Základy aplikované kybernetiky

Transkript

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
Fakulta strojní
Katedra aplikované kybernetiky
Ing. Jan Klobouček
Mgr. Martin Stianko
Základy aplikované kybernetiky
(cvičení)
Liberec 2007
Základy aplikované kybernetiky (ZAK)- cvičení pro 3.ročník základního studia FS TUL
Recenzent: Doc. Ing. Josef Janeček, CSc.
© Ing. Jan Klobouček, Mgr. Martin Stianko - 2007
2
Co vás v tomto předmětu čeká ?
Cílem cvičení z předmětu Základy aplikované kybernetiky je vytvořit
u studentů praktickou představu o tom, jak řídit zvolený objekt. Protože jde
o položení základu k předmětu, je užito jen některých metod a vybrané příklady jsou
jednoduché. Také definice některých pojmů jsou pojaty tak, aby přílišná přesnost
jejich zavedení nezastínila podstatu, o jejíž pochopení jde.
Na předmět navazují další předměty umožňující poznat problematiku ve větší
šíři i hloubce.
V průběhu cvičení předmětu Základy aplikované kybernetiky se postupně
seznámíte se základními pojmy v oboru řízení a s tím, jak postupovat od poznání
chování řízeného objektu (soustavy – systému), tj. od sestavení rovnice popisující
jeho dynamické chování, až k optimalizaci jeho řízení, tedy k optimálnímu nastavení
parametrů regulátoru, kterým budeme objekt řídit.
Při zpracování měření na konkrétní soustavě v laboratoři si ověříte postupy,
které jste se naučili a které zúročíte v semestrální práci.
.
Obsah
1.
cvičení........................................................................................................................... 5
Úvod, vysvětlení základních pojmů, základní studijní materiály
2.
cvičení........................................................................................................................... 8
Popis dynamického chování soustavy,
metoda matematicko-fyzikální analýzy,
příklad řešení dynamiky odpružené a tlumené sedačky řidiče,
aplikace Lapaceovy transformace pro nulové počáteční podmínky
3.
cvičení......................................................................................................................... 13
Dynamické chování soustavy (sedačka) při nenulových počátečních podmínkách,
použití simulační metody pro řešení obyčejné diferenciální rovnice,
metoda snižování řádu derivace a metoda postupné integrace
4.
cvičení......................................................................................................................... 18
Identifikace soustavy z naměřených hodnot,
příklad na aplikaci metody Prof.Strejce
5.
cvičení......................................................................................................................... 25
Měření dynamické charakteristiky na konkrétní soustavě v laboratoři KKY,
zásady zpracování semestrální práce (1. části)
6.
cvičení......................................................................................................................... 26
Frekvenční charakteristiky (amplitudová, fázová, frekvenční v komplexní rovině),
pojem decibel, výpočet bodu frekvenční charakteristiky,
simulace harmonicky buzené soustavy „sedačka“
7.
cvičení......................................................................................................................... 30
Simulace soustavy identifikované v 5. cvičení při harmonickém buzení,
zadání 2. části semestrální práce
3
8.
cvičení......................................................................................................................... 33
Nespojitá regulace, dvou a třípolohový regulátor,
Hystereze, pásmo necitlivosti, vliv řádu soustavy na průběh regulačního pochodu,
simulace dynamického chování soustavy s nespojitým regulátorem
9.
cvičení......................................................................................................................... 38
Stabilita regulačního obvodu, algebraické kriterium Hurwitzovo,
aplikace Hurwitzova kriteria na příkladu soustavy regulované P - regulátorem
10. cvičení......................................................................................................................... 44
Bloková algebra (základní pravidla) a její využití pro zjednodušení
výpočtu obrazového přenosu, Masonův vzorec, příklady
11. cvičení......................................................................................................................... 48
Aplikace blokové algebry na vyšetření oblasti stability soustavy
Regulované PI regulátorem
12. cvičení......................................................................................................................... 51
Seřizování regulátoru podle kriterií kvality regulace,
vliv jednotlivých složek regulátoru (P, I, D) na průběh regulačního pochodu,
seřízení regulátoru metodou kritického zesílení
Závěr .................................................................................................................................. 54
Použitá a doporučená literatura ......................................................................................... 55
Příloha A: Základní slovník Laplaceovy transformace ...................................................... 56
4
Základy aplikované kybernetiky – cvičení (ZAK)
1. cvičení: Úvod, vysvětlení základních pojmů
Úvod:
Slovo kybernetika je odvozeno od řeckého slova kybernétés = kormidelník. To
vystihuje podstatu kybernetiky jako vědy: řídit určitý objekt (loď) nebo technologickou
soustavu – k dosažení žádané hodnoty některého parametru – k dosažení stanoveného cíle
(přístavu), a to navzdory měnícím se vnějším podmínkám – poruchám (u lodi působení
vnějších proudů, větru apod.). Jako první termínu kybernetika užil André Marie Ampére
kolem roku 1840.
Ke správnému řízení je třeba umět poznat a následně popsat dynamické chování
soustavy (technologie nebo systému). Procesu „poznávání“ soustavy (systému) říkáme
identifikace. Tak jako můžeme poznat povahu člověka, když do něj při vzájemném míjení
„vrazíme“ (kliďas, dlouhé vedení, cholerik), můžeme i soustavu identifikovat po jejím
„vybuzení“ např.skokovým průběhem vstupní veličiny o definované velikosti skoku (o tomto
- zřetelně popsatelném - signálu říkáme, že to je deterministický signál).
Protože nás zajímá dynamické chování soustavy, je logické, že jeho popis bude dán
diferenciální rovnicí (nebo soustavou diferenciálních rovnic) s časem jako nezávisle
proměnnou.
Za zakladatele moderní kybernetiky je považován Norbert Wiener, profesor
univerzity ve státě Massachusetts (USA), který v r. 1948 publikoval v New Yorku knihu
s názvem:
Cybernetics or the Science of Control and Communication Processes in both Animal
and Machines. (Kybernetika, neboli věda o řízení a komunikačních dějích jak u zvířat, tak
u strojů).
Řízení - cílevědomé působení na objekt s cílem zabezpečit žádanou funkční kvalitu
objektu nebo jeho rozvoj při samovolně se měnících vnějších vlivech.
Z názvu knihy plyne i ohromná šíře oborů, které lze pod něj zahrnout: od měření,
přes přenos informací, jejich vyhodnocování a zpracování, neurofyziologii, logiku atd. Je
zřejmá analogie s principy, na kterých fungují i živé organismy včetně člověka. Kybernetické
principy platí i ve společenských vědách (vláda nemající pravdivou zpětnou vazbu
o reálném stavu společnosti a používající neadekvátních zásahů vede společnost
k nestabilitě). My se budeme v našem předmětu zabývat jen částí problematiky - regulací.
Regulace - řízení v uzavřené smyčce, které zpracovává informace o skutečném
stavu objektu. Regulace může být ruční nebo automatická.
V naší práci se uplatní také modelování dynamických dějů na počítači šetřící čas
a prostředky, které by bylo jinak nutno vynaložit na úpravy reálného systému v průběhu
jeho vývoje a „odlaďování“.
PRAKTICKÁ UŽITEČNOST PŘEDMĚTU: v každé domácnosti je řada zařízení
využívajících regulace: žehlička, lednička, vytápění bytu (regulace teploty), splachovadlo
(regulace hladiny), u automobilu (regulace dobíjení baterie, vstřikování paliva atd.). Znalost
principů řízení usnadňuje orientaci i v této problematice a umožňuje pochopit řadu jevů
(odezev na vnější podněty, reakcí či chování přírodních i technických soustav za určitých
známých - determinovaných - vnějších podmínek).
CÍLEM TOHOTO KURSU je seznámit se s některou ze soustav v laboratoři, změřit její
dynamickou charakteristiku, identifikovat soustavu, tj. sestavit diferenciální rovnici popisující
chování soustavy v čase, řešit tuto diferenciální rovnici jak Laplaceovou transformací, tak
simulací (MATLAB - SIMULINK), vypočíst a simulací ověřit jeden bod její frekvenční
charakteristiky. K soustavě připojit regulátor (uzavřít regulační smyčku), seznámit se
5
s funkcí jeho složek P, I, D, zabývat se stabilitou takového obvodu s využitím pravidel
blokové algebry. Optimalizovat seřízení regulátoru pomocí kriterií i empiricky.
SYSTÉM PRÁCE: ve skupinách po 2 - 4 studentech (pro simulaci, měření na soustavě
i pro zpracování referátu - semestrální práce).
PODMÍNKY ZÁPOČTU: docházka - účast na cvičeních 75 % (neúčast omluvená), včas
odevzdaná a úplná semestrální práce (jedna za skupinu, nicméně každý člen skupiny
musí znát její obsah a způsob zpracování a odpovídá za ně). Protože semestrální práce
představuje technické sdělení, musí být po obsahové, formální i jazykové stránce na úrovni
univerzitního studenta. Je přípravou na diplomovou práci.
DOPORUČENÁ LITERATURA:
1. Olehla, M., Němeček, S., Základy aplikované kybernetiky, TUL (2005).
Další literatura je uvedena na konci těchto skript.
VYSVĚTLENÍ NĚKTERÝCH POJMŮ (pro účely našeho předmětu):
Informace: kvantifikovaný údaj o některé z veličin vyskytujících se v systému, jejímž
nositelem je signál.
Signál: nosič informace - zpravidla fyzikální veličina (elektrický proud, napětí, frekvence
elektrických nebo elektromagnetických kmitů, tlak plynu, světelný tok ap.)
Unifikovaný signál: Signál, jehož velikost vyjádřená ve fyzikálních jednotkách byla
mezinárodní dohodou sjednocena na úrovních: 0 - 10 V, 0 - 20 mA, 4 - 20 mA
u elektrických unifikovaných signálů, 20 – 100 kPa u tlaku. Důvodem sjednocení
byla kompatibilita výrobně náročných částí regulačních obvodů od různých výrobců,
umožňující sériovou (hromadnou) výrobu těchto produktů, a tedy jejich zlevnění
a ekonomickou dostupnost.
Proudová smyčka: uzavřený elektrický obvod zajišťující, že velikost elektrického proudu
ve smyčce je úměrná pouze měřené nebo řídící veličině obvodu pro 0 až 100 %
užitého rozsahu a nezávisí na velikosti elektrického odporu vloženého do smyčky.
Její funkce je ale limitována maximálním celkovým elektrickým odporem zapojeným
ve smyčce. Pro bezpečné napětí ve vlhkém prostředí, tj.12 Vss a proud 20 mA
vychází maximální celkový odpor smyčky: 12 V / 0,02 A = 600 Ω. Pro suché
prostřed pak : 24 V / 0,02 A = 1200 Ω.
Akční člen: technické zařízení bezprostředně působící na soustavu tak, že ovlivňuje její
výstup - regulovanou veličinu. Ovládání akčního členu zajišťuje prostřednictvím
akční veličiny regulátor.
Statická charakteristika: závislost výstupní veličiny soustavy y na vstupní – řídící veličině
