Deskriptivn´ı geometrie 1

Transkript

Západočeská univerzita v Plzni
Fakulta aplikovaných věd
Katedra matematiky
Deskriptivnı́ geometrie 1
Pomocný učebnı́ text
1. část
Světlana Tomiczková
Plzeň – 22. zářı́ 2009– verze 2.0
Předmluva
Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Deskriptivnı́ geometrie I. Některé části jsou
shodné s kapitolami ve skriptech pro strojnı́ fakultu, které jsme vytvořili společně s doc. RNDr.
Františkem Ježkem CSc.
Chybı́ zde ještě pojednánı́ o kótovaném promı́tánı́, řešenı́ terénu a kartografických projekcı́ch.
Pokud najdete v textu nedopatřenı́, resp. pokud je text někde nesrozumitelný, prosı́m
o sdělenı́ takových poznatků. Ideálnı́ cestou je použitı́ e-mailu a adresy [email protected].
Autorka
2
Obsah
1 Opakovánı́ stereometrie
1.1 Axiómy . . . . . . . . . . .
1.2 Určovánı́ odchylek . . . . .
1.2.1 Odchylka mimoběžek
1.2.2 Odchylka dvou rovin
1.3 Kritéria rovnoběžnosti . . .
1.4 Kritéria kolmosti . . . . . .
1.5 Otáčenı́ v prostoru . . . . .
1.6 Dělı́cı́ poměr . . . . . . . . .
1.7 Kontrolnı́ otázky . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
6
6
7
7
7
8
8
9
10
2 Nevlastnı́ elementy
2.1 Úvodnı́ úvaha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Nevlastnı́ bod, přı́mka a rovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Kontrolnı́ otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
11
12
3 Kuželosečky
3.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Rovnice elipsy . . . . . . . .
3.2.2 Proužková konstrukce elipsy
3.2.3 Oskulačnı́ kružnice elipsy . .
3.2.4 Rytzova konstrukce . . . . .
3.2.5 Tečna a ohniskové vlastnosti
3.3 Hyperbola . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Parabola . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Pascalova a Brianchonova věta . . .
3.6 Kontrolnı́ otázky . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
13
14
15
15
16
17
19
20
20
21
22
26
4 Elementárnı́ plochy a tělesa
4.1 Základnı́ pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Jehlanová plocha, jehlan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Hranolová plocha, hranol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
28
28
28
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
elipsy . .
. . . . . .
hyperboly
. . . . . .
paraboly
. . . . . .
. . . . . .
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Obsah
4
.
.
.
.
29
30
30
30
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
31
31
32
33
33
37
39
40
6 Mongeovo promı́tánı́
6.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Obraz bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Obraz přı́mky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Obraz roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Polohové úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Přı́mka v rovině (základnı́ úloha Z1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Bod v rovině (základnı́ úloha Z2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.3 Rovnoběžné roviny (základnı́ úloha Z3) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.4 Průsečı́k přı́mky s rovinou (základnı́ úloha Z4) . . . . . . . . . . . . . .
6.5.5 Průsečnice dvou rovin (základnı́ úloha Z5) . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Metrické úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.1 Skutečná velikost úsečky (základnı́ úloha Z6) . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.2 Nanesenı́ úsečky na přı́mku (základnı́ úloha Z7) . . . . . . . . . . . . .
6.6.3 Přı́mka kolmá k rovině (základnı́ úloha Z8) . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.4 Rovina kolmá k přı́mce (základnı́ úloha Z9) . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.5 Otočenı́ roviny do polohy rovnoběžné s průmětnou (základnı́ úloha Z10)
6.6.6 Obraz kružnice (základnı́ úloha Z11) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.7 Transformace průměten (základnı́ úloha Z12) . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Kontrolnı́ otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
42
42
42
43
45
48
48
51
53
54
56
58
58
60
60
62
63
66
67
68
7 Axonometrie
7.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Klasifikace axonometriı́ . . . . .
7.3 Zobrazenı́ bodu . . . . . . . . .
7.4 Zobrazenı́ přı́mky . . . . . . . .
7.5 Zobrazenı́ roviny . . . . . . . .
7.6 Úlohy v axonometrii . . . . . .
7.6.1 Vzájemná poloha přı́mek
7.6.2 Přı́mka v rovině . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
69
69
70
71
72
73
74
74
74
4.2
4.1.3 Kuželová plocha, kužel
4.1.4 Válcová plocha, válec .
4.1.5 Kulová plocha, koule .
Kontrolnı́ otázky . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Základy promı́tánı́
5.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Středové promı́tánı́ . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Rovnoběžné promı́tánı́ . . . . . . . . . . . .
5.4 Pravoúhlé promı́tánı́ . . . . . . . . . . . . .
5.5 Středová kolineace . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Osová afinita . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Kružnice v osové afinitě a středové kolineaci
5.8 Kontrolnı́ otázky . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Obsah
7.7
7.8
5
7.6.3 Průsečı́k přı́mky s rovinou . . . . . . . . . . . . . .
7.6.4 Průsečnice rovin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.5 Kružnice v souřadnicové rovině . . . . . . . . . . .
Pravoúhlá axonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.1 Metrické úlohy v rovinách xy, yz, zx . . . . . . . .
7.7.2 Obraz kružnice ležı́cı́ v některé souřadnicové rovině
Kontrolnı́ otázky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
76
77
78
79
79
81
83
Kapitola 1
Opakovánı́ stereometrie
Na úvod připomeneme základnı́ pojmy a věty z prostorové geometrie, které budeme použı́vat
v dalšı́ch kapitolách.
1.1
Axiómy
Axiómy jsou jednoduchá tvrzenı́, která nemůžeme dokázat. Z nich se potom odvozujı́ dalšı́ věty.
Tento systém axiómů použil před vı́ce než 2000 lety slavný řecký geometr Euklides k vybudovánı́
prostorové geometrie. Geometrii vybudované na tomto systému axiómů řı́káme Euklidovská
geometrie.
Uvedeme si pět základnı́ch axiómů prostorové geometrie:
1. axióm: Dva různé body A, B určujı́ právě jednu přı́mku p. Symbolicky tuto větu zapı́šeme:
∀A, B; A 6= B ∃! p = AB.
2. axióm: Přı́mka p a bod A, který neležı́ na přı́mce p, určujı́ právě jednu rovinu α. Symbolicky:
∀A, p; A ∈
/ p ∃! α = (A, p).
3. axióm: Ležı́-li bod A na přı́mce p a přı́mka p v rovině α, ležı́ i bod A v rovině α. Symbolicky:
∀A, p, α; A ∈ p ∧ p ⊂ α ⇒ A ∈ α.
4. axióm: Majı́-li dvě různé roviny α, β společný bod P , pak majı́ i společnou přı́mku p a P
ležı́ na p. Symbolicky: ∀α, β, α 6= β : P ∈ α ∩ β ⇒ ∃! p : P ∈ p ∧ α ∩ β = p.
5. axióm: Ke každé přı́mce p lze bodem P , který na nı́ neležı́, vést jedinou přı́mku p0 rovnoběžnou s p. Symbolicky: ∀P, p : P ∈
/ p ⇒ ∃! p0 : p0 ||p ∧ P ∈ p0 .
Uvedených pět axiómů tvořı́ základ, ale museli bychom je doplnit o dalšı́ axiómy, aby systém
dovoloval vybudovánı́ klasické geometrie. Nenı́ však cı́lem tohoto textu uvést úplný přehled
axiómů a vět prostorové geometrie. Zaměřı́me se jen na takové vztahy, které budeme přı́mo
využı́vat v dalšı́m výkladu.
1.2
Určovánı́ odchylek
V rovině umı́me určit odchylku přı́mek, které jsou různoběžné. Protože se zabýváme prostorovými vztahy, nadefinujeme si i odchylku dvou mimoběžek a ukážeme si, jak lze určit odchylku
dvou rovin.
6
1.3. Kritéria rovnoběžnosti
1.2.1
7
Odchylka mimoběžek
1. V prostoru jsou dány dvě mimoběžky a,
b.
2. Libovolným bodem M vedeme přı́mku a0
rovnoběžnou s přı́mkou a a přı́mku b0 rovnoběžnou s přı́mkou b.
3. Odchylka mimoběžek a, b je rovna odchylce přı́mek a0 , b0 .
1.2.2
Obrázek 1.1:
Odchylka dvou rovin
Uvedeme dva způsoby, jak určit odchylku dvou různoběžných rovin α a β.
Obrázek 1.2:
Obrázek 1.3:
1. způsob - obr. 1.2
1.
2.
3.
4.
Sestrojı́me průsečnici p rovin α a β.
Sestrojı́me rovinu γ kolmou na p.
Sestrojı́me průsečnici a rovin α a γ a průsečnici b rovin β a γ.
Odchylka ϕ přı́mek a, b je odchylkou rovin α a β.
2. způsob - obr. 1.3
1. Libovolným bodem M vedeme kolmici n k rovině α.
2. Stejným bodem M vedeme kolmici n0 k rovině β.
3. Odchylka přı́mek n, n0 je odchylkou rovin α a β.
1.3
Kritéria rovnoběžnosti
Věta 1.1 Kritérium rovnoběžnosti přı́mky s rovinou. Přı́mka p je rovnoběžná s rovinou α, právě když existuje přı́mka p0 ležı́cı́ v rovině α, rovnoběžná s přı́mkou p – obr. 1.4.
1.4. Kritéria kolmosti
8
Věta 1.2 Kritérium rovnoběžnosti dvou rovin. Rovina α je rovnoběžná s rovinou β,
právě když existujı́ různoběžky a, b ležı́cı́ v rovině α a rovnoběžné s rovinou β – obr. 1.5.
Obrázek 1.4:
1.4
Obrázek 1.5:
Kritéria kolmosti
Věta 1.3 Kritérium kolmosti přı́mky a roviny. Přı́mka p je kolmá k rovině α, jestliže
je kolmá ke dvěma různoběžkám a, b ležı́cı́m v rovině α – obr. 1.6.
Věta 1.4 Kritérium kolmosti dvou rovin. Rovina α je kolmá k rovině β, jestliže v rovině
α existuje přı́mka p kolmá k rovině β (tj. kolmá ke dvěma různoběžkám a, b ležı́cı́m v rovině β)
– obr. 1.7.
Obrázek 1.6:
1.5
Obrázek 1.7:
Otáčenı́ v prostoru
Transformacı́m bude věnována celá kapitola. Nynı́ si pouze připomeneme základnı́ vlastnosti
otáčenı́ (rotace), protože otáčenı́ budeme potřebovat při studiu zobrazovacı́ch metod.
1.6. DělÍcÍ poměr
9
Popı́šeme otáčenı́ v prostoru okolo osy o o úhel ϕ. Body osy otáčenı́ jsou samodružné (zobrazı́
se samy na sebe). Bod A se otáčı́ po kružnici k. Určı́me střed S kružnice k, poloměr r
a rovinu ρ, ve které kružnice k ležı́ - obr. 1.8.
• Rovina otáčenı́ ρ procházı́ bodem A a je kolmá k ose otáčenı́ o.
• Střed otáčenı́ S je průsečı́kem osy o s rovinou ρ.
• Poloměr otáčenı́ r je velikost úsečky AS, pı́šeme r = |AS|.
Obrázek 1.8:
Obrázek 1.9:
Přı́klad 1.1 Jsou dány různoběžné roviny α a π, v rovině α je dán bod A. Napı́šeme postup
pro otočenı́ bodu A do roviny π - obr. 1.9.
Řešenı́:
1.
2.
3.
4.
Osou otáčenı́ o je průsečnice rovin α a π (o = α ∩ π).
Rovina otáčenı́ ρ je kolmá k ose o a procházı́ bodem A (ρ ⊥ o ∧ A ∈ ρ).
Střed otáčenı́ S zı́skáme jako průsečı́k osy o a roviny ρ (S = o ∩ ρ).
Velikost úsečky SA je poloměr otáčenı́ (r = |SA|).
1.6
Dělı́cı́ poměr
Na orientované přı́mce p jsou dány dva různé body A, B. Bod C 6= B je libovolný bod přı́mky
p. Dělı́cı́ poměr bodu C vzhledem k bodům A, B je čı́slo
−→
−−→
λ = (A, B, C) = d(AC) : d(BC),
−→
−−→
kde d(AC), d(BC) jsou orientované délky přı́slušných úseček.
Napřı́klad je-li bod C středem úsečky AB, jeho dělı́cı́ poměr vzhledem k bodům A, B je
−→
−−→
λ = −1, což plyne ze vztahu d(AC) = −d(BC).
Obráceně ke každému čı́slu λ 6= 1 můžeme sestrojit na dané orientované přı́mce AB bod,
jehož dělı́cı́ poměr vůči bodům A, B je dané čı́slo λ.
1.7. KontrolnÍ otázky
1.7
10
Kontrolnı́ otázky
1.1 Popište, jak lze určit odchylku dvou rovin.
1.2 Uved’te kritérium rovnoběžnosti přı́mky a roviny a kritérium rovnoběžnosti dvou rovin.
1.3 Uved’te kritérium kolmosti přı́mky a roviny a kritérium kolmosti dvou rovin.
1.4 Proč nemůže dělı́cı́ poměr podle uvedené definice nabývat hodnoty 1?
Kapitola 2
Nevlastnı́ elementy
2.1
Úvodnı́ úvaha
Je dána přı́mka q a bod P , který na této přı́mce neležı́. Bodem P procházı́ přı́mka p (obr.2.1).
Otáčı́me přı́mkou p kolem bodu P a sestrojujeme průsečı́ky přı́mky p s přı́mkou q.
Obrázek 2.1:
V určitém okamžiku se přı́mka p dostane do speciálnı́ polohy (p k q), kdy průsečı́k neexistuje.
Nynı́ nastávajı́ dvě možnosti: bud’ ve svých úvahách budeme uvádět tento přı́pad zvlášt’, nebo
si pomůžeme tı́m, že i pro tuto situaci zavedeme průsečı́k a budeme rovnoběžky považovat za
přı́mky, které majı́ společný bod. Tento průsečı́k, který ovšem nemůžeme zobrazit, nazveme
nevlastnı́m bodem.
2.2
Nevlastnı́ bod, přı́mka a rovina
Definice 2.1 Všechny navzájem rovnoběžné přı́mky v prostoru majı́ společný právě jeden bod,
který nazýváme nevlastnı́m bodem. (Někdy řı́káme, že rovnoběžné přı́mky majı́ stejný směr
- nahradili jsme tedy pojem směr pojmem nevlastnı́ bod.) - obr. 2.2
Podobnou úvahu jako v obr. 2.1 můžeme provést pro dvě roviny a vyslovı́me dalšı́ definice:
11
Obrázek 2.2:
12
Obrázek 2.3:
Definice 2.2 Všechny navzájem rovnoběžné roviny v prostoru majı́ společnou právě jednu
přı́mku, kterou nazýváme nevlastnı́ přı́mkou - obr. 2.3.
Definice 2.3 Nevlastnı́ rovina je množina všech nevlastnı́ch bodů a nevlastnı́ch přı́mek.
Nevlastnı́ útvary označujeme stejně jako vlastnı́, pouze připojujeme index ∞. Tedy např.
A∞ je nevlastnı́ bod, p∞ je nevlastnı́ přı́mka apod.
Euklidovský prostor obsahuje pouze vlastnı́ útvary. Jestliže k němu přidáme právě zavedené nevlastnı́ body, přı́mky a roviny, dostaneme nový prostor, který nazýváme projektivně
rozšı́řený euklidovský prostor (nebo zkráceně rozšı́řený euklidovský prostor).
V rozšı́řeném euklidovském prostoru platı́ pro vlastnı́ útvary všechny axiomy a věty, které
platily v euklidovském prostoru. Pro nevlastnı́ útvary musı́me předpokládat platnost dalšı́ch
tvrzenı́ o incidenci vlastnı́ch a nevlastnı́ch útvarů:
