České akustické společnosti ročník 10, číslo 4 prosinec 2004 Obsah

České akustické společnosti
ročník 10, číslo 4
prosinec 2004
Obsah
Pozvánka na valnou hromadu
3
Bude porovnání výpočetních programů na dopravní hluk nebo ne?!
Jan Stěnička
3
Pozvánka na WORKSHOP 2005
Libor Husník
3
Modelování stojatých zvukových vln konečných amplitud pomocí konvekčně-difuzních rovnic
Finite-amplitude acoustic standing waves modeling using convection-diffusion equations
Milan Červenka
5
FPGA implementace LMS a N-LMS algoritmu pro potlačení akustického echa
FPGA Implementation of LMS and N-LMS Algorithm for Acoustic Echo Canceller
Tomáš Mazanec a Marek Brothánek
9
Příspěvek ke způsobu určení optimální pracovní frekvence interferometru pro ultrazvukovou detekci
termálních značek
A contribution to determination of optimal operational frequency of interferometr for thermal mark flowmeters
Jaroslav Plocek
15
Aktivní potlačování harmonických ve válcovém akustickém rezonátoru
Active attenuation of harmonics in the cylindrical acoustic resonator
Petr Koníček
19
Nelineární stojaté vlny v elastických rezonátorech
Nonlinear standing waves in elastic resonators
Michal Bednařík
23
Akustické listy, 10(4), prosinec 2004
c ČsAS
Rada České akustické společnosti svolává ve smyslu stanov
VALNOU HROMADU,
která se bude konat ve čtvrtek 27. ledna 2005 na fakultě elektrotechnické ČVUT, Technická 2, Praha 6 – Dejvice.
Rámcový program:
10:00 – 11:45 Jednání v odborných skupinách. Rozpis místností pro jednání v odborných skupinách bude vyvěšen ve
vstupním prostoru fakulty a na dveřích sekretariátu společnosti, dveře č. 47
12:00 – 13:00 Prezentace
13:15 – 16:00 Plenární zasedání, místnost č. 337
Důležité upozornění: Člen společnosti, který se nebude moci valné hromady osobně zúčastnit, pověří jiného člena,
aby jej zastupoval. Jeden člen společnosti může zastupovat nejvýše tři členy. Formulář pověření je součástí tohoto čísla
Akustických listů.
Bude porovnání výpočetních programů na dopravní hluk nebo ne?!
Na základě zvýšené propagace a posunutí termínu se do porovnání přihlásilo 5 fyzických osob a 4 právnické organizace
se svými metodami a programy. Tři organizace se přihlásily za šiřitele softwaru: Soundplan, Mithra a Predictor/Lima.
Porovnání z hlediska statistiky bylo tedy možné a bylo odstartováno. Zúčastnění byli obesláni zadáním v digitální
i písemné formě. Bohužel řešení vypracovali a zaslali k statistickému zpracování jen dva přihlášení. Zpracovatelské
pracoviště pověřené Českou akustickou společností, tj. Národní referenční laboratoř v Ústí nad Orlicí, z tohoto důvodů nemůže provést řádné statistické vyhodnocení. Vyzýváme proto přihlášené, kteří již zároveň zaplatili účastnický
poplatek, aby řešení co nejrychleji NRL zaslali. Pokud tak neučiní do 31. 1. 2005, budeme nuceni porovnání ukončit
a účastnický poplatek vrátíme jen těm, kteří řešení zaslali SWQ. Ostatní poplatky propadnou ve prospěch ČsAS.
Jan Stěnička
zodpovědný pracovník pro porovnání
výpočetních metod pro dopravní hluk
Pozvánka na WORKSHOP 2005
Dovolujeme si Vás informovat, že České vysoké učení technické v Praze pořádá ve dnech 7. až 11. února 2005
v prostorách fakulty stavební a fakulty architektury, Thákurova 7, Praha 6, odborný seminář WORKSHOP 2005,
kde se formou posterů představí výsledky výzkumné činnosti vědeckých pracovníků školy v širokém spektru technických
oborů. Zájemci z praxe zde mohou získat nejnovější informace a navázat přímé kontakty. Součástí semináře bude
pracovní jednání – vyzvaná vystoupení, příspěvky z pléna a následná diskuse – zaměřené na aktuální problémy vědy,
výzkumu a vývoje. Bližší informace jsou uveřejněny na webové adrese http://workshop.cvut.cz.
Za organizační výbor
Libor Husník
Oprava
V minulém čísle Akustických listů byl omylem uveden chybný název článku autora Milana Krňáka. Správný název měl
být Počátky měření akustických obkladů v Čechách. V PDF podobě na webové adrese http://www.czakustika.cz je
uvedena opravená verze. Za politováníhodnou chybu, která se stane „maximálně jednou za deset let, se omlouváme.
redakce
3
c ČsAS
Akustické listy, 10(4), prosinec 2004, str. 5–8
Modelování stojatých zvukových vln konečných amplitud
pomocí konvekčně-difuzních rovnic
Milan Červenka
ČVUT–FEL, Technická 2, 166 27 Praha 6, e-mail: [email protected]
The paper deals with the problems of finite-amplitude standing waves in acoustical resonators of cylindrical and
spherical shape filled with a viscous and thermal conducting gas. A system of two coupled one-dimensional nonlinear partial differential equations in conservative form is derived from the fundamental equations of gasdynamics.
A high resolution central difference scheme is used for numerical integration of the model equations to study
properties and behaviour of standing acoustic waves of extreme amplitudes.
1. Úvod
Rovnice (4) může být reprezentována stavovou rovnicí
pro ideální plyn, viz např. [4], ve tvaru
Účelem tohoto článku je formulování soustavy modelových
γ
ρ
rovnic v konzervativním tvaru pro popis zvukových vln koe (s−s0 )/cV ,
(5)
p = p0
ρ0
nečných amplitud v akustických rezonátorech. Důvodem
je, že pro tento typ rovnic je vyvinuto množství numeric- kde p0 , ρ0 a s0 jsou rovnovážný tlak, hustota a měrná
kých algoritmů (diferenčních schémat), které lze používat entropie prostředí, γ = c /c je poměr specifických tepel
p V
k numerické integraci bez ohledu na vnitřní strukturu rov- při konstantním tlaku a objemu (adiabatický exponent).
nic jako tzv. black-box solvery.
Vzhledem k tomu, že pro tekutiny neexistuje obecná staV jednorozměrném případě má konvekčně-difuzní rov- vová rovnice, bývá zvykem vztah (4) rozložit do Taylorovy
nice (soustava rovnic) tvar
řady
∂
∂
∂
∂
∂p
u(x, t) +
f[u(x, t)] =
Q u(x, t),
u(x, t) , (1)
(ρ − ρ0 )+
p = p0 +
∂t
∂x
∂x
∂x
∂ρ s,ρ=ρ0
1 ∂2p
∂p
2
kde u je N −rozměrný vektor hledaných veličin, f(u) je
+
(ρ − ρ0 ) +
(s − s0 )+
2
2
∂ρ
∂s ρ,s=s0
(nelineární) konvekční tok a Q(u, ∂u/∂x) je disipační tok.
s,ρ=ρ0
2 Nalezené rovnice jsou řešeny pro jednorozměrný případ
∂ p
(ρ − ρ0 )(s − s0 ) + . . . . (6)
+
rovinných, válcových a kulových vln.
∂ρ∂s
ρ=ρ0 ,s=s0
Protože člen (s − s0 ) je třetího řádu malosti, viz např.
[3], [4], mohou být všechny vyšší a smíšené členy v rozZvukové pole ve viskózní a tepelně vodivé tekutině je po- voji zanedbány a stavová rovnice pak může být ve třetím
psáno pomocí základních rovnic mechaniky tekutin (rov- přiblížení psána ve tvaru
γ
nice kontinuity, Navierova-Stokesova pohybová rovnice),
1
1
c2 ρ 0 ρ
−κ
−
p≈ 0
∇ · v,
(7)
viz např. [1], [2], [3],
γ
ρ0
cV
cp
∂ρ
+ ∇ · (ρv) = 0,
(2) přičemž uvažované změny entropie jsou způsobeny tepel∂t
nou vodivostí, viz např. [3], [4]. Symbol κ zde reprezentuje
součinitel tepelné vodivosti (je uvažován jako konstanta)
a c0 = γp0 /ρ0 je adiabatická rychlost šíření malého vzru∂v
chu.
ρ
+ (v · ∇)v = F − ∇p+
∂t
Rovnice kontinuity (2) je již formulována v konzervativ
η
2
ním
tvaru, je tedy třeba ještě upravit rovnici Navierovu+ η∇ v + ζ +
∇(∇ · v), (3)
3
-Stokesovu (3). S využitím vektorové identity
2. Rovnice v konzervativním tvaru
doplněných o stavovou rovnici
∇2 v = ∇(∇ · v) − ∇ × ∇ × v
(4) dostáváme
∂v
ρ
+
(v
·
∇)v
= F − ∇p+
kde ρ je hustota, v je vektor akustické rychlosti, p je tlak,
∂t
F je vektor vnějších objemových sil, s je měrná entropie,
4
η a ζ jsou příčná a objemová viskozita (uvažované jako
+ ζ + η ∇(∇ · v) − η∇ × ∇ × v. (8)
3
konstanty) a t je čas.
p = p(ρ, s),
Přijato 29. listopadu 2004, akceptováno 10. prosince 2004.
5
c ČsAS
M. Červenka: Modelování stojatých zvukových vln. . . Vynásobíme-li rovnici kontinuity vektorem akustické
rychlosti, dostaneme po rozepsání ve složkovém tvaru
vztah
∂ρ
∂
+ vi
(ρvj ) = 0.
(9)
vi
∂t
∂xj
Pravá strana rovnice (8) zapsaná ve složkovém tvaru
může být po sečtení s předchozím vztahem upravena do
tvaru
ρ
Akustické listy, 10(4), prosinec 2004, str. 5–8
kde v je složka akustické rychlosti podél souřadnice r. Vliv
vnějších objemových sil (reprezentovaný například gravitací) je zde zanedbán. Pro porovnání výsledků může být
rovnice (13b) zapsána ve druhém přiblížení ve tvaru
∂
c20
∂
2
2
2
(ρv) +
(γ − 1)ρ − c0 (γ − 2)ρ =
ρ0 v +
∂t
∂r
2ρ0
n
∂ ∂v
n
2
+ v . (14)
= − ρ0 v + b
r
∂r ∂r
r
∂vi
∂ρ
∂
∂vi
+ ρvj
+ vi
+ vi
(ρvj ) =
∂t
∂xj
∂t
∂xj
Počáteční podmínky pro soustavu (13) a prostředí v rov∂
∂
(ρvi vj ), (10) novovážném stavu mají tvar
= (ρvi ) +
∂t
∂xj
ρ0 c20
kde první člen byl sloučen se třetím a druhý se čtvrtým.
ρ = ρ0 , p = p 0 =
, v=0
Zanedbáme-li v rovnici (8) poslední člen na pravé straně
γ
(jeho velikost klesá exponenciálně od stěn, viz [2]), můžeme ji s využitím vztahu (10) psát v konzervativním tvaru pro t = 0 a okrajové podmínky pro dokonale tuhé stěny
∂
∂
(ρvi ) +
(ρvj vi + pδij ) =
∂t
∂xj
2
∂ vj
4
= Fi + ζ + η
, (11)
3
∂xi ∂xj
kde δij je Kroneckerovo delta.
Dosazením do poslední rovnice za tlak ze vztahu (7)
dostaneme konečně rovnici
γ ∂
∂
ρ0 c20 ρ
(ρvi ) +
δij =
ρvj vi +
∂t
∂xj
γ
ρ0
= Fi + b
∂ 2 vj
, (12)
∂xi ∂xj
∂ρ
∂p
=
=v=0
∂r
∂r
∂ρ
∂p
=
= 0, v = vm
∂r
∂r
pro r = r1 ,
pro r = r2 ,
kde vm je rychlost kmitání pravého (vnějšího) okraje rezonátoru. Okrajová podmínka pro r1 je splněna i v případě,
že r1 = 0 (v případě válcového a kulového rezonátoru to
znamená, že nemá žádnou vnitřní stěnu), a to z důvodu
symetrie.
