor divergence. Pro názornost si rozepišme vztah (17.1.1) pro dvourozměrný případ.
Máme
𝜕𝛼 𝜕
∂
(𝑢α) + (𝑣α) = 0
+
𝜕𝑡 𝜕𝑥
∂y
(17.1.2)
Druhou možností je rovnice advekce v tak zvaném advekčním tvaru, který ve vektorovém
zápisu je
𝜕𝛼
+ 𝐯 ∙ (𝛁α) = 0
𝜕𝑡
(17.1.3)
Tento tvar se v dynamické meteorologii používá nejčastěji. Rozepsaný advekční tvar rovnice
advekce pro dvourozměrný případ je
𝜕𝛼
𝜕𝛼
∂α
+𝑢
+𝑣
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
∂y
(17.1.4)
Integrujeme-li (17.1.1) na uzavřené oblasti V, pak dostaneme
𝜕
∫ ∝ 𝑑𝑣 = − ∫ 𝛁 ∙ (𝐯 ∝)𝑑𝑣
𝜕𝑡
(17.1.5)
Integrál na pravé straně za předpokladu, že normálová složka vektoru v je na hranici oblasti
nulová, je podle Gaussovy věty roven nule. (Gaussova věta je formulována dále v souvislosti
s metodou kontrolovaného objemu). Vidíme tedy, že střední hodnota proměnné α je pro
rovnici v divergentním tvaru konzervativní veličinou, to znamená, že střední hodnota
proměnné se s časem nemění. Násobíme-li rovnici (17.1.1) proměnnou α máme
270
𝛼
𝜕𝛼
= −𝛼 𝛁 ∙ (𝐯α)
𝜕𝑡
(17.1.6)
Upravíme-li pravou stranu pomocí identity
1
∝2
2)
𝛼∇(𝐯α) = ∇(𝐯 ∝ +
∇(𝐯)
2
2
(17.1.7)
kterou můžeme ověřit derivováním a integrujeme na oblasti V, dostáváme
𝜕 𝛼2
1
𝛼2
∫ 𝑑𝑣 = − ∫ ∇(𝐯 ∝2 )𝑑𝑣 − ∫ 𝛁 ∙ 𝐯𝑑𝑣
𝜕𝑡 2
2
2
(17.1.8)
Upravíme-li první integrál na pravé straně rovnice pomocí Gaussovy věty, máme
∫ ∇(𝐯 ∝2 )𝑑𝑣 = ∮(𝐯 ∝𝟐 )𝑛 𝑑𝑠 = 0
kde jsme v Gaussově větě za A položily 𝑨 = 𝐯 ∝𝟐 . Z předpokladu, že normálová složka
vektoru A je na hranici oblasti nulová je předchozí integrál roven nule. Dostáváme důležitý
vztah
𝜕 𝛼2
𝛼2
∫ 𝑑𝑣 = − ∫ 𝛁 ∙ 𝐯𝑑𝑣
𝜕𝑡 2
2
(17.1.9)
Řešení diferenciální rovnice advekce tedy tento vztah splňuje. Proto řešení rovnice advekce
je kvadraticky konzervativní. Je proto rozumné, aby i diferenční schémata měla tuto
vlastnost také. Je-li splněn tento vztah pro diferenční aproximaci rovnice advekce, říkáme,
že diferenční schéma je kvadraticky konzervativní. Diferenční schéma, které zachovává
pouze střední hodnotu proměnné ∝, nazýváme konzervativním schématem. Diferenční
schéma, které zachovává střední hodnotu proměnné a navíc splňuje diferenční analogii
vztahu (17.1.9) nazýváme kvadraticky konzervativním schématem.
Jako příklad aproximace rovnice advekce (17.1.2) můžeme uvést následující vztah
̅̅̅̅̅
𝛿𝑡 𝛼 𝑡 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝛿𝑥 (𝛼𝑢)𝑥 + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝛿𝑦 (𝛼𝑣)𝑦
(17.1.10)
kde funkce α i složky větru jsou dány ve stejných uzlových bodech sítě. Pomocí sumace
můžeme ukázat, že toto schéma je konzervativní, není však kvadraticky konzervativní a není
také stabilní, což způsobuje nelineární instabilita. Již z intuitivního hlediska se dá říci
následující. Vlastnost kvadratické konservativnosti je vlastně obdobou zákona zachování
energie, ovšem energie v matematickém slova smyslu, o kterém jsme při energetické metodě
důkazu stability. Kvadraticky konzervativní schéma je tedy podle energetické metody stabilní
a to i ve smyslu nelineární instability. Je zřejmé, že pouhá konzervativnost ke stabilitě
schématu nestačí, neboť může nastat případ, kdy některé kladné hodnoty rostou nade všechny
meze a v součtu mohou být kompenzovány zápornými členy, které v absolutní hodnotě také
obdobně rostou.
Schémata typu Lax-Wendroffa
Jednou z možností jak dosáhnout stabilní aproximace nelineární rovnice advekce je
přidání difúzních členů do její aproximace. Tato metoda byla rozpracována v několika pracích
271
Laxe [6], a Lax-Wendroffa [7], nebo v monografii Rychtmyera a Mortona [8]. Jejich práce i
práce ruské školy, týkající se této rovnice, se soustředily na jiný problém, než je předpověď
počasí. Tyto práce byly motivovány numerickým modelováním obtékání křídel
nadzvukových letounů. Zde vzniká rázová vlna, která je skutečně diskontinuitou. Z tohoto
důvodu byla studována tak zvaná zobecněná řešení rovnice advekce založená na integrální
definici zobecněného řešení. Nicméně meteorologie se bez tohoto aparátu obejde, neboť
atmosférické fronty ve skutečnosti nejsou diskontinuitami, neboť tomu zbrání difuzní
procesy, které v atmosféře probíhají. Fronty jakožto diskontinuity jsou jistou užitečnou
abstrakcí v synoptické meteorologii, sloužící k názornému objasnění určitých stavů a dějů
v atmosféře, které zejména v minulosti sloužily k předpovědi počasí. Ve skutečnosti jsou
atmosférické fronty místy relativně velkých gradientů některých veličin. Tyto relativně velké
gradienty v poli teploty a větru jsou obvykle na intervalu délky čtyřiceti až padesáti kilometrů.
Vzhledem k tomu, že současné modely na omezené oblasti pracují s horizontální délkou
kroku okolo 10 km, jsou frontální oblasti celkem již dobře popsány a nejsou již dány vlnami
délky dvou kroků v síti. V globálních modelech je ovšem krok v síti obvykle asi 10 krát větší.
Na takové síti jsou pole veličin vlivem rozlišení sítě značně hladká a gradienty popisující
fronty zmenšené. Také jejich lokalizace nemůže být tak přesná.
Nicméně schémata typu Lax-Wendrofa byla úspěšně použita v některých
předpovědních modelech. Schéma Lax-Wendroffa pro účely meteorologie upravil Gadd [2]
tak, aby početní disperse vln a tedy chyba ve fázové rychlosti vln důležitých pro meteorologii
byla menší, než u původního schématu. V současnosti se však schéma Lax-Wendrffa
v předpovědních modelech vývoje atmosféry téměř nepoužívá. Nyní se používají zejména
kvadraticky konzervativní schémata, do kterých spadají i metody založené na Galerkinově
aproximaci, tedy spektrální metody i metody konečných prvků. V poslední době se pro
advekci používají nejčastěji semi-Lagrangeovská schémata.
Kvadraticky konzervativní schémata
Kvadraticky konzervativní schémata je možné odvodit pomocí Gaussovy věty.
Odvození kvadraticky konzervativního schématu pomocí Gaussovy věty se v současnosti
nazývá metodou kontrolovaného objemu. Tuto metodu pro rovnici advekce za předpokladu
nulové divergence, tedy 𝛁𝐯 = 0 formuloval pro velmi obecnou geometrickou konfiguraci sítě
Bryan [1]. Rovnici advekce lze pak totiž snadno napsat do divergentního tvaru. V tomto
případě má rovnice kontinuity tvar stejný jako v p-systému vertikální souřadnice a rovněž
stejný jako pro nestlačitelnou kapalinu, 𝛁𝐯 = 0. Pro pravidelnou síť, jejíž plochy ve třech
dimenzích omezují objemy tvaru kvádru, je tato metoda nazývána anglicky „box method“. To
je ovšem případ nejčastějšího použití metody kontrolovaného objemu. Metody založené na
jiné než diferenční aproximaci, například metody založené na Galerkinově aproximaci, což
jsou například spektrální metody, jsou rovněž kvadraticky konzervativní. Tyto metody ovšem
nejsou odvozeny metodou kontrolovaného objemu. Vlastnost, že tyto metody jsou
kvadraticky konzervativní, lze dokázat přímo. To je ovšem možné i pro diferenční schémata.
Abychom se seznámili se základními vlastnostmi kvadraticky konzervativní aproximace,
věnujme se jednoduchému případu aproximace rovnice advekce na dvourozměrné regulární
síti. Aproximace pro tuto regulární dvourozměrnou síť je uvedena v článku Arne
272
Grammeltvedta [2], ovšem bez jejího odvození metodou kontrolovaného objemu. Aproximace
je následující
̅̅̅̅̅
𝛿𝑡 𝛼 𝑡 + 𝛿𝑥 (𝛼̅ 𝑥 𝑢𝑠 ) + 𝛿𝑦 (𝛼̅ 𝑦 𝑣𝑠 ) = 0
,
(17.1.11)
což je v podstatě aproximace na střídavé síti, kde hodnoty proměnné α jsou definovány
v základních uzlech sítě a hodnoty složek rychlosti jsou definovány na síti posunuté o
polovinu kroku v obou směrech souřadných os x, y. Tyto složky rychlosti, 𝑢𝑠 a 𝑣𝑠 jsou tedy
vlastně normálovými složkami rychlosti ke stranám obdélníků tvořených souřadnicovými
přímkami posunuté sítě.
Průměrované hodnoty advehované proměnné α jsou definovány ve stejných bodech
jako složky rychlosti. Poznamenejme ještě, že kvadraticky konzervativní schémata je vhodné,
stejně jako proces geostrofického přizpůsobení, konstruovat na střídavých sítích. Na
standardní síti, kde všechny proměnné jsou definovány ve stejných bodech lze pro
kvadraticky konzervativní schéma definovat složky rychlosti v bodech střídavé sítě
průměrováním 𝑢𝑠 = 𝑢̅ 𝑥 , 𝑣𝑠 = 𝑣̅ 𝑦 .
Abychom ukázali, že schéma (17.1.11) je kvadraticky konzervativní, násobíme tento
vztah veličinou α a sečteme přes indexy j a k. Diferenční rovnice pro střední hodnotu kvadrátu
předpovědní proměnné má pak tvar
𝑡
̅̅̅̅̅
∑𝑗𝑘 𝛼𝛿
̅ 𝑥 𝑢𝑠 ) + 𝛼𝛿𝑦 (𝛼̅ 𝑦 𝑣𝑠 )]
(17.1.12)
𝑡 𝛼 = − ∑𝑗𝑘[𝛼𝛿𝑥 (𝛼
Pro zkrácení zápisu si provedeme úpravu prvního členu pravé strany, tedy na ose x. Druhý
člen upravíme pak stejně. Pro úpravu tohoto členu použijeme nejdříve diferenční obdobu
derivace součinu funkcí
𝛿𝑥 (𝛼𝛽) = 𝛼̅ 𝑥 𝛿𝑥 𝛽 + 𝛽̅ 𝑥 𝛿𝑥 𝛼,
(17.1.13)
jejíž platnost se dá snadno ověřit rozepsáním do indexovaných proměnných. Dostaneme tak
𝛼𝛿𝑥 (𝛼̅ 𝑥 𝑢𝑠 ) = 𝛼𝛼̅ 𝑥𝑥 𝛿𝑥 𝑢𝑠 + ̅̅̅
𝑢𝑠 𝑥 𝛿𝑥 𝛼̅ 𝑥
𝑥𝑥
Nyní zde nahradíme ještě činitel 𝛼̅ pomocí identity
1
(𝛼̅ 𝑥 )𝑥 = [𝛼(𝑥 + ∆𝑥) + 2𝛼(𝑥) + 𝛼(𝑥 − ∆𝑥)]
𝛼̅ 𝑥𝑥 = ̅̅̅̅̅̅
4
(17.1.14)
Poznamenejme, že v základním uzlu, jemuž je přiřazena hodnota x nevypisujeme a píšeme
bez hodnoty proměnné, tedy 𝛼(𝑥) píšeme stručněji jako α. Dále používáme také označení
1
[𝛼(𝑥 + ∆𝑥) + 𝛼(𝑥 − ∆𝑥)] = 𝛼̅ 2𝑥
2
(17.1.15)
První člen pravé strany proto je roven
1
1
𝛼𝛿𝑥 (𝛼̅ 𝑥 𝑢𝑠 ) = 𝛼𝛼̅ 𝑥𝑥 𝛿𝑥 𝑢𝑠 + 𝑢
̅̅̅𝑠 𝑥 𝛿𝑥 𝛼̅ 𝑥 = 2 𝛼𝛼̅ 2𝑥 𝛿𝑥 𝑢𝑠 + 𝛼𝑢
̅̅̅𝑠 𝑥 𝛿𝑥 𝛼̅ 𝑥 + 2 𝛼 2 𝛿𝑥 𝑢𝑠 (17.1.16)
Nyní pomocí předchozího vztahu můžeme vztah (16.1.12) napsat ve tvaru
1 2𝑥
1
𝑡
̅̅̅̅̅
∑ 𝛼𝛿
̅ 𝛿𝑥 𝑢𝑠 + 𝛼𝑢
̅̅̅𝑠 𝑥 𝛿𝑥 𝛼̅ 𝑥 + 𝛼𝛼̅ 2𝑦 𝛿𝑦 𝑣𝑢𝑠 + 𝛼𝑣̅𝑠 𝑦 𝛿𝑦 𝛼̅ 𝑦 ]
𝑡 𝛼 = − ∑ [ 𝛼𝛼
2
2
𝑗𝑘
𝑗𝑘
1
− ∑ 𝛼 2 (𝛿𝑥 𝑢𝑠 + 𝛿𝑦 𝑣𝑠 )
2
𝑗𝑘
(17.1.17)
První sumace na prvé straně se skládá ze součtu vždy dvou stejných členů s opačnými
znaménky. Pouze první a poslední člen celý nemusí vyrušit. Je-li funkce α periodická, vyruší
se pevní a poslední člen také. Není-li funkce α periodická, je třeba předpokládat, aby do
273
oblasti nebyl vtok ani z ní výtok, tedy aby na hranici oblasti V byly nulové normálové složky
rychlosti. První suma na pravé straně je tedy rovna nule. Proto platí
1 2
𝑡
̅̅̅̅̅
∑ 𝛼𝛿
𝑡 𝛼 = − ∑ 𝛼 (𝛿𝑥 𝑢𝑠 + 𝛿𝑦 𝑣𝑠 )
2
𝑗𝑘
𝑗𝑘
,
(17.1.18)
což je diferenční obdoba (17.1.5) a diferenční aproximace je tedy kvadraticky konzervativní.
Nyní studujme ještě rovnici advekce napsanou v advekčním tvaru.
𝜕𝛼
+ 𝐯 ∙ (𝛁α) = 0
𝜕𝑡
(17.1.19)
V tomto tvaru rovnice nezachovává střední hodnotu proměnné α , není to tedy konzervativní
tvar. Rovnici proto přepíšeme následovně
𝜕𝛼
+ 𝛁 ∙ (𝐯α) − α𝛁 ∙ 𝐯 = 0
𝜕𝑡
,
(17.1.20)
Rovnici advekce v tomto tvaru násobme α a integrujme opět přes uzavřenou oblast V. Při
postupu stejném jako při odvození rovnice (17.1.9) docházíme ke vztahu, který se liší od
vztahu (17.1.9) znaménkem na pravé straně rovnice
𝜕 𝛼2
𝛼2
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝛁 ∙ 𝐯𝑑𝑣
𝜕𝑡 2
2
(17.1.21)
Rovnice (17.1.20) rozepsaná do složek je
𝜕𝛼 𝜕
∂
∂𝑢 ∂v
(𝑢α) + (𝑣α) − α ( + ) = 0
+
𝜕𝑡 𝜕𝑥
∂y
∂x ∂y
(17.1.22)
Použijeme-li pro první dva členy aproximaci (17.1.7) můžeme aproximaci (16.1.15) napsat
ve tvaru
̅̅̅̅̅
𝛿𝑡 𝛼 𝑡 + 𝛿𝑥 (𝛼̅ 𝑥 𝑢𝑠 ) + 𝛿𝑦 (𝛼̅ 𝑦 𝑣𝑠 ) − 𝛼(𝛿𝑥 𝑢𝑠 + 𝛿𝑦 𝑣𝑠 ) = 0
(17.1.23)
Po vynásobení proměnnou α a sumací dostáváme vztahy obdobné jako pro (17.1.18), tedy
1 2
𝑡
̅̅̅̅̅
∑ 𝛼𝛿
𝑡 𝛼 = ∑ 𝛼 (𝛿𝑥 𝑢𝑠 + 𝛿𝑦 𝑣𝑠 )
2
𝑗𝑘
𝑗𝑘
(17.1.24)
Tento vztah je zákonem zachování průměrné hodnoty čtverce proměnné α. Je-li splněn je
schéma kvadraticky konzervativní.
Metoda kontrolovaného objemu a Gaussova věta
Chceme-li snadno pochopit smysl a formulaci Gaussovy věty, a její použití při
konstrukci diferenčních schémat, vyjdeme z fyzikálních představ, které ještě navíc
přizpůsobíme budoucímu využití v diferenčních metodách používaných při modelování
atmosféry. Studujme proto proudění tekutiny kvádrem, jehož hrany jsou rovnoběžné s osami
souřadnic a tedy plochy stran rovnoběžné se souřadnicovými rovinami. Délky hran kvádru
nechť jsou ∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧. Tekutina nechť proudí tímto kvádrem ve směru osy x. Plocha průřezu
kvádru ve směru toku tekutiny je ∆𝑞 = ∆𝑦 ∙ ∆𝑧. Intenzitu proudění charakterizujeme
proudovou hustotou J, což je množství tekutiny, které proteče jednotkovou plochou za
jednotku času. Je tedy
∆𝑚
𝐽=
∆𝑞 ∙ ∆𝑡
274
,
(17.1.25)
kde ∆𝑚 je hmotnost množství tekutiny která protekla tímto kvádrem za čas ∆𝑡. Proudovou
hustotu tekutiny ve směru osy x můžeme upravit na tvar
∆𝑚 ∆𝑥
𝐽 = 𝐽𝑥 =
= 𝜌𝑢
∆𝑞 ∙ ∆𝑥 ∆𝑡
(17.1.26)
Kde 𝜌 = ∆𝑚/∆𝑉 je hustota tekutiny, ∆𝑉 = ∆𝑞 ∙ ∆𝑥 je její objem a 𝑢 = ∆𝑥/∆𝑡 je její rychlost
ve směru osy x. Přechodem k limitě ∆𝑉 → 0, ∆𝑡 → 0, ∆𝑥 → 0 dostaneme místní hustotu a
rychlost.
Rychlost proudění je ovšem dána vektorovým polem rychlosti v, a hustota skalární
funkcí 𝜌 . Tyto veličiny jsou v prostoru funkcemi souřadnic x, y, z, t. Zavedeme také pojem
vektor proudové hustoty, který definujeme vztahem
𝐉 = 𝜌𝐯
(17.1.27)
Součin hmotnosti a rychlosti je hybnost, takže 𝑱 je vlastně hybností objemové jednotky.
Vezmeme-li libovolně orientovaný plošný element dS, pak za jednotku času proteče tímto
plošným elementem množství tekutiny 𝐉 ∙ d𝐒 ≡ Jn dS, kde Jn je normálová komponenta.
Uzavřená plocha vytváří určitý objem V. Množství tekutiny, které proteče za jednotku času
touto hraničenou plochou do okolního prostoru, je tok (intenzita proudění), což vyjádříme
integrálem
𝐼 ≡ ∮ 𝐉 ∙ d𝐒
(17.1.28)
Kde kroužek u integrálu zdůrazňuje, že se jedná o integraci přes uzavřenou plochu. S ohledem
na uvedený příklad, se každý integrál tvaru
∮ 𝐀 ∙ d𝐒 ≡ ∮(Ax dSx + Ay dSy + Az dSz )
(17.1.29)
nazývá tokem vektoru A uzavřenou plochou S. Poněvadž uzavřená plocha ohraničuje jistý
objem, dá se očekávat, že integrál (17.1.29) se dá převést na integrál přes objem ohraničený
touto uzavřenou plochou. Naznačíme ideu takové transformace.
Rozdíl toku složky 𝐴𝑥 vektoru A mezi ploškami 𝑑𝑆𝑥 ≡ 𝑑𝑦𝑑𝑧 postavenými v bodech osy x
(𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦, 𝑧) a (𝑥, 𝑦, 𝑧), tedy v našem případě zjednodušené oblasti tvaru kvádru rozdíl mezi
hodnotou na pravé a levé straně kvádru je
[𝐴𝑥 (𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝐴𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧)]𝑑𝑦𝑑𝑧
(17.1.30)
Protože rozdíl v předchozím vztahu můžeme napsat jako
𝜕𝐴𝑥
𝐴𝑥 (𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝐴𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑑𝑥
𝜕𝑥
(17.1.31)
Rozdíl toků mezi pravou a levou ploškou je tedy roven
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝐴𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =
𝑑𝑉
𝜕𝑥
𝜕𝑥
kde 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 je objemový element. Obdobně upravíme členy podle ostatních
souřadnicových os. Sečtením toků všemi třemi ploškami dostaneme tok vektoru A celou
uzavřenou plochou. Výsledkem je Gaussova věta (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)
275
∮ 𝐀 ∙ 𝑑𝐒 = ∭ div𝐀 dV
(17.1.32)
Která převádí integrál přes uzavřenou plochu S na integrál přes objem V vytvořený touto
uzavřenou plochou.
Odvození kvadraticky konzervativního schématu metodou kontrolovaného objemu
Nyní se věnujme konstrukci kvadraticky konzervativního schématu pomocí Gaussovy
věty. Při konstrukci kvadraticky konzervativního schématu se inspirujeme v práci Kirka
Briana [1], která je z hlediska geometrie možné sítě velmi obecná. Hodí se například i pro sítě
ve sférických souřadnicích, kde se počet uzlů ve směru k pólu zmenšuje, což je použito
v práci Kurihara a Holloway [1].
Při prvním pohledu se v následující formulaci jeví předpoklad nulové divergence
studovaných rovnic jako omezující, což interpretujeme-li tuto nulovou divergenci jako rovnici
kontinuity budí dojem, že se tato metoda dá použít pouze v p-systému souřadnic. V dalším si
ukážeme, že tomu tak není a ukážeme si jak je tomu například v 𝜎-systému, kde rovnice
kontinuity obsahuje člen s časovou derivací. Brian ovšem studuje následující rovnice
𝜕𝛼
+ 𝐯 ∙ (𝛁α) = 0
𝜕𝑡
(17.1.33)
∇∙𝐕=0
a vlastnosti jejich řešení na oblasti, kterou označme R. Normálový složka proudění vzhledem
k hranici oblasti nechť je rovna nule. Oblast R rozdělme na J podoblastí, jejich objemy
označme 𝑟𝑗 . Nechť ∝𝑗 jsou střední hodnoty veličiny ∝ v j-té podoblasti. Zavedeme
následující součty
𝐽
∑ ∝𝑗 𝑟𝑗 = 𝐼1
𝑗=1
(17.1.34)
𝐽
∑ ∝2𝑗 𝑟𝑗 = 𝐼2
𝑗=1
(17.1.35)
Integrujme nyní rovnici advekce (17.1.23) po objemu 𝑟𝑗 , dostaneme
𝜕 ∝𝑗
𝑟𝑗
= − ∭ 𝛁 ∙ (𝐯α)dV
𝜕𝑡
(17.1.36)
S použitím Gaussovy věty máme
𝑟𝑗
𝜕 ∝𝑗
= ∮ 𝑉𝑛 ∝𝑠 𝑑𝑠
𝜕𝑡
(17.1.37)
Kde 𝑉𝑛 a ∝𝑠 jsou normálová složka rychlosti a hodnota ∝ na ploše podoblasti s indexem j .
Při aproximaci pravé strany (17.1.37) předpokládáme, že plocha podoblasti s indexem j se
skládá z 𝐾𝑗 ploch rozhraní s jinými podoblastmi a tyto plochy mají velikost 𝐴𝑘,𝑗 . Střední
hodnotu normálové složky rychlosti pro každou tuto plochu rozhraní označme 𝑉𝑗,𝑘 .
276
Hodnotu ∝, na ploše rozhraní mezi dvěma podoblastmi s indexy j a k, definujeme jako
aritmetický průměr (∝𝑗 +∝𝑘 )/2. Při tomto označení můžeme aproximaci (17.1.37) a tedy
aproximaci (17.1.33) psát ve tvaru
𝐾𝑗
𝜕 ∝𝑗
𝑟𝑗
= − ∑ 𝑉𝑘,𝑗 (∝𝑗 +∝𝑘 )𝐴𝑘,𝑗 /2
𝜕𝑡
𝑘=1
(17.1.38)
Aproximace rovnice kontinuity má pak tvar
𝐾𝑗
∑ 𝑉𝑘,𝑗 𝐴𝑘,𝑗 = 0
𝑘=1
(17.1.39)
Nyní ukážeme, že aproximace (17.1.38) a (17.1.39) zachovává hodnoty 𝐼1 a 𝐼2 jestliže
nebereme v úvahu chyby vzniklé aproximací časových derivací. Vypočteme-li součet přes
všechny podoblasti, dostaneme, že změna veličiny 𝐼1 je
𝐾𝑗
𝐽
𝜕𝐼1
= − ∑ ∑ 𝑉𝑘,𝑗 (∝𝑗 +∝𝑘 ) 𝐴𝑗,𝑘 /2
𝜕𝑡
𝑗=1 𝑘=1
(17.1.40)
Členy pravé strany této rovnice se dělí na dvě skupiny. Ty členy, které odpovídají plochám
oddělujícím dvě sousední podoblasti, tvoří dvojice, jimž odpovídají dva členy s obráceným
znaménkem a ty se vyruší. Ostatní členy odpovídají plochám, které tvoří vnější hranici
oblasti. Ty jsou nulové, protože normálová složka rychlosti k vnější hranici je nulová.
Změnu veličiny 𝐼2 můžeme napsat ve tvaru
𝐽
𝐾𝑗
𝜕𝐼2
= − ∑ ∑ 𝑉𝑘,𝑗 (∝𝑗2 +∝𝑘 ∝𝑗 ) 𝐴𝑗,𝑘 /2
𝜕𝑡
𝑗=1 𝑘=1
(17.1.41)
Neboli
𝐽
𝐾𝑗
𝑗=1
𝑘=1
𝐽
𝐾𝑗
𝜕𝐼2
= − ∑ ∝𝑗2 ∑ 𝑉𝑘,𝑗 𝐴𝑗,𝑘 − ∑ ∑ ∝𝑘 ∝𝑗 𝐴𝑗,𝑘 𝑉𝑘,𝑗
𝜕𝑡
𝑗=1 𝑘=1
(17.1.42)
První člen je roven nule, jestliže je splněn vztah (17.1.39) který je aproximací vztahu nulové
divergence tedy vztahu ∇ ∙ 𝐕 = 0. Druhý součet na pravé straně (17.1.42) je roven nule ze
stejných příčin, jako je tomu ve vztahu (17.1.40). Ty členy, které odpovídají plochám
oddělujícím dvě sousední podoblasti, tvoří dvojice, jimž odpovídají dva členy s obráceným
znaménkem a ty se vyruší. Ostatní členy odpovídají plochám, které tvoří vnější hranici
oblasti. Ty jsou nulové, protože normálová složka rychlosti k vnější hranici je nulová.
Metoda kontrolovaného objemu se dá ještě dále modifikovat a zobecňovat.
Všimneme-li si že rozhodujícím faktem při odvození schémat touto metodou je, aby na
plochách omezujících dva sousední objemy byly pro oba objemy stejné hodnoty toků.
V jednom ven a v druhém dovnitř. Proto tyto toky musí být v absolutní hodnotě stejné a musí
mít opačné znaménko. Pak se totiž při sumaci vzájemně vyruší. Hodnota α na hranici objemů
277
musí být tedy pro oba objemy stejná, nemusí to ovšem být jejich aritmetický průměr hodnot
v obou sousedních objemech, jak je to v předchozím textu. Může to být například jejich
geometrický průměr, tedy odmocnina z jejich součinu. V nových metodách definování této
hodnoty může být i složitější, například s použitím kombinací schémat vyššího řádu
s monotónními schématy. Po těchto zobecněních se pak metoda odvození schématu nazývá
metodou kontrolovaných toků.
Příklad použití metody kontrolovaného objemu.
Pomocí této metody odvodíme aproximaci (17.1.11) rovnice (17.1.1), která je shodná
s rovnicí (17.1.33). Aproximaci této rovnice metodou kontrolovaného objemu dává vztah
(17.1.38). Při nulové divergenci aproximované vztahem (17.1.39) jsou zachovány veličiny 𝐼1
a 𝐼2 . Aproximaci provedeme na C-síti, kde ∆𝑥 𝑎 ∆𝑦 jsou délky kroků v síti na ose x,y, a kde
složky vektoru rychlosti označme indexem s. Aproximace ve směru osy x je následující.
Neboť 𝑟𝑗 = ∆𝑥∆𝑦 je podle (17.1.38)
𝜕𝛼
∆𝑥∆𝑦
= −∆𝑦[𝑢𝛼̅ 𝑥 ](𝑥 + ∆𝑥/2) + ∆𝑦[𝑢𝛼̅ 𝑥 ](𝑥 − ∆𝑥/2)
𝜕𝑡
,
(17.1.43)
Ve zkráceném zápisu pro obě prostorové proměnné x, y pak máme
𝜕𝛼
= −𝛿𝑥 (𝛼̅ 𝑥 𝑢𝑠 ) + 𝛿𝑦 (𝛼̅ 𝑦 𝑣𝑠 )
𝜕𝑡
,
(17.1.44)
což je výsledné hledané schéma.
17.2 Sadournyho schéma
Kvadraticky konzervativní aproximace, které jsme studovali v předchozí části, se sice
mohou použít pro všechny prognostické proměnné a dostaneme tím stabilní schémata. Ve
skutečnosti jsou vhodné zejména pro aproximaci advekce skalárních veličin. Z hlediska
hydrodynamických invariantů je pro aproximaci advekce pole větru vhodné použít poněkud
složitější přístup. Schéma vhodné pro aproximaci advekce větru pochází od Sadournyho [9] a
je založeno na zákonu zachování absolutní potenciální vorticity a též jejího kvadrátu,
absolutní potenciální enstrophie. V jeho v článku je formulováno pro rovnice mělké vody.
Toto schéma je velmi zdařilé.
Zobecnění tohoto schématu pro baroklinní atmosféru jsem použil v modelu počítaném
v létech 1987 – 1994 v ČHMU. Toto schéma bylo použito také v provozním modelu
PERIDOT francouzské meteorologické služby, o čemž pojednáme dále. Z hlediska zákonů
zachování Sadournyho schéma zachovává absolutní potenciální vorticitu pro rovnice mělké
vody, což je 𝜂/ℎ a její čtverec nazývaný absolutní potenciální enstrophií. Zde použijeme
stejná označení, jako v kapitole 5. Rovnice mělké vody.
Formulaci rovnic pro zapsání schématu ještě trochu upravíme. Zavedeme složky toku
hmoty, neboli složky vektoru proudové hustoty, označené velkými písmeny vztahy
𝑈 = ℎ𝑢 a 𝑉 = ℎ𝑣
(17.2.1)
Absolutní vorticitu označíme obvyklým písmenem 𝜂 , je tedy
278
𝜂=
𝜕𝑣 𝜕𝑢
−
+𝑓
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(17.2.2)
Absolutní potenciální vorticitu označme
𝜂
𝜕𝑣 𝜕𝑢
𝑣𝑜𝑟 = = ( −
+ 𝑓) /ℎ
ℎ
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(17.2.3)
Rovnice mělké vody pro aproximaci s přihlédnutím ke vztahům 𝑣𝜂 = 𝑉. 𝑣𝑜𝑟 , 𝑢𝜂 = 𝑈. 𝑣𝑜𝑟
napíšeme ve tvaru
𝜕𝑢
𝜕
(gh + 𝐾) = 0
− 𝑉. 𝑣𝑜𝑟 +
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕
(gh + 𝐾) = 0
+ 𝑈. 𝑣𝑜𝑟 +
𝜕𝑡
𝜕𝑦
(17.2.4)
(17.2.5)
kde K je kinetická energie
𝐾 = (𝑢2 + 𝑣 2 )/2
Φ je geopotenciál volné hladiny, tedy Φ = 𝑔ℎ
Divergence je
𝐷=
(17.2.6)
𝜕𝑢 𝜕𝑣
+
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(17.2.7)
Rovnici kontinuity (23) můžeme psát pro explicitní schéma v divergentním tvaru
𝜕ℎ 𝜕
𝜕
(𝑢ℎ) +
(𝑣ℎ) = 0
+
𝜕𝑡 𝜕𝑥
𝜕𝑦
(17.2.8)
Pro aproximaci rovnic aproximaci použijeme c-síť v Arakawově klasifikaci sítí.
Nyní již můžeme přikročit k aproximaci rovnic. Složky toku hmoty (25) aproximujeme
vztahy
𝑈 = ℎ̅ 𝑥 𝑢 a 𝑉 = ℎ̅ 𝑦 𝑣
(17.2.9)
absolutní potenciální vorticitu (26) aproximujeme
𝑣𝑜𝑟 = (𝛿𝑥 𝑣 − 𝛿𝑦 𝑢 + 𝑓)/ℎ̅ 𝑥𝑦
(17.2.10)
Poznamenejme, že hodnoty Coriolisova parametru máme tabelovány ve všech uzlových
bodech, tedy i v uzlech posunutých sítí, proto nejsou nikde průměrovány. Divergenci
𝐷 = 𝛿𝑥 𝑢 + 𝛿𝑦 𝑣
(17.2.11)
Aproximace rovnic (17.2.4.) a (17.2.5), která zachovává potenciální enstrophii má tvar
𝜕𝑢
− 𝑉̅ 𝑥𝑦 𝑣𝑜𝑟
̅̅̅̅̅ 𝑦 + 𝛿𝑥 (Φ + 𝐾) = 0
𝜕𝑡
(17.2.12)
𝜕𝑣
̅ 𝑥𝑦 𝑣𝑜𝑟
+𝑈
̅̅̅̅̅ 𝑥 + 𝛿𝑦 (Φ + 𝐾) = 0
𝜕𝑡
(17.2.13)
kde kinetická energie z hlediska zákonů zachování musí být aproximována vztahem
279
̅̅̅2 𝑥 + 𝑣
̅̅̅2 𝑦 ) /2
𝐾 = (𝑢
(17.2.14)
Zbývá nám ještě aproximovat rovnici kontinuity, která splňuje zákony zachování. Ta může
mít různý tvar. Nejjednodušší je vyjít z rovnice v divergentním tvaru. Pak taková aproximace
má velmi jednoduchý přirozený tvar
∂Φ
+ 𝛿𝑥 𝑈 + 𝛿𝑦 𝑉 = 0
𝜕𝑡
(17.2.15)
Diferenční schéma (17.2.12) a (17.2.13) je z hlediska meteorologie tak výhodné, protože je
to schéma kvadraticky konzervativní, které ovšem zachovává důležitý hydrodynamický
invariant absolutní potenciální vorticitu a její kvadrát, který se nazývá absolutní potenciální
enstrophií. To ovšem je zde formulováno pro rovnice mělké vody, tedy pro barotropní
atmosféru. Princip důkazu tohoto tvrzení je následující. Stejným způsobem, jako se odvozuje
rovnice vorticity derivováním ve spojitém případě, použijeme stejný postup na diferenční
úrovni. Na diferenční aproximace rovnic aplikujeme místo derivací jim odpovídající
diferenční operátory a odvodíme tak diferenční analogii rovnice vorticity.
Na rovnici (17.2.13) aplikujeme operator 𝛿𝑥 a odečteme od ní rovnici (17.2.12) na níž
jsme aplikovali operátor 𝛿𝑦 . Vzhledem k tomu, že 𝛿𝑥𝑦 = 𝛿𝑦𝑥 členy s diskrétním gradientem
se vyruší a vzhledem k tomu, že 𝑣𝑜𝑟. ℎ̅ 𝑥𝑦 = 𝛿𝑥 𝑣 − 𝛿𝑦 𝑢 + 𝑓 a derivace Coriolisova
parametru podle času je rovna nule máme
𝜕
̅ 𝑥𝑦 𝑣𝑜𝑟
(𝑣𝑜𝑟. ℎ̅ 𝑥𝑦 ) + 𝛿𝑥 (𝑈
̅̅̅̅̅ 𝑥 ) + 𝛿𝑦 (𝑉̅ 𝑥𝑦 𝑣𝑜𝑟
̅̅̅̅̅ 𝑦 ) = 0
𝜕𝑡
(17.2.16)
Což je diskrétní analogie rovnice vorticity v divergenčním tvaru. Z čehož vyplývá zákon
zachování střední hodnoty absolutní potenciální vorticity ve vertikálním sloupci tekutiny.
Kombinací této rovnice s diferenční analogií rovnice kontinuity průměrované ve směru os x,y
𝜕 𝑥𝑦
̅ 𝑥𝑦 ) + 𝛿𝑦 (𝑉̅ 𝑥𝑦 ) = 0
(ℎ̅ ) + 𝛿𝑥 (𝑈
𝜕𝑡
(17.2.17)
Snadno nahlédneme, že pro derivace platí vztah
𝜕
𝜕
𝜕ℎ
(𝑣𝑜𝑟 2 ℎ) = 2𝑣𝑜𝑟 (𝑣𝑜𝑟. ℎ) − 𝑣𝑜𝑟 2
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑡
(17.2.18)
Diferenční analogii tohoto vztahu můžeme psát ve tvaru
2𝑣𝑜𝑟𝛿𝑥 (𝑣𝑜𝑟
̅̅̅̅̅ 𝑥 ℎ) − 𝑣𝑜𝑟 2 𝛿𝑥 = 𝛿𝑥 (𝑣𝑜𝑟
̃ 𝑥 2 ℎ)
,
(17.2.19)
𝑥2
kde 𝑣𝑜𝑟
̃
znamená čtverec geometrického průměru, tedy vlastně součin obou veličin.
Násobíme-li rovnici (17.2.16) koeficientem 2. 𝑣𝑜𝑟 a odečteme od ní rovnici kontinuity
(17.2.17) násobenou čtvercem absolutní potenciální vorticity 𝑣𝑜𝑟2 s použitím předchozích
dvou vztahů dostaneme
𝜕
̃2 𝑥 𝑈
̃2 𝑦 𝑉̅ 𝑥𝑦 ) = 0
̅ 𝑥𝑦 ) + 𝛿𝑦 (𝑣𝑜𝑟
(𝑣𝑜𝑟 2 ℎ̅ 𝑥𝑦 ) + 𝛿𝑥 (𝑣𝑜𝑟
𝜕𝑡
(17.2.20)
Což ukazuje, že schéma je kvadraticky konzervativní. Kdybychom v rovnicích změny
hybnosti členy s vorticitou průměrovali následovně
280
𝜕𝑢 ̅̅̅̅̅̅̅̅
− 𝑉̅ 𝑥 𝑣𝑜𝑟 𝑦 + 𝛿𝑥 (Φ + 𝐾) = 0
𝜕𝑡
(17.2.21)
𝜕𝑣 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅ 𝑦 𝑣𝑜𝑟 𝑥 + 𝛿𝑦 (Φ + 𝐾) = 0
+𝑈
𝜕𝑡
(17.2.22)
Dostáváme schéma, které zachovává celkovou energii. Toto schéma není pro meteorologii
nejvýhodnější, protože v meteorologii je rozhodující rotační část větru. Divergenční část větru
je spojená s gravitačními vlnami, jejichž amplituda je proto v modelech potlačována.
Literatura:
[1] Bryan Kirk: A Scheme for Numerical Integration of the Equations of Motion on an
Irregular grid Free of Nonlinear Instability. Monthly Weather Review Vol. 94, 1966, s. 39-40.
[2] Gadd A. J.: A numerical sdvection scheme with small phase speed errors, Qurt. J. R. Met.
Soc. Vol. 104, (1978), s. 583-594.
[3] Grammeltvedt Arne: A Survey of the Finite-Difference Schemes for the Primitive
Equations for a Barotropic Fluid. Monthly Weather Review Vol. 97, 1969, s. 384-404.
[4] Kurihara Y.,Holloway J. L.: Numerical Integration of a Nine-Level Global Primitive
Equations Model Formulated by the Box Method, Monthly Weather Review Vol. 95, 1967,
s.509-530.
[5] Kvasnica Josef: Matematický aparát fyziky. ČSAV, Academia, Praha 1989.
[6] Lax Peter: Hyperbolic Systems of Conservations Laws II. Communications on Pure and
Applied Mathematics Vol. X, (1957) s. 537-566.
[7] Lax Peter, Wenroff Burton: Systems of Conservation Laws. Communications on Pure and
Applied Mathematics Vol. XIII, (1960), s. 217-237.
[8] Richtmyer Robert. D., Morton K.W.: Difference Methods for Initial-Value Problems,
INTERSCIENCE PUBLISHERS OF John Wiley & Sons, 1967.
[9] Sadourny Robert: The Dynamics of Finite-Difference Models of the Shallow-Water
Equations, Journal of Atmospheric Sciences Vol. 32, (1975), s. 680-689.
281
18. Eulerovský baroklinní model v hydrostatickém přiblížení
Úvod
V tomto úvodu chci navázat na kapitolu 13. „Vlnové pohyby v atmosféře“ a vysvětlit,
proč při současné numerické předpovědi počasí se stále používají modely s hydrostatickou
aproximací, ve kterých je rovnice hybnosti ve vertikálním směru zjednodušena na pouhé dva
členy a redukována tedy na rovnici hydrostatické rovnováhy. Tato skutečnost je dána
v podstatě tvarem oblasti fyzikální úlohy synoptické předpovědi. Vrstva vzduchu na naší
planetě totiž tvoří vzhledem k rozměrům Země jen velmi tenkou vrstvu nad povrchem Země.
Proto i výpočetní oblast modelů na omezené oblasti, označovaných zkratkou LAM (z
anglického Limited Area Model) má tvar tenké obdélníkové desky. Pro přesnější představu
měla oblast modelu, na které jsem zkoušel různé techniky aproximace horizontální rozměr
přibližně čtverec o straně 6 000 km. Ve vertikálním směru byl sice použit 𝜎-systém, ale
tloušťku skutečné atmosféry můžeme odhadnout na 20 km. To znamená, že horizontální
rozměr oblasti výpočtu v km má poměr 1 : 300 a oblast výpočtu má skutečně tvar tenké
destičky. Další skutečností je, že i v modelech s orografií se používají horizontální složky
větru a gradientu tlaku a model bych v tomto případě nazval kvazi-horizontální. Synoptické
vertikální rychlosti jsou v modelu s hydrostatickou aproximací dány divergencí
horizontálního větru, nezahrnují také tepelnou konvekci, jejíž rozměry jsou menší, než je
rozlišení výpočetní sítě. Tepelná konvekce nemůže tudíž být v modelu ani adekvátně popsána.
Přesný popis konvekce by vzhledem k nemožnosti předpovědi polohy, kde se konvektivní
výstupní proud vyskytne, nemá proto ani smysl. Tato skutečnost vyplývá z prací o tepelné
konvekci Edvarda Lorenze. Konvekce je tedy v modelech v podstatě vždy parametrizací, kdy
se odstraňuje instabilita teplotního zvrstvení atmosféry, tím, že se přebytečné teplo přenáší
směrem vzhůru. Řešení rovnic nehydrostatických, tedy modelů plně stlačitelné atmosféry
naráží zejména na problém, že ve vertikálním směru se vyskytují zvukové vlny, jejichž fázová
rychlost je velká (přibližně 300 m /s). Pro explicitní schéma by vzhledem k CFL kritériu
stability výpočtu bylo třeba volit časový krok řádově sekundy, což by na současných
počítačích bylo z hlediska výpočetního času neúnosné. Časové změny prognostických veličin
v jednotlivých časových krocích by byly také velmi malé, což by vyžadovalo dostatečnou
přesnost výpočtů. Tato přesnost by však pro současné superpočítače nebyla asi problémem.
Pro efektivnost výpočtů musí být tedy aproximace zvukových vln implicitní. Podle mého
názoru, používá-li se i v modelech s orografií zjednodušení, že místo skutečného větru a
gradientu tlaku se používá pouze jejich průmět do horizontální roviny, tedy horizontální vítr a
horizontální gradient tlaku, nebudou se výsledky modelu s hydrostatickou aproximací a s plně
stlačitelnou atmosférou od sebe významně lišit. Toto zjednodušení je adekvátní stejně pouze
pro hydrostatické modely. Je dobré si také všimnout, že modely, které jsou v provozu pro
každodenní předpověď počasí, používají až na výjimky hydrostatickou aproximaci. Na vývoji
nehydrostatických modelů sice pracuje, což je motivováno také prestiží. Myslím si však, že
tyto modely se uplatní spíše pro jiné účely, jako je modelování konvektivní bouřky, nebo
tropické cyklóny, než pro synoptickou předpověď počasí. I když jsem se vývojem
nehydrostatických modelů rovněž zabýval, není podle mého názoru vyřešen problém
správného zahrnutí orografie do nehydrostatického modelu tak, aby umožnil jeho
jednoduchou a efektivní numerickou realizaci. To je také důvod, proč se nehydrostatické
282
modely pro každodenní předpověď většinou neužívají a i my se v dalším budeme zabývat
pouze předpovědními modely v hydrostatické aproximaci.
18.1. Řídící rovnice modelu v 𝝈-systému vertikální souřadnice
V této kapitole si formulujeme řídící rovnice baroklinního modelu v hydrostatickém
přiblížení v 𝜎-systému vertikální souřadnice pro model na omezené oblasti. Tyto modely jsou
označovány zkratkou LAM, což zkracuje Limited Area Model. Formulaci řídících rovnic
provedeme jednak pro Eulerovský model, ale zároveň s ní také modifikaci těchto rovnic pro
semi-Lagrangeovský způsob časové integrace. Porovnání obou způsobů integrace je poučné a
docela zajímavé. Zásadní rozdíl ve formulaci rovnic spočívá v tom, že pro Eulerovský model
se pro aproximaci používají rovnice ve tvaru zákona zachování, tedy v divergentním tvaru,
zatímco pro semi-Lagrangeovskou aproximaci se používají rovnice v advekčním tvaru. Za
vertikální souřadnici jsem zvolil Phillipsův 𝜎-systém, protože je hojně používaný a princip
aproximací na základě zákonů zachování je v něm nejnázornější. Výklad v p-systému by byl
archaický, neboť se v prognostických modelech v současnosti již nepoužívá. Zároveň je také
poněkud zavádějící, protože rovnice kontinuity neobsahuje časovou derivaci, a v důsledku
toho ve stejném objemu vyjádřeném v souřadnicích p-systému je vždy stejné množství hmoty
atmosféry. Advekční tvar pro složky větru je proto možné přepsat do divergentního tvaru pro
libovolnou veličinu, například pro složky rychlosti. V 𝜎-systému to není možné, což odpovídá
tomu, že příslušný zákon zachování není pro složky rychlosti, ale pro složky hybnosti. Postup
časové integrace takto formulovaného modelu si včetně semi-implicitního schématu
probereme do všech detailů, včetně vysvětlení správné formulace výpočetního schématu.
Formulace předloženého modelu také navazuje na výklad transformace z p-systému do 𝜎systému a zpět, který je popsán v 8. Kapitole.
Označení proměnných a konstant modelu
V modelu používáme následující označení proměnných a konstant:
Nezávisle proměnné:
x, y jsou pravoúhlé souřadnice na konformní mapě
t čas
𝜎 = 𝑝⁄𝑝𝑠 vertikální souřadnice (𝑥, 𝑦, 𝜎) tvoří 𝜎-systém vertikálních souřadnic),
kde p je tlak a 𝑝𝑠 je tlak na povrchu země (na orografické ploše)
(v programech je tlak 𝑝𝑠 často označovaný PN, jako tlak normalizační)
Konstanty a funkce použité v modelu:
a = 6 371 229 m je poloměr zemské sféry
den = 86 164 sec délka hvězdného dne
𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠 2 tíhové zrychlení země
Ω=𝜋⁄43 082 = 7.292123 ∙ 10−5 je úhlová rychlost otáčení Země
 zeměpisná šířka
𝑓(𝑥, 𝑦) = 2Ω sin 𝜑 Coriolisův parametr
𝑚(𝑥, 𝑦) koeficient zkreslení konformní mapy
283
𝑠(𝑥, 𝑦) = 𝑚2 (𝑥, 𝑦) čtverec zkreslení mapy
R = 287 [𝐽 𝑘𝑔−1 𝐾 −1 ] plynová konstanta pro suchý vzduch
𝑐𝑝 = 1004 [𝐽 𝑘𝑔−1 𝐾 −1 ] specifické teplo suchého vzduchu při konstantním tlaku
𝜅 = 𝑅 ⁄𝑐𝑝 = 0.286
c je koeficient útlumu divergence horizontálního větru
Poznámka: Při pohybu Země kolem Slunce je délka roku 365.25 dne což v sekundách je
𝑑 = 365.25 ∗ 24 ∗ 3600 = 315 576 600 s. Vzhledem ke hvězdám má ovšem rok o jednu
otáčku více, tedy 366.25 otáčky. Délka času jedné otáčky je proto kratší a je rovna
𝑑 ⁄366.25 = 86 164 𝑠. Tato hodnota dává skutečnou rychlost otáčení Země.
Prognostické proměnné:
𝑢∗ , 𝑣 ∗ jsou horizontální složky skutečného větru na Zemi. (Připomínám, že jsou
definovány pomocí souřadnic x, y konformní mapy a koeficientu zkreslení mapy m
1
1
vztahy 𝑢∗ = 𝑚 𝑑𝑥/𝑑𝑡, 𝑣 ∗ = 𝑚 𝑑𝑦/𝑑𝑡, a koeficient zkreslení mapy je definován
jako poměr m=délka na mapě/skutečné délce)
𝑢 = 𝑢∗ ⁄𝑚 , 𝑣 = 𝑣 ∗ ⁄𝑚 horizontální složky modelového vektoru větru v.
(Předchozí vztah můžeme považovat za definici modelového větru. Pro výpočet
pohybu částic na mapě potřebujeme při semi-Lagrangeově metodě rychlost částice
na mapě. Složky této rychlosti jsou (𝑠𝑢, 𝑠𝑣), kde 𝑠 = 𝑚2.
V západní literatuře se používá označení obráceně. 𝑢∗ , 𝑣 ∗ je tedy modelový vítr, ten se
používá v programech na počítači, kde jej jednoduše označíme u, v.
𝑃𝑁𝐿𝐺 = ln 𝑝𝑠 přirozený logaritmus tlaku na povrchu orografické plochy
𝑈 = 𝑝𝑠 𝑢, 𝑉 = 𝑝𝑠 𝑣 jsou složky vektoru toku hmoty, neboli složky vektoru proudové
hustoty, tyto složky jsou tedy také úměrné složkám hybnosti
T absolutní teplota
Q směšovací poměr vodní páry
Diagnostické proměnné:
Φ = 𝑔𝑧 je geopotenciál a z je výška nad hladinou moře
𝑃 = Φ + 𝑅𝑇 ∗ ln 𝑝𝑠 potom ∇𝑃 je lineární část horizontálního gradientu tlaku
𝜎̇ =𝑑𝜎⁄𝑑𝑡 zobecněná vertikální rychlost
𝐾 = (𝑢2 + 𝑣 2 )/2 kinetická energie modelového větru
Diferenciální operátory použité v modelu:
třídimensionální individuální časová změna
𝑑
𝜕
𝜕
𝜕
= 𝑠 (𝑢
+ 𝑣 ) + 𝜎̇
𝑑𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝜎
horizontální individuální časová změna
𝑑𝐻
𝜕
𝜕
= 𝑠 (𝑢
+𝑣 )
𝑑𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
vyjádření individuální změny v semi-Lagrangeovském schématu s dvojrozměrnou
interpolací v  - vrstvách a na  - ploše kde  =1.
𝑑
𝑑𝐻
𝜕
=
+ 𝜎̇
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝜕𝜎
284
divergence horizontálního větru
𝜕𝑢 𝜕𝑣
𝑑 = 𝑠( + )
𝜕𝑥 𝜕𝑦
Hamiltonův operátor
∇= [
𝜕 𝜕
, ]
𝜕𝑥 𝜕𝑦
Laplaceův operátor
∇2 =
𝜕2
𝜕2
+
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2
Proměnné pro Eulerovské a Sadournyho schéma:
relativní vorticita
𝜉 = 𝑠(
𝜕𝑣 𝜕𝑢
− )
𝜕𝑥 𝜕𝑦
absolutní vorticita
𝜂 =𝜉+𝑓
absolutní potenciální vorticita pro barotropní atmosféru 𝑣𝑜𝑟 = 𝜂/𝑝𝑠
kinetická energie skutečného větru
𝑠(𝑢2 + 𝑣 2 )
𝐸=
= 𝑠𝐾
2
𝑑𝑝
vertikální rychlost v p-systému
𝜔 = 𝑑𝑡
Derivováním vztahu 𝑝 = 𝜎𝑝𝑠 dostaneme
𝑑𝑝
𝑑𝑝𝑠
𝜕
𝜔=
= 𝑝𝑠 𝜎̇ + 𝜎
= 𝑝𝑠 (𝜎̇ + 𝜎 ln 𝑝𝑠 ) + 𝜎𝑝𝑠 𝑠𝐯∇ ln ps
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝜕𝑡
lineární část 𝜔/𝑝𝑠 označme w neboli
𝜕
𝑤 = 𝜎̇ + 𝜎 ln 𝑝𝑠
𝜕𝑡
a individuální změnu tlaku můžeme psát ve tvaru
𝜔 = 𝑝𝑠 𝑤 + 𝜎𝑝𝑠 𝑠𝐯∇ ln ps
18.2. Divergentní tvar rovnic v 𝝈-systému vertikální souřadnice, kde
horizontální souřadnice x, y tvoří kartézský systém na konformní mapě
Rovnice dynamické meteorologie jsou obvykle formulovány pro individuální změnu
určitých fyzikálních veličin. Takové fyzikální veličiny, které jsou funkcemi polohy a času,
označme písmenem F. Funkce F tedy nechť popisuje určitou fyzikální vlastnost částice,
například rychlost, teplotu, vlhkost i jiné veličiny, která se pohybuje v prostoru. Funkce F se
v časovém průběhu, při kterém se částice pohybuje, mění, mění se ovšem vnějšími vlivy,
285
které můžeme shrnout do zdrojové funkce zdroj. Rovnici pro individuální změnu veličiny F,
popisující časovou změnu určité konkrétní částice můžeme tedy napsat ve tvaru
𝑑𝐹
= 𝑧𝑑𝑟𝑜𝑗
𝑑𝑡
(18.2.1)
Připomeňme zde, že časová individuální změna se týká částice, která se skládá stále ze
stejných molekul hmoty. Tedy hmotnost částice se při přenosu nemění a rovnici proto
můžeme považovat vztaženou k jednotce hmoty. Popisuje tedy časovou změnu hodnoty F pro
částici jednotkové hmotnosti, kterou považujeme za bod, přesněji umísťujeme do určitého
bodu. Na rozdíl od dynamické meteorologie, kde se používá lokální systém souřadnic, a
nebere se v úvahu zakřivení povrchu Země, v předpovědních metodách je ignorovat
nemůžeme. Protože se naše studium týká zejména modelů na omezené oblasti, volíme jako
souřadnice kartézský systém souřadnic na konformní mapě. Rozepíšeme-li individuální
změnu do Eulerova rozvoje v tomto systému souřadnic, máme
𝑑𝐹 𝜕𝐹
𝜕𝐹
𝜕𝐹
𝜕𝐹
=
+ 𝑠 (𝑢
+ 𝑣 ) + 𝜎̇
= 𝑧𝑑𝑟𝑜𝑗
𝑑𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝜎
(18.2.2)
Funkce čtverec zkreslení mapy 𝑠(𝑥, 𝑦) nezávisí na čase t, ani na vertikální souřadnici 𝜎, proto
můžeme zavést následující označení. Nechť vektor v, má složky
𝐯 = (𝑢, 𝑣, 𝜎̇ /𝑠).
(18.2.3)
Pak můžeme (18.2.2) napsat stručněji
𝜕𝐹
= 𝑠𝐯. 𝛁𝐹 = 𝑧𝑑𝑟𝑜𝑗
𝜕𝑡
(18.2.4)
kde 𝜕𝐹/𝜕𝑡 vyjadřuje lokální změnu dané veličiny vztaženou na jednotku hmoty, tedy
𝜕
𝜕
𝜕
v Eulerově smyslu, a v rovnici (18.2.3) je operátor ∇= (𝜕𝑥 , 𝜕𝑦 , 𝜕𝜎). Zdrojová funkce proto
musí vyjadřovat změnu rovněž vztaženou k jednotce hmoty. Zdrojovou funkcí zde máme na
mysli nejen parametrizace fyzikálních dějů, ale i ostatní členy rovnic, které nepopisují
advekci. Jsou to například Coriolisovy členy, gradient tlaku a tření v rovnicích změny
hybnosti, v termodynamické větě 𝜔𝛼 člen a člen přítoku tepla atd. Všimněme si, že je to
právě advekční tvar, ve kterém se změny týkají částice jednotkové hmoty.
Druhou možností je napsat rovnice v divergentním tvaru. Zde musíme chápat fyzikální
veličiny vztažené ne k jednotce hmoty, ale k množství hmoty obsažené v jednotce objemu.
Objem zde musíme ovšem chápat v zobecněném smyslu, tedy objem v použitém systému
souřadnic. Tedy kvádr, jehož hrany jsou rovnoběžné s osami ortogonálního systému souřadnic
a jejichž délky jsou Δ𝑥, Δ𝑦, Δ𝜎 má v 𝜎-systému objem Δ𝑥. Δ𝑦. Δ𝜎. Vezmeme-li však ještě
v úvahu, že souřadnice x, y jsou ortogonálními souřadnicemi na konformní mapě, jejíž
zkreslení je m a jehož kvadrát jsme označili s, pak skutečné délky hran kvádru jsou
𝑚Δ𝑥, 𝑚Δ𝑦, a skutečný objem tohoto kvádru bude 𝑠. Δ𝑥. Δ𝑦. Δ𝜎. Všimněme si ještě souřadnice
𝜎, protože tato souřadnice je bezrozměrná, má objem tohoto kvádru rozměr pouze čtverečního
metru. Studujme nyní svislý sloupec atmosféry jednotkového průřezu v souřadnicích x, y.
Nechť tedy Δ𝑥. Δ𝑦 = 1. Zajímá nás množství hmoty v tomto sloupci, respektive v jeho
286
řezech o tloušťce Δ𝜎. Z hydrostatické rovnice pro malé hodnoty přírůstků proměnných
můžeme psát
∆𝑝
= −𝜌∆𝑧. 𝑠
𝑔
(18.2.5)
Kde pravá strana rovnice je násobena čtvercem zkreslení mapy s, aby objem na prvé straně
byl skutečným objemem a jeho skutečná hmotnost je pak 𝜌∆𝑧. 𝑠. Neboť ∆𝑝 = 𝑝𝑠 ∆𝜎, odtud
máme že, vrstva o síle Δ𝜎 svislého sloupce má hmotnost rovnu Δ𝜎𝑝𝑠 /(𝑠𝑔). V 𝜎-systému má
celý svislý sloupec atmosféry o jednotkovém průřezu Δ𝑥. Δ𝑦 = 1 objem rovný jedné, neboť
v tomto případě je Δ𝜎 = 1. Jeho hmotnost je proto rovna 𝑝𝑠 /(𝑠𝑔). Konstanty tíhového
zrychlení Země g se v rovnicích zbavíme jednoduše tím, že je vynásobíme g. Konstanta
tíhového zrychlení zde vyjadřuje pouze rozdíl mezi jednotkami hmotnosti a váhy
v gravitačním poli Země.
Při tomto přístupu je logické že je třeba fyzikální veličiny chápat odpovídajícím
způsobem. Rychlost jako hybnost jednotky hmoty, teplotu jako úměrnou vnitřní energii… Je
tedy jasné, že chceme-li popisovat změny veličin vztažené k hmotě obsažené v jednotce
objemu, musíme do rovnic zahrnout i časové změny množství hmoty v studovaném objemu.
Tyto změny jsou vyjádřeny rovnicí kontinuity, která se v 𝜎-systému obvykle píše ve tvaru
𝜕𝑝𝑠
𝜕
𝜕
𝜕
(𝑝𝑠 𝑣)) +
(𝑝 𝜎̇ ) = 0
+ 𝑠 ( (𝑝𝑠 𝑢) +
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝜎 𝑠
(18.2.6)
Vidíme, že pravá strana není v divergentním tvaru, ale vzhledem k tomu, že čtverec zkreslení
mapy s, není funkcí času, ani vertikální souřadnice 𝜎, můžeme rovnici napsat ve tvaru
𝜕 𝑝𝑠
𝜕
𝜕
𝜕
𝜎̇
(𝑝𝑠 𝑢) +
(𝑝𝑠 𝑣) +
( )+
(𝑝𝑠 ) = 0
𝜕𝑡 𝑠
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝜎
𝑠
(18.2.7)
Což je již v divergentním tvaru. Vzhledem k volbě vektoru v (18.2.3) můžeme tuto rovnici
napsat také vektorově
𝜕 𝑝𝑠
( ) + ∇(𝑝𝑠 𝐯) = 0
𝜕𝑡 𝑠
(18.2.8)
Nyní již můžeme rovnici (18.2.2) nebo (18.2.4) napsat v divergentním tvaru. Rovnici advekce
v advekčním tvaru (18.2.2) násobíme 𝑝𝑠 /𝑠 a přičteme k ní rovnici kontinuity (18.2.7)
násobenou F dostáváme
𝜕 𝑝𝑠 𝐹
𝜕
𝜕
𝜕 𝑝𝑠 𝜎̇ 𝐹
𝑝𝑠
(𝑝𝑠 𝑢𝐹) +
(𝑝𝑠 𝑣𝐹) +
(
)+
(
) = 𝑧𝑑𝑟𝑜𝑗
𝜕𝑡 𝑠
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝑠
𝑠
(18.2.9)
vektorový zápis je ovšem stručnější
𝜕 𝑝𝑠 𝐹
𝑝𝑠
(
) + ∇(𝑝𝑠 𝐯𝐹) = 𝑧𝑑𝑟𝑜𝑗
𝜕𝑡 𝑠
𝑠
(18.2.10)
Poznamenejme ještě, že když rovnici (18.2.9) násobíme s, pak dostaneme rovnici k ní
ekvivalentní v obvyklém tvaru
287
𝜕
𝜕
𝜕
𝜕
(𝑝𝑠 𝐹) + 𝑠 ( (𝑝𝑠 𝑢𝐹) +
(𝑝𝑠 𝑣𝐹)) +
(𝑝 𝜎̇ 𝐹 ) = 𝑝𝑠 𝑧𝑑𝑟𝑜𝑗
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝑠
(18.2.11)
a také, že když v této rovnici položíme funkci F =1, a zdroj=0 dostaneme rovnici kontinuity.
Časová změna veličiny 𝑝𝑠 𝐹/𝑠 vyjadřuje změnu veličiny F vztaženou k jednotce objemu,
neboli zahrnuje též změnu množství hmoty v jednotce objemu. Všimněme si ještě, že i
hodnota zdrojové funkce na pravé straně rovnice je násobena 𝑝𝑠 /𝑠, nebo ve tvaru (18.2.11)
přízemním tlakem 𝑝𝑠 .
Položme nyní zdrojovou funkci rovnu nule, tedy 𝑧𝑑𝑟𝑜𝑗 = 0 a studujme nyní vlastnosti
řešení rovnice advekce v divergentním tvaru na oblasti G, do které vzduch ani nevtéká, ani
z ní nevytéká. Normálová rychlost ke hranici S této oblasti je tedy rovna nule. Podle
Gaussovy věty (18.1.32) , kde za vektorové pole A vezmu 𝑝𝑠 𝐯𝐹, dostáváme, pro integrál přes
oblast G
∭ 𝑝𝑠 𝐯𝐹 𝑑𝑉 = 0
(18.2.12)
Integrujeme-li tedy rovnici (18.2.10) pro 𝑧𝑑𝑟𝑜𝑗 = 0 . Pak podle (17.2.12) dostáváme, že též
𝜕
𝑝𝑠 𝐹
∭(
) 𝑑𝑉 = 0
𝜕𝑡
𝑠
(18.2.13)
Tento zákon nám říká, že střední hodnota 𝑝𝑠 𝐹/𝑠 se s časem nemění.
Násobíme-li rovnici advekce (18.2.2) za předpokladu, že zdrojová funkce je rovna
nule 2F, dostaneme pro časovou změnu F2 rovněž rovnici advekce
𝑑 2
𝐹 =0
𝑑𝑡
(18.2.14)
Když tuto rovnici násobíme rovněž 𝑝𝑠 /𝑠 a přičteme k ní rovnici kontinuity (18.2.8)
násobenou F2 dostaneme rovnici pro advekci F2 v divergentním tvaru
𝜕 𝑝𝑠 𝐹 2
(
) + ∇(𝑝𝑠 𝐯𝐹 2 ) = 0
𝜕𝑡
𝑠
(18.2.15)
Odtud stejně jako v předchozím případě pro F dostáváme zákon zachování středního kvadrátu
veličiny F na oblasti G ve tvaru
𝜕
𝑝𝑠 𝐹 2
∭(
) 𝑑𝑉 = 0
𝜕𝑡
𝑠
(18.2.16)
Předchozí vztahy nám říkají, že řešení rovnice advekce je kvadraticky konzervativní.
Diferenční schéma, které bude splňovat diskrétní analogii těchto vztahů je pak stabilní.
Vztah (18.2.15) můžeme obdržet z rovnice advekce F v divergentním tvaru (18.2.10) tímto
umělejším způsobem. Rovnici (18.2.10) násobíme 2F a odečteme od ní rovnici kontinuity
násobenou F2. Pomocí vztahu (18.1.7) snadno obdržíme (18.2.15).
288
18.3 Řídící rovnice ve tvaru pro Sadournyho schéma
V tomto odstavci si doplníme některé vztahy, abychom zobecnili Sadournyho schéma
formulované pro rovnice mělké vody, pro rovnice baroklinního modelu v hydrostatickém
přiblížení. Naše zobecnění se týká dvou skutečností. První zobecnění spočívá v jeho
formulaci pro třírozměrný model v 𝜎-systému, toto zobecnění se tedy týká vertikální struktury
modelu. Druhé zobecnění spočívá v přechodu od roviny k povrchu Země použitím souřadnic
konformní mapy a tedy zavedení metrických koeficientů.
Řídící rovnice v diferenciálním tvaru splňují pro celou řadu veličin zákony zachování.
Po jejich aproximaci již nedokážeme, aby jejich diskrétní tvar všechny tyto zákony, které
splňují diferenciální rovnice, rovněž splňoval. Je proto třeba z hlediska meteorologie vybrat ty
nejvhodnější nejdůležitější veličiny, které mají být na diskrétní úrovni zachovány. Pro rovnice
mělké vody jsme viděli, že to může být absolutní potenciální vorticita a její kvadrát, absolutní
potenciální enstrophie. Pro rovnice mělké vody takové schéma pochází od Sadournyho [6],
které jsme studovali v kapitole 16. Sadourny také ukázal, že pro studovaný model je
zachování potenciální vorticity a enstrophie mnohem lepší, než například zachování kinetické
energie, nebo i přímo hybnosti. My toto schéma zobecníme pro baroklinní model. Prezentuji
zde schéma, které bylo použito v provozním modelu v Českém hydrometeorologickém ústavu
[1], kde bylo v provozu od 15. dubna 1988 do příchodu nového modelu ALADIN v druhé
polovině devadesátých let. Toto schéma je velice zdařilé. Později, v roce 1992 jsem po
obdržení technické zprávy o modelu PERIDOT [5], když jsem pracoval v týmu ALADIN
v Méteo France v Toulouse zjistil, že obdobné schéma bylo úspěšně použito i ve
francouzském modelu PERIDOT. Bylo také zřejmě použito i při vývoji globálního
diferenčního modelu v ECMWF, kde nahradilo složitější Arakawovo schéma, zachovávající
navíc i kinetickou energii, které mělo určité problémy [4]. Další vývoj diferenčního
globálního modelu zřejmě dlouho nepokračoval, protože pro globální modely se ukázala
efektivnější spektrální technika řešení. Zobecnění Sadournyho schématu pro broklinní
atmosféru funguje velice dobře a zcela jistě by je bylo možné používat v modelech na
omezené oblasti, modelech označovaných LAM (limited area model). Náš výklad začneme
formulací rovnice pro změnu zjednodušené potenciální vorticity, která je splněna pro
barotropní atmosféru.
Pro formulaci zobecněného Sadournyho schématu si zaveďme toto označení.
Relativní vorticitu označme
𝜕𝑣 𝜕𝑢
𝜉 = 𝑠( − )
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(18.3.1)
absolutní vorticitu
𝜂 =𝜉+𝑓
absolutní potenciální vorticitu pro barotropní atmosféru
𝑣𝑜𝑟 = 𝜂/𝑝𝑠
kinetická energii skutečného větru
𝑠(𝑢2 + 𝑣 2 )
𝐸=
= 𝑠𝐾
2
(18.3.2)
(18.3.3)
289
(18.3.4)
vertikální rychlost v p-systému
𝜔=
𝑑𝑝
𝑑𝑡
(18.3.5)
Derivováním vztahu 𝑝 = 𝜎𝑝𝑠 dostaneme
𝑑𝑝
𝑑𝑝𝑠
𝜕
𝜔=
= 𝑝𝑠 𝜎̇ + 𝜎
= 𝑝𝑠 (𝜎̇ + 𝜎 ln 𝑝𝑠 ) + 𝜎𝑝𝑠 𝑠𝐯∇ ln ps
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝜕𝑡
(18.3.6)
lineární část 𝜔/𝑝𝑠 označme w neboli
𝑤 = 𝜎̇ + 𝜎
𝜕
ln 𝑝𝑠
𝜕𝑡
(18.3.7)
a individuální změnu tlaku můžeme psát ve tvaru
𝜔 = 𝑝𝑠 𝑤 + 𝜎𝑝𝑠 𝑠𝐯∇ ln ps
(18.3.8)
Pro odvození rovnice vorticity vyjdeme z rovnic hybnosti ve tvaru
𝑑𝑢
𝜕𝑢
𝜕
𝜕
1
(𝐸 + Φ) + 𝑅𝑇 ln 𝑝𝑠 = 𝐹𝑥
+ 𝜎̇
− 𝜂𝑣 +
𝑑𝑡
𝜕𝜎
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝑚
(18.3.9)
𝑑𝑣
𝜕𝑣
𝜕
𝜕
1
(𝐸 + Φ) + 𝑅𝑇 ln 𝑝𝑠 = 𝐹𝑦
+ 𝜎̇
+ 𝜂𝑢 +
𝑑𝑡
𝜕𝜎
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝑚
(18.3.10)
Nyní postupujeme obvyklým způsobem. Od rovnice pro změnu 𝜕𝑣⁄𝜕𝑡 derivované podle x
odečteme rovnici pro změnu 𝜕𝑢⁄𝜕𝑡 derivovanou podle y a výslednou rovnici násobíme
čtvercem zkreslení mapy s. Dostaneme tak vztah
𝑑𝜂
+ 𝜂𝑑 + 𝐵 = 0
𝑑𝑡
(18.3.11)
kde
𝜕𝜎̇ 𝜕𝑣 𝜕𝜎̇ 𝜕𝑢
𝐵 = 𝑠(
−
)
𝜕𝑥 𝜕𝜎 𝜕𝑦 𝜕𝜎
(18.3.12)
Člen B je vzhledem k ostatním členům rovnice malý a většinou se zanedbává. Proto rovnici
vorticity pro náš baroklinní model můžeme psát ve tvaru
𝑑𝜂
+ 𝜂𝑑 = 0
𝑑𝑡
(18.3.13)
Zde absolutní vorticita 𝜂 není ještě hydrodynamickým invariantem. Tím je absolutní
potenciální vorticita, jejíž vyjádření je poměrně složité a nehodí se proto pro zobecnění
290
Sadournyho schématu. Ukážeme si však, že veličina 𝜂⁄𝑝𝑠 je přibližně hydrodynamickým
invariantem obdobným potenciální vorticitě pro barotropní atmosféru. Abychom odvodili
časovou individuální změnu veličiny 𝜂⁄𝑝𝑠 aplikujeme na tuto veličinu operátor 𝑑 ⁄𝑑𝑡
dostaneme
𝑑 𝜂
1 𝑑𝜂 𝜂 𝑑𝑝𝑠
( )= ( −
)
𝑑𝑡 𝑝𝑠
𝑝𝑠 𝑑𝑡 𝑝𝑠 𝑑𝑡
(18.3.14)
Vzhledem k tomu že přízemní tlak 𝑝𝑠 nezávisí na 𝜎, je 𝜕𝑝𝑠 ⁄𝜕𝜎 = 0 a rovnici kontinuity
můžeme napsat ve tvaru
1 𝑑𝑝𝑠
𝜕𝜎̇
+𝑑+
=0
𝑝𝑠 𝑑𝑡
𝜕𝜎
(18.3.15)
S použitím rovnice kontinuity dostane rovnice (17.3.14) tvar
𝑑 𝜂
𝜂 𝜕𝜎̇
( )=
𝑑𝑡 𝑝𝑠
𝑝𝑠 𝜕𝜎
(18.3.16)
Pravá strana této rovnice je rovněž velmi malá. Když ji zanedbáme, dostáváme, že veličina
𝜂⁄𝑝𝑠 je přibližně také hydrodynamickým invariantem, který zde budeme rovněž nazývat
absolutní potenciální vorticitou, přesněji absolutní potenciální vorticitou pro barotropní
atmosféru. Všimněme si také, že je shodná s absolutní potenciální vorticitou pro rovnice
mělké vody, tedy pro divergentní barotropní model, neboť pro nestlačitelnou atmosféru, kde
hustota 𝜌 je konstantní je výška této atmosféry úměrná přízemnímu tlaku. Odtud vyplývá také
její název.
Shrnutí rovnic pro formulaci Sadournyho diferenčního schématu
Nyní si shrneme systém řídících rovnic ve tvaru pro aproximaci zachovávající absolutní
potenciální vorticitu (která je přesně splněna pro barotropní atmosféru) a její kvadrát absolutní
potenciální enstrophii. Pro zkrácení zápisu použijeme složky toku hmoty definované vztahy
𝑈 = 𝑝𝑠 𝑢, 𝑉 = 𝑝𝑠 𝑣
(18.3.17)
Připomeňme ještě vztah pro absolutní potenciální vorticitu vor, který použijeme pro
aproximaci ve tvaru
𝜕𝑣 𝜕𝑢
𝑣𝑜𝑟 = (𝑠 ( − ) + 𝑓)⁄𝑝𝑠
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(18.3.18)
Pro semi-implicitní schéma je třeba oddělit lineární a zbytkovou nelineární část rovnic.
Všimněme si proto, že horizontální gradient tlaku se skládá z dvou členů, z nichž druhý člen
je nelineární, protože je v něm součin teploty T a logaritmu přízemního tlaku
𝜕Φ
𝜕
+ 𝑅𝑇 ln 𝑝𝑠
𝜕𝑥
𝜕𝑥
(18.3.19)
proto druhý člen horizontálního gradientu tlaku rozdělíme na lineární část, pro kterou
zavedeme funkci P vztahem
𝑃 = Φ + 𝑅𝑇 ∗ ln 𝑝𝑠
(18.3.20)
291
Kde 𝑇 ∗ je referenční profil absolutní teploty atmosféry, který je funkcí pouze souřadnice 𝜎,
pro semi-implicitní schéma se obvykle volí konstantní teplota 300 K.
Protože se zabýváme formulací dynamické části modelu, tedy bez parametrizací, zdrojové
funkce na prvých stranách rovnic položíme rovny nule. Rovnice pro časovou změnu hybnosti
(18.3.9) a (18.3.10) budou mít po těchto úpravách nyní tvar
𝑑𝑢
𝜕𝑢
𝜕
𝜕
(𝐸 + 𝑃) + 𝑅(𝑇 − 𝑇 ∗ ) ln 𝑝𝑠 = 0
+ 𝜎̇
− 𝑣𝑜𝑟 𝑉 +
𝑑𝑡
𝜕𝜎
𝜕𝑥
𝜕𝑥
(18.3.21)
𝑑𝑣
𝜕𝑣
𝜕
𝜕
(𝐸 + 𝑃) + 𝑅(𝑇 − 𝑇 ∗ ) ln 𝑝𝑠 = 0
+ 𝜎̇
+ 𝑣𝑜𝑟𝑈 +
𝑑𝑡
𝜕𝜎
𝜕𝑦
𝜕𝑦
(18.3.22)
Rovnici kontinuity a termodynamickou větu napíšeme také v divergentním tvaru.
Protože 𝑝𝑠 nezávisí na 𝜎 můžeme rovnici kontinuity (18.2.6) psát ve tvaru
𝜕𝑝𝑠
𝜕𝑈 𝜕𝑉
𝜕𝜎̇
+ 𝑠 ( + ) + 𝑝𝑠
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝜎
(18.3.23)
Termodynamickou větu (1.2.14) musíme upravit také do divergentního tvaru
𝑐𝑝
𝑑𝑇
= 𝜔𝛼 + 𝑞̇
𝑑𝑡
(18.3.24)
kde 𝑞̇ je přítok tepla na jednotku hmoty od parametrizací. Pro dynamickou část modelu
klademe přítok tepla nulový, tedy 𝑞́ = 0. Divergentní tvar této rovnice obdržíme tak, že tuto
rovnici násobíme přízemním tlakem 𝑝𝑠 a přičteme k ní rovnici kontinuity násobenou T,
dostaneme vztah tvaru (18.2.11) pro veličinu F=T po vydělením 𝑝𝑠 máme
𝑐𝑝
𝜕𝑇 𝑠 𝜕
𝜕
𝜕
(𝑉𝑇)) +
(𝜎̇ 𝑇) = 𝜔𝛼
+ ( (𝑈𝑇) +
𝜕𝑡 𝑝𝑠 𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝜎
(18.3.20)
Poslední rovnicí je rovnice hydrostatické rovnováhy, kterou použijeme ve tvaru
𝜕Φ
= −𝑅𝑇
𝜕 ln 𝜎
(18.3.21)
18.4 Aproximace rovnic modelu
Aproximace rovnic v Eulerově tvaru vychází ze zákonů zachování. Aproximace
nelineární advekce se většinou odvozuje stejně jako zákony zachování pro diferenciální
rovnice z Gaussovy věty. Proto i na diskrétní úrovni diferenční rovnice splňují vybrané
zákony zachování přesně, což je ve srovnání se semi-Lagrangeovskými schématy jejich
výhoda. Diskrétní model je tedy jakousi obdobou modelu popsanému diferenciálními
rovnicemi, které aproximuje. Můžeme se na něj proto dívat také tak, že přímo modeluje děje v
atmosféře, protože sám odpovídá zákonům, které platí v atmosféře.
Výpočetní síť pro časovou integraci modelu
V horizontální rovině použijeme jako základní sít pravidelnou čtvercovou síť na
obdélníkové oblasti v rovině konformní mapy, jejíž strany jsou rovnoběžné s osami souřadnic
292
x, y. Krok v síti ∆𝑥 = ∆𝑦 nechť je ve směru souřadných os stejný. Na této základní síti jsou
zadávány hodnoty geopotenciálu, teploty, přízemního tlaku divergence i zobecněné vertikální
rychlosti. Rozmístění složek větru nechť odpovídá C-síti. Vorticita je umístěna ve středech
čtverců základní sítě. Obrázek 18.1.
Obrázek 18.1 V 𝜎-hladinách a vrstvách je použita C-síť
Na vertikální ose je třírozměrná oblast omezena na interval 0 ≤ 𝜎 ≤ 1, kde 𝜎 = 1 tvoří dolní
hranici oblasti povrch Země. Ve vertikálním směru je oblast rozdělena na K vrstev (layer).
Tyto vrstvy od sebe odděluje a tvoří tedy jejich dolní a horní hranici, K+1 hladin (level)
konstantního 𝜎, jejichž hodnoty jsou zadány
𝜎1 = 0 < 𝜎2 < 𝜎3 <
< 𝜎𝐾 < 𝜎𝐾+1 = 1
(18.4.1)
𝜎-hladiny tvoří spolu s horizontální C-sítí třírozměrnou síť, která po vertikále nemá
konstantní délku kroku. Ve vertikálním směru jsou v uzlech 𝜎-hladin zadávány hodnoty
geopotenciálu Φ a hodnoty vertikální rychlosti 𝜎̇ . Uvnitř vrstev jsou vlastně zadány průměrné
hodnoty proměnných: složek rychlosti u, v, absolutní teploty T, směšovacího poměru vodní
páry, ale i odvozených veličin vorticity, horizontální a třídimensionální divergence. Body, ke
kterým se tyto hodnoty na vertikální ose vztahují, nemusí být ve vertikálním směru v daném
bodě horizontální sítě na vertikální ose definovány. Jsou to jednoduše hodnoty ve vrstvách.
Obrázek 18. 2.
293
Obrázek 18.2. Ve vertikálním směru je použita střídavá síť. Na obrázku je znázorněno
rozmístění proměnných v 𝜎-hladinách a vrstvách.
Modely ECMWF označují v publikacích vrstvy (layer) celými indexy, tedy například
𝑘 = 1, 2, … , 𝐾 − 1, 𝐾, zatímco hladiny konstantního 𝜎 indexy lomenými tedy
𝑙 = 1⁄2, 1 + 1⁄2 , 2 + 1⁄2 , … . , 𝐾 − 1⁄2, 𝐾 + 1⁄2 . V programech se ovšem lomené
indexy pro střídavá schémata nepoužívají, proto jsou 𝜎-hladiny indexovány buď od nuly do
K, nebo což je použito v našich modelech indexování od 1 di K+1. Vrstvy jsou indexovány
od 1 do K.
Aproximace horizontálního gradientu tlaku
Aproximaci začneme odvíjet od aproximace horizontálního gradientu tlaku, který je
třeba aproximovat odpovídajícím způsobem. V z-systému a v p-systému je horizontální
gradient tlaku vyjádřen jedním členem a žádný problém nevzniká. V 𝜎-systému, ale i
v ostatních systémech vertikální souřadnice kopírujících terén je situace jiná. V 𝜎-systému je
horizontální gradient tlaku vyjádřen dvěma členy −∇Φ − 𝛼∇𝑝 . Tyto členy mají opačná
znaménka, a jejich rozdíl, zejména v místech, kde orografická plocha má spád, je ve srovnání
s velikostí členů malý. Na obrázku 18.3 vidíme, že 𝑝1 > 𝑝2 a zároveň Φ1 < Φ2 .
294
Obrázek 18.3 K určení znamének členů horizontálního gradientu tlaku.
Odtud v tomto případě je 𝜕Φ⁄𝜕𝑥 ≈ (Φ2 − Φ1 )/∆𝑥 > 0 a zároveň 𝜕𝑝⁄𝜕𝑥 ≈ (𝑝2 − 𝑝1 )/∆𝑥 <
0. Při nevhodné aproximaci gradientu vzniká velká chyba. Protože měrný objem je vždy
kladný, mají uvažované členy opačná znaménka. Také je zřejmé, že čím má 𝜎-plocha větší
spád jsou oba členy větší. Pro aproximaci ovšem musíme nahradit měrný objem, jehož
hodnotu získáme ze stavové rovnice ∝= 𝑅𝑇⁄𝑝 = 𝑅𝑇⁄𝜎𝑝𝑠 a horizontální gradient píšeme ve
tvaru
−∇Φ − 𝛼∇𝑝 = −∇Φ − 𝑅𝑇∇ ln 𝑝𝑠
(18.4.2)
Aproximuji-li horizontální gradient tlaku ze tří uzlových bodů, kde hodnotu absolutní teploty
T vezmu v prostředním bodě, tedy
𝑥
̅̅̅𝑥 𝑥 Φ − 𝑅𝑇𝛿
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
−𝛿
(18.4.3)
𝑥 𝑙𝑛 𝑝𝑠
je tato aproximace zcela chybná. První, kdo si této situace všiml, byl N. Phillips při studiu
výsledků všeobecného cirkulačního modelu vypracovaném v USA pod vedením
Smagorinského. Ten pro odstranění chyby navrhl lokálně transformovat geopotenciál do psystému a v tomto systému horizontální gradient spočítat. Ke stejné aproximaci došel také
Corby [3]. Aproximace pak vyplynula z požadavku, aby pro profil teploty lineární vzhledem
k logaritmu tlaku a nulový horizontální gradient v p-systému dala aproximace v 𝜎-systému
rovněž nulovou hodnotu.
Nyní si všimněme techniky výpočtu horizontálního gradientu tlaku pomocí lokální
transformace do p-systému. Ukážeme si ji pro složku gradientu ve směru osy x. Pro zvýšení
obecnosti nemusíme vertikální lokální interpolaci geopotenciálu provádět vzhledem
k proměnné tlaku p, jak to dělal Smgorinsky, ale k libovolné monotónní funkci ℎ(𝑝) tlaku p.
Vhodná funkce je ovšem ℎ(𝑝) = ln 𝑝, vzhledem k logaritmu tlaku je teplota většinou lineární
funkcí. Lineární transformace geopotenciálu do lokálního p-systému je znázorněna na
obrázku 18. 4.
295
Obrázek 18.4 Aproximace horizontálního gradientu tlaku lokální transformací do p-systému.
Do p-systému si zakresleme 𝜎-plochu. Pro výpočet horizontálního gradientu tlaku použijeme
hodnoty geopetenciálu Φ, teploty T a logaritmu tlaku h ve dvou sousedních uzlových bodech
na 𝜎-ploše. Tyto body označme indexy 1 a 2. Prostředku úsečky mezi body 1 a 2 ježící na 𝜎ploše, ve kterém gradient počítáme, odpovídá logaritmus tlaku který je aritmetickým
průměrem logaritmů tlaku h v bodě 1 a 2, tedy ℎ̅𝜎 = (ℎ1 + ℎ2 )⁄2. Interpolace tedy probíhá
vzhledem k logaritmu tlaku h do tlakové hladiny 𝑝 = 𝑒𝑥𝑝(ℎ̅𝜎 ). Hodnoty geopotenciálu v této
tlakové hladině v bodech 1 a 2 označme Φ1 ∗ a Φ2 ∗ . Pro interpolaci je třeba znát hodnoty
derivací geopotenciálu podle h. Tyto hodnoty nám dá hydrostatická rovnice
𝜕Φ
= −𝑅𝑇
𝜕ℎ
(18.4.4)
Hodnoty geopotenciálu pro výpočet horizontálního gradientu tlaku v lokálním p-systému tedy
jsou
∂Φ
Φ1 ∗ = Φ1 + (ℎ̅𝜎 − ℎ1 ) ( )
𝜕ℎ 1
(18.4.5)
∂Φ
Φ2 ∗ = Φ2 + (ℎ̅𝜎 − ℎ1 ) ( )
𝜕ℎ 2
(18.4.6)
Pomocí hydrostatické rovnice (18.4.4) je přepíšeme do tvaru
Φ1 ∗ = Φ1 − 𝑅𝑇1 (ℎ2 − ℎ1 )/2
(18.4.7)
∗
Φ2 = Φ2 + 𝑅𝑇2 (ℎ2 − ℎ1 )/2
(18.4.8)
Připomeňme, že pravé strany předchozích rovnic jsou v 𝜎-systému. Dále platí
(ℎ2 − ℎ2 )⁄∆𝑥 = 𝛿𝑥 ℎ = 𝛿𝑥 ln 𝑝 = 𝛿𝑥 ln(𝜎𝑝𝑠 ) = 𝛿𝑥 ln 𝑝𝑠
(18.4.9)
Odečtením (18.4.7) od (18.4.8) a dělením Δ𝑥 dostáváme aproximaci horizontálního tlaku
296
(
𝜕Φ
Φ2 ∗ − Φ1 ∗ Φ2 − Φ1
𝑇1 + 𝑇2 ℎ2 − ℎ1
) ≈
=
+𝑅
𝜕𝑥 𝑝
∆𝑥
Δ𝑥
2
Δ𝑥
(18.4.10)
Výslednou aproximaci můžeme s použitím (18.4.9) psát ve tvaru
𝜕Φ
( ) ≈ 𝛿𝑥 Φ + 𝑅𝑇̅ 𝑥 𝛿𝑥 ln 𝑝𝑠
𝜕𝑥 𝑝
(18.4.11)
Tato aproximace horizontálního gradientu tlaku je vzhledem k rozmístění proměnných
konstruována pro C-síť.
Napíšeme-li analogii této aproximace pro standardní A-síť, můžeme ji napsat ve tvaru
𝜕Φ
𝑥
̅̅̅̅̅̅
̅ 2𝑥 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅𝑥
( ) ≈𝛿
𝑥 Φ + 𝑅𝑇 𝛿𝑥 ln 𝑝𝑠
𝜕𝑥 𝑝
(18.4.12)
Právě k této aproximaci dospěl Corby [9] již zmíněným jiným způsobem. K aproximaci na
standardní A-síti, je třeba poznamenat, že průměrování teploty do prostředního bodu je velmi
důležité. Když teplotu průměrovanou podle x nahradíme teplotou v prostředním uzlovém
bodě, dostaneme chybné výsledky. V teplotě se mohou vyskytovat vlny délky 2Δ𝑥 a výsledek
je pak zcela jiný. Poznamenejme zde, že ve spektrálním modelu tento problém nehrozí,
protože nejkratší vlny jsou uřezáváním odstraněny.
Aproximace řídících rovnic modelu
Nyní napíšeme aproximace rovnic (18.3.17) až (18.3.22). Tato aproximace je obdobou
Sadournyho aproximace popsané v kapitole 16. „Aproximace rovnice advekce“. Začneme je
aproximací proměnných vyskytujících se v řídících rovnicích. Složky toku hmoty jsou
umístěny v uzlových bodech složek rychlostí a jejich aproximace jsou
𝑈 = 𝑝̅𝑠 𝑥 𝑢,
𝑉 = 𝑝̅𝑠 𝑦 𝑣
(18.4.13)
Kinetickou energii umístěnou v uzlových bodech základní sítě je třeba, aby absolutní
potenciální vorticita splňovala zákony zachování přesně, aproximovat následovně
𝑦
̅̅̅2 𝑥 + ̅̅̅
𝐸 = 𝑠 (𝑢
𝑣 2 )⁄2
(18.4.14)
Absolutní potenciální vorticita je umístěna ve středech čtverců základní sítě následovně
𝑣𝑜𝑟 = (𝑠(𝛿𝑥 𝑣 − 𝛿𝑦 𝑢) + 𝑓)⁄𝑝̅𝑠 𝑥𝑦
(18.4.15)
Aproximace rovnic modelu napíšeme tak, že od sebe oddělíme lineární část, která je v semiimplicitním schématu vyhodnocována implicitně a zbytkem aproximovaným explicitně.
V modelech je obvyklé, generovat semiimplicitní schéma tak, že nejdříve vypočteme hodnotu
v následujícím časovém kroku explicitním schématem, a výsledek pak opravíme na hodnotu
vypočtenou semiimplicitním schématem procedurou nazývanou semiimplicitní korekcí. Ta je
založena ovšem na řešení složité soustavy lineárních rovnic. Tento postup má řadu výhod,
například správnost funkce semiimplicitního schématu můžeme zkontrolovat srovnáním
výsledků integrace explicitním a semiimplicitním schématem. Podle mé zkušenosti obě
schémata dávají stejné výsledky, efektivnost semiimplicitního schématu je však několikrát
větší. Abychom semi-impicitní korekci mohli použít beze změn pro Eulerovské i semiLagrageovské modely, použijeme netradičně některá označení používaná v semiLagrangeovských modelech i pro modely Eulerovské. V obou případech je třeba od sebe
297
oddělit lineární část rovnic popisující gravitační vlny aproximovanou semiimplicitně a zbytek
aproximovaný explicitně. Abychom byli konkrétnější, uvažujme evoluční úlohu ve tvaru
𝑑𝑧
= 𝐹𝑧
𝑑𝑡
(18.4.16)
kde nelineární operátor pravé strany rovnice rozdělíme na dvě části. Na lineární část Lz která
popisuje rychle se pohybující gravitační vlny a na nelineární část Nz která zahrnuje ostatní
členy. Tato část popisuje pouze relativně pomalu se pohybující Rossbyho vlny a v Eulerovské
versi modelu také advekci. Můžeme tedy psát
𝐹𝑧 = 𝐿𝑧 + 𝑁𝑧
(18.4.17)
Časová aproximace obkročného schématu vztahu (18.4.16) je v Eulerovských schématech
zapisována vztahem
̅̅̅̅
𝛿𝑡 𝑧 𝑡 = 𝐹𝑧
(18.4.18)
My ji však zapíšeme ve stejném tvaru jako pro semi-Lagrangeovská schémata. Explicitní
obkročné schéma pro úlohu (18.4.16) zapíšeme následovně
𝑧 + 𝑒𝑥𝑝𝑙 − 𝑧 −
= 𝐹𝑧 = 𝐿𝑧 + 𝑁𝑧
2Δ𝑡
(18.4.19)
+
Pro Eulerovské schéma jsou všechny veličiny ve stejném uzlovém bodě a 𝑧 je hodnota
z v čase 𝑡 + Δ𝑡 a 𝑧 − je z v čase 𝑡 − Δ𝑡. Pravá strana rovnice je v čase t. Hodnotu 𝑧 +
vypočtenou explicitním schématem (18.4.19) jsme označili indexem expl, tedy 𝑧 + 𝑒𝑥𝑝𝑙 ,
hodnotu vypočtenou semiimplicitním schématem označujeme jednoduše 𝑧 + , tedy bez indexu.
Zavedeme-li časové průměrování s tak zvaným decentingem, kde 0 ≤ 𝜀 ≤ 1. Obvykle se
používá malá hodnota 𝜀 pro zvýšení stability schématu a filtraci krátkých vln. Pro hodnotu
𝜀 = 0 dostáváme lichoběžníkové schéma a pro 𝜀 = 1 dostáváme zpětné implicitní schéma.
Decetring je vyložen v kapitole 11, vztah (11.21). Časové průměrování zavedeme vztahem
𝑧̅ = ((1 + 𝜀)𝑧 + + (1 − 𝜀)𝑧 − )⁄2
(18.4.20)
kde 𝑧̅ je průměrovaná hodnota. Semi-implicitní schéma můžeme pak napsat ve tvaru
𝑧+ − 𝑧−
= 𝐿𝑧̅ + 𝑁𝑧
2Δ𝑡
(18.4.21)
Poznamenejme, že v semi-Lagrageovském schématu znamená vztah (17.4.20) trochu něco
jiného. Hodnota 𝑧 + je umístěna v příchozím bodě trajektorie, který je uzlovým bodem.
Hodnota 𝑧 − je však umístěna do výchozího bodu trajektorie a nelineární člen do středu
trajektorie.
Aproximace řídících rovnic explicitním schématem.
Pro rovnice časové změny horizontálních složek větru použijeme Sadournyho aproximaci
𝑢+ 𝑒𝑥𝑝𝑙 − 𝑢−
= 𝐿𝑢 + 𝑁𝑢
2∆𝑡
(18.4.22)
𝐿𝑢 = −𝛿𝑥 𝑃
̅̅̅̅̅
1 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑝𝑠 𝜎̇ 𝑥 ∆𝑢𝜎
𝑁𝑢 = −𝑅(𝑇 − 𝑇 ∗ )𝛿𝑥 (ln 𝑝𝑠 ) + 𝑣𝑜𝑟
̅̅̅̅̅ 𝑦 𝑉̅ 𝑥𝑦 − 𝛿𝑥 𝐸 − 𝑥
𝑝̅𝑠
∆𝜎
298
𝑣 + 𝑒𝑥𝑝𝑙 − 𝑣 −
= 𝐿𝑣 + 𝑁𝑣
2∆𝑡
(18.4.23)
𝐿𝑣 = −𝛿𝑦 𝑃
𝑁𝑣 = −𝑅(𝑇 −
𝑇 ∗ )𝛿𝑦 (ln 𝑝𝑠 )
𝑥 ̅ 𝑥𝑦
+ 𝑣𝑜𝑟
̅̅̅̅̅ 𝑈
̅̅̅̅̅
1 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑝𝑠 𝜎̇ 𝑦 ∆𝑣 𝜎
− 𝛿𝑦 𝐸 − 𝑦
𝑝̅𝑠
∆𝜎
Rovnici kontinuity v napsanou zde v divergentním tvaru
𝑝𝑠 + 𝑒𝑥𝑝𝑙 − 𝑝𝑠 −
∆(𝑝𝑠 𝜎̇ )
= −𝑠(𝛿𝑥 𝑈 + 𝛿𝑦 𝑉) −
2∆𝑡
∆𝜎
(18.4.24)
upravíme pro semiimplicitní schéma tak, že ji vydělíme přízemním tlakem 𝑝𝑠 a napíšeme v
advekčním tvaru pro ln 𝑝𝑠 , čímž se u třírozměrné divergence zbavíme činitele 𝑝𝑠 a ta pak
představuje lineární členy
(ln 𝑝𝑠 )+ 𝑒𝑥𝑝𝑙 − (ln 𝑝𝑠 )−
∆𝜎̇
=−
− 𝑑 − 𝑁𝑐
2∆𝑡
∆𝜎
(18.4.25)
Lineární část pravé strany rovnice kontinuity je tedy
∆𝜎̇
𝐿𝑐 = −
−𝑑
∆𝜎
(17.4.26)
kde 𝑁𝑐 je nelineární člen advekce rovnice kontinuity
𝑠
𝑥
̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅𝑦
𝑁𝑐 = (𝑢𝛿
𝑥 𝑝𝑠 + 𝑣𝛿𝑦 𝑝𝑠 )
𝑝𝑠
(18.4.27)
a d je divergence horizontálních složek větru
𝑑 = 𝑠(𝛿𝑥 𝑢 + 𝛿𝑦 𝑣)
(18.4.28)
Protože w obsahuje derivaci podle času, musíme rozlišovat mezi hodnotami explicitního
schématu 𝑤𝑒𝑥𝑝𝑙 a hodnotami v semiimplicitním schématu w, Rovnice kontinuity pro
semiimplicitní schéma pak píšeme ve tvaru
∆𝑤𝑒𝑥𝑝𝑙
= −𝑑 − 𝑁𝑐
∆𝜎
(18.4.29)
kde
(ln 𝑝𝑠 )+ 𝑒𝑥𝑝𝑙 − (ln 𝑝𝑠 )−
𝑤𝑒𝑥𝑝𝑙 = 𝜎̇ + 𝜎
2∆𝑡
(18.4.30)
Termodynamickou větu aproximujeme následovně
𝑇 + 𝑒𝑥𝑝𝑙 − 𝑇 − 𝜅𝑇 ∗
𝜎
= ∗ 𝑤
̅̅̅̅̅̅̅
𝑒𝑥𝑝𝑙 + 𝑁𝑇
2∆𝑡
𝜎
(18.4.31)
kde aproximace nelineární části pravé strany termodynamické věta je
299
𝑁𝑇 = −
1
𝑝𝑠
𝜎
̅̅̅̅̅̅̅̅
̇
𝑝
𝜅(𝑇 − 𝑇 ∗ )
𝑠 𝜎Δ𝑇
𝜎
+
− 𝑝𝑠
𝑤
̅̅̅̅̅̅̅
𝑒𝑥𝑝𝑙 ]
Δ𝜎
𝜎∗
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅ 𝑥 𝛿𝑥 (ln 𝑝𝑠 )𝑥 + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
−𝜅𝑠(𝑈𝑇
𝑣𝑇̅ 𝑦 𝛿𝑦 (ln 𝑝𝑠 )𝑦 )
̅̅̅̅̅̅̅ 𝑥
[𝑠(𝑈𝛿𝑥 𝑇
𝑦
̅̅̅̅̅̅̅
𝑉𝛿
𝑦𝑇 ) +
a kde
1
Δ ln 𝜎
=
𝜎∗
Δ𝜎
(18.4.30)
V aproximaci termodynamické věty je nelineární člen energeticky konsistentní s aproximací
horizontálního gradientu tlaku, práce tohoto gradientu tlaku je rovna omega-alfa členu
termodynamické věty.
Diferenční analogii hydrostatické rovnici můžeme psát ve tvaru
ΔΦ
= −𝑅𝑇
Δ ln 𝜎
(18.4.31)
Nebo také v ekvivalentním tvaru
ΔΦ
𝑅𝑇
=− ∗
Δσ
𝜎
(18.4.32)
Aproximace řídících rovnic semiimplicitním schématem
Semiimplicitní aproximace rovnic pro časovou změnu horizontálních složek větru jsou
𝑢+ − 𝑢−
= 𝐿𝑢̅ + 𝑁𝑢
2∆𝑡
(18.4.33)
+
−
𝑣 −𝑣
= 𝐿𝑣̅ + 𝑁𝑣
2∆𝑡
(18.4.34)
Semi-implicitní aproximace rovnice kontinuity je
(ln 𝑝𝑠 )+ − (ln 𝑝𝑠 )−
∆𝜎̇̅
=−
− 𝑑̅ − 𝑁𝑐
2∆𝑡
∆𝜎
(18.4.35)
pro realizaci ji použijeme ve tvaru
∆𝑤
= −𝑑̅ + 𝑁𝑐
∆𝜎
(18.4.36)
kde
(ln 𝑝𝑠 )+ − (ln 𝑝𝑠 )−
̅
𝑤 = 𝜎̇ + 𝜎
2∆𝑡
Semiimplicitní aproximace termodynamické věty má pak tvar
𝑇 + − 𝑇 − 𝜅𝑇 ∗ 𝜎
= ∗ 𝑤
̅ + 𝑁𝑇
2∆𝑡
𝜎
(18.4.37)
Aproximace hydrostatické rovnice, která je pouze diagnostickým vztahem, zůstává stále
stejná
300
∆Φ
= −𝑅𝑇
Δ ln 𝜎
(18.4.38)
Semiimplicitní korekce
Semiimplicitní korekce nám opraví explicitní schéma na schéma semiimplicitní. Formulujme
si nyní semiimplicitní opravu aproximace pro evoluční úlohu (18.4.16). Odečteme-li od
semiimplicitní aproximace (18.4.21) explicitní aproximaci (18.4.19) dostáváme vztah pro
semiimplicitní opravu ve tvaru
𝑧 + − 𝑧 + 𝑒𝑥𝑝𝑙
= 𝐿(𝑧̅ − 𝑧)
2Δ𝑡
(18.4.39)
+ −
Kde lineární kombinaci hodnot 𝑧 , 𝑧 , 𝑧 označujeme jako 𝜏𝑧 a tedy je
1+𝜀 + 1−𝜀 −
𝜏𝑧 = 𝑧̅ − 𝑧 =
𝑧 +
𝑧 −𝑧
2
2
(18.4.40)
Korekční člen na pravé straně rovnice pak můžeme psát ve tvaru 𝐿(𝜏𝑧).V modelech ECMWF
se pro semiimplicitní část používá lichoběžníkové schéma, pro které je 𝜀 = 0 a tedy
1
𝑧̅ = (𝑧 + + 𝑧 − )⁄2 V tomto případě má korekční člen tvar 𝐿𝜏𝑧 = 2 (𝑧 + − 2𝑧 + 𝑧 − ) a je
násobkem diferenční aproximace druhé derivace. V tomto případě korekční člen zapisují ve
1
tvaru 2 𝐿Δ𝑡𝑡 𝑧.
Semiimplicitní schéma můžeme tedy provésti ve dvou krocích. Jako první krok
provedeme výpočet hodnot z v následujícím časovém kroku explicitním schématem. Tyto
hodnoty označujeme 𝑧 + 𝑒𝑥𝑝𝑙 . Ty obdržíme z rovnic
𝑧 + 𝑒𝑥𝑝𝑙 = 𝑧 − + 2Δ𝑡 𝐹𝑧
(18.4.41)
Jako druhý krok provedeme semiimplicitní opravu, která je dána vztahy
𝑧 + = 𝑧 + 𝑒𝑥𝑝𝑙 𝑧 − + 2Δ𝑡𝐿𝜏𝑧
(18.4.42)
+
+
Separujeme-li od sebe hodnoty 𝑧 a hodnoty dané explicitně, dostaneme pro 𝑧 soustavu
lineárních rovnic,
(1 − Δ𝑡𝐿(1 + 𝜀))𝑧 + = 𝑧 + 𝑒𝑥𝑝𝑙 + Δ𝑡𝐿((1 − 𝜀)𝑧 − − 2𝑧)
(18.4.43)
Shrnutí rovnic pro semiimplicitní korekci
Korekce explicitního schématu na schéma semiimplicitní je dána těmito vztahy
𝑢+ = 𝑢+ 𝑒𝑥𝑝𝑙 − 2Δ𝑡𝛿𝑥 𝜏𝑃
(18.4.44)
+
+
𝑣 = 𝑣 𝑒𝑥𝑝𝑙 − 2Δ𝑡𝛿𝑦 𝜏𝑃
(18.4.45)
Δ
(𝑤 − 𝑤𝑒𝑥𝑝𝑙 ) = −𝜏𝑑
Δ𝜎
(18.4.46)
∗
𝜅𝑇
𝑇 + = 𝑇 + 𝑒𝑥𝑝𝑙 = 2Δ𝑡 ∗ (𝑤
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
− 𝑤𝑒𝑥𝑝𝑙 𝜎 )
𝜎
(18.4.47)
∆Φ
= −𝑅𝑇
Δ ln 𝜎
(18.4.48)
301
Tuto soustavu rovnic můžeme řešit buď vzhledem k 𝜏𝑃, nebo 𝜏𝑑. Myslím, že lepší volba je
řešit soustavu vzhledem 𝜏𝑑. Řešení je pak obdobné řešení semiimplicitní korekce pro semiLagrangeovské schéma.
Literatura:
[1] Baťka M: Czech Hydrometeorological Institute Limited-Area Operational Forecast
Model. Studia geograph. et geod. 35. (1991) s. 109-124.
[2] Baťka M, Tran Thuc Nam: LIMITED-AREA FORECASTING MODEL BASED ON
SEMI-LAGRANGIAN SEMI-IMPLICIT SCHEME LEADING TO SOLVING THE
SEPARABILE ELLIPTIC EQUATIONS, Studia geograph. et geod. 48. (2004) s. 811-828.
[3] Corby G. A., Gilchrist A., Newson R. L.: A general circulation model of the atmosphere
suitable for long period integrations. Quart. J. R. Met. Soc. (1972), 98, pp. 809-832.
[4] Hollingsworth A., Kållberg P., Renner V., Burridge D. M.: An internal symmetric
computational instability. Quart. J. R. Met .Soc. (1983) 109, pp. 417-428
[5] Imbard. M, Joly A, Juvanon du Vachat R: Le modele prevision numerique PERIDOT,
formulation dynamique et modes de fonctionnement. Technická zpráva No 161
[6] Sadourny Robert: The Dynamics of Finite-Difference Models of the Shallow-Water
Equations, Journal of Atmospheric Sciences Vol. 32, (1975), s. 680-689.
302
19. Semi-Lagrangeovské baroklinní modely v hydrostatickém
přiblížení
Nyní si popíšeme semi-Lagrangeovský model s časově tří-hladinovou aproximací a
s použitím dvoudimensionální interpolací prognostických proměnných ve vrstvách. Schéma
s interpolací pouze v horizontální rovině je odpovídající pro modely v hydrostatické
rovnováze, protože zde jsou synoptické vertikální rychlosti malé, neomezují proto většinou
délku časového kroku. Vertikální advekce se pak počítá stejně jako v Eulerovském modelu,
což má také určitou výhodu, neboť pak vertikální advekce splňuje přesně zákony zachování i
v diskrétním případě. Označení proměnných i aproximace rovnic, které nejsou modifikovány
semi-Lagrangeovskou metodou zůstávají stejné jako v Eulerovském modelu. Celá koncepce
projektu a zejména její nejsložitější části, semiimplicitní opravy explicitního schématu je
provedena tak, aby se bez zásadních úprav teorie i programů dalo přejít ke studiu jednak
modelů s třírozměrnou interpolací a jednak nověji používaných modelů s časově dvouhladinovými schématy. Poznamenejme, že rozdíl mezi časově tří-hladinovými a dvouhladinovými schématy spočívá v tom, že v tří-hladinovém časovém schématu se používá
obvyklé schéma s centrovanou diferencí podle času a časové derivace se tedy aproximují na
intervalu t  t , t  t  a členy, které se aproximují semiimplicitně se průměrují rovněž na
tomto časovém intervalu. Naproti tomu se v dvou-hladinovém časovém schématu časové
derivace aproximují na intervalu t , t  t  a aby aproximace zůstala druhého řádu přesnosti je
třeba pole větru a pravé strany rovnic s nelineárními členy extrapolovat do časového
okamžiku t  t / 2 . Časové průměrování členů aproximovaných semiimplicitně se pak
provádí rovněž na intervalu t , t  t  . Při realizaci schématu je si třeba pro časovou
extrapolaci zapamatovat rovněž hodnoty proměnných ve třech časových hladinách
t  t , t , t  t . Efektivní délka časového kroku je tedy u dvou-hladinového časového
schématu poloviční, což umožňuje počítat s ještě delším časovým krokem, než u tříhladinového schématu. Vzhledem k časové extrapolaci použité ve dvou-hladinovém schématu
je toto schéma náchylnější na vznik různých krátkovlnných šumů a nežádoucích vln. Tyto
nežádoucí vlny generuje například orografie. Schéma proto vyžaduje vždy určitou filtraci. To
je možné řešit buď zvýšenou difůzí, nebo podle našeho mínění lépe filtrací časového vývoje
divergence horizontálního větru. Tuto filtraci lze také použít pro odstranění problémů, jestliže
inicializace modelu není zcela dokonalá, tj. když pole rozložení hmoty atmosférytermobarické pole není v dokonalé rovnováze s polem proudění. Taková situace vzniká
například při interpolaci dat, z řídícího modelu do sítě LAM, čímž se může poněkud porušit
rovnováha mezi polem proudění a termobarickým polem a nová inicializace těchto dat by
byla zbytečným přepychem. Proto do modelu pro všechna schémata zabudujeme dva
mechanizmy, které utlumují časově i prostorově krátké vlny spojené s divergencí
horizontálního větru D a volbou konstant můžeme účinnost filtrace regulovat, nebo ji zcela
vyloučit. Uvedené skutečnosti vyplynuly z testování výpočetních schémat na seminářích na
matematicko-fyzikální fakultě, které jsem v uplynulých letech vedl.
303
19.1. Formulace řídících rovnic pro semi-Lagrangeovský model
Rovnice pro změnu hybnosti
Pro semi-Lagrangeovský model, s dvoj-dimensionální interpolací
proměnných ve  -vrstvách, píšeme rovnice změny hybnosti ve tvaru [6]
dH u

