02/2010 - Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky

Transkript

11th Workshop of Applied
Mechanics
Proceedings
February 12, 2010
Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics
Faculty of Mechanical Engineering
Czech Technical University in Prague
Editors
ing. Marek Štefan, Ph.D.
prof. Michael Valášek, DrSc
Organized by the Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics, Faculty of
Mechanical Engineering, Czech Technical University in Prague
Foreword
The 11th Workshop of Applied Mechanics was held on the Czech Technical University in
Prague, Faculty of Mechanical Engineering on 12th February, 2010. The purpose of this
meeting was to inform about the latest results and the ongoing research of especially, but
not only, the youngest fellows of the Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics.
Organizing Committee
Symposium Organization
Czech Technical University in Prague
Faculty of Mechanical Engineering
Department of Mechanics, Biomechanics, and Mechatronics
prof. Michael Valášek, DrSc
ing. Marek Štefan, Ph.D.
ing. prof. ing. Milan Růžička, CSc
doc. ing. Tomáš Mareš, Ph.D.
doc. RNDr. Matěj Daniel, Ph.D.
Organizing Committee Chief
Program and Section Chair
Board member
Board member
Board member
Contents
Foreword
1
Symposium organization
2
Contents
3
Original research
Determination of Elastic Properties Based on Microstructures Parameters (J. Had)
Unidirectional Composites with Collagen and Gelatine Fibers (D. Hrušková at al.)
Active Vibration Suppression of Composite Beam (T. Kašpárková at al.) . . . . .
Kinematical Solution by Structural Approximation with Relaxation (P. Kukula at
al.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Únava materiálu v podmı́nkách frettingu (J. Kuželka at al.) . . . . . . . . . . . .
Modeling and Stability of Wave-based Control (O. Marek et al.) . . . . . . . . . .
FE Simulation of Dental composites: Effect of Residual Stress on Macroscopic
Response (O. Prejzek at al.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dynamic Nanoindentation of Bovine Intervertebral En Plate (J. Šepitka at al.) . .
1
2
5
8
Preliminary scientific reviews
Tensegrity Structures in Engineering: Preliminary Review (V. Finotto at al.) . . .
Aktivnı́ řı́zenı́ vozidla ve smyku - přehled problematiky (J. Křivohlavý at al.) . .
Pevnostnı́ problematika lepených spojů: kritická rešerše (Z. Padovec) . . . . . . .
Optimalizace mechatronických systémů z hlediska struktury řı́zenı́ - přehled problematiky (P. Svatoš at al.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
15
20
24
30
31
32
38
41
47
Original research
11th WAM, 12.2.2010, CTU in Prague
ISBN 978-80-01-04567-1
2
ISBN 978-80-01-04567-1
∑
*"
=(
9
9 . :4(* 5 (
(
(
. :4(* 5
(
(
(
.
:4(* 5
; 9
;
;
= 9 . = :4(* 5= '!
σ . ! 6# ⋅ ε -
<
"
'
' "
(,-'
""
"
" 4>5 4+ 5
4>-5"4
5"
? '
! 2 + ""+
(
)80
@
20
0 @
2)00
9/;<1
/;<1
;9/;<1
ν 9/*1
9/<1
,
2
2@
(@
@0
0
8A00
(
((
08
BA
(*<C!>>45*D)B(2 (2D
2*<$E>-*45B00(2D
(*$
4>5$$ "
2F
2,
!
""
77°
8
+ <"
' < "
*
"
"
! " ' " " " "
"
"
77°
"± 8@°
"
#
"
8,
'/;<1
/;<1
+/;<1
;+/;<1
;+'/;<1
;'/;<1
ν+'/(1
ν'/(1
ν'+/(1
-
"
% !
" $9$& +
-
"
'
(
77°
± 8@°
0(7
00
@80)
(0AA0
(2(7
*
)@8
)2)
000B
000)
0(A
G<
0(7
(07
(2
*
2(
2)
000B
002@
*
2)8)@)
B)(8
72B(
(B(0
)@2
@A@
000)
000@
0(A
G<
(AB2B
B@0)
)@28
*
*
*
002(
00B(
!
4""
77@
5
3
ISBN 978-80-01-04567-1
"
""
! '
' '
*
"#
/(1 JKL# DMN# O>
<6+#,
&
$
@ E (A 4200A5 C--E
(70(*(2(B
/21 JKL# DMN# >
O <6+# , '-
E!
!-C<
(BC!! 2B*(
O200A ?
D
/1 ? P-M# O$
JKL# ,E
*
# <
(B C
!!2B*(O200A ?D
"# " ; $ !+ (0(H07H02AA (0(H07H>0)7
"#"
I - !+ E
(0@0B
4
ISBN 978-80-01-04567-1
Workshop of Applied Mechanics:
Undirectional composites with collagen and gelatine fibers
1,2
D. Hrušková
2
, Z. Sucharda , K. Balík, M. Sochor
3
1
Laboratory of Biomechanics, Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics, Faculty of Mechanical
Engineering, Czech Technical University in Prague, Prague, Czech Republic
2
Department of Composites and Carbon Materials, Institute of Rock Structure and Mechanics Academy of
Sciences of the Czech Republic, V Holešovičkách 41, 182 09, Prague, Czech Republic
3
Division of Strength of Materials, Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics, Faculty of
Mechanical Engineering, Czech Technical University in Prague, Prague, Czech Republicepartment
can be bundled together and used as oriented scaffolds. The
fibrillar structure of collagen I (the most used) has long been
known to be important for cell attachment, proliferation, and
differentiated function in tissue culture. In native ECM, collagen
exists in a three-dimensional network structure composed of
multi-fibrils on the nanofiber scale (50–500 nm). Collagen, as a
natural extracellular matrix protein available in bone tissue has
excellent biocompatibility, biodegradability and non-toxicity,
which make it a prime and safe source of materials for use in a
variety of biomedical applications in the bone tissue engineering
area. Nanofibers can be manufactured by various methods e.g.,
the sol-gel method, the phase-separation technique or electrospinning. Electro-spinning has recently been introduced as the
most promising technique for manufacturing in vitro fibrous
scaffolds for tissue engineering applications with fiber diameter
ranging from a few microns to less than 100 nm. It has been
observed that cells proliferate intensively on nanofibres because
of the high surface area-to-volume [4, 5]. Collagen nanofibrous
matrices produced by the electro-spinning process were found to
be very effective as wound-healing accelerators in early-stage
wound healing [6], or were declared to be a good candidate for
wound dressing or for skin substitutes [7, 8]. The novel
electrospun nanofibrous collagen-glycosaminoglycan (GAG)
scaffold exhibited a uniform nanofibrous and porous structure
with a mean diameter of 260 nm, which is similar to that found in
native ECM [9].
The aims of this work are the preparation of bioinspired
composite materials composed of gelatin matrix, gelatin
nanofibers and hydroxyapaptite powder and verifying the
influence of nanofibers on the mechanical properties of the
composites.
Abstract
This report is about the influence of nanofibers on mechanical
and physical properties of composites based on the biodegradable
materials. Results confirmed the positive influence of nanofibers
on the mechanical properties of composite. According to these
results, composites based on gelatine are suitable rather for low
load applications.
Keywords
nanofibers; gelatine; collagen; biocomposites.
Introduction
There are nowadays numerous available synthetic bone graft
materials, both single- and multi-phase (i.e., composite) materials
that combine the advantages exhibited by each component of the
material, with a structure and composition similar to that of
natural bone.
Bone is a natural composite involving two main components, i.e.
organic and inorganic materials. The organic portion of the bone
comprises cells as well as the fibrous and amorphous part of the
extracellular matrix (ECM). The fibrous part is formed by
collagen (COL) fibres and the amorphous part by various
glycoproteins or glycosaminoglycans that play important roles in
controlling the function of osteoblasts as well as bone tissue
mineralization [1-3]. The inorganic component comprises
minerals, particularly hydroxyapatite (HA) and calcium
phosphates. The minerals are indirectly bound to collagen
through non-collagenous proteins such as osteocalcin,
osteopontin or osteonectin, which make up approximately 3–5%
of the bone and provide active sites for biomineralization and
also for cellular attachment [1, 4, 5]. The inorganic component
comprises minerals, particularly hydroxyapatite (HA) and
calcium phosphates. Human bones do not have pure or
stoichiometric HA and contain other ions, mainly CO32− and
traces of Na+, Mg2+, Fe2+, Cl−, F−. Calcium-deficient HA is of
greater biological interest because the mineral portion of hard
tissue is primarily carbonate substituted calcium-deficient HA ,
which is chemically and compositionally similar to
tricalciumphosphate but structurally similar to stoichiometric
hydroxyapatite [10].
A bioinspired bone implant with the desired nanofibrous
and nanocrystalline structure can be prepared using collagen and
hydroxyapatite. Fibres are attractive guidance substrates, as they
Materials and methods
For verifying the nanofibers influence on the mechanical
properties two sets of each biocomposite have been prepared.
During the preparation were used the same materials in the same
concentration, but with different structure (homogenous gelatine
and collagen/gelatine and collagen nanofibers).
Type A: (GELHA) has been prepared by introduction of
hydroxyapaptite (HA) powder into porcine gelatin (GEL) matrix
and mixed by screw kneading machine at room temperature.
Mixture has been formed followed by drying at ambient
atmosphere, pressure and humidity. The same procedure was
5
ISBN 978-80-01-04567-1
The ultimate tensile strength (Rm) for both types of composites
was determined with Inspekt 100 HT material tester (Hagewald
& Peschke, Germany) with respect to ISO 527.
aplicated on COLHA-the second type of composite, instead of
gellatine were used the collagen.
Type B: collagen and gellatin nanofibers loaded by HA have
been provided by ELMARCO s.r.o. (NF-GELHA, NF-COLHA).
Sixty four layers of NF-GELHA have been placed into the form
and pressed at 40°C under the pressure of 35 MPa for 5 minutes.
Sample from NF-COLHA were prepared from 96 layers, pressed
at 32°C under the pressure of 30 MPa for 10 minutes.
Dried samples of both types (A and B) were cut into rectangleshaped pieces for testing of mechanical properties. The ultimate
tensile strength (Rm) for both types of composites was
determined with Inspekt 100 HT material tester with respect to
ISO 527.
Differences in HA concentration in matrices has been analyzed
by Raman microscopy (Jobin Yvon, Labram HR, equipped with
confocal microscope Olympus, exciting source-laser 780 nm,
step 2 µm-Fig. 1)
Material
Cortical bone
Cancellous bone
COLHA
GELHA
NF-COLHA
NF-GELHA
Tensile strength Rm [MPa]
50-150 [1]
10-20 [1]
25
30
40
50
Load (N)
Table 1: Results of the mechanical tests
Alongation (µm)
Figure 3:. Tensile tests of NF-GELHA composites – dependence of the
load on the displacement
The purpose of the mechanical testing was test the behaviour of
the composite and, with regard to the future potential application
in bone tissue engineering, to compare these results with the
properties of the human bone. The ultimate tensile strength (Rm)
for both types of composites was determined. The results (see
Table 1) indicate that tensile strength is comparable to that of
human bone. According to these values, the composite GELHA
is similar to cancellous bone and composite NF-GELHA show
tensile strength value similar to cancellous bone. Gelatine
nanofibres loaded with HA increased the tensile strength.
Figure1. SEM image of COLLHA composite (magnification 10000x)
A basic material of the second type has been provided by
ELMARCO s.r.o. Gelatin nanofibers loaded by HA (NFGELHA) and has been prepared by followed procedure. Porcine
gelatin was dissolved in diluted acetic acid. Nanoparticles of
hydroxyapatite (20 wt.% to dry matter) were mixed into the
solution. Basis weights for gelatine and nHA mixture was app.6
gsm. Nanofibers had to be crosslinked (48 hours by
glutaraldehyde vapours) due to water solubility. Sixty four layers
of NF-GELHA have been placed into the form and pressed at
40°C under the pressure of 35 MPa for 5 minutes (Pracovní stroje
Teplice, Czech Republic, type HLV 5.1).
The behaviors of the both composite materials at mechanical tests
are similar, distinct brittle cracks appeared at specific load value.
Mapping of HA concentration in GELHA and NF-GELHA
shows us better HA dispersion in NF-GELHA composite than in
GELHA composite. This homogeneity can be connected and
probably influence the mechanical properties of both composites.
Conclusions
This study has investigated the influence of nanofibers on
mechanical properties of composites based on the biodegradable
materials. Results confirmed the positive influence of nanofibers
on the mechanical properties of composite. According to these
results, composites based on gelatine and collagen are suitable
rather for low load applications. Mechanical properties are one of
the many aspects for biocomposite evaluation. In vivo and in
vitro tests are subjects of the future research.
Figure 2. SEM image of NF-GELHA composite (magnification 10000x)
6
ISBN 978-80-01-04567-1
References
[6] S. SINGH and S. S. RAY, J. Nanosci. Nanotechnol. 7 (2007)
2596
[7] E. LANDI, A. TAMPIERI, G. CELOTTI, L. VICHI and M.
SANDRI, Biomaterials 25 (2004) 1763
[8] P. LESNY,
M. PRADNY, P. JENDELOVA,
J.
MICHALEK, J. VACIK, E. SYKOVA, J Mater Sci: Mater
Med 17 (2006) 829
[9] J. A. MATTHEWS, G. E. WNEK, D. G. SIMPSON, and G.
L. BOWLIN, Biomacromolecules 3 (2002) 232
[10] K. S. RHO, L. JEONG, G. LEE, B.-M. SEO, Y. J. PARK,
S.D. HONG, S. ROH, J. J. CHO, W. H. PARK, B. MIN,
Biomaterials 27 (2006) 1452
[1] Z. EVIS, M. SATO and T. J. WEBSTER, J. Biomed. Mater.
Res. 78A (2006) 500
[2] B. INANÇ, A.E. ELÇIN, Y.M. ELÇIN, Artif Organs. 31
(2007) 792
[3] C.K. HUANG, W. HUANG, P. ZUK, R. JARRAHY, G.H.
RUDKIN, K. ISHIDA, D.T. YAMAGUCHI, T.A. MILLER,
Plast Reconst Surg. 121 (2008) 411
[4] R. MURUGAN, S. RAMAKRISHNA and K.
PANDURANGA RAO, Mater. Lett. 60 (2006) 2844
[5] R. MURUGAN and S. RAMAKRISHNA, Comp Sci and
Technol. 65 (2005) 2386
7
ISBN 978-80-01-04567-1
Active vibration suppression of composite beam
T. Kašpárková, Z. Šika
Division of Mechanics and Mechatronics, Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics, Faculty
of Mechanical Engineering, Czech Technical University in Prague, Prague, Czech Republic
Abstract
The paper deals with the concept of active vibration suppression
of the composite beam using a low number of centralized
actuators. Usually a lot of piezoelectrics patches and fibres are
used for the active vibration suppression of the composite
structures. The processing starts from the optimization of the
sensor and actuator positioning taking into account special form
of actuation. The control law synthesis is realized by LQR
strategy. The development is applied to concrete composite
beam, which will be used for the practical control
implementation.
Sensors and actuators placement
The sensors are accelerometers. Five accelerometers measure in
the axis x, five accelerometers measure in the axis y and six
accelerometers measure in the axis z. The H2 Norm [2] is used
for the optimization of the sensor and actuating fibres placement.
The H2 Norm is developed from the state space form
(equation 1).
x& = Am x + B r w + Bm u
y = Cm x
Keywords
Active damping, composite structures, vibration.
(1)
Where Am, Bm, and Cm are
Am = diag ( Ami )
Introduction
The composite materials are used in a lot of industrial
departments. The planes, the bullet proof vests and some
construction in space are made from composite material. In last
time the parts of cutting or shaping machine are started
manufacture out of composite material too. They are very
popular because they have low weight, high strength and
possibilities of low temperature expansibility. The problem of
this material is lower damping. The solution of this problem is
adding of passive, semiactive or active elements to the basic
structure. Mostly they are piezoelectric patches or fibres [1] used
as active elements. Such concept typically introduces a lot of
elements from expensive materials and moreover they are some
problems with hight electric voltage, a lot of wire and high price.
This situation leads to the idea of a new concept of solution of the
problem, namely the use of only few linear drives and fibres
connecting the drives and the structure
0 0 ... ... 0 0 X
0 0 ... ... 0 0 ... ... 0 0 0 0
X
0 0
... ... 0 0 Am = ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ... ...
X 0 0 0 0 ... ...
(2)
i = 1,2,3,.........., n
Concept of active damping
The basic construction is four – corned, thin - walled beam.
His length is 180 cm and his section is 10x10 cm. This beam is
freely hung in the space. There are two linear drives in the middle
of each of the walls of the beam. There are two fibres between
each of the linear drives and appropriate places
on the beam (figure 1). All these elements are placed inside the
beam.
Bm1 B Bm = m 2 ,
M Bmn C m = [C m1 C m 2 L C mš ]
(3)
where Ami is the block 2x2 and it is represented in the matrix
Am with X and n is the number of modes. The matrix Bm has size
2nxs and it is the input matrix. The matrix Cm has size rx2n and it
is the output matrix. The matrix Br, is disturbing matrix. R is the
number of place for sensors and s is the number of place for
actuators. The H2 Norms of the ith mode with the kth sensor is
Figure 1. New concept
Gik
There are 16 sensors considered within this concept. They are
placed on the outside walls of the beam.
8
2
=
B mi
2
C mki
2 ii
2
(4)
ISBN 978-80-01-04567-1
and the H2 Norm of mode with set of sensors is
Gi
2
2
S
G ik
k =1
Similarly the next equations are
2
2
2
Gi
(5)
2
R
Gij
k =1
2
(10)
2
The H2 placement index is
2ik = wik
Gik
G
2
k = 1....R, i = 1...N
,
2ij = wij
(6)
2
211 212
221 222
L
L
=
2i1 2i 2
L
L
2 n1 2 n 2
L 21R L 22 k L 22 R L
L L L L 2ik L 2iR L L L L L 2 nk L 2 nR L 21k
(7)
[
as S = s1 s 2 L sR
kth sensor indexes over all modes
sk =
j = 1....S , i = 1...N
(11)
2
]
T
, where
=
2
211 212
221 222
L
L
=
2i 2
2i1
L
L
2 n1 2 n 2
L 21 j
L 21S L 22 j L 22 S L
L L L L 2ij L 2iS L L L L L 2 nj L 2 nS (12)
a = [ a1 a 2 L aS ]T , where aj is rms sum jth
actuator indexes over all modes
sk is rms sum
aj =
n
i =1
2
ij
(13)
n
i =1
2
ik
(8)
The index aj characterizes the importance of the jth actuator.
The places with the highest indexes are good for connecting
fibres.
The index sk characterizes the importance of the kth sensor.
The places with the highest indexes are good for placing
the sensors.
The placement of actuators is more difficult. All fibres are
connected to the linear drives and to the inner surface of the
beam. The linear drives are on the middle of every beam side.
The fibres of linear drives set are connected to the beam in the
place between drives and further end of beam. It devides the
beam into the two parts for two sets of linear drives. The angles
between each fiber and the coordinate axes are very important for
actuator efficiency and for every drives are different. This angel
determine the force rate in axes x, y, z. The H2 Norm [2] is used
again to find optimum places for actuators. The form is little bit
different than for sensors. The first change is in the matrix Bm.
The angles between fibre and axes are had to reflect. The first
change is in equation 4. The H2 Norms of the ith mode with the
jth actuators is
2
,
The equation 12 is the actuator placement matrix. Their ith row is
set indexes of actuators for ith mode and the jth column consist
of indexes of the jth actuators for every modes. The vector of
actuator
placement
indexes
is
defined
as
where the ith row is set indexes of sensors for ith mode and the
kth column consist of indexes of the kth sensors for every modes.
The vector of sensor placement indexes is defined
Gij
G
2
2
where wki 80 is weight assigned and G is transfer function.
The sensor placement matrix is made up from sensor placement
indexes in this form
Gij
Bmij
2
C mi
2 ii
2
Control
The appropriate concept of actuation and the optimum placement
must be complemented by the efficient control law. The state
space feedback control [3] is used here. The state space definition
of the system is necessary for the control synthesis. The state
space feedback define the control input in equation 14
u = K x
(14)
where K is the gain of feedback control. From equations 1 and 14
follow
x& = ( Am B m K )u + B r w
(15)
The LQR [4] is method of state space feedback control. This
method is used to finding the gain K. The gain K is determined as
minimization of quadratic cost function J in equation 16
(9)
J=
9
(
)
1
x T Q x + u T R u dt
20
(16)
ISBN 978-80-01-04567-1
where Q and R represent weights on the different states and
control channels. The matrix Q have to be symmetric
semi-positive definite and R have to be symmetric positive
definite. The matrix Q [5] is
Q = HTH
(17)
where H is the vector of weight of the state. The dimension of
matrix H is 1x16 and R=0.001 for all actuators in this paper. The
gain matrix is calculated with P from Riccati equation
PA + AT P + Q PB m R 1 B m P = 0
T
(18)
The gain K is
K = R 1 Bm P
T
(19)
Figure 4. Response characteristic in z-axis sensor. Blue line is
uncontrolled system and the green line is controlled system
Results
The final results are composed from the results of the placement
and the results of the control. The results of placement are
optimum places for sensors and fibres. The essential of the results
pf the control is the gain matrix K. The final results are in the
figures 2, 3, 4. They are transfer functions of controlled and
uncontrolled system
Conclusion
The paper presents the new concept of active vibration
suppression of composite beam. A few centralized linear drives
with the fibres connecting the drives and the structure are used as
actuation system. 16 one-axis accelerometers are connected to the
beam serving as a sensors. This conception contain only a few
actuators. This is their main advantage with respect to the
concept with distributed piezoelectric actuators. The appropriate
placing of fibre connection is very important for the concept. The
control law synthesis is realized by LQR strategy.
Acknowledgements
The authors appreciate the kind support of the grant "Research of
new principle of mechanical and biomechanical systems with a
intelligent behaviour" (GD101/08/H068)
References
[1] Kašpárková, T., Šika Z, tlumení kompozitových struktur pLehled problematiky, 10th Workshop on Applied
Mechanics, Proceeding, 2009,.
[2] Gawronski, W. K., Advanced Structural Dynamics and
Active Control of Structures, Mechanical Engineering
Series, Springer, 2004
[3] Kejval, J., Tlumení vibrací stroj4 poloaktivním
Figure 2. Response characteristic in x-axis sensor . Blue line is
dynamickým hlti6em. DisertaMní práce, NVUT,
Praha, 2001
[4] Šika,
Z., Aktivní a poloaktivní sni7ování
mechanického kmitání stroj4. HabilitaMní práce,
NVUT, Praha, 2004
[5] G. E. Stavroulakis, G. Foutsitzi, E. Hadjigeorgiou, D.
Marinova, C. C. Baniotopoulos, Design and robust optimal
control of smart beams with application on vibrations
suppression, Advances in Engineering Software, 36, 2005,
806-813.
Figure 3. Response characteristic in y-axis sensor. Blue line is
10
ISBN 978-80-01-04567-1
Kinematical Solution by Structural Approximation with Relaxation
P. Kukula and M. Valášek
Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics, Division of Mechanics and Mechatronics, Faculty of
Mechanical Engineering, Czech Technical University in Prague, Prague, Czech Republic
Abstract
The paper deals with the new method for positional kinematical
solution of mechanisms with loops. The method is based on the
concept of structural approximation, i.e. the structure of the
mechanism being solved is simplified in such a way that the
mechanism with simplified structure is analytically solvable. The
analytical solution is the basis of the iteration. This method has
been successfully applied for the inverse kinematical solution of
non-simple serial robots and the forward kinematical solution of
parallel mechanisms and robots. This paper extends this method
with the concept of relaxed iterations, which improves the
iteration process and the convergence. The concept of the method
is demonstrated on the Hexapod example.