u při ustáleném stavu obou veličin (závislost y = f (u), pro t→ ∞ ).
Dynamická charakteristika: časový průběh výstupní veličiny soustavy y(t) po časové
změně vstupní veličiny.
Přechodová charakteristika: časový průběh výstupní veličiny soustavy po vybuzení
soustavy z klidu (z tzv. nulových počátečních podmínek) skokem vstupní veličiny
z nuly na jedničku v daném okamžiku (t = 0).
6
Schéma regulačního obvodu:
y
d
S
u
Obr. 1
e
- w
R
S - soustava
R - regulátor
y - regulovaná veličina (výstupní vel.)
d - poruchová veličina (porucha)
u - akční veličina (vstupní vel.soust.)
e- regulační odchylka
w- žádaná veličina (též :řídící vel.)
- součtový,
- rozdílový člen
Poznámka
Pokud se v těchto skriptech setkáte v blokových schématech s označením veličin
(proměnných) uvedených v obr.1 malými písmeny (y, d, w…), půjde o veličiny fyzikální reálné s časem jako nezávisle proměnnou. Pokud tyto veličiny budou označeny velkými
písmeny, (Y, D, W…), půjde o označení proměnných vyskytujících se v obrazovém
přenosu, kde je nezávisle proměnnou „s“ proměnná v Laplaceově obraze (tzv. obrazová
proměnná).
Ilustrační obrázek
Kybernétés (z řečtiny - kormidelník)
7
2. cvičení
Dynamické chování systému, jeho popis a řešení (obecně)
d1 . . . . dm
y1
u1
.
.
.
un
u ... vstupní veličiny
x ... vnitřní veličiny
d ... poruchové veličiny
y ... výstupní veličiny
S ... soustava (systém
x1 . . . xk
S
.
.
.
yi
Obr. 2
Matematicko-fyzikální model systému obecně vede k diferenciální rovnici nebo
k soustavě diferenciálních rovnic, podle složitosti případu. Při sledování dynamiky systému
bude vždy nezávisle proměnnou čas t.
Protože název našeho předmětu je základy aplikované kybernetiky, budeme
popisovat soustavy kde vystačíme s obyčejnými lineárními diferenciálními rovnicemi
s konstantními koeficienty.
Trocha opakování :
Diferenciální rovnice : vztah mezi neznámou funkcí a jejími derivacemi v určitém oboru
funkčních hodnot.
Obyčejná diferenciální rovnice : hledaná funkce je funkcí právě jedné proměnné ( více
proměnných vede na parciální diferenciální rovnice).
Lineární diferenciální rovnice : hledaná funkce a její derivace se vyskytují pouze v první
mocnině. V rovnici se nevyskytují ani součiny funkce a jejích derivací,
Konstantní koeficienty : koeficienty nejsou funkcemi času ani jiných proměnných.
Řád diferenciální rovnice : je řádem nejvyšší derivace, která se v rovnici vyskytuje.
Hovoříme-li o řádu soustavy, máme na mysli řád diferenciální rovnice, která
soustavu popisuje.
Řešením diferenciální rovnice (jejím integrálem) : je každá funkce, která této diferenciální
rovnici vyhovuje.
Budeme se zabývat dvěma metodami řešení lineárních diferenciálních rovnic
s konstantními koeficienty :
a) Laplaceovou transformací a
b) Simulační metodou.
Matematický popis dynamického chování soustavy můžeme získat buďto :
a) matematicko-fyzikální analýzou řešené soustavy (systému, technologie) tam, kde lze
fyzikální (chemické, příp. jiné) principy chování soustavy s dostatečnou přesností
analyzovat a početně definovat – postup se nazývá : analytická identifikace nebo
b) rozborem naměřených hodnot parametrů soustavy v čase, po vybuzení vstupu
soustavy (systému, technologie) některým z postupů, který nazýváme experimentální
identifikací soustavy.
Matematicko - fyzikální analýza
(sestavení diferenciální rovnice popisující soustavu, které vychází z fyzikální podstaty
problému, nikoli z měření na systému)
Tato metoda využívá základních fyzikálních principů – zákonů, jako např.: zákona
akce a reakce (součet sil působících v jednom bodě je nulový), zákona o zachování
energie, Kirchhofových zákonů apod.
8
Prvý z uvedených zákonů použijeme při řešení našeho příkladu: řešení
dynamického chování sedačky řidiče autobusu při mžikovém (skokovém) zatížení sedačky.
Mějme sedačku řidiče, jejíž hmotnost m je soustředěna do těžiště. Předpokládejme,
že se sedačka může pohybovat lineárně svisle podél vedení bez tření (zanedbáním
některých -méně významných- veličin zjednodušujeme výpočet) a v klidovém stavu na ni
působí síly:
- tíha sedačky (hmotnost m krát tíhové zrychlení g = cca 10 m.s-2)
- síla pružiny daná její tuhostí, - tlumení dané koeficientem tlumení.
Souřadnice sedačky (podél vedení) je y. Tuto souřadnici v klidovém stavu pro
soustavu: pružina + tlumič + sedačka označme y0 . Souřadnice y se změní, zatížíme-li
odpruženou a tlumenou sedačku skokově tíhou řidiče o hmotnosti M.
Sledujme vývoj polohy sedačky při zatěžování soustavy a její dynamické chování
v přechodu mezi klidovými stavy až do jejího dalšího nového ustálení.
-y
F1
Obr.3
M
F1 = M.g
0
k
c
F2
+y
m.a
a = y´´(t) ,
a - zrychlení ,
F3
F4
k.v c.s
v = y´(t) ,
v - rychlost,
s = y(t)
s – dráha
Nejprve sestavme diferenciální rovnici popisující dynamiku chování sedačky:
Parametry jsou takto zadané :
hmotnost samotné sedačky: m = 40 kg
,
tuhost pružiny: k = 4000 kg/s,
koeficient tlumení: c = 1800 kg/s2,
hmotnost řidiče: M = 80 kg.
Z principu rovnováhy sil (viz obr.3) lze sestavit rovnici : F1 = F2 + F3 + F4,
po dosazení, kde za sílu F1 tj. váhu řidiče dosadíme : F1= M.g .
Po dosednutí řidiče na sedačku (z nulové výšky jeho těla nad sedačkou, tj.tělo
nemělo žádnou hybnost před sledováním děje) se dá soustava řidič + sedačka do pohybu a
můžeme napsat rovnici:
M.g = (m+M). a + k.v + c.s
tedy :
M.g = (m+M) . y´´(t) + k.y´(t) + c.y(t) ,
a po dosazení :
800 = 120 . y´´(t) + 1800 . y´(t) + 4000 . y(t).
Síla F1 je pro naši soustavu vstupní veličinou ( někdy této veličině říkáme též:
budící). Časový průběh vstupní veličiny – vstupní (nebo též budící) funkci - označujeme
zpravidla u(t) . V našem případě chceme, aby tato vstupní veličina začala působit na
soustavu – sedačku – od určitého okamžiku ( času t = 0 ) tak, že se skokem změní
z nulové hodnoty na hodnotu F1 = M.g. (Řidič dosedl na sedačku z předchozího klidového
stavu, kdy byl těsně nad sedačkou.)
Musíme proto definovat to, že síla F1 začne působit až v určitém okamžiku. To
provedeme zavedením funkce jednotkového skoku η(t) definované tak, že pro čas menší
než nula (tj. před počátkem sledovaného děje) je tato funkce rovna 0 a v okamžiku skoku a
v dalším čase je tato funkce rovna právě jedničce. η(t) je přesně popsatelný – tedy
determinovaný - signál.
Vynásobíme-li funkcí jednotkového skoku (která je zřejmě ze své definice funkcí
9
času ) velikost síly F1 znamená to, že síla F1 začne na soustavu působit právě v okamžiku
t = 0 a od tohoto okamžiku dále.
Pak bude diferenciální rovnice soustavy mít tvar :
120 y´´(t) + 1800 y´(t) + 4000. y(t) = 800. η(t) ,
kde : 800.η(t) = u(t).
Rovnici upravíme ( :120)
y´´(t) + 15 y´(t) + 33,3y(t) = 6,7 η(t) ,
.. (2/1).
Tuto rovnici řešíme nejprve Laplaceovou transformací (L – transformací):
Připomeňme si, že :
L-transformací převádíme řešení diferenciální rovnice (originál) na řešení rovnice
algebraické (obraz).
řešení v originále
řešení v obraze
úloha v originále
L - transformace
řešení v originále
výsledek v originále
úloha v obraze
řešení v obraze
zpětná L - transformace
výsledek v obraze
Obr. 4
Transformační vztahy Laplaceovy transformace pro náš příklad jsou:
originál
y(t)
y´(t)
y´´(t)
obraz
Y(s)
sY(s) - y(0)
s2Y(s) - s. y(0) - y´(0)
a rovněž …
u(t) = K.η(t) = K.1
K.
1
= U(s)
s
Rovnici (2/1) budeme nejprve řešit pro nulové počáteční podmínky (dále jen PP):
to jest pro:
y(0) = 0,
y´(0) = 0.
(Znamená to, že sedačka je před vybuzením v klidové-výchozí poloze a nepohybuje se.)
Vytvořme L - obraz rovnice (2/1) dosazením z transformačních vztahů a uvědomme si, že
Laplaceovým obrazem budící funkce u(t) bude funkce U(s).
s2Y(s) + 15 s.Y(s) + 33,3 Y(s) = U(s)... (pravá strana je L-obrazem budící funkce)
1
vyjádřeme obraz výstupní funkce Y(s):
Y(s) (s 2 + 15. s + 33,3) = 6,7.
s
1
6,7
Y( s ) = 2
.
= F(s) . U(s) ,
.... (2/2)
s
s + 15.s + 33,3
kde výraz F(s) nazýváme obrazový přenos.
Výraz (2/2) řešíme na př. rozkladem na parciální zlomky.
10
K tomu potřebujeme znát řešení tzv. charakteristické rovnice (která vznikne tak, že
polynom ve jmenovateli obrazového přenosu položíme roven nule: s 2 + 15. s + 33,3 = 0 ) :
Řešením dostaneme kořeny :
s1,2 =
15
±
2
2
− 2,7 = s1
⎛ 15 ⎞
⎜ ⎟ − 33,3 = − 7,5. 56,25 − 33,3 = p
− 12,3 = s 2
⎝ 2⎠
…..(2/3)
Tomu odpovídá rozklad pro Y(s) na parciální zlomky :
Y( s ) =
6,7
A
B
C
=
+
+
.
(s + 2,7). (s + 12,3 ). s s + 2,7 s + 12,3 s
Další řešení je možné jednak metodou neurčitých koeficientů, ale i metodou přímého
hledání, kterou si ukážeme. Zásady této metody vyplynou z příkladu:
Metoda přímého hledání: výraz pro Y(s) násobíme jmenovatelem zlomku pro hledaný
koeficient a hledáme limitu pro s blížící se hodnotě příslušného kořenového činitele.
6,7
6,7
A = lim (s + 2,7)
=
= − 0,2572 ≅ − 0,26 [m],
(s + 2,7) . (s + 12,3). s 9,6 . ( −2,7)
s → − 2,7
B=
lim
s→ −12,3
C = lim s.
s→ 0
Y( s ) =
(s + 12,3)
6,7
6,7
=
= + 0,0564 ≅ + 0,06 [m],
(s + 2,7) . (s + 12,3). s − 9,6 . ( −12,3)
6,7
6,7
=
= − 0,20074 ≅ + 0,2 [m], pak řešení v obraze je:
(s + 2,7) . (s + 12,3). s 2,7 . 12,3
0,26
0,06
0,2
+
+
s + 2,7
s + 12,3
s
o − o 0,2 . 1 − 0,26.e −2,7.t + 0,06.e −12,3.t = y( t ) , …. (2/4)
výsledek řešení v obraze
výsledek v originále
Pro zpětnou L - transformaci použijeme slovníku:
k
o − o k.e −at . η( t ).
s+a
Poznámka: Nejdůležitější výrazy slovníku Laplaceovy transformace naleznete v Příloze A
těchto skript nebo např. ve skriptech Janeček, J. a Modrlák, O., Základy technické
kybernetiky – Příklady (str. 148) nebo Balátě, J. Automatické řízení, 2. vyd. 2002, tab. 6.2.
(str. 626).
Zkontrolujeme pro t = 0
a t = ∞:
y(0) = 0,2 - 0,26 . e0 + 0,06 . e0 = 0,2 – 0,2 = 0 [m].
y(∞) = 0,2 – 0 - 0 = 0,2 [m], výsledek tedy souhlasí.
Těchto hodnot : y(0) a y(∞) využijeme k přibližnému odhadu průběhu dynamické
charakteristiky naší soustavy pro řešený příklad. Dynamická charakteristika vychází z 0 [m],
limituje k hodnotě 0,2 [m], a derivace charakteristiky v počátku (t=0) , jak plyne z (2/4) je
rovněž nulová. Sedačka po usednutí řidiče se ustálí na souřadnici o 0,2 [m] níže, než před
usednutím.
11
y(t)
[m]
Obr. 5
Odhad průběhu
dynamické
charakteristiky sedačky.
0,2
0,1
t [s]
0
V laboratoři FS TUL ve Vesci byly vyvíjeny metody optimálního odpružení a tlumení
sedačky i další úpravy sedačky pro zvýšení pohodlí řidiče.
12
3. cvičení
Dynamické chování soustavy (sedačka) při nenulových počátečních podmínkách
Všechny parametry zadané v předešlém příkladu zůstávají stejné. Také rovnice
soustavy zůstává:
y´´(t)+ 15 y´(t) + 33,3 y(t) = u(t),
u(t) = 6,7 η(t)
Přibývají nenulové počáteční podmínky. Zadejme např.: y(0) = 0,1 m, y´(0)= - 0,5 m.s-1,
což znamená, že se sedačka nachází 0,1 m pod klidovou polohou a pohybuje se rychlostí
0,5 m.s-1 směrem nahoru. Začínáme ji sledovat např. v okamžiku, kdy je vychýlena
a rozkmitána po nájezdu autobusu na rigol v silnici, tedy v obecném stavu a okamžiku.
Řešíme podle známých transformačních vzorců L - transformace:
originál
obraz
y(t)
Y(s)
y´(t)
sY(s) - y(0)
y´´(t)
s2Y(s) - s. y(0) - y´(0),
atd.
dosaďme tedy:
