Čtvrtá lekce

Grafická prezentace a numerické modelování geochemických dat
Modelování petrogeneze vyvřelých hornin
Vybrané citace:
ALBARÈDE F. 1995. Introduction to the Geochemical Modeling.– Cambridge University
Press, pp. 1–543.
BRYAN W.B., FINGER L.W. & CHAYES F. 1969. Estimating proportions in petrographic
mixing equations by least-squares approximation.– Science 163: 926–927.
CASTRO A., DE LA ROSA J.D. & STEPHENS W.E. 1990. Magma mixing in the subvolcanic
environment: petrology of the Gerena interaction zone near Seville, Spain.– Contrib.
Mineral. Petrol. 105: 9–26.
COX K.G., BELL J.D. & PANKHURST R.J. 1979. The Interpretation of Igneous Rocks.–
George Allen & Unwin, pp 1–450.
EVANS O.C. & HANSON, G.N., 1993. Accessory-mineral fractionation of rare-earth element
(REE) abundances in granitoid rocks.– Chem. Geol. 110: 69–93.
FAURE G. 1986. Principles of Isotope Geology.– J. Wiley & Sons, Chichester,
pp. 1–589.
FOURCADE S. & ALLÈGRE C.J. 1981. Trace elements behavior in granite genesis: a case
study. The calc-alkaline plutonic association from the Quérigut Complex (Pyrénées,
France).– Contrib. Mineral. Petrol. 76: 177–195.
GROMET L.P. & SILVER L.T. 1983. Rare earth element distribution among minerals in
a granodiorite and their petrogenetic implications.– Geochim. Cosmochim. Acta 47:
925–939.
HANSON G.N. 1978. The application of trace elements to the petrogenesis of igneous rocks of
granitic composition.– Earth Planet. Sci. Lett. 38: 26–43.
HANSON G.N. 1980. Rare earth elements in petrogenetic studies of igneous systems.–
Ann. Rev. Earth Planet. Sci. 8: 371–406.
JANOUŠEK V., BOWES D.R., ROGERS G., FARROW C.M. & JELÍNEK E. 2000A.
Modelling diverse processes in the petrogenesis of a composite batholith: the Central
Bohemian Pluton, Central European Hercynides. J. Petrol. 41: 511–543.
JANOUŠEK V., BOWES D.R., BRAITHWAITE C.J.R. & ROGERS G. 2000B.
Microstructural and mineralogical evidence for limited involvement of magma mixing in
the petrogenesis of a Hercynian high-K calc-alkaline intrusion: the Kozárovice
granodiorite, Central Bohemian Pluton, Czech Republic.– Trans. Royal Soc. Edinburgh:
Earth Sci. in print.
ROLLINSON H.R. 1993. Using geochemical data: Evaluation, presentation, interpretation.–
Longman, pp 1–352.
SAWKA W.N. 1988. REE and trace element variations in accessory minerals and hornblende
from the strongly zoned McMurry Meadows Pluton, California.– Trans. Royal Soc.
Edinburgh: Earth Sci. 79: 157–168.
WALL V.J., CLEMENS J.D., CLARKE D.B. 1987. Models for granitoid evolution and source
compositions. J. Geol 95: 731-749
WILSON M. 1989. Igneous Petrogenesis.– Unwin Hyman, pp 1–466.
4/2
7.1 Frakční krystalizace
7.1.1
Přímé modelování na hlavních prvcích
Frakční krystalizace způsobuje silné lineární korelace v binárních diagramech oxidů hlavních
prvků. Pro kyselé vyvřelé horniny se jako index frakcionace používá SiO2 (tzv. Harkerovy
diagramy); pro bazické horniny je vhodnější MgO nebo mg#. Tyto lineární trendy jsou však
podobné jiným petrogenetickým procesům (např. parciálnímu tavení, binárnímu míšení apod.