• Na každé vlastnı́ přı́mce ležı́ právě jeden nevlastnı́ bod.
• V každé vlastnı́ rovině ležı́ právě jedna nevlastnı́ přı́mka.
• Nevlastnı́ body všech vlastnı́ch přı́mek jedné roviny ležı́ na nevlastnı́ přı́mce této roviny.
Poznámka 2.1 Nevlastnı́ bod na vlastnı́ přı́mce značı́me A∞ a někdy připojujeme k přı́slušné
přı́mce šipku, což ale nesmı́ vést k domněnce, že na vlastnı́ přı́mce existujı́ dva různé nevlastnı́
body. Vlastnı́ přı́mka má jediný nevlastnı́ bod, nebot’ patřı́ jednomu systému navzájem rovnoběžných přı́mek. Dvě rovnoběžné přı́mky majı́ jeden společný nevlastnı́ bod.
2.3
2.1 Definujte nevlastnı́ bod přı́mky.
2.2 Kolik nevlastnı́ch bodů ležı́ na jedné přı́mce (rozlište přı́mku vlastnı́ a nevlastnı́)?
2.3 Je pravdivé tvrzenı́, že v rozšı́řené euklidovské rovině majı́ dvě různé přı́mky právě jeden
společný bod? Je toto trvzenı́ pravdivé i pro rozšı́řený euklidovský prostor?
Kapitola 3
Kuželosečky
3.1
Úvod
Kuželosečka je rovinná křivka, kterou zı́skáme jako průnik rotačnı́ kuželové plochy a roviny.
Kuželosečky můžeme rozdělit na singulárnı́, pokud rovina řezu procházı́ vrcholem rotačnı́
kuželové plochy (bod, přı́mka, dvě přı́mky) a regulárnı́, jestliže rovina řezu vrcholem neprocházı́
(elipsa, hyperbola, parabola). V dalšı́m textu nejprve uvedeme definice a tzv. ohniskové vlastnosti kuželoseček, přičemž se nejvı́ce zaměřı́me na elipsu, protože elipsa je afinnı́m obrazem
kružnice, a tedy se s nı́ často setkáme v rovnoběžném promı́tánı́.
Protože ohniska kuželoseček nejsou invariantem (nezobrazujı́ se do ohnisek) afinnı́ch zobrazenı́, zaměřı́me se v dalšı́ části na dvě věty, které nevyužı́vajı́ ohniskových vlastnostı́, ale pracujı́
pouze s body, tečnami a incidencı́.
Poznámka 3.1 Sečna kuželosečky (resp. jiné křivky) je spojnice dvou bodů kuželosečky. Tečnu
lze definovat jako limitnı́ přı́pad sečny, pokud tyto dva body splynou.
3.2
Elipsa
Definice 3.1 Elipsa je množina všech bodů, které majı́ od dvou daných vlastnı́ch bodů F, G
stálý součet vzdálenostı́ 2a, většı́ než vzdálenost daných bodů (obr. 3.1).
Body F, G se nazývajı́ ohniska, spojnice bodů elipsy s ohnisky jsou průvodiče, střed
úsečky F G je střed elipsy. Přı́mka F, G je osou souměrnosti elipsy a nazýváme ji hlavnı́ osa,
stejným názvem označujeme i vzdálenost bodů A, B elipsy ležı́cı́ch na této ose, polovině této
vzdálenosti řı́káme hlavnı́ poloosa a značı́me a. Osu úsečky F, G nazýváme vedlejšı́ osa,
stejným názvem označujeme i vzdálenost bodů C, D elipsy ležı́cı́ch na této ose, polovině této
vzdálenosti řı́káme vedlejšı́ poloosa a značı́me b. Vzdálenost ohniska od středu elipsy se
nazývá lineárnı́ výstřednost neboli excentricita a značı́me ji e. Pro poloosy a excentricitu
platı́ vztah
a2 = b2 + e2
.
13
3.2. Elipsa
14
Obrázek 3.1:
3.2.1
Rovnice elipsy
V této podkapitole použı́váme pojmový aparát z kapitoly Analytická geometrie (viz. ??), je
možné tuto část vynechat a vrátit se k nı́ později.
Pokud umı́stı́me elipsu tak, aby jejı́ osy ležely na souřadnicových osách (střed je v počátku
souřadnicové soustavy), potom ohniska majı́ souřadnice F = [−e, 0], G = [e, 0] a bod elipsy
M = [x, y].
p
p
Z definice elipsy platı́, že |F M | + |GM | = 2a tj. (x + e)2 + y 2 + (x − e)2 + y 2 = 2a. Po
úpravě zı́skáme kanonickou rovnici
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
Jestliže umı́stı́me střed elipsy do bodu S = [s1 , s2 ] (a osy zůstanou rovnoběžné se souřadnicovými
osami), pak má elipsa rovnici
(x − s1 )2 (y − s2 )2
+
= 1.
a2
b2
Parametrické vyjádřenı́ vyjádřenı́ lze odvodit z tzv. trojúhelnı́kové konstrukce elipsy (viz
obr. 3.2). Jsou dány dvě soustředné kružnice se společným středem v bodě S = [0, 0] a poloměry
a, b (a > b). Bodem S vedeme polopřı́mku r, která protı́ná kružnice v bodech A, B. Bodem
A vedeme rovnoběžku s osou y a bodem B rovnoběžku s osou x. Průsečı́k těchto rovnoběžek
označı́me X = [x, y] a odvodı́me jeho souřadnice. Odvozenı́ ukážeme pro prvnı́ kvadrant t ∈
(0; π/2), v ostatnı́ch kvadrantech bude situace analogická.
Souřadnice bodu A resp. B jsou [xa , ya ] = [a cos t, a sin t], resp. [xb , yb ] = [b cos t, b sin t].
Z pravoúhlého trojúhelnı́ku ABX lze vyjádřit velikosti odvěsen v = |AX| = (a − b) sin t,
u = |BX| = (a − b) cos t. Souřadnice bodu X = [x, y] můžeme vyjádřit pomocı́ souřadnic bodů
A, B a velikostı́ u, v:
x = xb + u = b cos t + (a − b) cos t = a cos t
y = ya − v = a sin t − (a − b) sin t = b sin t.
Bod X je bodem elipsy, protože jeho souřadnice vyhovujı́ kanonické rovnici uvedené výše a
x = a cos t, b sin t, t ∈ (0; 2π)
3.2. Elipsa
15
je parametrickým vyjádřenı́m elipsy.
Obrázek 3.2:
3.2.2
Obrázek 3.3:
Proužková konstrukce elipsy
Bodem X vedeme rovnoběžku q s polopřı́mkou r. Přı́mka q protne hlavnı́ a vedlejšı́ osu elipsy
v bodech P a R. Protože r k q, BX k SP a AX k SR, platı́ také, že |RX| = |SA| = a a
|XP | = |SB| = b .
Přı́klad 3.1 Elipsa je určena hlavnı́ osou AB a bodem M , který je bodem elipsy. Určete
velikost vedlejšı́ poloosy elipsy - obr. 3.4.
Řešenı́: (obr. 3.5)
1. Sestrojı́me osu o úsečky AB.
2. Sestrojı́me kružnici f ≡ (M, a), velikost hlavnı́ poloosy a je rovna polovině vzdálenosti
bodů A, B.
3. Sestrojı́me bod R jako průsečı́k kružnice f s osou o (ze dvou možnostı́ vybereme bod,
který ležı́ v opačné polorovině k polorovině určené osou AB a bodem M ).
4. Sestrojı́me průsečı́k P úsečky RM s osou AB.
5. Velikost b vedlejšı́ poloosy je vzdálenost bodů P M .
3.2.3
Oskulačnı́ kružnice elipsy
Pokud jsme nuceni sestrojit elipsu pomocı́ kružı́tka a pravı́tka, můžeme ji ve vrcholech nahradit
oblouky tzv. oskulačnı́ch kružnic.
Přı́klad 3.2 Sestrojte libovolný bod a oskulačnı́ kružnice elipsy určené hlavnı́ a vedlejšı́ osou
- obr. 3.6.
3.2. Elipsa
16
Obrázek 3.4:
Obrázek 3.5:
1. Sestrojı́me úsečku U W velikosti 2a = |AB| a zvolı́me bod V na úsečce U W .
2. Určı́me ohniska F, G. Bod X je průsečı́kem kružnic u1 ≡ (F, |U V |) a u2 ≡ (G, |V W |).
3. Sestrojı́me bodem C rovnoběžku s hlavnı́ osou a bodem B rovnoběžku s vedlejšı́ osou
(tečny ve vrcholech).
4. Průsečı́kem rovnoběžek vedeme kolmici r k přı́mce CB.
5. Průsečı́ky přı́mky r s hlavnı́ a vedlejšı́ osou jsou středy S1 , S2 oskulačnı́ch kružnic k1 ≡
(S1 , |S1 B|), k2 ≡ (S2 , |S2 C|).
Obrázek 3.6:
3.2.4
Obrázek 3.7:
Rytzova konstrukce
Průměr elipsy je úsečka, která procházı́ středem elipsy a jejı́ krajnı́ body ležı́ na elipse. Na
rozdı́l od kružnice nenı́ elipsa svým průměrem určena. Jednoznačně je určena tzv. sdruženými
průměry, pro které platı́, že tečny v krajnı́ch bodech jednoho průměru jsou rovnoběžné
s průměrem sdruženým.
3.2. Elipsa
17
Obrázek 3.8:
Přı́klad 3.3 Sestrojte hlavnı́ a vedlejšı́ osu elipsy určené sdruženými průměry - obr. 3.9.
Řešenı́: (Rytzova konstrukce - obr. 3.10)
1. K průměru KL vedeme bodem S kolmici u.
2. Na kolmici sestrojı́me bod Q tak, že na u naneseme od bodu S délku |QS| = |KS|. Bod
Q ležı́ ve stejné polorovině určené hraničnı́ přı́mkou KL jako bod M .
3. Sestrojı́me přı́mku QM .
4. O je střed úsečky QM .
5. Sestrojı́me kružnici r ≡ (O, |OS|).
6. QM ∩ r = {R, P }.
7. Přı́mky RS a P S udávajı́ polohu hlavnı́ a vedlejšı́ osy elipsy. Hlavnı́ osa procházı́ ostrým
úhlem sdružených průměrů.
8. Velikost hlavnı́ osy elipsy a = |P M |. Velikost vedlejšı́ osy elipsy b = |RM |.
Obrázek 3.9:
3.2.5
Obrázek 3.10:
Tečna a ohniskové vlastnosti elipsy
Tečna elipsy je přı́mka, která má s elipsou společný právě jeden bod. Při sestrojovánı́ obrysu
některých těles (kužel) budeme hledat tečny z bodu (nebo v bodě) k elipse. Následujı́cı́ tři věty
poskytujı́ potřebný návod k těmto konstrukcı́m.
3.2. Elipsa
18
Věta 3.1 Tečna elipsy půlı́ vnějšı́ úhly průvodičů dotykového bodu (viz obr. 3.1).
Obrázek 3.11:
Obrázek 3.12:
Věta 3.2 Množina všech bodů, které jsou souměrně sdružené s jednı́m ohniskem elipsy podle
jejı́ch tečen, je kružnice se středem v druhém ohnisku o poloměru rovném velikosti hlavnı́ osy
elipsy.
Tato kružnice se nazývá řı́dı́cı́ kružnice (viz obr. 3.11).
Věta 3.3 Množina všech pat kolmic, které jsou spuštěny z ohnisek elipsy na jejı́ tečny, je
kružnice opsaná okolo středu elipsy poloměrem rovným velikosti hlavnı́ poloosy.
Tato kružnice se nazývá vrcholová kružnice (viz obr. 3.12).
Přı́klad 3.4 Elipsa je určena hlavnı́ a vedlejšı́ osou. Z bodu M ved’te tečny k zadané elipse obr. 3.13.
Řešenı́: (pomocı́ vrcholové kružnice - obr. 3.14)
1.
2.
3.
4.
5.
Sestrojı́me vrcholovou kružnici r ≡ (S, a).
Sestrojı́me Thaletovu kružnici k nad úsečkou GM .
Sestrojı́me průsečı́ky U1 , U2 kružnic k, r.
Tečny t1 resp. t2 jsou určeny body U1 M resp. U2 M .
Pokud chceme nalézt dotykový bod T , sestrojı́me bod G0 souměrně sdružený k ohnisku
G podle tečny t2 . Bod T je průsečı́kem přı́mek F G0 a t2 . Druhý dotykový bod bychom
našli analogicky.
Řešenı́: (pomocı́ řı́dı́cı́ kružnice - obr. 3.15)
Sestrojı́me řı́dı́cı́ kružnici d ≡ (F, 2a).
Sestrojı́me kružnici k ≡ (M, |M G|).
Bod G0 (bod souměrně sdružený k ohnisku podle tečny) je průsečı́k kružnic k, r.
Tečna t2 je kolmá k úsečce GG0 . (Tečnu t1 najdeme pomocı́ druhého průsečı́ku kružnic
k, r - konstrukce nenı́ v obrázku znázorněna.)
5. Dotykový bod T je průsečı́kem přı́mek F G0 a t2 .
1.
2.
3.
4.
3.3. Hyperbola
19
Obrázek 3.13:
Obrázek 3.14:
Obrázek 3.15:
3.3
Hyperbola
Definice 3.2 Hyperbola je množina všech bodů, které majı́ od dvou daných pevných bodů F, G
stálý rozdı́l vzdálenostı́ 2a, menšı́ než vzdálenost daných bodů (obr. 3.16).
Body F, G se nazývajı́ ohniska, spojnice bodů hyperboly s ohnisky jsou průvodiče, střed
úsečky F G je střed hyperboly. Vzdálenost ohniska od středu elipsy se nazývá lineárnı́ výstřednost
neboli excentricita a značı́me ji e. Přı́mka F, G je osou souměrnosti hyperboly a nazýváme
ji hlavnı́ osa, stejným názvem označujeme i vzdálenost bodů A, B hyperboly ležı́cı́ch na této
ose, polovině této vzdálenosti řı́káme hlavnı́ poloosa a značı́me a. Osu úsečky F, G nazýváme
vedlejšı́ osa, vedlejšı́ poloosa nazýváme velikost b, pro kterou platı́ vztah
e2 = a2 + b2
.
3.4. Parabola
20
Obrázek 3.16:
3.3.1
Tečna a ohniskové vlastnosti hyperboly
Pro hyperbolu platı́ podobné věty jako pro elipsu a lze je využı́t při hledánı́ tečny hyperboly.
Pro tečny v nevlastnı́ch bodech použı́váme označenı́ asymptoty.
Věta 3.4 Tečna hyperboly půlı́ vnějšı́ úhly průvodičů dotykového bodu. (viz obr. 3.16).
Věta 3.5 Množina všech bodů, které jsou souměrně sdružené s jednı́m ohniskem hyperboly
podle jejı́ch tečen, je kružnice se středem v druhém ohnisku o poloměru rovném velikosti hlavnı́
osy hyperboly.
Tato kružnice se nazývá řı́dı́cı́ kružnice (viz obr. 3.17).
Věta 3.6 Věta 3: Množina všech pat kolmic, které jsou spuštěny z ohnisek hyperboly na jejı́
tečny, je kružnice opsaná okolo středu hyperboly poloměrem rovným velikosti hlavnı́ poloosy.
Tato kružnice se nazývá vrcholová kružnice (viz obr. 3.18).
3.4
Parabola
Definice 3.3 Parabola je množina všech bodů, které majı́ od pevného bodu F a pevné přı́mky
d, která tı́mto bodem neprocházı́, stejné vzdálenosti (obr. 3.19).
Bod F se nazývá ohnisko, přı́mka d řı́dı́cı́ přı́mka, spojnice bodů paraboly s ohniskem
a kolmice daným bodem k řı́dı́cı́ přı́mce jsou průvodiče. Přı́mka procházejı́cı́ ohniskem F a
kolmá na řı́dı́cı́ přı́mku je osou souměrnosti paraboly a nazýváme ji osa paraboly. Průsečı́k V
osy s parabolou je vrchol paraboly. Vzdálenost ohniska od řı́dı́cı́ přı́mky se nazývá parametr
a značı́ se p.
Oskulačnı́ kružnice v hlavnı́m vrcholu paraboly má střed S na ose paraboly ve vzdálenosti
p od vrcholu V (viz obr. 3.19).
3.4. Parabola
21
Obrázek 3.17:
Obrázek 3.18:
Obrázek 3.19:
3.4.1
Tečna a ohniskové vlastnosti paraboly
Pro parabolu platı́ podobné věty jako pro elipsu a hyperbolu, pouze mı́sto řı́dı́cı́ a vrcholové
kružnice dostáváme řı́dı́cı́ a vrcholovou přı́mku. Tyto věty lze opět využı́t při hledánı́ tečny
paraboly.
Věta 3.7 Tečna paraboly půlı́ vnějšı́ úhly průvodičů dotykového bodu (viz obr. 3.19).
Věta 3.8 Množina všech bodů, které jsou souměrně sdružené s ohniskem paraboly podle jejı́ch
tečen, je jejı́ řı́dı́cı́ přı́mka. (viz obr. 3.20).
Věta 3.9 Množina všech pat kolmic, které jsou spuštěny z ohniska na tečny paraboly, je vrcholová tečna paraboly. (viz obr. 3.21).
3.5. Pascalova a Brianchonova věta
Obrázek 3.20:
3.5
22
Obrázek 3.21:
Pascalova a Brianchonova věta
Věta 3.10 (Pascalova věta) Průsečı́ky třı́ dvojic protějšı́ch stran šestiúhelnı́ka vepsaného do
kuželosečky ležı́ na jedné přı́mce tzv. Pascalově přı́mce (obr. 3.22).
Obrázek 3.22:
P = 12 ∩ 45
Q = 23 ∩ 56
R = 34 ∩ 61
Přı́klad 3.5 Sestrojte dalšı́ bod kuželosečky k(A, B, C, D, E) určené pěti body - obr. 3.23.
Řešenı́: (volba přı́mky, na které ležı́ hledaný bod - obr. 3.24)
1. Očı́slujeme body např. A = 1, B = 4, C = 2, D = 5, E = 3 a hledáme bod F = 6.
2. Protože hledáme libovolný bod, můžeme přı́mku, na které budeme bod 6 hledat, vhodně
zvolit. Volı́me přı́mku procházejı́cı́ bodem 1 a označı́me ji 16 (spojnice bodů 1 a 6)
3. Sestrojı́me bod P , který je průsečı́kem spojnic 12 a 45.
