Vakuová fyzika a technika

Obsah
6 Vypařovánı́
61
6.1 Augustova rovnice . . . . . . . . . . . . . . .
61
6.2 Hmotový tok
. . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1 Historický přehled
5
2 Plynný stav hmoty
2.1 Jednotky tlaku
. . . . . . . . .
2.1.1 Použı́vané jednotky tlaku . . . .
2.1.2 Rozlišenı́ oblastı́ vakua podle tlaku
2.2 Stavová rovnice . . . . . . . . . .
2.2.1 Gay–Lussacovy zákony . . . .
2.2.2 Látkové množstvı́ . . . . . . .
2.2.3 Daltonův zákon . . . . . . .
3 Kinetická teorie plynů
3.1 Rozdělenı́ rychlostı́ . . .
3.2 Kinetická energie soustavy
3.3 Vysvětlenı́ tlaku plynu . .
3.4 Částicový déšt’ . . . . .
3.5 Střednı́ volná dráha . . .
3.6 Dalšı́ použı́vané veličiny .
3.7 Domácı́ úkol . . . . . .
3.7.1 Řešenı́
. . . . .
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
4 Objemové procesy v plynu
4.1 Tepelná transpirace (efúze) plynu .
4.2 Difúze plynu
. . . . . . . . .
4.3 Tepelná vodivost plynu (přenos tepla)
4.4 Třenı́ plynu . . . . . . . . . .
4.5 Prouděnı́ plynu potrubı́m . . . . .
. .
.
. .
.
. .
.
.
.
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
.
.
.
5 Povrchové procesy
5.1 Vazba částic, adsorpce . . . . . . .
5.2 Adsorpčnı́ tok částic . . . . . . . .
5.3 Henryův zákon, stupeň pokrytı́ povrchu
5.4 Odplyňovánı́ . . . . . . . . . .
5.5 Přı́klady . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Koncentrace molekul . . . . .
5.5.2 Doba vytvořenı́ vrstvy
. . . .
5.5.3 Rychlost desorpce . . . . . .
5.5.4 Doba desorpce
. . . . . . .
.
.
.
.
. .
.
.
.
. .
.
. .
.
.
.
.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
.
.
.
.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
8
8
9
9
9
9
11
13
.
14
14
16
19
22
24
26
27
27
.
.
.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. . .
. .
. . .
. .
28
28
30
33
40
44
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
50
50
52
54
57
59
59
59
60
61
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7 Povrchové jevy
66
7.1 Migrace molekul . . . . . . . . . . . . . . . .
66
7.2 Kapilárnı́ kondenzace . . . . . . . . . . . . . . 67
8 Procesy ve stěnách vakuových systémů
68
8.1 Pevná látka v plynu . . . . . . . . . . . . . . .
69
8.2 Stěna vakuového systému
. . . . . . . . . . . . 70
9 Metody zı́skávánı́ nı́zkých tlaků
9.1 Základnı́ princip čerpánı́ . . . . . . . . . . . . .
9.2 Časový průběh tlaku
. . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Výpočet doby čerpánı́ vakuové komory . . . . .
9.3 Desorpce plynu, difúznı́ tok stěnami a netěsnosti v systému
9.4 Vodivost potrubı́ . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Transportnı́ vývěvy
10.1 Mechanické vývěvy . . . . . . . . . .
10.1.1 Pı́stová vývěva . . . . . . . . .
10.1.2 Rotačnı́ olejové vývěvy . . . . . .
10.1.3 Vodokružnı́ vývěva . . . . . . .
10.2 Vývěvy pracujı́cı́ na základě přenosu impulsu
10.2.1 Tryskové vývěvy . . . . . . . .
10.2.2 Molekulárnı́ vývěvy
. . . . . . .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
72
72
75
77
78
79
83
83
.
83
. 84
.
91
. 92
.
92
. 100
.
11 Sorpčnı́ vývěvy
110
11.1 Vývěvy využı́vajı́cı́ fyzikálnı́ adsorpce (kryogennı́ vývěvy) 110
11.2 Vývěvy využı́vajı́cı́ chemisorpce
. . . . . . . . . . 112
12 Vakuová měřenı́
12.1 Základnı́ údaje . . . . . . . . . . . .
12.2 Přı́mé měřicı́ metody
. . . . . . . .
12.2.1 Kapalinové manometry . . . . . .
12.2.2 Kompresnı́ manometry . . . . .
12.2.3 Mechanické (deformačnı́) manometry
12.2.4 Přesné membránové manometry
.
12.3 Nepřı́mé měřicı́ metody . . . . . . . .
12.3.1 Tepelné vakuoměry
. . . . . .
12.3.2 Viskóznı́ manometry . . . . . . .
.
.
.
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
.
.
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
115
115
117
117
118
120
121
121
121
123
12.3.3
12.3.4
12.3.5
12.3.6
Ionizačnı́ vakuoměry . . . . . . . . . . . .
Výbojový manometr . . . . . . . . . . . .
Ionizačnı́ vakuoměr se žhavou katodou . . . . .
Ionizačnı́ vakuoměr s klystronovým uspořádánı́m
elektrod . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.7 Bayard-Alpertova měrka
. . . . . . . . . .
12.3.8 Extraktorový ionizačnı́ vakuoměr . . . . . . .
12.4 Měřenı́ parciálnı́ch tlaků . . . . . . . . . . . . .
12.4.1 Hmotnostnı́ spektrometr . . . . . . . . . .
12.5 Hledánı́ netěsnostı́ . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.1 Metody hledánı́ netěsnostı́ v částech systému
. .
12.5.2 Metody hledánı́ netěsnostı́ ve vakuových systémech
124
125
129
130
131
132
133
133
137
138
139
5
1
Historický přehled
Historický základ vakuové fyziky ležı́ až v 17. stoletı́ v době vzniku klasické fyziky – v době Newtona, Galileiho, Huyghense. Až do tohoto stoletı́
byli učenci přesvědčeni, že vacuum – prázdno – neexistuje a nelze ho vytvořit, nebot’ přı́roda má „strach z prázdnoty“ (horror vacui – Aristoteles).
6
Kapitola 1. Historický přehled
až v 19. stoletı́ Jouleův pokus o ekvivalenci tepla a práce. Kinetická teorie
plynů je vlastně teoretickým základem vakuové fyziky.
Dalšı́ podnět ke zlepšovánı́ techniky vakua daly až v 19. stoletı́ Geisslerovy pokusy s průchodem elektrického proudu ve zředěných plynech.
Sám pan Geissler zkonstruoval vývěvu se rtutı́, kde odstranil problémy
s těsněnı́m pı́stu ve válci.
Galilei, byl tázán, proč vodnı́ pumpy nezvednou vodu do výšky většı́ než
asi deset metrů, uvažoval, že v mı́stě přetrženı́ vodnı́ho sloupce vlastně
vacuum vzniká. Jeho žák Torricelli provedl podobný pokus se rtutı́ v uzavřené trubici. Vytvořil se sloupec rtuti vysoký 76 centimetrů a nad nı́m –
vacuum. To se psal rok 1643.
Zde je vlastně rtut’ pı́stem. Hladina se pohybuje se zvedánı́m a klesánı́m
pomocné nádoby.
Torricelli také svůj pokus správně vysvětlil pomocı́ spolupůsobenı́ tlaku
atmosféry. Jako prvnı́ tak ukázal, jak lze vytvořit prázdný prostor a tı́m
tedy položil základy fyziky vakua. Na jeho počest je po něm pojmenována
dodnes často použı́vaná jednotka tlaku:
1 [T orr] = 1 [mm] sloupce Hg.
Několik let po Torricelliho pokusu zkonstruoval Otto von Guerick prvnı́
vývěvu s dřevěným pı́stem (magdeburské polokoule – po vyčerpánı́ je ani
několik párů konı́ od sebe neodtrhlo). Ještě před koncem 17. stoletı́ zkonstruovali vývěvy pánové Hooke, Boyl, Papin, avšak stále nebyl odstraněn
problém s těsněnı́m (tehdy ale samotné vakuum nebylo objektem jejich
zájmu, potřebovali ho jenom jako pomocnou podmı́nku pro svou práci).
Vakuum, které tyto vývěvy dosahovaly – asi 10 [T orr] – pak bylo postačujı́cı́ na téměř 200 následujı́cı́ch let.
Během této doby (18. stoletı́) Bernouli položil základy kinetické teorie
plynů výkladem tepla na základě mechaniky (kinetická energie molekul).
Přesto však stále vı́tězila fluidová teorie tepla. Potřebný důkaz přinesl
Vývěvu se rtutı́ dále zdokonalil Töpler v roce 1862 a také Sprengel později v roce 1879. Bylo tak dosaženo tlaku až 1 · 10−3 [T orr]. Tlaky menšı́
než 1[T orr] přinesly velké problémy s jejich měřenı́m, nebot’výška sloupce
rtuti pro tyto tlaky je velice malá. Roku 1874 zkonstruoval Mc Leod
tzv. kompresnı́ (Mc Leodův) manometr, dodnes použı́vaný ke kalibraci
jiných manometrů. Přelom ve vývoji oboru znamenal vynález žárovky
(Edison, 1879). Žárovka byla prvnı́m masově vyráběným vakuovým produktem a tak se zı́skávánı́ vakua stalo technickým a průmyslovým oborem. Druhá polovina 19. stoletı́ přinesla také dalšı́ rozvoj kinetické teorie:
• Krönig, Clausius – výpočet tlaku molekul z kinetické energie molekul,
• Maxwell, Boltzmann, Loschmidt – rozdělenı́ rychlostı́.
Na přelomu 19. a 20. stoletı́ přicházı́ řada objevů, které byly podmı́něny
experimenty ve vakuu (objevenı́ RTG paprsků, elektronů a jejich emise,
elektronky, dioda – Fleming, 1904). Řešily se také prvnı́ fyzikálnı́ problémy týkajı́cı́ se oboru nı́zkých tlaků, experimentálně se prokazovala
správnost kinetické teorie plynů.
Meznı́kem ve vývoji vakuové techniky byl objev molekulárnı́ vývěvy roku
1912 a hlavně objev difúznı́ vývěvy v roce 1913. Tato vývěva umožnila
7
pohodlné a rychlé čerpánı́ většı́ch objemů. Současně byly objeveny dalšı́
metody čerpánı́ – kryosorpčnı́ vývěva (Dewar, 1904) a též metody nepřı́mého měřenı́ tlaků:
• tepelný vakuoměr (Pirani, 1906),
• viskóznı́ vakuoměr (Langmuir a Dushmann, 1913 – 1915),
• ionizačnı́ vakuoměr (Buckley, 1916).
V obdobı́ mezi prvnı́ a druhou světovou válkou dává impulsy pro rozvoj
průmysl výroby vakuových součástek (žárovky, elektronky, RTG lampy,
výbojky) a také požadavky vznikajı́cı́ jaderné fyziky (urychlovače) a fyziky
výbojů v plynech, kde jsou nutné ještě nižšı́ tlaky.
8
Kapitola 2. Plynný stav hmoty
2
Plynný stav hmoty
Ve vakuovém systému jsou plyny a páry – tzv. plynné skupenstvı́ hmoty.
Pro toto skupenstvı́ je charakteristické, že molekuly jsou od sebe tak
daleko, že jejich vzájemné působenı́ je zanedbatelné. Pára se lišı́ od plynu:
• pára – teplota nižšı́ než kritická, při stlačenı́ kapalnı́,
• plyn – teplota vyššı́ než kritická, pro zkapalněnı́ při kompresi se
musı́ nejprve ochladit.
Fázový diagram je na následujı́cı́m obrázku:
V roce 1929 byla zdokonalena Burchem difúznı́ vývěva a později frakčnı́
vývěva, která dosahovala tlaků až 10−8 [T orr]. Byl také sestrojen výbojový
manometr s magnetickým polem. Následovaly ale také pokroky v teorii,
např. Langmuir studoval procesy na povrchu látek ve vakuu. Dále se
též zdokonalovala technologie – začaly se použı́vat nové materiály pro
vakuovou techniku (wolfram a molybden). Velmi rychlý rozvoj pokračoval
po druhé světové válce:
• zdokonalenı́ ionizačnı́ho manometru (Bayard, Alpert). Tı́mto vakuoměrem bylo možno měřit tlaky až 10−11 [T orr],
• hmotové spektrometry (Alpert, Buritz),
• nové metody čerpánı́ (sorpce a kondenzace molekul, ionizace a přenos molekul),
• nové vývěvy (Rootsova, molekulárnı́).
V padesátých letech se spojuje roztřı́štěný okruh problémů a vzniká nový
fyzikálnı́ obor – fyzika nı́zkých tlaků (vakuová fyzika), která se zabývá
studiem procesů objemových i povrchových, probı́hajı́cı́ch v uzavřeném
prostoru, v němž jsou plyny a páry o nı́zkém tlaku (vakuový systém),
pokud tyto procesy způsobujı́ změny počtu částic v tomto prostoru.
V současné době se vakuová fyzika a technika stále rozvı́jı́ a je nedı́lně
spojena se špičkovým výzkumem a výrobou ve všech oblastech průmyslu
(kosmický výzkum, nové materiály a technologie, plazmové technologie).
Základnı́ teoretickou představou je ideálnı́ plyn s vlastnostmi:
• žádné vzájemné působenı́ molekul (Epot = 0),
• nulový objem molekul (hmotné body).
Reálný plyn se ideálnı́mu plynu podobá při teplotách značně vyššı́ch,
než je teplota kritická. Fyzikálnı́ stav plynu jako celku (tzv. makrostav)
je popsán stavovými veličinami (tlak, objem, teplota, . . . ).
2.1
Jednotky tlaku
Tlak je sı́la na jednotku plochy1:
p=
1 Orientace
F
.
S
plochy v prostoru je libovolná (Pascalův zákon).
9
2.2. Stavová rovnice
2.1.1 Použı́vané jednotky tlaku
1 [P a] = 1 N m−2 ,
1 [mbar] = 10
−3
10
Kapitola 2. Plynný stav hmoty
pro izochorický děj:
p = p0 (1 + β ′ t) ;
kde:
2
[bar] = 10 [P a],
.
.
1 [T orr] = 1 [mm] sloupce Hg = 133,322 [P a] = 1,333 [mbar],
.
.
1 [atm] = 760 [T orr] = 1,013 [bar] = 1,013 [at] (fyzikálnı́ atmosféra2 ),
.
1 [at] = 1 kp cm−2 = 0,981 [bar] (technická atmosféra),
.
.
1 [P SI] = 6895 [P a] = 51,71 [T orr] (pound–force per square inch).
• p0 je tlak při 0 [◦ C],
• V0 je objem při 0 [◦ C],
• t je Celsiova teplota.
Bylo změřeno, že koeficient roztažnosti a koeficient rozpı́navosti majı́
stejnou velikost pro všechny plyny:
2.1.2 Rozlišenı́ oblastı́ vakua podle tlaku
• základnı́ (hrubé) vakuum (102 – 105 [P a]),
• jemné (primárnı́) vakuum (10−1 – 102 [P a]),
• vysoké vakuum (10−5 – 10−1 [P a]),
• ultravysoké vakuum (10−11 – 10−5 [P a]).
2.2
β = β ′ = 3,66099 · 10−3 =
1
.
273,15
Dosadı́me-li do výše uvedených rovnic, dostaneme:
273,15 + t
T
1
V = V0 1 +
t = V0
= V0 .
273,15
273,15
T0
Pak tedy:
V = V0
Stavová rovnice
p = p0
Nejdřı́ve definujeme teploty:
T
;
T0
T
;
T0
z čeho plyne:
• Celsiova teplota (značı́me t [◦ C]),
• Kelvinova absolutnı́ teplota (značı́me T [K], T = 273,15 + t).
2.2.1 Gay–Lussacovy zákony
Důvody pro zavedenı́ absolutnı́ teploty: byly objeveny Gay–Lussacovy
zákony o roztažnosti a rozpı́navosti plynu ve tvaru:
pro izobarický děj:
V = V0 (1 + βt) ;
2 normálnı́
atmosférický tlak
p
= konst;
T
V
= konst.
T
Doplnı́me ještě třetı́ zákon ideálnı́ho plynu (Boylův–Mariottův), který
platı́ pro izotermický děj (T = konst):
pV = konst.
Zobecněnı́m těchto rovnic je stavová rovnice plynu:
pV
= konst.
T
11
2.2. Stavová rovnice
2.2.2 Látkové množstvı́
Z mnoha dalšı́ch stavových veličin si všimneme té, která (někdy skrytě)
vystupuje ve stavové rovnici – látkové množstvı́ ν. Jeho základnı́ jednotkou v soustavě SI je 1 [mol], to je takové množstvı́ látky, že jejı́ počet
částic je stejný jako ve 12[g] uhlı́ku 12
6 C. Tento počet se nazývá Avogadrova
konstanta NA a pro jejı́ hodnotu platı́:
NA = (6,022 045 ± 0,000 031) · 1023 mol−1 .
Látkové množstvı́ ν lze tedy zjistit, známe-li počet částic N zkoumané
látky (plynu):
N
ν=
[mol].
NA
Látkové množstvı́ se často převádı́ na hmotnost pomocı́ veličiny molárnı́
atomová hmotnost Mmol , což je hmotnost jednoho molu dané látky. Z definice jednoho molu je vidět, že molárnı́ hmotnost uhlı́ku 12
6 C je rovna 12 [g].
Pro stanovenı́ molárnı́ hmotnosti libovolné látky definujeme atomovou
1
hmotnosti atomu uhlı́ku 12
hmotnostnı́ jednotku mu , která je rovna 12
6 C,
tedy:
1
−27
mu =
m 12
[kg].
6 C = 1,660 565 5 · 10
12
Označı́me dále hmotnost jedné částice (atom, molekula, . . . ) látky jako m
a definujeme veličinu relativnı́ hmotnost částice A:
A =
m
.
mu
12
Kapitola 2. Plynný stav hmoty
Závěrem tedy uvedeme vztah pro stanovenı́ látkového množstvı́ ν ze znalosti hmotnosti látky M nebo z počtu částic (molekul, atomů, . . . ) této
látky N :
N
M
ν=
=
.
NA
Mmol
Pro plyny platı́ ještě známý Avogadrův zákon, který řı́ká, že 1 [mol] libovolného plynu (ideálnı́ho plynu) zaujı́má za normálnı́ch podmı́nek3 vždy
stejný objem, tzv. molárnı́ objem:
V0 = 22,414 [l].
Potom lze určit tzv. Loschmidtovo čı́slo, charakterizujı́cı́ počet částic v jednotce objemu:
NA .
= 2,69 · 1019 [cm−3 ].
n0 =
V0
Pak, máme-li látkové množstvı́ ν molů plynu, zaujmutý objem bude νV0 .
Dosadı́me do stavové rovnice a dostaneme:
1,013 · 105 · ν · 22,414 · 10−3
p0 νV0
pV
=
= konst =
= νR
T
T0
273,15
a tedy dostáváme stavovou rovnici:
pV = νRT ,
kde:
12
6C
je 12. Vyjádřı́me pak
Je jasné, že relativnı́ hmotnost atomu uhlı́ku
jeho známou molárnı́ hmotnost:
Mmol 12
6 C = 12 [g] = NA m = NA A mu ;
po dosazenı́ čı́selných hodnot:
12 [g] = NA · 12 [g] · mu ;
• R = 8,314 41 (26) J.mol−1 .K −1 je univerzálnı́ plynová konstanta.
Z tohoto tvaru stavové rovnice je dobře vidět, že množstvı́ plynu (ν) je
úměrné součinu pV za dané teploty. Potom lze množstvı́ plynu určovat
pomocı́ veličiny pV [P a.l, . . .].
Dosadı́me-li ještě do stavové rovnice za látkové množstvı́, dostaneme:
pV = νRT =
dostáváme tak zajı́mavý vztah:
NA mu = 1 [g].
Nynı́ vyjádřı́me molárnı́ hmotnost libovolné částice (atomu) o relativnı́
hmotnosti A:
Mmol A X = NA m = NA A mu = A [g].
N
RT = N kT ;
NA
po vydělenı́ objemem V :
p=
3T
0
N kT
= nkT ,
V
= 273,15 [K], p0 = 1,013 · 105 [P a]
13
2.2. Stavová rovnice
14
Kapitola 3. Kinetická teorie plynů
3
kde:
• k je Boltzmannova konstanta (k = 1,380 662 (44) · 10−23 [J.K −1 ]),
• n je koncentrace částic.
Tedy máme dalšı́ tvar stavové rovnice:
p = nkT.
Z tohoto vztahu je zřejmé, že tlak je úměrný koncentraci.
2.2.3 Daltonův zákon
Kinetická teorie plynů
Kinetická teorieplynů provádı́výklad termodynamickýchvlastnostı́plynu
na základě modelu plynu jako mechanické soustavy částic. Plyn je považován za soustavu hmotných částic (molekul), které se neustále pohybujı́
nejrůznějšı́mi směry a rychlostmi (tzv. neuspořádaný pohyb molekul).
Tyto částice se srážejı́ navzájem (pružně), ale i se stěnami vakuového
systému (pružně i nepružně). Z důvodu velkého počtu molekul (viz Avogadrovo čı́slo) nenı́ možné počı́tat a sledovat jejich konkrétnı́ dráhy. Právě
tento velký počet ale umožnil použitı́ statistických výpočtů.
3.1
Poslednı́ zákon, který připomeneme je Daltonův zákon pro směs několika
plynů, které spolu chemicky nereagujı́:
Za předpokladu termodynamické rovnováhy byl odvozen pro velikost
rychlostı́ Maxwellův rozdělovacı́ zákon:
p = p1 + p2 + . . . ,
kde:
• p je celkový (totálnı́) tlak plynu ve směsi,
• pi jsou parciálnı́ (částečné) tlaky jednotlivých složek směsi.
Platı́, že parciálnı́ tlak složky směsi je tlak, který by se v daném objemu
vytvořil tehdy, když by tento objem zaujala pouze tato složka (při stejné
teplotě). Pro vzduch jsou parciálnı́ tlaky uvedeny v následujı́cı́ tabulce:
plyn
N2
O2
Ar
CO2
H2
Ne
He
Kr
Xe
pparc [P a]
4
7,89 · 10
2,11 · 104
9,44 · 102
2,93 · 101
1,00 · 101
2,20 · 100
5,00 · 10−1
1,00 · 10−1
9,00 · 10−3
pparc
p
[%]
7,81 · 101
2,09 · 101
9,33 · 10−1
3,00 · 10−2
1,00 · 10−2
2,00 · 10−3
5,00 · 10−4
1,00 · 10−4
9,00 · 10−6
Rozdělenı́ rychlostı́
kde:
m 32
mv2
e− 2kT v 2 dv,
dN = 4πN
2πkT{z
|
}
f (v) . . . Maxwellova rozdělovacı́ funkce
• dN je počet molekul, jejichž velikost rychlosti se nacházı́ v intervalu dv (tj. v intervalu (v, v + dv)).
Průběh rozdělovacı́ funkce f (v) je na následujı́cı́m obrázku:
15
3.1. Rozdělenı́ rychlostı́
Fyzikálnı́ smysl rozdělovacı́ funkce:
f=
dN
dφ
má obecně význam hustoty bodů ve fázovém prostoru, tj. jejich počet
v jednotce objemu fázového prostoru. V našem přı́padě:
16
Kapitola 3. Kinetická teorie plynů
Jejı́ odmocnina se nazývá efektivnı́ rychlost:
r
p
3kT
vef = v 2 =
.
m
Mezi těmito rychlostmi platı́ následujı́cı́ vztahy:
v̄ = 0,920 vef ;
dN
f (v) =
dv
je hustota bodů (obrazů stavů molekul) na ose velikosti rychlosti v, tj. jejich počet v jednotkovém intervalu osy v.
Platı́:
f (0) = 0;
lim f (v) = 0;
v→∞
křivka má maximum v mı́stě (výpočet ze vztahu ddfv = 0):
vp =
r
2kT
,
m
nazvaném nejpravděpodobnějšı́ rychlost. Ve statistice nás ovšem zajı́majı́
střednı́ hodnoty a proto definujeme střednı́ rychlost:
r
Z
1 ∞
8kT
.
v̄ =
vf (v) dv =
N 0
πm
vp = 0,815 vef ;
a tedy:
vp < v̄ < vef .
Maximum
rozdělovacı́ funkce je dosti ostré a lze ukázat, že v intervalu
1 3
3
2 v̄, 2 v̄ ležı́ rychlosti asi 4 všech molekul. Tedy při hrubých odhadech je
možné si představit, že všechny molekuly majı́ stejnou rychlost rovnou v̄.
Konkrétnı́ hodnoty rychlostı́ vp , vef , v̄ pro dusı́k, vodı́k, argon a xenon
při teplotě 0[◦ C] jsou uvedeny v následujı́cı́ tabulce. Výpočet byl proveden
pomocı́ vzorce:
r
r
r
2kT
2T R
2RT
=
.
vp =
=
m
m NA
Mmol
N2
H2
Ar
Xe
Je to v podstatě aritmetický průměr:
v̄ =
v1 + v2 + v3 + . . .
1 X
=
vi ∆N =
N
N i
(nahradı́me sumu integrálem)
Z
Z
1 ∞
1 ∞
=
v dN =
vf (v) dv.
N 0
N 0
Dále se definuje střednı́ hodnota kvadrátu rychlosti, nazvaná střednı́
kvadratická rychlost:
Z
1 ∞2
3kT
2
.
v =
v f (v) dv =
N 0
m
3.2
vp [ms−1 ]
403
1 507
337
186
v̄ [ms−1 ]
454
1 700
380
210
vef [ms−1 ]
493
1 846
413
228
Kinetická energie soustavy
Znalost střednı́ch rychlostı́ nám pak umožňuje vypočı́tat kinetickou energii soustavy. Jestliže uvažujeme molekulu o hmotnosti m a rychlosti v,
potom jejı́ kinetická energie je:
εk =
1
mv 2
2
17
3.2. Kinetická energie soustavy
a celková kinetická energie všech molekul je :
Z ∞
Z ∞
X
1
εki =
εk dN =
Ek =
mv 2 f (v) dv =
2
v=0
0
i
=
1
m
2
Z
∞
v 2 f (v) dv
0
N
1
= mv 2 N ;
N
2
po dosazenı́ za střednı́ kvadratickou rychlost:
1 3kT
3
Ek = m
N = kT N
2
m
2
a po dosazenı́ za celkový počet molekul:
Ek =
3
3
kT νNA = RT ν.
2
2
Je tedy vidět, že stejná látková množstvı́ (1 [mol]) různých plynů majı́
stejné celkové kinetické energie ( 32 RT ). Pro přı́pad ideálnı́ho plynu je
tato energie rovna celkové energii plynu, tj. vnitřnı́ energii plynu:
U = Ek =
18
Kapitola 3. Kinetická teorie plynů
Vysvětlenı́: pouze jednoatomová molekula se podobá hmotnému bodu,
jehož pohyb je popsán třemi souřadnicemi a jehož kinetická energie má
tři části:
1
1
1
1
1
mv 2 = m vx2 + vy2 + vz2 = mvx2 + mvy2 + mvz2 =
2
2
2
2
2
1
1
1
3
= kT = kT + kT + kT.
2
2
2
2
Platı́ ekvipartičnı́ teorém – na každou souřadnici pohybu (stupeň volnosti)
připadne energie:
1
kT ,
2
které v tepelné kapacitě odpovı́dá přı́spěvek:
1
R.
2
Tento teorém lze dobře použı́t na složitějšı́ molekuly, např. na dvouatomovou molekulu (viz obr.):
3
RT ν.
2
Z termodynamiky známe vztah pro přı́růstek vnitřnı́ energie:
dU = νCv dT.
Pak pro molárnı́ tepelnou kapacitu Cv dostaneme:
1 dU
1 d
3
3
Cv =
=
RT ν = R
ν dT
ν dT 2
2
a tato hodnota je konstantnı́:
3
.