4. Numerické řešení
Pro účely numerické analýzy je výhodné zavést bezrozkde b je koeficient difuze b = ζ + 4η/3 + κ(1/cV − 1/cp ), měrné veličiny
která tvoří společně s rovnicí kontinuity (2) uzavřenou souρ
ρv
r − r1
stavu dvou 3-D modelových rovnic ve třetím přiblížení
Λ= , M =
, X=
, T = ωt,
ρ0
πρ0 c0
r2 − r1
v konzervativním tvaru, pomocí níž je možné zkoumat
zvuková pole konečných amplitud v plynech.
kde ω je kmitočet buzení. Soustava (13) má při použití
bezrozměrných veličin tvar
3. 1-D modelové rovnice pro rovinné, vál ∂Λ
∂
M
nM
cové a kulové vlny
+
,
(15a)
=−
∂T
∂X Ω
ΩX
Pro jednorozměrný popis rovinných, válcových a kulových
2
M
∂
M
Λγ
nM 2
vln nahradíme v soustavě rovnic (2), (12) diferenciální ope+
+
+
=
T
∂X ΩΛ γπ 2 Ω
ΩXΛ
rátory divergence a gradient následujícím způsobem (viz
např. [5]):
GT V ∂
∂
M
nM
+ 2 2
+
, (15b)
XΛ
π Ω ∂X ∂X Λ
∂g
1 ∂(rn fr )
∂g
∂fi
,
,
→ n
→
∂xi
r
∂r
∂xi
∂r
kde Ω = ω/ω0 je bezrozměrný budicí kmitočet,
kde n = 0 pro rovinné vlny, n = 1 pro válcové vlny a n = 2 ω0 = πc0 /(r2 − r1 ) je první vlastní kruhový kmitočet pro
pro vlny kulové. Prostorová souřadnice podél rezonanční rovinné vlny a GT V = bω/ρ0 c2 je koeficient popisující ter0
dutiny je zde reprezentována symbolem r.
moviskózní ztráty.
Soustava modelových rovnic tedy přejde do tvaru
Soustava (15) může být zapsána ve formě nehomogenní
∂ρ
∂
n
konvekčně-difuzní rovnice (1) ve tvaru
+
(ρv) = − ρv,
(13a)
∂t
∂r
r
γ
∂
∂
∂
∂
c2 ρ 0 ρ
U(X, T ) +
F [U(X, T )] =
(ρv) +
=
ρv 2 + 0
∂T
∂X
∂t
∂r
γ
ρ0
∂
∂
n
∂ ∂v
n 2
=
Q U(X, T ),
U(X, T ) + W [U(X, T )] , (16)
+ v , (13b)
= − ρv + b
∂X
∂X
r
∂r ∂r
r
6
c ČsAS M. Červenka: Modelování stojatých zvukových vln. . .
Akustické listy, 10(4), prosinec 2004, str. 5–8
5
kde
x 10
U =
Λ
M
1.1
,
Ω
M2
Q =
(17a)
M
F =
W =
ΩΛ
0
+
Λγ
γπ 2 Ω
GT V ∂
∂
π 2 Ω2 ∂X ∂X
nM
−Ω
X2
,
nM
−Ω
XΛ
,
M Λ +
p [Pa]
1.05
1
(17b)
nM
XΛ
0.95
,
0
(17c)
(17d)
0.5
1
1.5
2
T /2π [–]
Obrázek 1: Tlak u stěny válcového rezonátoru. Řešení získané ve druhém přiblížení (označené tečkovaně) a v přiblížení třetím (označené čárkovaně) se navzájem překrývají.
V obou případech Ω = 1 (rezonance)
p [Pa]
kde U je vektor hledaných veličin zvukového pole, F je
nelineární konvekční tok, Q je difuzní (disipační) tok a W
reprezentuje geometrické zdroje (souvisí s formulací rovnic
v křivočarých souřadnicích).
5.2. Válcové vlny
Rozměrné veličiny zvukového pole dostaneme z numeV případě válcového rezonátoru (n = 1) vychází z lineární
rického řešení pomocí vztahů
teorie, viz např. [5], vlastní kmitočty jako řešení transcenρ = ρ0 Λ,
(18a) dentní rovnice
M
J1 (πΩ) = 0.
(18b)
v = πc0 ,
Λ
n γ
Λ
GT ∂
X M
p = ρ0 c20
−
, (18c) Vlastní bezrozměrné kmitočty rezonátoru jsou Ωi =
n
γ
ΩX ∂X
Λ
1,21967, 2,23313, 3,23832, . . . , z toho vyplývá, že nejsou
celočíselnými násobky kmitočtu základního.
2
kde koeficient GT = κω(1/cV − 1/cp )ρ0 c0 zahrnuje ztráty
Na obrázku 2 je uveden časový průběh tlaku v centru
vlivem tepelné vodivosti plynu.
(plnou čarou) a u stěny (přerušovanou čarou) válcového
rezonátoru při rezonančním kmitočtu Ω = 1,235306. Je
patrné, že v tomto případě nedochází k vybuzení pilo5. Numerické výsledky
vité rázové vlny (nejsou splněny rezonanční podmínky pro
Všechny numerické výpočty byly provedeny pro vzduchem vyšší harmonické) a že rezonanční kmitočet je díky nelinevyplněné rezonátory za normálních pokojových podmí- árním jevům posunut směrem k vyšším hodnotám oproti
nek, ve všech případech r1 = 0 cm a r2 = 10 cm (vál- hodnotám vyplývajícím z lineární teorie.
cový a kulový rezonátor v tomto případě nemá žádnou
vnitřní stěnu). Rezonátory byly ve všech případech buzeny
5
x 10
harmonickým kmitáním stěny ve vzdálenosti r2 rychlostí
1.6
vm = 0,54 m/s. Soustava modelových rovnic (16) byla ře1.4
šena pomocí centrálního semidiskrétního schématu publi1.2
kovaného v [6], ve všech případech byla prostorová souřadnice diskretizována na N = 1000 stejných intervalů.
1
0.8
5.1. Rovinné vlny
Numerické řešení pro případ rovinných vln je uvedeno na
obrázku 1. Dvě periody tlaku (Ω = 1 – rezonance) u jedné
z jeho stěn získané ve druhém přiblížení jsou vyznačeny
tečkovanou čarou, to samé v přiblížení třetím čarou přerušovanou. Z obrázku je patrné, že průběhy jsou identické
a že pro případ rovinných vln (rezonátor konstantního průřezu) je k popisu zvukových vln dostatečná teorie ve druhém přiblížení. Z obrázku je rovněž patrný vznik pilovité
rázové vlny, neboť pro všechny vyšší harmonické jsou splněny rezonanční podmínky (vyšší vlastní kmitočty jsou
celočíselnými násobky kmitočtu základního).
0
0.5
1
1.5
2
T /2π [–]
Obrázek 2: Tlak v centru válcového rezonátoru (plná čára)
a u jeho stěny (přerušovaná čára). Třetí přiblížení, Ω =
1,235306 (rezonance)
Na obrázku 3 je uvedeno porovnání tlaku v centru válcového rezonátoru vypočteného ve druhém (čárkovaně)
a třetím (tečkovaně) přiblížení. Ve třetím přiblížení vychází nižší amplitudy tlaku a vyšší rezonanční kmitočet
než v přiblížení druhém, což je způsobeno větší nelinearitou systému.
7
c ČsAS
M. Červenka: Modelování stojatých zvukových vln. . . Akustické listy, 10(4), prosinec 2004, str. 5–8
5
5
x 10
x 10
2
1.6
p [Pa]
p [Pa]
1.4
1.2
1
1.5
1
0.8
0
0.5
1
1.5
2
0.5
0
T /2π [–]
0.5
1
1.5
2
T /2π [–]
Obrázek 3: Tlak v centru válcového rezonátoru (v rezo- Obrázek 5: Tlak v centru kulového rezonátoru v rezonanci,
nanci), vypočtený ve druhém (čárkovaně) a třetím (tečko- vypočtený ve druhém (čárkovaně) a třetím (tečkovaně)
vaně) přiblížení
přiblížení
5.3. Kulové vlny
numerických schémat pro rovnice v konzervativním tvaru
umožňuje řešit velice intenzivní zvuková pole i v centru
V případě kulového rezonátoru (n = 2) vychází z lineární
symetrie rezonátorů, kde spektrální algoritmy, viz např.
teorie vlastní kmitočty jako řešení transcendentní rovnice
[5], selhávají. Použité numerické schéma vykazuje vysokou
stabilitu, nízkou numerickou disipaci a disperzi a nevyžatg (πΩ) = πΩ,
duje zavádění přídavného tlumení pro stabilizaci výpočtu.
viz [5]. Stejně jako v případě rezonátoru válcového, i zde Rovněž je velice snadno a přímočaře rozšiřitelné do více
jsou vlastní kmitočty neceločíselnými násobky kmitočtu dimenzí, takže umožňuje řešit rovnice zahrnující laterální
jevy ve zvukovém poli akustických rezonátoreů.
prvního, Ωi = 1,43030, 2,45902, 3,47089, . . . .
Na obrázku 4 jsou vykresleny dvě periody tlaku v centru
rezonátoru (plnou čarou) a na jeho okraji (přerušovanou Poděkování
čarou). Rezonanční kmitočet Ω = 1,447033 je opět vyšší,
než předpovídá lineární teorie a kvůli nesplnění rezonanč- Tato práce byla podpořena grantem GAČR 202/04/P099
ních podmínek pro vyšší harmonické nedochází ke vzniku a výzkumným záměrem MSM 212 300 016. Všechny numerické výpočty byly provedeny na počítači SGI ALTIX
rázové vlny.
3700 Centra intenzivních výpočtů ČVUT.
5
p [Pa]
2
x 10
Reference
[1] Blackstock, D. T.: Fundamentals of Physical Acoustics, John Willey & Sons, Inc., New York, 2000.
1.5
1
0.5
0
[2] Hamilton, M. F., Blackstock, D. T.: Nonlinear Acoustics, Academic Press, San Diego, 1998.
0.5
1
1.5
2
[3] Rudenko, O. V., Soluyan, S. I.: Theoretical foundations of Nonlinear Acoustics, Consultants Bureau, New
Obrázek 4: Tlak v centru kulového rezonátoru (plná čára)
York, 1977.
a u jeho stěny (přerušovaná čára). Třetí přiblížení, Ω =
[4] Makarov, S., Ochmann, M.: Nonlinear and Thermo1,447033 (rezonance)
viscous Phenomena in Acoustics, Part I, ACUSTICA
– acta acustica, Vol. 82, pp. 579–606, 1996.
Na obrázku 5 je uvedeno porovnání tlaků v centru
kulového rezonátoru ve druhém přiblížení (přerušovaně)
a v přiblížení třetím (tečkovaně). Stejně jako v případě [5] Červenka, M.: Akustická rezonance v poli rovinných,
cylindrických a sférických vln, Akustické listy 9(3), pp.
rezonátoru válcového, i zde teorie ve druhém přiblížení
17–21, 2003.
předpovídá vyšší amplitudy a nižší rezonanční kmitočet.
T /2π [–]
[6] Kurganov, A., Tadmor, E.: New High-Resolution Central Schemes for Nonlinear Conservation Laws and
Convection-Diffusion Equations, J. Comput. Phys,
Z numerických výsledků vyplývá, že při rezonanci válco160, pp. 241–282, 2000.
vých a kulových vln vznikají při stejném buzení zvuková
pole vyšších amplitud než v případě vln rovinných a kvůli
nesplnění rezonančních podmínek pro vyšší harmonické
nedochází ke generování rázové vlny. Využití diferenčních
6. Závěr
8
Akustické listy, 10(4), prosinec 2004, str. 9–13
c ČsAS
FPGA implementace LMS a N-LMS algoritmu pro
potlačení akustického echa
Tomáš Mazaneca a Marek Brothánekb
a
ÚTIA AV ČR, Pod Vodárenskou věží 4, 182 08 Praha 8, email: [email protected]
b
ČVUT–FEL, Technická 2, 166 27 Praha 6, email: [email protected]
This article describes implementation of echo canceller on a FPGA programmable device (Xilinx Virtex), which
was done. The solution of this adaptive filtering task was aimed to least squares algorithms, especially to the LMS
and normalized LMS algorithm. Used digital filters were the type of finite impulse response (FIR) in transversal
structure. The FPGA implementation was created in Handel-C language of DK 2.0 system (Celoxica) which is
designated to rapid prototyping flow. Real signals with echo were applied to practice the implementation.
