Algebra (Wikipedie).

Geometrie
1
Geometrie
Geometrie (řecky γεωμετρία, z gé - země a metria měření) je matematická věda, která se zabývá otázkami
tvarů, velikostí, proporcí a vzájemných vztahů obrazců
a útvarů a vlastnostmi prostorů. Geometrie bývá
považována za jeden z nejstarších vědních oborů
vůbec. V Ottově slovníku naučném heslo geometrie
začíná slovy:
Geometrie, měřičství, jest nauka o veličinách
a útvarech prostorových. Pojmů těchto útvarů
nabýváme abstrakcí z předmětů hmotných.[1]
Jednoduché geometrické útvary byly známy již
v paleolitu a podrobněji zkoumány ve všech antických
civilizacích. Geometrie sloužila původně pro praktické
účely v zeměměřičství a stavebnictví. Na vědecké
úrovni se jim poprvé věnovali staří Řekové. K slavným
geometrickým
problémům
patřili
otázky
o konstruovatelnosti některých geometrických útvarů
pomocí idealizovaného pravítka a kružítka.
Ilustrace Pythagorovy věty o pravoúhlých trojúhelnících
Ve středověku a raném novověku ovlivnilo studium astronomie rozvoj sférické geometrie a objevení perspektivy
v malířství vznik projektivní geometrie.
V raném novověku René Descartes vynalezl souřadnice, což umožnilo vznik analytické geometrie a zkoumání
geometrie algebraickými prostředky. V 19. století byl významný vznik neeukleidovských geometrií.
Geometrie má úzkou souvislost s algebrou a fyzikou. Riemannova geometrie popsaná v 19. století našla uplatnění
jako model časoprostoru v Einsteinově obecné teorii relativity.
V současnosti se geometrie pořád vyvíjí a to jak geometrie praktická (například počítačová geometrie a počítačová
grafika), tak teoretická, která má úzkou souvislost s teoretickou fyzikou.
K nejvýznamnějším českým geometrům patřil v první polovině 20. století Eduard Čech. V současnosti je známý
matematik Petr Vopěnka, který kromě teoretických prací napsal řadu popularizujících knih o historii geometrie.
Geometrie
2
Historie
Starověk
Související informace lze nalézt také v článku Dějiny matematiky.
Neolitické umění: kámen zdobený geometrickými
motivy (Newgrange, Irsko)
Geometrické útvary patří vedle čísel k nejstarším zkoumaným
předmětům matematiky, jednoduchou představu o některých z nich
měli lidé zřejmě již v paleolitu, starší době kamenné.[2] V neolitu se
pak různé útvary staly základem geometrické ornamentiky na více
místech světa.[3] Další rozvoj přišel s nástupem prvních států
v Mezopotámii a Egyptě, kde se poznatky o útvarech využívaly
v zeměměřičství a stavebnictví. Babylóňané již znali zvláštní případy
Pythagorovy věty a egyptští geometři uměli počítat obsah trojúhelníka
i kruhu, přičemž jejich odhad čísla pí byl asi 3,1605.[3] K řadě
poznatků se dospělo také ve starověké Indii a Číně.[4]
Na vědeckou úroveň povznesli matematiku
staří Řekové. První známou postavou se stal
Pythagoras, který žil v 6. století př.n.l.
Působil na jihu Itálie a založil tam školu,
která byla přístupná mužům i ženám. Na
škole měl neomezenou autoritu. Z této doby
pochází formální důkaz Pythagorovy věty,
ačkoliv není jasné, jestli je autorem
Pythagoras sám, anebo jeho žáci.
Za nejvýznamnějšího geometra starověku
dnes považujeme Euklida. Jeho kniha zvaná
Elementy (Στοιχεῖα) se stala na dlouhou
Oxyrhynský papyrus s fragmentem Eukleidových Elementů
dobu
základní
učebnicí
geometrie.
Euklides v této knize zachytil abstraktní strukturu geometrických útvarů pomocí definic, axiomů a postulátů.
Geometrie vycházející z těchto postulátů se nazývá Euklidovská geometrie a v moderní formě se dnes učí na
základních i středních školách.
Další geometrické konstrukce známé již ve starověku jsou platónská tělesa (Platón je popsal a uvažoval o jejich
hlubším smyslu, zatímco Eukleidés dokázal, že žádná další takto pravidelná tělesa již neexistují), Zénónovy
paradoxy o nekonečném dělení úsečky nebo Archimédovy myšlenky o výpočtu objemu těles, předjímající pozdější
integrální počet.[5] Geometrie se týkají také tři slavné problémy, které starověká matematika zanechala nevyřešené:
trisekce úhlu, zdvojení krychle a kvadratura kruhu.[6]
Geometrie
Středověk
Ve středověku rozvíjeli geometrii především Arabové. Vznikly trigonometrické tabulky a díky arabskému
astronomovi al-Battánímu se objevily první poznatky sférické trigonometrie. [7] Arabský filozof a matematik Thabit
ibn Qurra v 9. století mimo jiné odvodil vzorec pro zobecněnou Pythagorovu větu, zahrnující i nepravoúhlé
trojúhelníky.[8]
Mnohé zajímavé geometrické útvary možno najít ve středověké islámské architektuře. Jako dekorace některých
staveb se například používala dláždění skládající se z pěti typů dlaždiček (tzv. Giriho dlaždičky), z kterých je podle
novějších výzkumů možné sestrojit i neperiodická dláždění.[9] Arabští matematici také uměli algebraicky řešit jisté
kubické rovnice a interpretovat výsledky geometricky. [10]
V Evropě se v té době na většinu starověkých znalostí zapomnělo a na nově zakládaných evropských univerzitách
pak byla používána literatura, která vznikla překladem matematických spisů z arabštiny do latiny, v geometrii hlavně
Eukleidových Elementů.[11]
V raném novověku rozvoj mechaniky podnítil zájem např. o výpočet těžiště.[12]
Novověk a současnost
V 17. století zavedl Descartes do geometrie souřadnice, čímž položil základy analytické geometrie. Analytická
geometrie umožňuje vyjadřovat geometrické útvary prostřednictvím rovnic, a řešit geometrické problémy
algebraickou a analytickou cestou.[13] Také to umožnilo zobecnění geometrických úvah na n-rozměrné Eukleidovské
prostory i pro n>3.
Ke zkoumání geometrických problémů tak bylo možno použít diferenciální a integrální počet, který vznikl díky
Newtonovi a Leibnizovi.
