Stáhnout - mech - České vysoké učení technické v Praze

Transkript

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
FAKULTA DOPRAVNÍ
Petr Koudelka
Vyšetřování mechanických vlastností
kovových pěn pomocí
mikrostrukturálních modelů
Bakalářská práce
2010
Typeset by LATEX
original zadani
Prohlášení
Předkládám tímto k posouzení a obhajobě bakalářskou práci, zpracovanou na závěr studia
na ČVUT v Praze Fakultě dopravní.
Nemám závažný důvod proti užití tohoto školního díla ve smyslu § 60 Zákona č.121/2000
Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých
zákonů (autorský zákon).
V Praze dne 3. června 2010
Petr Koudelka
3
"Prohlašuji, že jsem předloženou práci vypracoval samostatně a že jsem uvedl veškeré informační zdroje v souladu
s Metodickým pokynem o etické přípravě vysokoškolských
závěrečných prací."
V Praze dne 3. června 2010
Petr Koudelka
4
Poděkování
Na tomto místě bych rád poděkoval všem, kteří mi poskytli podklady pro vypracování
této práce. Zvláště pak děkuji Doc. Ing. Ondřejovi Jirouškovi, Ph.D. za odborné vedení a
konzultování bakalářské práce a za rady, které mi poskytoval po celou dobu mého studia.
Dále bych chtěl poděkovat Ing. Danielovi Kytýřovi a Ing. Petrovi Zlámalovi za pomoc s
pochopením používaných výpočetních metod a realizací této práce. V neposlední řadě je
mou milou povinností poděkovat svým rodičům a blízkým za morální a materiální podporu,
které se mi dostávalo po celou dobu studia.
5
Abstrakt
• Autor: Petr Koudelka
• Název bakalářské práce: Vyšetřování mechanických vlastností kovových pěn pomocí
mikrostrukturálních modelů
• Škola: České vysoké učení technické v Praze, Fakulta dopravní
• Ústav: Ústav mechaniky a materiálů
• Rok vydání: 2010
• Vedoucí bakalářské práce: Doc. Ing. Ondřej Jiroušek, Ph.D.
• Počet stran: 70
• Počet příloh: 1 (CD-ROM)
• Klíčová slova: kovové pěny, metoda konečných prvků, modelování vnitřní struktury,
počítačová tomografie
Cílem bakalářské práce je zjištění mechanické odezvy kovové pěny na základě modelování její vnitřní struktury a analýzy pomocí metody konečných prvků. Vnitřní struktura
je modelována 2 způsoby - v prvním případě voxelovým modelem vytvořeným na základě
CT vyšetření vzorku kovové pěny, a v druhém případě diskretizací vnitřní struktury pěny
pomocí Gibson-Ashbyho buňky. Analýza mechanické odezvy je prováděna v elastické i
plastické oblasti, zjišťovanými charakteristikami jsou zejména Youngovy moduly pružnosti
pro různé relativní hustoty modelů kovové pěny, a dále v plastické oblasti průběh křivky
napětí-deformace v tlaku.
6
Abstract
• Author: Petr Koudelka
• Title of the Bachelor Thesis: Determination of mechanical properties of metal foams
using microstructural models
• University: Czech Technical University in Prague, Faculty of Transportation Sciences
• Department: Department of Mechanics and Materials
• Year of Issue: 2010
• Bachelor Thesis Supervisor: Assoc. Prof. Eng. Ondřej Jiroušek, Ph.D.
• Number of Pages: 70
• Number of Appendices: 1 (CD-ROM)
• Keywords: metallic foams, finite element method, computer tomography, modelling
of internal structure
Thesis is aimed at the study of mechanical behavior of metallic foams by modelling
their internal structure and analysis using finite element method. Internal structure is
modelled by 2 different methods - using voxel model created on the basis of CT scan
and by discretization using Gibson-Ashby’s cellular model. Mechanical behavior analysis
is performed in both elastic and plastic field. Investigated mechanical characteristics are
particularly the evolution of foam Young modulus according to different relative densities
and in the plastic field the tensional stress-strain diagram.
7
Obsah
8
Seznam použitých zkratek a termínů
AFS: sendvičové panely z hliníkových kovových pěn (Aluminium Foam Sandwich)
Ansys: konečně prvková výpočetní aplikace
Ansys batch: dávkový režim aplikace Ansys
CT: počítačová tomografie (Computer Tomography)
endoskopie: vyšetřovací metoda tělních dutin a dutých orgánů
GUI: grafické uživatelské rozhraní (Graphical User Interface)
Maple: matematický software podporující symbolické zápisy
Matlab: matematický software
MKP: metoda konečných prvků
pixel: plošný element obrazu, dále nedělitelný
Python: interpretovaný objektově orientovaný programovací jazyk
RVE: reprezentativní element objemu (Representative Volume Element)
skener: zařízení snímající informaci
skript: vstupní soubor pro program
stem: spojovací prvek Gibson-Ashbyho buňky
strut: nosník v Gibson-Ashbyho buňce
swelling: bobtnání
syntaxe: pravidla pro vytváření přípustné kombinace symbolů
thixocasting: odlévání kovu v polotuhém skupenství
tomograf: zařízení pro provádění tomografických vyšetření
virtuální: zdánlivý
voxel: objemový element
VTK: platformově nezávislá grafická knihovna (Visualization Toolkit)
9
Úvod
Kovové pěny jsou relativně novým druhem materiálu. Jejich specifické vlastnosti mohou
časem najít uplatnění v celé řadě různých dopravních aplikací. Jedná se zejména o použití hliníkových pěn v nárazových prvcích silničních i kolejových vozidel, kde se tyto pěny
uplatní z důvodu dobré schopnosti pohlcovat deformační energii. Aplikace kovových pěn v
této oblasti může přinést nejen zvýšení bezpečnosti všech účastníků provozu, ale umožní
rovněž významné finanční úspory díky možnosti snadné výměny deformovaných nárazových prvků.
Vzhledem k relativně vysoké složitosti výroby a zvláště obtížnému vývoji nových pěnových materiálů nabývá na důležitosti schopnost zjištění jejich mechanických charakteristik. Tyto charakteristiky byly zpočátku ověřovány takřka výlučně experimentálně. Tento
přístup sice dává spolehlivé výsledky, avšak velkou nevýhodou je finanční náročnost speciálních měřících zařízení i cena zkoumaných vzorků. Výsledkem snahy o snížení nákladů
na vývoj pěnových materiálů a jejich aplikaci v inženýrské praxi jsou různé způsoby modelování vnitřní struktury s následnou numerickou analýzou pomocí metody konečných
prvků (MKP). Tento způsob navíc umožňuje provádět optimalizaci materiálu pro různé
aplikace změnou tvaru buněk, jejich velikostí a tloušťkou stěny mezi buňkami. Geometrii
vnitřní struktury je možné tvořit různými způsoby, nejčastěji jsou modely vytvářeny na
základě CT (computer tomography - počítačová tomografie) vyšetření vzorku pěny, anebo
některou formou diskretizace vnitřní struktury. Data pořízená během CT vyšetření mohou
být po příslušných úpravách použita pro tvorbu povrchových, či voxelových modelů. To
znamená, že model vnitřní geometrie v MKP softwaru přesně odpovídá skutečné geometrii
vzorku pěny. Naproti tomu diskretizací vnitřní struktury se rozumí zjednodušení struktury
a tedy nahrazení reálné geometrie některým rovinným, nebo prostorovým modelem. Rozsáhlým studiem chování kovových pěn bylo zjištěno, že stejné mechanické odezvy je možné
dosáhnout pomocí velmi jednoduchých geometrických útvarů. V rovině jde zejména o použití struktury tvaru včelích pláství, mezi prostorové modely se řadí různé typy struktur
složených z pravidelných mnohostěnů, případně nosníkové modely.
10
Cílem této práce je zjištění mechanické odezvy kovové pěny pomocí modelování její vnitřní
struktury. Materiálové charakteristiky jsou získány numerickou analýzou v prostředí MKP
aplikace Ansys tlakovým zatížením mikrostrukturálních modelů. Vnitřní struktura je modelována dvěma způsoby - voxelovým modelem na základě dat z CT vyšetření vzorku pěny
a diskretizací vnitřní struktury pomocí Gibson-Asbhyho buněk. Mechanická odezva modelů je zkoumána jak v elastické, tak v plastické oblasti. Hledanými charakteristikami v
elastické oblasti jsou zejména závislost Youngova modulu pružnosti na relativní hustotě
modelů, v plastickém oboru jde o průběh křivky napětí-deformace v tlaku. Jako referenční
materiál je uvažována hliníková pěna Alporas vyvinutá v Japonsku a používaná nejen pro
nosné prvky konstrukcí, ale rovněž jako protihluková a elektromagnetická ochrana.
Práce je rozdělena do pěti částí. První část seznamuje čtenáře s charakteristikou pěnových kovových materiálů. Je zde uvedeno rozdělení kovových pěn podle způsobu výroby
a možnosti praktického využití těchto materiálů spolu s několika příklady reálných aplikací. Podrobně je zde popsána hliníková kovová pěna Alporas jakožto referenční materiál
pro MKP modely. Druhá část se věnuje modelování vnitřní struktury kovové pěny pomocí
voxelových modelů založených na CT vyšetření. Stručně je vysvětlen i princip počítačové
tomografie a je zde rovněž rozvedena problematika úpravy dat z počítačového tomografu
před samotnou tvorbou voxelového modelu. Třetí část popisuje modelování kovové pěny
pomocí diskretizovaných modelů její vnitřní struktury s použitím Gibson-Asbhyho buněk.
Podrobně je zde popsán princip Gibson-Ashbyho diskretizace a příslušné parametrické
skripty pro software Ansys generující diskretizované modely a provádějící zatížení, analýzu
a export výsledků. Vysvětleny jsou zde rozdíly mezi skripty pro analýzu modelů v elastické
a plastické oblasti. Obsahem čtvrté části je teoretická analýza mechanických vlastností
kovové pěny pomocí matematického modelu vyvinutého M.F. Gibsonem a L.J. Ashbym
provedená pomocí matematického software Maple. Dosažené výsledky jsou porovnány s
výsledky numerické analýzy metodou konečných prvků. Poslední, pátá část pojednává
o výsledcích numerické analýzy diskretizovaných modelů v elastické i plastické oblasti,
jsou zde uvedeny závislosti geometrických i mechanických charakteristik diskretizovaných
struktur na parametrech modelů, zejména rozměrech buněk a relativní hustotě modelů.
Výsledky analýzy v plastickém oboru jsou reprezentovány pomocí křivek napětí-deformace
v tlaku. V závěru jsou potom zhodnoceny dosažené výsledky a je provedena diskuze.
11
Kapitola 1
Kovové pěny
1.1
Kovové pěny
Pěnové kovové materiály jsou pro technické použití významné svými výjimečnými mechanickými i fyzikálními vlastnostmi. Tento pojem v sobě ukrývá širokou škálu materiálů
založených na různých kovech, slitinách a morfologických vlastnostech. Kovové pěny jsou
jedním z druhů buněčných materiálů, které můžeme dle vnitřní struktury rozdělit na tyto
typy [?]:
• hliníkové pěny (s otevřenými nebo uzavřenými buňkami)
• mědi s lotosovou strukturou
• litý hliník s houbovitou strukturou
• niklové struktury s otevřenými buňkami vyráběné potahováním polymerové pěny
• sintrované bronzové materiály
• buněčné materiály s orientovanými póry
Proces výroby kovových pěn je založen na tvorbě bublin v tekutém kovu s tím, že tavenina musí být připravena takovým způsobem, aby tvořící se pěnová struktura byla během
celého procesu stabilní. To může být dosaženo různými způsoby, zejména se uplatňuje legování základního kovu. V současné době jsou známy dva způsoby výroby kovových pěn –
vstřikování plynu do taveniny a přidávání pěnivého činidla do taveniny. Třetím, průmyslově
nepoužívaným, způsobem výroby je vynucené srážení plynu, který byl předtím rozptýlen
v tavenině. Tyto 3 metody jsou tzv. přímými metodami, kdy je pěna z taveniny vyráběna
přímo. Vedle toho existují ještě metody nepřímé výroby pomocí kovových prekursorů [?].
12