1. Úvod
vzniká jako rozdíl mezi vstupním signálem dk a výstupem
AF – signálem dˆk , je ek signálem s potlačeným echem.
Cílem práce bylo implementovat metodu kompenzace echa
Jednou z dalších aplikací je také potlačování echa za
na platformě programovatelného obvodu – Field Pro- přítomnosti blízkého signálu. Situaci ukazuje obrázek 2.
grammable Gate Array (FPGA). Řešení zahrnuje jak Zde se kromě akustické zpětné vazby ũ(t) ještě přidává
praktické využití adaptivní filtrace, tak implementaci za- hlas mluvčího s(t), systém lze popsat vztahem:
dané úlohy do hardwarové podoby.
K řešení úlohy kompenzace echa bylo využito metody
d(t) = ũ(t) + s(t) = h(t) u(t) + s(t) .
(2)
nejmenších čtverců, resp. jedno z jejích řešení. Tím byla
v našem případě LMS a N-LMS aproximace nejmenších
Taková situace modeluje např. běžné telefonování v aučtverců. Adaptivní filtr založen na této aproximaci je zá- tomobilu s tzv. hands-free sadou.
kladem implementovaného systému potlačujícího echo.
h(t)
V implementaci na FPGA se předpokládalo využití výuk
hod platformy FPGA pro aplikace zpracování signálů.
AF
2. Popis systému
Wk
~
u(t)
^
e
k
dk
d
k
s(t)
Potlačování echa je jednou z mnoha úloh nejčastěji řešených pomocí adaptivní filtrace. Jedná se o adaptivní číslicový filtr (AF) zapojený v úloze identifikace, který se
Obrázek 2: Potlačování echa s blízkým signálem
snaží odhadnout parametry neznámého systému h(t). Blokové schéma systému je zobrazeno na obrázku 1 a lze jej
popsat rovnicí
Za předpokladu, že je signál mluvčího s(t) statisticky
d(t) = h(t) u(t) ,
(1) nezávislý vůči signálu echa ũ(t), se AF snaží potlačit signál echa ũ(t) tak, jako by signál mluvčího s(t) nebyl příkde h(t) je impulsní odezva neznámého systému, u(t) je tomen. Bohužel, v praxi není tato podmínka statistické
vyslaný akustický signál, d(t) je přijatý akustický signál nezávislosti ũ(t) a s(t) vždy splněna. Možností, jak situaci
obsahující echo a značí lineární konvoluci. Úkolem AF je lépe řešit, je adaptovat filtr pouze v časových úsecích, kdy
adaptovat své koeficienty tak, aby minimalizoval
výstupní mluvčí nepromlouvá. Adaptovaný filtr pak korektně pochybový signál ek , resp. jeho energii = E e2k , kde E [·] tlačuje echo ũ(t) signálu z reproduktoru i za přítomnosti
značí střední hodnotu signálu (viz [2]). Jelikož signál ek signálu mluvčího s(t). Toto řešení ovšem vyžaduje další
aparát pro detekci řečové aktivity mluvčího, nehledě na
další komplikace reálné situace v automobilu.
u
k
Pro potlačování echa lze použít i jiné adaptivní algoritmy. V úloze použité LMS a N-LMS jsou vhodné pro aplih(t)
kace v malých zatlumených prostorech (automobil apod.),
AF
Wk
^
kde se neznámý systém modeluje pomocí digitálního FIR
d
ek
k
d
k
filtru. Algoritmy z rodiny LMS jsou méně složité, jejich
výpočetní náročnost je řádově O(N ),
oprotikvalitativně
lepším algoritmům jako je např. RLS O(N 2 ) , viz [2]. NeObrázek 1: Úloha identifikace při potlačování echa
výhodou LMS algoritmů je jejich pomalejší konvergence a
Přijato 23. listopadu 2004, akceptováno 8. prosince 2004.
9
c ČsAS
T. Mazanec a M. Brothánek: FPGA Implementace. . . Akustické listy, 10(4), prosinec 2004, str. 9–13
v případě základního LMS algoritmu i závislost na energii 3.2. LNS – logaritmický numerický systém
vstupního signálu.
Logaritmický numerický systém (logarithmic numbering
system) vznikl jako výstup projektu HSLA na oddělení
2.1. LMS a N-LMS
Zpracování signálů ÚTIA AV ČR (podrobnosti viz [11]).
Algoritmy typu LMS (least mean squares) jsou aproximací Aritmetická jednotka LNS (LALU) implementuje základní
algoritmu rekurzivních nejmenších čtverců (RLS) (viz [2]). matematické operace necelých čísel v logaritmické oblasti
Odvození LMS vychází z úlohy, kdy je modelován neznámý (základu 2). Toto řešení využívá, dle matematického zásystém číslicovým filtrem s konečnou impulsovou odezvou kladu, výhod logaritmické oblasti, především faktu, že jsou
operace násobení a dělení transformovány na operace sčí(FIR). Jeho výstupní signál lze zapsat rovnicí:
tání a odčítání. Nevýhoda logaritmické oblasti je ovšem
(3) v operacích sčítání a odčítání, které je nutno řešit aprodˆk = wTk · uk ,
ximací. Mezi další nevýhody LNS obvykle patří nutnost
kde wk je vektor koeficientů filtru o délce N a uk je vektor
konverze čísel do logaritmické reprezentace.
vstupních dat délky N.
Vzhledem k tomu, že potlačení echa vyžaduje vysoký
Chybový signál systému s LMS algoritmem je pak
řád AF, čímž rostou nároky na chyby a rozsah zobrazení
(4) čísel, bylo v implementaci použito zobrazení s plovoucí řáek = dk − dˆk ,
dovou čárkou (floating point). Aritmetická jednotka LNS
kde dk je výstupní signál neznámého systému a dˆk je vý- byla potom vybrána jako alternativa k IEEE aritmetice
stupní signál modelujícího filtru (rovnice 3).
plovoucí čárky.
Změna (adaptace) koeficientů AF – wk pomocí LMS algoritmu závisí na předcházejících koeficientech filtru v čase Komponenty logaritmického systému
k −1 a na jejich „opravě, která závisí na výstupu systému
Rozebereme-li algoritmus LMS, zjistíme, že k jeho výek . Výsledný vztah pro adaptaci koeficientů je:
počtům potřebujeme provádět operace násobení a sčí(5) tání/odčítání. U algoritmu N-LMS je navíc potřeba operace dělení. Použité základní bloky LNS byly logaritmické
kde µ je parametr určující míru opravy koeficientů, při- násobení (LMUL), logaritmický součet (LADD) a logaritčemž jeho velikost je omezena ze shora energií signálu mické dělení (LDIV). Bloky násobení a dělení jsou ukáuk , tj. 0 < µ < 1/.
zány na obrázku 3. Jedná se o bloky se dvěma vstupy pro
Vylepšenou variantou LMS je normalizovaný LMS al- operandy, vstupem pro hodinový signál a výstupem pro
goritmus (N-LMS). Motivací k modifikaci LMS je potřeba výsledek.
nezávislosti konvergence algoritmu na parametrech vstupního signálu uk , resp. jeho energii (). Vztah pro adaptaci
LMUL 19
LDIV 19
koeficientů N-LMS je:
lhin [18:0]
lhin [18:0]
wk = wk−1 + µ ek uk ,
res [18:0]
α
ek uk ,
wk = wk−1 +
ε+
(6)
res [18:0]
rhin [18:0]
rhin [18:0]
clk
clk
kde α je konvergenční konstanta (0 < α < 2), je energie
vstupního signálu uk a ε > 0 je malá konstanta zabraňující Obrázek 3: Bloky násobení (LMUL) a dělení (LDIV) systému LNS v 19bitové verzi
divergenci v případě, kdy → 0 .
Konvergenční konstanty µ a α obou algoritmů mají výO něco složitější je blok součtu. Kvůli problematice opeznamný vliv na rychlost a stabilitu jejich konvergence.
race součtu v logaritmické oblasti je tento blok podstatně
komplikovanější a náročnější na HW prostředky FPGA.
3. Architektura návrhu
V implementaci byla použita zdvojená verze bloku sčítání (LADDSUB), která sdílí aproximační tabulky uložené
3.1. Implementace algoritmů na FPGA
v dual-portových blokových pamětech ([5]). Díky tomu
Jednou z velkých předností programovatelných obvodů umožňuje provádět dvě operace sčítání nebo odčítání naFPGA je možnost snadné paralelizace algoritmů, díky jednou (obrázek 4). Kromě operandů a výsledků má blok
které lze vytvářet velmi výkonné realizace algoritmů. Pro LADDSUB ještě dva vstupy, které řídí volbu mezi operací
popis implementace na polích typu FPGA se obecně použí- sčítání a odčítání.
vají HDL jazyky (high definition language), např.: VHDL,
Verilog. Jedním z moderních vývojových systémů je pro3.3. Řešení sumy součinů – MAC
středí DK od fy Celoxica [10], který byl použit při naší
implementaci. Vývojový systém DK je založen na progra- Suma součinů je při číslicové filtraci nejčastější opemovacím jazyce Handel-C, který vznikl modifikací ANSI C race. Jako vhodné se ukázalo vytvořit blok sumy součinů
pro programování paralelních systémů, a řadí se mezi tzv. (MAC) zvlášť a potom jej samostatně používat. Struktura
„rapid prototyping systémy.
bloku MAC je nastíněna na obrázku 5.
10
Akustické listy, 10(4), prosinec 2004, str. 9–13
c ČsAS T. Mazanec a M. Brothánek: FPGA Implementace. . .
LADDSUB 19
clk
LADDSUB
sub1
sub2
rhin2
res1 [18:0]
res2 [18:0]
lhin2
rhin1
res2
ladd_res2
res1
ladd_res1
lhin1
lhin1 [18:0]
rhin1 [18:0]
lhin2 [18:0]
rhin2 [18:0]
ladd_a1
ladd_b1
ladd_a2
ladd_b2
a2
a1
b1
MAC 1
en1
res1
res2
rdy1
rdy2
MAC 2
b2
en2
Obrázek 4: Blok sčítání (odčítání) – LADDSUB – dvojité
Obrázek 6: Řešení sumy součinů (MAC) pro algoritmus
provedení
N-LMS
LADDSUB
rhin2
Délka výpočtu jednoho výsledku pro daný algoritmus
určuje spolu s maximální taktovací frekvencí FPGA výkonnost implementace. Délky výpočtů v hodinových cyklech obvodu (nezávislé na typu FPGA) ukazuje tabulka 2.
res2
lhin2
rhin1
res1
lhin1
ladd_a1
REG
ladd_res1
ladd_b1
REG
blok
clk
b
LMUL
HOLD
en
REG
a
res
MAC
N+11
LMS
2M+32
N-LMS
2M+33
Tabulka 2: Délky výpočtů jednoho výsledku v hodinových
cyklech (N – délka vstupních dat, M – řád filtru)
rdy
MAC macro
Výkonnost implementace lze porovnat nejvyšším dosaObrázek 5: Řešení sumy součinů (MAC) pro algoritmus ženým řádem filtru v závislosti na maximální vzorkovací
LMS
frekvenci signálu, se kterým je filtr schopen pracovat. Oba
parametry se zvyšují s rostoucí taktovací frekvencí FPGA
a je mezi nimi nepřímá úměra. Vybrané nejvýkonnější
Jednotka MAC používá jednu polovinu sčítačky LADDkombinace pro implementaci N-LMS algoritmu na FPGA
SUB připojené z vnějšku a jeden blok násobení LMUL.