s2.Y(s) - 0,1.s + 0,5 + 15. [ s.Y(s) - 0,1 ] + 33,3 .Y(s) = 6,7.
Y(s). (s2 + 15 s + 33,3) - s.0,1 + 0,5 - 1,5 = 6,7.
1
s
1
,
s
vyjádříme explicitně Y(s) a upravíme pravou stranu: rozdělíme ji na dva zlomky. První z nich
je identický s pravou stranou rovnice pro nulové PP, druhý vyjadřuje vliv PP:
0,1.s + 1
1
6,7
.
+ 2
s + 15.s + 33,3 s
s + 15.s + 33,3
funkce buzení
funkce počátečních podmínek
Y( s ) =
2
Pro orientační kontrolu souhlasu počátečních podmínek využijeme limitních vět o
počáteční ...
lim f(t)
t→ 0
... a konečné hodnotě:
= lim s. F(s)
s→∞
lim f(t)
t→ ∞
= lim s.F(s)
s→ 0
Po výpočtu zjistíme, že pro nulové PP výsledek souhlasí, a pro t → ∞ se funkce PP
neuplatní.
Řešení v obraze včetně PP:
Y( s ) =
0,1.s + 1
1
6,7
. + 2
, převedeme na společného jmenovatele:
s
s + 15. s + 33,3
s + 15. s + 33,3
Y( s ) =
0,1.s + 1
6,7
+
.
(s + 2,7). (s + 12,3). s
(s + 2,7). (s + 12,3)
2
13
Y( s ) =
0,1 . s 2 + s + 6,7
A
B
C
=
+
+
(s + 2,7). (s + 12,3). s s + 2,7 s + 12,3 s
Řešíme opět metodou přímého hledání:
A = lim (s + 2,7) .
s → − 2,7
0,1 . s 2 + s + 6,7
0,729 − 2,7 + 6,7
4,7
=
=
= − 0,181 [m],
(s + 2,7). (s + 12,3). s
− 2,7 . 9,6
− 25,92
B = lim ( s + 12,3) .
s→ −12,3
C = lim s .
s→ 0
0,1 . s 2 + s + 6,7
15,13 − 12,3 + 6,7
=
= + 0,0805 [m],
(s + 2,7). (s + 12,3). s
− 9,6 . ( −12,3)
0,1 . s 2 + s + 6,7
6,7
=
= 0,2007 [m].
(s + 2,7). (s + 12,3). s − 12,3 . ( −9,6)
Takže po zpětné L-transformaci má řešení v originále tvar:
y(t) = - 0,181 . e-2,7. t + 0,0805 . e-12,3. t
+ 0,2 [m].
Zkontrolujte splnění podmínek pro výchozí (počáteční) a ustálený stav a odhadněte průběh
dynamické charakteristiky !
Závěr:
Nenulové počáteční podmínky ovlivňují průběh dynamického chování soustavy
na počátku sledovaného děje, na ustálený stav však vliv nemají !
Řešení obyčejné diferenciální rovnice s konstantními koeficienty metodou simulační
Mějme diferenciální rovnici z předešlých příkladů:
y´´(t)+ 15 y´(t) + 33,3 y(t) = u(t),
u(t) = 6,7.η(t).
Při řešení metodou simulace používáme dvou způsobů převodu této rovnice na simulační
schéma: metodou snižování řádu derivace
metodou postupné integrace.
Reciproční operací k derivování je integrace. Lze tedy usoudit, že se při řešení
diferenciální rovnice uplatní princip integrování. Počet integračních kroků bude pak
odpovídat řádu diferenciální rovnice.
Vlastní řešení simulační metodou budeme provádět na počítači v prostředí MATLAB
– SIMULINK. K řešení je užito řady následujících „bloků“ vykonávajících některé základní
funkce:
Základním blokem pro řešení je blok integrační.
1
y(t)
Tento
blok integruje v čase vstupní proměnnou. Jeho výstupem
∫t y(t) je integrál
vstupní funkce y(t). Parametr: PP (počáteční podmínka).
s
14
x
y
z
sum x+y+z
Pro vybuzení soustavy potřebujeme zdroj definovaného
(determinovaného) průběhu.
Nejprve to bude zdroj skokové funkce s volitelným parametrem
(velikost skoku). Tento blok má pouze výstup! Parametry:
počáteční hodnota (před skokem), cílová hodnota (po skoku),
čas v němž dojde ke skoku od spuštění řešení.
step
x
k.x
k
Protože se v diferenciální rovnici vyskytují koeficienty musíme
mít možnost násobit proměnnou vystupující z jednoho bloku
konstantou: zesílit nebo zeslabit signál (podobně jako v
elektronickém – např. operačním zesilovači). Odtud název bloku
gain (zisk-zesílení). (Parametr: velikost a znaménko zesílení.)
scope
x
y
z
Dalším blokem, který budeme používat bude sumátor (sum).
Na jeho vstup přivedeme více proměnných (jejich počet můžeme
zvolit), výstupem je jejich součet. (Parametr: počet vstupů.)
mux
Výsledky simulačního pochodu potřebujeme také zobrazit,
podobně jako při měření v laboratoři, na osciloskopu nebo
zapisovači. Proto použijeme blok scope.
Tento blok má ale jen jeden vstup.
Chceme-li zobrazit více vstupních funkcí (průběhů) v jednom grafu,
musíme použít multiplexor (mux) - přepínač funkcí,
který předřadíme osciloskopu. (Parametr: počet vstupů.)
Každému ze vstupů je přiřazena (pro rozlišení) jiná barva při
zobrazení v grafu.
Vraťme se k řešení naší rovnice. Musíme v ní dvakrát integrovat: požijeme tedy dvou bloků
integrace.
Metoda snižování řádu derivace
Rovnici upravíme tak, že explicitně vyjádříme y´´(t):
y´´(t) = -15 y´(t) -33,3 y(t) +6,7 u(t), z toho plyne, že y´´(t) dostaneme jako součet
několika funkcí. Předřadíme tedy před y´´(t) sumátor.
Funkce y´(t) vznikne po jednom, funkce y(t) po dvou integračních pochodech. Za y´´(t)
budou následovat dva integrační bloky. Blokové schéma můžeme po této úvaze začít
konstruovat (viz obr. 6):
Po odstartování simulace a „kliknutí myší“ na blok „osciloscop“ se v okně na
obrazovce zobrazí průběh (průběhy) řešení. Jednotlivé bloky mají svá pořadová čísla (např.
gain 3), aby při řešení počítač „věděl“ podle naznačených toků signálů (propojovací
a šipkou orientované spojnice - čáry), odkud vezme vstupní data pro výpočet. Je tím dána
v podstatě adresa zdrojové paměťové buňky - indexovaného registru.
15
Blokové simulační schéma vytvořené metodou snižování řádu derivace (obr. 6):
Obr.6
Metoda snižování řádu derivace
Metoda postupné integrace
Rovněž při této metodě explicitně vyjádříme nejvyšší derivaci, ale pak integrujeme
obě strany rovnice tolikrát, jaký je řád diferenciální rovnice. Při sestavování blokového
schématu předpokládáme, že na výstupu posledního integračního bloku je řešení, tj.
hledaná funkce y(t). Pro náš příklad je třeba základní diferenciální rovnici upravit takto:
y´´(t) = – 15 y´(t) – 33,3 y(t) + 6,7 u(t)
∫
y( t ) = − 15 y( τ) dτ − 33,3
t
∫∫ y(τ) dτ
2
+ 6,7
t t
/ dvakrát integrujeme:
∫∫ u(τ) dτ
2
,
t t
kde t je mez a τ je náhradní proměnná substituující čas t . Z této rovnice vyplyne blokové
schéma (obr.7). Funkce y(t) s koeficientem K1= –15 projde jedním integračním blokem,
s koeficientem K2= –33,3 dvěma integračními bloky a u(t) projde rovněž dvěma integračními
bloky.
Blokové schéma vytvořené metodou postupné integrace (Obr.7)
Obr.7
Metoda postupné integrace
Poznámka: U metody snižování řádu derivace lze počáteční podmínky nastavit přímo do
bloku integrátoru, zatímco u metody postupné integrace je nutné počáteční podmínky
nejprve dopočítat, a teprve pak dosadit do bloku integrátoru - viz skripta [1].
16
Práce v MATLAB – SIMULINKu (postup):
Přihlásit se jako uživatel / vyvolat MATLAB / vyvolat SIMULINK / otevřít nový model /
z knihovny Simulink podle jednotlivých funkčních skupin bloků vybrat do okna úlohy
potřebné bloky / kopírovat je v použitém počtu a rozestavit („myší“) ve schématu / propojit
orientovanými čarami / nastavit v jednotlivých blocích příslušné parametry / vybrat blok
„scope“/ odstartovat simulaci (tl. „Start simulation“ nebo Ctrl+T) / zvolit automatickou volbu
optimální velikosti obrazu („dalekohled“) / zhodnotit řešení.
Úkol:
1.
Porovnejte výsledky při řešení metodou snižování řádu derivace a postupné
integrace tak, že vytvoříte dvě simulační schémata (pro každou z metod jedno) a před
„osciloskop“ zařadíte multiplexer, kterým umožníte současné zobrazení obou průběhů.
2.
Parametry v jednom simulačním schématu ponechte, ve druhém schématu vždy
právě jeden z parametrů (tuhost pružiny nebo tlumení nebo tíhu řidiče) změňte a porovnejte
vliv této změny na průběh dynamické charakteristiky s původním řešením. Změny
parametru proveďte podstatné, např. o polovinu nebo 2x (aby její vliv byl zřetelně patrný) !
3.
Komentujte výsledky ! Zjistěte pro jakou hodnotu diskriminantu v řešení kvadratické
rovnice (3) na str.7 dojde k zakmitání dynamické charakteristiky!
Obr. 8
Tvorba simulačního schématu v prostředí Matlab/Simulink (čísla označují pořadí úkonů)
17
4. cvičení
Identifikace soustavy z naměřených hodnot (charakteristik)
Aproximace přechodových charakteristik metodou Prof. Strejce
(Prof.Vladimír Strejc, pracoval v ÚTIA a přednášel na ČVUT - FEL)
Vytvořit přesný matematický popis dynamického chování soustavy ze záznamu
přechodové (dynamické) charakteristiky na běžném zapisovači nebo z vytištěného
záznamu průběhu dynamické charakteristiky na PC s měřící kartou je prakticky nemožné.
Proto se chování skutečné - reálné soustavy nahrazuje chováním jednodušší soustavy jejíž
strukturu předem zvolíme podle vyhodnocení přechodové charakteristiky h(t), ze které
tato metoda vychází. Využívá při tom aproximace - přiblížení. Chování takto získané
soustavy bude blízké chování soustavy původní (tak, jak dobře se nám podaří aproximovat
původní soustavu) a do té míry ji může nahradit.
Jednou z osvědčených metod je aproximační metoda Prof.Strejce - metoda tečny
v inflexním bodě. Patří mezi deterministické metody, tj. takové metody, které na vstupu
soustavy předpokládají signál s přesně definovaným (a matematicky snadno popsatelným)
průběhem, proti němuž jsou náhodné vlivy (šumy, poruchy) zanedbatelné. Takovým
signálem může být na př. jednotkový skok, jednotkový impuls nebo harmonický průběh.
Metodu Prof. Strejce nelze užít pro libovolné typy soustav,ale jen pro soustavy:
- statické, tj. takové, které mají pro t → ∞ konečnou limitu h(t),
- s minimální fází, tj. ty, jejichž dynamická charakteristika vykazuje jen jeden inflexní bod
- druhého a vyšších řádů bez kmitavé složky přechodové charakteristiky.
Připomenutí:
Dynamická charakteristika y(t) je buď naměřenou odezvou soustavy (např. na
zapisovači nebo osciloskopu nebo na PC s měřící kartou) pro libovolně velkou skokovou
změnu vstupní veličiny soustavy nebo je grafickým znázorněním řešení diferenciální rovnice
soustavy pro vstupní funkci ve tvaru skokové funkce.
Přechodová charakteristika h(t) je dynamická charakteristika pro velikost skokové
změny vstupní veličiny právě rovné jedničce, je to odezva soustavy na buzení soustavy
funkcí η (t). To platí za nulových počátečních podmínek !
y(t) 1
Obr. 9
Přechodová charakteristika
y(∞) = 1
ti
i
ϕi
i – je inflexní bod dynamické
charakteristiky
0
τu
t
1
u(t)
0
18
Takový průběh je nejčastějším případem regulovaných soustav, pro něž jsou
všechny kořeny charakteristické rovnice reálné a záporné a kořeny polynomů v čitateli
obrazového přenosu mají vesměs záporné reálné části. Metodu lze rozšířit i pro aproximaci
soustavy s dopravním zpožděním (při užití simulační metody).
Podstatou aproximační metody Prof.Strejce je, že skutečnou soustavu nahradíme
jednodušší soustavou obecně n-tého řádu se stejnými časovými konstantami nebo
soustavou druhého řádu se dvěma různými časovými konstantami. Pro každý z obou
způsobů existuje samostatný postup stanovení konstant. To, pro který způsob aproximace
se rozhodneme určuje velikost úseku τu (na obr. 9).
Metoda vychází z předpokladu, že v okolí inflexního bodu je přechodová
charakteristika soustav vyšších řádů takřka přímková, takže směrnici tečny není obtížné
anovit. Kromě toho délka úseku τu a pořadnice inflexního bodu závisí u statických soustav
s vesměs stejnými časovými konstantami jen na řádu soustavy n a nezávisí na velikosti
násobné časové konstanty. Zaokrouhlené hodnoty úseků τu pro řád soustavy n = 1 až 10
jsou uvedeny v následující tabulce:
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
τu
0
