Vzorce a recepty nebeské mechaniky

Vzorce a recepty nebeské mechaniky
Verze 3.0
Petr Scheirich, 2004
http://nebmech.astronomy.cz
Obsah
1 Úvod
1
2 Souřadnice na obloze
1
3 Pohyb po kuželosečce
4
4 Elipsa
6
5 Pohyb po elipse
7
6 Parabola
10
7 Pohyb po parabole
11
8 Hyperbola
13
9 Pohyb po hyperbole
14
10 Převod souřadnic na dráze na rovníkové či ekliptikální souřadnice
16
11 Problém 3 těles
18
12 Geografické a geocentrické souřadnice
19
1
Úvod
Tato brožurka nemá být učebnicí nebeské mechaniky. Její první verze vznikla
v roce 2001 z autorovy potřeby vytvořit kompaktní seznam vzorců používaných (nebo použitelných) při výpočtech pohybů a poloh vesmírných těles,
aby je nebylo nutné neustále hledat v nejrůznější literatuře, či dokonce znovu
odvozovat.
Od čtenáře se předpokládá, že význam pojmů, které se v ní vyskytují, alespoň zhruba zná. Všem začátečníkům před jejím používáním doporučuji si
nastudovat stránky http://nebmech.astronomy.cz, kde je vše srozumitelně
vysvětleno.
2
Souřadnice na obloze
Označení veličin:
α – rektascenze (v tomto odstavci vždy v hodinách),
t – hodinový úhel (v hodinách),
δ – deklinace,
h – výška nad obzor,
A – výška nad obzorem,
φ – zeměpisná šířka,
λ – zeměpisná délka,
Sm – místní hvězdný čas,
Sg – Greenwichský hvězdný čas,
S0 – Greenwichský hvězdný čas v 0 h UT,
JD – Juliánské datum v 0 h UT,
Tu – čas uplynulý od standardní epochy J2000,0 (JD 2451545,0) vyjádřený
v juliánských stoletích,
k – poměr středního slunečního dne a středního hvězdného dne,
xA , yA , zA – pravoúhlé azimutální souřadnice (osa x míří k jihu, osa z k
zenitu),
xR , yR , zR – pravoúhlé rovníkové souřadnice (osa x míří k jarnímu bodu,
osa z k sev. neb. pólu),
l, b – ekliptikální souřadnice (délka a šířka),
xE , yE , zE – pravoúhlé ekliptikální souřadnice (osa x míří k jarnímu bodu,
osa z k sev. pólu ekliptiky),
o – sklon ekliptiky k rovníku.
1
Převodní vztahy mezi veličinami:
Tu = (JD − 2451545, 0)/36525,
k = 1, 002737909350795 + 5, 9006 · 10−11 Tu − 5, 9 · 10−15 Tu2 , [6]
S0 = 24110, 54841 + 8640184, 812866Tu + 0, 093104Tu2 − 6, 2 · 10−6 Tu3 , [6]
Sg = S0 + kUT,
Sm = S0 + kUT + λ/15.
Sm = α + t.
Obzorníkové souřadnice
xA = cos h cos A,
yA = cos h sin A,
zA = sin h.


zA
,
h = arctan  q
2
xA + yA2
xA
xA
xA
xA
> 0 : A = arctan(yA /xA )
< 0 : A = arctan(yA /xA ) + 180◦ ,
= 0 a yA > 0 : A = 90◦ ,
= 0 a yA < 0 : A = 270◦ .
Rovníkové souřadnice
xR = cos δ cos(15α),
yR = cos δ sin(15α),
zR = sin δ.
α, δ vypočteme z xR , yR a zR obdobně jako A, h z xA , yA , zA .
Obzorníkové ↔ rovníkové souřadnice
xA = xR cos H sin φ + yR sin H sin φ − zR cos φ,
yA = xR sin H − yR cos H,
2
zA = xR cos H cos φ + yR sin H cos φ + zR sin φ,
xR = xA cos H sin φ + yA sin H + zA cos H cos φ,
yR = xA sin H sin φ − yA cos H + zA sin H cos φ,
zR = −xA cos φ + zA sin φ,
kde H = 15Sm .
Ekliptikální souřadnice
xE = cos b cos l,
yE = cos b sin l,
zE = sin b.
l, b vypočteme z xE , yE a zE obdobně jako A, h z xA , yA , zA .
