Matematická úloha o závěti

Matematická úloha o závěti
Martina Bečvářová
Ústav aplikované matematiky
Fakulta dopravní ČVUT v Praze
Na Florenci 25
Praha 1, 110 00
Katedra didaktiky matematiky
MFF UK
Sokolovská 83
Praha 8, 186 75
[email protected]
• Od nepaměti byly velmi citlivě vnímány otázky dědictví, poslední vůle a sestavení platné závěti.
• Různá psaná a nepsaná pravidla a zákony komplikovaly poslední vůli zůstavitele.
• Představy a přání pozůstalých často takřka znemožňovaly „spravedlivé“ rozdělování pozůstalosti,
vedly k rodinným sporům a soudům, někdy i bojům
a válkám.
• Na jedné matematické úloze si ukážeme, jak v různém období byla tato problematika matematicky
vnímána a řešena.
Úlohu o dědictví poprvé formuloval římský právník
Salvius Iulianus (přelom 1. a 2. st. n. l.)
• římský praetor, 2x konzul, praefekt urbi
• redigoval Edictum perpetuum
(nové právní předpisy císaře Publia Aelia Hadriana (asi 76–138) platné pro celou římskou říši)
• autor spisu Digesta (90 knih = kapitol) – rozsáhlý
výklad římského práva (vliv na evropskou tradici)
Salvius Iulianus (Právnická fakulta, Univerzita, Berlín)
Starořímská úloha – 2. st. n. l.
Jeden umírající člověk řekl: „Jestliže se mé
ženě narodí syn, ať mu patří dvě třetiny
jmění a zbytek ženě. Jestliže se narodí dcera, ať jí patří třetina a ženě dvě třetiny.“
Narodila se dvojčata – syn a dcera. Jak se
má rozdělit jmění, aby se splnila závěť nebožtíka? [Ko, str. 70]
Římská odpověď: jmění syna, vdovy a dcery
nebožtíka musí být rozděleno v poměru
4 : 2 : 1.
syn : matka
dcera : matka
~ 2/3 : 1/3 → 2 : 1
~ 1/3 : 2/3 → 1 : 2
Syn dostane dvakrát tolik, co dostane matka,
matka dostane dvakrát tolik, co dostane dcera.
Poznámky
•
•
•
•
klasická a oblíbená úloha římských právníků
jasná formulace zadání
stručná pravidla „dědictví“
logické, názorné a srozumitelné řešení
• jednoznačné povinnosti dědice (např. syn má
povinnost starat se o matku, pokud se znovu neprovdá, povinnost starat se o sestru, dokud se neprovdá a musí jí zajistit věno, proto dědí největší
díl, matka má povinnost připravit pro dceru věno,
proto dědí větší díl než dcera)
Matematická literatura
• M. Cantor: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Band I, Teubner, Leipzig, 2. vydání, 1894
(úloha na str. 523).
• A. G. Konforovič: Významné matematické úlohy,
SPN, Praha, 1989.
Obecná literatura
• Encyklopedie antiky, Academia, Praha, 1973.
• Slovník antické kultury, Svoboda, Praha, 1974.
al-Chorezmi (asi 783 až 847)
Abú Abdalah Muhammad ibn
Músa al-Chorezmi (též al-Chwarizmí)
• slavný arabský matematik, astronom, encyklopedista první poloviny 9. století
• učenec na dvoře chalífa al-Mamúna (asi 786–833)
• nejprve pracoval v Mervu
(dnešní Mari v Turkmenistánu)
• potom v Bagdádu (správce Domu moudrosti)
• autor řady prací o aritmetice, algebře, geometrii,
astronomii, geografii, konstrukci astrolábu a slunečních hodin, kalendáři apod.
Krátká kniha o počítání algebry a almukabaly
[Al-kitáb al-muchtasar fí hisáb al-džabr wa-l-muqábala]
• vliv na rozvoj arabské i evropské algebry (úpravy
algebraických výrazů, „řešení“ rovnic prvního a druhého stupně, geometrické důkazy správnosti postupu
řešení, trojčlenka, řetězový a směšovací počet, převody měr a vah, přepočet peněz, výpočty obsahů rovinných útvarů, resp. výpočty jejich jednotlivých
prvků, aplikace algebry na úlohy z kupecké a právnické praxe)
4. část – Kniha o závětích
• dělení majetku podle pravidel islámského práva
• vliv právníka Abu Hanifa (asi 699–767)
 zakladatel první muslimské právní školy
(tzv. hanafíjská škola), která ponechávala místo vlastnímu úsudku
 její stoupenci vytvořili právní systém
dominantní v pozdější Osmanské říši,
Střední Asii a Indii
• Jestliže řeknou: žena zemřela a zanechala svého muže, syna a tři
dcery. Dále ona odkázala jiné osobě jednu osminu a jednu sedminu svého majetku.
