Křivky v proměnách věků

Křivky v promě
proměnách
věků
Úvod
křivka je víceměně intuituvní pojem
zájem lidstva už od počátku
první zkoumaná křivka – přímka, později
kružnice
Přímka
zprvu chápána jako úsečka, která lze neomezeně
prodlužovat
„délka bez šířky“
využití – provazce, měřidla
Kružnice
inspirace sluncem a měsícem
jednoduché kreslení
x2 + y2 = r2
znázornění cyklu, zvěrokruh
Eukleidova definice: „Kruh jest rovinný útvar, jež se
nazývá obvodem, k níž od jednoho bodu uvnitř útvaru
všecky sobě rovny jsou. Středem kruhu se pak zove tento
bod.“
Křivky v antice 1
antika – 14.stol. př. Kr. – 476 po Kr.
velký význam geometrie (Eukleidés, Pythagoras,
Appolonius, Pappos, Thales, Hippokrates)
odlišný pohled od dneška (jiné chápání objektů,
problém s pohybem a nekonečnem, geometrické
chápání veličin, např. násobky)
pojetí pohybu – nutnost znát přesnou polohu v
každém okamžiku (překonáno až v 17. stol.)
Křivky v antice 2
Eukleidovy základy (kolem r. 300 př. Kr.)
lomené čáry – používané v měřičství (úsečky)
kružnice a její rektifikace
tři starověké úlohy: kvadratura kruhu, zdvojení
krychle, trisekce úhlu
Křivky v antice 3
Hippiova kvadratrix:
první křivka studovaná po kružnici a přímce
definice křivky: Uvažme čtverec ABCD. Nechť
se úsečka AB otáčí kolem bodu A a úsečka BC
se posouvá ve směru polopřímky CD a nechť
jsou oba tyto pohyby rovnoměrné, ve stejný
okamžik začínají i končí. Pak bod X, který je
průsečíkem pohybujících se úseček opíše křivku,
kterou nazýváme Hippiova kvadratrix.
Křivky v antice 4
Hippiova kvadratrix:
rovnice: y = x cotg(πx/2a)
Hippiova kvadratrix tvoří pouze
jednu část (větev této) křivky
dá se pomocí ní řešit trisekce
úhlu
Křivky v antice 5 - Kuželosečky
Elipsa
„Množina bodů, které mají od dvou pevných bodů
(ohnisek) stejný součet vzdáleností rovný 2a.“
2
2
(
−
)
(
−
)
x
m
y
n
rovnice:
+
=1
a
b
Křivky v antice 6 - Kuželosečky
Parabola
„Množina bodů, které mají od pevného bodu
(ohniska) a přímky stejnou vzdálenost.“
rovnice: ( x − m) 2 = 2 p( y − n)
Křivky v antice 7- Kuželosečky
Hyperbola
„Množina bodů, které mají od dvou pevných bodů
(ohnisek) stejný rozdíl vzdáleností rovný 2a.“
2
2
(
x
−
m
)
(
y
−
n
)
rovnice:
−
=1
a
b
Křivky v antice 8 - Kuželosečky
pravděpodobné objevení díky úloze o zdvojení
krychle
Hippokrates (5. stol. př. Kr) – problém nalezení
dvou středních geometrických proměnných:
Nechť a je hrana krychle, najděte x a y tak, aby platilo:
a : x = x : y = y : 2a
Menaichmos (4. stol. př. Kr) – řeší průsečík dvou
parabol a průsečík paraboly s rovnosou hyperbolou
Křivky v antice 9 - Kuželosečky
Apollónius (3.stol. př. Kr.) – osmidílný spis „O
kuželosečkách“; vychází z libovolného
kruhového kužele, řeší řezy na podobných a
shodných kuželích, sdruženými průměry, středy
křivosti jednotlivých křivek
množina všech středů křivosti se nazývá evoluta
Křivky v antice 10
Dioklova kisoida
Diokles – současník Apollónia
„Nechť k je kružnice nad průměrem o délce |OP|.
Veďme bodem P tečnu t ke kružnici k. Z bodu O
veďme libovolnou polopřímku p protínající
kružnici k. Označme po řadě M, N průsečíky
polopřímky p s kružnicí k, resp. tečnou t. Kisoidou
potom nazýváme množinu bodů X polopřímky p,
jejichž vzdálenost od O je rovna |MN|
Křivky v antice 11
Dioklova kisoida
3
x
rovnice: y 2 =
2a − x
(0 ≤ x ≤ 2 a )
konstruvána jako řešení
problému dvou středních
geometrických úměrných
Křivky v antice 12
Nikomedova konchoida:
Nikomedes (2. stol. př. Kr.) – dvě střední
geometrické úměrné
definice: Nechť p, q jsou dvě navzájem kolmé
přímky a bod P náleží přímce p.Veďme bodem
P přímku k. Od průsečíku přímky k s přímkou q
nanesme vzdálenost b na přímku q. Takto
vzniklé body budou body Nikomedovy
konchoidy.