Ekliptikální ↔ rovníkové souřadnice
xR = xE ,
yR = yE cos o − zE sin o,
zR = yE sin o + zE cos o,
xE = xR ,
yE = yR cos o + zR sin o,
zE = zR cos o − yR sin o,
kde o = 23◦ 26′ 21, 448′′ − 46, 8150′′Tu − 0, 00059′′Tu2 + 0, 001813′′Tu3
= 23, 43929111◦ − 0, 013004166◦Tu − 0, 1638◦ · 10−6 Tu2 + 0, 5036◦ · 10−6 Tu3 [6]
3
3
Pohyb po kuželosečce
Označení veličin:
v – pravá anomálie (úhel mezi směrem k pericentru a směrem k danému
bodu),
u – úhlová rychlost (= dv/dt),
e – numerická výstřednost dráhy (excentricita),
p – parametr dráhy,
G – univerzální gravitační konstanta,
MS – hmotnost soustavy,
M⊙ – hmotnost Slunce,
r – vzdálenost od centra (ohniska),
V – rychlost na dráze,
γ – úhel směru rychlosti V (měřený ve stejném smyslu jako pravá anomálie
v).
x, y – souřadnice v rovině dráhy s počátkem v ohnisku a osou x mířící k
pericentru,
Vx , Vy – složky rychlosti na dráze v souřadnicích x, y,
Vr – radiální složka rychlosti na dráze (ve směru průvodiče),
Vt – kolmá složka rychlosti na dráze (kolmá k radiální),
E – celková energie soustavy,
4
M – celkový moment hybnosti soustavy.
Velikosti a jednotky konstant:
G = 6, 672 · 10−11 Nm2 kg −2 [kg −1 m3 s−2 ] [1]
Sluneční soustava:
MS = 1, 9891 · 1030 kg,
GMS = 1, 3271244 · 1020 m3 s−2 ,
= 2, 959122083 · 10−4 AU 3 d−2 ,
G = 2, 959122083 · 10−4 M⊙−1 AU 3 d−2 ,
GMZ = 398600, 44 · 109 m3 s−2 ,
GMM = 4902, 8 · 109 m3 s−2 ,
kde MZ je hmotnost Země a MM je hmotnost Měsíce.
Převodní vztahy mezi veličinami:
Veškeré vzorce v této a následujících kapitolách věnovaných pohybu v poli
centrální síly platí pro souřadný systém s počátkem v jednom z těles. Chcemeli spočítané veličiny (s centrem v tělesu A) převést do těžišťového systému,
transformujeme je podle vzorců:
Pro délkové veličiny a rychlosti: a′ = a · mA /(mA + mB );
pro úhly: v ′ = v.
(Čárkované veličiny jsou v těžišťovém systému)
r=
p
1 + e cos v
x = r cos v
=
y = r sin v
=
r2u =
(polární rovnice kuželosečky).
p−r
,
e
q
r 2 e2 − (p − r)2
e
.
q
GMS p (Keplerův zákon ploch),
s
s
GMS
GMS
V =
(1 + 2e cos v + e2 ) =
(2p/r − 1 + e2 ),
p
p
e + cos v
γ = arctan −
+ 180◦ pro v ∈ (0◦ , 180◦ ),
sin v
5
γ = arctan −
s
e + cos v
sin v
pro v ∈ (180◦, 360◦ ),
s
s
GMS 2
2pr − p2
Vr =
=
e −1+
= −eVx ,
p
r2
s
s
√
GMS
GMS p
GMS
Vt =
(1 + e cos v) =
=
(1 − e2 ) + eVy ,
p
r
p
GMS
e sin v
p
s
GMS
Vx = −
sin v
p
Vy =
s
s
GMS
=−
p
GMS
(e + cos v)
p
=
s
s
p−r
re
2
GMS re2 + p − r
p
re
e2 − 1
E = GmA mB
,
2p
m2 m2
M 2 = A B Gp.
MS
4
1−
Elipsa
Označení veličin:
a – velká (hlavní) poloosa,
e – numerická výstřednost (excentricita),
b – malá (vedlejší) poloosa,
6
1
= − Vr ,
e
1
= Vt −
e
s
GMS 1 − e2
.
p
e
p – parametr,
q – vzdálenost v pericentru,
Q – vzdálenost v apocentru,
r – vzdálenost od ohniska,
v – pravá anomálie (úhel mezi směrem k pericentru a směrem k danému
bodu).
