DIPLOMOVÁ PRÁCE

Univerzita Karlova v Praze
Matematicko-fyzikální fakulta
DIPLOMOVÁ PRÁCE
Petr Beneš
Fyzika hmotných neutrin
Ústav teoretické fyziky MFF UK
Vedoucí diplomové práce:
Ing. Jiří Hošek, CSc.,
Ústav jaderné fyziky AV ČR
Studijní program:
Studijní směr:
Fyzika
Teoretická fyzika
Chtěl bych poděkovat Tomáši Braunerovi za užitečné připomínky při dokončování
práce a zejména pak Jiřímu Hoškovi za trpělivost a za cenné diskuse, které mi
v průběhu psaní této práce umožnily mnohé z problematiky pochopit.
Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce.
V Praze dne 16. dubna 2004
2
Petr Beneš
Obsah
Předmluva
5
1 Úvod
1.1 Proč hmotná neutrina? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Experimentální data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
7
2 Možné hmotové členy pro leptony
2.1 Diracovské vs. majoranovské pole . . .
2.2 Hmoty leptonů . . . . . . . . . . . . .
(ν)
(ν)
2.2.1 Případ s Lmass = LL . . . . . .
2.2.2 See-saw mechanismus I. druhu .
2.2.3 See-saw mechanismus II. druhu
2.3 Fyzikální fáze mixing matic . . . . . .
.
.
.
.
.
.
10
10
12
13
15
19
20
3 Neutrinové oscilace ve vakuu
3.1 Odvození standardní oscilační fáze . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Podmínky pro vznik oscilací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
28
4 Higgsovské modely
4.1 Systematika higgsovských modelů . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Gelmini-Roncadelliho model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Zeeův model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
31
34
40
5 Model dynamického generování hmot
5.1 Základní východiska modelu . . . . .
5.2 Hmoty skalárních bosonů . . . . . . .
5.2.1 Neutrální skaláry . . . . . . .
5.2.2 Nabité skaláry . . . . . . . . .
5.3 Hmoty fermionů . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Diracovské hmoty . . . . . . .
5.3.2 Levá majoranovská neutrinová
5.4 Hmoty kalibračních bosonů . . . . . .
52
52
53
53
56
57
57
59
61
Závěr
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
hmota
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
65
3
Název práce: Fyzika hmotných neutrin
Autor: Petr Beneš
Katedra (ústav): Ústav teoretické fyziky MFF UK
Vedoucí diplomové práce: Ing. Jiří Hošek, CSc., Ústav jaderné fyziky AV ČR
E-mail vedoucího: [email protected]
Abstrakt: Práce podává přehled některých teoretických aspektů spojených s konceptem hmotných neutrin. Nejprve rozebírá, jaké typy hmotových členů lze v případě neutrin uvažovat (majoranovské vs. diracovské hmoty) a dotýká se některých obecných důsledků plynoucích z existence těchto hmot, nezávislých na
mechanismu jejich generování. Řeč je o see-saw mechanismu, pro případ více
fermionových generací je rozebrán pojem mixing matice a s tím spojený problém
narušení CP invariance. Samostatná kapitola je věnována oscilacím neutrin, odvozeným zde v kvantově mechanickém přiblížení. Hlavní část práce se pak týká
modelů pro generování fermionových hmot, se zvláštním zřetelem na hmoty neutrin. Jsou diskutována možná rozšíření Standardního modelu v higgsovském
sektoru; po krátkém naznačení jejich systematiky jsou podrobněji presentovány
dva modely: Gelmini-Roncadelliho a Zeeův. Dále je podrobně diskutován jeden
nehiggsovský model, v němž se hmoty generují dynamicky.
Klíčová slova: hmotná neutrina, oscilace neutrin, rozšířený Higgsův sektor, CP
narušení, dynamické generování hmot
Title: Massive neutrinos physics
Author: Petr Beneš
Department: Institute of Theoretical Physics MFF UK
Supervisor: Ing. Jiří Hošek, CSc., Nuclear Physics Institute ASCR
Supervisor’s e-mail address: [email protected]
Abstract: The goal of this thesis is to summarize some theoretical aspects connected with the concept of massive neutrinos. First, it analyses what mass-term
types one can consider in the case of neutrinos (majorana vs. dirac masses) and
discusses some general consequences following from the very existence of these
masses, independent on the mechanism of their generation. To be concrete, this
means the see-saw mechanism and (for the case of more than one fermion family)
the notion of mixing matrix and associated problem of CP violation. A separate
chapter is dedicated to neutrino oscillations, treated here in quantum-mechanical
approach. The main part of this thesis is about models for generation of fermion
masses, especially those of neutrinos. Possible extensions of Standard Model in
Higgs sector are discussed, after their simple systematics two models are presented in detail: Gelmini-Roncadelli and Zee model. Finally, the non-higgs model of
dynamical mass generation is discussed.
Keywords: massive neutrinos, neutrino oscillations, extended Higgs sector, CP
violation, dynamical mass generation
4
Předmluva
Standardní model elektroslabých interakcí (SM) je jednou z nejúspěšnějších fyzikálních teorií současnosti. Většina jeho předpovědí (existence Z 0 a W ± bosonů,
neutrální proudy, c-kvark aj.) již byla s vysokou přesností experimentálně potvrzena. Přes všechny tyto úspěchy však trpí určitými neduhy, z nichž nikoliv nevýznamná část je tak či onak spojena s problémem hmot fermionů. Aniž bychom se
chtěli těmito otázkami zabývat v plné šíři, zmiňme alespoň dva hlavní problémy:
Higgsův boson, jehož existenci SM předpovídá a na níž staví, stále nebyl objeven. Je tomu tak pouze proto, že dosavadní experimenty nebyly s to ho detekovat
kvůli malým dosažitelným energiím? Anebo spíše proto, že neexistuje (ve smyslu
predikce SM) a způsob generování fermionových hmot je odlišný od minimálního
higgsovského mechnismu SM? Dalším problémem je existence hmotných neutrin,
která jsou dnes již nezpochybnitelnou experimentální skutečností. SM jako takový
je nedokáže zahrnout, jak bude podrobněji argumentováno níže.
V této práci se budeme zabývat oběma uvedenými neduhy. V kapitole 4 načrtneme některá jednoduchá rozšíření SM, která dokáží nagenerovat neutrinové
(resp. obecně fermionové) hmoty v duchu SM, tj. pomocí spontánního narušení symetrie indukovaného higgsovským mechanismem. Dále se v kapitole 5 podíváme
na jiný, kvalitativně odlišný způsob spontánního narušení symetrie. Symetrie se
bude narušovat nikoliv díky nenulovým vakuovým středním hodnotám nějakých
skalárních polí, ale dynamicky prostřednictvým (neporuchových) řešení pohybových rovnic pole. Ideu budeme od počátku demonstrovat na jednom konkrétním
případě, žádné jiné (technicolorové aj.) modely zde studovat nebudeme.
Než se ale začneme zabývat modely na generování fermionových (tedy i neutrinových) hmot, podíváme se nejprve na některé obecné důsledky, plynoucí
z existence hmotných neutrin a nezávislé na mechanismu jejich generování. V kapitole 2 bude řeč o existenci leptonové mixing matice a o komplexních fázích v ní
obsažených, v kapitole 3 pak o neutrinových oscilacích jako důsledku leptonového
mixingu.
5
Kapitola 1
Úvod
1.1
Proč hmotná neutrina?
Když Pauli v roce 1930 postuloval existenci nové částice, aby uvedl do souladu
zákon zachování energie a pozorované spektrum β-rozpadu, pojmenoval tuto částici neutrino. Přiřadil jí nulový elektrický náboj a hmotu menší než 1% hmoty
protonu.
V průběhu let bylo toto (elektronové) neutrino skutečně objeveno, taktéž byla
později prokázána existence mionového a tauonového neutrina. Souběžně pokračovaly a dosud pokračují pokusy o přímé určení hmot těchto neutrin. Jejich
jediným výsledkem ovšem zatím je pouze stanovení horních limitů na neutrinové hmoty. Jelikož jsou tyto limity malé, takřka nulové (alespoň ve srovnání
s hmotami ostatních fermionů), a dolní limity chybí, objevila se již roku 1957
v souvislosti s objevem nezachovávání parity ve slabých interakcích přirozená
hypotéza, že neutrinové hmoty jsou přesně nulové. Formálně byla tato hypotéza
representována teorií dvoukomponentního (Weylova) levého neutrina, splňujícího
rovnici
i∂/νL = 0 .
(1.1)
Nehmotná neutrina později zahrnul i Glashow-Weinberg-Salamův model elektroslabých interakcí, označovaný dnes též jako Standardní model (SM).
Nicméně roku 1957 ukázal B. Pontecorvo, že neutrinové hmoty lze studovat i nepřímo, totiž měřením jevu známého jako oscilace neutrin. Tyto oscilace
jsou analogií oscilací neutrálních K-mesonů. Zhruba řečeno znamenají, že za jistých podmínek mohou jednotlivá neutrina přecházet periodicky jedno v druhé.
Podrobněji se budeme tímto fenoménem zabývat níže v kapitole 3, nyní pouze
uveďme, že nutnou podmínkou pro vznik oscilací je nedegenerované neutrinové
spektrum. Což v případě pozitivního výsledku oscilačního experimentu implikuje
nenulovou hmotu alespoň jednoho neutrina.
Na rozdíl od přímých metod měření neutrinových hmot se při oscilačních
6
experimentech dosáhlo podstatně lepších výsledků. Existují dvě hlavní třídy jevů,
které se interpretují jako projev neutrinových oscilací:
Atmosférická neutrina Při detekování atmosférických mionových neutrin se
pozoruje asymetrie v počtu neutrin přicházejících do detektoru z různých
směrů. Různé směry ale znamenají současně i různé uražené vzdálenosti
mezi místem vzniku neutrina a detektorem, což naznačuje možnost interpretovat tuto asymetrii jako důsledek oscilací.
Sluneční neutrina Jedná se o tzv. problém slunečních neutrin, tj. deficit počtu naměřených elektronových neutrin přicházejících ze Slunce oproti jejich
předpokládanému počtu. Tento deficit je opět přirozeně vysvětlitelný pomocí oscilací.
Kromě měření neutrinových oscilací pokračují pokusy o měření i jiných důsledků existence hmot neutrin a jejich mixingu. Zejména je snaha najít experimentální evidenci o narušení CP invariance v leptonovém sektoru. Tyto snahy
ovšem zatím nebyly korunovány úspěchem.
1.2
Experimentální data
V této podkapitole uvedeme pouze některá experimentální fakta o neutrinech,
bez bližší diskuse o způsobu jejich získání.
Horní limity na hmoty neutrin, pocházející z přímých měření neutrinových
hmot, jsou [1]:
mνe < 3 eV ,
mνµ < 0,19 MeV ,
mντ < 18,2 MeV .
(1.2)
(1.3)
(1.4)
Suma všech těchto hmot (přesněji hmot lehkých neutrin) je nicméně z astrofyzikálních důvodů omezena na 24 eV.
Při oscilačních experimentech se měří rozdíly kvadrátů hmot ∆m2ab ≡ m2a −m2b
neutrinových hmotových eigenstavů ν1,2,3 , které jsou s flavourovými eigenstavy 1
νe,µ,τ svázány transformací




ν1
νe
 νµ  = U  ν2  ,
(1.5)
ν3
ντ
1
Přesný význam těchto i dalších slov, obsažených v této úvodní kapitole, bude precizován
v kapitolách následujících.
7
Obrázek 1.1: Dva možné typy neutrinového spektra. První typ se někdy označuje
jako normální hierarchie, druhý jako obrácená (invertovaná) hierarchie.
kde U je nějaká unitární matice. Z měření oscilací atmosférických a slunečních
neutrin plynou následující hodnoty [1]:
∆m2atm
∆m2¯
∼
= 2 . 10−3 eV2 ,
∼
= 7 . 10−5 eV2 .
(1.6)
(1.7)
Zde stojí za povšimnutí nerovnost ∆m2atm À ∆m2¯ . Celkové spektrum lehkých
neutrin tedy může být dvou typů, jak je znázorněno na obrázku 1.1.
Krom toho lze z oscilačních dat rekonstruovat podobu matice U , hrající úlohu
leptonové mixing matice, v analogii s CKM maticí v kvarkovém sektoru. Naměřeny byly následující úhly v ní obsažené [1]:
sin2 2θatm > 0,92 ,
sin2 θ¯ ∼
= 0,25 .
Při parametrizaci (viz vztah 2.92)




1
0
0
c13 0 s13
c12 s12 0
1 0  −s12 c12 0 
|U | =  0 c23 s23  0
0 −s23 c23
−s13 0 c13
0
0 1
(1.8)
(1.9)
(1.10)
(stranou nyní ponecháváme případné komplexní fáze), kde jsme označili sij ≡
sin θij , cij ≡ cos θij , mají tyto úhly význam
θatm = θ23 ,
θ¯ = θ12 .
8
(1.11)
(1.12)
Ohledně úhlu θ13 panuje konsenzus, že je nulový – veškerá dosavadní data tuto
hypotézu podporují (přesněji sin2 θ13 . 0,03).
V termínech maticových elementů pak vychází číselná podoba matice U jako
[2]:


0,72 − 0,88 0,46 − 0,68 < 0,22
|U | =  0,25 − 0,65 0,27 − 0,73 0,55 − 0,84  .
(1.13)
0,10 − 0,57 0,41 − 0,80 0,52 − 0,83
Na první pohled je zde vidět základní odlišnost od kvarkové CKM matice, která
se na rozdíl od U jenom málo liší od jednotkové matice.
9
Kapitola 2
Možné hmotové členy pro
leptony
2.1
Diracovské vs. majoranovské pole
Podívejme se nejprve na rozdíly mezi majoranovským a diracovským polem na
úrovni volného lagrangiánu:
Diracovské pole: mějme k dispozici dvě (nezávislá) pole ψL a ψR s uvedenými
chiralitami; pak z nich lze zkonstruovat lagrangián
³
´
L = ψL i∂/ψL + ψR i∂/ψR − m ψL ψR + ψR ψL
(2.1)
= ψi∂/ψ − mψψ ,
(2.2)
kde
ψ ≡ ψL + ψR .
(2.3)
Majoranovské pole: mějme k dispozici pouze pole ψL ; pak lze zkonstruovat
lagrangián
´
1 ³ c
c
(2.4)
L = ψL i∂/ψL − m ψL ψL + ψL ψL
2
1
1
=
ψi∂/ψ − mψψ ,
(2.5)
2
2
kde
ψ ≡ ψL + ψLc .
(2.6)
(Analogicky pro pole ψR .) Zde je třeba pro úplnost dodat, že výrazy (2.4)
a (2.5) si ve skutečnosti nejsou přesně vzato rovny, nicméně jejich odlišnost
10
spočívá pouze ve 4-divergenci 1 , která stejně nedá žádný příspěvek k akci,
takže výsledné pohybové rovnice vycházejí v obou případech stejné.
V obou případech jsme bez újmy na obecnosti zvolili konstantu m reálnou a
kladnou, neboť případné fáze se lze zbavit redefinicí spinorových polí.
Je vidět, že v obou případech dostáváme jako příslušnou Lagrange-Eulerovu
rovnici Diracovu rovnici
(i∂/ − m)ψ = 0 .
(2.7)
Tedy jak u diracovského, tak u majoranovského pole hraje konstanta m roli
hmoty. V majoranovském případě ovšem musíme na řešení Diracovy rovnice ještě
navíc naložit dodatečnou Majoranovu podmínku
ψ = ψc .
(2.8)
To má za důsledek, že obecné řešení Diracovy rovnice v termínech kreačních a
anihilačních operátorů
h
i
X Z
d3 p~
−ip·x
†
ip·x
ψ(x) =
b(~
p
,
s)u(~
p
,
s)e
+
d
(~
p
,
s)v(~
p
,
s)e
, (2.9)
(2π)3/2 (2p0 )1/2
s = ±1/2
p
kde p0 = E(~p) = p~ 2 + m2 , má v případě majoranovského pole tvar
h
i
X Z
d3 p~
−ip·x
†
ip·x
ψ(x) =
a(~
p
,
s)u(~
p
,
s)e
+
a
(~
p
,
s)v(~
p
,
s)e
.
(2π)3/2 (2p0 )1/2
s = ±1/2
(2.10)
Dalším důležitým důsledkem Majoranovy podmínky (2.8) je fakt, ze majoranovské pole ψ nemůže nést žádný (nenulový) U(1) náboj. Ve SM máme dva takové
náboje – elektrický náboj (resp. hypernáboj před spontánním narušením symetrie) a leptonové číslo. Pole, kandidující na „majoranovskostÿ, tedy musí být
elektricky neutrální a v příslušné teorii, která ho obsahuje, musí být nějakým
způsobem (explicitně, nebo spontánně) narušena U(1)l symetrie, spojená se zachováním leptonového čísla.
1
Přesněji řečeno, vztah výrazů (2.4) a (2.5) je
¢
1 ¡
(2.4) = (2.5) − ∂µ ψL γ µ ψL .
2
11
2.2
Hmoty leptonů
Nejobecnější myslitelný hmotový lagrangián pro nabité leptony a neutrina, tj.
lagrangián obsahující všechny možné bilineární členy v příslušných polích, je
(e)
(ν)
(ν)
(ν)
Lmass = LD + LD + LL + LR ,
kde
³
´
(e)
e0aL e0bR + h.c. ,
≡ − MD
ab
³
´
(ν)
0
0
≡ − MD
νbR
+ h.c. ,
νaL
ab
´
³
1
(ν)
0c 0
≡ − ML
νaL
νbL + h.c. ,
2
ab
³
´
1
(ν)
0c 0
≡ − MR
νaR
νbR + h.c. ,
2
ab
(e)
LD
(ν)
LD
(ν)
LL
(ν)
LR
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
resp. v maticovém zápisu
(e)
≡ −e0L MD e0R + h.c. ,
(ν)
≡ −νL0 MD νR0 + h.c. ,
1
(ν)
≡ − νL0c ML νL0 + h.c. ,
2
1
(ν)
≡ − νR0c MR νR0 + h.c. ,
2
LD
LD
(ν)
LL
(ν)
LR
kde
(e)
(2.16)
(ν)
(2.17)

e0L,R

e01
≡  e02  ,
e03 L,R
(2.18)
(2.19)

