Pravděpodobnost

Transkript

Pravděpodobnost

Pravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost
Vilém Vychodil
KMI/PRAS, Přednáška 3
Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ
V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 3)
Pravděpodobnost
1 / 58
Přednáška 3: Přehled
1
Struktury náhodných jevů:
náhodný jev a jeho výskyt,
vzájemné vztahy náhodných jevů a operace s náhodnými jevy,
pole, σ-algebry, Borelovské množiny, Borelovské jevové pole.
2
Míry a pravděpodobnostní míry:
míra, vlastnosti míry, příklady měr,
pravděpodobnostní míra a pravděpodobnostní prostor,
Lebesgueova a Diracova míra,
klasické pravděpodobnostní prostory.
3
Vlastnosti pravděpodobnostní míry:
Kolmogorovovy axiomy,
zákony pro počátíní s pravděpodobností, princip inkluze a exkluze,
příklady počítání pravděpodobností.
Pravděpodobnost
2 / 58
Opakování: Náhodný pokus
Definice (Náhodný pokus a jeho výsledek)
Náhodný pokus je činnost probíhající pod vlivem náhody a jehož výsledek není plně
určen podmínkami, za kterých je prováděn. Každý náhodný pokus (angl.: random
experiment) končí výsledkem, který je nazýván elementární jev (angl.: outcome).
Dále předpokládáme, že
náhodný pokus může být libovolně opakován,
výsledek náhodného pokusu je nejistý dokud není pokus dokončen,
předpokládáme, že všechny možné výsledky náhodného pokusu jde vymezit:
Definice (Prostor elementárních jevů Ω)
Množina všech elementární jevů náhodného pokusu, o který se zajímáme, se
označuje Ω a nazývá prostor (elementárních jevů), angl.: outcome space.
Pravděpodobnost
3 / 58
Náhodný jev a jeho výskyt
Definice (Náhodný jev, výskyt náhodného jevu)
Uvažujme náhodný pokus s prostorem elementárních jevů Ω. Každou podmnožinu
A ⊆ Ω nazveme náhodný jev (angl.: event). Speciálně,
∅ nazveme jev nemožný (angl.: empty event, impossible event),
Ω nazveme jev jistý (angl.: universal event, certain event).
Předpokládejme, že je proveden náhodný pokus a jeho výsledkem je x ∈ Ω. Pokud
x ∈ A, pak mluvíme o výskytu náhodného jevu A (angl.: event A occurred).
Množinový pohled na náhodné jevy:
náhodný jev = libovolná podmnožina Ω
Poznámka:
Elementární jev x ∈ Ω (Přednáška 1) lze chápat jako náhodný jev {x} ⊆ Ω.
Pravděpodobnost
4 / 58
Příklady (Příklady náhodných jevů)
Jsou vrženy dvě kostky; zajímáme se o součet teček na obou kostkách.
Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} .
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {2, 3, 4, 5, 6}, . . .
Pro Ω = {A, B} máme A1 = ∅, A2 = {M }, A3 = {D}, A4 = {M, D}.
Házíme mincí tak dlouho, dokud neuvidíme orla; zajímáme se o počet hodů.
Ω = {1, 2, 3, 4, . . . } = N .
A = {1, . . . , 100}, B = {n | n ≥ 1000}, . . .
Pro spojitý prostor Ω = (50, 400) máme A = (0, 1), B = (0, 1] ∪ [6, 7), . . .
Pravděpodobnost
5 / 58
Vztahy náhodných jevů
Definice (Vzájemně neslučitelné jevy, úplný systém jevů)
Uvažujme prostor Ω a spočetně mnoho náhodných jevů A1 , A2 , . . . v tomto
prostoru. Náhodné jevy A1 , A2 , . . . nazveme
vzájemně neslučitelné (angl.: mutually exclusive events) pokud pro každé i, j,
kde i 6= j, platí Ai ∩ Aj = ∅;
úplným systémem jevů (angl.: exhaustive events) pokud Ω = A1 ∪ A2 ∪ · · · ;
úplným systémem neslučitelných jevů (angl.: mutually exclusive and
exhaustive events) pokud jsou vzájemně neslučitelné a tvoří úplný systém jevů.
Poznámky:
vzájemně neslučitelné jevy: nemohou nastat současně;
úplným systémem jevů: alespoň jeden z jevů vždy nastane;
úplný systém neslučitelných jevů = nastává právě jeden z jevů
Pravděpodobnost
6 / 58
Příklady (Příklady vztahů náhodných jevů)
Jsou vrženy dvě kostky a zajímáme se o součet teček na horních stranách.
Prostor elementárních jevů: Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
A1
A2
A3
A4
A5
= {2, 4, 6, 8, 10, 12} . . . sudý počet teček;
= {3, 5, 7, 9, 11} . . . lichý počet teček;
= {2, 3, 4, 5, 6, 7} . . . počet teček menší než 8;
= {10, 11, 12} . . . počet teček větší než 9;
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} . . . vše kromě „hadích očíÿ.
A1 , A2
A3 , A4
A1 , A5
A3 , A5
...
...
...
...
úplný systém neslučitelných jevů (rovněž třeba A1 , A2 , ∅)
vzájemně neslučitelné jevy (rovněž třeba A3 , A4 , ∅)
úplný systém jevů (rovněž třeba A1 , A5 , ∅)
úplný systém jevů (rovněž třeba A3 , A5 , ∅)
Poznámka: úplný systém neslučitelných jevů 6= rozklad na Ω (může obsahovat ∅)
Pravděpodobnost
7 / 58
Operace s náhodnými jevy
Množinové operace:
A ∩ B = {x ∈ Ω | x ∈ A a x ∈ B} (průnik)
