zde

Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy Generování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
Ondřej Klimo
Úvod do metody Monte Carlo
Čerpáno částečně z I. Nezbeda, J. Kolafa a M. Kotrla: Úvod do
počítačových simulací. Metody Monte Carlo a molekulární dynamiky,
skriptum University Karlovy (Karolinum, Praha 1998, 2003).
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy Generování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
Úvod
Základní vlastnosti a principy
Generování náhodných čísel
Integrace pomocí metody Monte Carlo
MC ve statistické fyzice
Markovovy řetězce
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy Generování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
Úvod
I
Monte Carlo (MC) je numerická metoda, která využívá
generování náhodných čísel.
I
Dvě hlavní oblasti využití této metody jsou ve statistické fyzice (v souborech mnoha částic) a v lineární kinetické teorii
transportu částic.
I
K této numerické metodě existují i matematické základy - existují precizní matematické důkazy MC metod, které dokazují, že
jsou to platná řešení matematických rovnic - např. Fremholdova
integrální rovnice druhého druhu v případě problému transportu
částic.
I
Praktické implementace metody Monte Carlo závisí na naší schopnosti generovat náhodná čísla s distribuční funkcí, která daný jev
popisuje.
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
Moms aAural
MetlwdsGenerování
do have u solid
basis in measure
theory (withpomocí
the theory
of
Obsah Úvod Základní vlastnosti
principy
náhodných
čísel Integrace
metody
Monte Carlo MC v
probability as special case mlucreof). Strict nmnhennumicul proofs of convergence of
nh: method no he emma solution emu bum also. and disnincm from num numerical
Historické poznámky
tmnspamncy cx cu in wry complex dumtimxs.
concepts, implementation can be be strongly guided by intuition and retain an high
We will, after mms <hm·r hi<tm·ica| remarks below, sum wirh introducing the
cnuccprs nI`mud0m exams, 0|`crr0rc<ti1xmtc< and unbiased procedures for comma
tin. Pmcrical implcumxmriom of Ixinum Carlo techniques rely on our ability to
I
MC spadádraw
dorandom
oblasti
experimentální matematiky.
number {mm any probability law wc wi<h. Only A {caw, um hzmic
I
V matematice
běžně
získávají
závěry
dedukcí
z postulátů
(dethe centralse
limit
theorem and
variance reduction
techniques
will be dc11wns1ra1ed
ur
work using the generic example for Monte (`Urdu memlwds: Imegmtiun by stochastic
dukce). sampling. 'l'l1crelzuion ufmhis very general but inunimively clear and transparent up
I
(Mom: ('aril particle
sinnulzuion) willjsou
be frequently
used as odvozovány
guidance here and will z pozoroV experimentální
matematice
závěry
hc di<cu<<du in more derail in Chap. 5.
vání (indukce).
I
Obvykle se uvádí jako první odkaz na MC metodu slavný expelximc Carlo cnuccpm {all imo the branch n{u:<pcrimcura| umrhcnmricx lu m·dinm·y
riment s jehlou
Buffon
(1733).
mathematicsCompta
ccmclmicm s are de
deduced
{mm posuxlams
4[)caducei<m). Len c:<pcrimuma|
I
mcth0d< cnnxprisc
uxpurinxcnml
marhcmarics,
is concerned
Buffon poukázal
na [hat
to,branch
že ofpokud
má
jehla which
délku
L a náhodně
with experiments on random events (mainly random numbers). Mum(`ur1u meth
can be of probabilistic
or deterministic
type.
spadne naodds
rovinu
s paralelními
liniemi
vzdálenými od sebe o D
Usually the Gm reference to the Mum: ('Urdu Method is the famous needle
Buffoon (1733). a 1 wrench biologist
1 ig. 3.1.
(kde D >experiment
L), of(`oomph
pak s depravděpodobností
p(17()7—I788).
= 2L/(πD)
spadne
Buffon pointed out that if u needle of length L is tossed on u plane with parallel
tak, že překříží
jednu
linii.
n překříženíp v2]//(rrD)t0{aIIs1chetaha[
N opakováních expelines A dhtmxcc
D apart
(D > I/).i1h¤<pr<>\m\>i|i1y
i< crowns one of the lines. Later, also Laplace mggcsmd [his pmccdum m dcmmuinc
rimentu dává
rr hy counting the mnmhur of caucus n in `\' rcpcritimxs of the c:<pcrimcur. Then
farces and cnuccpm in hi< regard will hc rcpuamd hum iu Scar. 5.2. lu Sect. 3.3
plicumion no nhc nmhenmmicully and snmimcully more involved uwmspmn pmblenns
3.1.1 Historical Notes
mathematics conclusions are inferred I]·<>m 0h<urxmi0n< (Induction;.Axiomc Carlo
n
2 L
2 L
n
—:—:~n¤—-—. `\' rrD D `\'
(3.I)
Hi< hismx·ica1u<c nI`I\’Imuc Carlo has all.kcvIOCauu·u< 0{rhc mcrhmlz
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy Generování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
Buffonův experiment
ʼi ThEOMmv Carlo Method, an Immducuon 65
` 4A` X
Fig, 3.1. Bu1`1k>uʻs ucudlcsz What is the pmhuxbility p, that a vmxlle (length L ), which hulls
randomly ou a sheet, crosses one of the hues (distance U)? (Left: @Ompy1·ig,ht IQOKZOO3:
The Regents uf the Uniwexsity of California)
( 'vnvergenoes About ./\' : 100 OOO trials are needed bit only two digits air the
cmnmxa, Convergence is slow, but ibmlpromf,
Transparent)? The method
is imuitivcly1mde1·s\a1.xdab1e,
without
any
Ondřej
Klimo
Metody počítačovéeven
fyziky
- hodina
3. math
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy Generování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
Buffonův experiment
I
Distribuční funkce pro náhodnou vzdálenosti x středu jehly od
nejbližší linie je rovnoměrná f1 = 2/D
I
Distribuční funkce pro náhodný úhel θ mezi orientací jehly a
liniemi je také rovnoměrná a f2 = 2/π
I
Náhodný úhel a náhodná vzdálenost jsou na sobě nezávislé a
celková pravděpodobnost je součinem f1 a f2
I
Jehla překříží linii pokud x < L/2 sin θ
I
Pravděpodobnost této události je pak
Z
2π
Z
L/2 sin θ
p=
θ=0
I
x=0
2L
4
dxdθ =
Dπ
πD
Více zde http://en.wikipedia.org/wiki/Buffon’s_needle
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy Generování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
Obecné vlastnosti metody MC
I
Konvergence: Je třeba přibližně 100 000 pokusů, abychom získali výsledek s přesností na první tři cifry.
I
Transparentnost: Metoda MC je většinou intuitivně pochopitelná i bez matematického zdůvodnění.
I
Odhad chyb, optimalizace: Odhad chyby a optimální volba
hodnot L a D jsou známy z teorie pravděpodobnosti.
I
Moderní použití metody MC ve věku digitálních počítačů začalo
průkopnickou prací Johna von Neumanna a Stanislawa Ulam na
výrobě první jaderné bomby.
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
0I`c1!mcnl2u‘y (random) events .:. the or-Held is u set of subsets of J2 to which the
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy Generování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
measurable function p assigns u value (theca probability) from the imervul [0, I]. such
that the K0|m0gm·0{I`axi<m1< for A pmhahiliry are I`u|til|cd. X i< a random xariahlc
on 12, assigning A 4u<ua1|y real; uumhcr mr xccm; m each randnnx mom, c.g.:
Základní principy
Yaw) A R, such [hat I IT(X),1h c expected oxalic of X.
The expectation x la /`Z(X) and x aria az are defined a< the Hr<t mmcm
and second ccmml mmcm, uupcctix clay, ad, ulna<< otherwise sm., we assume
mlm they bun me
I
Principem metody MC je najít (odhadnout) střední hod1;(X) ;: /¤1px.
notu, resp. výběrový průměr,
I nějaké veličiny.
I
MCP); /dap(,><»n(.><3)2.
(1.2;
Pravděpodobnostní aproximace
hodnoty I je pak
získaná pomocí výběru posloupnosti nezávislých náhodných událostí ω podle
Nm mm mx) iZ,,(X). erg (X) a;(X)_ a.¤._ memammau Or X of mum
příslušné rozdělovací
funkce
pp.a výpočtu aritmetického průměru
depend upon the probability
measure
A smchasric appmximatinu m I is than obtained by producing an independent
výsledků mnoha
náhodných
událostí/pokusů
wqucncc 0I` těchto
random cx cum
w,.i I ..... \ ` according
to probability law p and
cx alluring
1;‘(2<A~> : JA : Exp;). cmu
I
'lc estinmxwr lie isjusm the arithmetic mean of many (N) outcomes of the random
experiment.
`S 'I'hc Monte (`urI0 Method. uu Immduclmu 67
Even wimlwum any of his absence 111uthe1nuticu1backgmundil is emotively clem
Centrální limitní teorém říká, že distribuční funkce hodnot In
(sec
examples
below)
thatke
IAllcncc
will
converge
to 1;{X),
hence
to 1 by cunsmnctiun.
pro velká N
konverguje
Gaussově
distribuční
funkci
variance
aʼ(1A—)
: ug (X)/N.
nhs typicallersulms
from suuisnical
emu- analy se střední
as
number
of samples
N is laws
increased.
lluwcvcr
theresulting
laws ofConhdcntc
large numbers
and
sis the
under
Glassine
dislrib\lli0n
apply, mg.,
also the
I!\‘!Is.
ccmml
limber
rhcorcms
nI`pm\hi|ity
theory
um
only
Mx
ide
scum}
nmrhcmarical
hodnotouthe
I
a
rozptylem
σ
Il is, lhércforé, Common practice in Monte (`urlo applications lo quote results as
proofs [hat hi< Monte Carlo procedure is emu mnhiascd) but lm them it com args:
lie A I for .\` A oc, albeit
ccmml
I ¤ 1 \slowly
· i n (with
I y 1//
) \//N;.
O . - lu 1particular
¤ 1 v i 2 the
»¤(
i , \ ~limit
) . roc—
cm;
mom 0I` probability rhcoryg a<<cr.< them [hu probability dies·i\>uti<m 0I` ly, for large
which lmvc
Confidanté levels
of about 66%
and 95%,
réspéclivcly.
enough
`\', c<mxurgc<
to A Gau<<au
disuihminn,
with
mean oxalic I /`Z(X) and
Of Coursé, in applications the variance UQ is \ls\1uIIy c\ʻcn more diI`GCS\lh
lo2 Sue
Compute
lhzm on
theMonte
meanFurl.
value
E[X). Il is hl€r€I`0r€
replacEdby lhé empirical
any mxtlxmk
or Pmhahuhty
Thumb.
