Autoreferát - Physics.cz

Silesian University in Opava
Faculty of Philosophy and Science
Abstract of doctoral thesis
On some Aspects of Optical Effects
in Vicinity of Black Holes
and Neutron Stars
Pavel Bakala
Opava 2010
Slezská Univerzita v Opavě
Filozoficko-přı́rodovědecká fakulta
Autoreferát doktorské disertačnı́
práce
K některým aspektům optických efektů
v blı́zkosti černých děr
a neutronových hvězd
Pavel Bakala
Opava 2010
Školicı́ pracoviště:
Ústav fyziky (Department of Physics)
Filozoficko-přı́rodovědecká fakulta (Faculty of Philosophy and Science)
Slezská univerzita v Opavě (Silesian University in Opava)
Bezručovo nám. 13
746 01 Opava
Česká republika (Czech Republic)
Doktorand:
RNDr. Pavel Bakala
Ústav fyziky FPF SU
Školitel:
Prof. RNDr. Zdeněk Stuchlı́k, CSc.
Ústav fyziky FPF SU
Konzultant:
RNDr. Stanislav Hledı́k, Ph.D.
Ústav fyziky FPF SU
Oponenti:
doc. RNDr. Vladimı́r Karas, DrSc.
Astronomický ústav
Akademie věd ČR
Bočnı́ II 1401/2a
141 31 Praha 4
Česká republika
doc. RNDr. Oldřich Semerák, Dr.
Ústav teoretické fyziky MFF UK
Univerzita Karlova
V Holešovičkách 2
180 00 Praha 8
Česká republika
Předseda oborové rady:
Prof. RNDr. Zdeněk Stuchlı́k, CSc.
Ústav fyziky FPF SU
Výsledky tvořı́cı́ disertaci byly zı́skány během doktorandského studia na
Filozoficko-přı́rodovědecké fakultě Slezské univerzity v Opavě v letech 2006–2010.
Tato práce byla podpořena českými granty MSM4781305903 a LC06014.
Obhajoba se koná dne 24. června 2010 v seminárnı́ mı́stnosti Ústavu fyziky (čı́slo dveřı́
316, 2. patro), budova FPF SU, Bezručovo nám. 13, Opava.
S disertacı́ je možné se seznámit na sekretariátu Ústavu fyziky (čı́slo dveřı́ 320, 2. patro),
budova FPF SU, Bezručovo nám. 13, Opava. Dizertaci a tento autoreferát lze zı́skat v
elektronické formě na http://www.physics.cz.
Autoreferát byl rozeslán dne ....................
Abstract
The thesis represents a collection of several refereed journal papers that comprehend the results of research obtained during my doctoral study under the
supervision of Prof. Zdeněk Stuchlı́k. As outlined by the thesis title, the articles
deal with optical effects in the close vicinity of black holes and other compact
objects. They touch the subject from three different angles which is reflected by
division of both annotation text and abstract of the thesis into three chapters.
In the first chapter we discuss the simulation and visualisation of optical
projection of distant universe for an observer in the close vicinity of a sphericalsymmetric black hole. After a short overwiev of the theory of photon motion
in the field of spherically-symmetric spacetimes considering the influence of the
black hole electric and hypothetical tidal charges and the repulsive cosmological
constant, we then describe the geometry of the optical projection and the software
solution of the developed numerical code. At the end of the chapter we present
the visualization outputs of the simulations.
The second chapter brings a brief introduction into the phenomenology of the
quasi-periodic oscillations (QPOs) and some theoretical models assuming orbital
motion in a strong gravitational field. Mainly we focus on the analysis of the
observational data of two neutron star low mass X-ray binary sorces, 4U 1636-53
a Circinus X-1. We explore distributions of the lower and upper twin-peak QPOs
and their clustering in the vicinity of the prominent frequency ratio. Against
the background of the relativistic precession model we analyse the conjunction
between the clustering and the existence of the preferred circular orbits, and
discuss the possibility of determining the mass and spin of the neutron star.
The last chapter is devoted to a study of circular orbital motion of charged
test particles in the vicinity of magnetized neutron stars. It is shown that the
calculated non-geodesic corrections to orbital motion may play significant role in
explaining the QPO modulation of the X-ray flows originating near the accreting
compact objects, as it is also discussed in the second chapter.
5
Obsah
1 Úvod
7
2 Virtuálnı́ výlet k horizontu černé dı́ry. . .
2.1 Pohyb fotonů ve sféricky symetrických prostoročasech . . . . .
2.1.1 Konstrukce optického zobrazenı́ . . . . . . . . . . . . .
2.2 Geometrie optického zobrazenı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Povrch rotujı́cı́ superkompaktnı́ neutronové či kvarkové hvězdy
.
.
.
.
.
.
.
.
9
10
12
13
17
3 QPOs: Pohled z nekonečna
3.1 Klastrovánı́ twin-peak kHz QPOs v okolı́ poměrů malých celých
čı́sel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Relativistický precesnı́ model a preferované kruhové orbity . . . .
3.3 Odhady hmotnosti a spinu s použitı́m relativistického precesnı́ho
modelu: Circinus X-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4 Magnetická pole
4.1 Perturbovaný kruhový orbitálnı́ pohyb nabitých testovacı́ch částic
v dipólovém magnetickém poli na schwarzschildovském pozadı́ a
observačnı́ motivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Dipólové magnetické pole na pozadı́ Schwarzschildovy prostoročasové geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Frekvence perturbovaného kruhového orbitálnı́ho pohybu . . . . .
4.4 Chovánı́ negeodeticky korigovaných frekvencı́, existence a stabilita
kruhových orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Aplikace na relativistický precesnı́ model . . . . . . . . . . . . . .
28
5 Publikace a prezentace na konferencı́ch.
5.1 Publikace v recenzovaných časopisech . .
5.2 Přı́spěvky ve sbornı́cı́ch . . . . . . . . . .
5.3 Prezentace na konferencı́ch . . . . . . . .
5.4 Postery na konferencı́ch . . . . . . . . .
40
40
41
42
43
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
20
22
23
28
29
30
31
34
Kapitola 1
Úvod
Pro svou dizertačnı́ práci jsem zvolil formu komentovaného souboru článků
shrnujı́cı́ch výsledky výzkumu dosažené v rámci mého doktorského studia pod
vedenı́m školitele prof. RNDr. Zdeňka Stuchlı́ka, CSc. Tématem dizertačnı́
práce jsou optické efekty v blı́zkosti černých děr a relativisticky kompaktnı́ch
hvězd. V práci zahrnuté publikace se tématu dotýkajı́ ze třı́ odlišných úhlů,
což je reflektováno volbou formy komentovaného souboru článků a rozčleněnı́m
úvodnı́ho textu dizertačnı́ práce i autoreferátu do třı́ kapitol. Ve shodě se
zvoleným tématickým rozčleněnı́m jsou publikace seřazeny v přı́lohách práce a
očı́slovány následujı́cı́m způsobem:
1. P. Bakala, P. Čermák, S. Hledı́k, Z. Stuchlı́k, K. Truparová (2007): Extreme gravitational lensing in vicinity of Schwarzschild–
de Sitter black holes, Central European Journal of Physics, 5/4, 599
2. G. Török, M. A. Abramowicz, P. Bakala, M. Bursa, J. Horák, W. Kluźniak,
P. Rebusco, Z. Stuchlı́k (2008): Distribution of Kilohertz QPO
Frequencies and Their Ratios in the Atoll Source 4U 163653, Acta Astronomica, 58, 15
3. G. Török, M. A. Abramowicz, P. Bakala, M. Bursa, J. Horák, P. Rebusco, Z.
Stuchlı́k (2008): On the origin of clustering of frequency ratios
in the atoll source 4U 1636-53, Acta Astronomica, 58, 113
4. G. Török, P. Bakala, Z. Stuchlı́k, P. Čech (2008): Modelling the twin
peak QPO distribution in the atoll source 4U 1636-53, Acta
Astronomica, 58, 1
5. G. Török, Z. Stuchlı́k, P. Bakala (2007): A remark about possible
7
unity of the neutron star and black hole high frequency
QPOs, Central European Journal of Physics, 5/4, 457
6. G. Török, P. Bakala, E. Šrámková, Z. Stuchlı́k (2010): On Mass Constraints Implied by the Relativistic Precession Model of Twinpeak Quasi-periodic Oscillations in Circinus X-1, Astrophysical
Journal, 714/1, 748
7. P. Bakala, E. Šrámková, Z. Stuchlı́k, G. Török (2008): On magneticfield induced non-geodesic corrections to the relativistic
precession QPO model, Cool Disc, Hot Flows: The Varying Faces of
Accreting Compact Objects. AIP Conference Proceedings, 1054, 123
8. P. Bakala, E. Šrámková, Z. Stuchlı́k, G. Török (2010): On magneticfield-induced non-geodesic corrections to relativistic orbital and epicyclic frequencies, Classical and Quantum Gravity, 27/4,
045001
V prvnı́ kapitole je diskutována simulace a vizualizace optického zobrazovánı́
vzdáleného vesmı́ru pro pozorovatele nacházejı́cı́ se v těsné blı́zkosti sféricky symetrických černých děr. Po krátkém přehledu teorie pohybu fotonů ve sféricky
symetrických prostoročasech se zřetelem na vliv elektrického a hypotetického
slapového náboje černých děr i repulzivnı́ kosmologické konstanty je dále popisována geometrie optického zobrazovánı́ a softwarové řešenı́ vyvinutého simulačnı́ho kódu. Závěr kapitoly je doplněn obrazovými výstupy simulacı́.
Druhá kapitola je po stručném úvodu do fenomenologie kvaziperiodických
oscilacı́ (QPOs) a některých teoretických východisek jejich popisu pomocı́ orbitálnı́ho pohybu v silném gravitačnı́m poli věnována analýze observačnı́ch dat
rentgenových LMXB zdrojů 4U 1636-53 a Circinus X-1. Zkoumány jsou distribuce
dolnı́ch, hornı́ch i twin-peak kHz QPOs a jejich klastrovánı́ v okolı́ význačných
poměrů frekvencı́ kHz QPOs. Na pozadı́ relativisticky precesnı́ho modelu je analyzována souvislost klastrovánı́ detekcı́ s existencı́ preferovaných kruhových orbit
a diskutovány možnosti odhadu hmotnostı́ a spinu neutronových hvězd.
S optickými efekty již relativně volně spojená třetı́ kapitola je věnována
analýze kruhového orbitálnı́ho pohybu nabitých testovacı́ch částic v okolı́ zmagnetizovaných neutronových hvězd. Právě negeodetické korekce orbitálnı́ho pohybu
však mohou hrát nezanedbatelnou úlohu při vysvětlenı́ detailů QPO modulace
rentgenových toků přicházejı́cı́ch z blı́zkosti akreujı́cı́ch kompaktnı́ch objektů, tak
jak jsou diskutovány v předcházejı́cı́ kapitole.
8
Kapitola 2
Virtuálnı́ výlet k horizontu černé
dı́ry a povrchu neutronové
hvězdy
Článek Extreme gravitational lensing in vicinity of Schwarzschild–
de Sitter black holes, který je obsahem přı́lohy 1, je věnován analýze
výsledků počı́tačové simulace vzhledu vzdáleného vesmı́ru pro pozorovatele
nacházejı́cı́ho se v těsné blı́zkosti Schwarzschildovy–de Sitterovy černé dı́ry, tedy
ve výrazně zakřiveném sféricky symetrickém prostoročase a za přı́tomnosti repulzivnı́ kosmologické konstanty. Vizualizace a simulace vzhledu oblohy pro pozorovatele v blı́zkosti černých děr jistě nepatřı́ k fenoménům v současnosti a
pravděpodobně i v blı́zké budoucnosti experimentálně testovatelným, nicméně
poskytuje působivou ilustraci výrazných rozdı́lů mezi optikou v prostředı́ silného
gravitačnı́ho pole a optikou v plochém prostoročase, kterou známe z každodennı́ho
života a jejı́ž zdánlivě samozřejmé vlastnosti formovaly naše vnı́mánı́ prostoru
a tı́m i naši intuici a představivost. Takto formulovaná úloha také zcela jistě
naplňuje význam termı́nu teoretická astrofyzika“.