XCV2000E udává tabulka 3 (vpodstatě i pro LMS, viz
Komponenta LADDSUB je připojena jako externí proto,
tab. 2).
aby bylo možné využít její druhou polovinu (jako
u N-LMS, viz dále) nebo ji využít v době, kdy MAC nevzorkovací
řád
pracuje. Důvodem je úspora HW prostředků FPGA. Část
frekvence
filtru
označená jako HOLD posílá částečné součty zpět do sčí8 kHz 3100
tačky, odesílá platné výsledky a prezentuje výsledek sig11 kHz 2200
nálem RDY.
16 kHz 1500
Pro algoritmus N-LMS je zapotřebí provádět dvě sumy
22 kHz 1000
součinů najednou. Proto řešení N-LMS používá dvě jed44,1 kHz
550
notky MAC paralelně (obrázek 6).
Tabulka 3: Výkonnost implementace – nejvyšší řád N-LMS
vůči max. vzorkovací frekvenci (FPGA XCV2000E4. Výsledky implementace algoritmů
-50MHz, 19bit přesnost)
Algoritmy byly implementovány na FPGA typu Xilinx
Virtex XCV2000E. Ve výsledcích neuvažujeme bloky pro
Poznámka: Uvedené výsledky implementace se vztapřevody z/do logaritmického vyjádření. Vlastnosti implehují ke konfiguraci bloků dle obrázků 5 a 6, která je navrmentace shrnuje tabulka 1.
žena pro malé obsazení čipu. Možnost zvýšení výkonnosti
implementace za cenu většího obsazení čipu FPGA je rozrealizovaný 19bit
32bit
vedena v závěru článku.
blok
MAC
LMS
N-LMS
max. frekv.
51,1 MHz
50,2 MHz
51,5 MHz
slices
6,9 %
8,3 %
9,8 %
max. frekv.
50,6 MHz
47,5 MHz
49,8 MHz
slices
10,7 %
12,6 %
13,3 %
Tabulka 1: Výsledky implementace na XCV2000E: Spotřeba zdrojů (slices) a maximální taktovací frekvence
5. Experiment na reálných datech
5.1. Testování implementace
Implementace byla prakticky prověřena na zaznamenaných reálných signálech s echem. Pro testování byl z kaž11
c ČsAS
T. Mazanec a M. Brothánek: FPGA Implementace. . . dého ze signálů vybrán krátký úsek, který byl použit jako
vstupní signál algoritmů. Délka těchto úseků byla 1,25 s
(20000 vzorků).
Výsledky experimentů spočítané na hardware byly porovnány se simulací v Matlabu.
Akustické listy, 10(4), prosinec 2004, str. 9–13
řád
„sinus“
„sum“
„mluvena-m“
„umela-m“
„mluvena-f“
„umela-f“
50
2,41
3,21
14,2
5,31
2,69
4,62
ERLE
[dB]
500
3,67
4,35
16,0
8,65
4,24
8,80
250
2,29
2,49
17,1
5,00
4,87
6,64
1000
8,71
8,20
14,4
12,4
6,42
13,5
5000
13,1
13,1
11,5
14,1
15,2
15,7
10000
15,9
15,9
12,8
16,9
21,8
18,7
Potlačení echa bez signálu mluvčího
Jako kritérium pro posouzení potlačení echa bez signálu
mluvčího s(t) (tzv. near-end signálu) byl vybrán poměr Tabulka 5: Vyhodnocení ERLE potlačení echa se signálem
signál a šumu (SNR) definovaný jako:
mluvčího „mluvena-m při SNRf n = −10 dB
ek
,
(7)
SNR = 10 log
d k
1. Sinusový o frekvenci 1 kHz.
kde ek je energie chybového signálu a dk je energie signálu
2. Frekvenčně omezený bílý šum, střední frekvence
s echem.
1 kHz, rozptyl ±200 Hz.
Výsledné hodnoty potlačení echa (SNR) pro tento experiment ukazuje tabulka 4.
3. Umělý řečový signál mužského mluvčího, signál odpovídá telekomunikačnímu standardu ITU-T P.50.
LMS
N-LMS
Vzorkovací kmitočet zdrojového signálu je 16 kHz.
signál
„mluvena-m“
„umela-m“
„sum“
řád
50
250
500
1000
5000
10000
50
250
500
1000
5000
10000
50
250
500
1000
5000
10000
konverg.
konst.
0,2
0,17
0,1
0,06
0,01
0,007
1,1
0,3
0,19
0,1
0,03
0,03
0,7
0,5
0,7
0,45
0,05
0,05
SNR
[dB]
−3, 87
−10, 4
−11, 9
−14, 4
−18, 1
−20, 0
−2, 84
−4, 17
−5, 22
−6, 73
−9, 55
−12, 9
−1, 98
−5, 34
−7, 41
−9, 40
−16, 2
−19, 5
konverg.
konst.
1
0,6
1
1,7
1,7
1,9
1
0,6
0,8
1
1,6
1,9
1
0,6
1
1
0,8
0,9
SNR
[dB]
−4, 88
−10, 3
−12, 1
−16, 4
−19, 7
−20, 8
−2, 32
−4, 68
−4, 25
−6, 62
−11, 4
−15, 1
−3, 00
−5, 98
−7, 20
−9, 94
−16, 2
−20, 4
4. Řečový signál mužského mluvčího vzniklý záznamem
z rozhlasového přijímače. Vzorkovací kmitočet zdrojového signálu je 16 kHz.
Záznamová aparatura (obrázek 7) byla složena z následujících komponent:
◦ Měřicí mikrofony B&K 4190.
◦ Měřicí systém B&K Pulse.
◦ Třípásmová reprosoustava B&W.
◦ DAT rekordér/přehrávač: SONY TCD D100.
1100cm
890cm
Tabulka 4: Vyhodnocení SNR potlačení echa bez signálu
mluvčího
70cm
Potlačení echa se signálem mluvčího
M1
M2
K vyhodnocení tohoto experimentu byl použit parametr
ERLE (echo return loss enhancement, viz [9]), jako poměr
směsi echa se signálem mluvčího ku signálu chybovému
Obrázek 7: Záznamová aparatura v laboratoři, mikrofon
(d +n )
ERLE = 10 log k k ,
(8) M1 – levá stopa záznamu, mikrofon M2 – pravá stopa
ek
kde (dk +nk ) je energie směsi signálů echa a mluvčího a ek
je energie chybového signálu.
Tabulka 5 udává vyhodnocení potlačení echa pro poměr
echa ku signálu mluvčího SNRf n = −10 dB.
6. Závěr
Z tabulky 2 ukazující délky výpočtů výsledku jednotlivých
algoritmů je vidět, že díky paralelizaci N-LMS algoritmu
Měření dat
je délka jeho výpočtu jen o jeden hodinový cyklus delší než
Záznamy reálných signálů byly pořízeny v laboratoři ka- u algoritmu LMS. Z toho je patrná výhoda paralelní artedry fyziky ČVUT–FEL. Na digitální médium DAT byly chitektury FPGA pro implementace algoritmů zpracování
se vzorkovacím kmitočtem 44,1 kHz nahrány tyto signály: signálů.
12
Akustické listy, 10(4), prosinec 2004, str. 9–13
c ČsAS T. Mazanec a M. Brothánek: FPGA Implementace. . .
Zvýšení výpočetního výkonu implementace lze dosáhnout zvětšením počtů bloků MAC. Tím se výpočty rozdělí do více paralelních cest. Taková implementace však
spotřebuje větší část z HW prostředků FPGA. Rozdělení
výpočtů je, mimo jiné, podmíněno současnou dostupností
dat, se kterými se výpočty provádějí. V případě námi implementovaných algoritmů není problém tuto podmínku
splnit.
Pokud by praktické použití implementace vyžadovalo
vyšší vzorkovací frekvence vstupních signálů, než dosáhla
implementace s malým obsazení čipu (viz tabulka 3), lze
jinou konfigurací bloků algoritmů dosáhnout jejího zvýšení
(viz výše).
V jednom případě experimentu potlačování echa se signálem mluvčího je porušena, v textu uvedená, podmínka
o statistické nezávislosti mezi signálem mluvčího a signálem echa. Ve vyhodnocení (viz tab. 5) je patrné, že jde
o signál označený „mluvena-m. V dotyčném řádku tabulky vidíme klesající trend hodnot ELRE s rostoucím řádem N-LMS, přitom ostatní kombinace signálů mají trend
rostoucí. Tento rozdíl připisujeme faktu, že lépe aproximující filtr (vyšší řád) více potlačuje složky signálu echa
i signálu mluvčího.
Vzhledem k tomu, že v létě roku 2004 byla vydána
nová verze LNS aritmetiky, která vznikla s použitím nových verzí vývojových nástrojů, lze nyní blok operace sčítání (LADDSUB) provozovat při taktovacích kmitočtech
FPGA až 90 MHz. Díky tomu bude další verze systému
potlačujícího echo výkonnější.
Naši současnou implementaci bude účelné porovnat s jinými implementacemi dalších adaptivních algoritmů, jako
je QR-RLS, Lattice-RLS a další (viz [4], [7] a [8]).
Poděkování
Tento příspěvek byl podporován výzkumným záměrem
MSM 212 300 016.
Reference
[1] Sovka, P., Pollák, P.: Vybrané metody číslicového
zpracování signálů, skripta ČVUT, 2001.
[2] Proakis, J. G., Moonen, M., Proudller, I. K., et al.:
Algorithms for statistical signal processing, Prentice-Hall, 2002.
[3] Haykin, S.: Adaptive filter theory, 2nd edition,
Prentice-Hall, 1991.
[4] Albu, F., Kadlec, J., Softley, C., Matoušek, R.,
Heřmánek, A., Coleman, J. N., Fagan, A.: Implementation of (Normalised) RLS Lattice on Virtex,
In: Field-Programmable Logic and Applications, Proceedings (Brebner, G., Woods, R. eds.) (Lecture Notes in Computer Science. 2147), Springer, Berlin 2001,
pp. 91–100.
[5] Coleman, J. N., Kadlec, J.: Extended Precision Logarithmic Arithmetic, In: Signal Systems and Computers 2000, 34th Asilomar Conference on Signal Systems and Computers, Proceedings IEEE Signal Processing Society, Monterey 2001, pp. 124–129.
[6] Matoušek, R., Tichý, M., Pohl, Z., Kadlec, J., Softley, C.: Logarithmic number system and floating-point
arithmetics on FPGA, In: Field-Programmable Logic
and Applications: Reconfigurable Computing Is Going Mainstream.
[7] Heřmánek, A., Pohl, Z., Kadlec, J.: FPGA implementation of the adaptive lattice filter, In: FieldProgrammable Logic and Applications, Proceedings
of the 13th International Conference, (Cheung,
P. Y. K., Constantinides, G. A., de Sousa, J. D. eds.),
(Lecture Notes in Computer Science. 2778), Springer,
Berlin 2003, pp. 1095–1098.
[8] Schier, J., Heřmánek, A.: FPGA implementation of
recursive QR update using LNS arithmetic, In: Proceedings of the 4th IEEE Benelux Signal Processing Symposium, Technical University, Delft 2004,
pp. 1–4.
[9] Stenger, A., Rabenstein, R.: An acoustic echo canceller with compensation of nonlinearities, proceedings EUSIPKO 98, Sept. 1998, pp. 969–972.
[10] http://www.celoxica.com
[11] http://www.utia.cas.cz/ZS/projects/hsla
13
c ČsAS
Akustické listy, 10(4), prosinec 2004, str. 15–18
Příspěvek ke způsobu určení optimální pracovní frekvence
interferometru pro ultrazvukovou detekci termálních značek
Jaroslav Plocek
ČVUT–FEL, Technická 2, 166 27 Praha 6
e-mail: [email protected]
This paper shortly reviews several recently checked methods for optimal interferometer frequency searching in
liquid marking flowmeters and describes their problems. It introduces some other searching criteria and their
testing in view to their use in these flowmeters.
1. Úvod
(které se následně přímou metodou pouze rychle ověří).