Křivky v antice 13
Nikomedova konchoida:
prodloužená, zkrácená
rovnice: ( x − a ) 2 ( x 2 + y 2 ) − b 2 x 2 = 0
konchoida obecně: místo
přímky q se použije libovolná
křivka
Křivky v antice 14
Archimédova spirála:
Archimédes za Syrakus (3. stol. př. Kr.) – „O
spirálách“ – 28 vět, ukazuje například i výpočet
plochy vyznačené spirálou
definice: „Křivka opisovaná bodem rovnoměrně
pohybujícím se po přímce, zatímco se tato
přímka otáčí v rovině okolo jednoho bodu.“
Křivky v antice 15
Archimédova spirála:
rovnice: r = a ⋅ t
r - délka průvodiče, t - příslušný
úhel
využití spirál na iónských
sloupech - křivka nahrazena
částmi kruhových oblouků
Středověk
6. - 15. stol. po Kr.
v Evropě úpadek zájmu o geometrii (oživení v
renesanci)
v Indii, Číně a Arábii se žádné nové poznatky
neobjevují (v Arabských přepisech se zachovává
spousta významných děl), křivky používné ke
konkrétním příkladům (řešeí rovnic)
gotická architektura (klentby, kružby, …)
Renesance 1
v malířství se objevuje lineární perspektiva (z
pokusů o intuitivní zachycovní křivek se začíná
pomalu rozvíjet nutnost o křivkách něco vědět)
první významnější práce: Albrecht Dürer
(„Příspěvek k měření s kružítkem a pravítkem v
přímkách, rovinách a tělesech“), Daniel Barbaro
(„Praktická perspektiva“)
znovuobjevování křivek (řez kužele)
Renesance 2 - Projektivní geometrie
Girard Desargues - zakladatel projektivní
geometrie, poprvé použil pro popsání bodu
pravoúhlé souřadnice, doplnění roviny o
nevlastní přímku (jiné chápání paraboly a
hyperboly)
Balise Pascal - „Esej o kuželosečkách“,
nejdůležitější tzv. Pascalova věta.
Renesance 3 - Projektivní geometrie
Pascalova věta: „Průsečíky prodloužených stran
šestiúhelníka kuželosečce vepsaného leží na
jedné přímce.“
pět bodů pěvně určuje kuželosečku! (další body
sestrojíme pomocí Pascalovy věty)
Renesance 4 - René Descartes
francouzský filosof
největší objevy v teorii křivek od dob antiky
„La Géométrie“ (dodatek k fil. dílu „Rozprava o
metodě“) - považována za počátek analytické
geometrie
kartézské souřadnice
Renesance 5 - Descartova La Géométrie
Část první: O úlohách, které je možno sestrojit pouhým
užitím kružnic a přímek
Pappův problém: Nalezení geometrického místa
bodů majících určitý poměr vzdáleností ke
čtyřem daným přímkám (Pappos - pro čtyři je to
kuželosečka)
Descartes to řeší i pro více než 4 přímky
Renesance 6 - Descartova La Géométrie
Část druhá: O charakteru křivek
zabývá se klasifikací křivek
opět řešení Pappova problému (kompletní
analýza)
konstrukce tečny a normály křivky
rozdělení křivek na algebraické a transcendentní
Renesance 6 - Descartovy křivky
Descartův list:
rovnice: x 3 + y 3 = 3axy
pouze v korespondenci
Descartova (kubická) parabola:
3
y
=
x
rovnice:
její vlastnosti jsou zkoumané
až později (Bernoulli)
Století křivek 1
1649 (latinské vydání La Géométrie) - 1748
(vydání Úvodu do mat. analýzy nekonečně
malých)
objevu je spoustu komentovaných překlad a
vydání La Géometrie
Fermat, Euler, De Witt, Bernoulli, Cassini,
l´Hospital,…
určena rovnice přímky, paraboly
Století křivek 2
vyšetřování křivek určitého typu (skupiny), v
celém rozsahu (v celém def. oboru), nové
metody (diferenciální počet)
Století křivek 3 - Johann Bernoulli
spolupracoval s l´Hospitalem - první
spis diferenciální geometrie
bod vratu
analytický traktát o kuželosečkách odvozuje jejich vlastnosti pomocí
rovnic, algebry a elemetnární
geometrie
Století křivek 4 - Johann Bernoulli
Cykloida:
vzniká kotálením kružnice po přímce
rovnice: x = at - h sin t
