Počítačová grafika Radiozita

Komentáře

Transkript

Počítačová grafika Radiozita
Počítačová grafika
Radiozita
V. Chalupecký
[email protected]
Obsah
1 Literatura
1
2 Úvod
5
3 Radiometrie a fotometrie
3.1 Prostorový úhel . . . . .
3.2 Zářivý tok . . . . . . . .
3.3 Intenzita ozáření . . . .
3.4 Zář . . . . . . . . . . . .
3.5 Radiozita . . . . . . . .
6
6
7
7
7
8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 BRDF
8
4.1 Rovnice odrazivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Zobrazovací rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5 Diskretizace osvětlovací rovnice
12
5.1 Metoda konstantních prvků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 Konfigurační faktory
16
6.1 Polokrychle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7 Řešení radiační soustavy rovnic
1
19
Literatura
• M. Cohen, J. Wallace, Radiosity and realistic image synthesis, Morgan
Kaufmann (1993), ISBN 0-12-178270-0
1
2
3
4
2
Úvod
• radiační metoda založena na fyzikálním principu – propagace světla v
difúzním prostředí – doposud jsme ho aproximovali ambientním členem
• dobře spočítá měkké osvětlení, sekundární odrazy světla
• základní metoda nezvládá ostré světlo, zrcadlové odrazy, lze kombinovat s raytracingem
• zdiskretizujeme scénu a vypočítáme světelnou interakci mezi každou
dvojicí prvků
• všechny interakce spočítáme jednou nezávisle na pohledu
5
3
Radiometrie a fotometrie
• radiometrie – věda zabývající se fyzikálním měřením EM energie
• měření se vyjadřují v jednotkách pro energii (Joule) a výkon (Watt)
• fotometrie – se zabývá psychofyzikálním měřením viditelných projevů
EM spektra
• při výpočtu osvětlení používáme radiometrické veličiny
• jsou závislé na místě, směru, vlnové délce, čase a polarizaci
• zanedbáme časovou závislost a polarizaci
• závislost na vlnové délce zjednodušíme použitím určitého počtu základních barev, nejčastěji RGB
3.1
Prostorový úhel
•
dω =
dA
= sin θ dθ dφ
r2
• značíme ω, jednotkou je steradián (sr)
• je užitečné uvažovat o prostorovém úhlu d~ω jako o vektoru – směr d~ω
je směr k bodu na kouli, délka d~ω je rovna velikosti prostorového úhlu
6
3.2
Zářivý tok
• množství energie přijaté (vyzářené) nějakou částí plochy je Qin , Qout [J]
• energie přenesená EM zářením za jednotku času se nazývá zářivý tok
(angl. radiant flux)
dQ
Φe =
, [W ]
dt
3.3
Intenzita ozáření
• angl. irradiance
• plošná hustota zářivého toku dopadajícího na plochu dA
dΦe
Ee =
, [W · m−2 ].
dA
3.4
Zář
• zář (angl. radiance) je nejdůležitější jednotkou pro syntézu obrazu na
počítači
• hustota zářivého toku na jednotkovou promítnutou oblast kolmou k
paprsku a na jednotkový prostorový úhel ve směru paprsku
•
Le =
d2 Φe
, [W · sr−1 · m−2 ]
~
d~ω dA
• prostorový úhel i plocha jsou ve vektorové formě
• skalární součin ve jmenovateli znamená
~ = dω dA cos θ,
d~ω dA
kde θ je úhel mezi osou prostorového úhlu d~ω a normálou plochy dA
7
• zář není definována na rozhraních prostředí (světlo zde skokově mění
směr) →zavádí se příchozí a odchozí záře Lin , Lout
• vlastnosti
– odezva senzoru (např. lidského oka) je přímo úměrná záři viditelné
plochy
– zář je konstantní podél celé dráhy světelného paprsku za předpokladu nulových ztrát daných např. absorbcí nebo rozptylem
3.5
Radiozita
• podobná intenzitě ozáření (energie na jednotku plochy dopadající na
povrch)
• radiozita = energie na jednotku plochy opouštějící povrch
Z
B=
Lo cos θ dω,
Ω
kde Lo je odchozí zář
4
BRDF
• světlo dopadá na povrch z prostorového úhlu ve směru ω
~i
• množství světla odraženého do směru ω
~ r je úměrné dopadající intenzitě
ozáření z ω
~i
• poměr se nazývá dvousměrová distribuční funkce odrazivosti (angl. bidirectional reflection distribution function, BRDF)
fr (ωi → ωr ) =
dLr (ωr )
, [sr−1 ]
dLi (ωi ) cos θi dωi
8
• vlastnosti
– pro fyzikální povrchy platí
fr (ωr → ωi ) = fr (ωi → ωr )
– BRDF je obecně anizotropní (pokud je směr dopadu a odrazu
pevný a otáčíme s povrchem, množství odraženého světla se může
měnit), např. broušené materiály, látky, . . .
fr ((θi , φi + φ) → (θr , φr + φ)) 6= fr ((θi , φi ) → (θr , φr ))
4.1
Rovnice odrazivosti
• přidání světla v jiném úhlu dopadu neovlivní množství odraženého
světla z jiného úhlu dopadu
• celkové množství světla odraženého povrchem do daného směru je dáno
integrálem přes všechny možné směru dopadu
Z
Lr (~ωr ) =
fr (ωi → ωr )Li (ωi ) cos θi dωi
Ωi
• odchozí zář v konkrétním směru je dána příchozí září ze všech směrů
váženou pomocí BRDF a prostorovým úhlem
9
4.2
Zobrazovací rovnice
