Symm

Komentáře

Transkript

Symm
Symetrie
Co je symetrie?
• Základní princip pro celý vesmír (proton x
antiproton, černá x bílá, parita)
• Zákon zachování parity (CP, CPT)
• Fundamentální organizační princip v přírodě a
umění (DNA - double helix)
• Symetrie zachovává vzdálenosti, uhly, velikost a
tvar
• Symetrie molekul, optická aktivita, chiralita
Symetrie v architektuře
The best known example of this is the Taj Mahal.
Symetrie Abecedy
• Písmena dělíme na:
• Symetrická: A, B, C, D, E, H, I, K, M, N, O,
S, T, U, V, W, X, Y, Z
• Nesymetrická: F, G, J, L, P, Q, R
Motýl
M.C. Escher
• Dutch graphic
artist
• No formal
training in
math or
science
• Used intricate
repeating
patterns in his
artwork
Mušle a hvězdice
Motýle
Ryby a
lodě
Ještěrky
Symetrie v chemii
Symetrické molekuly
• NH3
• H2O
• C6H6
• SF6
• H2C2
• C60, B12H12
Symetrie v matematice
Množiny
Grupy
Grupoidy
E. Galois, 1832. Teorie grup.
Symetrie (souměrnost)
Motiv: fundamentální část konceptu symetrie.
Opakováním motivu se vytvoří celý vzor.
Operace: určitá akce, která zopakuje motiv tak,
aby se vytvořil celý vzor
Prvek (element) symetrie: operace je
lokalizována v určitém místě (bodě) prostoru.
Geometrický prvek - bod, přímka, rovina,
vektor.
Typy symetrie
•
•
•
•
•
•
•
•
Rotace
Translace
Reflexe (odraz)
Inverse
Rotoinverse
Rotoreflexe
Skluzná reflexe
Šroubovitá rotace
(spirála)
Bodová symetrie
Translační symetrie
2-D Symetrie
Prvky Symetrie
Rotace
a. Dvojnásobná rotace
dvojnásobná osa
Symetrický vzor
6
= 360o/2 rotace
reprodukuje motiv v
symetrickém vzoru
6
2-D Symetrie
Prvky Symetrie
Rotace
Operace
a. Dvojnásobná osa
rotace = 360o/2
6
Motif
Element
6
Symbol pro 2-osu, C2
2-D Symetrie
Prvek symetrie
6
Operace symetrie
Symetrická operace
first
operation
step
Pohyb, akce
6
second
operation
step
2-D Symetrie
Prvky Symetrie
Rotace
b. Trojnásobná osa
rotace = 360o/3
6
2-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotace
b. trojnásobná rotační osa
rotace=
6
360o/3
step 1
step 3
Symbol pro osu, C3
step 2
2-D Symetrie
Krystalografické prvky rotační symetrie
6
6
6
6
6
4-fold
6
6
6
2-fold = dvojnásobná
3-fold
6
2-fold
6
6
6
1-fold
6
6
6
6
6-fold
2-D Symetrie
Prvky symetrie
Reflexe, odraz (m)
Odraz přes “zrcadlovou
rovinu” reprodukuje motiv
= symbol pro zrcadlovou
rovinu
Cs, σ
2-D Symetrie
Nyní máme 6 unikátních 2-D operací symetrie:
1 2 3 4 6 m
Rotace jsou congruentní operace
reprodukce jsou identické
Inverse a reflexe jsou enantiomorfní operace
reprodukce jsou “levé a pravé”
2-D Symetrie
Kombinace prvků symetrie jsou také možné
Aby se vytvořila kompletní analýza symetrie v prostoru v okolí
bodu, musíme zkoušet všechny možné kombinace těchto prvků
symetrie
Kvůli čistotě v podání a snadnosti ilustrací, budeme pokračovat
pouze v příkladech z 2-D
2-D Symetrie
Kombinace 2-rotační osy a zrcadlové roviny
2-D Symetrie
Krok 1: reflexe
2-D Symetrie
Krok 1: reflexe
Krok 2: rotace
2-D Symetrie
Krok 1: reflexe
Krok 2: rotace
Ještě něco??
2-D Symetrie
Krok 1: reflexe
Krok 2: rotace
Vzniká druhá zrcadlová rovina
2-D Symetrie
Výsledek je
Bodová Grupa 2mm, C2v
“2mm” indikuje 2 zrcadla
Zrcadla jsou různá
(nejsou ekvivalentní z
důvodu symetrie)
2-D Symetrie
Kombinace 4-násobné rotace s reflexí
Kombinace 4-násobné rotační osy s rovinou symetrie.
2-D Symetrie
Krok 1: reflexe
2-D Symetrie
Krok 1: reflexe
Krok 2: rotace 1
2-D Symetrie
Krok 1: reflexe
Krok 2: rotace 2
2-D Symetrie
Krok 1: reflexe
Krok 2: rotace 3
2-D Symetrie
Ještě nějaký element?
2-D Symetrie
Ještě nějaký element?
Ano, dvě další zrcadla
Bodová grupa
4mm
2-D Symetrie
3-násobná rotace a
zrcadlení vytvářejí
bodovou grupu
3m
2-D Symetrie
6-násobná rotace a
zrcadlení vytvářejí
bodovou grupu
6mm
2-D Symetrie
Původních 6 elementů plus 4 kombinace vytváří
10 možných 2-D bodových grup:
1 2 3 4 6 m 2mm 3m 4mm 6mm
Každý 2-D vzor v okolí bodu musí odpovídat jedné z
těchto grup
3-D Symetrie
Prvky Symetrie
Inverse (i) (-1) Ci
Střed symetrie. Transformace
přes bod.
= symbol je bod
6
inverse je identická 2násobné rotační ose v 2-D, ale
je unikátní v 3-D (dvě ruce)
6
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse ( 1 )
a. 1-násobná rotoinverse
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
