Potravin´aˇrsk´e inˇzen´yrstv´ı a bioinˇzen´yrstv´ı

Pomocný učebnı́ text k přednáškám a cvičenı́m z předmětu
NC
EP
T!
!!
Potravinářské
inženýrstvı́
a
bioinženýrstvı́
KO
(N409001)
Pavel Hasal, Olga Mat’átková
VŠCHT Praha
Praha, 11. května 2016
2
KO
T!
!!
NC
EP
Obsah
Předmluva
7
KO
NC
EP
T!
!!
1 Tekutiny, nenewtonovské kapaliny
1.1 Vymezenı́ pojmu tekutina, obecné vlastnosti tekutin . . . . . . . . . . . .
1.2 Deformace tekutin při namáhánı́ tlakem či tahem . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Deformace tekutin při namáhánı́ střihem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Newtonovské kapaliny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Nenewtonovské kapaliny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Zdánlivá viskozita nenewtonovských kapalin . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Nenewtonovské kapaliny s časově neproměnným tokovým chovánı́m
1.5.2.1 Herschelovy-Bulkleyovy kapaliny . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.2 Binghamské kapaliny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.3 Pseudoplastické mocninové kapaliny . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.4 Dilatantnı́ mocninové kapaliny . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2.5 Dalšı́ modely nenewtonovských kapalin . . . . . . . . . . .
1.5.3 Nenewtonovské kapaliny s časově proměnným tokovým chovánı́m . .
1.5.3.1 Kapaliny tixotropnı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3.2 Kapaliny rheopektické . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Tok nenewtonovských kapalin potrubı́m . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Rychlostnı́ profil při toku mocninové kapaliny potrubı́m . . . . . .
1.6.2 Popis toku nenewtonovských kapalin potrubı́m . . . . . . . . . . .
1.6.3 Určenı́ režimu toku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4 Výpočet tlakové ztráty při toku mocninových kapalin
potrubı́m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Mı́chánı́ nenewtonovských kapalin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Dispersnı́ soustavy
2.1 Velikost částic v dispersnı́ch soustavách . . . . . .
2.2 Rozdělenı́ velikostı́ částic v dispersnı́ch soustavách
2.3 Oddělovánı́ složek dispersnı́ch soustav . . . . . . .
2.4 Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
10
12
12
14
15
15
16
16
17
17
18
18
19
19
19
20
20
21
21
. . 22
. . 23
. . 25
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29
30
31
32
33
3 Odstřed’ovánı́ a odstředivky
3.1 Odstředivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Rychlost usazovánı́ v odstředivém poli . . . . . . . . . .
3.3 Doba usazovánı́ částice v bubnové odstředivce . . . . .
3.4 Výkonnost odstředivek, ekvivalentnı́ plocha odstředivky
3.5 Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
35
35
39
39
40
3
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Membránové filtračnı́ procesy
4.1 Obecné principy membránových filtracı́ . . . . . . . .
4.2 Vlastnosti a aplikačnı́ formy filtračnı́ch membrán . .
4.3 Separačnı́ vlastnosti filtračnı́ch membrán . . . . . . .
4.4 Bilancovánı́ membránových filtracı́ . . . . . . . . . .
4.5 Koncentračnı́ polarizace při membránových filtracı́ch
4.6 Kinetika membránových filtracı́ . . . . . . . . . . . .
4.7 Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
43
43
43
44
44
45
47
49
.
.
.
.
.
51
51
52
54
55
55
.
.
.
.
.
.
.
59
59
60
60
61
63
63
64
OHŘEV
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
67
71
71
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
T!
!!
5 Sdı́lenı́ tepla vedenı́m a prouděnı́m
5.1 Vedenı́ tepla v třı́rozměrném nehybném prostředı́ . . . . .
5.2 Bilancovánı́ enthalpie při vedenı́ tepla v pevných látkách
5.3 Jednosměrné ustálené vedenı́ tepla . . . . . . . . . . . . .
5.4 Sdı́lenı́ tepla mezi pevnou stěnou a kapalinou . . . . . . .
5.5 Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
. . . . .
. . . . .
. . . . .
plochou
. . . . .
. . . . .
. . . . .
NC
EP
6 SDÍLENÍ TEPLA SÁLÁNÍM
6.1 Mechanismus sdı́lenı́ tepla sálánı́m . . . . . . . .
6.2 Stefanův-Boltzmanův zákon . . . . . . . . . . . .
6.3 Absorpce zářenı́ povrchem tělesa . . . . . . . . .
6.4 Výměna tepla sálánı́m mezi tělesem a obklopujı́cı́
6.5 Kombinované sdı́lenı́ tepla sálánı́m a konvekcı́ . .
6.6 Radiačnı́ zástěny . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 MIKROVLNNÝ A INDUKČNÍ
7.1 Mikrovlnný ohřev . . . .
7.2 Indukčnı́ ohřev . . . . . .
7.3 Úlohy . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
KO
8 Vybrané procesy sdı́lenı́ hmoty
8.1 Molekulárnı́ difuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Sdı́lenı́ hmoty mezi fázemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Konvektivnı́ transport hmoty . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Sdı́lenı́ hmoty mezi pevnou fázı́ a kapalinou . . . . . . . . .
8.2.3 Sdı́lenı́ hmoty mezi dvěma kapalinami . . . . . . . . . . . .
8.2.4 Sdı́lenı́ hmoty mezi kapalinou a plynem . . . . . . . . . . . .
8.2.5 Spotřeba kyslı́ku při růstu mikrobiálnı́ch buněk . . . . . . .
8.2.6 Rovnováha při rozpouštěnı́ kyslı́ku . . . . . . . . . . . . . .
8.2.7 Měřenı́ koncentrace rozpuštěného kyslı́ku . . . . . . . . . .
8.2.8 Kriteriálnı́ rovnice pro objemový koeficient přestupu kyslı́ku
8.3 Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Adsorpce a chromatografie
9.1 Princip adsorpce, adsorbenty . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Fázová rovnováha při adsorpci . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Isothermnı́ adsorpce v promı́chávaném rovnovážném stupni
9.4 Opakovaná isothermnı́ adsorpce v rovnovážných stupnı́ch .
9.5 Isothermnı́ adsorpce v nehybné vrstvě adsorbentu . . . . .
9.6 Kapalinová elučnı́ chromatografie . . . . . . . . . . . . . . .
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
73
73
73
73
73
73
73
73
73
73
73
73
.
.
.
.
.
.
77
77
77
78
78
79
79
9.7
Úlohy-9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
83
83
83
84
85
85
87
88
88
89
11 Bioreaktory a enzymové reaktory
11.1 Typy bioreaktorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Kinetika enzymových reakcı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Kinetika růstu mikrobiálnı́ch buněk . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1 Růstová křivka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2 Růstová rychlost buněk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.3 Monodova rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.4 Logistická rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.5 Stechiometrické parametry růstu buněk a tvorby produktů
11.4 Vsádkový promı́chávaný bioreaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5 Průtočný promı́chávaný bioreaktor (chemostat) . . . . . . . . . . .
11.6 Chemostat s recyklem buněk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.7 Dvoustupňový chemostat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.8 Úlohy-11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
93
93
93
94
94
94
95
95
95
96
96
99
102
103
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Seznam obrázků
KO
Seznam tabulek
NC
EP
T!
!!
10 Membránové separačnı́ procesy
10.1 Obecné principy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Vlastnosti a parametry membrán a membránových modulů
10.3 Bilancovánı́ membránových procesů . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Koncentračnı́ polarizace membrán . . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Membránová separace plynů . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6 Pervaporace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7 Reverznı́ osmóza (hyperfiltrace) . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8 Dialýza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.9 Úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Literatura
109
1
3
5
6
KO
T!
!!
NC
EP
Předmluva
T!
!!
Tento text je určen předevšı́m studentům třetı́ho ročnı́ku Fakulty potravinářské a biochemické technologie, kteřı́ si zapsali předmět N409001 Potravinářské inženýrstvı́ a bioinženýrstvı́.
Předmět je alternativou k předmětu Chemické inženýrstvı́ 2, vı́ce zaměřenou na procesy a operace použı́vané v potravinářských a bioinženýrských technologiı́ch a operacı́ch.
KO
NC
EP
Praha 11. května 2016
8
KO
T!
!!
NC
EP
Kap. 1:
Tekutiny, nenewtonovské kapaliny
T!
!!
V každodennı́m životě a v technické a technologické praxi je běžné rozdělovat látky (materiály), se kterými se setkáváme, resp. které jsou použı́vány a zpracovávány, podle jejich
skupenstvı́ na plyny a páry, kapaliny a pevné látky. Při technologickém zpracovánı́ materiálů nabývá však značného významu skutečnost, jak se daný materiál chová, je-li vystaven
namáhánı́ působenı́m sil. V této části se budeme věnovat tekutým látkám právě z hlediska
jejich chovánı́ při působenı́ sil.V mechanice je obvyklé rozlišovat způsoby namáhánı́ materiálů
na následujı́cı́ čtyři skupiny (viz též. obr. 1.1):
• namáhánı́ ohybem,,
• namáhánı́ střihem,
NC
EP
• namáhánı́ tahem, resp. tlakem: na materiál působı́ dvojice opačně orientovaných sil
ležı́cı́ch na jedné přı́mce (materiál se protahuje či stlačuje) - obr. 1.1a,
• namáhánı́ krutem: na materiál působı́ dvojice opačně orientovaných sil, které ležı́ v
rovinách kolmých k podélné ose materiálu - obr. 1.1d.
KO
V tekutinách lze realizovat pouze namáhánı́ tahem, resp. tlakem a namáhánı́ střihem, obr. 1.1
a) a c).
G
F2
F2
F1
F
F1
a) tah (tlak)
F1
F1
F2
b) ohyb
F2
c) střih
d) krut
Obr. 1.1: Základnı́ (jednoduché) způsoby namáhánı́ materiálů.
Velikost působı́cı́ sı́ly se vyjadřuje pomocı́ napětı́, tj. velikostı́ sı́ly připadajı́cı́ na jednotku
plochy na kterou působı́ (konkrétnı́ definice plochy a sil na ni působı́cı́ch závisı́ na popisovaném
způsobu namáhánı́)
τ=
dF
dA
.
(1.1)
Jednotkou napětı́ je tedy N m−2 , tj. 1 Pa. Plocha, o velikosti dA, na kterou sı́la (označı́me ji
→
−
→
−
obecně d F ) působı́, je charakterizována normálovým vektorem d A - viz obr. 1.2. Vektor sı́ly
9
dA
dA
dA
dFn
dF
dA
dA
dFt
c)
b)
a)
dA
Obr. 1.2: Vzájemné orientace sı́ly a plochy, na kterou sı́la působı́: a) obecná orientace, b) normálová
sı́la, c) tečná sı́la.
σ=
dFn
dA
T!
!!
→
−
→
−
d F a normálový vektor plochy d A jsou vzájemně orientovány obecně pod libovolným úhlem
(obr. 1.2a), výpočet působı́cı́ho napětı́ pak vyžaduje použitı́ tenzorového počtu.
Pokud je působı́cı́ sı́la orientována ve směru normály plochy dA (obr. 1.2b), pak ji označu→
−
jeme jako normálovou sı́lu d F n a vyvolané napětı́ označujeme jako normálové napětı́ σ
.
(1.2)
p = −σ.
NC
EP
Opačně orientovaná normálová sı́la (na obr. 1.2 nenı́ tento přı́pad znázorněn) se označuje jako
sı́la tlaková a jı́ vyvolané napětı́ se běžně označuje pojmem tlak p. Zjevně platı́
(1.3)
Obr. 1.2c ukazuje technicky velmi významný přı́pad, kdy působı́cı́ sı́la je orientována ve směru
kolmém k normále plochy, tj. v tečném směru k ploše dA. Napětı́ vyvolané touto tečnou
(střižnou) silou označujeme pojmem tečné či střižné nebo též smykové napětı́ τ
dFt
dA
.
(1.4)
KO
τ=
Tečné napětı́ v tekutině lze vyvolat např. jejı́m roztı́ránı́m po pevném povrchu nebo působenı́m
rotujı́cı́ho mı́chadla.
1.1
Vymezenı́ pojmu tekutina, obecné vlastnosti tekutin
Materiály (látky) zpracovávané v technologických procesech i látky, se kterými se setkáváme
v běžném životě, lze klasifikovat z nejrůznějšı́ch hledisek a pohledů, které obvykle vycházejı́
z účelu, pro který majı́ být látky užity. Jeden ze základnı́ch způsobů klasifikace je založen na
jejich chovánı́ při působenı́ sil:
• Látky viskóznı́: jako viskóznı́ označujeme látky, které se setrvale deformujı́ (tekou),
pokud na ně působı́ sı́la, byt’ jenom infinitesimálnı́ (tj. nekonečně malé) velikosti. Do
této skupiny patřı́ tekutiny.
• Látky plastické: jako plastické označujeme látky, které se působenı́m sı́ly konečné
velikosti deformujı́ (měnı́ tvar) trvale, tzn. že deformace plastických látek přetrvává i
po odezněnı́ působı́cı́ sı́ly, tj. plastické látky si udržujı́ tvar, do kterého byly působenı́m
sı́ly zformovány.
10
p
V0
∆V
Vk
T!
!!
Obr. 1.3: Stlačitelnost tekutin při namáhánı́ tlakem.
• Látky elastické: jedná se o látky, ve kterých sı́la konečné velikosti vyvolává jejich
vratnou deformaci, která po odezněnı́ působı́cı́ sı́ly vymizı́ (např. napnutá pryž se po
uvolněnı́ vracı́ zpět do původnı́ho tvaru).
KO
NC
EP
Mnohé látky za různých podmı́nek (např. v závislosti na velikosti a časovém průběhu působı́cı́ho
napětı́, teplotě atd.) mohou vykazovat chovánı́, kterým se jednoznačně nezařazujı́ do žádné
z výše uvedených skupin, pak je označujeme např. jako látky visko-plastické (mohou téci
i plasticky se deformovat), nebo látky visko-elastické atd. Na okraj látek viskóznı́ch lze zařadit
ideálnı́ (dokonalou) tekutinu, na opačný pól, tj. na okraj látek elastických lze zařadit látky
dokonale tuhé (zcela nedeformovatelné).
Uplatnı́me-li na vzorek materiálu skokovým (mžikovým) způsobem mechanické napětı́
(sı́lu) určité velikosti, vyvolá toto napětı́ v materiálu silové pole, které způsobı́ deformaci materiálu a vzrůst jeho energetického obsahu, který se následně postupně snižuje, jak se částice
materiálu difusnı́m pohybem přemı́st’ujı́ do nového uspořádánı́ s nižšı́m energetickým obsahem. Po určité době, která je většı́ než několikanásobek tzv. relaxačnı́ doby, trelax , počátečnı́
vzrůst energie prakticky vymizı́ a materiál je tzv. relaxován (např. po uplynutı́ pětinásobku
relaxačnı́ doby poklesne napětı́ v materiálu na cca 0,7% jeho počátečnı́ hodnoty). V ideálnı́
tekutině je relaxace okamžitá, trelax → 0, v dokonale tuhých látkách naopak dosahuje nekonečně velké hodnoty, trelax → ∞. Relaxačnı́ doba materiálů se využı́vá k charakterizaci
jejich chovánı́ z hlediska deformovatelnosti. K tomuto účelu bylo zavedeno tzv. Debořino
čı́slo i) , De
De =
trelax
,
tobs
(1.5)
které je definováno jako poměr relaxačnı́ doby materiálu trelax k tzv. době pozorovánı́, tobs ,
která je dána časovým měřı́tkem procesu, který je předmětem našeho zájmu. Klasifikace materiálů podle hodnoty Debořina čı́sla je uvedena v tabulce 1.1.
Tabulka 1.1: Klasifikace materiálů podle hodnoty Debořina čı́sla
De 1
pevné látky a materiály
pevným látkám podobné
i)
De ≈ O(1)
visko-elastické látky
Podle starozákonnı́ soudkyně Debory. Viz Knihu Soudců 5:5.
11
De 1
tekutiny a tekutinám podobné látky
Tabulka 1.2: Hodnoty objemového modulu pružnosti některých materiálů
Látka
sklo
diamant
metanol
aceton
glycerin
1.2
B
35 - 55
443
0,823
0,92
4,35
Látka
ocel
voda
mořská voda
benzen
CCl4
B [GPa]
160
2,15
2,34
1,05
1,32
Látka
hlinı́k
kosti
benzı́n
rtut’
parafinový olej
B [GPa]
7,0
10
1,07 - 1,49
28,5
1,66
Deformace tekutin při namáhánı́ tlakem či tahem
∆p = −B
T!
!!
Kapaliny a tuhé látky jsou obvykle pro zjednodušenı́ jejich popisu uvažovány jako nestlačitelné
materiály. Ve skutečnosti jsou všechny materiály poněkud stlačitelné. Mezi tlakem působı́cı́m
na kapalinu či pevnou látku a relativnı́ změnou jejı́ho objemu platı́ vztah přı́mé úměrnosti
∆V
V
(1.6)
1.3
NC
EP
kde ∆p je přı́růstek tlaku a člen ∆V
V vyjadřuje relativnı́ zmenšenı́ objemu vyvolané tı́mto
zvýšenı́m tlaku. B je tzv. objemový modul pružnosti tekutiny vyjadřovaný v Pa. Hodnoty
objemového modulu pružnosti některých materiálů jsou ukázány v tab. 1.2. Vysoké hodnoty
objemového modulu pružnosti (řádově v GPa) jsou přı́činou toho, že stlačitelnost kapalin je
velmi nı́zká.
