slides

Digital control. Sampling and reconstruction. Sampled data systems. Martin Hromcik.
Automatic Control 2012
29‐III‐12
Discrete-time system & digital controller ...
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
u (k )
r (k )
y (k )
k
k
Diskrétní
regulátor
k
Diskrétní
soustava
y (k )
k
Michael Šebek
ARI‐20‐2011
2
Digital control & continuous-time systems
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
k
A/D
k
číslicový
regulátor
y (t )
u (k )
u (k )
r (k )
k
tvarovač
D/A
t
Spojitá
soustava
r (t )
t
A/D
y (k )
k
-multi-rate sampling
-hybrid systems (CT plant / DT controls)
-event-driven sampling (batch-processes)
Michael Šebek
ARI‐20‐2011
-...
3
Design options for digital controllers
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Michael Šebek
ARI‐20‐2011
4
Sampling
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
y(t )
y(kT )
T
• quantization
• sampling • digitization
Michael Šebek
ARI‐20‐2011
5
Reconstruction
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• reconstrution = holding • zero‐order hold (ZOH)
• ½ Ts delay effect ...
y(kT )
u (kT )
u (t )
Michael Šebek
ARI‐20‐2011
uz tvarovače (t )
s and z variables relationship
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
f (t ) = e − akT
f (t ) = e − at , t > 0
1
F ( s ) = L_
{f}=
s+a
F ( z ) = Z {_ f (kT )} =
z
z − e − aT
z = e sT
Michael Šebek
ARI‐20‐2011
7
Sampling theorem. Aliasing.
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Sampling theorem (Shannon, Nyquist, Kotělnikov,…)
• consequences: CD standard (44.1 kHz), ...
• aliasing (non‐control examples: movies with rotating cars’ wheels, digital pictures & moire, ...). Solution: anti‐aliasing (=low‐pass) filter.
ωs > 2ωmax
ωN = ωS 2 = π Ts > ωmax
Michael Šebek
ARI‐20‐2011
8
Sampling frequency for control problems
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
ωS > 2ωBW
ωS > ( 20 ↔ 40) ×ωBW
-purely theoretical minimum:
-practical usual solutions:
-alternatively:
5-10 samples per rise-time
-simulation verification is “a must-do”
-Ts can range from microseconds (HD drives, audio/active damping
applications) to tens-of-minutes/hours (chemical plants, process industry)
-sampling rates implies potential complexity of the control laws (hence e.g.
MPC started in process controls
mind: non-causal characteristics of ideal reconstructor.
Delay of higher-order holds (1st, 2nd order) unaccaptable
for controls typically.
Michael Šebek
ARI‐20‐2011
9
Example (Astrom, Digital Control)
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
- HD drive arm
control / dynamics
compensation
u C (t )
- by lead feedback
1st order controller
y (t )
- the head is
modelled as
double integrator
only
u (t )
Michael Šebek
ARI‐20‐2011
10
Example (Astrom, Digital Control)
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
s + 0.5
1.5
u ( s ) = 0.5 u C ( s ) − 2
y ( s ) = 0.5 u C ( s ) − 2 y ( s ) + 2
y(s)
s+2
s+2
= 2 [ 0.25u C ( s ) − y ( s ) + x ( s ) ]
x(s) =
u ( t ) = 2 [ 0.25u C ( t ) − y ( t ) + x ( t ) ]
1.5
y(s)
s+2
dx
= − 2 x ( t ) + 1.5 y ( t )
dt
x (t + h ) − x (t )
= − 2 x ( t ) + 1.5 y ( t )
h
u (tk ) = 2 [ 0.25uC (tk ) − y (tk ) + x(tk ) ]
x (tk + h) = x (tk ) + h [1.5 y (tk ) − 2 x (tk ) ]
Michael Šebek
ARI‐20‐2011
11
Example (Astrom, Digital Control)
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
u (t ) = 2 [ 0.25uC (t ) − y (t ) + x(t ) ]
u (tk ) = 2 [ 0.25uC (tk ) − y (tk ) + x(tk ) ]
x (tk + h) = x (tk ) + h [1.5 y (tk ) − 2 x (tk ) ]
dx
x (t + h ) − x (t )
= − 2 x ( t ) + 1 .5 y ( t )=
dt
h
dx
= −2 x(t ) + 1.5 y (t )
2 x ( t ) + 1 .5 y ( t )
−dt
u ( z ) = 2 [ 0.25uC ( z ) − y ( z ) + x( z ) ]
zx( z ) = x( z ) + h [1.5 y ( z ) − 2 x( z ) ]
z + 0.5h − 1
u ( z ) = 0.5uC ( z ) − 2
y( z)
z + 2h − 1
Michael Šebek
s
ARI‐20‐2011
z −1
h
1
s + 0.5
y(s)
u ( s ) = uC ( s ) − 2
s+2
2
12
Example (Astrom, Digital Control)
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
ydt (t )
yct (t)
yct (t )
uct (t)
udt (t)
udt (t )
ydt (t)
uct (t )
Michael Šebek
ARI‐20‐2011
13
Example (Astrom, Digital Control)
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• h = 0.1, 0.5, 1, 1.5
h =1
h = 0.1
h = 1.5
h = 0.5
Michael Šebek
ARI‐20‐2011
14