The method of structural approximation for solving the forward
kinematical problem of a hexapod was presented in [1]. Each
point on a triangular platform is computed as an intersection of
three spherical surfaces. Two of their centres are the points of a
base plate. The third one is an approximated point. It is moved
from a base plate to the approximated position using an
approximation vector which is determined by a position of the
platform as (see Fig. 1):
(
1)
(i )
(i ) (i )
r A(i1+app
. = r A1 + rB1 − rB 3
(5)
This formula is the basis of the iteration. The rest two points of
the platform are computed in the same way.
Keywords
Structural approximation; relaxation; hexapod.
rB3 ≡ rB6
rB1 ≡ rB1
Introduction
In previous papers [1, 2, 3] there was shown a new method for
the solution of the positional kinematical problem for the
analytically non-solvable (so called non-simple) mechanical
systems (mechanisms). This method is based on the concept of a
structural approximation, i.e. the structure of the mechanism
being solved is simplified in such a way that the mechanism with
simplified structure is analytically solvable. The analytical
solution is the basis of the iteration. This method has been
successfully applied for the forward kinematical solution of nonsimple parallel robots such as SlidingStar (planar parallel
redundant mechanism), hexapod (3R3R configuration).
The method of structural approximation is faster and more robust
than the traditional Newton method. However, in some cases the
convergence slows down unbearably or even collapses. For this
reason, the several approaches for improving the convergence
were studied. The most promising is the concept of relaxed
iterations. The concept of the method is demonstrated on the
Hexapod example.
rB2 ≡ rB4
rA1 ≡ rA1
rA3
rA1app.
rA2
Figure 1. The first sub-step of an iteration step.
However, the approach was slightly modified because it has
shown that the approximation of one point is sufficient for the
mechanism being analytically solvable. The rest points are still
computed as an intersection of three spherical spheres, but their
centers are different – some of them are already known points of
the platform. The process is clearly explained in Fig. 2 and Fig.
3.
Method of Structural Approximation
The kinematical structure is described by the coordinates s. These
coordinates are constrained by the kinematical constraints [5]
f (s ) = 0
)
rB3
rB1 ≡ rB1
(1)
rB2
These equations are not analytically solvable. But they can be
split into the simple part fS that is analytically solvable and the
non-simple part fNS that is causing the non-solvability.
f (s) = f S (s) + f NS (s) = 0
rA1 ≡ rA1
(2)
Because the part fS is analytically solvable it can be developed an
iteration scheme
f S (s) = −f NS (s)
(3)
s i +1 = f S−1 (f NS (s i ))
(4)
rA3
rA2
Figure 2. The second sub-step of an iteration step.
11
ISBN 978-80-01-04567-1
slow down the convergence speed. The big advantage is the fact
that this approach does not need any additional calculations.
There is an example of the iteration process in the Fig. 5. This
approach requires 18 steps with 54 calculations of a sphere
intersection.
rB3
rB1 ≡ rB1
rB2
rA1 ≡ rA1
rA3
rA2 ≡ rA3
Figure 3. The third sub-step of an iteration step.
Therefore, it is necessary to compute three intersections of
spherical spheres in one iteration step. As one of these
intersection computations is the smallest part of whole process,
there is a demand to reduce their number as much as possible. A
sample convergence process is shown in Fig. 4. In this case, the
structural approximation method needs 30 iteration steps which
means 90 calculations of the intersections.
Figure 5. The convergence process with fixed relaxation parameter.
Controlled relaxation parameter
The method of controlled relaxation varies the value of the
relaxation parameter in every iteration step. The best value of λ is
chosen to maximalize a contribution of each step, i.e. to minimize
the gauge of the current position’s error. Several solutions with
various relaxation parameters are computed in each iteration step
and compared according to the norm of errors of this partial
solution. Subsequently, the particular solution is chosen.
The norm of error has to be designed to express the measure of a
difference between partial solution and an unknown final
solution. Because, the calculation of the norm requires additional
computation time in every sub-step, the norm has to be as simple
as possible. The following formula seems to fulfil the late
requirements:
rB1 − rA1 − L1
norm = rB1 − rA2 − L2 ,
Figure 4. The convergence process without relaxation.
Concept of Relaxed Iterations
As the initial iteration can be very different from the solved
position, the approximation vector computed according to (5) can
be very rough estimation. Therefore, it has shown that it is
sufficient to include the previous iteration directly in iteration
scheme, i.e. to implement the so-called relaxation parameter λ in
the following way:
rB(i1+1) = (1 − λ )rB(i1) + λ rB(i1+1)
(7)
rB 3 − rA1 − L6
where Li are length of the legs. The point rB1 has to be computed
only once, since the rest two points of the platform has to be
evaluated as many times as many relaxation parameters we want
to test. The good choice is: λ = [0.25, 0.5, 0.75, 1]. The example
in Fig. 6 requires 7 iteration steps with 63 calculation
intersection. When more relaxation parameters are tested, λ =
[0.1, 0.2, 0.3, …, 1], the convergence process is very fast, see
Fig. 7. It requires only 4 iterations, but 84 calculation
intersection. The rougher choice of λ-vector to be tested (Fig. 6)
requires 28 calculations of the norm, but the bigger λ-vector
requires 40 such calculations (Fig. 7). The size of the λ-vector has
to designed to fulfil both of these contradictory requirements –
accuracy and computational speed.
(6)
The value of the relaxation parameter λ can vary from zero (no
iteration) to one (full iteration step). As the computations of the
points rB2, rB5 are not the structural approximation, but only a
simple analytical solution, only one relaxation parameter is
needed. The choice of the relaxation parameter is not obvious.
The several approaches were designed and tested.
Controlled relaxation parameter with reduced
computation
As several test confirmed, the dependence of the norm on the
relaxation parameter has only one minimum. See an example in
Fig. 8. Thanks to this, the algorithm can be slightly modified to
reduce the number of necessary calculations. If the norm for
partial relaxation parameter is bigger then the previous one, the
previous one was the minimum and thus the best choice. If the
Fixed and constant relaxation parameter
The simplest way to implement the concept of relaxed iteration is
the fixed relaxation parameter which is constant during whole
iteration process. Even this elementary measure can safe the
convergence of an iteration process. The most common choice is
λ = 0,5. However, the fixed relaxation parameter can unbearably
12
ISBN 978-80-01-04567-1
norm is always smaller, the λ = 1 is the best choice (Fig. 9). The
example of this approach is in Fig. 10 (compare with Fig. 8).
suitable relaxation parameter for each iteration step – first,
second, etc. The biggest advantage is the fact that this approach
requires the same number of calculations (three) of an
intersection in every iteration step and does not require any
additional calculation, as error norm. However, the results are
inconsistent. The statistically chosen parameter can never be
absolutely convenient. This could be critical and can cause a
convergence failure.
Nevertheless, the accurate choice of the relaxation parameter can
significantly improve the convergence.
Figure 6. The convergence process with controlled relaxation parameter,
λ = [0.25, 0.5, 0.75, 1].
Figure 9. The dependence of error norm on relaxation parameter
(minimum at λ = 1).
Figure 7. The convergence process with controlled relaxation parameter,
λ = [0.1, 0.2, 0.3, …, 1].
Figure 10. The dependence of the error norm on relaxation parameter –
reduced computation.
Summary
In the following table there is a summary of the number of
iteration steps and the number of required calculations for each
method of relaxation parameter choice.
Number of steps
Method of Relaxation
Figure 8. The dependence of error norm on relaxation parameter.
without relaxation
Fixed
Estimated
Controlled
This approach reduces the number of intersection calculation
from 84 to 72 or from 63 to 53 in case of rougher λ-vector. Also
the number of norm calculation is reduced from 40 to 34 or from
28 to 23.
Controlled & Reduced
Estimated relaxation parameter
Based on previous approaches, the idea of estimated relaxation
parameter was tested. The concept is based on statistically most
Number of
Steps
30
18
6
7
4
7
4
Number of
Partial
Calculations
90
54
18
63 + 28
84 + 40
53 + 23
72 + 34
Table 1. Number of iteration steps and Number of calculations.
13
ISBN 978-80-01-04567-1
The algorithm with the estimated relaxation parameter seems to
be the most powerful one. However, such estimation is not easy
and results of more detailed tests are inconsistent. The main
problem is the fact that on a given trajectory there are some
points easily solvable without any relaxation and on the other
hand some points very difficult to solve. A fixed estimation is no
more possible. Considering all contrary demands, the controlled
relaxation with λ = [0.5, 1] is the most profitable approach.
Unfortunately, in this case the reduced computation is not
possible, because it needs a relaxation vector with 3 elements, at
least.
Nowadays, a combination with other approaches to improve the
convergence is studied.
Mechanics Proceeding, CTU in Prague, 2009, ISBN 978-8001-04332-5.
[2] Kukula, P., Valášek, M.: Kinematical Solution by
Structural Approximation, Computational Kinematics:
Proceedings of the 5th International Workshop on
Computational Kinematics, Springer, 2009, ISBN 978-3642-01946-3.
[3] Kukula, P., Valášek, M.: Forward Kinematical Solution of
HexaSphere by Structural Approximation, Engineering
Mechanics 2009 - CDROM, Ústav teoretické a aplikované
mechaniky AV ČR, Praha, 2009, ISBN 978-80-86246-35-2.
[4] Kálný, R. Valášek, M.: Continuous path control of nonsimple robots, Robotersysteme 7: 65-72 (1991).
[5] Stejskal, V., Valášek, M.: Kinematics and Dynamics of
Machinery, Marcel Dekker, New York, 1996Rektorys, K.:
Handbook of Applied Mathematics, SNTL, Praha 1989 (in
Czech).
[6] Raghavan M., Roth B.: Solving Polynomial Systems for the
Kinematic Analysis and Synthesis of Mechanisms and Robot
Manipulators, Transactions of the ASME, Journal of
Vibration and Acoustics, Vol. 117, No. 3B, pp. 71-79, June
1995.
[7] Nielsen J., Roth B.: On the Kinematics Analysis of Robotic
Mechanisms, The International Journal of Robotics
Research, Vol. 18., No. 12, December 1999, pp. 1147-1160,
Sage Publications, Inc.
[8] Nielsen J., Roth B.: Formulation and Solution for the
Direct and Inverse Kinematics Problems for Mechanisms
and Mechatronics Systems, Computational Methods in
Mechanical Systems – Mechanism Analysis, Synthesis and
Optimization, Vol. 161, pp. 33-52, Springer Verlag Berlin,
1998.
[9] Dhingra A. K., Almandi A. N., Kohli D.: A GröbnerSylvestr Hybrid Method for Closed-Form Displacement
Analysis of Mechanisms, Journal of Mechanical Design,
December 2000, Vol. 122, pp. 431-438, ASME
[10] Tae-Young Lee, Jae-Kyung Shim: Forward kinematics of
the general 6-6 Steward platform using algebraic
elimination, Mechanism and Machine Theory, Vol. 36, pp.
1073-1085, Elsevier Science Ltd., 2001.
[11] Lee E., Mavroidis, C.: An Elimination Procedure for
Solving the Geometric Design of Spatial 3R Manipulators,
Vol. 128, Journal of Mechanical Design, Vol. 126, pp. 142145, ASME 2006.
Figure 11. The convergence process with estimated relaxation parameter.
Conclusions
The paper summarized a new procedure for the solution of the
positional kinematical solution of the parallel kinematical
structures by structural approximation. The concept of relaxed
iteration method was presented and the choice of accurate
relaxation parameter was discussed. Several approaches for
suitable choice were presented and the results were shown on an
example of hexapod.
Acknowledgments
The authors appreciate the kind support by GACR project
101/08/H068.
References
[1] Kukula, P., Valášek, M.: Kinematical Solution of Hexapod
by Structural Approximation, 10th Workshop on Applied
14
ISBN 978-80-01-04567-1
Únava materiálu v podmínkách frettingu
1
1
1
J Kuželka , J. Jurenka , M. Španiel
J.
1
Odbor pružnosti a pevnosti, Ústav m
mechaniky, biomechaniky a mechatroniky, Fakultlta Strojní ČVUT v Praze,
Praha, Česká republika
Abstrakt
V tomto článku jsou stručně shrnuty dosav
avadní přístupy a
poznatky týkající se poškození v podmínkách frettingu.
f
Dále je
věnována pozornost návrhu a předběžným vý
výsledkům modelu
zařízení pro frettingové únavové zkoušky. V po
poslední části jsou
pak zhodnoceny možnosti použití zařízení DANT
NTEC DYNAMICS
Q-450 využívající metody korelace obrazu ppro vyhodnocení
relativních skluzů kontaktního rozhraní př
při frettingových
zkouškách.
ploch a v některých případechh také zbytková pnutí v povrchové
vrstvě.
V dalším textu bude věnová
vána pozornost únavě materiálu
v podmínkách frettingu. Tedy
dy v podmínkách kdy nedochází
k relativnímu pohybu těles v kontaktu, ale pouze k lokálním
posuvům kontaktních ploch.. V praxi se jedná například o
přírubová spojení, prameny oce
celových lan, stromečkové závěsy
lopatek turbín, čepové spoje, spo
pojení náboje a hřídele, atd.
Faktory mající zásadní vliv
v na poškození v podmínkách
frettingu
Únava materiálu v podmínkách
ch frettingu je značně komplexní a
podílí se na ní celá řada faktorů
orů. Aby bylo možné tento proces
popsat, studovat a i predikovat
at, je nutné omezit se na faktory,
které na něj mají rozhodujícíí vliv. Jedná se o pole deformací
potažmo napětí v blízkosti kontaktních
k
ploch, tribologické
poměry v kontaktním rozhraní
ní a velikosti relativních skluzů
kontaktních ploch. Tyto tři
ři klíčové faktory jsou navzájem
provázány a navíc jsou proměnn
ěnné v čase. Pole deformací a napětí
je možné analyzovat jak pou
oužitím analytických vztahů, tak
numericky
metodou
konečných
ko
prvků.
Zahrnutí
sofistikovanějších modelů tře
tření již však vyžaduje využití
výpočetní techniky (např. užití
tí uživatelských
u
subrutin programu
ABAQUS). Velikosti skluzůů pa
pak závisí na konkrétní geometrii
kontaktních ploch, tření mezi nnimi, míře jejich oděru a silových
poměrech.
Klíčová slova
kontakt, únava, fretting, experiment
Abstrakt v angličtině
The current knowledge in field of fretting fa
fatigue are briefly
summarised in this paper. There is also disc
iscussed suggested
design of fretting fatigue test machine as well
wel as preliminary
numerical results of its model. Possibilit
ilities of use of
DANTEC DYNAMICS Q-450 measuring syste
stem using digital
image correlation method for contact slipping measurements
m
are
discussed in the last section.
Klíčová slova v angličtině
contact, fatigue, fretting, experiment
Úvod
V součastné době je stále převážná většina se
selhání konstrukcí
zapříčiněna únavou materiálu, tedy jeho postup
tupnou a nevratnou
degradací. Tato degradace probíhá na úrovni
ni velikosti atomů,
případně materiálových zrn u polykrystalických
ch materiálů a má z
pohledu makroměřítka do značné míry nahod
odilý charakter. Z
těchto důvodů je použití fyzikálních modelů
lů, jež by v sobě
zahrnovali samotnou podstatu degradace, velm
lmi omezené ne-li
nemožné. Téměř výhradně se tedy po
používají modely
fenomenologické, které v sobě nezahrnují po
podstatu jevu, ale
pouze vypozorované vztahy mezi jednotliv
tlivými veličinami
majícími na degradaci zásadní vliv.
Únavový život konstrukce popřípadě její součá
části lze shrnout do
několika stádií a to do stadia iniciace defek
ektu, jeho růstu a
konečného lomu součásti. Zatímco poslední uve
vedené stadium je z
hlediska života součásti velmi zanedbatelné,, první dvě stadia
představují jeho převážnou část. Tato stadia m
mohou případ od
případu představovat značně rozdílné poměr
ěrné délky celého
života součásti.
Za místo iniciace únavové trhliny lze považovat
at obecně vrub. Pro
vrub je charakteristické, že v jeho blízko
kosti dochází ke
koncentraci napětí respektive lokálního nárůstu
ůstu jeho gradientu.
Z tohoto hlediska lze za vrub považovat také kkontaktní rozhraní
dvou dotýkajících se těles. U geometrického
ého vrubu, kde je
gradient pole napětí dán jeho tvarem, je situac
ace v případě styku
dvou těles značně složitější. Na iniciaci a nás
ásledný růst trhlin
nemá vliv pouze geometrie kontaktních povrchů,
po
ale také
tribologické poměry v kontaktním rozhraní (povrchová
(p
úprava
součástí, vliv maziva, atd.), velikosti vzájemný
ných posuvů obou
osti a oděru na velikosti kontaktních
Obr. 1 Závislost únavové životnos
skluzů.
V závislosti na velikosti relativn
ivních skluzů kontaktních ploch lze
rozdělit kontaktní podmínky do tří oblastí [1], [2], jak je
naznačeno na Obr. 1. V prvníí oblasti nedochází ke vzájemným
posuvům a ani k žádnému oděru
odě materiálu. Zde je dosaženo
ideálních podmínek vzhledem
m k únavové životnosti. V druhé
oblasti dochází k relativním skl
kluzům pouze na části kontaktního
rozhraní vlivem poklesu kontak
aktních tlaků. V těchto částech pak
dochází k iniciaci a případném
ému následnému šíření únavových
trhlin. Oděr kontaktních povrchů
chů je lokální a mírný. Tato oblast
je nejméně příznivá vzhled
edem k únavovému poškození
kontaktujících součástí. Ve tře
třetí oblasti dochází k relativnímu
15
ISBN 978-80-01-04567-1
posuvu celých kontaktních ploch. Pro tuto ooblast je typická
vysoká míra oděru materiálu a zvýšení únavové
vé životnosti oproti
oblasti částečných skluzů. To je dáno jedn
dnak proměnlivou
lokalizací špiček napětí v důsledku relativněě ve
velkých relativních
skluzů, jejich redistribucí v důsledku oděru
ě m
materiálu [1] a v
neposlední řadě také vydřením vrstvy materiálu
lu, ve které dochází
k iniciaci trhlin.
Výhodou této koncepce je možnost
m
použití na standardním
zatěžovacím stroji (Amsler, Ha
Hackert jež jsou k dispozici na FS
ČVUT v Praze) a možnost snad
adné modifikace tvaru zkušebních
těles a měnit tak kontaktní pod
odmínky a posoudit jejich vliv na
vznik únavového poškození. Zák
ákladní tuhostní a silové parametry
přípravku byly optimalizoványy výpočtově s ohledem na silové a
kinematické poměry v kontaktu
tu zkušebního tělesa a kamenů.
Byly vytvořeny rovinné mod
odely (Obr. 2) na kterých byly
zkoumány různé varianty zatí
atížení. Rovinné modely simulují
přítlak
kamene
na
vzo
zorek
(statický
výpočet
v
ABAQUSu/Standard) a poté ně
několik period cyklického zatížení
(dynamický výpočet v ABAQUS
USu/Explicit). V obou modelech je
kámen uložen na tuhém rameni
ni (nosníkový prvek (1)) a přitlačen
silou P přes tyč (2). Při dynam
amickém výpočtu je koncový bod
pružiny fixován a tím je dos
osaženo předpětí. Vzorek je zatěžován míjivou tahovou silou
ou Q s frekvencí 100 Hz. V obou
modelech je v interakci zkušebního
zk
tělesa a “kamenů”
uvažováno Couloumbovo tření
ř í sse součinitelem f = 0,5.
Výsledky byly hodnoceny v obl
blasti kontaktu zkušebního tělesa s
kameny. V prvním kroku bylaa vytipována místa s maximálními
akumulovanými kontaktními skl
skluzy, jak je naznačeno na Obr. 3.
V těchto místech pak byly vyhodnoceny
vy
průběhy kontaktních
tlaků, skluzů a smykových napět
pětí v závislosti na čase Obr. 4.
ŬƵŵƵůŽǀĂŶĠƐŬůƵǌǇ΀ŵŵ΁
Hodnocení poškození v podmínkách fret
ettingu
Modely užívané k predikci životnosti v podm
dmínkách frettingu
hodnotí jak etapu iniciace trhliny, tak etapuu jejího stabilního
šíření. Je třeba poznamenat, že samotná inici
iciace trhliny ještě
nemusí znamenat dosažení mezního stavu. Ro
Rozhodující je tedy
etapa šíření krátkých, někdy i dlouhých trhlin.
Pro etapu šíření dlouhých trhlin byl v předchozí
zích letech vyvinut
řídící skript komerčního programu ABAQUS
S jehož pomocí je
možné simulovat šíření trhlin ve 2D rovinných
ch tělesech obecné
geometrie vystavených obecnému zatížení. K predikci směru
šíření je možné použít J-integrálu. V rámci tohoto
toh
skriptu byla
také implementována alternativní úprava Parisova vztahu
zohledňující vliv lineárního členu rozvoje nap
apěťové funkce na
čele trhliny označovaného jako T-napětí.
Ke stanovení počtu cyklů iniciace trhliny
ny jsou nejčastěji
používána multiaxiální kritéria ve spojeníí s teorií kritické
vzdálenosti [3], [4]. Tato teorie vychází z předpokladu, že
fyzikální proces vedoucí k poškození materiál
iálu probíhá pouze
v omezeném objemu materiálu. Tento objem je dán
charakteristickým rozměrem, který je považován
án za materiálovou
konstantu. Složky tenzoru napětí, případněě de
deformací, s nimiž
pracují multiaxiální kritéria jsou vyhodnocován
vány právě v tomto
objemu. Mezi používaná multiaxiální krite
iteria patří např.:
McDiarmid, Fatemi-Socie, Smith-Watson-T
Topper, Findley,
Crossland atd [5].
Další možností hodnocení iniciace trhlin je ennergetický přístup
[6], který je však značně náročný na experiment
ntální měření avšak
v některých případech dává lepší výsledky, než
ež přístup založený
na multiaxiálních kritériích.
Ve spojení s předchozími přístupy je také mož
ožné a v některých
případech i nutné uvažovat oděr kontaktníchh povrchů [7], [8].
Modely oděru materiálu dávají do vztahu konta
ntaktní tlak, lokální
skluzy a koeficient tření.
Ϭ͕Ϭϭϲ
ďŽĚ ϭ
Ϭ͕Ϭϭϰ
Ϭ͕ϬϭϮ
ƚсϬ͘ϬƐ
Ϭ͕Ϭϭ
ďŽĚ Ϯ
Ϭ͕ϬϬϴ
ƚсϬ͘ϬϭϱƐ
Ϭ͕ϬϬϲ
Ϭ͕ϬϬϰ
ƚсϬ͘ϬϯϱƐ
Ϭ͕ϬϬϮ
Ϭ
Ϭ
ϱ
ϭϬ
ĠůŬĂƉŽ
ĂƉŽĚĠůĐĞƐƚǇ΀ŵŵ΁
^ŵǇŬŽǀĄŶĂƉĢƚş΀DWĂ΁
Obr. 3 - Akumulované skluzy v kon
ontaktní oblasti s vyznačenými body, ve
kterých je zkoumán časový průběh
ěh kkontaktních tlaků, smyků a skluzů
Zařízení pro únavové zkoušky v podmínk
nkách frettigu
Ve spolupráci s Ústavem částí a mechanis
nismů strojů bylo
navrženo experimentální zařízení pro plán
lánované únavové
zkoušky za podmínek frettingu. Toto zařízení vy
vychází z koncepce
tzv. „dog bone“ zkušebních těles, na které jsou
ou během zkoušky
přitlačovány třecí kameny.
ϮϬϬ
ϭϱϬ
ϭϬϬ
ďŽĚϭ
ϱϬ
ďŽĚϮ
Ϭ
Q
Q
ͲϱϬ
P
<ŽŶƚĂŬƚŶşƐŬůƵǌǇ΀ŵŵ΁
ēĂƐ΀Ɛ΁
P
Ϭ͕ϬϬϭϱ
Ϭ͕ϬϬϭ
Ϭ͕ϬϬϬϱ
ďŽĚϭ
Ϭ
ďŽĚϮ
ͲϬ͕ϬϬϬϱ
ͲϬ͕ϬϬϭ
Obr. 2 Model experimentálního zařízení pro zkou
oušky za podmínek
frettingu; vlevo válcový kámen; vpravo kámen s patka
kami.