Typickými zastupiteli kovových pěn vyráběných přímo metodou vstřikování plynu do taveniny jsou produkty s komerčními názvy Cymat a Metcomb. Základem pro tyto materiály je
některá z řady typizovaných hliníkových slitin stabilizovaných v procesu výroby přidáním
oxidů hořčíku, karbidy křemíku, příp. dalšími látkami. Porozita materiálu se pohybuje v
rozmezí 80 - 90 %. Vstřikovaným plynem je vzduch, dusík, nebo argon. Pro kvalitu výsledného výrobku je významné zajištění rovnoměrného rozdělení bublin v tavenině. Jejich
tvorbu zajištují speciální rotující pumpy nebo vibrující rozstřikovací hlavice. Vzhledem
k vysokému obsahu stabilizujících látek, nejčastěji keramických zrn, může být obrábění
takových materiálů obtížné. Naopak k hlavním výhodám tohoto typu kovové pěny patří
možnost kontinuální výroby velkého objemu materiálu, a také možnost dosažení relativně
nízkých hustot.
V druhé přímé metodě výroby je vstřikování plynu nahrazeno přidáním pěnidla do taveniny
[?]. Zástupce této skupiny kovových pěn je Alporas japonské společnosti Shinko Wire Co.,
Ltd. Pěnidlo se vlivem vysoké teploty rozpadá a uvolňuje plyn, kterým je zajištěna tvorba
pěnové struktury. Pro zajištění stability pěnové struktury je klíčová příprava taveniny před
samotným napěňováním. Během zahušťování jsou do tekutého hliníku přimíchávány částice
pevné fáze, jejichž účelem je zvýšit viskozitu taveniny. Tato pevná fáze může být tvořena
částicemi keramiky (např. karbidy křemíku) nebo prvky s vysokou slučitelností s kyslíkem
(např. vápník a mangan) pro tvorbu oxidů na povrchu a uvnitř taveniny. Obtížné je v
tomto procesu zajistit konstantní poměr pevné fáze. Toho je dosaženo precizní regulací
teploty taveniny a jejím relativně dlouhým promícháváním po dobu až několika hodin. Cílem promíchávání je rovnoměrné rozdělení částic pevné fáze, jejichž velikost je v případě
karbidu křemíku menší než 0.02 mm. Proto je jednodušší jako zahušťovadla použít oxidy,
jež mohou být do taveniny poměrně jednoduše přidány například vháněním pomocí ventilátorů. Během pěnění je do taveniny jako pěnidlo přidán hydrid titanu, jehož rozpadem
vlivem vysoké teploty vzniká plynný vodík. Závislost objemu vzniklého plynu na teplotě
je reprezentována přímou úměrností. S rostoucí teplotou však dochází také ke zrychlování
produkce plynu, což vede k průchodu bublin taveninou až na povrch, kde dochází za přítomnosti atmosférického kyslíku ke vznícení. Pěnění je proto prováděno při teplotě 680 ◦C,
kdy je ještě možné tento proces regulovat a iniciovat vývin plynu až během míchání taveniny.
Metody nepřímé výroby pomocí kovových prekursorů přidávají do procesu výroby jeden
krok navíc. Před samotnou výrobou pěny je připraven prekursor obsahující rovnoměrně
rozptýlené pěnidlo. Prekursor je poté, stejně jako při přímé výrobě přidáním pěnidla do
taveniny, zahřát na vysokou teplotu, což vede k rozpadu pěnidla a vzniku pěnové struktury.
13
Výhodou tohoto přístupu je možnost výroby velice složitých součástí, jejichž tvar by nebylo možné dosáhnout obráběním. Nepřímá výroba kovových pěn je možná třemi způsoby
– zhušťováním práškové směsi v pevném skupenství, tvářením práškových směsí metodou
thixo-casting, anebo přimícháváním práškového pěnidla do taveniny [?].
1.1.1
Výroba pěn z práškových výlisků
Výrobky z kovových pěn tohoto typu jsou vyráběny zejména společnostmi v Německu
a Rakousku. Jedná se o produkty s komerčními názvy ALM, Alulight [?] a AFS [?][?].
Výrobní proces je započat mícháním základního kovového prášku a práškového pěnidla.
Taková směs musí být následně stlačena tak, aby vytvořila kompaktní prefabrikát bez
výskytu reziduální porozity. Toho může být dosaženo např. izostatickým stlačením, nebo
válcováním. Příprava před tvorbou pěnové struktury je klíčová, protože jakékoliv defekty
v prekursoru (jako již zmíněná reziduální porozita) negativně ovlivňují kvalitu výsledného
produktu. Zbývající část výroby je identická s metodou přímé výroby přidáním pěnidla
do taveniny. Kovové pěny vyráběné tímto způsobem je dále možné použít pro výrobu
sendvičových panelů (AFS ) [?]. Na obě strany kovové pěny je potom v závěru výrobního
procesu aplikována vrstva oceli, hliníku nebo titanu .
1.1.2
Tváření práškových směsí metodou thixocasting
Namísto spojování práškových směsí v pevném skupenství je v tomto případě celý proces
prováděn s materiálem v polotuhém skupenství. Nejprve je prášková směs předhuštěna do
tvaru kotouče izostatickým stlačováním zastudena. Kotouč se poté zahřeje na teplotu, v
níž je základní kov v polotuhém skupenství a v tomto stavu se formuje tlakovým litím.
Zbývající část výrobního procesu se neliší od předchozí výrobní metody. Výhodou je opět
možnost výroby tvarově složitých prekursorů, jejichž materiál vykazuje dokonalejší isotropní vlastnosti, což vede k rovnoměrnější pěnové struktuře. Tyto materiály jsou známé
pod názvem Thixofoam [?].
1.1.3
Přimíchávání práškového pěnidla do taveniny
Tato metoda se od předchozích odlišuje tím, že základní kov se nenachází v práškové
formě. Částice hydridu titanu jsou přimíchávány do tekutého kovu. Takový prekursor je
dále zpracován obdobně jako v předchozích metodách. Tento způsob výroby se často nazývá
Formgrip [?].
14
1.2
Základní druhy aplikací s použitím kovových pěn
Obecně se jedná o konstrukce, které vyžadují použití lehkých materiálů, zařízení pohlcující deformační energii a pro protihlukovou, tepelnou a elektromagnetickou ochranu [?].
Všechny tyto oblasti se vztahují k dopravě, zejména automobilovému průmyslu a železniční
dopravě.
• lehké konstrukce – kovové pěny mohou být použity pro hmotnostní optimalizaci
konstrukcí při zachování ohybové tuhosti
• pohlcování energie – díky vysoké porozitě mohou pěny během deformace absorbovat
velké množství mechanické energie. Pěny jsou proto vhodné materiály pro deformační
zóny v dopravních prostředcích, díky nimž je možné snížit riziko zranění přepravovaných osob redukcí sil působících na lidské tělo v průběhu nárazu. Rázová odolnost
kovových pěn může být využita také pro konstrukci ochranných přileb.
• protihluková, tepelná a elektromagnetická ochrana – kovové pěny vykazují nízkou
tepelnou vodivost a naopak dobře pohlcují mechanické a elektromagnetické vlnění. V
kombinaci s mechanickými přednostmi kovových pěn umožňují provádět efektivnější
opatření pro odstranění zmíněných jevů.
1.3
1.3.1
Některé příklady použití
Sendvičové panely AFS
Sendvičové panely z kovových pěn mohou být velice složitě tvarovány, vykazují velkou tuhost a jsou relativně velmi lehké. Právě možnost komplexního 3D tvarování dává panelům
AFS výhodu nad konkurenčními technologiemi voštinových a kazetových konstrukcí. Při
použití nových konstrukčních metod mohou tyto panely zcela nahradit dosavadní řešení
s kovanými ocelovými součástmi. Přínosem může být nejen hmotnostní úspora, ale také
zjednodušení konstrukčních celků, usnadnění montáže a tím i snížení nákladů při současném zvýšení výkonnostních parametrů konstrukcí. Při použití v automobilovém průmyslu
je výhodná rovněž možnost sváření částí vyrobených z panelů AFS. Příkladem reálné aplikace optimalizace konstrukce pomocí panelů AFS je zvedací rameno nesoucí opravárenskou
plošinu montované na malé nákladní vozidlo (obrázek ??). Výrobcem tohoto systému je
společnost ALM [?]. Konstrukce s použitím sendvičových panelů v tomto případě umožnila
zvýšit výšku zdvihu ramena bez zvýšení celkové hmotnosti vozidla.
15
Obrázek 1.1: Panel AFS s oddělenou svrchní vrstvou pro ukázku vnitřní struktury (Karmann)[?]
Obrázek 1.2: Zvedací rameno s opravárenskou plošinou (ALM )[?]
1.3.2
Profily a nosníky vyplněné kovovými pěnami
Jde o typické konstrukční prvky používané pro pohlcování deformační energie při nárazu.
Jejich účelem není jen zajistit vyšší bezpečnost přepravovaných osob při nárazu, ale také
zmírnit následky nárazu na vozidlo jako takové. To umožňuje jednodušší opravy a vede k
významné redukci nákladů na opravy po nehodách. Za tím účelem jsou v konstrukci vozidla projektovány nárazové skříně umístěné mezi nosníkem s programovanou deformací a
předním příčníkem. Toto řešení umožňuje pouhou výměnu nárazové skříně při nárazech do
rychlosti 15 km/h. Nárazová skříň může být například tvořena dutým nosníkem kruhového
průřezu vyplněným kovovou pěnou, která výrazně zvyšuje deformační výkony soustavy.
Uplatňuje se zde princip synergie, kdy celkové deformační vlastnosti soustavy jsou lepší
než prostý součet vlastností nosníku a kovové pěny. Toto řešení je zkoumáno společností
Valeo, přičemž použitá pěna je typu Cymat (obrázek ??).
16
Obrázek 1.3: Prototypy nárazových skříní (Cymat )[?]
1.3.3
Kovové pěny vyztužující struktury z polymerů
Jde o systémy pro pohlcování deformační energie při nárazech drážních vozidel, zejména
tramvají, kde je riziko nehody vzhledem k vlivu nekolejové dopravy značné. Další možností aplikace na tramvajích jsou prvky, které zabrání vtažení chodce pod jedoucí tramvaj.
Příkladem tramvajového vozidla s takovým nárazovým systémem je produkt COMBINO
společnosti Siemens (obrázek ??). Díky použití kovových pěn bylo možné zvýšit objem
výroby a modulární konstrukce navíc umožňuje dodatečné osazení i jiných typů vozidel.
Obrázek 1.4: Nárazový prvek tramvajového vozidla COMBINO (Hubner, Schunk, Siemens)[?]
1.3.4
Jádra dutých odlitků z kovových pěn
Jedná se o využití kovových pěn typu Metcomb nebo Alulight jako výplní hliníkových
skořepin [?]. Takový kompozitní materál vykazuje některé významné vlastnosti, které jej
17
předurčují pro použití v automobilovém průmyslu. Jedná se zejména o absorbci mechanických vibrací přeměnou na tepelnou energii a její rozptýlení ve vnitřní struktuře. Zároveň
jsou tyto kompozitní díly schopny vydržet vysoká zatížení. Společnosti LKR a BMW na
bázi této technologie společně navrhly nosný držák automobilového motoru (obrázek ??).
Obrázek 1.5: Prototyp nosného držáku motoru (LKR, BMW )[?]
1.4
Alporas
Alporas je lehký hliníkový pěnový materiál se strukturou uzavřených buněk průmyslově
produkovaný od roku 1986. Byl vynalezen v Japonsku v laboratořích Kyushu Industrial
Science and Technology Laboratories, které jsou součástí Agency of Industrial Science and
Technology. Nejvýznamnějším výrobcem je japonská společnost Shinko Wire Co., Ltd., jež
je v Evropě zastoupena rakouskou společností Gleich Gmbh.
Struktura pěny je tvořena souborem buněk obsahujících tenké hliníkové membrány s rovnoměrným rozdělením materiálu. Tvar buněk poskytuje excelentní isotropní mechanické a
fyzikální vlastnosti. V průběhu výrobního procesu je možné měnit velikost buněk v závislosti na způsobu použití výrobku [?].
18
Obrázek 1.6: Makroskopická struktura materiálu [?]
Obrázek 1.7: Snímek broušeného povrchu vzorku pěny Alporas připraveného na nanoindentaci
1.4.1
Charakteristika materiálu
Buňky mají vzhledem k vysoké porozitě tvar mnohostěnů. Jejich velikost se pohybuje v
rozmezí od 1 mm do 13 mm, s průměrnou velikostí 4.8 mm [?]. Relativní hustota jednotlivých bloků Alporasu je nejvyšší na okrajích a plynule klesá směrem ke středu výrobku. V
porovnání s celistvým hliníkem je relativní hustota pěny přibližně 10× nižší a je možné ji
do určité míry ovlivňovat výrobním procesem.
Křivka napětí-deformace v tlaku zobrazuje jednu z nejdůležitějších vlastností Alporasu i