Výzkumný potenciál nepřímých metod se proto pokoušíme
V rámci výzkumu kapalinového průtokoměru s termální
náležitě využít.
značkou, generovanou i detekovanou ultrazvukem z vnější
strany trubice [1], hledáme stále optimální metody pro de2.2. Vyhledávací kritéria pro nepřímé metody
tekci termální značky. Hlavní kritéria výběru jsou přitom
spolehlivost detekce, relativní jednoduchost systému i sig- Kmitočtová závislost přenosu napětí mezi měniči interfenálových procedur a s tím úzce související rychlá schopnost rometru je (v okolí jejich pracovní frekvence) převážně uradaptace systému na nové prostředí (trubici i kapalinu). čena skládáním několika vlnění stejné frekvence s obecně
Tento článek má za cíl informovat o dalších možnostech, různou a kmitočtově závislou amplitudou a fází (uvažukteré jsme vyzkoušeli a které nás k hledanému cíli přibli- jeme současné šíření kapalinou i pláštěm trubice, v plášti
žují.
pak možnost existence podélné, příčné i povrchové vlny).
Při napájení vysílacího měniče sinusovým signálem s konstantní
amplitudou bude napětí na přijímacím měniči
2. Aplikovaná metoda ultrazvukové de-
tekce termálních značek
Používáme interferometrickou metodu se dvěma měniči,
uloženými proti sobě z obou vnějších stran trubice [2]. Její
výhodou je vysoká citlivost detekce, hlavním problémem
pak rozsáhlé spektrum rezonancí, odpovídajících různým
vibračním modům trubice i kapaliny. Je tedy třeba řešit
otázku vhodného naladění vysílací frekvence tak, aby dosažená rezonance reprezentovala vlnu procházející kapalinou a nesla informaci o rychlosti šíření v ní. Této problematice je převážně věnován následující text.
u(ω, t) =
n
Ui (ω) sin(ωt + ϕi (ω)) ,
(1)
i=1
kde závislosti Ui (ω) a ϕi (ω) jsou v uvažovaném relativně
úzkém kmitočtovém pásmu výrazně ovlivněny především
podmínkami vzniku stojatého vlnění v kapalině a trubici.
Při splnění známé podmínky


k = 1, 2, 3, . . .
λi
 li – délka dráhy
obě příslušné šíření 
l=k
2
λi – vlnová délka
v některém z prostředí
(2)
(ω)
svého
v
některém
z
obou
prostředí
nabývá
příslušné
U
i
2.1. Metody vyhledávání optimální frekvence a jemaxima a ϕi (ω) hodnoty 0 nebo π. Výsledný signál na přijich hodnocení
jímací straně je za těchto podmínek opět sinusový s kmiObecně je lze rozdělit na
točtově závislou amplitudou a fází
◦ přímé – vhodnost nalezené frekvence k měření je testována přímo termální značkou [1, 2],
u(ω, t) = U (ω) sin(ωt + ϕ(ω)) .
(3)
Jeho průběh lze analyticky určit jen při detailní zna◦ nepřímé – vhodnost nalezené frekvence k měření je losti vlastností prostředí (obtížné), experimentálně pak
zjišťována z jejích vlastností (např. z činitele jakosti, poměrně snadno. Z těchto důvodů navrhujeme a prověřujeme skupinu nepřímých metod, pokoušejících se nalézt
[4]).
optimální frekvenci podle kritéria
Přímá metoda vede vždy k nalezení frekvence vhodné
1. maxim závislosti amplitudy na frekvenci
k měření (pokud taková frekvence existuje). Podstatnou
2. minim závislosti amplitudy na frekvenci
nevýhodou přímé metody je však často z aplikačního hle3. maxim |∂A/∂ω|
diska nepřípustně zdlouhavá testovací procedura.
4. maxim |∂ϕ/∂ω|
Nepřímé metody naproti tomu nezaručují spolehlivé na5. maxim činitele jakosti Q [4] (obsahuje předchozí podlezení optimální frekvence. V závislosti na sledovaných krimínky).
tériích mohou však poskytnout rychle a efektivně výsledky
Přijato 24. listopadu 2004, akceptováno 9. prosince 2004.
15
c ČsAS
J. Plocek: Příspěvek ke způsobu určení optimální. . . K realizaci měření podle uvedených kritérií
Veškerá měření podle 1) až 5) lze realizovat postupným
vyhodnocováním výstupů amplitudového a fázového detektoru při současném krokovém zvyšování či snižování
frekvence. Komplexnější, rychlejší i jednodušší možností
je zavedení kmitočtové či fázové modulace s malým zdvihem do signálu pro vysílací měnič. Na přijímací straně lze
pak snadno z přítomnosti a hloubky amplitudové modulace v signálu (detekce FM na boku rezonanční křivky)
usuzovat na míru naplnění dynamických kritérií 3) a 4),
resp. 5).
Okolnosti vzniku blízkých rezonancí
Podmínka vzniku stojatého vlnění (2) může být v soustavě trubice – kapalina obecně splněna i pro dvě blízké
frekvence f1 a f2 takové, že
|f1 − f2 | ≤ B ,
(4)
kde veličinou B je míněna šířka pásma, určená činitelem
jakosti některé z obou rezonancí
B=
f1,2
.
Q1,2
(5)
Kmitočtová závislost přenosu napětí mezi měniči interferometru je pak v okolí f1 a f2 členitější a její vhodnost
k měření závisí na tom, zda jsou obě stojaté vlny realizovány v kapalině, nebo obě či některá v plášti trubice.
Je proto na místě zvážit pravděpodobnost výskytu zmíněných situací.
Pro kapalinový průtokoměr (ckap ≈ 1500 ms−1 ) s měniči
na pracovní frekvenci f0 ≈ 2,5 MHz je λkap = ckap /f0 =
0,6 mm, podmínka (2) je splněna např. při průměru tru.
bice d = 8 mm pro k = 2d/λkap = 27. Rozdíl sousedních
frekvencí je
Akustické listy, 10(4), prosinec 2004, str. 15–18
Simulovaná
značka
T
φD
Interferometr
A
Amplitudový
detektor
ϕ
Fázový
detektor
R
Interfer.
generátor
Osciloskop
Obrázek 1: Schéma uspořádání experimentu
3. Experimentální ověření
3.1. Uspořádání experimentu
Ověření účinnosti jednotlivých výše uvedených kritérií pro
vyhledávání optimální frekvence jsme prováděli v uspořádání podle obrázku 1. Skleněná trubička (použité vnější
průměry 6, 10, 12 a 13 mm) byla naplněna vodou při laboratorní teplotě. Piezokeramické měniče o průměru 8 mm a
pracovní frekvenci 2,5 MHz byly přitisknuty na trubičku
rovnoběžně z obou stran pomocí speciálního přípravku.
Syntezátorový budicí generátor umožňoval při frekvencích
okolo 2,5 MHz frekvenční krok 1 kHz a frekvenční modulaci
externím signálem s nastavitelným zdvihem. Signál z přijímacího měniče byl vyhodnocován pomocí amplitudového detektoru, fázoměru a osciloskopu. Termální značka
byla simulována mechanickým vkládáním malé nehomogenity s odpovídajícím účinkem (ocelový drátek o průměru
0,3 mm).
3.2. Postup měření a naměřené hodnoty
ckap
ckap
=
= 93,7 kHz . V kmitočtovém pásmu 2,3–2,5 MHz byly postupně s kro∆fk = fk+1 − fk = [(k + 1) − k]
2d
2d
(6) kem 1 kHz vyhledávány frekvence, při nichž byly na přijíČinitel jakosti Qkap mívá (ze zkušenosti) hodnotu řá- mací straně shledány následující stavy
dově 103 , odpovídající šířka pásma je Bkap = f0 /Qkap =
a) maximum amplitudy
2, 5 kHz. Je tedy
b) minimum amplitudy
c) vysoká hodnota |∂A/∂ω|
(7)
Bkap ∆fk ,
d) vysoká hodnota |∂ϕ/∂ω|
takže výše zmíněný případ nemůže nastat při šíření pouze
e) amplitudová modulace signálu
v kapalině.
Zároveň bylo pro každou takto nalezenou frekvenci ověPro poměry v plášti trubice (l ≈ (π/2)d, cp > ckap , řováno, zda a s jakou citlivostí reaguje na (simulovanou)
Qp ≤ Qkap ⇒ Bp ≥ Bkap ) zůstává nerovnost (7) v plat- termální značku. Výsledky měření pro trubičku o průměnosti. Je tedy i kmitočtová odlehlost dvou sousedních re- rech 10/7 mm jsou shrnuty v následující tabulce 1.
zonancí v plášti trubice dostatečně velká, než aby mohlo
dojít k jejich vzájemnému ovlivnění.
4. Interpretace výsledků
Vzájemně se ovlivňující blízké rezonance zaregistrované
měřením mají proto původ výhradně v kombinaci šíření Pro posouzení efektivnosti jednotlivých vyhledávacích kritérií jsou nejvýznamnější výstupní hodnoty, vyjadřující
pláštěm trubice a kapalinou.
16
Akustické listy, 10(4), prosinec 2004, str. 15–18
c ČsAS J. Plocek: Příspěvek ke způsobu určení optimální. . .
citlivost detekce značky, tedy ∆A, ∆ϕ nebo ∆Am .
Stanovíme-li práh spolehlivé detekce na pozadí přirozených fluktuací na 10 %, můžeme vyjádřit pravděpodobnost
detekce na frekvencích vyhledaných podle příslušného kritéria jako
P =
počet frekvencí vyhovujících podmínce 10% prahu
.
celkový počet všech nalezených frekvencí
Hodnoty P pro jednotlivá kritéria jsou sestaveny v následující tabulce:
kritérium
a)
b)
c)
d)
e)
P
0,44
1
1
1
1
K jemnějšímu rozlišení efektivnosti a určení pořadí zbývajících čtyř relativně spolehlivých kritérií b) až e) se nabízí
střední hodnota
n
∆max =
∆i,max
i=1
přísné periodicitě) realizovat efektivněji (rychleji a
s vyšší citlivostí), než vyhledávání podle ostatních kritérií
Výsledky měření pro ostatní průměry trubiček využívané v experimentech potvrzují obecné závěry zde uvedené.
5. Závěr
V příspěvku byla prověřena vyhledávací kritéria nepřímých metod pro určování optimální pracovní frekvence
interferometru využívaného k detekci termálních značek.
Největší efektivnost byla shledána u metodiky využívající
přídavnou frekvenční modulaci budicího signálu interferometru a její následnou detekci formou vyhledávání amplitudové modulace v přijímaném signálu.
Poděkování
určená ze souboru nadprahových citlivostí zvlášť pro každé
kritérium (v tabulce 1 vyznačeny tučným tiskem). Výsledky a z nich vyplývající pořadí jsou v další tabulce:
kritérium
b)
c)
d)
e)
∆i,max
17,5 18,3 16,0 32,7
Pořadí
3
2
4
1
Ke stejnému pořadí efektivnosti kritérií vede hodnocení
podle parametru ∆ (střední hodnota souhrnné citlivosti),
jak je uvedeno v tabulce poslední:
kritérium
b)
c)
d)
e)
∆
24,3 26,4 22,2 32,7
Pořadí
3
2
4
1
Tento výzkum je podporován výzkumným záměrem číslo
MSM 212 300 016.