• Pravidlo je takové: určíš počet dílů neopominutelného dědictví,
tj. vezmeš jich dvacet. Vezmi majetek a odečti od něj jednu osminu a jednu sedminu. Zůstane matek bez jedné osminy a jedné
sedminy. Doplň svůj majetek, tj. přičti k němu patnáct čtyřicetijednin. Vynásob počet dílů neopominutelného dědictví, tj.
dvacet, čtyřiceti jednou, dostaneš osm set dvacet. Přičti k tomu
patnáct čtyřicetijednin toho, tj. tři sta, dostaneš, že všeho je tisíc
sto dvacet. Osoba, které bylo odkázáno, dostane z toho jednu osminu a jednu sedminu. Jedna osmina a jedna sedmina je tři sta,
protože jedna sedmina je sto šedesát a jedna osmina je sto čtyřicet. Zůstane osm set dvacet, které se rozdělí mezi dědice podle
jejich podílů. [BK, str. 134]
Poznámky
nutno detailně znát pravidla o rozdělování dědictví
 existují neopominutelní dědicové (manžel, manželka, děti)
 k dobrému mravu patří odkázat část majetku na dobročinné účely
 bezdětné manželství: muž dědí jen polovinu ženina
majetku, zbytek na dobročinné účely
 manželství s dětmi: muž dědí čtvrtinu ženina majetku, syn dvojnásobek toho, co dědí dcera
 atd.
Komentář
 Díl neopominutelného dědictví obvykle činí alespoň
3/20 (tj. 15 procent), tj. majetek se musí dělit 20.
Podle nevyslovených (ale platných) pravidel dostane:
• muž 5 dílů,
• syn 6 dílů,
• každá dcera 3 díly.
Závěť
1/7 + 1/8 = 15/56
je odkázáno další blíže nespecifikované osobě.
Podle islámského práva se tento majetek oddělí od
celého majetku jako první, teprve zbytek se dělí
podle závěti.
1 – 15/56 = 41/56 se rozdělí na 20 dílů, tj.
Jeden díl neopominutelného dědictví obnáší 41/1120.
muž
5 x 41/1120 = 205/1120
syn
6 x 41/1120 = 246/1120
každá dcera
3 x 41/1120 = 123/1120
další osoba
300/1120
Komentář
• majetek je tedy dělen na 1120 dílů
• jsou uvedeny podmínky dědění, ale není uvedena
konkrétní částka
• tato část al-Chorezmiho spisu nebyla v Evropě
často studována, neboť popis řešení nebyl bez
znalosti islámského práva srozumitelný a pochopitelný
• majetek odkazuje žena ???
• závěť sestavuje žena (v evropské tradici byl umírajícím muž) ???
Mešita Imána Abu Hanifa
Literatura
• Muhammad ibn Músa al-Chorezmi: Matěmatičeskije traktaty, Taškent, 1983.
• J. Baštinec, Z. Kohoutová: Muhammad ibn Músa
al-Chorezmi, in J. Bečvář, E. Fuchs (eds.): Matematika v proměnách věků I, edice Dějiny matematiky, sv. č. 11, Prometheus, Praha, 1998, str. 125–
141.
• A. P. Juškevič (red.): Dějiny matematiky ve středověku, Academia, Praha, 1977.
• S. Ch. Siraždinov, G. P. Matvievskaja: Al-Chorezmi – vydajuščijsja matěmatik i astronom sredněvjekovja, Prosveščenije, Moskva, 1983.
Alkuin (asi 735–804)
•
•
•
•
•
•
•
studoval na katedrální škole v Yorku
později učitel a správce knihovny
uznávaný západoevropsky vzdělanec a učenec
781 se v Parmě setkal s Karlem Velikým (747–814)
pracoval na jeho dvoře
pověřen organizací vzdělávacího systému
796 na vlastní žádost jmenován opatem kláštera
svatého Martina v Tours
• dílo: Propositiones ad acuendos iuvenes
35. úloha
Nějaký otec rodiny zanechal děti a majetek 960
zlatých a těhotnou manželku. Nařídil, kdyby se
jí narodil chlapec, aby dostal z celkového množství tři čtvrtiny, to jest 9 uncí, a matka aby
dostala jednu čtvrtinu, to jest 3 unce. Kdyby se
však narodila dcera, aby dostala 7 uncí, a matka aby dostala 5 uncí. Stalo se však, že se narodila dvojčata, a to chlapec a děvče. Ať rozřeší,
kdo může, kolik dostane matka a kolik syn a kolik dcera. [Ma, str. 34]
Před sestavením závěti …
• Propositio de obitu cuiusdam patrisfamilias.