Deformace tekutin při namáhánı́ střihem
KO
Namáhánı́ tekutiny střižnými silami lze např. realizovat tak, že tenkou vrstvu tekutiny umı́stı́me
mezi dvě pevné plochy, které se pohybujı́ odlišnými rychlostmi. Nejjednoduššı́ přı́pad představuje
vrstva tekutiny o tloušt’ce δ mezi dvěma rovinnými deskami (obr. 1.4) o ploše A. Spodnı́ deska
je nepohyblivá, hornı́ deska se pohybuje ve směru osy x konstantnı́ rychlostı́ Ux působenı́m
y
pohyblivá deska
A
F
pevná deska
Ux
vx(y) δ
x
Obr. 1.4: Vrstva tekutiny mezi dvěma rovinnými deskami.
sı́ly o velikosti F . Velikost tečného napětı́ mezi deskami τ = F/A. V ustáleném stavu se ve
vrstvě kapaliny ustavı́ lineárnı́ rychlostnı́ profil - na povrchu spodnı́ desky je rychlost pohybu
tekutiny nulová, na povrchu hornı́ desky se tekutina pohybuje rychlostı́ shodnou s rychlostı́
12
y
t = t0
t = t0+∆t
B
B'
x = ∆x = Ux ∆t
δ
α
A
x=0
T!
!!
x
Obr. 1.5: Deformace vrstvy tekutiny nacházejı́cı́ se mezi deskami.
y
vx (y) = Ux .
δ
NC
EP
pohybu této desky
(1.7)
Tekutina mezi deskami se napětı́m působı́cı́m při pohybu hornı́ desky deformuje - viz obr. 1.5.
Označme svislou úsečkou AB částice tekutiny nacházejı́cı́ se v časovém okamžiku t0 v pozicı́ch
s hodnotou souřadnice x = 0. Po uplynutı́ časového intervalu ∆t se úsečka AB odklonı́ od
původně vertikálnı́ pozice o úhel α do polohy AB’, hornı́ koncový bod úsečky B se posune o
vzdálenost ∆x = Ux ∆t do polohy určené bodem B’. Pro vyjádřenı́ deformace vrstvy kapaliny
mezi deskami γ použijeme tangentu deformačnı́ho úhlu α
∆x
Ux ∆t
=
δ
δ
KO
γ = tan α =
.
(1.8)
Velikost deformace γ v čase neustále vzrůstá. Definujeme proto tzv. rychlost smykové deformace (smykovou rychlost) γ̇ jako časovou derivaci deformace γ
γ
Ux ∆t
Ux
= lim
=
∆t→0 ∆t
∆t→0 δ∆t
δ
γ̇ = lim
.
(1.9)
Poměr Ux /δ je roven hodnotě derivace rychlostnı́ho profilu ve štěrbině mezi planárnı́mi deskami. ⇒ v tenkých štěrbinách (δ → 0) lze odhlédnout od zakřivenı́ ploch, které je vymezujı́, a
hodnotu gradientu rychlosti lze počı́tat, resp. aproximovat i v přı́padech neplanárnı́ch štěrbin
jako podı́l rozdı́lu rychlostı́ desek (∆U ) a vzdálenosti mezi nimi
γ̇ =
∆U
δ
.
(1.10)
Tekutiny a kapaliny lze dělit do skupin podle vztahu mezi působı́cı́m tečným napětı́m τ
a vyvolanou rychlostı́ smykové deformace γ̇. Zjišt’ovánı́m této závislosti a obecně studiem
tokových vlastnostı́ tekutin se zabývá vědnı́ obor zvaný rheologie. Graficky znázorněná
závislost mezi τ a γ̇, tzv. rheogram (viz např. obr. 1.6) se zjišt’uje měřenı́m, nejčastěji pomocı́ rotačnı́ch viskozimetrů, které umožňujı́ současně přesně změřit hodnoty τ i γ̇. Podle
průběhu rheogramu, tj. tvaru závislosti mezi γ̇ a τ , rozdělujeme kapaliny na newtonovské a
nenewtonovské.
13
τ
(Pa)
směrnice =
dyn. viskozita = konst.
0
γ (s -1 )
1.4
T!
!!
Obr. 1.6: Rheogram kapaliny s newtonovským chovánı́m.
Newtonovské kapaliny
τ = η γ̇
,
NC
EP
Tzv. newtonovské (resp. newtonské) kapaliny jsou charakterizovány lineárnı́ závislostı́ mezi
působı́cı́m tečným napětı́m a rychlostı́ smykové deformace, přičemž tato závislost má počátek
v počátku souřadnicových os - viz obr. 1.6. Tento rheogram se popisuje tzv. Newtonovým
zákonem pro viskozitu
(1.11)
KO
kde η označuje dynamickou viskozitu kapaliny, jejı́ž hodnota je rovna směrnici závislosti (1.11).
Pro určenı́ viskozity newtonovské kapaliny tedy stačı́ změřit jednu dvojici sobě odpovı́dajı́cı́ch
hodnot τ a γ̇. Viskozita newtonovských kapalin má v celém rozsahu rheogramu konstantnı́
hodnotu. Mezi newtonovské kapaliny patřı́ většina ”jednoduchých”kapalin, jako jsou např.
voda a vodné roztoky solı́, organické nı́zkomolekulárnı́ kapaliny, minerálnı́ oleje atp.
KAPALINA V KLIDU
KAPALINA V POHYBU (při působení tečného napětí)
USPOŘÁDÁNÍ NEBO
REORIENTACE ČÁSTIC
ROZVINUTÍ ČI
NAPŘÍMENÍ ČÁSTIC
DEFORMACE ČÁSTIC
ROZMĚLNĚNÍ ČÁSTIC,
ROZPAD AGREGÁTŮ
Obr. 1.7: Některé přı́činy vzniku nenewtonovského chovánı́ kapalin.
14
1.5
Nenewtonovské kapaliny
Jako nenewtonovské označujeme takové kapaliny, pro které nenı́ závislost mezi působı́cı́m
tečným napětı́m a rychlostı́ smykové deformace popsána jednoduchým lineárnı́m vztahem (1.11),
ale má bud’to nelineárnı́ průběh, nebo neprocházı́ počátkem souřadnic, nebo kombinuje obě
tyto možnosti. V některých přı́padech průběh této závislosti je i funkcı́ doby působenı́ napětı́
τ na kapalinu, jejı́ tokové vlastnosti se tedy v průběhu procesů mohou měnit, i když fyzikálněchemické podmı́nky (teplota, tlak, složenı́) a působı́cı́ napětı́ zůstávajı́ neměnné. Některé
přı́činy vzniku nenewtonovského chovánı́ kapalin jsou uvedeny na obr. 1.7, obecně se jedná
o změny vnitřnı́ struktury tekutiny na molekulárnı́ či mikroskopické úrovni v důsledku působı́cı́ho
tečného napětı́.
b)
NC
EP
T!
!!
a)
Obr. 1.8: Tvar hladiny při mı́chánı́ kapalin rotačnı́m mı́chadlem ve válcové nádobě: a) pro newtonovské
kapaliny, b) pro některé nenewtonovské kapaliny (”šplhánı́”po hřı́deli).
1.5.1
KO
Nenewtonovské tekutiny vykazujı́ neobvyklé, často až překvapivé, chovánı́, jako je např.
”šplhánı́”po hřı́deli mı́chadla (viz obr. 1.8), tenké paprsky některých nenewtonovských kapalin
se odrážejı́ od hladiny stagnantnı́ vrstvy téže kapaliny, kapaliny výrazně měnı́ viskozitu, jsou-li
vystaveny působenı́ sı́ly atp. Mezi nenewtonovské kapaliny patřı́ kapaliny ”se složitějšı́ vnitřnı́
strukturou”, např. roztoky nebo taveniny makromolekulárnı́ch či polymernı́ch látek, suspenze
jemných částic, mnohé potravinářské produkty atd.
Zdánlivá viskozita nenewtonovských kapalin
Nenı́-li závislost mezi tečným napětı́m τ působı́cı́m na danou kapalinu a jı́m vyvolanou rychlostı́ smykové deformace γ̇ lineárnı́, nebo neprocházı́-li tato závislost počátkem souřadných os,
nevykazuje taková kapalina jedinou a konstantnı́ hodnotu dynamické viskozity v celém rozsahu rychlostı́ smykové deformace, jako je tomu v přı́padě kapalin newtonovských. V těchto
přı́padech se definuje a použı́vá tzv. zdánlivá viskozita kapaliny, ηzd. . Je definována jako poměr
působı́cı́ho tečného napětı́ a jı́m vyvolané smykové rychlosti
ηzd. =
τ
γ̇
.
(1.12)
Hodnota zdánlivé viskozity se měnı́ s měnı́cı́mi se hodnotami τ a γ̇ - viz např. rheogram tzv.
pseudoplastické kapaliny na obr. 1.9 - a může jak klesat tak i růst (viz následujı́cı́ části).
Kapalin, které vykazujı́ nenewtonovské chovánı́ existuje až nepřeberný počet a jejich tokové chovánı́ je velmi rozmanité. Dlouhodobým studiem nenewtonovských kapalin bylo ale
15
τ
(Pa)
ηzd2
ηzd1
γ (s-1)
T!
!!
Obr. 1.9: Obecný rheogram nenewtonovské kapaliny s vyznačenı́m dvou hodnot zdánlivé viskozity.
NC
EP
zjištěno, že je lze roztřı́dit do několika základnı́ch skupin, ve kterých zařazené kapaliny vykazujı́ stejné, či alespoň velmi podobné rheologické vlastnosti a chovánı́ ii) . Jedna z možných
klasifikacı́ nenewtonovských kapalin je uvedena na obr. 1.10. Snad všechny použı́vané klasifikace rozdělujı́ prvotně nenewtonovské kapaliny dle toho, zda je jejich tokové chovánı́ časově
proměnné či neproměnné. Tak je tomu i ve schématu na obr. 1.10. V následujı́cı́ch odstavcı́ch je
NENEWTONOVSKÉ KAPALINY
S ČASOVĚ NEPROMĚNNÝM CHOVÁNÍM
BINGHAMSKÉ
MOCNINOVÉ PSEUDOPLASTICKÉ
MOCNINOVÉ DILATANTNÍ
KO
HERSCHELOVY-BULKLEYOVY
S ČASOVĚ PROMĚNNÝM CHOVÁNÍM
TIXOTROPNÍ
RHEOPEKTICKÉ
DALŠÍ MODELY
NENEWT. KAPALIN
Obr. 1.10: Klasifikace nenewtonovských kapalin.
uveden podrobnějšı́ popis jednotlivých druhů nenewtonovských kapalin, resp. matematických
modelů, které jejich tokové chovánı́ popisujı́.
1.5.2
Nenewtonovské kapaliny s časově neproměnným tokovým chovánı́m
Rheologické chovánı́ nenewtonovských kapalin z této skupiny nenı́ závislé (při jinak konstantnı́ch podmı́nkách) na době působenı́ tečného napětı́. Jedná se o nejpočetnějšı́ skupinu
nenewtonovských kapalin.
1.5.2.1
Herschelovy-Bulkleyovy kapaliny
Rheogramy těchto kapalin jsou popsány vztahem
τ = τ0 + K γ̇ m
,
τ > τ0 ,
(1.13)
ii)
Nutno poznamenat, že klasifikace nenewtonovských kapalin nenı́ zcela ustálená a jednotná a lze se nezřı́dka
setkat v různých pramenech i s protichůdnými informacemi.
16
kde symbol τ0 označuje tzv. mez toku (minimálnı́ působı́cı́ tečné napětı́ potřebné k vyvolánı́
toku kapaliny), K je tzv. koeficient konzistence a m je tzv. index toku.
1.5.2.2
Binghamské kapaliny
τ / Pa
C
A
NC
EP
B
T!
!!
Tzv. binghamské kapaliny reprezentujı́ poměrně početnou a významnou skupinu nenewtonovských kapalin. Binghamské kapaliny patřı́ mezi tzv. visko-plastické materiály, které se při
nı́zkých hodnotách působı́cı́ho napětı́ chovajı́ jako plastické tuhé těleso (deformujı́ se nevratně,
avšak netečou), ale při vyššı́ch hodnotách se chovajı́ jako kapaliny. Patřı́ mezi ně napřı́klad
zubnı́ pasty, čokoláda a rtěnky. Rheogramy některých visko-plastických kapalin a kapalin
binghamských jsou schématicky znázorněny na obr. 1.11. Rheogram binghamské kapaliny
(čára A) je popsán vztahem
.
γ / s-1
KO
Obr. 1.11: Přı́klady rheogramů viskoplastických kapalin. A ... kapaliny binghamské, B, C ... kapaliny
Herschelovy-Bulkleyovy.
τ = τ0 + ηp γ̇
,
τ > τ0 ,
(1.14)
kde τ0 označuje tzv. mez toku (kluzu) a ηp je tzv. plastická viskozita kapaliny. Mezi tyto
kapaliny patřı́ např. koncentrované suspenze jemných částic (jı́ly, galenit, některé nátěrové
hmoty s vysokým obsahem pigmentu, kaolinové suspenze apod).
1.5.2.3
Pseudoplastické mocninové kapaliny
Jako pseudoplastické se označujı́ takové kapaliny, jejichž zdánlivá viskozita při rostoucı́ hodnotě rychlosti smykového namáhánı́ klesá, tj. ”řı́dnou”(anglicky: shear thinning liquids). Nejčastěji jde o roztoky a taveniny makromolekulárnı́ch látek (proteiny, nukleové kyseliny),
některá mazadla, řı́dké jemnozrnné suspenze, škrobový maz, ovocné dřeně a pod. Závislost
mezi velikostı́ působı́cı́ho napětı́ τ a smykovou rychlostı́ γ̇ se pro tyto kapaliny popisuje mocninovým vztahem ve tvaru
τ = K γ̇ m
(1.15)
kde K se označuje jako tzv. koeficient konzistence dané kapaliny a m označuje tzv. index toku,
který pro pseudoplastické tekutiny nabývá hodnot menšı́ch než 1 (m < 1). Rheogramy pseudoplastických kapalin pro různé hodnoty indexu toku jsou zakresleny na obr. ??a. Vzhledem
17
k platnosti rovnice (1.15) se pseudoplastické kapaliny označujı́ též jako kapaliny mocninové.
Pro m = 1 popisuje vztah (1.15) kapaliny newtonovské.
Zdánlivá viskozita pseudoplastických kapalin je dána vztahem
ηzd. =
τ
K γ̇ m
=
= K γ̇ m−1
γ̇
γ̇
.
(1.16)
Protože hodnota m je pro pseudoplastické kapaliny menšı́ než 1, klesá hodnota jejich zdánlivé
viskozity s rostoucı́ hodnotou rychlosti smykové deformace (kapalina ”řı́dne”).
a)
b)
1400
140
m=1
120
m = 0,6
m = 0,4
800
400
m = 1,25
600
m=1
200
NC
EP
20
T!
!!
60
[Pa]
m = 0,8
τ
[Pa]
τ
40
m = 1,4
1000
100
80
m=2
1200
m = 0,9
0
0
0
100
200
.
γ
300
400
0
500
-1
[s ]
100
200
.
γ
300
400
500
-1
[s ]
Obr. 1.12: Rheogramy: a) pseudoplastických kapalin, b) dilatantnı́ch kapalin při různých hodnotách
indexu toku m. Koeficient konzistence K = 0.05 Pa sm .
1.5.2.4
Dilatantnı́ mocninové kapaliny
KO
Dalšı́ skupina nenewtonovských kapalin vykazuje ”opačné”chovánı́ než kapaliny pseudoplastické, tj. jejich zdánlivá viskozita vzrůstá při vzrůstajı́cı́ch hodnotách působı́cı́ho tečného
napětı́, resp. rychlosti smykové deformace, tj. tento druh kapalin ”houstne”při zvýšeném
namáhánı́ (anglicky: shear thickening liquids). Jejich rheologické chovánı́ se popisuje stejným
vztahem jako chovánı́ kapalin pseudoplastických, tj. mocninovým vztahem (1.15), avšak s
m > 1, a označujı́ se jako kapaliny dilatantnı́. Vyskytujı́ se poměrně zřı́dka, nejčastěji se
jedná o suspenze jemných částic nepravidelného tvaru (např. TiO2 , magnetit, galenit, jı́ly
nebo kukuřičný škrob ve vodě). Přı́klady rheogramů dilatantnı́ch kapalin jsou uvedeny na
obr. ??b. Dilatantnı́ kapaliny obecně spadajı́ do skupiny kapalin mocninových.
Zdánlivá viskozita dilatantnı́ch kapalin je dána vztahem (1.16). Protože hodnoty indexu
toku jsou většı́ než 1, roste jejich zdánlivá viskozita s rostoucı́ hodnotou rychlosti smykové
deformace (kapalina ”houstne”).
1.5.2.5
Dalšı́ modely nenewtonovských kapalin
Mocninový model vyhovuje pro popis nenewtonovských v mnoha přı́padech, ale pro přı́pady,
kdy nejsou použitelné, existujı́ i dalšı́ modely nenewtonovských kapalin, např.:
- Prandtlův-Eyringův model
τ = A argsinh(
1
γ̇)
B
,
(1.17)
18
- Powelův-Eyringův model
1
τ = A argsinh( γ̇) + C
B
- Ellisův model
γ̇ = (ϕ0 + ϕ1 τ α−1 )
,
(1.18)
,
(1.19)
kde A, B, C, ϕ0 , ϕ1 a α jsou parametry modelů. Modely uvedené v tomto odstavci dosti
dobře popisujı́ experimentálně určené rheogramy řady kapalin avšak jejich parametry nemajı́
vždy jasný fyzikálnı́ význam.
1.5.3
Nenewtonovské kapaliny s časově proměnným tokovým chovánı́m
Kapaliny tixotropnı́
NC
EP
1.5.3.1
T!
!!
V praxi se dosti často můžeme setkat také s kapalinami, jejichž deformace je závislá na čase.