0
νL,R

ν10
≡  ν20  .
ν30 L,R
(2.20)
Nuly v horních indexech znamenají, že máme co do činění s ještě nefyzikálními
(e)
(ν)
poli, tj. s poli bez dobře definovaných hmot. Lagrangiány LD a LD obsahují
(ν)
(ν)
diracovské hmotové členy, zatímco LL a LR levé a pravé majoranovské hmotové
členy. Je zřejmé, že (ať už levé nebo pravé) majoranovské hmotové členy pro
nabité leptony nejsou povoleny kvůli požadavku zachovávání elektrického náboje.
Důležité je následující pozorování: zatímco diracovské hmotové matice mohou
být zcela obecné komplexní matice, majoranovské hmotové matice je v důsledku
vztahu νac νb = νbc νa nutno brát jako symetrické. 2
Abychom mohli fyzikálně interpretovat lagrangián typu (2.11), musíme ho
nějakým způsobem diagonalizovat, tj. najít takovou lineární kombinaci polí e0aL ,
0
0
e0aR a νaL
, νaR
, v níž by byl diagonální. Takovou lineární kombinaci pak totiž
můžeme interpretovat jako fyzikální pole s dobře definovanou hmotou. K oné
diagonalizaci použijeme následující teorém:
2
Což je přímým důsledkem Pauliho vylučovacího principu, resp. antikomutačních relací pro
operátory fermionových polí.
12
Věta 1 (Biunitární transformace) Nechť M je libovolná čtvercová (obecně
komplexní) matice. Pak existují unitární matice U a V tak, že
M = V † mU ,
(2.21)
přičemž matice m je diagonální a semipozitivní, tj. pro její maticové elementy
platí
mij = mi δij
mi ≥ 0 .
(2.22)
V případě M nesingulární jsou přitom matice U a V určeny jednoznačně (až na
fáze řádků a na permutace řádků a sloupců, odpovídající permutacím diagonálních
prvků matice m).
Je-li navíc matice M symetrická, tj. M = MT , je V = U ∗ , takže
M = U T mU .
(2.23)
Důkaz. Důkaz provedeme pro speciální (a fyzikálně nejzajímavější) případ, kdy
je matice M nesingulární, tj. det M 6= 0. Uvažujme matici MM† . Ta je evidentně
hermitovská a má kladná vlastní čísla, takže ji lze s užitím unitární transformace
psát v tvaru MM† = V † m2 V , kde matice m2 je diagonální a pozitivní (na
diagonále má vlastní hodnoty MM† ) a matice V je unitární (V † má ve sloupcích
normalizované vlastní vektory MM† , které jsou na sebe v důsledku hermiticity
√
MM† ortogonální). Pro matici m2 lze tedy definovat její odmocninu m ≡ m2 .
Definujeme-li dále matici U ≡ m−1 V M (matice m−1 inverzní k m existuje!),
dostáváme ihned požadovanou rovnost (2.21). Zbývá tak pouze dokázat unitaritu
U , ale to je již snadné: U U † = m−1 V MM† V † m−1 = m−1 m2 m−1 = 11, c.b.d.
Je-li M = MT , dostáváme v důsledku MM† = (M† M)T , že MM† =
U T m2 U ∗ . Na druhou stranu ale víme, že MM† = V † m2 V , takže porovnáním
obou vyjádření dostáváme [S, m2 ] = 0, kde S ≡ U ∗ V † . Vidíme tedy, že S musí být
iωi
diagonální a v důsledku unitarity matic U a V i unitární, tj. ve tvaru S√
ij = e δij ,
†
T
ωi ∈ R. Dosadíme-li V = U S do (2.21), dostáváme po přeznačení SU → U
rovnost (2.23), c.b.d. ¥
Podívejme se nyní na některé význačné speciální případy obecného lagrangiánu (2.11).
2.2.1
(ν)
(ν)
Případ s Lmass = LL
Rozšíříme-li SM pouze ve skalárním sektoru, lze pomocí higgsovského mechanismu nagenerovat nejenom diracovské hmotové členy pro nabité leptony, ale i
levé majoranovské hmoty pro neutrina, takže výsledný lagrangián je:
(e)
(ν)
Lmass = LD + LL .
13
(2.24)
Různými způsoby, jak přesně dát vzniknout levým majoranovským hmotovým
(ν)
členům LL , jakož i odpovídajícími fyzikálními konsekvencemi, se budeme detailně zabývat v kapitole 4, zde se pouze podíváme na fyzikální důsledky diagonalizace leptonových hmotových matic.
Hmotový lagrangián pro leptony tedy mějme ve tvaru
1
(e)
(ν)
Lmass = −e0L MD e0R − νL0c ML νL0 + h.c.
2
(e)
(2.25)
(ν)
Pomocí biunitární transformace můžeme matice MD a ML diagonalizovat:
(e)
= UDL mD UDR ,
(ν)
= UL
MD
ML
(e)
(e)†
(ν)T
(e)
(ν)
(e)
(ν)
m L UL ,
(2.26)
(2.27)
(ν)
kde matice mD a mL již jsou diagonální a pozitivní. Tím můžeme Lmass přepsat
v diagonalizované formě
1
(e)
(ν)
Lmass = −eL mD eR − νLc mL νL + h.c. ,
2
(2.28)
kde hmotové eigenstavy jsou
(e)
eL ≡ UDL e0L ,
(2.29)
(e)
UDR e0R ,
(ν)
UL νL0 .
(2.30)
eR ≡
νL ≡
(2.31)
(e)
U matice mD můžeme navíc ještě její diagonální prvky uspořádat vzestupně
podle velikosti:


me 0 0
(e)
mD =  0 mµ 0  ,
(2.32)
0 0 mτ
kde
me ≤ mµ ≤ mτ ,
(2.33)
čímž definujeme, který nabitý lepton budeme nazývat elektronem, který mionem
a který tauonem:
 
ee

(2.34)
eL,R = eµ  .
eτ L,R
14
Slabý nabitý proud má tvar:
X
g
0
LCC = − √ Wµ−
e0aL γ µ νaL
+ h.c.
2
a
g
= − √ Wµ− e0L γ µ νL0 + h.c.
2
(2.35)
(2.36)
Přepíšeme-li jej pomocí vztahů (2.29) a (2.31) v termínech vlastních stavů hmoty,
dostaneme
g
(e) (ν)†
(2.37)
LCC = − √ Wµ− eL γ µ UDL UL νL + h.c.
2
Tedy matice
(e)
(ν)†
U ≡ UDL UL
(2.38)
je analogií Cabibbo-Kobayashi-Maskawovy (CKM) matice pro kvarky. Ovšem
s jedním důležitým rozdílem – zatímco „horníÿ i „dolníÿ kvarky, které vystupují
v kvarkovém nabitém proudu, jsou diracovské částice, v našem případě vystupují
v nabitém proudu diracovské a majoranovské částice. To má závažný důsledek
pro počet fyzikálních fází (způsobujících narušení CP invariance), které zde vstupují do hry: je jich více než v případě CKM matice. Podrobněji se budeme této
skutečnosti věnovat v podkapitole 2.3.
2.2.2
See-saw mechanismus I. druhu
Ponecháme-li skalární sektor SM tak, jak je, tj. pouze s jedním dubletem Φ, lze
pomocí higgsovského mechanismu nagenerovat pouze diracovské hmotové členy
pro nabité leptony. Neutrina zůstanou nehmotná. Můžeme ovšem SM rozšířit
v leptonovém sektoru, konkrétně přidáním pravotočivých neutrin νaR . 3 Potom
lze higgsovským způsobem nagenerovat diracovské hmotové členy pro neutrina
e ≡ iσ2 Φ∗ ). Jelikož pravotočivá neutrina jsou singlety
(ovšem tentokrát pomocí Φ
vzhledem ke kalibrační grupě SU(2)L ×U(1)Y , můžeme navíc do lagrangiánu přímo
„rukamaÿ vložit pravé majoranovské hmotové členy pro neutrina, aniž bychom
tím narušili kalibrační invarianci.
Ve výsledku tedy dostáváme lagrangián v generickém tvaru
(e)
(ν)
(ν)
Lmass = LD + LD + LR
(2.39)
1
(e)
(ν)
(ν)
= −e0L MD e0R −νL0 MD νR0 − νR0c MR νR0 +h.c.
|
{z 2
}
(2.40)
(ν)
Lmass
3
Počet těchto nově zavedených pravotočivých neutrin νaR se ovšem v principu nemusí shodovat s počtem leptonových generací – může být menší i větší. Nicméně z „estetickýchÿ důvodů
zde budeme předpokládat, že se oba počty rovnají, tj. a = 1, 2, 3.
15
(ν)
(ν)
(ν)T
Díky identitě νL0 MD νR0 = νR0c MD νL0c lze Lmass přepsat do tvaru
µ
¶
1 ³ 0 0c ´ (ν) νL0c
(ν)
Lmass = − νL , νR M
+ h.c. ,
νR0
2
kde
Ã
M
(ν)
≡
(ν)
(2.41)
!
0 MD
(ν)T
(ν)
MD MR
.
(2.42)
Matice M(ν) je evidentně symetrická, lze ji tedy diagonalizovat užitím vztahu
(2.23):
M(ν) = U T m(ν) U .
(2.43)
Dostáváme šestici majoranovských neutrinových polí s dobře definovanými hmotami
ν = νL + νLc ,
kde
µ
νL ≡ U
∗
νL0
νR0c
(2.44)
¶
.
(2.45)
V přírodě ovšem pozorujeme nikoliv šest neutrin, ale tři (lehká) neutrina.
Abychom tedy náš výsledek uvedli do souladu s daty, musíme předpokládat nějaký speciální tvar matice M(ν) . K tomu nás navíc opravňují odlišné mechanismy
(ν)
(ν)
(ν)
generování matic MR a MD . Matice MD vzniká stejným higgsovským me(e)
chanismem jako hmotová matice pro nabité leptony MD . Lze tedy očekávat, že
i zde bude typickou škálou elektroslabá škála
√
.
v = (GF 2 )−1/2 = 246 GeV .
(2.46)
(ν)
Na druhou stranu o původu matice MR nevíme nic. Můžeme tedy o ní předpokládat např. to, že její škála (označme si ji Λ) je velká ve srovnání s elektroslabou
škálou v (obvykle se předpokládá, že škála Λ odpovídá škále velkého sjednocení
MGUT ∼
= 1015 GeV):
(ν)
(ν)
v ∼ MD ¿ Λ ∼ MR .
(2.47)
(ν)
Tato nerovnost nám umožňuje chápat (blokově) nediagonální prvky MD matice
(ν)
M(ν) jako opravu k případu s MD = 0. Má tedy smysl provést v prvním kroku
pouze blokovou diagonalizaci matice M(ν) :
M(ν) = V T m
e (ν) V ,
16
(2.48)
přičemž matice m
e (ν) bude mít blokově diagonální tvar
Ã
!
(ν)
M
0
1
m
e (ν) =
.
(ν)
0
M2
(2.49)
(ν)
Matice M1,2 jsou 3 × 3. Pro unitární matici V použijeme ansatz
µ
V ≡
C1 S2†
−S1 C2†
¶
.
(2.50)
Vzhledem k nerovnosti (2.47) budou typické škály 3 × 3 matic C1,2 , S1,2 (viz [3])
C1,2 ∼ 1
v
S1,2 ∼
¿ 1.
Λ
(2.51)
(2.52)
Z podmínek unitarity V † V = V V † = 11 pro ně dostáváme podmínky
C1† C1 + S1† S1
C2 C2† + S2 S2†
C1 C1† + S2† S2
C2† C2 + S1 S1†
S2 C1 − C2 S1
S2† C2 − C1 S1†
=
=
=
=
=
=
11 ,
(2.53)
(2.54)
(2.55)
(2.56)
(2.57)
(2.58)
11 ,
11 ,
11 ,
0,
0.
Dosazením tohoto ansatzu do vztahu (2.48) dostáváme jednak (z „diagonálních
(ν)
rovnicÿ vztahu (2.48)) vyjádření pro matice M1,2 :
(ν)
= C1∗ MD S2 + S2T MD C1† + S2T MR S2 ,
(ν)
= −S1∗ MD C2 − C2T MD S1† + C2T MR C2
M1
M2
(ν)
(ν)T
(ν)
(ν)
(ν)T
(ν)
(2.59)
(2.60)
a jednak (z „nediagonálních rovnicÿ vztahu (2.48), po zanedbání členů typu
(ν)
Si MD Sj a s využitím podmínek unitarity (2.53), (2.54), (2.57)) vyjádření pro
matice S1,2 4 :
³
´
(ν)−1
(ν)T
3
†
S1 ∼
(2.61)
= −C2 MR MD + O (v/Λ) ,
³
´
(ν)−1
(ν)T †
3
S2 ∼
(2.62)
= −MR MD C1 + O (v/Λ) .
(ν)
4
V dalším budeme pro jednoduchost předpokládat, že matice MR je nesingulární. Obecnější
případ se singulární maticí je rozebrán v již zmíněné práci [3]. Hlavní výsledek je zhruba řečeno
ten, že v důsledku existence nulových vlastních čísel není počet těžkých neutrin tři (viz dále),
ale nižší.
17
(ν)
Dosazením těchto vyjádření S1,2 do vyjádření M1,2 a zanedbáním členů typu
(ν)−1
(ν)
(ν)
MR MD MD dostaneme
(ν)
M1
(ν)
M2
(ν)
(ν)−1
(ν)T †
∼
= C1∗ MD MR MD C1 ,
(ν)
∼
= C2T MR C2 .
(2.63)
(2.64)
(ν)
V limitě MD → 0 můžeme položit C1,2 = 11, takže konečný výsledek je
(ν)
M1
(ν)
M2
(ν)
(ν)−1
(ν)T
∼
= MD MR MD + O(v 4 /Λ3 ) ,
(ν)
∼
= MR + O(v 2 /Λ) .
(2.65)
(2.66)
Důležité je pozorování, že
v2
,
Λ
∼ Λ.
(ν)
M1
∼
(ν)
M2
(2.67)
(2.68)
(Toto je mimo jiné důvodem, proč se uvedenému mechanismu říká „see-sawÿ
(ν)
(ν)
mechanismus – čím větší je škála M2 , tím menší je škála M1 .) Provedeme-li
(ν)
nyní diagonalizaci matic M1,2
(ν)
Mi
(ν)
= UiT mi Ui
i = 1, 2 ,
(ν)
(2.69)
(ν)
budou pro diagonální matice m1,2 platit stejné škálové vztahy jako pro M1,2 .
Pro prvky diagonalizované hmotové matice m(ν) = diag(m1 , . . . , m6 ) tedy
máme nerovnosti
m1,2,3 ¿ m4,5,6 ,
(2.70)
takže pro neutrinové hmotové eigenstavy νL , definované vztahem (2.45), má smysl
označení
µ ∗ 0 ¶ µ light ¶
U1 νL
νL
∼
νL =
≡
,
(2.71)
∗ 0c
U2 νR
νLheavy
kde