kovových pěn obecně – vysokou schopnost pohlcování deformační energie. Po počáteční
elastické oblasti s prvním vrcholem napětí následuje oblast s téměř konstantní hodnotou napětí v širokém rozsahu deformace. Přibližně při 60 % deformaci začíná docházet k
dotýkání protějších stěn jednotlivých buněk a postupnému zhroucení pěnové struktury s
průvodním projevem výrazného nárůstu napětí. V případě namáhání na tah dochází po
dosažení meze kluzu k velmi rapidnímu poklesu napětí a rychlému šíření trhlin ve struktuře
materiálu. Závislost pevnosti v tlaku a v tahu na porozitě struktury exponenciálně klesá
19
Obrázek 1.8: Snímek povrchu pěny Alporas pořízeného elektronovým mikroskopem
s rostoucí porozitou, s výrazným nárůstem po překročení 70 % porozity, kde dochází ke
změně tvaru buněk z kulovitého na mnohostěnný. To je jednou z příčin koncentrací napětí
v místě strukturálních poruch buněčných stěn.
1.4.2
Výroba
Výrobní proces se skládá ze tří hlavních kroků – zahušťování, pěnění a chlazení [?]. Ve
výrobním procesu je, tak jako u ostatních druhů kovových pěn, zvláště důležité zajistit
stabilitu bublin v tekutém hliníku. Nejdůležitějším faktorem ovlivňujícím tuto stabilitu
je zvýšení viskozity tekutého hliníku pro zabránění pronikání bublin na povrch. Za tímto
účelem je během zahušťovacího procesu do tekutého hliníku přidáváno 1.5 % vápníku. Ten
zde plní roli zahušťovadla a je do tekutého kovu přidáván při teplotě taveniny 680 ◦C.
Následně je tato směs po 6 minut míchána v prostředí okolního vzduchu. V následujícím
výrobním kroku se zahuštěný hliník odlévá do slévárenské formy, kde je dále při teplotě
taveniny 680 ◦C přidáno pěnidlo v podobě 1.5 % hydridu titanu. Po míchání je tato tavenina
po dobu 15 minut odstřeďována tak, aby vyplnila celou slévárenskou formu. Materiál je
následně ochlazen silnými ventilátory a stává se hotovým výrobkem, tzv. blokem. Rozměry
tohoto bloku jsou 450 × 2050 × 650 mm při váze 160 kg. Podle požadavků odběratele může
být blok dále zpracován obráběním, zejména jsou bloky řezány na desky různých tlouštěk.
20
1.4.3
Vlastnosti Alporasu
Významnými vlastnostmi Alporasu jsou:
• nízká měrná hmotnost - v porovnání s běžnými materiály je měrná hmotnost Alporasu [?]:
– 1/10 hmotnosti hliníku
– 1/20 hmotnosti titanu
– 1/30 hmotnosti oceli
– 1/5 hmotnosti plastů
– 1/3 hmotnosti dřeva
• protihluková ochrana – pro použití v protihlukových izolacích je výrobní proces modi-
fikován tak, aby výsledná struktura Alporasu byla tvořena kontinuálními póry umožňujícími průchod plynů. Tato zvláštní membrána vykazuje skvělou pohltivost mechanického vlnění, energie tohoto vlnění je při prostupu membránou třením mezi póry
přeměněna na teplo. Panely Alporasu jsou v konkrétních aplikacích vždy použity s
běžně dostupnými izolačními panely. Mezi oběma panely je ovšem zachován prostor
se vzduchovou vrstvou. Díky jednoduše měnitelné tloušťce této vrstvy je možné měnit pohltivost mechanického vlnění pro různé vlnové délky, zejména v oblasti nižších
frekvencí. Oproti ostatním protihlukovým materiálům nabízí Alporas zejména tyto
výhody:
– panely z Alporasu jsou samonosné a nevyžadují žádné speciální podpůrné konstrukce
– vysoká teplotní odolnost a nehořlavost (až do teploty 780 ◦C)
– jednoduchá manipulace a montáž díky velmi nízké hmotnosti
• teplotní odolnost – výrobky z Alporasu jsou nehořlavé, neprodukují toxické plyny a
až do teploty 780 ◦ C neztrácejí svůj tvar, pokud nejsou zároveň vystaveny vnějším
silám. Tyto vlastnosti jsou zejména výhodné pro použití v dopravních prostředcích
jako např. v železničních vozech.
• elektromagnetické stínění – Alporas je možné pro tento účel použít bez jakých-
koliv běžných úprav jako je potahování zinkovou vrstvou, barvení vodivým nátěrem či úpravou galvanizací. Vzhledem k vynikajícím protihlukovým vlastnostem je
21
možné panely z Alporasu s výhodou použít jako kombinovanou elektromagnetickouprotihlukovou ochranu prostor s elektronickými zařízeními.
• deformační vlastnosti – vzhledem k ideální pěnové struktuře je možné použít Alporas
tam, kde jsou kladeny vysoké nároky na schopnost pohlcení deformační energie. Toto
je velmi významné v dopravě (i vzhledem k velice nízké měrné hmotnosti Alporasu) –
typickými příklady použití jsou automobily (nárazníky a deformační zóny) a ochranné
helmy, u nichž je významná také rázová odolnost.
Výrobky z Alporasu je možné jednoduše obrábět (řezat, vrtat), ohýbat a přizpůsobit je
tak konkrétním požadavkům odběratele. Je možné je barvit organickými i anorganickými
barvami bez degradace protihlukových vlastností, což umožňuje použít Alporas i jako dekorační prvky v interiérech budov [?].
Alporas je možné upravit také jako sendvičové panely aplikací tenké vrstvy hliníku, mědi,
titanu, nebo jiného materiálu na obě strany hliníkové pěny (obrázek ??). Takové panely se
pro svou odolnost, jednoduchou zpracovatelnost a tepelně izolačních vlastnosti uplatňují
zejména jako konstrukční prvky v železničních vozech.
Obrázek 1.9: Sendvičový panel z materiálu Alporas [?]
22
Kapitola 2
Modelování kovových pěn pomocí
modelů získaných CT vyšetřením
Jednou z možností jak numericky stanovit materiálové vlastnosti kovových pěn je modelování vnitřní struktury na základě CT vyšetření. Tento přístup umožňuje získat přesnou geometrii vnitřní struktury a postihnout tak i její nepravidelnost a poruchy. Velkou výhodou
je také možnost souběžně při jednom CT skenu obdržet materiálové vlastnosti zkoumaného
vzorku [?]. Pro účely této práce byl z dat získaných pomocí CT vyšetření vytvořen voxelový model pro program Ansys, kde byla dále zkoumána mechanická odezva pěny. Data
z CT skeneru byla zpracována s použitím programu napsaného v programovacím jazyce
Python a využívajícího vizualizační knihovnu VTK.
2.1
CT – počítačová tomografie
Počítačová tomografie je relativně nová technologie, jejímž hlavním uplatněním je použití v lékařství. V odborných kruzích je objev počítačové tomografie často považován za
největší událost od doby objevení rentgenových paprsků. První experimentální použití je
datováno do roku 1972, kdy byly v současně v Londýně Godfrey N. Hounsfieldem a v USA
Allanem M. Cormackem pořízeny první snímky [?]. Z těchto snímků byl následně digitálně
rekonstruován řez zkušebním objektem. Jak Godfrey N. Hounsfield, tak A. M. Cormack
byli za přínos medicíně roku 1979 oceněni Nobelovou cenou. Rozšíření této technologie až
do druhé poloviny 80. let minulého století bránila zejména vysoká cena, která v některých
zemích učinila z tohoto vyšetření exkluzivní službu. Dnes jsou CT přístroje běžným vybavením i regionálních nemocnic, přičemž specializovaná centra jsou vybavena přístroji s
dalšími speciálními funkcemi (virtuální endoskopie, angiografie [?], atd.).
23
CT využívá vlastností rentgenového záření, ale na rozdíl od běžných rentgenových přístrojů
je technologie CT schopna tvořit skutečné řezy zkoumaným objektem. Při průchodu materiálem dochází v závislosti na složení materiálu k tlumení rentgenových paprsků. Jednotlivé
části (vrstvy) vnitřní struktury objektu jsou potom na běžném rentgenovém snímku zobrazeny přes sebe a překrývají se [?]. Se zavedením výpočetní techniky však bylo možné
tento problém vyřešit a tvořit skutečné řezy objektů nebo i prostorové modely.
CT je tedy založeno na počítačovém zpracování velkého množství rentgenových snímků
pořízených speciálním přístrojem, který se pohybuje po kruhové dráze kolem zkoumaného
objektu. Rentgenové záření je emitováno rentgenkou a po průchodu zkoumaným objektem zachyceno detektorem, který zaznemenává intenzitu dopadajícího záření. Vztah mezi
vstupní a výstupní intenzitou rentgenového záření je dán pomocí [?]:
I0
= eµd
I
(2.1)
kde I0 je vstupní intenzita záření, I je výstupní intenzita záření, d je tloušťka materiálu
a µ je lineární součinitel zeslabení.
Úkolem výpočetního systému je potom rekonstruovat vyšetřovaný objekt [?]. Ve své
podstatě jde o vyřešení soustav rovnic, kde výsledkem řešení je přiřazení skutečného koeficientu tlumení každému jednotlivému elementu objemu – tzv. voxelu. Každé grafické
zobrazení řezu zkoumaným objektem je reprezentováno elementy plochy – tzv. pixely.
Koeficient tlumení závisí na prostředí, jímž záření prochází, a pro každý bod je možné jej
vyjádřit tzv. CT číslem [?]:
CT = 1000
µ − µvody
µvody
(2.2)
Jednotkou CT čísla jsou HU – Hounsfieldovy jednotky. Hodnoty CT čísel pro atmosférický
vzduch a vodu jsou 0 HU, resp. 1000 HU. Dnešní lékařské CT skenery pracují obvykle
v rozmezí hodnot -1024 HU – +3071 HU [?]. Jednotlivým hodnotám útlumu je možné v
obraze přiřadit některou hodnotu ze stupnice šedi. Jelikož lidské oko je schopno rozlišit
přibližně pouze 80 odstínů šedé barvy, obvykle se používá zobrazení od bílé, přes různé
stupně šedi, až po černou. Bílá barva potom označuje materiál s nejvyšší hustotou a černá
barva naopak materiál s nejnižší hustotou.
24
2.2
Úprava dat z CT
Před samotnou tvorbou voxelových modelů z dat nasnímaných pomocí CT vyšetření je
třeba provést určité úpravy obrazu. Snímky pořízené počítačovým tomografem totiž obvykle obsahují různé rušivé prvky, které jsou při další manipulaci nežádoucí a vedou k
nekvalitním modelům. Tyto rušivé prvky je třeba v souboru snímků nalézt a upravit, případně odstranit. Veškeré úpravy je možné zahrnout pod pojem segmentace, tedy nalezení
relevantních oblastí snímků. K nejdůležitějším metodám segmentace CT snímků patří:
• určení požadované oblasti
• Gaussovo rozostření
• prahování
• odstranění ostrůvků
Zdrojovými daty segmentačního programu byly matice obrazových dat z CT ve formátu
matematického software Matlab.
Obrázek 2.1: Snímek řezu vzorkem kovové pěny získaný pomocí µ CT
25
2.2.1
Požadovaná oblast
Při výběru relevantní zkoumané oblasti jde o určení rozměrů pomyslného kvádru obsahujícího data použitá v dalších krocích. Tento kvádr potom obsahuje jednotlivé řezy zkoumaného objektu navršené podél souřadné osy z tvořící tak prostorová data. Tímto postupem je
možné omezit tvorbu prostorového modelu pouze na specifickou oblast, případně z modelu
odstranit nežádoucí objekty jako např. podložku pod vzorkem.
2.2.2
Gaussovo rozostření
Gaussovo rozostření je jednou z nejpoužívanějších technik úpravy obrazů a spolu s např.
trojúhelníkovým a homogenním filtrem se řadí mezi tzv. lineární filtry, jejichž funkce je
možné popsat Fourierovou transformací [?]. Princip Gaussova filtru je možné vyjádřit
konvolucí, tedy matematickou funkcí generující výstup závisející na kombinaci 2 různých
vstupů. V tomto případě je jedním vstupem výchozí obraz a druhým vstupem tzv. konvoluční jádro – maska. Pro diskrétní konvoluci je Gaussovo konvoluční jádro ve tvaru [?]:
g1D (x) = √
x2
1
e 2σ2
2πσ
(2.3)
což odpovídá definici Gaussova pravděpodobnostního rozdělení. Výsledkem rozostření
je úprava jasu každého obrazového bodu podle jasu sousedních bodů vedoucí ke snížení
ostrosti obrazu.
2.2.3
Prahování
Během prahování dochází k rozhodnutí, zda daný pixel bude součástí výsledného obrazu, či
nikoliv. Rozhodování se provádí na základě porovnání hodnoty pixelu s definovanou 1 nebo
2 prahovými hodnotami, hodnota pixelu je poté podle potřeb uživatele nahrazena hodnotou
