Heteroskedasticita VŠE, 1999

Vysoká škola ekonomická Praha
Fakulta informatiky a statistiky
Katedra statistiky a pravděpodobnosti
Hlavní specializace : Statisticko-pojistné inženýrství
Název diplomové práce:
Heteroskedasticita
školní rok : 1998-99
Diplomovou práci zpracoval : Petr SOUKAL
Vedoucí diplomové práce: Prof. Ing. Petr HEBÁK, CSc.
-1-
Prohlašuji, že předkládanou diplomovou práci jsem zpracoval samostatně a
všechny prameny a literaturu jsem uvedl v seznamu.
V Praze dne 22. dubna 1999
..........................
podpis
-2-
Děkuji vedoucímu diplomové práce panu prof. Ing. Petru Hebákovi, CSc. za
cenné připomínky.
-3-
OBSAH
strana
1 Úvod.........................................................................................
1
2 Klasický lineární regresní model............................................ 5
2.1 Metoda nejmenších čtverců.............................................................
2.2 Odhad rozptylu náhodné složky......................................................
2.2 Ověřování významnosti lineárního regresního modelu..................
2.3.1 t-testy.......................................................................................
2.3.2 Celkový F-test..........................................................................
8
10
11
11
13
3 Zobecněný lineární model.......................................................
15
3.1 Zobecněný lineární regresní model.................................................
3.2 MZNČ..............................................................................................
3.3 Odhad matice W...............................................................................
3.4 Metoda maximální věrohodnosti.....................................................
15
16
18
20
4 Heteroskedasticita...................................................................
22
4.1 Co je heteroskedasticita a jaké jsou její příčiny.............................
4.2 Vážená metoda nejmenších čtverců................................................
22
26
5 Odhadování parametrů lineárního modelu............................ 28
5.1 Matice W, popř. Ω je známa...........................................................
2
5.2 Rozptyly σi nejsou známy..............................................................
2
5.2.1 Odhad σi bez apriorních předpokladů.....................................
5.2.2 Konstantní rozptyly v rámci podskupiny pozorování................
5.2.3 Směr. odchylky σi jsou funkcí vysvětlujících proměnných.......
2
5.2.4 Rozptyly σi jsou lin. funkcí vysvětlujících proměnných............
2
5.2.5 Rozptyly σi jsou funkcí střední hodnoty...................................
5.2.6 Multiplikativní heteroskedasticita.............................................
29
30
30
32
33
36
38
39
6 Testování heteroskedasticity...................................................
43
6.1 Konstruktivní testy..........................................................................
6.1.1 Směr. odch. σi jsou lin. funkcí vysvětlujících proměnných.......
2
6.1.2 Rozptyly σi jsou lin. funkcí vysvětlujících proměnných............
6.1.3 Multiplikativní heteroskedasticita.............................................
6.1.4 Glejserův test..........................................................................
6.1.5 Parkův test...............................................................................
6.2 Nekonstruktivní testy.......................................................................
39
39
40
40
40
41
42
-4-
6.2.1 Spearmanův test korelace pořadí..............................................
6.2.2 Goldfeld-Quandtův parametrický test.......................................
6.2.3 Goldfeld-Quandtův neparametrický test...................................
6.2.4 Breusch-Paganův test...............................................................
6.2.5 Bartlettův test...........................................................................
6.2.6 BAMSET..................................................................................
6.2.7 F test užívající BLUS rezidua...................................................
6.2.8 F test užívající rekurzivní rezidua.............................................
6.3 Závěr k testování..............................................................................
42
42
43
44
45
46
47
47
52
7 Experimenty.............................................................................
53
7.1 Experiment I.....................................................................................
7.2 Experiment II...................................................................................
7.3 Experiment III..................................................................................
7.4 Experiment IV..................................................................................
7.5 Experiment V...................................................................................
7.6 Experiment VI..................................................................................
7.7 Experiment VII................................................................................
7.8 Experiment VIII...............................................................................
7.9 Experiment IX..................................................................................
7.10 Experiment X.................................................................................
7.11 Výsledky experimentů....................................................................
56
57
59
60
62
63
65
66
68
69
71
8 Závěr........................................................................................
72
Literatura....................................................................................
74
Příloha.........................................................................................
75
1 Úvod
-5-
Obsahem mé diplomové práce je heteroskedasticita v lineárním regresním modelu, problémy s ní spojené, možnosti její redukce a testování. Na následujících řádcích se pokusím
tento pojem jednoduše nastínit. Standardní metody jednoduché a vícenásobné regrese předpokládají mimo jiné i předpoklad homoskedasticity (tj. podmínky, že všechna podmíněná rozdělení závisle proměnné Y mají stejnou směrodatnou odchylku (rozptyl)). Podrobně se těmito
otázkami budu zabývat v kapitole 2. Pokud se testuje významnost parametrů regresní funkce,
tak právě toto testování velmi výrazně závisí na splnění předpokladu homoskedasticity. Jinými slovy předpokladem homoskedasticity se rozumí, že rozptyl každé náhodné složky εi kolem její nulové střední hodnoty nezávisí na hodnotách X. Rozptyl každého εi zůstává pořád
stejný bez ohledu na velké či malé hodnoty vysvětlující proměnné X. σ 2 není funkcí Xj, neboli σ i2 je různé od f(xij). Příklad homoskedasticity v grafickém provedení je uveden na obrázku 1.
Pokud σ 2 není konstantní, ale jeho hodnoty záleží na hodnotách X je možno psát σ i2 =
f(xij). Na následujících třech obrázcích jsou zobrazeny tři rozdílné formy heteroskedasticity
(nepřítomnosti homoskedasticity). Rozložení pozorování na obrázcích záleží na formě heteroskedasticity (vztahu σ i2 a xij). Na obrázku 2 na následující straně je zachycen případ monotonně vzrůstajícího rozptylu εi, jak vzrůstají hodnoty X, vzrůstá i rozptyl ε. Je to nejběžnější
forma heteroskedasticity, která se uvažuje v regresních modelech.
-6-
Obrázek 3 ukazuje model „klesající“ heteroskedasticity. Jak vzrůstají hodnoty X odchylky
pozorování od regresní přímky klesají. Což znamená, že rozptyl náhodné složky se mění
opačným směrem než vysvětlující proměnná (-é).
Konečně na obrázku 4 na následující straně je zobrazena komplikovanější forma heteroskedasticity. Nejdříve rozptyl náhodné složky klesá s růstem hodnot X, ale po určité hodnotě x*,
rozptyl ε vzrůstá s X.
-7-
Z předcházejícího textu by mělo být jasné, že model heteroskedasticity záleží na znaméncích a parametrech vztahu σ i2 = f(xij). Pokud ovšem εi nelze pozorovat (v realitě vždy),
pak skutečný model heteroskedasticity není znám. V praxi se někdy například provádí před2
2
poklad, že heteroskedasticita je ve formě σ i2 = k xij , kde k je parametr.
V realitě v mnoha konkrétních aplikacích se dá usuzovat na nedodržení předpokladu
konstantního rozptylu náhodné složky. Jeden z důvodů je, že mnoho proměnných nezařazených do regresní funkce má většinou tendenci měnit se tím samým směrem jako proměnná X, čímž tedy způsobuje růst rozptylu pozorování kolem regresní přímky. Pro pochopení uvádím tři následující příklady.
Příklad 1
Předpokládejme, že máme vzorek dat rozpočtů domácností, ze kterých chceme měřit úsporovou funkci domácností:
Si = β1 + β2Yi + εi,
Si ....úspory i-té domácnosti
Yi ....příjem i-té domácnosti.
V tomto případě předpoklad konstantního rozptylu náhodných složek není vhodný, protože domácnosti s vyššími příjmy budou vykazovat mnohem vyšší variabilitu v jejich úsporovém chování, než vykazují domácnosti s
nižšími příjmy. Ekonomická teorie ukazuje, že domácnosti s vyššími příjmy mají tendenci si udržet jistý životní
standard a pokud jejich příjem poklesne, raději zredukují svoje úspory než spotřební výdaje. Naopak domácnosti s nižšími příjmy spoří s určitým záměrem (např. za účelem běžných měsíčních splátek nebo za účelem splácení dluhů) a tak jsou jejich úsporové modely přesnější. Z toho je patrné, že u domácností s vyššími příjmy bude εi
vysoké, zatímco u domácností s nízkými příjmy bude εi malé. Předpoklad konstantního rozptylu ε tedy v případě odhadování úsporové funkce z průřezových dat rodinných rozpočtů není dodržen.
-8-
Příklad 2
Uvažujme vzorek firem určitého odvětví, který bude použitý za účelem odhadnutí Cobb-Douglasovy produkční
funkce:
y = β 1 L β 2 K β 3 ε,
L ... množství práce firmy
K ... množství kapitálu firmy.
ε v tomto případě zahrnuje faktory jako podnikavost, technologické rozdíly strojního zařízení, rozdíly
v organizačních dovednostech a další faktory. V ε zahrnuté faktory se příliš významně nemění u malých firem.
Naopak u velkých firem se dá očekávat, že se budou měnit podstatně více. Proto ε bude „heteroskedastické“.
Příklad 3
Předpokládejme, že ekonomickou jednotkou je firma a že máme zájem odhadnout nákladovou funkci v daném
odvětví. Ze vzorku firem použijeme údaje o jejich nákladech a outputu a budeme uvažovat model například ve
tvaru
yi = β1 + β2xi + β3xi2 + εi
yi ... průměrné náklady i-té firmy
xi ... output i-té firmy.
Tato funkce je vhodná, pokud očekáváme průměrnou nákladovou funkci ve tvaru U. I v tomto případě je důvod
se domnívat, že pokud output nabývá vyšších hodnot, tak jednotlivé hodnoty pozorování průměrných nákladů
budou mít tendenci mnohem více kolísat kolem střední hodnoty, než když je output firmy malý. Jinými slovy
hodnoty náhodné složky εi budou pravděpodobně malé pro nízké hodnoty outputu a velké pro velké hodnoty
outputu.
Závěrem se dá říci, že v praxi jsou někdy a priori důvody věřit v porušení předpokladu homoskedasticity. Proto je poměrně důležité se zabývat důsledky heteroskedasticity
na odhady parametrů a jejich směrodatných chyb. Používané testy významnosti regresních
parametrů mohou vlivem heteroskedasticity dospět k chybným závěrům.
Poznámka
V následujícím textu se budu snažit dodržovat následující značení:
X ... matice n pozorování k vysvětlujících proměnných (včetně X1 jednotková proměnná)
Xj ... j-tá vysvětlující proměnná, pokud X tak je to vysvětlující proměnná X
xij ... i-tá hodnota j-té vysvětlující proměnné
xi´ ... i-té pozorování všech proměnných Xj
Y ... vysvětlovaná proměnná
yi ... i-té pozorování vysvětlované proměnné Y
y ... vektor pozorování proměnné Y
ε ... náhodná složka (proměnná)
εi ... i-tá hodnota náhodné složky
ε ... vektor náhodných složek.
-9-
2 Klasický lineární model
Klasický lineární model vyjadřuje explicitně lineární závislost jedné vysvětlované
závislé proměnné na řadě vysvětlujících nezávisle proměnných a na aditivní náhodné složce.
Jedná se tedy o lineární stochastický model, který se může vyjádřit např. ve tvaru
Y = ΣXjβj + ε,
(2.1)
kde Y je vysvětlovaná proměnná
Xj ... j-tá vysvětlující proměnná
ε ... náhodná či stochastická složka
βj ... j-tý parametr.
Rovnici (2.1) lze také psát jako
Y = xβ + ε,
(2.2)
x je řádkový vektor k vysvětlujících proměnných, včetně jednotkového vektoru členu,
β je sloupcový vektor k parametrů, jehož první složka představuje absolutní člen
rovnice (2.2).
Odhadnuté parametry tohoto modelu vyjadřují kvantitativně vliv změny jednotlivé
vysvětlující proměnné na hodnotu vysvětlované proměnné za předpokladu, že ostatní vysvětlující proměnné se nemění. k bude značit počet parametrů modelu. Označí-li se bj jako
odhadnutá hodnota j-tého parametru, pak
bj =
∂ Y
∂ Xj
, j = 1, 2, ..., k,
(2.3)
je odhadem intenzity separovaného působení j-té vysvětlující proměnné na Y.
Protože odhad parametrů modelu je možný pouze na základě statistických dat, tj. pozorování
jednotlivých proměnných, která jsou zpravidla představována konečným výběrem n hodnot
vysvětlované proměnné a všech vysvětlujících proměnných, je možné základní lineární model
(2.2) zapsat ve tvaru
y = Xβ + ε
(2.4)
nebo jako
- 10 -
⎡ y1 ⎤
⎢y ⎥
⎢ 2⎥=
⎢ ... ⎥
⎢ ⎥
⎣ yn ⎦
⎡ x11
⎢x
⎢ 21
⎢ ...
⎢
⎣ x n1
x12
x 22
...
xn2
... x1k ⎤
... x 2 k ⎥⎥
β+
... ... ⎥
⎥
... x nk ⎦
⎡ε 1 ⎤
⎢ε ⎥
⎢ 2⎥
⎢ ... ⎥
⎢ ⎥
⎣ε n ⎦
(2.5)
kde y je vektor napozorovaných hodnot vysvětlované závisle proměnné
X ... matice pozorování vysvětlujících nezávisle proměnných,
ε ... vektor nepozorovatelné náhodné složky modelu v každém z n pozorování,
n ... rozsah výběru.
Z toho vyplývá, že každý z n řádků matice X je množinou hodnot všech vysvětlujících proměnných v jednom pozorování, zatímco každý z k sloupců této matice představuje množinu
všech napozorovaných hodnot jedné vysvětlující proměnné, přičemž první vysvětlující proměnná nabývá ve všech pozorováních stejné hodnoty a to jedna. Rozdíl mezi počtem pozorování n a počtem parametrů k se nazývá počet stupňů volnosti, přičemž musí platit, že n je
větší než k.
Pro klasický lineární regresní model mají být splněny následující požadavky:
1) E(εi) = 0 pro každé i = 1, 2, ..., n, takže vektorově E(ε) = 0n.
Vektor ε je náhodný s nulovou střední hodnotou. Neuvažované vlivy systematickým způsobem nezkreslují regresní odhady. Z toho vyplývá, že vektor y je rovněž náhodný a je určen
regresní funkcí Xβ a náhodným vektorem ε.
2) D(εi) = σ 2 pro každé i = 1, 2, ..., n ( σ 2 je neznámá kladná konstanta),
C(εi,εi´) = 0 pro každé i ≠ i´ = 1, 2, ..., n. Spojením obou podmínek se dostane C(ε) = σ 2 In.
První část podmínky je tzv. homoskedasticita. Tato část se týká rozptylů náhodné složky a
vyjadřuje, že variabilita ε1, ε2, ...,εn nezávisí na hodnotách vysvětlujících proměnných. Z toho
vyplývá, že i podmíněné rozptyly Y jsou nezávislé na hodnotách vysvětlujících proměnných
a rovnají se stochastickému parametru tj. neznámé kladné konstantě σ 2 . Prvky na diagonále
matice C(ε) představují konečné a konstantní rozptyly náhodné složky.
Druhá část podmínky se týká kovariancí různých dvou dvojic náhodných veličin εi a εi´ pro
každé i ≠ i´ = 1, 2, ..., n. Vyjadřuje podmínku nekorelovanosti různých dvojic pozorování vysvětlované proměnné Y. Nediagonální prvky C(ε) jsou nulové.
- 11 -
3) X je nestochastická matice.
Vysvětlující proměnné jsou nenáhodné. Jsou pod „kontrolou“ experimentátora, nezávisí tedy
na výsledku provedených pokusů. Při opakovaných výběrech by pozorování vysvětlujících
proměnných nabývala stejných hodnot, jediným zdrojem variability Y v různých výběrech je
tedy pouze měnlivost vektoru náhodných složek. Matice X je tedy nenáhodná.
4) Matice X má hodnost h(X) = k, kde n ≥ k.
Ke splnění této podmínky je třeba, aby mezi vysvětlujícími proměnnými nebyla funkční (lineární) závislost. Matice X nesmí obsahovat perfektně lineárně závislé sloupce, aby soustava
normálních rovnic (2.5) byla jednoznačně řešitelná. Splnění této podmínky znamená, že X´X
je symetrická nesingulární matice řádu k, takže existuje k ní jednoznačná inverzní (X´X)-1,
která hraje klíčovou roli při odhadu parametrů modelu metodou nejmenších čtverců. Zároveň
je třeba, aby počet pozorování nebyl menší než počet neznámých parametrů. V praxi je užitečné, aby počet pozorování n byl výrazně vyšší než počet neznámých parametrů k.
K určení odhadových funkcí parametrů lineárního regresního modelu (2.4) metodou
nejmenších čtverců není třeba předpokládat žádné konkrétní rozdělení pravděpodobnosti náhodných složek a tedy ani reziduí. Avšak aby bylo možné získat intervalové odhady parametrů
a odvodit výběrová rozdělení odhadových funkcí, popř. testovat i určité hypotézy týkající se
vlastností lineárního regresního modelu, je vhodné k již uvedeným předpokladům přidat ještě
požadavek následující.
5) εi mají normální rozdělení pro každé i = 1, 2, ..., n. Vektor ε má n-rozměrné normální
rozdělení s nulovým vektorem středních hodnot a s kovarianční maticí σ 2 In. Důsledkem
podmínky normálního rozdělení náhodného vektoru ε je i normální rozdělení náhodného vektoru y. Rovněž podmíněná rozdělení Y odpovídající různým kombinacím hodnot vysvětlujících proměnných jsou normální a náhodný vektor y má n-rozměrné normální rozdělení s vektorem středních hodnot Xβ a kovarianční maticí σ 2 In.
6) Parametry βj, j = 1, 2, ..., k, mohou nabývat libovolných hodnot. Na vektor β nejsou kla-
deny žádná omezení či požadavky. Tj. nemáme o hodnotách parametrů žádné předběžné podmínky.
- 12 -
V praxi je téměř nemyslitelné bez ověření platnosti výše uvedených předpokladů hovořit o vlastnostech regresních odhadů. Nelze očekávat, že tyto předpoklady platí automaticky. V následující kapitole 3 budu výše uvedené podmínky oslabovat.
2.1 Metoda nejmenších čtverců
Jsou-li splněny první čtyři předpoklady, lze na základě výběru n pozorování vysvětlované proměnné a všech k vysvětlujících proměnných odhadnout vektor parametrů lineárního regresního modelu metodou nejmenších čtverců (MNČ). Je-li v souladu s prvním předpokladem střední hodnota vektoru ε rovna nule, pak
E(y) = Xβ + E(ε) = Xβ.
(2.6)
Takže střední hodnota vysvětlované proměnné je rovna pouze systematické složce modelu.
Odhad regresních koeficientů
Označí-li se b odhadová funkce vektoru parametrů β, získaná metodou nejmenších čtverců
pak lze psát
(2.7)
y = Xb + e
popř.
y$ = Xb
(2.8)
kde e je vektor reziduí odpovídající odhadu ε$ ,
y$ ... vektor odhadnutých hodnot vysvětlované proměnné.
Na základě definice odhadované funkce, lze odhad vektoru parametrů β získat minimalizací
součtu čtverců reziduí e´e. Dospěje se k tzv. normálním rovnicím nejmenších čtverců z nichž
se vyjádří odhadová funkce vektoru β, založená na kritériu nejmenších čtverců ve tvaru
b = (X´X) -1 X´y.
(2.9)
Protože matice druhých parciálních derivací
∂ 2 e ′e
je pozitivně definitní, vektor b zaručuje
∂ b ′∂ b
opravdu dosažení minima (2.9).
- 13 -
Vlastnosti :
1) Protože (X´X)-1 X´ je matice konstant, prvky vektoru b jsou lineárními funkcemi vektoru
y. Nebo-li odhadová funkce (2.9) je lineární transformací y. Tudíž b je lineární odhadová
funkce. Vzhledem k tomu, že y závisí na náhodné složce, je b stochastického charakteru.
2) Střední hodnota odhadové funkce b, získané opakovaným výběrem pozorování vektoru
y je β, nebo-li odhadová funkce MNČ (2.9) je nestranná.
3) Odhadová funkce (2.9) je nejlepší lineární nestranná odhadová funkce vektoru β.
Aby se mohly posoudit rozptyly a kovariance odhadové funkce MNČ je nutné stanovit kovarianční matici odhadové funkce b tj.
C(b) = E[(b - β )(b - β )´] = (X´X)-1X´E[(uu´)X(X´X)-1] = σ 2 In (X´X)-1X´X(X´X)-1
= σ 2 (X´X) -1.
(2.10)
Označí-li se libovolná lineární odhadová funkce vektoru β, různá od odhadové funkce
MNČ např. jako b*, lze ukázat, že C(b*) je větší nebo roven C(b),
rozdíl kovariančních matic C(b*) - C(b) je tedy pozitivně semidefinitní matice. Nebo-li,
že
2
2
E(bj* - βj) ≥ E(bj - βj) , j = 1, 2, ..., k,
(2.11)
kde bj jsou prvky odhadové funkce b. Důkazy výše uvedených tvrzení viz. například
Hu-
šek, Ekonometrie, 1976.
Jinými slovy, odhadová funkce b, získaná MNČ má nejmenší výběrový rozptyl ze
všech lineárních nestranných odhadových funkcí vektoru β. Tím by se zároveň dokázala i
tzv. Gaussova-Markovova věta, která říká, že při splnění předpokladů, které se týkají matice
X pro použití MNČ, je odhadová funkce b získaná MNČ ve tvaru (2.9) nejlepší lineární ne-
stranná odhadová funkce, takže jakákoli odhadová funkce vektoru β, která je také lineární
formou vektoru y, a zároveň nestranná, má kovarianční matici složenou z kovarianční matice
b a navíc z pozitivně semidefinitní matice.
- 14 -
2.2 Odhad rozptylu náhodné složky
K výpočtu kovarianční matice odhadnutých parametrů C(b) je potřeba znát i odhad
rozptylu náhodné složky, neboť skutečnou hodnotu σ2 nelze určit vzhledem k tomu, že hodnoty náhodných složek nelze získat pozorováním. Označí-li se odhad σ2 jako σ$ 2 , pak lze
ukázat, že při odvození odhadové funkce rozptylu náhodné složky je možno vyjít z rozptylu
vektoru reziduí e, spočteného na základě MNČ. Vyjádří-li se střední hodnota součtu čtverců
reziduí, dostane se
E(e´e) = σ 2 (n - k),
(2.12)
rozptyl náhodných složek lze tudíž psát jako
σ 2 = E(e´e)/(n - k),
takže statistika σ$ 2 ve tvaru
σ$ 2 = (e´e)/(n - k)
(2.13)
je nestrannou odhadovou funkcí rozptylu náhodné složky σ 2 , získanou pomocí MNČ, protože platí, že E( σ$ 2 ) = σ 2 . e´e je reziduální součet čtverců a k je počet parametrů regresní
funkce. Nyní je možné přistoupit i k numerickému určení kovarianční matice odhadnutých
-1
parametrů C(b). Protože inverzní momentová matice (X´X) je nestochastická a σ$ 2 je ne-
strannou odhadovou funkcí rozptylu σ 2 , je nestrannou odhadovou funkcí kovarianční matice
odhadů parametrů, určených MNČ statistika S(b), daná výrazem
-1
S(b) = σ$ 2 (X´X) .
(2.14)
Odmocniny diagonálních prvků této matice jsou odhadnuté směrodatné chyby regresního lineárního modelu, které se používají nejen jako míry přesnosti bodové odhadové funkce MNČ
b, ale i při intervalovém odhadu a při testování statistické významnosti bodových odhadů
parametrů.
- 15 -
2.3 Ověřování významnosti lineárního regresního modelu
K určení odhadových funkcí parametrů lineárního regresního modelu (2.4) MNČ nebylo zase úplně nutné předpokládat nějaké konkrétní rozdělení pravděpodobnosti náhodných
složek a tedy ani reziduí. Aby bylo možné dostat intervalové odhady parametrů a bylo možné
odvodit výběrová rozdělení odhadových funkcí, popř. testovat i určité hypotézy týkající se
vlastností lineárního regresního modelu, je nutné k prvním čtyřem předpokladům přidat ještě
požadavek, aby n-rozměrný vektor náhodných složek měl normální rozdělení s nulovou střed2
ní hodnotou a kovarianční maticí E(εε´) = σ In,
takže lze psát
ε ~ N(0,σ In ),
2
(2.15)
přičemž funkce vektoru ε má tvar
f(ε) = (2πσ ) exp[-ε´ε /(2σ )].
2 -n/2
2
(2.16)
Při předpokladu normality je odhadová funkce MNČ pro parametry modelu identická s odhadovou funkcí metody maximální věrohodnosti (MMV).
2.3.1 t-testy
Protože bodová odhadová funkce parametrů b poskytuje výběrové odhady b1, b2, ..., bk
na základě jednoho výběru pozorování ze základního souboru, musí se testovat jejich statistická významnost. Z předpokladu normality náhodných složek plyne, že také stochastická odhadová funkce b má normální rozdělení s vektorem středních hodnot rovných β a s kovarianční maticí σ (X´X) . Pokud by byl konstantní rozptyl náhodných složek znám, dalo by se
2
-1
použít předpokladu
b ~ N[β, σ (X´X)-1],
2
(2.17)
jako východiska k testování hypotéz o skutečných hodnotách jednotlivých parametrů. Ve skutečnosti však σ není znám a proto se vychází při testování významnosti parametrů z jeho ne2
stranného odhadu MNČ. Pokud je nestranný odhad σ znám, určí se i nestranné odhady roz2
ptylů odhadnutých parametrů b na základě (2.14). Odmocniny odhadů rozptylů σ$ b2 = σ$ 2 x jj na
- 16 -
diagonále odhadu pro kovarianční matice S(b) jsou odhady směrodatných chyb bodových odhadů βj, takže pro ně platí σ$ b j = σ$ x jj , j = 1, 2, ..., k a xjj je diagonální prvek (X´X)-1.
Nediagonální prvky (2.14) představují odhadnuté kovariance dvojic bodových odhadů, neboli cov(bjbj´) = σ$ 2 x jj′ ,
Podíl
bj − β j
σb
j ≠ j´.
je standardizovaná normální proměnná s nulovým průměrem a jednotkovým
j
rozptylem, takže poměr
tj =
bj − β j
σ$ b
(2.18)
j
má pro každé j Studentovo rozdělení t s (n - k) stupni volnosti. Testovací statistika (2.18) je
vhodná především pro malé výběry (n < 30). Pohybuje-li se počet stupňů volnosti kolem 30,
pak rozdíly mezi kritickými hodnotami rozdělení t a normovaného normálního rozdělení jsou
již malé.
Testovací statistika (2.18) umožňuje testovat hypotézy, týkající se skutečné hodnoty libovolného parametru βj.
1) Pokud je potřeba testovat nulovou hypotézu, že skutečná hodnota parametru βj = mj pro-
ti alternativní hypotéze βj ≠ mj, použije se jako testovací statistika veličina
tj =
b j − mj
.
σ$ b
(2.19)
j
Platí-li při použití dvoustranného testu |tj| > tα/2, nebo-li absolutní hodnota vypočteného tj
je větší než tabelovaná kritická hodnota tα/2 pro (n - k) stupňů volnosti, pak se na α% hladině významnosti nulová hypotéza odmítne ve prospěch alternativní hypotézy. V opačném
případě kdy tα/2 ≥ |tj|, se nulová hypotéza na dané hladině významnosti akceptuje.
2) Velmi často se testuje nulová hypotéza, že libovolný parametr βj = 0, což znamená, že
příslušná vysvětlující proměnná Xj nemá žádný vliv na vysvětlovanou proměnnou Y.
- 17 -
V takovém případě se statistika tj zjednoduší, neboť vzhledem k (2.19) se pro j-tý parametr
dostane
tj =
bj
.
σ$ b
(2.20)
j
Testovací statistika (2.20) se nazývá t poměr a někdy se používá jako míra přesnosti bodových odhadů parametrů místo odhadnutých směrodatných chyb. Pomocí tohoto poměru se
posuzuje statistická významnost j-tého parametru tak, že nulová hypotéza βj = 0 se akceptuje když tα/2 ≥ |tj| pro hladinu významnosti α a (n - k) stupňů volnosti, nebo-li s pravděpodobností 100(1-α) procent se dá usuzovat, že bodový odhad bj není statisticky významný. Platí-li naopak, že |tj| > tα/2, nulová hypotéza βj = 0 se odmítne a konstatuje se, že
vysvětlující proměnná Xj je z hlediska svého vlivu na vysvětlovanou proměnnou Y významnou proměnnou na hladině významnosti α a při (n - k) stupních volnosti.
2.3.2 Celkový F-test
Obdobným způsobem, jakým se testuje významnost jednotlivého parametru, nebo se
určuje jeho interval spolehlivosti na základě rozdělení t, lze postupovat v případě, kdy se testuje významnost nebo kdy je nutné stanovit interval spolehlivosti více parametrů najednou.
Místo z rozdělení t se však vychází z rozdělení F, jehož testovací statistika je podílem dvou
2
nezávislých rozdělení χ s počtem stupňů volnosti (k - 1), popř. (n - k). Takže podíl
F=
( b − β ) ′ X ′X ( b − β ) ( n − k )
( y − Xb) ′( y − Xb) ( k − 1)
(2.21)
má rozdělení F s počtem stupňů volnosti (k - 1) a (n - k). Tuto statistiku lze použít platí-li,
že Y má nulový průměr, k získání simultánního intervalu spolehlivosti pro všechny složky
vektoru b současně i k testování významnosti odhadnutého modelu jako celku. V případě
pouze dvou parametrů je interval spolehlivosti dán elipsou, pro k parametrů je pak výsledkem
k-rozměrný elipsoid spolehlivosti. Celkový F-test neumožňuje posoudit, zda všechny proměnné jsou v regresní funkci užitečné, ani zda bylo potřeba zařadit do rovnice další, či jiné
proměnné. V aplikacích je tedy třeba dát pozor na přecenění výsledku zamítnutí
Ho : β1 = β2 = ... = βk.
- 18 -
Na základě t, resp. F testů se nemusí vždy dospět k jednoznačnému závěru. Často se
při ověřování statistické významnosti stává, že F-test je signifikantní, ale některé nebo všechny parametry nikoliv, nebo naopak F-test je nevýznamný a většina nebo všechny parametry
významné jsou. V takových situacích je těžké rozhodnout, zda se přisoudí větší váha F-testu,
nebo směrodatným chybám odhadnutých parametrů modelu.
- 19 -
3 Zobecněný model
3.1 Zobecněný lineární regresní model
V aplikacích lineárního regresního modelu nebývají některé požadavky týkající se
vlastností vektoru náhodných složek ε splněny. Proto je nutné předpoklady o charakteru vektoru ε do jisté míry uvolnit a použít při kvantifikaci modelu odpovídajícím způsobem modifikované metody odhadu parametrů. Obecně se postupuje tak, že v prvním kroku, který má diagnostický charakter se na základě vhodných testovacích charakteristik ověřuje, který z klasických požadavků (pokud jde o náhodnou složku lineárního modelu) a v jaké míře není splněn. Následuje úprava základní struktury modelu, použitých statistických dat nebo odhadových metod.
Zobecněným lineárním modelem
se rozumí klasický lineární regresní model
y = Xβ + ε se změněnou podmínkou týkající se kovarianční matice ε, a tedy i y. Předpoklad
E(ε) = 0 tedy zůstává v platnosti. Rozdíl mezi klasickým a zobecněným modelem spočívá
v tom, že místo kovarianční matice C(ε) = C(y) = σ2In se zavádí obecnější kovarianční matice
Ω = σ2W s rozptyly
D(εi) = D(yi) = σ i2 = σ2wii, i = 1, 2, ..., n,
a s kovariancemi
C(εi,εi´) = C(yi,yi´) = σ ii′2 = σ2wii´ pro každou dvojici i ≠ i´ = 1, 2, ..., n.
V klasickém lineárním modelu se předpokládá, že jednotlivé rozptyly jsou stejné
a rovnají se nějaké neznámé konstantě σ2. Proti tomu se v zobecněném modelu připouští,
že tyto rozptyly nemusí být nutně všechny stejné a jsou to (většinou neznámé) konstanty σ i2 .
Pro obecné řešení a snažší přehlednost je výhodné je zapsat ve formě σ i2 = σ2wii´, kde wii´
jsou kladné konstanty (váhy). Podobně se v klasickém modelu předpokládá, že dvojice náhodných složek εi a εi´ (popř. yi a yí´) jsou nezávislé, zatímco zobecněný model připouští
možnost závislosti jednotlivých pozorování.
Z věcného hlediska jde o dva samostatné problémy heteroskedasticity a autokorelace. Pro obecné řešení je možné zkoumat oba případy společně, já se budu zabývat pouze
heteroskedasticitou a kovarianční matici ε (popř. y) zapsat maticově ve tvaru
- 20 -
⎡ σ 12 σ 12
⎢
σ
σ 22
C(ε) = C(y) = Ω = ⎢ 21
⎢ ...
...
⎢
⎢⎣σ n1 σ n2
⎡ w112
... σ 1n ⎤
⎥
⎢
... σ 2 n ⎥
w
= σ 2 ⎢ 21
⎢ ...
... ... ⎥
⎥
⎢
... σ 2n ⎥⎦
⎢⎣ wn1
w12
2
w22
...
wn2
... w1n ⎤
⎥
... w2 n ⎥
= σ 2 W.
⎥
... ...
2 ⎥
... wnn
⎥⎦
Z vlastností rozptylu vyplývá, že na diagonále matice jsou kladná čísla (wii ≥ 0 pro každé i),
že matice W je symetrická ( wii´ = wi´i pro každou dvojici i ≠ i´) a navíc je i pozitivně semidefinitní (vyplývá z nerovnice E(εi εi´) ≤ [E(εi )E(εi´ ) ] řádu n).
2
2 1/2
-1
Rovněž se předpokládá, že matice W existuje. Symetrická matice W se normuje tak,
že
st W = n, nebo-li průměr diagonálních prvků kovarianční matice C(ε) je σ 2 , což je rozptyl
náhodných složek εi. Je-li W = In, model se redukuje na standardní lineární regresní vztah.
3.2 MZNČ
Podstatou této metody, někdy také nazývané Aitkenův odhadový postup je vhodná
transformace zobecněného lineárního modelu, která zajistí splnění podmínky C(ε) = σ 2 In
a umožní následný odhad takto modifikovaného modelu klasickou MNČ.
Pokud se předpokládá, že ostatní předpoklady klasického lineárního modelu (2.4) zůstávají
v platnosti, existují různé možnosti určení nejlepšího lineárního nezkresleného odhadu vektoru β. Tato metoda musí vycházet ze znalosti matice W. Jednou z možností je nalézt matici T
takovou, aby platilo
T´T=W
(3.1)
-1
takže TWT´ = In.
Pokud se rovnice y = Xβ + ε vynásobí zleva nesingulární čtvercovou maticí T řádu n získá se
Ty = TXβ + Tε
(3.2)
neboli
y* = X*β + ε*
(3.3)
což lze interpretovat jako lineární regresní model s vektorem n vysvětlovaných proměnných
y* = Ty, ve kterém X* = TX je matice k nových vysvětlujících proměnných a ε* = Tε je
- 21 -
vektor náhodných složek. Výhodou této úpravy je okolnost, že pro náhodnou složku ε* platí
klasická podmínka C(ε*) = σ 2 In. Nebo-li E(ε*ε*´) = E(Tεε´T´) = σ 2 TWT´ = σ 2 In. Neboť
matice transformace T je volena tak, že (3.2) vyhovuje předpokladům kladeným na klasický
lineární regresní model a odhadová funkce vektoru β založená na MNČ má optimální vlastnosti (uvedené v předcházející části klasický lineární regresní model).
Použije-li se MNČ k odhadu parametrů transformovaného modelu (3.2), získá se
b = (X´*X*)-1X*´y* = (X´T´TX)-1X´T´Ty = (X´W -1X) -1X´W -1y
(3.4)
což je tzv. Aitkehova odhadová funkce, odvozená metodou zobecněných nejmenších čtverců
(MZNČ), pro vektor β zobecněného lineárního modelu (3.2). Odhadová funkce MZNČ vektoru β, definovaná výrazem (3.4), je opět nejlepší lineární nestrannou odhadovou funkcí. Jde o
odhadovou funkci MNČ, aplikovanou na standardní lineární regresní model (3.2) popř. (3.3)
obsahující transformované proměnné.
Je-li vektor ε rozdělen normálně, má normální rozdělení i vektor ε*, takže lze při statistickém
ověřování významnosti transformovaného modelu (3.2) nebo (3.3) použít např. testy uvedené
v předcházejících podkapitolách 2.3.
Použije-li se k odhadu vektoru β MNČ i v případě, že W není rovno In, pak odhadová
funkce MNČ vektoru β si sice zachová vlastnosti nestrannosti, avšak její kovariační matice
bude větší než při odhadu β pomocí MZNČ. Tzn., že odhadová funkce MNČ, aplikovaná
přímo na zobecněný lineární model, kde E(εε´) = σ 2 W, přestává být nejlepší lineární nestrannou odhadovou funkcí vektoru β, neboť nesplňuje požadavek minimálního rozptylu.
Kovarianční matice odhadové funkce MZNČ (3.4) je dána výrazem
-1
C(b) = σ 2 (X*´X*) = σ 2 (X´W -1X) .
-1
(3.5)
Nevychýlený odhad σ 2 se získá obdobně jako v KLM.
E(e´W e ) = σ 2 (n - k)
-1
takže nevychýlený odhad σ 2 je
σ$ 2 = (e´W e)/(n - k).
-1
(3.6)
Zobecněný rozptyl (3.6) je nezkresleným odhadem stochastického parametru σ 2 .
- 22 -
Odhadovou funkcí kovarianční matice C(b) je tudíž statistika S(b) ve tvaru
-1
-1
S(b) = σ$ 2 (X´W X) .
(3.7)
Pokud by se nerespektovala skutečnost, že podmínka E(εε´) = σ 2 In není splněna bude odhad
σ 2 na základě σ$ 2 dokonce zkreslený. Intervaly spolehlivosti a testy hypotéz pak nebudou
mít velkou cenu. Pokud se respektuje okolnost, že E(εε´) = σ 2 W, a bude se vycházet ze skutečnosti, že matice W je známa, pak pomocí (3.4) se vypočte odhadová funkce MZNČ, jakož
i směrodatné chyby, takže je možné určit i hodnoty obvyklých testovacích statistik, včetně
intervalů spolehlivosti jednotlivých parametrů βj.
Praktické řešení problému je ovšem výrazně složitější než řešení teoretické. Vzniká
celá řada otázek, jako např.: Jak se identifikuje domněnka o stejných rozptylech a (nebo) nulových kovariancích? Kdy použít MZNČ místo MNČ ? Známe matici W? Jakým způsobem se
odhadne? Pokud se nahradí W jejím odhadem, zůstane zobecněný odhad kvalitní?
Ve většině úloh je matice W neznámá a konstruuje se „ex post“, tj. teprve po odhadu
(2.4) MNČ na základě spočtených reziduí, přičemž způsoby transformace (2.4) na (3.2) se liší
v případě heteroskedasticity a autokorelace.
3.3 Odhad matice W v zobecněném lineárním modelu
V praktických situacích je většinou nutné slevit z předpokladu znalosti matice Ω,
popř. W. A musí se hledat vhodný odhad matice W a následně se tento odhad použije k odhadu β.
Výše uvedený odhad „odhadu“ se vyjadřuje jako
$
β$ = (X´ W$ -1X)-1X´ W$ -1y.
(3.8)
Odhad n rozptylů na základě n pozorování nepřichází většinou bez určitých omezení, či dodatečných předpokladů v úvahu. Jednotlivými typy heteroskedasticity a následnými odhady diagonálních prvků matice Ω se zabývám v následujících kapitolách.
Určení konečných vlastností odhadu (3.8) je obecně obtížný problém mimo jiné protože
$
β$ = (X´ W$ -1X)-1X´ W$ -1y = β + (X´ W$ -1X)-1X´ W$ -1ε.
- 23 -
$
Úsudky o β jsou založené na asymptotických vlastnostech β$ a pro některé specifické funkce W(θ), kde θ je nějaký vektor parametrů či parametr na jehož určení závisí i od-
$
hady W. Existují dva obecné výsledky, které patří ke konečným vlastnostem odhadu β$ .
Pokud rozdělení ε je symetrické kolem 0 a W$ je sudá funkce reziduí e tj. ( W$ (e) = W$ (-e))
$
$
potom je β$ nevychýlený odhad β (pokud existuje E( β$ ) ).
Pro druhý výsledek platí
σ$$ 2 = e$ ´ W$ -1 e$ /(n - k)
kde
$
e$ = y - X β$
a nechť θ$ je odhad θ (neznámého parametru, či vektoru parametrů W) je získán pomocí reziduí z MNČ. Potom např. Breusch, A Simple Test for Heteroscedasticity and Random Coeffici-
$
ent Variation, 1980 dokázal, že rozdělení ( β$ - β)/σ, σ$$ 2 /σ2 a e$ /σ nezávisí na β a σ2. Tento
fakt má význam při plánování simulačních experimentů.
Vlastnosti EGLS v konečných výběrech nejsou obecně odvoditelné. Je pouze možné
spoléhat se na asymptotické vlastnosti a pro konečné výběry na výsledky simulačních experimentů. Tyto experimenty jsou, ale pouze konkrétními specifickými modely a je tedy „nebezpečné“ provádět obecná zevšeobecnění. Nicméně se ukazuje, že odhady EGLS budou častěji
„lepší“ než odhady MNČ, alespoň pro větší rozsahy výběrů. Je jasné, že to neplatí vždy. Například pokud by platilo, že β$ = b budou mít oba odhady minimální rozptyly a tedy b má
$
menší rozptyl než β$ . Asymptotické výsledky jsou obecnější. Pokud se předpokládají dodatečné podmínky je možné odvodit odhadové funkce pro Ω, stejně jako odhady MZNČ a
EGLS pro β, takové aby byly konzistentní.
Dostatečné podmínky, aby odhady MZNČ a odhady (EGLS) byly konzistentní a měli
stejné asymptotické rozdělení jsou :
lim n (X´ Ω -1X) = Q,
-1
(3.9)
kde Q je konečná a nesingulární matice;
- 24 -
-1
p lim n X´( Ω$ -1- Ω -1)X = 0
a
-1/2
p lim n
(3.10)
X´( Ω$ -1- Ω -1 )ε = 0
(3.11)
$
n( β$ − β$) konverguje podle pravděpodobnosti k nule,
Pokud jsou tyto podmínky dodrženy,
obě odhadové funkce budou asymptoticky normální se střední hodnotou β a kovarianční maticí n σ2Q-1. Pokud navíc platí
-1
p lim n e´( Ω$ -1 - Ω -1)e = 0
-1
(3.12)
potom oba odhady
$
$
σ$$ 2 = [(y - X β$ )´ Ω$ -1(y - X β$ )]/(n - k)
a
σ$ 2 = [(y - X β$ )´ Ω$ -1(y - X β$ )]/(n - k)
jsou konzistentní odhady σ2. Tyto podmínky, jestliže jsou splněny, znamenají, že pokud se
podaří nalézt matici T$ takovou, že platí T$ ´ T$ = Ω$ -1, mohou být obvyklé procedury aplikované na transformovaný model T$ y = T$ Xβ + T$ ε asymptoticky spolehlivé.
Podmínky (3.9) - (3.12) jsou obecné podmínky, které mohou být ještě konkrétnější, pokud se
vezmou v úvahu nějaké další předpoklady o Ω.
3.4 Metoda Maximální věrohodnosti
Za předpokladu, že v modelu y = Xβ + ε má náhodný vektor ε normální rozdělení
s nulovým vektorem středních hodnot a s kovarianční maticí σ2W(θ), kde W(θ) vyjadřuje,
že matice W závisí na h-členném vektoru parametrů θ. Po vynechání nepotřebných proměnných má logaritmus věrohodnostní funkce tvar
logL = (-n/2)logσ2 - (1/2)log⏐W⏐- (1/2σ2)(y - Xβ)´W -1(y - Xβ).
(3.13)
Maximalizace (3.13) vzhledem k β a σ2 vede k
~
β = (X´W(θ)-1X)-1X´W(θ)-1y
~
(3.14)
~
σ~ 2 = (y - X β )´W(θ)-1(y - X β )/n.
(3.15)
- 25 -
Obvyklý postup je takový, že se nejdříve maximalizuje (3.13) vzhledem k θ získaný θ$ se
použije v W( θ$ ) = W$ . Díky vlastnostem metody maximální věrohodnosti jsou výsledné odhady pro β a σ2 asymptoticky vydatné. Většinou je ale třeba užít pro řešení některou z metod
umožňující řešení soustavy nelineárních rovnic.
4 Heteroskedasticita
- 26 -
4.1 Co je heteroskedasticita a jaké jsou její příčiny
Podmínka klasického lineárního regresního modelu v sobě zahrnuje především požadavek konečného a konstantního rozptylu náhodných složek, a tudíž i reziduí modelu, který se
označuje jako homoskedasticita. V opačném případě se jedná o heteroskedasticitu. S tímto
modelem je možné se setkat především při odhadu parametrů z průřezových dat, kdy dochází
k velkým změnám v hodnotách vysvětlujících proměnných. Mnohem méně se heteroskedasticita objevuje při odhadu modelu z časových řad. Tři příklady měnícího se rozptylu náhodných složek, a tedy i rozptylu vysvětlované proměnné jsem uvedl v první kapitole, jednalo se
o úsporovou funkci domácností (s rostoucími příjmy domácností roste variabilita jejich
úspor), Cobb-Douglasovu produkční funkci (rozptyl objemu produkce se zpravidla přímo
úměrně mění s počtem zkoumaných firem nebo jejich velikostí) a odvětvovou nákladovou
funkci. Někdy je z ekonomické praxe a priori nezbytné předpokládat porušení podmínky homoskedasticity. V dalším textu budu všude předpokládat existenci pouze samotné heteroskedasticity bez existence autokorelace.
Příčiny heteroskedasticity jsou především
1) Jak jsem již uvedl mikro či makro ekonomická data nabývají značně rozdílných hodnot
v jednom náhodném výběru pozorování, takže rozptyl vysvětlované proměnné, a tím i reziduí,
je často funkcí některé vysvětlující proměnné.
2) Chybná specifikace modelu, spočívající ve vynechání některé podstatné vysvětlující
proměnné. Takto vynechaná proměnná je pak zahrnuta v náhodné složce a pokud má podobný
průběh jako vysvětlovaná proměnná, tj. vyšší hodnota vysvětlované proměnné je důsledkem
vyšší hodnoty vysvětlující proměnné, způsobuje růst variability vysvětlované proměnné, kterou vysvětlující proměnné zahrnuté do modelu nepostihují.