0,104
0,218
0319
0,410
0,493
0,570
0,642
0,709
0,773
ϕi
0
0,264
0,323
0353
0,371
0,384
0,394
0,401
0,407
0,413
Tab. 1
Aproximační přenos volíme:
pro τυ ≥
0,104:
K
S(s ) = ,
( T .s + 1 ) n
…(4/1)
tedy soustavou 3. a vyššího řádu,s jednou časovou konstantou,
proτυ < 0,104:
S( s ) =
K
(T1 .s + 1).(T 2 .s + 1)
,
…(4/2)
tedy soustavou 2. řádu se dvěma různými časovými konstantami.
Aproximační funkci stanovíme následujícím postupem:
1) „Normujeme“ měřítko osy y, tj. položíme y (∞) = 1 a y (0) = 0.
2) Co nejpečlivěji proložíme inflexním bodem „ i “ přechodové charakteristiky tečnu
a v normovaném měřítku 0 ÷ 1, (tj. pro 0 ÷ 100% rozsahu na ose y) odečteme délku
úseku τu. Podle velikosti tohoto úseku rozhodneme o dalším postupu aproximace.
3) Pro τu ≥ 0,104, zvolíme aproximaci soustavou s vesměs stejnými časovými konstantami
T a pokračujeme bodem 4).
Pro τu < 0,104, budeme pokračovat postupem popsaným od bodu 8).
19
4) Z tabulky Tab.1 určíme podle délky τu nejbližší řád n aproximační soustavy
a také příslušnou souřadnici ϕi inflexního bodu.
5) Této souřadnici přiřadíme na přechodové charakteristice inflexní bod a odečteme
jeho časovou souřadnici ti.
6) Nyní již známe n i ti a tak můžeme určit časovou konstantu T ze vztahu:
ti = (n - 1) T ,
…(4/3)
Tím v přenosu:
S (s) =
K
( T .s + 1) n
známe všechny konstanty ve jmenovateli. Stačí určit čitatele K, který se nazývá
statické zesílení soustavy a je dán výrazem:
K=
∆y s y( ∞ ) − y(0)
,
=
∆u
u( ∞ ) − u(0)
…(4/4)
kde ∆ ys je přírůstek ustálené hodnoty skutečné fyzikální veličiny na výstupu
soustavy (rozdíl mezi hodnotou y(t) po skoku vstupní veličiny a před skokem) a ∆ u je
velikost skoku fyzikální veličiny na vstupu soustavy, při kterém měření přechodové
charakteristiky proběhlo (rozdíl u(t) po skoku a před ním).
7) Pokud neurčíme dobu Td (dopravní zpoždění) analyticky, odečteme z grafu úsek
τ u⊗ (obr.9). K němu určíme z tabulky Tab.1 v řádku τu hodnotu nejblíže nižší (např.
pro τ u⊗ = 0,403 to bude τu = 0,319. Tu vyneseme do grafu a odečteme úsek Td, tedy
dopravní zpoždění. Obrazový přenos takové soustavy
k
pak bude:
F(s) =
. e −Td .s
n
(T.s + 1)
8)
y(t)
Td
τu
0
t
τ u⊗
Obr. 10
U
Soustava s dopravním
zpožděním (Td )
8) Je-li τu ≤ 0.1 budeme aproximovat soustavou druhého řádu se dvěma rozdílnými
časovými konstantami.
9) Z grafu přechodové charakteristiky (viz obr.11) stanovíme pro hodnotu: y ( t1 ) = 0,720
velikost časového úseku t1.
20
Poznámka: Konstanta 0,720 je jednou z konstant užitých při postupu, stejně, jako hodnoty
v Tab. 1. uvedené v tomto cvičení, které Prof. Strejc stanovil po zkušenostech při
aproximování soustav. Jde o metodu empirickou (empirie = zkušenost).
Známe-li velikost t1 můžeme ze vzorce pro součet T1 a T2 vypočíst hodnotu tohoto součtu:
t1
, (ve jmenovateli opět jedna empiricky zjištěná konstanta)
T1 + T2 =
1,2564
y(t)
0,720
1
y(t1)
y(∞)
2
y2
y(t2)
0
t
t2
t1
Obr. 11
10) Nyní vypočteme časový úsek t2 = 0,3574.(T1 + T2 )
( třetí empirická konstanta! )
a k času t2 odečteme z přechodové charakteristiky souřadnici: y2 = y (t2) . Nyní určíme
poměr časových konstant:
τ2 =
T2
T1
.
Přiřadíme k y2 hodnotu τ2 z tabulky Tab.2. Tím získáme 2 rovnice pro 2 neznámé
a časy T1 a T2 z nich dokážeme vypočítat.
Tab.2
y2
0,3005
0,29
τ2
0,000
0,0228
y2
0,20
0,19
τ2
0,2639
0,3216
0,28
0,27
0,26
0,0435 0,0635 0,0837
0,18
0,17
0,25
0,24
0,104
0,128
0,23
0,22
0,1539 0,1838 0,2196
0,1611
0,4031 0,5378 1,0000
Přenos takto identifikované soustavy bude pak:
S(s) =
K
(T1.s + 1).(T2 .s + 1)
Velikost statického zesílení K určíme stejně, jako v postupu dle bodu 4).
21
0,21
Aproximace soustavy 1. řádu
(zde se již nejedná o metodu Prof.Strejce - u dynamické charakteristiky neexistuje totiž
inflexní bod ! )
Mezi soustavou 1.řádu a soustavou tvořenou elektrickým obvodem RC existuje
analogie. Zpětnou L - transformací získáme pro přenos soustavy 1. řádu (n = 1):
S(s) =
K
T.s + 1
i(t)
exponenciální závislost na
čase, podobně jako u RC
obvodu (Obr. 12),
R1
E
V
C1
UC1
R2
C2
uC2
Obr. 12
−t
E
pro proud: i ( t ) = .e RC
R
a pro napětí na kondenzátoru: u c1 = E.(1 − e
−t
RC
) = E.(1 − e
−
t
T
).
Tyto časové závislosti odpovídají dynamickým charakteristikám soustavy 1.řádu,
které (pro tuto analogii) říkáme také jednokapacitní soustava. Pokud bychom rozšířili
elektrický obvod o další členy RC (naznačeno v obr.12 čárkovaně), získali bychom dvou a
více kapacitní soustavy, resp. jejich elektrické modely. Tohoto principu se využívalo dříve
pro analogové modelování dynamického chování soustav. (Čs.analogový počítač MEDA
patřil ve své době ke kvalitním a srovnatelným se zahraničními analogovými počítači .)
Časová konstanta soustavy 1.řádu T je rovna velikosti časové souřadnice průsečíku
tečny ke křivce dynamické charakteristiky soustavy 1.řádu v počátku souřadnic a asymptoty
k ustálené hodnotě y(∞) , jak je naznačeno na obr. 13.
uc(t)
Obr. 13
y(∞)
ic(t)
0
t
T
Na obr. 13 jsou též znázorněny průběhy napětí na kondenzátoru a nabíjecího proudu
kondenzátoru (soustava 1.řádu).
Příklad řešení dynamického
Prof. Vladimíra Strejce
chování
soustavy
aproximační
metodou
Mějme soustavu s přenosem S(s) charakterizovanou blokovým schématem na
obr. 14 a vybuzenou skokovou změnou vstupní veličiny podle grafu na obrázku 15.
I (A)
n (rad/s)
S
Obr. 14
22
Určete, o jaký typ soustavy se jedná ( jde o elektrický ss motor s cizím buzením ? ).
Na obr. 15 je dynamická charakteristika naměřená jako odezva soustavy (postupné
zvyšování otáček) na skokovou změnu proudu buzení motoru. Na ose y jsou dvě stupnice:
stupnice skutečně změřené hodnoty y (otáčky, které potřebujeme pro výpočet K) a stupnice
„normovaná“ pro aplikaci metody Prof.Strejce, tj. stupnice přechodové charakteristiky.
Identifikujte takto zadanou úlohu metodou Prof.Strejce, a řešte diferenciální rovnici
simulací ! Identifikaci provedeme podle obr 15.
1,9 (A)
I(A) 1,1
buzení
1,0
36
0,5
soustava
y (∞)
n (rad/s)
i
2
24
0,17
4
6
8
10
t (s)
0
Obr. 15
Řešení:
τu ≥ 0,104 .. ( = 0,17, odečteno z obr. 15) ⇒ aproximovat budeme soustavou 3.
a vyššího řádu.
Z tabulky Tab.1 plyne, že nejbližší řád je n = 3. Z toho dále plyne, je-li čas odpovídající
okamžiku, kdy výstupní veličina soustavy prochází inflexním bodem právě 2 sec.po skokové
změně, a že časová konstanta T bude podle (4/3) : ti = ( n – 1) . T .
Z toho : T =
ti / ( n-1 ) = 2/ (3-1) = 1 s.
Zbývá vypočítat statické zesílení (podle (4/4):
K=
∆ y 36 − 24 12
=
=
= 15 rad./s.A
∆u
0,8
0,8
Statické zesílení má zpravidla fyzikální rozměr !
Nyní můžeme napsat přenos soustavy podle (4/1) :
S(s) =
K
(T.s + 1)
n
=
15
(1.s + 1)
3
=
15
3
s + 3.s 2 + 3.s + 1
Za předpokladu že počáteční podmínky jsou nulové (v přenosu není člen funkce
počátečních podmínek) můžeme přímo z přenosu napsat diferenciální rovnici soustavy:
y´´´(t) + 3. y´´(t) + 3.y´(t) + y = 15 η (t)
, kde 15 η (t) = u(t) .
Této diferenciální rovnici odpovídá blokové simulační schéma (podle metody snižování řádu
23
derivace - Obr. 16):
y´´´(t) = - 3. y´´(t) - 3.y´(t) - y + 15 η (t).
Po získání simulované dynamické charakteristiky na PC v programu MATLABSIMULINK porovnejte průběhy na obr. 15 a průběh získaný simulací (obr.16) a pokuste se
vyhodnotit jejich shodu – rozdíly (zjištěním maximální odchylky (v %) vztažené ke 100 %
rozsahu výstupní veličiny soustavy ! (Simulovaná soustava nahrazuje reálnou s cca 10 %
přesností.)
Obr.16
Obr.17
Elektromotor
24
5. cvičení
Měření dynamických charakteristik na konkrétních úlohách v laboratoři ZAK
V průběhu tohoto cvičení budou vytvořeny základní podklady pro zpracování
semestrální práce. Po rozdělení do skupin se seznámíte s některou z úloh v laboratoři,
které představují reálnou soustavu.
Při měření dynamických charakteristik (podle předložených návodů) zjistíte, jak se
soustava chová, budete muset operativně řešit minimalizování vlivu možných poruch. Půjde
také o to, jak si práci zorganizujete (někdo je praktik a šikovný při manipulaci s přístroji, jiný
je dobrý při práci s počítačem, jiný je dobrý stylista nebo grafik). Připomínám, že
semestrální práce je prací celé skupiny, kde každý musí vědět vše a také za všechno, co
je psáno i kresleno zodpovídá ! V praxi budete většinou také pracovat v týmu.
Jde především o to pochopit, jak soustava funguje, seznámit se se zapojením
a přístrojovým vybavením úlohy a podle zadání změřit dynamickou charakteristiku. Tuto
charakteristiku pak vyhodnotit a sestavit matematický a simulační model soustavy.
Smyslem semestrální
jaké míry a u jakého typu
aproximovat tam, kde pro ni
soustavou 2. řádu s jednou
zpožděním apod.).
práce je ověřit si, jak poznaná teorie souhlasí s praxí a do
soustav je metoda Prof.Strejce použitelná, případně jak
nejsou splněny požadované podmínky (např. aproximujeme
časovou konstantou nebo soustavou 1.řádu s dopravním
V neposlední řadě je semestrální práce přípravou pro to, abyste dokázali technické
veřejnosti sdělit výsledky své práce přehledně, systémově, graficky i stylisticky na
patřičné úrovni. Je vaší průpravou na diplomovou práci.
Poznámky k uspořádání semestrální práce a k jednotlivým kapitolám
Titulní strana
Obsahuje:název předmětu,školu,fakultu,ročník,kroužek, název úlohy, jména všech autorů.
Úvod
Seznamuje čtenáře s cílem práce. Neopisujte text zadání, volte vlastní slova !
Schéma měření
Má předvést, jakým způsobem měření k výsledkům dospějete. Správné zapojení
dokumentuje i to, že jste pochopili jak a proč měření probíhá. Schéma může být kresleno
třeba rukou, záleží na správnosti ! Musí obsahovat i legendu, tj. vysvětlení významu všech
použitých symbolů a značek !
Naměřené výsledky (dynam.charakteristika), výpočty
Tato část presentuje graf, a z něj odvozenou diferenciální rovnici (opět: včetně zavedení
pojmů, proměnných, konstant a jejich rozměrů).
Simulace soustavy
Konstatujete zde jaké metody pro simulaci je použito, uvádíte simulační schéma,
simulovaný graf přechodové (dynamické) charakteristiky soustavy. Jsou zde také
presentovány oba grafy (naměřený i simulovaný) přenesené do stejných souřadnic (dva
grafy v jednom) .
Závěr, zhodnocení a anotace
Uvede se zde komentář k porovnání obou grafů, jsou zmíněny případné důvody pro soulad
či nesoulad obou charakteristik (největší odchylky v % ustálené hodnoty), zhodnotí se
vhodnost použité metody pro daný typ úlohy apod. Stručný přehled práce (anotace) je
presentován jak v češtině, tak i několika řádky v angličtině (nebo v němčině)!
Návody k úlohám jsou součástí jednotlivých úloh a jsou průběžně aktualizovány.
25
6. cvičení
Frekvenční charakteristiky
Z přechodové charakteristiky pro soustavu 1. a zejména vyšších řádů je patrné, že
výstup soustavy „zaostává“ s jistým časovým prodlením za vstupním signálem soustavy.
Jakoby soustava „byla líná“ nebo „měla dlouhé vedení“. Tato vlastnost je dána fyzikální
podstatou soustavy (na př. tím, že obsahuje setrvačné hmoty, v elektrických zařízeních
kapacity apod.) a projeví se velmi názorně při buzení soustavy harmonickým signálem
(dalším z deterministických signálů). Harmonický signál (na př. funkce sin ωt) bývá