1 nebo 0. Toto je princip binárního prahování, které je použito při tvorbě voxelového
modelu. Během samotné tvorby prostorového modelu je potom voxel vytvořen pouze na
místě pixelu ohodnoceného hodnotou 1 [?].
2.2.4
Odstranění ostrůvků
Odstranění ostrůvků je technikou, při níž dochází k odstranění rušivých prvků v segmentovaném binárním obraze. Těmito rušivými prvky jsou malé oblasti s opačnou barevnou
hodnotou než přiléhající okolí. Můžeme si je představit jako bílé útvary na černém pozadí
a naopak. Pro odstranění je uživatelem definována plocha, která je poté porovnávána s
26
rušivými prvky v obraze. V případě, že je zadaná plocha větší než útvar v obraze, dojde k
jeho nahrazení plochou s opačnou binární hodnotou.
Obrázek 2.2: Segmentovaný snímek kovové pěny – zobrazení v rovině XZ
2.3
Voxelový model
Po provedení všech výše uvedených úprav jsou data připravena na tvorbu voxelového modelu, přičemž voxel je vytvořen v každém řezu na místě pixelu ohodnoceného hodnotou 1.
Takto je získán prostorový model vzorku kovové pěny, který může být podroben simulované zatěžovací zkoušce. Výstupní formát programu pro segmentaci dat z CT je textový
soubor zdrojového kódu pro program Ansys, kterým je možné generovat voxelový model.
Použity jsou lineární elementy typu Solid 185 tvořené 8 uzly, každým se 3 translačními
stupni volnosti.
Vzhledem k poměrně velkému rozlišení detektoru počítačového tomografu byla prvotní
analýza provedena na výřezu v místě dotyku 2 buněk pěnové struktury. Velikost modelu
celého snímaného vzorku o rozsahu 560 × 560 × 501 pixelů při odhadovaném zaplnění 10 %
dosahuje přibližně 1.5 milionu elementů. Při takovém počtu prvků je vedle potřebného
výpočetního výkonu limitujícím faktorem rovněž omezení plynoucí z licenčních podmínek
programu Ansys. Byl proto použit zmenšený výřez o rozměrech 64×64×96 pixelů, který byl
zatížen stejnou metodou jako diskretizovaný model vnitřní struktury pěny (viz. kapitola
pojednávající o modelování kovových pěn pomocí diskretizovaných modelů vnitřní struktury). Výpočet provedený s použitím tohoto voxelového modelu poukázal na některé problémy této metody. Vzhledem k velice nepravidelné struktuře Alporasu s častým výskytem
poruch a nepravidelností je nemožné provést segmentaci tak, aby byly tyto rušivé faktory
spolehlivě odstraněny. Výsledkem je voxelový model, jehož použitelnost je v prostředí MKP
programů omezená. Velké rozměry buněk a jejich nepravidelný tvar také znesnadňují výběr
menší oblasti pro segmentaci, čímž je vynuceno použití rozměrného a vysoce výpočetně
27
náročného modelu. Všechny tyto důvody byly motivací pro provedení analýzy mechanické
odezvy kovové pěny pomocí zjednodušených modelů s použitím Gibson-Ashbyho diskretizace vnitřní struktury.
Obrázek 2.3: Voxelový model - zobrazení části jedné buňky
28
Kapitola 3
Analýza diskretizovaných struktur
kovových pěn
Vzhledem k vysoké náročnosti analýzy mechanických vlastností kovových pěn pomocí modelů, jejichž vnitřní struktura je získána pomocí počítačové tomografie, byl zvolen alternativní přístup modelováním diskretizované struktury kovové pěny v prostředí MKP programu Ansys.
3.1
Gibson-Ashbyho diskretizace struktur pěnových materiálů
Geometrie diskretizované struktury kovové pěny je založena na základní jednotce – GibsonAshbyho anizotropní buňce, která vykazuje obdobné mechanické vlastnosti jako kovová
pěna.
V průběhu výzkumu chování kovových pěn se velmi brzy jako limitující faktor ukázala velice komplexní geometrie vnitřní struktury. Tato komplexnost do značné míry znemožňuje,
případně významně komplikuje studium vlastností vnitřních struktur kovových pěn např.
s použitím metod počítačové tomografie. Logickým krokem proto byla snaha o nahrazení
složité vnitřní struktury určitou formou její diskretizace, ať už v rovině [?], či v prostoru.
Tato diskretizace může být provedena různými způsoby sestavením nosníků v prostoru tak,
aby chování výsledné struktury odpovídalo skutečné kovové pěně. Některé autory ovšem
také zajímala mechanická odezva jediné buňky, např. M. F. Gibson a L. J. Ashby pro simulaci chování pěny uvažovali s deformačním chováním hexagonální a krychlovité buňky.
Právě druhá jmenovaná forma se v průběhu let stala referenčním modelem reprezentujícím
diskretizaci struktur kovových pěn, zejména s využitím metody konečných prvků [?].
29
Podstata této metody je založena na studiu deformačních vlastností nosníků. Sestavením nosníků do krychlovité buňky je možné při zatížení dosáhnout stejných deformačních
mechanismů, které jsou pozorovány v pěnách samotných. Základní Gibson-Ashbyho anisotropní buňka je sestavena z celkového počtu 48 nosníkových prvků a zahrnuje v sobě rovněž
spojovací prvky k sousedním buňkám. Tyto nosníkové prvky jsou vzájemně spojeny ve 20
uzlech, přičemž v každém uzlu se stýkají 3, nebo 4 nosníky. Tvar skutečné buňky je nejprve nahrazen tzv. ekvivalentním elipsoidem [?]. Délky nosníků (strut) v Gibson-Ashbyho
buňce potom odpovídají délkám hlavních os tohoto ekvivalentního elipsoidu. Hodnoty délek
hlavních os ekvivalentího elipsoidu je možné získat na např. základě CT vyšetření vzorku
pěny nebo s použitím snímků 2D struktury a statistického přístupu při identifikaci rozměrů buněk. Relativní délka spojovacích prvků (stem) vzhledem ke stejně orientovaným
nosníkům má významný vliv na mechanickou odezvu celé soustavy, stejně jako plocha
průřezu nosníků a počet buněk ve výsledné struktuře. Výhodou tohoto postupu je snížení
výpočetní náročnosti a snadná parametrizace umožňující studium vlivu tvaru buněk, jejich
rozměrů a tlouštěk stěn na mechanickou odezvu modelů. Je také možné použít náročnější
materiálový model s plastickými vlastnostmi. Naopak nevýhodou této metody je obtížné
postihnutí poruch a nepravidelností vnitřní struktury.
Obrázek 3.1: Uzel se 3 stýkajícími se nosníky [?]
Obrázek 3.2: Uzel se 4 stýkajícími se nosníky [?]
30
Obrázek 3.3: Zobrazení buněk ve vnitřní struktuře na základě dat z CT vyšetření
Obrázek 3.4: Gibson-Ashbyho buňka s vyznačením rozměrů ekvivalentního elipsoidu [?]
31
Obrázek 3.5: Pohled na řez diskretizovanou strukturou kovové pěny
Obrázek 3.6: Parametrický model Gibson-Ashbyho anisotropní buňky
32
3.2
Numerická analýza diskretizované struktury kovové
pěny
Pro účely MKP analýzy byla napsána řada parametrických skriptů pro prostředí Ansys,
jež umožňuje podle uživatelem zadaných parametrů automatizovaně modelovat vnitřní
strukturu kovových pěn. Skript existuje ve 2 variantách odlišujících se v podporovaných
materiálových vlastnostech:
• s podporou pouze elastického oboru
• s podporou plasticity
Každý skript se skládá z následujících komponent:
• spouštěcí skripty
• soubor obsahující parametry analýzy
• skripty provádějící tvorbu modelů
• skripty provádějící zatížení, výpočet a export výsledků
Spouštěcí skripty
Jedná se o jednoduché spouštěcí nástroje obsahující pouze příkazy aktivující ostatní komponenty ve správném pořadí a podle potřeb uživatele. Je tak možné nezávisle generovat
sady modelů s různými parametry a provádět výpočty. Proto existují 3 varianty spouštěcích
skriptů:
1. skript provádějící postupně všechny operace – tvorbu modelů, jejich zatížení, výpočet
a export výsledků
2. skript generující modely podle zadaných parametrů
3. skript provádějící zatížení modelů a export výsledků, modely musejí být již vytvořeny
a musejí se nacházet v příslušné složce v pracovním adresáři
Všechny skripty je výhodné spouštět pomocí dávkového režimu Ansys batch, protože
v režimu GUI a zejména při větším počtu generovaných modelů dochází s každým modelem ke zpomalování běhu programu a zbytečné ztrátě času (zpomalování běhu je člověkem
pozorovatelné přibližně již od 5. generovaného modelu, v závislosti na výpočetní síle systému).
33
Soubor obsahující parametry analýzy
Tento soubor obsahuje soubor parametrů pro provedení všech částí analýzy diskretizovaných struktur kovových pěn. Před aktivací některého ze spouštěcích skriptů je nutné právě
zde zadat požadované parametry výpočtu. Jednotlivé proměnné jsou vázány na cykly obsažené ve funkčních skriptech (pro tvorbu modelů a následné operace). V případě potřeby a
přidání, nebo naopak odebrání některého z cyklů je možné jednoduše upravit obsah tohoto
souboru a pokračovat v práci. V základní verzi soubor obsahuje tyto parametry:
• cell count multiplicator – vyjadřuje počet buněk diskretizované struktury podél jednotlivých souřadných os, počet je ve všech směrech identický
• cell dimensions
– strut lengths – značí rozměry hlavních os pomyslného elipsoidu, který reprezentuje tvar póru ve struktuře pěny, a který je modelován Gibson-Ashbyho
anizotropní buňkou
– length step – vyjadřuje hodnotu, o kterou jsou jednotlivé strut lengths zvětšovány v každém následujícím cyklu
• stem lengths - relativní délka spojovacích prvků mezi jednotlivými buňkami, vzhledem k odpovídajícímu rozměru buněk
• beam cross-section – definuje geometrii průřezu nosníků, z nichž jsou modely vytvo-
řeny, hodnota vyjadřuje délku hrany v případě čtvercového průřezu, nebo poloměr v
případě kruhového průřezu
• hh step – vyjadřuje hodnotu, o kterou jsou rozměry průřezu nosníků zvětšovány v
každém následujícím cyklu
• material props – zde uživatel zadává vlastnosti materiálu použitého na výrobu pěny,
jmenovitě Youngův modul pružnosti v MPa a příslušné Poissonovo číslo
3.2.1
Skript pro tvorbu modelů s elastickými elementy
Účelem tohoto skriptu je automatizovaná tvorba modelů kovových pěn podle zadaných
parametrů, včetně tvorby sítě prvků a uložení vygenerovaných modelů. Skript je možné
dle prováděných operací rozdělit do těchto částí:
• parametry cyklů
34
• typ elementů
• materiálové vlastnosti
• tvorba geometrie
• tvorba sítě prvků
• uložení modelu a příprava na další cyklus
Parametry cyklů
V první fázi jsou načteny veškeré potřebné parametry, jimiž jsou během činnosti skriptu
řízeny jednotlivé cykly. Výpisem parametrů je možné zjistit celkový počet buněk, z nichž se
model skládá. Při výpočtu délek spojovacích nosníků je délka příslušného rozměru buňky
dělena aktuální hodnotou proměnné stem lengths (podrobnosti o výpočtu délek spojovacích
nosníků viz. kapitola pojednávající o teoretické analýze mechanických vlastností kovových
pěn).
Typ elementů
Pro verzi s elementy podporujícími pouze elastické materiálové vlastnosti byl z databáze
programu Ansys zvolen element typu Beam 4. Jedná se o 3D elastický nosníkový element
se 6 stupni volnosti v každém uzlu - 3 translace (ui , vi , wi ) a 3 rotace (θxi , θyi , θzi ).
Obrázek 3.7: Element Beam 4 [?]
Pro účely této varianty skriptu jsou uvažovány tyto vlastnosti průřezu:
• výška
• šířka
35
• plocha průřezu
• moment setrvačnosti průřezu k ose y
• moment setrvačnosti průřezu k ose z
Skript umožňuje zadávání čtvercového a kruhového tvaru průřezu. Jednotlivé vlastnosti
průřezu vypočítává skript na základě uživatelem zadaných rozměrů průřezu.
Materiálové vlastnosti
Vzhledem k tomu, že element typu Beam 4 podporuje pouze elastické materiálové vlastnosti, jsou zadávány jen Youngův modul pružnosti a Poissonovo číslo. Pěna Alporas je vyráběna s použitím speciální hliníkové slitiny obsahující 97 % hliníku, 1.5 % vápníku a 1.5 %