Paralelní směr vývoje vedl úsilím geometrů jako Desargues, Poncelet, Möbius či Cayley k vytvoření projektivní
geometrie, původně motivované teorií perspektivy v malířství. Tato geometrie abstrahuje od pojmu metriky (měření
vzdáleností) a stojí pouze na axiomech o bodech a přímkách, které se od Euklidovské geometrie mírně liší (víc
odpovídá malířskému plátnu, kde se rovnoběžky "protnou" v nekonečnu).
V 19. století se objevila řada nových
proudů a poznatků. Euler a Gauss,
Lobačevskij a Riemann popsali první
neeuklidovské
geometrie,
tj. geometrie, ve kterých nemusí
existovat jediná rovnoběžka s danou
přímkou procházející daným bodem.
Tyto konstrukce zároveň ukázaly, že
Euklidův pátý postulát je nezávislý na
Na sféře (2) nemůžeme vést daným bodem rovnoběžku, přímky se vždy protnou. Na
hyperboloidu (3) naopak můžeme vést více rovnoběžek.
zbylých čtyřech postulátech (nedá se z
nich dokázat), což byl v předchozích
staletích slavný nevyřešený problém. Riemannova geometrie našla později uplatnění v Einsteinově obecné teorii
relativity, kde se fyzikální čas a časoprostor popisuje jako (pseudo)Riemannovská varieta.[14]
Évariste Galois popsal počátkem 19. století symetrii polynomů v&bsp;jedné proměnné a ukázal, že polynom pátého
a vyššího stupně není možné obecně řešit pomocí radikálů. Jeho ideje vedly přímo k teorii grup popsané Nielem
Henrikem Abelem. Teorie grup umožňuje analyzovat symetrie abstraktním způsobem a práce Evarista Galoise vedla
k vyřešení starověkých problémů trisekce úhlu, zdvojení krychle a kvadratury kruhu. Ukázalo se, že tyto konstrukce
obecně nelze vytvořit jenom za pomocí pravítka a kružítka. [15] [16]
Paralelně s tímto vývojem se od konce 19. století objevují různá axiomatická zavedení geometrie (Hilbert, Tarski,
Birkhoff), z nichž nejznámější je Hilbertova axiomatizace.[17] V těchto pojetích se definují základní objekty
3
Geometrie
(obvykle bod, přímka a prostor), relace (například relace bod je mezi dvěma jinými body apod.) a soustava axiomů,
ze kterých se dokazují všechna další tvrzení.
Další významné nové myšlenky do geometrie přinesl Felix Klein ve vlivném Erlangenském programu v roce 1872.
Popsal geometrii pomocí grupy symetrií, které zachovávají nějakou strukturu. Pro Euklidovskou geometrii je to
grupa všech posunutí, otočení a zrcadlení, která zachovává vzdálenosti bodů a úhly vektorů. Podle Kleinova přístupu
byla každá ze známých geometrií plně charakterizována grupou zachovávající strukturu, která je příslušné geometrii
vlastní. Tento přístup vedl ke studiu tzv. Lieových grup, ke kterému výrazně přispěli Sophus Lie a Élie Cartan, který
zavedl velmi obecnou definici geometrie, zahrnující všechny tehdy známé geometrické struktury.
Ve 20. století se geometrie nadále vyvíjela více paralelními směry. Geometrie jsou obvykle popisovány jako
matematický prostor (hladká varieta nebo topologický prostor) a nějaká další struktura na něm. Převádění těchto
struktur, které se často objevují v moderní fyzice, na univerzální Cartanovu definici geometrie, řeší tzv. problém
ekvivalence, který se v různých podobách objevuje po celé dvacáté století. Od 50. let je populární podobor geometrie
tzv. algebraická geometrie (významnými představiteli jsou například Jean-Pierre Serre a Alexander Grothendieck),
která studuje vlastnosti algebraických variet.
Přestože je geometrie nejstarší oblastí matematiky, dodnes se vyvíjí. V roce 1995 dokázal Andrew Wiles slavnou
velkou Fermatovu větu pomocí teorie eliptických křivek, což je jeden se současných geometrických oborů. Od konce
70. let je v matematice populární Langlandsův program, což je řada hypotéz, které dávají do souvislostí problémy
Teorie čísel a reprezentace jistých grup. Geometrická reformulace tohoto programu byla navržena Gérarddem
Laumonem a Vladimirem Drinfeldem.[18] Studium geometrických struktur má také úzkou souvislost s řešením
parciálních diferenciálních rovnic a problém existence a počtu řešení takových soustav se dá studovat pomocí
geometrických metod. [19] Od 80. let 20. století se objevují pokusy studovat problémy pravděpodobnosti
a matematické statistiky pomocí metod diferenciální geometrie, což vedlo k zavedení pojmu informační geometrie.
[20]
V současnosti je také studována tzv. Finslerova geometrie, což je jisté zobecnění Riemannovy geometrie (umíme
měřit vzdálenosti, ale úhly vektorů nikoliv). [21]
Na přelomu 20. a 21. století definoval Clayův matematický institut sedm tzv. "problémů tisíciletí". Jeden z nich,
Hodgeova domněnka, je (zatím nevyřešený) problém z algebraické geometrie. Jiný, Poincarého hypotéza, se týká
klasifikace jisté třídy třírozměrných variet a byl (jako zatím jediný) vyřešen v roce 2002 ruským židovským
matematikem Perelmanem, který následnou milionovou odměnu i Fieldsovu medaili odmítl.[22]
Členění geometrických oborů
Následuje neúplný seznam nejvýznamnějších a nejznámějších konceptů a podoborů, které se v geometrii vyskytují.
Euklidova geometrie
Euklidova geometrie se zabývá vlastnostmi a vztahy geometrických útvarů v Euklidově prostoru, t.j. v prostoru, ve
kterém platí Euklidovy postuláty. Jedná se o historicky nejstarší geometrii, která byla důkladně popsána a studována
už ve starém Řecku.
V této geometrii jsou definovány body, přímky, úsečky, kružnice, vzdálenosti bodů a také velikosti a úhly vektorů.
Součet úhlů v každém trojúhelníku je 180 stupňů a v pravoúhlých trojúhelnících platí Pythagorova věta. Důležitou
částí Euklidovy geometrie jsou konstrukce pravítkem a kružítkem, které se učí na základních a středních školách.
Euklidova geometrie se využívá například v počítačové grafice a krystalografii. Slouží také jako fyzikální model
prostoru v klasické fyzice a jako teoretický základ deskriptivní geometrie.