· 8,314 = 12,47 [J.K −1 .mol−1 ].
2
To ale souhlası́ pouze pro jednoatomové plyny (He, Ne, Ar, . . . , Hg, . . . ).
U dvouatomových plynů (H2 , N2 , O2 , . . . ) je Cv okolo 20 [J.K −1 .mol−1 ]
a s teplotou roste až na 29 [J.K −1 .mol−1 ]. Vı́ceatomové plyny se odchylujı́
ještě vı́ce.
• translace těžiště – 3 souřadnice,
• rotace kolem osy jdoucı́ těžištěm – 2 souřadnice,
• kmitánı́ v ose x – 2 souřadnice ( 12 mvx2 + 12 kx2 ).
Celkem tedy má dvouatomová molekula 7 stupňů volnosti a podle ekvipartičnı́ho teorému bude tepelná kapacita plynu tvořeného těmito molekulami:
7 .
R = 29.
2
19
3.3. Vysvětlenı́ tlaku plynu
3.3
Vysvětlenı́ tlaku plynu
Podle kinetické teorie plynu molekuly kromě vzájemných srážek dopadajı́
také na stěny a pružně se od nich odrážejı́. Co se při takovém dopadu
molekuly děje je zřejmé z obrázku:
20
Kapitola 3. Kinetická teorie plynů
a podle 3. Newtonova zákona (akce a reakce) také molekula působila
na stěnu silou:
−∆F~ .
Tato sı́la je kolmá na stěnu a vzniká tak tlak plynu.
Nynı́ vypočı́táme konkrétně, kolik molekul za nějaký čas dt dopadne
na zvolenou plošku stěny dS. Aby nějaká molekula mohla na tuto stěnu
vůbec dopadnout, musı́ vektor jejı́ rychlosti směřovat ke stěně (vx > 0)
– označı́me počet takovýchto molekul (které majı́ určitou souřadnici vx ,
kde vx > 0) v celém objemu plynu jako dN . Pak zřejmě:
dN = dN (vx ) = f (vx ) dvx ,
kde:
• f (vx ) je nějaká (Maxwellovská) rozdělovacı́ funkce podle vx , zatı́m
ji nebudeme specifikovat.
Původnı́ rychlost v~1 (před dopadem) se po dopadu změnı́ na v~2 . Nastane
tedy změna rychlosti:
∆~v = v~2 − v~1 .
Je zřejmé, že:
v~1 = (vx ,vy );
v~2 = (−vx ,vy );
Ale všechny tyto molekuly za čas dt jistě na stěnu nedopadnou, nebot’
některé jsou od stěny daleko. Tedy dopadnou pouze ty molekuly, jejichž
vzdálenost od plošky dS nenı́ většı́ než vx dt (to je velikost dráhy rovnoměrného pohybu rychlostı́ vx za čas dt) a to jsou všechny molekuly
v objemu:
vx dS dt.
Situace je zřejmá z obrázku:
pro velikost vektoru tedy platı́:
∆v = 2vx .
Změně rychlosti molekuly ∆~v musı́ odpovı́dat změna hybnosti:
∆~
p = m∆~v ;
velikost vektoru změny hybnosti pak je:
∆p = m∆v = 2mvx .
To podle 2. Newtonova zákona ale znamená, že na molekulu působila sı́la
(od stěny):
∆~
p
∆F~ =
∆t
Jelikož v celém objemu plynu je těchto molekul dN (vx ), pak v jednotkovém objemu je jich dN (vx ) a v tomto objemu je potom počet molekul:
V
dN (vx )
vx dS dt.
V
21
3.3. Vysvětlenı́ tlaku plynu
Každá z těchto molekul tedy během doby dt dopadne na dS a po odrazu
od nı́ má změnu hybnosti 2mvx . Pak celková změna hybnosti všech těchto
molekul je:
dp′ =
dN (vx )
dN (vx )
vx 2mvx dS dt = 2mvx2
dS dt;
V
V
časová změna této hybnosti pak je sı́la, vlastně část celkové sı́ly, od této
skupiny molekul:
dp′
dF =
;
dt
když tuto sı́lu vydělı́me velikostı́ plochy dS, dostaneme tlak, vlastně část
celkového tlaku od této skupiny molekul:
dp =
dF
dN (vx )
dp′
=
= 2mvx2
dS
dt dS
V
a celkový tlak je pak součtem (integrálem) přes všechny možné rychlosti
vx , (vx > 0):
Z
Z ∞
2m ∞ 2
dp =
v dN (vx );
p=
V 0 x
vx =0
po dosazenı́ za dN (vx ) dostaneme:
Z
2m ∞ 2
v f (vx ) dvx .
p=
V 0 x
Uvážı́me-li, že rozdělovacı́ funkce je sudá a tedy platı́:
f (vx ) = f (−vx ),
dostaneme po vynásobenı́ jedničkou ( N
N ):
2m 1
p=
V 2
Z
∞
vx2 f (vx ) dvx
−∞
m
N
= vx2 N.
N
V
Střednı́ hodnotu kvadrátu souřadnice lze bez výpočtu odvodit lehce použitı́m vztahu:
v 2 = vx2 + vy2 + vz2 ;
uděláme formálně střednı́ hodnotu:
v 2 = vx2 + vy2 + vz2 = 3vx2 = 3vy2 = 3vz2 .
22
Kapitola 3. Kinetická teorie plynů
Žádná souřadnice ale nemůže být preferována a tedy všechny tři výrazy
musı́ být stejné:
vx2 = vy2 = vz2 ;
platı́ tedy:
vx2 =
1 2
v .
3
Po dosazenı́ do vztahu pro tlak:
p=
m1 2
1m 2 2
2 Ek
v N=
v N =
,
V 3
3V
2
3 V
neboli:
2
Ek .
3
Součin pV je tedy mı́rou nejen množstvı́ látky, ale také vnitřnı́ energie.
Dále můžeme dosadit za kinetickou energii výraz dřı́ve odvozený pro ideálnı́ plyn:
3
Ek = N kT ;
2
potom:
21 3
N kT = nkT
p=
3V 2
a tı́m dostáváme stavovou rovnici ideálnı́ho plynu.
pV =
3.4
Částicový déšt’
Veličina částicový déšt’ charakterizuje počet nárazů molekul na stěnu
(za jednotku času na jednotku plochy). Principiálně by bylo možné použı́t
stejný postup, jako při výpočtu tlaku, tj. bylo by:
Z ∞
1
dN
Z=
vx dS dt.
dt dS 0 V
Toto dále však nelze převést na známou střednı́ hodnotu (lichá funkce).
Proto hned od počátku uvažujeme o skupině molekul dN , které majı́
všechny stejnou velikost rychlosti v, (dN = f (v) dv). Dále se použijı́ sférické souřadnice podle obrázku:
23
3.4. Částicový déšt’
24
Kapitola 3. Kinetická teorie plynů
Sečteme všechny tyto molekuly pro všechny možné velikosti a všechny
možné směry rychlosti (odpovı́dajı́cı́ dopadům molekul z jednoho poloprostoru na hraničnı́ plochu druhého poloprostoru):
1
dt dS
Z=
1 N
=
4πV N
Z
0
∞
Z
∞
v=0
vf (v) dv
Z
π
2
ϑ=0
Z
Z
2π
ϕ=0
dω
dN
dS v dt cos ϑ
=
V
4π
π
2
sin ϑ cos ϑ dϑ
0
Z
0
2π
dϕ =
1
1N
v̄ = nv̄.
4V
4
Výsledný vzorec pro částicový déšt’ tedy je:
Z=
3.5
Na dS dopadnou za čas dt všechny molekuly ze šikmého válce o objemu:
v cos ϑ dS dt.
Směr vektoru rychlosti je určen dvěma úhly (ϑ,ϕ) a tedy tyto úhly musı́me
zadat. Tı́m vlastně zadáme prostorový úhel:
dS
r dϑ r sin ϑ dϕ
dω = 2 =
= sin ϑ dϑ dϕ.
r
r2
Všechny molekuly ovšem létajı́ do všech možných úhlů – tedy do celého
prostorového úhlu 4π. Do zadaného úhlu dω pak směřuje pouze úměrná
část z celkového počtu molekul, daná poměrem:
1
nv̄.
4
Střednı́ volná dráha
Tato veličina charakterizuje délku dráhy, kterou molekula uletı́ mezi
dvěma srážkami. U neuspořádaného pohybu molekul jsou samozřejmě
délky drah mezi dvěma po sobě jdoucı́mi srážkami různé a proto se počı́tá střednı́ hodnota těchto drah. Vztah pro střednı́ dráhu lze odvodit
z jednoduchého modelu, který ukazuje následujı́cı́ obrázek:
Předpokládáme, že všechny molekuly jsou v klidu a pouze jedna se pohybuje rychlostı́ o velikosti v̄. Tato molekula, jako koule o poloměru r, uletı́
za jednotku času dráhu velikosti v̄ a narazı́ přitom do všech molekul,
které jsou od jejı́ dráhy vzdálené maximálně o R = 2r, tedy do molekul
v objemu:
πR2 v̄;
tento počet je:
dω
.
4π
nπR2 v̄.
25
3.5. Střednı́ volná dráha
Je to vlastně počet srážek, ke kterým dojde na vzdálenosti v̄. Tedy průměrná vzdálenost mezi dvěma srážkami je:
l̄ =
v̄
1
1
=
.
=
nπR2 v̄
nπR2
n4σ
kde
• σ je průřez molekuly (σ =
26
Kapitola 3. Kinetická teorie plynů
Dále má vliv závislost σ na rychlosti molekul (tj. na teplotě). Jde vlastně
o účinný průřez reakce (4σ), který závisı́ obecně na různých veličinách
a také na energiı́ch částic. Je známý Sutherlandův vztah:
Td
σ = σ∞ 1 +
,
T
kde
πR2
4 )
Předpoklad o nehybnosti ostatnı́ch molekul jistě nenı́ správný – je nutné
ještě uvažovat vzájemnou rychlost mezi vybranou molekulou a ostatnı́mi
molekulami – relativnı́ rychlost:
• σ∞ je σ pro T → ∞,
• Td je teplota zdvojenı́ (pro T = Td je σ = 2σ∞ ).
Pak výsledný vztah pro střednı́ volnou dráhu je:
l̄ =
Relativnı́ rychlost je rozdı́l obou rychlostı́ (vybrané molekuly a některé
sousednı́ molekuly):
~vrel = ~v2 − ~v1 ;
podle obrázku vyjádřı́me velikosti rychlostı́:
pak tedy:
0
v2
Speciálně:
N2 ,0 [◦ C]:
R∞ = 3,2 · 10−10 [m] (R0 = 3,78 · 10−10 [m])
Td = 98 [K] . . . 107 [K] (pro 90 . . . 1000 [K])
l̄p = 4,4 · 10−5 [m · mT orr] = 5,9 · 10−5 [m · mbar]
O2 ,0 [◦ C]:
R0◦ C = 3,62 · 10−10 [m]
l̄p = 4,9 · 10−5 [m · mT orr]
Udává se pro vzduch (20 [◦ C]):
.
l̄p = 5 · 10−5 [m · mT orr] = 6,65 · 10−5 [m · mbar]
2 = 2v 2 ;
vrel
z toho plyne:
vrel =
√
2 v.
Po zpětném dosazenı́ do vzorce pro střednı́ volnou dráhu potom dostaneme upravený vztah:
1
√ .
l̄ =
n4 2σ
.
Je tedy vidět, že součin ¯
lp je konstantnı́ pro daný plyn a pro danou teplotu.
a uděláme formálně střednı́ hodnoty:
v2
Td
T
Dosadı́me-li ještě za koncentraci n ze stavové rovnice p = nkT , dostaneme:
kT
.
l̄p = √
4 2 σ∞ 1 + TTd
2
= v12 + v22 − 2v1 v2 cos α
vrel
2 = v 2 + v 2 − 2 v v cos α;
vrel
1
2
}
| 1 2{z
|{z}
|{z}
1
√
n 4 2 σ∞ 1 +
3.6
Dalšı́ použı́vané veličiny
Někdy se použı́vá veličina nazvaná počet srážek (jedné) částice za jednotku
času:
n 4 σv̄
v̄
∆N
z =
=
= ¯.
∆t
1
l
27
28
Dalšı́ často použı́vanou veličinou je počet srážek (všech částic) v jednotce
objemu za jednotku času, též nazývanou objemová hustota srážek. Vı́me,
že v jednotce objemu je n molekul a každá z nich absolvuje z srážek
za jednotku času, celkem tedy nz srážek. Tı́mto jsme ale každou srážku
započı́tali dvakrát, a tedy musı́me dělit dvěma:
p
3.7. Domácı́ úkol
1 nv̄
1
.
∆Z = nz =
2
2 ¯
l
3.7
Domácı́ úkol
Vypočı́tejte a porovnejte všechny definované veličiny pro jeden význačný
tlak (např. rozhranı́ vysokého vakua a ultravakua) a pak přehledně
pro vı́ce tlaků v celém oboru vakua. Uvažujte vakuovou komoru tvaru
krychle o hraně 1 [m]. Stanovte také koncentraci molekul n ze stavové
rovnice plynu p = nkT , při teplotě 20 [◦ C]. Dále ještě spočı́tejte střednı́
vzdálenost molekul a, přičemž použijte představy, že molekuly jsou pravidelně rozmı́stěny v bodech kubické mřı́žky. Jedné molekule tak přı́slušı́
jedna elementárnı́ krychle o hraně a, tedy objem a3 . Z definice hustoty
pak tedy plyne:
r
3 1
a=
.
n
3.7.1 Řešenı́
Z následujı́cı́ch rovnic dosazenı́m odpovı́dajı́cı́ch hodnot postupně vyřešı́me hledané veličiny. Pokuste se úlohu vyřešit sami, at’si nemusı́te kazit
vaše oči.
p
p = nkT ⇒ n =
kT
r
3 1
a=
n
konst.
lp = konst. ⇒ l =
p
r
r
v
8kT Na
8RT
z=
kde v =
=
πmNa
πM
l
1 nv
1
1
∆Z =
= nz a Z = nv
2 l
2
4
Kapitola 4. Objemové procesy v plynu
l
z
∆Z
Z
[mm]
[m]
[s−1 ]
[s−1 mm−3 ]
[s−1 mm−2 ]
2,5
0,74
665 · 103
7 · 10−7
8,8 · 10−7
2,9 · 105
10−7
2,5 · 106
7,4 · 10−3
665
0,7
8,8 · 105
2,9 · 1011
10−3
2,5 · 1010
3,4 · 10−4
6,65 · 10−2
7 · 103
8,8 · 1013
2,9 · 1015
102
100
2,5 · 1013
3,4 · 10−5
6,65 · 10−5
7 · 106
8,8 · 1019
2,9 · 1018
105
103
2,5 · 1016
3,4 · 10−6
6,65 · 10−8
7 · 109
8,8 · 1025
2,9 · 1021
p
n
[P a]
[mbar]
[mm−3 ]
10−11
10−13
10−5
10−1
4
a
Objemové procesy v plynu
Mezi objemové procesy v plynu patřı́ difúze, třenı́ plynu, tepelná vodivost,
efúze, prouděnı́ plynu.
Uvedeme nejprve méně známý jev, při kterém vynikne důležitost střednı́
volné dráhy molekul, speciálně jejı́ velikosti vzhledem k rozměrům systému.
4.1
Tepelná transpirace (efúze) plynu
Ze zkušenosti vı́me: když propojı́me dvě nádoby, tlaky se vždy (po určité
době) vyrovnajı́, i když by napřı́klad nádoby měly různé teploty, ale to
platı́ pouze za vyššı́ch tlaků.
Kritérium je:
l̄ ≪ d,
kde
• l̄ je střednı́ volná dráha,
• d je lineárnı́ rozměr systému.
V přı́padě opačném, za velmi nı́zkých tlaků, kdy bude platit opačná nerovnost l̄ ≫ d, pak pozorujeme velmi zajı́mavý jev „nevyrovnánı́ tlaku“.
29
4.1. Tepelná transpirace (efúze) plynu
30
Kapitola 4. Objemové procesy v plynu
V pravé a levé nádobě budou tedy různé koncentrace, tedy i tlaky plynu
(podle stavové rovnice):
p1 = n1 kT1 ,
p2 = n2 kT2 .
Dosadı́me do rovnice (4.1):
p1
kT1
Na obrázku vidı́me:
A dostáváme vztah pro tlaky v obou nádobách:
r
p1
T1
=
.
p2
T2
• dvě uzavřené nádoby (objemy),
• jsou spojené otvorem plochy S.
Molekuly plynu se za „molekulárnı́ podmı́nky“ l̄ ≫ d vzájemně prakticky
nesrážejı́, srážky jsou pouze se stěnami.
Předpokládejme nejprve, že v obou nádobách je na počátku stejná teplota
i koncentrace plynu: pak z levé nádoby dopadá na plochu S (a vniká
do pravé nádoby) za 1 času proud molekul:
r
√
1
1
8kT
J1 = SZ = S nv̄ = S n
= konst · n T
4
4
πm
a samozřejmě z pravé strany dopadá na plochu S proud stejný:
√
√
J2 = SZ = konst · n T = J1 = konst · n T .
Tedy:
Jestliže nynı́ zahřejeme napřı́klad levou nádobu na teplotu vyššı́ než je
teplota pravé nádoby T1 > T2 , pak bude J1 > J2 a zleva doprava přecházı́
vı́ce molekul než směrem opačným, v pravé nádobě se zvětšuje jejich
koncentrace až na nějakou hodnotu n2 > n1 , při které se proudy molekul
opět vyrovnajı́:
J1 = J2 .
n1
p
p
T 1 = n2 T 2
r
n1
T2
=
.
n2
T1
To je prakticky důležité pro měřenı́ tlaku v tomto oboru (l̄ ≫ d).
Napřı́klad: Máme vakuovou pec o teplotě T1 = 2000 [K] a chceme změřit
tlak uvnitř (p1 =?). Tlakoměr dáme mimo pec do malé komůrky, kde je teplota T2 = 293 [K], a ten bude měřit jiný tlak p2 , než je v peci:
r
r
T1
2000
p1 = p 2
= p2
= 2,61 · p2 .
T2
293
4.2
√
√
J1 = n T = n T = J2 .
Bude tedy platit:
r
kT2
T2
.
·
=
p2
T1
(4.1)
Difúze plynu
Na rozdı́l od předchozı́ efúze plynu se projevuje při vyššı́ch tlacı́ch, tedy
když molekuly konajı́ velké množstvı́ srážek a střednı́ volná dráha je malá
(l̄ ≪ d).
Necht’ do určitého mı́sta (x = 0) jednoho plynu zavedeme nějaké množstvı́ druhého plynu, tj. počátečnı́ koncentrace n0 tohoto druhého plynu
je nenulová pouze v mı́stě x = 0.
S postupem času, jako důsledek neuspořádaného pohybu molekul, pronikajı́ molekuly druhého plynu dál a dál od počátečnı́ho mı́sta x = 0,
koncentrace druhého plynu je nenulová i mimo počátek a neustále roste
(ale v počátku je samozřejmě stále největšı́) a tento proces nazýváme
difúzı́ druhého plynu v plynu prvnı́m.
Po určité (delšı́) době se koncentrace všude vyrovná a difúze zkončı́.
31
4.2. Difúze plynu
32
Kapitola 4. Objemové procesy v plynu
Molekuly letı́ z mı́sta poslednı́ nějaké srážky, které je vzdálené o délku
střednı́ volné dráhy ¯
l, tedy z mı́sta (x0 − l̄) a (x0 + l̄).
V těchto mı́stech je koncentrace difundujı́cı́ho plynu n(x0 − l̄) a n(x0 + l̄).
Z levé strany tedy dopadá na plochu S za 1 času proud molekul:
J1 =
1
n(x0 − l̄)v̄S
4
a z pravé strany dopadá na plochu S:
Je tedy základnı́ charakteristikou probı́hajı́cı́ difúze nějakého plynu (v jiném plynu), že jeho koncentrace je funkcı́ mı́sta:
n = n(~r) = n(x,y,z).
Pro jednoduchost se zaměřı́me pouze na jednorozměrný přı́klad, ve kterém platı́: n = n(x).
Nynı́ budeme zkoumat situaci v obecném mı́stě x0 na ploše S, která je
kolmá na souřadnicovou osu x.
J2 =
1
n(x0 + l̄)v̄S
4
<
J1 .
Celkový difúznı́ proud molekul přes plochu S směřujı́cı́ zleva doprava:
2l̄
1
¯
Jdif = J1 − J2 =
n(x0 − l̄) − n(x0 + l) v̄S
.
4
2l̄
Po dosazenı́ za n(x0 − l̄) − n(x0 + l̄) = −dn a za 21l̄ = d1x dostáváme:
1
Jdif = − l̄v̄
2
dn
dx
S = −D
dn
dx
S,
kde
• D = 12 ¯
lv̄ je koeficient difúze.
Dostáváme 1. Fickův zákon:
Jdif = −D
Na obrázku je vyznačena koncentrace nějakého difundujı́cı́ho plynu jako
klesajı́cı́ funkce n(x). Tedy na plochu S jistě dopadá zleva většı́ počet
molekul než z pravé strany (za 1 času, viz vztah pro částicový déšt’ Z =
1
4 nv̄).
V mı́stě x0 plochy S se tyto molekuly asi vzájemně srážejı́. Nynı́ nás
bude zajı́mat, odkud vlastně letı́ tyto molekuly, které dopadajı́ na S zleva
a zprava.
dn
dx
S.
Po vydělenı́ plochou S dostaneme vztah pro hustotu difúznı́ho proudu:
dn
jdif = −D
.
dx
A pro třı́rozměrný přı́pad difúze bychom dostali:
~ = −D · grad n.
jdif
Uvedený výpočet difúznı́ho proudu byl proveden na základě vrstvového
modelu plynu:
4.3. Tepelná vodivost plynu (přenos tepla)
33
34
Kapitola 4. Objemové procesy v plynu
• v tomto zjednodušeném modelu předpokládáme, že se molekuly vzájemně srážejı́ pouze v určitých mı́stech (vrstvách), které jsou vzdálené o střednı́ volnou dráhu (. . . , x0 − l̄, x0 , x0 + l̄, . . .),
od teplejšı́ plochy P2 a ochlazujı́ se od chladnějšı́ plochy P1 a teplota
plynu tedy zřejmě stoupá od teploty T1 k teplotě T2 a je funkcı́ souřadnice
z: T = T (z).
• mezi těmito vrstvami se pohybujı́ zcela beze srážek střednı́ rychlostı́ v̄,
Sledujeme plochu S kolmou na osu z v mı́stě z0 a použijeme vrstvový
model plynu:
• a pohybujı́ se rovnoběžně s osou x, jde tedy vlastně o obrovské zjednodušenı́, přičemž je zajı́mavé, že přesný výpočet vede pouze k jediné korekci: ve vztahu pro D je 13 mı́sto 12 .
• molekuly, které na S dopadajı́ shora, proletěly dráhu l̄ a pocházejı́
tedy z mı́sta (z0 + ¯
l),
Správný výraz pro difúznı́ koeficient je proto: D = 13 l̄v̄.
Dosad’me známé vztahy (při stálé teplotě):
!
# r
r
1
8kT .
1
1
√
=
konst
·
·
D= ·
3
πm
m
n4 2σ∞ 1 + TTd
• v tomto mı́stě má plyn teplotu T (z0 + l̄) a molekuly tedy majı́ energii:
3
¯
2 kT (z0 + l),
• tedy shora na plochu S dopadne za 1 času počet částic: 14 nv̄S a každá
l),
z nich má energii: 32 kT (z0 + ¯
• potom energie, kterou tyto molekuly nesou, má hodnotu:
1
3
nv̄S kT (z0 + ¯
l).
4
2
⇒ Nejlépe tedy difundujı́ nejlehčı́ plyny (H2 , He), proto se užı́vá He k hledánı́ netěsnostı́.
Analogicky molekuly dopadajı́cı́ na S zdola nesou menšı́ energii:
4.3
Tepelná vodivost plynu (přenos tepla)
Tento jev nastane v přı́padě, že části vakuového systému majı́ různé
teploty.
1
3
l).
nv̄S kT (z0 − ¯
4
2
Celkem tedy přes plochu S teče shora dolů tok energie, tj. tepelný tok:
2l̄
1
3 Qv = nv̄S k T (z0 + l̄) − T (z0 − l̄)
.
4
2
2l̄
Označı́me:
kde
dT
dz
v
= T (z0 + ¯
l) − T (z0 − ¯
l)
• index v znamená vnitřnı́;
a dále:
λv =
1 3
nv̄ k2l̄,
4 2
kde
Zkoumejme dvě rovnoběžné plochy P1 a P2 o teplotách T1 a T2 , ve vzdálenosti d a T1 < T2 . Molekuly plynu mezi těmito plochami se ohřı́vajı́
• λv je koeficient tepelné vodivosti (vnitřnı́).
1
2l̄
,
35
4.3. Tepelná vodivost plynu (přenos tepla)
Potom dostáváme:
Qv = λv S
dT
dz
.
v
Poznámka:
Můžeme také vyjádřit hustotu tepelného toku (na 1 plochy):
dT
jQ = λv
dz
~Q = −λv · grad T.
Tento tepelný tok musı́ být zřejmě stejný v každém mı́stě z pro stejné
plochy S, což plyne ze zachovánı́ energie:
Qv = konst.
dT
dz
Kapitola 4. Objemové procesy v plynu
Necht’ Ncelk je celkový počet molekul dopadlých na plochu. Pak označme
Nak počet molekul, které se při nepružném odrazu ochladily na teplotu
plochy (akomodovaly se, přizpůsobily se) a zbytek molekul (Ncelk − Nak )
se odrazil pružně.
Pak definujeme veličinu koeficient akomodace (pravděpodobnost akomodace energie) jako poměrné zastoupenı́ akomodovaných molekul:
αE =
Nak
.
Ncelk
Velikost tohoto koeficientu závisı́ na druhu plynu a plochy.
a v prostoru půjde opět o vektor:
Z toho ovšem plyne:
36
Obecně:
0 < αE < 1,
napřı́klad:
• N2 na čisté Pt . . . αE = 0,77;
• O2 na čisté Pt . . . αE = 0,79;
= konst.
v
Tedy teplota je lineárnı́ funkcı́ souřadnice z.
Stejný tok energie teče ale také na spodnı́ plochu P1 (z hornı́ plochy P2 ),
konkrétně: na P1 dopadajı́ molekuly z mı́sta poslednı́ srážky, tj. z vrstvy
z = l̄, molekuly majı́ teplotu T (l̄) a z plochy P1 ovšem letı́ nahoru také
nějaké molekuly, zřejmě odražené.
Uvažme: kdyby tyto molekuly byly „normálně“ pružně odražené, měly
by stejnou rychlost jako molekuly dopadajı́cı́, tj. stejnou teplotu T (l̄) ⇒
žádné předané teplo!
Odraz molekul od plochy P1 tedy musı́ být nepružný, molekuly při něm
předajı́ ploše P1 „přebytečnou“ energii, tı́m se ochladı́ z teploty T (l̄) na teplotu T1 .
Pak energie předaná na plochu P1 je:
3
1
nv̄S k T (l̄) − T1 .
4
2
Ale proces ochlazovánı́ molekul jistě nelze řı́dit, některé molekuly se odrazı́ pružně, jiné se ochladı́ jen částečně.
• H2 na čisté Pt . . . αE = 0,29.
Tedy pouze tato část molekul předá svoji energii ploše P1 , tj. tepelný tok
na P1 bude:
3
1
QP1 = αE nv̄S k T (l̄) − T1 .
4
2
Analogicky z plochy P2 odtéká energie (αE by mohl být jiný):
3
1
QP2 = αE nv̄S k T2 − T (d − ¯
l) .