”
Současné kosmologické testy ukazujı́, že expanze vesmı́ru je v současnosti
urychlována tzv. temnou energiı́, která může být popsána v Einsteinových rovnicı́ch gravitačnı́ho pole efektivnı́ repulzivnı́ kosmologickou konstantou [24, 33].
Proto je analýzován vliv repulzivnı́ kosmologickém konstanty na optickou projekce pro statické i radiálně volně padajı́cı́ pozorovatele v silném sféricky symetrickém gravitačnı́m poli.
Dalšı́m teoreticky možným parametrem sféricky symetrické metriky je
kvadrát elektrického náboje spojeného s centrálnı́ hmotnostı́. Pokud se jedná
o asymptoticky ploché řešenı́, hovořı́me o Reissnerově–Nordströmově prostoročase, v přı́padě přı́tomnosti repulzivnı́ kosmologické konstanty pak o prostoročase Reissnerově–Nordströmově–de Sitterově [43]. Astrofyzikálnı́ relevance
elektricky nabitých kompaktnı́ch objektů je vzhledem k celkové elektrické neutralitě hmoty ve vesmı́ru diskutabilnı́, nicméně nabitá řešenı́ v současné době zažı́vajı́
9
určitou renesanci v souvislosti s novými vı́cedimenzionálnı́mi bránovými kosmologickými modely, ve kterých existuje třı́da řešenı́ Einsteinových rovnic popisujı́cı́
prostoročasy v okolı́ relativisticky sféricky symetrických kompaktnı́ch objektů
vázaných na náš tzv. bránový svět formálně právě Reissnerovou–Nordströmovou
metrikou [19, 21]. V takovém přı́padě je ovšem kvadrát elektrického náboje nahrazen novým parametrem metriky, nábojem slapovým. Tento parametr oproti
kvadrátu elektrického náboje může nabývat kladných i záporných hodnot, a zdá
se dokonce, že jeho záporná hodnota je fyzikálně přirozenějšı́ [21].
Simulačnı́ kód BHimpaCt použitý ke generovánı́ publikovaných výsledků
v současné verzi proto umožňuje modelovat jak vliv kosmologické konstanty tak
i elektrického či slapového náboje na vlastnosti optického zobrazovánı́ v sféricky
symetrických černoděrových prostoročasech. Kód umožňuje simulovat přı́spěvky
světelných geodetik vyššı́ch řádů (s orbitami ve tvaru vı́cenásobných smyček kolem gravitačnı́ho centra) k optické projekci, zohledňuje efekty dopplerovského
i gravitačnı́ho frekvenčnı́ho posunu (blueshift, redshift) a gravitačnı́m polem indukované amplifikace intenzity. Současná verze kódu BHimpaCt je vyvinuta na bázi
programovacı́ho jazyka C++ a je rozdělena na tři základnı́ softwarové moduly
(modul vstupů, modul relativistického raytracingu, modul zpracovánı́ výstupů)
implementované jako C++ objektové třı́dy.
2.1
Pohyb fotonů ve sféricky symetrických prostoročasech
Prostoročas v okolı́ sféricky symetrické černé dı́ry nebo relativisticky kompaktnı́ (neutronové či podivné) hvězdy lze reprezentovat metrikou s elementem prostoročasového intervalu zapsaným ve standardnı́ch Schwarzschildových
souřadnicı́ch zapsaným s použitı́m geometrických jednotek (M = G = c = 1) ve
tvaru
ds2 = −B(r, β, Λ)dt2 + B(r, β, Λ)−1 dr 2 + r 2 (dθ2 + sin2 θ dφ2 ) ,
(2.1)
kde funkce B(r, β, Λ) je dána vztahem
B(r, β, Λ) ≡ 1 −
β
Λ
2
+ 2 − r2 .
r r
3
(2.2)
Parametr β v přı́padě bránových řešenı́ značı́ slapový náboj, v přı́padě nabité
černé dı́ry má pak význam kvadrátu elektrického náboje spojeného s centrálnı́m
objektem ( β = Q2 ) a konečně Λ je kosmologická konstanta. Přı́slušným nastavenı́m parametrů tak metrika ve tvaru 2.1 může reprezentovat čistě Schwarzschildův prostoročas, Schwarzschildovo–de Sitterovo řešenı́ analyzované
v přı́loze 1 anebo elektricky popřı́padě slapově nabitá řešenı́ Reissnerova–
Nordströmova typu. Ve sféricky symetrických prostoročasech je pohyb fotonů
10
určen impaktnı́m parametrem definovaným jako
b≡
Φ
,
E
(2.3)
kde Φ a E jsou pohybové konstanty odpovı́dajı́cı́ Killingovým vektorům ξ(t)
and ξ(φ) generovaným přı́slušnými symetriemi prostoročasu [30]. Symetrie prostoročasu implikuje zachovánı́ celkového momentu hybnosti a tı́m i centrálnı́ roviny pohybu fotonů a lze tedy bez újmy na obecnosti předpokládat, že pohyb
fotonů probı́há v ekvatoriálnı́ rovině. Kovariantnı́ komponenty čtyřhybnosti fotonů lze pak zapsat ve tvaru
pt = −E,
kde
pr =
A(r, β, Λ)
,
B(r, β, Λ)
pφ = Φ,
pθ = 0,
(2.4)
s
b2
.
(2.5)
r2
Znaménko sA nabývá hodnoty + pro fotony vzdalujı́cı́ se od centrálnı́ho kompaktnı́ho objektu, − pro přibližujı́cı́ se fotony.
Pohyb fotonů je determinován Binetovým vzorcem nabývajı́cı́m v prostoročase s metrikou 2.1 tvaru
A(r, β, Λ) ≡ sA 1 − B(r, β, Λ)
1
dφ
= ±q
du
b−2 − u2 + 2u3 − β 2 u4 +
Λ
3
,
u = r −1 .
(2.6)
Tvar Binetova vzorce přirozeně implikuje podmı́nku existence pohybu fotonů ve
tvaru
Λ
−2
2
3
2 4
≥ 0.
(2.7)
C (b, u, β, Λ) ≡ b − u + 2u + β u +
3
Bod obratu geodetik přicházejı́cı́ch ze vzdáleného vesmı́ru rturn = 1/uturn s b >
bcrit je určen kořenem rovnice
C (b, u, β, Λ) = 0
(2.8)
ležı́cı́m v intervalu mezi hodnotou radiálnı́ souřadnice nestabilnı́ kruhové fotonové
orbity rph a statickým poloměrem (pro Λ = 0 jdoucı́m do nekonečna). Fotony
na takových geodetikách tak nikdy nedosáhnou polohy pod nestabilnı́ kruhovou
fotonovou orbitou. Naopak pro nulové geodetiky s b < bcrit je podmı́nka existence splněna na každé hodnotě radiálnı́ souřadnice a takové fotony přicházejı́cı́
ze vzdáleného vesmı́ru svou trajektoriı́ nestabilnı́ kruhovou fotonovou orbitu
protı́najı́ a dopadajı́ na černoděrový horizont. Meznı́m přı́padem jsou pak geodetiky s b = bcrit , které odpovı́dajı́ záchytu fotonů právě na nestabilnı́ kruhové
11
orbitě, jejı́ž poloha rph = 1/uph odpovı́dá minimu funkce C (b, u, β, Λ), které
nezávisı́ na hodnotě kosmologické konstanty a je dáno vztahem1
rph =
q
1
3 + 9 − 8β
2
.
(2.9)
Odpovı́dajı́cı́ kritickou hodnotu impaktnı́ho parametru bcrit lze pak snadno zı́skat
dosazenı́m rph do rovnice 2.8 .
2.1.1
Konstrukce optického zobrazenı́
Uvažujme nynı́ nulové geodetiky spojujı́cı́ zdroj se souřadnicemi
(rsource , π/2, φsource) a pozorovatele se souřadnicemi (robs , π/2, 0), tedy ležı́cı́
v ekvatoriálnı́ rovině. Pak integrálnı́ rovnici vyjadřujı́cı́ impaktnı́ parametr b
jako implicitnı́ funkci okrajových podmı́nek (souřadnic zdroje a pozorovatele) a
parametrů metriky můžeme zapsat ve tvaru
∆φ (b, robs , rsource , β, Λ) + φsource + 2kπ = 0 ,
(2.10)
kde ∆φ je změna souřadnice φ podél přı́slušné geodetiky a lze ji zı́skat integracı́ Binetova vzorce 2.6. Parametr k značı́ řád obrazu a udává počet fotonem opsaných
smyček kolem gravitačnı́ho centra. Pro geodetiky orbitujı́cı́ pravotočivě a generujı́cı́ tzv. přı́mé obrazy parametr k nabývá hodnot 0, 1, 2, . . . , +∞ , zatı́mco pro
geodetiky orbitujı́cı́ levotočivě a generujı́cı́ tzv. obrazy nepřı́mé nabývá k hodnot −1, −2, . . . , −∞. Nekonečné hodnoty k = ±∞ pak korespondujı́ se záchytem
fotonů na nestabilnı́ kruhové fotonové orbitě [7].
Hodnoty impaktnı́ho parametru b a znaménka sA , zı́skané řešenı́m rovnice
2.10, postačujı́ k určenı́ komponent čtyřhybnosti fotonu na souřadnicı́ch pozorovatele a ty po nezbytné transformaci do lokálnı́ho referenčnı́ho systému spojeného
s pozorovatelem jednoznačně určujı́ směrový úhel, pod kterým danou geodetikou
generovaný obraz pozorovatel uvidı́. Směrový úhel α a odpovı́dajı́cı́ frekvenčnı́
posuv g fotonů (poměr pozorované a emitované energie) lze pomocı́ lokálnı́ch
komponent čtyřhybnosti fotonu zapsat vztahy
(r)
cos α = −
pobs
(t)
pobs
(t)
,
g=
pobs
(t)
psource
.
(2.11)
Celkovou amplifikaci bolometrické intenzity zdroje lze zapsat vztahem
Atotal = Atime · Aangular ,
(2.12)
kde faktor Atime = g 4 reprezentuje časovou a energetickou redistribuci intenzity zdroje a prostorová část amplifikace Aangular souvisı́ s fokusacı́ fotonových
1
Podrobnějšı́ diskuzi o existenci a charakteru kruhových fotonových orbit i statických poloměrů v souvislosti s černoděrovým nebo nahosingulárnı́m charakterem sféricky symetrických
prostoročasů lze nalézt v [42, 43].
12
svazků gravitačnı́m polem. Uvažujeme-li malý izotropně zářı́cı́ zdroj ve vzdáleném
vesmı́ru, pak faktor Aangular pro konkrétnı́ obraz zdroje je dán poměrem prostorového úhlu, který obraz vytı́ná na pozorovatelově obloze a prostorového úhlu,
který by zdroj vytı́nal na obloze bez přı́tomnosti gravitačnı́ho pole.
2.2
Geometrie optického zobrazenı́
Obrázek 2.1: Zdánlivá úhlová velikost černé dı́ry S(robs ) pro statického pozorovatele jako funkce robs v prostoročasech s rozdı́lnou velikostı́ kvadrátu náboje Q2 =
β a kosmologické konstanty Λ. Plné křivky označujı́ chovánı́ v prostoročasech
s Λ = 0, přerušované křivky odpovı́dajı́ prostoročasům s Λ = 5 × 10−3 M −2 .
Zdánlivá úhlová velikost klesá k nule na kosmologickém horizontu a naopak dosahuje maxima S(robs ) = 2π na horizontu černoděrovém.