ͲϬ͕ϬϬϭϱ
16
ēĂƐ΀Ɛ΁
'
$
%&
ISBN 978-80-01-04567-1
Mezi těmito rozdílnými sítěm
těmi je definována „tie“ vazba.
Kontakt mezi drážkou a pe
perem je modelován se třením
s koeficientem f = 0,5. Jako maateriál modelu je uvažován hliník
s modulem pružnosti v tahu E = 0,7e5 MPa a Poissonovým
poměrem ν = 0,3.
*
*
+
+
aktních tlaků (dole) a
Obr. 4 Průběhy smykových napětí (nahoře), kontakt
skluzů (uprostřed) v závislosti na čase ve vybraných bbodech 1 a 2.
Obr. 6 – Síť numerického modelu
Zkušební měření systémem DANTEC DYN
YNAMICS Q-450
Pro verifikaci a návrh nových fenomenolo
logických modelů
poškozování v podmínkách frettingu je nutné vycházet
z experimentálních měření. Poměrně značným
č ým problémem je
snímání posuvů resp. deformací v bezpro
rostřední blízkosti
kontaktního rozhraní. Řešením by mohlo být použití některé
z metod optického snímání.
DANTEC DYNAMICS Q-450 je optický měř
ěřicí systém, který
využívá k měření metody digitální korelace obr
brazu. Tato metoda
je založena na rozpoznávání posuvů částí povrch
rchu měřené oblasti
během zatěžování. Pro dosažení přesných vý
výsledků je nutné
zajistit stochastickou a dostatečně jemnou povrc
rchovou texturu.
V součastné době je tento systém používán př
převážně k měření
vysoce poddajných materiálů z oblasti biomech
chaniky. Jedná se o
velikosti posuvů v řádech desetin až jednotek m
milimetrů. Jelikož
při standardních mechanických zkouškách kov
ovových materiálů
dochází k posuvům v řádu desítek až stovek mikrometrů,
m
bylo
nutné tento systém nejprve testovat a zjistit zda
da je možné ho pro
takováto měření použít.
ích a numerických výsledků
Porovnání experimentálníc
K vyhodnocení pole posuvů byl
by použit komerční software pro
korelaci snímků Istra 4D, kter
terý je součástí měřicího systému.
Pole posuvů bylo hodnoceno ja
jak kvantitativně, tak kvalitativně.
Je třeba konstatovat, že ani jedna
j
z konfigurací měření není
dostatečná pro měření kovovýc
ých materiálů, neboť získaná pole
deformací vykazují značné neh
ehomogenity, které nemají žádné
fyzikální opodstatnění a jsou tedy
ted zřejmě zapříčiněny nepřesností
měření. Pole posuvů je v případě prvního měření také
nehomogenní oproti výsledkům
ům z měření druhého, kde posuvy již
mají spojitý charakter. Aby bylo možné přesnost výsledků
kvantifikovat, byly vyhodnoce
ceny posuvy resp. deformace ve
směru zatížení mezi kontrolním
ími úsečkami L1 až L5 (Obr. 7) a
následně byly porovnány s num
umerickými výsledky. Mezi těmito
úsečkami je stejná vzdálenost 2mm.
2m
1 2 3 4 5
Obr. 7 Pole posuvů ve směru zzatěžování s vyznačením úseček pro
vyhodnocení posuvů resp. deformac
ací
Obr. 5 Schéma měřeného vzorku
Testování bylo provedeno na duralovém zkušebním
zk
vzorku
(model rybinového spoje) Obr. 5. Byla prove
vedena celkem dvě
měření s rozdílnou konfigurací měřicího zaříze
řízení a kvalitativně
odlišnou povrchovou texturou. V prvním měř
ěření byla použita
černo bílá textura bez úplného krytí pův
ůvodního povrchu.
Rozlišení snímků bylo přibližně 86 µm/pixel. V
Ve druhém měření
byla použita textura s úplným krytím a rozl
ozlišení snímků se
pohybovalo kolem 22 µm/pixel. Velikost zatí
atížení byla v obou
případech 5,5 kN.
Pole posuvů resp. deformacíí m
mezi kontrolními úsečkami bylo
vyhodnoceno na základě změř
ěřených poloh bodů ležících na
úsečkách. Nejprve byly stanoven
veny polohy odpovídající nulovému
zatížení a následně pak polo
olohy odpovídající maximálnímu
zatížení. Z nejistot odpovídajíc
jících určení polohy byly odvozeny
relativní chyby prodloužení a deformací
d
oblastí mezi úsečkami.
Je třeba říci, že tyto chyby jsouu značně veliké, což je zapříčiněno
tím, že prodloužení oblastí mezi
zi úsečkami je řádově stejně veliké,
jako je nejistota určení polohy.. D
Dále je třeba podotknout, že takto
získané hodnoty deformací vykazují
v
značný rozptyl, jak je
ilustrováno na Obr. 8 a Obr. 9.
9 Těmito hodnotami je proložen
regresní polynom druhého stupně.
stu
Pomocí těchto regresních
funkcí pak byla kontrolována te
tendence růstu deformací směrem
ke kořeni vrubu. Zatímco u prvního
pr
měření tato tendence není
vůbec patrná a výsledky jsou
ou jen stěží interpretovatelné, u
druhého měření jsou výsledky ppoměrně uspokojivé. Odpovídající
výsledky získané numericky jsou
ou znázorněny na Obr. 11.
Numerická simulace experimentu
získaných výsledků,
Aby bylo možné získat představu o přesnosti zís
byl experiment simulován pomocí MKP. M
Model, výpočet i
vyhodnocení výsledků bylo provedeno v program
ramu ABAQUS.
S ohledem na symetrii byla vytvořena pouze ččtvrtina geometrie
modelu. V oblasti kontaktního rozhraní mezi perem
pe
a drážkou je
síť řádově hustší než ve zbylé části modelu jakk je patrné z Obr. 6.
17
ISBN 978-80-01-04567-1
,-. / /
/* /
/ /
&0)1/ /*2
&0)1/ /2
/ /*
/ /
&0)1/ /2
&0)1/* /2
&0)1/ /2
Dále je na Obr. 12 a na Obr. 10 uvedeno srovnání
experimentálních dat s numerickými výsledky. Jsou porovnávány
poměrné deformace ve směru zatížení mezi kontrolními
úsečkami L1 a L5. Z uvedených grafů je patrné, že u druhého
měření došlo ke značnému zpřesnění výsledků a v tomto případě
je shoda s výpočtem velmi dobrá. Také je třeba říci, že relativní
chyba deformace naměřené v tomto úseku je pro první měření
90% a pro druhé 30%, což značí trojnásobné zpřesnění, je však
nutné mít na zřeteli, že je hodnocen poměrně dlouhý úsek.
*
*
/ /
/ /
/ /*
/ /
/* /
,-. 4
3
&..-.
Obr. 8 Poměrné deformace mezi kontrolními úsečkami pro první měření
/ /
/* /
/ /
&0)1/ /*2
&0)1/ /2
/ /*
/ /
&0)1/ /2
&0)1/* /2
&0)1/ /2
*
,-. 5+
,-./ / *
*
&..-.
Obr. 9 Poměrné deformace mezi kontrolními úsečkami pro druhé měření
5+
*
Obr. 11 Vypočtené poměrné deformace mezi kontrolními úsečkami
,-./ / &..-.
*
6-.
*
*
&..-.
Obr. 12 Poměrné deformace mezi kontrolními úsečkami L1 a L5.
Porovnání experimentálních dat prvního měření a vypočtených hodnot.
6-.
4
Závěr
V součastné době jsou poměrně dobře zmapovány postupy a
přístupy k hodnocení únavového poškození v podmínkách
frettingu. Jedná se zejména o multiaxiální kriteria s vazbou na
teorii kritické vzdálenosti, energetické metody a modely oděru
povrchu.
Byl vytvořen numerický model pro simulaci plánovaných
únavových zkoušek a byly provedeny výpočty jak statické, tak
dynamické. Bylo navrženo experimentální zařízení pro únavové
zkoušky za podmínek frettingu. Mezi jeho přednosti patří
možnost použití na standardních zatěžovacích strojích a možnost
snadnou výměnou zkušebních těles měnit kontaktní podmínky a
posoudit jejich vliv na vznik únavového poškození. Tuhostní a
silové parametry tohoto zařízení byly optimalizovány pomocí
3
*
*
*
&..-.
Obr. 10 Poměrné deformace mezi kontrolními úsečkami L1 a L5.
Porovnání experimentálních dat druhého měření a vypočtených hodnot.
18
ISBN 978-80-01-04567-1
[2] Vingsbo O., Soderberg S.: On fretting wears, Wear 126
(1988) 131-147.
[3] Araujo J.A., Susmel L., Taylor D., Ferro J.C.T., Mamiya
E.N.: On the use of the Theory of Critical Distances and the
Modified Wohler Curve Method to estimate fretting fatigue
strength of cylindrical contacts. International Journal of
Fatigue 29 (2007) 95–107
[4] Bhattacharya B., Ellingwood B.: Continuum damage
mechanics analysis of fatigue crack initiation. Int. J. Fatigue
Vol. 20, No. 9, pp. 631–639, 1998
[5] Navarro C., Munoz S., Domínguez J.: On the use of
multiaxial fatigue criteria for fretting fatigue life
assessment., International Journal of Fatigue 30 (2008) 32–
44
[6] Vidner J., Leidich E.: Enhanced Ruitz criterion for the
evaluation of crack initiation in contact subjected to fretting
fatigue, International Journal of Fatigue 29 (2007) 20402049
[7] Madge J.J., Leen S.B., Shipway P.H.: The critical role of
fretting wear in the analysis of fretting fatigue, Wear 263
(2007) 542–551
[8] McColl I.R., Ding K., Leen S.B.: Finite element simulation
and experimental validation of fretting wear, Wear 256 (1112) (2004) 1114-1
zmíněného numerického modelu s ohledem na silové a
kinematické poměry v kontaktu.
Testování systému DANTEC DYNAMICS Q-450 ukazuje, že
jeho stávající konfigurace pro měření na kovových materiálech
není vhodná. Získané výsledky však naznačují, že zvýšením
rozlišení a použitím lepší kontrastní textury povrchu měřeného
tělesa bude možné dosáhnout dostatečné přesnosti pro měření
relativních skluzů v kontaktní oblasti při frettingových
únavových zkouškách. Pomocí standardních přídavných
optických členů (telekonvertor, mezikroužky) je možné
dosáhnout rozlišení až 3 µm/pixel což je přibližně sedminásobné
zlepšení oproti druhému měření.
Poděkování
Tato práce vznikla za podpory grantu GACR No. 101/09/1709.
s
Použitá literatura
[1]
Madge J.J., Leen S.B., McColl I.R., Shipway P.H.:
Contact-evolution based prediction of fretting fatigue life:
Effect of slip amplitude. Wear 262 (2007) 1159–1170
19
ISBN 978-80-01-04567-1
Modeling and Stability of Wave-based Control
O. Marek1 and M. Valasek1
1
Division of Mechanics and Mechatronics, Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics, Faculty of
Abstract
The wave-based control enables very efficiently control the
motion of flexible mechanical systems. It is based on the sending
and receiving waves to and from the continuum. However, the
analysis and proof of stability of such control is still missing. The
paper deals with the description of the model of wave-based
control and the analysis of its stability.
For determination of the launched wave A0 and reflected wave
B0 it is necessary to know the position of the actuator x0 and the
position of the first mass in the chain x1.
m1
Keywords
Flexible mechanical system; lumped masses; wave-based control;
stability.
x0(t)
m2
mn
x1(t)
a0
Introduction
The wave-based control of flexible mechanical systems has been
recently developed [1-3]. It is based on the sending and receiving
waves to and from the continuum. The received wave is then
reflected back into the continua that finishes the desired motion.
This approach has been successfully applied for the control of
motion of 1D chain of lumped masses [1-3] and for the motion of
2D planar flexible bodies [4]. However, the analysis and proof of
stability of such control is still missing. This paper deals with the
stability analysis of the wave-based control.
-
+
+
G
b0
G
Figure 3 Scheme of computations of the waves a0 and b0
Example of wave-based control of the system from Fig. 1 is in
Fig. 4.
Wave-based control
The chain of flexible lumped masses in Fig. 1 is modelled
artificially as the wave-based model in Fig. 2.
L
x0=a0+b0
Figure 1. Model of 1D system with lumped masses
L/2
It is launched the wave A0(t) where x0(t)=A0(t) is initially
prescribed as control action. The launched wave A0(t) and the
reflected wave B0(t) do not exist physically and therefore it is
necessary to compute them by some means from the measured
real values that are the real motions of the masses in the chain.
The reflected wave B0(t) is sensed from the force connection
between the actuator x0(t) and the first lumped mass in the chain
x1(t).
X0(s)
+
A0
G1(s)
A1
a0=L/2-b0(2t1-t)
b0
0
Gn(s)
Figure 4 Example of launched and relfecred waves a0 and b0
Extension of the wave-based control
The straightforward extension of the wave-based control from the
chain of flexible lumped masses towards general flexible bodies
works correctly only for pure translation or only for pure rotation
[4]. Therefore the concept of wave-based control has been
extended by the usage of discretized cascade control. The
standard wave-based control is applied each time interval T that
enables to correct the motion based on the measurement of real
position of the flexible body. This scheme is also robust against
disturbances.
R(s)
B1
H1(s)
Bn
B2
H2(s)
t
An
B0
a0
0
A2
G2(s)
t1
Hn(s)
Figure 2. Wave model of mass system with n DOFs
20
T
Desired
position
Combining the equations (3)-(4) with (5) it is derived the
recursive computation formula of Pk(s)
Wave-based
control with
horizont T
+
ISBN 978-80-01-04567-1
Flexible body
Pn ( s )
R( s)
Pk ( s ) Gk 1 ( s ) Pk 1 ( s ) H k 1 ( s ), k
0,1, , n 1 (6)
Figure 5 Discretized cascade wave-based control
Then combining the equations (1) and (5) it gives
An example of application of this control approach to the
motion control of flexible bodies is in Fig. 6.
Ak ( s) Bk ( s )
X k (s)
Ak ( s )(1 Pk ( s ))
(7)
And substituting from (3)
position
A0 ( s )G1 ( s)G2 ( s) Gk ( s)(1 Pk ( s)),
X k ( s)
x0
k 1, , n
(8)
desired position
Dividing the formulas (8) and using (6)
a0
X k (s)
X k 1 ( s )
b0
time
T
T
(9)
Finally the comparison of the formula (9), that describes the
relationship inside the replacement model from Fig. 2, with the
formula (2), that describes the real physical system from Fig. 1
and Fig. 3, enables to derive the particular formulas of Gk(s),
Hk(s) and R(s) in order to model the particular physical system
(2) to be investigated. But the description (9) has still several
degrees of freedom how to formulate the Gk(s), Hk(s), Pk(s) and
R(s) for the particular physical system (2). These degrees of
freedom can be determined by the additional choice of the
relationship between Gk(s), Hk(s), Pk(s) for each k and
subsequently for R(s).
Wave-based model of flexible mechanical system
The correspondence between Fig. 1 and Fig. 2 is that the position
of particular masses in Fig. 1 is described by the equation
according to the Fig. 2
Ai s Bi s (1)
where Ai and Bi are the variables between the blocks Gi and
between the blocks Hi, s is the Laplace operator. The values Ai(t)
and Bi(t) physically do not exist. It does exist only their sum that
is equal to the position of certain mass xi(t)=Ai(t)+Bi(t). The
transfer functions between the particular lumped masses is given
by the nature of the mechanical system
X k 1 ( s)
X k (s)
Gk ( s )(1 Pk ( s ))
1 Gk ( s ) Pk ( s ) H k ( s )
T
Figure 6 Discretized cascade wave-based control of flexible body
X i s Gk ( s )(1 Pk ( s ))
1 Pk 1 ( s )
For example it is further used the choice of Pk(s) for k=2,…, n
with the exception of k=1 where it is set instead
G1 ( s )
(2)
Bi s H i 1 s Bi 1 ( s), i
0,, n 1
G1 ( s )(1 P1 ( s ))
1 G1 ( s ) P1 ( s )G1 ( s )
X 1 ( s)
X 0 ( s)
This is given by the particular values of mi, bi, ki of the
mechanical structure in Fig. 3. According to Fig. 2 it recursively
holds
0,, n 1
(10)
And the expression for G1(s) is chosen and thus given. The
equality of the equation (9) using (10) and (2) for k=1 gives
Fk 1, k ( s)
Ai 1 s Gi 1 s Ai ( s), i
H1 ( s )
F10 ( s )
Hence
P1 ( s )
(3)
F10 ( s ) G1 ( s )
G1 ( s )(1 F10 ( s )G1 ( s ))
And at the end of the wave-based model it holds
Bn ( s )
R ( s) An ( s )
Bk ( s )
, k
Ak ( s )
(12)
with the chosen G1(s). And further Pk(s) is chosen for k=2,…, n.
Based on that the formulas of Gk(s), Hk(s) and R(s) can be
recursively computed from the equality of (9) and (2)
(4)
Then it is defined
Pk ( s )
(11)
X k ( s)
X k 1 ( s )
0,1,, n
(5)
Fk , k 1 ( s )
Gk ( s )(1 Pk ( s ))
1 Pk 1 ( s )
(13)
with the given Fk,k-1(s) and known Pk-1(s) from the previous step.
It is derived
21
ISBN 978-80-01-04567-1
Fk , k 1 ( s )(1 Pk 1 ( s ))
, k
1 Pk ( s )
Gk ( s )
Pk 1 ( s )
, k
Gk ( s ) Pk ( s )
H k (s)
X K s Fk 0 s X 0 s Fk1 s F10 ( s ) X 0 ( s )
2,, n
(14)
Because the transfer functions Fk0(s) include generally the poles
therefore the response of the lumped masses xk(t) is usually
unsatisfactory vibratory.
The wave-based control acts in such way that the actuator
action x0(t)=A0(t) propagates through the masses the launched
wave A0(t) resulting into the motion of the mass k
2,, n
(15)
For k=n from (6) it follows R(s)=Pn(s) that is again chosen. This
means that the particular expressions for Gk(s), Hk(s), Pk(s) and
R(s) can be very varying, however the measurable values at the
physical system in Fig. 2 and Fig. 3 are kept the same and
described by the equation (2).
X k ( s)
A0 s B0 s X 1 s After subsequent substitution of the formulas (14) from k=k to
k=1
X k ( s)
A0 ( s ) F10 ( s ) F21 ( s ) Fk 0 ( s )
A0 ( s ) Fk 0 ( s )(1 P0 ( s ))
(25)
Stability analysis
According to (6) and (10)
P0 ( s )
G1 ( s ) P1 ( s ) H1 ( s )
G1 ( s ) P1 ( s )G1 ( s )
1 P0 ( s ) 1 G1 ( s )
F10 ( s ) G1 ( s )
G1 ( s )
G1 ( s )(1 F10 ( s )G1 ( s ))
1 G12 ( s )
1 F10 ( s )G1 ( s )
(17)
Let in (10) it is chosen G1(s)=G(s). Then from (3)
(27)
A1 ( s ) G ( s ) A0 ( s )
(18)
B0 ( s ) G ( s ) B1 ( s )
(19)
Finally the response of the position of the mass k to the wavebased control is
X k ( s)
And substituting (18)-(19) into (16)-(17)
A0 ( s )
X 0 ( s ) B0 ( s )
X 0 ( s ) G ( s ) B1 ( s )
A0 ( s ) Fk 1 ( s ) F10 ( s )
(20)
B0 ( s ) G ( s ) B1 ( s ) G ( s )( X 1 ( s ) G ( s ) A0 ( s ))
(28)
2
1
1 G ( s)
1 F10 ( s )G1 ( s )
The control command is A0(s), therefore the stability is given by
the transfer function of the wave-based control
(21)
Besides that it is also valid
X 0 ( s ) A0 ( s )
A0 ( s ) Fk 0 ( s )(1 P0 ( s ))
1 G12 ( s )
A0 ( s ) Fk 0 ( s )
1 F10 ( s )G1 ( s )
X 0 ( s ) G ( s )( X 1 ( s ) G ( s ) A0 ( s ))
B0 ( s )
(26)
and using (12)
(16)
A1 s B1 s A0 ( s )G1 ( s )G2 ( s ) Gk ( s )(1 Pk ( s ))
(24)
Model of wave-based control
The system in Fig. 1 is controlled according to Fig. 2 in such way
that it is launched the wave A0(t) where x0(t)=A0(t) is initially
prescribed as control action. The launched wave A0(t) and the
reflected wave B0(t) do not exist physically and therefore it is
necessary to compute them by some means from the measured
real values that are the real motions of the masses in the chain.
The reflected wave B0(t) is sensed from the force connection
between the actuator x0(t) and the first lumped mass in the chain
x1(t) (Fig. 4). For determination of the launched wave A0 and
reflected wave B0 it is necessary to know the position of the
actuator x0 and the position of the first mass in the chain x1. The
computation of the reflected wave B0 is following. Using the
equation (1) for k=1,2
X 0 s (23)
X k (s)
X 0 ( s)
(22)
X k ( s)
A0 ( s )
Fk1 ( s ) F10 ( s )
The schematic representation how to compute the waves A0 and
B0 is in Fig. 4. The actuator moves by the value x0(t). The
position of the first mass x1(t) is measured. Based on the choice
of G(s) it is computed from (20)-(21) the launched wave A0(t)
and the reflected wave B0(t). During the motion the control action
of the actuator is prescribed x0(t)=A0(t)+B0(t). The result is the
complete removal of residual vibrations [1-4].
The traditional control of the chain of flexible lumped masses is
the actuator action x0(t) propagated through the masses resulting
into the motion of the mass k
1 G12 ( s )
Fk 0 ( s )
1 F10 ( s )G1 ( s )
1 G12 ( s )
1 F10 ( s )G1 ( s )
(29)
where the transfer matrix G1(s) can be selected. The choice is
done as follows with some parameters N]Z
G1 ( s )
22
NZ 2
s 2 2[Z s Z 2
(30)
ISBN 978-80-01-04567-1
for any damped lumped mass chain using the chosen transfer
function G1(s) from the equation (30).
Nevertheless the wave-based control can be done stable for
any lumped mass chain using the proper choice of the transfer
function G1(s) from the equation (30).
Im
-G1(jZ)
Re
-G1(s)
[-1,0]
[-1,0]
Figure 6 Nyquist plot of -G1(s)
The stability of the transfer function is investigated by the
Nyquist method. The Nyquist method works with the properties
of the open and the closed feedback loop. The transfer function
(29) can be described as the equivalent control scheme in Fig. 7.
F10(s)
Figure 8 Stability of the undamped mechanical system
-G1(s)
A0(s)
Fk1(1-G12)
Xk(s)
+
F10
[-1,0]
-G1
F10(s)
Figure 7 Equivalent control scheme
The Nyquist theorem states that if the plot of the polar diagram of
the transfer function of the open loop does not enclose the point
[-1,0] in the complex plane then the closed loop system is stable
(under the condition that the open loop system has no unstable
poles). Because the transfer functions F10(s) and -G1(s) have no
unstable poles the theorem can be directly applied. The decisive
value is the product -F10(s)G1(s) that must not enclose [-1,0].
Figure 9 Stability of damped mechanical system
Conclusions
Wave-based method was successfully extended for the control of
the planar motion of 2D flexible bodies. This proposed solution
also solves the robustness against external disturbance.
The way towards stability analysis was open by the description of
the model of wave-based control and transforming it into the
equivalent control scheme.