4
2
Porovnejme tyto tepelné toky s tokem Qv :
QP1 = Qv .
Dosadı́me:
1
3
3
1
αE nv̄S k T (l̄) − T1 = nv̄S k2l̄
4
2
4
2
dT
dz
.
v
Zkrátı́me a dostáváme:
2l̄
T (l̄) − T1 =
αE
dT
dz
v
.
(4.2)
37
4.3. Tepelná vodivost plynu (přenos tepla)
Stejným způsobem dostaneme z rovnosti QP2 = Qv :
2l̄ dT
T2 − T (d − l̄) =
αE dz v
38
Kapitola 4. Objemové procesy v plynu
kde
(4.3)
a ještě jednu rovnici zı́skáme z lineárnı́ závislosti teploty T na souřadnici z, která určitě platı́ v mezı́ch T (l̄) až T (d − l̄):
dT
T (d − l̄) − T (l̄)
.
(4.4)
=
dz v
d − 2l̄
Máme tak 3 rovnice o třech neznámých: ddTz , T (l̄) a T (d − l̄).
• zlomek
• GE =

=
Pro spád teploty uvnitř plynu dostaneme:
dT
T2 − T1
=
=
dz v
d + 2l̄ α2E − 1
·
d + 2l̄
d
2
αE
−1
3
4
ve výrazu pro λv .
Rozlišme nynı́ dva meznı́ přı́pady:
v
T2 − T1
d
kde
Přesný výpočet dá hodnotu 0,83 mı́sto
Podle obrázku na straně 33: přı́mka
začı́ná
na ose z v bodě z = −z1
E
·
l̄,
teplotnı́
skok v mı́stě ploch:
a končı́ v bodě z = d + z1 = d + 2−α
αE
E
·¯
l · ddTz .
∆Ts = 2−α
αE
=
Q = Qv = QP1 = QP2 =
dT
dT
T2 − T1
= λv S
= λv SGE
,
dz v
dz v
d
Poznámka:
T = T (z).

1
3
nv̄S k2l̄
4
2
pro teplo přenášené z plochy P2 na plochu P1 platı́ rovnice:
T2 − T1
.
Q = λS
d
Dále sestavit rovnici přı́mky:
je tzv. kluzný faktor.
−1
Celkem tedy:

αE
2
αE
je vnějšı́ gradient teploty,
• λ = λv GE je koeficient tepelné vodivosti (výsledný, vnějšı́).
2l̄ 
T2 − T1
 ;
·
αE
d + 2l̄ α2E − 1


T2 − T1
2l̄ 
 .
T (d − l̄) = T2 −
·
αE
d + 2l̄ 2 − 1
T (l̄) = T1 +
d
d+2l̄
Dosad’me do vztahu pro tepelný tok:
v
Vyřešit za domácı́ cvičenı́:
T2 − T1
dT
;
=
dz v
d + 2l̄ α2E − 1
T2 −T1
d

 =
T2 − T1
d
1. vysoké tlaky, kde ¯
l ≪ d, aby platilo 2l̄ α2E − 1 ≪ d.
Pak zřejmě:
Pokud zanedbáme 2l̄ α2E
· GE ,
d
GE =
.
d + 2l̄ α2E − 1
− 1 , potom platı́:
GE = 1.
A koeficient tepelné vodivosti:
λ = λv · GE = λv · 1 =
3
1
nv̄ · k · 2l̄.
4
2
39
4.3. Tepelná vodivost plynu (přenos tepla)
3
3 v̄
1 p
· v̄ · k · 2l̄ = · · p · ¯l,
λ= ·
4 kT
2
4 T
kde součin p · ¯
l (viz dřı́ve) nezávisı́ na tlaku a rovněž tepelný tok Q
nezávisı́ tedy na tlaku (jen na teplotě a druhu plynu).
2. nı́zké tlaky, kde ¯
l ≫ d, aby platilo 2l̄ α2E − 1 ≫ d.
Pak bude:
3
d
1
.
nv̄ · k · 2l̄ ·
4
2
d + 2l̄ α2E − 1
3
d
3 v̄
1 p
= · ·
·
· v̄ · k · 2 ·
2−α
4 kT
2
8 T
2 · αEE
αE
2 − αE
Třenı́ plynu
Je analogické jevu vedenı́ tepla, ale mı́sto energie se přenášı́ impuls (hybnost).
Zkoumejme opět dvě rovnoběžné plochy:
• P1 . . . pohybuje se rychlostı́ v1 (= 0) ve směru osy x,
• P2 . . . pohybuje se rychlostı́ v2 (6= 0) ve směru osy x.
Pokud zanedbáme d, dostáváme:
λ=
Kapitola 4. Objemové procesy v plynu
4.4
Dosadı́me za n:
λ = λv · GE =
40
·d·p
a tepelný tok:
T2 − T1
αE
3 v̄
T2 − T1
Q=λ·S·
= · ·
·d·p·S·
d
8 T
2 − αE
d
⇒ Q nezávisı́ na vzdálenosti ploch (to je pochopitelné, nebot’ za nı́zkého tlaku se molekuly prakticky nesrážejı́, vyletujı́ z jedné plochy
a dopadajı́ na druhou plochu) ⇒ Q je přı́mo úměrné tlaku!
Molekuly plynu mezi plochami zı́skávajı́ ve srážkách s plochou P2 přı́davnou (driftovou, unášivou) rychlost v ve směru osy x, (a hybnost mv),
a ve vzájemných srážkách si ji pak dále předávajı́, v se měnı́ od v1 = 0 do v2
v závislosti na z:
v = v(z).
Stejný model plynu jako u vedenı́ tepla: plyn je rozdělen do vrstviček
vzdálených o střednı́ volnou dráhu l̄, mezi nimi se pohybujı́ molekuly
beze srážek.
Aplikace:
• tepelné vakuometry (Piraniho),
• tepelná izolace (potřebujeme dosáhnout co
qnejnižšı́ tlak a zá1
roveň použı́t co nejtěžšı́ plyn, protože v̄ ∼ M
).
Graficky:
Počı́tajı́ se opět toky molekul nějakou plochou S v obdobném mı́stě z 0 :
l) a majı́ přı́davnou
• molekuly dopadajı́cı́ zhora pocházejı́ z mı́sta (z0 + ¯
hybnost mv(z0 + l̄),
• molekuly dopadajı́cı́ zdola majı́ hybnost mv(z0 − l̄).
41
4.4. Třenı́ plynu
Plochou S tedy za 1 času procházı́ tok hybnosti:
Označı́me:
a dostaneme:
dv
dz
v
= v(z0 + ¯
l) − v(z0 − ¯
l)
1
Iv = nv̄ml̄S
2
dv
dz
Kapitola 4. Objemové procesy v plynu
Z rovnostı́:
1
Iv = nv̄Sm v(z0 + l̄) − v(z0 − l̄)
4
42
2l̄
2l̄
1
2l̄
IP1 = IP2 = Iv
.
plynou dvě rovnice:
1
1
αp nv̄Smv(l̄) = nv̄ml̄S
4
2
⇒
.
2l̄
v2 − v(d − ¯
l) =
αp
dv
dz
2l̄
αp
v
kde
A obdobně:
• ηv = 12 nv̄ml̄ můžeme nazvat bud’ koeficientem dynamické viskozity
(vnitřnı́), nebo koeficientem vnitřnı́ho třenı́.
Hybnost za 1 času je ale podle 2. Newtonova zákona rovna sı́le působı́cı́
na tuto vrstvu plochy S ve směru x, to je třecı́ sı́la:
dv
.
Ft = ηv S
dz v
Tok hybnosti je opět stejný v každé výšce z:
dv
= konst.
dz v
• na plochu P1 dopadajı́ molekuly o hybnosti mv(l̄),
• a z P1 vyletujı́ molekuly s hybnostı́ mv1 = 0, ale jen jejich určitá
část αp , tzv. akomodačnı́ koeficient hybnosti.
Tedy tok hybnosti na P1 :
1
IP1 = αp nv̄Sm v(l̄) − 0
4
1
IP2 = αp nv̄Sm v2 − v(d − l̄) .
4
dv
dz
v
(4.5)
v
.
(4.6)
v
Třetı́ rovnice vznikne výpočtem spádu rychlosti:
dv
v(d − l̄) − v(l̄)
.
=
dz v
d − 2l̄
Opět tedy 3 rovnice pro tři neznámé: ddvz , v(l̄) a v(d − l̄).
(4.7)
v
Řešenı́:
dv
dz
A teče i na plochu P1 :
a podobně pro tok z P2 :
dv
dz
v(l̄) =
,
=
v
v − v1
d
v2 − v1
v2 − v1
=
· 2
= Gp ·
,
d
d
d + 2l̄ α2p − 1
d + 2l̄ α2p − 1
kde
• Gp =
d
d+2l̄
2
αp
je kluzný faktor.
−1
Přı́mka v = v(z) má stejný průběh jako u vedenı́ tepla:
• začı́ná na ose z v bodě −z1 = . . .
• v mı́stě ploch je rychlostnı́ skok ∆v = . . .
43
4.4. Třenı́ plynu
Dosadı́me za
dv
dz v :
44
Kapitola 4. Objemové procesy v plynu
Poznámka:
Ft = IP1 = IP2 = Iv = ηv SGp
v2 − v1
d
= ηS
v2 − v1
d
,
Při nı́zkém tlaku se molekuly vzájemně nesrážejı́, vyletujı́ z P1 a dopadajı́
na P2 a opačně (neexistuje gradient rychlosti), tzv. vnějšı́ třenı́.
Graficky závislost na tlaku:
kde
• η = ηv Gp je koeficient dynamické viskozity (třenı́), (vnějšı́, výsledný).
Opět lze rozlišit 2 přı́pady:
1. vysoké tlaky, kde ¯
l ≪ d, aby 2l̄ α2p − 1 ≪ d.
Pak zřejmě:
Gp = 1,
tedy:
1
1 p
1 v̄m
nv̄ml̄ = ·
v̄ml̄ = ·
pl̄,
2
2 kT
2 kT
potom η nezávisı́ na tlaku, pouze na teplotě a druhu plynu.
2. nı́zké tlaky, kdy ¯
l ≫ d, aby 2l̄ α2p − 1 ≫ d.
η = ηv =
Pak:


d
1
 =
η = nv̄ml̄ 
2
d + 2l̄ α2p − 1
1 p
1
αp
αp
d=
d,
= nv̄m
v̄m
4
2 − αp
4 kT
2 − αp
potom η je úměrný tlaku (a závisı́ na teplotě).
4.5
Prouděnı́ plynu potrubı́m
Objemové procesy jsou tedy vlastně procesy, při kterých nastává přenos
hmoty, energie a impulsu. Z tohoto hlediska lze k nim přiřadit i prouděnı́
plynu potrubı́m, při kterém tedy nastává objemový přenos hmoty (plynu).
Stejně jako u elektrického proudu stanovı́me nějakou plochu S a množstvı́
plynu dm prošlé plochou za čas dt. Pak definujeme proud plynu:
qm =
dM
,
dt
kde
A třecı́ sı́la, působı́cı́ na plochy P1 a P2 (a uvnitř):
v2 − v1
αp
1 p
Ft =
Sd
v̄m
,
4 kT
2 − αp
d
Množstvı́ plynu můžeme charakterizovat jeho hmotou m, látkovým množstvı́m ν, počtem částic N , objemem V , nebo i součinem pV .
nezávisı́ na vzdálenosti ploch, je úměrná tlaku.
Tomu pak odpovı́dajı́ veličiny:
Aplikace: viskóznı́ vakuoměry.
• qm je množstvı́ plynu prošlé plochou S za 1 času.
kg.s−1 . . . hmotnostnı́ proud plynu;
• qm = ddm
t
• qν = ddνt mol.s−1 . . . proud látkového množstvı́;
45
4.5. Prouděnı́ plynu potrubı́m
• qN = ddNt s−1 . . . částicový proud;
• qV = ddVt m3 .s−1 . . . objemový proud;
• označı́me
d(pV ) P a.m3 .s−1 , P a.l.s−1 , mbar.l.s−1 ,
dt
tzv. pV -proud plynu.
= pstř jako střednı́ tlak v potrubı́.
Potom platı́:
q=
Lze najı́t různé převodnı́ vztahy:
πr4
· pstř · (p1 − p2 ) = Cvis · (p1 − p2 ),
8ηl
kde
d(pV )
=
=p
dt
dV
dt
4
= pqV ;
d(pV )
d(νRT )
dν
=
= RT
= RT qν ;
qpV =
dt
dt
dt
dV
d(nV )
dN
= nqV ;
qN =
=
=n
dt
dt
dt
dm
d(νMmol )
dν
=
= Mmol
= Mmol qν ; atd.
qm =
dt
dt
dt
Při prouděnı́ docházı́ ke třenı́, tj. k přenosu hybnosti. Lze rozlišit dva nejdůležitějšı́ přı́pady:
1. prouděnı́ viskóznı́
(laminárnı́), kde l̄ ≪ d, tj. vyššı́ tlaky, existuje
spojitá funkce ddvz ;
2. prouděnı́ molekulárnı́,kde ¯
l ≫ d, tj. nižšı́ tlaky, vnitřnı́ třenı́, need
v
xistuje spojitá funkce dz .
Uvedeme vztahy pro nejběžnějšı́ potrubı́ – trubice kruhového průřezu
o poloměru r a délky l:
1. viskóznı́ prouděnı́ (l̄ ≪ r)
πr4
q=
·
8ηl
p1 +p2
2
Rovnice (4.8) neplatı́ pro malé l, protože pro l → 0 je q → ∞; přestává
platit pro l ≈ r.
qpV =
Platı́:
Kapitola 4. Objemové procesy v plynu
kde
• a nejčastěji se užı́vá:
qpV
46
p1 + p 2
2
· (p1 − p2 ),
(4.8)
• Cvis = πr
8ηl · pstř je vodivost trubky (při viskóznı́m prouděnı́) a je
úměrná střednı́mu tlaku a r4 .
Nejčastěji čerpáme vzduch při 20 [◦ C], pak je η = 1,82 · 10−5 [P a.s]
4
a vodivost trubky je: Cvis = 2,15 · 104 · rl · pstř .
2. molekulárnı́ prouděnı́ (molekulárnı́ podmı́nka l̄ ≫ r, stačı́ i l̄ > r),
pak platı́:
r
8 r3
πkT
q= ·
(4.9)
·
· (p1 − p2 ),
3 l
2m
kde
q
3
• Cmol = 83 · rl · πkT
2m je vodivost trubky (při molekulárnı́m
prouděnı́), nynı́ nezávisı́ na tlaku, je úměrná pouze r 3 , závisı́
na teplotě a druhu plynu.
Rovnice (4.9) opět neplatı́ pro krátké trubky.
Pro vzduch při 20 [◦ C], (m = 4,82 · 10−26 [kg] hmotnost molekuly),
3
dostáváme: Cmol = 968,5 · rl .
Graficky:
47
4.5. Prouděnı́ plynu potrubı́m
Vzorec pro vodivost krátké trubky, vlastně otvoru, lze v oboru molekulárnı́ho prouděnı́ dobře odvodit.
48
Kapitola 4. Objemové procesy v plynu
Pro vzduch (m = 4,82 · 10−26 [kg]) a 20 [◦ C]:
CEF = 363 · r2 m3 .s−1 .
Často se přepočı́tá na otvor velikosti 1 cm2 :
(1)
CEF = 11,6 l.s−1 .cm−2 .
Poznámka:
Na otvor
plochy S dopadne zleva za 1 času počet částic 14 n1 v̄S a zprava
1
4 n2 v̄S . Tedy přes plochu S teče zleva doprava částicový proud:
qN
1
= (n1 − n2 )v̄S.
4
Dosadı́me za koncentrace a střednı́ rychlosti:
r
p2 S
1 p1
8kT
qN =
−
= √
(p1 − p2 ).
S
4 kT
kT
πm
2πmkT
A pro kruhový otvor:
πr2
qN = √
(p1 − p2 ).
2πmkT
d (nkT V )
d (nV )
d (pV )
=
= kT
= kT
dt
dt
dt
q = kT qN
r
Všechny uvedené výrazy majı́ tvar:
q = C(p1 − p2 ),
který je podobný Ohmovu zákonu:
1
I=
U,
R
dN
dt
• ( R1 ) je elektrická vodivost,
= kT qN .
Tedy:
πr2
= kT √
(p1 − p2 ) = πr2
2mkT π
Efúznı́ vodivost je nejmenšı́ ze všech uvedených vodivostı́ (∼ r 2 ), vodivost
otvorů (štěrbin) za molekulárnı́ch podmı́nek je malá.
kde
Převedeme na pV -proud:
q = qpV =
(1)
CEF dovoluje odhadnout čerpacı́ rychlost vývěvy z plochy jejı́ho vstupnı́ho
otvoru.
kT
(p1 − p2 ),
2πm
kde
q
kT
• CEF = πr2 2πm
je efúznı́ vodivost otvoru a nezávisı́ na tlaku, pouze
na teplotě a druhu plynu, je vyššı́ pro lehčı́ plyny, úměrná ploše
otvoru (r2 ).
• U = (ϕ1 − ϕ2 ) je rozdı́l potenciálů.
Lze také definovat odpor potrubı́:
1
8ηl
= 4
= (pro vzduch) =
Cvis
πr pstř
1
l
l
−5
=
·
·
=
4,63
·
10
;
2,158 · 104
r4 pstř
r4 pstř
r
2m
1
3 l
= (pro vzduch) =
= · 3·
Rmol =
Cmol
8 r
πkT
1
l
l
−3
= 1,03 · 10 ·
;
=
·
968,5
r3
r3
Rvis =
49
4.5. Prouděnı́ plynu potrubı́m
Ref
r
1
1
2πm
=
= 2 ·
= (pro vzduch) =
Cef
πr
kT
1
1
1
−3
=
2,75
·
10
.
=
·
·
363
r2
r2
Platı́ také Kirchhofovy zákony – konkrétně:
• při sériovém spojenı́ (potrubı́) se sčı́tajı́ odpory jednotlivých částı́
potrubı́:
R = R 1 + R2 + R3 .
50
Kapitola 5. Povrchové procesy
5
Povrchové procesy
5.1
Vazba částic, adsorpce
Jde o interakci molekul plynu se stěnami vakuového systému, přı́padně
s povrchy pevných látek ve vakuovém systému. Už jsme dospěli k závěru, že kromě pružné srážky molekuly se stěnou, kdy se nezměnı́ hybnost a energie, musı́ existovat jiná interakce molekuly a stěny, kdy dojde
k ochlazenı́ či ohřátı́ molekuly – tzv. akomodace. Taková interakce vyžaduje ovšem delšı́ čas, než je doba pružné srážky.
Lze definovat časové intervaly v interakci stěny a molekuly:
A speciálně: i odpor jedné trubky je vlastně součet molekulárnı́ho
odporu trubky a efúznı́ho odporu vstupnı́ho otvoru:
r
r
1
2πm 3 l
2m
tr
+ · 3 ·
=
Rmol = Ref + Rmol = 2 ·
πr
kT
8 r
πkT
r
2m
3 l
1
1
l
−3
−3
=
·
·
+
·
·
=
2,75
·
10
+
1,03
·
10
;
2
3
2
πkT
r
8 r
r
r3
• při paralelnı́m spojenı́ (potrubı́) se sčı́tajı́ vodivosti jednotlivých potrubı́:
C = C1 + C2 + C3 .
• t1 . . . doba, během které molekula předává stěně svůj impuls,
• τs . . . doba setrvánı́ molekuly na stěně,
• t2 . . . stěna předává hybnost molekule,
(t1 + t2 ≈ 1.10−13 . . . přibližně rovné době srážky 2 molekul)
• τ . . . doba pobytu molekuly na stěně (τ = t1 + τs + t2 ).
Podle velikosti τs záležı́, jak velká akomodace nastane. Čı́m delšı́ bude
doba pobytu molekuly na stěně, tı́m vı́ce molekul bude v daném okamžiku
na stěně, tj. povrch stěny se bude pokrývat molekulami plynu – nastane
tzv. adsorpce plynu. Povrch může být pokryt pouze jednou vrstvou molekul plynu (monomolekulárnı́ adsorpce) nebo častěji vı́ce vrstvami (multimolekulárnı́ adsorpce).
Je známo, že sı́ly mezi atomy způsobujı́ chemické vazby a vznik sloučenin.
Existujı́ různé druhy vazeb:
• iontová (chemická vazba),
• kovalentnı́ (chemická vazba),
• van der Walsova,
• dipólová.
5.1. Vazba částic, adsorpce
51
Vznikajı́ složitými interakcemi kvantových částic, které jsou dány spinem
a nábojem. Hlavnı́ úlohou vazebnı́ch sil je zajistit přitažlivé účinky molekul a jejich setrvánı́ na povrchu. Ovšem existujı́ také odpudivé sı́ly mezi
náboji stejné polarity, jež rostou při přibližovánı́ částic k sobě. Na molekulu působı́ tedy přitažlivé i odpudivé sı́ly, dostane se tak do stavu
rovnováhy sil (viz obr.).
52
Kapitola 5. Povrchové procesy
polem a majı́ určitou kinetickou energii, tj. tepelnou energii . . . soustava
se ohřı́vá. Vzniklé teplo se přepočı́tá na 1 množstvı́ (mol) a označı́ se jako
adsorpčnı́ teplo:
Q = N a ε0 .
Hodnoty adsorpčnı́ho tepla ležı́ v širokém intervalu: (0.08[kJ.mol −1] pro kap.
He, 980 [kJ.mol −1 ] pro ads. O2 na Ti)
• velmi malé hodnoty . . . inertnı́ plyny na různých látkách,
• 10 − 20 [kJ.mol −1 . . . N2 , O2 ] na nekovech,
• 40−60[kJ.mol −1 . . . N2 , O2 ] na technických sorbentech (např. aktivnı́
uhlı́),
• 200 − 300 [kJ.mol −1 . . . N2 , O2 ] na běžných kovech (např. ocel).
Podle velikosti adsorpčnı́ho tepla můžeme adsorpci dělit na:
• fyzikálnı́ adsorpce (dip. sı́ly, Van der Walsovy) Q ≤ 30 [kJ.mol −1 ]
(ε0 ≤ 0,3 [eV ]),
Častěji se do grafu vynášı́ velikost potenciálnı́ energie:
• chemická adsorpce (kovalentnı́ sı́ly) typicky Q > 300[kJ.mol −1] (ε0 ≈
3 [eV ]).
jinak se za chemickou adsorpci považuje když Q ≥ 40 [kJ.mol −1 ].
Adsorpce tedy znamená, že molekula plynu ulpı́ na povrchu pevné látky
s dobou pobytu většı́ než je doba pružné srážky:
τ > t 1 + t2
5.2
Adsorpčnı́ tok částic
Už tedy vı́me, že molekula ulpı́ na povrchu pevné látky s určitou dobou
pobytu. Nynı́ nastává otázka, kolik jich dopadá za jednotku času na jednotku plochy. Proto se zavádı́ veličina adsorpčnı́ tok:
jads = Z =
Poloha částic, jak je zřejmé z obrázku, je určena minimem potenciálnı́
energie ε0 – tzv. vazebnı́ energie. Představuje energii, kterou musı́me dodat, abychom částice od sebe odtrhli, nebot’ jsou k sobě přitaženy silovým
1
nv̄.
4
Za předpokladu, že všechny molekuly jsou adsorbovány (což obecmě neplatı́), lze psát:
dns
jads =
,
dt
53
5.2. Adsorpčnı́ tok částic
kde:
54
Kapitola 5. Povrchové procesy
a setrvajı́ na nı́ po dobu τ , pak za jednotku času opouštı́ jednotku povrchu
ns
τ molekul. Tedy:
• ddnts je přı́růstek povrchové koncentrace za jednotku času.
Koncentrace molekul na povrchu roste, ale jen do určité doby, kdy nastane
také opačný proces – uvolňovánı́ molekul z povrchu. Tento jev se nazývá
desorpce plynu. Molekula ke svému uvolněnı́ potřebuje zı́skat energii
ve formě tepla – nárazy, kmity směrem od povrchu.
jdes =
ns
τ
(5.2)
Srovnánı́m vzorce (5.1) a (5.2) a jejich úpravou zı́skáme vztah pro dobu
pobytu molekuly na stěně:
Q
Všechny částice povchu kmitajı́. Vazbové sı́ly rozkmitajı́ i adsorbované
molekuly (s frekvencı́ f0 , perioda τ0 = f10 ). Za předpokladu termodynamické rovnováhy majı́ adsorbované molekuly různé energie (od 0 do ∞)
podle Boltzmannova rozdělovacı́ho zákona.
τ = τ0 · e RT .
Pro ilustraci vypočı́tejme čı́selné hodnoty τ pro několik hodnot adsorpčnı́ho tepla Q a teploty T (τ0 ≈ 10−13 s):
Aby se nějaká molekula uvolnila, musı́ mı́t (dostat) kinetickou energii:
Q [kJ.mol−1 ]
ε ≥ ε0
0,1
1
15
30
50
100
200
300
a musı́ konat pohyb (kmit) směrem od povrchu
1
mv 2 ≥ ε0 ,
2 x
pak se během tohoto kmitu uvolnı́.
Integracı́ Maxwell-Boltzmanova rozdělenı́ pro všechny x-ové složky rychlosti (od energie ε0 do ∞) dostaneme počet molekul, které opustı́ za dobu
jednoho kmitu jednotkovou plochu (použijeme vztah pro adsorpčnı́ teplo
Q = ε0 Na ):
Z ∞Z ∞ Z ∞
2 +v2 +v2 )
−m(vx
y
z
2kT
dns =
konst.e
dvx dvy dvz =
vx0
−∞
−∞
ε0
Q
= . . . = ns .e− kT = ns .e− RT .
Pak můžeme definovat počet molekul, které opustı́ jednotku plochy za jednotku času, jako desorpčnı́ tok plynu:
jdes =
dns
ns − Q
=
.e RT
τ0
τ0
(5.1)
Tento desorpčnı́ tok lze také odhadnout pomocı́ střednı́ doby pobytu molekuly na stěně. Jestliže je v daném čase na jednotce povrchu ns molekul
T = 77 [K]
1,169 · 10−13
4,769 · 10−13
1,999 · 10−3
2,249 · 107
8,314 · 1020
6,913 · 1054
τ [s]
T = 293 [K]
1,042 · 10−13
1,508 · 10−13
4,723 · 10−11
2,231 · 10−8
8,205 · 10−5
6,732 · 104
4,532 · 1022
3,051 · 1040
T = 773 [K]
1,016 · 10−13
1,168 · 10−13
1,032 · 10−12
1,065 · 10−11
2,392 · 10−10
0,572 · 10−6
3,276
1,87 · 107
Jaké praktické důsledky z toho plynou:
1. při nı́zkých teplotách jsou doby pobytu dlouhé, molekuly zůstávajı́
na povrchu stále, čehož se s výhodou využı́vá při odstraňovánı́ molekul z objemu vakuového systému (čerpánı́),
2. při vysokých teplotách jsou krátké doby pobytu, molekuly vůbec
nezůstávajı́ na povrchu, což nacházı́ uplatněnı́ při přı́pravě čistých
materiálů (odplyňovánı́ povrchu).
5.3
Henryův zákon, stupeň pokrytı́ povrchu
Desorpčnı́ tok je úměrný povrchové koncentraci (jdes ∼ ns ). Když tedy
z důvodu adsorpce roste povrchová koncentrace, pak roste desorpčnı́ tok,
55
5.3. Henryův zákon, stupeň pokrytı́ povrchu
až nastane rovnovážný stav (povrchová koncentrace se neměnı́). Vypočı́tejme tuto rovnovážnou koncentraci ns :
jads = jdes
ns
1
nv̄ =
4
τ
1
ns = nv̄τ.