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
variance aʼ(1A—) : ug (X)/N. llcncc nhs typicallersulms from suuisnical emu- analy
Obsah Úvod Základní sis
vlastnosti
a principy
Generování
číseltheIntegrace
pomocí metody
Monte Carlo MC v
under Glassine
dislrib\lli0n
laws náhodných
apply, mg., also
resulting Conhdcntc
I!\‘!Is.
sis under Glassine dislrib\lli0n laws apply, mg., also the resulting Conhdcntc I!\‘!Is.
Il is, lhércforé, Common practice in Monte (`urlo applications lo quote results as
Il is, lhércforé, Common practice in Monte (`urlo applications lo quote results as
Základní principy
I¤1\·in(Iy) O.- 1¤1vi2»¤(i,\~). cm;
I¤1\·in(Iy) O.- 1¤1vi2»¤(i,\~). cm;
which lmvc Confidanté levels of about 66% and 95%, réspéclivcly.
which lmvc Confidanté levels of about 66% and 95%, réspéclivcly.
I
Of Coursé, in applications the variance UQ is \ls\1uIIy c\ʻcn more diI`GCS\lh
Of Coursé,se
in applications
the variance UQvýběrový
is \ls\1uIIy c\ʻcnrozptyl,
more diI`GCS\lh
Místo lorozptylu
většinou
pro nějž
Compute lhzm
the
mean valuepoužívá
E[X). Il is hl€r€I`0r€ replacEdby
lhé empirical
lo Compute lhzm the mean value E[X). Il is hl€r€I`0r€ replacEdby lhé empirical
platí
—>
—> 1
1 II »
»2
2 ·“`
·“` Z
Z [XWM
[XWM 7
7 b(-XM]
b(-XM]
N }
)) x”
x” D,
D, 7
77
7 xx Momsu
Momsu V1;
V1; <>
<> ZM
ZM
and (mc has also, under [hen: zxssumptiom mxdc. {nr large maple <izc Y
and (mc has also, under [hen: zxssumptiom mxdc. {nr large maple <izc Y
gap/A) ¤ : K.
gap/A) ¤ : K.
(3.6)
(3.6)
lcé, for large enough N, inilhé Gallssiun based error cslimulés (3.4) U Can safely
lcé, for large enough N, inilhé Gallssiun based error cslimulés (3.4) U Can safely
be replaced by JA , al lousel for large sample size N Z 100. In the opposite Case
be replaced by JA , al lousel for large sample size N Z 100. In the opposite Case
N f 100 S¥\1d!nl`s l-dislribluion should be émploycd in error analysis instead.
N f 100 S¥\1d!nl`s l-dislribluion should be émploycd in error analysis instead.
3.2 Random Number Generation
3.2 Random Number Generation
The Monte (`aril method rocs[< nu our ability to pmducc rzxndnm numbers drawn
The Monte (`aril method rocs[< nu our ability to pmducc rzxndnm numbers drawn
|]ʻ0m any pzmicnxlar prohzxhility di<trihuti<m mknifeit ¤rbislS. |]ʻ0m [hc pmhahility
|]ʻ0m any pzmicnxlar prohzxhility di<trihuti<m mknifeit ¤rbislS. |]ʻ0m [hc pmhahility
delusory {unction (pdf) f(.r), wish F(.r) dt f(L).
delusory {unctionOndřej
(pdf) f(.r), wish Metody
F(.r) dt f(L).
fyziky - hodina
3.
lhcmnplcs arc wetting Klimo
0{ a sur|`acc hy rainpočítačové
infirm disuihutivm,
radioactixn:
P1·P2)Generování
whcthcrrhc náhodných
c0miuu0u< or
the discrete
diqrilxutimx
i< to hcMonte Carlo MC v
Obsah Úvod Základníweighting
vlastnostifacmxi
a principy
čísel
Integrace
pomocí metody
sampled, and second than gcncmriug A random number {mm [hc chosen di<u·i\>uti<m
M or pd. We will <h0w clmv that for huh casey c0miuu0u< and discrete dies‘ihu—
[inns, gcucml pmccdurc< for random n¤11n\>crgcncrari0nCPIsr, atclassr iu principle.
Náhodná čísla s rovnoměrným rozdělením
We refer to the standard reference on the pmduction ufnonuniform random numbers
[5]. This book deals with the myriad number of Ways to lrunsfoun the uniform run
dom numbers imo anything else one might want. Also the Hrs! section (pp. 1493)
of [6] is 21 very comprclucnsive immduclion to random number generation.
I
Náhodná čísla s rovnoměrným rozdělením jsou základem pro
generování náhodných čísel se všemi dalšími pravděpodobnost3.2.1 Uni l brm Random Numbers
ními rozděleními.
I
Uniform
random numbers
the basis for generation
of rundown
with all [a, b]
Náhodná
veličina
má are
rovnoměrné
rozdělení
nanumbers
intervalu
macro dhtrilxutimx laws. A madman xariahlc is um`m*mlv disuihumd on an imcx al
pokudla,jeh],hustota
pravděpodobnosti
f
ifrhc di<u·ihuri0ndousery
f i<
fg!)
gym,
NR
(am
]
with XW
i< iuvtheca
iumxw al \0,
clwwhcrc.
kde χ=1
proy,xI iI`:r
ležící
intervalu
[a,Hb]anda()jinak
je f (x) = 0.
The cal<<icaI method m gcucmtc uniI`0m1 ramlcmx num\>cr< on |O,l] is by so
called ICU congrucmial ramlcmx number gcncramry which arc defined hy [hc
{HH
\n
E,,
}
M
mor]
new
(5.8)
Hem r1 i< A magic multiplicand, new il` 0I`tcu chow to hc [hc Is·gc<timccr rcprcr
scnmhlc on me mchauc pm 23% cm, anu n <hm.1u hc prime m m. Proofs rm.
particular choices of (large) pamnxcmrs r1 and new that [hc gcncmmr achicxcs theca
largcq p0<<ilc period 0I` new — 1 diIcr.cm random uumhcr< are quite cumlxcrscmxc.
Optimal pammctcr ch0icc< arc typically found experimentally, we again I6]. The
Glint periodicity limits precision only in very large calculations, ag. on modem
massively parallel computing systems. A rather subtle issue is also irrzleperrzlemw of
an entire sequence 0I`mndu1n numbers (l0c.cil.).
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy Generování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
Diskrétní distribuce náhodných čísel
I
Generování náhodného čísla s danou diskrétní distribuční funkcí
je triviální: Mějme diskrétní distribuční funkci s k možnými výsledky označenými přirozenými čísly {0, 1, 2..., k} danou následujícími vztahy
1 The Monte Furl IVIu1h0d` uu Immductmu 69
l’(X:[) :p,;O.
Zn, 1 .
mi) mx g i) Ep,
mm
with Fʼ(X ij [hc pmhahiliry 0IOUwm i. F i< the (cmxmlmixc; disuihmion. Lu 5
kde P (X =
je pravděpodobnost
iaF
jeXkumulativní
hc ai)
uniform
random number nu [O, 1], ruche výsledku
theca random xariahlc
X with
i if
— 1] < { § FQ) is distributed according to F.
distribučníFQfunkce.
I
3.2.2.1 Inversion Method
Nechť E je
náhodné číslo z interval [0, 1] s rovnoměrnou distri'l'l1cim‘ersion method provides random samples z from u disuibxuion F by convert
buční funkcí.
Potom
veličina
pro kterou platí X = i
ing uniform
random náhodná
numbers §. '1 his is
simply aloneX,
by setting
pokud F (i − 1) < E < F; :(i)
je
rozdělená
podle kumulativní dismin(.r\F(:r) 2 E) ~ F. (3.10)
tribuční funkce
F . m0n0mn0u<, than z F *(E). For example, il` is [hcidsu·i—
[I` F i< <u·ict|y
button density function (pdf) no be genemmcd, hen msn Gnu nhc chumming function
1·'{1·) : fx ri! [fz], pick u uniform random number { on[(),1]zmdscl§ :
and Hnully invert
this toKlimo
Und random number
z, which
is then distributed
Ondřej
Metody
počítačové
fyziky - according
hodina 3.
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy Generování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
1 The Monte Furl IVIu1h0d` uu Immductmu 69
Metoda inverze
l’(X:[) :p,;O.
Zn, 1 .
I
I
I
Metoda inverze poskytuje náhodná číslami)
z zmxkumulativní
g i) Ep, distrimm
buční funkce F pomocí konverze náhodných čísel generovaných
Fʼ(X ij [hc pmhahiliry 0IOUwm i. F i< the (cmxmlmixc; disuihmion. Lu 5
s rovnoměrnou distribučníwith
funkcí.
hc a uniform random number nu [O, 1], ruche theca random xariahlc X with X i i
FQ — 1] < { § FQ) is distributed according to F.
F je monotonní rostoucí od 0 do 1. Pokud je i striktně mono3.2.2.1 Inversion Method
tónní, je možné ji invertovat.
'l'l1cim‘ersion method provides random samples z from u disuibxuion F by conver
Například pokud f (x) je daná
hustota
pravděpodobnosti,
podle
ing uniform
random numbers
§. '1 his is simply alone by setting
které máme generovat náhodná čísla, potom
nejprve
určíme
ku;: min(.r\F(:r) 2 E) ~ F. (3.10)
mulativní distribuční funkci[I` Fjako
i< <u·ict|y m0n0mn0u<, than z F *(E). For example, il` is [hcidsu·i—
button density function (pdf) no be genemmcd, hen msn Gnu nhc chumming function
1·'{1·) : fx ri! [fz], pick u uniform random number { on[(),1]zmdscl§ :
and Hnully invert this to Und random number z, which is then distributed according
I
I
[Qu).
Generací náhodného číslanorovnoměřně
rozděleného
v function
intervalu
The same transfurnxwmion
rules as for any density
apply also for a pdf
Hence [hc gcucml qmtcgy is: Try m transform A gixcu pdf ff.) m another disbar
0, 1 - E získáme náhodný Huron
vzorek
F
(z)
=
E.
f, <ouch [hat theca imcrw of [hc new cnunulmixc diurilamion F is cxplicirly
known. Then apply [hc method of micro<i<m and u·an<{m·m hack. Figure 5.2 llu<—
Inverzí funkce F pak získáme
hodnotu z příslušnou k náhodtmtc<thcmcthm1 of im Carson for [hc vmrnml (Gaussian; diswihmion
nému číslu E, tedy náhodné číslo z s, rozdělením
daným funkcí
1 .¤ V.,
” m q
f (x).
Ondřej Klimo
I .r d$(:r) dt m(t) T 1 4 cr. T . (3.11) . 2 V 2
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy Generování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
Metoda inverze
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy Generování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
Metoda zamítnutí (rejection)
I
Metoda zamítnutí je použitelná vždy, ale často může být poměrně neefektivní.