Undamped lumped mass chain
In this case (Fig. 8) the transfer function F10(s) for s=jZ acquires
only real values however in the whole interval <-,+>. The
transfer function G1(s) acquires the real value only for Z=0 and
Z=. Then the product -F10(s)G1(s) never crosses the real axis
and therefore cannot enclose the point [-1,0]. Therefore the wavebased control is stable for any undamped lumped mass chain
using the chosen transfer function G1(s) from the equation (30).
Acknowledgments
The authors appreciates the kind support by the SGS project of
CTU in Prague “Modeling, control and design of
mechanical systems 2010”.
Damped lumped mass chain
In this case (Fig. 9) the proof is not so easy. Nevertheless if the
transfer function F10(s) enclose the point [-1,0] for certain
frequency Z then it is always possible to select suitable [Z and
N in the equation (30) that the product -F10(s)G1(s) is within the
unit circle and does not enclose the point [-1,0]. Therefore for
any damped lumped mass chain it is possible to choose
stabilizing transfer function G1(s) within wave-based control.
Thus the wave-based control for damped lumped masses chain
can be achieved under large conditions of suppression of largest
resonance in the lumped masses chain by the appropriate choice
of damping transfer function G1(s).
References
[1] O’Connor, W.J.. Wave-based Modelling and Control Of
Lumped, Multibody Flexible Systems, Multibody Dynamics
2005, ECCOMAS Thematic Conference, 2005.
[2] O’Connor, W.J., McKeown D.J., A New Approach to Modal
Analysis and Frequency Response of Uniform Chain
Systems, Multibody Dynamics 2007, ECCOMAS Thematic
Conference, 2007.
[3] O’Connor, W.J., Wave-echo Position Control of Flexible
Systems: Towards an Explanation and Theory, American
Control Conference, Boston, 2004.
[4] Marek, O., Valasek, M.. Wave-Based Control of Motion of
Flexible Bodies, Multibody Dynamics 2009, ECCOMAS
Thematic Conference, 2009.
Besides that based on some literature references and simulation
investigation a hypothesis could be formulated that the transfer
function F10(s) always passes only by fourth and third quadrant
(Fig. 9). If this is true then again the wave-based control is stable
23
ISBN 978-80-01-04567-1
FE Simulation of Dental Composites: Effect of Residual Stresses on
Macroscopic Response
1
O.Prejzek , M.Vural
2
1
Division of Strength of Materials, Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics, Faculty
of Mechanical Engineering, Czech Technical University in Prague, Prague, Czech Republic
2
Department of Mechanical, Material and Aerospace Engineering, Armour College of Engineering,
Illinois Institute of Technology, Chicago, IL,USA
Abstract
Present study is largely motivated by recent experimental
results that show a significant discrepancy in the elastic
modulus of dental composites under uniaxial tension and
compression. We hypothesize that this discrepancy can
be related to shrinkage induced residual stresses as well
as the spatial distribution of the reinforcement phase. A
better understanding of residual stresses is also key to
design next generation dental composites with optimized
filler volume fraction and distribution.
This work adopts a two-step FE approach and focuses on
exploring the effect of curing shrinkage and subsequent
residual stress field on the macroscopic mechanical
response of dental composites. The first step mimics the
shrinkage of resin through thermal analogy for an elastoplastic resin. The next step involves superposing a
uniaxial stress field to analyze macroscopic elastic as
well as plastic behavior of dental composite. The effects
of particle volume fraction and distribution are also
discussed along with a critical analysis of the accuracy of
FE model.
Keywords
Dental Composite; Plasticity; Micromechanical Model.
In particle reinforced dental composites, significantly
higher elastic modulus of the particle causes evolution of
a residual stress field in the resin after resin. Another
mechanical constraint is the interface between restoration
and tooth, so in the real dental practice, two different
fields of residual stress occur; microscopic and
macroscopic one. The macroscopic stress field, caused by
shrinkage of the composite and the constraint of tooth
boundary has been modeled, using finite element
simulation, e.g. in [14, 15, 16]. Residual stress field,
occuring in polymer resin, in interaction with a
reinforcement, has been studied for various classes of
composites in relation to their mechanical properties
[17,18] as well as the residual stress in the microstructure
of metal ceramic, after a change of temperature [19,20].
Influence of residual stresses on bond strength of dental
materials has been investigated experimentally in [21,
22]. In [23], comprehensive review of work on the
dependence of damage and residual stresses is presented.
For other classes, mainly fiber reinforced composites,
effect of residual stresses on strength and fatigue
behavior has been studied in [24, 25].
Experimental Results as Motivation
During experimental work on dental composite material
[26], significant difference between elastic moduli in
tension and compression has been observed ("Figure 1"),
while neither particles nor resin exhibit a discrepancy in
their respective elastic moduli under compression and
tension. However, it must be noted from "Figure 2" that
the resin has a lower yield strength in tension.
Introduction
Dental composites of polymer resin and SiO2 particles
have become to be one of the most commonly used dental
restoration materials. They are preferred for better
aesthetic properties, and for their better resistance to
environment, compared to the traditional amalgam
restoration [1, 2]. However, clinical studies show that
their service life remains to be limited mainly by
secondary decay and fracture of the restoration, which is
partly attributed to relatively large curing shrinkage and
the interaction of resulting residual stresses with the harsh
mechanical and chemical environment in the mouth.
Therefore, realistic modeling of the physical process of
shrinkage becomes critical in analyzing the mechanical
response of dental composites.
Shrinkage of polymer resin during the light-curing
procedure has been observed from the very early times of
dental composites during experimental work, in the
clinical dental practice [3, 4], as well as during the work
with many other classes of polymer-based composite
materials [5,6]. In this study, the widely used term of
shrinkage will be used, although it is discussed and
questioned in [7]. The amount of resin shrinkage is
usually about 7-8%, which causes an overall shrinkage of
the composite material about 1% to 2% [8, 9]. This
shrinkage is caused by the changes in polymer chains
whose dependence on the degree of polymer conversion
is described in the literature in detail [10, 11, 12, 13]. If
the resin is subjected to mechanical constraints during the
curing process, it causes interior residual stresses (RS).
70
Tension
Compression
60
Stress (Mpa)
50
40
30
20
10
0
0
0,002
0,004
0,006
0,008
Strain
Figure 1. Tensile and compressive stress-strain curve composite.
24
0,01
ISBN 978-80-01-04567-1
100
Compression
Tension
Stress (MPa)
80
60
40
Figure 3 c. Body Centered Cubic (BCC) Array (71,9% of
particles), FE model and spatial distribution
20
0
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
Strain
Figure 2. Tensile and compressive stress-strain curve – resin.
This study is an attempt to simulate and explain this
discrepancy by FE analysis, and investigate, investigates
how the mechanical response is influenced by the
residual stress field and by the arrangement as well as by
the volume fraction of particles.
The components of the composite material are polymer
resin with elastic modulus of 2,6 GPa and hollow SiO2
particles with elastic modulus of 70 GPa. According to
observations in [26], resin shows asymmetric yielding
behavior with the initial yield stress of 20 MPa in tension
and 50 MPa in compression, as can be seen in the Figure
2". Particles are considered to be perfectly linearly
elastic.
Figure 3 c. Bi-size Array (76,5% of particles), FE model and
spatial distribution
Numerical Model
Behavior of the composite has been simulated in software
ABAQUS to develop an understanding of the origin of
stiffness asymmetry. The process of shrinkage is
simulated by a thermal analogy, where resin has been
prescribed a thermal expansion coefficient (CTE), equal
to the value of shrinkage strain, while CTE of SiO2
particles is zero. Model is exposed to a temperature field,
which is decreased by 1K, between the initial and first
step. After applying this field, shrinkage strain and stress
field is observed. Then, an external far field displacement
rate (compressive or tensile) boundary condition is
applied, and the reaction forces at the boundary is
measured. These data are later translated to uniaxial
stress-strain behavior of composite to study its
macroscopic response and its interaction with residual
stress field. The distribution of particles in composite is
modelled by three different arrays, inspired by
crystallography ("Figure 3a-3c"), to study the effect of
microstructure on the development of residual stresses
and resulting difference between tensile and compressive
stiffness.
Figure 4. Mesh of BCC model
The computational specimen is then subjected to uniaxial
stress deformation, where axial displacement is applied to
the top surface of specimen while the axial displacement
of the bottom surface is constrained. Displacement load
is increased up to ∆l/l=0.6%, what is the point, where the
composite material breaks under tensile load in the
experiments ("Figure 1"). Displacement is prescribed in
12 steps, with the increase of ∆l/l by 0.05% in each.
As mentioned above, resin shows asymmetric yield
behavior in compression and tension, which in fact
requires use of a pressure-dependent yield criterion. For
polymer resins, the Drucker-Prager yield criterion [27] is
the most proper. The Drucker-Prager yield surface is
determined as a cone in the σ11-σ22 –σ33 space.
Another possibility is to define the Drucker-Prager yield
surface in the I1-√J2 plane, where I1= σ11-σ22 –σ33 is the
first stress invariant and J2=(σ11-σ22)2+(σ22-σ33)2+(σ11σ33)2+6(σ232 + σ312 + σ122) is the second invariant of the
deviator of stress tensor. It can be expressed in the term
of von Mises equivalent stress as J2= σ2eff/3.
The Drucker-Prager hardening has been defined in
tensional branch, and the friction angle, as well as the
dilatation angle of 28˚ was used. For later comparison of
results, and to prevent numerical convergence problems,
first series of simulations were run with the use of the
von Mises material model, where the initial yield point is
determined by σeff = 20 MPa. The lower, tensional,
branch of the stress-strain curve was used for this early
simulation.
Figure 3a. Cubic Array (50,8% of particles), FE model and
spatial distribution
25
ISBN 978-80-01-04567-1
Results
The linear contraction of the composite model, after
introduction of the thermal field, simulating the linear
shrinkage of the matrix of 7% was calculated, for each of
the particle distribution models. The contraction of
composite material varies between 1,5% and 2,5%, which
correspods with the values, measured experimentally in
[8,9] and depends on the particle distribution and volume,
as well as on the linear shrinkage of resin.
Shrinkage
Cubic-50,8%
Composite shrinkage [%]
3
BCC-71,9%
Bisize-76,5%
2,5
2
1,5
Figure 6b. Distribution of σ22 after curing. Selected compressed
regions of resin (BCC Array)
1
0,5
0
0
2
4
6
8
10
Resin shrinkage [%]
Figure 5. Contraction of composite depending on resin
shrinkage, particle distribution and volume fraction
Distribution of residual stress after the introduction of
shrinkage ("Figure 6a-6c") shows, that significant part of
resin is exposed to tensional stress field, and only limited
areas are compressed, in the sense of negative values of
σ11,σ22,σ33. As shown in ("Figure 7a and 7b") those are
areas, where the negative strain is higher than the value
of shrinkage strain.
Figure 6c. Distribution of σ22 after curing. Selected moderately
stretched regions of resin (BCC Array)
Figure 6a. Distribution of σ22 after curing. Selected stretched
regions of resin (BCC Array)
Figure 7a. BCC Array-Areas with negative strain over the value
of shrinkage-caused strain (7%) - ε11
26
ISBN 978-80-01-04567-1
BCC Array - von Mises - 7% Shrinkage
No RS- Simulation
Compression-Simul.
80
Tension-Simulation.
Compression-Exper.
Tension-Experiment
70
Stress [MPa]
60
50
40
30
20
10
0
0
100
Stress [MPa]
Stress [MPa]
60
50
40
30
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Strain [%]
Figure 8c. Stress-strain curve –Bisize Array-Compression,
tension and hypothetic simulation without RS. Compared with
experimental data.
As the reaction force by equal displacement load is
increased by 31.7% in tension, compared to compression,
mechanical work, performed by the displacement is
increased in the same way. In further work, emphasis
should be placed on the development of potential energy
in representative elements of resin, specially in the
compressed regions, where the change of stress and strain
is significantly higher than in the stretched regions, as can
be seen for the σ22-ε22 direction in figures ("Figure 9a and
9b"). Interesting phenomenon, observed at those graphs
is, that the resin points keep the initial slope of the σ22ε22, independently on the character of the shrinkage-based
pre-stressing, and the applied displacement load.
50
40
30
20
10
0
0,8
Tension-Experiment
0
Tension-Experiment
0,6
Compression-Exper.
70
10
Compression-Exper.
0,4
Tension-Simulation
20
Tension-Simulation
0,2
1
Compression-Simul.
80
Compression-Simul.
0
0,8
No RS- Simulation
90
No RS-Simulation
60
0,6
Bisize Array - von Mises - 7% Shrinkage
Cubic Array - von Mises - 7% Shrinkage
70
0,4
Figure 8b. Stress-strain curve -BCC Array-Compression,
tension and hypotetic simulation without RS. Simulation
compared with experimental data.
The tensional nature of stresses in resin can be explained
by the difference of shrinkage of resin and of the
composite. Due to the shrinkage of resin, particles are
moved towards each other, and in the case of two
particles in resin, the contraction of their mutual distance
is equal to the amount of resins shrinkage. But in the real
composite, the shrinkage strain from the other side of
particle constraints that contraction and causes tensile
stress field in the resin.
After exposure to the thermal field, simulating
polymerization shrinkage of a realistic value of 7%, the
model is loaded by increasing external displacement.
Figures ("Figure 8a and 8b") show differences between
the response in compression and tension, and the
comparison with experimental results. By all models,
stiffness in tension is higher than in compression and the
difference is dependent on the particle distribution, when
it is growing with the volume fraction of particles, from
16,8% at the Cubic Array, over 30,5% at BCC Array, to
31,7% at Bi-size Array. Decrease of compressive
stiffness can be seen, while tensile stiffness is slightly
increased. It can be observed, that the tensile simulation
matches the experimental values closer then the
compressive one.
80
0,2
Strain [%]
Figure 7b. BCC Array-Areas with negative stress σ11
1
Strain [%]
Figure 8a. Stress-strain curve –Cubic Array -Compression,
tension and hypothetic simulation without RS. Simulation
compared with experimental data.
27
ISBN 978-80-01-04567-1
30
25
∆Stress [MPa]
These facts mean, that the difference of stiffness moduli
is caused by decreasing of the compressive modulus more
than by increasing of the tensile one. It also means, that
the model does not contain the mechanism which
decreases the compressive stiffness in a sufficient
amount.
Stretched Points-∆S22/∆E22
Compression
Tension
Hypothetic No-RS
20
C
15
Conclusions and Future Perspectives
Results of the FE simulation show the difference of
tensile and compressive modulus in the same way as the
experimental results. The quantitative value of the
difference has not been reached, and it is on of the most
important topics for future work. As mentioned above,
presented model provides results, showing difference in
the response on uni-axial displacement loading in
compression and tension, although it does not contain
two important features of the resin behavior, namely its
pressure dependent yield behavior (Drucker-Prager) and
the relaxation of stress during and after curing, which
affects the distribution of residual stress and shrinkage
strain field after curing.
10
5
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
∆Strain [%]
Figure 9a. Tangential stiffness- stretched points of resin (BCC
Array).
Compressed Points-∆S22/∆E22
140
Compression
Tension
Hypothetic No-RS
∆Stress [MPa]
120
Future work should be concentrated on two main points.
First focus should be on explaining the phenomenon of
stiffness difference, which occurs in all models, even
without the mentioned important features. Second branch
of the work should be focused on the development of
more accurate computational model, which will better
capture the experimental results. Main suggestions for
improving of the computational models are:
100
80
60
40
20
0
0
1
2
3
4
5
1. Implement the Drucker-Prager plasticity model, and
ensure its convergence.
6
∆Strain [%]
2. Implement a proper model of stress relaxation during
and after the curing process, to provide more realistic
residual stress and shrinkage strain field in the model.
Figure 9b. Tangential stiffness- compressed points of resin (BCC
Array)
Compression
Tension
Hypothetic-No RS
30
∆Stress [MPa]
3. Remesh the model with denser mesh without distorted
elements in the highly compressed regions of resin, to
provide more realistic results of the stress and strain
development in those areas.
Moderately stretched Points-∆S22/∆E22
35
25
4. Consider the possibility of the use of another elementtype than linear triangles.
20
15
5. Increase the number of unit cells in the array to
minimize the effect of models geometric boundary on the
simulation.
10
5
6. Increase the particle volume fraction up to 80 % ,what
is the limit on particle amount in the real composite.
0
0
0,5
1
1,5
∆Strain [%]
Some of suggested improvements will increase the
demand of computational resources, but there will not be
a demand of many repeating simulations, as the
methodology has been developed.
Figure 9c: Tangential stiffness- moderately stretched points of
resin (BCC Array)
Acknowledgments
The first author wishes to express his deep gratitude to
the GACR 101/08/H068 research project.
Discussion
Results, presented above, are influenced by the
simplification of the plasticity simulation by the von
Mises model and by neglecting of the stress relaxation
during and after the curing process. Despite of that fact,
they show difference in the compressive and tensile
behavior, in the same sense as the experimental results.
Another observed fact is, that the results of tensile
simulation are closer to those of simulation without
applying of shrinkage than those of compressive
simulation. Results of the tensile simulation are closer to
those of tensile experiment as well, than those of
compressive simulation to compressive experiment.
References
[1] Roulet, J.-F., Benefits and disadvantages of toothcoloured alternatives to amalgam, Journal of
Dentistry 6, 1997, 459-473.
[2] Hickel, R., Dash, W., Janda, R., New direct
restorative materials, Int. Dent. J. 48, 1998, 9-22.
[3] Smith, F.F., Swartz, M.L., Lee, H.L., Physical
properties of four thermosetting dental restorative
resins, Jour. Dent. Research. 48, 1969, 526-535.
28
ISBN 978-80-01-04567-1
[4] Haas, S.S., Brauer, G.M., Dickson, G., Physical A
characterization of polymethylmathacrylate bone
cement, Jour. Bone Joint Surgery 57, 1975, 380-391.
[5] Harris, B., Shrinkage stresses in glass/resin
composites, Jour. Mat. Science 13, 1977, 173-177.
[6] Hahn, H.T., Residual stresses in polymer matrix
composite laminates, Jour. Comp. Mat. 10, 1976,
266-278.
[7] Versluis, A., Tantbirojn, D., Douglas, W.H., Do
dental composites always shrink toward the light?
Jour. Dent. Rest. 77, 1998, 1335-1445.
[8] Koplin, C, Jaeger, R., Hahn, P., Kinetic model for
the coupled volumetric and thermal behavior of
dental composites, Dental Materials 24, 2008, 10171024.
[9] Atai, M., Watts, D.C., A new kinetic model for the
photopolymerization shrinkage-strain of dental
composites and resin-monomers, Dental Materials
22, 2006, 785-791.
[10] Dewaele, M., Truffier-Boutry, D., Devaux, J.,
Leloup, G., Volume contraction in photocured dental
resins: The shrinkage-conversion relationship
revisited, Dental Materials 22, 2006, 359-366.
[11] Alvarez-Gayosso, C., Barceló-Santana, F., GuerreroIbarra, J., Sáez-Espínola, G., Canseco-Martinez,
M.A., Calculation of contraction rates due to
shrinkage in light-cured composites, Dental
Materials 20, 2004, 228-235.
[12] Stansbury, J.W., Trujillo-Lemon, M., Lu, H., Ding,
X., Lin, Y., Ge, J. Conversion dependent shrinkage
stress and strain in dental resins and composites,
Dental Materials 21, 2005, 56-67.
[13] Calheiros, F.C., Daronch, M.M., Rueggeberg, F.A.,
Braga, R.R., Degree of conversion and mechanical
propertien of BisGMA:TEGDMA composite as a
function of applied radiant exposure, Journal of
Biomedical Materials Research Part B: Applied
Biomaterials 83, 2007, 503-509.
[14] Li, J., Li., H., Fok S.-J., A mathematical analysis of
shrinkage stress development in dental composite
restorations during resin polymerization, Dental
Materials 24, 2008, 923-931.
[15] Barink, M., Van der Mark, P.C.P, Fennis, W.N.M.,
Kuijs, R.H., Kreulen, C.M., Verdenschot, N.: A
three-dimensional finite element model of the
polymerization process in dental restorations,
Biomaterials 24, 2003, 1427-1435.
[16] Magne, P., Efficient 3D finite element analysis of
dental restorative procedures using micro-CT data,
Dental Materials 23, 2007, 539-548.
[17] Metehri, B., Serier, B., Bachir-Boudiadjra, B.,
Belhouari, M., Mecirdi, M.A., Numerical analysis of
the residual stresses in polymer matrix composites,
Materials and Design 30, 2009, 2332-2338.
[18] Fiedler, B., Hojo, M., Ochiai, S., The influence of
thermal residual stresses on the transverse strength
of CFRP using FEM, Composites: Part A 33, 2002,
1323-1326.
[19] Saouma, V.E., Chang, S.-Y., Sbaizero, O.,
Numerical simulation of thermal residual stresses in
Mo- and FeAl-toughened Al2O3, Composites: Part B
37, 2006, 550-555.
[20] Sbaizero, O., Pezzotti, G., Influence of residual and
bridging stresses on the R-curve of Mo- and FeAltoughened alumina, Journal of European Ceram.
Society 20, 2000, 1145-52.
[21] Yoshikawa, T., Sano, H.,Burrow, M.F.,Tagami, J.,
Pashley, D.H., Effect of dentin depth and cavity
configuration on bond strength, Jour. Dent.
Research. 78, 1999, 898-905.
[22] Sbaizero, O., Pezzotti, G., Effects of cavity
configuration on composite restoration, Oper. Dent.
29, 2004, 462-469.
[23] Sakaguchi, R.L., Bradley, D.W., Murchinson, C.F.,
Cure induced stresses and damage in particulate
reinforced polymer matrix composites: a review of
the scientific literature, Dental Materials 21, 2005,
43-46.
[24] Penn, L.S., Chou, R.C.T., Wang, A.S.D., Binieda,
W.The effect of matrix shrinkage on damage
accumulation in Composites, Journal of Composite
Materials 6, 1989, 570-586.
[25] Perreux, D., Lazuardi, D., The effects of residual
stress on the nonlinear behaviour of composite
laminates Part I. Experimental results and residual
stress assesments, Composites Science and
Technology 61, 2001, 167-175.
[26] Patki, A., Mechanical characterization of particle
reinforced dental composites, Master’s Thesis, IIT,
Chicago (July 2006).
[27] Drucker, D.C., Prager, W., Soil mechanics and
plastic analysis for limit design, Quarterly of Applied
Mechanics 10, 1952, 157-165.
29
ISBN 978-80-01-04567-1
Dynamic Nanoindentation of Bovine Intervertebral End Plate
!
"
#$$%&'(
%%
3
% %
(
[email protected]%
!;-59)
)%%
.://)
!"#
#
$ ! F $G:4/.-9-
$%
%
& % %
$%
%
"
%%
' ( %
) *+ % ,&
#'
-(./(-/ % ( "(01//23
04156/7-45/8%
( ) %
9/23%
.://)
!;!;;
%
@-A ?HI"<G 8
-.64-.1: -559#
@9A BCEJG
4::-49:-6. 9//6#
@:A EII 93FC$ 9//4#
@4A I& K KG 11-:-5/--: 9//6#
@.A E<L)&
H*$
!G !"
-/G6--8 9//5#M
(9//%
!!/ </0!/=9 ->/#
%?"@-A
$</BC
@9A ( DDB<B$
!"
% $ %@4A
@.A % ?%
%
!/04/47--8<"%
30
Preliminary Scientific Reviews
ISBN 978-80-01-04567-1
Tensegrity Structures in Engineering: Preliminary Review
V. Finotto and M. Valá#HN
Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics, Faculty of Mechanical Engineering, Czech Technical
University in Prague, Prague, Czech Republic
³$ WHQVHJULW\ V\VWHP LV HVWDEOLVKHG ZKHQ D VHW RI
discontinuous compression components interacts with a set of
continuous tensile components to define a stable volume in
VSDFH´
Abstract
The last decade witnessed a dramatic, multidisciplinary increase
in the research of tensegrity structures, which nowadays are
emerging as the structural systems of the future. In aerospace
engineering they are regarded as promising controllable
structures in applications such as robots, space telescopes, flight
simulators, antennas. In civil engineering, tensegrity structures
have been mainly proposed for domes and bridges. In
mathematics these structures led to important results in the
rigidity and stability of frameworks and in biology, tensegrity
structures have been identified as the structural mechanism
through which cells organize, interact, and function. This article
shows why tensegrity has become an interesting and promising
concept for engineering and the most important contributions in
this field.