4
Dosazenı́m za n, v̄, τ pozorný čtenář nahlédne, že:
r
Q
Q
1 p
1
8kT
ns =
· τ0 · e RT = √
· τ0 · p · e RT .
4 kT
πm
2πmkT
Budeme-li uvažovat adsorpci určitého plynu na určitém povrchu při konstantnı́ teplotě (izotermický děj), pak veličiny m, τ0 , Q, T jsou konstanty
a vztah pro povrchovou koncentraci se velice zjednodušı́:
ns = konstanta · p.
Kapitola 5. Povrchové procesy
Tento tok musı́ být při rovnováze roven desorpčnı́mu toku:
jdes =
Dostáváme:
ns =
ns
.
τ
1 ns1 − ns
nv̄
· τ.
4
ns1
Celou rovnici vynásobı́me ns1 a vyjádřı́me ns :
ns =
1
4 nv̄ns1 τ
ns1 + 14 nv̄τ
.
Nynı́ zavedeme tzv. stupeň pokrytı́ povrchu Θ:
q
1 p
8kT τ
1
4 kT
πm ns1
def ns
4 nv̄τ
q
=
Θ =
=
ns1
p
ns1 + 14 nv̄τ
8kT τ
1+ 1
4 kT
Tuto rovnici nazýváme Henryův zákon. Platı́ za předpokladu, že každá
dopadlá molekula je adsorbována a že adsorbované teplo Q je na povrchu
konstantnı́. To je ovšem splněno jen tehdy, když je množstvı́ molekul
na povrchu malé:
ns << ns1 ,
kde:
• ns1 je koncentrace v monomolekulárnı́ vrstvě (4 · 10
56
18
19
– 2,5.10 [m
−2
]).
V opačném přı́padě, když část povrchu je zaplněna, se předpokládá adsorpce jen té molekuly, která dopadne na volný povrch. Molekula dopadlá
na obsazený povrch má adsorpčnı́ teplo tak malé, že se prakticky odrazı́,
tj. na volném povrchu je adsorpčnı́ teplo opět konstantnı́. V tom přı́padě
může vzniknout jen monomolekulárnı́ vrstva (častý přı́pad ve vakuu).
Z celkového počtu ns1 možných adsorpčnı́ch mı́st je ns obsazeno a (ns1 −ns )
volných (na nich nastává adsorpce). Částicový déšt’ padá ovšem všude,
ale jeho účinek (adsorpce) nastane pouze na části povrchu. Skutečný
adsorpčnı́ tok je:
1 (ns1 − ns )
jads = nv̄
,
4
ns1
kde:
• poslednı́ člen představuje pravděpodobnost adsorpce.
=
1
p √2πmkT
1+
τ
ns1
τ
1
p √2πmkT
ns1
=
=
πm ns1
Kp
,
1 + Kp
kde:
• K=
τ
√ 1
2πmkT ns1
• Θ=
Kp
1+Kp
je Langmuirova adsorpčnı́ konstanta,
je Langmuirova adsorpčnı́ izoterma.
Pokud vyneseme graficky závislost Θ = Θ(p) (viz obr.), vidı́me:
• pro p → 0 je Θ = K.p, tzn. úměrné podle Henryova zákona,
• pro p velké je Θ = 1, tzn. povrch je nasycen.
Vı́me, že Langmuirova konstanta závisı́ na teplotě:
1. když je teplota nı́zká, pak K → ∞ a Θ = 1 (povrch je nasycen, což
nám dává možnost odstraňovat plyn z objemu vakuového systému
kryovývěvami),
2. když je teplota vysoká, pak K → 0 a Θ = Kp (odplyňovánı́ systému –
způsob zı́skávánı́ čistých povrchů: zahřát na vysokou teplotu a udržovat nı́zký tlak).
57
5.4. Odplyňovánı́
Ultravysokovakuové aparatury se odplyňujı́ při teplotách 350 − 450 ◦ C
několik hodin (až desı́tky hodin) za neustálého čerpánı́. U kovových aparatur lze použı́t i vyššı́ teploty, pro sklo je to maximum.
58
Kapitola 5. Povrchové procesy
teplotě probı́há odplyňovánı́ rychleji a s časem klesá desorpčnı́ tok. Důležitou roli hraje použitý materiál, opracovánı́ a čistota použitého materiálu.
Pro vakuovou praxi je nejdůležitějšı́ desorpčnı́ tok ze stěn vakuového systému, a povrchů pevných látek uvnitř, který byl před čerpánı́m otevřen.
Na jeho povrchu vznikla tedy koncentrace ns odpovı́dajı́cı́ atmosférickému tlaku vzduchu (tı́mto předpokladem je stanoven druh plynu a ns ),
uvažujeme běžnou teplotu 20 [◦ C]. Pak zbývá závislost na povrchu pevné
látky, tj. hlavně na materiálu, ale také na opracovánı́ a čistotě povrchu.
Napřı́klad u běžných konstrukčnı́ch kovů je tento desorpčnı́ tok (přesněji
proud plynu při odplyňovánı́ pevné látky) asi 1.10−3 [mbar.l.s−1 .m−2 ].
Pro zoxidovaný povrch i 10× vı́ce a u velmi čistého povrchu až 10× méně.
Přı́klady materiálů použı́vaných ve vakuové technice:
5.4
Odplyňovánı́
• sklo
Úloha adsorpce a desorpce ve vysokém a ultravysokém vakuu je zcela
základnı́. I když je vakuová komora úplně těsná, přesto na jejı́ vnitřnı́
stěně je adsorbováno obrovské množstvı́ plynu (jen v jedné vrstvě je počet
molekul 4 · 1018 − 2,5 · 1019 [m−2 ]).
Uvážı́me-li vakuovou komoru ve tvaru krychle o hraně 1 [m], pak jejı́
objem je V = 1 [m3 ] a povrch S = 6 [m2 ]. Čerpáme ji na ultravysoké
vakuum. Na jejı́m vnitřnı́m povrchu zůstala monomolekulárnı́ vrstva
vzduchu, tj. 2,5 · 1019 částic. Nynı́ určı́me, jaký vznikne tlak, jestliže se
za určitou dobu (např. 1 hod) uvolnı́ jen 10 % adsorbovaných molekul.
Vı́me, že:
• počet uvolněných molekul N = 0,1 · 2,5 · 1019 · 6 = 1,5 · 1019 ,
• koncentrace n =
N
V
=
1,5.1019
1
= 1,5.1019 [m−3 ],
.
• přı́slušný tlak p = nkT = 1,5 · 1019 .1,38 · 10−23 · 300 = 0,062[P a].
Dále je jistě důležitý čas, za který nastane určitý nárůst tlaku vlivem
desorpce. Ten závisı́ na desorpčnı́m toku:
Q
ns − RT
jdes =
e
,
τ0
který je funkcı́ teploty (T ), druhu plynu a povrchu (Q, τ0 ) a povrchové
koncentrace (ns ), jenž závisı́ na tlaku plynu (p). To znamená, že při vyššı́
...
zhruba jako kov,
• desorpčnı́ tok 1 · 10−2 . . . keramika, teflon, viton, plexisklo,
• desorpčnı́ tok 1 · 10−1 . . . polyamid, neopren, perbutan,
• desorpčnı́ tok 1 . . . silikonová guma.
Desorbovaný plyn se při čerpánı́ odstraňuje z objemu vakuového systému,
klesá tı́m povrchová koncentrace a desorpčnı́ tok. V tabulce je uveden
tento pokles pro kovové vakuové systémy:
doba od počátku čerpánı́ [hod]
desorpčnı́ tok z povrchu [mbar.l.s−1 m−2 ]
0
10−3
1
10−4
10
10−5
Odplyňovánı́ za zvýšené teploty probı́há samozřejmě daleko rychleji – viz
vztah:
ns − Q
.e RT
jdes =
τ0
Jak už bylo uvedeno, kovové aparatury se odplyňujı́ při 350 − 450 [◦ C]
po dobu několika až několik desı́tek hodin za neustálého čerpánı́. Po následném ochlazenı́ na 20 [◦ C] se zmenšı́ desorpčnı́ tok u kovů, skla a keramiky na hodnotu (1.10−8 − 1.10−10 [mbar.l.s−1 ]).
Pozn: Na každých 100 [◦ C] a 1 hodinu klesne desorpčnı́ tok asi 10×.
59
5.5. Přı́klady
5.5
60
Kapitola 5. Povrchové procesy
Přı́klady
=
5.5.1 Koncentrace molekul
Vypočtěte koncentraci v monomolekulárnı́ vrstvě molekul N2 pro jejich
nejtěsnějšı́ uspořádánı́, známe poloměr molekuly r = 1,6 · 10 −10 [m]. Předpokládejme, že molekula zaujı́má plochu šestiúhelnı́ka o straně a.
√
3
π
a = 2r · tan = 2r
.
6
3
Obsah této plochy je potom:
√
1
S = 6 a · r = 2 3r2 .
2
Po dosazenı́ za poloměr:
√
S = 2 3(1,6 · 10−10 )2 = 8,87 · 10−20 [m2 ].
Nynı́ určı́me velikost konstanty:
√
√
2πR
2π · 8,314
=
= 1,2 · 10−23 .
Na
6,022 · 1023
Budeme-li Mmol zadávat v [kg] a p v [mbar] pak dosadı́me
r
1
1
−23
1,2.10 .
. 2 = 3,8.10−27
1000 10
Doba vytvořenı́ monomolekulárnı́ vrstvy se určı́ ze vztahu:
ns p
t1 = 3,8 · 10−27 1 Mmol T [s].
p
Uved’me doby vytvořenı́ monovrstvy pro vzduch při různých tlacı́ch, když
Mmol = 29 [kg], T = 300 [K], ns1 = 1019 [m−2 ].
Plošná koncentrace v monomolekulárnı́ vrstvě:
ns1
ns1 p
ns1 p
2π(mNa )(kNa )T =
2πMmol RT .
pNa
pNa
p [mbar]
t1 [s]
1
=
= 1,13 · 1019 [m−2 ].
8,87 · 10−20
1
3,5 · 10−6
10−3
3,5 · 10−3
10−7
35
10−13
3,5 · 107
5.5.2 Doba vytvořenı́ vrstvy
POZOR:
Je důležité, aby doba měřenı́ byla mnohonásobně menšı́ než doba vytvořenı́ monomolekulárnı́ vrstvy, tzn. je nutné ultravysoké vakuum.
Určete dobu, která je potřebná pro vytvořenı́ monomolekulárnı́ vrstvy.
Za předpokladu, že všechny dopadlé částice jsou adsorbovány, je tato
doba:
ns1
t1 =
,
jads
5.5.3 Rychlost desorpce
kde:
Určete rychlost desorpce monomolekulárnı́ vrstvy. Použijeme dřı́ve uvedený vztah pro desorpčnı́ tok:
• ns1 je počet molekul na jednotku plochy,
• jads je počet molekul dopadlých na jednotku plochy za jednotku
času (adsorpčnı́ tok).
Když dosadı́me jads =
t1 =
1
4 nv̄,
4ns1
=
nv
n=
4ns1
q
p
kT
p
kT
8kT
πm
, v̄ =
q
jdes =
ns −Q
dns
= − e RT .
dt
τ0
Tedy:
Q
1
1
1
dns
dt.
= − e− RT dt = −
Q dt = −
ns
τ0
τ
τ0 e RT
8kT
πm
, pak:
Na
ns1 √
=
2πmkT
=
p
Na
ns −Q
e RT ,
τ0
Integrujeme:
Z
ns
ns1
dns
=−
ns
Z
0
t
1
dt
τ
61
a dostáváme:
62
Kapitola 6. Vypařovánı́
Vznikne tok uvolňovaných částic povrchu:
t
ns (t)
ln
=−
ns1
τ
jv =
t
ns (t) = ns1 e− τ .
Zavedeme poměr koncentracı́ f =
tvořenı́ monovrstvy je:
ns
ns1
t
= e− τ , potom doba potřebná k vy-
kde:
• ns je povrchová koncentrace částic látky.
1
.
t = τ · ln
f
Tok vlastně představuje vypařovánı́ (sublimaci) a Qv skupenské teplo
vypařovánı́. V objemu vakuového systému se začnou objevovat částice,
vznikne nenulová objemová koncentrace n. Tak jako existoval opačný
proces k adsorpci, tak i v tomto přı́padě nastává opačný proces – kapalněnı́ (tuhnutı́). Tok kapalněnı́ je dán vztahem:
5.5.4 Doba desorpce
Na ocelovém povrchu je adsorbována monovrstva dusı́kových molekul.
Určete jak dlouho potrvá, než koncentrace této vrstvy klesne v důsledku
desorpce ve vakuu na 10 % a 1 % původnı́ hodnoty?
Vı́me: ns1 = 1019 [m−2 ], τ0 = 10−13 [s], f = 0,1; 0,01, Q = 170 [kJ.mol −1 ].
Nynı́ stačı́ pouze dosadit přı́slušné hodnoty do vzorce:
Q
1
1
RT
· ln
t = τ · ln
= τ0 · e
.
f
f
pokles [%]
10
1
6
6.1
T = 300 [K]
9,2 · 1016
1,84 · 1017
t [s]
T = 500 [K]
1,5 dne
3 dny
n s − Qv
e RT ,
τ0
T = 600 [K]
2,42 min.
4,85 min.
Vypařovánı́
Augustova rovnice
Uvažme systém, v němž na počátku nebyly přı́tomny žádné plyny ani
v objemu, ani na povrchu. Tento stav by ovšem netrval dlouho, protože
samotné částice stěny jsou vázány k povrchu nějakými konečnými vazebnı́mi silami – částice majı́ nějakou vazebnı́ energii ε0 a vazebnı́ teplo Qv .
jk =
1
nv̄σk ,
4
kde:
• σk představuje kondenzačnı́ koeficient.
Objemová koncentrace uvolňovaných částic roste, a to tak dlouho, dokud
nenastane rovnováha – tzv. nasycená pára:
1
n s − Qv
σk nv̄ =
e RT .
4
τ0
Nynı́ vypočı́tejme jejı́ tlak (tlak nasycené páry, tenze páry):
n=
4ns − Qv
e RT
σk v̄τ0
Qv
4ns
p
=q
e− RT
kT
8kT
πm τ0 σk
√
2πmkT ns − Qv
p=
e RT .
σk
τ0
√
ns
Zavedenı́m konstanty C = 2πmkT
σk
τ0 , kterou považujeme za konstantu
vzhledem k exponenciele, potom dostáváme:
Qv
p = Ce− RT = ps .
63
6.1. Augustova rovnice
64
Kapitola 6. Vypařovánı́
T [◦ C]
100
20
0
−20
−100
−180
Logaritmovánı́m zı́skáme Augustovu rovnici pro tenzi par:
ln(ps ) = A −
Qv
.
RT
V přı́padě, že se v systému vyskytuje vı́ce plynů a par, pak ps představuje
parciálnı́ tlaky jednotlivých plynů. Z toho vyplývá, že tenze par zvyšuje
celkový tlak ve vakuovém systému a vnášı́ nežádoucı́ látky do systému.
Proto je nutno použı́vat látky s malou tenzı́ par pro:
• stěny vakuových komor a přı́padné konstrukce uvnitř,
• těsněnı́ a maziva,
• pracovnı́ kapaliny vývěv.
Nejvyššı́ tenzi par majı́ určitě kapaliny, obecně jsou tedy pro vakuové systémy nevhodné. V praxi se jim ovšem nelze vyhnout, nebot’ se použı́vajı́
jako pracovnı́ látky vývěv. Pak se s výhodou využı́vá toho, že tenze par
s klesajı́cı́ teplotou rychle klesá. Dřı́ve se užı́valy difúznı́ vývěvy se rtutı́,
která má při 290 [K] tenzi 0,19 [P a]. Aby páry o tomto tlaku neproudily
zpět do vakuového systému, vložı́ se do čerpacı́ho potrubı́ část (tzv. vymrazovačka – viz obr.) o nı́zké teplotě (např. 77,35 [K] – tenze par je
10−25 [P a]).
cerpani
vyveva
Hg
p [P a]
105
2 340
610
120
14 · 10−4
1,9 · 10−20
⇒ opět se použije vymrazovačka.
Následujı́cı́ přehled udává dalšı́ použı́vané materiály a tenze jejich par
při teplotě 25 [◦ C]:
• silikonový olej DC 704 . . . 3 · 10−6 [P a],
• silikonový olej DC 705 . . . 3 · 10−8 [P a],
• perbutan . . . 2 · 10−1 [P a],
• silikonová guma . . . 7 · 10−2 [P a],
• teflon . . . 10−5 [P a],
• kovy (běžné konstrukčnı́ kovy jako: Fe, W, Mo, Ni, Ta, Ti, Al, Cu,
Au, Ag, In), dále také C, Si, Ge, sklo a keramika:
vak.
sys.
Hg
T [K]
373
293
273
253
173
93
– 25 ◦ C
– 400 ◦ C
...
...
10−20 − 10−30 [P a]
< 10−10 [P a]
Poznámka:
pozor na Zn (resp. jeho slitiny – mosaz):
izolacni nadoba s kapalnym dusikem (teplota 77,35 K)
pri teto teplote je tenze par rtuti nemeritelna
-25
1.10
Velké problémy s tenzı́ par nastávajı́ při použitı́ vody:
Pa
– 25 ◦ C
– 400 ◦ C
6.2
...
...
1.10−9 P a
2P a
Hmotový tok
Jestliže je při vypařovánı́ pára neustále odváděna (je odčerpávána vývěvou), nenastane výše popsaná rovnováha, kapalina se stále odpařuje
65
6.2. Hmotový tok
s maximálnı́ intenzitou podle vztahu:
jv =
n s − Qv
1
e RT = ns v̄σk = jk .
τ0
4
66
Látce, která se odpařuje, je odebı́ráno teplo vypařovánı́ Qv . Jejı́ teplota
klesá a tı́m klesá i hmotový tok. Pokles teploty a odpařovánı́ je maximálnı́
při odčerpávánı́ páry. Proto je důležité chlazenı́ při čerpánı́ par.
Přı́klad:
Hmotový tok je potom:
jm = jv m =
1
ns v̄σk m,
4
kde:
• m představuje hmotnost jedné molekuly.
Ethylalkohol o teplotě T = 300 [K], s tlakem ps = 100 [mbar] a kondenzačnı́m koeficientem σk = 0,024 potřebuje, aby hmotový tok byl:
r
46
jm = 0,438 · 0,024
100 = 0,412 [kg · m−2 s−1 ].
300
Pro plochu kapaliny S = 100 [cm2 ] je hmotový proud:
Dosadı́me za ns a v:
1 ps
4 kT
r
1
8kT
σk m = √
ps σk m =
πm
2πmkT
r
r
√
1
Na
Mmol
1
√
√
=
ps σk m
ps =
σk
=
N
RT
2π
2πkT
a
r
Mmol
ps [kg · m−2 s−1 ].
= 0,438σk
T
Jestliže je odčerpávánı́ nedostatečné, pak nad kapalinou je nějaký nenulový tlak páry p (0 < p < ps , 0 < n < ns ). Odpařovánı́ je zmenšeno
o kondenzačnı́ tok:
1
jk = nv̄σk .
4
Výsledná intenzita odpařovánı́ je potom:
r
r
1
1
Mmol
Mmol
p
jm = √ σk
(ps − p) = √ σk
ps 1 −
,
RT
RT
ps
2π
2π
jm =
kde:
Im = jm S = 0,412 · 0,01 = 4,12 · 10−3 [kg · s−1 ].
Jestliže specifické teplo odpařovánı́ je L = 840 [kJ · K −1 ], pak se látce
odebı́rá teplo:
P = Im L = 4,1 · 10−3 840 000 = 3 440 [J · s−1 ,W ],
což odpovı́dá chladı́cı́mu výkonu.
7
•
Povrchové jevy
Existujı́ dva zajı́mavé a důležité povrchové jevy:
• migrace molekul,
• kapilárnı́ kondenzace.
7.1
p
ps
Kapitola 7. Povrchové jevy
Migrace molekul
= β se nazývá koeficient nasycenı́ (relativnı́ sytost páry).
Aplikace:
– tok + měnı́cı́ se intenzita odpařovánı́ má praktický význam
pro žárovky plněné plynem (Ar . . . Mmol = 40, lepšı́ je Kr
. . . Mmol = 84)
– zmenšı́ se odpařovánı́ vlákna o desı́tky procent
Vı́me, že adsorbovaná molekula je vázána k určitému adsorpčnı́mu mı́stu.
Těchto mı́st je na povrchu vı́ce těsně vedle sebe a skutečný průběh potenciálnı́ energie je tı́m pádem jiný (viz obr.).
7.2. Kapilárnı́ kondenzace
67
68
Kapitola 8. Procesy ve stěnách vakuových systémů
Tı́m vznikajı́ většı́ přitažlivé sı́ly, docházı́ k vyššı́ adsorpci molekul, než
jak tomu bylo na rovném povrchu.
Dále vı́me, že molekula kmitá (koná tepelné kmity) a to nejen k povrchu,
ale i rovnoběžně s povrchem. Může tedy povrch jak opustit, tak přejı́t
na jiné adsorpčnı́ mı́sto (je-li volné). Z obrázku je vidět, že k tomuto
potřebuje energii ∆ε (∆ε < ε0 ). Pak analogicky k době pobytu molekuly
na stěně τ , lze stanovit dobu pobytu molekuly na jednom adsorpčnı́m
mı́stě:
∆Q
τm = τ0 e RT ,
Praktické důsledky kapilárnı́ kondenzce jsou pozitivnı́ i negativnı́:
1. Je ztı́žena desorpce povrchů pevných látek, nebot’ na povrchu
pevné látky jsou vždy nějaké trhlinky, vzniklé při opracovánı́.
Proto se stěny vakuových aparatur (zejména pro ultravakuum)
v konečné fázi často otryskávajı́ kuličkami („udusánı́“ povrchu).
2. Zvyšuje se adsorpčnı́ schopnost poréznı́ch látek, které se použı́vajı́ jako pracovnı́ náplň sorpčnı́ch vývěv. Nejčastěji je to aktivnı́ uhlı́ (1[g] má ads. povrch asi 1000[m2 ]) a syntetické zeolity
(tzv. molekulová sı́ta, nebot’ majı́ kanály a komůrky přesných
tvarů, 1 [g] má ads. povrch asi 700 [m2 ]).
přičemž τm je mnohonásobně menšı́ než τ , v závislosti na Q, T .
Než molekula opustı́ povrch, vykoná mnoho přeskoků na vedlejšı́ volná
adsorpčnı́ mı́sta. Jejı́ pohyb je neuspořádaný, proti směru gradientu koncentrace. Tento jev se nazývá migrace molekul (difúze ve dvojrozměrném
prostoru).
3. Poréznı́mi látkami se plnı́ také pomocné prostředky při čerpánı́
vak. systémů – tzv. lapače par, které zachytávajı́ nežádoucı́
částice (např. zplodiny na výstupu rotačnı́ch vývěv, vodnı́ páry,
olejové páry, korozivnı́ částice při iontovém leptánı́ apod.).
Např.:
Kapalina z difúznı́ vývěvy migruje po stěnách potrubı́ do čerpaného systému. Když snı́žı́me teplotu stěny vymrazovačkou, pak se doba migrace
zvýšı́. U rtuti je to účinné, u oleje naopak neúčinné (dlouhé molekuly).
8
7.2
Kapilárnı́ kondenzace
Tento jev nastává při vyššı́m tlaku ve vakuovém systému. Vzniká na nerovném povrchu látky s póry a trhlinkami. Celé póry se zalévajı́ kondenzátem, uplatňuje se povrchové napětı́ a vytvářı́ se meniskus jako
v kapiláře (viz obrázek na následujı́cı́ stránce).
Procesy ve stěnách vakuových systémů
Při popisu kapilárnı́ kondenzace jsme se věnovali poréznı́m látkám, které
se samozřejmě pro stěny vakuových systémů nepoužı́vajı́. Ale i neporéznı́
látka může obsahovat póry, kanálky, štěrbiny, trhliny – tzv. netěsnosti,
způsobené výrobou, montážı́, atd. Do vakuové aparatury se pak dostává
vzduch z okolnı́ho prostředı́ prouděnı́m i migracı́, určitý vliv má i adsorpce
a kapilárnı́ kondenzace na stěnách kanálků.
69
8.1. Pevná látka v plynu
Ovšem i zcela kompaktnı́ látka bez netěsnostı́ propouštı́ plyny, nebot’ tak
jako při migraci se mohou molekuly přemist’ovat na neobsazená mı́sta
na povrchu, mohou přeskakovat i na volná mı́sta uvnitř pevné látky.
Těmito mı́sty mohou být:
• chybějı́cı́ částice mřı́žky pevné látky (substituce)
• mezipolohy v krystalické mřı́žce (intersticiálnı́ mı́sta)
70
Kapitola 8. Procesy ve stěnách vakuových systémů
Bylo zjištěno, že s rostoucı́ teplotou rozpustnost roste (u silikátů málo,
u kovů hodně – exponenciálně) a při změně skupenstvı́ se měnı́ skokem
(při tánı́ roste, při tuhnutı́ klesá). Z toho plyne, že při tuhnutı́ se uvolňuje
značný objem plynu. Pokud tuhnutı́ proběhne rychle, plyn zůstane uvnitř
a vytvořı́ v materiálu bublinky a póry – nežádoucı́ zejména pro vakuové
použitı́. Je tedy nutno pomalu ochlazovat roztavený materiál a odčerpávat uvolňovaný plyn – tzv. vakuové odlévánı́.
• hrany krystalů u polykrystalických látek.
Většinou nastávajı́ všechny tyto uvedené přeskoky současně a výsledkem
je potom vnikánı́ molekul plynu do pevné látky (plyn se v pevné látce
rozpouštı́, vzniká pevný roztok). Tento popsaný proces se nazývá absorpce
plynu. Plyny přitom zůstávajı́ v molekulárnı́ formě (silikáty – křemen,
sklo) nebo docházı́ k disociaci molekul (kovy).
8.2
Stěna vakuového systému
Koncentrace plynu u protějšı́ch ploch jsou různé a tı́m i koncentrace plynu
ve stěně se měnı́. Vznikne spád koncentrace, jak je vidět na obrázku.
Matematický popis absorpce je velmi komplikovaný, nebot’ uvedené procesy závisejı́ různě na teplotě, druhu plynu a pevné látky. Obecně lze
zhodnotit výsledný stav ve dvou přı́padech:
1. pevná látka v plynu
2. stěna vakuového systému.
8.1
Pevná látka v plynu
Pevná látka je obklopena plynem o koncentraci n. Po určité době se zřejmě
pevná látka nasytı́ plynem a nastane rovnovážný stav. Necht’ koncentrace
plynu v pevné látce je np a kocentrace na povrchu je ns .
Důsledek spádu koncentrace a neuspořádaného pohybu molekul v pevné
látce je opět pohyb molekul proti směru gradientu, nastává difúze plynu
v pevné látce.
Potom:
Pro difúzi platı́ rovnice:
1. Jakmile molekuly nedisociujı́, platı́:
np ∼ ns ∼ n,
kde:
np = s · n
Jdif = D · S
Koncentrace u povrchů stěn lze považovat po určité době za ustálené,
dosad’me proto za np1 = sn1 a np2 = sn2 :
Jdif = D · S · s
• s je rozpustnost plynu.
2. V přı́padě disociace molekul v pevné látce platı́:
√
np = s n.
dnp
np2 − np1
=D·S
.
dx
l
D · S · s p2 − p 1
p2 − p1
n2 − n 1
=
=P ·S
,
l
kT
l
l
kde:
• P =
Ds
kT
je koeficient permeace (pronikánı́) plynu.
