HYDRODYNAMIKA

Komentáře

Transkript

HYDRODYNAMIKA
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB01
PAVEL SCHAUER
INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ
HYDRODYNAMIKA
Obsah
Úvod ........................................................................................................................................... 2
Průtok kapaliny .......................................................................................................................... 2
Rovnice kontinuity ..................................................................................................................... 3
Energie proudící kapaliny .......................................................................................................... 3
Objemová hustota energie...................................................................................................... 3
Bernoulliho rovnice.................................................................................................................... 3
Aplikace Bernoulliho rovnice ................................................................................................ 4
Výtok kapaliny otvorem..................................................................................................... 4
Pitotova trubice .................................................................................................................. 4
Dynamické účinky kapalin......................................................................................................... 5
Věta o hybnosti kapaliny........................................................................................................ 5
Síla proudu kapaliny na stěnu ................................................................................................ 5
Rovinná stěna ..................................................................................................................... 5
Stěna tvaru duté polokoule................................................................................................. 6
© Pavel Schauer • 2006
- 1 (6) -
hydrodynamika
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB01
PAVEL SCHAUER
INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ
Úvod
Hydrodynamika se zabývá prouděním kapalin a plynů. Podle časové závislosti rozdělujeme
proudění na:
a) neustálené proudění (průtok i plocha průtočného průřezu jsou funkcemi času a dráhy)
b) ustálené proudění (průtok je konstantní, nezávislý na čase a dráze), dále se dělí na:
-
rovnoměrné proudění (rychlost i plocha průtočného průřezu jsou konstantní)
-
nerovnoměrné proudění (rychlost i plocha průtočného průřezu jsou funkcemi
dráhy)
Další text bude věnován ustálenému proudění.
Průtok kapaliny
U pohybujících se kapalin definujeme dva různé průtoky, objemový průtok a hmotnostní
průtok.
v2
Objemový průtok kapaliny je definován jako
S
objem kapaliny, který proteče zvoleným průřezem
potrubí za jednu 1 s, tedy
ča
sd
t)
2
dx
(za
v
S
dV
,
(1)
dt
kde dV je objem elementu proudící kapaliny a dt
je čas, za který urazí element proudící kapaliny
dráhu dx , jak ukazuje obr. 1.
QV =
dV, dm= ρ dV
obr. 1 Potrubí s proudící kapalinou
Hmotnostní průtok kapaliny je definován jako
hmotnost kapaliny, která proteče zvoleným
průřezem potrubí za jednu 1 s, tedy
dm
,
(2)
dt
kde dm je hmotnost elementu proudící kapaliny, jak ukazuje obr. 1. Oba průtoky spolu
dm ρ dV
=
= ρ QV , tedy
souvisí. Souvislost odvodíme jako Qm =
dt
dt
Qm =
Qm = ρ QV .
(3)
Objemový průtok v daném místě lze vyjádřit průřezem potrubí S a rychlostí proudění v.
Zjistíme ho z definice objemového průtoku s využitím údajů na obr. 1,
dV S dx
dx
=
=S
= Sv .
dt
dt
dt
Objemový průtok lze tedy vyjádřit rovnicí
QV =
QV = S v .
(4)
Podobně, s využitím rovnice (3), hmotnostní průtok v daném místě potrubí lze vyjádřit
průřezem potrubí S a rychlostí proudění v rovnicí
Qm = ρ S v .
© Pavel Schauer • 2006
(5)
- 2 (6) -
hydrodynamika
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB01
PAVEL SCHAUER
INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ
Rovnice kontinuity
Rovnice kontinuity říká, že hmotnostní průtok kapaliny v různých místech téhož
nerozvětveného potrubí je stejný, tedy
Qm 1 = Qm 2 .
(6)
Dosadíme-li průtok z rovnice (5) dostaneme pro stlačitelnou kapalinu ( ρ 1 ≠ ρ 2 ) rovnici
kontinuity
ρ 1 S1 v 1 = ρ 2 S 2 v 2 .
(7)
a podobně pro ideální nestlačitelnou kapalinu ( ρ 1 = ρ 2 )
S1 v 1 = S 2 v 2 .
(8)
Pro naše potřeby bude postačovat rovnice kontinuity (8) pro nestlačitelnou kapalinu.
Energie proudící kapaliny
dE=dEk+dEpp+dEph
S
dV, dm= ρ dV
h
Element o objemu dV proudící kapaliny (obr. 2)
má tři formy energie, kinetickou dE k , potenciální tlakovou dE pp a potenciální výškovou
dE ph . Jeho energii tedy můžeme vyjádřit součtem
dE = dE k + dE pp + dE ph .
(9)
Jednotlivé členy rovnice (9) lze vyjádřit. První
člen kinetický (pohybový) bude
obr. 2 K odvozeni energie proudící kapaliny
1
1
dE k = dm v 2 = ρ dV v 2 ,
2
2
druhý člen tlakový zjistíme jako
(10)
dE pp = F dx = p S dx = p dV
(11)
a třetí člen výškový bude
dE ph = dm g h = ρ dVg h .
(12)
Objemová hustota energie
U proudící kapaliny je výhodnější sledovat energii v jednotce objemu. Proto zavádíme
objemovou hustotu energie w . Pro proudící kapalinu bude mít tvar
w=
dE 1
= ρv 2 + p + ρ gh .
dV 2
(13)
Bernoulliho rovnice
