Dynamika - rotační pohyb tělesa

Komentáře

Transkript

Dynamika - rotační pohyb tělesa
DYNAMIKA
ROTAČNÍ POHYB
Dynamika rotačního pohybu hmotného
bodu kolem pevné osy
při rotační pohybu hmotného bodu kolem stálé
osy stálými otáčkami kolem pevné osy (pak hovoříme o
rovnoměrném rotačním pohybu) působí na hmotný bod
odstředivá síla, která je reakcí k síle dostředivé
aby se bod pohyboval po kružnici musí
dostředivá síla hmotnému bodu udílet stálé dostředivé
neboli normálové zrychlení do středu pohybu;
jak bylo vysvětleno v části Kinematika, při
rovnoměrném rotačním pohybu bodu mění obvodová
rychlost pohybu neustále svůj směr a postupně otáčí ke
středu otáčení;
Dynamika rotačního pohybu hmotného
bodu kolem pevné osy
-z toho plyne, že rotující hmotný bod je neustále
urychlován do středu kružnice a proto při rotačním
pohybu bodu mu musí být udělováno směrem ke středu
zrychlení nazývané „dostředivé“ nebo normálové
zrychlení an, protože působí ve směru normály pohybu;
-v Kinematice byl odvozen vztah v závislosti :
„v“ je obvodová rychlost hmotného bodu
„ω“ je úhlová rychlost hmotného bodu;
obvodová rychlost je v=π.D.n = 2π.R.n, kde n[s-1]
jsou otáčky hmotného bodu ,D [m] je průměr dráhy
pohybu a R [m] je poloměr dráhy
Dynamika rotačního pohybu hmotného
bodu kolem pevné osy
-
úhlová rychlost hmotného bodu je ω=2π.n (s-1)
po dosazení za „v“ a „ω“ dostaneme vztah
[
v2
an = R ⋅ ω =
m ⋅ s− 2
R
2
]
[ ]
FC = m ⋅ an = m ⋅ R ⋅ ω N
- síla odstředivá
je dle třetího Newtonova zákona reakcí dostředivé
síly;
2
Dynamika rotačního pohybu hmotného
bodu kolem pevné osy
Fc
m
Fd
-
an
u rotačního pohybu hmotného bodu kolem stálé
osy musíme rozlišit případ rotace stálými otáčkami
kolem svislé a vodorovné osy;
Rotační pohyb hmotného bodu kolem
svislé osy
- rotace ve vodorovné rovině - působení odstředivé síly
- ve svislém směru působí stálá tíhová síla
- například průjezd vozidla zatáčkou
Příklad : Průjezd vozidla zatáčkou
Vypočtěte, jak velkou rychlostí může projet automobil o
hmotnosti 1000 kg vodorovnou neklopenou zatáčkou o
poloměru 25 m, jestliže rozchod kol je 1400 mm,
těžiště vozidla je 800 mm nad vozovkou a
součinitel smykového tření je 0,2.
Rotační pohyb hmotného bodu kolem
vodorovné osy
- při rotaci hmotného bodu ve svislé rovině kolem pevné osy stálou úhlovou
rychlostí působí odstředivá síla vždy ze středu otáčení ve směru normály ;
- neustále se měnící se směr odstředivé síly způsobuje, že výsledná síla
působící na hmotný bod (je dána vektorovým součtem odstředivé a gravitační
síly, viz obr) s úhlem natočení a mění svůj směr i velikost;
- pak výsledná síla je F = F 2 + G 2 + 2 ⋅ F ⋅ G ⋅ cos α
V
-
C
C
například rotace tělesa kolem pevné vodorovné osy, centrifuga nebo
přejezd vozidla přes terénní nerovnosti
Rotační pohyb hmotného bodu kolem