Převodní vztahy mezi veličinami:
r=
p
1 + e cos v
(polární rovnice elipsy).
s
r
p−r
q
p
Q
b2
p
e= 1− 2 = 1−
=
= 1−
= − 1 = − 1,
a
a
r cos v
a
q
a
2
2
b
q
q+Q
Q
p
q
a=
=
=
=
=
=
,
2
p
1−e
2
1+e
1−e
2q − p
b2
q2
p=
= a(1 − e2 ) = q(1 + e) = Q(1 − e) = 2q −
= r(1 + e cos v),
a
a
p
q = a(1 − e) =
,
1+e
p
Q = a(1 + e) =
.
1−e
5
Pohyb po elipse
(Viz obr. v sekci 3)
Označení veličin:
M – střední anomálie,
E – excentrická anomálie,
v – pravá anomálie,
a – velká poloosa dráhy,
e – numerická výstřednost (excentricita) dráhy,
n – střední denní pohyb,
G – univerzální gravitační konstanta,
k – Gaussova gravitační konstanta (pro úhly vyjádřené v radiánech),
kS – Gaussova gravitační konstanta pro úhly vyjádřené ve stupních,
MS – hmotnost soustavy,
r – vzdálenost od centra (ohniska),
7
V – rychlost na dráze,
x, y – souřadnice v rovině dráhy s počátkem v ohnisku a osou x mířící k
pericentru,
Vx , Vy – složky rychlosti na dráze v souřadnicích x, y,
Vr – radiální složka rychlosti na dráze (ve směru průvodiče),
Vt – kolmá složka rychlosti na dráze (kolmá k radiální).
Vp – rychlost v pericentru,
Va – rychlost v apocentru,
T – oběžná doba,
t – čas,
T0 – okamžik průchodu pericentrem.
Velikosti a jednotky konstant:
Sluneční soustava:
k=0,01720209895
GMS = k 2 AU 3 d−2 ,
kS = k180/π = 0.985607614.
Ostatní viz kapitola Pohyb po kuželosečce.
Převodní vztahy mezi veličinami:
T = 2π
k=
s
a3
,
GMS
q
GMS ,
n = ka−3/2 [rad] = kS a−3/2 [◦ ],
M = n(t − T0 ),
M0 = n(t0 − T0 ),
M = n(t − t0 ) + M0 ,
E − e sin E = M (Keplerova rovnice, pro M, E v rad.),
E − (180/π)e sin E = M (pro M, E ve stupních),
cos E − e
cos v =
,
1 − e cos E
e + cos v
cos E =
,
e cos v + 1
√
1 − e2 sin E
,
1
−
e
cos
E
√
1 − e2 sin v
sin E =
,
e cos v + 1
sin v =
8
tan
v
2
=
s
1+e
tan E2 .
1−e
r = a(1 − e cos E),
x = r cos v = a(cos E − e),
√
y = r sin v = a 1 − e2 sin E.
V =
s
GMS
2 1
−
,
r a
rGMS
,
2GMS − V 2 r
s
GMS 1 + e
Vp =
,
a 1−e
a=
Va =
s
GMS 1 − e
,
a 1+e
s
s
GMS
sin E
Vx = −
a 1 − e cos E
=−
Vy =
s
Vr =
s
GMS
e sin v
a(1 − e2 )
Vt =
s
GMS
(1 + e cos v)
a(1 − e2 )
GMS (1 − e2 ) cos E
a
1 − e cos E
=
GMS
sin v,
a(1 − e2 )
=
v
u
u GMS
t
9
GMS
(e + cos v),
a(1 − e2 )
2ar − a2 (1 − e2 )
−1
r2
a
=
s
q
GMS a(1 − e2 )
r
=
s
!
= −eVx ,
GMS (1 − e2 )
+ eVy .
a
6
Parabola
Označení veličin:
p – parametr,
q – vzdálenost v pericentru,
e = 1 – numerická výstřednost (excentricita),
r – vzdálenost od ohniska,
v – pravá anomálie (úhel mezi směrem k pericentru a směrem k danému
bodu).