Sférická symetrie gravitačnı́ho pole se manifestuje i v odpovı́dajı́cı́ geometrii optického zobrazenı́. Na oblohu pozorovatele v silném gravitačnı́m poli jsou
projektována koncentrická zobrazenı́ celého zářı́cı́ho vzdáleného vesmı́ru tak, že
přı́mé obrazy jsou vždy následovány nepřı́mými a směrový úhel α(φsource , k) klesá
spolu s |k|. Je však nutno podotknout, že celkový úhlový rozměr a tedy i pozorovaná intenzita zářenı́ jednotlivých obrazů se vzrůstajı́cı́m |k| klesá exponenciálně [32], a proto lze na vizualizačnı́ch výstupech simulacı́ rozumně modelovat i rozlišit pouze prvnı́ trojici obrazů (nultý přı́mý a prvnı́ přı́mý i nepřı́mý
13
Obrázek 2.2: Vstup simulace, snı́mek Galaxie v Andromedě M31 spolu se satelitnı́mi galaxiemi M32 (nahoře) a M110 (dole).
obraz). Obrazy vyššı́ch řádů splývajı́ do jasného prstence s poloměrem odpovı́dajı́cı́m maximálnı́ hodnotě směrového úhlu αmax (robs ) pro danou hodnotu
radiálnı́ souřadnice pozorovatele robs .
V přı́padě pozorovatele umı́stěného nad nestabilnı́ kruhovou fotonovou orbitou (robs > rph ) úhel αmax (robs ) koresponduje s trajektoriemi fotonů s impaktnı́m
parametrem b → b+
crit , tedy fotonů mnohokrát spirálujı́cı́ch v těsné blı́zkosti kruhové fotonové orbity, avšak finálně dosahujı́cı́ch bodu obratu a poté unikajı́cı́ch
směrem do vzdáleného vesmı́ru. Naopak v přı́padě pozorovatele s robs ≤ rph
maximálnı́ hodnota směrového úhlu αmax (robs ) koresponduje s trajektoriemi fotonů obdobně mnohokrát spirálujı́cı́ch, avšak s impaktnı́m parametrem b → b−
crit ,
a tedy finálně dopadajı́cı́ch na černoděrový horizont. Maximálnı́ směrový úhel
αmax tak vymezuje na pozorovatelově obloze černý region, do kterého nejsou již
projektovány žádné obrazy objektů vzdáleného vesmı́ru a přı́padné zářenı́ pozorované v této oblasti musı́ nutně přicházet ze zdrojů v těsné blı́zkosti černoděrového
horizontu [18, 44]. Hranice tohoto regionu je tedy možno interpretovat jako zobrazenı́ nestabilnı́ kruhové fotonové orbity (fotosféry obalujı́cı́ černou dı́ru) a jeho
14
Obrázek 2.3: Simulace optického zkreslenı́ gravitačnı́m polem černé dı́ry ležı́cı́
mezi pozorovatelem a vzdálenou Galaxie
15 v Andromedě M31. Statický pozorovatel je vzdálen od virtuálnı́ černé dı́ry o robs = 27M. Zřetelně lze rozlišit prvnı́
Einsteinův kroužek, invertovaný charakter prvnı́ho nepřı́mého obrazu i obrazy
vyššı́ch řádů.
Obrázek 2.4: Simulace vzhledu povrchu superkompaktnı́ hvězdy s vyloučenı́m
vlivu gravitačnı́ho rudého posuvu. Dı́ky vysoké superkompaktnosti hvězdy
(Rstar = 2.4M < Rc ≃ 3.445M) je pro vzdáleného pozorovatele viditelný přı́mý
i nepřı́mý obraz úplného povrchu hvězdy. Vlevo: Procesován je pouze speciálně
relativistický Dopplerův frekvenčnı́ posuv. Poměrně komplikovaná barevná mapa
povrchu vzniká kompozicı́ klasického a transverzálnı́ho Dopplerova jevu. Zřetelně
rozeznatelné je umı́stěnı́ pólů osy rotace hvězdy i přesun vyzařovánı́ části povrchu
pohybujı́cı́ho se směrem od pozorovatele do infračervené oblasti.Vpravo: Stejná
situace jako na levém panelu, avšak se zahrnutı́m vlivu amplifikace zářenı́ povrchu.
úhlová velikost může být nazývána zdánlivou úhlovou velikostı́ černé dı́ry
S(robs ) = 2 αmax(robs ).
(2.13)
Směrový úhel α je na dané hodnotě radiálnı́ souřadnice robs obecně závislý na parametrech metriky 2.1 i volbě lokálnı́ho referenčnı́ho systému spojeného s pozorovatelem. Pro statického pozorovatele umı́stěného nad nestabilnı́ kruhovou fotonovou orbitou (robs > rph ) je S(robs ) antikorelována k Λ, zatı́mco pro pozorovatele
s robs < rph S(robs ) spolu s Λ roste. Přı́tomnost elektrického náboje zdánlivou
úhlovou velikost černé dı́ry S(robs ) pro statického pozorovatele na daném robs
zvětšuje, zatı́mco přı́tomnost náboje slapového má opačný efekt. Ve významném
přı́padě statického pozorovatele umı́stěného právě na nestabilnı́ kruhové fotonové orbitě je však zdánlivá úhlová velikost černé dı́ry S(robs ) invariantně rovna
π nezávisle na hodnotách Q2 = β i Λ a černý region pro takové pozorovatele
vyplňuje vždy celou hemisféru oblohy orientovanou směrem k černé dı́ře. Obrázek
2.1 ilustruje chovánı́ S(robs ) v elektricky i slapově nabitých prostoročasech včetně
vlivu repulzivnı́ kosmologické konstanty.
16
Zajı́mavou a charakteristickou vlastnostı́ optického zobrazenı́ extrémně
silným sféricky symetrickým gravitačnı́m polem je odlišný charakter přı́mých
a nepřı́mých obrazů. Zatı́mco přı́mé obrazy zářenı́ vzdáleného vesmı́ru je pouze
úhlově deformovány – komprimovány, transformace zobrazenı́ pro nepřı́mé obrazy
je poněkud dramatičtějšı́. Nepřı́mé obrazy jsou nejenom úhlově komprimovány,
ale i úhlově invertovány a navı́c otočeny o úhel π kolem optické osy zobrazenı́.
Dalšı́m dobře známým a charakteristickým efektem gravitačnı́ho lensingu
sféricky symetrickým gravitačnı́m polem jsou Einsteinovy kroužky [18, 20, 31, 36],
zobrazenı́ světelných zdrojů ležı́cı́ch na optické ose do koncentrických zářı́cı́ch
prstenců. V přı́padě lensingu zářenı́ vzdáleného vesmı́ru existujı́ dvě sady Einsteinových kroužků. Prvnı́ sada, zobrazujı́cı́ zdroj zářenı́ ve vzdáleném vesmı́ru s
φsource = π (tedy z hlediska pozorovatele za černou dı́rou) tvořı́ hranice přı́mých
řádu k+ s nepřı́mými o řádu k− = −(k+ + 1). Druhou sadu, zobrazujı́cı́ protilehlý
zdroj s φsource = 0 (za zády pozorovatele hledı́cı́ho směrem k černé dı́ře) lze pak
lokalizovat na hranicı́ch přı́mých obrazů s nepřı́mými opačného řádu. Ačkoli intenzita obrazů globálně klesá s ∆φ (b, robs , rsource , β, Λ) a tedy i s |k|, v těsném okolı́
Einsteinových kroužků naopak lokálně prudce vzrůstá a v použitém přiblı́ženı́
geometrické optiky v Einsteinových kroužcı́ch diverguje do nekonečna [32]. Prvnı́
Einsteinův kroužek se tak stává nutně výrazným observačnı́m fenoménem [36].
2.3
Povrch rotujı́cı́ superkompaktnı́ neutronové
či kvarkové hvězdy
Simulace vzhledu povrchu rotujı́cı́ relativisticky kompaktnı́ hvězdy (s poloměrem
Rstar ∼ rph ) pro vzdáleného pozorovatele v nekonečnu je úlohou částečně komplementárnı́ k úloze, které byly věnovány předešlé simulace. Pokud prostoročas
v okolı́ takového hvězdného objektu aproximativně popisujeme metrikou ve tvaru
2.1, lze dı́ky stacionaritě tohoto řešenı́ rovnici 2.10 snadno adaptovat pro přı́pad
určenı́ impaktnı́ch parametrů nulových geodetik spojujı́cı́ch povrch hvězdy a
vzdáleného pozorovatele pouhou vzájemnou záměnou robs a rsource = Rstar . Analogicky i modrý posuv zářenı́ vzdáleného vesmı́ru pozorovaný v blı́zkosti černé
dı́ry je v přı́padě vzdáleného pozorovatele kompaktnı́ hvězdy nahrazen posuvem rudým. Přirozený předpoklad neprůhlednosti hvězdy ovšem omezuje obor
možných řešenı́ rovnice 2.10 na vycházejı́cı́ geodetiky s b < bmax (Rstar ). Proto
maximálnı́mu impaktnı́mu parametru bmax (Rstar ) odpovı́dá maximálnı́ možná
změna úhlové souřadnice podél geodetiky a tedy i maximálnı́ hodnotě souřadnice
φ = φmax
source (Rstar ) na které je izotropně zářı́cı́ bodový zdroj na rovnı́ku hvězdy
(θsource = π/2) ještě viditelný. Pokud poloměr hvězdy dosáhne kritické hodnoty Rc ≃ 3.445M, je φmax
source (Rc ) roven π a viditelným se stává celý povrch a
i přı́spěvky obrazů vyššı́ch řádů se stávajı́ relevantnı́mi. Pro hvězdy s Rstar ≤ rph
pak φmax
source (Rstar ) diverguje k nekonečnu.
17
Nezkreslený obrázek
robs = 200M
robs = 50M
robs = 30M
robs = 15M
robs = 10M
robs = 5M
robs = 1.5M
Obrázek 2.5: Simulace vzhledu galaxie M104 Sombrero pro radiálně volně padajı́cı́ho pozorovatele do Schwarzschildovy černé dı́ry na rozdı́lných hodnotách
radiálnı́ souřadnice.
18
Kapitola 3
QPOs: Pohled z nekonečna
Specifický optický observačnı́ fenomén, kvaziperiodické oscilace ve výkonových
specktrech světelných křivek akreujı́cı́ch LMXB systémů s neutronovou hvězdou
či černou dı́rou je pro relativistickou astrofyziku stálou výzvou. Okolı́ hvězdných
kompaktnı́ch objektů je přı́rodnı́ relativistickou laboratořı́, kde je nutno pro pohyb hmoty i šı́řenı́ zářenı́ použı́t plně relativistický popis a principiálně je takto
možno testovat predikce obecné relativity v prostředı́ silného pole. Na druhé
straně existuje snaha pomocı́ plně relativistických modelů zı́skat z observačnı́ch
dat informace o parametrech (hmotnostech a spinech) kompaktnı́ch hvězdných
objektů – černých děr i neutronových hvězd. Druhá kapitola mé dizertačnı́ práce
je věnována kHz QPOs v LMXB systémech s neutronovou hvězdou, předmětu
publikacı́ prezentovaných v přı́lohách 2–5. Termı́nem QPOs (kHz QPOs) bez
dalšı́ch přı́vlastků budou dále mı́něny právě QPOs pozorované v rentgenových
tocı́ch přicházejı́cı́ch z LMXB systémů obsahujı́cı́ch neutronovou hvězdu.
V systémech s neutronovou hvězdou lze pro kHz QPOs rozlišit dva odlišné
módy pozorované v širokém rozsahu časově proměnných frekvencı́.1 Módy jsou
charakterizované odlišnou korelacı́ nı́že podrobně diskutovaných parametrů pı́ku
s jeho frekvencı́ [9, 10, 28].
Pokud jsou oba QPO módy detekovány současně, hodnoty frekvencı́ obou pı́ků
splňujı́ vždy shodnou nerovnost a proto hovořı́me o hornı́m (upper ) a dolnı́m
(lower ) QPO módu s odpovı́dajı́cı́mi frekvencemi svázanými relacı́ νu > νl .
