M - Katedra optiky

Komentáře

Transkript

M - Katedra optiky
Aberace oka
z vlnového hlediska
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Optické aberace
Zernikovy polynomy
Rozklad do Zernikových polynomů
Shack-Hartmannův senzor
Aberace vlnoplochy
i.Profiler firmy Zeiss
Prémiová korekce
Vliv LOA a HOA na vízus
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
1
Oko = optický přístroj
Oko je složitý a citlivý optický přístroj,
má chyby a nedokonalosti jako každý přístroj,
také se časem opotřebovává.
Evolučně se oko vyvíjí k dokonalosti (většinou).
Komorové oko savců
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
2
Složené oko hmyzu
Oko plaza
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
Oko hlemýždě
3
Oko hlavonožce
se evolučně vyvíjelo zcela jinak,
oční nerv neprochází sítnící,
nemá slepou skrnu
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
4
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
5
Optické aberace
Aberace = odchylka, odklon
Optické aberace = odchylka, vada, chyba od ideálního zobrazení
Klasické dělení aberací:
1. aberace paprskové:
chromatické (barevné) aberace:
disperze optického prostředí n(λ), modrá se láme více než červená
monochromatické aberace:
zobrazení je stigmatické (bodové) jen při užití paraxiálních paprsků
aberace širokého svazku paprsků (sférická vada, koma)
aberace šikmého svazku paprsků (astigmatismus, zklenutí pole, zkreslení)
2. aberace vlnové:
difrakce (ohyb) světla:
omezené průměry optických svazků, apertury, clony
interference, koherence
3. aberace technologické + materiálové
Justáž, chyby ve výrobě, tolerance, šlíry a nehomogenity, …
Všechny aberace se projeví poruchou vlnoplochy, všechny lze proto měřit a popisovat
z vlnového hlediska! analýza vlnoplochy, aberometrie
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
6
Paprskové aberace
chromatické aberace
disperze světla
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
spektrum
7
ε
n
Paprskové aberace
monochromatické aberace
n´
ε′
σ′
r
S
Pro tangenciální paprsky a jednu lámavou plochu platí :
r+s
n
sin ε ' 

sin σ → sin ε ' = sin ε → σ ' = ε − ε ′ − σ → s ′ = r 1 +
,
r
n'
 sin σ ' 
ale pouze když sin ε ≈ ε , sin ε ' ≈ ε ' , sin σ ≈ σ , sin σ ' ≈ σ ,
tj. pro paraxiální paprsky, odtud vychází s' nezávislé na σ , σ '
n' n n'−n
zobrazovací rovnice :
+ =
s' s
r
sin ε =
aprox. 7. řádu
s´
aprox. 5. řádu
s
A´
paraxiální aproximace
A
Seidelova aprox.
σ
x3 x5 x7
sin x ≈ x −
+
−
+ ...
3! 5! 7!
Stigmatické zobrazení pouze pro paraxiální paprsky !!!
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
8
Monochromatické aberace
kaustika
sférická vada
nebo
otvorová vada
=
symetrická aberace
širokých svazků
kaustika
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
kaustika
koma
=
asymetrická aberace
šikmých
a širokých svazků
9
astigmatismus
Meridiální (tangenciální)
a sagitální fokála
S
M
astigmatismus v celém zorném poli
zklenutí pole
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
10
astigmatismus
zkreslení
poduškovité
zkreslení
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
soudkovité
zkreslení
11
Paprskové aberace jsou do značné míry odstranitelné!
optický průmysl
Vlnové aberace (jsou neodstranitelné!)
difrakce
1 bod
2 bod
Difrakční limita
(Rayleigho kritérium)
λ
120′′
ψ ≈ 1.22 ≈
D D[mm]
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
12
Hubble space telescope HST
D ≈ 2.4 m, f ≈ 57.6 m
vynesen na oběžnou dráhu roku 1990
600 km nad Zemí
Celkové náklady 10 mld $ = 200 mld Kč
očekávané rozlišení 0.1″
(pozemské dalekohledy jen 1″)
Leštění primárního zrcadla
RMS ≈ λ/65 ≈ 0.008 µm
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
PSF
13
1990 Až na oběžné dráze zjištěna sférická aberace hlavního zrcadla, rozlišení jen 1″
Zrcadlo bylo vybroušeno vinou testovacího zařízení (posunutého o 1.3 mm) chybně
1993 HST dostal „brýle“ (tj. 2 korekční zrcadla k odstranění sférické vady)
obraz před a po korekci roku 1993
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
14
Zernikovy polynomy
Ortogonální funkce:
Vektor A rozkládáme do souřadných vektorů e1,e2,e3
a přiřazujeme mu složky A1,A2,A3
a pak platí A = A1e1 + A2 e2 + A3 e3
souřadné vektory e1,e2,e3 jsou obvykle
vzájemně kolmé a normované
A = 3e1 + 2e2
nebo
A = (3,2)
e2
e1
***
Podobně v matematické analýze vybíráme vhodnou soustavu funkcí fn a libovolnou funkci f(x)
můžeme do nich rozložit jako řadu f = c1f1 + c2 f2 + c3 f3 + …
3
5
7
Například funkci sinus rozložíme do mocnin xn jako Taylorovu řadu: sin x ≈ x − x + x − x + ...
Nebo obdélníkovou funkci rect(x) do harmonických funkcí sin nx
3! 5! 7!
jako Fourierovu řadu:
rect ( x ) ≈
4
sin 3 x sin 5 x sin 7 x