titanu [?]. Tato slitina je používána pouze pro výrobu této kovové pěny a není proto standardizována podle mezinárodních norem. Z tohoto důvodu nejsou veřejně přesně známy její
materiálové vlastnosti. V této práci byly proto stejně jako v [?] a [?] zadávány materiálové
vlastnosti hliníku 98 % čistoty:
• E =69 GPa
• µ = 0.33
Tvorba geometrie jedné Gibson-Ashbyho buňky
Vzhledem k prostorovému charakteru generovaných modelů bylo přistoupeno ke tvorbě geometrie s využitím symetrií, která je velice výhodná s ohledem na definici Gibson-Ashbyho
buňky.
V prvním kroku je tak modelována 1/8 celkové struktury Gibson-Ashbyho buňky. Jak je
z obr. ??, ?? patrné, tato část je tvořena celkem 10 body spojenými 9 čarami. Zbývající
části buňky jsou generovány pouze s využitím symetrií podle všech souřadných os v pořadí
x, z, y.
Tato první komponenta je poté kopírována tak, aby vytvořila první vrstvu výsledné struktury. Kopírování probíhá podle parametru určujícího počet buněk podél souřadných os,
nejprve ve směru osy z a poté osy x. Zbytek geometrie struktury kovové pěny je generován
kopírováním první vrstvy ve směru osy y.
Takto vytvořenou strukturu je poté potřeba upravit tak, aby odpovídala geometrii podle
[?]. Jedná se o odstranění spojovacích nosníků z povrchu celé struktury, aby výsledná
geometrie modelu odpovídala realitě.
36
Obrázek 3.8: 1 osmina Gibson-Ashbyho buňky
Obrázek 3.9: Model Gibson-Ashbyho buňky v programu Ansys
Tvorba sítě prvků
Do této chvíle vytvořenou strukturu je pro úspěšné provedení analýzy třeba opatřit sítí
prvků (proces meshování). Protože se jedná o jednodušší variantu skriptu, jsou všem čarám přiřazeny elementy stejného typu s identickými programovými a materiálovými vlastnostmi. Během tvorby sítě jsou všechny čáry transformovány na zadaný počet elementů
(v nejjednodušším případě na jeden, délka elementu potom odpovídá příslušné čáře). S
ohledem na budoucí odvozování skriptu s elementy podporujícími plasticitu byla tvorba
sítě napsána univerzálně tak, aby fungovala korektně v obou případech.
V případě diskretizování čar v prostoru je nutné provádět jejich výběr určováním souřadnic středů čar. Výběr je proveden souborem několika cyklů používajících pomocné délkové
proměnné vypočtené z geometrie modelu. Počet těchto cyklů je odvozen od počtu buněk
v jednotlivých směrech. S ohledem na vlastnosti plastických elementů v odvozené verzi
skriptu je tvorba sítě prvků prováděna separátně pro horizontální čáry (rovnoběžné s ro-
37
Obrázek 3.10: Model struktury kovové pěny v programu Ansys sestavený z Gibson-Ashbyho buněk
Obrázek 3.11: Výsledný model struktury kovové pěny v programu Ansys s odstraněnými vnějšími spojovacími prvky
vinou x − z) a vertikální čáry (rovnoběžné s rovinou x − y). Tento způsob tvorby sítě
také umožňuje použití modelů s geometricky isotropními buňkami (shodné hodnoty délek
hlavních os a, b, c ekvivalentního elipsoidu).
Uložení modelu a příprava na další cyklus
Automatizovaný průběh skriptu předpokládá také automatické ukládání modelů vytvořených v jednotlivých cyklech. Modely jsou ukládány do složky s názvem Models umístěné v
pracovním adresáři programu Ansys, složka je vytvořena přímo tímto skriptem ještě před
začátkem provádění tvorby modelů. Ukládané soubory jsou ve formátu databáze programu
Ansys (soubory s příponou .db).
38
3.2.2
Skripty provádějící zatížení, výpočet a export výsledků
Účelem těchto skriptů je provádění analýzy mechanických vlastností modelů diskretizovaných kovových pěn. V případě varianty s elastickými elementy je výstupem určení Youngova
modulu pružnosti struktury ve směru jednotlivých souřadných os na základě simulované
deformační tlakové zkoušky. Skript je možné rozdělit podle prováděných operací do těchto
částí:
• okrajové podmínky a řešení
• uložení modelu a příprava na další cyklus
• export výsledků
Okrajové podmínky a řešení
Jedná se o klíčovou část skriptu, která provádí odebírání stupňů volnosti modelu a definuje
způsob zatížení modelu. Prvním krokem je výpočet reálných rozměrů modelu, spočteny
jsou délky modelu podél všech souřadnicových os.
Odebírání stupňů volnosti probíhá přímo na uzlech ve 2 variantách – s odebráním veškerých stupňů volnosti a se staticky určitým uložením. Odebírání stupňů volnosti je v obou
případech provedeno na uzlech s maximální souřadnicí ve směru příslušné souřadné osy.
Staticky určité uložení se od neurčitého odlišuje tím, že všechny uzly kromě jediného mají
odebrané stupně volnosti tak, jako v případě uchycení posuvným válcovým kloubem (2
translace a 2 rotace), zbývající uzel je uchycen jako v případě uložení s neposuvným vácovým kloubem (odebráno 5 stupňů volnosti).
Zatížení je definováno 2 parametry – požadovanou deformací a počtem kroků, v nichž je
deformace dosaženo. Pro účely výpočtu Youngova modulu pružnosti je zatížení realizováno
pouze 1 krokem. Cykly pro zatížení a řešení tak sestávají pouze z jednoho kroku, přičemž
zatížení je definováno deformačně povoleným posunutím uzlů s minimální souřadnicí ve
směru příslušné souřadné osy. Předepsané posunutí je definováno vzorcem:
uij =
ε
× l × j, i ∈ {x, y, z} , j ∈ h1; ni
100 × n
(3.1)
kde ε vyjadřuje požadovanou deformaci v %, n je počet kroků do dosažení deformace,
l je délka struktury, i označuje příslušný směr a j vyjadřuje číslo daného kroku (v případě
elastické analýzy je rovno číslu 1).
39
Export výsledků
Výsledky jsou po uložení modelu zapsány do tabulky, jejíž rozměr odpovídá počtu kroků,
v nichž je realizováno zatížení. Skript dále pro operace s uloženými hodnotami napětí a
deformace vypočítává plochu modelu v rovině kolmé na směr zatížení. Obsahem tabulky
jsou tyto parametry:
• síla v příslušném směru
• napětí v příslušném směru
• deformace
• Youngův modul pružnosti v příslušném směru
Síla v daném směru je získána jako součet sil na všech uzlech, kde bylo definováno zatížení. Pro výpočet napětí je tato hodnota dělena plochou modelu a deformace je vypočítána
stejně jako při zadávání okrajových podmínek.
Výpočet Youngova modulu pružnosti je odvozen od vztahu:
Ei = tan ϕi , i ∈ {x, y, z}
(3.2)
V tomto případě, kdy je průběh křivky napětí-deformace reprezentován pouze 2 body
(počátkem a výsledkem řešení) přechází tento vztah jednoduše na:
Ei =
σi
, i ∈ {x, y, z}
εi
(3.3)
Export tabulky s výsledky je prováděn ve formátu jednoduchého textu do souboru s
příponou .txt.
Textové soubory s výsledky obsahují výpis následujících hodnot:
• počet buněk struktury v jednotlivých směrech
• rozměr a Gibson-Ashbyho buňky
• rozměr b Gibson-Ashbyho buňky
• rozměr c Gibson-Ashbyho buňky
• relativní délka spojovacích prvků mezi jednotlivými buňkami
40
• rozměr průřezu nosníků
• deformace v příslušném směru
• síla v příslušném směru
• napětí v příslušném směru
• Youngův modul pružnosti
3.2.3
Odvozený skript pro analýzu struktur s plastickými elementy
Veškeré rozdíly vyplývají z odlišného typu elementu se zcela specifickými vlastnostmi.
Skript provádějící tvorbu modelů s plastickými elementy
Databáze programu Ansys obsahuje pouze jeden typ nosníkového elementu s plastickými
vlastnostmi – Beam 24. Jedná se o tenkostěnný prostorový nosníkový element se 6 stupni
volnosti v každém uzlu (3 translace a 3 rotace) a podporou speciálních materiálových
vlastností (plasticita, tečení, bobtnání). Práce s elementem Beam 24 se velmi odlišuje od
práce se všemi ostatními typy nosníkových elementů v programu Ansys. Průřez je totiž
v tomto případě zadáván uživatelsky, přičemž je možno použít jakýkoliv otevřený nebo
uzavřený tvar průřezu.
Obrázek 3.12: Geometrie elementu Beam 24 (převzato z nápovědy programu Ansys)
Geometrie průřezu je zadávána pomocí reálných konstant. Uživatel takto může definovat až 20 bodů se souřadnicemi y a z v souřadném systému elementu. Ke každému bodu
je dále nutné zadat tloušťku (thk) odpovídajícího segmentu. Formát syntaxe pro každý
segment je tedy (y, z, thk). Posloupnost bodů vytvoří žádaný tvar průřezu elementu, přičemž pomocí bodů s nulovou tloušťkou je možné vracet se na místa definovaná předchozími
body. Tloušťka udává tloušťku segmentu v místě daného i předchozího bodu, tloušťka prvního bodu proto musí být nulová. Při zadávání geometrie průřezu je nutné respektovat
následující omezení:
41
• segmenty s nulovou tloušťkou musí kopírovat předchozí zadané body a nemohou tedy
uzavírat plochu
• sekvence bodů s nulovou tloušťkou ve stejné ose musejí být složeny ze stejného počtu
bodů jako původní čára
• průřez definovaný 1 úsečkou (2 body) není dovolen
Vzhledem ke komplikovanému zadávání průřezu je po tvorbě sítě prvků výhodné zkontrolovat skutečný tvar elementu. Volba Keyopt (3) byla pro potřeby tohoto skriptu nastavena na hodnotu 1, což značí umístění uzlů v těžišti průřezu elementu. Poloha jednotlivých
bodů průřezu je definována souřadnicemi v rovině y − z, je proto zřejmé, že osa x probíhá
rovnoběžně s diskretizovanou entitou. Tato rovina je však rovinou v souřadném systému
elementu a je třeba určit její orientaci vzhledem ke globálnímu souřadnému systému. Orientace je zadávána pomocí tzv. orientačních bodů. Počátek a konec každé diskretizované
entity může mít přidělen rozdílný orientační bod, což umožňuje geometrické zkroucení elementů. Každý element je po vytvoření sítě prvků definován 2 uzly v místě diskretizované
entity a jedním orientačním uzlem obsahujícím souřadnou osu z elementu.
V tomto skriptu je použit čtvercový tvar průřezu. S ohledem na výše uvedená omezení
zadávání geometrie bylo zvoleno řešení s 5 řídicími body. Ve výsledku je tak čtvercový tvar
složen z 2 na sobě ležících obdélníků, jak je patrné z obrázku ??.
Obrázek 3.13: Způsob zadání průřezu elementu pomocí 5 bodů
Při zadávání materiálových vlastností je v příslušném modelu nutné kromě Youngova
modulu pružnosti a Poissonova čísla specifikovat také další parametry. Pro účely této analýzy byl zvolen elasto-plastický materiálový model s von Misesovou podmínkou plasticity a
bilineárním isotropním zpevněním. V programu Ansys byly zadávány následující vlastnosti:
42
• materiálové vlastnosti nezávislé na teplotě
• mez kluzu 300 MPa
• tečný modul pružnosti odpovídající 2.5 % Youngova modulu pružnosti
Celá tvorba geometrie odpovídá elastické verzi skriptu, výrazně je však doplněna sekce
tvorby sítě prvků. Jde o rozšíření zdrojového kódu o definování orientačních bodů zvlášť
pro elementy orientované v rovině x − z a elementy orientované v rovině x − y. Oba
orientační body jsou tvořeny takovým způsobem, aby umožňovaly generování libovolně
rozsáhlé struktury, tedy bez omezení celkovým počtem a polohou bodů.
Skripty provádějící zatížení, výpočet a export výsledků
Rozdíly vyplývají z odlišného účelu použití, kde v případě plastických vlastností elementů
sledujeme průběh křivky napětí-deformace. Odlišně je proveden výběr uzlů pro aplikaci
okrajových podmínek. Bylo třeba zajistit, aby uzly vybrané pro aplikaci okrajových podmínek byly součástí skutečné geometrie struktury. Přidané cykly proto z výběru odstraňují
orientační uzly jednotlivých elementů, které mají výrazný negativní vliv na pravděpodobnost úspěšné konvergence řešení. Vzhledem k účelu skriptu je maximální stanovené deformace dosaženo ve více krocích, pro zajištění spolehlivější konvergence řešení je počet
