Souvislost Pythagorovy věty, dívky z Playboye a - Škomam

Souvislost Pythagorovy věty, dı́vky z Playboye
a superpočı́tánı́
ŠKOMAM 2014, 22. ledna
Dalibor Lukáš
Katedra aplikované matematiky, FEI
IT4Innovations
VŠB-TU Ostrava
web: lukas.am.vsb.cz
email: [email protected]
,,Neumı́m-li něco vysvětlit jednoduše, pak tomu dostatečně nerozumı́m.”
A. Einstein
Pythagorova věta, dı́vka z Playboye a superpočı́tánı́
Osnova
• Geometrie soustav lineárnı́ch rovnic
• Souvislost Pythagorovy věty a dı́vky z Playboye
• Souvislost Pythagorovy věty a superpočı́tánı́
• Přı́klad do ŠKOMAM CUPu
Pythagorova věta, dı́vka z Playboye a superpočı́tánı́
Osnova
• Geometrie soustav lineárnı́ch rovnic
• Souvislost Pythagorovy věty a dı́vky z Playboye
• Souvislost Pythagorovy věty a superpočı́tánı́
• Přı́klad do ŠKOMAM CUPu
Geometrie soustav lineárnı́ch rovnic
Pohled po řádcı́ch
1
2. rovnice
0.5
0
x
x1 + 2 x2 = 1
x1 − x2 = 2
x2
−0.5
−1
1. rovnice
−1.5
−2
−2.5
−3
−1
0
1
x1
2
3
Geometrie soustav lineárnı́ch rovnic
Pohled po sloupcı́ch
2
b
x2 a2
1.5
x1 + 2 x2 = 1
x1 − x2 = 2
1
x2
a1
1
1
2
x1
+x2
=
1
2
−1
|{z}
| {z } |{z}
=:a1
=:a2
x1 a1
0.5
0
=:b
−0.5
a2
−1
−0.5
0
0.5
1
x1
1.5
2
2.5
Geometrie soustav lineárnı́ch rovnic
Nejjednoduššı́ soustavy: x1, x2 ,,řešı́me” nezávisle
2
x2 a2
1.8
1.6
= 1
x2 = 2
1.4
1.2
x2
x1
1
1
0
x1
+x2
=
0
2
1
|{z}
|{z} |{z}
=:a1
=:a2
=:b
a2
1
0.8
0.6
0.4
a1 = x1 a1
0.2
0
−0.5
0
0.5
x1
1
1.5
Geometrie soustav lineárnı́ch rovnic
x1, x2 řešı́me nezávisle ⇔ a1⊥a2
2
x2 a2
b
1.8
1.6
x1 − x2 = 1
x1 + x2 = 2
1.4
x2
1.2
1
1
−1
x1
+x2
=
1
2
1
|{z}
| {z } |{z}
=:a1
=:a2
=:b
1
x1 a1
a2
a1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−1
−0.5
0
x1
0.5
1
1.5
Pythagorova věta, dı́vka z Playboye a superpočı́tánı́
Osnova
• Geometrie soustav lineárnı́ch rovnic
• Souvislost Pythagorovy věty a dı́vky z Playboye
• Souvislost Pythagorovy věty a superpočı́tánı́
• Přı́klad do ŠKOMAM CUPu
Souvislost Pythagorovy věty a dı́vky z Playboye
Pythagorova věta
2
c
1.8
kak2 + kbk2 = kck2,
1.6
1.4
√
kak = a · a
je norma vektoru a
x2
1.2
kde
b
1
b
0.8
a
0.6
x · y := x1 y1 + x2 y2 + . . .
0.4
je skalárnı́ součin vektorů.
0.2
0
−0.5
0
0.5
x1
1
1.5
2
Souvislost Pythagorovy věty a dı́vky z Playboye
Kolmost neboli ortogonalita
a + b = c,
2
t.j.
c
b
1.8
(a + b) · (a + b) = c · c,
1.6
1.4
t.j.
2
1.2
2
kak +kbk +2 a · b = kck .
x2
2
b
1
a
0.8
Tedy pro a, b 6= 0:
a⊥b ⇔ a · b = 0.
Mı́ra kolmosti:
a·b
cos α =
kak kbk
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
x1
1.5
2
Souvislost Pythagorovy věty a dı́vky z Playboye
Ortogonálnı́ projekce vektoru b na vektor (přı́mku) a
2
Hledám x ∈ R:
1.6
b − x a =: e⊥a,
(b − x a) · a = 0,
t.j.
x=
1.4
Pa(b)
1.2
x2
t.j.
e
b
1.8
1
a
0.8
0.6
b·a
,
a·a
Pa(b) := x a.