4
Geometrie
5
Deskriptivní geometrie
Deskriptivní
geometrie
je
věda
o zobrazování prostorových útvarů do
roviny.[23] Jejím obsahem je popis, jak
přesně zakreslit různé prostorové útvary na
dvourozměrný papír anebo zobrazit na
monitor.
Lineární promítací metody byly používány
již v Chaldeji (2300 př.n.l.) a starém Egyptě
(1 200 př.n.l.).[24]
Za
zakladatele
Počítačový model Londýnskeho Tower Bridge
deskriptivní geometrie v dnešním slova
smyslu je považován Gaspard Monge (1746-1818), který v díle Géometrie descriptive (1799) popsal kolmé
promítání na dvě kolmé průmětny.
Metody deskriptivní geometrie se používají například v strojírenství, architektuře, stavebnictví, malířství
a kartografii.
Analytická geometrie
Za zakladatele analytické geometrie je
považován René Descartes,[25] který
publikoval základní metody v roce 1637.
Analytická geometrie zkoumá geometrické
problémy a geometrické útvary popisem
jejich souřadnic v pevně zvolené soustavě
souřadnic. Popis problému pomocí rovnic
pak umožňuje řešit geometrické problémy
algebraickými a analytickými prostředky.
Geometrické problémy a útvary, které se
dají popsat ve vhodně zvolené souřadné
soustavě lineární funkcí, jsou předmětem
studia lineární algebry. Kuželosečky se v
analytické geometrii popisují kvadratickým
polynomem ve více proměnných.
Rovnice přímky g a souřadnice bodů P, S v rovině. Bod P leží na přímce, S ne, což
se dá zjistit dosazením souřadnic bodů do rovnice přímky.
Výuka analytické geometrie je dnes podstatnou součástí výuky matematiky na středních školách.
Axiomatické geometrie
Axiomatický přístup ke geometrii znamená budovat nějakou teorii z co nejmenšího počtu jednoduchých pravidel
(axiomů). Tento přístup stojí v protikladu s geometrií analytickou, která reprezentuje objekty jako množiny bodů.
Náznaky se objevily už u Eukleida, který formuloval slavných 5 postulátů. V průběhu 19. století se v souvislosti
s objevením neeuklidovkých geometrií Gausse, Lobačevského a Bolyaie obnovil zájem o axiomatizaci těchto
struktur. David Hilbert v knize Grundlagen der Geometrie položil základy axiomatické geometrie.
Jiný název pro axiomatickou geometrii je syntetická geometrie.
Geometrie
6
Afinní geometrie
Afinní geometrie je typ geometrie, v které jsou definovány body, vektory a přímky, nikoliv ale úhly, vzdálenosti
a kružnice. Afinní geometrie splňují první, druhý a pátý Euklidův postulát. Název afinní zavedl Leonard Euler, [26]
jako samostatní disciplína se afinní geometrie chápe od Kleinova Erlangenského programu.[27]
Model pro afinní geometrii je obvykle afinní prostor spolu s množinou afinních transformací. Afinní tranformace
převádí přímky na přímky a zachovávají poměr délek úseček na přímce. V reálné afinní rovině afinní transformace
také zachovávají poměr obsahů těles, těžiště trojúhelníků, převádějí elipsy na elipsy, paraboly na paraboly
a hyperboly na hyperboly.
Afinní geometrie v rovině je možné zadat také axiomaticky. Důležitou část axiomů tvoří axiomy o existenci
rovnoběžek a tvrzení, že paralelnost přímek je relace ekvivalence. [28]
V lineární algebře se dá afinní prostor zkonstruovat z libovolného vektového prostoru nad tělesem jako jeho afinní
rozšíření.[29] Grupa symetrií této geometrie je tzv. afinní grupa, obsahující všechna posunutí a regulární lineární
zobrazení vektorů.
Projektivní geometrie
Projektivní geometrie[30] může být zadána pomocí axiomů, které se od Euklidovy geometrie liší v tom, že
neexistují rovnoběžky a libovolné dvě různé přímky v projektivní rovině se protnou. V této geometrii jsou
definovány body a přímky, nikoliv ale úhly a vzdálenosti. Model pro projektivní geometrie je obvykle nějaká
projektivní přímka, projektivní rovina, anebo projektivní prostor.
Původně byl její vznik inspirován perspektivou v malířství. K rozvoji projektivní geometrie výrazně přizpěli
Desargues, Poncelet, Möbius, Cayley a další.
V abstraktnějším pojetí studuje projektivní geometrie struktury invariantní vůči projektivním transformacím
(homografiím). Invariant vůči takovým transformacím je například dvoupoměr. V lineární algebře se dá projektivní
prostor zkonstruovat z libovolného afinního prostoru jako jeho projektivní rozšíření.[31]
Sférická geometrie
Sférická geometrie[32] popisuje geometrii prostoru, který odpovídá sféře (povrchu koule). Je to geometrie metrická,
dají se na ní definovat přímky a úsečky jako křivky, které jsou lokálně nejkratší spojnice bodů (tzv. geodetiky).
Přímky na sféře jsou všechny hlavní kružnice a libovolné dvě přímky se protnou. Součet úhlů v každém trojúhelníku
je větší než 180 stupňů. Sférická geometrie má aplikace v geodezii a astronomii.
Lobačevského geometrie
Lobačevského geometrie,[33] anebo také hyperbolická
geometrie, je neeuklidovská geometrie zavedená
Bolyaiem a Lobačevským počátkem 19. století. Neplatí
v ní pátý Euklidův postulát. Pro přímku a bod, který na
ní neleží, existuje v Lobačevského geometrii
nekonečně mnoho přímek, které prochází daným
bodem a přímku neprotínají. Součet úhlů v trojúhelníku
je v této geometrii vždy menší než 180 stupňů.
Trojúhelník na hyperboloidu
Lobačevského geometrie se dá modelovat například na
hyperboloidu, který má zápornou Gaussovu křivost.