vodorovné osy
- aby se bod udržel na kruhové dráze
(např. lano stále napnuto, voda nevyteče z
nádoby):
– horní poloha :
FC = G
m.R. ω2 = m.g
Zadání příkladu :
Nádoba s vodou se otáčí ve svislé rovině v
kruhu o poloměru 800 mm. Určete nejmenší
počet otáček, aby voda z nádoby nevytékala.
Zadání příkladu :
Na vodorovné desce leží ve vzdálenosti
R = 300 mm od středu otáčení těleso
o hmotnosti m = 20 kg. Určete max. otáčky ,
nemá-li těleso z desky sklouznout (f = 0,1).
Rotující deska
Zadání příkladu :
Jeřábový vozík s břemenem o hmotnosti
m = 300 kg zavěšeným na laně o délce
l = 5 m se náhle zastaví při dopravní
rychlosti v = 2 m/s. Určete vzdálenost „x“,
do jaké se vychýlí břemeno následkem
setrvačnosti.
v
5m
z
m
x
Příklad : Průjezd moto zatáčkou
Vypočtěte, s jakým sklonem může projet motocyklista
vodorovnou neklopenou zatáčkou o poloměru 20 m.
Hmotnost motocyklu s řidičem je 200 kg,
těžiště motocyklu je b = 800 mm nad vozovkou a
součinitel smykového tření je 0,2.
Dynamika - rotační pohyb tělesa
představme si pohyb plného dokonale tuhého rotujícího
válce kolem pevné osy způsobený kroutícím momentem;
celý válec rozdělíme na části stejné hmotnosti ∆m;
Dynamika rotační pohyb tělesa
pokud je osa rotace v těžišti, můžeme zanedbat tíhu
hmotných elementů, protože se dynamický účinek tíhy
vyruší;
při uložení válce v jeho těžišti, se odstředivé síly ∆FC a
dostředivé síly ∆Fd všech elementárních částí tělesa vyruší,
nebo-li jsou v rovnováze;
Dynamika - rotační pohyb tělesa
-tečná nebo-li obvodová síla ∆Ft je způsobena momentem
∆M a způsobuje zvyšování obvodové rychlosti elementu a
tím také otáček válce;
-pak ∆M = ∆Ft .r, po dosazení za sílu z druhého
pohybového zákona dostaneme ∆M = ∆m.at.r a pokud
dosadíme za tečné zrychlení vztah at = r .ε, získáme výraz
pro elementární kroutící moment ∆M = ∆m .r .ε .r = ∆m .r2 .ε.;
-nyní sečteme všechny dílčí kroutící momenty všech částí
válce a získáme celkový „zrychlující“ moment:
Dynamika - rotační pohyb tělesa
-tečná nebo-li obvodová sila ∆Ft je způsobena momentem
∆M a způsobuje zvyšování obvodové rychlosti elementu a
tím také otáček válce;
-pak ∆M = ∆Ft .r, po dosazení za sílu z druhého
pohybového zákona dostaneme ∆M = ∆m.at.r a pokud
dosadíme za tečné zrychlení vztah at = r .ε, získáme výraz
pro elementární kroutící moment ∆M = ∆m .r .ε .r = ∆m .r2 .ε.;
-nyní sečteme všechny dílčí kroutící momenty všech částí
válce a získáme celkový „zrychlující“ moment:
M =
n
∑
i= 1
n
n
∆ M i = ∑ ∆ mi ⋅ ri ⋅ ε = ε ⋅ ∑ ∆ mi ⋅ ri 2
i= 1
2
i= 1
Dynamika - rotační pohyb tělesa
-kde vztah Io =
n
∑
i= 1
∆ mi ⋅ ri 2
je moment setrvačnosti hmoty tělesa
k ose rotace a má jednotky [kg.m2]
-zrychlující moment: M = Io. ε
vztah je analogický druhému pohybovému zákonu
o zrychlující síle u přímočarého pohybu F = m . a;
