sbirka_uloh

Jiří Přibyl
& spol.
Sbírka úloh ze všeho možného
Ústí nad Labem 2010
2
Obsah
Obsah
1 Determinanty
1.1 Determinanty druhého řádu .
1.2 Determinanty třetího řádu . .
1.3 Determinanty čtvrtého řádu .
1.4 Determinanty vyšších stupňů
1.5 Vandermondův determinant .
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
6
7
9
10
2 Výsledky
2.1 Determinanty . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Determinanty druhého řádu .
2.1.2 Determinanty třetího řádu . .
2.1.3 Determinanty čtvrtého řádu .
2.1.4 Determinanty vyšších stupňů
2.1.5 Vandermondův determinant .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
11
11
11
11
11
11
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
4
OBSAH
KAPITOLA
1
Determinanty
1.1
Determinanty druhého řádu
a + 1
a 1. a
a − 1
3 4
2. 7 5
12527 14027
3. 25055 26555
3 4
4. −5 8
−1 −3
5. −2 5 4 −5
6. 7 1
2 3
7. 4 9
√
√ 1 + 2 2 − 3
√
√ 8. 2 + 3 1 − 2
√
√ 1 + 3 3 − 5
√
√ 9. 3 + 5 1 − 3
a − b a + b
10. a + b a − b
3 + 2i 2 − 5i
11. 2 + 5i 3 − 2i
1
logb a
12. log b
1 a
cos ϕ
sin ϕ 13. −r sin ϕ r cos ϕ
cos ϕ sin ϕ 14. sin ϕ cos ϕ
sin x − cos x
15. sin x cos x b
c − di
16. c + di
a √
√
2 + 2i
2 √
17. 4
2 − 2i
1
cos u + i sin u
18. cos u − i sin u
1
5 2
19. 3 7
1 2
20. 3 4
3 2
21. 8 5
6 9 22. 8 12
2
a ab
23. ab b2 n + 1
n 24. n
n − 1
a + b a − b
25. a − b a + b
2
a + ab + b2 a2 − ab + b2 26. a+b
a−b
cos α − sin α
27. sin α cos α sin α + sin β cos β + cos α
28. cos β − cos α sin α − sin β 2 sin ϕ cos ϕ 2 sin2 ϕ − 1 29. 2 cos2 ϕ − 1 2 sin ϕ cos ϕ
1 − t2
2t 1 + t2 1 + t2 30. 1 − t2 −2t
1 + t2 1 + t2
(1 − t)2
2t
1 + t2
2 1
+
t
31. (1 − t)2 2t
−
1 + t2
1 + t2
5
6
KAPITOLA 1. DETERMINANTY
1 + t2
1 − t2
32. 2t
1 − t2
2t 1 − t2 1 + t2 1 − t2
33.
34.
35.
36.
a + bi
b 2a
a − bi
cos ϕ + i sin ϕ
1
1
cos ϕ − i sin ϕ
a + bi c + di
−c + di a − bi
1
cos ϕ3 + i sin ϕ3 cos ϕ + i sin ϕ
−1
3
1.2
3
Determinanty třetího řádu
2 1 3 1. 5 3 2
1 4 3 3 2 1 2. 2 5 3
3 4 2 4 −3 5 3. 3 −2 8 1 −7 −5
3 2 −4
4. 4 1 −2
5 2 −3
3 4 −5
5. 8 7 −2
2 −1 8 4 2 −1
6. 5 3 −2
3 2 −1
1 1 1 7. 1 2 3
1 3 6 0 1 1 8. 1 0 1
1 1 0 5 6 3 9. 0 1 0
7 4 5 2 0 3
10. 7 1 6
6 0 5
1 5 25
11. 1 7 49
1 8 64
1 1 1
12. 4 5 9 16 25 81
1 2 3
13. 4 5 6
7 8 9
0 a 0 14. b c d
0 e 0 a x x
15. x b x
x x c 16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
a + x
x
x x
b+x
x x
x
c + x
2
3 1
−1 2 4
1 −2 3
331 433 333
1091 553 453
353 775 675
1 a bc 1 b ca
1 c ab
x y 2x + 3y 2x 3y 4x + 9y 3x 2y 6x + 6y 2
