7/4.1 typynapjatostiatransf ormacenapjatosti

S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A
část 7, díl 4, kapitola 1, str. 1
díl 4, Napjatost
7/4.1
TY P Y N A P JA TO S TI
A TR A N S FO R M A C E N A P JA TO S TI
Pojmem napjatost rozumíme stav určitého bodu tělesa,
který je podroben působení silových účinků. Všechna
tělesa se pak z pohledu pružnosti a pevnosti řeší za
předpokladu statické rovnováhy.
Z hlediska pružnosti a pevnosti si lze stav napjatosti
představit pomocí šesti složek napětí, které působí na
bod tělesa. Schematické znázornění všech šesti složek
napětí, které působí v daném bodě (znázorněném elementární krychlí), je na obrázku.
Složky napětí
prosinec 2002
část 7, díl 4, kapitola 1, str. 2
S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A
díl 4, Napjatost
O
Obrázek znázornûní sloÏek napûtí:
N or m á lov á napětí
T ři z těchto složek jsou normálová napětí, která působí ve směru normál k jednotlivým plochám elementu. O značují se x, y a z podle směrů os, s nimiž jsou rovnoběžné.
T e č ná napětí
D alší tři složky jsou smyková neboli tečná napětí, která
působí ve směru tečen k jednotlivým plochám elementu. Značí se x, y a z podle směrů hran, ke kterým míří.
Poznámky:
1) Povšimněte si existence vždy dvojic smykových napětí, která
směřují k téže hraně elementu. H ovoříme o tzv. sdružených smykových napětích.
2) M atematicky lze obecnou napjatost vyjádřit tenzorem. J eho tvar
je možné zapsat pomocí symetrické matice 3 3:
T =
H lav ní napětí
prosinec 2002
!
x z y
z y x .
y x z
H lavní napětí (normálové) je kolmé k hlavní rovině.
H lavní rovina je rovina, v níž neleží žádná složka smykového napětí. K aždá obecná napjatost má tři hlavní
část 7, díl 4, kapitola 1, str. 3
S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A
díl 4, Napjatost
– navzájem kolmé – roviny a tři hlavní napětí 1, 2
a 3, i když některá z nich mohou být nulová. Velikosti hlavních napětí vypočítáme z původního stavu
napjatosti. N apjatost vztažená k novým osám, zjištěná
výpočtem, je definována trojicí hlavních napětí 1, 2
a 3 a tenzor napětí má tvar:
T =
!
1 0 0
0 2 0
0 0 3
T e nz or napětí
Podle počtu nenulových napětí v tenzoru napětí rozdělujeme napjatost na tři základní typy:
jednoosou, dvojosou a trojosou.
T ypy napjatos ti
N ejjednodušším případem napjatosti je stav, kdy je
pouze jedno normálové napětí nenulové a všechna
ostatní napětí jsou rovna nule. V tomto případě hovoříme o jednoosé napjatosti nebo někdy také o napjatosti přímkové, protože všechna napětí mají směr téže
přímky. J ediné nenulové napětí je současně prvním
hlavním napětím 1. O statní dvě hlavní napětí jsou
rovna nule (2 = 3 = 0). T ento stav je příznačný pro
jednoduché způsoby namáhání, jako jsou tah, resp.
tlak, ohyb a případně jejich vzájemné kombinace. Výsledný stav napjatosti je přímo vyjádřen jedinou hodnotou tahového, resp. tlakového napětí nebo ohybového napětí a v případě kombinace jejich součtem
s ohledem na znaménka.
J e d noos á
napjatos t
prosinec 2002
část 7, díl 4, kapitola 1, str. 4
S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A
díl 4, Napjatost
O
Obrázek pfiípad Û jed noosé napjatosti:
y
y y
y
x
z
x
x
z
z
D v ojos á napjatos t
prosinec 2002
z
z
D alším možným případem je stav, kdy jsou nenulová
dvě normálová napětí a případně ještě smykové napětí, jehož obě složky leží v téže rovině jako nenulová
normálová napětí. V tomto případě hovoříme o dvojosé napjatosti nebo někdy také o napjatosti rovinné,
protože všechny nenulové složky napětí leží v jedné
rovině. Zvláštním stavem rovinné napjatosti může být
případ, kdy je nenulová pouze jedna dvojice sdružených smykových napětí a ostatní složky jsou nulové.
Pak jde o stav čistého smyku a jeho rovinou je rovina,
ve které leží obě složky sdružených smykových napětí. T ento stav je příznačný zejména při namáhání
krutem, případně smykem (napjatost se nazývá čistý
smyk) a dále pro všechny kombinace těchto namáhání
s jednoosou případně rovinnou napjatostí, jejichž rovina je shodná s rovinou sdružených smykových napětí. R ovinná napjatost je příznačná pro volné povrchy těles, kde je napětí ve směru vnější normály
nulové.