Zdánlivá viskozita takových tekutin je pak závislá nejen na hodnotě rychlosti smykové deformace, ale též na době působenı́ tečného napětı́. Jejich tokové křivky typicky vykazujı́ hysterezi,
tj. jejich průběhy při zvyšovánı́ napětı́ a při jeho snižovánı́ se odlišujı́. Existujı́ dva základnı́
typy těchto kapalin:
jejichž zdánlivá viskozita klesá s rostoucı́ dobou působenı́ napětı́. Patři k nim napřı́klad některé
nátěrové hmoty, některé omı́tky a ropa z některých nalezišt’.
1.5.3.2
Kapaliny rheopektické
jejichž zdánlivá viskozita s dobou působenı́ napětı́ vzrůstá. Jsou vzácné, patřı́ k nim napřı́klad
vodné suspenze bentonitu nebo pudinkového prášku
KO
ηzd.
γ = konst.
rheopek!cké
!xotropní
doba působení napě
Obr. 1.13: Závislost zdánlivé viskozity tixotropnı́ch a rheopektických kapalin na době působenı́ napětı́.
Je nutno zdůraznit, že při popisu chovánı́ nenewtonovských kapalin nemá pojem viskozity jako jednoduché látkové konstanty fyzikálnı́ význam a chovánı́ těchto kapalin je nutno
popsat celou tokovou křivkou v daném rozsahu tečných napětı́. Je nezbytné vyvarovat se
extrapolacı́ experimentálnı́ch dat vzhledem k výskytu různých anomáliı́. Hodnoty zdánlivé
viskozity zı́skané měřenı́m s použitı́m jednoduchého viskozimetru bez udánı́ hodnoty užitého
tečného napětı́ nebo rychlosti smykové deformace mohou být využity pouze pouze pro hrubá
(orientačnı́) porovnánı́ rheologických vlastnostı́ nenewtonských kapalin stejného druhu.
19
1.6
Tok nenewtonovských kapalin potrubı́m
Doprava nenewtonovských kapalin potrubı́m je častým technologickým úkonem, proto je zapotřebı́ se jı́ zabývat z hlediska chemicko-inženýrského popisu.
1.6.1
Rychlostnı́ profil při toku mocninové kapaliny potrubı́m
m
vz (r) =
m+1
∆pz R
2LK
1
m
R 1−
r m+1 m
R
,
T!
!!
Nenewtonovské chovánı́ kapalin, tj. nelineárnı́ závislost mezi působı́cı́m tečným napětı́m a rychlostı́ smykové deformace, se projevuje napřı́klad změnou tvaru rychlostnı́ho profilu při toku
nenewtonovské tekutiny potrubı́m ve srovnánı́ s rychlostnı́m profilem kapaliny newtonovské.
Při laminárnı́m prouděnı́ mocninové kapaliny s koeficientem konsistence K a indexem toku
m potrubı́m s kruhovým průřezem o poloměru R ve směru souřadné osy z, kterou ztotožnı́me
s podélnou osou trubky, je rychlostnı́ profil popsán vztahem [1, 4]
(1.20)
V̇
v̄z =
=
πR2
∆pz
2LK
NC
EP
kde ∆pz je tlakový rozdı́l připadajı́cı́ na úsek potrubı́ o délce L. Střednı́ rychlost kapaliny
v potrubı́ je dána vztahem
1 m
m
3m + 1
R
m+1
m
,
(1.21)
kde V̇ je objemový průtok kapaliny potrubı́m
V̇ = π
∆pz
2LK
1 m
m
3m + 1
R
3m+1
m
.
(1.22)
vz
=
v̄z
KO
Kombinacı́ rovnic (1.20) a (??) obdržı́me výraz pro rychlostnı́ profil při toku mocninové kapaliny trubkou kruhového průřezu o poloměru R v bezrozměrovém tvaru
3m + 1
m+1
r m+1 m
1−
R
.
(1.23)
Tvary bezrozměrových rychlostnı́ch profilů jsou pro různé hodnoty indexu toku m ukázány
na obr. 1.14. Je zřejmé, že při toku dilatantnı́ch kapalin (m > 1) se tvar rychlostnı́ho profilu
při rostoucı́ hodnotě m stává protáhlejšı́m a ostřejšı́m (ve srovnánı́ s parabolickým profilem
pro newtonovskou kapalinou, m = 1) a při vysokých hodnotách m nabývá bilineárnı́ho tvaru.
Přı́činou tohoto jevu je vysoká hodnota tečného napětı́ v kapalině v oblasti přiléhajı́cı́ ke
stěně trubky, ve které pak zdánlivá viskozita kapaliny dosahuje vysokých hodnot a rychlost
toku je v důsledku toho snı́žena. Při toku kapalin pseudoplastických (m < 1) pozorujeme,
v důsledku snižovánı́ hodnoty zdánlivé viskozity u stěny trubky, zplošt’ovánı́ rychlostnı́ho
profilu při klesajı́cı́ hodnotě indexu toku m. Tvar rychlostnı́ho profilu má vliv na rozdělenı́
dob prodlenı́ kapaliny v potrubı́ dané délky. Při toku pseudoplastických kapalin je distribuce
(rozsah) dob prodlenı́ užšı́, naopak při toku kapalin dilatantnı́ch se distribuce rozšiřuje. Tuto
skutečnost je nutno brát do úvahy při procesech, jejichž výsledek je závislý na době trvánı́
operace, např. při pasterizaci nebo sterilizaci kapalin v průtočných trubkových zařı́zenı́ch.
Pro m = 1 a K ≡ η obdržı́me z rovnice (1.20) tvar rychlostnı́ho profilu při laminárnı́m
toku newtonovské kapaliny trubkou kruhového průřezu
20
2.0
m=10
m=1
m=5
2.5
m=0.5
m=2
m=1.5
1.5
2.0
m=0.2
vz /vz
vz /vz
m=1
1.5
m=0.05
1.0
1.0
0.5
0.5
0.0
- 1.0
-0.5
0.0
0.5
0.0
-1.0
1.0
r/R
-0.5
0.0
0.5
1.0
r/R
.
NC
EP
r 2 ∆pz R2
1−
vz (r) =
4ηL
R
T!
!!
Obr. 1.14: Bezrozměrové rychlostnı́ profily při toku nenewtonovské kapaliny popsané mocninovým
modelem trubkou kruhového průřezu pro různé hodnoty indexu toku m. Šipky ukazujı́ směr toku.
(1.24)
Vztahy popisujı́cı́ rychlostnı́ profily při toku dalšı́ch typů nenewtonovských kapalin potrubı́m lze nalézt v literatuře [1, 4].
1.6.2
Popis toku nenewtonovských kapalin potrubı́m
Pro popis toku nenewtonovských kapalin v potrubı́ch lze užı́t, podobně jako při popisu toku
kapalin newtonovských, rovnici kontinuity pro nestlačitelnou kapalinu
v1 S1 = v2 S2
,
,
KO
a Bernoulliovu rovnici
(ρ = konst.)
p1
v2
p2
v2
+ gz1 + 1 + ec =
+ gz2 + 2 + edis
ρ
2
ρ
2
.
(1.25)
(1.26)
Rovnice (1.25) a (1.26) jsou formulovány pro nerozvětvený úsek potrubı́ se zařazeným čerpadlem,
vymezený průtočnými průřezy 1 a 2 (viz obr. ??).
1.6.3
Určenı́ režimu toku
Režim toku při prouděnı́ nenewtonovských kapalin potrubı́m se určuje způsobem stejným jako
v přı́padě kapalin newtonovských, tj. podle hodnoty Reynoldsova kritéria [5]
Re =
dvρ
η
,
(1.27)
kde d je (ekvivalentnı́) průměr potrubı́. Protože viskozita, resp. zdánlivá viskozita kapaliny
η v definici Reynoldsova kritéria (1.27) nemá konstantnı́ hodnotu v celém objemu kapaliny,
zavádějı́ se pro popis toku nenewtonovských kapalin modifikovaná Reynoldsova kritéria. Pro
mocninové kapaliny se použı́vá Reynoldsovo kritérium definované vztahem
m 2−m m
m
v
d ρ
Ren = 8
,
(1.28)
6m + 2
K
21
2
v2 , p2 ,S2
1
v1 , p1 , S1
Č
z2
z1
T!
!!
Obr. 1.15: Potrubı́ pro dopravu nenewtonovské kapaliny se zařazeným čerpadlem. Šipky ukazujı́ směr
toku.
1.6.4
NC
EP
kde Ren označuje Reynoldsovo kritérium pro nenewtonovskou (mocninovou) kapalinu, které
lze použı́vat stejným způsobem jako Reynoldsovo kritérium pro newtonovské kapaliny definované rovnicı́ (1.27).
Režim toku mocninové kapaliny je l aminárnı́, pokud Ren < 2300 a turbulentnı́, pokud
Ren > 2300 (neuvažujeme zde oblast přechodového režimu toku).
Výpočet tlakové ztráty při toku mocninových kapalin
potrubı́m
Pro výpočet ztráty měrné mechanické energie, edis , resp. tlakové ztráty ∆pdis při toku mocninových nenewtonovských kapalin potrubı́m lze užı́t obvyklé vztahy pro newtonovské kapaliny,
avšak s použitı́m Reynoldsova kritéria Ren (viz rovnici (1.28)). K výpočtu ztráty měrné mechanické energie tedy použijeme Darcyovu-Weissbachovu rovnici
L v2
d 2
KO
edis = λ
,
(1.29)
kde L je délka potrubı́, d jeho průměr a v střednı́ rychlost kapaliny v potrubı́. λ je (Darcyův)
součinitel třenı́ iii) , který pro laminárnı́ režim toku kapaliny (Ren ≤ 2300) potrubı́m s kruhovým průřezem lze vypočı́tat ze známého vztahu
λ=
64
Ren
.
(1.30)
Pro přechodový a turbulentnı́ režim toku se k výpočtu hodnoty součinitele třenı́ λ patrně
nejčastěji užı́vá následujı́cı́ implicitnı́ vztah publikovaný Dodgem a Metznerem [2]
h
i
m
1
2
2−m
0, 2
√ = 0,75 log Ren λ(1− 2 ) − 0, 6
−√
,
(1.31)
0,75
m
m
m
λ
který sice pro určenı́ hodnoty λ vyžaduje iteračnı́ výpočet, ale je hodnocen jako nejspolehlivějšı́
a nejpřesnějšı́, i když v literatuře, např. [1], se často uvádı́, že pro výpočet součinitele třenı́ při
iii)
Symbol λ v tomto textu označuje součinitel třenı́ zavedený v předmětu Chemické inženýrstvı́ I, tzv. Darcyův
součinitel třenı́. V literatuře, zejména pak literatuře anglosaské, se velmi často použı́vá tzv. Fanningův součinitel
třenı́, λF , pro který platı́ λ = 4 λF . Oba součinitele se dosti často důsledně nerozlišujı́, nebo nenı́ výslovně
uvedeno, o který se v daném přı́padě jedná. Při přebı́ránı́ literárnı́ch dat je proto nutno počı́nat si s obezřetnostı́.
22
Tabulka 1.3: Explicitnı́ vztahy pro výpočet hodnoty součinitele třenı́ λ při turbulentnı́m toku mocninových kapalin potrubı́m (Reynoldsovo kritérium Ren je definováno vztahem (1.28), m je index toku).
Zpracováno podle Gao et Zhang [3].
Č.
Autoři
Vztah pro λ
1
Shaver a
Merill
λ=
0,316
m5 Reα
n
2
Dodge a
Metzner
λ=
a
Reb
n
b = 0.365 − 0.1775m +
Kemblowski a
Kolodziejski
λ=
h
i
4,2 )
(0,314m2.3 −0.064)
0, 00225 exp(3, 57m2 ) exp 572(1−m
Re
/Ren
;
n
0,435
m
, kde α =
2,63
10,5m
1959
, kde: a = 0.266 + 0.047m ,
1959
0.0625m2
T!
!!
3
Rok
1973
NC
EP
pokud však Ren /m0.435 > 31600, pak λ = 0, 079/Re0,25
n
4
Shenoy
λ = 4 3, 57 log
5
Desouky a
El-Emam
λ = 0, 5 m
m
6,5m
−0,615
−2
−(1+0,75m)
0, 0112 + Re−0,3185
n
1986
1990
KO
√
Rem
n
turbulentnı́m toku nenewtonských kapalin neexistuje žádný dokonale spolehlivý vztah. Pro
zjednodušenı́ výpočtů byla učiněna řada pokusů nalézt explicitnı́ vztah pro výpočet součinitele
třenı́ λ při turbulentnı́m toku mocninových kapalin potrubı́m a tabulka 1.3 uvádı́ některé
z nich. Hodnoty součinitele třenı́ vypočtené s použitı́m vztahů z tabulky 1.3 jsou obecně
v dobrém souladu s výsledky podle rovnice (1.31). Odchylky se obecně zvyšujı́ při hodnotách
indexu toku m výrazněji odlišných od jedničky a nabývajı́ většı́ch hodnot pro dilatantnı́
kapaliny (m > 1). Pro jiné druhy nenewtonovských kapalin než jsou kapaliny mocninové
je nutno hledat vztahy pro určenı́ hodnoty Reynoldsova kritéria a pro tlakovou ztrátu ve
specializované literatuře.
1.7
Mı́chánı́ nenewtonovských kapalin
Mı́chánı́ nenewtonovských kapalin rotačnı́mi mı́chadly představuje velmi běžnou operaci v potravinářském průmyslu a v biotechnologiı́ch. Vzhledem k proměnné hodnotě zdánlivé viskozity
nenewtonovských kapalin - závisı́ na hodnotě rychlosti smykové deformace γ̇, která se velmi
výrazně měnı́ s polohou v mı́chacı́m zařı́zenı́ - docházı́ při návrhu mı́chacı́ch zařı́zenı́ pro tyto
kapaliny a při jejich provozovánı́ často k problémům, protože standardnı́ mı́chacı́ zařı́zenı́ jsou
prostudována a odzkoušena předevšı́m pro běžné newtonovské kapaliny s konstantnı́ viskozitou. Při jakékoli nerovnoměrnosti prostorového rozloženı́ viskozity ve vsádce zpravidla chybějı́
23
T!
!!
jak teoretické návody k návrhu mı́chacı́ho zařı́zenı́ tak i praktické zkušenosti. Změny viskozity vsádky v mı́chacı́ nádobě mohou být způsobeny, kromě jejı́ho nenewtonovského chovánı́,
též závislostı́ viskozity na teplotě, závislostı́ na koncentraci složek v homogennı́ch směsı́ch,
závislostı́ viskozity na velikosti a objemovém zastoupenı́ částic v heterogennı́ch směsı́ch a na
jejich vzájemných koloidnı́ch interakcı́ch. Zde se však budeme zabývat pouze vlivem nenewtonovského charakteru kapalin na jejich promı́chávánı́ rotačnı́mi mı́chadly.
- problém mı́chánı́ nenewtonovských kapalin ≡ tvorba kavit
Pseudoplastické vsádky
slabě promíchávané až
nepromíchávané
části vsádky
NC
EP
dobře
promíchávaná
kaverna
Obr. 1.16: Tvorba dobře promı́chávané oblasti - kaverny - při mı́chánı́ pseudoplastických kapalin
rychloběžným rotačnı́m mı́chadlem.
KO
Řešenı́:
- vı́ce mı́chadel
- zvláštnı́ typy mı́chadel - pomaloběžná
- speciálnı́ tvary nádob, vestavby
Střižná rychlost v mı́chaných nádobách
- je úměrná frekvenci otáčenı́
- klesá se vzdálenostı́ od mı́chadla
Vliv:
- na dispergaci plynů či kapalin
- na vláknité mikroorganismy a jiné ”křehké”buňky
γ̇ = kn
(1.32)
k Rushtonova turbı́na 10-13
Lopatkové mı́chadlo 10-13
Vrtulové mı́chadlo 10
Kotvové mı́chadlo 20-25
Šnekové/pásové mı́chadlo 30
Přı́kon při mı́chánı́ nenewtonovských kapalin
klasické Reynoldsovo kriterium pro mı́chánı́
ReM =
ρnd2
η
(1.33)
Reynoldsovo kriterium pro mı́chánı́ nenewtonovkých kapalin
ReM n =
ρnd2
ηzd.
(1.34)
24
no
ále
vzd
-1
γ (s )
konec lopatek míchadla
200
o
st
ích
dm
la
ad
100
stěna nádoby
0
T!
!!
0
3
6
n (s-1)
ηzd. = K γ̇ m−1
ρnd2
ReM n =
NC
EP
Obr. 1.17: Závislost smykové rychlosti na frekvenci otáčenı́ mı́chadla a vzdálenosti od osy mı́chacı́
nádoby.
ρnd2
=
K γ̇ m−1
K(kn)m−1
Reynoldsovo kritérium pro mı́chánı́ mocninných kapalin:
ReM n =
Úlohy
(1.36)
(1.37)
KO
1.8
ρnd2
ρnd2
=
m−1
K γ̇
Kk m−1
(1.35)
U1.1 Blok materiálu ve formě pravoúhlého hranolu klouže po šikmé rovinné ploše se sklonem
20◦ vůči horizontálnı́ rovině. Podstava bloku, která je ve styku se šikmou rovinou, má plochu
o velikosti 0,2 m2 . Hmotnost bloku je 10 kg a mezera o tloušt’ce 0,1 mm mezi podstavou bloku
a šikmou rovinou je vyplněna olejem SAE 30 o teplotě 35 ◦ C, při které má olej dynamickou
viskozitu 0,38 Pa s.Vypočı́tejte rychlost posuvného pohybu bloku po šikmé rovině (podstavu
bloku i šikmou rovinu považujte za hladké).
Výsledek: Blok se bude pohybovat rychlostı́ 0,044 m s−1 .