3) Při výskytu chyb měření dochází k jejich kumulaci s rostoucí vysvětlovanou proměnnou
a tím se zvětšuje její rozptyl i rozptyl reziduí.
- 27 -
4) Heteroskedasticita rovněž přirozeně vzniká v modelech s náhodnými parametry (Hildre-
th a Houck, Some Estimators for Linear Model with Random Coefficients, 1968).
V tomto
případě se uvažuje
k
k
k
j =1
j =1
j =1
yi = ∑ β ij xij = ∑ ( β j + vij ) xij = ∑ β j xij + ε i
kde εi =
k
∑v
iji
(4.1)
xiji , E(vij) = 0, E(vijvij´) = 0 pro j ´≠ j nebo i ≠ i´, a E(vij2) = αj.
j =1
To implikuje, že E(ei) = 0 , E(eiei ´) = 0 pro i ≠ i ´ a σi2 = E(ei2) =
k
∑α
j
xij2 .
j =1
Tedy každý parametr, βij se považuje za náhodnou veličinu se střední hodnotou βj a odhad
vektoru středních hodnot β´= (β1, β2, ..., βk) je možno uskutečnit MZNČ. MZNČ, ale vyžaduje odhad αj, tento odhad se potom použije k odhadu odhadové funkce β MZNČ.
5) Použijí-li se k odhadu parametrů modelu nikoliv původní pozorování, nýbrž například
skupinové průměry, spočtené z tříděných údajů.
Poslední příčinu zdokumentuji na příkladě.
Příklad 4
Nechť yij je sklizeň určité plodiny z i-tého hektaru j-té farmy, xij1 a xij2 představují množství vložené práce a
množství vloženého kapitálu na i-tý hektar j-té farmy, i = 1, 2, ..., Nj, j = 1, 2, ..., n, kde Nj je počet hektarů (s
n
nějakou plodinou) u j-té farmy a N =
∑N
j
. Pokud by byla tato data dostupná, může se předpokládat napří-
j =1
klad model:
yij = β0 + β1xij1 + β2xij2 + εij,
(4.2)
kde platí E(εε´) = σ2In, ε´ = (ε1´, ε2´, ...,εn´), εj´ = (ε1j, ε2j, ..., εNjJ).
Většinou jsou, ale k dispozici data která představují „jen“ průměrné hodnoty z jednotlivých n farem. Zajímá
nás vlastně regresní funkce
y j = β 0 + β 1 x j1 + β 2 x j2 + ε j ,
1
kde y j =
Nj
(4.3)
Nj
∑y
ij
a podobně i další průměry x j1 ,x j2 .
i =1
- 28 -
V tomto případě platí E( ε j ) = 0, a
2
2
σ2
1 ⎡⎛ Nj ⎞ ⎤ N j σ
E (ε ) = 2 E ⎢⎜ ∑ ε ij ⎟ ⎥ =
=
.
Nj
N j ⎢⎝ i =1 ⎠ ⎥
N 2j
⎣
⎦
2
j
(4.4)
Ačkoliv εij jsou nekorelované a mají stejný rozptyl σ2 pro každé i = 1, 2, ..., Nj, j = 1, 2, ..., n, jsou agregovaná data heteroskedastická s nestejnými rozptyly
σ2
Nj
-1
farmy) je velmi jednoduché matici W určit jako W
Agregací hektarů se data stala heteroskedastickými.
. Pokud se znají váhy Nj (celkový počet hektarů u j-té
-1
= diag (N1, N2, ..., Nn) a použít ji k odhadu β MZNČ.
Předpokládejme, že náhodné složky εi nemají konstantní rozptyly, ale jsou nezávislé.
Kovarianční matice náhodných složek má pak tvar
⎡σ 12
⎢
0
C(ε) = ⎢
⎢ ...
⎢
⎢⎣ 0
0
σ 22
...
0
0 0⎤
⎥
... 0 ⎥
... ... ⎥
⎥
... σ 2n ⎥⎦
Ω.
=
Zapíše-li se každý rozptyl ve formě σi2 = σ2wi, je možné matici Ω zapsat jako
⎡ w1
⎢
2⎢ 0
Ω=σ
⎢ ...
⎢
⎣0
0
w2
...
0
0 0⎤
... 0 ⎥⎥
... ... ⎥
⎥
... wn ⎦
σ2W.
=
n
Výhodné je zavést podmínku st(W) = ∑ wi = n . Pro obecné řešení odhadu vektoru β
i =1
v modelu y = Xβ + ε je lhostejné, zda se pracuje s maticí Ω nebo s maticí W. Konstanta σ2
nic nemění na tom, že nejlepším lineárním nezkresleným odhadem β je zobecněný odhad
β$ = (X´Ω -1X)-1X´Ω -1y= (X´W -1X)-1X´W -1y
(4.5)
s kovarianční maticí σ2(X´Ω X)-1.
-1
σ2 odhadujeme pomocí σ$ 2 = e´Ω -1e/(n - k), což je jeho nevychýlený odhad
Pro odhad β není podstatné, zda se pracuje přímo s rozptyly σ i2 nebo s maticí vah wi.
- 29 -
-1
Pokud by se za předpokladu Ω ≠ In, β odhadovala pomocí b = (X´X) X´y místo (4.5), tak β$
zůstává stále nevychýlenou odhadovou funkcí β, ale odhad již není vydatný, protože nemá
minimální rozptyl. Protože její kovarianční matice je nyní
C(b) = E[(b - β)(b - β)´] = E[(X´X) X´εε´X(X´X) ]= σ2 (X´X) (X´Ω X)(X´X) ,
-1
-1
-1
-1
-1
obvyklý vzorec pro kovarianční matici není vhodný a rovněž v předchozí kapitolách bylo
ukázáno, že odhadová funkce pro σ2 je vychýlená.
Heteroskedasticita způsobuje, že odhady parametrů získané klasickou MNČ, ztrácejí
některé optimální vlastnosti. Lze dokázat, že i při nedodržení požadavku konečného a konstantního rozptylu poskytuje MNČ nestranné a konzistentní bodové odhady regresních parametrů, které však ztrácejí vydatnost i asymptotickou vydatnost. Odhady rozptylů a směrodatných chyb odhadnutých regresních parametrů nelze získat pomocí vzorců, odvozených pro
případ homoskedasticity, takže běžné testy statistické významnosti, ani intervalový odhad
nejsou použitelné. Při aplikaci obvyklých odhadových funkcí pro směrodatné chyby odhadů,
bez ohledu na měnící se rozptyl náhodných složek, se dospěje k vychýleným odhadům směrodatných chyb, takže intervalový odhad je podhodnocený nebo nadhodnocený a výsledky
testů jsou také nereálné.
- 30 -
4.2 Vážená metoda nejmenších čtverců
Předtím než začnu popisovat jednotlivé heteroskedastické struktury, pokusím se nastínit použití MNČ a MZNČ za obecného předpokladu, že Ω = diag ( σ 12 , σ 22 , ..., σ 2n ).
V této souvislosti se MZNČ někdy také nazývá vážená metoda nejmenších čtverců. K důvodu tohoto názvu uvádím příklad.
Příklad 5
i-té pozorování rovnice y = Xβ + ε lze zapsat jako
yi = xi´β + εi ,
(4.6)
a odhadová funkce získaná MZNČ je tedy dána
(
β$ = X ′Ω −1 X
)
−1
⎛ n
⎞
X ′Ω y = ⎜ ∑ σ −i 2 x i x i′ ⎟
⎝ i =1
⎠
−1
−1
⎛ n
⎞
σ x i yi = ⎜ ∑ x i* x i*′ ⎟
∑
⎝ i =1
⎠
i =1
n
−2
i
−1
n
∑x
i
* yi*
i =1
= (X*´X*)-1X*´y*
(4.7)
kde xi* = xi/σi, yi* = yi/σi, X* = TX, y* = Ty, T = diag ( σ 1 , σ 2 , ...,
−1
−1
-1
σ −1
n ) a platí T´T = Ω .
Nebo-li MZNČ je MNČ uplatněná na transformovaný model Ty = TXβ + Tε, jehož i-té pozorování je
yi /σi = xi´β /σi + εi/σi.
(4.8)
Každé z těchto pozorování je váženo převrácenou hodnotou směrodatné odchylky odpovídající náhodné složky
n
a odhadová funkce MZNČ vlastně minimalizuje
εi
∑σ
i =1
, součet čtverců vážených reziduí. Spolehlivější pozo-
i
rování (tj. ty s relativně nízkou σ i ) jsou váženy mnohem více a hrají větší roli v procesu odhadování než ty
pozorování, která jsou méně spolehlivá.
Pokud bych se vrátil k příkladu, kde se používala zprůměrovaná data (příklad 4), tak
pozorování z velkých farem by byla vážena více než pozorování z malých farem. Pokud není
σi2 znám, případně závisí na neznámých parametrech v odhadové funkci pro β získané pomocí MZNČ. Je možné nahradit σi2 jejich odhady σ$ i2 , pak se ovšem jedná o odhad odhadové
funkce. O metodách odhadu σi2 se zmíním v dalších částech své diplomové práce.
Poznámka
Pokud by se použila MNČ v případě, že Ω ≠ σ2In odhadová funkce b by nebyla vydatná a
odhadová funkce jejího rozptylu by byla dokonce vychýlená. Všechny odhady vychýlení rozptylu budou záviset pouze na matici X a na formě heteroskedasticity, takže je nutné přihlížet
- 31 -
k jednotlivým příkladům. Například pokud by se uvažoval model yi = βxi + εi, E(εi2) = σi2,
rozdíl ve vydatnosti je dán
C(b) - C( β$ ) =
∑x σ
(∑ x )
2
i
2
i
2 2
i
−
1
2
∑ ( xi / σ i )
.
(4.9)
Pokud je σi2 = σ2 tento rozdíl je roven 0, pokud σi2 = σ2xi2 pak rozdíl je
(σi2/(∑xi2)2)(∑xi4 - (∑xi2)2/n), což indikuje ostatně jak by se dalo očekávat, že čím větší je rozptyl xi2, tím větší je ztráta vydatnosti. Vychýlení odhadové funkce rozptylu b v modelu yi =
βxi + εi , E(εi2) = σi2 je tedy dáno
E[ σ$ 2 (X´X)-1] - C(b) =
−n
(n − 1)( ∑ xi2 ) 2
⎛
x2 σ 2 ⎞
⎜⎜ ∑ xi2σ i2 − ∑ i ∑ i ⎟⎟ .
n
⎠
⎝
(4.10)
Odtud je vidět, že vychýlení závisí na stupni korelace mezi xi2 a σi2. Pokud je tato korelace
kladná, což je nejčastější případ, výběrový rozptyl b bude podhodnocen. Pokud není korelace,
tak ani odhad nebude vychýlen. Volba vhodných metod odhadů rozptylu závisí také na dalších předpokladech o σi2.
O jednotlivých předpokladech a vhodných technikách, které se dají použít pro každý
předpoklad, pojednává kapitola 5 a v kapitole 6 se zmíním o možném testování heteroskedasticity.
- 32 -
5 Odhady parametrů lineárního modelu
V této kapitole se pokusím přiblížit některé typy heteroskedastických struktur a s
nimi související odvozovací procedury, které se nejčastěji objevují v literatuře. Pokud je dána
určitá forma σi2, nabízejí se například otázky: Jak odhadnout neznámé parametry na nichž σi2
závisí ? Jak testovat existenci nějaké konkrétní formy heteroskedasticity a jaké provést závěry o β? Širší otázky vznikají s obecným testováním heteroskedasticity (bez znalosti konkrétní
formy) například: Jakou povahu má σi2 pokud se heteroskedasticita v modelu „prokáže“ a
jaké je možné činit závěry o vlastnostech odhadových funkcí, které jsou důsledkem testů hypotéz v kapitole 2.
Tab.1
y = Xβ + ε , E(ε) = 0, E(εε´) = Ω = diag (σ12, σ22, ..., σn2)
2
5.2.1 Odhad σi bez apriorních předpo-
5.2.2 Rozptyly konstantní v rámci
5.2.3 Směrodatné odchylky σi jsou
kladů
podskupiny pozorování
lineární funkcí vysvětlujících proměnných
2
5.2.4 Rozptyly σi jsou lineární funkcí
5.2.5 Rozptyly σi jsou funkcí střední
vysvětlujících proměnných
hodnoty E(yi)
2
5.2.6 Multiplikativní heteroskedasticita
V tabulce1 jsou uvedeny hlavní heteroskedastické struktury, které budou popsány v následujících podkapitolách. Jako první popíši situaci, kdy matici W známe. A poté situaci, kdy
nejsou kladena žádná dodatečná omezení na rozptyly (provádí se tedy odhad σi2 bez jakýchkoliv apriorních předpokladů). V následujících podkapitolách budu uvažovat alternativní
omezující předpoklady o σi2, které se vyskytují v literatuře.
Pro každou formu je obvykle nejdůležitější jak se získá vektor odhadů ( σ$12 , σ$ 22 ,
..., σ$ 2n ), který je poté možné použít v odhadové funkci
$
n
n
i =1
i =1
β$ = ( ∑ σ$ −i 2 x i x i′ ) −1 ∑ σ$ −i 2 x i yi.
$
V anglické literatuře se β$ nazývá EGLS (estimated generalized least square) tedy „odhad“
odhadové funkce MZNČ.
- 33 -
5.1 Matice W, popř. Ω je známa
V takovém případě se parametry modelu
y = Xβ + ε
určí MZNČ jako
β$ = (X´W
-1
n
n
i =1
i =1
X)-1X´W
-1
y =
n
n
i =1
i =1
(X´Ω -1X)-1X´Ω -1y = ( ∑ σ −i 2 x i x i′ ) −1 ∑ σ −i 2 x i yi =
( ∑ z i z i′ ) −1 ∑ z i qi = (Z´Z)-1Z´q,
(5.1.1)
kde xi je i-tý řádek matice X, yi je i-tá hodnota vektoru y, zi je i-tý řádek matice Z = TX, qi je itý řádek vektoru q = Ty a T je diagonální matice
T = diag (σ1-1, σ2-1, ..., σn-1),
takže T´T = Ω . V tomto případě je MZNČ vlastně MNČ uplatněná na transformovaný mo-1
del
yi /σi = xi´β /σi + εi/σi.
(5.1.2)
Odhad β$ se získá, kterýmkoliv ze vzorců (5.1.1), nebo uplatněním MNČ na transformovaná
data, kdy i-té pozorování yi, xij, i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., k, se dělí i-tou směrodatnou odchylkou σi. Jde vlastně o použití vážené MNČ, kdy se minimalizuje
2
⎛ε ⎞
Qe = ∑ ⎜ i ⎟ .
i =1 ⎝ σ i ⎠
n
Opět bych chtěl zdůraznit, že nesprávné použití MNČ místo MZNČ vede k méně vydatným odhadům pro β a ke zkresleným odhadům směrodatných chyb odhadů. V praxi to
znamená, že odhady vypadají většinou lepší než ve skutečnosti jsou. Jestliže totiž existuje
přímá závislost mezi σ i a xi , výběrové rozptyly b budou podhodnocené. Pokud však závis2
lost neexistuje, tak k vychýlení odhadů rozptylů nedojde.
- 34 -
Poznámka Známé rozptyly
V minulém případě se předpokládala znalost matice W či Ω. Ve většině modelů s heteroskedasticitou jsou měnící se rozptyly neznámé. Někdy je ovšem odůvodněné předpokládat, že
rozptyl každé náhodné složky je kromě proporcionální konstanty známou funkcí vysvětlující
proměnné. Například pokud by se uvažoval model yi = β1 + β2xi + β3xi + εi, a dále se předpo2
kládalo, že rozptyl εi bude pravděpodobně v přímém vztahu s xi. Např. se může uvažovat σi =
2
σ xi potom vzniká situace ve které jsou kromě konstanty σ rozptyly známé. A je tedy možné
2
2
2
psát
Ω =σ W=σ
2
2
⎡ x12
⎢
⎢0
⎢ ...
⎢
⎢⎣ 0
0
x 22
...
0
... 0 ⎤
⎥
... 0 ⎥
... ... ⎥
⎥
... x n2 ⎥⎦
a pak je tedy možné použít odhad b = (X´W -1X)-1X´W -1y pomocí MZNČ, resp. aplikovat
MNČ na transformovaný model yi /xi = β1 /xi + β2 + β3xi + εi /xi. Touto procedurou se rovněž
získají uspokojivé odhady. Na druhou stranu vzniká otázka proč právě předpokládat σi =
2
σ xi , proč ne třeba σi = σ | xi|; σi = σ xi apod..
2
2
2
2
2
2
1/2
2
5.2 Rozptyly σi nejsou známy
2
V tomto případě se v (5.1.1) nahradí rozptyly σi jejich výběrovými odhady σ$ i2 ,
popř. matici Ω jejím výběrovým odhadem Ω$ . S tím však vzniká nový problém nejen způsobu
odhadu, ale především posouzení důsledků nahrazení σi výběrovými odhady na vlastnosti
2
odhadu vektoru parametrů β. Simulační studie naznačují, že kvalita odhadu β podle (5.1.1)
při nahrazení Ω odhadem Ω$ značně závisí na postižení skutečné struktury heteroskedasticity. Nabízí se několik možností:
5.2.1 Odhad σi bez apriorních předpokladů
2
Předpokládá se model y = Xβ + ε , E(ε) = 0, E(εε´) = Ω = diag (σ12, σ22, ..., σn2),
-1
Pokud by se vzaly odhady MNČ b = (X´X) X´y a jim odpovídající rezidua e = y - Xb a ozna2
2
čí-li se e&jako vektor druhých mocnin reziduí ei a σ& jako vektor rozptylů σi . Pokud nejsou k
dispozici žádná další omezení, je k dispozici vždy jedno pozorování k odhadu jednoho roz- 35 -
ptylu a celkově n pozorování k odhadu n + k parametrů. Příliš velký optimismus o hodnotě
odhadů tedy není na místě. Autoři Rao a Kleffe navrhli tzv. MINQUE (nevychýlený kvadratický odhad s minimální normou) neznámých rozptylů σ&.
Poznámka MINQUE odhady
n
Kvadratická forma y´Ay je MINQUE lineární funkce
∑c σ
i
2
i
, jestliže Eukleidovská norma
i =1
n
1/2
matice A, tj. (st(AA)) , je minimální za podmínky AX = 0 a
∑a σ
ii
i =1
2
i
n
≡ ∑ ci σ i2 . (podrobně se
i =1
problematikou zabýval např. Rao, Estimation of Heteroskedastic Variances in Linear Models). Je doporučen odhad σ&, který je MNČ odhadem z rovnice
&σ&+ η ,
e&= M
& je matice druhých mocnin prvků idempotentní matice M = In - X(X´X)-1X´ hodnosti (n
kde M
- k). Uplatněním MNČ na tuto rovnici je možné získat
$ = (M
&′M
&) −1 M
&′e&= M
&−1e&.
σ&
(5.1.3)
& je regulární.
Odhad (5.1.3) je definován, ačkoli matice M je singulární, protože matice M
Jelikož hodnost matice M je n - k, je možné vyjádřit k reziduí jako lineární funkci zbývajících
n - k reziduí a podobně k rozptylů σi jako n - k nelineárních funkcí zbývajících σi . To by
2
2
znamenalo k nelineárních omezení prvků vektoru σ&. Pokud je třeba odhadovat n - k parametrů na základě n pozorování, je třeba taková omezení mít k dispozici nebo učinit nějaké apriorní předpoklady (třeba o závislosti mezi xi a σi ).
2
S užitím (5.1.3) jsou spojeny dva základní problémy pro odhad
$
n
n
i =1
i =1
β$ = ( ∑ σ$ −i 2 x i x i′ ) −1 ∑ σ$ −i 2 x i yi.
(5.1.4)
Odhad (5.1.3) není konzistentním odhadem σ&, takže ani s rostoucím počtem pozorování
nedochází ke zvýšení pravděpodobnosti menších výběrových chyb a asymptotické vlastnosti
$
β$ založené na σ& nemohou být odvozené od vlastností, které má odhad (5.1.1). Druhou potí-
- 36 -
ží je možnost výskytu záporných prvků vektoru σ&, což komplikuje jejich interpretaci jako
vah v odhadu (5.1.4).
5.2.2 Rozptyly konstantní v rámci podskupiny pozorování
V některých případech může být rozumné předpokládat, že rozptyly náhodných složek jsou konstantní v podskupinách pozorování a liší se pouze mezi skupinami. Označí-li se
počet podskupin jako M a četnost m-té podskupiny m = 1, 2, ..., M, jako nm, je možné zapsat
model ve tvaru:
⎡ y1 ⎤
⎢y ⎥
⎢ 2 ⎥=
⎢ ... ⎥
⎢ ⎥
⎣yM ⎦
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥
⎢ 2 ⎥β +
⎢ ... ⎥
⎢ ⎥
⎣x M ⎦
⎡ ε1 ⎤
⎢ε ⎥
⎢ 2⎥
⎢ ... ⎥
⎢ ⎥
⎣ε M ⎦
(5.2.1)
kde ym je nm-členný vektor, Xm je typu (nm × k), εm je nm-členný vektor, přičemž E(εmεm´) =
σm2In, E(εmεm´) = 0, pro každé m ≠ m´= 1, 2, ..., M. Příkladem této situace mohou být data z
různých časových období, z různých geografických oblastí nebo opakované kombinace hodnot vysvětlujících proměnných.
Pro odhad β MZNČ se použije
⎛M
⎞
β$ = ⎜ ∑ σ −m2 X m′ X m ⎟
⎝ m =1
⎠
−1
M
∑σ
−2
m
X m′ y m .
(5.2.2)
m =1
K užití (5.2.2) je však třeba nahradit rozptyly σm2 jejich výběrovými odhady. Jednou možností pro nm > k, m = 1, 2, ..., M je
σ$ 2m = (nm- k ) (ym - Xm bm)´(ym - Xmbm),
-1
kde bm = (Xm´Xm)-1Xm´ym.
Při dodatečné podmínce normality bude odhad
$ ⎛ M −2
⎞
$
β = ⎜ ∑ σ$ m X m′ X m ⎟
⎝ m =1
⎠
−1
M
∑ σ$
−2
m
X m′ y m
m =1
asymptoticky vydatný s asymptotickou kovarianční maticí
- 37 -
(5.2.3)
−1
⎛ M −2
⎞
⎜ ∑ σ m X m′ X m ⎟ .
⎝ m =1
⎠
Odhad získaný dosazením (5.2.3) do (5.2.2) je tedy asymptoticky vydatný. Výsledky,
které se týkaly pozorování z konečných výběrů (Taylor, Small Sample Properties of Class of
$
Two-stage Aitken Estimators) ukazují, že relativní vydatnost β$ klesá s rostoucím m. Pro m =
$
2 je odhad β$ téměř stejně vydatný jako β$ , takže i perfektní znalosti rozptylů přinesly poměrně malý zisk na vydatnosti.
Pokud jde o tzv. opakovaná pozorování, kdy řádky matice X v podskupinách jsou
shodné, je možné odhad (5.2.3) redukovat na odhad
nm
σ$ 2m = ( nm − 1) −1 ∑ ( y im − y m ) 2
(5.2.4)
i =1
tj. na výběrový skupinový rozptyl.
Jinou možností je použít iterativní postup, kdy se v prvním kroku odhadne β MNČ
na celý soubor n pozorování
⎛M
⎞
b = ⎜ ∑ X m′ X m ⎟
⎝ m =1
⎠
−1
M
∑ X′ y
m
(5.2.5)
m
m =1
a rozptyl se odhadne jako
σ$ 2m = (nm − k )
−1
( y m − X m b) −1 ( y m − X m b) .
(5.2.6)
Ve druhém kroku se nahradí (5.2.6) v (5.2.2) a postup se opakuje až do očekávané stabilizace
výsledku. Pro hodnocení hypotézy o shodě rozptylů v podskupinách je výhodný test M.S.
Bartletta.
5.2.3 Směrodatné odchylky σi jsou lineární funkcí vysvětlujících proměnných
Častější jsou situace kdy nejsou k dispozici opakované pozorování nebo, není oprávněný požadavek stejných rozptylů uvnitř podskupin. Alternativní přístup je vztáhnout σi pří2
- 38 -
mo k xi´ tj. řádkům matice X, i =1, 2, ..., n. Jednou z možností je předpokládat, že směrodatné odchylky σi jsou lineární funkcí některých nebo všech vysvětlujících proměnných (nebo
jejich funkcí).
Za předpokladu modelu
yi = xi´β + εi , i = 1, 2, ..., n.
E(εi) = 0, E(εiεi´) = 0 i ≠ i ´ a E(εi2) = σi2 = (zi´α)2,
(5.3.1)
kde α je S-členný vektor neznámých heteroskedastických parametrů a zi = (1, zi1, zi2, ..., ziS)´ je
vektor hodnot vysvětlujících proměnných, či jejich známých funkcí způsobujících heteroskedasticitu. i-tý řádek zi může být shodný s xi, jestliže všechny vysvětlující proměnné se určitým
způsobem podílejí na vzniku heteroskedasticity. Potom odhadem β je
n
n
i =1
i =1
′
β$ = (X´Ω -1X)-1X´Ω -1y = ( ∑ ( z i′α ) −2 x i x i′ ) −1 ∑ ( z i α ) −2 x i yi
s kovarianční maticí X´Ω X =
-1
n
∑ ( z ′α )
i
−2
(5.3.2)
x i x i′ ) −1 .
i =1
Použití odhadu (5.3.2) vyžaduje ovšem znalost vektoru α nebo alespoň jeho odhadu. V literatuře se nejčastěji používají následující možnosti.
a) α$ získaný MNČ
$ získaný MZNČ
b) α$
~
c) α získaný metodou maximální věrohodnosti.
Zároveň s každým odhadem α existuje odhad MZNČ pro vektor β.
Za předpokladu, že veličiny εi/σi mají nulovou střední hodnotu a jednotkový rozptyl je potom
možné psát E(|εi|/σi) = c, kde c je konstanta nezávislá na i, ale závislá na rozdělení veličiny
|εi|/σi (při normálním rozdělení εi je c = (2/π) ). Při odhadu se vychází z rovnice
1/2
|ei| = czi´α + vi,
(5.3.3)
ve které ei jsou rezidua získaná uplatněním MNČ a vi jsou nové rušivé složky
vi = |ei| - E(|εi|). MNČ se získá
c α$ = (Z´Z) Z´|e| ,
-1
(5.3.4)
- 39 -
kde matice Z má jako řádky vektory zi a |e| je vektor absolutních hodnot reziduí ei. Skutečnost, že se odhadla c α$ a ne jenom α$ nemá vliv na odhad (5.3.2). Tento odhad ovšem podle
literatury nemá příliš dobré vlastnosti, protože vi jsou ve skutečnosti heteroskedastické, korelované a nemají nulovou střední hodnotu. Odhad (5.3.2) zůstává konzistentní, jestliže rozdělení |ei| konverguje k rozdělení veličiny |εi| (pak je i α$ konzistentním odhadem α).
Intuitivně by se dalo očekávat, že pokud by se nalezl vydatnější odhad pro α, nový
odhad pro β získaný MZNČ bude mít celkově lepší vlastnosti v konečném výběru.
Pokud ei konverguje k rozdělení εi potom v asymptotickém případě bude vi nezávisle
rozdělená nová rušivá složka s nulovou střední hodnotou a rozptylem
E(vi2) = E(|εi| 2) - (E(|εi|) )2 = σi2(1 - c2) = (zi´α)2(1 - c2).
Potom je tedy možné použít zobecněný odhad
n
n
i =1
i =1
′
-1
-1
c α$$ = ( ∑ ( zi′α$) −2 z i zi ) −1 ∑ ( z i′α$) −2 z i |ei |=(Z´ Ω$ Z)-1Z´ Ω$ |e|,
(5.3.5)
kde Ω$ je diagonální matice s prvky ( z i′α$) 2 .
Vlastnosti α$ a α$$ nebyly dosud zcela ještě prozkoumány, ale dalo by se rozumně očekávat
(Judge, 1981), že za vhodných podmínek budou oba odhady α$ a α$$ asymptoticky normální s
asymptotickou kovarianční maticí
C( α$ ) = ((1-c2)/c2)(Z´Z)-1Z´ΩZ(Z´Z)-1
a
C( α$$ ) = ((1 - c2)/c2)(Z´Ω −1Z)-1.
Z toho vyplývá, že odhad α$$ bude vydatnější.
Dá se tedy očekávat, že odhad pro β založený na α$$ bude pravděpodobně vydatnější než
odhad založený na α$ .
Poznámka
Odhad α$$ předpokládal ve svojí práci Harvey, Estimation of Parameters in a Heteroscedastic
Regression Model, 1974 a odhad α$ navrhl Glejser v práci A New Test for Heteroscedasticity.
- 40 -
Pokud mají εi normální rozdělení je možné použít k současnému odhadu α, β metodu maximální věrohodnosti. Derivace logaritmu věrohodnostní funkce (s vyloučením konstanty)
n
1 n
logL = −∑ log z i′α − ∑ [(yi - xi´β)2 /(zi´α)2]
(5.3.6)
2 i =1
i =1
podle α β položené rovny nulovým vektorům, ale vedou k soustavě nelineárních rovnic.
5.2.4 Rozptyly σi jsou lineární funkcí vysvětlujících proměnných
2
Tomuto modelu je rovněž věnována velká pozornost v literatuře např. Theil, Principles of Econometrics, 1971; Goldfeld, Quandt, Nonlinear Methods in Econometrics, 1972;
Harvey, Estimation of Parametres in a Heteroscedastic Regression model, 1974; Raj, Linear
Regression with Random Coefficients, 1975.
Předpokládá se, že σi2 je lineární funkcí množiny vysvětlujících proměnných.
V tomto případě platí tedy
yi = xi´β + εi , i = 1, 2, ..., n.
E(εi) = 0, E(εiεi´) =0 i ≠ i´ a E(εi2) = σi2 = (zi´α) .
(5.4.1)
Odhadem β je nevychýlený odhad β$ = (X´W -1X)-1X´W -1y =
n
( ∑ ( z i′α ) x i x i′ )
−1
−1
i =1
n
∑ ( z ′α )
i
−1
x i yi,
i =1
n
kde β$ má střední hodnotu β a kovariance (X´Ω -1X)-1 = ( ∑ ( z i′α ) −1 x i x i′ ) −1 , kde Ω má na
i =1
diagonále zi´α.
V literatuře se nejčastěji objevují tři resp. čtyři možnosti odhadu pro vektor α.
1) Z (5.4.1) vyplývá, že
ei2 = zi´α + vi,
(5.4.2)
kde vi = ei2 - E(εi2) a ei2 je druhá mocnina reziduí z MNČ ei = yi - xi´b. Uplatněním
MNČ na (5.4.2) se získá
- 41 -
⎛ n
⎞
α$ = ⎜ ∑ z i z i′ ⎟
⎝ i =1
⎠
−1
n
∑z
i
ei2 = (Z´Z)-1Z´ e&
i =1
kde z´ = (z1, z2, ..., zn) a e& = (e12, ei2, ..., en2)´. Bohužel, ale vi v (5.4.2) má nenulovou
střední hodnotu a rovněž trpí heteroskedasticitou a autokorelací. Takže α$ bude vychýlený
a vzhledem k odhadu α$ MZNČ bude nevydatný.
&Zα je E( α$ ) = (Z´Z)-1Z´ M
&Zα,
2) Jelikož E( u&) = M
& je matice druhých mocnin prvků již uvažované matice M = In - X(X´X)-1X´,
kde M
nabízejí se dva nevychýlené odhady
α$ (1) = (Z´ M& M&Z)-1Z´ M& e&
(5.4.3)
α$ (2) = (Z´ M&Z)-1Z´ e&.
(5.4.4)
První odhad je uplatněním MNČ na rovnici
&Zα + w,
e& = M
(5.4.5)
zatímco druhý je MINQUE (nevychýlený kvadratický odhad s minimální normou)
3) Jiný odhad pro α se dá definovat po poznání kovarianční struktury vi v (5.4.2) a w v
(5.4.5) a provedení MZNČ na každou z těchto rovnic.
Jestliže ei2 konverguje svým rozdělením k rozdělení εi2, mají vi nulovou střední hodnotu a
jsou to nekorelované náhodné veličiny s rozptyly úměrnými (zi´α ) . Potom vydatnějším
2
odhadem než α$ je
⎛ n
⎞
−2
α$$ = ⎜ ∑ ( z i′α$) z i z i′ ⎟
⎝ i =1
⎠
−1
n
∑ ( z ′α$)
−2
i
z i ei2.
(5.4.6)
i =1
Pro rovnici (5.4.5) pokud je εi normálně rozděleno, bude mít w kovarianční matici danou
2 Q& kde Q = MΩM a uplatněním MZNČ se dostane
&
&
α$$ (1) = (Z´ M& Q$−1 M&Z)-1Z´ M& Q$−1 e&,
kde Q bylo nahrazeno Q$ = M Ω$ Μ , Ω$ má i-tý diagonální prvek (zi´ α$ (1))2.
- 42 -
Ačkoliv α$$ a α$$ (1) jsou asymptoticky vydatnější než jejich protějšky MNČ, jejich použití
k odhadu pro β nepovede k vydatnějším odhadům. Při vhodných podmínkách (Hildreth,
Houck, Some Estimators for a Linear Model with Random Coefficients, 1968), odhad odhadové funkce
pro β MZNČ bude mít asymptotickou kovarianční matici danou
−1
⎛ n
⎞
−1
⎜ ∑ ( z i′α ) x i x i′⎟ . Dá se očekávat, že asymptoticky vydatnější odhady pro α povedou k
⎝ i =1
⎠
vydatnějším odhadům odhadové funkce MZNČ v konečném výběru. Je třeba to však ověřit, například experimenty Monte Carlo. V souvislosti s modelem s náhodnými parametry
použil Raj, Linear Regression with Random Coefficients, 1975 experiment Monte Carlo
$
pro srovnání odhadu b (MNČ) s odhadem β$ získaným pomocí α$ (1) a α$$ (1). Pokud se ke
srovnání použije střední čtvercová chyba, tak druhá odhadová funkce pro β (s pomocí
$
α$$ (1)) by pro velké výběry (n = 50) byla lepší než odhadová funkci b a β$ (s použitím
α$ (1)). Naopak pro n = 10 a n = 20 byl odhad b lepší než ostatní odhady pro β. Což jsou
$ (1), nebymožná pro někoho překvapující výsledky. Srovnání pro α$ s α$ (1) nebo α$$ s α$
la ještě podle literatury uskutečněna.
d) Numerická maximalizace derivace logaritmu věrohodnostní funkce
n
n
i =1
i =1
log L = −0,5∑ log z i′α − 0,5∑ [(yi - xi´β)2 /(zi´α)].
(5.4.7)
Stejně jako v předcházejícím případě se derivace log L podle α a β položí rovny nulovým
vektorům a získá se soustava nelineárních rovnic.
5.2.5 Rozptyly σi2 jsou funkcí střední hodnoty E(yi)
V relativně starých ekonometrických studiích výdajových funkcí domácností (Theil,
Estimates and Their Sampling Variance of Parametres of Certain Heteroscedastic Disturbation, 1951) se považoval za realistický předpoklad, že σi2 je úměrný (xi´β)2 spíše než, že
σi2 = σ2xki2, kde xki představoval příjem i-té domácnosti.
Za předpokladu modelu
yi = xi´β + εi , i = 1, 2, ..., n,
- 43 -
platí tedy
E(εi) = 0, E(εiεi´) = 0, i ≠ i´ a E(εi2) = σi2 = σ2(xi´β)2,
takže kovarianční matice pro ε je E(εε´) = Ω = σ2W = σ2 diag((x1´β)2, (x2´β)2, ..., (xn´β)2).
Přímé použití MZNČ pomocí Ω literatura nedoporučuje, protože Ω závisí na β. Je ale možné vyjít z odhadu β získaného pomocí MNČ a dosazením dostat odhad
n
$
n
β$ = ( X ′W$ −1 X ) −1 X ′W$ −1 y = ( ∑ ( x i′b) x i x i′ ) −1 ∑ ( x i′b) x i yi
−2
i =1
−2
(5.5.1)
i =1
kde W$ je diagonální matice s prvky (xi´b)2. Za určitých podmínek (Judge) je vyhovujícím
odhadem kovarianční matice odhadu (5.5.1)
n
$
−2
C( β$ ) = σ$ 2 ( ∑ ( x i′b) x i x i′ ) −1 ,
i =1
n
$
-1
2
$
kde σ = (n - k) ∑ [( x i′b) −2 (yi - xi´ β$ )2].
i −1
Poznámka Rozptyl σi2 je funkcí p-té mocniny střední hodnoty
Se specifikací σi2 = σ2(xi´β)2 vzniká jeden problém a to ten, že zde nejsou parametry na nichž
by se daly založit testy homoskedasticity. Tento problém je překonán, když se předpokládá,
že rozptyl je úměrný neznámé mocnině střední hodnoty. V tomto případě σi2 = σ2(xi´β)p, kde
p je dodatečný odhadový parametr. Za předpokladu normality použil Bonyhady, A Class of
Heteroscedastic Error Models, 1977, metodu maximální věrohodnosti k odhadu modelu pro
celou řadu výdajových funkcí domácností. Test homoskedasticity (p=0) může být založen na
asymptotické normalitě maximálně věrohodných odhadů.
5.2.6 Multiplikativní heteroskedasticita
Předpokládá se model
yi = xi´β + εi , i = 1, 2, ..., n.
E(εi) = 0, E(εiεi´) = 0 i ≠ i´ a E(εi2) = σi2 = exp(zi´α) =
exp(α1)exp(α2zi2)...exp(αs zis),
- 44 -
velmi často se tento model nazývá multiplikativní heteroskedasticita, protože různé komponenty rozptylu se mezi sebou násobí. zi je vektor (S × 1) obsahující i - té pozorování S
nestochastických proměnných a α je (S × 1) vektor neznámých parametrů. První prvek vektoru zi se obvykle bere jako 1 a ostatní zij jsou buď xij nebo nějaká jejich funkce. Toto vyjádření
redukuje problém odhadu n × σi2 na odhad S rozměrného vektoru α. Nyní se musí posoudit
nejen, která vysvětlující proměnná Xj vysvětluje změny v Y, ale také, která Z ovlivňují změny
v rozptylu Y. Pokud jsou σi2 úplně neznámé, nelze spočítat odhad β$ = (X´Ω -1X)-1X´Ω--1y
MZNČ. Místo toho je třeba použít nějakou metodu pro obdržení odhadů σ$12 , σ$ 22 , ..., σ$2n , a
jich potom použít na odhad kovarianční matice Ω$ = diag ( σ$12 , σ$ 22 , ..., σ$2n ) a použít tuto odhadnutou kovarianční matici k nalezení odhadu odhadové funkce MZNČ
$
β$ = ( X ′Ω$ −1 X ) −1 X ′Ω$ −1 y .
(5.6.1)
Pokud je možné získat odhadovou funkci α$ , potom je možné ji použít k odhadům
σ$ i2 = exp( z i′α$) i = 1, 2, ..., n a tyto odhady rozptylů je možné použít k odhadu odhadové funkce pro β MZNČ. První krok v tomto směru je vypočítat rezidua MNČ e = y - Xb,
kde b = (X´X)-1X´y a poté vytvořit rovnici
ln ei2 = zi´α + vi,
(5.6.2)
kde vi = ln(ei2/σi2).
Na rovnici (5.6.2) je možno se dívat jako na regresní model kde ln ei2 je i-té pozorování závisle proměnné, zi´ je (1 × S) vektor obsahující i-té pozorování S vysvětlujících proměnných,
vi je i-tá náhodná složka a α je neznámý vektor parametrů, které se mají odhadnout. V maticovém zápisu
q = Zα + v
(5.6.3)
kde Z = (z1, z2, ..., zn)´, q = (ln e12, ln e22, ..., ln en2)´ a v = (v1, v2, ..., vn)´. Jedna z možností jak
odhadnout α je aplikovat MNČ na (5.6.3). Tím se získá odhadová funkce
⎛ n
⎞
α$ = (Z´Z) Z´q = ⎜ ∑ z i z i′ ⎟
⎝ i =1
⎠
-1
−1
n
∑z
i
ln ei2.
(5.6.4)
i =1
Vzniká ovšem otázka, jaký je důvod pro užití α$ jako odhad α a jaké jsou jeho vlastnosti?
- 45 -
Dá se ukázat, že jeho střední hodnota je
E( α$ ) = α + (Z´Z)-1Z´E(v)
(5.6.5)
a kovarianční matice
-1
C( α$ ) = (Z´Z)-1Z´E [(v - E(v))(v - E(v))´]Z(Z´Z) .
(5.6.6)
Z toho je vidět, že vlastnosti odhadu budou záviset na vlastnostech v. Harvey, Estimating Regression Models with Multiplicative Heteroscedasticity, 1976 uvádí, že vlastnosti vektoru v
jsou velmi komplikované v případě konečného výběru a tak je vhodné přistoupit k asymptotickým vlastnostem. V tomto pohledu je nutné provést nějaké předpoklady o limitním chování
vysvětlujících proměnných. Předpokládá se tedy, že i-té reziduum z MNČ bude konvergovat
k rozdělení odpovídající náhodné složce εi, a vi = ln(ei2/σi2) bude konvergovat k rozdělení
náhodné proměnné ln(εi2/σi2). Pokud je tato náhodná proměnná označena jako vi* a pokud je
εi normálně rozděleno potom (εi2/σi2) má rozdělení χ2(1) a vi* bude mít rozdělení log χ2(1).
Ale co více vi* bude nezkorelované. Pokud se použijí výše uvedené informace je možné
ukázat (Harvey, 1976), že
E(vi*) = -1,2704
(5.6.7)
D(vi*) = 4,9348 a C(vi* vi´* ) = 0 pro i ≠ i´.
(5.6.8)
K obdržení asymptotických vlastností α$ se nahradí v v* = (v1*, v2*, ...,vn*)´ v rovnici (5.6.5) a
(5.6.6) a provedou se nějaké další předpoklady o limitním chování Z. Tyto předpoklady o Z
-1
-
tedy jsou p lim n Z´Z = C(ZZ) existuje a je nesingulární. A pokud se použije (5.6.7), p lim n
1
-1
-1
Z´v = lim E(n Z´v*) = -1,2704 lim (n Z´j) = -1,2704 μz , kde j = (1, 1, ..., 1)´, E(v*) = -1
1,2704j a μz = lim(n Z´j).
Tím pádem je možno ukázat
⎡α 1 − 1,2704⎤
⎥
⎢
α2
⎥ = α - 1,2704d,
⎢
$
$
p lim α = lim E( α ) =
⎥
⎢
...
⎥
⎢
αS
⎦
⎣
(5.6.9)
kde d = (1, 0, ..., 0)´.
Obdobně je možné odvodit asymptotickou kovarianční matici jako
-1
lim E(n ( α$ - α + 1,2704d)( α$ - α +1,2704d)´) = 4,9348(n-1Z´Z) .
- 46 -
(5.6.10)
Z (5.6.9) je vidět, že první prvek vektoru α$ , α$ 1 bude asymptoticky vychýlený a nekonzistentní, kdežto ostatní prvky vektoru budou asymptoticky vychýlené a konzistentní. Nekonzistence α$ 1 je přímý následek nenulové střední hodnoty v*.
Z výše uvedeného vyplývá, že je možné odhadovat α pomocí regrese logaritmů reziduí MNČ
na Z. Vlastnosti této odhadové funkce v konečném výběru nejsou známy, ale je známa asymptotická střední hodnota a rozptyl. První prvek vektoru α$ , α$ 1 je nekonzistentní s asymptotickým vychýlením -1,2704, ale zbývající prvky α$ 2 , α$ 3, ..., α$ s jsou konzistentními odhady.
-1
Z (5.6.10) se dá použít matice 4,9348(Z´Z) k přibližnému vyjádření kovarianční matice α$ .
I když α$ 1 je nekonzistentní, nemá to význam pro
$
n
n
i =1
i =1
β$ = ( ∑ exp( − z i′α$) x i x i′ ) −1 ∑ exp( − z i′α$) x i yi.
Změna α$ 1 pouze změní konstantu úměrnosti. Jestliže α$ ´ = ( α$ 1, α$ *´), potom α$ * je konzis-
$
tentní a β$ je asymptoticky vydatné.
Poznámka
V praxi je třeba současně řešit problém výběru vhodné regresní formy a adekvátní specifikace
formy heteroskedasticity. V některých případech může linearizující transformace (nejčastěji
logaritmická) mít za následek eliminaci heteroskedasticity. Například model
yi = β 1 xiβ12 xiβ23 exp ε i
(5.6.11)
kde εi mají normální rozdělení s nulovými středními hodnotami a stejným rozptylem σ2, je
vzhledem k rozptylu yi modelem heteroskedastickým. Po logaritmické transformaci jde nejen
o lineární model, ale i rozptyly ln yi jsou již stejné.
6 Testování heteroskedasticity
Je důležité položit si otázku, zda-li procedury popsané v předcházející kapitole je
skutečně možné použít. Jak jsem se již několikrát zmínil, pokud heteroskedasticita neexistuje
potom MNČ dává nejlepší lineární nevychýlený odhad parametrů regresní funkce. Stejně tak
- 47 -
je nevychýlený i odhad rozptylu a je tedy zbytečné provádět některé procedury popsané v
předcházejících kapitolách. Pokud ovšem v modelu zůstane heteroskedasticita nezpozorována
a na tento model se aplikuje MNČ potom odhad nebude nejlepší dosažitelný (nebude vydatný) a vychýlený odhad rozptylu povede k chybným závěrům při intervalových odhadech či
testování hypotéz. Proto je velmi dobré před samotným odhadem parametrů modelu nějakým
způsobem otestovat existenci či neexistenci heteroskedasticity. V této kapitole bych se proto
chtěl věnovat několika nejběžnějším testům uváděným v literatuře.
Literatura má na problematiku testování několik rozdílných pohledů. Na jednom
konci spektra jsou tzv. nekonstruktivní testy (nonconstructive). V této skupině testů je primárním zájmem „potvrdit“ přítomnost či absenci heteroskedasticity a odhadové aspekty jsou
zcela ignorovány. Druhý konec tvoří testy určité konkrétní formy heteroskedasticity za účelem přímého odhadu parametrů modelu. Střed spektra testů tvoří tzv. konstruktivní testy
(constructive). V tomto případě je testování spojeno s odhadem, nebo-li pokud test zamítá
hypotézu o homoskedasticitě, pak poskytuje přímou metodu odhadu, která bere v úvahu nesferický charakter náhodných složek. Nejdříve bych se podíval na tzv. konstruktivní testy.