kroků 15-ti násobkem hodnoty maximální deformace v %. Export výsledků je řešen postupným zapisováním hodnot deformace, síly a napětí pro každý zatěžovací krok do jednoho
textového souboru, což umožňuje zobrazení křivky napětí-deformace.
43
Kapitola 4
Teoretická analýza mechanických
vlastností kovových pěn
Tato část práce byla provedena v prostředí matematického software Maple. Hlavní motivací
použití tohoto programu je zejména vysoká názornost daná možností symbolických zápisů
kódu. Správnost zápisu jakkoliv složitého vztahu nebo rovnice je možné jednoduše předem
zkontrolovat jeho zobrazením v podobě blízké člověkem psanému projevu.
4.1
Skript pro teoretickou analýzu chování kovových pěn
a výpočet strukturálních charakteristik
Skript v programu Maple byl napsán pro automatizovaný výpočet na základě uživatelem
určených parametrů, jejichž hodnoty se pohybují v zadaných intervalech. Těmto parametrům jsou potom podřízeny cykly obsažené ve skriptu. Výsledky ve formátu prostého textu
je možné následně zpracovat jakýmkoli tabulkovým procesorem.
Pro zobrazení závislostí mechanických charakteristik na strukturálních vlastnostech MKP
modelů kovových pěn jsou výstupem skriptu hodnoty relativní hustoty a porozity, dále
je skript použit pro teoretický výpočet závislosti poměru elastických modulů na relativní
hustotě podle [?].
4.1.1
Uživatelem zadávané parametry jako vstupní hodnoty skriptu
1. Počet buněk ve směru souřadných os v prostoru:
n ∈ hnb ; nf i
44
(4.1)
2. Délky strutů - rozměry buněk ve směru souřadných os x, y a z:
a ∈ hab ; af i
b ∈ hbb ; bf i
c ∈ hcb ; cf i
(4.2)
(4.3)
(4.4)
3. Relativní délka stemů - spojovacích prvků Gibson-Asbyho buněk vzhledem k odpovídajícímu rozměru buněk:
s ∈ hsb ; sf i
(4.5)
4. Řídicí rozměr průřezu nosníků Gibson-Ashbyho buňky – délka strany čtverce, nebo
průměr kruhu:
h ∈ hhb ; hf i
(4.6)
Výpočet délky stemů je vhodné demonstrovat na příkladu:
Hledáme délku stemů ve směru osy z, s odpovídajícím rozměrem póru a = 4 a při
hodnotě s = 4.
la = a ×
4.1.2
1
1
−→ la = 4 × = 1
s
4
(4.7)
Posloupnost výpočtů ve skriptu
Skriptem jsou postupně prováděny výpočty těchto veličin:
• Celková délka všech nosníků v jedné buňce:
la + lb + lc
LB = 4 × a + b + c +
2
(4.8)
Význam tohoto vzorce je patrný ze schématu geometrie Gibson-Ashbyho buňky (obrázek ??). Pro teoretickou analýzu se uvažuje, že ke každé buňce náleží vždy polovina délky
spojovacích nosníků.
45
• Celkový počet buněk diskretizovaného modelu:
Ncells = n3
(4.9)
kde n je počet buněk ve směru jednotlivých souřadných os.
• Plocha průřezu nosníků (čtvercový průřez):
A = h2
(4.10)
VBeams = LB × Ncells × A − 4 × n2 × A × (la + lb + lc )
(4.11)
• Celkový objem všech nosníků:
Vzorec se skládá ze dvou částí. První součin vyjadřuje objem všech nosníků, včetně
vnějších spojovacích nosníků. Tyto nosníky jsou však v rámci MKP modelu odstraněny. Z
důvodu možnosti srovnání MKP a teoretických výsledků je nutné tuto skutečnost v teoretickém modelu zohlednit. Druhá část vzorce proto reprezentuje odečtení objemu nosníků
na vnějším povrchu struktury.
• Celkový objem celistvé struktury, pokud by nebyla tvořena nosníkovou strukturou:
Jedná se obecně o kvádr, zcela vyplněný materiálem, jehož rozměry odpovídají rozměrům modelu kovové pěny, již bez vnějších nosníků:
VSolid = Ncells × [a + la × (n − 1)] × [b + lb × (n − 1)] × [c + lc × (n − 1)]
(4.12)
Ve své podstatě jde o modifikovaný vzorec pro výpočet objemu kvádru, kde význam
každého činitele odpovídá rozměrům struktury ve směru jednotlivých souřadných os.
• Celkový prázdný objem struktury:
VPores = VSolid − VBeams
(4.13)
Zbývající část skriptu používá všechny výše uvedené vypočtené parametry ke zjištění
strukturálních charakteristik modelů a poměru elastických modulů pružnosti diskretizované struktury kovové pěny a hliníku v závislosti na relativní hustotě [?].
46
4.1.3
Výpočet strukturálních charakteristik
Požadované strukturální charakteristiky jsou na základě předchozích výpočtů získány následujícím způsobem:
Objemový podíl tuhé fáze ve struktuře kovové pěny je možné získat jako:
Vf =
VBeams
VSolid
(4.14)
Vztah mezi objemovým podílem a porozitou P je:
(4.15)
Vf + P = 1
Hustotu diskretizované struktury kovové pěny dává vztah:
ρfoam =
ρAl × VBeams
VSolid
(4.16)
Pro relativní hustotu platí:
ρrelative =
Z toho ovšem plyne:
ρrelative =
ρfoam
ρAl
ρfoam
ρAl
(4.17)
ρAl×VBeams
VSolid
=
ρAl
(4.18)
Proto je možné psát:
ρrelative =
4.1.4
ρfoam
= Vf
ρAl
(4.19)
Výpočet poměru elastických modulů pružnosti diskretizované struktury kovové pěny a hliníku v závislosti na relativní
hustotě
Výsledky numerické analýzy metodou konečných prvků jsou srovnány s matematickým
modelem odvozeným M. F. Gibsonem a L. J. Ashbym v [?]. Tento model je platný pro
elastickou oblast a je založen na vztahu:
Efoam
=α
EAl
47
ρFoam
ρAl
η
(4.20)
kde Efoam je Youngův modul pružnosti pěny, EAl je Youngův modul pružnosti hliníku
ρfoam
(EAl = 69 GPa),
vyjadřuje relativní hustotu, α a η jsou konstanty.
ρAl
Pro analýzu byly použity 2 různé soubory hodnot konstant získané teoreticky v [?], resp.
na základě experimentů provedených T. Dillardem v [?]:
1. Teoretické podle [?]
• α = 0.6, η = 1.6
2. Experimentální podle [?]
• α = 2.03, η = 2
Výsledky výpočtů jsou v programu Maple zobrazeny ve tvaru:
12, 4.8, 4.8, 4.8, 8, .4, .0492379, .9507620719, .004850995, 13028.813, 264609.288
Tato čísla jsou hodnotami následujících parametrů (postupně zleva doprava):
1. Počet buněk ve směru souřadných os v prostoru
2. velikost buňky ve směru z
3. velikost buňky ve směru y
4. velikost buňky ve směru x
5. relativní velikost spojovacích prvků
6. velikost strany pravoúhlého čtyřúhelníku, který je průřezem nosníků
7. relativní hustota
8. porozita
9. teoretický poměr elastických modulů pružnosti
10. celkový objem všech nosníků
11. celkový objem struktury, pokud by nebyla tvořena nosníkovou strukturou
48
Vzhledem k tvorbě grafů s různými závislostmi je výpočet relativních modulů pružnosti
proveden přímo v tabulkovém procesoru, podle vztahu:
Erelative,i =
Ei
, i ∈ {x, y, z}
EAl
(4.21)
kde Ei jsou vypočtené moduly pružnosti modelu kovové pěny, EAl je Youngův modul
pružnosti hliníku, index i vyjadřuje jednotlivé směry v souřadném systému.
4.2
Výsledek teoretické analýzy
Porovnání výsledků analýzy modelované struktury kovové pěny pomocí MKP programu
Ansys a teoretického modelu je ukázáno na obrázku ??, který zobrazuje závislost poměru
elastických modulů pružnosti na relativní hustotě. Stejně jako v [?] je zřejmý vysoký nárůst
poměru modulů pružnosti teoretického modelu s experimentálně zjištěnými konstantami
podle [?]. Výsledky dosažené metodou konečných prvků se blíží modelu s teoreticky zjištěnými konstantami [?] s tím, že pro rostoucí relativní hustotu nad hodnotou 0.15 se rozdíl
výsledků obou metod snižuje. Oba teoretické modely dávají stejné hodnoty poměru modulů pružnosti do hodnoty relativní hustoty 0.05, křivka experimentálního modelu od této
chvíle prudce roste.
Evolution of elastic modulus ratio vs. relative density - FEM, theoretical and experimental models
0.14
FEM [Koudelka, 2010]
Experimental [Dillard, 2004]
Theoretical [Ashby et al., 2004]
0.12
Elastic modulus ratio [1]
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Relative density [1]
Obrázek 4.1: Porovnání MKP a teoretických výsledků
49
0.3
Kapitola 5
Výsledky MKP analýzy kovových pěn
Při zkoumání mechanické odezvy kovových pěn diskretizovaných Gibson-Ashbyho anisotropními strukturami byly hledány následující charakteristiky:
• pro oblast elastických deformací
– reprezentativní element objemu (RVE)
– vliv geometrických charakteristik buněk na výsledky
∗ délka spojovacích prvků
∗ geometricky anisotropní buňka
– závislost Youngova modulu pružnosti a poměru elastických modulů hliníku/pěny
na:
∗ ploše průřezu nosníků
∗ relativní hustotě
∗ tvaru průřezu nosníků
– závislost relativní hustoty na:
∗ ploše průřezu nosníků
∗ délce spojovacích prvků
∗ počtu buněk struktury
• pro oblast plastických deformací
– závislost křivky napětí-deformace na:
∗ délce spojovacích prvků
∗ rozměrech Gibson-Ashbyho buňky
50
∗ geometricky lineárním a nelineárním výpočtu v prostředí programu Ansys
– vliv staticky určitého a neurčitého uložení na průběh křivky napětí-deformace
Při zjišťování všech materiálových charakteristik kromě mechanické odezvy geometricky
anisotropní buňky byla použita výrobcem deklarovaná průměrná velikost buňky 4.8 mm
[?] s tím, že buňka byla uvažována jako geometricky isotropní.
5.1
5.1.1
Výsledky z oblasti elastických deformací
Stanovení reprezentativního elementu objemu (RVE)
Prvním krokem analýzy bylo stanovení reprezentativního elementu objemu. Za tím účelem
byl zkoumán průběh Youngova modulu pružnosti v závislosti na počtu buněk v jednotlivých
směrech souřadného systému. Z obrázku ?? je patrné, že při malém počtu buněk dochází k
poměrně značné chybě, přičemž s rostoucím počtem buněk Youngův modul pružnosti klesá.
Jako reprezentativní element objemu je pro účely MKP uvažována struktura s hranou o
délce 12 buněk, což odpovídá reálnému rozměru struktury 57.6 × 57.6 × 57.6 mm.
Evolution of elastic modulus vs. no. of cells along each axis
700
E(x)
Elastic modulus E(x) [MPa]
600
500
400
300
200
100
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
No. of cells along each axis
Obrázek 5.1: Závislost modulu pružnosti ve směru osy x na počtu buněk modelu
5.1.2
Délka spojovacích prvků
Po zjištění odpovídajícího RVE bylo nutné zjistit změnu mechanické odezvy struktury v
závislosti na relativní délce spojovacích prvků mezi buňkami. Autoři Gibson a Ashby ve
51
svých pracech pojednávajících o diskretizaci kovových pěn použitou anisotropní buňkou
neuvádějí žádné bližší údaje o vlivu délek spojovacích prvků na chování struktury. Avšak v
[?] byla jako relevantní určena hodnota délky spojovacího prvku menší než 1/4 včetně příslušného rozměru Gibson-Ashbyho buňky. Závislost průběhu Youngova modulu pružnosti
na relativní délce spojovacích prvků je zobrazena obrázku ??. S klesající délkou spojovacích prvků Youngův modul pružnosti roste, pro další výpočty byla proto použita délka
spojovacích prvků odpovídající 1/8 příslušného rozměru Gibson-Ashbyho buňky.
Obrázek 5.2: Závislost Youngova modulu pružnosti ve směru osy x na délce spojovacích prvků
5.1.3
Závislost Youngova modulu pružnosti a poměru elastických
modulů pěny/hliníku na ploše průřezu nosníků, relativní
hustotě a tvaru průřezu nosníků
Klíčovou částí analýzy bylo určení závislosti mechanické odezvy diskretizované struktury
kovové pěny na parametrech průřezu nosníků, z nichž se skládá Gibson-Ashbyho buňka.
Obrázky ?? a ?? zobrazují průběh změny Youngova modulu pružnosti, resp. poměrů modulů pružnosti pěny a hliníku na ploše průřezu nosníků struktury. Průřez je uvažován
čtvercový s největší délkou hrany 0.8 mm. Výrobcem deklarovaným elastickým modulům
Alporasu o hodnotách v intervalu 400 MPa – 1000 MPa [?](poměru elastických modulů
0.005 – 0.015) odpovídá plocha průřezu nosníků přibližně v intervalu 0.3 mm2 – 0.5 mm2 .
52
Evolution of elastic modulus vs. beam cross-section area
2000
E(x)
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
2
Beam cross-section area [mm ]