s
u

D
 
 fv 
 RT
lg p s  c
K
 FX
dt

x
x
x
x
prognostických
(19.1.1)
dH v
v


D
s
 
 fu 
 RT
lg ps  c
K
 FY
dt

y
x
y
y
(19.1.2)
Pro filtraci nežádoucích šumů a gravitačních vln použijeme tyto dva mechanizmy:
do rovnic pro změnu hybnosti jsme přidali na pravou stranu člen cD  , kde c  0 je
koeficient útlumu divergence, Bates et al. [1]. Tento člen představuje v podstatě horizontální
difůzi divergence horizontálního větru, do formulace semiimplicitní korekce přidáme do
časového průměrování lineárních členů váhy 1    , 1    , kde 0    1 . (Bates et al. [1]
klade   0.01 až   0.07 , McDonald [3] použil   0.05 ). Pro   0 bude průměrování
odpovídat obvykle používanému lichoběžníkovému schématu, zatímco pro   1 by
odpovídalo zpětnému implicitnímu schématu. Tento mechanizmus založený na časovém
zpětném implicitním schématu potlačuje amplitudu krátkých vln spojených s divergencí.
Proto tento mechanizmus je dosti selektivní.
Rovnice kontinuity, její integrály a výpočet vertikální rychlosti
Pro naše další úvahy vyjdeme z rovnice kontinuity v  -systému napsané v
divergentním tvaru
 U
ps
V   ( ps )
 s

0
 
t
y 

 x
(19.1.3)
Připomeňme zde, že
U  psu, V  psv
(19.1.4)
jsou složky toku hmoty a s je čtverec zkreslení mapy.
Tuto rovnici můžeme psát také ve tvaru

s  U
V

lg ps 


t
ps  x
y
 

    0

(19.1.5)
304
Druhý člen v předchozí rovnici můžeme napsat také v jiném tvaru. Když sem dosadíme za
složky toku hmoty z (19.1.4) a provedeme derivování, dostáváme
s
ps
p
 U V  s  p s

 
 u

v s
y
 x y  p s  x

 


  D  s u lg p s  v lg p s   D
y

 x

(19.1.6)
a rovnici kontinuity napsat můžeme napsat v advekčním tvaru

s  ps
ps

lg ps 
u
v

t
ps  x
y



  D    0

(19.1.7)
Integrací rovnice kontinuity (19.1.5) vzhledem k  dostaneme s použitím horní okrajové
podmínky, která požaduje, aby pro  =0 bylo   0 následující vztah


s  U
V 

d
  
lg p s   

(19.1.8)

t
p s  x
y 

0
dp

Podle Kasahary - Shigehisy zavedeme pro lineární část
, kde  
je individuální
dt
ps
časová změna tlaku označení w
w    

lg ps
t
(19.1.9)
Neboť je

dp d
d
  p s    p s  
ps
dt dt
dt
(19.1.10)
máme s užitím vztahů (19.1.6) a (19.1.9)

ps
   
 

d

lg p s  w   s u lg p s  v lg p s 
dt
y
 x

(19.1.11)

lg p s násobený p s ve vztahu (19.1.9) vyjadřuje časovou lokální změnu tlaku v
t
 -hladině o souřadnici  a ps   je vertikální tok hmoty. Hodnotu w můžeme vyjádřit
podle vztahu (19.1.8) integrálem
Člen 

w    
0
s
ps
 U
V

 x  y



d

(19.1.12)
Pro w můžeme odvodit také diferenciální rovnici derivováním vztahu (19.1.12) podle  a
pomocí vztahu (19.1.6) máme
 

w
s  U V 

   s u lg p s  v lg p s   D
  


p s  x y 
y
 x

(19.1.13)
Výpočet vertikální rychlosti  a w:
305
Vertikální rychlost  a w můžeme v každém uzlovém bodě základní sítě vypočítat
následovně: nejdříve ze vztahu (19.1.12) vypočteme w  a pak ze vztahu (19.1.8) máme
  w   w1
(19.1.14)
při tom jsme použili vztah

w1  lg p s
t
(19.1.15)
který obdržíme, pomocí dolní okrajové podmínky  1  0 , dosazením do vztahu (18.1.9).
Věta termodynamická.
První větu termodynamiky v  -systému píšeme ve varu
dT
cp
 
dt
(19.1.16)
kde

RT
,
p
R
 ,
cp
p   ps
(19..117)
Dosazením (19.1.17) do vztahu (19.1.16) máme
dT
1
R T
T 

 
 
dt
cp
cp p
 ps
(19.1.18)
Nyní si uvedeme dva tvary termodynamické věty, které použijeme pro její dvě různé
aproximace. První tvar použijeme pro čistě semi-Lagrangeovskou aproximaci. Dosadíme-li do
rovnice (19.1.11) můžeme psát
dT T 
d


   lg p s 
dt
 
dt

(19.1.19)
Všimněme si, že v tomto vztahu zůstává na pravé straně individuální časová změna logaritmu
d
lg p s . Druhý tvar termodynamické rovnice, který se používá
přízemního tlaku
dt
v Eulerovských modelech je možné použít i v semi-Lagrangeovských modelech. V tomto
případě je individuální časová změna přízemního tlaku rozdělena na dva členy. Na lokální
časovou změnu přízemního tlaku a na člen vyjadřující změnu přízemního tlaku advekcí,
ovšem celé vrstvy atmosféry. V tomto případě pro aproximaci  členu termodynamické

věty píšeme podle (19.1.11) a (19.1.4)
ve tvaru
ps
306

ps
 w
s
ps
 


 U (lg p s )  V (lg p s ) 
y
 x

(19.1.20)
Pravou stranu rovnice (19.1.18) můžeme pak přepsat do tvaru
T   T

s 


w    UT lg p s   VT lg p s 
(19.1.21)


ps 
x
y

  ps  
Správná aproximace termodynamické věty je v Eulerovských modelech odvozena
z požadavku, aby aproximace  členu termodynamické věty, (který popisuje přeměnu
vnitřní a potenciální energie na práci vykonanou horizontálním gradientem tlaku) byla
konsistentní s aproximací horizontálního gradientu tlaku.
V čistě semi-Lagrangeovských modelech individuální změnu tlaku v  členu
nerozepisujeme na časovou lokální změnu a advekční nelineární člen a aproximujeme ji
Lagrangeovsky.
Hydrostatická rovnice
Hydrostatická rovnice se používá ve tvaru

  RT
 lg
(19.1.22)
19.2. Semi-Lagrangeova aproximace advekce
Semi-Lagrangeova metoda je v podstatě založena na metodě sledování pohybu částice.
Změnu hodnoty meteorologické proměnné za čas 2t pro danou pevně zvolenou částici
d
nazýváme individuální časovou změnou a matematicky ji vyjadřujeme derivací
.
dt
V Eulerovských modelech se tato individuální změna aproximuje pomocí rozvoje, který se
skládá z lokální časové změny a nelineárních členů popisujících advekci. V semiLagrangeovských modelech se aproximace se provádí následovně: zvolme si uzlový bod, ve
kterém se studovaná částice nachází v čase t  t , ten nazveme příchozí bod. Hodnotu

meteorologických proměnných v tomto bodě a v čase označme z (viz obr.1). Dále pomocí
pole větru v čase t najdeme polohu, ve které se částice nacházela v čase t  t , tak zvaný
výchozí bod. Nyní z hodnot meteorologických proměnných v čase t  t nacházejících se v
okolí výchozího bodu vypočteme interpolací hodnoty meteorologických proměnných ve
výchozím bodě. Tyto hodnoty označme z  . Interpolace však musí býti dosti přesná. Při
použití například lineární interpolace z hodnot ve čtyřech uzlových bodech tvořících čtverec
obsahující výchozí bod trajektorie by při výpočtu vznikala nežádoucí početní difůze. Proto je
obvykle zvolena Lagrangeova interpolace pomocí kubických polynomů z šestnácti uzlových
307
bodů, kde výchozí bod trajektorie leží v prostředním čtverci, nebo kombinace kubické a
lineární interpolace používající dvanáct uzlových bodů. Mne se tato aproximace, kde na
vnějších stranách interpolačního čtverce místo kubické aproximace, použijeme lineární
interpolaci ze dvou bodů, nezdá příliš výhodná. Při testování v modelu se mi model
s použitím této interpolace ukázal méně stabilní. Váhy interpolace jsou pro daný směr pro
všechny čtyři úsečky daného směru stejné, takže když je vypočteme a pak pomocí nich
provedeme kubickou interpolaci prakticky při zjednodušené a méně přesné interpolaci žádný
čas neušetříme.
Semi-Lagrageovská a semiimplicitní diskretizace rovnic modelu
I když v současné době jsou používána více dvou-hladinová časová schémata, neboť
skutečná efektivní délka časového kroku je poloviční a umožňují proto integraci s krokem o
něco delším, my pro první studium semi-Lagrangeovských semiimplicitních schémat se
omezíme zatím na studium tří-hladinových modelů s průměrováním pravých stran podél
trajektorie v čase i prostoru, podobně jako v pracích [4] a [7]. Výhoda tohoto schématu
spočívá v tom, že téměř zcela vylučuje problémy, které v semi-Lagrangeovských modelech
způsobuje orografie. Toto schéma lze též považovat za velice přesné.
V této etapě se budeme tedy zabývat popisem-hladinového časového schématu. Pro tříhladinová časová schémata zavedeme tato označení: pro funkci z x, y,  , t  označíme
z   zx, y,  , t  t  hodnotu funkce v uzlovém bodě do kterého částice vzduchu přichází
v čase t  t - tento bod nazveme příchozím, nebo koncovým bodem. V anglické literatuře se
nazývá „arrival point“, nebo „final point“. z   zx  2 , y  2 ,  , t  t  je hodnota funkce
v počátečním bodě trajektorie, ze kterého se částice vzduchu za čas 2t dostane do
koncového bodu trajektorie. Je to tedy poloha sledované částice v čase t  t . Tento bod
nazveme výchozím, nebo počátečním bodem trajektorie částice. V anglické literatuře se
nazývá „departure point“ nebo „ initial point“
Předpokládáme, že trajektorie za tento časový úsek 2t je málo zakřivená a proto ji
aproximujeme úsečkou. Hodnotu v jejím středu v čase t označme z 0 . Je tedy
z 0  zx   , y   ,  , t  . V literatuře se tento bod označuje jako „middle point“ nebo
„medium point“. Pro složky větru v tomto bodě platí   t s 0 u 0 a   t s 0 v 0 . Těmito
vztahy jsou veličiny  ,  určeny. Prvním krokem realizace dvou-dimensionálního SL
schématu je výpočet hodnot  ,   a tedy nalezení výchozího bodu trajektorie, což se provede
následujícím iteračním procesem:
 n1  t  s  ux   n , y   n , t 
 n1  t  s  vx   n , y   n , t 
(19.2.1)
(19.2.2)
Počáteční přiblížení je možné vzíti z předchozího časového kroku. Pro dostatečnou přesnost
stačí výpočet dvou až tří iterací. Při výpočtu složek větru se v iteračním procesu používá
lineární interpolace.
Individuální časová změna je v SL-schématu s dvoudimenzionální interpolací aproximována
vztahem (Lagrangeova derivace)
308
dH z z  z

dt
2t
(19.2.3)
Pro semiimplicitní schéma použijeme operátor průměru podél trajektorie v prostoru i čase, a
který definujeme vztahem
z
1   z   1   z 
(19.2.4)
2
kde parametr  můžeme podle potřeby volit z intervalu 0    1.
Tento operátor se aplikuje na lineární členy pravých stran rovnic popisující vlny s velkou
fázovou rychlostí, což jsou gravitační vlny.
18.3. Semiimplicitní schéma jako oprava explicitního časového schématu
Pro formulaci časových schémat uvažujme evoluční úlohu ve tvaru
dz
 Fz
(19.3.1)
dt
kde nelinární operátor pravé strany rovnice Fz rozdělíme na dvě části. Na lineární část Lz,
která popisuje rychle se pohybující gravitační členy a na část Rz, která zahrnuje ostatní členy.
Tyto členy ovšem popisují pouze relativně pomalu se pohybující Rossbyho vlny a
v Eulerovské versi modelů též advekci. Můžeme tedy psát
Fz  Lz  Rz
(19.3.2)
Semi-Lagrangeovské explicitní schéma s centrální časovou diferencí (Leapfrog-schéma) má
pro naší evoluční úlohu tvar
z  z
 Fz  Lz  Rz
(19.3.3)
2t
kde pravá strana je vyhodnocována v čase t. Toto explicitní semi-Lagrangeovské schéma zde
formulujeme, i když nezvyšuje efektivnost modelu, ve srovnání s explicitním Eulerovským
schématem. Je to tím, že délka časového integračního kroku je pro obě explicitní schémata
dána zejména fázovou rychlostí gravitačních vln. Schéma slouží však jako základ pro
formulaci semiimplicitnho semi-Lagrangeovského schématu, které obdržíme po
semiimplicitní opravě explicitního semi-Lagrangeovského schématu. Smiimplicitní oprava je
prkticky stejná jak pro semi-Lagrangeovská, tak i pro Eulerovská schemata, což zajišťuje
maximální modulárnost a flexibilitu kódu programů modelu. Systém řešení se semiimplicitní
oravou explicitního schématu je použit v modelech ECMWF, v modelu ARPEGE i ALADIN.
Explicitní schema, které je součástí tohoto postupu, je také užitečné pro ladění program a
testování modelu.
Označme průměr podle trajektorie i času pruhem nad písmenem, tedy


z  1   z   1   z  / 2
kde 0    1. Semiimplicitní semi-Lagrangeovské schéma má pak tvar
(19.3.4)
309
z  z
0
 Lz  Rz 
2t
(19.2.5)
v Eulerovském schématu je člen Rz vyhodnocován v čase t ve stejném uzlovém bodě, ve
kterém se počítá z  . V semi-Lagrangeovském modelu se však člen vyhodnocuje v čase t ve
středu trajektorie částice. Máme dvě možnosti, jak vypočítat hodnotu členu Rz, v čase t ve
středu trajektorie. Výpočet členů Rz (respektive členů Fz) ve střdech trajektorií při obou
postupech začneme vypočtem hodnot členů Rz (respektive členů Fz) v uzlových bodech
výpočetní sítě. První možností je, že se do středu trajektorie hodnota Rz interpoluje přímo
z okolních bodů. Druhou, lepší možností, je prostorové průměrování [38], při kterém hodnotu
Rz interpolujeme do počátečního bodu trajektorie, což provedeme společně s interpolací
hodnot z (používá se pole větru v čase t, tedy stejné) a pak vypočteme aritmetický průměr této
hodnoty s hodnotou v koncovém bodě trajektorie, který je uzlem sítě. Tento druhý způsob je z
hlediska aproximace lepší, ale šetří i stojový čas počítače, neboť interpolace pravých stran
rovnic Rz se provádí do počátku trajektorie, tedy do stejných bodů. Hodnotu ve středu
trajektorie v čase t budeme označovat nahoře indexem o, tedy
případě dána vztahem
 o . Hodnota je v tomto
z 0  zx, y, , t   zx  2 , y  2 , , t  / 2
(19.3.6)
Semiimplicitní schéma můžeme napsat také v jiném tvaru. Členy Rz napíšeme jako
rozdíl celé pravé strany Fz a lineární části Lz, tedy
Rz=Fz-Lz
(19.3.7)
a semiimplicitní schéma (19.3.5) psát ve tvaru (19.3.5) psát ve tvaru
z  z
 Fz  L( z  z )
2t
(19.3.8)
Vidíme, že prvá strana schématu se skládá z pravé strany explicitního schématu Fz a členu
Lz  z  , který se nazývá semiimplicitní korekcí. Zavedeme–li pro lineární kombinaci hodnot
z  , z  , z označení
z  z  z 
1   1  
z 
z z
2
2
(19.3.9)
pak korekční člen můžeme psát ve tvaru L z . V modech ECMWF [27], nebo ARPEGE, se
pro semiimplicitní část používá lichoběžníkové schéma, pro které je   0 a tedy
1
z  z   z  / 2 . V tomto případě má korekční člen tvar L z  L z   2 z  z  a je
2
násobkem diferenční aproximace druhé derivace. V tomto případě korekční člen zapisují ve
1
tvaru L tt z .
2