+
+
+ ... 
 sin x +
π
3
5
7

Nejvhodnější jsou vzájemně kolmé funkce fn, například Besselovy funkce, Hermiteovy či Legendrovy
polynomy anebo Zernikovy polynomy Znm(x,y), které jsou ortogonální na jednotkovém disku a po
vhodném normování i ortonormální. Díky ortogonalitě na jednotkovém disku se Zernikovy polynomy
používají hodně v optice (kruhové pupily, apertury, čočky atd.)
Matematická definice:
Funkce f(x,y) a g(x,y) jsou vzájemně kolmé
(ortogonální) v oblasti S, pokud platí:
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
∫ f (x, y )g (x, y )dxdy = 0
S
15
Symbolika není jednoznačná!
Používají se různé způsoby indexování Zernikových polynomů (např. modální
index j), my se držíme nejobvyklejšího značení
Znm se dvěma indexy:
dolní hlavní index (radiální) n určuje řád polynomu
a horní vedlejší index (azimutální) m určuje úhlovou frekvenci (četnost)
maxim a minim,
přitom platí m = -n, - n +2, - n +4, …, n -2, n
(pro dané n tedy existuje n+1 povolených hodnot m)
-3
Tedy n a m jsou vždy obě současně sudá nebo lichá, např. Z3 nebo
nikdy ne Z10 nebo Z43
Frits Zernike
1888 – 1966
Nobelova cena 1953
za objev fázově
kontrastní
mikroskopie
Z42 , ale
V kartézských souřadnicích se skutečně jedná o polynomy!
Normované Zernikovy polynomy:
Z =1
0
0
Z 1−1 = 2 y
Z = 2x
1
1
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
Z
−2
2
= 6 2 xy
(
6 (x
)
Z 20 = 3 2 x 2 + 2 y 2 − 1
Z 22 =
2
− y2
(
)
8 (3 x y + 3 y − 2 y )
8 (3 x + 3 xy − 2 x )
8 (x − 3 xy )
Z 3−3 = 8 3 x 2 y − y 3
)
Z 3−1 =
Z 31 =
Z 33 =
2
3
3
3
2
2
16
V kartézských souřadnicích se skutečně jedná o polynomy Znm(x,y) .
V polárních souřadnicích Znm(ρ,θ) jde ale o součin radiálního polynomu Rnm(ρ)
a azimutální harmonické funkce cos mθ nebo sin mθ, například:
(
)
(
)
Z 22 = 6 x 2 − y 2 = 6 ρ 2 cos 2θ − sin 2 θ = 6 ρ 2 cos2θ
nebo
(
) (
)
y
Z 31 = 3 x 3 + 3 xy 2 − 2 x = 3 x 2 + 3 y 2 − 2 x = 3ρ 3 - 2 ρ cosθ ,
Polární (x,y) a
kartézské
souřadnice (ρ,θ)
kde
P
x = ρ cos θ
ρ
y = ρ sin θ
ρ= x +y
2
2
POZOR:
Existují a v literatuře se
používají i nenormované
či jinak normované
Zernikovy polynomy!
O
θ
x
y
x
POZOR:
Pupila oka je různá, průměr typicky 2 až 6 mm,
pro použití Zernikových polynomů
nutno vždy přeškálovat pupilu na jednotkový kruh
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
17
Normované Zernikeho polynomy Znm
0. a 1. řádu
Z 00 = 1
píst
náklon vertikální
Z 1−1 = 2 ρ sin θ
Z 11 = 2 ρ cos θ
2. řádu
Z 2−2 = 6 ρ 2 sin 2θ
(
náklon horizontální
astigmatismus (šikmý)
)
Z 20 = 3 2 ρ 2 − 1
defokus
Z 22 = 6 ρ 2 cos 2θ
astigmatismus (vertikální)
3. řádu
Z 3−3 = 8 ρ 3 sin 3θ
(
trefoil
)
Z 3−1 = 8 3ρ 3 − 2 ρ sin θ
koma vertikální
Z 31 = 8 3ρ 3 − 2 ρ cos θ
koma horizontální
(
)
Z 33 = 8 ρ 3 cos 3θ
4. řádu
trefoil
Z 4−4 = 10 ρ 4 sin 4θ
(
)
tetrafoil (šikmý)
Z 4− 2 = 10 4 ρ 4 − 3ρ 2 sin 2θ sekundární astigmatismus (šikmý)
(
)
Z 40 = 5 6 ρ 4 − 6 ρ 2 + 1
(
)
sférická aberace
Z 42 = 10 4 ρ 4 − 3ρ 2 cos 2θ sekundární astigmatismus (vertikální)
Z 44 = 10 ρ 4 cos 4θ
tetrafoil (vertikální)
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
18
Zernikovy polynomy
(faktorizace v ρ a θ)
sudé (kladné)
Z m (ρ , θ ) = R m (ρ ) cos(mθ )
n
n
liché (záporné)
Z − m (ρ , θ ) = R m (ρ )sin (mθ )
n
n
kde
0 ≤ ρ ≤1
0 ≤ θ ≤ 2π
Zernikovy polynomy
komplexní
Z m  ρ , θ  = R m  ρ e imθ
n
n
n− m
2n + 2
×
kde R m  ρ  =
n
1+ δ
m0