I
Pro distribuční funkce s konečným nosičem (finite support), tedy
funkce f (x), které jsou nenulové jen na konečné množině M je
možné postupovat takto.
I
Nalezneme maximum c funkce f (x) a poté generujeme dvojici
náhodných čísel (E1 , E2 ), kde E1 má rovnoměrné rozdělení na
intervalu M a E2 má rovnoměrné rozdělení na interval [0, c].
Potom když E2 < f (E1 ), přijmene hodnotu E1 jako náhodnou
veličinu s distribuční funkcí f (x).
I
Jinak pár hodnot zamítneme a vygenerujeme nový. Proto může
být efektivita této metody dost špatná.
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy Generování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
Metoda zamítnutí (rejection)
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy Generování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
Příklady
I
I
Cauchyho distribuční funkce je ve fyzikálních aplikacích rovněž
1 The Monte Furl Mu1h0d‘ uu Immductmu 7I
nazývaná Lorentzova distribuční
funkce.
1 The Monte Furl Mu1h0d‘ uu Immductmu 7I
"
1
f1 <
>
0
nm
4 F by - by + (2
"
1
The Monte Furl Mu1h0d‘ uu Immductmu 7I
f
<
>
0
nm
4 atFhall`by
- by + (2
Hem<thcmcdiau(1iuc <hi{r;, and
v
is
[hc
halfwidth
nmrdumm (HWHM;.
"
1
Gcncrariug
mmlm number
with
Av(`achy
di<u·i\>uti<m
is usually
Hem<thcmcdiau(1iuc
<hi{r;,
and
is
[hc
halfwidth
at
hall`
nmrdumm
(HWHM;.
fm<Z. with
> 0A (`achy
nm(`achy,
4 Fhyby
- usually
byThe
+done
(2byImow
mm.
Fir<1 mmlm
tmusfnrm
srandardimd
S (Tis7 /J)/¢.
cmnulmixc
Gcncrariug
number
di<u·i\>uti<m
done
byImow
Kumulativní
distribuční
funkce
je
disuihnxrion
is
[hun
gh
cu
a<
mm. Fir<1 tmusfnrm
Z. vsrandardimd
(`achy,
hy S nmrdumm
(T 7 /J)/¢.(HWHM;.
The cmnulmixc
Hem<thcmcdiau(1iuc
<hi{r;,mand
is [hc halfwidth
at hall`
Gcncrariug
mmlmisnumber
disuihnxrion
[hun ghwith
cu a<A (`achy di<u·i\>uti<m is usually done byImow
mm. Fir<1 tmusfnrm m Z. srandardimd
hy
I
'
I (`achy,
I
1 S r(Tr7 /J)/¢.
— The
/ 1cmnulmixc
disuihnxrion is [hun gh
cu a<
F`~
.r —I <rln
—aʻcmn
.15)/ my
Mnzw ( ¤
' —
I >I
1
r r» . —
1
F`~ .r — <rln — > —aʻcmn » . .15) my Mnzw ( ¤
I
I
'
I
I
1
r r
—
/ 1
'1l1creforc the random number z : b + 1*- Lau{vow{§ — 1/2)}. with § a uniformly
F`~mndomnumber
.rrandom
— <rlnnumber
—
> —aʻcmn
» .(b,c)dies·ibu1iun.
.15)—my
Mnzw ( ¤
disuibxuenl
on [0.z1],
a (`duchy
'1l1creforc the
: bhas
+ 1*Lau{vow{§
1/2)}. with § a uniformly
Potom náhodné číslo z definované jako
disuibxuenl mndomnumber on [0. 1], has a (`duchy (b,c)dies·ibu1iun.
.%.2.2.}.2
The Bm Muller
/Vlerh01l_/br
Rur11imr1Nu1r1l>ers
'1l1creforc
the random
number
z : b + 1*-Guussizm
Lau{vow{§
— 1/2)}. with § a uniformly
.%.2.2.}.2
The Bm Muller
Rur11imr1Nu1r1l>ers
disuibxuenl
mndomnumber
on/Vlerh01l_/br
[0. 1], has a Guussizm
(`duchy (b,c)dies·ibu1iun.
Because the Gaussian error function cannot be inverted in closed form, the following
cnmhinaticm
of číslo
u·aus{mnorm0n,
rcjcctimx
cr<i<m
is typically
applied:
Because the Gaussian
errorrovnoměrně
function
cannotand
be im
inverted
inmethod
closed form,
following
kde ξ je
náhodné
rozdělené
v the4;,.
intervalu
[0, 1],
.%.2.2.}.2
The Bm Muller
/Vlerh01l_/br
Guussizm
Rur11imr1Nu1r1l>ers
Nm
cnc, hmof
two
independent vmrnmlly
dimilautud
random
uumhcr<
zg) are
cnmhinaticm
u·aus{mnorm0n,
rcjcctimx and
im cr<i<m
method
is typically
applied:
Because
thecnc,
Gaussian
error
function funkci
cannot
bexinverted
inZ;closed
form,
the following
produced
hyhm
Hm
u·au<I`m·ming
randcmx
m·ia\>1c<
,random
Z; I}·0m
cartu<iau
to
polar
Nm
two
independent
vmrnmlly
dimilautud
uumhcr<
4;,.
zg)c0—
are
má Cauchyho
distribuční
(b, c).
cnmhinaticm
ofhy
u·aus{mnorm0n,
cr<i<m
method
is ¤:0s(<D)
typically
applied:
m·diuatc<
I?.Hm
<D.u·au<I`m·ming
The anglercjcctimx
<Pi1h
cuand
uniform
in [O. Z;
2rr].
and
are
produced
randcmx
xim
m·ia\>1c<
, Z;Only
I}·0m
cartu<iau
tosin(d$)
polar c0—
Nm cnc,
hm two
vmrnmlly
random
uumhcr<
4;,. and
zg) sin(d$)
are
needed,
andI?.aindependent
rcjccti<m
marched
circleOnly
and ¤:0s(<D)
A mrrcmndiug
<quark)
m·diuatc<
<D.
The angle
<Pi1h(comparing
cudimilautud
uniformainunix
[O. 2rr].
are
produced
hybcx1sedfor1l1em.'1h
Hmand
u·au<I`m·ming
randcmx
x(comparing
m·ia\>1c<
Z;
, Z;the
I}·0m
cartu<iau
to polar
c0—
can
c variable
H has, due
to
Jacobin
of mrrcmndiug
the
1rumI`orma1ion1.
needed,
a rcjccti<m marched
a unix
circle
and
A
<quark)
m·diuatc<
I?.
<D.flux
The distribution
angle <Pi1h
cu
uniform
inrather
[O.
Only
¤:0s(<D)
and
are can be
can
bcx1sedfor1l1em.'1h
c variable
H has,
due2rr].
to
the
Jacobin
of
the sin(d$)
1rumI`orma1ion1.
u
Gaussian
(see
above)
than
a Gaussian
itself,
and this
needed,directly
a generated
rcjccti<m
marched
(comparing
a rather
unix circle
and
A mrrcmndiug
<quark)
by the Melted
of Inversion.
'l'ransfor1ning
buck
Z1and
: Hthis
· uos[<P)
u and
Gaussian
flux distribution
(see above)
than
a Gaussian
itself,
can be
can bcx1sedfor1l1em.'1h
variable
H
due
to the Jacobin
of the random
1rumI`orma1ion1.
and
Z; :generated
H ·isu[<P)c by
provides
u has,
pairofof
independent
Gaussian
directly
the Melted
Inversion.
'l'ransfor1ning
buck
Z1 numbers.
: H · uos[<P)
and flux
Z; : Hdistribution
·isu[<P) provides
u pair
of independent
Gaussian
u Gaussian
(see above)
rather
than a Gaussian
itself,random
and thisnumbers.
can be
Ondřej
Klimo
počítačové
- hodina 3.
directly generated by the
Melted
of Inversion.Metody
'l'ransfor1ning
buck Z1 :fyziky
H · uos[<P)
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy Generování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
Box Mullerova metoda
I
Předpokládejme, že U1 a U2 jsou nezávislé náhodné veličiny s
rovnoměrným rozdělením v intervalu (0, 1]. Nechť
a
I
Potom Z0 a Z1 jsou nezávislé náhodné veličiny normální distribuční funkcí se směrodatnou odchylkou 1.
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
m·diuatc< I?. <D. The angle <Pi1h cu uniform in [O. 2rr]. Only ¤:0s(<D) and sin(d$) are
Obsah Úvod Základní needed,
vlastnosti
náhodných
číselcircle
Integrace
pomocí metody
Monte Carlo MC v
andaaprincipy
rcjccti<mGenerování
marched (comparing
a unix
and A mrrcmndiug
<quark)
can bcx1sedfor1l1em.'1h c variable H has, due to the Jacobin of the 1rumI`orma1ion1.
Integrace pomocí
metody Monte Carlo
directly generated by the Melted of Inversion. 'l'ransfor1ning buck Z1 : H · uos[<P)
u Gaussian flux distribution (see above) rather than a Gaussian itself, and this can be
and Z; : H ·isu[<P) provides u pair of independent Gaussian random numbers.
I
I
I
Integrace pomocí MC je stochastická metoda pro řešení deter3.3 Integration by Monte Carlo
ministického
problému najít hodnotu integrálu.
lumgmticm by Nlmuc Carlo i< A smchzmtic marched for the dcmmxuiniqic pmhlcm nl`
V komplexních
mnoharozměrných
situacích
může situations
však tato
{Ending an integral,
which in sxxfikicntly complex
high dinncnsional
can mebe competitive
even superior
to numerical
methods.
toda být
stejně ordobrá
nebo
dokonce
lepší než jiné numerické
Leafs consider the source rate of particles (likewise, of momentum. heal. ct..)
metody.
in u nnucmscopic system (c.g.. u fluid flow). in which these particles innicmscopic
objects) are ruled by u kinetic, i.e. nnicmscopit (Buhzman1n)!q\1u1i¤¤n. Examples are
Například:
je distribuční
funkce,
je nějaká
váhová
funkce
chemicalfsources
(particle. momentum.
energy) g
in plasma
chemistry.
or radiative
heat murkjaký
in emumoment
nI`mdimi<m distribuční
transfer rhcorv. funkce nás zajímá.
podle toho,
Such mmm then mad
/) /ir i
1 ; dx-y(.¤ )j(`¤ ;; ajyg-3. @.14;
Hem f i< the one particle diswihmion ldumiryp fuucrion _f(r,v. i, t) or where
[hc sm. .r nfrhc clcx am phmwspacc may, mg., hc chamcmrizcd hy a position we
my 1*, A x clncity xucmr v, theca [imc t, Lu. cumin< x m·ia\>lc<, and further A discrete
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
weighing
function
dcncrmincd
by me pmicular
moment of
imcrcsn.