Dynamika - rotační pohyb tělesa
-pohybová rovnice rotačního pohybu má tvar
M K − I0 ⋅ ε −
n
∑
i= 1
M Pi = 0
, kde MK[N.m] je hnací moment,
I0[kg.m2] je moment setrvačnosti tělesa,
ε [s-2] je úhlové zrychlení tělesa,
MPi [Nm] je moment odporů při pohybu překonávaných.
(například moment čepového tření, vnější „zatěžující“
momenty lan, řemenů, pásů, řetězů, ozubených kol
Dynamika - rotační pohyb tělesa
I0[kg.m2] - moment setrvačnosti tělesa,
- je fyzikálně veličina obdobná kvadratickému momentu plochy
(viz Mechanika PP) a pro výpočet momentu setrvačnosti
platí obdobné principy jako pro stanovení kvadratického
momentu plochy;
-momenty setrvačnosti dílčích hmot (těles) I01, I02, I03, až I0n
lze algebraicky sčítat nebo odčítat ;
-moment setrvačnosti hmoty, jejíž těžiště neleží na ose
rotace „o“ se počítá pomocí Steinerovy věty, která zní:
„moment setrvačnosti hmoty tělesa k ose neprocházející jeho
těžištěm (osa „o“) se rovná momentu setrvačnosti hmoty
tělesa k ose procházející těžištěm tohoto tělesa (osa „oT“)
rovnoběžné s osou „o“, zvětšenému o součin hmotnosti tělesa
a druhé mocniny vzdálenosti obou os;
Dynamika - rotační pohyb tělesa
I 0 = I 0T + m ⋅ a
2
m
T
oT
a
o
Dynamika - rotační pohyb tělesa
- moment setrvačnosti válce k jeho ose z materiálu
o hustotě ρ [kg.m-3] je:
π ⋅ D4 ⋅ B ⋅ ρ
IO =
32
D [m] je průměr válce,
B [m] je výška válce,
-moment
setrvačnosti hranolu o rozměrech a x b x c
;
k jeho ose rovnoběžné s rozměrem c a procházející těžištěm:
IO =
a ⋅ b ⋅ c ⋅ ( a 2 + b2 ) ⋅ ρ
12
Dynamika - rotační pohyb tělesa
- moment setrvačnosti válce k jeho ose z materiálu
o hustotě ρ [kg.m-3] je:
π ⋅ D4 ⋅ B ⋅ ρ
IO =
32
D [m] je průměr válce,
B [m] je výška válce,
-moment
setrvačnosti hranolu o rozměrech a x b x c
;
k jeho ose rovnoběžné s rozměrem c a procházející těžištěm:
IO =
a ⋅ b ⋅ c ⋅ ( a 2 + b2 ) ⋅ ρ
12
Dynamika - rotační pohyb tělesa
-moment setrvačnosti kužele k jeho ose z materiálu
o hustotě ρ [kg.m-3]
IO
;
π ⋅ D4 ⋅ H ⋅ ρ
=
160
D [m] je průměr kužele
H [m]
je výška kužele
Příklad : moment setrvačnosti tělesa
Vypočtěte moment setrvačnosti součásti dle obr. z oceli o
hustotě 7850 kg.m-3 k ose „oT“, jestliže D1 = 320 mm,
D2 = 80 mm, D3 = 40 mm, h1 = 40 mm a h2 = 30
Příklad : moment setrvačnosti kliky
Vypočtěte moment setrvačnosti kliky dle obrázku z materiálu
o hustotě 7850 kg.m-3 k ose rotace, jestliže D= 200mm,
d1= 60mm, d2= 30mm, a= 50mm, b= 40mm a výstřednost
e= 75mm. Dále vypočtěte velikost kroutícího momentu,
jestliže se roztáčí rovnoměrně zrychleně působením stálého
kroutícího momentu z klidu a za 30 s setrvačník dosáhne
otáček 300 min-1.
Impulsové věty
první impulsová věta řeší přímočarý pohyb tělesa - je odvozena
z druhého Newtonova pohybového zákona - zákona zrychlující
síly, tj. F=m.a; vztah F=m.a vynásobíme přírůstkem času ∆ t