– Wall et al. 1989). Teprve až změny v krystalizujících minerálech nebo jejich proporcích
mohou způsobit inflexe, sloužící jako důkaz frakční krystalizace (Obr. 7.1).
apatite in
plagioclase in
olivine - cpx
Al2O3
P2O5
MgO
plagioclase in
% SiO2
% SiO2
Obr. 7.1
% SiO2
Harkerovy diagramy pro suitu kogenetických vulkanických hornin spjatých frakční
krystalizací olivínu, klinopyroxenu, plagioklasu a apatitu (Wilson, 1989)
Grafické modelování procesu frakční krystalizace v Harkerových diagramech ukazuje Obr. 7.2 (Cox et
al. 1979). Vynesena jsou složení mateřského magmatu (PM = primary melt) a krystalizujících fází
(E = extract); diferencované magma (DM = differentiated melt) se pak vyvíjí podle naznačené přímky.
Stupeň frakční krystalizace je dán pákovým pravidlem (Wilson 1989):
f fc =
i
i
c PM
− c FM
i
i
ccum
− c FM
Ú
DM
PM
parent
magma
E
R
PM
P
Õ
E
DM
PM
% oxide A
% oxide A
differentiatedDM
magma
% oxide A
(7.1)
ÕP
E
extract
Q
Ý
% SiO2
% SiO2
S
Ô
Q
Ý
% SiO2
Obr. 7.2. Grafická reprezentace efektů frakční krystalizace jednoho, dvou a tří minerálů
(podle Coxe et al., 1979)
Pro koncentraci prvku i platí:
i
i
i
c PM
= ccum
f fc + c FM
(1 − f fc )
(7.2)
4/3
kde ffc = stupeň frakční krystalizace, PM = primitivní (nediferencované) magma, cum =
kumulát, FM = frakcionované magma.
Koncentrace prvku i v kumulátu je sumou jeho koncentrací v jednotlivých minerálech (ck)
násobená jejich modálním zastoupením (fk):
i
ccum
= ∑ c ki f ki
(7.3)
k
[Albarède (1995 - str. 5)]
Soubor MaunaLoa.data obsahuje složení bazaltického magmatu
z Havaje a olivínu (fo88), který z něj krystalizoval.
spočtěte složení bazaltu po frakcionaci 5, 10 a 15 % olivínu.
Cvičení 7.1
•
Z rovnice 7.2 vyplývá:
i
c PM
− coli f ol
i
c FM =
(1 − f ol )
Kde: PM = primární magma (bazalt), ol = olivín, FM =
neznámý chemismus diferencované taveniny
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
Tab 7.1. Složení havajského bazaltu a
jeho olivínu
x<-read.table("MaunaLoa.data",sep="\t")
x<-as.matrix(x)
min<-x[,2]
# složení olivínu
WR<-x[,1]
# složení magmatu
f<-c(0.05,0.1,0.15) # stupeň krystalizace
for (i in 1:length(f)){
y<-(WR-min*f[i])/(1-f[i])
x<-cbind(x,y)
}
colnames(x)<-c("WR","ol",f)
print(round(x,2))
SiO2
TiO2
Al2O3
FeO
MgO
CaO
Na2O
WR
51.63
1.94
13.12
10.80
8.53
9.97
2.21
ol
39.90
0.00
0.00
11.70
47.80
0.28
0.00
0.05
52.25
2.04
13.81
10.75
6.46
10.48
2.33
0.1
52.93
2.16
14.58
10.70
4.17
11.05
2.46
bazalt
SiO2
TiO2
Al2O3
FeO
MgO
CaO
Na2O
olivín
51.63
1.94
13.12
10.8
8.53
9.97
2.21
39.9
0
0
11.7
47.8
0.28
0
0.15
53.70
2.28
15.44
10.64
1.60
11.68
2.60
[Albarède (1995 - str. 8)]
Soubor basalt.data obsahuje složení typického MORB bazaltu a
některých jeho minerálů.
spočtěte složení zbytkové taveniny po 20 % frakční krystalizaci kumulátu
obsahujícího 20 % olivínu, 30 % diopsidu a 50 % anortitu.
Jaké je složení kumulátu?