A ∪ B = {x ∈ Ω | x ∈ A nebo x ∈ B} (sjednocení)
A − B = {x ∈ Ω | x ∈ A a x 6∈ B} (rozdíl)
A0 = {x ∈ Ω | x 6∈ A} = Ω − A (doplněk, neboli komplement)
A ÷ B = (A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B) (symetrický rozdíl)
Význam:
A ∩ B nastane p.k. A nastane a současně nastane B, . . .
Vybrané zákony:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
A ∪ (A ∩ B) = A, A ∩ (A ∪ B) = A, (A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0 , (A ∩ B)0 = A0 ∪ B 0 , . . .
Pravděpodobnost
8 / 58
Prevděpodobnost jako míra výskytu náhodného jevu
Motivace
Chceme náhodnému jevu A ⊆ Ω přiřadit číslo P (A), zvané pravděpodobnost
výskytu jevu A, které přiřazuje náhodnému jevu A míru jistoty jeho výskytu.
Jaké vlastnosti by měla mít funkce P ?
P (∅) = 0 (míra jistoty výskytu nemožného jevu je 0),
P (Ω) = 1 (míra jistoty výskytu jistého jevu je 1),
pokud A ⊆ B, pak P (A) ≤ P (B) (monotonie),
aditivita: pokud A ∩ B = ∅, pak P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
Rozdělíme náhodný jev C na dvě disjunktní části A a B,
stanovíme pravděpodobnosti P (A) a P (B) výskytu A a B,
vypočteme pravděpodobnost P (C) výskytu C jako P (C) = P (A) + P (B).
σ-aditivita (zesílení aditivity pro sekvence náhodných jevů, viz dále), . . .
Pravděpodobnost
9 / 58
Příklad (Pravděpodobnost jako délka)
Uvažujme prostor elementárních jevů Ω = [0, 1] ⊆ R.
Náhodný pokus:
„Je vybráno jedno číslo z Ω, přitom všechna čísla mají stejnou šanci být vybrána.ÿ
Pokud je náhodný jev (otevřený) interval (a, b) ⊆ Ω, pak má smysl chápat
pravděpodobnost výskytu tohoto jevu jako délku intervalu (a, b), například:
pokud A = (0.3, 0.7), pak P (A) = 0.7 − 0.3 = 0.4;
pokud B = (0.1, 0.25), pak P (B) = 0.25 − 0.1 = 0.15, . . .
Použitím aditivity (součet délek disjunktních intervalů):
pokud C = (0.3, 0.7) ∪ (0.1, 0.25), pak P (C) = 0.4 + 0.15 = 0.55, . . .
Pozorování: P se na intervalech chová jako délka.
Fundamentání otázka: Lze rozšířit definici takové P pro každý A ∈ 2Ω ? Nelze!
Důsledek: Je potřeba se omezit pouze na některé podmnožiny Ω.
Pravděpodobnost
10 / 58
Pole a sigma algebry (σ-algebry)
Definice (Pole a σ-algebry)
Podmnožina F ⊆ 2Ω se nazývá pole (angl.: field) v Ω, pokud platí následující:
Ω ∈ F,
pokud A ∈ F, pak Ω − A ∈ F (to jest A0 ∈ F) a
pokud A, B ∈ F, pak A ∪ B ∈ F.
Pole F ⊆ 2Ω se nazývá σ-algebra v Ω, pokud platí následující:
S
pokud Ai ∈ F pro každé i = 1, 2, . . . , pak ∞
i=1 Ai ∈ F.
Poznámky:
pole = podmnožina 2Ω obsahující Ω uzavřená na doplňky a sjednocení,
σ-algebra = pole, které je navíc uzavřené na spočetná sjednocení,
zřejmé: každá σ-algebra je pole (opačně obecně neplatí, viz dále).
Pravděpodobnost
11 / 58
Příklady (Pole a σ-algebry)
1
2
3
Pro každou Ω jsou F∅ = {∅, Ω} (nejměnší), FΩ = 2Ω (největší) σ-algebry.
Pro každou je A ⊆ Ω je F = {∅, A, Ω − A, Ω} σ-algebra.
Mějme Ω = {1, 2, 3, 4}, pak
F1 = {∅, {1}, {2}, {1, 2}, {3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}, Ω} je σ-algebra,
F2 = {{1, 2}, {3, 4}, Ω} není pole, protože Ω − Ω 6∈ F2 ,
F3 = {∅, {1}, {1, 2}, {3, 4}, {2, 3, 4}, Ω} není pole, protože {1} ∪ {3, 4} 6∈ F3 .
4
Mějme Ω = (0, 1) ⊆ R, pak
F4 = {∅, (0, 0.4), (0.4, 1), (0, 1)} není pole, protože (0, 0.4) ∪ (0.4, 1) 6∈ F4 ,
F5 = {∅, (0, 0.4), [0.4, 1), (0, 0.6), [0.6, 1), (0, 1)} není pole: (0, 0.4) ∪ [0.6, 1) 6∈ F5 ,
F6 = {∅, (0, 0.5), [0.5, 1), (0, 1)} je σ-algebra.
5
Uvažujme Ω a F = {A ⊆ Ω | A je konečná}.
Pokud je Ω konečná, pak je F σ-algebra.
Pokud je Ω nekonečná, pak F není pole, protože komplement Ω − A konečné
množiny A ∈ F je nekonečný a tím pádem Ω − A 6∈ F.
Pravděpodobnost
12 / 58
Vlastnosti polí a σ-algeber
Věta
1
2
3
Každé konečné pole je σ-algebra.
Každé pole je uzavřené na průniky každých dvou prvků.
Každá σ-algebra je uzavřená na průniky každých spočetně mnoha prvků.
Důkaz.
První tvrzení: Pokud je F konečné pole, pak
S pro libovolné Ai ∈ F (i = 1, 2, . . . )
existuje konečná I = {i1 , . . . , ik } tak, že ∞
i=1 Ai = Ai1 ∪ · · · ∪ Aik ∈ F.
Druhé tvrzení: Důsledek De Morganových zákonů A ∩ B = (A0 ∪ B 0 )0 . To jest,
pokud A, B ∈ F, pak i A0 , B 0 ∈ F, tím pádem i A0 ∪ B 0 ∈ F a také (A0 ∪ B 0 )0 ∈ F.
Třetí tvrzení: Důsledek De Morganových
zákonů
mnoho množin z F:
T∞
S∞ pro0 spočetně
0
Pro Ai ∈ F (i = 1, 2, . . . ) platí: i=1 Ai =
∈ F.
i=1 Ai
Pravděpodobnost
13 / 58
Příklad (Příklad nekonečného pole)
Uvažujme libovolnou nekonečnou množinu Ω.
Označme F tu podmnožinu 2Ω obsahující právě všechny konečné podmnožiny Ω