Zdůrazněme však, že tato relace je relevantnı́ pouze pro současnou detekci a
ve frekvenčnı́m pásmu konkrétnı́ho zdroje mohou hornı́ QPO být detekována na
frekvenci menšı́ než nesimultánně pozorovaná dolnı́ QPO. Částečně zavádějı́cı́
terminologie tak může snadno vést k principiálnı́m nedorozuměnı́m, kterých byl
autor svědkem i na mezinárodnı́ch prestižně obsazených astrofyzikálnı́ch konferencı́ch. Pro simultánnı́ detekci obou módů je často použı́váno označenı́ twin-peak
kHz QPO.
1
V binárnı́ch systémech s černou dı́rou jsou pozorována kHz QPOs na konstantnı́ch frekvencı́ch charakteristických pro daný zdroj. Pokud jsou detekovaná v párech, dvojice frekvencı́
obvykle odpovı́dajı́ poměrům malých celých čı́sel, typicky 3:2 [1, 26].
19
3.1
Klastrovánı́ twin-peak kHz QPOs v okolı́
poměrů malých celých čı́sel.
Obrázek 3.1: Vlevo: Frekvenčnı́ histogram detekcı́ dolnı́ch QPOs zdroje 4U 163653. Tmavšı́m odstı́nem (v legendě lower in twin) jsou značeny detekce odpovı́dajı́cı́ twin-peak QPOs. Vpravo: Analogický histogram pro hornı́ QPOs.
Detekce twin-peak QPOs vykazujı́ výrazné klastrovánı́ v okolı́ poměrů frekvencı́ odpovı́dajı́cı́ch podı́lům malých celých čı́sel s výraznou dominancı́ hodnoty
νu : νl = 3 : 2 [2]. Obrázek 3.1 ukazuje distribuci separátnı́ch hornı́ch, dolnı́ch
i twin-peak QPOs v observačnı́ch datech LXMB zdroje 4U 1636-53 [10]. Existence preferovaných poměrů frekvencı́ twin-peak kHz QPO naznačujı́cı́ i možnou
přı́tomnost fyzikálnı́ho mechanismu ležı́cı́ho v pozadı́ pozorovaných distribucı́
byla předmětem řady studiı́ a také i určitých kontroverzı́ [2, 9–12, 14, 15]. Oproti
některým publikovaným tvrzenı́m o závislosti distribucı́ frekvencı́ hornı́ch a
dolnı́ch QPOs [14, 15] výsledky analýzy skutečně pozorovaných distribucı́ publikované v článku Distribution of Kilohertz QPO Frequencies and
Their Ratios in the Atoll Source 4U 1636-53, který je obsahem přı́lohy 2,
ukazujı́ odlišný obraz. Skutečně pozorované distribuce hornı́ i dolnı́ch QPOs
zdroje 4U 1636-53 neodpovı́dajı́ předpokládaným distribucı́m odvozeným pomocı́ relace νU ≈ 0.7νL + 520 Hz [3, 14, 47] z distribucı́ jejich partnerů. Co se
týče kvantitativnı́ho zhodnocenı́ odlišnosti takto predikovaných a pozorovaných
partnerských distribucı́ frekvencı́, po porovnánı́ pomocı́ odpovı́dajı́cı́ch kumulativnı́ch distribucı́ zı́skáváme velmi nı́zké Kolmogorovovy–Smirnovovy (dále jen
K-S) pravděpodobnosti pro shodu predikcı́ a observacı́ pL,KS = 2.35 × 10−5 a
pU,KS = 2.24 × 10−3 . Navı́c je zřejmé z histogramů na obrázku 3.1, že hornı́
QPO jsou detekována převážně ve spodnı́ části frekvenčnı́ho rozsahu zdroje a
naopak. V tomto smyslu lze distribuce hornı́ch a dolnı́ch pı́ků považovat za komplementárnı́. Distribuce poměrů frekvencı́ νu a νl v přı́padě detekcı́ twin-peak
QPOs ukazuje levý panel obrázku 3.2. Histogram detekcı́ naznačuje přı́tomnost
dvou význačným pı́ků distribuce v okolı́ poměrů 3:2 a 5:4. Observačnı́ data byla
20
fitována modelovou distribucı́ p2 (r) konstruovanou jako suma dvou lorentziánů
formulı́
λ2 /π
λ1 /π
+ (1 − f )
,
(3.1)
p2 (r) = f
2
2
(r − r1 ) + λ1
(r − r2 )2 + λ22
kde r = νU /νL je poměr frekvencı́ a r1 , r2 , λ1 , λ2 a f jsou volné parametry.
Při dosaženı́ maximálnı́ K-S pravděpodobnosti shody pozorované a fitujı́cı́ distribuce p2,KS = 0.918 volné parametry nabývajı́ hodnot r1 = 1.52, r2 = 1.28,
λ1 = 0.0327, λ2 = 0.0913 a f = 0.722. Naproti tomu nejlepšı́ fit standardnı́ Lorentzovou distribucı́ s jednı́m pı́kem a parametry r0 = 1.50, λ0 = 0.0597 dosahuje
K-S pravděpodobnosti pouze p1,KS = 0.340. Lze tedy konstatovat, že pozorované distribuci poměrů frekvencı́ twin-peak QPOs zdroje 4U 1636-53 odpovı́dá
s velkou pravděpodobnostı́ výrazná preference dvou hodnot poměru frekvencı́,
3:2 a 5:4. Pozorovanou distribuci frekvenčnı́ch poměrů a obě modelové distribuce
porovnává pravý panel obrázku 3.2.
Souvislost závislosti amplitud pı́ků na jejich frekvenci a pozorovaného
klastrovánı́ detekcı́ v okolı́ význačných poměrů frekvencı́ byla analyzována
v článku On the origin of clustering of frequency ratios in the
atoll source 4U 1636-53, který je obsahem přı́lohy 3. Článek je věnován
softwarovým simulacı́m pozorovaných frekvenčnı́ch distribucı́ twin-kHz QPOs.
Simulace vycházejı́ z předpokladu, že dolnı́ a hornı́ QPO jsou vždy zdrojem produkovány v párech, jejichž frekvence jsou spojeny relacı́ νU ≈ 0.7νL +520 Hz, avšak
dı́ky poměrně nı́zké citlivosti družicových detektorů jsou ne vždy detekovány oba
partnerské pı́ky. V simulacı́ch použité aproximativnı́ průběhy rms amplitudy A
a faktoru kvality Q jsou odvozeny z chovánı́ reálných observačnı́ch dat.
Pokud byla simulována náhodná distribuce twin-peak QPOs v pozorovaném
frekvenčnı́m rozsahu zdroje 4U 1636-53 s výše uvedenými vlastnostmi a za
dodatečného předpokladu konstantnı́ luminozity zdroje (k = 1), podařilo se
v obdržené distribuci reprodukovat klastr detekcı́ v oblasti poměrů frekvencı́ 3:2,
nikoli však sekundárnı́ klastr v okolı́ poměru 5:4. Pokud však byla simulace provedena takovým způsobem, že parametr k zůstával konstantnı́ (k = 1) až do
νl = 700 Hz a poté narůstal lineárně s frekvencı́ tak aby na νl = 950 Hz nabýval
hodnoty k = 2.5, obdržená distribuce nápadně připomı́nala distribuci skutečných
observačnı́ch dat. Takový nárůst k nebyl ovšem zvolen zcela arbitrárně, naopak je
v souladu v observačnı́mi daty [10,27]. V simulaci byl nastaven práh detekce pı́ku
pro signifikanci S na úrovnı́ 3σ a při takovém nastavenı́ se podařilo reprodukovat
i vlastnosti distribucı́ nesimultánnı́ch detekcı́ hornı́ch a dolnı́ch QPOs. Výsledky
jsou ilustrovány obrázkem 3.3. Lze tedy konstatovat, že s použitı́m předpokladu
korelace luminozity zdroje s frekvencı́ kHz QPO pı́ků je možno velmi dobře modelovat pozorovaná observačnı́ data. Pozitivnı́ výsledky výše diskutovaných simulacı́
ovšem nikterak dále nekonkretizujı́ fyzikálnı́ mechanismy stojı́cı́ v pozadı́ pozorovaných distribucı́ frekvencı́ i poměrů frekvencı́ kHz QPOs.
21
Obrázek 3.2: Vlevo: Detekce twin-peak QPOs zdroje 4U 1636-53 v rovině νl νu . Klastrovánı́ detekcı́ v okolı́ poměrů malých celých čı́sel je poměrně zřetelné.
Vpravo: Kumulativnı́ distribuce frekvenčnı́ch poměrů pozorovaných twin-peak
QPOs (stupňovitá křivka), modelová kumulativnı́ distribuce p2 (r) konstruovaná
sumou dvou lorentziánů (silná plná křivka) a modelová kumulativnı́ standardnı́
lorentzovská distribuce p1 (r) (slabá přerušovaná křivka).
3.2
Relativistický precesnı́ model a preferované
kruhové orbity
Relativistický precesnı́ model (dále jen RP model) ve své původnı́ verzi ztotožňuje
pozorované frekvence kHz QPOs s geodetickými orbitálnı́mi frekvencemi zářı́cı́
skvrny (blobu) v tenkém disku relacemi [40]
νL = νK (r) − νr (r),
νU = νK (r).
(3.2)
Frekvence dolnı́ho kHz pı́ku je interpretována jako frekvence precese periastra
zářı́cı́ skvrny a frekvence hornı́ho kHz pı́ku jako odpovı́dajı́cı́ orbitálnı́ frekvence.
Navı́c jsou ztotožňovány frekvence nı́zkofrekvenčnı́ch QPO νlf s frekvencı́ nodálnı́
precese [39] relacı́
νlf = νLT = νK − νθ .
(3.3)
I přes překvapujı́cı́ kvalitativnı́ i kvantitativnı́ shodu observačnı́ch dat s výše uvedenými frekvenčnı́mi relacemi RP model založený na orbitálnı́m pohybu horkých
skvrn ve své původnı́ verzi nedisponuje dostatečně přesvědčivým vysvětlenı́m mechanismu modulace pozorovaných rentgenových toků [37, 38]. Také kvalita fitů
twin-peak QPO dat konkrétnı́ch zdrojů a přı́slušné odhady hmotnostı́ zůstávajı́
mı́rně diskutabilnı́ [15].
Článek Modelling the twin peak QPO distribution in the atoll
source 4U 1636-53, který je obsahem přı́lohy 4, rozšiřuje simulace distribucı́,
které jsou předmětem publikacı́ v přı́lohách 2 a 3, o aplikace vysokofrekvenčnı́ch
22
Obrázek 3.3: Pozorované a simulované distribuce frekvenčnı́ch poměrů kHz QPOs
zdroje 4U 1636-53. Vlevo: Pozorovaná distribuce frekvenčnı́ch poměrů twin-peak
kHz QPOs. Uprostřed: Simulovaná distribuce (oranžově) twin-peak kHz QPOs
v porovnánı́ s distribucı́ pozorovanou (šedě). Vpravo: Simulovaná distribuce nesimultánnı́ch detekcı́ hornı́ch a dolnı́ch kHz QPOs.
relacı́ RP modelu. Relace umožňujı́ přiřadit pozorované hornı́ či dolnı́ QPO
frekvenci odpovı́dajı́cı́ orbitálnı́ radius a tı́m i předpokládanou frekvenci partnerského pı́ku. Takovým způsobem konstruovaná závislost νu (νl ) fitujı́cı́ twinpeak kHz QPO data je parametrizována radiálnı́ souřadnicı́ přı́slušných kvazikruhových orbit. Otázka, zda pozorované preferované poměry frekvencı́ hornı́ho
a dolnı́ho pı́ku neodpovı́dajı́ v této interpretaci preferovaným orbitám, je vı́ce než
přirozená.