3XJK¶VGHILQLWLRQRQO\Wakes into account two different kinds of
elements: compressive and tensile, which can be regarded as
struts and cables respectively, as shown in Fig. 1.
Cables
Struts
Keywords
Tensegrity structures, tensegrity concept, lightweight structures
1. Introduction
Throughout history, it is possible to observe that the stiffness of
most human engineering constructions is based on the pure
compression of the structural elements. We are very used to
looking at and building structures that rely primarily on
compression for support [23]. The brick wall is the classic
example: one brick is piled on top of the other. This is a
"continuous compression" structure - where the compression
created by gravity is carried from one brick to another, all the
way to the ground. The bottom brick has to be compressively
strong enough to carry all the bricks above it, and as a result
heavy structures are obtained. However if we look into nature it
is possible to find systems in which the compression is balanced
by tension, in the universe for example, gravity forces balance
inertial forces, exhibiting a harmony of both [4].
Fig.1: The regular tri-angular prism. It is the simplest tensegrity structure
in R3
2. Assembling methods
The idea of putting together several basic tensegrity modules to
build more complex structures has been also studied, for example
for double layered tensegrity frameworks [21,22]. When
assembling basic modules, care must be taken in how they are
joined. M otro [29] analyzed three possible methods:
node on node: This method joints a node from one module
with a node from another module. Such a structure does not
comply with the definition of tensegrity proposed by Pugh. Even
though, this new structure leads to the concept of contiguous strut
tensegrity grid proposed later by Wang [58,59].Some examples
of this kind of structures are the Reciprocal prism (RP) and the
Crystal-cell pyramid (CP). Skelton et al.[38] generalized this new
kind of structures by defining a class k tensegrity framework as a
tensegrity with a maximum of k compressive elements in each
node [23].
Another structure that can be seen as a balance between
compression and tension is the human body, where is possible to
see that body is in fact more like a balloon. A balloon is a classic
tensegrity structure. The skin is the "tension member" - pulling
in. The air is the "compression member" pushing out. The skin
pulls in until it balances the air pushing out, and that determines
the size of the balloon. Substitute a series of dowels for the air,
and put rubber bands in place of the balloon "skin", and you have
a classic tensegrity structure [24].
node on cable: This method breaks the cable of one module to
insert the node from another module, and therefore the structure
REWDLQHGVWLOOFRPSOLHVZLWK3XJK¶VGHILQLWLRQ([DPSOHVRIVXFK
structures are the needle tower, shown in Fig. 2 [23].
The word ³7HQVHJULW\´ GHULYHV IURP FROODSVLQJ WKH ZRUGV
"tension" and "integrity" and means that the integrity of these
class of structures depends on the balance of tension within it. A
quite intuitive description of a tensegrity was given by Fuller [17]
in his patent:
cable on cable: This method binds two cables from different
modules to create a new node without any compressive element
[23].
³,VODQGVRIFRPSUHVVLRQLQVLGHDQRFHDQRIWHQVLRQ´
Perhaps the most widely accepted definition of tensegrity is the
one proposed by Pugh [35], which is the result of merging the
definitions proposed by Fuller [17], Emmerich [13] and Snelson
[39] in their respective patents:
32
ISBN 978-80-01-04567-1
Biology inspired: Ingber [24, 25] proposed that a tensegrity
model could be used to explain how basic elements combine to
form more complex structures (self-assembly). In the human
body this model can be applied for both, the macro and micro
scale. Vogel [57] also showed that the tensegrity model can be
applied to the muscle-skeleton structures of some land animals
[23].
4. Tensegrity structures in engineering
Tensegrity structures found the largest audience among
engineers, who proposed various applications ranging from
passive to actively controlled structures. Emmerich [14]
identified a key feature of tensegrity structures namely their selftensioning property [40]. Calladine [5] was the first to rigorously
investigate this property. He classifies tensegrity structures,
which can be modelled as frames, pointing out a very interesting
fact: configurations of the tensegrity type have been predicted
theoretically as far back as in 1864 [10,40].
Fig.2: Needle Tower
3. General benefits of tensegrity structures
Static and dynamic analysis of tensegrity frameworks have
experienced a fast development over the last few decades due to
its benefits over traditional approaches in several fields such as
civil engineering, architecture [16], geometry, art and even
biology. Skelton et al. [37] summarizes these benefits as:
,QKLVSDSHUµ¶2QWKH Calculation of the Equilibrium and Stiffness
RI )UDPHV¶¶ - Clerk M axwell defines a frame as:µ¶D V\VWHP RI
lines connectiQJDQXPEHURISRLQWV¶¶DQGDVWLIIIUDPHDVµ¶RQHLQ
which the distance between any two points cannot be altered
without altering the length of one or more of the connecting lines
RI WKH IUDPH¶¶+H VKRZV WKDW D IUDPH KDYLQJ M MRLQWV (points)
requires in general 3j-6 members (lines) to render it stiff. He
points out that a simply stiff frame is statically determinate, i.e.
the force in every member of the frame sustaining any arbitrary
external loading can be calculated from the equations of
equilibrium. Calladine notes that some tensegrity structures
(modeled as frames) have fewer members than are necessary to
VDWLVI\0 D[ZHOO¶VUXOHKHQFH they should not be stiff. However
they are not mechanisms as one might expect [40].
Efficiency: It has been shown [2] that structural material is only
needed in the loads paths, so tensegrity structures, by carefully
placing the compressive elements, are capable of increasing the
resistance/weight ratio of traditional structures. Tensegrity are
also energetically efficient since their members store energy in
the form of tension or compression; the overall power needed to
actuate such structures would be small since it is partially stored
in the structure itself [27] [23].
Deployability: Stiff structures tend to have limited mobility,
but, since compressive elements in tensegrity structures are
disjoint, large displacements are allowed thus making it possible
to create deployable structures than can be stored in small
volumes. This is especially important in space applications such
as deployable antennas and masts [19, 23, 55].
M axwell anticipated such exceptions to KLV UXOH VWDWLQJ ³,Q
those cases where stiffness can be produced with a smaller
number of lines, certain conditions must be fulfilled, rendering
the case of a maximum or minimum value of one or more of its
lines [40]. The stiffness of the frame is of an inferior order, as a
small disturbing force may produce a displacement infinite in
comparison to LWVHOI´ [5]7KHFRQGLWLRQVXQGHUZKLFK0 D[ZHOO¶V
rule is violated also permit at least one state of self-stress in the
frame, which is statically indeterminate. Calladine classifies
tensegrity structures, idealized as frames, as statically and
kinematically indeterminate with infinitesimal mechanisms.
Calladine notes that in general the existence of an infinitesimal
mechanism in a frame satisfying M axwell¶V rule implies a
corresponding state of self-stress. He shows that in the absence of
prestress the mechanism thus obtained has zero stiffness. If the
assembly is prestressed, the stiffness of the infinitesimal mode is
proportional to the level of prestress. Since linear algebra is used
for this analysis, these conclusions are valid only for small
displacements [40].
Easily tunable: The existence of pre-stress in the elements of
the tensegrity allow the designer to modify its stiffness.
Therefore, the way the structure behaves when external forces are
applied as well as its natural oscillation frequency [7, 23, 28], can
be easily modified.
Easily modeled: Due to the tensegrity design rules, whichever
the external force applied to its elements, they only carry axial
forces (either tension or compression). The model used to
characterize its behavior is more reliable since it does not take
into account bending phenomena [23].
Redundant: Tensegrity can be seen as a special class of
structures whose elements may simultaneously work as sensors,
actuators and load-carrying elements. So, it is possible to have
multiple elements capable of dealing with a given task, and, in
the case one of them fails, other element can play its role and
allow the whole structure to continue working [23]. This is the
principle of smart structures, and particularly, of smart sensors
[50].
&DOODGLQH¶VSLRQHHULQJZRUNZDVFRQWLQXHGE\ Pellegrino, Tarnai,
and Hanaor who investigated tensegrity structures as members of
the pin-jointed structures class. Tarnai [53] established conditions
for statical and kinematical indeterminacy of certain pin-jointed
cylindrical structures. Pellegrino and Calladine [33] developed
matrix based methods which allow for the identification of
selfstress states and modes of inextensional deformation, for the
segregation of these modes into rigid body modes and internal
mechanisms, and for detecting when a state of selfstress imparts
first order stiffness to an inextensional mode. Hanaor [20]
classifies pin-jointed skeletal structures composed of bars and
cables in two major classes: not prestressable and prestressable.
S calability: The main mathematical properties of tensegrity
structures, not considering physical material limitations, are
given by its geometry, so they are applicable from small to large
scale [5,23].
33
ISBN 978-80-01-04567-1
7KH ³QRW SUHVWUHVVDEOH¶¶ class contains statically determinate
structures and PHFKDQLVPV 7KH ³SUHVWUHVVDEOH¶¶ FODVV FRQWDLQV
two subclasses [40].
at Purdue University [36,41,43], identifying some of their
advantages for controls applications. For example tensegrity
structures are flexible structures whose mechanics can be
accurately enough described using ordinary differential
equations, unlike classical flexible structures whose dynamics
description necessitates partially differential equations [40]. This
fact facilitates the use of modern control theory, built around
O.D.E. based models.
The first is the subclass of statically indeterminate and
kinematically determinate structures (e.g. space trusses). In such
a structure prestress is achieved by means of lack of fit. The
second subclass is that of statically and kinematically
indeterminate structures with infinitesimal mechanisms, which
depend on prestress for their geometric integrity [40]. Following
the work of Calladine, Hanaor places tensegrity structures in this
last subclass. His work is limited to small displacement, linear
static analysis. Initially, for Hanaor the bars in a tensegrity
structure are discontinuous [20], but in a later paper devoted to
formfinding and static load response of double layer tensegrity
grids [8], he acknowledges that the generalization of the
tensegrity concept might include bars connected at the joints,
struts, cables, and bars.
Additionally tensegrity structures lend themselves naturally to
integrated structure and control system design [41], since some of
their members can act as actuators or/and sensors while also
serving as load carrying elements [40]. A significant contribution
was the development of a deployment methodology for tensegrity
structures which uses equilibrium manifolds and has important
practical advantages [43], [42], [48]. For this PHWKRGRORJ\¶V
application a method for discovering equilibrium manifolds was
necessary and it was also developed [44], [46], [49]. These
manifolds have been used for deployment strategies in which the
tendons lengths are controlled such that the state space trajectory
of the system is close enough to an equilibrium manifold. The
resulting control strategies have the advantage of being both fault
tolerant and optimal with respect to various performance
measures (i.e. time of deployment, energy consumption, etc.).
The methodology was later expanded by other researchers and
implemented on experimental facilities at U.C. San Diego [34].
Rene M otro made a big step forward in tensegrity structures
research by initiating dynamics research as well as static and
dynamic experimental analysis. In a paper published in 1986
[28], M otro and his coworkers reported dynamics and nonlinear
statics experimental results obtained using a tensegrity structure
composed of 3 bars and 9 tendons. They used harmonic analysis
to identify linear PRGHOVRIWKLVVWUXFWXUH¶VG\Qamics. In the same
paper nonlinear static analysis experimental results are reported.
0 RWUR¶V ODERUDWRU\ KDV VLQFH SURGXFHG UHOHYDQW SXEOLFDWLRQV
various aspects of these structures statics [56], [26] to active
control [12]. M otro [30] defines tensegrity structures as systems
composed of two sets of elements: a continuous set of cables, and
a discontinuous set of rectilinear bars [40]. The whole defines a
reticulated space structure in state of self-stress such as tension is
exclusively carried out by cables and compression by struts.
Hence he GRHV QRW GHSDUW PXFK IURP )XOOHU¶V LQLWLDO GHILQLWLRQ
M otro remarks that some structures are very close to this
definition but they don't fit exactly all the conditions [30]. In
some cases the rectilinear components are replaced by rigid
bodies, in others the rectilinear members are touching each other
E\ HQGV ,Q 0RWUR¶V YLHZ HYHQ LI WKH\ ZHUH LQVSLUHG by the
tensegrity concept, the so-FDOOHG ³WHQVHJULF GRPHV¶¶ RU ³FDEOHGRPHV¶¶ GR QRW VWULFWO\ EHORQJ WR WKH WHQVHJULty systems class
[40].
The field of controllable tensegrity structures quickly expanded
through various contributions. In the area of deployable
tensegrity structures Tibert and Pellegrino [54] proposed the use
of telescopic struts for deployment control for spacecraft
antennas applications. Sultan et al. [45] designed a nonlinear
tracking controller for an aircraft simulator in which the motion
base is a tendon controlled tensegrity structure. Sultan et al. [44]
developed a peak-to-peak controller using LM Is techniques for
an adaptive space telescope. Other areas have been explored for
tensegrity applications, like sensors [50], robots, [1], antennas
[12].
The field of civil engineering has recently tried a great challenge
building a tensegrity bridge in Australia. The bridge is called
Kurilpa Bridge, and is a multiple-mast, cable-stay structure based
on principles of tensegrity producing a synergy between balanced
tension and compression components to create a light structure
that is incredibly strong. The bridge is 470m long with a main
span of 120m and features two large viewing and relaxation
platforms, two rest areas, and a continuous all-weather canopy
for the entire length of the bridge. [3]. A canopy is supported by a
secondary tensegrity structure. It is estimated that 550 tons of
structural steel including 6.8 km of spiral strand cable are
incorporated into the bridge, as can b e seen in Fig 3.
I. J. Oppenheim and W. O. Williams approached tensegrity
structures from a slightly enlarged perspective, introducing more
sophisticated models in which damping effects are considered.
Their work focuses on nonlinear statics and dynamics analytic
investigations, searching for closed form solutions/formulas. In
their papers [31,32], WHQVHJULW\ VWUXFWXUHV µ¶RI JUHDWHVW LQWHUHVW¶¶
are defined as form-finding, under-constrained structural
systems, prestressable while displaying an infinitesimal flexure
even though the constituent elements are not deformable [40].
They made important theoretical contributions, proving that, due
to the existence of infinitesimal mechanisms, these structures are
inherently lightly damped: if only linear kinetic tendon damping
is considered the energy rate of decay of such a system is lower
than the exponential rate, characteristic of a linearly damped
system. On the other hand linear kinetic damping at the joints
results in exponential rate of decay, hence indicating a way to
improve their damping characteristics [40]. These results were
later confirmed using more sophisticated models by Sultan et al.
[47].
The next big step for tensegrity structures was made possible by
advances in modern control which enabled the introduction of
control theory in these structures research. Skelton and Sultan
initiated controllable tensegrity structures research in mid 1990s
Fig.3: Kurilpa Bridge
34
ISBN 978-80-01-04567-1
DQG³VRIW´HOHPHQWVPLFURILODPHQWVDQG intermediate filaments)
intertwined in a network balanced through internal forces and
cellular adhesions. Past approaches to understanding cell
mechanics focused on the contributions of membranes, the
viscous cytoplasm, and the individual biopolymers that are found
within the cytoskeleton. Advanced models of the continuum type
include a two-compartment model comprised of an elastic
cortical membrane and a viscous or viscoelastic cytoplasm [18].
Although useful for the quantification of cell viscoelastic
parameters, these models do not take into account the existence
of the internal cytoskeleton and its known role in bearing both
static [60] and dynamic [15] mechanical loads within cells. The
cellular tensegrity model assumes that contractile microfilaments
and intermediate filaments carry a stabilizing tensile stress
³SUHVWUHVV´ within the cytoskeleton that is balanced by internal
microtubules and by extracellular adhesions [40].
Despite the growing number of theoretical contributions, the field
of controllable tensegrity structures faces many obstacles on its
path to large scale, cost effective practical implementations,
especially due to the complexity of these structures actuation
[40,52].
5. Tensegrity Frameworks in Mathematics
,QVSLUHG E\ 6QHOVRQ¶V WHQVHJULW\ VWUXFWXUHV VHYHUDO
mathematicians (Whiteley, Connelly, Roth) extended the concept
to a class of mathematical objects they called tensegrity
frameworks. They define a tensegrity framework as an ordered
finite collection of points in Euclidean space, with certain pairs of
these points, called cables, constrained not to get further apart,
certain pairs, called struts, constrained not to get closer together,
and certain pairs, called bars, constrained to stay the same
GLVWDQFHDSDUW¶¶[9,10].
Thus, this model differs from continuum models of the cell in
that it proposes a critical stabilizing role for cytoskeletal prestress
in cell mechanics, and it predicts that specific molecular elements
within the cytoskeleton elements will bear either tension or
compression. M athematical formulations of tensegrity models,
starting from first principles, have shown qualitative and
quantitative consistencies with static experimental results in
various cell types [11,60,61]. For example, in living airway
smooth muscle cells sti ffness increases nearly in proportion as
the level of cytoskeleton contractile stress is raised, a feature
which is consistent with a priori predictions of the tensegrity
model. Recently advances have been made in using cellular
tensegrity models to explain the dynamics of the cell. Cañadas
[6] used a tensegrity structure with viscoelastic elements as a
model of the cytoskeleton to analyze creep behavior of cells.
Sultan et al. [51] showed that quantitative and qualitative
frequency response agreement between a cellular tensegrity
model and experimental results on cells is possible [40].
This definition allows for rigid to rigid connections at a vertex as
well as for networks composed of tendons only (e.g. spider webs)
[10]. The definition includes only rectilinear, one dimensional
elements (bars, struts, and cables). In their work the details of the
material properties and the member loads are not important, the
approaches used being independent of them [8].
A very important result derived by Connelly and co-workers is a
hierarchical classification of frameworks with respect to rigidity
properties as follows: first-order rigidity implies prestress
stability implies second-order rigidity implies rigidity, with none
of these implications being reversible. A tensegrity framework is
infinitesimally rigid if the only smooth motion of the vertices,
such that the first derivative of each member length is consistent
with the constraints, has its derivative at time zero equal to that of
the restriction of a congruent motion of Euclidean space [40]. A
tensegrity framework is prestress stable if it has a proper strict
self-stress (meaning that the stress in each cable is condition on
the bars) such that a certain energy function, defined in terms of
the stress and defined for all configurations has a local minimum
at the given configuration, and this minimum is a strict local
minimum up to congruence of the whole framework [40].
7. Conclusions
Tensegrity structures slowly but surely established themselves as
structural systems of major research interest in as disparate fields
as engineering, mathematics, and biology, enabling significant
advances in controllable structures, frameworks theory, and cell
mechanics. We hope this article serve as a comprehensive
reference for the study of such fascinating structures as tensegrity
are, and will help and encourage new researchers to understand
and contribute in this area.
A tensegrity framework is second order rigid if every smooth
motion of the vertices, which does not violate any member
constraint in the first and second derivative has its first derivative
trivial (its first derivative is the derivative of a one parameter
family of congruent motions) [40]. Lastly a tensegrity framework
is rigid if each continuous motion of the points satisfying all the
constraints is the restriction of the ambient Euclidean space. (see
[9] for details). Another useful concept is that of superstable
frameworks, introduced in order to satisfy the observation that
some frames are stable in plane but unstable in 3D space. A
superstable framework does not loose its rigidity if the dimension
of the space is increased and it is defined as a tensegrity
framework in which any comparable configuration of vertices
either violates one of the distance constraints or else is congruent
to the original [10]. Connelly and co-workers used group and
representation theory which led to a complete catalogue of
tensegrity frameworks with prescribed symmetries [10].
8. References
[1]Aldrich, J. B., Skelton, R. E., and Kreutz-Delgado K., Control
Synthesis for a Class of Light and Agile Robotic Tensegrity
Structures, Proceedings American Control Conference, vol. 6,
2003, 5245-5251.
[2] Bendsoe, M ., Kikuchi, N., Generating optimal topologies in
structural design using a homogenization method, Journal of
Computer M ethods in Applied M echanics and Engineering 71,
1988, 197±224.
[3] Beattie, P., Schwarten, R., Tank Street Bridge design
unveiled. M inisterial media statements of Queensland
government, 2008.
6. Tensegrity Structures in Cell Biology
The tensegrity concept was further exploited and expanded by
biologists and bio-medical engineers (Ingber, Stamenovic,
Canadas, Wendling) who started to advocate for a model of the
cytoskeleton based on tensegrity structures. Such a model is
strongly motivated by the VWULNLQJUHVHPEODQFHEHWZHHQWKHFHOO¶V
cytoskeleton and a tensegrity structure: like a tensegrity structure,
the F\WRVNHOHWRQLVFRPSRVHGRI³KDUG´HOHPHQWV (microtubules),
[4]Burkhardt, R., A practical guide to tensegrity design.
Cambridge University Press, 2005.
35
ISBN 978-80-01-04567-1
[23] Hernandez S., Tensegrity frameworks: Static analysis
review. M echanism and machine theory CODEN MHMTAS,
vol. 43, no7, 2008, 859-881.
[5]Calladine, C. R., Buckminster Fuller's Tensegrity Structures
and Clerk M axwell's Rules for the Construction of Stiff
Frames, International Journal of Solids and Structures, vol. 14,
1978, 161- 172.
[24] Ingber, D., Cellular tensegrity: defining new rules for
biological design that govern the cytoskeleton. Journal of Cell
Science 104, 1993, 613± 627.
[25] Ingber, D., Architecture of life. Scientific American 52,
1998, 48±57.
[6]Cañadas, P. V., et al., A Cellular Tensegrity M odel to Analyze
the Structural Viscoelasticity of the Cytoskeleton, Journal of
Theoretical Biology, vol. 218, 2002, 155-173.
[7] Chan, W., Arbelaez, D., Bossens, F., Skelton, R., Active
vibration control of a three-stage tensegrity structure. In: SPIE
11th Annual International Symposium on Smart Structures
and M aterials. San Diego, 2004.
[26] Kebiche, K., Kazi-Aoual M . N, M otro R., Geometrical
Nonlinear Analysis of Tensegrity Systems, Journal of
Engineering Structures, vol. 21, 1999, 864-876.
[8]Connelly, R., Whiteley, W., The Stability of Tensegrity
Frameworks, International Journal of Space Structures, vol. 7
(2), 1992, 153-163.
[27] Levin, S., The tensegrity-truss as a model for spinal
mechanics: Biotensegrity. Journal of M echanics in M edicine
and Biology 2 (3), 2002.
[9]Connelly, R., Whiteley, W., Second-Order Rigidity and
Prestress Stability for Tensegrity Frameworks, SIAM Journal
of Discrete M athematics, vol. 9 (3), 1996, 453-491.
[28] M otro, R., Najari, S., Jouanna, P., Static and Dynamic
Analysis of Tensegrity Systems, Proceedings of ASCE Intl.
Symposium on Shells and Spatial Structures, Computational
Aspects, 1986, 270-279.
[10] Connelly, R., Back, A., M athematics and Tensegrity,
American Scientist, vol. 86 (2), 1998, 453-491.
[29] M otro, R., Tensegrity systems: the state of the art. Journal of
Space Structures 7 (2), 1992, 75±83.
[11] Coughlin M . F., Stamenovic, D., A Tensegrity Structure
with Buckling Compression Elements: Application to Cell
M echanics, ASM E Journal of Applied M echanics, vol. 64,
1997, 480-486.
[30] M otro R., Structural M orphology of Tensegrity Systems,
International Journal of Space Structures, vol. 11 (1 and 2),
1996, 25-32.
[12] Djouadi, S., M otro, R., Pons, J. C., Crosnier, B., Active
Control of Tensegrity Systems, ASCE Journal of Aerospace
Engineering, vol. 11 (2), 1998, 37-44.