U1.2 Řešte úlohu U1.1 pro přı́pady, kdy mezera mezi blokem a šikmou rovinou je vyplněna:
a) pseudoplastickou kapalinou s koeficientem konzistence K = 3, 84 Pa s0,62 a indexem toku
m = 0, 620, b) dilatantnı́ kapalinou s koeficientem konzistence K = 4, 895 · 103 Pa s1,715 a
indexem toku m = 1, 715.
Výsledek: Blok se bude pohybovat rychlostı́: a) 0,0442 m s−1 , b) 1, 3984 · 10−5 m s−1 .
U1.3 Jak velkou silou je zapotřebı́ působit na kovovou tyč o průměru 25 mm, která je
protahována rychlostı́ 3 m s−1 kruhovým otvorem v kovovém bloku o tloušt’ce 0,5 m, jestliže
mezera o tloušt’ce 0,3 mm mezi tyčı́ a vnitřnı́m povrchem otvoru v bloku je vyplněna olejem
s kinematickou viskozitou 8 · 10−4 m s−2 a hustotou 910 kg m−3 ?
Výsledek: Je zapotřebı́ působit silou o velikosti 286 N.
25
U1.4 Kovový váleček o průměru d = 100 mm, výšce l = 200 mm a tı́ži G = 20 N klouže
vertikálnı́ hladkou trubkou o vnitřnı́m průměru D = 100, 5 mm. Mezera mezi stěnou trubky a
povrchem válečku je vyplněna olejem o dynamické viskozitě 0,25 Pa s. Vypočı́tejte sestupnou
rychlost válečku v ustáleném stavu.
Výsledek: Váleček bude v trubce klesat rychlostı́ 0,318 m s−1 .
U1.5 Kruhový plochý disk (kotouč) o průměru D = 8 cm rotuje ve vzdálenosti 2 mm od
povrchu pevné rovinné desky. Mezera mezi diskem a deskou je vyplněna olejem s dynamickou
viskozitou 0,01 Pa s. Jaký moment sı́ly bude zapotřebı́ k tomu, aby se kotouč otáčel s frekvencı́
2 s−1 ?
Výsledek: Potřebný moment sı́ly je 2, 527 · 10−4 N m.
τ [Pa]
10,2
4,41
170
23,53
340
35,71
510
45,71
1020
63,68
NC
EP
γ̇ [s−1 ]
T!
!!
U1.6 Vláknitá houba Aureobasidium pullulans se použı́vá k fermentačnı́ produkci extracelulárnı́ho polysacharidu v kultivačnı́m médiu obsahujı́cı́m sacharosu. Po 120 hodinách fermentace byl s použitı́m rotačnı́ho viskozimetru změřen rheogram fermentačnı́ho média a byly
zjištěny tyto údaje:
KO
a) Načrtněte rheogram fermentačnı́ho média a určete o jaký typ kapaliny se jedná, b) určete
hodnoty tokových parametrů média, c) určete hodnotu zdánlivé viskozity média při smykových
rychlostech 15 s−1 a 200 s−1 .
Výsledek: a) Jedná se o pseudoplastickou kapalinu, b) index toku má hodnotu 0,587 a koeficient
konsistence má hodnotu 1,143 Pa s0,587 , c) zdánlivá viskozita bude nabývat hodnot 0,3735 Pa s
a 0,1282 Pa s.
U1.7 Vypočı́tejte tlak v potrubı́ za výstupem čerpadla, které dopravuje 4,4 m3 h−1 latexu
o teplotě 20 ◦ C do koagulačnı́ nádrže otevřené do atmosféry. Vstup do nádrže je 3 m nad
výstupem čerpadla a celková délka potrubı́ mezi čerpadlem a nádržı́ je 20 m (včetně ekvivalentnı́ch délek mı́stnı́ch odporů). Potrubı́ je zhotoveno z ocelové bezešvé trubky o vnějšı́m
průměru 57 mm a tloušt’ce stěny 3 mm. Hustota latexu je 925 kg m−3 a jeho tokové vlastnosti
lze popsat mocninovým modelem s těmito hodnotami konstant: K = 0, 937 Pa sm a m = 0, 68.
Výsledek: Tlak v potrubı́ za čerpadlem má hodnotu 163,3 kPa.
U1.8 Jablečná omáčka s koeficientem konzistence 0,8 Pa sm a indexem toku o hodnotě 0,45
protéká hydraulicky hladkou trubkou o vnitřnı́m průměru 50,8 mm s rychlostı́ 4,57 m s−1 .
Délka trubky je 3,05 m a hustota omáčky je rovna 980 kg m−3 . Vypočı́tejte hodnotu součinitele
třenı́ a tlakovou ztrátu při prouděnı́ omáčky trubkou.
Výsledek: Ren = 9402, součinitel třenı́ λ = 0, 0186, tlaková ztráta je rovna 11430 Pa.
U1.9 Měřenı́m na rotačnı́m viskozimetru byla zı́skána rheologická data uvedená v tabulce.
Určete, o jaký typ kapaliny se jedná a dále určete hodnoty tokových parametrů této kapaliny.
26
γ̇ (s−1 )
13,5
16,2
24,3
27
40,5
48,6
72,9
81
121,5
145,8
218,7
243
τ (Pa)
37
38
42
43
48
51
61
64
81
90
120
129
Výsledek: Jedná se o binghamskou kapalinu s parametry τ0 = 31, 8 Pa a plastickou viskozitou
ηP = 0, 401 Pa s.
U1.10 Měřenı́m byla zjištěna rheologická data (viz tabulku) dvou suspenzı́ (A, B) vloček
aktivovaného kalu. Určete hodnoty koeficientu konzistence a indexu toku pro obě suspenze.
τA (Pa)
τB (Pa)
γ̇ (s−1 )
τA (Pa)
τB (Pa)
300
5,22
4,25
40
2,85
2,00
180
4,45
3,65
23
2,45
1,75
108
3,90
2,85
15
2,05
1,50
65
3,40
2,40
8
T!
!!
γ̇ (s−1 )
1,70
1,30
Výsledek: Pro suspenzi A: K = 0, 935 Pa sm , m = 0, 302 , pro suspenzi B: K = 0, 570 Pa sm ,
m = 0, 352.
NC
EP
U1.11 Pseudoplastická (mocninová) kapalina s hustotou 1012,4 kg m−3 proudı́ trubkou o
vnitřnı́m průměru 52 mm a délce 30,5 m. Střednı́ rychlost kapaliny je 0,152 m s−1 . Koeficient
konzistence kapaliny má hodnotu 13,4 Pa sm a index toku má hodnotu 0,50. Vypočı́tejte
velikost tlakové ztráty při prouděnı́ uvedené kapaliny trubkou.
Výsledek: Ren = 2,583, součinitel třenı́ λ = 24, 78, tlaková ztráta činı́ 170 kPa.
KO
U1.12 Banánové pyré, které vykazuje pseudoplastické chovánı́, protéká při teplotě 23,9 ◦ C
s rychlostı́ 1,018 m s−1 hladkou trubkou o délce 6,10 m a vnitřnı́m průměru 0,01267 m. Koeficient konzistence pyré má hodnotu K = 6, 0 Pa sm a index toku m = 0, 454. Hustota pyré je
976 kg m−3 . Vypočı́tejte velikost tlakové ztráty v trubce.
Výsledek: Ren = 63,56, součinitel třenı́ λ = 1, 007, tlaková ztráta: 245200 Pa.
U1.13 Pomocı́ rotačnı́ho viskozimetru byla měřena zdánlivá viskozita buněčné suspenze
vykazujı́cı́ pseudoplastické chovánı́. Při různých koncentracı́ch buněk v suspenzi (cbb ) byly
zı́skány údaje v tabulce:
cbb (% hm.)
1,5
6
12
γ̇ (s−1 )
10
100
20
45
ηzd. (mPa s)
1,5
1,5
2,5
2,4
cbb (% hm.)
3
1,8
4,0
7,0
20
50
100
40
30
22
15
4,1
3,8
15
10,5
27
γ̇ (s−1 )
10
100
10
20
50
100
1,8
4,0
7,0
20
40
ηzd. (mPa s)
2,0
2,0
4,7
4,0
4,1
3,8
40
30
22
15
12
18
1,8
7,0
20
40
140
85
62
55
21
1,8
4,0
7,0
40
70
710
630
480
330
290
KO
NC
EP
T!
!!
Nakreslete graf závislosti koeficientu konsistence a indexu toku fermentačnı́ho média na
koncentraci buněk v suspenzi.
28
Kap. 2:
Dispersnı́ soustavy
T!
!!
V technologické praxi i v každodennı́m životě se běžně setkáváme s materiály ve formě tzv.
dispersnı́ch soustav, tj. s materiály sestávajı́cı́mi ze dvou (v některých přı́padech i z vı́ce než
dvou) nemı́sitelných složek, ve kterých je jedna složka rozptýlena (dispergována) v podobě
částic ve druhé, tzv. spojité fázi neboli dispersnı́m prostředı́ (obr. 2.1). Dispergovaná fáze
MEZIFÁZOVÉ
ROZHRANÍ
NC
EP
SPOJITÉ DISPERSNÍ
PROSTŘEDÍ (SPOJITÁ
FÁZE)
ČÁSTICE NESPOJITÉ
DISPERGOVANÉ FÁZE
Obr. 2.1: Struktura dispersnı́ soustavy.
KO
(dispergované částice) je od dispersnı́ho prostředı́ (dispersnı́ fáze) oddělena mezifázovým rozhranı́m. Dispergovaná fáze i dispersnı́ prostředı́ snı́ systémy jsou tvořeny částicemi (s, l, g)
dispergované fáze rozptýlenými ve spojitém dispersnı́m prostředı́.
Dispersnı́ soustavy jsou v potravinářstvı́ a bioinženýrstvı́ poměrně časté.
Tabulka 2.1: Druhy dispersnı́ch soustav
Dispergovaná
fáze
Dispersnı́ prostředı́
s
l
g
s
pevné suspense
suspenze
dým
l
inkluse
emulse
aerosol
g
pevné pěny
pěny
×
29
Mezifázové napětı́ γ: má zásadnı́ vliv na tvorbu dispersnı́ch soustav (jednotkou je N
m−1 ).
dG = γ dA
,
(2.1)
kde dG je Gibbsova energie potřebná pro zvětšenı́ mezifázového povrchu o přı́růstek dA. Z
této rovnice vyplývá, že při tvorbě dispersnı́ch systémů je nutno do systému dodávat energii,
napřı́klad mı́chánı́m či třepánı́m.
2.1
Velikost částic v dispersnı́ch soustavách
NC
EP
T!
!!
Velikost částic v dispersi má zásadnı́ vliv na jejı́ technologické či užitné vlastnosti a na velikost
mezifázového povrchu mezi dispergovanou a dispersnı́ fázı́ a tudı́ž na rychlost procesů sdı́lenı́
tepla hmoty, přı́padně na rychlost chemických reakcı́. Je proto nezbytné definovat samotný
pojem velikost částice, což je obvykle snadné v přı́padě souměrných a isometrických částic i) ,
kdy nečinı́ problém určit nebo vybrat reprezentativnı́ rozměr částice, který pak definuje jejı́ velikost. V přı́padech částic výrazně nesouměrných, neisometrických nebo částic nepravidelného
tvaru se pro vyjádřenı́ jejich velikosti použı́vá tzv. ekvivalentnı́ průměr částice de , tj. průměr
koule, která je v určitém (definovaném) smyslu popisované částici ekvivalentnı́.
Pojem ekvivalence mezi částicı́ a ji popisujı́cı́ koulı́ lze vymezit různými způsoby:
i) Ekvivalentnı́ koule má stejný objem (Ve,k ) jako popisovaná částice, tj. Ve,k = Vp . Ze vzorce
pro objem koule lze pak snadno odvodit vztah pro výpočet ekvivalentnı́ho průměru částice
(V )
pro tento přı́pad de (hornı́ index (V ) pro názornost a jednoznačnost indikuje ekvivalenci
objemů částice a ekvivalentnı́ koule)
r
3 6Vp
(V )
de =
.
(2.2)
π
KO
ii) Ekvivalentnı́ koule má stejný povrch (Ae,k ) jako popisovaná částice, tj. Ae,k = Ap . Ze vzorce
pro výpočet povrchu koule lze pak snadno odvodit vztah pro výpočet ekvivalentnı́ho průměru
(A)
částice pro tento přı́pad de
r
Ap
d(A)
=
.
(2.3)
e
π
iii) Ekvivalentnı́ koule má stejný průřez (Se,k ) jako popisovaná částice, tj. Se,k = Sp . Ze vzorce
pro výpočet plochy kruhu lze pak snadno odvodit vztah pro výpočet ekvivalentnı́ho průměru
(S)
částice pro tento přı́pad de .
r
4Sp
(S)
de =
.
(2.4)
π
Velikost průřezu částice lze často stanovit poměrně jednoduchým způsobem, např. sejmutı́m
obrazů částic rozprostřených na rovinné podložce, určitý problém však může působit nahodilá
orientace částic uložených na podložce. Pak se i u dvou zcela stejných částic mohou změřené
velikosti jejich průmětů i výrazně odlišovat, což vede k vyhodnocenı́ značně odlišných ekvivalentnı́ch průměrů.
i)
Isometrické částice majı́ ve všech směrech alespoň přibližně stejné rozměry. Dokonale isometrická je koule,
vysoce isometrická je i krychle. Dlouhé a tenké částice nebo ploché destičky jsou výrazně anisometrické.
30
iv) Poměrně snadno lze určit též obvod (perimetr) obrazu částice Op a pak lze ekvivalentnı́
průměr částice určit z tohoto obvodu
d(O)
=
e
Op
π
.
(2.5)
ψ=
Ae,k
πd2e
=
Ap
Ap
,
NC
EP
T!
!!
V praxi se při popisu částicových soustav použı́vajı́ mnohé dalšı́ ekvivalentnı́ rozměry
částic. Jejich definice a popisy použitı́ lze nalézt ve specializované literatuře, např. v monografii
Ortegy-Rivase [12]. Výběr určitého ekvivalentnı́ho rozměru při charakterizaci částic konkrétnı́
dispersnı́ soustavy se řı́dı́ účelem popisu, vlastnostmi částic a dostupnými či použitelnými
experimentálnı́mi technikami. Velikost částic nebo jejich objem či povrch lze určit různými
experimentálnı́mi technikami. Jejich úplný výčet a zejména pak popis ležı́ mimo rámec a účel
tohoto textu. Proto se pouze zmı́nı́me o tom, že rozměry částic se v současné době nejčastěji
určujı́ metodami obrazové analýzy snı́mků částic zı́skaných běžnými (fotografickými) nebo
mikroskopickými zobrazovacı́mi technikami. Těmito metodami lze stanovit rozměry částic ve
velmi širokém rozmezı́ (od nanočástic až po částice makroskopické). Velikost makroskopických
pevných částic lze dále určit sı́tovou analýzou, kdy se velikost částice vyhodnotı́ z velikosti
ok sı́ta, kterým částice ještě prošla a z velikosti oka sı́ta, na kterém již byla zadržena. Pro
mikroskopické částice se použı́vajı́ metody založené na rozptylu světla (difrakčnı́ metody).
Použı́vajı́ se též metody sedimentačnı́, kdy se velikost částice určuje na základě jejı́ usazovacı́
rychlosti v kapalině (tzv. Stokesův průměr). Dobrý přehled metod měřenı́ velikostı́ částic a
jejich distribucı́ podává monografie [13].
V předchozı́ch odstavcı́ch byly často zmı́něny částice nekulovitého tvaru. Pro kvantitativnı́
popis odchylky tvaru dané částice od tvaru koule se použı́vá tzv. sféricita částice ψ, která
je definována jako poměr povrchu koule, která má stejný objem jako popisovaná částice, ku
povrchu dané částice
(2.6)
2.2
KO
kde byl pro srozumitelnost vynechán u symbolu A hornı́ index V . Z této rovnice a z rovnice
1/3 .
(2.2) lze snadno určit např. sféricitu krychle ψkrychle = π6
= 0, 806 či válce, jehož průměr
1/3
.
= 0, 874 .
je roven jeho výšce, ψválec = 32
Rozdělenı́ velikostı́ částic v dispersnı́ch soustavách
x+∆x
Z
f (x)dx = P {x ≤ dp ≤ x + ∆x}
(2.7)
x
střednı́ velikost částic:
d¯p =
Z∞
x f (x)dx
(2.8)
0
Kumulativnı́ distribuce
Zx
f (x)dx ≡ P {dp ≤ x}
F (x) =
(2.9)
0
31
a)
b)
0.4
1.0
0.8
0.3
f(x)
F(x)
0.6
0.2
0.4
0.1
T!
!!
0.2
0.0
0.0
0
5
10
15
20
25
0
x
5
10
15
20
x
NC
EP
Obr. 2.2: a) Hustota pravděpodobnosti f (x) a b) distribučnı́ funkce F (x) normálnı́ho (Gaussova)
rozdělenı́ náhodné veličiny x. Střednı́ hodnota µ = 10 pro všechny křivky. Hodnoty směrodatné odchylky: červené křivky . . . σ = 1, modré křivky . . . σ = 2.5, černé křivky . . . σ = 4.
Dispersnı́ soustavy:
- vytvářenı́ → speciálnı́ potravinářské postupy
- dělenı́ → oddělenı́ dispergovaných částic od dipersnı́ho prostředı́.
2.3
Oddělovánı́ složek dispersnı́ch soustav
KO
- prakticky se vyskytujı́cı́ dispersnı́ soustavy předevšı́m suspenze a emulze obsahujı́ mikroskopické částice ⇒ nutno použı́t modifikované postupy dělenı́:
- sedimentaci v odstředivém poli
- filtraci přes speciálnı́ filtračnı́ přepážky
Odstřed’ovánı́
- usazovacı́ odstředivky
- filtračnı́ odstředivky
- dělenı́ → oddělenı́ dispergovaných částic od dipersnı́ho prostředı́.