2
∑
k =0
k!






− 1 k  n − k !
n+ m
2






−k !






n− m
2
n − 2k
ρ


− k !


je radiální funkce
a kombinace n ± m je vždy sudá
Počet (n + 1) Zernikeho polynomů daného řádu n je zřejmý :
Například polynom druhého řádu n = 2 obecně
Z 2m = ax 2 + bxy + cy 2 + dZ 1+1 + eZ1−1 + fZ 00
má právě n + 1 = 3 další nezávislé koeficienty a,b,c
(3 další nezávislé funkce x 2 , xy a y 2 na jednotkovém kruhu),
a proto existují právě 3 možné hodnoty vedlejšího indexu m = −2,0,2
pro Zernikeho polynomy druhého řádu Z 2m
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
19
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
20
Přepočet indexů j
n,m
n(n + 2 ) + m
2
 − 1 + 1 + 8 j  zaokrouhli
radiální číslo (řád) : n = 

dolů
2


úhlové číslo (frekvence) : m = 2 j − n(n + 2)
modové číslo : j =
Například n = 3, m = 1 dává j = (3 * 5 + 1)/2 = 8,
a tedy Z 31 = Z 8
 − 1 + 1 + 8 *11 
a naopak j = 11 dává n = 
 = 4.22 = 4
2