a všechny podmnožiny Ω, které mají konečný doplněk.
Tvrzení: F je pole.
1
Zřejmě Ω ∈ F, protože Ω0 = ∅ je konečná.
2
Pokud A ∈ F, pak mohou nastat dvě situace: (i) A je konečná a tím pádem
A0 ∈ F, protože A0 ∈ F má konečný doplněk. (ii) A má konečný doplněk, tím
pádem A0 ∈ F, protože A0 je konečná.
3
Vezměme A, B ∈ F. Pokud jsou obě A, B konečné, je i jejich sjednocení A ∪ B
konečné a tím pádem A ∪ B ∈ F. Pokud má A konečný doplněk, pak je A0 ∩ B 0
konečná množina a patří tedy do F. To jest, z De Morganových zákonů plyne, že
A ∪ B má konečný doplněk A0 ∩ B 0 , to jest A ∪ B ∈ F.
Pravděpodobnost
14 / 58
Příklad (Pole, které není σ-algebra)
Vezměme Ω a F z předchozího příkladu:
Uvažujme libovolnou nekonečnou množinu Ω.
Označme F tu podmnožinu 2Ω obsahující právě všechny konečné podmnožiny Ω
a všechny podmnožiny Ω, které mají konečný doplněk.
Příklad: Pro Ω = N máme {1, 2, 3} ∈ F, {n ∈ N | n ≥ 1000} ∈ F, ale
{n ∈ N | n je sudé} 6∈ F, {n ∈ N | n je prvočíslo} 6∈ F a podobně.
Pozorování: Pole F není σ-algebra.
Konkrétní protipříklad:
Vezměme Ai = {2i} (i = 1, 2, . . . ).
To jest A1 =S{2}, A2 = {4}, A3 = {6}, . . .
Sjednocení: ∞
i=1 Ai = {n ∈ N | n je sudé} 6∈ F.
Pravděpodobnost
15 / 58
Uzávěrový systém všech σ-algeber v Ω
Věta (O uzávěrovéch vlastnostech)
T
Mějme indexový systém polí {Fi ⊆ 2Ω | T
i ∈ I}. Pak i∈I Fi ⊆ 2Ω je pole. Pokud
jsou navíc všechny Fi σ-algebry, pak je i∈I Fi rovněž σ-algebra.
Důkaz.
T
Označme F = i∈I Fi . Platí:
T
Ω ∈ Fi pro každé i ∈ I, Odtud Ω ∈ i∈I Fi = F.
Pokud A ∈ F, pak platí, že A ∈ Fi pro každé i ∈ I. Z toho dostáváme, že
A0 ∈ Fi pro každé i ∈ I, to jest A0 ∈ F.
Pokud A, B ∈ F, pak platí, že A, B ∈ Fi pro každé i ∈ I. To jest, A ∪ B ∈ Fi
pro každé i ∈ I, tedy A ∪ B ∈ F.
Pokud Aj ∈ F, S
pro každé j = 1, 2, . . . , pak Aj ∈ Fi pro
S∞každé j = 1, 2, . . . a i ∈ I,
to znamená, že ∞
A
∈
F
pro
každé
i
∈
I,
to
jest
i
j=1 j
j=1 Aj ∈ F.
Pravděpodobnost
16 / 58
Příklad (Sjednocení polí obecně není pole)
Dvě pole definované na témže Ω:
Ω = {1, 2, 3}
F1 = {∅, {1}, {2, 3}, Ω} je pole (σ-algebra).
F2 = {∅, {2}, {1, 3}, Ω} je pole (σ-algebra).
Operace s poli:
F1 ∩ F2 = {∅, Ω} je pole (σ-algebra); důsledek předchozí Věty.
F1 ∪ F2 = {∅, {1}, {2}, {1, 3}, {2, 3}, Ω} není pole, protože {1} ∪ {2} 6∈ F1 ∪ F2 .
F = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, Ω} je nejmenší pole obsahující F1 ∪ F2 .
Pravděpodobnost
17 / 58
Generování σ-algeber
Důsledek: Předchozí věta říká, že všechny σ-algebry v Ω tvoří uzávěrový systém.
Má tedy smysl bavit se o σ-algebře generované libovolnou podmnožinou Ω.
Definice (σ-algebra generovaná podmnožinou Ω)
Mějme Ω a libovolnou množinu A ⊆ 2Ω . Pak
T
FA = {F | F je σ-algebra v Ω, pro kterou A ⊆ F}
se nazývá σ-algebra v Ω generovaná A.
Z vlastností uzávěrových systémů dostáváme:
A ⊆ FA ; pokud A ⊆ B, pak FA ⊆ FB ; FA = FFA .
A je σ-algebra, právě když FA = A.
FA je nejmenší σ-algebra v Ω obsahující A.
Pravděpodobnost
18 / 58
Příklady (σ-algebry generované podmnožinami Ω)
Ω = [0, 1] ⊆ R
1 1 , 2n | n = 0, 1, 2, . . . , to jest:
A1 = [0, 1] ∪ 2n+1
1 1 1 1 A1 = [0, 1], 21 , 1 , 14 , 21 , 18 , 14 , 16
, 8 , 32 , 16 , . . . .
1 1 , 2n | n = 0, 1, 2, . . . , to jest:
A2 = {0, 1} ∪ 2n+1
1 1 1 1 A2 = {0, 1}, 21 , 1 , 41 , 12 , 18 , 41 , 16
, 8 , 32 , 16 , . . . .
0
1 1
8 4
1
2
1
Tvrzení: FA1 = FA2 .
Stačí ověřit A1 ⊆ FA2 a A2 ⊆ FA1 , potom FA1 ⊆ FFA2 = FA2 a FA2 ⊆ FFA1 = FA1 :
S 1 1
S 1 1
[0, 1] = {0, 1} ∪ ∞
{0, 1} = [0, 1] − ∞
n=0 2n+1 , 2n .
n=0 2n+1 , 2n ,
To jest, {0, 1} ∈ A1 a [0, 1] ∈ A2 , odtud FA1 = FA2 .
1 1
,
1
∈
F
,
0,
∈ FA1 , . . .
A
1
4
2
Příklady:
{0} 6∈ FA1 , {1} 6∈ FA1 , 12 6∈ FA1 , 41 , 1 6∈ FA1 , 0, 21 6∈ FA1 , . . .
Pravděpodobnost
19 / 58
Borelovské jevové pole
Speciální σ-algebra generovaná otevřenými intervaly:
Definice (Borelovské jevové pole, Borelovská množina)
Mějme Ω = R a nechť A je množina všech otevřených intervalů v Ω. Pak σ-algebru
B = FA nazveme Borelovské (jevové) pole (angl.: Borel σ-algebra) a každou
A ∈ B nazveme Borelovská množina (angl.: Borel set).
Terminologie: Borelovské jevové pole / Borelovská σ-algebra.
Poznámky:
B obsahuje všechny otevřené intervaly, jejich doplňky, sjednocení spočetně
mnoha intervalů nebo jejich doplňků, . . . (transfinitní proces);
lze ukázat, že B ∩ 2(a,b) je σ-algebra na intervalu (a, b)
(σ-algebra všech Borelovských množin, které jsou podmnožinami (a, b)).
Pravděpodobnost
20 / 58
Příklad (Příklady Borelovských množin)
Nechť A je množina všech otevřených intervalů v Ω. Potom pro B = FA platí:
(a, b) ∈ B, protože (a, b) ∈ A.
S
(a, ∞) ∈ B, protože (a, ∞) = ∞
i=1 (a, a + i) ∈ B.
S
(−∞, a) ∈ B, protože (−∞, a) = ∞
i=1 (a − i, a) ∈ B.
[a, b] ∈ B, protože R − (−∞, a) ∪ (b, ∞) ∈ B.
{a} ∈ B, protože [a, a] = R − (−∞, a) ∪ (a, ∞) ∈ B.
(−∞, a] ∈ B, protože (−∞, a] = (−∞, a) ∪ {a} ∈ B.
[a, ∞) ∈ B, protože [a, ∞) = {a} ∪ (a, ∞) ∈ B.
S
Pro každou A = {a1 , . . . , an } ⊆ R máme A ∈ B, protože A = ni=1 {ai } ∈ B.
S
Pro každou A = {a1 , a2 , . . . } ⊆ R máme A ∈ B, protože A = ∞
i=1 {ai } ∈ B.
Speciálně: N ∈ B, Z ∈ B a Q ∈ B, protože jsou všechny spočetné.
Důsledek: I = R − Q ∈ B, protože I je doplněk Q ∈ B.
Pravděpodobnost
21 / 58
Příklad (Cantorova množina je Borelovská)
Konstrukce Cantorovy množiny:
odstraníme otevřený interval 31 , 23 z intervalu [0, 1],
každý ze zbývajících intervalů rozdělíme na třetiny,
odstraníme prostřední části, to jest 19 , 29 a 97 , 89 .
stejnný postup aplikujeme na nově vzniklé intervaly.
Cantorova množina je množina zbylých bodů.
vlastnost: Cantorova množina je nespočetná
Tvrzení: Cantorova množina je Borelovská. Zdůvodnění:
C0 = [0, 1],
C1 = 0, 13 ∪ 23 , 1 ,
C2 = 0, 19 ∪ 29 , 13 ∪ 32 , 79 ∪ 98 , 1 ,
..
..
.
.
Pravděpodobnost
0
C=
1
3
T∞
i=0
2
3
1
Ci
22 / 58
Věta (Ekvivalentní zavedení Borelovského jevového pole)
Platí, že B = FA , kde A je množina všech uzavřených intervalů v R.
Důkaz.
Víme, že FA ⊆ B, protože každý uzavřený interval patří do B. Zbývá ověřit, že
B ⊆ FA . K tomu stačí prokázat, že každý otevřeý interval náleží do FA .
Vezměme otevřený interval (a, b).
Nejprve prokážeme, že (−∞, a] ∈ FA a [b, ∞) ∈ FA . To jsou ale důsledky:
S
S
(−∞, a] = ∞
[b, ∞) = ∞
i=1 [a − i, a] ∈ FA ,
i=1 [b, b + i] ∈ FA .
To znamená, že (a, b) = R − (−∞, a] ∪ [b, ∞) ∈ FA .
Poznámka: Existují množiny, které nejsou Borelovské (pro nás nezajimavé).
Pravděpodobnost
23 / 58
Míra, pravděpodobnostní míra, pravděpodobnostní prostor
Definice (Míra a pravděpodobnostní míra)
Mějme σ-algebru F ⊆ 2Ω . Každé zobrazení m : F → R ∪ {∞} splňující
m(A) ≥ 0 pro každou A ∈ F,
m(∅) = 0,
P
S
m i∈I Ai = i∈I m(Ai ) pro libovolnou spočetnou {Ai ∈ F | i ∈ I},
kde Ai ∩ Aj = ∅ pro každé i, j ∈ I takové, že i 6= j (σ-aditivita).
nazýváme míra na F (angl.: measure). Míra m na F splňující m(Ω) = 1 se nazývá
pravděpodobnostní míra na F (angl.: probability measure). Pravděpodobnostní
míru na F obvykle označujeme P : F → R .
Definice (Pravděpodobnostní prostor)
Je-li P : F → R pravděpodobnostní míra na σ-algebře F ⊆ 2Ω , pak trojici hΩ, F, P i
nazýváme pravděpodobnostní prostor, (angl.: probability space).
Pravděpodobnost
24 / 58
Příklady (Pravděpodobnostní prostory na konečné Ω)
Pro Ω = {a, b, c}, F = 2Ω uvažujme P1 : F → R a P2 : F → R:
P1 (∅) = 0,
P1 ({b}) = 0.2,
P1 ({a, b}) = 0.5,
P1 ({b, c}) = 0.7,
P1 ({a}) = 0.3,
P1 ({c}) = 0.5,
P1 ({a, c}) = 0.8,
P1 ({a, b, c}) = 1.
P2 (∅) = 0,
P2 ({b}) = 0.6,
P2 ({a, b}) = 0.8,
P2 ({b, c}) = 0.8,
P2 ({a}) = 0.2,
P2 ({c}) = 0.2,
P2 ({a, c}) = 0.4,
P2 ({a, b, c}) = 1.
Poznámka: hΩ, F, P1 i a hΩ, F, P2 i jsou (různé) pravděpodobnostní prostory.
Pravděpodobnost
25 / 58
Frekventistická interpretace pravděpodobnosti
Otázka: Jaký význam má pravděpodobnost P (A) výskytu náhodného jevu A?
Několik interpretací toho, „co znamená hodnota P (A)ÿ;
nejznámější: frekventistická a Bayesovská.
Definice (Relativní četnost výskytu náhodného jevu)
Uvažujme náhodný pokus s prostorem Ω. Pokud je náhodný pokus opakován n-krát
a f je počet výskytů náhodného jevu A ⊆ Ω, pak se nf nazývá relativní četnost
výskytu náhodného jevu A a označuje se N (A).
Frekventistická interpretace pravděpodobnosti
Relativní četnost výskytu jevu A je (obvykle) nestabilní pro malé hodnoty n. Se
vzrůstající hodnotou n se relativní četnost výskytu A stabilizuje kolem nějaké
hodnoty. Pokud n → ∞, relativní četnost výskytu A přejde v P (A).
Pravděpodobnost
26 / 58
Čítač relativních četností pro simulované náhodné pokusy
(defparameter *repetitions* 10000)
(defun %relative-frequency (fn &optional (n *repetitions*))
"Return relative frequency of FN returning true in N trials."
(iter (for i :from 1 :to n)
(when (funcall fn)
(counting i :into success))
(finally (return (float (/ success n))))))
(defmacro relative-frequency (&rest forms)
"Return relative frequency of FORMS evaluating to true."
‘(%relative-frequency
#’(lambda ()
,@forms)))
Pravděpodobnost
27 / 58
Příklad (Házení nefalšovanou mincí)
Je hozena mince a zajímáme se o stranu, která padne.