Dělenı́ dispersnı́ch soustav
- prakticky se vyskytujı́cı́ dispersnı́ soustavy předevšı́m suspenze a emulze obsahujı́ mikroskopické částice ⇒ nutno použı́t modifikované postupy dělenı́:
- sedimentaci v odstředivém poli
- filtraci přes speciálnı́ filtračnı́ přepážky
Odstřed’ovánı́
- usazovacı́ odstředivky
- filtračnı́ odstředivky
Membránové filtrace
- mikrofiltrace
- ultrafiltrace
- nanofiltrace
32
25
Odstředivky(podle orientace osy rotace):
- trubkové (d L)
- bubnové (d ∼ L)
Odstředivky: - vertikálnı́
- horizontálnı́
Odstředivky: vsádkové × periodické × kontinuálnı́
NC
EP
T!
!!
Úlohy
KO
2.4
33
34
KO
T!
!!
NC
EP
Kap. 3:
3.1
Odstřed’ovánı́ a odstředivky
Odstředivky
NC
EP
T!
!!
Odstředivky(podle orientace osy rotace):
- trubkové (d L)
- bubnové (d ∼ L)
Odstředivky: - vertikálnı́
- horizontálnı́
Odstředivky: vsádkové × periodické × kontinuálnı́
3
8
12
7
1
4
2
5
6
KO
11
10
9
Obr. 3.1: Bubnová sedimentačnı́ odstředivka. 1 - vnějšı́ kryt odstředivky; 2 - buben odstředivky
s perforovaným dnem; 3 - motor s převody a regulačnı́mi prvky; 4 - hřı́del nesoucı́ buben; 5 - vrstva
usazených částic v bubnu; 6 - hrablo; 7 - páka k ovládánı́ hrabla; 8 - odsávánı́ kapaliny z povrchu
sedimentu; 9 - odvod pevné fáze perforovaným dnem bubnu; 10 - odtah vyčeřené kapaliny (fugátu)
nebo promývacı́ kapaliny z odstředivky; 11 - distributor promývacı́ kapaliny; 12 - přı́vod promývacı́
kapaliny.
3.2
Rychlost usazovánı́ v odstředivém poli
Na částici o hmotnosti m = V ρ působı́ odstředivá sı́la
F0 = ma0 = V ρs ω 2 r = V ρs
u2ϕ
r
(3.1)
35
3
2
1
6
7
4
5
T!
!!
Obr. 3.2: Trubková sedimentačnı́ odstředivka. 1 - vnějšı́ kryt odstředivky; 2 - rotor odstředivky; 3 motor s převody a regulačnı́mi prvky; 4 - vrstva usazených částic; 5 - přı́vod suspenze; 6, 7 - odvod
vyčeřené kapaliny (fugátu) z odstředivky.
NC
EP
kde V je objem zadržený v odstředivce a ω je úhlová rychlost, ω = 2πn, kde n je frekvence
otáčenı́.
b)
a)
ω, n
R1
KO
R0
r
ω
ut
Fvz
FR
u
Fo
Obr. 3.3: Schéma k výpočtu rychlosti a doby usazovánı́ v odstředivce.
kde H je výška bubnu, R poloměr odstředivky, r0 je vzdálenost hladiny kapaliny v odstředivce
od osy odstředivky.
uϕ = ωr = 2πnr
(3.2)
Fo = V ρs 4π 2 n2 r
(3.3)
z čehož vyplývá, že s frekvencı́ otáčenı́ roste odstředivá sı́la kvadraticky a s poloměrem rotace vzrůstá lineárně. Na částici dále působı́ sı́la vztlaková (vyvolaná tlakovým gradientem
36
vytvořeným polem odstředivé sı́ly)
Fvz = V ρf 4πu2 r = V ρf ω 2 r
(3.4)
a sı́la odporová, jejı́ž velikost je úměrná velikosti průmětu částice do roviny kolmé ke směru
jejı́ho pohybu
FR = CD
πD2 u2
ρ ,
4 2
(3.5)
Fo − Fvz − FR = 0 ,
T!
!!
kde CD označuje koeficient odporu. V radiálnı́m směru na částici žádné dalšı́ sı́ly nepůsobı́,
protože gravitačnı́ sı́lu lze vůči sı́le odstředivé zanedbat i v přı́padě odstředivek, jejichž osa
rotace je orientována vůči směru gravitačnı́ sı́ly pod nenulovým úhlem, protože frekvence
otáčenı́ odstředivek bývajı́ obvykle dostatečně vysoké. Podmı́nka rovnosti sil působı́cı́ch na
částici
(3.6)
po dosazenı́ za jednotlivé sı́ly z rovnic (3.3), (3.4) a (3.5) poskytne vztah
NC
EP
πd3
πd3
πd2
u2
ρs ω 2 r −
ρf ω 2 r −
CD ρf
=0 ,
6
6
4
2
umožňujı́cı́ explicitně vyjádřit usazovacı́ rychlost
s
4d(ρs − ρf )ω 2 r
,
u=
3 CD ρf
(3.7)
(3.8)
KO
která je funkcı́ úhlové rychlosti rotace, poloměru rotace, velikosti částice, hustot ρs a ρf a
koeficientu odporu CD , který implicitně zahrnuje vliv viskozity tekutiny na usazovacı́ rychlost.
Hodnota koeficientu odporu CD je závislá na hodnotě usazovacı́ rychlosti u, resp. na hodnotě
Reynoldsova kritéria Reu . Tuto závislost ukazuje obr. 3.4. Průběh závislosti na obr. 3.4 lze
popsat vztahem
−7,94
Reu
Reu
2, 6
0, 411
24
Re0,86
5
263 000
u
CD =
+
, Reu ≤ 1 · 106 , (3.9)
1,52 +
−8,00 +
Reu
461 000
Reu
Reu
1+
1+
5
263 000
který umožňuje vyčı́slit hodnotu koeficientu odporu ve velmi širokém rozmezı́ hodnot Reynoldsova kritéria, avšak pro praktické výpočty je poměrně komplikovaný a navı́c vyžaduje
znalost hodnoty Reu , takže by k výpočtům usazovacı́ rychlosti bylo nutno užı́t iteračnı́ postup.
Použı́vá se proto alternativnı́ postup s použitı́m Archimédova kritéria, které ve své definici
nezahrnuje usazovacı́ rychlost, a lze proto určit hydrodynamický režim usazovánı́ částice určit
bez jejı́ znalosti. Archimédovo kritérium je definováno vztahem
Ar =
ω 2 r d3 (ρs − ρf )
ω 2 r d3 ρf (ρs − ρf )
=
,
ν 2 ρf
η2
(3.10)
kde ν je kinematická a η dynamická viskozita tekutiny, ve které částice sedimentuje. Vztahy
pro výpočty usazovacı́ rychlosti v odstředivém poli jsou pak tyto:
37
PŘECHODOVÁ
2
TURBULENTNÍ
T!
!!
LAMINÁRNÍ
3
NC
EP
u
5
6
Obr. 3.4: Závislost koeficientu odporu při obtékánı́ kulovité částice, CD , na hodnotě Reynoldsova
kritéria s vyznačenı́m oblastı́ usazovánı́.
a) Pro Stokesovu oblast usazovánı́, tj. oblast laminárnı́ho (plı́živého, plouživého) obtékánı́
částice kapalinou, kdy Reu ≤ 0,2 , resp. Ar ≤ 3, 6, lze pro usazovacı́ rychlost odvodit analytický
vztah ve tvaru
u=
d2 (ρs − ρf )ω 2 r
18 η
,
(3.11)
KO
jelikož v této oblasti usazovánı́ platı́ pro koeficient odporu CD jednoduchý vztah
CD =
24
Reu
.
(3.12)
b) Pro přechodovou oblast usazovánı́ vymezenou těmito hodnotami Reynoldsova, resp.
Archimédova kritéria: 0, 2 < Reu < 1000, resp. 3, 6 < Ar < 3, 43 · 105 je usazovacı́ rychlost
dána vztahem
u = 0, 153
d1,14 (ρs − ρf )0,71 ω 1,42
ρ0,29
f
η 0,43
r0,71 .
(3.13)
Hodnotu součinitele odporu v této oblasti určı́me ze vztahu
CD =
24
1 + 0, 125 Re0,72
.
u
Reu
(3.14)
c) Pro Newtonovu oblast usazovánı́, tj. pro oblast turbulentnı́ho obtékánı́ částice tekutinou, která je vymezena těmito intervaly Reynoldsova a Archimédova kritéria: 1000 < Reu
< 1,5 · 105 a 3,43 · 105 < Ar < 7,4 · 109 platı́ vztah
s
d(ρs − ρf )ω 2 r
u = 1, 74
.
(3.15)
ρf
38
V Newtonově oblasti má koeficient odporu konstantnı́ hodnotu CD = 0, 44.
Pro porovnánı́ rychlosti usazovánı́ v poli odstředivé sı́ly s gravitačnı́m usazovánı́m se zavádı́
tzv. rychlostnı́ poměr Ku vztahem
Ku =
uodstr.
.
ugrav.
(3.16)
S použitı́m výše uvedených vztahů lze odvodit vztahy pro rychlostnı́ poměr při jednotlivých
režimech usazovánı́, tj. pro Stokesovu oblast 5
Ku =
ω2r
,
g
(3.17)
pro přechodovou oblast
0,71
a pro Newtonovu oblast
s
ω2r
.
Ku =
g
3.3
T!
!!
Ku =
ω2r
g
NC
EP
(3.18)
(3.19)
Doba usazovánı́ částice v bubnové odstředivce
dr = u dt
ZR2
Zt
dt =
0
dr
u
R1
t=
dr
V
≡ t̄ ,
=
u
V̇su
KO
ZR2
R1
(3.20)
(3.21)
(3.22)
kde t̄ je střednı́ doba prodlenı́ kapaliny v odstředivce, V̇su je objemový tok suspenze do
odstředivky, který je prakticky stejný jako průtok vyčeřené kapaliny - supernatantu - protože
objemový zlomek částic v suspenzi je velmi nı́zký, a V je objem kapaliny zadržený v odstředivce
(viz obr. 3.3)
V = π(R02 − R12 )H =
3.4
π 2
(D − D12 )H .
4 0
(3.23)
Výkonnost odstředivek, ekvivalentnı́ plocha odstředivky
Výkonnost (výkon) odstředivek se (obvykle) vyjadřuje objemovým průtokem suspenze (resp.
produkovaného supernatantu) odstředivkou, který lze vyjádřit z rovnice (3.22)
V̇su =
V
= ug Σ ,
t̄
(3.24)
kde ug je usazovacı́ rychlost částic v gravitačnı́m poli a symbol Σ označuje ekvivalentnı́ plochu odstředivky, která je často užı́vaným faktorem (někdy označovaným jako tzv. Σ-faktor
39
odstředivky), který řı́ká, jak velkou plochu by musel mı́t gravitačnı́ usazovák, aby měl stejnou
výkonnost V̇su jako daná odstředivka
πLω 2 R02 − R12
V̇
=
Σ=
(3.25)
ug
0
g ln R
R1
(může dosahovat velmi vysokých hodnot). Dvě odstředivky se stejnou hodnotou V̇ /Σ pracujı́
se stejnou odlučovacı́ účinnostı́.
V̇su,B
ΣB
=
ΣA
V̇su,A
Úlohy
T!
!!
3.5
(3.26)
NC
EP
U3.1 Kvasničné buňky, které lze pro zjednodušenı́ považovat za kulovité částice o průměru
5 µm, jsou suspendovány v kultivačnı́m médiu s viskozitou 1, 5 · 10−3 Pa s a s hustotou 1000
kg m−3 . Hustota buněk je rovna 1050 kg m−3 . Určete sedimentačnı́ rychlost buněk v gravitačnı́m poli a porovnejte ji se sedimentačnı́ rychlostı́ v odstředivém poli při frekvencı́ch
otáčenı́ 5000 min−1 , 10000 min−1 a 50000 min−1 . Vypočı́tejte pro všechny frekvence otáčenı́
též hodnoty faktoru urychlenı́. Při výpočtech uvažujte poloměr rotace 0,100 m.
Výsledek: V gravitačnı́m poli je usazovacı́ rychlost buněk 4, 54 · 10−7 m s−1 . V odstředivém
poli jsou sedimentačnı́ rychlosti rovny 1, 269 · 10−3 m s−1 ; 5, 077 · 10−3 m s−1 a 0,183 m s−1 (v
prvnı́ch dvou přı́padech usazovánı́ probı́há ve Stokesově oblasti, v poslednı́m přı́padě v oblasti
přechodové). Koeficient urychlenı́ bude nabývat hodnot: 2795, 11180 a 403080.
KO
U3.2 Uvažujte usazovánı́ buněk z úlohy U3.1 v trubkové odstředivce o délce 1 m s vnitřnı́m
poloměrem trubky 0,15 m. Povrch kapaliny v odstředivce má poloměr 0,05m̃. Frekvence
otáčenı́ odstředivky je rovna 5000 min−1 . Vypočı́tejte dobu usazovánı́ kvasničných buněk
v odstředivce a objemový průtok suspenze buněk odstředivkou (tzv. výkonnost odstředivky),
bude-li odstředivka pracovat v kontinuálnı́m režimu. Určete též výkonnost odstředivky, bude-li
pracovat v režimu vsádkovém (periodickém), jestliže doba rozběhu odstředivky je trojnásobkem
doby usazovánı́ buněk a doba brzděnı́ odstředivky je jejı́m sedminásobkem.
Výsledek: Usazovacı́ doba je rovna 88,6 s. Výkonnost kontinuálně provozované odstředivky je
2,613 m3 h−1 . Při periodickém provozovánı́ výkonnost poklesne na 0,238 m3 h−1 .
U3.3 Určete výkonnost (v m3 h−1 ) kontinuálnı́ bubnové sedimentačnı́ odstředivky pracujı́cı́
za těchto podmı́nek: průměr bubnu odstředivky: 600 mm; tloušt’ka vrstvy kapaliny v bubnu: 75
mm; frekvence otáčenı́ bubnu: 1200 min−1 ; hustota kapaliny: 1200 kg m−3 ; hustota oddělovaných
částic: 1600 kg m−3 ; dynamická viskozita kapaliny: 0,002 Pa s; velikost nejmenšı́ch částic, které
majı́ být ještě zachyceny: 30 µm.
Výsledek: Výkonnost kontinuálně provozované odstředivky je 122 m3 h−1 (doba usazovánı́ je
1,46 s, usazovánı́ probı́há v přechodové oblasti).
U3.4 Buňky pekařského droždı́ se oddělujı́ od kapalného média v kontinuálnı́ trubkové
odstředivce pracujı́cı́ při frekvenci otáčenı́ 5000 min−1 . Při objemovém průtoku média 60
dm3 min−1 se oddělı́ 50% buněk. Při konstantnı́ frekvenci otáčenı́ odstředivky je podı́l (výtěžek)
40
oddělených buněk nepřı́mo úměrný objemovému průtoku média odstředivkou. a) Jaký objemový průtok média odstředivkou je nutno nastavit, má-li být dosažen výtěžek buněk 90% při
zachovánı́ frekvence otáčenı́ odstředivky na hodnotě 5000 min−1 ? b) Jaká musı́ být frekvence
otáčenı́ odstředivky, má-li být při objemovém průtoku média 60 dm3 min−1 dosažen výtěžek
buněk 90%?
Výsledek: a) Objemový průtok média odstředivkou je nutno nastavit na 33,3 dm3 min−1 , b)
frekvenci otáčenı́ odstředivky je nutno zvýšit na 6680 min−1 .
T!
!!
U3.5 Mikrobiálnı́ buňky se z kapalného fermentačnı́ho média zı́skávajı́ odstřed’ovánı́m v
trubkové odstředivce. Při objemovém průtoku média 12 dm3 min−1 a při frekvenci otáčenı́
odstředivky 4000 min−1 dosahuje výtěžek oddělených buněk hodnoty 60%. Výtěžek buněk
při odstřed’ovánı́ je nepřı́mo úměrný objemovému průtoku média odstředivkou (při konstantnı́
frekvenci otáčenı́). a) Jaká musı́ být frekvence otáčenı́ odstředivky, má-li být při stejném objemovém průtoku média zvýšen výtěžek buněk na 95%? b) Jakou hodnotu musı́ mı́t objemový
průtok média odstředivkou, má-li být dosažen výtěžek buněk 95% při zachovánı́ frekvence
otáčenı́ odstředivky na hodnotě 4000 min−1 ?
NC
EP
Výsledek: a) Frekvenci otáčenı́ odstředivky je nutno zvýšit na 5033 min−1 , b) objemový průtok
média odstředivkou je nutno snı́žit na hodnotu 7,58 dm3 min−1 .
U3.6 V kontinuálnı́ trubkové odstředivce má být dosaženo úplného oddělenı́ bakteriálnı́ch
buněk od kultivačnı́ho média. Buňky lze považovat za přibližně kulovité částice o poloměru
0,5 µm a jejich hustota je 1100 kg m−3 . Frekvence otáčenı́ odstředivky je 5000 min−1 , průměr
trubky je 10 cm, délka trubky je 100 cm a povrch kapaliny v odstředivce má tvar válce o
průměru 4 cm. Kultivačnı́ médium má fyzikálně-chemické vlastnosti vody při teplotě 20◦ C.
Určete maximálnı́ objemový průtok média, který lze v odstředivce zpracovat.
Výsledek: Maximálnı́ objemový průtok je 0,164 dm3 min−1 .