a pak dostaneme:
F ⋅ ∆ t = m⋅ a⋅ ∆ t = m⋅ ∆ v
kde F ⋅ ∆ t =
účinku síly;
I , se nazývá impuls síly a je mírou časového
m⋅ ∆v = ∆H
, se nazývá změna hybnosti hmoty;
první impulsová věta zní:
„Impuls síly se rovná změně hybnosti hmoty“
Impulsové věty
uvádíme-li těleso do pohybu z klidu,
pak impuls síly se rovná hybnosti hmoty z nulové počáteční
rychlosti a dostaneme vztah
F ⋅ t = m⋅ v
U druhé impulsové věty vyjdeme ze zrychlujícího momentu
M k = IO ⋅ ε
a opět vynásobíme časem
∆t
M k ⋅ ∆ t = IO ⋅ ε ⋅ ∆ t = IO ⋅ ∆ ω
Impulsové věty
druhá impulsová věta zní:
Impuls momentu se rovná změně momentu hybnosti
Mk ⋅ ∆ t = L
I0 ⋅ ∆ ω = ∆ b
se nazývá impuls momentu;
se nazývá změna momentu hybnosti;
.
pro pohyb z klidu dostaneme vztah
M k ⋅ t = IO ⋅ ω
Příklad : impulsová věta
Jak dlouho musí působit na ocelový kotouč o hustotě
7850 kg.m-3, průměru 500mm a tloušťce 50 mm kroutící
moment 50 N.m, aby kotouč získal z klidu otáčky 1500 min-1.
Mechanická práce
mechanickou práci konáme, překonáváme-li odpory
silou působící po určité dráze. Velikost mechanické práce
je rovna součinu síly působící na hmotný bod a dráhy
hmotného bodu ve směru síly;
W = F ⋅ s[ J ]
pak
, kde F[N] je hnací síla ve směru dráhy pohybu tělesa a
s[m] je dráha pohybu tělesa;
jednotkou mechanické . práce je joule [J];
pokud stálá síla působí v nesouhlasném směru k dráze,
musíme počítat se složkou síly ve směru dráhy;
pro určení velikosti mechanické práce síly proměnné
velikosti využíváme grafu F-s, kde plocha grafu je úměrná
velikosti práce
Mechanická práce
.
Mechanická práce
při rotačním pohybu síla F mění neustále svůj směr
a tudíž stále působí ve směru dráhy,
síla F na dráze odpovídající úhlu natočení ϕ
s = R ⋅ϕ
vykoná práci
W = F ⋅ R⋅ϕ
dosadíme-li za
.
F ⋅ R = Mk
dostaneme vztah pro práci při rotačním pohybu
W = Mk ⋅ ϕ [ N ⋅ m = J ]
kde
Mk[Nm] je kroutící moment,
ϕ[rad] je úhlová dráha pohybu tělesa.
Mechanická práce
-ke stejnému vztahu dospějeme při odvození práce
obvodové síly F za jednu otáčku, kdy dráha je rovna
obvodu kružnice o = 2 ⋅ π ⋅ R
-pak práce při jedné otáčce
W1 = F ⋅ o = F ⋅ 2 ⋅ π ⋅ R
.
-celková práce při rotačním pohybu je dána jako práce
při jedné otáčce vynásobené počtem otáček, pak
W = W1 ⋅ i = F ⋅ 2π ⋅ R ⋅ i = F ⋅ R ⋅ 2π ⋅ i
.
,
kde i = počet otáček; dosadíme-li za
2π ⋅ i = ϕ
dostaneme
W = Mk ⋅ ϕ [J]
Příklad : práce při rotačním pohybu
Ocelový kotouč o hustotě 7850 kg.m-3 tvaru kotouče o průměru
200 mm a tloušťce 20 mm se roztáčí z klidu a za 20 s získá
otáčky 120 min-1. Vypočtěte velikost kroutícího momentu
potřebného k rozběhu tělesa a množství vynaložené práce.
Výkon
„Výkon je mechanická práce vykonaná za jednotku času.“
P=
W
t
W [J]
– vykonaná mechanická práce
t [s] – čas konání mechanické práce
jednotkou mechanické výkonu watt, který má rozměr
.
J