a m = 2 *11 - 4 * 6 = -2 a tedy Z 11 = Z 4− 2
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
21
Rozklad funkce do Zernikeho polynomů, Zernikeho koeficienty
Aberační funkci W rozkládáme do Zernikeho polynomů Z m
n
W = ∑ c nm Z nm = c00 Z 00 + c1−1 Z 1−1 + c11 Z 11 + c 2− 2 Z 2− 2 + c 20 Z 20 + c 22 Z 22 + ...,
m ,n
tak dostaneme Zernikovy koeficienty c m .
n
Díky ortonormalitě Z nm se snadno najdou Zernikeho koeficienty c nm k funkci W = ∑ c nm Z nm .
m,n
Pokud W vynásobíme Z nm' ' a vystředujeme přes jednotkový disk, dostaneme
WZ nm' ' = ∑ c nm Z nm Z nm' ' = ∑ c nmδ nn 'δ mm ' = c nm' '
m,n
m ,n
tedy pro hledané Zernikovy koeficienty c nm platí :
c = WZ
m
n
m
n
Ve skutečnosti aberometr počítá podle vzorce :
Matematická definice:
ortogonalita :
Z nm Z nm' ' = δ nn 'δ mm '
1 N
c ≈ ∑ W ( x k , y k )Z nm (x k , y k ),
N k =1
kde se sčítá přes celou mřížku N bodů ( x k , y k )
norma :
POZOR!
funkce W přes jednotkový disk S :
Zernikeho koeficienty c nm závisí na velikosti R pupily!
W=
m
n
c nm ∝ R n
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
Z nm Z nm = 1,
kde W značí střední hodnotu
1
WdS
S ∫S
22
Výpočet střední hodnoty:
_
Střední hodnota y
funkce y(x)
na intervalu (a,b)
y(x)
y
x
Například :
1
1
1 = ∫ 1dS = S = 1,
S
S
1
x = ∫ xdS = 0, (plyne ze symetrie, Z 00 = 1 a Z 11 = 2 x kolmé)
S
1
y = ∫ ydS = 0, ( tedy Z 00 = 1 a Z 1−1 = 2 y kolmé)
S
1
xy = ∫ xydS = 0, ( tedy Z 11 = 2 x a Z 1−1 = 2 y kolmé)
S
ale
1
1
x = ∫ x 2 dS =
S
S
2
2π 1
∫ ∫ ρ cos θ ρdρdθ =
2
2
0 0
1
π
2π
1
2
d
cos
ρ
ρ
∫
∫ θ dθ =
3
0
0
a
b
11
1
π=
4
π 4
1
( tedy normované Z 1−1 = 2 y a Z 11 = 2 x ), a proto také
4
1
1
2 ρ 2 − 1 = 2 x 2 + 2 y 2 − 1 = 2 x 2 + 2 y 2 − 1 = 2 + 2 − 1 = 0, ( tedy Z 00 = 1 a Z 20 = 3 2 ρ 2 − 1 kolmé)
4
4
a podobně y 2 =
(
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
)
23
Podobně :
1
x =y =
4
4
x y =
2
4
∫ ρ dρ ∫ cos θ dθ =
5
0
0
1 1 3π 1
= ,
π 6 4 8
2π
1
1
2
π
2π
1
2
2
∫ ρ dρ ∫ cos θ sin θ dθ =
5
π
0
0
1 1π
1
=
,
π 6 4 24
ρ 4 = (x 2 + y 2 ) = x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 = + 2 *
1
8
2
(
1 1 1
+ = .
24 8 3
)
2
1
1
1
Protože 2 ρ 2 − 1 = 4 ρ 4 − 4 ρ 2 + 1 = 4 * − 4 * + 1 = ,
3
2
3
bude normovaný polynom Z 20 = 3 2 ρ 2 − 1 , a protože
(
(x
2
− y2
)
2
= x 4 − 2x 2 y 2 + y 4 =
)
1
1 1 1
−2 + =
8
24 8 6
nebo ( xy ) = x 2 y 2 =
1
,
24
bude normovaný polynom Z 22 = 6 x 2 − y 2
2
(
)
(
)
a Z 2− 2 = 24 xy = 6 2 xy.
Protože x 2 − y 2 ( xy ) = x 3 y − xy 3 = 0 budou Z 22 a Z 2− 2 kolmé
(
)
a podobně protože 2 ρ 2 − 1 ( xy ) = 2 x 3 y + 2 xy 3 − xy = 0 budou Z 20 a Z 2− 2 kolmé.
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
24
Aberační funkce
Aberace je možno zkoumat paprskově (Seidel) nebo vlnově (Airy, Fraunhoffer, Abbe, Zernike)
Analýza vlnoplochy (wavefront analysis, aberometry)
Aberační funkce (vlnové aberace) W
Vlnoplocha
Množina bodů o stejné fázi, obvykle sféra nebo rovina
A
B
W
R
S S0
Ideálně z bodu A vycházející sférická vlnoplocha R se transformuje na čočce
ve sbíhavou sférickou vlnoplochu S0, která vytvoří bodový obraz B.
Reálně se místo sférické vlnoplochy S0 pozoruje porušená vlnoplocha S a jejich rozdíl
W = S - S0 představuje aberační funkci (vlnovou aberaci)
Místo bodu B dostaneme v obrazové rovině rozmazanou plošku
Vlnové aberace se měří v obrazovém prostoru za optickým přístrojem (u oka to nejde!)
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
25
Aberační funkce z hlediska paprskové optiky :
P
W (x, y ) = W (P ) = l (P ) − l (O )
kde l (P ) = l ( APB ) a l (O ) = l ( AOB ) jsou optické dráhy l = ∫ nds
a P = ( x, y ) a O = (0,0) jsou body ve vstupní pupile optické soustavy