Ω = {panna, orel}, A = {panna}, B = {orel},
P (A) = 0.5, P (B) = 0.5, P (∅) = 0, P (A ∪ B) = 1.
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
(relative-frequency
(= (random 2) 0))
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
10
30
50
60
90
110 130 150 170 190
Pravděpodobnost
28 / 58
Příklad (Série hodů šestistrannou kostkou)
Šestistraná kostka je šestkrát vržena. Pokud na i-tý pokus hodíme i, pak nazveme
výsledek shodou. Náhodný pokus považujeme za úspěch, pokud padne během šesti
hodů alespoň jedna shoda.
Ω = {úspěch, neúspěch}, A = {úspěch}, B = {neúspěch},
P (A) ≈ 0.665102, P (B) ≈ 0.334898, P (∅) = 0, P (A ∪ B) = 1.
1.0
0.9
0.8
0.7
(relative-frequency
(iter (for i :from 0 :to 5)
(when (= i (random 6))
(return t))))
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
10
30
50
60
90
110 130 150 170 190
Pravděpodobnost
29 / 58
Příklad (Házení disku na podlahu)
Kruhový disk o průměru 2 dm je vržen na podlahu se čtvercovými kachličkami
o straně 4 dm. Jaká je pravděpodobnost, že disk přistaně uvnitř některé kachličky?
Ω = [0, 4] × [0, 4], A = [1, 3] × [1, 3], P (A) = 0.25.
1.0
0.9
0.8
0.7
(relative-frequency
(let ((x (random 4.0))
(y (random 4.0)))
(and (<= 1 x 3)
(<= 1 y 3))))
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
10
30
50
60
90
110 130 150 170 190
Pravděpodobnost
30 / 58
Bayesovská interpretace pravděpodobnosti
Bayesovská (subjektivní) interpretace pravděpodobnosti
Mějme náhodný jev A ⊆ Ω. Pokud věříme, že P (A) = p a pokud jsme ochotni si
vsadit peníze na to, že náhodný jev A nastane, pak bychom měli akceptovat
libovolnou z následujících dvou sázek:
1
Získáme 1$, pokud A nastane; odevzdáme p$, pokud A nenastane.
2
Získáme 1$, pokud A nenastane; odevzdáme 1$ − p$, pokud A nastane.
Příklad (Sázka na „české hokejistyÿ)
Pokud věřím, že pravděpodobnost výhry je P (A) = 0.2, pak přijmu sázky:
1
Získám 80$ (plus 20$), pokud A nastane; odevzdám 20$, pokud A nenastane.
2
Získám 20$ (plus 80$), pokud A nenastane; odevzdám 80$, pokud A nastane.
Pravděpodobnost
31 / 58
Klasické pravděpodobnostní prostory
Definice (Klasická pravděpodobnostní míra)
Mějme konečnou Ω a σ-algebru F = 2Ω . Pravděpodobnostní míru P : F → R
nazveme klasická pravděpodobnostní míra na F pokud
1
P ({a}) =
,
platí pro každý a ∈ Ω.
|Ω|
Navíc hΩ, F, P i se nazývá klasický pravděpodobnostní prostor.
Důsledek (Pravděpodobnosti se odvozují z velikostí náhodných jevů)
Pokud je hΩ, F, P i klasický pravděpodobnostní prostor, pak lze každou A ∈ F
vyjádřit jako A = {a1 , . . . , ak } a z aditivity P dostáváme:
k
k
X
X
1
k
|A|
P (A) =
P ({ak }) =
=
=
.
|Ω| |Ω| |Ω|
i=1
i=1
Pravděpodobnost
32 / 58
Příklad (Tahání karet z balíku)
Náhodně táhneme karty ze standarního balíčku 52 hracích karet.
Můžeme předpokládat, že |Ω| = 52, F = 2Ω a P ({x}) =
1
.
52
Příklad pravděpodobností výskytů vybraných náhodných jevů
A . . . množina karet skládající se ze všech králů
4
P (A) = 52
= 0.0769.
B . . . množina všech karet, které jsou buď kluk, dáma, nebo král
= 12
= 0.231.
P (B) = 3·4
52
52
C . . . množina karet, které jsou ♥, ♣, nebo ♠
P (C) = 13·3
= 39
= 0.75.
52
52
Analogické problémy: házení mincí, vrhání kostek, . . .
Pravděpodobnost
33 / 58
Příklad (Jednoduchá analýza hazardní hry)
Hrajeme následující hazardní hru:
Zvolíme si tři různá čísla od 1 do 20.
Protihráč (kasino) losujeme tři míčky z urny obsahující míčky s čísly od 1 do 20.
Dva možné výsledky hry:
vyhráváme $1000 pokud jsou naše čísla stejná jako čísla na vylosovaných míčcích;
v opačném případě ztrácíme $1.
Otázka: Je rozumné (dlouhodobě) hrát tuto hru?
20 · 19 · 18 6840
Míčky mohou být taženy 1140 způsoby:
=
= 1140 =
6
6
1
≈ 0.000877.
Pravděpodobnost, že zvolíme správná čísla je 1140
20
3
.
Lze očekávat, že vyhrajeme (zhruba) 1 hru za 1140 kol (cena > $1000).
Pravděpodobnost
34 / 58
Lebesgueova míra Borelovských množin
Definice (Lebesgueova míra Borelovských množin)
Zobrazení m : B → R ∪ {∞}, které zobrazuje každý interval na jeho délku, to jest
m (a, b) = m [a, b) = m (a, b] = m [a, b] = b − a,
a které je navíc σ-aditivní, se nazývá Lebesgueova míra.
Poznámky:
zavedli jsme pro naše účely zjednodušeně (bude dostačovat),
existují podmnožiny R, které mají Lebesgueovu míru a nejsou Borelovské,
existují podmnožiny R, které nemají Lebesgueovu míru (Vitaliho množina),
Důsledek: Při úvahách o pravděpodobnosti se omezujeme na Borelovské množiny
na [0, 1], to jest B ∩ 2[0,1] místo celé 2[0,1] .
Pravděpodobnost
35 / 58
