docm 60a1 nádrž
download 
Stížnost Transkript
m 60a1 nádrž
Č Í S E L N É
R e á l n á
č í s l a
− √3
𝜋
-
R
R a c i o n á l n í
Iracionální čísla
√2
M N O Ž I N Y
5
− ; −2,99
3
č í s l a
-
Q
č í s l a
-
Z
C e l á
Záporná čísla
Nula
Přirozená čísla - N
. . . . -4, -3, -2, -1
0
1, 2, 3, 4, 5, . . . .
MATEMATICKÉ SYMBOLY A ZNAČKY
Závorky — (kulaté); [hranaté]; 〈úhlové〉; {𝑠ložené}
=
je rovno, rovná se
aZ
a je prvkem množiny Z; a leží v Z
≠
není rovno, nerovná se
a N
a není prvkem množiny N; a neleží v N
<
je menší než
A=B
množina A je rovna množině B
>
je větší než
Z
doplněk množiny Z
≤
je menší nebo rovno
Ø
prázdná množina
≥
je větší nebo rovno
A B
A je podmnožinou B
pq
platí p a zároveň q
A B
průnik množin A a B
pq
platí p nebo q
A B
sjednocení množin A a B
absolutní hodnota čísla a
A\B
rozdíl množin A – B
∈
leží na (v)
|< 𝐾𝐿𝑀|
velikost úhlu KLM
ǁ
rovnoběžné
|𝐴𝐵|
délka úsečky AB, vzdálenost dvou bodů AB
kolmé
∞
nekonečno
|𝑎|
str. 1
K ČEMU JE VLASTNĚ DOBRÁ MATEMATIKA?
Tak tuhle otázku si snad musel položit každý, kdo chodil do školy. Proč se lidé učí základy počítání je
pochopitelně zřejmé, ale mnohému do hlavy nejde, proč se musíme učit ty nesmysly, které na první
pohled nemají hlavu, natož patu, a které mají mnohdy víc písmen a znaků, než samotných a klasických
číslic?!
Odpověď je nasnadě. Tyhle příklady se neučíme proto, abychom je někdy v životě řešili. Tyto příklady se
nám s největší pravděpodobností hodit nebudou. Ale bude se nám hodit logické a jiné myšlení, které si
výpočtem (někdy až šílených nesmyslů) vytváříme. Také postupy, které si při zdolávání číselných úskalí
vytváříme, naleznou v našem dalším životě a jeho nástrahách své místo.
Ač si to mnozí z nás neuvědomují, s matematikou se setkáváme téměř neustále. Stačí zapnout třeba
počítač a hned se matematika projeví tím, že se na obrazovce počítače něco objeví. A jelikož počítače
řídí většinu procesů v dnešním světě, je ona Matematika neustále přítomna při každé téměř každé lidské
činnosti.
Na matematice je též fascinující její provázanost s reálným světem. Asi vám to tak nepřipadá, a říkáte si:
"Na co mi budou vzorečky, které se učím ve škole? Vždyť to přece k ničemu není.". Ale to je právě omyl.
Vezměme si například obyčejné výpočty ploch, bez nichž si nelze představit třeba obchod s pozemky.
A to již vůbec nemluvím o poznání přírodních dějů. Vezměme si například stavbu mostů, budov,
konstrukci auta, letadla, ani ten váš telefon bez matiky nefunguje a i video v mobilu je zapsáno pomocí
číslic!
Z toho je tedy vidět, že bez matematiky se v dnešním světě nic nepohne.
Trénuje abstraktní myšlení a logické uvažování.
Určitá matematická zručnost se také dává do souvislosti s tím, čemu se říká finanční
gramotnost. Tenhle svět se točí kolem peněz.
Jedním z důvodů, proč lidé věří bludům a nesmyslům, je to, že se nenaučili matematiku. A
nenaučili se logicky uvažovat.
Školská matematika je způsob, jak v tom nejdůležitějším věku trénovat mozek.
ČÍSLICE, ČÍSLA, SYMBOLY, MNOŽINY
ARABSKÉ ČÍSLICE
ŘÍMSKÉ ČÍSLICE
0123456789
IVXLCDM
I–1
V–5
X – 10
L – 50
C – 100
D – 500
M – 1000
Ke zkrácení zápisu dlouhých čísel se používá
pravidla pro odečítání, ale teprve ve středověku se
toto pravidlo stalo obecně používaným. Pravidlo
pro odečítání umožňuje použití šesti složených
symbolů, ve kterých menší číslice předchází větší:
IV = 4
IX = 9
XL = 40
XC = 90
CD = 400
CM = 900
MCMLXXXVIII – 1988
Jeden tisíc je M, devět set je CM, osmdesát je LXXX,
a osm je VIII.
str. 2
Nula (z latiny nullus – žádný) je číslo 0, jedna z nejzákladnějších matematických konstant.
Má tu vlastnost, že pro každé číslo 𝑎 platí: 𝑎 + 0 = 𝑎
𝑎. 0 = 0
Číslo 0 na číselné ose odděluje záporná čísla od kladných.
10 -4 =
0,000 1 desetitisícina
10 -3 =
0,001 tisícina
-2
0,01 setina
10
=
10 -1 =
0,1 desetina
10 0 =
1 jedna
10 1 =
10 deset
10 2 =
100 sto
10 3 =
1 000 tisíc
10 6 =
10
9
1 000 000
=
1 000 000 000 miliarda
1012 =
1 000 000 000 000 bilion
1015 =
1018 =
1021 =
1024 =
10
27
=
milion
1 000 000 000 000 000 biliarda
1 000 000 000 000 000 000 trilion
1 000 000 000 000 000 000 000 triliarda
1 000 000 000 000 000 000 000 000 kvadrilion
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 kvadriliarda
Násobky a díly jednotek
Název
Značka
exa
E
peta
P
tera
T
giga
G
mega
M
kilo
k
hekto
h
deka
dk
deci
d
centi
c
mili
m
mikro
𝝁
nano
n
Znamená násobek
1 000 000 000 000 000 000
1 000 000 000 000 000
1 000 000 000 000
1 000 000 000
1 000 000
1 000
100
10
0,1
0,01
0,001
0,000 001
0,000 000 001
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
str. 3
Výsledky některých cvičení jsou uvedeny za příklady v závorkách.
[ ] { } ( )
Množiny. Početní operace s celými a racionálními čísly, absolutní hodnota.
Poměr. Trojčlenka. Procenta.
Mocniny a odmocniny
Mocniny s celočíselným exponentem
Odmocniny
Mocniny s racionálním exponentem
Výrazy
6
8
9
11
12
13
14
Lomené výrazy
Mnohočleny
Rovnice, nerovnice a jejich soustavy
Lineární rovnice, řešení soustav rovnic
Slovní úlohy řešené pomocí rovnic
Soustavy nerovnic
Nerovnice v podílovém a součinovém tvaru, kvadratické rovnice,
Kvadratické nerovnice
Geometrie
Planimetrie
Trojúhelník, Pythagorova věta
Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku
Euklidovy věty
Řešení obecného trojúhelníku – sinová a kosinová věta
Obvody, obsahy rovinných útvarů
Stereometrie
Hranol
Válec, jehlan, kužel, koule
Komolý jehlan, komolý kužel
Funkce
15
17
18
19
20
21
22
23
25
26
26
28
29
31
32
36
37
38
40
42
Funkce, definiční obor, obor hodnot, graf funkce
Lineární funkce
Kvadratické a mocninné funkce
Exponenciální funkce
Logaritmická funkce
Goniometrické funkce
Vztahy mezi goniometrickými funkcemi
Goniometrické rovnice
Posloupnosti
43
45
48
49
50
52
55
55
57
Aritmetická posloupnost,
Geometrická posloupnost
Užití GP, složené úrokování
57
58
60
Kombinatorika, statistika, pravděpodobnost
61
Permutace, variace,
Kombinace
Pravděpodobnost
Statistika
Analytická geometrie
Souřadnice bodu v rovině, délka úsečky
Vektory
Rovnice přímky – parametrické, obecná
Vzájemná poloha přímek
Vzdálenost bodu od přímky
62
63
63
65
69
69
70
72
73
75
str. 4
ARITMETIKA A ALGEBRA
Přirozená a celá čísla
Složené
číslo
Prvočíslo
Aritmetické
operace
Sčítání
Odčítání
Násobení
má alespoň tři různé dělitele. Každé složené číslo lze rozložit na součin prvočísel.
má jen dva dělitele, 1 a samo sebe.
Mezi základní operace s čísly, tzv. aritmetické operace (početní operace), řadíme sčítání, odčítání,
násobení, dělení a mocnění.
je jednou ze základních operací v aritmetice. V nejjednodušším tvaru sčítání kombinuje dvě čísla, sčítance,
do jednoho čísla, nazývaného součet. Na sčítání více než dvou čísel lze nahlížet jako na opakované sčítání;
tuto proceduru můžeme nazvat sumace. Velké písmeno Σ (Sigma) označuje sumaci.
Sčítání má následující vlastnosti:
komutativnost a + b = b + a
asociativnost
a + (b + c) = (a + b) + c
Zápis odčítání se skládá ze tří částí: 𝑎 − 𝑏
𝑎 – se nazývá menšenec (číslo, od kterého je odečítáno)
𝑏 – se nazývá menšitel (číslo, které je odečítáno)
– je symbol pro operaci odčítání
Výsledek odčítání se pak nazývá rozdíl.
Aby bylo možné odečíst libovolná dvě čísla, musí ke každému číslu a existovat opačné číslo – 𝑎 (nebo v algebře obecněji
opačný prvek). Pak lze říci, že rozdíl je totéž, jako součet menšence s opačným číslem k menšiteli: 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏)
Speciálně pro 𝑎 = 0 dostáváme vztah 0 − 𝑎 = −𝑎
Násobení přirozených čísel představuje jejich
Násobení má následující vlastnosti:
opakované sčítání.
komutativnost 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎
asociativnost
Dělení
Kritéria
dělitelnosti
𝑎. (𝑏. 𝑐) = (𝑎. 𝑏). 𝑐 = 𝑎. 𝑏. 𝑐
𝑎 a 𝑏 se nazývají činitelé. Výsledek, „a krát b“, se
distributivnost 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐
nazývá součin.
je v aritmetice operace mezi dvěma čísly, která je opačná (někdy se také používá termín inverzní) k operaci násobení.
Pokud 𝑎. 𝑏 = 𝑐, pak 𝑐: 𝑎 = 𝑏, 𝑐: 𝑏 = 𝑎
0
dělení nulou není definováno
5
je-li na místě jednotek 5 nebo 0
1
všechna celá čísla jsou dělitelná 1
6
je-li číslo dělitelné 2 a 3 (viz výše)
2
je-li na místě jednotek sudé číslo
8
je-li poslední trojčíslí dělitelné 8
3
je-li ciferný součet dělitelný 3
9
je-li ciferný součet dělitelný 9
4
je-li poslední dvojčíslí dělitelné 4
10
je-li na místě jednotek 0
Racionální čísla
Operace se
zlomky
Krácení
zlomku
20 = 2.2.5
𝑎
Racionální číslo je číslo, které lze vyjádřit jako zlomek, tj. podíl dvou celých čísel, většinou zapsaný ve tvaru 𝑎: 𝑏 nebo ,
𝑏
kde b není nula. Název pochází z latinského ratio - podíl. Každý zápis zlomku je založen na části celku
𝑎
(například polovina 1⁄2, tři čtvrtiny 3⁄4, dvě třetiny2⁄3). Zlomek se zapisuje ve tvaru . Výraz a se nazývá čitatel (nad
𝑏
zlomkovou čárou) a výraz b se nazývá jmenovatel (pod zlomkovou čárou). Aby měl zlomek smysl, nesmí
být jmenovatel nula (v oboru reálných čísel nelze nulou dělit).
Pokud je jmenovatel větší než čitatel (zlomek je menší než jedna) označuje se tento zlomek
𝑐 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
jako pravý zlomek. Celá čísla a zlomky lze kombinovat. Zlomky lze převést do smíšeného tvaru, 𝑎
+ =
15
3
𝑏 𝑑
𝑏𝑑
pokud je čitatel větší než jmenovatel (např. = 3 ).
4
4
𝑎𝑐
Zlomky se dají sčítat, odčítat, násobit, dělit, umocňovat. Při sčítání a odčítání převádíme zlomky 𝑎 𝑐
. =
na stejného jmenovatele. Násobíme tak, že vynásobíme mezi sebou oba čitatele a oba
𝑏
𝑑 𝑏𝑑
jmenovatele. Dělení převedeme na násobení převráceným číslem. Pokud se v čitateli i ve
𝑎 𝑐 𝑎 𝑑 𝑎𝑑
jmenovateli zlomku opět nachází zlomek, jedná se o složený zlomek.
𝑎
Pokud máme zlomek , přičemž čitatel lze vyjádřit jako 𝑎 = 𝑐 ⋅ 𝑟 a jmenovatel jako 𝑏 = 𝑐 ⋅ 𝑠,
𝑏
pak lze zlomek vyjádřit v ekvivalentním tvaru jako
𝑟
𝑠
.
: = . =
𝑏 𝑑 𝑏 𝑐 𝑏𝑐
𝑎
𝑏 = 𝑎. 𝑑
𝑐
𝑏. 𝑐
𝑑
𝑎 𝑐. 𝑟 𝑟
=
=
𝑏 𝑐. 𝑠 𝑠
str. 5
Množiny. Početní operace s celými
a racionálními čísly, absolutní hodnota.
Podmnožiny reálných čísel se zapisují pomocí
intervalů.
Zápis množiny výčtem prvků: C = {3; 4; 5; 6; 7}
množina obsahuje pět přirozených čísel.
jiné zápisy stejné množiny: C {x N ; x 3 x 8}
nebo C {x N ; 3 x 7}
Příklady zápisu některých specifických množin:
𝑅0+ = ⟨0; ∞)
𝑅 + = (0; ∞)
𝑁 0 = {0; 1; 2; 3; … . }
𝑍0− = {… ; −2; −1; 0}
Zápis množiny
Zápis intervalem
P {x R; x a}
x a;
Zápis množiny pro a b
Zápis intervalem
P {x R; x a x b}
x a; b
x a; b
P {x R; x a}
x a;
P {x R; x a x b}
P {x R; x a}
x ; a
P {x R; x a x b}
x a; b
P {x R; x a x b}
x a;b
P {x R; x a}
x ; a
1. Zapište množinu A výčtem prvků.
a) A {x N ;2,3 x 3,5}
b) A {x Z ;2,3 x 3}
{1,2,3}
{2,1,0,1,2}
c) A {x Z ;3 x 3}
d) A {x Z ;2 x 3}
{1,2}
{1,0,1,2,3}
2. Zapište jedním intervalem
a) 7;1 3;3
b) 2;5 0;8
c) 4;2 1;7
d) 3;4 0;8
e) ; 3 2; 5
f) 7;3 5;
g) 6; 2 2; 4
h) ; 0 0;
{𝑎) (−7; 3⟩ 𝑏) ⟨0; 5) 𝑐) ⟨1; 2) 𝑑) (−3; 8⟩ 𝑒)〈−2; 3〉 𝑓) (−7; ∞) 𝑔) ∅ ℎ) 𝑅}
3. Zapište jako intervaly:
a) {𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥 ≥ −6}
b) {𝑥 ∈ 𝑅; −4 < 𝑥 ≤ 7}
c) {𝑥 ∈ 𝑅; −1 ≤ 𝑥 < 1}
d) {𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥 ≤ 0}
{𝑎)⟨−6; ∞) 𝑏) (−4; 7⟩ 𝑐) ⟨−1; 1) 𝑑) (−∞; 0⟩}
4. Zakreslete dané množiny na číselné osy
a) x R; x < 17
b) x R; 20 < x < 7
e) x R;14 x < 20
f) x R;48 x
d) x R; x 25
c) x R; 1,25 < x 10
5. Zapište dané intervaly jako množiny. Např.: 2; x R; x 2
a) 3; 0
b) 1;3
c) 0; 2
d) 11;1
e) 0;
f) 0;2
g) ;0
h) ; 4
str. 6
[𝑎) {𝑥 ∈ 𝑅; −3 ≤ 𝑥 < 0} b) {𝑥 ∈ 𝑅; −1 < 𝑥 < 3} c) {𝑥 ∈ 𝑅; 0 ≤ 𝑥 ≤ √2} d) {𝑥 ∈ 𝑅; −11 ≤ 𝑥 ≤ 1}]
𝑒) {𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥 ≥ 0} f) {𝑥 ∈ 𝑅 + ; 𝑥 < 2} g) {𝑥 ∈ 𝑅 − } h) {𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥 ≤ 4}
6. Najděte průnik a sjednocení dvou daných množin (intervalů):
a) 1;3 0;
b) 1;3 〈−2; −0,1)
d) (−∞; −10) 11;1
e) 〈−2; −1) 11;1
1
1
g) {𝑥 ∈ 𝑅 + ; 𝑥 ≤ 2} 〈−11; 4〉
c) 5;2 0; 2
f) (−∞; 0〉 〈0,02; ∞)
4
h) {𝑥 ∈ 𝑅; −1 ≤ 𝑥 ≤ 7} 〈−2; 0,5) i) (−∞; 0〉 〈−2; ∞)
{𝑎) ∩= 〈0; 3) ∪= (−1; −∞) 𝑏) ∩= (−1; −0,1) ∪= 〈−2; 3) 𝑐) ∩= 〈0; √2〉 ∪= (−5; 2)}
{𝑑) ∩= 〈−11; −10) ∪= (−∞; 1〉 𝑒) ∩= 〈−2; −1) ∪= 〈−11; 1〉 𝑓) ∩= ∅ ∪= 𝑅\(0; 0,02)}
1
1
4
{𝑔) ∩= (0; ⟩ ∪= (−11; 〉 ℎ) ∩= 〈−1; 0,5) ∪= 〈−2; 〉 𝑖) ∩= 〈−2; 0〉 ∪= 𝑅}
4
2
7
7. Vypočítejte hodnoty výrazů bez použití kalkulátoru:
a) – 0,7 .5 – 0,1.(20 – 25) =
[-3]
b) (–8 –2):0,5 – [1 – 2.(–3)] =
c) 3.(–13) + 2,4:0,06 =
[1]
d) –3–2–(0,24 – 0,8.0,3).15 =
e) –8,1:(–0,09) – 2.[1 – (125 – 5.5):(–10)] =
f) 0,1 – 10.[(–0,9).1,1 + (– 4 – 2).(–0,1)]=
g) (–0,04):(–0,5) – 0,1.[(–8).(–0,1) + (– 1 – 1):0,01] =
h) 10 – 0,01.[(– 50 – 50).0,1 + (– 101 + 1):(–0,1)] =
i) 1 + [8 – 3.(4:0,8 – 6.0,5)] =
[-27]
[-5]
[68]
[4]
[20]
[0,1]
[3]
Reálná čísla
Absolutní
hodnota
Definice
absolutní
hodnoty:
Znamená vlastně hodnotu čísla bez znaménka. 0 je absolutní hodnotou jen pro 0. Geometrický význam
absolutní hodnoty reálného čísla je vzdálenost obrazu čísla na číselné ose od počátku – od nuly.
|𝑎|
𝑎
Je-li a ≥ 0, pak |𝒂| = 𝒂 (s nezápornými nic nedělá).
|𝑎|. |𝑏| = |𝑎. 𝑏|
= |𝑏 |
|𝑏|
Je-li a < 0, pak |𝒂| = −𝒂 (záporným změní znaménko na plus)
pro 𝑎 ≠ 0 → |𝑎| > 0
8. Vypočítejte hodnoty výrazů bez použití kalkulátoru:
a) 0,1 . [5.0,06 – (2:0,5 – 3.0,9)] =
[-0,1]
c) │(–20 + 12). (–3) + 2.(–8 – 7)│.0,5 = [3]
e) [│–3 –6│.(–2) + 4.│–20 + 13│]:(–10) = [-1]
g)│–6.(–8) + (–4).12│ + (1 – 8.0,05) =
[0,6]
i) 7 2 14 7 2 7 6 8
19
b)│(4,2 : 0,7 – 6 . 0,05).(–10) │=
d)│10.(–6)│ – 2.[│–5│.(–5) + 4.│–4│] =
f) (3,2 : 0,8 – 5 . 0,04). │–100│ =
h)│10.(–6) – 2.[–5.(–8) + 4.(–4)]│ =
j) 7 10 5 1 3. 4
[57]
[78]
[380]
[108]
9
9. Vypočítejte a výsledek uveď v základním tvaru, případně převeďte na smíšené číslo:
1 7 8 7
2 3
2
a) :
b) 1 : 0,3
c) 1 :
5
5 4
4 12 3 2
4
1
1 18
1 11 1 5
3
d) :
e) . 2 1 0,75
f) 2 .
6 22
3
2
9
4 12 2 3
1 1 2 1
g) 1 .
7 5 11 2
[𝑎) − 1 𝑏) −
1
h) |−3.2 6 + 0,75.2|
1 4
2
1
3
𝑐) 𝑑) − 1 𝑒)3 𝑓)1 𝑔)
ℎ)5]
3 5
3
2
10
10. Vypočítejte a výsledek uveďte v základním tvaru, případně převeďte na smíšené číslo:
14
3
7 1 15
2
4 1
:
:6
a) 0,8
b)
c) : 3
4 20 120
5
8
4
9 15
str. 7
3 2 1 1
d) : 1 1
4 3 2 3
g)
6 4 5
1
. 1 1
5 7 6
3
[𝑎)8 𝑏)
e)
3 2 1 1
:1 1
4 3 2 3
f)
3
1 4 3
h) 2 1 :
4 5 8
8
2 1 1 1
: 1 1
3 4 2 3
1 1
3
i) 1 : 1
2 4
4
1 1
1
19
5
2
1
𝑐) 𝑑) 𝑒)2
𝑓) − 𝑔)1 ℎ) − 𝑖) 1 ]
3 9
2
36
6
7
5
11. Vypočítejte a výsledek uveďte v základním tvaru, případně převeďte na smíšené číslo:
1
4
2
0,5 2
0,4.
1
1
5
3
3
6 [1]
a)
[12]
b)
[− 6]
c)
4
1
1
5 3
3,3 : 1
3 .1
3
2
6 10
5 1
3 4
2
7
5 4 : 2
0,9 1 : 0,1
2
6 3
5 5
1
9
[− 14]
4
[1]
d)
[36]
e)
f)
39
5
2
1 1
1
3 3
4.2
2
6
3
4
3 6
12. V kantýně se na obědy platí zálohy. Každý strávník zaplatil jinou částku. Obědy jsou každý den za jednotnou
cenu. Na konci měsíce probíhá vyúčtování. Vedoucí si částky zapisuje do tabulky, kterou na konci měsíce
polila kávou a některé údaje byly nečitelné. Je na vás, abyste je doplnili.
Jméno strávníka
Počet
odebraných
obědů
Karel Práskal
Helena Modráčková
Hedvika Borovská
Jiří Smetana
Jaroslav Mlíko
11
10
15
20
Záloha
Doplatek
Zbývá
vrátit
400,-
48,-
0,48,-
500,1000,-
20,0,-
20,-
13. Hodnotitelé testů jsou schopni opravit jeden test za 12 minut. Jeden hodnotitel může opravovat testy max.
4 hodiny denně, dostane za jeden den hrubou mzdu 650 Kč. V rámci celokrajského testování žáků 9. tříd
bylo nutno opravit 10 000 testů za 4 dny.
I. Kolik bylo zapotřebí hodnotitelů, aby byly testy opraveny včas?
[125]
II. Jaká byla čistá mzda hodnotitelů pokud jim byla odečtena 15% daň?
[2210]
III. Jaké byly finanční náklady na opravování testů?
[325 000]
Poměr
1. Zvětšete číslo 60 v poměru 8:3
{160}
2. Zmenšete číslo 96 v poměru 5:6
{80}
3. Dva stroje mají výkonnost v poměru 6:7. Dohromady vyrobí za hodinu 325 součástek. Kolik vyrobí první stroj
za hodinu, kolik vyrobí druhý?
{150 a 175}
4. Jana a Petr společně nasbírali 57 kg jahod. Petr byl dvakrát výkonnější než Jana. Kolik každý nasbíral?
{38kg,19kg}
5. Otec a syn mají výšku v poměru 7:6. Otec měří 189 cm. Kolik měří syn?
{162 cm}
6. V omáčce je smetana a žloutky v poměru 3:1. Smetany je v omáčce 126 g, kolik g žloutků je v omáčce? {42g}
7. V těstě je mouka a tuk v poměru 3:2. Pokud máme 1,5 kg mouky, kolik potřebujeme tuku?
{1 kg}
8. Dvě vesnice vzdálené 7,5 km, jsou na mapě vzdáleny 15 cm. Jaké je měřítko mapy?
{1:50 000}
9. Jak jsou na mapě s měřítkem 1:2 500 000 vzdálena dvě místa, ve skutečnosti vzdálená 150 km? {6 cm}
10. Plán s měřítkem 1:500 znázorňuje dva domy 7 cm od sebe. Kolik metrů to je ve skutečnosti? {35 m}
str. 8
Trojčlenka
1. Na 15 porcí guláše potřebujeme 2,5 kg masa. Kolik kg masa musíme mít na 100 porcí?
{16,7 kg}
2. Čtyři kuchaři uvařili slavnostní oběd za 2 hodiny. Jak dlouho by jim to trvalo, kdyby byli pouze tři a pracovali
stejným tempem?
{2 hod 40 min}
3. V pěti pecích stihneme upéct koláče za 2 hodiny. Jak dlouho bude trvat upečení stejného množství, pokud
máme k dispozici jen 4 pece?
{2 hod 30 min}
4. Osm zedníků stihne omítnout dům za 30 hodin. Kolik zedníků potřebujeme abychom dům omítli za 24 hodin?
{10}
5. Na 20 porcí španělského ptáčka potřebujeme 4 kg masa. Kolik kg masa musíme koupit na 75 porcí? {15kg}
7. Čtyři kamarádi stihli očesat strom jablek za 45 minut. Jak dlouho by jim to trvalo, kdyby byli pouze tři? {1h}
8. 6 strojů za den naplní 2400 lahví. Kolik strojů budeme potřebovat, chceme–li za den naplnit 8000 lahví? {20}
9. 5 strojů na výrobu tyčinek zvládne upéct 100 kg tyčinek za 3 hodiny. Za jakou dobu stejné množství tyčinek
upeče 6 strojů?
{2,5 hod}
10. Stroje na balení čokolád zvládnou za jednu směnu – 8 hodin zabalit 2 800 čokolád. Kolik čokolád zvládnout
zabalit za 20 hodin?
{7 000}
11. Odvoz brambor třemi nákladními vozy trval 6 hodin. Jak dlouho by trvalo odvezení stejného množství brambor
se dvěma vozy? {9}
Procenta
𝑧 – základ (100%), 𝑝 – počet procent, č – procentová
část
č = 𝑝. 0,01. 𝑧
Promile 1‰ z čísla 𝑎 je 0,001. 𝑎
𝑝=
č.100
𝑧
10‰ = 1%
𝑧=
1% z čísla 𝑎 je 0,01. 𝑎
č.100
𝑝
1 000‰ = základ = 100%
1.
2.
3.
4.
Pavel na brigádě odpracoval sedm desetin plánované doby. Kolik procent doby mu ještě zbývá? {30%}
Jana čte knihu a přečetla již dvě pětiny knihy. Kolik % jí zbývá přečíst ?
{60%}
Eva napsala již tři osminy plánovaného rozsahu seminární práce. Kolik procent práce jí zbývá napsat? {62,5%}
Petr měl rok na svém kontě uloženo 12 000 Kč. Roční úrok byl 1,5%. Kolik měl po připsání úroků
na knížce za rok?
{12 180 Kč}
5. Termínovaný vklad je úročen 2,5%. Jaký bude úrok za rok, jestliže uložíme 120 000 Kč?
{3 000 Kč}
6. Koupili jsme 7 kg masa. Připravili jsme 35 porcí po 150 gramech. Kolik % hmotnosti masa se ztratilo vařením?
{25%}
7. Máme 8,5 kg syrového masa, vařením ztrácí maso 25% své hmotnosti. Kolik 150 gramových porcí připravíme
z tohoto množství po uvaření?
{42}
8. Boty stály původně 1800 Kč, pak byly zlevněny o 22%. Kolik stály po zlevnění.
{1 404 Kč}
9. Do školy chodí 520 žáků, z toho je 55% dívek. Kolik chodí do školy dívek a kolik chlapců? {d=286, ch=234}
10. Máme 12 kg syrového masa, vařením ztrácí maso 25% své hmotnosti. Kolik 200 gramových porcí připravíme
z tohoto množství po uvaření?
{45}
11. Plynová trouba byla zdražena ze 9 812 Kč na 10 499 Kč. O kolik % byla zdražena?
{7%}
12. Hrubá mzda činila 22 550 Kč. Sociální a zdravotní pojištění činí 12,5 %. Kolik odvedl pracovník na sociálním
a zdravotním pojištění?
{2 819 Kč}
13. Koupili jsme 3 kg kuřecího masa, uvařili jsme z něj 22 porcí po 120 gramech. Kolik % masa se ztratilo
vařením?