In man
Obsah Úvod Základní some
vlastnosti
a principy
Generování
náhodných
čísel Integrace
pomocí
metody
Monte Carlo MC v
emuticul terms one would refer to this as Lebcsgue-Smieltjes Integral of mcasurabcl
I`uncri0n g(:r) with Rupert m (pmhabiliry) measure defined hy di<u·i\>uti<mdousery
Integrace pomocí
metody Monte Carlo
f <-¤)
I
We will dews lntcgrmion by Nalco Carlo ming [hc example {mm [2]: lm the
iumgmticm dcmmi V hc [hu unit iumrxal |O, 1 |, [hc uniform di<u·i\>uti<m on
[0,1] (Lu.: 1 on |O,1|, and f(:r) () elsewhere) and g(:r) (¤—xp(:r) —
Budeme
metodu demonstrovat na příkladu
1]/fetuto
— 1).('1eurly.
e" — 1
I Karl ().418(),.. . (3.15; 0 — 1
We will now integrate this same function by Monte ('aril. Our HST method dues not
kde f (x)
na intervalu
[0, 1]by Buffoon`snced1c
a 0 jinde amperimcm, we will just
require=
any1theory,
but instead, inspired
use pairs {lf; of independent uniform random numbers and compare the known
urea (the unit square [0.1] X [0.1]) with the
x unknown urea 1, which is the urea
e − 1u hi! if the point diced by the
underneath function gfx), in [0.1]. Le., we
g(x) = count
pair ofrandmn numbers is under the curve gfx),
and1an miss omlucrwisc.
e−
A< can clearly be sec on Fig. 5.3 the ratio 0I`hit<mmm1 uumhcrofsamplcs com
xcrgm m [hc emu oxalis of the imcml, a< c:<pcctcd_ and also the <ti<tica1 error.
indicated a< empirical smndard dcxiaticm sy. 45.5; scale with 1/v/.\` a< cxpucmd.
OI` cmxrsc such A Monte Carlo imugraticm murhml i< pmcurly {<m|i<h. By hi<
method we ham, in principle, replaced the <ing|c imcml mer fnxncrion g hy a dmv
Bel integral over the area between abscissa and function gfx]. '1 he convectional
text-book mewled (crude Mums ('urlo) can be obtained from this one by the obsess
ovation that once the Gm random number {1 of the pai: is known, we do not have
to rely upon {Z no decide about counting zero or one. Given {L then an one will be
counted with probability Paz p : g{§1]. Hence instead we can use than (conditional)
cxpucmd oxalic p nfrhc binomial disuihmion h(l,p) directly. This i<, admittedly A
quite obscure uxplauaticm for wmucthiug really trivial. Bur it is also the underlying
idea behind A powerful x aria reducing Iximc Carlo technique known under di{—
{umm Nam< in diI`{cram umm of applicmiouz (hnditicmal cxpccrarion c<timer (in
Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina
3.
ncurmn <hi|ding). |4|,Ondřej
ax cmgiugtr2uxs{<u·1xmri0n4u*an<I`crrhc0rymainlyn
Russian
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy Generování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
Nejjednodušší metoda
I
Použijeme pár nezávislých rovnoměrně rozdělených náhodných
veličin E1 , E2 a srovnáme známou plochu (např. čtverec [0.1] ×
[0.1]) s neznámou plochou I pod funkcí g(x).
I
Počítáme body, pokud nám dvojice náhodných proměnných definuje bod pod křivkou g(x) a naopak body nad křivkou g(x)
nezapočítáváme.
p
Statistická chyba výpočtu je úměrná 1/ (N ).
I
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy Generování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
Nejjednodušší metoda
74 I). Railcar
Inlegralmn of |( x) with CRUDErM¤nte Car|¤—Meth¤d
2*-1
M=Q
0.70
0.65
0.60
¤ 0.55 .9
E 0.50
% 0.45
a 0.40
SD 35 ʻ
E 0.30
|’* 0.25
0.20
0.15
0.10
number cl samples, Iogamhmnc scaling
integral
apprcxnmatncn
O-4159233
Fig. 3.4. 1.uva1umjng Integral of (cap(uʼ) i 1)/(u i 1) on [0,1]meldod: crude Monte Carlo
statistical urhisé is reduced $0181y bymodifyL\g (sm0OIhjJ1g) the !sEi.ma[O1’ g(u:), in
inlxprmauce sampling the lludétlyhng Iandrhm \a1'iabI! (Ot m1.\d0m p1’0C&ss) is
allcrcd lo zm<>lI1cr<>nc, in order lo ucI1i&wc varizmcc rcnhnclion. A compcmaling
wcighl correction [actor in introduced in lc cslimalor lo nminluin lc mmc mean
value T : ]T(g(X))
7 ,. . . ' .f(*)#. . ~,;*. . 1 1 » g(J.) - f(.L)d.:. g(.1.)7_/ (J.)d.:. g(J.)_/ (.1.)d.:. (. .16) f (T)
V
V
Y
Hence we have g(.1:)f / The name mf this nléthrhd, importance
Ondřej
Metody
počítačové
mnwpling originates
from lcKlimo
spacial lcchniquca
0l`lc used
lo End optimalfyziky
hissing -
hodina 3.
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy Generování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
Surové MC
I
Pokud už máme vygenerované jedno náhodné číslo E1 , nemusíme generovat i číslo E2 , abychom rozhodli, jestli máme tento
pokus počítat jako platný nebo ne.
I
Máme-li číslo E1 , potom s pravděpodobností p = g(E1 ) padne
číslo E2 pod g(E1 ) a pokus započítáme jako platný. Místo toho,
abychom tedy generovali čísla E2 a buď je započítali nebo ne,
můžeme místo toho použít očekávanou hodnotu p rovnou.
I
Toto vysvětlení je zjednodušené na situaci, kdy máme funkci
g(x) omezenou hodnotou 1 a náhodné číslo E2 je z intervalu
[0, 1].
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy Generování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
Surové MC
I
Předchozí technika patří mezi významné způsoby, jak redukovat
rozptyl výsledků MC metody.
I
Je to vlastně opačný postup, než na jakém je princip MC postaven - nahrazujeme vzorkování přímo očekávanou hodnotou.
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy
integralGenerování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
apprcxnmatncn
O-4159233
Importance sampling
Fig. 3.4. 1.uva1umjng Integral of (cap(uʼ) i 1)/(u i 1) on [0,1]meldod: crude Monte Carlo
I
statistical urhisé is reduced $0181y bymodifyL\g (sm0OIhjJ1g) the !sEi.ma[O1’ g(u:), in
Další metoda
pro redukování rozptylu tzv. importance saminlxprmauce sampling the lludétlyhng Iandrhm \a1'iabI! (Ot m1.\d0m p1’0C&ss) is
allcrcd lo zm<>lI1cr<>nc,
in order(vyhlazení)
lo ucI1i&wc varizmcc
rcnhnclion.
A compcmaling
pling spočívá
v modifikace
funkce
g(x),
původní
wcighl correction [actor in introduced in lc cslimalor lo nminluin
˜(x).lc mmc mean
náhodná value
proměnná
f
(x)
je
nahrazená
novou,
f
T : ]T(g(X))
7 ,. . . ' .f(*)#. . ~,;*. . 1 1 » g(J.) - f(.L)d.:. g(.1.)7_/ (J.)d.:. g(J.)_/ (.1.)d.:. (. .16) f (T)
V
I
I
I
V
Y
Hence we have g(.1:)f / The name mf this nléthrhd, importance
Například:
Abychom redukovali rozptyl g(x) s ohledem na pravmnwpling originates from lc spacial lcchniquca 0l`lc used lo End optimal hissing
děpodobnostní
f (x),
měli bychom
zkusit
změnit
g(x)
tak,
achcnmm zákon
(Lu.: <>I`lIu:
rum\<>n1pr<>cuss,
in parliculurin
grumbler
lechery.
A mom
general, hul also somewhat hnprccimc lcrminology would rcfcr lo his concept an
aby byla n<>n—anz•lgamonlc
tato nová funkce
co nejvíce konstantní.
Carlo, us comparedlo lhc analog I\’|<>nlc Carlschcmc. In lhc
Iallcr lc underlying pmhuhilily di¤lriIVali<>n law isdirectyluckn [mmhlcappliquév
V našem lion,
případě
s použitím Taylorova rozvoje zvolíme
whcrcm in lc I`0rmcr onc umm a diI`1k;rcnldi¤lrih1|li<>n, molivalcd by pmclical,
cc<>n<>n1icul0r<>lI1cr rcmons, and mlalislicul wcighls lo compcmaln; him.
g̃(x) = g(x)/x.
As seen Hmm (3,16), the value mf I is independent Of hOw the integrantl is
˜imo
decsmxpmsedf
a p1’0dUCt
mf it
p1’Obabi.H\y
density andaby
a ésprhusé
f˜(x) je potom
(x)
= 2x,
kde
2 je proto,
bylaIImC\i0I1,
f (x) but
nor-
me vamps,
¤§ (y) and U;[0,
@3Emmamy
can be (mmm.
malizovaná
na intervalu
1].
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy Generování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
Importance sampling
I
Potřebujeme tedy generovat náhodná čísla En z distribuční funkce
f˜(x). Pomocí
metody inverze toho dosáhneme tímto způsobem
√
En = E, kde E je náhodná proměnná s rovnoměrným rozdělením na intervalu [0, 1].
I
Potom uděláme aritmetický průměr mnoha náhodných veličin
g̃(En ) a tím dostaneme výsledek. Konvergence není rychlejší,
ale rozptyl je tímto postupem podstatně zredukován.
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
lucre dclcrmxncd
by lc varizmcx,
not bynáhodných
N per (`PU—limc,
only by pomocí
lhc Hgurcmetody Monte Carlo MC v
Obsah Úvod Základní vlastnosti
a principy
Generování
čísel hul
Integrace
0I` Muriel: xuriuncc pur (`PU lima;. And hence. importance sampling. more generally.
n<>n—anul<>g sampling, can go both way; in Monte: Carlo. Il; pcrlbrnnancx; ham lo hc
Importance sampling
assessed Ou a case by case basis,
As a géucral Observation, Oneshambled 110[! that lu mm-analog 1VIOm! Carlo
schemes the 01*1*01* assessment simply based uprhu the empirical Variance, and €H0t
bars Obtained fm m the central Limit \h!01‘eI11, canheIéss Idiablé than iu analog sim
ulalirms, Allhmugh the variance may be decreased by a Clever impmrlmxcc sampling
Integration cl f(><) wnh Importance Samp|e—Mcme Car1¤—Meth¤d
v<¤>=
0.70
0.65
0.60
5 0.55
E 0.50
*:5 0.45
E; 0.40
0.35
6 E 0.30
¤>< 0.25
0.20
0.15
0.10
number of samples, logarithmic scaling
mtgs.
apprcxnmatncn
0.4180233
Fig. 3.5. Same integral as in big. 3.-1, method: importance sampling Monte Carlo
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
scar ff.) gfx),/[_ Chuck: I cams.