Vyjádříme zákon zachování energie pro proudění ideální kapaliny v potrubí. Splníme tedy
podmínku w = konst . S využitím rovnice (13) to bude
© Pavel Schauer • 2006
- 3 (6) -
hydrodynamika
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB01
PAVEL SCHAUER
INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ
1
ρ v 2 + p + ρ g h = konst.
2
Rovnice (14) se nazývá Bernoulliho rovnice.
(14)
Aplikace Bernoulliho rovnice
Mnoho aplikací lze řešit s využitím Bernoulliho rovnice. Je to např. určení rychlosti proudění
užitím Pitotovy trubice, měření průtoku kapaliny Venturiho vodoměrem, měření bodové
rychlosti a statického tlaku Prandtlovou trubicí, určení výtokové rychlosti z otvoru a jiné.
Některé si ukážeme.
Výtok kapaliny otvorem
S1
v1
h
1
S2
2 v2
obr. 3 Výtok kapaliny otvorem
Z Bernoulliho rovnice lze určit rychlost kapaliny,
která vytéká otvorem ve stěně nádoby v hloubce
h pod hladinou kapaliny. Porovnáme kontinuitu
proudění a energii proudící kapaliny u hladiny
(index 1) a u otvoru (index 2). Z rovnice kontinuity dostaneme
S1 v1 = S 2 v 2
(15)
a z Bernoulliho rovnice
1
1
ρ v 12 + ρ g h = ρ v 2 2 .
2
2
Jednoduchou úpravou získáme
(16)
1 2
2
(v 2 − v1 ) = g h .
2
S2
S2
v 2 a zanedbáme 22 << 1 , dostaneme
S1
S1
Torriceliho vzorec pro výtokovou rychlost z otvoru ve stěně
Dosadíme-li za rychlost posuvu hladiny v1 =
v = v2 = 2g h .
(17)
Pitotova trubice
Pomocí Pitotovy trubice se určuje rychlost proudící kapaliny na základě rozdílu tlaků. Její
schéma je na obr. 4. S využitím Bernoulliho rovnice
najdeme rychlost proudění kapaliny. Kapalina má
h
v místě ohnuté trubice (index 2) nulovou rychlost,
zatímco u rovné trubice (index 1) má kapalina rychlost
2
1
proudění. Svou energii si kapalina zachovává, proto
v
bude platit
p2 =
obr. 4 Pitotova trubice
1
ρ v 2 + p1
2
(18)
a odtud
© Pavel Schauer • 2006
- 4 (6) -
hydrodynamika
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB01
PAVEL SCHAUER
2( p 2 − p1 )
v=
ρ
=
2ρ g h
ρ
INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ
,
(19)
kde rozdíl tlaků jsme určili z rozdílu hladin v obou trubicích, p1 − p 2 = ρ g h .
Dynamické účinky kapalin
F'
v2
s
Pokud je kapalina donucena změnit svůj směr proudění, působí na okolí silou. Zjistíme velikost této síly
v jednoduchých případech. K odvození působící síly použijeme větu o hybnosti, se kterou jsme se seznámili
v dynamice hmotného bodu.
S2
F
v
v1
V, m= ρ V
Věta o hybnosti kapaliny
Na červeně zakreslený objem proudící kapaliny na obr. 5
(dále jen vybraný objem kapaliny) působí při ustáleném toku
r
kapaliny síla F , která způsobí zakřivení proudu. Tato síla
obr. 5 Síla kapaliny při zakřivení
působí po dobu průtoku vybraného objemu kapaliny zakřipotrubí
v
venou částí, tedy po dobu t = , kde v je konstantní velis
kost rychlosti proudění (směr rychlosti konstantní není) a s je dráha, kterou kapalina urazí od
začátku do konce zakřivení. Potom pro vybraný objem kapaliny platí věta o hybnosti
r r
r
r r
(20)
I = p 2 − p1 = m (v 2 − v1 ) ,
r
r
kde p 2 a p1 jsou hybnosti vybraného objemu kapaliny na konci a začátku zakřivení. Za
r
r r
r
impuls síly I v rovnici (20) dosadíme z jeho definice I = F t (platí pro F = konst. ) a
rovnici upravíme
r m r r
r r
F = (v 2 − v1 ) = Q m (v 2 − v1 ) .
(21)
t
Rovnice (21) určuje sílu, která působí na vybraný objem kapaliny. My však hledáme její
r
r
reakcí F ' = −F , kterou působí kapalina na své okolí. Proto hledaná síla kapaliny na své
okolí při zakřivení proudu bude
r
r r
(22)
F ' = Q m (v 1 − v 2 ) .
Síla proudu kapaliny na stěnu
v
v
výtok po stěně
Σv = 0
v
proto vs=v2
v
Rovinná stěna
v v
v
v1
vs=v2
obr. 6 K výpočtu síly proudu kapaliny na rovinnou
stěny
© Pavel Schauer • 2006
Předpokládejme proud kapaliny vytékající
r
rychlostí v1 kolmo na rovinnou stěnu, která
r
se pohybuje rychlostí v s , jak zobrazuje obr.
6. Obě rychlosti mají vodorovný směr osy
x . Znaménka rychlostí ve směru osy x
budou kladná, proti směru osy x záporná.
Odtokový proud kapaliny se po stěně
kruhově rozteče rovnoměrně na všechny
strany, tj. vektorový součet rychlostí ve
- 5 (6) -
hydrodynamika
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB01
PAVEL SCHAUER
INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ
směru stěny bude nula. Odtékající kapalina se tedy bude pohybovat pouze kolmo ke stěně a to
jen tehdy, pokud bude stěna v pohybu. Vektor odtokové rychlostí tedy bude roven rychlosti
r
r
stěny, v 2 = v s . Síla, kterou bude působit proudící kapalina na stěnu pak bude podle rovnice
(22)
r
r r
F ' = Q m (v1 − v s ) ,
(23)
kde rychlost stěny bude kladná při pohybu stěny na obr. 6 doprava a záporná, pokud se stěna
pohybuje doleva.
Stěna tvaru duté polokoule
Naše zadání nyní pozměníme tak, že rovinnou stěnu zaměníme za stěnu ve tvaru
r
r r
polokoule. Nyní bude vektor odtokové rychlosti roven v 2 = v s − v1 , jak ukazuje obr. 7.
kterou bude působit proudící kapalina na stěnu
podle rovnice (22) bude
v2=vs-v1
r
r r
r
r r
F ' = Q m [v1 − (v s − v1 )] = Q m ( 2v1 − v s ) .
v1
v1
obr. 7 K výpočtu síly proudu kapaliny
na dutou kulovou stěnu
© Pavel Schauer • 2006
duté
Síla,
nyní
(24)
Rovněž zde bude rychlost stěny kladná při pohybu
stěny na obr. 7 doprava a záporná, pokud se stěna
pohybuje doleva. Síla na stěnu tvaru duté polokoule
tedy bude
v1
v1
2v1 − v s v1 − v s
=
+
= 1+
v1 − v s v1 − v s v1 − v s
v1 − v s
krát větší než při působení na rovinnou stěnu.
- 6 (6) -
hydrodynamika