2
−3
W
=
=
kg
⋅
m
⋅
s


s
při přímočarém pohybu můžeme vztah pro výpočet výkonu
upravit tak, že za dosadíme za práci a dostaneme
.
W F⋅ s
P=
=
= F⋅ v
t
t
F[N]
- hnací síla ve směru pohybu tělesa,
v [m.s-1] - rychlost pohybu tělesa (v = s/t)
Energie rotačního pohybu
po dosazení za
n
∑
i= 1
,
∆ m i ⋅ ri2 = I O
což je moment setrvačnosti tělesa, dostaneme vztah pro
kinetickou energii rotujícího tělesa ve tvaru
IO ⋅ ω 2
ER =
J = kg ⋅ m 2 ⋅ s − 2
2 .
- rozdíl kinetických energii počáteční a konečné je roven práci
zrychlujících sil vynaložené na zvýšení otáček tělesa nebo
práci vykonané při snížení jeho otáček
(princip práce setrvačníku);
[
]
.
- pak práce daná změnou energie se vypočte ze vztahu
W = E R 2 − E R1
IO
=
⋅ ( ω 22 − ω
2
2
1
)[ J]
Obecný rovinný pohyb
obecný rovinný pohyb je vlastně rotačním pohybem kolem
okamžité osy otáčení úhlovou rychlostí ω, respektive kolem
pólu otáčení P, kdy osa otáčení (pól) neustále mění svou polohu
.
valení válce ( jednodušší obecný rovinný pohyb) po vodorovné
podložce si lze představit jako současně probíhající pohyb
.
přímočarý
posuvný rychlostí vT a rotační pohyb kolem osy válce
procházející jeho těžištěm T úhlovou rychlostí otáčení ω R
Obecný rovinný pohyb
celková pohybová energie valivého pohybu je dána jako
součet kinetické energie posuvného pohybu tělesa EKP a
kinetické energie rotačního pohybu kolem okamžité osy
otáčení ER
m ⋅ v 2T I 0 ⋅ ω
EK =
+
2
2
.
2
R
.
m [kg] - hmotnost tělesa,
vT [m.s-1] - rychlost posuvného pohybu tělesa;
I0 [kg.m2] - moment setrvačnosti tělesa ,
ωR [s-1] - úhlová rychlost rotačního pohybu tělesa
k ose tělesa.
Příklad - obecný rovinný pohyb
Jakou pohybovou energii má ocelový válec o hustotě
7850 kg.m-3, průměru 100 mm a délce 500 mm, který se valí
po vodorovné rovině stálou rychlostí 5 m.s-1.
.
.
Vyvažování
Zajištění klidného chodu zařízení je velmi důležité :
- stroj bez vibrací a hluku působí z fyziologického hlediska
lépe na obsluhu
- klidný chod ⇒ dlouhodobý bezporuchový provoz ⇒
klesají náklady na opravy, zkracují se prostoje
- nevyváženost otáčejících se částí vzniká nerovnoměrným
.
rozložením hmoty součásti
vzhledem o ose rotace
- neváženost ⇒ odstředivé síly ⇒ chvění
Vyvažování rotujících hmot
.
a) dynamické – náročné metody na specielních
vyvažovacích strojích na principu pružných rámů (viz VŠ)
Vyvažování rotujících hmot
b) statické – jednoduché, ale jen „na hrubo“
pomocným vývažkem při konstrukci
účinek odstředivé síly otáčející se
hmoty nevyvážené části tělesa FC
„vyrušíme“ odstředivou silou jiné
rotující hmoty FV,tak zvaného
.
vývažku;
.
podmínkou takovéhoto způsobu
vyvážení je, že síly FC a FV musí
být v rovnováze
n
∑
i= 1
Fi = 0 ⇒ FC − FV = 0 ⇒ FC = FV
Vyvažování rotujících hmot
FC = m ⋅ R ⋅ ω
FV = mV ⋅ RV ⋅ ω
2
2
úhlová rychlost rotačního pohybu tělesa
i vývažku musí být stejná
FC = FV ⇒ m ⋅ R ⋅ ω = mV ⋅ RV ⋅ ω ⇒ m ⋅ R = mV ⋅ RV
2
.
.
2
Vyvažování rotujících hmot
Možnosti výpočtu :
1) volíme poloměr dráhy
rotačního pohybu vývažku a
počítáme hmotnost vývažku
R
m ⋅ R = mV ⋅ RV ⇒ mV = m ⋅
R.V
2) zvolíme hmotnost vývažku a vypočítáme
poloměr dráhy rotačního pohybu
.
m ⋅ R = mV ⋅ RV ⇒ RV = R ⋅
m
mV
Příklad - vyvažování rotujících hmot
Navrhněte rozměry vývažku tvaru válce (o průměru DV
a výšce HV) u součásti dle obrázku, jestliže nevyvážená
hmota má také tvar válce o průměru D1 = 40mm a
výšce H1 = 50mm. Součást je z materiálu o hustotě
7850kg.m-3 a má otáčky 600min-1. Těžiště nevyvážené
hmoty se pohybuje o . kružnici
o poloměru R = 120mm, poloměr
dráhy vývažku je RV = 150mm
a průměr vývažku je DV = 50mm.
.

