Dynamika - rotační pohyb tělesa

DYNAMIKA
ROTAČNÍ POHYB
Dynamika rotačního pohybu hmotného
bodu kolem pevné osy
při rotační pohybu hmotného bodu kolem stálé
osy stálými otáčkami kolem pevné osy (pak hovoříme o
rovnoměrném rotačním pohybu) působí na hmotný bod
odstředivá síla, která je reakcí k síle dostředivé
aby se bod pohyboval po kružnici musí
dostředivá síla hmotnému bodu udílet stálé dostředivé
neboli normálové zrychlení do středu pohybu;
jak bylo vysvětleno v části Kinematika, při
rovnoměrném rotačním pohybu bodu mění obvodová
rychlost pohybu neustále svůj směr a postupně otáčí ke
středu otáčení;
Dynamika rotačního pohybu hmotného
bodu kolem pevné osy
-z toho plyne, že rotující hmotný bod je neustále
urychlován do středu kružnice a proto při rotačním
pohybu bodu mu musí být udělováno směrem ke středu
zrychlení nazývané „dostředivé“ nebo normálové
zrychlení an, protože působí ve směru normály pohybu;
-v Kinematice byl odvozen vztah v závislosti :
„v“ je obvodová rychlost hmotného bodu
„ω“ je úhlová rychlost hmotného bodu;
obvodová rychlost je v=π.D.n = 2π.R.n, kde n[s-1]
jsou otáčky hmotného bodu ,D [m] je průměr dráhy
pohybu a R [m] je poloměr dráhy
Dynamika rotačního pohybu hmotného
bodu kolem pevné osy
-
úhlová rychlost hmotného bodu je ω=2π.n (s-1)
po dosazení za „v“ a „ω“ dostaneme vztah
[
v2
an = R ⋅ ω =
m ⋅ s− 2
R
2
]
[ ]
FC = m ⋅ an = m ⋅ R ⋅ ω N
- síla odstředivá
je dle třetího Newtonova zákona reakcí dostředivé
síly;
2
Dynamika rotačního pohybu hmotného
bodu kolem pevné osy
Fc
m
Fd
-
an
u rotačního pohybu hmotného bodu kolem stálé
osy musíme rozlišit případ rotace stálými otáčkami
kolem svislé a vodorovné osy;
Rotační pohyb hmotného bodu kolem
svislé osy
- rotace ve vodorovné rovině - působení odstředivé síly
- ve svislém směru působí stálá tíhová síla
- například průjezd vozidla zatáčkou
Příklad : Průjezd vozidla zatáčkou
Vypočtěte, jak velkou rychlostí může projet automobil o
hmotnosti 1000 kg vodorovnou neklopenou zatáčkou o
poloměru 25 m, jestliže rozchod kol je 1400 mm,
těžiště vozidla je 800 mm nad vozovkou a
součinitel smykového tření je 0,2.
Rotační pohyb hmotného bodu kolem
vodorovné osy
- při rotaci hmotného bodu ve svislé rovině kolem pevné osy stálou úhlovou
rychlostí působí odstředivá síla vždy ze středu otáčení ve směru normály ;
- neustále se měnící se směr odstředivé síly způsobuje, že výsledná síla
působící na hmotný bod (je dána vektorovým součtem odstředivé a gravitační
síly, viz obr) s úhlem natočení a mění svůj směr i velikost;
- pak výsledná síla je F = F 2 + G 2 + 2 ⋅ F ⋅ G ⋅ cos α
V
-
C
C
například rotace tělesa kolem pevné vodorovné osy, centrifuga nebo
přejezd vozidla přes terénní nerovnosti
Rotační pohyb hmotného bodu kolem
vodorovné osy
- aby se bod udržel na kruhové dráze
(např. lano stále napnuto, voda nevyteče z
nádoby):
– horní poloha :
FC = G
m.R. ω2 = m.g
Zadání příkladu :
Nádoba s vodou se otáčí ve svislé rovině v
kruhu o poloměru 800 mm. Určete nejmenší
počet otáček, aby voda z nádoby nevytékala.
Zadání příkladu :
Na vodorovné desce leží ve vzdálenosti
R = 300 mm od středu otáčení těleso
o hmotnosti m = 20 kg. Určete max. otáčky ,
nemá-li těleso z desky sklouznout (f = 0,1).