Pozitivnı́ odpověd’ je podporována výsledky počı́tačových simulacı́. Simulace distribuce twin-peak kHz QPOs založená na frekvenčnı́ch relacı́ch RP modelu konstruovaných v Hartleově–Thornově prostoročase a pouhém náhodném
výběru orbit z intervalu odpovı́dajı́cı́ho frekvenčnı́mu rozsahu zdroje 4U 163653 je vysoce nekompatibilnı́ s observačnı́mi daty. Naproti tomu obdobná simulace, avšak s implementacı́ předpokladu preference orbit odpovı́dajı́cı́ch poměrům
frekvencı́ pı́ků 3:2 a 5:4 reprodukuje přesvědčivě vlastnosti distribucı́ skutečně
pozorovaných twin-peak kHz QPOs. Existence preferovaných hodnot radiálnı́ch
souřadnice kruhových orbit spojených s význačnými poměry frekvencı́ naznačuje
možnou přı́tomnost rezonančnı́ch fenoménů. Závěry o preferovaných hodnotách
radiálnı́ souřadnice mohou být však také interpretovány v kontextu diskových
oscilačnı́ch módů.
3.3
Odhady hmotnosti a spinu s použitı́m relativistického precesnı́ho modelu: Circinus X-1
Vysokofrekvenčnı́mi relacemi RP modelu definovaná závislost νu (νl (r)) je konkretizovaná vztahy pro frekvence orbitálnı́ho pohybu a tedy v geodetickém přı́padě
přı́mo volnými parametry metriky. Pokud aproximujeme prostoročas v okolı́ ne23
Obrázek 3.4: Průběh frekvenčnı́ch relacı́ RP modelu spolu s twin-peak kHz QPOs
observačnı́mi daty pro Circinus X-1 (žlutě), 4U 1636-53 (purpurově) a jiné LMXB
zdroje (černě). Skupiny téměř splývajı́cı́ch křivek ilustrujı́ podobnost průběhu
relacı́ pro M a j svázané relacı́ 3.7.
utronových hvězd Hartleovou–Thornovou metrikou, relevantnı́mi parametry jsou
hmotnost hvězdy M, vnitřnı́ moment hybnosti j a kvadrupólový moment q. RP
model tak principálně umožňuje zı́skánı́ informacı́ o parametrech časoprostoru
i neutronové hvězdy fitovánı́m twin-peak kHz QPO dat. Je však ukázáno, že
ačkoli frekvenčnı́ relace RP modelu kvalitativně velmi dobře postihujı́ trendy
obsažené v observačnı́ch datech, charakteristická hmotnosti neutronových hvězd
M ∼ 2M⊙ je přı́liš vysoká v porovnánı́ s kanonickou hodnotou M ∼ 1.4M⊙ [15].
Nicméně je třeba poznamenat, že na rozdı́l od raných studiı́ [29,41] většina publikovaných výsledků pro konkrétnı́ zdroje zanedbává vliv rotace neutronové hvězdy.
Článek On Mass Constraints Implied by the Relativistic Precession Model of Twin-peak Quasi-periodic Oscillations in Circinus X1, který je obsahem přı́lohy 6 je věnován právě vlivu rotace na odhad hmotnosti pekuliárnı́ho zdroje Circinus X-1. Současná odhadovaná hmotnost zdroje
právě s použitı́m frekvenčnı́ch relacı́ RP modelu je M0 = 2.2 ± 0.3M⊙ [16, 17].
Na rozdı́l od většiny LMXB zdrojů, kHz QPOs zdroje Circinus X-1 vykazujı́
24
Obrázek 3.5: Fitovánı́ twin-peak kHz QPOs dat zdroje 4U 1636-53 frekvenčnı́mi
relacemi RP modelu. Vlevo: Čistě geodetický fit. Vpravo: Fit se zahrnutı́m negeodetické korekce spolu s průběhy geodetických i korigovaných frekvencı́.
klastrovánı́ v okolı́ poměrů frekvencı́ νu : νl = 3 : 1, tedy v rámci interpretace
RP modelem odpovı́dajı́cı́ kruhovým orbitám již poměrně vzdáleným od meznı́
stabilnı́ orbity, na kterých již rozdı́ly mezi Hartleovým–Thornovým a Kerrovým
řešenı́m nejsou přı́liš významné. Dodejme dále, že Hartleovo–Thornovo řešenı́
v přı́padě nastavenı́ q = j 2 splývá s řešenı́m Kerrovým disponujı́cı́m pouze dvěma
volnými parametry, hmotnostı́ centrálnı́ho objektu M a jeho spinem a. Relace
mezi kvadrupólovým momentem q a vnitřnı́m momentem hybnosti hvězdy j je
určena stavovou rovnicı́ hvězdného materiálu a právě stavové rovnice dovolujı́cı́
vysoké hmotnosti M0 = 2M⊙ nastavujı́ q do hodnot blı́zkých Kerrově geometrii.
Z těchto důvodů byla pro fitovánı́ twin-peak QPO dat použita frekvenčnı́ relace
odpovı́dajı́cı́ Kerrově prostoročasu a nabývajı́cı́ tvaru
νL = νU




1 − 1 +


8jνU
νU
−6
F − jνU
F − jνU
!2/3
− 3j 2
F

!4/3 1/2 

νU


− jνU

, (3.4)
kde relativistický faktor F je dán vztahem F ≡ c3 /(2πGM).
Pro přı́pad Schwarzschildovy geometrie (j = 0) se vztah (3.4) zjednodušuje
na tvar


"
2/3 #1/2 

νU
νL = νU 1 − 1 − 6
,
(3.5)


F
vedoucı́ k formuli pro rozdı́l frekvencı́ hornı́ho a dolnı́ho pı́ku
q
∆ν = νU 1 − 6 (2πGMνU )2/3 /c2 ,
(3.6)
která byla použita k výše zmiňovanému odhadu hmotnosti [16, 17]. V principu
tak každé dvojici parametrů M a j odpovı́dá unikátnı́ tvar relace νu (νl (r)).
25
Obrázek 3.6: Kvalita fitů twin-peak kHz QPOs dat relacemi RP modelu (charakterizovaná hodnotou χ2 ) jako funkce odhadu hmotnosti M. Pro každou hodnotu M byla vyhledáno odpovı́dajı́cı́ hodnota j dosahujı́cı́ nejmenšı́ho χ2 . Vlevo:
Výsledky fitovánı́ simulovaných twin-peak kHz QPO dat s přı́tomnostı́ negeodetické korekce a fitovaných relacemi s (přerušovaná křivka) i bez korekčnı́ho faktoru
(plná křivka). Výsledky fitovánı́ geodetickými relacemi vykazujı́ nápadnou podobnost s výsledky zpracovánı́ skutečných observačnı́ch dat. Uprostřed: Výsledky fitovánı́ data zdroje Circinus X-1 pro různé hodnoty korekčnı́ konstanty β. Vpravo:
Totéž pro vysokofrekvenčnı́ zdroj 4U 1636-53.
Frekvence hornı́ch a dolnı́ch pı́ků klesajı́ s rostoucı́m M a se zvyšujı́cı́m se j.
Dı́ky tomu lze pro nı́zké hodnoty j do hodnoty ∼ 0.3 nalézt třı́dy téměř identických křivek, pro které M, j and M0 jsou přibližně svázány relacı́
M = [1 + k(j + j 2 )]M0 ,
(3.7)
kde konstanta k v přı́padě požadavku na aproximativnı́ shodu celého průběhu
frekvenčnı́ch relacı́ nabývá hodnoty k = 0.7. Kvalita fitů observačnı́ch dat je
tedy prakticky shodná v přı́padě čistě Schwarzschildova řešenı́ a hmotnostı́ M0
i při použitı́ Kerrovy metriky s relacı́ 3.7 svázanými parametry M a j. Pokud
je požadována shoda relacı́ pouze v hornı́ části křivek odpovı́dajı́cı́ kruhovým
orbitám v blı́zkosti meznı́ stabilnı́ orbity, konstanta nabývá hodnoty k = 0.75.
Pro dolnı́ části křivek relevantnı́ pro nı́zkofrekvenčnı́ zdroje, včetně diskutovaného
Circinus X-1, je nejlepšı́ho výsledku dosaženo pro hodnotu k = 0.65 (0.55, 0.5)
odpovı́dajı́cı́ okolı́ frekvenčnı́ho poměru νU /νL ∼ 2 (3, 4) . Průběh frekvenčnı́ch
relacı́ a existence třı́d obdobných křivek na pozadı́ observačnı́ch dat lze nalézt na
obrázku 3.4. Výše zmı́něné vlastnosti frekvenčnı́ch relacı́ RP modelu ovšem znamenajı́ nemožnost nezávislého odhadu hmotnosti a spinu fitovánı́m observačnı́ch
twin-peak QPOs dat a frekvenčnı́ relace RP modelu tak mohou poskytnout pouze
informaci o třı́dě téměř identických fitů a jim odpovı́dajı́cı́ch párů hodnot M a j.
Přı́má analýza dostupných observačnı́ch twin-peak kHz QPO dat zdroje Circinus X-1 v kontextu výše diskutovaných vlastnostı́ frekvenčnı́ch relacı́ RP modelu
26
vede tak stanovenı́ relace pro M a j zdroje Circinus X-1 ve tvaru
M = 2.2M⊙ [1 + k(j + j 2 )],
k = 0.55.
(3.8)
Konstanta M0 odpovı́dajı́cı́ čistě schwarzschildovskému fitu nabývá hodnoty
2.2[+0.3; −0.1]M⊙ s chybou danou jednotkovou variacı́ χ2 a je tedy v dobré shodě
s odhadem hmotnosti v [16, 17].
Výsledky analýzy však vykazujı́ poměrně překvapujı́cı́ trend, pozvolné
zvyšovánı́ kvality fitů spolu s rostoucı́m j a naznačujı́ určitou nekonzistenci
použitých geodetických frekvenčnı́ch relacı́ s reálnými observačnı́mi daty. Na
datech vysokofrekvenčnı́ho zdroje 4U 1636-53 již bylo ukázáno, že modifikace
frekvenčnı́ch relacı́ RP modelu zavedenı́m efektivnı́ radiálnı́ epicyklické frekvence
vztahem
ν̃t = νt (1 − β) ,
β ∈ (0 ∼ 0.2)
(3.9)
který poněkud spekulativně aproximuje negeodetické korekce frekvencı́ odpovı́dajı́cı́ napřı́klad interakci zářı́cı́ skvrny s diskem nebo magnetickým polem neutronové hvězdy, může výrazně zlepšit kvalitu fitů twin-peak kHz QPOs dat [45].
Geodetické i negeodetické fity dat zdroje 4U 1636-53 i průběh korigovaných frekvencı́ ilustruje obrázek 3.5. Použitı́ takto korigovaných frekvenčnı́ch relacı́ na
rozdı́l od čistě geodetického přı́padu generuje minima χ2 v blı́zkosti j = 0 a tak naznačuje pravděpodobnou přı́tomnost negeodetických korekcı́ frekvencı́ orbitálnı́ho
pohybu. Výsledky analýzy dat zdrojů Circinus X-1 a 4U 1636-53 přehledně shrnuje obrázek 3.6.