Cvičení 7.2
•
•
Tab 7.2. Složení typického bazaltu typu MORB a jeho horninotvorných minerálů
SiO2
Al2O3
FeO
MgO
CaO
Na2O
bazalt
olivín
49.79
16.95
8.52
8.59
12.17
2.61
40.01
0
14.35
45.64
0
0
diopsid
anortit
54.69
0
3.27
16.51
25.52
0
48.07
33.37
0
0
16.31
2.25
4/4
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
x<-read.table("basalt.data",sep="\t")
x<-as.matrix(x)
WR<-x[,1]
# složení primární taveniny
mins<-x[,2:ncol(x)]
# složení krystalizujících minerálů
f<-c(0.2,0.3,0.5)
# jejich proporce v kumulátu
fc<-0.2
# stupeň frakční krystalizace
ccum<-mins%*%f;
# složení kumulátu
crl<-(WR-ccum*fc)/(1-fc) # složení diferenciovaného magmatu
x<-cbind(x,ccum,crl)
colnames(x)<-c("bazalt",colnames(mins),"kumulát","dif.magma")
print(round(x,2))
bazalt olivín
SiO2 49.79 40.01
Al2O3 16.95 0.00
FeO
8.52 14.35
MgO
8.59 45.64
CaO
12.17 0.00
Na2O
2.61 0.00
7.1.2
diopsid
54.69
0.00
3.27
16.51
25.52
0.00
anortit
48.07
33.37
0.00
0.00
16.31
2.25
kumulát dif.magma
48.44
50.13
16.68
17.02
3.85
9.69
14.08
7.22
15.81
11.26
1.12
2.98
Inverzní modelování na hlavních prvcích – metoda nejmenších čtverců
Jak bylo ukázáno v předchozí kapitole, pří modelování frakční krystalizace lze považovat
složení původního magmatu v zásadě za směs diferencované taveniny a vykrystalizovaných
minerálů (kumulátu) (rov. 7.2). Vytvořme matici A v které první sloupec bude obsahovat
složení diferencované taveniny a v sloupcích dalších bude uloženo složení jednotlivých
minerálů. Vektor x bude obsahovat, jako svůj první prvek, frakci zbývající taveniny (tj. 1 –
stupeň frakční krystalizace), následovanou relativními proporcemi krystalizujících minerálů
v kumulátu (přepočtenými na sumu 1). Potom může být hmotová balance zapsaná ve formě
(Bryan et al. 1969)
y = Ax
(7.4)
a řešena metodou nejmenších čtverců. Albarède (1995) diskutuje v detailu nezbytný
matematický aparát, vedoucí k tomuto řešení. Pro nás je rozhodující, že v R je metoda
nejmenších čtverců implementována pomocí funkce:
lsfit (A, y, intercept = FALSE1)
Výstupem je seznam, jehož nejzajímavější komponentou je $coefficients,
odpovídající vektoru x definovanému výše. Komponenta $residuals obsahuje odchylky
mezi spočteným složením původní taveniny a skutečností. Suma čtverců těchto reziduí R2
je užitečným parametrem kvantifikujícím úspěšnost modelu. I když hodnota tohoto
parametru klesá s počtem komponent, v zásadě by neměla výrazně převýšit 1.
[inverze Cvičení 7.2]
Soubor basalt2.data obsahuje výsledky z předchozího cvičení –
složení mateřského MORB bazaltu, frakcionované taveniny
a krystalizujících minerálů. Ukážeme si na něm jednoduché použití metody nejmenších
čtverců pro inverzní modelování frakční krystalizace.
Cvičení 7.3
1
Poznámka: parameter intercept musí být nastaven na FALSE aby řešení procházelo počátkem
4/5
Tab 7.3. Složení typického bazaltu typu MORB a jeho horninotvorných minerálů
bazalt
SiO2
Al2O3
FeO
MgO
CaO
Na2O
•
DM
49.79
16.95
8.52
8.59
12.17
2.61
50.13
17.02
9.69
7.22
11.26
2.98
olivín
40.01
0
14.35
45.64
0
0
diopsid
54.69
0
3.27
16.51
25.52
0
anortit
48.07
33.37
0
0
16.31
2.25
spočtěte stupeň frakční krystalizace a pravděpodobné proporce krystalizujících
minerálů, je-li dáno jejich složení, jakož i složení mateřského a frakcionovaného
magmatu
Použijeme funkce lsfit(A,y,intercept=FALSE), kde matice A bude obsahovat složení
frakcionované horniny a krystalizujících minerálů a y bude vektor složení iniciální taveniny,
na kterou lze nahlížet jako na jejich směs. Pokud přiřadíme výsledek řekněme proměnné ee,
koeficienty regrese vyvoláme pomocí ee$coeff.