sin x sin2 y sin2 z 1
1
1 2
cos x cos2 y cos2 z x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1
3 1 3 4 2 1 5 6 −3
ax a2 + x2 1
ay a2 + y 2 1
az a2 + z 2 1
3 1 0 4 2 −3
5 6 −8
1 x
x2 1 −x −x2 1 y
y2 4 3 2
1 −2 0
3 5 7
1
1
1 tg x tg y tg z 2
tg x tg2 y tg2 z u + v z 1
v + z u 1
z + u v 1
9 −7 2
1 −2 0
3 5 7
1.3. DETERMINANTY ČTVRTÉHO ŘÁDU
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
a + kd b + ke c + kf d
e
f m
p n
1 a a3 1 b b 3 3
1 c c 1 1 1
x y z
2
2
2
x y z
5 6 3
3 5 6
6 3 5
1 2 3
2 1 3
1 4 5
4 2 6
2 6 4
6 4 2
2
3
7 1
2
1 −4 −5 −19
2 5 0
−1 7 1 4 1 −4
0 2 2
2 0 2
2 2 0 1 2 4 1 3 9 1 5 25
1 0 0
1 1 0
1 1 1
1 0 0
2 1 0
3 2 1
1 1 1
a b c
2 2 2
a b c 1.3
7
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
x y z z x y y z x
a y y y b y y y c 2 0 1
3 7 −1
−1 3 4 1
1 1
−1 0 1
−1 −1 0
5 3 0
2 5 3
0 2 5
1 + i 0
1 i
1
0 1
−i i − 1
1 + i 2 − i
i 0
1 − i 2 − 3i
2 + i −i
5 2 −3 2 4 −5 3 −3 4 −3
sin x 1 cos x
sin y 1 cos y sin z 1 cos z 1
cos x cos y cos x
1
cos z cos y cos z
1 √
√
3−i
( √3 − i)2 √ 1
( 3 − i)2
3 − i √
√ 1 2
3−i
( 3 − i)
1
cos ϕ cos ϑ
sin ϕ cos ϑ
sin ϑ −r sin ϕ cos ϑ r cos ϕ cos ϑ
0 −r cos ϕ sin ϑ −r sin ϕ sin ϑ r cos ϑ
Determinanty čtvrtého řádu
1 3
7 1
1. 6 8
2 1
5
0
−2 1
−14 2
0
1
5
10
4. −5
0
3 2
2 −2
6 8
1 −1
4 10
5 1
0
2
2. 2
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
2
2
0
35
42
5. 43
29
59
70
68
49
52
54
52
50
2
0
3. 1
3
0
1
3
2
1
3
2
0
3
2
0
1
10
5
6. −2
d
0 3 a 0 b 0 c 8 13
0 0 0
71
77
72
65
8
a 5 0 9 0 b 0 12 7. 7 8 c −3
0 0 0 d a
b
c
d −b a
d −c
8. b −c −d a
−d c −b a 2 −3 4 1
a b
c d
9. 1 −2 5 2
4 3 −1 3
0 1 1 a
1 0 1 b 10. 1 1 0 c a b c d 6 1 a 1 8 1 b 7 11. 3 7 c −1
2 1 d −1
1
0 −1 1
0 −1 1 1
12. b
c d
a
1
0
−1 1
3 1 1 1
1 3 1 1
13. 1 1 3 1
1 1 1 3
1
x 2 3 2 x2 0 1 14. y 7 −1
3
2
3 4 −1 y
1
0
2
0 3
0
−1
0 15. 4
1
5
1
−3 −1 0 −2
1 0 −1 2 2 3 2 −2
16. 1 2 4 2
3 1 5 −3
0 x y z x 0 z y 17. y z x 0
z y x 0
−x a
b
c a −x c
b 18. c −x a b
c
b
a −x
1
1
1 + sin α
1
+
sin β
31. 2
sin
α
+
sin
α
sin
β
+
sin2 β
2
sin α + sin3 α sin2 β + sin3 β
KAPITOLA 1. DETERMINANTY
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
1
1 + sin γ
sin γ + sin2 γ
sin2 γ + sin3 γ
1
1
2
3 1 2 − x2 2
3 2
3
1
5 2
3
1 9 − x2 1 + x
1
1
1 1
1−x
1
1 1
1
1+z
1 1
1
1
1 − z
2 1 1 x
1 2 1 y 1 1 2 z 1 1 1 t
1
0 −1 −1
0 −1 −1 −1
a
b
c
d −1 −1 1
0 6 −2 0 5 −1 0 3 −4
7
10 1 8 −9 0 6 0
1 2 0
0
3 4 0
0 0 0 −1 −1
0 0 2
4
3 2 0 0
2 3 2 0
0 2 3 2
0 0 2 3
3 0 4 0
0 2 0 1
5 0 6 0
0 7 0 8