odvozován od průmětu na osu y koncového bodu jednotkového vektoru rotujícího kolem
počátku v rovině. Připomeňme: ω = 2 π f = 2 π . 1/T.
Mějme soustavu, kterou budeme budit vstupní harmonickou funkcí : A.sin ωt.
Výstupem soustavy pak bude opět harmonická funkce: B. sin (ωt + ϕ ), kde úhel ϕ udává
fázový posuv vektoru výstupního signálu za vektorem signálu vstupního. Lépe to
pochopíme z obr. 18.
Měřením na soustavě nebo simulací zjistíme, že frekvence výstupních kmitů
soustavy je při harmonickém buzení stejná s frekvencí vstupních kmitů. Dalším poznatkem
je, že s rostoucí frekvencí budícího signálu se jednak zvětšuje zpoždění (fázový posun -ϕ)
výstupního signálu, jednak se zmenšuje (až na výjimky, např. vlivy resonance) jeho
amplituda. Vzájemné vztahy mezi těmito veličinami graficky vyjadřují frekvenční
charakteristiky:
amplitudová charakteristika: je závislost amplitudy výstupní veličiny soustavy (nebo její
relativní hodnoty vztažené k velikosti hodnoty vstupní vyjádřené v decibelech) na frekvenci
vstupní veličiny. Frekvence (ω) může být vyjádřena v lineárním nebo (častěji) v
logaritmickém měřítku na x-ové ose (Obr. 19a). Toto měřítko umožňuje postihnout velký
rozsah nezávisle proměnné, tj.kruhové frekvence : ω = 2.π.f. (Viz obr. 19a.)
Decibel (dB) je bezrozměrnou jednotkou relativní míry (je desetinou belu – název jednotky
podle vynálezce telefonu Alexandra Grahama Bella). Grafické vyjádření v logaritmické –
dekadické – stupnici umožňuje přehled o průběhu poměru velikosti měřené (výstupní)
veličiny k základní (vstupní) veličině přes mnoho řádů frekvence budících kmitů. Decibel
byl původně zaveden v akustice a princip převzaly další obory.
Měřená veličina je zpravidla na výstupu soustavy (soustavy fyzické, jejíž dynamické
chování zkoumáme – sdělovacího elektrického vedení, zvukového systému apod.) a je
vztažena k velikosti základní veličiny – zpravidla na vstupu soustavy, které je přiřazena
základní hodnota 0 dB, neboť x/r = 1.*) Množství decibelů mezi dvěma srovnávanými
amplitudami lze vyjádřit vzorce :
x
dB = n.log ,
r
kde: x – je amplituda fyzikální veličiny (v našem případě výstupní veličiny soustavy, tj. B
z obr. 16), tzv. měřené množství,
r – je amplituda fyzikální veličiny (v našem případě veličiny vstupní - budící - soustavy,
tj. A z obr. 16), tzv. referenční množství,
n – je konstanta – v našem případě: n = 20 (též pro elektrický proud a napětí)
(n = 10, jde-li o porovnání veličin majících charakter výkonu).
Negativní hodnota (-) v dB znamená, že měřené množství (výstup soustavy) je
menší než referenční množství (vstup soustavy).
*)
Hodnota 0 dB je v akustice přiřazena měrnému výkonu referenčního tónu zvuku
o frekvenci 1 kHz, který normální lidské ucho ještě nevnímá (zvukový práh). Týž tón síly:
N = 1,259 . 10-10 µ W / cm2 odpovídající právě 1 dB, již bezpečně slyšet je.
( Literatura : [6] nebo: Havlíček, M., a kol.: Sdělovací technika, SNTL, Praha 1970 nebo: Horák, Z., Krupka,
F., Šindelář, V.: Základy technické fyziky, Práce, Praha 1954)
26
A.sin ωt
u(t)
buzení
B. sin (ωt + ϕ )
y(t)
odezva
ϕ
ϕ
S
+i
buzení
-1
A
1
t
ϕ
u(t) 0
B
odezva
0
-i
B
t
y(t)
Obr. 18
Průběhy vstupní (A) a výstupní (B) veličiny soustavy S - jejich grafické znázornění.
fázová charakteristika:
je závislost fázového posunu průběhu výstupní veličiny ϕ za
veličinou vstupní při rostoucí frekvenci vstupních kmitů jako
nezávisle proměnné. Podobně, jako u amplitudové
charakteristiky bývá měřítko na x-ové ose (frekvence)
logaritmické (Obr. 19b).
amplitudově-fázová nebo jen: frekvenční charakteristika: je zobrazením průběhu
koncového bodu vektoru výstupní veličiny v Gaussově
rovině, kde parametrem je kruhová frekvence ω, délka
vektoru odpovídá amplitudě výstupní veličiny a jeho
úhel s kladnou reálnou poloosou vyjadřuje fázový posun ϕ
za vstupní veličinou (Obr. 20).
Z této charakteristiky lze obě předchozí odvodit a naopak.
amplitudová charakteristika (soustava 2.ř.)
A
(dB)
fázová charakteristika (soustava 2.ř.)
ϕ 0
(rad)
20 dB/dek
- π/2
40 dB/dek
0
ω1
-π
ω2 log ω
Obr. 19a
Obr. 19b
27
log ω
Uveďme příklad, ilustrující vztah mezi proměnnou „s“ v přenosu obrazovém F(s), a
proměnnou „ jω “, jde-li o přenos frekvenční. Příklad naznačuje, proč lze nahradit „s“
výrazem „jω“a pro frekvenční přenos nahradit obrazový přenos F(s) přenosem frekvenčním
F ( jω ) ? Mějme např. rovnici:
a2 y´´(t) + a1 y´(t) + a0 y (t) = b0 u(t) + b1 u´(t)
…(6/1)
Im
ω
∞
Frekvenční (amplitudově-fázová) charakteristika
0
A
|F(jω)|
ω=0
Re
A
B
ϕ
ω
B/A < 1
Β
Obr. 20
Předpokládejme buzení harmonickými kmity a připomeňme si základní Eulerovy vztahy:
cos ϕ =
e iϕ + e −iϕ
e iϕ − e − iϕ
, sin ϕ =
, a dále: sin´ϕ = cos ϕ
2
2.i
,
cos´ϕ = − sin ϕ
.
Dosaďme tyto vztahy do funkcí u (t) a y (t):
u(t) = B . cos ωt,
y(t) = A. cos (ωt +ϕ)
u´(t) = - B ω sin ωt,
y´(t) = - A ω sin (ωt +ϕ)
y´´(t) = - A ω2 cos (ωt +ϕ),
a dále je dosaďme do rovnice (6/1):
A [ -a2 ω2 cos (ωt + ϕ) −a1ω sin (ωt +ϕ) +a0 cos (ωt + ϕ)] = B [ - b1 ω sin ωt +b0 cos ωt ] .
za sin ϕ a cos ϕ dosadíme z Eulerových vztahů:
1
i
1
⎡
⎤
A ⎢− a 2 .ω 2 . .( e i( ωt + ϕ ) + e −i( ωt + ϕ ) ) + a1ω (e i( ωt + ϕ ) − e −i( ωt + ϕ ) ) + a 0 ( e i( ωt + ϕ ) + e −i( ωt + ϕ ) )⎥ =
2
2
2
⎣
⎦
i
1
⎡
⎤
= B. ⎢b1ω. .(e iωt − e −iωt ) + b 0 ( e iωt + e −iωt ) ⎥
2
2
⎣
⎦
(Obě strany násobíme číslem 2 a upravíme:)
A eiϕ .eiωt [-a2 ω2+a1. i ω+a0]+A e-iϕ.e-iωt [-a2 ω2-a1.i ω+a0] = B.eiωt[b1 i ω+b0]+B. e-iωt [-b1 i ω+b0] .
Tento vztah musí platit pro všechna t, a tak lze porovnat výrazy v závorce u stejných
součinitelů, např. u: eiωt :
A eiϕ ( -a2 ω2 + a1 i ω + a0 ) = B . ( b1 i ω + b0 ) .
28
Dělíme B a závorkou na levé straně:
b1.iω + b 0
A iω
, pokud za i.ω dosadíme s, dostaneme známý výraz pro F(s).
.e =
B
− a 2 ω 2 + a1.i.ω + a 0
F(iω) =
A iω
.e
B
=
b1i.ω + b 0
2
− a 2 ω + a1.i.ω + a 0
přenos v polárních souřadnicích
⇔
frekvenční přenos
b1.s + b 0
a 2 .s 2 + a1s + a 0
= F(s)
, kde, s ⇔ iω .
obrazový přenos
Příklad
Budeme simulovat dynamické chování odpružené sedačky při harmonickém buzení.
Použijeme základní zapojení ze 3.cvičení a metody postupné integrace.
Navíc přibude blok pro generování harmonického signálu:
sin
Blok nemá vstup (jde o generátor signálu),
Parametry : amplituda : A , perioda kmitů: T ( = 1 / f ),
fázový posun : ϕ (uvádí se v obloukové míře (např.: – π / 2 = – 1,571).
Simulační schéma sedačky buzené harmonickým signálem:
Obr. 21
Dolní průběh:budící veličina (amplituda A = 1.10-1 m) a výstupní veličina (perioda T = 1,5 s)
A
ϕ
Vypočtěte vektor přenosu F(jω) pro T=1,5 s (tj. délku průvodiče = amplitudě kmitů)
a velikost fázového posunu ϕ (tj. arctg Im / Re části složky přenosu) v komplexní rovině !
V dalším cvičení porovnejte vypočtené hodnoty s údaji odečtenými ze simulovaného
průběhu na obr.21!
29
7. cvičení
Simulace soustavy identifikované z dynamické charakteristiky (v rámci 1. části
semestrální práce) při harmonickém buzení. Zjištění souřadnic jednoho bodu
frekvenční charakteristiky.
V tomto cvičení použijeme k buzení soustavy (identifikované z naměřené dynamické
charakteristiky metodou Prof. Strejce) harmonický průběh, který vychází ze skutečné
počáteční hodnoty, ve které se soustava na počátku děje nachází (na př. velikost
el.příkonu do topné spirály soustavy před jeho skokovou změnou bude 0 kW).
Pro vybuzení soustavy využijeme celého rozsahu skoku použitého při měření
dynamické charakteristiky (např. je-li k dispozici max. příkon 1500 W, může být použita
amplituda A = 1/2 použité velikosti skoku, tj. 750 W). K dosažení takového průběhu budící
harmonické funkce doplníme blokové simulační zapojení z minulého cvičení:
Na př.: sin
Parametry bloků:
step skok z 0 na 750 W, zajišťuje posun osy
budících kmitů do poloviny rozkmitu od času t=0.
∑
step
sin
amplituda 750 W, perioda odpovídající časové
konstantě T = cca 300 sec. Fáze musí
zajišťovat, že harmonické buzení začne pro
nulovou hodnotu budícího signálu, což
odpovídá fázovému posunu o - 90 stupňů
( -ϕ = -π / 2 = - 1,571 rad.).
u(t)
1500 W
Požadovaný průběh
budící funkce.
750W
0W
t (sec)
Obr. 22
Ukázka postupu při výpočtu koncového bodu vektoru přenosu v komplexní rovině
pro sedačku (ze 2.cvičení) :
F(jω) - pro T=1,5 s , posun osy na úroveň y(0)=0,1 m a amplitudu budících kmitů A= 0,1 m.
Sedačka řidiče měla obrazový přenos daný výrazem:
6,7
6,7
, proto: F(iω) =
.
2
s + 15.s + 33,3
− ω + 15.i.ω + 33,3
Nyní dosadíme za T= 1,5 s, tomu odpovídá f = 1/1,5 = 0,67 Hz, a ω = 2π . f =
= 2π . 0,67 = 4,19 rad/s.
F(s) =
2
30
Dosaďme toto ω do výrazu pro přenos:
6,7
F(iω) =
, a rozdělme zlomek na Re a Im část
− 17,56 + 62,85. i + 33,3
F(iω) =
6,7
.
− 15,74 + 62,85. i
.(15,74 − 62,85. i)
( rozšířili jsme zlomek číslem
.(15,74 − 62,85. i)
komplexně sdruž. ke jmenovateli)
=
105,46
421,1
− i.
=
4197,7
4197,7
0,025
Re
– i. 0,1 .
(po zaokrouhlení)
Im
Nyní můžeme vypočítat jak délku průvodiče bodu frekvenční charakteristiky (jako
absolutní hodnotu odmocniny součtu čtverců Im a Re části), tak úhel fázového posuvu (jako
arctg. poměru Im ku Re části) vektoru průvodiče tohoto bodu. Připomeňme, že každý bod
frekvenční charakteristiky odpovídá buzení soustavy právě jednou frekvencí ω z celého
možného oboru ω od 0 až do ∞.
Délka průvodiče (amplituda výstupních kmitů) tedy bude: / F(iω)/ = 0,1 [0,1m= dm]
Fázový posun:
arctg
− 0,1
= arctg ( −4) ,
0,025
tomu odpovídá úhel
ϕ = -76 stupňů.
Závěr:
Amplituda kmitů sedačky se pro kmity s periodou T = 1,5 s zmenší z 0,1 m (pro
ω = 0 rad./s) na 0,01 m (pro ω = 4,19 rad./s) a fázový posun (kmity sedačky budou za
kmity buzení, které bylo realizováno silou 800 N - vahou řidiče - opožděny o úhel) 76
stupňů.
Ověřte tento výpočet simulací !
Úkol pro druhou část semestrální práce:
a) Pro průběh budící funkce přizpůsobené vaší konkrétní soustavě a parametrům při
nichž jste prováděli měření v první části semestrální práce ( amplituda budícího
skoku, posun osy kmitů, časová konstanta T– jejíž velikost budete volit podle bodu
b/ )simulujte průběh výstupní veličiny y(t) (např. teploty, průběhu napětí na RC členu
a pod.) při harmonickém průběhu vstupní veličiny. Z grafu získaného simulací
odečtěte fázový posun výstupní veličiny za budící veličinou a skutečnou amplitudu
výstupních kmitů pro zvolenou frekvenci (1/T) a to v příslušných fyzikálních
jednotkách ( postup jako v uvedeném příkladu se sedačkou) !
b) Podle parametrů, které jste použili v simulaci, proveďte výpočet frekvenčního
přenosu pro jeden bod frekvenční charakteristiky právě odpovídající frekvenci
dané převrácenou hodnotou časové konstanty (případně větší z časových konstant)
31
zjištěné (zjištěných) při užití aproximační metody v první části semestrální práce.
Spočítejte fázový posun ϕ a velikost amplitudy výstupní veličiny opět ve fyzikálních
jednotkách !
c) Oba výsledky (výpočet i odečet ze simulovaného průběhu) porovnejte, zhodnoťte
míru shody (%) a svůj postup presentujte formou přílohy k první části semestrální
práce!
d) Tato příloha bude rovněž obsahovat náležitosti požadované pro 1. část semestrální