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
x<-read.table("basalt2.data",sep="\t")
x<-data.matrix(x)
A<-x[,-1]
y<-x[,1]
# složení původního magmatu
ee<-lsfit(A,y,intercept=FALSE)
fc<-1-ee$coeff[1] # stupeň frakční krystalizace
f<-ee$coeff[-1]
# pokud jsou tyto normalizovány na 100%
f<-f/sum(f)
# dostáváme minerální proporce
cat(round(100*fc,3),"% fc ","\n")
print(f*100,4)
20.003 % fc
olivine
diopside
19.97
30.05
>
anorthite
49.98
cat("\nRsquared: ",sum(ee$residuals^2),"\n")
Rsquared: 8.11834e-32
Pokud chceme zkontrolovat řešení, můžeme spočíst kumulát analogicky ke cvičení 7.2:
>
>
>
>
>
>
mins<-x[,-(1:2)]
parent<-x[,1]
cum<-mins%*%f
estimated<-(parent-fc*cum)/(1-fc)
print(round(estimated,2))
# složení taveniny pro spočtený stupeň fc a proporce kryst. minerálů
SiO2
Al2O3
FeO
MgO
CaO
Na2O
[,1]
50.13
17.02
9.69
7.22
11.26
2.98
4/6
7.1.3
Přímé modelování na stopových prvcích
Koncentrace stopového prvku během frakční krystalizace se řídí Rayleighovou rovnicí
cL
= F ( D −1)
c0
Kde:
c0 =
cL =
F=
D=
(7.5)
složení mateřského magmatu
koncentrace stopového prvku ve frakcionující tavenině
frakce zbývající taveniny (1→0); (1–F) je stupeň frakční krystalizace
celkový distribuční koeficient pro krystalizující minerály:
D=
∑ Kdi X i
(7.6)
i
Složení právě krystalizující fáze:
csi = DcL = Dc0 F ( D −1)
(7.7)
Celkové složení kumulátu:
cs = c0
1− F D
1− F
(7.8)
Frakční krystalizace rychle ochuzuje kompatibilní prvky v tavenině (Obr. 7.3). Maximální
možný stupeň frakční krystalizace lze odhadnout pomocí silně nekompatibilního prvku
(D → 0), pro který se Rayleighova rovnice [7.5] změní na:
cL
1
→
c0
F
Cvičení 7.4
(7.9)
Datový soubor basalt3.data (Tab. 7.4) obsahuje koncentrace stopových prvků
v bazaltu a distribuční koeficienty pro jednotlivé minerální fáze
(Albarède 1995 — p. 494)
Tab 7.4. Koncentrace stopových prvků v bazaltu a distribuční koeficienty pro jeho hlavní minerální fáze
Ni
Sr
Yb
Rb
basalt
ol
150
100
3
10
15
0
0.05
0
cpx
1
0.1
0.35
0
plg
0
2.0
0.25
0
• Spočtěte složení taveniny po 20% frakční krystalizace 30 % olivínu, 20 % diopsidu a 50 % plagioklasu
• Jaké bylo složení právě krystalizující pevné fáze a průměrné složení kumulátu?
>
>
>
>
>
x<-read.table("basalt3.data",sep="\t")
x<-data.matrix(x)
c0<-x[,1]
# složení původní taveniny
Kd<-x[,-1]
# tabulka distribučních koeficientů
f<-c(0.3,0.2,0.5)
# minerální proporce v kumulátu
4/7
F<-0.8
# frakce taveniny zbývající v systému
D<-Kd%*%f
# distribuční koeficienty
cL<-c0*F^(D-1)
# složení taveniny
cS<-D*cL
# okamžité složení pevné fáze
cSavg<-c0*(1-F^D)/(1-F) # průměrné složení kumulátu
result<-cbind(c0,D,cL,cS,cSavg)
colnames(result)<-c("c0","D","cL","cS","cSavg")
print(round(result,1))
c0 D cL
cS cSavg
Ni 150 4.7 65.7 308.8 487.2
Sr 100 1.0 99.6 101.5 101.8
Yb 3 0.2 3.6 0.8 0.7
Rb 10 0.0 12.5 0.0 0.0
100
Cvičení 7.5
10
cL
c0
• vyneste graf závislosti složení taveniny
log(cL/c0) na stupni frakční krystalizace pro
různé distribuční koeficienty (D = 0.01, 0.1, 1, 2,
5, 10) [rovnice 7.5].