CarloChuck:
integration
pmcccds
hy
scar Monte
ff.){mm
gfx),/[_
I cams.
Monte
Carlo
integration pmcccds
wnmpling
[his Generování
di<u·ihuri0nff.r)
which,
inMs.c
ofourpmricem*c:<mx1plc
canhy Monte Carlo MC v
hc
donea by
[hc rqicctinu
technique. náhodných
Then,
indcpcndcm
0I`[hc
implying,pomocí
I is <cm*cd.
Obsah Úvod Základní vlastnosti
principy
čísel
Integrace
metody
wnmpling {mm [his di<u·ihuri0nff.r)
which,
inMs.c
can 0I`[hc
{mm
[hisofourpmricem*c:<mx1plc
di<u·ihuri0nff.r)
which,
inMs.c
ofourpmricem*c:<mx1plc
can
hcwnmpling
done
by [hc
rqicctinu
Then,
implying,
is <cm*cd.
Unfortunately
we
needed technique.
the knowledge
ofindcpcndcm
the Gal result
1 already
to Idesign
this
hc done by [hc rqicctinu technique.
indcpcndcm
0I`[hc
implying,
I isthe
<cm*cd.
hcThen,
done
[hc
technique.
Then,
indcpcndcm
0I`[hc
implying,
I is <cm*cd.
Unfortunately
we rqicctinu
needed
the
knowledge
of
Gal result
1 already
to design
this
perfect
zeroby
variance
scheme.
Unfortunately we needed the knowledge
of
the
Gal
result
1
already
to
design
this
Unfortunately
we needed
the knowledge of the Gal result 1 already to design this
perfect
zero variance
scheme.
perfect zero variance scheme.
perfect zero variance scheme.
δ − f MC
3.3.0.5 5f Monte Carlo
3.3.0.5 5f Monte Carlo
3.3.0.5 5f Monte Carlo
3.3.0.5
Monte
Carlointegral to ilhlslrale the concept of the 6/ lv[¤n1c(`m·1¤>
Finally
we5f
use
our simple
Finally which
we useisour
simple
integral
to ilhlslrale
the concept
of the 6/ lv[¤n1c(`m·1¤>
I
method,
widely
used
in
kinetic
particle
sinmllulions.
Starting point neznámý
Idea
δ−f
metody
vychází
zthe
toho,
žeuzmsporl
se
snažíme
Finally we use our simple integralFinally
to ilhlslrale
the
concept
6/ lv[¤n1c(`m·1¤>
we use
our
simpleofintegral
to ilhlslrale
the concept
of the 6/rozdělit
lv[¤n1c(`m·1¤>
method,
which
is widely
used in kinetic
particle
sinmllulions.
the idea
to split
the unknown
purunnctcr
imouzmsporl
u large known
nearby Starting
quantitypoint
and
method, which is widely used inisiskinetic
particle
uzmsporl
sinmllulions.
Starting
method,
which
is the
widely
used inpurunnctcr
kinetic
particle
sinmllulions.
Starting and
point
the idea
to split
unknown
imopoint
uuzmsporl
large known
nearby quantity
parametr na relativně velkou známou blízkou hodnotu a relativně
malý neznámý parametr.
<mal| unknown pcrturhaticm. Len particle <Imo|ari0n< hi< can also hc theca <ing|c parti—
is the idea to split the unknown<mal|
purunnctcr
u large
known
nearby
quantity
and
the
idea imo
topcrturhaticm.
split
the unknown
purunnctcr
imo
uhi<
large
nearby
quantity
unknown
Lensox
particle
<Imo|ari0n<
can known
also
hc theca
<ing|c
parti—
clc isdktriluutimx
I`uncut<m
ff.)
ing some
kinetic
cumin
or moments
nfrhis
pd.`.and
<mal| unknown pcrturhaticm. Lenclc
particle
<Imo|ari0n<
hi< can ff.)
alsoLen
hcparticle
theca
<ing|c
parti—cumin
<mal|
unknownI`uncut<m
pcrturhaticm.
<Imo|ari0n<
hi< canoralso
hc thecanfrhis
<ing|cpd.`.
parti—
dktriluutimx
ing some
kinetic
moments
lu near
equilibrium
situariom
wcsox
haw
clc dktriluutimx I`uncut<m ff.)lusox
ing
some
kinetic
cumin
or
moments
nfrhis
pd.`.
clc
dktriluutimx
I`uncut<m
ff.)
sox
ing
some
kinetic
cumin
or
moments
nfrhis
pd.`.
near equilibrium situariom wc haw
lu near equilibrium situariom wcluhaw
near equilibrium situariom wc haw
[Qu) : [€W(.¤) + ¤5_f(w) c3.17>
[Qu) : [€W(.¤) + ¤5_f(w) c3.17>
[Qu)
[€W(.¤)
+ ¤5_f(w)
[Qu)
: c3.17>
[€W(.¤)
+ ¤5_f(w)
with, for: example,
the Muxwelliun
equilibrium
distribution _fWm
and a smallc3.17>
pcmlr
I
with,
for
example,
the
Muxwelliun
equilibrium
distribution
_fWmsampling,
and a small
pcmlr
balun 6f.Ilcuntl1cn be udvanlugcotxs
to solvé. by
lV[on1c(`ur1u
only
for
with, for example, the Muxwelliun
equilibrium
distribution
_fWm andequilibrium
small pcmlr
with,
for example,
Muxwelliun
_fWm
and a small
balun
6f.Ilcuntl1cn
bethe
udvanlugcotxs
toa solvé.
bydistribution
lV[on1c(`ur1u
sampling,
onlypcmlr
for
{if rather
forby
theca
{ulludvanlugcotxs
disuihmion.
balun 6f.Ilcuntl1cn be udvanlugcotxs
to[han
solvé.
lV[on1c(`ur1u
sampling,
only by
for lV[on1c(`ur1u sampling, only for
balun
6f.Ilcuntl1cn
be
to
solvé.
{if rather
for thecaour
{ullintegral
disuihmion.
S0 lc [han
us consider
again, and write. accordingly, lv Lv 4 6] with
{if rather [han for theca {ull disuihmion.
{if
rather
[han
for
theca
{ull
disuihmion.
S0known
lc us consider
our integral again, and write. accordingly, lv Lv 4 6] with
In [hc
pan
S0 lc us consider our integral
again,
write. accordingly,
Lv 4 6]
S0
lcand
uspan
consider
our integrallvagain,
andwith
write. accordingly, lv Lv 4 6] with
In [hc
known
In [hc known pan
In [hc known pan
Může být potom výhodnější hledat s pomocí metody MC jenom
hodnotu neznámé δ − f
`
`
`
`
I
I
,
2
I
I U &_14
,
2 e_14
I 2 3€_1
1 + luIq I ) `lu
T »`rw
7)I<3.1s»
¤<>
I1 + lu
` 7)I<3.1s»
I
IU &_14
, ¤<>
2 e_14
I 2 3€_1
q I ) ,lu`T »2rw
1 + lu q I ) lu T » rw 7) <3.1s»
2 3€_1
1 + luU
q I&_14
) lu T¤<>
» rwe_14
7) <3.1s»
U &_14 ¤<> e_14 2 3€_1
and 6] [hc roc<t. Clearly.
and 6] [hc roc<t. Clearly.
and 6] [hc roc<t. Clearly.
and 6] [hc roc<t. Clearly.
»! 1 2H / ` 0
——I —I rr — rr /2 0] dm . (3.19;
»! 1 2H / `00
——I —I rr — rr /2 0] dm . (3.19;
0` 0 —
»! 1 2H /Figure
`0
— I —I rr
—
rr
/2
0]
dm
. (3.19;
»!
1
2
/
I — rr — rr /2 0] dm . (3.19;
0 3.6—<haws
theca roc<u|t 0{roc
H csrimarc
0 —for I,Iwith In known and {XI cx alumcd
Figure
3.6 <haws
theca
roc<u|t
csrimarca for
I, with
In known
and {XI m
cx Ialumcd
by crude
Nlnurc
Carlo.
Clearly
by0{roc
eliminating
large,
known,
cmurihmion
theca
Figure
csrimarc
I, with
In roc<u|t
known
and
{XI
cx alumcd
Figure
3.6 for
<haws
theca
0{roc
csrimarc
for I,known,
with In known and {XI
alumcd
I 3.6 <haws theca roc<u|trclariw
by0{roc
crude
Nlnurc
Clearly
by
a large,
mcx
I theca
0 reduced
errors
of Carlo.
[hc csrimarcs
foreliminating
any gig sample
<i/c `\' arecmurihmion
greatly
a<
by crude Nlnurc Carlo. Clearly by
eliminating
a large,
known,
cmurihmion
msample
I theca
by
crude
Nlnurc
Carlo.
Clearly
by any
eliminating
a large,
known,
cmurihmion
m I theca
rclariw
errors
of
[hc
csrimarcs
for
gig
<i/c
`\'
are
greatly
reduced
a<
ccmxparcdm prcxi0u<mc[hm1s.
rclariw errors of [hc csrimarcsccmxparcdm
for
any gig
sample
<i/c
`\' are greatly
reduced
a< <i/c `\' are greatly reduced a<
rclariw
errors
of [hc
csrimarcs
for any
gig sample
prcxi0u<mc[hm1s.
Hi< method is mlm relaxed to theca <0 called correlation sampling ruchuiquc. in
ccmxparcdm prcxi0u<mc[hm1s. ccmxparcdm
prcxi0u<mc[hm1s.
Hi<
method
mlm relaxed
theca
samplingbut
ruchuiquc.
in
which
one
wouldisevahmc
both 1toand
lg. <0
by called
Montecorrelation
(`urlo techniques.
using the
Hi< method is mlm relaxedwhich
to theca
<0method
calledevahmc
correlation
sampling
Hi<
is mlm both
relaxed
to theca
<0Monte
calledin(`urlo
correlation
sampling
one
would
1 and
lg.ruchuiquc.
by
techniques.
butruchuiquc.
using
the in
same random
numbers. Both
EMS's
are
men
positively corrclumcd
and
me
Swiss
which one would evahmc both same
1 which
and random
lg.one
by would
Monte
(`urlo
techniques.
but
using
the
evahmc
both
1
and
lg.
by
Monte
(`urlo
techniques.
but
using
numbers.
Both
EMS's
are men
positively
corrclumcd
me Swissthe
Lilac precision of
the Monte
(`urlo
cstinmtc
for the
difference
61 can
beand
subslamiully
Ondřej
Klimo
Metody
počítačové
fyziky
- hodina
3.
same random numbers. Both EMS's
are
menof
positively
corrclumcd
and
Swiss
same
random
numbers.