310
Semiimplicitní schéma můžeme proto provésti ve dvou krocích. Jako první krok provedeme
výpočet hodnot z v následujícím časovém kroku explicitním schématem. Tyto hodnoty
označme z  exp l . Ty dostaneme z rovnic
z  exp l  z   2tFz
(19.3.10)
Jako druhý krok provedeme semiimplicitní opravu, která je dána vztahy
z   z  exp l  2tLz
(19.3.11)
Separujeme-li od sebe neznámé hodnoty z  a hodnoty, které jsou dány explicitně, dostaneme
pro z  soustavu lineárních rovnic
1  tL1   z   z  expl  tL1   z   2z 
(19.3.12)
19.4. Postorová síť použitá v modelu
Vertikální diskretizace modelu
Model je formulován na střídavé vertikální síti. Diferenční aproximace na vertikální ose,
kterou nyní popíšeme je používána v současné době prakticky ve všech modelech. Ve
vertikálním směru se model skládá z KV vrstev. Tyto vrstvy jsou od sebe odděleny, nebo
spíše vymezeny KS=KV+1 plochami konstantního  . Tyto plochy budeme nazývat  plochami, nebo  -hladinami. Tyto  -plochy jsou zadány jako rostoucí posloupnost hodnot
 k tvaru
 1  0   2   3  ....   KS  1
(19.4.1)
Poznamenejme, že v modelech ECMWF [5] a i v mnohé literatuře jsou tyto  -hladiny
nazývány jako „poloviční hladiny“, anglicky „half-levels“, neboť jsou indexovány indexy ve
tvaru k+1/2 kde k =0,…,KLEV. Pro zápis teorie je to možná o něco přehlednější a
symetričtější, ale při programování se pak stejně používají jako indexy pouze celá čísla a
indexy  -hladin jsou zaokrouhleny směrem dolu (ECMWF) nebo nahoru, jak to je v našem
modelu. Zaokrouhlení lomených indexů směrem nahoru vzniklo v našich starších modelech,
kde se používaly starší verse jazyka FORTRAN, ve kterém nebylo možné používat index 0,
neboť se všechny proměnné indexovaly od 1.
V modelu jsou používány hodnoty proměnných na  - hladinách i v  - vrstvách.
Použijeme zde označení, podle Arakawy. Proměnné, jejichž hodnoty se používají jak na  hladinách, tak i ve vrstvách označíme na  -hladinách stříškou nad označením. To se týká
zejména proměnných geopotenciálu  a funkce w. Na  - plochách, které jsou dány
hodnotami  k jsou zadány hodnoty proměnných: geopotenciálu ̂ k , vertikální rychlosti v
  systému  k a proměnné ŵk . Ve vrstvách je zadána hodnota složek větru u k , v k ,
311
absolutní teplota Tk , proměnná Pk , divergence horizontálního větru Dk a geopotenciál  k ,
který se používá pro výpočet horizontálního gradientu tlaku. Definujme ještě operátor
vertikálního průměrování. Tento operátor, dvěma hodnotám proměnné F na sousedních sigma
plochách přiřazuje hodnotu aritmetického průměru, této proměnné ve sigma vrstvě, kterou
omezují. Operátor aritmetického průměru označme symbolem
F

k
 Fk  Fk 1  / 2
(19.4.2)
Operátor diferencování vzhledem k vertikální souřadnici  zavedeme vztahem
F k  Fk 1  Fk
(19.4.3)
kde hodnoty na pravé straně předchozích dvou vztahů náležejí sigma plochám a hodnota
průměru a diference na levé straně rovnic náleží vrstvě, kterou tyto plochy omezuje, nebo
zejména pro operátor průměru i obráceně.
Stejné označení použijeme i pro nezávisle proměnnou, je tedy
 k   k 1   k
(19.4.4)
a též
 lg  k
 lg  k 1  lg  k  lg k 1 /  k  pro k  2,..., KV
(19.4.5)
hodnotu  lg  1 pro k=1 definujeme následovně
 lg  1  2 lg 2  lg 4
(19.4.6)
Při tomto označení můžeme napsat aproximaci hydrostatické rovnice ve tvaru
ˆ 
k
 lg  k

ˆ k 1  
ˆk

lg  k  1 /  k 
  RTk
(19.4.7)
Jako důsledek vztahu (5.6) je platnost předchozího vztahu i pro k=1. Vztah (5.7) pro k  1
nám definuje i hodnotu ̂1 , která ovšem neodpovídá hodnotě   0 a tedy nulovému tlaku.
Podle vztahu (5.6) platí lg 2 /  1   lg 4 , z čehož pro aproximaci hydrostatické rovnice
v nejvýše položené  -vrstvě plyne, že hodnota geopotenciálu ̂1 přísluší hodnotě
   1   2 / 4 . Tím je určena i hodnota geopotenciálu  1 v nejvýše položené vrstvě.
Hodnoty geopotenciálu ve vrstvách definujeme vztahem
ˆ
k  

k


ˆ k 1  
ˆ k /2 ,
 
k  1,..., KV 
Pomocí diferenční aproximace vztahu pro derivaci přirozeného logaritmu
 lg  1



definujeme hodnotu  v sigma vrstvách, kterou označme  *
(19.4.8)
(19.4.9)
312
 lg  k
 k

1
(19.4.10)
 k*
Ze vztahu (19.4.6) také plyne, že pro nejvýše položenou vrstvu je  *1   1 / lg 4 . Vztahem
p   *1 p s je pak definován tlak odpovídající nejvýše položené vrstvě.
.
Horizontální diskretizace modelu
Pro reprezentaci údajů v  - hladinách i vrstvách se používá C-síť Arakawovy
klasifikace.
Diferenční operátory  x f i operátory prostorového průměru f
x
(zde aplikovaný na funkci
f zde mají obvyklý význam. Celková obdélníková oblast modlu je znázorněna na obrázku 3.
Námi použité indexování proměnných na C-síti je zobrazeno na obrázku 5.
19.5 Aproximace rovnic modelu
Při aproximaci rovnic modelu vyjdeme z aproximace rovnice kontinuity. Tato rovnice má
v modelu v hydrostatickém přiblížení zvláštní postavení. V části 2 jsme viděli, že pro model
v hydrostatickém přiblížení určuje tato rovnice z divergence horizontálního větru vertikální
rychlost  , w, lokální i individuální časovou změnu logaritmu přízemního tlaku lg p s aniž
by k tomu bylo třeba ostatních rovnic modelu. Proto se na tento vztah můžeme v modelu dívat
jako na diagnostický a zároveň i prognostický vztah. Diagnostické použití rovnice kontinuity
však přísluší pouze explicitnímu řešení rovnic modelu. Rovnice kontinuity se používá
v modelu ke třem účelům. K výpočtu vertikální rychlosti  v  -systému pro advekci ve
vertikálním směru. K výpočtu  členu termodynamické věty a zejména k předpovědi
logaritmu přízemního tlaku, tedy i předpovědi přízemního tlaku. V modelu se mohou používat
i různé aproximace rovnice kontinuity, což si ukážeme dále. Explicitní aproximace rovnice
kontinuity se v semiimplicitním modelu používá pouze pro výpočet advekce. V obou zbylých
případech se používá aproximace smiimplicitní, která s aproximací ostatních rovnic modelu
nám dává soustavu lineárních rovnic pro prognostické proměnné v následujícím časovém
kroku.
Explicitní aproximace rovnice kontinuity a výpočet vertikální rychlosti
Nejdříve se soustředíme na výpočet  pro advekci ve vertikálním směru. V Eulerovském
modelu postupujeme následovně. Diskrétní tvar rovnice kontinuity pro model v  -systému
na Arakawově C-síti je následující:
Složky toku hmoty jsou aproximovány vztahy
x
U  ps u ,
Aproximace vztahu (19.1.12) je
y
V  ps v
(19.5.1)
313
k 1
ˆ k  [
w
l 1
s
 xU   yV  ]l
ps
(pro k=2,…,KS)
(19.5.2)
Protože pro  1  0 máme  1  wˆ1  0 , můžeme vztah (19.5.2) použít jako rekurentní vztah
ˆk pro k=1,...,KV, ve tvaru
pro výpočet w
 s

(19.5.3)
wˆ k 1  wˆ k    xU   yV  
 ps
k
kde KS je počet  - hladin modelu a tedy  KS  1 . Připomeňme, že model se skládá z
KV=KS-1  -vrstev, jejichž tloušťka je  . Vertikální rychlost  pak pro všechny uzlové
body základní sítě vypočteme z diferenční obdoby vztahu (19.1.14)
(19.5.4)
 k  wˆ k   k wˆ KS pro k=2,..., KV,
 1   KS  0
wˆ 1  0,
V semi-Lagrangeovských modelech lze postupovat dvěma způsoby a oba postupy byly
v semi-Lagrangeovských modelech prakticky použity. Jednou z možností je i v semiLagrangeovském modelu použít Eulerovskou aproximaci rovnice kontinuity. Tento postup
byl použit v modelu ECMWF [5]. Druhou možností je i rovnici kontinuity aproximovat semiLagrangeovsky, což je častější. Výše popsaný výpočet vertikální rychlosti používaný
v Eulerovských modelech však neodpovídá semi-Lagrangeovské metodě. Proto v semiLagrangeovském modelu budeme počítat vertikální rychlost v principu stejně, ale ze semiLagrangeovské aproximace rovnice kontinuity. Proces výpočtu je třeba modifikovat, protože
při semi-Lagrangeovské aproximaci nejde od sebe oddělit individuální a lokální časová změna
a musíme proto vždy pracovat pouze s individuální časovou změnou, která v sobě zahrnuje
nelineární člen advekce. Zásadní rozdíl mezi lokální a individuální časovou změnou logaritmu
přízemního tlaku spočívá v tom, že zatímco lokální časová změna nezávisí na vertikální
souřadnici a je tedy vzhledem k  konstantní, je individuální časová změna funkcí  .
Nemůžeme proto pomocí ní definovat obdobu funkce w. Místi toho budeme pracovat s funkcí
 / p s , jejíž lineární částí je w.
Pro semi-Lagrangeovskou aproximaci napíšeme rovnici kontinuity podle vztahů (19.1.5) a
(19.1.6) v advekčním tvaru.
dH
dt
lg p s  D 

0

(19.5.5)
Explicitní semi-Lagrangeovskou aproximaci pak můžeme psát ve tvaru
lg p s  exp l  lg p s 
2t
 D 


(19.5.6)
kde divergenci D aproximujeme vztahem
D  s x u   y v 
(19.5.7)
314
I když levá strana rovnice (19.5.6) nezávisí zdánlivě na souřadnici  , není tomu tak, protože
počáteční bod trajektorie částice, do kterého hodnotu lg p s interpolujeme má v každé vrstvě
jiné horizontální souřadnice  x, y  . Tomu v Eulerovském zápisu odpovídá to, že v každé
vrstvě má advekční člen jiné složky větru. Z pohledu Eulerovského modelu člen lg p s 

v sobě vlastně obsahuje advekci horizontálního větru. Proto bychom měli v rovnici (19.5.6) u
členu lg p s  psát index k, abychom zdůraznili závislost hodnoty tohoto členu na vrstvě,

zatímco hodnota členu lg p s  v každé vrstvě přísluší stejnému uzlovému bodu a má proto

stejnou hodnotu pro všechny vrstvy. Novou hodnotu logaritmu přízemního tlaku lg p s 

vypočteme tak, že rovnici kontinuity integrujeme po vertikále pro  na intervalu 0    1 .
V diskrétním případě proto rovnici (19.1.12) nejdříve přepíšeme do tvaru
lg ps  expl  lg ps  k  2t  D   

 

(19.5.8)
násobíme  a sečteme přes všechny vrstvy. Protože
k
  l
l 1
KV
  k 1
a
  
k
k 1
1
(19.5.9)
s použitím okrajových podmínek 1   KS  0 máme
KV
KV
k 1
k 1
lg ps  expl    k lg ps  k  2t  Dk  k
(19.5.10)
Předchozí vztah nám dává předpověď (časovou extrapolaci) logaritmu přízemního tlaku
explicitním semi-Lagrangeovským schématem.
Výpočet vertikální rychlosti  provedeme obdobně jako v Eulerovském modelu. Rovnici
(19.5.8) násobíme  a sečteme přes k vrstev. Dostaneme pro k  2,..., KS
k 1
k 1
l 1
l 1
 k lg p s  exp l    l lg p s  l  2t  Dl  l   k
(19.5.11)
Ze vztahů (19.1.10) a (19.1.11) můžeme již  vypočítat. Výpočet ovšem realizujeme tak, že
si uložíme jednotlivé součty, které označme sumk dané vztahy
k 1
k 1
sumk    l lg p s  l  2t  Dl  l
l 1

pro
k  2,..., KS
l 1
(19.5.12)
neboť  KS  1 a  KS  0 je
sumKS  lg p s exp l
(19.5.13)
315
a můžeme (19.5.11) napsat ve tvaru
 k lg ps  exp l  sumk   k
(19.5.14)
odkud po dosazení z (19.5.13) můžeme  vyjádřit vztahem
 k  sumk   k sumKS
pro k  2,...KS  1
a  1   KS  0
(19.5.15)
kde součty sumk vypočteme z rekurentních vztahů
sum1  0,
sumk 1  sumk   k lg ps k  2tDk  k , k  1,..., KV
(19.5.16)
Pravá strana rovnice (19.5.6) vyhodnocovaná v čase t by ovšem měla být interpolována do
středu trajektorie. My používáme ovšem schéma s průměrováním pravých stran rovnic v čase
t podél trajektorie. Proto při výpočtu pravé strany rovnice kontinuity vypočteme nejdříve
divergenci ve všech uzlových bodech, pak interpolujeme divergenci do počátečního bodu
trajektorie a nakonec vypočteme vážený průměr této hodnoty s hodnotou v uzlovém bodě
konce trajektorie. Z výpočtu vertikální rychlosti podle vztahů (19.5.10) až (19.5.16) je vidět,
že hodnoty vertikální rychlosti  jsou již dány individuální změnou logaritmu přízemního
tlaku a divergencí D ve všech vrstvách.
Nyní máme již všechny hodnoty potřebné pro výpočet výrazu  / p s , který se
vyskytuje v termodynamické větě. Hodnoty  definujeme ve vrstvách a proto hodnotu 
danou explicitním schématem v k-té vrstvě definujeme vztahem
  exp l

 ps

d

        H lg p s 
 dt
 exp l
k
(19.5.17)
kde explicitní individuální časová změna logaritmu přízemního tlaku je v k-té  -vrstvě
definována vztahem
lg p s  expl  lg p s 
 dH

lg p s 


2t
 dt
 exp l


(19.5.18)
Aproximace rovnic změny hybnosti
Explicitní SL-schéma píšeme ve tvaru
316
u  exp l  u 
o
 Fu 
2t
(19.5.19)
kde

x
s
1 p  u
Fu   x s
 fv   x   RT x lg p s  c x D  K
 FX

x
p
(19.5.20)
s
v  expl  v 
o
 Fv 
2t
(19.5.21)
kde
y

s
1 p  v
Fv   y s
 f u   y   RT y lg p s  c y D  K
 FY

y
p
s
(19.5.22)
Abychom zapsali lineární část pravé strany rovnic, kterou aproximujeme implicitně,
postupujeme obvyklým způsobem. Zavedeme funkci P, kterou definujeme vztahem
P    RT * lg p s
(19.5.23)
kde T * je referenční teplota, která nezávisí na čase ani souřadnicích x, y a je tedy funkcí
pouze vertikální souřadnice  . Pro semi-implicitní schéma zvolíme teplotu referenční
atmosféry T * konstantní. Z hlediska stability SL-schématu vyhovuje obvykle teplota
referenční izotermní atmosféry T *  300 K . Semiimplicitní semi-Lagrangeovské schéma
rovnic hybnosti pak napíšeme ve tvaru
u  u
o
  x P  c x D  Nu 
2t
(19.5.24)
kde
x

s
1 p  u
Nu   x s
 fv  R T  T *  x lg p s  K
 FX



x
p


s
(19.5.25)
v  v
o
  y P  c y D  Nv
2t
(19.5.26)
kde
317
y

s
1 p  v
Nv   y s
  f u  R T  T * T y lg p s  K
 FY



y
ps


(19.5.27)
Lineární část horizontálního tlaku je  P . Do lineární části operátoru pravé strany rovnic
zahrneme také členy, které vytvářejí difúzi divergence horizontálního větru. Lineární část
pravých stran rovnic jsme tedy zvolili následovně
Lv   y P  c y D
Lu   x P  c x D
a
(19.5.28)
Semiimplicitní opravu explicitního kroku dostaneme opět odečtením explicitního schématu
od semiimplicitního schématu po úpravě dostaneme
u   u  expl  2t ( x P  c x D)

v v

exp l
 2t  y P  c y D
(19.5.29)
(19.5.30)
Lineární část pravé strany, kterou vyhodnocujeme v čase t ve středu trajektorie částice a která
je součástí (členem) operátoru časové lineární kombinace (18.3.8) si při výpočtu pravé strany
rovnic pro výpočet semiimplicitní korekce zapamatujeme (uložíme do paměti).
Semiimplicitní aproximace rovnice kontinuity a výpočet  členu termodynamické
věty.
V této části si formulujeme dvě semiimplicitní aproximace rovnice kontinuity Jedna
semiimplicitní aproximace odpovídá Eulerovské aproximaci rovnice kontinuty, druhá semiLagrangeovské aproximaci. Použití Eulerova přístupu je zřejmě motivované výpočtem 
členu termodynamické věty. Tento člen vyjadřuje vzájemnou přeměnu celkové vnitřní
energie (tedy součtu vnitřní a potenciální energie) v kinetickou energii a jeho aproximace by
měla být v souladu s aproximací horizontálního gradientu tlaku, neboť práce tohoto gradientu
tlaku vyjadřuje vzájemnou přeměnu celkové potenciální energie v kinetickou. Oba tyto členy
by měly mít tedy stejnou hodnotu. Při Eulerovském přístupu lze tento požadavek splnit
přesně. Zdá se však, že i čistě semi-Lagrangeovské aproximace, kde zákony zachování jsou
splněny jen přibližně, neprojevují patologické chování při přeměnách energie.
Nejdříve si všimněme čistě semi-Lagrangeovské aproximace. Pro tuto aproximaci vyjdeme
z explicitní aproximace rovnice kontinuity (19.5.6), tedy
lg p s  exp l  lg p s 
2t
 D 


(19.5.31)
318
Předchozí vztah je ovšem semi-Lagrangeovská explicitní aproximace, neboť divergence a
vertikální rychlost  má v tomto výrazu explicitní hodnotu v čase t která odpovídá středu
trajektorie a není časově průměrována, jak je tomu v semiimplicitním schématu. Rovnice ve
tvaru (19.5.29) slouží tedy k výpočtu logaritmu přízemního tlaku explicitním semiLagrangeovským schématem.
Levá strana rovnice (19.5.29) je explicitní semi-Lagrangeovskou změnou a budeme ji proto
označovat
lg p s 
 dH

lg p s 


 dt
 exp l

 lg p s k
2t
exp l

(19.5.32)
Poznamenejme, že předchozí vztah platí pro každou vrstvu modelu a všimněme si, že v každé
vrstvě má lg p s 

k
jinou hodnotu. Předchozí hodnoty pak můžeme použít pro výpočet 
členu termodynamické věty.
Semiimplicitní aproximace odpovídající vztahu (19.5.29) má tvar
lg p s   lg p s 
2t
 D 


(19.5.33)
kde prvá strana rovnice je průměrována časově podél trajektorie částic.
Semiimplicitní semi-Lagrangeovskou změnu danou vztahem (19.5.31) budeme označovat
jednoduše
lg p s   lg p s k
dH
lg p s 
dt
2t


(19.5.34)
Poznamenejme ještě, že hodnotu výrazu  / p s daná semiimplicitním schématem označme
jednoduše rovněž  / p s a ta je dána vztahem


 ps


d
      H lg p s
dt
k
(19.5.35)
kde individuální časová změna logaritmu přízemního tlaku je dána semiimplicitně., tedy
vztahy (19.5.31) a (19.5.32).
Chceme-li formulovat rovnici pro semiimplicitní opravu explicitního schématu odečteme
od rovnice (19.5.34) rovnici (19.5.32) . Máme
319
lg p s   lg p s  exp l
2t
 

   D 

 

(19.5.36)
Předchozí vztahy můžeme psát také ve tvaru, kde na levé straně je nová hodnota logaritmu
přízemního tlaku
lg p s   lg p s  k  2t  D   


 
(19.5.37)
a semiimplicitní opravu pro rovnici kontinuity psát ve tvaru
lg p s   lg p s  expl
 

 2t  D 

 

(19.5.38)
Chceme-li, aby model byl striktně energeticky konsistentní, musíme pro výpočet 
členu zvolit jinou aproximaci. Tento přístup byl realizován v modelech ECMWF ovšem v  systému vertikální souřadnice. Proto obdobně jako v modelu ECMWF aproximujeme rovnici
kontinuity stejně jako v Eulerovském modelu. Ukážeme, že při aproximaci na C-síti při
správné aproximaci je stejné, vyjdeme-li z divergentního či advekčního tvaru. My vyjdeme
z divergentního tvaru a aproximaci explicitního schématu napíšeme následovně
lg p s  expl  lg p s n1
2t

s
 xU   yV   
ps

(19.5.39)
kde lg p s 
n 1
je hodnota ve stejném uzlovém bodě, ale v čase t  t . Nyní provedeme úpravy
(19.5.39), abychom dostali advekční tvar. Pro zkrácení zápisu označme aproximaci
divergence horizontálního větru
 u v 
D  s  
 x y 
(19.5.40)
na C-síti rovněž písmenem D, neboť nehrozí nedorozumění. Tedy
D  s x u   y v 
(19.5.41)
Vzhledem k tomu, že na C-síti pro diferenční aproximace platí identity
 
x
x
 xU   x p s u  u x p s  p s x u
 
y
(19.5.42)
y
 yV   y p s v  v y p s  p s y v
(19.5.43)
320
je předchozí divergentní aproximace (18.5.39 ) ekvivalentní s advekční aproximací
lg p s  expl  lg p s n1
2t



x
y
s

u x p s  v y p s  D 
ps

(19.5.44)
Semiimplicitní Eulerovskou aproximaci rovnice kontinuity můžeme tedy použít ve tvaru
lg p s   lg ps n1
2t



x
y
s

u x p s  v y p s  D 
ps

(19.5.45)
Lineární část pravé strany rovnice kontinuity je proto
L lg p s   D 


(19.5.46)
Semiimplicitní oprava explicitního kroku má pro rovnici kontinuity shodný tvar
lg p s   lg p s  expl  2t  D   

 

(19.5.47)
pro Eulerovskou i semi-Lagrangeovskou aproximaci. Rozdíl je tedy pouze ve způsobu
výpočtu explicitní hodnoty lg p s 

exp l
. Buď se počítá ze vztahu (19.5.31) nebo ze vztahu
(19.5.44).
Při Eulerovské aproximaci se v termodynamické větě se vyskytuje veličina w, kterou
musíme rovněž vyjádřit. K tomu použijeme diskrétní analog vertikálního integrálu (19.1.12).
Tento vztah je obdobou vztahu (18.5.2) pro ŵ . Pro w máme
k 1

 s

1 s
wk  wˆ k 1  wˆ k  / 2     xU   yV       xU   yV  
2  ps
 k l 1  ps
l
(19.5.48)
Pomocí vztahů (19.5.39) a (19.5.40) můžeme tento vztah psát také ve tvaru




k 1
x
y
x
y

 s
 k 1
1 s
1
wk   
u x p s  v y p s    Dk  k   
u x p s  v y p s     Dl  l
2  ps
l 1  p s
k 2
 l l 1
(19.5.49)
Tak jak je tento vztah napsán, platí pro explicitní schema, proto jeho hodnotu budeme
označovat wk exp l . Semiimplicitní hodnota wk je definovaná stejným vztahem, ve kterém je
však místo divergence D v čase t vážený průměr v čase i po trajektorii D . Rozdíl
semiimplicitní a explicitní hodnoty w je pak dán vztahem
321
k 1
1
wk  wk exp l   Dk  k  Dl  l 
2
l 1
(19.5.50)
Aproximace termodynamické věty
Uvedeme si dvě různé aproximace termodynamické věty. Pro první aproximaci
vyjdeme ze vztahu (19.1.21), který pro schéma s dvou-rozměrnou interpolací upravíme
následovně
dHT
d
T T 

 

   H lg p s 
dt
  
dt

(19.5.51)
nebo stručněji s použitím (19.1.20)
dHT
T T 
 

dt
  p s
(19.5.52)
Explicitní semi-Lagrangeovskou aproximaci termodynamické rovnice pak pomocí označení
(6 .17), mohu psát
T  exp l  T 
T
 
2t



T  exp l
 * ps
(19.5.53)
Pro semiimplicitní aproximaci musíme termodynamickou rovnici rozdělit na lineární část a
zbytek obsahující nelineární členy. Lineární část oddělíme vzhledem k absolutní teplotě.
Absolutní teplotu T rozdělíme na součet dvou částí: referenční teploty T * a zbytku T  T * .


Můžeme tedy termodynamickou větu napsat ve tvaru


dHT
d
d
T T * 
  T T* 

 

   H lg p s  
    H lg p s 
dt

 
dt

dt



(19.5.54)
nebo stručněji


dHT
T T *   T  T * 
 


dt

 ps

ps
(19.5.55)
a její explicitní aproximaci (19.5.55) napsat rovněž v tomto tvaru
322
T  expl  T 
T
 
2t



T * expl  T  T *  expl

 * ps
*
ps
(19.5.56)
k ní odpovídající semiimplicitní aproximace má tvar
T  T 
T
 
2t



T *   T  T *   exp l

ps
 * ps
*
(19.5.57)
druhý člen pravé strany však není lineární, protože obsahuje individuální změnu lg p s a ta
v sobě skrývá nelineární člen advekce logaritmu lg p s . Vezmeme-li však v úvahu, že podle
(19.5.31) až (19.5.33) je
dH
 
d


lg p s   H lg p s 
   D 

dt
 

 dt
 exp l
(19.5.58)
a tento rozdíl již lineární je, neboť advektivní členy, které obsahuje individuální změna se
stejně jako u Eulerovských modelů vzájemně vyruší. Proto rovnice semiimplicitní opravy
explicitního schématu termodynamické věty jsou lineární. Když od sebe odečteme
semiimplicitní a explicitní aproximaci (19.5.56) a (19.5.57), dostaneme semiimplicitní opravu
explicitní aproximace termodynamické rovnice ve tvaru
T   T  exp l T * 1
   expl 
 *
2t
 ps
(19.5.59)
Pro druhou aproximaci termodynamické věty, kde použijeme jinou aproximaci 
členu, příbuznou Eulerovským modelům. Vyjdeme z termodynamické rovnice ve tvaru

dHT
T T
s 


 

w    UT lg p s   VT lg p s 
dt
 
ps 
x
y

(19.5.60)
člen obsahující funkci w rozdělíme na lineární část s konstantním koeficientem a na nelineární
zbytek vzhledem k referenční teplotě, píšeme tedy



dHT
T T *
 T T*
s 


 

w
w    UT lg p s   VT lg p s 
dt



ps 
x
y

(18.5.61)
a explicitní SL-schéma píšeme ve tvaru, kde jsme člen s explicitní hodnotou wexp l rozdělili na
dvě části
323



x
y
T  exp l  T 
T
T *
 T T*
s 
x
y


 * wexp l 
wexp l 
UT  x lg p s   VT  y lg p s  
*
2t

ps 



(19.5.62)
kde
1

*

 ln 

(19.5.63)
pro semiimplicitní aproximaci vyjdeme z rovnice (18.5.62) a píšeme ji ve tvaru



x
y
T  T 
T
T *
 T T*
s 
x
y






 * w
w

U
T

lg
p

V
T

lg
p


exp
l
x
s
y
s
*
2t

ps 



(19.5.64)
po odečtení rovnic (19.5.57) od (19.5.59) dostaneme semiimplicitní opravu explicitní
termodynamické rovnice
T   T  exp l T *
 * w  wexp l 
2t

(19.5.65)
Lineární část operátoru pravé strany termodynamické rovnice proto volíme následovně:
LT  
T *
w  wexpl 
*
(19.5.66)
Poznamenejme, že zlomek
T *
je funkcí pouze nezávisle proměnné  . Semiimplicitní
*
korekci termodynamické věty můžeme psát také ve tvaru
T   T  expl  2t
T *
w  wexpl 
*
(19.5.67)
Porovnejme si ještě semiimplicitní opravu termodynamické věty (19.5.59) a (19.5.65).
Všimněme si nejdříve veličiny w. Tato je definována vztahem (19.1.9), nebo integrálem
(19.1.12). V diskrétním případě je ovšem  i  definováno na  -plochách a časová změna

lg p s na  nezávisí. Proto jsme v diskrétním případě definovali veličinu wˆ vztahem
t
wˆ    

lg ps
t
(19.5.68)
324
na  -plochách. Veličinu w vyskytující se v termodynamické větě, jsme definovali vztahem


w  wˆ    


lg ps
t
(19.5.69)
Všimněme si nyní rozdílu w  wexp l . Ten je podle (19.5.44) a (19.5.45) roven

w  wexp l     

lg p s   lg p s  expl
2t
(19.5.70)
a podle (19.5.47) je tedy


  
w  wexp l        D 

  


(19.5.71)
Obdobný vztah můžeme odvodit i pro    exp l  / p s . Podle vztahů (19.5.17), (19.5.18),
(19.5.34) až (19.5.36) můžeme psát
1
   expl         lg ps   lg ps 
ps
2t


exp l
(19.5.72)
odkud podle (19.5.38) je
1
  expl         D    
ps
  


(19.5.73)
Ze vztahů (19.5.71) a (19.5.73) vidíme, že
1
  expl   w  wexpl
ps
(19.5.74)
a pro semiimplicitní opravu explicitní aproximace termodynamické věty můžeme použít pro
obě schémata i pro Eulerovský model vztah (19.5.67).
Aproximace rovnice hydrostatické rovnováhy
Hydrostatická rovnice je jednoduchým diagnostickým vztahem, který musí být
v hydrostatickém modelu splněn stále. Pro zápis diferenčních vztahů zavedeme úmluvu, že
nehrotí-li nedorozumění, vynecháme ve vztazích index k. Aproximace hydrostatické rovnice
je proto stejná pro všechny schémata a má tedy na vertikální střídavé síti tvar
325
ˆ

  RT
 lg 
(19.5.75)
Pro zajímavost poznamenejme, že předchozí aproximace je ekvivalentní s aproximací
ˆ

RT
 *


(19.5.76)
Doplněk. Interpolace používané v semi-Lagrangeových modelech na regulární síti
Při interpolaci prognostických proměnných do výchozího bodu trajektorie částic je obvykle
používána Lagrangeova interpolace třetího stupně. Je to podle mého mínění nejvhodnější
metoda, je efektivní a velice přesná. Je možné použít také Hermitův polynom třetího řádu
konstruovaný rovněž ze čtyř bodů, nebo i spline třetího řádu konstruovaná lokálně rovněž
z hodnot ve čtyřech sousedních uzlech. Klasické použití splinů konstruovaných přes celou
oblast by bylo neefektivní, protože v každém čtverci má výchozí bod jinou polohu. Nicméně
pro každý čtverec v síti pro každý směr interpolace stačí hodnoty Lagrangeových koeficientů
pouze jednou. V prvním směru interpolace jsou tyto koeficienty použity čtyřikrát, v druhém
směru pak pouze jednou. Pro interpolaci pole větru při hledání výchozího bodu postačuje
lineární interpolace.
Lagrangeova interpolce polynomem třetího stupně
Tento polynom konstruujeme na regulární sítí (sítí s konstantním krokem h) čtyř
uzlových bodů 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 . V těchto bodech nechť máme zadány hodnoty interpolované
funkce 𝑦0 , 𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 . Pro tuto regulární síť s krokem h máme 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 = ℎ pro 𝑖 = 0, 1, 2.
Uzlové body interpolace vybíráme tak, že bod, ve kterém hodnotu polynomu počítáme, leží
v prostředním intervalu, tedy intervalu 〈𝑥1 , 𝑥2 〉. Z teorie interpolace plyne, že v tomto
intervalu je interpolace nejpřesnější. Pro rychlé nalezení vhodných uzlů interpolace na síti
použijeme pro interpolaci normalizovanou souřadnici t, kterou definujeme substitucí
(𝑥 − 𝑥0 )⁄ℎ = 𝑡, neboli 𝑥 − 𝑥0 = 𝑡ℎ. Pro uzlové body pak máme 𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖ℎ. Podle
předchozích vztahů máme
𝑥 − 𝑥𝑖 = 𝑥 − 𝑥0 − 𝑖ℎ = 𝑡ℎ − 𝑖ℎ = (𝑡 − 𝑖)ℎ
Lagrangeovy koeficienty 𝜙𝑖 (𝑥) jsou pak dány vztahy
𝜙0 (𝑥) =
(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 )
(𝑡 − 1)(𝑡 − 2)(𝑡 − 3)
=
(𝑥0 − 𝑥1 )(𝑥0 − 𝑥2 )(𝑥0 − 𝑥3 )
−6
𝜙1 (𝑥) =
(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 )
𝑡(𝑡 − 2)(𝑡 − 3)
=
(𝑥1 − 𝑥0 )(𝑥1 − 𝑥2 )(𝑥1 − 𝑥3 )
2
𝜙2 (𝑥) =
(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥3 )
𝑡(𝑡 − 1)(𝑡 − 3)
=
(𝑥2 − 𝑥0 )(𝑥2 − 𝑥1 )(𝑥2 − 𝑥3 )
−2
326
𝜙3 (𝑥) =
(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )
𝑡(𝑡 − 1)(𝑡 − 2)
=
(𝑥3 − 𝑥0 )(𝑥3 − 𝑥1 )(𝑥3 − 𝑥2 )
6
Lagrageův polynom je pak dán vztahem
𝐿3 (𝑥) = 𝑦0 𝜙0 (𝑥) + 𝑦1 𝜙1 (𝑥) + 𝑦2 𝜙2 (𝑥) + 𝑦3 𝜙3 (𝑥)
Linární interpolace
Lineární interpolace je v semi-Lagrangeovských modelech používána v iteračním
procesu při kterém hledáme výchozí bod trajektorie. Tato interpolace je dána jednoduchým
vztahem
L1 x   1  t y0  t y1
Ve dvou dimensích, při interpolaci funkcí se dvěma nezávisle proměnnými x, y nazýváme
tuto interpolaci bilineární. Označíme-li x, y normalizované souřadnice vzhledem
k počátku souřadnic 0,0 , pak tuto interpolaci můžeme psát ve tvaru
F x, y   1  x1  y F 0,0  x1  y F 1,0  1  xyF 0,1  xyF 1,1
Literatura:
[1] Bates J. R., Moorthi S., Higgins R. W.: A Global Multilevel Atmospheric Model Using a
Vector Semi-Lagrangian Finite Difference Scheme. Part I: Adiabatic Formulation. Mon.
Wea. Rev. 121, 1993, s. 224-263.
[2] Kurihara Y., Holloway J. L.: Numerical Integration of a Nine-Level Global Primitive
Equations Model Formulated by the Box Method. Mon. Wea. Rev. 95, 1967.
[3] McDonald A., Haugen J. E.: A Two- Time-Level, Three-Dimensional Semi-Lagrangian
Semi/Implicit, Limited-Area Grid point Model of the Primitive Equations, Mon. Wea. Rev.
120, 1992, s. 2603-2621.
[4] Ritchie H., Tanguay M.: A comparison of Spatially Averaged Eulerian and SemiLagrangian Treatments of Mountains. Mon. Wea. Rev. 123, 1995, s. 167-181.
[5] Ritchie H., Temperton C., Hortal M., Davies T., Dent D., Hamrud M.: Implementation of
the Semi-Lagrangian Method in a High-Resolution Version of the ECMWF Forecast Model.
Mon. Wea. Rev. 123, 1996, s. 489-514.
[6] Robert André, Tai Loy Yee, Ritchie Harold: A Semi-Lagrangian and Semi-Implicit
Numerical Integration Scheme for Multilevel Atmospheric Models. Mon. Wea. Rev. 113,
1985, s. 388-394.
[7] Tanguay M., Yakimiv E., Ritchie H., Robert A.: Advantages of Spatial Averaging in
Semi-Implicit Semi-Lagrangian Schemes. Mon. Wea. Rev. 120, 1992, s. 113-
327
20. Formulace rovnic pro semiimplicitní korekci a jejich řešení
20.1. Shrnutí rovnic pro semiimplicitní korekci
Dosadíme-li vztahy (19.5.29) a (19.5.30) za lineární kombinaci  do vztahu (19.3.8) a
separujeme-li neznámé, dostaneme rovnice pro semiimplicitní opravu složek větru

P

 S
u   1   t x P   cD   S u
(20.1.1)
v   1   t y
(20.1.2)

 cD 
v
kde pravé strany předchozích rovnic jsou

P

  2t P  cD
S u  u  expl  1   t x P   cD   2t P  cD 
(20.1.3)
S v  v  expl  1   t y
(20.1.4)

 cD 
Semiimplicitní korekci rovnice kontinuity (19.5.38) upravíme rovněž tak, že za lineární
kombinaci  dosadíme opět do (19.3.8) a separujeme neznámé, máme
lg p s   1   t  D   


 
  Sc
 
(20.1.5)
kde
S c  lg p s 

exp l

 
 1   t  D  



 

  2t  D 

 


(20.1.6)
Obdobně upravíme i semiimplicitní korekci termodynamické věty (19.5.67). Pro k-tou  vrstvu máme
T   T  exp l  2t
T *
w  wexpl 
*
(20.1.7)
a po dosazení za w z (19.5.50)
k 1
1
wk  wk exp l   Dk  k  Dl  l 
2
l 1
obdržíme
(20.1.8)
328
k 1
T *
1 





T  * 1   t  D k  k   Dl  l   S T

l 1
2


(20.1.9)
kde
ST  T

exp l
k 1
k 1
T * 
1
 1

 * t  1    D  k  k   D  l  l   2 Dk  k   Dl  l  

l 1
l 1
2
 2


(20.1.10)
Poslední rovnicí je aproximace hydrostatické rovnice (20.5.75), kterou použijeme
v nezměněném tvaru

  RT
 lg 
(20.1.11)
Čímž je soustava pěti rovnic pro semiimplicitní korekci kompletní a zbývá ji jen vyřešit.
20.2. Princip řešení rovnic semiimplicitní korekce
Abychom vyřešili soustavu předchozích pěti rovnic (20.1.1), (20.1.2), (20.1.5), (20.1.9) a
(20.1.11) budeme postupovat následovně. Nejdříve redukujeme počet rovnic na dvě rovnice,
které ovšem obsahují také pouze dvě neznámé a to D  a P  . To provedeme takto. Na první
dvě rovnice (20.1.1) a (20.2.2) aplikujeme diskrétní operátor divergence s x u   y v  a
dostaneme tak vztah pro D  , který ovšem obsahuje ještě neznámou P 


D   1   ts 2 x P   cD   S D
(20.2.1)
kde
S D  s x S u   y S v   D  exp l  1   ts 2 P   cD    2t 2 P  cD 
(20.2.2)
Dalším krokem je, že ze tří rovnic (20.1.5), (20.1.9) a (20.1.11) eliminujeme neznámé

T  ,   , lg p s  , abychom obdrželi rovnici pouze s neznámými D  a P  .
Tato rovnice má tvar
P   1   tCHD   S P
(20.2.3)
kde složky vektorů P  a D  jsou hodnoty těchto veličin ve vrstvách, a CH je matice
vertikální struktury. Přesný význam tohoto vztahu je vyložen dále. Pro přehledný a jasný
výklad jsou rovnice psány ve vektorovém tvaru, kde složky vektorů-sloupců tvoří hodnoty
329
proměnných ve vrstvách modelu. Z předchozích dvou rovnic pro P  a D  (20.2.1) a
(20.2.3) eliminujeme proměnnou P  a dostaneme tak jedinou rovnici pro neznámou D  . Po
vyřešení Dirichletovy okrajové úlohy pro D  pak dosazením do rovnic obdržíme hodnoty po
semiimplicitní korekci.
20.3. Maticový zápis vertikální struktury rovnic semiimplicitní korekce a
jejich řešení
Při řešení diskretizovaných rovnic modelu budeme postupovat obdobně jako v práci [1]
a [2]. Pro zjednodušení zápisů nyní přejdeme k maticovému zápisu. Hodnoty proměnných ve
vrstvách budeme považovat za složky KV rozměrných vektorů. Tedy například teploty ve
vrstvách budou dány vektorem-sloupcem
T  T1 , T2 ,...., TKV 
T
(20.3.1)
kde horní index T znamená transponovanou matici (tedy sloupcový vektor).
Nyní si odvodíme vertikálně integrovanou, v diskrétním případě tady sumovanou
hydrostatickou rovnici, která nám na základě teplot vrstev a výšky terénu vyjadřuje
geopotenciál. Aproximaci hydrostatické rovnice (20.1.9) píšeme ve tvaru
 k   k 1  RTk  ln  k
(20.3.2)
Neboť geopotenciál výšky terénu  KS je znám (je roven výšce terénu násobené konstantou
tíhového zrychlení), můžeme rekurentně ze vztahů (20.3.2) postupně určit všechny hodnoty
geopotenciálu pro k=KV, KV-1, …., 1. Sumací vztahů (20.2.2) pak dostaneme
KV
 k   KS  R Tl  ln  l
(20.3.3)
l k
My ovšem potřebujeme vertikálně průměrované hodnoty gepoptenciálu, tedy hodnoty příslušné vrstvám. Ze vztahu (19.3.3) ihned máme
  k   KS 
KV
1
RTk  ln  k  R  Tl  ln  l
2
l  k 1
(20.3.4)
Pro maticový zápis předchozích i dalších vztahů budeme používat několik čtvercových matic
řádu KV×KV. Jsou to následující matice:
1
1
1 
1 / 2 1


1
1 
 0 1/ 2 1
U  0
0 1/ 2 1
1 


0
0 1/ 2 1 
 0
 0
0
0
0 1 / 2 

Samozřejmě řádu KV×KV - nikoliv 5×5.
Dále matici L transponovanou k matici U, je tedy L  U T ale též U  LT .
(20.3.5)
330
Dále budeme používat vektor e, jehož složky mají všechny hodnotu 1. Tedy
e  1,1,.....1
T
(20.3.6)
Matici E řádu KV×KV jejíž všechny prvky jsou rovny 1.
1 1 1 1 1


1 1 1 1 1
E  e  e T  1 1 1 1 1


1 1 1 1 1
1 1 1 1 1


a následující diagonální matice
(20.3.7)
H  diag  k
(20.3.8)
Z  diag  ln  k
(20.3.9)
  T * 
S  diag  k* 
(20.3.10)
 k 
Vertikálně integrovanou hydrostatickou rovnici (20.3.4) můžeme nyní napsat v maticovém
tvaru. Máme
    KS  e  RUZT
(20.3.11)
Poznamenejme, že R je skalární veličina – plynová konstanta pro suchý vzduch.
Aproximaci termodynamické věty (20.1.7) napíšeme rovněž v maticovém tvaru. Máme
T   2tS w  wexp l   ST
(20.3.12)
Obdobně jako vztah (20.3.11) odvodíme z aproximace rovnice kontinuity (20.1.5), kterou
vynásobíme  k a sečteme, vztahy pro w  a P  . Po zapsání v maticovém tvaru máme
w  wexp l  1   tLHD 
(20.3.13)

Ze vztahu (19.5.68) vyplývá, že wˆ ks  lg p s  a proto
lg ps   e  1   tEHD   lg ps  expl  e
(20.3.14)
Nyní již můžeme napsat vztah pro SLSI-změnu veličiny P definované vztahem (18.5.23)
P      RT * lg p s   e

(20.3.15)
Dosazením do vztahu (20.3.15) ze vztahů (19.3.11), (19.3.12), máme
P    KS  e  RUZT   RT * lg ps   e

(20.3.16)
po dosazení za T  ze vztahu (20.3.12)
P    KS  e  RUZ  S w  wexpl   ST   RT * lg ps   e

a dosazením ze vztahů (20.3.13) a (20.3.14) do (20.3.17) konečně máme

P    RUZS  1   tLHD    RUZST  RT *  1   tEHD   lg ps 

exp l
(20.3.17)

 e   KS  e
331
(20.3.18)
neboli
P   1   t CHD   S P
(20.3.19)
C   R(UZSL  T * E )
(20.3.20)
kde
a
S P   KS  e  RT * lg ps 

exp l
 e  RUZST
(20.3.21)
Poznamenejme, že matice CH, nazývaná maticí vertikální struktury. Matice C je
symetrickou a pozitivně definitní maticí [1]. Vlastní čísla matice CH jsou různá a kladná a
2
jsou čtverci fázových rychlostí gravitačních vln referenční atmosféry. Označíme je c k .
Vlastní vektory matice CH se nazývají vertikální normální módy. Vytvoříme-li z těchto
vektorů jako sloupců čtvercovou matici G, pak tato matice diagonalizuje matici CH a tedy
platí

G 1CH G  ck  kk
2

(20.3.22)
Nyní studujme soustavu rovnic (20.3.1) a (20.3.19) tedy soustavu


D   1   t  s 2 P   cD   S D
(20.3.23)
P   1   t CHD   S P
(20.3.24)
Obě rovnice předchozí soustavy násobíme maticí G 1 zleva a označíme-li
Dˆ , Pˆ , Sˆ
D


, Sˆ P  G 1 D  , P  , S D , S P
Dostaneme tak novou soustavu



Dˆ  1   t  s 2 Pˆ  cDˆ  Sˆ D


2
ˆ  Sˆ
Pˆ  1   t ck  kk D
P
Při úpravě druhé z rovnic jsme použili vztahu


G 1CH  ck  kk G 1
2
(19.3.25)
(20.3.26)
(20.3.27)
(20.3.28)
který dostaneme, násobíme-li vztah (20.3.22) maticí G 1 zprava.
Přepíšeme-li tyto vektorové rovnice (20.3.26) a (20.3.27) do složek, máme

 1   t c Dˆ

Dˆ k  1   t  s 2 Pˆk  cDˆ k  (Sˆ D ) k
Pˆk
2
k
k
 (Sˆ P ) k
(20.3.29)
(20.3.30)
332
Z těchto dvou rovnic můžeme eliminovat buďto D̂k , nebo P̂k . Dostaneme pak
okrajovou úlohu pro druhou veličinu. My eliminujeme P̂k a dostaneme tak pro D̂k
Dirichletovu okrajovou úlohu pro parciální diferenciální rovnici eliptického typu
1  
2
k

s 2 Dˆ k  FD
(20.3.31)
kde
 k 2  1   2 t 2 ck 2  1   t c
 
( FD ) k  Sˆ D
k
(20.3.32)
 
 1   ts 2 Sˆ P
k
(20.3.33)
Tím je třídimensionální úloha pro nalezení horizontální divergence redukována na KV dvourozměrných okrajových úloh. Po jejich vyřešení dostaneme snadno všechny potřebné hodnoty
pro realizaci semi-implictního schématu.
20.4. Semiimplicitní schéma se separabilní okrajovou úlohou.
Při řešení rovnic semiimplictního schématu (dále jen SI-schématu) je třeba řešit
mnohokrát okrajovou úlohu pro parciální diferenciální rovnici eliptického typu (20.3.31). Při
předešlé klasické formulaci SI-schématu je tato úloha příliš obecná a pro řešení velkých
soustav lineárních rovnic, vzniklých po aproximaci této úlohy, nemáme k dispozici
nejefektivnější metody řešení. Požadavku dostatečné efektivnosti nevyhovují iterační metody,
jako například metoda SOR, i když tyto metody mají některé jiné přednosti, zejména to že
umožňují řešit velmi obecné okrajové úlohy. Nejefektivnější metody řešení rovnic, jako je
použití FFT pro řešení soustav lineárních rovnic nebo cyklická redukce, mají tu vlastnost, že
počet aritmetických operací pro soustavy N rovnic roste s N pouze úměrně N 2 log N a pro
velké soustavy jsou tedy tyto metody velmi efektivní. Při použití těchto metod se výpočet
jednoho kroku SI-schématem oproti kroku explicitním schématem časově prodlužuje jen
nepatrně. Proto prodloužení časového kroku několikanásobě zvyšuje efektivitu SI-schématu
ve srovnání se schématem explicitním rovněž několikanásobně. SLSI-schéma pak dovoluje,
při zachováním stability výpočtu, další prodloužení časového integračního kroku a ještě větší
zvýšení efektivnosti modelu. Cyklickou redukcí (a obdobně též pomocí FFT) se však dají řešit
pouze lineární soustavy vzniklé diskretizací okrajových úloh tak zvaných separabilních
parciálních diferenciálních rovnic. Pro řešení lineárních rovnic používáme algoritmus
cyklické redukce „POIS“, který vyvinul P.Swarztrauber a R. Sweet pro NCAR (National
Center for Atmospheric Research) v USA právě pro řešení podobných meteorologických
333
rovnic. Tento algoritmus umožňuje řešit okrajové úlohy pro separabilní parciální diferenciální
rovnici tvaru:
a( y )
 2u
u
 2u





b
y

c
y
u

 g ( y , x)
y
y 2
x 2
(20.4.1)
Po diskretizaci obdržíme soustavu lineárních rovnic
A( I ) * X ( I  1, J )  B( I ) * X ( I , J )  C ( I ) * X ( I  1, J )
 X ( I , J  1)  2 * X ( I , J )  X ( I , J  1)  Y ( I , J )
kde
I  1, 2 ,..., M ,
J  1, 2 ,..., N
(20.4.2)
(20.4.3)
a kde počet rovnic ve směru osy x musí být součinem mocnin čísel 2,3,5 mínus 1, tedy tvaru
N  2 p  3q  5 r  1 . Tato podmínka pro hodnotu N je splnitelná snadno, tím že zvolíme
požadovaná počet uzlů sítě ve směru osy x. Splnění požadavku, aby úloha byla separabilní je
ovšem složitější. Při obvyklé formulaci SI-schématu dostáváme rovnici (20.3.31), která
vlivem toho, že čtverec koeficientu zkreslení mapy s( x, y) je funkcí obou proměnných x,y a
ne pouze proměnné y, způsobuje, že rovnice (20.3.31) separabilní není. Požadavek, aby
rovnice (20.3.31) byly požadovaného tvaru dosáhneme úpravou SI-schématu. Za tím účelem
napíšeme rovnici kontinuity (20.1.3) ve tvaru

dH
lg p s   ~s  u  v     s  ~s  u  v 
dt
 x y  
 x y 
(20.4.4)
s  y  přibližná hodnota čtverce zkreslení mapy je funkce pouze souřadnice y. Pro
kde ~
konformní mapy je zkreslení s funkcí pouze zeměpisné šířky a osa y ve středu oblasti je
obrazem poledníku a na něm je skutečně s pouze funkcí y. (Poznamenejme, že na
Mercatorově mapě je s pouze funkcí y a dostáváme separabiní rovnici automaticky.) Ve
s  y  a na menší zbytek
výpočetní oblasti rozdělíme proto zkreslení s( x, y) na hlavní část ~
sx, y   ~
s  y  . Hlavní část čtverce zkreslení mapy ~
s  y  můžeme položit také konstantě s 0 .
Pro zjednodušení zápisů zavedeme ještě hlavní část divergence horizontálního větru, kterou
~
označme D , a definujeme vztahem
 u v 
~
D~
s 
 
 x y 
(20.4.5)
a rovnici kontinuity napsat stručněji


dH
lg p s    D~    D  D~
dt


(20.4.6)
334
~
~
V aproximaci rovnice kontinuity je člen D aproximován implicitně a zbytek D  D
explicitně. Aproximace rovnice (20.4.6), tedy obdoba (20.1.5) má pak tvar

lg p s  k  1   t  D~k  

kde
( S P ) k  lg p s 

k
 

k
 k

  (S P ) k




 ~    k
 1   t  Dk 
 k

(20.4.7)

~
  2t D  D




(20.4.8)
Vztahy (20.3.29), (20.3.30) i výsledná rovnice (20.3.31) jsou formulovány rovněž místo D pro
~
D.
Literatura:
[1] Bates J. R., Moorthi S., Higgins R. W.: A Global Multilevel Atmospheric Model Using a
Vector Semi-Lagrangian Finite-Difference Scheme, Part I: Adiabatic Formulation, Mon. Wea.
Rev. 121, 1993, s. 244-263.
[2] Baťka M.: Czech Hydrometeorological Institute Limited-Area Operational Forecast
Model. Studia geophysica et geodetica 35, 1991, s. 109-124.
[3] Baťka M., Tran Thuc Nam: Limited- Area Forecasting Model Based on Semi-Lagrangian
semi-Implicit scheme Leading to Solving the Separable Elliptic Equations. Studia geophysica
et geodetica 48, 2004, str.811-828.
335
21. Diagonalizace matice pro metodu redukce dimenze
Velmi efektivní metoda redukce dimense se používá pro řešení soustav lineárních rovnic
vzniklých aproximací okrajových úloh parciálních diferenciálních rovnic. Tato metoda je
založena na diagonalizaci matice, která je aproximací této okrajové úlohy ve směru jedné
nebo dvou prostorových souřadnic. Abychom však tuto metodu mohli použít, musí mít daná
soustava určitý tvar, což nastává v případě, že eliptická parciální diferenciální rovnice je
separabilní. Tento pojem si definujeme dále. Nejdříve se věnujme problému diagonalizace
matice.
Diagonalizace matice
Začneme jednou důležitou vlastností vlastních čísel a vektorů, kterou dále hojně
využijeme:
Věta 1 : Předpokládejme, že čtvercová matice A řádu n má n lineárně nezávislých vlastních
vektorů. Vytvoříme-li matici S, jejímiž sloupci jsou vlastní vektory matice A, potom matice
S 1 AS je diagonální maticí  , na jejíž diagonále jsou vlastními čísla matice A:
1



2



S 1 AS    
.
(21.1)


n 1



n 
Důkaz: Nechť matice S je vytvořena ze sloupců, které jsou vlastními vektory matice A.
Vypočtěme součin AS. Násobíme-li postupně skalárně řádky matice A se sloupci matice
S, dostáváme, neboť pro součin matice A s vlastním vektorem x k příslušnému vlastnímu číslu
 k platí
Ax k  k x k
můžeme psát
AS  Ax1 , x 2 ,..., x n   1x1 , 2 x 2 ,..., n x n 
(21.2)
(21.3)
Matici stojící na pravé straně předchozího vztahu můžeme psát také jako součin matice
S s diagonální maticí, na jejíž diagonále jsou vlastní čísla, tedy
1x1 , 2 x 2 ,..., n x n   x1 , x 2 ,....x n 
(21.4)
odkud máme, že AS  S . Z předpokladu, že vlastní vektory matice A jsou lineárně
nezávislé, znamená že matice S je regulární a existuje tedy matice S 1 , a platí tedy že
S 1 AS  
a též A  SS 1
(21.5)
Poznámka: Matice S, která diagonalizuje matici A není jednoznačně určena. Násobíme-li
libovolný vlastní vektor nenulovou konstantou, zůstává vlastním vektorem a na diagonalizaci
matice A to nemá vliv.
V dalším budeme studovat pouze reálné matice A, tedy matice, jejíž prvky jsou reálná
čísla. V našich numerických výpočtech se totiž komplexní matice nevyskytují. Ukážeme si, že
je-li matice symetrická, tvoří její vlastní vektory ortogonální basi. Není-li matice A
336
symetrická její vlastní vektory nemusí být ortogonální, nicméně za určitých předpokladů
můžeme vytvořit biortogonální base.
Věta 1: Předpokládejme, že vlastní čísla matice A jsou reálná a různá a nechť x i jsou
vlastními vektory matice A a x i
*
jsou vlastní vektory transponované matice A *
odpovídající stejným vlastním číslům i ( matice a její transponovaná mají stejná vlastní
čísla), nechť tedy
Ax i  i x i
A * x i  i x i ,
*
a
*
(21.6)
potom pro skalární součin vlastních vektorů platí
x , x   0 , x , x   0
*
i
pro i  j , i, j  1,2,..., n
*
j
i
i
*
a systémy vlastních vektorů x i a x i se nazývají biortogonální a můžeme je normovat tak,
že
x , x   
*
i
j
ij

i j
i j
1
0
(21.7)
V tomto případě říkáme, že tento systém tvoří biortonormální basi.
Pro důkaz této věty si dokážeme následující Lemma.
Lemma: Vlastní vektory odpovídající vzájemně různým vlastním číslům jsou lineárně
nezávislé
Důkaz: Kdyby tomu tak nebylo, můžeme vzít maximální systém lineárně nezávislých
vlastních vektorů. Libovolný vlastní vektor, který nepatří tomuto systému, můžeme pak
napsat jako lineární kombinaci vektorů tohoto systému. Například nechť
k
x j   ai x i
(21.8)
i 1
kde vektor x j je lineárně závislý na vektorech maximální soustavy. Násobíme-li tuto lineární
kombinaci maticí A zleva, máme
k
 j x j   a i i x i
(21.9)
i 1
Dosadíme-li do tohoto vztahu za x j lineární kombinaci (21.8), dostaneme
 a 1  
k
i
i 1
i
/  j x i  0
(21.10)
což je ve sporu s předpokladem lineární nezávislosti, neboť 1  i /  j   0 .
Vrátíme se nyní k důkazu věty 1
Důkaz:
Pro skalární součin matice A s její transponovanou maticí A * platí vztah
Ax , x   x , A x 
*
i
odtud podle vztahů (20.6) máme