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
2 −5 4 3
3 −4 7 5
4 −9 8 5
−3 2 −5 3
1 2
4
8 1 −1 1 −1
1 3
9 27 1 4 16 64 x 2 1 x
1 x 1 3
2 3 x x
1 1 2 x
1
1 + sin δ sin δ + sin2 δ sin2 δ + sin3 δ 1.4. DETERMINANTY VYŠŠÍCH STUPŇŮ
1.4
9
Determinanty vyšších stupňů
−4 1
1
1
1 1 −4 1
1
1 1 −4 1
1 1. 1
1
1
1 −4 1 1
1
1
1 −4
24 11 13 17 19
51 13 32 40 46
2. 61 11 14 50 56
62 20 7 13 52
80 24 45 57 70
a x x x x
x b x x 1 3. x x c x x
x x x d x x x x x e 2 1 1 1 1
1 3 1 1 1
4. 1 1 4 1 1
1 1 1 5 1
1 1 1 1 6
2 1 0 0 0
1 2 1 0 0
5. 0 1 2 1 0
0 0 1 2 1
0 0 0 1 2
1 2 3 0 1
2 1 −1 0 3
6. 1 1 0 5 1
0 2 0 0 3
1 2 −3 0 0
1 0 0 0 1 1 a1 0 0 0 7. 1 1 a2 0 0 1 0 1 a3 0 1 0 0 1 a4 1
2
0 0 0
3
4
0 0 0
1 1 1
8. −1 1
2
3 −1 1 0
4 −2 1 0 1
1
0 0 0
1 2
0 0 0
3 9. −2 1 1 1 −3
5
2 3 4
1 1 −1 2 −1 5 1
2
3
4 5
−1 0
3
4 5
4 5
10. −1 −2 0
−1 −2 −3 0 5
−1 −2 −3 −4 0
2 3 3 3 3
5 2 3 3 3
11. 5 5 2 3 3
5 5 5 2 3
5 5 5 5 2
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
1 1 1 1 0
0 1 1 1 1
1 2 3 0 0
0 1 2 3 0
0 0 1 2 3
3 4 3 6 4
7 1 6 9 1
3 5 2 8 2
7 6 5 1 3
6 7 3 1 0
2 −3 2
4 −5
−3 2 −4 −3 4 4 −5 3
6 −7
5 −6 4
7 −8
−4 3 −3 −2 3 1 0 1 0 1 1 a 0 0 1 1 1 b 0 0 1 0 1 c 0 1 0 0 1 d
3
−1
0
0
0 3x
3
−1
0
0 2
3x
3
−1 0 3 3x4
3x 3x
3x
3 −1
4
3x 3x3 3x2 3x 3 a + b
ab
0
0
0 1
a+b
ab
0
0 0
1
a+b
ab
0 0
0
1
a+b
ab 0
0
0
1
a + b
1 x x2
x3
x4 1 2x 3x2 4x3
5x4 1 4x 9x2 16x3 25x4 1 y
y2
y3
y 4 1 2y 3y 2 4y 3
5y 4 2 cos α
1
0
0
0 1
2 cos α
1
0
0 0
1
2 cos α
1
0 0
0
1
2 cos α
1 0
0
0
1
2 cos α
x 0
−1
1 0 1 x
−1
1 0 1 0 x − 1 0 1
0 1
−1
x 1 0 1
−1
0 x
1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 1 x 1 2 3 4
1 x x 1 2 3 1 x x x 1 2
1 x x x x 1 10
KAPITOLA 1. DETERMINANTY
1
2
3
22. 4
5
6
2
3
4
5
6
6
3
4
5
6
6
6
4
5
6
6
6
6
1
0
23. 0
..
.
0
0
2
0
..
.
0
0
3
..
.
...
...
...
..
.
0
0
...
a11
a21
24. a31
..
.
an1
5
6
6
6
6
6
0
0
a33
..
.
...
...
...
..
.
an2
an3
...
0 0
0 0
.. ..
. .
0 1
1 0
0 0
a
b
26. b
..
.
b
1
2
27. 4
8
16
3
1
28. 1
1
1
b b ...
a b ...
b a ...
.. .. . .
.
. .
b b ...
1.5
1
1. 1
1
2. 1
1
1
3. ...
1
1
1
3
1
1
...
...
...
1
1
1
2
1
30.
ann 0
0
0
..
.
0 1
1 0
.. .. . . 0 0
0 0
0 0
...
...
..
.
1
1
3
4
9 16
27 64
81 256
29.
0 0 0 .. . n
0
a22
a32
..
.
0
0
..
25. .
0
0
1
1
2
1
1
1
6
6
6
6
6
6
31.
32.
33.
b b b .. . a
1
1 5
6 25
36 125 216 625 1296
1
1
1
1
3
34.
35.
Vandermondův determinant
x
y
x x2 y y 2 z z2 x1 · · ·
..
..
.
.
xn · · ·
xn−1
1
.. . xn−1 n
1 2 3 . . .
n 2 3 4 . . .
1 3 4 5 . . .
2 .. .. .. . .
.. . . .
.