0.4
0.2
0
−0.5
0
0.5
x1
1
1.5
2
Geometrie soustav lineárnı́ch rovnic
x1, x2 řešı́me nezávisle ⇔ a1⊥a2
2
b
1.8
x1 − x2 = 1
x1 + x2 = 2
1.6
1.4
1
1
−1
x1
+x2
=
1
2
1
|{z}
| {z } |{z}
x1 =
b · a1
,
2
ka1k
=:a2
x2 =
=:b
b · a2
ka2k2
x2
1.2
=:a1
x2 a2 = Pa2 (b)
1
x1 a1 = Pa1 (b)
a2
a1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−1
−0.5
0
x1
0.5
1
1.5
Pythagorova věta a JPEG
Projekce vektoru do (hyper)roviny: JPEG komprese
bitmapa
5%-komprese Fourierovou bázı́
Pythagorova věta a JPEG
JPEG: Fourierova L2–ortogonálnı́ báze fjk (x, y) := eıω(jx+ky)
Re f11(x, y)
Re f12(x, y)
Re f21(x, y)
Re f22(x, y)
1
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0.5
0
0
0
0
−0.5
−0.5
−0.5
−0.5
−1
1
−1
1
−1
1
1
0.5
0.5
0.6
1
0.8
0.2
0
Re f13(x, y)
0.2
0
0
0.4
0.2
0
0
Re f31(x, y)
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0.5
0
0
0
0
−0.5
−0.5
−0.5
−0.5
−1
1
−1
1
1
0.5
0.6
0.5
0.6
0.4
0
0.2
0
−1
1
1
0.8
1
0.8
0.5
0.6
0.4
0
0.2
0
0.2
0
Re f32(x, y)
1
0.8
0.6
0.4
Re f23(x, y)
−1
1
0.8
0.5
0.6
0.4
0
1
0.8
0.5
0.6
0.4
0
−1
1
1
0.8
1
0.8
0.5
0.6
0.4
0
0.2
0
Ortogonalita (v L2 skalárnı́m součinu) =⇒ rychlá komprese
0.4
0
0.2
0
Pythagorova věta a JPEG
Projekce vektoru do (hyper)roviny: Lena — ,,prvnı́ dáma internetu”
Lena Sjööblom, playmate 1972
Lena Söderberg, 1997
Metoda nejmenšı́ch čtverců
Ortogonálnı́ projekce vektoru b na vektor (přı́mku) a
2
x = 2
x = 1
1.6
=:b
Nejlepšı́ kandidát na řešenı́
je x
b ∈ R:
x
b a = Pa(b).
1.4
Pa(b)
1.2
x2
2
1
=
x
1
1
|{z} |{z}
=:a
e
b
1.8
1
a
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.5
0
0.5
x1
1
1.5
2
Proloženı́ EKG signálu lékařským modelem
Projekce vektoru do (hyper)roviny: zpracovánı́ EKG signálu
model EKG signálu
,,fitovánı́”naměřeného signálu modelem
R
1
150
100
0.8
50
T
0.6
0
−50
P
0.4
−100
0.2
−150
−200
0
−250
−0.2
Q
−0.4
0
20
40
60
80
S
100
−300
120
140
160
180
200
−350
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Pythagorova věta, dı́vka z Playboye a superpočı́tánı́
Osnova
• Geometrie soustav lineárnı́ch rovnic
• Souvislost Pythagorovy věty a dı́vky z Playboye
• Souvislost Pythagorovy věty a superpočı́tánı́
• Přı́klad do ŠKOMAM CUPu
Souvislost Pythagorovy věty a superpočı́tánı́
Přibližné řešenı́ soustav metodou prostých iteracı́ — 1. iterace
1
1
cos α
x1
+x2
=
0
2
sin α
|{z}
| {z } |{z}
=:a1
=:a2
=:b
x0 := 0
r0 := b − x01 a1 − x02 a2
k := 0
while krk k/kr0k > ε do
xk+1 := xk + rk
k+1
rk+1 := b−xk+1
a
−x
a2
1
1
2
k := k + 1
end while
xk je přibližné řešenı́
2
b
x12 e2
1.8
r1
x12 a2
1.6
x11 a1 + x12 a2
1.4
1.2
1
e2
a2
0.8
0.6
0.4
0.2
a1 = e1 = x11 e1
0
0
0.5
1
1.5
2
Souvislost Pythagorovy věty a superpočı́tánı́