*
*
j
i

j

i x i , x j *   j x i , x j *

(21.11)
(21.12)
337
pro i  j je i   j a v důsledku toho je skalární součin
x , x   0
j
(21.13)
x , x   0
(21.14)
*
i
Zbývá tedy dokázat, že
*
i
i
Podle lemmatu jsou systémy vektorů
x i , i  1,..., n
*
x i , i  1,..., n
a
(21.15)
lineárně nezávislé systémy tvořící base soustavy všech vlastních vektorů. Kdyby
x , x   0
*
i
i
(21.17)
pak
Lineární systémy separabilních okrajových úloh
Při řešení rovnic semiimplictního schématu (dále jen SI-schématu) je třeba řešit
mnohokrát okrajovou úlohu pro parciální diferenciální rovnici eliptického typu. Při klasické
formulaci SI-schématu je tato úloha příliš obecná a pro řešení velkých soustav lineárních
rovnic, vzniklých po aproximaci této úlohy, nemáme k dispozici nejefektivnější metody
řešení. Požadavku dostatečné efektivnosti nevyhovují nejefektivnější iterační metody, jako
například metoda SOR, i když tyto metody mají některé jiné přednosti, zejména že umožňují
řešit velmi obecné okrajové úlohy. Nejefektivnější metody řešení rovnic, jako je použití FFT
pro řešení soustav lineárních rovnic, nebo cyklická redukce mají tu vlastnost, že počet
aritmetických operací pro soustavy N rovnic roste s N pouze úměrně N 2 log N a pro velké
soustavy jsou tedy tyto metody velmi efektivní. Při použití těchto metod se výpočet jednoho
kroku SI-schématem oproti kroku explicitním schématem časově prodlužuje jen nepatrně.
Proto prodloužení časového kroku několika-násobě zvyšuje efektivitu SI-schématu ve
srovnání se schématem explicitním rovněž několikanásobně. SLSI-schéma pak dovoluje, při
zachováním stability výpočtu, další prodloužení časového integračního kroku a ještě větší
zvýšení efektivnosti modelu. Cyklickou redukcí (a obdobně též pomocí FFT) se však dají řešit
pouze lineární soustavy vzniklé diskretizací okrajových úloh tak zvaných separabilních
parciálních diferenciálních rovnic. Pro řešení lineárních rovnic tohoto typu je pak možné
použít algoritmus cyklické redukce „POIS“, který vyvinul P.Swarztrauber a R. Sweet pro
NCAR (National Center for Atmospheric Research) v USA právě pro řešení rovnic
meteorologických modelů. Tento algoritmus „POIS“ umožňuje řešit okrajové úlohy pro
separabilní parciální difernciální rovnici tvaru:
a( y )
 2u
u
 2u





b
y

c
y
u

 g ( y , x)
y
y 2
x 2
Po diskretizaci obdržíme soustavu lineárních rovnic
A( I ) * X ( I  1, J )  B( I ) * X ( I , J )  C ( XI  1, J )
 X ( I , J  1)  2 * X ( I , J )  X ( I , J  1)  Y ( I , J )
(21.18)
(21.19)
kde
I  1, 2 ,..., M ,
J  1, 2 ,..., N
(21.20)
338
a kde počet rovnic ve směru osy x musí být součinem mocnin čísel 2,3,5 mínus 1, tedy tvaru
N  2 p  3q  5 r  1 . Tato podmínka pro hodnotu N je splnitelná snadno, tím že zvolíme
požadovaná počet uzlů sítě ve směru osy x. Splnění požadaveku, aby úloha byla separabilní je
ovšem složitější. Při obvyklé formulaci SI-schématu dostáváme rovnici (19.3.31), která
vlivem toho, že čtverec koeficientu zkreslení mapy s( x, y) je funkcí obou proměnných x, y a
ne pouze proměnné y, způsobuje, že rovnice (19.3.31) separabilní není. Požadavek, aby
rovnice (19.3.31) byly požadovaného tvaru, dosáhneme úpravou SI-schématu. To dosáhneme
rozdělením divergence na dvě části. To je popsáno v paragrafu 19.4. „Semiimplicitní schéma
se separabilní okrajovou úlohou“ předchozí kapitoly.
Literatura:
Srang Gilbert: Linear algebra and its applications. ACCADEMIC PRES 1976.
339
22. Ortogonální vertikální normální módy
V tomto pojednání se budeme zabývat odvozením a vlastnostmi vertikálních normálních
módů pro baroklinní model v hydrostatickém přiblížení formulovaný v  -systému vertikální
souřadnice. Normální módy, jak jsme viděli v předchozí kapitole, jsou důležité pro řešení
rovnic semiiplicitních schémat diferenčních meteorologických modelů. První, kdo vertikální
módy použili pro řešení implicitních rovnic modelů, byli již v roce 1967 Marčuk G. I.,
Kontarev G. P., Rivin G. S. [3]. Model byl ovšem v p-systému a vertikální módy byly
biortogonální. Biortogonální normální módy jsem vyzkoušel pro řešení semiimplicitních
rovnic modelu v roce 1979 [1]. Dalším krokem byla práce [2] Kasahara Akira and Sigehisa
Yosuke 1983, kteří vhodnou volbou profilu referenční teploty dosáhli, že v  -systému se
normální módy staly ortogonálními, nejen biortogonálními. Pro řešení semiimplicitních
rovnic globálního diferenčního modelu byly použity v ECMWF [4] Temperton Clive 1984.
Rovnice pro odvození vertikálních normálních módů
Nechť x, y je systém ortogonálních souřadnic na konformní mapě. Vertikální souřadnice
sigma zavedená Normanem Phillipsem je definována vztahem   p / p s , kde p je tlak a p s
je tlak na povrchu země, tj. na orografické ploše o geopotenciálu  s . Při obvyklém označení
meteorologických proměnných zavedeme pro linearizaci rovnic hybnosti proměnnou
P    RT * ( ) ln p s
(22.1)
jejíž derivace podle x a y tvoří složky hlavní lineární části horizontálního gradientu tlaku v 
-systému. Linearizované rovnice hybnosti pak můžeme psát ve tvaru
u
P
 fv 
0
t
x
(22.2)
v
P
 fu 
0
t
y
(22.3)
Označíme-li divergenci horizontálního větru d, tedy
u v 

d  s 


x

y


(22.4)
kde s( x, y) je čtverec zkreslení konformní mapy, pak pro změnu divergence můžeme psát


 f v     fu    2 P  0
d
t
x
y
(22.5)
Chceme-li rovnice pro časovou změnu hybnosti linearizovat pro obvyklé semiimplicitní
schéma, při kterém se změny hybnosti způsobené Rossbyho vlnami počítají explicitně,
zjednodušíme rovnice (22.2), (22.3) vynecháním Coriolisových členů. Rovnice pak mají tvar
340
 u P

0
 t x
(22.6)
 v P

0
 t y
(22.7)
Všimněme si v tomto případě ještě rovnice pro časovou změnu absolutní vorticity
 v u 
  f
  s


x

y


(22.8)
Tato rovnice se nazývá rovnicí vorticity a odvodíme ji tak, že (22.3) derivujeme podle x a
odečteme (22.2) derivované podle y, což násobíme s. Máme tak
 



 fv   0
  s  fu  
t
y
x

(22.9)
Vidíme, že tato rovnice neobsahuje proměnnou P a tedy změna vorticity, která je dána touto
rovnicí je nezávislá na proměnné P. Změna divergence daná rovnicemi (22.6),(22.7) má pak
tvar

d   s 2 P
t
(21.10)
Nyní odvodíme rovnici pro časovou změnu P. K tomu potřebujeme tři rovnice. Jsou to
rovnice kontinuity, termodynamická rovnice a rovnice hydrostatické rovnováhy. První dvě
rovnice musíme ovšem linearizovat. Třetí, rovnice hydrostatické rovnováhy je pouhý lineární
diagnostický vztah, který neobsahuje časovou změnu.
Začneme rovnicí kontinuity. V sigma-systému je psána obvykle v divergentním tvaru
 


 p s u     p s v     p s   0
p s  s
t
y
x
 
(22.11)
Tuto rovnici dělíme p s a upravíme do tvaru
 ps
 

s   ps
 u
ln p s 
d 
v
t

ps   x
y



(22.12)
kde pravá strana rovnice představuje nelineární část spojenou s advekcí, levá část nám
představuje linearizovanou rovnici kontinuity
 

ln p s 
d 0
t

(22.13)
Zavedeme-li novou proměnnou w, kterou definujeme vztahem

w   ln p s  
t
(22.14)
pak linearizovanou rovnici kontinuity můžeme psát ve tvaru
341
w
 d

(22.15)
Další rovnicí, kterou potřebujeme pro odvození rovnice pro časovou změnu P je
termodynamická rovnice. Ta se obvykle píše ve tvaru
dT
cp
 
dt
(22.16)
RT
kde c p je specifické teplo při konstantním tlaku,  
je specifický objem a  je
p
generalizovaná vertikální rychlost v p-systému a tedy
dp d
d

  p s   
p s  p s 
dt dt
dt
(22.17)
odtud můžeme psát
 





ln p s      u
ln p s  v
ln p s 
ps
t
y
 x

(22.18)
kde první dva členy pravé strany rovnice tvoří lineární část podílu  / p s a tvoří právě
proměnnou w. Další dva členy tvoří nelineární část příslušnou k advekci. Tyto členy při
linearizaci termodynamické věty zahrneme do její nelineární části. Než začneme s linearizací
termodynamické rovnice (22.16), rozepíšeme ji podrobněji
 T
T 
 T T 
T
  
 s u
v

t
y
   ps
 x
(22.19)
R
kde  
. Při linearizaci formulujeme termodynamickou rovnici pro odchylku absolutní
cp
teploty T   T  T * od absolutní teploty referenční standardní atmosféry, kterou označme T *
. Tato teplota referenční atmosféry T * ( ) je funkcí pouze vertikální souřadnice  a není
tedy funkcí prostorových souřadnic x, y a času t. Derivace T a T  podle proměnných x, y, t
jsou si tedy rovny. S použitím vztahu (22.18) můžeme proto psát
 T * T *
T
 

w  N (T )
t


(21.20)
kde
 T
 

 T T*  T T*
T 

  
N (T )  s u
v

w  T s u
ln p s  v
ln p s 
 y


y
 x
 x





Linearizovanou termodynamickou rovnici můžeme proto psát ve tvaru
T
T *
      
w
t

(22.21)
342
T
   
kde
*

.
Hydrostatickou rovnici píšeme raději ve tvaru

  RT
 ln 
(22.22)
než v původním tvaru

RT



(22.23)
i když, jak uvidíme dále, pro diferenční aproximaci obou tvarů rovnice dostaneme stejné
vztahy.
Vzhledem k tomu, že v teorii vertikálních normálních módů jede pouze o vertikální strukturu
modelu, nebudeme upřesňovat aproximaci modelu vzhledem k souřadnicím x, y a času t.
Můžeme si třebas představit, že aproximace v horizontálních plochách vzhledem
k proměnným x, y je provedena na C-síti, nebo konečnými elementy, či spektrálně. Diferenční
aproximaci ve směru osy  je však třeba popsat přesně.
Model je formulován na střídavé vertikální síti. Diferenční aproximace na vertikální ose,
kterou nyní popíšeme, se používá v současné době prakticky ve všech modelech. Ve
vertikálním směru se model skládá z KV vrstev. Tyto vrstvy jsou od sebe odděleny, nebo
spíše vymezeny KS=KV+1 plochami konstantního  . Tyto plochy budeme nazývat sigma
plochami, nebo sigma hladinami. Tyto sigma plochy jsou zadány jako rostoucí posloupnost
hodnot  k tvaru
 1  0   2   3  ....   KS
(22.24)
Poznamenejme, že v modelech ECMWF a i v mnohé literatuře jsou tyto sigma hladiny
nazývány jako „poloviční hladiny“, neboť jsou indexovány indexy ve tvaru k+1/2 kde k =0,
…, KV. Pro zápis teorie je to možná o něco přehlednější a symetričtější, ale při programování
se pak stejně používají jako indexy pouze celá čísla.
Na sigma plochách jsou zadávány proměnné:  k , geopotenciál  k , vertikální
rychlost v   systému  k , proměnná wk a absolutní teplota referenční atmosféry T * k . Ve
vrstvách jsou zadávány hodnoty složek větru u k , v k , absolutní teplota Tk , proměnná Pk ,
divergence d k a po případě vorticita. Definujme nyní vertikální operátor průměrování. Tento
operátor dvěma hodnotám proměnné na sousedních sigma plochách přiřazuje hodnotu
aritmetického průměru této proměnné v sigma vrstvě, kterou omezují. Operátor aritmetického
průměru označme symbolem
  k   k   k 1  / 2
(22.25)
a operátor diferencování definujme vztahem
 k   k 1   k
(22.26)
343
kde hodnoty na pravé straně náleží sigma plochám, hodnota diference na levé straně náleží
vrstvě, kterou tyto plochy omezují. Při tomto označení můžeme napsat aproximaci
hydrostatické rovnice ve tvaru
 k
 ln  k

 k  1  k
ln  k  1 /  k 
  RTk
(22.27)
Pomocí diferenční aproximace vztahu pro derivaci přirozeného logaritmu
 ln  1



(22.28)
hodnotu  v sigma vrstvách, kterou označíme  definujeme vztahem
 ln  k 1

 k  k *
*
(22.29)
Pří takto definované hodnotě  ve vrstvách, je aproximace hydrostatické rovnice vyjádřené
vztahy (22.22) a (22.23) stejná a je dána vztahem (22.27).
Vyjádření matice vertikální struktury
Rovnici pro časovou změnu proměnné P již budeme odvozovat pro danou vertikální
aproximaci. Přitom použijeme maticové vyjádření vztahů. Pro diskrétní aproximaci ovšem
definujeme funkci P danou vztahem (22.1) následovně
Pk    k  RTk
*
ln p s
(22.30)
tedy ve vrstvách. Hodnoty proměnných ve vrstvách budeme považovat za složky KV
rozměrných vektorů. Tedy teploty ve vrstvách budou dány vektorem-sloupcem
T
T  T1 , T2 ,...., TKV 
(22.31)
kde horní index T znamená transponovanou matici (tedy sloupcový vektor).
Nyní si odvodíme vertikálně integrovanou – v diskrétním případě tady sumovanou
hydrostatickou rovnici, která nám na základě teplot vrstev a výšky terénu vyjadřuje
geopotenciál. Aproximaci hydrostatické rovnice (22.27) přepíšeme do tvaru
 k   k 1  RTk  ln  k
(22.32)
Neboť geopotenciál výšky terénu  KS je znám (je roven výšce terénu násobené konstantou
tíhového zrychlení g), můžeme rekurentně ze vztahů (22.32) postupně určit všechny hodnoty
geopotenciálu pro k=KV, KV-1, …., 1. Sumací vztahů (22.32) pak dostaneme
KV
 k   KS  R Tl  ln  l
l k
(22.33)
My ovšem potřebujeme vertikálně průměrované hodnoty gepoptenciálu, tedy hodnoty
příslušné vrstvám. Ze vztahu (21.33) ihned máme
344
  k   KS 
KV
1
RTk  ln  k  R  Tl  ln  l
2
l  k 1
(22.34)
Pro maticový zápis předchozích i dalších vztahů budeme používat několik čtvercových matic
řádu KV×KV. Jsou to následující matice:
1
1
1 
1 / 2 1


1
1 
 0 1/ 2 1
U  0
0 1/ 2 1
1 


0
0 1/ 2 1 
 0
 0
0
0
0 1 / 2 

(22.35)
Samozřejmě řádu KV×KV - nikoliv 5×5.
Dále matici L transponovanou k matici U, je tedy L  U T ale též U  LT .
Dále budeme používat vektor e, jehož složky mají všechny hodnotu 1. Tedy
T
e  1,1,.....1
(22.36)
Matici E řádu KV×KV jejíž všechny prvky jsou rovny 1.
1 1 1 1 1


1 1 1 1 1
E  e  e T  1 1 1 1 1


1 1 1 1 1
1 1 1 1 1


(22.37)
a následující diagonální matice
H  diag  k
Z  diag  ln  k
(22.38)
(22.39)
S  diag k

(22.40)
*
 T
K  diag  k*
 k




(22.41)
  diag k
(22.42)
kde  k je diferenční aproximace vertikálního gradientu referenční teploty v  -systému, tedy
derivace    
T *
viz vztah (22.21) a bude určena později

Y  diagTk
*
(22.43)
součin matic ZS je opět diagonální matice
345
  Tk *

 ln  k 
ZK  KZ  diag 
*
 k

(22.44)
Vertikálně integrovanou hydrostatickou rovnici (21.34) můžeme nyní napsat v maticovém
tvaru. Máme
    KS  e  RUZT
(22.45)
Poznamenejme, že R je skalární veličina – plynová konstanta. Z tohoto vztahu dostaneme také
ihned derivováním vztah pro časovou změnu geopotenciálu. Vzhledem k tomu, že člen
 KS  e a matice RUZ jsou konstantní (nezávislé na čase), máme
 
T
 RUZ
t
t
(22.46)
Nyní si aproximujeme rovnici kontinuity. Nejdříve si všimněme, že ze vztahu (22.13) pro
  1 , vezmeme-li v úvahu že vertikální rychlosti v  -systému jsou na horní i dolní hranici
oblasti rovny nule, tedy  1   KS  0 máme

w1  0 , wKS  ln p s
t
(22.47)
Přirozená aproximace linearizované rovnice kontinuity (22.15) má pak tvar
wk 1  wk
 d k
 k
(22.48)
odtud sumací předchozího vztahu máme jednak
KV

ln p s  wKS   d l  l
t
l 1
(22.49)
a pro vertikálně průměrované w ve vrstvách
k 1
1

wk   d k  k   d l  l
2
l 1
(22.50)
V maticovém tvaru mají dva předchozí vztahy tvar:
Vztah (22.49) určuje vektor, jehož všechny složky jsou stejné a jsou rovny časovým změnám
přirozeného logaritmu přízemního tlaku

ln p s  e   EHd
t
(22.51)
Vztah (21.50) přepsaný do maticového tvaru je
w    LHd
(22.52)
Pro aproximaci termodynamické věty (22.21) ve tvaru
Tk
Tk * 

  k   k 
wk  0
t

(22.53)
346
potřebujeme maticově vyjádřit ještě vertikální rychlost  . Postupujeme obdobně jako pro
vyjádření w. Diferenční aproximaci linearizované rovnice kontinuity (22.13) sečteme přes
l=1,…k. Vzhledem k tomu, že  1  0 máme
 k   k
k

ln p s   d l  l
t
l 1
(22.54)
Vertikálním průměrováním předešlého vztahu máme
k

1
 k     k ln p s  d k  k   d l  l
t
2
l 11
(22.55)
Vztah (22.55) přepíšeme do maticového tvaru, máme
   SEHd  LHd  SE  LHd
(22.56)
Dosadíme-li do termodynamické věty (22.53) ze vztahů (22.52) a (22.56) dostaneme
v maticovém tvaru vyjádřenu časovou změnu vektoru teploty, jakožto funkci divergence
T
 Kw      KL  SE  L Hd
t
(22.57)
Rovnici pro časovou změnu P odvodíme derivováním vztahu (21.30) podle času t
Pk


* 

 k  RTk
ln p s
t
t
t
(22.58)
což zapsáno v maticovém tvaru je
P  


 RY ln p s  e
t
t
t
(21.59)
Dosadíme-li do předchozího vztahu hodnoty časových změn ze vztahů (21.46) a (21.51)
máme
P
T
 RUZ
 RYEHd
t
t
(21.60)
pomocí vztahu (22.57) dostaneme hledaný vztah
P
 CHd
t
(22.61)
kde
C  RUZ K  L  SE   YE 
(22.62)
Nyní ukážeme, že tato matice C, která se nazývá maticí vertikální struktury, je symetrická.
Označme nyní diagonální matici
*
*
  diag Tk 1  Tk
(22.63)



*
Vynásobíme-li vektor   e  Tk 1  Tk

* T
maticí U zleva, máme
347

*
*
*
*
*
U  e  TKS  T1 , TKS  T2 ,...., TKS  TKV
*

(22.64)
Proto můžeme psát
*
Y  e  TKS  e  U  e
(22.65)
po vynásobení předchozího vztahu vektorem-řádkem e
*
YE  TKS E  UE
T
máme
(22.66)
Dosazením do vztahu (62) za YE můžeme matici C napsat ve tvaru
*
C  R UZ K  L  TKS E  U ZS   E


(22.67)
První člen matice je symetrický, neboť je součinem matice U, diagonální matice a matice L
druhý člen je rovněž symetrický. Aby matice byla symetrická musí být i třetí člen
U ZS   E symetrický, což je možné jen tehdy, když ZS   je nulová matice. Tato
matice je nulová, když
  Z 1S 1
(22.68)
což přepsáno ve složkách znamená
*
*
Tk 1  Tk
k  
 k  ln  k
 
(22.69)
Předchozí vztah můžeme vzhledem ke vztahům (21.28) a (21.29) považovat za aproximaci
vertikálního gradientu referenční teploty, kterou potřebujeme, aby matice struktury byla
symetrická. Na závěr odvození matice struktury se podíváme na případ, izotermní referenční
atmosféry. Izotermní referenční atmosféra se používá v semiimplicitních schématech.
Z důvodů stability je hodnota T * kladena obvykle 300 K. T * v tomto případě nezávisí na
vertikální souřadnici a gradient  je roven 0. Matici struktury můžeme v tomto případě psát
ve tvaru
C  RUZKL  RT * E
(22.70)
V obecném případě, když použijeme správnou definici gradientu teploty referenční atmosféry,
která je dána vztahem (21.69) má matice struktury v podstatě stejný tvar, kde pouze teplota ve
vztahu je teplota referenční atmosféry na povrchu země a máme
C  RUZ K  L  RTKS E
*
(22.71)
Matice K    je diagonální matice a matice C je v obou případech symetrická, neboť je
součtem dvou symetrických matic. Matice
(U ZS L)T  LT ZS U T  U ZS L
(22.72)
násobené konstantou R a matice T*E . Matice C je positivně definitní, neboť diagonální
matice ZS má všechny prvky kladné a můžeme psát
348
1
2
1
2
1
2
1


U ( ZS ) ( ZS ) L  U ( ZS ) U ZS  2 


T
(22.73)
a tedy vlastní čísla matice C jsou reálná kladná.
Rovnice (22.61) pro časovou změnu funkce P na základě divergence horizontálního větru
nám definuje vertikální normální módy. Vlastní vektory  k , k  1,..., KV  matice CH
splňující tedy vztahy
2
CH k  ck  k
(22.74)
jsou vertikální normální módy. Kasahara-Shigesia [2] Temperton [4]. Vlastní čísla matice
2
CH , které jsme označili c k jsou čtverci fázových rychlostí vertikálních normálních módů.
Matice CH se nazývá maticí vertikální struktury. Ekvivalentní hloubky hk vertikálních
normálních módů odpovídají jejich fázovým rychlostem vztahem
2
g hk  ck
(22.75)
Rovnici (21.74) můžeme přepsat ve tvaru
1
2
1
2
1
2
1
2
( H C H ) ( H  k )  ck H  k
2
(22.76)
1
2
1
2
Matice H C H je rovněž symetrická a pozitivně definitní. Z rovnice (22.76) vyplývá, že
vlastní čísla této matice jsou reálná kladná a jsou shodná s vlastními čísly matice CH. Protože
1
2
matice H C H
 12 
H l 




T
1
2
1
2
je symetrická, jsou její vlastní vektory H  k ortogonální a platí
 12 
 H  k    lk




(22.77)
Vlastní vektory matice CH dostaneme vynásobením vlastních vektorů symetrické matice
1
1

1
H 2 C H 2 diagonální maticí H 2 zleva. Diagonalizaci matice CH můžeme tedy provést
následujícím způsobem. Nechť M je matice složená ze sloupců, které jsou vlastními vektory
1
1
matice H 2 C H 2 . Pak M je ortogonální matice a M T M  I a matici G, která diagonalizuje
matici CH a jejíž sloupce jsou normální módy, můžeme psát ve tvaru
1
2
GH M
(22.78)
Protože platí
G
1
  12 
  H M 


1
1
1
2
M H M H
T
1
2
(22.79)
máme
1
1
2
1
2
 
G CH G  M H CH M  diag ck
T
2
(22.80)
349
Všimněme si ještě, že matice CH není obecně symetrická. Je symetrická, když součin matic
CH je komutativní, neboť pak
CH T  H T C T  H C
(22.81)
Tato skutečnost nastává v případě vertikální ekvidistantní sítě, neboť matice H je v tomto
případě skalární a je rovna   I .
T
V případě, že matice CH není symetrická, vlastní vektory matice CH  příslušné
vlastním číslům c k označme  k . Je tedy
*
2
CH T  k  ck  k
*
2
*
(22.82)
1
2
1
Vlastní vektory matice CH   HC můžeme dostat násobením vektorů matice H C H 2
T
1
1
maticí H 2 zleva. Tyto vlastní vektory jsou tedy sloupci matice H 2 M , neboli řádky matice
1
G 1  M T H 2 . Vidíme tedy, že vektory  k a  k * tvoří biortonormální basi Marčuk at all.
[3], Baťka [1]
 k  l *   kl
(22.83)
což má v maticovém zápisu tvar
G 1G  I
(22.84)
Příloha
V této příloze si pro snazší a přesnější orientaci v maticových zápisech našeho textu shrneme
některé vztahy pro matice, které používáme. Používané matice jsou většinou speciálního
tvaru. Některé tyto matice a vektory si definujeme. Všechny matice budou čtvercové řádu n a
vektory sloupce dimense n. Vektor o složkách u k budeme označovat u  u1 ,..., u n  , kde
T
index T nahoře značí transponovanou matici, tedy i vektor.
1. Násobíme-li matici A konstantou K, dostaneme matici, jejíž všechny prvky jsou násobeny
konstantou K. Matice tvaru KI, kde I je jednotková matice se nazývá skalární matice.
Násobení matice konstantou K nebo skalární maticí KI je stejné, KIA=KA.
2. Nyní si definujeme matice a vektory používané v textu:
e  1,1,....,1 je vektor, jehož všechny složky jsou rovny 1. Máme pak eT  1,1,.....,1 .
T
Označme E matici, jejíž všechny prvky jsou rovny 1. Je
1
 
1
T
E  e  e   1 1 1 1
 
 
1
 
1

1
1   1


1

1 1
1 1
1 1
1 1
1

1
1


1 
350
3. Dále si definujeme trojúhelníkové matice L a U :
0
0 
1
1 / 2 0
1 / 2 1



0 
 1 1/ 2 0
 0 1/ 2 1


L 1
U  0
1 1/ 2
0
0 1/ 2






 1

 0
1
1
1/ 2
0
0





 a je


1 / 2 
1
1
1
L UT
Poznamenejme, že E  L  U .
4.
Diagonální matice jsou matice, které mají nenulové prvky pouze v hlavní diagonále.
Pro tyto matice platí:
Součin diagonálních matic je opět diagonální matice a platí
0   b1 0 0
0   a1b1
0
0
0 
 a1 0 0


 

0   0 b2 0
0   0 a 2 b2
0
0 
 0 a2 0
0 0 a
0   0 0 b3
0 0
0
a3 b3
0 
3


 



 

0 0 0




an   0 0 0
bn   0
0
0
a n bn 

5. Součin diagonální matice a vektoru je vektor tvaru
 d1 0 0

 0 d2 0
0 0 d
3


0 0 0

  u1   d1u1 
  

  u2   d 2u2 
u    d u 
 3   3 3 
  





d n   u n   d n u n 
0
0
0
6.
Zvláštním případem předchozího vztahu je, násobíme-li diagonální maticí vektorem e.
Dostaneme tak vektor, jehož složky jsou stejné jako prvky v diagonále matice
diag d k   e  d .
7.
Násobíme-li vektor d maticí E zleva, dostaneme vektor, jehož všechny složky budou
stejné a budou rovny součtům složek původního vektoru, tedy
 n

 dk 
n
 k 1 
Ed   d k  e  
 .
k 1
 n

 dk 
 k 1 
8. Součinem matice a vektoru je vektor, jehož složky jsou skalární součiny řádků matice a
daného vektoru
351
 a11 a12

 a 21 a 22


a
 n1 a n 2
9.
10.
a1n   b1   a11b1  a12b2  ...  a1n bn 
  

a 2 n   b2   a 21b1  a 22b2  ...  a 2 n bn 
   

  

a nn   bn   a n1b1  a n 2 b2  ...  a nnbn 
Speciálním případem předchozího vztahu je násobení vektoru diagonální maticí zleva
 a1
  b1   a1b1 

  

a2

  b2   a 2 b2 

   


  


b   a b 
a
n  n 

 n n
Násobíme-li čtvercovou matici diagonální maticí zprava, dostaneme matici, která se
skládá ze sloupců původní matice násobenými příslušným prvkem diagonální matice,
k-tý sloupec matice je tedy násoben k-tým prvkem diagonální matice B)
a n1   b1
a1n bn 
 a11 a12
  a11b1 a12b2


 

an2  
b2
a1n bn 
 a 21 a 22
  a 21b1 a 22b2






 

a

 a b a b

a
a
b
a
b
n
1
n
2
nn
n
n
1
1
n
2
2
nn
n


 

11. Násobíme-li čtvercovou matici diagonální maticí zleva, dostaneme matici, která se skládá
z řádků původní matice násobených příslušným prvkem diagonální matice,
(k-tý řádek je násoben k-tým prvkem diagonální matice B)
a n1   a11b1 a12b1
a1n b1 
 b1
  a11 a12


 

b2
a n 2   a 21b2 a 22b2
a1n b2 

  a 21 a 22






 


bn   a n1 a n 2
a nn   a n1bn a n 2 bn
a nnbn 

12. Součin symetrické a diagonální matice není obecně symetrická matice: příklad
1 1  1 0  1 2 

 
  

1 1  0 2  1 2 
 1 0  1 1  1 1 

 
  

 0 2  1 1  2 2 
Literatura:
[1] Baťka M.: On the use of Biortogonalization for solving Systems o Linear Equations in
Numerical Weather Forecast. Studie geoph. at geod. Vol. 23, 1979.
[2] Kasahara Akira and Sigehisa Yosuke : Ortogonal Normal Modes of a Vertically Staggered
Discretized Atmospheric Model. Monthly Weather Review Vol.111, 1983, p. 1724-1735.
352
[3] Marčuk G. I., Kontarev G. P., Rivin G. S. Kratkosročnyj prognoz pogody po púolnym
urovnenijam na ograničennoj territorii. Fizika atmosfery i okeana Tom III. 1967.
[4] Temperton Clive : Orthogonal Normal Modes for a Multilevel Model, Monthly Weather
Review Vol.112, 1984. 503-509.
353
23. Metody rozkladu pro řešení nestacionárních úloh.
V současné praxi je třeba často numericky řešit složité úlohy matematické fyziky.
V našem případě to je například časová integrace rovnic dynamické meteorologie pro
předpověď počasí, pro klimatické modelování i šíření znečišťujících látek v atmosféře.
Jednou možností je převést tuto složitou úlohu na několik úloh jednodušších. Jedním ze
zakladatelů a propagátorů tohoto postupu je prof. G. I. Marčuk, který této problematice se
svými žáky a spolupracovníky, původně v Novosibirském oddělení Akademie věd, věnoval
mimo mnoha článků v časopisech i několik knih.
V originální ruské literatuře se používá termín „metod rasščeplenija“, který se obvykle
překládal jako metoda štěpení. Tento překlad také v doslovném překladu odpovídá
anglickému termínu „splitting“. V českém překladu knihy G. I. Marčuka: Metody numerické
matematiky (ACADEMIA Praha 1987) se objevil překlad metoda rozkladu, čímž je do jisté
míry dán oficiální název této metody. Podle mého názoru by tomuto termínu mohl v češtině
odpovídat též termín faktorizace, který vychází z vlastnosti této metody i anglické
terminologie. Já se ve výkladu přidržím termínu štěpení, který se mi zdá výstižnější. Na
rozdíl od obecné teorie, kterou se zabývá již zmíněná Marčukova kniha, se budeme po
krátkém úvodu vysvětlující princip této metody zabývat jejími aplikacemi v numerické
předpovědi počasí a jaký byl jejich vývoj v průběhu času. Mnoho pokusů na využití této
metody však skončilo v podstatě neúspěchem, neboť nepřineslo efektivnější a přesnější řešení
rovnic dynamické části předpovědních modelů. Z druhé strany, při praktickém provedení
výpočtů fyzikálních parametrizací byla metoda štěpení-faktorizace použita dosti často, aniž by
si to možná meteorologové uvědomovali.
Princip metody štěpení pro nestacionární úlohy
Nejdříve si všimněme otázky, co je štěpení a jeho principu. Studujme evoluční rovnici
tvaru

 L  0
(23.1)
t
s počáteční podmínkou   g v oblasti G v čase t  0 , kde operátor - matice L nezávisí na
čase a  je obecně vektor-sloupec. My tento operátor napíšeme jako součet dvou operátorů, a
tedy nechť je
L  AB
(23.2)
Rovnici (23.1) zatím pro jednoduchost aproximujeme explicitní aproximací tvaru
 n1   n
vyjádřením  n 1
 L n  0
t
z předchozího vztahu máme
(23.3)
 n1  I  tL n
(23.4)
kde I je jednotková matice. Štěpení, znamená řešit úlohu ve dvou krocích. S použitím vztahu
(23.2) můžeme schéma (23.3) štěpit na dva kroky
 n1 / 2   n
t
 A n  0
(23.5)
354
 n1   n1 / 2
 B n 1 / 2  0
(23.6)
t
kde hodnotu po prvním operátoru jsme označili jako obvykle  n1 / 2 . „Lomené indexy“
používají pro označení prostorových hodnot na střídavých sítích v popisech modelů
v ECMWF v Redingu. Při metodě štěpení se ovšem lomené indexy používaly již dříve a
poněkud v jiném významu, protože lomený index n+1/2 zde neznamená hodnotu uprostřed
časového kroku. Janěnko proto tuto metodu nazývá rusky „metod drobnych šagov“, tedy
metodou lomených kroků. Tento termín lze považovat za další synonymum pro metodu
štěpení.
Přepíšeme-li vztahy (23.5) a (23.6) do explicitního tvaru obdobně jako (23.3) do tvaru
(22.4) máme
 n1 / 2  I  tA n
(23.7)
 n1  I  tB n1 / 2
Dosadíme-li nyní výraz (22.7) do (22.8) máme
 n1  I  tBI  tA n
(23.8)
(23.9)
Předchozí vztah nám dává jeden krok metody štěpení. Vidíme, že původní operátor byl
nahrazen součinem dvou operátorů, proto se této metodě říká také metoda faktorizace, což je
anglicky v matematice obvyklejší.
Dosazením vztahu (23.2) do vztahu (23.3), nebo provedení součinu ve vztahu (26.9)
dostaneme s použitím (23.2)
 n1   n
 L n  tBA n  0
(23.10)
t
což nám představuje řešení při použití metody štěpení. Vidíme, že dostáváme aproximaci
podobnou jako (23.3), ale je zde navíc člen  tBA n řádu ot  , který nám představuje
chybu, která vzniká při štěpení navíc. Symetrizací schématu, což se provede tak, že napřed
použijeme operátor A a B s polovičním časovým krokem a pak opačně operátor B a pak A
rovněž s polovičním krokem, tedy schéma rozložíme na čtyři faktory, pak se chyba metody
zmenší na chybu řádu o t 2 .
Ptejme se nyní, k čemu je faktorizace dobrá. Má vůbec smysl? Proč třebas
nepoužijeme původní schéma. Smysl štěpení je následující: dává nám možnost vytvářet nová
další schémata, jsou-li stabilní jednotlivé kroky (například v energetické normě, která se
v numerických metodách požívaných v meteorologii vzhledem k nelineárnosti rovnic často
k důkazu stability řešení používá), pak je schéma se štěpením stabilní. Dále je si třeba
uvědomit, že v meteorologických modelech se při parametrizacích meteorologických
fyzikálních dějů používá štěpení, ačkoliv to nikde není explicitně řečeno. Snad to někteří
meteorologové ani nevědí, že je tato metoda použita.
Hlavním důvodem vývoje metody štěpení pro aplikace v meteorologii i jiných
podobných problémech bylo zvýšení efektivnosti výpočetních metod. To se mělo podařit
zvětšením časového integračního kroku, který pro explicitní schéma musí v závislosti na délce
prostorového kroku v síti splňovat pro délku časového kroku CFL kritérium stability.
Explicitní schémata se pak musí počítat s relativně malým časovým krokem a pro celkovou
integraci je pak potřeba těchto kroků zbytečně mnoho. Na rozdíl od toho, implicitní schémata
 
355
bývají většinou absolutně stabilní a délka kroku je pak spíše omezena požadavkem dostatečné
přesnosti výpočtu. Cílem použití štěpení bylo formulovat vhodná vysoce efektivní stabilní
schémata. Úkolem štěpení je aproximovat úlohu tak, aby její řešení se skládalo z několika po
sobě jdoucích implicitních absolutně stabilních schémat. V pojetí G. I. Marčuka tato
jednotlivá schémata měla být Crnak-Nicholsonova, tedy v podstatě lichoběžníková schémata.
V časovém kroku t n  t  t n1 měla aproximace rovnice (23.1) při štěpení operátoru daném
(23.2) tvar
 n1 / 2   n
t
A
 n1   n1 / 2
 n1 / 2   n
B
2
0
(23.11)
 n1   n1 / 2
(23.12)
0
t
2
eliminujeme-li pomocnou proměnnou  n1 / 2 , můžeme převést předchozí soustavu do tvaru
 n1  T n
(23.13)
kde
1
1
t  
t 
t  
t 

T   I  B   I  B  I  A   I  A 
(23.14)
2  
2 
2  
2 

t
t
A 1 a
B  1 , potom operátory vyjadřující implicitní
jestliže předpokládáme, že
2
2
části T můžeme rozvinout v konvergující mocninné řady. Operátor T můžeme pak psát ve
tvaru
(23.15)
T  I  tL  t  ot 
tento vztah můžeme přepsat do obdoby vztahu (10). Je tedy
 n1   n
 L n  ot   0
(23.16)
t
dostáváme tak aproximaci rovnice (23.1) složenou ovšem pouze z implicitních kroků.
Podrobnostmi metody se lze informovat v knihách G. I. Marčuka. Tato aproximace je sice
absolutně stabilní je však opět zatížená určitou chybou štěpení, jejíž velikost je závislá na
délce časového kroku t .
Abychom si přiblížili použití štěpení v meteorologii, aplikujeme tuto metodu na řešení rovnic
mělké vody. Této model je pro aplikaci metody dostatečně obecný a zároveň pro pochopení
aplikace metody dostatečně jednoduchý. V obecném baroklinním modelu s hydrostatickou
aproximací je navíc pouze vertikální struktura modelu, která je dána tím, že model je
třírozměrný. Rovnice mělké vody si napišme pro tyto účely v advekčním tvaru. Při obvyklém
označení (viz předchozí kapitoly), můžeme napsat
u
u
u
h
u
v
 fv  g
0
(23.17)
t
x
y
x
v
v
v
h
 u  v  fu  g
0
t
x
y
y
(23.18)
h
h
h  u v 
u
 v  h    0
t
x
y
 x y 
(23.19)
356
Štěpení se týká jednoho integračního kroku na časovém intervalu t n  t  t n1 . Ve schématu
jsou v advekčních členech složky rychlosti u, v aproximovány v počátečním čase intervalu, tj.
hodnotami u n ,v n , které označme pro jasnost u ,v . To je určitá linearizace advekce na
intervalu jednoho časového kroku. Na intervalu štěpení t n  t  t n1 můžeme tedy koeficienty
advekčních členů pokládat za konstantní. V prvních pracích Marčuk použil štěpení rovnic
(23.17), (23.18) a (23.19) na dvě části. Na část, kterou nazval přenos (což je v podstatě
advekce) a na část adaptace, která je lineární částí rovnic a popisuje geostrofickou adaptaci
meteorologických polí – pole rozložení hmoty a pole větru, tedy podle naší terminologie
geostrofické přizpůsobení.
Přenos je dán rovnicemi
u
u
u
(23.20)
u
v
0
t
x
y
v
v
v
u
v
0
t
x
y
(23.21)
h
h
h
u
v
0
t
x
y
(23.22)
adaptace je dána rovnicemi
u
h
 fv  g
0
t
x
v
h
 fu  g
0
t
y
(23.23)
(23.24)
 u v 
h
 h     0
t
 x y 
Napíšeme-li rovnice mělké vody ve tvaru (23.1) má vektor řešení tvar
u 
 
  v
h
 
(23.25)
(23.26)
operátor celé soustavy (23.1) je
 

u  v
y
 x

L
f

 h 

x

operátor přenosu A je pak roven
f
u


v
x
y

h
y



x 


g
y 


u  v 
x
y 
g
(23.27)
357
 

u
v
0
y
 x



A
0
u
v
x
y


0
0


operátor adaptace, tedy vlnové části je pak




0



 
u
v 
x
y 
0
(23.28)

 
 0
f g 

x 

 
B f
0
g 
(23.29)
y 

h  h 
0 
 x
y


aby operátor B byl lineární, nahradili jsme zde, obdobně jak to bylo uděláno v baroklinním
modelu, hodnotu výšky hladiny mělké vody její klidovou konstantní hodnotou h . Rovnice
(23.25) se tím stává lineární diferenciální rovnicí. Zrychlení zemské tíže g je konstanta a
Coriolisův parametr je funkcí proměnných x, y, nezávislý na čase.
Ve schématu výpočtu se rovnice přenosu štěpí ještě jednou a to na přenos (advekci) ve
směru osy x a ve směru osy y. Lichoběžníkové schéma pro každý směr vede na řešení
soustavy s tří-diagonální maticí, kterou je možné řešit efektivně pomocí rekurentních vztahů
ekvivalentních s Gaussovou eliminací. I když takto dostaneme absolutně stabilní schéma, což
znamená, že stabilita nezávisí na poměru délkového a časového kroku, po provedení mnoha
pokusů, které srovnávaly efektivnost a zejména přesnost schémat pro realizaci advekce
ukázaly, že schéma advekce pomocí štěpení na směry není při delším časovém kroku příliš
přesné. Nepožadujeme-li však časový krok tak dlouhý můžeme advekci aproximovat
explicitním schématem, které je v tomto případě efektivnější i přesnější. Je to tím, že advekce
nepopisuje žádné rychlé vlny, jako jsou gravitační vlny v části adaptace. Tím se pro výpočet
advekce explicitním schématem může použít několikrát delší krok, než pro vlnovou část –
adaptaci. Tato skutečnost se běžně používá při použití smi-implicitních Eulerovských
schématech, kde pouze gravitační vlny jsou aproximovány schématem implicitně. V současné
době se pro advekci používá semi-Lagrangeova metoda, která je velmi přesná a navíc
dovoluje použít dostatečně dlouhý časový krok.
Větším problémem je řešení rovnic adaptace. Výše popsané schéma je původní
schéma publikované v článku [7]. Toto schéma je však chybné, neboť druhá část adaptace je
pro implicitní řešení příliš obecná, neboť zahrnuje implicitně i změny rotační části větru.
Předložené řešení na základě řešení okrajové úlohy, pouze pro divergenci, je možné pouze
v případě, že Coriolissův parametr je konstantní, což ovšem vylučuje existenci Rossbyho vln
a nepostihuje správně změny rotační části větru. Proto při dalším vývoji schémat kolektiv
Marčuka přidal do štěpení další krok, který zahrnoval vliv proměnného Coriolissova
parametru. Řešení úlohy adaptace bylo v podstatě rozděleno na dva kroky, krok vlivu
proměnného Coriolissova parametru a hlavní části implicitní adaptace, popisující v podstatě
pouze gravitační vlny. Rozdělení adaptace na takové dva kroky nebylo příliš šťastné, vznikla
tím zřejmě velká chyba štěpení. Při této metodě tedy vznikají dva problémy. Problém, aby
358
celková chyba řešení vzniklá štěpením nebyla velká. Na první problém dal v podstatě
odpověď článek Yakimova - Roberta [8], který ukázal, že při tomto způsobu štěpení rovnic na
advekci a adaptaci vzniká značná chyba. Pro její odstranění je třeba volit dostatečně malý
krok. Metoda pak není efektivní a nemá tedy smysl. Způsob, jak se zbavit problému řešení
obecných rovnic adaptace navrhl a vyzkoušel v Anglii Gadd [4]. Jeho schéma spočívalo
v tom, že po jednom kroku advekce provedl tři kroky adaptace s třetinovou délkou časového
kroku, což umožnilo adaptaci aproximovat explicitním schématem. Ani pokusy s plně
implicitním schématem [2] v USA neměly v meteorologii prakticky žádné použití.
Oba zmíněné problémy byly však po počátečním zkoušení různých schémat pro
meteorologii velmi úspěšně vyřešeny. Řešení spočívá v tom, že původní adaptační část byla
aproximována zbytečně celá implicitně. Ukázalo, se že implicitně je třeba aproximovat členy
týkající se gravitačních vln, což jsou složky rychlosti horizontálního větru a horizontální
gradient tlaku. Odvodíme-li na diferenční úrovni po aproximaci rovnici vorticity, její
aproximace je zcela explicitní, zatímco divergentní teorém pro výpočet divergence
v následujícím časovém kroku je imlicitní diferenční rovnicí pro výpočet buďto divergence,
nebo geopotenciálu. Takováto aproximace se nazývá semi-implicitním schématem. Podle mne
je zajímavé a na práci [7] nejvýznamnější, že zřejmě poprvé byl systém lineárních rovnic
vzniklých při implicitní aproximaci v tomto schématu řešen redukcí dimenze s použitím
vertikálních normálních módů. Tato metoda se stala později standardně používanou metodou
řešení rovnic v semiimplicitních schématech a zjednodušena použitím vertikálních
ortogonálních normálních módů, o čem bylo pojednáno v předchozích kapitolách.
Semiimplicitní schéma použil také například Burridge [1]. Je-li však advekce počítána
explicitním schématem, je štěpení zcela zbytečné, protože i bez štěpení je schéma stabilní a
štěpení zvyšuje zbytečně chybu aproximace. První semiimplicitní diferenční schémata
používaná v modelech počítaných v denním provozu používala explicitní aproximaci advekce
spolu s implicitním řešením rovnic semiimplicitního schématu. To prakticky znamenalo
možnost použití asi 7 krát delšího časového kroku proti explicitnímu schématu. Délka
časového kroku tohoto schématu byla dána podmínkou stability advekce. Později, když byl
výpočet advekce aproximován semi-Lagrangeovskými schématy se mohla délka časových
kroků zvětšit ještě více. Semi-implicitní aproximace rovnic modelů v hydrostatickém
přiblížení s advekcí počítanou semi-Lagrangeovskými schématy je v současnosti standardem
numerické předpovědi počasí.
I když můžeme říci, že se metoda štěpení pro řešení rovnic dynamické části modelu
nepoužívá, při realizaci parametrizací je tomu spíše naopak. Vezmeme-li v úvahu jak se
v modelech počítají například srážky, nebo konvekce, bývá to tak, že po provedení časového
kroku dynamické části modelu se studuje nasycení atmosféry a přebytečná voda tvoří srážky.
Tím se opravuje výsledné pole vlhkosti a teploty uvolněným latentním teplem. Obdobně
můžeme postupovat i u konvekce. Tam se přebytečné teplo z dolních vrstev přenáší směrem
vzhůru, přičemž musí být odstraněno labilní zvrstvení a zachována celková potenciální
energie vzduchového sloupce. Takovýto postup je samozřejmě faktorizací, neboli štěpením,
čili metodou rozkladu. Jak je parametrizace modelů nejlépe realizovat se zabývá více prací.
Pro úplnost uveďme alespoň práci Dubala a spol. [3] z roku 2004.
359
Literatura:
[1] Burridge D. M.: A split semi-implicit reformulation of the Bushby-Timpson 10-level
model, Quar. J. R. Met. Soc. (1975), 101, pp. 777-792
[2] Cohn S. E., Dee D., Isaacson. E., Marchesi D., Zwas G.: A Fully Implicit Scheme for the
Barotropic Primitive Equations, Monthly Weather Review Volume 113, p. 436-448 (1985)
[3] Dubal M. Wood N. Staniforth A.: Analysis of Paraller versus Sequential Splitttings for
Time-Stepping Physical Parametrizations, Monthly Weather Review Vol. 132, No. 1, pp. 121132, (2004)
[4] Gadd A. J.: A split integration scheme for numerical wather prediction, Quar. J. R. Met.
Soc. (1978), 104, pp. 569-582
[5] Marčuk G. I.: Čislennoje metody v prognoze pogody, Gidrometeorologičeskoje
izdatělstvo, Leningrad 1967
[6] Marčuk G. I.: Čislennoje rešenie zadač dinamiky atmosfery i okeány.
Gidrometeoizdat, Leningrad 1974
[7] Marčuk G. I., Kontarev G. R., Rivin G. S.: Kratkosročnyj prognoz pogody po polnym
urovnenijam na ograničennoj territorii. Fizika atmosfery i okeány Tom III No 11. (1967)
[8] Marčuk G. I.: Metody numerické matematiky, ACADEMIA Praha 1987.
[9] Yakimov E., Robert A.: Accuracy and Stability Analysis of a Fully Implicit Scheme for
the Shallow Water Equation, Monthly Weather Review Volume 114 s. 240-244. (1986).
360
24. Galerkinova aproximace a spektrální metody.
V této kapitole se seznámíme s teoretickým základem důležité třídy metod nazývané
Galerkinovy metody. Do této třídy metod spadají jednak spektrální metoda a také metoda
konečných prvků. Pro obecnou formulaci Galerkinovy metody, a jejího zobecnění Petrov –
Galerkinovy metody použijeme některé pojmy z funkcionální analýzy, normované prostory a
Hilbertův prostor, ve kterých jsou studovány nejlepší aproximace. Pro stručnost neuvedeme
zde důkazy některých tvrzení. Ty lze nalézti například v prvním díle knihy Berezin- Židkov
Metody vyčislenij [1]
Normovaný lineární prostor
Řekneme, že množina R je lineárním normovaným prostorem, jestliže R je lineárním
prostorem, nad tělesem reálných nebo komplexních čísel, a kromě toho každému prvku v R je
přiřazeno reálné číslo f
které nazýváme normou prvku f a tato norma, která je funkcí
definovanou na R, splňuje následující podmínky:
1) f  0 , přičemž f  0 je právě tehdy, když f=0;
(N1)
2) cf  c f pro libovolné číslo c;
(N2)
3) f 1  f 2  f 1  f 2
(N3)
Normovaný lineární prostor je vždy také metrickým prostorem. Vzdálenost  f 1 , f 2 
(metriku) v něm můžeme definovat vztahem:
 f 1 , f 2   f 1  f 2
(N4)
Snadno nahlédneme, že takto definovaná vzdálenost splňuje definici a axiomy metrického
prostoru: Množina X se nazývá metrickým prostorem, když každé dvojici prvků x , y  X je
přiřazeno reálné číslo  x , y  a vzdálenost těchto dvou prvků x, y splňuje následující
podmínky:
1)  x , y   0 a  x , z   0 právě když x  y
2)  x , y     y , x  symetrie vzdálenosti
3)  x , y    x , z    z , y  pro libovolný prvek z  X (trojúhelníková nerovnost)
tyto podmínky jsou v podstatě obdobou vztahů (N1),(N2) a (N3) a ihned z nich plynou.
Normovaný prostor R nazýváme přísně normovaný, jestliže v nerovnosti
f 1  f 2  f 1  f 2 nastává rovnost právě tehdy, když f 2   f1 pro reálné   0 .
Poznámka: Zavedeme-li do normovaného prostoru metriku, kde vzdálenost   f1 , f 2  je
definována vztahem (N4), potom požadavek na vlastnost normy (N3) odpovídá v metrickém
prostoru trojúhelníkové nerovnosti. Je-li lineární prostor přísně normovaný, pak nastává-li
v trojúhelníkové nerovnosti rovnost, tj. že součet dvou stran je roven straně třetí, pak
trojúhelník se redukuje na úsečku a všechny tři vrcholy trojúhelníka leží na stejné přímce.
Nejlepší přiblížení v normovaném lineárním prostoru
V normovaném lineárním prostoru R studujme všechny možné lineární kombinace
n+1 lineárně nezávislých prvků 0 , 1 ,..., n tvaru
  a00  a11 ...ann
(24.1)
361
Tyto lineární kombinace tvoří lineární podprostor R prostoru R. Zvolíme-li nyní pevně prvek
f  R a studujeme číselnou množinu
 f ,   f  
(24.2)
pak tato množina je omezená zdola, protože norma je nezáporné číslo. Proto existuje infimum
 f   inf  f , , pro   R .
(24.3)
Položme si nyní otázku, zda existuje prvek  0  R pro který je dosaženo tohoto infima, tedy
existuje-li prvek  0  R , pro který platí
 f   f   0
?
(24.4)
Každý prvek  0  R pro který platí vztah (24.4) budeme nazývat prvkem nejlepšího
přiblížení prvku f v R . Dále dokážeme, že takový prvek  0  R , pro který je splněna
předchozí rovnost vždy existuje. Tento prvek nejlepšího přiblížení prvku f v R , nazýváme
také projekcí prvku f na R .
Poznámka: Projekčním operátorem   f  rozumíme v matematice takový operátor, pro který
platí    f     f  .
Existence prvku nejlepšího přiblížení.
Věta: Pro libovolný prvek f  R existuje v R prvek nejlepšího přiblížen – který je tedy
nejlepší aproximací prvku f v podprostoru R .
Jednoznačnost prvku nejlepší aproximace
Věta 1: V přísně normovaném prostoru R je prvek nejlepšího přiblížení jednoznačně určen,
existuje tedy jen jeden.
Hilbertův prostor
Nechť R je lineární prostor. Řekneme, že v tomto prostoru je definován skalární
součin, jestliže každé dvojici jeho prvků f 1 , f 2 v daném pořadí je přiřazeno komplexní číslo
 f , f  které se nazývá skalárním součinem těchto prvků. Skalární součin musí splňovat
1
2
následující vztahy:
1) Čísla  f 1 , f 2  a  f 2 , f1  jsou komplexně sdružená, tedy  f1 , f 2   f 2 , f1  ;
2) Pro libovolné prvky f 1 , f 2 , f 3 a libovolná komplexní čísla 1 ,  2 platí

(24.5)
f  2 f 2 , f 3   1  f 1 , f 3   2  f 2 f 3 
(24.6)
3) Skalární součin prvku f se sebou samým je reálné nezáporné číslo, které je rovno
nule právě tehdy, když f=0. Je tedy
(24.7)
 f , f   0 a  f , f   0  f  0.
Ze vztahů (24.5) a (24.6) lze pomocí jednoduchých vztahů komplexně sdružená čísla
a  b  a  b , ab  a b
odvodit, že platí dva distributivní zákony
 f1  f 2 , g    f1 , g    f 2 , g  a také g , f1  f 2   g , f1   g , f 2 
a komplexní číslo lze ze skalárního součinu vytknout, což je dáno opět dvěma vztahy
1 1
362

f , g     f , g  , ale vytkneme-li komplexní číslo z druhého členu, platí  f , g     f , g  ,
po vyknutí se číslo změní na komplexně sdružené číslo. Shrneme-li tyto vztahy do jediného,
pak máme
 f1 ,1 f 2   2 f 3   1  f1 , f 2    2  f1 , f 3 
(24.8)
Pro skalární součin platí Cauchyho nerovnost
Věta 2: Pro libovolné dva prvky f, g z prostoru R platí Cauchyho nerovnost
 f , g  2  f , f g , g 
(24.9)
Jestliže v lineárním prostoru R je definován skalární součin, pak můžeme tento prostor
normovat, definujeme-li normu prvku f  R vztahem
f  f , f 
(24.10)
Takto definovaná norma splňuje tři podmínky definice normy, které norma musí splňovat.
Věta 3: Prostor se skalárním součinem, v němž normu definujeme vztahem f   f , f 
je též přísně normovaným prostorem a tedy, rovnost ve vztahu f  g  f  g nastává
pouze v případě, když prvky f a g jsou kolineární, tedy když f 2   f1 pro reálné   0 .
Definice: Lineární prostor H, ve kterém je zaveden skalární součin se nazývá Hilbertův
prostor, jestliže je separabilní, to znamená, že v něm existuje hustá spočetná množina.
(Připomeneme, že spočetná množina je množina, jejíž všechny prvky můžeme napsat ve tvaru
posloupnosti, a množina je hustá v H, když její topologický uzávěr tvoří celý prostor, tedy
například všechny prvky prostoru H můžeme napsat jako limity posloupností prvků ze
zmíněné spočetné množiny.)
Grammův determinant
V lineárním prostoru je známým způsobem definována lineární nezávislost soustavy
prvků f 1 , f 2 ,..., f n . V Hilbertově prostoru můžeme tuto vlastnost studovat také pomocí
Grammova determinantu.
Grammovým determinantem soustavy prvků f 1 , f 2 ,..., f n  R nazveme determinant
G f 1 , f 2 ,..., f n
f , f  f , f 
 f , f  f , f 
f
1
1
1
2
2
1
2
2
n
, f1 
f
n
, f2 
f , f 
f , f 
f
1
n
2
n
n
(24.11)
, fn 
Pro Grammův determinant platí následující věta:
Věta 4: Aby soustava prvků f 1 , f 2 ,..., f n prostoru R byla lineárně závislá, je nutné a stačí,
aby Grammův determinant této soustavy prvků G f 1 , f 2 ,..., f n  byl roven nule.
Ortonormální systémy
Dva prvky f a g Hilbertova prostoru se nazývají ortogonálními, jestliže jejich
skalární součin je rovný nule, tedy  f , g   0 . Prvek f nazýváme normovaným, když jeho
norma je rovna jedné.
Konečnou, nebo nekonečnou soustavu prvků nazveme ortogonální soustavou, jestliže každé
dva libovolně vybrané prvky jsou ortogonální. Soustava se nazývá ortonormální, jestliže je
ortogonální a navíc jsou její prvky normované.
Ortonormální soustava je vždy lineárně nezávislá, neboť její Grammův determinant je
roven jedné.
363
Věta 5: Jestliže 1 , 2 ,..., n je soustava lineárně nezávislých prvků Hilbertova prostoru,
pak můžeme sestrojit ortonormální soustavu g1 , g 2 ,..., g n takovou, že jejími prvky budou
lineární kombinace prvků soustavy 1 , 2 ,..., n , bude však platit i opačné.
Úplné systémy v Hilbertově prostoru
Ortonormální systém v Hilbertově prostoru nazveme úplný, jestliže neexistuje žádný
od nuly různý prvek, který je ortogonální ke všem prvkům systému.
Jinak řečeno, úplnost systému znamená, že tento systém nemůžeme již rozšířit přidáním
nových prvků, abychom jej rozšířili.
Věta 6: V Hilbertově prostoru je libovolný ortonormální systém nejvýše spočetný.
Věta: V každém Hilbertově prostoru existuje nejvýše spočetný úplný ortonormální systém
prvků.
Fourierovy řady v Hilbertově prostoru
Nechť g1 , g 2 ,..., g n ,..... je nějaký ortonormální systém prvků Hilbertova prostoru R.
Skalární součiny  i   f , g i  nazveme Fourierovými koeficienty prvku f vzhledem
k ortonormálnímu systému g k . Prvku f můžeme přiřadit řadu, (nebo konečný součet
v tom případě, že ortonormální systém má pouze konečný počet prvků)
f  1 g1   2 g 2  ....   n g n  ......
(24.12)
která se nazývá Fourierovou řadou prvku f vzhledem k ortonormálnímu systému
g1 , g 2 ,..., g n ,..... .
Pro koeficienty Fourierovy řady platí důležitá nerovnost, která se nazývá Besselovou
nerovností. Studujme čtverec normy rozdílu f a s n , kde s n je částečný součet Fourierovy
řady. Dostaneme
f  sn
 f
 f
2
2
2
  f  s n , f  s n    f , f   s n , f    f , s n   sn , s n  
  k g k , f    k  f , g k    k  j g k , g j  
n
n
k 1
k 1
n
n
(24.13)
k 1 j 1
n
n
n
k 1
k 1
k 1
  k  k   k  k   k  k  f
2
n
  k
2
0
k 1
odkud
n

k 1
2
k
 f
2
(24.14)

Protože tato nerovnost platí pro všechna n, řada

k 1


k 1
2
k
 f
2
k
2
konverguje a
(24.15)
Předchozí nerovnost se nazývá Besslovou nerovností.
Věta 7: Jestliže Hilbertův prostor je úplný, potom Fourierova řada prvku f vzhledem
k ortonormálnímu systému g k  konverguje.
364
Věta: V úplném Hilbertově prostoru R Fourierova řada libovolného prvku vzhledem
k ortonormálnímu systému konverguje k tomuto prvku.
Neboť
f  sn
2
 f
2
n
  k
2
(24.16)
k 1
přejdeme-li k limitě, máme
f
2

  k
2
(24.17)
k 1
Tedy místo Besselovy nerovnosti dostáváme rovnost, která se nazývá Parsevalovou rovností.
Nejlepší přiblížení v Hilbertově prostoru
Nechť H je lineární podprostor Hilbertova prostoru R, a f libovolný prvek z R.
Položme si následující úkol: v podprostoru H najít prvek h0 , který je nejlepším přiblížením
prvku f, tedy prvek, pro který platí
f  h0  inf f  h pro h  H
(24.17)
Dokážeme následující tvrzení.
Věta 8: Jestliže v podprostoru H existuje prvek h0 , který je nejlepším přiblížením prvku,
potom rozdíl f - h0 je ortogonální ke všem prvkům podprostoru H.
Předpokládejme opak, tedy, že existuje prvek h1  H , pro který  f  h0 , h1     0 .
Můžeme předpokládat, že norma prvku h1 je rovna jedné. V opačném případě bychom vzali
h
místo prvku h1 prvek 1 . Studujme prvek h2  h0  h1 a odhadneme normu prvku f  h2 :
h1
f  h2
2
  f  h2 , f  h2    f  h0   h1 , f  h0   h1  
  f  h0 , f  h0    h1 , f  h0     f  h0 , h1    h1 , h1  
 f  h0
2
       f  h0
2

(24.18)
2
Odtud máme, že
f  h2
2
 f  h0
2
(24.19)
což není možné, neboť h0 byl podle předpokladu prvkem nejlepšího přiblížení.
Důsledek: V podprostoru H nemůžou existovat dva různé prvky nejlepšího přiblížení, tedy
takový prvek je jen jeden.
Předpokládejme, že pro prvek f  R existují dva prvky nejlepšího přiblížení h0 a
h0  H 0 . Potom pro všechny prvky h  H platí  f  h0 , h  0 a také  f  h0 , h  0 . Neboť
 f  h0 ,h0  h0   0 a také  f  h0 ,h0  h0   0 . Proto platí
2
 h0  h0 , h0  h0   h0  f    f  h0 , h0  h0   h0  f , h0  h0    f  h0 , h0  h0   0
h0  h0  H musí platit také
h0  h0
což znamená, že h0  h0 .
Jestliže podprostor H  H n je konečné dimenze n a jeho prvky jsou tedy lineárními
kombinacemi lineárně nezávislých prvků R : h1 , h2 ,.... , hn , potom na základě výsledků
předchozí kapitoly prvek nejlepšího přiblížení vždy existuje. Podle předchozího důsledku je
tento prvek pouze jeden. Pro konečně-dimensionální případ jeho jednoznačnost také plyne
také z toho, že Hilbertův prostor je přísně normovaným prostorem.
365
Sestrojení prvku nejlepšího přiblížení
Nyní studujme otázku, jakým způsobem prvek nejlepšího přiblížení zkonstruujeme.
Nechť prostor H n je generován prvky h1 , h2 ,...., hn a h0 je prvkem nejlepšího
přiblížení prvku f  R v prostoru H n . Prvek h0 jako prvek prostoru H n může být vyjádřen
jako lineární kombinace tvaru
h0  1h1   2 h2  ....   n hn
(24.20)
V důsledku toho se úloha nalezení prvku nejlepší aproximace redukuje na nalezení
koeficientů 1 , 2 ,...., n . Výše jsme již ukázali, že pro prvek nejlepšího přiblížení
(aproximace) platí
 f  h0 ,h  0 pro všechny prvky h  H n
(24.21)
a navíc předchozí vztah platí pouze pro tento prvek. Tento požadavek je ekvivalentní
s požadavkem, aby vztah platil pro n prvků generující prostor H n , tedy
f
 h0 , hi   0 pro i  1,2,...., n
(24.22)
Z předešlých podmínek dostáváme pro nalezení koeficientů 1 , 2 ,...., n soustavu lineárních
rovnic
1 h1 , h1    2 h2 , h1   ....   n hn , h1    f , h1 
1 h1 , h2    2 h2 , h2   ....   n hn , h2    f , h2 
……………………………………………….
(24.23)
1 h1 , hn    2 h2 , hn   ....   n hn , hn    f , hn 
Determinant soustavy je Grammův determinant Gh1 , h2 ,...., hn  a protože prvky h1 , h2 ,...., hn
jsou lineárně nezávislé, není roven nule a soustava má právě jedno řešení 1 , 2 ,...., n . Proto
je
n
h0    i hi
(24.24)
i 1
Nyní nalezneme nejlepší přiblížení prvku f v H n , tedy hodnotu   f  h0 .
Pro tuto hodnotu dostáváme
2
 2  f  h0   f  h0 , f  h0    f  h0 , f    f  h0 , h0    f  h0 , f 
je tedy
(24.25)
 2   f , f   h0 , f 
(24.26)
dosadíme-li do předchozího vztahu za h0 součet ze vztahu (24.24), máme
1 h1 , f    2 h2 , f   ....   n hn , f    f , f    2
(24.27)
Determinant
h1 , h1  h2 , h1  .... hn , h1   f , h1 
h1 , h2  h2 , h2  .... hn , h2   f , h2 
.......... ......... .... ..........
......... =0
(24.28)
h1 , hn  h2 , hn  .... hn , hn   f , hn 
h1 , f  h2 , f  .... hn , f   f , f    2
je roven nule, neboť podle vztahů (24.23) a (24.27) je poslední sloupec determinantu lineární
kombinací prvního, až n-tého slupce. Rozvineme-li determinant (24.28) podle prvků
posledního
řádku, dostaneme, že
366
Gh1 , h2 ,..., hn , f 
(24.29)
Gh1 , h2 ,..., hn 
Všimněme si, že pro n  1 je Gh1   h1 , h1   0 . Pro n  2 a h2  f budeme mít
Gh1 , h2 
2 0
to znamená, že Gh1 , h2   0
(23.30)
Gh1 
Indukcí se dá lehce dokázat, že Grammův determinant systému lineárně nezávislých prvků
nabývá kladné hodnoty.
Sestrojení (nalezení) prvku nejlepšího přiblížení je zvláště jednoduché, když systém
prvků h1 , h2 ,...., hn je ortonormálním systémem. V tomto případě soustava rovnic (H55) je
tvaru
 1   f , h1 
 2   f , h2 
(24.31)
..............
 n   f , hn 
2 
to znamená, že 1 , 2 ,..., n jsou Fourierovými koeficienty prvku f v systému h1 , h2 ,...., hn a
prvkem nejlepšího přiblížení je prvek
h0  1h1   2 h2  ....   n hn
(24.32)
Hodnotu odchylky  můžeme snadno vypočítat ze vztahů
 2   f , f    1 h1 , f    2 h2 , f   ....   n hn , f  
(24.33)
2
 f   1 1   2 2  ....   n n
Je tedy