27
Kapitola 4
Magnetická pole
4.1
Perturbovaný kruhový orbitálnı́ pohyb nabitých testovacı́ch částic v dipólovém magnetickém poli na schwarzschildovském pozadı́ a observačnı́ motivace
Článek On magnetic-field-induced non-geodesic corrections to relativistic orbital and epicyclic frequencies, který je obsahem přı́lohy 8
spolu s recenzovaným sbornı́kovým přı́spěvkem On magnetic-field induced
non-geodesic corrections to the relativistic precession QPO model obsaženém v přı́loze 7 je věnován plně relativistické analýze kruhového
orbitálnı́ho pohybu nabitých testovacı́ch částic ovlivněného Lorentzovou silou
v silném gravitačnı́m a magnetickém poli neutronových hvězd. Jak bylo v předešlé
kapitole ukázáno, ad hoc zavedená modifikace frekvenčnı́ch relacı́ relativistického
precesnı́ho modelu spočı́vajı́cı́ v poměrně malém snı́ženı́ radiálnı́ epicyklické frekvence při současném zanedbatelném ovlivněnı́ ostatnı́ch frekvencı́ orbitálnı́ho pohybu může významně zlepšit kvalitu fitovánı́ twin-peak QPOs v observačnı́ch
datech. Přijmeme-li dále dodatečný předpoklad, že orbitujı́cı́ hmota v tenkém
disku je velmi slabě elektricky nabita, pak Lorentzova sı́la vznikajı́cı́ interakcı́
náboje nabitých orbitujı́cı́ch částic a magnetického pole neutronové hvězdy aproximativně popsaného magnetickým dipólem kolmým na ekvatoriálnı́ orbitálnı́ rovinu může mı́t požadované vlastnosti.V tomto přı́padě se však otevřenou otázkou
nutně stává původ elektrického náboje orbitujı́cı́ hmoty v akrečnı́m disku.
V použité aproximaci jsou zanedbávány efekty strhávánı́ souřadných systémů
způsobené rotacı́ (spinem) centrálnı́ho hvězdného objektu i vliv tenzoru energiehybnosti magnetického pole hvězdy na geometrii prostoročasu. Zatı́mco vliv spinu
hvězdy je bezesporu klı́čovým pro modelovánı́ realistických astrofyzikálnı́ situacı́
a jeho zahrnutı́ by mělo být a je předmětem dalšı́ho výzkumu, použitı́ vakuového
řešenı́ Einsteinových rovnic lze považovat za velmi dobrou aproximaci dı́ky zane28
dbatelné hustotě energie magnetického pole i u silně zmagnetizovaných neutronových hvězd oproti hustotě energie jejich pole gravitačnı́ho [35]. Jako aproximace kompozice gravitačnı́ho a magnetického pole v okolı́ neutronové či kvarkové hvězdy je tedy uvažován relativistický magnetický dipól, jehož osa symetrie
je kolmá na ekvatoriálnı́ rovinu statického prostoročasového pozadı́ reprezentovaného Schwarzschildovou vakuovou metrikou.
4.2
Dipólové magnetické pole na pozadı́ Schwarzschildovy prostoročasové geometrie
Čtyřpotenciál dipólového magnetického pole na uvažovaném schwarzschildovském pozadı́ lze zapsat ve tvaru [34]
Aα =
− δαφ
µ sin2 θ
,
f (r)
r
(4.1)
tedy ve formě magnetického dipólového řešenı́ Maxwellových rovnic v plochém
prostoročase, avšak násobenému funkcı́ f (r, M) danou formulı́
f (r) =
2M
3r 3
ln
1
−
8M 3
r
+
2M
M
1+
r
r
.
(4.2)
Odpovı́dajı́cı́ Maxwellův tenzor elektromagnetického pole Fµν , který lze zı́skat ze
čtyřpotenciálu Aµ definičnı́ relacı́
Fµν =
∂Aν
∂Aµ
−
,
µ
∂x
∂xν
(4.3)
má pouze dvě nezávislé nenulové komponenty,
Frφ
µ sin2 θ
=B =
r2
θ
∂f (r)
f (r) − r
∂r
!
,
(4.4)
a
µ sin 2θ
f (r),
(4.5)
r
přı́mo svázané s přı́slušnými komponentami vektoru magnetické indukce B.
Obecně relativistickou pohybovou rovnici pro nabitou testovacı́ částici se specifickým nábojem q̃ ≡ q/m lze zapsat ve tvaru
Fθφ = −B r = −
dU µ
+ Γµαβ U α U β = q̃ Fνµ U ν
dτ
(4.6)
a výše uvedené vztahy tedy ukazujı́, že pohyb nabitých částic bude determinován
dvěma volnými parametry neutronové hvězdy, vnitřnı́m magnetickým dipólovým
momentem µ a hmotnostı́ M. Nepřı́mé metody založené na analýze observačnı́ch
29
dat ovšem umožňujı́ určit pouze velikost vektoru magnetické indukce na povrchu hvězdy, která se pro LMXB zdroje předpokládá v intervalu B ∈ 106 ÷ 109
Gaussů [22, 23]. Lineárnı́ relaci mezi vnitřnı́m dipólovým magnetickým momentem hvězdy µ a magnetickou indukcı́ Blocal měřenou pozorovatelem umı́stěným
na rovnı́ku hvězdy poloměru R a hmotnosti M však zı́skáme snadno projekcı́ Maxwellova tensoru F µν do lokálnı́ho referenčnı́ho systému takového pozorovatele.
Tato relace pro Schwarzschildův prostoročas a dipólové magnetické pole diskutované výše nabývá tvaru
√
4M 3 R3/2 R − 2M
Blocal .
(4.7)
µ=
6M(R − M) + 3R(R − 2M) ln 1 − 2M
R
Relativně slabé magnetické indukci na povrchu, Blocal = 107 Gauss ≃ 2.875 ×
10−16 m−1 tak pro hvězdu s hmotnostı́ M = 1.5M⊙ a poloměrem R = 4M odpovı́dá hodnota dipólového momentu µ = 1.06 × 10−4 m2 . Hvězdný objekt s výše
uvedenými parametry je v dalšı́ analýze použit jako testovacı́.
4.3
Frekvence perturbovaného kruhového orbitálnı́ho pohybu
Standardnı́m nástrojem pro analýzu orbitálnı́ho pohybu je studium chovánı́ efektivnı́ho potenciálu testovacı́ch částic. V přı́padě perturbovaného kruhového orbitálnı́ho pohybu lze jako alternativu s výhodou použı́t analýzu vlastnostı́ epicyklických frekvencı́ velmi úzce svázaných právě s chovánı́m efektivnı́ho potenciálu
Veff . V okolı́ kruhové orbity dané podmı́nkou dVeff /dr = 0 je radiálně či vertikálně
perturbovaný kruhový orbitálnı́ pohyb testovacı́ částice determinován přı́slušnými
druhými derivacemi efektivnı́ho potenciálu. V přı́padě stabilnı́ kruhové orbity pak
chovánı́ perturbacı́ polohy testovacı́ částice odpovı́dá chovánı́ lineárnı́ho harmonického oscilátoru a druhé mocniny epicyklických frekvencı́ jsou přı́mo úměrné
druhým derivacı́m efektivnı́ho potenciálu,
ωr2 ∼
∂ 2 Veff
,
∂r 2
ωθ2 ∼
∂ 2 Veff
.
∂θ2
(4.8)
Existence reálné hodnoty radiálnı́ či vertikálnı́ epicyklické frekvence tedy znamená i existence minima efektivnı́ho potenciálu Veff a současně stabilitu kruhové
orbity vůči radiálnı́m či vertikálnı́m perturbacı́m. Oblast ekvatoriálnı́ch stabilnı́ch
kruhových orbit je pak přirozeně omezena hodnotou radiálnı́ souřadnice, kde
jedna z epicyklických frekvencı́ch (ve většině situacı́ radiálnı́) nabývá nulové hodnoty při současné existenci reálné hodnoty druhé epicyklické frekvence. Nulové
hodnoty epicyklických frekvencı́ tak definujı́ polohy astrofyzikálně zajı́mavých
meznı́ch stabilnı́ch orbit.
30
Obrázek 4.1: Orbitálnı́ frekvence ν = Ω/2π jako funkce specifického náboje q̃ a
radiálnı́ souřadnice pro neutronovou hvězdu s M = 1.5M⊙ a µ = 1.06 × 10−4 m2 .
Epicyklické frekvence perturbovaného kruhového orbitálnı́ho pohybu lze
přı́mým výpočtem zı́skat ze známých komponent čtyřrychlosti testovacı́ částice
na kruhové orbitě [4, 5]. Obě nenulové komponenty čtyřrychlosti nabité testovacı́
částice na ekvatoriálnı́ kruhové orbitě (U µ = (U t , 0 , 0 , U φ ) ) snadno obdržı́me
řešenı́m soustavy dvou rovnic, radiálnı́ složky relativistické pohybové rovnice 4.6
spolu s normalizačnı́ podmı́nkou pro čtyřrychlost hmotné částice, U µ Uµ = −1.
V diskutovaném přı́padě statické Schwarzschildovy prostoročasové geometrie a
potenciálu magnetického pole ve tvaru 4.1 existujı́ dvě odlišná řešenı́ daná páry
odpovı́dajı́cı́ch si nenulových komponent čtyřrychlosti testovacı́ch částic. Nicméně
tato řešenı́ jsou při fixované orientaci magnetického dipólu navzájem symetrická
vůči simultánnı́ záměně znaménka specifického náboje q̃ a orientace orbitálnı́ho
pohybu a proto je možno dalšı́ analýzu věnovat bez újmy na obecnosti pouze
prvnı́mu z nich. Mı́ra elektromagnetické interakce je dána součinem q̃ µ a proto
lze v analýze opět bez újmy na obecnosti zafixovat také velikost momentu µ a
variovat pouze velikost a znaménko specifického náboje orbitujı́cı́ hmoty q̃.
4.4
Chovánı́ negeodeticky korigovaných frekvencı́, existence a stabilita kruhových orbit
Lorentzova sı́la vznikajı́cı́ dı́ky elektromagnetické interakci elektrického náboje
orbitujı́cı́ hmoty a dipólového magnetického pole hvězdy může v závislosti na
znaménku elektrického náboje a orientace orbitálnı́ úhlové rychlosti při fixovaném
31
Obrázek 4.2: Vlevo: Oblast stabilnı́ch kruhových orbit vyplněná vrstevnicovým
grafem orbitálnı́ frekvence ν = Ω/2π. Vpravo: Totožná oblast, avšak vyplněná
vrstevnicovým grafem nodálnı́ precesnı́ frekvence νn . Konstruováno pro for M =
1.5M⊙ a µ = 1.06 × 10−4 m2 .
vektoru magnetického dipólového momentu mı́t repulzivnı́ či atraktivnı́ charakter.
Obrázek 4.1 ukazuje, že v regionu repulzivnı́ho i atraktivnı́ho působenı́ Lorentzovy sı́ly přı́tomnost elektromagnetické interakce umožňuje existenci kruhových
orbit nabitých částic i v těsné blı́zkosti Schwarzschildova poloměru. Pouze v oblasti malých hodnot specifického náboje (symetrické vůči záměně jeho znaménka)
podmı́nka existence reálných hodnot U t a U φ podrobně diskutovaná v přı́loze 7
přirozeně existenci ekvatoriálnı́ch kruhových orbit vylučuje. Tato oblast v rovině q̃ µ-r začı́ná pro q̃ µ = 0 na r = 3M, dosahuje své maximálnı́ šı́řky pro
q̃ µ = ± 1.971 M 2 na r = 2.441M a pro r → 2M je ohraničena hodnotami
q̃ µ = ± 1.333 M 2 . Přı́tomnost elektromagnetické interakce dále výrazně ovlivňuje
polohu meznı́ stabilnı́ orbity, odpovı́dajı́cı́ vnitřnı́mu okraji tenkých akrečnı́ch
disků v okolı́ kompaktnı́ch hvězdných objektů. Pro takové meznı́ stabilnı́ orbity
je nově zavedena zkratka MISCO (Magnetic Innermost Stable Circular Orbit),
zatı́mco geodetické meznı́ stabilnı́ orbity jsou dále označovány jako GISCO (Geodesic Innermost Stable Circular Orbit). Ve Schwarzschildově prostoročasové geometrie pak samozřejmě rGISCO nabývá dobře známé hodnoty 6M. Dalšı́ důsledky
působenı́ Lorentzovy sı́ly jsou pro atraktivnı́ a repulzivnı́ region kvalitativně
odlišné.