práce (jména spolupracovníků ve skupině kroužek, zadání, výpočet, simulační
schéma, simulovaný průběh, zhodnocení). Nebude obsahovat anotaci.
Ukázka semestrální práce
32
8. cvičení
Soustava s regulátorem, zpětná vazba, nespojitá regulace
Připomeňme si základní schéma regulovaného obvodu, ve kterém je uplatněna zpětná
vazba:
u
y
S
Obr. 23
e
-
w
R
Nespojitá regulace
Základním rysem nespojité regulace je nespojitý průběh akční veličiny (výstupu
regulátoru). Hlavním důvodem pro aplikaci nespojité regulace je nižší ekonomická
náročnost jak na výrobu regulátoru, tak na užité akční členy.
Při tom lze dosáhnout dobré kvality regulačního pochodu (jakosti regulace), při
vhodné volbě typu regulátoru ve vazbě na dynamické vlastnosti regulované soustavy.
Použití: zejména pro autonomní regulované soustavy a menší regulované celky.
Členění nespojitých regulátorů:
a) dvou, tří a vícepolohové.
A
u
B
B
e
u
C
A
e
Charakteristika regulátoru:
dvou a
tří – polohového.
Polohou se zde rozumí velikost – úroveň akční veličiny, kterou lze měnit pouze skokem.
b) impulsové (spojitě proměnná střída výstupní veličiny je funkcí regulační odchylky) e :
e
t
u
t
Střída – poměr části periody,
po kterou je veličina aktivní
(stav log.1) k celé periodě T,
bývá vyjádřena v %.
Obr. 24
Poznámka :
Přímočinné nespojité regulátory jsou takové, u kterých výstupní veličina snímače
regulované veličiny přímo ovládá akční člen (je současně i akční veličinou). (Např.:
v žehličce: bimetal ovládá vypínač el.proudu, ve splachovadle: plovák ovládá přes páku
ventil ovládající přítok vody.) Pro provoz nepotřebuje vnější energii, pracuje s energií
měřené veličiny.
Průběh regulačního pochodu (regulované veličiny) závisí do značné míry na typu
soustavy. Je odvozen od průběhu dynamické charakteristiky soustavy. Na př. pro soustavu
2. řádu s dopravním zpožděním je průběh dynamické charakteristiky naznačen na Obr. 25.
33
Tn
y(t)
Tu .... doba průtahu
Tn ....doba náběhu
y(∞)
Td
t
Td ...dopravní zpoždění
Tu
Obr. 25
Dvoupolohový regulátor R regulující teplotu v peci S ( Příklad na obr. 26 ).
Protože jde o soustavu 2. nebo vyššího řádu (soustava obsahuje teplotní „setrvačné hmoty“
představované např. teplotní kapacitou topidla), překmitne průběh regulované veličiny nad
(a pod) nastavenou úroveň hystereze. Všimněte si, v jakých okamžicích dochází k zapnutí a
vypnutí topení vzhledem k nastavené hysterezi.
termočlánek
y(t)
δ(οC)
δ (οC)= y(t)
R
průběh regulované teploty
bez regulátoru
s regulátorem
y
w
S (pec)
h
•
vypínač
topení
(akční člen)
t
u(t)
síť ∼
u(t)
příkon pece
(W)
Obr. 26
Je zřejmé, že u soustav 2. a vyššího řádu nabývá výrazného vlivu „setrvačný charakter“
soustavy (ať už pro setrvačné hmoty či teplotní kapacity, které obsahuje) a vliv hystereze se
příliš neuplatní. Hystereze má zásadní význam u soustav astatických a soustav 1. řádu.
Vnitřní uspořádání nespojitého regulátoru s hysterezí schéma na obr. 27:
Od stavěcího prvku žádané hodnoty (např.potenciometru)
měření
(termočlánek)
Obr. 27
w
Regulátor - R
Soustava
u
k vypínači V (akčnímu členu)
člen zajišťující hysterezi
zesilovač signálu z termočlánku
34
Pro správnou činnost regulátoru je třeba volit velikost žádané veličiny v určitém rozpětí.
Toto rozpětí se doporučuje obvykle v mezích 30 - 70 % rozdílu ustálených hodnot
regulované veličiny pro změnu hodnoty akční veličiny u z minimální na maximální (viz obr.
28. Pro w pod 0,3.ymax dochází k velkým překmitům y (předimenzovaná úroveň akční
veličiny), pro w nad 0,7. ymax naopak chybí reserva v příkonu, a to vede k prodloužení času,
za který y může dosáhnout úrovně žádané veličiny. Obojí je nežádoucí stav.
ymax (100 %)
y
70 %
Obr. 28
optimum pro volbu w
30 %
0
t
ymin (0 %)
u
umax
Simulace v SIMULINKu činnosti dvoupolohového regulátoru se soustavou 1.řádu na obr. 29.
Obr.29
žádaná
hodnota (w)
průběh regulované veličiny,
35
hystereze
průběh akční veličiny
Třípolohový regulátor (Příklad na obr. 30-32)
Zavedeme pojmy: charakteristika třípolohového regulátoru bez hystereze
a s hysterezí a pásmo necitlivosti PN . Poslední z pojmů znamená, že ačkoliv se na vstupu
regulátoru v tomto úseku (PN) mění regulační odchylka, výstup regulátoru se nemění. To
umožňuje šetřit energií např. u třípolohového regulátoru v systému: A - hřeje – B - nic
nedělá (tzn.že do soustavy nepřichází ani se z ní neodebírá žádná energie) – C - chladí.
u
C
u
C
B
h
B
A
e
h
e
A
PN
pásmo necitlivosti
PN
bez hystereze
s hysterezí
Charakteristika třípolohového regulátoru
Obr. 30
Praktickou ukázkou využití třípolohového regulátoru je regulace teploty v peci napájené
třífázovým el.proudem, kde je možno přepínat topící odporové spirály ze zapojení do
hvězdy do zapojení do trojúhelníka a naopak.
X
Obr. 31
R
Y
fázové nap.
230 V
sdružené nap.
400 V
R
R
R
R
R
X
Y
Z
Z
Zapojení do hvězdy:
Zapojení do trojúhelníka
Příkon v elektrické síti s fázovým napětím 230 V ∼ a sdruženým napětím 400 V∼ je:
pro „hvězdu“: P 1 =
U 2 230 2
=
R
R
,
podobně pro „trojúhelník“:
P2 =
Poměr výkonů topení „hvězda“: „trojúhelník“ bude: P1 / P2 = 1 / 3.
36
U 2 400 2
=
.
R
R
B = 100,
Třípolohová regulace s následujícím poměrem úrovní hladin u , např.: A = 0,
C = 300 je na obr.32. V uvedeném příkladu je w =200 a zvolená velikost hystereze je
naznačena vodorovnými čarami v okolí žádané hodnoty..
Obr. 32
hystereze
regulovaná veličina
průběh akční veličiny
hladiny akční veličiny
Nespojité regulátory jsou v současnosti většinou realizovány
na programovatelných logických automatech (PLC)
37
9. cvičení
Stabilita regulačního obvodu
Mějme regulační obvod v obvyklém
zapojení. Podívejme se nyní, jak může vypadat chování takového obvodu za různých
d
y
S
podmínek. (Obr. 33)
X
e
Můžeme na př. rozpojit obvod reguu
R
látoru v místě na obr. označeném „X “.
Obr. 33
Porovnejme oba průběhy, když by v obou
případech na soustavu působila stejná skoková změna poruchy d. Žádaná veličina byla v obou případech stejná (obr.33).
- e
d
0
t
bez regulátoru
y
w
s regulátorem
Obr. 34
Soustava má parametry dané svou technologií, které se nedají příliš měnit. V systému
soustava – regulátor lze tedy ovlivnit jeho výsledné chování změnami parametrů
regulátoru. Regulátor užíváme pro řízení toku energie (nebo hmoty) do soustavy tak, aby
se soustava chovala (pokud možno) podle našich požadavků.
Parametry regulátoru ovšem mohou ovlivnit fázi zpětnovazebního signálu - akční
veličiny - vzhledem k poruše (regulátor je totiž sám také soustavou jistého řádu, který fázi
mezi svým vstupem (e) a výstupem (u) může měnit. Tím může dojít k tomu, že se zpětná
vazba stane místo záporné kladnou a systém pak může být nestabilní ! Proto, má-li systém
fungovat správně, je třeba se zabývat jeho stabilitou, závislou na parametrech regulátoru.
Pro nás to bude znamenat hledání takových parametrů regulátoru (rozsahu jeho
jednotlivých parametrů – složek P, I, D), pro které bude systém stabilní.
Jak se projevuje stabilita a nestabilita systému v jeho dynamickém chování
ukazují příklady na následujícím obrázku (35) :
c
y
a - stabilní průběhy
a
b- průběh na mezi stability
b
c - nestabilní průběhy
0
t
Obr. 35
38
Stabilita soustavy (systému) je jedním ze základních kritérií při posuzování kvality
regulačního pochodu. K fázovému posunu mezi výstupem a vstupem soustavy se zpětnou
vazbou může dojít u soustav vyšších řádů (2. a vyššího řádu) nebo u soustav s dopravním
zpožděním. Připomeňme si průběhy přechodových charakteristik různých soustav (obr.36).
n=0
h(t)
n=1
n=2
n=3
soustava s Td
n - řád soustavy
Td - dopravní zpoždění
0
t
Td
Obr. 36
Pro určení toho, zda systém bude či nebude stabilní (případně bude-li na mezi
stability), užíváme různých kritérií, zpravidla nazvaných podle svých autorů. V našem kurzu
se budeme zabývat jedním z kriterií algebraických (jsou i kriteria vycházející z frekvenčních
charakteristik např. : Nyquistovo, Michajlovo, Ljapunovo,) kriteriem nazvaným podle svého
autora Hurwitze.
Algebraické kriterium vychází z matematického popisu soustavy. Zabývali jsme se
soustavami, které bylo možno popsat obyčejnými diferenciálními rovnicemi s konstantními
koeficienty. Ukázali jsme souvislost mezi koeficienty diferenciální rovnice a jejím řádem
a fyzikálními parametry soustavy. Pro nulové počáteční podmínky jsme konstatovali, že
mezi obrazovým přenosem soustavy a diferenciální rovnicí, která soustavu popisuje je
jednoduchý vztah, při čemž jmenovatele zlomku vyjadřujícího obrazový přenos jsme nazvali
charakteristický polynom (který položíme-li rovný nule představuje charakteristickou
rovnici).
Je tedy logické soudit, že na stabilitu soustavy mají bezprostřední vliv jak
koeficienty charakteristické rovnice, tak i její kořeny, které z koeficientů počítáme. Z této
základní úvahy vycházeli někteří autoři (také Hurwitz) a hledali pravidla - kriteria - pro
stanovení vazby mezi velikostí koeficientů (resp.kořenů) charakteristické rovnice a stabilitou
příslušné soustavy.
Kořeny charakteristické rovnice mohou být :-reálné
.
…… ( α )
-komplexní(komplexně sdružené).. ( α ± i.β).
Pro α menší než 0, pak řešení diferenciální rovnice (vzpomeňte na rozklad na parciální
y
y
zlomky) vede na typ průběhu:
t, a pro α větší než 0 na typ průběhu:
t.
Řešení charakteristické rovnice pak vede na součet exponenciál, případně exponenciálně
se buď zmenšujících nebo zvětšujících kmitů.
Podmínkou stability uzavřeného lineárního regulačního obvodu je, že všechny
kořeny charakteristické rovnice mají reálnou část zápornou, tj. leží v levé
části komplexní roviny.
Algebraické Hurwitzovo kriterium
stability nevyžaduje znalost kořenů,
ale pracuje s koeficienty charakteristické rovnice (víme však, že kořeny
(
) a koeficienty spolu souvisejí.
(Obr.37)
Im
s1
Obr. 37
0
stabilní
39
s2
Re
mez stability
nestabilní
Příklad na Hurwitzovo kriterium stability
Mějme soustavu danou následujícím blokovým schématem. Vyšetřeme oblast stability,
jsou-li jednotlivé bloky zadány následovně:
F1 ....přechodovou charakteristikou,
F2....analytickým vyjádřením přechodové funkce,
R .... dynamickou charakteristikou danou výrazem: u (t) = r0 . e (t)
F1*
F1
Y
F2
S
Obr. 38
E
W
R
U
Zadání F1:
u
(dynamickou charakteristikou)
2
t
0
Zadání F2: h(t) = 1,5 ( 1+ e-2t - 2e-t ) . η (t)
1
y
0
1
(přechodovou funkcí)
t
…(9/1)
Zadání R: typem regulátoru (proporcionální) : u (t) = r0 . e (t) .
Řešení:
Určení F1: k = 1/2 = 0,5,
T = 1,
takže: F1(s) = 0,5 / s+1…
… (9/2)
Určení F2: h (t) = 1,5 ( 1 + e-2t - 2 e-t ) . η (t). Hledáme vztah mezi F (s) a H (s).
Při tom známe vztah mezi F (s) a G (s).
Platí totiž: h´(t) = g (t) a nyní tvrdíme, že G(s) = F(s) ! Proč ?
Y( s )
Platí:
F(s) =
U(s)
z toho plyne Y(s) = F(s) . U(s) . Pro jednotkový impuls, kterým budeme realizovat funkci
buzení ( U(s) ), je jeho Laplaceovým obrazem jednička. Odezvou na jednotkový impuls je
váhová (impulsní) funkce g(t), jejímž L. obrazem je funkce G(s):
… (9/3)
Obecně tedy platí: G(s) = F(s) . 1… a pro náš případ: G2(s) = F2(s).
g2(t) – váhová (impulsní) funkce je derivací přechodové funkce h2(t) a pro L.-obrazy musí
… (9/4)
platit:
G2(s) = H2(s) – h2(0).