Geometrie
7
Kleinova geometrie
Koncept symetrie se objevuje v geometrii od antiky. Kruh, pravidelný mnohoúhelník a Platónská tělesa vykazují
vysokou míru symetrie což vzbuzovalo pozornost řeckých filozofů. Od konce 19. století se objevuje pojetí, že
symetrie nějakého objektu (útvar, prostor, geometrie) je jeho charakteristická vlastnost. Popis symetrie je úzce
spojen s teorií grup. Toto pojetí je formalizováno v Kleinově Erlangenském programu. Felix Klein v roce 1872 na
přednášce v Erlangen definoval geometrii takto:
Geometrie je studium invariantů vůči grupě transformací.[34]
Transformace známých geometrií jsou popisovány pomocí Lieových grup a naopak, studium Lieových grup vedlo
k popisu nových geometrických struktur. Geometrie, která je zadána pomocí Lieovy grupy G transformací nějakého
prostoru a její význačné podgrupy H, se nazývá Kleinova geometrie.[35] Speciální volba grup G,H vede na
Euklidovskou, afinní a projektivní geometrii. Zobecnění těchto idejí rozpracoval Élie Cartan.
Diferenciální geometrie
Diferenciální geometrie je označení pro geometrické obory, které studují geometrické struktury pomocí metod
diferenciálního počtu. Základy diferenciální geometrie položil Carl Friedrich Gauss, který zkoumal vlastnosti křivek
a ploch. V modernějším pojetí se diferenciální geometrie zabývá strukturami na hladké varietě. Na ní jsou
definovány tečné vektory, vektorová a tenzorová pole, derivace a de Rhamův diferenciál. Geometrie na varietě se
obvykle definuje přidáním další struktury (význačná metrika, konexe, diferenciální forma a pod).[36] [37]
Riemannova geometrie[38] je popsána metrikou na hladké
varietě. Je to tedy struktura, na které jsou definovány kromě
vektorů i úhly, velikosti vektorů, délky křivek a vzdálenosti.
Metrika určuje jednu význačnou beztorzní konexi, díky které
je možné přenášet paralelně vektory a definovat geodetiky.
V případě, že metrika není pozitivně definitní (tj. některé
vektory můžou mít zápornou velikost), mluví se
o pseudoriemannově geometrii. Slouží jako model
časoprostoru pro Einsteinovu teorii relativity.
Paralelní přenos vektoru na sféře. Vektor paralelním
přenosem přes sférický trojúhelník změnil směr.
Symplektická geometrie [39] je popsána antisymetrickou nedegenerovanou uzavřenou diferenciální 2-formou na
hladké varietě. Má kořeny v Hamiltonovské formulaci klasické mechaniky a slouží jako model pro fázový prostor
jistých klasických systémů. Pokud hybnosti a souřadnice jsou
, forma definující geometrii je
.
Konformní geometrie [40] je zadána třídou metrik na hladké varietě, které mají tu vlastnost, že v každém bodě jsou
stejné až na kladný násobek. Tato struktura nám umožňuje měřit úhly vektorů, nikoliv však vzdálenosti. Analogie
přímek jsou tzv. neparametrické geodetiky. Grupa vlastní těmto geometriím je grupa všech transformací, které
zachovávají úhly. V komplexní rovině jsou to všechny komplexní holomorfní funkce s nenulovou derivací, ve
vyšších dimenzích anebo na sférách je konformních zobrazení podstatně méně. Nejjednodušší model této geometrie
je dvourozměrná sféra spolu s množinou všech lineárních lomených transformací (homografií).
Cartanova geometrie je velmi obecná definice geometrie a zahrnuje kromě podkladové variety hlavní fibrovaný
bundl s nějakou strukturní Lieovou grupou.[35] Na tomto bundlu je definována forma konexe, která ale není afinní,
Geometrie
ale tzv. hlavní. Nazývá se Cartanova konexe. Převádění různých klasických geometrických struktur na univerzálnější
Cartanovu definic řeší tzv. problém ekvivalence.
V poslední době se zkoumá jistá třída Cartanových geometrií, které se nazývají parabolické geometrie.[41] Obsahují
a zobecňují projektivní, konformní a symplektickou geometrii, nikoliv ale Riemannovu. Této problematice se
v současnosti věnuje několik předních českých matematiků.[42]
Diferenciální topologie[43] je věda, která zkoumá topologické (globální) vlastnosti prostorů a zobrazení metodami
diferenciální geometrie. Historicky nejstarším příkladem je Gauss-Bonnetova věta, která dává do souvislosti křivost
nějakého prostoru a jeho Eulerovu charakteristiku. Modernější příklady jsou Morseho teorie, studium stupně
zobrazení, výpočet charakteristických tříd a dalších topologických invariantů, pomocí diferencovatelných funkcí.
Další podobory diferenciální geometrie jsou Kontaktní geometrie, Kahlerovské geometrie, CR geometrie, Finslerova
geometrie a další.
Algebraická geometrie
Algebraická geometrie[44] je věda na pomezí geometrie a abstraktní algebry. Studuje vlastnosti polynomů nad
obecnými komutativními okruhy, hlavně množinu nulových bodů nějakého systému polynomů. Tyto množiny se
nazývají algebraické variety.
Podobor algebraické geometrie je studium eliptických křivek, které mají úzkou souvislost s teorií čísel. Aplikace
našla teorie eliptických křivek hlavně v kryptografii, [45] ale také v statistice, [46] teorii řízení, [47] geometrickém
modelování, [48] teorii strun, [49] teorii her [50] a v dalších oborech.
Elementární geometrie
Geometrické útvary
V elementární geometrii se geometrické útvary obvykle reprezentují jako množiny bodů v Euklidově prostoru[51] .
Rovinné útvary
Rovinné útvary jsou takové útvary, jež leží v rovině. Příklady rovinných útvarů:
• rovinné křivky – např. kuželosečky (kružnice, elipsa, parabola, hyperbola), cykloidy, řetězovky apod.
• trojúhelník, čtyřúhelník a jiné mnohoúhelníky, kruh, a podobně.
Prostorové útvary
Prostorové útvary jsou útvary, které nelze vnořit do roviny. Jsou to například:
•
•
•
•
prostorové křivky – např. šroubovice
plochy v prostoru – např. kvadriky (přímkové plochy, kulová plocha, elipsoid, paraboloid, hyperboloid) apod.
tělesa – např. mnohostěny (krychle, kvádr, hranol, jehlan), válec, kužel, koule apod.
Platónská tělesa
Podobně lze uvažovat i vícerozměrné útvary. Příkladem mohou být čtyřrozměrná platónská tělesa.