71
8.2. Stěna vakuového systému
Permeace je vlastně proud plynu (pV) stěnou tloušt’ky 1 [mm], plochou
1 [m2 ] při rozdı́lu tlaků 1 [bar]:
P = Jdif
a rozměrově:
l
S(p2 − p1 )
72
Kapitola 9. Metody zı́skávánı́ nı́zkých tlaků
Těsněnı́ je nutno dělat co nejmenšı́, pro ultravakuum se těsnı́ Cu – těsněnı́m.
Elastomery pro vzduch:
• silik. guma . . . (20 ◦ C) . . . P = 4.10−1
• viton . . . . . . . . . (20 ◦ C) . . . P = 4.10−3
mbar · l mm
[P ] =
.
s
m2 .bar
Obecně koeficient permeace závisı́ na druhu plynu a pevné látky, roste
s teplotou. Napřı́klad pro teplotu 20 ◦ C:
• kovy:
.
– nejlépe proniká H2 přes paladium . . . . . . . . . . . . . . . . . P = 1.10−3
.
– H2 přes ocel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .P = 1.10−6
.
– O2 , N2 přes ocel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P = 1.10−6
9
Metody zı́skávánı́ nı́zkých tlaků
9.1
Základnı́ princip čerpánı́
Čerpaný prostor – vakuová komora (tlak p, koncentrace n, celkový počet
částic N ) a vývěva (tlak p0 < p, koncentrace n0 < n) jsou spojené otvorem
plochy A.
• sklo a keramika:
.
– He přes křemenné sklo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .P = 6.10−5
.
– H2 přes křemenné sklo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .P = 1.10−7
.
– O2 , N2 přes křemenné sklo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P = 1.10−15
Vzduch obsahuje málo vodı́ku a helia, je tedy zřejmé, že kovy, sklo a keramika jsou pro vzduch prakticky neprostupné až do teplot několik set ◦ C,
čehož se s výhodou využı́vá pro odplyňovánı́. Z důvodu křehkosti křemenného skla se ovšem skleněné ultravakuové aparatury nevyrábı́. I když
pronikánı́ vzduchu stěnami lze zanedbat, může být však významné uvolňovánı́ vzduchu z objemu stěny, kterým se stěna nasytila při výrobě či
skladovánı́. Z tohoto důvodu je nutné dodržovat určitá opatřenı́:
• vakuové tavenı́ materiálů pro vakuové aparatury,
Na plochu otvoru A dopadajı́ z čerpaného prostoru molekuly, které vletı́
do vývěvy a ta má za úkol je odstranit.
Částicový proud do vývěvy je tedy:
qN =
a objemový proud plynu do vývěvy:
• odplyněnı́ materiálu (trvá ovšem několik desı́tek hodin při teplotě 1 000 ◦ C),
• skladovánı́ materiálu ve vakuu,
• co nejkratšı́ doba zavzdušovánı́ vakuového systému.
1
nv̄A
4
qV =
1
qN
ozn.
= v̄A = S0 l.s−1 ,m3 .hod−1 ,
n
4
kde
• S0 je tzv. (jmenovitá) čerpacı́ rychlost vývěvy.
73
9.1. Základnı́ princip čerpánı́
74
Kapitola 9. Metody zı́skávánı́ nı́zkých tlaků
A pV -proud je:
Poznámka:
Čerpacı́ rychlost je úměrná ploše otvoru A, lze ji přepočı́tat na jednotku
plochy:
s0 =
S0
1
= v̄,
A
4
ozn.
q0 = p0 S0 = qz ,
Výrobce vývěvy vždy udává jejı́ hodnotu.
kde
• q0 je zpětný proud plynu.
Pak celkový pV -proud plynu do vývěvy činı́:
qcelk = q − qz = pS0 − p0 S0 = S0 (p − p0 ).
kde
Při čerpánı́ pak klesá tlak p ve vakuovém systému, tedy klesá i čerpacı́
tok q do vývěvy (a celkový tok qcelk ), až se vyrovná se zpětným tokem qz :
• s0 je specifická čerpacı́ rychlost.
Po dosazenı́ dostaneme:
pS0 = p0 S0 .
s0 =
1
4
r
8kT
=
πm
r
kT
(1)
= CEF ,
2πm
Potom nastane rovnovážný stav, přitom tedy:
p = p0 = pmez ,
kde
(1)
• CEF se nazývá efúznı́ vodivost otvoru a pro vzduch platı́:
(1)
CEF = 11,6 l.s−1 .cm−2 .
A pV -proud do vývěvy je:
q = pS0 .
Dále platı́, že ve vývěvě nenı́ samozřejmě tlak p0 (koncentrace n0 ) nulový:
p0 6= 0,
kde
• p0 je meznı́ tlak vývěvy.
• pmez je meznı́ tlak vakuového systému (je to minimálnı́ tlak ve vakuovém systému, je roven meznı́mu tlaku vývěvy).
V rovnovážném výsledném stavu je samozřejmě celkový pV -proud do vývěvy nulový:
qcelk = p0 S0 − p0 S0 = 0.
Přepočı́tejme ještě celkový pV -proud do vývěvy na objemový proud:
S0 (p − p0 )
qcelk
p0 ozn.
celk
qV =
=
= S0 1 −
= S,
p
p
p
což je vlastně skutečná (efektivnı́) čerpacı́ rychlost vývěvy.
Pak ovšem také z vývěvy do vakuového systému teče proud:
qN0
1
= n0 v̄A,
4
tedy objemový proud je:
qV0
kde
qN
1
= 0 = v̄A = S0 .
n0
4
Na následujı́cı́m obrázku si povšimněme:
• na počátku čerpánı́ je p ≫ p0 . . . S → S0 ,
• na konci čerpánı́ je p → p0 . . . S → 0.
75
9.2. Časový průběh tlaku
76
Kapitola 9. Metody zı́skávánı́ nı́zkých tlaků
a určitý integrál:
Z n
n1
kde
dn
n − n0
=
t
−
S0
V
dt,
=−
S0
V
t
Z
0
• n1 je počátečnı́ koncentrace.
Potom zřejmě:
ln
9.2
⇒
Časový průběh tlaku
n − n0
n1 − n 0
S0
n = n0 + (n1 − n0 )e−( V )t .
A tlak je úměrný koncentraci (p = nkT ):
Časový průběh tlaku ve vakuové komoře p = p(t) zı́skáme tak, že se
vrátı́me k částicovým proudům.
S0
p = p0 + (p1 − p0 )e−( V )t ,
kde
Do vývěvy tekl proud:
qN
1
= nv̄A = nS0
4
a z vývěvy:
qN0 =
1
n0 v̄A = n0 S0 .
4
Tedy celkový proud je:
celk
= S0 (n − n0 ),
qN
což je počet částic, které za jednotku času opustı́ vakuovou komoru a je
tedy roven (s opačným znaménkem) časové změně celkového počtu částic
v komoře N :
dN
= −S0 (n − n0 ).
dt
Za celkový počet částic N dosadı́me N = nV a dostaneme:
dn
V
= −S0 (n − n0 ),
dt
po separaci proměnných:
dn
=−
n − n0
S0
V
dt
• p1 je počátečnı́ tlak.
Na následujı́cı́m obrázku je vidět:
• tlak klesá exponenciálně a to tı́m rychleji, čı́m je většı́ čerpacı́ rychlost a menšı́ objem vakuového systému,
• v limitě se blı́žı́ meznı́mu tlaku p0 .
77
9.2. Časový průběh tlaku
78
Kapitola 9. Metody zı́skávánı́ nı́zkých tlaků
9.2.1 Výpočet doby čerpánı́ vakuové komory
Přı́klad:
Výpočtěme dobu čerpánı́ vakuové komory pro zadaný objem V a čerpacı́
rychlost vývěvy S0 . Použijeme odvozenou rovnici:
Za jak dlouho se vyčerpá vakuová
o V = 0,5 m3 pomocı́ rotačnı́
3 komora
vývěvy s čerpacı́ rychlostı́ 30 m .hod−1 z počátečnı́ho atmosférického
tlaku na tlak 1 [mbar]?
S0
p = p0 + (p1 − p0 )e−( V )t ,
kde
Řešenı́:
t = τ ln
• p1 je počátečnı́ tlak.
Upravı́me na tvar:
9.3
p − p0
= e −(
p1 − p 0
S0
V
)t .
Po zlogaritmovánı́ dostaneme:
p1 − p 0
S0
ln
t
=
p − p0
V
⇒
t=
V
S0
ln
p1 − p 0
p − p0
= τ ln
p1 − p 0
,
p − p0
kde
p1
p
=
V
S0
ln
p1
p
=
0,5
30
· 3600 · ln
1000
1
.
= 7 [min] .
Desorpce plynu, difúznı́ tok stěnami a netěsnosti v systému
Zatı́m jsme zanedbávali desorpci plynu, difúznı́ tok stěnami, přı́padně
netěsnosti v systému.
Označme tedy:
• q des . . . desorpčnı́ tok plynu z povrchů stěn,
• q dif . . . difúznı́ tok plynu stěnami,
• q net . . . tok plynu netěsnostmi.
Celkem:
• τ=
V
S0
q u = q des + q dif + q net .
se nazývá časová konstanta.
A rovnice pro výsledný tok plynu z vakuové komory bude:
Často lze zanedbat
meznı́ tlak p0 , protože (p0 ≪ p1 ,p), pak dostaneme
t
p1
,
nebo
výchozı́
rovnice bude p = p1 e− τ .
p
t = τ ln
q celk = pS0 − p0 S0 − q u .
Ustálený stav q celk = 0 nastane při nějakém minimálnı́m tlaku p = pmez :
Napřı́klad:
0 = pmez S0 − p0 S0 − q u ,
t
•
p
p1
= e− τ = e−1 = 0,368 pro t = τ ,
•
p
p1
= e− τ = e−3 = 0,050 pro t = 3τ ,
•
p
p1
= e− τ = e−5 = 0,007 pro t = 5τ .
t
t
kde
• pmez je meznı́ tlak vakuového systému.
Po vydělenı́ rovnice S0 dostáváme:
pmez = p0 +
qu
S0
> p0 ,
79
9.4. Vodivost potrubı́
80
Kapitola 9. Metody zı́skávánı́ nı́zkých tlaků
meznı́ tlak vakuového systému je většı́ než meznı́ tlak vývěvy.
Snı́ženı́ meznı́ho tlaku vakuového systému dosáhneme:
• zmenšenı́m q u → vhodný materiál stěn, kvalitnı́ odplyněnı́,
• zvětšenı́m S0 .
Napřı́klad: pro kovovou vakuovou komoru o vnitřnı́ ploše 1 m2 je desorpčnı́ tok po 1 hodině čerpánı́:
.
q des = 1 · 10−4 mbar.l.s−1 .m−2 = q u ,
(zanedbáme-li opět q
dif
aq
net
).
U hrdla vývěvy necht’ je čerpacı́ rychlost S0 . Při tlaku p2 daleko od meznı́ho tlaku je to skutečná čerpacı́ rychlost, tj. objemový proud plynu. U komory je pak tento proud menšı́, nazýváme jej efektivnı́ čerpacı́ rychlost
Sef , nebot’ podle rovnice kontinuity platı́:
qcelk = S0 p2 = Sef p1 .
A pomocı́ velikosti potrubı́:
Jestliže zanedbáme i p0 , dostaneme:
qcelk = C(p1 − p2 ).
u
pmez =
q
.
S0
Tedy napřı́klad:
A pro dosaženı́ hranice ultravakua 10−7 [mbar] je potřeba vývěvu s čerpacı́ rychlostı́:
1 · 10−4 mbar.l.s−1 .m−2 · 1 m2
qu
S0 =
=
= 103 l.s−1 .
−7
pmez
10 [mbar]
Tato čerpacı́ rychlost je reálná.
Ale dosaženı́ tlaku 10−12 [mbar] by vyžadovalo vývěvu:
S0 = 108 l.s−1 ,
avšak taková vývěva neexistuje (největšı́ difúznı́ vývěva má 5.105
C(p1 − p2 ) = p1 Sef .
Vyjádřı́me p2 z rovnice (9.1):
p2 = p 1
Sef
S0
,
a dosadı́me do rovnice (9.2):
Sef
C p1 − p1
= p1 Sef .
S0
Vydělı́me p1 a vynásobı́me S0 :
l.s−1 ).
Proto je nutné odplyněnı́
vakuového systému, protože pro užitı́ stejné
vývěvy S0 = 103 l.s−1 je nutné snı́žit
desorpčnı́ tok o 5 řádů, abychom
dostali hodnotu 10−9 mbar.l.s−1 .m−2 a to je možné (viz str. 58).
9.4
(9.1)
Vodivost potrubı́
Z dalšı́ho přiblı́ženı́ reálným podmı́nkám plyne, že vývěvu a vakuovou komoru spojuje většinou nějaké potrubı́ o vodivosti C (vakuovém odporu R).
CS0 − CSef = Sef S0
⇒
Sef =
CS0
S0
=
.
C + S0
1 + SC0
Meznı́ přı́pady:
• velká vodivost potrubı́ (malý odpor):
.
(C ≫ S0 ) ⇒ Sef = S0 ,
o čerpánı́ „rozhoduje“ vývěva,
(9.2)
81
9.4. Vodivost potrubı́
• malá vodivost potrubı́ (velký odpor):
o čerpánı́ „rozhoduje“ potrubı́ (nemá smysl zvyšovat čerpacı́ rychlost),
• „střednı́“ vodivost potrubı́:
4
Přı́klad ukazujı́cı́ využitı́ vývěvy z 90 %:
C = 10 · S0 → Sef =
1+
S0
10·S0
= S0 ·
1
1,1
Obor tlaku je 103 [mbar] ÷ 10−2 [mbar] → viskóznı́ prouděnı́ (l̄ ≪ d), pak
pro vodivost trubky platı́:
4
r
4
C = 2,158 · 10 ·
· pstř .
l
• pro atmosférický tlak:
1
S0 .
2
Z výše uvedeného plyne, že pro optimálnı́ využitı́ čerpacı́ rychlosti vývěvy
musı́ mı́t potrubı́ dosti velkou vodivost.
S
0
Kapitola 9. Metody zı́skávánı́ nı́zkých tlaků
Řešenı́:
.
(C ≪ S0 ) ⇒ Sef = C,
(C = S0 ) ⇒ Sef =
82
.
= 0,9 · S0 .
Graficky:
C = 2,158 · 10 ·
0,024
1
· 105 = 345 m3 .s−1 .
30
= 0,0083 m3 .s−1 ⇒ S0 ≪ C, potom je
Porovnánı́m s S0 : S0 = 3600
.
(podle přednášky) Sef = S0 ,
• blı́zko hranice 10−2 [mbar]:
0,024
· 100 = 3,45 · 10−3 m3 .s−1 ,
C = 2,158 · 104 ·
1
.
tedy: C ≈ S0 ⇒ Sef = 0,5 · S0 ,
přesněji:
S0
S
0 −3 =
! =
8,3·10
1 + SC0
1 + 3,45·10−3
= 0,29 · S0 = 0,29 · 30 = 8,8 m3 .hod−1 .
Sef =
Přı́klad:
Za jak dlouho se vyčerpá vakuová komora o objemu 0,5 m3 pomocı́ rotačnı́
vývěvy s čerpacı́ rychlostı́ 30m3 .hod−1 z počátečnı́ho atmosférického tlaku
na tlak 1 mbar?
Řešenı́:
Přı́klad:
Jaká je efektivnı́ čerpacı́
rychlost na konci potrubı́ délky 1 [m] a průměru
40 [mm], když S0 = 30 m3 .hod−1 ?
t = τ ln
V
0,5 · 3600 1000
p1
p1
.
=
=
ln
= 414,6 s = 7 min
ln
p
S0
p
30
1
83
10 Transportnı́ vývěvy
10.1
Mechanické vývěvy
84
Kapitola 10. Transportnı́ vývěvy
10.1.2 Rotačnı́ olejové vývěvy
Tyto vývěvy jsou základnı́m druhem vývěv pro zı́skávánı́ hrubého vakua
nebo pro předčerpánı́ dokonalejšı́ch vývěv (viz později).
Nejčastějšı́ provedenı́:
Základem těchto vývěv je pracovnı́ komora, periodicky zvětšujı́cı́ a zmenšujı́cı́ svůj objem.
Rotačnı́ vývěva s rotorovými křı́dly
Historicky nejstaršı́ vývěva tohoto typu je:
10.1.1 Pı́stová vývěva
Lopatky (křı́dla) vytvářı́ v pracovnı́ komoře tři periodicky proměnné objemy. Nejprve se objem zvětšuje (vzduch se nasává), pak se objem zmenšuje (vzduch se stlačuje) a nakonec stlačený vzduch otevře výfukový ventil
a opustı́ vývěvu.
Jednou z nevýhod těchto vývěv je poměrně vysoký zpětný proud plynu,
způsobený jak netěsnostmi ventilů a pı́stu, tak i zbytkovým prostorem
v hornı́ úvrati. Hlavnı́ nevýhodou je však nı́zká čerpacı́ rychlost, protože kmitavý pohyb pı́stu nelze přı́liš zrychlovat. Řešenı́ tohoto problému
přineslo použitı́ rotačnı́ho pohybu.
Vývěvy pracujı́ za otáček 300 – 1 500 za min. (výjimečně až 3 000 za min.).
Dosahujı́ jmenovité čerpacı́ rychlosti jednotky až desı́tky l/s. Zpětný
proud je u těchto vývěv tvořen zpětným tokem čerpaného plynu (tok
plynu všemi netěsnostmi mezi sacı́m a výfukovým hrdlem, zejména nejkratšı́ cestou, tj. stykem rotoru a statoru) a zpětným tokem olejových par.
Olej se vypařuje značně intenzivně, nebot’ teplota vývěvy je dosti vysoká
a v mı́stech třenı́ je olej lokálně přehřı́ván, až se spaluje. Vzniklý kouř
vystupujı́cı́ z vývěvy obsahuje rakovinotvorné složky. Na výstup vývěvy
proto bývá umı́stěn filtr nebo je kouř odváděn mimo laboratoř.
10.1. Mechanické vývěvy
85
Meznı́ tlak vývěvy většinou udává výrobce (několik P a). Výrobce také
často udává křivku skutečné čerpacı́ rychlosti:
86
Kapitola 10. Transportnı́ vývěvy
Rotačnı́ vývěva se statorovým křı́dlem
Principem je kolujı́cı́ rotor, který nenı́ v přı́mém styku se statorem (nedocházı́ ke třenı́), pouze s přepážkou. Má prakticky stejné parametry jako
rotačnı́ vývěva s rotorovými křı́dly.
Olejová náplň vývěvy má několik funkcı́. Těsnı́ vývěvu, maže ji a navı́c
chladı́ lopatky a všechny pohyblivé části. Celý stator vývěvy bývá ponořen do olejové lázně. Olej tak těsnı́ celou komoru, do nı́ž vniká mazacı́mi
kanálky a netěsnostmi. Ven z komory je vytlačován spolu se vzduchem
výfukovým ventilem. Olejový film utěsňuje lopatky a styk rotoru se statorem. Při třenı́ lopatek a statoru vzniká velké množstvı́ tepla, které se
olejem přenášı́ na vnějšı́ žebrovaný plášt’ (provoznı́ teplota je 70 − 90 ◦ C).
Rotačnı́ vývěva se čtyřhrannou trubicı́
Ještě jednou upozorňujeme, na přehřı́vánı́ oleje (spalovánı́). Kouř na výstupu z vývěvy obsahuje rakovinotvorné látky, proto musı́ být na výstupu
filtr, nebo musı́me vyvést zplodiny mimo laboratoř.
Použı́vajı́ se bud’ přı́rodnı́ minerálnı́ oleje nebo syntetické oleje (jsou
drahé) pro čerpánı́ agresivnı́ch plynů. Typy olejů:
• estery se strukturou C, H, O (Thor-oil)
• polyethery se strukturou C, F, O (PFPE – per-fluorinated pokyether,
Fomblin)
• fluoro-chlorokarbony se strukturou C, F, Cl (Halovac)
• silikony (vazby Si-O) (DC705)
Kolujı́cı́ rotor se opět netře o stator. Ke třenı́ docházı́ pouze v kloubu,
v němž se pohybuje trubice. Výhodou je možnost zvyšovánı́ otáček a tudı́ž
dosaženı́ vyššı́ čerpacı́ rychlosti (až několik stovek m3 /hod.)
10.1. Mechanické vývěvy
87
Rotačnı́ vývěvy se vyrábějı́ i dvoustupňové (tj. dvě prac. komory v sérii):
88
Kapitola 10. Transportnı́ vývěvy
2. Pozor na dostatečné množstvı́ oleje a jeho včasnou výměnu.
3. Vysoká teplota vývěvy nenı́ důvod ke znepokojenı́. Obvyklá pracovnı́
teplota je přibližně 80 [◦ C].
4. Po zastavenı́ je třeba vývěvu zavzdušnit, nejlépe automaticky. V komoře je totiž vakuum a vzduch, který pronikne výfukovým ventilem
do vývěvy, posléze vytlačı́ olej sacı́m otvorem do aparatury.
Oba rotory pracujı́ na společné hřı́deli, jejich pohyb je sfázovaný a soustava má pouze jeden výfukový ventil. Čerpacı́ rychlost se oproti jednostupňové konfiguraci nezměnı́, podstatně se ale zmenšı́ zpětný tok čerpaného plynu (delšı́ dráha od výstupu na vstup) i olejových par. Také
meznı́ tlak klesne až o dva řády. Záležı́ na druhu oleje (u minerálnı́ho
oleje . . . 0,5 P a; syntetické oleje . . . 0,05 P a).
Problém čerpánı́ vodnı́ páry
5. Zpětný proud olejových par lze výrazně omezit několika způsoby:
(a) Rotačnı́ vývěvu provozovat za vyššı́ch tlaků, kdy je zpětný
proud olejových par strháván proudem čerpaného plynu ven
z vakuové komory.
Nasycený tlak vodnı́ páry při pracovnı́ teplotě 80 [◦ C] je 470 [mbar]. Po dosaženı́ tohoto parciálnı́ho tlaku ve fázi stlačovánı́ vzduchu už tlak páry
dále nestoupá, celkový tlak ovšem stoupá až do otevřenı́ výfukového ventilu (tj. do hodnoty asi 1 [bar]). Pára, která zkondenzovala již při tlaku
470 [mbar], tvořı́ s olejem emulsi. Absorpcı́ vody se zhoršı́ vlastnosti oleje,
navı́c se při koloběhu oleje dostane voda do prvnı́ho stupně, tam se vypařı́
a zvýšı́ zpětný proud plynu do vakuové komory.
Řešenı́ – ve fázi stlačovánı́ se do komory připustı́ přes speciálnı́ ventil
(tzv. gasbalast) malé množstvı́ vzduchu z atmosféry, tı́m stoupne tlak
v oblasti stlačovaného plynu a výfukový ventil se otevře dřı́ve, než parciálnı́ tlak páry dosáhne hodnoty 470 [mbar]. Gasbalast majı́ dnes všechny
rotačnı́ vývěvy (malý šroubek na tělesu vývěvy).
Praktické problémy provozu rotačnı́ vývěvy:
1. Pozor na správný smysl otáčenı́ rotoru vývěvy (třı́fázový motor).
(b) Filtr se sorpčnı́ látkou (molekulová sı́ta, oxidy hlinı́ku, . . . )
na vstupu vývěvy. Nevýhodou je nasycenı́ od čerpaných plynů
a olejových par po určité době provozu. Po nasycenı́ je nutno
filtr vyměnit či zregenerovat. Pro snı́ženı́ opotřebenı́ filtru se
89
10.1. Mechanické vývěvy
použı́vá obtokové potrubı́, kterým vyřadı́me filtr z činnosti, dokud je v aparatuře vyššı́ tlak. Filtr nebude zbytečně znečišt’ován a čerpacı́ rychlost vývěvy nebude snižována přı́tomnostı́
„překážky“ v potrubı́.
(c) Použı́t olej s nižšı́ tenzı́ páry. Syntetické oleje majı́ tenzi až
stokrát nižšı́ než přı́rodnı́ minerálnı́ oleje, jsou však podstatně
dražšı́.
90
Kapitola 10. Transportnı́ vývěvy
z chloroprenu. V přı́padě agresivnı́ch plynů se vyrábı́ z polytetrafluoretylenu (PTFE). Čerpacı́ rychlost je několik m3 /hod, meznı́ tlak
několik mbar. Jako přı́klad uved’me vývěvu Balzers, která má čtyři
vývěvy a dosahuje čerpacı́ rychlosti 0,5 až 6,5m3 /hod, meznı́ho tlaku
5 až 2 mbar.
Problémy s olejovou náplnı́ rotačnı́ch vývěv, tj.:
a) zpětný proud olejových par
b) poškozovánı́ oleje při čerpánı́ agresivnı́ch plynů
způsobily v poslednı́ch letech intenzivnı́ vývoj takzvaných suchých, bezolejových vývěv. Je využı́váno několik principů:
1. Pı́stová vývěva (viz prvnı́ obrázek této kapitoly), bez olejového
mazánı́ jsou samozřejme problémy se:
(a) třenı́m pı́stu a válce – musı́ se použı́t materiál s malým koeficientem třenı́ (teflon, . . . ),
(b) těsnostı́ pı́stu a válce – jejı́m důsledkem je vyššı́ zpětný proud,
tj. vyššı́ meznı́ tlak vývěvy, a proto se musı́ použı́t vı́cestupňová
konstrukce jak ukazuje následujı́cı́ obrázek. Čerpacı́ rychlost
je 34 m3 /hod, meznı́ tlak 2 · 10−2 mbar.
Vystup
Vstup
2. Membránová vývěva, která napodobuje princip pı́stové vývěvy.
Membrána je značně namáhaný dı́l, proto je většinou vyrobena
3. Zubová rotačnı́ vývěva umožňuje vyššı́ čerpácı́ rychlost (vliv
rotačnı́ho pohybu). Princip spočı́vá v tom, že dva rotory se zuby
ve tvaru drápů se otáčejı́ synchronně proti sobě. Nejsou zde žádné
ventily, sacı́ a výfukové otvory se odkrývajı́ a zakrývajı́ pouze pohybem rotorů (viz následujı́cı́ obrázek).
Praktické provedenı́ – Leybold: DRYVAC 25 (50,100)
– čtyřstupňová vývěva, čerpacı́ rychlosti 25(50,100)m3/hod, meznı́
tlak 3 až 1 · 10−2 mbar
10.1. Mechanické vývěvy
91
92
Kapitola 10. Transportnı́ vývěvy
vodnı́ páru a nevadı́ jı́ vniknutı́ drobných částeček prachu.
10.2
Vývěvy pracujı́cı́ na základě přenosu impulsu
Molekuly čerpaného plynu musı́ dostat impuls ve směru jejich čerpánı́,
tj. od vstupnı́ho hrdla k výstupnı́mu.
10.2.1 Tryskové vývěvy
Přenosu impulsu je dosaženo při srážkách s jinými molekulami, rychle
se pohybujı́cı́mi daným směrem.
10.1.3 Vodokružnı́ vývěva
Excentrický rotor s lopatkami je utěsněn vodnı́m prstencem, který vzniká
odstředivou silou při rotaci. Mezi lopatkami vzniknou komůrky s proměnným objemem. Vzhledem k tomu, že se lopatky nedotýkajı́ stěn statoru,
lze použı́t velkých rychlostı́ otáčenı́ a čerpacı́ rychlost vývěvy je tudı́ž
vysoká (až 25 000 [m3 /hod]). Meznı́ tlak vývěvy odpovı́dá tenzi vodnı́ch
par (2 000 [P a]). Často se však do vývěvy připouštı́ vzduch, aby se zmenšily rázy na lopatky a meznı́ tlak pak stoupne na 5 000 [P a].
Vývěva je vhodná pro metalurgický průmysl, nebot’ bez problémů čerpá
Vodnı́ vývěva
Do těla vývěvy je tryskou vstřikována voda o tlaku několika atmosfér.