Quidam paterfamilias moriens reliquit infantes et
in facultate sua solidos DCCCCLX et uxorem
praegnantem. Qui iussit, ut, si ei masculus
nasceretur, acciperet de omni massa dodrantem,
hoc est, uncias VIIII, et mater ipsius acciperet
quadrantem, hoc est, unicas III. Si autem filia
nasceretur, acciperet septuncem, hoc est, VII
uncias, et mater ipsius acciperet quincuncem, hoc
est, V uncias. Contigit autem, ut geminos
parturiret, id est, puerum et puellam. Solvat, qui
potest, quantum accepit mater vel quantum filius
quantumve filia. [Ma, str. 80]
Solutio.
Iunge ergo VIIII et III, fiunt XII. XII namque unciae
libram faciunt. Prorsusque iunge similiter VII et V, faciunt
iterum XII. Ideoque bis XII faciunt XXIIII. XXIIII autem
unciae faciunt duas libras, id est, solidos XL. Divide ergo
per vicesimam quartam partem DCCCLX solidos:
vicesima quarta pars eorum fiunt XL. Deinde duc, quia
facit dodrans, XL in nonam partem. Ideo novies fiunt XL
accepit filius, hoc est, XVIII libras, quae faciunt solidos
CCCLX. Et quia mater tertiam partem contra filium
accepit et quintam contra filiam, III et V fiunt VIII. Itaque
duc, quia legitur, quod faciat bis sive bisse, XL in parte
octava. Octies ergo XL accepit mater, hoc est, libras XVI,
quae faciunt solidos CCCXX. Deinde duc, quia legitur,
quod faciat septunx sive septus, XL in VII partibus. Postea
duc septies XL, fiunt XIIII librae, quae faciunt solidos
CCLXXX. Hoc filia accepit. Iunge ergo CCCLX est
CCCXX et CCLXXX, fiunt DCCCVLX solidi et XLVIII
librae. [Ma, str. 80–81]
Řešení podle římského (tj. našeho) práva
Jmění syna, vdovy a dcery nebožtíka musí být
rozděleno v poměru
15 : 5 : 7.
syn : matka
matka : dcera
dcera … 7/5x
matka … x
syn … 3x
~ 3/4 : 1/4 → 3 : 1
→ 5:7
syn
15/27
533,3 zlatých
dcera
7/27
248,9 zlatých
matka
5/27
177,8 zlatých
Alkuinovo řešení
• ku podivu neodpovídá římské právní tradici
• odráží církevní tradici ???
• uměle vytvořené řešení ???
syn
dcera
matka
Alkuin
18 liber
14 liber
16 liber
římsky
26.666 liber
12,444 liber
8,888 liber
0,002 libry na
zaokrouhlení
Poznámky
20 zlatých = 1 libra
960 zlatých = 48 liber
Nesrozumitelná může být formulace:
z celkového množství tři čtvrtiny, to jest 9 uncí,
a matka aby dostala jednu čtvrtinu, to jest 3 unce.
1 unce = 1/12 celku (užito v římském smyslu),
12 uncí je jedna jednotka vyššího řádu,
9 uncí jsou 3/4 celku,
3 unce jsou 1/4 celku.
Alkuinův postup
Po narození dvou dětí je třeba majetek rozdělit na
dvě poloviny a každou polovinu pak samostatně
dělit podle pravidla uvedeného stanoveného v závěti.
1. polovina majetku
syn …
3/4 x 1/2 = 3/8
matka … 1/4 x 1/2 = 1/8
2. polovina majetku
dcera … 7/12 x 1/2 = 7/24
matka … 5/12 x 1/2 = 5/24
• syn
9/24 majetku …
• dcera 7/24 majetku …
• matka 8/24 majetku …
360 zlatých = 18 liber
280 zlatých = 14 liber
320 zlatých = 16 liber
• Proč Alkuin řeší takto?
 jiná dědická práva v době Karla Velikého
 matematická konstrukce „aby to pěkně vyšlo“
 chybné řešení
 při tomto dělení je zvýhodněna matka (dělení je
„spravedlivější“)
Literatura
• K. Mačák: Tři středověké sbírky matematických
úloh, edice Dějiny matematiky, sv. č. 15, Prometheus, Praha 2001, 101 stran.