Převodní vztahy mezi veličinami:
r=
p
1 + e cos v
p
q= ,
2
cos v =
=
p
1 + cos v
=
2q
− 1.
r
10
2q
1 + cos v
=
q
,
cos2 12 v
7
Pohyb po parabole
(Viz obr. v sekci 3)
Označení veličin:
B, W – analogie střední anomálie,
v – pravá anomálie,
G – univerzální gravitační konstanta,
k – Gaussova gravitační konstanta (pro úhly vyjádřené v radiánech),
kS – Gaussova gravitační konstanta pro úhly vyjádřené ve stupních,
MS – hmotnost soustavy,
r – vzdálenost od centra (ohniska),
V – rychlost na dráze,
x, y – souřadnice v rovině dráhy s počátkem v ohnisku a osou x mířící k
pericentru,
Vx , Vy – složky rychlosti na dráze v souřadnicích x, y,
Vr – radiální složka rychlosti na dráze (ve směru průvodiče),
Vt – kolmá složka rychlosti na dráze (kolmá k radiální).
Vp – rychlost v pericentru,
T – oběžná doba,
t – čas,
T0 – okamžik průchodu pericentrem.
Převodní vztahy mezi veličinami:
B = q −3/2 (t − T0 ),
v 1
v
tan + tan3
2 3
2
=
s
GMS
B
2
(Barkerova rovnice).
Řešení Barkerovy rovnice:
tan v2 = 2 cot γ
=
1
− tan γ2 ,
tan γ2
kde
q
γ
tan 2 = 3 tan β2 ,
2
tan β =
3B
s
2
.
GMS
11
Některá literatura (např. [?]) definuje analogii střední anomálie (i Barkerovu
rovnici) mírně odlišně, vše se ale liší pouze o konstanty:
q
W =
3·
3 tan
v
v
+ tan3
2
2
GMS /2
q 3/2
(t − T0 ),
= W.
Řešení Barkerovy rovnice:
2
,
tan 2γ
tan v2 =
kde
q
tan γ = 3 tan β2 ,
2
tan β =
.
W
Další možností řešení (viz. [9]) je toto:
tan v2 = Y − 1/Y,
kde q
√
3
Y = G + G2 + 1,
G = W/2.
x = r cos v
y = r sin v
V =
s
= 2q tan v2
2GMS
r
Vx = −Vr
Vy = Vt
Vp =
= q(1 − tan2 v2 )
s
s
=
q
= 2q − r,
= 2 q(r − q).
GMS
(1 + cos v),
q
q
2GMS (r − q)
s
GMS
=−
=−
sin v,
r
2q
s
√
2GMS q
GMS
=
=
(1 + cos v),
r
2q
2GMS
.
q
12
8
Hyperbola
Označení veličin:
a – hlavní poloosa,
e – numerická výstřednost (excentricita),
b – vedlejší poloosa,
p – parametr,
q – vzdálenost v pericentru,
r – vzdálenost od ohniska,
v – pravá anomálie (úhel mezi směrem k pericentru a směrem k danému
bodu),
vm – maximální/minimální hodnota pravé anomálie,
α – odchylka asymptot.
Převodní vztahy mezi veličinami:
r=
p
1 + e cos v
(polární rovnice hyperboly).
s
r
b2
e= 1+ 2 =
a
−1
=
cos vm
1+
p
a
=
p−r
r cos v
13
=
q
+1
a
=
p
−1
q
=
1
cos α2
b2
q
p
q2
=
= 2
=
p
e−1
e −1
p − 2q
2
q2
b
p=
= a(e2 − 1) = q(e + 1) =
+ 2q
a
a
p
q = a(e − 1) =
e+1
a=
= r(1 + e cos v)
α + |2vm | = 360◦
e cos α2 = 1
2
cos α = 2 − 1
e
e cos vm = −1
cos vm = − cos α2
9
Pohyb po hyperbole
(Viz obr. v sekcích 3 a 8)
Označení veličin:
M – analogie střední anomálie,
H – analogie excentrické anomálie,
v – pravá anomálie (úhel mezi směrem k pericentru a směrem k danému
bodu),
a – velká poloosa dráhy,
e – numerická výstřednost (excentricita),
n – analogie středního denního pohybu,
G – univerzální gravitační konstanta,
k – Gaussova gravitační konstanta,
MS - hmotnost soustavy,
r – vzdálenost od centra (ohniska),
V – rychlost na dráze,
x, y – souřadnice v rovině dráhy s počátkem v ohnisku a osou x mířící k
pericentru,
Vx , Vy – složky rychlosti na dráze v souřadnicích x, y,
Vr – radiální složka rychlosti na dráze (ve směru průvodiče),
Vt – kolmá složka rychlosti na dráze (kolmá k radiální).