Rotující deska
Zadání příkladu :
Jeřábový vozík s břemenem o hmotnosti
m = 300 kg zavěšeným na laně o délce
l = 5 m se náhle zastaví při dopravní
rychlosti v = 2 m/s. Určete vzdálenost „x“,
do jaké se vychýlí břemeno následkem
setrvačnosti.
v
5m
z
m
x
Příklad : Průjezd moto zatáčkou
Vypočtěte, s jakým sklonem může projet motocyklista
vodorovnou neklopenou zatáčkou o poloměru 20 m.
Hmotnost motocyklu s řidičem je 200 kg,
těžiště motocyklu je b = 800 mm nad vozovkou a
součinitel smykového tření je 0,2.
Dynamika - rotační pohyb tělesa
představme si pohyb plného dokonale tuhého rotujícího
válce kolem pevné osy způsobený kroutícím momentem;
celý válec rozdělíme na části stejné hmotnosti ∆m;
Dynamika rotační pohyb tělesa
pokud je osa rotace v těžišti, můžeme zanedbat tíhu
hmotných elementů, protože se dynamický účinek tíhy
vyruší;
při uložení válce v jeho těžišti, se odstředivé síly ∆FC a
dostředivé síly ∆Fd všech elementárních částí tělesa vyruší,
nebo-li jsou v rovnováze;
Dynamika - rotační pohyb tělesa
-tečná nebo-li obvodová síla ∆Ft je způsobena momentem
∆M a způsobuje zvyšování obvodové rychlosti elementu a
tím také otáček válce;
-pak ∆M = ∆Ft .r, po dosazení za sílu z druhého
pohybového zákona dostaneme ∆M = ∆m.at.r a pokud
dosadíme za tečné zrychlení vztah at = r .ε, získáme výraz
pro elementární kroutící moment ∆M = ∆m .r .ε .r = ∆m .r2 .ε.;
-nyní sečteme všechny dílčí kroutící momenty všech částí
válce a získáme celkový „zrychlující“ moment:
Dynamika - rotační pohyb tělesa
-tečná nebo-li obvodová sila ∆Ft je způsobena momentem
∆M a způsobuje zvyšování obvodové rychlosti elementu a
tím také otáček válce;
-pak ∆M = ∆Ft .r, po dosazení za sílu z druhého
pohybového zákona dostaneme ∆M = ∆m.at.r a pokud
dosadíme za tečné zrychlení vztah at = r .ε, získáme výraz
pro elementární kroutící moment ∆M = ∆m .r .ε .r = ∆m .r2 .ε.;
-nyní sečteme všechny dílčí kroutící momenty všech částí
válce a získáme celkový „zrychlující“ moment:
M =
n
∑
i= 1
n
n
∆ M i = ∑ ∆ mi ⋅ ri ⋅ ε = ε ⋅ ∑ ∆ mi ⋅ ri 2
i= 1
2
i= 1
Dynamika - rotační pohyb tělesa
-kde vztah Io =
n
∑
i= 1
∆ mi ⋅ ri 2
je moment setrvačnosti hmoty tělesa
k ose rotace a má jednotky [kg.m2]
-zrychlující moment: M = Io. ε
vztah je analogický druhému pohybovému zákonu
o zrychlující síle u přímočarého pohybu F = m . a;
Dynamika - rotační pohyb tělesa
-pohybová rovnice rotačního pohybu má tvar
M K − I0 ⋅ ε −
n
∑
i= 1
M Pi = 0
, kde MK[N.m] je hnací moment,
I0[kg.m2] je moment setrvačnosti tělesa,
ε [s-2] je úhlové zrychlení tělesa,
MPi [Nm] je moment odporů při pohybu překonávaných.