[31] Oppenheim, I. J., Williams, W. O., Vibration and Damping
in Tensegrity Structures, ASCE Journal of Aerospace
Engineering, vol. 14 (3), 2001, 85-91.
[13] Emmerich, D.,Constructions de reseaux autotendantes.patent
no. 1.377.290, 1963.
[32] Oppenheim I. J., Williams W. O., Vibration of an Elastic
Tensegrity Structure, European Journal of M echanics
A/Solids, vol. 20 (6), 2001, 1023-1031.
[14] Emmerich, D.G., Emmerich on Self-tensioning Structures,
International Journal of Space Structures, vol. 11 (1 and 2),
1996, 29-36.
[33] Pellegrino, S., Calladine, C. R., M atrix Analysis of
Statically and Kinematically Indetermined Frameworks,
International Journal of Solids and Structures, vol. 22 (4),
1986, 409-428.
[15] Fabry B., M aksym G. N., Butler J. P., Glogauer M ., Navajas
D., Fredberg J.J., Scaling the M icrorheology of Living Cells,
Phys. Rev. Lett., vol. 87, 2001, 148102.
[16] Fu, F., Structural behavior and design methods of tensegrity
domes. Journal of Constructional Steel Research 61 (1), 2005,
23±35.
[34] Pinaud, J. P., M asic, M ., Skelton, R. E., Path Planning for
the Deployment of Tensegrity Structures, Proceedings of SPIE
International Symposium on Smart Structures and M aterials,
2003.
[17] Fuller, R., Tensile-integrity structures. United States Patent
3063521, 1962.
[35] Pugh, A., An introduction to tensegrity. University of
California Press. 1976.
[18] Fung Y. C., Liu S. Q., Elementary M echanics of the
Endothelium of Blood Vessels, ASM E Journal of
Biomechanical Engineering, vol. 115, 1993, 1-12.
[36] Skelton R. E., Sultan C., Controllable Tensegrity, a New
Class of Smart Structures, Proceedings SPIE Intl. Symposium
on Smart Structures and M aterials, vol. 3039, 1997, 166-177.
[19] Furuya, H., Concept of deployable tensegrity structures in
space applications. Journal of Space Structures 7 (2), 1992,
143±151.
[37] Skelton, R., Helton, J., Adhikari, R., Pinaud, J., Chan, W.,
An introduction to the mechanics of tensegrity structures. In:
Proceedings of the 40th IEEE conference on Decision and
control, 2001, 4254±4258
[20] Hanaor, A., Prestressed Pin-jointed Structures - Flexibility
Analysis and Prestress Design, Computers and Structures, vol.
28 (6), 1988, 757-769.
[38] Skelton, R., Helton, J., Adhikari, R., Pinaud, J., Chan, W.,
An introduction to the mechanics of tensegrity structures.
CRC Press, Ch. 17, 2002.
[21] Hanaor, A., Aspects of design of double layer tensegrity
domes. Journal of Space Structures 7 (2), 1992, 101±113.
[39] Snelson, K., Continuous tension, discontinuous compression
structures. United States Patent 3169611, 1965.
[22] Hanaor, A., Geometrically rigid double-layer tensegrity
grids. Journal of Space Structures 9 (4), 1994, 227±238.
36
ISBN 978-80-01-04567-1
[56] Vassart, N., M otro, R., M ultiparametered Formfinding
M ethod: Application to Tensegrity Systems, International
Journal of Space Structures, vol. 14 (2), 1999, 147-154.\
[40] Sultan, C., Tensegrity structures research evolution
Proceedings of the 45th IEEE Conference on Decision &
Control M anchester Grand Hyatt Hotel San Diego, CA, USA,
2006.
[57] Vogel, S., &DWV¶3DZs and Catapults: M echanical worlds of
nature and people. WW Norton & Company, 1998.
[41] Sultan, C., Skelton, R. E., Integrated Design of Controllable
Tensegrity
Structures,
Proceedings
ASM E
Intl.
M echanicalEngineering Congress and Exposition, vol. 54,
1997, 27-37.
[58] Wang, B.B., Cable-strut systems: Part i - tensegrity. Journal
of Constructional Steel Research 45 (3), 1998, 281±289.
[42] Sultan, C., Skelton R. E., Tendon Control Deployment of
Tensegrity Structures, Proceedings of SPIE Intl. Symposium
on Smart Structures and M aterials, 1998.
[59] Wang, B.B., Cable-strut systems: Part ii - cable-strut.
Journal of Constructional Steel Research 45 (3), 1998, 291±
299.
[43] Sultan, C., M odeling, Design and Analysis of Tensegrity
Structures with Applications, Ph.D. Dissertation, Purdue
University, West Lafayette, IN, USA, 1999.
[60] Wang, N., et al., M echanical Behavior in Living Cells
Consistent with the Tensegrity M odel, Proceedings Nat. Acad.
Science U SA, vol. 98, 2001, 7765-7770.
[44] Sultan C., Corless, M ., Skelton, R. E., Peak to Peak Control
of an Adaptive Tensegrity Space Telescope, Proceedings of
SPIE Symposium on Smart Structures and M aterials, vol.
3667, 1999, 190-201.
[61] Wendling, S., Oddou, C., Isabey, D., Stiffening Linear
Response of a Cellular Tensegrity M odel, Journal of
Theoretical Biology, vol. 196, 1999, 309-325.
[45] Sultan, C., Corless, M ., Skelton, R. E., Tensegrity Flight
Simulator, AIAA Journal of Guidance, Control, and
Dynamics, vol. 23, 2000, 1055-1064.
[46] Sultan, C., Corless, M ., Skelton, R. E., The Prestressability
Problem of Tensegrity Structures. Some Analytical Solutions,
International Journal of Solids and Structures, vol. 38-39,
2001, 5223-5252.
[47] Sultan, C., Corless, M ., Skelton, R. E., Linear Dynamics of
Tensegrity Structures, Journal of Engineering Structures, vol.
26 (6), 2002, 671-685.
[48] Sultan, C., Skelton, R. E., Deployment of Tensegrity
Structures, International Journal of Solids and Structures, vol.
40 (18), 2003, 4637-4657.
[49] Sultan, C., Skelton R. E., Tensegrity Structures
Prestressability Investigation, International Journal of Space
Structures, vol. 18 (1), 2003, 15-30.
[50] Sultan C., Skelton R. E., A Force and Torque Tensegrity
Sensor, Sensors and Actuators Journal: A. Physical, vol.
112/2-3, 2004, 220-231.
[51] Sultan, C., Ingber D. E., Stamenovic, D., A Computational
Tensegrity M odel Explains Dynamic Rheological Behaviors
of Living Cells, Annals of Biomedical Engineering, vol. 32
(4), 2004, 520-530.
[52] Sultan, C., Tensegrity: From Avant-garde Art to Next
Generation Controllable Structures, Proceedings of the World
Conference on Structural Control, 2006.
[53] Tarnai, T., Simultaneous Static and Kinematic
Indeterminacy of Space Trusses with Cyclic Symmetry,
International Journal of Solids and Structures, vol. 16 (4),
1980, 347-359.
[54] Tibert, G., Pellegrino, S., Deployable Tensegrity Reflectors
for Small Satellites, AIAA Journal of Spacecraft and Rockets,
vol. 39 (5), 2002, 701-709.
[55] Tibert, A., Deployable tensegrity structures for space
applications. Ph.D. thesis, Royal institute of technology, 2003.
37
ISBN 978-80-01-04567-1
$NWLYQt t]HQtYR]LGODYHVP\NX± SHKOHGSUREOHPDWLN\
-.LYRKODYê, M.9DOiãHN
Division of mechanics and Mechatronics, Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics, Faculty of
Abstract
7DWR SUiFH VH ]DEêYi SHKOHGHP SUREOHPDWLN\ QiYUKX metody
XUþHQtVWDELOQtFKSRGPtQek pro SU$MH]GYR]LGOD]DWiþNRu smykem
DMHKRt]HQtP3HKOHGHPPRGHO$YR]LGODDPRGHO$SQHXPDWLN\.
jejiFKDSOLNDFH1HMþDVWMãtDQHMMHGQRGXããtPRGHOYR]LGODMHW]Y
MHGQRVWRSêOLQHiUQtPRGHOMHQåV GRVWDWHþQRXSHVQRVWtY\KRYXMH
StSDG$PHãtFtFKURYLQQêSRK\EYR]LGODY QLåãtFKU\FKORVWHFKD
s DEVHQFtSUXGNêFKPDQpYU$7HQWRPRGHOMHSRXåLWY þOiQNX[4].
9\ããtPRGHOMHGYRXVWRSêQHOLQHiUQtURYLQQêPRdel (2EUi]HN1),
MHQåMHVFKRSHQSRVN\WQRXWLQIRUPDFHRVWDYHFKQDMHGQRWOLYêFK
NROHFK D SURWR MH YKRGQê SUR PRGHO\ XUþHQp N t]HQt
VWDELOL]DþQtFKV\VWpP$MDNRQDS v [1].
'YRXVWRSê QHOLQHiUQt SURVWRURYê PRGHO MH YKRGQê Y StSDGHFK
NG\ MDNR DNþQt þOHQ GR t]HQt YVWXSXMt DNWLYQt WOXPLþH þL
VWDELOL]iWRU\, NWHUp GRNiåRX Y\OHSãLW RYODGDWHOQRVW YR]LGOD
]PtUQQtP MHKR QiNORQ$ Y ]DWiþNiFK 7RPXWR WpPDWX VH YQXMH
þOiQHN [6]. 3URVWRURYê WDNp poskytuje informace R ]PQiFK
v UR]ORåHQt ]DWtåHQt QD MHGQRWOLYi NROD SL G\QDPLFNêFK
PDQpYUHFK3UiY]PQDUR]ORåHQtY ]DWtåHQtMHGQRWOLYêFKNROPi
velkêYê]QDPSURXUþHQtERþQtFKVLO DSURWRMHWHQWRPRGHOQXWQê
SURSRWHE\EXGRXFtKRHãHQtt]HQtYR]LGODYe smyku.
Keywords
QHOLQHiUQtPRGHOSQHXPDWLN\URYLQQêQHOLQHiUQtPRGHOYR]LGOD
000GLDJUDP0LOOLNHQRYDPRPHQWRYiPHWRGDVWDFLRQiUQt
SU$MH]G smyk vozidla, skluz pneumatiky
Abstract in English
This study is an attempt to review of problems design a method
determining steady state conditions for control of vehicle drifting
in a curve. Review of vehicle models and tire models.
Keywords in English
non-linear tire model, planar non-linear vehicle model, MMM
diagram, 0LOOLNHQVPRPHQWPHWKRGstationary vehicle drifting,
YHKLFOHVVLGHVOLS tire slip
ÒYRG
t]HQtSU$MH]GX]DWiþNRXYR]LGODVP\NHPMHREODVWt]HQtNWHUi
v DXWRPRWLYH DSOLNDFtFK GRVXG QHQt QLNWHUDN LQWHQ]LYQ
UR]YtMHQD '$YRGHP MH Y\VRNi PtUD QHVWDELOLW\ D H[WUpPQt
QHOLQHDULWDWDNRYpKRV\VWpPX3RNXGE\VHSRGDLORQDMtW]S$VRE
NWHUêP O]H XUþLW VWDELOQt VWDY\ YR]LGOD NWHUp VH QDFKi]t MLå
v REODVWL VP\NX PRKOR E\ WRWR t]HQt YR]LGOR QDYpVW SUiY GR
WFKWR VWDY$ D WtP KR VWDELOL]RYDW -LQêP PRåQêP XSODWQQtP
WRKRWRStVWXSXMHLPRåQRVW]iPUQpKR Y\YROiQtVP\NXNWHUêE\
byl GiOHXGUåRYiQD NRQWURORYiQ
1iYUKUHJXOiWRUXSURWDNRYpSRXåLWtVHRStUi]HMPpQDRY\WYRHQt
QHOLQHiUQtKR PRGHOX YR]LGOD D PRGHOX SQHXPDWLN\ MHå MVRX
VFKRSQ\ VSUiYQ SRSVDW SUiY QHOLQHiUQt VWDY\ YR]LGOD ýDVWR
Y\XåtYDQi YROED MHGQRVWRSpKR PRGHOX YR]LGOD VSROHþQ
s OLQHiUQtP PRGHOHP SQHXPDWLN\ MH N QiYUKX WRKRWR t]HQt
QHYKRGQi
-HOLNRåMVRXYR]LGOD]SUDYLGODRVD]HQDYWãtPPQRåVWYtPVHQ]RU$
D SRþHW DNWLYQtFK SUYN$ MH WDNp YWãt tGLFt V\VWpP EXGH W\SX
0,02 3UR WHQWR V\VWpP MH QXWQp QDYUKQRXW UHJXODþQt VP\þN\
PH]LMHGQRWOLYêPLDNWXiWRU\DVHQ]RU\
1HMYWãtP SUREOpPHP MH MDNêP ]S$VREHP D MHVWOL Y$EHF O]H
stanovit stabLOQtVWDY\SRSLVXMtFtYR]LGORYHVP\NX PriY]S$VRE
LGHQWLILNDFH VSROHþQ V QiYUKHP t]HQt EXGH SHGPWHP
EXGRXFtKR]iMPX
3UiFHVHVHVWiYi]H þW\ þiVWtNWHUpVHYQXMtPRGHO$PYR]LGODD
SQHXPDWLN\]S$VRE$PLGHQWLILNDFHVWDELOQtFKVWDY$DVWDYRYêFK
SURPQQêFK YR]LGOD a nakonec PRåQRVWHP t]HQt WUDMHNWRULH
YR]LGODþLMHKRVWDELOL]DFH
2EUi]HN1. 'YRXVWRSêQHOLQHiUQtURYLQQêPRGHOYR]LGOD
-DNR QHOLQHiUQt PRGHO SQHXPDWLN\ NWHUê MH SRWHEQê N XUþHQt
ERþQtFKVLOSLVP\NXMHY OLWHUDWXHPLPRMLQpXYiGQ 3DFHMN$Y
model pneumatiky [4], þi model TMeasy a daOãt. 3HV H[LVWHQFL
PQRKD PRGHO$ SQHXPDWLN SRSVDQêFK Y OLWHUDWXH VH MHYt MDNR
SUDYGSRGREQQHMSHVQMãtSRXåtWQDPHQpKRGQRW\] UHiOQêFK
WHVW$ SQHXPDWLN 7tPWR ]S$VREHP Y\WYRHQi /RRN-up tabulka
GiYiYHOPLSHVQpKRGQRW\ERþQtVtO\SQHXPDWLN\YHVP\NX
Stabilita a ovladatelnost vozidla
=HMPpQD XUþHQt PtU\ VWDELOLW\ YR]LGOD MH G$OHåLWp V ohledem na
PRåQRVW t]HQt MHKR pohybu. Z GRVWXSQêFK ]GURM$ MH ]HMPp åH
]HMPpQD REODVW NG\ VH SQHXPDWLN\ YR]LGOD QDFKi]HMt Y oblasti
VNOX]X MH SRYDåRYiQD ]D REODVW VWULNWQ QHVWDELOQt =S$VRE MDN
W\WR REODVWL LGHQWLILNRYDW QDEt]t þOiQN\ [3] a [5]. 3UYQt StVWXS
VSRþtYiYHY\WYRHQtIi]RYpKRGLDJUDPXMHåMHWYRHQNLYNDPL
NWHUpXUþXMtVWDELOQtDQHVWDELOQtREODVWLYR]LGODSURU$]QpKRGQRW\
VWDYRYêFK SDUDPHWU$ 9R]LGOR MH SUR SHGHP GHILQRYDQRX
U\FKORVWDSRþiWHþQtSRGPtQN\\DZ-UDWHD~KHOVPURYp~FK\ON\
ÚSRQHFKiQYROQpPXSRhybu. Pokud vozidlo konverguje k bodu
URYQRYiK\MHYR]LGORVWDELOQt1HYêKRGRXWRKRWRStVWXSXMHåH
SRK\E YR]LGOD MH SRQHFKiQ EH] ]iVDK$ LGLþH D FHOê GLDJUDP je
SURYHGHQ SUR MHGQX NRQVWDQWQt U\FKORVW 7HG\ GLDJUDP
1iYUKWYRUE\PRGHOXYR]LGODDSQHXPDWLN\
V REODVWL PRGHORYiQt YR]LGHO SUR MHMLFK G\QDPLNX MH PRåQp
v OLWHUDWXH QDMtW QNROLN StVWXS$ MHQå VH OLãt SRGOH ]S$VREX
38
ISBN 978-80-01-04567-1
IGHQWLILNDFHVWDYRYêFKSURPQQêFK
3UR t]HQt SRK\EX YR]LGOD VPHNHP MH ]DSRWHEt ]QiW GRVWDWHþQ
SHVQVWDYYR]LGODSRSVDQêGYRMLFtVWDYRYêFKSURPQQêFK DWR
~KOHPVPURYp~FK\ON\DU\FKORVWVWiþHQtYR]LGODñ6 . ýOiQHN[1]
XYiGt VWDQRYHQt ~KOX VPURYp ~FK\ON\ SRPRFt VWDYRYpKR
pozorovatele a Kalmanova filtru. Rovnice (1), je rovnice
OLQHiUQtKRVWDYRYpKRSR]RURYDWHOH
QHUHVSHNWXMH]PQ\U\FKORVWLEKHP PDQpYUXTento diagram je
]REUD]HQQDREUi]NX2EUi]HN2'UXKêPGLJUDPHP, z NWHUpKRMH
PRåQR SRVRXGLW RYODGDWHOQRVW D VWDELOLWX YR]LGOD, je MMD
(Miliken Moment Diagram). Tento GLDJUDPMHY\WYRHQPHWRGRX
popsanou v Princip QDYUKRYDQpPHWRG\MHQiVOHGXMtFt1XFHQêP
WHVWHP VH ]tVNDMt KRGQRW\ UHDNþQtFK VLO YR]LGOD Y XVWiOHQêFK
VWDYHFK SRSVDQêFK ~KOHP VPURYp ~FK\ON\ D ~KOHP t]HQt
Z WFKWR KRGQRW VH XUþt KRGQRW\ ERþQtKR ]U\FKOHQt D VWiþLYpKR
momentu. Z WDNWR XUþHQêFK VWDYRYêFK ERG$ VH Y\WYRt 00'
+UDQLFH WRKRWR GLDJUDPX WYRt OLPLW\ ERþQtFK VLO QD
SQHXPDWLNiFK
TÜ = #TÜ + $Q + -K>O :U F %TÜ F &Q;
(1)
Pro ryFKOHMãtSRK\EYR]LGODDSUXGNp]PQ\VPUXVHYãDk tento
pozorovatel ukazuje, v SRURYQiQtV QDPHQêPLKRGQRWDPLMDNR
QHStOLãYKRGQê/HSãtYêVOHGN\SRGiYiDGDSWLYQtVWDYRYê
pozorovatel. 1LFPpQQHMOHSãtSURWRWRMH.DOPDQ$YILOWU.
=DMtPDYêQiYUKXUþHQtUHiOQêFKVWDYRYêFKSURPQQêFK
PHQtPMH]PtQQY þOiQNX[4]. 3HVQêRGKDGVWDYRYêFK
SURPQQêFKSRSLVXMtFtFKt]HQêV\VWpPO]HGRViKQRXWLQWHJUDFt
V\VWpPX*36*OREDO3RVLWLRQLQJ6\VWpPY kombinaci s INS
,QHUWLDO1DYLJDWLRQ6\VWpP.RPELQDFHWFKWRGYRXV\VWpP$
XPRåXMHSHVQpXUþHQt~KOXVPURYp ~FK\ON\DU\FKORVWLVWiþHQt
vozidla ñ6 %RKXåHOMH]GHWDWRP\ãOHQNDSRX]HNRQVWDWRYiQDD
SRGSRHQDWHVW\QDUHiOQpPYR]LGOHDQHQtXYHGHQSHVQê]S$VRE
LPSOHPHQWDFHV\VWpP$D]S$VREXUþHQtVWDYRYêFKSURPQQêFK
1iYUKt]HQt
3UREOpPQiYUKXt]HQtP$åHPHY ]iVDGUR]GOLWGRGYRXVNXSLQ
3UYQt VNXSLQRX tGtFtFK PHWRG MVRX t]HQt QDYUåHQi SUR t]HQt
SRK\EX YR]LGOD SR SRåDGRYDQp WUDMHNWRULL W]Y Trajectory
tracking control problem. 3RåDGDYNHP MH DE\ VH QMDNê
refeUHQþQt ERG ]YROHQê QD YR]LGOH SRK\ERYDO FR QHMEOtåH
QDYUåHQp WUDMHNWRULH =SWQi YD]ED SDN REVDKXMH LQIRUPDFH R
UR]GtOX UHIHUHQþQtKR ERGX RG WpWR GUiK\ - error feedback,
2EUi]HN41iYUKWDNRYpKRt]HQtMHSHGPWHPþOiQNX[2].
2EUi]HN2)i]RYêGLDJUDP~KOXVPURYp~FK\ON\DMHMt~KORYpU\FKORVWL
pro nulovou hodnRWX~KOXt]HQt [3]
Z GLDJUDPX O]H WHG\ VQDGQR XUþLW, MDN GDOHNR VH SL MDNpP VWDYX
QDFKi]tPH RG KUDQLFH SLOQDYRVWL 9\OHSãHQtP PRåQRVWL
Y\KRGQRFHQt VNXWHþQpKR PDQpYUX V RKOHGHP QD VWDELOLWX QDEt]t
þOiQHN [6]. 'R GLDJUDPX VH Y\NUHVOt GDWD ] SURYHGHQpKR
G\QDPLFNpKR PDQpYUX NWHUi Y WRPWR GLDJUDPX Y\WYRt NLYNX
2GVWXS NLYN\ RG KUDQLFH GLDJUDPX MH SDN PRåQR SRYDåRYDW ]D
PtUXVWDELOLW\8UþXMHWDNpMDNVHYR]LGORSLEOtåLORVYêPOLPLW$P
ovladatelnosti a stabiliW\ 7DNWR Y\WYRHQê GLDJUDP MH ]REUD]HQ
QDREUi]NX2EUi]HN3.
2EUi]HN4. Trajectory tracking control [2]
V þOiQNX MH WDNp SRSViQ ]S$VRE RGVWUDQQt VLQJXODULW\ NG\ VH
UHIHUHQþQtERGQDFKi]tStPRQDSRåDGRYDQpWUDVHDWHG\]SWQi
YD]EDMHQXORYi1DYUåHQpt]HQtMHUREXVWQtDVWDELOQt Pro tento
GUXKt]HQtVH SRXåtYi QHOLQHiUQt]SWQRYD]HEQtt]HQta K\EULGQt
NRQWUROQtV\VWpP\.
