Počítačová grafika Radiozita

Počítačová grafika
Radiozita
V. Chalupecký
[email protected]
Obsah
1 Literatura
1
2 Úvod
5
3 Radiometrie a fotometrie
3.1 Prostorový úhel . . . . .
3.2 Zářivý tok . . . . . . . .
3.3 Intenzita ozáření . . . .
3.4 Zář . . . . . . . . . . . .
3.5 Radiozita . . . . . . . .
6
6
7
7
7
8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 BRDF
8
4.1 Rovnice odrazivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Zobrazovací rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5 Diskretizace osvětlovací rovnice
12
5.1 Metoda konstantních prvků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 Konfigurační faktory
16
6.1 Polokrychle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7 Řešení radiační soustavy rovnic
1
19
Literatura
• M. Cohen, J. Wallace, Radiosity and realistic image synthesis, Morgan
Kaufmann (1993), ISBN 0-12-178270-0
1
2
3
4
2
Úvod
• radiační metoda založena na fyzikálním principu – propagace světla v
difúzním prostředí – doposud jsme ho aproximovali ambientním členem
• dobře spočítá měkké osvětlení, sekundární odrazy světla
• základní metoda nezvládá ostré světlo, zrcadlové odrazy, lze kombinovat s raytracingem
• zdiskretizujeme scénu a vypočítáme světelnou interakci mezi každou
dvojicí prvků
• všechny interakce spočítáme jednou nezávisle na pohledu
5
3
Radiometrie a fotometrie
• radiometrie – věda zabývající se fyzikálním měřením EM energie
• měření se vyjadřují v jednotkách pro energii (Joule) a výkon (Watt)
• fotometrie – se zabývá psychofyzikálním měřením viditelných projevů
EM spektra
• při výpočtu osvětlení používáme radiometrické veličiny
• jsou závislé na místě, směru, vlnové délce, čase a polarizaci
• zanedbáme časovou závislost a polarizaci
• závislost na vlnové délce zjednodušíme použitím určitého počtu základních barev, nejčastěji RGB
3.1
Prostorový úhel
•
dω =
dA
= sin θ dθ dφ
r2
• značíme ω, jednotkou je steradián (sr)
• je užitečné uvažovat o prostorovém úhlu d~ω jako o vektoru – směr d~ω
je směr k bodu na kouli, délka d~ω je rovna velikosti prostorového úhlu
6
3.2
Zářivý tok
• množství energie přijaté (vyzářené) nějakou částí plochy je Qin , Qout [J]
• energie přenesená EM zářením za jednotku času se nazývá zářivý tok
(angl. radiant flux)
dQ
Φe =
, [W ]
dt
3.3
Intenzita ozáření
• angl. irradiance
• plošná hustota zářivého toku dopadajícího na plochu dA
dΦe
Ee =
, [W · m−2 ].
dA
3.4
Zář
• zář (angl. radiance) je nejdůležitější jednotkou pro syntézu obrazu na
počítači
• hustota zářivého toku na jednotkovou promítnutou oblast kolmou k
paprsku a na jednotkový prostorový úhel ve směru paprsku
•
Le =
d2 Φe
, [W · sr−1 · m−2 ]
~
d~ω dA
• prostorový úhel i plocha jsou ve vektorové formě
• skalární součin ve jmenovateli znamená
~ = dω dA cos θ,
d~ω dA
kde θ je úhel mezi osou prostorového úhlu d~ω a normálou plochy dA
7
• zář není definována na rozhraních prostředí (světlo zde skokově mění
směr) →zavádí se příchozí a odchozí záře Lin , Lout
• vlastnosti