νLlight
light 
ν1L
light 
≡  ν2L
,
light
ν3L

νLheavy
heavy 
ν1L
heavy 
≡  ν2L
.
heavy
ν3L
Přitom jsme vzali matici U , definovanou vztahem (2.43), ve tvaru
µ
¶
U1 0
U =
,
0 U2
18
(2.72)
(2.73)
neboť jsme efektivně položili C1,2 = 11, S1,2 = 0 (takže s přesností do řádu O(v/Λ)
máme V = 116×6 ).
Hmotový lagrangián pro nabité leptony je zde stejný jako v předchozí pod(e)
sekci 2.2.1, takže ho lze diagonalizovat unitární maticí UDL (viz vztah (2.26)). Po
dosazení fermionových hmotových eigenstavů do nabitého proudu dostaneme
g
(e)
light
LCC ∼
= − √ Wµ− eL γ µ UDL U1T νL + h.c.
2
(2.74)
Vidíme tedy dvě věci: zaprvé, že těžké neutrinové stupně volnosti νLheavy se v nízkoenergetické limitě (kterou SM je) vůbec neobjeví 5 ; to je důsledkem zanedbání
příspěvků matic S1,2 do U . A zadruhé, že úlohu leptonové mixing matice zde (pro
lehká neutrina) hraje matice
(e)
U ≡ UDL U1T .
2.2.3
(2.75)
See-saw mechanismus II. druhu
See-saw mechanismus II. druhu vychází z obecného lagrangiánu
(ν)
(ν)
(ν)
L(ν)
mass = LD + LL + LR ,
(2.76)
který lze podobným postupem jako v předešlém případě upravit na tvar
µ
¶
1 ³ 0 0c ´ (ν) νL0c
(ν)
Lmass = − νL , νR M
+ h.c. ,
(2.77)
νR0
2
kde
Ã
M(ν) ≡
(ν)
(ν)
!
ML MD
(ν)T
(ν)
MD MR
.
(2.78)
V takovéto plné obecnosti by byl daný model samozřejmě těžko rozumně zvládnutelný, proto se zde předpokládá hierarchie typu
(ν)
(ν)
(ν)
ML ¿ MD ¿ MR ,
(2.79)
(ν)
analogická hierarchii (2.47) u see-saw mechanismu I. druhu. Pro škálu MR zde
(ν)
(ν)
platí to samé, co již bylo řečeno u předchozího případu. Nerovnost ML ¿ MD
již tak zřejmá není, nicméně jsou případy, kdy vyplyne velmi přirozeně. Např.
5
V této souvislosti se často mluví o tzv. sterilních neutrinech. V užším slova smyslu se tím
rozumí fermiony, které nijak neinteragují s hmotou, ať už prostřednictvím kalibračních nebo
yukawovských interakcí. V širším slova smyslu se ovšem tímto pojmem označují i fermiony,
které nemají žádné interakce pouze efektivně, tj. v limitě nízkých energií. Do této kategorie lze
tedy zařadit námi nalezená těžká neutrina νLheavy . Neutrina, která nejsou sterilní, se pak pro
odlišení někdy označují jako aktivní.
19
u Gelmini-Roncadelliho modelu, který bude podrobněji diskutován níže v podkapitole 4.2, dochází ke kondenzaci dvou různých skalárních polí, čímž se do teorie
vnášejí dvě obecně různé škály v∆ a vφ . Jak bude ukázáno dále, platí pro ně nerovnost v∆ ¿ vφ . Dalo by se snadno ukázat, že pokud by se do Gelmini-Roncadelliho
modelu přidala pravá neutrina, dostali bychom v důsledku hierarchie mezi v∆ a
(ν)
(ν)
vφ nerovnost ML ¿ MD a tedy realizaci see-saw mechanismu II. druhu.
Dalším potenciálním kandidátem na see-saw mechanismus II. druhu je model
dynamického generování hmot, kterým se budeme zabývat v kapitole 5. V něm,
jak uvidíme, bude mít neutrinová hmotová matice také generický tvar (2.78). Na
současné úrovni poznání modelu se bohužel nedá odhadnout vztah škál matic
(ν)
(ν)
(ν)
ML a MD , jisté je jen to, že obě jsou mnohem menší než škála matice MR .
Konkrétní výpočet zde již nebudeme uvádět, neboť jeho průběh i výsledek
by byl podobný jako u see-saw mechanismu I. druhu. Neutrinové spektrum totiž
v tomto případě opět obsahuje velmi těžká majoranovská neutrina, která se v limitě energií SM neobjeví, a lehká majoranovská neutrina s hmotovou maticí [4]
(ν)T
(ν)−1
(ν)
(ν)
M(ν) ∼
= ML − MD MR MD
(2.80)
(srovnej (2.65)).
Je vidět, že see-saw mechanismus II. druhého druhu je zobecněním see-saw
(ν)
mechanismu I. druhu, neboť ten lze z něj dostat položením ML → 0.
2.3
Fyzikální fáze mixing matic
Ve všech uvažovaných případech jsme dospěli k závěru, že v nabitém proudu, zapsaném v termínech hmotových eigenstavů, vystupuje unitární matice U , která
způsobuje jejich mixing. Je tedy namístě se ptát, kolika fyzikálními (tj. měřitelnými) parametry je tato matice popsána; zejména pak které z těchto parametrů
jsou komplexní fáze, narušující CP invarianci.
Obecná unitární n × n matice U má n2 reálných parametrů 6 , z čehož
1
n(n − 1) ,
2
1
n(n + 1) .
# fází =
2
# úhlů =
(2.81)
(2.82)
Je-li námi uvažovaná matice U mixing maticí pro nějaké fermiony, lze některé
z jejích komplexních fází učinit nefyzikálními případným vtažením do fermio6
Obecná komplexní n × n matice U má 2n2 reálných parametrů.
¡ ¢ Požadavek unitarity znamená n reálných podmínek, plynoucích z normalizace sloupců, a n2 = 12 n(n − 1) komplexních
podmínek, plynoucích z ortogonality sloupců. Počet reálných parametrů unitární matice tedy
je
2n2 − n − n(n − 1) = n2 .
20
nových polí. Zde se ovšem projeví důležitý rozdíl mezi diracovskými a majoranovskými fermiony – zatímco diracovská pole lze vždy redefinovat přenásobením
komplexní fází, v případě majoranovských polí něco takového není možné v důsledku Majoranovy podmínky (2.8). Z toho plyne jasný kvalitativní závěr: případy
diracovských a majoranovských neutrin se budou lišit počtem komplexních fází
v mixing matici, což implikuje odlišnou fenomenologii narušení CP invariance.
Podívejme se nyní na počty komplexních fází v U z kvantitativního hlediska.
Nabitý proud má tvar
g
LCC = − √ Wµ− eL γ µ U νL + h.c.
2
(2.83)
Nabité leptony eL jsou vždy diracovské částice, lze tedy do nich vložit fáze z U .
Rozeberme zvlášť případy s majoranovskými a diracovskými neutriny:
Předpokládejme nejprve, že neutrina jsou majoranovské částice. Označíme-li
si symbolem S(Φ) matici s elementy
S(Φ)ab = eiΦa δab ,
(2.84)
kde Φa jsou libovolné fáze, lze redefinovat matici U a pole eL :
U −→ U 0 = S(Φ)U ,
eL −→ e0L = S(Φ)eL ,
(2.85)
(2.86)
aniž by se změnil tvar nabitého proudu. Jelikož jsou ale fáze Φa libovolné, docházíme k závěru, že n fází matice U je nefyzikálních, neboť se jich lze vždy zbavit
vtažením do polí eL .
V případě diracovských neutrin lze fáze kromě nabitých leptonů vtáhnout i
do neutrinových polí, takže můžeme provést následující transformaci:
U −→ U 0 = S(Φ)U S † (Ψ)
eL −→ e0L = S(Φ)eL
νL −→ νL0 = S(Ψ)νL .
(2.87)
(2.88)
(2.89)
V tomto případě se lze zbavit 2n − 1 fází (nikoliv 2n, neboť jedna fáze je společná
pro S(Φ) i S † (Ψ)).
Ve výsledku tedy máme následují počty fyzikálních fází pro oba případy [5]:
• Majoranovská neutrina:
1
# fází = n(n − 1) .
2
(2.90)
1
# fází = (n − 1)(n − 2) .
2
(2.91)
• Diracovská neutrina:
21
Pro n = 3 tedy máme v případě diracovských neutrin 1 fázi (stejně jako u CKM
matice), zatímco v případě majoranovských neutrin 3 fáze.
Na závěr ještě uveďme „kanonickouÿ (viz [1]) parametrizaci leptonové mixing
matice pro případ n = 3:

 i α1



1 0 0
c13 0 s13 e−iδ
c12 s12 0
e 2 0 0
α
1 0  −s12 c12 0  0 ei 22 0 
U =  0 c23 s23  0
0 −s23 c23
−s13 eiδ 0 c13
0 0 1
0 0 1
(2.92)


α1
α2
c12 c13 ei 2
s12 c13 ei 2
s13 e−iδ
α1
α2
i
i
iδ
iδ
=  (−s12 c23 − c12 s23 s13 e )e 2 ( c12 c23 − s12 s23 s13 e )e 2 s23 c13  ,
α1
α2
( s12 s23 − c12 c23 s13 eiδ )ei 2 (−c12 s23 − s12 c23 s13 eiδ )ei 2 c23 c13
(2.93)
kde sij ≡ sin θij , cij ≡ cos θij . Fáze δ je Diracovská fáze, zatímco α1,2 jsou Majoranovské fáze.
22
Kapitola 3
Neutrinové oscilace ve vakuu
3.1
Odvození standardní oscilační fáze
V předchozí kapitole jsme viděli, že leptonový slabý nabitý proud je nutno obecně
uvažovat ve tvaru
g
LCC = − √ Wµ− eL γ µ U νL + h.c. ,
2
kde U je nějaká unitární matice. Zde přitom stavy