V atraktivnı́m regionu působenı́ Lorentzovy sı́ly vzniká nová třı́da nestabilnı́ch kruhových orbit nabitých částic umı́stěných pod kruhovou fotonovou
orbitou (r < rph = 3M) s opačnou orientacı́ orbitálnı́ úhlové rychlosti oproti
32
Obrázek 4.3: Vlevo: Ilustrace chovánı́ radiánı́ epicyklické, νr0 = ωr0/(2π), vertikálnı́ epicyklické, νθ0 = ωθ0/(2π), a orbitálnı́, νK0 = ΩK /(2π) = νθ0 , frekvence ve
Schwarzschildově geometrii v čistě geodetickém přı́padě a v přı́tomnosti atraktivnı́ Lorentzovy sı́ly generované interakcı́ náboje orbitujı́cı́ hmoty a dipólovým
magnetickým polem hvězdy s M = 1.5 M⊙ and R = 4M s s B = 107 Gauss na
povrchu (νK , νθ and νr ). Vpravo: Obdobné porovnánı́ avšak pro vyššı́ hodnotu
specifikého náboje q̃. Spolu se specifickým nábojem vzrůstá i rozdı́l mezi korigovanými a geodetickými frekvenceni a odchylka pozice efektivnı́ meznı́ stabilnı́
orbity dané nulovou hodnotou νr od schwarzschildovské hodnoty r = 6M.
orbitám s radiálnı́ souřadnicı́ r > rph . Oblast globálně stabilnı́ch kruhových orbit je však v atraktivnı́m regionu zdola omezena MISCO orbitami s nulovou
hodnotou radiálnı́ epicyklické frekvence, které se spolu s rostoucı́ velikostı́ specifického náboje q̃ orbitujı́cı́ hmoty vzdalujı́ od geodetické meznı́ stabilnı́ orbity
na (rms = 6M). Radiálnı́ epicyklická frekvence zde klesá spolu se vzrůstajı́cı́
velikostı́ specifického náboje, orbitálnı́ a vertikálnı́ epicyklická frekvence naopak
(rozdı́lným tempem) rostou.
V repulzivnı́m regionu vykazuje vliv Lorentzovy sı́ly poněkud komplexnějšı́
charakter. Odpovı́dajı́cı́m způsobem nastavené parametry elektromagnetické interakce (specifický náboj orbitujı́cı́ hmoty q̃ spolu s velikostı́ dipólového magnetického momentu hvězdy µ) mohou překvapivě stabilizovat kruhové orbity
nabitých částic i v oblasti pod kruhovou fotonovou orbitou až do hodnoty
MISCO
= 2.73M spojené s nejvyššı́ možnou orbitálnı́ frekradiálnı́ souřadnice rmin
max
vencı́ ν
= 3284 Hz (1.5M⊙ /M) a tzv. kritickým nábojem q̃crit při fixovaném
magnetickém dipólovém momentu µ. Kritický náboj orbitujı́cı́ hmoty je svázán
s magnetickým dipólovým momentem hvězdy relacı́
µ q̃crit = 1.869M 2 .
(4.9)
Astrofyzikálnı́ relevance takto extrémnı́ch orbit je však diskutabilnı́ v souvislosti se stále otevřenou otázkou možnosti existence relativisticky superkom33
paktnı́ch neutronových či kvarkových hvězd, t.j. kompaktnı́ch hvězdných objektů s R < 3M, nebo obecněji kompaktnı́ch hvězdných objektů s poloměrem
menšı́m než je radiálnı́ souřadnice kruhových fotonových orbit v odpovı́dajı́cı́ch
časoprostorových geometriı́ch. V repulzivnı́m regionu je region stabilnı́ch orbit pro
q̃ < q̃crit omezen zdola nulovou hodnotou radiálnı́ epicyklické frekvence a radiálnı́
souřadnice MISCO orbity klesá spolu s rostoucı́ velikostı́ specifického náboje q̃ orMISCO
bitujı́cı́ hmoty až na rmin
= 2.73M. Pro q̃ > q̃crit meznı́ stabilnı́ orbitu definuje
již nulová hodnota vertikálnı́ epicyklické frekvence a radiálnı́ souřadnice takových
MISCO orbit začı́ná spolu s velikostı́ specifického náboje opět růst. Hodnoty kriMISCO
tického náboje q̃crit a radiálnı́ souřadnice nejnižšı́ meznı́ stabilnı́ orbity rmin
tak
přirozeně odpovı́dajı́ simultánnı́mu splněnı́ podmı́nek ωr = 0 a ωθ =0.
Zkoumané frekvence vykazujı́ v repulzivnı́m regionu opačné chovánı́ než v regionu atraktivnı́m, radiálnı́ epicyklická frekvence zde roste spolu se vzrůstajı́cı́
velikostı́ specifického náboje a obě zbývajı́cı́ frekvence naopak (rozdı́lným tempem) klesajı́. Nicméně v obou regionech přı́tomnost elektromagnetické interakce
umožňuje vznik exotických ostrůvků existence částečně stabilnı́ch či nestabilnı́ch
kruhových orbit v těsné blı́zkosti černoděrového horizontu oddělených od oblasti
globálnı́ stability kruhového orbitálnı́ho pohybu.
Přı́tomnost Lorentzovy sı́ly dále zjevně porušuje sférickou symetrii geometrie
časoprostorového pozadı́ manifestujı́cı́ se shodou vertikálnı́ epicyklické a orbitálnı́
frekvence a umožňuje vznik nového efektu, nodálnı́ precese roviny orbitálnı́ho
pohybu s frekvencı́
νn (r) = ν(r) − νθ (r),
(4.10)
kvalitativně podobné Lenseově-Thirringově precesi přı́tomné v rotujı́cı́ch axiálně
symetrických prostoročasech. Fáze této nodálnı́ precese je však opačná v atraktivnı́ a repulzivnı́ oblasti působenı́ Lorentzovy sı́ly.
4.5
Aplikace na relativistický precesnı́ model
V obou kvalitativně odlišných regionech je na astrofyzikálně relevantnı́ch hodnotách radiálnı́ souřadnice citlivost radiálnı́ epicyklické frekvence vůči působenı́
Lorenzovy sı́ly významně většı́ než citlivost orbitálnı́ a vertikálnı́ epicyklické
frekvence. Existence Lorentzovy sı́ly a jejı́ chovánı́ v atraktivnı́m regionu tedy
skutečně modifikuje frekvenčnı́ relace RP modelu požadovaným způsobem. Pro
detailnı́ analýzu observačnı́ch dat konkrétnı́ch zdrojů v použité aproximaci chybı́
vliv spinu neutronové hvězdy, avšak již hromadný fit observačnı́ch dat rozsáhlé
skupiny LMXB zdrojů ukazuje dalšı́ efekt aplikace negeodetických frekvenčnı́ch
relacı́ modifikovaných přı́tomnostı́ Lorentzovy sı́ly, možnost výrazného snı́ženı́ odhadu hmotnosti neutronových hvězd až ke kanonické hodnotě M = 1.4M⊙ (viz
obrázek 4.4).1 I alternativnı́ metoda odhadu hmotnosti, založená na předpokladu,
1
Data převzata z [15, 16, 25, 46].
34
Obrázek 4.4: Hromadné fity observačnı́ch twin-peak kHz QPO“ dat pro širokou
”
skupinu LMXB zdrojů pomocı́ frekvenčnı́ch relacı́ RP modelu. Silná plná křivka
odpovı́dá negeodetické frekvenčnı́ relaci pro M = 1.4M⊙ a Lorentzovu sı́lu indukovanou dipólovým momentem hvězdy µ = 1.06×10−4 m2 a specifickým nábojem
orbitujı́cı́ hmoty q̃ = 5.0 × 1010 . Jako ilustrace jsou také zobrazeny dva čistě schwarzschildovské geodetické fity (tenké přerušované křivky), fit pro M = 2M⊙
diskutovaný v [15] a pro porovnánı́ s negeodetickou frekvenčnı́ relacı́ geodetický
fit pro shodnou hmotnost neutronové hvězdy M = 1.4M⊙ .
35
že nejvyššı́ pozorovaná QPO frekvence daného zdroje odpovı́dá orbitálnı́ frekvenci
ISCO (zde MISCO) orbity dává obdobný výsledek.
Vlastnosti repulzivnı́ho regionu umožňujı́ stabilizovat kruhové orbity i pod
GISCO orbitou s orbitálnı́mi frekvencemi vyššı́mi než možné frekvence geodetického pohybu. V této souvislosti nenı́ nezajı́mavé, že analýza observačnı́ch dat
známého LMXB zdroje 4U 1636-53 ukazuje ojedinělou existenci QPO frekvence
1860 Hz, ačkoli běžný rozsah pozorovaných frekvencı́ zdroje je 200–1200 Hz. Geodetické orbitálnı́ modely i s aplikacı́ vlivu spinu neutronové hvězdy velmi obtı́žně
nalézajı́ relaci mezi takto vysokou pozorovanou frekvencı́ a astrofyzikálně realistickými parametry (hmotnostı́ a spinem) hvězdného objektu [13]. Předpoklad
slabě nabité orbitujı́cı́ hmoty v repulzivnı́m režimu však může přı́tomnost vysokých frekvencı́ snadno vysvětlit a navı́c na základě nezávislými metodami
určené velikosti vektoru indukce magnetického pole hvězdy také umožňuje odhad specifického náboje akreujı́cı́ho materiálu.
36
Literatura
[1] Abramowicz M A and Kluźniak W Astronomy and Astrophysics 374L 19A
astro-ph/0105077
[2] Abramowicz M A, Bulik T, Bursa and Kluźniak W 2003a Astronomy and
Astrophysics 404 L21
[3] Abramowicz M A, Barret D, Bursa M, Horák J, Kluźniak W, Rebusco P
and Török G 2005 Proceedings of RAGtime 8/9:Workshop on black holes
and neutron stars (Opava) 6/7 ed. Stuchlı́k Z and Hledı́k S (Opava: Silesian
University in Opava) 1
[4] Aliev A N and Galtsov D V 1981 Gen. Rel. Grav. 13 899
[5] Aliev A N 2008 Proceedings of the Eleventh Marcel Grossmann Meeting on
General Relativity (Berlin) ed. Kleinert H, Jantzen R T and Ruffini R (Singapore: World Scientific) 1057
[6] Alpar M A and Shaham J 1985 Nature 316 239
[7] Bakala P, Čermák P, Hledik S, Stuchlı́k Z and Truparová Plšková K 2005
Proceedings of RAGtime 6/7: Workshop on black holes and neutron stars
(Opava) 6/7 ed. Stuchlı́k Z and Hledı́k S (Opava: Silesian University in
Opava) 11
[8] Bao G and Stuchlı́k Z 1992 Astrophysical Journal 400 163
[9] Barret D, Kluzniak W, Olive J F,Paltani S and Skinner G K 2005a Mon.