a. 1-násobná rotoinverse
1: rotace 360/1
(identita)
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
a. 1-násobná rotoinverse
1: rotace 360/1
(identita)
2: inverse
Stejná jako i
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse ( 2 )
b. 2-násobná rotoinverse
1: rotace 360/2
Pozn.: dočasný krok
Tento motiv se nebude ve
finálním vzoru
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
b. 2-násobná rotoinverse
Step 1: rotate 360/2
Step 2: inverse
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
b. 2-násobná rotoinverse
Výsledek
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
b. 2-násobná rotoinverse
Stejná jako m
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse ( 3 )
c. 3-násobná rotoinverse
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
c. 3-násobná rotoinverse
360o/3
Step 1: rotate
Opět, toto je pomocný krok.
Nebude ve finálním vzoru.
1
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
c. 3-násobná rotoinverse
Step 2: inverse
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
c. 3-násobná rotoinverse
Dokončení první sekvence
1
2
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
c. 3-násobná rotoinverse
Rotace o dalších 360/3
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
c. 3-násobná rotoinverse
Inverse přes střed
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
c. 3-násobná rotoinverse
3
1
Dokončení. Vzniká plocha 3
2
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
c. 3-násobná rotoinverse
3
Plocha 4
(3 → (1) → 4)
1
4
2
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
c. 3-násobná rotoinverse
Plocha 5
(4 → (2) → 5)
1
5
2
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
c. 3-násobná rotoinverse
Plocha 6
(5 → (3) → 6)
Šestý krok je návrat na
plochu 1
5
1
6
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
c. 3-násobná rotoinverse
Toto je unikátní operace
5
4
3
1
6
2
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse ( 4 )
d. 4-násobná rotoinverse
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
d. 4-násobná rotoinverse
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
d. 4-násobná rotoinverse
1: Rotace 360/4
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
d. 4-násobná rotoinverse
1: Rotace 360/4
2: Inverse
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
d. 4-násobná rotoinverse
1: Rotace 360/4
2: Inverse
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
d. 4-násobná rotoinverse
3: Rotace 360/4
3-D Symetrie
Symmetry Elements
Rotoinverse
d. 4-násobná rotoinverse
3: Rotace 360/4
4: Inverse
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
d. 4-násobná rotoinverse
3: Rotace 360/4
4: Inverse
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
d. 4-násobná rotoinverse
5: Rotace 360/4
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
d. 4-násobná rotoinverse
5: Rotace 360/4
6: Inverse
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
d. 4-násobná rotoinverse
Toto je unikátní operace
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
d. 4-násobná rotoinverse
Základní vzor
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse( 6 )
e. 6-násobná rotoinverse
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
e. 6-násobná rotoinverse
1
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
e. 6-násobná rotoinverse
1
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
e. 6-násobná rotoinverse
1
2
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
e. 6-násobná rotoinverse
1
2
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
e. 6-násobná rotoinverse
1
3
2
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
e. 6-násobná rotoinverse
1
3
2
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
e. 6-násobná rotoinverse
1
3
2
4
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
e. 6-násobná rotoinverse
1
3
2
4
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
e. 6-násobná rotoinverse
1
3
5
2
4
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
e. 6-násobná rotoinverse
1
3
5
2
4
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
e. 6-násobná rotoinverse
1
3
5
2
6
4
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinverse
e. 6-násobná rotoinverse
Pozn.: toto je stejné jako
3-násobná rotační osa kolmá na
zrcadlovou rovinu
Top View
3-D Symetrie
Prvky symetrie
Rotoinversion
e. 6-násobná rotoinverse
Jednoduchý vzor
Top View
3-D Symetrie
Nyní máme 10 unikátních 3-D symetrických operací:
1 2 3 4 6 i m 3 4 6
Kombinace těchto elementů jsou přípustné
Kompletní analýza symetrie okolo bodu v prostoru vyžaduje aby
se testovaly všechny možné kombinace těchto prvků symetrie.
Existuje 32 kombinací. 32 bodových grup.
3-D Symetrie
3-D kombinace prvků symetrie
a. Rotační osa paralelní k rovině
Stejné jako v 2-D
2 || m = 2mm
3 || m = 3m, also 4mm, 6mm
b. Rotační osa kolmá ⊥ na rovinu
2 ⊥ m = 2/m
3 ⊥ m = 3/m, also 4/m, 6/m
c. Kombinace rotací
2 + 2 pod 90o → 222 (třetí 2 je generována)
4 + 2 pod 90o → 422 ( “
“
“ )
6 + 2 pod 90o → 622 ( “
“
“ )
3-D Symetrie
Příklady zobrazení
3-D Symetrie
32 bodových grup
Seřazené podle krystalografického systému
Crystal System
No Center
Center
1
1
Monoclinic
2, 2 (= m)
2/m
Orthorhombic
222, 2mm
2/m 2/m 2/m
Tetragonal
4, 4, 422, 4mm, 42m
4/m, 4/m 2/m 2/m
Hexagonal
3, 32, 3m
3, 3 2/m
6, 6, 622, 6mm, 62m
6/m, 6/m 2/m 2/m
23, 432, 43m
2/m 3, 4/m 3 2/m
Triclinic
Isometric
3-D Symetrie
32 Bodových Grup
Bloss, Crystallography and Crystal
Chemistry. © MSA
Grupy symetrie
Množiny operací symetrie, matematická teorie grup
prvek symetrie
C6
x
operace symetrie
C6, C62 ≡ C3, C63 ≡ C2,
C64 ≡ C32, C65, C66 ≡ E
- množina je kompletní
A, B prvky grupy ⇒ C=A⊗B je též prvek
- existuje prvek E - jednotkový
- ke každému prvku existuje inverzní prvek A-1,
A⊗A-1=E
- platí asociativní zákon A⊗(B⊗C) = (A⊗B)⊗C
Grupy symetrie
¾ C1 (CFClBrI),
¾Cs (H2C=CClF, SOCl2)
¾Ci (C2Cl2H2Br2)
¾Cn (:PPh3)
¾Cnv – Cn + n vertikálních (dihedrálních) σv
(H2O, NH3)
¾Cnh – Cn + σh (C3h-H3BO3, C2h-H2C2O4)
Grupy symetrie
¾Dn – Cn + n C2 ⊥ Cn (D3 - [Ru(phen)3]2+)
¾Dnd – Cn + n C2 ⊥ Cn + n σd (D2d-allen – CH2=C=CH2)
¾Dnh – + σh (D4h-[PtCl4]2-, D3h-PCl5, D6h-C6H6)
¾Sn (n-sudé, n>4) – Sn (+Cn/2)
¾ Td (CH4 - 4xC3) ,
¾Oh (SF6 - 3xC4, 4xC3, i ) ,
¾Ih (C5, 120 operací, B122-, C60)
Lineární grupy – D∞h , C∞v – lineární A-A a A-B
Kužely, válce, koule
Grupy symetrie
0
C∞ ?
1
0
i?
0
Cn ?
1
C∞v
0
σ?
0
i?
1
1
Cs
Ci
C1
1
D∞h
6C5?
3C4?
1
I
0
i?
0
i?
i?
1
O
Oh
nC2 Cn?
1
1
1
1
Ih
4C3?
1
Th
0
σh?
6σ?
1
Td
0
T
S2n
Cnh
1
1
σh?
S2n?
1
0
Dnh
0
nσv?
1
1
0
Dn
Dnd
nσv?
Cnv
0
Cn
Srovnávací tabulky symetrie
C1
C2
C3
C4
C6
C2v
C3v
C4v
C6v
Cs(C1h)
C2h
C3h
C4h
C6h
1
2
3
4
6
mm2
3m
4mm
6mm
m
2/m
-6
4/m
6/m
S2 (Ci)
S4
S6
D2
D3
D4
D6
D2d
D3d
D2h
D3h
D4h
D6h
-1
-4
3
222
32
422
622
-42m
-3 2/m
2/m 2/m 2/m
-6m2
4/m 2/m 2/m
6/m 2/m 2/m
-6 má být 6 a čárka nad znakem ¯6, a pod.
T
Td
Th
O
Oh
23
-4 3 m
2/m -3 1
432
4/m -3 2/m
Grupy symetrie
Aplikace:
¾ klasifikace molekul
¾ hybridní orbitaly
¾ molekulové orbitaly
¾ teorie krystalového pole
¾ vibrační spektra – IČ a Ramanova spektroskopie
¾ predikce dovolených spektrálních přechodů
¾ chiralita
Absolutní konfigurace
CIP - Cahn, Ingold, Prelog
Preferenční čísla
R,S - volantové pravidlo
Asymetrické centrum. Chiralia,
Optická aktivita
Diastereoizomery
Racemická směs, racemická sloučenina
Asymetrický uhlík
Číslo priority
1
1
Br
2
Cl
H
4
4
F
OH
H
CH3
CH2Br
3
2
3
CH2CH3
1 Br
CH=CH2 2
H
4
3
• To assign a priority to an atom that is part of a multiple bond,
treat a multiply bonded atom as an equivalent number of
singly bonded atoms. For example, the C of a C=O is
considered to be bonded to two O atoms.
• Other common multiple bonds are drawn below:
Volantové pravidlo
Chiralita
Pokud má molekula rotačně-reflexní osu Sn
(1, 2, 3, ....) potom není opticky aktivní!!!!
S1 je rovina
S2 je střed souměrnosti - inverse
Carvone
CH3
CH3
O
O
H
H
CH 3
H3C
Left-handed C arvone
R ight-handed Carvone
Sm ells like caraw ay
Sm ells like spearm int
S(+) kmínový olej
R(-) vůně po mátě
Aspartame
O
OH
O
H
H
N
H 2N
OH
Left-handed Aspartame
"Nutrasweet"
160 times sweeter than sugar
H
O
OH
O
O
H
H
N
H 2N
OH
O
H
Right-handed Aspartame
Not at all sweet
slightly bitter
Ibuprofen
OH
H
HO
H
CH3
H3C
O
Left-handed Ibuprofen
Powerful Pain Killer and
Anti-inflamatory Drug
O
Right-handed Ibuprofen
No Drug Activity
R ⇒ “good” - morning sickness
S ⇒ “bad” - birth defects