. n 1 2 . . . n − 1
a 10 7 0 −5
0 b 0 0 −4
0 15 c 0 −3
3 7 8 d −2
0 0 0 0 0 x + a1
a2
a3
...
an a1
x + a2
a3
...
an a1
a2
x + a3 . . .
an ..
..
..
.. ..
.
.
.
.
. a1
a
a
.
.
.
x
+
an 2
3
1 2 3 . . . n − 1
n
1 3 3 . . . n − 1
n 1 2 5 . . . n − 1
n .. .. .. . .
..
.. . . .
.
.
. 1 2 3 . . . 2n − 3
n 1 2 3 . . . n − 1 2n − 1
2
2
2
. . . 2 2 1
2
2
2
. . . 2 2 2
2
2
2
. . . 3 2 2
..
..
..
. . .
..
.
. .. .. .. .
.
2
2
n − 2 . . . 2 2 2
2 n − 1
2
. . . 2 2 2
n
2
2
. . . 2 2 2
1
1
1
...
1 2
3
n
1
...
1
1
1
3
4
n+1 ...
1
2
2
2
.
.
.
.
.
..
..
..
.. ..
n n+1 n+2
2n−2 .
.
.
n−1
n−1
n−1 n−1
1
1
1
...
1 x1 x2
x3
xn 1
...
1
1
1 x1 x2
x3
xn ...
2
2
2
2 .
.
.
.. ..
..
..
..
.
. x1 x
x
x
2
3
n
n−1
...
n−1
n−1
n−1
KAPITOLA
2
Výsledky
2.1
2.1.1
Determinanty
Determinanty druhého řádu
1. −1 2. −13 3. −18792000 4. 44 5. −11 6. 39 7. 6 8. −2 9. −6 10. −4ab √
11. −16 12. 0 13. r 14. 2 cos2 ϕ − 1 15. sin 2x 16. ab − c2 − d2 17. 6 − 4 2 18. 0 19. 29 20. −2 21. −1 22. 0 23. 0 24. −1 4
+(2t)2
25. 4ab 26. −2b3 27. 1 28. 0 29. 1 30. 1 31. − (t−1)
32. 1 (t2 −1)2
33. (a − b)2 2.1.2
34. 0 35. a2 + b2 + c2 + d2 ϕ
36. −1 − e2i 3 Determinanty třetího řádu
1. 40 2. −3 3. 100 4. −5 5. 0 6. 1 7. 1 8. 2 9. 4 10. −8 11. 6 12. 20 13. 0 14. 0 15. 2x3 − x2 (a + b + c) + abc 16. x(ab + ac + bc) + abc 17. 49 18. −25728000 19. (c − b)(a2 − a(b + c) + bc) 20. 0 21. 0 22. x1 (y2 − y3 ) + x2 (y3 − y1 ) + x3 (y1 − y3 ) 23. 23 24. a(y − x)(z − x)(z − y) 25. 23 26. 2xy(x − y) 27. −55 28. −(tg x − tg y)(tg x − tg z)(tg y − tg z) 29. 0 30. −55 31. −cem + bf m + cdn − af n − bdp + aep 32. (a − b)(a − c)(c − b)(a + b + c) 33. (x − y)(x − z)(y − z) 34. 98 35. 3 36. −164 37. 14 38. −58 39. 16 40. 6 41. 1 42. 1 43. (a − b)(a − c)(c − b) 44. x3 + y 3 + z 3 − 3xyz 45. y 2 (−b − c + 2y) + a(bc − y 2 ) 46. 78 47. 1 48. 65 49. −2 50. −2 51. −1 52. cos z(sin x − sin y) + cos x(sin y − sin z) + cos y(− sin x + sin z) 53. 2 cos x cos y cos z 54. −63 + 16i 55. r2 cos ϑ 2.1.3
Determinanty čtvrtého řádu
1. 360 2. −48 3. 0 4. −570 5. 10 6. abcd 7. abcd 8. (a2 + b2 + c2 + d2 )2 9. 16a+33b+28c−45d 10. a2 −a(2b+2c)+b2 −2bc+c2 +2d 11. −124a+46b−20c+218d 12. −3a − b − 2c + d 13. 48 14. −64x + 11x2 − y + 45y 2 15. −7 16. −72 17. −(x − y − z)(y − z)2 (x + y + z) 18. (a − b − c − x)(a + b + c − x)(a + b − c + x)(a − b + c + x) 19. −3(x2 − 4)(x2 − 1) 2.1.4
Determinanty vyšších stupňů
23. n! 2.1.5
24. Πi=1...n aii 30. 0 Vandermondův determinant
1. y − x 11
12
2. (z − x)(z − y)(y − x) 3. (x2 − x1 )(x3 − x1 ) . . . (xn − xn−1 ) KAPITOLA 2. VÝSLEDKY