Následuje galerie některých rovinných a prostorových geometrických útvarů:
8
Geometrie
9
Kružnice
Tři čtverce a bílý
trojúhelník mezi
nimi
Pravoúhlý
trojúhelník,
kosodélník a kruh
Čtyřstěn
Pravidelný osmistěn,
jedno z Platonských těles
Elipsoid
Dvě
rovnoběžné
přímky
Jehlan, koule a krychle v
prostoru
Vlastnosti geometrických útvarů
Základní vlastnosti
například:
geometrických
útvarů
jsou
• Míry útvarů: délka, obsah, objem, povrch a obvod,
jsou-li definovány. Tyto veličiny zjednodušeně
řečeno vyjadřují „velikost“ či „rozsah“ útvaru.
• Dimenze: útvarům lze přiřadit číslo, které se nazývá
počet rozměrů čili dimenze útvaru. Pro „běžné“
útvary je dimenze celé číslo: pro bod je to nula, pro
přímku a obvyklé křivky 1, pro rovinu a běžné
zakřivené plochy 2, pro prostorová tělesa jako koule
a hranol 3. Existuje více způsobů definice dimenze;
podle toho rozlišujeme např. topologickou dimenzi
nebo různé fraktální dimenze (jako jsou
Hausdorffova míra či Rényiho dimenze), jež pro
speciální útvary zvané fraktály mohou být
i neceločíselné.[52] (Pro fraktální útvary lze určovat
i další speciální vlastnosti, např. lacunaritu,[53]
měřící, nakolik fraktál vyplňuje prostor.)
První čtyři iterace konstrukce Kochovy křivky, která má
neceločíselnou dimenzi log 4/log 3
• Symetrie čili souměrnost podle nějakého bodu, přímky či roviny, symetrie vzhledem k otočení nebo zrcadlení, či
symetrie vůči změně měřítka (škálovací symetrie). Každému útvaru lze přiřadit jeho grupu symetrií, což je
množina všech ortogonálních (případně jiných) zobrazení, které převádí útvar sám na sebe. Existence platónskych
těles úzce souvisí s existencí konečných podgrup ortogonální grupy.
• Někdy se užívá pojem otevřený útvar pro útvar, který je otevřený topologicky, tedy obsahuje s každým svým
bodem i nějaké jeho okolí. Příkladem je otevřená koule (bez hranice). Podobně se z topologie přebírají pojmy
vnitřní body, vnější body, izolované body, hraniční body útvaru a souvislý útvar.
• Uzavřený útvar může znamenat
Geometrie
10
• útvar, který obsahuje svoji topologickou hranici. Příkladem je koule s hranicí, anebo sféra.
• O křivce se říká, že je uzavřená, pokud její koncový bod splývá s počátečním bodem.
• Útvar může být konvexní; to znamená, že úsečka mezi libovolnými dvěma jeho body leží celá v útvaru. Konvexní
útvar musí být souvislý.
Shodnost dvou osově symetrických útvarů: shodují se úhly i délky úseček
Kromě obecných logických a množinových vztahů (existence, rovnost, inkluze, průnik, sjednocení) se v Euklidovské
geometrii také definuje
1. Vlastnost „ležet mezi“, např. bod A leží mezi body X a Y na přímce p.
2. Shodnost. Dva útvary jsou shodné, pokud existuje otočení, posunutí a zrcadlení (případně jejich kombinace),
které jeden útvar zobrazí na druhý. Týká se např. úseček (stejná délka) nebo úhlů (stejná velikost úhlu). Značí se
. Například
čteme „trojúhelník ABC je shodný s trojúhelníkem DEF“ a znamená to, že
oba trojúhelníky mají stejné délky stran a velikosti úhlů.
3. Podobnost. Dva útvary jsou podobné, pokud mají stejné úhly a proporce, velikosti se ale můžou lišit.
Konstrukce pravítkem a kružítkem
Konstrukce pomocí kružítka a pravítka označuje konstrukci
geometrických objektů (například úhlů) pouze pomocí
idealizovaného pravítka (bez měřítka) a kružítka.[54] O pravítku
se předpokládá, že má nekonečnou délku, jen jednu hranu
a žádné značky pro měření, o kružítku se předpokládá, že může
nakreslit jakkoliv velikou kružnici.
Tento pojem se vyskytuje především v zadání úloh, které se
týkají konstruovatelnosti. Úkolem bývá určit, zda z daného
objektu je možné pomocí pravítka a kružítka vytvořit jiný
objekt, který má dané vlastnosti. Příkladem jsou třeba úlohy
trisekce úhlu, kvadratura kruhu a duplikace krychle. Lze
dokázat, že ani jednu z těchto úloh pomocí Eukleidovské
konstrukce vyřešit obecně nelze. Další obtížný úkol je
Konstrukce čtverce za pomocí pravítka a kružítka.
rozhodnout, které pravidelné n-úhelníky lze zkonstruovat (bez
nějakých počátečných dat). V 19. století se dokázalo, že
pravidelný n-úhelník je konstruovatelný, právě když všechna lichá dělitele n jsou Fermatova prvočísla.[55] Například
pravidelný 7-úhelník nelze zkonstruovat pravítkem a kružítkem.
Je známo, že pokud předem zadaná data pozůstávají z konečné množiny bodů, pak každá konstrukce pomocí
pravítka a kružítka je možná jenom pomocí kružítka (Mohr–Mascheroniho věta). [56]
V školských úlohách se často objevuje úkol sestrojit trojúhelník s předem danými vlastnostmi. Někdy se kromě
pravítka a kružítka připouští i úhloměr, případně je povoleno měřit pravítkem i vzdálenosti.
Geometrie
Zobecnění
Existují různá matematická zobecnění pojmu geometrický útvar. Topologie se zabývá vlastnostmi množin, které se
nemění při spojitých transformacích a topologický prostor je zobecněním pojmu tvar. V topologii jsou definovány
body a spojitost, nikoliv ale vektory, úhly a přímky.
Vlastnosti útvarů, které se zachovávají při určitých transformacích, se nazývají invarianty. V algebraické topologii
jsou to například díry různých dimenzí (například kruh bez bodu má díru, plný kruh nikoliv). Invarianty, které
formalizují a popisují typy a počty děr, jsou homotopické grupy a homologické grupy.[57]
Geometrická topologie[58] studuje variety a vztahy mezi nimi. Předměty studia geometrické topologie jsou
například (pořád se vyvíjející) teorie uzlů, otázky existence vnoření variet do variet vyšších dimenzí a také
topologická klasifikace hladkých variet.