Reference
[1] Malinský, K., Plocek, J.: A new kind of ultrasonic flowmeter for measuring small flow rates, 35th International Conference on Ultrasonics and Acoustic Emission,
Třešť, (Czech Republic), s. 14–18, September 1998
[2] Plocek, J.: Metody detekce průchodu značky v ultrazvukovém značkovacím průtokoměru pro měření malých
průtoků kapalin, 13. konferencia slovenských a českých
fyzikov, Zvolen, s. 23–26, August 1999
(pro e) je ∆i,max = ∆). Souhrnná citlivost ∆ vyhodnocuje vyhledávání využívající současně signálů z fázového i
[3] Plocek, J.: Ověřování možností UZ detekce indukovaamplitudového detektoru.
ných termálních značek v proudící kapalině, 60. akusZjevně nejúspěšnější vyhledávací kritérium e) má však
tický seminář & 36. akustická konference, Kouty, sborještě další přednosti:
ník s. 141, ISBN 80-01-02179-3, květen 2000
◦ frekvence podle něho vyhledané lze prakticky v 90 %
případů ztotožnit s frekvencemi vyhledanými podle [4] Plocek, J., Malinský, K.: Ultrasonic Thermal Mark
Flowmeter Criteria for Searching Optimal Interferoostatních kritérií a poskytujícími zároveň nadprahometer Operational Frequency, CTU Reports, Proceevou citlivost detekce
dings of Workshop 2002, Vol. A, p. 142, ISBN 80-01◦ vyhledávání modulační frekvence v přijímaném sig02511-X, February 2002
nálu lze na pozadí rušivých signálů (vzhledem k jeho
Tabulka 1: Přehled výsledků měření
a) Maxima amplitudy:
Id.č.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f [MHz]
2,339
,358
,444
,494
,590
,639
,659
,672
,765
A[%]
90
80
88
95
55
80
70
66
80
|∆A|[%]
10
10
8
0
0
15
5
5
25
ϕ[%]
57
53
50
88
0
37
74
90
22
|∆ϕ|[%]
3
5
3
0
0
3
3
0
3
∆ = |∆A| + |∆ϕ|
13
15
11
0
0
18
8
5
28
∆ = 12,25
AM
32
17
c ČsAS
J. Plocek: Příspěvek ke způsobu určení optimální. . . Akustické listy, 10(4), prosinec 2004, str. 15–18
b) Minima amplitudy:
Id.č.
10
11
12
13
14
15
16
17
f [MHz]
2,355
,378
,426
,443
,470
,559
,579
,648
A[%]
40
50
40
50
15
7
18
28
|∆A|[%]
10
15
15
10
15
15
15
20
ϕ[%]
45
18
28
55
70
20
33
40
|∆ϕ|[%]
5
5
0
5
10
40
15
0
∆ = |∆A| + |∆ϕ|
15
20
15
15
25
55
30
20
∆ = 24,3
AM
33
34
35
37
38
39
c) Vysoké hodnoty |∂A/∂ω|:
Id.č. f [MHz]
18
2,344
19
,357
20
,423
21
,425
22
,558
23
,645
24
,648
25
,743
26
,766
|∆A/∆ω|
72
55
67
35
15
45
40
18
80
|∆A|[%]
20
10
15
25
15
5
15
15
20
ϕ[%]
40
60
41
37
30
60
30
85
20
|∆ϕ|[%]
5
5
3
10
25
10
25
15
0
∆ = |∆A| + |∆ϕ|
25
15
18
35
40
15
40
30
20
∆ = 26,4
AM
d) Vysoké hodnoty |∂ϕ/∂ω|:
Id.č. f [MHz]
27
2,471
28
,562
29
,581
30
,642
31
,694
|∆ϕ/∆ω|
20
37
27
75
15
|∆A|[%]
5
8
10
3
10
ϕ[%]
75
68
5
37
15
|∆ϕ|[%]
20
20
5
10
20
∆ = |∆A| + |∆ϕ|
25
28
15
13
30
∆ = 22,2
AM
40
e) Amplitudová modulace:
Id.č.
32
33
34
35
36
37
38
39
40
f [MHz]
2,339
,428
,441
,472
,534
,563
,579
,651
,695
Am [%]
70
29
45
30
55
25
30
20
11
∆Am[%]
65
27
42
28
52
23
28
19
10
∆ = 32,7
Souvislost s Id.č.
1
12
13
14
–
15
16
17
31
Vysvětlivky:
Id.č.
f [MHz]
A[%]
|∆A|[%]
ϕ[%]
–
–
–
–
–
|∆ϕ|[%]
∆ = |∆A| + |∆ϕ|
∆
AM
|∆A/∆ω|
|∆ϕ/∆ω|
Am [%]
∆Am [%]
AM
–
–
–
–
–
–
–
–
–
18
identifikační číslo nalezené frekvence
hodnota nalezené frekvence
relativní amplituda (ve vztahu k maximální možné hodnotě)
změna relativní amplitudy vyvolaná zavedením značky („citlivost v amplitudě), v abs. hodnotě
fázový posun signálu na přijímací straně vůči straně vysílací, vyjádřeno v procentech rozsahu
fázoměru (180◦ )
změna fáz. posunu vyvolaná zavedením značky („citlivost ve fázi), v absolutní hodnotě
součet změn rel. amplitudy a fáze vyvolaných zavedením značky (souhrnná citlivost)
střední hodnota ∆ pro soubor dílčí tabulky
odkaz na Id.č. frekvence, na níž byla nezávisle detekována amplitudová modulace
změna relativní amplitudy vyvolaná kmitočtovým skokem 1 kHz (bez ohledu na znaménko)
změna fáz. posunu vyvolaná kmitočtovým skokem 1 kHz (bez ohledu na znaménko)
hloubka AM v přijímaném signálu
změna hloubky modulace vyvolaná zavedením značky
odkaz na související Id.č. frekvence nalezené podle výskytu AM v přijímaném signálu
Akustické listy, 10(4), prosinec 2004, str. 19–22
c ČsAS
Aktivní potlačování harmonických ve válcovém akustickém
rezonátoru
Petr Koníček
ČVUT–FEL, Technická 2, 166 27 Praha 6
e-mail: [email protected]
New approximate solution of the inhomogeneous Burgers equation for real fluid in stationary state regime is
shown in this work. This solution is derived using the Prandtl’s technique. Validity of the approximate solution is
verified by comparison with the numerical one. The method of the active second harmonic suppression in nonlinear
acoustical resonator is analyzed in this work. The finite-amplitude standing waves in a resonator of a constant
diameter can be described by means of the inhomogeneous Burgers equation. The resonator is driven by a piston
whose motions are characterized by two superposed sinusoidal motions. The frequency of the first motion f is
equal to the resonator eigenfrequency and the frequency of the second one is 2f and its the phase shift is 180
degrees.
1. Úvod
Využití nelineárních stojatých vln konečné amplitudy je
omezeno nelineárním útlumem, který vyvolává akustický
saturační efekt. Důležitou charakteristikou rezonátoru je
činitel jakosti Q, který udává, kolikrát je amplituda stojaté
vlny v rezonátoru větší než amplituda budicích kmitů. Rezonátory s vysokým činitelem jakosti lze využít například
jako akustické tepelné stroje, akustické kompresory nebo
chemická dezintegrační zařízení. Činitel jakosti Q závisí
na amplitudě kmitů budicího pístu prostřednictvím nelineárního útlumu. Nelineární útlum je spojen s nelineární
interakcí akustických vln, kdy dochází ke generaci vyšších
harmonických. Protože termoviskózní útlum je úměrný
čtverci kmitočtu, je možné snížit vliv nelineárního útlumu,
jestliže potlačíme tyto kaskádní vlnové procesy.
Existuje více metod potlačení nelineárního útlumu a tím
i zvýšení činitele jakosti daného rezonátoru. Jedna z těchto
metod je založena na aktivním potlačení druhé harmonické komponenty zvukové vlny v rezonátoru [1], [2]. Další
z těchto metod je pasivní a využívá selektivní frekvenční
útlum [3]. Činitel jakosti je možné také zvýšit pomocí rezonanční makrosonické syntézy (RMS), která je založena
na využití rezonátorů proměnného průřezu.
Tato práce je zaměřena na nalezení přibližného řešení nehomogenní Burgersovy rovnice, která popisuje aktivní potlačení druhé harmonické komponenty zvukové
vlny uvnitř válcového rezonátoru konstantního průřezu.
Akustické pole v rezonátoru je vytvářeno pomocí pístu,
který kmitá na dvou frekvencích a umožnuje ovládat míru
vzniku vyšších harmonických a tím zvyšovat činitel jakosti
rezonátoru Q.
v rezonátoru s konstantním kruhovým průřezem v druhém
řádu přesnosti [4]
∂ 2 φ ∂ 2 φ 1 ∂φ
+ 2 +
=
∂x2
∂r
r ∂r
2 2 2
∂φ
∂φ
ρ0 ∂ γ ∂φ
+
+
−
=−
2 ∂t c20 ∂t
∂x
∂r
∂ 2φ
ρ0 2 − ρ0 c20
∂t
−
b ∂3φ
∂L
+ 2 3 , (1)
∂t
c0 ∂t
kde t je čas, ρ0 je hustota prostředí, c0 je rychlost zvuku,
L je Lagrangián hustoty zvukové energie, x je souřadnice
podél osy rezonátoru, r je souřadnice kolmá k jeho ose, γ je
Poissonův koeficient, b je disipační koeficient prostředí [5].
2.1. Metoda řešení
Řešení výchozí rovnice (1) budeme hledat ve tvaru
x
√
−
φ = µg+ µx, µ r, µt, t −
c0
x
√
. (2)
− µg− µx, µ r, µt, t +
c0
Protože interakce vln je zanedbatelná, ve druhém řádu
přesnosti platí, že L = 0. Pak můžeme funkce g+ a g− dosadit nezávisle do rovnice (1). Hledaná rovnice bude platit
za následujících podmínek:
◦ Časové a prostorové změny tvaru vlny jsou malé
◦ Amplituda stojatých vln je malá, takže je možné je
pokládat za součet dvou nezávislých postupných vln
2. Výchozí modelové rovnice
◦ Interakce mezi těmito vlnami existuje pouze lokálně,
ale není kumulativním dějem a zůstává zanedbatelná
Pro rychlostní potenciál φ můžeme napsat modelové rovnice, které umožňují popsat osově symetrické stojaté vlny
◦ Amplituda kmitů budicího pístu je tak malá, že můžeme obě strany rezonátoru pokládat za pevné
Přijato 2. prosince 2004, akceptováno 10. prosince 2004.
19
P. Koníček: Aktivní potlačování harmonických. . .
c ČsAS
Akustické listy, 10(4), prosinec 2004, str. 19–22
2.2. Modelová rovnice nelineárních stojatých vln
v rezonátoru
Jestliže zanedbáme členy třetího řádu a vyšší, dostaneme
po úpravách rovnici popisující zvukovou vlnu v rezonátoru. Podrobné odvození viz např. [6].
∂V
1 ∂2V
∂V
−V
−
= sin(y) + p sin(2y + π),
∂s
∂y
Γ ∂y 2
(3)
kde
s=
v±
2ρ0 c0 βv0
t
,
,V =
, y± = ωτ± , Γ =
ts
v0
bω
vm2
vm1 c0
c0
p=
, ts =
, v0 =
. (4)
vm1
2πβ
βωv0
Akustickou rychlost můžeme vyjádřit pomocí vztahu
v ± (t, τ± ) =
= v± (t, τ± ) ±
vm1 x
vm2 x
sin(ωτ± ) ±
sin(2ωτ± + π),
2L
2L
(5)
kde x je prostorová souřadnice ve směru osy rezonátoru,
t je čas, c0 je rychlost zvuku pro malé amplitudy, ρ0 je
hustota tekutiny, která vyplňuje rezonátor, b je koeficient
difuze, β je koeficient nelinearity, vm1 a vm2 jsou amplitudy
akustické rychlosti pístu, L je délka rezonátoru.
Retardované časy τ± jsou definovány jako
x
τ± = t ∓ .
(6)
c0
Pro akustickou rychlost v platí
v = v+ − v− .
ωn je vlastní frekvence rezonátoru, daná jako
nπc0
, n = 1, 2, 3, . . . .
ωn =
L
3. Přibližné řešení nehomogenní Burgersovy rovnice Prandtlovou metodou
Nehomogenní Burgersovu rovnici (3) budeme řešit ve stacionárním stavu, tj.
∂V
= 0.
(13)
∂s
Vzniklou rovnici
−V
1 ∂2V
∂V
−
= sin(y) + p sin(2y + π)
∂y
Γ ∂y 2
(14)
budeme řešit pomocí Prandtlovy techniky (např. podle [7],
[8]). Tato technika je vhodná pro případy, kdy hledáme
řešení, které se v malém intervalu rychle mění. Je proto
možné ji použít pro zvukovou vlnu konečné amplitudy
v rezonátoru, protože tato obsahuje oblast rázu. Prandtlova metoda je založena na tom, že nalezneme zvlášť řešení ve dvou oblastech. Řešení v oblasti s pomalou změnou
budeme nazývat vnější řešení, řešení v oblasti s rychlou
(7) změnou budeme nazývat vnitřní řešení.