4. Sestrojı́me bod R, který je průsečı́kem spojnic 34 a 16.
5.
6.
7.
8.
23
Sestrojı́me Pascalovu přı́mku p = P R.
Sestrojı́me bod Q, který je průsečı́kem Pascalovy přı́mky p a přı́mky 23.
Sestrojı́me přı́mku 56, která je spojnicı́ bodů Q a 5.
Bod F = 6 je průsečı́kem přı́mek 16 a 56.
Obrázek 3.23:
Obrázek 3.24:
Poznámka 3.2 Pokud dva body kuželosečky splynou, pak jejich spojnice přejde v tečnu (viz
obr. 3.25). Pokud splynou dvě tečny, pak jejich průsečı́k přejde v dotykový bod (viz obr. 3.26).
Techto úvah využijeme v následujı́cı́ch přı́kladech.
Obrázek 3.25:
Obrázek 3.26:
Přı́klad 3.6 Kuželosečka k(A, B, C, D, E) je určena pěti body. Sestrojte tečnu k této kuželosečce
v bodě A - obr. 3.27.
24
1. Protože hledáme tečnu v bodě A, označı́me tento bod jako dva body, které splynuly (a v
Pascalově větě je využı́vána jejich spojnice) A = 1 = 6.
2. Očı́slujeme ostatnı́ body např. B = 2, C = 5, D = 3, E = 4 a hledáme spojnici 16.
3. Sestrojı́me bod P , který je průsečı́kem spojnic 12 a 45.
4. Sestrojı́me bod Q, který je průsečı́kem spojnic 23 a 56.
5. Sestrojı́me Pascalovu přı́mku p = P Q.
6. Sestrojı́me bod R jako průsečı́k Pascalovy přı́mky p a přı́mky 34.
7. Sestrojı́me přı́mku 16, která je spojnicı́ bodů R a 1 = 6.
8. Přı́mka tA = 16 je tečnou kuželosečky v bodě 1 = 6.
Obrázek 3.27:
Obrázek 3.28:
Přı́klad 3.7 Kuželosečka k(A, B, b, D, E) je určena pěti body a tečnou v jednom z nich. Sestrojte tečnu k této kuželosečce v bodě A - obr. 3.29.
1. Protože hledáme tečnu v bodě A, označı́me tento bod jako dva body, které splynuly (a v
Pascalově větě je využı́vána jejich spojnice) A = 1 = 2.
2. Protože přı́mka b je tečnou v bodě B, označı́me i bod B jako dva body, které splynuly (a
v Pascalově větě je využı́vána jejich spojnice) B = 3 = 4 a přı́mku b jako spojnici 34.
3. Očı́slujeme ostatnı́ body např. D = 5, E = 6 a hledáme spojnici 12.
4. Sestrojı́me bod Q, který je průsečı́kem spojnic 23 a 56.
5. Sestrojı́me bod R, který je průsečı́kem spojnic 34 a 16.
6. Sestrojı́me Pascalovu přı́mku p = QR.
7. Sestrojı́me bod P jako průsečı́k Pascalovy přı́mky p a přı́mky 45.
8. Sestrojı́me přı́mku 12, která je spojnicı́ bodů P a 1 = 2.
9. Přı́mka tA = 12 je tečnou kuželosečky v bodě 1 = 2.
Obrázek 3.29:
Obrázek 3.31:
25
Obrázek 3.30:
p = (1 ∩ 2)(4 ∩ 5)
q = (2 ∩ 3)(5 ∩ 6)
r = (3 ∩ 4)(6 ∩ 1)
Věta 3.11 (Brianchonova věta) Spojnice třı́ dvojic protějšı́ch vrcholů šestiúhelnı́ka opsaného
kuželosečce procházejı́ jednı́m bodem tzv. Brianchonovým bodem (obr. 3.31).
Přı́klad 3.8 Kuželosečka k(a, b, c, d, e) je určena pěti tečnami. Sestrojte dalšı́ tečnu této kuželosečky
- obr. 3.32.
1. Očı́slujeme přı́mky např. a = 1, b = 2, c = 3, d = 4, e = 5 a hledáme přı́mku f = 6.
2. Protože hledáme libovolnou přı́mku, můžeme zvolit bod, kterým přı́mka bude procházet.
Volı́me bod na přı́mce 1 a označı́me ho 16 (průsečı́k přı́mek 1 a 6)
3. Sestrojı́me přı́mku p, která je spojnicı́ průsečı́ků 12 a 45.
4. Sestrojı́me přı́mku r, která je spojnicı́ průsečı́ků 34 a 16.
5. Sestrojı́me Brianchonův bod B, který je průsečı́kem přı́mek p a r.
6. Sestrojı́me přı́mku q, která je spojnicı́ Brianchonova bodu B a průsečı́ku 23.
26
7. Sestrojı́me bod 56, který je průsečı́kem přı́mek q a 5.
8. Tečna f = 6 je spojnicı́ bodů 16 a 56.
Obrázek 3.32:
Obrázek 3.33:
Přı́klad 3.9 Kuželosečka k(a, b, c, d, D) je určena pěti tečnami a jednı́m bodem dotyku (bod
D na tečně d). Sestrojte dotykový bod A na tečně a - obr. 3.34.
1. Protože na tečně d známe dotykový bod, označı́me ji jako dvě tečny, které splynuly
d = 5 = 6 a dotykový bod jako jejich průsečı́k D = 56.
2. Přı́mku a, na které hledáme dotykový bod, také označı́me jako dvě přı́mky , které splynuly
a = 1 = 2 a hledáme jejich průsečı́k A = 12.
3. Očı́slujeme ostatnı́ přı́mky např. b = 3, c = 4.
4. Sestrojı́me přı́mku q, která je spojnicı́ průsečı́ků 23 a 56.
5. Sestrojı́me přı́mku r, která je spojnicı́ průsečı́ků 34 a 16.
6. Sestrojı́me Brianchonův bod B, který je průsečı́kem přı́mek q a r.
7. Sestrojı́me přı́mku p, která je spojnicı́ Brianchonova bodu B a průsečı́ku 45.
8. Sestrojı́me bod 12, který je průsečı́kem přı́mek p a 1 = 2.
9. Bod 12 je dotykovým bodem na tečně a.
3.6
3.1 Kolika obecnými body je kuželosečka jednoznačně určena.
3.2 Co jsou to sdružené průměry elipsy? Které průměry kružnice můžeme považovat za
sdružené pokud bychom uvažovali kružnici jako speciálnı́ přı́pad elipsy (ohniska splynou)?
3.3 Kolik nevlastnı́ch bodů majı́ jednotlivé regulárnı́ kuželosečky?
Obrázek 3.34:
27
Obrázek 3.35:
Kapitola 4
Elementárnı́ plochy a tělesa
4.1
Základnı́ pojmy
Elementárnı́mi plochami budeme rozumět jehlanovou, hranolovou, kuželovou, válcovou a kulovou plochu a elementárnı́mi tělesy jehlan, hranol, kužel, válec a kouli. Elementárnı́ tělesa
znáte z předchozı́ho studia na střednı́ škole. Zde je jen dáme do souvislostı́ s nově definovanými
pojmy.
4.1.1
Jehlanová plocha, jehlan
Jehlanová plocha je určena rovinnou lomenou čárou - polygonem c (c ⊂ σ) a bodem V , který
neležı́ v rovině polygonu (V 6∈ σ), a je tvořena přı́mkami, které protı́najı́ polygon c a procházejı́
bodem V - obr. 4.1 a).
Je-li polygon uzavřený, pak množina přı́mek, které procházejı́ daným bodem V a protı́najı́
vnitřek polygonu nebo polygon, se nazývá jehlanový prostor. Přı́mky určené vrcholem V a
vrcholy polygonu jsou hrany jehlanové plochy.
Rovina, která procházı́ vrcholem, se nazývá vrcholová rovina.
Jehlan je průnik jehlanového prostoru a prostorové vrstvy určené rovinou σ řı́dı́cı́ho polygonu a vrcholové roviny σ 0 k σ - obr. 4.1 c). ) Výška jehlanu je vzdálenost vrcholu V od roviny
podstavy. Má-li podstava střed S a ležı́-li vrchol V na kolmici vztyčené v bodě S k rovině
podstavy, nazýváme jehlan kolmý a SV je jeho osa. V opačném přı́padě je jehlan kosý.
4.1.2
Hranolová plocha, hranol
Hranolová plocha je určena rovinnou lomenou čárou - polygonem c (c ⊂ σ) a směrem s, který
nenáležı́ dané rovině (s 6k σ), a je tvořena přı́mkami, které protı́najı́ polygon c a jsou směru s obr. 4.1b).
Je-li polygon uzavřený, pak množina přı́mek směru s, které protı́najı́ polygon nebo vnitřek
polygonu, se nazývá hranolový prostor. Přı́mky určené vrcholy polygonu a směru s jsou hrany
hranolové plochy. V projektivnı́m rozšı́řenı́ euklidovského prostoru lze definovat hranolovou
plochu jako speciálnı́ přı́pad jehlanové plochy, jejı́mž vrcholem je nevlastnı́ bod. Vrcholovou
rovinou je každá rovina směru s.
28
4.1. ZákladnÍ pojmy
29
Hranol je průnik hranolového prostoru a prostorové vrstvy určené rovinou σ řı́dı́cı́ho polygonu a roviny σ 0 k σ - obr. 4.1d). Výška hranolu je vzdálenost rovin podstav. Jsou-li pobočné
hrany kolmé na roviny podstav, nazýváme hranol kolmý a spojnice středů podstav je jeho osou
(pokud existuje). V opačném přı́padě je hranol kosý. Hranol, jehož podstavou je rovnoběžnı́k,
nazýváme rovnoběžnostěn.
Obrázek 4.1:
4.1.3
Obrázek 4.2:
Kuželová plocha, kužel
Kuželová plocha je určena rovinnou křivku k (k ⊂ σ) a bodem V , který neležı́ v rovině dané
křivky (V 6∈ σ), a je tvořena přı́mkami, které protı́najı́ křivku k a procházejı́ bodem V - obr.
4.2 a).
Je-li křivka k uzavřená, pak množina přı́mek, které procházejı́ daným bodem V a protı́najı́
křivku nebo vnitřek křivky, se nazývá kuželový prostor. Přı́mka určená vrcholem V a bodem
křivky k je površka kuželové plochy.
Rovina, která procházı́ vrcholem, se nazývá vrcholová rovina.
Kužel je průnik kuželového prostoru a prostorové vrstvy určené rovinou σ řı́dı́cı́ho polygonu
a vrcholové roviny σ 0 k σ - obr. 4.2 c).
Je-li řı́dı́cı́ křivkou kuželové plochy kružnice (řı́dı́cı́ kružnice), kuželová plocha se nazývá
kruhová. Jestliže je spojnice středu S řı́dı́cı́ kružnice k a vrcholu V kolmá na rovinu σ, pak
nazýváme kuželovou plochu kolmou nebo rotačnı́ a přı́mku SV osou kuželové plochy. Rotačnı́
kuželovou plochu můžeme také zı́skat rotacı́ přı́mky, která protı́ná osu otáčenı́ a nenı́ k nı́ kolmá.
Nenı́-li přı́mka SV kolmá na rovinu řı́dı́cı́ kružnice, nazývá se kuželová plocha kosá. Podobně
kolmý nebo rotačnı́ kužel má osu kolmou k rovině podstavy na rozdı́l od kosého kužele.
4.1.4
30
Válcová plocha, válec
Válcová plocha je určena rovinnou křivkou k (k ⊂ σ) a směrem s, který nenáležı́ dané rovině
(s 6k σ), a je tvořena přı́mkami, které protı́najı́ křivku k a jsou směru s - obr. 4.2 b).
Je-li křivka k uzavřená, pak množina přı́mek směru s, které protı́najı́ křivku nebo procházejı́
vnitřnı́m bodem křivky, se nazývá válcový prostor. Přı́mka určená bodem křivky k a směru
s je površka. Podobně jako u hranolové plochy, můžeme v projektivnı́m rozšı́řenı́ euklidovského
prostoru definovat válcovou plochu jako speciálnı́ přı́pad kuželové plochy, jejı́mž vrcholem je
nevlastnı́ bod. Vrcholovou rovinou je každá rovina směru s.
Válec je průnik válcového prostoru a prostorové vrstvy určené rovinou σ řı́dı́cı́ho polygonu
a roviny σ 0 k σ - obr. 4.2 d).
Je-li řı́dı́cı́ křivkou válcové plochy regulárnı́ kuželosečka, zı́skáme eliptickou, parabolickou
či hyperbolickou válcovou plochu. Jestliže je řı́dı́cı́ křivkou kružnice, nazývá se válcová plocha
kruhová. Jestliže jsou površky kolmé na rovinu řı́dı́cı́ kružnice, dostáváme kolmou kruhovou
neboli rotačnı́ válcovou plochu, v opačném přı́padě je plocha kosá.
Poznámka 4.1 Každá křivka (podle našı́ definice rovinná) na válcové nebo kuželové ploše
může být řı́dı́cı́ křivkou této plochy. Řezem rotačnı́ kuželové plochy rovinou může být, podle
polohy roviny řezu, i jiná kuželosečka. To znamená, že zvolı́me-li tuto kuželosečku jako řı́dı́cı́
křivku, dostaneme opět rotačnı́ kuželovou plochu. Nemá tedy smysl, na rozdı́l od válcových
ploch, rozlišovat hyperbolickou nebo parabolickou kuželovou plochu od eliptické kuželové plochy.
4.1.5
Kulová plocha, koule
Kulová plocha je množina všech bodů, které majı́ od daného bodu S vzdálenost rovnu
danému kladnému čı́slu r. Koulı́ rozumı́me množinu všech bodů, které majı́ od daného bodu
S vzdálenost menšı́ nebo rovnu danému kladnému čı́slu r.
4.2
4.1 Popište a načrtněte pravidelný trojboký jehlan a pravidelný čtyřboký hranol.
4.2 Definujte kosý kruhový válec.
4.3 Vysvětlete rozdı́l mezi koulı́ a kulovou plochou.
Kapitola 5
Základy promı́tánı́
5.1
Úvod
Deskriptivnı́ geometrie se zabývá studiem takových zobrazenı́, kterými můžeme zobrazit prostorové útvary do roviny a naopak. Zpravidla požadujeme, aby tato zobrazenı́ byla vzájemně
jednoznačná. Vzájemně jednoznačným zobrazenı́m v deskriptivnı́ geometrii řı́káme zobrazovacı́ metody.
Protože deskriptivnı́ geometrie vznikla z potřeb praxe, je důležité, aby bylo možné snadno
vyčı́st velikost objektů, jejich tvar a vzájemnou polohu jednotlivých částı́. Dalšı́ požadavky se
týkajı́ názornosti a snadného řešenı́ stereometrických úloh.
Procesu našeho viděnı́ se nejvı́ce blı́žı́ středové promı́tánı́ a jeho speciálnı́ přı́pad lineárnı́
perspektiva. Tyto zobrazovacı́ metody jsou velmi názorné a často se s nimi setkáváme v situacı́ch, kdy je třeba reálné zobrazenı́ světa, napřı́klad v uměnı́ nebo architektuře. Nevýhodou
středového promı́tánı́ je složitost konstrukcı́ a obtı́že s měřenı́m délek. Proto se v technické
praxi vı́ce použı́vajı́ zobrazovacı́ metody, které můžeme označit společným názvem rovnoběžná
promı́tánı́. V následujı́cı́m textu se tedy velmi krátce zmı́nı́me o principech středového promı́tánı́,
ale podrobněji se budeme zabývat promı́tánı́m rovnoběžným a jeho speciálnı́m přı́padem pravoúhlým promı́tánı́m.
5.2
Středové promı́tánı́
Zvolme v prostoru rovinu π, na kterou budeme zobrazovat - budeme jı́ řı́kat průmětna a bod
S (vlastnı́), který neležı́ v rovině π. Bod S se nazývá střed promı́tánı́. Libovolný bod A
v prostoru (různý od bodu S) zobrazı́me do roviny π následujı́cı́m způsobem: Body S a A
proložı́me přı́mku p. Přı́mka p se nazývá promı́tacı́ přı́mka. Průsečı́k A0 přı́mky p s rovinou π
je středovým průmětem bodu A do roviny π. Podobně sestrojı́me bod B 0 jako středový průmět
bodu B - obr. 5.1.
Vlastnosti středového promı́tánı́
1. Středovým průmětem bodu různého od středu promı́tánı́ je bod. (Bod S ve středovém
promı́tánı́ nemůžeme zobrazit.)
31
5.3. Rovnoběžné promÍtánÍ
32
2. Středovým průmětem přı́mky, která neprocházı́ středem promı́tánı́ S, je přı́mka. Středovým
průmětem přı́mky procházejı́cı́ středem promı́tánı́ S je bod.
3. Středovým průmětem roviny procházejı́cı́ středem promı́tánı́ S je přı́mka. Středovým
průmětem roviny, která neprocházı́ středem promı́tánı́ S, je celá průmětna.
4. Středovým průmětem bodu A ležı́cı́ho na přı́mce k je bod A0 ležı́cı́ na středovém průmětu
k 0 přı́mky k. Obecně ležı́-li bod na nějaké čáře, pak jeho průmět ležı́ na průmětu té čáry.
Řı́káme, že se zachovává incidence.
Poznámka 5.1 Pokud budeme pracovat s body z projektivnı́ho rozšı́řenı́ prostoru, zjistı́me,
že ve středovém promı́tánı́ může být obrazem vlastnı́ho bodu bod nevlastnı́ a naopak obrazem
nevlastnı́ho bodu bod vlastnı́. Načrtněte si takovou situaci a uved’te vhodný reálný přı́klad
(např. zobrazenı́ železničnı́ch kolejı́).
Obrázek 5.1:
5.3
Obrázek 5.2:
Rovnoběžné promı́tánı́
Podobně jako ve středovém promı́tánı́ zvolı́me v rovnoběžném promı́tánı́ rovinu π, na kterou
budeme zobrazovat, a které řı́káme průmětna. Dále zvolı́me přı́mku s, která nenı́ rovnoběžná
s rovinou π. Řı́káme, že přı́mka s nám určuje směr promı́tánı́. Rovnoběžný průmět A0 bodu
A zı́skáme tak, že bodem A vedeme přı́mku p (nazýváme ji opět promı́tacı́ přı́mka), která je
rovnoběžná s přı́mkou s a najdeme jejı́ průsečı́k s rovinou π. Podobně najdeme průmět bodu
B - obr. 5.2.
Pokud použijeme pojmy z kapitoly o nevlastnı́ch elementech, můžeme řı́ct, že rovnoběžné
promı́tánı́ je speciálnı́ přı́pad středového promı́tánı́, kde středem promı́tánı́ je nevlastnı́ bod.
Vlastnosti rovnoběžného promı́tánı́
1. Rovnoběžným průmětem (vlastnı́ho) bodu je (vlastnı́) bod.
5.4. Pravoúhlé promÍtánÍ
33
2. Rovnoběžným průmětem přı́mky, která nenı́ směru promı́tánı́, je přı́mka. Rovnoběžným
průmětem přı́mky, která je směru promı́tánı́, je bod.
3. Rovnoběžným průmětem roviny, která je směru promı́tánı́, je přı́mka. Rovnoběžným
průmětem roviny, která nenı́ směru promı́tánı́, je celá průmětna.
4. Rovnoběžným průmětem bodu A ležı́cı́ho na přı́mce k je bod A0 ležı́cı́ na rovnoběžném
průmětu k 0 přı́mky k. Obecně ležı́-li bod na nějaké čáře, pak jeho průmět ležı́ na průmětu
té čáry.
5. Rovnoběžným průmětem různoběžek a, b jsou různoběžné přı́mky nebo přı́mky splývajı́cı́,
pokud a, b nejsou směru promı́tánı́. Jestliže je jedna z přı́mek a, b směru promı́tánı́, pak
rovnoběžným průmětem různoběžek a, b je přı́mka a na nı́ bod.
6. Rovnoběžnost se zachovává, tj. rovnoběžné přı́mky se zobrazı́ na rovnoběžné nebo splývajı́cı́
přı́mky (nebo na dva body), rovnoběžné úsečky na rovnoběžné úsečky apod.
7. Rovnoběžným průmětem rovnoběžných a shodných úseček jsou rovnoběžné a shodné
úsečky (popř. dva body).
8. Rovnoběžným průmětem útvaru ležı́cı́ho v rovině rovnoběžné s průmětnou je útvar s nı́m
shodný.
9. Dělı́cı́ poměr se v rovnoběžném promı́tánı́ zachovává, tj. napřı́klad střed úsečky se zobrazı́
na střed úsečky.
Druhy rovnoběžného promı́tánı́
Podle vztahu směru promı́tánı́ vzhledem k průmětně rozlišujeme dva druhy rovnoběžného
promı́tánı́. Jestliže směr promı́tánı́ je kolmý k průmětně, pak hovořı́me o pravoúhlém (nebo
také o kolmém či ortogonálnı́m) promı́tánı́. Pokud směr promı́tánı́ nenı́ kolmý k průmětně,
mluvı́me o kosoúhlém promı́tánı́. Připomeňme, že jsme vyloučili přı́pad, kdy směr promı́tánı́
je rovnoběžný s průmětnou.
5.4
Pravoúhlé promı́tánı́
Vlastnosti, které jsme uvedli pro rovnoběžné promı́tánı́, doplnı́me dvěma větami, které platı́
jen pro pravoúhlé promı́tánı́.
Věta 5.1 (Věta o pravoúhlém průmětu pravého úhlu) Pravoúhlým průmětem pravého
úhlu je pravý úhel, jestliže alespoň jedno jeho rameno je rovnoběžné s průmětnou a druhé nenı́
na průmětnu kolmé.
Věta 5.2 Velikost pravoúhlého průmětu A0 B 0 úsečky AB je menšı́ nebo rovna velikosti úsečky
AB, tj. |A0 B 0 | ≤ |AB|.
5.5
Středová kolineace
Jsou dány dvě různé roviny α a α0 a bod S, který neležı́ v žádné z rovin α a α0 . Středová
kolineace je geometrická přı́buznost, kdy bodu jedné roviny odpovı́dá jeho středový průmět
z bodu S do druhé roviny. Průsečnice o rovin α a α0 se nazývá osa kolineace (obr. 5.3).
5.5. Středová kolineace
Obrázek 5.3:
34
Obrázek 5.4:
Vlastnosti středové kolineace
Uvedeme vlastnosti středové kolineace, které vyplývajı́ z vlastnostı́ středového promı́tánı́.
1. Bodu odpovı́dá bod a přı́mce přı́mka.
2. Přı́mky, které si odpovı́dajı́ ve středové kolineaci, se protı́najı́ na ose kolineace nebo jsou
s nı́ rovnoběžné, což ale znamená, že majı́ společné nevlastnı́ body.
3. Body osy kolineace jsou samodružné, tj. vzor a obraz splývajı́.
4. Středová kolineace zachovává incidenci. To znamená, že jestliže bod A ležı́ na přı́mce b,
pak pro jejich obrazy A0 , b0 opět platı́ A0 ∈ b0 .
5. Body, které si odpovı́dajı́ ve středové kolineaci, ležı́ na přı́mce procházejı́cı́ středem kolineace.
Poznámka 5.2 Je nutné si uvědomit, že středová kolineace obecně nezachovává rovnoběžnost
a že vlastnı́mu bodu může odpovı́dat bod nevlastnı́ a naopak. Také dělı́cı́ poměr třı́ kolineárnı́ch
bodů se obecně ve středové kolineaci nezachovává.
Středová kolineace v rovině
Protože se zabýváme zobrazovánı́m trojrozměrného prostoru na rovinu, zajı́má nás, co se stane,
promı́tneme-li středovou kolineaci do roviny.
Promı́tneme rovnoběžně obě roviny α, α0 a střed promı́tánı́ S do průmětny π tak, aby směr
promı́tánı́ nebyl rovnoběžný s žádnou z rovin α a α0 (tj. žádná z rovin se nezobrazı́ jako přı́mka).
Odpovı́dajı́cı́ si body A a A0 promı́tnuté do π ležı́ opět na přı́mce procházejı́cı́ průmětem středu
kolineace. Takto zı́skanou přı́buznost v rovině nazveme středovou kolineacı́ v rovině - obr.
5.4.
Vlastnosti, které jsme uvedli pro středovou kolineaci mezi rovinami, platı́ také pro středovou
kolineaci v rovině.
Znalost středové kolineace využijeme např. při sestrojovánı́ řezů na jehlanu a kuželi.
35
Středová kolineace v rovině je určena středem S, osou o a párem odpovı́dajı́cı́ch si bodů A,
A0 (body A, A0 , S ležı́ na jedné přı́mce). Pro sestrojovánı́ obrazů bodů ve středové kolineaci
jsou nejdůležitějšı́ tyto tři vlastnosti:
1. Středová kolineace zachovává incidenci.
2. Přı́mky, které si odpovı́dajı́ ve středové kolineaci, se protı́najı́ na ose kolineace nebo jsou
s nı́ rovnoběžné.
3. Body, které si odpovı́dajı́, ležı́ na přı́mce procházejı́cı́ středem kolineace.
Přı́klad 5.1 Středová kolineace v rovině je určena středem S, osou o a párem odpovı́dajı́cı́ch
si bodů A, A0 - obr. 5.5. Sestrojı́me obraz bodu B v kolineaci.
1. Spojı́me bod B se vzorem bodu, pro který známe jeho obraz, tj. v našem přı́padě s bodem
A - dostaneme přı́mku p.
2. Najdeme obraz p0 přı́mky p (p a p0 se protı́najı́ na ose a přı́mka p0 procházı́ bodem A0 vlastnost 2. a 1.)
3. Protože body, které si odpovı́dajı́, ležı́ na přı́mce procházejı́cı́ středem kolineace- vlastnost
3., sestrojı́me přı́mku SB.
4. Bod B 0 ležı́ v průsečı́ku přı́mek SB a p0 .
Obrázek 5.5:
Obrázek 5.6:
Jak jsme již uvedli, obrazem vlastnı́ho bodu ve středové kolineaci nemusı́ vždy být vlastnı́
bod. Stejně tak se některé nevlastnı́ body zobrazı́ na vlastnı́ body. Vzory a obrazy nevlastnı́ch
bodů nazýváme úběžnı́ky. Vzor nevlastnı́ přı́mky se nazývá úběžnice vzorů a obraz nevlastnı́
přı́mky se nazývá úběžnice obrazů.
Nevlastnı́ přı́mka má s osou o společný nevlastnı́ bod (nevlastnı́ bod osy o). Přı́mky, které si
odpovı́dajı́ v kolineaci se protı́najı́ na ose, pokud je tento bod nevlastnı́, pak jsou odpovı́dajı́cı́
si přı́mky rovnoběžné. Tedy obě úběžnice jsou rovnoběžné s osou kolineace.
36
si bodů A, A0 - obr. 5.7. Sestrojı́me úběžnici obrazů.
1.
2.
3.
4.
Zvolı́me libovolný bod V∞ na nevlastnı́ přı́mce.
Najdeme obraz V 0 nevlastnı́ho bodu V∞ (bod V 0 je vlastnı́).
Bod V 0 ležı́ na úběžnici obrazů v 0 a ta je rovnoběžná s osou o.
Podobně lze sestrojit úběžnici vzorů. Úběžnice vzorů je rovnoběžná s osou o a procházı́
0
0
je libovolný bod nevlastnı́ přı́mky).
(bod U∞
vzorem bodu U∞
Obrázek 5.7:
Obrázek 5.8:
si přı́mek p, p0 - obr. 5.9. Sestrojı́me obě úběžnice.
1. Označı́me V∞ nevlastnı́ bod přı́mky p.
2. Najdeme obraz V 0 nevlastnı́ho bodu V∞ (V 0 ∈ p0 ) a sestrojı́me úběžnici obrazů v 0 (v 0 k
o, V 0 ∈ v 0 ).
0
3. Dále označı́me bod U∞
nevlastnı́ bod přı́mky p0 .
0
(U ∈ p) a sestrojı́me úběžnici vzorů v (v k o, U ∈
4. Najdeme vzor U nevlastnı́ho bodu U∞
u).
Ve středové kolineaci v rovině je vzdálenost středu od jedné úběžnice rovna vzdálenosti
druhé úběžnice od osy kolineace. Podı́váme-li se znovu na obrázek 5.10, pak toto tvrzenı́ plyne
z rovnoběžnı́ka SU M V 0 .
Středová kolineace v rovině se nazývá involutornı́, když pro všechny body X, Y platı́:
jestliže X = Y 0 , pak Y = X 0 . V involutornı́ kolineaci úběžnice splývajı́ a půlı́ vzdálenost středu
kolineace od osy.
Necht’ body A, A0 si odpovı́dajı́ ve středové kolineaci, bod Ā je průsečı́k přı́mky AA0 s osou
0 AĀ)
o. Pak dvojpoměr (A0 AĀS) = (A
je konstantnı́ pro všechny páry odpovı́dajı́cı́ch si bodů.
(A0 AS)
0
Čı́slo k = (A AĀS) se nazývá charakteristika středové kolineace, charakteristika involutornı́
kolineace je k = −1.
5.6. Osová afinita
Obrázek 5.9:
5.6
37
Obrázek 5.10:
Osová afinita
Jsou dány dvě různé roviny α a α0 a směr s, který nenı́ rovnoběžný s žádnou z rovin α a α0 .
Osová afinita je geometrická přı́buznost, kdy bodu jedné roviny odpovı́dá jeho rovnoběžný
průmět ve směru s do druhé roviny.
Průsečnice rovin α a α0 se nazývá osa afinity (obr. 5.11).
Obrázek 5.11:
Obrázek 5.12:
Vlastnosti osové afinity
(vyplývajı́ z rovnoběžného promı́tánı́)
Vlastnosti 1.- 5. jsou podobné vlastnostem pro kolineaci, ale všimněte si pozorně vlastnostı́
6. a 7.
1. Bodu odpovı́dá bod a přı́mce přı́mka.
2. Přı́mky, které si odpovı́dajı́ v osové afinitě, se protı́najı́ na ose afinity nebo jsou s nı́
rovnoběžné.
5.6. Osová afinita
38
3. Body osy afinity jsou samodružné.
4. Osová afinita zachovává incidenci.(To znamená, že jestliže bod A ležı́ na přı́mce b, pak
pro jejich průměty A0 , b0 opět platı́ A0 ∈ b0 .)
5. Body, které si odpovı́dajı́ v osové afinitě ležı́ na rovnoběžce se středem promı́tánı́.
6. Osová afinita zachovává rovnoběžnost.
7. Osová afinita zachovává dělı́cı́ poměr.
Osová afinita v rovině
Podobně jako kolineaci promı́tneme rovnoběžně i afinitu.
Promı́tneme rovnoběžně obě roviny α, α0 a směr promı́tánı́ s do průmětny π tak, aby směr
promı́tánı́ u do roviny π nebyl rovnoběžný s žádnou z rovin α a α0 (tj. žádná z rovin se nezobrazı́
jako přı́mka) a aby nebyl rovnoběžný se směrem s (dostali bychom identitu). Odpovı́dajı́cı́ si
body A a A0 promı́tnuté do π ležı́ na přı́mce rovnoběžné s promı́tnutým směrem s.
Takto zı́skanou přı́buznost nazveme osovou afinitou v rovině - obr. 5.12.
Uvedené vlastnosti osové afinity mezi rovinami budou platit i pro osovou afinitu v rovině.
Osovou afinitu využijeme při sestrojovánı́ řezů na hranolu a kuželi a při otáčenı́ v Mongeově
projekci a axonometrii.
Nejčastějšı́ určenı́ osové afinity je osou o a párem odpovı́dajı́cı́ch si bodů A a A0 (tı́m je
určen směr afinity). Opět zopakujeme tři vlastnosti, které využijeme při sestrojovánı́ obrazu
nebo vzoru daného bodu:
1. Osová afinita zachovává incidenci
2. Přı́mky, které si odpovı́dajı́ v osové afinitě, se protı́najı́ na ose afinity nebo jsou s nı́
rovnoběžné.
3. Body, které si odpovı́dajı́, ležı́ na rovnoběžce se směrem afinity.
Přı́klad 5.4 Osová afinita v rovině je určena osou o a párem odpovı́dajı́cı́ch si bodů A, A0 obr. 5.13. Sestrojı́me obraz bodu B v afinitě.
1. Spojı́me bod B s bodem A - dostaneme přı́mku p. (Obecně se vzorem bodu, pro který
známe jeho obraz.)
2. Najdeme obraz p0 přı́mky p (p a p0 se protı́najı́ na ose a přı́mka p0 procházı́ bodem A0 vlastnost 2 a 1)
3. Protože body, které si odpovı́dajı́, ležı́ na přı́mce směru afinity a tento směr určuje přı́mka
AA0 (vlastnost 3), sestrojı́me přı́mku k rovnoběžnou s přı́mkou AA0 a procházejı́cı́ bodem
B.
4. Bod B 0 ležı́ v průsečı́ku přı́mek k a p0 .
5.7. Kružnice v osové afinitě a středové kolineaci
Obrázek 5.13:
39
Obrázek 5.14:
Poznámka 5.3 Osová afinita může být určena i jiným způsobem než osou a párem odpovı́dajı́cı́ch bodů, např. osou, směrem a párem odpovı́dajı́cı́ch si přı́mek (které se protı́najı́
na ose) nebo dvěma páry odpovı́dajı́cı́ch si přı́mek. Stejně i kolineace může být určena jinak
než středem, osou a párem odpovı́dajı́cı́ch si bodů.
Osovou afinitu můžeme chápat jako speciálnı́ přı́pad středové kolineace, kdy střed kolineace
je nevlastnı́m bodem. Vztah mezi afinitou a kolineacı́ nám přiblı́žı́ schéma na obrázku 5.16.
5.7
Kružnice v osové afinitě a středové kolineaci
Ve středové kolineaci odpovı́dá kuželosečce k kuželosečka k 0 (nemusı́ být stejného typu) a platı́:
1. Bodům a tečnám vzoru odpovı́dajı́ body a tečny obrazu,
2. Středu kuželosečky k obecně neodpovı́dá střed kuželosečky k 0 ,
3. Průměru kuželosečky k obecně neodpovı́dá průměr kuželosečky k 0 ,
4. Sdruženým průměrům kuželosečky k neodpovı́dajı́ sdružené průměry kuželosečky k 0 .
Jestliže kružnice k nemá s úběžnicı́ u žádný společný bod, pak se všechny jejı́ body zobrazı́
na body vlastnı́ a obrazem kružnice k ve středové kolineaci je elipsa; jestliže se kružnice k
dotýká úběžnice u, pak se tento dotykový bod zobrazı́ na nevlastnı́ bod a obrazem kružnice k
ve středové kolineaci je parabola; jestliže kružnice k úběžnici u protı́ná, pak obrazem kružnice
k ve středové kolineaci je hyperbola, která má dva nevlastnı́ body (viz obr. 5.15).
V osové afinitě se všechny vlastnı́ body zobrazı́ opět na vlastnı́ body, kuželosečce k odpovı́dá
kuželosečka k 0 , je stejného typu a platı́:
1. Bodům a tečnám vzoru odpovı́dajı́ body a tečny obrazu,
2. Středu kuželosečky k odpovı́dá střed kuželosečky k 0 ,
3. Průměru kuželosečky k odpovı́dá průměr kuželosečky k 0 ,
40
Obrázek 5.15:
4. Sdruženým průměrům kuželosečky k odpovı́dajı́ sdružené průměry kuželosečky k 0 .
Obrazem kružnice k v osové afinitě je tedy elipsa.