Jeden z hraničních oborů mezi geometrií a algebrou je nekomutativní geometrie. Geometrický prostor je tady
popisován pomocí algebry funkcí, které tvoří nekomutativní algebru.[59] Základy této teorie položil francouzský
matematik Alain Connes koncem 80. let dvacátého století. Nekomutativní geometrie má aplikace v částicové fyzice
a v nekomutativní kvantové teorii pole. Spekulace o souvislosti nekomutativní geometrie s M-teorií[60] podnítily od
konce 20. století zvýšený zájem o nekomutativní geometrii ve fyzice.
Odkazy
Související články
•
•
•
•
•
•
•
•
Dějiny matematiky
Euklidovská geometrie
Neeuklidovská geometrie
Diferenciální geometrie
Riemannova geometrie
Deskriptivní geometrie
Analytická geometrie
Topologie
Reference
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
Ottův slovník naučný, Geometrie, svazek 10, str. 34, (http:/ / www. archive. org/ stream/ ottvslovnknauni02ottogoog#page/ n34/ mode/ 2up)
ŠALÁT, Tibor. Malá encyklopédia matematiky. Bratislava : Obzor, 1981. S. 7. (slovensky)
Šalát, s. 8
Šalát, s. 9
Šalát, s. 10–11
Šalát, s. 10
Šalát, s. 12
Aydin Sayili (1960). "Thabit ibn Qurra's Generalization of the Pythagorean Theorem". Isis 51: 35–37.
Peter J. Lu and Paul J. Steinhardt (2007). " Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture (http:/ / www. physics.
harvard. edu/ ~plu/ publications/ Science_315_1106_2007. pdf)". Science 315 (5815): 1106–1110. doi: 10.1126/science.1135491 (http:/ / dx.
doi. org/ 10. 1126/ science. 1135491). PMID 17322056.
[10] KLINE, Morris. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. [s.l.] : Oxford University Press, 1990. 390 s. ISBN 978-0195061352.
(anglicky)
[11] Miroslav Lávicka, Syntetická geometrie, Pomocný ucební text, ZČU Plzeň, str. 9, dostupné online (http:/ / home. zcu. cz/ ~lavicka/ subjects/
SG/ texty/ sg_text. pdf)
[12] Šalát, s. 13
[13] Šalát, s. 14
[14] SCHUTZ, Bernard. A first course in general relativity. [s.l.] : Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-27703-5. (anglicky)
[15] ROTMAN, Joseph. Galois Theory. 2. vyd. [s.l.] : Springer, 1998. 157 s. ISBN 0-387-98541-7. Kapitola Appendix C, s. 129-137. (anglicky)
[16] Radek Erben, Slavné matematické problémy starověku, stručný důkaz nemožnosti starověkých konstrukcí online (http:/ / mks. mff. cuni. cz/
library/ ProblemyStarovekuRE/ ProblemyStarovekuRE. pdf)
11
Geometrie
[17] HILBERT, David, The Foundations of Geometry, The Open Court Publishing Company, La Salle, Illinois, 1950, s. 2–15, on-line (http:/ /
www. gutenberg. org/ files/ 17384/ 17384-pdf. pdf)
[18] BUMP & KOL., Daniel. An introduction to the Langlands program. [s.l.] : Birkhäuser, 2003. 283 s. ISBN 3764332115. (anglicky)
[19] IVEY, Thomas Andrew; LANDSBERG, Joseph M.. Cartan for beginners. [s.l.] : AMS Bookstore, 2003. ISBN 0-8218-3375-8. (anglicky)
[20] HIROSHI, Nagaoka; SHUN-ICHI, Amari. Methods of Information Geometry. [s.l.] : AMS Bookstore, 2007. ISBN 0-8218-0531-2.
(anglicky)
[21] BAO, David Dai-Wai; CHERN, Shiing-Shen; SHEN, Zhongmin. An introduction to Riemann-Finsler geometry. [s.l.] : Springer, 2000.
431 s. ISBN 0-387-98948-X. (anglicky)
[22] Malcolm Ritter. Russian math genius rejects $1 million Millenium Prize [online]. Ria Novosti, 2010-07-01, [cit. 2010-07-01]. Dostupné
online. (http:/ / en. rian. ru/ science/ 20100701/ 159651544. html) (anglicky)
[23] POMYKALOVÁ, E.. Deskriptivní geometrie pro střední školy. [s.l.] : PROMETHEUS, 2010. ISBN 978-80-7196-400-1. (česky)
[24] DRÁBEK, K.; HARANT, F.; SETZER, O.. Deskriptivní geometrie I. [s.l.] : SNTL, 1978. ISBN 80-7083-924-4. S. 9, 10. (česky)
[25] COOKE, Roger. The History of Mathematics: A Brief Course. [s.l.] : Wiley-Interscience, 1997. ISBN 0471180823. Kapitola The Calculus,
s. 326. (anglicky)
[26] BLASCHKE, Wilhelm. Analytische Geometrie. [s.l.] : Birkhäuser, 1954. ISBN 978-3764300319. (anglicky)
[27] COXETER, H.S.M.. Introduction to geometry. [s.l.] : Wiley, 1989. ISBN 978-0471504580. S. 191. (anglicky)
[28] Coxeter, strana 192
[29] BICAN, Ladislav. Lineární algebra a geometrie. [s.l.] : Academia, 2002. ISBN 80-200-0843-8. Kapitola Afinní prostor. (česky)
[30] COXETER, H.S.M.. Projective Geometry. [s.l.] : Springer, 2003. ISBN 978-0387406237. (anglicky)
[31] BICAN, Ladislav. Lineární algebra a geometrie. [s.l.] : Academia, 2002. ISBN 80-200-0843-8. Kapitola Projektivní prostor. (česky)
[32] John C. Polking (Rice University), The Geometry of the Sphere online (http:/ / math. rice. edu/ ~pcmi/ sphere)
[33] Milnor, John, Hyperbolic geometry: The first 150 years, AMS, online (http:/ / projecteuclid. org/ DPubS/ Repository/ 1. 0/
Disseminate?view=body& id=pdf_1& handle=euclid. bams/ 1183548588)
[34] GALARZA, A.I.R.; SEADE, J.. Introduction to Classical Geometries. [s.l.] : Birkhäuser Basel, 2007. ISBN 978-3764375171. S. 16.