• potřebujeme spojit osvětlení jednoho povrchu s odraženým světlem na
jiném povrchu ⇒potřebujeme vyjádřit prostorovou závislost záře a brát
v potaz zakrytí
• záře je konstantní podél paprsku ⇒dopadající záře v x0 v důsledku
odchozí záře v x je
Li (x0 , ωi ) = Lo (x, ωo )V (x, x0 ),
kde ωi je směrový vektor z x0 do x a ωo míří v opačném směru
• funkce V (x, x0 ) je funkce viditelnosti – je rovna 1 pokud x a x0 jsou
vzájemně viditelné a 0 jinak
• dále potřebujeme přejít od integrálu přes úhly dopadu k plošnému integrálu přes všechny okolní povrchy v prostředí
dωi0 =
cos θo dA
|x − x0 |2
tzn.
dωi0 cos θo dA = G(x, x0 ) dA,
kde
G(x, x0 ) = G(x0 , x) =
10
cos θi0 cos θo
.
|x − x0 |2
• dosazením do rovnice odrazivosti dostaneme zobrazovací rovnici
Z
0
0
fr (x)L(x, ω
~ )G(x, x0 )V (x, x0 ) dA
L(x , ω
~ )=
S
vystupují zde pouze odchozí záře a směry, můžeme vypustit dolní indexy
• v prostředí skládajícím se pouze z matných objektů je jediným zdrojem
světla emise z povrchu
Z
0
0
0
~ )G(x, x0 )V (x, x0 ) dA
L(x , ω
~ ) = Le (x , ω
~ ) + fr (x)L(x, ω
S
• pokud budeme dále předpokládat, že povrchy jsou ideálně difúzní, bude
BRDF nezávislá na příchozím a odchozím směru a lze ji vyndat před
integrál
Z
0
00
0
00
0
L(x → x ) = Le (x → x ) + fr (x ) L(x → x0 )G(x, x0 )V (x, x0 ) dA
S
0 Z
ρ(x
)
= Le (x0 → x00 ) +
L(x → x0 )G(x, x0 )V (x, x0 ) dA,
π
S
kde ρ ∈ [0, 1] je odrazivost
11
• odchozí záře z ideálně difúzního povrchu je stejná ve všech směrech a
rovná se radiozitě dělené π →radiační rovnice
Z
G(x, x0 )V (x, x0 )
B(x) = E(x) + ρ(x) B(x0 )
dA0
π
S
v dalším budeme do geometrického členu G zahrnovat i viditelnost V
aπ⇒
Z
B(x) = E(x) + ρ(x) B(x0 )G(x, x0 ) dA0
S
5
Diskretizace osvětlovací rovnice
• funkce B(x) popisuje skalární funkci na povrchu těles ve scéně
• budeme uvažovat pouze achromatickou intenzitu, pro barevnou scénu
bychom museli řešit systém pro několik vlnových délek a z nich případně
získat RGB hodnoty
• prostor funkcí B(x) je nekonečněrozměrný ⇒budeme diskretizovat
• jedna možnost je pomocí ray tracingu a Monte Carlo metod – závislé
na pohledu
• radiační metoda je založena na výpočtu a uložení přibližných hodnot
radiance na površích ve scéně, většinou v diskrétních bodech
• při zobrazování je třeba stínovat viditelné povrchy za pomoci těchto
hodnot (Gouraudovo stínování nebo jiné interpolace)
• ⇒nezávislé na pohledu
• lze kombinovat metody závislé i nezávislé na pohledu
• metoda konečných prvků – definiční obor funkce rozdělíme do oblastí,
na kterých je funkce aproximována lineární kombinací bazických funkcí
• bazické funkce jsou určeny hodnotami v diskrétních bodech →neznámé
• obecný algoritmus radiační metody
1. rozdělíme povrchy ve scéně do konečných prvků = pokrýt povrchy
těles sítí
2. vybereme uzly, kde budeme hledat hodnoty radiozity, a bazické
funkce (typicky polynomy s omezeným nosičem)
12
3. vybereme metriku, ve které budeme chtít minimalizovat chybu
– řešení budeme hledat na podprostoru, definovaném (konečným
počtem) bazických funkcí →konečný systém lineárních rovnic
4. vypočítáme koeficienty lineárního systému – závisí na geometrických vztazích, které určují přenos světla mezi prvky, nazývají se
konfigurační faktory
5. vyřešíme výsledný systém rovnic pro hodnoty radiozity v uzlech
6. rekonstruujeme přibližné řešení jako lineární kombinaci bazických
funkcí
7. zobrazíme výsledný obrázek pomocí některého stínovacího algoritmu
• základní algoritmus, některá rozšíření některé kroky opakují
• body 2. a 3. představují spíše rozhodnutí ve fázi formulace řešení, ne
kroky prováděné algoritmem
13
5.1
Metoda konstantních prvků
• použijeme konstantní bazické funkce Ni – na elementu předpokládám
konstantní odrazivost ρ a radiozitu B
P
• B(x) → B̂(x) = nj=1 Bj Nj (x)
• vynásobíme testovací funkcí Ni (x), zintegrujeme přes S a dosadíme za
B(x). Dostaneme
n
hX
j=1
Bj
Z
Ni (x)Nj (x) dA
S
Z
−
Z
Ni (x)ρ(x)
S
i
Nj (x0 )G(x, x0 ) dA0 dA
S
Z
− E(x)Ni (x) dA = 0. (1)
S
14
•
Z
Ni (x)Nj (x) dA =
S
Ai
0
pokud i = j,
jinak .
= δij Ai ,
kde δij je Kroneckerovo delta a Ai je plocha prvku i
• podobně
Z
E(x)Ni (x) dA = Ei Ai ,
S
kde Ei je průměrná emise z prvku i
• bazické funkce mají hodnotu 1 na svém prvku ⇒lze je vypustit a integrovat přes plochy prvků
Z
Z
Ni (x)ρ(x)
S
Nj (x0 )G(x, x0 ) dA0 dA
S
Z
Z
= ρi
Ai
G(x, x0 ) dAj dAi
Aj
• dosadíme do (1) a máme
n
hX
j=1
Bj δij Ai − ρi
Z
Z
Ai
G(x, x0 ) dAj dAi
i
Aj
− Ei Ai = 0,
• vydělíme, upravíme a máme klasickou radiozitní rovnici
Bi = Ei + ρi
n
X
Bj Fij ,
j=1
kde
1
Fij =
Ai
Z
Ai
Z
G(x, x0 ) dAj dAi
Aj
• matice soustavy má tvar