– odezva senzoru (např. lidského oka) je přímo úměrná záři viditelné
plochy
– zář je konstantní podél celé dráhy světelného paprsku za předpokladu nulových ztrát daných např. absorbcí nebo rozptylem
3.5
Radiozita
• podobná intenzitě ozáření (energie na jednotku plochy dopadající na
povrch)
• radiozita = energie na jednotku plochy opouštějící povrch
Z
B=
Lo cos θ dω,
Ω
kde Lo je odchozí zář
4
BRDF
• světlo dopadá na povrch z prostorového úhlu ve směru ω
~i
• množství světla odraženého do směru ω
~ r je úměrné dopadající intenzitě
ozáření z ω
~i
• poměr se nazývá dvousměrová distribuční funkce odrazivosti (angl. bidirectional reflection distribution function, BRDF)
fr (ωi → ωr ) =
dLr (ωr )
, [sr−1 ]
dLi (ωi ) cos θi dωi
8
• vlastnosti
– pro fyzikální povrchy platí
fr (ωr → ωi ) = fr (ωi → ωr )
– BRDF je obecně anizotropní (pokud je směr dopadu a odrazu
pevný a otáčíme s povrchem, množství odraženého světla se může
měnit), např. broušené materiály, látky, . . .
fr ((θi , φi + φ) → (θr , φr + φ)) 6= fr ((θi , φi ) → (θr , φr ))
4.1
Rovnice odrazivosti
• přidání světla v jiném úhlu dopadu neovlivní množství odraženého
světla z jiného úhlu dopadu
• celkové množství světla odraženého povrchem do daného směru je dáno
integrálem přes všechny možné směru dopadu
Z
Lr (~ωr ) =
fr (ωi → ωr )Li (ωi ) cos θi dωi
Ωi
• odchozí zář v konkrétním směru je dána příchozí září ze všech směrů
váženou pomocí BRDF a prostorovým úhlem
9
4.2
Zobrazovací rovnice
• potřebujeme spojit osvětlení jednoho povrchu s odraženým světlem na
jiném povrchu ⇒potřebujeme vyjádřit prostorovou závislost záře a brát
v potaz zakrytí
• záře je konstantní podél paprsku ⇒dopadající záře v x0 v důsledku
odchozí záře v x je
Li (x0 , ωi ) = Lo (x, ωo )V (x, x0 ),
kde ωi je směrový vektor z x0 do x a ωo míří v opačném směru
• funkce V (x, x0 ) je funkce viditelnosti – je rovna 1 pokud x a x0 jsou
vzájemně viditelné a 0 jinak
• dále potřebujeme přejít od integrálu přes úhly dopadu k plošnému integrálu přes všechny okolní povrchy v prostředí
dωi0 =
cos θo dA
|x − x0 |2
tzn.
dωi0 cos θo dA = G(x, x0 ) dA,
kde
G(x, x0 ) = G(x0 , x) =
10
cos θi0 cos θo
.
|x − x0 |2
• dosazením do rovnice odrazivosti dostaneme zobrazovací rovnici
Z
0
0
fr (x)L(x, ω
~ )G(x, x0 )V (x, x0 ) dA
L(x , ω
~ )=
S
vystupují zde pouze odchozí záře a směry, můžeme vypustit dolní indexy
• v prostředí skládajícím se pouze z matných objektů je jediným zdrojem
světla emise z povrchu
Z
0
0
0
~ )G(x, x0 )V (x, x0 ) dA
L(x , ω
~ ) = Le (x , ω
~ ) + fr (x)L(x, ω
S
• pokud budeme dále předpokládat, že povrchy jsou ideálně difúzní, bude
BRDF nezávislá na příchozím a odchozím směru a lze ji vyndat před
integrál
Z
0
00
0
00
0
L(x → x ) = Le (x → x ) + fr (x ) L(x → x0 )G(x, x0 )V (x, x0 ) dA
S
0 Z
ρ(x
)
= Le (x0 → x00 ) +
L(x → x0 )G(x, x0 )V (x, x0 ) dA,
π
S
kde ρ ∈ [0, 1] je odrazivost
11
• odchozí záře z ideálně difúzního povrchu je stejná ve všech směrech a
rovná se radiozitě dělené π →radiační rovnice
Z
G(x, x0 )V (x, x0 )
B(x) = E(x) + ρ(x) B(x0 )