0.01
0.1
1
1.0
2
>
>
>
>
>
>
F<-seq(1,0,by=-0.05);D<-1
plot(F,F^(D-1),xlab="F",ylab=
expression(c[L]/c[0]),type="l",
ylim=c(0.1,10),log="y")
D<-c(0.01,0.1,2,5,10)
for (i in 1:length(D)){
points(F,
F^(D[i]-1),type="l")
}
7.1.4
Reverzní modelování na stopových prvcích
D=
5
10
>
>
>
>
>
>
>
>
0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
F
Obr. 7.3. Závislost složení taveniny na
frakci zbývající taveniny (F) a
distribučních koeficientech (D)
v průběhu frakční krystalizace.
šedivá oblast je“zakázaná zóna
” vymezená maximálním
možným nebohacením pro
dokonale nekompatibilní prvek
(D = 0; viz rovnice. 7.9)
Pro identifikaci možných krystalizujících fází
slouží log–log diagramy koncentrací
kompatibilních stopových prvků (např. Obr. 7.4), ve kterých se původně exponenciální trendy
popsané Rayleighovou rovnicí změní na lineární:
log( c L ) = log( c0 ) + ( D − 1) log( F )
Pro granitoidy se běžně
používají LILE (Rb, Sr, Ba),
které vstupují do hlavních
horninotvorných minerálů a
jejichž distribuční koeficienty
(Kd) jsou poměrně dobře známé
(Hanson, 1978; Tab. 7.5).
(7.10)
Tab 7.5. Typické distribuční koeficienty minerál/tavenina pro Rb, Sr a Ba
běžných horninotvorných minerálů dacitických a ryolitických tavenin
(Hanson 1978)
Mineral
garnet
hypersthene
clinopyroxene
amphibole
biotite
K-feldspar
plagioclase
Rb
0.0085
0.0027
0.032
0.014
3.26
0.659
0.041
Sr
0.015
0.0085
0.516
0.22
0.12
3.87
4.4
Ba
0.017
0.0029
0.131
0.044
6.36
6.12
0.31
4/8
O něco problematičtější je použití
REE (např. Hanson, 1980), protože
jejich distribuce je do značné míry
kontrolována krystalizací
akcesorických minerálů (Gromet &
Silver 1983; Sawka 1988; Evans &
Hanson 1993). Například zirkon má
vysoké Kd pro HREE, allanit pro
LREE, zatímco titanit a apatit
preferují střední REE (Obr. 7.5).
Z hlavních horninotvorných minerálů
živce mají nízké Kd pro všechny REE
s výjímkou Eu. Velikost této Eu
anomálie v plagioklasu klesá
s rostoucí fO2 a teplotou (Hanson
1980). Klinopyroxen preferuje střední
a těžké REE; podobné vzory — i když
při podstatně vyšších obsazích — má
i amfibol. Naproti tomu biotit je
charakterizován nízkými obsahy
všech REE (Obr. 7.5).
1000
bi
10
hb
10
plg
Kf
10
10
10
20
tná n
Bla rusio
t
in 30
B
20
A vice
o
zár ion
o
K rus
t
in
30
10
40
50
A: 42% hb + 32% plg + 12% KF + 13% bi
B: 26% hb + 47% plg + 27% bi
100
500
2000
1000
Ba (ppm)
Obr. 7.4
Ba– Sr diagram pro kozárovickou
(kosočtverce) a blatenskou (čtverečky)
intruzi středočeského plutonu. Zobrazeny
jsou vektory ukazující efekty 10% frakční
krystalizace hlavních horninotvorných
minerálů, kromě toho je modelována až
60% frakcionace amfibolu, plagioklasu,
biotitu ± K-živce (A, B)
(Janoušek et al. 2000a)
400
ZIRCON
100
4
50
GARNET
10
HORNBLENDE
CLINOPYROXENE
1
1
MINERAL/MATRIX
MINERAL/MATRIX
APATITE
ANORTHOCLASE
0.1
PLAGIOCLASE
HYPERSTHENE
BIOTITE
0.01
0.1
K-FELDSPAR
0.05
Ce
Nd
Sm Eu Gd
Dy
Er
Yb
Ce
Nd
Sm Eu Gd
Dy
Er
Yb
Obr. 7.5 Distribuční koeficienty minerál/tavenina pro REE v dacitech a ryolitech (Hanson 1980)
4/9
7.2 Binární míšení
Předpokládejme směs dvou komponent, A, B. Pokud frakce komponenty A označíme f:
f =
A
A+ B
(7.11)
koncentrace prvku ve směsi M bude:
c M = c A f + c B (1 − f ) = f (c A − c B ) + c B
(7.12)
pro dva prvky, X a Y (Faure 1986):
YM = X M
Y X − YA X B
(YA − YB )
+ B A
(XA − XB)
XA − XB
(7.13)
což je rovnice přímky v diagramu X–Y.
