Elektrostatické pole ve vodičích a dielektriku

Elektrostatické pole
elektrický vodič
volné elektrony ve vodiči
se za normálního stavu
pohybují chaotickým
tepelným pohybem
vodič se jeví jako
elektricky neutrální
pod vlivem vnějšího
elektrického pole se
volné elektrony mohou
volně přemisťovat
dielektrikum
látka, která neobsahuje
volné elektrony
látka se jeví jako
prakticky elektricky
nevodivá (izolant)
elektricky nabité částice
látky se nemohou
pohybovat na velké
vzdálenosti (pouze
posunout)
pod vlivem vnějšího
elektrického pole se
vytvoří el.dipóly
polovodič
krystalické látky s nebo
bez určité příměsové
látky, která zvyšuje jeho
vodivost
za nízkých teplot
podobné izolantu
náboje se přemísťují
pomocí děrové resp.
elektronové vodivosti
Elektrostatické pole
Elektrické pole ve vodičích
vnější elektrické pole způsobí pohyb volných nábojů dokud nenastane
rovnovážný statický stav (intenzita vnějšího pole je uvnitř vodiče
kompenzována rozložením volných nábojů na povrchu vodiče)
elektrické pole uvnitř vodiče:
r r ∑ Q in
E
∫∫S dS = εo = 0
r
E=0
r
E
r r r r
E = Ein +Eext =0
ϕ=
Q σ = dQ
dS
ϕ = konst.
σ dS
1
dQ
1
=
4πε o ∫ r
4πε o ∫S r
volný náboj, jímž je vodič nabit, je
rozložen na vnějším povrchu vodiče
povrch vodiče je v elektrostatickém
poli ekvipotenciální plochou
ϕ = konst
ϕ = konst.
směr intenzity vnějšího elektrického
pole, které nabitý vodič budí, je
kolmý k povrchu vodiče
Elektrostatické pole
Elektrické pole ve vodičích
r
E
+ + + + +
+
+
E=0
+
+
+
ϕ = konst
+
+ +
+
++ + +
+
pole nabitého vodiče
Elektrostatické pole
Příklad: (výpočet intenzity na povrchu vodiče nabitého nábojem, který je
na povrchu vodiče rozprostřen s plošnou hustotou σ)
r r rr
dN = E dS = En dS
dN =
dQ σdS
=
εo
εo
r σ r
E = .n
εo
dS
vodič
Gaussova
plocha
dS
r
n
Elektrostatické pole
r
r
E′ = − E
Nabitá rovina
r r
∫∫ E dS =
r
r
n′ = − n
S
r r
∫∫ E dS = ES + ES = 2 ES
S
r
σ r
E=
n
2ε o
r
σ r
E′ = −
n
2ε o
E=
σ
2ε o
σ>0
r
E′
r
n
r
n′
r
E
dS
dS
S
∑ Q = σS
εo
εo
Elektrostatické pole
Odstínění vnějšího elmag. pole – Faradayova klec
vnější elektrické pole lze odstínit pomocí
vodivého uzavřeného obalu, např.drátěné
klece
do uzavřené dutiny poté neproniká elektrické
pole
Elektrostatické pole
Příklad: (odstínění vnějšího elmag. pole – koaxiální kabel)
r2
r1
Elektrostatické pole
Elektrostatická indukce
při vložení nenabitého (neutrálního) vodiče do elektrostatického pole
jiných vodičů se objeví povrchové rozložení náboje
E=0
ϕ = konst.