{12%}
14. Na půl kila rybí pomazánky jsme spotřebovali 300 g sardinek, 50 g taveného sýru, 70 g cibule a zbytek tvoří
okurky. Vypočítejte kolik % sardinek, sýru, cibule a okurek tvoří pomazánku. {60%, 10%, 14%, 16%}
15. Ve škole mělo 24 žáků vyznamenání, což je 8% celkového počtu žáků. Kolik celkem žáků studuje ve škole?
{300}
16. Ve škole studuje 369 číšníků, což je 41% všech žáků školy. Kolik má škola celkem žáků?
{900}
17. V New Yorku žije 14 950 000 obyvatel, což je 5% obyvatel USA. Kolik obyvatel mají USA? {299 000 000}
18. Eva vyhrála 2 800 000 Kč. Daň z výhry je 15%. Kolik Evě zůstalo po zaplacení daně? {2 380 000 Kč}
str. 9
19. Tržby v obchodě byly 375 000 Kč. Norma nezaviněného manka je stanovena 0,15 % z tržeb. Kolik činí
nezaviněné manko?
{562,50 Kč}
20. Ve třídě mělo 6 žáků vyznamenání, což je 18,75 % celkového počtu žáků. Vypočítejte kolik žáků nemělo
vyznamenání. {26}
Reálná čísla
Mocniny
a odmocniny
reálných čísel
Definice
mocniny,
odmocniny
a, b – základ mocniny, odmocniny
𝒂𝒙 = 𝒂. 𝒂. 𝒂. 𝒂. … . 𝒂
násobíme
x, y – exponenty
𝑥
x činitelů
√𝑎 = 𝑏, právě když 𝑏 𝑥 = 𝑎
𝑎 𝑥 . 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦
𝑎𝑥
𝑥−𝑦
=
𝑎
𝑎𝑦
(𝑎 𝑥 )𝑦 = 𝑎 𝑥.𝑦
(𝑎 𝑥 )𝑦 = (𝑎 𝑦 )
Číslo v exponenciálním tvaru:
(1 X 10 n Z )
X.10n
na kalkulačkách ve tvaru 2,4E+04 znamená 2,4.104
1,2E–08 znamená 1,2.10–8
Periodická čísla
0, 3̅ = 0,333 333 333 …
̅̅̅̅ = 0,232 323 232 …
0, 23
̅̅̅̅ = 0,254 545 454 …
0,254
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
0, 125
647 = 0,125 647 125 647 …
Iracionální číslo nemůže být vyjádřeno zlomkem a nelze jej vyjádřit
konečným způsobem v desítkové soustavě, a to ani pomocí periody.
Např.: 𝜋 = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197…
𝑥
√𝑎. √𝑏 = √𝑎. 𝑏
𝑥
√𝑎 𝑥 𝑎
=√
𝑥
𝑏
√𝑏
𝑦
𝑥
𝑥
( √𝑎) = √𝑎 𝑦
𝑥
𝑎 𝑥 . 𝑏 𝑥 = (𝑎. 𝑏)𝑥
𝑎𝑥
𝑎 𝑥
=( )
𝑏𝑥
𝑏
1
𝑎−𝑥 = 𝑥
𝑎
𝑥
𝑥
𝑥 𝑦
√ √ 𝑎 = 𝑥.𝑦√𝑎
𝑦
√𝑎 𝑥
=𝑎
√𝑦 =
=
𝑥
𝑎𝑦
=
1
𝑦2
𝑥:𝑦
2
√𝑦 1
𝑎0 = 1
𝑎 𝑎2 𝑎3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
20
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
400
𝑎4
1
1
8
16
27
81
64
256
125
625
216
1 296
343
2 401
512
4 096
729
6 561
1 000 10 000
1 331 14 641
1 728 20 736
2 197 28 561
2 744 38 416
3 375 50 625
8 000 160 000
str. 10
Mocniny a odmocniny
1. Vypočítejte bez použití kalkulátoru:
a) 0,52 =
b) 0,12 =
c) 0,92 =
d) 0,15 =
e) 1,52 =
c) 125.12 =
d) 25.22.23 = e) 112.13 =
f) 0,23 =
g) 0,24 =
f) 79.7 =
g) 9.92 =
2. Součin zapište jako mocninu:
a) 32.33 =
b) 84.83 =
3. Vypočítejte bez použití kalkulátoru:
0,36
0,0225
a) 4900
40000
810000
14400
b) 1,21
1,96
0,0001
0,000001
3
1000
3
8
0,027
3
0,008
3
1000000
c)
27
3
d) 3 56
3
0,001
5
0,00001
4
88
6
12 6 5 100000
3
5
1010
7
114
4. Vypočítejte bez použití kalkulátoru:
3
2
13 52 .3 0,001 [–3,5]
a) 2 3 .4 0,0001 [–7,1]
502 1,21.4 10000 [–2511]
b) 202 2,25.6 1000000 [–415] 90 19. 0,25 144 [–10,5]
80 15. 0,49 196 [–12,3]
c) 0,13. 106 0,5 [0,75]
f)
4 .3 250
13 52.3 0,1
2 .3 4
10
450
[–13]
2
3
3
4 1 . 49 36 [170]
81
72 . 2 [–9]
3
24 10 . 5 0,1 [–6] 90 19. 36 16 [401]
162
[1]
2
6
g)
3
10
2.2 22 3.2 22 4.2 22
[8]
29.210
7.6 25 3.6 25 4.6 25 [1]
613.613
24
3. 12 [–4]
3
3
3
10
2
3
e)
7.5 3.5 2.5
[8]
55.55
0,12. 10 4 0,8 [0,36]
2
14
14
14
d) 10.4 39.4 3 9.4 [64]
4 .4
15
4
[–1,25]
5. Jsou výsledky přirozená čísla?
0
23 23.6 0,118
4
19
4 2
;
;
16 81 36 64
62
82
4
[–8,008]
2
{ne; ne; ano}
Mocniny s celočíselným exponentem
1. Daná čísla napište ve tvaru
0,000 002 =
N.10n
[2.10-6]
542 000 000 = [5,42.108]
(1 N 10 n Z )
150 000 000 000 =
[1,5.1011]
0,000 000 000 3 =
[3.10-10]
0,000 000 000 11=
[1,1.10-10]
230 000 000 =
[2,3.108]
2. Vypočítejte bez kalkulátoru: (převeďte na tvar N.10n)
0,000 000 000 24 : 6 000 000 000 = [4.10-20]
25 000 000 000 . 0,000 000 000 4 =
[10]
[2.1017]
15 000 000 000 : 0,000 000 05 =
[3.1017]
2,3.1025 + 7.1024 =
[3.1025]
1,2.1047. 5.1013 =
[6.1060]
15.1022 + 2,1.1023 – 260.1021 =
[1023]
4.10-19 . 0,5.1025 =
[2.106]
8.10-8 + 2,2.10-7 =
[3.10-7]
21.10-11 + 7,9.10-10 =
[10-9]
8 000 000 000 : 0, 000 000 04 =
3. Vypočítejte bez kalkulátoru:
str. 11
25a 8 . y 1.4 y
4. a)
50 y 2 . y 1
b)
5
2
a 2 .b 3 a 5 .d 4
c) 1 3
6
c
.
d
b
6
12 x 64 x10 1000 x 9 x 20
2
22 2 x 2
3
7
6x
x
200 x
x
5 a 3a 2a
d) 2. a
3 2
2 3
6
3 2
5 . a 2 [–a6]
2
3
5. Upravte výrazy a výsledky uveďte jako mocniny s kladnými exponenty
7.1111 3.1111 1111
[11]
a)
112.119
3
3
2
1
1
b) (0,2) (0,1) 5 [−100067]
2
10
2
2
3
2
3
3
10
c) (0,9) 1 [− 27]
2
2
3
3
4
d)
2
7
9
511.57
2
e) 0 15 5
5 .5
[− 125]
0,4 5.0,4 2 2
f)
0,4 6.0,4 3
2.22 2.23
g)
41 4 2
[5]
6. a) 15. 3
3
3
4
1
5.22 2.52
b)
5 2 2 2
2
2
1
0
2
10 15.10 4
13
10
e)
=
12 4.8 2.2 4
213.14 3
c)
{92,5}
51 31
51.31
1
1
1
151 7
15 . 7
7. Dokažte, že platí
9. a)
]
80
27
1638
29
1
5−5 .155 .4−7
27
23
21 51
: 1 2
5 2
65 .8−6
182
[8]
2
2
1
2
4
c) 0,4 .5 4. 0,1 10. 5.
7
3
5
8. a)
[−
4
3 3
. x 5 3
2 7
0
0
2
2,7.10 3.4.10 8
9.10 4
[2]
b)
{6}
b)
10
d)
4
12.10
g) 8.24 + 9.23 – 5.24 – 11.23 =
213 .44
65 .14 3
1
=
[ 9]
23 : 4 2
32 33
0,5 3
2 1
3 6
2
2
f) 5.0,2 5.0,2
8
3
2
{2}
2
{126}
{32}
Odmocniny
1. Vypočítejte (částečně odmocněte):
a)
28 7 63 [0]
b)
2 8 50 [8 2 ]
c)
8 2 2 3 18 [13 2 ]
d)
12 2 27 3 75 [11 3 ]
e)
3
( a 6b 9 ) 2 [ a 4b 6 ]
f)
8
a 7 .8 a 5 .8 a 4 [a 2 ]
g)
5
8.5 4 [2]
str. 12
4
3 2 4 3
3
h) a . a a
k)
l)
3
3
k
5
11
3
[
x
2
2 5
[
]
5
5
b)
x
]
x
1
f)
8
4 8
84
4
x3
4
[
j)
x
]
x
c)
12
[2 6 ]
6
g)
2
5 2
2
[2 2 ] h) 5a 5. 3a
5
2 2
a 3 a
d)
6 3 2
3 . 18
6 3 3
3. Upravte výrazy, neodmocňujte:
√2. (√50 − √8) = [6]
7 4.
4
8 3 4
6
m) 16a . b 8a b
128 3 2 3 250 3 54 4.3 16 5.3 2
1
i)
i)
2
k6
j) 5
k
125.5 7.3 40 10.3 5 4.3 320 2.3 625 5.3 5
2. Usměrněte zlomky
4
[ 2]
a)
8
e)
1
45.3 40 6
5.3 5
k)
20
4. 5
5
5 2. 2 4. 10 13
3
2. 2 5
√3(√4 + √3 − 2 + √12) =
5 3. 7 5
3 2. 2 8 . 7 [7 4. 21]
[9]
[16 4. 5 ]
3. 2
2
2 3 . 2 3 [1,5 6 ]
Mocniny s racionálním exponentem
1. Převeďte na mocniny a vypočítejte:
3
a)
6
1
x
x5
x
x
6 x
y
d)
5
y .3 y 5
y
4
5
z3
z
3
10
c)
12 5
x 1
x
x
x. x 12 x 7
3
7
15
b)
z
e)
3
f)
5
5
x 1. x
3 x
x .x
x
x
x
6
2. Převeďte na odmocniny a vypočítejte
1
a)
8
2
3
4
1
b) 3.4
1
4 2 9 2 16
c)
a
a
a
0,5
d) 2.0,01
1
3
27 4
1
2
1
2
25
a
1
2
1
2
1
2.0,008 3 160, 25 0,160,5 16
9 2 5
.a a
20
6
1
5
3.0,001 3 50
6
1
str. 13
Výrazy
Vzorce
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
Vytýkání před
závorku
𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏)
−𝑎 − 𝑏 = −(𝑎 + 𝑏)
𝑎𝑥 ± 𝑏𝑥 ± 𝑐𝑥 = 𝑥. (𝑎 ± 𝑏 ± 𝑐)
U všech příkladů, kde se vyskytuje proměnná ve jmenovateli, uvádějte podmínky řešitelnosti (jmenovatel musí být různý od nuly).
x 2 (10 x )
1. Vypočítejte hodnotu výrazu
pro: a) x = 3 b) x = –2
x3
[𝑎)
16
27
c) x = –1
d) x = –4
15
32
𝑝𝑜𝑑𝑚. : 𝑥 ≠ 0]
𝑏) 2 𝑐) 12 𝑑)
2. Upravte výrazy:
a) 7y-2.10y4 + 20y3.7y-1 – 30y.9y =
b) 3x-10.8x7 – 2x10.2x-13 – 3x-6.9x3 =
c) 3a-1.8a-1 + 2a8.2a-10 – 3a-3.9a =
d) y4.10y + 12y3.5y2 – y5 =
3. Vydělte výrazy:
74 y 6
125 x 7
12a 4
25 x 7
81m8
4a 6
25 x 6
5 x 7
2 y5
9m 4
4. Vydělte a upravte výrazy:
12a 7 12a 9 600a 4 150a
40a 9 34a10 54a16 18a 2
3
2
a
1
a)
{
}
b)
{ a14 }
4a 4
2a 9 120a 30a
8a 5 17 a10
9a 2
9a 2
c)
35 x 12 72 x 5 63x 5 50 x 2
{ 2 x 10 4 x 4 }
5 x 2
8x
7 x 5 10 x 6
3
3
3
3
d) 100b3 12b3 500b3 81b9 { 3b 6 6 }
25b
2b
50b
9b
5. Upravte výrazy:
a) 2x.(5x4 – 7x) + 3x2.(5x3 – 7) =
b) 4b.(x2 + 4x – 9) – 2b.(x2 + 8x – 18) =
c) 3.(4x2 + x) + 2x.(x2 – 6x) + 6.(2x2 – x) – 2.(6x2 – 1,5x) =
d) (5a3 – 7a).3a – 15.(a4 + a2) – 2a.(2a – 5a3) =
e) 14y8 – 2y.(8y7 – 1) – 2y – (– 2y8 – 6) =
f) (5b2 + 2b).(–1b) + (2b2 – 7b).3 + 5b.(3b2 – 8b) – 7b.(2b2 – 3) =
6. Upravte výrazy:
a) (2x2 – 2x).(x + 1) =
b) (3a – 1).(a + 1) – (2a – 1) =
c) (3x + 1).(4x – 1) + (6x + 1).(1 – 2x) =
d) (a + 10).(a + 1) – (a – 1).(a – 3) =
7. Upravte výrazy podle vzorců:
a) (1,4y + 12).(1,4y – 12) =
(40x – 0,1).(40x + 0,1) =
b) (0,9y + 10).(0,9y – 10) =
(20x – 0,5).(20x + 0,5) =
c) (3z – 6)2 =
(6x – 1)2 =
d) (10a – 1)2 =
(8b + 3)2 =
3
2
e) (b + 1) =
(x5 + 1)2 =
f) (5y7 + 1).(5y7 – 1) =
(0,9a8 + 13).(0,9a8 – 13) =
8. Upravte výrazy:
a) (2y – 4)2 + (y + 2)2 =
b) (7z – 2)2 + (z + 10)2 =
2
2
d) (3b – 8) + (b + 7) =
e) (12x – 2)2 – (x + 3)2 =
9. Rozložte výraz na součin vytýkáním před závorku:
a) 56x5 + 16x4 =
144a2 – 12a – 24 =
{5𝑥 2 . (5𝑥 3 − 7)}
{2𝑏𝑥 2 }
{2𝑥 3 }
{10𝑎2 . (𝑎2 − 4)}
{6}
{−4𝑏 2 . (𝑏 + 9)}
{−4𝑥}
{3𝑎2 }
{5𝑥}
{7. (2𝑎 + 1)}
(1,1 + 60a).(1,1 – 60a)=
(1,3b + a).(1,3b – a) =
(9y – 2)2 =
(y + 0,5)2 =
(a4 + 1)2 =
(15x2 + 1).(15x2 – 1) =
c) (10a – 1)2 + (2a + 1)2 =
f) (z – 2)2 – (z – 1)2 =
32a3 – 24a2 + 8a =
str. 14
b) 225c3 + 150c2 + 15c =
14x8 – 14x7 + 196x5 =
72y6 – 36y5 – 18y4 =
10. Vytkněte číslo –1 před závorku
x–1=
4c + 5 =
9–x=
7y + 8 =
3–y=
14x2 – y =
11. Zjednodušte výrazy a výsledek upravte vytýkáním před závorku:
{2𝑦. (𝑦 + 11)}
a) 4y.(y + 3) + y.(10 – 2y) =
{−5𝑎(𝑎 + 1)}
b) 7a.(2 + a) – 4a.(3a + 5) + a =
{50(𝑥 + 𝑦)}
c) 5.(6x + 8y) – (– 10y – 20x) =
2
{𝑧(𝑧 + 2)}
d) 3z.(z +1) – 2.(z + z) =
{5𝑥(𝑥 + 3)}
e) (x + 3).( x + 1) + (4x – 1).(x + 3) =
2
2
2
2
{9𝑦 2 (𝑦 2 − 𝑦 + 1)}
f) (y + 4y).(2y – y ) + (2y – y).(5y – y) =
{3(3𝑎2 − 6𝑎 − 1)}
g) (7a + 2).(a – 5) + (2a + 1).(a + 7) =
{𝑥(𝑥 − 1)}
h) (2x + 1).( x – 1) – (x – 1).(x + 1) =
12. Rozložte výraz na součin podle vzorce:
100x2 – 225 =
x4 – 1 =
0,16 – 900y2 =
a10 – 10 000 =
225x4 – y6 =
169a4 – 81b2 =
225x2 – 36 =
0,25a6 – 400 =
0,16x2 – 2500 =
x8 – 1 =
13. Rozložte výraz na součin podle vzorců:
w2 – w + 0,25 =
c2 – 100c + 2500 =
9a2 – 12a + 4 =
16x2 – 48x + 36 =
64m2 + 96mn + 36n2 =
x2 – 4xy + 4y2 =
100a2 – 20ab + b2 =
4x2 + 28x + 49 =
14. Rozložte výraz na součin dvou závorek:
a) 2a2 + 2a + 5a + 5 =
2ax + 2bx – a – b =
3ax + 2ay + 3x + 2y =
b) 2a + 2b – ax – bx =
6 + 3y – 2x – xy =
y + 1 – xy – x =
c) rs – 3r + 3 – s =
ab – 4a – 12 + 3b =
14y – 2xy + x – 7 =
2
d) 4a – a – ab + 4b =
2ax – 2bx – by + ay =
6x2 + 4xy – 15x – 10y =
2
e) 35x – 7x – 5 + x =
xy – x – y + 1 =
4x – 4xy + 3y – 3y2 =
𝑎) (𝑎 + 1)(2𝑎 + 5); (2𝑥 − 1)(𝑎 + 𝑏); (𝑎 + 1)(3𝑥 + 2𝑦) 𝑏) (𝑎 + 𝑏)(2 − 𝑥); (3 − 𝑥)(2 + 𝑦); (𝑦 + 1)(1 − 𝑥)
{ 𝑐) (𝑟 − 1)(𝑠 − 3); (𝑎 + 3)(𝑏 − 4); (2𝑦 − 1)(7 − 𝑥) 𝑑) (4 − 𝑎)(𝑎 + 𝑏); (2𝑥 + 𝑦)(𝑎 − 𝑏); (3𝑥 + 2𝑦)(2𝑥 − 5) }
𝑒) (7𝑥 − 1)(5 − 𝑥); (𝑥 − 1)(𝑦 − 1); (4𝑥 + 3𝑦)(1 − 𝑦)
Lomené výrazy
Vykraťte zlomek - upravte lomené výrazy a stanovte podmínky:
4
4 y2
45 x12
26a 4
40c 9
1. a) 4 x
8x
9 x14
13a 3
8c10
16 y 3
45x 4 y 2
4x4 y 4
4x4 y5 z 6
12a 4b 3
6 x.4 x8 .2 x
b)
18a 3b 4
10 x 4 .2.3x 5
18x8 y
8 x8 y 6
20 x 3 y 6 z 6
{𝑎)
𝑥3
2
5
;
𝑥2
; 2𝑎;
1
4𝑦
;
5
𝑐
;
5
𝑦4
;
5𝑎3
𝑏)
7𝑏9
5𝑦
;
2𝑥 4
2𝑎
3𝑏
;
1
2𝑥 4 𝑦 2
;
𝑥
5𝑦
;
4𝑥
5
;
1𝑥 2
3𝑧
;
3𝑦 3
2
55 y 4
11y 8
6 x 4 yz
18 x 2 yz 2
25a 4b
35ab10
3 y 3. y.8 y 2
4 y.2 y 2 .2
}
2. Upravte výrazy krácením ve zlomku (nejprve upravte vytýkáním před závorku):
18 y 5 6 y 3
a)
6 y3
5m 2
25m 3 5m 2
16a 5 8a 3
8a 3
8a 2
24a 3 4a 2
20 y
8y 4 y2
7a
3
21a 14a 2
8 y3 6 y 2
2y
16 x 5 24 x 3
8x 2
b)
{𝑎) 3𝑦 2 − 1;
1
5𝑚−1
; 2𝑎2 − 1;
2
6𝑎+1
; 𝑏)
5
2−𝑦
;
1
𝑎(3𝑎−2)
; 𝑦(4𝑦 − 3); 𝑥(2𝑥 2 − 3)}
3. Upravte výrazy krácením ve zlomku (nejprve upravte vytýkáním před závorku):
16a 40
a)
4a 10
12b 16
15b 20
8m 2 16m
3m 6
2x 4
4 x 2 8x
9 y 2 18 y
b)
3y 6
4x 5
16ax 20a
a2 5
3a 5 15a 3
a8 1
2a 9 2a
y2 6 y
6 y 36
str. 15
7 y 4 28 y 3
2 y3 8 y2
5 x 4 15 x 2
x2 3
2y 4
c)
4 y2 8y
5a 6 35a 5
3a 2 21a
4 8𝑚 1 𝑦
1
1
1
1
7𝑦 5𝑎4
2
;
;
;
𝑏) 3𝑦;
;
;
𝑐)
;
5𝑥
;
;
}
5 3 2𝑥 6
4𝑎 3𝑎3 2𝑎
2𝑦
2
3
{𝑎) 4;
4. Upravte lomené výrazy:
2k
1
}
{− 𝑘+2
2
k 4
a 3
9 3a
{− }
4m 8
{−4}
2m
z2
4 2z
{− }
1
3
1
2
21 7b
b3
{−7}
5k
2k 10
{− }
8c 16
2c
{−8}
x y
7 y 7x
{− }
1
2
1
7
1 y
y 2y 1
{
6 2a
3 a
{2}
2
−1
𝑦−1
}
5. Upravte lomené výrazy (upravte vytýkáním před závorku a rozkladem na součin pomocí vzorců):
a)
y2 9
4 y 12
e)
a 0,5
1
}
{𝑎+0,5
2
a 0,25
𝑦+3
{
4
}
b)
2x 7
1
}
{2𝑥+7
2
4 x 49
c)
3 y
y2 9
{
f)
3 x 15
3 x 2 75
g)
4a 2 1
2a 1
{2𝑎 − 1}
{
1
𝑥+5
}
1
𝑦−3
}
d)
4 y 2 64
{2(𝑦 − 4)}
2y 8
h)
4x 8
8 x 2 32
1
{
}
2(𝑥+2)
6. Upravte lomené výrazy (upravte vytýkáním před závorku a rozkladem na součin pomocí vzorců):
a)
x2 6x 9
x3
b 10
d) 2
b 20b 100
9 x 2 25
9 x 2 30 x 25
7. Upravte výrazy:
g)
b)
{𝑥 + 3}
{
}
y2 2 y 1
e)
y2 y
}
h)
1
𝑏−10
3𝑥−5
{
3𝑥+5
a5
2
a 10a 25
2x 2 x 1 4x
4
3
5
x 5 2 x 10 x 3
d)
10
5
2
2x 4 2x 4x 6
g)
4
12
6
2y 4 2y 4y 6
j)
2
6
3
a)
𝑥+5
{
30
}
𝑥
{ }
5
{2}
{4}
2ay 3a 8 y 12
4ay 6a 16 y 24
x 2 2x 6
3
6
a 4 2a 3a 2
e)
5
20
10
y 1 3y 6 2 y 2
h)
2
3
4
3α 4 α 6α 4
k)
4
2
8
b)
c)
x 2 18 x 81
x 9
{𝑥 − 9}
f)
3a 15
a 10a 25
{
{}
i)
xa 3a 4 x 12
3a 3 xa x
{
1
c)
{
1
𝑎+5
}
𝑦+1
{
𝑦
}
1
2
{}
3
{1}
{𝑦 + 2}
𝛼+1
{
2
2
z 4 2z 3
5
10
y 4 2y 3
f)
10
20
d 2 2d 6
i)
4
8
3
𝑎−5
𝑎−4
𝑎+1
}
}
1
{− }
2
1
{− }
4
1
{}
4
}
U následujících příkladů: upravte výrazy a uveďte podmínky řešitelnosti (jmenovatel musí být různý od nuly):
3x
9x
8. a)
: 2
x 1 x 1
𝑥−1
{
3
; 𝑥 ≠ ±1}
c)
y 19 2 y 2
.
y 1 19 y
{−2; 𝑥 ≠ 19; −1}
e)
12 w
6w
:
2
w 100 w 10
{
g)
x2 1 x 1
:
2x 2 2
{1; 𝑎 ≠ ±1}
𝑤
𝑤∓10
; 𝑤 ≠ 0; ±10}
a 2 a2 4
: 6
b)
a5
a
d)
z 2 10 z 25 3z 9
.
z 3
z 5
f)
b 2 81 b 9
:
5b 45 5
h)
y2 2 y 1 y 1
:
y 1
y
{
𝑎
𝑎−2
; 𝑎 ≠ 0; ±2}
{3(𝑧 + 5); 𝑎 ≠ 3; −5}
{1; 𝑏 ≠; ±9}
{𝑦; 𝑦 ≠ 0; −1}
str. 16
9. a)
6a 12 2a 6
3a
a
x 1 x
c) 2
x x 2x
2
𝑎
1
{ ; 𝑎 ≠ 0}
2
e)
4 2y
2 y 1
g)
2a 8
1
a 8a 16 a 4
{
i)
y 2 7 y 12
1
2
y 6y 9 y 3
{1; 𝑎 ≠ 3}
{
2
𝑦+1
{ ; 𝑧 ≠ 0}
3a 2a 2 1 1 a
d)
3a 2
3 a
{ ; 𝑎 ≠ 0}
f)
; 𝑦 ≠ −1}
2
z 4 4 z 20
z
5z
b)
{ ; 𝑎 ≠ 0}
1
𝑎−4
; 𝑎 ≠ 4}
1
5
2
𝑎
3
6 4y
1
2
y 3 y 9 y 3
{0; 𝑎 ≠ ±3}
h)
4 y 20
2
y 10 y 25 y 5
{
j)
x 1 x 1 x2 5
x 1
3
3x 3
{1; 𝑥 ≠ 1}
2
2
𝑦+5
; 𝑦 ≠ −5}
10.
k
2
k 2 2k
1
k 2
11.
a b a b
1 b2
2
a b a b .
b
2
2
1
2
a b
1
1 2
2
b
a b2 b
2aa b, b 0
12.
y 2 2x x2
1 2 .1
2
x
y
y
4
4
x y
x2 y2
x y
x, y 0, x y
x y
13.
x
x 3 1
1
:
2
x 3 3 x 9 x
6 2 x, x 3
14.
2
4
2y 1
1
: 2
2
y 2 y 4 y 2 y 4 y 2
yy 2
15.
4
1 14k k 2
k 6
36 k 2
1
1
6k
5 k
, k 5, k 6
6 k
{k 2}, k 2
Mnohočleny
1. Dělte a uveďte podmínky pro dělitele, správnost výsledků ověřte vynásobením dosazením
a) (10 + 6a3 – 13a2 – 9a) : (2a – 5) =
{3a2 , a 2,5}
b) ( x x 7 x 3) : ( x 3)
2
{ x 2 x 1, x 3 }
c) (11a2 – 5a + 2a3 – 24) : (2a – 3) =
{ a 2 7a 8 , a
d) ( y y 3 y 3) : ( y 1)
2
{ y 3 , y 1 }
e) (15 x 23x 4) : (5 x 1)
{ 3x 4 , x 0,2 }
f) (20 x 14 x 6) : (3 10 x)
{ 2 x 2 , x 0,3 }
3
2
3
2
2
2
3
}
2
str. 17
Rovnice
Ekvivalentní
úpravy rovnic
Proměnná (x, y, z…) v rovnici se nazývá neznámá.
Řešit rovnice znamená najít taková čísla, která z ní po dosazení do rovnice za
neznámou vytvoří platnou rovnost. Každé takové číslo nazýváme kořenem nebo
řešením dané rovnice. Výsledek lze zapsat jako množinu kořenů 𝐾 = {−2; 3}
Ekvivalentní úpravy jsou takové, které mění tvar rovnice, ale zachovávají stejné řešení.
1. zrcadlová výměna levé a pravé strany rovnice bez dalších úprav
–5 = x
nebo 1 – y = 32
x = –5
32 = 1 – y
2. přičtení – odečtení téhož čísla (nebo neznámé) k oběma stranám
rovnice (neboli převedení z jedné strany na druhou s opačným znaménkem)
3x – 8 = 12
nebo
x=4+x
3x = 12 + 8
x–x=4
3. vynásobení nebo vydělení obou stran rovnice stejným nenulovým
číslem
5x = 15 / :5
x=3
4. úpravy výrazů na jednotlivých stranách rovnice
5x – 2x + x = 12 – 8
4x = 4
Někdy se neznámá v rovnici odečte a zůstane např.: 0x = 0; nebo 0x = –5
pokud vyjde 0 = 0
— rovnice má nekonečně mnoho řešení
pokud vyjde 0 = –5
— rovnice nemá řešení
Zkouškou nazýváme kontrolu správnosti řešení, kterou provedeme dosazením kořenů
do původní rovnice.