Příklad (Lebesgueova míra Borelovských množin)
Platí:
Pro (a, b) ∈ B máme m (a, b) = b − a.
Pro (a, b) ∈ B a (c, d) ∈ B, kde (a, b) ∩ (c, d) = ∅ platí
m (a, b) ∪ (c, d) = b − a + d − c.
Pro (a, ∞) ∈ B máme m (a, ∞) = ∞, protože
S
m (a, ∞) = m ∞
i=1 (a + i − 1, a + i]
P
P∞
= i=1 m (a + i − 1, a + i) = ∞
i=1 a + i − (a + i − 1) = ∞.
Pro {a} ∈ B máme m({a}) = 0.
Pro každou A = {a1 , . . . , an } ∈ B máme m(A) = 0.
Pro každou A = {a1 , a2 , . . . } ∈ B máme m(A) = 0.
Speciálně: m(N) = m(Z) = m(Q) = 0.
Platí: m na B ∩ 2[0,1] je pravděpodobnostní míra.
Pravděpodobnost
36 / 58
Diracova pravděpodobnostní míra
Definice (Diracova míra)
Mějme libovolnou Ω, F = 2Ω a nechť x ∈ Ω. Pak se δx : F → R definované
1 pokud x ∈ A,
δx (A) =
0 jinak,
nazývá Diracova míra na Ω koncentrovaná v bodě x.
Zřejmě δx je pravděpodobnostní míra:
Triviálně platí δx (∅) = 0, δx (Ω) = 1 a δx (A) ≥ 0.
Pokud je A sjednocením spočetně mnoha vzájemně disjunktních množin Ai , pak
pokud x ∈ A, pak platí, že xPnáleží do právě jedné z Ai ,
tedy δx (A) = 1 = δx (Ai ) = i∈I δx (AiP
).
pokud x 6∈ A, pak zřejmě δx (A) = 0 = i∈I δx (Ai ).
Pravděpodobnost
37 / 58
Diskrétní pravděpodobnostní míra
Definice (Diskrétní pravděpodobnostní míra)
Mějme libovolnou
Ω, F = 2Ω a prvky xi ∈ Ω a ai ∈ [0, 1] pro každé i = 1, 2, . . .
P∞
tak, že i=1 ai = 1. Pak se P : F → R definované
∞
X
P (A) =
ai · δxi (A),
i=1
nazývá diskrétní pravděpodobnostní míra na Ω.
Poznámky:
diskrétní pravděpodobnostní míra je zobecnění Diracovy míry a klasické
pravděpodobnostní míry;
lze definovat na libovolné Ω, tedy i Ω = R;
míra je koncentrovaná ve spočetně mnoha bodech.
Pravděpodobnost
38 / 58
Věta
Diskrétní pravděpodobnostní míra je pravděpodobnostní míra.
Důkaz.
Zřejmě P (∅) = 0, protože δxi (∅) = 0 pro každé i = 1, 2, . . . .
P
Dále platí P (Ω) = 1, protože ai · δxi (Ω) = ai · 1 = ai a ∞
i=1 ai = 1.
Zřejmě P (A) ≥ 0 pro každou A ∈ F.
Zbývá oveřit σ-aditivitu:
[∞
X∞
[ ∞
X∞
X ∞
P
Ai =
aj · δx j
Ai =
aj ·
δxj (Ai )
i=1
j=1
i=1
j=1
i=1
X∞
X∞ X∞
P (Ai ).
=
aj · δxj (Ai ) =
i=1
i=1
j=1
Pravděpodobnost
39 / 58
Kolmogorovovy axiomy
Pravděpodobnostní míra se často zavádí následovně:
Definice (Andre Nikolaeviq Kolmogorov)
Mějme σ-algebru F ⊆ 2Ω . Každé zobrazení P : F → R ∪ {∞} splňující
(P1) P (A) ≥ 0 pro každou A ∈ F,
(P2) P (Ω) = 1,
P
S
(P3) P i∈I Ai = i∈I P (Ai ) pro libovolnou spočetnou {Ai ∈ F | i ∈ I},
kde Ai ∩ Aj = ∅ pro každé i, j ∈ I takové, že i 6= j (σ-aditivita),
se nazývá pravděpodobnostní míra na F , (angl.: probability measure). Číslu
P (A) ∈ R říkáme pravděpodobnost výskytu jevu A.
Je třeba prokázat, že
předchozí dvě definice jsou ekvivalentní (viz dále).
Pravděpodobnost
40 / 58
Věta (Pravděpodobnost komplementárních jevů)
Pro každý náhodný jev A ∈ F platí:
P (A) + P (A0 ) = 1,
P (A) = 1 − P (A0 ).
(1)
(2)
Důkaz.
Jelikož je F σ-algebra, pokud A ∈ F, pak A0 ∈ F.
Jevy A a A0 se vzájemně vylučují, protože A ∩ A0 = ∅. Použitím (P3) dostáváme
P (A ∪ A0 ) = P (A) + P (A0 ).
Dále platí, že A ∪ A0 = Ω a P (Ω) = 1 plyne užitím (P2). Odtud
P (A) + P (A0 ) = P (A ∪ A0 ) = P (Ω) = 1,
což dokazuje (1). Vztah (2) plyne přímo ze vztahu (1).
Pravděpodobnost
41 / 58
Příklad (Postupné házení mincí)
Házíme mincí tak dlouho, dokud neuvidíme stejné strany dvakrát po sobě.
Zajímáme se o počet hodů, které je potřeba vykonat.
Uvažujme A = {3, 4, 5, . . . }, to jest A má význam „ je potřeba tři hody nebo vícÿ.
Úkol: Stanovte hodnotu P (A).
Zřejmě A0 = Ω − A = {2}.
Během dvou hodů máme následující možné výsledky: {HH, HT, T H, T T }.
Za předpokladu, že mince je nefalšovaná, máme:
1
2
P (A0 ) = = .
4
2
1
1
To jest, P (A) = 1 − P (A0 ) = 1 − = .
2
2
Pravděpodobnost
42 / 58
Věta (Pravděpodobnost nemožného jevu)
P (∅) = 0.
(3)
Důkaz.
Z předchozí Věty dostáváme, že pro každou A ∈ F platí
P (A) = 1 − P (A0 ).
Speciálně pro A = ∅ máme
P (∅) = 1 − P (∅0 ) = 1 − P (Ω).
To jest, použitím faktu P (Ω) = 1 (P2) dostáváme
P (∅) = 1 − P (Ω) = 1 − 1 = 0.
Důsledek: P : F → R splňující (P1)–(P3) je míra.
Pravděpodobnost
43 / 58
Příklad (Jev s pravděpodobností 0 může nastat)
Vezměme Lebesgueovu míru m na B ∩ 2[0,1] .
Zřejmě m je míra na B ∩ 2[0,1] , pro kterou m([0, 1]) = 1 − 0 = 1,
to jest m je pravděpodobnostní míra (dále ji označujeme P ).
Z
P
P
P
definice Lebesgueovy míry:
(0.5, 1) = 0.5,
(0.25, 0.3)
= 0.05,
[0.5, 0.5] = P ({0.5}) = 0, . . .
Obecně:
P {a} = P [a, a]) = 0 (všechny elementární jevy mají pravděpodobnost 0).
Analogicky: Jev s pravděpodobností 1 nemusí nastat, například