ν1L
eeL
eL =  eµL  , νL =  ν2L 
ν3L
eτ L
(3.1)
(3.2)
označují vlastní stavy hmoty. Je namístě ovšem poznamenat, že nyní uvažujeme
pouze aktivní neutrina, neboť předpokládáme, že případná sterilní neutrina můžeme zanedbat. Tento předpoklad je oprávněn do té míry, do jaké můžeme považovat matici U na prostoru pouze aktivních neutrin za unitární. Což pro případ
sterilních neutrin plynoucích ze see-saw mechanismu s vysokou přesností můžeme
(viz diskuse v podsekci 2.2.2 o see-saw mechanismu I. druhu).
Vedle vlastních stavů hmoty se taktéž často mluví o vlastních stavech flavouru. Flavour se konvenčně zavádí tak, že pro nabité leptony se flavourové a
hmotové vlastní stavy shodují, zatímco pro neutrina jsou vlastní flavourové stavy
definovány tak, aby v nich byl nabitý proud diagonální 1 . Tedy definujeme
ναL ≡
3
X
Uαa νaL
(α = e, µ, τ ) .
(3.3)
a=1
1
V tomto smyslu se někdy spíše než o vlastních stavech flavouru mluví o weak-interaction
eigenstates – vlastních stavech slabé interakce. Ačkoliv je toto pojmenování s ohledem na vztah
(3.4) logičtější, dáváme v této práci z konvenčních důvodů přednost pojmu flavour.
23
Hovoříme pak o elektronovém, mionovém a tauonovém neutrinu. Nabitý proud
pak lze zapsat v diagonálním tvaru
X
g
LCC = − √ Wµ−
eαL γ µ ναL + h.c.
(3.4)
2
α=e,µ,τ
Jelikož se budeme zabývat neutrinovými oscilacemi v kvantově mechanickém
přiblížení (tj. „zapomenemeÿ na polní metody), bude výhodnější používat bracketovou notaci. Krom toho budeme u neutrin nadále potlačovat chirální index L.
Máme tedy převodní vztahy mezi hmotovými (indexujeme latinskými písmeny) a flavourovými (indexujeme řeckými písmeny) neutrinovými eigenstavy:
X
|να i =
Uαa |νa i ,
(3.5)
a
|νa i =
X
∗
|να i .
Uαa
(3.6)
α
Převodní vztahy pro antineutrina se liší pouze záměnou U ↔ U ∗ . Podmínky
unitarity U U † = U † U = 11 jsou ve složkách:
X
∗
Uαa Uβa
= δαβ ,
(3.7)
a
X
∗
Uαa Uαb
= δab .
(3.8)
α
Nechť v počátku prostoročasových souřadnic dojde k produkci neutrina určitého flavouru, řekněme α. 2 Toto neutrino je superpozicí stavů s definovanými
hmotami a impulsy:
X
|να i =
Uαa |νa , pa i ,
(3.9)
a
přičemž |νa , pa i ≡ |νa i|pa i. Vlnová funkce tohoto stavu je
|να (x)i = hx|να i
X
=
Uαa hx|pa i|νa i
(3.10)
(3.11)
a
=
X
Uαa eipa ·x |νa i .
(3.12)
a
2
Zde a dále předpokládáme, že nabitý lepton, jehož emise doprovázela vznik neutrina, byl
naměřen dříve než neutrino, a to s flavourem α. Tento předpoklad je oprávněn, neboť nabité
leptony mají díky elektrickému náboji střední volnou dráhu typicky o mnoho řádů delší než
neutrina. Pokud by tomu tak nebylo, daly by se analogicky k neutrinovým oscilacím uvažovat
i oscilace nabitých leptonů.
24
Časový vývoj hmotových eigenstavů je generován volným hamiltoniánem H:
|νa (t)i = e−iHt |νa i
= e−iEa t |νa i .
(3.13)
(3.14)
Zde jsme použili
H|νa i = Ea |νa i .
(3.15)
Celkově tedy máme:
|να (x, t)i =
X
Uαa eipa ·x−iEa t |νa i .
(3.16)
a
V plné obecnosti však musíme uvažovat superpozici takovýchto rovinných
vln – vlnový balík. V rovinné vlně jsou dva volné parametry – E a p, které jsou
však navzájem jednoznačně svázány disperzní relací. Můžeme si tedy vybrat, přes
který z těchto dvou parametrů budeme dělat superpozici, pro další účely bude
nejvhodnější zvolit p. Máme tedy (uvažujme nadále pro jednoduchost pouze jednu
prostorovou dimenzi):
Z
X
|να (x, t)i = dEe−iEt
Uαa ga (E)eipa (E)x |νa i ,
(3.17)
a
kde
pa (E) =
p
E 2 − m2a .
(3.18)
Funkce ga (E), které váží příspěvky od rovinných vln s různou energií, jsou určeny
detaily produkčního procesu, jejich konkrétní tvar není pro nás důležitý. Nicméně
z požadavku
hνβ (0, t)|να (0, 0)i = δαβ
∀t
(3.19)
(což fyzikálně odpovídá nemožnosti naměření neutrina β v místě produkce, došloli tam ke vzniku neutrina α 6= β – viz [9]) a z relací ortogonality pro hmotové
eigenstavy
hνa |νb i = δab
(3.20)
dostaneme jednak to, že všechny funkce ga (E) jsou stejné:
g(E) ≡ ga (E) ∀a
(3.21)
a jednak normalizační podmínku
Z
g(E)dE = 1 .
25
(3.22)
Pro amplitudu hustoty pravděpodobnosti přechodu |να (0, 0)i −→ |νβ (x, t)i
tedy máme
Aα→β (x, t) = hνβ (x, t)|να (0, 0)i
Z
X
∗ ipa (E)x
Uαa Uβa
e
.
=
dEg(E)e−iEt
(3.23)
(3.24)
a
Hustota pravděpodobnosti pak je
Pα→β (x, t) = |Aα→β (x, t)|2
ZZ
0
=
dEdE 0 g(E)g(E 0 )e−i(E−E )t
X
0
∗
∗
×
Uαa Uβa
Uαb
Uβb ei(pa (E)−pb (E ))x .
(3.25)
(3.26)
ab
V reálných oscilačních experimentech se ovšem měří oscilace v prostoru, čas
je irelevantní, takže je nutno se ho zbavit vyintegrováním:
Z
1
Pα→β (x, t)dt
(3.27)
Pα→β (x) ≡
N
Z
X
2π
∗
∗
=
dEg 2 (E)
Uαa Uβa
Uαb
Uβb ei(pa (E)−pb (E))x .
(3.28)
N
ab
Normalizační konstanta N je zvolena tak, aby platilo
X
Pα→β (x) = 1 ,
(3.29)
β
tudíž pro ni platí
N =
XZ
Pα→β (x, t)dx
(3.30)
Pα→β (x, t)dt
(3.31)
β
=
XZ
β
= 2π
Z
g 2 (E)dE .
(3.32)
Námi získaná oscilační fáze
Φab (x) ≡ (pa (E) − pb (E))x
(3.33)
se dá ještě upravit do standardního tvaru, pokud předpokládáme ultrarelativističnost neutrin, tj. nerovnost ma ¿ p, E. Tento předpoklad je oprávněn, neboť
26
hmoty neutrin jsou řádově 1 eV, zatímco prahové energie pro jejich detekci bývají
typicky 100 keV. Pak dostaneme
Φab (x) ≡
∆m2ba
x + O(m4ba ) ,
2E
(3.34)
kde jsme označili
∆m2ba ≡ m2b − m2a .
(3.35)
Oscilační fázi lze též zapsat v termínech oscilační délky Lab :
Φab (x) = 2π
x
,
Lab
(3.36)
kde
Lab ≡
4πE
.
∆m2ba
(3.37)
Lze z výsledků oscilačních experimentů určit, zda jsou neutrina diracovské
či majoranovské částice? Označíme-li si mixing matice pro oba případy jako U D
resp. U M , je mezi nimi vztah (viz [7])
U M = U D S(Φ) ,
(3.38)
kde složky matice S(Φ) se dají zapsat ve tvaru S(Φ)ab = ei(Φa −Φ1 ) δab . Což odpovídá našemu dřívějšímu poznatku, že U M má o n − 1 více fází než U D , která jich
má (n − 1)(n − 2)/2. Ve složkách tedy máme
M
D i(Φa −Φ1 )
Uaα
= Uaα
e
.
(3.39)
Ovšem jak je patrno z výrazu pro oscilační pravděpodobnost Pα→β (x) (3.28),
dodatečné fáze, kterými se odlišuje U M od U D , zde nehrají žádnou roli – nejsou
pozorovatelné. Takže výsledek je takový, že na základě oscilačních experimentů
nelze odlišit majoranovská neutrina od diracovských [8].
Z výrazu pro Pα→β (x) (3.28) je také vidět vztah mezi oscilacemi neutrin a
antineutrin:
Pα→β (x) = Pβ→α (x)
(3.40)
(připomeňme, že Pβ→α (x) se dostane z Pα→β (x) záměnou U ↔ U ∗ ). Toto ale není
ničím jiným než potvrzením CPT invariance.
Ve výsledku (3.28) vidíme důležitou věc: v oscilační fázi hraje roli koherence
pouze mezi stavy se stejnou energií. Různé energie do celkové pravděpodobnosti
přispívají nekoherentně, tj. jako prostá suma. Je tím tak ospravedlněn tzv. equal
energy assumption – předpoklad stejných energií – na jehož základě bývá oscilační fáze též odvozována. Při takovémto odvození se neberou v úvahu vlnové
27
balíky, ale rovinné vlny se stejnou energií a s (nutně) různými impulsy. Díky
tomu se automaticky bez nutnosti jakéhokoliv integrování přes čas vyruší časová
závislost a dostane se oscilační fáze, totožná s naším výsledkem (3.33). Celková
pravděpodobnost Pα→β (x) se pak dostane už jenom vyintegrováním přes všechny
energie ve svazku.
Existuje také analogický způsob odvození (viz např. [6]), založený na equal
momentum assumption – předpokladu stejných impulsů (a naopak různých energií) ve svazku. Obdobným způsobem jako tím popsaným v předchozím odstavci
se dostane opět oscilační fáze a pravděpodobnost přechodu α → β, ovšem tentokrát nikoliv pro oscilace v prostoru, nýbrž pro oscilace v čase. Vztah pro oscilace
v prostoru lze pak získat položením t = x (vzhledem k relativističnosti neutrin).
3.2
Podmínky pro vznik oscilací
Bude-li oscilační fáze Φab (x) mnohem menší než 1, je z vyjádření pro pravděpodobnost přechodu α → β zřejmé, že potom
Pα→β (x) ∼
= δαβ ,
(3.41)
čili že nebudou pozorovány žádné oscilace. Pro vznik oscilací tedy musí být splněna podmínka
Φab (x) & 1 ,
(3.42)
resp. do řádu O(m2ba )
∆m2ba &
2E
.
x
(3.43)
Tato nerovnost poskytuje hrubé vodítko pro stanovení, jaký nejmenší rozdíl ∆m2ba
lze u daného experimentu naměřit. Řádově [10]:
Zdroj neutrin
reaktor
urychlovač
Slunce
Typická
energie
neutrin
1 MeV
1 GeV
1 MeV
Vzdálenost
detektoru
od zdroje
100 m
1 km
1011 m
Citlivost
vůči ∆m2ba
10−2 eV2
1 eV2
10−11 eV2
Zatím jsme stanovili minimální vzdálenost, od níž lze pozorovat oscilace. Existuje ale i maximální vzdálenost pro pozorování oscilací. V důsledku nekoherentního integrování přes různé energie ve svazku dojde v určité vzdálenosti k rozmazání oscilací. Záleží samozřejmě na konkrétním tvaru funkce g(E), nicméně
28
zhruba lze říct, že k rozmazání dojde tehdy, jakmile bude rozdíl fází napříč svazkem pro jednotlivé energie srovnatelný s 2π. Předpokládáme-li, že vlnový balík
(resp. funkce g(E)) má v energiích šířku ∆E a že E je střední energie svazku,
pak variace fáze podle energie bude
δΦab (x) =
∂Φab (x)
∆E
∂E
(předpokládáme ∆E ¿ E). Z podmínky δΦab (x) < 2π tedy máme
∆E x
< 1.
E Lab
(3.44)
3
(3.45)
Spojíme-li výše odvozenou minimální a maximální vzdálenost pro pozorování
oscilací, docházíme k závěru, že oscilace lze pozorovat pouze v určitém omezeném
intervalu vzdáleností x od zdroje, konkrétně
E
E
<x<
Lab .
2
∆mba
∆E
(3.46)
Tento interval je neprázdný, pokud je splněna podmínka
4π
E
> 1.
∆E
(3.47)
Nutnou podmínkou pro pozorování oscilací je také to, aby rozměry detektoru a zdroje byly menší než oscilační délka. Jinak by došlo k rozmazání oscilací
v důsledku integrace přes rozměry zdroje resp. detektoru.
Zatím jsme se nezabývali v pravém slova smyslu podmínkami pro vznik oscilací, ale pouze pro možnost jejich pozorování. Jinými slovy, brali jsme jako
samozřejmost, že lze psát koherentní superpozici stavů s definovanými hmotami,
tj. vztah (3.9). V tom byl však implicitně zahrnut předpoklad, že nevíme, který
hmotový eigenstav vznikl. Přesněji řečeno, že to díky kvantově mechanickým neurčitostem ani nelze v principu určit. Jinak bychom totiž žádné oscilační chování
nedostali. Pokud bychom např. věděli, že vznikl hmotový eigenstav νa (bez ohledu
na to, kterým nabitým leptonem byl jeho vznik doprovázen), pak by pravděpodobnost naměření neutrina νβ ve vzdálenosti x od zdroje byla přímo
Pa→β (x) = |Uβa |2 ,
(3.48)
tedy konstanta! Neurčitost v kvadrátu hmostnosti δm2 vzniklého neutrina tedy
musí být větší než největší z rozílů ∆m2ab . Jelikož hmota vzniklého neutrina se dá
v principu určit měřením jeho energie a impulsu, je
|δm2 | = 2|E δE − p δp| ,
(3.49)
3
Stejný výsledek lze odvodit i na základě semiklasických úvah o chování vlnových balíků,
konkrétně z požadavku, aby prostorová vzdálenost vlnových balíků, odpovídajících jednotlivým
hmotovým eigenstavům, byla menší než prostorová délka těchto vlnových balíků. Viz např. [11].
29
kde E, p, δE, δp jsou energie a impuls vniklého neutrina, resp. neurčitosti v nich.
Ty jsou řádově rovny [12]
1
δE ∼
= ,
x
1
δp ∼
,
=
∆xS
(3.50)
(3.51)
kde x je vzdálenost od zdroje, jenž má velikost ∆xS . Vezmeme-li v úvahu vztah
(3.43), určující minimální vzdálenost pro možnost pozorovat oscilace, a předpokládáme-li realisticky, že vzdálenost od zdroje je mnohem větší než velikost
zdroje:
x À ∆xS ,
(3.52)
dostáváme, že neurčitost v určení hmoty vzniklého neutrina je vždy mnohem větší
než rozdíly ∆m2ab :
δm2 À ∆m2ab .
30
(3.53)
Kapitola 4
Higgsovské modely
4.1
Systematika higgsovských modelů
Do lagrangiánu Standardního modelu elektroslabých interakcí (SM) nelze přímo
napsat žádné SU(2)L ×U(1)Y invariantní hmotové členy pro leptony. Neboť mámeli k dispozici pouze levé dublety
µ ¶
νL
`L ≡
(4.1)
eL
a pravé singlety
eR
(4.2)
a pole k nim nábojově sdružená 1 `cL a ecR (potlačme v této podkapitole pro
jednoduchost flavourové indexy), lze všech 10 bilineárních členů (členy k nim
hermitovsky sdružené nepočítáme) zkonstruovaných z těchto multipletů rozdělit
do dvou skupin:
• ecR eR , `cL `L , `L eR – nejsou SU(2)L × U(1)Y invariantní;
• eR eR , ecR ecR , `L `L , `cL `cL , `cL eR , `L ecR , `cL ecR – jsou identicky rovny nule díky
vlastnostem projektorů na chirální stavy.
Nechceme-li tedy do teorie přidávat další leptonové multiplety (např. pravé neutrinové singlety), můžeme místo toho přidat dodatečné skalární multiplety, yukawovsky je navázat na leptonové multiplety při zachování SU(2)L × U(1)Y invariance a poté využít mechanismu spontánního narušení symetrie, tj. předpokládat,
1
Zde se sluší poznamenat, že pro lepší přehlednost zápisu se v celém textu používá značení
c
ψL,R
≡ (ψL,R )c = (ψ c )R,L ,
kde ψ je generické označení pro fermionová pole.
31
že elektricky neutrální složky skalárních multipletů mohou vyvinout nějaké nenulové vakuové střední hodnoty 2 . Spontánně narušovat je přitom třeba tři ze
čtyř generátorů grupy SU(2)L × U(1)Y , neboť potřebujeme vedle fermionů dodat
hmoty i třem kalibračním bosonům. Zbylý kalibrační boson – foton, odpovídající
nenarušenému generátoru grupy U(1)em , zůstane nehmotný.
Kromě výše zmíněné lokální SU(2)L ×U(1)Y symetrie budeme (alespoň v yukawovských interakčních členech) předpokládat ještě existenci globální U(1)l symetrie, spojené se zachováním leptonového čísla.
Rozveďme nyní trochu podrobněji předchozí řádky. Ve SM máme tyto leptonové multiplety:
eR ∼ (1, −2, +1) ,
`L ∼ (2, −1, +1)
(4.3)
(4.4)
a pole k nim nábojově sdružená:
ecR ∼ (1, +2, −1) ,
`cL ∼ (2, +1, −1) .
(4.5)
(4.6)
Čísla v závorkách jsou SU(2)L × U(1)Y × U(1)l kvantová čísla, tj. první číslo
udává, o kolika dimenzionální representaci grupy SU(2)L se jedná, zatímco zbylá
dvě čísla jsou U(1)Y a U(1)l náboje: pro U(1)Y slabý hypernáboj Y , zde konvenčně
definovaný jako
Y ≡ 2(Q − T3 ) ,
(4.7)
a pro U(1)l leptonové číslo L.
Pro úplnost a kvůli pozdějším referencím ještě uveďme, jak by v této notaci
vypadalo případné pravotočivé neutrino νR :
νR ∼ (1, 0, +1) ,
νRc ∼ (1, 0, −1) ,
(4.8)
(4.9)
kvarkové pravé singlety uR a dR (zde již nebudeme psát nábojově sdružená pole,
opět by se lišila pouze znaménkem u U(1) nábojů):
uR ∼ (1, +4/3, 0) ,
dR ∼ (1, −2/3, 0)
2
(4.10)
(4.11)
Existuje ještě možnost tzv. dynamického generování hmot, při kterém také (nutně) dochází
ke spontánnímu narušení symetrie, nicméně toto spontánní narušení se děje dynamicky, prostřednictvím neporuchového řešení rovnic pole, nikoliv tím, že by nějaké skaláry kondenzovaly.
Pro dynamické generování hmot dokonce ani není obecně nutná přítomnost skalárů. Blíže se
touto možností budeme zabývat v kapitole 5.
32
a kvarkový levý dublet qL :
qL ≡
µ
uL
dL
¶
∼ (2, +1/3, 0) .
(4.12)
Dublety se vůči SU(2)L transformují jako
`L −→ `0L = U `L ,
(4.13)
kde U je obecný prvek grupy SU(2)L v dubletní representaci, tzn. lze jej zapsat
ve tvaru
U = eiαa σa ,
(4.14)
kde reálná čísla αa jsou parametry dané transformace.
Již bylo zmíněno, že z těchto multipletů je možno zkonstruovat následující
netriviální bilineární členy:
ecR eR ∼ (1, −2, +1) ⊗ (1, −2, +1) = (1, −4, +2) ,
`L eR ∼ (2, +1, −1) ⊗ (1, −2, +1) = (2, −1, 0) ,
`cL `L ∼ (2, −1, +1) ⊗ (2, −1, +1) = (1, −2, −2) ⊕ (3, −2, −2) .
(4.15)
(4.16)
(4.17)
Jak vidno, člen `cL `L obsahuje v důsledku platnosti rozkladu 2 ⊗ 2 = 1 ⊕ 3 singlet
a triplet; zapsáno s příslušnými Clebsch-Gordanovými koeficienty máme:
`cL iσ2 `L ∼ 1 ,
`cL iσ2~σ `L ∼ 3 ,
(4.18)
(4.19)
kde ~σ = (σ1 , σ2 , σ3 ). Je přímočaré si ověřit, že tyto členy se při transformaci indukované transformací (4.13) skutečně transformují jako singlet a triplet: zatímco
singlet se transformuje triviálně, triplet se transformuje jako
³
´
`cL iσ2 σa `L → ( `cL iσ2 σa `L )0 = eiαc Tc `cL iσ2 σb `L ,
(4.20)
ab
přičemž maticové elementy generátorů Tc jsou
(Ta )bc = −2iεabc
a, b, c = 1, 2, 3 .
(4.21)
Jedná se tedy o přidruženou representaci grupy SU(2) (neboť [σa , σb ] = 2iεabc σc ).
Na tyto bilineární členy potřebujeme yukawovsky navázat skalární multiplety,
a to tak, aby byla zachována SU(2)L × U(1)Y × U(1)l invariance (ještě jsme
neprovedli spontánní narušení symetrie). Tedy v úvahu připadají tyto skalární
multiplety:
h+ ∼
k ++ ∼
Φ∼
~ ∼
∆
(1, +2, +2) ,
(1, +4, −2) ,
(2, +1, 0) ,
(4.22)
(4.23)
(4.24)
(3, +2, +2) ,
(4.25)
33
v důsledku čehož dostáváme následující SU(2)L × U(1)Y × U(1)l invariantní yukawovské členy:
`cL iσ2 `L h+ ,
ecR eR k ++ ,
`L eR Φ ,
`cL iσ2 σa `L ∆a .
(4.26)
Na základě těchto poznatků lze konstruovat různé modely pro generování majoranovských neutrinových hmot. (Je zřejmé, že diracovské hmotové členy v této
třídě modelů nelze nagenerovat z prostého důvodu neexistence pravých neutrinových polí.) Tyto modely se liší zejména volbou skalárních multipletů, které
se zavádí do teorie, čehož důsledkem bývá např. to, zda se neutrinové hmotové
členy nagenerují už na stromové úrovni, či až jako (1-smyčkové, 2-smyčkové, . . . )
radiační korekce.
Další důležitou ingrediencí takových modelů bývá způsob narušení leptonového čísla. Je evidentní, že k takovému narušení v konečném výsledku dojít musí,
neboť člen νLc νL narušuje leptonové číslo o ∆L = 2. Toto narušení je možno provést spontánně – důsledkem pak bývá existence Nambu-Goldstoneova bosonu,
spojeného s narušením U(1)l symetrie, tzv. majoronu. Ten však (z fenomenologických důvodů) nebývá v teorii vždy vítán, takže se zpravidla dává přednost
explicitnímu narušení U(1)l symetrie, tzn. předpokládá se neinvariance celkového
lagrangiánu vůči U(1)l ještě před tím, než dovolíme skalárním polím vyvinout vakuové střední hodnoty. Jelikož yukawovské interakční členy zachovávají leptonové
číslo, může být jediným zdrojem jeho explicitního narušení skalární potenciál, tj.
interakční lagrangián pro skalární pole.
Takovýchto navzájem různých modelů lze samozřejmě vytvořit neomezené
množství, v literatuře se však nejčastěji citují následující tři modely:
Model
Skalární
obsah
Neutrinové
hmoty
generovány na
úrovni
Člen
explicitně
narušující U(1)l
symetrii
Gelmini-Roncadelli
Zee
Zee-Babu
~
Φ, ∆
Φ1 , Φ2 , h+
Φ, h+ , k ++
stromové
1-smyčkové
2-smyčkové
Φ† iσ2 σa Φ∗ ∆a
Φ†1 iσ2 Φ∗2 h+
h+ h+ k −−
V dalším textu se budeme podrobněji věnovat Gelmini-Roncadelliho a Zeeovu
modelu. Na Zee-Babuův model zde alespoň uveďme reference [14, 15].
4.2
Gelmini-Roncadelliho model
Fermionová část Gelmini-Roncadelliho (GR) modelu [16] je stejně jako ve SM
tvořena levými fermionovými dublety `aL a pravými singlety eaR . Skalární část
34
obsahuje dublet a triplet:
µ
Φ=

φ+
φ0
¶
,

∆1
~ =  ∆2  .
∆
∆3
(4.27)
(4.28)
Lagrangián GR modelu lze psát ve tvaru
LGR = LYukawa + Lskalár + . . . ,
(4.29)
(tři tečky representují pro nás v tuto chvíli nezajímavé členy, tzn. kinetické členy
leptonů a kalibračních polí a kvarkovou část) kde
~ 2 − V (Φ, ∆)
Lskalár = |Dµ Φ|2 + |Dµ ∆|
(4.30)
a
LYukawa =
Xh
i
− cab `aL ΦebR − fab `caL iσ2 ∆`bL + h.c.
(4.31)
a,b
Vazbová konstanta pro triplet je symetrická, tj. fab = fba .
V yukawovském lagrangiánu LYukawa jsme zavedli označení
µ + √
¶
~
~σ · ∆
∆ / 2 ∆++√
∆≡ √ =
.
∆0 −∆+ / 2
2
(4.32)
Takto zadefinovaný triplet v maticové representaci se vzhledem k SU(2) transformuje jako
∆ −→ ∆0 = U ∆U † ,
(4.33)
předpokládáme-li, že fermionové dublety se transformují jako (viz (4.13))
`aL −→ `0aL = U `aL .
~
Zde použitá identifikace vlastních stavů elektrického náboje tripletu ∆
  1