+
A
+
+
+
+
− +
−
+
− B +
+
−
− +
−
−
−
−
C
−
Elektrostatické pole
Kapacita vodiče
C=
Q
[F]
ϕ
kapacita vodiče závisí na jeho tvaru a je číselně rovna náboji Q,
který změní potenciál vodiče o 1 V
Příklad: (kapacita vodivé koule o poloměru R nabité nábojem Q)
potenciál koule:
kapacita koule:
+
+
+
+ +
+ +
Q
+
+
+
ϕ=
C=
1 Q
4πεo R
Q
= 4πεo R
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Elektrostatické pole
Kondenzátor
C=
Q
>0
U
U = ϕ1 − ϕ2
kondenzátor je soustava dvou opačně nabitých vodičů se stejnou absolutní
hodnotou náboje, kdy je elektrické pole soustředěno do prostoru mezi nimi a
kdy je vliv jiných elektrických polí zanedbatelný
Elektrostatické pole
Deskový kondenzátor
pole mezi deskami:
r
r
r
σ r ⎛ −σ r ⎞ σ r
Ein = E+ + E−′ =
n + ⎜⎜ −
n ⎟⎟ = n
ε
εo
2ε o
2
o ⎠
⎝
r r r
σ
Q
d
napětí mezi deskami: U = ∫ Ein dr = Ein d = d =
ε
ε
S
o
o
0
d
kapacita kondenzátoru:
σ>0
r+
r
E′
E+
r
n
r
E−′
r
Ein
d
−σ
r
E−
C=
Q
S
= εo
U
d
Elektrostatické pole
sériové zapojení
kondenzátorů
n
U = ∑Ui
i =1
C1
L
n
Q = ∑ Qi
B
n
C = ∑ Ci
Qi = CiU
i =1
C1
Cn
C2
A
paralelní zapojení
kondenzátorů
n
1
1
=∑
C i =1 Ci
Q
Ui =
Ci
i =1
B
L
C2
A
Cn
Elektrostatické pole
Elektrostatické pole v dielektriku
uvnitř dielektrika může existovat elektrické pole
dielektrikum neobsahuje volně pohyblivé nabité částice (náboje jsou
vázány v atomech, iontech, molekulách)
při vložení dielektrika do vnějšího elektrického pole se vytvoří elektrické
dipóly – dielektrikum se tzv.polarizuje
polarizace dielektrika
atomová
iontová
orientační
− − −
− + −
−
−
− − −
r
E0 = 0
−
−
−
−
−
− −
−
+ −−
r
E0
r
dp
−
− dQV
r
dr
+
+ dQV
Elektrostatické pole
polarizace dielektrika
vlivem vnějšího pole
dochází ke stáčení
el.dipólů látky ve
směru pole
r
r r
E = E0 + E ′
výsledné pole má stejný směr jako pole
vnější, ale je zeslabené E<E0
Elektrostatické pole
r
dp
r d pr
P=
dV
vektor polarizace
−
polarizaci dielektrika lze charakterizovat
pomocí vektoru polarizace
− dQV
r
dr
r
dr o = 1
dQv - vázaný náboj
r r
PdS = dQv
r
r
PdS = dQv dr o
+ dQV
r
r
dp = dQv dr
dipólový moment objemového elementu dV dielektrika
r dQv drr
r
P=
= σ v dr o ,
dS dr
+
tok náboje z objemu V plochou S:
velikost polarizace P je rovna
plošné hustotě vázaného náboje
na povrchu dielektrika
r r
r
Q′ = ∫ P dS = ∫ div P dV
S
V
v důsledku vnějšího pole vznikne v dielektriku vázaný náboj QV :
r
Qv = −Q′ = − ∫ div P dV
V
Qv = ∫ ρv dV
V
r
ρv = − div P
Elektrostatické pole
Gaussova věta
r ρ c (ρ + ρ v ) 1
r
div E =
=
=
ρ − div P
εo
εo
εo
(
(
)
r r
r
div ε o E + P = div D = ρ
vektor elektrické indukce
Gaussova věta v dielektriku
)
3.Maxwellova rovnice
r
r r
D = εo E + P
r r
∫ DdS = ∑ Qi
S
předpoklad lineární závislosti polarizace na
elektrickém poli
r
r
r
r
D = ε o (1 + κ )E = ε o ε r E = ε E