Vp – rychlost v pericentru,
14
V∞ – rychlost v nekonečnu (příletová nebo odletová),
t – čas,
T0 – okamžik průchodu pericentrem,
2θ – úhel odchýlení dráhy (odchylka vektorů příletové a odletové rychlosti),
vm – maximální/minimální hodnota pravé anomálie,
α – odchylka asymptot,
d – impact parameter – vzdálenost, ve které by těleso prolétlo okolo centra,
kdyby se pohybovalo po přímce bez gravitace.
Převodní vztahy mezi veličinami:
q
k=
GMS ,
n = ka−3/2 rad,
M = n(t − T0 ),
M0 = n(t0 − T0 ),
M = n(t − t0 ) + M0 ,
e sinh H − H = M.
cosh H − e
,
cos v =
1 − e cosh H
e + cos v
cosh H =
,
e cos v + 1
tan
v
2
=
s
√
e2 − 1 sinh H
,
e cosh H − 1
√
sin v e2 − 1
sinh H =
,
e cos v + 1
sin v =
1+e
tanh H2 .
1−e
q
(1 − e cosh H),
1−e
q
x = r cos v =
(e − cosh H),
1s− e
e+1
y = r sin v = q
sinh H,
e−1
r=
V =
s
a=
rGMS
,
−2GMS + V 2 r
GMS
2 1
+
r a
=
v
u
u
tGM
S
15
2 e−1
+
,
r
q
!
Vp =
s
GMS
e+1
,
q
s
s
GMS (e − 1) sinh H
Vx = −
q
e cosh H − 1
Vy =
s
Vr =
s
Vt =
s
=−
GMS (1 + e)
cosh H
(1 − e)
q
e cosh H − 1
GMS
e sin v
q(e + 1)
=
GMS
(1 + e cos v)
q(e + 1)
v
u
u
tGM
=
s
GMS
(e + cos v),
q(e + 1)
e − 1 2r − q(e + 1)
+
q
r2
S
=
GMS
sin v,
q(e + 1)
q
GMS q(e + 1)
r
=
s
!
= −eVx ,
GMS (1 + e)
(1 − e) + eVy .
q
θ = 90◦ − α2 ,
vm = 90◦ + θ.
e sin θ = 1,
GMS
d=
cot θ
V∞2
V∞ =
s
q
=
cot θ
e−1
=q
GMS (e − 1)
,
q
v
u
u 1
GMS
d
q = − 2 + GMS t 4 +
V∞
V∞
GMS
e=
10
v
u
u
t
s
dV∞2
1+
GMS
!2
!2
e+1
,
e−1
,
.
Převod souřadnic na dráze na rovníkové
či ekliptikální souřadnice
Označení veličin:
x, y – souřadnice tělesa na dráze vyjadřéné v soustavě s počátkem v centrálním tělese a osou X mířící k pericentru (jejich výpočet viz sekce 5, 7 a
9),
16
Xr , Yr , Zr – souřadnice tělesa v pravoúhlé rovníkové soustavě. Počátek soustavy je v centrálním tělese, osa X míří k jarnímu bodu, rovina XY je
rovnoběžná s rovinou zemského rovníku,
Xe , Ye , Ze – souřadnice tělesa v pravoúhlé ekliptikální soustavě. Počátek soustavy je v centrálním tělese, osa X míří k jarnímu bodu, rovina XY je
rovnoběžná s rovinou ekliptiky,
Pr1 , Pr2 , Pr3 , Qr1 , Qr2 , Qr3 – směrové kosiny dráhy v rovníkové soustavě,
Pe1 , Pe2 , Pe3 , Qe1 , Qe2 , Qe3 – směrové kosiny dráhy v rovníkové soustavě,
i – sklon dráhy k ekliptice,
ω – argument délky perihelia dráhy,
Ω – délka výstupného uzlu dráhy,
o – sklon ekliptiky k rovníku (viz sekce 2).
Význam veličin:
Pi jsou složky jednotkového vektoru P mířícího od centra do směru pericentra
(směr osy x souřadnic na dráze), vyjádřené v ekliptikální nebo rovníkové
souřadnicové soustavě.
Qi jsou složky vektoru kolmého na P a ležícího na dráze (směr osy y souřadnic
na dráze), vyjádřené v ekliptikální nebo rovníkové souřadnicové soustavě.