… (9/5)
Podle (9/3 a 9/4 ) lze psát: F2(s) = s.H2(s) – h2(0).
Musíme tedy stanovit H2(s) a h2(0). Z (9/1) určíme nejprve h2(0) .
h2(0) = 1,5. ( 1+ e- 2.0 ) – 2. e- 0 = 1,5. (1 + 1 – 2. 1) = 0, a nyní určíme H2(s):
1
1
2
−
Nyní z (9/5) vyjádříme F2(s):
H 2 (s) = 1,5.( +
).
s s + 2 s +1
40
1
2 ⎞
⎛1
F2 (s) = s.1,5.⎜ +
−
⎟−0
⎝ s s + 2 s + 1⎠
F2 (s) = s.1,5.
=
(s + 2).(s + 1) + s.( s + 1) − 2.s.(s + 2)
s 2 + 3.s + 2 + s 2 + s − 2.s 2 − 4.s
=
.1.5 =
s.( s + 2).(s + 1)
(s + 2).(s + 1)
2.1,5
3
=
= F2(s) .
(s + 2).(s + 1) ( s + 2).(s + 1)
Určení F1* (s):
Užijeme metody signálových rovnic
X
Y
F1(s)
Y = X. F1 – Y. F1
Y. ( 1 + . F1 ) = X. . F1
signálové rovnice
Obr. 39
*
F1 ( s) =
F
Y
= 1
X 1 + F1
.
Za F1 dosadíme z (9/2)
0,5
0,5
F1* (s) = s + 1 =
0,5
s + 1,5
1+
s +1
Přenos samotné soustavy S (bez regulátoru):
FYU (s) = F1* (s) . F2 (s) =
0,5
3
1,5
.
= 3
= S( s)
s + 1,5 ( s + 2).(s + 1)
s + 4.5.s 2 + 6,5.s + 3
Stanovení výsledného přenosu soustavy s regulátorem:
W
E
U
R(s)
Y
S(s)
-
1____
1 + R(s). S(s)
FEW (s) =
Obr. 40
FEW ( s) =
1+
1
1,5
r0 .( s 3 + 4,5.s 2 + 6,5.s + 3)
=
s 3 + 4,5.s 2 + 6,5.s + 3
s 3 + 4,5.s 2 + 6,5.s + 3 + 1,5.r0
.
S výhodou využijeme Masonova vzorce (bude blíže zmíněn ve cvičení 10.) a přenos volíme
tak, aby v čitateli byla 1. Jmenovatel, a tedy i charakteristický polynom, zůstane stejný jako
pro přenos FYW!
41
Pro vyšetření stability je rozhodující charakteristický polynom (výraz ve jmenovateli
přenosu), případně z něj vytvořená charakteristická rovnice :
s3 + 4,5.s2 +6,5.s + 3+ 1,5 r0 = 0 .
… ( 9/6 )
Základní pravidla Hurwitzova kriteria stability:
1) Všechny koeficienty charakteristické rovnice musí mít stejné znaménko a žádný nesmí
být roven nule ( nesmí v polynomu chybět ) !
2) Všechny subdeterminanty podél hlavní diagonály Hurwitzova determinantu musí být
kladné ( tedy větší než nula ) !
Konstrukce Hurwitzova determinantu:
Mějme obecný tvar charakteristické rovnice:
an sn + an-1 sn-1 + an-2 sn-2 +……. a1 s + + a0 = 0
lichý 1 sudý 1 lichý 2 ……
Zleva začíná: lichý 1 ( l1), sudý 1 (s1) a dále střídavě lichý ( l2) sudý ( s2) vždy s indexem
inkrementujím s krokem jedna.
Koeficienty takto nově indexované seřadíme: l1 sn + s1sn-1 + l2 sn=2 +s2sn-3 +l3 sn-4 + ...
a Hurwitzův determinant sestavujeme podle následujícího algoritmu:
1. řádek zleva: sudé koeficienty (od nejnižšího nového indexu), zprava doplnit
nulami,
( dtto ),
2. řádek zleva: liché koeficienty
3. řádek zleva: sudé koeficienty posunuté o jeden sloupec vpravo a zleva doplněné
nulou, zprava o jeden sloupec nul méně než 1. řádek,
4. řádek zleva: liché koeficienty posunuté a doplněné jako v předešlém řádku,
5. řádek zleva: sudé koeficienty posun. o 2 sloupce vpravo a zleva doplněné dvěma
nulami
... atd.
Hurwitzův determinant má tedy tvar:
Hn =
a n −1
a n −3
a n −5 L a 0
0
0
an
an−2
a n − 4 L a1
0
0
0
a n −1
a n −3 L a 2
a0
0
0
an
a n −2 L a3
a1
0
L
L
L
L L L L
L
L
L
L L L
0
0
0
0
0
a1
an-1
an
an-3
an-2
0
an-5…………..…. a0
an-4……………….a1
0
… „sudé koeficienty“
… „liché koeficienty“
ad1) Je-li kterýkoliv z koeficientů kladný, pro splnění podmínky stability musí být
kladné všechny koeficienty !
42
ad 2) H1 = an-1 … musí být kladný (větší než nula) - všimni si ad.1) !
H2 =
a n−1
a n- 3
an
a n−2
a n−1 a n−3
an
0
H3 =
a n−2
a n−1
…. musí být kladný
(> 0) !
a n −5
…. musí být kladný (> 0) !
a n−4
a n −3
atd.
Z pravidla 1) plyne, že je-li kterýkoliv koeficient kladný, pak pro stabilitu musí být všechny
koeficienty kladné (musí mít stejné znaménko). Protože podle 2) musí být všechny
subdeterminanty podle hlavní diagonály kladné, musí být kladný i H1, tedy an-1 a následně
podle 1) i všechny ostatní koeficienty !
Vraťme se k našemu příkladu:
Naše charakteristická rovnice má tvar:
s3 + 4,5.s2 +6,5.s + 3+ 1,5. r0 = 0
Hodnoty koeficientů Hurwitzova determinantu tedy jsou:
a3 = 1,
a2 = 4,5,
a1 = 6,5,
Musí to platit i pro: a0 > 0
H2 =
a2
a3
a0
a1
> 0 ⇒
a0 = 3+1,5 . r0.
Všechny koeficienty musí být > 0.
⇒ 3 +1,5 r0 > 0 , ... r0 > -2.
4,5 . 6,5 – (3 - 1,5 r0) .1 > 0,
⇒
r0 < +17,5.
Z těchto dvou podmínek (nerovností) pak lze stanovit obor stability a ten lze graficky
zobrazit jako úsečku mezi body -2 a + 17,5 (s výjimkou těchto bodů, které jsou mezemi
stability) na přímce představující celý rozsah parametru r0).
)
-2
-r0
(
+ 17,5
0
+r0
Obr. 41
Tím je vyšetřena oblast stability (obor jediného stavitelného parametru) „našeho“ systému:
soustava + proporcionální regulátor pro konkrétní zadaný případ.
43
10. cvičení
Bloková algebra
Zvykli jsme si schématicky označovat soustavu S, regulátor R, (akční člen AČ, čidlo
Č) jako blok a bloky mezi sebou podle toku signálů pospojovat. Každý z bloků (vlastnosti
jeho dynamického chování) je popsán příslušným obrazovým přenosem F(s).
Na obr.42 jsou respektovány i přenosy dílčích částí hlavního regulovaného systému.
D
S
Y
AČ
Č
R
Obr. 42
-
U
W
E
Kompletní systém je tvořen větším počtem bloků vzájemně propojených. Často
potřebujeme znát přenos mezi některými (libovolnými) dvěma body blokového schématu.
Jedním z významných důvodů pro poznání výsledného přenosu je právě určení
stability systému.
Disciplína zvaná „bloková algebra“ nám to usnadní, zejména proto, že pomůže
zjednodušit vazby (propojení bloků), a tak učinit blokové schéma přehlednější. K dosažení
tohoto cíle se musíme naučit několik základních pravidel blokové algebry. Mezi ně patří
zejména:
a)
U
F1
F2
Y
U
F1. F2
Y
Výsledný obrazový přenos sériově řazených bloků je dán součinem jejich
obrazových přenosů.
b)
F1
U
Y
U
F1+F2
Y
F2
Výsledný obrazový přenos paralelně řazených bloků je dán součtem jejich
obrazových přenosů.
c)
U
F1
Y
F1
U
1 - F1. F2
Y
F2
Výsledný obrazový přenos obvodu s kladnou zpětnou vazbou je dán podílem
přenosu přímé větve a rozdílem jedna minus součin obrazových přenosů bloků v úplné
zpětnovazební smyčce. Pro zápornou zpětnou vazbu je znaménko ve jmenovateli kladné.
Odvodit tento vztah lze pomocí soustavy signálových rovnic. Principem je
44
sestavení všech základních vztahů (rovnic) mezi proměnnými (tedy signály základními –
zadanými) a těmi, které jsou „uvnitř“ systému, které nejsou ani vstupní, ani výstupní
s hlediska celého systému. Při řešení soustavy signálových rovnic postupně vyloučíme
všechny dodatečně zavedené pomocné proměnné.
Příklad podle bodu c):
U
U1
F1
Y
→
U2
F1
1 - F1. F2
U
Y
F2
Signálové rovnice:
U1 = U + U2
U 2 = Y . F2
Y = U1 . F1.
Dosazujeme a řešíme:
Y = (U + U2 ). F1
F=
= ( U + Y . F2 ) . F1
F1
Y
=
.
U 1 − F1.F2
⇒
Y = U . F1 + Y. F1. F2
Y . ( 1 - F1 . F2) = U . F1
Podobně lze odvodit i obrazový přenos pro klasické zapojení soustavy s regulátorem
v záporné zpětné vazbě.
E
W
U
Y
R(s)
FYW (s) =
S(s)
R(s). S(s)
1 − R( s). S(s)
Některá pravidla pro zjednodušení blokových schémat:
Komutativní zákon:
U1
U2
U1+U2 -U4
U1+U2 = U3
U1
U2
U1+U2 -U4
=
-U4
-U4
Přesunutí součtového členu:
a)
U1
b)
U1
U1
Y
F
=
U2
U2
F
=
U2
U1
U2
45
F
1
F
F
F
Y
Přesunutí rozdělovacího bodu:
U
U
Y
F
=
Y
Masonův vzorec
∑P
k
Fs =
F
Y
F
Y
. (1 − S1k + Sk2 − Sk3 + ...)
k
1 − S1 + S2 − S3 + ...
S1 .......... součet přenosů všech zpětnovazebních smyček,
S2 .......... součet součinů přenosů takových dvojic smyček, které nemají společný
přenosový blok ani součtový (rozdílový) člen,
S3 .......... součet součinů přenosů takových trojic smyček, které nemají společný přenosový
blok ani součtový (rozdílový) člen,
.
.
Pk .......... přenos příslušné k-té přímé větve,
S1k , S k2 , S k3 , ... součty přenosů (resp. součinů přenosů) smyček tvořených jako S1,S2, ... , ale
tvořených pouze ze smyček, které s příslušnou přímou k-tou větví nemají
společný přenosový blok ani součtový člen.
Příklad aplikace Masonova vzorce:
(bez signálových rovnic)
F6
S1b
U
Y
-
F1
F2
F3
S1a
F4
F5
Obr. 43
Na obr.43 je blokové schéma soustavy, složené z většího počtu bloků, jejíž výsledný přenos
stanovíme, abychom mohli rozhodnout o stabilitě této soustavy.
Přenosy přímých větví ( Pk):
P1 = F1 . F2 . F3 , P2 = F3 . F6 ,
Přenosy zpětnovazebních smyček:
S1 = S1a + S1b = F2 F3 F5 - F1 F2 F4 .
S2 = S3 = ... = 0. a dále:
S11 = S 12 = 0,
46
S12 = - F1 F2 F4 ,
S 22 = S 32 = ... = 0.
FYU (s) =
Po dosazení do Masonova vzorce dostaneme:
P1.(1 − S11 ) + P2 . (1 − S12 )
1− S
1
=
F1. F2 . F3 + F3 . F6 ( 1 + F1.F2 . F4 )
1 − F2 . F3 . F5 + F1. F2 . F4
Podobných postupů využíváme často při stanovení přenosů zpětnovazebních
obvodů v regulačních systémech pro stanovení výsledného přenosu a následně stability
systému.
Nejjednodušší příklad aplikace (soustava s regulátorem obr.44):
Y
S
U
E
- W
R
Obr. 44
P1 = R(s). S(s)
P2 = P3 = P3 = ... = 0
S1 = – R(s) . S(s)
S2 = S3 = S4 = ... = 0
S11 = S12 = = … = 0 , …, takže přenos soustavy
s regulátorem je:
R(s). S(s)
FYW =
1 + R(s). S(s)
Přenos je sestaven rychle a bez signálových rovnic, výsledek je stejný, jako při řešení
používajícím signálových rovnic.
Blokový přenos !??!
47
11. cvičení
Aplikace Masonova vzorce pro určení přenosu regulované soustavy
(a následné určení oboru stability soustavy s PI regulátorem)
Příklad:
Vyšetřete oblast stability obvodu na obrázku č.45, jsou-li zadány příslušné přenosy:
R( s ) = r0 +
S(s) =
r−1 r0 .s + r−1
=
s
s
1
( s + 2) 2
....obrazový přenos PI regulátoru,
S * ( s) =
z toho plyne, že
S∗(s)
1
1
.
s ( s + 2) 2
S1b
-
Y
1
S(s)
s
-
S1a
W
R(s)
U
E
Obr.45
Řešení využívá Masonova vzorce:
∑P
k
Fs =
. (1 − S1k + S k2 − S k3 + ...)
k
1 − S1 + S 2 − S 3 + ...
1
. S(s)
……………..přenos jediné přímé větve.
s
Přenosy zpětnovazebních smyček :
P1 = R(s) .
S1a (s) = ( −1). R(s). S(s).
1
1
, S1b (s) = ( −1). S(s). , a tedy : S1 (s) = S1a + S1b .
s
s
R(s).
FYW =
1
. S(s)
s
1
1
⎤
⎡
1 − ⎢( −1). R(s) . . S(s) + ( −1) . . S( s)⎥
s
s
⎦
⎣
Dosaďme !
FYW
1
. S(s)
s
=
=
1
1
1 + .S( s). R(s) + . S( s)
s
s
R( s).
1 r0 . s + r −1
1
.
.
s
s
r0 . s + r −1
( s + 2 )2
=
= 4
3
r . s + r −1
1
s + 4.s + 4.s 2 + ( r0 + 1).s + r −1
+
1 + 20
s . ( s + 2 )2 ( s + 2 )2
charakteristický
polynom
O stabilitě obvodu rozhoduje charakteristická rovnice, která v našem případě bude mít tvar:
s4 + 4.s3 + 4.s2 + (r0 + 1).s + r-1 = 0
48
Aplikujme na tuto rovnici Hurwitzovo kriterium stability:
r0 + 1 > 0, z toho plyne: r0 > -1.
1) r-1 > 0, a současně:
2) Sestavení H - determinantů:
H2
H3
4 r0 + 1
0
0
r−1
1
4
0
r0 + 1 0
0
4
0
1
4
r−1
H=
H2 = 4 . 4 - (r0 + 1). 1 = 16 - r0 - 1 = 15 - r0 > 0 , z toho plyne podmínka (1): r0 <15, takže
z podmínky (2) pro r0 a r-1 plyne:
-1 < r0 < 15 a
r-1 > 0 , a:
H3 = 4 . 4 (r0+ 1) - (r0 + 1 )2 . 1 - 4 . 4. r-1 > 0
16 r0+ 16 - r02 - 2 r0 - 1 - 16 r-1 > 0
- r02 + 14 r0 + 15 > 16 r-1.
Řešením je parabola, která má vrchol „nahoře“. Parametr r1 musí být „pod křivkou“, neboť:
r-1 < - 1/16. r02 + 14/16 .r0 + 15/16 .
(Pro r0 = 0, je r-1 = 15/16 , tím získáme bod na ose r-1 . )
Výsledkem – tedy vyšetřenou oblastí stability – je průnik ploch a) pod parabolou obrácenou
směrem „dolů“ a b) plochy ležící nad osou r0 (jak plyne z podmínky (2). Pro vrchol paraboly
musíme zjistit extrém funkce - maximum (tj. kde derivace funkce = 0).
Platí:
-2/16 r0 + 14/16 = 0. Extrém je pro
Této hodnotě r0 odpovídá hodnota r-1 :