5.8
5.1 Vyslovte větu o pravoúhlém průmětu pravého úhlu.
5.2 Jakou délku může mı́t (v porovnánı́ s délkou zobrazované úsečky) průmět úsečky v
pravoúhlém promı́tánı́ a jakou v kosoúhlém?
5.3 Rovnoběžné promı́tánı́ zachovává dělı́cı́ poměr. Je pravda, že obrazem středu úsečky je
v rovnoběžném promı́tánı́ střed úsečky, která je průmětem dané úsečky?
5.4 Jakou vlastnost majı́ body, které ležı́ na ose afinity nebo kolineace?
5.5 Jakou vlastnost majı́ body úběžnic kolineace?
41
Obrázek 5.16:
Kapitola 6
Mongeovo promı́tánı́
6.1
Úvod
Mongeovo promı́tánı́ je pravoúhlé promı́tánı́ na dvě navzájem kolmé průmětny. Jeho výhodou je
snadné řešenı́ stereometrických úloh, nevýhodou může být menšı́ názornost a složitějšı́ orientace
ve dvou pohledech na jeden objekt.
Obrázek 6.1:
Zvolı́me v prostoru dvě navzájem kolmé roviny. Rovinu π volı́me ve vodorovné poloze
- řı́káme jı́ půdorysna - a rovinu ν v poloze svislé - nárysna. Průsečnici rovin π a ν
ztotožnı́me s osou x souřadnicového systému a
řı́káme jı́ základnice. Osu y volı́me v rovině
π, tak aby byla kolmá k x. Průsečı́kem O os x
a y procházı́ osa z, ležı́ v rovině ν a je kolmá
k osám x, y. V Mongeově promı́tánı́ budeme
při vynášenı́ souřadnic použı́vat zpravidla levotočivý souřadnicový systém – viz obr. 6.2. Při
použitı́ pravotočivého souřadnicového systému
by se kladné souřadnice x nanášely vlevo.
Poznámka 6.1 Pokud bychom chtěli promı́tat pouze na jednu průmětnu, pak útvar, který
promı́tneme, nebude v prostoru jednoznačně určen. Dalšı́ možnostı́ je použı́t kótované promı́tánı́,
to znamená, že ke každému bodu budeme připisovat jeho vzdálenost od průmětny. Toto promı́tánı́
se použı́vá při řešenı́ střech a při tvorbě map (vstevnice), to znamená většinou v přı́padech,
kdy nenı́ nutné řešit složitějšı́ prostorové vztahy.
6.2
Obraz bodu
Nejprve kolmo promı́tneme bod B do půdorysny a průmět označı́me indexem 1 - dostaneme bod
B1 - obr. 6.2a), potom bod B promı́tneme do nárysny, průmět označı́me indexem 2 a zı́skáme
42
6.3. Obraz přÍmky
43
bod B2 - obr. 6.2b). Nynı́ máme dvě možnosti, jak si představit sdruženı́ průmětů. Bud’ otočı́me
rovinu π kolem osy x tak, aby kladná část osy y splynula se zápornou částı́ osy z - obr. 6.1
nebo si představı́me nárysnu a půdorysnu jako dvě průhledné folie, které položı́me na sebe, tak
aby se překrývaly průměty osy x1 a x2 a bod O1 a O2 - obr. 6.2.
Bod B1 nazýváme půdorysem a bod B2 nárysem bodu B. Spojnice nárysu a půdorysu
téhož bodu je kolmá k základnici a nazývá se ordinála. (Půdorys je vlastně pohled shora a
nárys je pohled zpředu).
Z obrázku 6.2 c) je vidět, jak sestrojı́me nárys a půdorys bodu, známe-li jeho souřadnice.
V našem přı́padě jsou všechny tři souřadnice kladné. Nárysu a půdorysu bodu B řı́káme
sdružené průměty bodu B. (Neplést si se sdruženými průměry, ty najdeme u elipsy.)
Obrázek 6.2:
Přı́klad 6.1 Určeme, kde bude ležet nárys a půdorys bodů B, C, D, E, jestliže umı́stı́me každý
do jiného kvadrantu vymezeného nárysnou a půdorysnou - obr. 6.3.
Řešenı́: (obr. 6.4) Bod B, který se nacházı́ nad půdorysnou a před nárysnou, má půdorys pod
osou a nárys nad osou x1,2 .
Bod C ležı́ za nárysnou a nad půdorysnou a oba jeho průměty ležı́ nad osou x1,2 .
Nárys i půdorys bodu E ležı́cı́ho pod půdorysnou a před nárysnou najdeme pod osou x1,2 .
Pro bod D, který je za nárysnou a pod půdorysnou platı́, že nárys je pod a půdorys nad
osou x1,2 .
6.3
Obraz přı́mky
Z vlastnostı́ rovnoběžného promı́tánı́ vı́me, že obrazem přı́mky je bud’ přı́mka, nebo bod. Pokud
přı́mka p nenı́ kolmá k ose x, pak jejı́m půdorysem a nárysem jsou přı́mky p1 a p2 , které nejsou
kolmé k ose x1,2 - obr. 6.5 a 6.6. Jestliže je přı́mka kolmá k půdorysně je jejı́m půdorysem
bod a nárysem přı́mka kolmá k ose x1,2 , pro přı́mku kolmou k nárysně bude nárysem bod
a půdorysem přı́mka kolmá k ose x1,2 . Ve všech těchto přı́padech je přı́mka svými průměty
jednoznačně určena.
6.3. Obraz přÍmky
Obrázek 6.3:
44
Obrázek 6.4:
Je-li přı́mka kolmá k ose x a přitom nenı́ kolmá k žádné průmětně, pak jejı́ sdružené průměty
splývajı́ a jsou kolmé k x1,2 . Jen v tomto přı́padě nenı́ přı́mka určena svými sdruženými průměty.
K určenı́ je v tomto přı́padě nutná znalost např. průmětů dvou různých bodů přı́mky.
Přı́mkou, která nenı́ kolmá k průmětně, můžeme proložit rovinu kolmou k průmětně. Této
rovině řı́káme promı́tacı́ rovina přı́mky. Přı́mkou můžeme proložit půdorysně promı́tacı́
rovinu kolmou k půdorysně nebo nárysně promı́tacı́ rovinu kolmou k nárysně.
Na zvláštnı́ polohy přı́mky vzhledem k průmětně se podı́vejme v přı́kladu 6.2.
Obrázek 6.5:
Obrázek 6.6:
Přı́klad 6.2 V obrázku 6.7 určı́me polohu jednotlivých přı́mek vzhledem k průmětnám.
Řešenı́: Přı́mky p, q, r jsou kolmé k základnici. Přı́mka p je navı́c kolmá k půdorysně a q
je kolmá k nárysně. Přı́mka r nenı́ svými průměty jednoznačně určena a musı́me ji dourčit
sdruženými průměty dvou bodů, které na nı́ ležı́. Přı́mka s je rovnoběžná s půdorysnou a přı́mka
t s nárysnou, s0 v půdorysně ležı́ a u je rovnoběžná se základnicı́.
6.4. Obraz roviny
45
Obrázek 6.7:
Vzájemný vztah přı́mky a bodu, který na nı́ ležı́, je v Mongeově promı́tánı́ dán větou:
Věta 6.1 Ležı́-li bod M na přı́mce p, pak M1 ∈ p1 a M2 ∈ p2 .
Jestliže přı́mka p je určena svými průměty (tı́m vylučujeme přı́mky kolmé k ose x a nejsou
promı́tacı́), pak pro sdružené průměty bodu M a přı́mky p platı́: pokud M1 ∈ p1 a M2 ∈ p2 , pak
bod M ležı́ na přı́mce p.
Přı́mka je jednoznačně určena dvěma body. Pro sdružené průměty přı́mky můžeme vyslovit
následujı́cı́ větu:
Věta 6.2 Sdružené průměty přı́mky p = AB jsou v Mongeově promı́tánı́ jednoznačně určeny
průměty dvou jejı́ch bodů A, B.
Vlastnı́ bod, ve kterém přı́mka protne průmětnu, nazýváme stopnı́k. Půdorysný stopnı́k
P je bod, ve kterém přı́mka protne půdorysnu, nárysný stopnı́k N je bod, ve kterém přı́mka
protı́ná nárysnu - obr. 6.5.
Pro půdorysný stopnı́k P přı́mky p platı́: P1 ∈ p1 , P2 ∈ p2 a P2 ∈ x1,2 .
Pro nárysný stopnı́k N přı́mky p platı́: N1 ∈ p1 , N2 ∈ p2 a N1 ∈ x1,2 - obr. 6.6.
Poznámka 6.2 Přı́mka, která je rovnoběžná s průmětnou, má jen jeden stopnı́k.
6.4
Obraz roviny
Pravoúhlým průmětem roviny, která nenı́ kolmá k průmětně, je celá průmětna. Rovinu v Mongeově projekci zadáme pomocı́ sdružených průmětů určujı́cı́ch prvků. Ukažme si nejobvyklejšı́
způsoby určenı́ roviny.
1. Třemi body, které neležı́ v přı́mce (nekolineárnı́ body) - obr. 6.8.
2. Dvěma různoběžkami - obr. 6.9. Sdružené průměty průsečı́ku různoběžek musı́ ležet
na ordinále.
6.4. Obraz roviny
46
Obrázek 6.8:
Obrázek 6.9:
Obrázek 6.10:
Obrázek 6.11:
3. Dvěma rovnoběžkami - obr. 6.10. Nárysem i půdorysem rovnoběžek jsou opět rovnoběžky (mohou ovšem i splývat).
4. Bodem a přı́mkou - obr. 6.11. Aby byla rovina určena bodem a přı́mkou, nesmı́ bod
ležet na přı́mce.
Speciálnı́m přı́padem je zadánı́ roviny stopami. Stopa roviny ρ je přı́mka, ve které rovina
ρ protne průmětnu. Průsečnice roviny ρ s nárysnou se nazývá nárysná stopa a značı́me ji nρ .
Průsečnice roviny ρ s půdorysnou se nazývá půdorysná stopa a značı́me ji pρ .
Stopy roviny jsou dvě přı́mky (rovnoběžné nebo různoběžné). Rovina určená stopami je tedy
opět určena rovnoběžkami nebo různoběžkami.
Pro půdorys nárysné stopy nρ1 a nárys půdorysné stopy pρ2 platı́ nρ1 = pρ2 = x1,2 . Přı́mky nρ2
a pρ1 se protı́najı́ na ose x1,2 - obr. 6.12 nebo jsou obě rovnoběžné s osou x1,2 .
Přı́klad 6.3 V obrázku 6.13 rozhodneme, jakou polohu majı́ roviny, určené svými stopami,
vzhledem k průmětnám.
Řešenı́: Rovina α je v obecné poloze vzhledem k průmětnám, nenı́ kolmá ani rovnoběžná
s žádnou z průměten. Rovina β je kolmá k nárysně, rovina γ je kolmá k půdorysně. Rovina σ
je kolmá k ose x a ρ je s x rovnoběžná. Poslednı́m přı́padem je rovina τ , která obsahuje osu x,
v tomto přı́padě nenı́ rovina stopami jednoznačně určena.
6.4. Obraz roviny
47
Obrázek 6.12:
Obrázek 6.13:
Poznámka 6.3 Rovina, která je rovnoběžná s průmětnou, má jen jednu stopu.
V následujı́cı́ch kapitolách ukážeme 12 základnı́ch úloh, pomocı́ kterých budeme schopni
řešit složitějšı́ konstrukce jako např. sestrojenı́ těles v obecné poloze, jejich průniky či řezy na
plochách. Každou složitějšı́ úlohu pak rozložı́me na tyto základnı́ úlohy, které už budeme umět
řešit (provedeme dekompozici, což je velice důležitý postup plynoucı́ z analytického geometrického myšlenı́).
Rozdělı́me úlohy na dva typy - polohové a metrické. Polohové úlohy řešı́ vztahy mezi jednotlivými útvary, jako je vzájemná poloha, průnik, rovnoběžnost. Vzdálenosti, velikost objektů,
kolmost nám pomohou určit úlohy metrické.
Uvedeme vždy důležité skutečnosti, které budeme využı́vat, a ukážeme přı́mo na přı́kladech
řešenı́ základnı́ch úloh.
6.5. Polohové úlohy
6.5
6.5.1
48
Polohové úlohy
Přı́mka v rovině (základnı́ úloha Z1)
Při řešenı́ této úlohy je vhodné uvědomit si
následujı́cı́ fakta:
• Ležı́-li přı́mka v rovině, je se všemi přı́mkami
roviny různoběžná nebo rovnoběžná.
• Stopnı́k přı́mky ležı́cı́ v rovině ležı́ na jejı́
stopě (Půdorysný stopnı́k na půdorysné
stopě, nárysný stopnı́k na nárysné stopě).
• Chceme-li sestrojit stopu roviny, určı́me
stopnı́ky dvou přı́mek ležı́cı́ch v rovině.
Půdorysná stopa je spojnicı́ půdorysných
stopnı́ků, nárysná stopa je spojnicı́
nárysných stopnı́ků.
Obrázek 6.15:
Obrázek 6.14:
Obrázek 6.16:
Přı́klad 6.4 Je dána rovina ρ a jeden průmět přı́mky k ležı́cı́ v rovině ρ. Sestrojme druhý
průmět přı́mky k.
a) Rovina ρ je učena přı́mkami a, b - obr. 6.15.
b) Rovina ρ je učena stopami - obr. 6.17.
Řešenı́: a) obr. 6.16
1. Sestrojı́me průsečı́k A1 přı́mky a1 a k1 .
2. Sestrojı́me průsečı́k B1 přı́mky b1 a k1 .
3. Odvodı́me druhé průměty bodů A a B. Na přı́mce a2 dostaneme bod A2 a podobně bod
B2 .
Obrázek 6.17:
49
Obrázek 6.18:
4. Přı́mka k2 je spojnicı́ bodů A2 a B2 .
b) obr. 6.18
1.
2.
3.
4.
Sestrojı́me nárys nárysného stopnı́ku N2 - průsečı́k přı́mky k2 a stopy nρ2 .
Sestrojı́me nárys půdorysného stopnı́ku P2 - průsečı́k přı́mky k2 a osy x1,2 = pρ2 .
Určı́me body N1 a P1 , N1 ležı́ na ose x1,2 a P1 na stopě pρ1 .
Přı́mka k1 je spojnicı́ bodů N1 a P1 .
Hlavnı́ přı́mky roviny
Hlavnı́ přı́mka roviny ρ je přı́mka, která ležı́ v rovině ρ a je rovnoběžná s průmětnou.
Horizontálnı́ hlavnı́ přı́mka (hlavnı́ přı́mka prvnı́ osnovy) je rovnoběžná s půdorysnou.
Speciálnı́m přı́padem horizontálnı́ hlavnı́ přı́mky je půdorysná stopa. Všechny horizontálnı́
hlavnı́ přı́mky jedné roviny jsou navzájem rovnoběžné – obr. 6.19.
Obrázek 6.19:
Obrázek 6.20:
50
Frontálnı́ hlavnı́ přı́mka (hlavnı́ přı́mka druhé osnovy) je rovnoběžná s nárysnou. Speciálnı́m
přı́padem frontálnı́ hlavnı́ přı́mky je nárysná stopa. Všechny frontálnı́ hlavnı́ přı́mky jedné roviny jsou navzájem rovnoběžné – obr. 6.20.
Obrázek 6.21:
Obrázek 6.22:
Obrázek 6.23:
Obrázek 6.24:
Přı́klad 6.5 Zobrazte nějakou (libovolnou) a) horizontálnı́ hlavnı́ přı́mku roviny ρ - obr. 6.21,
b) frontálnı́ hlavnı́ přı́mku roviny ρ - obr. 6.23.
Řešenı́: a) (obr. 6.22) Horizontálnı́ hlavnı́ přı́mka je rovnoběžná s půdorysnou, proto je jejı́
nárys rovnoběžný s osou x1,2 .
1. Sestrojı́me nárys přı́mky h. (h2 ||x1,2 ).
2. Půdorys přı́mky h je rovnoběžný se stopou pρ1 . Použijeme stopnı́k N přı́mky h.
Kdyby rovina nebyla určena stopami, odvodili bychom půdorys pomocı́ průsečı́ků s jinými
přı́mkami roviny.
b) (obr.6.24) Frontálnı́ hlavnı́ přı́mka je rovnoběžná s nárysnou, proto je jejı́ půdorys rovnoběžný s osou x1,2 .
1. Sestrojı́me půdorys přı́mky f . (f1 ||x1,2 ).
51
2. Nárys přı́mky f je rovnoběžný se stopou nρ2 . Použijeme stopnı́k P přı́mky f .
Kdyby rovina nebyla určena stopami, odvodili bychom nárys pomocı́ průsečı́ků s jinými přı́mkami
roviny.
Spádové přı́mky roviny
Spádová přı́mka je kolmá na hlavnı́ přı́mky jednoho systému - obr. 6.25. To znamená, že
máme dva systémy spádových přı́mek - spádové přı́mky kolmé na horizontálnı́ hlavnı́ přı́mky spádové přı́mky prvnı́ osnovy a spádové přı́mky kolmé na frontálnı́ hlavnı́ přı́mky - spádové
přı́mky druhé osnovy.
Přı́klad 6.6 Sestrojı́me spádovou přı́mku s prvnı́ osnovy (kolmou k horizontálnı́m hlavnı́m
přı́mkám).
Řešenı́: (obr. 6.26) Půdorys s1 spádové přı́mky je kolmý k půdorysné stopě pρ1 , což plyne z věty
o pravoúhlém průmětu pravého úhlu. Najdeme půdorysy stopnı́ků této přı́mky a odvodı́me je
do nárysu. Nárys s2 spádové přı́mky procházı́ nárysy těchto stopnı́ků. Nárys spádové přı́mky
nemá žádnou speciálnı́ polohu vůči stopám nebo ose x.
Obrázek 6.25:
6.5.2
Obrázek 6.26:
Bod v rovině (základnı́ úloha Z2)
Bod ležı́ v rovině, právě když ležı́ na některé přı́mce roviny. Chceme-li odvodit druhý průmět
bodu ležı́cı́ho v rovině, zvolı́me přı́mku procházejı́cı́ tı́mto bodem (může to být i přı́mka hlavnı́)
a použijeme řešenı́ úlohy 6.5.1, tj. Z1. Bod ležı́ na odvozené přı́mce a na ordinále.
Přı́klad 6.7 Rovina ρ je určena přı́mkami a, b. Sestrojme nárys bodu M ležı́cı́ho v rovině ρ,
známe-li jeho půdorys - obr. 6.27.
1. Bodem M1 vedeme přı́mku k1 , tı́m jsme úlohu převedli na úlohu 6.5.1, tj. Z1.