Lineární rovnice
𝑎𝑥 = 𝑏
𝑏
𝑥=
𝑎
𝑥 𝑎
=
𝑦 𝑏
𝑦 𝑏
=
𝑥 𝑎
Rovnice
v součinovém a
podílovém tvaru
Nerovnice
v součinovém a
podílovém tvaru
𝑎. 𝑏 = 0
buď 𝑎 = 0
nebo 𝑏 = 0
−𝑥 = 𝑎
𝑥 = −𝑎
−𝑥 = −𝑎
𝑥=𝑎
𝑥 𝑎
=
𝑦 𝑏
𝑥 𝑎
=
𝑦 𝑏
𝑎. 𝑦
𝑥=
𝑏
𝑥. 𝑏 = 𝑎. 𝑦
𝑎
𝑏
𝑥+𝑎 =𝑏
𝑥 = −𝑎 + 𝑏
pro 𝑎 ≠ 0
𝑎. 𝑥 = 0
𝑥=0
= 0 pak 𝑎 = 0
Součin 𝑎. 𝑏 > 0 či podíl
𝑎
𝑏
> 0 dvou
výrazů je kladný, pokud jsou oba výrazy
buď kladné nebo oba záporné.
(𝑎 > 0 𝑏 > 0) (a < 0 b < 0)
Součin 𝑎. 𝑏 < 0 či podíl
𝑎
𝑏
< 0 dvou
výrazů je záporný, pokud je jeden výraz
kladný a druhý záporný
(𝑎 > 0 𝑏 < 0) (a < 0 b > 0)
str. 18
Rovnice, nerovnice a jejich soustavy
Lineární rovnice
1. Řešte rovnice a proveďte zkoušku
c2 c4
a a4 a 1
a)
b)
3
5
6
3
5 2
e) 1
2x 5 x
6
3
f)
1
y
y 0,7 y 2
5
2
x x x
x 1
3 2 6
d)
n3
n4
2
4
5
g)
z2
2z 2
1
2
2
h)
x 3 x 5
1
5
3
2 x
4 0,5 x
1 1
3 6
3
i)
1
1 5y
y
4
2 12
j)
l)
3
a 1 1
a 1
(a 1)
a
4
3
2
3 12
m) 2b 1
k)
2
b 3 1 b 2
3
2
4 2y
y
4
p)
1
x 3 1 2 x 6 2 x 5
4
2
3
a 1 a
1 a
a
0,2
5
2
5
s)
x 1 2 x 2 3x 3
x 1
2
4
3
2
12
1
2
o) 0 (2 y )
r)
c)
[𝑎) 11 𝑏) − 5 𝑐) 1 𝑑) 9 𝑒) 𝑁Ř 𝑓)
x 1 x x 2 3x x
4
8
8
12
12
n) 1
q)
y 1
1 y 1
2
12
8
12
1
x 3 1 x 2 1 2 x 1
3
4
2
10
1
1
𝑔) − 2 ℎ)
𝑖) − 3 𝑗) 𝑅 𝑘)
𝑙) 2 𝑚) 0 𝑛) − 5 𝑜) 0 𝑝) 5 𝑞) 0 𝑟) − 1 𝑠) 0 ]
7
2
2
2. Pro které reálné hodnoty neznámé není rovnice definována? Určete množinu všech řešení rovnice.
U všech příkladů, kde se vyskytuje neznámá ve jmenovateli, uvádějte podmínky řešitelnosti (jmenovatel musí být různý od nuly).
a)
8 3y 6 y 2 7
5
4 y 6 10 y 15 6 2 y 3
c)
7
10
3
2
a 3 a 9
a 3
[a = 2,2]
d)
3x 7 5 x
25 3 x
.3 2
0
x 5
x
x 5x
e)
6 z 2(4 z 3)
z
2
1 z
z 1
1 z
[z = R –1, 1 ]
f)
4
(5 p 2) p
5p
[p =1, p 6, p –6]
2
6 p
36 p
6 p
g)
53
2x 1
3 2x
[x=
, x5, x2]
4
16
5 x
x2
i)
5
10 7 y
7
y 1
y 1
b) 2
[y= – 33,y 1,5]
h)
6 y 1 4 3 y
5 4y 2y 5
x5 x3
x 7 x5
[y = –15, y
[x = 5,8 x 7, x5]
[x= –5, x 0, x 5]
5
5
,y ]
2
4
[y = 4, y 1, y –1]
Řešení soustav rovnic
Řešte soustavy rovnic, proveďte zkoušku.
1) a) 3x + 2y = 4
x–y =8
b) 3x + 5y = 18
4x – 2y = – 2
c) 4x + 2y = 12
– 6x – 3y = – 18
d) 2x – y = – 5
x + 4y = 11
e) x + y = 4
x+y=5
f) 12x – y = 3
4x + 5y = – 15
g) x + y = 7
x–y=1
h) x – y = – 5
y–x=5
5 y 6x
3y
13
2x 3 y
5 y 6x
12
2x
4
6
4x 2
2)
[x = 5, y = 6]
str. 19
3) 5(y + 2) = – 3(x – 3) + 7
3(y + 2) + 23 = 5(x – 3)
[x = 7, y = – 3]
5 x 3 y 2 y 3x
x 1
3
5
4)
4x 3 y 3y 2x
y 1
2
3
1 3 1 4
: 1
a ab b ab
5)
a 3. b 3 ab
2
[x = 3, y = 2]
[a= – 11, b= – 4] a 0, b 0
6) (x + 1)2 + (y + 1)2 + 10 = x(x + 6) + y(y + 6)
(x + 1)2 – (y – 1)2 + 8 = x(x – 6) – y(y – 6)
b2
a2
2
3
3
7)
a b b3
6
2
[x = 1, y = 2]
b a 2b a
3
4
2
2a b
3a 5b
3
5
2
8
[a = 1, b = 5]
8)
[a = 12, b = 6]
Slovní úlohy řešené pomocí rovnic
1. V parku rostou lípy, javory, smrky a borovice. Lip je dvakrát více než javorů, smrků je o patnáct více než lip
a borovic je dvakrát více než smrků. Dohromady je tam 225 stromů. Kolik kterých druhů roste v parku?
(40, 20, 55, 110)
2. V prodejně měli žlutá, červená, modrá a zelená trička. Žlutých byla
1
15
1
10
celkového počtu, modrých byla
1
5
celkového počtu, zelených byla celkového počtu a červených bylo 95 ks. Vypočítejte kolik triček bylo
celkem v prodejně a kolik kterých barev.
(15, 10, 30, 95)
3. Petr spotřeboval při vaření ¾ celkového množství brambor, zůstalo mu ¾ kg brambor. Kolik kg spotřeboval a
kolik bylo celkem kg brambor?
(2,25; 0,75)
1
4. Jana si koupila tričko a čepici. Platila 700 Kč. Tričko bylo o 3 dražší než čepice. Kolik stálo tričko a čepice?
(400, 300)
5. Obvod trojúhelníku je 15,5 cm. Strana a je o 2 cm delší než strana b. Strana c je dvakrát menší než strana a.
Kolik měří která strana?
(7; 5; 3,5)
6. Žáci při úpravě okolí školy vysázeli první den
1
3
celkového počtu stromků, druhý den
2
5
zbytku a třetí den
144 stromků. Kolik jich celkem vysázeli?
(360 stromů)
7. Součástka měla před opracováním hmotnost 168 g. Jakou hmotnost měla součástka opracovaná, je-li hmotnost
odpadu dvacetkrát menší než hmotnost opracované součástky?
(160 g)
8. Otci je 42 let. Jeho třem dcerám je 16, 13 a 5 let. Za kolik let se bude věk otce rovnat součtu let jeho dcer? (4)
9. V trojúhelníku ABC je velikost vnitřního úhlu pětkrát menší než velikost vnitřního úhlu . Úhel α je třikrát
větší než . Určete velikosti vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC.
(60°, 100°, 20°)
10. V trojúhelníku ABC je velikost vnitřního úhlu o 55° větší než velikost vnitřního úhlu . Úhel α je dvakrát
menší než . Určete velikosti vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC.
(25°, 105°, 50°)
11. Při úpravě terénu pro stavbu věžového domu pracují 3 stavební čety. První četa by práci vykonala za 12 dní,
druhá za 20 dní, třetí za 15 dní. Za jak dlouho splní celý úkol společně?
(5 dní)
str. 20
12. Autobus městské dopravy přepravil za první dvě hodiny od počátku směny 380 cestujících. Kolik cestujících
musí průměrně přepravit za každou další hodinu své devítihodinové směny, aby přepravil celkem 1920
cestujících?
(220)
13. Košile stojí 150 Kč, tričko dvaapůlkrát méně. Kolik triček je možno koupit za 240 Kč? (4)
14. Hotový chléb má hmotnost o 45 % větší než mouka, ze které je vyroben. Kolik mouky se spotřebuje na výrobu
60 dvoukilogramových bochníků?
(asi 82,8 kg)
15. Vypočtěte stranu čtverce , jestliže zvětšíme jednu stranu čtverce o 10 cm a druhou zmenšíme o 8 cm a dostaneme
tak obdélník, který má týž plošný obsah jako původní čtverec.
(40 cm)
16. Dva obchody měly stejnou tržbu. První zvýšil tržbu o 6 %, druhý o 11 %. Oba obchody měly dohromady tržbu
54 250 Kč. Jaká byla původní tržba obchodu?
(25 000 Kč)
17. Na večírek přišlo třikrát více chlapců než děvčat. Po odchodu 8 chlapců a 8 děvčat zbylo na večírku pětkrát
více chlapců než děvčat. Kolik chlapců a kolik děvčat přišlo na večírek? (16 dívek, 48 chlapců)
18. Firma si účtuje za vybavení kanceláře žaluziemi celkem 2 650 Kč. Z dodacího listu je patrné, že žaluzie byly
o 954 Kč dražší než jejich instalace. Kolik procent z účtované částky tvoří instalace žaluzií? (32 %)
19. Na rodinnou oslavu přichystali dvakrát více lahví piva než vína. Po hodině, kdy se vypilo 10 lahví piv a 10 lahví
vína, zůstalo čtyřikrát více lahví piva než vína. Kolik lahví piva bylo připraveno na oslavu?
(30 lahví)
Slovní úlohy řešené pomocí soustavy dvou rovnic
20. Do 26 lahví, z nichž některé jsou půllitrové a některé mají objem 0,7 l, máme uskladnit 15 l malinového sirupu.
Kolik musíme mít lahví půllitrových a kolik o objemu 0,7 l ?
(10 ks→7 dl, 16 ks→5 dl)
21. Účetní měla v pokladně v hotovosti 1 750 Kč ve 23 bankovkách, zčásti padesátikorunových, zčásti
stokorunových. Kolik bylo kterých bankovek?
(12 ks→100, 11ks→50)
22. 54 Kč jsme zaplatili ve dvoukorunách a pětikorunách. Dohromady máme 15 mincí. Kolik jsme měli pětikorun
a kolik dvoukorun?
(8 ks→5 Kč, 7ks→2 Kč)
23. Na školním výletě spali chlapci v chatkách a platili 200 Kč za noc, dívky spaly v hotelu a platily 250 Kč
za noc. Dohromady bylo 22 chlapců a dívek, celkem všichni zaplatili 4 900 Kč. Kolik bylo chlapců a kolik
dívek?
(10 dívek, 12 chlapců)
24. Káva v kelímku stojí 7 Kč. Káva je o 6 Kč dražší než kelímek. Kolik stojí kelímek?
(0,50 Kč)
Soustavy nerovnic
Řešte soustavy nerovnic v R
1)
2 – (x + 2).(x – 3) 4x – x(x – 5)
x 2x 1
x
2
2
3
6
{𝑥 ∈ ⟨1; ∞)}
2)
6x – (4x + 1)2 2x(5 – 8x) + 5
x 2 2x 1 3
0
4
12
8
{𝑥 ∈ {−0,5}}
2
1 1
x( x 2) (2 x 2 4)
3
2 3
3.
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
3 4y
7 y
4
3
5
2
1
.(3 + 3a) (2a – 1 ).3
2
5
5(4 – y) + y (4 – y).2
3
3.(2 – a) – 2a + 3 –4(a – 1)
𝑥+2
3
𝑎+2
3
<𝑥 ≤3−
≥1<𝑎−
𝑥−3
2
1−𝑎
2
9
x2
.2 – 0,6
5
5
(4 – y).5 +
5
y (4 – y).2
3
{𝑥 ∈ (−
11
8
; 0)}
{𝑦 ∈ ⟨9; ∞)}
2a – 5 (a–1 ).3
{𝑎 ∈ ⟨−2; 1)}
7 y
3 4y
–3
4
2
5
{𝑦 ∈ (9; ∞)}
(3a – 1) + 2(3a + 1) (2a + 1).3
2
{𝑎 ∈ (−1; 3)}
{𝑥 ∈ (1; 3⟩}
{𝑎 ∈ (1; ∞)}
str. 21
Nerovnice v podílovém a součinovém tvaru
řešte v R
𝒙
x.y > 0 nebo 𝒚 > 𝟎 → x > 0, y > 0 nebo x < 0, y < 0
x.y ≥ 0 → x ≥ 0, y ≥ 0 nebo x ≤ 0, y ≤ 0
𝒙
≥ 𝟎 → x ≥ 0, y >0 nebo x ≤ 0, y < 0
𝒚
𝒙
x.y < 0 nebo 𝒚 < 𝟎 → x > 0, y < 0 nebo x < 0, y > 0
x.y ≤ 0 → x ≥ 0, y ≤ 0 nebo x ≤ 0, y ≥ 0
𝒙
≤ 𝟎 → x ≥ 0, y < 0 nebo x ≤ 0, y > 0
𝒚
1. a)
3x 1
1
> 0 { x 2; } b)
0
x2
2
2. a)
2x 1
>1
x2
{𝑥 ∈ (−∞; −2) ∪(1; ∞)}
b)
x5
0
x 1
3. a)
15 x
0
x6
{𝑥 ∈ (−∞; 6) ∪⟨15; ∞)}
b)
x2
2 {𝑥 ∈ ⟨−6; −2)}
x2
{ x ;
4. a) (x – 2).(x + 4) 0 {𝑥 ∈ (−∞; −4⟩ ∪⟨2; ∞)}
5. a) (2x – 3).(7 – 3x) 0
3 7
{ x ; }
2 3
1
}
3
c)
2y 5
0 { x ;2,5 }
10
{x (1;5)}
b) (x + 6).(x – 3) 0
{𝑥 ∈ 〈−6; 3〉}
b) (x – 3).(x + 5) 0 {𝑥 ∈ (−∞; −5) ∪(3; ∞)}
str. 22
Kvadratická rovnice je rovnice, ve které se vyskytuje druhá mocnina (kvadrát) neznámé. Obvykle x .
2
Obecná rovnice
Diskriminant
kvadratické rovnice
Kořeny kvadratické
rovnice
Ryze kvadratická
rovnice
Rovnice bez
absolutního členu
Normovaná
kvadratická rovnice,
Viètovy vzorce
Vztahy mezi kořeny a
koeficienty
kvadratické rovnice
𝑎𝑥 2 – kvadratický člen
𝑏𝑥 – lineární člen
𝑐
– absolutní člen
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
Koeficienty rovnice 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 0
Neznámá je 𝑥. Kořeny rovnice jsou pak 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 .
𝐷 > 0 – rovnice má 2 kořeny (2 řešení)
𝟐
𝑫 = 𝒃 − 𝟒𝒂𝒄
𝐷 = 0 – rovnice má 1 dvojnásobný kořen (1 řešení)
𝐷 < 0 – rovnice nemá kořen (nemá řešení)
𝒙𝟏,𝟐
−𝒃 ± √𝑫 𝒙𝟏 = −𝒃+√𝑫
𝟐𝒂
=
−𝒃−√𝑫
𝟐𝒂
𝒙𝟐 =
𝟐𝒂
𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎
𝒙𝟏,𝟐 = ±√−
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎
Pokud je D = 0, použijeme 𝒙 =
−𝒃
𝟐𝒂
𝒄
𝒂
𝑥. (𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 → 𝑥1 = 0; 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
Pro kořeny rovnice pak platí:
𝟏𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
𝑐 = 𝑥1 . 𝑥2
−𝑏 = 𝑥1 + 𝑥2
Kořeny rovnice
Pak lze kvadratický trojčlen 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 rozložit na součin:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
jsou 𝒙𝟏 a 𝒙𝟐
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎. (𝑥 − 𝑥1 ). (𝑥 − 𝑥2 )
1. Řešte kvadratické rovnice pomocí diskriminantu, správnost řešení ověřte zkouškou:
a) 2 x 2 5 x 3 0
100 x 2 30 x 2 0
10 x 2 9 x 1
b) 20 x 2 5 x 3
x 2 3x 2 0
10 x 2 x 10
c) 2 x 2 112 30 x
3x 2 6 x 45
x 2 144 24 x
d) 2 x 2 8 0
3x 2 6 x 0
5x 2 4x
e) 𝑥 −
7
𝑥
=
3
2
2𝑥
𝑥
11
f) 1,5𝑥 + 2𝑥 = 3
−
6
11𝑥
3𝑥 −
1
12𝑥
=1
=0
2. Řešte kvadratické rovnice pomocí Viètových vzorců, správnost řešení ověřte zkouškou:
Ř𝑒š𝑒𝑛í (𝑘𝑜ř𝑒𝑛𝑦) 𝑘𝑣𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖𝑐𝑘é 𝑟𝑜𝑣𝑛𝑖𝑐𝑒: 1𝑥 2 + 𝒃𝑥 + 𝒄 = 0 ∎ − 𝒃 = 𝑥1 + 𝑥2 ∎ 𝒄 = 𝑥1 . 𝑥2
x2 2x 8 0
x2 x 2 0
a) x 2 8 x 15 0
x 2 x 42 0
x 2 5 x 24 0
b) x 2 x 110 0
x 2 8 x 20 0
x2 x 6 0
c) x 2 11x 30 0
3. Uveďte typ rovnice a řešte je bez použití diskriminantu:
2x2 – 162 = 0
[ryze kvadratická, x1 = +9 x2 = –9]
8
3x2 + 8x = 0
[bez absolutního členu x1 = 0, x2 = − 3]
x2 + 8x – 33 = 0
[normovaná x1 = –11 x2 = 3]
–x2 + 121 = 0
[ryze kvadr. x1 = 11 x2 = –11]
str. 23
8
–5x2 + 8x = 0
[bez abs.členu. x1 = 0 x2 = 5]
9𝑥 2 = 1
[ryze kvadratická, x1,2 = ± 3 ]
1
1
4.
5.
6.
7.
9𝑥 2 = 3𝑥
[bez abs. členu, x1 = x2 = 0]
3
Sestavte normovanou kvadratickou rovnici o kořenech x1 , x2 a přesvědčte se o správnosti:
x1 = 5
x2 = – 6
[x2 + x – 30 = 0]
x1 = –1
x2 = 2
[x2 – x – 2 = 0]
x1 = 10
x2 = 1
[x2 – 11x +10 = 0]
Kvadratická rovnice má jeden kořen x1 = 2, druhý kořen má hodnotu čísla převráceného. Sestavte rovnici,
která má takovéto 2 kořeny.
[2x2 – 5x + 2 = 0]
Hodnota diskriminantu následující rovnice je 16. Určete hodnoty parametru m.
(𝑥 − 4)(𝑥 + 𝑚) = 0
[m1 = 0 ; m2 = 24]
Sestavte pak takovou rovnici.
[x2 – 4x = 0 ; x2 + 20x – 96 = 0]
Kraťte zlomek a uveďte podmínky
x2 x 6
10 x 2 11x 3
a)
[x–3, x –2]
b)
[5x+3, x –0,5]
x2
2x 1
c)
8x 2 6 x 5
2x 1
5
3
, x , x ]
2 [
4x 3
4
4
15 32 x 16 x
100 x 2 30 x 2
e)
3 20 x 100 x 2
[
d)
x2 x 6
3x 2 4 x 4
[
x3
2
, x –2, x ]
3x 2
3
x 0,2
x 0,1 x –0,3]
x 0,3
8. Určete b, c tak, aby čísla x1 = 3, x2 = – 0,5 byla kořeny kvadratické rovnice
2x2 + bx + c = 0
[b = –5, c = –3]
9. Určete v kvadratické rovnici ax2 + bx + 5 = 0 koeficienty a, b tak, aby kořeny této rovnice
byla čísla x1 = 5
x2 = 0,5
[a = 2, b = –11]
2
10. Určete v kvadratické rovnici ax + 3x + c = 0 čísla a, c tak, aby jejím jediným (dvojnásobným) kořenem
bylo číslo 2.
[a = – 0,75, c = –3]
2
11. V rovnici x bx 12 0 s neznámou x je jeden kořen x1 = – 2. Určete koeficient b a druhý kořen.
[b = –4, x2 = 6]
2
12. V rovnici x 4 x c 0 s neznámou x je jeden kořen x1 = 3. Určete koeficient c a druhý kořen.
[c = 3, x2 = 1]
13. Řešte danou rovnici v R :
4 3.( x 7) x 1
x x 2 3x
x3
[𝑥 = −3; 𝑥 ≠ 0; 3]
14. Řešte soustavu lineární a kvadratické rovnice
a)
x2 – 3y2 = –2
b)
x2 + x +2y = 14
x–y=2
x + 2y = – 2
[x1=1 y1=-1; x2=5 y2=3]
[x1=-4 y1=1; x2=4 y2=-3]
d)
x2 + 4y2 = 16
x – 2y + 4 = 0
[x1=-4 y1=0; x2=0 y2=2]
e)
c)
9x2 – 4y2 = 36
f)
x+y–2=0
[x1=-5,2 y1=7,2; x2=2 y2=0]
x2 + y2 = 10
x – 2y + 5 = 0
[x1=-3 y1=1; x2=1 y2=3]
x2 + 9y2 = 9
x + 3y – 3 = 0
[x1=3 y1=0; x2=0 y2=1]
Kvadratické nerovnice
Kvadratický trojčlen ax2 + bx + c nejprve rozložte na součin dvou závorek (x – x1).(x – x2), kde x1, x2 jsou
kořeny kvadratické rovnice. Pak řešíme jako nerovnici v součinovém tvaru.
2
1
,1
1. 3x2 – 7x + 2 0
2. 5x2 – 3x – 2 0
x
x ; 2;
5
3
3. 2x2 + 5 3x2 + x – 1
x ; 3 2;
4.
x2 – x – 6 0
x 2,3
str. 24
GEOMETRIE
Úhel
Konvexní úhel je úhel přímý
nebo menší než přímý.
Konkávní úhel je větší než přímý
úhel.
Nulový úhel je úhel, jehož ramena leží na sobě.
Ostrý úhel je úhel menší než pravý úhel.
Pravý úhel je polovina přímého úhlu. Pravý úhel se označuje tečkou
v obloučku. Dvě přímky v pravém úhlu dělí plochu na
4 shodné kvadranty.
Tupý úhel je větší než pravý úhel, ale menší než přímý úhel.
Přímý úhel je úhel, jehož ramena jsou opačné polopřímky
(tzn. 180°).
Plný úhel je úhel, jehož ramena leží na sobě, za úhel se považuje celá
rovina kolem nich.
Kosý úhel je úhel, který není nulový, pravý, přímý nebo plný
Dutý úhel je úhel, který je větší než přímý úhel a menší než plný
úhel
Měření úhlu ° stupeň – ´ minuta – ´´ vteřina
0,1° = 6´
0,2°=12´
𝟏° = 𝟔𝟎´
𝟏´ = 𝟔𝟎´´
𝟏° = 𝟑 𝟔𝟎𝟎´´
0,3°=18´
0,4°=24´
0,5°=30´
Trojúhelník
Geometrický útvar určený třemi body, neležícími v jedné přímce.
Trojúhelníková nerovnost
Součet dvou libovolných
stran je vždy delší než
strana třetí
Druhy Podle stran
trojúhelníků Obecný trojúhelník (též různostranný) – žádné dvě strany nejsou shodné
Rovnoramenný trojúhelník – dvě strany jsou navzájem shodné, ale nejsou shodné s
třetí stranou
Rovnostranný trojúhelník – všechny strany jsou shodné
Obecný
Rovnoramenný
Rovnostranný
Podle úhlů
Ostroúhlý trojúhelník – všechny vnitřní úhly jsou ostré
Pravoúhlý trojúhelník – jeden vnitřní úhel je pravý, zbývající dva jsou ostré
Tupoúhlý trojúhelník – jeden vnitřní úhel je tupý, zbývající dva jsou ostré
str. 25
Výšky
Střední příčky,
těžiště
Kružnice
vepsaná, opsaná
Obvod
𝑂 =𝑎+𝑏+𝑐
trojúhelníku
𝑎.𝑣𝑎
Obsah
𝑆
=
𝑆
trojúhelníku
2
=
𝑏.𝑣𝑏
2
𝑆=
𝑐.𝑣𝑐
2
𝑂
Obsah –
p – polovina obvodu. 𝑝 = , pak obsah 𝑆 = √𝑝. (𝑝 − 𝑎). (𝑝 − 𝑏). (𝑝 − 𝑐)
Heronův vzorce
2
Pravoúhlý trojúhelník
Strana naproti pravému úhlu se
nazývá přepona – c.
Další dvě jsou odvěsny – a, b.
Pythagorova
věta
Obsah
pravoúhlého
trojúhelníku
𝛼 + 𝛽 = 90°
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
𝒂𝟐 = 𝒄𝟐 − 𝒃𝟐
𝒃𝟐 = 𝒄𝟐 − 𝒂𝟐
𝑆=
𝑎.𝑏
2
a, b jsou odvěsny trojúhelníku
Planimetrie
Trojúhelník,
Pythagorova věta
1. V trojúhelníku jsou dány velikosti dvou úhlů γ = 113°20´ = 29°45´. Vypočítejte velikost úhlu .
2. V rovnoramenném trojúhelníku je dána velikosti úhlu, který svírá základna a rameno = 55°55´.
Vypočítejte velikost úhlu , γ.
3. V rovnoramenném trojúhelníku je dána velikosti úhlu, který svírají ramena γ = 15°20´. Vypočítejte velikost
úhlu , .
4. Obvod rovnoramenného trojúhelníku je 474 m, základna je o 48 m delší než rameno. Vypočítejte délky stran
trojúhelníku.
5. Střecha nad transformátorem je tvořena čtyřmi shodnými trojúhelníky. Délka strany každého z nich je 3,6 m,
příslušná výška je 2 m. Vypočítejte obsah střechy.
str. 26
6. Obvod rovnoramenného trojúhelníku je 1 m. Základna má délku 45 cm. Vypočítejte délku ramen tohoto
trojúhelníku.
7. Rozhodněte, zda trojúhelník s následujícími délkami stran je pravoúhlý:
a) 11 m, 60 m, 61 m
b) 16 dm, 30 dm, 34 dm
c) 7 m, 9 m, 11 m
8. Vypočítejte délku odvěsny a v pravoúhlém trojúhelníku ABC. Přepona c = 11,5 cm, odvěsna b = 9,2 cm.
9. Vypočítejte délku odvěsny b v pravoúhlém trojúhelníku ABC. Přepona c = 16 dm, odvěsna a = 9,6 dm.
10. Rovnoramenný trojúhelník KLM má ramena délky k, l (k = l) a základnu délky m.
Výška k základně má délku v. Vypočítejte zbývající údaj, je-li dáno:
a) m = 12 dm, k = 10 dm
b) k = 13 cm, v = 12 cm
c) v = 8,5 cm, m = 62 mm
11. Základna rovnoramenného trojúhelníku má délku 6 m, příslušná výška 4 m. Vypočítejte obvod tohoto
trojúhelníku.
12. Rovnoramenný trojúhelník má základnu dlouhou 16 cm, jeho rameno je o 1 cm delší než základna. Vypočítejte
obsah tohoto trojúhelníku.
13. Vypočítejte obvod a obsah pravoúhlého trojúhelníku XYZ s pravým úhlem u vrcholu X. |XY| = 2,4 cm,
|YZ| = 0,4 dm
14. Vypočítejte obvod a obsah pravoúhlého trojúhelníku XYZ s pravým úhlem u vrcholu X. |XZ| = 48 mm,
|YZ| = 6 cm
15. Stožár antény vysoké 120 m, je upevněn čtyřmi lany u vrcholu a lano je ukotveno v zemi 50 metrů od paty
stožáru. Vypočítejte kolik metrů lana se spotřebovalo na všechna 4 lana?
16. Žebřík je dlouhý 8 metrů a je opřen o zeď ve vzdálenosti 2 metry. Do jaké výšky sahá?
17. Rovnostranný trojúhelník má stranu a = 8,4 cm. Vypočítejte výšku trojúhelníku a jeho obvod i obsah.
18. Rovnostranný trojúhelník má výšku va = 15 dm. Vypočítejte délku strany trojúhelníku a jeho obvod i obsah.
19. Vypočítejte délku kanalizačního potrubí, které ve směru úhlopříčky spojuje dva rohy obdélníkového nádvoří
s rozměry 45 m a 26 m.