√ (∆0 + ∆++ )
∆1
2
 ∆2  =  √−i (∆0 − ∆++ ) 
2
∆3
∆+
(4.34)
(4.35)
je snadno odvoditelná rozepsáním jeho yukawovské vazby na leptony (4.31).
35
Pro generování hmot leptonů je samozřejmě nejdůležitější yukawovská část.
Pakliže totiž vyvinou elektricky neutrální složky skalárních polí vakuové střední
hodnoty
vφ
hφ0 i0 ≡ √ ,
2
v
∆
h∆0 i0 ≡ √ ,
2
vzniknou v lagrangiánu hmotové členy pro nabité leptony a neutrina:
³
´ 1³
´
(e)
(ν) c
− mab eaL ebR + h.c. −
mab νaL
νbL + h.c. ,
2
(4.36)
(4.37)
(4.38)
kde
vφ
(e)
mab ≡ √ cab ,
2
√
(ν)
mab ≡ 2v∆ fab .
(4.39)
(4.40)
Věnujme se nyní skalární části. Nejobecnější, renormalizovatelný, SU(2)L ×
U(1)Y invariantní potenciál V (Φ, ∆) je zřejmě [18]
V (Φ, ∆) = a |Φ|2 + b |∆|2 + c |Φ|4 + d |∆|4
+(e − h) |Φ|2 |∆|2 + f Tr(∆† ∆† ) Tr(∆∆)
√
e + h.c.) ,
+2h Φ† ∆† ∆Φ + 2(t Φ† ∆Φ
(4.41)
přičemž jsme zavedli označení
~ 2
|∆|2 ≡ Tr(∆† ∆) = |∆|
(4.42)
e nábojově sdružený k dubletu Φ:
a zadefinovali dublet Φ
e ≡ iσ2 Φ∗ ,
Φ
(4.43)
jehož SU(2)L × U(1)Y × U(1)l kvantová čísla jsou
e ∼ (2, −1, 0) .
Φ
(4.44)
e se opravdu transformuje jako dublet
Je snadné si ověřit (viz [13], str. 198), že Φ
grupy SU(2); klíčovou roli přitom hraje platnost vztahu
σa∗ = −σ2 σa σ2 .
(4.45)
Ve skalárním potenciálu (4.41) je hoden pozornosti zejména poslední (kubický) člen, a to nejenom proto, že konstanta t u něj stojící je na rozdíl od
36
ostatních konstant obecně komplexní (tj. ve tvaru t = |t|eiωt ), ale zejména proto,
že tento člen explicitně narušuje globální U(1)l symetrii, spojenou se zachováním
leptonového čísla (pokud přiřadíme Lφ = 0 a L∆ = −2). To je také důvod, proč
tento člen nebyl v originální verzi GR modelu uvažován.
Jak již bylo řečeno, elektricky neutrální komponenty obou skalárních multipletů mohou nabývat nenulových vakuových středních hodnot vφ a v∆ . Ovšem
zatímco vφ může být vždy zvolena reálnou a kladnou díky existenci globální U(1)Y
symetrie, v případě v∆ již další takovou symetrii nemáme (tedy pokud t 6= 0, jinak
by samozřejmě v úvahu připadala U(1)l ), takže v∆ musíme považovat za obecně
komplexní číslo.
Poměr velikostí vφ a v∆ ovšem není libovolný. Rozpracováním členů s kovariantními derivacemi v lagrangiánu (4.30) lze odvodit
2
2
1 + 2 v∆
/vφ2
MW
=
2
MZ2 cos2 θW
1 + 4 v∆
/vφ2
(4.46)
(viz též explicitní vztahy (4.75) a (4.76) pro hmoty MZ a MW níže). Ovšem
z experimentů vychází pro tento poměr hodnota blízká 1. Tedy musí platit
|v∆ | ¿ vφ .
(4.47)
Velikosti vakuových středních hodnot se získají minimalizací potenciálu
V (hΦi0 , h∆i0 ) jakožto funkce tří reálných proměnných vφ , |v∆ |, ω∆ . Vyjdou následující podmínky:
e−h 2
v + 2|v∆ | |t| cos(ωt + ω∆ ) = 0 ,
2 ∆
vφ
e−h 2
2
vφ + |t|
cos(ωt + ω∆ ) = 0 ,
b + dv∆
+
2
|v∆ |
sin(ωt + ω∆ ) = 0 .
a + cvφ2 +
(4.48)
(4.49)
(4.50)
Řešení podmínky pro ω∆ je triviální:
ω∆ = π − ωt
(4.51)
(až na celistvý násobek π). Při hledání vφ a |v∆ | (splňujících navíc nerovnost
(4.47)) se ovšem musíme uchýlit k určitým aproximacím. Existují dva přístupy,
oba předpokládají platnost vztahů a ∼ vφ2 ; c, d, e, f, h ∼ 1. Odlišnosti jsou v požadavcích na řádové velikosti b, vφ , |t|:
• Předpokládejme b ∼ vφ2 , |t| ¿ vφ ; pak [18]:
a
vφ2 ∼
=− ,
c
|t|vφ2
1
∼
|v∆ | =
2 .
(e−h)v
φ
b 1+
2b
37
(4.52)
(4.53)
• Předpokládejme b À vφ2 , b & t2 ; pak [19]:
a 1
vφ2 ∼
,
=−
c 1 − 2tbc2
(4.54)
|t|vφ2
.
b
(4.55)
|v∆ | ∼
=
Je vidět, že v obou případech skutečně platí požadovaná nerovnost (4.47).
Před spontánním narušením symetrie obsahoval GR model celkem deset skalárních stupňů volnosti: čtyři reálná neutrální pole, dvě jednou nabitá pole a jedno
dvakrát nabité pole. Po spontánním narušení lokální SU(2)L × U(1)Y symetrie na
U(1)em očekáváme, že v teorii zůstane sedm skalárních stupňů volnosti, neboť tři
přejdou v podélné stupně volnosti kalibračních polí Z 0 a W ± . Podívejme se tedy
nyní konkrétně, jak bude poté vypadat skalární spektrum GR modelu.
Elektricky neutrální složky obou skalárních multipletů lze zapsat ve tvaru
1
φ0 ≡ √ (vφ + φR + iφI ) ,
2
1
∆0 ≡ √ (|v∆ | + ∆R + i∆I )eiω∆ .
2
(4.56)
(4.57)
Při uvážení těchto rozkladů lze z lagrangiánu (4.30) izolovat část kvadratickou
ve skalárních polích:
µ
¶
1
φR
2
Lmass = − (φR , ∆R ) MR
∆R
2
µ ¶
1
φI
(4.58)
− (φI , ∆I ) M2I
∆I
2
µ
¶
¡ − − ¢ 2 φ+
− φ , ∆ M+
∆+
− m2∆++ |∆++ |2 ,
kde (označíme-li q ≡ |t|/|v∆ | a využijeme-li podmínky (4.48), (4.49), (4.50) pro
minimum potenciálu):
µ
¶
2cvφ2
(e − h − 2q)vφ |v∆ |
2
,
(4.59)
MR ≡
2
(e − h − 2q)vφ |v∆ |
2dv∆
+ qvφ2
µ
¶
2
4v∆
−2vφ |v∆ |
2
MI ≡
q,
(4.60)
−2vφ |v∆ |
vφ2
√
µ
¶
2
h´
−
2v
2vφ v∆ ³
2
∆
√
,
(4.61)
M+ ≡
q
+
∗
− 2vφ v∆
vφ2
2
2
m2∆++ ≡ (h + q)vφ2 + 2f v∆
.
38
(4.62)
Vlastní stavy matic M2R , M2I , M2+ jsou tyto:
µ
¶ µ
¶µ
¶
ρH
cos ϑR sin ϑR
φR
=
,
ρL
− sin ϑR cos ϑR
∆R
µ ¶ µ
¶µ ¶
χ
cos ϑI sin ϑI
φI
=
,
ϑ
− sin ϑI cos ϑI
∆I
µ +¶ µ
¶µ + ¶
σ
cos ϑ+
eiω∆ sin ϑ+
φ
=
,
+
−iω∆
ω
−e
sin ϑ+ cos ϑ+
∆+
(4.63)
(4.64)
(4.65)
přičemž
e − h − 2q |v∆ |
tg ϑR ∼
,
=
2c − q
vφ
1 vφ
tg ϑI = −
,
2 |v∆ |
√ |v∆ |
tg ϑ+ = − 2
vφ
(4.66)
(4.67)
(4.68)
a příslušná vlastní čísla (hmoty) jsou pak:
2
(e − h − 2q) 2
∼
v∆ ,
= 2cvφ2 +
2c − q
µ
¶
(e − h − 2q)2 2
2
2 ∼
mρL = qvφ + 2d −
v∆ ,
2c − q
m2ϑ = 0 ,
2
m2χ = (4v∆
+ vφ2 )q ,
³
h´
2
2
2
mω+ = (2v∆ + vφ ) q +
,
2
m2σ+ = 0 .
m2ρH
(4.69)
(4.70)
(4.71)
(4.72)
(4.73)
(4.74)
(Jedinou aproximací použitou při vyjádření polí ρH a ρL a jejich hmot zde bylo
využití nerovnosti (4.47), tj. zanedbání členů vyššího řádu ve v∆ .)
Jak již bylo zmíněno, očekáváme v důsledku spontánního narušení SU(2)L ×
U(1)Y symetrie podle Goldstoneova teorému výskyt tří nehmotných NambuGoldstoneových bosonů. Skutečně: ϑ a σ ± jsou oněmi hledanými NambuGoldstoneovými bosony. Stejně jako ve Standardním modelu i zde jsou tato pole
nefyzikální – v U-kalibraci se z nich stanou podélné složky kalibračních polí Z 0
a W ± a přispějí tak k jejich zhmotnění:
1 2
2
+ vφ2 ) ,
(g + g 02 )(4v∆
4
1
2
= g 2 (2v∆
+ vφ2 ) .
4
MZ2 =
2
MW
39
(4.75)
(4.76)
Zbývá již pouze přepsat (s využitím vztahů (4.63), (4.64), (4.65)) yukawovský
lagrangián (4.31) v termínech nalezených fyzikálních skalárních polí (tj. v Ukalibraci):
1 X
LYukawa = − √
cab eaL ebR ( cos ϑR ρH − sin ϑR ρL + i cos ϑI χ) + h.c.
2 a,b
1 X
c
νbL ( sin ϑR ρH + cos ϑR ρL + i sin ϑI χ)eiω∆ + h.c.
−√
fab νaL
2 a,b
√ X
c
+ 2
fab cos ϑ+ νaL
ebL ω + + h.c.
(4.77)
+
X
a,b
cab sin ϑ+ eiω∆ νaL ebR ω + + h.c.
a,b
+
X
fab ecaL ebL ∆++ + h.c.
a,b
Za zmínku zde stojí pole χ. Jeho hmota je totiž úměrná parametru t, zodpovědnému za explicitní narušení U(1)l symetrie, takže v případě t = 0 dostáváme
nehmotnou částici – Nambu-Goldstoneův boson, odpovídající spontánnímu narušení zmiňované U(1)l symetrie (tzv. majoron). Existence jakýchkoliv lehkých
(či dokonce nehmotných) částic by ovšem měla zničující účinky na fenomenologickou relevanci teorie. V takovém případě by totiž existovaly oproti Standardnímu
modelu dodatečné rozpadové módy Z 0 bosonu. 3 Žádné takové ovšem nebyly
experimentálně potvrzeny, čímž byl původní GR model s t = 0 zamítnut. Je
namístě se ptát, jak je na tom z tohoto hlediska GR model rozšířený o kubický
člen úměrný t. Tím spíše, že hmoty všech uvažovaných částic (Z, χ, ρH , ρL , ω + ,
∆++ ) jsou „přibližně stejnéÿ, tzn. řádu vφ . Dá se ukázat (zanedbá-li se v hmotách příspěvek úměrný v∆ ), že aby se (z čistě kinematických důvodů) nemohl Z
na uvedené částice rozpadat, musí být splněna podmínka q, c > 0,03. Ta však je
kompatibilní s předpoklady výše, z nichž vyplývá, že c ∼ 1 a q & 1.
4.3
Zeeův model
V Zeeově modelu [20] je skalární část tvořena dvěma dublety
µ +¶
φi
i = 1, 2
Φi =
φ0i
3
Speciálně by mohlo docházet k rozpadu Z 0 → χ + ρL , pro nějž by platilo
Γ(Z 0 → χ + ρL ) = 2Γ(Z 0 → ν + ν) .
40
(4.78)
a jedním nabitým singletem
h+ .
(4.79)
Lagrangián Zeeova modelu lze psát ve tvaru
LZee = LYukawa + Lskalár + . . . ,
(4.80)
Lskalár = |Dµ Φ1 |2 + |Dµ Φ2 |2 + |Dµ h+ |2 − V (Φ1 , Φ2 , h+ )
(4.81)
kde
a
LYukawa =
Xh
−
`aL (c1ab Φ1
+
c2ab Φ2 )ebR
+
fab `caL iσ2 `bL h+
i
+ h.c.
(4.82)
a,b
Konstanta fab je antisymetrická: fab = −fba .
Věnujme se nejprve skalární části. Jelikož většina kroků zde bude podobná
jako u předcházejícího GR modelu, budeme již stručnější. Nejobecnější potenciál
V (Φ1 , Φ2 , h+ ) je [17]:
³
³
a2 ´2
a 2 ´2
V (Φ1 , Φ2 , h+ ) = λ1 |Φ1 |2 − 1 + λ2 |Φ2 |2 − 2
2
2
³
2 ´³
2´
a
a
+λ3 |Φ1 |2 − 1 |Φ2 |2 − 2
2
³
´2
†
2
2
2
e 2 |2
+λ4 |Φ1 | |Φ2 | − |Φ1 Φ2 | + λ5 |Φ†1 Φ
+λ6 m2 |h+ |2 + λ7 |h+ |4 + λ8 |h+ |2 |Φ1 |2 + λ9 |h+ |2 |Φ2 |2
h
i
†
+ 2
+|h | λ10 Φ1 Φ2 + h.c.
h
i h
i
e 2 h+ + h.c. + µΦ† Φ2 + h.c. .
(4.83)
+M Φ†1 Φ
1
Kubický člen (úměrný M ) se může v potenciálu vyskytovat pouze tehdy, jsouli přítomny alespoň dva dublety, neboť v obecném případě, je-li přítomno více
e j h+ , přičemž matice Mij je antisymetrická. Dále: kondubletů, má tvar Mij Φ†i Φ
stanty Mij lze vždy bez újmy na obecnosti zvolit reálné (a kladné), neboť fázi lze
eliminovat redefinicí pole h+ .
Předpokládejme nyní, že elektricky neutrální složky obou skalárních dubletů
mohou nabývat vakuových středních hodnot:
vi
hφ0i i0 = √
2
i = 1, 2 .
(4.84)
Jelikož kubický člen v potenciálu evidentně narušuje zachování leptonového čísla
(s ohledem na (4.82) definujeme LΦ1 = LΦ2 = 0, Lh+ = −2), jsme v podobné
41
situaci jako u předcházejícího GR modelu: jenom jedna vakuová střední hodnota
může být reálná, druhou musíme brát jako obecně komplexní. Konvenčně se jako
reálná volí v1 . Můžeme tedy psát:
1
φ01 ≡ √ (v1 + φ1R + iφ1I ) ,
2
1
φ02 ≡ √ (|v2 | + φ2R + iφ2I )eiω2 .
2
(4.85)
(4.86)
Standardním postupem pak dostaneme podmínky pro minimum potenciálu,
z nichž lze spočítat hodnoty v1 a v2 = |v2 |eiω2 :
λ3 2
(v2 − a22 ) +
2
λ
3
λ2 (v22 − a22 ) + (v12 − a21 ) +
2
λ1 (v12 − a21 ) +
|v2 |
|µ| cos(ω2 + ωµ ) = 0 ,
v1
v1
|µ| cos(ω2 + ωµ ) = 0 ,
|v2 |
sin(ω2 + ωµ ) = 0 .
(4.87)
(4.88)
(4.89)
V lagrangiánu lze pak snadno identifikovat část kvadratickou ve skalárních
polích:
µ
¶
µ
¶
1
1
φ1R
φ1I
2
2
Lmass = − (φ1R , φ2R )MR
− (φ1I , φ2I )MI
φ2R
φ2I
2
2
 +
φ1
−
−
−
2  +
,
(4.90)
−(φ1 , φ2 , h )M+ φ2
+
h
kde
Ã
!
|v2 |
2
|µ|
|µ|
+
λ
v
|v
|
2λ
v
−
3
1
2
1
1
v1
M2R ≡
,
|µ| + λ3 v1 |v2 | 2λ2 v22 − |vv12 | |µ|
Ã
!
− |vv21 | 1
2
MI ≡ |µ|
,
1 − |vv12 |


v22
v1 v2∗
M ∗
2
2
√
m
−
m
v
0+
0+
2
2
2
2
h
v1 +v2
2 2
 v1 +v2 h
v12
v1 v2
M

2
2
M2+ ≡ 
√
 − v12 +v22 mh0+ v12 +v22 mh0+ − 2 v1  .
M
√
v
− √M2 v1 m2h+
2 2
(4.91)
(4.92)
(4.93)
Přitom jsme zavedli označení
λ8 v12 + λ9 v22 v1
+ (λ10 v2 + λ∗10 v2∗ ) ,
2 ¶
µ 2
λ
+
λ
|µ|
4
5
≡ (v12 + v22 )
−
.
2
v1 |v2 |
m2h+ ≡ λ6 m2 +
(4.94)
m2h0+
(4.95)
42
Diagonalizací matic M2R , M2I , M2+ dostaneme vlastní stavy
µ ¶ µ
¶µ
¶
ρ1
cos ϑR sin ϑR
φ1R
=
,
ρ2
− sin ϑR cos ϑR
φ2R
µ 0¶ µ
¶µ
¶
G
cos ϑI sin ϑI
φ1I
=
,
J
− sin ϑI cos ϑI
φ2I

 + 
cos ϕ e−iω2 sin ϕ
1
0
0
G
 H1+  =  0 cos β sin β  −eiω2 sin ϕ cos ϕ
0
0
0 − sin β cos β
H2+
(4.96)
(4.97)
 + 
0
φ1
 (4.98)