 

1 − ρ1 F11 . . . −ρ1 F1n
B1
E1
 −ρ2 F21

 

. . . −ρ2 F2n 

  B2   E2 





..
..
.
. 
...

  ..  =  .. 
.
.


 

−ρn−1 Fn−11 . . . ρn−1 Fn−1n  Bn−1  En−1 
−ρn Fn 1
...
ρn Fnn
Bn
En
15
∀i ∈ n̂
• pro rovinné plošky platí, že Fii = 0 ⇒na diagonále jsou pouze jedničky
• nediagonální prvky mají typicky malou absolutní hodnotu ⇒matice je
diagonálně dominantní ⇒soustava je stabilní a lze ji řešit iteračními
metodami (Jacobi, Gauss-Seidel)
• pokud počítáme přímou metodou, při změně osvětlení (tj. při změně
pravé strany) není třeba matici znovu rozkládat
• i při používání konstantních prvků při zobrazování používáme alespoň
Gouraudovo stínování
6
Konfigurační faktory
• soustavu rovnic můžeme zapsat zkráceně jako
KB = E
• většina výpočetního času se stráví výpočtem koeficientů matice K, t.j.
hlavně výpočtem konfiguračních faktorů Fij
• urychlit můžeme rychlejším výpočtem Fij , snížením dimenze problému
(adaptivita) nebo snížením počtu vypočítavaných konfiguračních faktorů (sdružování prvků a vypočítávání jednoho k.f. pro celou skupinu
– hierarchická radiozita)
• pro konstantní bazické funkce k.f. představuje zlomek světla opouštějící
jeden prvek a přímo dopadající na jiný
• k.f. je pouze funkcí geometrie – nezávisí na odrazových vlastnostech
povrchu, závisí na vzdálenosti, orientaci a viditelnosti dvou prvků
16
• někdy je lze vyčíslit v uzavřené formě (např. dva navzájem úplně viditelné polygony), většinou je třeba užít numerické postupy
• vzorkováním polokoule – scénu promítneme na polokouli nad prvkem i,
integrujeme přes polokouli (např. metodami Monte Carlo). Nejnáročnější je určování viditelnosti
• nusseltův analog – nad prvek umístíme jednotkovou polokouli, prvek j
na ni promítneme a tento průmět ortogonálně promítneme na podstavu
– plocha průmětu průmětu je rovna Fij
6.1
Polokrychle
• prvky, které mají stejný průmět na polokouli, mají stejný k.f. (zaujímají
stejný prostorový úhel) ⇒je jedno, na jakou plochu scénu promítáme
17
• nad prvek umístíme polokrychli o výšce 1, scénu promítáme na ni
• stěny polokrychle rozdělíme do sítě, každá buňka definuje jeden směr a
prostorový úhel
• prvek j promítneme na polokrychli, zjišťujeme, které buňky průmět
pokrývá
18
• každá stěna krychle definuje perspektivní projekci s pohledovým úhlem
90◦ ⇒průmět scény získáme z-bufferem – místo barvy ukládáme ukazatel na prvek
• aliasing
7
Řešení radiační soustavy rovnic
• matice soustavy má u základní metody velikost n × n, kde n je počet
prvků ve scéně
• matice ja řídká (protože bazické funkce mají omezený nosič)
• v současné podobě matice není symetrická. Pokud v systému rovnic
vydělíme i-tou rovnici plochou Ai i-tého prvku, bude symetrická
• matice je striktně diagonálně dominantní pro konstatní prvky
X
|Kij | < |Kii |, ∀i
j=1
j6=i
Tato vlastnost nám zajišťuje dobrou konvergenci u iteračních metod
jako Gauss-Seidel
19
• matice je dobře podmíněná (číslo podmíněnosti matice λmax (K)/λmin (K)
není „velkéÿ) ⇒řešení není citlivé na perturbace pravé strany a lze aplikovat většinu metod pro hledání řešení lin. soustav rovnic
20