Ideální soustava má podle Fermatova principu W (x, y ) = 0,
reálná soustava má W (x, y ) ≠ 0.
A
O
B
Obecně z definice je W (0,0) = W (O ) = 0.
Zdroje aberací oka:
Nepravidelnosti a nerovnoměrnosti oka, především
rohovky a čočky, tj. asféričnost lámavých ploch a
nehomogenity optických médií, dále třeba disperze,
odchlípení sítnice …
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
26
Monochromatické aberace (Seidelova aproximace)
sférická vada
=
symetrická aberace
širokých svazků
kaustika
W ∝ ρ4
θ
y
y′
ρ
W ∝ Z 40
kaustika
koma
=
asymetrická aberace
šikmých
a širokých svazků
W ∝ yρ 3 cos θ
W ∝ Z 31
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
27
astigmatismus (simplex)
astigmatismus (mixtus)
W ∝ y 2 ρ 2 cos 2 θ
W ∝ y 2 ρ 2 cos 2θ
W ∝ Z 22 ⊕ Z 20
W ∝ Z 22
zkreslení
W ∝ y 3 ρ cos θ
W ∝ Z 11
zklenutí pole
W ∝ y2ρ 2
soudkovité
poduškovité
W ∝ Z 20
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
28
Aberometrie oka metodou wavefront analysis
Zkoumáním vlnoplochy (wavefront analysis) se měří i aberace oka, jen se musí vytvořit umělý zdroj
světla na sítnici a využije se obrácený chod paprsků
Automaticky a objektivně měří aberace oka aberometr (wavefront aberometer), který využívá ShackHartmannův senzor a rychlou numerickou analýzu vlnoplochy
Reálná vlnoplocha
W(x,y)
Rozptyl
stopy
laseru
na sítnici
CCD
senzor
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
29
Shack-Hartmannův senzor
Apertura s mřížkou malých čoček (typicky rozměr mikročočky 0.1 mm)
Dopadá-li neporušená rovinná vlna, dostaneme za SHS pravidelnou mřížku bodů
Dopadá-li porušená vlna, bude mřížka nepravidelná a body rozmazané
maska
mikročoček
Laserem se osvětlí sítnice oka, stopa se zobrazí SH senzorem na CCD snímač o rozměru apertury oka
U dokonalého oka se dostane rovinná vlna a tedy pravidelná mřížka
Obraz
porušené mřížky
na CCD snímači
aberační funkce W = l − l 0 se najde ze sklonů
∂W ∆x
∂W ∆y
, β ( x, y ) =
≈
≈
f
∂x
f
∂y
numericky pomocí křivkového integrálu
α ( x, y ) =
W ( x, y ) = ∫
( x, y )
(0, 0 )
(αdx + βdy )
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
Práce s aberační funkcí W je nepohodlná
(příliš rozsáhlá matice dat, málo názorná),
proto se provádí rozklad aberační funkce
do Zernikeho polynomů a pracuje se dále
jen s Zernikeho koeficienty.
30
β
∆y
0
W(x,y) W(0,0)
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
SHS
CCD
vypočtená W
31
Shack-Hartmann
sensor image
Wavefront maps
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
32
Z historie Shack-Hartmannova senzoru
Johannes Franz Hartmann, astrofyzik, kolem roku 1900 používá na testování kvality objektivů masku
s několika malými otvory (Hartmannova maska, Scheinerova maska)
Během studené války snaha o zlepšení kvality satelitních špionážních snímků vede k vzniku
adaptivní optiky, ta potřebuje znát velikost deformace vlnoplochy po průchodu atmosférou,
proto koncem 60. let Roland Shack a Ben Platt vylepšují Hartmannovu masku řadou malých čoček.
Kolem roku 1985 (Josef Bille, Heidelberg) první aplikace SHS v oftalmologii: topografie rohovky,
později aberometrie oka
První komerční masky pro SHS
Roland Shack
1927 - *
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
Josef Bille 1944 - *
Johannes Franz Hartmann
1865 - 1936
33
Kvantifikace aberace – RMS aberační funkce (RMS wavefront error)
RMS =
(∆W )
2
(W − W )
2
=
=
1
N
∑ (W (x
N
k =1
k , yk ) − W )
2
RMS je směrodatná odchylka (odmocnina z variance) vlnové aberace (aberační funkce W) na apertuře.
Místo aberační funkce W pracujeme raději s Zernikeho koeficienty cnm , díky ortonormalitě Zernikeho
polynomů platí:
RMS =
(W − W )
2
2