Podobné dokumenty

vybrane_okruhy - Katedra vozidel a motorů

vybrane_okruhy - Katedra vozidel a motorů Používáme ho zejména proto, protože se dá výhodně transformovat. Točivé magnetické pole nám vytváří 3 fáze. Nejpoužívanější zapojení při použití elektromotorů jsou do hvězdy a do trojúhelníku (obr....

Více

Mechanická práce

Mechanická práce  Definice mechanické práce: „Mechanickou práci konáme, překonáváme-li odpory silou působící po určité dráze. Velikost mechanické práce je rovna součinu síly působící na hmotný bod a dráhy hmotného...

Více

199 Kč - KINSKÝ Žďár, as

199 Kč - KINSKÝ Žďár, as zahradnické nůžky nerez....................... 99,nůžky zahradní Winland 190mm.....139,nůžky zahradní Winland 220mm.....139,zahradní vidlička plastová..................... 29,lopatka úzká plastová....

Více

Hybnost tělesa a impulz síly

Hybnost tělesa a impulz síly Prezentace je určena k výkladu hybnosti tělesa a impulzu síly a jejich vlivu v běžném životě. Žáci odvozují dané veličiny a popisují jejich závislosti na hmotnosti, rychlosti, síle a času působení.

Více

Členění sportů a činností - Top

Členění sportů a činností - Top americký fotbal, bojové sporty, box, bungee jumping (skok na gumovém laně), canyoning za účasti odborného instruktora, cyklokros, dostihový sport, horský ultramaraton, jízda na „U“ rampě ve skatepa...

Více

Poruchy elektromagnetického pole

Poruchy elektromagnetického pole poškození vinutí elektromotoru a následný elektrický zkrat. Pokud se všechny tři kružnice neprotnout vlivem nelineárních vlastností měřené soustavy a nevytvoří tři průsečíky P1, P2, P3 viz obrázek ...

Více

KONSTRUKCE MOTOCYKLOVÝCH MOTORŮ

KONSTRUKCE MOTOCYKLOVÝCH MOTORŮ pouze jednou na dvě otáčky klikového hřídele, což je z hlediska vyvážení interval velmi dlouhý. U dvouválcových řadových motorů nebo dvouválcových boxerů je již v tomto ohledu učiněn určitý pokrok,...

Více

0992.hk

0992.hk b) Načrtněte rozložení pólů a nul. Popište osy. Rozhodněte o stabilitě systému. (4b) c) Vypočtěte impulsovou charakteristiku (3b) a načrtněte ji. Popište a ocejchujte osy. (3b) d) Vypočtěte přechod...

Více