'UXKRXVNXSLQRXtGtFtFKPHWRGMVRXt]HQtQDYUåHQiSURt]HQt
VWDELOLW\ YR]LGOD 7HG\ t]HQt YR]LGOD QDFKi]HMtFtKR VH na limitu
RYODGDWHOQRVWL NG\ ~NROHP t]HQt MH YR]LGOR VWDELOL]RYDW D
]DFKRYDW MHKR GDOãt LGLWHOQRVW 7RPXWR SUREOpPX VH YQXMt
þOiQN\ [1,4,6]. 1DYUKRYDQi t]HQt MVRX t]HQt sliding mode
control a SHVQi linearizace. 1iP\ IRUPXORYDQê SUREOpP EXGH
Y\åDGRYDW QiYUK t]HQt NWHUp SURYHGH VWDELOL]DFL YR]LGOD YH
VP\NXQDXUþLWpWUDMHNWRULL
2EUi]HN3. Milliken Moment Diagram s G\QDPLFNRXWUDMHNWRULt[5]
1HYêKRGRX MH RSW NRQVWDQWQt U\FKORVW SUR FHOê GLDJUDP L
Y\NUHVOHQêPDQpYU
7\WR ]S$VRE\ KRGQRFHQt VWDELOLW\ D RYODGDWHOQRVWL MVRX YãDN
]DORåHQ\ SRX]H QD KRGQRFHQt U\FKORVWL VWiþHQt YR]LGOD QHER
vHOLNRVWLVWiþLYpKRPRPHQWX1HQtWHG\Y\ORXþHQRåHYKRGQêP
t]HQtPE\E\ORPRåQRGRViKQRXWVWDELOQtKRSRK\EXYR]LGOD
ZiYU
Kriticki UHãHUãH V WpPDWHP DNWLYQt t]HQt YR]LGOD ]DWiþNRX
smykem E\OD Y\WYRHQD z 5 þOiQN$. Vzhledem k YHONpPX SRþWX
HãHQêFK SUREOpP$ EXGH YKRGQp GiOH VH WtPWR SHKOHGHP
]DEêYDW 6QDKRX E\OR SHGHYãtP QDOp]W QNWHUp PHWRGy k XUþHQt
PtU\ RYODGDWHOQRVWL D VWDELOLW\ YR]LGOD Y OLPLWQtFK VLWXDFtFK
1HSRGDLORVHYãDNQDOp]WåiGQRXPHWRGXNWHUiE\Eyla VFKRSQi
39
ISBN 978-80-01-04567-1
SRSVDW VWDY YR]LGOD NWHUp VH QDOp]i YH VP\NX D WHG\ XUþLW ]GD
H[LVWXMtLVWDY\SLNWHUêFKVHYR]LGORYHVP\NXFKRYiQHXWUiOQ.
=DMtPDYp MVRX URYQå SRXåLWp PHWRG\ t]HQt 9R]LGOR YH VP\NX
SHGVWDYXMH H[WUpPQ QHOLQHiUQt D NRPSOH[Qt SUREOpP MHKRå
t]HQt EXGH WDNp SHGPWHP ]NRXPiQt 0\ãOHQND t]HQt YR]LGOD
ve smyku WDNpQHE\ODY åiGQpPþOiQNXQDOH]HQD
[6] Williams E. D., Haddad M. W., Nonlinear Control of Roll
Moment Distribution to Influence Vehicle Yaw
Characteristic, IEEE Transaction on control systems
technology, Vol. 3, No. 1, 1995
[7] William F. Milliken, Douglas L. Milliken.: Race Car
Dynamics. SAE 1995
Literatura
[1] Taeyoung Chung, Kyongsu Yi,: Side Slip Angle Based
Control Treshold of Vehicle Stability Control System,
Journal of Mechanical Science and Technology±Vol. 19,
No. 4, 2005
[2] Egerstedt M., Hu X., Stotsky A.: Control of Mobile
Platforms Using a Virtual Vehicle Approach, IEEE
Transactions on Automatic Control-Vol. 46, No. 11,
November 2001
[3] Anton T. van Zanten,: Evolution of electronic control
systems for improving the vehicle dynamic behavior, In
Proceedings of the International Symposium on Advanced
Vehicle Control (AVEC), Tokyo 2002
[4] Yih P., Ryu J., Gardes J. C.,: Modification of Vehicle
Handling Characteristics via Steer-by-Wire, Journal of
dynamics systems, measurement and control-Vol. 126, Issue
2, 2003
[5] Hoffman R. C., Stein J. L., Louca L. S., Huh K.,: Using the
Milliken Moment Method and dynamic simulation to
evaluate vehicle stability and controllability, International
journal Vehicle Design-9RO1RVò
40
ISBN 978-80-01-04567-1
Pevnostní problematika lepených spoj ů : kritická rešerše
1
Z. Padovec
Odbor pružnosti a pevnosti, Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky, Fakulta strojní, České vysoké učení
technické v Praze, Česká republika
1
Abstract
The article deals with strength problems of bonded joints and
review is gathered from open literature or from conference
proceedings. It includes period 1970 – 2010 in which bonding
technology was intensively investigated from theoretical point of
view as well as experimental one. This interest was given by the
widespread application of composite materials primarily in
aircraft industry. Individual articles describe analytical,
numerical and experimental methods of stress-strain and fracture
mechanics approaches of flat and tubular bonded joints.
Analyticky lze určit i teplotní napětí ve spoji [11,12]. Tahem
zatížený plochý lepený spoj je vidět na Obr. 3.
Keywords
Bonded joints; analytical methods; numerical methods.
Obr. 3 Deformace zatíženého jednoduchého spoje s tuhými a elastickými
adherendy [9]
Úvod
Rozšířené použití lepených spojů se v poslední době děje
především z důvodů široké aplikace tohoto způsobu spojování
například v dopravě (letectví, kolejová vozidla…) a
kosmonautice. Hlubší porozumění enviromentálním vlivům na
degradaci spoje, zahrnutí principů lomové mechaniky do výpočtu
a porozumění chování spoje při cyklickém zatížení postupně
odstraňuje počáteční nedůvěru v tento druh spojovací
technologie. Pro posuzování tuhosti a pevnosti lepených spojů je
v současné době k dispozici celá řada postupů. Těmi jsou
myšleny analytické metody, pomocí nichž se zjišťuje průběh
smykového nebo normálového (odlupového) napětí ve vrstvě
lepidla a vhodné kritérium porušení, nebo metody numerické. Jak
tyto metody rozdělujeme, je patrno ze schématu na Obr. 1 [6,9].
Obr. 4 Ukázka nezatíženého spoje, zatíženého změnou teploty a
zatíženého tahem [11]
Lepený spoj je náchylný nejen na teplotní změny (viz. Obr. 4),
ale i na změny vlhkosti. Existují jednoduché analytické metody,
které do výpočtu napětí zahrnují i vliv absorbované vlhkosti a
změny teploty [17].
Obr. 1 Přehled typů lepených spojů a jejich zatížení
Analytické metody
Analytické metody umožňují pomocí výpočetní techniky rychlé a
jednoduché vyřešení problému pro jednoduché spoje (spoje
ploché zatížené tahem, tlakem příp. ohybem a trubkové spoje
zatížené tahem, tlakem nebo krutem – viz Obr. 2).
Ploché spoje
Nejprve se zaměříme na klasická analytická řešení plochých
spojů dle Volkersena a Goland-Reissnera [39,10], která však mají
jistá omezení [9]:
Obr. 2 Přehled metod řešení lepených spojů
41
•
Nezahrnují napětí v lepidle ve směru tloušťky ani
napětí na rozhraní lepidlo-adherend, které je důležité
znát, pokud se spoj poruší v blízkosti povrchu
•
Maximální smykové napětí vznikne na konci
přeplátování, což odporuje okrajové podmínce volného
povrchu (viz Obr. 5)
ISBN 978-80-01-04567-1
•
Adherendy jsou uvažovány jako tenké nosníky, což
ignoruje napětí po jejich tloušťce a normálové
deformace. Smykové napětí v adherendech je důležité
především pro adherendy poddajné ve smyku, jakými
jsou například kompozity
Obr. 5 Průběh smykového napětí v lepidle v případě nedodržení a
dodržení okrajové podmínky volného povrchu [9]
Na tato omezení se zaměřily některé další analýzy, například vliv
tloušťky lepidla na napětí ve spoji je podrobně popsán v [29], kde
byly nalezeny dva antisymetricky položené body na rozhraní
lepidlo-adherend, kde je smykové napětí maximální (viz Obr. 6).
Vliv smykových a normálových deformací adherendů je popsán
v [7]. Jedná se o vylepšení klasických analýz, které neuvažovaly
smykovou deformaci adherendu. Na obrázku 7 je vidět, že
vylepšené řešení [7] lépe odpovídá experimentálním výsledkům
než řešení klasická, obzvláště tehdy, pokud jsou adherendem
kompozitní materiály.
Obr. 7 Porovnání normovaného smykového napětí v lepidle vypočteného
dle klasické a vylepšené analýzy s experimentem [7]
Mezi další lineární analýzy patří například [36], která uvažuje
kompozitní adherendy a umožňuje určit smykové a normálové
napětí jak v lepidle, tak i v horním a spodním adherendu.
S nárůstem použití kompozitních materiálů byla vyvinuta i
analýza, která počítá nejen s anizotropními vlastnostmi
kompozitu, ale i s laminátovou konstrukcí (anizotropní vlastnosti
každé laminy, její tloušťka a orientaci vláken v lamině) [31].
Jelikož se nepoužívají jen jednoduché nebo dvojité přeplátované
spoje, ale i spoje stupňovité (viz Obr. 8), existuje i metoda, jak
spočítat napětí v takovémto spoji [13].
Obr. 8 Stupňovitý lepený spoj
Kromě těchto lineárních elastických řešení existují i analýzy,
které uvažují buď lepidlo nebo lepidlo i adherendy jako
nelineární materiál a počítají s plastickou deformací. Lit. [18]
uvažuje nelineární pouze lepidlo. Model se může přizpůsobit
nelineární napěťové odezvě lepidla a dá se použít pro různé typy
zatížení. V [14] lze najít analytické řešení jednoduše
přeplátovaného spoje, dvojitě přeplátovaného spoje a
stupňovitého spoje. Pro popis plastického chování materiálu je
použita Ramberg-Osgoodova aproximace
Obr. 6 Srovnání skutečné poruchy lepeného spoje s vypočtenými body
maximálního smykového napětí
σ σ 
ε = + α 0  
E
E σ0 
σ
n
(1)
kde α=3/7 a σ0 a n jsou materiálové konstanty. Kromě čistě
elastického nebo čistě plastického modelu existuje i řešení
42
ISBN 978-80-01-04567-1
používající elasto-plastický model lepidla [15]. Porovnání
různých modelů lepidla je vidět na Obr. 9.
experimentem. V případě použití adherednů z uhlíkem
vyztuženého polymeru převládá kohezivní porucha lepidla. Při
použití ocelových adherednů dochází k porušení na rozhraní
lepidlo-adherend. Pro oba typy adherendů se ukázalo, že změna
zatěžovací frekvence nemá vliv na povrch trhliny. Tvar
zkušebního vzorku je vidět na Obr. 12.
Obr. 11 Jednoduchý přeplátovaný spoj s delaminační trhlinou [30]
Obr. 9 Křivka napětí-deformace pro lepidlo a některé matematické
modely
Jelikož je současným trendem používat čím dál tím tlustší vrstvy
lepidla, bylo nutné vyvinout analýzu, která toto lépe postihne.
V tomto případě bude totiž napětí ve střední rovině jiné, než
napětí na rozhraní lepidlo-adherend. V článku [24] je lineární
teorie posuvů rozšířena na vyšší teorii posuvů pro napěťovou
analýzu tlustých vrstev lepidla (i když i pomocí lineární teorie lze
řešit tlusté vrstvy lepidla). Analytický postup je zde porovnán
s numerickými MKP výsledky, na kterých je vidět, že výsledky
získané pomocí vyšší teorie posuvů lépe korelují s výsledky
získanými pomocí MKP, než výsledky z klasické lineární teorie
posuvů. Vliv tloušťky lepidla, popis různých typů smykových
zkoušek, rozměry vzorků a poruchy lepeného spoje jsou popsány
v [33].
Dalším přístupem může být například analýza [37], která
modeluje vrstvu lepidla jako dvě vrstvy pružin, spojené
smykovou
vrstvou
(tři
parametry).
Rozdíl
proti
dvouparametrickému modelu je ten, že tento model postihuje
nulové smykové napětí na volných koncích, což
dvouparametrický model nepostihuje. Pro představu jsou oba
modely ukázány na Obr. 10.
Obr. 12 Dvojitý krakorcovitý nosníkový vzorek s trhlinou v lepidle [5]
Existuje i nelineární kritérium porušení lepeného spoje, které je
uvedeno v [18]. Jedná se vlastně o vylepšení Volkersenovy
analýzy, ale počítá se zde navíc s multilineárním mechanickým
chováním lepidla, aby bylo možno stanovit průměrný průběh
smykového napětí po délce spoje. Nelinearita lepidla je zde
modelována pomocí tří-lineárního modelu chování materiálu (ten
se skládá z bilineární a plastické části).
V následující tabulce je vidět, jaké je kritérium porušení pro daný
model lepeného spoje, kde: τ je smykové napětí, τr je mez kluzu
ve smyku, σ je odlupové napětí, σr je mez pevnosti v tahu, γ je
zkos, γp je porucha při dosažení meze plasticity ve zkosu, εe je
redukovaná poměrná deformace dle von Misese, εr je poměrná
deformace v tahu, při které dojde k poruše a GY (global yielding)
je dosažení meze kluzu v celé oblasti [10].
Obr. 10 a), b) dvouparametrický model lepené vrstvy, c), d)
tříparametrický model lepené vrstvy [37]
Kromě možnosti modelovat lepený spoj pomocí vrstev pružin, je
zde i možnost modelovat jej jako pryžový, kde adherendy jsou
vyrobeny z tvrdé pryže a vrstva lepidla z pryže měkké [4]. Jak
bylo zmíněno v úvodu, kromě klasických přístupů napětídeformace existují i přístupy lomové mechaniky, kde už se
například počítá s delaminací adherendu (viz Obr. 11) [30], nebo
je popsaná metodika, jak předpovídat porušení kompozitního
jednoduchého přeplátovaného spoje, která uvažuje, jak poruchu
v lepidle, tak v kompozitním adherendu [20]. Šíření trhliny
v lepidle je podrobně popsáno v [5]. Článek rozebírá především
vliv zatěžovací frekvence (0,1-10 Hz) na šíření únavové trhliny a
metodiku její predikce dle zatěžovací frekvence a její shodu s
MODEL
KRITÉRIUM PORUŠENÍ
VOLKERSEN [39]
τ>ττr
GOLAND-REISNER [10]
τ>ττr nebo σ>σ
σr
HART-SMITH [15]
γ>γγp nebo GY
BIGWOOD-CROCOMBE
[8]
εe>εεr nebo GY
Tab. 1 Kritéria porušení pro některé z uvedených analýz [10]
Publikace [35] analyzuje lepený jednoduchý zkosený spoj
s libovolným úhlem sklonu, zatížený čistým ohybem. Úloha je
řešena jako 2D elastický problém v rovinné napjatosti.
Adhehrend i lepidlo jsou uvažovány jako elastické a izotropní.
Adherendy nemusí být ze stejného materiálu (mohou mít různé
43
ISBN 978-80-01-04567-1
moduly pružnosti). Schéma spoje a jeho zatížení je vidět na Obr.
13.
nominálních napětí a relativních posuvů mezi horním a dolním
povrchem kohezivních prvků. Jak vypadají deformační módy
kohezivního prvku je lépe patrno z obrázku 16.
Obr. 13 Jednoduchý zkosený spoj a jeho zatížení ohybovým napětím
Trubkové spoje
Trubkové spoje můžeme rozdělit dle způsobu zatížení na
namáhané krutem a na namáhané tahem ve směru osy. Namáhání
trubkových spojů je vidět na Obr. 14 a 15.
Obr. 16 Deformační módy kohezivních prvků [1]
Na obrázku 15 a 16 je znázorněn průběh závislosti mezi
nominálním napětím ti a relativním posuvem δi ve stavu
nepoškozeného lepeného spoje a spoje po iniciaci poškození.
Dosažení maximální hodnoty nominálního napětí
t i0
odpovídá
iniciaci poškození v lepeném spoji. Z důvodu nárůstu poškození
dochází ke ztrátě tuhosti spoje, která vede až k separaci. Tento
jev může být definován lineárně (Obr. 18), exponenciálně (Obr.
19) nebo tabulárně dle předem zadaných bodů [1].
Obr. 14 Trubkový spoj namáhaný tahem [26]
Obr. 15 Trubkový spoj zatížený krouticím momentem [27]
Trubkové spoje zatížené osovým tahem jsou řešeny v analýzách
[26,32]. V článku [32] je uveden postup výpočtu pomocí principu
minima komplementární energie. V tomto řešení jsou splněny
všechny okrajové podmínky pro napětí i všechny podmínky
spojitosti napětí na rozhraní povrchu lepidla a adherendů.
Výsledky analýzy obdržíme v uzavřené formě.
Trubkový spoj zatížený krouticím momentem je popsán v [3]
opět jako řešení v uzavřené formě. Pro takto zatížený trubkový
spoj existuje i nelineární varianta postupu prezentovaná v [27],
kde se počítá s nelineárním chováním lepidla. I v tomto případě
najdeme analýzy, které se zabývají predikcí pevnosti trubkového
lepeného spoje zatíženého krouticím momentem [28].
Řada publikovaných článků se zabývá experimentálními studiemi
únosnosti lepeného trubkového spoje v krutu [19,23], statickými
a dynamickými zkouškami [22], optimalizací spoje [16] a
konkrétním použitím trubkového spoje na hnací hřídel [21].
Obr. 17 Průběh chování přenos-separace kohezivního prvku [1]
Numerické metody
Mezi nejběžnější numerické metody používané v současné době
na modelování lepených spojů patří MKP. Ta umožňuje
modelovat lepené spoje dvěma způsoby. V prvním případě
použijeme klasické objemové prvky, kdy je tenká vrstva lepidla
síťována několika elementy po tloušťce. Druhý způsob je použití
kohezivních prvků, kdy tenká vrstva lepidla je po tloušťce
vyjádřena jedním speciálním prvkem, který umožňuje řešit i
poškození a porušení spoje. Princip výpočtů stavu přenosseparace u kohezivních prvků spočívá v elastických výpočtech
Obr. 18 Exponenciální průběh degradace kohezivního prvku [1]
Mezi další numerické metody patří diferenční metoda integrální
identity, převzatá z analýz materiálů s řízenými vlastnostmi
(functionally graded materials), která je publikována pod názvem
„Higher-Order Theory of Functionally Graded Materials“
(HOTFGM) [2,7]. Pokud je tato teorie porovnána s analytickými
metodami a MKP, ukazuje se, že je to užitečný nástroj k řešení
lepených spojů. Samotná HOTFGM stojí někde mezi MKP a
44
ISBN 978-80-01-04567-1
Aplikací teorie [25] na HOTFGM byla vyvinuta metoda na
multiaxiální napěťovou analýzu lepených spojů s kompozitními
adherendy [38]. Oproti ostatním metodám je tato metoda schopna
lépe postihnout obecnější případy jako je například různá
geometrie spoje (např. tzv. T-spoje), lineární nebo nelineární
lepidlo, nesymetrické a nevyvážené laminátové adherendy a
různé typy zatížení a okrajových podmínek.
Adherendy jsou modelovány jako desky při obecném
cylindrickém ohybu, s rovnoměrnou deformací v příčném směru.
Ortotropní lamináty vycházejí z klasické laminační teorie,
deformace a rotace jsou velmi malé. Vrstva lepidla je
modelována jako souvislé rozložená vrstva lineárních
tahových/tlakových a smykových pružin pomocí vztahů pro tah a
separaci adherendů. Nelineární chování lepidla je řešeno
vyjádřením sekantového modulu pružnosti. Ukázka použití
HOTFGM na analýzu lepeného spoje je vidět na obrázku 21.
analytickými metodami. Podobně jako MKP, HOTFGM je
založena na diskretizované geometrii, ale vykazuje podstatně
menší závislost síťování, neboť rovnice kontinuity a pole jsou
splněny jakožto zprůměrované hodnoty na povrchu respektive
v objemu diskrétního prvku. Také formulace úlohy pro
HOTFGM nezávisí na nodech a variačním principu, ale je to
v podstatě semi-analytická metoda, založená na elastickém
principu. Podobně jako v MKP záleží přesnost řešení na jemnosti
sítě, tzn. čím jemnější síť, tím menší chyba řešení. HOTFGM
byla původně vyvinuta pouze pro materiály s řízenými
vlastnostmi, nicméně může být použita pro jakýkoliv homogenní
nebo heterogenní materiál. Jak vypadá model a jeho geometrie,
který je vytvořený pomocí HOTFGM, je vidět na Obr. 19.
Materiál je rozdělen na libovolný počet buněk a každá tato buňka
obsahuje čtyři dílčí buňky.
Obr. 21 Mřížka dílčích buněk HOTFGM pro zdvojený lepený spoj
zatížený jednoosým tahem [7]
Závěr
Bylo shromážděno a prostudováno 39 prací, které se zabývají
zadanou problematikou. Nejvíce pozornosti je věnováno
jednoduchým plochým lepeným spojům zatíženým tahem
(případně tahem/tlakem). Zajímavou aplikací je práce [35], která
se zabývá čistým ohybem jednoduchého zkoseného spoje.
Zahrnutím environmentálních vlivů (teplota, vlhkost) se zabývá
článek [17]. Články se především zabývají výpočtem dle klasické
laminační teorie, která nerespektuje zákon o sdružených
smykových napětích (volný povrch). Tento problém je možné
zohlednit zahrnutím normálové a smykové deformace ve směru
tloušťky lepeného spoje. V oblasti trubkových spojů se práce
zabývají spoji namáhanými na tah (tah/tlak) a krut, z nichž
některé jsou orientovány aplikačně na problematiku hřídelů.
Z numerických metod je nejrozšířenějším nástrojem MKP, ale
v poslední době se rozpracovává diferenční metoda integrální
identity převzatá z analýz materiálů s řízenými vlastnostmi.
Obr. 19 HOTFGM model a geometrie [7]
Každá z dílčích buněk může být z jiného materiálu, což vytváří
heterogenní konfiguraci. Zatížení je obecně zadáno ve formě
časově závislých teplotních a mechanických okrajových
podmínek, které jsou umístěny na volný povrch. Pole posuvů v
dílčí buňce (β,γ) (q,r)-té buňky je aproximováno rozvojem
druhého řádu v lokálních souřadnicích x2β a x3γ (podrobněji
uvedeno v [2,7]). Systém rovnic vzniká zadáním průměrných
napětí a posuvů na různých styčných plochách uvnitř materiálu.
Rovnice rovnováhy jsou splněny jako zprůměrované hodnoty a
výsledkem je soustava 40.Nq.Nr algebraických rovnic, které se
dají symbolicky zapsat jako
KU=f+g
Poděkování
Tento příspěvek vznikl za podpory grantu GAČR 101/08/H068.
Literatura
[1]
Abaqus, Inc. ABAQUS/Standard version 6.7.3, Users
Manual.
[2]
Aboudi, J., Pindera, M.-J., Arnold, S.M.: Higher-Order
Theory for Functionally Graded Materials, Composites:
Part B, Vol. 30, No. 8, 1999, pp. 777-832.
[3]
Adams, R.D., Peppiat, N.A.: Stress Analysis of
Adhesive Bonded Tubular Lap Joints, Journal of
Adhesion, Vol. 9, 1977, pp. 1-18.
[4]
Adams, R.D. et al.: Rubber Model for Adhesive Lap
Joints, Journal of Strain Analysis, Vol. 8, No. 1, 1973,
pp. 52-57.
[5]
Al-Ghamadi, A.H. et al.: Crack Growth in Adhesively
Bonded Joints Subjected to Variable Frequency Fatique
Loading, Journal of Adhesion, Vol. 79, 2003, pp. 11611182.
[6]
Banea M. D., da Silva, L.F.M.: Adhesively Bonded
Joints in Composite Materials: An Overview, Journal
of Materials: Design and Application, Vol. 223, 2009,
pp. 1-18.
(2)
kde matice tuhosti K obsahuje informace o geometrii a
termomechanických vlastnostech každé dílčí buňky (β,γ) uvnitř
buněk, které tvoří model. Vektor posuvů U obsahuje neznámé
koeficienty, které popisují pole posuvů každé dílčí buňky, vektor
mechanických sil f obsahuje informace o zadaných okrajových
podmínkách a vektor neelastických sil g obsahuje informace o
neelastických efektech. Nq a Nr je celkový počet buněk
obsažených v modelu ve směru x2 respektive x3. HOTFGM
umožňuje řešení i když dochází k neelastickému chování
materiálu a to pomocí visko-plastického modelu.
45
ISBN 978-80-01-04567-1
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[21]
[22]
Bednarcyk, B. et al.: Analysis Tools for Adhesively
Bonded Composites Joints, Part 1: Higher-Order
Theory, AIAA Journal, Vol. 44, No. 1, 2006, pp. 171180.