KO
U3.7 Kontinuálnı́ trubková odstředivka je použita k separaci buněk baktérie E. coli, které
obsahujı́ významný biologicky aktivnı́ produkt, z kultivačnı́ho média. Předběžnými experimenty bylo zjištěno, že lze separovat 50% buněk při frekvenci otáčenı́ odstředivky 6000 min−1
a objemovém průtoku média 5 dm3 min−1 . a) Na jakou hodnotu musı́ být změněn objemový
průtok odstředivkou, má-li být odděleno 90% buněk? b) Jak se změnı́ sedimentačnı́ rychlost
buněk, jestliže frekvence otáčenı́ odstředivky vzroste na dvojnásobek?
Výsledek: a) Průtok je nutno snı́žit na 2,78 dm3 min−1 , b) usazovacı́ rychlost vzroste 4×.
U3.8 Pokusně bylo zjištěno, že maximálnı́ hodnota objemového průtoku suspenze kvasničných
buněk novou poloprovoznı́ odstředivkou činı́ 10 dm3 min−1 (při vyššı́m objemovém průtoku
by již nebyly zadrženy všechny buňky). Při sedimentaci v pokusné laboratornı́ odstředivce,
pracujı́cı́ při odstředivém zrychlenı́ rovném 500-násobku zrychlenı́ gravitačnı́ho, bylo zjištěno,
že buňky sedimentujı́ rychlostı́ 100 µm s−1 . Jaká je velikost ekvivalentnı́ usazovacı́ plochy Σ
poloprovoznı́ odstředivky?
Výsledek: Ekvivalentnı́ usazovacı́ plocha poloprovoznı́ odstředivky má velikost 833 m2 .
U3.9 ”POTŘEBUJE PŘEPOČÍTAT A ZKONTROLOVAT”Laboratornı́ trubková odstředivka
s válcovým rotorem má následujı́cı́ rozměry a provoznı́ parametry: frekvence otáčenı́ n = 800
s−1 , R0 = 0, 875 inch, R1 = 0.65 inch, délka rotoru H = 4, 5 inch. Při použitı́ odstředivky
41
k separaci buněk baktérie Escherichia coli z fermentačnı́ho média byla dosažena výkonnost
odstředivky o hodnotě 0,11 gpm. Hustota fermentačnı́ho média je 1010 kg m−3 a jeho dynamická viskozita je 1, 02×10−3 kg m−1 s−1 . Buňky lze považovat za kulovité částice s průměrem
0,7 µm a jejich hustota je 1040 kg m−3 . Předpokládejte, že usazovánı́ buněk probı́há ve Stokesově oblasti a určete teoretickou výkonnost odstředivky.
KO
NC
EP
T!
!!
Výsledek: 5,42×10−6 m3 s−1 . us. rychlost=7.85×10−9 m/s
42
Kap. 4:
4.1
Membránové filtračnı́ procesy
Obecné principy membránových filtracı́
NC
EP
T!
!!
Pro separaci částic malých rozměrů (buňky, vnitrobuněčné částice, makromolekuly, nı́zkomolekulárnı́ látky) od kapaliny lze použı́t filtraci s použitı́m speciálnı́ch filtračnı́ch přepážek:
poréznı́ch membrán. Velikost pórů musı́ odpovı́dat velikosti dělených částic: mikrofiltrace:
částice 0,01 um ÷ 10 um
ultrafiltrace: makromolekulárnı́ látky (proteiny, nukleové kyseliny)
nanofiltrace: nı́zkomolekulárnı́ látky (Na+ , Ca2+ )
symetrická membrána
asymetrická membrána
Obr. 4.1: Typy membrán - schema
4.2
KO
Dva způsoby provedenı́ membránových filtracı́: a)bez odtoku retentátu - vzniká koláč,
který vytvářı́ velký hydraulický odpor. Analogické koláčové filtraci - viz CHI-I.
b) s odtokem retentátu - koláč se netvořı́ (nebo jenom v omezené mı́ře), ale tento typ filtrace
omezuje efekt koncentračnı́ polarizace
Vlastnosti a aplikačnı́ formy filtračnı́ch membrán
Membrány jsou (nejčastěji) užı́vány v podobě tzv. membránových modulů, tj. kompaktnı́ch
jednotek, které obsahujı́ kromě vlastnı́ membrány i dalšı́ potřebné prvky (přı́vody, odvody,
distančnı́ vložky, rámečky, těsněnı́), jejich výhodou je snadná manipulace, výměna, spojovánı́
modulů.
Moduly:
i) s plochými membránami
ii) s vinutými/spirálnı́mi membránami
iii) s trubkovými membránami (dutá vlákna)
tenká mikroporézní (aktivní) vrstva
makroporézní/podpůrná vrstva
Obr. 4.2: Kompozitnı́ membrána
43
← suspenze
← membrána
Obr. 4.3: Filtračnı́ cela
4.3
Separačnı́ vlastnosti filtračnı́ch membrán
Materiály jsou organické i anorganické.
Separačnı́ schopnost membrány můžeme vyjádřit pomocı́ rejekčnı́ho faktoru:
Ci,psm
Ci,rsm
T!
!!
Ri = 1 −
(4.1)
1,0
0,99
B
C
D
0,8
0,6
0,4
0,2
10 2
KO
0
4.4
A
NC
EP
REJEKČNÍ FAKTOR
Ideálnı́ přı́pad Ci,psm = 0 ⇒ Ri = 1. Hodnota Ri závisı́ na velikosti částic, na jejich molárnı́
hmotnosti.
10 3
10 4
10 5
10 6
REL. MOL. HMOTNOST [kg kmol-1]
Obr. 4.4:
Bilancovánı́ membránových filtracı́
Bilancovánı́ membránové filtrace
ṁS = ṁP + ṁR
(4.2)
wS ṁS = wP ṁP + wR ṁR
(4.3)
wP = 0 ?
Zakoncentrovánı́ (při mikrofiltracı́ch):
wR
>1
wS
(4.4)
bilancovánı́ objemu a látkového množstvı́ (ultrafiltrace a nanofiltrace)
V̇S = V̇P + V̇R
(4.5)
44
R - retentát
m R , wR
VR , cR
modul
S - surovina
mS , wS
VS , cS
mP , wP
VP , cP
T!
!!
P - permeát
Obr. 4.5: Bilančnı́ schéma membránové filtrace.
cS V̇S = cP V̇P + cR V̇R
4.5
NC
EP
retenčnı́ faktor:
cP
R=1−
cR
(4.6)
(4.7)
Koncentračnı́ polarizace při membránových filtracı́ch
KO
Koncentračnı́ polarizace: vysoká koncentrace u povrchu membrány vzniká pomalým průnikem
látky membránou a vede v tvorbě gelové vrstvy.
Tok permeátu JV .
polarizačnı́ modul
Kvantitativnı́m měřı́tkem stupně (velikosti) koncentračnı́ polarizace membrány je tzv. polarizačnı́ modul M
cM
M=
,
(4.8)
cb
kde význam symbolů je zřejmý z obr. 4.6. Protože se obecně hodnoty koncentracı́ cb a cM
podél povrchu měnı́, měnı́ se po povrchu membrány i hodnota polarizačnı́ho modulu M .
mı́chánı́, turbulence
M ≥1
(4.9)
JV
dc
c − −D
dz
= JV cP
(4.10)
z→0+
Po integraci a za předpokladu,že koncentrace složky v permátu je zanedbatelná, tj. cP → 0,
lze rovnici (4.10) po separaci proměnných integrovat od z = 0 do z = δ + δM a od c = cb do
c = cM a obdržı́me tak vztah
cM
JV
M≡
= exp
,
(4.11)
cb
kc
45
c
cM
cB
cP
JV
δ
z
T!
!!
z=δ
z=δ+δΜ
z=0
M
NC
EP
Obr. 4.6: Tvorba polarizačnı́ vrstvy u povrchu membrány a koncentračnı́ profil zadržované složky při
membránových filtracı́ch. Význam symbolů: JV ... intenzita objemového toku permeátu, δ ... tloušt’ka
polarizačnı́ vrstvy, δM ... tloušt’ka membrány, cb ... koncentrace rozpuštěné, resp. dispergované složky
v turbulentnı́m jádře retentátového proudu, CM koncentrace složky na povrchu membrány, cP ...
koncentrace složky v permeátovém proudu, M ... membrána.
ve kterém je zaveden součinitel přestupu hmoty mezi povrchem membrány a retentátovým
proudem kc , definovaný vztahem
kc =
D
,
δ
(4.12)
KO
který charakterizuje rychlost zpětného transportu složky od povrchu membrány do retentátového
proudu kombinacı́ difusnı́ho a konvektivnı́ho transportu.
(4.13)
Re =
dekv vρ
η
(4.14)
Sc =
ν
η
=
D
ρD
(4.15)
Sh =
kc dek
D
kde dek je ekvivalentnı́ průměr. Pro trubku platı́ dek ≡ d, pro ploché štěrbiny (např. mezi
planárnı́mi membránami) platı́ dek ≡ 2 h, kde h je tloušt’ka štěrbiny.
laminárnı́ oblast (0,1 < Re Sc
dekv
L
< 104 ):
dek 1/3
Sh = 1, 62 Re Sc
L
(4.16)
46
turbulentnı́ oblast (Re > 104 )
Sh = 0, 04 Re0,75 Sc1/3
4.6
(4.17)
Kinetika membránových filtracı́
intenzita toku filtrátu/permeátu:
JV =
∆p − π
ηP Rc
(4.18)
Rc = RM + Rg =
T!
!!
kde π je osmotický tlak roztoku na straně retentátu a Rc je celkový hydraulický odpor.
δg
δM
+
PM
Pg
(4.19)
JV =
NC
EP
často platı́, že RM Rg . RM zjistı́me měřenı́m s čistou vodou a Rg experimentálně.
Netvořı́-li se gelová vrstva:
∆pPM
∆p
=
ηP RM
ηP δM
(4.20)
A=
KO
Gelová vrstva velmi často vykazuje výraznou stlačitelnost ⇒ zvýšı́-li se ∆p, odpor gelové
vrstvy též vzroste ⇒ limitnı́ hodnota intenzity toku permeátu:
potřebná velikost plochy membrány:
tok permeátu (zı́skaný z bilance)
intenzita toku permeátu (z kinetické rovnice)
(4.21)
limitnı́ intenzita objemového toku filtrátu
JV∞ = kc ln
ci,gel
ci,bulk
(4.22)
JV
(m s-1)
netvoří se gelová vrstva
}
kc
∆p
Obr. 4.7:
47
tvoří se gelová
vrstva
Geometrické uspořádánı́
Turbulentnı́
Režim toku
Sh = 0, 276 Re0,58 (Sc dekv /L)0,33
0,5
Sh = 0, 023 1 − Re60
Re7/8 Sc0,33
0,875
Kriteriálnı́ rovnice
Autoři
Linton a Sherwood (1950)
Turbulentnı́
Turbulentnı́
Sh = 0, 15 Re0,47 Sc0,33
Sh = 0, 04 Re3/4 Sc0.25
Sh = 0, 44 Re7/12 (Sc dekv /L)0,33
Nakao et al (1979)
Pace et al. (1976)
Gill (1971)
Sourirajan (1970)
Sh =
4 Pew
,
ln(1+1,536 ξ 1/3 )
ξ ≤ 0, 02
NC
EP
Turbulentnı́
Sh = a Re0,875 Sc0,25
Gill a Scher (1961)
Turbulentnı́
Sh = 0, 023 Re0,8 Sc0,33
KO
Tubulentnı́
Laminárnı́
Laminárnı́
Sh = 1, 95 [Re Sc (dekv /L)]0,33 pro tubulárnı́ membrány
a
Chiang (1982)
Hwang
(1975)
Grober et al. (1961)
Kammermeyer
Cheryan (1971)
Sourirajan (1970)
Dresner (1964)
Chilton a Colburn - modifik.,
Cheryan (1986)
T!
!!
Krátký kanál kruhového průřezu
Turbulentnı́
Tabulka 4.1: Kriteriálnı́ rovnice pro výpočet součinitele přestupu hmoty při ultrafiltraci a reversnı́ osmóze
Dlouhé či středně dlouhé kanály
Krátké kanály
Dlouhé nebo středně dlouhé kanály
Promı́chávaná cela
Tubulárnı́ systémy
Dlouhé nebo středně dlouhé kanály
Vstupnı́ oblast, resp. krátké a
středně dlouhé kanály
Vstupnı́ oblast, resp. krátké a
středně dlouhé kanály
Laminárnı́
Sh = 0, 181 Re0,47 Sc0,33
Laminárnı́
4 Pew
Sh = ln(1+aPe
kde a = 1/3 pro ploché a
2
w)
a = 1 pro tubulárnı́ membrány
Vstupnı́ oblast, resp. krátké a
středně dlouhé kanály
Laminárnı́
Sh = 0, 087 Re0,64 Sc0,33
Oblasti daleko od vstupu, resp.
velmi dlouhé kanály
Dutá vlákna HF15-43XM-60
Laminárnı́
Sh = 2, 24 [Re Sc(dekv /L)]0,33 pro ploché
(listové) membrány
Dutá vlákna
Laminárnı́
Sh = 0, 664 Re0,5 Sc0,33 (dekv /L)a
A = 1, 86 pro ploché (listové) membrány
a A = 1, 62 pro tubulárnı́ membrány
100 <
Krátké či středně dlouhé kanály
Laminárnı́
Sh = A (Re Sc)0,33 (dekv /L)0,33 ,
Re Sc(dekv /L) < 5000
Krátké či středně dlouhé kanály
48
Tabulka 4.2: Poznámky a vysvětlivky k tab. 4.1
a
konstanta
h
výška (tloušt’ka) kanálu
c
celková molárnı́ koncentrace
L
délka kanálu
dek
ekvivalentnı́ průměr kamálu
Pew
Pècletovo kritérium na stěně
Jw
molárnı́ tok rozpouštědla
ξ = 2 Jw Pe2w x/u h c
Sh
Sherwoodovo kritérium
Re
Reynoldsovo kritérium
Sc
Schmidtovo kritérium
D
difusivita rozpuštěné látky
(pro tubulárnı́ kanály se mı́sto h užı́vá poloměr kanálu r)
Úlohy
T!
!!
4.7
NC
EP
U4.1 Vodná suspenze částic mikrokrystalické sraženiny se zpracovává membránovou mikrofiltracı́ (MF) s podélným tokem retentátu. K filtraci je použita symetrická polymernı́
membrána s tloušt’kou 0,275 mm, jejı́ž rejekčnı́ faktor pro částice sraženiny má hodnotu 1.
Membrána má celkovou filtračnı́ plochu 1,55 m2 a při rozdı́lu tlaků 37 kPa byl naměřen
objemový průtok permeátu o hodnotě 0,00175 m3 s−1 . Na povrchu membrány se při filtraci
netvořila vrstva částic sraženiny. Určete permeabilitu membrány, jestliže filtrace proběhla při
teplotě 20◦ C. Je-li koncentrace částic v suspenzi na vstupu do MF zařı́zenı́ rovna 3,5 obj.%
a objemový tok suspenze má hodnotu 5 · 10−3 m3 s−1 , určete koncentraci částic v retentátu a
jeho objemový průtok. Membrána se při filtraci nezanášı́ částicemi sraženiny.
Výsledek: Permeabilita membrány má hodnotu 8, 4 · 10−15 m2 . Objemový zlomek částic v retentátu bude mı́t hodnotu 0,05385 a objemový průtok retentátu bude roven 3, 25·10−3 m3 s−1 .
KO
U4.2 Po změně podmı́nek při sráženı́ krystalů se při mikrofiltraci popsané v úloze U4.1
na povrchu MF membrány začala vytvářet kompaktnı́ nestlačitelná vrstva mikrokrystalů.
Za stejných provoznı́ch podmı́nek MF zařı́zenı́ jako v úloze U4.1 pak byl pozorován pokles
objemového průtoku permeátu na hodnotu 0,000535 m3 s−1 . Určete velikost hydraulického
odporu vrstvy krystalů a jeho podı́l na celkovém odporu proti toku permeátu.
Výsledek: Hydraulický odpor vrstvy krystalů je roven 7, 47 · 1010 m−1 a jeho podı́l na celkovém
odporu činı́ 69,6
U4.3 Při membránové filtraci roztoku nepurifikovaných proteinů byla zjišt’ována závislost intenzity objemového toku permeátu na aplikovaném tlakovém rozdı́lu. Zı́skaná experimentálnı́
data jsou uvedena v tabulce:
p [kPa]
JV [10−3 m s−1 ]
0
0
13
0,046
27
0,105
36
0,150
45
0,200
55
0,249
62
0,295
81
0,350
105
0,365
118
0,370
136
0,363
Rozhodněte, zda se při filtraci na povrchu membrány tvořila gelová vrstva a přı́padně odhadněte limitnı́ hodnotu intenzity objemového toku permeátu.
Výsledek: Gelová vrstva na povrchu membrány se vytvořila, limitnı́ hodnota intenzity toku
permeátu je asi 0, 365 · 10−3 m s−1 .
49
U4.4 V ultrafiltračnı́m membránovém modulu protéká retentátový proud vnitřkem membránových
vláken o vnitřnı́m průměru 0,1 cm a délce 100 cm. Rychlost prouděnı́ ve vláknech je rovna
3 m s−1 . Retentátový proud obsahuje rozpuštěný protein s difusnı́m koeficientem 9 · 10−11
m2 s−1 . Roztok má dynamickou viskozitu 0,0012 Pa s a hustotu 1100 kg m−3 . Intenzita objemového toku permeátu membránou je 0,045 m h−1 . Určete hodnotu polarizačnı́ho modulu při
této filtraci a posud’te, zda je polarizace membrány významná. Jak by se poměry při ultrafiltraci změnily, pokud by byla použita vlákna o vnitřnı́m průměru 0,25 mm?
Výsledek: Polarizačnı́ modul ve vláknech o vnitřnı́m průměru 0,1 cm má hodnotu 14,35 a
koncentračnı́ polarizace membrány je tedy velmi významná. Ve vláknech o vnitřnı́m průměru
0,25 mm má polarizačnı́ modul hodnotu 1,325, polarizace je tedy nevýznamná.