6.1 Konstruktivní testy
6.1.1 Směrodatné odchylky σi jsou lineární funkcí vysvětlujících proměnných
Model a jeho vlastnosti s touto heteroskedastickou formou byl popsán v kapitole
5.2.3. Platí tedy σi = zi´α. Odhad α byl proveden buď podle (5.3.4) nebo (5.3.5), rozdělí-li se
vektor α na absolutní člen α1 a α∗ = (α2, α3, ..., αs), pak při platnosti H0 : α∗ = 0 a alespoň
přibližné normalitě α$ popř. α$$ mají testové statistiky
$ * )/ σ$12 ]
g = (c2/(1-c2))[( α$$ * ´D-1 α$
(6.1.1)
g* = (c2/(1-c2))[( α$ * ´D-1 α$ * )/ σ$ 12 ]
(6.1.2)
přibližné rozdělení χ2 (S - 1), kde D = (Z´Z)-1 bez prvního řádku a sloupce a jestliže εi jsou
normálně rozděleny je c = (2/π)1/2. Nulová hypotéza α* = 0 se zamítá pokud statistika g či g*
spadne do kritické oblasti vymezené kritickou hodnotou χ21-α (S - 1). Statistika g* je výpočetně jednodušší protože c2 α$ *′ D −1α$ * je teoretický součet čtverců odpovídající regresi |e| na Z.
6.1.2 Rozptyly σi2 jsou lineární funkcí vysvětlujících proměnných
Model s touto formou heteroskedasticity byl popsán v kapitole 5.2.4. Tedy σi2 = zi´α.
Pokud jsou εi normálně rozdělena a pokud jsou podmínky pro asymptotickou normalitu α$
- 48 -
popř. α$$ dodrženy, dá se zkonstruovat test založený buď na α$ popř. α$$ . Například pokud α´
= (α1, α*´) a při nulové hypotéze α∗ = 0 má veličina
g3 = [( α$ * ´D-1 α$ * )/2 σ$ 4 ]
(6.1.3)
přibližně rozdělení χ2(S - 1), kde D = (Z´Z)-1 bez prvního řádku a sloupce a α$ ´= ( α$ 1,
α$ *´).Nulová hypotéza α* = 0 se zamítá pokud statistika g3 spadne do kritické oblasti vymezené kritickou hodnotou χ21-α (S - 1).
6.1.3 Multiplikativní heteroskedasticita
Tato forma byla popsána v kapitole 5.2.5. Rozptyl je tedy vyjádřen jako σi2 =
exp(zi´α) = exp(α1)exp(zi*´α∗). Z uvedené kapitoly rovněž vyplývá, že asymptotická kovarianční matice pro α$ je C( α$ ) = 4,9348(Z´Z)-1. Při platnosti nulové hypotézy H0 : α∗ = 0, proti
H1: α∗ ≠ 0 má statistika
g4 =
α$ *′ D −1α$ *
(6.1.4)
4,9348
přibližně rozdělení χ2 (S - 1), kde D = (Z´Z)-1 bez prvního řádku a sloupce a α$ ′ = (α$ 1 , α$*′ ) .
6.1.4 Glejserův test
H. Glejser, A New Test for Heteroscedasticity, 1969 předložil test heteroskedasticity,
kde zkoumá závislost absolutních hodnot reziduí na určité vysvětlující proměnné Xj, která
způsobuje heteroskedasticitu. Navrhl provést regresi absolutních hodnot reziduí |ei| z MNČ na
několik funkcí některých či postupně všech vysvětlujících proměnných. Test předpokládá, že
pokud heteroskedasticita existuje, tak se mění s proměnnou Xj. Navrhl například:
|ei|=α1+ α2x2i + vi
(6.1.5)
|ei|=α1+ α2x2i-1+ vi
(6.1.6)
|ei|=α1+ α2x2i1/2+ vi .
(6.1.7)
S následujícími závěry:
- 49 -
1) Pokud je α$ 2 nevýznamné, přijímá se hypotéza o homoskedasticitě.
2) Pokud je α$1 nevýznamné a α$ 2 významné, pak se provádí odhad MZNČ kde rozptyl se
odhadne z rovnice σi2 = σ2zij2, kde zij je xij či nějaká její funkce.
3) Pokud jsou α$1 a α$ 2 významné pak se provádí odhad MZNČ a pro rozptyl se bere σi2 =
σ2( α$1 + α$ 2 zij)2. Testování významnosti α$1 a α$ 2 se provádí t-testy.
Výhodou tohoto postupu je mimo jiné to, že dává informaci o konkrétní formě závislosti rozptylu náhodných složek na zvolené vysvětlující proměnné. To lze pak využít k určení
matice transformace T pro odhad parametrů MZNČ. Glejser na základě výsledků simulačních
experimentů tvrdí, že síla testu jím popsaného testu je větší ve srovnání s GoldfeldQuandtovým testem (viz dále), pokud variabilita vysvětlující proměnné není příliš velká. Nevýhodou ovšem je, že apriori obvykle není známa přesná specifikace vztahů a navíc chyba vi
nemá nulovou střední hodnotu, konstantní rozptyl a nulové kovariance.
6.1.5 Parkův test
Park postuluje, že rozptyl náhodných složek je v tvaru
σi2 = σ2zijγ exp(vi)
(6.1.8)
v je nová náhodná složka s vlastnostmi KLM.
Rovnici lze přepsat
log σi2 = log σ2 + γlog zij + vi .
(6.1.9)
Park navrhuje použít ei2 jako odhad σi2 . Obdržený odhad pro γ může být testován t-testem a
pokud je parametr γ významný, může se použít k transformaci původní rovnice. vi v (6.1.9)
trpí rovněž tím, že nemá nulovou střední hodnotu je zautokorelované a heteroskedastické.
- 50 -
6.2 Nekonstruktivní testy
6.2.1 Spearmanův test korelace pořadí
Je to velmi jednoduchý neparametrický test heteroskedasticity projevující se lineární
závislostí směrodatné odchylky náhodných složek modelu na některé z vysvětlujících proměnných. Je vhodný pro velké i malé výběry. Aplikuje se na rezidua spočtená na základě
MNČ. Bez ohledu na znaménka se uspořádají absolutní hodnoty reziduí a pozorování příslušné vysvětlující proměnné a spočte se jednoduchý koeficient korelace pořadí ze vzorce
re, x = 1 −
6∑ d i2
n(n 2 − 1)
i = 1, 2, ..., n,
(6.2.1)
kde di jsou diference v pořadí odpovídajících dvojic ei a xij. Hodnoty blízké jedné svědčí o
existenci heteroskedasticity. Jedná-li se o model vícenásobné regrese, spočtou se koeficienty
korelace pořadí mezi rezidui a pozorováními všech vysvětlujících proměnných a testuje se
jejich významnost pomocí t-testu. Za předpokladu, že rex = 0 v základním souboru, testuje se
významnost spočteného výběrového rex na zvolené hladině významnosti pomocí
t = rex
(n − k )
1 − rex2
(6.2.2)
kde n - k je dostatečně velký počet stupňů volnosti. Je-li spočtená hodnota t větší než kritická
hodnota akceptuje se hypotéza heteroskedasticity, v opačném případě se nezamítne hypotéza
o homoskedasticitě.
6.2.2 Goldfeld - Quandtův test (parametrický)
Autoři Goldfeld a Quandt navrhli dva testy parametrický a neparametrický. Nejdříve
nastíním parametrický test.
Tento test je vhodný pro případ menšího počtu pozorování nebo nedostatečně se opakující
kombinace vysvětlujících proměnných a tehdy, když lze pozorování uspořádat podle rozptylů.
Jde především o případ, kdy zdrojem variability podmíněných rozdělení jsou hodnoty vysvětlujících proměnných ve formě σi2 = σ2xij , i = 1, 2, ..., n, j = 2, 3, ..., k, kde n je počet pozorování a k je počet parametrů. Testuje se H0 : σi2 = σ2 pro i = 1, 2, ..., n, proti
σ2 pro alespoň jedno i. Postup testu je následující:
- 51 -
H 1 : σ i2 ≠
a) Pozorování se uspořádají podle velikosti Xj (postupně pro všechna j = 2, 3, ..., k ).
b) Vypustí se prostředních c pozorování. Vypovídací schopnost testu je tím menší, čím ví-
ce se vypustí proměnných. Autoři uvádějí v případě jedné vysvětlující proměnné pro n =
30; c = 8 a pro n = 60; c = 16. Starší literatura méně častěji uvádí pro n = 30; c = 4 a pro
n = 60; c = 10.
c) Vypočítá se regresní funkce pro prvních (n - c)/2 pozorování a pro posledních (n - c)/2
pozorování.
d) Vypočítají se reziduální součty čtverců pro obě skupiny pozorování Qe,1 , Qe,2.
e) Veličina F = Qe,1 /Qe,2 má rozdělení F s (n - c - 2k)/2 a (n - c - 2k)/2 stupni volnosti (při
normalitě rozdělení rušivé složky a při platnosti hypotézy H0 : σi2 = σ2 pro i = 1, 2, ..., n ).
f) H0 : σi2 = σ2 pro i = 1, 2, ..., n se zamítá na hladině významnosti α pokud padá do kri-
tické oblasti. Zamítnutí H0 vyjadřuje nestejnou variabilitu náhodné složky při různých
hodnotách proměnné Xj. Tj. proměnná Xj je zřejmě zdrojem heteroskedasticity.
Goldfeld - Quandtův test je tím méně užitečný, čím menší je oprávnění uspořádat pozorování
podle velikosti rozptylů na základě hodnot jednotlivých vysvětlujících proměnných. Může
ovšem usnadnit rozhodnutí, zda určitá proměnná způsobuje heteroskedasticitu.
6.2.3 Goldfeld - Quandtův test (neparametrický)
Postup testu je následující:
a) Provede se regrese závisle proměnné na nezávisle proměnnou, která je podezřelá ze
způsobování heteroskedasticity.
b) Vytvoří se proměnné odpovídající absolutní hodnotě BLUS či jiných nezkorelovaných
reziduí.
c) Uspořádají se absolutní hodnoty reziduí podle vzestupně uspořádaných hodnot nezávisle
proměnné.
d) Definují se vrcholy jako absolutní hodnoty uspořádaných nezkorelovaných reziduí |ei|,
tak že |ei| > |ei´| pro všechna i´ < i.
f) Spočítá se počet vrcholů v seznamu uspořádaných absolutních hodnot nezkorelovaných
reziduí.
g) Srovná se počet vrcholů s kritickou hodnotou x, kde x je obvykle tabelovaná hodnota
distribuční funkce pro příslušné n.
- 52 -
Pokud je počet vrcholů buď příliš velký či malý, potom se zamítá hypotéza o homoskedasticitě. Významně vyšší počty vrcholů znamenají, že absolutní hodnoty reziduí rostou se vzrůstem
nezávisle proměnné. Významně malé počty vrcholů naopak znamenají, že absolutní hodnoty
reziduí klesají se vzrůstem nezávisle proměnné.
Tab.2: Distribuční funkce rozdělení vrcholů v případě homoskedasticity
P(počet vrcholů ≤ x )
n
x=0 x=1 x=2 x=3 x=4 x=5 x=6 x=7 x=8
0,2000
0,6167
0,9083
0,9917
1,0000
5
0,1000
0,3829
0,7061
0,9055
0,9797
0,9971
0,9997
1,0000
10
0,0667
0,2834
0,5833
0,8211
0,9433
0,9866
0,9976
0,9997
1,0000
15
0,0500
0,2274
0,5022
0,7530
0,9056
0,9720
0,9935
0,9988
0,9998
20
0,0400
0,1910
0,4441
0,6979
0,8705
0,9559
0,9879
0,9973
0,9995
25
0,0333
0,1654
0,4001
0,6525
0,8386
0,9395
0,9815
0,9953
0,9990
30
0,0286
0,1462
0,3654
0,6144
0,8098
0,9234
0,9745
0,9929
0,9984
35
0,0250
0,1313
0,3373
0,5818
0,7837
0,9078
0,9674
0,9903
0,9975
40
0,0222
0,1194
0,3138
0,5536
0,7600
0,8930
0,9601
0,9874
0,9966
45
0,0200
0,1096
0,2940
0,5288
0,7383
0,8788
0,9530
0,9844
0,9956
50
0,0182
0,1014
0,2769
0,5068
0,7184
0,8653
0,9456
0,9813
0,9944
55
0,0167
0,0944
0,2620
0,4871
0,7001
0,8524
0,9384
0,9780
0,9932
60
x = 9 x = 10
1,0000
0,9999
1,0000
0,9998
1,0000
0,9997
0,9999
0,9995
0,9999
0,9992
0,9998
0,9989
0,9998
0,9986
0,9997
0,9982
0,9996
Zdroj Goldfeld, Quandt, Some tests for homoscedasticity JASA(1965)
Pro pochopení uvádím příklad. Pokud v souboru o n = 15 je 7 vrcholů z výše uvedené tabulky
je vidět, že pravděpodobnost pro vyšší počet vrcholů než 7 je 0,0003, tedy zamítá se hypotéza o homoskedasticitě (při určité α). Pokud pro n = 15 jsou 3 vrcholy, pravděpodobnost pro
získání více než 3 vrcholů je 0,1789, je tedy možné učinit závěr, že proměnná se nepodílí na
heteroskedasticitě.
6.2.4 Breusch - Paganův test
V některých případech je třeba testovat hypotézu, že rozptyly jsou nějakou funkcí
(nikoliv nutně multiplikativní ) více než jedné vysvětlující proměnné. H0 : σi2 = σ2 pro i = 1,
2, ..., n, alternativou homoskedasticity je H1 : σi2 = h(zi´α) = h(α1 +zi*´α*) kde h je nějaká
funkce nezávislá na i, zi´ = (1, zi*´) = (1, zi2, zi3, ..., zis) je vektor vysvětlujících proměnných a
α´ = (α1, α*´) = (α1, α2, ..., αs) je vektor neznámých parametrů. Tato množina podmínek zahrhuje například i σi2 = exp(zi´α) jako zvláštní případ. Při nulové hypotéze a za předpokladu
normality ε má veličina
- 53 -
n
V = 1/2(Qc - Qe), kde Qc =
∑(y
− y)
i
i =1
2
(6.2.3)
a Qe je reziduální součet čtverců z rovnice
ei2
n
n = z i′α + vi ,
∑e
(6.2.4)
2
i
i =1
asymptoticky normální rozdělení χ2 (S - 1). Rezidua ei v rovnici (6.2.4) byla pořízena MNČ.
Pokud je V větší než kritická hodnota χ2 (S - 1) pak padá do kritického oboru a H0 se zamítá
a přijímá se alternativní hypotéza o heteroskedasticitě.
Poznámka
Několik statistiků ve svých pracech ukazuje, že Breuch - Paganův test zamítá nulovou hypotézu trochu častěji než indikuje vybraná chyba I. druhu. Tuto skutečnost je potřeba vzít v úvahu, když se stanovuje hladina významnosti. Tento test se někdy rovněž nazývá test Langrangeovými multiplikátory.
6.2.5 Bartlettův test
Jde o známý test o shodě rozptylů v m souborech, zde použitelný pro opakovaná pozorování, či rozdělení souboru do podskupin, za předpokladu stejných rozptylů uvnitř podskupin. Pokud je k dispozici M nezávislých, normálně rozdělených výběrů, kde máme ni pozorování v každém i-tém výběru (každý výběr má průměr a rozptyl ) potom test věrohodnostním poměrem pro H0 : σ12 = σ22 = ... = σm2 je
⎛S ⎞
u = ∑⎜ ⎟
i =1 ⎝ S ⎠
n
ni
(
2
i
2
ni
2
kde n s = ∑ yij − yi
2
i i
j =1
,
(6.2.5)
2
m
m
) , ns = ∑ n s , ∑ n
2
i =1
2
i i
i
=n
i =1
a yij, i = 1, 2, .., m; j = 1, 2, ..., ni jsou pozorování normálně rozdělených proměnných. Bartlett nahradil ni (ni - 1) a dělil konstantou proto, aby test zůstal nevychýlený a využil modifika-
- 54 -
ce -2logu, která má při platnosti nulové hypotézy přibližně rozdělení χ2 (m - 1). Což vedlo ke
statistice
m
M=
(n − m) log σ$ 2 − ∑ (ni − 1) log σ$ i2
i =1
⎡1
⎛
1
1 ⎞⎤
1 + ⎢ (m − 1)⎜ ∑
−
⎟⎥
⎝ i =1 ni − 1 (n − m) ⎠ ⎦
⎣3
m
,
(6.2.6)
kde
ni
(
(ni − 1)σ$ i2 = ∑ yij − yi
j =1
)
2
m
(
)
2
a ( n − m)σ$ 2 = ∑ ni − 1 σ$ i2
i =1
Při normálním rozdělení náhodné složky a při platnosti H0 má veličina M rozdělení
χ2(m -1). Pokud by byla regresní funkce dobře zvolena, bude variabilita kolem podmíněných
průměrů blízká variabilitě kolem regresní funkce.
Poznámka
Obdobou Bartlettova testu je Pearsonův test, kde za stejných předpokladů je v testovém statistice použito místo (ni - 1) ni .
6.2.6 BAMSET
Pod názvem BAMSET navrhuje Ramsey, Test for Specification Error in Classical
Linear Least Squares Regression Analysis, nahradit si2 a s2 v (6.2.5) odhady založenými na
BLUS reziduích. takže
vsi2 =
vi
∑ e~j2 , (n - k)s2 =
j =1
n−k
∑ e~j2 a
j =1
m
∑v
i
= n−k
(6.2.7)
i =1
vi je celé číslo rovné (n - k)/m. Pak při nulové hypotéze má -2log u asymptotické rozdělení
χ2(m - 1).V tomto případě se využila skutečnost, že β je konstantní mezi všemi skupinami a
pro všechna pozorování, nezávislost si2 je zajištěna použitím BLUS reziduí. Pokud by se testovala heteroskedasticita obecně, je volba počtu skupin libovolná. Ramsey doporučil rozdělit
výběr do tří nepřekrývajících se podsouborů jako kompromis mezi dostatečným počtem stupňů volnosti a dostatečným počtem pozorování v každé skupině. Skupiny jsou voleny přibližně
tak, aby 1/3 pozorování spadla do prvního podsouboru, prostřední třetina pozorování do dru- 55 -
hého podsouboru a zbytek do třetího podsouboru. Pomocí experimentů Monte Carlo se došlo
k zajímavému kontroverznímu závěru, že síla testu je vyšší pokud se použijí rezidua z MNČ,
než když se použijí BLUS rezidua.
6.2.7 F-test užívající BLUS rezidua
Tento test je v podstatě obdoba Goldfeld - Quandtova testu. Liší se tím, že místo reziduí z MNČ se používají BLUS rezidua. Díky nezávislosti reziduí, není nutné počítat dvě
regrese (pro první (n - c)/2 a pro poslední (n - c)/2 ) a tedy počítat dva reziduální součty čtverců. Což vede k růstu počtu stupňů volnosti. Používání BLUS reziduí vyžaduje rozdělení výběru do (n - k) a k pozorování. Pokud se předpokládá, že jsou pozorování uspořádána podle
vzrůstajícího rozptylu, bude mít testová statistika, uvedená například Szroeter, A Class of Parametric Tests, 1978 (při platnosti nulové hypotézy) F rozdělení s (n - k)/2 a (n - k)/2 stupni
volnosti.
6.2.8 F-test užívající rekurzivní rezidua
Harvey a Phillips, Estimation of Parameters in Heteroscedastic Regression model,
1974 navrhli používat místo BLUS reziduí rezidua rekurzivní, což povede k F statistice, která
má při nulové hypotéze stejné rozdělení jako v předcházejícím případě. Ve dvou případech a
to σi2 je úměrné některé z vysvětlujících proměnných a σi2 je úměrné čtverci některé z vysvětlujících proměnných srovnávali sílu testu s Goldfeld - Quandtovým testem a F testem s BLUS
rezidui. Dospěli k závěru, že zde jde jen o malý rozdíl a obhajují použití rekurzivních reziduí
z důvodu jejich výpočetní jednoduchosti.
- 56 -
6.3 Závěr k testování heteroskedasticity
Mezi hlavní oblasti zájmu při tvorbě regresního modelu patří například, jak heteroskedasticitu testovat, jak zkonstruovat model, pokud se prokáže její přítomnost a jak případně
odhadnout parametry tohoto modelu. Je nutné říci, že neexistuje nějaký přesný recept jak postupovat při testování a tvorbě regresního modelu. Volba jednotlivých procedur záleží na
„podstatě“ modelu a neznámých hodnotách parametrů.
Když se pracuje s průřezovými daty, je velmi dobré použít některý test heteroskedasticity, jelikož pro průřezová data je heteroskedasticita typická. Ukazuje se ovšem, že se heteroskedasticita objevuje i v údajích z časových řad (i když v menší míře). Jakou testovou proceduru použít závisí na a priorních předpokladech o formě heteroskedasticity. Pokud se například dá odůvodněně očekávat některá z forem popsaných v předcházejících kapitolách, pak
nejsilnějším testem bude pravděpodobně ten postavený proti konkrétní alternativě σι2 = f(z1,
z2, ..., zs).
Pokud je důvod se domnívat, že velikost rozptylu je v přímé vazbě na jednu z vysvětlujících proměnných, nebo nějaké jiné exogenní proměnné, ale dále se nepředpokládá žádná
konkrétní forma heteroskedasticity, je možné použít například Goldfeld - Quandtův test, Ftest užívající BLUS rezidua nebo rekurzivní rezidua.
Jestliže rozptyl závisí více než na jedné vysvětlující proměnné a proměnné se ne vždy
mění stejným směrem, je nemožné uspořádat pozorování podle vzrůstajícího rozptylu. V tomto případě je možné použít Breusch - Paganův test.
V případě, že nejsou k dispozici žádné a priori informace o tom jak se může rozptyl
měnit, ale je z nějakých důvodů opodstatněné heteroskedasticitu otestovat, je možné použít
například Bartlettův test, Goldfeld - Quandtův test, F-test užívající BLUS či rekurzivní rezidua. Ovšem není namístě příliš velký optimismus, co se týče síly testů.
Pokud testování „prokáže“ že heteroskedasticita je přítomna, potom je obvykle nutné
vybrat její konkrétní formu. A opět platí, že pokud se a priori uvažovala nějaká konkrétní
forma, tak se tento předpoklad použije pro transformaci modelu.
- 57 -
7 Experimenty
Vlastnosti EGLS v konečných výběrech nejsou obecně odvoditelné. Je pouze možné
spoléhat se na asymptotické vlastnosti a pro konečné výběry na výsledky simulačních experimentů. Tyto experimenty jsou, ale pouze konkrétními specifickými modely a je tedy „nebezpečné“ provádět obecná zevšeobecnění. Nicméně se ukazuje, že odhady EGLS budou častěji „lepší“ než odhady MNČ, alespoň pro větší rozsahy výběrů. Je jasné, že to neplatí vždy.
Hlavním záměrem 10-ti výběrových experimentů je zjistit „relativní“ vydatnost a
empirické vychýlení několika odhadových procedur za přítomnosti heteroskedasticity. Dále
jsem se zaměřil na schopnosti indikace tří testů pro zjišťování heteroskedasticity.
Podmínky experimentů
Jako základní rovnici jsem použil
yi = β1 + β2xi + εi,
(7.1)
kde εi jsou normálně rozděleny náhodné složky se střední hodnotou 0 a rozptylem
σi2 = α1 + α2xi + α3xi2.
(7.2)
Vysvětlující proměnné jsem generoval buď z rovnoměrného rozdělení R(20,100) nebo z lognormálního rozdělení LN(50,10). Rovnoměrné rozdělení jsem použil v experimentech I, II,
III, IV, VI, VIII, X a log-normální rozdělení v experimentech V, VII, IX.
Pro každý experiment I-X jsem nageneroval rozptyly σi2 z rovnice (7.2), kde jsem v každém
experimentu použil určité α1, α2, α3 podle tabulky 7.1. Náhodné veličiny Y jsem poté vypočítal z (7.1) dosazením X a ε, kde jsem opět za β1 a β2 dosadil konkrétní hodnoty. Ve všech experimentech jsem uvažoval β1 = 4 a β2 = 2.
Každý experiment jsem prováděl pro dvě velikosti výběru a) n = 30 (reprezentuje
malý výběr) a b) n = 100. Přičemž u každého experimentu pro obě velikosti výběru jsem provedl 100 opakování.
V rámci každého experimentu, oba rozsahy výběru a každé opakování jsem provedl
odhad parametrů β1 a β2 následujícími metodami:
- 58 -
1) MNČ
2) MZNČ
3) MZNČ/X2
4) Glejserovou metodou
5) Modifikovanou Glejserovou metodou (pouze u VI, VII, VIII).
MNČ nepotřebuje snad další vysvětlování, podrobně jsem se jí zabýval v kapitole 2.
MZNČ je možné použít pouze teoreticky, protože znám skutečnou formu rozptylu. V praxi
tato situace nemůže nastat. Výsledky této metody slouží pro srovnání s ostatními metodami.
MZNČ/X2 chybně předpokládá, že rozptyl náhodné složky je ve tvaru σi2 = σ2xi2, což odpovídá váze 1/x. Glejserova a modifikovaná Glejserova metoda jsou metody tříkrokové. Prvním
krokem je MNČ ze které se spočítají rezidua. Ve druhém kroku Glejserova metoda užívá
absolutní hodnoty reziduí z MNČ jako závisle proměnnou a modifikovaná Glejserova metoda
užívá druhou mocninu reziduí. Třetí krok je MZNČ, kde se použijí odhady rozptylů na základě odhadu parametrů z druhého kroku. V případě, že odhady parametrů α1 a α2 nejsou významné nebo je významný pouze odhad pro α1 použije se odhad z MNČ, pokud je významný
odhad pro α2 použije se odhad z MZNČ/X2. A pokud jsou významné α1 i α2 použije se jako
váha 1/(α1 + α2xi). V případě modifikované Glejserovy metody vzniká ovšem velký problém,
někdy se stává, že odhady rozptylů jsou záporné. Tuto situaci jsem se pokusil vyřešit né zcela
korektně tím, že místo záporných rozptylů jsem nepoužil váhu žádnou.
Kromě toho jsem pro každý experiment, velikost výběru a opakování spočítal hodnoty testových statistik Goldfeld-Quandtova testu (G-Q) a Breusch-Paganova testu (B-P) a klasickými t-testy jsem testoval významnost odhadů parametrů α1 a α2 z Glejserovy a modifikované Glejserovy metody. Hladina významnosti byla vždy u všech testů α = 5%. Pro odhady
β1 a β2 jsem spočítal pro každý experiment, velikost výběru a odhadovou metodu střední vychýlení (mean bias, MB) a střední čtvercovou chybu (mean square error, MSE) podle vzorců:
∑ β$
MB =
MSE =
j
100
j
−β
∑ ( β$ j − β )
(7.3)
2
j
(7.4)
100
- 59 -
Jako míry relativní vydatnosti jsem použil poměr střední čtvercové chyby odhadu parametrů pro každou metodu odhadu a střední čtvercové chyby z MZNČ. Tab. 7.1 shrnuje výše
uvedené do přehledné podoby.
Tab.7.1: Předpoklady experimentů I-X
Experiment
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
Skutečné hodnoty parametrů
Předpoklad nenulových
parametrů při odhadu
β1
β2
α1
α2
α3
α1
α2
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
20
10
10
10
10
20
0
20
20
0
0
0
1
0
0,2 0,4
0,5 0
0,5 0
2
0
2
0
0,1 0,4
0,1 0,4
0,2 0
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Počet
opakování
n
Rozdělení
α3
*
*
*
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
R(20,100)
R(20,100)
R(20,100)
R(20,100)
LN(50,10)
R(20,100)
LN(50,10)
R(20,100)
LN(50,10)
R(20,100)
Poznámka
Například v experimentu I byly náhodné složky generovány z rozdělení N(0,20), σi2 = 20, ale
v odhadovacích procesech jsem předpokládal σi2 = α1 +α2xi. V experimentu VI byly rozptyly
náhodných složek generovány z rovnice σi2 = 20 + 2xi , ale v odhadovacím procesu se předpokládá σi2 = α1 + α2xi + α3xi2. Nejdůležitější výsledky 10-ti provedených experimentů uvádím v následujících podkapitolách 7.1 - 7.10 v přehledných tabulkách s krátkým komentářem. Výsledky takto provedených experimentů, tj. odhady parametrů β1 a β2 pro každou uvedenou metodu a dva rozsahy výběru uvádím v příloze této diplomové práce.
- 60 -
7.1 Experiment I
Předpoklad tohoto experimentu je v tabulce 7.1. Tento experiment jsem provedl proto, abych si ověřil hladinu významnosti jednotlivých testů a získal určitou představu o ztrátě
vydatnosti, která je spojena s odhadem nadbytečného parametru. Ve skutečnosti je experiment
I případ homoskedastických náhodných složek, kde jsem ale v rámci experimentu nesprávně
předpokládal σi2 = α1 +α2xi . V tomto experimentu by MNČ a MZNČ měly poskytovat stejné
výsledky, což tabulky I.1 - I.3 potvrzují.
Tab. I.1: Střední vychýlení (mean bias)
n = 30
n = 100
metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ
MZNČ
MZNČ/X2
Glejser
-0,00554
-0,00554
-0,00825
-0,00544
0,290066
0,290066
0,442201
0,285113
-0,00148
-0,00148
-0,00102
-0,00156
0,06334674
0,06334674
0,03974126
0,06766098
Tab. I.1 ukazuje střední vychýlení. Je vidět, že větší rozsah výběru má za následek menší
střední vychýlení, přičemž vychýlení je větší u odhadu parametru β1 ve všech metodách a
obou velikostech výběrů.
Tab. I.2: Střední čtvercová chyba (mean
square error)
n = 30
n = 100
metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ
MZNČ
MZNČ/X2
Glejser
0,001161
0,001161
0,002136
0,001177
5,150108
5,150108
8,216973
5,145009
0,000421
0,000421
0,000661
0,000419
1,34535936
1,34535936
1,84668169
1,34596752
Tab. I.3: Relativní vydatnost (relative efficiency)
n = 30
n = 100
metoda
β2
β1
β2
β1
1
1
1
1
MNČ
2
MZNČ/X 1,840589 1,595495 1,570605 1,3726308
Glejser 1,014178 0,99901 0,99697 1,00045204
Tab. I.3 ukazuje relativní vydatnost měřenou poměrem střední čtvercové chyby odhadu
každé metody a střední čtvercové chyby odhadu z MZNČ. MNČ a MZNČ jsou totožné co do
- 61 -
relativní vydatnosti. Nesprávné použití MZNČ/X2 má za následek ztrátu na vydatnosti pro
odhad β2 u n = 100 57 %. V případě Glejserovy procedury u n = 100 je odhad pro β2 mírně
vydatnější než odhad pro β2 z MZNČ, odhad pro β1 je naopak trochu méně vydatný než
MZNČ. U n = 30 je tomu právě naopak.
metoda
Glejser α1
Glejser α2
G-Q test
B-P test
Tab. I.4: Procentní významnost
n = 30
n = 100
76
100
5
5
9
8
6
5
Tab. I.4 ukazuje v jakém rozsahu jednotlivé metody resp. testy odkrývají heteroskedasticitu, která samozřejmě v tomto experimentu není přítomna. V případě Glejserovy metody je
odhad parametru α2 významný v 5% opakování na 5% hladině významnosti u n = 100 i
n = 30. Pro n = 30 G-Q test indikuje heteroskedasticitu v 9% a B-P test v 6% opakování. Pro
n = 100 G-Q test indikuje heteroskedasticitu v 8% a B-P test v 5% opakování. Dá se tedy říci,
že shoda mezi četností chyby 1. druhu a teoretickou hladinou významnosti je velmi dobrá.
7.2 Experiment II
Předpoklady experimentu jsou uvedeny v tabulce 7.1. Výsledky experimentu II jsou
uvedeny v tabulkách II.1 - II.4.
Tab. II.1: Střední vychýlení (mean bias)
n = 30
n = 100
metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ
MZNČ
MZNČ/X2
Glejser
-0,00229
-0,00299
-0,00477
0,001574
0,010743
0,054502
0,148425
-0,20667
-0,00558
-0,00535
-0,00606
-0,00483
0,22697885
0,21393096
0,2476656
0,1855298
Střední vychýlení z tabulky II.1 je u n = 100 u všech metod srovnatelné, poněkud lepší výsledky při odhadu obou parametrů β1 a β2 poskytuje Glejserova metoda. Celkově nejhorší je u
obou odhadů parametrů MZNČ/X2. Rozdíly jsou ovšem minimální.
- 62 -
Tab. II.2: Střední čtvercová chyba (mean
square error)
n = 30
n = 100
metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ
MZNČ
MZNČ/X2
Glejser
0,004049
0,003994
0,005552
0,004216
13,27101
13,31677
18,11613
13,75524
0,001214
0,001139
0,001538
0,001207
3,23398198
2,95453224
3,73246624
3,22441718
Tab. II.3: Relativní vydatnost (relative efficiency)
n = 30
n = 100
metoda
β2
β1
β2
β1
1,013805 0,996564 1,06519 1,09458341
MNČ
2
MZNČ/X 1,389916 1,3604 1,349723 1,26330191
Glejser 1,055639 1,032926 1,059209 1,09134608
Střední čtvercová chyba v tabulce II.2 je opět nižší u všech odhadovaných parametrů pro
větší rozsah výběru. Z hlediska relativní vydatnosti poskytuje nejhorší výsledky u obou rozsahů výběrů pro oba odhady parametrů MZNČ/X2, pro odhad β2 u n = 100 činí ztráta na vydatnosti 35% vůči MZNČ. Glejserova metoda a MNČ se liší u velkého rozsahu výběru minimálně.
metoda
Glejser α1
Glejser α2
G-Q test
B-P test
Tab. II.4: Procentní významnost
n = 30
n = 100
23
78
22
67
33
82
23
71
Z hlediska indikace heteroskedasticity je u obou rozsahů výběrů nejlepší G-Q test, který
odhaluje pro n =100 heteroskedasticitu v 82% opakování. B-P test je o trochu horší a indikuje
jen 71% opakování. V malém rozsahu je schopnost všech testů výrazně nižší a myslím si, že
ani jeden z testů neposkytuje uspokojivé výsledky.
- 63 -
7.3 Experiment III
Předpoklad experimentu je uveden v tabulce 7.1. Experiment III se snaží nastínit
problém chybné specifikace rozptylů náhodných složek. Ze specifikace rozptylu byl vynechán
vliv funkce X2, neuvažuje se tedy parametr α3. Vynechání proměnné ze specifikace je mnohem horší chyba, než zařazení proměnné navíc. Výsledky experimentu ukazují tabulky III.1 III.4.
Tab. III.1: Střední vychýlení (mean bias)
n = 30
n = 100
metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ
MZNČ
MZNČ/X2
Glejser
-0,00733
0,006553
0,006802
-0,00857
0,923908
0,131721
0,118089
0,993449
-0,01371
-0,01069
-0,01065
-0,01065
0,5042053
0,3435143
0,34184795
0,34184795
Střední vychýlení je největší u n = 30 v případě Glejserovy metody, která je následována
MNČ, rozdíl je zvláště patrný u odhadu pro β1. U velkého rozsahu je vychýlení odhadu pro β2
téměř rovnocenné u všech metod. Výsledky jsou v tabulce III.1.
Tab. III.2: Střední čtvercová chyba (mean
square error)
n = 30
n = 100
metoda
β2
MNČ
MZNČ
MZNČ/X2
Glejser
0,090712
0,062809
0,062895
0,076471
β1
β2
β1
222,6272 0,034523 80,7128492
133,5536 0,020872 42,1340249
133,5228 0,02097 42,280805
180,4051 0,02097 42,280805
Tab. III.3: Relativní vydatnost (relative
efficiency)
n = 30
n = 100
metoda
β2
β1
β2
β1
1,444261 1,66695 1,654018 1,91562162
MNČ
2
MZNČ/X 1,00138 0,999769 1,004674 1,00348365
Glejser 1,217531 1,350807 1,004674 1,00348365
Výsledky v tabulce III.3 ukazují, že MZNČ/X2 se jen minimálně liší od MZNČ. U velkého
rozsahu n = 100 je MZNČ/X2 identická s Glejserovou metodou, což vyplývá z tabulky III.4.
V případě parametru β2 a n = 100 je MNČ o 65% méně vydatná než MZNČ.
- 64 -
metoda
Glejser α1
Glejser α2
G-Q test
B-P test
Tab. III.4: Procentní významnost
n = 30
n = 100
2
0
61
100
81
100
70
100
Z tabulky III.4 vyplývá, že u n = 100 odhalují nějakou formu heteroskedasticity B-P i G-Q
test ve 100% opakování. Glejserův test je rovněž úspěšný pro n = 100 ve 100%, indikovaná
heteroskedasticita je ovšem v jiné než předpokládané formě. V rozsahu n = 30 se jako nejlepší indikátor v tomto experimentu jeví G-Q test s 81% indikací heteroskedasticity na 5% hladině významnosti.
7.4 Experiment IV
Předpoklady experimentu jsou uvedeny v tabulce 7.1.
Experiment IV je obdobný experimentu II, liší se pouze „stupněm“ heteroskedasticity, kde u
experimentu II se α2 = 1 a u experimentu IV je α2 = 0,5.
Výsledky jsou uvedeny v tabulkách IV.1 - IV.4.
Tab. IV.1: Střední vychýlení (mean bias)
n = 30
n = 100
metoda
β2
MNČ
MZNČ
MZNČ/X2
Glejser
-0,00591
-0,00632
-0,00648
-0,00546
β1
β2
β1
0,200935 0,000838 -0,0515237
0,228291 0,00024 -0,0177477
0,236428 -0,0014 0,06121797
0,175802 0,000326 -0,0285076
Při malém rozsahu výběru n = 30 má nejmenší vychýlení Glejserova metoda a to pro oba
parametry β1 a β2, ovšem vychýlení ostatních metod je pouze o trochu horší. Při rozsahu výběru n = 100 je z hlediska vychýlení nejhorší MZNČ/X2 a to pro oba parametry. Vychýlení
je ale minimální a s růstem n klesá.
- 65 -
Tab. IV.2: Střední čtvercová chyba (mean
square error)
n = 30
n = 100
metoda
β2
β1
β2
β1
0,002843 9,99175 0,000709 2,0929462
MNČ
0,00277 10,11343 0,000686 1,99109173
MZNČ
MZNČ/X2 0,002785 10,092 0,000978 2,67225146
Glejser 0,002949 10,16582 0,000706 2,08906156
Tab. IV.3: Relativní vydatnost (relative
efficiency)
n = 30
n = 100
metoda
β2
β1
β2
β1
1,026221 0,987968 1,034391 1,05115509
MNČ
2
MZNČ/X 1,005343 0,99788 1,426749 1,34210364
1,06429 1,00518 1,029477 1,04920408
Glejser
Tab. IV.2 zachycuje střední čtvercovou chybu jednotlivých metod a Tab. IV.3 ukazuje relativní vydatnost metod. Pro n = 30 se jako relativně nejvydatnější vůči MZNČ jeví
MZNČ/X2, naopak pro n = 100 se zdá, že je nejhorší, kde ztráta na vydatnosti odhadovaných parametrů činí pro β1 a β2 maximálně 43%.
metoda
Glejser α1
Glejser α2
G-Q test
B-P test
Tab. IV.4: Procentní významnost
n = 30
n = 100
38
89
17
59
22
68
13
63
Pro n = 30 všechny testy hrubě selhaly při indikaci heteroskedasticity. G-Q test odhalil heteroskedasticitu pouze v 22% a B-P dokonce jen v 13% opakování. Pro n = 100 je situace
příznivější. G-Q test byl úspěšný v 68% opakování a B-P test v 63% opakování. Při srovnání
tabulky IV.4 s tabulkou II.4, je vidět, že testy byly mírně úspěšnější při odhalování „silnějšího“ stupně heteroskedasticity v experimentu II. Neúspěch testovacích metod bych přisoudil
právě tomuto slabému stupni heteroskedasticity.
- 66 -
7.5 Experiment V
Předpoklad experimentu je uveden v tabulce 7.1.
Experiment V je obdoba experimentu IV, s tím rozdílem, že X bylo generováno nikoliv z rovnoměrného rozdělení, ale z lognormálního rozdělení LN(50,10). Výsledky experimentu V
jsou v tabulkách V.1 - V.4.
Tab. V.1: Střední vychýlení (mean bias)
n = 30
n = 100
metoda
MNČ
MZNČ
MZNČ/X2
Glejser
β2
β1
β2
β1
0,010618 -0,56673 0,002389 -0,0746877
0,017486 -0,92156 0,001775 -0,0439988
0,019219 -1,0101 0,001667 -0,038727
0,012458 -0,65997 0,003468 -0,1268894
Z tabulky V.1 pro n = 30 má největší vychýlení MZNČ/X2, pro n = 100 Glejserova metoda, pro odhad parametru β2 se ovšem střední vychýlení liší až na 3. desetinném místě. Rozdíly jsou tedy minimální.
Tab. V.2: Střední čtvercová chyba (mean
square error)
n = 30
n = 100
metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ
MZNČ
MZNČ/X2
Glejser
0,012289
0,012444
0,012302
0,013161
32,84676
33,43678
33,01985
35,02693
0,002864
0,002548
0,002679
0,003151
6,64312859
5,82774191
6,06624896
7,26714163
Tab. V.3: Relativní vydatnost (relative efficiency)
n = 30
n = 100
metoda
β2
β1
β2
β1
0,987511 0,982354 1,124043 1,13991469
MNČ
MZNČ/X2 0,988597 0,987531 1,051663 1,04092615
Glejser 1,057607 1,047557 1,236706 1,24699098
Pro malé výběry n = 30 je MNČ a MZNČ/X2 mírně relativně vydatnější než MZNČ, pro
n = 100 tato skutečnost mizí a relativně nejvydatnější vůči MZNČ je MZNČ/X2, ztráta na
vydatnosti u odhadu parametru pro β2 je 5,1% u β1 4.1%. Jako relativně nejméně vydatná se
- 67 -
jeví Glejserova metoda u odhadu pro parametr β2, číní ztráta, ale jen necelých 24% a pro β1
24.7%.
metoda
Glejser α1
Glejser α2
G-Q test
B-P test
Tab. V.4: Procentní významnost
n = 30
n = 100
13
45
8
24
10
29
5
22
Při indikaci heteroskedasticity všechny testy selhaly, situace je mírně příznivější pro n =
100, ovšem i v tomto větším rozsahu výběru G-Q test přítomnost heteroskedasticity odhalil
jen v 29% opakování. Důvod může být opět ve „slabším“ stupni heteroskedasticity.
7.6 Experiment VI
Předpoklad experimentu VI jsem uvedl v tabulce 7.1. V experimentu VI jsem ve skutečnosti odhadoval nadbytečný parametr α3 v rovnici (7.2). Skutečné rozptyly náhodných
složek jsem ale generoval z rovnice σi2 = 20 + 2xi. V tomto experimentu poprvé používám
ještě tzv. modifikované Glejserovy metody. Výsledky experimentu jsou uvedeny v tabulkách
VI.1 - VI.4.
Tab. VI.1: Střední vychýlení (mean bias)
n = 30
n = 100
metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ
MZNČ
MZNČ/X2
Glejser
MOD.Glejser
0,020406
0,019373
0,017997
0,020826
0,02066
-1,14285
-1,0783
-1,00575
-1,16257
-1,16281
-0,0048
-0,003
0,000754
-0,0045
-0,00433
0,34799915
0,24582935
0,0679026
0,33347294
0,31990461
Z tabulky VI.1 má nejmenší střední vychýlení MZNČ/X2 a to pro oba rozsahy výběru i pro
oba odhadované parametry β1, β2. Rozdíly mezi jednotlivými metodami jsou ovšem nepatrné,
liší se až na 3. či čtvrtém desetinném místě pro β2 u n = 100.
- 68 -
Tab. VI.2: Střední čtvercová chyba (mean square error)
n = 30
n = 100
metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ
MZNČ
MZNČ/X2
Glejser
MOD.Glejser
0,009896
0,008554
0,009595
0,009157
0,009888
32,68185
27,77238
30,64568
30,44872
32,62345
0,002582
0,002332
0,002911
0,002428
0,002525
7,32408255
6,42136595
7,54145205
7,10102776
7,22528753
Tab. VI.3: Relativní vydatnost (relative
efficiency)
n = 30
n = 100
metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ
MZNČ/X2
Glejser
MOD.Glejser
1,156849
1,121759
1,07046
1,156001
1,176775
1,103459
1,096367
1,174672
1,107343
1,248408
1,041292
1,08271
1,14058015
1,17443113
1,10584381
1,12519479
Z tabulky VI.3 je vidět, že relativně nejvydatnější je Glejserova metoda, která ztrácí u odhadu pro β2 n = 100 pouze 4,1% vydatnosti a pro β1 10.6% vydatnosti.
metoda
Glejser α1
Glejser a2
M. Glej.α1
M. Glej.a2
M. Glej.α3
G-Q test
B-P test
Tab. VI.4: Procentní významnost
n = 30
n = 100
27
86
22
60
1
1
2
8
2
7
27
73
7
38
Z hlediska testů heteroskedasticity Glejserův test odkrývá nějakou formu heteroskedasticity (heteroskedasticitu jiného typu než z jakého byly generovány rozptyly pro náhodné složky)
v 60% opakování pro n = 100. Pro n = 100 G-Q test indikuje heteroskedasticitu v 73% opakování, ovšem B-P test jen v 38% opakování. U n = 30 je „nejúspěšnější“ G-Q test, ale 27%
indikaci lze jen stěží považovat za úspěch. Modifikovaný Glejserův test úplně selhal.
- 69 -
7.7 Experiment VII
Předpoklady experimentu jsou uvedeny v tabulce 7.1. V experimentu VII odhaduji navíc v
rovnici (7.2) parametry α1 a α3, ve skutečnosti je jen α2 = 2. Výsledky jsou presentovány v
tabulkách VII.1 - VII.4.
Tab. VII.1: Střední vychýlení (mean bias)
n = 30
n = 100
metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ
MZNČ
MZNČ/X2
Glejser
M.Glejser
0,010124
0,008059
0,006211
0,010159
0,010921
-0,34859
-0,24036
-0,14665
-0,35124
-0,38974
0,004514
0,004912
0,005919
0,005618
0,00264
-0,2342349
-0,2541271
-0,3015734
-0,287061
-0,1453606
Nejméně vychýlené odhady poskytuje MZNČ, MZNČ/X2 a modifikovaná Glejserova metoda. Tyto metody se v tomto experimentu liší z hlediska středního vychýlení jen minimálně
viz tab. VII.1, s rozsahem výběru vychýlení klesá. Nutno říci, že pomaleji než v předchozích
experimentech.