(například moment čepového tření, vnější „zatěžující“
momenty lan, řemenů, pásů, řetězů, ozubených kol
Dynamika - rotační pohyb tělesa
I0[kg.m2] - moment setrvačnosti tělesa,
- je fyzikálně veličina obdobná kvadratickému momentu plochy
(viz Mechanika PP) a pro výpočet momentu setrvačnosti
platí obdobné principy jako pro stanovení kvadratického
momentu plochy;
-momenty setrvačnosti dílčích hmot (těles) I01, I02, I03, až I0n
lze algebraicky sčítat nebo odčítat ;
-moment setrvačnosti hmoty, jejíž těžiště neleží na ose
rotace „o“ se počítá pomocí Steinerovy věty, která zní:
„moment setrvačnosti hmoty tělesa k ose neprocházející jeho
těžištěm (osa „o“) se rovná momentu setrvačnosti hmoty
tělesa k ose procházející těžištěm tohoto tělesa (osa „oT“)
rovnoběžné s osou „o“, zvětšenému o součin hmotnosti tělesa
a druhé mocniny vzdálenosti obou os;
Dynamika - rotační pohyb tělesa
I 0 = I 0T + m ⋅ a
2
m
T
oT
a
o
Dynamika - rotační pohyb tělesa
- moment setrvačnosti válce k jeho ose z materiálu
o hustotě ρ [kg.m-3] je:
π ⋅ D4 ⋅ B ⋅ ρ
IO =
32
D [m] je průměr válce,
B [m] je výška válce,
-moment
setrvačnosti hranolu o rozměrech a x b x c
;
k jeho ose rovnoběžné s rozměrem c a procházející těžištěm:
IO =
a ⋅ b ⋅ c ⋅ ( a 2 + b2 ) ⋅ ρ
12
Dynamika - rotační pohyb tělesa
- moment setrvačnosti válce k jeho ose z materiálu
o hustotě ρ [kg.m-3] je:
π ⋅ D4 ⋅ B ⋅ ρ
IO =
32
D [m] je průměr válce,
B [m] je výška válce,
-moment
setrvačnosti hranolu o rozměrech a x b x c
;
k jeho ose rovnoběžné s rozměrem c a procházející těžištěm:
IO =
a ⋅ b ⋅ c ⋅ ( a 2 + b2 ) ⋅ ρ
12
Dynamika - rotační pohyb tělesa
-moment setrvačnosti kužele k jeho ose z materiálu
o hustotě ρ [kg.m-3]
IO
;
π ⋅ D4 ⋅ H ⋅ ρ
=
160
D [m] je průměr kužele
H [m]
je výška kužele
Příklad : moment setrvačnosti tělesa
Vypočtěte moment setrvačnosti součásti dle obr. z oceli o
hustotě 7850 kg.m-3 k ose „oT“, jestliže D1 = 320 mm,
D2 = 80 mm, D3 = 40 mm, h1 = 40 mm a h2 = 30
Příklad : moment setrvačnosti kliky
Vypočtěte moment setrvačnosti kliky dle obrázku z materiálu
o hustotě 7850 kg.m-3 k ose rotace, jestliže D= 200mm,
d1= 60mm, d2= 30mm, a= 50mm, b= 40mm a výstřednost
e= 75mm. Dále vypočtěte velikost kroutícího momentu,
jestliže se roztáčí rovnoměrně zrychleně působením stálého
kroutícího momentu z klidu a za 30 s setrvačník dosáhne
otáček 300 min-1.
Impulsové věty
první impulsová věta řeší přímočarý pohyb tělesa - je odvozena
z druhého Newtonova pohybového zákona - zákona zrychlující
síly, tj. F=m.a; vztah F=m.a vynásobíme přírůstkem času ∆ t
a pak dostaneme:
F ⋅ ∆ t = m⋅ a⋅ ∆ t = m⋅ ∆ v
kde F ⋅ ∆ t =
účinku síly;
I , se nazývá impuls síly a je mírou časového
m⋅ ∆v = ∆H
, se nazývá změna hybnosti hmoty;
první impulsová věta zní:
„Impuls síly se rovná změně hybnosti hmoty“
Impulsové věty
uvádíme-li těleso do pohybu z klidu,
pak impuls síly se rovná hybnosti hmoty z nulové počáteční
rychlosti a dostaneme vztah
F ⋅ t = m⋅ v
U druhé impulsové věty vyjdeme ze zrychlujícího momentu
M k = IO ⋅ ε
a opět vynásobíme časem
∆t
M k ⋅ ∆ t = IO ⋅ ε ⋅ ∆ t = IO ⋅ ∆ ω
Impulsové věty
druhá impulsová věta zní:
Impuls momentu se rovná změně momentu hybnosti
Mk ⋅ ∆ t = L
I0 ⋅ ∆ ω = ∆ b
se nazývá impuls momentu;
se nazývá změna momentu hybnosti;
.
pro pohyb z klidu dostaneme vztah
M k ⋅ t = IO ⋅ ω
Příklad : impulsová věta
Jak dlouho musí působit na ocelový kotouč o hustotě
7850 kg.m-3, průměru 500mm a tloušťce 50 mm kroutící
moment 50 N.m, aby kotouč získal z klidu otáčky 1500 min-1.