Both
areme
men
and
me Swiss
Lilac
precision
the Monte
(`urloEMS's
cstinmtc
for
thepositively
differencecorrclumcd
61 can
be subslamiully
Je jasné, že eliminováním velkého příspěvku I k hodnotě I, je
relativní chyba výsledku značně zredukovaná pro jakkoliv velký
vzorek N .
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy Generování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
MC ve statistické fyzice
I
Smyslem počítačových simulací je generovat konfigurace systému mnoha částic a tyto konfigurace použít ke stanovení termodynamických a strukturních veličin - což obvykle představuje
výpočet nějaké střední hodnoty.
I
Metoda MC generuje konfigurace právě s ohledem na efektivní
výpočet středních hodnot.
I
Princip metody ve statistické fyzice objasníme na simulaci kanonického souboru.
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy Generování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
nam, kvnmni, pennona by mmcaissonabyu kcrelované. Jen vzaalenasn mnam baan oa puéétku saniaaNamenii
mei Jean, zapoétsmeJennieku do poécu iispéénightcapkusill Tenw elementérni pokesmusime opakVaz mno
hank. abychom ams na nejpnesnéjgi vysleaek;fitc>m pam, ischubbya je nepFim0demurnélannné aanmenane
MC ve statistické
fyzice
polite pokes
Princip melody Monte Carlo ve statisticképhysice vysvétlimc na simulaci v kauonickém
I
NVT sahuaro. Simulate
v jinych
suuborech
bumblefunkce
uvedeny vX
samostatnécapitolz
Uvažujeme
výpočet
střední
hodnoty
- přepíšeme inteUvaiujmc vjpoéetstipendiwhodunityfunke X v kanouickém souboru, rov. (2.10). a
grál
pomocí
diskrétních
abychom
ho mohli
vypopiepiéme
.i1\E!gl'?u
do diskrétnichproměnných,
]>ron1§n11v<‘h nap pomoci
liclxobéiuikového
prexvirllu).
abychom
mull vyéislit na puéitaéiz
čítat
na ho
počítači.
.\ʻ(n·"·<k>) (·np{-aL¤(n="·<*>)]
<.\ʼ> = E
nm
V Z ·*x1>l—HU(r" "kʼ>l
I
I
I
I kdybychom rozdělili integrační interval každé proměnné vektoru r pouze na 10 dílků, dostaneme již při N = 100 nesmyslně
velký počet konfigurací 10300 .
V praxi tedy nemůžeme uvažovat všechny konfigurace X, ale jen
nějakou vybranou podmnožinu. Otázka je, jak tuto podmnožinu
vybrat, aby byl výpočet co nejefektivnější.
Nejběžnější je vybírat konfigurace zcela náhodně - tak se řeší
např. některé vícerozměrné integrály.
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy Generování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
MC ve statistické fyzice
I
To v našem případě ale selhává, protože náhodný výběr nedělá rozdíl mezi hodně a málo pravděpodobnými konfiguracemi
a málo pravděpodobné konfigurace k výpočtu střední hodnoty
téměř nepřispívají.
I
Např. pro systém N tuhých koulí - náhodná poloha v objemu V
- s velikou pravděpodobností budeme generovat konfigurace překrývajících se koulí, kde je Boltzmannův faktor 0 a tedy střední
hodnota není ani definována.
I
Řešení problému je následující. Pro výpočet střední hodnoty budeme uvažovat přednostně ty konfigurace, které více přispívají
ke střední hodnotě - nám známý importance sampling.
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy Generování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
MC ve statistické fyzice
I
Realizace: Je obtížné vytvořit pravděpodobnou konfiguraci náhodným vkládáním částic do volného prostoru.
I
Máme-li ale již pravděpodobnou konfiguraci, jsme schopni z ní
vytvořit jinou dost pravděpodobnou konfiguraci.
I
Např. pro systém tuhých koulí - máme již pravděpodobnou konfiguraci, tzn. nepřekrývající se koule, změníme polohu jedné nebo
více koulí, tak aby opět nedocházelo k překryvu. Tak můžeme
generovat posloupnost konfigurací.
I
Otázka je, dostaneme-li takto správný odhad střední hodnoty.
I
Odpověď dává teorie náhodných procesů.
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
pnsloupnost k<mi·igumci.kitc>1·é bduuaéi x·y\>ramu1 puslmxpuusti v kmmuivkém smxlmru.
Jak vlastnosti
uvi<limrʻ clzilu.
lzc vfévGenerování
uvcdexxf priurip
mzriiiitčísel
u 11:1jh,
\·Im<l11<>11
vy|>1·:111<m
Obsah Úvod Základní
a principy
náhodných
Integrace
pomocí metody
Montepm
Carlo MC v
Jak uvi<limrʻ clzilu. lzc vfév uvcdexxf priurip mzriiiit u 11:1jh, \·Im<l11<>11 vy|>1·:111<m pm
>alox1p110st
k<mH;.g1x1‘z1<·i k vYpoGtu stivduf hoduoly i vv >]<>2itFjSi1u pii;>zx<I. Kaly B¤»Itxn1eu1»
>alox1p110st
k vYpoGtu
stivduf hoduoly
i vv >]<>2itFjSi1u
Kaly B¤»Itxn1eu1»
uh v {axkmrk<mH;.g1x1‘z1<·i
nalvfvé \ʻi<·<· lnociuot
A1102Jan
dvou. Rigmézui
sv tvnropii;>zx<I.
]>ml>l¤*111
fvéi pm11m·i
uh
v {axkmr
nalvfvéi<·t6zu°1.
\ʻi<·<· lnociuot
A1102Jan
dvou.
Rigmézui
sv tvnro(lmcl
]>ml>l¤*111
fvéi pm11m·i
Markovovy
řetězce
Z\I:11·k0v<>\·§*<·h
mi mxkoxncr
xznjisti
i sprzivxnosl
vfslvmlku
2).
Z\I:11·k0v<>\·§*<·h i<·t6zu°1. mi mxkoxncr xznjisti i sprzivxnosl vfslvmlku (lmcl 2).
I
I
4.2 Boltzmannovské
vzorkovéni
Markovův
řetězec je posloupnost
náhodných veličin, které se
4.2 Boltzmannovské
vzorkovéni
4.2.1 z
Markovovy
vybírají
množiny ietézce
stavů. Výskyt stavu není nezávislý, událost,
4.2.1 Markovovy ietézce
Nil\l`kO\ʼlIi\icezec
je pcsloupnost
nzilxodufch
vcliéinna
(urlzilosti,
cvfi)
Sw,
lc = 1, . . byla
. ,00,
kterou
pozorujeme
v
čase nzilxodufch
k + 1 závisí
tom, cvfi)
jakáSw,
událost
Nil\l`kO\ʼlIi\icezec
je pcsloupnost
vcliéin
(urlzilosti,
lc = 1, . . . ,00,
ktcré
so vybirnji zgisté
(pro jednoduchost
koncéné)
mnoiicy
stm/G (pm nés:
k01xfig11m<zi)
pozorována
čase
ktcré
(prok.
jednoduchost
mnoiicylcstm/G
(pm nés:
k01xfig11m<zi)
(.4,},so
1 :vybirnji
1, . 4 , v
,zgisté
AI.
Viskyc
scathe nuni koncéné)
pima rmzzivislj,
urlzilost,
kccrou
pozorujemc
(.4,}, 1 : 1, . 4 , , AI. Viskyc scathe nuni pima rmzzivislj, lc urlzilost, kccrou pozorujemc
v .,6us0“ k + 1zaikaisi rm mmjabké udélsotbyln poznrnvzirmVFnsv k. K011k1·ét11?>, jostliiv
Jestli
selie
čase addlest
krm vyskytne
událost
Ai (tj.
s nyil1c><h1A
pravděpodobností
πik ,
vso.,6us0“
kv
+vyskytmz
1zaikaisi
mmjabké
udélsotbyln
poznrnvzirmVFnsv
k. K011k1·ét11?>,
jostliiv
v Pacts
,-1, s prnvnlép<><h»I>u<:stinfl`)
v¢·liGiu:1S(k) xmhfvai
so v Pacts lie vyskytmz addlest ,-1, s prnvnlép<><h»I>u<:stinfl`) (tj. nyil1c><h1A v¢·liGiu:1S(k) xmhfvai
}10<l11nly
I: + l sn-Malianst
A, \·ysl<yrm· s ]>1zn·<l6—
pak
v čase.-i, skprawlépoclolmnstiHawy
+ 1 se událost pak
A v Paso
vyskytne
s pravděpodobností
}10<l11nly .-i, s prawlépoclolmnstiHawy pakjv Paso I: + l sn-Malianst A, \·ysl<yrm· s ]>1zn·<l6—
pu<l<>h1msri. pm ktormn Platt
pu<l<>h1msri. pm ktormn Platt
_(A·¢n»
_ ,_ _(k; , ,.- Z,11, ,
_(A·¢n»
_ ,_ _(k; , ,.- Z,11, ,
(.1,.1)
(.1,.1)
vlm za1]><;h10 v<·kto1·0v5
vlm za1]><;h10 v<·kto1·0v5
wf =¤'*>-w.
(4,;;
wf =¤'*>-w.
(4,;;
kcal xuatimzv W jc LTV. vnnticn parer:}marl. jcjii privacy HQ.,] 5 U'(.—l, A .4]ranji fyzxkélui
I Wkcal
W jc LTV. vnnticn
parer:}marl.
jcjii
privacy
HQ.,]
5Fjsotmly
U'(.—l,
A .4]ranjivýznam
fyzxkélui
jexuatimzv
tzv. p1ʻm¤rlép0d0b110st,i
matice
přechodu,
jejíž
prvky
mají
fyzikální
@*211:1111
pfczhcrlu zv
shavu
A,doestavu]
11c·zzip0r11é)
ax jui
@*211:1111
p1ʻm¤rlép0d0b110st,i
pfczhcrlu zv shavu A,doestavu] Fjsotmly 11c·zzip0r11é) ax jui
musi
splfxovat,
normovaci
podminku
pravděpodobností
přechodu
ze
stavu
A
do
stavu
A
a
splňuje
i
j
musi splfxovat, normovaci podminku
Z UʼQ,+] = 1 pm vécchna i.
Z UʼQ,+] = 1 pm vécchna i.