Tab. VII.2: Střední čtvercová chyba (mean
square error)
n = 30
n = 100
metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ
MZNČ
MZNČ/X2
Glejser
M.Glejser
0,042371
0,038877
0,038314
0,04141
0,042164
110,1093
101,5966
101,0076
107,8395
109,6024
0,009339
0,008169
0,008454
0,009019
0,008805
23,031664
20,1039883
20,6162466
22,1823973
21,7904081
Tab. VII.3: Relativní vydatnost (relative
efficiency)
n = 30
n = 100
metoda
MNČ
MZNČ/X2
Glejser
M.Glejser
β2
β1
β2
β1
1,089856 1,08379 1,143194 1,14562661
0,985521 0,994203 1,034813 1,02548044
1,065147 1,061448 1,104032 1,10338292
1,084554 1,0788 1,077777 1,08388484
Z tabulky VII.2 a VII.3 je opět vidět, že relativně nejvydatnější vůči MZNČ je MZNČ/X2,
která je téměř stejně relativně vydatná jako MZNČ, pro n = 30 je dokonce mírně relativně
- 70 -
vydatnější. Pro obě velikosti výběru se jako relativně nejméně vydatná zdá MNČ, její ztráta
číní přibližně 14.6% pro n = 100 u obou odhadů parametrů β1,β2 a s růstem výběru její ztráta
roste.
metoda
Glejser α1
Glejser α2
M. Glej.α1
M.Glej.α2
M.Glej.α3
G-Q test
B-P test
Tab. VII.4: Procentní významnost
n = 30
n = 100
9
34
16
27
1
3
1
5
2
7
17
43
5
17
Ani jeden z testů neposkytuje uspokojivé výsledky, mírně příznivější jsou závěry pro n =
100. V tomto případě Glejserův test indikuje tuto formu heteroskedasticity pouze u 27% opakování, G-Q test v 43% opakování a B-P test jen v 17% opakování. Důvod bude pravděpodobně opět relativně „slabý“ stupeň heteroskedasticity v nagenerovaných datech.
7.8 Experiment VIII
Předpoklady experimentu VIII jsou uvedeny v tabulce 7.1. a výsledky jsou uvedeny
v tabulkách VIII.1 - VIII.4.
Tab. VIII.1: Střední vychýlení (mean bias)
n = 30
n = 100
metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ
MZNČ
MZNČ/X2
Glejser
M.Glejser
0,038864
0,034801
0,034759
0,033357
0,041391
-1,33839
-1,1053
-1,10285
-1,01314
-1,48395
0,025367
0,036635
0,01011
0,012021
0,031775
-0,6914226
-1,439939
0,07510731
-0,0178156
-1,0307752
Pro malé rozsahy výběru n = 30 jsou vychýlení nejmenší pro Glejserovu metodu u obou
odhadů parametrů β1, β2. Pro n = 100 má Glejserova metoda vychýlení rovněž nejnižší resp.
druhé nejnižší pro oba odhady parametrů β1, β2. Obecně je vychýlení větší pro odhad parametru β1.
- 71 -
Tab. VIII.2: Střední čtvercová chyba (mean square error)
n = 30
n = 100
metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ
MZNČ
MZNČ/X2
Glejser
M.Glejser
0,085666
0,058328
0,058548
0,066874
0,085101
206,2845
117,2704
118,1336
142,1648
204,7092
0,032607
0,049566
0,020545
0,021585
0,03111
65,889106
96,9719348
37,496156
39,3920531
60,8780601
Tab. VIII.3: Relativní vydatnost (relative
efficiency)
n = 30
n = 100
metoda
β2
β1
β2
β1
1,468702 1,75905 0,657863 0,67946573
MNČ
MZNČ/X2 1,003784 1,007361 0,414509 0,38667019
1,14653 1,212282 0,435489 0,40622117
Glejser
M.Glejser 1,459017 1,745617 0,627644 0,62779051
Relativní vydatnost z tabulky VIII.3 pro n = 100 mě osobně překvapila, protože všechny
zde použité metody jsou výrazně relativně vydatnější než MZNČ. Ztráta MZNČ činí až 163%
u obou odhadů parametrů vůči MZNČ/X2. Pro n = 30 se zdá jako relativně nejvydatnější vůči
MZNČ MZNČ/X2, ztráta jen 0,3%. Pro n = 100 je rovněž relativně nejvydatnější a je výrazně
vydatnější i než MZNČ!!.
metoda
Glejser α1
Glejser α2
M.Glej.α1
M.Glej.α2
M.Glej.α3
G-Q test
B-P test
Tab. VIII.4: Procentní významnost
n = 30
n = 100
1
3
66
100
0
5
3
10
8
15
85
100
52
100
V tabulce VIII.4 jsou výsledky testování experimentu VIII. Glejserův test pro n = 30 indikuje heteroskedasticitu v 66% opakování, pro n = 100 indikuje heteroskedasticitu ve 100%
opakování, nutno podotknout, že jiné formy, než z jaké byly původní data generována. Pro n
= 30 indikuje G-Q test heteroskedasticitu v 85% a B-P test v 52% opakování. S rostoucím n
=100 je indikace obou testů 100%.
- 72 -
7.9 Experiment IX
Předpoklady experimentu IX jsou uvedeny v tabulce 7.1. Na rozdíl od experimentu
VIII se zde neuvažuje α3. Vynechání parametru, jak jsem už jednou uvedl, je mnohem závažnější problém, než odhad nadbytečného parametru. Výsledky jsou uvedeny v tabulkách IX.1 IX.4.
Tab. IX.1: Střední vychýlení (mean bias)
n = 30
n = 100
metoda
MNČ
MZNČ
MZNČ/X2
Glejser
β2
β1
β2
β1
0,017063 -2,0475 0,017744 -0,723758
-0,03382 0,572309 -0,00486 0,44144267
-0,03535 0,650484 -0,01506 0,87055554
0,013298 -1,9521 -0,01004 0,60275723
Pro n = 30 se největší střední vychýlení pro β1 zdá být u MNČ činí až -2,04, která je následována Glejserovou metodou. MNČ poskytuje i nejvíce vychýlený odhad pro β2 při n =
30. Totéž platí i pro n = 100, ale střední vychýlení s rozsahem výběru viditelně klesá.
Tab. IX.2: Střední čtvercová chyba (mean
square error)
n = 30
n = 100
metoda
β2
β1
β2
β1
0,565574 1431,606 0,119764 266,994927
MNČ
MZNČ 0,484059 1206,799 0,170236 371,526759
MZNČ/X2 0,48397 1206,334 0,093667 205,98019
Glejser 0,599064 1487,88 0,109298 241,356623
Tab. IX.3: Relativní vydatnost (relative
efficiency)
n = 30
n = 100
metoda
β2
β1
β2
β1
1,168399 1,186284 0,703517 0,71864252
MNČ
2
MZNČ/X 0,999817 0,999615 0,550221 0,55441549
Glejser 1,237585 1,232915 0,642037 0,64963456
Tab. IX.3 ukazuje relativní vydatnost jednotlivých metod. Pro n = 30 je relativně nejvydatnější MZNČ/X2 a je dokonce i relativně vydatnější než MZNČ. Pro n = 100 platí totéž.
Zatímco pro n = 30 je MZNČ/X2 pouze mírně vydatnější než MZNČ, pro n = 100 MZNČ
ztrácí výrazně na vydatnosti vůči všem ostatním metodám. Hlavní důvod tohoto problému
- 73 -
bych viděl v tom, že vliv parametrů α1, α2 na stupeň heteroskedasticity je relativně malý, ale
právě zařazení X2 do modelu vyjadřuje změny nejlépe. Ostatní metody chybně nezařazují α3.
Ukazuje se, že nezařazení proměnné do modelu je skutečně velká chyba.
metoda
Glejser α1
Glejser α2
G-Q test
B-P test
Tab. IX.4: Procentní významnost
n = 30
n = 100
6
9
18
73
23
86
22
81
Pro n = 30 Glejserův test indikuje heteroskedasticitu v 18% opakování, G-Q test ve 23% a
B-P test ve 22% opakování. Pro n = 100 jsou výsledky výrazně lepší, Glejserův test je úspěšný v 73%, G-Q test v 86% a B-P test v 81% opakování.
7.10 Experiment X
Předpoklady experimentu X jsou uvedeny v tabulce 7.1. V rámci tohoto experimentu
mylně předpokládám existenci α1, α2, přestože ve skutečnosti existuje jen α2 . Výsledky jsou
uvedeny v tabulkách X.1 - X.4.
Tab. X.1: Střední vychýlení (mean bias)
n = 30
n = 100
metoda
β2
MNČ
MZNČ
MZNČ/X2
Glejser
-0,00043
-0,00035
-0,00049
-0,00049
β1
β2
β1
-0,07448 -0,00116 0,03957342
-0,07934 -0,00116 0,0352503
-0,07251 -9E-06 -0,0178949
-0,07166 -0,00099 0,03209744
Střední vychýlení v tabulce X.1 je velmi nízké u obou rozsahů výběrů a obou odhadů parametrů u všech metod.
Tab. X.2: Střední čtvercová chyba (mean
square error)
n = 30
n = 100
metoda
β2
β1
β2
0,00067 2,043099 0,000176
MNČ
MZNČ 0,000627 1,891719 0,000181
MZNČ/X2 0,000597 1,795144 0,000174
0,00064 1,955305 0,00017
Glejser
- 74 -
β1
0,50917243
0,51121353
0,48680246
0,50327906
Tab. X.3: Relativní vydatnost (relative efficiency)
n = 30
n = 100
metoda
β2
β1
β2
β1
1,068835 1,080022 0,974919 0,99600735
MNČ
MZNČ/X2 0,951783 0,948949 0,962628 0,95224877
Glejser 1,020912 1,033613 0,938191 0,98447915
Z hlediska relativní vydatnosti u n = 30 dopadla nejlépe MZNČ/X2 pro oba odhady parametrů, dokonce je i mírně relativně vydatnější než MZNČ. Pro n = 100 jsou relativně vydatnější všechny metody než MZNČ. Ztráta MZNČ činí maximálně jen 6,5% a to vůči Glejserově metodě.
metoda
Glejser α1
Glejser α2
G-Q test
B-P test
Tab. X.4: Procentní významnost
n = 30
n = 100
18
68
29
72
41
86
30
80
U n = 30 Glejserův test odhalil nějakou formu heteroskedasticity jen v 29% opakování, G-Q
test u 41% opakování a B-P test u 30% opakování. S růstem výběru roste i schopnost indikace heteroskedasticity u všech uvedených testů. G-Q test indikuje heteroskedasticitu v 86%
opakování.
- 75 -
7.11 Výsledky experimentů
V této kapitole jsem se zabýval důsledky heteroskedasticity, její indikací a možnostmi jejího odstranění. Heteroskedasticita je významný problém. V 10-ti experimentech
jsem předpokládal různé struktury rozptylů náhodné složky, dvě velikosti výběru n = 30 a n =
100 a 4 resp. 5 metod odhadu parametrů β1, β2 a tři testy heteroskedasticity. Z uvedených
experimentů jsou patrné následující závěry:
1) Schopnost všech metod indikovat heteroskedasticitu výrazně vzrůstá s růstem velikosti
výběru.
2) Ukázalo se, že prosté vážení proměnných z MZNČ/X2 pracuje celkem spolehlivě bez ohledu na skutečnou formu heteroskedasticity a je zvlášť účinné pokud σi2 = α1+α2xi+α3xi2.
3) Goldfeld-Quandtův test, Breuch-Paganův test i Glejserův test indikují heteroskedasticitu
tím častěji, čím je „silnější“ její stupeň. (Větší výkyvy hodnot proměnné Y, nebo-li vyšší
hodnoty parametrů α ve specifikační rovnici (7.2).) V provedených experimentech jsem
předpokládal spíše „slabší“ stupně heteroskedasticity, což možná zkresluje publikované
výsledky a jejich transparentnost.
4) Střední vychýlení je u většiny experimentů zanedbatelně malé a navíc s růstem výběru se
snižuje. Dá se tedy usuzovat, že odhady parametrů β uvedenými metodami jsou nezkreslené.
5) V experimentech I - VII je vidět, že znalost skutečného tvaru heteroskedasticity tj. aplikace
MZNČ poskytuje vydatnější odhady parametrů. U VIII - X tato skutečnost platí pouze u
rozsahu n = 30, u n = 100 to neplatí.
- 76 -
8 Závěr
Zjistí-li se při testování nedodržení klasického předpokladu homoskedasticity, je
vhodné nejdříve přezkoumat původní specifikaci modelu. Testování je možné provádět celou
řadou testů, kde nejobvyklejší dělení je na konstruktivní a nekonstruktivní testy. Není-li heteroskedasticita způsobena například vynecháním některé významné vysvětlující proměnné,
přistupuje se obvykle k transformaci modelu, která zajistí, že náhodné složky mají konečný a
konstantní rozptyl, takže při splnění ostatních klasických požadavků lze již zobecněný model
odhadnout MNČ. Jak vyplynulo z odvození MZNČ, vynásobení původního modelu transformační maticí T spočívá v podstatě v transformaci originálních pozorování proměnných, a to
v případě heteroskedasticity v závislosti na konkrétní formě funkčního vztahu mezi měnícím
se rozptylem σi2 a hodnotami příslušné vysvětlující proměnné. Transformace modelu znamená vydělení výchozího regresního vztahu odmocninou nenulových diagonálních prvků matice
W. Ověří-li se pomocí Glejserova testu, či s využitím apriorní informace, že lze oprávněně
předpokládat například závislost typu σi2 = σ 2xij2, pak se matice T definuje jako diagonální
matice s převrácenými hodnotami xij až xij na diagonále.
Pokud by byly apriori známy všechny σi2, transformace původního modelu maticí T
neznamená nic jiného, než vydělení všech pozorování jednotlivých proměnných směrodatnými odchylkami σi. Potom odhad paramerů modelu MZNČ je shodný s jeho odhadem MNČ,
aplikovanou nikoliv na původní data, ale na pozorování, která jsou vážena hodnotami nepřímo úměrným velikostem měnících se směrodatných odchylek náhodných složek. Tento způsob odhadu zobecněného lineárního modelu, který se nazývá vážená metoda nejmenších
čtverců, je tudíž pouze speciální modifikací MZNČ, jsou-li hodnoty všech rozptylů σi2 předem známé. Takový případ se ovšem v praktické analýze vyskytuje málokdy. Analogicky by
se určila matice transformace T pro jakoukoliv předpokládanou funkční formu heteroskedasticity. Po následném pronásobení zobecněného modelu touto maticí by se získaly opět odhady parametrů MZNČ. Aplikace zobecněných nejmenších čtverců je adekvátním postupem i
při odhadu parametrů z průřezových dat, roztříděných do několika skupin.
Jednou z možných cest zmírnění heteroskedasticity modelu je transformace původního modelu, spočívající v nahrazení původních pozorování všech měřitelných proměnných
jejich logaritmy. Logaritmická transformace snižuje stupnici, ve které jsou proměnné měřeny,
takže diference mezi původními hodnotami pozorování se po přechodu k logaritmickým hodnotám několikanásobně zmenší. Použití logaritmické formy proměnných nesmí být ovšem v
rozporu s výchozí teoretickou ekonomickou hypotézou. Logaritmická transformace není použitelná, nabývají-li proměnné v některých pozorováních nulových nebo záporných hodnot.
Protože hodnoty σi2, a tím ani matice W není v reálných aplikacích známa, vychází
se jen z různých způsobů jejich konzistentního odhadu pomocí hypotetických funkčních forem heteroskedasticity. Jednotlivé závěry, vyplývající z obvyklých testovacích postupů, jsou
- 77 -
plně platné pouze pro velké počty pozorování, takže při interpretaci testů významnosti nebo
přesnosti odhadnutých parametrů zobecněného lineárního modelu v případě malých výběrů
pozorování je vždy na místě opatrnost.
Problém heteroskedasticity není záležitost pouze teoretická, ale metody s tímto problémem související se používají pro konkrétní aplikace v ekonomické praxi a moderní ekonomie je používá rovněž velmi často. Jednu ze zajímavých aplikací, kde je nutné se s tímto
problémem vypořádat ukazují L. Brown a H.W. Chappell ve svojí práci Forecasting Presidential Elections in the States. Autoři se pomocí kombinace historických výsledků prezidentských voleb v USA a výsledků předvolebních průzkumů snaží odhadnout skutečné výsledky
prezidentských voleb v roce 1996. Parametry odhadové funkce se mění s délkou časového
intervalu mezi předvolebními průzkumy a dnem voleb a připouštějí heteroskedastické náhodné
složky.
Směrodatnou
odchylku
náhodné
složky
definují
ve
tvaru
σu(i,t)=γ0+γ1DBE(i,t)+γ2Final(i,t), kde Final(i,t) je umělá proměnná rovna jedné pokud je itý výsledek předvolebního průzkumu úplně poslední před termínem voleb a DBE(i,t) interval
mezi datem průzkumu a dnem voleb pro i-tý průzkum v t-tém roce. Pomocí odhadu rozptylů
náhodných složek zpřesňují odhady volebních výsledků a ve svojí práci dosahují velmi přesných předpovědí výsledků prezidentských voleb. Pomocí těchto metod se jim podařilo odhadnout s 92,2% přesností vítěze prezidentských voleb v jednotlivých státech.
Ve svojí diplomové práci jsem provedl celkem 10 experimentů, kde jsem předpokládal různé struktury rozptylů náhodných složek pro dvě velikosti výběrů pozorování. U každého experimentu jsem provedl 4 metody odhadu parametrů a tři testy heteroskedasticity. Z
experimentů, které jsem provedl, vyplývají následující závěry. Schopnost všech testů indikovat heteroskedasticitu viditelně vzrůstá s růstem velikosti výběru. Střední vychýlení je většinou zanedbatelně malé a snižuje se s rozsahem výběru. Testy indikují heteroskedasticitu tím
častěji, čím je silnější její stupeň. MZNČ/X2 pracuje celkem spolehlivě bez ohledu na skutečnou formu heteroskedasticity. Znalost skutečné formy heteroskedasticity umožňuje ve většině
případů vydatnější odhady pro β.
- 78 -
Literatura
Anděl, J.: Matematická statistika. SNTL, Praha 1985.
Bakytová, H. - Hátle, J. - Novák, I. - Ugron, M.: Statistická indukce pro ekonomy. SNTL,
Praha 1986.
Brown, L. - Chappell, W.E.: Forecasting Presidential Elections in the States. 1996
Cipra, T.: Ekonometrie. MFF UK, Praha 1984.
Draper, N. - Smith, H.: Applied Regression Analysis, 2-nd edition. Wiley Interscience, New
York 1981.
Goldberger, A.S.: Econometric Theory. John Wiley & Sons, Inc., New York 1966.
Goldfeld, S.M. - Quandt, R.E.: Nonlinear Methods in Econometrics. North Holland Publishing Company, London 1972.
Hebák, P. - Hustopecký, J.: Vícerozměrné statistické metody. SNTL, Praha 1987.
Hebák, P - Kozák, J.: Regrese, Vícerozměrné statistické metody I..; SPN, Praha 1988.
Hušek, R.: Ekonometrické modely řízení a plánování. SNTL, Praha 1987.
Hušek, R. - Walter, J.: Ekonometrie. SNTL, Praha 1976.
Hušek, R.: Základy ekonometrické analýzy I. VŠE, Praha 1997.
Judge, G.G.: Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. John Wiley&Sons,
Inc., New York1982.
Judge, G.G. - Griffiths, W.E. - Hill, R.C. - Lee, T.C.: The Theory and Practice of Econometrics. John Wiley&Sons, Inc., New York 1985.
Koutsoyiannis, A.: Theory of Econometrics. The Macmillan Press, LTD., London 1973.
Malinvaud, E.: Statistical Methods of Econometrics, 2-nd edition. North Holland Publishing
Company, London 1970.
- 79 -
Experiment I
n = 30
β2
2,0248
2,0080
2,0365
2,0176
1,9844
1,9876
1,9612
2,0361
1,9923
β1
3,0651 1,3180
7,0519 3,6258
4,8683 0,9207
5,6299 4,1193
4,5183 4,5114
3,8508 5,6837
8,6127 5,7077
4,5938 3,2340
6,3077 4,4864
MZNČ β2
2,0313 2,0248
1,9529 2,0080
1,9756 2,0365
1,9693 2,0176
1,9742 1,9844
1,9880 1,9876
1,9250 1,9612
1,9908 2,0361
1,9593 1,9923
β1
3,0651 1,3180
7,0519 3,6258
4,8683 0,9207
5,6299 4,1193
4,5183 4,5114
3,8508 5,6837
8,6127 5,7077
4,5938 3,2340
6,3077 4,4864
MZNČ/X2 β2
1,9871 1,9862
1,9834 1,9899
1,9730 2,0658
1,9610 2,0485
1,9830 1,9813
1,9441 2,0017
1,9431 1,9705
1,9481 1,9998
1,9943 1,9479
β1
5,5496 3,4910
5,3343 4,6196
5,0412 -0,7237
6,0735 2,4112
4,0326 4,6862
6,2982 4,8341
7,5390 5,1873
7,0136 5,2480
4,3584 7,0224
Glejserova metoda
1,9569 2,0313
1,9743 1,9529
1,9497 1,9756
1,9562 1,9693
2,0232 1,9742
2,0161 1,9880
2,0168 1,9250
2,0264 1,9908
2,0410 1,9593
β1
3,0651 1,3180
7,0519 3,6258
MNČ
2,0313
1,9529
1,9756
1,9693
1,9742
1,9880
1,9250
1,9908
1,9593
1,9862
1,9583
1,9657
2,0142
2,0058
2,0151
1,9859
2,0050
1,9822
1,9806
4,8701
6,6113
5,7370
5,0143
3,4734
3,5558
4,1880
4,5641
4,2645
5,8936
1,9862
1,9583
1,9657
2,0142
2,0058
2,0151
1,9859
2,0050
1,9822
1,9806
4,8701
6,6113
5,7370
5,0143
3,4734
3,5558
4,1880
4,5641
4,2645
5,8936
1,9857
1,9102
1,9650
1,9983
2,0318
2,0237
1,9644
2,0255
1,9671
1,9191
4,8994
9,3113
5,7641
5,9260
2,0498
3,1293
5,3469
3,3970
5,1344
9,3475
β2
2,0248
2,0080
2,0365
2,0176
1,9844
1,9876
1,9612
2,0471
1,9923
4,8701
6,6113
5,7370
1,9647
2,0107
1,9846
2,0011
2,0052
1,9873
1,9847
1,9492
2,0100
2,0576
1,9576
2,0028
1,9657
1,9339
1,9802
1,9839
1,9900
1,9714
1,9756
2,0479
2,0650
2,0733
2,0163
1,9712
2,0414
2,0086
1,9733
2,0051
2,0117
2,0092
1,9931
2,0183
2,0331
1,9771
2,0290
2,0022
1,9987
1,9746
1,9231
2,0211
1,9762
2,0288
2,0404
2,0028
2,0073
1,8789
1,9600
1,9846
2,0557
1,9828
2,0394
2,0216
2,0031
2,0492
1,9951
2,0390
1,9827
1,9234
1,9593
1,9651
1,9681
2,0148
1,9840
1,9569
1,9743
1,9497
1,9562
2,0232
2,0161
2,0168
2,0264
2,0410
6,3471
4,3253
4,5586
3,6910
2,4252
6,0903
4,3283
7,0151
3,4140
0,6615
7,1309
4,7009
6,4539
8,9041
4,7100
6,1949
3,6450
6,9414
6,0297
-0,1960
-0,7637
-0,5865
2,6997
5,6233
0,5386
2,9319
5,7890
2,8958
3,2495
3,9871
5,3290
2,5229
1,5117
4,7067
0,0970
2,5246
2,1220
5,3284
7,7079
2,8610
4,5086
3,9491
1,0347
4,6816
2,6083
11,6543
6,7917
4,8060
-0,4284
4,7725
2,6539
3,1123
2,5127
1,0587
4,6799
0,5645
5,0416
7,1526
6,8802
7,1866
6,0777
2,8668
3,9395
7,0925
6,2960
8,6922
6,0753
2,6340
2,5728
4,0099
2,8657
1,9389
1,9647
2,0107
1,9846
2,0011
2,0052
1,9873
1,9847
1,9492
2,0100
2,0576
1,9576
2,0028
1,9657
1,9339
1,9802
1,9839
1,9900
1,9714
1,9756
2,0479
2,0650
2,0733
2,0163
1,9712
2,0414
2,0086
1,9733
2,0051
2,0117
2,0092
1,9931
2,0183
2,0331
1,9771
2,0290
2,0022
1,9987
1,9746
1,9231
2,0211
1,9762
2,0288
2,0404
2,0028
2,0073
1,8789
1,9600
1,9846
2,0557
1,9828
2,0394
2,0216
2,0031
2,0492
1,9951
2,0390
1,9827
1,9234
1,9593
1,9651
1,9681
2,0148
1,9840
1,9569
1,9743
1,9497
1,9562
2,0232
2,0161
2,0168
2,0264
2,0410
6,3471
4,3253
4,5586
3,6910
2,4252
6,0903
4,3283
7,0151
3,4140
0,6615
7,1309
4,7009
6,4539
8,9041
4,7100
6,1949
3,6450
6,9414
6,0297
-0,1960
-0,7637
-0,5865
2,6997
5,6233
0,5386
2,9319
5,7890
2,8958
3,2495
3,9871
5,3290
2,5229
1,5117
4,7067
0,0970
2,5246
2,1220
5,3284
7,7079
2,8610
4,5086
3,9491
1,0347
4,6816
2,6083
11,6543
6,7917
4,8060
-0,4284
4,7725
2,6539
3,1123
2,5127
1,0587
4,6799
0,5645
5,0416
7,1526
6,8802
7,1866
6,0777
2,8668
3,9395
7,0925
6,2960
8,6922
6,0753
2,6340
2,5728
4,0099
2,8657
1,9389
2,0122
2,0067
1,9742
1,9814
2,0173
1,9939
1,9781
1,9229
2,0267
2,0769
1,9711
1,9757
1,9500
1,8820
1,9781
2,0241
2,0155
1,9896
1,9342
2,0531
2,0853
2,0911
2,0900
1,9445
1,9874
1,9555
2,0118
2,0352
2,0499
1,9914
1,9989
2,0214
1,9327
1,9526
1,9997
1,9983
1,9958
1,9539
1,9551
2,0124
1,9640
2,0227
2,0769
2,0336
2,0383
1,8882
1,9968
1,9656
2,0741
2,0286
2,0256
2,0669
2,0037
2,0697
1,9601
2,0135
1,9909
1,8849
1,9129
1,9418
1,9472
2,0420
2,0041
1,9268
1,9800
1,9609
1,9446
2,0391
2,0344
2,0199
1,9870
2,0033
3,7305
4,5389
5,1643
4,7728
1,7587
5,7415
4,6965
8,5026
2,5142
-0,3982
6,3835
6,2340
7,3664
11,8100
4,8217
3,9872
2,2010
5,8912
8,3548
-0,5169
-1,8493
-1,5638
-1,3956
7,1513
3,5584
5,9294
3,6048
1,1941
1,0964
4,9448
4,9783
2,3565
7,1348
6,0596
1,7485
2,6765
2,2763
6,4812
5,8731
3,3471
5,1783
4,3117
-0,9847
2,9412
0,8322
11,1244
4,6839
5,8520
-1,4723
2,2186
3,4075
0,5257
2,4904
-0,0950
6,6644
2,0311
4,5808
9,2854
9,4890
8,4847
7,2218
1,3387
2,8078
8,7900
6,0095
8,0760
6,6801
1,7273
1,5430
3,8506
5,0746
4,0724
1,9862
1,9583
1,9657
2,0142
2,0058
2,0151
1,9859
2,0050
1,9822
1,9806
6,3471
4,3253
4,5586
1,9647
2,0107
1,9846
2,0011
2,0052
1,9873
1,9847
1,9492
2,0100
2,0576
1,9576
2,0028
1,9657
1,9339
1,9802
1,9839
1,9900
1,9714
1,9756
2,0479
2,0650
2,0733
2,0163
1,9712
2,0414
2,0086
1,9733
2,0051
2,0117
2,0092
1,9931
2,0183
2,0331
1,9771
2,0290
1,9852
1,9987
1,9746
1,9231
2,0124
1,9762
2,0227
2,0404
2,0336
2,0073
1,8789
1,9600
1,9846
2,0557
1,9828
2,0394
2,0216
2,0031
2,0492
1,9951
2,0390
1,9827
1,9234
1,9593
1,9651
1,9681
2,0148
1,9840
0,6615
7,1309
4,7009
6,0297
-0,1960
-0,7637
2,8958
3,2495
3,9871
2,1220
5,3284
7,7079
11,6543 4,6799
6,7917 0,5645
4,8060 5,0416
7,0925
6,2960
8,6922
- 80 -
n = 100
4,8683
5,6299
4,5183
3,8508
8,6127
4,5938
6,3077
MNČ
1,9992
1,9742
1,9965
2,0009
1,9980
1,9772
1,9914
1,9881
1,9730
0,9207
4,1193
4,5114
5,6837
5,7077
2,4980
4,4864
β2
2,0010
1,9721
2,0136
1,9789
2,0368
1,9774
1,9889
1,9726
1,9700
β1
3,6837 3,7484
5,3628 5,7632
4,3414 2,9952
3,2043 4,3903
3,3664 1,9023
5,0691 5,5919
3,9503 4,7287
4,0725 4,9738
5,2561 5,2036
MZNČ β2
1,9992 2,0010
1,9742 1,9721
1,9965 2,0136
2,0009 1,9789
1,9980 2,0368
1,9772 1,9774
1,9914 1,9889
1,9881 1,9726
1,9730 1,9700
β1
3,6837 3,7484
5,3628 5,7632
4,3414 2,9952
3,2043 4,3903
3,3664 1,9023
5,0691 5,5919
3,9503 4,7287
4,0725 4,9738
5,2561 5,2036
MZNČ/X2 β2
1,9960 2,0018
1,9682 1,9660
1,9887 2,0196
2,0079 1,9934
2,0058 2,0373
1,9790 1,9879
1,9807 2,0067
1,9946 1,9587
1,9829 1,9650
β1
3,8417 3,7180
5,6931 6,0689
4,7242 2,6864
2,8903 3,6374
2,9682 1,8321
4,9556 5,0489
4,5368 3,8678
3,7494 5,6619
4,7489 5,4585
Glejserova metoda
1,9905 1,9992
2,0233 1,9742
1,9726 1,9965
2,0000 2,0009
1,9709 1,9980
2,0216 1,9772
2,0016 1,9914
5,0143
3,4734
3,5558
4,1880
4,5641
4,2645
5,8936
1,9919
1,9817
2,0039
1,9874
1,9976
2,0208
1,9559
1,9504
1,9975
1,9835
4,5136
4,5847
3,7739
5,3153
4,0191
2,7098
6,9428
7,2808
4,8735
4,4381
1,9919
1,9817
2,0039
1,9874
1,9976
2,0208
1,9559
1,9504
1,9975
1,9835
4,5136
4,5847
3,7739
5,3153
4,0191
2,7098
6,9428
7,2808
4,8735
4,4381
1,9896
2,0004
2,0142
1,9823
1,9984
2,0041
1,9839
1,9601
2,0041
1,9863
4,6604
3,6244
3,2586
5,5231
3,9635
3,5829
5,5294
6,7918
4,5334
4,2854
β2
2,0010
1,9721
2,0136
1,9789
2,0368
1,9774
1,9889
3,6910
2,4252
6,0903
4,3283
7,0151
3,4140
6,4539
8,9041
4,7100
6,1949
3,6450
6,9414
-0,5865
2,6997
5,6233
0,5386
2,9319
5,7890
5,3290
2,5229
1,5117
4,7067
0,0970
3,6569
3,3471
4,5086
4,3117
1,0347
2,9412
2,6083
-0,4284
4,7725
2,6539
3,1123
2,5127
1,0587
7,1526
6,8802
7,1866
6,0777
2,8668
3,9395
6,0753
2,6340
2,5728
4,0099
2,8657
1,9389
1,9925
2,0323
2,0080
1,9855
2,0288
1,9959
1,9918
1,9998
1,9845
2,0170
1,9789
1,9908
1,9624
2,0300
1,9969
1,9847
2,0078
2,0000
2,0274
2,0204
1,9789
1,9995
2,0037
2,0095
2,0040
1,9988
1,9991
2,0398
2,0093
2,0050
1,9997
1,9908
2,0164
2,0364
1,9841
2,0133
1,9896
2,0021
1,9906
1,9804
2,0009
2,0019
2,0112
1,9833
2,0012
1,9855
2,0136
2,0149
1,9812
2,0099
1,9996
2,0435
2,0290
2,0089
2,0133
1,9817
2,0008
2,0204
1,9877
2,0398
1,9519
2,0182
1,9576
1,9905
2,0233
1,9726
2,0000
1,9709
2,0216
2,0016
1,9942
2,0543
3,6018
2,9347
4,6166
4,2467
2,5568
4,0286
4,7643
3,9056
4,6654
1,9640
4,3825
4,9468
6,3002
2,6038
4,5392
4,7901
4,1121
3,6612
2,6698
2,5212
5,3971
3,5923
4,3082
3,5383
3,4428
3,4976
4,2943
2,3240
3,5573
3,6554
4,5446
4,4335
3,0986
1,8056
5,2657
3,2979
4,4851
4,5577
3,6247
5,0394
3,7861
4,1837
3,3806
5,2474
3,7990
4,7495
3,5562
3,4853
5,5158
3,6286
3,7686
1,6660
2,2892
3,5373
3,5146
4,8884
3,6612
3,6614
4,1958
2,0710
7,0583
2,4851
6,2869
5,0265
3,1774
5,6032
3,6929
4,9740
2,8915
3,8215
4,0961
1,0083
1,9925
2,0323
2,0080
1,9855
2,0288
1,9959
1,9918
1,9998
1,9845
2,0170
1,9789
1,9908
1,9624
2,0300
1,9969
1,9847
2,0078
2,0000
2,0274
2,0204
1,9789
1,9995
2,0037
2,0095
2,0040
1,9988
1,9991
2,0398
2,0093
2,0050
1,9997
1,9908
2,0164
2,0364
1,9841
2,0133
1,9896
2,0021
1,9906
1,9804
2,0009
2,0019
2,0112
1,9833
2,0012
1,9855
2,0136
2,0149
1,9812
2,0099
1,9996
2,0435
2,0290
2,0089
2,0133
1,9817
2,0008
2,0204
1,9877
2,0398
1,9519
2,0182
1,9576
1,9905
2,0233
1,9726
2,0000
1,9709
2,0216
2,0016
1,9942
2,0543
3,6018
2,9347
4,6166
4,2467
2,5568
4,0286
4,7643
3,9056
4,6654
1,9640
4,3825
4,9468
6,3002
2,6038
4,5392
4,7901
4,1121
3,6612
2,6698
2,5212
5,3971
3,5923
4,3082
3,5383
3,4428
3,4976
4,2943
2,3240
3,5573
3,6554
4,5446
4,4335
3,0986
1,8056
5,2657
3,2979
4,4851
4,5577
3,6247
5,0394
3,7861
4,1837
3,3806
5,2474
3,7990
4,7495
3,5562
3,4853
5,5158
3,6286
3,7686
1,6660
2,2892
3,5373
3,5146
4,8884
3,6612
3,6614
4,1958
2,0710
7,0583
2,4851
6,2869
5,0265
3,1774
5,6032
3,6929
4,9740
2,8915
3,8215
4,0961
1,0083
1,9983
2,0404
2,0104
1,9770
2,0198
2,0192
1,9595
2,0058
1,9817
2,0114
1,9384
1,9824
1,9310
2,0333
2,0267
2,0047
2,0206
1,9971
2,0350
2,0108
1,9798
1,9710
2,0055
1,9817
2,0028
1,9848
2,0081
2,0509
2,0442
2,0181
1,9956
1,9945
2,0424
2,0270
2,0087
2,0409
1,9698
1,9796
2,0069
2,0136
1,9857
1,9948
1,9710
1,9917
2,0042
1,9850
2,0440
2,0132
1,9800
2,0254
2,0102
2,0393
2,0165
1,9960
2,0176
1,9690
1,9853
2,0131
1,9589
2,0258
1,9589
2,0117
1,9367
1,9996
2,0556
1,9815
2,0064
1,9662
2,0131
2,0031
1,9881
2,0571
3,2903
2,5459
4,5124
4,6839
3,0025
2,8741
6,3921
3,6257
4,7830
2,2558
6,4037
5,3824
7,9150
2,4365
3,0179
3,7917
3,4425
3,8207
2,2780
2,9807
5,3592
5,0351
4,2056
4,9123
3,4953
4,1730
3,8607
1,7580
1,7849
2,9823
4,7403
4,2508
1,8203
2,2835
4,0391
1,9079
5,4698
5,6816
2,7995
3,3865
4,5552
4,5190
5,4516
4,8008
3,6416
4,7817
2,0243
3,5643
5,5689
2,8492
3,2293
1,8904
2,9414
4,2020
3,2776
5,5474
4,4416
4,0014
5,6579
2,7816
6,7148
2,7792
7,3453
4,5571
1,5601
5,1536
3,3643
5,2091
3,3107
3,7817
4,3954
0,8540
1,9919
1,9817
2,0029
1,9874
1,9976
2,0208
1,9559
1,9504
1,9925
2,0323
2,0080
1,9855
2,0288
1,9959
1,9918
1,9998
2,0170
1,9789
1,9908
1,9624
2,0300
1,9969
1,9847
2,0078
2,0274
2,0204
1,9789
1,9995
2,0037
2,0095
2,0040
1,9988
2,0398
2,0093
2,0050
1,9997
1,9908
2,0164
2,0364
1,9841
1,9896
2,0021
1,9906
1,9804
2,0009
2,0019
2,0112
1,9833
1,9842
2,0136
2,0149
1,9812
2,0059
1,9996
2,0435
2,0290
2,0066
1,9817
2,0064
2,0204
1,9877
2,0398
1,9519
2,0182
- 81 -
1,9942
2,0543
3,6837
5,3628
4,3414
3,2043
3,3664
5,0691
3,9503
4,0725
5,2561
1,9881
1,9730
β1
3,7484
5,7632
2,9952
4,3903
1,9023
5,5919
4,7287
4,9738
5,2036
1,9726
1,9700
4,5136
4,5847
3,8303
5,3153
4,0191
2,7098
6,9428
7,2808
4,8735
4,4381
1,9975
1,9835
3,6018
2,9347
4,6166
4,2467
2,5568
4,0286
4,7643
3,9056
4,6654
1,9845
2,0000
1,9991
2,0133
2,0012
2,0089
1,9576
1,9640
4,3825
4,9468
6,3002
2,6038
4,5392
4,7901
4,1121
3,6612
2,6698
2,5212
5,3971
3,5923
4,3082
3,5383
3,4428
3,4976
4,2943
2,3240
3,5573
3,6554
4,5446
4,4335
3,0986
1,8056
5,2657
3,2979
4,4851
4,5577
3,6247
5,0394
3,7861
4,1837
3,3806
5,2474
3,7990
4,8170
3,5562
3,4853
5,5158
3,8639
3,7686
1,6660
2,2892
3,5373
3,9109
4,8884
3,3372
3,6614
4,1958
2,0710
7,0583
2,4851
6,2869
5,0265
3,1774
5,6032
3,6929
4,9740
2,8915
3,8215
4,0961
1,0083
1,9745
1,9925
1,9328
1,9390
2,0417
2,0306
1,9550
1,9025
2,0023
1,8950
6,9335
1,8091
6,6063
7,4948
1,4664
2,7444
3,4419
9,5009
4,7623
10,7512
1,9617
1,9770
1,9215
1,9360
2,0658
2,0410
1,9676
1,9010
2,0130
1,8602
7,7341
2,7733
7,3168
7,6795
-0,0422
2,0959
2,6509
9,5969
4,0945
12,9253
1,9360
1,9339
1,9132
1,9158
2,1022
2,0636
1,9827
1,8688
2,0351
1,8106
9,0892
5,0434
7,7540
8,7414
-1,9622
0,9070
1,8585
11,2882
2,9308
15,5431
1,9200
2,0441
2,0228
2,0763
1,9540
2,0656
1,9828
2,1107
1,9567
2,0783
1,9670
1,8992
1,9484
2,0064
2,0914
2,0260
2,0464
1,9642
2,0195
2,0336
1,9580
2,0680
2,0178
2,0849
2,0864
1,9854
2,0534
2,0129
1,9602
2,0387
2,1514
1,9248
2,0478
1,9225
2,1023
2,0536
1,9459
2,0049
2,1185
1,9697
1,9503
1,9722
1,9537
1,9846
1,8474
2,0185
1,8816
1,9918
1,9766
2,0991
2,0316
1,9662
1,9355
1,9325
1,9794
2,1146
2,0725
1,9874
1,9973
2,0182
1,9888
2,0549
1,9133
2,0022
1,8782
1,9573
1,9983
1,8976
2,0499