P [0, 1] − {a} = 1 − P {a} = 1 − 0 = 1.
Pravděpodobnost
44 / 58
Věta (Monotonie pravděpodobnosti)
Pro jakékoliv náhodné jevy A, B ∈ F platí:
pokud A ⊆ B pak P (A) ≤ P (B).
(4)
Důkaz.
Předpokládejme, že A ⊆ B. Platí, že B lze vyjádřit jako B = A ∪ (B − A). Dále
platí, že A a B − A jsou vzájemně neslučitelné jevy, to jest A ∩ (B − A) = ∅.
Můžeme proto aplikovat (P3) následovně:
P (B) = P A ∪ (B − A) = P (A) + P (B − A).
Dále z (P1) plyne, že P (B − A) ≥ 0, to jest
P (A) ≤ P (A) + P (B − A) = P (B),
což je hledaná nerovnost.
Pravděpodobnost
45 / 58
Věta (Důsledky monotonie)
Pro libovolný náhodný jev A ∈ F platí:
0 ≤ P (A) ≤ 1.
(5)
Důkaz.
Užitím (P1) dostáváme 0 ≤ P (A). Zbývá tedy dokázat, že P (A) ≤ 1. Užitím
předchozí Věty, pro každé A, B ∈ F platí:
pokud A ⊆ B pak P (A) ≤ P (B).
Položme B = Ω. Zřejmě platí A ⊆ Ω. Použitím (P2) dostáváme P (Ω) = 1, to jest
P (A) ≤ P (Ω) = 1,
což dokazuje (5).
Pravděpodobnost
46 / 58
Věta (Vztah pravděpodobnosti A, A − B a A ∩ B)
Pro libovolné náhodné jevy A, B ∈ F platí:
P (A) = P (A − B) + P (A ∩ B).
(6)
Důkaz.
Jelikož A, B ∈ F, pak i A − B = A ∩ (Ω − B) ∈ F
a také A ∩ B ∈ F.
Dále platí, že A − B a A ∩ B se vzájemně vylučují
a platí, že A = (A − B) ∪ (A ∩ B).
Užitím (P3) proto dostáváme:
A, A − B a A ∩ B
P (A) = P (A − B) ∪ (A ∩ B) = P (A − B) + P (A ∩ B).
Pravděpodobnost
47 / 58
Věta (Pravděpodobnost sjednocení a průniku náhodných jevů)
Pro libovolné náhodné jevy A, B ∈ F platí:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B),
P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B).
(7)
(8)
Důkaz (začátek).
Platí, že A − B ∈ F, A ∩ B ∈ F a B − A ∈ F. Navíc jsou A − B, A ∩ B a B − A
vzájemně neslučitelné náhodné jevy, pro které
A ∪ B = (A − B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B − A).
Použitím (P3) dostáváme, že
P (A ∪ B) = P (A − B) + P (A ∩ B) + P (B − A).
Použitím předchozí Věty, P (A) = P (A − B) + P (A ∩ B), to jest
P (A ∪ B) = P (A) + P (B − A).
Pravděpodobnost
48 / 58
Důkaz (dokončení).
Nyní zbývá dokázat, že P (B − A) = P (B) − P (A ∩ B). Toto tvrzení je však opět
důsledkem předchozí Věty. Platí totiž
P (B) = P (B − A) + P (A ∩ B),
z čehož dostáváme
P (B − A) = P (B) − P (A ∩ B).
Shrneme-li předchozí zjištění dohromady, dostaneme
P (A ∪ B) = P (A − B) + P (A ∩ B) + P (B − A)
= P (A) + P (B − A) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B),
což prokazuje rovnost (7). Rovnost (8) plyne z právě dokázané rovnosti (7).
Pravděpodobnost
49 / 58
Příklad (Problém semaforů na cestě ze Senice na Hané)
Motorista jede ze Senice na Hané automobilem směrem budova PřF a na cestě jej
mohou zdržet dva semafory. Pravděpodobnost, že musí zastavit na prvním semaforu
je 0.4 (označíme P (A) = 0.4); pravděpodobnost, že musí zastavit na druhém
semaforu je 0.5 (označíme P (B) = 0.5); a pravděpodobnost, že musí zastavit aspoň
na jednom z nich je 0.6 (to jest, P (A ∪ B) = 0.6).
Otázka: Jaká je pravděpodobnost, že:
1
Motorista musí zastavit na obou semaforech?
2
Motorista musí zastavit na prvním semaforu, ale ne na druhém?
3
Motorista musí zastavit právě na jednom semaforu?
Řešení:
1
P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) = 0.4 + 0.5 − 0.6 = 0.3.
2
P (A − B) = P (A) − P (A ∩ B) = 0.4 − 0.3 = 0.1.
3
P ((A − B) ∪ (B − A)) = P (A − B) + P (B − A) = 0.1 + P (B) − P (A ∩ B) = 0.3.
Pravděpodobnost
50 / 58
Příklad (Dva různé pravděpodobnostní prostory)
P1 (∅) = 0,
P1 ({a}) = 0.2,
P1 ({b}) = 0.4,
P1 ({c}) = 0.1,
P1 ({d}) = 0.3,
P1 ({a, b}) = 0.6,
P1 ({a, c}) = 0.3,
P1 ({a, d}) = 0.5,
P1 ({b, c}) = 0.5,
P1 ({b, d}) = 0.7,
P1 ({c, d}) = 0.4,
P1 ({a, b, c}) = 0.7,
P1 ({a, b, d}) = 0.9, P1 ({a, c, d}) = 0.6, P1 ({b, c, d}) = 0.8, P1 ({a, b, c, d}) = 1.
P2 (∅) = 0,
P2 ({a}) = 0.3,
P2 ({b}) = 0.3,
P2 ({c}) = 0.2,
P2 ({d}) = 0.2,
P2 ({a, b}) = 0.6,
P2 ({a, c}) = 0.5,
P2 ({a, d}) = 0.5,
P2 ({b, c}) = 0.5,
P2 ({b, d}) = 0.5,
P2 ({c, d}) = 0.4,
P2 ({a, b, c}) = 0.8,
P2 ({a, b, d}) = 0.8, P2 ({a, c, d}) = 0.7, P2 ({b, c, d}) = 0.7, P2 ({a, b, c, d}) = 1.
Pro P1 a P2 platí:
1
P1 ({a, b}) = 0.6, P1 ({b, c}) = 0.5, ale P1 ({b}) = 0.4 a P1 ({a, b, c}) = 0.7.
2
P2 ({a, b}) = 0.6, P2 ({b, c}) = 0.5, ale P2 ({b}) = 0.3 a P2 ({a, b, c}) = 0.8.
Pravděpodobnost
51 / 58
Věta (Zobecnění předchozí vlastnosti pro tři náhodné jevy)
Pro libovolné náhodné jevy A, B, C ∈ F platí:
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C)
− P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C).
Důkaz.