20. Při průzkumném vrtu upevnili vrtnou věž vysokou 22,5 m lany tak, že jejich konce byly přivázány k zemi ve
vzdálenosti 7,2 m od paty věže. Jak dlouhá byla lana?
21. Vypočítejte výšku štítu domu. Štít má tvar rovnoramenného trojúhelníku se základnou 8,4 m a s rameny délek
6,5 m.
22. Z kmene stromu byl vytesán trám obdélníkového průřezu o rozměrech 50 mm a 120 mm. Jaký nejmenší
průměr musel mít kmen?
23. Ocelový komín vysoký 27 m je ve dvou třetinách své výšky upoután 4 stejně dlouhými ocelovými lany, jejichž
konce jsou upevněny ve vzdálenosti 13 m od paty komína. Kolik metrů lana je třeba na upoutání komína,
jestliže zakotvení si vyžádalo navíc 5 % jeho délky?
24. Kosočtverec ABCD má stranu a = 20 cm, úhlopříčku f = BD = 24 cm. Vypočtěte délku úhlopříčky e =AC.
[
36°55´ 2) 𝛽 = 55°55´ 𝛾 = 68°10´ 3)𝛼 = 𝛽 = 82°20´ 4)142, 142, 190𝑚 5) 94,5𝑐𝑚2 ; 331𝑑𝑚2 6) 14,4𝑚2
7) 27,5𝑐𝑚 8) 𝑎)𝑎𝑛𝑜 𝑏)𝑎𝑛𝑜 𝑐)𝑛𝑒 9) 6,9𝑐𝑚 10) 12,8𝑑𝑚 11) 𝑎) 𝑣 = 8𝑐𝑚 𝑏) 𝑚 = 10𝑐𝑚 𝑐) 𝑘 = 9𝑐𝑚 12) 16𝑐𝑚
13) 120𝑐𝑚2 14) 3,84𝑐𝑚2 ; 9,6𝑐𝑚 15) 8,64𝑐𝑚2 ; 14,4𝑐𝑚 16) 520𝑚 17) 7,75𝑚 18) 15,3𝑐𝑚2 ; 25,2𝑐𝑚
]
19) ≅ 130𝑑𝑚2 ; ≅ 52𝑑𝑚 20) 52𝑚 21) 23,6𝑚 22) ≅ 5𝑚 23) 13𝑐𝑚 24) 93,25𝑚 25) 32𝑐𝑚
Goniometrické
protilehlá odvěsna
funkce 𝐬𝐢𝐧 α =
přepona
sinus udává poměr protilehlé odvěsny
ku přeponě
𝐜𝐨𝐬 α =
přilehlá odvěsna
přepona
kosinus udává poměr přilehlé odvěsny
ku přeponě
𝐭𝐠 α =
protilehlá odvěsna
přilehlá odvěsna
protilehlá
odvěsna
Pravoúhlý trojúhelník
přilehlá
odvěsna
𝜶
tangens udává poměr protilehlé odvěsny ku přilehlé odvěsně
str. 27
Trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku
1. Vypočítejte délku přepony v trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je dáno:
a) 𝛼 = 45°, a = 9 dm
b) 𝛼= 15°, b = 35 mm
[12,7 dm; 36 mm]
2. V pravoúhlém trojúhelníku ABC známe velikost ostrého úhlu a délku přepony c. Vypočítejte délky jeho
odvěsen. a) = 35°, c = 8 cm
b) 𝜶 = 70°, c = 6 m
[a) a = 6,6 cm; b = 4,6cm b) a = 5,6 m; b = 2,1m]
3. Rovnoramenný trojúhelník má výšku 10 cm a úhel u základny je 65°. Vypočítejte obvod trojúhelníku.
[31,3 cm]
4. Rovnoramenný trojúhelník má rameno dlouhé 8 cm a úhel u základny je 30°. Vypočítejte obvod a obsah
trojúhelníku.
[S≅ 27,7 𝑐𝑚2]
5. Rovnoramenný trojúhelník má základnu dlouhou 12 cm a úhel, který svírají ramena je 50°. Vypočítejte
obvod trojúhelníku.
[40,4 𝑐𝑚 77,4 𝑐𝑚2 ]
6. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky:
a) 2 m, 6 m
b) 6 cm, 0,8 dm
c) 185 mm, 32,4 cm
[18°26´ 71°34´]
[36°52´ 53°8´]
[29°43´ 60°17´]
7. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů pravoúhlého trojúhelníku, je-li dána délka přepony a jedné odvěsny
a) 12 cm, 13 cm
b) 24 dm, 2,5 m
c) 8,5 dm, 57 cm
[67°22´ 22°38´]
[73°44´ 16°16´]
[42° 48°]
8. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů pravoúhlého trojúhelníku, mají-li jeho strany délky:
a) 12 cm, 16 cm, 20 cm
[36°52´ 53°8´]
b) 25 dm, 6 m, 650 cm
[22°37´ 67°23´]
9. Jak velký úhel svírá v obdélníku strana a = 13 cm s úhlopříčkou u = 15,5 cm?
[33°]
10. Určete velikost úhlu při základně rovnoramenného trojúhelníku, má-li trojúhelník strany
a = 24 cm, b = c = 18 cm.
[48°11´]
11. Jak vysoký je komín, vidíme-li jeho vrchol ze vzdálenosti 60 m pod úhlem 40°?
[50 m]
12. Dvojitý žebřík má každé rameno 4 m dlouhé. Určete velikost úhlu rozevření žebříku, jestliže jeho spodní
konce jsou od sebe 2,2 m. Do jaké výšky žebřík dosahuje?
[32°, 3,8 m]
13. Lanová dráha rovnoměrně stoupá. Úhel stoupání je 25°. Výškový rozdíl mezi oběma koncovými stanicemi
je 300 metrů. Vypočítejte délku lanové dráhy.
[710 m]
14. Určete obsah obdélníku, je–li délka úhlopříčky u = 36 cm a úhel úhlopříček je 26°30´.
[a = asi 35 cm, b = asi 8,3 cm, S = asi 290,5 cm2]
15. Určete vzdálenost dvou rovnoběžných tětiv délek 6 cm a 10 cm v dané kružnici k(S, r = 6cm).
[v1 = 1,88 cm, v2 = 8,512 cm]
[b = 12,8 cm, 51°20´, 38°39´]
16. Řešte pravoúhlý Δ ABC, jestliže úhel ABC = 90°, c = 10 cm, a = 8 cm.
17. Výška schodiště z jednoho patra do druhého je 3,27 m , sklon schodiště je 25°, šířka 1 schodu je 0,27 m,
určete počet schodů tohoto schodiště.
[asi 28 schodů]
18. Schodiště s 50 schody má výšku 9 m a sklon 24°. Vypočtěte výšku a šířku jednoho schodu.
[v =18 cm, š = 40 cm]
19. Důlní chodba má délku 25 m, výškový rozdíl mezi oběma jejími konci 5,3 m. Vypočtěte její sklon. [12°14´]
20. Silnice stoupá rovnoměrně o 12 m na 1000 m. Vypočtěte úhel jejího stoupání. [0°41´]
21. Vypočtěte výškový rozdíl dvou stanic lanovky, jestliže její stoupání je 67 0/00 a délka jednoduchého lana je
930 m.
[62,2 m]
Pravoúhlý trojúhelník
Euklidovy věty
věta pro výšku:
𝑣𝑐2 = 𝑐𝑎 . 𝑐𝑏
věta pro odvěsnu:
𝑎2 = 𝑐. 𝑐𝑎
věta pro odvěsnu: 𝑏
2
= 𝑐. 𝑐𝑏
str. 28
Euklidovy věty
Pří k la d y 1 – 6 : V yp o č ítej te d é l k y v šec h s t r a n, v ý š k u v c , ús e k y na p řep o n ě, p o k ud nej so u zad á n y.
1. Pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem u vrcholu C má odvěsnu a = 12 cm, vc = 60 mm.
{b = 7 cm, c = 13,9 cm, ca = 10,4 cm , cb = 3,5 cm}
2. Pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C, má úhel α = 35° a úsek přepony ca = 6 cm.
{a = 10,5 cm, b = 15 cm, c = 18,3 cm vc = 8,6 cm , cb = 3,5 cm}
3. Pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem u vrcholu C má odvěsnu b = 10 cm, vc = 70 mm.
{a = 9,8 cm, c = 14 cm, ca = 6,9 cm , cb = 7,1 cm}
4. Pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C, má úhel β = 22° a úsek přepony cb = 5 cm.
{a = 34 cm, c = 35,6 cm, ca = 30,6 cm, b = 13,4 cm}
5. Pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem u vrcholu C má odvěsnu a = 25 cm, vc = 7 cm.
{b = 7,2 cm, c = 26 cm, ca = 24 cm , cb = 2 cm}
6. Pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C, má úhel α = 25° a úsek přepony ca = 14 cm.
{a = 33,1 cm, b = 71 cm, c = 78,2 cm, ca = 14 cm , cb = 64,2 cm}
7. Vypočtěte délku tětivy v kružnici k(S; 5,5 cm), je-li vzdálenost středu S od tětivy rovna v = 2,3 cm.
{t = 10 cm}
8. Jak velké úseky vytíná výška va na přeponě a v pravoúhlém troj. ABC, je-li přepona a = 20 cm, va = 8 cm.
{16 cm, 4 cm}
9. V následujících příkladech vypočítejte délky všech stran trojúhelníků.
str. 29
Tabulka hodnot goniometrických funkcí
SIN
COS
TG
COTG
0 °
0
1
0
x
1 ° 0,0175 0,9998 0,0175 57,290
2 ° 0,0349 0,9994 0,0349 28,636
3 ° 0,0523 0,9986 0,0524 19,081
4 ° 0,0698 0,9976 0,0699 14,300
5 ° 0,0872 0,9962 0,0875 11,430
6 ° 0,1045 0,9945 0,1051 9,5144
7 ° 0,1219 0,9925 0,1228 8,1443
8 ° 0,1392 0,9903 0,1405 7,1154
9 ° 0,1564 0,9877 0,1584 6,3138
10 ° 0,1736 0,9848 0,1763 5,6713
11 ° 0,1908 0,9816 0,1944 5,1446
12 ° 0,2079 0,9781 0,2126 4,7046
13 ° 0,2250 0,9744 0,2309 4,3315
14 ° 0,2419 0,9703 0,2493 4,0108
15 ° 0,2588 0,9659 0,2679 3,7321
16 ° 0,2756 0,9613 0,2867 3,4874
17 ° 0,2924 0,9563 0,3057 3,2709
18 ° 0,3090 0,9511 0,3249 3,0777
19 ° 0,3256 0,9455 0,3443 2,9042
20 ° 0,3420 0,9397 0,3640 2,7475
21 ° 0,3584 0,9336 0,3839 2,6051
22 ° 0,3746 0,9272 0,4040 2,4751
23 ° 0,3907 0,9205 0,4245 2,3559
24 ° 0,4067 0,9135 0,4452 2,2460
25 ° 0,4226 0,9063 0,4663 2,1445
26 ° 0,4384 0,8988 0,4877 2,0503
27 ° 0,4540 0,8910 0,5095 1,9626
28 ° 0,4695 0,8829 0,5317 1,8807
29 ° 0,4848 0,8746 0,5543 1,8040
30 ° 0,5000 0,8660 0,5774 1,7321
31 ° 0,5150 0,8572 0,6009 1,6643
32 ° 0,5299 0,8480 0,6249 1,6003
33 ° 0,5446 0,8387 0,6494 1,5399
34 ° 0,5592 0,8290 0,6745 1,4826
35 ° 0,5736 0,8192 0,7002 1,4281
36 ° 0,5878 0,8090 0,7265 1,3764
37 ° 0,6018 0,7986 0,7536 1,3270
38 ° 0,6157 0,7880 0,7813 1,2799
39 ° 0,6293 0,7771 0,8098 1,2349
40 ° 0,6428 0,7660 0,8391 1,1918
41 ° 0,6561 0,7547 0,8693 1,1504
42 ° 0,6691 0,7431 0,9004 1,1106
43 ° 0,6820 0,7314 0,9325 1,0724
44 ° 0,6947 0,7193 0,9657 1,0355
45 ° 0,7071 0,7071
1
1
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
180
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
SIN
COS
TG
COTG
0,7193
0,6947
1,0355
0,9657
0,7314
0,6820
1,0724
0,9325
0,7431
0,6691
1,1106
0,9004
0,7547
0,6561
1,1504
0,8693
0,7660
0,6428
1,1918
0,8391
0,7771
0,6293
1,2349
0,8098
0,7880
0,6157
1,2799
0,7813
0,7986
0,6018
1,3270
0,7536
0,8090
0,5878
1,3764
0,7265
0,8192
0,5736
1,4281
0,7002
0,8290
0,5592
1,4826
0,6745
0,8387
0,5446
1,5399
0,6494
0,8480
0,5299
1,6003
0,6249
0,8572
0,5150
1,6643
0,6009
0,8660
0,5000
1,7321
0,5774
0,8746
0,4848
1,8040
0,5543
0,8829
0,4695
1,8807
0,5317
0,8910
0,4540
1,9626
0,5095
0,8988
0,4384
2,0503
0,4877
0,9063
0,4226
2,1445
0,4663
0,9135
0,4067
2,2460
0,4452
0,9205
0,3907
2,3559
0,4245
0,9272
0,3746
2,4751
0,4040
0,9336
0,3584
2,6051
0,3839
0,9397
0,3420
2,7475
0,3640
0,9455
0,3256
2,9042
0,3443
0,9511
0,3090
3,0777
0,3249
0,9563
0,2924
3,2709
0,3057
0,9613
0,2756
3,4874
0,2867
0,9659
0,2588
3,7321
0,2679
0,9703
0,2419
4,0108
0,2493
0,9744
0,2250
4,3315
0,2309
0,9781
0,2079
4,7046
0,2126
0,9816
0,1908
5,1446
0,1944
0,9848
0,1736
5,6713
0,1763
0,9877
0,1564
6,3138
0,1584
0,9903
0,1392
7,1154
0,1405
0,9925
0,1219
8,1443
0,1228
0,9945
0,1045
9,5144
0,1051
0,9962
0,0872
11,430
0,0875
0,9976
0,0698
14,300
0,0699
0,9986
0,0523
19,081
0,0524
0,9994
0,0349
28,636
0,0349
0,9998
0,0175
57,290
0,0175
1
0
x
0
0
–1
0
x
str. 30
Obecný
trojúhelník
Sinová věta
𝑎
sin 𝛼
𝑎
sin 𝛼
𝑏
sin 𝛽
=
=
=
Kosinová věta
𝑏
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2. 𝑏. 𝑐. cos 𝛼
sin 𝛽
𝑐
𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2. 𝑎. 𝑐. cos 𝛽
sin 𝛾
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2. 𝑎. 𝑏. cos 𝛾
𝑐
sin 𝛾
Řešení obecného trojúhelníku
U všech příkladů : náčrt, obecné řešení, výpočet.
1. V Δ ABC známe velikost strany a = 40 cm a vnitřní úhly o velikosti = 64°, = 56°. Určete velikost
zbývajících stran b, c a velikost úhlu .
{b = asi 41,5 cm, c = asi 38,3 cm, = 60°}
2. V Δ ABC je dáno: a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm. Vypočtěte vnitřní úhly Δ .
{= 53°, = 60°, = 67°}
3. Cíl C je pozorován ze dvou pozorovatelen A, B, které jsou od sebe vzdáleny 975 m, přitom úhel BAC = 63°,
úhel ABC = 48°. Vypočtěte vzdálenost AC. {776 m }
4. Dvě důlní štoly vycházejí ze stejného místa P v šachtě a svírají úhel o velikosti 50°. Délky štol jsou:
PQ = 400 m, PR = 800 m. Vypočtěte délku spojovací štoly QR. {623 m }
5. Tři kružnice o průměrech 6 cm, 10 cm, 14 cm se navzájem dotýkají vně. Určete všechny úhly, které svírají
středné. (Spojnice středů kružnic.) {83°, 56°, 41°}
6. V následujících příkladech vypočtěte všechny neznámé strany a úhly.
str. 31
Rovnoběžníky
Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné.
Čtverec Obvod
𝑂 = 4. 𝑎
Obsah
𝑆 = 𝑎2
Úhlopříčka
𝑢 = √2. 𝑎
𝑟1 =
Poloměr kružnice vepsané
𝑟2 =
Obdélník Obvod
Obsah
𝑆 = 𝑎. 𝑏
Úhlopříčka
𝑢 = √𝑎2 + 𝑏 2
Kosočtverec Obvod
𝑂 = 4. 𝑎
Obsah
𝑆 = 𝑎. 𝑣
Kosodélník Obvod
Obsah
𝑆=
𝑢
2
𝑢1 .𝑢2
2
𝑎+𝑐
2
𝑠= 2
Rovnoramenný Obvod
lichoběžník
Obsah
Kružnice, kruh
𝑟=
𝑂 =𝑎+𝑏+𝑐+𝑑
(𝑎+𝑐).𝑣
𝑆=
Obsah
Úsek strany 𝑎
2
𝑂 = 2. (𝑎 + 𝑏)
𝑆 = 𝑎. 𝑣𝑎
𝑆 = 𝑏. 𝑣𝑏
Obvod
Střední příčka
2
𝑎
𝑂 = 2. (𝑎 + 𝑏)
Poloměr kružnice opsané
Lichoběžník
𝑢
Poloměr kružnice opsané
𝑂 = 𝑎 + 2𝑏 + 𝑐
(𝑎+𝑐).𝑣
𝑆=
𝑎−𝑐
2
𝑒= 2
Poloměr – 𝑟
Průměr – 𝑑
Délka kružnice, obvod kruhu 𝑂 = 2. 𝜋. 𝑟 = 𝜋. 𝑑
Obsah kruhu
Délka oblouku,
kruhová výseč Délka kruhového oblouku
Obsah kruhové výseče
𝑆 = 𝜋. 𝑟 2
a=
2.𝜋.𝑟
360°
. 𝛼°
𝑆=
𝜋.𝑟 2
360°
. 𝛼°
str. 32
Mezikruží
𝑚 = 𝑟2 − 𝑟1
Šířka mezikruží
𝑆 = 𝜋. 𝑟22 − 𝜋. 𝑟12
Obsah mezikruží
Tětiva
Tětiva – 𝑡
Poloměr – 𝒓 Výška úseče – 𝒗
Vzdálenost tětivy od středu – 𝑘
𝑘=
𝑟−𝑣
Délka tětivy 𝑡 = 2. √𝑣. (2𝑟 − 𝑣)
𝑡 2
𝑟2 = 𝑘2 + ( )
2
Pravidelný
Strana n-úhelníku – 𝑎
n-úhelník Poloměr kružnice opsané – 𝑟
𝑜
Poloměr kružnice vepsané – 𝑟𝑣
Každý pravidelný n-úhelník se skládá z 𝑛
rovnoramenných trojúhelníků se základnou 𝑎 a výškou
𝑟𝑣 na stranu 𝑎.
Obvod
Obsah
𝑆=
𝑂 = 𝑛. 𝑎
𝑎.𝑟𝑣
.𝑛
2
Velikost vnitřního úhlu
𝛼 = 180° −
360°
𝑛
Součet vnitřních úhlů (𝑛 − 2). 180°
Počet úhlopříček
𝑛.(𝑛−3)
2
Obvody, obsahy rovinných útvarů
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Vypočítejte obvod a obsah obdélníku se stranou a = 17 cm, b = 32 cm. Vypočítejte délku úhlopříčky.
Vypočítejte obvod a obsah čtverce se stranou a = 6 m. Vypočítejte délku úhlopříčky.
Vypočítejte obvod obdélníku se stranou a = 25 dm, když je dáno S = 12,5 m2.
Vypočítejte obsah obdélníku se stranou a = 3,2 cm, když je dáno O = 12 cm.
Pokoj má rozměry 5 m a 3,5 m. Kolik bude stát koberec do pokoje, jestliže 1 m2 stojí 220 Kč.
Pole má tvar obdélníku s rozměry 720 m a 290 m. Na 1 m2 je třeba 18 g osiva. Kolik tun osiva
je třeba k osetí tohoto pole?
Pozemek k výstavbě nových domů má tvar obdélníku o délce 380 m a šířce 240 m. Obec se rozhodla zvětšit
tento pozemek přidáním cesty široké 5 m, která vede podél kratší strany pozemku. Jakou výměru bude mít
zvětšený pozemek?
Plechová střecha nad garáží má tvar obdélníku s rozměry 7,5 m a 4 m. Kolik kilogramů barvy se spotřebuje
na její nátěr, jestliže 1 kg barvy vystačí na natření 6 čtverečných metrů plechu?
Kolik čtvercových dlaždic se stranou délky 25 cm je třeba na vydláždění místnosti tvaru čtverce, která má
stranu dlouhou 6,75 m?
Vypočítejte obvod a obsah obdélníku KLMN se stranami k = 0,45 dm, l = 25 mm. Vypočítejte délku
úhlopříčky obdélníku.
Vypočtěte délku strany kosočtverce, jestliže úhlopříčky mají délky 126 mm a 32 mm.
str. 33
12. Dřevěnou desku tvaru rovnoběžníku se stranou 70 cm a příslušnou výškou 40 cm mají žáci v dílně rozdělit
na dvě části tvaru trojúhelníku podle úhlopříčky. Jaký obsah má každá z těchto částí?
13. *V rovnoběžníku ABCD se středem S má strana AB velikost a = 5 cm, úhel ABS je pravý a úhlopříčka BD
má velikost f = 12 cm. Proveďte náčrtek. Vypočtěte obvod. Vypočítejte velikost vnitřního úhlu
rovnoběžníku ABCD při vrcholu A. Zaokrouhlete na stupně.
1) 544 𝑐𝑚2 ; 98 𝑐𝑚; 𝑢 = 36,2 𝑐𝑚; 2) 𝑂 = 24 𝑚; 𝑢 = 8,5 𝑚; 3) 15 𝑚; 4) 8,96 𝑐𝑚2 ; 5) 3850 𝐾č; 6) 𝑎𝑠𝑖 3,8 𝑡; 7) 92 400 𝑚2 ;
[ 8) 5 𝑘𝑔; 9) 729; 10) 𝑆 = 1125 𝑚𝑚2 ; 𝑂 = 140 𝑚𝑚; 𝑢 = 51,5 𝑚𝑚; 11) 65 𝑚𝑚; 12) 1400 𝑐𝑚2 ; 13) 𝑂 = 36 𝑐𝑚; 𝛼 = 67° ]
Určete průměr kruhu, který má obsah:
a) 16 cm2
b) 28 dm2
c) 25 mm2
d) 18 m2
Vypočtěte obsah kruhu, který má obvod: a) 10 cm
b) 5 mm
c) 12,56 dm d) 31,4 m
2
2
Vypočtěte obvod kruhu, který má obsah: a) 28,26 dm b) 50,2 m
Vypočítejte průměr a obsah příčného kruhového řezu kmenem buku, jehož obvod je 314 cm.
Trojnásobek obvodu kruhu se rovná 2 km. Vypočítejte poloměr kruhu.
Představte si, že na pilovém kotouči s průměrem 42 cm je jeden zub obarven bílou barvou. Jak dlouhou dráhu
opíše hrot tohoto zubu za 1 minutu, jestliže se kotouč za tuto dobu otočí 825krát?
20. Průměr kruhu je 20 cm. Vypočti šířku mezikruží, jehož obsah je 235,5 cm2.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
[ 14) 4,5 𝑐𝑚; 6 𝑑𝑚; 5,6 𝑚𝑚; 4,8 𝑚; 15) 8𝑐𝑚2 ; 2 𝑚𝑚2 ; 12,56 𝑑𝑚2 ; 78,5 𝑚2 ; 16) 18,8 𝑑𝑚; 25,1 𝑚;
[ 17) 𝑑 = 1 𝑚; 𝑆 = 78,5 𝑑𝑚2 ; 18) 106 𝑚; 19) 𝑎𝑠𝑖 1 𝑘𝑚; 20) 5 𝑐𝑚 ]
]
21. Rovnoramenný lichoběžník má stranu a = 2 dm, b = 6 cm, c = 100 mm. Vypočítejte obsah. {49,5 cm2}
22. Rovnoramenný lichoběžník má stranu b = 10 cm, c = 6 cm. Úhel, který svírá základna s ramenem je 30°.
Vypočítejte výšku, stranu a, obsah lichoběžníku. {73,5 cm2}
23. Základny pravoúhlého lichoběžníku ABCD s pravým úhlem při vrcholu A mají délky 92 cm a 76 cm, jeho
výška se rovná 63 cm. Vypočítejte délku ramene b. {65 cm}
24. Rovnoramenný lichoběžník má stranu a = 6 dm, c = 40 cm. Úhel, který svírá základna s ramenem je 60°.
Vypočítejte obvod lichoběžníku. {14 dm}
25. Rovnoramenný lichoběžník má stranu v = 8 cm, c = 1 dm. Úhel, který svírá základna s ramenem je 45°.
Vypočítejte obsah lichoběžníku. {144 cm2}
26. Zahrada má dva protější ploty rovnoběžné o délkách 150 m a 183 m. Vzdálenost plotů je 60 m. Vypočtěte
výměru zahrady a vyjádřete ji v hektarech. {1 ha}
27. Lichoběžník ABCD má základny a, c, výšku v a obsah S. Vypočítejte výšku v, je-li dáno:
a) S = 39 dm2, a = 9 dm, c = 4 dm {6 dm}
b) S = 10 m2, a = 3 m, c = 1 m {5 m}
28. Obvod rovnoramenného lichoběžníku, jehož jedna základna má stejnou délku jako rameno, se rovná 22 m.
Druhá základna má délku 7 cm. Vypočítejte délky zbývajících stran lichoběžníku. {5 m}
29. Oplocený pozemek má tvar lichoběžníku, kde velikosti rovnoběžných stran jsou 106 m a 72 m, vzdálenost
těchto stran je 46 m a velikost úhlu mezi základnou a jedním ramenem je 57°. Vypočti obsah pozemku
v hektarech a délku plotu.
{0,4 ha, 279 m}
30. Základny rovnoramenného lichoběžníku ABCD jsou a = 15 dm, c = 11 dm, rameno b = 4 dm. Vypočtěte
jeho vnitřní úhly. {60° 60° 120° 120°}
31. V obdélníku ABCD je dáno: a = AB = 8 cm, b = BC = 6 cm vypočti vzdálenost vrcholu B od úhlopříčky
u = AC.
{4,8 cm}
2
32. Do čtverce je vepsán kruh. Obsah kruhu je 12,56 cm . Vypočítejte obvod a obsah tohoto čtverce. {16 cm, 16cm2}
33. Do kruhu je vepsán čtverec. Obsah čtverce je 225 cm2. Vypočítejte obvod a obsah kruhu. {67cm, 353 cm2}
34. Do kruhu je vepsán obdélník se stranou a = 16 cm. Obsah kruhu je 314 cm2. Vypočítejte obvod a obsah
obdélníku. {56 cm, 192 cm2}
35. Do čtverce je vepsán kruh, obvod čtverce je 12 dm. Vypočítejte obvod a obsah kruhu. {94,2 cm, 706,5 cm2}
36. Do kruhu je vepsán čtverec. Obvod kruhu je 62,8 cm. Vypočítejte obvod a obsah čtverce. {56,4 cm, 200cm2}
37. Do kruhu je vepsán obdélník se stranou b = 10 cm. Obvod obdélníku je 30 cm. Vypočítejte obvod kruhu.
{35cm}
str. 34
38.
{14,25 cm2}
Mnohoúhelníky
Postup: vypočteme obsah a obvod 1 trojúhelníku a násobíme počtem trojúhelníků (1. až 3. př.) (využití Pythagorovy věty, goniometrických funkcí
ostrého úhlu, obvody, obsahy rovinných obrazců). Proveďte náčrt.
1. Strana pravidelného pětiúhelníku je 14 cm. Vypočítejte
obvod a obsah.
{70 cm, 336 cm2}
2. Poloměr kružnice opsané r = 12 cm. Vypočítejte obvod a obsah
pravidelného šestiúhelníku.
{72 cm, 374,4 cm2}
3. Poloměr kružnice vepsané = 10 cm.
Vypočítejte obvod a obsah
pravidelného osmiúhelníku
{66 cm, 332 cm2}
str. 35
Stereometrie
Tělesa
Označení
Krychle
Objem tělesa – 𝑽
Povrch tělesa – 𝑺
Úhlopříčka stěnová či tělesová – 𝒖
Obsah podstavy – 𝑺𝒑 Obsah pláště – 𝑺𝒑𝒍
Poloměr podstavy – 𝒓
Výška tělesa – 𝒗
Boční strana kužele a komolého kužele – 𝒔
𝑆𝑝𝑙 = 4. 𝑎2
𝑆 = 6. 𝑎2
𝑉 = 𝑎3
𝑢1 = √2. 𝑎
𝑢 = √3. 𝑎
Hranol
𝑆 = 2. (𝑎. 𝑏 + 𝑏. 𝑐 + 𝑎. 𝑐)
čtyřboký,
kvádr 𝑉 = 𝑎. 𝑏. 𝑐
𝑆𝑝𝑙 = 4 obdélníky
u
𝑆𝑝 = 2 čtverce či obdélníky
𝑢 = √𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2
Kolmý hranol
𝑆 = 2. 𝑆𝑝 + 𝑆𝑝𝑙
𝑉 = 𝑆𝑝 . 𝑣
𝑆𝑝𝑙 = obdélníky
𝑆𝑝 = vzorec podle tvaru podstavy
str. 36
Hranol, kvádr, krychle
1. Kvádr, jehož hrany mají délky 8 m, 9 m, má stejný objem jako krychle, jejíž hrana má délku 6 m.
Vypočítejte třetí rozměr kvádru.