2,0247
2,0253
1,9809
7,5175
0,8108
4,4272
-0,8158
8,4375
0,9742
6,1372
-1,4320
5,8365
0,5384
7,0606
7,9583
8,9126
4,3078
0,9900
2,3289
0,0189
4,6848
1,3843
5,2812
4,9776
-2,7182
3,0043
2,0695
-1,6625
5,1380
0,0632
0,7700
5,6807
2,0668
-2,4610
8,1173
0,2714
9,2802
-3,6193
-0,2714
10,0980
4,7572
-1,3908
6,0117
7,0614
4,6122
6,3882
2,4695
10,1611
3,4625
8,4995
5,6597
5,4684
-3,9863
0,4810
4,6958
8,1107
5,9930
5,5436
-1,6055
1,7132
1,9905
5,8051
4,3126
5,3396
0,3218
8,4859
5,7217
11,3600
5,2286
2,5096
10,1471
-0,1013
0,8611
2,7068
4,0952
1,9457
2,0114
2,0214
2,0632
1,9674
2,0805
1,9527
2,1286
1,9812
2,0661
1,9636
1,8670
1,9377
2,0010
2,0986
1,9725
2,0443
1,9976
2,0373
2,0338
1,9694
2,0752
2,0255
2,1080
2,0760
2,0153
2,0696
2,0369
1,9677
2,0364
2,1323
1,9207
2,0402
1,9293
2,1078
2,0393
1,9355
2,0234
2,0772
1,9645
1,9387
1,9716
1,9468
1,9807
1,8805
2,0213
1,9173
1,9822
1,9608
2,0815
2,0338
1,9497
1,9365
1,9295
1,9623
2,0824
2,0740
1,9447
2,0126
2,0260
2,0161
2,0536
1,9224
2,0180
1,8634
1,9298
2,0248
1,8984
2,0724
1,9918
2,0449
1,9786
5,9106
2,8554
4,5147
0,0034
7,6044
0,0469
8,0182
-2,5529
4,3008
1,3025
7,2691
9,9671
9,5818
4,6454
0,5354
5,6680
0,1510
2,6010
0,2708
5,2684
4,2703
-3,1696
2,5245
0,6227
-1,0148
3,2714
-0,9533
-0,7275
5,2105
2,2103
-1,2728
8,3733
0,7449
8,8567
-3,9607
0,6260
10,7481
3,6028
1,1909
6,3310
7,7831
4,6554
6,8143
2,7136
8,0931
3,2858
6,2733
6,2642
6,4508
-2,8845
0,3447
5,7248
8,0504
6,1804
6,6088
0,4061
1,6228
4,6630
4,8454
3,8261
3,6303
0,4010
7,9234
4,7339
12,2864
6,9445
0,8537
10,0990
-1,5021
2,9171
1,4822
4,2441
1,9663
1,9609
2,0376
2,0544
1,9929
2,1074
1,8982
2,1625
2,0167
2,0613
1,9498
1,8167
1,9012
1,9759
2,1001
1,8959
2,0368
2,0312
2,0469
2,0326
1,9937
2,0929
2,0520
2,1416
2,0590
2,0649
2,0872
2,0816
1,9857
2,0340
2,1092
1,9280
2,0326
1,9306
2,1081
2,0222
1,9355
2,0528
2,0263
1,9739
1,9346
1,9687
1,9173
1,9692
1,9270
2,0180
1,9730
1,9735
1,9299
2,0693
2,0357
1,9335
1,9420
1,9166
1,9312
2,0235
2,0803
1,8593
2,0156
2,0295
2,0552
2,0457
1,9382
2,0595
1,8286
1,8719
2,0588
1,9123
2,1268
1,9417
2,0734
1,9708
4,8198
5,5183
3,6642
0,4661
6,2606
-1,3708
10,8925
-4,3400
2,4305
1,5563
7,9958
12,6170
11,4974
5,9646
0,4588
9,7065
0,5467
0,8265
-0,2364
5,3304
2,9903
-4,1023
1,1280
-1,1472
-0,1176
0,6552
-1,8819
-3,0828
4,2657
2,3398
-0,0537
7,9927
1,1466
8,7883
-3,9802
1,5251
10,7500
2,0510
3,8787
5,8403
8,0047
4,8078
8,3701
3,3153
5,6393
3,4602
3,3327
6,7213
8,0828
-2,2364
0,2423
6,5871
7,7593
6,8596
8,2485
3,5105
1,2911
9,1581
4,6868
3,6418
1,5687
0,8203
7,0896
2,5558
14,1131
9,9923
-0,9369
9,3713
-4,3665
5,5569
-0,0202
4,6509
Experiment II
n = 30
β2
1,9257
1,9079
2,0462
2,0369
2,0670
2,0237
2,0369
1,9544
1,9802
β1
5,0429 8,5142
1,4613 9,7100
10,3515 2,2121
5,1775 2,0990
9,6841 2,9134
5,1391 3,0497
-0,7456 1,9644
3,5618 6,1145
-4,4484 4,7085
MZNČ β2
1,9669 1,9315
2,0467 1,9311
1,9171 2,0221
1,9391 2,0230
1,8873 2,0722
1,9708 2,0492
2,0424 2,0398
1,9939 1,9717
2,1191 1,9636
β1
5,8289 8,1517
2,9693 8,2560
8,7071 3,7209
5,5216 2,9675
9,2616 2,5896
6,3952 1,4600
-0,5141 1,7867
3,4946 5,0350
-3,9371 5,7492
MZNČ/X2 β2
1,9302 1,9435
2,0142 1,9652
1,9517 1,9935
1,9257 2,0044
1,9053 2,0664
1,9614 2,0871
2,0531 2,0265
2,0120 1,9933
2,1048 1,9351
β1
7,7591 7,5158
4,6851 6,4586
6,8813 5,2319
6,2268 3,9497
8,3091 2,8886
6,8945 -0,5365
-1,0728 2,4823
2,5434 3,8944
-3,1824 7,2515
MNČ
1,9795
2,0709
1,8908
1,9446
1,8805
1,9909
2,0461
1,9928
2,1273
- 82 -
n = 100
Glejserova metoda
0,0310 0,0584
0,0038 -0,0270
-0,0307 0,0683
0,0070 0,0596
-0,0067 0,0781
0,0634 0,0684
0,0217 0,1241
-0,0286 0,0226
0,1088 0,0641
β1
3,7490 1,9795
7,4816 1,3864
1,9263 4,9278
2,4088 2,9833
2,2808 2,7244
2,8520 3,0027
-0,7944 2,7119
4,5812 4,3477
1,5228 2,9894
MNČ
β2
1,9879 2,0034
2,0321 1,9366
1,9824 2,0054
1,9831 2,0204
2,0375 1,9888
1,9178 1,9881
2,0364 2,0464
1,9729 1,9722
1,9659 1,9975
β1
4,6981 4,1279
3,7110 6,1363
5,1362 3,4144
4,4651 3,2784
1,3371 3,3877
7,6329 5,2318
2,2037 0,6993
5,1106 5,4275
5,5244 5,1117
MZNČ β2
1,9881 2,0109
2,0420 1,9273
1,9797 2,0044
1,9839 2,0217
2,0253 1,9748
1,9437 1,9995
2,0392 2,0431
1,9741 1,9733
1,9931 1,9696
β1
4,6864 3,7045
3,1521 6,6614
5,2884 3,4713
4,4220 3,2047
2,0251 4,1788
6,1705 4,5860
2,0424 0,8891
5,0435 5,3662
3,9850 6,6845
MZNČ/X2 β2
1,9963 2,0254
2,0646 1,9180
1,9823 1,9987
1,9887 2,0255
2,0118 1,9346
1,9742 2,0142
2,0287 2,0270
1,9744 1,9739
2,0510 1,9217
β1
4,2996 3,0120
2,0768 7,1056
5,1659 3,7417
4,1934 3,0233
β2
0,0372
0,0956
0,0278
0,0467
0,0280
0,0738
0,0869
0,0386
0,0495
-0,3172
5,2882
2,2017
4,4424
5,8009
1,1400
3,6680
4,0755
1,6246
3,0260
2,0082
2,0217
2,0178
1,9910
1,9851
1,9994
2,0159
2,0245
2,0260
1,9634
3,0200
3,2066
2,8175
3,5971
4,3928
4,8795
3,6610
1,7539
1,6017
6,0083
2,0044
2,0028
2,0102
1,9771
1,9804
2,0023
2,0075
2,0110
2,0132
1,9938
3,2360
4,2790
3,2488
4,3817
4,6561
4,7164
4,1391
2,5176
2,3248
4,2913
2,0013
1,9729
2,0211
1,9639
1,9634
2,0052
1,9987
1,9810
1,9975
2,0474
3,3869
5,6987
2,7351
5,0118
5,4637
0,0951
0,0248
0,0640
0,0320
0,0327
0,0835
0,0544
0,0418
0,0603
0,0355
2,5793
3,3058
1,8302
6,6800
5,4987
1,7513
2,4522
1,1085
9,8147
0,0504
0,0495
0,0757
0,0090
-0,0063
0,0755
0,0482
0,0837
-0,0471
0,0418
-0,0169
0,0482
0,0048
0,0422
0,0845
0,0609
0,0593
0,0419
0,0291
0,0414
0,0436
0,0559
0,0552
0,0392
0,0487
0,1051
0,0659
-0,0270
0,0611
-0,0009
0,0299
0,0090
0,0712
0,0095
0,0554
0,0692
-0,0094
0,1067
0,0586
0,0456
0,0825
0,0702
0,0679
0,0826
0,1244
0,0066
0,0304
0,0602
0,0352
0,0726
0,0756
0,0851
0,0491
0,0552
0,0035
0,0527
0,0948
-0,0147
0,0987
0,0943
0,0565
0,0315
0,0433
2,7825
7,0707
3,9042
6,4109
5,0854
1,4092
5,5695
2,4573
5,4537
3,3096
2,6350
1,6368
2,0743
3,7684
3,7862
2,7297
1,5141
2,7910
6,9296
3,2530
6,1673
5,3598
5,3263
2,4110
5,5231
3,4998
2,3525
6,2614
0,2185
4,0295
2,9266
0,9289
1,7109
2,6034
-0,5288
-0,5035
5,3055
5,0989
0,4675
4,4473
2,7012
2,4158
2,3244
3,1369
4,5070
5,4475
4,0305
0,1416
6,8650
1,8833
-0,5153
4,3294
5,2772
2,4412
4,0716
5,6275
9,6687
6,2760
5,3268
3,1992
4,6508
6,7333
0,2946
2,0151
2,0413
1,9823
1,9424
2,0047
1,9659
1,9916
1,9571
1,9895
1,9487
1,9815
2,0082
2,0023
2,0244
1,9909
2,0343
2,0087
2,0030
2,0437
1,9991
1,9801
2,0022
1,9934
1,9894
2,0142
1,9456
1,9891
1,9669
1,9939
2,0280
1,9324
1,9390
2,0160
1,9925
1,9407
1,9908
2,0243
2,0033
2,0419
2,0152
1,9755
2,0228
2,0399
1,9989
2,0179
1,9945
2,0021
1,9459
1,9571
2,0841
1,9682
1,9971
1,9942
1,8983
1,9740
2,0319
1,9673
1,9246
2,0364
1,9491
2,0095
1,9867
1,9480
1,9456
2,0127
2,0206
2,0165
2,0711
2,0439
1,9250
1,9793
2,0421
2,0881
1,9688
4,5380
6,8862
4,6166
5,2646
5,0422
5,6915
4,2443
5,7692
5,5934
4,6007
3,5829
4,2240
5,0942
2,7833
2,4549
4,8045
1,2899
5,0377
4,4363
4,1871
4,5384
3,7276
3,2503
7,9595
5,3116
7,2921
4,6951
2,6821
6,8038
6,6352
3,3102
5,4861
7,0691
4,5032
2,9441
4,8629
2,0124
2,3856
5,6526
2,4689
2,6139
3,9652
1,3230
4,7579
4,3863
6,0925
5,0522
-0,1681
6,2198
4,0275
3,4155
8,8629
6,2800
2,1206
6,1836
7,7743
0,9099
5,9476
1,9355
3,0221
6,1635
5,9682
3,6044
3,3011
2,8210
2,5005
1,4835
6,1894
4,9974
1,5851
2,0182
2,0383
1,9731
1,9710
2,0049
1,9723
1,9838
1,9418
2,0012
1,9508
1,9755
1,9954
1,9865
2,0365
1,9811
2,0525
2,0080
2,0096
2,0428
1,9917
1,9859
1,9967
2,0110
2,0001
2,0219
1,9634
2,0029
1,9846
1,9891
2,0269
1,9266
1,9487
2,0126
1,9900
1,9444
1,9884
2,0102
1,9995
2,0329
2,0201
1,9665
2,0123
2,0447
2,0017
2,0277
2,0097
1,9961
1,9451
1,9526
2,0789
1,9693
1,9953
1,9963
1,8810
1,9793
2,0274
1,9745
1,9255
2,0337
1,9542
2,0191
1,9754
1,9469
1,9512
2,0108
2,0132
2,0181
2,0739
2,0161
1,9342
2,0057
2,0418
1,9106
2,1404
5,0582
5,2708
4,6091
4,9019
5,4799
6,5563
3,5830
5,6490
5,9342
5,3271
4,4776
3,5397
5,6490
1,7527
2,4955
4,4328
1,3383
5,4608
4,1075
4,4938
3,5413
3,1196
2,8148
6,9508
4,5344
6,2911
4,9694
2,7457
7,1317
6,0874
3,4995
5,6273
6,8550
4,6349
3,7410
5,0784
2,5190
2,1114
6,1605
3,0656
2,3457
3,8120
0,7713
3,8980
4,7251
6,1355
5,3055
0,1309
6,1609
4,1257
3,2971
9,8394
5,9763
2,3759
5,7737
7,7246
1,0619
5,6637
1,3910
3,6617
6,2248
5,6494
3,7106
3,7219
2,7295
2,3455
3,0529
5,6700
3,5064
1,6066
2,0187
2,0319
1,9644
2,0095
2,0026
1,9759
1,9699
1,9283
2,0131
1,9552
1,9724
1,9647
1,9508
2,0417
1,9653
2,0953
1,9886
2,0274
2,0427
1,9927
1,9857
1,9857
2,0336
2,0088
2,0301
1,9967
2,0338
2,0104
1,9817
2,0150
1,9163
1,9684
2,0031
1,9823
1,9488
1,9931
1,9868
1,9938
2,0335
2,0236
1,9516
1,9984
2,0403
2,0105
2,0344
2,0385
1,9875
1,9435
1,9455
2,0613
1,9736
1,9982
1,9965
1,8587
1,9895
2,0230
1,9808
1,9244
2,0268
1,9531
2,0270
1,9471
1,9281
1,9628
2,0023
1,9942
2,0133
2,0751
1,9594
1,9607
2,0485
2,0339
1,8868
2,4454
5,4727
3,4363
4,7180
5,4423
6,0796
6,7845
6,1686
3,2907
1,3403
5,4160
4,1148
5,0156
2,4697
5,0647
5,3202
3,3105
7,6187
5,1536
4,8505
5,3488
2,4950
1,9433
6,8733
2,5320
5,1340
6,2124
5,6413
0,9612
5,4931
2,5883
5,4764
7,7784
1,3897
5,0991
4,1132
4,6252
2,9561
2,2846
- 83 -
2,6700 6,0842
4,7166 3,8898
2,5389 1,6510
5,0320 5,3370
1,2405 8,9606
Glejserova metoda
1,9512 1,9869
2,0108 2,0321
2,0167 1,9824
2,0133 1,9838
2,0743 2,0236
2,0192 1,9424
1,9607 2,0410
2,0050 1,9729
2,0421 1,9659
β1
4,7567 3,0120
3,7110 6,8037
5,1362 3,7417
4,4318 3,0233
2,0865 3,9464
6,2900 4,4502
1,9444 0,7634
5,1106 5,3370
5,5244 5,1117
4,5780
4,5558
3,9399
3,0703
1,7418
β2
2,0254
1,9241
1,9987
2,0255
1,9785
2,0026
2,0452
1,9739
1,9975
3,2045
3,2066
2,8175
4,5046
4,5142
4,7319
3,6610
2,4129
1,6017
6,0083
4,7316
6,1417
7,1981
3,0170
6,3971
-0,2781
3,4129
3,5895
2,7058
2,4248
5,3748
3,0674
3,9477
5,9909
6,6505
4,4140
3,7281
2,5515
3,3903
0,4534
5,9532
3,9926
3,2856
10,9005
5,7119
1,0166
5,0049
7,1126
5,7449
4,4157
1,4738
1,9796
2,0049
2,0217
2,0178
1,9750
1,9828
2,0022
2,0159
2,0123
2,0260
1,9634
1,9993
1,9688
5,0317
6,8862
4,6166
4,8454
5,0422
6,6647
3,0170
2,0167
2,0413
1,9733
1,9424
2,0047
1,9736
1,9916
1,9391
2,0131
1,9552
1,9815
1,9647
2,0023
2,0397
1,9653
2,0527
1,9886
2,0098
2,0427
1,9927
1,9883
1,9857
2,0336
2,0088
2,0142
1,9682
1,9891
1,9819
1,9939
2,0280
1,9324
1,9516
2,0121
1,9907
1,9443
1,9875
2,0063
2,0033
2,0419
2,0236
1,9658
2,0228
2,0399
2,0014
2,0344
1,9945
2,0021
1,9459
1,9528
2,0789
1,9688
1,9971
1,9967
1,8781
1,9740
2,0265
1,9752
1,9261
2,0364
1,9531
2,0188
1,9867
1,9467
5,4423
5,5934
6,7845
3,5829
3,3955
6,3971
1,7878
3,4129
4,4382
1,3403
5,4160
3,9936
5,0156
2,4697
2,7058
3,2503
6,6793
5,3116
6,4716
4,6951
2,6826
6,8038
5,9238
3,5188
5,5830
6,8702
4,6797
3,9157
4,8629
2,0124
1,9433
6,1787
2,4689
2,6139
3,8330
0,4534
4,7579
4,3863
6,0925
5,2890
0,1144
6,1861
4,0275
3,2810
9,9571
6,2800
2,4112
5,7511
7,6935
0,9099
5,7119
1,4281
3,0221
6,2210
5,6640
3,7049
3,5171
2,9561
2,3243
2,8225
4,4157
3,5997
1,5851
1,6268
2,1090
2,6679
2,5692
1,5844
1,8989
2,1685
2,2501
1,7825
2,3970
18,1097
3,8695
-17,0255
-20,3931
25,4306
11,1022
-6,1326
-1,1837
17,0125
-11,2442
1,6878
2,2175
2,5042
2,5140
1,5266
1,7972
2,1453
2,1828
1,8399
2,4315
14,4193
-2,2002
-7,9871
-17,3770
28,7042
16,9238
-4,7723
2,5888
13,8295
-13,1751
1,6858
2,2205
2,4972
2,5118
1,5258
1,7943
2,1962
2,1221
2,1543
1,9240
1,8153
1,7279
1,5829
2,4786
1,9170
1,7292
2,4651
2,0166
2,0734
1,9987
1,7822
2,1195
1,9453
1,9450
1,7981
1,6266
1,8810
2,0507
2,1183
2,3882
2,1201
2,1181
1,4961
2,3877
2,2313
2,1886
2,1266
1,5633
1,3381
2,1148
2,2624
1,6927
1,6687
2,3129
2,2017
2,1240
2,1959
1,6977
2,6459
2,1742
1,5743
1,9093
1,9002
1,3430
1,7654
1,7088
1,9265
2,4199
1,3968
2,0777
2,1096
1,5078
1,5648
2,2072
2,1590
1,4526
1,5510
2,2727
1,8493
2,2035
2,1992
2,1506
1,6291
1,8160
2,5406
2,1596
1,4937
2,1793
-4,8907
0,3912
-4,8279
-4,4938
5,6314
13,8303
13,7320
-17,0235
10,9630
21,2251
-14,9570
13,5163
0,9874
-4,2592
4,6197
1,8819
18,4138
4,2561
2,3641
18,5036
15,7254
-1,0111
-3,5209
-11,6090
-7,1382
-5,7434
18,6175
-11,7791
-8,4562
-4,6452
0,0065
29,9382
25,4765
-1,2189
-16,7355
12,1158
18,6286
-12,8523
2,1540
-3,0120
-9,0818
17,1130
-21,3528
-1,1176
34,0887
12,2722
17,9957
42,0701
21,6188
22,1010
11,6880
-5,0794
43,5141
0,3169
3,8368
26,0475
15,6425
-6,2996
-1,8812
21,6839
19,2493
-17,7087
11,3058
-4,8298
-1,8029
4,3081
26,1119
23,4810
-30,5895
-8,2509
26,9312
-16,8216
2,2636
2,1639
2,0472
1,9917
1,7103
1,8743
1,7075
2,4345
1,8920
2,0083
2,3912
2,1583
1,9958
1,8559
1,9560
2,1416
2,0949
2,0201
1,9653
1,4389
1,9107
2,0083
1,9467
2,4273
2,2628
2,1842
1,5848
2,0052
1,8174
2,0419
2,1067
1,7286
1,1659
2,1388
2,1394
1,8299
1,9965
2,3362
2,1626
2,2175
2,0441
1,8656
2,4758
2,2432
1,9497
1,8638
1,8977
1,4788
1,8464
2,0002
1,9917
2,5299
1,8519
2,2123
2,3163
1,6382
1,7447
2,2422
2,0907
1,5967
1,6753
2,1623
1,9588
2,2496
2,1745
2,2683
1,7640
1,8988
2,0716
1,9289
1,6712
2,0379
-8,8056
-2,0105
1,1731
-8,4377
11,7539
5,2056
6,5202
-14,2444
12,4185
5,0581
-10,6467
5,5732
5,6233
3,9466
-5,4893
0,6945
10,4046
0,0744
-7,2503
28,9515
13,6182
1,1126
6,2361
-14,0872
-15,3491
-9,5030
13,6397
9,8851
14,8715
3,9009
1,2425
20,9654
35,1553
-2,7562
-9,8262
4,2971
0,0269
-14,2261
4,3422
-8,2937
-0,4310
7,5268
-11,4930
-5,1438
12,6214
14,9557
18,0920
34,1708
17,2510
5,4538
7,8566
-11,3844
17,5211
-7,6601
-8,1630
18,4903
5,3118
-7,9952
2,2207
13,3994
12,1802
-11,4980
4,7991
-7,3176
-0,2773
-2,3317
18,5734
19,0188
-3,6750
4,8768
16,8240
-8,6696
2,2650
2,1648
2,0448
1,9909
1,7098
1,8744
2,0098
2,3919
2,1615
1,9967
1,8553
1,9569
1,9669
1,4329
1,9067
2,0030
1,9454
2,4255
1,9963
1,8064
2,0409
2,1070
1,7370
1,1612
2,0012
2,3364
2,1613
2,2207
2,0405
1,8707
1,8654
1,8983
1,4788
1,8502
2,0037
1,9909
2,3163
1,6393
1,7459
2,2470
2,0914
1,5985
2,2508
2,1762
2,2716
1,7691
1,9038
2,0664
Experiment III
n = 30
β2
1,6946
2,3711
2,3315
1,6599
1,9111
1,9818
2,0906
1,9777
1,8829
β1
7,4222 27,9993
-16,9231 -12,9987
-4,8400 -11,9368
25,5946 30,2042
8,0062 -2,9858
-3,8186 10,7017
12,8228 -1,6572
1,9274 3,2069
1,0609 7,6936
MZNČ β2
1,8433 2,0425
1,8443 2,2082
2,2328 2,3977
1,9187 1,7117
1,9461 1,7555
2,1398 2,0650
1,9970 2,1035
1,9720 1,8429
2,0114 1,9125
β1
14,2895 8,3960
13,1297 -3,7404
1,7322 -15,5279
15,6952 27,4801
12,3826 5,7992
-4,8218 5,9432
19,5402 -2,3167
1,3590 11,0769
4,8847 6,0475
MZNČ/X2 β2
1,8406 2,0489
1,8379 2,2057
2,2324 2,4014
1,9212 1,7159
1,9470 1,7515
MNČ
1,9652
2,3692
2,3458
1,7449
2,0204
2,1228
2,1172
1,9576
2,0841
- 84 -
2,1405
1,9931
1,9756
2,0065
n = 100
2,0661
2,1043
1,8430
1,9134
β1
14,4349 8,0429
13,4814 -3,6016
1,7523 -15,7256
15,5575 27,2499
12,3367 6,0169
-4,8553 5,8804
19,7516 -2,3602
1,1618 11,0715
5,1499 5,9988
Glejserova metoda
2,2508 1,9652
2,1992 1,8379
2,2716 2,2324
1,6291 1,9212
1,8160 1,9470
2,0664 2,1405
1,9248 1,9931
1,4937 1,9576
2,1793 2,0065
β1
7,4222 27,9993
13,4814 -3,6016
1,7523 -15,7256
15,5575 27,2499
12,3367 6,0169
-4,8553 5,8804
19,7516 -1,6572
1,9274 3,2069
5,1499 5,9988
MNČ
β2
2,1316 2,0744
2,1639 2,0410
1,9152 2,0169
2,1822 1,8856
2,1237 2,2392
1,9546 2,0763
1,8952 2,1296
1,9350 2,0038
2,3544 1,6207
β1
-3,7348 1,3178
-6,4164 0,5036
2,4227 1,0172
-3,7109 11,1419
-4,6901 -8,2096
7,8314 1,1826
10,3930 2,2099
5,4890 3,2320
-7,4270 19,2414
MZNČ β2
1,9965 2,1994
2,0601 1,8402
1,7951 2,0070
2,2142 1,8801
2,0334 2,1363
1,9866 1,9054
1,9289 2,1065
1,9260 2,0441
2,3278 1,6864
β1
3,2480 -4,9680
-1,0517 10,9371
8,7008 1,5671
-5,3664 11,3677
0,1524 -2,5964
6,3557 9,8141
8,5112 3,4506
6,0231 0,8476
-5,9586 15,9982
2,1452
2,1811
1,8417
2,4336
14,5238
-2,3637
-7,6073
-17,2585
28,7462
17,0788
-4,7691
2,6806
13,7321
-13,2864
β2
1,6946
2,2057
2,4014
1,7159
1,7515
2,0661
2,0906
1,9777
1,9134
14,5238
-2,3637
-17,0255
-20,3931
28,7462
11,1022
-4,7691
2,6806
17,0125
-11,2442
2,1655
2,1945
1,8259
1,9402
1,8590
2,2735
1,9647
1,8605
2,0127
1,9116
-2,6369
-7,1418
10,5342
9,3872
7,8107
-7,3596
6,5483
13,0648
5,1279
10,9540
2,0031
2,0258
1,7915
1,9979
1,8935
2,2455
2,1408
1,8265
2,0114
2,1116
5,6103
1,5410
12,2809
6,4046
6,3319
-5,8937
-2,4499
14,6536
5,1114
0,6417
1,7077
2,4364
1,8925
2,1438
2,1038
2,0230
2,2642
2,1845
1,5871
2,1382
2,1351
1,8326
2,4754
2,2440
1,9543
2,5318
1,8582
2,2105
1,6768
2,1593
1,9569
1,9248
1,6746
2,0374
-8,8791
-2,0580
1,3042
-8,3940
11,7815
5,1984
6,5055
-14,3503
12,3940
4,9729
-10,6810
5,3978
5,5750
3,9810
-5,5353
0,5752
9,9225
-0,0864
-7,3418
29,2781
13,8335
1,4000
6,3116
-13,9888
-15,4236
-9,5168
13,5146
10,3687
15,4687
3,9546
1,2272
20,5131
35,4100
-2,7234
-9,5949
4,1528
-0,2343
-14,2354
4,4123
-8,4708
-0,2313
7,2524
-11,4679
-5,1885
12,3693
14,8696
18,0655
34,1691
17,0444
5,2591
7,8997
-11,4909
17,1742
-7,5631
-8,1654
18,4297
5,2463
-8,2510
2,1828
13,2986
12,0976
-11,3351
4,8988
-7,3827
-0,3703
-2,5120
18,2996
18,7492
-3,3880
5,0987
16,6345
-8,6438
1,6858
2,2205
2,6679
2,5692
1,5258
1,8989
2,1452
2,1811
1,7825
2,3970
-8,8791
-2,0580
1,3042
-4,4938
11,7815
5,1984
13,7320
-14,3503
12,3940
2,2650
2,1648
2,0448
1,9240
1,7098
1,8744
1,5829
2,4364
1,8925
2,0098
2,4651
2,0166
1,9967
1,9987
1,7822
2,1438
2,1038
1,9450
1,9669
1,4329
1,9067
2,0030
1,9454
2,4255
2,1201
2,1845
1,4961
2,3877
2,2313
2,0409
2,1070
1,7370
1,3381
2,1148
2,1351
1,8326
1,6687
2,3364
2,2017
2,2207
2,1959
1,8707
2,4754
2,2440
1,5743
1,8654
1,9002
1,3430
1,8502
1,7088
1,9909
2,4199
1,3968
2,2105
2,1096
1,6393
1,7459
2,2072
2,0914
1,5985
1,6768
2,1593
1,9569
4,9729
-14,9570
13,5163
5,5750
-4,2592
4,6197
0,5752
9,9225
4,2561
-7,3418
29,2781
13,8335
1,4000
6,3116
-13,9888
-7,1382
-9,5168
18,6175
-11,7791
-8,4562
3,9546
1,2272
20,5131
25,4765
-1,2189
-9,5949
4,1528
18,6286
-14,2354
2,1540
-8,4708
-9,0818
7,2524
-11,4679
-5,1885
34,0887
14,8696
17,9957
42,0701
17,0444
22,1010
7,8997
-5,0794
43,5141
-7,5631
3,8368
18,4297
5,2463
-6,2996
2,1828
13,2986
12,0976
-11,3351
4,8988
-7,3827
-1,8029
-2,5120
26,1119
23,4810
-3,3880
5,0987
26,9312
-16,8216
1,8375
1,9090
2,1549
1,9805
2,1755
2,0467
1,9534
2,0947
1,8650
2,1744
1,8957
2,0938
1,9452
2,1310
1,8236
2,0296
2,0966
1,7051
2,1625
1,6799
1,8018
1,4985
1,9581
1,9266
1,7063
1,8758
2,0525
2,2888
1,9447
2,1220
2,1542
1,7289
1,7965
1,8118
2,3063
2,0463
1,9056
1,7294
1,9008
2,0897
2,1495
2,0291
1,9011
1,6474
2,0746
1,9853
1,6532
2,0425
2,0602
2,1890
2,1688
2,0556
1,9586
1,8176
1,7898
1,7214
2,0627
1,9772
2,0701
1,9580
2,0370
1,8371
1,9052
2,2782
1,6017
1,4500
2,0915
1,9733
2,3487
2,2137
2,0542
2,3760
13,3001
3,1774
-3,6335
1,9201
-5,6619
5,0273
4,3442
-1,4358
8,8095
-4,6465
11,1904
-2,3623
9,3190
-3,3834
11,9581
1,0803
0,7256
20,9719
-8,6602
17,3425
17,4309
24,2756
4,2152
4,1380
15,6045
6,6615
3,1643
-9,1477
4,6060
-5,7859
-3,2838
18,8334
14,2911
18,7233
-7,7820
0,2326
9,5436
19,5124
5,5094
-4,6927
-0,7680
5,1439
6,9249
22,0015
4,0045
2,9758
21,3561
3,6565
2,9333
-7,5003
-3,5887
1,2676
2,1947
7,8517
14,5434
11,4203
1,3763
4,3422
3,2345
12,0824
-2,3556
16,2946
8,5155
-10,0408
21,6380
31,0106
-1,2333
4,5165
-10,2959
-9,5017
4,6256
-11,7207
2,0482
2,0118
2,2376
1,8510
2,0786
2,0604
1,9323
1,9907
1,7302
2,1700
1,9741
2,0636
1,8684
2,1634
1,8370
1,8515
2,1601
1,9659
2,1316
1,7886
1,8360
1,6329
1,9355
1,9097
1,7172
1,7668
2,1302
2,1589
1,8986
2,0482
2,0794
1,8703
1,8801
1,9014
2,2293
2,0585
2,0694
1,8668
2,0476
2,0673
2,0794
1,9048
1,9058
1,9136
2,1119
2,0749
1,7662
1,9458
2,0732
2,1633
2,1069
2,0754
1,9257
1,8420
1,8454
1,7216
2,1469
1,9663
2,2395
2,0978
2,0581
1,9419
1,9871
2,1016
1,8035
1,6934
2,0587
1,9621
2,0840
1,8868
2,1409
2,1659
2,4762
-2,0542
-7,9702
8,4349
-0,7508
4,4920
5,3325
3,7537
15,7206
-4,4721
7,1884
-0,6593
13,1946
-4,9725
11,3004
10,1685
-2,5641
7,5274
-7,1515
11,8277
15,6965
17,1874
5,2723
4,8661
14,9937
12,2983
-0,8233
-2,5359
6,9196
-1,9674
0,5647
11,4792
9,8286
14,2552
-3,7725
-0,2446
1,2647
12,4416
-2,0062
-3,5430
2,9548
11,5678
6,5377
8,2573
2,1376
-1,7558
15,4712
8,7015
2,2719
-6,0824
-0,5009
0,2583
3,8383
6,5837
11,7761
11,2783
-2,9879
4,9225
-5,6547
4,9419
-3,4596
10,7019
4,0109
-0,9854
11,1457
18,4198
0,3561
5,1241
3,3202
7,4599
0,2322
-0,7530
- 85 -
MZNČ/X2 β2
1,9933 2,2038
2,0590 1,8376
1,7944 2,0070
2,2149 1,8793
2,0360 2,1395
1,9892 1,9007
1,9279 2,1071
1,9270 2,0404
2,3286 1,6902
β1
3,4024 -5,1802
-0,9967 11,0656
8,7378 1,5645
-5,4013 11,4064
0,0271 -2,7513
6,2332 10,0454
8,5562 3,4191
5,9764 1,0247
-5,9962 15,8122
Glejserova metoda
2,0993 1,9933
1,8052 2,0590
1,6959 1,7944
2,0565 2,2149
1,9617 2,0360
2,0803 1,9892
1,8822 1,9279
2,1436 1,9270
2,1650 2,3286
β1
3,4024 -5,1802
-0,9967 11,0656
8,7378 1,5645
-5,4013 11,4064
0,0271 -2,7513
6,2332 10,0454
8,5562 3,4191
5,9764 1,0247
-5,9962 15,8122
1,9995
2,0232
1,7899
1,9985
1,8983
2,2456
2,1451
1,8234
2,0106
2,1153
5,7906
1,6716
12,3586
6,3762
6,1023
-5,8956
-2,6638
14,8030
5,1508
0,4591
β2
2,2038
1,8376
2,0070
1,8793
2,1395
1,9007
2,1071
2,0404
1,6902
5,7906
1,6716
12,3586
6,3762
6,1023
-5,8956
-2,6638
14,8030
5,1508
0,4591
2,0526
2,0144
2,2373
1,8467
2,0758
2,0626
1,9306
1,9863
1,7283
2,1701
1,9769
2,0650
1,8658
2,1658
1,8378
1,8473
2,1607
1,9708
2,1306
1,7907
1,8374
1,6321
1,9330
1,9070
1,7167
1,7653
2,1315
2,1557
1,8973
2,0481
2,0784
1,8716
1,8789
1,9051
2,2285
2,0592
2,0752
1,8690
2,0512
2,0670
2,0812
1,9027
1,9046
1,9178
2,1122
2,0748
1,7668
1,9451
2,0731
2,1643
2,1032
2,0746
1,9235
1,8430
1,8476
1,7202
2,1473
1,9677
2,2402
2,1007
2,0585
1,9413
1,9854
2,0993
1,8052
1,6959
2,0565
1,9617
2,0803
1,8822
2,1436
2,1650
2,2611
-2,1828
-7,9580
8,6449
-0,6138
4,3842
5,4169
3,9673
15,8134
-4,4757
7,0519
-0,7250
13,3244
-5,0875
11,2590
10,3776
-2,5934
7,2908
-7,0996
11,7214
15,6322
17,2242
5,3955
4,9989
15,0203
12,3760
-0,8880
-2,3760
6,9805
-1,9595
0,6170
11,4164
9,8849
14,0751
-3,7355
-0,2817
0,9782
12,3326
-2,1847
-3,5305
2,8718
11,6726
6,5937
8,0524
2,1202
-1,7558
15,4433
8,7371
2,2756
-6,1287
-0,3206
0,2935
3,9414
6,5370
11,6662
11,3498
-3,0080
4,8533
-5,6909
4,7991
-3,4772
10,7288
4,0904
-0,8669
11,0620
18,2951
0,4619
5,1431
3,5067
7,6866
0,1027
-0,7021
1,9995
2,0232
1,7899
1,9985
1,8983
2,2456
2,1451
1,8234
2,0106
2,1153
2,2611
-2,1828
-7,9580
8,6449
-0,6138
4,3842
5,4169
3,9673
15,8134
2,0526
2,0144
2,2373
1,8467
2,0758
2,0626
1,9306
1,9863
1,7283
2,1701
1,9769
2,0650
1,8658
2,1658
1,8378
1,8473
2,1607
1,9708
2,1306
1,7907
1,8374
1,6321
1,9330
1,9070
1,7167
1,7653
2,1315
2,1557
1,8973
2,0481
2,0784
1,8716
1,8789
1,9051
2,2285
2,0592
2,0752
1,8690
2,0512
2,0670
2,0812
1,9027
1,9046
1,9178
2,1122
2,0748
1,7668
1,9451
2,0731
2,1643
2,1032
2,0746
1,9235
1,8430
1,8476
1,7202
2,1473
1,9677
2,2402
2,1007
2,0585
1,9413
1,9854
-4,4757
7,0519
-0,7250
13,3244
-5,0875
11,2590
10,3776
-2,5934
7,2908
-7,0996
11,7214
15,6322
17,2242
5,3955
4,9989
15,0203
12,3760
-0,8880
-2,3760
6,9805
-1,9595
0,6170
11,4164
9,8849
14,0751
-3,7355
-0,2817
0,9782
12,3326
-2,1847
-3,5305
2,8718
11,6726
6,5937
8,0524
2,1202
-1,7558
15,4433
8,7371
2,2756
-6,1287
-0,3206
0,2935
3,9414
6,5370
11,6662
11,3498
-3,0080
4,8533
-5,6909
4,7991
-3,4772
10,7288
4,0904
-0,8669
11,0620
18,2951
0,4619
5,1431
3,5067
7,6866
0,1027
-0,7021
2,0059
1,9412
2,0757
2,0123
1,8746
1,9749
1,9469
1,9560
1,9168
2,0213
2,7800
6,2273
0,4495
3,8121
10,7287
3,7964
7,7059
6,4198
10,3928
2,1933
2,0041
1,9685
2,0394
2,0248
1,8918
1,9995
1,9468
1,9803
1,9076
1,9446
2,8926
4,7403
2,5573
1,9967
1,9583
1,9679
2,0491
2,0205
2,1271
1,9447
1,9453
2,0709
2,0518
2,0482
2,0169
2,0331
1,9351
1,9836
1,9594
1,9702
2,0004
1,9940
2,0484
2,0480
2,0734
1,9265
1,9204
2,0140
1,9808
1,9588
1,9082
1,9301
1,8839
2,0527
2,1439
2,0248
1,9817
2,0078
1,9750
1,9401
2,0235
1,9131
2,0133
2,0212
2,0036
1,9522
1,9759
2,0371
2,1010
1,9965
2,0003
1,9622
1,9787
1,9691
1,9311
1,8479
1,9795
2,0090
1,9474
2,0079
1,9759
1,9533
2,0661
1,9844
1,9938
1,9986
2,0354
1,9561
2,0432
2,0700
1,9528
1,9747
1,9611
1,9660
1,9742
3,4572
5,1420
5,5737
0,3597
3,5670
-3,3586
7,0377
7,1623
-0,4412
0,9554
2,4973
1,1365
0,7684
5,6315
4,4414
6,3756
5,6310
5,1540
4,3813
1,3714
0,6380
-0,2079
7,0390
10,3316
2,8406
4,9151
6,1762
10,9697
9,0732
9,3781
-1,2230
-2,1673
2,4569
5,6593
4,6157
5,3750
6,9830
3,0875
9,4531
2,5316
2,8812
0,7486
3,9703
4,6265
2,1826
-1,0432
5,9562
4,7793
6,3351
4,5171
3,8062
9,8503
12,3737
3,8361
2,1915
8,9858
3,0382
5,7594
5,7009
-0,3416
5,9009
4,3112
4,0096
2,5470
6,6441
1,2826
-1,6788
6,7135
4,6355
6,2990
3,6151
4,9918
1,9809
1,9960
1,9403
2,0499
1,9956
2,0566
1,9287
1,9657
2,0842
2,0471
2,0677
2,0572
2,0080
1,9903
1,9739
1,9588
1,9494
2,0374
1,9757
2,0564
2,1065
2,0110
1,9700
1,9333
1,9771
1,9779
1,9459
1,9309
1,9525
1,9202
2,0397
2,0934
2,0764
1,9098
2,0031
1,9930
1,9604
2,0187
1,9409
1,9968
2,0013
1,9668
1,9428
2,0129
2,0796
2,1039
1,9780
2,0376
1,9768
1,9199
1,9679
1,9572
1,8522
1,9853
1,9918
1,9285
2,0142
1,9329
1,9938
2,0678
1,9618
1,9972
1,9807
1,9790
1,9589
2,0730
2,0210
2,0349
1,9882
1,9600
1,9325
2,0384
4,4444
3,0383
7,1521
1,2488
1,4028
-1,1285
5,5206
0,8712
-2,6781
9,5535
7,7969
7,3042
5,7141
3,3524
7,8625
-1,2266
7,0657
2,7089
3,1525 5,7717
10,0466 6,5375
2,6668 -0,4566
Experiment IV
n = 30
MNČ
1,9604
1,9408
2,0934
2,0326
1,9990
2,0201
2,0017
2,0977
2,0073
6,1565
8,8840
0,0908
1,6283
4,6625
5,6635
2,4794
-1,8419
3,2932
MZNČ
1,9266
1,9312
2,0006
2,0189
1,9740
2,0678
2,0018
2,1252
2,0400
8,0057
9,4631
β2
1,9607
1,9587
1,9845
2,0099
2,0707
2,0656
1,9700
2,0330
2,0091
β1
6,3948
4,1632
4,8956
2,1716
0,8423
1,1477
6,1670
0,9232
3,6713
β2
1,9426
1,9999
1,9341
2,0527
2,0752
2,0063
1,9860
2,0377
2,0253
β1
7,4393
1,8555
- 86 -
n = 100
5,3009 7,7491
2,4175 -0,2450
6,1108 0,5864
2,9843 4,4738
2,4437 5,2469
-3,3928 0,6578
1,4195 2,7942
MZNČ/X2 β2
1,9249 1,9425
1,9314 2,0010
1,9980 1,9329
2,0187 2,0542
1,9739 2,0753
2,0692 2,0046
2,0013 1,9863
2,1260 2,0379
2,0405 2,0262
β1
8,1013 7,4467
9,4517 1,7929
5,4434 7,8109
2,4277 -0,3251
6,1157 0,5801
2,9103 4,5671
2,4682 5,2292
-3,4344 0,6439
1,3928 2,7494
Glejserova metoda
2,0354 1,9604
1,9561 1,9408
2,0432 2,0934
2,0700 2,0326
1,9528 1,9739
1,9747 2,0201
1,9611 2,0017
1,9311 2,0977
1,9742 2,0405
β1
6,1565 6,3948
8,8840 1,7929
0,0908 4,8956
1,6283 2,1716
6,1157 0,5801
5,6635 1,1477
2,4794 6,1670
-1,8419 0,9232
1,3928 3,6713
MNČ
β2
2,0611 1,9642
2,0340 1,9878
2,0160 2,0022
1,9581 1,9896
2,0048 1,9373
1,9961 1,9769
2,0527 2,0064
1,9745 1,9676
1,9967 1,9542
β1
0,9162 4,9017
2,4925 4,1988
3,5659 4,3662
7,3770 4,2915
3,6566 7,2370
4,7540 6,5286
1,6910 3,3250
4,7771 6,5317
2,8397 5,9400
MZNČ β2
2,0612 1,9657
2,0158 1,9780
2,0202 2,0084
1,9496 1,9896
2,0056 1,9418
2,0062 1,9705
2,0483 2,0259
3,1339
9,6712
2,4336
7,7057
5,0915
10,8782
6,4891
2,0029
1,9701
2,0390
2,0255
1,8910
2,0004
1,9465
1,9819
1,9071
1,9424
2,9558
4,6545
2,5828
3,0981
9,7163
2,3862
7,7223
5,0079
10,9065
6,6133
β2
1,9607
2,0010
1,9845
2,0099
2,0753
2,0656
1,9700
2,0330
2,0091
2,9558
6,2273
0,4495
3,8121
10,7287
3,7964
7,7059
6,4198
10,9065
2,1933
2,0321
1,9847
1,9833
1,9871
1,9983
1,9867
1,9824
2,0040
2,0015
1,9953
2,3009
5,6201
4,4783
4,8201
3,8023
4,3131
4,7046
4,5009
3,4397
4,1151
2,0226
1,9839
1,9855
1,9871
1,9975
2,0021
1,9840
2,0157
0,3072
4,9865
0,6645
7,9714
6,0084
-1,1301
2,2378
2,5076
4,9838
6,4638
6,7959
3,1143
3,2700
4,5282
9,5984
4,8643
5,1127
6,9119
-0,4640
0,7261
-0,4564
9,7600
4,8796
4,4031
3,4897
4,0003
2,8610
4,4594
2,5612
-0,2009
5,4737
7,8508
3,8294
8,4336
12,0952
3,5311
8,2510
3,4504
-0,4628
7,2282
4,1055
4,9924
1,0958
2,0501
3,8639
6,3222
5,4567
1,4209
1,9560
1,9975
1,9404
2,0495
1,9954
2,0556
1,9290
1,9664
2,0856
2,0373
2,0681
2,0583
2,0079
1,9915
1,9736
1,9595
1,9488
2,0389
1,9293
2,0561
2,1075
2,0091
1,9704
1,9334
1,9749
1,9785
1,9456
1,9706
1,9529
1,9208
2,0397
2,0926
2,0774
1,9084
2,0029
1,9944
1,9907
2,0187
1,9414
1,9966
2,0006
1,9664
1,9420
2,0139
2,0809
2,0964
1,9785
2,0392
1,9766
1,9186
1,9672
1,9582
1,8517
1,9858
1,9911
1,9281
2,0140
1,9326
1,9951
2,0672
1,9617
1,9972
1,9797
1,9786
1,9594
2,0727
2,0197
2,0366
1,9881
1,9595
1,9311
2,0405
5,7785
2,9547
7,1510
0,3282
4,9970
0,7194
7,9572
5,9732
-1,2065
1,7750
1,3775
-1,1888
2,2390
2,4430
5,0024
6,4276
6,8291
3,0343
8,0080
0,8864
-2,7346
3,3754
4,5065
9,5936
4,9826
5,0803
6,9256
7,4189
7,7756
7,2723
-0,4658
0,7660
-0,5115
9,8319
4,8941
4,3231
4,0891
3,3551
7,8373
3,5035
4,0376
2,8818
4,5068
2,5070
-0,2667
-0,8346
7,0383
2,6221
5,4829
7,9175
3,8653
8,3761
12,1213
3,5026
3,1914
10,0685
2,6736
8,2660
3,3790
-0,4342
7,2341
4,1022
5,0460
5,7928
6,5089
-0,4435
1,1660
1,9600
3,8698
6,3484
5,5327
1,3023
2,0029
1,9412
2,0757
2,0123
1,8746
1,9749
1,9469
1,9560
1,9071
2,0213
3,4572
5,1420
5,5737
0,3597
3,5670
-3,3586
7,0377
7,1623
-0,4412
1,9967
1,9583
1,9679
2,0491
2,0205
2,1271
1,9447
1,9453
2,0709
2,0518
2,0681
2,0169
2,0331
1,9351
1,9836
1,9594
1,9702
2,0004
1,9940
2,0484
2,0480
2,0734
1,9265
1,9204
2,0140
1,9808
1,9588
1,9082
1,9301
1,8839
2,0397
2,1439
2,0248
1,9817
2,0078
1,9750
1,9907
2,0187
1,9414
2,0133
2,0212
1,9664
1,9522
1,9759
2,0809
2,1010
1,9965
2,0003
1,9622
1,9787
1,9691
1,9311
1,8351
1,9795
1,9911
1,9474
2,0079
1,9759
1,9533
2,0661