Obrázek 6.27:
52
Obrázek 6.28:
a) Sestrojı́me průsečı́k A1 přı́mky a1 a k1 .
b) Sestrojı́me průsečı́k B1 přı́mky b1 a k1 .
c) Odvodı́me body A2 a B2 . Po ordinále na přı́mce a2 dostaneme bod A2 , na přı́mce b2
dostaneme bod B2 .
d) Přı́mka k2 je spojnicı́ bodů A2 a B2 .
2. Bod M2 najdeme na přı́mce k2 a na ordinále vedené bodem M1 .
Obrázek 6.29:
Obrázek 6.30:
Přı́klad 6.8 Rovina ρ je určena stopami. Sestrojme půdorys bodu M ležı́cı́ho v rovině ρ,
známe-li jeho nárys - obr. 6.29.
1. Bodem M2 vedeme přı́mku k2 , tı́m jsme úlohu převedli na úlohu 6.5.1, tj. Z1.
a) Sestrojı́me nárys nárysného stopnı́ku N2 - průsečı́k přı́mky k2 a stopy nρ2 .
53
b) Sestrojı́me nárys půdorysného stopnı́ku P2 - průsečı́k přı́mky k2 a osy x1,2 = pρ2 .
c) Odvodı́me body N1 a P1 , N1 ležı́ na ose x1,2 a P1 na stopě pρ1 .
d) Přı́mka k1 je spojnicı́ bodů N1 a P1 .
2. Bod M1 najdeme na přı́mce k1 a na ordinále vedené bodem M2 .
6.5.3
Rovnoběžné roviny (základnı́ úloha Z3)
Při řešenı́ této úlohy je vhodné uvědomit si
následujı́cı́ fakta:
• Kritérium rovnoběžnosti přı́mky a roviny.
Kritérium rovnoběžnosti dvou rovin.
• Rovnoběžné
stopy.
roviny
majı́
rovnoběžné
• Stopy roviny obecně neprocházı́ nárysem
i půdorysem bodu ležı́cı́m v této rovině
(aby nastal tento přı́pad, musel by bod
ležet na ose x).
Obrázek 6.32:
Obrázek 6.31:
Obrázek 6.33:
Přı́klad 6.9 Rovina ρ je určena přı́mkami a, b. Bodem M ved’te rovinu σ rovnoběžnou s
rovinou ρ - obr. 6.32.
Řešenı́: (obr.6.33)
54
1. Bodem M vedeme přı́mku a0 rovnoběžnou s přı́mkou a (a01 ||a1 , a02 ||a2 ).
2. Bodem M vedeme přı́mku b0 rovnoběžnou s přı́mkou b (b01 ||b1 , b02 ||b2 ).
3. Přı́mkami a0 b0 je určena rovina σ.
Obrázek 6.34:
Obrázek 6.35:
Přı́klad 6.10 Rovina ρ je určena stopami. Bodem M ved’te rovinu σ rovnoběžnou s rovinou
ρ - obr.6.34. Sestrojte stopy roviny σ.
1. Bodem M vedeme hlavnı́ přı́mku h rovnoběžnou s půdorysnou stopou roviny ρ (h1 ||pρ1 ,
h2 ||pρ2 = x1,2 ).
2. Bodem M vedeme hlavnı́ přı́mku f rovnoběžnou s nárysnou stopou roviny ρ (f2 ||nρ2 ,
f1 ||nρ1 = x1,2 ).
3. Přı́mkami h, f je určena rovina σ.
4. Pro sestrojenı́ stop roviny σ nám stačı́ nalézt stopnı́k jedné z přı́mek h f - našli jsme
půdorysný stopnı́k P přı́mky f .
5. Půdorysná stopa roviny σ procházı́ půdorysným stopnı́kem a je rovnoběžná s půdorysnou
stopou roviny ρ.
6. Nárysná stopa roviny σ je rovnoběžná s nárysnou stopou roviny ρ a protı́ná se s půdorysnou
stopou na ose x.
6.5.4
Průsečı́k přı́mky s rovinou (základnı́ úloha Z4)
Přı́klad 6.11 Rovina σ je určena přı́mkami a, b. Sestrojte průsečı́k přı́mky p s rovinou σ - obr.
6.37.
Pro určenı́ průsečı́ku přı́mky s rovinou
použijeme metodu krycı́ přı́mky. V rovině
σ zvolı́me přı́mku s, která se kryje s přı́mkou
p v některém průmětu, tj. ležı́ s přı́mkou p
v jedné promı́tacı́ rovině, a zároveň ležı́ v
rovině σ. Přı́mka s je průsečnicı́ roviny σ a
promı́tacı́ roviny přı́mky p. Průsečı́k přı́mky p
a s je zároveň průsečı́kem přı́mky p s rovinou
σ. V průmětně, ve které průměty přı́mek p a s
nesplývajı́, najdeme jejich průsečı́k a odvodı́me
pomocı́ ordinály do druhé průmětny.
1.
2.
3.
4.
55
Obrázek 6.36:
V rovině σ zvolı́me půdorysně krycı́ přı́mku s (s1 = p1 , s ⊂ σ).
Pomocı́ průsečı́ků přı́mky s s přı́mkami a, b odvodı́me přı́mku s2 (úloha 6.5.1, tj. Z1).
Průsečı́k P2 přı́mek p2 a s2 je nárysem hledaného průsečı́ku přı́mky p s rovinou σ.
Půdorys P1 průsečı́ku najdeme na přı́mce p1 a na ordinále vedené bodem P2 .
Obrázek 6.37:
Obrázek 6.38:
Přı́klad 6.12 Rovina σ je určena stopami. Sestrojte průsečı́k přı́mky p s rovinou σ - obr. 6.39.
1.
2.
3.
4.
V rovině σ zvolı́me nárysně krycı́ přı́mku s (s2 = p2 , s ⊂ σ).
Pomocı́ stopnı́ků odvodı́me přı́mku s do půdorysu (úloha 6.5.1, tj. Z1).
Průsečı́k P1 přı́mek p1 a s1 je půdorysem hledaného průsečı́ku přı́mky p s rovinou σ.
Nárys P2 průsečı́ku najdeme na přı́mce p2 a na ordinále vedené bodem P1 .
Obrázek 6.39:
6.5.5
56
Obrázek 6.40:
Průsečnice dvou rovin (základnı́ úloha Z5)
• Pokud přı́mka r ležı́ v rovině ρ, pak
průsečı́k R přı́mky r s rovinou σ ležı́ na
průsečnici p rovin ρ a σ.
• Průsečnice rovin je přı́mka ležı́cı́ v obou
rovinách, tj. jejı́ stopnı́k ležı́ na stopách
obou rovin.
Obrázek 6.41:
Přı́klad 6.13 Roviny ρ a σ jsou určeny stopami. Sestrojte průsečnici těchto rovin - obr. 6.42.
1. Nárysný stopnı́k průsečnice ležı́ na nárysné stopě roviny ρ i roviny σ.
(N2 ∈ nρ2 ∩ nσ2 , N1 ∈ x1,2 ).
2. Půdorysný stopnı́k průsečnice ležı́ na půdorysné stopě roviny ρ i roviny σ.
(P1 ∈ pρ1 ∩ pσ1 , P2 ∈ x1,2 ).
3. Přı́mka N P je hledanou průsečnicı́.
Přı́klad 6.14 Rovina ρ je určena přı́mkami r a q a rovina σ je dána stopami. Sestrojte
průsečnici těchto rovin - obr. 6.44.
57
Obrázek 6.42:
Obrázek 6.43:
Obrázek 6.44:
Obrázek 6.45:
Řešenı́: (obr. 6.45) Vyřešı́me dvakrát úlohu průsečı́k přı́mky s rovinou.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Zvolı́me krycı́ přı́mku s, tak aby s2 = q2 a s ⊂ σ.
Odvodı́me půdorys s2 přı́mky s. (Úloha 6.5.1).
Najdeme průsečı́k X1 přı́mek s1 a q1 .
Odvodı́me bod X do nárysu na přı́mku q.
Podobně zvolı́me krycı́ přı́mku u a najdeme průsečı́k Y .
Přı́mka XY je hledaná průsečnice.
Poznámka 6.4 Všimněte si, že v některých úlohách jsme ke konstrukcı́m nepoužı́vali osu x1,2 ,
stačilo nám znát směr ordinály. Vzpomeneme si, že kolmé průměty téhož objektu do rovnoběžných rovin jsou shodné. Pokud tedy nezáležı́ na vzdálenosti od průměten, můžeme osu x
vynechat, přı́padně posunout průměty ve směry ordinály. Je to výhodné zejména v přı́padech,
kdy se nárys a půdorys překrývajı́ a chceme zobrazenı́ zpřehlednit.
Nenı́-li zadaná osa x, nemůžeme použı́vat stopy a stopnı́ky.
6.6. Metrické úlohy
6.6
6.6.1
58
Metrické úlohy
Skutečná velikost úsečky (základnı́ úloha Z6)
Na obrázku 6.46 je zřejmé, že body A, B a jejich průměty do půdorysny tvořı́ lichoběžnı́k
ABB1 A1 s pravými úhly při vrcholech A1 a B1 . V tomto lichoběžnı́ku známe, kromě pravých
úhlů, také velikost strany A1 B1 , a velikosti stran AA1 (z-ová souřadnice bodu A) a BB1 (zová souřadnice bodu B). Tento lichoběžnı́k zobrazı́me pomocı́ sklopenı́ promı́tacı́ roviny do
půdorysny. Podobně můžeme provést sklopenı́ do nárysny.
Obrázek 6.46:
Obrázek 6.47:
Obrázek 6.48:
Přı́klad 6.15 Sestrojte skutečnou velikost úsečky AB - obr. 6.47.
1. zA (zetovou souřadnici bodu A) naneseme na kolmici vedenou bodem A1 , zı́skaný bod
označı́me (A).
2. zB (zetovou souřadnici bodu B) naneseme na kolmici vedenou bodem B1 , zı́skaný bod
označı́me (B).
59
3. Spojnice bodů (A), (B) je sklopená přı́mka b. Vzdálenost bodů (A), (B) je skutečná
velikost úsečky AB.
Poznámka 6.5 Majı́-li body A, B opačná znaménka souřadnice z, pak body ABB1 A1 netvořı́
lichoběžnı́k, ale čtyřúhelnı́k, ve kterém se dvě strany protı́najı́. Při sklápěnı́ tohoto čtyřúhelnı́ku
naneseme přı́slušné souřadnice na opačně orientované kolmice.
Poznámka 6.6 Je-li body A, B je určena přı́mka p, pak sklopená přı́mka (p) je určena body
(A)(B). Odchylka přı́mky od půdorysny je rovna odchylce přı́mek p(p).
Postup pro určovánı́ skutečné velikosti úsečky si můžeme zjednodušit použitı́m metody
rozdı́lového trojúhelnı́ka. V obrázku 6.46 je vyznačen pravoúhlý trojúhelnı́k A1 B1 (B)∗ s
pravým úhlem při vrcholu B1 . Úsečky (A)(B) a A1 (B)∗ jsou rovnoběžné a shodné. Stačı́ tedy sestrojit tento rozdı́lový trojúhelnı́k, kde velikost strany B1 (B)∗ je rovna rozdı́lu z-ových souřadnic
bodů A a B.
I tento postup lze analogicky použı́t pro nárys, na kolmici k úsečce A2 B2 ovšem naneseme
rozdı́l y-ových souřadnic bodů A a B.
Obrázek 6.49:
Obrázek 6.50:
Přı́klad 6.16 Sestrojte skutečnou velikost úsečky AB použitı́m rozdı́lového trojůhelnı́ka - obr.
6.49.
Řešenı́: (obr. 6.50) Pomocı́ rozdı́lového trojúhelnı́ka.
1. Na kolmici vedenou bodem B1 naneseme |zA − zB |, zı́skaný bod označı́me (B).
2. Spojnice bodů (B), A1 je sklopená úsečka AB a vzdálenost bodů (B), A1 je skutečná
velikost úsečky AB.
Je zřejmé, že velikost úsečky rovněž zjistı́me, vedeme-li kolmici bodem A (a nenı́ přitom důležité,
do které poloroviny sklápı́me). Ve všech přı́padech vyjdou shodné trojúhelnı́ky, které majı́
shodné přepony. Uvedený postup použı́vá mı́sto absolutnı́ch souřadnic souřadnice relativnı́.
Použitı́ relativnı́ch souřadnic vede k možnosti vynechánı́ základnice.
6.6.2
60
Nanesenı́ úsečky na přı́mku (základnı́ úloha Z7)
Sklápěnı́, které jsme využili v úloze 6.6.1, využijeme i v této úloze. Zvolı́me na přı́mce dva body
a sklopı́me ji. Na sklopenou přı́mku naneseme úsečku ve skutečné velikosti a sklopı́me zpět.
Při sklápěnı́ použijeme metodu rozdı́lového trojúhelnı́ka.
Obrázek 6.51:
Obrázek 6.52:
Přı́klad 6.17 Je dána přı́mka b a na nı́ bod A. Naneste na přı́mku b od bodu A vzdálenost u
- obr. 6.51.
1. Zvolı́me na přı́mce b bod X 6= A.
2. Sklopı́me úsečku AX (použitı́m úlohy Z6 z odst. 6.6.1):
(a) Na kolmici vedenou bodem X2 naneseme |zX − zA |, zı́skaný bod označı́me (X).
(b) Spojnice bodů (X), A2 je sklopená přı́mka b.
3. Na sklopenou přı́mku b naneseme velikost u, zı́skaný bod označı́me (B).
4. Bod (B) sklopı́me zpět na přı́mku b2 pomocı́ kolmice vedené bodem (B) k přı́mce b2 .
Dostáváme bod B2 .
5. Bod B1 odvodı́me po ordinále na přı́mku b1 .
6. Úsečka AB má skutečnou velikost u.
6.6.3
Přı́mka kolmá k rovině (základnı́ úloha Z8)
Při hledánı́ přı́mky kolmé k rovině je vhodné si přı́pomenout:
• Kritérium kolmosti přı́mky a roviny.
• Větu o průmětu pravého úhlu.
61
Obrázek 6.53:
Obrázek 6.54:
Obrázek 6.55:
• Protože h||π, tak k1 ⊥ h1 .
• Protože f ||ν, tak k2 ⊥ f2 .
Přı́klad 6.18 Rovina ρ je určena hlavnı́mi přı́mkami h, f . Sestrojte kolmici k bodem M k rovině ρ - obr. 6.54.
1. Bodem M1 vedeme kolmici k1 k přı́mce h1 .
2. Bodem M2 vedeme kolmici k2 k přı́mce f2 .
Přı́klad 6.19 Rovina ρ je určena přı́mkami p, q. Sestrojte kolmici k bodem M k rovině ρ obr. 6.56.
Obrázek 6.56:
62
Obrázek 6.57:
1. Sestrojı́me libovolné hlavnı́ přı́mky h, f roviny ρ.
a) Přı́mka f1 je rovnoběžná s x1,2 , f2 odvodı́me pomocı́ průsečı́ků přı́mky f s p a q.
b) Přı́mka h2 je rovnoběžná s x1,2 , h1 odvodı́me pomocı́ průsečı́ků přı́mky h s p a q.
2. Postupujeme jako v předchozı́ úloze.
a) Bodem M1 vedeme kolmici k přı́mce h1 , dostaneme k1 .
b) Bodem M2 vedeme kolmici k přı́mce f2 , dostaneme k2 .
6.6.4
Rovina kolmá k přı́mce (základnı́ úloha Z9)
Tato úloha je obrácená k úloze předchozı́, využijeme opět znalostı́ kritéria kolmosti přı́mky k rovině a hlavnı́ch přı́mek. Uvědomı́me si, že nárys horizontálnı́ hlavnı́ hlavnı́ přı́mky je rovnoběžný
s osou x1,2 (neboli kolmý na ordinály) a půdorys je kolmý k zadané přı́mce. Pro frontálnı́ hlavnı́
přı́mku platı́, že půdorys je rovnoběžný s osou x1,2 a nárys je kolmý k zadané přı́mce.
Tedy h1 ⊥ p1 a h2 ||x1,2 a f2 ⊥ p2 a f1 ||x1,2 .
Hlavnı́ přı́mky v této úloze proto neodvozujeme pomocı́ průsečı́ků, ale sestrojujeme kolmice
k průmětům zadané přı́mky! Je totiž zřejmé, že hlavnı́ přı́mky jsou zpravidla s danou přı́mkou
mimoběžné, a tudı́ž průsečı́ky v prostoru neexistujı́.
Přı́klad 6.20 Je dána přı́mka p. Sestrojı́me bodem M rovinu kolmou k přı́mce p - obr. 6.58.
Řešenı́: (obr. 6.59) Sestrojı́me hlavnı́ přı́mky hledané roviny σ.
1. h1 ⊥ p1 a h2 ||x1,2 a M1 ∈ h1 , M2 ∈ h2 .
2. f2 ⊥ p2 a f1 ||x1,2 a M1 ∈ f1 , M2 ∈ f2 .
3. Rovina σ je určena přı́mkami h, f .
63
Obrázek 6.58:
6.6.5
Obrázek 6.59:
Otočenı́ roviny do polohy rovnoběžné s průmětnou (základnı́
úloha Z10)
n
n
C
C2
C2
h
C
C1
p 1r
p
S
x
C1
S
C00
C
C
0
p
x
C0
a)
b)
Obrázek 6.60:
Často je součástı́ prostorové konstrukce rovinná úloha. Potřebujeme napřı́klad sestrojit
podstavu nějakého tělesa v obecné rovině α. Vı́me, že útvar ležı́cı́ v rovině rovnoběžné s
průmětnou se promı́tne ve skutečné velikosti. Otočı́me tedy rovinu α (některé jejı́ body) do
polohy rovnoběžné s průmětnou π (obr. 6.60b)) nebo přı́mo do průmětny (obr. 6.60a)), provedeme požadovanou konstrukci a výsledek otočı́me zpět.
Nejprve musı́me určit přı́mku, kolem které budeme rovinu α otáčet. V přı́padě, že otáčı́me
přı́mo do průmětny, je osou otáčenı́ průsečnice rovin α a π, tedy stopa roviny α (obr. 6.60a)).
Nemáme-li zadanou osu x nebo chceme-li si ušetřit práci se sestrojovánı́m stopy, můžeme otočit
rovinu α do polohy rovnoběžné s průmětnou kolem přı́mky rovnoběžné s průmětnou, tedy
hlavnı́ přı́mky roviny α (obr. 6.60b)).
Mezi body roviny α a body otočenými do průmětny existuje prostorová geometrická přı́buznost
- osová afinita. Vı́me, že rovnoběžným průmětem osové afinity zı́skáme osovou afinitu v rovině,
64
odtud plyne, že při konstrukcı́ch můžeme využı́vat osové afinity mezi průměty bodů (napřı́klad
půdorysy) a otočenými body do téže průmětny (půdorysny). Osou afinity je osa otáčenı́, párem
odpovı́dajı́cı́ch si bodů je průmět bodu (např. A1 ) a jeho otočený obraz A0 .
Postup řešenı́ rovinné úlohy je následujı́cı́:
1. Určı́me osu otáčenı́ - hlavnı́ přı́mka nebo stopa roviny.
2. Sestrojı́me rovinu, střed a poloměr kružnice otáčenı́ (přı́klad 1.1 na straně 9).
3. Otočı́me jeden bod.
4. Dalšı́ otočené body zı́skáme pomocı́ afinity.
5. Provedeme rovinnou konstrukci.