NC
EP
T!
!!
U4.5 Vodná suspense částic kaolinu se má zahušt’ovat mikrofiltracı́ (MF). Tloušt’ka aktivnı́
vrstvy MF membrány je 100 µm. Retenčnı́ faktor MF modulu má hodnotu 0,8. Suspense
přicházejı́cı́ do MF zařı́zenı́ obsahuje 8 obj.% kaolinových částic. Retentát má obsahovat 15
obj.% částic. Střednı́ hodnota tlakového rozdı́lu přes membránu při mikrofiltraci je rovna 0,7
MPa. Při permeačnı́m pokusu s čistou vodou při rozdı́lu tlaků 0,36 MPa a stejné teplotě 20◦ C
jako při vlastnı́ filtraci byla naměřena pro tutéž MF membránu hodnota intenzity objemového
toku filtrátu 0,416 m h−1 . Vypočı́tejte jak velkou plochu membrány musı́ mı́t MF zařı́zenı́ pro
zpracovánı́ 125 m3 za den suroviny. Jaká budou množstvı́ zahuštěné suspenze a filtrátu za
den?
Výsledek: Množstvı́ retentátu bude činit 52,1 m3 za den, množstvı́ permeátu bude 72,9 m3 za
den, potřebná plocha membrány je 3,8 m2 .
KO
U4.6 Je známo, že bı́lkoviny krevnı́ plasmy při ultrafiltraci vytvářejı́ na povrchu membrány
gelovou vrstvu, ve které hmotnostnı́ zlomek bı́lkoviny má hodnotu 0,2. Bı́lkovinné molekuly
lze považovat za kulové částice o průměru 30 nm. Při pokusu s čistou vodou byla změřena
intenzita objemového toku permeátu UF membránou o hodnotě 2, 5 · 10−5 m s−1 při rozdı́lu
tlaků před a za membránou ∆p = 68, 96 kPa. Při ultrafiltraci krevnı́ plasmy při rozdı́lu tlaků
∆p = 103, 44 kPa má intenzita objemového toku filtrátu hodnotu 0, 416 · 10−5 m s−1 . Filtrace
probı́há při teplotě 20◦ C. Pomocnými pokusy bylo zjištěno, že gelová vrstva má permeabilitu
o hodnotě 3, 1 · 10−18 m2 . Jaká je tloušt’ka gelové vrstvy v ustáleném stavu, tj. po dosaženı́
limitnı́ hodnoty intenzity toku filtrátu? Předpokládejte pro jednoduchost, že viskozity roztoku
plasmy a filtrátu se sobě rovnajı́ a majı́ hodnotu viskozity vody při teplotě ultrafiltrace.
Výsledek: Tloušt’ka gelové vrstvy v ustáleném stavu je rovna 68,5 µm.
U4.7 V ultrafiltračnı́m membránovém modulu se zahušt’uje vodný koloidnı́ roztok. Vstupnı́
koncentrace rozpuštěné látky je 50 kg m−3 , výstupnı́ koncentrace v retentátu má hodnotu
200 kg m−3 . Rejekčnı́ faktor použité UF membrány je roven 1 (ideálnı́ membrána). Objemový tok suroviny činı́ 3,6 m3 h−1 . Rozpuštěná složka vytvářı́ na povrchu membrány gelovou vrstvu s koncentracı́ rozpuštěné složky 300 kg m−3 . Modul je sestaven z membránových
trubek o vnitřnı́m průměru 5 mm a délce 1250 mm. Retentátový proud protéká vnitřkem
trubek. Vypočı́tejte intenzitu objemového toku permeátu (filtrátu) a potřebnou celkovou
plochu membrány při střednı́ rychlosti retentátového proudu v trubkách 1 s−1 . Hustota retentátového proudu je rovna 1260 kg m−3 , jeho dynamická viskozita je 2, 12 · 10−3 Pa s a
difusivita rozpuštěné složky ve vodě má hodnotu 2, 75 · 10−9 m2 s−1 .
Výsledek: Intenzita objemového toku filtrátu je rovna 2, 858 · 10−5 m s−1 a potřebná plocha
membrány činı́ 26 m2 .
50
Kap. 5:
Sdı́lenı́ tepla vedenı́m a prouděnı́m
5.1
T!
!!
V potravinářských technologiı́ch a biotechnologiı́ch patřı́ ohřev a chlazenı́ zpracovávaných
materiálů k základnı́m a velmi často užı́vaným operacı́m. Znalosti mechanismů sdı́lenı́ tepla
a principů činnosti teplovýměnných zařı́zenı́ proto jsou pro technology potravinářských a biochemických či biologických výrob naprosto nezbytné. Základnı́ poznatky z této oblasti byly
podány v rámci předmětu Chemické inženýrstvı́ I. Zde je problematika sdı́lenı́ tepla rozšı́řena
o vybrané dalšı́ části.
Vedenı́ tepla v třı́rozměrném nehybném prostředı́
~˙ = −λ ∇T A ,
Q
NC
EP
Vedenı́ tepla v třı́rozměrném hmotném prostředı́m je popsáno Fourierovým zákonem, který
pro tento přı́pad nabývá tvaru
(5.1)
~˙ je vektor tepelného toku (Q
~˙ = Q̇x~i+ Q̇y~j + Q̇z~k), A označuje plochu, kterou tepelný tok
kde Q
~˙ kolmý, λ je tepelná vodivost prostředı́ [W m−1 K−1 ], symbol
~˙ procházı́ a ke které je vektor Q
Q
∇T označuje gradient teploty (vektor, udávajı́cı́ velikost a ukazujı́cı́ směr nejstrmějšı́ho růstu
teploty v daném mı́stě prostoru)
∂T ~ ∂T ~ ∂T ~
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
KO
∇T =
(5.2)
a symboly ~i, ~j a ~k označujı́ jednotkové vektory ve směru souřadných os x, y a z.
~˙ [W] vektor intenzity (husV mnoha přı́padech užı́váme namı́sto vektoru tepelného toku Q
toty, [W m−2 ]) tepelného toku
~˙
Q
~q˙ =
.
A
(5.3)
V dalšı́m textu budeme tečku nad symbolem q pro zjednodušenı́ zápisu obvykle vynechávat
a v přı́padech jednosměrného vedenı́ nebudeme užı́vat ani šipku nad symbolem q.
Tepelná vodivost prostředı́ λ je materiálová vlastnost, která kromě chemického složenı́
prostředı́ je též závislá na teplotě a (v přı́padě plynů, par a jiných významně stlačitelných
materiálů) též na tlaku.
λ ≡ λ(T, p) .
(5.4)
Závislosti tepelné vodivosti na teplotě se pro různé materiály a zejména pro různá skupenstvı́
mohou velmi výrazně odlišovat: Tepelná vodivost pevných látek s rostoucı́ teplotou obvykle
klesá, i když např. tepelná vodivost nerezové ocel AISI 304 s rostoucı́ teplotou dosti výrazně
51
roste (viz např. monografii [8]). Podobně se chovajı́ i materiály ze slinutého křemene. Tepelná
vodivost kapalin vykazuje velmi rozdı́lné závislosti na teplotě - pro některé kapaliny s teplotou
roste (např. pro glycerin), pro jiné klesá (kapalný amoniak, freony). Tepelná vodivost plynů
s rostoucı́ teplotou vzrůstá. Hodnoty tepelné vodivosti pro běžné materiály se pohybujı́ od
setin do stovek Wm−1 K−1 .
5.2
Bilancovánı́ enthalpie při vedenı́ tepla v pevných látkách
T!
!!
Pro mnoho technologických aplikacı́ (např. při tepelné sterilizaci potravin) je nezbytné znát
teplotnı́ pole ve zpracovávaném materiálu a jeho časový vývoj, tj. znát teplotu materiálu jako
funkci prostorových souřadnic a času - T (x, y, z, τ ). V některých přı́padech je možno stanovit
teplotnı́ pole měřenı́m, ve většině přı́padů ale teplotnı́ pole zı́skáváme řešenı́m (analytickým
nebo numerickým) rovnic odvozených na základě bilancovánı́ enthalpie v diferenciálnı́m objemu materiálu. Jako přı́klad zde uvedeme odvozenı́ Fourierovy rovnice, jejı́mž řešenı́m lze
zı́skat teplotnı́ pole v nehybném (neproudı́cı́m, resp. nedeformujı́cı́m se) materiálu, ve kterém
se uplatňuje vedenı́ tepla a přı́padně též zdroj tepla, např. chemické reakce nebo biologické
procesy, nebo zdroj tepla přeměnnou energie mikrovlnného zářenı́.
NC
EP
y
qz + dz
dHg, dHa
λ, ρ, cp
dz
qx
qy + dy
qx + dx
KO
qy
z
dx
qz
dy
x
Obr. 5.1: Schéma k bilanci enthalpie v diferenciálnı́m objemu nehybného prostředı́.
Schéma pro odvozenı́ bilančnı́ rovnice je ukázáno na obr. 5.1: Uvažujeme bilančnı́ systém
diferenciálnı́ho objemu dV = dx dy dz, ve kterém se nacházı́ nehybný materiál s hustotou %,
tepelnou vodivostı́ λ, tepelnou kapacitou cp a který sdı́lı́ s okolı́m teplo vedenı́m přes stěny
systému. Dále uvažujeme, že se uvnitř systému nacházı́ zdroj tepla, resp. enthalpie o velikosti dḢg . Tı́mto zdrojem mohou být např. chemické reakce, metabolické procesy v buňkách
mikroorganismů nebo např. přeměna energie mikrovlnného zářenı́ na teplo. Zdroj enthalpie
rozepı́šeme jako součin objemové hustoty zdroje enthalpie ḣg a objemu bilančnı́ho systému
dḢg = ḣg dx dy dz .
(5.5)
Obdobným způsobem zapı́šeme rychlost akumulace enthalpie v bilančnı́m systému
dḢa = dm
dT
dT
= ρcp
dx dy dz ,
dτ
dτ
(5.6)
52
kde dḢa značı́ rychlost akumulace enthalpie v systému.
Bilančnı́ rovnice enthalpie v systému z obr. 5.1 pro diferenciálnı́ bilančnı́ obdobı́ dτ má tvar
dḢin + dḢg = dḢout + dḢa ,
(5.7)
kde dḢin a dḢout značı́ úhrnný přı́tok, resp. odtok enthalpie do (ze) systému vedenı́m tepla
přes jeho stěny. Člen dḢa označuje rychlost akumulace enthalpie v systému a dḢg je rychlost zdroje tepla uvnitř systému. Přı́tok enthalpie rozepı́šeme jako součet toků jednotlivými
vstupnı́mi plochami bilančnı́ho systému (viz obr. 5.1)
dḢin = q̇x dy dz + q̇y dx dz + q̇z dx dy ,
(5.8)
∂ q̇x
dx ,
∂x
NC
EP
q̇x+dx = q̇x +
T!
!!
kde symboly q̇x , q̇y a q̇z označujı́ hustoty přı́slušných toků tepla vedenı́m. Analogicky můžeme
vyjádřit i odtok enthalpie ze systému vedenı́m tepla přes jeho výstupnı́ hranice, Ėout . Použijeme
přitom Taylorova rozvoje 1. řádu k vyjádřenı́ hustot tepelného toku na výstupnı́ch plochách
systému pomocı́ toků na protilehlých vstupnı́ch stěnách. Pro směr souřadné osy x tak dostaneme
(5.9)
Analogicky bychom postupovali v přı́padech zbývajı́cı́ch dvou souřadných směrů. Pro celkovou
rychlost odtoku enthalpie ze systému tak dostaneme vztah
∂ q̇y
∂ q̇x
∂ q̇z
dḢout = q̇x +
dy dz + q̇y +
dx dz + q̇z +
dx dy .
(5.10)
∂x
∂y
∂z
S použitı́m vztahů (5.5), (5.6), (5.8) a (5.9) přejde - po odečtenı́ stejných členů na obou
stranách rovnice - bilančnı́ vztah (5.7) na tvar
∂ q̇y
∂ q̇x
∂ q̇z
dT
dx dy dz +
dy dx dz +
dz dx dy + ρcp
dx dy dz .
∂x
∂y
∂z
dτ
KO
ḣg dx dy dz =
(5.11)
Tuto rovnici lze vydělit objemem bilančnı́ho systému dx dy dz, který se vyskytuje ve všech
jejı́ch členech, a dále lze dosadit za jednotlivé složky hustoty tepelného toku ~q˙ ze vztahů (5.1)
- (5.3). Obdržı́me tak vztah
−
∂
∂T
∂
∂T
∂
∂T
∂T
(−λx
)−
(−λy
)−
(−λz
) + ḣg = ρcp
,
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
∂τ
(5.12)
ve kterém pro obecnost předpokládáme tepelně anisotropnı́ materiál, tj. materiál, jehož tepelná vodivost má různou hodnotu při vedenı́ tepla ve směrech jednotlivých souřadných os.
Většina materiálů však z hlediska vedenı́ tepla vykazuje chovánı́ isotropnı́, tj. platı́ λx = λy =
λz ≡ λ. Pak lze rovnici (5.12) upravit na tvar
λ(
∂2T
∂2T
∂2T
∂T
+
+
) + ḣg = ρcp
,
∂x2
∂y 2
∂z 2
∂τ
(5.13)
který po osamostatněnı́ časové derivace přejde na tvar
ḣg
∂T
λ ∂2T
∂2T
∂2T
=
( 2 +
+
)+
.
∂τ
ρcp ∂x
∂y 2
∂z 2
ρcp
53
(5.14)
Výraz ρcλp definuje tzv. teplotnı́ vodivost materiálu a [m2 s−1 ]. Po jejı́m dosazenı́ do rovnice
(5.14) obdržı́me tzv. Fourierovu rovnici pro vedenı́ tepla v pevném materiálu umožňujı́cı́ určit
teplotnı́ pole T (x, y, z, τ ) v materiálu
ḣg
∂T
∂2T
∂2T
∂2T
.
= a( 2 +
+
)+
2
2
∂τ
∂x
∂y
∂z
ρcp
(5.15)
V praxi se velmi často zpracovávajı́ materiály cylindrického tvaru, takže vzniká potřeba formulovat Fourierovu rovnici pro cylindrické souřadnice (viz. obr. 5.2). V cylindrických souřadnicı́ch
má Fourierova rovnice tvar
T!
!!
z
r
NC
EP
ϕ
Obr. 5.2: Cylindrický souřadnicový systém
∂T
1 ∂ ∂T
1 ∂ ∂T
∂ ∂T
=a
(r
)+ 2
(
)+
(
) + ḣg ,
∂τ
r ∂r ∂r
r ∂ϕ ∂ϕ
∂z ∂z
(5.16)
5.3
KO
který lze odvodit obdobným způsobem jako rovnici (5.15). Postup odvozenı́ lze nalézt v literatuře (např. [8], [11]).
Jednosměrné ustálené vedenı́ tepla
Pokud se teplo v materiálu vede pouze v jednom směru, např. ve směru souřadné osy x, a
sdı́lenı́ tepla je ustálené, přejde Fourierova rovnice (5.15) na tvar
0=
ḣg
λ d2 T
+
,
2
ρcp dx
ρcp
(5.17)
který lze dále zjednodušit do podoby
ḣg
d2 T
.
=−
2
dx
λ
(5.18)
Uvažujme nynı́ jednosměrné vedenı́ tepla rozsáhlou pevnou deskou o tloušt’ce δ nebo na povrchu důkladně tepelně izolovanou tyčı́ s délkou δ v přı́padě, kdy jeden povrch desky (jeden
konec tyče) je udržován při konstantnı́ teplotě T0 a druhý při konstantnı́ teplotě T1 . Tepelnou
vodivost desky (tyče) λ budeme uvažovat konstantnı́. Prvnı́ integracı́ rovnice (5.18) podle
proměnné x obdržı́me vztah
ḣg
dT
= − x + C1 ,
dx
λ
(5.19)
54
po druhé integraci pak
ḣg 2
x + C1 x + C2 .
(5.20)
2λ
Hodnoty integračnı́ch konstant C1 a C2 určı́me dosazenı́m okrajových podmı́nek do rovnice
(5.20): Pro levý okraj (x = 0), na kterém uvažujeme konstantnı́ teplotu T0 , tak dostaneme
podmı́nku
T =−
x = 0 : T = T0 ,
(5.21)
C2 = T0 .
(5.22)
tedy
T!
!!
Pro pravý okraj systému (x = δ), na kterém uvažujeme konstantnı́ teplotu T1 , tj. pro okrajovou podmı́nku
x = δ : T = T1 ,
(5.23)
obdržı́me po dosazenı́ do rovnice (5.20) a po úpravách takto zı́skaného vztahu výraz pro
konstantu C1
NC
EP
ḣg 2
1
δ ) .
C1 = (T1 − T0 +
δ
2λ
(5.24)
Po dosazenı́ integračnı́ch konstant C1 a C2 do rovnice (5.20) obdržı́me výraz pro teplotnı́ profil
v materiálu v přı́padě jednosměrného ustáleného vedenı́ tepla v podobě
ḣg 2 1
ḣg 2
x + (T1 − T0 +
δ )x + T0 .
(5.25)
2λ
δ
2λ
Je zřejmé, že při nenulové hodnotě objemové hustoty zdroje tepla v systému je teplotnı́ profil
parabolickou funkce souřadnice x, a že se tedy mohou v systému nacházet maxima či minima
teploty (horké či chladné body označené na obr. 5.3 kroužky). Při nulové hodnotě objemové
hustoty zdroje tepla je teplotnı́ profil lineárnı́.