2
f
n
  k
2
(24.34)
k 1
Na závěr studujme v Hilbertově prostoru R úplný ortonormální systém prvků
h1 , h2 ,...., hn ..... a předpokládejme, že R je úplný Gilbertův prostor. Studujme posloupnost
podprostorů H1 , H 2 ,...H n ,.... kde prostor H n je generován prvky h1 , h2 ,...., hn ,.... . Pro
f  R budeme postupně nacházet prvky nejlepšího přiblížení v H1 , H 2 ,...H n ,.... . Prvkem
nejlepšího přiblížení h0
k 
prvku f v H k je k-tý částečný součet Fourierovy řady prvku f
vzhledem k ortonormálnímu systému hn  . Odchylka nejlepšího přiblížení
k 
f
2
k
  k
k 1
2
(24.35)
    konverguje k prvku f.
konverguje k nule pro k   , a posloupnost h0
k
Galerkinova metoda
Rovnice používané pro předpověď počasí můžeme bez ztráty obecnosti psát ve tvaru
𝜕𝐹𝑖
= 𝐴𝑖 (𝐹𝑗 ) ,
𝑗 = 1, … , 𝐽
𝜕𝑡
(24. 36)
Kde 𝐽 je počet prognostických proměnných 𝐹𝑗
𝐹𝑖 = 𝐹𝑖 (𝑥, 𝑡)
(24.37)
Kde x reprezentuje v třídimensionální prostorovou souřadnici a t čas.
367
Pro meteorologické aplikace předpokládáme, že funkce 𝐹𝑖 jsou spojité hladké funkce i
se svými derivacemi. Operátory 𝐴𝑖 jsou obecně nelineární a zahrnují parciální derivace podle
prostorových proměnných, popřípadě i integrály vzhledem k prostorovým proměnným.
Při použití diferenčních metod používáme síť uzlových bodů (𝑥𝑝 , 𝑡𝑞 ) , nazývanou též
pro některé metody kolokační sítí. Při použití diferenčních metod se nahrazují diferenciální
operátory jejich diferenčními aproximacemi s požadovaným řádem přesnosti.
Systém (24.36) můžeme nahradit novým systémem evolučních rovnic v bodech 𝑥𝑝 , ve
kterých jsou zadány počáteční podmínky 𝐹𝑖 (𝑥𝑝 , 0).
Jako alternativou pole 𝐹𝑖 v každém časovém okamžiku jsou hladké funkce x, které
můžeme považovat za prvky lineárního (vektorového) prostoru H (Jako příklad uveďme
prostor všech spojitě diferencovatelných funkcí).
Nechť f a g jsou dvě funkce z lineárního prostoru H, pak můžeme definovat skalární
součin vztahem
(𝑓, 𝑔) = ∫ 𝑓𝑔̅ 𝑑𝑥
𝑆
(24.38)
kde 𝑔̅ je komplexně sdružené ke g a normu definujeme vztahem
1
2
‖𝑓‖ = √(𝑓, 𝑓)̅ = {∫ |𝑓|2 𝑑𝑥}
𝑆
(24.39)
Lineární prostor H zvolíme tak, aby s metrikou definovanou skalárním součinem byl
separabilní, tedy aby v něm existovala hustá spočetná base. Tento prostor H s takto
definovaným skalárním součinem se nazývá Hilbertův prostor. V takovém prostoru pak
můžeme každý prvek napsat jako lineární kombinaci konečného, nebo nekonečného součtu
prvků base.
Nyní předpokládejme, že v Hilbertově prostoru H máme množinou prvků {𝑒𝑚 (𝑥)},
která je ortonormální, tedy (𝑒𝑚 , 𝑒𝑛 ) = 0 pro 𝑚 ≠ 𝑛 a (𝑒𝑚 , 𝑒𝑚 ) = 1 a každý prvek F
Hilbertova prostoru H můžeme vyjádřit jako lineární kombinaci prvků této množiny, tedy
𝐹 = ∑ 𝐹 𝑚 𝑒𝑚
𝑚∈𝑀
(24.40)
Tuto množina prvků budeme nazývat Hilbertovou basí i když tato množina M není obecně
konečná a basí rozumíme obvykle konečnou množinu. Hilbertův prostor je podle definice
separabilní a Hilbertova base by měla být tedy spočetná. Součet (23.40) můžeme v tomto
případě skutečně napsat ve tvaru řady. Je ovšem třeba napřed ukázat, že námi definovaný
prostor se skalárním součinem splňuje předpoklady Hilbertova prostoru. Koeficienty 𝐹 𝑚
v součtu (24.40) jsou ortogonálními projekcemi F na podprostory generovanými prvky 𝑒𝑚 ,
jinými slovy
𝐹 𝑚 = (𝐹, 𝑒𝑚 ) = ∫ 𝐹𝑒̅̅̅̅
𝑚 𝑑𝑥
𝑆
368
(24.41)
Spektrální metoda v jednodimensionálním případě
Pro objasnění principů spektrální metody, provedeme výklad základních principů této metody
pro jednodimensionální problém
𝜕𝐹
= 𝐴(𝐹)
𝜕𝑡
(24.42)
S počáteční podmínkou 𝐹(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥).
Protože nemůžeme pracovat s nekonečným počtem složek, promítneme F na konečně̂ Hilbertova prostoru H. jehož basi tvoří prvky 𝑒𝑚 (𝑥) pro 𝑚 =
dimensionální podprostor 𝐻
1, … , 𝑀. Tato projekce se nazývá procedurou uřezávání (truncation procedure). Prvek F je
v tomto případě aproximován součtem
𝑀
𝐹̂ (𝑥, 𝑡) = ∑ 𝐹 𝑚 (𝑡)𝑒𝑚 (𝑥)
𝑚=1
(24.43)
̂
Podle věty 8 je zároveň prvkem nejlepší aproximace v podprostoru 𝐻 , pro skalární součin
platí
((𝐹 − 𝐹̂ ), 𝑒𝑚 ) = 0 pro všechna 𝑚 = 1, … , 𝑀
(24.44)
̂ a pro prvek 𝐹̂ nabývá vzdálenost
rozdíl 𝐹 − 𝐹̂ je tedy kolmý ke všem prvkům podprostoru 𝐻
̂ minimální hodnotu.
‖𝐹 − 𝐹̂ ‖ od podprostoru 𝐻
Z ortogonality prvků 𝑒𝑚 , ze vztahu (24.44) s použitím distribučního zákona pro
skalární součin také vyplývá, že vztahy (24.44) a (24.43) jsou ekvivalentní.
̂ s počáteční
Dalším krokem je řešení rovnice (24.42) pro 𝐹̂ , tedy v podprostoru 𝐻
̂ . To znamená, že levá i pravá strana
podmínkou 𝐹(𝑥, 0) = 𝐹̂ (𝑥. 0) ležící v podprostoru 𝐻
̂ . A rovnici (24.42) zkusíme napsat ve tvaru
rovnice, musí ležet v podprostoru 𝐻
𝜕𝐹̂
= 𝐴(𝐹̂ )
𝜕𝑡
(24.45)
Zde pro pravou stranu rovnice (23.42) vznikají dva problémy. Je třeba, aby pravá strana po
̂ , ale vzhledem k tomu že operátor A je nelineární
jejím vyhodnocení ležela v podprostoru 𝐻
̂ . Pro funkce trigonometrických basí
výsledek 𝐴(𝐹̂ ) již obecně nemusí ležet v podprostoru 𝐻
jsme již viděli, že některé součiny těchto funkcí mají vyšší vlnová čísla a neleží již
̂ . Druhým problémem je vyhodnocení operátoru 𝐴(𝐹̂ ), který obsahuje
v podprostoru 𝐻
součiny funkcí base a proto jej nemůžeme vyhodnotit ve spektrálním prostoru, což by bylo
přirozené. To je však možné jen v případě, když operátor A je lineární. Proto rovnici (24.45)
nahradíme rovnicí
𝜕𝐹̂
̂
̂)
= 𝐴(𝐹
𝜕𝑡
(24.46)
̂ . Tato rovnice se nazývá rovnicí po
Ve které již pravá strana leží rovněž v podprostoru 𝐻
uřezání (truncated equation).
369
Ze vztahu (24.41) vyplývá, že předchozí vztah (24.46) je ekvivalentní se vztahem
𝑑𝐹 𝑚
𝑚
= {𝐴(𝐹̂ )} = (𝐴(𝐹̂ ), 𝑒𝑚 (𝑥)) = ∫ 𝐴(𝐹̂ )𝑒̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑚 (𝑥) 𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑆
(24,47)
Je zřejmé, že toto je Galerkinova metoda s testovacími funkcemi 𝑒𝑚 . Dostáváme tak systém
jednoduchých obyčejných diferenciálních rovnic, které lze řešit kvadraturami.
̂ je
Poznamenejme, poněvadž 𝐴(𝐹̂ ) neleží podprostoru 𝐻
𝑅(𝐹̂ ) =
𝜕𝐹̂
− 𝐴(𝐹̂ ) ≠ 0
𝜕𝑡
(24.48)
Při řešení rovnice (24.46) vzniká uřezáním na pravé straně chyba – residuum
̂
̂ ) − 𝐴(𝐹̂ )
𝑅(𝐹̂ ) = 𝐴(𝐹
(24.49)
̂.
které je rovněž nejlepším přiblížením pravé strany rovnice v podprostoru 𝐻
Dalším triviálním důsledkem vztahu (24.49) je, neboť 𝑒𝑚 jsou ortogonální, leží 𝑅(𝐹̂ )
̂ , tedy v podprostoru 𝐻 − 𝐻
̂ a proto je ortogonální ke všem prvkům
v doplňku podprostoru 𝐻
̂ a tedy i k 𝐹̂ . Jinými slovy
𝐻
(𝑅(𝐹̂ ), 𝐹̂ ) = ∫ 𝑅(𝐹̂ )𝐹̅̂ 𝑑𝑥 = 0
𝑠
(24.50)
Z této vlastnosti vyplývá mnoho důsledků důležitých pro další aplikace.
Jedním z důsledků je konvergence řešení uřezané rovnice k přesnému řešení. Pro Hilbertovu
basi prvků {𝑒𝑚 } a libovolný prvek F z prostoru H platí Bessel-Parsevalova rovnost (24.17)
z které plyne
∑ |𝐹 𝑚 |2 = ‖𝐹‖2
𝑚∈𝑀
(23.51)
̂
Protože 𝐹 je prvkem prostoru H je pro něj splněna obdobná Bessel-Parsevalova rovnost
𝑀
2
∑ |𝐹 𝑚 |2 = ‖𝐹̂ ‖
𝑚=1
(24.52)
̂
̂
Odkud vyplývá, že když 𝐻 konverguje k H, pak 𝐹 konverguje stejnoměrně k F a 𝑅(𝐹̂ )
konverguje stejnoměrně k nule. Tedy, když počáteční podmínka 𝐹(𝑥, 0) je reprezentována
konečným rozvojem, pak řešení rovnice po uřezání (truncated equation)konverguje
̂ konverguje k H.
k přesnému řešení, když 𝐻
Závěrem poznamenejme, protože 𝐹 𝑚 je ze spektra funkce F, je odvozen název této metody
„spektrální metoda“.
Transformační metoda
Transformační metoda se používá, když hodnotu pravé strany rovnice (23.45)
nemůžeme vyhodnotit ve spektrálním prostoru. Tato metoda spočívá v tom, že v každém
370
časovém kroku provádíme transformaci ze spektrálního prostoru do fyzikálního prostoru a
zpět a to co nelze vyhodnotit ve spektrálním prostoru, vyhodnotíme v prostoru fyzikálním.
Podle operátoru pravé strany rovnice (24.42), můžeme uvažovat různé případy. Nejjednodušší
případ nastává, když operátor 𝐴(𝐹) je lineární. Pouze v tomto případě je možné hodnotu
operátoru vypočítat ve spektrálním prostoru. Tento lineární operátor označme 𝐿(𝐹).
Když do rovnice
𝑑𝐹 𝑚
𝑚
= {𝐴(𝐹̂ )} = (𝐴(𝐹̂ ), 𝑒𝑚 (𝑥)) = ∫ 𝐴(𝐹̂ )𝑒̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑚 (𝑥) 𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑆
(24.53)
Dosadíme rozvoj (24.43) kde jsme změnili sčítací index na j
𝑀
𝐹̂ (𝑥, 𝑡) = ∑ 𝐹𝑗 (𝑡)𝑒𝑗 (𝑥)
𝑗=1
(24.54)
Dostáváme s pomocí distributivního zákona pro skalární součin
𝑀
𝑀
𝑗=1
𝑚=1
𝑑𝐹 𝑚
= (𝐿 (∑ 𝐹 𝑖 (𝑡)𝑒𝑗 (𝑥)) , 𝑒𝑚 ) = ∑ 𝐹 𝑚 (𝑡) (𝐿(𝑒𝑗 ), 𝑒𝑚 )
𝑑𝑡
(24.55)
̂ leží
pro všechna 𝑚 = 1, … , 𝑀. Protože lineární kombinace bázových funkcí podprostoru 𝐻
rovněž v tomto podprostoru, leží i pravá strana předchozí rovnice v tomto podprostoru a není
třeba dalšího uřezání jako v nelineárním případě. Navíc, jsou-li funkce prvky báze vlastními
funkcemi operátoru L, a platí tedy vztah 𝐿(𝑒𝑙 ) = 𝜆𝑙 kde 𝜆𝑙 jsou vlastními čísly lineárního
operátoru L pak se předchozí vztah redukuje na
𝑑𝐹 𝑚
= 𝜆𝑚 𝐹 𝑚 (𝑡)
𝑑𝑡
(24.56)
čímž se soustava rozpadne na jednotlivé nezávisle rovnice. Právě tohoto efektu se používá
k řešení lineárních rovnic semiimplicitních schémat.
Nyní se vraťme k třírozměrnému případu. Rovnice meteorologie jsou složitější a
operátor A není lineární. Použití transformační metody si vyžaduje výpočet následujících
členů rovnic, které nejde vyčíslit ve spektrálním prostoru. Jsou to nelineární členy advekce,
popisující pohyb vzduchu větrem. Další člen rovnic, který obsahuje součin funkcí a není
možné vyčíslit ve spektrálním prostoru je Coriolosův člen a v poslední řadě jsou to pravé
strany rovnic, které jsou výsledkem fyzikálních parametrizací a ty jsou samozřejmě
vyhodnocovány ve fyzikálním prostoru. Proto je třeba v každém časovém kroku při integraci
provádět transformace do spektrálního prostoru a zpět. Časová numerická integrace je
založena na časové extrapolaci koeficientů rozvojů do spektrálních funkcí. Pro semiimplicitní
schéma rozdělíme operátor 𝐴(𝐹) na lineární část rovnic a na zbylou nelineární část,
obdobným způsobem jako u dříve studovaných diferenčních modelů. Semiimplicitní schéma
je také obvykle realizováno ve dvou krocích. Pomocí lineární části se provádí semiimplicitní
korekce kroku explicitního schématu. Rozdíl od diferenčních modelů spočívá v tom, že
371
semiimlicitní korekce se provádí ve spektrálním prostoru. V třírozměrném modelu se
spektrální metoda používá pouze pro aproximaci vzhledem k horizontálním proměnným
konformní mapy nebo v globálních modelech pro geografické souřadnice. Ve vertikálním
směru a pro časové derivace je používána metoda diferencí. Semiimplicitní schéma je
založeno na tom, že členy popisující gravitační vlny jsou aproximovány implicitně. Jsou to
složky horizontálního větru a složky linearizovaného horizontálního gradientu tlaku. Tato
implicitní část rovnic je stejně jako v diferenčních modelech převedena na třírozměrnou
diskrétní okrajovou úlohu pro jedinou proměnnou buďto divergenci horizontálního větru nebo
v některých modelech na výpočet geopotenciálu. V rovnicích semiimplicitní korekce se
v horizontální rovině souřadnic x, y figuruje vždy Laplaceův operátor. Protože bázové funkce
jsou vybrány tak, že jsou vlastními funkcemi Laplaceova operátoru, se systém lineárních
rovnic redukuje na jednotlivé nezávislé rovnice, tak, že pro každý uzlový bod horizontální sítě
dostaneme soustavu rovnic pro hodnoty spektrálních koeicientů v uzlových bodech vertikální
sítě. Takto vzniklé lineární rovnice nejsou velké, protože modely ve vertikálním směru mívají
obvykle kolem třiceti vrstev. Řešení rovnic semiimplicitní korekce je v jistém smyslu
obdobou metody redukce dimenze kterou jsme použili pro řešení rovnic semiimplicitních
schémat diferenčních modelů. Zde jsme řešení soustavy pro semiimplicitní korekci převedli
na řešení jednodušších soustav v horizontálním směru. Ve spektrální metodě je to naopak.
Použitím spektra rovnic v horizontálním směru redukujeme úlohu hned o dvě dimenze na
rovnice ve směru vertikálním.
Určitým problémem při realizaci modelu s Fourierovou goniometrickou bází je, že
Laplaceův operátor v souřadnicích konformní mapy má součinitel čtverec zkreslení mapy,
který je funkcí souřadnic x, y. Proto model ALADIN není počítán na příliš rozsáhlé oblasti a
pro výpočet byla zvolena optimální Lambertova mapa, jejíž zkreslení je v celé oblasti blízké
jedné. Tento problém se dá asi také odstranit linearizací divergence, tak jako je to popsáno
v odstavci 19.4 „Semiimplicitní schéma se separabilní okrajovou úlohou“. Není to však velký
problém, neboť se vlastně týká malých změn v difúzi divergence. V globálních modelech má
ve sférických souřadnicích Laplaceův operátor ovšem jiný tvar a jiné spektrum, které tvoří
sférické harmonické funkce. Transformace ve směru rovnoběžek používá stejně FFT, ale ve
směru poledníků Legendreovu transformaci. Ta je však pro velké rozlišení neefektivní. Pro
menší rozlišení je tato metoda však relativně velmi přesná a v globálních modelech
nejpoužívanější.
První verse modelu ALADIN byla čistě Eulerovská a derivace pro advekční členy
byly vyhodnocovány ve spektrálním prostoru. Tento způsob výpočtu zaručuje nejmenší chyby
fázové rychlosti při advekci a téměř úplně eliminuje početní dispersi. Tento způsob je sice
velmi přesný, ale nedovoluje při časové integraci použít tak dlouhý krok jako při použití semiLagrangeovského schématu. Použitím semi-Lagrangeovského schématu, kde se celá advekce
počítá ve fyzikálním prostoru je model efektivnější. Ve spektrálním prostoru je tedy řešena
vlnová část modelu a jsou řešeny soustavy rovnic semiimplicitní korekce. Podrobný popis
spektrálního modelu na omezené oblasti je v 25. Kapitole.
Literatura
[1] Berezin I. S., Židkov N. P.: Metody vyčislenij, Tom I. Moskva 1962.
[2] Fletcher C. A. J.: Computational Galerkin Methods, Springer-Verlag 1984.
372
[3] Gottlieb D., Orszag S.: Numerical Analyzis of Spectral Methods: Theory and
Applications, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia,
Pennsylvania19103 (1977), 172 stran.
[4] Jarraut M., Simmons A. J.: The Spectral Technique, Numerical methods for Weather
Prediction, ECMWF – Reading, U. K. Seminar September 1983. pp. 1-59.
373
25. Finitní Fourierova transformace
Úvod
V této kapitole se budeme zabývat finitní Fourierovou transformací, která je v české
literatuře nazývána též diskrétní Fourierovou transformací. Budeme používat raději první
termín, protože odpovídá obvyklé anglické zkratce FFT. Je třeba poznamenat, že tato zkratka
termínu „Finite Fourier Transform“, hojně používaná v anglické literatuře je shodná se
zkratkou anglického pojmu „Fast Fourier Transform“ čemuž v češtině odpovídá termín
„rychlá Fourierova transformace“. Tímto termínem jsou míněny efektivní algoritmy, které
finitní Fourierovu transformaci realizují, proto nemůže dojít k nedorozumění a lze pro oba
termíny používat stejnou zkratku. FFT je jeden z nejpoužívanějších algoritmů v numerické
matematice a přírodních vědách vůbec. V numerické matematice se používá jednak ve
spektrálních metodách řešení diferenciálních rovnic a také při řešení velkých soustav
lineárních rovnic vzniklých při diskretizaci parciálních diferenciálních rovnic. Ve fyzice a
přírodních i technických vědách se používá ke studiu vln a periodických jevů i hledání
periodičnosti v časových řadách (například v klimatologii).
Obdobně jako existuje spektrální teorie funkcí definovaných na kontinuu – reálné přímce,
kterou se zabývá matematická analýza, Fourierovou transformací na nekonečném intervalu a
Fourierovými řadami pro periodické funkce, lze spektrální teorii studovat též pro konečné
posloupnosti, které můžeme považovat také za nekonečné periodické posloupnosti. Chceme-li
si však všimnout vztahu této teorie k matematické analýze, můžeme si představit, že tyto
posloupnosti jsou tvořeny hodnotami periodické funkce na diskrétní síti uzlových bodů
přímky tvořící osu souřadnic, nebo též na diskrétní síti definované na kružnici. Celá teorie
FFT je však definována a vybudována na algebraickém základě, bez použití matematické
analýzy, neboť se jedná o teorii konečných periodických posloupností hodnot.
Vlastnosti N-té komplexní odmocniny jedničky
Obrázek 25.1 N-té komplexní odmocniny jedničky zobrazené v Gaussově rovině pro N sudé.
374
N-tou komplexní odmocninou jedničky nazýváme čísla  , pro která je  N  1 .
Položme
W  exp 2i / N   cos2 / N   i sin2 / N 
(25.1)
což je komplexní odmocnina jedné s nejmenším od nuly různým kladným
argumentem (úhlem vzhledem k reálné ose). Tato odmocnina (25.1) je ovšem různá od reálné
hodnoty 1, která je sama také jednou z N-tých odmocnin jedné. Všechny odmocniny z jedné
můžeme psát jako mocniny W j , kde j je celé číslo, neboť podle (4.1) je W N  1 a tedy také
W 
j N
 
 W jN  W N
j
 1 jsou komplexní odmocniny 1. N komplexních jednotek
s nejmenšími argumenty jsou tedy W ,W 2 ,W 3 ,... ,W N 1 ,W N  1 . Tyto hodnoty si můžeme
v Gaussově rovině zobrazit na jednotkové kružnici. Jejich argumenty jsou celé násobky úhlu
2 / N . Všechny odmocniny z jedné leží tedy na jednotkové kružnici (fázový diagram) a jsou
tvaru W j ,
kde j probíhá celá čísla například čísla j=0,1,… , N-1 , nebo též j=1,2….,N.
Z hlediska algebry jsou obě předchozí posloupnosti N-tých odmocnin jedné stejné. V dalším
však uvidíme, že v aplikacích, díváme-li se na tyto posloupnosti komplexních čísel jako na
hodnoty funkcí na diskrétní síti bodů, je situace jiná. Všimněme si ještě, že posloupnosti W
 
jsou periodické s periodou N, neboť W kN  W N
k
j
W j kN  W jW kN  W j pro
 1 a tudíž
každé celé k.
Lemma 1: Pro k  0 a k  od násobků N je
N 1
W
kj
 0.
j 0
Tato suma je součtem konečné geometrické řady s kvocientem W k , je tedy
1W W
2k
 ...  W
k  N 1


W 

k
N 11
1
 0 , neboť čitatel je roven 0
W 1
a jmenovatel je od 0 různý, neboť podle předpokladů věty je W k  1 .
Pomocí tohoto lemmatu můžeme dokázat následující tvrzení:
Věta 1 : Vektory
W jn  1,W n ,W 2n ,...,W  N 1n
a
k
  
k
W   1,W
 jm

m
,W 2m ,...,W  N 1m
jsou pro n  m ortogonální a platí
N 1
W

(25.2)
(25.3)
W  jm  0 pro n  m
jn
j 0
(25.4)
N 1
W
j 0
N 1
W  jm  W 0  N pro n  m .
jn
j 0
(25.5)
Všimněme si ještě některých vztahů, které platí pro N-té odmocniny z jedné:
W k a W  k  W N k jsou čísla komplexně sdružená, tedy
~
W k  W k
(25.6)
pro N sudé je
375
W N / 2  1 je reálné, a tedy
W kN / 2  W K W N / 2   W k
(25.7)
Pro N sudé znamená násobení číslem W
a tedy otočení o 180 stupňů.
N /2
 1 přičtení k argumentu N/2
Finitní Fourieriva transformace
Definice: Přímou finitní Fourierovou transformací, zkratka FFT, označme F
definujeme jako zobrazení, které konečné posloupnosti N komplexních čísel
X  j  ,  j  0,1,.., N  1 přiřazuje posloupnost N komplexních čísel An, n  0,1,..., N  1
danou vztahem
1 N 1
An    X  j  W  jn n  0,1,..., N  1
N j 0
(25.8)
1
Obdobně definujeme i inversní finitní Fourierovu transformaci F vztahem
N 1
X  j    An W nj
 j  0,1,..., N  1
n 0
(25.9)
Pro některé teoretické úvahy je výhodné psát FFT v maticovém tvaru, při čemž konečné
T
posloupnosti píšeme jako vektory-sloupce. Tedy X =  X ( 0 ), X ( 1 ),..., X ( N  1 ) a
A =  A(0), A(1),..., A(n  1) , kde index T nahoře znamená transponovanou matici, tedy
v našem případě vektor.
Přímou finitní Fourierovu transformaci pak můžeme psát ve tvaru:
T
1
1
1
 A(0) 
1



1
2
W
W 3
 A(1) 
1 W
 A(2)  1  1 W  2
W 4
W 6

 
W 6
W 9
 A(3)  N  1 W 3






 A( N  1) 
 1 W ( N 1) W  2 ( N 1) W 3( N 1)



  X (0) 


W
  X (1) 
W  2 ( N 1)   X (2) 


W 3( N 1)   X (3) 




W ( N 1)( N 1)   X ( N  1) 
(25.10)
Matici této transformace včetně faktoru 1/N označme W a všimněme si, že tato matice je
~
symetrická, je tedy WT  W není však hermitovská, neplatí tedy WT  W , kde vlnkou je
označena matice, jejíž prvky jsou čísla komplexně sdružená.
Inversní finitní Fourierovu transformaci můžeme psát rovněž v maticovém tvaru:
1
1
1
 X (0)   1

 
2
W
W3
 X (1)   1 W
 X (2)   1 W 2
W4
W6


W6
W9
 X (3)   1 W 3

 

 
 X ( N  1)   1 W N 1 W 2( N 1) W 3( N 1)

 
1
 ( N 1)
  A(0) 


W
  A(1) 
W 2 ( N 1)   A(2) 


W 3( N 1)   A(3) 




W ( N 1)( N 1)   A( N  1) 
1
N 1
(25.11)
376
Tato matice je rovněž symetrická a označme ji W 1 . Všimněme si, že tato matice až na faktor
1/N je tvořena komplexně sdruženými hodnotami matice W.
Z ortogonality řádků a sloupců matic W a W 1 vyplývá, že tyto matice jsou opravdu inversní.
Viz paragraf 4.1, věta 1. Vlastnosti N-té komplexní odmocniny jedničky, a tím také přímá a
inversní finitní Fourierova transformace, jak byly definovány, jsou k sobě opravdu
transformacemi inversními.
Z definice Fourierovy transformace F a F 1 a periodičnosti komplexních odmocnin
z jedné, které jsou W j vyplývá, že posloupnosti A(n) a X ( j ) definované FFT můžeme
považovat definované pro všechna celá čísla n a j. Periodičnost těchto posloupností můžeme
vyjádřit vztahy:
X ( j )  X ( j  kN)
(k  0,  1,  2 ,...)
(25.12)
A(n)  A(n  kN)
(k  0,  1,  2 ,...)
(25.13)
Proto pro použití FFT často uvažujeme posloupnosti A a X definované pro všechny
celočíselné hodnoty. Tyto posloupnosti jsou ovšem periodické s periodou N. Posloupnosti
A(n) a X ( j ) můžeme považovat za zadané v diskrétních bodech ležících na kružnici, čímž
vynikne ještě více jejich periodičnost. Speciálním případem periodičnosti jsou pak vztahy
X ( j )  X ( N  j )
a A(n)  A( N  n) .
(25.15)
Při tomto pojetí FFT, kdy posloupnosti považujeme za nekonečné a periodické, pro
určení celé posloupnosti ve skutečnosti stačí N za sebou jdoucích prvků posloupnosti.
V tomto případě se mluví o „posunutých kopiích“ FFT. Proto stačí A(n) definovat pro
n  0, 1, ..., N  1 . Ostatní konečné posloupnosti, například když A(n) je definováno pro
n  k , k  1, k  2, ..., k  ( N  1) kde k je libovolné nenulové celé číslo nazýváme
posunutými kopiemi FFT. Z algebraického hlediska není mezi oběma transformacemi rozdíl,
avšak pro aplikace může být rozdíl velký.
Studujme například úlohu ve které máme sestrojit funkci (křivku) X   definovanou
konstantní posloupností X ( j )  c na diskrétní síti uzlových bodů  ( j ), j  0, 1, ..., N  1 .
Dosadíme-li hodnotu c do vztahu pro přímou FFT
1 N 1
c N 1
A(n)   cW  jn  W  jn
N j 0
N j 0
pak podle lemmatu z paragrafu 4.1. je A(n)  0 pro n  1,...N  1 a A(0)  c .
Když zpětnou FFT použijeme pro spojitý argument  a dosadíme tento výsledek do zpětné
FFT (4.9) máme
N 1
X     An W n  A0W 0  A0  c
n 0
Dosadíme v tomto případě X    c , což očekáváme.
377
Definujeme-li nyní diskrétní komplexní transformaci tak, že ve vztahu (4.9) necháme
probíhat n  1,2,... , N  a místo původně definované inversní FFT vztahem (4.9) budeme
sčítat pro n od 1 do N , tedy
N
X  j    An W nj
 j  0,1,..., N  1
n 1
(25.16)
pak po dosazení spojitého argumentu do této transformace máme
N
X     An W n  AN W N 0  c exp iN 
n 1
při inversní transformaci jsme použili jednu z jejích posunutých kopií, a proto jsme obdrželi
že X ( )  c exp iN  . Uvažujeme-li tedy X ( ) jako funkci, která je definována hodnotami
v uzlových bodech  ( j ), j  0, 1, ..., N  1 , pak v prvním případě dostáváme funkci
X ( )  c pro všechny hodnoty  , v druhém případě máme X ( )  c exp iN  , která mimo
uzlové body nabývá zcela jiných hodnot (pro reálnou posloupnost sinusoidu místo konstantní
funkce). Proto pro některé aplikace (například spektrální metody) je třeba požadovat, aby
X ( j ) bylo vyjádřeno pomocí komplexních exponenciálních funkcí s minimálními vlnovými
čísly. V tomto případě je přímá finitní Fourierova transformace definována stejně jako
výše, tedy vztahem
1 N 1
n  0,1,..., N  1
An    X  j  W  jn
N j 0
(25.17)
avšak zpětnou Fourierovu transformaci je třeba definovat vztahy:
pro N sudé
X  j 
N /2
 AnW
nj
 j  0,1,..., N  1
n   N / 2 1
(25.18)
pro N liché
X  j 
( N 1) / 2
 AnW
nj
 j  0,1,..., N  1
n   ( N 1) / 2
(25.19)
Jak uvidíme dále, má pro aplikace význam zejména první vztah, neboť v aplikacích můžeme
požadovat, aby N bylo sudé.
Poznámka :
Terminologie týkající se finitní, neboli diskrétní Fourierovy transformace není zcela
ustálena. Definice finitní Fourierovy transformace daná vztahy (25.8) a (25.9) je převzata ze
článku Cooley- Lewis-Welch [1]. P. N. Swarztrauber z NCAR [2] takto definovanou
transformaci nazývá diskrétní komplexní periodickou transformací s posunutými
kopiemi, kde ještě na rozdíl ve vztahu (25.9) je součet ,místo od 0 do N-1 uvažuje součet od 1
do N. Diskrétní komplexní periodická Fourierova transformace je pak definována
definována vztahy (25.17), (25.18), (25.19). Clive Temperton z ECMWF [3] definuje FFT
stejnými vztahy (25.8) a (25.9), ale (25.9) nazývá přímou FFT a (25.8) inversní transformací,
tedy opačně, než předchozí autoři.
378
Vlastnosti Fourierovy transformace a posloupností A(n) a X(j)
Definice: Řekneme, že dvě posloupnosti tvoří Fourierovu dvojici, nebo obšírněji
dvojici při FFT, jestliže splňují vztahy uvedené v definici FFT. Pro tuto dvojici zavedeme
označení
X ( j )  A(n)
(25.20)
Věta 1 : FFT je lineární transformací, tj. je-li
X 1 ( j )  A1 (n) a X 2 ( j )  A2 (n)
(25.21)
pak pro libovolné komplexní konstanty a a b platí
aX 1 ( j )  bX 2 ( j )  aA1 (n)  bA2 (n)
(25.22)
Věta vyplývá ihned z definice FFT.
~
Abychom mohli formulovat další výsledky o FFT , označme Y ( j ) číslo komplexně sdružené
ke komplexnímu číslu Y ( j ) .
Věta 2 : Když X ( j )  A(n) , pak je
X ( j )  A(n) .
(25.23)
Důkaz : Podle definice inverzní FFT je
N 1
X  j    An W nj
 j  0,1,..., N  1
n 0
nahradíme-li v předchozím vztahu j za –j máme
N 1
X  j    An W nj
n 0
V tomto vztahu položme m=-n , pak
X  j  
 ( N 1)
 A mW
Z periodičnosti funkce A(m) a funkce W
m 0
mj
mj
vyplývá, že součet přes periodu  ( N  1), 0
je týž jako přes periodu (0, N  1) a proto máme
N 1
X  j    A mW mj .
m 0
Čímž je důkaz završen. Důkaz je však poněkud nepřehledný, pro názornost i celkové
pochopení problému si ukážeme maticovou interpretaci důkazu.
Jako i v původní versi důkazu vyjdeme z inversní transformace F 1 , které odpovídá
maticový zápis (25.11) . Přehodíme nyní pořadí řádků matice W 1 na opačné. Tím vznikne i
opačné pořadí prvků vektoru x na levé straně a obdržíme
379
 X ( N  1)   1 W N 1 W 2 ( N 1)

 
N 2
X
(
N

2
)
W 2( N 2)

 1 W

 


 X (2)   1 W 2
W4
 X (1)  
W
W2

 1
 X (0)   1
1
1

 
W ( N 1)( N 1)   A(0) 
 

W ( N 1)( N  2)   A(1) 
 

 

W 2 ( N 1)   A( N  3) 
 

W N 1   A( N  2) 
  A( N  1) 
1

 
1
Nyní použijeme periodičnosti složek vektorů i prvků matice W . Od indexu složek vektoru
X odečteme N. Tím se hodnoty vektoru nezmění. Prvek matice stojící v k-tém sloupci a j-tém
řádku je W s exponentem (N-j)(k-1), (k-1 probíhá tedy čísla 0,…,N-1). Od tohoto exponentu
odečteme (k-1)N. Protože W k 1N  1 je rovněž
S použitím předchozího vztahu máme
W  N  j k 1  W  N  j k 1 N k 1  W  j k 1 .
W 2
W 3
 X (1)   1 W 1

 
2
W 4
W 6
 X (2)   1 W
 X (3)   1 W 3
W 6
W 9



 
 X (( N  1))  
 ( N 1)
W  2( N 1) W 3( N 1)

 1 W
 X ( N )   1 W  N
W 2 N
W 3 N

 







W ( N 1)( N 1) 
W ( N 1) N 
W  ( N 1)
W  2 ( N 1)
W 3( N 1)
 A(0) 


 A(1) 
 A(2) 




 A( N  2) 


 A( N  1) 


Poslední složka vektoru X(-N) je následkem periodičnosti rovna X(0) a poslední řádek matice
předchozího vztahu se skládá ze samých jedniček. Dáme-li poslední složku vektoru X na
první místo a rovněž poslední řádek matice jako první dostaneme vztah
1
1
 X (0)   1

 
1
W 2
 X (1)   1 W
 X (2)    1 W  2
W 4

 

 
 X (( N  1)   1 W ( N 1) W ( N 1)

 


W

 2 ( N 1) 
W


 ( N 1)( N 1) 
W

1
 ( N 1)
 A(0) 


 A(1) 
 A(2) 




 A( N  1) 


Všimněte si, že matice předchozího vztahu je až na faktor 1/N shodná s maticí W přímé FFT
.Podobnou úpravu jako jsme provedli na řádky matice a vektor X provedeme nyní na sloupce
matice a vektor A. Postupně tak obdržíme vztah
X(0) 



 X ( 1 ) 
 X ( 2 )   W 1




 X ( ( N  1 ) 


což bylo dokázat.
 A( 0 ) 


 A( 1 ) 
 A( 2 ) 




 A(  N  1 ) 


380
S použitím periodičnosti můžeme také psát
X ( j )  X ( N  j ) .
(25.24)
Interpretujeme-li proměnnou j jako čas, pak z věty 2 vyplývá, že FFT není vzhledem k času
reversibilní. Tato vlastnost FFT se stane jasnou v dalším textu ve spojitosti s konvolucí
(convolution) a operací fázového zpoždění (fázového zpětného posuvu - zdvihu) (laggedproduct opertions).
Definice: Řekneme, že posloupnost Y ( j ) je sudá, když Y ( j )  Y ( j ) , obdobně řekneme,
že posloupnost je lichá, když Y ( j )   Y ( j ) .
Z věty 2 ihned plyne :
Důsledek 1 : X ( j ) je sudá, právě když A(n) je sudá,
X ( j ) je lichá, právě když A(n) je lichá.
Důkaz: Nechť X ( j )  A(n) , pak podle Věty 2 je též X ( j )  A(n) .
Nyní je-li například X ( j ) sudá, pak je X ( j )  X ( j ) a z jednoznačnosti FFT
musí být též A(n)  A(n) .
Posloupnosti X ( j ) a A(n) jsou periodické s periodou N. Nyní, když Y ( j ) je sudá a
periodická s periodou N , pak Y ( j )  Y ( j )  Y ( N  j ) . Když posloupnost Y ( j ) je lichá a
periodická s periodou N, pak Y ( j )  Y ( j )  Y ( N  j ) . Proto na intervalu 0, N  1
sudost a lichost posloupností X ( j ) a
A(n) znamená symetrii ( resp. antisymetrii) mezi
hodnotami pro index j a N-j.
Nyní budeme studovat vztah mezi FFT posloupnosti X ( j ) FFT posloupnosti
~
skládající se z členů komplexně sdružených X ( j ) .
Věta 3 : Když
X ( j )  A(n)
(25.25)
pak
~
~
X ( j )  A(n)
(25.26)
a též
~
~
X ( j )  A(n) .
(25.27)
Důkaz: Podle definice obrácené FFT (25.9) máme
N 1
X  j    An W nj
 j  0,1,..., N  1
n 0
Použijeme-li nyní následujících vztahů mezi komplexně sdruženými veličinami
~
ab  a.b,
W jn W  jn
 a( j)   a( j),
(25.28)
381
máme
N 1
~
~
X ( j )   A(n)W nj
n 0
Položíme-li nyní v tomto vztahu m  n , pak
 ( N 1)
~
~
X ( j )   A(m) W mj
m 0
mj
Z periodičnosti funkce A(m) a funkce W
vyplývá, že součet přes periodu  N  1, 0 je
týž jako přes periodu (0, N  1) a proto máme
N 1
~
~
X ( j )   A(m) W mj
m 0
Což je důkaz první poloviny věty. Druhá plyne ihned z Věty 2.
Důsledek 2 :
~
~
X  j  je reálná právě když An  A n  AN  n
~
~
A(n) je reálná právě když X ( j )  X ( j )  X ( N  j )
~
~
X ( j ) je ryze imaginární právě když An   A n   AN  n
~
~
A(n) je ryze imaginární právě když X ( j )   X ( j )   X ( N  j )
Důkaz:
~
~
Předpokládejme, že X ( j ) je reálná, pak X ( j )  X ( j ) a podle věty 3 A(n)  A(n) .
~
~
Předpokládejme, že A(n)  A(n) , pak podle věty 3 je X ( j )  X ( j ) a X ( j ) je reálná.
~
Předpokládejme, že X ( j ) je ryze imaginární, pak X ( j )   X ( j ) a podle věty 3
~
~
~
A(n)   A(n) . Předpokládejme že A(n)   A(n) , pak podle věty 3 je X ( j )   X ( j ) a
X ( j ) je ryze imaginární.
Zbylá dvě tvrzení se dokazují obdobně.
Důsledek 3 :
X ( j ) je reálná a sudá, právě když A(n) je reálná a sudá.
X ( j ) je reálná a lichá, právě když A(n) je ryze imaginární a lichá.
X ( j ) je ryze imaginární a sudá, právě když A(n) je ryze imaginární a sudá.
X ( j ) je ryze imaginární a lichá, právě když A(n) je reálná a lichá.
Důkaz :
Předpokládejme, že X ( j ) je reálná a sudá, podle Důsledku 1 je A(n) sudá. Podle Důsledku 2
~
~
~
je An  A n . Neboť A(n)  A(n) a zároveň je An  A n , je též An  An a A(n)
je reálná. Opačná implikace se dokáže stejně. Zbylá tři tvrzení se dokáží obdobně.
S použitím lineárnosti transformace a Důsledku 2 snadno ukážeme, jak můžeme obdržet
současně dvě reálné transformace. Nechť X 1  j  a X 2  j  jsou reálné posloupnosti a nechť
382
X 1  j   A1 n a X 2  j   A2 n . Vytvořme funkci X  j   X 1  j   iX 2  j  a nechť An 
je její transformace, pak z lineárnosti transformace máme
An  A1 n  iA2 n
Je zřejmé, že
AN  n  A1 N  n  iA2 N  n
a tedy