r
r
P = εo κ E
κ…dielektrická susceptibilita
εr…relativní permitivita
Elektrostatické pole
Dielektrikum ve vnějším elektrickém poli
vložíme-li dielektrikum do elektrického pole, dojde k zeslabení el.pole,
avšak elektrická indukce D zůstane stejná
ε o Eo = ε o ε r E
Do = D
εr , E
dielektrikum
E=
ε = ε0εr …absolutní permitivita
ε0
všechny vztahy platné pro pole
ve vakuu platí i pro dielektirka,
jestliže nahradíme permitivitu
vakua absolutní permitivitou
prostředí
E0
Coulombův zákon v dielektriku
Eo
εr
r
F12 =
1 Q1Q2 r o
r
4πεo ε r r 2
Elektrostatické pole
Relativní permitivita prostředí
Elektrostatické pole
Energie elektrického pole
A = Q2 ϕ 2 =
1 Q1Q2
=W
4πε r12
práce potřebná k převedení náboje
Q2 z nekonečna do dané polohy při
pevném náboji Q1
W =
1
(Q1ϕ1 + Q2ϕ2 )
2
Energie W pole n-nábojů
1 n Qk
ϕi =
∑
4πε k =1 rik
(i ≠ k )
1 n
1 n n Qi Qk
W = ∑ Qi ϕi =
∑∑
2 i =1
8πε i =1 k =1 rik
i≠k
Energie W pole spojitě rozložených nábojů v
objemu V a na ploše S
W=
1
1
ρ
ϕ
d
V
+
σϕ dS
∫∫
2 ∫∫∫
2
V
S
Elektrostatické pole
Síla působící na náboj
r
E = −grad ϕ = −grad (WP / Q )
síla, kterou působí elektrické pole o intenzitě E na náboj Q
r
r
F = QE = −grad WP
Příklad: (Energie nabitého deskového kondenzátoru)
W=
energie W
C=
síla F
Q
S
=ε
U
d
1
(Q1ϕ1 + Q2ϕ2 ) = 1 Q.(ϕ1 −ϕ2 ) = 1 QU
2
2
2
2
2
1
Q
Q d
W = CU 2 =
=
2
2C 2εS
r
∂W
Q2
Q2
U 2C
=−
=−
=−
F = −grad W = −
∂d
2εS
2d C
2d
σ>0
−σ
r
F
r
−F
d
Elektrostatické pole
Příklad: (kapacita a el.pole deskového kondenzátoru s dielektrikem)
Q
D = = D1 = D2
S
D = ε 0 ε r E = ε 0 ε r1 E1 = ε 0 ε r 2 E2
U = U 1 + U 2 = E1d1 + E2 d 2 =
C=
⎞
D ⎛
ε
⎜⎜ d1 + r1 d 2 ⎟⎟
εr 2 ⎠
ε 0 ε r1 ⎝
S ⋅D
S
1
=
=
d1
d
1
1
U
+
+ 2
ε 0 ε r1 ε 0 ε r 2 C1 C2
jako 2 deskové
kondenzátory v
sérii
elektrické pole
E1 =
ε r 2U
ε r 1 d 2 + ε r 2 d1
+Q
E2 =
ε r1U
ε r 1 d 2 + ε r 2 d1
−Q
d1
E1
d2
E2
εr
1
εr
C1
C2
2
Elektrostatické pole
Příklad: (kondenzátory s vysokou kapacitou – superkapacitory)
zatímco běžné kondenzátory (např. deskový kondenzátor) má kapacitu v
řádu zlomků faradu, superkapacitory mají kapacitu o několik řádů vyšší
(v řádu jednotek faradů)
to umožňuje uchovávat milionkrát větší množství náboje
používá se speciálních uhlíkových elektrod s pórovitou nanostrukturou
(povrchová plocha až 1000 m2/g) a vodivého elektrolytu
dají se použít s výhodou pro:
- záložní zdroje energie
- zdroje energie v hybridních
ekologických vozidlech
- startování vozidel,…
1
Q2
2
W = CU =
2
2C
Elektrostatické pole
Příklad: (přenosný defibrilátor)
C = 100 µF
U = 4000 V
∆t = 2 ms
α = 0,25
akumulovaná energie
W=
1
CU 2 = 800 J
2
výkon pulzu
W′
1 CU 2
P=
=α
= 100 kW
∆t
2 ∆t
kondenzátor se rychle nabje
na vysoké napětí a poté se
během velmi krátkého pulsu
část energie vybije přes tělo
pacienta