6. S využitı́m afinity otočı́me výsledek zpět.
7. Body výsledného útvaru odvodı́me do druhého průmětu.
Obrázek 6.61:
Obrázek 6.62:
Přı́klad 6.21 Otočme rovinu α kolem stopy do průmětny - obr. 6.61.
Řešenı́: (obr. 6.62) Otočı́me jeden bod roviny α.
1. Pomocı́ horizontálnı́ hlavnı́ přı́mky h roviny α vedené bodem C odvodı́me půdorys bodu
C.
2. Budeme otáčet do půdorysny, tj. osou otáčenı́ je půdorysná stopa pα1 .
3. Rovina otáčenı́ ρ bodu C se promı́tá do přı́mky k1 procházejı́cı́ bodem C1 a kolmé k ose
otáčenı́ pα1 .
4. Střed otáčenı́ S je průsečı́k roviny ρ se stopou, tedy S1 je průsečı́kem přı́mky k1 se stopou
pα1 .
5. Poloměr otáčenı́ r je skutečná velikost úsečky CS. Skutečnou velikost úsečky určı́me
sklopenı́m - na kolmici k úsečce C1 S1 naneseme (relativnı́) zetovou souřadnici bodu
C (tj. rozdı́l zetových souřadnic bodů C a S, S má zetovou souřadnici 0, protože ležı́
v půdorysně).
65
C2
h2
h1
C1
S1
C0
k1
Obrázek 6.63:
Obrázek 6.64:
6. Na kolmici k1 naneseme od bodu S1 poloměr r, dostaneme tak otočený bod C0 .
Přı́klad 6.22 Otočme rovinu α, určenou bodem C a hlavnı́ přı́mkou h, kolem h do roviny
rovnoběžné s průmětnou - obr. 6.63.
Řešenı́: (obr. 6.64) Otočı́me jeden bod roviny α.
1.
2.
3.
4.
5.
Otočı́me rovinu α kolem hlavnı́ přı́mky h do polohy rovnoběžné s půdorysnou.
Osou otáčenı́ je hlavnı́ přı́mka h.
Bodem C1 vedeme kolmici k1 k přı́mce h1 (rovina otáčenı́ se promı́tá do k1 ).
Průsečı́k přı́mky k1 s h1 je půdorysem středu otáčenı́ S.
Sklopı́me úsečku CS a zjistı́me skutečnou velikost poloměru otáčenı́ r (na kolmici k C1 S1
naneseme rozdı́l zetových souřadnic bodu CS a přı́mky h).
6. Od bodu S1 naneseme na k1 poloměr r a zı́skáme otočený bod C0 .
Přı́klad 6.23 V rovině ρ jsou dány body A a C svými nárysy. Sestrojı́me čtverec ABCD
s úhlopřı́čkou AC ležı́cı́ v rovině ρ - obr. 6.65.
Řešenı́: (obr. 6.66) Sestrojenı́ čtverce je rovinná úloha. Rovinu ρ otočı́me do půdorysny, sestrojı́me čtverec v otočenı́ a výsledek otočı́me zpět.
1.
2.
3.
4.
5.
Pomocı́ hlavnı́ přı́mky odvodı́me bod C do půdorysu, půdorys bodu A ležı́ na ose x1,2 .
Otočı́me bod C do půdorysny - zı́skáme bod C0 .
Bod A0 sestrojı́me pomocı́ afinity (osa afinity je pρ1 , pár odpovı́dajı́cı́ch si bodů je A1 , A0 .
V otočenı́ sestrojı́me čtverec A0 B0 C0 D0 .
Pomocı́ afinity otočı́me čtverec zpět do půdorysu. (Můžeme využı́t rovnoběžnosti protějšı́ch
stran.)
6. S využitı́m hlavnı́ch přı́mek najdeme nárys čtverce.
66
Obrázek 6.65:
6.6.6
Obrázek 6.66:
Obraz kružnice (základnı́ úloha Z11)
Podı́vejme se, jak se v pravoúhlém promı́tánı́ zobrazı́ kružnice. Pokud kružnice ležı́ v rovině
rovnoběžné s průmětnou, bude jejı́m obrazem shodná kružnice. Obrazem kružnice ležı́cı́ v rovině
kolmé na průmětnu bude úsečka, jejı́ž délka je rovna průměru kružnice. Obrazem kružnice
v obecném přı́padě je elipsa. Velikost průměru kružnice, který ležı́ na hlavnı́ přı́mce, se při
pravoúhlém promı́tánı́ zachová, ostatnı́ průměry se v pravoúhlém promı́tánı́ zkracujı́. Průměr
na hlavnı́ přı́mce bude tedy hlavnı́ osou elipsy, do které se kružnice zobrazı́.
Obrázek 6.67:
Obrázek 6.68:
67
Přı́klad 6.24 V rovině ρ(h, f ) sestrojme kružnici k(S, r) - obr. 6.67.
1. Na horizontálnı́ hlavnı́ přı́mku h naneseme v půdorysu od bodu S1 na obě strany skutečnou
velikost poloměru r - body označı́me A1 , B1 a odvodı́me je po ordinále do nárysu.
2. Na frontálnı́ hlavnı́ přı́mku f naneseme v nárysu od bodu S2 na obě strany skutečnou
velikost poloměru r - body označı́me C2 , D2 a odvodı́me je po ordinále do půdorysu.
3. Obrazem kružnice v půdorysu je elipsa s hlavnı́ osou A1 B1 , body C1 , D1 ležı́ na elipse.
Pomocı́ proužkové konstrukce zı́skáme vedlejšı́ osu.
4. Obrazem kružnice v nárysu je elipsa s hlavnı́ osou C2 D2 , body A2 , B2 ležı́ na elipse.
Pomocı́ proužkové konstrukce zı́skáme vedlejšı́ osu.
6.6.7
Transformace průměten (základnı́ úloha Z12)
V předchozı́ch úlohách jsme již mluvili o možnosti vynechánı́ osy x, to znamená o posunutı́
půdorysny nebo nárysny. Nárys nebo půdorys útvarů se neměnil, nebot’ poloha nových průměten
byla rovnoběžná s původnı́mi.
Nynı́ přejdeme od původnı́ch průměten k nové dvojici navzájem kolmých průměten. Jednu
průmětnu necháme v původnı́ poloze a jako druhou volı́me libovolnou rovinu k nı́ kolmou
(volı́me ji vhodně tak, aby se použitı́m nových průměten úloha zjednodušila).
Zvolı́me napřı́klad třetı́ průmětnu µ kolmou k půdorysně π – obr. 6.69. Průsečnice rovin
µ a π bude novou osou x - označı́me ji x1,3 . Promı́tneme bod M do třetı́ průmětny, průmět
označı́me indexem M3 a provedeme sdruženı́ průmětů. Ordinála bude spojnicı́ bodů M1 a M3
a bude kolmá k ose x1,3 , vzdálenost M3 od osy x1,3 je z-ovou souřadnicı́ bodu M - obr. 6.70.
Obrázek 6.69:
Obrázek 6.70:
Přı́klad 6.25 Určeme vzdálenost bodu A od roviny ρ s využitı́m třetı́ průmětny (obr. 6.71).
Obrázek 6.71:
68
Obrázek 6.72:
1. Zvolı́me třetı́ průmětnu µ kolmou k půdorysně a kolmou k rovině ρ - rovina ρ se do nové
průmětny zobrazı́ jako přı́mka.
2. Najdeme třetı́ průmět bodu A.
3. Najdeme třetı́ průmět libovolného bodu roviny ρ - zvolili jsme stopnı́k N .
4. Třetı́m průmětem roviny ρ je přı́mka procházejı́cı́ bodem N3 a protı́najı́cı́ se se stopou pρ1
na ose x1,3 .
5. Vzdálenost A3 a ρ3 je hledanou vzdálenostı́ bodu A od roviny ρ.
6.7
6.1 Definujte pojem stopnı́k a stopa.
6.2 Vysvětlete pojem hlavnı́ přı́mka.
6.3 Vysvětlete metodu krycı́ přı́mky.
6.4 K čemu se použı́vá otáčenı́ roviny?
6.5 V čem se lišı́ otáčenı́ roviny okolo stopy a okolo hlavnı́ přı́mky?
Kapitola 7
Axonometrie
7.1
Úvod
Předpokládejme, že je v prostoru dána kartézská soustava souřadnic. Souřadnicové roviny
nazýváme půdorysna - xy (1 π), nárysna xz (2 π) a bokorysna yz (3 π). V praxi obvykle umı́st’ujeme
objekty co nejvýhodněji vzhledem k osám. Např. hranol nebo válec umı́stı́me tak, aby měl podstavu v souřadnicové rovině. Útvar, který má osu, umı́stı́me tak, aby jeho osa byla rovnoběžná
s osou soustavy souřadnic. Jestliže promı́tneme pravoúhle tento objekt do souřadnicových rovin
(Mongeova projekce), budou se nám snadno řešit polohové a metrické úlohy, ale chybı́ názorný
pohled. Názornou zobrazovacı́ metodou, která využı́vá výhody rovnoběžného promı́tánı́, je axonometrie.
Obrázek 7.1:
Axonometrie je rovnoběžné promı́tánı́ na jednu průmětnu α takové, že směr promı́tánı́ s
nenı́ rovnoběžný s žádnou souřadnicovou rovinou, tj. osy se promı́tajı́ do třı́ různých přı́mek
xA , yA , zA - obr.7.1.
Rovinu α nazýváme axonometrickou průmětnou; xA , yA , zA axonometrickými průměty
os x, y, z; BA axonometrickým průmětem bodu B. Pravoúhlé průměty bodu B do
souřadnicových rovin jsou půdorys (xy), nárys (xz) a bokorys (yz) a jejich průměty do axonometrické průmětny axonometrický půdorys (B1A ), nárys (B2A ) a bokorys (B3A ). Jednotky
69
7.2. Klasifikace axonometriÍ
70
na osách (jx , jy , jz ) se promı́tnou do axonometrických jednotek (jxA , jyA , jzA ).
Chceme-li zadat axonometrii, vycházı́me z následujı́cı́ věty:
Věta 7.1 (Pohlkeova věta) Tři úsečky se společným koncovým bodem, které ležı́ v jedné rovině
a neležı́ na jedné přı́mce, můžeme považovat za rovnoběžný průmět třı́ navzájem kolmých a
shodných úseček v prostoru.
7.2
Klasifikace axonometriı́
Podle velikosti axonometrických jednotek jx , jy , jz
:
1. izometrie ( jx = jy = jz ) - obr. 7.2a)
2. dimetrie ( jx = jy nebo jy = jz nebo jx = jz ) - obr. 7.2b)
3. trimetrie ( jx 6= jy 6= jz ) - obr. 7.2c)
z
jx
x
z
jx
y
z
jy
jy
y
jx
y
x
x
a)
b)
c)
Obrázek 7.2:
Podle směru promı́tánı́
1. Směr s je kolmý k axonometrické průmětně, axonometrie se nazývá pravoúhlá.
2. Směr s nenı́ kolmý k axonometrické průmětně, axonometrie se nazývá obecná nebo také
kosoúhlá.
Uved’me si ještě některé speciálnı́ axonometrie:
1. Kosoúhlé promı́tánı́. Průmětnou je souřadnicová rovina yz a směr nenı́ kolmý k průmětně.
Na osách y a z jsou jednotky stejné, na ose x se jednotka obvykle zkracuje. Je to dimetrie
nebo izometrie.
2. Vojenská perspektiva. Průmětnou je souřadnicová rovina xy a směr nenı́ kolmý k
průmětně. Na všech osách je stejné zkrácenı́ jednotek. Promı́tánı́ je izometrie.
3. Pravoúhlá axonometrie. Průmětnou je obecná rovina, která protı́ná osy v bodech
různých od počátku. Směr je kolmý k průmětně. Pravoúhlou axonometriı́ se budeme ještě
podrobněji zabývat, protože má některé pěkné vlastnosti.
7.3. ZobrazenÍ bodu
7.3
71
Zobrazenı́ bodu
Jednı́m průmětem nenı́ bod v prostoru jednoznačně určen, proto musı́me k axonometrickému
průmětu zadávat ještě některý z pravoúhlých průmětů do souřadnicových rovin. Obvyklé je
zadánı́ dvojicı́ BA a B1A . Bod však může být určen libovolnou dvojicı́ z bodů BA , B1A , B2A ,
B3A (např. B1A , B3A ).
Na obrázku 7.3 je axonometrický obraz
bodu B[2, 3, 4], jeho axonometrický nárys,
půdorys a bokorys.
Obrázek 7.3:
Poznámka 7.1 Pro zjednodušenı́ budeme
tam, kde nemůže dojı́t k záměně, axonometrické průměty označovat bez dolnı́ho indexu A a vynechávat přı́vlastek axonometrický.
Obrázek 7.4:
Obrázek 7.5:
Přı́klad 7.1 Bod je v axonometrii určen dvojicı́ A a A3 - obr. 7.4. Doplnı́me zbývajı́cı́ pravoúhlé
průměty do souřadnicových rovin.
Řešenı́: (obr.7.5) Pomocı́ rovnoběžek s osami x, y, z doplnı́me zbývajı́cı́ průměty.
Přı́klad 7.2 Zobrazı́me body A ∈ xy, B ∈ yz, C ∈ xz - obr. 7.6.
A ∈ xy ⇒ A = A1 , A2 ∈ x, A3 ∈ y
B ∈ yz ⇒ B = B3 , B2 ∈ z, B1 ∈ y
C ∈ xz ⇒ C = C2 , C1 ∈ x, C3 ∈ z
7.4. ZobrazenÍ přÍmky
Obrázek 7.6:
7.4
72
Obrázek 7.7:
Zobrazenı́ přı́mky
Přı́mka je určena dvěma body, průmět přı́mky je tedy určen průměty dvou bodů.
Obrazem přı́mky p, která nenı́ kolmá k průmětně, je opět přı́mka. Zadáváme ji opět pomocı́
axonometrického průmětu pA a pravoúhlého průmětu do souřadnicové roviny (např. p1A ).
Stopnı́k je opět průsečı́k přı́mky s průmětnou, ovšem v tomto přı́padě s průmětnou axonometrickou. Tento stopnı́k ale v konstrukcı́ch zpravidla nevyužı́váme. Výhodné jsou pro nás pomocné stopnı́ky, jimiž jsou průsečı́ky přı́mky se souřadnicovými rovinami (xy, xz, yz). Nazýváme
je půdorysný, nárysný a bokorysný stopnı́k.
Obrázek 7.8:
Obrázek 7.9:
Přı́klad 7.3 Sestrojı́me půdorysný, nárysný a bokorysný stopnı́k přı́mky a - obr. 7.8.
Průsečı́k přı́mky a a jejı́ho půdorysu a1 je půdorysný stopnı́k P = P1 .
Průsečı́k přı́mky a1 s osou x je půdorys nárysného stopnı́ku N1 , nárysný stopnı́k N najdeme
na přı́mce a a na rovnoběžce s osou z vedené bodem N1 .
7.5. ZobrazenÍ roviny
73
Průsečı́k přı́mky a1 s osou y je půdorys bokorysného stopnı́ku M1 , bokorysný stopnı́k M
najdeme na přı́mce a a na rovnoběžce s osou z vedené bodem M1 .
7.5
Zobrazenı́ roviny
Rovinu můžeme určit pomocı́ průmětů prvků, které ji určujı́ (např. třemi různými nekolineárnı́mi body, dvěma rovnoběžkami, dvěma různoběžkami nebo přı́mkou a bodem, který
na nı́ neležı́). Nejnázornějšı́ je zadánı́ roviny pomocı́ stop. Stopa roviny je průsečnice roviny s průmětnou, ale my budeme (stejně jako u stopnı́ků) použı́vat průsečnice roviny se
souřadnicovými rovinami (xy, xz, yz). Nazýváme je půdorysná, nárysná a bokorysná stopa.
Obrázek 7.10:
Obrázek 7.11:
Každá dvojice stop se protı́ná na ose (průsečı́k může být i nevlastnı́ bod, tj. stopy jsou pak
rovnoběžné). Pro určenı́ roviny stačı́ zadat dvě stopy, jsou to dvě různoběžné nebo rovnoběžné
přı́mky. Třetı́ stopu snadno doplnı́me pomocı́ průsečı́ků s osami - obr. 7.10 nebo 7.11.
Obrázek 7.12:
Obrázek 7.13:
7.6. Úlohy v axonometrii
74
Na obrázku 7.12 jsou stopy roviny ρ rovnoběžné s půdorysnou xy, stopy roviny σ rovnoběžné
s bokorysnou yz a stopy roviny τ rovnoběžné s nárysnou yz. Na obrázku 7.13 jsou stopy roviny
α kolmé na nárysnu xz, stopy roviny β kolmé na půdorysnu xy a stopy roviny γ kolmé na
bokorysnu yz.
7.6
Úlohy v axonometrii
V obecné axonometrii se zaměřı́me pouze na polohové úlohy a ukážeme si, jak lze zobrazit
kružnici. Dalšı́ typy úloh jsou nejen přı́liš složité, ale zejména jejich řešenı́ umožňuje Mongeova
projekce. Pomocı́ přepočtu délek na osách pak může být zobrazen v axonometrii jen výsledek.
Obrázek 7.14:
7.6.1
Vzájemná poloha přı́mek
Z axonometrických průmětů přı́mek a jejich půdorysů můžeme určit jejich vzájemnou polohu.
Z vlastnostı́ rovnoběžného promı́tánı́ plyne, že rovnoběžné přı́mky se budou promı́tat jako
rovnoběžky (pokud se nepromı́tnou jako dva body). Rovnoběžné budou jak jejich axonometrické
průměty, tak jejich půdorysy - obr. 7.14a). Na obrázku 7.14b) jsou různoběžky, průsečı́k jejich
axonometrických průmětů a půdorysů ležı́ na rovnoběžce s osou z (můžeme ji řı́kat ordinála)
na rozdı́l od mimoběžek - obr. 7.14c).
7.6.2
Přı́mka v rovině
Připomeňme důležité vlastnosti:
• Přı́mka ležı́cı́ v rovině je se všemi ostatnı́mi přı́mkami rovnoběžná nebo různoběžná.
• Přı́mka ležı́ v rovině, právě když všechny stopnı́ky přı́mky ležı́ na přı́slušných stopách
roviny.
Těchto vlastnostı́ využijeme i v následujı́cı́ch úlohách.
Obrázek 7.15:
75
Obrázek 7.16:
Přı́klad 7.4 Je dána rovina ρ. Sestrojme axonometrický průmět přı́mky m ∈ ρ, je-li dán jejı́
půdorys m1 - obr. 7.15.