dA0
π
S
v dalším budeme do geometrického členu G zahrnovat i viditelnost V
aπ⇒
Z
B(x) = E(x) + ρ(x) B(x0 )G(x, x0 ) dA0
S
5
Diskretizace osvětlovací rovnice
• funkce B(x) popisuje skalární funkci na povrchu těles ve scéně
• budeme uvažovat pouze achromatickou intenzitu, pro barevnou scénu
bychom museli řešit systém pro několik vlnových délek a z nich případně
získat RGB hodnoty
• prostor funkcí B(x) je nekonečněrozměrný ⇒budeme diskretizovat
• jedna možnost je pomocí ray tracingu a Monte Carlo metod – závislé
na pohledu
• radiační metoda je založena na výpočtu a uložení přibližných hodnot
radiance na površích ve scéně, většinou v diskrétních bodech
• při zobrazování je třeba stínovat viditelné povrchy za pomoci těchto
hodnot (Gouraudovo stínování nebo jiné interpolace)
• ⇒nezávislé na pohledu
• lze kombinovat metody závislé i nezávislé na pohledu
• metoda konečných prvků – definiční obor funkce rozdělíme do oblastí,
na kterých je funkce aproximována lineární kombinací bazických funkcí
• bazické funkce jsou určeny hodnotami v diskrétních bodech →neznámé
• obecný algoritmus radiační metody
1. rozdělíme povrchy ve scéně do konečných prvků = pokrýt povrchy
těles sítí
2. vybereme uzly, kde budeme hledat hodnoty radiozity, a bazické
funkce (typicky polynomy s omezeným nosičem)
12
3. vybereme metriku, ve které budeme chtít minimalizovat chybu
– řešení budeme hledat na podprostoru, definovaném (konečným
počtem) bazických funkcí →konečný systém lineárních rovnic
4. vypočítáme koeficienty lineárního systému – závisí na geometrických vztazích, které určují přenos světla mezi prvky, nazývají se
konfigurační faktory
5. vyřešíme výsledný systém rovnic pro hodnoty radiozity v uzlech
6. rekonstruujeme přibližné řešení jako lineární kombinaci bazických
funkcí
7. zobrazíme výsledný obrázek pomocí některého stínovacího algoritmu
• základní algoritmus, některá rozšíření některé kroky opakují
• body 2. a 3. představují spíše rozhodnutí ve fázi formulace řešení, ne
kroky prováděné algoritmem
13
5.1
Metoda konstantních prvků
• použijeme konstantní bazické funkce Ni – na elementu předpokládám
konstantní odrazivost ρ a radiozitu B
P
• B(x) → B̂(x) = nj=1 Bj Nj (x)
• vynásobíme testovací funkcí Ni (x), zintegrujeme přes S a dosadíme za
B(x). Dostaneme
n
hX
j=1
Bj
Z
Ni (x)Nj (x) dA
S
Z
−
Z
Ni (x)ρ(x)
S
i
Nj (x0 )G(x, x0 ) dA0 dA
S
Z
− E(x)Ni (x) dA = 0. (1)
S
14
•
Z
Ni (x)Nj (x) dA =
S
Ai
0
pokud i = j,
jinak .
= δij Ai ,
kde δij je Kroneckerovo delta a Ai je plocha prvku i
• podobně
Z
E(x)Ni (x) dA = Ei Ai ,
S
kde Ei je průměrná emise z prvku i
• bazické funkce mají hodnotu 1 na svém prvku ⇒lze je vypustit a integrovat přes plochy prvků
Z
Z
Ni (x)ρ(x)
S
Nj (x0 )G(x, x0 ) dA0 dA
S
Z
Z
= ρi
Ai
G(x, x0 ) dAj dAi
Aj
• dosadíme do (1) a máme
n
hX
j=1
Bj δij Ai − ρi
Z
Z
Ai
G(x, x0 ) dAj dAi
i
Aj
− Ei Ai = 0,
• vydělíme, upravíme a máme klasickou radiozitní rovnici
Bi = Ei + ρi
n
X
Bj Fij ,
j=1
kde
1
Fij =
Ai
Z
Ai
Z
G(x, x0 ) dAj dAi
Aj
• matice soustavy má tvar