Rovnice [7.13] je rovnicí přímky v diagramu cA–cB vs.
cM–cB se sklonem odpovídajícím frakci komponenty A.
To je princip mixing testu podle Fourcade & Allègre
(1981) a Castro et al. (1990) (Obr. 7.6a).
20
a
Si
10
cM-cB
7.2.1 Test míšení na hlavních prvcích
7.2.2 Test míšení na hlavních prvcích
3+
Fe2+ Fe
Ca
Mg
cA-cB
-10
-10
3
2
Obr. 7.6 Testy míšení pro kozárovický kvarcmonzonit,
středočeský pluton (Janoušek et al. 2000). a. test
založený na hlavních prvcích (Fourcade & Allègre
1981). ca, cb a cM odpovídají hm. % oxidů v kyselém a
bazickém koncovém členu (kozárovický granodiorit a
monzonit) a předpokládaném hybridu. b. test stopových
prvků (Castro et al., 1990) srovnávající skutečné
koncentrace předpokládaného hybridu s teoretickým
složením spočteným za předpokladu, že tento obsahuje
68 % granodioritové komponenty A (čárkovaně).
Mn
0
10
HYBRID/ BASIC
Castro et al. (1990) použili proporcí kyselého a
bazického koncového členu pro výpočet
teoretického složení stopových prvků
v předpokládané hybridní hornině. Tyto teoretické
koncentrace pak porovnávali se skutečnými daty
(Obr. 7.6b).
Na
K Al
Ti
0
20
b
1
0
Ba Rb Sr Zr Hf La Ce Y
Ni Co Cr
4/10
V souboru koza.data je uloženo složení tří horninových typů ze
širšího okolí Kozárovic ve středočeském plutonu: kozárovického
granodioritu, lučkovického monzonitu–monzogabra a
kvarcmonzonitu, o kterém se lze na základě vztahů v terénu, mikrostrukturního studia,
zonality minerálů a geochemických důkazů domnívat, že je jejich směsí (Janoušek et al.
2000b)
Cvičení 7.6
B: lučkovické
monzogabro
59.58
0.72
14.8
4.08
1.69
0.14
4.11
5.33
2.84
4.19
49.21
1.02
13.69
6.96
2.47
0.15
8.53
9.74
1.89
3.61
10
64.60
0.57
14.99
2.79
1.27
0.08
2.37
3.44
3.12
4.34
5
x<-read.table("koza.data",sep="\t")
x<-as.matrix(x)
mix1<-x[,1]-x[,3]
mix2<-x[,2]-x[,3]
plot(mix1,mix2,xlim=c(-10,15),
ylim=c(-5,10),pch=1,bg="black",
xlab=expression(c[a]-c[b]),
ylab=expression(c[h]-c[b]))
M: kvarcmonzonit
Al2O3
Na2O
K2O
MnO
TiO2
Fe2O3
0
>
>
>
>
>
A: kozárovický
granodiorit
ch − cb
• otestujte na hlavních
prvcích, zda skutečně mohl
SiO2
kvarcmonzonit vzniknout
TiO2
míšením kozárovického
Al2O3
granodioritu s lučkovickým
FeO
monzogabrem
Fe2O3
MnO
• určete podíl granodioritu ve
MgO
směsi
CaO
• za předpokladu, že
Na2O
granodiorit obsahuje 1154
K2O
ppm a monzogabro 2329
ppm Ba, spočtěte očekávaný
obsah tohoto prvku v kvarcmonzonitu
FeO
>
>
>
>
>
abline(h=0);abline(v=0)
text(mix1,mix2+0.5,rownames(x),
cex=0.5)
lq<lsfit(mix1,mix2,intercept=FALSE)
abline(lq,lty="dashed",col="blue")
# Obr. 7.7
>
print(lq$coeff)
X
0.6841038
>
lq$coeff*1154+(1-lq$coeff)*2329
X
1525.178
-5
MgO
CaO
-10
-5
0
5
10
ca − cb
Obr. 7.7