2. Jaký je povrch krychle v m2, je-li její objem:
a) 512 cm3 b) 8 m3
3. Jaký je objem krychle v m3, je-li její povrch:
a) 54 dm2
b) 13,50 m2
4. Jakou hmotnost má závaží tvaru krychle, je-li vyrobeno z oceli o hustotě 7800 kg . m–3 a délka jeho hrany je
5 cm?
5. Trám ze smrkového dřeva má tvar kvádru s rozměry 5 m, 3 dm a 2 dm. 1 dm3 smrkového dřeva má hmotnost
0,5 kg. Vypočítejte hmotnost trámu.
6. Plavecký bazén je dlouhý 33 m, široký 12 m a hluboký 2 m. V naplněném bazénu je hloubka vody 1,8 m.
Vypočítejte kolik hektolitrů vody je v plném bazénu, kolik čtverečných metrů dlaždic je potřeba na obložení
dna a stěn bazénu.
7. Vodojem má tvar kvádru, jehož spodní stěna je čtverec. Délka strany čtverce je 2,5 m. Ve vodojemu
je 25 m3 vody. Do jaké výšky sahá voda?
8. Tabule okenního skla má rozměry 2 m, 2 m a 5 mm. 1 dm3 skla má hmotnost 2,5 kg. Vypočítejte hmotnost
jedné skleněné tabule.
9. V bazénu tvaru kvádru je 1 500 hl vody. Určete rozměry dna, je-li hloubka vody 250 cm a jeden rozměr dna
je o 4 m větší než druhý.
10. Kolik hl vody se vejde do nádrže tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu s podstavnou hranou 60 m a výškou
1,8 m. Kolik m2 plechu se spotřebuje na tuto nádrž, počítáme–li 18% na spoje.
11. Pokoj má rozměry 6 m, 4,5 m a výšku 3 m. Kolik bude stát barva jestliže stěny a strop natíráme dvakrát
a 1 kg barvy stojí 50 Kč a vystačí na 20 m2 nátěru?
12. Jímka na plyn má tvar hranolu se čtvercovou podstavou. Výška jímky je 18 m, dno má stranu 6,5 m.
Vypočítejte kolik m3 plynu se vejde do jímky. Vypočítejte spotřebu barvy, jestliže se na natření vnějších i
vnitřních stěn jímky spotřebuje na 11 m2 plochy 1 plechovka barvy.
13. Kolik litrů vody je v akváriu tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu o vnitřních rozměrech
9
a = 0,5 m, v = 40 cm, je-li naplněno do 10 svého celkového objemu?
1) 3 𝑚; 2. 𝑎) 384 𝑐𝑚2 𝑏) 24 𝑚2 3. 𝑎) 27𝑑𝑚3 𝑏) 3,375 𝑚2 4) 975𝑔 5) 150 𝑘𝑔 6) 7128 ℎ𝑙; 576 𝑚2 7) 4 𝑚 8) 50 𝑘𝑔
{
}
9) 6𝑚, 10𝑚 10) 64 800 ℎ𝑙; 4355 𝑚2 11) 450 𝑘č 12) 760,5 𝑚3 ; 100 𝑝𝑙𝑒𝑐ℎ𝑜𝑣𝑒𝑘 13) 90 𝑙
14. Vypočítejte povrch a objem hranolu o výšce v = 5 dm s podstavou ve tvaru kosočtverce se stranou a = 8,5 cm
a výškou kosočtverce v = 5 cm.
15. Vypočítejte povrch a objem hranolu o výšce 1 m s podstavou ve tvaru rovnostranného trojúhelníku se stranou
a = 0,5 m.
16. Vypočítejte povrch hranolu o výšce v = 1 dm s podstavou ve tvaru rovnoramenného trojúhelníku se stranami
a = b = 45 mm, c = 75 mm.
17. Vypočítejte povrch a objem pravidelného trojbokého hranolu, jehož podstavná hrana a tělesová výška mají
délku 15 cm.
18. Trojboký hranol, jehož podstavou je pravoúhlý trojúhelník s přeponou o délce 1,3 m a odvěsnou dlouhou
50 cm, má objem 120 dm3. Vypočítejte výšku tohoto hranolu a jeho povrch.
19. Vypočtěte obsah pláště a objem trojbokého hranolu o výšce 0,5 m, je-li jeho podstava pravoúhlý trojúhelník
s odvěsnou délky 1,6 dm a přeponou délky 20 cm.
20. Skleněný pravidelný trojboký hranol má hmotnost 129,9 g. Jak vysoký je hranol, je–li délka hrany podstavy
2 cm a hustota skla je 2,5 g/cm3? (29,9 cm)
21. Přivaděč vody do nádrže má průřez tvaru rovnoramenného lichoběžníku o délkách základen 0,6 m a 0,9 m
a hloubka přivaděče je 0,4 m. Kolik vody se jím při plné průtočnosti přivede za 1 minutu, teče-li voda
rychlostí 1,6 m/s ?
str. 37
Válec
𝑆𝑝 = 𝜋. 𝑟 2
𝑆𝑝𝑙 = 2. 𝜋. 𝑟. 𝑣
𝑆 = 2. 𝑆𝑝 + 𝑆𝑝𝑙
𝑉 = 𝑆𝑝 . 𝑣 = 𝜋. 𝑟 2 . 𝑣
Válec
1. Vypočítejte výšku válce, jehož objem V = 9,42 l , r = 10 cm.
2. Do naplněného sudu se vejde 500 litrů vody a má průměr 45 cm. Jakou má výšku?
3. Sud má tvar válce a výšku 1,2 m, průměr sudu je 60 cm. Plníme ho půllitrovou lahví až po okraj. Kolikrát
budeme muset takovou láhev vylít do sudu než bude plný po okraj ?
4. Nádoba tvaru válce s průměrem dna 1,8 m obsahuje 22 hektolitrů vody. Do jaké výšky sahá voda?
5. Bazén má kruhovité dno s průměrem 6 m. Jak je hluboký jestliže se plnil po okraj 25 hodin a voda přitékala
rychlostí 1130 litrů za hodinu?
6. Ze sudu tvaru válce vytéká dírkou voda rychlostí 3 cl za sekundu. Za kolik hodin se plný sud vyprázdní, jestliže
má výšku 1,5 m a průměr 1 m.
7. Varný kotel tvaru válce má průměr podstavy 80 cm a hloubku 70 cm. Vypočítejte kolik litrů polévky se v něm
dá uvařit pokud je naplněn 15 cm pod okraj.
8. Vejde se do hrnečku tvaru válce s průměrem dna 8,5 cm a výškou 9 cm půl litru mléka?
9. Vypočtěte přibližnou hmotnost zlaté olympijské medaile, má-li průměr 6 cm a průměrnou tloušťku 3 mm.
Hustota zlata je 19 290 kg/m3.
10. Jakou hmotnost má 1 000 m měděného drátu o průměru 5 mm, je-li hustota mědi 8,8 g/cm3?
11. Kolik hl vody se vejde do válce, jehož plášť rozvinutý do roviny má tvar čtverce. Obsah pláště je 81dm2.
(0,6 hl)
12. Vypočtěte rozměry válcové nádoby o objemu 5 l, je-li její výška rovna čtyřnásobku poloměru podstavy.
5
13. Kolik litrů vody je v nádobě tvaru válce, jejíž průměr je 28 cm a výška 60 cm, sahá-li voda do 6 výšky?
(30,8 l)
Jehlan
𝑆 = 𝑆𝑝 + 𝑆𝑝𝑙
𝑆𝑝𝑙 = trojúhelníky
𝑆𝑝 = vzorec podle tvaru podstavy
1
𝑉 = 𝑆𝑝 . 𝑣
3
Pravidelný
jehlan
𝑆 = 𝑆𝑝 + 𝑆𝑝𝑙
𝑆𝑝𝑙 = 4 rovnoramenné trojúhelníky
𝑎. 𝑣𝑎
𝑆𝑝𝑙 = 4.
= 2. 𝑎. 𝑣𝑎
2
𝑣𝑎
𝑆𝑝 = 𝑎2
1
𝑉 = 𝑆𝑝 . 𝑣
3
str. 38
Komolý
jehlan
𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆𝑝𝑙
𝑆𝑝𝑙 = rovnoramenné lichoběžníky
𝑉=
Kužel
(rotační)
𝑣
. (𝑆 + √𝑆1 . 𝑆2 + 𝑆2 )
3 1
𝑆𝑝 = 𝜋. 𝑟 2
𝑆𝑝𝑙 = 𝜋. 𝑟. 𝑠
𝑆 = 𝑆𝑝 + 𝑆𝑝𝑙
1
1
𝑉 = 𝑆𝑝 . 𝑣 = 𝜋. 𝑟 2 . 𝑣
3
3
Komolý
kužel
(rotační)
𝑆1 = 𝜋. 𝑟12
𝑆2 = 𝜋. 𝑟22
𝑆𝑝𝑙 = 𝜋. (𝑟1 + 𝑟2 ). 𝑠
𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆𝑝𝑙
𝑉=
𝑣
. (𝑆 + √𝑆1 . 𝑆2 + 𝑆2 )
3 1
Jehlan, kužel
1. Pravidelný čtyřboký jehlan má objem 212 cm3 a podstavnou hranu a = 7,2 cm. Vypočtěte jeho povrch.
(v =12,3 cm, S = 236,16 cm2)
2. Vypočtěte objem a povrch pravidelného šestibokého jehlanu o podstavné hraně a = 1,8 m
a tělesové výšce v = 2,4 m. (V = 6,7392 m3, S = 23,9 m2 )
3. Vypočtěte objem a povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu , je-li stěnová výška vs = 12 cm a svírá s rovinou
podstavy úhel 60°. (a = 12 cm, vt = 10,4 cm, V = 499,2 cm3, S=432 cm2)
4. Kolik m2 plechu je třeba na pokrytí věže tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li podstavná hrana 10 m,
odchylka boční stěny od roviny podstavy je 68° a počítá-li se s odpadem 10%. (vs= 13,3 m, S = 292,6 m2)
5. Věž tvaru kužele má obvod podstavy 9,42 m a výšku 2 m. Kolik m2 plechu je třeba na pokrytí věže. (11,8 m2)
6. Strana kužele svírá s rovinou podstavy úhel 60°. Vypočti objem kužele, je-li jeho povrch 50 cm2.
(r = 2,3 cm, v = 4 cm, V = 22,2 cm3)
7. Vypočti objem a povrch kužele, je–li úhel při vrcholu 64°20´ a průměr podstavy d = 24 cm.
(v = 19,08 cm, s = 22,5 cm, V = 2878,8 cm3 , S = 1300,6 cm2 )
8. Objem kužele je 1 000 cm3, obsah osového řezu je 100 cm2. Vypočti povrch kužele.
(r = 9,55 cm, s = 14,2 cm, S=712,6 cm2 )
str. 39
Komolý jehlan, komolý kužel
– vzorce v příloze – náčrt, obecné řešení, výpočet
1. V pravidelném čtyřbokém komolém jehlanu jsou dány podstavné hrany : a1 = 20 cm, a2 = 8 cm a tělesová
výška v = 17 cm. Vypočti objem a povrch. (V = 3536 cm3 , S = 1473,68 cm2)
2. Vypočtěte objem a povrch pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu, jsou–li délky podstavných hran
10 cm a 5 cm. Plášť má obsah 540 cm2. (V=1038,3 cm3 , S=665 cm2)
3. Povrch komolého kužele je S = 7697 m2, průměry podstav jsou 56 m a 42 m. Určete jeho výšku a objem.
(v = 24 m, V = 45565,7 m3)
4. Kolik plechu bude zapotřebí na otevřenou nádobu tvaru komolého kužele, jsou–li průměry podstav 30 cm
a 18 cm, výška je 15 cm a počítá se 5% na odpad. (S = asi 1549 cm2)
5. Nádoba z plechu ve tvaru pravidelného komolého jehlanu má horní hranu 22 cm, dolní hranu 10 cm a výšku
8 cm. Vypočítejte hmotnost nádoby, když 1 m2 má hmotnost 13 kg.
(96,2 g)
6. Jakou výšku má těleso tvaru rotačního komolého kužele, jsou-li poloměry podstav 4 m a 3 m, objem
465 m3? (12 m)
7. Povrch rotačního komolého kužele je S = 7 697 m2, průměry podstav jsou 56 m a 42 m. Určete výšku
kužele. (24 m)
8. Budova má tvar komolého jehlanu s podstavou čtverce. Je vysoká 80 m. U země má šířku 100 m. Sklon zdí
se zemí je 70°. Na střeše bude podlaha z mramorových desek o rozměrech 50 x 50 cm. Kolik mramorových
desek bude zapotřebí? (7 056)
9. Mrakodrap má tvar kom. kužele. Dolní průměr je 60 m, horní 20 m. Obsah pláště je 12 811 m2. Vypočítejte
kolik podlaží má budova, když jedno podlaží má výšku 3,7 m. (27 podl.)
10. Jak dlouho se vypouští bazén ve tvaru komolého kužele hluboký 2 m? Průměr bazénu na hladině je 10 m,
průměr dna je 8 m. Voda vytéká rychlostí 15 litrů za sekundu. Kolik bude stát nátěr dna a stěn bazénu, když
nátěr 1 m2 stojí 55 kč? (2 h 21 min, 6 245 kč)
Koule
𝑆 = 4. 𝜋. 𝑟 2 = 𝜋. 𝑑2
4. 𝜋. 𝑟 3
𝑉=
3
Vrchlík,
kulová
úseč
𝑆 = 2. 𝜋. 𝑟. 𝑣
Kulový
pás,
kulová
vrstva
𝑆 = 2. 𝜋. 𝑟. 𝑣
𝜋. 𝑣. (3𝜌2 + 𝑣 2 )
𝑉=
6
𝜋. 𝑣. (3𝜌12 + 3𝜌22 + 𝑣 2 )
𝑉=
6
𝜌1 – horní poloměr kulové vrstvy
𝜌2 – dolní poloměr kulové vrstvy
str. 40
Koule
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Vypočítejte objem a povrch koule o poloměru 3 cm.
Vypočítejte povrch a objem polokoule o průměru 20 cm.
Koule má objem 5 litrů. Vypočítejte její průměr.
Jaký objem má koule o povrchu 10 m2.
V lehké atletice při vrhu koulí používají muži kouli o hmotnosti 7,5 kg a ženy 5 kg. Hustota oceli je
7800 kg/m3. O kolik mm je průměr koule pro muže větší než průměr koule pro ženy? (asi 15,4 mm)
Objem duté koule je 3 432 cm3. Jaký je její vnitřní průměr, když tloušťka stěny je 3 cm?
(8 cm)
str. 41
Funkce
Definice Na množině čísel 𝐷 je definovaná funkce, je-li dán předpis, podle kterého je
funkce každému x náležícímu do množiny D přiřazeno právě jedno číslo y.
Značíme: 𝒚 = 𝒇(𝒙)
Proměnná 𝒙 se označuje jako argument funkce (nezávisle proměnná).
Proměnná 𝒚 je funkční hodnota (závisle proměnná). 𝐷(𝑓) nazýváme definičním
oborem funkce. Pokud není při zadání funkce uveden definiční obor, pak se za definiční
obor obvykle považuje množina všech reálných čísel, pro něž má funkce smysl. Množinu
𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)
všech čísel 𝑦 nazýváme oborem hodnot dané funkce 𝐻(𝑓).
𝑦 ∈ 𝐻(𝑓)
Zadání funkce
1. Analyticky – rovnicí: 𝑦 = 𝑓(𝑥)
2. Tabulkou – výčtem hodnot.
3. Graficky – křivkou, přímkou, body – v pravoúhlé soustavě souřadnic – 𝑂𝑥𝑦
Body funkce zapisujeme [𝑥; 𝑦]
Parita funkce V matematice se některé funkce označují jako sudé, některé jako liché funkce. Takové
funkce vykazují jisté druhy symetrie. Tato symetrie se nazývá parita funkce. Existuje
však mnoho funkcí, které nejsou ani liché, ani sudé.
Sudá funkce Funkce f(x) je sudá funkce, pokud pro všechna x, pro která
je f(x) definováno, je definováno i f(−x) a platí 𝒇(𝒙) = 𝒇(−𝒙)
To právě znamená, že graf sudé funkce je osově souměrný podle osy y.
Mezi sudé funkce patří všechny mocninné funkce se sudým
mocnitelem a také y = cos x.
Lichá funkce Funkce f(x) je lichá funkce, pokud pro všechna x, pro která
je f(x) definováno, je definováno i f(−x) a platí 𝒇(−𝒙) = − 𝒇(𝒙)
To právě znamená, že graf liché funkce je středově
souměrný podle počátku soustavy souřadnic. Mezi liché funkce patří
všechny mocninné funkce s lichým mocnitelem, také sin x, tg x, cotg x.
Monotonie Monotonie je vlastnost, označující, zda je funkce v bodě či na
daném intervalu monotónní, tzn. zda je konstantní, rostoucí, klesající, příp. nerostoucí,
či neklesající.
Tato vlastnost bývá někdy označována jako monotónnost.
Funkce je definována v intervalu 𝐼, pokud pro všechna 𝑥1 < 𝑥2 z tohoto intervalu platí:
𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ) je funkce rostoucí,
𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ) je funkce klesající,
𝑓(𝑥1 ) ≥ 𝑓(𝑥2 ) je funkce nerostoucí,
𝑓(𝑥1 ) ≤ 𝑓(𝑥2 ) je funkce neklesající.
Periodická V matematice je periodickou funkcí taková, která opakuje své hodnoty po určité
funkce konečné periodě její proměnné 𝒙.
Pro funkce to znamená, že celý graf lze vytvořit pomocí kopírování určité části
opakované v pravidelných intervalech. Přesněji řekneme, že funkce f je periodická s
periodou t, jestliže
𝑓(𝑥 + 𝑡) = 𝑓(𝑥)
Pravoúhlý systém souřadnic Oxy
1. Narýsujte souřadnicový systém Oxy a pak body A[–1; 2]
B[2; –1]
2. Rozhodněte, ve kterém kvadrantu se nachází body A[0,2; 2 ]
{𝑘𝑣𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑦: 𝐴: 1. , 𝐵: 3. , 𝐶: 4. , 𝐷: 2. }
C[0; –3]
B[–1; –5]
D[–1,5; 0]
C[2; –1]
D[–2; 3]
str. 42
Funkce, definiční obor, obor hodnot,
graf funkce
1. Určete, které z bodů A, B, C, D jsou body funkce:
a) y
x2 4
x2
A[–2; –1]
B[7; 3]
C[–1; 1]
D[3; 5 ]
b) y
x 2 10
2x 3
A[0; 3 ]
B[4; 1,2 ]
C[1; 3]
D[2; 6 ]
c) y
x2 2
x2
A[–2; 1,5]
B[5; 3]
C[1; 3 ]
D[3; 11 ]
A[0; 2 ]
B[–1; 0]
C[2; 0]
D[–2; 3]
A[0; –6]
B[–2; 9]
C[2; –3]
D[4; 0]
B[–3; 0]
C[5; 0]
D[4; –1]
d) y x 2 x 2
3 x 12
e) y
2
f) y x 2 x 15
A[0; –15]
2. Určete obor hodnot H(f) funkce
2
a) y x 2 , je-li D( f ) 1; 2
b) y
5x 3
, je-li D( f ) 1;2
2
3x 2
, je-li D( f ) 2;4
4
U všech funkcí zjistěte funkční hodnotu v bodě f (–1) a f (1)
2x 4
a) y
f (1) 0,4 / f (1) 1,2
5
c) y
3.
2
b) y 2.( x 5) 8
c) y
3
2x 1
f (1) 1/ f (1) 3
2
d) y ( x 3) 4
e) y
f)
f (1) 64 / f (1) 24
27
2
( x 2) 3
y ( x 2)3 1
g) y ( x 1) 9
2
1
1
x4
1
y
( x 2) 2
f (1) 0 / f (1) 12
f (1) 3 / f (1) 29
f (1) 2 / f (1) 28
f (1) 5 / f (1) 9
h) y
f (1) 0 / f (1) 0
i)
1
f (1) / f (1) 1
9
j)
y
3
2
x2
f (1) 5 / f (1) 1
str. 43
4. Zjisti, zda u všech zadaných funkcí patří číslo 10 do oboru hodnot. 10 H ( f ) nebo 10 H ( f )
Definiční obor u všech funkcí : D(f) 2;
x3
10 H ( f )
a) y
2
2x 4
10 H ( f )
b) y
5
2
c) y 2.( x 5) 8
d) y
3
2x 1
2
e) y ( x 3) 6
f)
y
128
8
( x 2) 3
3
g) y ( x 1) 2
2
h) y ( x 1) 9
i)
j)
11
1
x4
1
y
9
( x 1) 2
y
10 H ( f )
10 H ( f )
10 H ( f )
10 H ( f )
10 H ( f )
10 H ( f )
10 H ( f )
10 H ( f )
3
10 H ( f )
2
x2
Zjisti souřadnice průsečíků grafu funkce s osami x a y.
x3
a) y
X 3;0, Y 0;1,5
2
k) y
5.
b) y
2x 4
5
4
X 2;0, Y 0;
5
2
c) y 2.( x 5) 8
d) y
2
1
x 1
2
e) y ( x 3) 4
f)
y
16
2
( x 2)3
X13;0, X 2 7;0, Y 0;42
X 1;0, Y 0;1
X1 5;0, X 2 1;0, Y 0;5
X 4;0, Y 0;4
3
g) y ( x 2) 1
X 1;0, Y 0;7
h) y ( x 1) 9
X1 2;0, X 2 4;0, Y 0;8
2
i)
y
1
1
( x 1) 4
X1 2;0, X 2 0;0, Y 0;0
j)
y
1
( x 2) 2
1
X není ,Y 0;
4
4
2
x2
X 0;0, Y 0;0
k) y
str. 44
6. Určete D(f) – definiční obor funkce: Nutno znát řešení lineárních nerovnic v podílovém a součinovém tvaru, řešení kvadratických nerovnic!!!
x6
a) y
[D(f) = R\4]
6 x 24
1
b) y 2
[D(f) = R\3, –8]
x 5 x 24
c) y 8 x 40
[D(f) = ⟨5; ∞)]
1
d) y 2
[D(f) = R\ –9, 1]
x 8x 9
e) y 7 x
[D(f) = (−∞; 7⟩]
1
x 1
5
g) y
x2
f) y
Konstantní
funkce
[D(f) = (–,1) ]
[D(f) = (2; ∞)]
𝒚=𝒃
𝐷(𝑓) = 𝑅, 𝐻(𝑓) = 𝑏
Funkce, jejíž hodnota je na celém oboru hodnot stejná,
tedy konstantní.
b – je libovolné reálné číslo. Konstantní funkce není ani
rostoucí, ani klesající. Konstantní funkce je sudá.
Konstantní funkce je omezená shora i zdola.
Grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou x.
Lineární 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃
funkce 𝐷(𝑓) = 𝑅
𝐻(𝑓) = 𝑅
Lineární funkce je rostoucí pro 𝑎 > 0 a klesající pro 𝑎 <
0.
Lineární funkce není ani sudá, ani lichá.
Lineární funkce není omezená ani shora, ani zdola.
Grafem lineární funkce je přímka.
Přímá
úměrnost
Zvláštní případ lineární funkce.
𝒚 = 𝒌𝒙
k je koeficient přímé úměrnosti či konstanta úměrnosti.
Lineární funkce
1. Funkce f je dána rovnici 4x – 2y + 10 = 0
a) převeďte rovnici funkce f na tvar: y = ax + b
b) vypočítejte hodnoty funkce f v bodech 2; 0 a –1
c) doplňte následující tabulku :
x
y
3
0,5
7
1
d) Vypočítejte souřadnice průsečíku grafu funkce f se souřadnicovými osami (pokud existují)
e) Sestrojte graf funkce f
f) Určete pro která x R má funkce f nezáporné hodnoty.
2. Přiřaďte každému bodu správnou variantu odpovědi.
str. 45
A[–2;–1]
B[–2;0]
C[2;1]
D[0;–1]
E[2;–1]
F[–2;1]
1.
2.
3.
4.
5.
6.
leží v I. kvadrantu
leží v II. kvadrantu
leží v III. kvadrantu
leží v IV. kvadrantu
leží na ose x
leží na ose y
A
B
C
D
E
F
3. Funkce je určena rovnicí y = – 2x + 3.
1
Vypočtěte funkční hodnoty f(0); f(1); f(3); f(10); f(–1); f(–3); f(–12); f(− 2); f(–1,5); f(0,5).
4. Určete koeficienty a, b a zapište názvy funkcí určených rovnicemi, uveďte, zda je funkce určená danou
rovnicí rostoucí, klesající nebo konstantní:
a) y = 3x + 5
b) y = 0,5x
c) y = –2
d) y = 1 – 3x
e) y = 6x – 1
f) y = –3x + 2
g) y = –0,5x
h) y = 5
i) y =
2
x+1
3
5. Rovnice funkcí převeďte na tvar y = ax + b, zapište koeficienty a, b:
a) 2x + y = 0
b) x – y = 0
c) y – x + 5 = 0
y
–1=0
3
4
g) y – 5 = 0
3
d)
e) –3x + y = 1
3
h) 5 + 4 y =0
f) 6x + 4y = 12
i) y + 2 = 3x
6. Sestrojte grafy funkcí určených rovnicemi:
a) y = x
b) y = – x
c) y = x + 1
d) y = x – 1
e) y = – x + 1
f) y = – x – 1
7. Sestrojte grafy funkcí nebo jejich částí pro uvedené definiční obory. K danému definičnímu oboru určete
měřením v grafu obor hodnot funkce H(f). Uveďte, zda je funkce rostoucí, klesající nebo konstantní. Funkce
jsou určeny rovnicí:
a) 𝑦 = −𝑥 ; 𝐷(𝑓) = (−∞; 0〉
b) 𝑦 = 𝑥 + 2 ; 𝐷(𝑓) = 𝑅
𝑥
c) 𝑦 = 2 ; 𝐷(𝑓) = (0; 4〉
d) 𝑦 = 3 − 𝑥 ; 𝐷(𝑓) = 〈−3; 1)
8. Sestrojte grafy funkcí nebo jejich částí pro uvedené definiční obory. K danému definičnímu oboru určete
měřením v grafu obor hodnot funkce H(f). Uveďte, zda je funkce rostoucí, klesající nebo konstantní.
Funkce jsou určeny rovnicemi:
a) y = 3x – 1 D( f ) 5;5
b) y = – 2x + 2 D( f ) 3;
2x 1
D( f ) ; 3
c) y 5 x 10 D( f ) 1;4
d) y
2
x3
e) y
f) y 1,5 x D ( f ) R
D( f ) R
4
9. Zjistěte výpočtem, jaká je vzájemná poloha bodů a grafů funkcí určených rovnicemi, (zda bod je bodem
3 x
funkce):
A3; 0
B–3; 1
C6; –0,5
y
4
10. Zjistěte výpočtem, jaká je vzájemná poloha bodů a grafů funkcí určených rovnicemi, (zda bod je bodem
x
funkce):
A10; 6
B2; 2
C0,5; 3,5
y 1
2
11. Zjistěte výpočtem, jaká je vzájemná poloha bodů a grafů funkcí určených rovnicemi, (zda bod je bodem
funkce):
𝑦 = 4𝑥 − 5 A[0; 3]
B[1; –1]
C[–2; –13]
D[–3; 17]
12. Zjistěte výpočtem, jaká je vzájemná poloha bodů a grafů funkcí určených rovnicemi, (zda bod je bodem
funkce):
y = 0,5x + 1 A[2; 3]
B[–2; 7]
C[0; 1]
13. Zjistěte výpočtem, jaká je vzájemná poloha bodů a grafů funkcí určených rovnicemi, (zda bod je bodem
funkce):
y = – x + 3 A[–1; 7]
B[–2; 7]
C[1; 4]
14. V rovnici funkce určete:
a) číslo a tak, aby bod M 1, –1 ležel na grafu funkce určené rovnicí y = ax + 4
𝟑𝒙
b) číslo b tak, aby graf funkce určené rovnicí 𝒚 = 𝟐 + 𝒃 procházel bodem P–4, 2.
str. 46
15. Funkce je určena rovnicí y = ax + 6. Vypočtěte číslo a tak, aby graf funkce procházel daným bodem:
a) G 5; 11 b) H –25; 9 c) J 0,5; –5 d) M 2; 0
16. Bod A [1; 5] je bodem funkce y = ax + 4. Vypočítejte koeficient a.
17. Bod Z [2; 5] je bodem funkce y = 3x + b. Vypočítejte koeficient b.
18. Bod X [4; 7] je bodem funkce y = ax – 3. Vypočítejte koeficient a.
19. Bod M [8; 12] je bodem funkce y = ax + 4. Vypočítejte koeficient a.
20. Bod A [–1; 5] je bodem funkce y = – 3x + b. Vypočítejte koeficient b.
21. Zjisti rovnici lineární funkce, která je zadána dvěma body A[2; 3], B[–2; 4]
22. Zjisti rovnici lineární funkce, která je zadána dvěma body X[0; 8], Y[–4; 0]
23. Zjisti rovnici lineární funkce, která je zadána dvěma body M[5; 5], N[1; 1]
24. Vyjádřete následující závislosti jako funkce a zapište je rovnicí funkce:
a) Závislost obvodu čtverce na délce jeho strany.
b) Závislost délky drátu na teplotě, jestliže se drát o délce 120 m při ohřátí o 1 °C prodlouží o 0,014 m.
c) Závislost stavu krmiva na čase, jestliže se ze zásoby 10 tun denně zkrmí 280 kg.
d) Závislost ujeté dráhy vlaku na čase, jestliže při výjezdu ze stanice měl již za sebou ujetých 60 km a dále
jel průměrnou rychlostí 30 km/h.