0
φ+
2
+
1
h
a jim odpovídající hmoty
·
¸
³v
1
|v2 | ´
1
2
2
2
2(λ1 v1 + λ2 v2 ) − |µ|
mρ1,2 =
+
2
|v2 |
v1
s·
¸2
³ |v |
1
v1 ´
2
2
2
+ 4(|µ| + λ3 v1 |v2 |)2 ,
±
2(λ1 v1 − λ2 v2 ) − |µ|
−
2
v1
|v2 |
m2G0 = 0 ,
³v
|v2 | ´
1
m2J = −|µ|
+
,
|v2 |
v1
m2G+ = 0 ,
·
¸
q
1 2
2
2
M1,2 =
m + + mh0+ ± (m2h+ − m2h0+ )2 + 2M 2 (v12 + v22 ) ,
2 h
(4.99)
(4.100)
(4.101)
(4.102)
(4.103)
přičemž pro mixovací úhly platí
tg 2ϑR =
2(|µ| + λ3 v1 |v2 |)
2(λ1 v12 − λ2 v22 ) − |µ|( |vv21 | −
|v2 |
,
v1
p
M 2(v12 + v22 )
tg 2β =
,
m2h+ − m2h0+
|v2 |
.
tg ϕ =
v1
tg ϑI =
v1
)
|v2 |
,
(4.104)
(4.105)
(4.106)
(4.107)
Nehmotná pole G0 , G± jsou Nambu-Goldstoneovy bosony, pocházející ze
spontánního narušení SU(2)L × U(1)Y symetrie. Jako nefyzikální stupně volnosti
je můžeme v U-kalibraci z lagrangiánu zcela vypustit, místo nich dostáváme longitudinální stupně volnosti kalibračních polí Z 0 a W ± , související s jejich hmotami:
1 2
(g + g 02 )(v12 + v22 ) ,
4
1
= g 2 (v12 + v22 ) .
4
MZ2 =
2
MW
43
(4.108)
(4.109)
2
Standardní relace MW
/(MZ2 cos2 θW ) = 1 tedy zůstává zachována. 4
Přepíšeme-li pomocí vztahů (4.96), (4.97), (4.98) yukawovský lagrangián
(4.82) v termínech vlastních stavů hmoty skalárních polí a v U-kalibraci (tj.
efektivně položíme G0 ≡ 0, G± ≡ 0), dostaneme:
h
i
X
c
LYukawa = 2
ebL sin β H1+ + cos β H2+ + h.c.
fab νaL
a,b
+
X
νaL ebR (c1ab e−iω2
sin ϕ −
c2ab
h
i
+
+
cos ϕ) cos β H1 − sin β H2 + h.c.
a,b
1 X 1
−√
cab eaL ebR ( cos ϑR + sin ϑR )ρ1 + h.c.
2 a,b
1 X 2
−√
cab eaL ebR ( cos ϑR − sin ϑR )eiω2 ρ2 + h.c.
2 a,b
i X
+√
eaL ebR (c1ab sin ϑI − c2ab eiω2 cos ϑI )J + h.c.
2 a,b
(4.110)
Věnujme se ale nyní našemu hlavnímu cíli – hmotám leptonů. V případě nabitých leptonů je situace jednoduchá. Z yukawovského lagrangiánu (4.82) je zřejmé,
že hmotová matice nabitých leptonů vznikne již na stromové úrovni a bude mít
tvar
c 1 v1 + c 2 v2
(e)
mab = ab √ ab .
(4.111)
2
Navíc můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat, že pracujeme v bázi, v níž
je hmotová matice diagonální a reálná, tj.
(e)
mab = ma δab = m∗a δab .
(4.112)
Případ neutrin již tak triviální není. Na stromové úrovni, na rozdíl od nabitých
leptonů, nelze jejich hmoty získat. Nicméně, jak bude ukázáno dále, lze je získat
jako jednosmyčkové radiační korekce.
Než se však začneme zabývat neutriny samotnými, budeme potřebovat vědět,
jak ze znalosti vlastní energie Σ(p) nějakého fermionového pole zjistit jeho fyzikální hmotu, resp. radiační korekci k původní holé hmotě mB . Vlastní energii
Σ(p) lze psát ve tvaru
Σ(p) = A(p2 )p/ + B(p2 ) .
4
(4.113)
Toto ovšem není náhoda. Dá se ukázat (viz [13], str. 210), že jsou-li v teorii skalární mul2
tiplety, jejichž elektricky neutrální složky kondenzují, pak vztah MW
/(MZ2 cos2 θW ) = 1 je vždy
automaticky zachován (až na radiační korekce), splňují-li příslušné hypernáboje Y a izospiny
T relaci
3
T (T + 1) − Y 2 = 0 .
4
Kterážto je v našem případě dubletů (T = 1/2) s hypernáboji Y = 1 splněna.
44
Holý propagátor je
i
p/ − mB
(4.114)
a opravený
h
i
i
i
i
+
+ ... =
iΣ(p)
p/ − mB p/ − mB
p/ − mB
i
=
p/ − mB + Σ(p)
i
=
2
[1 + A(p )]p/ − [mB − B(p2 )]
[1 + A(p2 )]p/ + [mB − B(p2 )]
=i
.
[1 + A(p2 )]2 p2 − [mB − B(p2 )]2
(4.115)
(4.116)
(4.117)
(4.118)
Fyzikální hmota m je pak definována jako pól opraveného propagátoru, tj. jako
řešení rovnice
m = mB − [A(m2 )m + B(m2 )] ,
(4.119)
resp. symbolicky zapsáno
m = mB − Σ(m) .
(4.120)
Jelikož jednosmyčková korekce Σ(p) k propagátoru je druhého řádu v příslušných
vazbových konstantách, stačí tuto rovnici pro m vyřešit také pouze do druhého
řádu. Takové řešení je
m = mB − Σ(mB ) .
(4.121)
(ν)
V našem případě jsou ovšem holé hmoty mabB rovny nule, takže majoranovské
neutrinové hmoty
´
1 X ³ (ν) c
mab νaL νbL + h.c.
−
(4.122)
2 a,b
dostaneme jako
(ν)
mab = −Σab (0) = −Bab (0) .
(4.123)
Vezmeme-li z interakčního lagrangiánu (4.110) pouze pro nás v tuto chvíli zajímavé členy
LYukawa = . . . +
2 X
X
c
(ajab νaL
ebL + bjab νaL ebR )Hj+ + h.c. ,
j=1 a,b
45
(4.124)
(ν)
Obrázek 4.1: Typický diagram, přispívající k hmotovému členu mab . Všechny
+
diagramy se dostanou vysčítáním přes intermediální stavy, tj. přes skaláry H1,2
a nabité leptony ec (c = e, µ, τ ).
kde jsme označili
a1ab
a2ab
b1ab
b2ab
≡ 2fab sin β ,
≡ 2fab cos β ,
≡ (c1ab e−iω2 sin ϕ − c2ab cos ϕ) cos β ,
≡ − (c1ab e−iω2 sin ϕ − c2ab cos ϕ) sin β ,
(4.125)
(4.126)
(4.127)
(4.128)
vidíme, že z nich lze zkonstruovat výraz odpovídající grafu na obrázku 4.1. Tento
eab (p2 )) ovšem není ničím jiným než funkcí B(p2 ), tak
výraz (označme si ho jako B
jak byla zavedena výše rozepsáním Σ(p). V důsledku platnosti identity νac νb =
(ν)
νbc νa nicméně musíme námi hledanou hmotu mab počítat jako
³
´
(ν)
e
e
mab = −Bab (0) = − Bab (0) + Bba (0) .
(4.129)
Pohledem na obrázek 4.1 a na interakční lagrangián (4.124) zjišťujeme, že
e
Bab (0) se spočítá jako
eab (0) =
iB
2 XZ
X
j=1
c
imc
i
d4 `
j
j∗
)
(ib
(ia
)
.
ac
bc
(2π)4
`2 − m2c
`2 − Mj2
(4.130)
Toto ovšem na první pohled vypadá jako logaritmicky divergentní výraz. Pokud
by tomu tak skutečně bylo, znamenalo by to nerenormalizovatelnost modelu,
neboť kvůli SU(2)L × U(1)Y invarianci nelze zavést do lagangiánu odpovídající
c
kontrčleny (ve tvaru δmab νaL
νbL ). Nicméně můžeme si všimnout jedné pozoruhodné věci: vazbové konstanty ajbc , bjac mají určitý speciální tvar, platí pro ně
totiž
2 2∗
a1bc b1∗
ac = −abc bac .
46
(4.131)
eab (0) do tvaru:
V důsledku této relace lze přepsat vyjádření pro B
Z
i
X
d4 `
mc h
1
1
1 1∗
e
iBab (0) =
abc bac
−
(2π)4 `2 − m2c `2 − M12 `2 − M22
c
Z
X
mc
M12 − M22
d4 `
1 1∗
=
.
abc bac
4 `2 − m2 (`2 − M 2 )(`2 − M 2 )
(2π)
1
2
c
c
(4.132)
(4.133)
Tím se nám povedla důležitá věc: vlivem opačného relativního znaménka u příspěvků od H1+ a H2+ se logaritmické divergence vyrušily a integrál se stal konečným! Model je tím zachráněn.
Při praktickém výpočtu je nicméně výhodnější vycházet nikoliv z tvaru
(4.133), který by znamenal nutnost zavedení dvou Feynmanových parametrů,
eab (0) jako rozdíl dvou divergentních inteale spíše z tvaru (4.132), tj. počítat B
grálů. Výhodou tohoto postupu je jednak zavedení pouze jednoho Feynmanova
parametru a jednak je instruktivní vidět, jak se divergence (izolované explicitně
nějakou regularizací) nakonec opravdu odečtou.
Zaveďme tedy označení
Z
d4 `
m
1
A(m, M ) ≡
.
(4.134)
4
2
2
2
(2π) ` − m ` − M 2
Pak máme
eab (0) =
iB
2 X
X
j=1
c
= sin 2β
j
bj∗
ac abc A(mc , Mj )
X
iω2
fbc (c1∗
ac e
(4.135)
sin ϕ −
c2∗
ac
h
i
cos ϕ) A(mc , M1 ) − A(mc , M2 ) .
c
(4.136)
Pro izolaci logaritmické divergence ve výrazu A(m, M ) použijeme dimenzionální
regularizaci. Prvním krokem bude Feynmanova parametrizace:
Z
Z 1
d4 `
m
A(m, M ) =
dx h
i2 . (4.137)
4
(2π) 0
2
2
2
2
(` − m )x + (` − M )(1 − x)
Doplněním jmenovatele na čtverec a po označení
C ≡ M 2 + x(m2 − M 2 )
(4.138)
dostaneme
Z
Z
1
A(m, M ) =
dx
0
47
m
d4 `
.
4
2
(2π) (` − C)2
(4.139)
Dalším krokem dimenzionální regularizace je formální záměna
Z
Z
d4 `
dn `
4−n
−→
µ
,
(2π)4
(2π)n
(4.140)
kde µ je nějaký (libovolný) parametr s rozměrem hmoty. S využitím vztahu
Z
(`2 )r
(−1)r r+ n −s Γ(r + n2 )Γ(s − r − n2 )
dn `
2
=
i
(4.141)
n C
(2π)n (`2 − C)s
Γ( n2 )Γ(s)
(4π) 2
(jehož pravá strana neznamená nic jiného než analytické prodloužení levé strany,
neboť na rozdíl od ní je definována pro všechna n ∈ C – až na diskrétní množinu
pólů) dostáváme
·
¸
´ Z 1
im ³ 1
M 2 + x(m2 − M 2 )
A(m, M ) =
− γE + ln 4π −
dx ln
(4π)2 ε
µ2
0
+O(ε) ,
(4.142)
kde
ε≡2−
n
2
(4.143)
a γE = 0,5772157 . . . značí Eulerovu konstantu, definovanou jako
Γ(ε) =
1
− γE + O(ε) .
ε
(4.144)
Vidíme, že výsledek skutečně diverguje v limitě ε → 0. Ovšem také vidíme, že
divergence se ve vztahu (4.136), jak jsme předpokládali, odečtou, neboť nezávisí
na Mj . Navíc se tak zbavíme závislosti na nefyzikálním parametru µ. Celkově
tedy máme:
X
iω2
eab (0) = sin 2β
B
sin ϕ − c2∗
mc fbc (c1∗
ac cos ϕ)
ac e
16π 2 c
Z 1
M 2 + x(m2c − M22 )
.
×
dx ln 22
M1 + x(m2c − M12 )
0
(4.145)
Odtud po dosazení do (4.129) a využití antisymetrie vazbových konstant fab
dostáváme konečný výsledek – komplexní a obecně nediagonální hmotovou matici
pro neutrina:
(ν)
mab
´
³
sin 2β h geiω2
2
2
√
=
sin ϕfab ma J(M1 , M2 , ma ) − mb J(M1 , M2 , mb )
16π 2 cos ϕ
2MW
´i
³
X
2∗
f
.
(4.146)
f
+
c
+
mc J(M1 , M2 , mc ) c2∗
bc ca
ac cb
c
48
Přitom bylo zavedeno označení
Z
J(M1 , M2 , m) ≡
1
x(m2 − M22 ) + M22
dx ln
x(m2 − M12 ) + M12
0
M2
M2
m2
M2
= 2 1 2 ln 2 + 2 2 2 ln 22 .
M1 − m
M1
M2 − m
m
(4.147)
(4.148)
Z tvaru funkce J(M1 , M2 , m) je vidět, že pro M1 = M2 je její hodnota nulová,
(ν)
stejně jako následně i hmota mab . Toto souhlasí s tím, co bylo lze očekávat již
eab (0) (4.133), které bylo přímo úměrné rozdílu M1 − M2 .
z vyjádření pro B
Jisté zjednodušení výsledku (4.146) se nabízí, pokud předpokládáme 5 m ¿
M1,2 , neboť v takové limitě
M22
J(M1 , M2 , m) −→ ln 2 ,
M1
(4.149)
což lze jako společný faktor vytknout před hranatou závorku.
Porovnáme-li yukawovské interakční členy v lagrangiánu (4.124) s odpovídajícími členy v lagrangiánu (4.77) GR modelu, vidíme, že i tam bude existovat diagram analogický diagramu na obrázku 4.1. Pomineme-li odlišnosti ve vazbových
konstantách, je nejdůležitějším rozdílem mezi oběma diagramy počet intermediálních nabitých skalárů. V případě Zeeova modelu jsou dva, v důsledku čehož
může dojít (a také dochází, v důsledku „magickéÿ relace (4.131) pro vazbové konstanty) k odečtení divergencí. Avšak u GR modelu je takový skalár pouze jeden,
takže příslušný diagram zůstane divergentní - divergence nemají šanci se odečíst.
Ve starší literatuře se lze setkat se zjednodušeným Zeeovým modelem, který
se od zde presentovaného obecného liší tím, že se na leptony yukawovsky váže
pouze Φ1 , tj. efektivně se pokládá c2ab = 0. Tento předpoklad bývá motivován
snahou zamezit vzniku fenomenologicky nepřijatelných neutrálních flavour měnících proudů (FCNC). Zpravidla se toho dosahuje předpokladem o existenci
nějaké diskrétní symetrie lagrangiánu, která nedovolí Φ2 se vázat na leptony 6 .
Takovýto zjednodušený model ovšem není zcela ve shodě s daty, neboť umožňuje
pouze maximální mixing slunečních neutrin [22]. Tento problém se dá vyřešit
předpokladem, že c2ab 6= 0 alespoň pro některé dvojice a, b. Jejich výběr je navíc
možné provést tak, aby nově se objevivší FCNC byly potlačeny natolik, aby byla
zachována korespondence s horními experimentálními limity na jejich výskyt [21].
Pro úplnost zde ještě uveďme, jak budou vypadat pro neutrinová pole koeficienty, stojící v Σ(p) u p/, tj. funkce A(p2 ), jak byly zavedeny výše. Zatímco funkce
5
Tento předpoklad je oprávněný, neboť podle posledních dat [1] je dolní mez pro hmoty
nabitých Higgsových bosonů 71,5 GeV, zatímco hmota nejtěžšího nabitého leptonu τ je 1,8 GeV.
6
Příkladem takové symetrie může být invariance vůči transformaci [21]:
`aL → i`aL ,
eaR → ieaR ,
Φ1 → Φ1 ,
49
Φ2 → −Φ2 ,
h+ → −h+ .
c
c
Obrázek 4.2: Jednosmyčkové diagramy, přispívající k procesu νaL
→ νbL
.
Obrázek 4.3: Jednosmyčkové diagramy, přispívající k procesu νaL → νbL .
50
B(p2 ) se týkaly renormalizace hmot a odpovídaly diagramům přechodů měnících
chiralitu, takže typicky typu νL → νLc , funkce A(p2 ) se týká renormalizace vlnové
funkce a odpovídá přechodům, v nichž se nemění chiralita. Pro neutrina jsou
možné dva takové přechody:
a) νLc → νLc ,
b) νL → νL .
(4.150)
(4.151)
V jednosmyčkovém přiblížení jsou tyto procesy v rámci lagrangiánu (4.110) (resp.
lagrangiánu (4.124)) popsány diagramy z obrázků 4.2 a 4.3 a jejich algebraické
vyjádření je následující:
2
a) iAab (p )p/ =
2 XZ
X
j=1
b) iAab (p2 )p/ =
c
2 XZ
X
j=1
c
d4 `
i(p/ + /̀)
i
j
j∗
)
(ia
(ia
)
,
ac
bc
(2π)4
(p + `)2 − m2c
`2 − Mj2
(4.152)
d4 `
i(p/ + /̀)
i
(ibj∗
.
(ibjbc ) 2
ac )
4
2
2
(2π)
(p + `) − mc
` − Mj2
(4.153)
eab (0) zůstanou diveregentní, neboť
Tyto integrály ovšem na rozdíl od případu s B
zde neexistuje žádná obdoba relace (4.131), obecně totiž
1
2∗ 2
a1∗
ac abc + aac abc 6= 0 ,
1
2∗ 2
b1∗
ac bbc + bac bbc 6= 0 ,
(4.154)
(4.155)
takže k odečtení divergencí nedojde. V tomto případě však divergence nevadí,
znamenají totiž pouze to, že je nutno příslušné vlnové funkce renormalizovat.
51
Kapitola 5
Model dynamického generování
hmot
5.1
Základní východiska modelu
Tento model [24] předpokládá přítomnost stejných fermionových multipletů grupy
SU(2)L × U(1)Y jako SM, navíc se ještě přidávají pravé neutrinové singlety. Z dalšího vysvitne, že existence pravých neutrin je podmínkou nutnou pro existenci
nenulových neutrinových hmot (ať už diracovského nebo levého/pravého majoranovského typu). Dále jsou zde přítomny dva skalární dublety
µ (+) ¶
S
S ≡
,
(5.1)
S (0)
µ (0) ¶
N
N ≡
(5.2)
N (−)
s opačnými hypernáboji
YS = +1 ,
YN = −1 .
(5.3)
(5.4)
