5 Primitivní funkce

Diferenciální a integrální po£et
Autor °e²ení: Jitka Vachtová
4. kv¥tna 2012
http://www.vachtova.cz
5 Primitivní funkce
Úloha 5.9[1]
1. Vypo£t¥te
(a)
(b)
(c)
(d)
´
´
´
´
x2 ln xdx
x ln2 xdx
ln x
x2 dx
2
ln xdx
e²ení
1. Vypo£t¥te
(a)
(b)
(c)
(d)
´
´ 3
´ 2
3
3
3
3
3
3
x3
x2 ln xdx = x3 ln x − x3 · x1 = x3 ln x − x3 = x3 ln x − 3·3
= x3 ln x − x9 = x9 (3 ln x − 1) + C
u = ln x, v 0 = x2
3
u0 = x1 , v = x3
2
´
´ 2
´
´
2
2
2
2
x ln2 xdx = x2 · ln2 x − x2 · x1 · 2 ln x = x2 · ln2 x − x ln x = x2 · ln2 x − x2 · ln x − x1 · x2 =
´ x
2
2
2
2
x2
x2
x2
x2
x2
x2
x2
x2
1
x2
2 ·ln x− 2 ·ln x+ 2 = 2 ·ln x− 2 ·ln x+ 2·2 = 2 ·ln x− 2 ·ln x+ 4 = 2 ln x − ln x + 2 +C
u = ln2 x, v 0 = x
2
u0 = x1 · 2 ln x, v = x2
u2 = ln x, v20 = x
2
u02 = x1 , v2 = x2
−1 ´ ln x
´ −2
´
´
x ln xdx = − x1 ln x − − x1 · x1 = − x1 ln x − −x−2 = − x1 ln x − − x−1 = − x1 ln x −
x2 dx =
x−1 = − x1 ln x − x−1 = − x1 ln x − x1 = − x1 (ln x + 1) + C
u = ln x, v 0 = x−2
−1
u0 = x1 , v = x−1 = − x1
´ 2
´
´
´
´
ln xdx = 1 · ln2 xdx = x · ln2 x − x · x1 · 2 ln x = x · ln2 x − 2 ln x = x · ln2 x − 2 ln x =
´
´
´
x · ln2 x − 2 1 · ln x = x · ln2 x − 2 x ln x − x · x1 = x · ln2 x − 2 x ln x − 1 = x · ln2 x −
2 (x ln x − x) = x · ln2 x − 2x ln x + 2x = x ln2 x − 2 ln x + 2 + C
u = ln2 x, v 0 = 1
u0 = x1 · 2 ln x, v = x
u2 = ln x, v20 = 1
u02 = x1 , v2 = x
1
References
[1] HRUBÝ, Dag a Josef KUBÁT.
Matematika pro gymnázia: diferenciální a integrální po£et.
2., upr. vyd.
Praha: Prometheus, 2001, 210 s. U£ebnice pro st°ední ²koly (Prometheus). ISBN 80-719-6210-4.
2