Not. R. Astron. Soc. 357/4 1288
[10] Barret D, Olive J F and Miller M C 2005b Mon. Not. R. Astron. Soc. 361/3
855
[11] 2005c Barret D, Olive J F and Miller M C 2005 Astronomische Nachrichten
326/9 808
[12] Barret D, Olive J F and Miller M C 2006 Mon. Not. R. Astron. Soc. 370/3
1140
37
[13] Bhattacharyya S 2009 Research in Astron. Astrophys. accepted arXiv:
0911.5574v1
[14] Belloni T, Méndez M and Homan J 2005, Astronomy and Astrophysics 437
209
[15] Belloni T, Méndez M and Homan J 2007 Mon. Not. R. Astron. Soc. 376/3
1133
[16] Boutloukos S, van der Klis M, Altamirano D, Klein-Wolt D, Wijnands R,
Jonker P G and Fender R P 2006 Astrophysical Journal 653/2 1435
[17] Boutloukos S, van der Klis M, Altamirano D, Klein-Wolt D, Wijnands R,
Jonker P G and Fender R P 2006b Astrophysical Journal 664/2 596
[18] Cunningham C T 1975 Phys. Rev. D 12 323
[19] Dadhich N Maartens R Papadopoulos P and Rezania V 2000 Physics Letters
B 487 1
[20] Einstein A 1936 Science 84 506
[21] Germani and C Maartens R 2001 Phys. Rev. D 64/12 124010
[22] van der Klis M 2006 Compact stellar X-ray sources ed. W Lewin and M van
der Klis. (Cambridge: Cambridge University Press) p 39
[23] Kluźniak W, Michelson P and Wagoner R V 1990 Astrophysical Journal 358
538
[24] Krauss L M and Turner M S 1995 Gen. Relat. Gravit. 27 1137
[25] Linares M, van der Klis M, Altamirano D and Markwardt C B 2005 Astrophysical Journal 634 1250
[26] McClintock J E and Remillard R A 2003 arXiv:astro-ph/0306213
[27] Méndez M, van der Klis M, Wijnands R, Ford E C and van Paradijs J 1999
Astrophysical Journal 511 L49
[28] Méndez M 2006 Mon. Not. R. Astron. Soc. 371 1925
[29] Morsink S M, Stella L 1999 Astrophysical Journal 513/2 827
[30] Misner C W, Thorne K S and Wheeler J A 1973 Gravitation (Freeman, San
Francisco)
[31] Nemiroff R J 1993 American Journal of Physics 61/7 619 arXiv:astro-ph/
9312003
38
[32] Ohanian H C 1987 American Journal of Physics 55/5 428
[33] Ostriker J P and Steinhardt P J 1995Nature 377 600
[34] Petterson J A 1974 Phys. Rev. D 10 3166
[35] Rezzolla L, Ahmedov B J and Miller J C 2001 Mon. Not. R. Astron. Soc.
322 723
[36] Schneider P Ehlers J a Falco E. E. 1999 Gravitational Lenses (Berlin: Springer)
[37] Schnittman J D and Bertschinger E 2004 Astrophysical Journal 606/2 1098
[38] Schnittman J D 2005 Astrophysical Journal 621/2 940
[39] Stella L and Vietri M 1998 Astrophysical Journal Letters 492 L59
[40] Stella L and Vietri M 1999 Phys. Rev. Letters 82 17
[41] Stella L, Vietri M and Morsink S M 1999 Astrophysical Journal 524/1 L63
[42] Stuchlı́k Z and Hledı́k S 1999 Phys. Rev. D 60/4 0044006
[43] Stuchlı́k Z and Hledı́k S 2002 Acta Physica Slovaca 52 363
[44] Stuchlı́k Z and Plšková K 2004 Proceedings of RAGtime 4/5: Workshop on
black holes and neutron stars (Opava) 4/5 ed. Stuchlı́k Z and Hledı́k S
(Opava: Silesian University in Opava) 167
[45] Török G, Bakala P, Stuchlı́k Z and Šrámková E 2007 Proceedings of RAGtime
8/9: Workshop on black holes and neutron stars (Opava) 8/9 ed. Stuchlı́k
Z and Hledı́k S (Opava: Silesian University in Opava) 489
[46] Wijnands R, van der Klis M, Homan J, Chakrabarty D, Markwardt C B and
Morgan E H 2003 Nature 424 44
[47] Zhang C M, Yin H X, Zhao Y H, Song L M and Zhang F 2006 Mon. Not.
R. Astron. Soc. 366 1373
39
Kapitola 5
Publikace a prezentace na
konferencı́ch.
5.1
Publikace v recenzovaných časopisech
1. G. TÖRÖK, P. BAKALA, E. ŠRÁMKOVÁ, Z. STUCHLÍK, M. URBANEC: On Mass Constraints Implied by the Relativistic Precession Model of
Twin-peak Quasi-periodic Oscillations in Circinus X-1, The Astrophysical
Journal, 2010, vol. 714, 1, p. 748-757
Citacı́ 1 0 (+0)
2. P. BAKALA, E. ŠRÁMKOVÁ, Z. STUCHLÍK, G. TÖRÖK: On magneticfield induced non-geodesic corrections to relativistic orbital and epicyclic
frequencies, Classical and Quantum Gravity, 2010, vol. 27, 4, p. 045001
(19pp)
Citacı́ 1 (+0)
3. G. TÖRÖK, P. BAKALA, Z. STUCHLÍK, P. ČECH: Modelling the twin
peak QPO distribution in the atoll source 4U 1636-53, Acta Astronomica,
2008, vol. 58, p. 1–14
Citacı́ 3 (+2)
4. G. TÖRÖK, M. A. ABRAMOWICZ, P. BAKALA, M. BURSA, J. HORÁK,
W. KLUŹNIAK, P. REBUSCO, Z. STUCHLÍK: Distribution of Kilohertz
QPO Frequencies and Their Ratios in the Atoll Source 4U 1636-53, Acta
Astronomica, 2008, vol. 58, p. 15-21
Citacı́ 7 (+4)
1
Citace jsou uvedeny dle Web of Science a NASA ADS, v závorce je počet autocitacı́.
40
5. G. TÖRÖK, M. A. ABRAMOWICZ, P. BAKALA, M. BURSA, J. HORÁK,
P. REBUSCO, Z. STUCHLÍK: On the origin of clustering of frequency
ratios in the atoll source 4U 1636-53, Acta Astronomica, 2008, vol. 58
Citacı́ 4 (+2)
6. G. TÖRÖK, Z. STUCHLÍK, P. BAKALA: A remark about possible unity
of the neutron star and black hole high frequency QPOs, Central European
Journal of Physics, 2007, vol. 5/4, p. 457
Citacı́ 2 (+2)
7. P. BAKALA, P. ČERMÁK, S. HLEDÍK, Z. STUCHLÍK, K. TRUPAROVÁ: Extreme gravitational lensing in vicinity of Schwarzschild-de Sitter
black holes., Central European Journal of Physics, 2007, vol. 5/4, p. 599
Citacı́ 6 (+0)
5.2
Přı́spěvky ve sbornı́cı́ch
1. P. BAKALA, E. ŠRÁMKOVÁ, Z. STUCHLÍK, G. TÖRÖK: On magneticfield induced non-geodesic corrections to the relativistic precession QPO
model, Cool discs, Hot flows: The varying faces of accreting compact objects, AIP Conference Proceedings, 2008, 1054, 123
2. Z. STUCHLÍK, P. ČERMÁK, G. TÖRÖK, M. URBANEC, P. BAKALA:
Genetic Selection of Neutron Star Structure Matching the X-Ray Observations, The 11th World Multi-Conference on Systemics, Cybernetics and Informatics: WMSCI 2007, 2007, Orlando, USA
3. P. BAKALA, E. ŠRÁMKOVÁ, G. TÖRÖK: Dipole magnetic field on a
Schwarzschild background and related epicyclic frequencies, Proceedings of
RAGtime 8/9, 2006, Hradec nad Moravici, Czech Republic
4. G. TÖRÖK, P. BAKALA, Z. STUCHLÍK, P. ČECH: Modelling the twin
peak QPO distribution in the atoll source 4U 1636-53, Proceedings of RAGtime 8/9, 2006, Hradec nad Moravici, Czech Republic
5. G. TÖRÖK, P. BAKALA, Z. STUCHLÍK, E. ŠRÁMKOVÁ: On a multiresonant origin of high frequency QPOs in the atoll source 4U 1636-53,
Proceedings of RAGtime 8/9, 2006, Hradec nad Moravici, Czech Republic
6. G. TÖRÖK, M. BURSA, J. HORÁK, Z. STUCHLÍK, P. BAKALA: On
41
mutual relation of kHz QPOs, Proceedings of RAGtime 8/9, 2006, Hradec
nad Moravici, Czech Republic
7. M. URBANEC, Z. STUCHLÍK, G. TÖRÖK, P. BAKALA, P. ČERMÁK:
Neutron star equation of state and QPO observations, Proceedings of RAGtime 8/9, 2006, Hradec nad Moravici, Czech Republic
8. P. BAKALA, P. ČERMÁK, S. HLEDÍK, Z. STUCHLÍK, K. TRUPAROVÁ
PLŠKOVÁ: A virtual trip to the Schwarzschild-de Sitter black hole: Computer simulation of extreme gravitational lensing in Schwarzschild-de Sitter
spacetimes, Proceedings of RAGtime 6/7, 2005, Opava, Czech Republic
5.3
Prezentace na konferencı́ch
1. P. BAKALA, E. ŠRÁMKOVÁ, G. TÖRÖK, Z. STUCHLÍK: On magnetic
field induced non-geodesics correction to the relativistic orbital and epicyclic
frequencies, RAGTime 11, Opava, Czech Republic, 2009
2. P. BAKALA, E. ŠRÁMKOVÁ, G. TÖRÖK, Z. STUCHLÍK: Dipole magnetic field on the Schwarzschild background and related epicyclic frequencies, Cool discs, Hot flows: The varying faces of accreting compact objects,
Funäsdalen, Sweden, 2008
3. P. BAKALA, G. TÖRÖK, Z. STUCHLÍK, E. ŠRÁMKOVÁ: On a multiresonant origin of high frequency QPOs in the atoll source 4U 1636-53,
RAGtime No.9, Hradec nad Moravici, Czech Republic, 2007
4. P. BAKALA, G. TÖRÖK, Z. STUCHLÍK, E. ŠRÁMKOVÁ: On a multiresonant origin of high frequency QPOs in the atoll source 4U 1636-53,
Konferencia o upechoch stelarnej astronomie, Bezovec, Slovakia, 2007
5. P. BAKALA, P. ČERMÁK, K. TRUPAROVÁ, S. HLEDÍK, Z.
STUCHLÍK: Virtual trip to the black hole, Computer simulation of strong
gravitional lensing in Schwarzschild-de Sitter spacetimes, Eleventh Marcel
Grossmann Meeting on General Relativity, Berlin, Germany, 2006
6. P. BAKALA, P. ČERMÁK, K. TRUPAROVÁ, S. HLEDÍK, Z.
STUCHLÍK: Virtual trip to the black hole, Computer simulation of strong
gravitional lensing in Schwarzschild-de Sitter spacetimes, Black Holes:
Power behind the Scene, Kathmandu, Nepal, 2006
42
7. P. BAKALA, P. ČERMÁK, K. TRUPAROVÁ, S. HLEDÍK, Z.
STUCHLÍK: A virtual trip to the black hole, RAGtime No.7, Opava, Czech
Republic, 2005
5.4
Postery na konferencı́ch
1. P. BAKALA, G. TÖRÖK, E. ŠRÁMKOVÁ, Z. STUCHLÍK, M. URBANEC, P. ČECH: Mass and angular-momentum estimates based on twin
peak QPO models, IAU XXVII General Assembly, Rio de Janeiro, Brazil,
2009
2. P. BAKALA, E. ŠRÁMKOVÁ, Z. STUCHLÍK, G. TÖRÖK: On magneticfield induced non-geodesic corrections to the relativistic precession QPO
model, 37th COSPAR Scientific Assembly, Montreal, Canada, 2008
3. Z. STUCHLÍK, M. URBANEC, G. TÖRÖK, P. BAKALA, P. ČERMÁK,
E. ŠRÁMKOVÁ: QPO observations related to neutron star equations of
state, 37th COSPAR Scientific Assembly, Montreal, Canada, 2008
4. G. TÖRÖK, P. BAKALA, Z. STUCHLÍK, E. ŠRÁMKOVÁ: On a multiresonant origin of high frequency QPOs in the atoll source 4U 1636-53, 2007
SCIENCE WORKSHOP, XMM-Newton: The Next Decade, Madrid, Spain,
2007
5. Z. STUCHLÍK, K. TRUPAROVÁ, P. BAKALA, S. HLEDÍK: Optical effects in the Schwarzschild - de Sitter spacetime, Albert Einstein Century
Conference, Paris, France, 2005
43