27. V zemědělském závodě je zásoba 2 000 litrů nafty. Denně se z ní pro provoz vozidel spotřebuje 150 litrů.
Zapište rovnicí závislost stavu zásoby nafty na počtu dní. Sestrojte graf této závislosti. Z grafu určete:
Na kolik dnů nafta vystačí? Jaká bude zásoba po osmi dnech? Kolikátý den musí být objednána nová nafta,
objednává-li se při poklesu zásoby na čtvrtinu původního množství?
28. Průměrná spotřeba Škoda Felície je 7 litrů benzinu na 100 kilometrů. Před cestou má řidič v nádrži 38 litrů.
a) Sestavte rovnici závislosti množství benzinu v nádrži (v litrech) na počtu ujetých kilometrů.
b) Po kolika ujetých kilometrech zbývá řidiči v nádrži ještě 5 litrů?
Kvadratická
funkce
𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 − 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑦, 𝑎 ≠ 0
𝒂>𝟎
𝐷(𝑓) = 𝑅
Kvadratická funkce je sudá.
Kvadratická funkce je pro 𝑎 > 0 omezená zdola.
Kvadratická funkce je pro 𝑎 < 0 omezená shora.
Grafem kvadratické funkce je parabola.
Nepřímá
úměrnost
𝒚=
𝒌
𝒙
𝒂<𝟎
𝒌>𝟎
𝑘 ∈ 𝑅 − koeficient funkce, 𝑘 ≠ 0
𝐷(𝑓) = 𝑅\{0} (všechna čísla kromě nuly).
Funkce je lichá.
Grafem funkce je hyperbola, která má dvě větve.
𝒌<𝟎
Pro 𝑘 > 0 leží větve hyperboly v I. a III. kvadrantu
a je klesající.
Pro 𝑘 < 0 leží větve hyperboly v II. a IV. kvadrantu
a je rostoucí.
str. 47
Kvadratická funkce, nepřímá úměrnost
1. Stanovte průsečíky grafu funkce s osami x, y
2
2
a) y 2 x 9 x 5
b) y 2 x 19 x 10
2
c) y 10 x 7 x 3
2
d) y 5 x 9 x 2
e) y x 3x 2
f) y x x 30
2
2
2. Zjistěte průsečíky grafu funkce s osami x, y, pak upravte rovnici kvadratické funkce tak, abyste určili
souřadnice vrcholu. Poté graf funkce načrtněte.
a) y = x2 – 10x + 28
b) y = x2 – 8x + 18
2
c) y = x + 6x + 5
d) y = x2 + 14x + 44
e) y = x2 – 4x + 3
f) y = x2 + 8x + 12
3. Načrtni graf funkce a u všech funkcí zjisti funkční hodnotu f(2) a průsečík s osou y
y ( x 1) 2 2
y ( x 5) 1 2
y
1
x2
y
1
1
x
4. Načrtni graf funkce a u všech funkcí zjisti funkční hodnotu f(1) a průsečík s osou y
1
1
y ( x 2) 2 4
y ( x 4) 2 3
y
y
1
x5
x 3
5. Načrtni graf funkce a u všech funkcí zjisti funkční hodnotu f(–1) a průsečík s osou y
1
1
y ( x 2) 2 1
y ( x 1) 2 2
y
y
2
x 1
x2
6. Načrtni graf funkce a u všech funkcí zjisti funkční hodnotu f(–3) a průsečík s osou y
1
1
y ( x 2)5
y ( x 1) 2 1
y 3
y
x
( x 1) 2
7. Vypočítejte souřadnice průsečíků kvadratické a lineární funkce:
{A[4; 3] B[2; −1] }
a) 𝑓1 : 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 𝑎 𝑓2 : 𝑦 = 2𝑥 − 5
2
{A[1; 0] B[−5; 12] }
b) 𝑓1 : 𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 − 3 𝑎 𝑓2 : 𝑦 = −2𝑥 + 2
2
{A[2; 0] B[0,25; −3,5] }
c) 𝑓1 : 𝑦 = 8𝑥 − 16𝑥 𝑎 𝑓2 : 𝑦 = 2𝑥 − 4
2
{A[−3; 12] B[1; 0] }
d) 𝑓1 : 𝑦 = 𝑥 − 𝑥 𝑎 𝑓2 : 𝑦 = 3 − 3𝑥
2
{A[−2; 3] B[1; 0] }
e) 𝑓1 : 𝑦 = 𝑥 − 1 𝑎 𝑓2 : 𝑦 = −𝑥 + 1
{A[1; 1] B[−1; −1] }
f) 𝑓1 : 𝑦 = −𝑥 2 + 2 𝑎 𝑓2 : 𝑦 = 𝑥
Exponenciální
funkce
𝒚 = 𝒂𝒙
𝑎 ∈ 𝑅 − koeficient, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ {0; 1}
𝐷(𝑓) = 𝑅
𝐻(𝑓) = (0; ∞)
Exponenciální funkce není ani sudá ani lichá a je
zdola omezená. Prochází vždy bodem
[0; 1], protože 𝑎0 = 1
Funkce je pro 𝑎 ∈ (1; ∞) rostoucí.
Funkce je pro 𝑎 ∈ (0; 1) klesající.
𝑎∈
(1; ∞)
𝑎∈
(0; 1)
Grafem funkce je exponenciála.
str. 48
Exponenciální funkce
1. Na základě náčrtku grafu exponenciální funkce rozhodni o pravdivosti tvrzení
a) 0,5–2 >1 {ano}
b) 50,25 <1 {ne}
c) 0,60,3 <1 {ano}
d) 3,5–0,5 >1 {ne}
6 , 24
6 , 24
3
7
e) >1 {ne}
f)
>1 {ne}
7
3
2. Využijte vlastností exp. fce a porovnejte exponenty p a r – načrtněte graf
p
2 2
a)
[pr]
b)
13 13
3. Pro která a je exp. funkce rostoucí?
1,5p
r
1,5r
c) 0,12p 0,12r
[pr]
[pr]
1
3a 1
y
{ a ; }
2
3
4. Pro která a je exp. funkce klesající?
x
6a
y
5
x
{ a 6;1 }
5. Řešte exponenciální rovnice, proveďte zkoušku
1 1
1
(3 x ) 3 .
7 x. .49 x 1
3 27
7
1
8 x. .64 x 1
8
1
(2 x ) 4 .0,25
2
(4 x ) 2 .0,25 16
6. Řeš exponenciální rovnice,
a) 2x+2 – 2x = 24
c) 121x = 22 + 9.11x
e) 32x+1 – 3. 3x+2 = 3x – 9
g) 25x = 0,2 – 4. 5x–1
25.5 x.
1
2 x. .4 x 1
8
1
1
53
1
25
(5 x ) 3 .0,2
proveďte zkoušku (použijte substituci např.: 2x = y)
[x = 3]
b)
52x – 3.5x = 10
[x = 1]
d)
2x+3 – 112 = 2x
[x1 = –1, x2 = 2]
f)
4x + 7. 2x–2 = 0,5
[x = –1]
[x = 1]
[x = 4]
[x = –2]
Logaritmická 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 – čteme logaritmus 𝒙 při základu 𝒂.
funkce 𝑎 ∈ 𝑅 − koeficient, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ {0; 1}
𝑎∈
(1; ∞)
𝐷(𝑓) = (0; ∞)
𝐻(𝑓) = 𝑅
Tato funkce je INVERZNÍ k exponenciální funkci,
pokud zaměníme x za y a dostáváme definici
logaritmu.
𝑎∈
(0; 1)
Logaritmus je exponent, na který musíme umocnit
základ, abychom získali argument x.
Funkce je pro 𝑎 ∈ (1; ∞) rostoucí.
Funkce je pro 𝑎 ∈ (0; 1) klesající.
Dekadický
logaritmus
Funkce dekadický logaritmus → logaritmus při základu 10.
Dekadický logaritmus značíme: log 𝑥.
Zápis log10 𝑥 se pro dekadický logaritmus neužívá.
100 000 10 000
x
5
4
log x
1 000
3
100
2
10
1
1
0
0,1
-1
0,01
-2
0,001
-3
str. 49
Věty o 𝐥𝐨𝐠 𝒂 (𝒙. 𝒚) = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 + 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒚
logaritmech
𝒙
𝐥𝐨𝐠 𝒂 ( ) = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 − 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒚
𝒚
Výpočet nedekadického
logaritmu pomocí
dekadických logaritmů
log 𝑥
log 𝑎 𝑥 =
log 𝑎
𝒏
𝐥𝐨𝐠 𝒂 (𝒙) = 𝐧. 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙
Některé vztahy vyplývající z definice logaritmu:
𝑎0 = 1 → log 𝑎 1 = 0
log 𝑎 𝑎 𝑥 = 𝑥
𝑎1 = 𝑎 → log 𝑎 𝑎 = 1
Logaritmická funkce
1. Určete logaritmus
1
6 36
a) log 1
c) log 7 1
b) log 12 144
d) log 12
1
12
f) log 49 7
e) log 1 125
5
[ a) 2 b) 2 c) 0 d) –1 e) –3 f) 0,5 ]
2. Určete logaritmus
a) log 100 log 4 16 [4]
b) log 9 81 log 2 16 [6]
d) log 12 144 log 3 27 [–1]
g) 5 log 7
e) 2 log 0,01 log 8
c) log 10000 log 5 25 [2]
1
[–6]
64
f) log 5
1
1
3 log 1
[12]
125
32
2
1
3 log 1 25 [–11]
7
5
3. Určete číslo x, y, a (definice logaritmu)
b) log 2 x 3
c) log a
f) log a 8 3
g) log11 11 = y
h) log x = –3
k) log a 8 2
l) log
3
x2
d) log 3 x 1
1
4
16
a) log5 x = 2
m) log 3 x
e)
1
y
100
10
i) log 1
1
2
log a
j) log a
n)
1
2
16
log a
1
1
1
1
1
1
=0,125 c) =0,5 d)
e) 10 f)
g)
h)
i) 2 j) 4 k)
8
2
3
2
2
1000
4. Určete definiční obor logaritmické funkce:
x
2x
a) y = log
[ D( f ) ;0 ]
b) y = log
5
5
4
4
c) y = log
[ D( f ) 1; ]
d) y = log (2 x)
x 1
3 2x
3 5
2x 3
e) y = log
[ D( f ) ( , ) ]
f) y = log
2x 5
2 2
5
x
2
g) y = log
[ D( f ) ;0 1; ] h) y log x 2 x 1
x 1
5. Načrtni graf log. funkce, zjisti zda body A, B, C leží na grafu funkce
[ a) 25 b)
1
3
1000
1
2
25
1
8 l) 3 m)
n) 5 ]
3
[ D( f ) 0; ]
[ D( f ) R ]
[ D( f ) 1,5; ]
[ D( f ) R ]
a) y log 3 x 2
A[1; –2]
B[9; 0]
C[27; 2]
{,,}
b) y log 2 ( x 2)
A[1; –2]
B[4; 1]
C[10; 3]
{,,}
c) y log 4 ( x 12) 1
d) y log( 2 x 10) 3
A[-20; 2]
A[45; –1]
B[4; 1]
B[0; –2]
C[52; 2]
C[–4,5; –3]
{,,}
{,,}
str. 50
6. Zjisti průsečíky logaritmické funkce s osami x, y
{ X[3; 0]
Y[neex.] }
a) y log 3 x 1
b) y log 2 ( x 8)
{ X[–7; 0]
Y[0; 3] }
{ X[–2; 0]
Y[0; 1] }
c) y log 2 ( x 4) 1
7. Na základě grafu log. funkce rozhodni o pravdivosti tvrzení
a) log2 7 log2 6
{ano} b) log0,5 3 log0,5 4 {ne} c) log0,2 0,75 0
{ne}
d) log5 8 log5 14 {ano} e) log3 1,1 0
{ano}
8. Na základě grafu log. funkce zapiš vztah pro proměnné x , y
a) log4 x log4 y
b) log0,3 x log0,3 y {x y}
c) log x log y
{x y}
9. Určete logaritmus výrazu (zlogaritmujte)
2a
a) 3xy
[ log 3 log x log y ]
b)
[ log 2 log a log b ]
b
3
a4
a4
4
1
c)
[ 4 log a 3 log b ]
d)
[ log a log x ]
3
b
3
2
x
e)
.c 3 .x
{x y}
1
2
[ log 3 log c log x log 5 log 6 ]
5. 6
10. Odlogaritmujte:
a)
log a 5 log x log 7
a.x 5
[ log
]
7
b)
1
log 7 3 log x 2 log y log 5 log z
2
7 x3 y 2
[ log
]
5 z
c)
3
1
log 8 9 log 8 x log 8 6 log 8 y log 8 z
5
3
3
5
[ log 8 54. x ]
y.3 z
11. Vypočítejte (nejprve odlogaritmujte, použijte věty o logaritmech)
a) log 6 4 log 6 9 [2]
b) log 2 40 log 2 5 [3]
d) log 3 54 log 3 2 log 3 4 [3]
f) log 5 2 log 5 500 log 5 8 [3]
12. Vyřešte rovnice:
a) 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔5 4 = 1
[x = 20]
c) 𝑙𝑜𝑔3 2 + 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = 2
e) 𝑙𝑜𝑔8 𝑥 − 5 = 𝑙𝑜𝑔1 8
[x = 4,5]
[x = 64]
2
e) log 2 6 log 2 12 [–1]
c) log 40 log 25
[3]
f) log 2 25 log 2 100 [–2]
5
9
1
3 log 1 log 1
3 9
3 5
3 5
g) 2 log 1
b) 𝑙𝑜𝑔7 𝑥 − 4 = 𝑙𝑜𝑔1 16
[–2]
[x = 49]
4
d) 𝑙𝑜𝑔2 10 − 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = −2 [x = 40]
1
f) 𝑙𝑜𝑔𝑥 − 3 = 𝑙𝑜𝑔 10 [x = 100]
str. 51
GONIOMETRICKÉ FUNKCE
Jednotková V pravoúhlé soustavě souřadnic narýsujeme kružnici o poloměru 1. Rovina je
kružnice, poloosami rozdělena na 4 kvadranty číslované v kladném směru (proti směru
kvadranty hodinových ručiček).
Oblouková míra, 1 radián je středový úhel, který přísluší oblouku o stejné
radián délce, jako je poloměr kružnice. Je to jednotkový úhel při
měření v obloukové míře.
Převod mezi mírou stupňovou a obloukovou
𝝎 je velikost úhlu v radiánech a 𝜶 ve stupních
Plný úhel má 2π radiánů – to je 360 stupňů.
180.𝜔
𝛼.𝜋
𝛼=
𝜔=
𝜋
180
1 (𝑟𝑎𝑑) =
180.1
3,14
≈ 57°
1° =
𝜋
180
(𝑟𝑎𝑑)
Funkce
sinus
Sinus se definuje na jednotkové kružnici (kružnici se
středem v počátku a s poloměrem 1): Je-li α úhel,
který má počáteční rameno v kladné poloose x,
je sin α roven y-ové souřadnici průsečíku této
kružnice s koncovým ramenem úhlu α, jinak řečeno,
rovná se délce kolmice spuštěné z tohoto bodu na
osu x.
Grafem sinu v reálném oboru je sinusoida.
Funkce je lichá 𝒔𝒊𝒏(– 𝒙) = – 𝒔𝒊𝒏 𝒙
Funkce je periodická s periodou 360° (2𝜋).
𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑘. 360°) = sin 𝑥
str. 52
Funkce
kosinus
Kosinus se definuje na jednotkové kružnici (kružnici se
středem v počátku a s poloměrem 1): Je-li α úhel, který
má počáteční rameno v kladné poloose x ,
je cos α roven x-ové souřadnici průsečíku této kružnice s
koncovým ramenem úhlu α. Grafem sinu v reálném
oboru je sinusoida posunutá po ose x o 90°.
Funkce je sudá 𝒄𝒐𝒔(– 𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝒙
Funkce je periodická s periodou 360° (2𝜋).
𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑘. 360°) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
Funkce
tangens
𝒚 = 𝒕𝒈 𝒙 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙
𝑫(𝒇) = 𝑹 − {𝟗𝟎° + 𝒌. 𝟏𝟖𝟎°} pro úhly 90°, 270°, … není funkce definována
𝑯(𝒇) = (−∞; ∞)
V celém definičním oboru je funkce tangens rostoucí. Grafem je tangentoida.
Funkce je lichá: 𝒕𝒈(– 𝒙) = −𝒕𝒈 𝒙
Funkce je periodická s periodou 180° (𝜋).
𝑡𝑔(𝑥 + 𝑘. 180°) = 𝑡𝑔 𝑥
Funkce
kotangens
𝒚 = 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙
𝑫(𝒇) = 𝑹 − {𝒌. 𝟏𝟖𝟎°} pro úhly 0°, 180°, … není funkce definována
𝑯(𝒇) = (−∞; ∞)
V celém definičním oboru je funkce kotangens klesající. Grafem je kotangentoida.
Funkce je lichá: 𝒄𝒐𝒕𝒈(– 𝒙) = −𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙
Funkce je periodická s periodou 180° (𝜋).
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥
𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥 + 𝑘. 180°) =
𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙
𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙
𝒕𝒈 𝒙
𝒕𝒈 𝒙
str. 53
I.
II.
III.
IV.
kvadranty
(0°; 90°)
(90°; 180°)
(180°; 270°)
(270°; 360°)
sin x
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
+
+
–
+
–
–
cos x
tg x
cotg x
α=x
α = 180° – x
α = x – 180°
Hodnoty funkcí úhlu x vyjádřené pomocí hodnot úhlu α z I. kvadrantu
X
α = 360° – x
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
0
6
4
3
2
3
2
2
sin α
0
1
2
2
2
3
2
1
0
–1
0
cos α
1
3
2
2
2
1
2
0
–1
0
1
tg α
0
3
3
1
3
3
1
3
3
α
cotg α
0
0
0
0
Goniometrické funkce
1. Zjistěte z tabulek bez použití kalkulátorů:
sin 225° =
cos 135° =
sin (–1080°) =
cos 855° =
3
5
sin
=
cos
=
2
6
7𝜋
4𝜋
𝑠𝑖𝑛 (− 6 ) =
𝑐𝑜𝑠 (− 3 ) =
2. Vypočtěte bez použití kalkulátorů
tg 135° =
tg (–45°) =
tg =
2
9𝜋
𝑡𝑔 (− 4 ) =
sin225°.cos(–45°) .sin – sin 240°.cos135°+
6
4
cos135°.sin225° + cos210°.sin120°– cos240°. sin150°=
sin30°.cos30° –
2 sin45°+ tg(–60°) – 6cos360°=
3.(cos45°).2 – (sin60° + tg30°) – 2.cos + sin2𝜋 =
2
3. Vypočtěte bez použití kalkulátorů
tg 45°+ cotg 300°+ tg 210°+ cotg 225°+ tg 135°=
3.tg 120°+ cotg 135°– 2tg 225°+ 2cos 300°=
tg 210°. °cotg 210°– sin 240°. tg 240°=
5
3
5
7
tg cot g tg cot g tg
4
3
4
4
6
cotg 225° =
cotg (–765°) =
19
cotg
=
2
7𝜋
𝑐𝑜𝑡𝑔 (− 4 ) =
[0]
[0]
[ 3 3 7) ]
4
[
7 ]
12
[1]
[–2 – 3. 3 ]
[2,5]
[1]
str. 54
Vztahy mezi goniometrickými funkcemi
𝐬𝐢𝐧 𝜶
𝐜𝐨𝐬 𝜶
𝐜𝐨𝐬 𝜶
𝐜𝐨𝐭𝐠 𝜶 =
𝐬𝐢𝐧 𝜶
𝐭𝐠 𝜶 =
𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜶 = 𝟐. 𝐬𝐢𝐧 𝜶 . 𝐜𝐨𝐬 𝜶
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 = 𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 − 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜶
𝐭𝐠 𝜶 . 𝐜𝐨𝐭𝐠 𝜶 = 𝟏
1. Zjednodušte výrazy:
a) 1 – cos2x . tg2x =
c) (sinx – cosx )2 + 2sinx.cosx – tgx . cotg =
5 sin 2 x
e)
[–5(1+cosx)
cos x 1
cos x
g) 2tgx
cos 2 x 1 sin 2 x [2]
sin x
2. Zjednodušte výrazy:
2tgx
a)
1 tg 2 x
cot g 2 x 1
1 tg 2 x
1 tg 2 x
e)
1 tg 2 x
c)
f)
sin x sin 3 x
.tgx
cos 3 x cos x
[2sin2x]
[–1]
[sin2x]
1
sin 2 x
[cotg2x]
d) tg x. cos x 1 cos x
[2sin2x]
[cos2x]
f)
[tgx]
1 sin x cos 2 x
cos x sin 2 x
[–tgx]
k) cos x
[0]
[–1]
cot g 2 x.tgx tg 2 x
b)
=
tgx
1 cos 2 x sin 2 x
g)
1 cos 2 x sin 2 x
i)
1
cos 2 x
d) c) tg2x . cos2x + 1 – cos2x =
b) tg 2 x
[cos2x]
2
2
sin x
1 cos x
1 cos x
sin x
[
2
]
sin x
1 cos 2 x
cos 2 x
1
2 1 [tg2x]
h)
2
2
1 tg x 1 cot g x cos x
(cos x.tgx) 2 1
j)
[–1]
cos 2 x
cos 2 x sin 2 x
[–sinx]
sïnx cos x
sin 2 x
1 cos 2 x
m)
. cot gx
1 cos 2 x
sin 2 x
2
l)
1 cot g 2 x
1 tg 2 x
[cotg x]
[2]
Goniometrické rovnice
1.
sinx + 2 = 3 – sinx
2.
4tgx = tgx +
3.
–cosx – 4 = 3cosx
[180° + k.180° nebo + k. ]
4.
cos(–x) = 3cosx + 2
[135° + k.360°, 225° + k.360°]
5.
3cosx = 2sin2x
[60° + k.360°, 300° + k.360°]
6.
2sinx = 2sin2x – 3cos2x
[90° + k.360°, 217° + k.360°, 323° + k.360°]
7.
sin 2x = (sinx – cosx)2
[15° + k.360°, 75° + k.360°]
8.
tgx +
9.
2sin2 x + 7cosx –5 = 0
3
cos x
2
1 sin x
[30° + k.360°, 180° + k360°]
[
k nebo 30° + k.180°]
6
[60° + k.360°, 300° + k.360°]
[60° + k.360°, 300° + k.360°]
str. 55
2
4
2k ,
2k ]
3
3
10.
2cosx = 1+ 4cosx
[
11.
cos2x – cosx = 0
[0°, 90°, 270° + k.360°]
12.
cos2 x – 2sinx +2 = 0
[90° + k.360°]
13.
6sin2x + cosx –5 = 0
[60°, 300°, 109°, 251° + k.360°]
14.
2.sin x 2 sin x. cos x 0
[0° + k.180°, 45° + k.360°, 315° + k.360°]
15.
cos x.tgx cos x 0
[90° + k.180°, 135° + k.180°]
16.
cos 2 x 7 cos x 2 8
[180° + k.360°]
17.
sin 2 x 3 sin x 2 2
[90° + k.360°]
str. 56
Posloupnosti
1. Určete člen posloupnosti a2; a3; a10:
∞
𝑛2 −𝑛3
)
𝑛−1 𝑛=2
[–4; –9; –100]
𝑎𝑛 = (
𝑛
2. Určete první 3 členy posloupnosti: (2𝑛 + 4 )
[2,25; 4,5; 8,75]
3. Určete kolikátý člen posloupnosti má hodnotu 10.
a) (2𝑛 − 6)
b) (
𝑛2 −5
2
c) (𝑛2 − 5𝑛 + 16)
)
[a)8; b)5; c) 2; 3]
4. Vypočtěte hodnoty daných členů posloupnosti dané rekurentně:
1
a n 1 a n 2
2
a1 2
a2; a3; a4 = ?
[–3; –0,5; –1,75]
an 2an 1 1
a3 7
a1; a5 = ?
[2,5; 25]
an2 3an1 an
a3 1; a4 4
a1; a5 = ?
[20; 13]
Aritmetická
posloupnost
Vzorec pro
n-tý člen
𝒂𝒏 – n-tý člen posloupnosti
𝒂𝟏 – první člen posloupnosti
𝒂𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝒅
𝒂𝟑 = 𝒂𝟐 + 𝒅
𝒂𝟒 = 𝒂𝟑 + 𝒅
𝒂𝟓 = 𝒂𝟒 + 𝒅
𝒅 − diference, neboli rozdíl dvou po sobě jdoucích členů aritmetické posloupnosti
𝒂𝟐 − 𝒂𝟏 = 𝒅
𝒂𝒏+𝟏 − 𝒂𝒏 = 𝒅
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝒏 − 𝟏). 𝒅
𝒂𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝒅
𝒂𝟑 = 𝒂𝟏 + 𝟐𝒅
𝒂𝟒 = 𝒂𝟏 + 𝟑𝒅
𝒂𝟓 = 𝒂𝟏 + 𝟒𝒅
Vzorec pro 𝒂𝒓 = 𝒂𝒔 + (𝒓 − 𝒔). 𝒅
r-tý člen
Součet n členů 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎5 + ⋯ + 𝑎𝑛
𝑺𝒏 =
𝒏
( 𝒂 + 𝒂𝒏 )
𝟐 𝟏
Aritmetická posloupnost
1. V aritmetické posloupnosti určete prvních 5 členů je-li dáno:
a) a1 = 5 ; d = 3
[5; 8; 11; 14; 17]
b) a3 = –6 ; d = 8
[–6; 2; 10; 18; 26]
c) a2 = 1,5 ; d = –0,3
d) a4 = 5 ; a9 = 1,5
e) a7 = 2,2 ; a14 = –1,3
[1,5; 1,2; 0,9; 0,6; 0,3]
[7,1; 6,4; 5,7; 5; 4,3]
[–0,8; –0,3; 0,2; 0,7; 1,2]
2. Určete 10. člen v AP je-li dáno: a1 = –20, a20 = –67,5
3. V AP je dáno :
a) a12 = 10, d = –2
[−42,5]
určete první 4 členy [32, 30, 28, 26]
str. 57
b) a18 =4, d= –
1
5
c) a14 = 3, a23 =21
určete a8 , a33
[a33= 1
určete S15.
[S15 = –135]
a8 = 6]
4. V aritmetické posloupnosti je : a1 = 6, S10 = 195. Určete a10, d, a31
[a10 = 33, d = 3, a31 = 96]
5. V aritmetické posloupnosti je : a1 = 6, S10 = 195. Určete a10, d, a31
[a10 = 33, d = 3, a31 = 96]
6. Vypočítejte součet členů aritmetické posloupnosti, když je dáno:
a)
a4 = 2,9
a10 = 7,1
S15 = ?
[85,5]
b)
a3 = 29
a11 = 49
S5 = ?
[145]
c)
a1 = –14
a6 = –15
S10 = ?
[–149]
d)
a6 = –20
a16 = –60
S20 = ?
[–760]
7. Vypočítejte S8, když je dáno:
a)
a8 = 5,4 a4 = 2,6
(23,6)
b)
a7 = –100 a9 = –130 (–500)
8. Vypočítejte
a)
S10, když je dáno: a3 + a6 = 6
b)
c)
S11, když je dáno: a1 + a3 = 5
S5, když je dáno: a1 + a5 =30
a5 + a7 = 0
[S10 = 10]
a4 + a8 = 1
a3 + a4 =36
[S11 = 5,5]
[S5 = 75]
9. Kolik členů posloupnosti nám dá součet Sn , když známe:
a)
Sn = 28
a2 = 2
b)
Sn = 39,2
a3 = 4,5
c)
Sn = 0
a8 = 0
a5 = 32
[n = 4]
a8 = 10
[n = 7]
a10 = 1
[n = 15]
10. V AP platí: d = –12, an = 15 Určete, kolik prvních členů má součet 456.
[n=8]
247
]
6
11. Vypočtěte součet všech členů konečné AP :
2 5
2
, ,1,.......,3 .