část 7, díl 4, kapitola 1, str. 5
S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A
díl 4, Napjatost
O
Obrázek pfiípad Û d v ojosé napjatosti:
y y
y y
z
y
x
z
x
x
x
x
x
z
z
z
z
y y
x
z
J de o nejobecnější stav napjatosti v bodě tělesa, kdy
mohou být nenulové všechny složky napětí působících
na element nebo kdy nenulové složky neleží v jedné
rovině.
T r ojos á napjatos t
V takovém případě hovoříme o trojosé napjatosti nebo
někdy také o napjatosti prostorové. T ato napjatost je
naprosto obecná a nastává ve většině případů obecně
namáhaných těles. Pro získání hlavních napětí je třeba
napjatost transformovat.
Obrázek trojosé napjatosti:
J de prakticky o výpočet hlavních napětí zadané napjatosti.
O
T r ans for m ac e
napjatos ti
prosinec 2002
část 7, díl 4, kapitola 1, str. 6
S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A
díl 4, Napjatost
J e d noos á
napjatos t
J ak již bylo řečeno dříve, jednoosou napjatost není
třeba transformovat, protože výsledná složka je přímo
použitelná pro pevnostní kontrolu:
1 = x.
T enzor napětí má v tomto případě tvar:
T =
D v ojos á napjatos t
!
x 0 0
0 0 0 =
0 0 0
!
1 0 0
0 0 0 .
0 0 0
V případě dvojosé napjatosti definované pouze dvojicí normálových napětí není transformace také třeba,
protože tyto dvě složky jsou přímo hlavními napětími:
1 = x a 2 = y.
T enzor napětí má v tomto případě tvar:
T =
!
!
x 0 0
0 y 0 =
0 0 0
1 0 0
0 2 0 .
0 0 0
V případě dvojosé napjatosti definované smykovým
napětím spolu se dvěma normálovými napětími ležícími v téže rovině (mohou mít i nulové hodnoty) je
třeba pro získání hlavních napětí provést transformaci
takové napjatosti.
T enzor napětí má v tomto obecném případě rovinné
napjatosti ležící v rovině x-y tvar:
T =
prosinec 2002
!
x z 0
z y 0 ,
0 0 0
část 7, díl 4, kapitola 1, str. 7
S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A
díl 4, Napjatost
resp. pro rovinu y-z:
T =
!
0 0 0
0 y x
0 x z
nebo pro rovinu z-x:
T =
!
x 0 y
0 0 0 .
y 0 z
T ransformaci složek napjatosti v rovině poprvé matematicky popsal M ohr, proto hovoříme o tzv. M ohrově
kružnici. Základní vztahy, které z rovnice M ohrovy
kružnice vyplývají, jsou pro výpočet hlavních napětí
v rovině x-y (je-li dáno x, y a z):
+
1,2 = – – x– – – – y– ±
2
M oh r ov a kr u žnic e
" $##– – –##––2––#– %#+# ,
x
y
2
2
z
resp. v rovině y-z (je-li dáno y, z a x):
+
1,2 = – – y– – – – z– ±
2
" $##– ––##––2––#– %#+#
y
z
2
2
x
nebo v rovině z-x (je-li dáno z, x a y):
+
1,2 = – – z– – – – x– ±
2
– " $##–– –##
– – –#– #
+#
.
2 %
z
x
2
2
y
Pokud bude trojosá napjatost dána pouze třemi nenulovými složkami normálových napětí (všechna smyková napětí jsou nulová), půjde přímo o trojici hlavních napětí:
T r ojos á napjatos t
1 = x, 2 = y a 3 = z.
prosinec 2002
část 7, díl 4, kapitola 1, str. 8
S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A
díl 4, Napjatost
T enzor napětí má v tomto případě tvar:
!
!
x 0 0
1 0 0
0 y 0 = 0 2 0 .
0 0 z
0 0 3
T =
V případě obecné trojosé (prostorové) napjatosti je
třeba k výpočtu hlavních napětí provést transformaci
(pootočení) souřadnicového systému použitím vztahů
odpovídajících transformaci tenzoru napětí, který lze
zapsat ve tvaru:
T =
!
x z y
z y x .
y x z
Vlastní výpočtový vztah má tvar kubické rovnice:
3 – I12 + I2 – I3 = 0,
I nv ar ianty
te nz or u napětí
kde členy I1, I2 a I3 představují tzv. invarianty tenzoru
napětí (při pootočení souřadnicového systému se nemění, jsou invariantní) a lze je vyjádřit ve tvaru:
I1 = x + y + z ,
I2 =
& & + & & + & & = + + – I3 =
&
x
z
x
y
y
x
z
y
y
z
x
z
x
y
x
z
y
z
2
z
– y2 – x2,
&
x z y
z y x = xyz + 2xyz – x2x – yy2 – zz2.
y x z
T akto definovaná kubická rovnice má vždy tři reálné
kořeny (některý může být násobný anebo některý nulový), které jsou třemi hlavními napětími 1, 2 a 3.
Poznámka: T yto vztahy lze použít i v případě dvojosé napjatosti,
ale výpočet je zbytečně zdlouhavý.
prosinec 2002