1,9844
1,9938
1,9797
0,9554
1,3775
1,1365
0,7684
5,6315
4,4414
6,3756
5,6310
5,1540
4,3813
1,3714
0,6380
-0,2079
7,0390
10,3316
2,8406
4,9151
6,1762
10,9697
9,0732
9,3781
-0,4658
-2,1673
2,4569
5,6593
4,6157
5,3750
4,0891
3,3551
7,8373
2,5316
2,8812
2,8818
3,9703
4,6265
-0,2667
-1,0432
5,9562
4,7793
6,3351
4,5171
3,8062
9,8503
13,2177
3,8361
3,1914
8,9858
3,0382
5,7594
5,7009
-0,3416
5,9009
4,3112
5,0460
2,5470
6,6441
1,2826
-1,6788
6,7135
4,6355
6,2990
5,5327
4,9918
1,9895
2,0064
2,0365
1,9592
1,9930
2,0337
1,9525
1,9744
2,0030
1,9698
2,0216
2,0224
2,0090
2,0394
1,9880
1,9754
2,0196
2,0201
1,9463
1,9638
1,9860
1,9922
1,9886
2,0034
1,9737
1,9987
2,0736
1,9641
1,9963
2,0452
2,0129
2,0029
2,0296
2,0388
1,9667
1,9769
1,9976
2,0493
2,0542
1,9940
2,0275
2,0010
2,0120
2,0122
2,0197
1,9876
2,0131
1,9712
2,0086
2,0015
2,0189
1,9894
2,0007
1,9995
1,9769
1,9784
2,0049
2,0227
2,0118
1,9838
1,9786
2,0356
1,9822
1,9979
2,0384
2,0138
2,0128
2,0223
2,0323
2,0483
1,9931
1,9830
5,6936
3,0321
2,1264
5,8316
5,3269
2,1319
5,1694
5,2453
2,7100
5,4058
3,0323
3,0862
3,0815
2,4769
4,8315
5,1329
2,6158
2,2496
6,5939
5,7875
4,9576
4,5721
4,5059
2,7565
5,9481
3,8613
0,1697
5,5062
4,2338
2,1897
2,7140
3,9511
2,5234
1,6151
5,2284
4,3518
3,9832
1,6112
1,7948
4,1463
2,0407
3,5320
2,8163
3,3333
3,8483
3,9970
4,1051
5,3943
2,8177
3,5381
3,3354
4,7025
3,5396
4,9714
5,5649
5,1269
3,6872
3,9743
4,7574
4,3589
5,8356
1,7581
4,9580
4,6553
1,9066
3,5039
3,3413
2,9032
2,4663
0,6719
3,9952
5,7440
1,9941
2,0094
2,0290
1,9631
1,9970
2,0230
1,9447
1,9685
1,9785
2,0228
2,0197
2,0083
2,0287
1,9778
1,9698
2,0216
1,9585
1,9651
2,0038
2,0037
1,9870
1,9898
1,9670
2,0081
1,9603
2,0014
2,0450
2,0024
2,0039
2,0226
2,0407
1,9669
1,9981
2,0369
2,0534
1,9920
2,0211
2,0003
2,0167
1,9921
1,9793
2,0146
1,9614
2,0104
2,0027
2,0225
1,9915
1,9998
1,9819
1,9769
2,0064
2,0140
2,0135
1,9792
1,9720
2,0383
1,9940
2,0324
2,0228
2,0006
2,0096
2,0356
2,0478
1,9959
- 87 -
1,9740
1,9984
1,9764
1,9499
β1
0,9070 4,8214
3,5203 4,7564
3,3260 4,0160
7,8592 4,2964
3,6087 6,9775
4,1839 6,8886
1,9423 2,2250
4,8040 6,0336
2,7415 6,1830
MZNČ/X2 β2
2,0732 1,9734
1,9870 1,9610
2,0307 2,0095
1,9329 1,9821
1,9980 1,9519
2,0228 1,9494
2,0245 2,0499
1,9754 1,9941
1,9953 1,9436
β1
0,3333 4,4482
4,9190 5,5761
2,8221 3,9564
8,6675 4,6531
3,9689 6,4938
3,3750 7,8969
3,0829 1,0561
4,7356 5,1752
2,8867 6,4919
Glejserova metoda
1,9979 2,0614
2,0297 2,0098
2,0265 2,0307
2,0128 1,9581
2,0223 2,0048
2,0323 2,0089
2,0483 2,0245
1,9970 1,9738
1,9952 1,9990
β1
0,9045 4,8427
3,8018 4,1988
2,8221 3,9333
7,3770 4,6531
3,6566 6,9866
4,0608 7,8969
3,0829 1,9401
4,8148 6,0975
2,7107 5,9400
2,0067
1,9859
2,8377
5,6635
4,3574
4,8178
3,8485
3,4419
4,6149
3,8410
3,1473
4,6488
2,0172
1,9746
1,9842
1,9896
2,0100
2,0220
1,9942
2,0507
2,0125
1,9692
3,1054
6,1079
4,4176
4,6966
3,2501
2,4766
4,1239
2,1549
2,8690
5,4574
β2
1,9653
1,9878
2,0101
1,9821
1,9419
1,9494
2,0319
1,9755
1,9542
2,3009
5,7247
4,3270
4,6966
3,8023
4,3131
4,7046
4,5009
3,4397
4,6991
1,9983
2,0271
2,0665
1,9662
2,0297
2,0008
1,9891
1,9939
5,4328
2,8660
2,5522
5,6111
5,1003
2,7358
5,6094
5,5794
2,9740
4,9152
2,9607
3,2408
3,1200
3,0802
5,4119
5,4485
2,5042
1,8531
5,9041
5,7125
3,9497
3,9229
4,5957
3,5213
6,3283
3,3278
0,5671
5,7220
3,9409
2,2026
3,3104
3,8942
2,9164
1,5049
5,2170
4,9553
3,9589
2,3139
1,8392
4,2571
2,3997
3,5738
2,5515
4,4661
3,2847
4,4666
4,0215
5,9523
2,7184
3,4653
3,1318
4,5880
3,5878
4,9002
5,2854
5,2119
3,6031
4,4644
4,6651
4,6189
6,2114
1,6054
4,5700
4,8750
2,2482
2,9971
4,0307
3,6244
2,2785
0,6977
3,8384
5,1246
1,9954
2,0187
2,0048
1,9659
1,9971
1,9842
1,9283
1,9538
2,0028
2,0019
2,0222
2,0085
2,0216
2,0101
1,9590
1,9520
2,0116
2,0466
1,9872
1,9741
2,0320
2,0084
1,9817
1,9752
1,9480
2,0322
2,0570
1,9516
2,0226
2,0564
1,9877
2,0029
2,0132
2,0430
1,9719
1,9390
2,0039
2,0005
2,0532
1,9906
2,0072
2,0034
2,0327
1,9521
2,0504
1,9673
2,0180
1,9382
2,0034
2,0118
2,0169
1,9993
1,9900
2,0068
1,9850
1,9763
2,0187
2,0074
2,0175
1,9648
1,9680
2,0351
1,9862
1,9927
2,0239
2,0364
1,9735
1,9938
2,0471
2,0438
1,9834
2,0134
5,3655
2,4177
3,7153
5,4695
5,0944
4,5999
6,4022
6,2885
2,7652
3,7845
2,9896
3,7811
2,4866
3,9819
6,3199
6,3045
2,9817
0,9162
4,5249
5,2778
2,5854
3,6834
4,8522
4,2358
7,2442
2,1679
1,0275
6,1402
2,9248
1,6596
4,0229
3,9416
3,3736
1,3932
4,9751
6,2726
3,6790
4,0636
1,8499
4,3279
3,0714
3,4224
1,7784
6,3996
2,2858
5,0510
3,8602
7,0698
3,0530
3,0320
3,3944
4,2131
4,0599
4,6095
5,1307
5,2445
3,0124
4,7913
4,4734
5,3116
6,4092
1,7543
4,6997
4,9422
2,6609
2,3375
5,3368
4,3950
1,7283
0,8896
4,4319
4,1865
2,0321
1,9826
1,9861
1,9896
1,9983
1,9867
1,9824
2,0040
2,0015
1,9846
5,3572
2,8736
2,1264
5,5866
5,0291
2,1319
5,1694
5,6751
2,7100
1,9957
2,0093
2,0365
1,9637
1,9985
2,0337
1,9525
1,9664
2,0030
1,9698
2,0222
2,0224
2,0086
2,0394
1,9880
1,9754
2,0116
2,0277
1,9463
1,9639
1,9860
1,9922
1,9869
1,9859
1,9737
2,0101
2,0652
1,9598
1,9963
2,0452
1,9971
2,0029
2,0190
2,0413
1,9667
1,9769
1,9977
2,0493
2,0532
1,9940
2,0275
1,9999
2,0169
2,0122
2,0197
1,9673
2,0149
1,9712
2,0112
2,0028
2,0169
1,9894
2,0004
2,0018
1,9826
1,9764
2,0049
2,0074
2,0137
1,9838
1,9697
2,0390
1,9899
5,4058
2,9896
3,0862
3,1109
2,4769
4,8315
5,1329
2,9817
1,8305
6,5939
5,7795
4,9576
4,5721
4,6030
3,7041
5,9481
3,2434
0,6231
5,7367
4,2338
2,1897
3,5675
3,9416
3,0925
1,4782
5,2284
4,3518
3,9804
1,6112
1,8496
4,1463
2,0407
3,5940
2,5522
3,3333
3,8483
5,0510
4,0083
5,3943
2,6776
3,4668
3,3944
4,7025
3,5544
4,8525
5,2562
5,2390
3,6872
4,7913
4,6555
4,3589
6,3211
1,5754
4,5355
4,6553
2,3765
2,8198
3,3413
2,9032
2,4663
0,6719
3,7796
5,0781
2,1415
1,9520
2,0398
1,9069
1,9908
2,0161
1,9150
1,9369
2,0771
2,0613
-2,1996
6,0833
1,4243
7,4500
5,1153
5,3052
8,7765
7,0834
1,8149
1,9976
1,8949
2,2947
1,8463
2,0100
2,0963
2,0231
2,0768
1,8435
2,0260
1,9587
1,9741
1,9203
1,9608
1,9887
1,9980
1,9926
1,9415
1,9938
1,9658
2,1162
1,9700
2,1683
2,1088
1,8463
2,2365
1,8620
2,0101
2,3641
2,1337
1,8985
2,1430
2,1851
2,0282
1,8986
1,9473
2,0311
1,9382
1,8543
1,9436
1,8594
1,9567
1,9397
2,2062
1,9763
1,9179
1,8885
1,9467
1,9378
2,0550
1,9649
1,9563
1,9358
1,9216
2,0307
1,9367
2,1781
2,0199
2,0058
2,2201
1,9718
2,1339
2,1106
2,0921
1,9251
2,0003
2,2181
2,0261
2,0516
2,1275
1,9316
13,6200
4,3141
8,8075
-11,6690
10,2358
3,7846
-1,2891
1,6834
11,7075
0,7650
5,4907
6,0013
8,8285
7,2974
5,7450
5,9247
9,0426
4,0773
6,4540
-1,7971
4,8681
-3,6470
-2,1786
11,9257
11,2142
4,4821
-15,3058
-3,4019
8,8990
-2,8426
-5,4743
4,5034
5,5218
3,0760
7,9579
11,7554
6,1516
10,4235
5,7358
8,0630
6,1574
7,4997
9,8953
5,7272
6,3061
1,9110
4,5926
7,3538
6,6868
2,5493
7,2532
-6,9544
3,2157
3,2342
-6,5917
4,4805
-2,5001
-0,6009
10,3836
3,1482
-7,3246
2,8961
0,4093
-2,4864
Experiment V
n = 30
MNČ
2,0431
2,1340
2,0270
2,0230
2,1868
1,9672
1,9593
2,0280
1,8931
3,7263
-1,9356
2,1882
1,2328
-5,5892
6,6370
5,8997
β2
2,0734
1,8831
2,1254
1,9161
2,1627
1,9634
2,0874
2,0920
1,7142
β1
-0,4802
9,0642
-2,9920
7,0275
-5,1440
5,8695
0,0460
- 88 -
0,8332
9,3578
MZNČ
2,0757
2,0761
2,0127
2,1028
2,1782
2,0062
1,9628
2,0556
1,8128
n = 100
-1,7558
18,9803
β2
2,0285
1,8787
2,1732
1,9876
2,2289
2,0046
1,9898
2,1239
1,6869
β1
2,0491 1,8373
1,0503 9,2907
2,9292 -5,4608
-2,8790 3,3434
-5,1494 -8,5508
4,6285 3,7536
5,7239 5,0753
-0,5864 -3,3967
13,4963 20,3949
MZNČ/X2 β2
2,0764 2,0278
2,0752 1,8785
2,0129 2,1737
2,1041 1,9889
2,1781 2,2303
2,0067 2,0054
1,9633 1,9882
2,0560 2,1244
1,8115 1,6867
β1
2,0116 1,8728
1,0961 9,3028
2,9183 -5,4857
-2,9443 3,2782
-5,1411 -8,6208
4,5997 3,7109
5,7016 5,1561
-0,6098 -3,4244
13,5590 20,4054
Glejserova metoda
2,1106 2,0431
2,0921 2,1340
1,9251 2,0270
2,0003 2,0230
2,2697 2,1868
2,0261 1,9672
2,0516 1,9593
2,1275 2,0280
1,9316 1,8931
β1
3,7263 -0,4802
-1,9356 9,0642
2,1882 -2,9920
1,2328 7,0275
-5,5892 -5,1440
6,6370 5,8695
5,8997 0,0460
0,8332 -1,7558
9,3578 18,9803
MNČ
β2
2,0465 2,0905
2,1095 2,1124
2,0303 1,9790
1,9482 2,0017
2,0541 2,0275
2,0176 2,0109
1,9500 2,0280
1,9261 2,0514
1,8797 2,0399
β1
2,1914 -0,3763
-0,8771 -2,2629
-0,0497
0,4378
2,1383
2,0269
1,9738
1,9532
1,9711
2,0081
1,9209
1,9933
2,0731
2,0899
-2,0338
2,2258
4,8234
5,0625
6,1273
5,7229
8,4740
4,1812
0,1645
-1,0456
2,1262
2,0282
1,9727
1,9538
1,9706
2,0081
1,9209
1,9943
2,0734
2,0897
-1,4114
2,1574
4,8825
5,0297
6,1548
5,7197
8,4712
4,1281
0,1490
-1,0380
β2
2,0734
1,8831
2,1254
1,9161
2,1627
1,9634
2,0874
2,0920
1,7142
-2,1996
6,0833
1,4243
7,4500
5,1153
5,3052
8,7765
7,0834
-0,0497
-1,0380
2,0336
1,9998
1,9799
2,0164
2,1212
1,9223
2,0775
1,9920
1,9739
2,0720
2,8063
4,5706
4,9797
1,4538
3,4115
-8,0906
9,8805
-5,4914
6,2251
-1,8164
7,3691
1,8130
2,0453
1,8501
2,2646
1,8693
1,9899
2,1382
2,0995
2,0431
1,8574
2,0096
1,9804
1,9783
1,9397
1,9313
1,9600
2,0949
1,9369
1,9689
1,9721
1,9235
2,1166
1,9945
2,1014
2,1406
1,8732
2,1201
1,8845
2,0430
2,3255
2,0539
1,8771
2,1205
2,1560
1,9924
1,9746
1,9693
2,1078
1,9392
1,8444
1,9688
1,9073
1,9377
1,8916
2,2330
1,9777
1,9381
1,9187
2,0439
1,9317
1,9995
1,9569
2,0164
1,9135
1,9307
2,0663
1,9462
2,0698
2,0522
2,0208
2,2527
2,0475
2,1894
2,1424
2,1352
1,9758
2,0122
2,2685
2,0481
2,0251
2,1610
1,9358
13,7205
1,8565
11,1156
-10,1158
9,0445
4,8223
-3,4496
-2,2637
3,1931
10,9830
1,6089
4,3714
5,7832
7,8288
8,8159
7,2320
0,9254
6,2688
7,6093
5,1931
8,6394
-1,8225
3,6120
-0,1983
-3,8214
10,5358
-2,0847
10,0344
2,7809
-13,3153
0,7132
10,0029
-1,6775
-3,9870
6,3435
5,9627
4,3709
-0,8738
7,9086
12,2672
4,8527
7,9546
6,7163
10,5411
-6,8798
6,0866
6,4606
8,3354
0,7207
6,6196
4,7649
5,0024
4,2573
7,3735
6,2159
0,7116
6,7645
-1,3701
1,5435
2,4555
-8,2715
0,5697
-4,6803
-4,1421
-2,8218
7,7804
2,5366
-9,9161
1,7677
1,7761
-4,2140
7,1460
1,8151
2,0463
1,8492
2,2642
1,8693
1,9896
2,1386
2,1002
2,0429
1,8730
2,0093
1,9809
1,9784
1,9400
1,9308
1,9600
2,0959
1,9353
2,0203
1,9719
1,9231
2,1164
1,9951
2,1002
2,1411
1,8737
2,1186
1,9250
2,0431
2,3249
2,0528
1,8767
2,1203
2,1547
1,9917
1,9759
2,0210
2,1093
1,9395
1,8444
1,9692
1,9079
1,9374
1,8907
2,2332
1,9934
1,9385
1,9190
2,0457
1,9316
1,9985
1,9566
2,0175
1,9131
1,9310
2,0667
1,9464
2,0680
2,0523
2,0205
2,2530
2,0479
2,1902
2,1426
2,1359
1,9772
2,0125
2,2697
2,0490
2,0244
2,1615
1,9357
13,6144
1,8070
11,1598
-10,0959
9,0461
4,8344
-3,4722
-2,2952
3,2044
10,1857
1,6213
4,3474
5,7822
7,8108
8,8427
7,2304
0,8728
6,3492
4,9807
5,2064
8,6589
-1,8125
3,5776
-0,1405
-3,8452
10,5143
-2,0090
7,9650
2,7755
-13,2859
0,7692
10,0238
-1,6705
-3,9186
6,3804
5,8959
1,7288
-0,9531
7,8952
12,2692
4,8300
7,9218
6,7314
10,5862
-6,8866
5,2831
6,4419
8,3185
0,6324
6,6239
4,8180
5,0201
4,2027
7,3921
6,2038
0,6907
6,7524
-1,2823
1,5374
2,4706
-8,2891
0,5474
-4,7215
-4,1517
-2,8601
7,7084
2,5234
-9,9779
1,7218
1,8090
-4,2398
7,1515
2,1415
1,9520
2,0398
1,9069
1,9908
2,0161
1,9150
1,9369
2,0771
2,0897
13,6200
4,3141
8,8075
-11,6690
10,2358
3,7846
-1,2891
1,6834
1,4538
1,8149
1,9976
1,8949
2,2947
1,8463
2,0100
2,0963
2,0231
2,0768
1,8435
2,0260
1,9587
1,9741
1,9203
1,9308
1,9887
2,0959
1,9926
1,9415
1,9938
1,9658
2,1162
1,9700
2,1683
2,1088
1,8463
2,2365
1,8620
2,0431
2,3641
2,1337
1,8985
2,1430
2,1851
2,0282
1,8986
1,9473
2,0311
1,9382
1,8543
1,9436
1,8594
1,9567
1,9397
2,2332
1,9763
1,9179
1,8885
1,9467
1,9378
2,0550
1,9649
1,8761
1,9358
1,9216
2,0307
1,9367
2,1781
2,0199
2,0058
2,2201
1,9718
2,1902
11,7075
0,7650
5,4907
6,0013
8,8285
8,8427
5,7450
0,8728
3,4115
9,0426
4,0773
6,4540
-1,7971
4,8681
-3,6470
-2,1786
11,9257
-8,0906
11,2142
2,7755
-15,3058
-3,4019
8,8990
-2,8426
-5,4743
4,5034
9,8805
5,5218
3,0760
7,9579
11,7554
6,1516
10,4235
5,7358
8,0630
-6,8866
6,1574
7,4997
9,8953
5,7272
6,3061
1,9110
4,5926
11,6716
6,2251
6,6868
2,5493
7,2532
-6,9544
3,2157
3,2342
-6,5917
4,4805
-4,7215
-2,5001
-0,6009
10,3836
3,1482
-9,9779
2,8961
0,4093
-2,4864
7,3691
1,9380
1,9345
2,0221
1,9683
1,9750
2,0956
2,0221
2,0215
2,0834
1,9413
2,0083
2,0249
1,9198
2,0058
2,0900
2,0346
2,0016
1,9649
2,0182
2,0639
1,9900
1,9685
2,0231
1,9685
2,0264
2,0239
2,0089
1,9763
1,9430
1,9176
1,9110
2,1447
2,0023
2,0605
2,0301
1,9734
2,0504
2,0441
1,9709
1,9438
2,0198
2,0440
1,9362
2,0104
1,9394
1,9195
1,9019
2,0349
1,9313
1,9926
1,9959
2,1039
1,9543
1,9263
1,9836
1,9878
2,0138
1,9793
2,0035
2,0818
2,0431
2,0347
1,9837
1,9979
1,9808
2,0399
1,9453
1,9741
1,9742
1,9751
1,9649
1,9621
6,3987
7,4834
2,7560
7,2681
3,8565
3,0275
3,5919
0,0358
5,1680
3,8990
6,7134
7,1732
2,1045
2,0562
5,6090
6,8237
8,5516
2,7168
4,1512
4,9179
3,5325
4,5787
4,5425
1,7132
- 89 -
2,1757
5,7283
1,1827
3,5532
6,1474
7,6930
10,0782
MZNČ
2,0457
2,1096
2,0328
1,9610
2,0383
2,0063
1,9335
1,9218
1,9033
4,6018
3,3404
2,2423
3,6403
3,4573
2,5651
2,1582
β2
2,0914
2,0968
1,9645
2,0048
2,0152
2,0228
2,0195
2,0550
2,0402
β1
2,2301 -0,4220
-0,8848 -1,4875
2,0514 5,3288
5,0891 3,1834
1,9733 2,8549
4,1202 3,0452
6,9722 3,8782
7,9086 2,3848
8,8970 2,1429
MZNČ/X2 β2
2,0470 2,0935
2,1246 2,0806
2,0453 1,9545
1,9852 1,9954
2,0103 1,9948
1,9856 2,0493
1,9068 2,0107
1,9040 2,0758
1,9373 2,0476
β1
2,1713 -0,5230
-1,5996 -0,7117
1,4571 5,8094
3,9341 3,6322
3,3125 3,8299
5,1088 1,7785
8,2452 4,3030
8,7554 1,3923
7,2715 1,7879
Glejserova metoda
1,9979 2,0470
1,9808 2,1246
2,0399 2,0303
1,9453 1,9852
1,9368 2,0541
1,9742 2,0176
1,9751 1,9068
1,9649 1,9261
1,9621 1,8797
β1
2,1713 -0,5230
-1,5996 -2,2629
2,1757 4,6018
3,9341 3,6322
1,1827 2,2423
3,5532 3,6403
8,2452 3,4573
7,6930 1,3923
10,0782 2,1582
4,0816
-1,1412
6,7462
0,9842
4,7743
5,6237
0,3136
2,0291
2,0074
1,9634
2,0135
2,1113
1,9345
2,0569
1,9829
1,9709
2,0916
3,0356
4,1924
5,8035
4,2247
-0,6452
6,1374
2,0127
5,2274
5,7755
-0,6639
2,0208
2,0055
1,9486
2,0004
2,0947
1,9567
2,0180
1,9755
1,9714
2,1348
3,4299
4,2799
6,5132
4,8501
0,1485
5,0720
3,8730
5,5798
5,7515
-2,7264
β2
2,0935
2,1124
1,9790
1,9954
2,0275
2,0109
2,0280
2,0758
2,0399
2,8063
4,2799
4,9797
4,8501
-1,1412
6,7462
0,9842
4,7743
5,6237
0,313
6,1518
4,7981
-0,3547
2,8674
2,7516
-0,5211
6,6412
3,2076
-0,2595
2,9304
3,3575
7,3124
6,2291
2,3843
5,6222
2,9571
2,9611
4,3415
8,6908
-3,1461
2,8287
1,9003
2,8199
5,7930
6,2160
3,3410
1,6472
7,9283
4,5248
7,0478
7,3881
3,5513
4,8033
-1,1392
5,9878
8,4582
6,2667
3,3170
0,6027
1,8892
1,6758
3,9786
6,9088
5,5843
5,1959
4,7762
5,1163
5,5534
1,9439
1,9192
2,0110
1,9867
1,9780
2,0945
2,0126
2,0270
2,0614
1,9273
2,0068
2,0353
1,9248
1,9849
2,0918
2,0360
2,0117
1,9759
2,0166
2,0526
2,0014
1,9914
1,9973
1,9689
2,0291
2,0245
2,0079
1,9560
1,9558
1,9399
1,9176
2,1301
2,0165
2,0520
2,0495
1,9706
2,0416
2,0387
1,9769
1,9545
2,0112
2,0327
1,9412
2,0142
1,9365
1,9189
1,9075
2,0279
1,9358
1,9860
1,9996
2,0907
1,9605
1,9390
2,0021
1,9873
2,0008
1,9869
2,0135
2,0826
2,0416
2,0420
1,9767
2,0106
1,9793
2,0312
1,9585
1,9567
1,9805
1,9581
1,9637
1,9610
6,1001
8,2447
3,3112
5,2312
4,6490
-0,3004
3,3395
2,4809
0,5775
7,9678
3,9303
2,5056
6,3888
4,2529
-0,3504
2,8590
2,8541
6,7636
3,6685
0,5961
4,6009
5,0869
3,6743
5,5987
2,8234
2,9322
4,3910
4,9120
6,0727
6,0604
8,3636
-2,4200
2,1172
2,3231
1,8518
5,9328
2,5462
2,3254
5,3076
5,6814
3,7728
2,2106
7,6781
4,3317
7,1946
6,8511
8,2713
3,0657
7,1626
3,8832
4,6177
-0,4816
5,6792
7,8253
3,2279
4,9426
4,1802
5,8870
2,8182
0,5615
1,9646
1,3100
4,3307
3,9444
4,6175
2,1482
6,2483
6,4512
4,8784
5,6217
5,1773
5,6105
1,9546
1,8999
1,9890
2,0157
1,9821
2,0935
1,9956
2,0414
2,0257
1,9192
1,9968
2,0414
1,9343
1,9563
2,0961
2,0400
2,0239
1,9993
2,0069
2,0384
2,0144
2,0387
1,9532
1,9666
2,0316
2,0315
1,9954
1,9281
1,9632
1,9828
1,9348
2,1046
2,0316
2,0357
2,0826
1,9635
2,0293
2,0319
1,9900
1,9829
1,9927
2,0300
1,9412
2,0320
1,9287
1,9096
1,9079
2,0250
1,9345
1,9818
1,9935
2,0682
1,9679
1,9659
2,0396
1,9727
1,9717
1,9929
2,0260
2,0866
2,0493
2,0503
1,9636
2,0409
1,9794
2,0223
1,9876
1,9368
1,9919
1,9324
1,9627
1,9642
5,5916
9,1682
4,3604
3,8476
4,4512
-0,2537
4,1518
1,7913
2,2864
8,3549
4,4108
2,2152
5,9378
5,6186
-0,5562
2,6710
2,2697
5,6452
4,1311
1,2789
3,9812
2,8274
5,7836
5,7091
2,7011
2,5960
4,9888
6,2479
5,7202
4,0093
7,5430
-1,1969
1,3970
3,1028
0,2693
6,2713
3,1351
2,6510
4,6825
4,3278
4,6575
2,3402
7,6776
3,4838
7,5645
7,2968
8,2498
3,2044
7,2257
4,0829
4,9091
0,5961
5,3286
6,5379
1,4360
5,6396
5,5706
5,6033
2,2187
0,3738
1,5994
0,9119
4,9543
2,4977
4,6141
2,5723
4,8607
7,4050
4,3368
6,8539
5,2225
5,4560
2,0336
2,0055
1,9799
2,0004
2,1212
1,9223
2,0775
1,9920
1,9739
2,0720
6,3987
9,1682
2,7560
3,8476
4,7981
-0,2537
2,8674
1,7913
-0,5211
1,9380
1,8999
2,0221
2,0157
1,9750
2,0935
2,0221
2,0414
2,0834
1,9192
2,0083
2,0249
1,9198
2,0058
2,0961
2,0346
2,0016
1,9993
2,0182
2,0639
1,9900
1,9685
2,0231
1,9685
2,0264
2,0239
1,9954
1,9763
1,9430
1,9176
1,9110
2,1447
2,0316
2,0605
2,0826
1,9734
2,0504
2,0441
1,9709
1,9438
2,0198
2,0300
1,9362
2,0104
1,9394
1,9195
1,9019
2,0349
1,9345
1,9926
1,9959
2,1039
1,9543
1,9263
1,9836
1,9878
2,0138
1,9929
2,0035
2,0866
2,0431
2,0347
1,9837
8,3549
3,8565
3,0275
6,6412
3,2076
-0,5562
2,9304
3,3575
5,6452
3,5919
0,0358
5,1680
6,2291
2,3843
5,6222
2,9571
2,9611
4,9888
3,8990
6,7134
7,1732
8,6908
-3,1461
1,3970
1,9003
0,2693
5,7930
2,1045
2,0562
5,6090
6,2160
3,3410
2,3402
7,9283
4,5248
7,0478
6,8237
8,5516
2,7168
7,2257
3,5513
4,8033
-1,1392
5,9878
8,4582
4,1512
4,9179
3,5325
5,6033
3,3170
0,3738
1,8892
1,6758
3,9786
4,5787
4,5425
1,7132
6,9088
7,4050
5,1959
4,7762
5,1163
5,5534
1,9112
2,0043
2,0292
2,1038
2,1486
2,0176
2,0482
2,0233
2,1800
2,1287
1,9341
2,1081
1,9948
2,1036
2,1950
1,9818
2,2101
2,0978
2,0533
1,9773
1,8596
2,0810
2,0093
1,8805
1,9639
2,1515
2,0132
1,8916
2,2369
1,9438
1,9456
2,0293
1,8519
1,8321
2,0539
1,9971
Experiment VI
n = 30
MNČ
2,0399
2,0711
1,9728
β2
2,1279
1,9730
1,9834
- 90 -
1,8951
2,0873
2,0216
2,0509
2,0573
1,9930
2,0493
1,8911
2,0500
2,1163
1,8217
1,9535
β1
0,3435 -4,9702
-2,4681 6,4613
6,4471 2,0189
11,2866 3,5457
-0,6704 10,4775
0,9753 -2,3535
3,3626 -0,1904
-2,2674 11,1537
0,6894 6,7655
MZNČ β2
2,0115 2,1262
2,0398 1,9628
1,9937 1,9736
1,8560 2,0126
2,0416 1,8491
2,0235 2,0722
2,0613 2,1042
2,0567 1,8274
2,0200 1,9587
β1
2,1179 -4,8625
-0,5085 7,0986
5,1411 2,6367
13,7282 5,8404
2,1822 13,0971
0,8549 -3,7402
2,7107 0,5682
-2,2313 10,7999
-0,9960 6,4414
MZNČ/X2 β2
1,9720 2,1267
2,0171 1,9319
2,0300 1,9399
1,7782 1,9580
1,9633 1,7606
2,0304 2,1030
2,0685 2,0737
2,0721 1,8535
2,0598 1,9668
β1
4,2008 -4,8874
0,6938 8,7206
3,2283 4,4048
17,8277 8,7207
6,3099 17,7567
0,4934 -5,3611
2,3336 2,1730
-3,0400 9,4269
-3,0895 6,0149
Glejserova metoda
1,8672 2,0399
1,8321 2,0711
2,0539 2,0300
1,9971 1,8951
1,9760 2,0873
1,9818 2,0216
2,0916 2,0509
2,0253 2,0573
2,1550 1,9930
β1
0,3435 -4,8874
-2,4681 8,7206
3,2283 2,0189
11,2866 3,5457
-0,6704 10,4775
0,9753 -2,3535
3,3626 2,1730
2,0362
2,0317
1,9695
2,0120
2,0134
2,0590
11,6450
4,2830
2,7577
-5,3472
-1,5360
2,9529
4,9964
4,2854
5,7915
2,9012
1,9598
2,0058
2,0543
2,0585
2,0253
2,0664
1,9944
2,0032
1,9709
2,0894
8,6072
4,1918
1,1934
-2,5191
-0,8569
0,7829
3,4411
4,8360
8,4461
1,0013
2,0450
2,0261
2,1035
1,9942
2,0074
2,1105
2,0322
1,9787
1,9093
2,1209
4,1177
3,1246
-1,3996
0,8734
0,0843
-1,5411
1,4473
6,1267
11,6955
-0,6648
β2
2,1267
1,9319
1,9834
2,0493
1,8911
2,0500
2,0737
1,8217
1,9535
11,6450
3,1246
2,7577
-5,3472
-1,5360
2,9529
4,9964
4,2854
2,2324
2,0838
1,9185
2,0397
1,9424
1,9017
2,0121
1,9224
2,0542
2,0787
1,9087
2,2180
2,1084
1,9732
2,0771
1,9379
1,9581
2,0983
1,8009
1,8752
2,0752
2,0614
2,1501
1,9447
1,8854
2,1115
1,9221
1,8800
1,9336
1,9254
2,1383
2,0149
2,1281
1,9809
2,1827
2,0106
1,9108
2,1282
2,0905
2,1550
-3,0833
3,2997
-0,7498
3,2354
-6,6229
-3,0241
6,7814
3,1681
6,7607
-5,3443
-3,0679
8,6766
3,8282
7,4484
1,9714
4,5208
1,1264
-0,0043
4,6117
-2,9774
-6,3829
2,4430
7,2953
-8,8834
-2,4016
3,7354
-1,1890
-10,2454
-2,5712
4,0852
8,6368
1,7716
4,7459
0,0056
15,6042
8,9069
12,4090
1,4027
6,9643
11,2564
-0,2125
6,5888
-6,9665
7,2995
11,1958
3,4024
-2,2372
5,9060
10,1457
-1,8187
8,8069
11,0979
6,0204
5,0284
-6,7892
5,3785
5,3007
-0,7495
-2,9825
5,8718
-3,0545
6,3034
-7,7038
14,5455
17,4537
1,4993
5,9488
4,0877
8,3403
-1,5033
0,9071
-2,8766
2,1224
2,0232
2,0536
2,0312
2,2370
2,0416
1,9148
2,0575
1,9379
2,1721
2,1297
1,9422
2,0827
1,8736
2,0067
1,9107
2,0345
2,0681
1,9966
2,1032
2,1562
1,9598
1,9308
2,1904
2,1251
2,0011
2,0977
2,2006
2,0911
2,0334
1,9637
1,9663
1,9794
2,0731
1,8137
1,8632
1,8904
2,0826
2,0041
1,9262
2,0653
2,0940
2,1282
1,9763
1,8734
1,9894
2,1571
2,0184
1,9212
2,0872
1,9439
1,9173
1,9662
1,9253
2,2323
1,9470
1,9416
2,0058
2,1181
2,0101
2,1559
1,9562
2,1039
1,8571
1,8943
2,0496
2,0262
1,9950
1,9321
2,1028
2,0709
2,1674
-1,4493
2,9489
-1,0884
2,7413
-6,9094
-0,3872
7,0139
2,0556
7,0428
-4,8511
-3,1315
8,1708
5,4136
9,2086
2,3117
5,2551
2,3578
0,6586
4,4951
-2,9556
-3,9574
3,8175
5,9116
-7,1546
-3,4461
1,9938
-2,4764
-9,6518
-2,1497
5,3296
9,4833
-0,0021
3,4137
1,5740
14,8095
9,6556
10,4858
1,3061
7,2877
8,3975
0,4060
4,5551
-5,5982
5,3229
11,9457
1,8051
-2,5901
5,5813
8,2964
-0,3027
7,4458
8,7677
3,9799
5,0369
-6,5032
5,1806
5,5485
0,7201
-1,7216
6,1747
-4,7947
7,8475
-2,7812
14,2193
13,5703
1,7680
4,1284
5,0577
7,0095
0,0858
2,1298
-3,6528
2,0606
2,0288
2,0687
2,0298
2,2169
1,9788
1,9336
2,0993
1,9409
2,1848
2,1095
1,9504
2,0615
1,7889
1,9949
1,8759
2,0098
2,0702
2,0036
2,0902
2,1077
1,9399
1,9412
2,1522
2,1810
2,0399
2,1085
2,1980
2,0836
2,0170
1,9417
2,0087
2,0061
2,0480
1,7994
1,8300
1,9372
2,1146
2,0051
1,9908
2,0744
2,1313
2,0994
2,0404
1,8430
2,0250
2,1702
2,0292
1,9556
2,0632
1,9699
1,9596
2,0085
1,9219
2,2454
1,9539
1,9486
1,9876
2,0879
2,0074
2,2160
1,9185
1,9767
1,8672
1,9767
2,0487
2,0455
1,9760
1,9818
2,0916
2,0253
2,1723
1,8046
2,6509
-1,8842
2,8112
-5,8599
2,9207
6,0286
-0,1467
6,8882
-5,5185
-2,0723
7,7393
6,5368
13,6610
2,9321
7,0836
3,6650
0,5527
4,1322
-2,2715
-1,4013
4,8702
5,3605
-5,1401
-6,3863
-0,0526
-3,0498
-9,5101
-1,7544
6,2002
10,6468
-2,2376
2,0072
2,9000
15,5528
11,4036
8,0197
-0,3759
7,2386
4,9930
-0,0672
2,5891
-4,0779
1,9507
13,5480
-0,0686
-3,2756
5,0110
6,4792
0,9654
6,0723
6,5347
1,7504
5,2104
-7,1885
4,8165
5,1843
1,6839
-0,1314
6,3129
-7,9567
9,8313
3,9242
13,6889
9,2247
1,8199
3,1095
6,0615
4,3956
0,6832
4,5276
-3,9131
1,9112
2,0261
2,0292
2,1038
2,0362
2,0317
1,9695
2,0120
2,0134
2,0590
-3,0833
3,2997
-0,7498
3,2354
-6,6229
-3,0241
6,7814
3,1681
2,1486
2,0176
2,0482
2,0233
2,2324
2,0838
1,9185
2,0397
1,9409
2,1800
2,1287
1,9504
2,1081
1,9017
2,0121
1,9224
2,0542
2,0787
2,0036
2,1036
2,1950
1,9818
1,9087
2,2180
2,1084
1,9732
2,0771
2,2101
2,0836
2,0533
1,9773
1,9379
1,9581
2,0983
1,8009
1,8752
1,9372
2,0810
2,0051
1,8805
2,0752
2,0614
2,0994
2,0404
1,8854
1,9639
2,1515
2,0292
1,8916
2,0632
1,9221
1,8800
1,9336
1,9254
2,2369
1,9539
1,9456
2,0293
2,1383
2,0074
2,1281
1,9809
2,1827
-5,3443
-3,0679
7,7393
3,8282
7,4484
1,9714
4,5208
1,1264
4,1322
-2,9774
-6,3829
2,4430
7,2953
-8,8834
-2,4016
3,7354
-10,2454
-1,7544
4,0852
8,6368
1,7716
4,7459
0,0056
15,6042
8,0197
1,4027
7,2386
11,2564
-0,2125
6,5888
-4,0779
1,9507
3,4024
-2,2372
5,0110
10,1457
0,9654
8,8069
11,0979
6,0204
-6,7892
4,8165
5,3007
-0,7495
-2,9825
6,3129
-3,0545
6,3034
13,6889
17,4537
1,4993
5,9488
6,0615
4,3956
0,6832
4,5276
- 91 -
n = 100
-2,2674 11,1537
0,6894 6,7655
Mod. Glej. metoda
1,8519 2,0399
1,8321 2,0711
2,0539 1,9728
1,9971 1,8951
2,0106 2,0873
1,9108 2,0216
2,1282 2,0509
2,0905 2,0573
2,1550 1,9930
β1
0,3435 -4,9702
-2,4681 4,4660
6,4471 2,0189
11,2866 3,5457
-0,6704 10,4775
0,9753 -2,3535
3,3626 -0,1904
-2,2674 11,1537
0,6894 6,7655
MNČ
β2
2,0108 1,9625
1,9789 2,0508
1,8977 1,9492
2,0409 2,0220
1,9764 2,0277
2,0184 1,9709
1,9927 1,9248
1,9997 1,8871
2,0373 2,0031
β1
2,8432 5,8840
4,9456 3,9701
10,2382 7,6378
4,4955 2,3899
4,5053 2,3659
2,8509 6,0687
4,6051 6,5332
4,3299 9,0284
2,8032 4,2543
MZNČ β2
2,0080 1,9769
1,9703 2,0767
1,9331 1,9481
2,0388 2,0370
1,9938 2,0203
2,0123 1,9794
2,0133 1,9292
1,9915 1,8966
2,0210 2,0096
β1
3,0012 5,0715
5,4349 2,5061
8,2349 7,6985
4,6177 1,5387
3,5217 2,7860
3,1960 5,5839
3,4387 6,2869
4,7952 8,4895
3,7229 3,8890
MZNČ/X2 β2
1,9800 1,9862
1,9648 2,1195
1,9959 1,9537
2,0373 2,0541
2,0155 2,0209
1,9967 2,0045
2,0339 1,9170
1,9736 1,8995
1,9967 2,0304
β1
4,3253 4,6269
5,6988 0,4722
5,7915
2,9012
β2
2,1279
1,9983
1,9834
2,0493
1,8911
2,0500
2,1163
1,8217
1,9535
11,6450
4,2830
2,7577
-5,3472
-1,5360
2,9529
4,9964
4,2854
5,7915
2,9012
2,0658
1,8914
2,0550
1,9743
1,9924
2,0360
2,0010
1,9329
1,9629
1,9646
-0,9346
9,3357
0,2036
4,8599
6,0113
2,3087
5,7854
5,9498
6,9398
5,1306
2,0578
1,9077
2,0377
1,9587
2,0205
2,0314
1,9938
1,9245
1,9634
1,9902
-0,4845
8,4150
1,1774
5,7413
4,4257
2,5663
6,1905
6,4239
6,9083
3,6828
2,0457
1,9488
2,0140
1,9446
2,0799
2,0152
1,9872
1,9181
1,9741
2,0303
0,0908
6,4647
2,3037
6,8882
-0,0043
-1,1890
8,9069
11,1958 5,0284
-7,7038
-2,8766
1,9112
2,0043
2,0292
2,1038
2,0362
2,0317
1,9695
2,0120
2,0134
2,0590
-3,0833
3,2997
-0,7498
3,2354
-6,6229
-3,0241
6,7814
3,1681
6,7607
2,1486
2,0176
2,0482
2,0233
2,2324
2,0838
1,9185
2,0397
1,9424
2,1800
2,1287
1,9341
2,1081
1,9017
2,0121
1,9224
2,0542
2,0787
1,9948
2,1036
2,1950
1,9818
1,9087
2,2180
2,1084
1,9732
2,0771
2,2101
2,0978
2,0533
1,9773
1,9379
1,9581
2,0983
1,8009
1,8752
1,8596
2,0810
2,0093
1,8805
2,0752
2,0614
2,1501
1,9447
1,8854
1,9639
2,1515
2,0132
1,8916
2,1115
1,9221
1,8800
1,9336
1,9254
2,2369
1,9438
1,9456
2,0293
2,1383
2,0149
2,1281
1,9809
2,1827
-5,3443
-3,0679
8,6766
3,8282
7,4484
1,9714
4,5208
1,1264
-0,0043
4,6117
-2,9774
-6,3829
2,4430
7,2953
-8,8834
-2,4016
3,7354
-1,1890
-10,2454
-2,5712
4,0852
8,6368
1,7716
4,7459
0,0056
15,6042
8,9069
12,4090
1,4027
6,9643
11,2564
-0,2125
6,5888
-6,9665
7,2995
11,1958
3,4024
-2,2372
5,9060
10,1457
-1,8187
8,8069
11,0979
6,0204
5,0284
-6,7892
5,3785
5,3007
-0,7495
-2,9825
5,8718
-3,0545
6,3034
-7,7038
14,5455
17,4537
1,4993
5,9488
4,0877
8,3403
-1,5033
0,9071
-2,8766
1,9362
2,0856
2,0621
1,9778
1,9870
1,9256
1,9233
2,0316
2,0465
1,9563
2,0159
1,9892
2,0142
1,9237
1,9667
1,9739
2,0521
2,0135
2,0172
2,0145
1,8578
1,9359
2,0077
2,0542
1,9298
2,0200
2,0947
2,1222
1,9680
1,9831
2,0138
1,9321
1,8747
1,9546
2,0128
1,9922
2,0616
2,0171
2,0216
2,0683
2,0226
2,0023
2,0632
2,0165
2,0010
2,0398
1,9892
2,0171
2,0262
1,9518
1,9817
2,0155
2,0647
1,9441
1,9850
2,0207
2,0231
1,9884
2,0153
2,0564
1,9481
1,9915
2,0242
1,9645
1,9848
2,0634
2,0059
1,9219
2,0111
1,9316
2,0691
1,9167
7,3755
0,3800
-1,1894
4,8343
4,5800
8,8713
7,2623
1,9313
1,1508
6,6965
4,3523
5,1419
3,1786
9,2034
4,6095
5,6231
-1,1731
2,2684
4,7289
3,2847
9,9340
6,6947
2,3712
1,7476
6,1360
2,6493
-0,3351
-0,9399
5,6588
4,3841
3,8621
7,6794
11,8124
6,4813
1,9058
4,5803
2,3743
4,2082
3,7638
2,4946
3,3861
3,2597
0,0584
2,9487
4,3164
4,0799
5,3450
3,3865
1,7761
6,2562
4,6287
3,2156
1,6172
6,0760
5,8352
4,4856
2,7062
4,7288
3,4897
-0,4945
7,8843
5,8436
2,7836
7,0258
4,7544
-0,9594
2,4755
8,1281
4,5602
7,6148
0,6159
7,0594
1,9356
2,0747
2,0566
1,9803
1,9991
1,9185
1,9281
2,0227
2,0483
1,9537
2,0073
2,0128
2,0315
1,9281
1,9514
1,9956
2,0472
1,9953
2,0328
2,0330
1,8617
1,9254
2,0082
2,0295
1,9497
1,9844
2,0900
2,1353
1,9655
1,9875
1,9884
1,9313
1,8577
1,9712
2,0052
2,0280
2,0559
2,0033
2,0259
2,0584
2,0301
2,0186
2,0318
1,9991
2,0329
2,0316
1,9822
2,0360
2,0055
1,9529
1,9994
2,0250
2,0442
1,9675
1,9959
2,0338
2,0246
1,9853
2,0023
2,0541
1,9631
1,9958
2,0159
1,9726
2,0078
2,0434
2,0089
1,9255
2,0171
1,9441
2,0731
1,9237
7,4094
1,0009
-0,8792
4,6939
3,8956
9,2699
6,9905
2,4321
1,0515
6,8438
4,8414
3,8114
2,1995
8,9519
5,4737
4,3972
-0,8966
3,2948
3,8468
2,2394
9,7170
7,2872
2,3453
3,1476
5,0124
4,6644
-0,0712
-1,6815
5,7978
4,1373
5,2981
7,7217
12,7707
5,5477
2,3377
2,5583
2,6965
4,9882
3,5197
3,0504
2,9645
2,3386
1,8334
3,9368
2,5140
4,5444
5,7405
2,3151
2,9461
6,1924
3,6317
2,6750
2,7735
4,7566
5,2186
3,7448
2,6197
4,9028
4,2284
-0,3625
7,0345
5,6011
3,2501
6,5710
3,4553
0,1732
2,3015
7,9249
4,2245
6,9099
0,3888
6,6608
1,9489
2,0614
2,0414
1,9798
2,0250
1,9122
1,9369
1,9899
2,0651
1,9500
1,9834
2,0539
2,0525
1,9302
1,9137
2,0222
2,0330
1,9738
2,0654
2,0614
1,8715
1,9148
1,9980
1,9912
1,9683
1,9493
2,0753
2,1681
1,9677
1,9926
1,9557
1,9324
1,8272
2,0097
2,0002
2,1058
2,0369
1,9897
2,0164
2,0371
2,0299
2,0479
2,0050
1,9603
2,0957
2,0089
1,9626
2,0612
1,9691
1,9633
2,0333
2,0570
2,0094
1,9964
2,0209
2,0570
2,0428
1,9919
1,9694
2,0456
1,9858
1,9995
2,0034
1,9567
2,0263
2,0287
2,0202
1,9253
2,0307
1,9803
2,0899
1,9552
6,7761
1,6320
-0,1582
7,0170
5,9720
1,8590
2,3009
0,8917
9,2527
-3,2343
5,6951
3,8940
3,5949
5,6362
3,9662
5,6213
6,6682
1,1208
4,0320
2,6457
1,7620
7,3169
2,5730
0,8771
- 92 -
5,2561 7,4308
4,6917 0,7267
2,4886 2,7567
3,9366 4,3974