Mechanická práce
mechanickou práci konáme, překonáváme-li odpory
silou působící po určité dráze. Velikost mechanické práce
je rovna součinu síly působící na hmotný bod a dráhy
hmotného bodu ve směru síly;
W = F ⋅ s[ J ]
pak
, kde F[N] je hnací síla ve směru dráhy pohybu tělesa a
s[m] je dráha pohybu tělesa;
jednotkou mechanické . práce je joule [J];
pokud stálá síla působí v nesouhlasném směru k dráze,
musíme počítat se složkou síly ve směru dráhy;
pro určení velikosti mechanické práce síly proměnné
velikosti využíváme grafu F-s, kde plocha grafu je úměrná
velikosti práce
Mechanická práce
.
Mechanická práce
při rotačním pohybu síla F mění neustále svůj směr
a tudíž stále působí ve směru dráhy,
síla F na dráze odpovídající úhlu natočení ϕ
s = R ⋅ϕ
vykoná práci
W = F ⋅ R⋅ϕ
dosadíme-li za
.
F ⋅ R = Mk
dostaneme vztah pro práci při rotačním pohybu
W = Mk ⋅ ϕ [ N ⋅ m = J ]
kde
Mk[Nm] je kroutící moment,
ϕ[rad] je úhlová dráha pohybu tělesa.
Mechanická práce
-ke stejnému vztahu dospějeme při odvození práce
obvodové síly F za jednu otáčku, kdy dráha je rovna
obvodu kružnice o = 2 ⋅ π ⋅ R
-pak práce při jedné otáčce
W1 = F ⋅ o = F ⋅ 2 ⋅ π ⋅ R
.
-celková práce při rotačním pohybu je dána jako práce
při jedné otáčce vynásobené počtem otáček, pak
W = W1 ⋅ i = F ⋅ 2π ⋅ R ⋅ i = F ⋅ R ⋅ 2π ⋅ i
.
,
kde i = počet otáček; dosadíme-li za
2π ⋅ i = ϕ
dostaneme
W = Mk ⋅ ϕ [J]
Příklad : práce při rotačním pohybu
Ocelový kotouč o hustotě 7850 kg.m-3 tvaru kotouče o průměru
200 mm a tloušťce 20 mm se roztáčí z klidu a za 20 s získá
otáčky 120 min-1. Vypočtěte velikost kroutícího momentu
potřebného k rozběhu tělesa a množství vynaložené práce.
Výkon
„Výkon je mechanická práce vykonaná za jednotku času.“
P=
W
t
W [J]
– vykonaná mechanická práce
t [s] – čas konání mechanické práce
jednotkou mechanické výkonu watt, který má rozměr
.
J

2
−3
W
=
=
kg
⋅
m
⋅
s


s
při přímočarém pohybu můžeme vztah pro výpočet výkonu
upravit tak, že za dosadíme za práci a dostaneme
.
W F⋅ s
P=
=
= F⋅ v
t
t
F[N]
- hnací síla ve směru pohybu tělesa,
v [m.s-1] - rychlost pohybu tělesa (v = s/t)
Energie rotačního pohybu
po dosazení za
n
∑
i= 1
,
∆ m i ⋅ ri2 = I O
což je moment setrvačnosti tělesa, dostaneme vztah pro
kinetickou energii rotujícího tělesa ve tvaru
IO ⋅ ω 2
ER =
J = kg ⋅ m 2 ⋅ s − 2
2 .
- rozdíl kinetických energii počáteční a konečné je roven práci
zrychlujících sil vynaložené na zvýšení otáček tělesa nebo
práci vykonané při snížení jeho otáček
(princip práce setrvačníku);
[
]
.