Podobné dokumenty

01. Struktura proteinu

01. Struktura proteinu 1 % RNA 4 % Protein DNA/RNA complexes

Více

podivných tvarů - Ústav anorganické chemie AV ČR, vvi

podivných tvarů - Ústav anorganické chemie AV ČR, vvi možnosti, umožňuje cíleně budovat struktury s  kýženými vlastnostmi metodou „zdola nahoru“. Základním stavebním kamenem je při tomto postupu jedna molekula nebo již zmíněné dvoudimenzionální uspořá...

Více

4. Isomerie - Katedra organické chemie

4. Isomerie - Katedra organické chemie Vzhledem k tomu, že ze sterických důvodů nemůže docházet k otáčení benzenových jader, je celý útvar asymetrický. b) Podobně je tomu např. u tak zvaných ansa-sloučenin, např. O

Více

Srovnávací studie cementovaných a nitridovaných vzorků

Srovnávací studie cementovaných a nitridovaných vzorků doména je magnetizována podél určitého krystalografického směru snadné magnetizace. Hranice domén  doménové stěny. Magnetické pole způsobí pohyb doménových stěn tam a zpět. Výsledkem je změna celk...

Více

C1 - ViBuCh

C1 - ViBuCh číslem atomu v purinovém heterocyklu, na něhož je napojen. V případě adeninu se jedná o dusík N6, který má svoje číslo díky vazbě na uhlík C6. Číslování pyrimidinových bazí je obdobné, založené na ...

Více

Řešení A3

Řešení A3 také, že látky opticky aktivní jsou nezbytnou součástí živých organismů. Fakt, že optické antipody kyseliny vinné poskytují enantiomorfní krystaly, které jsou vzájemně ve vztahu neztotožnitelných z...

Více

(10) NMR pevné fáze a proteiny

(10) NMR pevné fáze a proteiny chemických posunech signálů v pevné fázi a v roztoku vykazují dusíky 15N, kde zjištěná střední odchylka je kolem 2ppm. U uhlíku 13C je to jen 1 ppm. Celkem byly nalezeny tři oblasti, kde jsou odchy...

Více

Diskrétní matematika a logika

Diskrétní matematika a logika V textu dále není zmíněna teorie složitosti algoritmů. O té se je možno dočíst například v knihách 29. září 2006,

Více