3 6
3
12. Kolik prvních členů AP dává součet
a) 250, je-li a3 = 5, d = 1?
b) 87, je-li a5 = 22, a6 = 27
[n = 20]
[n = 6]
c) 130, je-li a1 = 4, d=2
[n = 10]
[n = 19, S19 =
13. Mezi čísla 7 a 51 vložte tolik čísel, aby vznikla AP. Součet daných a vložených čísel je 348. Určete vložená
čísla. [a1 = 7, d = 4, vložená čísla: 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47]
14. V devítičlenné aritmetické posloupnosti je prostřední člen 25 a součet dvou posledních je 85. Určete součet
všech členů posloupnosti. [225]
15. Vypočtěte součet všech sudých dvouciferných čísel. [2430]
16. Vypočtěte součet všech lichých trojciferných čísel. [247 500]
Geometrická
posloupnost
Vzorec pro
n-tý člen
𝒂𝒏 – n-tý člen posloupnosti
𝒂𝟏 – první člen posloupnosti
𝒂𝟐 = 𝒂𝟏 . 𝒒
𝒂𝟑 = 𝒂𝟐 . 𝒒
𝒂𝟒 = 𝒂𝟑 . 𝒒
𝒂𝟓 = 𝒂𝟒 . 𝒒
𝒒 – kvocient, neboli podíl dvou po sobě jdoucích členů geometrické posloupnosti
𝒂𝟐 : 𝒂 𝟏 = 𝒒
𝒂𝒏+𝟏 : 𝒂𝒏 = 𝒒
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 . 𝒒𝒏−𝟏
𝒂𝟐 = 𝒂𝟏 . 𝒒
𝒂𝟑 = 𝒂𝟏. . 𝒒𝟐
𝒂 𝟒 = 𝒂 𝟏 . 𝒒𝟑
𝒂 𝟓 = 𝒂 𝟏 . 𝒒𝟒
str. 58
Vzorec pro
r-tý člen
𝒂𝒓 = 𝒂𝒔 . 𝒒𝒓−𝒔
Součet n členů 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎5 + ⋯ + 𝑎𝑛
𝒒𝒏 − 𝟏
𝑺𝒏 = 𝒂𝟏 .
𝒒−𝟏
Geometrická posloupnost
1. V GP je dáno: a1 =16, q =
1
1
, an = . Určete n, Sn.
2
8
7
8
[n = 8, S8 = 31 ]
2. a2 = 0,3 a4 = 0,108 Vypočítejte S5
[S5 = 1,1528]
3. a2 = 1,2 a5 = 0,0096 Vypočítejte S3
[S3 = 7,44]
4. a1 = –10 a4 = 80 Vypočítejte S4
[S4 = 50]
5. Zjisti a1 a q pokud platí: 2a1 – a3 = 20
2a2 – a4 = –40
[a1 = –10 q = –2]
6. a1 = 1 a4 = 0,125 Kolik členů dává součet Sn = 1,75
[n = 3]
7. a3 = 4,5 a6 = 121,5 Kolik členů dává součet Sn = 20
[n = 4]
8. a2 = 110 a4 = 13310 Kolik členů dává součet Sn = 120
[n = 2]
9. V GP platí :
a) a1 + a2 + a3 =35
a4 + a5 + a6 = 280 Urči a1, q.
[a1 = 5, q = 2]
b) a2 – a4 = 60
a1 – a3 = 15 Určete prvních 5 členů.
[q = 4, a1 = –1, –4, –16, –64…]
c) a3 – a1 +16 = 0
a4 – a2 +48 =0 Vypočti S3.
[a1 = –2, q = 3, S3 = –26]
postup řešení: každý člen vyjádříme pomoci 1. členu a kvocientu q, řešíme pak soustavu rovnic o dvou neznámých
10. Mezi čísla
2
a 162 vložte 4 čísla tak, aby s danými tvořila po sobě jdoucí členy GP. [2, 6, 18, 54]
3
11. První člen šestičlenné GP je 5, poslední 160. Vypočtěte součet členů GP.
12. V GP je dáno: a)
a5 = 0,27, q= –
1
, určete a8 .
3
[315]
[a8 = –0,01]
b)
a4 = –16, a5 = 32, určete prvních 5 členů
[2, –4, 8, –16, 32]
c)
a1 = 6, q = 0,25, určete S4.
[S4= 255 ]
32
d)
a1 = 9, q = 0,1, určete a8, S5.
[a8 = 9.10–7, S5 = 9,9999]
e)
a2 = –12, a5 = 96, určete q, a8, S6 .
[q = 2, a8 = –768, S6 = 378]
13. GP tvoří 5 čísel předposlední člen je 5 a prostřední 10. Vypočtěte součet prvních tří členů. [70]
str. 59
Složené Na počátku úrokovacího období máme hodnotu 𝒂𝟎 .
úrokování Hodnota vzroste (nebo klesne) na konci úrokovacího období o úrok 𝒑 %.
Na konci úrokovacího období dostaneme hodnotu 𝒂𝒏 .
𝒏 – počet úrokovacích období. Úrokovacím obdobím může být rok, čtvrtletí, měsíc, …
Vzrůst
𝑝 𝑛
hodnoty
𝑎 = 𝑎 . (1 + 0,01. 𝑝)𝑛
𝑎 = 𝑎 . (1 +
)
𝑛
Pokles
hodnoty
𝑛
0
100
𝑝 𝑛
𝑎𝑛 = 𝑎0 . (1 −
)
100
0
𝑎𝑛 = 𝑎0 . (1 − 0,01. 𝑝)𝑛
Daň z úroků Při vyplácení úroků je z konečné sumy odečtena daň. Proto musíme před dosazením do
vzorce snížit úrok 𝒑 % o příslušnou část. Daň z úroků 𝒅 %.
100−𝑑
𝑝.𝑑
Výsledný úrok 𝑝´ = 𝑝. 100 = 𝑝 − 100
Užití GP, složené úrokování
1. Počet obyvatel města vzrostl za 12 let ze 75 000 na 94 800. O kolik % se průměrně zvyšoval za jeden rok?
2. Původní cena stroje byla 800 000 Kč. Jakou cenu má stroj po 20 letech při 10% amortizaci? [97 262 Kč]
3. Na účtu s 6% úrokem máme uloženo 10 000 Kč. Na účet již nebudeme nic ukládat ani vybírat.
a) Kolik Kč bude na účtu za 5 let?
[13 382Kč]
b) Za kolik let se částka 10000 Kč zdvojnásobí?
[asi 12 let]
c) Na kolik % by se musel vklad uložit, aby se zdvojnásobil za 5 let?
[p=14,87%]
4. Délky hran kvádru tvoří po sobě jdoucí členy geom. posloupnosti. Nejkratší hrana měří 2 cm. Objem kvádru
je jeden litr. Zjisti délku ostatních hran. [2, 10, 50]
5. Na VŠ se hlásí 1920 uchazečů. Přijímací řízení se koná v několika kolech tak, že do dalšího kola postupuje
vždy polovina uchazečů. Kolik musí škola uskutečnit kol, aby přijala pouze 30 uchazečů? [6]
6. Za kolik hodin se bakterie množící se dělením rozmnožily z 5 000 na 1 280 000. Počet bakterií se
zdvojnásobí za hodinu. [8]
7. Ve vesnici se za dva roky zvýšil počet obyvatel ze 100 na 121. Jaký byl průměrný procentuální roční
přírůstek? [10 %]
8. Roční úrok je 4 %. Úrokovací období jsou 3 měsíce. Za kolik let se nám vklad zdvojnásobí? [20,5 let]
9. Plat se zvýšil z 10 000 Kč na 13 400 za 6 let. Jaký byl roční % nárůst?
10. Za kolik let se Janovi zvýšil vklad z 250 000 Kč na 388 000 Kč, když roční úrok byl 3,5 % a zúročovaní
období bylo 1 rok?
11. Za kolik let vzrostla cena tuny obilí z 3 000 Kč na 5 125 Kč, když bereme roční nárůst 5,5 %? [10 let]
12. Jaký byl roční úrok v bance, když za 3 roky jsme uspořili ze 50 000 Kč na 56 650 Kč? [5 %]
str. 60
Kombinatorika – počítáme pouze s přirozenými čísly
Základní
kombinatoric
ké pravidlo
součinu
Počet všech možností jak zkombinovat uspořádané
dvojice, jejichž první člen lze vybrat 𝒏𝟏 způsoby, druhý člen po
výběru prvního členu 𝒏𝟐 způsoby.
Celkový počet takových dvojic: 𝑵 = 𝒏𝟏 . 𝒏𝟐
n
n!
0
1
1
1
Obecně platí pro uspořádané 𝑘– 𝑡𝑖𝑐𝑒.
2
2
𝑵 = 𝒏 𝟏 . 𝒏𝟐 . 𝒏𝟑 . 𝒏𝟒 . … . 𝒏𝒌
3
6
4
24
5
120
6
720
7
5 040
8
40 320
Faktoriál Faktoriál čísla 𝒏 je číslo, rovné součinu všech přirozených čísel
menších a rovných 𝒏. Značení 𝒏! Vyslovujeme jako
„n faktoriál“.
𝒏! = 𝑛. (𝑛 − 1). (𝑛 − 2). (𝑛 − 3). … . 2 . 1
Permutace Záleží na pořadí prvků.
Počet uspořádaných n-tic z n prvků.
𝑃(𝑛) = 𝑛!
Variace Záleží na pořadí prvků.
Variace k-té třídy z n prvků je každá uspořádaná k-tice vytvořená z celkového
počtu n prvků, přičemž při výběru záleží na pořadí jednotlivých prvků. Rozlišujeme
variace s opakováním a bez opakování.
Variace bez Počet k-tic vytvořených z celkového počtu n prvků. 𝒌 < 𝒏
opakování
𝑛!
𝑉 (𝑘, 𝑛) =
(𝑛 − 𝑘)!
Variace Počet k-tic vytvořených z celkového počtu n prvků. 𝒌 > 𝒏 nebo 𝒌 < 𝒏
s opakováním 𝑉´(𝑘, 𝑛) = 𝑛𝑘
Kombinace Kombinace se od variací liší tím, že nezáleží na pořadí vybraných prvků.
bez opakování k-členná kombinace z n prvků je neuspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak,
že každý se v ní vyskytuje nejvýše jednou.
𝐾 (𝑘, 𝑛) =
𝑛!
𝑘! (𝑛 − 𝑘)!
Kombinační Kombinační číslo je symbol, který označuje počet k-členných kombinací z n prvků.
číslo Symbol (𝑛) čteme "n nad k".
(𝑛𝑘) = 𝐾 (𝑘, 𝑛)
𝑘
Vlastnosti (𝑛) = ( 𝑛 )
(𝑛0) = (𝑛𝑛) = 1
(𝑛1) = 𝑛
𝑘
𝑛−𝑘
kombinačních
čísel
Pascalův
trojůhelník
str. 61
Permutace
1. Zjednodušte:
n 2! 2 n 1! n!
n 3! (n 1) ! n !
a)
b)
n 1! n 2!
n!
(n 2) ! (n 2) ! (n 1) !
n!
(n 2) ! 2.(n 1) !
(k 6) !
c)
d)
(n 2) !
n!
(n 1) !
(k 8) !(k 2 49)
( x 1) ! ( x 2) ! x.( x 2) !
( p 1) ! ( p 5) ! ( p 5) !
e)
f)
( x 2) !
x!
( x 1) !
( p 1) ! ( p 4) ! ( p 7) !
2. Vyřešte rovnice:
(n 2)!
( x 6) ! 2
(n 1)!
2
x 16 x 28 [x = 2]
5
a)
b)
c)
( x 4) !
n!
(n 4)!
n!
( n 2) !
90
n 2 3n 2 [n = 5] e)
d)
[n = 10]
n!
(n 2)!
3. Kolika způsoby můžeme v knihovně seřadit 12 knih vedle sebe?
4. Kolik je pěticiferných čísel vytvořených z čísel 0, 1, 2, 3, 4 ?
5. Kolik různých přirozených trojciferných čísel větších než 30 lze sestavit z číslic 2, 4, 6 tak, aby se žádná
číslice neopakovala? [4]
6. Kolik čtyřciferných přirozených čísel větších než 1 500 lze zapsat číslicemi 0, 1, 2, 3, jestliže se v čísle
žádná číslice neopakuje? [12]
7. Kolik různých šesticiferných čísel lze zapsat číslicemi 0, 2, 3, 5, 7, 9, nemá–li se žádná číslice opakovat.
[600]
8. Vypočtěte
a) V(3,8) – P(4)=
[312]
b) 6V(2,10)– P(4) =
[516]
c) 2P(3) – 3V(3,4) – P(2) =
[–62]
9. Zvětší–li se počet prvků o 2 , zvětší se počet permutací 110krát. Určete počet prvků. Proveď zkoušku. [9]
10. Zvětší–li se počet prvků n o dva, zvětší se počet permutací 72krát. Určete n. [n=7]
Variace
Kolika způsoby seřadíme do pětic písmena A, B, C, D, E, F, H?
Kolik čtyřciferných lichých čísel vytvoříme z číslic 5, 6, 7, 8, 9 ?
Kolik je trojciferných čísel vytvořených z číslic 0, 1, 3, 5 ?
Kolika způsoby seřadíme ve trojicích tyto symboly ?
Kolik sudých trojciferných čísel vytvoříme z číslic 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ?
Kolik je dvojciferných čísel vytvořených z čísel 0, 1, 2, 3, 4 ?
Kolik jednociferných až čtyřciferných přirozených čísel lze zapsat číslicemi 0, 1, 2, 3, jestliže se v čísle
žádná číslice neopakuje?
8. 7 kamarádů si slíbilo, že si pošlou vzájemně pohlednice z prázdnin. Kolik pohlednic bylo posláno? (42)
9. Kolikerým způsobem může aranžérka vystavit vodorovně vedle sebe 5 různých šampónů? (120)
10. Bezpečnostní kód se tvoří z písmen K L M N O P Q a všech číslic. Kód obsahuje nejprve 3 písmena pak
3 číslice, žádný znak se neopakuje. Např.: KQM487. Kolik je variací bezpečnostního kódu?
11. Kolik různých přirozených dvojciferných čísel lze sestavit z číslic 1,5,7,9 tak, že v dvojciferném čísle nejsou
žádné 2 číslice stejné? [12]
12. Kolik jednociferných až pěticiferných čísel lze sestavit z číslic 0,2,4,5,8,9, jestliže se v čísle žádná číslice
neopakuje. [1031]
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
13. Kolik prvků dá 30 variací druhé třídy?
14. Z kolika prvků lze vytvořit a) 72 b) 42 variací druhé třídy? [9, 7]
15. Variací druhé třídy z n prvků je šestkrát méně než variací třetí třídy stejného počtu prvků. Z kolika prvků
jsou tyto variace?
str. 62
Kombinace
1. Vypočtěte: a) K(2,8) + K(3,4) =
25
c) 3.K(3,5) + P(5) – =
2
[32]
[–150]
3
b) K(1,6) – K(4,4) + = [8]
2
13 12 23 25
d)
11 10 0 25
[12]
15 10 15 20
[10]
13
7
2
19
2. Při setkání absolventů školy jedné třídy se absolventi přivítali stiskem rukou. Kolik bylo celkem stisknutí
rukou, jestliže se sešlo 26 absolventů? [325]
3. Kolik různých 5-členných sportovních družstev lze sestavit z 8 nejlepších sportovců třídy? [56]
4. Kolik šachistů se zúčastnilo turnaje, jestliže víme, že každý účastník sehrál s každým z ostatních po jedné
partii a odehrálo se 55 partií. [11]
5. Kolik možností tahů je ve hře šťastných deset, kde se losuje 10 čísel z 80 ? [1 646 492 110 120]
6. V cukrárně mají 11 druhů zákusků, Jana chce koupit 7 různých kusů. Kolik má možností? [330]
7. V divadelním souboru je 10 mužů a 8 žen. V divadelní hře účinkují 3 muži a 2 ženy, kolik je možností
obsazení hry? [3 360]
8. Na letní tábor přijelo 24 chlapců a 12 dívek. V soutěži mají vytvořit družstva, kde jsou 2 chlapci a jedna
dívka. Kolik je možností? [3312]
9. Ve třídě je 18 chlapců a 9 dívek, do soutěže mají vytvořit družstvo složené ze 3 chlapců a 2 dívek. Kolik je
možností? [29 376]
10. Kolikerým způsobem je možno sestavit 4člennou delegaci ze třídy o 10 chlapcích a 18 dívkách, mají–li být
v delegaci a) 2 chlapci a 2 dívky [6885] b) 1 chlapec a 3 dívky [8160] c) 3 chlapci a 1 dívka
[2160]
11. V kódu je na prvním místě jedno z písmen A,B,C nebo D. Na dalších dvou pozicích je libovolné dvojciferné
číslo od 11 do 99. (Existují např. kódy A22, D45 apod.). Určete počet všech takto vytvořených kódů. [356]
e)
12. Z kolika prvků lze vytvořit a) 36 b) 66 kombinací druhé třídy? [9, 12]
13. Zmenší–li se počet prvků o 4, zmenší se počet kombinací druhé třídy z těchto prvků třikrát. Kolik je prvků?
[10]
14. Zvětší–li se počet prvků o 4, zvětší se počet kombinací druhé třídy z těchto prvků o 30. Kolik je prvků? [6]
15. Zmenší–li se počet prvků o 5, zmenší se počet kombinací druhé třídy z těchto prvků o 25. Kolik je prvků?
[8]
Pravděpodobnost
𝑷(𝑨) Pravděpodobnost náhodného jevu A je číslo, které je mírou očekávatelnosti výskytu jevu.
Náhodným jevem rozumíme opakovatelnou činnost prováděnou za stejných (nebo
přibližně stejných) podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.
𝑷(𝑨) ∈ 〈𝟎; 𝟏〉
Pravděpodobnost je číslo v intervalu 〈0; 1〉, tzn. 𝟎 ≤ 𝑷(𝑨) ≤ 𝟏
Událost, která nemůže nastat, má pravděpodobnost 0 (jev nemožný), a naopak jistá
událost má pravděpodobnost 1 (jev jistý). Někdy se uvádí v %. 𝑷(𝑨) = 𝟎%— 𝟏𝟎𝟎%
𝑃(𝐴) =
𝒎
𝒏
← 𝒎 je počet příznivých výsledků jevu A
← 𝒏 je počet všech výsledků náhodného pokusu
Opačný jev Pravděpodobnost opačného jevu je doplněk pravděpodobnosti výchozího jevu do
jedné,
tzn. pokud jev B je opačný k jevu A, pak: 𝑷(𝑩) = 𝟏 − 𝑷(𝑨)
str. 63
Nezávislé jevy Řekneme, že jevy A a B jsou nezávislé, pokud jev A nezávisí na výskytu jevu B a
současně pravděpodobnost výskytu jevu B nezávisí na jevu A. Jsou-li jevy A, B nezávislé
a mají nastat oba najednou, pak pravděpodobnost vypočteme: 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨). 𝑷(𝑩)
Jsou-li jevy A, B nezávislé a má nastat jeden nebo druhý, pak pravděpodobnost
vypočteme:
𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩)
1. Jaká je pravděpodobnost že při hodu hrací kostkou padne třikrát za sebou šestka?
[0,005]
2. Jaká je pravděpodobnost že při hodu hrací kostkou padne číslo větší než 4?
[0,33]
3. V tombole je 1000 losů. Jakou pravděpodobnost výhry má účastník, který si koupil 5 losů?
[0,005]
4. Ve třídě je 15 dívek a 12 chlapců. Vylosujeme tři žáky. Jaká je pravděpodobnost že to budou:
a) 2 chlapci a 1 dívka
[0,34]
b) 3 dívky
[0,16]
5. Student ovládá učivo ČJ na 86%, M na 95%, Ek na 100%, OP na 90%. Jaká je pravděpodobnost, že:
a) neprospěje z Ek
[0]
b) prospěje ze všech čtyř předmětů
[0,74]
c) neprospěje z M a zároveň z OP
[0,005]
d) prospěje z Ek a M a neprospěje z ČJ a OP
[0,013]
6. Ve třídě je 20 žáků z toho 8 dívek. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném losování 5 žáků,
a) budou samé dívky
b) budou jen chlapci
c) bude 1 dívka a 4 chlapci
d) 2 dívky a 3 chlapci
[0,0036]
[0,051]
[0,255]
[0,397]
7. Ve skupině je 7 dívek a 6 chlapců. Jaká je pravděpodobnost, že při výběru trojice
a) budou aspoň dvě děvčata
[0,44 + 0,12 = 0,56]
b) budou aspoň dva chlapci
[0,44]
8. Hodíme deseti mincemi. Jaká je pravděpodobnost, že spadnou všechny na stejnou stranu.
[0,00098]
9. Z 32 karet je 16 červených a 16 černých karet. Jaká je pravděpodobnost, že když vybereme 4 karty bude:
a) 1 červená, 3 černé
[0,25]
b) 4 černé
[0,05]
c) 2 červené, 2 černé
[0,4]
10. Ve skupině dětí jsou chlapci a dívky. Mezi dívkami jsou blondýnky a tmavovlásky, mezi chlapci taktéž
blonďáci a tmavovlasí. Děti s jinou barvou vlasů se nevyskytují. Děti soutěží v běhu. Pravděpodobnost, že
vyhraje dívka je 0,3. Pravděpodobnost, že vyhrají blonďaté děti je 0,4. Pravděpodobnost, že vyhraje
blonďatý kluk je 0,3.
Jaká je pravděpodobnost, že vyhraje tmavovlasá dívka?
[0,2]
Jaká je pravděpodobnost, že vyhraje nějaký chlapec?
[0,7]
Jaká je pravděpodobnost, že vyhraje tmavovlasé dítě?
[0,6]
Jaká je pravděpodobnost, že vyhraje tmavovlasý chlapec?
[0,4]
str. 64
Statistika
Statistický je množina všech objektů statistického pozorování.
soubor
Statistická jsou číselné údaje o hromadných jevech, sledovaných ve velkém počtu případů.
data
Rozsah n – počet všech prvků statistického souborů.
souboru
Statistický x – je to společná vlastnost statistických jednotek.
znak
Hodnota
znaku
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , … – jednotlivé údaje (vlastnosti) znaku.
Četnost
hodnoty
znaku
𝑛1 , 𝑛2 , 𝑛3 , 𝑛4 , … – počet jednotek, které mají stejnou hodnotu.
Relativní 𝑣𝑖 – podíl četnosti hodnoty určitého znaku a rozsahu souboru 𝑣1 = 𝑛1 , 𝑣2 = 𝑛2 , …
𝑛
𝑛
četnost
Relativní četnost můžeme převést na procenta 𝑝𝑖 .
𝑝𝑖 % = 𝑣𝑖 . 100
Tabulka
xi
ni
𝒗𝒊
𝒑𝒊 %
rozdělení
x1
n1
𝑣1
𝑝1
četností
x2
x3
Celkem
n2
n3
n
𝑣2
𝑣3
1,00
CHARAKTERISTIKY STATISTICKÉHO SOUBORU
ARIMETICK
x x2 x3 x4 .... xn
Ý PRŮMĚR x 1
n
𝑝2
𝑝3
100%
Pokud máme tabulku četností:
x
n1 x1 n2 x2 n3 x3
n
MODUS Mod(x) – je hodnota znaku, který má největší četnost.
MEDIÁN Med(x) – hodnota prostředního znaku, pokud seřadíme všechny údaje statistického
souboru vzestupně podle velikosti.
Pokud je n lichý – mediánem je hodnota prostřední znaku.
Pokud je n sudý – mediánem je aritmetický průměr dvou prostředních hodnot znaku.
str. 65
Statistika
1.
V jedné firmě byl zpracován statistický soubor
zaměstnanců. Statistickým znakem byla výše
měsíčního platu. Hodnoty statistického znaku
byly rozděleny do intervalů, u každého je dána
četnost hodnoty znaku. Nejprve spočítej rozsah
souboru. Vypočítejte kolik se celkem vydá
měsíčně ve firmě za výplaty. Spočítej relativní
četnosti jednotlivých hodnot, aritmetický
průměr, modus a medián těchto hodnot.
2.
Graf znázorňuje četnost známek z matematiky. Zjistěte z grafu četnost statistického souboru, četnost
jednotlivých známek, relativní četnost, aritmetický průměr, medián a modus.
3.
Klasifikaci žáků NS2 z matematiky vyjadřuje
následující tabulka:
a) Jaká je průměrná známka z matematiky ve
třídě (zaokrouhlete na setiny)?
b) Kolik chlapců má lepší známku z matematiky,
než je průměrná známka dívek?
4. Ve škole byl zkoumány dva statistické soubory
žáků. Statistickým znakem byla hmotnost.
Hodnoty statistického znaku byly rozděleny do
intervalů, u každého je dána četnost hodnoty
znaku. Spočítej nejprve rozsahy souborů.
Vypočítejte průměrnou hmotnost chlapců i
dívek. Spočítej relativní četnosti jednotlivých
hodnot, modus a medián hodnot.
četnost
výše platu
34
9 000 - 17 000
25
17 000 - 25 000
3
25 000 - 33 000
1
33 000 - 41 000
1
41 000 - 49 000
2
49 000 - 57 000
5
57 000 - 65 000
Klasifikace
Počet dívek
Počet chlapců
1
1
1
2 3
2 5
7 7
4
4
4
5
0
1
tělesná hmotnost žáků
kg
chlapci dívky
1
25
40 - 50
11
40
50 - 60
119
36
60 - 70
72
15
70 - 80
42
10
80 - 90
18
2
90 - 100
3
1
100 - 110
1
0
110 - 120
str. 66
5.
V tabulce je uveden počet prodaných aut
Počet prodaných aut
v jednotlivých měsících. Vypočítejte relativní
leden
14
únor
30
březen
45
duben
70
květen
83
červen
74
červenec
60
srpen
32
září
25
říjen
18
listopad
10
prosinec
19
četnosti v jednotlivých měsících, průměrný
měsíční prodej, modus a medián.
relativní
četnost
%
celkem
6.
Každý student třetího ročníku si vybral právě dva ze čtyř nabízených seminářů A-D. Rozdělení
studentů je uvedeno v tabulce. Čísla udávají počty žáků v jednotlivých dvojicích seminářů. (Například
semináře A a současně C navštěvuje 16 studentů). V poslední sloupci jsou uvedeny celkové počty
studentů v jednotlivých seminářích.
a) Doplňte všechna prázdná políčka tabulky.
Počet
studentů
A
B
C
D Celkem b) Přístup do počítačové sítě mají všichni studenti,
v seminářích
kteří navštěvují seminář A nebo seminář B. Kolik
A
16
0
studentů má přístup do počítačové sítě?
B
10
15
7
32
c) Kolik studentů navštěvuje třetí ročníky?
C
16
D
19
7. Ve statistickém šetření bylo zjišťováno, kolikrát ročně chodí studenti jedné třídy do knihovny. Výsledky
byly zapisovány do tabulky četností návštěv. Z tabulky se ztratil poslední údaj o počtu studentů, kteří
navštěvují knihovnu 6 až 8 krát za rok. Vypočítejte tento údaj, pokud víte, že aritmetický průměr vyšel
přesně 2 návštěvy na jednoho studenta za rok.
Počet návštěv Počet studentů
0–2
16
3–5
3
6–8
Průměrná hodnota 𝑥̅ =2
str. 67
8. Statistickým souborem byli žáci dvou tříd. Statistickým znakem byl počet cigaret, které denně vykouří.
Zjistěte průměrnou spotřebu cigaret na žáka, rel. četnost jednotlivých kategorií, pak zjistěte modus a
medián. Vypočtěte kolik Kč prokouří průměrně student- kuřák za měsíc a rok, kolik kg dehtu projde
jeho plícemi za rok. 1 cig = 10 mg dehtu.
9. Uvedený graf udává počty neprospívajících žáků a počty nedostatečných, které dostali na
vysvědčení.
I.
II.
III.
IV.
V.
Zjisti kolik žáků z celkového počtu ve škole neprospělo. (51)
Zjisti průměrný počet pětek u těchto neprospívajících žáků. (4 nedostatečné)
Zjisti medián. (3 nedostatečné)
Zjisti modus. (1 nedostatečná)
Kolik žáků mělo 4 a více nedostatečných? (16)
Počty nedostatečných ve škole
16
15
14
12
10
10
9
Počet
žáků 8
6
4
3
3
3
2
2
2
1
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0
11
12
13
Počet nedostatečných
str. 68
Analytická geometrie
Body, úsečka
Bod v rovině Bod je dvojice čísel, která reprezentuje souřadnice daného bodu v rovině. Zapisujeme
do hranatých závorek A[𝑎𝑥 ; 𝑎𝑦 ] a značíme velkým písmenem.
Úsečka Úsečka AB má krajní body A a B. U úsečky můžeme měřit délku, což je vzdálenost
mezi jejími krajními body. Pokud mluvíme o délce úsečky AB, zapisujeme: |AB|.
Vzdálenost dvou
bodů, délka
úsečky
Střed úsečky
Souřadnice bodu v rovině, délka úsečky
1. Vypočtěte délku dané úsečky a souřadnice jejího středu
a) AB, A3,4, B5,2,
{2. 2 , S 4,3}
b) CD, C3,0, D4,10
c) KL, K–4,–1, L5,–1
{ 101 , S3,5; 5}
{9, S 0,5; –1}
d) PQ, P 3 ,–1, Q– 3 ,1
{4, S 0,0}
2. Vypočítejte vzdálenost dvou bodů S, P. Bod S je středem úsečky AB a bod P je středem úsečky CD.
A[7;3], B[–5;–3], C[–4;7], D[0;1]
{5}
3. Strany čtverce ABCD jsou rovnoběžné s osami xy. Jsou dány body A[–2;1], B[3;1].
Vypočítejte délku úhlopříčky AC.