Ondřej Klatovský z Klatov (asi 1504–1551)
Nowé knijžky wo počtech na cyfry a na liny, při tom
niekteré welmi užitečné regule a exempla mince
rozličné, podle biehu kupeckého krátce a užitečnie
sebrané ..., Norimberk, 1530 (2. vydání, Praha, 1557)
• Ondřej Šimkovič z Klatov (též Andreas Glatoviensis)
• bakalář UK (1524), matematik
• účastnil se bojů proti císaři a králi Ferdinandu I.
(1503–1564)
• 1547 vypovězen z Čech, ale směl se usadit a vyučovat
matematiku v Olomouci
1. část
zápis čísel (indoarabské i římské cifry), písemné algoritmy
základních aritmetických operací, zkoušky (7, 9), vlastnosti
aritmetické posloupnosti, matematická podstata a užití
trojčlenky
2. část
totéž na linách (oblíbená počítací pomůcka)
3. část
počítání se zlomky (základní operace) a jednoduché slovní
úlohy řešitelné z paměti
4. část
slovní úlohy ze života (obchod, dědictví), trojčlenka, řetězový
počet, diofantické rovnice, směšovací počet, procenta a úroky
Standardní zpracování učebního textu.
Autor se řídil osvědčenými zdroji.
Jiný příklad (důležitý zvláště pro právníka) jest tento: „Jeden měštěnín ležel
nemocen k smrti a měl ženu těhotnou,
kterýžto udělal kšaft takový: jest-li by po
jeho smrti porodila syna, tehdy ten syn
aby 3/4 statku a zboží měl a máti ostatek,
jestli by pak dceru porodila, tehdy třetí
díl statku aby dceři a mateři ostatek. Nu
ten jistý měštěnín umřel, statku po sobě
pozůstaviv 2000 zl. Žena jeho však porodila syna i dceru, otázka co se tomu synu,
té dceři a mateři podle kšaftu zřízeného
dostati má spravedlivě.”
Dělej takto; poněvadž dcera nejméně má, vezmi
před sebe počet, který se ti líbí, jako 2, mateři 6,
synu 18, tyto počty v hromadu sumůj, budeš míti
obecný divisor, jako zde
26
2000
dcera 2, facit
matka 6, facit
syn
18, facit
===
26
[Še, str. 42–43]
153 11/13 zl.
462 7/13 zl.
1384 8/13 zl.
Klatovského přístup
Užil klasickou metodu chybného předpokladu, která byla
známa již od starověku a která umožnila „vyhnout“ se neoblíbenému a obávanému přímému dělení.
• Poměr majetků syna, matky a dcery z neznámého důvodu
stanovil jako
18 : 6 : 2, neboli 9 : 3 : 1.
• Chybí komentář či zdůvodnění postupu řešení.
•
Pravděpodobně chybný výsledek (poměr vypočtených majetků neodpovídá zadání), což je u tohoto autora neobvyklé.
• Zcela jistě tisková chyba u majetku matku – správně má být
461 a 7/13 zl.
Přístup podle římského práva
logičtější postup
syn
matka
¾ majetku
¼ majetku
dcera
x
matka 2x
syn
6x
-----------------celkem 9x
dcera
matka
syn
222,2 zl.
444,4 zl.
1333,3 zl.
matka
dcera
2/3 majetku
1/3 majetku
→
9 · x = 2000
Alkuinův přístup
1. polovina majetku
syn …
3/4 x 1/2 = 3/8
matka … 1/4 x 1/2 = 1/8
2. polovina majetku
dcera … 1/3 x 1/2 = 1/6
matka … 2/3 x 1/2 = 2/6
• syn
• dcera
• matka
9/24 majetku
4/24 majetku
11/24 majetku
…
…
…
750,0 zlatých
333,3 zlatých
916,7 zlatých
* * * * * *
Klatovský Římský přístup
syn
dcera
matka
1384,6
153,8
461,5
1333,3
222,2
444,4
Alkuin
750,0
333,3
916,7
Literatura
• J. Šedivý a kol.: Antologie matematických didaktických textů. Období 1360 – 1860, MFF UK, SPN,
Praha, 1987, 264 stran.
Stanislav Vydra (1741–1804)
Tentamen III … ex praelectionibus
mathematicis … Adnotatiuncula ad regulam caeci, seu virginum, Pragae,
1780, 8 nečíslovaných stran.
 Archiv Univerzity Karlovy, sgn. A73-13/6
 úloha o dědictví jako součást zkoušky z matematiky na pražské univerzitě roku 1780
 římský přístup k řešení
Děkuji za pozornost.