(anglicky), dostupné online (http:/ / bib. tiera. ru/ ShiZ/ Great Science TextBooks/ Great Science Textbooks DVD Library 2007 - Supplement
Two/ Algebra & Trigonometry/ Geometry/ Introduction to Classical Geometries - A. Galarza, J. Seade (Birkhauser, 2002) WW. pdf)
[35] SHARPE, R.W.. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. [s.l.] : Springer, 1997. ISBN
978-0387947327. (anglicky)
[36] KOBAYASHI, Shoshichi. Foundations of Differential Geometry. [s.l.] : Wiley-Interscience, 1996. ISBN 978-0471157335. (anglicky)
[37] STERNBERG, Sholomo. Lectures on Differential Geometry. [s.l.] : Chelsea Pub Co, 1982. ISBN 978-0828403160. (anglicky)
[38] PETERSEN, Peter. Riemannian Geometry. [s.l.] : Springer, 2006. ISBN 978-0387292465. (anglicky)
[39] BERNDT, Rolf. American Mathematical Society. [s.l.] : Chelsea Pub Co, 2000. ISBN 978-0821820568. (anglicky)
[40] AKIVIS, Maks A.; GOLDBERG, Vladislav V.. Conformal Differential Geometry and Its Generalizations. [s.l.] : Wiley-Interscience, 1996.
ISBN 978-0471149583. (anglicky)
[41] SLOVAK, Jan; CAP, Andreas. Parabolic Geometries: Background and general theory. [s.l.] : AMS Bookstore, 2009. ISBN
978-0-8218-2681-2. (anglicky)
[42] Jan Slovak, publications (http:/ / www. math. muni. cz/ ~slovak/ publications. html)
[43] HIRSCH, Morris W.. Differential Topology. [s.l.] : Springer, 1976. ISBN 978-0387901480. (anglicky)
[44] HARTSHORNE, Robin. Algebraic Geometry. [s.l.] : Springer, 2010. ISBN 978-1441928078. (anglicky)
[45] Eliška Ochodková, Přínos teorie eliptických křivek k řešení moderních kryptografických systému, Katedra informatiky, FEI, VŠB Technická Univerzita Ostrava, online (http:/ / www. cs. vsb. cz/ arg/ workshop/ files/ ecc_eli. pdf)
[46] DRTON, Mathias; STURMFELS, Bernd; SULLIVANT, Seth. Lectures on algebraic statistics. [s.l.] : Springer, 2009. ISBN
9783764389048. (anglicky)
[47] FALB, Peter. Methods of Algebraic Geometry in Control Theory. [s.l.] : Birkhäuser Boston, 1990. ISBN 978-0817634544. (anglicky)
[48] JÜTTLER, Bert; PIENE, Ragni. Geometric Modeling and Algebraic Geometry. [s.l.] : Springer, 2007. ISBN 978-3540721840. (anglicky)
[49] COX, David A.. Mirror Symmetry and Algebraic Geometry. [s.l.] : AMS, 1999. ISBN 978-0821821275. (anglicky)
[50] BLUM, Lawrence E.; ZAME, William R.. The Algebraic Geometry of Perfect and Sequential Equilibrium. Econometrica, Júl 1994, roč. 62,
čís. 4. Dostupné online (http:/ / 129. 3. 20. 41/ econ-wp/ game/ papers/ 9309/ 9309001. ). (anglicky)
[51] POLÁK, Josef, Přehled středoškolské matematiky, Praha : Prometheus, 2008, ISBN 978-80-7196-356-1, s. 414
[52] VACHTL, Pavel, Fraktály a chaos, Natura, on-line (http:/ / natura. baf. cz/ natura/ 1998/ 12/ 9812-4. html)
[53] Tolle,C.R. McJunkin,T.R. Rohrbaugh,D.T. a LaViolette,R.A., Lacunarity definition for ramified data sets based on optimal cover, Physica
D: Nonlinear Phenomena Volume 179, Issues 3-4, 15 May 2003, s. 129-152. DOI=http:/ / dx. doi. org/ 10. 1016/ S0167-2789(03)00029-0
[54] Eva Davidová, Řešení planimetrických konstrukčních úloh, Ostrava 2005 (Gymnázium, Ostrava-Poruba), ISBN 80-903647-1-3, dostupné
online (http:/ / www. wigym. cz/ nv/ wp-content/ uploads/ docs/ opory/ mat_geometrie. pdf)
[55] JONES, Arthur; MORRIS, Sidney A.; PEARSON, Kenneth R.. Abstract algebra and famous impossibilities. [s.l.] : Springer, 1991. ISBN
978-0387976617. Kapitola 9.1, s. 178.
[56] HUNGERBUHLER, Norbert. A short elementary proof of Mohr Mascheroni Theorem. The American Mathematical Monthly, October
1994, roč. 101, čís. 8, s. 784-787. , dostupné online (http:/ / citeseerx. ist. psu. edu/ viewdoc/ download?doi=10. 1. 1. 45. 9902& rep=rep1&
type=ps) (PostScript)
12
Geometrie
[57] HATCHER, Allen. Algebraic Topology. [s.l.] : Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79160-X. (anglicky) Dostupné online (http:/
/ www. math. cornell. edu/ ~hatcher/ AT/ ATpage. html)
[58] SHER, R.B.; DAVERMAN, R.J.. Handbook of Geometric Topology. [s.l.] : North Holland, 2002. 1144 s. ISBN 978-0444824325. (anglicky)
[59] Connes, Alain (1994), , Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-185860-5
[60] Alain Connes, Michael R. Douglas, Albert Schwarz, Noncommutative geometry and matrix theory: compactification on tori. J. High Energy
Phys. 1998, no. 2, Paper 3, 35 pp. doi (http:/ / dx. doi. org/ 10. 1088/ 1126-6708/ 1998/ 02/ 003), hep-th/9711162 (http:/ / arxiv. org/ abs/
hep-th/ 9711162)
Literatura
Popularizující
• VOPĚNKA, Petr. Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci. Praha : Práh, 1999. ISBN 80-7252-022-9. S. 920.