Obrázek 5.3: Závislost Youngova modulu pružnosti ve směru osy x na ploše průřezu nosníků
Evolution of elastic modulus ratio vs. beam cross-section area
0.03
E(x)
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
2
Beam cross-section area [mm ]
Obrázek 5.4: Závislost poměru elastických modulů pěny/hliníku na ploše průřezu nosníků
53
Hustota hliníku je 2700 kg/m3 , relativní hustota struktury Gibson-Ashbyho anisotropních buněk s nosníky o průřezu ve výše uvedeném intervalu se pohybuje v rozmezí 0.12 0.185. Z obrázků ?? a ?? je patrný obdobný průběh hodnot Youngova modulu pružnosti
a poměru elastických modulů jako v případě závislosti na ploše průřezu nosníků.
Evolution of elastic modulus vs. relative density
2000
E(x)
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Obrázek 5.5: Závislost Youngova modulu pružnosti ve směru osy x na relativní hustotě
Evolution of elastic modulus ratio vs. relative density
0.03
E(x)
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Obrázek 5.6: Závislost poměru elastických modulů pěny/hliníku na relativní hustotě
Obrázek ?? zobrazuje závislost poměru elastických modulů pěny a hliníku na relativní
hustotě pro 2 různé tvary průřezů nosníků Gibson-Ashbyho buněk. Tak jako v [?] byla
důvodem pro tento typ analýzy potřeba zjištění případného vlivu tvaru průřezu nosníků
54
na celkovou tuhost struktury. Z grafu je zřejmý identický průběh křivek pro oba tvary
průřezu do hodnoty relativní hustoty 0.12, resp. plochy průřezu 0.3 mm2 (porozita 88 %),
od této hodnoty je možné pro kruhový průřez pozorovat strmější nárůst hodnot poměru
elastických modulů. Tvar průřezu nosníků Gibson-Ashbyho buňky tedy nemá žádný vliv
na přesnost výsledků pro relativní hustoty, v nichž je materiál Alporas vyráběn.
Evolution of elastic modulus ratio vs. relative density - comparison of cross-section shapes
0.02
Rectangular section
Circular section
0.015
0.01
0.005
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Obrázek 5.7: Porovnání mechanické odezvy modelů s různými tvary průřezu nosníků
5.1.4
Závislost relativní hustoty struktury na parametrech modelů
Znalost závislosti relativní hustoty diskretizovaných modelů na zadávaných parametrech
je velmi důležitá z hlediska schopnosti určení chování výsledné struktury. Při známých
rozměrech ekvivalentního elipsoidu zkoumaného druhu kovové pěny je tak možné jednoduše
zjistit hodnoty relativní hustoty v závislosti na hodnotách následujících parametrů:
• délce strany průřezu nosníků
• délce spojovacích prvků
• počtu buněk struktury
Deklarovaným hodnotám modulů pružnosti Alporasu z výše uvedených závislostí odpovídá průřez nosníků o straně v intervalu 0.54 mm – 0.7 mm. Hodnoty relativní hustoty
struktury Gibson-Ashbyho buněk s těmito parametry průřezu nosníků jsou 0.12 – 0.185
(porozita 88 % - 81.5 %).
55
Evolution of volume fraction vs. beam cross-section side
0.3
Volume fraction
0.25
Volume fraction [1]
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Beam cross-section side [mm]
Obrázek 5.8: Závislost relativní hustoty na délce strany průřezu nosníků
Evolution of volume fraction vs. connecting stems length
0.12
Volume fraction
0.1
Volume fraction [1]
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Connecting stems length = 1/value
Obrázek 5.9: Závislost relativní hustoty na délce spojovacích prvků
56
Evolution of volume fraction vs. no. of cells along each axis
0.12
Volume fraction
0.1
Volume fraction [1]
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
No. of cells along each axis
Obrázek 5.10: Závislost relativní hustoty na počtu buněk ve směru jedn. souřadných os
Průběhy všech těchto křivek odpovídají teoretickým předpokladům. Relativní hustota
roste jak se zvětšující se stranou průřezu nosníků, tak s klesající délkou spojovacích prvků
Gibson-Ashbyho buněk. S rostoucím počtem buněk modelu ve směru jednotlivých souřadných os dochází k nevýznamnému poklesu relativní hustoty, což může být dáno rovněž
tolerancemi poloh entit generovaných cykly v programu Ansys.
5.1.5
Anisotropní buňka
Vzhledem k velice nepravidelné struktuře materiálu Alporas je nemožné provést určení
přesných rozměrů tzv. reprezentativní buňky. Japonský výrobce se proto omezuje na uvádění průměrné velikosti buňky 4.8 mm. K dispozici jsou ovšem data o četnosti výskytu
rozměrů buněk ve vyráběné struktuře. Z nich vyplývá, že nejvyšší četnosti dosahují buňky
s rozměry v intervalu 4 mm – 6 mm [?]. Vzhledem k porozitě materiálu větší než 70 %, při
níž dochází ke změně tvaru buněk z kulovitého na tvar nepravidelných mnohostěnů, bylo
stejně jako v [?] zkoumáno chování diskretizované struktury s geometricky anisotropními
buňkami. Byla proto použita Gibson-Ashbyho buňka s rozměry 4 × 5 × 6 mm. Tento poměr
rozměrů buněk uvažované hliníkové pěny odpovídá poměru rozměrů buněk použitých v [?].
Obrázky ??, ?? a ?? zobrazují průběh Youngova modulu pružnosti v závislosti na ploše
průřezu nosníků a relativní hustotě, průběh poměru elastických modulů pěny a hliníku
v závislosti na relativní hustotě a porovnání mechanické odezvy diskretizované struktury
kovové pěny s isotropními a anisotropními buňkami.
Dosažení deklarovaného rozsahu modulů pružnosti 400 MPa – 1000 MPa bylo dosaženo při
57
ploše průřezu nosníků 0.23 mm2 – 0.36 mm2 , relativní hustotě 0.08 – 0.13 (a tomu odpovídající porozitě 92 % - 87 %).
Evolution of elastic modulus vs. beam cross-section area
4000
E(x)
E(y)
E(z)
3500
Elastic modulus [MPa]
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
2
Cross-section area [mm ]
Obrázek 5.11: Závislost elastických modulů pružnosti na ploše průřezu nosníků
Evolution of elastic modulus vs. relative density
4000
E(x)
E(y)
E(z)
3500
Elastic modulus [MPa]
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Obrázek 5.12: Závislost elastických modulů pružnosti na relativní hustotě
58
0.06
E(x)
E(y)
E(z)
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Obrázek 5.13: Závislost poměru elastických modulů na relativní hustotě
Evolution of elastic modulus ratio vs. beam cross-section area
0.06
Anisotropic cell
Isotropic cell
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
2
Cross-section area [mm ]
Obrázek 5.14: Závislost poměru elastických modulů na ploše průřezu prvků - srovnání geometrie buňky
59
0.06
Anisotropic cell
Isotropic cell
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Obrázek 5.15: Závislost poměru elastických modulů na relativní hustotě - srovnání geometrie buňky
5.2
Výsledky z oblasti plastických deformací
Jednou z nejdůležitějších vlastností kovových pěn (zejména s ohledem na dopravní aplikace) je chování v oblasti plastických deformací. Díky schopnosti absorbce velkého množství
mechanické energie jsou kovové pěny používány v deformačních prvcích dopravních prostředků. Toto chování vyplývá z průběhu křivky napětí deformace v tlaku. Po elastické
oblasti se strmým nárůstem napětí následuje oblast s téměř konstantní hodnotou napětí v
širokém rozsahu deformace. Až přibližně při 60 % deformaci začíná docházet k výraznému
nárůstu napětí následkem postupného hroucení pěnové struktury [?]. Znalost závislosti
mezi parametry vnitřní struktury kovové pěny a jejím deformačním chováním je proto
velmi důležitá. Tuto závislost je v zásadě možné získat 2 způsoby - experimentálně a modelováním vnitřní struktury. Experimentem může být například provedení tlakové zkoušky,
nevýhodou ovšem je finanční náročnost plynoucí z potřeby speciálního vybavení a pořízení
materiálu pro přípravu vzorků. Další nevýhodou je obtížnost experimentů prováděných při
různých rychlostech deformace. Parametrické modelování vnitřní struktury naproti tomu
umožňuje poměrně snadno zjistit deformační charakteristiky materiálu v závislosti na celé
řadě různých parametrů. Těmito parametry jsou zejména - materiál použitý pro výrobu
pěny, geometrie buňky (tvar a rozměry), tloušťka stěny buňky, dokonalost spojení mezi
buňkami a vnitřní struktura s otevřenými, nebo uzavřenými buňkami. Simulace zatěžování
při různých rychlostech je potom možné provádět např. s využitím programu LS-DYNA.
Analýza chování diskretizovaných struktur kovových pěn v plastické oblasti byla proto
zaměřena na sledování průběhu křivky napětí-deformace ve směru osy x souřadného sys60
tému. Pro účely analýzy v oblasti plastických deformací byl zvolen elasto-plastický materiálový model s von Misesovou podmínkou plasticity a bilineárním isotropním zpevněním.
Kromě Youngova modulu pružnosti (69 GPa) a Poissonova čísla (0.33) byly zadány tyto
materiálové vlastnosti - mez kluzu 300 MPa a tečný modul pružnosti odpovídající 2.5 %
elastického modulu pružnosti hliníku. Vzhledem k obtížnému zajištění konvergence řešení
v oblasti velkých deformací byla jako maximální deformace při výpočtu zvolena hodnota
10 %. Rozdělení do jednotlivých zatěžovacích kroků bylo řešeno 15 kroky na každé 1 %
deformace. Bez ohledu na zvýšení počtu zatěžovacích kroků nebylo dosaženo konvergence
řešení při deformaci větší než 13.2 % – 13.4 %.
Vzhledem k relativně vysoké výpočetní i časové náročnosti výpočtů bylo první přiblížení
plastického chování Gibson-Asbyho struktury provedeno na modelu s geometricky anisotropní buňkou o rozměrech 1 × 1, 5 × 2 mm, s nosníky o straně průřezu 0.1 mm, 3 buňkami
ve směru každé osy souřadného systému a spojovacími prvky stejné délky jako příslušný
rozměr buňky. Na takovém modelu byl v první řadě studován vliv staticky neurčitého
a určitého uložení na vypočtené hodnoty v oblasti malých deformací. Bylo zjištěno, že
vliv způsobu uložení na výsledek je nevýznamný a hodnoty se odlišují až od 3. desetinného místa v celém rozsahu deformace (na obrázku ?? se obě křivky překrývají). Dalším
krokem bylo zjištění průběhu křivek při geometricky lineárním a nelineárním výpočtu. V
oblasti velkých deformací byl vzhledem k délce spojovacích prvků a geometrické anisotropii
buňky zaznamenány značně odlišné hodnoty. Kromě deformace ve směru x došlo rovněž
k deformaci v ostatních osách, což vedlo k nižší tuhosti modelu a následnému poklesu napětí v křivce napětí-deformace. Na základě tohoto zjištění byly okrajové podmínky modelu
upraveny odebráním stupňů volnosti (posunutí ve směru y a z) některých uzlů na straně
deformace. Výsledek simulované tlakové zkoušky takového modelu potom odpovídá skutečnému chování pěn s přibližně konstantní hodnotou napětí v širokém rozsahu deformace.
Po prvotní analýze chování modelů byly provedeny výpočty s reálnými rozměry buňky
4, 8 ×4, 8 ×4, 8 mm, spojovacími prvky o délce 1/8 příslušného rozměru buňky a se staticky
určitým uložením. Opět byl porovnáván průběh křivek napětí-deformace v oblasti malých,
nebo velkých deformací, a dále průběh v oblasti velkých deformacích a okrajovými podmínkami s řídicími uzly. Vzhledem ke geometrické symetrii buňky použité v tomto případě a
jiné délce spojovacích prvků se v oblasti velkých deformacích neprojevila deformace struktury ve směrech y a z. I bez použití řídicích uzlů bylo dosaženo průběhu odpovídajícímu
reálnému chování pěn a naopak použití řídicích uzlů vedlo k průběhu velmi podobnému
zatížení v oblasti malých deformacích.
61
Stress-strain compression diagram
1
Small deformations - staticaly undeterminate