: r0 = - 14/16 . (-8) = + 7.
r-1 = - 49 / 16 + 7 . 14 / 16 + 15 / 16 = 4.
Známe tedy souřadnice vrcholu paraboly a další body jimiž musí procházet
(průsečíky s osami).
Graficky bude vymezení oblasti stability vyhlížet takto:
r-1
Obr. 46
oblast, kde r-1> 0
4
15/16
0
-r0
oblast stability
+r0
oblast uvnitř paraboly
-1
0
+7
49
+15
Bude-li bod, jehož souřadnice jsou r0 a r-1 , ležet uvnitř oblasti vymezené tmavou
(oranžovou – v barevné verzi skript) plochou (obr.46), bude systém, jehož stabilitu jsme
analyzovali Hurwitzovým kriteriem, stabilní.
Úkol:
Simulací ověřte vhodnost volby parametrů r0 a r-1 regulátoru PI pro stabilní,
případně nestabilní systém. Zjistěte jeho chování na mezi stability !
Známe-li oblast stability (rozsahy, ve kterých můžeme volit parametry regulátoru bez
nebezpečí, že se rozkmitá), zbývá už „jen“ nalézt jejich optimální hodnoty (cvičení 12.).
Vstup referenčního systému, ve kterém budeme měnit parametry regulátoru
Zdroj pro generování případné poruchy
Mux
Schéma PID regulátoru (ke 12. cvičení)
Obr.47
50
12.cvičení
Seřizování regulátoru, vliv jednotlivých složek: P, I, D,
optimální seřízení regulátoru metodou kritického zesílení
(Ziegler-Nicholsova metoda)
Viděli jsme, že regulátor lze složit ze tří částí, z nichž každá má pro průběh
regulačního pochodu specifický význam: proporcionální – integrační – derivační. Vstupem
všech tří složek regulátoru je vždy regulační odchylka e.
Proporcionální složka r0
zajišťuje základní funkci regulačního pochodu: zesílit
(proporcionálně) regulační odchylku e a přivést ji pak na vstup regulované soustavy
v opačné fázi než má porucha (aby r0 působila proti poruše a vedla tak ke snížení regulační
odchylky). Regulační odchylka ale vždy nějaká zůstane – proporcionální regulátor tak
pracuje s nenulovou regulační odchylkou, její velikost závisí kromě vlastností soustavy na
velikosti proporcionální složky. Velikost r0 nelze ale zvyšovat neomezeně, protože to vede
k nestabilitě systému: soustava – regulátor, jak jsme se přesvědčili v předešlých cvičeních.
Smíříme-li se s tím, že i v ustáleném stavu nějaká regulační odchylka e (třeba jen malá)
zůstane, je regulátor typu P použitelný samostatně.
Z definice r0 plyne, že velikost proporcionální složky P bude: P = r0 . e
Integrační složka r-1 narůstá do té doby, dokud na vstupu regulátoru existuje nenulová
regulační odchylka e. Tato složka a její vliv na soustavu se zvětšují tak dlouho, dokud
nepotlačí regulační odchylku na nulu. Pak nárůst integrační složky ustane (integruje pak
totiž proměnnou e o nulové hodnotě). Říkáme, že regulátor obsahující integrační složku
pracuje s nulovou regulační odchylkou (v ustáleném stavu). To splňuje smysl regulace,
a tak regulátor obsahující pouze integrační složku může samostatně fungovat.
r
I = −1
Z definice r-1 plyne, že velikost integrační složky bude:
s
u (t) = r-1 . ∫ e dt
a v čase:
t
.
Derivační složka r1 reaguje pouze na časové změny regulační odchylky e. Už z toho
plyne, že regulátor typu D nemůže být užit samostatně, protože velikost r1 nezávisí na
okamžité velikosti e a „nesnaží se“ regulační odchylku odstranit a přiblížit regulovanou
veličinu y žádané hodnotě w. Význam derivační složky je v možnosti ovlivnit dynamický
průběh regulace, např. omezit velké překmity, potlačit vliv náhlých poruch. Velikost
derivační složky:
de
u ( t ) = r1 .
D = r1 . s,
.
dt
Podívejme se, jak vypadá vliv jednotlivých složek po příchodu skokové změny e (obr. 47):
PID (Σ )
D
I
Obr. 48
P
e
t
51
Průběh regulačního pochodu závisí na dané soustavě (technologii) a regulátoru. Lze
specifikovat určité obecné zásady, jak má optimální průběh regulačního pochodu (např.
odezvy na skokovou změnu poruchy nebo žádané veličiny, obecně: vstupního parametru)
vypadat. Jaké jsou tyto zásady ?
Regulační pochod:
● má co nejrychleji vyrovnat vliv změny vstupního parametru,
● má zaručit minimální překmit výstupní veličiny,
● má vést k rychlému ustálení soustavy, při čemž
● nesmí být ohrožena stabilita systému (soustavy).
Pro posouzení míry plnění těchto vlastností existuje řada kritérií. Zde je stručná
charakteristika některých z nich :
S
a) Pro soustavu bez kmitavé složky
používáme kriteria minima lineární
y(t) S
regulační plochy S. Čím menší je její
velikost, tím vyšší je kvalita regulačního pochodu. (Obr. 49)
t
d
Obr. 49
b) Pro soustavu s kmitavou složkou
je pak vhodné kriterium minima
kvadratické regulační plochy.
To postihuje kladné i záporné překmity
od ustálené hodnoty regulované
veličiny y.
(obr.50)
y(t)
t
d
Obr. 50
Jiným kriteriem je kriterium optimálního modulu regulačního pochodu. To
vychází z frekvenční charakteristiky uzavřeného regulačního obvodu při poruše na
vstupu soustavy a klade podmínku, aby amplitudová charakteristika v okolí počátku
(pro ω blízké nule) byla co nejplošší a klesala monotonně.
V kriteriu seřízení podle funkce standardního typu je navržen průběh
vyjádřený funkcí (např. Whiteley 1946), na které jsou definovány určité parametry
(viz obr. 51), a který je pokládán za blízký ideálnímu průběhu.
y
∆ymax
+1%
y∞
-1%
100 %
τa
t
τb
Obr. 51
52
U regulátoru pak bude potřeba přizpůsobit jeho parametry tak, aby koeficienty
charakterické rovnice odpovídaly tabelovaným hodnotám podle funkce standardního typu.
K tomu existují přepočítávací koeficienty a tabulky (např.: hodnotám: ∆ymax%, τa, τb
odečteným z grafu přechodové charakteristiky lze tabelárně přiřadit určitý řád
charakteristické rovnice a koeficientům charakteristické rovnice lze pak podle jejího řádu
přiřadit jejich číselné hodnoty (literatura /9/).
Podrobněji se budeme zabývat seřízením regulátoru metodou kritického zesílení.
Její základní myšlenkou je nastavení optimálních hodnot parametrů regulátoru podle
velikosti proporcionální složky r0 regulátoru právě odpovídající mezi stability (při vyřazení
integrační a derivační složky).
Pro takto nastavenou – kritickou - velikost proporcionální složky r0k právě začne
výstupní veličina soustavy s regulátorem kmitat s konstantní amplitudou i periodou kmitů
(Tk) . Tak můžeme zjistit dvě konstanty soustavy (r0k, Tk), od kterých odvodíme podle autorů
Zieglera a Nicholse optimální velikosti všech tří složek (P, I, D) regulátoru. Tyto hodnoty
jsou uvedeny v následující tabulce. Při tom první (levá) část tabulky uvádí hodnoty
parametrů korespondující s výpočtem a simulačním schématem systému, druhá část
(pravá) jsou hodnoty nastavované na konkrétním regulátoru (zde se místo parametrů r1, r-1
vyskytují nastavitelné časové konstanty : integrační Ti a derivační Td).
Tabulka pro metodu Ziegler-Nicholse (metodu kritického zesílení)
Typ
regulátoru
P
PI
r-1
r0
0,5. r0k
0,45. r0k 0,54.r0k
Tk
r1
kproporc.
-
0,5. r0k
0,45 . r0k
Ti
Td
Tk
1,2
-
PD
PID
0,4 .r0k
0,6 .r0k
1,2.r0k
Tk
0,02 . r 0k . Tk
0,075. r 0k . Tk
0,4 r0k
0,6.r0k
0,5 . Tk
0,05 Tk
0,12 . Tk
I
-
0,5 . r-1k
-
-
2 . Tik
-
Komentář k tabulce: U čistě integračního regulátoru zvyšujeme postupně velikost
integrační složky, až nastanou netlumené kmity systému: soustava a I-regulátor. Tuto
velikost I-složky nazveme r- 1k a odpovídající periodě kmitů přiřadíme hodnotu Tik .
Vyzkoušejte seřízení PI regulátoru se soustavou ze cvičení č.11 metodou Ziegler–
Nicholse !
Ve cvičení č. 11 jsme zjistili, že r0k = 15.
Tk jsme odečetli a její velikost byla 3 s.
Použijeme tabulku pro metodu Ziegler-Nicholse a stanovíme parametry regulátoru PID pro
takto zjištěné hodnoty konstant.
Základní vztahy jsou:
P složka … r0 = 0,6 . r0k ,
I složka … r-1 = 1,2 . r0k / Tk ,
D složka … r1 = 0,075 . r0k . Tk .
53
Dosaďte a dopočítejte uvedené parametry ! Nakreslete blokové simulační schéma pro tento
případ a simulujte ! Vyhodnoťte simulací získané průběhy s pohledu optimálního seřízení !
Ověřte průběh regulačního pochodu pro vypočtené velikosti jednotlivých
parametrů regulátoru PI (podle obr.47)
a) pro skokovou změnu žádané veličiny w,
b) pro skokovou změnu poruchy d !
Doplňte regulátor o složku D (je rovněž ve schématu na obr.47) a snažte se (tentokráte
zkusmo – empiricky) zjistit její vliv na průběh regulačního pochodu ! Pak nastavte parametry
regulátoru podle výpočtu metodou Ziegler – Nicholse !
Vytvořte druhé – identické – schéma v SIMULINKu, ve kterém budete postupně měnit
vliv (velikost) jednotlivých složek (P,I,D) a přes multiplexorový přepínač (mux) a blok Scope
budete sledovat a porovnávat průběhy výstupní veličiny. Změňte vždy jen jeden parametr
srovnávaného regulátoru, abyste si ověřili jeho vliv na průběh regulačního pochodu při
buzení systému podle bodů a) a b).
Zhodnoťte naměřené průběhy a popište vliv jednotlivých složek !
Tepelná soustava sloužící ve výuce předmětu ZAK a dalších předmětů v laboratoři Katedry
aplikované kybernetiky
Závěr
Cílem kursu bylo poznat a na jednoduchých příkladech si ověřit jak postupovat, chcemeli řídit - regulovat soustavu (technologii nebo systém) od prvního seznámení s ní až
k optimalizaci jejího řízení.
54
ZAK
Použitá a doporučená literatura
[1] Olehla, M., Němeček, S., Základy aplikované kybernetiky, TUL, Liberec, 2005
[2] Zítek, P., Simulace dynamických systémů, SNTL, Praha 1990
[3] Zítek, P., Petrová R., Matematické simulační metody, ČVUT, Praha 1996
[4] Balátě, J., Vybrané statě z automatického řízení, VUT Brno, 1990
[5] Balátě, J., Automatické řízení, BEN – technická literatura, 2004
[6] Woodcock, J. a kol., Slovník výpočetní techniky, Microsoft Press, Redmond, Washington, 1991
[7] Návody k jednotlivým úlohám v laboratoři ZAK, kolektiv autorů 2007
[8] Weisstein, Eric W., Laplace Transform. From MathWorld --A Wolfram Web Resource.
http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html
[9] Janeček, J., Modrlák, O., Základy technické kybernetiky (příklady), VŠST Liberec, 1990
55
Příloha A: Základní slovník Laplaceovy transformace
Č.
Originál f(t)
Obraz F(t)
1.
δ(t)
1
2.
δ(t – mT)
e-mTs
3.
η(t)
1
s
4.
η(t-mT)
1 -mTs
.e
s
5.
t
1
s2
6.
e±at
1
sma
7.
k.e±at
k
sma
8.
t.e-at
1
(s + a) 2
9.
1- e-at
s
s(s + a)
56
Název
Základy aplikované kybernetiky (Cvičení)
Autoři
Ing. Jan Klobouček
Mgr. Martin Stianko
Vydavatel
Technická univerzita v Liberci
Schváleno
Rektorátem TU v Liberci dne 14.5.2007, čj. RE 71/07
Vyšlo
v červnu 2007
Počet stran
55
Vydání
první
Tiskárna
Vyšlo na CD. V elektronické verzi k dispozici na www.kky.tul.cz.
Číslo publikace
55-051-07
Tato publikace neprošla redakční ani jazykovou úpravou.
57

Základy aplikované kybernetiky

Transkript

Podobné dokumenty

automatizační systémy i.

SUDOP Revue 02/2010

Stáhnout - SPŠel•it Dobruška

Nelineární systémy, Fakulta mechatroniky, informatiky a

E - Katedra optiky

Studijní text - E-learningové prvky pro podporu výuky

Řešení obvodů grafy signálových toků

Procesní měření a aplikace

rozklad ZTM

Analýza investičního cyklu

ZÁKLADY AUTOMATIZACE

Stáhnout PDF - Hrajeme golf

Procesní měření a aplikace - Anton

Automatizace 4 7. Regulace

Funkce více promenných

Regulace

přijímací zkouška AR 2016/2017 - Masarykův ústav vyšších studií

consorcial approach for control laboratory education on všb