Píst kmitá s úhlovou frekvencí ω, která je rovna
ω = ω2n+1 ,
Obrázek 1: Schematické znázornění akustického rezonátoru buzeného pístem
3.1. Vnější řešení
(8) Pro Γ → ∞ se rovnice (14) redukuje na
(9)
−V
dV
= sin(y) + p sin(2y + π).
dy
(15)
Přesné řešení této rovnice budeme nazývat vnější řešení V ◦
2.3. Počáteční a okrajové podmínky
V ◦ = 2 + p + 2 cos(y) − p cos(2y).
(16)
V čase t = 0 se v rezonátoru nenachází žádná zvuková
vlna. Akustická rychlost je tedy nulová – počáteční podPro velké Γ je řešení redukované rovnice (15) blízké přesmínku můžeme vyjádřit jako
nému řešení (14) s výjimkou malého intervalu v okolí bodu
v+ (t = 0) = v− (t = 0) = v(t = 0) = 0 .
(10) y = 0.
Stojaté vlny v rezonátoru jsou harmonicky buzeny (např.
3.2. Vnitřní řešení
pístem), zdroj harmonických kmitů je umístěn na stěně
rezonátoru v místě x = L.
V okolí y = 0 se přesné řešení rychle mění, aby splnilo
v(x = L, t) = vm1 sin ωt + vm2 sin(ωt + π)
(11) podmínku
V (0) = 0.
(17)
Protější podstava rezonátoru je tvořena pevnou stěnou a
Tento malý interval, v němž se V rychle mění, představuje
je v klidu, takže akustická rychlost je zde nulová
oblast rázu. Abychom nalezli řešení platné v této oblasti,
v(x = 0, t) = 0 .
(12) zvětšíme ji pomocí transformace
Schematický pohled na rezonátor vidíme na obrázku 1
20
ξ = Γy.
(18)
Akustické listy, 10(4), prosinec 2004, str. 19–22
c ČsAS
Pomocí této transformace přejde rovnice (14) do tvaru
∂V
∂2V
1
−V
−
= [sin(y) + p sin(2y + π)],
∂ξ
∂ξ 2
Γ
5
(19)
4
který se pro Γ → ∞ redukuje na
3
(20)
V
∂V
∂2V
V
+
= 0.
∂ξ
∂ξ 2
P. Koníček: Aktivní potlačování harmonických. . .
Obecné řešení této rovnice označíme V i a budeme jej nazývat vnitřní řešení
√
√
(21)
V i = 2A tanh A2(ξ + B) ,
2
1
0
0
kde A a B jsou konstanty. Řešení (21) platí uvnitř oblasti
rázu. Konstanta B je nulová, protože V (0) = 0.
0.5
1
1.5
y
2
2.5
3
Obrázek 2: Průběh vnitřního a vnějšího řešení v intervalu
< 0, π > pro Γ = 100, p = 10
3.3. Kompozitní řešení
Ke stanovení konstanty A použijeme metodu navázání
(matching principle)
ξ→∞
(22)
proto A = 2. Přibližné řešení rovnice (14) je dáno jako
vnější řešení V o pro y mimo oblast rázu a jako vnitřní řešení V i v oblasti rázu. V platné v obou oblastech nazveme
kompozitní řešení V c
1
V c = V ◦ + V i − V i◦ + O
.
(23)
Γ
V
lim V ◦ (y) = lim V i (ξ) = V i◦ ,
y→0
i
Vo
V
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
Voi
V
Kompozitní řešení platí pro všechna y včetně přechodové
oblasti mezi vnitřním a vnějším řešením
0
0.1
0.2
0.3
0.4
y
V c = 2 + p + 2 cos(y) − p cos(2y)+
1
+ 2 tanh(Γy) − 2 + O
. (24) Obrázek 3: Detail průběhu vnitřního a vnějšího řešení
Γ
v oblasti rázu pro Γ = 100, p = 10
4. Výsledky
Všechny prezentované průběhy jsou vypočteny pro případ,
že Goldbergovo číslo Γ = 100. Poměr amplitud první a
druhé budicí harmonické vlny p = 10. Nejprve ukážeme
průběhy vnitřního a vnějšího řešení. Tyto průběhy vidíme
na obrázcích 2 a 3. Obrázek 2 obsahuje průběhy vnitřního
a vnějšího řešení v intervalu < 0, π >. Obrázek 3 obsahuje
detail těchto průběhů v oblasti rázu.
Obrázky 4 a 5 obsahují srovnání výsledného kompozitního řešení V c s numerickým řešením nehomogenní Burgersovy rovnice. Obrázek 4 obsahuje průběhy kompozitního a numerického řešení v intervalu < 0, π >. Obrázek
5 obsahuje detail těchto průběhů v oblasti rázu.
Numerické řešení nehomogenní Burgersovy rovnice bylo
provedeno ve frekvenční oblasti pro 200 harmonických.
Prezentované průběhy odpovídají času s = 15, kde se
již řešení s časem nemění a nacházíme se ve stacionární
oblasti časového průběhu. Obyčejné diferenciální rovnice
vzniklé transformací rovnice (3) do frekvenční oblasti byly
řešeny standardní metodou Runge-Kutta pátého řádu.
5. Závěr
Uvedené přibližné řešení nehomogenní Burgersovy rovnice
umožňuje popis kvazirovinných nelineárních vln v rezonátorech s konstantním průřezem a s harmonickým buzením
na dvou z vlastních frekvencí rezonátoru.
Řešení popisuje:
◦ nelineární děje
◦ absorpci
◦ vliv amplitudy a fázového rozdílu budicích vln
Z výsledků je rovněž zřejmé, že v případě, když fázový
posuv mezi první a druhou harmonickou budicí vlny je
roven π, dochází k toku energie z druhé harmonické do
první. První harmonická pak významně vzroste na úkor
poklesu právě druhé harmonické. Takto dochází k aktivnímu potlačení druhé harmonické frekvence zvukové vlny
v rezonátoru a ke zvýšení jeho jakosti Q.
21
P. Koníček: Aktivní potlačování harmonických. . .
c ČsAS
Poděkování
V
5
4
Tento projekt byl financován z výzkumného záměru MSM
212 300 016.
3
Reference
2
[1] P. Koníček, M. Bednařík: Approximate analytical solution of the inhomogeneous Burgers equation. Czech.
J. Phys., Vol. 54 (2004), No. 4.
1
c
Vn
V
0
0
0.5
1
1.5
y
2
2.5
[2] V. E. Gusev, H. Bailliet, P. Lotton, S. Job, M. Bruneau: Enhancement of the Q of the nonlinear acoustic resonator by active suppression of harmonics.
J. Acoust. Soc. Am. 103, 3717–3720, 1998.
3
V
Obrázek 4: Srovnání numerického řešení s kompozitním
v intervalu < 0, π > pro Γ=100, p=10
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
[3] V. G. Andreev, V. E. Gusev, A. A. Karabutov,
O. V. Rudenko, O. A. Saposhnikov: Enhancement of Q
of a nonlinear acoustic resonator by means of a selectively absorbing mirror. Sov. Phys. Acoust. 31, 162–163,
1985.
[4] M. Bednařík, P. Koníček: Description of quasi-plane
nonlinear standing waves in cylindrical resonators.
Czech. J. Phys., Vol. 54 (2004), No. 3.
[5] M. F. Hamilton, D. T. Blackstock: Nonlinear Acoustic,
USA, Academic Press, 1998.
[6] M. Bednařík, P. Koníček: Asymptotic solutions of the
inhomogeneous Burgers equation. J. Acoust. Soc. Am.
115, 91–98, 2004.
Vnc
V
0
0.1
0.2
y
0.3
0.4
Obrázek 5: Srovnání numerického řešení s kompozitním
v oblasti rázu pro Γ = 100, p = 10
22
Akustické listy, 10(4), prosinec 2004, str. 19–22
[7] A. H. Nayfeh: Perturbation Methods, John Willey &
Sons, Inc., New York, 1973.
[8] M. Van Dyke: Perturbation Methods in Fluid Mechanics, The Parabolic Press, Stanford, 1975.
Akustické listy, 10(4), prosinec 2004, str. 23–26
c ČsAS
Nelineární stojaté vlny v elastických rezonátorech
Michal Bednařík
ČVUT–FEL, Technická 2, 166 27 Praha 6
e-mail: [email protected]
Most of works, which are dedicated to nonlinear standing waves, suppose that walls of acoustic resonators are
perfectly rigid. Unlike these works this article deals with elastic resonators. For this purpose new model equations
were derived. From these model equations we can obtain inhomogeneous Korteweg-de Vries-Burgers (KdVB)
equation. The new model equation were solved numerically. On the basis the results were realized an investigation
of behaviour of nonlinear standing waves in elastic resonators for various conditions.
1. Úvod
Díky novým znalostem z oblasti nelineární akustiky a dostupnosti výkonné výpočetní techniky můžeme být svědky
poměrně vysokého zájmu o problematiku nelineárních stojatých vln v akustických rezonátorech. Všechny tyto práce
vycházejí z předpokladu, že stěny uvažovaných rezonátorů
jsou dokonale tuhé, tj. že tyto stěny nereagují na tlakové
změny uvnitř rezonátoru. Vzhledem k této skutečnosti se
nabízí otázka ohledně vzájemné interakce mezi elastickou
stěnou rezonátoru a nelineární stojatou vlnou.
Tato práce si klade za cíl provést analýzu chování nelineárních stojatých vln v rezonátorech s pružnou stěnou.
2. Základní modelové rovnice pro nelineární stojaté vlny v elastických rezonátorech
Modelová rovnice (1) může být dále zjednodušena tím, že
si akustické pole uvnitř rezonátoru představíme jako superpozici proti sobě postupujících nelineárních vln, které
spolu neinteragují a jsou svázány toliko okrajovými podmínkami na podstavách uvažovaného rezonátoru ([3], [4],
[5]). Dále je možné pro další zjednodušení řešeného problému zavést dvojí čas, tj. čas „pomalý, který souvisí
s pomalými časovými změnami ve vývoji nelineární vlny
(vzhledem k periodě vlny), a čas „rychlý, který naopak
souvisí s rychlými změnami, jež souvisí se zdrojem akustických vln. Rovněž je možné předpokládat, že i prostorové
změny jsou velmi malé v rámci vlnové délky. Výše popsané
předpoklady je možné vyjádřit následujícím vztahem
x
−
ϕ = µϕ+ µx, µt, τ+ = t −
c0
x
− µϕ− µx, µt, τ− = t +
, (2)
c0
Při popisu nelineárních stojatých vln uvnitř elastického
válcového rezonátoru je možné vyjít z modifikované Kuz- kde µ 1 je malý bezrozměrný prametr a τ± jsou tzv.
něcovovy rovnice (viz [1], [2])
retardované (charakteristické) časy.
Dosazením výrazu (2) do rovnice (1) s přihlédnutím ke
2
∂2ϕ
b ∂3ϕ
skutečnosti, že b ∼ µ, κ ∼ µ, dospějeme na základě ne2∂ ϕ
− c0 2 =
−
lineární teorie druhého řádu k následujícím modelovým
∂t2
∂x
ρ0 c20 ∂t3
2 2 rovnicím
2
2
∂ϕ
∂ β − 1 ∂ϕ
ρ 0 c0 κ ∂ ϕ
+
,
(1)
−
∂t
c20
∂t
∂x
S ∂t2
∂v±
∂v± β
∂v±
b ∂ 2 v± ρ0 c20 κ ∂v±
± c0
− v±
−
=0.