1. Najdeme průsečı́k přı́mky m1 s půdorysnou stopou pρ1 roviny ρ, zı́skali jsme půdorysný
stopnı́k P = P1 .
2. Průsečı́k přı́mky m1 s osou y je půdorys bokorysného stopnı́ku M1 .
3. Bokorysný stopnı́k M najdeme na bokorysné stopě mρ a na rovnoběžce s osou z vedené
bodem M1 . (Podobně bychom mohli sestrojit i nárysný stopnı́k, ale pro konstrukci přı́mky
stačı́ kterékoliv dva ze třı́ stopnı́ků.)
4. Oba stopnı́ky ležı́ na přı́mce m, axonometrický průmět přı́mky m je proto jejich spojnicı́.
(Nárysný stopnı́k by ležel na také na přı́mce m.)
Obrázek 7.17:
Obrázek 7.18:
76
Přı́klad 7.5 Je dána rovina ρ(a, b). Sestrojte m1 , je-li dán axonometrický průmět přı́mky m ∈
ρ - obr. 7.17.
1. Najdeme průsečı́ky A, B přı́mky m s přı́mkami a, b.
2. Body A, B odvodı́me na přı́mky a1 a b1 a zı́skáme jejich půdorysy A1 a B1 .
3. Přı́mka m1 procházı́ body A1 a B1 .
7.6.3
Průsečı́k přı́mky s rovinou
Průsečı́k přı́mky k s rovinou ρ budeme opět hledat metodou krycı́ přı́mky. Podobně jako v
Mongeově projekci volı́me krycı́ přı́mku s tak, aby krycı́ přı́mka ležela v rovině ρ. Máme dvě
možnosti volby této krycı́ přı́mky: bud’ se kryjı́ axonometrické průměty přı́mek k a s a hledáme
průsečı́k jejich půdorysů nebo se kryjı́ půdorysy a hledáme průsečı́k axonometrických průmětů
přı́mek k a s. V následujı́cı́ch dvou přı́kladech jsme volili prvnı́ možnost.
Obrázek 7.19:
Obrázek 7.20:
Přı́klad 7.6 Sestrojı́me průsečı́k přı́mky k s rovinou ρ, určenou stopami - obr. 7.19.
1. Volı́me krycı́ přı́mku s tak, že axonometrické průměty přı́mek s a k splynou a s ⊂ ρ.
2. Odvodı́me půdorys přı́mky s pomocı́ stopnı́ků N a M . Půdorys přı́mky s označı́me s1 .
3. Průsečı́k přı́mek s1 a k1 je půdorysem hledaného průsečı́ku P1 . Axonometrický průmět
bodu P odvodı́me pomocı́ ordinály (rovnoběžky s osou z).
Přı́klad 7.7 Sestrojı́me průsečı́k přı́mky k s rovinou ρ, určenou stopami - obr. 7.21.
Obrázek 7.21:
77
Obrázek 7.22:
1. Volı́me krycı́ přı́mku s tak, že axonometrické průměty přı́mek s a k splynou a s ⊂ ρ.
2. Odvodı́me půdorys přı́mky s pomocı́ průsečı́ků A, B s přı́mkami a a b. Půdorys přı́mky
s označı́me s1 .
3. Průsečı́k přı́mek s1 a k1 je půdorysem hledaného průsečı́ku P1 . Axonometrický průmět
bodu P odvodı́me pomocı́ ordinály (rovnoběžky s osou z).
7.6.4
Průsečnice rovin
Jsou dány roviny ρ a σ. Pokud je alespoň jedna z rovin, např. ρ, určena obecně zadanými
přı́mkami, najdeme dvakrát průsečı́k přı́mky s rovinou σ a jejich spojnice je průsečnicı́ zadaných
rovin.
Jednoduššı́ situaci máme, jestliže jsou obě roviny zadané stopami. Poznamenejme, že stopy
roviny umı́me najı́t pomocı́ stopnı́ků. Půdorysné stopy obou rovin ležı́ v rovině xy. Jejich
průsečı́k je půdorysný stopnı́k hledané průsečnice. Podobně můžeme najı́t nárysný stopnı́k
jako průsečı́k nárysných stop a bokorysný stopnı́k jako průsečı́k bokorysných stop. Pro určenı́
průsečnice stačı́ nalézt dva z těchto stopnı́ků.
Přı́klad 7.8 Sestrojı́me průsečnici rovin ρ a σ, určených stopami - obr. 7.23.
1. Průsečı́k nárysných stop nρ a nσ je nárysný stopnı́k N hledané průsečnice. Jeho půdorys
N1 ležı́ na ose x.
2. Průsečı́k bokorysných stop mρ a mσ je bokorysný stopnı́k M hledané průsečnice. Jeho
půdorys M1 ležı́ na ose y.
3. Spojnice bodů N a M je průsečnice rovin ρ a σ.
4. Půdorysný stopnı́k P je průsečı́kem půdorysných stop a také ležı́ na sestrojené průsečnici.
Obrázek 7.23:
7.6.5
78
Obrázek 7.24:
Kružnice v souřadnicové rovině
Obrazem kružnice v axonometrii je elipsa, protože se jedná o rovnoběžné promı́tánı́. Průměry
kružnice, které jsou rovnoběžné s osami ležı́cı́mi v rovině kružnice se zobrazı́ do sdružených
průměrů elipsy. Hlavnı́ osy elipsy zı́skáme pomocı́ Rytzovy konstrukce.
Obrázek 7.25:
Obrázek 7.26:
Přı́klad 7.9 Sestrojı́me kružnici se středem v bodě S a poloměrem 3 jednotky ležı́cı́ v rovině
yz - obr. 7.25.
1. Bodem S vedeme rovnoběžku s osou y a naneseme na ni na obě strany třikrát jednotku
jy . Zı́skané body označı́me A, B.
2. Bodem S vedeme rovnoběžku s osou z a naneseme na ni na obě strany třikrát jednotku
jz . Zı́skané body označı́me C, D.
3. Úsečky AB a CD jsou sdružené průměry elipsy, do které se zobrazı́ kružnice v rovině yz.
4. Hlavnı́ osy sestrojı́me pomocı́ Rytzovy konstrukce.
7.7. Pravoúhlá axonometrie
7.7
79
Pravoúhlá axonometrie
Půdorysnu, nárysnu a bokorysnu protneme rovinou α, která neprocházı́ počátkem a protı́ná
všechny tři osy - obr. 7.27. Průsečı́ky roviny α s osami označı́me X, Y, Z. Trojúhelnı́k XY Z
je vždy ostroúhlý. Rovina α je axonometrickou průmětnou, do které budeme pravoúhle
promı́tat. Trojúhelnı́ku XY Z řı́káme axonometrický trojúhelnı́k. Tento trojúhelnı́k se zobrazoje vždy ve skutečné velikosti, nebot’ ležı́ v axonometrické průmětně.
Obrázek 7.27:
Obrázek 7.28:
Podı́vejme se, jak se zobrazı́ v pravoúhlé axonometrii osy x, y, z. Osa z je kolmá k rovině
xy, a tudı́ž ke všem přı́mkám této roviny, tedy i k přı́mce XY . Přı́mka XY ležı́ v axonometrické
průmětně. Podle věty 5.1 o pravoúhlém průmětu pravého úhlu se osa z a přı́mka XY zobrazı́
jako kolmice. Stejné závěry můžeme udělat i o ose y a přı́mce XZ a ose x a přı́mce Y Z. Můžeme
proto vyslovit následujı́cı́ větu:
Věta 7.2 Osy x, y, z se promı́tnou do výšek axonometrického trojúhelnı́ka - obr. 7.28.
Je-li dán axonometrický trojúhelnı́k, umı́me sestrojit axonometrické průměty os. Obráceně:
jsou-li dány průměty os (axonometrický osový křı́ž), můžeme sestrojit nekonečně mnoho axonometrických trojúhelnı́ků, které jsou navzájem podobné. Volbou axonometrického trojúhelnı́ka
volı́me axonometrickou průmětnu dál nebo blı́ž od počátku. Volba axonometrického trojúhelnı́ka,
a tı́m i axonometrické průmětny, nemá vliv na velikost a tvar průmětů, protože všechny tyto
roviny jsou navzájem rovnoběžné.
Pravoúhlá axonometrie je speciálnı́m přı́padem axonometrie obecné, proto řešı́me polohové
úlohy stejně jako v obecné axonometrii. Navı́c si ukážeme řešenı́ rovinných úloh v půdorysně,
nárysně a bokorysně.
7.7.1
Metrické úlohy v rovinách xy, yz, zx
Rovinné úlohy v rovinách xy, yz a zx řešı́me pomocı́ otočenı́ přı́slušné roviny do axonometrické
průmětny. Osou otáčenı́ je jedna z přı́mek XY , Y Z, ZX. Do axonometrické průmětny vždy
nejprve otočı́me počátek. Mezi axonometrickými průměty bodů a jejich otočenými průměty
80
opět existuje afinita, dalšı́ body tedy zı́skáme pomocı́ afinity. V otočenı́ vyřešı́me rovinnou úlohu
(najdeme velikosti jednotek na osách, sestrojı́me podstavu tělesa atd.) a výsledek otočı́me zpět
do axonometrické průmětny.
Pro určenı́ obecné axonometrie jsme museli zadat axonometrický osový křı́ž s velikostmi
jednotek na jednotlivých osách. Tı́m byla obecná axonometrie podle Pohlkeovy věty 7.1 jednoznačně určena. V pravoúhlé axonometrii máme zadán směr promı́tánı́ a umı́me určit jednotky
na osách,což si ukážeme v následujı́cı́m přı́kladu.
Obrázek 7.29:
Obrázek 7.30:
Přı́klad 7.10 Je dán axonometrický trojúhelnı́k XY Z. Sestrojı́me průměty os x, y, z a jednotky na osách - obr. 7.29.
1. Osy x, y, z se promı́tnou do výšek axonometrického trojúhelnı́ka XY Z.
2. Otočı́me rovinu xy kolem přı́mky XY . Otáčı́me bod O: rovina otáčenı́ je kolmá k přı́mce
XY a procházı́ bodem O, promı́tne se do přı́mky k. Nemusı́me hledat střed a poloměr
otáčenı́, protože vı́me, že přı́mky x a y jsou ve skutečnosti kolmé a musı́ po otočenı́ přejı́t
do kolmic. Otočený bod O ležı́ na přı́mce k a na Thaletově kružnici sestrojené nad úsečkou
XY , označı́me ho (O).
3. Otočená přı́mka x (označı́me ji (x)) procházı́ bodem (O) a bodem X, který při otáčenı́
zůstává na mı́stě, protože ležı́ na ose otáčenı́.
4. Otočená přı́mka y (označı́me ji (y)) procházı́ bodem (O) a bodem Y , který při otáčenı́
zůstává na mı́stě, protože ležı́ na ose otáčenı́.
5. Na otočených osách vyznačı́me jednotky ve skutečné velikosti.
6. Pomocı́ afinity s osou XY a párem odpovı́dajı́cı́ch si bodů O, (O) odvodı́me jednotky na
osy x a y.
7. Pomocı́ otočenı́ roviny yz kolem přı́mky Y Z zı́skáme stejným způsobem jednotky na ose
z (a znovu na ose y).
8. Nenı́ třeba otáčet rovinu xz, protože bychom jen znovu zı́skali jednotky na osách x a z.
Obrázek 7.31:
81
Obrázek 7.32:
Přı́klad 7.11 V pravoúhlé axonometrii určené osovým křı́žem sestrojı́me obraz čtverce ABCD,
který ležı́ v rovině yz, je-li dána úhlopřı́čka AC. - obr. 7.31.
1. Sestrojı́me axonometrický trojúhelnı́k XY Z. Strany trojúhelnı́ka jsou kolmé na osy x, y a
z. Stranu Y Z volı́me tak, aby procházela bodem A (zjednodušı́me si tı́m dalšı́ konstrukci).
2. Pomocı́ Thaletovy kružnice a kolmice bodem O k přı́mce Y Z otočı́me bod O - otočený
bod označı́me O0 .
3. S použitı́m afinity s osou Y Z a párem odpovı́dajı́cı́ch si bodů O, O0 otočı́me body A a
C (bod A je samodružný, protože jsme přı́mku Y Z, neboli osu otáčenı́, zvolili bodem A.
Otočené body označı́me A0 a C0 .
4. V otočenı́ sestrojı́me čtverec A0 B0 C0 D0 .
5. Pomocı́ afinity otočı́me čtverec zpět a zı́skáme axonometrický obraz čtverce ABCD
ležı́cı́ho v rovině yz
Podobně můžeme sestrojovat rovinné útvary v rovinách xy a xz.
7.7.2
Obraz kružnice ležı́cı́ v některé souřadnicové rovině
Kružnici v půdorysně, nárysně nebo bokorysně můžeme sestrojit stejně jako v přı́kladu 7.9.
V pravoúhlé axonometrii si však můžeme tuto úlohu zjednodušit. V pravoúhlém promı́tánı́ se
úsečky rovnoběžné s průmětnou zobrazı́ ve skutečné velikosti a všechny ostatnı́ se promı́tnutı́m
zkrátı́. To znamená, že velikosti stran axonometrického trojúhelnı́ka a všech úseček s nimi
rovnoběžných se zobrazı́ ve skutečné velikosti. Průměr kružnice k ležı́cı́ v rovině xy rovnoběžný
s úsečkou XY se promı́tne do hlavnı́ osy elipsy, do které se zobrazı́ kružnice k. Podobně hlavnı́
osa elipsy, do které se zobrazı́ kružnice ležı́cı́ v rovině yz, je rovnoběžná s úsečkou Y Z a rovna
82
skutečnému poloměru kružnice. Hlavnı́ osa elipsy, do které se zobrazı́ kružnice ležı́cı́ v rovině
zx, je rovnoběžná s úsečkou ZX a rovna skutečnému poloměru kružnice.
Protože pravoúhlé promı́tánı́ zachovává rovnoběžnost, můžeme najı́t dalšı́ bod kružnice na
rovnoběžkách vedenými hlavnı́mi vrcholy elipsy s osami ležı́cı́mi v rovině kružnice.
Obrázek 7.33:
Obrázek 7.34:
Přı́klad 7.12 V pravoúhlé axonometrii určené axonometrickým trojúhelnı́kem sestrojte kružnici
m(V ; r1 ) ležı́cı́ v rovině xy a kružnici n(U ; r2 ) ležı́cı́ v rovině yz - obr. 7.33.
1. Sestrojı́me osy x, y, z jako výšky axonometrického trojúhelnı́ka XY Z.
2. Bodem V vedeme rovnoběžku s přı́mkou XY a naneseme na ni na obě strany velikost r1 .
Body označı́me A a B, jsou to hlavnı́ vrcholy elipsy m.
3. Bodem A vedeme rovnoběžku s osou x a bodem B rovnoběžku s osou y, jejich průsečı́k
je bod M . Bod M je bodem elipsy. Nynı́ můžeme pomocı́ proužkové konstrukce (nenı́ v
obrázku vyznačena) sestrojit vedlejšı́ osu hledané elipsy a tedy i celou elipsu m.
4. Elipsa m je obrazem hledané kružnice m(V ; r1 ).
5. Podobně sestrojı́me obraz kružnice n(U ; r2 ) v rovině yz: hlavnı́ osa CD elipsy je rovnoběžná s přı́mkou Y Z a jejı́ velikost je rovna poloměru r2 . Bod N je průsečı́kem rovnoběžek vedených body C a D s osami z a y. K sestrojenı́ elipsy použijeme opět proužkovou
konstrukci.
Stejně bychom setrojili i kružnici v rovině xz a kružnice v rovinách rovnoběžných s rovinami
xy, yz a xz.
Nynı́ umı́me sestrojit rovinný útvar v půdorysně, nárysně a bokorysně. To znamená, že
umı́me sestrojit základnı́ tělesa jako hranoly, válce, kužele a jehlany s podstavou v těchto
rovinách. V dalšı́ kapitole se ještě naučı́me řešit průniky těchto těles s přı́mkami a rovinami.
7.8
83
7.1 Uved’te, čı́m je obecně určena axonometrie.
7.2 Uved’te dva základnı́ způsoby určenı́ pravoúhlé axonometrie a popište vzájemný vztah
mezi určujı́cı́mi prvky v prvnı́m a druhém způsobu určenı́.
7.3 Jakou konstrukci elipsy využijete při zobrazenı́ kružnice v pravoúhlé, resp. obecné axonometrii?
Literatura
[1] Bohne, E. – Klix, W.D.: Geometrie – Grundlagen für Anwendungen. Leipzig, Fachbuchverlag 1995.
[2] Polák, J.: Přehled středoškolské matematiky. Praha, SPN 1991.
[3] Rogers, D.F. – Adams, J.A.: Mathematical Elements for Computer Graphics. New York,
Mc Graw–Hill 1990.
[4] Štauberová, Z.: Mongeovo promı́tánı́. Plzeň, ZČU 2004.
[5] Štauberová, Z.: Axonometrie, křivky, plochy. Plzeň, ZČU 2004. 1997.
[6] Urban, A.: Deskriptivnı́ geometrie I. Praha, SNTL 1965.
[7] Kriegelstein, E.– Kriegelstein, M.: Deskriptivnı́ geometrie 1, 2. Praha, 1988.
[8] Drs, L.: Deskriptivnı́ geometrie 1, 2. Praha, 1988.
84

Deskriptivn´ı geometrie 1

Transkript

Podobné dokumenty

Kolmá axonometrie

countdown

Zobrazen´ı kruznice v pravoúhlé axonometrii

Diferenciáln´ı geometrie

Matematicka´ poha´dka

Promítací metody

ˇRešené úlohy na ohniskové vlastnosti kuzelosecek

Plocha montpelliérského oblouku v kaval´ırn´ı perspektive

Analytická geometrie - Ústav matematiky a deskriptivní geometrie

Pr˚uniky rotacn´ıch ploch

Vázané metody lineárn´ı perspektivy

klotoida - Geometrie

Stáhnout

Geometrie na poc´ıtaci

Klubové oblečení - Atletika Poruba

SA1 skripta - MATEMATIKA online