Podobné dokumenty

Část I Termodynamika

Část I Termodynamika Stavové rovnice vyjadřují závislosti mezi jednotlivými stavovými parametry termodynamických soustav. Stavové rovnice reálných soustav nelze odvodit metodami, které nabízí klasická termodynamika. Př...

Více

1 Teplotní záření a Planckův vyzařovací zákon Intenzita vyzařování

1 Teplotní záření a Planckův vyzařovací zákon Intenzita vyzařování Intenzita vyzařování (emisivita) M e v daném místě na povrchu zdroje je definována jako podíl zářivého toku dΦe, který vychází z elementární plošky dS na povrchu zdroje v tomto místě, a plošky dS

Více

Simulace v neurovědách, příklad modelu prostorového slyšení

Simulace v neurovědách, příklad modelu prostorového slyšení Nejkratší detekovaný časový rozdíl ITD u člověka je v desítkách mikrosekund, trvá nejméně o dva řády (stokrát) kratší dobu, než je trvání jednoho akčního potenciálu. Při prvním pohledu se zdá, že t...

Více

Stáhnout pozvánku

Stáhnout pozvánku prof. Ing. Vladimír Křístek, DrSc. - ČVUT v Praze, ČSSI prof. Ing. Jiří Studnička, DrSc. - ČVUT v Praze – Chairman of IABSE in ČR prof. Ing. Jiří Stráský, DSc., P. E. - VUT v Brně - member of fib I...

Více

Raytracing - Pavel Strachota

Raytracing - Pavel Strachota generujeme svazek primárních, odražených, stínových a lomených paprsků kolem původního přesného paprsku jejich směry mají náhodné rozdělení dané distribuční funkcí, která je specifická pro da...

Více

Vypracované otázky ()

Vypracované otázky () Výběr párů pro kontrakce Páry vrcholů pro budoucí kontrakce jsou vybrány předem v inicializační fázi (v1,v2) je platný pár pro kontrakci, pokud 1. (v1,v2) je hrana, nebo 2. ||v1,v2|| Více

moderní úsporná led svítidla

moderní úsporná led svítidla Kvalitní a přesný multimetr pro domácí i profesionální použití. Měří napětí DC do 1000V, AC 700V, proud AC/CD do 20A, odpor do 20MΩ, teplotu -20°C až +1000°C, kapacitu do 200uF, test diod a tranzis...

Více

Vizualizace v ArConu (3.část) – Ostatní

Vizualizace v ArConu (3.část) – Ostatní Chcete-li přesněji definovat směr pohledu, použijte tento postup: 1. Nastavte přibližné místo pohledu. 2. Klikněte pravým tlačítkem myši na ikonu Uložení směru pohledu . V zobrazeném dialogovém okn...

Více

Tecnicall 1/2007

Tecnicall 1/2007 více začínají uvědomovat, že jejich úkoly v současné společnosti jsou trojí: výuka a výchova kvalitních odborníků v oblasti technických a přírodních věd, základní i aplikovaný výzkum a vývoj v obor...

Více