Molekuly vody pak s sebou strhávajı́ molekuly čerpaného plynu směrem
k výstupnı́mu hrdlu vývěvy. Výhodou této vývěvy je jejı́ konstrukčnı́ jednoduchost, nevýhodou pak poměrně malá čerpacı́ rychlost (asi 10 [l/s])
a velká spotřeba vody. Tento typ vývěv se použı́vá v lékařstvı́.
Ejektorová vývěva
10.2. Vývěvy pracujı́cı́ na základě přenosu impulsu
93
94
Kapitola 10. Transportnı́ vývěvy
morou. Speciálnı́ uspořádánı́ trysky do tvaru kloboučku podstatně zmenšilo zpětný tok. Jako pracovnı́ kapalina byla dřı́ve použı́vána rtut’, dnes
se však použı́vajı́ syntetické (např. silikonové) oleje. Jejich výhodou je
odolnost proti okysličenı́ a mnohem menšı́ tenze par než u rtuti.
Činnost difúznı́ vývěvy:
Olejové páry majı́ po průchodu tryskou nadzvukovou rychlost. Molekuly
čerpaného plynu se difúzı́ dostanou do proudu olejových par a ve srážkách
obdržı́ impuls ve směru čerpánı́. Olejové páry po dopadu na chlazenou
stěnu vývěvy kapalnı́ a stékajı́ zpět do varnı́ku. Aby byla difúze účinná,
nesmı́ být tlak uvnitř vývěvy přı́liš vysoký. Difúznı́ vývěva tedy vyžaduje
předčerpánı́ asi na 10 [P a]. Vzhledem k tomu, že blı́zko kloboučku trysky
je i přesto vysoká hustota (tlak) olejových par (tzv. jádro proudu), oblast
čerpánı́ je mezi tı́mto jádrem a stěnou vývěvy.
Princip je podobný jako u vodnı́ vývěvy, ale mı́sto pracovnı́ kapaliny je
zde použito olejových par. Pomocı́ Lavalovy trysky dosáhneme nadzvukové rychlosti páry při vstupu do těla vývěvy a urychlené molekuly olejových par vytvářejı́ proud směrem k výstupnı́mu hrdlu. Výhodou vývěvy
je vysoká čerpacı́ rychlost (10 000[l/s]), ta je však kompenzována poměrně
značným zpětným tokem plynu. Vývěva je vhodná pro použitı́ v metalurgii nebo pro předčerpánı́ velkých difúznı́ch vývěv.
Čerpacı́ rychlost vývěvy je v rozmezı́ desı́tek l/s až několika desı́tek tisı́c l/s, meznı́ tlak závisı́ na počtu stupňů difúznı́ vývěvy. Byly zkonstruovány speciálnı́ vı́cestupňové vývěvy se rtutı́, dosahujı́cı́ meznı́ho tlaku
až 10−11 [P a]. Běžně se vyrábějı́ třı́stupňové vývěvy. U nich je meznı́ tlak
asi o pět řádů nižšı́ než tlak na výstupnı́m hrdle vývěvy. Graf skutečné
čerpacı́ rychlosti pro tlak 1 P a na výstupu vývěvy:
Difúznı́ vývěva
Praktické problémy provozu difúznı́ch vývěv:
1. Je nutné nastavit a udržovat optimálnı́ teplotu oleje (přı́kon varnı́ku). Je-li teplota výrazně vyššı́, všechen olej se vypařı́ a vývěva
přestane pracovat. Jsou-li naopak stěny vývěvy přı́liš chlazeny, olej
tuhne a nestéká zpět do varnı́ku.
Vznikla úpravou konstrukce ejektorové vývěvy, spojenı́m varnı́ku s ko-
10.2. Vývěvy pracujı́cı́ na základě přenosu impulsu
95
96
Kapitola 10. Transportnı́ vývěvy
2. Velmi nebezpečné je, když chlazenı́ nefunguje vůbec. Olej nekapalnı́
a jeho páry zaplnı́ celou aparaturu.
3. Při vyššı́ch tlacı́ch přestává vývěva pracovat, proto se jako důležitý
parametr udává maximálnı́ výstupnı́ tlak pk (tzv. vakuová odolnost
vývěvy). Tlak na výstupu difúznı́ vývěvy je třeba neustále měřit
a při jeho zvýšenı́ ke kritické hodnotě pk (např. vlivem netěsnosti
na výstupnı́m potrubı́) musı́me zajistit přerušenı́ čerpacı́ho procesu
a uzavřenı́ ventilu k vakuové komoře.
4. Problém olejových par. Tenze par pracovnı́ kapaliny – oleje, zejména
syntetického, je za normálnı́ teploty (chlazené stěny vývěvy) velmi
malá (10−9 až 10−11 mbar). Ale tryska prvnı́ho stupně difúznı́ vývěvy
je nejblı́že vakuovému systému, má tedy teplotu jen o něco nižšı́ než
teplota ve varnı́ku (200 ◦ C).
Spodnı́ okraj trysky je intenzivnı́m zdrojem zpětného proudu olejových par (několik mg/hod/cm2 ) vstupnı́ho průřezu.
(a) Omezenı́ zpětného proudu olejových par se provádı́ napřı́klad
kloboukovým lapačem, který zachytı́ 90 % par a zmenšı́ čerpacı́
rychlost o 10 % (Sef = 0,9 · S0 ),
Jednoduchý model difúznı́ vývěvy
(b) vodou chlazeným samostatným lapačem olejových par, který
.
zachytı́ 99% par, ale zmenšı́ čerpacı́ rychlost na polovinu (Sef =
0,5 · S0 ),
(c) pro ultravakuové systémy se použı́vajı́ lapače chlazené kapalným dusı́kem, popř. lapače se sorpčnı́ látkou.
5. Vysoká pracovnı́ teplota oleje způsobuje pozvolný rozklad jeho molekul. Vznikajı́ lehké složky, které se snadněji odpařujı́ a majı́ značně
vyššı́ tenzi než původnı́ olej. Těchto složek se olej musı́ během provozu vývěvy zbavovat:
ϑ
(a) Odplyňovánı́ oleje – zkapalněný olej na stěně vývěvy se ještě
před vstupem do varnı́ku zahřeje asi na 150 [◦ C] a lehké složky
(nejsnáze se odpařujı́) jsou odčerpány spolu s čerpaným plynem
primárnı́ vývěvou.
(b) Frakčnı́ destilace oleje – olej se ve varnı́ku odpařuje nejprve
do třetı́ho stupně (nejlehčı́ složky) a naposledy do prvnı́ho
stupně (nejtěžšı́ složky oleje s nejmenšı́ tenzı́):
Z vakuové komory B teče do vývěvy plyn o střednı́ rychlosti c s koncentracı́
částic n. Částicový proud přes prstencovou plochu Ap je:
1
ncAp
(10.1)
4
Molekuly plynu vnikajı́ difúzı́ do proudu olejových par o rychlosti u a
I0 =
10.2. Vývěvy pracujı́cı́ na základě přenosu impulsu
97
98
Kapitola 10. Transportnı́ vývěvy
zı́skávajı́ přı́davnou rychlost prakticky rovnou u, nebot’ pro hmotnosti
molekul platı́:
m(vzduch) ≪ M(olej) , (m ≈ 30,M ≈ 500)
Vzniká proud plynu I2 přes plochu AS,2 , který směřuje dolů k druhému
stupni difúznı́ vývěvy nebo k primárnı́ vývěvě. Označme Wp pravděpodobnost čerpánı́ (tj. že molekula, která vnikne do vývěvy, difunduje do proudu
olejových par, zı́ská rychlost u a projde dolů plochou AS,2 ). Pak můžeme
psát:
1
I2 = I0 Wp = ncAp Wp
(10.2)
4
a čerpacı́ rychlost vývěvy je tedy:
S=
1
1
1
I2 = I0 Wp = cAp Wp = S0 Wp
n
n
4
(10.3)
kde:
• S0 je čerpacı́ rychlost ideálnı́ vývěvy bez zpětného proudu.
Zpětný proud I1 je tvořen molekulami, které nepodlehly procesu čerpánı́.
Označme n2 hustotu plynu za sacı́m hrdlem vývěvy (plochou Ap ) před
proudem olejových par. Pak lze tento zpětný proud vyjádřit:
1
I1 = n2 cAp
4
(10.4)
I0 = I1 + I2
(10.5)
a tedy platı́:
Vyjádřı́me I2 a dosadı́me za I0 a I1 z rovnic (10.1) a (10.4):
1
1
1
n2
I2 = I0 − I1 = ncAp − n2 cAp = ncAp 1 −
4
4
4
n
Porovnánı́m rovnice (10.6) s rovnicı́ (10.2) dostáváme:
n2
Wp = 1 −
n
π
(10.6)
Sledujeme element E svazku olejových par mezi y a y + dy. Na jeho
levém okraji je hustota plynu n2 . Jestliže je element E v čase t = 0 a
v mı́stě y = 0 bez plynu (pouze molekuly oleje), pak v čase t je zaplněn
difundujı́cı́mi molekulami s hustotou ng podle obrázku nahoře vpravo.
Stanovı́me-li difúznı́ koeficient (D) plynu ve svazku olejových par, pak
difúznı́ teorie dává pro souřadnici polovičnı́ho poklesu koncentrace xdif
vztah:
√
xdif = Dt
Vezměme zjednodušený průběh (čárkovaně). Element E je naplněný plynem s hustotou ng = n2 do vzdálenosti xdif , dále je prázdný. Protože
element E je v čase t na mı́stě y = u2 t, je zaplněný až k souřadnici:
r
y
xdif = D
u2
jak znázorňuje parabola π. Vidı́me, že proud I2 neteče celou plochou AS,2 ,
ale pouze jejı́ částı́, kterou můžeme stanovit podı́lem xdif / d a tedy:
I2 = n2 u2 AS,2 ·
(10.7)
Pro dalšı́ výpočty zjednodušı́me tvar proudu olejových par na pravoúhlý
svazek s konstantnı́ hustotou, jak ukazuje následujı́cı́ obrázek:
A2
xdif
xdif
= n2 u 2
·
d
cos(ϑ)
d
(10.8)
Tento proud bude zjevně maximálnı́ pro xdif = d, čehož lze dosáhnout
konstrukčnı́mi parametry vývěvy. Dostáváme vztah pro maximálnı́ I2 :
I2max = n2 u2
A2
cos(ϑ)
99
10.2. Vývěvy pracujı́cı́ na základě přenosu impulsu
Se znalostı́ I2 nynı́ vypočı́tejme pravděpodobnost čerpánı́ difúznı́ vývěvy.
S využitı́m rovnic (10.2) a (10.5), dostaneme:
Wp =
1
4 n2 cAp
x
A2
n2 u2 cos(ϑ)
· dif
d
=
1
1+
Ap cos(ϑ)
A2
·
c
4u2
Ap cos(ϑ)
a2
·
d
xdif
·
d
xdif
=
1
1 + a 4uc 2
je parametr difúznı́ vývěvy, daný jejı́ konstrukcı́.
Tento vztah pro S dobře vysvětluje rovnou část křivky čerpacı́ rychlosti
S = S(p), kde je čerpacı́ rychlost v širokém rozsahu tlaků konstantnı́.
Ze vztahu je také vidět, že čerpacı́ rychlost difúznı́ vývěvy závisı́ na druhu
čerpaného plynu (c a také a nebot’ obsahuje dif. koeficient). Napřı́klad
.
.
S(H2 ) = 1,5S(N2 ), S(Ar) = 0,9S(N2 ).
Za meznı́ho tlaku sice stále probı́há popsaný čerpacı́ proces, ale proud I0
je vykompenzován zpětným proudem I1 . Čerpacı́ proud I2 je tedy podle
rovnice (10.5) nulový. Přesněji řečeno za předpokladu, že čerpacı́ proces
stále probı́há, proud I2 nulový nenı́, ale je kompenzován proudem I2′ ,
tj. zpětným difúznı́m proudem plynu ve svazku olejových par:
I0 = I1 + I2 − I2′
Tento zpětný difúznı́ proud lehce vypočı́táme v úseku svazku olejových
par od průřezu AS,2 (y = y2 ) do mı́sta zániku tohoto svazku (y = y2 + L)
na stěně difúznı́ vývěvy. V každém mı́stě tohoto úseku je čerpacı́ proud
plynu vyrovnán zpětným difúznı́m proudem a tedy platı́:
n(y)u2 A(y) = A(y)D
dn(y)
dy
n2
Veličiny L a u2 jsou konstantami pro určitou konstrukci difúznı́ vývěvy,
difúznı́ koeficient D je dán hustotou olejových par:
D∼
Nynı́ můžeme podle vzorce (10.3) vypočı́tat čerpacı́ rychlost:
1
1
cAp
4
1 + a 4uc 2
ZnL
dn
dy =
n
nL
u2 L
= ln
D
n2
Můžeme vyjádřit poměr koncentracı́ nL /n2 , což je vlastně poměr tlaků
na výstupu (pvýst ) a vstupu (pvst ) difúznı́ vývěvy, tzv. meznı́ kompresnı́
poměr K0 :
u2 L
pvýst
nL
=
=e D
K0 =
pvst
n2
• Chceme u2 velké, aby Wp → 1.
S = S0 Wp =
yZ
2 +L
y2
kde:
• a=
Provedeme integraci této rovnice v úseku L:
I2
I2
1
=
=
I0
I2 + I1
1 + II12
1
1+
Kapitola 10. Transportnı́ vývěvy
u2
D
Dosadı́me za I1 a I2 z rovnic (10.4) a (10.8) a dostáváme:
Wp =
100
1
nolej.
Hustota olejových par je dána rychlostı́ vypařovánı́ oleje, která závisı́
na přı́konu varnı́ku Q:
nolej. ∼ Q
Pro kompresnı́ poměr tedy platı́:
K0 =
pvýst
= ekonst.·Q
pvst
nebo jinak zapsáno:
ln pvst = ln pvýst − konst. · Q
Z uvedených výpočtů je vidět, že činnost daného typu difúznı́ vývěvy lze
optimalizovat změnou přı́konu jejı́ho varnı́ku.
10.2.2 Molekulárnı́ vývěvy
Přenos impulsu probı́há při srážkách s pevnými tělesy, jejichž rychlost však musı́ být srovnatelná s rychlostı́ molekul. Takové rychlosti
(stovky m/s) lze dosáhnout napřı́klad při rotaci. Napřı́klad rotor o poloměru 10 [cm] má při 12 000 [ot/min] obvodovou rychlost:
v = ωr = 2πf r = 2π
12 000
· 0,1 ≈ 120 [m/s]
60
10.2. Vývěvy pracujı́cı́ na základě přenosu impulsu
101
102
Kapitola 10. Transportnı́ vývěvy
Prvnı́ vývěvou tohoto typu byla:
Gaedeho molekulárnı́ vývěva
∆
Rotor Gaedeho vývěvy se otáčı́ rychlostı́ přibližně 10 000 [ot/min]. Mezera
mezi rotorem a statorem (∆r) je velká přibližně 0,1[mm], aby byla splněna
podmı́nka l > ∆r, tj. aby mezera byla užšı́ než střednı́ volná dráha molekul plynu. Kvůli této malé mezeře je čerpacı́ rychlost vývěvy poměrně
nı́zká, asi 5 [l/s]. Vzhledem k tomu, že vývěva musı́ pracovat za nižšı́ch
tlaků (delšı́ střednı́ volná dráha molekul plynu), musı́ být předčerpána
jiným typem vývěvy.
Turbomolekulárnı́ vývěva
Oproti Gaedeho vývěvě má složitějšı́ uspořádánı́ rotoru a statoru. Lopatky, podobné jako u parnı́ch turbı́n, má uspořádané na jedné hřı́deli
v několika stupnı́ch. Relativně velké mezery (1 [mm]) mezi lopatkami
umožňujı́ použitı́ vysokých otáček rotoru (až 100 000 [ot/min]). Čerpacı́
rychlost se tı́m zvětšı́ z několika desı́tek [l/s] až na 10 000 [l/s]. Vývěva
rovněž potřebuje předčerpánı́. Meznı́ tlak závisı́ na použité primárnı́ vývěvě – při použitı́ běžné dvoustupňové rotačnı́ vývěvy se lze dostat až
na tlak 10−9 [P a]. Graf čerpacı́ rychlosti turbomolekulárnı́ vývěvy:
Turbomolekulárnı́ vývěva sice čerpá i při tlaku většı́m než 1[mbar], ale zahřı́vá se. Konstrukce z poslednı́ch let však umožňujı́ zvýšenı́ výstupnı́ho
tlaku na několik mbar. Dı́ky tomu tyto vývěvy nahrazujı́ v poslednı́ době
difúznı́ vývěvy, oproti nimž majı́ tu výhodu, že vakuum, jež vytvářejı́,
neobsahuje molekuly oleje. Proto jsou turbomolekulárnı́ vývěvy vhodné
10.2. Vývěvy pracujı́cı́ na základě přenosu impulsu
103
napřı́klad pro plazmové technologie a elektroniku. Pro aplikace, kde je
třeba superčisté vakuum, je hornı́ ložisko rotoru nahrazováno ložiskem
magnetickým, které nenı́ nutno mazat. Odstranı́ se pronikánı́ oleje z ložisek do vakuové komory a navı́c se snı́žı́ třenı́ v ložisku, což umožňuje
zvýšit otáčky rotoru a tı́m i čerpacı́ rychlost vývěvy.
Praktické problémy provozu turbomolekulárnı́ vývěvy:
1. Vývěva se zahřı́vá zejména při provozu za vyššı́ho tlaku, nutno
chladit (vodnı́ chlazenı́).
2. Vniknutı́ většı́ho tělı́ska do roztočeného rotoru znamená zničenı́
vývěvy, proto se na vstup vývěvy dává jemné sı́to.
3. Náhlé zastavenı́ rotoru z důvodu zadřenı́ či poškozenı́ ložisek vede
rovněž ke zničenı́ vývěvy. Proto je nutno kontrolovat hladinu oleje
ložisek a sledovat zvukové projevy.
Rootsova vývěva
Poprvé byla sestrojena již roku 1848, ale „znovu objevena“ a použita
v praxi byla až roku 1954.
104
Kapitola 10. Transportnı́ vývěvy
velkých čerpacı́ch rychlostı́ (až 3 000 [l/s]). Jak je typické pro vývěvy
s přenosem impulsu, je k provozu třeba nı́zkých tlaků, tj. i Rootsova
vývěva potřebuje předčerpánı́.
Zajı́mavá konstrukce této vývěvy je přı́činou, že vývěva čerpá i při vyššı́ch tlacı́ch, ale zahřı́vá se a chlazenı́ nenı́ jednoduché. Navı́c je vodivost
štěrbin při vyššı́ch tlacı́ch daleko vyššı́ než v oboru nı́zkých tlaků a to
zvyšuje zpětný proud plynu.
Základnı́m parametrem Rootsovy vývěvy je proto kromě čerpacı́ rychlosti
také maximálnı́ tlakový rozdı́l ∆p mezi výstupnı́m a vstupnı́m hrdlem
vývěvy, při kterém vývěva může pracovat. Meznı́ tlak Rootsovy vývěvy se
neudává, závisı́ totiž na použité primárnı́ vývěvě, resp. na jejı́m meznı́m
tlaku. Uvádı́ se ale tzv. kompresnı́ poměr K0 = p1 /p0 při meznı́m tlaku p0 .
Jednoduchý model Rootsovy vývěvy
Necht’ n je počet otáček rotorů vývěvy za jednotku času. Pak objem přenesený rotory ze vstupu na výstup za jednotku času, tj. čerpacı́ rychlost
vývěvy (S0 ) je:
(10.9)
S0 = 4V0 n
a odpovı́dajı́cı́ čerpacı́ pV-proud:
q0 = p0 S0
(10.10)
Zpětný proud je tvořen proudem plynu přes štěrbiny o vodivosti C:
qZ1 = C(p1 − p0 )
(10.11)
a také je určitý objem za jednotku času (objemový proud SZ ) přı́mo rotory
přenášen zpět z výstupu na vstup (např. plyn v trhlinách rotorů):
qZ2 = SZ p1
(10.12)
qZ = C(p1 − p0 ) + SZ p1
(10.13)
Celkový zpětný proud je tedy:
Výsledný proud plynu do vývěvy je pak:
Dva rotory ve tvaru piškotu se synchronně otáčejı́ rychlostı́ až několik
tisı́c ot/min, přičemž se nedotýkajı́ stěn a ani sebe vzájemně. Mezery
jsou široké pouze několik desetin mm, aby jimi pronikalo co nejméně
čerpaného plynu. Mezi každým rotorem a stěnou se uzavı́rá určitý objem
plynu V0 a bez stlačenı́ je přenesen ze vstupu na výstup. Bývá dosaženo
q = q0 − qZ = p0 S0 − C(p1 − p0 ) − SZ p1
Při meznı́m tlaku p0 je tento proud nulový:
0 = p0 S0 − Cp1 + Cp0 − SZ p1
(10.14)
10.2. Vývěvy pracujı́cı́ na základě přenosu impulsu
105
0 = p0 (S0 + C) − p1 (SZ + C)
S0
C
p1
S0 + C
=
+
=
p0
SZ + C
SZ + C
SZ + C
(10.15)
Hodnota kompresnı́ho poměru bývá většinou většı́ než 10, proto lze druhý
člen (< 1) zanedbat a dostaneme:
K0 ≈
S0
SZ + C
Kapitola 10. Transportnı́ vývěvy
Ve vı́cestupňových kombinacı́ch můžeme dosáhnout podstatně nižšı́ch
tlaků, např. dvoustupňová Rootsova vývěva spolu s dvoustupňovou rotačnı́ vývěvou dosáhne až 10−4 [P a].
a kompresnı́ poměr je tudı́ž:
K0 =
106
(10.16)
V oboru molekulárnı́ho prouděnı́ (p1 < 10 [P a]) je vodivost štěrbin velmi
malá, lze tedy psát:
S0
K0 ≈
SZ
V oboru viskóznı́ho prouděnı́ (p1 > 1 [kP a]) je naopak vodivost štěrbin
velká a tedy:
S0
K0 ≈
C
Kompresnı́ poměr je tudı́ž zřejmě funkcı́ tlaku (p1 ). S rostoucı́m tlakem K0 klesá, nebot’ vodivost štěrbin je přı́mo úměrná tlaku a s klesajı́cı́m tlakem K0 také klesá, nebot’ docházı́ k desorpci molekul plynu
z povrchu rotorů. Existuje tedy jistá maximálnı́ hodnota kompresnı́ho
poměru (K0max ) asi při tlaku 1 [mbar], jak je vidět z následujı́cı́ho obrázku:
Reálnějšı́ přı́klad výpočtu Rootsovy vývěvy
Uvažme nynı́ čerpacı́ proces daleko od meznı́ho tlaku Rootsovy vývěvy
(vstupnı́ tlak p, výstupnı́ tlak p1 , čerpacı́ rychlost S) společně s pomocnou
primárnı́ vývěvou, např. rotačnı́ (jejı́ vstupnı́ tlak je roven výstupnı́mu
tlaku Rootsovy vývěvy p1 a má čerpacı́ rychlost S1 ).
Proud plynu, čerpaný z vakuové komory, procházı́ postupně dvěma vývěvami a musı́ platit rovnice kontinuity:
q = p · S = p 1 · S1
(10.18)
Tento proud je samozřejmě totožný s proudem podle (10.14), můžeme
tedy psát: (mı́sto p0 máme ovšem nynı́ p)
p1 · S1 = p · S0 − C(p1 − p) − Sz · p1
(10.19)
Tato rovnice nám umožnı́ vypočı́tat poměr výstupnı́ho a vstupnı́ho tlaku
Rootsovy vývěvy při libovolném vstupnı́m tlaku.
Předtı́m ještě definujem:
def p1
Kef =
p
kde Kef je efektivnı́ kompresnı́ poměr (skutečný).
Podle rovnice (10.18) pro něj platı́:
Kef =
p1
S
=
p
S1
(10.20)
A jako modifikaci tohoto vztahu může být definován:
def
Kth =
S0
S1
(10.21)
kde Kth je teoretický kompresnı́ poměr.
Nynı́ z rovnice (10.19) vyjádřı́me poměr tlaků p a p1 :
Známe-li meznı́ tlak použité primárnı́ vývěvy (p1 ) a kompresnı́ poměr
(K0 ) při tomto tlaku, můžeme vypočı́tat meznı́ tlak (p0 ) Rootsovy vývěvy:
p1
p0 =
(10.17)
K0
S1
p
S1 + S z + C
Sz + C
1
1
1
=
=
=
+
=
+
Kef
p1
S0 + C
S0
S0
Kth
K0
(10.22)
Definujeme dále veličinu objemová účinnost ηV :
ηV =
S
S0
(10.23)
10.2. Vývěvy pracujı́cı́ na základě přenosu impulsu
107
108
Kapitola 10. Transportnı́ vývěvy
Při znalosti této účinnosti pak lze vypočı́tat skutečnou čerpacı́ rychlost
Rootsovy vývěvy ve spojeı́ s primárnı́ vývěvou:
S = ηV .S0
(10.24)
Za použitı́ vztahů (10.20) a (10.21) můžeme vyjádřit objemovou účinnostı́
η (10.23) jako:
K0
Kef
α
Kth
(10.25)
=
=
ηV =
K
0
Kth
1+α
1+ K
th
Grafické vyjádřenı́:
pV
Uvedené veličiny a jejich vztahy jsou využity v následujı́cı́m praktickém
výpočtu čerpacı́ rychlosti Rootsovy vývěvy WA 1000 pracujı́cı́ společně
s rotačnı́ vývěvou E 250 (E 75) – viz. tabulka a grafy
SV
E250
250
250
250
250
250
245
185
105
E75
100 74
40
74
10
74
5
74
1
74
0,5
71
0,1
52
0,04 27
133
53
13
7
1
0,7
0,1
0,05
Sth
SV
pV S V
S
K0
K0
Kth
ηV
S = ηV Sth
pA =
3,9
3,9
3,9
3,9
3,9
3,98
5,26
9,28
13
16,5
27
34
52
49,5
27
19
3,34
4,23
6,93
8,72
13,3
12,4
5,14
2,05
0,77
0,81
0,874
0,898
0,93
0,929
0,838
0,673
750
789
851
875
906
905
817
656
44,3
16,8
3,82
2
0,276
0,189
0,023
0,008
13,2
13,2
13,2
13,2
13,2
13,7
18,7
36,1
13
16,5
27
34
52
49,5
27
19
0,985
1,25
2,04
2,58
3,94
3,61
1,44
0,53
0,496
0,556
0,673
0,722
0,798
0,784
0,59
0,35
484
542
656
704
778
764
575
341
15,3
5,5
1,13
0,53
0,095
0,047
0,009
0,003
Kth =
Volba čerpacı́ rychlosti spolupracujı́cı́ rotačnı́ vývěvy:
– je nutné splnit dvě kritéria:
1. nepřekročit (nebo pouze krátkodobě, tj. několik minut) maximálnı́
tlakový rozdı́l ∆pmax = p1 − p
2. objemová účinnost ηV by měla být dobrá
10.2. Vývěvy pracujı́cı́ na základě přenosu impulsu
109
110
Kapitola 11. Sorpčnı́ vývěvy
11 Sorpčnı́ vývěvy
Použijeme rovnici kontinuity:
p1
p1 − p
S
S
, po úpravě
−1
=
=
p
S1
p
S1
Má-li tedy být rozdı́l tlaků p1 − p menšı́ než ∆pmax , musı́ platit:
∆pmax
S
+1
≤
S1
p
Využı́vajı́ jevu adsorpce, tedy vazby molekul na povrch pevných látek.