2,4621 6,8595
5,6426 8,3497
4,8798 2,9033
Glejserova metoda
1,9743 2,0108
2,0095 1,9671
2,0395 1,8977
2,0202 2,0409
1,9266 2,0155
2,0111 2,0131
1,9316 1,9927
2,0715 1,9736
1,9552 1,9967
β1
2,8432 4,6269
5,5832 3,9701
10,2382 7,7761
4,4955 1,4446
2,4886 2,8624
3,1388 5,4988
4,6051 6,5332
5,6426 8,4821
4,8798 3,8233
Mod. Glej. metoda
1,9645 2,0108
1,9848 1,9789
2,0634 1,8977
2,0059 2,0409
1,9207 1,9764
2,0111 2,0184
1,9316 1,9927
2,0755 1,9997
1,9247 2,0373
β1
2,8432 5,8840
4,9456 3,9701
10,2382 7,6378
4,4955 2,3899
4,5053 2,4859
2,8509 6,0687
4,6051 6,6793
4,3299 9,0284
2,8032 4,2543
6,4158
1,6059
3,3342
6,5045
6,7282
6,4047
1,7788
β2
1,9862
2,0508
1,9467
2,0394
2,0185
1,9816
1,9248
1,8970
2,0113
-0,4278
6,4647
0,2036
5,6179
6,0113
2,4886
6,5045
6,5124
6,9398
1,7788
β2
1,9625
2,0508
1,9492
2,0220
2,0268
1,9709
1,9210
1,8871
2,0031
-0,9346
9,3357
0,2036
4,8599
6,0113
2,3087
5,7854
5,9498
6,9398
5,1306
4,7165
2,6694
9,5706
6,5753
3,9861
0,2545
1,2004
8,8535
7,2621
3,1299
-0,2205
4,3192
7,7939
2,8259
4,9658
4,1239
6,3346
0,6274
6,8547
7,6720
14,2211
3,7210
2,5777
-1,1350
4,0581
2,9696
0,9461
3,1133
5,7758
-0,4674
4,6789
5,6979
2,0226
1,1594
4,4282
3,3782
4,5939
5,7859
0,0429
5,9546
5,4219
3,8441
1,7683
7,9329
3,5761
5,1944
-0,4077
5,1739
2,0564
1,9488
2,0550
1,9604
1,9924
2,0326
1,9872
1,9225
1,9629
2,0303
7,3755
0,3800
-0,9682
4,6621
4,0177
9,3659
7,2623
1,9313
1,1385
1,9362
2,0856
2,0580
1,9810
1,9973
1,9164
1,9233
2,0316
2,0468
1,9500
2,0159
2,0107
2,0525
1,9291
1,9556
1,9739
2,0475
1,9937
2,0341
2,0145
1,8578
1,9359
2,0089
1,9912
1,9683
2,0200
2,0947
2,1222
1,9680
1,9884
1,9557
1,9311
1,8272
1,9546
2,0002
1,9922
2,0616
1,9989
2,0277
2,0595
2,0226
2,0023
2,0305
2,0165
2,0010
2,0350
1,9892
2,0171
2,0016
1,9518
1,9817
2,0231
2,0647
1,9731
1,9967
2,0309
2,0231
1,9840
2,0037
2,0564
1,9625
1,9954
2,0174
7,0170
4,3523
3,9733
1,2004
8,9076
5,2136
5,6231
-0,9270
3,3418
3,8152
3,2847
9,9340
6,6947
2,3044
4,9658
4,1239
2,6493
-0,3351
-0,9399
5,6588
4,0969
6,8547
7,7351
14,2211
6,4813
2,5777
4,5803
2,3743
5,1889
3,4282
2,9761
3,3861
3,2597
1,8391
2,9487
4,3164
4,3428
5,3450
3,3865
3,0996
6,2562
4,6287
2,8036
1,6172
4,5179
5,2084
3,9299
2,7062
4,9695
4,1203
-0,4945
7,1008
5,6322
3,1514
6,4898
3,4119
0,3346
1,7683
7,8727
4,5602
7,6148
0,4855
5,1739
2,0658
1,8914
2,0550
1,9743
1,9924
2,0360
2,0010
1,9329
1,9629
1,9646
7,3755
1,1238
-1,1894
4,8343
4,5800
8,8713
7,2623
1,9313
1,1508
1,9362
2,0725
2,0621
1,9778
1,9870
1,9256
1,9233
2,0316
2,0465
1,9563
2,0159
1,9892
2,0142
1,9237
1,9667
1,9739
2,0521
2,0135
2,0172
2,0145
1,8578
1,9359
2,0077
2,0542
1,9683
2,0200
2,0925
2,1222
1,9680
1,9831
2,0138
1,9321
1,8747
1,9546
2,0128
1,9922
2,0616
2,0171
2,0216
2,0683
2,0226
2,0023
2,0632
2,0165
2,0166
2,0398
1,9892
2,0171
2,0262
1,9518
1,9817
2,0155
2,0647
1,9441
1,9850
2,0207
2,0231
1,9884
2,0153
2,0564
1,9481
1,9915
2,0242
6,6965
4,3523
5,1419
3,1786
9,2034
4,6095
5,6231
-1,1731
2,2684
4,7289
3,2847
9,9340
6,6947
2,3712
1,7476
4,1239
2,6493
-0,1643
-0,9399
5,6588
4,3841
3,8621
7,6794
11,8124
6,4813
1,9058
4,5803
2,3743
4,2082
3,7638
2,4946
3,3861
3,2597
0,0584
2,9487
3,1667
4,0799
5,3450
3,3865
1,7761
6,2562
4,6287
3,2156
1,6172
6,0760
5,8352
4,4856
2,7062
4,7288
3,4897
-0,4945
7,8843
5,8436
2,7836
7,0258
4,7544
-0,9594
2,4755
8,1455
4,5602
7,6148
0,2559
6,5735
2,3139
1,7871
1,9133
2,2161
1,9994
1,9676
2,0409
1,9145
1,5499
1,8477
-11,6465
16,3147
7,0927
-2,9888
5,3449
6,7398
2,5904
7,9399
31,2099
13,0839
2,3119
1,8144
1,9531
2,2136
1,9845
2,0103
1,7844
1,9699
1,7197
1,9599
2,2300
2,0864
2,3384
2,2562
2,1355
1,9316
1,6906
2,0883
2,1747
1,8967
2,1991
1,9468
1,8946
1,9145
2,2128
2,0255
2,2358
2,3670
2,0175
1,9206
1,8290
1,8531
1,9885
1,9417
1,9766
2,2535
2,0776
2,0355
2,0391
2,2573
2,3093
2,1738
2,0865
1,9166
1,5313
1,9323
1,8329
2,0495
2,3225
1,5846
1,8505
2,1642
2,2402
2,1929
2,1178
2,2529
1,9302
1,9477
1,9520
1,9387
1,7138
2,2359
2,1980
1,8744
2,0349
2,1581
1,8626
1,8805
1,9754
1,8974
2,2335
2,4320
1,8024
2,4155
1,7271
2,1553
1,8307
2,7737
14,0890
6,2273
14,7611
4,0550
-11,0148
1,6573
-11,2572
-8,1999
-0,7848
7,6082
17,1998
2,2737
-5,9292
8,4674
-8,4080
7,8202
9,1761
8,5937
-8,9223
2,8718
-8,9218
-9,5411
5,1811
6,0824
10,3337
9,7038
3,8440
6,6842
6,6307
-11,0616
-1,0375
3,9001
-0,1276
-8,0871
-9,3062
-6,2580
2,3292
8,3480
28,9902
4,0038
12,7964
2,0217
-11,9678
23,9647
12,4708
-4,9601
-7,6104
-3,6832
-1,8173
-11,8612
11,4114
5,4720
5,8545
8,2405
17,6391
-7,9089
-8,9052
12,0785
-1,8132
-6,1566
11,2402
9,2305
5,6716
7,7221
-2,3012
-16,0457
13,5867
-19,8992
18,6989
-1,7021
12,2158
1,9902
1,7860
1,9153
1,7605
2,0235
2,1708
1,8579
1,7584
2,1202
2,1758
1,9483
2,2273
2,0270
2,2360
2,3657
1,9441
1,9883
1,9658
2,2151
2,0425
2,1576
2,0579
1,9568
1,5267
1,9520
1,8243
2,1532
2,2517
2,1666
2,1361
1,9245
1,7409
2,1895
2,1890
1,8644
1,9948
1,9604
2,1899
2,3716
1,8553
Experiment VII
n = 30
MNČ
1,9032
1,8959
2,0027
1,7811
1,5974
2,0157
1,6324
2,3201
2,0066
8,7361
10,3176
4,7726
14,7997
26,2841
4,7284
22,1180
-10,3837
5,0581
MZNČ
1,9083
1,9548
2,0839
1,7838
β2
2,1444
1,9509
2,3921
2,2046
2,1394
2,1480
1,7158
2,0541
1,5452
β1
-1,7987
12,6956
-14,9275
-8,5479
-3,5948
-3,7916
19,5884
-1,0206
25,9945
β2
2,1669
1,9264
2,3674
2,1186
- 93 -
1,5740
1,9465
1,6933
2,2841
2,0202
2,1048
2,0748
1,7111
2,0866
1,5436
β1
8,4695 -2,9778
7,2304 13,9778
0,5132 -13,6325
14,6548 -4,0414
27,5077 -1,7841
8,3580 0,0437
18,9260 19,8318
-8,4972 -2,7282
4,3444 26,0738
MZNČ/X2 β2
1,9033 2,1962
2,0139 1,9055
2,1558 2,3410
1,7944 2,0315
1,5503 2,0780
1,8837 1,9812
1,7616 1,7153
2,2453 2,1224
2,0343 1,5369
β1
8,7215 -4,4631
4,2351 15,0365
-3,1335 -12,2951
14,1185 0,3777
28,7088 -0,4249
11,5413 4,7951
15,4599 19,6208
-6,5310 -4,5402
3,6334 26,4149
Glejserova metoda
1,9754 1,9032
1,8974 1,8959
2,2335 2,1558
2,3285 1,7811
1,8024 1,5974
2,4155 2,0157
1,7271 1,6324
2,1553 2,3201
1,9104 2,0066
β1
8,7361 -1,7987
10,3176 15,0365
-3,1335 -14,9275
14,7997 0,3777
26,2841 -3,5948
4,7284 -3,7916
22,1180 19,5884
-10,3837 -1,0206
5,0581 25,9945
Mod. Glej. metoda
1,9754 1,9032
1,8974 1,8959
2,2335 2,0027
2,4320 1,7811
1,8024 1,5974
2,4155 2,0157
1,7271 1,6324
2,1553 2,3201
1,9104 2,0066
β1
8,7361 -1,7987
10,3176 12,6956
4,7726 -14,9275
14,7997 -8,5479
26,2841 -3,5948
4,7284 -3,7916
22,1180 19,5884
-10,3837 -1,0206
5,0581 25,9945
1,9701
2,0868
1,8711
1,5351
1,9064
-11,5386
14,8847
5,0050
-2,8572
6,1285
6,6131
0,1829
10,2101
31,9850
10,0094
2,3058
1,8366
1,9895
2,1987
1,9646
1,9506
2,1273
1,8389
1,5148
1,9776
-11,2278
13,7612
3,1619
-2,1060
7,1344
7,6008
-1,8675
11,8458
33,0144
6,3994
β2
2,1444
1,9055
2,3921
2,0315
2,1394
2,1480
1,7158
2,0541
1,5452
-11,2278
16,3147
7,0927
-2,1060
5,3449
7,6008
-1,8675
7,9399
31,2099
13,0839
β2
2,1444
1,9509
2,3921
2,2046
2,1394
2,1480
1,7158
2,0541
1,5452
-11,6465
16,3147
7,0927
-2,9888
5,3449
6,7398
2,5904
7,9399
31,2099
13,0839
2,2799
2,1196
2,3344
2,3061
1,8745
2,1537
1,9452
1,8924
1,9699
1,9008
1,8306
1,9081
2,0695
2,0164
2,2373
2,2895
1,7984
2,0567
2,3281
1,6295
2,2044
1,8704
1,9119
1,9340
1,9691
2,1219
1,8609
1,8503
2,3733
1,7640
2,1503
1,8766
3,8250
14,0080
9,0873
12,6229
0,7248
-13,6285
-0,0805
-11,0469
-10,8138
-2,6314
11,4705
13,6467
0,6001
-5,9888
9,6274
-6,0301
7,9010
9,2881
6,8231
-9,6825
2,7926
-8,9305
-9,4738
7,6787
7,1202
10,2506
6,8199
6,1731
4,2394
7,1929
-9,0501
0,8002
2,1185
1,0580
-7,0385
-8,2680
-5,4062
3,8273
6,2407
29,2333
2,9708
14,6070
1,6439
-12,2626
21,6133
13,8447
-4,3833
-8,2163
-2,3067
-2,7772
-9,3175
14,5447
7,3470
6,7971
8,9825
16,2181
-5,4758
-8,4348
12,6035
1,6370
-4,2602
11,3286
10,8173
4,6529
4,4207
-0,0174
-12,8835
10,8168
-17,6863
16,7683
-1,4365
9,8142
1,9703
1,7909
1,8611
1,7940
2,0887
2,3272
2,1477
2,3201
2,3566
2,2156
1,7746
1,8350
2,1460
2,1846
1,8385
2,1060
1,9380
1,8972
1,9875
2,2457
2,0434
2,2414
2,3726
1,9389
1,8865
1,8500
1,9660
1,8976
2,0404
1,9519
2,1611
2,0052
2,0957
1,9932
2,2268
2,2642
2,1527
2,0251
2,0042
1,5115
1,9761
1,7623
2,0509
2,3315
1,6716
1,8003
2,1260
2,2670
2,1476
2,1578
2,1608
1,8128
1,8738
1,9083
1,9108
1,7710
2,1507
2,1936
1,8533
1,9017
2,0770
1,8591
1,8247
2,0083
2,0232
2,1518
2,3285
1,9062
2,3266
1,8105
2,1583
1,9104
4,8373
13,7584
11,8367
10,9210
-2,5836
-16,0295
-1,5080
-10,3221
-13,3792
-4,9026
15,6940
9,7623
-0,7101
-6,4346
11,4522
-3,6108
8,2696
9,0483
4,8350
-10,6139
1,9622
-9,2054
-9,8238
9,2505
7,8480
9,2651
3,8874
8,5314
1,5975
7,9000
-6,3134
2,6947
0,7877
2,2377
-6,5055
-6,9843
-5,1571
5,4892
3,8364
30,0049
1,7495
16,4341
1,9384
-12,4344
19,4733
15,0615
-3,0068
-8,9901
-1,3449
-3,8769
-7,1087
17,4679
9,2800
8,1012
9,6747
14,6931
-3,5070
-8,6643
13,1675
5,0562
-1,9802
11,4172
12,1133
3,9673
1,2352
1,9168
-10,6957
8,2322
-15,3180
14,4084
-1,8423
8,1002
2,3058
1,7871
1,9133
2,1987
1,9994
1,9506
2,1273
1,9145
1,5499
1,8477
2,7737
14,0890
6,2273
14,7611
4,0550
-11,0148
1,6573
-11,2572
-8,1999
2,0103
1,7844
1,9699
1,7197
1,9599
2,2300
2,0864
2,3384
2,2562
2,1324
1,9316
1,6906
2,0883
2,1846
1,8967
2,1060
1,9468
1,8972
1,9292
2,2457
2,0434
2,2358
2,3670
2,0175
1,9206
1,8290
1,9660
1,9398
1,9417
1,9766
2,2535
2,0776
2,0355
2,0391
2,2573
2,3093
2,2269
2,0865
1,9166
1,5313
1,9323
1,8329
2,0495
2,3225
1,5846
1,8003
2,1642
2,2402
2,1929
2,1178
2,2529
1,9302
1,9477
1,9520
1,9387
1,7138
2,2359
2,1980
1,8744
2,0349
2,1581
1,8626
1,8805
-0,6198
7,6082
17,1998
2,2737
-6,4346
8,4674
-3,6108
7,8202
9,0483
7,8239
-10,6139
1,9622
-8,9218
-9,5411
5,1811
6,0824
10,3337
3,8874
6,3725
6,6842
6,6307
-11,0616
-1,0375
3,9001
-0,1276
-8,0871
-9,3062
-9,0833
2,3292
8,3480
28,9902
4,0038
12,7964
2,0217
-11,9678
23,9647
15,0615
-4,9601
-7,6104
-3,6832
-1,8173
-11,8612
11,4114
5,4720
5,8545
8,2405
17,6391
-7,9089
-8,9052
12,0785
-1,8132
-6,1566
11,2402
9,2305
5,6716
7,7221
-2,3012
-10,6957
13,5867
-19,8992
18,6989
-1,7021
8,1002
2,3139
1,7871
1,9133
2,2161
1,9994
1,9676
2,0409
1,9145
1,5499
1,8477
2,7737
14,0890
6,2273
14,7611
4,0550
-11,0148
1,6573
-11,2572
-8,1999
2,0103
1,7844
1,9699
1,7197
1,9599
2,2300
2,0864
2,3384
2,2562
2,1355
1,9316
1,6906
2,0883
2,1747
1,8967
2,1991
1,9468
1,8946
1,9145
2,2128
2,0255
2,2358
2,3670
2,0175
1,9206
1,8290
1,8531
1,9885
1,9417
1,9766
2,2535
2,0776
2,0355
2,0391
2,2573
2,3093
2,1738
2,0865
1,9166
1,5313
1,9323
1,8329
2,0495
2,3225
1,5846
1,8505
2,1642
2,2402
2,1929
2,1178
2,2529
1,9302
1,9477
1,9520
1,9387
1,7138
2,2359
2,1980
1,8744
2,0349
2,1581
1,8626
1,8805
-0,7848
7,6082
17,1998
2,2737
-5,9292
8,4674
-8,4080
7,8202
9,1761
8,5937
-8,9223
2,8718
-8,9218
-9,5411
5,1811
6,0824
10,3337
9,7038
3,8440
6,6842
6,6307
-11,0616
-1,0375
3,9001
-0,1276
-8,0871
-9,3062
-6,2580
2,3292
8,3480
28,9902
4,0038
12,7964
2,0217
-11,9678
23,9647
12,4708
-4,9601
-7,6104
-3,6832
-1,8173
-11,8612
11,4114
5,4720
5,8545
8,2405
17,6391
-7,9089
-8,9052
12,0785
-1,8132
-6,1566
11,2402
9,2305
5,6716
7,7221
-2,3012
-16,0457
13,5867
-19,8992
18,6989
-1,7021
8,1002
- 94 -
n = 100
β2
2,0722
1,9900
1,9120
1,9039
1,8613
2,0634
1,9379
2,0442
1,9686
β1
0,3061 0,4109
-7,2858 3,0617
0,3734 8,1216
9,1078 9,1269
4,2124 10,2870
6,4282 2,0389
7,9803 9,1252
0,8903 0,9649
5,4165 5,2866
MZNČ β2
2,0782 2,1114
2,1870 1,9573
2,0000 1,9323
1,9429 1,8870
2,0168 1,8325
1,9423 2,0923
1,9180 1,9044
2,0483 1,9854
2,0166 1,9762
β1
0,8220 -1,5480
-4,3651 4,6956
2,7395 7,1060
6,6070 9,9743
3,7342 11,7261
6,4054 0,5940
7,5505 10,7965
2,0939 3,9029
5,3084 4,9062
MZNČ/X2 β2
2,0778 2,1526
2,1344 1,9266
1,9544 1,9567
1,9887 1,8597
2,0308 1,8015
1,9456 2,1139
1,9333 1,8721
2,0312 1,9319
2,0234 1,9821
β1
0,8395 -3,4898
-1,8861 6,1397
4,8915 5,9540
4,4450 11,2604
3,0698 13,1885
6,2497 -0,4212
6,8295 12,3195
2,9042 6,4277
4,9876 4,6262
Glejserova metoda
2,1489 2,0778
2,0747 2,2455
1,9160 2,0474
1,8560 1,8928
2,0773 2,0308
1,8141 1,9418
2,0479 1,9094
2,0205 2,0725
2,2035 2,0234
β1
0,8395 0,4109
-7,2858 3,0617
0,3734 8,1216
9,1078 9,1269
MNČ
2,0885
2,2455
2,0474
1,8928
2,0072
1,9418
1,9094
2,0725
2,0145
2,0622
2,0668
2,0399
2,1051
2,1151
2,0395
1,9133
1,9680
2,0231
1,8972
-0,0050
2,0248
0,0791
-1,4786
-0,4854
2,5769
9,5741
4,6625
2,2656
9,6789
2,0857
2,0447
2,0337
2,1220
2,1097
2,0290
1,9124
1,9988
2,0382
1,9105
-1,1799
3,1236
0,3924
-2,3229
-0,2164
3,0995
9,6151
3,1226
1,5151
9,0182
2,0982
2,0171
2,0201
2,1405
2,1219
2,0142
1,9087
2,0289
2,0579
1,9290
-1,7695
4,4287
1,0326
-3,1972
-0,7910
3,8000
9,7925
1,7031
0,5830
8,1464
β2
2,0722
1,9900
1,9120
1,9039
1,8613
2,0634
1,8721
2,0442
1,9821
-0,0050
2,0248
0,0791
-1,4786
-0,4854
2,2179
2,0657
2,0142
1,8803
2,1399
2,0538
1,8832
1,8220
2,0241
2,1149
1,9952
1,9945
1,9083
1,9757
2,0627
2,2202
1,9226
1,8519
1,9605
2,0154
1,8839
2,0433
2,2055
1,9711
1,9859
1,9887
1,8684
1,9681
1,9134
2,0075
1,9256
1,9762
1,9094
1,9949
2,0023
2,1045
2,0975
1,8876
1,9986
1,9743
2,0080
1,8242
1,8002
2,0321
1,9483
2,1392
1,9191
1,9506
2,0402
1,9605
2,0681
2,0972
1,9967
2,0226
1,9687
2,1525
2,0179
2,1211
1,9865
1,9169
2,2105
2,0797
1,9818
2,1074
2,1013
1,9160
1,8618
2,1038
1,8141
2,0479
2,0205
2,2035
-6,1284
1,5068
3,3518
10,7977
-0,9724
0,5774
9,5738
13,3423
2,4407
-1,8173
3,4556
4,9084
7,7691
6,4204
0,7548
-5,9831
8,3620
9,4489
5,5476
2,6718
9,7119
2,1699
-4,4277
5,2799
5,5407
3,7464
8,5959
5,8105
7,8514
1,6747
6,8446
5,9742
8,7029
4,6623
4,3427
-4,0658
-1,2615
9,4854
3,4094
5,1401
3,0639
13,4937
14,4968
1,6122
6,8112
-2,8883
7,4539
5,8495
1,0851
6,7020
-0,4675
-2,0530
4,5071
4,5573
4,9272
-1,5912
3,1903
-1,3377
4,7876
8,2791
-7,9192
0,4458
5,2810
-2,8302
-0,6753
7,8802
11,2098
-2,6865
13,3140
2,7339
3,1633
-5,7806
2,2045
2,0494
1,9781
1,8566
2,1716
2,0558
1,9145
1,8433
1,9977
2,1333
1,9501
1,9570
1,9266
1,9997
2,0909
2,2007
1,9510
1,8887
1,9720
2,0439
1,9122
2,0583
2,1868
2,0000
1,9696
1,9723
1,8876
1,9594
1,9038
2,0350
1,9508
1,9724
1,9219
1,9764
1,9859
2,0819
2,0886
1,9063
1,9229
1,9873
1,9986
1,8764
1,8312
2,0255
1,9332
2,1219
1,9651
1,9364
2,0656
1,9809
2,0113
2,1099
1,9967
2,0221
1,9648
2,1393
2,0164
2,1206
2,0215
1,9845
2,1690
2,0919
2,0140
2,1291
2,0840
1,8828
1,8590
2,0781
1,8368
2,0547
1,9963
2,1951
-5,4603
2,3243
5,1556
11,9801
-2,5547
0,4781
8,0091
12,2791
3,7597
-2,7405
5,7063
6,7798
6,8533
5,2189
-0,6523
-5,0102
6,9438
7,6065
4,9759
1,2503
8,2998
1,4217
-3,4923
3,8342
6,3549
4,5630
7,6371
6,2434
8,3313
0,2990
5,5850
6,1613
8,0787
5,5847
5,1588
-2,9383
-0,8153
8,5545
7,1897
4,4903
3,5295
10,8892
12,9489
1,9454
7,5685
-2,0265
5,1610
6,5594
-0,1856
5,6844
2,3683
-2,6901
4,5051
4,5852
5,1247
-0,9353
3,2617
-1,3140
3,0390
4,9063
-5,8489
-0,1635
3,6693
-3,9154
0,1910
9,5407
11,3511
-1,4061
12,1796
2,3941
4,3692
-5,3595
2,1924
2,0175
1,9496
1,8420
2,1933
2,0661
1,9296
1,8640
1,9755
2,1493
1,9259
1,9270
1,9459
2,0289
2,1164
2,1793
1,9720
1,9201
1,9807
2,0684
1,9415
2,0750
2,1689
2,0210
1,9510
1,9659
1,9167
1,9536
1,8942
2,0521
1,9603
1,9751
1,9223
1,9606
1,9799
2,0618
2,0767
1,9086
1,8467
2,0077
1,9886
1,9289
1,8683
2,0208
1,9181
2,1112
2,0113
1,9223
2,1019
2,0043
1,9619
2,1147
2,0075
2,0258
1,9596
2,1304
2,0118
2,1320
2,0557
2,0573
2,1289
2,1046
2,0488
2,1489
2,0747
1,8428
1,8560
2,0501
1,8601
2,0643
1,9614
2,1828
-4,8864
3,8248
6,4982
12,6697
-3,5746
-0,0075
7,2994
11,3059
4,8075
-3,4932
6,8482
8,1921
5,9429
3,8430
-1,8554
-4,0002
5,9551
6,1277
4,5627
0,0943
6,9206
0,6354
-2,6478
2,8465
7,2330
4,8646
6,2679
6,5176
8,7823
-0,5071
5,1351
6,0380
8,0617
6,3317
5,4425
-1,9904
-0,2529
8,4445
10,7817
3,5277
4,0042
8,4128
11,1980
2,1663
8,2778
-1,5194
2,9786
7,2274
-1,8954
4,5788
4,7002
-2,9143
3,9963
4,4118
5,3698
-0,5120
3,4822
-1,8520
1,4235
1,4712
-3,9578
-0,7605
2,0293
-4,8488
0,6275
11,4270
11,4914
-0,0833
11,0814
1,9421
6,0152
-4,7779
2,0622
2,0668
2,0399
2,1051
2,1151
2,0142
1,9133
1,9680
2,0231
1,8972
-6,1284
1,5068
3,3518
10,7977
-3,5746
2,2179
2,0657
2,0142
1,8803
2,1933
2,0538
1,9296
1,8220
2,0241
2,1149
1,9259
1,9945
1,9083
1,9757
2,0627
2,2202
1,9720
1,8519
1,9605
2,0154
1,8839
2,0433
2,1689
1,9711
1,9859
1,9659
1,9167
1,9681
1,8942
2,0075
1,9603
1,9762
1,9094
1,9949
2,0023
2,1045
2,0975
1,8876
1,9986
2,0077
1,9997
1,8242
1,8002
2,0321
1,9483
2,1392
1,9191
1,9506
2,1019
1,9760
1,9619
2,0972
1,9967
2,0258
1,9687
2,1304
2,0118
2,1211
2,0557
2,0573
2,1289
2,0797
1,9818
-1,8173
6,8482
4,9084
7,7691
6,4204
5,5476
2,6718
9,7119
2,1699
-2,6478
5,8105
8,7823
1,6747
5,1351
5,9742
-1,2615
9,4854
3,4094
3,5277
3,4701
-2,8883
7,4539
5,8495
-1,8954
5,9343
4,9272
-0,5120
3,4822
-1,3377
1,4235
-4,8488
0,6275
7,8802
11,4914
-1,3827
- 95 -
3,0698 10,2870
6,4282 2,0389
7,9803 12,3195
0,8903 0,9649
4,9876 4,6262
Mod. Glej. metoda
2,1074 2,0885
2,1013 2,1344
1,9160 2,0474
1,8618 1,8928
2,1038 2,0072
1,8141 1,9418
2,0479 1,9094
2,0205 2,0725
2,2035 2,0145
β1
0,3061 0,4109
-1,8861 3,0617
0,3734 8,1216
9,1078 9,1269
4,2124 10,2870
6,4282 2,0389
7,9803 9,1252
0,8903 0,9649
5,4165 5,2866
3,8000
9,5741
4,6625
2,2656
9,6789
β2
2,0722
1,9900
1,9120
1,9039
1,8613
2,0634
1,9379
2,0442
1,9686
-0,0050
2,0248
0,0791
-1,7279
-0,4854
2,5769
9,5741
4,6625
2,2656
9,6789
0,5774
7,2994
13,3423
2,4407
0,7548
-5,9831
5,9551
9,4489
5,2799
5,5407
4,8646
6,2679
8,7029
4,6623
4,3427
-4,0658
13,4937
14,4968
1,6122
6,8112
4,7002
-2,0530
4,5071
4,4118
1,4712
-3,9578
0,4458
5,2810
13,3140
2,7339
3,1633
-5,7806
2,0622
2,0668
2,0399
2,1094
2,1151
2,0395
1,9133
1,9680
2,0231
1,8972
-6,1284
1,5068
3,3518
10,7977
-0,9724
0,5774
9,5738
13,3423
3,7886
2,2179
2,0657
2,0142
1,8803
2,1399
2,0538
1,8832
1,8220
1,9965
2,1149
1,9952
1,9945
1,9083
1,9757
2,0627
2,2202
1,9226
1,8519
1,9605
2,0154
1,8839
2,0433
2,1949
1,9711
1,9859
1,9887
1,8684
1,9681
1,9134
2,0075
1,9950
1,9762
1,9094
1,9949
2,0023
2,1045
2,0975
1,8876
1,9986
1,9743
2,0080
1,8242
1,8002
2,0321
1,9483
2,1392
1,9191
1,9364
2,0402
1,9605
1,9619
2,0972
1,9967
2,0226
1,9687
2,1525
2,0179
2,1211
1,9865
1,9169
2,2105
2,0797
1,9905
-1,8173
3,4556
4,9084
7,7691
6,4204
0,7548
-5,9831
8,3620
9,4489
5,5476
2,6718
9,7119
2,1699
-4,0238
5,2799
5,5407
3,7464
8,5959
5,8105
7,8514
1,6747
3,4529
5,9742
8,7029
4,6623
4,3427
-4,0658
-1,2615
9,4854
3,4094
5,1401
3,0639
13,4937
14,4968
1,6122
6,8112
-2,8883
7,4539
6,5594
1,0851
6,7020
4,7002
-2,0530
4,5071
4,5573
4,9272
-1,5912
3,1903
-1,3377
4,7876
8,2791
-7,9192
0,4458
4,7803
-2,8302
-0,6753
7,8802
11,2098
-2,6865
13,3140
2,7339
3,1633
-5,7806
1,9845
2,4779
1,3469
2,0508
1,8118
1,7782
1,9210
1,7416
2,1812
1,9128
7,8668
-8,7398
36,3225
-6,5889
8,8851
14,3452
5,0473
17,5592
0,5044
15,0068
2,0613
2,4804
1,4921
2,0898
1,9914
1,8472
1,7832
2,1040
2,1866
2,0807
3,6635
-8,7277
28,1616
-8,5701
-1,3416
10,5967
13,1400
-3,2947
0,6755
5,5873
2,0649
2,4838
1,4967
2,0954
1,9963
1,8514
1,5785
1,8911
1,7364
2,2631
1,9219
1,3089
2,0381
2,2880
2,2623
1,7452
2,5665
2,1424
2,2538
1,7876
1,8080
2,2560
2,5171
1,7754
2,0104
2,5809
1,9823
2,4335
2,0442
1,7359
2,1222
2,1571
1,7812
1,7008
2,1279
2,4657
2,2812
2,1332
2,0757
2,2396
2,2990
2,0500
1,9377
1,4370
2,2151
2,0802
2,2396
2,2205
1,7682
1,6074
1,8470
2,0453
2,2280
1,4935
2,0096
2,3864
2,1491
2,3205
1,9949
2,0895
1,8293
2,1787
1,7409
1,8545
1,8738
1,9618
1,6292
2,4444
1,9893
2,3299
1,8303
2,1539
2,1419
2,4468
2,1967
2,3840
1,9303
2,1408
26,6733
10,4819
11,0652
0,5737
10,6603
34,4331
3,4389
-9,7292
-6,0559
14,3099
-11,0646
-4,9338
-21,7321
9,4146
11,1736
-10,0358
-18,0476
16,6646
8,4418
-33,6832
0,4228
-10,6363
3,7574
29,2888
-12,3233
-1,3064
14,9946
12,2614
5,0594
-14,5033
-13,7487
-7,3400
-1,0649
-5,0075
-13,6230
-0,0341
2,0536
26,6205
-2,0010
9,1202
-15,9757
0,5673
7,9934
21,4446
21,4592
-6,1343
-15,3192
30,8063
-4,0610
-9,3716
-8,3555
-8,5361
12,8111
2,2044
7,0695
-1,8633
13,6439
8,4115
9,8902
-0,7013
11,8606
-14,8078
4,7496
-8,0486
23,3664
-7,2632
-5,2336
-19,9230
-3,3598
-13,6846
18,2774
3,5869
1,7844
1,9480
1,6114
2,3849
2,0005
1,4787
2,1329
2,3369
2,4071
1,5673
2,5985
1,8875
1,9619
1,9022
1,8326
1,9624
2,3450
2,0210
2,0191
2,2171
2,1025
2,2101
1,9673
1,8707
1,8490
2,0087
1,9021
1,6981
1,9461
2,4082
1,9269
2,0051
1,9795
2,1588
2,0568
2,0671
1,7180
1,6504
2,3753
2,1804
2,0155
2,1659
1,5586
1,7006
2,0206
2,2829
2,0037
1,6764
2,1285
2,1545
2,1306
1,9739
2,0860
2,1573
1,7903
2,1951
1,7943
2,0138
1,9066
2,2991
1,7026
2,0344
1,9711
2,1676
2,2723
2,2447
1,9424
2,2714
2,1506
2,3014
2,1762
2,2093
14,5591
7,3266
18,2150
-7,0641
6,2532
24,4407
-1,5297
-12,3278
-14,4753
24,3468
-13,0307
9,2879
-4,8913
2,6495
9,7255
6,5815
-8,2145
2,5529
8,0308
-13,0526
-6,0870
2,0294
8,1097
21,6418
3,0497
7,0708
7,9058
12,6948
15,4495
-11,3958
6,5871
-0,2271
4,2586
-0,0846
0,7393
-0,9609
14,6302
14,7455
-11,1496
3,2695
-3,1477
3,7342
19,9458
16,1539
11,5727
-19,5090
-2,4975
20,4530
-10,7549
3,8887
-7,4622
11,1096
7,5532
-1,1355
9,2938
-2,6326
10,4391
-0,6251
7,7849
-19,9576
7,7249
8,4955
5,5424
1,2066
-1,5357
-12,6914
6,0017
-10,0488
-0,7052
-9,0995
4,3696
-0,1837
1,7831
1,9499
1,6100
2,3728
2,0057
1,4773
1,5590
2,5965
1,8738
1,9573
1,9004
1,8332
2,0204
2,2073
2,1138
2,2017
1,9657
1,8750
1,7017
1,9421
2,4060
1,9193
1,9967
1,9742
1,7133
1,6624
2,3788
2,1787
2,0092
2,1650
2,2923
2,0004
1,6844
2,1342
2,1508
2,1259
1,7908
2,1992
1,7936
2,0159
1,9014
2,3083
2,1627
2,2901
2,2409
1,9351
2,2643
2,1526
Experiment VIII
n = 30
β2
2,4881
2,1810
2,3494
1,7869
2,2097
1,9686
2,5723
1,7233
2,2868
β1
-15,7170 -22,8242
15,6400 -6,8269
34,3334 -6,3515
11,1456 21,0042
-0,6125 7,3747
0,1615 17,4634
6,4669 -29,2858
17,6238 24,2749
-11,6754 -5,7855
MZNČ β2
2,1972 2,1951
1,9178 2,4004
1,3835 2,1065
1,8274 1,8006
2,3384 2,1817
2,0594 2,0812
2,2702 2,4106
1,7056 1,8704
2,2555 2,3827
β1
-7,8683 -6,0210
14,3904 -19,5210
27,2660 7,2459
9,5027 20,0106
-3,2220 8,6969
-1,9525 11,0849
-7,7589 -19,8482
9,5270 15,7626
-1,3644 -11,2942
MZNČ/X2 β2
2,1967 2,1908
1,9156 2,4058
1,3859 2,0947
1,8235 1,7953
2,3419 2,1739
MNČ
2,3331
1,9004
1,2587
1,8029
2,2916
2,0281
2,0157
1,5581
2,4383
- 96 -
2,0541
2,2835
1,7146
2,2481
n = 100
2,0869
2,4087
1,8718
2,3836
β1
-7,8369 -5,7762
14,5166 -19,8151
27,1327 7,8955
9,7154 20,2959
-3,4111 9,1218
-1,6643 10,7741
-8,4928 -19,7426
9,0324 15,6824
-0,9564 -11,3441
Glejserova metoda
2,3299 2,1967
1,8303 1,9004
2,2409 1,3859
2,1419 1,8235
2,2643 2,2916
2,1526 2,0281
2,2959 2,0157
2,1847 1,7146
2,1408 2,4383
β1
-7,8369 -22,8242
15,6400 -6,8269
27,1327 7,8955
9,7154 20,2959
-0,6125 7,3747
0,1615 10,7741
6,4669 -19,7426
9,0324 15,6824
-11,6754 -11,3441
Mod. Glej. metoda
2,3299 2,3331
1,8303 1,9004
2,1539 1,2587
2,1419 1,8029
2,4468 2,2916
2,1967 2,0041
2,3840 2,0157
1,9303 1,5581
2,1408 2,4383
β1
-15,7170 -22,8242
15,6400 -6,8269
34,3334 -6,3515
11,1456 21,0042
-0,6125 7,3747
0,8851 10,7741
6,4669 -29,2858
17,6238 15,6824
-11,6754 -5,7855
MNČ
β2
2,1621 1,6443
2,2189 1,7295
2,2701 1,7715
1,9605 2,1726
1,8470 1,8634
1,9965 2,0800
2,1674 2,0229
2,0198 1,8706
2,1021 2,0949
β1
-5,2509 19,7799
-6,7904 12,1476
-4,2365 13,6096
9,0725 -2,6124
11,4263 11,3519
5,3985 2,3402
-2,8848 1,2361
1,0580 8,2140
4,4019 -2,6161
1,7846
2,1100
2,1971
2,0871
3,4648
-8,9145
27,9055
-8,8770
-1,6148
10,3615
13,0664
-3,6316
0,1047
5,2347
β2
2,4881
2,1810
2,0947
1,7953
2,2097
2,0869
2,4087
1,8718
2,3836
3,4648
-8,9145
27,9055
-8,8770
8,8851
14,3452
5,0473
17,5592
0,1047
15,0068
β2
2,4881
2,1810
2,3494
1,7869
2,2097
2,0869
2,5723
1,8718
2,2868
7,8668
-8,7398
36,3225
-6,5889
8,8851
14,3452
5,0473
17,5592
0,5044
15,0068
2,0572
2,3006
1,9137
1,8923
2,1327
2,1205
1,9709
1,8392
1,9015
2,3408
-0,4922
-3,1435
6,8676
10,7951
-7,3252
1,6968
5,4973
11,7251
9,7631
-0,1628
2,1440
2,3430
2,4052
1,9536
2,3406
2,0253
1,8380
2,0041
1,9018
2,1623
2,0627
2,0650
1,5516
1,7036
2,0257
1,9661
2,0876
2,1691
1,7070
2,0215
1,9669
2,2959
2,1847
2,2148
14,6263
7,2236
18,2984
-6,4046
5,9667
24,5143
-2,1405
-12,6617
-14,3774
24,8058
-12,9186
10,0437
-4,6342
2,7459
9,6922
7,0720
-7,9697
2,3105
7,9599
-12,5012
-6,7072
2,4907
8,2016
21,3992
3,6578
7,3297
7,9224
12,4980
15,6738
-11,2714
7,0112
0,2315
4,5541
-0,2753
0,4262
-0,8546
14,8920
14,0853
-11,3447
3,3611
-2,8017
3,7872
20,3353
15,9893
11,2911
-20,0256
-2,3053
20,0127
-11,0707
4,0981
-7,2085
11,5492
7,4645
-1,7861
9,2724
-2,8572
10,4791
-0,7492
8,0630
-20,4679
7,4851
9,2093
5,7700
1,4785
-2,5225
-12,4882
6,4080
-9,6551
-0,8124
-8,7966
3,8945
-0,4853
2,0649
2,4838
1,4967
2,0954
1,8118
1,7782
1,9210
1,7416
2,1971
1,9128
26,6733
10,4819
18,2984
-6,4046
5,9667
24,5143
-2,1405
-12,6617
-6,0559
1,5785
1,8911
1,6100
2,3728
2,0057
1,4773
2,1440
2,3430
2,2623
1,5590
2,5965
2,1424
1,9573
1,7876
1,8332
1,9536
2,3406
1,7754
2,0204
2,2073
2,1138
2,4335
2,0442
1,7359
1,8380
2,0041
1,9018
1,7017
1,9421
2,4060
2,2812
2,1332
1,9742
2,1623
2,2990
2,0650
1,7133
1,6624
2,2151
2,1787
2,0092
2,1650
1,5516
1,7036
2,0257
2,0453
2,0004
1,6844
2,1342
2,1508
2,1259
2,3205
2,0876
2,1691
1,7908
2,1992
1,7936
2,0159
1,8738
2,3083
1,7070
2,4444
1,9669
24,8058
-12,9186
-4,9338
-4,6342
9,4146
9,6922
7,0720
-7,9697
16,6646
7,9599
-12,5012
-6,7072
-10,6363
3,7574
29,2888
3,6578
7,3297
7,9224
12,4980
15,6738
-11,2714
-13,7487
-7,3400
4,5541
-0,2753
-13,6230
-0,8546
14,8920
14,0853
-2,0010
3,3611
-2,8017
3,7872
20,3353
15,9893
11,2911
-6,1343
-2,3053
20,0127
-11,0707
4,0981
-7,2085
-8,5361
7,4645
-1,7861
9,2724
-2,8572
10,4791
-0,7492
9,8902
-20,4679
7,4851
-14,8078
5,7700
-8,0486
23,3664
-12,4882
-5,2336
-9,6551
-0,8124
-8,7966
3,8945
3,5869
1,9845
2,4779
1,3469
2,0508
1,8118
1,7782
1,9210
1,7416
2,1812
1,9128
26,6733
10,4819
11,0652
0,5737
5,9667
34,4331
3,4389
-9,7292
-6,0559
1,5785
1,8911
1,7364
2,2631
2,0057
1,3089
2,0381
2,2880
2,2623
1,7452
2,5665
2,1424
2,2538
1,7876
1,8080
2,2560
2,5171
1,7754
2,0104
2,5809
1,9823
2,4335
2,0314
1,7359
2,1222
2,1571
1,7812
1,7008
1,9421
2,4657
2,2812
2,1332
2,0757
2,2396
2,2990
2,0500
1,9377
1,4370
2,2151
2,0802
2,2396
2,2205
1,7682
1,6074
1,8470
2,0453
2,2280
1,4935
2,1342
2,3864
2,1491
2,3205
1,9949
2,0895
1,8293
2,1787
1,7409
1,8545
1,8738
1,9618
1,6292
2,4444
1,9893
14,3099
-11,0646
-4,9338
-21,7321
9,4146
11,1736
-10,0358
-18,0476
16,6646
8,4418
-33,6832
0,4228
-10,6363
4,8482
29,2888
-12,3233
-1,3064
14,9946
12,2614
15,6738
-14,5033
-13,7487
-7,3400
-1,0649
-5,0075
-13,6230
-0,0341
2,0536
26,6205
-2,0010
9,1202
-15,9757
0,5673
7,9934
21,4446
21,4592
-6,1343
-15,3192
30,8063
-11,0707
-9,3716
-8,3555
-8,5361
12,8111
2,2044
7,0695
-1,8633
13,6439
8,4115
9,8902
-0,7013
11,8606
-14,8078
4,7496
-8,0486
23,3664
-7,2632
-5,2336
-19,9230
-3,3598
-13,6846
18,2774
3,5869
2,0333
1,9699
1,6984
2,2543
1,7951
1,9799
2,0120
2,0413
2,1589
1,9900
1,9810
2,0221
1,8909
2,0074
2,2452
1,9637
2,0330
2,5892
1,9578
1,7689
2,1347
2,1537
1,8681
1,8601
2,0757
1,7182
1,7693
2,1864
2,0255
2,2969
2,0949
1,9553
1,6588
2,1680
2,2504
1,6952
2,1843
1,8012
2,2303
1,8351
1,8269
2,1927
2,1096
2,1296
2,0126
2,2013
2,1838
2,0417
2,1416
2,1093
2,1314
2,2689
2,2048
2,2469
1,8945
2,0191
1,9445
1,9962
1,9260
2,1843
1,8693
1,9961
2,0551
1,8523
2,0071
1,8757
2,4844
2,0378
2,0752
1,8516
2,1747
1,6733
1,3277
5,9284
17,3215
-6,5207
14,1352
5,6836
6,5169
4,2678
-9,0004
7,6694
-0,1652
2,9777
8,1516
5,1923
-1,6531
12,3412
3,3469
-17,0589
8,8238
16,2051
-4,4353
1,6619
11,2502
8,2469
-0,8181
16,7973
18,4805
-0,5459
5,9905
-10,6624
-2,0706
5,5694
19,9970
-1,8600
-3,4317
18,5993
-6,5802
16,5589
-0,8615
12,2179
10,7198
-6,4295
1,8334
-4,0686
4,1831
-3,4127
-3,0561
2,3706
-8,7319
-3,0274
-4,5296
-8,7940
-7,2644
-8,3162
12,2818
6,7363
8,9913
2,0303
0,5059
-1,0805
12,1840
1,0493
4,4251
7,5250
7,0690
2,6132
-18,0625
-0,1433
4,1251
6,5870
-6,6347
18,7174
- 97 -
β2
1,7404
1,6333
1,7422
2,2433
1,9474
2,1240
2,0676
1,8206
2,1019
β1
0,7338 11,6161
-7,4770 13,3955
-1,1190 15,3075
2,8780 -5,2256
6,8735 5,0265
1,3230 0,2716
-8,4468 -0,5467
-7,3979 12,1773
8,0152 -3,9995
MZNČ/X2 β2
2,2951 1,6752
2,0164 1,7615
2,1775 1,9373
1,8991 2,1547
1,8782 1,7510
1,9769 2,0492
2,1882 1,9374
2,1254 1,8770
2,1872 1,9688
β1
-11,9595 18,1834
3,3654 10,5755
0,3578 5,1540
12,1022 -1,7879
9,9454 16,9397
6,3828 3,8753
-3,9066 5,6336
-4,1249 8,0085
-0,0339 3,9768
Glejserova metoda
1,9238 2,2951
2,0641 2,0164
1,8633 2,1775
2,3783 1,8991
1,9805 1,8782
2,0463 1,9769
1,7298 2,1882
2,0397 2,1254
1,8003 2,1872
β1
-11,9595 18,1834
3,3654 10,5755
0,3578 5,1540
12,1022 -1,7879
9,9454 16,9397
6,3828 3,8753
-3,9066 5,6336
-4,1249 8,0085
-0,0339 3,9768
Mod. Glej. metoda
1,8523 2,2951
2,0071 2,2189
1,8757 2,2701
2,4844 1,9605
1,9805 1,8470
2,0752 1,9769
1,8516 2,1674
2,1747 2,0198
1,6733 2,1021
β1
-11,9595 18,8342
-6,7904 12,1476
-4,2365 13,6096
9,0725 -2,6124
MZNČ
2,1094
2,2180
2,1937
2,0942
1,9470
2,0490
2,2799
2,1859
1,9883
1,9249
2,5439
1,7864
1,8667
2,0449
2,1948
1,9141
2,0462
1,8697
2,5187
6,6924
-13,3131
12,3156
15,5307
-3,8789
-1,0658
6,3099
5,9730
9,4363
-9,0909
1,9445
2,1172
2,0333
1,9165
1,9805
2,1396
2,0003