~
~
~
~
~~
AN  n  A1 N  n  i AN  n  A1 N  n  i A2 N  n
~
Protože X  j  a X 2  j  jsou reálné máme podle Důsledku 2 že AN  n  A1 n a také
~
~
A2 N  n  A2 n můžeme vztah pro AN  n  psát ve tvaru
~
AN  n  A1 n  iA2 n
Kombinujeme-li tento vztah se vztahem pro An  , dostaneme pro A1 n  a A2 n  vztahy
~
~
An   AN  n 
An   AN  n 
A1 n  
a A2 n  
2
2
Poznamenejme, že v elektrotechnice, kde se studuje vlnění v závislosti na čase,
představuje proměnná – index j časovou osu, zatímco n frekvenční osu. Pro spektrální metody
pak j je indexem bodů v síti na prostorové ose kartézských souřadnic a n stejně osou
frekvenční.
V teorii FFT by se daly studovat další problémy časový posun, konvoluce,
Parsevalovu větu a algoritmy, kterými se FFT realizuje. Realizace rychlých algoritmů FFT
tvoří dnes velmi rozsáhlou teorii. Pro aplikace můžeme tyto algoritmy používat, aniž bychom
je detailně znali. Pro spektrální metody je vhodné použít algoritmy vytvořené speciálně pro
transformace reálných posloupností. Je třeba ovšem vědět, že rychlost algoritmů realizujících
FFT závisí na délce – počtu členů N posloupnosti, kterou transformujeme. První algoritmy
FFT byly pouze pro N, které je mocninou čísla 2, tedy N  2 l . Tato posloupnost je však
zejména pro větší N dosti „řídká“ (N se pak zvětšuje o příliš velký krok). Druhým extrémem
by bylo, použití algoritmu FFT pro zcela libovolné N. Takový algoritmus vyvinul Richard
Singlton [3], jeho obecnost je zajímavá avšak poněkud zbytečná, protože rychlost
transformací závisí na tom, aby N bylo součinem co možná největšího počtu prvočinitelů. Jeli N prvočíslo, pak FFT je stejné, jako násobení maticí transformace, protože v tomto případě
není možné transformaci zrychlit. Rychlost algoritmů FFT se projeví zejména pro větší
hodnoty N. Pro algoritmy kde N  2 l je celkový počet početních operací úměrný číslu
N 2 log 2 N , zatímco počet operací při násobení maticí transformace je úměrný N 3 . Pro
aplikace v meteorologii Clive Temperton z ECMWF (European Centre for Medium Range
Weather Forecasts) sestavil a naprogramoval algoritmy FFT pro transformaci reálných
posloupností pro N sudé, které je součinem mocnin čísel 2, 3 a 5, tedy ve tvaru N  2 p 3q 5 r ,
kde p,q,r jsou celá nezáporná čísla a p  1 . Čísla N takto definovaná vytvářejí dostatečně
možností pro použití aplikací.
383
Literatura:
[1] Cooley J.W., Lewis P. A. W., Welch P.D.: The Finite Fourier Transform,
IEEE Transition on Audio and Electroacoustic Vol. 17, No 2, s.77 – 85.
[2] Swartztrauber P.N. in: Parallel Computations ed. G. Rodrigue, Academic Press 1982.
[3] Singleton Richard C.: An Algorithm for Computing the Mixed Radix Fast Fourier
Transform. IEEE Transition on Audio and Electroacoustic Vol. 17, No 2, s. 93-103.
[4] Temperton Clive : Fast Mixed-Radix Fourier Transforms.
Journal of Computational Physics 52, 340-350 (1983)
384
26. Spektrální model na omezené oblasti a principy modelu ALADIN
Globální modely a spektrální metoda
Spektrální metoda svou přesností a svou vysokou efektivností se velmi osvědčila pro
časovou integraci globálních meteorologických modelů. Je třeba ovšem říct, že tyto modely
pracovaly s menším rozlišením, to bylo obvykle 64 vln na rovnoběžce, což bylo dáno
výkonem počítačů. Po příchodu velmi výkonných superpočítačů se ve velkých centrech jako
je ECMWF rozlišení zvyšovalo až na přibližně 250 vln na rovnoběžce. Při tomto rozlišení
není spektrální metoda již tak efektivní, protože transformace do spektrálního prostoru a zpět
zabírají celou polovinu výpočetního času. Je to proto, že globální modely používají sférické
souřadnice a ve spektrálním prostoru používají sférické harmonické funkce. V tomto případě
se ve směru rovnoběžek při transformaci do spektrálního prostoru a zpět používá FFT, která
efektivní je, ve směru poledníků se však používá Legendreova transformace, jejíž náročnost
na výpočetní čas rychle vzrůstá s počtem uzlových bodů. Ukázalo se tedy, že spektrální
metoda použitá v globálních modelech je přesná a zároveň do určitého rozlišení i vysoce
efektivní. V současné době proto většina provozních globálních modelů používá právě
spektrální metodu, která je pro rozlišení těchto modelů adekvátní. Spektrální metoda se ovšem
ve všech modelech používá pro popis proměnných pouze vzhledem k horizontálním nezávisle
proměnným. Tam totiž po aproximaci vzniká při časové integraci největší chyba, a to při
aproximaci nelineární advekce, kterou je možné spektrální metodou eliminovat, aniž bychom
musili podstatně zvětšit počet uzlových bodů v horizontální rovině. Zvýšený důraz na
aproximaci v horizontální rovině odpovídá také tomu, že se jedná o modely v hydrostatické
aproximaci, kde rovnice hybnosti ve vertikálním směru je zanedbáním členů zjednodušena na
hydrostatickou rovnici. Pole větru je takovém modelu popsáno pouze horizontálními složkami
větru. Ve směru vertikály se hybnost neuvažuje a v rovnicích nejsou tedy členy nelineární
advekce hybnosti. Vertikální rychlost je pak diagnostickou, nikoliv prognostickou veličinou a
je dána rovnicí kontinuity. Pro aproximaci ve vertikálním směru pak pro dostatečnou
přesnost, stačí použít konečné diference, i když pro tuto aproximaci byla vyzkoušena také
metoda konečných prvků.
Pro spektrální metody používané v meteorologii je typickou vlastností, že se provádí
transformace reálných funkcí, obvykle dvou prostorových proměnných, abychom dostali
jejich spektrální reprezentaci, tedy jejich vyjádření ve spektrálním prostoru. Je zřejmé, že
potřebujeme také jejich zpětnou transformaci do fyzikálního prostoru, což znamená výpočet
hodnot těchto funkcí na diskrétní síti uzlových bodů. Tato síť se obvykle v matematice nazývá
kolokační sítí. Pro časovou integraci meteorologických modelů je charakteristické, že tato
transformace do spektrálního prostoru a zpět se provádí při integraci v každém časovém
kroku. Je to proto, že rovnice meteorologických modelů jsou nelineární a ve spektrálním
prostoru nemůžeme počítat součiny funkcí a pravé strany rovnic, které jsou dány fyzikálními
parametrizacemi. Ve spektrálním prostoru se počítají derivace funkcí podle horizontálních
prostorových nezávisle proměnných, důsledkem čehož je právě vysoká přesnost spektrálních
metod a ve spektrálním prostoru jsou také velmi efektivně řešeny soustavy lineárních rovnic,
vzniklé při semi-implicitní časové aproximaci. Postup výpočtu, při kterém se v každém
časovém kroku provádí transformace do spektrálního prostoru a zpět navrhl Ország, a tato
metoda je nazývána transformační metodou.
385
26.1. Problémy spektrální metody na omezené oblasti
Hlavním problémem spektrální metody na omezené oblasti je Gibbsův efekt.
O použití spektrální techniky, která se tak dobře osvědčila pro řešení rovnic globálních
modelů, pro její velmi malou chybu fázové rychlosti vln v modelu, se uvažovalo již poměrně
dlouho, v podstatě od úspěšného použití transformační spektrální metody pro globální modely
(tj. druhé poloviny 70. let). Při mém studijním pobytu na univerzitě v Kodani v roce 1979 mi
pan profesor Bennert Machenhauer, v té době přední představitel spektrálního modelování v
oblasti globálních modelů, řekl, že by chtěl použít spektrální techniku založenou na diskrétní
Fourierově transformaci i pro modely na omezené oblasti. Již tehdy jsme měli diskusi o
jednom z hlavních problémů použití této techniky pro modely na konečné oblasti, který
spočívá v tom, že reprezentace funkcí pomocí konečných součtů Fourierovy řady se vzhledem
k periodičnosti goniometrických funkcí hodí pouze pro periodické funkce, ale prognostické
proměnné na omezené oblasti vzhledem k systému horizontálních souřadnic (jak sférických,
tak souřadnic konformní mapy) periodické nejsou. Tím se předpověď na omezené oblasti
matematicky podstatně liší od globální předpovědi na celé zeměkouli, kde prognostické
proměnné jsou periodickými funkcemi sférických souřadnic. Vzniká tedy otázka, jak tento
problém obejít. Abychom si tento problém snáze vysvětlili, omezíme se zatím pro
jednoduchost na jednodimensionální případ. Máme-li spojitou, hladkou funkci 𝑓(𝑥)
definovanou na konečném uzavřeném intervalu 〈𝑎, 𝑏〉, můžeme ji rozšířit na periodickou
funkci 𝐺(𝑥), tím, že pro každé celé k a pro 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 položíme 𝐺(𝑥 + 𝑘(𝑏 − 𝑎)) = 𝑓(𝑥).
Tedy graf funkce 𝑓(𝑥) nad osou x opakujeme. Můžeme si také představit, že interval 〈𝑎, 𝑏〉
leží na kružnici, a bod a je totožný s bodem b, tedy interval pokrývá celou kružnici. Nyní
vzniká problém, jakou hodnotu funkce 𝐺(𝑥) zvolit v bodě a, neboli též b. Jestliže 𝑓(𝑎) =
𝑓(𝑏) můžeme položit 𝐺(𝑎) = 𝐺(𝑏) = 𝑓(𝑎) a periodická funkce 𝐺(𝑥) je definována všude a
je spojitá v bodě a resp. b. Jestliže derivace funkce 𝑓(𝑥) zprava v bodě a je rovna derivaci
zleva v bodě b, pak funkce 𝐺(𝑥) má derivaci v bodě a a je tedy je všude hladká. Spojitost a
hladkost funkce je důležitá pro rychlost konvergence Fourierovy řady. Jestliže 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏),
má funkce 𝐺(𝑥) v bodech a resp. b skok, pak z hlediska konvergence Fourierových řad je
nejvýhodnější
hodnotu
funkce
𝐺(𝑎)
definovat
jako
aritmetický
průměr
𝐺(𝑎) = (𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏))⁄2. Funkce 𝐺(𝑥) v tomto případě není v bodech a, resp. b ani hladká
ani spojitá. Takovéto rozšíření funkce definované na konečném intervalu na celou osu x
budeme nazývat jednoduchým periodickým rozšířením funkce. Pro nespojité funkce v okolí
skoku Fourierova řada špatně konverguje a vzniká tak zvaný Gibbsův efekt. Ten si ilustrujme
na následujícím příkladu: Studujme tak zvanou pilovou funkci s periodou 2 definovanou
vztahy: 𝐺(𝑡) = (𝜋 − 𝑡)⁄2𝜋 pro 0 < 𝑡 < 2𝜋, 𝐺(0) = 0. Z periodičnosti této funkce platí
také, že 𝐺(−𝑡) = 𝐺(𝑡). Fourierův rozvoj této funkce je roven
∞
1
sin 𝑘𝑥
𝐺(𝑥) = ∑
𝜋
𝑘
𝑘=1
(26.1.1)
386
odpovídající konečný součet je roven
𝑛
1
sin 𝑘𝑥
𝐺𝑛 (𝑥) = ∑
𝜋
𝑘
𝑘=1
(26.1.2)
Aproximujeme-li funkci 𝐺(𝑥) konečným součtem (26.2), vznikne v bodě 𝑥 ≠ 0 chyba, která
je v našem případě rovna
𝐺(𝑥) − 𝐺𝑛 (𝑥) =
1
cos (𝑛 + 2) 𝑥
1
(𝑛 + 2) 𝜋𝑥
(26.1.3)
Předchozí vztah nám ukazuje, že chyba sice se zvětšujícím se n konverguje k nule, nicméně
1
chyba závisí na součinu (𝑛 + 2) 𝑥 , který nám ukazuje, že chyba roste, když x se přibližuje k
nule. Situace je znázorněna na obrázku 25.1.
Obrázek 26.1 Gibbsův efekt.
Na grafu funkce 𝐺𝑛 (𝑥), která aproximuje funkci 𝐺(𝑥), je dobře vidět, že blížíme-li se k bodu
0 tak se vlnky se zvětšují, což je právě efekt studovaný Gibbsem v roce 1899. Z obrázku
265.1 je též patrné, že zejména výpočet derivací funkce 𝐺(𝑥), který je ve spektrální metodě
nahražen výpočtem derivací funkce 𝐺𝑛 (𝑥) bude zatížen v okolí bodu 0 velkou chybu. Z
uvedeného příkladu je vidět, že jednoduché rozšíření funkce na periodickou není pro
spektrální metodu na omezené oblasti použitelné. Vzniká Gibbsův efekt, jehož výsledkem je
vznik krátkých vln velké amplitudy, které překryjí krátké vlny, které jsou obsaženy v
prognostických proměnných modelu. Odfiltrování nejkratších vln z modelu uřezáváním a
výpočet derivací prognostických proměnných je pak proveden chybně. Další problémy
vznikají také tím, že v bodě a resp. b nejsou obecně takováto rozšíření prognostických
proměnných na periodické funkce řešením soustavy prognostických rovnic. Gibbsův efekt
387
vzniká tedy vždy v okolí nespojitosti-skoku funkce. Vzniká tedy také v důsledku
atmosférických jevů, při kterých se proměnné mění skokem. Takovým jevem jsou především
atmosférické fronty. Proto použití spektrální metody na jemné síti, která je schopna tyto jevy
popsat je spojeno s určitými problémy.
Z předchozího vyplývá, že chceme-li tedy spektrální metodu použít v modelu na
obdélníkové oblasti, potřebujeme, aby na protilehlých stranách obdélníka měly funkce, pro
které ve spektrálním prostoru jsou použity Fourierovy rozvoje, stejné hodnoty a stejné
derivace, tedy aby po jejich periodickém opakování byly takto získané funkce spojité a
hladké. V lokálních modelech na obdélníkové oblasti jsou přirozeně hodnoty funkcí na
protilehlých stranách obdélníka jiné. Proto doplnění funkce na periodickou jednoduchým
opakováním hodnot na intervalu, na kterém jsou hodnoty funkcí definované, je tedy
nepoužitelné. Ukážeme si nyní jak tento problém vyřešit.
Dva způsoby řešení problému Gibbsova efektu
Chceme-li spojitou hladkou funkci definovanou na intervalu 〈𝑎, 𝑏〉, která v koncových
bodech nenabývá stejné hodnoty, 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏), (tedy při jednoduchém rozšíření funkce na
periodickou je v koncových bodech skok), aproximovat pomocí konečného Fourierova
součtu, můžeme postupovat dvěma způsoby:
První způsob je založen na tom, že od funkce 𝑓(𝑥) odečteme vhodnou funkci,
řekněme 𝑝(𝑥) takovou, aby rozdíl 𝑓(𝑥) − 𝑝(𝑥) měl v koncových bodech nulové hodnoty a
mimo to, aby i derivace tohoto rozdílu byly v koncových bodech intervalu nulové, pak je
jasné, že jednoduché periodické rozšíření rozdílu 𝑓(𝑥) − 𝑝(𝑥) je hladkou periodickou funkcí
na celé ose x. Místo funkce 𝑓(𝑥) pak konečným Fourierovým součtem 𝐹𝑛 (𝑥) aproximujeme
rozdíl 𝑓(𝑥) − 𝑝(𝑥) tedy v podstatě jinou funkci. Funkci 𝑓(𝑥) pak aproximujeme výrazem
𝑝(𝑥) + 𝐹𝑛 (𝑥). Derivace funkce 𝑓(𝑥) pak aproximujeme derivacemi funkce 𝑝(𝑥) + 𝐹𝑛 (𝑥).
Snadno také nahlédneme, že vzhledem k tomu, že rozdíl 𝑓(𝑥) − 𝑝(𝑥) nabývá v koncových
bodech intervalu i se svými derivacemi nulové hodnoty, automaticky splňuje v koncových
bodech evoluční parciální diferenciální rovnici prvního řádu. Funkci 𝑝(𝑥) pak určíme pomocí
okrajových podmínek, přesněji řečeno, pomocí hodnot prognostických proměnných, po
případě i jejích derivací, které jsou dány řídícím modelem na hranici oblasti.
Na tomto principu vyvinul Yasuo Tatsumim [12] numerické schéma spektrálního
modelu na omezené oblasti. Model je formulován v 𝜎-systému vertikální souřadnice na
čtvercové síti na konformní mapě. Funkce 𝑝(𝑥), která je zde nazývána přídavnou
neortogonální basí je tvaru
𝑥
𝑥
𝑝(𝑥) = 𝑎1 sin ( ) + 𝑎2 sin 𝑥 + 𝑏1 + 𝑏2 cos ( )
2
2
(26.1.4)
Z hodnot prognostických proměnných a jejích derivací v uzlových bodech kolokační sítě,
které leží na boční hranici oblasti spektrálního LAM, ve kterých prognostické proměnné
řídícího modelu i LAM nabývají stejné hodnoty, určíme koeficienty 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑏1 , 𝑏2 tak, aby
rozdíl 𝑓(𝑥) − 𝑝(𝑥) nabýval i se svými derivacemi na bočních hranicích nulové hodnoty.
Rozdíl 𝑓(𝑥) − 𝑝(𝑥) se pak dá rozšířit na spojitou a hladkou periodickou funkci. Na tomto
principu spočívá spektrální metoda, kterou Tatsumi použil v modelu. Poznamenejme ještě, že
tento postup není původní Tatsumiho myšlenkou. Postup založený na odečtení vhodné funkce
388
byl diskutován již v roce 1977 Davidem Gottliebem a Stevenem Orszagem v jejich
matematických pracích o spektrálních metodách. V meteorologickém modelu byl zde použit
poprvé. Změny prognostických proměnných z řídícího modelu do LAM se přenášejí jednak
volbou funkce 𝑝(𝑥) a jednak kombinací hodnot vypočtených řídícím modelem a modelem
LAM v pásu podél bočních hranic ve fyzikálním prostoru, tedy na kolokační síti, stejným
způsobem, jako ve zcela diskrétních (např. diferenčních) modelech. Model založený na
popsaném principu byl pak počítán provozně Japonskou meteorologickou službou [8].
Spektrální model na tomto principu byl vyvinut také ve Washingtonském meteorologickém
centru (NMC) [6]. Určitou nevýhodou tohoto postupu jsou problémy spojené s bočními
okrajovými podmínkami a skutečností, že tak zvané „zákony zachování“ nejsou při použití
této metody exaktně, přesně splněny.
Druhý způsob řešení problému spočívá v rozšíření oblasti, na které je model
počítán. Tato myšlenka pochází od dánského meteorologa Bennerta Machenhauera. Ta
spočívá v tom, že výpočetní obdélníkovou oblast rozšíříme, na větší obdélník, v obou směrech
souřadnic přibližně asi o 15% a protilehlé strany spojíme spojitými hladkými funkcemi tak,
aby po doplnění funkcí v tomto větším obdélníku jsme obdrželi periodické spojité hladké
funkce, vhodné pro Fourierovy rozvoje. Test takto formulované metody pro model mělké
vody byl publikován v článku Machenhauera a Haugena [4]. Na této metodě ovšem pracovala
a také ji prakticky zkoušela skupina meteorologů ze severských zemí s názvem HIRLAM .
Tato skupina byla volným spolupracujícím týmem meteorologů z Dánska, Norska, Švédska a
Irska. Název HIRLAM je vlastně zkratkou „HIgh Resolution Limited Area Model“, jejímž
cílem je tedy modelování s vysokým rozlišením na omezené oblasti.
Tento princip řešení problému periodičnosti je použit i v modelu ALADIN [2], který
je vlastně součástí systému modelů ARPEGE/aladin. Z globálního modelu ARPEGE
francouzské meteorologické služby je modifikována předpověď v zóně spojení modelů, a
model ARPEGE [2] je tedy jeho řídícím modelem ALADINU. Model ALADIN byl vyvinut
za spolupráce meteorologických služeb zemí střední Evropy a Météo France v Toulouse. Na
vývoji tohoto modelu jsem se společně s Radmilou Brožkovou a později Martinem
Janouškem, v rámci spolupráce ČHMU a Météo France osobně podílel. Tento model je
spektrálním modelem na omezené oblasti zcela nové generace. Správná numerická realizace
modelu byla proto spojena s vyřešením mnoha nových problémů. Formulace rovnic modelu je
zcela standardní. Je to baroklinní model v hydrostatickém přiblížení v  -systému souřadnic.
Horizontální souřadnice tvoří kartézský systém souřadnic na konformní mapě. Rovnice
použité v modelu lze nalézti v článku [2]. Fyzikální parametrizace ALDINU jsou poněkud
jiné než v modelu ARPEGE a byly přepracovány tak, aby fyzikálně odpovídaly vyššímu
rozlišení modelu. Inicializace modelu je založena na časovém digitálním filtru, který z
počátečních dat odstraní vlny vysoké frekvence. Na začátku vývoje modelu byl vedením
celého projektu pověřen Francouz Alain Joly. Hlavním iniciátorem tohoto mezinárodního
projektu byl vedoucí oddělení modelování (GMAP) Météo France Jean-François Geleyn,
který práci na projektu pečlivě sledoval. Na nových modifikacích modelu se stále pracuje,
jsou zejména zdokonalovány jeho fyzikální parametrizace, dynamická část modelu byla
přepracována z Eulerovské verse na semi-Lagrangeovskou versi, a model který byl původně
počítán na americkém vektorovém počítači CRAY je upraven pro nové, modernější japonské
389
počítače NEC u nás a Fujitsu ve Francii. Základní principy ALADINU však pocházejí z práce
uskutečněné v létech 1991-94. Každý model, který je v provozu, potřebuje totiž stálou údržbu,
zlepšování a modernizaci do té doby, dokud není nahrazen zcela novým modelem. Pak se
jeho software většinou již neudržuje v provozuschopném stavu.
Horizontální reprezentace proměnných v soustavě modelů ARPÉGE/ALADIN.
Obrázek 25.2 Horizontální uspořádání oblasti modelu ALADIN
Horizontální oblast modelu zobrazená na obrázku 25.2 se skládá z obdélníkových částí:
- Ze základní obdélníkové prognostické oblasti, ve které model ALADIN časově
integrován. Tato oblast se skládá ze dvou částí:
o z vnitřní obdélníkové oblasti, kterou označme C, ve které časová integrace
probíhá bez přímého vlivu řídícího modelu. Tuto oblast je možné chápat tak,
že se v ní výsledky globálního modelu přizpůsobují podrobnějšímu popisu
orografie a vlastností zemského povrchu. To však není vše. Tím, že se
integrace provádí na jemnější síti a také s jinými parametrizacemi, může
poskytnout i přesnější popis fyzikálních jevů. Výsledkem frontogeneze mohou
vznikat také větší gradienty prognostických proměnných. Model je tedy možné
spíše chápat jako zcela nový model označovaný obvykle LAM (Limited Area
Model), který je pouze řízen modelem většího měřítka. V pásech podél
hranice základní obdélníkové prognostické oblasti se provádí přizpůsobení
řešení ALADINU řídícímu modelu ARPEGE. Tuto zónu přímého vlivu
řídícího modelu na model LAM označme I.
o z oblasti označené I, spojení řídícího modelu s modelem ALADIN. To probíhá
ve fyzikálním prostoru, tedy na kolokační síti stejným způsobem, jako se toto
spojení provádí u diskrétních-diferenčních modelů. Interakce mezi vnějším a
řídícím modelem ARPÉGE je jednostranná, to znamená, že v zóně I se řešení
modelu ALADIN přizpůsobuje globálnímu vývoji atmosféry, který je počítán
globálním modelem ARPEGE, ale obráceně model ALADIN na model
390
ARPEGE nemá žádný vliv. Předpovídané hodnoty v lokálním modelu v této
zóně vznikají jako lineární kombinace hodnot z řídícího modelu ARPÉGE
interpolovaných na síť modelu lokálního ALADINU s hodnotami
předpovídanými lokálním modelem, tedy ALADINEM. Označíme-li g
výsledné hodnoty po časovém kroku lokálního modelu 𝑔𝐿 hodnoty časově
integrované lokálním modelem a 𝑔̂ hodnoty předpověděné řídícím (globálním)
modelem které jsou interpolovány do uzlových bodů sítě lokálního modelu, a
také časově lineárně interpolované do momentu časového kroku lokálního
modelu, pak hodnoty g jsou dány vztahem
𝑔 = (1 − 𝛾)𝑔𝐿 + 𝛾𝑔̂
(26.1.5)
kde váhy tohoto spojení 𝛾 jsou zvoleny tak, že na hranici E zóny je 𝛾 = 1 a v I
zóně klesá 𝛾 směrem od hranice dovnitř oblasti postupně k nule, takže na
hranici zóny C je 𝛾 = 0.
Tato technika spojení modelů byla vypracována a vyzkoušena
v ECMWF
švédským meteorologem Kollbergem [7].
Váhy 𝛾 byly
Kollbergem definovány vztahem
𝛾(𝑗) − 𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑗⁄2)
(26.1.6)
kde j zde znamená počet kroků v síti od vnější hranice E zóny ve směru
normály. Tato funkce u vnější hranice rychle klesá, ale pak se pomalu
asymptoticky přibližuje k 0. Tato vlastnost, že se hodnoty vah 𝛾 blíží směrem
ke středu oblasti asymptoticky k nule je důležitá proto, že v tomto případě
nedochází k odrazu gravitačních vln od hranice oblasti. Gravitační vlny
směřující ke hranici oblasti LAM jsou téměř zcela pohlceny. V současnosti se
tato Kollbrgem testovaná funkce v ALADINu nepoužívá. Místo ní je použita
funkce 𝛾 v E zóně definovaná vztahem tvaru 𝛾(𝜑) = (1 + cos 𝜑)/2, kde 𝜑
probíhá interval 〈0, 𝜋〉. Když j je opět počet uzlů od vnější hranice LAM a
nechť J je index od kterého je již váha nulová, pak
𝛾(𝑗) = (1 + cos(𝑗𝜋⁄𝐽))⁄2
(26.1.7)
kde probíhá celá čísla 𝑗 = 0, 1. … , 𝐽.
-
z vnější zóny, zóny rozšíření označené E (extension zone), ve které funkce doplníme
tak, aby splňovaly okrajové podmínky a byly diskretizací spojitých hladkých ve směru
obou horizontálních proměnných periodických funkcí, neboli biperiodických funkcí.
Tento proces rozšíření funkcí do zóny E nazýváme biperiodizací.
Doplnění funkce na periodickou funkci na rozšíření oblasti.
Biperiodizace
Úkolem biperiodizace je tedy rozšířit funkci 𝑓(𝑥, 𝑦) definovanou v předpovědní
oblasti 𝐶 ∪ 𝐼 na oblast 𝐶 ∪ 𝐼 ∪ 𝐸 tak, aby vznikla spojitá hladká periodická funkce ve směru
obou souřadnicových os x, y. Periodické rozšíření funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) provedeme postupně ve
směru osy x a pak ve směru osy y. Rozšíření funkce je tedy prováděno jako jednorozměrné ve
391
směru obou os. Rozšíření funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) na E-zónu lze provésti při splnění předchozích
podmínek vcelku libovolně.
Rozšíření v jednom směru, například ve směru osy x si popíšeme podrobněji a
zobrazíme na obrázku 25. 3. Na obrázku je na ose x zobrazena celá oblast 𝐶 ∪ 𝐼 ∪ 𝐸. Jejími
rozměry ve směru osy x a y jsou 𝐿𝑥 a 𝐿𝑦 , což jsou zároveň periody ve směru příslušných os.
Funkci, kterou použijeme pro spojení v E zóně, může být vcelku libovolná. Může být
například lineární kombinací trigonometrických funkcí. Takový postup zvolila skupina
HIRLAM, která používala pro periodizaci trigonometrický interpolační polynom proložený
na obou stranách intervalu 〈𝑎, 𝑏〉 ≡ 𝐶 ∪ 𝐼 vždy dvěma krajními uzly kolokační sítě. Možná že
k použití trigonometrických funkcí je vedlo to, že jsou to funkce z Fourierovy báze. Já jsem
přesvědčen, že to není žádná výhoda a pro spojení můžeme použít libovolnou dostatečně
hladkou funkci. Například spline. Přirozený spline má navíc tu výhodu, že jeho amplituda je
malá, tím myslím rozdíl mezi jeho největší a nejmenší hodnotou. Což vyplývá z věty
(Holladay) [1] která říká, že mezi všemi funkcemi 𝑓(𝑥), které mají na intervalu 〈𝑎, 𝑏〉 spojitou
druhou derivaci, které v uzlových bodech mají předepsané hodnoty přirozený spline
minimalizuje integrál
𝑏
∫|𝑓 ′′ |2 𝑑𝑥
𝑎
(26.1.8)
〈𝑎,
což znamená, že funkce 𝑓(𝑥) má na intervalu
𝑏〉 mezi všemi funkcemi minimální křivost.
Proto se mi jeví použít přirozený spline pro biperiodizaci jako nejvhodnější. Věnujme se nyní
konstrukci tohoto splinu.
Konstrukce přirozeného kubického spline definovaného hodnotami ve čtyřech bodech
Sestrojme nyní přirozený kubický spline 𝑠(𝑥) z hodnot funkce f definovaných ve
čtyřech uzlových bodech, x0  x1  x2  x3 na ose x. Tyto čtyři uzlové body nám omezují na
ose x tři intervaly. Přitom interpolaci použijeme pouze na prostředním intervalu 〈𝑥1 , 𝑥2 〉.
Připomeňme si ještě definici splinu. Při konstrukci splinu vyjdeme z knížky [3], pro
zjednodušení využijeme však toho, že spline bude definován pouze čtyřmi body. Spline 𝑠(𝑥)
je na každém intervalu 〈𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 〉 kubickou funkcí, která je ve vnitřních uzlových bodech
intervalu, na kterém spline sestrojujeme, spojitá i se svou první i druhou derivací. Protože
druhou derivací kubického polynomu je lineární funkce, je druhá derivace splinu po částech
lineární funkcí. V uzlových bodech se obvykle definují momenty splinu, které se označují
jako  i . Druhé derivace splinu v uzlových bodech jsou pak šestinásobky momentů splinu,
tedy 𝑠 ′′ (𝑥𝑖 ) = 6𝜎𝑖 . Pro určení splinu jsou třeba ještě dvě okrajové podmínky v koncových
bodech intervalu interpolace. Pro přirozený spline, který zde použijeme, jsou to podmínky
𝜎0 = 𝜎3 = 0. V koncových bodech má tedy přirozený spline druhé derivace rovny 0.
Konstrukce splinu v obecném případě, čím zde myslíme pro libovolný počet uzlových bodů je
podrobně popsána v kapitole 8. Pro spline určený čtyřmi body se soustava pro momenty
splinu skládá pouze z dvou rovnic, které můžeme vyřešit a odvodit pro konstrukci splinu
explicitní formule. Postup je následující. Označíme-li krok v síti, který zde není konstantní
stejně jako v kapitole 8. (8.2.8)
392
ℎ𝑖 = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 , kde v našem případě 𝑖 = 0,1,2
(26.1.9)
dostaneme z podmínky spojitosti druhé derivace a tedy z hladkosti první derivace pro hodnoty
momentů spline 𝜎1 , 𝜎2 soustavu rovnic definující spline uvedenou v osmé kapitole v našem
případě pouze o dvou neznámých 𝜎1 , 𝜎2 tvaru
2(ℎ0 + ℎ1 )𝜎1 + ℎ1 𝜎2 = 𝑃𝑆1
(26.1.10)
ℎ1 𝜎1 + 2(ℎ1 + ℎ2 )𝜎2 = 𝑃𝑆2
(26.1.11)
kde hodnoty pravých stran jsou dány výrazy
𝑃𝑆1 = (𝑓2 − 𝑓1 )⁄ℎ1 − (𝑓1 − 𝑓0 )⁄ℎ0
(26.1.12)
𝑃𝑆2 = (𝑓3 − 𝑓2 )⁄ℎ2 − (𝑓2 − 𝑓1 )⁄ℎ1
(26.1.13)
První rovnici soustavy vynásobme výrazem 2(ℎ1 + ℎ2 ) a druhou rovnici ℎ1 a rovnice od sebe
odečteme. Eliminujeme tím 𝜎2 a dostaneme výraz pro 𝜎1
𝜎1 =
2(ℎ1 + ℎ2 )𝑃𝑆1 − ℎ2 𝑃𝑆2
4(ℎ0 + ℎ1 )(ℎ1 + ℎ2 ) − ℎ1 2
(26.1.14)
Obdobně vypočteme moment  2 . První rovnici násobíme h1 a druhou 2h0  h1  rovnice
odečteme a dostaneme
𝜎2 =
2(ℎ0 + ℎ1 )𝑃𝑆2 − ℎ1 𝑃𝑆1
4(ℎ0 + ℎ1 )(ℎ1 + ℎ2 ) − ℎ1 2
Všimněme si, že jmenovatele ve výrazech pro  1 ,  2
tvaru
(26.1.15)
jsou stejné. Spline budeme používat ve
𝑠(𝑥) = 𝑓𝑖 + 𝑏𝑖 (𝑥 − 𝑥𝑖 ) + 𝑐𝑖 (𝑥 − 𝑥𝑖 )2 + 𝑑𝑖 (𝑥 − 𝑥𝑖 )3
(26.1.16)
kde
𝑏𝑖 = (𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖 )⁄ℎ𝑖 − ℎ𝑖 (𝜎𝑖+1 + 2𝜎𝑖 )
(26.1.17)
𝑐𝑖 = 3𝜎𝑖
(26.1.18)
𝑑𝑖 = (𝜎𝑖+1 − 𝜎𝑖 )⁄ℎ𝑖
(26.1.19)
a kde i probíhá indexy i  0, 1, 2 . Pro výpočet hodnot v intervalu 〈𝑥1 , 𝑥2 〉 použijeme předchozí
vztahy pouze pro i=1.
Nyní se podívejme na provedení tohoto rozšíření oblasti ve směru osy x, jak je
realizován na počítači.
Obrázek 26.3 Doplnění funkce f na hladkou periodickou funkci ve směru osy x.
393
Situace je znázorněna na obrázku 26.3. Hodnoty v závorce jsou indexy ve směru osy x.
Posloupnosti funkčních hodnot 𝑓(𝑗) ve směru osy x probíhají následující indexy:
V obdélníku 𝐶 ∪ 𝐼 probíhá index 𝑗 = 𝐽𝐹, … , 𝐽𝐿, index JF odpovídá prvnímu (first) členu
posloupnosti, což je bod levé straně obdélníka, JL odpovídá poslednímu (last), což je bod na
pravé straně předpovědní oblasti.
V obdélníku 𝐶 ∪ 𝐼 ∪ 𝐸 ve směru osy x probíhá index 𝑗 = 𝐽𝐹, … , 𝑁 + 1.
V E zóně, kterou tvoří uzavřený interval, probíhá index 𝑗 = 𝐽𝐿, … , 𝑁 + 1
Délka intervalu E zóny je pak kh, kde 𝑘 = 𝑁 + 1 − 𝐽𝐿.
Periodičnost funkce f je pak dána vztahem 𝑓(𝑗 + 𝑚(𝑀 + 1 − 𝐽𝐹)) = 𝑓(𝑗), kde m je libovolné
celé číslo. Ve skutečnosti potřebujeme pouze vztahy
𝑓(𝑁 + 1) = 𝑓(𝐽𝐹)
a
𝑓(𝑁 + 2) = 𝑓(𝐽𝐹 + 1)
(26.1.20)
Spline konstruujeme na intervalu daného indexy (𝑗 = 𝐽𝐿 − 1, … , 𝑁 + 2), přitom E zóna je
interval daný indexy (𝑗 = 𝐽𝐿, … , 𝑁 + 1) a interval, na kterém budeme hodnoty splinu počítat,
tedy funkci f doplňovat je dán indexy (𝑗 = 𝐽𝐿 + 1, … , 𝑁).
Krok v pravidelné síti modelu označme h. Počet intervalů E zóny je 𝑘 = 𝑁 + 1 − 𝐽𝐿, délka E
zóny je pak rovna kh. Označení čtyř hodnot, ze kterých spline konstruujeme, zvolme tak, aby
odpovídalo předchozímu označení při konstrukci spline. Označení je následující:
𝑓0 = 𝑓(𝐽𝐿 − 1),
𝑓1 = 𝑓(𝐽𝐿), 𝑓2 = 𝑓(𝐽𝐹), 𝑓3 = 𝑓(𝐽𝐹 + 1)
(26.1.21)
Pro výpočet hodnot splinu v E zóně upravíme předchozí vztahy pro konstrukci splinu
následovně. Nechť znakem h bez indexu je označen krok v síti lokálního modelu. Pak v tomto
označení je ℎ0 = ℎ, ℎ1 = 𝑘ℎ, ℎ2 = ℎ. Soustavu rovnic (26.1.10) a (26.1.11) v tomto novém
označení můžeme psát ve tvaru
2(𝑘 + 1)𝜎1 + 𝑘𝜎2 = 𝑃𝑆1 /ℎ
(26.1.22)
𝑘𝜎1 + 2(𝑘 + 1)𝜎2 = 𝑃𝑆2 /ℎ
(26.1.23)
(V teorii splinů nejsou vždy momenty spinů stejně definovány. V programech modelu
ALADIN jsou místo momentů 𝜎𝑗 použity momenty 𝑀𝑗 které jsou jejich násobky, je tedy
𝑀𝑗 = 6𝜎𝑗
neboli
𝜎𝑗 = 𝑀𝑗 ⁄6
)
Zavedeme ještě novou konstantu, kterou označíme 𝜆 a její hodnotu definujeme vztahem
𝜆 = 𝑘⁄(𝑘 + 1)
(26.1.24)
Rovnice (26.1.22) a (26.1.23) násobíme konstantou 𝜆 a dělíme k, dostaneme
2𝜎1 + 𝜆𝜎2 = 𝐴
(26.1.25)
𝜆𝜎1 + 2𝜎2 = 𝐵
(26.1.26)
Kde
𝑃𝑆1
1
𝑓2 − 𝑓1 𝑓1 − 𝑓0
𝐴=
=
(
−
)
(𝑘 + 1)ℎ (𝑘 + 1)ℎ
𝑘ℎ
ℎ
(26.1.27)
𝑃𝑆2
1
𝑓3 − 𝑓2 𝑓2 − 𝑓1
𝐵=
=
(
−
)
(𝑘 + 1)ℎ (𝑘 + 1)ℎ
ℎ
𝑘ℎ
(26.1.28)
Řešením soustavy rovnic (26.1.25), (26.1.26) jednoduchou eliminací dostáváme momenty
splinu ve tvaru
𝜎1 = (2𝐴 − 𝜆𝐵)⁄(4 − 𝜆2 )
(26.1.29)
394
𝜎2 = (2𝐵 − 𝜆𝐴)⁄(4 − 𝜆2 )
(26.1.30)
Hodnoty splinu v E zóně můžeme vyjádřit ve tvaru polynomu
𝑠(𝑥) = 𝑓1 + 𝑏(𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑐(𝑥 − 𝑥1 )2 + 𝑑(𝑥 − 𝑥1 )3
(26.1.31)
Kde vztahy (26.1.17) až (26.1.19) budou tvaru
𝑏 = (𝑓2 − 𝑓1 )⁄𝑘ℎ − 𝑘ℎ(𝜎2 + 2𝜎1 )
(26.1.32)
𝑐 = 3𝜎1
(26.1.33)
𝑑 = (𝜎2 − 𝜎1 )⁄𝑘ℎ
(26.1.34)
Spline počítáme ve vnitřních bodech E zóny. Označíme-li hodnotu proměnné x v uzlovém
bodě o indexu JL, jako 𝑥1 , pak pro uzlové body (𝑗 = 𝐽𝐿 + 1, … , 𝑁) ve kterých spline
počítáme je 𝑥 = 𝑥1 + 𝑗ℎ pro 𝑗 = 1, … , 𝑘 − 1, proto je (𝑥 − 𝑥1 ) = 𝑗𝑘.
Hodnotu splinu ve vnitřních bodech E zóny vypočteme ze vztahu
𝑠(𝑥) = 𝑓1 + 𝑗ℎ ∗ (𝑏 + 𝑗ℎ ∗ (𝑐 + 𝑗ℎ ∗ 𝑑))
(26.1.34).
Takto jsme tedy doplnili funkce ve směru osy x na hladké periodické v obdélníku části E
zóny, který leží vpravo od předpovědní oblasti 𝐶 ∪ 𝐼. Ve směru osy y doplníme pomocí spline
na hladké periodické funkce stejným způsobem, tentokráte již na celé oblasti 𝐶 ∪ 𝐼 ∪ 𝐸. Tím
má z hlediska periodičnosti celá oblast tvar anuloidu.
Když doplníme pomocí splinu hodnoty v E zóně ve směru osy x vzniknou ve směru
osy x hladké periodické funkce. Takto vzniklé funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) dvou proměnných x, y nejsou
ještě ideální. Je tu však určitý problém, že takto doplněné funkce ve směru osy x nejsou
dostatečně hladké ve směru osy y, což platí obdobně i pro doplnění ve směru y, kde ve směru
osy x není funkce hladká. Tento problém odstraníme následujícím způsobem. Provedeme
následující cyklický proces hlazení pomocí devítibodového diferenčního operátoru
𝑓𝑧ℎ𝑙(𝑗, 𝑖) = (4𝑓(𝑗, 𝑖) + 2(𝑓(𝑗 + 1, 𝑖) + 𝑓(𝑗, 𝑖 + 1) + 𝑓(𝑗 − 1, 𝑖) + 𝑓(𝑗, 𝑖 − 1)) +
𝑓(𝑗 + 1, 𝑖 + 1) + 𝑓(𝑗 + 1, 𝑖 − 1) + 𝑓(𝑗 − 1, 𝑖 + 1) + 𝑓(𝑗 − 1, 𝑖 − 1)) /16
(26.1.35)
V prvním cyklu aplikujeme operátor hlazení ve všech vnitřních uzlových bodech pravé části e
zóny, to znamená pro 𝑗 = 𝐽𝐿 + 1, … , 𝑁 a pro všechny hodnoty indexu i. V druhém cyklu
zúžíme tuto oblast hlazení o jeden uzlový bod zleva i zprava. To znamená, že hlazení probíhá
pro 𝑗 = 𝐽𝐿 + 2, … , 𝑁 − 1 a tak postupujeme dále, že v každém dalším cyklu hlazení ubereme
jeden bod zleva a jeden bod zprava, až dojdeme do středu oblasti, čímž proces ukončíme.
Pak totéž provedeme stejným způsobem pro druhou část E zóny, kde ovšem ubíráme uzlové
body ve směru osy y tedy pro index i. Tento způsob hlazení je zvolen tak, že nenaruší
hladkost na hranici E zóny s předpovědní oblastí a zajistí hladkost v E zóně vzhledem k
oběma proměnným. To můžeme dokumentovat na obrázcích. Obrázek 26.2
Výsledkem biperiodizace je v podstatě to, že výpočet modelu, který by probíhal na
rovinné obdélníkové oblasti, se z hlediska periodičnosti, nahradí výpočtem na anuloidu. O
technice biperiodizace v modelu ALADIN se zde zmiňuji podrobněji, protože to byl jeden
z mých úkolů při páci na vývoji modelu v Toulouse.
26.2 Transformace funkce jedné proměnné
Zobrazení funkce ve fyzikálním a spektrálním prostoru
395
Ve spektrálních modelech používáme dvojí popis funkcí. Při prvním způsobu,
zadáváme funkce jejich hodnotami na regulární síti uzlových bodů, stejně jako při použití
diferenčních metod. Připomeňme zde, že regulární sítí rozumíme síť, která ve směru každé
nezávisle proměnné má konstantní krok, i když tento konstantní krok může býti pro každou
nezávisle proměnnou jiný. Pro Galerkinovy metody a tedy i spektrální metody, které jsou
jejich zvláštním případem, nazýváme tuto síť uzlových bodů kolokační sítí. Tato síť má tedy
obvykle konstantní krok. Diskrétní popis funkce, jejich hodnotami v uzlových bodech,
nazýváme zadáním funkce ve fyzikálním prostoru. Všimněme si též, že funkce je v tomto
případě definována pouze na zmíněné síti uzlových bodů. Mimo tyto body její hodnoty
zadány nejsou. Při druhém způsobu zadáváme funkce jako rozvoj vzhledem k dané basi
ortogonálních funkcí, například ve tvaru konečného součtu Fourierovy řady. Funkce je pak
definována hodnotami koeficientů řady. Protože funkce base jsou definovány na určitém
intervalu reálné osy, tedy na kontinuu, je pak i funkce ve spektrálním prostoru definována na
kontinuu, a ne jen v uzlových bodech. Tomuto popisu funkce říkáme spektrální. Přechod od
funkce definované na síti k jejímu vyjádření ve spektrálním prostoru budeme říkat spektrální
doplnění. V angličtině tomu odpovídá termín „spectral fit“. V tomto odstavci se budeme
zabývat popisem funkce pomocí konečného součtu Fourierovy řady a transformacemi mezi
oběma popisy. Nejdříve budeme studovat jednodimensionální případ.
___________________________________________________________________________
Poznámka: Slovo „fit“ se používá v angličtině pro pojem přizpůsobení, doplnění nebo pro
spojení bodů křivkou. Slovo doplnění jsem použil proto, že v matematice se používá termín
„piecewise linear fit“, v případě, když máme funkci definovanou v uzlových bodech a ty
spojíme lomenou čarou. Tento pojem se obvykle překládá do češtiny jako „po částech lineární
doplnění“ funkce.
Na rozdíl od globálních modelů budeme v modelu na omezené oblasti, jejíž tvar je
vždy obdélník, obvykle na konformní mapě, používat ve směru obou nezávisle proměnných
rozvoj do konečné Fourierovy řady. Při transformaci do spektrálního prostoru se v obou
směrech tedy používá FFT, což zajišťuje její vysokou efektivnost. Aby transformace do
spektrálního prostoru byla smysluplná, musíme předpokládat, že studované funkce jsou
spojité hladké periodické funkce.
Finitní, neboli diskrétní Fourierovy transformace
Než přikročíme ke studiu transformací do spektrálního prostoru a zpět do fyzikálního
prostoru, tedy hodnotám funkcí na kolokační síti shrneme si definice a nejdůležitější poznatky
o diskrétních Fourierových transformacích.
V kapitole 25. Finitní Fourierova transformace je definována diskrétní komplexní
periodickou Fourierovou transformací, která je podle P. N. Swartztraubera [11] ve tvaru
s posunutými kopiemi komplexní posloupnosti 𝑿(𝒋)
Definice: Přímou finitní Fourierovou transformací, zkratka FFT, označme F
definujeme jako zobrazení, které konečné posloupnosti N komplexních čísel 𝑋(𝑗),
(𝑗 = 0, 1, … , 𝑁 − 1) přiřazuje posloupnost N komplexních čísel 𝐴(𝑛), (𝑛 = 0, 1, … , 𝑁 − 1)
danou vztahem
𝑁−1
𝑁−1
1
1
2𝜋
𝐴(𝑛) = ∑ 𝑋(𝑗)𝑊 −𝑗𝑛 = ∑ 𝑋(𝑗)𝑒𝑥𝑝 {−𝑖𝑗𝑛
},
𝑁
𝑁
𝑁
𝑗=0
𝑗=0
(𝑛 = 0, 1, … , 𝑁 − 1 )
396
(S1)
Kde jsme použili definici 𝑊
𝑗𝑛
= 𝑒𝑥𝑝 {𝑖 𝑗𝑛
2𝜋
𝑁
}
Obdobně definujeme i inversní finitní Fourierovu transformaci 𝐅 −𝟏 vztahem
𝑁−1
𝑁−1
𝑋(𝑗) = ∑ 𝐴(𝑛)𝑊 𝑛𝑗 = ∑ 𝐴(𝑛)𝑒𝑥𝑝 {𝑖 𝑛𝑗
𝑛=0
𝑛=0
2𝜋
}
𝑁
(𝑗 = 0, 1, . . , 𝑁 − 1)
Pro aplikace je předchozí transformace (S2) většinou nepoužitelná. Přímá transformace (S1)
je pro aplikace v pořádku. Inversní transformace pro aplikace musí být složena pouze z vln
s nejnižšími vlnovými čísly, což je ve spektrálních metodách důležité například pro
transformaci derivací.
Zpětná - inversní transformace má v tomto případě pro N sudé má tvar
𝑁⁄2
𝑋(𝑗) =
𝑁⁄2
𝐴(𝑛)𝑊 𝑛𝑗 =
∑
𝑛=−𝑁⁄2+1
∑
𝑛=−𝑁⁄2+1
𝐴(𝑛)𝑒𝑥𝑝 {𝑖 𝑛𝑗
2𝜋
}
𝑁
(𝑗 = 0, 1, . . , 𝑁 − 1)
(S3)
Studujme tedy reálnou funkci 𝑓(𝑥) na intervalu 𝐿𝑥 s periodou 𝐿𝑥 . Na tomto intervalu
nechť máme tuto funkci zadanou v N uzlových bodech 𝑥𝑛 (𝑛 = 0,1, … , 𝑁), přičemž
z periodičnosti funkce je 𝑓(𝑥𝑁 ) = 𝑓(𝑥0 ). Stačí tedy zadat hodnoty funkce v uzlových bodech
𝑥𝑛 pro (𝑛 = 0, 1, … , 𝑁 − 1). Délka kroku v síti je tedy 𝐿𝑥 /𝑁. Tutéž periodickou funkci si
můžeme přirozeným způsobem rozšířit jako periodickou na celou reálnou osu, nebo si ji
můžeme představit místo na úsečce definovanou na jednotkové kružnici. Délka této kružnice
je ovšem 2𝜋, a když 𝑥 ∈ 〈0, 𝐿𝑥 〉 na kružnici tomu odpovídá, že 𝑥⁄𝐿𝑥 ∈ 〈0,2𝜋〉. Perioda 𝐿𝑥
přitom odpovídá vlně s vlnovým číslem 1. Při tomto označení můžeme konečný Fourierův
rozvoj psát ve tvaru
𝑁
𝑎0
𝑥
𝑥
𝑓(𝑥) =
+ ∑ 𝑎𝑛 cos 2𝜋𝑛 + 𝑏𝑛 sin 2𝜋𝑛
2
𝐿𝑥
𝐿𝑥
𝑛=1
(26.2.1)
Ve spektrálních metodách, stejně jako při studiu Fourierových řad můžeme bez újmy na
obecnosti pro zkrácení zápisů předpokládat, že tyto funkce studujeme na jednotkové kružnici,
která má ovšem délku 2𝜋.
Vyjádření reálné transformace pomocí komplexní transformace.
Tuto souvislost potřebujeme proto, že algoritmy FFT jsou formulovány obecně pro
transformaci komplexních posloupností. Hodnoty funkcí v uzlových bodech fyzikálního
prostoru jsou však reálné. Jde nám tedy o transformace reálných posloupností. Jestliže tedy
posloupnost 𝑥𝑛 je reálná, potom FFT je symetrická vzhledem k přechodu ke komplexně
sdružené, tedy 𝑥𝑘 = 𝑥̅𝑁−𝑘 . (Kapitola 24. Finitní Fourierova transformace - FFT - Věta 3,
Důsledek 2) Tato skutečnost nám umožňuje zkrátit výpočty na polovinu. Když se jedná o
reálnou posloupnost, může být komplexní transformace zapsána v reálném trigonometrickém
tvaru. Věnujme se nyní podrobněji vztahu mezi reálným a komplexním zápisem této
transformace.
397
Vyjádření funkce ve spektrálním prostoru jako konečný součet Fourierovy řady
Studujme tedy periodické funkce proměnné x. Předpokládáme, že všechny funkce mají
periodu 2𝜋 a budeme je tedy studovat na intervalu 𝑥 ∈ 〈0,2𝜋〉. Interval 〈0,2𝜋〉 rozdělme na N
stejných dílů uzlovými body 𝑥𝑗 = 2𝜋𝑗⁄𝑁 , pro 𝑗 = 0,1,2, … , 𝑁 a kde body 𝑥0 a 𝑥𝑁 jsou
koncovými body intervalu 〈0, 2𝜋〉. Krok v síti je tedy ∆𝑥 = 2𝜋⁄𝑁. Ve fyzikálním prostoru
nechť máme periodickou funkci f proměnné x která na síti N uzlových bodů
𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑁−1 nabývá N reálných hodnot 𝑋0 , 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑁−1 . Předpoklad periodičnosti
můžeme tedy napsat ve tvaru 𝑋𝑚 = 𝑋𝑚±𝑁 , kde tento vztah platí pro každé celé m.
Z periodičnosti také vyplývá, že 𝑋𝑁 = 𝑋0 . Periodičnost nám definuje hodnoty 𝑋𝑚 pro
všechna celá m.
Ve spektrálním prostoru proto můžeme reálnou periodickou funkci 𝑓(𝑥) na intervalu
〈0,2𝜋〉, nebo též na intervalu 〈−𝜋, +𝜋〉 aproximovat konečným součtem Fourierovy řady
𝑀
𝑓(𝑥) = 𝑐 + ∑(𝑎𝑘 cos 𝑘𝑥 + 𝑏𝑘 sin 𝑘𝑥 )
𝑘=1
(26.2.2)
Kde koeficienty řady 𝑐, 𝑎𝑘 , 𝑏𝑘 pro 𝑘 = 1, … , 𝑀 jsou reálná čísla. Pro určení těchto 2𝑀 + 1
koeficientů nám stačí znát hodnoty funkce v 2𝑀 + 1 uzlových bodech, což je právě 𝑁 + 1
uzlových bodů pro 𝑗 = 0, 1, 2, … , 𝑁. Postupným dosazením hodnot funkce v uzlových bodech
do řady (26.1.2) dostaneme pro koeficienty 2𝑀 + 1 lineárních rovnic. Periodičnost jsme při
této úvaze použili pouze pro definování hodnoty 𝑋𝑁 v bodě 𝑥𝑁 . Tato soustava má právě jedno
řešení, protože z teorie o interpolaci je známo, že použité funkce trigonometrické base jsou
lineárně nezávislé. Úloha, takto formulovaná, se nazývá interpolací pomocí
trigonometrických polynomů, nebo též trigonometrickou interpolací. Všimněme si ještě
vztahu mezi hodnotami M a N. Pro interpolaci jsme použili 𝑁 + 1 hodnot pro 2𝑀 + 1
neznámých. Musí proto být 𝑵 = 𝟐𝑴. Řešení soustavy lineárních rovnic obvyklými metodami
by však bylo neefektivní. Proto tuto úlohu formulujeme tak, abychom k jejímu řešení mohli
použít FFT.
Pro efektivní nalezení spektrálního tvaru je možné použít FFT, jejíž algoritmy jsou však
formulovány pro transformaci komplexních posloupností. Proto si nejdříve ukážeme, jakým
způsobem se dá přejít od tvaru (26.2.2) ke komplexní transformaci.
Řadu (26.2.2) si proto napíšeme v komplexním tvaru. K tomu použijeme vyjádření
funkcí sin a cos pomocí exponenciálních funkcí s imaginárními exponenty. Ze známého
vztahu
𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑥) = 𝑒 𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥
(26.2.3)
vyplývá také že
𝑒𝑥𝑝(−𝑖𝑥) = 𝑒 −𝑖𝑥 = cos 𝑥 − 𝑖 sin 𝑥
(26.2.4)
odtud pro cos a sin dostaneme
1
cos 𝑘𝑥 = (𝑒 𝑖𝑘𝑥 + 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 )
2
(26.2.5)
398
𝑖
sink 𝑥 = − (𝑒 𝑖𝑘𝑥 − 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 )
2
(26.2.6)
Dosadíme-li do řady (26.2.2) za sin a cos jejich vyjádření (26.2.5) a (26.2.6) dostaneme
𝑀
𝑀
𝑘=1
𝑘=1
1
1
𝑓(𝑥) = 𝑐 + ∑ 𝑎𝑘 (𝑒 𝑖𝑘𝑥 + 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 ) + ∑ 𝑖𝑏𝑘 (𝑒 𝑖𝑘𝑥 + 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 )
2
2
(26.2.7)
což přepíšeme ve tvaru
𝑀
𝑀
𝑘=1
𝑘=1
1
1
𝑓(𝑥) = 𝑐 + ∑ (𝑎𝑘 + 𝑖𝑏𝑘 )𝑒 𝑖𝑘𝑥 + ∑ (𝑎𝑘 − 𝑖𝑏𝑘 )𝑒 −𝑖𝑘𝑥
2
2
(26.2.8)
Položíme-li nyní
𝑐𝑘 =
𝑐−𝑘 =
1
(𝑎 + 𝑖𝑏𝑘 ) pro 𝑘 = 1, … , 𝑀
2 𝑘
1
𝑐0 = 𝑐 = 𝑎0
2
1
(𝑎 − 𝑖𝑏𝑘 ) pro 𝑘 = 1, … , 𝑀
2 𝑘
(26.2.9)
Můžeme (26.2.7) a tedy i (26.2.2) psát v jednoduchém - komplexním tvaru
𝑀
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑐𝑘 𝑒 𝑖𝑘𝑥
𝑘=−𝑀
(26.2.10)
Všimněme si ještě, že pro reálnou funkci 𝑓(𝑥) jsou koeficienty 𝑐𝑘 a 𝑐−𝑘 čísla komplexně
sdružená a s použitím periodičnosti můžeme napsat
𝑐𝑘 = 𝑐̅−𝑘 = 𝑐̅𝑁−𝑘 a též 𝑐𝑁−𝑘 = 𝑐−𝑘 = 𝑐̅𝑘
(26.2.11)
a koeficient 𝑐0 je reálný, proto můžeme formálně položit 𝑏0 = 0. Obráceně, máme-li
konečnou řadu tvaru (26.2.10) a tedy zadány koeficienty 𝑐𝑘 , můžeme ze vztahů (25.1.9)
vypočítat koeficienty 𝑎𝑘 , 𝑏𝑘 . Tyto koeficienty jsou jednoznačně určeny a z rovnic (26.1.9) pro
ně dostáváme vztahy
𝑎𝑘 = 𝑐𝑘 + 𝑐−𝑘 , 𝑏𝑘 = −𝑖(𝑐𝑘 − 𝑐−𝑘 ) pro 𝑘 = 1, 2, … , 𝑀, 𝑎0 = 2𝑐0 , 𝑏0 = 0
(26.1.12)
Jsou-li koeficienty 𝑐𝑘 a 𝑐−𝑘 komplexně sdružená čísla, pak 𝑎𝑘 , 𝑏𝑘 jsou reálná.
Vztah (26.2.10) můžeme proto považovat za vztah, který nám definuje spektrální
reprezentaci funkce f. v komplexním tvaru. Z hlediska transformací v komplexním tvaru je
vztah (26.2.10) ekvivalentní se vztahem ve tvaru (F2)
𝑁−1
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑐𝑘 𝑒 𝑖𝑘𝑥
𝑘=0
(26.2.13)
protože v uzlových bodech dává stejné hodnoty, i když pomocí součtu sinusových vln
s jinými vlnovými čísly. To ovšem vyplývá z periodičnosti. Koeficienty tohoto rozvoje 𝑐𝑘
jsou periodické a proto je můžeme obdržet FFT inverzní k (26.2.10) neboli též k (26.2.13) což
nám dá stejné hodnoty.
399
To můžeme uskutečnit transformací tvaru (F1)
𝑁−1
1
2𝜋
𝑐𝑘 = ∑ 𝑋𝑗 𝑒𝑥𝑝 {−𝑖 𝑗𝑘
}
𝑁
𝑁
𝑗=0
(26.2.14)
Při transformaci ze spektrálního prostoru do fyzikálního prostoru musíme být opatrnější,
protože je třeba, aby v reálném prostoru měla funkce f „správné- hladké hodnoty“, i mimo
uzlové body.
Transformace ze spektrálního prostoru do fyzikálního prostoru
Při této transformaci, chceme-li použít hodnoty mimo uzlových bodů, a zejména
zpětnou transformaci derivací vypočtených ve spektrálním prostoru, musí se rozvoj funkce,
jak jsme se již zmínili, skládat z lineární kombinace vln s nejnižšími vlnovými čísli, tedy
vlastně nejdelšími vlnami. Proto je třeba vycházet ze vztahu (26.2.10).
Na intervalu 〈0, 2𝜋〉 nechť máme zadánu reálnou periodickou funkcí f hodnotami v N
uzlových bodech 𝑥𝑗 = 2𝜋𝑗⁄𝑁, kde 𝑗 = 0, 1, 2, … , 𝑁 − 1, tedy zadanou komplexní
posloupností 𝑓0 , 𝑓1 , 𝑓3 , … , 𝑓𝑁−1. Periodičnost funkce f je zde vyjádřena vztahem 𝑓𝑗 = 𝑓𝑗+𝑘𝑁 .
Tato funkce nechť je dána vztahem
𝑀
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑓𝑚 𝑒 𝑖𝑚𝑥
𝑚=−𝑀
(26.2.15)
kde 𝑓𝑚 jsou Fourierovy koeficienty a platí 𝑓−𝑚 = 𝑓𝑚̅ . Úkolem je nyní napsat tento součet tak,
abychom pro výpočet hodnot funkce 𝑓(𝑥) mohli použít standardní program FFT transformace
V dalším textu se vyskytují indexy indexů, což je vzhledem k jejich velikosti špatně čitelné
proto budeme exponenciální funkci 𝑒 𝑥 psát ve tvaru 𝑒𝑥𝑝(𝑥), používaném na počítačích.
Položme nyní
𝑁 = 2𝑀
(25.2.14)
N je tedy sudé číslo, z čehož plyne, že 𝑓0 a 𝑓𝑁⁄2 jsou reálná.
Pro hodnoty v uzlových bodech platí
𝑁⁄2
−1
𝑓(𝑥𝑗 ) = 𝑓0 + ∑ 𝑓𝑚 𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑚𝑥𝑗 ) +
𝑚=1
∑
𝑓𝑚 𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑚𝑥𝑗 )
𝑚=−𝑁⁄2
(26.2.15)
′
položme 𝑚 = 𝑚 − 𝑁 dostaneme
𝑁⁄2
𝑁−1
̅
𝑓(𝑥𝑗 ) = 𝑓0 + ∑ 𝑓𝑚 𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑚𝑥𝑗 ) + ∑ 𝑓𝑁−𝑚
𝑒𝑥𝑝(𝑖(𝑚′ − 𝑁)𝑥𝑗 )
𝑚=1
𝑚′ =𝑁⁄2
(26.2.16)
Ale
(𝑚′ − 𝑁)𝑥𝑗 = 𝑚′ 𝑥𝑗 − 2𝜋𝑗
(26.2.17)
odtud je
𝑒𝑥𝑝(𝑖(𝑚′ − 𝑁)𝑥𝑗 ) = 𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑚′ 𝑥𝑗 )
(26.2.18)
400
proto platí
𝑁−1
𝑓(𝑥𝑗 ) = ∑ 𝑔𝑚 𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑚𝑥𝑗 )
𝑚=0
(26.2.19)
Kde
𝑔𝑚 = 𝑓𝑚 pro 𝑚 = 0, 1, … , 𝑁⁄2 − 1
̅
𝑔𝑚 = 𝑓𝑁−𝑚
pro 𝑚 = 𝑁⁄2 + 1, … . , 𝑁 − 1
𝑔𝑁⁄2 = 2𝑓𝑁⁄2
reálný
(26.2.20)
V tomto tvaru je spektrální vyjádření funkce připraveno pro použití FFT.
Pro použití FFT se zadávají reálné a imaginární složky komplexní posloupnosti {𝑔𝑚 }.
Proto položíme 𝑔𝑚 = 𝑎𝑚 + 𝑖𝑏𝑚 𝑝𝑟𝑜 𝑚 = 0, 1, … . , 𝑁 − 1. Podle vztahu (26.1.20) platí
𝑔𝑁−𝑚 = 𝑎𝑚 − 𝑖𝑏𝑚 a také, že 𝑏0 = 𝑏𝑁⁄2 = 0. Odtud máme též 𝑎𝑁−𝑘 = 𝑎𝑘 , 𝑏𝑁−𝑘 = −𝑏𝑘 pro
𝑘 = 0, 1, … . , 𝑁⁄2. Proto při transformaci reálné posloupnosti 𝑌(0), 𝑌(1), … . , 𝑌(𝑁 − 1) jsou
komplexní koeficienty spektrální reprezentace zadávány ve tvaru posloupnosti jejích reálných
a imaginárních složek 𝐴(0), 𝐵(0), 𝐴(1), 𝐵(1), … . , 𝐴(𝑁⁄2), 𝐵(𝑁⁄2) s tím, že 𝐵(0) =
𝐵(𝑁⁄2) = 0. Obě posloupnosti mají tedy N zadaných členů, tedy N stupňů volnosti.
Připomeňme, že N je sudé přirozené číslo.
Transformace ze spektrálního do fyzikálního prostoru má tedy tvar
𝑁−1
𝑌𝑗 = ∑ 𝑔𝑘 𝑒𝑥𝑝(𝑖 𝑗𝑘 2𝜋/𝑁)
𝑘=0
(26.2.21)
transformace k ní inversní je tedy
𝑁−1
1
𝑔𝑘 = ∑ 𝑌𝑗 𝑒𝑥𝑝(−𝑖 𝑗𝑘 2𝜋/𝑁)
𝑁
𝑗=0
(26.2.22)
Transformaci do spektrálního prostoru a zpět je v modelu ALADIN prováděna subrutinou
FFT991 Tento program provádí transformaci reálné posloupnosti délky N, kde N musí být
součinem mocnin čísel 2,3 a 5 a zároveň musí nýt sudé. Před prvním vyvoláním subrutiny
FFT991 musí být vyvolána subrutina SET99, která spočítá hodnoty trigonometrických funkcí,
které potřebuje FFT991. Tyto programy byly vyvinuty V ECMWF Clivem Tempertonem
[13]. Nemáme-li tyto programy k dispozici, můžeme použít některý jiný dostatečně obecný
FFT program pro transformaci komplexních posloupností, například program vyvinutý v IBM
Richardem Singeltonem [9].
26.3. Spektrální reprezentace dvojdimensionálních polí
V úvodu můžeme říci, že použití spektrálních metod bylo motivováno snahou o
eliminaci chyby vznikající při advekci horizontálním větrem. Tato chyba je nazývána početní
dispersí fázové rychlosti vln. Fázová rychlost vln při advekci počítané diferenčními metodami
401
závisí nesprávně na délce vlny a to tak, že čím je vlna kratší, tím se pohybuje pomaleji, až
vlny délky dvou kroků v síti jsou stacionární. Tím výpočet advekce mění tvar vln a není
zejména pro kratší vlny dostatečně přesný. Další výhoda spektrální metody spočívá v tom, že
při ní můžeme odstranit chybu nesprávné interpretace krátkých vln (aliasing error), která vede
k nelineární instabilitě, tím že odstraníme nežádoucí nejkratší vlny, které vznikají při
nelineární advekci. Tento problém je podrobně popsán ve dvanácté kapitole. Poslední výhoda
spektrální metody spočívá v tom, že ve spektrálním prostoru se nám soustava rovnic semiimplicitního schématu rozpadne na jednotlivé jednoduché rovnice. Řešení třírozměrné úlohy
semi-implicitního schématu pak provedeme metodou redukce dimenze. I když v současné
době se již advekce obvykle nepočítá pomocí členů zapsaných v Eulerově tvaru pomocí
derivací vypočtených ve spektrálním prostoru, a tedy fázová rychlost vln nebude počítána tak
přesně, druhé dvě výhody spektrální metody zůstávají. V současné době se totiž z důvodů
efektivnosti modelů používají semi-Lagrangeovské metody, ve kterých se advekce počítá
interpolací prognostické proměnné do výchozího bodu trajektorie v daném časovém kroku.
Po provedení biperiodizace prognostických funkcí, které transformujeme do
spektrálního prostoru a počítáme jejich derivace podle horizontálních proměnných, jsou tyto
funkce již hladkými periodickými funkcemi a pro jejich reprezentaci použijeme harmonické
funkce. Výhodou této volby je, že v obou směrech horizontálních proměnných se používá
rychlá Fourierova transformace a transformační metoda je velmi efektivní.
Spektrální reprezentace funkce dvou proměnných
Označme délky stran oblasti 𝐶 ∪ 𝐼 ∪ 𝐸, ve směru os souřadnic x, y na které
jsou funkce periodické 𝐿𝑥 , 𝐿𝑦 . Nechť 𝑄(𝑥, 𝑦) je libovolná hladká periodická funkce, jejichž
výpočet horizontálních derivací požadujeme. Pak tuto funkci můžeme vyjádřit následujícím
rozvojem
𝑀
𝑄(𝑥, 𝑦) = ∑
𝑁
𝑛
∑ 𝑄𝑚
𝑒𝑥𝑝 (𝑖𝑚
𝑚=−𝑀 𝑛=−𝑁
2𝜋
2𝜋
𝑥) 𝑒𝑥𝑝 (𝑖𝑛
𝑦)
𝐿𝑥
𝐿𝑦
(26.3.1)
Uvádíme zde uřezaný tvar (truncated form) řady, to znamená, že uvažujeme pouze konečný
počet členů řady, i když v matematické analýze je tato řada nekonečná. O tomto konečném
zbytku řady budeme v dalším hovořit jako o uřezání (truncation).
Ze vztahu (26.3.1) vyplývá, že M 2 / Lx  je největší vlnové číslo uvažované ve
směru osy x a N 2 / Ly  je největší vlnové číslo uvažované ve směru y.
Ve spojité formulaci jsou koeficienty rozvoje dány následujícími integrály:
𝐿𝑥 𝐿𝑦
𝑛
𝑄𝑚
=
1
2𝜋
2𝜋
∫ ∫ 𝑄(𝑥, 𝑦) 𝑒𝑥𝑝 (−𝑖𝑚
𝑥) 𝑒𝑥𝑝 (−𝑖𝑛
𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐿𝑥 𝐿𝑦
𝐿𝑥
𝐿𝑦
0
0
(26.3.2)
402
Poznamenejme, že pro m  n  0 zjistíme, že 𝑄00 je střední hodnota funkce Q v dané oblasti,
což je vlastně i fyzikální význam této hodnoty.
Integrály se po diskretizaci změní v exaktní kvadratury pro jednotlivé složky
Fourierovy řady, tedy pro módy, které v součtu po uřezání zůstanou. To dovoluje ve
fyzikálním prostoru použít regulární síť, tedy síť s konstantním krokem stejným v obou
směrech. Nechť počet uzlových bodů ve směru osy x je J a počet uzlových bodů ve směru osy
y je K, potom
𝐽−1 𝐾−1
1
2𝜋
2𝜋
𝑛
𝑄𝑚
=
∑ ∑ 𝑄(𝑥𝑗 , 𝑦𝑘 ) 𝑒𝑥𝑝 (−𝑖𝑚
𝑥𝑗 ) 𝑒𝑥𝑝 (−𝑖𝑛
𝑦 )
𝐽𝐾
𝐿𝑥
𝐿𝑦 𝑘
𝑗=0 𝑘=0
(26.3.3)
kde
𝑗
𝑘
𝑥𝑗 = 𝐿𝑥 , 𝑦𝑘 = 𝐿𝑦
𝐽
𝐾
(26.3.4)
Kvadratura je exaktní v tom smyslu, že přidání nových bodů, a tedy také nových módů, nemá
vliv na hodnoty koeficientů členů nízkého řádu, tedy módů nízkých frekvencí. To platí ovšem
za předpokladu, transformované funkce jsou dostatečně hladké. Velkou předností právě
tohoto dvourozměrného Fourierova rozvoje spočívá v tom, že pro jeho realizaci se v obou
směrech používá FFT, která i při zvětšování počtu členů řady zůstává efektivní.
Proměnná x tedy zde probíhá interval jedné periody, tedy interval 〈0, 𝐿𝑥 〉 s uzlovými
body (26.3.4). Délky kroku ve směru os x, y jsou 𝐿𝑥 ⁄𝐽 a 𝐿𝑦 ⁄𝐾 . Výraz 2𝜋𝑥 ⁄𝐿𝑥 , respektive
2𝜋𝑦⁄𝐿𝑦 probíhá interval 〈0,2𝜋〉. To odpovídá intervalu FFT 〈0,2𝜋〉, na kterém jsou uzlové
body sítě definovány vztahy
𝑗
𝑘
𝑥𝑗 = 2𝜋 , 𝑦𝑘 = 2π
𝐽
𝐾
Délka nejdelší vlny ve směru osy x je tedy rovna 𝐿𝑥 a přísluší ji vlnové číslo 1. Obdobně ve
směru osy y.
Vztah mezi body ve fyzikálním prostoru a módy ve spektrálním prostoru
Abychom se mohli vyjadřovat zcela jasně a přesně, ujasníme si nejdříve pojem modus.
Tím zde rozumíme jednoduchou sinusovou vlnu s určitým vlnovým číslem k. Modus je tedy
určen svým vlnovým číslem, amplitudou a fází, a představuje harmonický pohyb. Můžeme jej
zapsat také ve tvaru složky Fourierovy řady, tedy ve tvaru 𝐴 sin 𝑘𝑥 + 𝐵 cos 𝑘𝑥, a také ve
tvaru jednoduché sinusové vlny 𝐶 sin(𝑘𝑥 − 𝑥0 ), kde C je amplituda vlny a 𝑥0 fázová
konstanta. Rozložíme-li předchozí sinus na součet, dostaneme
𝐶 sin(𝑘𝑥 − 𝑥0 ) = 𝐶(cos 𝑘𝑥 sin 𝑥0 + sin 𝑘𝑥 cos 𝑥0 ) = 𝐴 sin 𝑘𝑥 + 𝐵 cos 𝑘𝑥
(26.3.5)
kde
𝐴 = 𝐶 sin 𝑥0 , 𝐵 = 𝐶 cos 𝑥0
(26.3.6)
Tyto obě vyjádření jsou ekvivalentní, neboť známe-li A a B je amplituda a fáze rovna
𝐶 = √𝐴2 + 𝐵 2 a 𝑥0 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝐴⁄𝐵 )
(26.3.7)
403
Rovnice (26.3.1) a (26.3.3) jednak zahrnují 2𝑀 + 1 a 2𝑁 + 1 módů a z druhé strany
ve fyzikálním prostoru J a K bodů. Tato čísla nejsou samozřejmě na sobě nezávislá.
Reálné funkce jedné proměnné jsou v spektrálním prostoru popsány M módami, (do
módů ovšem nezapočítáváme průměrnou hodnotu funkce), a ve fyzikálním prostoru
ekvivalentně 2M body. Pro určení amplitudy módu je třeba minimálně dvou bodů, ale v tomto
případě není fáze správně určena. Nicméně, spočítáme-li součiny takových diskrétních funkcí
(polí) ve fyzikálním prostoru, vytvoří se tím informace o vlnových číslech větších než M.
Když pak provedeme kvadraturu (25.3.3) na té samé síti po provedení tohoto součinu ve
fyzikálním prostoru, koeficienty vyšších řádů obsahují chybu nesprávné interpretace krátkých
vln (aliasing error): nedokážeme zde rozlišit amplitudy módů které by měly být vně uřezání a
tím se dostanou do uřezání, tedy zpět do uvažované konečné části řady. Při delším výpočtu to
pak vede k nelineární instabilitě.
Abychom se vyhnuli chybám nesprávné interpretace – aliasingu potřebujeme více
bodů pro daný počet módů. Počet bodů závisí na nejvyšším řádu součinu, který je třeba
uvažovat pro řešení fyzikálního problému. V případě původních rovnic (primitive equations),
jsou kritickými členy popisující horizontální advekci. V modelu používajícím sférické
souřadnice, nebo rovinu s kartézským systémem souřadnic jsou tyto členy pouze kvadratické,
neboť jsou součinem pouze dvou proměnných, složky rychlosti a derivace advehované
veličiny. V modelech LAM používajících kartézské souřadnice konformní mapy se objevuje
ještě další proměnný činitel, koeficient zkreslení mapy. Pro optimálně zvolenou mapu pro
danou předpovědní oblast je možné dosáhnout toho, že koeficient zkreslení mapy se v celé
oblasti liší jen málo od jedné a navíc se prostorově mění jen nepatrně. V tomto případě se
ukazuje, že efekt zkreslení mapy nemá na nesprávnou interpretaci vln – aliasing prakticky
žádný vliv a jej lze bez problémů zanedbat.
Poznamenejme, že počet bodů požadovaných pro FFT je J pro x a K pro y. To je méně
módů, které použijeme v uřezání, než počet módů, který spočteme pomocí FFT: přebytečné
módy položíme rovny nule před inversní transformací, protože do této doby nemají na
výpočty vliv.
Struktura koeficientů dvojných Fourierových řad
Původní pole reprezentované výrazem (26.3.1) je reálné. To dovoluje redukci počtu
potřebných koeficientů, tato vlastnost platí i ve spojitém případě. Ze skutečnosti, že řady jsou
uřezané, vyplývají další vztahy.
Transformaci (25.3.1) můžeme rozdělit na dva kroky. Prvním krokem je transformace
podél osy x. Dostaneme tak koeficienty Fourierova rozvoje ve tvaru
𝑀
𝑄(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝑄𝑚 (𝑦)𝑒𝑥𝑝 (𝑖𝑚
𝑚=−𝑀
2𝜋
𝑥)
𝐿𝑥
(26.3.8)
Protože jde o reálnou funkci je třeba pouze polovina komplexních koeficientů, neboť je
404
𝑄−𝑚 = 𝑄̅𝑚
(26.3.9)
Připomeňme, že pruh nad písmenem označuje komplexně sdružené číslo. Máme tedy pouze
M módů a reálnou střední hodnotu. Každá z funkcí proměnné y je však komplexní. Její další
𝑛
−𝑛
transformace vede pro každé m ke dvěma nezávislým koeficientům 𝑄𝑚
a 𝑄𝑚
.
Jinými slovy řečeno, na rozdíl od sféry, kde transformace ve směru poledníku nemá vliv na
změnu fáze, na oblasti anuloidu připouštějí změnu amplitudy i fáze v obou směrech.
Ze stejných důvodů platí totéž, když provedeme transformaci y a potom x. Můžeme
ukázat, že pro reálná pole platí
−𝑛
𝑛
𝑛
𝑄−𝑚
= 𝑄̅𝑚
,
𝑄−𝑚
= 𝑄̅ −𝑛
(26.3.10)
𝑚
Což je standardní matematické vyjádření výše uvedeného tvrzení.
Uvažujme nyní konečné uřezání, které je charakterizováno maximálními vlnovými
čísly M a N. Spektrální reprezentace polí je izotropní. To znamená, že osy x a y můžeme ve
fyzikálním prostoru otáčet a spektrální reprezentace tedy na tomto otáčení nezávisí. Eliptické
uřezávání definujeme vztahem
2
2
(𝑚) 𝑚𝑚𝑎𝑥
(𝑛)
𝑛𝑚𝑎𝑥
+
≤1
2
2
𝑁
𝑀
(26.3.11)
Pro ty, co studovali spektrální metodou, používanou v globálních modelech
poznamenejme, že toto uřezání má tytéž vlastnosti pro rovinu s kartézským systémem
souřadnic, jako trojúhelníkové uřezávání pro sférické harmonické funkce na kouli.
Isotropii musíme chápat tak, že se týká sítě bez délkového rozměru, tedy
〈0,2𝜋〉〈0,2𝜋〉. Na takovéto síti hodnoty harmonických funkcí závisejí pouze na indexu a počtu
uzlových bodů. Síť s danou délkou kroku zejména pro derivace, které jsou odvozeny z této
sítě, tuto vlastnost isotropie nezachovávají. Je to v případě, když 𝛿𝑥 ≠ 𝛿𝑦. Tyto prostorové
kroky 𝛿𝑥 a 𝛿𝑦 jsou vypočteny geografickými programy.
Pro každé vlnové číslo n (respektive m) určuje nerovnost (26.3.11) kolik módů m
(respektive n) musíme uvažovat. Pro každou dvojici vlnových čísel (𝑚, 𝑛) musíme uvažovat
𝑛
dvojici komplexních čísel pokaždé, když provedeme lineární výpočet. Můžou to být (𝑄𝑚
,
−𝑛 ),
𝑄 𝑚 nebo jiná ze tří dvojic, které jsme konstruovali.
Shrneme-li nyní transformaci do spektrálního prostoru abychom obdrželi spektrální
reprezentaci funkcí dvou proměnných. Transformace je provedena pomocí tří
jednodimensionálních FFT. První FFT je transformací reálné funkce 𝑄(𝑥, 𝑦) vzhledem
k proměnné x obdržíme tak koeficienty rozvoje, které jsou funkcemi proměnné y. Je to reálná
a imaginární část komplexního koeficientu, což můžeme graficky znázornit
𝑄(𝑥, 𝑦)
-------- FFT -------→
𝑄𝑚 (𝑦) = 𝑄𝑚𝑟 (𝑦) + 𝑖𝑄𝑚𝑖 (𝑦)
Další dvě FFT aplikujeme postupně na reálnou a imaginární část 𝑄𝑚 (𝑦), poznamenejme, že
obě tyto posloupnosti jsou reálné. To můžeme následovně graficky znázornit
𝑛
𝑛𝑟
𝑛𝑖
𝑄𝑚𝑟 (𝑦)
-------- FFT -------→
𝑄𝑚𝑟
= 𝑄𝑚𝑟
+ 𝑖𝑄𝑚𝑟
𝑛
𝑛𝑟
𝑛𝑖
𝑄𝑚𝑖 (𝑦)
-------- FFT -------→
𝑄𝑚𝑖
= 𝑄𝑚𝑖
+ 𝑖𝑄𝑚𝑖
Protože šlo o reálné posloupnosti, připomeňme, že platí (25.2.10).
Pro pole Q jsou tedy koeficienty příslušné vlnovým číslům (𝑚, 𝑛) označeny následovně:
𝑛𝑟
𝑛𝑖
𝑛𝑟
𝑛𝑖
𝑄𝑚𝑟
,
𝑄𝑚𝑟
,
𝑄𝑚𝑖
,
𝑄𝑚𝑖
405
Dá se ukázat, že na rozdíl od dvojice komplexních čísel, které můžeme vybrat mezi čtyřmi
možnostmi, jsou tato čtyři reálná čísla jednoznačně určena. Jsou zejména také nezávislá na
pořadí proměnných, ve kterém se počítají. Nezávisejí na tom, zda začneme s transformací
vzhledem k x nebo y.
Tato reprezentace je účelná nejen z hlediska omezení počtu jednoduchých operací, je
však také přirozeným důsledkem použitím FFT podprogramů. Je to proto, že programy FFT
zde pracují na reálných polích. Je tedy důležité, že přehození pořadí transformací mění pouze
mezivýsledky, nemění však hodnoty konečného výsledku.
Abychom přešli od jedné reprezentace k jiné, zvolme libovolně dvojici komplexních
𝑛
čísel: (𝑄𝑚
, 𝑄 −𝑛
𝑚 ). Pak je:
𝑛𝑖
𝑛
𝑛𝑟
𝑄𝑚
,𝑟 = 𝑄𝑚𝑟 − 𝑄𝑚𝑖
𝑛
𝑛𝑟
𝑛𝑖
𝑄𝑚
,𝑖 = 𝑄𝑚𝑟 + 𝑄𝑚𝑖
(26.3.12)
𝑛𝑖
−𝑛
𝑛𝑟
𝑄𝑚
,𝑟 = 𝑄𝑚𝑟 + 𝑄𝑚𝑖
−𝑛
𝑛𝑟
𝑛𝑖
𝑄𝑚
,𝑖 = −𝑄𝑚𝑟 + 𝑄𝑚𝑖
Zatímco obráceně máme
1 𝑛
−𝑛
𝑛𝑟
𝑄𝑚𝑟
= (𝑄𝑚
,𝑟 + 𝑄𝑚 ,𝑖 )
2
𝑛𝑖
𝑄𝑚𝑟
=
1 𝑛
−𝑛
(𝑄𝑚 ,𝑖 − 𝑄𝑚
,𝑖 )
2
(26.3.13)
1 𝑛
𝑛𝑟
−𝑛
𝑄𝑚𝑖
= (𝑄𝑚
,𝑖 + 𝑄𝑚 ,𝑖 )
2
𝑛𝑖
𝑄𝑚𝑖
=
1 𝑛
−𝑛
(𝑄
− 𝑄𝑚
,𝑟 )
2 𝑚 ,𝑟
Výpočet derivací ve spektrálním prostoru
Lineární operátory s konstantními koeficienty můžeme snadno transformovat pomocí
rovnice (26.3.2) a integrace po částech. Jednoduché výpočty derivací, které nám spektrální
technika umožnuje, jsou její hlavní předností.
Při obvyklém zápisu matematické analýzy máme
2𝜋
𝑛
(𝜕′𝑥 )𝑛𝑚 = 𝑖𝑚 ( ) 𝑄𝑚
,
𝐿
𝑥
𝑛
2𝜋
𝑛
(𝜕′𝑦 )𝑚 = 𝑖𝑛 ( 𝐿 ) 𝑄𝑚
𝑦
(26.3.14)
Z předchozích vztahů můžeme odvodit vztahy, pomocí kterých obdržíme čtyři reálné hodnoty
pro vlnová čísla (𝑚, 𝑛). Pro derivaci podle x ve spektrálním prostoru máme
2𝜋
𝑛∗
(𝜕′𝑥 )𝑛∗
𝑚𝑟 = −𝑚 ( 𝐿 ) 𝑄𝑚𝑖
𝑥
,
2𝜋
𝑛∗
(𝜕′𝑥 )𝑛∗
𝑚𝑖 = 𝑚 ( 𝐿 ) 𝑄𝑚𝑟
𝑥
(26.3.15)
406
kde hvězdička ve vztazích znamená stejný znak, buď oba znaky r, nebo oba znaky i.
Obdobně zapíšeme čtyři reálná čísla reprezentující derivaci podle y
𝑛𝑟
2𝜋
𝑛𝑖
(𝜕′𝑦 )𝑚∗ = −𝑛 ( 𝐿 ) 𝑄𝑚∗
𝑦
,
𝑛𝑖
2𝜋
𝑛𝑟
(𝜕′𝑦 )𝑚∗ = 𝑛 ( 𝐿 ) 𝑄𝑚∗
𝑦
(26.3.16)
Spektrální vlastnosti funkcí Fourierových rozvojů
Studujme nyní ještě spektrální vlastnosti jednotlivých členů rozvoje (26.3.1), tedy
𝑛 (𝑥,
členů, které označme jako 𝜑𝑚
𝑦), tedy
𝑛 (𝑥,
𝑛
𝜑𝑚
𝑦) = 𝑄𝑚
𝑒𝑥𝑝 (𝑖𝑚
2𝜋
2𝜋
𝑥) 𝑒𝑥𝑝 (𝑖𝑛
𝑦)
𝐿𝑥
𝐿𝑦
(26.3.17)
Derivováním předchozího vztahu podle proměnné x dvakrát dostaneme
𝜕2 𝑛
2𝜋 2
2𝜋
2𝜋
𝑛
2
𝜑𝑚 (𝑥, 𝑦) = −𝑄𝑚 𝑚 ( ) 𝑒𝑥𝑝 (𝑖𝑚
𝑥) 𝑒𝑥𝑝 (𝑖𝑛
𝑦)
2
𝜕𝑥
𝐿𝑥
𝐿𝑥
𝐿𝑦
(26.3.18)
Obdobný vztah platí pro i pro derivování podle y odkud pro Laplaceův operátor máme
2
∇
2
𝑛 (𝑥,
𝜑𝑚
𝑦)
=
𝑛
−𝑄𝑚
2𝜋 2
2𝜋
2𝜋
2𝜋
(𝑚 ( ) + 𝑛2 ( ) ) 𝑒𝑥𝑝 (𝑖𝑚
𝑥) 𝑒𝑥𝑝 (𝑖𝑛
𝑦)
𝐿𝑥
𝐿𝑦
𝐿𝑥
𝐿𝑦
2
(26.3.19)
Označme nyní
2
𝑛
𝛽𝑚
2𝜋 2
2𝜋
= 𝑚 ( ) + 𝑛2 ( )
𝐿𝑥
𝐿𝑦
2
(26.3.20)
Pak platí
𝑛 (𝑥,
𝑛 𝑛 (𝑥,
∇2 𝜑𝑚
𝑦) + 𝛽𝑚
𝜑𝑚 𝑦) = 0
(26.3.21)
𝑛 (𝑥,
𝑛
A funkce 𝜑𝑚 𝑦) jsou vlastními funkcemi Laplaceova operátoru a 𝛽𝑚 jsou k nim
příslušnými vlastními čísly.
Tyto vztahy je možné použít k výpočtu hodnot Laplaceova operátoru, ale ještě
důležitější jsou pro řešení soustav lineárních rovnic vzniklých při semiimplicitní časové
aproximaci. Řešení těchto soustav se provádí redukcí dimenze. Při této spektrální metodě se
pomocí spektra Laplaceova operátoru redukuje třídimenzionální systém na lineární rovnice
jednodimenzionálních úloh ve směru vertikály. Formulace semiimplicitní aproximace je jinak
v podstatě stejná jako v čistě diferenčních modelech.
Zhodnocení spektrální metody s výše popsanou metodou biperiodizace
Pro kontrolu funkce spektrální metody s biperiodizací bylo zvoleno pole orografie.
Toto dvojdimensionální pole se pro tento účel hodí velmi dobře, protože pole je definované ve
fyzikálním prostoru a vzhledem k velké proměnlivosti orografické plochy není po odečtení
z map v původním stavu příliš hladké a obsahuje tedy i velmi krátké nežádoucí vlny.
407
Studujeme proto spektrální doplnění (spectral fit) tohoto pole orografické plochy. Spektrálním
doplněním zde rozumíme tento postup: biperiodizaci, transformaci do spektrálního prostoru a
uřezání. Spektrální doplnění v tomto smyslu je operátorem. Pro správnou funkci metody je
žádoucí, aby tento operátor byl projekčním operátorem. To v matematice znamená, že
aplikujeme-li tento operátor na pole proměnné dvakrát, výsledek je stejný jako když tento
operátor aplikujeme jen jednou. Ve formálním zápisu pro takový operátor platí PPx=Px.
Praktické zkoušky se spektrálním doplněním pole orografie ukázaly, že tento operátor je
prakticky přesně projekčním operátorem. Při časové integraci modelu se dobře osvědčil.
Závěrem můžeme tedy shrnout
Model ALADIN stejně jako ostatní spektrální modely používá spektrální reprezentaci pouze
pro horizontální proměnné x, y. Ve směru obou os je použita diskrétní Fourierova
transformace, která je realizována algoritmem rychlé Fourierovy transformace, označovaným
běžně FFT (Fast Fourier Transform). V ALADINU je použit algoritmus FFT, který vyvinul
Cliv Temperton v ECMWF. Na vertikální ose  a pro časovou aproximaci jsou použity
konečné diference. Časové schéma je semiimplicitní, vzniklé soustavy rovnic jsou řešeny ve
spektrálním prostoru. K tomu je třeba, aby spektrální bázové funkce byly vlastními funkcemi
Laplaceova operátoru, ovšem v použitém systému souřadnic. Tento požadavek je splněn pro
sférické funkce a Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích a také pro Fourierovy báze a
Laplaceův operátor v kartézských souřadnicích, neboli v rovině. Při použití kartézského
systému na konformní mapě, kde se v Lapaceově operátoru vyskytuje navíc faktor zkreslení
mapy, však Fourierovy báze bohužel vlastními funkcemi nejsou. Pro malou oblast na
zeměkouli a vhodně zvolené mapě můžeme dosáhnout, že koeficient zkreslení je v celé
předpovědní oblasti blízký jedné a v Laplaceově operátoru zkreslení zanedbat. V tomto
případě nemá toto zjednodušení na řešení rovnic semiimplicitního schématu podstatný vliv. Z
tohoto důvodu je model ALADIN použitelný pouze na menší oblasti, což bylo ovšem
záměrem celého projektu. I z názvu modelu, který je zkratkou (napsáno zde v českém
překladu) „adaptace na omezené oblasti vyvinutou mezinárodně“. Úkolem modelu ALADIN
je adaptace předpovědi poskytované modelem ARPEGE pro vybraný region pro ještě
jemnější síť, než ji může poskytnout přímo model ARPEGE. Protože tento LAM je řízen
modelem ARPEGE, který mu poskytuje rovněž počáteční data, používá části jeho software, je
tento model oficiálně označován jako ARPEGE/ALADIN.
Lteratura
[1] Ahlberg J. H., Nilson E. N., Walch J. L.: The Theory of Splines and Their Application.
Academic Press 1967, New York and London.
[2] ARPEGE/aladin: adiabatic model equation and algorithm. By Alain Joly, Mars 1992.
Interní technická zpráva Météo France.
[3] Forsythe G. E., Malcolm M. a., Moler C. b.: Computer methods for mathematical
computation, Prentice-Hall, INC, Englewood Cliffs, N. J. 1977.
[4] Haugen Jan Erik, Machenhauer Bennert : A Spectral Limited- Area Model Formulation
with Time-dependent Boundary Conditions Applied to the Shallow – Water Equations
Monthly Weather Review Vol. 121, September 1993, s. 2618 – 2630.
408
[5] Jarraud M. and Simmons A. J.: The Spectral Technique, European Centre for Medium
Range Weather Forecast Reading, U. K., C. August 1994
[6] Juan H-M Henry, Kanamitsu Masao: The NMC Nested Regional Spectral Model.
Monthly Weather Review Vol. 122, January 1994, s. 3 – 25.
[7] Kallberg P.: Test of a Lateral Boundary Relaxation Scheme in a Barotropic Model.
ECMWF Internal Report 3, February 1977.
[8] Segami A., Kurihara K., Nakamura H., Ueno I. T.,Tatsumi Y.: Operational MesoScale
Weather Prediction with Japan Spectral Model, Journal of the Meteorological Society of
Japan, Vol. 67, No. 5, October 1989, s. 907-923.
[9] Singlton Richard C.: An Algorithm for Computing the Mixed Radix Fast Fourier
Transform. IEEE Transition on Audio and Electroacoustic Vol. 17, No 2, s. 93-103.
[11] Swartztrauber P.N. in: Parallel Computations, ed. G. Rodrigue, Academic Press 1982.
[12] Tatsumi Yuasuo: A Spectral Limited-area Model with Time-dependent Lateral Boundary
Condition and Its Application to Multi-level Primitive Equation Model.
Journal of the Meteorological Society of Japan, Vol. 64, No. 5, October 1986, s. 637- 663.
[13] Temperton Clive: Fast Mixed-Radix Fourier Transforms. Journal of Computational
Physics 52, 340-350 (1983)
[14] Tichonov, A. N. - Arsenin, V. J.: Metody rešenija nekorrektnych zadač. Nauka 1974.
409
27. Inicializace meteorologických modelů a gravitační vlny
Problematika inicializace předpovědních modelů je velmi rozsáhlá a bylo o ní
v průběhu posledních šedesáti let napsáno neskutečně mnoho prací. Toto množství literatury
je dáno také tím, že metody ale i principy inicializace se s pokrokem v oblasti numerické
integrace modelů značně měnily. Kapitola o inicializaci předpovědních modelů je zde proto
pojata spíše jako historie jejího vývoje.
Existence gravitačních vln vyplývá z rovnic dynamiky atmosféry a tyto vlny jsou
předmětem studia prakticky v každé učebnici dynamické meteorologie. Byla jim také
věnována část třinácté kapitoly. Obvykle se však jejich studium obvykle omezuje na jejich
fázovou rychlost. Hlavní význam gravitačních vln v meteorologii ovšem spočívá v tom, že
jsou součástí jednoho z hlavních mechanizmů při procesu geostrofického přizpůsobení.
Rovnovážný stav atmosféry, který je v podstatě stále blízký geostrofické rovnováze, je
narušován pohybem hmoty atmosféry polem větru, tedy advekcí. Proces geostrofického
přizpůsobení naopak směřuje k obnovení této rovnováhy. Odstraníme-li z rovnic advekci, pak
řešení vzniklého lineárního systému se v průběhu času přibližuje ke stavu geostrofické
rovnováhy. Tento proces je nazýván geostrofickým přizpůsobením. Velmi podrobný výklad
tohoto procesu lze najít v článku William Blumen [2]. Je přitom zajímavé, že při tomto
procesu a ovšem i ve skutečné atmosféře je amplituda gravitačních vln s vyšší frekvencí velmi
malá a změny přízemního tlaku probíhají vzhledem k frekvencím rychlých gravitačních vln
pomalu. Jejich existenci ve skutečné atmosféře můžeme identifikovat na velmi citlivém
mikrobarografu, jako kolísání přízemního tlaku. V kapitole o normálních módách jsme tyto
vertikální pohyby rozložili podle jejich vlastních kmitů, tedy spektra, kde jsme viděli, že se
jejich celkový vlnový pohyb se skládá ze součtu vertikálních pohybů různých frekvencí a tedy
i fázových rychlostí. Modus, který má nejvyšší frekvenci, má také nejvyšší fázovou rychlost,
se nazývá vnější gravitační vlnou. Její fázová rychlost se blíží k rychlosti zvuku. Při výpočtu
modelu je možné zjistit, že srovnáme-li vertikální módy podle frekvence, můžeme říci,
kolísání přízemního tlaku se podílí pouze módy o dvou až tří nejvyšších frekvencí.
První úspěšné předpovědní modely počítané po druhé světové válce byly založeny na
geostrofické aproximaci. Pro předpověď výšky hladiny 500 hPa, která je přibližně hladinou
nondivergence, jako počáteční data stačilo pole geopotenciálu této hladiny. To určovalo
geostrofický vítr, tedy pole proudění atmosféry. Pole rozložení hmoty a proudění bylo v tomto
modelu stále přesně v geostrofické rovnováze a v modelu se nevyskytovaly gravitační vlny. Je
zajímavé, že mechanizmus vývoje takové atmosféry, který piopisoval pouze advekci a
horizontální Rossbyho vlny, pak nepoužíval tu skutečnost, že atmosféra se svou váhou opírá o
zemský povrch.
Změna nastala, až s modely, které již geostrofickou aproximaci nepoužívaly. Jeden
z prvních, kdo na tyto problémy s modely, které již obsahovaly gravitační vlny, tedy modely
mělké vody, nebo baroklinní modely s hydrostatickou aproximací poukázal a také je
matematicky studoval, byl profesor K. Hinkelmann [9] který analyticky řešil linearizovaný
systém zjednodušených rovnic meteorologického modelu. Vlnové pohyby rozdělil na
meteorologické a na nepatřičný šum, v článku je také navrženo, jakým způsobem tento šum
odstranit. Tím vlastně byl formulován problém konzistence počátečních podmínek modelů.
410
Problém počátečních podmínek, spočívá v tom, že je třeba, aby pole rozložení hmoty
atmosféry a pole proudění bylo v počátečních datech v rovnovážném stavu v tom smyslu, že
gravitační vlny, které jsou obsaženy v jeho dalším časovém vývoji, mají pouze malé
amplitudy. Proces jejich odstranění z počátečních podmínek se nazývá inicializací
počátečních podmínek, odstranění nežádoucích vln v počáteční fázi jejich časové integrace
se nazývá dynamickou inicializací modelu. V průběhu posledních šedesáti let bylo vyvinuto
více různých způsobů řešení tohoto problému, proto se jednotlivými procesy nebudeme příliš
podrobně zabývat, ale vysvětlíme si spíše jejich principy.
Na problém počátečních dat narazil již ve svém pokusu na konci první světové války
Lewis F. Richardson [14], o jehož pokusu jsme se zmínili již v 1. Kapitole. Tehdy pro získání
počátečních dat neexistovala radisondážní měření a z přízemních dat se dalo zjistit pouze
celkové rozložení hmoty atmosféry, tedy pole přízemního tlaku. Pole větru proto musilo být
odvozeno z tlakového pole a tehdy ze vztahů geostrofického větru. Princip, že inicializace
vychází z termobarického pole, a vhodné pole proudění – větru je z něho odvozeno, bylo
používáno při prvních metodách inicializace. Věnujme se nyní tomuto postupu.
Balanční rovnice
První metody inicializace tedy vycházely z výpočtu proudění z pole rozložení hmoty
atmosféry, tedy z tlakového pole. Návrh této metody by publikován Normanem A. Phillipsem
[13] již v roce 1959. Za dostatečně obecný vztah mezi tlakovým polem a polem větru
odpovídající reálné atmosféře byla tehdy považována balanční rovnice. Tu jsme odvodili
v kapitole 5. pro rovnice mělké vody. Odvození rovnice vychází z divergenčního teorému,
který můžeme napsat tak, že popisuje individuální časovou změnu divergence
𝑑
𝜕𝑢 2
𝜕𝑣 𝜕𝑢
𝜕𝑣 2 𝜕
𝜕
(𝑓𝑣) +
(𝑓𝑢) + 𝑔∇2 ℎ = 0
𝑑+( ) +2
+( ) −
𝑑𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(27.1)
Horizontální divergence d je pro procesy synoptického měřítka v atmosféře malá a měla by se
měnit jen pomalu. Rychlé změny horizontální divergence jsou při předpovědi generovány
nežádoucími gravitačními vlnami, které vznikají, když pole proudění neodpovídá poli
rozložení hmoty atmosféry. Položíme-li individuální časovou změnu divergence rovnu nule,
pak je jasné, že dostaneme takto rovnici, jejíž řešení tyto nežádoucí vlny neobsahuje.
Dostáváme tak balanční rovnici, která je diagnostickým vztahem mezi tlakovým polem a
polem prouděním proudění. Balanční rovnici můžeme psát proto ve tvaru
𝜕𝑢 2
𝜕𝑣 𝜕𝑢
𝜕𝑣 2 𝜕
𝜕
(𝑓𝑣) +
(𝑓𝑢) + 𝑔∇2 ℎ = 0
( ) +2
+( ) −
𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(27.2)
Zajímá-li nás pouze rotační složka tohoto větru, můžeme položit divergenci rovnu nule
𝜕𝑢 𝜕𝑣
𝑑=
+
=0
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(27.3)
V tomto případě lze balanční rovnici ještě upravit. Umocníme-li vztah (26.3) na druhou,
máme
411
𝜕𝑢 2
𝜕𝑣 2
𝜕𝑢 𝜕𝑣
( ) + ( ) = −2
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(27.4)
Tři nelineární členy balanční rovnice můžeme proto napsat ve tvaru
𝜕𝑢 2
𝜕𝑣 𝜕𝑢
𝜕𝑣 2
𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑣
( ) +2
+ ( ) = 2(
−
) = −2 ∙ 𝐽(𝑢, 𝑣)
𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦
(27.5)
kde 𝐽(𝑢, 𝑣) je Jacobiho determinant, který je roven
𝜕𝑢 𝜕𝑢
𝜕𝑥 𝜕𝑦| 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑣
𝐽(𝑢, 𝑣) = ||
=
−
𝜕𝑣 𝜕𝑣 | 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑦
(27.6)
Balanční rovnici můžeme pro nedivergentni proudění pasát ve tvaru
𝜕
𝜕
(𝑓𝑣) +
(𝑓𝑢) = −𝑔∇2 ℎ
−2𝐽(𝑢, 𝑣) −
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(27.7)
který nám rovněž vyjadřuje rovnováhu mezi silami gradientu tlaku a ostatními silami,
obecnější a přesnější než je geostrofická aproximace. Z hlediska matematiky je balanční
rovnice nelineární parciální diferenciální rovnicí Monge-Ampérova typu. Je studována
například v knize R. Couranta [6]. Problémem je, že rovnice je eliptického typu jen za dalších
předpokladů. Pro tlakové pole to znamená, že tlakové výšky nesmí být příliš výrazné, což
celkem neodporuje skutečnosti. Při použití této rovnice pro výpočet pole proudění je třeba
řešit tuto nelineární parciální diferenciální rovnici, obvykle formulovanou pro výpočet
proudové funkce. Tuto rovnici je však možné řešit pouze relativně složitým iteračním
procesem, v jehož každém kroku je třeba řešit okrajovou úlohu pro Poissonovu rovnici.
Ukázalo se však, že pro jednoduchou inicializaci, která je lepší než geostrofický vítr
postačí, když v balanční rovnici vynecháme nelineární členy. Rovnice se zjednoduší na
rovnici
𝜕
𝜕
(𝑓𝑢) = −𝑔∇2 ℎ
− (𝑓𝑣) +
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(27.8)
Vynecháme-li v rovnicích mělké vody všechny členy kromě dvou největších, dostaneme
vztahy geostrofické ho větru tvaru
𝜕ℎ
𝜕ℎ
𝑓𝑢 = 𝑔
𝑓𝑣 = −𝑔
𝜕𝑦
𝜕𝑥
(27.9)
Vypočteme-li z těchto vztahů vorticitu, tak, že první vztah derivujeme podle y a druhý podle x
a tyto vztahy od sebe odečteme, dostaneme rovnici (26.8). Z toho vyplývá, že tato rovnice
určuje nedivergentní tedy rotační část geostrofického větru. To je fyzikální význam rovnice
(26.8). Dosadíme-li do této rovnice za složky větru proudovou funkci
412
𝑢=−
𝜕𝜓
𝜕𝑦
𝑣=
𝜕𝜓
𝜕𝑥
(27.10)
a zanedbáme-li derivace Coriolisova parametru, což je u geostrofického větru obvyklé,
dostáváme v tomto případě pro proudovou funkci Poissonovou rovnicí tvaru
𝑔
∇ 2 𝜓 = ∇2 ℎ
𝑓
(27.11)
Dostaneme tak samozřejmě nedivergentní pole proudění. Určitý problém zde činí okrajové
podmínky, protože rovnice (27.11) obecně neurčuje řešení jednoznačně. Problémy
rekonstrukce větru z vorticity a divergence se zabývá několik článků Petra Lynche, například
[10]. I když tato inicializace vcelku vyhovuje, jejím jistým nedostatkem je, že nedivergentní
pole větru nemá vertikální rychlosti, což má vliv na výpočet srážek v prvních šesti hodinách
integrace, po kterých synoptické vertikální rychlosti mají již odpovídající hodnoty.
Inicializace, které vycházejí se zadaného pole větru i geopotenciálu
Všechny další způsoby inicializace vycházejí již nejen z pole geopotenciálu, ale také
z pole horizontálních složek větru. Je ovšem třeba podotknout, že i když objektivní analýza
pole větru vychází z naměřených hodnot horizontálních složek větru, je navíc prakticky vždy
nějakým způsobem svázána s polem geopotenciálu. K tomu se používají vztahy odvozené z
geostrofického větru, nejčastěji vztahy termálního větru. Pro analýzu větru se tedy používá
přímo také pole geopotenciálu.
Metody inicializace se také liší podle toho, zdali se inicializace provádí pro globální
předpovědní model, nebo model na omezené oblasti, označovaný zkratkou LAM.
Pro globální předpovědní modely se používá inicializace pomocí horizontálních
normálních módů. Tuto metodu navrhl dánský meteorolog Bennert Machenhauer [12]. Tato
metoda byla vyvinuta pro globální i spektrální diferenční modely a byla úspěšně použita
Tempertonem a Williamsonem v ECMWF [17]. Metody inicializace jsou používány
v současnosti ve spojení s metodami asimilace dat. Poněkud jiný přístup byl použit v NMC
v USA. Joseph Sela [15] v globálním spektrálním modelu použil spektrální analýzu, kterou
vyvinul T. Flattery [7], která je založena na rozvoji pomocí Houghových funkcí, které jsou
řešením slapových rovnic. Sela navíc používá pro časovou integraci zpětné semiimplicitní
schéma, které potlačuje krátké vlny v poli divergence a tím je vlastně další dynamickou
inicializací.
Pro modely LAM byly zkoušeny v podstatě tři různé způsoby inicializace. Jsou to:
1. Metoda omezených derivací autorů Browning G., Kasahara A., Kreiss H.-O [4].
Srovnání s metodou nelineárních normálních módů je uveden v práci [1]. Tato metoda
se však v praxi příliš neuplatnila.
2. Velmi úspěšná metoda používající vertikální normální módy, která byla využita ve
více modelech, je popsána v článcích [3], [5], [16], [17], [18].
3. Nejnověji je používána metoda digitálního filtru. Tuto metodu vyvinuli Peter Lynch a
Xiang-Yu Huang [11], pro model severské skupiny HIRLAM, zabývající se vývojem
modelů s vysokým rozlišením na omezené oblasti. Tato metoda inicializace je použita
také pro inicializaci v modelu ALADIN, který je v současné době v denním provozu v
413
ČHMU. Tato metoda je založena na tom, že parciální diferenciální rovnice
hyperbolického typu lze integrovat i v čase nazpět. Adiabatický systém řídících rovnic
meteorologie bez difuzních členů, tedy i bez parametrizace tření je rovněž systémem
parciálních diferenciálních rovnic hyperbolického typu.
Implementace metody digitálníhi filtru je velmi jednoduchá. Pro systém
adiabatických rovnic se provedou dvě integrace na 3 hodiny. Jedna v čase vpřed a
druhá v čase vzad. Pak se časová řada prognostických proměnných v každém uzlovém
bodě násobí časově proměnnou váhou a výsledky se sečtou. Váhy digitálního filtru
jsou dány jednoduchým analytickým výrazem. Teorie digitálních filtrů je podrobně
vyložena v knize Hamminga [8]. Po filtraci obdržíme velice dobře inicializovaná
počáteční data. Osobně si myslím, že tato metoda je zdokonalením metody použité
v jednom z prvních německých modelů. Tento model byl integrován na 6 hodin,
potom byl z předpověděných hodnot prognostických proměnných v jednotlivých
uzlových bodech udělán aritmetický průměr v čase z předpověděných hodnot a ten byl
považován za předpověď na 3 hodiny a byl vzat jako počáteční inicializovaná data pro
další integraci. Můžeme si zde všimnout zajímavé skutečnosti, že se v obou případech
byl vzat časový interval 6 hodin. Je také známé, vychází-li předpověď
z nedivergentního pole, tedy bez vertikálních rychlostí, pak během šesti hodin
integrace obdržíme odpovídající vertikální rychlosti.
Metoda inicializace pomocí normálních módů pro modely na omezené oblasti
Nyní se věnujme ještě podrobněji metodě inicializace pomocí vertikálních
normálních módů. S tímto způsobem inicializace mám vlastní zkušenosti, protože jsme jej
použili v modelu vyvinutém pro každodenní předpověď v ČHMU. Tento způsob inicializace
se velmi osvědčil. Inicializace vycházela z prací australských meteorologů, Bourke W.,
McGregor J. L [3] a je uveřejněna v článku Radmila Bubnová-Brožková [5]. Práce Clive
Temportona [16], [17], kde je tato metoda podrobně studována vyšly až později. Metoda je
založena na následujícím postupu. Vezmeme linearizovanou separabilní část rovnic modelu,
jejíž separabilnost byla dosažena tím, že skutečnou teplotu je nahradíme referenčním
vertikálním profilem teploty, který je zvolen ze standardní atmosféry. Tím profil teploty
závisí pouze na vertikální souřadnici 𝜎 a nezávisí tedy na horizontálních souřadnicích x, y.
Tento systém je v podstatě stejný, jako systém pro semiimplicitní opravu explicitního
schématu. Při semiimplicitní opravě je však místo referenčního teplotního profilu je zvolena
konstantní teplota 300 stupňů Kelvina. Je zde třeba poznamenat, že vertikální módy jen málo
závisí na vertikálním profilu teploty a proto je možné místo skutečné teploty zvolit její
referenční profil. Bez problému by bylo možné i pro inicializaci použít stejně tak, jako pro
semiimplicitní korekci zvolit konstantní teplotu 300K, stejně jako pro semiimplicitní korekci.
Pro iniciallizaci vypočteme vertikální normální módy a baroklinní model, který je složen
vertikálně z K vrstev rozložíme pomocí normálních módů na K modelů mělké vody.
Popisovaná metoda inicializace byla použita pro model popsaný v kapitole 17.
Eulerovské baroklinní modely a lze ji použít i pro semi-Lagrangeovské modely, ty se liší od
Eulerovských modelů výpočtem advekce a mají obvykle stejnou linearizovanou část.
Linearizovaný systém řídících rovnice pak můžeme psát ve tvaru
414
𝜕𝐮
𝜕𝐏
− 𝑓0 𝐯 +
=𝟎
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝐯
𝜕𝐏
+ 𝑓0 𝐮 +
=𝟎
𝜕𝑡
𝜕𝑦
(27.12)
𝜕𝐏
+ 𝐆𝐝 = 𝟎
𝜕𝑡
Kde tučnými písmeny jdou označeny vektory-sloupce ve směru souřadnice 𝜎, 𝑓0 je průměrná
hodnoty Coriolisova parametru, d vektor divergence horizontálního větru. G je čtvercová
matice vertikální struktury, řádu K. Její vyjádření je popsáno v kapitole 22. Vertikální
normální módy. Výpočet matice Q, která matici G diagonalizuje, je vyložen v kapitole a
v kapitole 20. Redukce dimenze. Je tedy
𝐐−𝟏 𝐆𝐐 = 𝐋
(27.13)
Matice vertikální struktury je konstruována tak, aby její vlastní čísla byla reálná různá a její
vlastní vektory ortogonální. Sloupce matice Q jsou vlastními vektory matice G a diagonále
matice L jsou vlastní čísla matice G, která jsou reálná a navíc kladná. Tyto vlastní čísla proto
můžeme označit jako druhé mocniny čísel c, a můžeme tedy položit 𝐋 = diag (𝑐𝑘2 ). Kde 𝑐𝑘2
jsou pak čtverce fázových rychlostí gravitačních vln na mělké vodě. Ekvivalentní hloubky
mělké vody jsou 𝐻𝑘 = 𝑐𝑘2 ⁄𝑔, kde g je tíhové zrychlení Země. Diagonální matici L můžeme
také vyjádřit pomocí ekvivalentní hloubky hladin mělké vody, tedy 𝐋 = diag (𝑔𝐻𝑘 ). Po
transformaci do prostoru vertikálních módů, tedy po vynásobení maticí 𝐐−𝟏 zleva označíme
proměnné pruhem. Klademe tedy 𝐮
̅ = 𝐐−𝟏 𝐮, 𝐯̅ = 𝐐−𝟏 𝐯, …Dostáváme tak K soustav rovnic
mělké vody pro K módů, tedy vlastních kmitů diskrétního modelu atmosféry tvaru
𝜕𝑢̅𝑘
𝜕𝑃̅𝑘
− 𝑓0 𝑣̅𝑘 +
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑣̅𝑘
𝜕𝑃̅𝑘
+ 𝑓0 𝑢̅𝑘 +
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑦
(27.14)
𝜕𝑃̅𝑘
+ 𝑔𝐻𝑘 𝑑̅𝒌 = 0
𝜕𝑡
Tím je třírozměrná úloha převedena na K dvoudimensionálních úloh pro rovnice mělké vody.
Pro filtraci gravitačních vln je výhodné soustavu napsat ve varu pro změnu vorticity a
divergence, tedy
𝜕𝑑̅𝑘
= −∇2 𝑃̅𝑘
𝜕𝑡
𝜕𝜁𝑘̅
= −𝑓0 𝑑̅𝑘
𝜕𝑡
(27.15)
̅
𝜕𝑃𝑘
+ 𝑔𝐻𝑘 𝑑̅𝒌 = 0
𝜕𝑡
415
Budeme-li předpokládat řešení těchto rovnic ve tvaru postupné vlny, dostaneme obecně tři
hlavní módy. Protože jsme v linearizovaných rovnicích zvolili Coriolisův parametr
konstantní, jsou Rossbyho vlny stacionární a mají tedy frekvenci rovnou nule, Zbývají zde
pouze gravitační vlny. Pro filtraci gravitačních vln z modelů mělké vody jsme použili metodu
navrženou Bourkem a McGregorem [3]. Pro rovnice (26.15), kde je i koeficient zkreslení
mapy položen rovný jedné. Podle Machenhauera budou gravitační oscilace potlačeny,
splníme-li filtrační podmínku danou vztahy
𝜕𝑑̅ ⁄𝜕𝑡 = 𝜕𝑃̅⁄𝜕𝑡 = 0
(27.16)
podmínka. Řešení rovnic filtrace je pro zvolený vertikální módus rovnic mělké vody je
prováděno iterační metodou, přičemž abychom v inicializačním procesu nepoškodily
Rossbyho módus, musí být pro korekce v jednotlivých krocích iterace splněna podmínka
𝑓0 𝛿𝑃̅ − 𝑔𝐻𝛿𝜁 ̅ = 0
Filtrace se neprovádí pro všechny vertikální módy, ale pouze pro tři módy s nejvyššími
ekvivalentními hloubkami s fázovými rychlostmi 303 m/s, 133 m/s a 52 m/s. Při zařazení
dalších módů 66 m/s, 25 m/s vznikají problémy s konvergencí iteračního procesu.
Po provedení této filtrace ve třech modelech mělké vody s nejvyššími fázovými rychlostmi
přejdeme zpět do fyzikálního prostoru násobením vektorů proměnných maticí Q. Tím je
inicializace hotova.
Definici horizontálních normálních mód pro systém rovnic mělké vody a inicializaci
lineárního systému i nelineárního systému s pravou stranou rovnic také podrobněji popsal
francouzský meteorolog Régis Juvanon du Vachat v článku[19].
Je jasné, že tento inicializace pomocí vertikálních normálních módů je vhodná pro
diferenční modely LAM, kde rovnice semiimplicitního schématu jsou řešeny také pomocí
normálních módů. V takových modelech je tato metoda inicializace jejich přirozenou
součástí. Ve spektrálním modelu LAM jako je ALADIN, se vertikální módy nepoužívají, a
proto popsané schéma inicializace by bylo pro tento model cizí a zbytečně složité. Pro
inicializaci modelu ALADIN byla proto zvolena metoda digitálního filtru.
Gravitační vlny při integraci modelu můžeme snadno kontrolovat následovně. Zvolíme
si uvnitř výpočetní oblasti pevně jeden uzlový bod horizontální sítě. V tomto bodě si necháme
vytisknout v každém časovém kroku, nebo prostě zobrazit graf přízemního tlaku. Na tomto
grafu vidíme dobře jeho časové oscilace. Ty způsobují zmíněné tři gravitační módy
s nejvyššími fázovými rychlostmi. Časové oscilace jsou pak jejich superpozicí. Když je
inicializace dobře provedena, nemají se v grafu oscilace vyskytovat a časové změny
přízemního tlaku by měly být bez rychlých změn. Pro posouzení funkce inicializace můžeme
také pro zajímavost srovnat oscilace při integraci modelu bez inicializace a s inicializací.
Literatura
[1] Bijlsma S.,J., Hafkenschied L. M.: Initialization of Limited Area Model: A Comparison
between the Nonlinear Normal Mode and Bounded Derivate Method. Mon. Wea. Rev. 114,
1986, s. 1445-1455.
[2] Blumen William: Geostrophic Adjustment, Reviews of Geophysics and Space Physic,
Vol.19, No. 2, pp. 485-526.
[3] Bourke W., McGregor J. L.: A nonlinear Vertical normal Mode Initialization Scheme for
A Limiter Area Prediction Model. Mon. Wea. Rev. 111, 1983, s. 2285-2297.
416
[4] Browning G., Kasahara A., Kreiss H.-O.: Initialization of Primitive Equations by the
Bounded derivate Method. J. of the Atmospheric Sciences Vol. 37. (1980) pp. 1424-1436.
[5] Bubnová R.: Inicializace normálními mody v inovovaném lokálním modelu ČHMU.
Meteorologické Zprávy Ročník 42- 1989, č. 2, s. 43-47.
[6] Courant Richard: Partial differential equations. Methods of Mathematical Physics by R.
Courant and D. Hilbert Volume II, New York-London 1962. (též ruský překlad 1964)
[7] Flattery T. W.: Hough function. Dep. of Geophysical Sciences, The University of
Chicago, NSF Tech. Rep. No. 20 (1967) 175 pp.
[8] Hamming R. W: Digital Filters. Second Edition, Prentice-Hall, USA 1983. (Ruský překlad
1987)
[9] Hinkelmann K.: Der Mechanismus des meteorologischen Lärmes. Tellus 3, (1951), s. 285296.
[10] Lynch P.: Deducing the Wind from Vorticity and Divergence. Mon. Wea. Rev. 116,
1988, s. 86-93.
[11] Lynch Peter and Xiang-Yu Huang: Initialization of the HIRLAM Model Using Digital
Filter. Mon. Wea. Rev. 120, 1992, s. 1019-1034.
[12] Machenhauer B.: On the Dynamics of Gravity Oscillations in a Shallow Water Model,
with Applications to Normal Mode Initialization. Beitrage zur Physik der Atmosphäre, 50,
1977 s. 253-271.
[13] Phillips Norman A.: On the Problem of Initial Data for the Primitive Equations. Tellus
XII (1960) p. 121-126.
[14] Richardson L. F.: Weather Prediction by Numerical Process.Cambridge Univ. Press.
London 1922.
[15] Sela J. G.: Spectral Model at the National Meteorological Center. Mon. Wea. Rev. 108,
1980, s. 1279-1292.
[16] Temperton Clive: Implicit Normal Mode Initialization. Mon. Wea. Rev. 116, 1988, s.
1013-1031.
[17] Temperton Clive, Roch Michael: Implicit normal Mode Initialization for an Operational
Regional Model. Mon. Wea. Rev. 119, 1991, s. 667-677.
[18] Temperton C., Williamson D. L.: Normal Mode Initialization for a Multilevel Grid-Point
Model. Part I: Linear Aspects. Mon. Wea. Rev. 109, 1981, s. 729-742.
[19] Vachat R. J.: A General Formulation of Normal Modes for Limited-Area Models:
Application to Initialization, Mon. Wea. Rev. 114, 1986, s. 2478-287.
417
28. Základní informace o parametrizacích používaných
v modelech
V první kapitole části 1.2. jsme formulovali zákony jimiž se řídí vývoj atmosféry. Ty
vycházely jednak se zákonů zachování fyzikálních veličin a jednak z vnějších vlivů, které
mění hodnoty těchto proměnných v zákonech zachování. Tím se předpovědní model skládá
v podstatě ze dvou základních částí, dynamické části modelu a parametrizací.
Dynamické jádro modelu, popisuje vývoj atmosféry na základě zákonů zachování je
formulováno v podobě řídících rovnic. Je založeno na třech základních zákonech zachování.
Zákonu zachování hmoty atmosféry, ten je vyjádřen rovnicí kontinuity. Zákonu zachování
hybnosti. Protože hybnost je vektor, má tento zákon zachování tři složky. Posledním je zákon
zachování energie, který se používá ve tvaru termodynamické rovnice. Rovnice, které tyto
zákony vyjadřují, mají ovšem na pravé straně nuly. V tomto případě by se celkové hodnoty
zmíněných prognostických proměnných na oblasti, do které vzduch nevtéká a ani z ní
nevytéká, zůstaly zachovány. Děje, které popisuje, jsou proto adiabatické. Přesto rovnice
dovolují vzájemné přeměny energií, například přeměny totální potenciální energii na pohyb,
tedy kinetickou energii a popisují tedy změnu hybnosti. Aby model dostal tu pravou
dynamiku, slouží právě parametrizace, které mění hybnost a energii. K rovnicím dynamické
části modelu můžeme přidat i další zákony. Tyto, mohou i do jisté míry ovlivňovat dynamiku
atmosféry, ale v podstatě jsou vzhledem k dynamice modelu pasivní. Je to zákon zachování
vlhkosti, který je formulován jako rovnice advekce směšovacího poměru vodní páry a je
základem pro výpočet srážek. Dále například zákony zachování různých příměsí v atmosféře,
používané v ekologických úlohách. Parametrizace vyjadřují tedy změny hodnot v zákonech
zachování.
Parametrizace také mění typ rovnic. Dáme-li na pravou stranu rovnic zachování hybnosti
tření, jehož síla působí ve směru proti vektoru větru, pomocí kterého se modeluje vliv
orografie, mění se typ rovnic z hyperbolického na parabolický. Totéž se stane, přidáme-li na
pravou stranu rovnic difuzi, která znemožňuje, aby velké gradienty prognostických
proměnných vznikající nelinearitou rovnic se nezměnily na diskontinuity. Ve skutečné
atmosféře také diskontinuity nevznikají, protože tomu skutečně difuzní procesy zabraňují.
V synoptické meteorologii se ovšem taková místa velkých gradientů pokládají za
diskontinuity a nazývají frontami.
Druhou stejně důležitou fyzikální částí modelu jsou parametrizace. Ty jsou jako funkce
na pravých stranách rovnic zákonů zachování a ty právě mění stav atmosféry vnějšími vlivy.
Do těchto vlivů obsažených v parametrizacích jsou zahrnuty zejména procesy v atmosféře
menšího měřítka, které rozlišení diskrétního modelu popisuje pro jednotlivé body sítě. Jsou to
parametrizace přítoku tepelné energie do atmosféry ať slunečním zářením, uvolňováním
latentního tepla při srážkách, vyzažování tepelné enrgie do vesmíru. Ty mají rozhodující vliv
na změny klimatu. Do parametrizací patří také velmi důležitý výpočet srážek. Zde je třeba
řící, že v modelech jsou počítány do jisté míry nezávisle srážky dvojího druhu. Jednak tak
zvané stratiformní srážky, které jsou dány víceméně dynamickou částí modelu, a jednak
srážky které vznikají při konvekci. Ty mají z horizontálního prostorového měřítka malý
rozměr, a jsou proto typickým předmětem podsíťových parametrizací. Problém je také, že
418
místo, kde a kdy tyto konvektivní srážky vznikonou není možné přesně předpovědět, dá se
pouze předpovědět, že v dané oblasti a v daném čase tyto konvektivní srážky pravděpodobně
vzniknou. Ve skutečné atmosféře vznikají oba typy srážek často společně a nelze tyto
stratiformní srážky synoptického charakteru od sebe v pozorováních oddělit. Srážky
synoptického měřítka vznkají především při přechodu atmosférických front. Výstupné
pohyby vzduchu zde vznikají v podstatě advekcí, kdy teplý vzduch je vysouván nad klín
studeného vzduchu. Tím v atmosféře vzniká přesycení vodní párou, kondenzace a srážková
voda, zároveň stím se uvolňije latentní teplo kondenzace, které ohřívá vzduch, a toto teplo
může případně iniciovat i konvekci. Stratiformní srážky se počítají od stratosféry směrem
k Zemi, přičemž srážková voda postupně propadá až nazemský povrch.
V modelech mezi důležité parametrizace patří konvekce ve vlhkém vzduchu. Ve vlhkém
vzduchu dochází při výstupních pohybech kondenzace vodní páry a uvolňování latentního
tepla, které podporuje konvektivní výstupné proudy. Konvekce pak může vznikat i při nižším
gradientu teploty, než je suchoadiabatický gradient teploty. Úkolem suchoadiabatického
konvektivního přizpůsobení je pouze odstranění labilních oblastí v atmosféře, zejména
v oblastech, kde je atmosféra velmi suchá, tedy například nad pouštěmi. I když parametrizace
konvekce má v atmosféře také podobný efekt, jejím hlavním úkolem je však výpočet
konvektivních srážek. Konvekce také proto zvyšuje množství srážek a to často v oblasti
výskytu stratiformních srážek. I když v místech, kde se konvektivní srážka vyskytne, naprší
hodně vody, k celkovému množství srážkek na dané oblasti to však nedá vlký příspěvek.
Parametrizace konvektivních srážek vycházejí ze dvou základních prací. Jeden způsob
výpočtu je popsán článku Kua [5], druhý systém výpočtu konvektivních srážek pochází od
Arakawy a Schuberta [1] a v modelech je často používán [3], [5], [6].
Důležitou parametrizací je tření o zemský povrch. Parametrizace tření se používá
k modelování vlivu hor na pohyb atmosféry. V hydrostatických modelech tato parametrizace
nahrazuje do jisté míry dynamiku nehydrostatického modelu. Aby tuto nehydrostatickou
dynamiku parametrizace co nejlépe nahradily, jsou tyto parametrizace poměrně složité.
Původní parametrizace tření uvažovaly pouze zvýšené třní, které bylo dáno pouze výškou
pohoří v daném místě a velmi nízkým třením nad vodní hladinou.
Formulace parametrizací záleží také na typu modelu. Protože globální modely pro
střednědobou předpověď mají menší rozlišení, jsou jejich parametrizace tomuto rozlišení
přizpůsobeny. Parametrizace modelů na omezené oblasti, jejichž výpočty jsou prováděny na
sítích s jemnějším rozlišením a předpověď je počítána na relativně kratší dobu se proto
poněkud od parametrizací globálních modelů liší.
Je zajímavé, že parametrizace prakticky nezávisejí na tom, jakým způsobem je numericky
integrována dynamická část modelu, je-li použita spektrální metoda, diferenční či metoda
konečných elementů. Je to tím, že parametrizace jsou počítany vždy pro uzlové body
výpočetní sítě. Je proto obvyklé, že na dynamické části modelu a na vývoji parametrizací
pracují dva různé týmy.
Fyzikální parametrizace modelů jsou rozsáhlou oblastí předpovědních metod a
vyžadovaly by samy celou rozsáhlou monografii, a navíc je tato oblast modelování ve stálém
rychlém vývoji. Proto se zde omezím pouze na ukázku realizace principu zachování celkové
energie sloupce při suchoadiabatickém konvektivním přizpůsobení. Konvektivní přizpůsobení
je důležité pro hydrostatické modely. V těchto modelech chybí přenos tepelné energie
419
konvekcí, a proto se v některých částech atmosféry může teplo hromadit. Přenos tepelné
enrgie je také obsažen v paramertrizacích mokré konvekce zároveň s výpočtem konvektivních
srážek. Nicméně zajímavá je zde realizace zákona zachování celkové energie vzruchového
sloupce.
Historicky začal vývoj složitějších parametrizací ve Spojených státech. Velký tým, který
vedl významný americký meteorolog Joseph Smagorinsky (ředitel NOAA – National Oceanic
and Atmospheric Administration), se zde zabýval formulováním a vyzkoušením celého
systému parametrizací pro celokoulové cirkulační modely. Je evidentní, že také
parameterizace střednědobých globálních modelů vyvinutých v ECMWF [3] ve Velké
Británii z prací tohoto týmu vycházejí.
Podrobnné informace o parametrizacích modelu ALADIN, který je v současné době
v provozu v ČHMU je možné získat z článku Filipa Váni [9] uveřejněném v časopisu
Meteorologické zprávy. Pro studium parametrizací je možné doporučit Pielkeho knížku [8]
Mesoscale Meteorological Modeling.
28.1 Suchoadiabatické konvektivní přizpůsobení
Při řešení suchoadiabatického konvektivního přizpůsobení v modelu vždycky musíme
předpokládat, že teplotní zvrstvení je stabilní. Když se v některé části svislého sloupce
vzduchu vyskytne instabilní teplotní zvrstvení, pak musíme upravit v tomto sloupci rozložení
teplot tak, abychom toto instabilní zvrstvení odstranili. Ve skutečné atmosféře se to děje
procesem tepelné konvekce, která určitou část tepelné energie přenáší směrem vzhůru. Při
modelování tohoto procesu na počítači vyjdu z těchto dvou fyzikálních předpokladů:
1) celková vnitřní energie sloupce zůstane zachována
2) po úpravě profilu teploty ve sloupci se instabilní teplotní zvrstvení změní na
indiferentní.
Předpokládáme dále, že atmosféra zůstává stále v hydrostatické rovnováze a je tedy
splněna hydrostatická rovnice. V tomto případě je vnitřní energie sloupce úměrná
potenciální energii sloupce a zavádí se pojem totální (celkové) potenciální energie.
Úprava teploty ve sloupci tedy musí být provedena tak, aby se nezměnila (byla
zachována) celková energie sloupce a jeho hmotnost, vyjádřená přízemním tlakem.
Tato fyzikální fakta se musíme vyjádřit kvantitativně.
Vnitřní energie sloupce je rovna
1
I  cv p s / g  Td
(28.1.1)
0
kde cv ps / g je pro sloupec v daném čase je konstantní, nemusíme ji pro energetické úvahy ve
sloupci uvažovat. Budeme proto používat pouze hodnotu jí úměrnou, danou integrálem
1
 Td
(28.1.2)
0
jehož hodnota musí být zachvána. V modelu se používá diskrétní analogii tohoto integrálu,
součet
420
KV
 T  
k
k 1
(28.1.3)
k
Je jasné, že vnitřní energii stačí počítat v intervalu vertikálního sloupce, kde hodnoty teplot
upravujeme, neboť v ostatních částech sloupce teplotu neměníme a nemění se tedy ani
příspěvek vnitřní energie této části sloupce.
Když se konvektivní přizpůsobení provádíme v nad sebou ležících vrstvách od indexu kk až
do k, příspěvek vnitřní energie odpovídající této části sloupce vyjádřit ve tvaru
k
T  
l  kk
l
(28.1.4)
l
Pro posouzení stability zvrstvení použiji potenciální teplotu vrstev  k . Ta je definována
vztahem
Tk   k k
(28.1.5)
*
kde  k je Exnerova funkce příslušná tlaku vrstvy pk , tedy