Podobné dokumenty

Nádoby s vodou – úroveň 1

Nádoby s vodou – úroveň 1 Nádoby s vodou – úroveň 1 Máte 7,4, a 2 litrovou nádobu na vodu. Na žádné nádobě není žádné značení kromě celkového objemu. K dispozici máš kohoutek s vodou. Použij nádoby a kohoutek s vodou k tomu...

Více

zde - KaS

zde - KaS Naše sídlo se nachází v Lenzkirchu ve Schwarzwaldu. Avšak již mnoho let je Testo globálním koncernem s plynulým růstem a je na všech kontinentech zastoupen prozatím 30 dceřinými společnostmi a více...

Více

Seznam a popis stanovišť

Seznam a popis stanovišť Prosíme, chovejte se ohleduplně k přírodě i soukromému majetku - nejlépe tak, aby po vašem odchodu nebylo vůbec znát, že jste na stanovišti byli! Není nutné projet všechna stanoviště - vyberte si t...

Více

Příbalový leták ke stažení - Multi

Příbalový leták ke stažení  - Multi • ideální pro intenzivní hygienu pochvy, k prevenci infekcí pochvy a jiných poševních obtíží • zajišťuje optimální vyplachovací účinek – mycí roztok vytéká z aplikátoru dopředu a do stran • speci...

Více

Návod k obsluze testo 510

Návod k obsluze testo 510 - Čištění pouzdra přístroje: - V případě nutnosti je možné pouzdro přístroje očistit navlhčeným hadříkem (mýdlová voda). Nepožívejte koncentrované roztoky čistících prostředků ani rozpouštědla!

Více

vrobní program.indd

vrobní program.indd manufacturer guarantees the proper function only when specified in order:

Více