 

1 − ρ1 F11 . . . −ρ1 F1n
B1
E1
 −ρ2 F21

 

. . . −ρ2 F2n 

  B2   E2 





..
..
.
. 
...

  ..  =  .. 
.
.


 

−ρn−1 Fn−11 . . . ρn−1 Fn−1n  Bn−1  En−1 
−ρn Fn 1
...
ρn Fnn
Bn
En
15
∀i ∈ n̂
• pro rovinné plošky platí, že Fii = 0 ⇒na diagonále jsou pouze jedničky
• nediagonální prvky mají typicky malou absolutní hodnotu ⇒matice je
diagonálně dominantní ⇒soustava je stabilní a lze ji řešit iteračními
metodami (Jacobi, Gauss-Seidel)
• pokud počítáme přímou metodou, při změně osvětlení (tj. při změně
pravé strany) není třeba matici znovu rozkládat
• i při používání konstantních prvků při zobrazování používáme alespoň
Gouraudovo stínování
6
Konfigurační faktory
• soustavu rovnic můžeme zapsat zkráceně jako
KB = E
• většina výpočetního času se stráví výpočtem koeficientů matice K, t.j.
hlavně výpočtem konfiguračních faktorů Fij
• urychlit můžeme rychlejším výpočtem Fij , snížením dimenze problému
(adaptivita) nebo snížením počtu vypočítavaných konfiguračních faktorů (sdružování prvků a vypočítávání jednoho k.f. pro celou skupinu
– hierarchická radiozita)
• pro konstantní bazické funkce k.f. představuje zlomek světla opouštějící
jeden prvek a přímo dopadající na jiný
• k.f. je pouze funkcí geometrie – nezávisí na odrazových vlastnostech
povrchu, závisí na vzdálenosti, orientaci a viditelnosti dvou prvků
16
• někdy je lze vyčíslit v uzavřené formě (např. dva navzájem úplně viditelné polygony), většinou je třeba užít numerické postupy
• vzorkováním polokoule – scénu promítneme na polokouli nad prvkem i,
integrujeme přes polokouli (např. metodami Monte Carlo). Nejnáročnější je určování viditelnosti
• nusseltův analog – nad prvek umístíme jednotkovou polokouli, prvek j
na ni promítneme a tento průmět ortogonálně promítneme na podstavu
– plocha průmětu průmětu je rovna Fij
6.1
Polokrychle
• prvky, které mají stejný průmět na polokouli, mají stejný k.f. (zaujímají
stejný prostorový úhel) ⇒je jedno, na jakou plochu scénu promítáme
17
• nad prvek umístíme polokrychli o výšce 1, scénu promítáme na ni
• stěny polokrychle rozdělíme do sítě, každá buňka definuje jeden směr a
prostorový úhel
• prvek j promítneme na polokrychli, zjišťujeme, které buňky průmět
pokrývá
18
• každá stěna krychle definuje perspektivní projekci s pohledovým úhlem
90◦ ⇒průmět scény získáme z-bufferem – místo barvy ukládáme ukazatel na prvek
• aliasing
7
Řešení radiační soustavy rovnic
• matice soustavy má u základní metody velikost n × n, kde n je počet
prvků ve scéně
• matice ja řídká (protože bazické funkce mají omezený nosič)
• v současné podobě matice není symetrická. Pokud v systému rovnic
vydělíme i-tou rovnici plochou Ai i-tého prvku, bude symetrická
• matice je striktně diagonálně dominantní pro konstatní prvky
X
|Kij | < |Kii |, ∀i
j=1
j6=i
Tato vlastnost nám zajišťuje dobrou konvergenci u iteračních metod
jako Gauss-Seidel
19
• matice je dobře podmíněná (číslo podmíněnosti matice λmax (K)/λmin (K)
není „velkéÿ) ⇒řešení není citlivé na perturbace pravé strany a lze aplikovat většinu metod pro hledání řešení lin. soustav rovnic
20