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
(4.6)
(4.6)
_ un
Z .V · #i = Z».u>w.~,
—¤,<»>_$w,».,
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy M
Generování
náhodných
čísel
Integrace
pomocí metody Monte Carlo MC v
n
m
n
de elementary WH, maj? nyni vyznam rychlosti zménystaveu aNepali pm né (4.6) normalizeace je zajiéténa
Durham élanm v (4.7),
Markovovy
řetězce
Markovbv
process icesediscuspecialim pfipadem obecnélm .¤zapIm.¤ru-w/mnebch milmzldu/m pmre.»1»,
coi je cystm néhodnychovelin definovanych na jnstém pravdépndabnosmim proszoru s hudnmanu v jiszém
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
nazyvanou téi uajekrorie. NapF. pm vyée deiinovany Markomv Ferézec je jedna konkrémi posloupnosz konfi»
I
Tato
znamená,
žerealized,
z konfigurace
Aipravdépodobnosw
musí vzniknout
Gracie,podmínka
nap?. {A7.A,4,,.-1-,,.~1,_,,
. . .), jednou
které se vyskylne sJimu
v iexézcn
{s<*¤,.$*2¤,s<i**,.s<·•> ,... }. Teprove kdyi uvaiujeme pravdépcdobmmaimmuasmdimemluvit O pm.
nějaká
konfigurace Aj .
CEOs'
I
K čemu
jsouXIm·kov\°xv
Markovovy
řetězce?
Např.
vyjdeme
stavu
Ai ,
MaK111v—li
i0n<ʻzIIIIZOIIIQ
Si ]><>lugthull
mmiavk.
nzxpiiklzul.ze
\·y_)rlu»
li xv smvu
.-L, jzxké
jc px·zw¢l6po1lolm0sc who,
Ze po k krociclx
clojrluAdo sum1
A]?krocích?
Jak buclv zaivisct
jaká
je
pravděpodobnost
dosažení
stavu
po
k
Jak
j
vyskyt stave A] au k'? Tight oteizky csvétlimc ucjlépo ua pfiklzulu.
budeMém
záviset
výskyt
Aj fungujc,
na k?:1I¤lmr§ijc=msc sitiRexuékcly fuugujv.
vcancelii
pnéitaé.stavu
Tnumi.vidy
knuckley ue. Dlouhudcbym pozorovéuim jsum zjistil, in
Příklad: Počítačová síť vykazuje následující chování:
I
1. l`engage—li sit! dues, jc 60% pravdépndobnosm. io buds fuugovat i zitm;
i
zítra
Stav sitétady nahjvei <lv0u ll(J(\llOf,, .-1, ;:fluI\[§\l_i(*M an .-12 =.,u<-i'u11p_11_]<·". P1·e1v<l5pmlul>
I v
nefunguje-li
dnes,
pak je 70%
pravděpodobnost, že nebude
oust
Ease k IOC pnpsnt
dvuumzmémim
v<·ki<>r<·n1
fungovat i zítra
I
dnes,
je s60%
pravděpodobnost,
že fuugovaxn
bude fungovat
2.funguje-li
nefungujc-li sid
duns, pak
[)l'8.V(léI)0(lOhXlOSEi
70% uebudc
anizitm.
nm _(7r(k1 TRW)
I
Stav
sítě]>h·cl1ml11_j0
nabývá vdvou
hodnot a matice přechodu je
XIexl.ir·¢·
{umm piipmlf
_ 0.6 (1.4 — {1.3 0.7 '
Jvstliic Lczly véerabylsm.v sité popsén vckmormn ·1r(", pak pm rlncéuistamplatiz
rm. = Wm. ·W.
Ondřejpak
Klimo
počítačové
fyziky=-(0,1),
hodinapak
3. Wm.
Tidy nap?. jc-li nm = (1,0),
Wm. =Metody
(046,0.4),
a je-li nt.')
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy
Generování
pomocí metody Monte Carlo MC v
_ 0.6čísel
(1.4 — Integrace
{1.3 0.7 '
nm _(7r(k1
TRW) náhodných
XIexl.ir·¢· ]>h·cl1ml11_j0 vJvstliic
{umm piipmlf
Lczly véerabylsm.v sité popsén vckmormn ·1r(", pak pm rlncéuistamplatiz
Markovovy řetězce
rm. = Wm. ·W.
_ 0.6 (1.4 — {1.3 0.7 '
Tidy nap?. jc-li nm = (1,0), pak Wm. = (046,0.4), a je-li nt.') = (0,1), pak Wm.
I Následující
stavy
dostanou
zaduh§
předchozích
takto
Jvstliic Lczly
véerabylsm.v
popsén
vckmormn
·1r(", pak
pm rlncéuistamplatiz
(0.3,sité
0.7).
Tactse
mho
pckraéovm,
den mém rozloicni
rm. = Wm. ·W. Ti!) Z .,,0) , W Z ,r(1)_vV2
4.2. BOLTS.-\NNO\'SKE`
\`ZORK()\i-XXI
'T0m tv1·ze·ui ncni picsué.
pr<1t<>21· ]n·uvdé]>or1<>l>xms!. n·:11izzu·0 1u:kz:mz¤?nrʼ ;n>>lmnpm>s1i Ixmlv u<·j<pil
Tidy nap?.
I jc-li nm = (1,0), pak Wm. = (046,0.4), a je-li nt.') = (0,1), pak Wm.
Z toho
např. plyne
(0.3, 0.7). Tact
mho pckraéovm,
aduh§ den mém rozloicni
uvula. Commie 11<·r·h|`si pi<··lx•m-i kmmrmm vyhnmuu p¤s1oup¤ms•,5 hm-m< ummlm-¢»u px;m1m¤»·l.»\»m»<¤i
za Led
Ti!) Z .,,0)
W
Z ,r(1)_vV2je~1g1r<1>=(1,0),
4.2. BOLTS.-\NNO\'SKE`
\`ZORK()\i-XXI
nu,, :{(0.48,0452),
(0.39,0.61), _pc·l11r(‘) = (0,1)
'T0m tv1·ze·ui ncni picsué. pr<1t<>21· ]n·uvdé]>or1<>l>xms!. n·:11izzu·0 1u:kz:mz¤?nrʼ ;n>>lmnpm>s1i Ixmlv u<·j<pil
uvula. Commie 11<·r·h|`si
kmmrmm vyhnmuu
p¤s1oup¤ms•,5
ummlm-¢»u
px;m1m¤»·l.»\»m»<¤i
za Led pi<··lx•m-izjistim,
Pokraéuji-lidelc,
ic r0zl0Zcui
1r(") hm-m<
pm velkzi
n nebudc
ui vhbccZivsct un 1r(" n
I
Pokračujeme-li
dále,
žeje~1g1r<1>=(1,0),
pro velká n dostaneme limitní
dust LTV. Iimitni rozloicui
nu, zjistíme,
:{(0.48,0452),
(0.39,0.61), _pc·l11r(‘) = (0,1)
rozložení, které námJig·rr(")
říká,
že
pravděpodobnost fungo: 1r průměrná
é (0.42%,0.5714),
(4.8)
o
Pokraéuji-lidelc, zjistim, ic r0zl0Zcui
1r(") pm velkzi n nebudc ui vhbccZivsct un 1r("
n
vání
je
43%.
tedy
pri'1111émé
pravdépodulmost
dust
LTV. Iimitni
rozloicui fungcvziin jc 43ApproverLou jc t.<um1 tak axleaverly<·ky'f
Zkusme uécojiného. Byl jsem na dov<>l<»11éa11<*vImo Adavévm sit`f11ng0vz]z1 rawlm uv. Jvrlvn
: 1r é iv
(0.42%,0.5714),
(4.8)
kolcga oak. ic sit; uofuuguvalu. Jig·rr(")
Durham
Lvrrli.
sum. mV<lF;><><Liz>h1msri pm :1 prat gins
o
Lcnly
stejné a ]oxt.<·G11i
stav prom
vvzmorme
vcr tvaxru
tedy ansi
pri'1111émé
pravdépodulmost
fungcvziin
jc 43ApproverLou
jc t.<um1 tak axleaverly<·ky'f
Zkusme uécojiného. Byl jsem na dov<>l<»11éa11<*vImo
TH') : (0,5.0.a),Adavévm sit`f11ng0vz]z1 rawlm uv. Jvrlvn
kolcga oak. ic sit; uofuuguvalu. Durham Lvrrli. iv sum. mV<lF;><><Liz>h1msri pm :1 prat gins
Jake
ju te-dy
p1·nv<l5p¤><luI>n<1>t.
iw vvzmorme
sit` bucle fuugovm,
ni duns piijdu do précc`!
Lcnly
ansi stejné
a ]oxt.<·G11i stav prom
vcr tvaxru
ww : M')
· w: (0,5.0.a),
Z (0.45,0.as)
TH')
a.Jake
tedy
jo 45%.Bud-li
nyni
pokraéovat
vnduns
vypoétu
jupravdépudobnust
te-dy p1·nv<l5p¤><luI>n<1>t.
iw sit`
bucle
fuugovm, ni
piijdupmvdépodolmostd
do précc`!
dél, zjistim, ie pn uékolikadducezh dostanupét rczloicni (4.8).
Klimo
počítačové
fyzikypiiklzul
- hodina
3.
ww
: M') · vcliéin.
wMetody
Z (0.45,0.as)
Ve statistické viz.n misOndřej
znjimzimeekui
Zdc
I]lG%(¥ jnko
vcliéiny
(pom
Obsah Úvod Základní
vlastnosti
a principy Generování
náhodných
Lcnly ansi
stejné a ]oxt.<·G11i
stav prom vvzmorme
vcrčísel
tvaxruIntegrace pomocí metody Monte Carlo MC v
TH') : (0,5.0.a),
Markovovy
řetězce
Jake ju te-dy p1·nv<l5p¤><luI>n<1>t. iw sit` bucle fuugovm, ni duns piijdu do précc`!
ww : M') · w Z (0.45,0.as)
I
Vea. tedy
statistické
fyzice nás zajímají měřené veličiny. Např. výdělek
pravdépudobnust jo 45%.Bud-li nyni pokraéovat vn vypoétu pmvdépodolmostd
dél,
zjistim,
ie
pn
uékolikadducezh
dostanupét
rczloicni
(4.8).
závisí na fungování sítě - síť
funguje
vyděláme
2000 Kč denně,
Ve statistické viz.n mis znjimzimeekui vcliéin. Zdc I]lG%(¥ jnko piiklzul vcliéiny (pom
síťrovatelué)sloet
nefunguje vydélckz
vyděláme
jen
500
Kč.
jcstliie sirunguja, vydélém X(,,f11ngujc") = 2000 KE za den,
I
Průměrný
je pak dán střední hodnotou
vfdfvlck jc din výdělek
stivdni h<><lll0[Gull
jostle rncfuugujan u<¤nmh11procuret Elbcdupoufc X(,,r1cf1111g11_jc") = SUOKG, Pr1'}r¤x5r1x§
(X) = vr(,,fuugu_jc").\`(,,f11ugujc") + 1r(.,ucf•111g11_jv").\`(..114-i'm1gn1_]v") i 1143 KP.