y = a - h cos t
Století křivek 5 - Johann Bernoulli
Semikubická parabola:
narazil na ni při studiu
kubických parabol
rovnice: y 3 = ax 2
Bernoulliho lemniskata:
specielní případ
Cassiniho oválu
rovnice: ( x 2 + y 2 ) 2 = a 2 ( x 2 − y 2 )
Století křivek 6 - G.D.Cassini
Giovanni Domenic Cassini - francouzský
astronom (objev 4 měsíců Saturna)
Cassiniho ovál:
domníval se, že je to tvar oběžné dráhy Země
definice: Nechť F a G jsou dva pevně dané body
(ohniska) v rovině. Množina bodů X, pro které
platí, že součin vzdáleností |FX| a |GX| je
konstatní a je a2, se nazývá Cassiniho ovál
Století křivek 7 - G.D.Cassini
rovnice (umístíme body F, G souměrně ve
vzdálenosti b od počátku) :
( x 2 + y 2 ) 2 + 2b 2 ( y 2 − x 2 ) + b 4 − a 4 = 0
a=b: lemniskata
a>b: souvislá křivka
a<b: dvě disjunktní větve
Století křivek 8 - Isaac Newton
rozšíření poznatků o kuželosečkách na křivky
třetího stupně
„Výčet křivek třetího řádu“: sedm částí
1. Řády křivek: řídí se stupněm rovnice křivky!,
křivky nekonečného řádu (cykloida,
kvadratrix,…)
2. „Vlastnosti kuželoseček“: analogie kuželoseček s
kubikami, definuje uzel, bod vratu a izolovaný
bod
Století křivek 9 - Isaac Newton
3. „Redukce všech křivek …“: Ukázal, že pomocí
transformací můžeme všechny kubiky zapsat
jedním ze čtyř typů rovnic
4. „Výčet křivek“: nové rozdělení kubických křivek,
nákresy, možnosti izolovaných bodů…,
zavedení pojmů jako redudantní, defektní,
parabolická hyperbola, trojzubec, divergentní
parabola, kubická parabola… (celkem 72 křivek)
Století křivek 10 - Isaac Newton
kubická parabola:
divergentní parabola:
trojzubec:
Století křivek 11 - Isaac Newton
5. „Generování křivek stíny“: rozvíjení myšlenek
projektivní geometrie
6. „O metodickém opisování křivek“: křivky tvořené
pomocí pohybu, projektivní vytváření
kuželoseček
7. „Konstrukce rovnic popisováním křivek“: využití
křivek třetího stupně s sestrojení kořenů rovnic
Století křivek 12
Maupertius a Bragelone zkoumají křivky 4.
stupně, vícenásobné body, inflexní body…
Jean Paul de Gua de Malves zkoumal algebraické
křivky (převážně užíval metod analytické
geometrie)
Colin Maclaurin dokázal spoustu Newtonových
konstrukcí, zkoumal generování křivek,
projektivní geometrie,
Století křivek 13
James Stirling: doplnil další důkazy k Newtonovi,
analogie mezi křivkami druhého a třetího stupně,
Věta: Křivka n-tého stupně je určena n(n2+ 3) body.
Alexis Clairaut: důkazy k Newtonovi, hodně se
zabýval diferenciální geometrií (Pojednání o
křivkých s dvojí křivostí), vyjadřování křivek
soustavami rovnic, rovnice kužele
Křivky a funkce
zpočátku používal pojem fce je v souvislosti k
křivkou a řešení úloh (sestrojení tečny, normály..)
- Leibnitz
rozvoj matematické analýzy (Lagrange, Euler) funkce se začíná vnímat jako předpis
Diferenciální geometrie 1 - Leonhard Euler
funkce se stává ústředním pojmem analýzy
rozdělení fcí na spojité a nespojité ale v jiném
významu než dnes
hledání násobných bodů a tečen v nich
transcendentní křivky: epicykloida,
hypocykloida, goniometrické křivky
Diferenciální geometrie 2- Leonhard Euler
Hypocykloida:
Epicykloida:
Diferenciální geometrie 3
Gaspard Monge: zabývá se dif. geometrií,
prostorovými křivkami a jejich evolutami,
jednoduchými a dvojnými body
Carl Friedrich Gauss: definuje plochy v
euklidovských prostorech, křivost plochy,
nomálové řezy, geodetické křivky
mimo jiné se dálé rozvíjí projektivní geometrie
(Poncelet, Brianchon)
Přelom 19. a 20. století
zkoumání fraktálních křivek
n-rozměrné prostory