=  ∑∑ c nm Z nm  =
 n>0 m

∑∑ ∑∑ c
n > 0 m n '> 0 m '
m m'
n n'
c Z nm Z nm' '
ale Z nm Z nm' ' = 0 pro n ≠ n' a m ≠ m' a Z nm Z nm' ' = 1 pro n = n' a m = m' , takže
RMS =
∑∑ (c )
n >0 m
m 2
n
=
(c ) + (c ) + (c ) + (c ) + (c )
−1 2
1
1 2
1
−2 2
2
0 2
2
2 2
2
+ ...
jen c00 z rozvoje vypadne, neboť W = c00
platí také
Je - li aberace dána pouze sférou (defokus),
RMS =
(W − W )
2
= W 2 −W
2
platí W = c 20 Z 20 , takže RMS = c 20 .
Je - li aberace dána pouze zkříženým cylindrem (astigmatismus mixtus),
platí W = c 2± 2 Z 2± 2 , takže RMS = c 2± 2
Je - li aberace dána pouze sférou i cylindry,
platí W = c 20 Z 20 + c 2− 2 Z 2− 2 + c 22 Z 22 , takže RMS =
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
(c ) + (c ) + (c ) .
−2 2
2
0 2
2
2 2
2
34
Ekvivalentní defokus
W
Pro sférickou vlnoplochu o poloměru f = 1/M platí
W (r ) = f −
r2 1
f −r ≈
≈ Mr 2
2f 2
2
2
R
r
MR 2
M 2R4
MR 2
2
2
→ RMS = ∆W =
a tedy W =
aW =
4
12
4 3
Ideální čočka o lámavosti M změní rovinnou vlnoplochu
ve sférickou o poloměru f = 1/M , takže defokus vlnoplochy
v dioptriích je M =
f
F
4 3
RMS
R2
Pro obecnou aberaci definujeme ekvivalentní defokus stejným předpisem
Me =
4 3
RMS
2
R
Ekvivalentní kroužek rozostření
Podobně definujeme ekvivalentní kroužek rozostření (blur circle diameter) v úhlové míře
Be = 2 RM e =
8 3
RMS (v mrad)
R
vízus V ≈
2′
2′ 2 + Be2
≈
2′
(1′ ≈ 0.29mrad)
Be
Příklad : Pro směrodatnou odchylku vlnoplochy RMS = 1µm a pupilu 5 mm ( R = 2.5 mm)
→ M e ≈ 1.1 D a Be ≈ 5.5 mrad ≈ 19′ a vízus 0.10
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
35
Vztah mezi sférou a cylindrem a Zernikovými polynomy
Obecně pro vlnoplochu ve tvaru kvadriky (astigmatismus compositus) platí :
(
)
(
M(θ)
)
1
1
1
M x 2 + y 2 + J 0 x 2 − y 2 + J 45 2 xy,
(*)
2
2
2
1
tj. lámavost ve směru 0° (osa x) je W = (M ± J 0 )x 2 → M (0 ) = M + J 0 ,
2
1
ve směru 90° (osa y ) je W = (M − J 0 ) y 2 → M (90°) = M − J 0 ,
2
1
a ve směru ± 45° ( y = ± x) je W = (M ± J 45 )r 2 → M (± 45°) = M ± J 45 ,
2
1
obecně ve směru θ je x = rcosθ a y = rsinθ a tedy W = M (θ )r 2 , kde
2
obecná lámavost je M (θ ) = M + J 0 cos 2θ + J 45 sin 2θ
W =
y
θ
M+J
x
M-J
Výsledný cylindr je
2
J = J 02 + J 45
2
takže maximální a minimální lámavost je M ± J 02 + J 45
a pozoruje se ve směru tan 2θ =
J 45
J0
Aberační funkci (*) lze přepsat pomocí Zernikových polynomů 2. řádu do tvaru
x2 + y2
x2 − y2
xy
−2
2
W = c Z − Z (0,0) + c Z + c Z = c 2 3
+
c
+
c
6
2
6
2
2
R2
R2
R2
4 3
2 6
2 6
a tedy srovnáním obou zápisů M = c 20 2 a J 0 = c 22 2 a J 45 = c 2− 2 2
R
R
R
0
2
(
2
0
2
0
)
2
2
2
2
−2
2
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
−2
2
0
2
36
Pupilový zlomek
Kvantifikace optické kvality oka
(1) číslem
•
•
•
•
•
RMS wavefront error, dokonalé oko RMS = 0
Ekvivalentní defokus Me
Absolutní rozdíl ∆W = Wmax – Wmin (PV-value)
podle Rayleigha je pro ∆W < λ/4 prakticky
dokonalé zobrazení
Pupilový zlomek (pupile fraction) PF = S/S0
Strehlův poměr S = I/I0 _(podle Strehla pro
S>0.8, prakticky dokonalé zobrazení)
(2) grafem
•
•
•
•
Mapa aberačních křížů
(Power cross map)
Mapa aberačních křížů
Bodová rozptylová funkce (PSF)
Optická funkce přenosu (OTF=FT(PSF))
Modulační přenosová funkce (MTF=|OTF|)
(3) aberační funkcí
•
•
•
2D topografie
3D zobrazení
Zernikeho koeficienty
ekvivalentní defokus
4 3
RMS
2
R
4 3
−1 2
= 2
c1 + c11
R
Me =
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
( ) ( ) + (c ) + (c ) + (c )
2
−2 2
2
0 2
2
2 2
2
+ ...
37
Bodová rozptylová funkce PSF
rozmazaný obraz bodu
PSF slouží k výpočtu obrazu O obecného předmětu P pomocí konvoluce ⊗
O = P ⊗ PSF
Z Fresnelovy difrakční teorie :
PSF(α , β ) = ∫ exp[ikW ( x, y )]exp[- ik ( xα + yβ )]dxdy
bodová rozptylová funkce
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
38
I(θ)
Strehlův poměr
Strehlův poměr S =
I
maximum reálné intenzity PSP
=
I 0 maximum ideální intenzity PSP
I0
I
Z Fresnelovy difrakční teorie pro malé RMS plyne :
(
S = exp(ikW ) ≈ 1 − k 2 RMS 2 ≈ exp − k 2 RMS 2
2
)
(Maréchalova a Mahajanova aproximace), neboť
(
exp(ikW ) = 1 + ikW − k W + ... = 1 − k 2 W 2 − W
2
2
2
2
2
)+ ...
Strehlovo kriterium pro kvalitní optiku S > 0.8
dává k 2 RMS 2 < 0.2
neboli RMS <
λ
λ
≈
2π 5 14
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
v optometrii je ale
obvykle S << 1
39
Prostorová frekvence
Optická funkce přenosu OTF
OTF=FT(PSF)
modulace 100 %
Modulační přenosová funkce MTF
Jak se přenese původně 100% kontrast periodické mřížky?
MTF=|OTF|
kontrast = MTF(ω ) =
I max − I min
I max + I min
Kontrast (modulace)
ω malé
ω velké
kontrast + frekvence
modulace 100 %
modulace 50 %
modulace 30 %
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
40
Teoretické hodnoty PSF a OTF
Difrakce na kruhové apertuře D=2R
Airyho disk θ ≈ 1.22λ/D ≈ 0.61λ/R
 2 J (kR sin θ )
PSF =  1