P ((A ∪ B) ∪ C) = P (A ∪ B) + P (C) − P ((A ∪ B) ∩ C)
= P (A) + P (B) − P (A ∩ B) + P (C) − P ((A ∪ B) ∩ C)
= P (A) + P (B) − P (A ∩ B) + P (C) − P ((A ∩ C) ∪ (B ∩ C))
= P (A) + P (B) − P (A ∩ B) + P (C)
− P (A ∩ C) + P (B ∩ C) − P ((A ∩ C) ∩ (B ∩ C))
= P (A) + P (B) − P (A ∩ B) + P (C)
− P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C).
Pravděpodobnost
52 / 58
Věta (Princip inkluze a exkluze pro pravděpodobnostní prostory)
Pro libovolné náhodné jevy A1 , A2 , . . . , An ∈ F platí:
[
\
X
P
Ai =
(−1)|I|+1 · P
i∈In
∅6=I⊆In
i∈I
Ai ,
kde In = {1, . . . , n}.
Důkaz (začátek).
Tvrzení prokážeme indukcí přes n. Pro n = 1 je zřejmé, protože P (A) = P (A).
Předpokládejme, že tvrzení platí pro n a ukážeme, že tvrzení platí pro n + 1. Platí:
[
[
Ai ∪ An+1
P
Ai = P
i∈I
i∈In+1
[ n [
=P
Ai + P (An+1 ) − P
Ai ∩ An+1
[i∈In [ i∈In
Ai + P (An+1 ) − P
(Ai ∩ An+1 )
=P
i∈In
i∈In
Pravděpodobnost
53 / 58
Důkaz (dokončení).
Dvojnásobým použitím indukčního předpokladu dostáváme:
[
[
[
P
Ai = P
Ai + P (An+1 ) − P
i∈In+1
=
X
i∈In
(−1)|I|+1 · P
\
i∈I
∅6=I⊆In
=
X
|I|+1
(−1)
·P
\
∅6=I⊆In
Ai + P (An+1 ) − P
X
(−1)|I|+1 · P
∅6=I⊆In+1
i∈In
[
(Ai ∩ An+1 )
i∈In
Ai + P (An+1 ) −
\
X
(−1)|I|+1 · P
i∈I
∅6=I⊆In
=
(Ai ∩ An+1 )
\
i∈I
i∈I
Ai ∩ An+1
Ai .
Pravděpodobnost
54 / 58
Příklady (Použití předchozí Věty)
Ze vztahu
P
[
i∈In
Ai =
X
|I|+1
(−1)
∅6=I⊆In
·P
\
i∈I
Ai ,
dostaneme pro A1 , A2 , A3 , A4 následující předpis:
P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ) = P (A1 ) + P (A2 ) + P (A3 ) + P (A4 )
− P (A1 ∩ A2 ) − P (A1 ∩ A3 ) − P (A1 ∩ A4 )
− P (A2 ∩ A3 ) − P (A2 ∩ A4 ) − P (A3 ∩ A4 )
+ P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) + P (A1 ∩ A2 ∩ A4 )
+ P (A1 ∩ A3 ∩ A4 ) + P (A2 ∩ A3 ∩ A4 )
− P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ).
Poznámka: Počet sčítanců roste exponenciálně!
Pravděpodobnost
55 / 58
Příklad (Postupné házení mincí – modifikované zadání)
Házíme mincí tak dlouho, dokud neuvidíme stejné strany dvakrát po sobě.
Zajímáme se o počet hodů, které je potřeba vykonat.
Uvažujme A = {4, 5, . . . }, to jest A má význam „ je potřeba čtyři hody nebo vícÿ.
Úkol: Stanovte hodnotu P (A).
Zřejmě A0 = Ω − A = {2, 3}.
Výsledky během prvních dvou nebo tří hodů: {HH, T T, HT H, HT T, T HH, T HT }.
Po druhém hodu má každý HH, HT, T H, T T pravděpodobnost výskytu 14 .
V případě {HT, T H}, pokračujeme třetím hodem: {HT H, HT T, T HH, T HT }.
Po třetím hodu má každý HT H, HT T, T HH, T HT pravděpodobnost výskytu 81 .
P (A0 ) = P ({HH, T T, HT T, T HH})
= P ({HH}) + P ({T T }) + P ({HT T }) + P ({T HH})
1 1 1 1
3
1
= + + + = . To jest P (A) = 1 − P (A0 ) = .
4 4 8 8
4
4
Pravděpodobnost
56 / 58
Poznámka: Neaditivní míry, teorie evidence, možnosti, . . .
Pravděpodobnost formalizuje pouze specifický typ neurčitosti.
Dempster-Shaferova teorie (DST)
teorie evidence založená na dvou „neaditivníchÿ mírách:
superaditivní míra domnění (angl.: belief measure),
subaditivní míra plauzibility (angl.: plausibility measure).
formalizuje některé fenomény (například „ignoranciÿ),
které v teorii pravděpodobnosti nelze formalizovat
speciální případ:
míry domnění a plauzibility jsou shodné,
míry přejdou v pravděpodobnostní míru.
Teorie možnosti
míry možnosti (angl.: possibility) a nutnosti (angl.: necessity)
Pravděpodobnost
57 / 58
Přednáška 3: Závěr
Pojmy:
náhodný jev, pole, σ-algebra, Borelovská množina, Borelovské jevové pole
σ-aditivita, míra, pravděpodobnostní míra, pravděpodobnostní prostor
interpretace pravděpodobnosti: frekventistická a Bayesovská
Lebesgueova a Diracova míra, klasické pravděpodobnostní prostory
Použité zdroje:
Capinski M., Zastawniak T. J.: Probability Through Problems
Springer 2001, ISBN 978–0–387–95063–1.
Riečan B., Neubrunn T.: Teória miery
Veda 1992, ISBN 978–80–224–0368–9.
Hogg R. V., Tanis E. A.: Probability and Statistical Inference
Prentice Hall; 7. vydání 2005, ISBN 978–0–13–146413–1.
Pravděpodobnost
58 / 58

Pravděpodobnost

Transkript

Podobné dokumenty

Software k sondám pro obráběcí stroje – seznam pro výběr programu

Podmíněná pravděpodobnost a nezávislost jevů

Stáhnout prezentaci

Vážení maturanti, chtěli bychom Vás informovat o

Pravděpodobnost a statistika

Přednáška 11

Stochastické diferenciální rovnice

rok 2009 - Česká společnost pro kybernetiku a informatiku

ěÍZENÍ TRŽNÍCH RIZIK POMOCÍ VALUE AT RISK – ÚSKALÍ A

Posílení možností taxonomie pro přesnější vyhledávání s pomocí

Rizikový kapitál, životní upisovací rizika