Bigwood, D.A., Crocombe, A.D.: Non-Linear Adhesive
Bonded Joint Design Analyses, International Journal
of Adhesion and Adhesives, Vol. 10, No. 1, 1990, pp.
31-41.
da Silva, L.F.M. et al.: Analytical Models of Adhesive
Bonded Joints – Part 1: Literature Survey, International
Journal of Adhesion and Adhesives, Vol. 29, 2009, pp.
319-330.
da Silva, L.F.M. et al.: Analytical Models of Adhesive
Bonded Joints – Part 2: Comparative Study,
International Journal of Adhesion and Adhesives, Vol.
29, 2009, pp. 331-341.
da Silva, L.F.M., Adams, R.D.: Adhesive Joints at High
and Low Temperatures Using Similar and Disimilar
Adherends and Dual Adhesives, International Journal
of Adhesion and Adhesives, Vol. 27, 2007, pp.216-236.
Deheeger, A. et al.: A Closed-Form Solution for the
Thermal
Stress
Distribution
in
Rectangular
Composites-Metal Bonded Joints, International
Journal of Adhesion and Adhesives, Vol. 29, 2009, pp.
515-524.
Erdogan, F., Ratwani, M.: Stress Distribution in
Bonded Joints, Journal of Composite Materials, Vol. 5,
1971, pp. 378-392.
Grimes, G.C., Greinmann, L.F.: Analysis of
Discontinuities, Edge Effects, and Joints, Chapt. 10 in
Composite Materials Vol. 8, Edit. by C. Chamis,
Academic Press, New York, 1975, pp. 135-230.
Hart-Smith, L.J.: Design of Adhesively Bonded Joints,
Chapt. 7 in Joining Fibre-Reinforced Plastics Edit. by
F.L. Matthews, Elsevier Applied Science, London,
1987, pp. 271-311.
Hipol, P.J.: Analysis and Optimization of a Tubular
Lap Joint Subjected to Torsion, Journal of Composite
Materials, Vol. 18, 1984, pp. 298-311.
Chamis, C.C., Murthy, P.L.N.: Simplified Procedures
for Designing Adhesively Bonded Composite Joints,
44th Annual Conference, Composites Institute, The
Society of Plastic Industry, Inc, February 6-9, 1989,
Session 17E, pp. 1-6.
Chataigner, S. et al.: Non-Linear Failure Criteria for a
Double Lap Bonded Joint, International Journal of
Adhesion and Adhesives, Vol. 30, 2010, pp. 10-20.
Choi, J.H., Lee, D.G.: An Experimental Study of the
Static Torque Capacity of the Adhesively-Bonded
Tubular Single Lap Joint, Journal of Adhesion, Vol. 55,
1996, pp. 245-260.
Kim, K.S. et al.: Failure Prediction and Strength
Improvement of Uni-Directional Composite Single Lap
Bonded Joints, Composite Structures, Vol. 82, 2008,
513-520.
Kim, J.K., Lee, D.G., Cho, D.H.: Investigation of
Adhesively Bonded Joints for Composite Propeller
Shafts, Journal of Composite Materials, Vol. 35, No.
11, 2001, pp. 999-1021.
Lee, S.W., Lee, D.G., Jeong, K.S.: Static and Dynamic
Torque Characteristics of Composite Co-Cured Single
[23]
[24]
[25]
[26]
[27]
[28]
[29]
[30]
[31]
[32]
[33]
[34]
[35]
[36]
[37]
[38]
[39]
.
46
Lap Joint, Journal of Composite Materials, Vol. 31,
No. 21, 1997, pp. 2188-2201.
Lee, D.G., Choi, J.H.,: Torque Capacity of Co-Cured
Tubular Lap Joints, Journal of Composite Materials,
Vol. 31, No. 14, 1997, pp. 1381-1396.
Luo, Q., Tong, L.: Linear and Higher Order
Displacement Theories for Adhesively Bonded Jeroints,
International Journal of Solid and Structures, Vol. 41,
2004, pp. 6351 – 6381.
Mortensen, F., Thomsen, O.T.: Analysis of Adhesive
Bonded Joints: A Unified Approach, Composite
Science and Technology, Vol. 62, 2002, pp. 1011-1031.
Nemes, O., Lachaud, F., Mojtabi, A.: Contribution to
the Study of Cylindrical Adhesive Joining,
International Journal of Adhesion and Adhesives, Vol.
26, 2006, pp. 474-480.
Oh, J.H.: Nonlinear Analysis of Adhesively Bonded
Tubular Single-Lap Joints for Composites in Torsion,
Composites Science and Technology, Vol.67, 2007, pp.
1320-1329.
Oh, J.H.: Strength Prediction of Tubular Composite
Adhesive Joints under Torsion, Composites Science
and Technology, Vol. 67, 2007, 1340-1347.
Ojalvo, I.U., Eidinoff, H.L.: Bond Thickness Effect
upon Stresses in Single-Lap Adhesive Joints, AIAA
Journal, Vol. 16, No. 3, 1978, pp. 204-211.
Qin, M., Dzenis, Y.A.: Analysis of Single Lap
Adhesive Composite Joints with Delaminated
Adherends, Composites: Part B, Vol. 34, 2003, pp.
167.173.
Renton, J.W., Vinson, J.R.: On the Behavior of Bonded
Joints in Composite Material Structures, Engineering
Fracture Mechanics, Vol. 75, 1975, pp. 41-60.
Shi, Y. P., Cheng, S.: Analysis of Adhesive-Bonded
Cylindrical Lap Joints Subjected to Axial Load,
Journal of Engineering Mechanics, Vol. 119, No. 3,
1992, pp. 584-602.
Tomblin, J. et al.: Characterization of Bondline
Thickness Effects in Adhesive Joints, Journal of
Composites Technology and Research, Vol. 24, No. 2,
2002, pp. 80-92.
Tsai, M.Y., Oplinger, D.W., Morton, J.: Improved
Theoretical Solutions for Adhesive Lap Joints,
International Journal of Solid Structures, Vol. 35, No.
12, 1998, pp. 1163-1184.
Wah, T.: The Adhesive Scarf Joint in Pure Bending,
International Journal of Mechanical Sciences, Vol. 18,
1976, pp. 223-228.
Tsai, M.Y.: Stress Distribution in a Bonded Anisotropic
Lap Joint, ASME Journal of Engineering Materials and
Technology, Vol. 95, 1973, pp. 174-181.
Wang, J., Zhang, C.: Three Parameter, Elastic
Foundation Model for Analysis of Adhesively Bonded
Joints, International Journal of Adhesion and
Adhesives, Vol. 29, 2009, pp. 495-502.
Zhang, J. et al.: Analysis Tools for Adhesively Bonded
Composites Joints, Part 2: Unified Analytical Theory,
AIAA Journal, Vol. 44, No. 8, 2006, pp. 1709-1719.
Zhu, Y., Kedward, K.: Methods of Analysis and Failure
Predictions for Adhesively Bonded Joints of Uniform
and Variable Thickness, Final Report DOT/FAA/AR05/12, U.S. Department of Transportation, 2005.
ISBN 978-80-01-04567-1
Optimalizace mechatronických systém ů z hlediska struktury a ř ízení –
p ř ehled problematiky
P. Svatoš, Z. Šika
Division of Mechanics and Mechatronics, Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics, Faculty of
Abstract
Tento článek prezentuje výsledky, které byly dosaženy v průběhu
zpracování kritické rešerše. Je zde uveden popis optimalizačních
metod mechatronických systémů se zaměřením na metody pro
společný návrh struktury a návrh řízení systému. Analýza
problematiky této souhrnné optimalizace, možnosti jejího využití
a matematické postupy, které jsou nutné pro její řešení. Článek
také uvádí návrh regulátorů s pevným řádem v pojetí moderní
teorie řízení a některé z možných strategií souhrnné optimalizace.
V mechatronických systémech mohou existovat složité závislosti
mezi mechanickou strukturou a regulátorem, které mají vliv
na celý systém. Tyto závislosti by měly být brány v úvahu
v integrovaném návrhu. Integrovaný návrh je proces, ve kterém
jsou strukturní a řídicí parametry optimalizovány simultánně (tzn.
současně, společně) řešením globálního matematického
optimalizačního problému. Je tedy uvažováno jejich vzájemné
ovlivnění.
Článek se věnuje problematice souhrnné optimalizace systémů,
ve které jsou společně hledány jak strukturální parametry, tak
i parametry řízení. Dále je pozornost zaměřena na robustní
metody řízení z hlediska maximalizace stability a maximalizace
požadovaných vlastností. Následující odstavec uvádí motivační
příklad.
Keywords
souhrnná optimalizace; návrh struktury a řízení; inteligentní
struktury; H intimity.
Motivační příklad
Uvažujme systém tvořený mechanismem s paralelní kinematickou strukturou (Obrázek 1), která umožňuje pohyb platformy,
a kontrolerem pro jeho řízení. Na čtvercové platformě mohou být
dále umístěny aktuátory, které polohují s efektorem. Dále
uvažujme poddajnost jednotlivých prvků mechanismu včetně
poddajného vedení.
Abstract in English
The paper deals with optimization method problems of
mechatronics systems with a view to methods for integrated
structure and controller design. Analysis of simultaneous
optimization problems, possibilities of utilize and mathematical
procedures, that are necessary for its solution. The paper also
presented fixed-order controller design in modern theory control
and choice descriptions of simultaneous optimization.
ks4xs4
Keywords in English
Simultaneous Optimization; Design of Structure and Control;
Smart Structures; H infinity.
xs4
s4
P4
y(s4)
y(s4)/gy_4(s4)
A4
Fm4 Fm4 k4(l4- l04)
Gv4
Úvod
Rešerše byla zpracována s ohledem na téma disertační práce
„Řízení pohybu a tlumení vibrací poddajných mechanismů“.
Mechatronické systémy se stávají stále více sofistikované,
integrují do své struktury senzory a aktivní prvky, jako jsou např.
aktuátory. Ty pak spolu s vhodnou řídicí strategií umožňují
zlepšit chování a vlastnosti stroje.
U aktivních mechanických struktur se pro splnění požadavků
na jejich vlastnosti a chování nemusíme při návrhu omezovat
pouze na ladění parametrů konstrukčních prvků. Ale i volbu
vhodného řízení můžeme přispět ke zlepšení vlastností a chování
mechanismu. Požadavky mohou být kladeny nejen na dosažení
určité polohy či přesnosti, ale také např. na potlačení vibrací,
dosažení určité citlivosti či vlastní frekvence.
Gp4
Gp1
Obrázek 1. Schéma zjednodušeného poddajného modelu Sliding Star.
Vlastnosti a chování mechanismu je možné ovlivnit řadou
navrhovaných parametrů. U struktury to budou obzvláště
parametry ovlivňující tuhost, hmotnost, tlumení, polohu
aktuátorů a návrh senzoriky. U řízení pak volba vhodného
regulátoru a jeho zesílení.
Poddajné soustavy s vyšším počtem stupňů volnosti se vyznačují
složitějšími matematickými modely s vysokým řádem soustavy,
pro jejichž efektivní řízení je vhodné volit regulátory s pevným
řádem.
Návrh mechatronických systémů se stává z návrhu struktury
a návrhu řízení. Obvykle jsou v návrhu pro oba případy použity
optimalizační metody, tj. pro návrh struktury i pro návrh řízení.
Existují dva různé přístupy tohoto návrhu: společný přístup, ve
kterém jsou strukturní parametry navrhovány současně
s parametry řízení a oddělený přístup, kdy je řízení navrženo na
již předem optimalizovaný systém.
47
ISBN 978-80-01-04567-1
ukazují, že po optimalizaci se síla do vozovky i vertikální
zrychlení vozidla snížily.
Optimalizace z hlediska struktury a řízení
Jak již bylo uvedeno v úvodu, za účelem plného využití
potenciálu systému (může se jednat o mechanismus nebo
jakýkoliv jiný systém) se provádí jeho optimalizace. Klasický
návrhový postup spočívá v přístupu optimalizovat nejprve
strukturu a poté separátně řízení. Vyvstává však otázka, zda by
nebylo výhodné přistoupit k optimalizaci globální, ve které by se
tento návrh realizoval společně.
Před samotným procesem optimalizace je nutné mít k dispozici
parametrický model, který bude věrně reprezentovat skutečný
systém. Dále je třeba vhodně zvolit typ regulátoru, který ve
zpětnovazebním zapojení s modelem uzavře řídicí obvod.
Ucelený a komplexní pohled na modelování struktur a návrh
jejich řízení představuje publikace [1]. První kapitoly jsou
věnovány modelování struktur a různým způsobům jejich popisu.
Jsou zde zastoupeny i modely s tuhými módy kmitu a poddajné
struktury. V následujících kapitolách je popsána redukce modelu,
modelování aktuátorů a způsob jejich vhodného umisťování.
Optimalizace modelu čtvrtauta je řešena také v článku [4], ale
zde je využito genetických algoritmů a H∞ řízení. Podle autora
tato kombinace poskytuje dostatečnou robustnost systému.
Souhrnná optimalizace využívá cyklického chodu: přes
podmínky a omezení k posouzení zda je současně dosaženo
optimálních hodnot pro zlepšení dynamických charakteristik. Pro
návrh regulátoru je zavedena výstupní zpětná vazba, kde jsou
měřenými veličinami dynamická odchylka zavěšení a zrychlení
automobilu. Je ukázán postup návrhu stabilizujícího H∞
regulátoru skrze cílovou funkci obsahující stavový popis
rozšířené řízené soustavy. Norma H∞ je definována jako
maximum singulární hodnoty. Dalším provedeným krokem je
volba cílové funkce. Koeficienty vah pro dynamické zatížení
pneumatiky, zrychlení auta a dynamickou výchylku zavěšení jsou
voleny v závislosti na frekvenci. Navíc je uvažován filtr pro
zlepšení frekvenční odezvy. Integrovaná optimalizace je založená
na genetických algoritmech (Obrázek 3).
Obecný přístup k simultánní optimalizační strategii je uveden
v [2]. Je zde diskutována otázka, zda simultánní (současný,
společný) tedy integrovaný přístup návrhu vždy přináší lepší
výsledky než standardní postupný návrh. Úlohy je dají rozčlenit
od dvou skupin: rozložitelné návrhové problémy (návrh
integrované optimalizace může být matematicky rozložen
pomocí optimalizační teorie) a nerozložitelné návrhové problémy
(Obrázek 2).
Obrázek 2. Simultánní návrh (společný návrh struktury i řízení).
Obrázek 3. Proces simultánní optimalizace pomocí GA a H∞.
Autoři uvádí teoretický matematický postup k ověření, zda je
cílová funkce rozložitelná či nikoliv. Dále je v článku uveden
formální návrh cílových funkcí pro integrovaný návrh
optimalizace (návrh strukturních a řídicích parametrů současně) a
naproti tomu pro standardní postupný přístup (nejdříve
optimalizace struktury následovaná návrhem řízení). Je uvedeno i
vzájemné porovnání.
Postup je pak následující: parametry systému jsou zakódovány, je
vytvořena původní populace náhodně vybranými jedinci, dále je
vypočítána cílová funkce. Následují genetické operace jako
kombinování populací s reprodukcí, křížení a mutace. Proces
končí, pokud jsou splněny omezující podmínky. Ve výsledcích
jsou prezentovány hodnoty hmotností a tuhostí po optimalizaci a
další závislosti optimalizovaného systému. Závěr je věnován
porovnání výsledků: souhrnná optimalizace strukturních
i řídicích parametrů (GA a H∞) a pouze řízení H∞ pro tlumení
vibrací. Výsledky ukazují, že využití GA a H∞ vede k výraznému
zlepšení jízdního pohodlí a dosahuje úrovně , která je uspokojivá
a které není bez souhrnné optimalizace dosaženo.
Na využití simultánní optimalizace je zaměřen článek [3], který
ukazuje optimalizaci strukturních parametrů a parametrů řízení
systému aktivního zavěšení vozu pomocí LMI (Linear Matrix
Inequality). Pro řešení optimalizace je využito iterativní metody
namísto složitých matematických metod vedoucích většinou na
složitý nelineární a nekonvexní optimalizační problém. Je
představen mechanický systém tvořený modelem čtvrtauta, pro
který je sestaven stavový popis, a zpětnovazebním LMI
regulátorem. Návrh regulátoru je tvořen soustavou lineárních
maticových nerovnic, pro které je vytvořena optimalizace řešená
např. vhodným toolboxem v prostředí MATLAB. V článku je
využito metody Simulovaného žíhání. Pro jednotlivé parametry
je zvolen omezující interval a proveden výpočet. Výsledky
Řízení – návrh regulátoru
Vhodná volba regulátoru a jeho návrh jsou důležitými faktory
ovlivňující výsledné chování systému. Pro maximalizaci stability
a maximalizaci požadovaných vlastností se pro řízení
inteligentních konstrukcí převážně používá robustních řídicích
metod moderní teorie řízení. V článcích se často vyskytuje
48
ISBN 978-80-01-04567-1
další využití je detailněji popsáno v článku [6] a rozšířeno
o praktické příklady. Konkrétní případy návrhu H∞ regulátoru
pevného řádu, které již byly popsány v literatuře, jsou zde řešeny
znovu pomocí balíku HIFOO. Z výsledků vyplývá, že HIFOO se
zdá být efektivní výpočetní metodou a vhodnou alternativou.
použití metody LQG nebo H∞. Velký prostor je dán návrhu
kontrolerů typu LQG, H∞, H2 v [1].
Návrh regulátoru H∞ s pevným řádem pro poddajné struktury
vychází ze zpětnovazebního zapojení modelu struktury (G)
a regulátoru (K) podle následujícího Obrázku 4.
Závěr
Tento článek se zabývá shrnutím poznatků z kritické rešerše,
která je věnována metodám optimalizace systémů z hlediska
struktury a řízení. Články zde uvedené mapují pouze část
optimalizačních metod. Jsou zde popsány vybrané metody
návrhu a způsoby jejich matematického řešení. Na základě
prostudování vybraných článků bylo zjištěno, že ve většině
případů se simultánní optimalizace omezuje pouze na návrh
konstantního zesílení zpětné vazby spolu s návrhem několika
málo strukturních parametrů (většinou zastoupených hmotností).
Tomu odpovídaly i poměrně jednoduše navrhované cílové funkce
vedoucí na globální optimalizační úlohu, která je většinou řešena
známými optimalizačními algoritmy (nejčastěji genetické
algoritmy nebo nelineární programování [7]). Tato skutečnost
byla doložena i poměrně jednoduchými vzorovými příklady.
Články je nezabývají myšlenkou společné optimalizace, která by
poskytovala účinný nástroj z oblasti robotiky pro návrh
komplexního řešení jak struktury (hmotnost, tuhost, tlumení), tak
i řízení (regulátor), umisťování aktuátorů a senzoriky.
Obrázek 4. Uzavřený zpětnovazební obvod pro řízení H∞.
Základní stavový model je rozšířen o řízený výstupní signál z,
což vede na rovnice
x& = A ⋅ x + B1 ⋅ w + B2⋅u
z = C1 ⋅ x + D12 ⋅ u
(1)
Zůstává tak otevřený prostor pro metodu, která bude pokrývat
návrh parametrů ze všech oblastí. Inspirující je obzvláště článek
[5], který popisuje výpočtový balík HIFOO jako efektivní
nástroj. Dalším krokem práce bude stavět na efektivních
existujících optimalizačních algoritmech, zjistit nakolik využívají
konkrétní formu optimalizace a jak konkrétně tyto návrhy
a postupy spojit. Jak se změní, když přibudou naše další
parametry a jak to ovlivní použití optimalizačních metod, bude
předmětem dalšího výzkumu.
y = C2 ⋅ x + D21 ⋅ w
kde A je matice systému, B1 a B2 jsou matice vstupů systému, w
je vnější vstupní signál, y je vektor výstupů systému, C1 a C2 jsou
matice výstupů systému a D1 a D2 jsou matice vlivu vstupů na
výstupy systému. Základem metody H∞ je určení regulátoru
K takového, že norma přenosové funkce systému Gwz
G wz = G11 + G12 (I − G22 K ) G21
−1
(2)
Použitá literatura
[1] Gawronski, W. K.: Advanced Structural Dynamics and
Active Control of Structures, Springer, 2004.
[2] Fu, K., Sun, D., Mills, J. K.: Simultaneous mechanical
structure and control system design: optimization and
convex approaches, in Proc. IEEE Int. Symp. Intelligent
Control Vancouver, Canada, Oct. 2002, 756-762.
[3] Zhang, Y., Fang, Z., Wu, G.: Integrated Structure and
Control Parameters Optimization for an Automotive Active
Suspension System via LMIs, icmtma, vol. 1, 2009
International Conference on Measuring Technology and
Mechatronics Automation, 2009, 804-807.
[4] Liu, X.: Simultaneous Optimization of Mechanical and
Control Parameters for Active suspension System, Vehicle
Power and Propulsion Conference (VPPC), 2008, 1-5.
[5] Burke J. V., Henrion, D., Lewis, A. S., Overton, M. L.:
HIFOO - A MATLAB package for fixedorder controller
design and H∞ optimization. In 5th IFAC Symposium on
Robust Control Design, Toulouse, France, July 2006.
[6] Gumussoy, S., Overton, M. L.: Fixed-Order H-infinity
Controller Design via HIFOO, a Specialized Nonsmooth
Optimization Package, Proc. of American Control
Conference, 2008, 750–275.
[7] Fang, L., Yin, Y. H., Chen, Z., N.: Robust simultaneous
optimal design of structure and control for a wire bonding
force control system, Proceedings of the Institution of
Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical
Engineering Science, Volume 221, Number 2 / 2007, 2007,
177-186
bude minimální
G wz (G, K ) ∞
(3)
Výsledek vede na řešení Riccatiho algebraických rovnic.
Pro návrh regulátoru může být s výhodou použito výpočtového
balíku HIFOO, prezentovaného v článku [5].
HIFOO (H-Infinity Fixed-Order Optimization) je výpočtový
balík určený pro MATLAB. Je převážně určen (pro obvykle
obtížný) návrh regulátoru s řádem nižším než je řád původní
soustavy. Návrh vede na a řešení úloh, které obsahují nekonvexní
a nehladké cílové funkce. Jejich řešením jsou složité
optimalizační strategie v podobě stabilizace pevného řádu
a vyřešení lokálních optimalizačních problémů.
Využívá se zde již dříve vyvinutých optimalizačních technik
založených na hybridních algoritmech jako quasi-Newton
updating, bundling and gradient sampling. Strategie je založena
na dvoustupňovém přístupu, ve kterém se nejdříve minimalizuje
“spectral abscisa“ (maximum reálných částí vlastních hodnot)
s respektováním volných parametrů regulátoru a poté je lokálně
minimalizována norma H∞. Tyto optimalizační techniky vyžadují
použití gradientů. Podle autorů jsou gradienty vypočítávány
v průběhu optimalizace a algoritmy neselhávají ani v případech
nespojitostí těchto gradientů.
HIFOO je navíc volně dostupný kód pro MATLAB, který je
možný lehce editovat a doplňovat o další vlastní funkce. Jeho
49
All contributions published within these proceedings can be freely copied but appropriate
credit should be given.
Editors: Marek Štefan, Michael Valášek
11th Workshop of Applied Mechanics
Published by Czech Technical University in Prague
Compiled by Faculty of Mechanical Engineering (CTU in Prague)
Address: Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics,
Address: Technická 4, Praha 6 - Dejvice
Tel.: +420-224-357-584
Printed: CD-ROM only
1st edition, 54 pages
c 2010
Copyright °
ISBN 978-80-01-04567-1

02/2010 - Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky

Transkript

Podobné dokumenty

volná kancelářská jednotka o výměře 470 m²

stáhnout magazín FILES

“The Undesirable: How Parasites, Diseases, and Pests Shape Our