1,8147
1,8317
2,3672
5,3428
6,4361
0,6980
9,6339
0,6314
0,7395
4,1772
12,8932
13,3228
-1,6140
β2
1,6752
1,7615
1,9373
2,1547
1,7510
2,0492
1,9374
1,8770
1,9688
5,3428
6,4361
0,6980
9,6339
0,6314
0,7395
4,1772
12,8932
13,3228
-1,6140
β2
1,6610
1,7295
1,7715
2,1726
1,8634
2,0800
2,0229
1,8706
2,0949
-0,4922
-3,1435
6,8676
10,7951
-7,3252
1,9885
2,0273
1,5839
2,1642
1,8411
2,0605
2,0126
1,9425
2,2012
2,0339
1,9459
2,0965
1,8274
2,0899
2,2721
2,0353
2,0115
2,6409
1,9782
1,6111
2,3163
2,2018
1,9778
1,8030
1,9305
1,8328
1,6538
2,1807
2,0234
2,1422
1,7858
2,1070
1,7346
2,1449
2,5072
1,8254
2,3237
1,6852
2,1023
1,9014
1,6772
2,1931
2,0195
2,2298
1,8659
2,2265
2,2885
1,9746
2,2895
1,9727
2,1582
2,4949
2,2925
2,2269
1,7173
2,1754
1,7872
2,1107
1,9953
2,2351
1,7531
1,9671
2,1680
2,0099
1,8612
1,8363
2,4947
2,0889
2,1333
1,8656
2,1564
1,6577
2,4904
3,7299
22,1447
-0,7347
13,0915
2,6821
7,4932
8,5537
-12,0377
6,5614
1,2650
0,2183
11,0953
-2,0537
-5,1826
12,2584
3,9258
-21,2468
11,7317
22,9972
-11,9113
-3,2976
7,5433
9,1647
8,1388
9,8255
24,6563
-0,4305
7,5113
-4,9775
9,1892
-1,8425
16,1448
-2,1733
-14,4334
12,7957
-13,2594
19,8721
4,0177
9,6090
14,8294
-4,2775
2,7636
-8,9380
10,4712
-8,7057
-6,9806
8,2521
-14,3041
4,4499
-5,8031
-18,9424
-9,9591
-9,0137
17,2876
-1,3807
15,2576
-3,4945
-5,2194
-0,7937
15,1955
5,0314
-1,1864
1,7867
11,8078
4,1537
-20,1357
-2,5794
1,7124
6,3477
-6,1027
17,0357
2,1854
2,0653
1,8288
2,2754
1,9076
2,0376
2,0923
2,0084
2,0382
2,0113
1,8037
1,9914
1,9926
1,9837
2,2052
2,0011
2,1639
2,3618
1,9611
1,8715
2,1022
2,0902
2,0156
1,8251
2,0491
1,6946
1,9664
2,1792
2,0335
2,1364
2,0607
1,8957
1,7425
2,0395
2,0923
1,8353
1,8308
1,9927
2,1780
1,9204
1,9612
2,1398
2,0929
1,9942
1,9895
1,9500
2,0229
2,0172
2,1541
2,1336
2,0869
2,0767
2,1620
2,2569
1,8289
1,9928
1,9802
2,0092
1,8624
2,1622
1,9434
1,8818
2,1567
1,9238
2,0641
1,8593
2,2441
1,9805
2,0463
1,7298
2,0397
1,8003
-6,6150
1,0511
10,4550
-7,5057
8,2395
2,5602
2,1907
6,1585
-2,9330
6,6051
8,9299
4,6065
2,8716
6,3215
0,2376
10,4382
-3,3446
-5,3162
8,4865
11,0743
-2,8970
4,6578
3,6629
9,9559
0,3748
18,0090
8,3655
-0,0969
5,5705
-2,3784
-0,4155
8,5572
15,6999
4,8184
4,6021
11,3999
11,6326
6,7275
1,6210
7,8920
3,6377
-3,4487
2,6744
2,8983
5,1730
9,3648
5,2213
3,5631
-9,2633
-4,4719
-2,1629
1,0696
-4,9908
-8,8247
15,6999
8,0657
6,9975
1,2949
3,7996
-0,0617
8,4930
7,0247
-0,7099
3,8719
4,1622
3,4912
-5,7640
2,6471
5,5133
12,8378
0,2774
12,2108
1,9445
2,1172
2,0333
1,9165
1,9805
2,1396
2,0003
1,8147
1,8317
2,3672
-6,6150
1,0511
10,4550
-7,5057
8,2395
2,5602
2,1907
6,1585
-2,9330
2,1854
2,0653
1,8288
2,2754
1,9076
2,0376
2,0923
2,0084
2,0382
2,0113
1,8037
1,9914
1,9926
1,9837
2,2052
2,0011
2,1639
2,3618
1,9611
1,8715
2,1022
2,0902
2,0156
1,8251
2,0491
1,6946
1,9664
2,1792
2,0335
2,1364
2,0607
1,8957
1,7425
2,0395
2,0923
1,8353
1,8308
1,9927
2,2307
1,9204
1,9612
2,1398
2,0929
1,9942
1,9895
1,9500
2,0229
2,0172
2,1541
2,1336
2,0869
2,0767
2,1620
2,2569
1,8289
1,9928
1,9802
2,0092
1,8624
2,1622
1,9434
1,8818
2,1567
6,6051
8,9299
4,6065
2,8716
6,3215
0,2376
10,4382
-3,3446
-5,3162
8,4865
11,0743
-2,8970
4,6578
3,6629
9,9559
0,3748
18,0090
8,3655
-0,0969
5,5705
-2,3784
-0,4155
8,5572
15,6999
4,8184
4,6021
11,3999
11,6326
6,7275
-0,9081
7,8920
3,6377
-3,4487
2,6744
2,8983
5,1730
9,3648
5,2213
3,5631
-9,2633
-4,4719
-2,1629
1,0696
-4,9908
-8,8247
15,6999
8,0657
6,9975
1,2949
3,7996
-0,0617
8,4930
7,0247
-0,7099
3,8719
4,1622
3,2808
-12,3168
2,6471
5,5133
12,8378
0,2774
12,2108
2,0572
2,3006
1,9137
1,8923
2,1327
2,1205
1,9709
1,8392
1,9015
2,3408
1,3277
5,9284
17,3215
-6,5207
8,2395
2,0333
1,9699
1,6984
2,2543
1,9076
1,9799
2,0120
2,0413
2,1589
1,9900
1,9810
2,0221
1,8909
2,0074
2,2452
2,0011
2,0330
2,5892
1,9578
1,7689
2,1347
2,1537
1,8681
1,8601
2,0491
1,7182
1,9664
2,1864
2,0255
2,2969
2,0949
1,9553
1,6588
2,1680
2,2504
1,8353
2,1843
1,8994
2,2303
1,8351
1,8269
2,1927
2,1096
2,1296
2,0190
2,2013
2,1838
2,0417
2,1416
2,1093
2,1314
2,2689
2,1620
2,2569
1,8945
2,0191
1,9802
1,9962
1,9260
2,1843
1,8693
1,9961
2,0551
7,6694
-0,1652
2,9777
8,1516
5,1923
8,8238
16,2051
-4,4353
1,6619
11,2502
-0,5459
5,9905
-10,6624
-2,0706
5,5694
-6,5802
11,0153
-0,8615
12,2179
10,7198
-3,4127
-3,0561
2,3706
-8,7319
-3,0274
12,2818
6,7363
6,9975
2,0303
0,5059
7,5250
7,0690
2,6132
-18,0625
2,6471
- 98 -
11,4263
6,3828
-2,8848
1,0580
4,4019
11,3519
2,3402
1,2361
8,2140
-2,6161
1,6968
5,4973
11,7251
9,7631
-0,1628
5,6836
6,5169
4,2678
-9,0004
-1,6531
10,4382
3,3469
-17,0589
8,2469
0,3748
16,7973
8,3655
19,9970
-1,8600
-3,4317
11,3999
-6,4295
1,8334
-4,0686
3,8199
-4,5296
-8,7940
-4,9908
-8,8247
-1,0805
12,1840
1,0493
4,4251
4,1251
6,5870
-6,6347
18,7174
3,4846
3,2610
1,4560
2,6850
1,2929
2,0577
1,7141
1,7119
1,4067
1,7999
-69,7827
-71,7420
26,3291
-28,3046
44,0191
-1,2819
10,0673
8,6376
38,3845
15,2933
2,8699
2,3928
1,1067
2,2953
1,4456
1,9404
1,8942
1,6452
1,3036
1,7004
-38,0855
-26,9878
44,3205
-8,1772
36,1257
4,7448
0,8043
12,0528
43,7182
20,4309
2,8574
2,3740
1,0985
2,2913
1,4467
1,9358
1,9001
1,6418
1,3042
1,6993
-37,4469
-26,0184
44,7439
-7,9678
36,0733
4,9816
0,5022
12,2288
43,6896
20,4870
β2
2,0804
2,6259
-0,3988
1,0615
2,5834
1,0151
1,7588
1,6810
1,4820
1,7529
2,8366
1,8755
1,5461
2,8476
1,3262
2,2482
1,7963
2,3346
2,6429
1,4249
1,0314
1,3751
0,7854
3,3048
1,8251
1,6819
2,6654
3,4099
2,4300
1,6905
1,4648
3,2130
1,4109
1,8863
1,6420
1,2771
3,0442
1,6034
1,8586
4,0625
1,9943
3,0049
1,6416
3,1436
2,5417
1,4079
2,0742
1,3534
2,3836
1,0043
2,0750
1,7235
2,3155
2,4882
3,2524
1,5351
1,6565
1,1750
1,5386
2,3056
1,3413
1,5115
2,1894
3,1177
1,9215
3,3140
1,1919
1,9109
2,6994
0,6204
1,9951
1,5381
2,2357
1,8435
2,6665
1,2355
2,5860
1,2939
20,2334
16,2230
38,2558
13,5754
-42,2559
14,1750
19,5435
-41,4107
32,2405
-1,0834
10,5209
-6,5748
-29,1830
30,5800
51,2908
37,0509
56,3299
-59,1992
19,4665
11,4147
-31,4860
-59,5816
-25,0201
12,1656
24,8100
-60,4302
34,7431
7,8731
12,1109
45,6153
-42,3255
21,3174
5,3617
-99,5654
-1,6112
-47,9453
18,6682
-49,2320
-24,0749
26,9421
3,3767
28,3821
-22,8582
50,2712
5,5316
11,3082
-17,3612
-18,5747
-61,9758
34,4896
27,5291
46,2259
35,3545
-2,7922
37,3563
23,1305
-6,8312
-50,9838
5,5921
-67,8095
51,3014
0,9102
-33,9762
74,3603
6,7592
27,4633
-6,6323
29,4202
-38,9112
41,7679
-33,3921
32,1459
1,8257
1,7108
1,9499
1,6742
3,0070
2,0411
1,4266
2,9201
1,2411
2,4819
2,0646
2,0616
2,4716
1,2630
0,9594
1,5704
0,6166
2,7565
2,2286
1,6250
2,4681
2,8553
2,2829
1,6751
1,6101
3,2856
1,1727
2,1082
1,8518
1,6057
2,7782
1,4006
1,6869
3,9438
2,1934
2,3782
1,8996
2,8680
2,4652
1,5815
1,8364
1,3550
2,5347
1,5018
1,8027
1,3587
2,1516
2,3081
2,9981
1,6839
1,9850
1,4291
1,4576
2,1697
1,6875
1,5551
2,2595
2,7904
2,0756
3,2283
0,9758
1,9562
2,5715
0,6022
1,6233
1,7006
2,4982
1,6068
2,3466
0,7173
2,4313
1,0602
16,7557
14,7012
14,1141
17,6445
-51,0269
5,6280
25,6702
-45,1725
36,6316
-13,1282
-3,3416
7,5226
-20,3572
38,9065
55,0011
26,9719
65,0152
-30,9162
-1,3768
14,3756
-21,3473
-30,9508
-17,4162
12,9559
17,3131
-64,2317
46,9938
-3,5677
1,3157
28,6579
-28,6359
31,7726
14,2586
-93,4737
-11,8587
-15,6236
5,3297
-34,9533
-20,1321
17,9520
15,6336
28,3366
-30,6461
24,5903
19,5692
30,1187
-8,9173
-9,2985
-48,9134
26,8035
10,5716
33,1265
39,5100
4,2187
19,4829
20,8851
-10,4436
-34,1642
-2,4086
-63,4022
62,4612
-1,4610
-27,3891
75,3067
25,9358
19,0450
-20,1684
41,5932
-22,4420
68,4703
-25,4161
44,1644
1,8234
1,7126
1,9590
1,6738
3,0121
2,0439
1,4203
2,9185
1,2389
2,4877
2,0674
2,0585
2,4675
1,2574
0,9582
1,5734
0,6116
2,7461
2,2325
1,6257
2,4607
2,8472
2,2826
1,6738
1,6121
3,2808
1,1649
2,1143
1,8576
1,6118
2,7707
1,3958
1,6877
3,9381
2,1989
2,3648
1,9012
2,8692
2,4639
1,5806
1,8306
1,3598
2,5383
1,5089
1,7968
1,3517
2,1473
2,3030
2,9881
1,6858
1,9903
1,4340
1,4537
2,1665
1,6922
1,5563
2,2617
2,7782
2,0740
3,2254
0,9731
1,9534
2,5677
0,6023
1,6151
1,7001
2,5041
1,5987
2,3377
0,7042
2,4272
1,0515
16,8720
14,6088
13,6491
17,6631
-51,2888
5,4811
25,9955
-45,0928
36,7429
-13,4256
-3,4852
7,6851
-20,1466
39,1923
55,0651
26,8152
65,2744
-30,3814
-1,5768
14,3389
-20,9670
-30,5363
-17,4006
13,0219
17,2078
-63,9867
47,3961
-3,8792
1,0201
28,3486
-28,2505
32,0158
14,2140
-93,1804
-12,1432
-14,9359
5,2425
-35,0103
-20,0681
17,9942
15,9275
28,0935
-30,8318
24,2251
19,8738
30,4811
-8,6992
-9,0374
-48,3969
26,7065
10,3002
32,8730
39,7122
4,3809
19,2358
20,8200
-10,5562
-33,5333
-2,3243
-63,2542
62,6010
-1,3190
-27,1935
75,2988
26,3557
19,0683
-20,4710
42,0117
-21,9817
69,1437
-25,2085
44,6087
3,4846
3,2610
1,4560
2,6850
1,2929
2,0577
1,7141
1,7588
1,6810
1,4820
1,7529
2,8366
1,8755
1,5461
2,2482
2,0674
2,3346
2,6429
1,4249
0,9582
1,3751
1,8251
1,6819
2,6654
3,4099
2,2826
1,6905
1,4648
1,8863
1,6420
1,6118
3,0442
1,6034
1,6877
4,0625
1,9012
3,1436
2,5417
1,4079
2,0742
1,3534
2,3836
1,7235
2,3155
2,4882
2,9881
1,6858
1,9903
1,1750
1,6922
1,5115
2,1894
3,1177
2,0740
3,3140
1,1919
Experiment IX
n = 30
β2
2,1735
2,7442
-0,3988
1,0615
2,5834
1,0151
2,4280
3,3027
2,8133
β1
36,0461 1,0521
-32,5007 -24,6254
-37,6731 117,6939
-11,9981 54,3375
3,6084 -29,8248
-10,4704 50,1481
41,9289 -25,8360
52,5287 -56,9857
-31,7932 -42,1122
MZNČ β2
1,1733 2,0789
3,1409 2,6248
2,8001 -0,1379
2,6850 1,2287
1,7650 2,4556
2,2358 0,7496
1,0490 2,3870
1,1618 3,5524
2,2828 2,5254
β1
40,7103 5,9656
-49,9804 -18,4267
-42,0742 104,2283
-20,4416 45,7396
7,8639 -23,2151
-16,2310 63,8268
51,3535 -23,7093
45,8876 -69,8374
-18,8437 -27,2623
MZNČ/X2 β2
1,1720 2,0804
3,1453 2,6259
2,8015 -0,1333
2,6874 1,2349
1,7634 2,4551
2,2463 0,7428
1,0419 2,3876
1,1628 3,5600
2,2800 2,5192
β1
40,7778 5,8873
-50,2115 -18,4842
-42,1433 103,9944
-20,5689 45,4182
7,9464 -23,1866
-16,7715 64,1774
51,7193 -23,7422
45,8364 -70,2278
-18,6991 -26,9470
Glejserova metoda
0,6023 -0,3073
1,9951 2,8023
1,5381 2,7147
2,5041 2,5214
1,8435 1,8475
2,6665 2,1225
MNČ
1,2635
2,8023
2,7147
2,5214
1,8475
2,1225
1,2325
1,0333
2,5334
- 99 -
1,2355
2,5860
1,2939
n = 100
1,2325
1,0333
2,5334
β1
107,3033 5,8873
-32,5007 -18,4842
-37,6731 117,6939
-11,9981 54,3375
3,6084 -29,8248
-10,4704 50,1481
41,9289 -25,8360
52,5287 -56,9857
-31,7932 -42,1122
MNČ
β2
1,9501 2,2975
1,9442 2,0314
1,2178 2,0490
2,1653 2,3252
2,3529 2,8512
1,4381 1,5025
2,2145 2,3423
1,5871 1,8653
1,7393 3,0106
β1
6,1918 -7,8181
8,9990 9,2035
35,9472 6,6391
-2,6275 -14,0344
-15,8448 -40,4722
29,3008 31,2511
-8,3295 -12,5364
21,1958 6,5919
16,9321 -41,0809
MZNČ β2
1,7681 2,1121
1,7287 1,9067
0,9662 2,2028
2,1145 2,2423
2,3793 2,8969
1,3090 1,4622
2,2779 2,3871
1,4386 1,6889
2,0266 3,1730
β1
15,8686 2,0627
18,4525 15,8732
47,1131 -6,1437
-2,5991 -5,8679
-15,7151 -40,7853
37,2200 35,4730
-9,7841 -13,7167
28,6923 12,4084
2,6994 -46,5029
MZNČ/X2 β2
2,2011 2,1989
2,1401 2,0969
1,1377 2,1943
1,9604 2,3649
2,2488 2,3847
1,5087 1,7642
1,9031 2,3142
1,6301 2,0209
1,6347 2,7795
β1
-5,9961 -3,0395
-0,5656 5,9920
39,8043 -0,3770
7,3053 -15,9413
-10,8564 -17,7726
25,8362 18,5076
6,8533 -11,1837
19,1495 -0,9623
22,0171 -29,8759
Glejserova metoda
2,1300 2,2011
2,4280
3,3027
2,8133
-69,7827
-71,7420
26,3291
-28,3046
44,0191
-1,2819
10,0673
8,6376
38,3845
15,2933
2,2523
1,8246
1,8923
2,6344
1,3000
1,6823
1,6134
2,0924
1,8548
1,6488
-13,7364
16,8373
5,3334
-29,1595
33,9529
21,9691
24,1235
4,5892
13,8687
18,1406
2,2588
1,7599
1,6416
2,5186
1,4370
1,8356
1,6382
2,1503
1,6988
1,6598
-11,6805
19,1126
14,6771
-22,8426
28,7661
14,2371
21,3932
-0,1821
17,0432
17,8593
2,0248
2,1193
2,0914
2,5597
1,4021
1,6160
1,7332
1,8205
1,7446
1,8688
-2,7026
2,5850
-4,3237
-25,5650
29,0122
25,1983
18,2357
17,7634
19,2440
7,4819
β2
2,1989
1,7119
1,4067
1,7999
20,2334
16,2230
38,2558
13,5754
-42,2559
14,1750
19,5435
-41,4107
32,2405
2,8476
1,3262
0,7854
3,3048
3,2130
1,4109
1,9943
3,0049
1,0043
2,0750
1,4537
2,3056
1,9534
2,6994
-1,0834
-3,4852
-6,5748
-29,1830
30,5800
55,0651
37,0509
56,3299
-59,1992
19,4665
11,4147
-31,4860
-59,5816
-17,4006
12,1656
24,8100
-60,4302
34,7431
7,8731
12,1109
28,3486
-42,3255
21,3174
14,2140
-99,5654
-1,6112
-47,9453
5,2425
-49,2320
-24,0749
26,9421
3,3767
28,3821
-22,8582
50,2712
5,5316
11,3082
-17,3612
-18,5747
-48,3969
26,7065
10,3002
46,2259
39,7122
-2,7922
19,2358
23,1305
-6,8312
-50,9838
-2,3243
-67,8095
51,3014
-1,3190
-33,9762
75,2988
6,7592
27,4633
-20,4710
29,4202
-38,9112
41,7679
-33,3921
32,1459
2,1545
2,3548
1,6211
1,8248
2,8316
2,0683
1,5511
2,1914
2,1936
1,6989
1,9313
1,9028
1,8053
2,2408
1,8132
1,7474
1,9100
1,4136
2,2242
2,2215
2,0678
1,6003
1,8275
2,4202
2,2978
1,9389
2,0355
2,1649
2,3770
1,5115
2,1011
2,1985
2,4862
2,4477
2,1161
1,3341
2,1289
2,1806
2,7345
1,9380
1,9753
1,4734
2,4772
2,2079
1,9308
2,3801
2,1545
2,0116
1,6198
1,9132
1,9133
2,2108
1,4186
2,3467
2,1064
1,6948
2,0541
1,8271
1,7284
2,3262
2,1373
2,3457
2,1906
2,3058
2,0883
2,4037
1,6394
2,0147
1,9091
2,1663
1,7678
1,7486
1,2445
-10,8154
20,8507
12,7166
-29,3880
4,5759
29,3742
-5,1515
-3,5292
19,3592
13,9427
11,5538
12,1010
-8,2987
11,6702
9,2167
9,1247
29,6446
-4,2725
-6,7945
3,1869
25,8830
8,2629
-17,3568
-16,1800
7,0818
-3,7058
-5,8514
-16,8474
32,0137
-0,5498
-2,5598
-17,2905
-17,1268
0,5454
36,2593
0,7997
-6,2540
-32,4940
7,9335
5,2680
22,0521
-15,9532
-5,1330
4,4795
-9,6717
-6,6333
4,3782
20,3807
5,1807
5,9515
-11,3817
30,3835
-12,5896
-2,7721
11,3500
4,9288
13,4459
17,0431
-5,4739
1,6458
-11,2995
-7,2383
-8,1792
0,7259
-14,1548
19,8549
4,1351
6,6357
-4,2694
21,6901
14,5421
2,0615
2,1109
1,6455
1,6416
2,8951
2,2768
1,6815
2,3578
2,1849
1,5519
1,7436
1,7992
1,8029
2,3928
1,8549
1,6867
1,9910
1,2430
2,0564
2,4685
1,7272
1,6154
1,9228
2,1337
2,3277
1,9278
1,9984
2,1514
2,2136
1,4291
2,0452
2,5857
2,7792
2,3571
2,1152
1,4385
2,1992
2,1430
2,6573
1,7399
1,9208
1,5846
2,4362
1,6643
1,8823
2,3218
2,5510
1,8462
1,4323
1,9386
1,4539
2,5783
1,7536
2,7349
2,5106
1,7411
1,5504
1,9966
1,8480
2,1323
2,2684
2,4069
2,1655
2,1028
2,3973
2,6389
1,4608
1,5961
1,7469
2,3555
1,4252
1,4382
3,1856
0,7993
17,7540
23,1606
-31,5220
-5,9317
23,4472
-7,6906
-5,1202
23,9848
22,9890
17,9041
11,8176
-13,9427
11,2889
10,5414
0,1795
38,1175
2,6001
-15,0669
18,3683
23,7167
2,2419
-2,9543
-16,1628
7,1041
-3,1928
-5,8636
-9,4052
34,7347
4,7153
-21,4547
-30,8806
-15,5210
2,1397
32,3390
-0,2959
-3,7648
-28,8258
13,6817
8,7630
14,8857
-11,5363
20,1958
3,5180
-5,3908
-24,2945
10,1015
30,3278
5,0637
30,1871
-29,8616
11,4481
-30,0294
-19,5878
11,0654
29,2132
7,2066
13,1143
0,6432
-4,3183
-12,4964
-7,4704
2,9855
-12,6759
-24,6876
28,9656
21,7579
15,6093
-10,9876
38,3952
31,6862
2,3133
1,9722
1,4382
1,6616
2,5549
1,7733
1,8043
2,3432
1,9617
1,6863
2,0267
1,8198
1,6674
2,2043
1,7757
1,8820
1,8160
1,6645
2,5610
1,9622
1,9191
1,6777
1,8175
2,3797
2,2502
1,8900
2,0421
2,1043
2,3296
1,7913
2,0109
2,1884
2,0825
2,3045
2,2156
1,5190
2,0935
2,1032
2,5009
1,8383
2,0895
1,7682
2,4808
1,9652
1,8659
2,4179
2,4042
2,1684
1,5392
1,7443
2,0159
2,1936
1,5014
2,2711
1,8273
1,4453
2,0889
1,8009
1,6649
2,4613
2,1217
2,0073
2,1551
2,1300
2,1188
2,4206
1,7765
1,7691
1,6722
1,8729
1,6562
1,6688
-6,4664
7,8502
29,7258
20,6893
-16,0176
18,9071
17,0138
-12,5668
7,7789
19,9545
9,3287
15,6050
18,8317
-6,5450
13,4435
2,6038
13,6800
17,4838
-20,6063
5,8351
10,4448
22,1778
8,6966
-15,3026
-13,8291
9,4398
-4,0006
-2,9055
-14,5421
18,3890
3,7741
-2,1027
2,2757
-10,1146
-4,2598
27,3503
2,5207
-2,5238
-21,1273
12,8216
-0,3401
7,6907
-16,1328
6,6452
7,6710
-11,4281
-18,7432
-3,2386
24,3355
13,3970
0,9276
-10,5587
26,3483
-8,8928
10,7775
23,4558
3,1469
14,7419
20,1054
-12,0673
2,3830
5,1732
-5,5172
0,4159
-0,7235
-14,9776
13,2019
16,0979
18,1300
9,9683
27,1394
18,3870
2,0248
2,1193
2,3133
1,4147
1,6863
2,0267
2,5610
1,9622
2,1649
2,3770
2,0935
2,1032
2,4179
2,4042
1,8273
1,4453
- 100 -
2,1188
2,4206
1,7765
2,0147
1,6722
2,1663
1,6562
1,6688
-5,9961
8,9990
39,8043
7,3053
-15,8448
25,8362
6,8533
21,1958
22,0171
1,9442
1,1377
1,9604
2,3529
1,5087
1,9031
1,5871
1,6347
β1
-3,0395
9,2035
6,6391
-15,9413
-17,7726
31,2511
-12,5364
6,5919
-41,0809
2,0314
2,0490
2,3649
2,3847
1,5025
2,3423
1,8653
3,0106
-2,7026
2,5850
-4,3237
-25,5650
29,0122
25,1983
18,2357
4,5892
19,2440
7,4819
2,0914
2,5597
1,4021
1,6160
1,7332
2,0924
1,7446
1,8688
-6,4664
32,3773
29,7258
20,6893
-16,0176
18,9071
17,0138
-16,2323
-3,5292
1,4382
1,6616
2,5549
1,7733
1,8043
2,4235
2,1936
1,8198
1,6674
2,2043
1,7757
1,8820
1,8160
1,4136
2,0678
1,6777
1,8175
2,3797
2,2978
1,9389
2,0421
1,7913
2,0109
2,1884
2,0825
2,3045
2,2156
1,3341
2,5009
1,8383
1,9753
1,7682
2,4772
1,9652
1,8659
2,1684
1,6198
1,9132
2,0159
2,2108
1,5014
2,2711
2,0889
1,8009
1,6649
2,4613
2,1217
2,3457
2,1906
19,9545
9,3287
15,6050
18,8317
-6,5450
13,4435
2,6038
13,6800
29,6446
-20,6063
5,8351
3,1869
22,1778
8,6966
-15,3026
-16,1800
7,0818
-4,0006
-5,8514
-16,8474
18,3890
3,7741
-2,1027
2,2757
-10,1146
-4,2598
36,2593
2,5207
-2,5238
-21,1273
12,8216
5,2680
7,6907
-15,9532
6,6452
7,6710
-11,4281
-18,7432
-3,2386
20,3807
5,1807
0,9276
-11,3817
26,3483
-8,8928
10,7775
23,4558
3,1469
14,7419
20,1054
-12,0673
2,3830
-11,2995
-7,2383
0,4159
-0,7235
-14,9776
13,2019
4,1351
18,1300
-4,2694
27,1394
18,3870
1,9836
2,0044
2,0089
1,9994
2,0456
2,0137
2,0161
2,0175
1,9596
2,0210
1,9941
1,9666
2,0384
1,9836
2,0168
2,0004
2,0121
1,9546
1,9845
2,0175
1,9403
1,9943
2,0170
1,9687
1,9825
2,0352
1,9853
2,0235
1,9635
2,0322
1,9729
2,0050
1,9775
2,0106
2,0282
1,9571
2,0239
1,9800
1,9740
2,0184
1,9673
2,0147
1,9920
2,0347
1,9663
2,0380
2,0379
1,9893
1,9845
1,9992
1,9899
1,9975
1,9671
1,9839
1,9852
1,9787
2,0125
2,0149
1,9976
2,0395
2,0174
1,9842
2,0122
2,0258
1,9872
2,0014
2,0120
1,9971
1,9712
2,0010
1,9669
2,0185
1,4221
4,4618
1,6758
2,8195
2,0754
4,8947
5,8609
4,8421
4,4326
5,9803
2,0367
1,9833
2,0383
2,0254
2,0252
1,9696
1,9771
1,9879
1,9862
1,9591
1,3640
4,3262
1,8370
2,9162
1,9655
4,8532
5,8552
5,0903
4,4340
5,7465
2,0282
1,9889
2,0101
2,0114
2,0372
1,9744
1,9787
1,9678
1,9849
1,9775
1,8171
4,0043
3,3834
3,6868
1,3089
4,1437
4,0828
3,0610
4,0592
1,7702
4,2718
3,3726
2,4603
6,6881
2,3011
4,7220
6,1880
1,4797
4,8123
2,3463
3,1940
2,5002
5,6729
4,4497
3,5130
6,9921
4,1491
3,0411
4,9506
5,0190
2,6954
5,7435
2,5982
5,1856
1,9452
4,4952
4,5360
5,4999
3,6482
2,4702
5,8223
2,0450
4,8895
5,5010
3,2787
5,2090
3,0670
4,7030
2,9157
5,9494
1,9678
1,9430
4,8816
5,4489
3,6979
3,6390
4,4468
6,6496
4,8557
4,0057
3,7908
4,1404
3,6019
3,8745
1,3407
3,2908
5,1415
3,1279
1,9826
2,0051
2,0078
1,9969
2,0482
2,0140
2,0197
2,0135
1,9616
2,0207
1,9919
1,9699
2,0386
1,9830
2,0163
2,0016
2,0114
1,9529
1,9807
2,0152
1,9404
1,9951
2,0196
1,9659
1,9866
2,0322
1,9864
2,0212
1,9653
2,0290
1,9707
2,0077
1,9777
2,0093
2,0270
1,9619
2,0222
1,9815
1,9765
2,0176
1,9669
2,0123
1,9939
2,0351
1,9686
2,0369
2,0371
1,9881
1,9824
2,0009
1,9913
2,0024
1,9715
1,9835
1,9833
1,9798
2,0136
2,0121
2,0003
2,0399
2,0165
1,9825
2,0081
4,2020
4,0371
3,1281
4,2161
1,6062
4,2531
3,1481
2,7135
6,5609
2,3212
4,8558
5,9842
1,4643
4,8486
2,3747
3,1192
2,5451
5,7780
4,6914
3,6569
6,9853
4,0963
2,8764
5,1280
4,7646
2,8870
5,6766
2,7404
5,0768
2,1437
4,6333
4,3673
5,4890
3,7276
2,5426
5,5224
2,1481
4,7989
5,3441
3,3309
5,2376
3,2141
4,5856
2,8874
5,8033
2,0334
1,9963
4,9511
5,5787
3,5905
3,5527
4,1419
6,3742
4,8833
4,1248
3,7222
4,0671
3,7789
3,7032
1,3199
3,3454
5,2464
3,3888
1,9740
2,0030
2,0033
2,0124
2,0562
2,0183
2,0339
1,9983
1,9804
2,0161
1,9827
1,9926
2,0425
1,9828
2,0143
2,0104
2,0151
1,9411
1,9688
1,9910
1,9516
1,9979
2,0224
1,9533
2,0112
2,0183
1,9786
2,0089
1,9630
2,0126
1,9711
2,0252
1,9726
2,0037
2,0212
1,9842
2,0210
1,9833
1,9826
2,0181
1,9565
2,0063
1,9946
2,0375
1,9792
2,0333
2,0404
1,9897
1,9784
2,0086
1,9880
2,0126
1,9924
1,9920
1,9867
1,9840
2,0132
2,0007
2,0037
2,0394
2,0065
1,9785
1,9936
4,6751
4,1499
3,3846
3,3915
1,1515
2,5773
5,3667
4,7330
1,2553
4,8615
5,3579
4,9887
6,3799
3,9360
2,7094
3,4206
5,1862
3,0558
4,6193
3,4001
2,2247
4,6885
4,9963
3,3157
5,7973
2,2324
1,8213
4,8748
5,8079
3,1683
3,9534
3,4928
4,0847
4,4184
3,4974
Experiment X
n = 30
MNČ
1,9818
2,0728
1,9725
1,9454
2,0090
2,0270
2,0483
2,0066
1,9913
2,3891
4,8060
3,6999
3,3069
3,5745
4,6324
3,9690
5,0680
2,6790
2,0278
1,9869
2,0042
2,0086
1,9999
1,9750
1,9982
1,9683
2,0170
2,2629
4,8212
3,5232
3,5228
3,4007
4,3984
4,1491
4,9817
2,7698
2,0438
1,9812
1,9977
2,0030
2,0048
1,9942
1,9849
1,9711
2,0054
1,3818
5,1318
3,8549
3,8461
β2
1,9987
2,0023
1,9587
1,9978
2,0158
1,9926
2,0172
1,9778
2,0395
2,0358
1,9811
2,0409
2,0270
2,0235
1,9689
1,9770
1,9919
1,9863
1,9554
β1
4,0330 4,2563
0,6890 4,1683
5,5466 6,5050
7,3796 3,6768
3,4234 3,7618
1,8430 3,8759
0,9421 3,8810
3,8190 5,1317
4,2549 1,4912
MZNČ β2
1,9875 1,9989
2,0682 2,0020
1,9763 1,9603
1,9505 1,9964
2,0083 2,0176
2,0271 1,9839
2,0446 2,0189
2,0089 1,9824
1,9887 2,0372
β1
3,6759 4,2471
0,9791 4,1888
5,3102 6,4039
7,0651 3,7650
3,4708 3,6480
1,8382 4,4186
1,1737 3,7778
3,6763 4,8432
4,4191 1,6366
MZNČ/X2 β2
2,0057 1,9900
2,0412 2,0092
2,0015 1,9694
1,9613 1,9938
2,0105 2,0300
2,0307 1,9365
2,0349 2,0285
2,0213 1,9986
1,9622 2,0270
β1
2,6491 4,7309
2,4707 3,8034
3,9203 5,8962
6,4419 3,9159
- 101 -
3,1168
3,3349
4,8831
4,8255
3,4100
1,9852
1,9787
2,0132
2,0149
2,0037
2,0395
2,0065
1,9842
2,0122
n = 100
2,3891
4,8060
3,8549
3,3069
3,1168
4,6324
4,8831
5,0680
2,6790
MNČ
2,0046
1,9982
1,9884
1,9928
2,0028
1,9960
1,9575
1,9700
1,9729
3,7638
3,7596
5,4141
4,1506
4,8577
1,9102
4,6974
3,7157
3,0783
2,0069
2,0012
1,9766
1,9898
1,9945
2,0265
1,9867
2,0085
2,0070
3,7913
3,7748
5,4911
4,2328
4,8477
2,0712
4,6135
3,4758
2,9819
2,0139
1,9933
1,9867
1,9947
1,9891
2,0232
1,9915
2,0088
1,9968
3,3590 2,9719
1,6388 7,0496
1,7219 3,2452
2,9887 3,9369
5,8663 2,2076
Glejserova metoda
2,0258 1,9818
1,9872 2,0728
1,9977 1,9725
2,0120 1,9454
2,0048 2,0090
1,9712 2,0307
1,9849 2,0349
1,9669 2,0066
2,0185 1,9913
β1
4,0330 4,2563
0,6890 3,8034
5,5466 6,5050
7,3796 3,6768
3,4234 3,7618
1,6388 3,8759
1,7219 3,8810
3,8190 5,1317
4,2549 2,2076
β2
1,9871
2,0065 1,9894
2,0201 1,9884
2,0355 1,9934
2,0144 2,0070
1,9986 2,0019
2,0055 2,0091
2,0110 1,9976
1,9957 2,0198
1,9978 1,9869
β1
3,3776 3,4958
4,1034 3,2747
4,0370 2,2953
4,5082 2,9958
3,6639 4,2014
4,2263 3,5346
5,3223 3,2651
5,3984 4,3357
4,5858 3,7044
MZNČ β2
2,0035 2,0044
1,9990 2,0202
1,9851 2,0383
1,9928 2,0151
1,9998 2,0024
1,9982 2,0070
1,9580 2,0111
1,9704 1,9953
1,9753 1,9996
β1
3,4306 3,6441
4,0646 3,3989
4,1501 2,1688
4,5866 2,9592
3,8528 3,9915
4,1586 3,5037
5,3056 3,2059
5,3375 4,4191
4,4321 3,6591
MZNČ/X2 β2
1,9911 2,0135
2,0044 2,0164
1,9844 2,0324
2,0045 2,0105
2,0024 1,9925
1,9961 2,0114
1,9783 2,0091
1,9674 2,0189
1,9814 1,9984
4,5920
5,7691
6,2073
4,5020
4,7225
β2
1,9987
2,0092
1,9587
1,9978
2,0158
1,9926
2,0172
1,9778
2,0270
1,4221
4,4618
1,6758
3,6868
1,3089
4,5920
5,8609
6,2073
4,5020
5,9803
2,0278
1,9994
2,0220
2,0116
2,0071
2,0118
2,0104
2,0012
1,9953
4,0213
2,3516
3,5661
5,5302
2,4868
2,6349
2,3528
6,4298
5,8326
3,4033
3,6529
6,0918
5,7613
4,0328
2,8707
4,2760
3,5613
4,5345
2,7564
5,2132
3,7231
3,5515
5,2129
4,4242
1,3460
3,8920
5,4720
4,2000
2,0358
1,9811
2,0409
2,0114
2,0372
1,9744
1,9770
1,9678
1,9849
1,9554
4,1437
4,1499
3,3846
4,0592
1,7702
4,2718
3,3726
3,5661
6,6881
1,9836
2,0030
2,0033
1,9994
2,0456
2,0137
2,0161
1,9983
1,9596
2,0210
1,9941
1,9666
2,0384
1,9836
2,0168
2,0004
2,0121
1,9411
1,9845
2,0175
1,9516
1,9943
2,0170
1,9687
2,0112
2,0352
1,9853
2,0235
1,9635
2,0322
1,9729
2,0252
1,9726
2,0037
2,0282
1,9842
2,0239
1,9800
1,9740
2,0184
1,9673
2,0147
1,9946
2,0347
1,9792
2,0333
2,0379
1,9897
1,9845
1,9992
1,9899
1,9975
1,9671
1,9839
2,3011
4,7220
6,1880
1,4797
4,8123
2,3463
3,1940
2,5002
6,4298
4,4497
3,5130
6,3799
4,1491
3,0411
4,9506
3,4033
2,6954
5,7435
2,5982
5,1856
1,9452
4,4952
3,4001
5,7613
4,0328
2,4702
4,2760
2,0450
4,8895
5,5010
3,2787
5,2090
3,0670
4,5345
2,9157
5,2132
2,2324
1,9430
4,8748
5,4489
3,6979
3,6390
4,4468
6,6496
4,8557
4,0057
3,7908
4,0847
3,6019
3,4974
1,3407
3,8920
5,1415
3,1279
2,0119
2,0035
1,9896
2,0214
1,9955
2,0018
2,0025
1,9941
2,0084
2,0055
2,0083
2,0057
2,0045
2,0083
1,9988
1,9909
1,9944
1,9812
2,0050
2,0109
1,9925
2,0095
1,9823
2,0012
1,9902
1,9972
2,0084
1,9864
1,9931
1,9885
2,0053
1,9840
1,9910
2,0054
1,9836
1,9918
1,9890
2,0047
1,9724
1,9779
1,9961
1,9902
2,0086
1,9834
2,0160
1,9941
1,9818
2,0136
1,9991
2,0014
2,0122
1,9972
1,9896
1,9710
2,0092
2,0006
1,9794
1,9910
1,9928
2,0299
1,9852
2,0048
2,0046
5,0085
4,3217
4,3827
4,2707
3,9932
3,7643
3,5353
3,8787
3,2437
4,9000
1,9909
1,9875
1,9883
1,9891
2,0056
1,9956
2,0115
2,0037
2,0194
1,9912
4,8445
4,3378
4,3290
4,5247
4,1122
4,0354
3,3527
3,5407
3,2188
4,7064
1,9998
1,9905
1,9923
1,9880
2,0140
1,9744
2,0001
1,9821
2,0146
1,9946
2,8596
4,0697
3,0949
3,4700
3,6222
3,8575
3,5485
3,7860
4,3141
3,8706
3,7736
4,8826
3,2415
4,0701
4,0635
3,7874
4,5765
4,0904
4,1108
3,2763
3,4829
4,2176
3,3055
3,6050
3,9362
4,7922
5,2707
3,2535
2,2167
4,3725
3,8697
5,1856
3,6455
4,4072
3,4757
3,4393
4,9583
4,3075
5,2503
3,8429
4,9117
4,0341
3,4781
4,3849
4,4794
4,9164
3,6456
5,3588
5,2325
4,5914
4,5301
3,3917
4,7683
3,6261
4,4678
4,8306
3,4068
3,9789
3,8063
3,4902
4,6673
4,5087
5,2786
2,0279
1,9977
2,0199
2,0124
2,0070
2,0118
2,0094
2,0023
1,9980
2,0132
2,0051
1,9883
2,0232
1,9973
2,0022
2,0032
1,9930
2,0053
2,0046
2,0101
2,0054
2,0038
2,0127
2,0054
1,9878
1,9933
1,9800
2,0068
2,0094
1,9881
2,0064
1,9835
1,9969
1,9885
1,9950
2,0090
1,9894
1,9969
1,9898
2,0033
1,9856
1,9900
2,0074
1,9805
1,9906
1,9922
2,0067
1,9694
1,9745
1,9919
1,9884
2,0088
1,9843
2,0137
1,9925
1,9836
2,0133
1,9974
1,9999
2,0109
1,9990
1,9912
1,9720
2,8720
4,2265
3,2650
3,4658
3,5192
3,7679
3,6874
3,7455
4,1487
3,7998
3,6242
4,9067
3,1657
4,0018
3,9774
3,7354
4,5416
4,2834
4,1670
3,1170
3,5392
4,4142
3,1044
3,3344
4,0115
4,7736
5,3807
3,1668
2,3239
4,5832
4,0518
5,1320
3,8614
4,4023
3,5731
3,4329
4,7630
4,0127
5,1152
3,9262
4,8420
4,0672
3,3166
4,6000
4,5647
4,6523
3,5691
5,4679
5,3923
4,7785
4,5462
3,4241
4,6431
3,7658
4,4855
4,8549
3,3797
4,0057
3,9022
3,5706
4,5656
4,4525
5,2069
2,0079
2,0213
2,0255
2,0143
1,9946
2,0029
2,0002
1,9931
1,9925
2,0000
1,9986
1,9944
2,0371
1,9933
1,9919
1,9879
1,9906
2,0185
2,0025
2,0007
2,0130
1,9979
2,0141
2,0074
2,0159
2,0012
1,9773
2,0092
2,0006
2,0030
2,0106
1,9913
1,9999
1,9981
1,9950
2,0246
2,0014
2,0193
1,9995
1,9973
1,9858
1,9912
2,0071
1,9872
1,9920
1,9937
1,9861
1,9696
1,9964
2,0025
1,9822
2,0092
1,9940
2,0202
2,0143
1,9866
2,0125
1,9902
1,9970
2,0106
1,9949
1,9861
1,9836
- 102 -
3,5223
4,1461
5,0668
3,9581
5,0533
2,2367
4,3875
3,5120
3,4770
2,0026
1,9805
2,0138
1,9991
1,9976
2,0106
1,9974
1,9859
1,9710
3,6030
4,0276
5,2913
4,1506
4,9852
1,9102
4,6345
3,7157
3,2337
β1
4,0855 3,1494
3,7762 3,4639
4,2420 2,4634
3,9379 3,1871
3,7019 4,5116
4,2047 3,2340
4,2609 3,3733
5,5611 3,1528
4,1700 3,6703
Glejserova metoda
2,0122 2,0046
1,9956 1,9982
1,9819 1,9862
1,9910 2,0045
1,9905 2,0024
2,0299 1,9976
1,9863 1,9783
2,0048 1,9700
2,0018 1,9729
β1
3,3776 3,1494
4,1034 3,4639
4,1573 2,4482
3,9379 3,1871
3,7019 4,3205
4,1381 3,2340
4,2609 3,3733
5,3984 4,3357
4,5858 3,6703
4,3657
4,2696
4,1827
4,5232
3,6383
5,1488
3,9865
4,6911
3,5216
4,4921
β2
2,0135
2,0164
2,0326
2,0105
1,9964
2,0114
2,0091
1,9957
1,9984
4,8087
4,2696
4,1827
4,2707
3,9932
4,1098
3,9865
4,4673
3,5216
4,5802
3,8612
2,9418
2,9020
3,3264
4,2408
4,3133
4,0861
4,1993
4,4554
4,4593
4,0146
4,6303
2,4268
4,1783
4,5375
4,5510
4,7509
3,6040
4,2708
3,6556
3,1273
4,5444
3,0152
3,1622
2,6296
4,4325
5,4802
3,0676
2,7554
3,8399
3,8332
4,7174
3,6974
3,9822
3,6208
2,6119
4,1980
2,9711
4,6898
4,2409
4,8282
4,0297
3,3892
4,2221
4,4756
4,6640
4,5838
5,4969
4,3068
4,2735
4,9086
3,3536
4,2268
3,4060
3,4521
4,6111
3,4601
4,4342
4,0461
3,5748
4,7763
4,6990
4,6440
1,9908
1,9905
1,9923
1,9934
2,0070
1,9956
2,0001
1,9867
2,0146
1,9928
2,8596
2,9418
2,9020
3,3581
3,7182
3,8575
4,0861
4,1993
4,3574
2,0278
2,0213
2,0255
2,0136
2,0054
2,0118
2,0002
1,9931
1,9945
2,0000
1,9986
1,9920
2,0214
1,9950
1,9919
1,9913
1,9938
2,0185
2,0025
2,0067
2,0064
1,9979
2,0141
2,0074
1,9909
1,9978
1,9773
2,0034
2,0109
1,9925
2,0075
1,9823
2,0020
1,9902
1,9972
2,0154
1,9864
2,0041
1,9916
2,0053
1,9834
1,9906
2,0065
1,9872
1,9920
1,9890
1,9970
1,9715
1,9779
2,0025
1,9906
2,0086
1,9834
2,0202
4,4593
4,0146
4,7504
3,2415
4,0970
4,5375
4,3865
4,5934
3,6040
4,2708
3,3630
3,4489
4,5444
3,0152
3,1622
3,9362
4,6067
5,4802
3,3473
2,2167
4,3725
3,9815
5,1856
3,5994
4,4072
3,4757
3,0602
4,9583
3,7139
5,0776
3,8429
4,9425
4,0600
3,4182
4,2221
4,4756
4,9164
4,0539
5,4033
5,2325
4,2735
4,5055
3,3917
4,7683
3,4060
4,0136
4,9030
3,3975
3,9789
4,0151
3,5756
4,6524
4,7087
5,2786
- 103 -