{5√2}
4. Bod S je středem úsečky AB. Vypočítejte souřadnice bodu A, pokud známe B[–4;3], S[5;2]. {[14; 1]}
5. Je dán jeden krajní bod a střed S úsečky. Určete souřadnice druhého krajního bodu úsečky
e) AB, A –3,6, S–1,4
{1,2}
f) PQ, Q 3;0,8, S–1; 0,5
{–5; 0,2}
g) TU, T–4,2, S–0,5;–1,5
{3,–5}
6. MN je průměr kružnice k. Vypočtěte souřadnice jejího středu a poloměr, je–li M–3,2;6, N–7,2;–3,5.
{r =5,15; S–5,2;1,25}
7. Vypočtěte obsah a obvod pravoúhlého Δ ABC, je–li A5,5;–2,5, B –3,5, C–3;–2,5.
{S = 31,88j2, O = 27,34j}
8. Je dán Δ ABC : A–6,6;1,2 B3,4;–5,6 C2,8;4,2 . Vypočtěte délky jeho těžnic.
{ta = 9,88, tb = 9,85, tc = 7,77}
9. V rovnoběžníku KLMN jsou dány souřadnice vrcholů K–6,–3 L–1,–3 M2,5 N–3,5. Určete délky
úhlopříček a souřadnice jejich průsečíku P.
{KM = 8 2 , LN = 2 17 , P–2,1}
{E[1,5; 0]}
Na ose x určete bod E tak, aby byl stejně vzdálen od bodů F–1,5;1 a G2,5;3.
11. Vypočtěte souřadnice bodu A, který má od bodů B4,6 a C4,2 vzdálenost d=3 .
{𝐴1 [4 + √5; 4], 𝐴2 [4 − √5; 4]}
str. 69
Vektory
Vektor je veličina charakterizovaná velikostí, směrem a orientací.
Často je reprezentovaná graficky jako šipka (orientovaná úsečka).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ nebo 𝒗
Umístění Zápis 𝒗
⃗ = 𝑨𝑩 = 𝑨𝑩
⃗ = 𝑩 − 𝑨 vyjadřuje, že umístěním
vektoru vektoru je orientovaná úsečka AB. A – počáteční bod. B – koncový
bod vektoru.
Souřadnice 𝑢
⃗ (𝑢𝑥 ; 𝑢𝑦 )
𝑢𝑥 = 𝑏𝑥 − 𝑎𝑥
𝑢𝑦 = 𝑏𝑦 − 𝑎𝑦
vektoru
Souřadnice se uvádí do kulatých závorek. Souřadnice vektoru
⃗ (𝒖𝒙 ; 𝒖𝒚 )
𝒖
(šipky) udávají souřadnice koncového bodu vektoru, který začíná
⃗ (𝒖𝟏 ; 𝒖𝟐 )
𝒖
v počátku souřadnicové soustavy [0; 0].
⃗ ,𝒗
̅
𝒗
Opačný vektor
Velikost
vektoru
𝑢
⃗ (𝑢𝑥 ; 𝑢𝑦 ) opačný −𝑢
⃗ (−𝑢𝑥 ; −𝑢𝑦 )
|𝑢
⃗ | = √𝑢𝑥 2 + 𝑢𝑦 2
Skalární součin
⃗ . 𝑣 = 𝑢𝑥 . 𝑣𝑥 + 𝑢𝑦 . 𝑣𝑦
vektorů 𝑢
Kolmost
Pokud 𝑢
⃗ . 𝑣 = 0, pak jsou vektory kolmé.
vektorů
Součet a rozdíl
vektorů
𝑢
⃗ (𝑢𝑥 ; 𝑢𝑦 ); 𝑣 (𝑣𝑥 ; 𝑣𝑦 )
𝑢
⃗ + 𝑣 = (𝑢𝑥 + 𝑣𝑥 ; 𝑢𝑦 + 𝑣𝑦 )
Násobení
vektoru číslem
𝑢
⃗ (𝑢𝑥 ; 𝑢𝑦 ), 𝑘 ∈ 𝑅
𝑢
⃗ (𝑢𝑥 ; 𝑢𝑦 ); 𝑣 (𝑣𝑥 ; 𝑣𝑦 )
𝑢
⃗ − 𝑣 = (𝑢𝑥 − 𝑣𝑥 ; 𝑢𝑦 − 𝑣𝑦 )
𝑘. 𝑢
⃗ = (𝑘. 𝑢𝑥 ; 𝑘. 𝑢𝑦 )
Rovnoběžné Vektory 𝑢
⃗ (𝑢𝑥 ; 𝑢𝑦 ); 𝑣(𝑣𝑥 ; 𝑣𝑦 ) jsou rovnoběžné, pokud existuje číslo 𝒌, pro které
vektory
⃗ = 𝒌. 𝒖
⃗
𝑣(𝑣𝑥 ; 𝑣𝑦 ) = (𝑘. 𝑢𝑥 ; 𝑘. 𝑢𝑦 )
𝑣𝑥 = 𝑘. 𝑢𝑥 ; 𝑣𝑦 =
(kolineární) platí 𝒗
𝑘. 𝑢𝑦
Úhel dvou
⃗𝑢
⃗⃗ . ⃗𝑣
⃗⃗
cos
𝛼
=
=
vektorů
⃗𝑢
⃗⃗ |. |⃗𝑣
⃗⃗ |
|
√
⃗ ,𝒗
⃗
𝒖
Vektory
𝑢𝑥 . 𝑣𝑥 + 𝑢𝑦. 𝑣𝑦
𝑢𝑥2 + 𝑢𝑦 2. √𝑣𝑥 2 + 𝑣𝑦2
( vektory v následujících cvičeních, jsou označovány buď klasickým způsobem
𝑢
⃗ , nebo tučnou kurzívou 𝒖)
1. Je dán vektor v (–3; 4) v = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = B–A A [5; –3]
{5}
a) Vypočítejte velikost vektoru v
{[2; 1]}
b) Vypočítejte souřadnice koncového bodu B
{ano; ne}
c) rozhodněte, zda vektory u(–1,5; 2), w(2; 12) jsou s daným vektorem v rovnoběžné.
2. Vypočtěte souřadnice vektoru daného dvěma body a určete jeho velikost. Načrtněte v kartézské soustavě
souřadnic Oxy.
a) u = AB, A–4; –5, B2; 1
{(6,6) , 62}
b) p = PQ, P–4; 2, Q–1; –3
{(3,–5) , 34}
c) e = EF, E0; –6, F–2; 0
{(–2,6), 210}
str. 70
3. Jsou dány souřadnice vektoru a jeho umístění. Určete neznámé souřadnice.
a)
⃗ = (–4; 4) , 𝒛
𝒛
⃗ = AB, A5; –3, Bx; y
⃗ = (–5; 6) , 𝒖
⃗ = CD, Cx; y, D–4; –5
b)
𝒖
4. Určete, zda jsou vektory kolineární (rovnoběžné), v kladném případě určete k
a)
⃗ = (–5,6), 𝒗
⃗ = (2,–2,4)
𝒖
{k = –2,5}
b)
{𝑥 = 1; 𝑦 = 1}
{𝑥 = 1; 𝑦 = −11}
5
4
⃗ = (0,6; –4)
⃗⃗ = (0,75;–5) 𝒉
𝒈
{k = }
5. Určete neznámou souřadnici vektoru tak, aby vektory byly kolineární (rovnoběžné)
a) u = (5,–3), v = (v1, 27)
{v1 = –45}
b) e = (7,–2), f = (–2, f2)
{f2 =
4
}
7
2
1 3
1
1
3
c) w = ( , w2 ), s = ( ,
) {w2 = }
d) k = ( k1, –
), m = (–2, )
{k1 = 2 3}
3
2 20
5
3
3
6. Vypočtěte skalární součin vektorů
a) a = (–3,–1), b = (4,–2)
b) a = AB , b = CD A–1,4, B2,2, C0,2, D–4,0
7. Určete, zda jsou vektory k sobě kolmé
8
a) a = (–4,5), b = (2, )
[jsou kolmé] b) c = (5,–6), d = (–1, 3) [nejsou kolmé]
5
8. Určete neznámou souřadnici tak, aby vektory byly navzájem kolmé
4
3
3
, 2), d = (d1 ,
a) c = (
)
{d1 = 1}
b) a = (8, c2 ), d = ( – 0,5; 3)
{c2 = }
3
2
4
5
1
c) e = (1, –5), f = ( , f2 ) {f2 = }
7
7
d) u = EF, v = AC, E1,2, F–1,0, A2,–1, Cx,3
{x = –2}
9. Určete velikost úhlu vektorů
a) a = (3, –5), b = (10, 6)
[90°]
b) c = (2 , –1) d = (–2, 2 )
[180°]
10. Vektor x je dán body AB vektor y je dán body CD . Vypočítejte úhel těchto vektorů.
a) A [3; –4] B [–1;–1] C [0; –5] D [8;1]
b) A [0; 4] B [1;1] C [1; 2] D [8;1]
c) A [–3; 4] B [1;–1] C [2; 3] D [2;1]
11. Je dán vektor u(3;5) . Určete první souřadnici vektoru v( x;6) tak, aby vektory u a v byly navzájem
kolmé.
12. Napište souřadnice vektoru kolmého k danému vektoru. Uveďte alespoň dvě řešení. Načrtněte v kartézské
soustavě souřadnic Oxy
3
a) a = (5,4)
b) c = (
, – 5)
c) e = OA, A–4,2, d) f = PQ, P–4,–1, Q3,2,
2
2 3
13. Určete neznámou souřadnici m tak, aby vektory a = (m, –2), b = (–1, 3) svíraly úhel
{m= –
}
3
3
14. ΔKLM je dán body K–4; –2, L8; –2, M8; 3,
a) Určete, zda Δ KLM je rovnoramenný
{KL=12, LM=5 MK=13 není}
b) Určete, zda Δ KLM je pravoúhlý (užijte Pythagorovu větu)
{je pravoúhlý}
c) Vypočtěte délku těžnice vedenou vrcholem M
{tm = 61}
d) Vypočtěte velikost vnitřních úhlů ΔKLM
{22°37´,90°,67°23´}
e) Vypočtěte obvod a obsah ΔKLM.
{O=30 j
S=360 j2}
15. ΔRST je dán body R–8; 1, S5; 0, T1; 4, . Vypočtěte:
a) délky stran
{170, 4.2, 3.10}
b) těžnici vedenou vrcholem R
{S3,2, tr = 122}
c) velikost úhlu při vrcholu T
{asi 116°}
d) obvod Δ RST
{28,18}
16. Určete souřadnici x bodu T x; 6 tak, aby ΔTUV byl pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu U, je–li
U2; 3 , V–2; 1
{xT = 0,5}
str. 71
Přímka
Parametrické Směr přímky určuje směrový vektor 𝑠(𝑠 ; 𝑠 ). Bod
𝑥 𝑦
rovnice přímky
𝐴[𝑎𝑥 ; 𝑎𝑦 ] je bodem přímky a 𝒕 – parametr.
Pak parametrické rovnice přímky jsou:
𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑠𝑥 . 𝑡
𝑦 = 𝑎𝑦 + 𝑠𝑦 . 𝑡
Přímku zadanou dvěma body AB řešíme obdobně.
Z bodů AB určíme směrový vektor 𝑠 = 𝐵 − 𝐴
Obecná rovnice K sestavení obecné rovnice potřebuje znát
přímky normálový vektor přímky 𝑛
⃗ (𝑎; 𝑏), tento vektor je
𝑛⃗
𝑠
kolmý k přímce. Pokud není zadán, vytvoříme jej ze
směrového vektoru, musí být kolmý k 𝑠(𝑏; −𝑎).
Obecná rovnice: 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎
Koeficient 𝒄 zjistíme po dosazení libovolného bodu
𝐴[𝑥; 𝑦]přímky do neúplně obecné rovnice za 𝒙 a y.
Směrnicový Získáme převedením z obecné rovnice 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
𝒂
𝒄
tvar přímky do tvaru 𝒚 = 𝒌𝒙 + 𝒒
𝒌=−
𝒒=−
𝒃
𝒃
Odchylka dvou Musíme znát buď směrové vektory, nebo normálové vektory obou přímek. Určuje pak
přímek vzájemnou polohu těchto vektorů. Jako odchylka dvou přímek se uvádí úhel 〈0°; 90°〉.
⃗⃗ . ⃗𝑣
⃗⃗ |
|⃗𝑢
|𝑢𝑥 . 𝑣𝑥 + 𝑢𝑦 . 𝑣𝑦 |
cos 𝛼 =
=
⃗⃗ |. |⃗𝑣
⃗⃗ |
|⃗𝑢
√𝑢𝑥 2 + 𝑢𝑦 2 . √𝑣𝑥 2 + 𝑣𝑦 2
Vzdálenost Vzdálenost bodu 𝑴[𝒎 ; 𝒎 ]od přímky p: 𝒂𝒙
𝒙
𝒚
bodu od
přímky být zadána v obecném tvaru.
|𝑀𝑝| =
+ 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎, přímka musí
|𝒂.𝒎𝒙 +𝒃.𝒎𝒚 +𝒄|
√𝑎2 +𝑏 2
Parametrické rovnice přímky
1. Určete souřadnice směrového vektoru přímky dané 2 body
1
6
a) s = MN, M–2; 3 N4; 5
{s = (6; 2)}
b) s = GH, G–6,5;–1,2 H 2 , 5
2. Napište parametrické rovnice přímky, je–li dán její bod A a směrový vektor s:
a)
A5; –6, s = (3; 2)
{x = 5 + 3t, y= – 6 + 2t}
b)
A–4; 0, s = (1; – 2 )
{x = – 4 + t, y= – t 2 }
3. Napište parametrické rovnice přímky, která prochází 2 body:
a)
A 2; 4, B4; 9
{x = 2 + 2t, y = 4+5t}
b)
A 0; –4, B–2; 0
{x = – 2t, y = – 4+4t}
4. Zjistěte, zda body A, B leží na přímce p:
a)
p: x = –2 + 6t, y = 2 + 4t,
A10; 10 , B10; 8
b)
p: x = –1 + t, y = 10 + 4t
A–7; –14 , B–1; –8
{s = (7,0)}
{Ap, B p}
{Ap, B p}
str. 72
Obecná rovnice přímky
1. Určete souřadnice normálového vektoru přímky určené směrovým vektorem
a) s = (–5; 4) {n=(4; 5), n=(–4; –5)}
b) s = (2; –5) {n=(–5; –2) , n=(5; 2)}
2. Přímka je dána obecnou rovnicí. Určete její normálový a směrový vektor.
a)
–3x + y + 2 = 0
{n = (–3; 1), s = (1; 3)}
b)
5x – y – 1 = 0
{n = (5; –1), s = (1; 5)}
3. Určete obecnou rovnici přímky p: (řešíme soustavu rovnic tím, že vyloučíme parametr t a rovnice sečteme)
a)
p:
x = 3 – 4t, y = 2 + 3t
{3x + 4y – 17 = 0}
b)
p:
x = –3t, y = 4 + 5t
{5x + 3y – 12 = 0}
c)
p:
x = 1 + t, y = – 0,4t
{0,4x + y – 0,4 = 0}
4. Určete obecnou rovnici přímky p, která prochází body K a L
a)
K2; –1,
L3; –2
{x + y – 1 = 0}
b)
K–7; 8,
L3; –2
{x + y – 1 = 0}
c)
K3; 2,
L–1; 4
{x + 2y – 7 = 0}
5. Narýsujte přímky, které jsou dány rovnicemi:
a)
3x – 5y + 15 = 0 postup: najdeme souřadnice 2 bodů přímky z její rovnice tak, že zvolíme jednu souřadnici libovolně
b)
6x – 5y – 30 = 0 a druhou vypočteme z rovnice, nebo určíme souřadnice 1 bodu přímky a souřadnice směrového vektoru.
6. Je dána rovnice přímky p: 3x – 4y + 6 = 0
a)
Ověřte početně, zda body M2; 3, N–3; 1 leží na dané přímce. {Mp, N p}
b)
Napište parametrické rovnice přímky p
{x=2+4t; y=3+3t}
7. Δ je určen vrcholy A–4; 2, B8; 4, C0; 8 . Vypočtěte rovnice jeho těžnic.
{x + 2y = 0, 7x – 10y –16 = 0, 11x – 2y – 16 = 0}
8. Rovnoběžník je určen vrcholy A–4; –2, B2; –4, C10; 2. Vypočtěte obecné rovnice jeho úhlopříček.
{2x – 7y – 6 = 0, 4x – y – 12 = 0}
9. Zjistěte, zda bod M7,3 leží na ose úsečky AB, A2; 6, B4; –2.
{osa o: x – 4y + 5 = 0, Mo}
10. Napište obecné rovnice strany c, těžnice tc a výšky vc v Δ ABC, A3; 2, B–5; 4, C–2; 7.
{c: x + 4y – 11 = 0, t: 4x + y + 1 = 0, v: 4x – y + 15 = 0}
11. Určete rovnici přímky, která prochází tb v Δ ABC: A1; –1, B5; 1, C–3; 7.
{x + 3y – 8 = 0}
12. Najděte obecné rovnice všech středních příček Δ ABC, A1; 0, B4; –3, C–8; 0.
{2x + 2y + 7 = 0, 2x + 8y +7 = 0, 2y + 3 = 0}
13. Určete rovnice přímek, na nichž leží strany rovnoběžníku ABCD, jestliže A–6; 2 B7; –5 C5; 2
{7x + 13y + 16 = 0, 7x + 2y – 39 = 0, 7x + 13y – 61 = 0, 7x + 2y + 38 = 0}
Vzájemná poloha přímek
Rovnice přímek p1, p2
Rovnoběžky splývající : p1 = p2
P1 : a1x + b1y + c1=0 P2 : a2x + b2y + c2=0
a1=k.a2 b1=k.b2 c1=k.c2
a1=k.a2 b1=k.b2 c1 k.c2
a1 a2 + b1b2 = 0 (skalární součin)
Různoběžky kolmé: p1 p2
Různoběžky, nejsou kolmé
Neplatí ani jedna z výše uvedených podmínek
Jsou–li přímky rovnoběžné, pak jsou rovnoběžné i jejich směrové (normálové) vektory.
Jsou–li přímky různoběžné, pak mají společný bod tzv. průsečík, jehož souřadnice určíme tak, že řešíme soustavu 2 rovnic
(obecné rovnice přímek) o 2 neznámých.
Rovnoběžky různé: p1 ║ p2
1 řešení – přímky jsou různoběžné 0 řešení – přímky jsou rovnoběžné různé
1. Určete jaký úhel svírají dvě přímky p1 a p2.
a)
p1 : 4x + 2y + 1 = 0
b)
p1 : x – 2y – 1 = 0
c)
p1 : x + 2y + 1 = 0
d)
p1 : 0,5x + 2y – 5 = 0
e)
p1 : x + y = 0
f)
p1 : 5x + 2y = 0
g)
p1 : x = 1 + 2t, y = 4 – t
h)
p1 : x = 1 + 6t, y = 3t
řešení– přímky jsou splývající
p2 : 2x + y + 8 = 0
p2 : 2x – y + 8 = 0
p2 : x + y – 8 = 0
p2 : 2x + 8y – 5 = 0
p2 : x – 8 = 0
p2 : 3x – 2y + 8 = 0
p2 : 3x – y + 1 = 0
p2 : x = 3 – 2t, y = 1 + 4t
{rovnoběžky, 0°}
{37°}
{18°26´}
{rovnoběžky, 0°}
{45°}
{12°}
{82°}
{kolmé, 90°}
str. 73
2. Určete vzájemnou polohu přímek m1 a m2 (podle koeficientů rovnic), pokud jsou přímky různoběžné nebo
kolmé, určete souřadnice průsečíku. Pokud jsou různoběžné určete úhel, který svírají přímky.
3x 1
a)
m1 : 6x – 8y – 3 = 0
m2 : y =
{rovnoběžky}
4 4
b)
m1 : x – 2y – 4 = 0
m2 : x = 1 + t, y = –4 + 3t {45°, P[2;-1]}
c)
m1 : x = 3 – 2t, y = –2 + 5t
m2 : 5x + 2y –11 = 0
{totožné}
d)
m1 : x – 2y – 3 = 0
m2 : 2x + y – 11 = 0
{kolmé, P[5;1]}
e)
m1 : 2x – 2y – 1 = 0
m2 : – x + y + 0,5 = 0
{totožné}
f)
m1 : 8x – 4y – 1 = 0
m2 : x + 2y + 0,5 = 0
{kolmé, P[0;-0,25]}
g)
m1 : 4y – 8 = 0
m2 : x – y = 0
{45°, P[2;2]}
h)
m1 : x + 2y + 1 = 0
m2 : 2x + y + 8 = 0
{37°, P[-5;2]}
i)
m1 : 0,5x + 2y – 5 = 0
m2 : 2x + 8y – 5 = 0
{rovnoběžné}
3. Bodem M3,–5 veďte přímku. Uveďte parametrické rovnice hledaných přímek. Přímky načrtněte.
a)
rovnoběžnou s přímkou p: x = 1 + 3t, y = 3 + 5t
{x = 3 + 3t, y = –5 + 5t}
b)
kolmou k přímce r: x = – 1 + 2t, y = 2 – 7t
{x = 3 + 7t, y = –5 + 2t}
4. Napište obecné rovnice přímek, které procházejí vrcholy Δ a jsou rovnoběžné s protilehlou stranou
a)
P9; 7, Q–7; –3, R0; –6
{3x + 7y – 76 = 0, 13x – 9y + 64 =0, 5x – 8y – 48 = 0}
b)
M–1; 7, N–8; 5, O0; 0
{2x – 7y = 0, 5x + 8y – 51 = 0, 7x + y + 51 = 0}
3
5. Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici přímky, která prochází bodem A [2; − 2] a je :
a)
kolmá na přímku p: 3x – 4y – 12 = 0
{x = 2 + 3t, y =
3
– 4t, 8x + 6y – 7 = 0}
2
b)
rovnoběžná s přímkou p
{x = 2 + 4t, y = –1,5 + 3t, 3x – 4y – 12 = 0}
6. Určete obecnou rovnici přímky m, která prochází daným bodem a je║s přímkou p:
a)
p:
3x – y – 2 = 0,
B1; –4, Bm
{3x – y – 7 = 0}
b)
p:
– 6x + 5y – 7 = 0
C0; 0, Cm
{–6x + 5y = 0}
c)
p:
x = 3 + 2t, y = 2 – 4t, D–3; –5, Dm
{2x + y + 11 = 0}
7. Určete obecnou rovnici přímky r, která prochází daným bodem P a je kolmá k přímce p:
a)
p:
2x + 7y = 0,
P–1; –4
{7x – 2y – 1 = 0}
b)
p:
1,5x + 2y + 3 = 0
P–2; –3
{2x – 1,5y – 0,5= 0}
c)
p:
x+y+1=0
P[1; 1]
{x – y = 0}
d)
p:
3x + y – 32 = 0
P[6; 0]
{x – 3y – 6 = 0}
8. Napište parametrické rovnice přímky a, která prochází bodem C2,5 a je║s přímkou EF, E3; 7, F–4; 9.
Rozhodněte početně, zda body K–5; 7 a L–1; 3 leží na přímce a. {x = 2 – 7t, y = 5 + 2t. Ka, L a}
9. Přímka je dána parametrickým vyjádřením p: x = 2 – 3t, y = 2 + 2t.
Napište parametrickou a obecnou rovnici přímky, která prochází bodem M1; 2 a je
a)
rovnoběžná s přímkou p
[x = 1 – 3t, y = 2 + 2t, 2x + 3y – 8 = 0]
4
b)
kolmá na přímku p
[x = 1 + 3 t, y = 2 + 2t, 3x – 2y + 1 = 0]
10. Napište obecnou rovnici přímky, která prochází průsečíkem přímek o rovnicích
4x – 4y – 12 = 0
a je
a) rovnoběžná s přímkou EF
E 4; –5, F4; 6
6x + 2y – 50 = 0
b) kolmá k přímce EF
11. Stanovte rovnici přímky, která prochází průsečíkem P přímek a, b,
kde a: x – y – 3 = 0, b: 2x + 3y – 11 = 0 a zároveň
a) je rovnoběžná s přímkou p : x + 2y – 5 = 0
{x + 2y – 6 = 0}
b) prochází bodem M–1; 1
{y – 1 = 0}
c) je kolmá k přímce q: 5x – 4y – 20 = 0
{4x + 5y – 21 = 0}
12. Napište parametrické rovnice přímky p, která je rovnoběžná s přímkou m a prochází bodem M
a)
m: x = 3 – 4t, y = –5 + t, M–1; 6
{p: x = –1– 4t, y = 6 + t}
b)
m: x = 1 + t, y = 5 + t,
M1; 1
{p: x = 1 + t, y = 1 + t}
c)
m: x = 2t, y = –5 + 3t,
M–3; 6
{p: x = –3 + 2t, y = 6 + 3t}
13. Přímka p je dána bodem P3; –5 a směrovým vektorem s = (–4; 1)
a)
Určete, zda body A–5; –3 , B2; –1 leží na dané přímce
{t = 2, Ap, t=4, t=0,25, B p}
b)
Napište parametrické rovnice přímky m, která je rovnoběžná s p a prochází bodem M–1; 6
{x = – 1 – 4t, y = 6 + t}
str. 74
c)
Napište parametrické rovnice přímky n, která prochází počátkem soustavy souřadnic a je kolmá
k přímce p.
{x = t, y = 4t}
Vzdálenost bodu od přímky
1. Určete vzdálenost bodu M od přímky p:
a)
p: 3x – 4y – 14 = 0 M2; 7]
c)
p: 2x – y + 2 = 0
M–2; –1]
b)
d)
p: x – 3y = 0
p: 4x – 2y – 2 = 0
M7; –1]
M–2; 0]
{𝑎) 7,2; 𝑏) √10; 𝑐)
2. Určete vzdálenost daných bodů od přímky p:
a)
p: 3x – 4y – 14 = 0,
B0; 0
b)
p: x = –1 + 2t, y = 3 – 5t
R1; –2
c)
p: x = 1 – 4t, y = 2 + 3t
A[2; –5]
d)
p prochází body P–4; 5, Q11; –3 od bodu M5; 7
√5
; 𝑑) √5}
5
{2,8}
{0, Rp }
{5}
{6}
3. Vypočtěte délky všech výšek v Δ ABC a pak jeho obsah
√2
,S
2
24√26
a)
A5; 2, B1; 5, C–2; 1
{vc = va = 5, vb =
b)
A–4; 1, B5; –2, C–3; 6
{va = 3 2 , vb =
4. Určete vzdálenost rovnoběžek
a)
p1 : 3x – 2y – 4 = 0
b)
p1 : x + y + 6 = 0
c)
d)
p1 : y = – 2x + 5
p1 : x = 4 + 4t, y = – 3t
13
= 12,5j2}
, vc = 1,6 10 , S = 8j2}
p2 : 3x – 2y + 2 = 0
p2 : x + y – 4 = 0
{1,66}
{5 2 }
p2 : y = – 2x – 1
p2 : y = – 0,75x
{1,2 5 }
{2,4}
str. 75
Podobné dokumenty
produktový katalog Radwag 2009
128 x 128
PS 210/C/1*
0,001 g
210 g
128 x 128
PS 360/C/1
0,001 g
360 g
128 x 128
PS 510/C/1
0,001 g
510 g
128 x 128
PS 750/C/1
0,001 g
750 g
128 x 128
PS 1000/C/1
0,001 g
1000 g
128 x 128
PS 200/20...
Sbírka úloh pro tříleté obory K, Č-S, KČ, Cu
6. Pavel na brigádě odpracoval čtyři desetiny plánované doby. Kolik procent doby mu ještě zbývá?
7. Jana čte knihu a přečetla již jednu osminu knihy. Kolik % jí zbývá přečíst ?
8. Na školu chodí 38...
Občanská odpovědnost ve světle globální
laciný produkt vyrobený dětmi či zaměstnanci v zoufalých podmínkách, nebo jestli dáme přednost výrobku, který neohrožuje ani důstojnost pracujících, ani nepoškozuje životní prostředí. Samozřejmě
i ...
Výroční zpráva o činnosti HF TUL za rok 2003
v Německu. Výuka v tomto studijním oboru probíhá po celou dobu studia v angličtině.
Pro výše uvedený studijní obor bylo vypsáno přijímací řízení pro akademický rok 2003-2004
matika
Moivreova věta ............................................................................................................................................. 54
10.Vztahy mezi goniometrickými funkcemi, grafy goniometrických
III.Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Při řešení každé úlohy uděláme náčrtek, pro řešení úloh používáme definice goniometrických
funkcí a Pythagorovu větu.
Cvičení :
1. V kosočtverci je dána strana a...
Goniometrie
a) cos 2 x 2 cos x 1 cos 2 x sin 2 x 2 cos x 1 cos 2 x 1 cos 2 x 2 cos x 1
2 cos 2 x 1 2 cos x 1 2 cos 2 x 2 cos x 2 cos x cos x 1