Lskalár = |Dµ S|2 + |Dµ N |2 − MS2 |S|2 − MN2 |N |2 − λS |S|4 − λN |N |4 .
(5.5)
Lagrangián těchto skalárů je
Zde je vidět důležitá věc: v důsledku „správnéhoÿ znaménka u hmotových členů
2
skaláry nekondenzují! (Samozřejmě bereme MS,N
> 0.) Yukawovské interakce
1
s fermiony mají tvar
LYukawa = ye `L eR S + yν `L νR N + yd qL dR S + yu qL uR N + h.c.
(5.6)
1
V celé této kapitole budeme pro jednoduchost předpokládat existenci pouze jedné fermionové generace.
52
V případě více fermionových generací jsou podobně jako ve SM matice yukawovských interakčních konstant ye,ν,d,u tím jediným, co na úrovni lagrangiánu tyto
generace (flavoury) odlišuje. Další podobností se SM je role skalárních dubletů S
e Proto zde
a N v yukawovském lagrangiánu: S zde odpovídá Φ a N odpovídá Φ.
e.
již není nutno zavádět nábojově sdružená pole Se a N
Jelikož na této úrovni předpokládáme přesnou SU(2)L × U(1)Y symetrii, nelze
z důvodů diskutovaných na začátku kapitoly 4 do teorie vložit přímo žádné hmotové členy pro fermiony – kromě pravých majoranovských hmot pro neutrina.
Budeme tedy muset symetrii SU(2)L × U(1)Y nějak spontánně narušit, tj. najít takové řešení pohybových rovnic, které by tuto symetrii narušilo. Jak to ale
provést, když v důsledku záporných znamének u hmotových členů skalárů nelze
použít standardní Higgsův mechanimus?
Mohli bychom si představit, že fermionové hmoty se zde nagenerují jako radiační korekce à la Zeeův model. Nicméně máme-li k dispozici pouze samotné
yukawovské interakce, nevede tato cesta (minimálně na jednosmyčkové úrovni)
k cíli. Což je patrné z následující úvahy: jednosmyčkový graf, který by generoval
tuto hmotu, by měl jednu vcházející a jednu vycházející fermionovou linii, obě
s opačnými chiralitami. Oba yukawovské vertexy, mezi nimiž by byla napnuta
vnitřní fermionvá linie a na něž by byly tyto vnější linie napojeny, mění chiralitu.
Takže vnitřní fermionová linie (propagátor) by též musela měnit chiralitu. Jinými
slovy, museli bychom pro daný fermion mít hmotu. Tu ale nemáme – naopak se
ji právě snažíme nějak získat. Začarovaný kruh.
Zkusme nicméně tento začarovaný kruh rozetnout a začít od prostředka: předpokládejme, že fermionové hmoty, narušující SU(2)L × U(1)Y symetrii, už v teorii
máme. Resp. že máme pro každý fermion odpovídající vlastní energii (přesněji
část vlastní energie, měnící chiralitu) 2 Σ(p2 ), z níž se hmota dostane jako řešení
rovnice Σ(m2 ) = m. Tyto vlastní energie ovšem musí být konečné, neboť v případě divergencí nemáme možnost zavést do lagrangiánu odpovídající kontrčleny
– ty by totiž explicitně narušovaly SU(2)L × U(1)Y symetrii.
5.2
5.2.1
Hmoty skalárních bosonů
Neutrální skaláry
Podívejme se nejprve, jaké důsledky z předpokladu existence nedivergujících
vlastních fermionových energií plynou např. pro pole N , resp. pro jeho elektricky
neutrální složku N (0) (případ pro S by byl zcela analogický). Ta se dá rozepsat
jako
´
1 ³ (0)
(0)
(5.7)
N (0) = √ N1 + iN2 .
2
2
Zde zavádíme oproti kapitole 4 jiné značení – to, co jsme tam značili jako B(p2 ), zde
značíme jako Σ(p2 ).
53
(0)
(0)
Obrázek 5.1: Jednosmyčkové diagramy, příspívající k procesům typu N1,2 → N1,2 .
Černé tečky na fermionových liniích značí 1PI vlastní energie Σν (p2 ), resp. Σu (p2 ).
Hermitovsky sdružená část se liší opačnou orientací šipek na fermionových liniích.
(0)
Pro skaláry S1,2 by byl obrázek zcela stejný, pouze by se provedla záměna ν, u →
e, d.
(0)
Toto fyzikálně odpovídá dvěma reálným skalárním polím N1,2 se stejnými hmotami MN2 . Jejich yukawovské interakce jsou
³
´
³
´
yν
yu
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
√
√
LN
=
ν
ν
N
+
iN
+
u
u
N
+
iN
+ h.c. (5.8)
L
R
L
R
1
2
1
2
Yukawa
2
2
Lze tedy sestrojit jednosmyčkové diagramy, odpovídající přechodům
(0)
(0)
N1,2 → N1,2 ,
(5.9)
viz obrázek 5.1. Označíme-li si
iµ2N (p2 ) ≡
Z
³y ´
d4 ` ³ yν ´
Σ∗ν ((p + `)2 )
Σ∗ν (`2 )
ν
√
√
(2π)4
2 (p + `)2 − |Σν ((p + `)2 )|2
2 `2 − |Σν (`2 )|2
Z
³y ´
d4 ` ³ yu ´
Σ∗u ((p + `)2 )
Σ∗u (`2 )
u
√
√
+
, (5.10)
(2π)4
2 (p + `)2 − |Σu ((p + `)2 )|2
2 `2 − |Σu (`2 )|2
dostaneme odpovídající vlastní energie pro jednotlivé procesy jako
Π11 (p2 )
Π22 (p2 )
Π12 (p2 )
Π21 (p2 )
(0)
=
=
=
=
+2 Re µ2N (p2 ) ,
−2 Re µ2N (p2 ) ,
2
−2 Im µN
(p2 ) ,
2
−2 Im µN
(p2 ) .
(5.11)
(5.12)
(5.13)
(5.14)
(0)
V bázi (N1 , N2 ) tedy máme matici vlastních energií
¶
µ
Π11 Π12
2
.
Π(p ) =
Π12 Π22
54
(5.15)
Ve stejné bázi je pak holý propagátor (tj. bez započítání korekcí Π(p2 )) roven
à 1
!
0
2
2
D0 (p2 ) = p −MN
.
(5.16)
1
0
p2 −M 2
N
Opravený propagátor D(p2 ) dostaneme jako
D = D0 + D0 ΠD0 + . . .
= D0 + D0 ΠD .
(5.17)
(5.18)
Z toho lze již snadno D(p2 ) spočítat:
D = (D0−1 − Π)−1 .
(5.19)
Výsledek je
D(p2 ) =
(p2
−
MN2
+ Π11
1
− MN2 + Π22 ) − Π212
µ 2
¶
p − MN2 − Π22
−Π12
×
. (5.20)
−Π12
p2 − MN2 − Π11
)(p2
Fyzikální hmoty nyní dostaneme jako póly opraveného propagátoru D(p2 ), tj.
jako řešení rovnice
(p2 − MN2 + Π11 )(p2 − MN2 + Π22 ) − Π212 = 0 ,
resp. po dosazení našeho explicitního vyjádření Πij
h
¡
¢ ih 2 ¡ 2
¢i
p2 − MN2 + 2|µ2N (p2 )|
p − MN − 2|µ2N (p2 )| = 0 .
(5.21)
(5.22)
Dostáváme následující dvě přibližná řešení:
2
M1N
= MN2 + 2|µ2N (MN2 )| ,
2
M2N
= MN2 − 2|µ2N (MN2 )| .
(5.23)
(5.24)
Zbývá určit určit pole N1,2 , jejichž hmoty jsme právě našli. Zřejmě je najdeme
(0)
jako ortogonální transformace původních polí N1,2 :
¶Ã (0) !
¶ µ
µ
N1
cos αN sin αN
N1
.
(5.25)
=
(0)
− sin αN cos αN
N2
N2
Mixovací úhel αN určíme z podmínky, aby v bázi hmotových eigenstavů N1,2 měl
opravený propagátor tvar
!
à 1
0
2
2
,
(5.26)
D(p2 ) = p −M1N
1
0
p2 −M 2
2N
55
Obrázek 5.2: Kvadraticky divergentní korekce k propagátoru S (+) → S (+) .
z čehož vyjde:
tg 2αN =
Im µ2N (MN2 )
.
Re µ2N (MN2 )
(5.27)
2
2
Ke stejnému výsledku (tj. hmotám M1N
,M2N
, jim odpovídajícím polím N1,2
a mixovacímu úhlu αN ) bychom ovšem také mohli dojít postupem, na který jsme
zvyklí z kapitoly 4 o higgsovských modelech: diagonalizací hmotové matice
µ 2
¶
MN + Π11 (MN2 )
Π12 (MN2 )
2
MN =
,
(5.28)
Π12 (MN2 )
MN2 + Π22 (MN2 )
(0)
(0)
zapsané v „nefyzikálníÿ bázi (N1 , N2 ).
Došli jsme tedy k důležitému výsledku: hmoty skalárů, které byly původně
stejné, se v důsledku předpokladu o existenci nedivergujících hmot (resp. vlastních energií) fermionů staly různými ! Z požadavku na konečnost µ2N (p2 ) navíc
vidíme, že stačí, aby funkce Σν,u (p2 ) v nekonečnu klesaly, přičemž není důležité
jak rychle.
(0)
Podobným způsobem jako v případě „severníchÿ neutrálních skalárů N1,2
(0)
bychom mohli postupovat i u „ jižníchÿ neutrálních skalárů S1,2 . Výpočet by
byl zcela analogiký, takže ho zde neuvádíme; taktéž by se opět došlo k závěru, že
hmotové eigenstavy
¶Ã (0) !
µ ¶ µ
S1
cos αS sin αS
S1
,
(5.29)
=
(0)
− sin αS cos αS
S2
S2
2
2
mají různé hmoty M1S
a M2S
.
5.2.2
Nabité skaláry
Yukawovské interakce fermionů s nabitými skaláry S (+) a N (−) jsou
(±)
LYukawa = ye νL eR S (+) + yν eL νR N (−) + yd uL dR S (+) + yu dL uR N (−) + h.c.(5.30)
56
Obrázek 5.3: Konečné korekce k propagátoru S (+) → N (+)
Lze tedy sestrojit korekce k propagátorům N (+) , S (+) → N (+) , S (+) , jak patrno
z obrázků 5.2 a 5.3. V prvním případě dostaneme kvadraticky divergentní výraz, takže bude nutno renormalizovat holé hmoty nabitých skalárů S (+) a N (+) ,
jakož i jejich vlnové funkce. Nediagonální elementy matice vlastních energií (obrázek 5.3) ovšem vyjdou konečné. V každém případě je situace nyní podobná
jako v předchozí podsekci u neutrálních skalárů: dostáváme opravený propagátor
s posunutými póly, odpovídající fyzikálním hmotám M12 a M22 . Jim příslušející
hmotové eigenstavy dostaneme unitární transformací původních polí:
Ã
! µ
¶µ (+) ¶
(+)
S
cos β e−iω sin β
Φ1
=
.
(5.31)
iω
(+)
−e sin β cos β
N (+)
Φ2
2
Konkrétní hodnoty M1,2
nejsou pro nás nyní důležité; příslušný výpočet by byl
navíc naprosto analogický výpočtu provedenému u neutrálních skalárů. V dalším
2
budou podstatné pouze dvě věci: že hmoty M1,2
jsou navzájem různé a že úhel β je
různý od nuly. Oboje je zaručeno nenulovostí nediagonálních příspěvků ΠSN (p2 )
k matici vlastních energií.
5.3
Hmoty fermionů
5.3.1
Diracovské hmoty
Yukawovský lagrangián pro neutrina je
(ν)
LYukawa
2 h
i
X
(+)
(+)
+ h.c. ,
=
aj νL νR Nj + bj νL eR Φj + cj νR eL Φj
(5.32)
j=1
kde jsme zavedli následující označení vazbových konstant:
yν
a1 ≡ √ eiαN ,
2
yν iαN
a2 ≡ i √ e ,
2
57
(5.33)
(5.34)
Obrázek 5.4: Diagramatické znázornění rovnice (podmínky self-konzistence) pro
Σν (p2 ) v lineární aproximaci. Ve skutečnosti je třeba uvažovat na vnitřních fermionových liniích sumu všech 1PI korekcí Σν,e k propagátorům, jak je to explicitně
zapsáno v rovnici (5.39).
b1
b2
c1
c2
≡
≡
≡
≡
ye cos β ,
−ye eiω sin β ,
yν∗ eiω sin β ,
yν∗ cos β .
(5.35)
(5.36)
(5.37)
(5.38)
Na základě těchto yukawovských interakcí a za předpokladu existence vlastních
energií Σν (p2 ) a Σe (p2 ) lze pro Σν (p2 ) sestrojit podmínku selfkonzistence odpovídající obrázku 5.4, jejíž algebraické vyjádření je
2 Z
X
d4 `
iΣ∗ν (`2 )
i
2
iΣν (p ) =
(ia
)
(iaj )
j 2
2
4
2
2
2
(2π)
` − |Σν (` )|
(p − `) − MjN
j=1
2 Z
X
d4 `
iΣ∗e (`2 )
i
∗
+
(icj ) 2
(ibj )
. (5.39)
4
2
2
(2π)
` − |Σe (` )|
(p − `)2 − Mj2
j=1
Konvergenční vlastnosti toho již tak konvergentního výrazu (o funkcích Σν,e (p2 )
přepokládáme, že jsou klesající – viz diskuse na konci podsekce 5.2.1) lze ještě
zlepšit, všimneme-li si, že pro vazbové konstanty platí relace
a21 = −a22 ,
b1 c∗1 = −b2 c∗2
(5.40)
(5.41)
(připomínající relaci (4.131) u Zeeova modelu); pak dostaneme:
iΣν (p2 ) =
y2
2
2
) ν e2iαN
− M2N
(M1N
2
Z
d4 `
Σ∗ν (`2 )
1
×
2
2
4
2
2
2
2
(2π) ` − |Σν (` )| [(p − `) − M1N ][(p − `)2 − M2N
]
58
ye yν −iω
+ (M12 − M22 )
e sin 2β
Z 24
d`
Σ∗e (`2 )
1
×
.
(2π)4 `2 − |Σe (`2 )|2 [(p − `)2 − M12 ][(p − `)2 − M22 ]
(5.42)
Podobným postupem bychom došli k rovnici pro Σe (p2 ):
iΣe (p2 ) =
2
2
2 ye 2iαS
(M1S
− M2S
) e
2
Z
d4 `
Σ∗e (`2 )
1
×
2
2
4
2
2
2
2
(2π) ` − |Σe (` )| [(p − `) − M1S ][(p − `)2 − M2S
]
y
y
e
ν
+ (M12 − M22 )
e−iω sin 2β
2
Z
d4 `
Σ∗ν (`2 )
1
×
.
2
(2π)4 `2 − |Σν (`2 )|2 [(p − `)2 − M1 ][(p − `)2 − M22 ]
(5.43)
Jelikož β 6= 0, jsou rovnice (5.42) a (5.43) navzájem svázané. Podobnou soustavu
rovnic bychom samozřejmě dostali i pro u a d kvarky.
(+)
Také nyní vidíme, proč bylo tak důležité, aby hmoty N1,2 , resp. Φ1,2 byly
různé – jinak by totiž existovala pouze triviální řešení Σν,e (p2 ) ≡ 0, což by mělo
vážné důsledky pro konzistenci modelu.
Za přepokladu, že existuje netriviální řešení soustavy rovnic (5.42) a (5.43),
dostaneme z něj diracovské hmoty mν,e řešením rovnic
mν,e = Σν,e (m2ν,e ) .
(5.44)
Tyto rovnice je ovšem na rozdíl od předchozích případů vhodné řešit přesně (byť
numericky), ne jenom do druhého řádu ve vazbových konstantách (položením
mν,e = Σν,e (0)), neboť Σν,e (p2 ) jsou neporuchová řešení rovnic pole.
Rovnice (5.42) a (5.43) jsme odvodili v jednogeneračním přiblížení. Pokud
bychom uvažovali více generací, byly by rovnice formálně stejné, ovšem s jedním
důležitým rozdílem – jednalo by se o maticové rovnice ve flavourovém prostoru.
Příslušné maticové indexy by byly neseny vazbovými konstantami y a funkcemi
Σ(p2 ). Jelikož funkce Σ(p2 ) jsou obecně komplexní, dostali bychom tak vztah mezi
Σ(p2 ) a Σ† (p2 ) a tím pádem mezi hmotami fermionů, jejich mixovacími úhly a
fázemi, narušujícími CP invarianci.
5.3.2
Levá majoranovská neutrinová hmota
Existence pravých neutrin v teorii měla dva důsledky: jednak jsme mohli vytvořit
diracovské hmoty mD (resp. doufat, že jdou vytvořit), jednak jsme mohli přímo
rukama vložit pravé majoranovské hmoty mR . Toto odpovídá see-saw modelu
59
Obrázek 5.5: Graf, generující levou majoranovskou hmotu pro neutrino. Černý
čtverec zde značí pravou majoranovskou neutrinovou hmotu (resp. jí odpovídající
část neutrinového propagátoru, měnící chiralitu).
I. druhu, tak jak byl zaveden v sekci 2.2.2. Kromě toho ale ještě lze vyrobit
konečné levé majoranovské neutrinové hmoty mL . V důsledku lagrangiánu (5.32)
a existence pravých majoranovských hmot mR lze sestrojit graf na obrázku 5.5
(neboť νL νR = νRc νLc ). To odpovídá výrazu
2
iΣνL (p ) =
2 Z
X
j=1
d4 `
imR
i
(ia
)
(ia
)
,
j
j
2
2
(2π)4
`2 − mR
(p − `)2 − MjN
(5.45)
který lze stejným způsobem jako u Σν (p2 ) učinit explicitně nedivergentním:
2iαN Z
d4 `
mR
2
2
2
2e
iΣνL (p ) = (M1N − M2N )yν
4
2
2
(2π) ` − m2R
1
×
.
(5.46)
2
2
[(p − `)2 − M1N ][(p − `)2 − M2N
]
Levá majoranovské hmota mL se odtud dostane již standardním způsobem jako
řešení rovnice ΣνL (m2L ) = mL . Tu tentokrát opět stačí řešit pouze do druhého
řádu ve vazbových konstantách, takže řešení je
mL = ΣνL (0) .
(5.47)
eab (0) v Zeeově moVýpočet integrálu (5.46) je naprosto totožný jako u funkce B
delu (vztah (4.133)), takže není nutné uvádět postup. Výsledek je:
mL = yν2 e2iαN
mR
J(M1N , M2N , mR ) ,
32π 2
(5.48)
kde symbol J(M1 , M2 , m) značí funkci
J(M1 , M2 , m) ≡
m2
M22
M22
M12
ln
+
ln
M12 − m2 M12 M22 − m2 m2
60
(5.49)
(což odpovídá definici (4.148) u Zeeova modelu). Hmoty M1,2 však mají v našem
případě určitý speciální tvar:
M12 = M 2 + ∆2 ,
M22 = M 2 − ∆2 ,
(5.50)
(5.51)
M 2 ≡ MN2 ,
∆2 ≡ 2|µ2N (MN2 )|
(5.52)
(5.53)
kde
(viz vztahy (5.23),(5.24)). Tedy platí nerovnost
∆2 ¿ M 2 .
(5.54)
Předpokládáme-li navíc ∆2 ¿ m2 , můžeme funkci J(M1 , M2 , m) rozvést v ∆2 .
Do prvního řádu dostaneme:
·
¸
2
M2 2
m2
J(M1 , M2 , m) = 2
ln 2 ∆ + O(∆4 ) .
1+ 2
(5.55)
2
2
m −M
m −M
m
Pro mL tak dostáváme vyjádření
·
¸
mR
m2R
MN2
2 2iαN 1
∼
mL = yν e
1+ 2
ln 2 |µ2N (MN2 )| .
8π 2 m2R − MN2
mR − MN2
mR
(5.56)
Pokud by platilo mL ¿ mD , dostali bychom tak realizaci see-saw mechanismu
II. druhu.
5.4
Hmoty kalibračních bosonů
Výchozí lagrangián našeho modelu byl přesně SU(2)L × U(1)Y invariantní, pročež příslušné čtyři kalibrační bosony Aaµ , Bµ byly nehmotné. Řešení pohybových
rovnic ale tuto invarianci porušilo, došlo ke spontánnímu narušení grupy symetrií
SU(2)L × U(1)Y na U(1)em . Takže očekáváme, že ve spektru budou tři nehmotné
Goldstoneovy bosony, které dají vzniknout nenulovým hmotám třem ze čtyř kalibračních bosonů (ve vhodné bázi). Jak ale tyto Goldstoneovy bosony, resp. jimi
indukované hmoty kalibračních bosonů, najít?
Obecná strategie bude stejná jako v předchozích případech u skalárů či fermionů – hmotu určíme jako pól propagátoru. Ten má v případě nehmotného vektorového pole tvar
h
qµ qν i 1
0
iDµν
(q) = i − gµν + (1 − α) 2
.
(5.57)
q
q2
61
Obrázek 5.6: Symbolické rozepsání Ward-Takahashiho identity (5.62). Černá
tečka na levé straně označuje vertex ΓZµ (p, p + q), členy na pravé straně pak
postupně jeho nepólovou a pólovou část. Pól 1/q 2 přitom interpretujeme jako
propagátor nehmotné skalární částice.
Polarizační tenzor, odpovídající všem jednočásticově ireducibilním (1PI) korek0
cím k iDµν
(q) (kvůli transverzalitě předpokládáme, že daný vektorový boson se
váže na zachovávající se proud) je
iΠµν (q) = i(q 2 gµν − qµ qν )Π(q 2 ) .
(5.58)
0
Plný propagátor iDµν (q) pak dostaneme jako sumu všech 1PI korekcí k iDµν
(q):
0
0
0
iDµν (q) = iDµν
(q) + iDµρ
(q)iΠρσ (q)iDσν
(q) + . . .
³
´
qµ qν
1
= i − gµν + 2
.
2
q
q − q 2 Π(q 2 )
(5.59)
(5.60)
Je tedy vidět, že bude-li mít formfaktor Π(q 2 ) pól v q 2 = 0, bude jeho reziduum
tvořit pól propagátoru iDµν (q) a tedy fyzikální hmotu vektorového bosonu:
M 2 = lim
q 2 Π(q 2 ) .
2
q →0
(5.61)
V dalším budeme potřebovat Ward-Takahashiho identity, které v nejnižším
řádu a v limitě q 2 → 0 (která nás zajímá) jsou [25]
½
g
Z
Γµ (p, p + q) =
T3 γµ (1 − γ5 ) − 2Qγµ sin2 θW
2 cos θW
i ¾
qµ h
2
2
− 2 T3 Σ((p + q) ) + Σ(p ) γ5 , (5.62)
q
½
h
i¾
g
qµ
2
2
W
Γµ (p, p + q) = √ γµ (1 − γ5 ) − 2 (1 − γ5 )ΣN ((p + q) ) − (1 + γ5 )ΣS (p ) ,
q
2 2
(5.63)
kde qµ zde značí čtyř-impuls vcházejícího vektorového bosonu. (Pro jednoduchost
budeme v této podkapitole předpokládat, že funkce Σf (p2 ) jsou reálné.) V těchto
Ward-Takahashiho identitách lze totiž již přímo „vidětÿ nehmotné Goldstoneovy
62
Obrázek 5.7: Graf, přispívající k polarizačnímu tenzoru ΠZµν . Černá tečka zde
značí vertex ΓZν . Vertex s indexem µ je „holýÿ vertex typu γµ (vf − af γ5 ), tj.
nepólová část ΓZµ (vztah (5.62)).
bosony, vzniklé v důsledku spontánního narušení SU(2)L × U(1)Y symetrie, jak je
patrné pro případ ΓZµ (p, p + q) z obrázku 5.6 (viz též [26]). Jelikož narušená symetrie je lokální, jsou tyto Goldstoneovy bosony pouze „would-beÿ, tj. ve spektru
se projeví toliko jako longitudinální složky kalibračních polí, kterým tak dodají
hmoty.
Podívejme se nejprve na hmotu Z 0 bosonu. Polarizační tenzor dostaneme jako
sumu grafů z obrázku 5.7 přes všechny fermiony obsažené v našem zjednodušeném
jednogeneračním modelu, tj. f = ν, e, u, d. Pólová část polarizačního tenzoru pak
je
Z
X
d4 `
1
g2
Z,pole
n
Tr
γµ (vf − af γ5 )
iΠµν (q) =
c
2
4
4 cos θW f
(2π)
/̀ + /q − Σf ((` + q)2 )
h
i
qν
1
× 2 (T3 )fL Σf ((` + q)2 ) + Σf (`2 ) γ5
,
(5.64)
q
/̀ − Σf (`2 )
kde
vf ≡ (T3 )fL − 2Qf sin2 θW ,
af ≡ (T3 )fL
(5.65)
(5.66)
a nc značí počet barev daného leptonu (tj. nc = 1 pro leptony a nc = 3 pro
kvarky). Tento integrál je konečný, neboť funkce Σf (`2 ) jdou v nekonečnu k nule.
Po úpravách vyjde longitudinální část polarizačního tenzoru (transversální část
nedostaneme v důsledku uvažování Ward-Takahashiho identity pouze v limitě
q 2 → 0, lze ji však snadno obdržet díky vlastnosti transversality úplného polarizačního tenzoru) jako
ΠZ,pole
(q) =
µν
X
qµ qν 1 2
02
(g
+
g
)
Jf (q 2 ) ,
2
q 4
f
63
(5.67)
kde funkce Jf (q 2 ) je definovaná jako
Z
d4 ` [Σf (`2 )(` + q)µ − Σf ((` + q)2 )`µ ][Σf (`2 ) + Σf ((` + q)2 )]
2
iqµ Jf (q ) ≡ nc
.
(2π)4
[(` + q)2 − Σ2f ((` + q)2 )][`2 − Σ2f (`2 )]
(5.68)
S ohledem na vztah (5.61) tedy dostáváme hmotu Z 0 bosonu jako
X
1
MZ2 = (g 2 + g 02 )
Jf (0) .
4
f
Pro W ± boson by výpočet běžel analogicky; výsledek je
X
2
MW
= g2
Jd (0) ,
(5.69)
(5.70)
d
kde
Z
2
iqµ Jd (q ) ≡ nc
d4 `
Σ2S (`2 )(` + q)µ − Σ2N ((` + q)2 )`µ
.
(2π)4 [(` + q)2 − Σ2N ((` + q)2 )][`2 − Σ2S (`2 )]
Indexy N a S zde značí „severníÿ a „ jižníÿ fermiony SU(2)L dubletů d:
µ ¶
N
d≡
.
S
(5.71)
(5.72)
Vidíme tedy, že pro vyčíslení funkcí J(0) a tedy určení hmot kalibračních
bosonů Z 0 a W ± musíme znát funkce Σ(p2 ). Bez toho lze (při současné úrovni
2
znalosti modelu) jen doufat v přibližnou platnost relace MW
/(MZ2 cos2 θW ) = 1.
Nicméně, pokud by pro každý SU(2)L dublet platilo, že hmoty jeho fermionů
jsou stejné, pak by (z obecnějších důvodů) platnost této relace byla zaručena.
2
Z explicitních vyjádření hmot MZ2 a MW
výše toto ovšem není (krom případu
2
s konstantními Σ(p )) vidět přímo.
64
Závěr
V předmluvě jsme se zmínili o některých problémech, kterými trpí SM. Jaká
řešení jsme nabídli?
Ve všech třech diskutovaných modelech jsme obdrželi skalární sektor odlišný
od skalárního sektoru SM. To, že dosud nebyly žádné skaláry pozorovány, je
ovšem fakt, s nímž jsme se čestně nevypořádali – vyžadovalo by to podrobnější
diskusi limitů na jejich hmoty, podobně jako existují analogické analýzy týkající
se hmoty standardního Higgsova bosonu.
U problému hmot neutrin jsme byli důslednější. Ačkoliv SM, tak jak je, nedokáže popsat hmotná nutrina, viděli jsme, že ho stačí trochu rozšířit, aby toho již
byl schopen. Možná rozšíření jsou v zásadě dvojího druhu: SM lze rozšířit buďto
v leptonovém, nebo ve skalárním sektoru (a nebo samozřejmě v obou).
V případě GR modelu jsme provedli rozšíření pouze ve skalárním sektoru.
Z diskutovaných modelů se tento z hlediska způsobu generování neutrinových
hmot nejvíce podobá SM, neboť hmoty se zde generují higgsovským mechanismem, a to na stromové úrovni.
Při diskusi Zeeova modelu jsme stejně jako GR modelu vycházeli z Higgsova
mechanismu, nicméně způsob generování neutrinových hmot zde byl odlišný: dostali jsme je až jako (jednosmyčkové) radiační korekce, indukované výměnami
nabitých skalárů.
Oba diskutované higgsovské modely, GR a Zeeův, mají společné to, že pro
získání konkrétních numerických hodnot fermionových hmot, tak jak je známe
z experimentu, musíme provést fine-tuning yukawovských vazbových konstant.
Rozdíl je však však v tom, jak se oba modely vypořádávají s problémem malosti neutrinových hmot, tj. s tím, že hmoty neutrin jsou o mnoho řádů nižší než
hmoty ostatních fermionů, které se již mezi sebou neliší tak výrazně (pomineme-li
t-kvark).
U GR modelu je celková škála neutrinových hmot určena vakuovou střední
hodnotou v∆ (viz vztah 4.40), jejíž hodnota se určuje vhodným nastavením – tedy
opět fine-tuningem – vazbových konstant skalárních samointerakcí. Tímto se zde
zabíjí dvě mouchy jednou ranou: jednak se zajistí, aby škála neutrinových hmot
byla mnohem menší než škála hmot nabitých leptonů (která odpovídá vakuové
2
střední hodnotě vφ ), a jednak se zařídí platnost relace MW
/(MZ2 cos2 θW ) = 1.
Oproti tomu u Zeeova modelu již žádný takovýto dodatečný fine-tuning není
65
2
nutný. Platnost relace MW
/(MZ2 cos2 θW ) = 1 je automaticky zachována v důsledku volby skalárních multipletů vložených do teorie, zatímco malost neutrinových hmot je zaručena již samotným mechanismem jejich generování jakožto
radiačních korekcí.
Konečně model dynamického generování hmot znamenal rozšíření jak ve skalárním, tak ve fermionovém sektoru. Oproti předchozím dvěma modelům zde byl
ovšem podstatný rozdíl: skalární pole nekondenzovala, požadovaného spontánního narušení SU(2)L × U(1)Y symetrie se dosáhlo (zatím pouze) předpokladem
o existenci neporuchového řešení rovnic pole, které by tuto symetrii narušovalo.
Ve všech uvažovaných případech jsme jako výsledek obdrželi majoranovská
neutrina. Model s čistě diracovskými neutriny by totiž byl nepřirozený v tom
smyslu, že by sice na jednu stranu vyžadoval přítomnost pravých neutrin, přitom
by ale na druhou stranu musel z nějakých (dosud neznámých) důvodů zakazovat
existenci pravých neutrinových majoranovských hmot, které jinak nejsou žádnou
známou symetrií zakázány.
SM trpí ještě jedním neduhem, o kterém jsme se v předmluvě nezmínili –
tím, že yukawovské vazbové konstanty v něm obsažené jsou „nepřirozeněÿ různé.
Je to způsobeno tím, že tyto jsou přímo úměrné fermionovým hmotám, které se
navzájem liší o mnoho řádů. GR a Zeeův model na tom nejsou z toho hlediska
o nic lépe. Jiná situace je ovšem u modelu dynamického generovaní hmot. V něm
vycházejí fermionové hmoty jako nějaké, sice zatím neznámé, ale určitě nelineární
funkce yukawovských vazbových konstant. Což skýtá naději, že vazbové konstanty
mohou mít navzájem blízké hodnoty, aniž by tím model ztratil schopnost popsat
reálné fermionové hmoty.
66
Literatura
[1] Particle Data Group, „Review of Particle Physicsÿ, Phys. Rev. D 66, 010001
(2002).
[2] A. Zee, „Parametrizing the Neutrino Mixing Matrix ÿ, [hep-ph/0307323].
[3] M. Lindner, T. Ohlsson, G. Seidl, „See-saw Mechanisms for Dirac and Majorana Neutrino Massesÿ, [hep-ph/0109264].
[4] Z. Xing, „Flavor Mixing and CP Violation of Massive Neutrinosÿ, Int. J.
Mod. Phys. A 19, 1 (2004), [hep-ph/0307359].
[5] S. M. Bilenky, S. T. Petcov, „Massive neutrinos and neutrino oscillationsÿ,
Rev. Mod. Phys. 59, 671 (1987).
[6] S. M. Bilenky, B. Pontecorvo, „Lepton mixing and neutrino oscillationsÿ,
Phys. Rept. 41, 225 (1978).
[7] W. M. Alberico, S. M. Bilenky, „Neutrino Oscillations, Masses and Mixingÿ,
[hep-ph/0306239].
[8] S. M. Bilenky, J. Hošek, S. T. Petcov, „On the oscillations of neutrinos with
Dirac and Majorana massesÿ, Phys. Lett B 94, 495 (1980).
[9] Y. Grossman, H. J. Lipkin, „Flavor Oscillations from a Spatially Localized
Source – A Simple General Treatmentÿ, [hep-ph/9607201].
[10] S. M. Bilenky, C. Giunti, C. W. Kim, „Finally neutrino has massÿ,
[hep-ph/9902462].
[11] H. J. Lipkin, „What is coherent in neutrino oscillationsÿ, Phys. Lett. B 579,
355 (2004), [hep-ph/0304187].
[12] H. J. Lipkin, „Neutrino oscillations as two-slit experiments in momentum
spaceÿ, Phys. Lett. B 477, 195 (2000).
[13] J. Hořejší, „Fundamentals of Electroweak Theoryÿ, The Karolinum Press,
Prague, 2002.
67
[14] A. Zee, „Charged scalar field and quantum number violationsÿ, Phys. Lett.
B 161, 141 (1985).
[15] K. S. Babu, „Model of ’calculable’ Majorana neutrino massesÿ, Phys. Lett.
B 203, 132 (1988).
[16] G. B. Gelmini, M. Roncadelli, „Left-handed neutrino mass scale and spontaneously broken lepton number ÿ, Phys. Lett. B 99, 411 (1981).
[17] S. Bertolini, A. Santamaria, „The doublet majoron model and solar neutrino
oscillationsÿ, Nucl. Phys. B 310, 714 (1988).
[18] W. Grimus, R. Pfeiffer, T. Schwetz, „A 4-neutrino model with a Higgs tripletÿ, [hep-ph/9905320].
[19] E. Ma, U. Sarkar, „Neutrino Masses and Leptogenesis with Heavy Higgs
Tripletsÿ, Phys. Rev. Lett. 80, 5716 (1998), [hep-ph/9802445].
[20] A. Zee, „A theory of lepton number violaton and neutrino Majorana massesÿ,
Phys. Lett. B 93, 389 (1980).
[21] W. Grimus, G. Nardulli, „Decaying dark matter and the Zee model ÿ, Phys.
Lett. B 271, 161 (1991).
[22] C. Jarlskog, M. Matsuda, S. Skadhauge, M. Tanimoto, „Zee Mass Matrix and Bi-Maximal Neutrino Mixingÿ, Phys. Lett. B 93, 449 (1999),
[hep-ph/9812282].
[23] K. R. S. Balaji, W. Grimus, T. Schwetz, „The solar LMA neutrino oscillation solution in the Zee model ÿ, Phys. Lett. B 508, 301 (2001),
[hep-ph/0104035].
[24] T. Brauner, J. Hošek, „A model of flavorsÿ, zatím nepublikováno.
[25] B. Margolis, R. R. Mendel, „Fermion and weak-boson masses in a composite
model ÿ, Phys. Rev. D 30, 163 (1984).
[26] J. Hošek, „Model for the dynamical generation of lepton, quark, and
intermediate-boson massesÿ, Phys. Rev. D 36, 2093 (1987).
68