Lze je rozdělit do dvou skupin:
1. vývěvy využı́vajı́cı́ fyzikálnı́ adsorpce
2. vývěvy využı́vajı́cı́ chemisorpce
1. „nı́zké“ tlaky, p < 1 [mbar]
např.: p = 0,1 [mbar] a ∆pmax = 50 [mbar]:
50
S
+ 1 = 501,
≤
S1
0,1
ale pro vysoké hodnoty je jistě obj. účinnost malá, podmı́nka 2) je
tedy rozhodujı́cı́ při nı́zkých tlacı́ch:
pro p1 = 1 [mbar] . . . K0 ≈ 50, zvolı́me Kth = 10
pak volı́me S1 : S = 1 : 10
pro nižšı́ tlaky je ovšem K0 horšı́ . . . snı́žı́me poměr (1 : 5 až 1 : 3).
2. „vysoké“ tlaky, p > 1 [mbar]
např.: p = 15 [mbar] a ∆pmax = 75 [mbar]:
75
S
+1=6
≤
S1
15
nebo p = 75 [mbar]:
S
75
≤
+1=2
S1
75
volı́me tedy poměr S1 : S = 1 : 2 až 1 : 6
Pro ještě vyššı́ tlaky je ovšem:
S
→ 1 a použitı́ Rootsovy vývěvy ztrácı́ smysl.
S1
11.1
Vývěvy využı́vajı́cı́ fyzikálnı́ adsorpce (kryogennı́ vývěvy)
Využı́vajı́ dvou procesů probı́hajı́cı́ch za velmi nı́zkých teplot:
• adsorpce na poréznı́ch látkách (kryosorpčnı́ vývěvy)
• kondenzace plynu (kryokondenzačnı́ vývěvy)
Typická kryogennı́ vývěva využı́vá obou těchto procesů. K zı́skánı́ nı́zkých
teplot se užı́vá dusı́k a helium. Teplota kapalného dusı́ku (tzv. dusı́ková
.
teplota = 77,4 [K]) obvykle k chlazenı́ nepostačuje a manipulace s kapalným heliem (4,2 [K]) je drahá a komplikovaná (použı́vá se pouze v kosmickém a jaderném výzkumu). V běžné vakuové technice postačı́ chladicı́
stroj (refrigerator) s plynným heliem. Refrigerator se skládá ze dvou částı́:
• kompresor – stlačuje plynné helium na tlak asi 20 atmosfér a ochlazuje ho na běžnou teplotu
• chladicı́ hlava – zde se stlačené helium rozpı́ná (většinou dvoustupňově) a pak se vracı́ zpět do kompresoru
Tı́mto procesem je dosaženo teploty 30–80 [K] na prvnı́m stupni chladicı́
hlavy a teploty 8–20 [K] na stupni druhém. Teplota prvnı́ho stupně se
využı́vá k tepelnému stı́něnı́ druhého stupně.
Výkon kompresoru je několik kW , chladicı́ výkon na druhém stupni chladicı́ hlavy je pouze několik W . Typická čerpacı́ rychlost kryogennı́ch vývěv
je do 20 000 [l/s].
111
11.1. Vývěvy využı́vajı́cı́ fyzikálnı́ adsorpce (kryogennı́ vývěvy)
Schématické znázorněnı́ obecného typu kryogennı́ vývěvy:
112
Z tabulky je vidět, že kdyby vývěva čerpala napřı́klad pouze dusı́k, jejı́
meznı́ tlak by byl roven tenzi par dusı́ku při 20 [K] (3 · 10−9 [P a]). Ve vzduchu jsou však obsaženy dva plyny (vodı́k a helium), které při 20[K] nezkapalnı́. Helium má navı́c značnou tenzi. Kdyby tedy vývěva čerpala nějaký
systém od atmosférického tlaku, byl by jejı́ meznı́ tlak roven součtu parciálnı́ch tlaků právě helia a vodı́ku (0,5 + 10 = 10,5 [P a]). Kryogennı́ vývěva
se proto předčerpává (např. rotačnı́ vývěvou) na tlak asi 10 [P a] (pokles z atmosférického tlaku o 4 řády) a dále se nekondenzovatelné plyny
čerpajı́ pomocı́ sorbentů (aktivnı́ uhlı́, molekulová sı́ta) ochlazených na
teplotu druhého stupně (8–20 [K]). Nastává adsorpce za nı́zké teploty na
povrchu sorbentů a též na adsorbovaných vrstvách jiných plynů (často
velmi důležité, tzv. kryosorpce). Při čerpánı́ vodı́ku nebo helia využı́váme
toho, že tyto plyny snadněji adsorbujı́ při vzájemné interakci (tj. ve směsi)
s jinými, snadno kondenzujı́cı́mi plyny (tzv. kryotrapping).
11.2
Pro ilustraci uvádı́me tabulku různých parametrů významných při čerpánı́ plynů obsažených ve vzduchu:
Plyn
He
H2
Ne
N2
CO
Ar
O2
Kr
Xe
CO2
Parciálnı́
tlak
pparc
Poměrné
zastoupenı́
[P a]
[%]
5,00 · 10−1
1,00 · 101
2,20
7,89 · 104
0
9,44 · 102
2,11 · 104
1,00 · 10−1
9,00 · 10−3
2,93 · 101
5,00 · 10−4
1,00 · 10−2
1,80 · 10−3
7,81 · 101
0
9,33 · 10−1
2,09 · 101
1,00 · 10−4
9,00 · 10−6
3,00 · 10−2
pparc
pcelk
Kapitola 11. Sorpčnı́ vývěvy
Teplota
kapal.
Tk
[K]
Teplota
tuhnutı́
Tt
[K]
Tenze
par při
20 K
[P a]
Čerpacı́
rychlost
S0
l
[ s cm
2]
4,2
20,4
27,3
77,4
81,2
87,2
80,2
120,2
164,2
–
–
14,2
24,2
63,2
66,2
83,9
54,2
116,2
161,4
195,2
> 105
1 · 105
6 · 103
3 · 10−9
5 · 10−11
6 · 10−11
1 · 10−11
1 · 10−15
0
0
30,50
44,00
13,90
11,62
11,624
9,90
11,00
6,80
5,40
9,40
Vývěvy využı́vajı́cı́ chemisorpce
Vývěvy využı́vajı́ chemických vazeb plynů s povrchy pevných látek. Tyto
sorpčnı́ vlastnosti se projevujı́ v největšı́ mı́ře u kovů. Praktické použitı́
našel např. Ti, Al, Ba, Mg, ... a jejich slitiny. Tyto látky bývajı́ použı́vány
spı́še jako pomocné prostředky pro udržovánı́ vakua (tzv. getry). Jako
nejvýhodnějšı́ z výše popsaných prvků se jevı́ titan, který má největšı́ getrovacı́ kapacitu Cg . Na vnitřnı́ch stěnách vývěvy využı́vajı́cı́ titan (nebo
jiný vhodný kov), se musı́ neustále vytvářet vrstvy tohoto čistého kovu.
Vytvářenı́ vrstev se provádı́ bud’ sublimacı́ kovu (zahřátı́m na vysokou
teplotu) nebo jeho rozprašovánı́m (bombardovánı́m rychlými ionty).
Titanová sublimačnı́ vývěva
11.2. Vývěvy využı́vajı́cı́ chemisorpce
113
114
Kapitola 11. Sorpčnı́ vývěvy
Titanový drát je zahřı́ván přı́mým průchodem elektrického proudu. Titan
sublimuje na okolnı́ stěny, které bývajı́ často chlazené. Čerpacı́ rychlost
těchto vývěv je v rozmezı́ desı́tek až desı́tek tisı́c l/s. Pro sublimaci je potřebný tlak méně než 0,1 [P a], proto i tato vývěva potřebuje předčerpánı́.
Titanová sublimačnı́ vývěva bývá často použı́vána ve spojenı́ s turbomolekulárnı́ vývěvou. Zlepšı́ jejı́ meznı́ tlak o jeden řád.
Titanová iontová vývěva v diodovém uspořádánı́
Při rozprašovánı́ katod se uvolňujı́ kromě titanu také dřı́ve implantované
částice čerpaného plynu a vracejı́ se zpět do vývěvy. Vzniká zpětný proud
plynu, závislý na dřı́vějšı́m čerpánı́ (tzv. pamět’ový efekt vývěvy). Uvolňovánı́ dřı́ve implantovaných částic plynu má zásadnı́ vliv na čerpánı́
netečných plynů (Ar, He, ...). Ty se dı́ky své netečnosti nevážı́ chemisorpcı́, ale pouze implantacı́ a rozprašovánı́ podstatně snižuje jejich čerpacı́ rychlost. V konečném výsledku je čerpacı́ rychlost netečných plynů
pouze několik procent obecné čerpacı́ rychlosti. Jediný způsob, jak zabránit rozprašovánı́ katod, je zmenšenı́ jejich povrchu.
Na obrázku vidı́me Penningovu buňku (diodu). Celá vývěva je tvořena
mnoha takovými buňkami. Diodu tvořı́ válcová anoda a dvě deskové katody z titanu, mezi nimiž je napětı́ 4–7,5 [kV ] a jsou umı́stěny v magnetickém poli (B =0,1–0,2 [T ]). V tomto uspořádánı́ vzniká tzv. Penningův
výboj. Elektrony konajı́ dlouhé složité dráhy, ionizujı́ plyn a vzniklé ionty,
urychlené vysokým napětı́m, dopadajı́ na katody. Probı́há tzv. iontové čerpánı́, tvořené dvěma procesy:
Titanová iontová vývěva v triodovém uspořádánı́
• Katody se po dopadu iontů rozprašujı́, titan se nanášı́ na všechny
okolnı́ plochy (anody) a probı́há chemisorpce plynu.
• Ionty jsou implantovány do katody, zabudovávajı́ se do krystalové
mřı́žky titanu a tı́m jsou odčerpávány z prostoru vývěvy.
Čerpacı́ rychlost je opět v rozmezı́ desı́tek až desı́tek tisı́c l/s. Meznı́ tlak
těchto vývěv bývá menšı́ než 10−10 [P a].
Katody z titanu majı́ tvar mřı́žky. Ionty dopadajı́ na mřı́žku velmi často
šikmo, takže proces rozprašovánı́ probı́há, ale docházı́ pouze k nepatrné
implantaci. Ionty při styku s katodou často ztratı́ kladný náboj a jako
neutrály dopadajı́ na stěnu vývěvy. Tam dojde k implantaci a pouze k nepatrnému rozprašovánı́. Pokud náboj neztratı́, elektrické pole je obrátı́
zpět ke katodě a také téměř nedocházı́ k rozprašovánı́ stěny. Dı́ky tomu
vzroste čerpacı́ rychlost netečných plynů až na 20–30 % obecné čerpacı́
rychlosti.
115
116
Kapitola 12. Vakuová měřenı́
12 Vakuová měřenı́
5. vlivu vakuoměru na tlak plynu ve vakuovém systému – některé
vakuoměry majı́ čerpacı́ efekt (čerpajı́ plyn jako vývěvy),
12.1
6. vlivu vakuoměru na složenı́ plynu ve vakuovém systému – manometr s kapalinou vnese do systému jejı́ páry, ionizačnı́ vakuoměr
vytvářı́ ionty a disociuje molekuly.
Základnı́ údaje
Jde v podstatě o metody měřenı́ fyzikálnı́ch veličin, definovaných a užı́vaných v předchozı́ch odstavcı́ch, napřı́klad: tlak plynu, proud plynu, tenze
páry, čerpacı́ rychlost, meznı́ tlak, lokalizace a měřenı́ netěsnostı́. . .
Protože základnı́ veličinou charakterizujı́cı́ vakuový systém je tlak, je
nejdůležitějšı́m měřenı́m ve vakuové fyzice a technice měřenı́ tlaku (celkového i parciálnı́ho).
Poznámka:
měřenı́ tlaku je téměř vždy součástı́ měřenı́ ostatnı́ch vakuových veličin.
Důležité je také umı́stěnı́ vakuoměrů ve vakuovém systému:
1. pozor na tlakový spád ve vakuovém systému – zejména při chodu
vývěvy,
2. pozor na vliv samotné měrky vakuoměru – ty jsou velmi často vyrobeny ve tvaru malých komůrek, které chránı́ vlastnı́ měřicı́ systém
a s vakuovou komorou je spojuje otvor, jak ukazuje následujı́cı́ obrázek.
Lze rozlišit dvě základnı́ kategorie:
vakuovy
system
1. přı́má měřenı́ tlaku
z definice jako sı́la na jednotku plochy, eventuálně se využı́vá souvislosti sı́ly s deformacı́ pružných těles. Údaje takových tlakoměrů
(manometrů, vakuometrů) nezávisı́ na druhu plynu . . . tzv. absolutnı́ tlakoměry,
2. nepřı́má měřenı́ tlaku
využı́vá se nějaká jiná fyzikálnı́ veličina, která se měnı́ s tlakem,
napřı́klad tepelná vodivost plynu. Tyto veličiny ovšem téměř vždy
závisejı́ i na dalšı́ch proměnných parametrech, jako je druh plynu,
teplota . . . tlakoměry nejsou absolutnı́.
Vhodnost užitı́ nějaké konkrétnı́ měřicı́ metody, respektive nějakého konkrétnı́ho přı́stroje (vakuoměru) musı́me posoudit zejména podle:
1. měřicı́ho oboru – rozsahu měřených tlaků,
2. citlivosti – poměru změny údaje přı́stroje a změny tlaku,
3. přesnosti – chyby měřenı́,
4. doby odezvy přı́stroje – s nı́ž reaguje na změnu tlaku,
merici
system
merka
Pak má ovšem na údaj tlaku vliv také:
• efúze,
• čerpacı́ efekt vakuoměru,
• adsorpce a desorpce stěn měrky.
Tyto vlivy zmı́rnı́ co největšı́ otvor do měrky a úplně nejlepšı́ je
vnořený měřicı́ systém.
12.2. Přı́mé měřicı́ metody
12.2
117
118
Kapitola 12. Vakuová měřenı́
Přı́mé měřicı́ metody
12.2.1 Kapalinové manometry
Měřı́ mechanické sı́ly, kterými působı́ na citlivý element přı́stroje molekuly plynu.
Prvnı́ byla Torricelliho trubice užitá pro měřenı́ atmosférického tlaku.
Pro nı́zké tlaky se použı́vajı́ U-manometry:
12.2.2 Kompresnı́ manometry
Měřı́ opět mechanické sı́ly plynu působı́cı́ na snı́macı́ element.
• diferenciálnı́ U-manometr, kde platı́: p2 − p1 = h̺g,
• uzavřený zkrácený U-manometr, kde platı́: p = h̺g.
Zásadnı́ snı́ženı́ dolnı́ hranice oboru měřených tlaků (až 106 krát) zaznamenal McLeodův kompresnı́ manometr.
Jako náplň sloužı́ rtut’a olej. Přesnost měřenı́ je dána přesnostı́ stanovenı́
rozdı́lu hladin h . . . ∆h = 0,1 až 1 [mm].
Tedy:
• pro rtut’ je přesnost 0,1 [T orr], nebo-li ∆h̺g = 1 · 10−4 · 13,59 · 103 ·
9,81 =13,3 [P a],
• pro olej ∆h̺g = 1 · 10−4 · 0,9 · 103 · 9,81 = 0,8 [P a]. Tato hodnota je
i dolnı́ hranice oboru tlaků.
Princip měřenı́ je jednoduchý: velký objem plynu o nı́zkém tlaku se stlačı́
v měřicı́ kapiláře rtutı́ (jako pı́stem) na malý objem (za konstantnı́ teploty,
tedy pomalu a proto platı́ pV = konst.). Tı́m vzroste tlak plynu natolik,
že může být změřen jako v U-manometru.
Dalšı́ zlepšenı́ přinese šikmé rameno manometru. Pro úhel sklonu ramene
.
α = 6◦ vycházı́ h′ přibližně desetkrát většı́ než h. Citlivost je tudı́ž většı́
o faktor sin1 α vzhledem k manometru se svislým ramenem.
Způsob měřenı́: otevřenı́m ventilu do atmosféry se zvýšı́ tlak v zásobnı́ku rtuti, ta tedy stoupá a dosáhne-li výšky C, oddělı́ se objem plynu V
od měřeného systému. Při dalšı́m stoupánı́ se stlačuje plyn v kompresnı́m
objemu, a proto se v něm zvyšuje tlak.
119
12.2. Přı́mé měřicı́ metody
Stoupánı́ rtuti lze ukončit ve dvou variantách:
1. hladina rtuti ve srovnávacı́ kapiláře dosáhne mı́sta A (úrovně konce
.
měřı́cı́ kapiláry – obr. a). Pak platı́: h = p − px = p,
kde:
• p je tlak v měřicı́ kapiláře,
• px je tlak v měřeném systému (p ≫ px ).
Použijeme Boylův-Mariottův zákon: px V = phS = Sh2 ⇒ px =
S 2
2
V h = kh (kvadratická závislost).
Odlehlost h se neměřı́, ale zhotovı́ se stupnice tlaků podél kapiláry
– tzv. měřenı́ na kvadratické stupnici.
Většinou bývá:
• kompresnı́ objem V =1 [l],
• průměr měřicı́ kapiláry S =1 [mm2 ],
• pak je kompresnı́ poměr k =
V
S
=
1
106 .
Pro h =1 [mm] je px = 10−6 [T orr], což je dolnı́ hranice oboru tlaků,
2. zvedneme hladinu rtuti ke značce B (do výšky h0 od konce měřicı́
kapiláry – obr. b). Dostaneme tedy konstantnı́ kompresnı́ poměr.
Pak: px V = phS ⇒ px = hV0 S h = kh (lineárnı́ závislost).
V tomto přı́padě jde o měřenı́ na lineárnı́ stupnici.
120
Kapitola 12. Vakuová měřenı́
McLeodův manometr se dodnes použı́vá ke kalibraci nepřı́mých vakuoměrů. Nehodı́ se pro běžnou praxi, protože:
• měřı́ pomalu,
• neměřı́ plynule,
• neměřı́ tlak kondenzujı́cı́ch par (napřı́klad vody) – tyto páry zkapalnı́ při kompresi,
• vnášı́ páry rtuti do vakuového systému.
12.2.3 Mechanické (deformačnı́) manometry
Mechanicky snı́majı́ pohyb pružného elementu.
Jedná se zejména o tyto dva typy:
• membránové (obr. a) – tenká pružná membrána (často zvlněná soustřednými kruhy) se prohýbá působenı́m tlaku a pomocı́ páčky a převodu působı́ na ručku, která se pohybuje po stupnici. Na jedné
straně membrány působı́ tlak známý, na druhé tlak měřený,
• trubicové (obr. b) – mı́sto membrány je v nich užito trubice (tzv. Bourdonova) s tenkými stěnami, která je kruhově ohnuta, zploštělá a najednom konci uzavřena. Druhým koncem je spojena se systémem,
v němž se měřı́ tlak. Při měřenı́ tlaku se měnı́ křivost této trubice,
což má za následek pohyb ručičky přes ozubený převod.
Měřicı́ obor: od atmosférického tlaku do tlaku asi 1 [mbar].
Použitı́: hlı́dače vakua (vakuové relé).
12.3. Nepřı́mé měřicı́ metody
121
12.2.4 Přesné membránové manometry
Měřı́ na principu závislosti výchylky pružné stěny při působenı́ tlakového
rozdı́lu na oba jejı́ povrchy. Vyznačujı́ se použitı́m velmi tenké membrány
(z kovu či krystalického křemı́ku). Hlavnı́ konstrukčnı́ problém je způsob
stanovenı́ výchylky membrány z rovnovážné polohy.
K tomu lze použı́t:
• velmi přesné elektrické metody – napřı́klad diferenciálnı́ měřenı́
kapacit na obou stranách membrány,
• optické metody – napřı́klad zrcátková.
Přesnost: vysoká (desetiny procenta).
Dolnı́ hranice tlaků: 10−5 [mbar].
12.3
122
Kapitola 12. Vakuová měřenı́
• udržuje se konstantnı́ teplota drátku (tj. jeho odpor) – při většı́m
ochlazovánı́ je nutné dodávat většı́ elektrický přı́kon . . . mı́rou tlaku
p je elektrický přı́kon P . Takto pracuje odporový vakuoměr nejčastěji,
• udržuje se konstantnı́ přı́kon – a pak při většı́m ochlazovánı́ drátku
se zmenšuje jeho teplota . . . mı́rou tlaku p je teplota drátku (tj. jeho
odpor).
Údaje přı́stroje závisı́ na druhu plynu, nebot’ na něm závisı́ ochlazovánı́
drátku. Následujı́cı́ obrázek ukazuje kalibračnı́ křivky tepelného manometru. Stupnice přı́stroje platı́ pro dusı́k N2 (vzduch). Největšı́ citlivost
je ve střednı́, nejstrmějšı́, části křivky. Při vyššı́ch hodnotách tlaku je údaj
na něm nezávislý, při nı́zkých tlacı́ch potom křivka přecházı́ v rovnoběžku
s osou tlaků.
Nepřı́mé měřicı́ metody
Tlak lze měřit na základě veličiny, jež na něm závisı́. V oboru nı́zkých
tlaků je velikost přenesené veličiny závislá na tlaku plynu → k měřenı́
tlaku lze užı́t: přenosu energie, přenosu impulsu, ionizace molekul, . . .
Ve všech přı́padech závisı́ měřená veličina i na veličinách charakterizujı́cı́ch měřený plyn.
12.3.1 Tepelné vakuoměry
Jsou založeny na přenosu tepla (tepelná vodivost plynu závisı́ na tlaku
plynu).
Nejběžnějšı́ provedenı́: Piraniho (odporový) vakuoměr. Skládá se
z baňky, do nı́ž je zataveno tenké kovové vlákno. Přı́mým průchodem
proudu se tento odporový drátek elektricky ohřı́vá asi na teplotu 200 [◦C],
přitom se neporušuje stavba molekul měřeného plynu.
Mı́ra ochlazovánı́ drátku plynem, která závisı́ na tlaku, se pak měřı́
dvěma způsoby:
Existuje hornı́ hranice měřeného oboru tlaků (při vyššı́ch tlacı́ch součinitel tepelné vodivosti λ nezávisı́ na tlaku plynu p), ale i dolnı́ hranice.
Oblast linearity je malá – stupnice měřidla nenı́ lineárnı́.
Teplota žhaveného drátku lze měřit pomocı́ termočlánku (jeden spoj je přiložen k vláknu manometru napřı́klad uprostřed), nebo se přı́mo žhavı́
termočlánek (je ho použito jako vlákna) – tı́m vzniká termočlánkový vakuoměr. Ten se musı́ žhavit střı́davým proudem, aby se odlišilo termočlánkové napětı́.
12.3. Nepřı́mé měřicı́ metody
123
Výhody tepelných vakuoměrů:
124
Kapitola 12. Vakuová měřenı́
vybudı́ kmity tohoto pružného vlákna. Vytvořı́ se tlumené nebo nucené
kmity a mı́rou tlaku je potom rozkmit vlákna.
• jednoduchost,
• neovlivňujı́ tlak a složenı́ plynu – viz nı́zká teplota vlákna,
• lze je dobře odplynit,
• chyby měřenı́ známého plynu jsou několik procent.
Nevýhoda:
• chyby měřenı́ neznámého plynu jsou až stovky procent (i 500 %).
12.3.2 Viskóznı́ manometry
Využı́vajı́ závislosti koeficientu třenı́ (tedy přenosu impulsu) na tlaku
plynu. Za nı́zkého tlaku je η úměrná p.
Konstrukčnı́ provedenı́: do vakua je třeba umı́stit pohybujı́cı́ se těleso
a měřit brzdı́cı́ (popřı́padě hnacı́) vliv plynu nebo přenos impulsu. Většinou se užı́vá rotačnı́ nebo kmitavý pohyb vloženého předmětu.
Přı́kladem byla kruhová deska (obr. a), která se roztočila motorkem a třenı́m plynu se brzdı́ jejı́ pohyb. Potřebujeme určit právě tento brzdı́cı́ moment:
• lze stanovit z výkonu motoru, který je potřeba k udrženı́ daných
otáček,
• nebo se motor vypne a brzdı́cı́ moment se určı́ z poklesu otáček
kotouče za určitý čas.
Přidánı́m dalšı́ho kotouče do blı́zkosti prvnı́ho lze měřit přenos impulsu.
Tı́m vzniká Langmuirův-Dushmanův manometr (obr. b). Jeden z kotoučů
rotuje a uvádı́ tı́m do pohybu molekuly plynu, druhý je zavěšený na
vlákně. Pohybujı́cı́ se molekuly dopadajı́ na spodnı́ kotouč a předávajı́
mu svůj impuls. Z úhlu natočenı́, který se měřı́ pomocı́ zrcátka, je možno
vypočı́tat velikost přeneseného impulsu.
Dalšı́m typem je Langmuirův manometr (obr. c). Je tvořen z tenkého
křemı́kového vlákna zavěšeného v baňce. Elektromagnetickým polem se
Z výše uvedených přı́kladů je zřejmé, že princip metody je jednoduchý,
ale měřené veličiny se obtı́žně určujı́ (hlavně rozkmit vlákna, počet otáček, doba poklesu otáček). Navı́c musı́me brát v úvahu i třenı́ v ložiskách
a závěsech. Nenı́ proto překvapujı́cı́, že tyto vakuoměry našly použitı́ jen
ve vědeckých laboratořı́ch.
Až v poslednı́ době (10 let) byl doveden k dokonalosti viskóznı́ vakuoměr
s rotujı́cı́ kuličkou (typ Viscovac od firmy Leybold-Heraeus).
Princip: malá ocelová kulička o průměru 4,5 [mm] se roztočı́ v magnetickém závěsu (tedy střı́davým magnetickým polem) okolo svislé osy
na 425 otáček za minutu, a pak se změřı́ čas, za který poklesnou otáčky
na hodnotu 405 za minutu. Kulička se znovu roztočı́ a měřenı́ se libovolně
opakuje – lze vyčı́slit přesnost měřenı́. Celý proces řı́dı́ mikroprocesor.
Měřicı́ obor: 10−7 až 1 [mbar]. Přesnost: 2 %.
Výhody:
• nemusı́ se kalibrovat – tlak lze vypočı́tat ze známých parametrů
kuličky a plynu,
• snadná odplynitelnost ocelové kuličky a malé komory až do 400 [◦C].
12.3.3 Ionizačnı́ vakuoměry
Využı́vajı́ ionizace molekul měřeného plynu v ionizačnı́m prostoru manometru. Měřı́ počet vzniklých iontů, který je přı́mo úměrný počtu neutrálnı́ch molekul (při konstantnı́m působenı́ ionizačnı́ho čidla). Tento počet
125
12.3. Nepřı́mé měřicı́ metody
vzniklých iontů lze měřit pomocı́ jejich proudu:
~ı = n · e · ~v ,
kde:
• n je koncentrace molekul plynu,
• e = 1,602 · 10
−19
[C],
• ~v je rychlost iontu.
Existuje několik použı́vaných způsobů ionizace:
126
Kapitola 12. Vakuová měřenı́
Vysokofrekvenčnı́ bezelektrodový výboj
Velmi výhodně se užı́vá k odhadu tlaků u skleněných vakuových systémů. K jeho stěně se přiblı́žı́ elektroda sekundárnı́ho obvodu Teslova
transformátoru a vzniká výboj, jehož vzhled závisı́ na tlaku plynu:
tlak [mbar]
1 · 100
1 · 10−1
1 · 10−2
1 · 10−3
vzhled výboje
výboj v ose (napřı́klad skleněného potrubı́)
vyplňuje celý systém
ztrácı́ na intenzitě a barva bledne
ustává a světélkuje při vnitřnı́m povrchu stěny
Dle barvy výboje lze odhadnout i druh plynu:
• ionizace srážkami s elektrony – zdrojem elektronů pak může být
žhavá nebo studená katoda, fotokatoda nebo elektrický výboj,
barva výboje
fialový
modrý
červený
• ionizace dopadem zářenı́ – fotoionizace,
• ionizace v silném elektrickém poli,
• ionizace srážkami iontů.
druh plynu
vzduch
argon
neon
Bezelektrodovým výbojem je možno zı́skat rychle přehled o tlaku v různých částech aparatury, bývá užı́ván i k hledánı́ netěsnostı́.