 k   pk 
*

Kde tlak vrstvy je definován vztahem
*
pk 
(28.1.6)

p k
(28.1.7)
 lg p k
odkud vidíme, že
*
pk 
*
*
 ps k
 lg ps k
kde  je definováno vztahem  

*
ps  k
 ps  k
 lg  k
(28.1.8)

. Pro algoritmus konvektivního přizpůsobení
 lg 
nepotřebujeme však Exnerovu funkci kompletní. Exnerovou funkci napíšeme ve tvaru

*
 k  ps   k 
(28.1.9)
 
Protože ps je pro celý sloupec konstantní, můžeme pro konvektivní přizpůsobení Exnerovu

funkci definovat vztahem

 k    k   k
*

(28.1.10)


a místo se skutečnou potenciální teplotou počítat s jejím ps násobkem. Pro výpočet
konvektivního přizpůsobení definuji tedy potenciální teplotu vztahem

 * 
Tk    k   k
 
(28.1.11)
421

 * 
Výhoda tohoto postupu spočívá v tom, že funkce   k  nezávisí na souřadnicích x, y, t a
 
můžeme ji před výpočtem natabelovat, pro k = 1,……KV. Tato skutečnost platí pouze v
jednoduchém Phillipsově  -systému. Výpočet v jednoduchém Phillipsově  -systém je proto
nejefektivnější.
Nechť tedy  k jsou potenciální teploty vrstev definované vztahem (28.15). Protože
indexování vrstev je ve směru rostoucího  , tedy I rostoucího tlaku, je teplotní vzrstvení
dvou sousedních vrstev:
 k   k 1
+ Stabilní, když
+ Indiferentní, když
 k   k 1
+ Instabilní, když
 k   k 1
Algoritmus konvettivního přizpůsobení je následující:
Konvektivní přizpůsobení se provádí od země směrem vzhůru. Začíná se porovnáním
potenciálních teplot dvou nejnižších sousedních vrtstev. Je-li třeba, provedeme přizpůsobení
na jednotnou potenciální teplotu (indiferentně zvrstvenou atmosféru) a přiberme se další
vrstvu o indexu kk pro posouzení zvrstvení, kk tedy zmenšíme o 1.
Postupně tak se dostává následující obraz:
Zkoumáme-li teplotní zvrstvení vrstev kk až k, mají tedy vrstvy kk+1 až k indiferentní
zvrstvení a jednotnou potenciální teplotu  k . Je tedy
kk 1  kk  2  ..........  k 1  k
(28.1.12)
Zbývá tedy zjistit, zda
1)  kk   k . V tomto případě nemá interval vrstev kk až k instabilní teplotní zvrstvení a
další instabilní zvrstvení hledáme ve výše položených vrstvách. Proto klademe k = kk a kk
zmenším o 1.
2)  kk   k . Interval vrstev kk, až k, má indiferentní zvrstvení. Proto přibíráme další
vrstvu na testování stability zvrstvení tím, že kk zmenšíme o 1.
3)  kk   k . Teplotní zvrstvení intervalu vrstev kk až k, je instabilní, a teploty vrstev
musíme upravit.
V tomto okamžiku je vidět, že kdybychom při konvektivním přizpůsobení uvažovali vždy
pouze dvě vrstvy, kk a kk+1, vzniklo by nové instabilní zvrstvení vrstvy kk+1 vzhledem k
vrstvě kk+2 až k. Algoritmus by pak neodstranil ve sloupci instabilní zvrstvení.
Nyní z fyzikálních podmínek 1) a 2) vypočtu nové přizpůsobené teploty. Po konvektivním
přizpůsobení budou mít vrstvy kk až k indiferentní zvrstvení, a tedy stejnou potenciální

teplotu, kterou označme  . Aby příspěvek vnitřní energie vrstev, kk až k, zůstal zachván,
musí být splněna rovnost

l  l   l 
k
l  kk
Tento vztah nám určuje
*



  l   l
k
l  kk

*


(28.1.13)
422

 * 

  l   l

l


l  kk 
 k
* 
 
  l   l


l  kk 
k
(28.1.14)

Z této hodnoty  pak vypočtu nové hodnoty teplot podle vztahu

 *
Tl     l 
 

kde l = kk, … , k
(28.1.15)

 *
Pro zefektivnění programu jsem výpočet upravil dále takto: hodnoty   l   l pro
 
l =1, …, KV se při výpočtu modelu nemění a jsou rovněž natabelovány předem.