(česky)
• VOPĚNKA, Petr. Trýznivé tajemství. Praha : Práh, 2003. 142 s. ISBN 80-7252-088-1. (česky)
• MLODINOW, Leonard. Eukleidovo okno (dějiny geometrie). Praha : SLOVART s. r. o., 2007. ISBN
978-80-7209-900-9. (česky)
• KADEŘÁVEK, František. Geometrie a umění v dobách minulých. Praha : Půdorys, 1997. 140 s. ISBN
80-900791-5-6. (česky)
Školská
• BOČEK, Leo; KOČANDRLE, Milan. Matematika pro gymnázia – Analytická geometrie. Praha : Prometheus,
2009. 220 s. ISBN 978-80-7196-390-5. (česky)
• BOČEK, Leo; ŠEDIVÝ, Jaroslav. Grupy geometrických zobrazení. Praha : Státní pedagogické nakladatelství,
1979. 213 s. (česky)
Odborná
• KOWALSKI, Oldřich. Úvod do Riemannovy geometrie. Praha : UK Karolinum, 2003. 101 s. ISBN
80-246-0377-2. (česky)
• COXETER, H.S.M.. Introduction to geometry. [s.l.] : Wiley, 1989. 496 s. ISBN 978-0471504580. (anglicky)
Externí odkazy
• Miroslav Lávička, Syntetická geometrie (http://home.zcu.cz/~lavicka/subjects/SG/texty/sg_text.pdf),
Pomocný učební text, ZČU Plzeň
• Ladislav Hlavatý, Úvod do geometrie křivek a ploch (http://www.fjfi.cvut.cz/files/k402/files/doprovod/
KrivkyHlav/Krivky1.pdf), Pomocný učební text, ČVUT Praha
• Jiří Vančura, Apolloniovy úlohy (http://www.apolloniovyulohy.webz.cz/index.htm)
• Radek Erben, Slavné matematické problémy starověku (http://mks.mff.cuni.cz/library/ProblemyStarovekuRE/
ProblemyStarovekuRE.pdf), stručný důkaz nemožnosti řešení slavných starověkých konstrukčních úloh
• Konečný, Zbyněk, Konstrukční úlohy z Planimetrie (http://kondr.ic.cz/files/final.pdf), SOČ Brno
• Geometrie v Ottově slovníků naučném (http://www.archive.org/stream/ottvslovnknauni02ottogoog#page/
n34/mode/2up)
• The geometry Jankyard (http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/topic.html), pokročilé zajímavosti
související s geometrií (anglicky)
• Geometrie na mathworld (http://mathworld.wolfram.com/Geometry.html) (anglicky)
Portály: Matematika
13
Zdroje článků a přispěvatelé
Zdroje článků a přispěvatelé
Geometrie Zdroj: http://cs.wikipedia.org/w/index.php?oldid=6755301 Přispěvatelé: Adam Zábranský, Alu, Arepo, Arim, Bruncvik, Che, Filipj, Franp9am, Franz-Vader, Hugo, Ioannes
Pragensis, Jinny, Li-sung, LiborX, Lukax, Lzap, Marek Genius, Meimei, Midi7, Milda, Mojza, Ozzy, Pajs, Palica, Pasky, Petr Karel, Petrus, Rur, Sokoljan, Svajcr, Tchoř, V. Z., Zagothal, 6
anonymní úpravy
Zdroje obrázků, licence a přispěvatelé
Soubor:Square_root_of_2_triangle.svg Zdroj: http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Soubor:Square_root_of_2_triangle.svg Licence: není známo Přispěvatelé: User:Pbroks13
Soubor:Newgrange Entrance Stone.jpg Zdroj: http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Soubor:Newgrange_Entrance_Stone.jpg Licence: GNU Free Documentation License Přispěvatelé:
Aligatorek, AnonMoos, Asarlaí, Maksim, Skipjack
Soubor:Oxyrhynchus papyrus with Euclid's Elements.jpg Zdroj: http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Soubor:Oxyrhynchus_papyrus_with_Euclid's_Elements.jpg Licence: není známo
Přispěvatelé: Soubor:Euclidian_and_non_euclidian_geometry.png Zdroj: http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Soubor:Euclidian_and_non_euclidian_geometry.png Licence: GNU Free
Documentation License Přispěvatelé: Darapti, Nillerdk, Peo, Snaily
File:Tower_Bridge_Vraneon.JPG Zdroj: http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Soubor:Tower_Bridge_Vraneon.JPG Licence: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.0 Přispěvatelé:
Vraneon
File:Gerade_als_Punktmenge.PNG Zdroj: http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Soubor:Gerade_als_Punktmenge.PNG Licence: není známo Přispěvatelé: Honina
File:Hyperbolic_triangle.svg Zdroj: http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Soubor:Hyperbolic_triangle.svg Licence: Public Domain Přispěvatelé: Bender235, Kieff, 1 anonymní úpravy
File:Connection-on-sphere.png Zdroj: http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Soubor:Connection-on-sphere.png Licence: Public Domain Přispěvatelé: Original uploader was Fjung at
en.wikipedia
File:Circle - black simple.svg Zdroj: http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Soubor:Circle_-_black_simple.svg Licence: Public Domain Přispěvatelé: User:Darkdadaah
File:Triangle and squares.svg Zdroj: http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Soubor:Triangle_and_squares.svg Licence: GNU Free Documentation License Přispěvatelé: 4C, 1 anonymní
úpravy
File:Shape Area.svg Zdroj: http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Soubor:Shape_Area.svg Licence: Public Domain Přispěvatelé: User:Indolences
File:Two parallel lines a b.svg Zdroj: http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Soubor:Two_parallel_lines_a_b.svg Licence: Public Domain Přispěvatelé: Masur
File:Basic shapes.svg Zdroj: http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Soubor:Basic_shapes.svg Licence: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 Přispěvatelé: User:Elisabethd
File:Tetrahedron (PSF).png Zdroj: http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Soubor:Tetrahedron_(PSF).png Licence: není známo Přispěvatelé: AzaToth, Darapti, PatríciaR, Rursus
File:Octaedre.png Zdroj: http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Soubor:Octaedre.png Licence: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 Přispěvatelé: Kilom691, Mahlerite
File:ProlateSpheroid.png Zdroj: http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Soubor:ProlateSpheroid.png Licence: GNU Free Documentation License Přispěvatelé: Cdw1952, Darapti, Oxam
Hartog, Svdmolen, Svens Welt
Image:KochFlake.svg Zdroj: http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Soubor:KochFlake.svg Licence: GNU Free Documentation License Přispěvatelé: D-Kuru, Wxs
Soubor:Geom shodnost soumernost osa.svg Zdroj: http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Soubor:Geom_shodnost_soumernost_osa.svg Licence: Public Domain Přispěvatelé: Original
uploader was Pajs at cs.wikipedia
File:Straight Square Inscribed in a Circle 240px.gif Zdroj: http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Soubor:Straight_Square_Inscribed_in_a_Circle_240px.gif Licence: Creative Commons
Attribution-Sharealike 3.0 Přispěvatelé: User:Aldoaldoz
Licence
Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/
14