 kR sin θ 
OTF =
2
[
arccos ω − ω
π
2
]
1 − ω 2 , kde ω =
λ
D
νθ
mezní prostorová frekvence :
ν θ = D / λ (ω = 1)
pro D = 2 mm a λ = 555 nm je mezní frekvence
ν θ ≈ 3590 čar na radián ≈ 63 čar na stupeň
neboli
ν θ ≈ 1 čára na minutu (V ≈ 1)
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
41
Testovací mřížka
15-40 čar na deg
Difrakce
R = 1 mm
Defokus
0.25 D
rozliší jen 20 čar/deg
V ≈ 0.3
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
42
Wavefront refraction (prémiová korekce)
Standardně se najde sférocylindrická korekce z Zernikeho koeficientů 2. řádu
(LOA method – odpovídá minimální RMS)
Lepší korekce (prémiová) se dosahuje pomocí oskulační kvadratické plochy
k aberační funkci W ve středu pupily
(HOA method – započtou se i aberace vyšších řádů)
Z Zernikeho koeficientů druhého řádu
Lepší je oskulační kvadrika
− c 20 4 3
M =
R2
− c 22 2 6
J0 =
R2
− c 2− 2 2 6
J 45 =
R2
− c 20 4 3 + c 40 12 5 − c60 24 7 + ...
M =
R2
− c 22 2 6 + c 42 6 10 − c62 12 14 + ...
J0 =
R2
− c 2− 2 2 6 + c 4− 2 6 10 − c6− 2 12 14 + ...
J 45 =
R2
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
43
MTF z HOA
PSF z HOA
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
po prémiové korekci
po prémiové korekci
44
i.Profiler firmy Zeiss
Plně automatický multifunkční přístroj:
Aberometrie (Shack-Hartmann)
Analýza LOA, HOA, autorefraktometr
1 500 měřicích bodů
Doba měření: 0.2 s
Topografie rohovky (Placido projektor)
Topografie, keratometrie
6 144 analyzovaných bodů
Grafické výstupy
LOA, HOA, topografie, 3D zobrazení
PSF, MTF, Zernikovy koeficienty atd.
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
45
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
46
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
47
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
48
Pupila 5 mm
2.50µ[email protected]°
0.31µ[email protected]°
0.19µ[email protected]°
(c
) (
, c n− m → c n , m θ n
+m
n
m
m
)
c n+ m = c n cos m θ n
m
m
c n− m = c n sin m θ n
m
c n− m
m
Zernikeho koeficienty
v polárním zápisu
(c
+m
n
, c n− m
)
m
cn
mθn
m
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
c n+ m
49
PSF odpovídající Z(n,m)
vlnolochy odpovídající Z(n,m)
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
50
Koherentní osvětlení
Test na temném pozadí
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
51
Optický test
pro vízus 1.0 resp. 0.6,
tj. výška 5´ resp. 9´
Difrakce
PSF - Airyho disk
Oko bez aberací, pouze vliv difrakce světla
pupila 5 mm
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
pupila 2 mm
pupila 1 mm
52
sféra 0.25 D
sféra 0.50 D
sféra 1.00 D
Sféra a cylindr (astigmatismus prostý)
Aberace 2. řádu
všude pupila 5 mm
astigmatismus cyl. 0.25 D
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
astigmatismus cyl. 0.25 D
53
Astigmatismus Z2-2 0.25 D
astigmatismus Z2-2 0.50 D
astigmatismus Z2-2 1.00 D
Astigmatismus mixtus
astigmatismus Z22 0.25 D
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
astigmatismus Z22 0.50 D
astigmatismus Z22 1.00 D
54
Moje oko
Z 3−3
RMS = 3.12 µm
Me=3.45 D
V ≈ 0.03
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
RMS HOA = 0.22 µm
Me= 0.24 D
V ≈ 0.4
55
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
HOA
HOA - 0.20 D
RMS = 0.22 µm
RMS = 0.28 µm
56
RMS = 0.39 µm
HOA + prémiová korekce M = -0.27 D, J0 = 0.13, J45 = 0.09
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
57
Aberace vyšších řádů
Ekvivalentní defokus 0.25 D
Z(3,1)
Z(3,3)
Z(3,-1)
J. Bajer, Katedra
optiky, UP Olomouc 2013
Z(3,-3)
58
Ekvivalentní defokus 0.25 D
Z(4,2)
Z(4,4)
Z(4,0)
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
Z(4,-2)
Z(4,-4)
59
Ekvivalentní defokus 0.25 D
Z(5,1)
Z(5,-1)
J. Bajer, Katedra
optiky, UP Olomouc 2013
Z(5,3)
Z(5,-3)
Z(5,5)
Z(5,-5)
60
Nekoherentní osvětlení
Test na bílém pozadí
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
61
Optický test
pro vízus 1.0 resp. 0.6,
(malá resp. velká písmena)
tj. výška 5´ resp. 9´
Difrakce
PSF - Airyho disk
Oko bez aberací, pouze vliv difrakce světla
pupila 5 mm
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
pupila 2 mm
pupila 1 mm
62
sféra 0.125 D
sféra 0.25 D
sféra 0.50 D
Sféra a cylindr (astigmatismus prostý)
Aberace 2. řádu
všude pupila 5 mm
cylindr 0.25 D
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
cylindr 0.25 D
63
astigmatismus Z2-2 0.25 D
astigmatismus Z2-2 0.50 D
astigmatismus Z2-2 1.00 D
Astigmatismus mixtus
astigmatismus Z22 0.25 D
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
astigmatismus Z22 0.50 D
astigmatismus Z22 1.00 D
64
Moje oko
Z 3−3
RMS = 3.12 µm
Me=3.45 D
V ≈ 0.03
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
RMS HOA = 0.22 µm
Me= 0.24 D
V ≈ 0.4
65
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
HOA
HOA - 0.20 D
RMS = 0.22 µm
RMS = 0.28 µm
66
RMS = 0.39 µm
HOA + prémiová korekce M = -0.27 D, J0 = 0.13, J45 = 0.09
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
67
Aberace vyšších řádů
Ekvivalentní defokus 0.25 D
Z(3,1)
Z(3,3)
Z(3,-1)
J. Bajer, Katedra
optiky, UP Olomouc 2013
Z(3,-3)
68
Ekvivalentní defokus 0.25 D
Z(4,2)
Z(4,4)
Z(4,-2)
Z(4,-4)
Z(4,0)
J. Bajer, Katedra optiky, UP Olomouc 2013
69
Ekvivalentní defokus 0.25 D
Z(5,1)
Z(5,-1)
J. Bajer, Katedra
optiky, UP Olomouc 2013
Z(5,3)
Z(5,5)
Z(5,-3)
Z(5,-5)
70