Vatic piechodnx v xmivx _jud1m<l1u·l1ér11 piiklzulnn mai tu vlzxsmost,. is- >yst, 6xu xtmyi
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
z jackalm r<>zl<wi<·11i jsuw vyéli. .·\ juketvum piiklZulusvisi s p1ivm111[111 p1·ohl<$1m·m \')'l>l`2\I\l;
p<>Slm1p110st,i. s ii hurIr·u1<· pr<><1 2ixvt kuufig11ra511i p1·ust<>1"Y CI·clu<1<lu§r\. XI6j1m· p0sl<111]>—
oust stem·fʼ1 Gilienyui ku11H;.g111ʻzui {.-\(A`>}f;I vybrzmuu z XIa1ʻk<>v<>vn F<~L<ʻz<·<· {s<·>,s~> .... }
s limimim mzloivuim
N=’
cap(·-Ebb) _coxp(—/1U])
(4 9)
E2; ¤x1>(#/wk) Q
de ssmc oznzxiili U] = Z/(AJ). Pak stfcdui hideout villainy X podl whom Fvtézco.
(4.10)
z 1 N rm. .x : - Z}, ,
" k;1
do XW : X(A(*)), bud pm I'(lSN)ll<'i 71 kOIl\'(ʼl'{.§OVi\\, k souhomvé stivclni hoclumé <lem<*
vztalwm
A
Ondřej Klimo
x
;
A
l
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
(4.11)
Obsah Úvod Základní
vlastnosti
aviz.n
principy
Generování
náhodných
čísel I]lG%(¥
Integrace
pomocí
metody
Monte
Carlo MC v
jostle
u<¤nmh11procuret
Elbcdupoufc
X(,,r1cf1111g11_jc")
= piiklzul
SUOKG,
Pr1'}r¤x5r1x§
vfdfvlck
jc din stivdni
h<><lll0[Gull
Verncfuugujan
statistické
mis znjimzimeekui
vcliéin.
Zdc
jnko
vcliéiny
(pom
vfdfvlck jc din stivdni
h<><lll0[Gull
rovatelué)sloet
vydélckz
jcstliie sirunguja, vydélém X(,,f11ngujc") = 2000 KE za den,
(X) = vr(,,fuugu_jc").\`(,,f11ugujc") + 1r(.,ucf•111g11_jv").\`(..114-i'm1gn1_]v") i 1143 KP.
jostle rncfuugujan u<¤nmh11procuret Elbcdupoufc X(,,r1cf1111g11_jc") = SUOKG, Pr1'}r¤x5r1x§
Markovovy
řetězce
(X)
= vr(,,fuugu_jc").\`(,,f11ugujc") + 1r(.,ucf•111g11_jv").\`(..114-i'm1gn1_]v") i 1143 KP.
vfdfvlck
din stivdnivh<><lll0[Gull
Vaticjcpiechodnx
xmivx _jud1m<l1u·l1ér11 piiklzulnn mai tu vlzxsmost,. is- >yst, 6xu xtmyi
Vatic piechodnx v xmivx _jud1m<l1u·l1ér11 piiklzulnn mai tu vlzxsmost,. is- >yst, 6xu xtmyi
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
(X) = vr(,,fuugu_jc").\`(,,f11ugujc") + 1r(.,ucf•111g11_jv").\`(..114-i'm1gn1_]v") i 1143 KP.
I
zXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
jackalm r<>zl<wi<·11i jsuw vyéli. .·\ juketvum piiklZulusvisi s p1ivm111[111 p1·ohl<$1m·m \')'l>l`2\I\l;
Mějme
posloupnost
stavů
vybranou
zsmai
Markovova
řetězce
s liz jackalm
r<>zl<wi<·11i
jsuw pr<><1
vyéli.
.·\2ixvt
juketvum
piiklZulusvisi
p1ivm111[111
p1·ohl<$1m·m
\')'l>l`2\I\l;
Vatic piechodnx
v xmivx
_jud1m<l1u·l1ér11
piiklzulnn
tuCI·clu<1<lu§r\.
vlzxsmost,.
is>yst,p0sl<111]>—
6xu
xtmyi
p<>Slm1p110st,i.
s ii hurIr·u1<·
kuufig11ra511i
p1·ust<>1"Y
XI6j1m·
p<>Slm1p110st,i.
s
ii
hurIr·u1<·
pr<><1
2ixvt
kuufig11ra511i
p1·ust<>1"Y
CI·clu<1<lu§r\.
XI6j1m·
p0sl<111]>—
oust
stem·fʼ1
Gilienyui
ku11H;.g111ʻzui
{.-\(A`>}f;I
vybrzmuu
z
XIa1ʻk<>v<>vn
F<~L<ʻz<·<·
{s<·>,s~>
.... }
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
mitním rozložením, kde Uj = U (Aj )
stem·fʼ1
Gilienyui ku11H;.g111ʻzui
{.-\(A`>}f;IpiiklZulusvisi
vybrzmuu z sXIa1ʻk<>v<>vn
{s<·>,s~>
.... }
zsoust
jackalm
r<>zl<wi<·11i
jsuw vyéli. .·\ juketvum
p1ivm111[111F<~L<ʻz<·<·
p1·ohl<$1m·m
\')'l>l`2\I\l;
limimim
mzloivuim
s limimim mzloivuim
p<>Slm1p110st,i.
s ii hurIr·u1<· pr<><1 2ixvt
kuufig11ra511i
p1·ust<>1"Y CI·clu<1<lu§r\. XI6j1m· p0sl<111]>—
cap(·-Ebb)
_coxp(—/1U])
oust stem·fʼ1 Gilienyui ku11H;.g111ʻzui
{.-\(A`>}f;I vybrzmuu
z XIa1ʻk<>v<>vn F<~L<ʻz<·<· {s<·>,s~>(4....9)
}
N=’
cap(·-Ebb)
_coxp(—/1U])
N = ’ E2; ¤x1>(#/wk) Q
(4 9)
s limimim mzloivuim
I
¤x1>(#/wk)
Q X podl whom Fvtézco.
de ssmc oznzxiili U] = Z/(AJ).E2;
Pak stfcdui
hideout villainy
cap(·-Ebb)
_coxp(—/1U])
Střední
hodnota
Xstfcdui
podél
tohoto
řetězce
je Fvtézco.(4 9)
de ssmc oznzxiili
U] =veličiny
Z/(AJ).
hideout
villainy
X podl whom
N = ’ Pak
E2; ¤x1>(#/wk) Q
(4.10)
z 1 N rm. .x : - Z}, ,
" hideout
k;1
de ssmc oznzxiili U] = Z/(AJ). Pak stfcdui
z 1 N rm.
.x : - Z}, ,villainy X podl whom Fvtézco.(4.10)
" k;1
do XW : X(A(*)), bud pm I'(lSN)ll<'i 71 kOIl\'(ʼl'{.§OVi\\, k souhomvé stivclni hoclumé <lem<*
(4.10)
do XW : X(A(*)), bud pm I'(lSN)ll<'i 71z kOIl\'(ʼl'{.§OVi\\,
1 N rm. .x : - Z}, , k souhomvé stivclni hoclumé <lem<*
vztalwm
A
x " ;k;1n Ak souborové
l
I Ta
bude konvergovat pro rostoucí
střední hodnotě
vztalwm
A
x
;
A;X¤,.\·,,
l
(4.11)
(.\‘>71:Z¤,x(.4J;
do XWvztahem
: X(A(*)), bud pm I'(lSN)ll<'i
kOIl\'(ʼl'{.§OVi\\,
k1 souhomvé stivclni hoclumé <lem<*
dané
,
:
1
,
:
(4.11)
(.\‘> :Z¤,x(.4J;
;X¤,.\·,,
vztalwm
,A ww
:x =
1 ww
, A :I<<>1m·1·p,11_j¤·
Zbfvsi ureat pm>cI111f11kv. An ktvrfrln
·VV*
k limmanimumz)rwZr·r1i
;
l1
Zbfvsi ureat pm>cI111f11kv. (.\‘>
An ktvrfrln
ww = ww ·VV*
I<<>1m·1·p,11_j¤· k limmanimumz)rwZr·r1i
(4.11)
1r. .I<·stli2<·r
:Z¤,x(.4J;
;X¤,.\·,,
1r. .I<·stli2<·r
,
:
1
,
:
1
Zbfvsi ureat pm>cI111f11kv. An ktvrfrln ww = ww ·VV* I<<>1m·1·p,11_j¤· k limmanimumz)rwZr·r1i
1r. .I<·stli2<·r
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.
Obsah Úvod Základní vlastnosti a principy Generování náhodných čísel Integrace pomocí metody Monte Carlo MC v
Markovovy řetězce
I
CAPITAL 4. ZA·XKL.-\DY
METODY
MONTE CARLO
Zbývá určit podmínky konvergence
k limitnímu
rozložení:
všechny stavy musí být v konečném čase dosažitelné z
pravdépodobnosti
a
libovolného
stavu
s nenulovou pravděpodobností
I 2.žádný
ing?Sanveniperiodicf
(stav .4, jcperiodicy,jostlec cxistuje pcriurla m tnkové,
stav není periodický
I 1. véechnyscabysou dosaiitclné z Iibuvcluéhoistavu v koneéum Easv s ncuulovou
I
ic j(».11 7rf"ʼ : 0, pak ¤§”*ʼ“ʼ = 0 a jms 7rf"ʼ ye 0, pak wf”*ʼ“ʼ ye 0),
V XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
tomto případě je množina stavů ergodická a pro libovolné
nest nm cxistujn
Imitate 1r =existuje
limbic.,¤, nmjediné
[33, 34]. Ruzloicui
1r j<Mr.dy
počáteční
rozdělení
limitní pmvclépnrlnlmcmsti
rozdělení takové,
že
r es en1n1 m v nuc c
vr · W = 1r
(4.12)
a \0t0 eoni jeJedé
I Jinymi slavey. vektor stavni 1r je vlasmim Ievym vekzorem szochastickémantics W.Lizeukaseaz, ie v§wechna
daléivaletsi éisla jsou v absolutni hodnoxé men§i nei 14
4.2.2 Urni matice pfechodu
Potiebujemc LCD zkcnstrucvat posloupnost (Markovfiv ictfrzcc) konfiguraci mk, shy sc.
pmvdépodobnust vgfskytu jeduotlivfch k0ufig11rz1<:i rcvnaln Boltzmaumové vzizc (4.9)ketchzi
Lak buds: picdscavovat limimi mzl02ur1i_jisté,satim ucz11ai1né mat.i<·<· p?n·c·honlu. Tom jr
priivé Opaén)? pmblém 1102 tcu, ktcrj sr uhvyklv véi v u~<u’1i \Ia\rl<<m>\·§’<‘}1 i<·L<*z<·f’1. tj.
k dunéMercki picechodunullzt limimi r<>zdélvni.
Pro ureaimusiccpitiedumeme colkcm Lii pm11l111i11ky
Ondřej Klimo
Metody počítačové fyziky - hodina 3.