2 + 2S ∂τ
∂t
∂x
c0 ∂τ± 2ρ0 c20 ∂τ±
±
kde ϕ je rychlostní potenciál, t je čas, x je prostorová
(3)
souřadnice, c0 je rychlost šíření akustických vln v line- Řešíme-li rovnici (3) s přihlédnutím k daným počátečním
árním přiblížení, ρ0 je hustota tekutiny vyplňující rezo- a okrajovým podmínkám, pak pro akustickou rychlost nenátor nenarušená akustickou vlnou, b je koeficient difuze, lineární rovinné stojaté vlny v můžeme psát
který souvisí s viskozitou uvažované tekutiny a její tepelnou viskozitou, β je parametr nelinearity, jenž souvisí s ne(4)
v(x, t) = v+ (x, t) − v− (x, t) .
lineární závislostí akustického tlaku na akustické hustotě
prostředí a na konvekci, která vychází z volby Eulerových Označme délku uvažovaného rezonátoru konstantního
souřadnic, S je vnitřní plocha rezonátoru a κ je činitel, průřezu jako L. Pro vlastní kruhové kmitočty ωn pak dokterý souvisí s mírou změny poloměru rezonátoru vlivem staneme, že
akustického tlaku, přičemž se předpokládá lokálnost tanπc0
, n = 1, 2, 3, . . . .
(5)
ωn =
kovýchto změn, tedy, že se nešíří stěnou rezonátoru. Při
L
odvození modifikované Kuzněcovovy rovnice se vycházelo
z předpokladu, že v rezonátoru se vybudí pouze rovinné Uvažujme obecnější případ, kdy válcový rezonátor je buvlny a že se efekty třetího a vyššího řádu neberou v úvahu. zen dokonale tuhými písty, které tvoří jeho podstavu
Přijato 30. listopadu 2004, akceptováno 10. prosince 2004.
23
c ČsAS
M. Bednařík: Nelineární stojaté vlny. . .
Akustické listy, 10(4), prosinec 2004, str. 23–26
v místě x = L. Protilehlá podstava je považována rovněž kde k je vlnové číslo.
za dokonale tuhou.
Pro fázovou rychlost cF pak s použitím vztahu (14) můPro počáteční a okrajové podmínky pak můžeme psát žeme psát, že
v = (v+ − v− )x=0 = 0 ,
(6)
v = (v+ − v− )x=L = vm sin(ωt) ,
(7)
v± (t = 0) = 0 ,
(8)
kde ω = ωn a vm reprezentuje amplitudu rychlosti kmitání pístu. Rovnice (3) spolu s podmínkami (6), (7) a (8)
mohou být řešeny metodou postupných aproximací, čímž
dospějeme po úpravách k následující modelové rovnici
cF =
ω
(k)
c0
.
2πρ0 c20 Cm [1 − (ω/ωm )2 ]
1+
2 C 2 ω2
[1 − (ω/ωm )2 ]2 + Rm
m
(15)
Pro koeficient útlumu α můžeme psát
α = −(k) 2 2
ω
bω 2
2πρ0 c0 Rm Cm
+
. (16)
3
2
2
2 C 2 ω2
2ρ0 c0
[1 − (ω/ωm ) ] + Rm
m
β ∂v
b ∂2v
ρ0 c20 κ ∂v
∂v
− v
−
=
+
2
2
Předpokládejme, že pro veličiny charakterizující stěnu re∂t
c0 ∂τ
2ρ0 c0 ∂τ
2S ∂τ
vm c0
zonátoru jsou splněny relace
sin(ωτ ) . (9)
=
2L
ω ωm , ωRm Cm 1 .
(17)
Pro akustickou rychlost nelineární stojaté vlny uvnitř elastického rezonátoru v druhém přiblížení můžeme psát
v = v(t, τ+ ) − v(t, τ− )−
vm x
[sin(ωτ+ ) + sin(ωτ− )] , (10)
−
2L
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
360
cF [m/s]
kde funkci v získáme řešením nehomogenní modifikované
Burgersovy rovnice (9). Abychom dostali funkční závislost
akustické rychlosti v na x a t, dosadíme za τ+ = t − x/c0
a za τ− = t + x/c0 ve vztahu (10). V řadě případů je
výhodnější pracovat s nehomogenní Burgersovou rovnicí
v bezrozměrném tvaru
370
350
c0
340
330
∂V
1 ∂2V
∂V
∂V
− V
−
+ E
2
∂σ
∂y
Γ ∂y
∂y
=
sin(y) , (11)
320
kde
310
K vyšetření lokálních kmitů stěny rezonátoru můžeme použít ekvivalentního obvodu tvořeného třemi mechanickými
elementy: Cm poddajnost, Rm mechanický odpor, Mm
inertance, které jsou zapojeny do série. Potom pro mechanickou rezonanci radiálních kmitů můžeme psát
1
ωm = √
.
Mm Cm
(13)
Linearizací modifikované Kuzněcovovy rovnice (1) můžeme dospět k následující disperzní relaci
ρ0 c0 ω Sκ
ω
+
+
k = (k) + j(k) c0
2
ρ0 c0 ω Sκ
bω 2
+j
, (14)
−
2
2ρ0 c30
24
ω [s−1]
4
x 10
Obrázek 1: Závislost fázové rychlosti cF na kmitočtu
4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
3.5
3
α [Neper/m]
t
v
δc0
2ρ0 c0 βv0
σ=
,
, V =
, y = ωτ, ∆ =
, Γ=
ts
v0
βv0
bω
πc0
vm c0
c0
ρ0 c30 κ
, ts =
, ω=
.
, v0 =
E=
2βv0 S
βωv0
2πβ
L
(12)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
ω [s−1]
4
x 10
Obrázek 2: Závislost koeficientu útlumu α na kmitočtu
c ČsAS
Akustické listy, 10(4), prosinec 2004, str. 23–26
M. Bednařík: Nelineární stojaté vlny. . .
4.5
Lze potom dospět k následující modelové rovnici
4
1 ∂2V
∂V
∂3V
∂V
− (V − ∆s )
−
+ D 3 = sin(y) , (18)
2
∂σ
∂y
Γs ∂y
∂y
3.5
3
kde
2.5
V
2πρ0 c30 Cm
2πρ0 c30 ω 2 Cm
∆s =
, D=
,
2
βv0
βv0 ωm
2ρ0 c0 v0 β
. (19)
Γs =
2ω
bω + 4πρ0 c40 Rm Cm
2
1.5
1
Rovnice (19) představuje nehomogenní Kortewegovu-de
Vriesovu-Burgersovu (KdVB) rovnici.
0.5
0
0
L/2
3. Analýza výsledků modelových rovnic
V
Obrázek 4: Distribuce jednotlivých harmonických uvnitř
Modelová rovnice (11) byla řešena numericky v kmitočtové elastického rezonátoru
oblasti pomocí metody Runge-Kutta čtvrtého řádu. Z numerických výsledků je patrná skutečnost, že elasticita stěn
1
způsobuje nesymetrii v řešení, viz obr. 3. Díky nelineárním
interakcím dochází ke kaskádním procesům, kdy vznikají
postupně vyšší harmonické složky. Rozložení jednotlivých
0.5
harmonických složek podél rezonátoru je zachyceno na obrázku 4. V případě, že budeme budit stojaté vlny pístem
0
2.5
2
−0.5
V
1.5
1
−1
0.5
0
2
4
6
8
10
12
y 14
0
Obrázek 5: Řešení modelové rovnice pro elastický rezonátor buzený na kmitočtu ω = ωm /2
−0.5
−1
−1.5
−2
0
2
4
6
y
8
10
12
14
Obrázek 3: Řešení modelové rovnice pro elastický rezonátor (plná čára) a rezonátor s dokonale tuhými stěnami
(přerušovaná čára)
kmitajícím na kmitočtu ω = ωm /2, dojde díky kmitočtové
závislosti koeficientu útlumu α (viz obr. 2) k významnému
útlumu druhé harmonické složky vlny, což vede k narušení
kaskádních procesů, a tudíž vyšší harmonické složky budou dosahovat daleko menších amplitud vzhledem k amplitudě první harmonické. Díky této skutečnosti bude vlna
zkreslena jen nepatrně, viz obrázek 5. Distribuce jednotlivých harmonických pro tento případ je patrná z obrázku
6. Jestliže budeme budit vlnu na kmitočtu výrazně vyšším
než je rezonanční kmitočet ωm , potom se elastický rezonátor bude chovat jako rezonátor s dokonale tuhými stěnami,
jelikož se disperze přestane téměř projevovat (viz obr. 1) a
koeficient útlumu přestává být kmitočtově selektivní. Průběh takovéhoto řešení je na obrázku 7.
Na obrázku 8 jsou zachyceny časové průběhy stojaté
vlny ve třech různých místech rezonátoru. Z odvozené nehomogenní Kortewegovy-de Vriesovy-Burgersovy rovnice
(19) je zřejmé, že pružnost stěn rezonátoru způsobuje rozladění. Navíc tato rovnice ukazuje na fakt, že se v jistých
případech bude řešení rozpadat na řadu solitonů, které se
vůči sobě budou pohybovat, jelikož rychlost solitonu souvisí s jeho amplitudou.
4. Závěr
V článku byly prezentovány nově odvozené modelové rovnice, které mohou sloužit k popisu nelineárních stojatých
vln uvnitř rezonátoru s pružnými stěnami. Na základě provedené analýzy jednotlivých řešení je patrná skutečnost, že
při buzení elastického rezonátoru na kmitočtech výrazně
převyšujících rezonanční kmitočet ωm je možné na takovýto rezonátor pohlížet jako na dokonale tuhý. Navíc při
25
c ČsAS
M. Bednařík: Nelineární stojaté vlny. . .
Akustické listy, 10(4), prosinec 2004, str. 23–26
3
3
2.5
2
2
V
V
1
0
1.5
−1
1
−2
0.5
−3
0
0
L/2
t
Obrázek 6: Distribuce jednotlivých harmonických uvnitř
elastického rezonátoru buzeného na kmitočtu ω = ωm /2
2
Obrázek 8: Časové průběhy stojatých vln v elastickém rezonátoru v třech různých místech (tečkovaná čára – 0,1L,
plná čára – 0,5L, přerušovaná čára – 0,9L)
1.5
Reference
1
[1] M. Bednařík, M. Červenka, P. Koníček, Nonlinear
standing waves in elastic resonators, Proceeding of the
51-st Open Seminar on Acoustics, 287–290, Gdaňsk,
2004.
V
0.5
0
−0.5
[2] V. P. Kuznetsov, Equations of Nonlinear Acoustics,
Sov. Phys. Acoust. 16, 467–470, 1971.
−1
−1.5
−2
0
2
4
6
y
8
10
12
14
Obrázek 7: Řešení modelové rovnice pro elastický rezonátor buzený na kmitočtu ω = 5ωm
[3] M. Bednařík, P. Koníček, Asymptotic solutions of the
inhomogeneous Burgers equation, J. Acoust. Soc. Am.
115, 91–98, 2004.
[4] V. E. Gusev, H. Bailliet, P. Lotton, S. Job, M. Bruneau, Enhancement of the Q of a nonlinear acoustic resonator by active suppression of harmonics, J. Acoust.
Soc. Am. 103, 3717–3720, 1998.
vhodném buzení je možné díky kmitočtové závislosti čini- [5] V. E. Gusev, Buildup of forced oscillations in acoustic
resonator, Sov. Phys. Acoust. 30, 121–125, 1984.
tele útlumu efektivně potlačit vznik vyšších harmonických
složek a tím zamezit zkreslení nelineární stojaté vlny.
Poděkování
Tento příspěvek byl podporován výzkumným záměrem
MSM 212 300 016.
26
Akustické listy: ročník 10, číslo 4
prosinec 2004
ISSN: 1212-4702
Vydavatel: Česká akustická společnost, Technická 2, 166 27 Praha 6
Vytisklo: Ediční středisko ČVUT
Počet stran: 28
Počet výtisků: 200
Redakční rada: M. Brothánek, O. Jiříček, J. Kozák, R. Čmejla, F. Kadlec, J. Štěpánek, P. Urban
c ČsAS
Jazyková úprava: R. Štěchová
Uzávěrka příštího čísla Akustických listů je 25. února 2005.
NEPRODEJNÉ!