Převodní vztahy mezi veličinami:
Pr1 = A1 cos ω + A2 sin ω,
Pr2 = B1 cos ω + B2 sin ω,
Pr3 = C1 cos ω + C2 sin ω,
Qr1 = A2 cos ω − A1 sin ω,
Qr2 = B2 cos ω − B1 sin ω,
17
Qr3 = C2 cos ω − C1 sin ω,
kde
A1 = cos Ω,
A2 = − cos i sin Ω,
B1 = sin Ω cos o,
B2 = cos i cos Ω cos o − sin i sin o,
C1 = sin Ω sin o,
C2 = cos i cos Ω sin o + sin i cos o.
Pe1 = cos ω cos Ω − sin ω sin Ω cos i,
Pe2 = cos ω sin Ω + sin ω cos Ω cos i,
Pe3 = sin ω sin i,
Qe1 = − sin ω cos Ω − cos ω sin Ω cos i,
Qe2 = − sin ω sin Ω + cos ω cos Ω cos i,
Qe3 = cos ω sin i.
Xr = Pr1 x + Qr1 y,
Yr = Pr2 x + Qr2 y,
Zr = Pr3 x + Qr3 y,
Xe = Pe1 x + Qe1 y,
Ye = Pe2 x + Qe2 y,
Ze = Pe3 x + Qe3 y.
11
Problém 3 těles
Označení veličin:
Rp – sféra gravitačního vlivu planety (vůči Slunci),
Mp – hmotnost planety,
D – vzdálenost mezi Sluncem a planetou,
M⊙ – hmotnost Slunce.
18
Převodní vztahy mezi veličinami:
Mp
Rp = D
M⊙
12
!2/5
.
Geografické a geocentrické souřadnice
(pro Zemi jako rotační elipsoid) [7], [8]
Označení veličin:
ϕ – geografická šířka,
h – nadmořská výška,
ϕ′ – geocentrická šířka,
ρ – vzdálenost od středu Země,
a – rovníkový poloměr Země,
b – polární poloměr Země,
x, z – pravoúhlé geocentrické souřadnice,
f – zploštění zemského elipsoidu,
e – excentricita zemského elipsoidu.
Velikosti konstant:
a = 6 378 137 m (WGS 84), [8]
19
f = 1/298.257 223 563 (WGS 84),
b = 6 356752 m.
Převodní vztahy mezi veličinami:
b = a(1 − f ),
a−b
f=
,
a
e2 = 2f − f 2 ,
x = ρ cos ϕ′
z = ρ sin ϕ′
kde
= (aC + h) cos ϕ,
= (aS + h) sin ϕ,
1
C=q
,
cos2 ϕ + (1 − f )2 sin2 ϕ
S = (1 − f )2 C.
Geografické (ϕ, h) → geocentrické (ϕ′ , ρ) souřadnice:
Pro h = 0 :
tan ϕ′ = (b/a)2 tan ϕ.
Pro h 6= 0 :
tan u = (b/a) tan ϕ,
b sin u + h sin ϕ
s=
,
a
h cos ϕ
c = cos u +
,
a
s
b sin u + h sin ϕ
tan ϕ′ =
=
,
c
a cos u + h cos ϕ
√
ρ = a s2 + c2 .
Geocentrické (ϕ′ , ρ) → geografické (ϕ, h) souřadnice:
Z ρ a ϕ′ spočteme x, z,
ϕ počítáme iterační metodou:
20
ϕ1 = arctan(z/x),
!
z + aCe2 sin ϕn
ϕn+1 = arctan
,
x
kde
1
.
C=q
1 − e2 sin2 ϕn
Proces opakujeme, dokud se hodnoty ϕn+1 a ϕn od sebe neliší méně, než je
požadovaná přesnost.
Pak
h=
x
− aC.
cos ϕ
Reference
[1] Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy, SPN,
Praha, 1988
[2] Astronomy on the Personal Computer, O. Montenbruck, T. Pfleger,
Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1989
[3] Základy nebeské mechaniky, P. Andrle, Academia, Praha, 1971
[4] Malá encyklopedie kosmonautiky, P. Lála, A. Vítek, Mladá fronta,
Praha, 1982
[5] Základy astronomie a astrofyziky, V. Vanýsek, Academia, Praha, 1980
[6] Astronomická příručka, M. Wolf a kol., Academia, Praha, 1992
[7] Astronomické algoritmy pro kalkulátory, Zdeněk Pokorný, Hvězdárna a
planetárium hl. m. Prahy
[8] The Astronomical Almanac for the Year 1995, US Naval Observatory,
Royal Greenwich Observatory, 1994
[9] Astronomical algorithms, Jean Meeus, Willmann-Bell, Inc., Richmond,
1991
21