Test míšení na hlavních prvcích
pro kolárovický kvarcmonzonit
(cvičení 7.6)
15
4/11
7.2.3
Radiogenní izotopy (podle Faurea, 1986)
a. Jeden izotopický poměr
Rovnice pro míšení dvou koncových členů o izotopickém složení IA, IB je:
⎛c f
I M = I A ⎜⎜ A
⎝ cM
⎞
⎛ c (1 − f ) ⎞
⎟⎟ + I B ⎜⎜ B
⎟⎟
⎠
⎝ cM
⎠
(7.14)
Rovnice [7.12] a [7.14] mohou být zkombinovány do:
IM =
c A c B (I B − I A ) c A I A − c B I B
+
c M (c A − c B )
c A − cB
(7.15)
což je rovnice hyperboly v diagramu c–I (např. Sr–87Sr/86Sr).
Při modelování hybridizace za použití izotopických dat se častěji používají diagramy 1/Sr–(87Sr/86Sr),
v nichž se hyperbola míšení mění na přímku. Pokud padnou v tomto diagramu data pro suitu
kogenetických vyvřelých hornin na přímku s nenulovým sklonem, ukazuje to na operaci nějakého
procesu v otevřeném systému, jako míšení magmat nebo asimilaci okolních hornin. Naproti tomu
frakční krystalizace v uzavřeném systému nemá na izotopické složení vliv a suita kogenetických
hornin spjatých tímto procesem se vyvíjí podle horizontálního trendu.
Parametr f můžeme spočítat podle rovnice:
f =
Cvičení 7.7
c B (I B − I M )
I M (c A − c B ) − I A c A + I B c B
(7.16)
[Albarède (1995 - str. 5)]
Bazalt je při výstupu kontaminován rulou. Jejich složení je uvedeno
v Tab. 7.7.
• vyneste teoretickou hyperbolu míšení mezi bazaltem a rulou v souřadnicích Sr–87Sr/86Sr a 1/Sr–
87
Sr/86Sr
• spočtěte 87Sr/86Sr poměr ve směsi, která obsahuje 50 % ruly
• určete podíl ruly ve směsi, která má 87Sr/86Sr = 0.710
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
ca<-100;ia<-0.712
Table 7.6.
cb<-400;ib<-0.704
A: rula
B: bazalt
f<-seq(0,1,by=0.05)
cm<-ca*f+(1-f)*cb
Sr
100 ppm
400 ppm
names(cm)<-f
87
86
Sr/ Sr
0.712
0.704
im<-ia*ca*f/cm+ib*cb*(1-f)/cm
names(im)<-f
par(mfrow=c(1,2))
plot(cm,im,xlab="Sr (ppm)",ylab=expression(" "^87*Sr/" "^86*Sr),
type="b",col="red")
plot(1/cm,im,xlab="1/Sr (ppm)",ylab=expression(" "^87*Sr/" "^86*Sr),
type="b",col="red")
# Obr. 7.8
> f<-0.5
> cm<-ca*f+(1-f)*cb
> im<-ia*ca*f/cm+ib*cb*(1-f)/cm
4/12
> im
[1] 0.7056
> im<-0.710
> f<-cb*(ib-im)/(im*(ca-cb)-ia*ca+ib*cb)
> f
[1] 0.923077
0.710
0.708
86
0.704
0.706
87
Sr
0.708
0.704
0.706
87
Sr
86
Sr
Sr
0.710
0.712
0.712
b. Dva izotopické poměry (typicky Sr–Nd)
100
200
300
400
Sr (ppm)
0.004
0.008
1/Sr (ppm)
Obr. 7.8. Teoretická hyperbola míšení při kontaminaci bazaltu okolní rulou (cvičení 7.7)
Z [7.12, 7.14] vyplývá:
IM =
I A c A f + I B c B (1 − f )
c A f + c B (1 − f )
(7.17)
Tato rovnice umožňuje spočítat například sérii Sr a Nd izotopických poměrů pro řadu předem
zvolených proporcí f koncového členu A a tato data vynést jako hyperbolu míšení v diagramu
87
Sr/86Sr – 143Nd/144Nd.