- pak práce daná změnou energie se vypočte ze vztahu
W = E R 2 − E R1
IO
=
⋅ ( ω 22 − ω
2
2
1
)[ J]
Obecný rovinný pohyb
obecný rovinný pohyb je vlastně rotačním pohybem kolem
okamžité osy otáčení úhlovou rychlostí ω, respektive kolem
pólu otáčení P, kdy osa otáčení (pól) neustále mění svou polohu
.
valení válce ( jednodušší obecný rovinný pohyb) po vodorovné
podložce si lze představit jako současně probíhající pohyb
.
přímočarý
posuvný rychlostí vT a rotační pohyb kolem osy válce
procházející jeho těžištěm T úhlovou rychlostí otáčení ω R
Obecný rovinný pohyb
celková pohybová energie valivého pohybu je dána jako
součet kinetické energie posuvného pohybu tělesa EKP a
kinetické energie rotačního pohybu kolem okamžité osy
otáčení ER
m ⋅ v 2T I 0 ⋅ ω
EK =
+
2
2
.
2
R
.
m [kg] - hmotnost tělesa,
vT [m.s-1] - rychlost posuvného pohybu tělesa;
I0 [kg.m2] - moment setrvačnosti tělesa ,
ωR [s-1] - úhlová rychlost rotačního pohybu tělesa
k ose tělesa.
Příklad - obecný rovinný pohyb
Jakou pohybovou energii má ocelový válec o hustotě
7850 kg.m-3, průměru 100 mm a délce 500 mm, který se valí
po vodorovné rovině stálou rychlostí 5 m.s-1.
.
.
Vyvažování
Zajištění klidného chodu zařízení je velmi důležité :
- stroj bez vibrací a hluku působí z fyziologického hlediska
lépe na obsluhu
- klidný chod ⇒ dlouhodobý bezporuchový provoz ⇒
klesají náklady na opravy, zkracují se prostoje
- nevyváženost otáčejících se částí vzniká nerovnoměrným
.
rozložením hmoty součásti
vzhledem o ose rotace
- neváženost ⇒ odstředivé síly ⇒ chvění
Vyvažování rotujících hmot
.
a) dynamické – náročné metody na specielních
vyvažovacích strojích na principu pružných rámů (viz VŠ)
Vyvažování rotujících hmot
b) statické – jednoduché, ale jen „na hrubo“
pomocným vývažkem při konstrukci
účinek odstředivé síly otáčející se
hmoty nevyvážené části tělesa FC
„vyrušíme“ odstředivou silou jiné
rotující hmoty FV,tak zvaného
.
vývažku;
.
podmínkou takovéhoto způsobu
vyvážení je, že síly FC a FV musí
být v rovnováze
n
∑
i= 1
Fi = 0 ⇒ FC − FV = 0 ⇒ FC = FV
Vyvažování rotujících hmot
FC = m ⋅ R ⋅ ω
FV = mV ⋅ RV ⋅ ω
2
2
úhlová rychlost rotačního pohybu tělesa
i vývažku musí být stejná
FC = FV ⇒ m ⋅ R ⋅ ω = mV ⋅ RV ⋅ ω ⇒ m ⋅ R = mV ⋅ RV
2
.
.
2
Vyvažování rotujících hmot
Možnosti výpočtu :
1) volíme poloměr dráhy
rotačního pohybu vývažku a
počítáme hmotnost vývažku
R
m ⋅ R = mV ⋅ RV ⇒ mV = m ⋅
R.V
2) zvolíme hmotnost vývažku a vypočítáme
poloměr dráhy rotačního pohybu
.
m ⋅ R = mV ⋅ RV ⇒ RV = R ⋅
m
mV
Příklad - vyvažování rotujících hmot
Navrhněte rozměry vývažku tvaru válce (o průměru DV
a výšce HV) u součásti dle obrázku, jestliže nevyvážená
hmota má také tvar válce o průměru D1 = 40mm a
výšce H1 = 50mm. Součást je z materiálu o hustotě
7850kg.m-3 a má otáčky 600min-1. Těžiště nevyvážené
hmoty se pohybuje o . kružnici
o poloměru R = 120mm, poloměr
dráhy vývažku je RV = 150mm
a průměr vývažku je DV = 50mm.
.