Přibližné řešenı́ soustav metodou prostých iteracı́ — 2. iterace
1
1
cos α
x1
+x2
=
0
2
sin α
|{z}
| {z } |{z}
=:a1
=:a2
1.2
e2
1
=:b
x0 := 0
r0 := b − x01 a1 − x02 a2
k := 0
while krk k/kr0k > ε do
xk+1 := xk + rk
k+1
rk+1 := b−xk+1
a
−x
a2
1
1
2
k := k + 1
end while
xk je přibližné řešenı́
a2
0.8
0.6
0.4
r2
r11 a1
+
r21 a2
r21 e2
r21 a2
0.2
a1 = e1
0
−0.2
−1
r11 a1 = r11 e1
−0.5
0
0.5
1
Souvislost Pythagorovy věty a superpočı́tánı́
Přibližné řešenı́ soustav metodou prostých iteracı́ — 3. iterace
1
1
cos α
x1
+x2
=
0
2
sin α
|{z}
| {z } |{z}
=:a1
=:a2
=:b
x0 := 0
r0 := b − x01 a1 − x02 a2
k := 0
while krk k/kr0k > ε do
xk+1 := xk + rk
k+1
rk+1 := b−xk+1
a
−x
a2
1
1
2
k := k + 1
end while
xk je přibližné řešenı́
1
0.9
e2
a2
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.2
...
a1 = e1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Souvislost Pythagorovy věty a superpočı́tánı́
Analýza konvergence metody prostých iteracı́
1
cos α
a1 :=
, a2 :=
:
0
sin α
rk+1 = b − xk+1
a1 − xk+1
a2
1
2
= b − (xk1 + r1k ) a1 − (xk2 + r2k ) a2
= rk − r1k a1 − r2k a2
− cos α
= r2k
1 − sin α
2
k+1 2
k+1
k+1
k 2
2
kr k = r · r
= r2 cos α + (1 − sin α) ≤ krk k2 Kα
{z
}
|
=2(1−sin α)=:Kα
Metoda konverguje pro α ∈ (π/6, 5π/6) ∪ (−5π/6, π/6):
√
Přesnosti ε je dosaženo v k ≥ log ε/ log Kα iteracı́ch.
krk+1k
krk k
p
≤ 2(1 − sin α) < 1.
Zpřesněnı́ řešenı́ o 1 řád vyžaduje konstantnı́ počet iteracı́.
Souvislost Pythagorovy věty a superpočı́tánı́
Zlepšenı́ konvergence metody prostých iteracı́ — předpodmı́něnı́
x1 a1 + x2 a2 = b
Hledáme dva různé směry c1, c2 6= 0 tak, aby modifikovaná ekvivalentnı́ soustava měla
kolmějšı́ sloupce
c1 · a1
c1 · a2
c1 · b
x1
+ x2
=
.
c2 · a1
c2 · a2
c2 · b
Iteračnı́ metoda předpodmı́něná multigridem
Pole elektromagnetu — 18 milionů rovnic/neznámých
Mem
269 MB
834 MB
5,14 GB
39,64 GB
5000
4500
4000
3500
3000
CPU [s]
úroveň počet hran PCG iter.
CPU
0
39.310
1
4 min 23 s
1
299.166
3
5 min 20 s
2
2.333.312
3
13 min
3
18.428.912
3
1 h 18 min
2500
2000
1500
1000
500
0
0
0.5
1
n
1.5
2
7
x 10
Pythagorova věta, dı́vka z Playboye a superpočı́tánı́
Osnova
• Geometrie soustav lineárnı́ch rovnic
• Souvislost Pythagorovy věty a dı́vky z Playboye
• Souvislost Pythagorovy věty a superpočı́tánı́
• Přı́klad do ŠKOMAM CUPu
Pythagorova věta, dı́vka z Playboye a superpočı́tánı́
Přı́klad do ŠKOMAM CUPu
Jakou největšı́ čtvercovou soustavu lineárnı́ch rovnic by vypočı́tal
za 1 hodinu nejlepšı́, viz www.top500.org, počı́tač na světě, čı́nský
Tianhe-2, Kramerovým pravidlem bez použitı́ řádkových úprav,
uvažujeme-li pouze instrukce násobenı́, kterých provede 33, 8 · 1015 za
sekundu?