Výraz (28.1.14) pro  přepíši ve tvaru

 * 

EN


k
kk   kk   kk

 

ENJ
(28.1.16)
kde jsem označil

 * 
EN     l   l

l  kk 
k

(28.1.17)

 *
 * 
ENJ     l   l  EN    kk   kk
(21.18.18)

 
l  kk 
Hodnoty EN a ENJ počítám postupným načítáním.
Cyclus konvektivního přizpůsobení ve sloupci startuje s hodnotami k = KV a
kk = KV-1 a je ukončen, když kk <1. Cyklus se provádí tak dlouho, dokud neproběhne
bez přizpůsobování, tj. když ve sloupci není již nikde instabilní teplotní zvrstvení. Je
samozřejmé, že konvektivní přizpůsobení se provádí na konci každého časového
integračního kroku pro všechny uzly horizontální předpovědní sítě.
k
Literatura
[1] Arakawa A., Schubert W. H.: Interaction of Cumulus Cloud Ensamble with the LargeScale Einvironment, Part I, (1974) Journal of the Atmosperic Sciences Vol. 31, pp. 674-701.
[2] Dubal M. Wood N. Staniforth A.: Analysis of Paraller versus Sequential Splitttings for
Time-Stepping Physical Parametrizations, Monthly Weather Review Vol. 132, No. 1, pp. 121132, (2004)
[3] European Centre for Medium Range Weather Forecast, Technical Report No 10: ECMWF
Model – Parameterizations of Sub – Grid Scale Processes 1979, by Tiedteke M., Geleyn J-F.,
Hollongsworth A., Louis J-F. (pp. 46)
423
[4] GerrityF.: The LMF Model - 1976. NOAA Technical Memorandum NWS NMC 60,
National Meteorological Center Washington, D. C. December 1977, (67 stran)
[5] Kuo H. L.: Further Studies of the Parameterization of the Influence of Cumulus
Convection on Large-Scale Flow. Journal of the Atmospheric Sciences, Vol. 31, (1974), pp.
1232-1240.
[6] Moorthi S., Suarez J. M.: Relaxed Arakawa-Schubert: A Parameterization of Moist
Convection for General Circulation Models, Monthly Weather Review Vol. 120, pp. 9781002, (1992)
[7] Newell J. E., Deaven D. G.: The LMF-II Model 1980. NOAA Technical Memorandum
NWS NMC 66. Washington, D. C. September 1981, (20 stran)
[8] Pielke R. A.: Mesoscale Meteorological Modeling, Academic Press 1984, 612 pp.
[9] Váňa Filip: Fyzikální parametrizace v modelu ALADIN. Meteorologické Zprávy. Ročník
51-1998 číslo 2.
424
29. Příprava dat pro předpovědní modely-objektivní analýza
Tato kapitola má spíše informativní charakter. Je to proto, že toto téma je velmi
rozsáhlé a podrobnější popis postupného vývoje metod objektivní analýzy a současného stavu
v této oblasti by naplnil samostatnou rozsáhlou monografii. Omezím se proto na výklad
základních principů a postupů metod objektivní analýzy.
Prvním krokem pro časovou integraci jakéhokoliv předpovědního modelu je příprava
vhodných počátečních podmínek. To znamená zadat pole meteorologických proměnných,
které potřebujeme pro integraci modelu, v počátečním čase na oblasti integrace modelu. Tyto
vstupní údaje jsou obvykle zadány diskrétně, tedy hodnotami na pravidelné síti uzlových
bodů. Horizontální souřadnice se používají podle typu modelu. Pro modely na omezené
oblasti je to obvykle pravidelná čtvercová síť vytvořená průsečíky přímek rovnoběžných
s osami souřadnic kartézského systému v rovině konformní mapy. Pro globální modely síť
daná průsečíky geografických souřadnic. Oblast integrace je v horizontálním směru obvykle
obdélníková a to i pro globální modely, kde v horizontálním směru oblast nemá žádné
hranice. V tomto případě jsou na hranicích obdélníkové oblasti určité periodické okrajové
podmínky. Ve směru rovnoběžek jsou tyto podmínky obvyklé periodické. Ve směru
poledníků je situace o něco složitější. Póly jsou v tomto případě singulární body systému
souřadnic, což se projevuje tím, že všechny uzlové body severní a obdobně i jižní stany
obdélníka jsou obrazem severního, respektive jižního pólu. Hodnoty jsou v nich pak
samozřejmě stejné. Zvláštním případem jsou složky větru. Složky větru při přechodu přes pól
se vlivem změny orientace souřadnic přechodem na poledník, jehož zeměpisná délka se
změnila o 180 stupňů, změní znaménko na opačné. Trojrozměrnou síť pak tvoří průsečíky
svislých polopřímek vycházejících z uzlových bodů horizontální sítě se souřadnicovými
plochami vertikálního systému souřadnic. Pro objektivní analýzu se dříve používal p-systém
vertikální souřadnice. Výhoda tohoto systému spočívá v tom, že údaje jsou v tomto systému
ihned interpretovatelné, neboť nezávisejí na orografické ploše. Také hodnoty radiosondážních
i dalších měření jsou zadávány v bodě měření jako funkce tlaku, tedy vlastně v p-systému.
V současné době jsou pro objektivní analýzu používány metody založené na asimilaci dat.
Tyto metody jsou spojené s časovou integrací předpovědního modelu. Proto se pro objektivní
analýzu používají většinou tytéž systémy vertikální souřadnice, které jsou použity
v předpovědním modelu. Bývá to tedy 𝜎-systém nebo 𝜂-systém vertikální souřadnice. Jejich
určitou nevýhodou je závislost analyzovaných hodnot na výšce orografie.
Příprava dat začíná shromažďováním a dešifrací dat z různých meteorologických
zpráv a tedy měření. Dešifrací rozumíme zobrazením dat v počítači ve tvaru vhodném pro
jejich další zpracovávání. Nejdůležitějšími daty popisující stav volné atmosféry jsou
vzhledem k jejich přesnosti hodnoty získané z radiosondážních (balonových) měření. Ty
bývají obsaženy ve zprávách „TEMP“. Dále jsou používána naměřená data na pozemních
stanicích, měření ze satelitů, letadel, lodí i jiná dostupná data.
Dalším krokem procesu je kontrola takto shromážděných dat. Ta je důležitá, protože
při měření a zejména při přenosu dat mohou být data zkomolena a mohou proto vzniknout
velké chyby, které by v objektivní analýze nepříznivě ovlivnily pole počátečních podmínek
pro časovou integraci. Provádí se například kontrola, zda naměřené údaje leží v určitých
425
klimatologicky daných intervalech. Dále se využívá skutečnosi, že výchozí data nejsou na
sobě zcela nezávislá, ale jsou vzájemně svázány určitými vztahy. Například pro model, který
byl provozován v Českém hydrometeorologickém ústavu, jsme pro kontrolu radiosondážních
dat ve zprávách TEMP, kde jsou ve standardních tlakových hladinách dány nejen výšky
takových hladin, ale i teploty, použili následující postup. Za předpokladu hydrostatické
rovnováhy jsme použili kubické spliny proložené metodou nejmenších čtverců tak, aby suma
čtverců odchylek výšek tlakových hladin, ale i ze splinů vypočtených odchylek od zadaných
teplot v uzlových bodech standardních hladin násobené určitými váhami byla co nejmenší. Jeli tento součet malý, jsou data v pořádku. Když tento součet není dostatečně malý, jsou
v datech chyby. Tato metoda umožňuje i v některých případech jednotlivé chybné údaje
opravit. [1]
Nyní se věnujme vlastnímu procesu objektivní analýzy. Objektivní analýza spočívá
v interpolaci hodnot meteorologických proměnných z nepravidelné sítě bodů, ve kterých
jsou meteorologické údaje měřeny na pravidelnou síť. Pravidelnou sítí rozumíme síť
uzlových bodů, které vzniknou jako průsečíky souřadnicových křivek, například poledníků
a rovnoběžek, nebo pravoúhlých souřadnic na mapě. Ač se to nezdá, je tato úloha, chceme-li
dosáhnout určitou přesnost z hlediska matematiky, dosti obtížná. Jeden z hlavních problémů
spočívá v tom, že měřená data jsou rozmístěna velmi nerovnoměrně. Zatímco například
v Evropě nebo na území USA je dat více, je na území rozvojových zemí dat méně a nad
oceány je dat žalostně málo, zde jsou k dispozici prakticky pouze data z některých ostrovů.
Úkolem objektivní analýzy je také v těchto územích, kde je k dispozici jen málo dat, tyto data
nějakým způsobem doplnit. Objektivní analýza je tedy založena na interpolaci, která se
provádí v horizontálních rovinách, těmito rovinami rozumíme zde plochy konstantního
tlaku v p-systému, konstantního  nebo  v systémech kopírujících terén.
První pokusy o objektivní analýzu spočívaly na jednoduché horizontální interpolaci
výšek tlakových hladin. Úspěšná, i když ne příliš přesná, metoda spočívala v lineární
interpolaci do uzlového bodu sítě ze tří nejbližších měřících stanic. Metody založené na
interpolaci pomocí polynomů vyššího stupně druhého a třetího stupně, určených pomocí
hodnot v nepravidelně rozmístěných měřících stanic, i když se pro určení interpolačního
polynomu použilo více bodů měření a metoda nejmenších čtverců, se neosvědčily. Chování
takovýchto polynomů mimo měřících stanic je téměř nepředpověditelné a v některých uzlech
sítě byly vypočtené hodnoty zcela chybné. Ukázalo se, že přímá interpolace naměřených
hodnot není tou nejlepší cestou. Mnohem výhodnější je vždy vycházet z nějakého
předběžného přibližného meteorologického pole dané proměnné a místo samotné proměnné
interpolovat pouze odchylky od tohoto předběžného pole, pomocí nich pak můžeme
předběžné pole meteorologické proměnné opravit. Tuto metodu umožňuje snadná a přesná
interpolace z pravidelné sítě modelu do bodů, ve kterých se provádělo měření. Interpolaci
z pravidelné sítě modelu do bodů měření můžeme provést například pomocí Lagrangeových
polynomů druhého nebo třetího stupně. Interpolace odchylek je pak vždy snadnější a
přesnější.
Podívejme se nyní na interpolaci odchylek podrobněji. Zaveďme pro hodnoty
meteorologického prvku označeného písmenem z následující označení:
𝑧 𝑃 0𝑡 jsou hodnoty předběžného pole v čase t, v uzlových bodech na výpočetní síti modelu,
𝑧 𝑁 𝑖𝑡 jsou naměřené hodnoty v čase t ve stanicích ležících v okolí uzlového bodu (𝑖 = 1 … , 𝑛),
426
𝑧 𝑃 𝑖𝑡 jsou hodnoty předběžného pole v čase t interpolované do polohy měřících stanic,
𝑧 𝑁 𝑖𝑡 − 𝑧 𝑃 𝑖𝑡 jsou tedy odchylky naměřených hodnot od předběžného pole v bodech měření,
Výslednou hodnotu v uzlovém bodě výpočetní sítě po interpolaci 𝑧 𝐴 0𝑡 dostaneme tak, že
k hodnotě předběžného pole přičteme lineární kombinaci odchylek násobených vhodnými
váhami p i ze vztahu
𝑛
𝑧
𝐴
0𝑡
=𝑧
𝑃
0𝑡
+ ∑ 𝑝𝑖 (𝑧 𝑁 𝑖𝑡 − 𝑧 𝑃 𝑖𝑡 )
𝑖=1
Mohlo by se někomu zdát, že vztah založený na přičtení lineární kombinace odchylek není
dostatečně obecný, ale není tomu tak. Vždyť i Lagrangeova interpolace má tento tvar, neboť
hodnota v bodě interpolace je dána též lineární kombinací hodnot v uzlových bodech. Celý
vtip spočívá na volbě koeficientů této lineární kombinace. V prvních metodách nazývaných
„korekčními metodami“ byly tyto koeficienty dány pouze jako funkce vzdáleností měřící
stanice od uzlového bodu, do kterého odchylky interpolujeme. Mnohem lepší a přesnější
metoda spočívá na teorii pravděpodobnosti a tedy na matematické statistice. Tato metoda byla
navržena A. N.Kolmogorovem a rozpracována ruskou školou zejména Lvem Gandinem [2] a
později dále zdokonalována v USA i Británii. Tato metoda se nazývá metodou optimální
interpolace a byla po dosti dlouhou dobu v různých modifikacích používána ve většině
světových meteorologických center.
Původní varianta metody navržená v Rusku Gandinem vycházela z předběžného pole, které
bylo klimatickými normály pro uzlové body sítě i měřících stanic. Takovéto pole se však
může od skutečného pole značně lišit. Ukázalo se, že lepším předběžným polem je předpověď
z posledního předešlého termínu. Takto vlastně přirozenou cestou byla vyvinuta metoda
asimilace dat. Tato metoda spočívá v tom, že integrujeme meteorologický model a obvykle
po šesti hodinách integrace výsledky opravujeme optimální interpolací novými naměřenými
údaji. Tato integrace je samozřejmě za vývojem atmosféry o něco zpožděná, neboť nová data
pro opravu stavu musí být naměřena, telekomunikační sítí dopravena do meteorologického
centra zkontrolována a připravena pro vlastní opravu dat. Po opravě dat se ovšem poněkud
poruší rovnovážný vztah mezi polem rozložení hmoty atmosféry s polem proudění. Musí tedy
po opravě dat vždy následovat inicializace těchto vstupních dat pro předpověď na dalších šest
hodin. Tím máme k dispozici každých šest hodin počáteční data pro integraci na delší dobu,
abychom dostali předpověď. Zmínili jsme se již, že měřící body, zejména radiosondážní
stanice, jsou na Zemi velmi nerovnoměrně rozmístěny. V oblastech oceánů, nejsou proto
k dispozici skoro žádná data. Velká výhoda metody asimilace dat spočívá v tom, že integrace
z předchozích termínů postupně určitým způsobem doplní data v těchto oblastech bez měření.
Tato velmi úspěšná metoda měla ovšem také jedno omezení. Vkládání nových dat se při
tomto postupu opakovalo po šesti hodinách, a proto byly použitelné pouze data v těchto
termínech. To znemožňovalo využití dat naměřených mimo tyto termíny, například data
měřená družicemi létajícími na polárních drahách, které měří nepřetržitě, ale ve stále měnícím
se místě, dále data z letadel a lodí, které se také pohybují. Můžeme říci, že každá naměřená
data jsou pro analyzu přínosem. Zejména ve vyšších zeměpisných šířkách, je měření
geostacionárních družic je již pod velkým úhlem. Proto byla metoda asimilace dat dále
zlepšována. Hlavním cílem proto bylo, aby se do modelu při asimilaci dat mohla vkládat
427
průběžně naměřená data. Při tomto postupu je třeba, aby při opravě výchozího pole na
základě naměřených dat nebyla porušena rovnováha mezi polem rozložení hmoty a polem
proudění. To bylo dosaženo novou metodou nazývanou variační asimilací dat, označovanou
také 4D-Var., podle dalšího rozměru – času. Tato metoda produkuje navíc přesnější
analýzu počátečních dat a zlepšuje vyhlídky na přesnější výsledkyintegrace modelu.
Nyní si vysvětlíme principy, na kterých je metoda asimilace 4D-Var. založena.
V předchozích kapitolách jsme modely formulovali pomocí diferenciálních rovnic. Tyto
rovnice byly řešeny numerickými metodami a jejich vstupní údaje i výsledky byly
prezentovány jako hodnoty funkcí v uzlových bodech na regulárních sítích, naměřené
hodnoty jsou pak dány ve známých bodech, jejichž poloha může být závislá i na čase.
Numerický model je pak počítačový program, který počítá časový vývoj atmosféry z daných
počátečních a pro modely na omezené oblasti i bočních okrajových podmínek.
Na meteorologický model se tedy můžeme nyní dívat tak, že počáteční data budeme
považovat za nezávisle proměnné, a výstupy modelu jako na počátečních datech závislé
proměnné. Ty se skládají z časových posloupností meteorologických polí produkovaných
integrací a také z mnoho hodnot, které jsou z těchto meteorologických polí vypočteny.
Úloha variační asimilace dat je obecně formulována tak, že potřebujeme řešit inversní
problém, tedy určit hodnoty vstupních parametrů modelu, které budou odpovídat daným
(pozorovaným) hodnotám výstupních parametrů modelu. Takový inversní problém se obvykle
řeší jako optimalizační úloha, neboli v našem případě přesněji jako variační úloha. V této
úloze je třeba určit vstupní parametry, které minimalizují předepsanou skalární funkci
výstupních parametrů modelu, v našem případě funkci, která je mírou odklonu výstupních
parametrů od pozorovaných veličin.
Máme-li špatně předpověděnou hodnotu, tak nás zajímá, které počáteční hodnoty se na
této chybě podílejí. V tomto případě nás zajímá gradient jedné (vybrané) veličiny, která je
špatně předpověděna vzhledem ke vstupním parametrům, s tím že doufáme, že numerická
hodnota složky gradientu ukáže, na kterou vstupní hodnotu je špatně předpověděná hodnota
citlivá. V této situaci, když chceme určit gradient jednoho výstupního parametru vzhledem
k velkému množství výstupních parametrů, tak se jedná o metodou adjungovaných rovnic,
neboli metodou zpětných derivací. Z toho vychází princip pro sestrojení skalární funkce
mnoha proměnných, kterou je třeba minimalizovat, abychom pro model dostali správné
počáteční podmínky.
Variační asimilace dat je matematicky složitá úloha, která se obvykle formuluje
pomocí operátorů v Hilbertově prostoru. Matematicky je obecná teorie řešení optimalizačních
úloh popsána v 7. kapitole českého překladu monografie G. I. Marčuka [2], adjungované
rovnice meteorologických modelů v knize [4] stejného autora. Největší aktivitu na vývoji
variačních asimilačních metod mělo v uplynulé době ECMWF v Readingu, které úzce
spolupracuje s Méteo France. Literatura k tomuto tématu je zatím pouze časopisecká.
S použitím v meteorologii je možné se seznámit v článcích [2], [6], [7], [8]. K tématu variační
asimilace lze ještě pouze poznamenat, že řešením tohoto problému se mohou zabývat
v podstatě pouze velká meteorologická centra, která k tomu mají týmy vysoce
kvalifikovaných pracovníků, potřebné velké množství vstupních naměřených dat a vysoce
výkonný počítač.
428
Z teorie i praxe je známo, že pro správnou předpověď počasí pomocí
meteorologických modelů je velmi důležitá přesnost počátečních podmínek, neboť i při
přesném řešení těchto rovnic se chyba obsažená v počátečních podmínkách s časem
exponenciálně zvětšuje. V praxi se skutečně ukázalo, že zpřesnění přípravy počátečních
podmínek vždy zlepšilo předpovědi.
Literatura
[1] Baťka M., Bubnová R.: Vertikální kontrola aerologických dat pro objektivní analýzu
založená na splinové aproximaci. Meteorologické Zprávy Ročník 43- 1990 – číslo 3, s. 65-69.
[2] Coutier P., Thépaut J. N., Hollingsworth A.: A strategy for operational implementation of
4D-Var., using an incremantal approach. Q. J. R. Meteorol. Soc. (1994) 120, pp. 1367-1387.
[3] Gandin L. S.: Objektivnyj analiz meteorologičeskich polej, Gitrometeorologičeskoje
izdatělstvo, Leningrad 1963.
[4] Marčuk: 4islennoje rešenije zadač dynamiky atmosfery i okeana. Gidrometizdat,
Leningrad 1974.
[5] Marčuk G. I.: Metody numerické matematiky, ACADEMIA Praha 1987.
[6] Rabier. F., Thépaut J. N., Courtier P.: Extendid assimilation and forecast experiments with
a four-dimensional variation assimilation systém. Q. J. R. Meteorol. Soc. (1998) 124, pp.
1861-1887.
[7] Talagrand O.: The use of Adjoint Equations in Numerical Modelling of the Atmospheric
Circulation. Proseeding of Workshop on Automatic Differentiation of Algorithmus: Theory,
Implementation and Application. Colorado, January 1991.
[8] Talagrand O., Courtier P.: Variational assimilation of meteorological observation with the
adjoint vorticity equation. Q. J. R. Meteorol. Soc. (1987) 113, pp. 1311-1328.
429
30. Technika programování meteorologických modelů
Výběr jazyku programování
Meteorologické předpovědní modely jsou založeny na numerické integraci systémů
rovnic hydrodynamiky. Realizace předpovědi počasí je proto víceméně záležitostí numerické
matematiky. Pro realizaci numerických metod řešení prognostických rovnic je třeba použít
vhodný programovací jazyk. V současné době se k programování meteorologických modelů
používá prakticky výlučně jazyk FORTRAN. Neznalí situace by mohli říci, proč se nepoužívá
některý z novějších jazyků, například PASCAL nebo C, neboť FORTARAN je z těchto
jazyků nejstarší, to ovšem není úplná pravda, neboť na rozdíl od jiných jazyků, které se po
jejich definování v podstatě neměnily, FORTRAN byl stále doplňován a modernizován, a
proto je vlastně zároveň i nejnovější. K tomu je třeba říci následující. Jazyky programování
jsou v neustálém vývoji. V průběhu času vznikaly nové jazyky, a i když mnohé významné
projekty se z různých důvodů neprosadily, například PL1 svázaný příliš s hardwarem počítačů
IBM, nebo ALGOL 68 pro svou složitost a prakticky bez použitelných kompilátorů. Nicméně
vznik nových jazyků, i když se některé již nepoužívají, nebyl zcela zbytečný. Nové prvky,
které se osvědčily, byly převzaty do nově vytvářených programovacích jazyků. Zároveň s tím
byly z jazyků odstraňovány koncepce, které se neosvědčily a prvky které se nepoužívaly.
Shrneme-li vývoj jazyků programování pro matematické výpočty pak je následující.
První, řekli bychom jazyk vysoké úrovně, obsahující možnost psaní aritmetických výrazů
s indexovanými proměnnými, umožňující programovat cykly i jednoduché rozhodování
vyvinula firma IBM v druhé polovině padesátých let minulého století. Tento jazyk nazvala
FORTRAN, údajně ze slov FORMULA-TRANSLATION. Aby se programy napsané v tomto
jazyce daly realizovat na počítačích, nejprve IBM, později i počítačích jiných výrobců, byly
napsány ve strojovém kódu kompilátory, které umožnily přeložit program do strojového kódu
počítače a program nechat na počítači proběhnout. Můžeme říci, že jazyk FORTRAN byl
vlastně definován kompilátorem, který byl vyvíjen zároveň s jazykem. Proto byla také první
verse FOFTRANu dosti jednoduchá, ale zato byla efektivní. Zároveň s tím skupina
matematiků vedená Petrem Naurem v Curychu ve Švýcarsku se začala zabývat vytvořením
obecného jazyka pro zápis algoritmů matematických postupů. Tento jazyk v prvním
okamžiku nevycházel z napsání kompilátoru, jeho cílem bylo jazyk přesně definovat pomocí
metalingvistických výrazů. Pomocí nich se dalo zjistit, zdali je daná část zápisu programu
v tomto jazyce správná, což je dáno syntaxí jazyka. Význam, tedy jak program bude pracovat,
je dán sémantikou jazyka. Tímto postupem byl vyvinut velmi elegantní, ale na realizaci
kompilátorů v této době poměrně náročný jazyk, který byl podle roku jeho publikování
nazván ALGOL 60. Nejvýznamnějším pokrokem jazyka bylo zavedení logických (boolských)
proměnných, v důsledku čehož byl aritmetický výraz rozšířen na boolský výraz. Dále použití
podprogramů s formálními parametry, zobecnění mezí indexů, lokalizace proměnných v
podprogramech atd. Při vývoji kompilátorů pro ALGOL 60 v první polovině šedesátých let se
objevily některé problémy, zejména dynamické chápání rozměrů indexovaných proměnných,
kde velikost potřebné paměti je možné zadávat obecně až ve vstupních datech pro výpočet.
Tím při kompilaci není známo, jak velkou paměť skutečné indexované proměnné potřebují,
což se však netýká formálních parametrů, neboť těm se žádná paměť nerezervuje a vytvářejí
se pouze ukládací funkce. Dalším složitým prvkem pro realizaci byla možnost použití
430
rekurzivních procedur, které spočívají v tom, že podprogram může vyvolávat přímo nebo i
nepřímo sám sebe. Formulace jazyka ALGOL 60 měla na další vývoj FORTRANu velký vliv.
Do jazyka byly zavedeny rovněž boolslé proměnné, podprogramy – subroutiny s formálními
parametry. Globální proměnné však zůstaly definovány pomocí příkazu COMMON, který
ztotožňuje proměnné podle místa v paměti, nikoliv podle jejich názvů – identifikátorů.
Z důvodů efektivnosti programů nebyly povoleny dynamické proměnné. Při použití
dynamických proměnných musí ukládací funkce indexovaných proměnných obsahovat i
rozměry již dříve definovaných indexovaných proměnných, což zpomalovalo výpočet. Také
velikost místa v paměti pro indexované proměnné by nebyla již před kompilací programu
známa, což je nevýhodné při sdílení paměti více programů při současném výpočtu. Pro
složitost nebyly povoleny také rekurzivní procedury. Vývoj FORTRANU byl přímo svázán
s vývojem kompilátorů, výsledkem čehož byla geniální myšlenka, že program ve
FORTRANU se skládá z hlavního programu a podprogramů – subroutin. Tyto jednotky jsou
na rozdíl od ALGOLU a PASCALU všechny stejné úrovně a každá se dá kompilovat
samostatně, čímž vzniknou object file (cílové soubory), ze kterých pak Link-editor velice
rychle sestaví výsledný spustitelný programem. Tato skutečnost je hlavním důvodem, proč se
FORTRAN stal vhodným pro velké projekty. Vývoj FORTRANU byl vždy na určitém stupni
vývoje standardizován v USA ASA normou. Byly to normy označené podle roku standardu FORTRAN 66, FORTRAN 77. Jedním z významných doplnění FORTRANu 90, bylo
zavedení nového systému definování globálních proměnných pomocí příkazů MODULE a
USE, pomocí nichž se přenášejí hodnoty proměnných používaných ve více subrutinách,
ovšem podle jejich jmen. FOTRTRAN 90 byl obohacen o mnoho dalších možností, například
ukazatele - POINTERy, které se objevily nejdříve v jazyce PL1 vyvinutém firmou IBM a pak
i v PASCALU. Zvláštností FORTRANU je také skutečnost, že jsou v něm ponechány i
dřívější, již v podstatě nepoužívané příkazy a konstrukce, čímž je umožněno bez problémů a
bez úprav použít i starší hotové programy.
Také ALGOL 60 nezůstal bez dalšího vývoje. Ve stejném ústavu ve Švýcarském
Curychu kolektivem pod vedením Niklause Virtha vznikl jazyk PASCAL. Ten se zřejmě
poučil z problémů realizace kompilátorů ALGOLU 60 a pravděpodobně i z realizací
FORTRANU. Proto do PASCALU nezařadili dynamické dimenzování indexovaných
proměnných a také rekurse. Celý program v PASCALU si stejně, jak tomu bylo i v ALGOLU
60, ponechal strukturu jediné programové jednotky, ve které jsou hierarchicky vložené
podprogramy – subroutiny. Touto hierarchií je dán i přenos hodnot proměnných mezi
podprogramy, a tím je také určeno, které proměnné jsou v podprogramech lokální či globální.
Při kompilaci programu je pak třeba program kompilovat vždy celý. Tento systém se proto
nehodí pro velké projekty, na kterých pracuje najednou více programátorů i z důvodů
rychlosti kompilace při změnách v podprogramech. Dnes se pro modelování v meteorologii
proto používá prakticky výhradně FORTRAN 90, jehož další menší úprava byla provedena
v roce 1995. Pro zápis programů pro superpočítače, které pracují s vektorovými procesory,
nebo mnoha skalárními procesory jsou k dispozici kompilátory pouze pro FORTRAN. Další
vylepšování FORTRANU a jeho doplnění dalšími možnostmi spadá až do našeho 21. století.
Pro tyto nejnovější varianty FORTRANU nejsou zatím u nás běžně dostupné kompilátory.
Jazyk FORTRAN je v podstatě definován svým kompilátorem, proto pro různé počítače
obsahoval často FORTRAN různá rozšíření, které nebyly v té době v jeho americké ASA
431
normě. Když se však osvědčily, byly do normy později zahrnuty, i když s některými malými
úpravami. Myslím si, že již i FORTRAN 90, jehož kompilátory jsou u nás běžně k dospozici
je na takové úrovni, že plně vyhovuje pro kódování meteorologických modelů.
Literatura:
[1] Jiří Hřebejk, Ivan Kopeček, Jan Kučera, Pavel Polcar:
Programovací jazyk FORTRAN 77 a vědeckotechnické výpočty, Academia Praha 1989
[2] Michael Metcalf, John Reid. FORTRAN 90/95 explained. Oxford University Press 1996
432
31. Možnosti objektivní předpovědi počasí a změn klimatu
Každé modelování fyzikální reality nahrazuje tuto objektivní realitu matematickým
modelem. Ten sice vychází ze zákonů, které jsou ve fyzikální realitě splněny, často však za
určitých dalších předpokladů. Model prakticky nikdy nepopisuje objektivní realitu v úplné
obecnosti. Matematický model, v našem případě atmosféry, popsaný soustavou
diferenciálních rovnic je vždy zjednodušeným popisem a neobsahuje všechny procesy, které
v atmosféře probíhají. Atmosféra je také chápána jako spojité prostředí, i když se ve
skutečnosti skládá z velkého počtu molekul, čemuž by odpovídal spíše statistický model.
Přechodem z objektivní fyzikální reality k matematickému modelu tak vzniká první chyba,
chyba modelu, která závisí na délce předpovědi.
Chyby vznikající při předpovědi meteorologických prvků určujících počasí
Chybu fyzikálního modelu, do které zahrnujeme, zjednodušení fyzikální reality ale
také chybu v zadání počátečních podmínek označme 𝑒0 = 𝑒0 (𝑡). Tato chyba může být
zejména pro delší čas t předpovědi extrémně velká. Na tuto skutečnost pro nelineární systémy
hyperbolických parciálních diferenciálních rovnic, které se používají pro předpověď
v meteorologii, poukázala ve svých pracích ruská matematička O. A. Olejnik [2]. Tyto
systémy mají sice omezená a jednoznačně určená řešení, přesto se chyba počátečních
podmínek 𝑒0 (0) s rostoucím časem i pro přesné řešení soustavy exponenciálně zvětšuje a
řešení pak po určité době již vůbec neodpovídá skutečnému vývoji atmosféry. Tato skutečnost
znemožňuje předpověď počasí na delší časový interval. To vše se týká řešení nekonečnědimensionálního matematického modelu, které je přesným řešením rovnic modelu dané
počátečními podmínkami.
Pro numerické řešení musíme přejít k diskrétnímu modelu. To je v podstatě již jiný
model. Diskretizací vzniká další chyba, kterou označme 𝑒1 (𝑡). Tato chyba závisí na způsobu
aproximace derivací vzhledem k prostorovým proměnným, na kroku v síti i na časové
aproximaci a časovém kroku při integraci. Pro aproximaci rovnic meteorologických modelů
hraje důležitou roli, aby správně vybrané zákony zachování, které jsou splněny ve spojitém
modelu, byly splněny také i pro aproximaci v tomto v podstatě novém diskrétním modelu.
Numerické metody jsou ovšem obvykle formulovány a studovány pro výpočty s reálnými
čísly, tedy jako by byly prováděny s nekonečnou přesností. Takové výpočty jsou však
technicky nerealizovatelné.
Pro realizaci výpočtů se používají počítače. Ty však pracují pouze s konečnou
přesností, tedy na konečný počet platných číslic. Tím dostáváme opět v podstatě nový model,
který na rozdíl od předchozího pracuje docela jen s celkovým konečným počtem čísel. Na
běžných personálních počítačích s procesory INTEL je rozsah čísel typu REAL, tedy
s exponentem a mantisou následující. Největší číslo v pohyblivé řádové čárce, tedy typu
REAL je 2 umocněno na 128, kde 128 =27 což je v dekadickém zápisu přibližně 3.4028235
E+38 a nejmenší kladné číslo je 2 umocněno na -126, což je v dekadickém zápisu 1.1754944
E-38. Zde můžeme říci, že rozsah hodnot reálných čísel výpočty v podstatě neomezuje. Jinou
otázkou je však jejich přesnost, s jakou jsou v počítači zobrazeny. Při výpočtech v pohyblivé
433
řádové, kde jsou čísla zapsána s exponentem a mantisou jsou aritmetické operace prováděny
přibližně na 16 dekadických míst mantisy, což je tak zvaná dvojitá přesnost výpočtů. Při
použití jednoduché přesnosti se aritmetické operace zaokrouhlují na 7 platných dekadických
cifer a výpočty a mezivýsledky a tudíž celé výpočty jsou s přesností na pouhých 7
dekadických cifer. Pro výpočty v meteorologii nemá jednoduchá přesnost smysl, neboť na
moderních počítačích jsou v obou přesnostech výpočty stejně rychlé. Ušetří se tím sice
polovina paměti pro uložení dat, což vzhledem k velikosti paměti počítačů nebývá potřeba. I
při použití dvojné přesnosti je přesnost výpočtu vzhledem k miliardám operací potřebných při
výpočtu modelu katastroficky malá, zejména pro diskrétní Fourierovy transformace, nebo pro
řešení velkých soustav rovnic vzniklých částečně implicitními aproximacemi. Proto současné
superpočítače, které se používají pro integraci meteorologických modelů, mají kromě vysoké
rychlosti výpočtů také možnost počítat až několikanásobnou přesností, než obvykle používané
personální počítače - PC. Při výpočtu na počítači tedy vzniká třetí chyba, která je dána
zaokrouhlovacími chybami při výpočtu. Tuto chybu označme 𝑒2 (𝑡). Tato chyba závisí
nejenom na počtu znaků zobrazení čísel, ale také na systému realizace početních operací na
počítači. Různé počítače mají různý systém technické realizace, a nemusí mít z hlediska
zaokrouhlovacích chyb stejnou aritmetiku. Vliv na chybu vzniklou výpočtem má i způsob
naprogramování, neboť operace sčítání a násobení na počítači nejsou asociativní a při sčítání
více čísel nejsou ani komutativní. Problémy dělá například sčítání, když sčítanci mají velký
rozdíl ve velikosti exponentů. Je-li rozdíl exponentů velký, například pro PC větší než 16
řádů, nejsou malí sčítanci vůbec přičteny. Je to proto, že při sčítání se mantisa menšího čísla
posunuje doprava o rozdíl exponentů a pak teprve dojde k sečtení, vlastně v pevné řádové
čárce. Výsledky výpočtů se pak mohou i vlivem pořadí sčítání a kódu programu lišit. Proto i
programy realizující výpočty je třeba psát inteligentně. Tím, že při numerických výpočtech
může dojít k situaci, že výsledky výpočtů jsou v některých případech zcela chybné, se již
zabývalo více matematiků. Příklady takových problému jsou například v článku Michala
Křižka „Můžeme věřit numerickým výpočtům?“ [1].
Celková chyba 𝑒(𝑡) předpovědi je pak součtem předchozích tří chyb. Chyby vznikají mezi:
fyzikální realitou a matematickým modelem 𝑒0 ,
matematickým modelem a diskrétním modelem po aproximaci 𝑒1 ,
diskrétním modelem a výsledky výpočtu na počítači 𝑒2 .
Celková chyba výpočtu e je tedy rovna součtu 𝑒 = 𝑒0 + 𝑒1 + 𝑒2 .
Z uvedeného je zřejmé, že je-li některá z uvedených chyb velká, nemá cenu se snažit,
aby ostatní chyby byly velmi malé. V meteorologii se to například týká chyby diferenčních
aproximací podle času, kde stačí diferenční schéma druhého řádu přesnosti. Značné zlepšení
výsledků meteorologických modelů nastalo, když byla zlepšena příprava počátečních dat,
použitím variační asimilace dat. Potvrdilo to skutečnost, že chyba vznikající vlivem
počátečních podmínek je velmi významná. Což je tím, že chyba v počátečních podmínkách se
s časem zvětšuje exponenciálně.
Z předchozího vyplývá závěr, že integrace předpovědních modelů synoptického
měřítka je možná jen na určitý relativně krátký čas přibližně jednoho týdne, nejvýše dvou
týdnů. Takovéto modely se nazývají střednědobé. Deterministická dlouhodobá předpověď
není vůbec možná. Rovnice dynamické části modelu jsou založeny na zákonech zachování a
434
jejich řešení je omezené. Z definice stability je omezené i numerické řešení, což by mohlo
vésti k omylu, že tyto rovnice můžeme integrovat na libovolně dlouhou dobu, neboť se
jejich řešení nezhroutí. Řešení však již neodpovídá skutečnosti. Pro posouzení, jak rychle se
bude řešení vlivem počátečních podmínek odchylovat od skutečnosti, se provádí vhodně
zvolenými perturbacemi počátečních podmínek a zajišťuje se, jak rychle se výsledky
výpočtů s různými počátečními podmínkami vzájemně rozbíhají. Tomu se říká ansámblové
předpovědi.
Hodnocení numerických předpovědí i metod integrace modelů
Věnujme se nyní ještě problému, jak hodnotit numerické prognózy a přesnost
numerických metod. Hodnocení celkových výsledků numerických předpovědí není
jednoduché. Modely se skládají v podstatě ze dvou částí. Z dynamické části modelu a
parametrizací. Obě části jsou na sobě závislé a zejména pro správnou funkci parametrizací je
důležité, aby dynamická část modelu, bez které je nemůžeme použít, správně pracovala.
Je přirozené, že hodnocení výsledku modelů musí vždy vycházet ze shody předpovědi
ze skutečností. Pro srovnání výsledku se skutečností se ovšem používají statistické metody a
ty většinou srovnávají předpověděné a v daném čase skutečné pole meteorologického prvku.
Dříve, když se používaly jednoduché metody objektivní analýzy, které pracovaly nezávislé na
prognózách modelů, to bylo přirozené. V současné době se pro objektivní analýzu používá
výhradně asimilace dat, která spočívá v opravě předpověděných výsledků nově naměřenými
daty. Tato měření jsou však k dispozici na mnohem řidší a nepravidelné síti. Tím je výsledek
objektivní analýzy závislý na předpovědním cyklu modelu. Důsledkem použití asimilace dat
je, že v podstatě každý model má nejlepší výsledky vzhledem objektivní analýze vypočtené
vlastním asimilačním cyklem. Použijeme-li pro hodnocení modelu objektivní analýzu z jiného
modelu, budou výsledky hodnocení vždy horší, a to zejména v oblastech, kde je k dispozici
málo měření, tedy hlavně v oblastech oceánů. Proto, má-li být hodnocení výsledlů modelů
objektivní, musí se zakládat na srovnání předpověděných a přímo naměřených hodnot
v nepravidelné síti měření. Poznamenejme, že hodnoty předpovědi jsou k dispozici na
pravidelné a také dostatečně jemné síti, což umožňuje jejich snadnou a přesnou interpolaci do
bodů měření.
Možnosti simulace a předpovědi klimatu
Podívejme se nyní na problémy současné klimatologie. Dříve se klimatologie zabývala
sběrem klimatických dat a jejich zpracováním. Zabývala se proto popisem regionálního klima
v různých částech světa a také studiem změn klimatu v minulosti.
V současné době by však klimatologové rádi předpovídali nejenom změny klimatu do
budoucnosti v jeho přirozeném vývoji, ale i vliv lidské činnosti na změny klimatu. Jaké jsou
nyní možnosti k řešení tohoto problému?
Klimatické úlohy studované v současnosti bych rozdělil do dvou skupin.
Do první skupiny by patřila simulace regionálního, nebo místního klimatu na Zemi
v závislosti na celkovém klimatu a také na jeho případných změnách. Tyto simulace mají
časově rozměr desítek let. V tomto případě také můžeme předpokládat, že se globální stav
klima příliš drasticky nezmění. Úkolem simulace je pak výpočet rozložení klimatu v daném
435
regionu. To znamená výpočet průběhu fyzikálních parametrů, jako jsou teplota atmosféry,
povrchu Země oceánů, srážky, proudění atd. Kvalitu výsledků takových simulací můžeme
hodnotit, můžeme totiš simulovat klima z nedávné minulosti, jejichž klima v současnosti již
známe. Úlohy tohoto typu řeší klimatologie celkem do jisté míry úspěšně již určitou dobu. V
obecném případě předpokládáme, že známe změny globálních parametrů atmosféry a na
základě jejich vývoje předpovídáme, jaký vliv budou mít na místní klima. Tato úloha je dnes
označována, jako klimatické scénáře. Tedy například, co se stane v Čechách, když se
globální teplota zvýší, nebo sníží například o 5 stupňů Celsia. Což jsou dva různé a v podstatě
opačné scénáře.
Do druhé skupiny by měla patřit skutečná předpověď změn klima na Zemi.
Podívejme se nyní, co brání úspěšnému modelování změn klimatu na Zemi. Hlavním
problémem je, že neznáme přesně všechny fyzikální zákony, které k takové předpovědi
potřebujeme. Jsou to zákonitosti, kterými se řídí sluneční činnost, související s vyzařováním
v různých částech spektra, které se projevuje v cyklech slunečních skvrn. Přesně také
neznáme vliv změn pohybu Země kolem Slunce, jako je elipticita dráhy Země kolem Slunce a
precese směru zemské osy na množství energie přicházejícího k nám ze Slunce a zejména
také na geografické rozložení tohoto přítoku tepla na povrch Země. Také neumíme
předpovědět sopečnou činnost, která má na teplotu vliv emisemi sopečného prachu do
atmosféry.
Neznáme také všechny zpětné vazby při absorbování energie přicházející ze Slunce
Zemí a vyzařování této energie do vesmíru. Ty závisejí také na chemii atmosféry, množství
skleníkových plynů jako je vodní pára, kysličník uhličitý, metan a ozón.
Zdá se, že jednou z nejpravděpodobnějších hlavních příčin kolísání teploty je sluneční
činnost. O jejím vlivu se usuzuje ze sledování vývoje slunečních skvrn. Její vliv na klima také
do jisté míry potvrzuje nízká sluneční aktivita (Maurerovo minimum) v období malé doby
ledové na začátku druhé poloviny druhého tisíciletí.
Až lidstvo dokáže na základě metod předpovědi klimatu rekonstruovat průběh klimatu
v Evropě v průběhu posledního tisícíletí bez použití průběhu známých naměřených dat
v tomto tisíciletí, se kterými ji pak porovná, a zjistí shodu, pak bude teprve jasné, že
předpovědi klimatu již rozumíme a byl v tomto oboru učiněn základní krok.
Na závěr bych shrnul, proč je předpověď vývoje klimatu na Zemi v současné době
seriózním způsobem nerealizovatelná. Je to dáno tím, že v současné době ještě neznáme
dostatečně všechny k tomu potřebné fyzikální vlastnosti naší Země, její atmosféry i kosmu,
zejména činnost Slunce. Matematické modely bez hlubších fyzikálních znalostí tento problém
sami nevyřešit nemohou. Vyřešení problému předpovědi klimatu je tedy otázkou vzdálenější
budoucnosti.
Literatura
[1] Křížek M.: Můžeme věřit numerickým výpočtům? Pokroky matematiky, Fyziky a
astronomie, ročník 56 (2011) č. 4 s. 290-297.
[2] Olejnik O., A.: Razryvnyje rešenija nelinejnych differenciálnych urovnenij. Uspechi
matematičeskich nauk, tom XII, vyp. 3. maj 1957. s. 3-73.
436
Dodatky
Modifikace rovnic baroklinního modelu se stavovou rovnicí pro vlhký
vzduch
Starší meteorologické modely v hydrostatickém přiblížení používaly pro vztah mezi
polem teploty a geopotenciálu hydrostatickou rovnici se stavovou rovnicí pro suchý vzduch.
Stavová rovnice tedy měla známý tvar
nebo též p   RT
p  RT
kde plynová konstanta R byla použita pro suchý vzduch
Rd  287 J kg 1 K 1 .
Současné modely však používají stavovou rovnici pro vlhký vzduch. A to s plynovou
konstantou pro suchý vzduch a virtuální teplotou (na př. německé modely, model PERIDOT),
nebo proměnnou plynovou konstantou R, která závisí na vlhkosti vzduchu (modely
ARPEGE, ALADIN).
Stavová rovnice má pro libovolný plyn, tedy i pro vodní páru tvar
e  v Rv T
kde v je hustota vodní páry, e parciální tlak vodní páry, T absolutní teplota a
Rv  461 J kg 1 K 1 je plynová konstanta pro vodní páru.
Studujme nyní směs plynů (což dále aplikujeme pro suchý vzduch a vodní páru)
v určitém objemu V vlhkého vzduchu při teplotě T. Podle Daltonova zákona zaujímá každý
plyn celý objem a splňuje svoji vlastní stavovou rovnici. Celkový tlak směsi plynů je pak dán
součtem parciálních tlaků jednotlivých plynů. Nahradíme-li ve stavové rovnici hustotu 
poměrem M/V, kde M je hmota plynu v objemu V, můžeme psát stavové rovnice pro
jednotlivé plyny ve tvaru
p j V  M j R j T
kde p j je parciální tlak, M j je hmotnost a R j je plynová konstanta pro j-tý plyn.
Sečteme-li tyto rovnice pro n jednotlivých plynů pře index j máme
n
n
j 1
j 1
pV   p jV  T  M j R j
n
kde p   p j je celkový tlak směsi plynů. Dělíme-li obě strany předchozí rovnice celkovou
j 1
n
hmotností směsi plynů M   M j dostaneme vztah tvaru
j 1
p   RT
kde R plynová konstanta pro směs plynů je rovna
n M
j
R
Rj
j 1 M
  M / V je hustota směsi plynů. Použijeme-li předchozí vztah pro suchý vzduch a vodní
páru v daném objemu vzduchu platí vztah
437
R
Md
Mv
Rd 
R
Md  Mv
Md  Mv v
kde M d je hmotnost suchého vzduchu a M v je hmotnost vodní páry v daném objemu.
Dělíme-li čitatele a jmenovatele zlomků na pravé straně rovnice hodnotou M d a nahradíme-li
zlomky M v / M d hodnotou Q, což je směšovací poměr vodní páry a suchého vzduchu máme
R
 R

 
R  1
1
Q
Rd 
Rv  Rd 1  v Q
 Rd 1   v  1 Q  Rd 1  0.61  Q
1 Q
1 Q
Rd  1  Q

 
  Rd
kde Rv / Rd  1  461 / 287  1  0.6063  0.61 . Vynásobením posledního přibližného vztahu
Rd  0.61 2
Q Protože Q je
1 Q
kladné a mnohem menší než 1, můžeme člen s druhou mocninou Q zanedbat.
Pro vlhký vzduch se stavová rovnice obvykle píše s virtuální teplotou, kterou
definujeme vztahem
hodnotou 1+Q zjistíme, že v posledním vztahu je zanedbán člen
 R
 
Tv  T 1   v  1 Q  T 1  0.61  Q
 
  Rd
stavová rovnice má pak tvar
p   Rd Tv .
Ve starších modelech se používalo v první větě termodynamické specifické teplo při
konstantním tlaku rovněž pro suchý vzduch. V současných modelech se pro specifické teplo
vlhkého vzduchu používá přesnější vztah, odvozený obdobně jako pro stavovou rovnici.
Studujme izobarické oteplování no ochlazování 1 kg suchého vzduchu a Q kg vodní
páry, pak podle první věty termodynamiky máme
(1  Q)H  1  c pd  dT  Q  c pv  dT ( při p  const )
pro jednotku hmoty pak máme
 H
 c
 
c pd 
C 
1
Q
1  Q pv  dT  c pd 1   pv  1 Q dT
c pd dT 
c pv dT 
 c
1 Q
1 Q
1 Q 
c pd 
 
pd

kde jsme zanedbali obdobně jako výše člen s činitelem Q 2 . Protože specifické teplo pří
konstantním tlaku má je pro suchý vzduch rovno c pd  1004 J kg 1 K 1 a pro vodní páru
c pv  1810 J kg 1 K 1 ,
odtud
c pv
c pd
 1  0.802  0.8 .
Termodynamickou
větu
při
konstantním tlaku můžeme tedy psát ve tvaru
 H  c pQ  dT
kde specifické teplo vlhkého vzduchu při konstantním tlaku je rovno
c pQ  c pd 1  0.8  Q
Všimněme si nyní, kde se tato zobecnění projeví v modelu.
Stavová rovnice pro vlhký vzduch modifikuje zejména hydrostatickou rovnici, kterou
v p-systému napišme ve tvaru
438

1

 p

kde  je geopotenciál tlakových hladin.
Dosazením do předchozí rovnice  ze stavové rovnice
p   Rd Tv
můžeme hydrostatickou rovnici psát ve tvaru

R T

 d v
nebo
  Rd Tv
 p
p
 ln p
v  -systému má pak hydrostatická rovnice tvar

 ln  
 RTv
kde jsme plynovou konstantu pro suchý vzduch Rd označili písmenem R bez indexu d.
V rovnicích pro změnu hybnosti se v  -systému objeví virtuální teplota ve členech
horizontálního gradientu tlaku RTv ln ps  .
I když první věta termodynamická je psána pro absolutní teplotu (nikoliv virtuální
teplotu) a má tvar
dT 
cp

dt

je při obecnějším přístupu pro vlhký vzduch modifikována tím, že specifické teplo c p je
použito pro vlhký vzduch. Na pravé straně se pak objeví virtuální teplota ve všech členech
jako důsledek vyjádření hustoty  ze stavové rovnice. Virtuální teplota ve vyjádření
dp
odpovídá stejnému vyjádření členu vyjadřujícího
dt
konversi mechanické a celkové potenciální energie, neboť člen na prvé straně musí odpovídat
práci vykonané horizontálním gradientem tlaku.
zobecněné vertikální rychlosti  
439
Modelové atmosféry
Hodnoty meteorologických prvků – proměnných jsou definovány v daném časovém
okamžiku t pro každý bod prostoru, přesněji řečeno pro každý bod atmosféry Země. Poloha
bodů v prostoru je dána jejich kartézskými souřadnicemi x, y, z. Systém, který používá tyto
prostorové souřadnice, se v meteorologii nazývá z-systémem. V meteorologii se však často
používá místo výšky z nad hladinou moře (nebo obecněji výšky nad určitou plochou stejného
geopotenciálu) tlak p. Důležité však je, že vztah mezi z a p je vzájemně jednoznačný a
monotónní. Nyní si již můžeme definovat barotoropní atmosféru.
Modelovou atmosféru nazveme barotropní, jestliže hustota vzduchu je funkcí pouze
tlaku, to můžeme zdůraznit vztahem
(1)
    p
Tato vlastnost se ovšem týká vztahu ke všem třem prostorovým nezávisle proměnným.
Hustota   p  tedy není funkcí x, y. Hustota je takto vlastně definována v p-systému jako
veličina konstantní na souřadnicových p-plochách. V hydrodynamice je obvyklé popisovat
stav vektorem rychlosti V, tlakem p a hustotou  . V meteorologii je však obvyklejší hustotu
 nahradit ze stavové rovnice
p
(2)
RT

kde  je specifický objem, R plynová konstanta pro suchý vzduch a T absolutní teplota.
Proto přirozenou další otázkou je, jak je to v barotropní atmosféře s teplotou?
V barotropní atmosféře specifický objem, jakožto převrácená hodnota konstantní hustoty, je
na p-plochách rovněž konstantní. Protože pro barotropní atmosféru je na p-ploše konstantní
tlak p i specifický objem  , vyplývá ze stavové rovnice (2), že je konstantní i absolutní
teplota T. Ze stavové rovnice je tedy zřejmé, že barotoropní atmosféru můžeme
charakterizovat také tím, že teplota T je funkcí pouze tlaku p. Obě definice jsou tedy
ekvivalentní.
Výsledek můžeme shrnout následovně: v barotropní atmosféře jsou izobarické plochy
(plocha konstantního tlaku) současně plochami izopyknickými (konstantní hustoty),
izosterickými (konstantního měrného objemu) a izotermickými (konstantní teploty).
Je ovšem jasné, že tlak p je obecně funkcí všech tří prostorových proměnných x, y, z.
Proto v z-systému je i pro barotropní atmosféru hustota funkcí všech tří prostorových
proměnných, tuto funkci na rozdíl od funkce (1) označme ~ a definujeme ji vztahem
~( x, y, z)    px, y, z 
(3)
p  RT , kde  
1
,
neboli
Derivujeme-li tento vztah parciálně podle x a y máme
~  p

a
x p x

~  p

y p y
Protože funkce   p  je pouze funkcí p, její derivace, kterou označme B p  
(4)

je rovněž
p
funkcí pouze p. Funkce B p  se nazývá koeficientem barotropie. B p  můžeme vyjádřit jako
funkci termodynamických parametrů. Zapíšeme-li vztahy (4) pomocí symbolu gradientu, pak
dostaneme rovnici
440
~  B  p
(5)
Tato rovnice nám říká, že v barotropní atmosféře jsou gradient hustoty a gradient tlaku
úměrné, na vrstevnicových mapách veličin ~x, y  a px, y  to znamená, že čáry konstantního
~ jsou zároveň čarami konstantního p.
Pro homogenní atmosféru je  konstantní a tedy B  0 a ~  0 .
Pro izotermní atmosféru je teplota T konstantní, není tedy funkcí ani tlaku p. Ze
p

1

stavové rovnice  
derivováním podle p máme B 
.
RT
p RT
Pro teplotu T můžeme postupovat obdobně, jako jsme postupovali pro vyjádření
hustoty v z-systému. Teplota T je pro barotropní atmosféru funkcí pouze p. Označíme-li
obdobně teplotu v z-systému jakožto funkci prostorových proměnných
~
T ( x, y, z )  T  px, y, z 
(6)
derivováním dostaneme vztah obdobný vztahu (5)
~ T
(7)
T 
p
p
Všimněme si ještě jedné obecnější barotropní atmosféry, a to polytropní atmosféry.
Polytropní atmosféra je modelová atmosféra v hydrostatické rovnováze, kterou
charakterizuje lineární změna teploty s výškou. Vertikální gradient  je tedy konstantní a
průběh teploty s výškou je dán tedy vztahem
T  T0   z
(8)
Pro odvození dalších vztahů pro polytropní atmosféru použijeme hydrostatickou rovnici ve
tvaru
z
RT
(9)

 ln p
g
kde R je plynová konstanta pro suchý vzduch R=287 [Joule/kg.K].
Standardní atmosféru NASA-USA
Pro dokreslení uvedeme typické hodnoty  , T0 , p0 pro skutečnou atmosféru. Jako přiblížení
skutečné atmosféry zvolíme standardní atmosféru NASA-USA Tato referenční atmosféra je
definovaná následovně:
1) Atmosféra se skládá ze suchého vzduchu.
2) Přízemní tlak (na úrovni hladiny moře pro z=0) je p=1013.25 hPa.
3) Přízemní teplota je 150 Celsia, tedy T0  288.15 K.
4) Vertikální pokles teploty s výškou je 0.65 stupňů Celsia na 100 metrů do
výšky 10 769 m (výška tropopauzy standardní atmosféry).
5) Pro výšku z větší než 10 769 m je atmosféra izotermní (teplota
konstantní a rovna -55 stupňů Celsia tj. 218.15 K).
6) Tíhové zrychlení země je g=9.80665 m/sec2.
Hodnotu vertikálního gradientu označme  . Tento gradient je dán derivací
do výšky z  10 769m definuje hodnotou
441
dT
[K/m]
dz
pro NASA atmosféru je tedy   0.0065 [K/m]
Po dosazení teploty ze vztahu (8) do hydrostatické rovnice (9) máme
z
R
  T0   z 
 lg p
g
což přepíšeme do matematicky přehlednějšího tvaru
z
 B  z  A
 lg p
kde
T
A   0  44330.77
 
(10)
(11)
(12)
(13)

R
(14)
 0.1902286
g
kde číselné hodnoty jsou pro NASA standardní atmosféru.
Pro integraci vztahu (12) podle proměnné z napišme tuto derivaci, jako derivaci inversní
funkce
d ln p 1 1

(15)
dz
B zA
odtud integrací
B
z
z
d ln p
1 dz
0 dz dz  B 0 z  A
(16)
integrál na levé straně je integrál derivace, na pravé straně integrál z výrazu typu
G' x 
 Gx  dx , který se substitucí Gx  t , odkud G' xdx  dt se převede na integrál
dt
 lg t  C , kde C je integrační konstanta kterou můžeme napsat ve tvaru C  lg t 0 .
t
Můžeme tedy psát
p 1 zA
ln
 ln
(17)
p0 B
A

Dosadíme-li do vztahu (17) hodnoty z  z 0  0 a
p  p0 , vidíme, že vztah (17) se je
splněn identicky. Ze vztahu (17) dostáváme jednak vztah
  p B 
z ( p)  A1    
  p0  


Tento vztah nám určuje výšku z, jakožto funkci tlaku a jednak protože
(18)
z  A T0   z T


A
T0
T0
dostáváme tradiční vztah
1
g
p  T  B  T  R
     
p0  T0 
 T0 
(19)
442
Ze vztahu (19) vyplývá, že pro tlak p konstantní je také teplota T konstantní a polytropní
atmosféra je barotropní.
Abychom vypočetli interval tlaku, ve kterém vzorec (18) pro NASA standardní
atmosféru platí, musíme vypočítat tlak příslušející výšce z  10769m . Ze vztahu (18)
vypočteme p, máme

1  A  z 
p  exp  ln p0  ln 

B  A  

odkud vypočteme, že tak p odpovídající výšce z  10769m je p  234.66hPa .
(20)
Pro tlak menší než p  234.66hPa vypočteme výšku příslušnou tlaku p
jednoduše integrací hydrostatické rovnice (2), kde na pravé straně je konstanta řekněme
R
R
C  Tstr  218.15  6384.3
g
g
Proto pro p menší než p  234.66hPa máme
z( p)  10769  C ln(234.66 / p)
(21)
Zvláštním případem polytropní atmosféry je atmosféra adiabatická, jejíž gradient
teploty je sucho-adiabatický gradient teploty   0.00980 C / m , atmosféra izotermní a
atmosféra homogenní.
Baroklinní atmosféra je taková atmosféra, ve které hustota  je funkcí tlaku i
teploty, tedy
    p, T  . Podle stavové rovnice má tento vztah následující podobu
  p / RT . Baroklinita znamená, že v p-systému je teplota T funkcí nejenom tlaku p, ale i
horizontálních souřadnic x, y. Odtud také plyne, že i hustota  je v p-systému funkcí
nejenom p, ale i horizontálních souřadnic x, y.
443
Horizontální difuze
V modelech se často provádí horizontální difuze druhého i čtvrtého řádu operátory
 a  4 . Difuze je aplikována obvykle na konservativní veličiny: potenciální teplotu  ,
specifickou vlhkost Q a pro složky toku hmoty ps u , ps v . Operátory uvažujeme v
2
křivočarých

souřadnicích,
2
2

x 2 y 2
souřadnicích
a tedy   m
2
2
konformní
mapy,
proto
 , kde m je koeficient zkreslení konformní mapy.
Členy difuze jsou časově aproximovány explicitně.
Difuze k2  pro:
2
složky rychlosti větru (difuze hybnosti)
u
 k2
t
v
 k2
t
m
mps u
ps
m
mps v 
ps
teplotu (difuze potenciální teploty   (  . ps )
provádíme ve

T ). Protože difuzi
 vrstvách, kde tato veličina je konstantní je
T


 k 2 ps m 2  ps T
t

specifická vlhkost

Q
 k2 m2 Q
t
Difuze  k 4  pro:
4
složky rychlosti větru
u
  k4
t
v
  k4
t
teplota




m
 m2 mps u
ps
m
 m2 mps v 
ps

T


  k 4 ps m 2  m 2  p s T
t
specifická vlhkost
označme

Q
  k4 m2  m2 Q
t

časové schéma pro členy tření a difuze je Eulerovo, tvaru


444
f
t  t
 f
2 t
t  t
  f
t  t
Podmínky stability jsou pro uvedené časové schéma následující:
Pro difuzi k2  aby schéma bylo nejen stabilní, ale i monotonní je třeba, aby
2
k2
t
1

2
16
x
.
Obdobně pro difuzi  je třeba, aby
4
k4
t
1

.
x 4 128
Koeficienty difuze volíme následovně:
k 2  M min 1  x ,[ m2 / s ]
kde M min je minimální hodnota koeficientu zkreslení m konformní mapy na
předpovědní oblasti.


3
k4  0 .2 M min 1  x ,[ m4 / s ] .
445
Rotace geografických souřadnic
Při použití geografických souřadnic je třeba někdy přejít od standardního systému
geografických souřadnic, jehož osa prochází severním a jižním pólem země přejít k jinému
obecnému systému geografických souřadnic, jehož osa prochází středem referenční sféry
aproximující zem a jejíž pól není shodný se severním pólem, ale je to bod o souřadnicích
 p ,  p (zeměpisná šířka a zeměpisná délka pólu rotovaného systému geografických
souřadnic) které jsou zadány v přirozeném systému geografických souřadnic.
K systémem geografických souřadnic nechť je přiřazen systém pravoúhlých
souřadnic x, y, z tak, že vektory souřadných os i, j, k tohoto systému, vycházejí ze středu
referenční sféry, jejich směr je dán geografickými souřadnicemi   0,   0 ,    ,   0
2
a vektor k směřuje k severnímu pólu a tedy pro tento vektor je    . Geografické a
2
kartézské souřadnice jsou pak spojeny vztahy
x  r cos  cos 
(1)
y  r sin  cos 
z  r sin 
kde
0r 
0    2
(2)

 
2
2
Pro studium otáčení můžeme bez ztráty obecnosti použít body jednotkové sféry, a proto
položme r=1. Celkové otočení systému souřadnic do nové polohy provedeme ve dvou
krocích. V prvním kroku otočíme soustavu souřadnic, tedy jednotkové vektory i, j, k otočíme
kolem osy otáčení, dané vektorem k, o úhel  p ( který je měřený proti směru chodu
hodinových ručiček). Dostaneme tak novou soustavu určenou jednotkovými vektory i´,j´,k´.
Tato nová soustava je dána jako lineární kombinace původních vektorů i, j, k tvaru
i   i cos  p  j sin  p
j   i (  sin  p )  j cos  p
(3)
k  k
Tuto lineární kombinaci můžeme napsat ve tvaru násobení vektoru (i, j, k) maticí
transformace A zprava. Tedy
 cos  p  sin  p 0


(4)
i , j , k   i , j , k  sin  p cos  p 0


0
1
 0
446
Ve druhém kroku otočíme soustavu i´,j´,k´ kolem osy i´ o úhel  p , který je pólovou
vzdáleností nového rotovaného pólu vzhledem k severnímu pólu a je tedy  p     p .
2
Dostaneme tak výslednou soustavu i´´, j´´, k´´ , která je dána transformačním vztahem
1
0

(i , j , k )  (i , j , k ) 0 cos p
 0 sin 

p
0 

 sin  p 
cos p 
(5)
Celkovou transformaci pak dostaneme dosazením vztahu (4) do vztahu (5). Celková
transformace je pak dána vztahem
 cos  p

i , j , k   i , j , k  sin  p
 0

 sin  p cos p
cos  p cos p
sin  p
 sin  p sin  p 

 cos  p sin  p   i , j , k T

cos p

(6)
kde matice T v předchozím vztahu je součinem matic ze vztahů (3) a (4).
Otočení nám představuje lineární transformaci Eukleidova prostoru. Tato
transformace je navíc ortogonální a matice ve vztahu (6), kterou označme T je ortogonální
maticí , tj. platí TT´= T´T=E , kde T´ znamená transponovanou matici a E matici
jednotkovou. O ortogonalitě matice T se snadno můžeme přesvědčit vynásobením matice T
maticí T´. Z toho vyplývá, že platí T 1  T  . Dále z lineární algebry je známo, že pro platí-li
pro souřadnicové soustavy vztah (6), pak souřadnice x, y, z vzhledem k původní bázi jsou
vyjádřeny pomocí nových souřadnic x´´,y´´,z´´ vyjádřeny vztahem
 x
 x 
 
 
(7)
 y  T  y 
 
 
 z
 z  
odkud z ortogonality matice T vyplývá
cos  p
 x 
 x 
 
  
 y   T  y    sin  p cos p
 
  
 z  
 z    cos  p sin  p
sin  p
cos  p cos p
 cos  p sin  p
0   x
 
sin  p   y
 
cos p   z 
(8)
Dosadíme-li do vztahu (8) za x, z, y, ze vztahu (1) pro r=1, tedy
x   cos  cos  
x  cos cos 
y   cos  sin  
y  cos sin 
z   sin  
z  sin 
provedeme vynásobení maticí T´ dostaneme

cos  cos    cos cos  p cos   sin  p sin 

(9)

cos  sin    sin  p sin   cos p cos cos  p sin   sin  p cos 

sin    cos p sin   sin  p cos cos  p sin   sin  p cos 
po úpravě máme


(10)
447

cos  cos    cos cos    p



cos  sin    cos p cos sin    p  sin  p sin 


(11)
sin     sin  p cos sin    p  cos p sin 
Použijeme-li nyní vztahy
sin  p  sin(
2
cos  p  cos(
  p )  cos  p
2
  p )  sin  p
můžeme vztahy (11) přepsat do tvaru

cos  cos    cos cos    p



cos  sin    sin  p cos sin    p  cos p sin 


(12)
(13)
sin     cos p cos sin    p  sin  p sin 
Vztahy (13) můžeme použít již přímo k výpočtu goniometrických funkcí nových
dvoučárkovaných rotovaných geografických souřadnic  ,   bodů určených souřadnicemi
 ,  v přirozeném geografickém systému. Po výpočtu sin   vypočteme cos tohoto úhlu ze
vztahu
cos   1  sin 2  
(14)
a pak ze vztahů (13) sin  ,cos   , je však třeba ošetřit výpočet goniometrických funkcí
nových souřadnic pro body ležící v okolí pólu rotovaných souřadnic, neboť souřadnice  
není pro pól definovaná a při výpočtu v těsném okolí pólu by mohlo dojíti k dělení nulou.
Proto když cos   10 7 hodnoty sin  ,cos  
nepočítáme a bod považujeme za pól rotovaných souřadnic.
448
Výpočet vah vlivu řídícího modelu
V tomto dodatku uvádím původní používané váhy pro spojení řídícího a lokálního
modelu, jak je původně navrhl P. Kållberg.
V modelu na omezené oblasti vypočteme nové hodnoty v zóně při bočních okrajích
výpočetní oblasti po provedení integračního kroku následovně. Obdržíme je jako lineární
kombinaci hodnot předpověděných řídícím modelem pracujícím na větší oblasti s řidší sítí
(nejčastěji globálním nebo polokoulovém modelem) interpolovaných na hustší síť lokálního
předpovědního modelu a hodnot předpověděných lokálním předpověděným modelem
pracujícím na této hustší síti. Nová hodnota prognostické proměnné je pak dána vztahem
 1
u 1  (1   )(u 1  2tDu )  u~ 1
~  1 je hodnota v tomtéž
je výsledná hodnota předpověděná lokálním modelem a u
kde u
uzlovém bodě interpolovaná z hodnot předpověděných řídícím modelem viz práci [1]. Váhy
definujeme následovně: označíme-li hraniční bod indexem 0 a uzlové body vzdálené I x
od hranice indexem I, pak váhy  , které v našem modelu označujeme H(I) jsou definovány
vztahem
H ( I )  1  TANH ( AF  I )
kde I probíhá od 0 do MW. Váhy s rostoucím I klesají od jedné k nule nejdříve rychleji a pak
stále pomaleji. Hodnota AF vyjadřuje celkovou strmost poklesu. Hodnotu H(MW)
považujeme za tak malou, že další hodnoty H(I) pro I větší než MW klademe rovny nule.
Proto průběh vah můžeme určit následovně: zadáme hodnotu nejmenší váhy H(MW) kterou
označme EPS a položme například EPS=0.002. Pak zadáme-li počet nenulovách vah jako
MW, můžeme z těchto hodnot vypočítat hodnotu AF určující strmost poklesu vah.
Vezmeme-li v úvahu, že k funkci TANH neboli v obvyklém matematickém zápisu tgh
definované vztahem
e x  e x
y  tgh( x )  x
e  e x
je inversní funkce
x  0 .5 ln
1 y
1 y
Položíme-li nyní
TANH ( AF  MW )  1  EPS
dostaneme odtud
 2

AF  MW  0 .5 ln
 1
 EPS 
[1] P. Kållberg: Test of a Lateral Boundary Relaxation Scheme in a Barotropic Model.
ECMWF Internal Report 3. February 77.
449
Vztah mezi sférickými a kartézskými souřadnicemi
Nechť x, y, z, jsou kartézské souřadnice bodu P a 𝜆, 𝜑, 𝑟 jsou polární souřadnice bodu
P, což je znázorněno na obrázku. Naším úkolem nyní bude si vyjádřit kartézské souřadnice
bodu P x, y, z, pomocí sférických souřadnic 𝜆, 𝜑, 𝑟.
Průmět průvodiče bodu P do roviny x, y OP‘ má délku 𝑂𝑃‘ = 𝑟 cos 𝜑 = 𝑟 sin 𝜃
Promítneme-li úsečku OP‘ na osy x a y a r na osu z, dostaneme
𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 cos 𝜆, 𝑦 = 𝑟 cos 𝜑 sin 𝜆 ,
𝑧 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
Inverzní transformaci dostaneme následovně:
Umocníme-li souřadnice x, y, z na druhou a sečteme, dostaneme 𝑟 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2
Z obrázku vidíme, že platí tan 𝜆 = 𝑦/𝑥, sin 𝜑 = 𝑧/𝑟, 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 .