Podobné dokumenty

XXII. sjezd České kontaktologické společnosti, os

XXII. sjezd České kontaktologické společnosti, os jako pomůcka umožňující dyslektickým čtenářům plynulejší čtení. Výzkum porovnává účinek těchto filtrů na rychlost čtení a chybovost u dyslektických dětí a u skupiny kontrolní, tedy dětí bez čtecích...

Více

Zkoušení textilií pro bakaláře 1

Zkoušení textilií pro bakaláře 1 Vlastnosti jsou objektivně měřitelné nebo subjektivně popsatelné a jsou vyjadřovány naměřenými hodnotami, které jsou označovány jako experimentální data. Zato data jsou zpracována metodami matemati...

Více

Oční operace laserem - Optika Vahala Frenštát pod Radhoštěm

Oční operace laserem - Optika Vahala Frenštát pod Radhoštěm na rohovce se přirozeně hojí a díky tomu dochází ke stabilizaci rohovkového zakřivení. Hojení vzniklých nářezů se pohybuje okolo 3 – 6 měsíců. Incizní keratotomie se dělí podle nářezů na rohovce na...

Více

offline v PDF - Mathematical Assistant on Web

offline v PDF - Mathematical Assistant on Web vše za podmı́nky, že prvnı́ komponenta normálového vektoru je nenulová. • Poznámka: bez újmy na obecnosti většinou při definici implicitnı́ funkce bereme C = 0. Vskutku, pokud definujeme ...

Více

PDF ke stažení

PDF ke stažení nikoliv jako hotové knihy, ale po částech – po arších, jež zájemce kupoval levněji, a teprve postupně, třeba po desetiletích, až bylo celé dílo hotové, si je mohl dát svázat. Dokončit takto před ně...

Více

PDF ke stažení

PDF ke stažení přesahuje, posílají klienta ke specializovanému lékaři. Pak samostatně zhotovují čočky. Mají k dispozici také řadu obrub, které katedra objednává. Nejpopulárnější obruby jsou podle obou studentů v ...

Více

PDF ke stažení

PDF ke stažení techniky. Tímto způsobem byla pochopitelně ovlivněna i oblast výroby brýlových čoček. Dříve pouze mechanické přístroje pracující v jednom nebo maximálně několika režimech získávají díky svému „soft...

Více

Anizometropie Kontrastní citlivost Rozhovor

Anizometropie Kontrastní citlivost Rozhovor v podstatě nastal až onoho roku 1924. Dnes však víme, že musíme znát obě teorie a aplikovat je podle „druhu“ příslušných jevů. A tady je nutno konstatovat, že právě stoupenci vlnové teorie důkladně...

Více