Small deformations - staticaly determinate
Large deformations
Large deformations - directing nodes
Stress [MPa]
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Strain [1]
Obrázek 5.16: Diagram napětí-deformace - struktura se zkušebními parametry
Stress-strain compression diagram
3.5
Small deformations - staticaly determinate
Large deformations
Large deformations - directing nodes
3
Stress [MPa]
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Strain [1]
Obrázek 5.17: Diagram napětí-deformace - buňky s rozměry odpovídajícími materiálu Alporas
Z provedených analýz vyplývají veškeré důležité závěry pro vlastní modelování kovových pěn v oblasti plastických deformací. Bylo zjištěno, že při geometricky nelineárním
výpočtu v programu Ansys se chování modelů s geometricky isotropními a anisotropními
buňkami značně odlišuje. Této rozdílnosti chování musejí být náležitě přizpůsobeny okrajové podmínky. Modely s geometricky anisotropními buňkami musejí být opatřeny řídícími
uzly na straně deformace, které zamezí vybočení částí modelu ve směru os kolmých na
směr zatěžování. Tímto způsobem je možné spolehlivě dosáhnout deformačních vlastností
modelů odpovídajících skutečnému chování kovových pěn. Naproti tomu modely s geomet62
Obrázek 5.18: Deformovaná zkušební struktura - oblast velkých deformací
ricky isotropními buňkami dávají správné výsledky pouze bez použití řídících uzlů, přičemž
jejich použití vede k deformačnímu chování pozorovanému u geometricky lineárního výpočtu. Na základě těchto závěrů je možné při znalosti parametrů vnitřní struktury kovové
pěny rychle a spolehlivě modelovat její chování v oblasti plastických deformací.
63
Kapitola 6
Závěr
Tato práce demonstruje možnosti vyšetřování mechanických vlastností kovových pěn modelováním jejich vnitřní struktury. Modelování geometrie vnitřní struktury bylo provedeno
dvěma různými způsoby, a to v prvním případě voxelovým modelem vytvořeným na základě
CT vyšetření vzorku kovové pěny, v druhém případě potom diskretizací vnitřní struktury
pomocí Gibson-Ashbyho buněk. Jako referenční materiál pro modelování a numerickou
analýzu metodou konečných prvků byla použita hliníková pěna Alporas.
Vyšetřování mechanických vlastností materiálů pomocí mikrostrukturálních modelů získaných CT vyšetřením je běžně používanou metodou, zvláště v oboru biomechaniky při
zkoumání vlastností tkání. Její výhodou je zejména získání přesné geometrie vnitřní struktury a možnost souběžně při jednom CT skenu obdržet také materiálové vlastnosti [?].
Nevýhodou, vedle nutnosti drahého speciálního laboratorního vybavení, může být vysoká
složitost modelů určitých druhů materiálů. Jak je ukázáno v této práci, v případě kovové
pěny s uzavřenými póry velkých rozměrů může být obtížné získat kvalitní voxelový model
dávající relevantní výsledky. Zjištěné problémy je možné rozdělit do 2 oblastí - velká výpočetní náročnost MKP modelů plynoucí z vysokého počtu voxelů a dále komplikace při
úpravě dat z CT vyšetření, jejichž důsledkem jsou modely s významným počtem poruch
komplikujících numerickou analýzu. Proto byl zvolen alternativní přístup analýzy diskretizované vnitřní struktury pěny. Z celé řady možností, jak modelovat vnitřní strukturu, byl
zvolen Gibson-Ashbyho 3D model diskretizace nosníkovými buňkami.
Modelování bylo provedeno parametrickými skripty v prostředí MKP aplikace Ansys. V
prvé řadě byla provedena analýza chování použitých modelů v závislosti na materiálových vlasnostech a parametrech Gibson-Ashbyho buněk. Byl tak stanoven reprezentativní
element objemu (tedy potřebný počet buněk struktury) a délka spojovacích prvků mezi
64
jednotlivými buňkami. Hodnoty těchto parametrů mají klíčový vliv na přesnost výsledků.
Materiálové vlastnosti byly zadávány s hodnotami platnými pro hliník 98 % čistoty. Materiál Alporas je vyráběn s použitím speciálně vyvinuté hliníkové slitiny, jejíž mechanické
charakteristiky nejsou veřejně známy. V práci [?] však bylo zjištěno, že mechanické vlastnosti slitiny Alporasu odpovídají právě hliníku 98 % čistoty. Mechanická odezva modelů na
zatížení tlakem byla sledována jak v elastické, tak v plastické oblasti. Dosažené výsledky
byly porovnávány s údaji o materiálu Alporas deklarovanými japonským výrobcem. Jedná
se zejména o hodnoty Youngova modulu pružnosti v závislosti na relativní hustotě materiálu. Referenčními hodnotami pro porovnání výsledků byl Youngův modul pružnosti
Alporasu pohybující se v intervalu 400 MPa až 1000 MPa. Během numerické analýzy bylo
těchto hodnot dosaženo s modely o relativní hustotě 0.12 - 0.185 v případě geometricky
isotropních buněk, resp. s modely o relativní hustotě 0.08 - 0.13 a geometricky anisotropními buňkami, které věrněji reprezentují skutečnou vnitřní strukturu materiálu Alporas.
V plastickém oboru byl sledován průběh křivky napětí-deformace v tlaku pro modely s
různými rozměry a tvary buněk opatřené různými okrajovými podmínkami. Bylo zjištěno,
že chování použitých modelů odpovídá deformačním vlastnostem kovových pěn, tedy průběhu křivky napětí-deformace s přibližně konstantní hodnotou napětí v širokém rozsahu
deformace, kterou je dána vysoká schopnost pohlcování deformační energie.
V práci bylo prokázáno, že uvažovaný model diskretizace vnitřní struktury pěny je možné
použít pro vyšetřování mechanických vlastností kovových pěn. Při znalosti vlastností materiálu užitého pro výrobu materiálu a znalosti parametrů vnitřní struktury je možné tímto
způsobem jednoduše, rychle a bez velkých nároků na výpočetní výkon zjišťovat mechanické
vlastnosti kovových pěnových materiálů. Tyto vlastnosti materiálů je možné sledovat nejen
v elastickém, ale i v plastickém oboru. To je zvláště důležité z hlediska ověření vlastností
uvažovaného materiálu vzhledem k účelu jeho použití. Vedle numerické analýzy metodou konečných prvků byla provedena teoretická analýza chování matematickým modelem
podle M.F. Gibsona a L.J. Ashbyho a výsledky byly porovnány. Porovnáním bylo zjištěno, že MKP model vykazuje nižší tuhost než teoretický model. To může být způsobeno
vlastnostmi použitého typu elementů v programu Ansys, v práci [?] jsou pěnové struktury
modelovány s použitím programu SAP2000 a uživatelsky zadanou maticí tuhosti elementů.
Výhledovými možnostmi další analýzy diskretizovaných struktur jsou zejména simulace
zpevnění struktury a rychlých deformací. Simulace zpevnění struktury vyžaduje dosažení
nejméně 60 % deformace, kdy již dochází ke kontaktu stěn deformovaných buněk a po-
65
stupnému zhroucení pěnové struktury. Za tímto účelem musejí být MKP modely řešeny
jako kontaktní úlohy, jež jsou poměrně velice náročné na výpočetní výkon. Modelování
rychlých deformací je možné provádět např. v programu LS-DYNA s použitím explicitního
řešiče, využívajícího přímou integraci pohybových rovnic. Z hlediska parametrizace diskretizovaných modelů je možné pro určení rozměrů ekvivaletního elipsoidu použít snímků 2D
struktury a statistického přístupu při identifikaci rozměrů buněk s výstupem ve formě 3D
informace pro tvorbu prostorového modelu vnitřní struktury.
66
Literatura
[1] Banhart, J.: Aluminium foams for lighter vehicles, International Journal Vehicle Design, Vol. 37, Nos. 2/3, 2005
[2] Aluminium-Foam Sandwich (AFS) - Produkt Information, Alulight AFS Gmbh,
www.alulight.com
[3] Miyoshi, T. - Itoh, M. - Akiyama, S. - Kitahara A.: Aluminium foam, "ALPORAS":
The Production Process, Properties and Applications, Materials Research Society
Symposium Proc. Vol. 521, 1998
[4] Alporas, Shinko Wire Co., Ltd., www.shinko-wire.co.jp, 2008
[5] Templin, C.: Al-Schaumplatten - Anwendungen, AlCarbon, www.alcarbon.de, 2004
[6] Alulight Datenblaetter - Produkt Information, Alulight International Gmbh,
www.alulight.com
[7] Babcsán, N. - Murty, B. - Kumar, G. - Moreno, F. - Banhart, J.: New Foam Stabilizing
Additive for Aluminium, HZB - Helmholtz Zentrum Berlin, 2008
[8] Podolan, M.: Hliniková pena Alporas, www.hlinik.sk/pdf/hli_pena.pdf, 2004
[9] Metalfoam CEILING SYSTEMS, gema Armstrong, www.mras.dk, 2006
[10] Sandwichpaneele, Alulight International Gmbh, www.alulight.com
[11] Banhart, J.: Manufacturing Routes for Metallic Foams, JOM journal 52(12),
s. 22-27, 2000
[12] Kaoua, S. - Dahmoun, D. - Belhadj, A. - Azzaz, M.: Finite element simulation of
mechanical behavior of nickel-based metallic foam structures, Journal of Alloys and
Compounds 471, s. 147-152, 2008
67
[13] Dillard, T.: Caractérisation et simulation numérique du comportement Mécanique des
mousses de nickel: morphologie tridimensionnelle, réponse élastoplastique et rupture.
Thése de doctorat, Ecole Nationale Supérieure des Mines de Paris, 2004
[14] Gibson, L.J. - Ashby, M.F.: Cellular Solids. Structure and Properties, second ed.,
Cambridge Solid State Science Series, Cambridge, 1997
[15] Gibson, L.J. - Ashby, M.F - Evans, A.G. - Fleck, N.A. - Hutchinson, J.W. - Wadley,
H.N.G.: Metal Foams: A Design Guide, Butterworth-Heinemann Publications, 2004
[16] Wicklein, M. - Thoma, K.: Numerical investigations of the elastic and plastic behaviour
of an open-cell aluminium foam, Materials Science and Engineering A 397, s. 391–399,
2005
[17] Lee, J. - Choi, J.B. - Choi, K.: Application of homogenization FEM analysis to regular
and re-entrant honeycomb structures, Journal of Materials Science 31, s. 4105-4110,
1996
[18] Konstantinidis, I.Ch. - Papadopoulos, D.P. - Lefakis, H. - Tsipas, D.N.: Model for
determining mechanical properties of aluminum closed-cell foams, Theoretical and
Applied Fracture Mechanics 43, s. 157–167, 2005
[19] Janota, J.: Computer tomography (CT), practicus 3/2009, 2009
[20] Wikipedia: Výpočetní tomografie, http://cs.wikipedia.org/wiki/tomografie
[21] Wikipedia: X-ray computed tomography,
http://en.wikipedia.org/wiki/X-ray_computed_tomography
[22] Wikipedia: Thresholding (image processing),
http://en.wikipedia.org/wiki/Thresholding_(image_processing)
[23] Jakůbek, J.: Tomographic reconstruction, IEAP CTUP,
http://aladdin.utef.cvut.cz/ofat/Methods/Tomography/index.htm
[24] Siemens Medical: Computed Tomography, Its History and Technology,
www.SiemensMedical.com, 2003
[25] Fisher, R. - Perkins, S. - Walker, A. - Wolfart, E.: Gaussian Smoothing,
http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/gsmooth.htm, 2003
68
[26] Image Processing Fundamentals - Smoothing Operations,
http://www.ph.tn.tudelft.nl/Courses/FIP/noframes/fip-Smoothin.html
[27] Zlámal, P.: Materiálové vlastnosti trabekulární kosti - aplikace pro MKP modely,
Bakalářská práce, Fakulta dopravní, České vysoké učení technické v Praze, 2007
69

Stáhnout - mech - České vysoké učení technické v Praze

Transkript

Podobné dokumenty

Kybernetika 1. a 2. řádu

analýza a přínosy pro zvýšení účinnosti řízení

1 Základní metody informatiky

Experimentální studium vodíkových vazeb

PRO STUDENTY ZDARMA! KINO DRAHOMÍRA, KARLOVY VARY

Rychlořezné oceli vyráběné klasickou metalurgií větší

Zákazníci

GATE – Software pro metodu Monte Carlo na bázi GEANTu

Technologie speciálních slitin - FMMI

zde - Anopress

Počítačová Tomografie Werth

Mechanika těles - Statika (sbírka úloh)

GFH / GFV - guentner.de

Vysokotlaké lití

Ovládání programu WinEiv2d