Asymptoty hyperboly potom budou (Albarède 1995):
⎛ 87 Sr ⎞
⎛ 87 Sr ⎞
⎜⎜ 86 ⎟⎟ − q⎜⎜ 86 ⎟⎟
⎝ Sr ⎠ B
⎝ Sr ⎠ A
x0 =
1− q
⎛ 143 Nd ⎞
⎛ 143 Nd ⎞
⎜⎜ 144
⎟⎟ − q⎜⎜ 144
⎟⎟
⎝ Nd ⎠ A
⎝ Nd ⎠ B
y0 =
1− q
(7.18)
a její zakřivení (přímku obdržíme pouze pro q = 1):
q=
Cvičení 7.8
( Sr / Nd ) A
( Sr / Nd ) B
[Albarède (1995 - str. 22)]
(7.19)
4/13
Bazalt je při výstupu kontaminován rulou. Složení je uvedeno v tab.
• spočtěte Sr koncentraci, 87Sr/86Sr poměr, Nd
koncentraci a 143Nd/144Nd poměr směsi
obsahující 0, 5, 10, … 100 % ruly;
výsledek vyjádřete v tabulce
• vyneste teoretickou hyperbolu míšení mezi
bazaltem a rulou v souřadnicích , 87Sr/86Sr –
143
Nd/144Nd
• určete asymptoty
>
>
>
>
>
B: bazalt
200 ppm
0.710
20 ppm
0.511
0.5115
0.5120
Nd
144
Nd
0.5125
0.5130
100 ppm
0.703
2 ppm
0.513
0.5110
>
>
>
>
ca1<-200;cb1<-100
ia1<-0.710;ib1<-0.703
f<-seq(0,1,by=0.05)
cm1<-ca1*f+(1-f)*cb1
im1<-ia1*ca1*f/cm1+ib1*cb1*
(1-f)/cm1
ca2<-20;cb2<-2
ia2<-0.511;ib2<-0.513
cm2<-ca2*f+(1-f)*cb2
im2<-ia2*ca2*f/cm2+ib2*cb2*
(1-f)/cm2
x<-cbind(cm1,im1,cm2,im2)
Sr
Sr/86Sr
Nd
143
Nd/144Nd
87
143
>
>
>
>
>
A: rula
0.703
0.705
0.707
87
Sr
0.709
86
Sr
rownames(x)<-f
colnames(x)<-c("Sr","87Sr/86Sr","Nd","143Nd/144Nd")
print(x)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Sr
100
105
110
115
120
125
130
135
140
87Sr/86Sr
0.7030000
0.7036667
0.7042727
0.7048261
0.7053333
0.7058000
0.7062308
0.7066296
0.7070000
Nd 143Nd/144Nd
2.0 0.5130000
2.9 0.5123103
3.8 0.5119474
4.7 0.5117234
5.6 0.5115714
6.5 0.5114615
7.4 0.5113784
8.3 0.5113133
9.2 0.5112609
>
plot(im1,im2,xlab=
expression(" "^87*Sr/
" "^86*Sr),
ylab=expression(
" "^143*Nd/" "^144*Nd),
type="b",col="red")
# Obr. 7.9
> q<-(ca1/ca2)/(cb1/cb2)
> x0<-(ib1-q*ia1)/(1-q)
> y0<-(ia2-q*ib2)/(1-q)
> x0
[1] 0.70125
> y0
[1] 0.5105
H.L. Mencken's Law:
Those who can — do.
Those who can't — teach.
Martin's Extension:
Those who cannot teach — administrate.
Unnamed Law
If you can't learn to do it well, learn to enjoy doing
it badly.