12.3.4 Výbojový manometr
Penningův vakuoměr
Využı́vá samostatného elektrického výboje, kdy je plyn ionizován srážkami s elektrony, přı́padně dopadem zářenı́. Měřenı́ vycházı́ ze závislosti
různých parametrů takového výboje (proud, napětı́) na tlaku.
Obyčejná výbojka
Při nižšı́ch tlacı́ch než 10−3 [mbar] tedy elektrický výboj zaniká. Dráha
elektronu v systému je již kratšı́ než jeho střednı́ volná dráha a ionizačnı́
efekt nestačı́ k udrženı́ výboje. Problém je principiálně řešitelný bud’ zvýšenı́m počtu ionizujı́cı́ch elektronů (odstavec 12.3.5) nebo prodlouženı́m
dráhy elektronů za použitı́ magnetického pole. Druhým způsobem vzniká
právě tento vakuoměr.
V nı́ se mezi dvěmi terčovými elektrodami o stejnosměrném napětı́ několik [kV] při tlaku 10 – 20 [mbar] objevı́ výboj, jenž s klesajı́cı́m tlakem
měnı́ svůj vzhled. Nejprve má tvar tenkého provazce mezi elektrodami,
při nižšı́m tlaku vyplnı́ celou výbojovou trubici a při tlaku 10−3 [mbar]
úplně zmizı́ a procházejı́cı́ proud klesá na nulu.
Skládá se ze třı́ elektrod: dvou terčových, které jsou spolu vodivě spojeny (při napětı́ několik [kV ]) a válcové anody umı́stěné mezi nimi tak,
aby osa sondy procházela kolmo středem katod. Systém elektrod je umı́stěn ve skleněné baňce a celý manometr je vložen do magnetického pole
(o magnetické indukci 0,1 – 0,2 [T ]) tak, aby jeho silokřivky procházely
rovnoběžně s osou elektrodového systému.
Použı́vané typy:
Elektrony působenı́m Lorentzovy sı́ly konajı́ dlouhé dráhy tvaru epicykloidy. Tento pohyb je doplněn kmitánı́m ve směru osy anody mezi oběmi
12.3. Nepřı́mé měřicı́ metody
127
katodami a probı́há tak dlouho, než elektron dopadne na anodu. Přitom
již dostatečně ionizujı́ plyn a vzniká Penningův výboj.
128
Kapitola 12. Vakuová měřenı́
Inverznı́ výbojový vakuoměr
Vyznačuje se obrácenou a upravenou konfiguracı́ elektrod. Je tvořen válcovou katodou (ta je obklopena stı́nı́cı́ elektrodou) s otvory v ose, kterými procházı́ tyčová anoda. Elektrody jsou v baňce, jenž je vložena
do magnetického pole se silokřivkami rovnoběžnými s anodou.
Hornı́ hranice oboru tlaků ∼ 10−2 [mbar] – při vyššı́m tlaku se měnı́
charakter výboje.
Dolnı́ hranice oboru tlaků ∼ 10−8 [mbar] – jejı́ hodnotu omezuje nepřı́znivě proud autoelektronů, které jsou emitovány z katod v mı́stech silného elektrického pole (zejména na povrchových nerovnostech). Tomuto
efektu lze zabránit použitı́m stı́nı́cı́ elektrody (napřı́klad ve tvaru prstenců, které jsou vloženy mezi anodu a katody), tı́m lze dosáhnou snı́ženı́
dolnı́ hranice oboru tlaků až na hodnotu 10−12 [mbar].
Ukázka kalibračnı́ch křivek Penningova manometru:
Dráhy elektronů: hypocykloidnı́ + oscilace ve směru rovnoběžném s anodou.
Měřicı́ obor: stejný jako u původnı́ho uspořádánı́ (odstavec 12.3.4 – Penningův vakuoměr).
Výhody:
• jednoduchý a navı́c odolný
• často se kombinuje s tepelným manometrem – navazuje na jeho
měřicı́ obor.
Nevýhody:
• hůře se odplyňuje – je masivnı́ a obsahuje magnet,
• do určité mı́ry ovlivňuje složenı́ plynu – docházı́ k disociaci a ionizaci
molekul ve výboji,
• elektrody jsou ve výboji rozprašovány ⇒ sorpce – existuje tedy čerpacı́ efekt manometru (až 1 [l/s]). S tı́m souvisı́ i desorpce, a pak docházı́ k tzv. pamět’ovému jevu, kdy se do systému dostávajı́ molekuly
sorbované při dřı́vějšı́m měřenı́ (projevuje se hlavně při střı́davém
měřenı́ různých směsı́).
129
12.3. Nepřı́mé měřicı́ metody
Přesnost měřenı́: při tlaku
130
Tyto kladné ionty jsou přitahovány zápornou mřı́žkou (kolektorem nabitým záporně vzhledem ke katodě) a vytvářı́ iontový proud Ii :
• > 10−4 [P a] . . . projevujı́ se nestability výboje, chyby měřenı́
20 − 30 %, proud závisı́ na čistotě katody,
−4
• < 10 [P a]
...
úměrný tlaku.
stabilnı́ výboj, chyby měřenı́ do 5 %, proud
12.3.5 Ionizačnı́ vakuoměr se žhavou katodou
Vyššı́ ionizace nutná pro samostatný výboj za nı́zkého tlaku se zı́ská
i žhavou katodou.
Kapitola 12. Vakuová měřenı́
Ii = CIe · p = k · p,
(12.1)
kde:
• C je konstanta přı́stroje a k jeho citlivost.
Proud Ii závisı́ na geometrickém uspořádánı́, potenciálech elektrod. Nezávisı́ na druhu plynu. Rovnice (12.1) platı́ ve velmi širokých mezı́ch
a tudı́ž hlavnı́ výhodou tohoto vakuoměru je lineárnı́ stupnice.
Konstrukce: jako elektronka – válcová symetrie. Katoda (na povrchu
s vrstvou kysličnı́ků thoria) je uprostřed mřı́žky, která je bud’ ve tvaru
spirály nebo je tvořena několika podélnými tyčkami.
Klasické uspořádánı́: jako trioda (tři elektrody – žhavá katoda, mřı́žka,
kolektor). Při dostatečně vysoké teplotě katody předávajı́ tepelné kmity
jejich částic energii elektronům a ty z nı́ vystupujı́. Následně procházı́
skoro velmi řı́dkou mřı́žkou a dopadajı́ na anodu. Tı́m vzniká elektronový
proud Ie . Elektrony ve srážkách ionizujı́ molekuly plynu a počet vzniklých
iontů je úměrný:
• počtu elektronů – tj. proudu elektronů,
• koncentraci plynu – tj. tlaku plynu.
Měřicı́ obor: 1 až 10−6 [mbar] – při nižšı́m nebo naopak vyššı́m tlaku
je už proud velmi malý a tedy težko zjistitelný.
12.3.6 Ionizačnı́ vakuoměr s klystronovým uspořádánı́m
elektrod
Citlivost lze až stokrát zvýšit prohozenı́m funkce mřı́žky a anody. Jedná
se o ionizačnı́ vakuoměr s klystronovým uspořádánı́m elektrod. Elektrony
přitahované mřı́žkou jı́ proletı́, obrátı́ se a vracejı́ se zpět. Tak to provedou
několikrát ⇒ vykonajı́ dlouhé dráhy a zvýšı́ tı́m ionizaci i proud iontů Ii .
131
12.3. Nepřı́mé měřicı́ metody
132
Kapitola 12. Vakuová měřenı́
Touto úpravou se značně zredukuje „odsávacı́ schopnost“ kolektoru iontů,
proto se musı́ změnit celá geometrie přı́stroje: kolektor iontů je mı́sto
katody (tı́m se zvýšı́ elektrické pole kolem něj a tedy i ionizace), mřı́žka
zůstává a katoda je nynı́ umı́stěna vně.
V důsledku zmenšenı́ fotoproudu se snı́žı́ dolnı́ hranice měřicı́ho oboru
na hodnotu asi 10−10 [mbar] (hornı́ hranice je 10−3 [mbar]).
Hlavnı́ přednostı́ je už dřı́ve zmı́něná přı́mková charakteristika:
Ii = konst. · p · Ie .
Měřicı́ rozsah je nynı́ 10−2 až 10−8 [mbar].
Hornı́ hranice je tedy nižšı́, a proto postačı́ wolframová katoda.
Dolnı́ hranice je dána rentgenovskou mezı́: urychlené elektrony dopadajı́
na kolektor elektronů a vzniká tak velmi měkké a slabé rentgenovské
zářenı́. To se šı́řı́ všude kolem a po dopadu na kolektor iontů vyvolá
sekundárnı́ emisi elektronů (fotoelektrický jev) a jimi vytvořený proud –
fotoelektrický – se sečte s iontovým. Celkový proud dopadajı́cı́ na kolektor
iontů lze vyjádřit takto:
celkový
Ina
kol. iontů
= Ii + If otoel. .
12.3.7 Bayard-Alpertova měrka
Fotoproud lze zmenšit snı́ženı́m plochy kolektoru iontů, proto se mı́sto
válcové anody vezme velmi tenký drátek o průměru několik [µm]. Tak dojde ke snı́ženı́ plochy až o 3 řády a tı́m klesá i proud fotoelektronů.
Ale pozor, elektronový proud Ie také ovlivňuje iontový proud Ii . Přı́stroje
proto musı́ mı́t stabilizátor elektrického proudu. Na jeho kvalitě závisı́
i přesnost měřenı́ – běžné hodnoty kolem 1 % a méně ⇒ jedná se o nejpřesnějšı́ vakuoměr v oboru ultravakua a vysokého vakua.
Vlastnosti:
• vyrábı́ se většinou vnořené měrky,
• vakuoměr má čerpacı́ (až 1 [l/s]) i pamět’ový efekt,
• dobře se odplyňuje – zařı́zenı́ pro odplyněnı́ měrky má každý vakuoměr většinou v sobě zabudované (na elektrody se připojı́ záporné
napětı́ a bombardovánı́m se žhavı́ po dobu několika minut),
• stupnice jsou kalibrované pro dusı́k (vzduch) – při měřenı́ jiného
plynu tedy neukazujı́ správný tlak (poskytovaný údaj se nazývá
dusı́kový ekvivalent).
12.3.8 Extraktorový ionizačnı́ vakuoměr
Umožňuje dalšı́ snı́ženı́ dolnı́ hranice měřicı́ho oboru na 10−12 [mbar].
Dle obrázku má thoriová katoda (K) tvar prstence, kolektor ve tvaru
tenké tyčinky je umı́stěn vně anody ve středu polokulového reflektoru
iontů, který je na potenciálu anody (A) a je od nı́ oddělen stı́něnı́m
na potenciálu katody. Vnitřnı́ stěny baňky jsou pokryty vrstvou SnO2 ,
který je na potenciálu katody.
Ionty vzniklé u anody proudem elektronů vystupujı́cı́ch z katody jsou
přitahovány ve směru stı́něnı́ a většina jich procházı́ otvorem ve stı́něnı́ a působenı́m kladného potenciálu polokulového reflektoru směřujı́
12.4. Měřenı́ parciálnı́ch tlaků
133
na kolektor. Tok rentgenového zářenı́ na kolektor je malý, do značné mı́ry
je snı́žen i vliv elektronové desorpce z anody.
134
Kapitola 12. Vakuová měřenı́
lektor. Kolektorový proud přı́slušı́cı́ této hmotnosti závisı́ na koncentraci
této složky a na pravděpodobnosti ionizace.
Tento přı́stroj má tři hlavnı́ části:
Zdroj iontů
Ionty se v něm vytvářejı́ jako v elektronových ionizačnı́ch vakuometrech,
tedy ionizacı́ neutrálnı́ch částic plynu bombardovánı́m elektrony. Navı́c
se většinou požaduje, aby vznikl úzký svazek iontů o určité rychlosti.
Platı́:
1
mv 2 = e · U ,
2
12.4
Měřenı́ parciálnı́ch tlaků
Ve fyzice vakua je nutné znát i složenı́ plynů a tlaky jeho jednotlivých
složek. Zbytkové plyny jsou ve vysokém vakuu tvořeny H2 , Ar, N2 , O2 ,
CO2 a v ultravakuu i He difundujı́cı́m stěnou z atmosféry.
Jediný prakticky užı́vaný způsob měřenı́ v poslednı́ době obsahuje hmotnostnı́ spektrometr, který provádı́ analýzy složenı́ plynů většinou při tlacı́ch menšı́ch než 10−3 [mbar].
(12.2)
kde:
• e je náboj iontu,
• v je rychlost iontu,
• U je napětı́ elektrického pole.
Blokové schéma hmotnostnı́ho spektrometru:
12.4.1 Hmotnostnı́ spektrometr
Pracuje na principu ionizace molekul analyzované směsi plynů a na způsobu odevzdánı́ vzniklých iontů určité hmotnosti s určitými náboji na ko-
Dle obrázku, proud elektronů z katody soustředěný elektrickými čočkami,
vstupuje do prostoru ionizačnı́ komůrky, kde docházı́ k ionizaci a pak
dopadá na anodu. Ionty po urychlenı́ a zformovánı́ ve svazek pomocı́ clony
dopadajı́ do výstupnı́ho otvoru iontové trysky, z něhož vstupujı́ s různými
rychlostmi (závisejı́cı́mi na hmotnosti) do separátoru.
135
12.4. Měřenı́ parciálnı́ch tlaků
Separátor iontů
136
Kapitola 12. Vakuová měřenı́
Změnou hodnot U a B dosáhneme toho, že na kolektor dopadajı́ ionty
různých hmotnostı́ a vzniká tak hmotové spektrum:
Odděluje ionty různé hmotnosti.
Přı́kladem je sektorový separátor:
~ ⊥ ~v . Sı́ly
Ionty vletı́ do prostoru (sektoru) s magnetickým polem, kde B
tohoto pole způsobı́, že se proud iontů štěpı́ na svazky odpovı́dajı́cı́ různým
hmotnostem m.
Platı́:
Nejmenšı́ měřitelný tlak ∼ 10−8 [P a].
~ . . . dostředivá sı́la,
F~ = e~v × B
~
F = evB . . . kruhová dráha v rovině kolmé na B.
Výhoda:
• velká rozlišovacı́ schopnost.
Lorentzova a odstředivá sı́la jsou v rovnováze:
Nevýhody:
mv 2
= evB
r
• velké rozměry,
• velký vnitřnı́ povrch → těžké odplyněnı́ → pamět’ový efekt.
Po úpravě pro poloměr dráhy iontů dostaneme:
1
r=
B
r
2mU
e
(12.3)
Z rovnice (12.3) je vidět, že při B=konst.,! U =konst. vyjdou pro různé
m
podı́ly m
e odlišná r. Ionty určité hmotnosti
e vykonajı́ dráhu (má tvar
kruhové výseče) určitého poloměru. Na kolektor iontů tedy dopadnou (při
stálé hodnotě B a U ) jen ionty určité relativnı́ hmotnosti, ostatnı́ dopadajı́
před nebo za kolektor a na něj se tedy nedostanou. Vznikajı́cı́ iontový
proud je opět úměrný koncentraci molekul této hmotnosti, tj. tlaku.
Poznámka:
V grafu hmotového spektra je třeba si dát pozor na dvojnásobnou a vyššı́
ionizaci – spektrum uvádı́ v určitém vrcholu jak složku o hmotnosti m
jednou ionizovaných atomů či molekul, tak i složku o hmotnosti 2m dvojnásobně ionizovaných atomů či molekul.
V současné době se jako separátor iontů užı́vá výhradně hmotový filtr
(kvadrupól) obrázek a). Část obrázku b) ukazuje přı́čný řez hmotového
filtru.
12.5. Hledánı́ netěsnostı́
137
138
Kapitola 12. Vakuová měřenı́
12.5.1 Metody hledánı́ netěsnostı́ v částech systému
Metoda bublinová
Do zkoumané komory se vpustı́ plyn o vyššı́m tlaku. Potom se mı́sto
předpokládané netěsnosti pokryje vodnı́m roztokem mýdla. V mı́stech
netěsnostı́ se začnou tvořit snadno pozorovatelné bubliny. Nenı́-li prověřovaný systém velký, je možno hledánı́ přetlakovou metodou provést
ponořenı́m do skleněné vany s vodou. Metoda nenı́ vhodná pro přı́pad
malých netěsnostı́.
Jedná se o přı́stroj tvořený čtyřmi rovnoběžnými kovovými válcovými
elektrodami umı́stěnými podélně ke směru pohybu iontů. Tento systém je napájen pulznı́m vysokofrekvenčnı́m napětı́m u = U0 + U1 cos ωτ
ze zdroje stejnosměrného napětı́ U0 a střı́davého napětı́ U1 s frekvencı́
ω. Napětı́ u zapřı́činı́ vznik elektrického pole mezi elektrodami, které
silově působı́ na ionty vycházejı́cı́ ze zdroje iontů a pohybujı́cı́ se podél
osy ke kolektoru. Obecně majı́ tyto dráhy oscilačnı́ charakter a vedou
na tzv. Mathiuovy rovnice.
Při vhodné volbě napětı́ a při přesném dodrženı́ rovnoběžnosti elektrod
procházı́ ionty systémem elektrod ve směru jejich os a dopadajı́ na kolektor, zatı́mco ostatnı́ dopadajı́ na elektrody. Při jiném napětı́ nebo frekvenci
procházejı́ systémem ionty jiné hmotnosti.
Kolektor iontů
Deskový kolektor se obvykle umist’uje do pláště opatřeného na vstupu
úzkou štěrbinou. Protože má iontový proud velmi malou hodnotu, je nutno
tuto část hmotnostnı́ho spektrometru dobře stı́nit a použı́vat zesilovač
proudu.
12.5
Hledánı́ netěsnostı́
Bude-li se ve vakuovém systému odděleném po vyčerpánı́ od vývěvy zhoršovat vakuum, nebo nenı́-li možno zı́skat požadovaný nı́zký tlak za očekávanou dobu, je nutno předpokládat, že v systému je netěsnost.
Metoda vodı́kového hledače
Provádı́ se detekce stop vodı́ku pomocı́ palladiového ionizačnı́ho vakuometru. Vodı́k se přivádı́ bud’ v čisté formě nebo jako složka tzv. formovacı́ho plynu (20 % H2 , 80 % N2 ). Palladiová anoda zahřátá na teplotu
kolem 1100 [K] (toho se dosáhne jejı́m bombardovánı́m elektrony) propouštı́ H2 , ale ne jiné plyny a páry. Je-li systém netěsný, proniká vodı́k
přepážkou a jeho přı́tomnost ve vakuometru vede ke vzrůstu iontového
proudu. Po skončenı́ se H2 z vakuometru odstranı́ difúznı́ vývěvou.
Metoda halogennı́ho hledače
Ve vakuovém systému, který byl předběžně vyčerpán, se vytvořı́ přetlak
zavedenı́m plynu obsahujı́cı́ho chlor (arkton, freon). Unikánı́ tohoto plynu
netěsnostı́ se zjišt’uje zvláštnı́m detektorem:
• acetylenová lampa – plamen lampy ohřı́vá měd’enou destičku do červeného žáru. Když vnikne do trubičky chlor netěsnostı́, plamen
se zbarvı́ zeleně (vzniká CuCl),
• halogennı́ detektor – docházı́ k velkému zvětšenı́ emise kladných
iontů z povrchu horké platiny, jsou-li v okolnı́m prostředı́ páry sloučenin chloru.
12.5. Hledánı́ netěsnostı́
139
12.5.2 Metody hledánı́ netěsnostı́ ve vakuových systémech
Citlivost systému na impuls zkušebnı́ho plynu
Aby byl vakuový systém pokud možno citlivý na impuls zkušebnı́ho plynu
(jenž přicházı́ do hledače přes netěsnost), je nutno splnit některé podmı́nky.
Až do okamžiku vniknutı́ helia do vakuového systému je kolektorový
proud hmotnostnı́ho spektrometru velmi malý. Při přemist’ovánı́ trubičky
heliového hledače v blı́zkosti netěsnosti se v analyzátoru zvýšı́ tlak (následkem vniku helia) a potom se opět rychle zmenšı́ (následkem čerpacı́ho
procesu). Charakter vzrůstu a poklesu tlaku závisı́ na poměru čerpacı́
rychlosti S k čerpanému! objemu
V . Aby spektrometr reagoval na změnu
tlaku, musı́ být poměr VS většı́ než určitá zadaná hodnota (napřı́klad
100 [s−1 ]).
140
Kapitola 12. Vakuová měřenı́
proud vzduchu:
V dp
= Cvz pa ,
dτ
což má za následek vzrůst tlaku podle vztahu:
Cv z
dp
p ≈ p0 +
pa τ ,
= p0 +
dτ AB
V
gG =
tento jev znázorňuje křivka AB. V okamžiku vniknutı́ zkušebnı́ho plynu
do systému se zvětšı́ sklon křivky vzrůstu tlaku (poněvadž Cp ≪ Cvz ),
jak ukazuje úsek křivky BC. Změny charakteru vzrůstu tlaku je možno
zjistit vakuometrem.
Závislost odezvy hledače na jeho umı́stěnı́ ve vakuovém systému
Závisı́ na vzájemné poloze hledače, vývěvy a nětesnosti. Kromě toho
i na čerpacı́ rychlosti vývěvy.
Pomocı́ vakuometrů ve vakuovém systému
Při ustáleném stavu v čerpaném vakuovém systému, v němž je netěsnost, udávajı́ vakuometry určité konstantnı́ tlaky (vyššı́ než očekávané),
přičemž tyto tlaky se mohou v různých bodech systému lišit.
Obklopı́-li se mı́sto netěsnosti zkušebnı́m plynem, začne vnikat do systému. Potom je-li přitom citlivost vakuometru pro zkušebnı́ plyn většı́
než pro vzduch, nebo je-li vodivost netěsnosti pro zkušebnı́ plyn většı́ než
pro vzduch, dojde k vzrůstu údajů vakuometru.
Necht’ existuje ve vakuovém systému o objemu V odděleném od vývěvy
netěsnost, jejı́ž vodivost pro atmosférický vzduch a zkušebnı́ plyn je Cvz
a Cp . Necht’ v okamžiku τ = 0 (odstavenı́ vývěvy) je ve vakuovém systému tlak p0 ≪ pa . Působenı́m spádu tlaků pa −p0 ≈ pa proudı́ do systému
Jiskrovým výbojem
Ve skleněném vakuovém systému se dá najı́t netěsnost pomocı́ speciálnı́
vysokofrekvenčnı́ elektrické zkoušečky. Principem je posunovánı́ jejı́ elektrody s vysokým napětı́m po stěnách systému, v mı́stě trhlinky vznikne
(ve vzdálenosti řádově 1 [cm]) povrchový výboj jdoucı́ po skle od elektrody
k netěsnosti, což se projevı́ intenzivnı́m červenobýlı́m zářenı́m v kanálku
netěsnosti, jı́ž proniká vzduch.
Tato metoda se použı́vá při tlacı́ch 1 [P a] až 1 [kP a].
Pomocı́ doutnavého výboje
Ve výbojové trubici připojené k vakuovému systému, v němž se hledá netěsnost, se vybudı́ doutnavý výboj plynu. Jsou-li v aparatuře zbytky vzduchu, má zářenı́ načervenalou barvu. Přiložı́me-li k mı́stu předpokládané
12.5. Hledánı́ netěsnostı́
141
netěsnosti vatu namočenou do lihu, nebo rozptýlı́me-li rozprašovačem
lı́h v jejı́ blı́zkosti, je možno pozorovat změnu barvy zářenı́ v aparatuře
způsobenou parami lihu prošlými netěsnostmi.
Nedostatkem této metody je, že kapaliny pronikajı́ nepatrnými trhlinkami velmi pomalu a změna barvy zářenı́ probı́há se zpožděnı́m často již
v době, kdy se zkoušı́ netěsnost v jiném mı́stě aparatury, což může vést
k mylným výsledkům. Proto je lépe mı́sto kapaliny použı́vat plyn (chlorid
uhličitý nebo i oxid uhličitý), který zářı́ nazelenale. V okamžiku styku
plynu s mı́stem netěsnosti se změnı́ načervenalé zářenı́ ve výbojové trubici typické pro vzduch rychle v zelenavé. Pozorovánı́ změn barvy zářenı́
je nejlépe provádět v tzv. prostoru kladného sloupce doutnavého výboje.
Spektroskopickým přı́strojem
Hlavnı́mi součástmi zařı́zenı́ jsou: hmotnostnı́ spektrometr 1 (obvyklý
nebo zjednodušený s úzkým intervalem spektra molekulových hmotnostı́,
zasahujı́cı́ch napřı́klad pouze helium), soubor vývěv (olejová rotačnı́ 2, difúznı́ olejová 3 se vzduchovým chlazenı́m), vakuová komora 5 chlazená
kapalným dusı́kem a pomocná zařı́zenı́ (vakuový zásobnı́k 4, ventily, vakuometry, relé).
142
Kapitola 12. Vakuová měřenı́
Systém, v němž se hledajı́ netěsnosti, se připojuje ke vstupu 6 do spektrometrického systému (ventily 8, 9 a 10 jsou uzavřeny, kohout 7 je v poloze b)
a je v něm primárnı́ vakuum. Měřenı́ tlaku tepelným vakuometrem 11
umožňuje zjistit, zda nenı́ v systému nějaká velká netěsnost. Po otočenı́
kohoutu 7 do polohy a se vyčerpává vývěvou 2 levá část vakuové aparatury a po dosaženı́ primárnı́ho vakua (měřeného vakuometrem 11)
se uvede do chodu difúznı́ vývěva 3. Tlak v hlavnı́ vakuové komoře
5 se měřı́ ionizačnı́m vakuometrem 12. Když tento tlak dostatečně poklesne (∼ 10−2 [P a]), sepne relé 13 a zapojı́ iontový zdroj hmotnostnı́ho
spektrometru. Potom se naplnı́ vymrazovačka v komoře 5 kapalným dusı́kem a po ověřenı́ tlaku vakuometrem 11 se otevře ventil 8. Dále se pomocı́
záklopky 14 reguluje čerpacı́ rychlost difúznı́ vývěvy, aby tlak ve vakuové
komoře 5 byl 10−2 až 10−3 [P a]. Po zapojenı́ hmotnostnı́ho spektrometru
se vypustı́ do komory, v nı́ž je prověřovaný objekt, zkušebnı́ plyn (nejlépe
helium) a sledujı́ se údaje hmotnostnı́ho spektrometru.
Při prověřovánı́ těsnosti vakuové aparatury jako celku se otvor 6 uzavře
a aparatura se připojı́ k ventilu 9. Kohout 10 sloužı́ k napuštěnı́ vzduchu
do aparatury.
Obvykle je zařı́zenı́ hledače do značného stupně automatizováno (napřı́klad ventily jsou ovládány elektromagnety).
Tak to je vše přátelé. Děkujeme za spolupráci a doufáme, že Vám tento
materiál objasnil věci týkajı́cı́ se fyziky vakuua.
Jako prvnı́ děkuji autorovi přednášek, panu Karlovi Rusňákovi.
Za přepsánı́ bych chtěl poděkovat Vladimı́ru Bočanovi, Lucii Greifové,
Petru Hajnému, Pavle Karvánkovové a Tomáši Stádnı́ovi.
Za jazykové a odborné úpravy děkuji Vladislavu Langovi.
Za celkové zpracovánı́ děkuji Štěpánu Potockému.
Jako poslednı́mu bych chtěl poděkovat autorovi sázecı́ho systému TEX,
pomocı́ kterého byla provedena sazba, a to Donaldu E. Knuthovi.