5.4
KO
T =−
Sdı́lenı́ tepla mezi pevnou stěnou a kapalinou
zahřı́vánı́ nebo chlazenı́ kapalin v nádobách, chladicı́ hady, tepelné výměnı́ky
5.5
Úlohy
U5.1 Intenzita tepelného toku dřevěnou deskou o tloušt’ce 50 mm, jejı́ž jeden povrch je
udržován na teplotě 40◦ C a druhý na teplotě 20◦ C, má hodnotu 40 W m−2 ? Určete hodnotu
tepelné vodivosti dřeva, ze kterého je deska zhotovena.
Výsledek: Tepelná vodivost dřeva má hodnotu 0,10 W m−1 K−1 .
U5.2 Mrazicı́ box má tvar krychle o délce hrany 2 m. Předpokládejte, že dno boxu je dokonale tepelně izolováno. Jaká je minimálnı́ potřebná tloušt’ka izolace z pěnového polystyrénu
STYROPOR (s tepelnou vodivostı́ 0,03 W m−1 K−1 ), kterou je nutno obložit hornı́ stěnu a
bočnı́ stěny boxu, jestliže ztráty chladu stěnami boxu nemajı́ přesáhnout 500 W? Vnitřnı́
povrch boxu má teplotu -10◦ C a vnějšı́ povrch bude vystaven teplotě 35◦ C.
Výsledek: Vrstva izolace musı́ mı́t tloušt’ku 54 mm.
55
400
+200
T/K
380
+60
360
0
340
-50
0.00
0.05
0.10
T!
!!
-100
320
0.15
0.20
x/m
NC
EP
Obr. 5.3: Teplotnı́ profily při ustáleném vedenı́ tepla rovinnou stěnou o tloušt’ce δ = 0, 2 m s tepelnou
vodivostı́ λ = 20 W m−1 K−1 a s okrajovými teplotami T0 = 323 K a T1 = 373 K při různých hodnotách
výkonu internı́ho objemového tepelného zdroje v desce. Popisky u jednotlivých profilů udávajı́ výkon
zdroje ḣg v kW m−3 .
U5.3 Dno hrnce má tloušt’ku 5 mm a průměr 200 mm a může být zhotoveno bud’to z hlinı́ku
(tepelná vodivost 240 W m−1 K−1 ) nebo z mědi (tepelná vodivost 390 W m−1 K−1 ). V hrnci se
vařı́ voda (při normálnı́m tlaku) a povrch dna, který je v kontaktu s vroucı́ vodou, má teplotu
110◦ C. Jestliže sporák dodává do dna hrnce tepelný tok o hodnotě 600 W, určete teplotu
vnějšı́ho povrchu dna hrnce pro oba materiály použitelné k jeho výrobě.
KO
Výsledek: Teplota vnějšı́ho povrchu dna hrnce bude 110,4◦ C při použitı́ hlinı́kového dna a
110,25◦ C v přı́padě měděného dna.
U5.4 Jeden povrch rozsáhlé ploché desky o tloušt’ce δ a tepelné vodivosti λ je udržován
při konstantnı́ teplotě T1 a druhý povrch při teplotě T2 . Uvnitř desky se nacházı́ zdroj tepla
s konstantnı́ objemovou hustotou výkonu q̇ [W m−3 ]. a) Najděte vztah popisujı́cı́ teplotnı́
profil, který se v desce ustavı́ po dosaženı́ ustáleného stavu. b) Jaký bude teplotnı́ profil v
desce, jestliže povrch desky, který měl původně konstantnı́ teplotu T2 bude namı́sto toho
dokonale tepelně izolován?
Výsledek:
a) Teplotnı́ profilhv ustáleném stavu
i je popsán funkcı́:
q̇ 2
q̇δ
1
T (x) = − 2λ x + 2λ − δ (T1 − T2 ) x + T1 ,
q̇ 2
b) Teplotnı́ profil bude popsán vztahem: T (x) = − 2λ
x +
q̇δ
λx
+ T1 .
U5.5 Zjistěte, zda se za podmı́nek úlohy U5.4 může uvnitř desky vytvořit lokálnı́ teplotnı́
extrém.
2
Výsledek: a) Extrém se vytvořı́, pokud pro okrajové teploty T1 a T2 bude platit − q̇δ
2λ ≤
q̇δ 2
T1 − T2 ≤ 2λ . b) Vždy vznikne teplotnı́ maximum na povrchu desky se souřadnicı́ x = δ,
uvnitř stěny žádný teplotnı́ extrém nevznikne.
56
U5.6 Teplotnı́ profil v rovinné stěně s tloušt’kou 1 m je v určitém časovém okamžiku popsán
vztahem T (x) = a + bx + cx2 , kde T je ve ◦ C, x je v metrech, a = 900 ◦ C, b = −300
◦ C m−1 a c = −50 ◦ C m−2 . Ve stěně se nacházı́ rovnoměrně rozložený zdroj tepelné energie
s konstantnı́ objemovou hustotou výkonu q̇ [W m−3 ]. Plocha stěny je 10 m2 , jejı́ hustota je
rovna 1600 kg m−3 , tepelná vodivost má hodnotu 40 W m−1 K−1 a měrná tepelná kapacita je
rovna 4 kJ kg−1 K−1 . a) Určete velikost tepelného toku, který do stěny vstupuje na okraji se
souřadnicı́ x = 0 m a velikost tepelného toku, který ze stěny vystupuje (tj. pro x = 1 m). b)
Určete rychlost akumulace tepla ve stěně. c) Určete rychlost změny teploty v bodech uvnitř
stěny o souřadnicı́ch x = 0, 0,25 a 0,5 m.
Výsledek: a) Tepelné toky činı́ 120 kW na vstupnı́ straně a 160 kW na výstupnı́ stěně, b)
rychlost akumulace tepla ve stěně je rovna -30 kW, c) rychlost změny teploty nezávisı́ na
souřadnici x a má hodnotu −4, 69 · 10−4 K s−1 .
NC
EP
T!
!!
U5.7 Horké kultivačnı́ médium po sterilizaci se před plněnı́m fermentoru ochlazuje v tepelném výměnı́ku typu ”trubka v trubce”. Médium vystupuje ze sterilizátoru s teplotou 121◦ C
a jeho objemový průtok výměnı́kem je roven 10 m3 h−1 . Požadovaná teplota média po ochlazenı́ je 30◦ C. Průtok chladicı́ vody je roven 25 m3 h−1 a jejı́ teplota na vstupu do výměnı́ku
je 15◦ C. Výměnı́k pracuje v ustáleném stavu. Předpokládejte, že ochlazované médium má
fyzikálně-chemické vlastnosti vody o stejné teplotě. Vypočı́tejte: a) Velikost tepelného toku
vyměňovaného ve výměnı́ku, b) výstupnı́ teplotu chladicı́ vody.
Výsledek: a) Tepelný tok vyměňovaný ve výměnı́ku činı́ 1060 kW, b) výstupnı́ teplota chladicı́
vody je rovna 51,4◦ C.
KO
U5.8 V bioreaktoru o pracovnı́m objemu 150 m3 se při teplotě 35◦ C produkuje biomasa
vláknité plı́sně kultivacı́ v kapalném médiu obsahujı́cı́m glukózu. Biomasa spotřebovává kyslı́k
dodávaný aeračnı́m zařı́zenı́m rychlostı́ 1,5 kg m−3 h−1 . Na 1 mol spotřebovaného kyslı́ku se
do média uvolnı́ 460 kJ metabolického tepla. Mı́chadlo disipuje 1 kW mechanické energie na
1 m3 média. K chlazenı́ bioreaktoru lze použı́t 60 m3 h−1 chladicı́ vody z blı́zké řeky, která má
teplotu 10◦ C. Jaká bude teplota chladicı́ vody na výstupu z chladicı́ho systému bioreaktoru
v ustáleném stavu?
Výsledek: Výstupnı́ teplota chladicı́ vody bude mı́t hodnotu 25◦ C.
U5.9 Svazkový výměnı́k tepla sloužı́ k ohřevu zředěného vodného roztoku soli, který se
použı́vá při chromatografickém dělenı́ proteinů. 25,5 m3 h−1 solného roztoku protéká vnitřkem
42 trubek svazku, které majı́ vnitřnı́ průměr 15 mm a délku 4 m. Viskozita roztoku má hodnotu
1 · 10−3 Pa s, hustota roztoku je rovna 1010 kg m−3 , tepelná kapacita roztoku má hodnotu 4
kJ kg−1 K−1 a tepelná vodivost 0,64 W m−1 K−1 . Určete hodnotu součinitele přestupu tepla na
vnitřnı́m povrchu trubek ve svazku. Použijte kriteriálnı́ vztah Nu = 0, 023 Re0,8 Pr0,4 , který
lze použı́t pro 104 ≤ Re ≤ 1, 2 · 105 , 0, 7 ≤ Pr ≤ 1200 a L/d ≥ 60.
Výsledek: Součinitel přestupu tepla má hodnotu 4350 W m−2 K−1 .
U5.10 Promı́chávaný fermentor o vnitřnı́m průměru 5 m je chlazen pomocı́ trubkového
hadu. Fermentor je promı́cháván turbinovým mı́chadlem o průměru 1,8 m, jehož frekvence
otáčenı́ je 60 min−1 . Kapalné médium ve fermentoru má tyto fyzikálně-chemické vlastnosti:
dynamickou viskozitu 5 · 10−3 Pa s, hustotu 1000 kg m−3 , tepelnou kapacitu 4,2 kJ kg−1 K−1
a tepelnou vodivost 0,70 W m−1 K−1 . Zanedbejte změnu viskozity média s teplotou a určete
hodnotu součinitele přestupu tepla na povrchu chladicı́ho hadu. Použijte kriteriálnı́ vztah
57
0,14
1/3 ηb
Nu = 0, 87 Re0,62
Pr
, kde ReM je Reynoldsovo kritérium pro mı́chadlo, index b
M
ηw
označuje jádro promı́chávané vsádky a index w označuje povrch trubkového hadu.
Výsledek: Součinitel přestupu tepla bude mı́t hodnotu 1520 W m−2 K−1 .
T!
!!
U5.11 Obsah fermentoru při produkci antibiotika musı́ být udržován při konstantnı́ teplotě
27◦ C. Na základě odhadnuté rychlosti spotřeby kyslı́ku a rychlosti disipace mechanické energie dodávané mı́chadlem bylo určeno, že potřebná rychlost odvodu tepla z kapalné vsádky
ve fermentoru je 550 kW. K dispozici je chladicı́ voda se vstupnı́ teplotou 10◦ C, která se
při chlazenı́ fermentoru ohřeje na teplotu 25◦ C. Chlazenı́ fermentoru je realizováno pomocı́
trubkového hadu vyrobeného z ocelových trubek o vnějšı́m průměru 80 mm, s tloušt’kou stěny
5 mm a tepelnou vodivostı́ 60 W m−1 K−1 . Součinitel přestupu tepla na vnějšı́ straně trubky
má hodnotu 2150 W m−2 K−1 , na straně chladicı́ vody má hodnotu 14000 W m−2 K−1 . Určete
potřebnou délku chladicı́ho hadu. Jak se délka hadu změnı́, utvořı́-li se na jeho vnějšı́m povrchu vrstva úsad s tepelným odporem (δ/λ) o velikosti 1,18 10−4 m2 K W−1 ?
KO
NC
EP
Výsledek: Potřebná délka hadu bez tvorby úsad je 194 m, při tvořenı́ úsad potřebná délka
vzroste na 231 m.
58
Kap. 6:
SDÍLENÍ TEPLA SÁLÁNÍM
Mechanismus sdı́lenı́ tepla sálánı́m
KO
Tělesa a látky s teplotou vyššı́ než 0 K vyzařujı́
energii ve formě elektromagnetického zářenı́ se
širokým rozsahem vlnových délek - viz obr. 6.1.
Z obrázku je zřejmé, že s rostoucı́ teplotou se maximum intenzity vyzařovánı́ výrazně zvyšuje a posouvá se směrem ke kratšı́m vlnovým délkám (viz
Wienův posunovacı́ zákon probraný ve Fyzice I).
Závislost intenzity emitovaného zářenı́ Ėλ (λ, T )
na jeho vlnové délce λ a teplotě tělesa T popisuje
Planckův zákon vyzařovánı́ pro absolutně černé
těleso
Ėλ (λ, T ) =
2πhc2
hc
λ5 e λkT − 1
W m−3 , (6.1)
kde h je Planckova konstanta (6,626 · 10−34 J s)
k je Boltzmannova konstanta (1,38·10−23 J K−1 )
a c je rychlost světla ve vakuu (299 792 458 m s−1 ).
Hodnota výrazu Ėλ (λ, T ) dλ udává velikost energetického toku vyzařovaného při teplotě T povrchem objektu v rozmezı́ vlnových délek hλ, λ +
dλi.
Část emitovaného zářenı́ při dopadu na
pokožku vyvolává pocit tepla a z tohoto důvodu
ji proto nazýváme tepelné zářenı́ (je důležité
uvědomit si, že k vnitřnı́ energii ozářených těles,
tedy i k našemu pocitu tepla, přispı́vá i dopadajı́cı́
59
14
2.0 10
T=7000 K
14
1.5 10
.
Eλ(,T) [Wm -3]
6.1
NC
EP
T!
!!
Při sdı́lenı́ tepla sálánı́m se mezi dvěma hmotnými objekty s rozdı́lnými povrchovými teplotami vyměňuje energie prostřednictvı́m elektromagnetického zářenı́. Část energie elektromagnetického zářenı́ se po dopadu na povrch tělesa měnı́ v teplo (vnitřnı́ energii objektu), proto
mluvı́me o sdı́lenı́ tepla sálánı́m. Sdı́lenı́ tepla sálánı́m nenı́ podmı́něno přı́tomnostı́ hmoty
v prostoru oddělujı́cı́m tělesa, mezi kterými sdı́lenı́ probı́há, může tedy k němu docházet i ve
vakuu, kde naopak probı́há s největšı́ intenzitou, protože vakuum samotné elektromagnetické zářenı́ nepohlcuje. Sdı́lenı́ tepla sálánı́m je obzvláště významné v přı́padech, kdy teploty
povrchů, mezi kterými se teplo sdı́lı́, nabývajı́ hodnot řádově ve stovkách až tisı́cı́ch ◦ C (metalurgie, procesnı́ pece, vysokoteplotnı́ chemicko-technologické procesy, pečenı́ pokrmů atp.).
14
1.0 10
T=6000 K
13
5.0 10
T=5000 K
T=4000 K
T=3000 K
0
100
200
500
1000
2000
5000
4
1 10
 [nm]
Obr. 6.1: Závislost intenzity zářenı́ emitovaného absolutně černým tělesem na vlnové délce zářenı́ a teplotě tělesa (Planckův
vyzařovacı́ zákon, rovn. (6.1)).
zářenı́ jiných vlnových délek, které jako tepelné neoznačujeme). Jak je zřejmé z obr. 6.2, tepelné zářenı́ pokrývá poměrně široký rozsah vlnových délek (od cca desetin mikrometru do
tisı́ců či desetitisı́ců mikrometrů). Ve viditelné oblasti navazuje na tepelné zářenı́ zářenı́ ultrafialové, na druhé straně na ně navazuje mikrovlnné elektromagnetické zářenı́.
abc
X
-4
10
-3
10
-2
10
0
-1
10
10
T!
!!
-5
mikrovlny
tepelné záření
γ
10
infračervené záření
VIS
UV
d
10
1
2
10
3
10
4
10
λ (µm)
6.2
NC
EP
Obr. 6.2: Schématické znázorněnı́ rozsahů vlnových délek různých druhů elektromagnetického zářenı́.
a - oblast blı́zkého infračerveného zářenı́, b - oblast krátkovlného infračerveného zářenı́, c - oblast
středněvlného infračerveného zářenı́, d - oblast tepelného infračerveného zářenı́.
Stefanův-Boltzmanův zákon
KO
Hustotu (W m−2 ) energetického toku vyzařovaného jednotkovým povrchem absolutně černého
tělesa vyjadřuje Stefanův-Boltzmanův zákon
Ėe = σTs4 ,
(6.2)
který obdržı́me z Planckova zákona (6.1) integracı́ přes všechny vlnové délky. Pro povrch
reálného tělesa zapisujeme Stefanův-Boltzmannův zákon ve tvaru
Ėe = εe σTs4 ,
(6.3)
kde εe je tzv. emisivita (neboli zářivost) povrchu reálného tělesa. Pro hodnotu emisivity platı́
0 ≤ εe ≤ 1. Vysokou hodnotu emisivity vykazujı́ matné černé povrchy, naopak nı́zkou hodnotu
emisivity majı́ povrchy zrcadlově lesklé.
6.3
Absorpce zářenı́ povrchem tělesa
Na povrch těles v prostoru obecně dopadá energetické zářenı́ z okolnı́ch objektů a pozadı́. Celkovou intenzitu [Wm−2 ] tepelného zářenı́ dopadajı́cı́ho na povrch sledovaného tělesa označı́me
Ġ. Část dopadajı́cı́ho zářenı́ je povrchem tělesa odražena zpět do prostoru (reflexe), část je
pohlcena (absorpce) a část tělesem projde (transmise). Lze tedy psát
Ġ = εr Ġ + εa Ġ + εt Ġ = (εr + εa + εt ) Ġ ,
60
(6.4)
kde εr je tzv. reflexivita (či odrazivost) povrchu tělesa, εa je jeho absorptivita (či pohltivost)
a εt je tzv. transmisivita (či propustnost nebo průteplivost) tělesa. Očividně musı́ platit
εr + εa + εt = 1 .
(6.5)
Pro mnoho reálných povrchů platı́, že jejich absorptivita rovná se jejich emisivitě, tj. εa = εe .
Ozařované těleso tedy pohlcuje energetický tok o velikosti
Ġa = εa Ġ
(6.6)
Výměna tepla sálánı́m mezi tělesem a obklopujı́cı́ plochou
NC
EP
6.4
T!
!!
a stejnou rychlostı́ se zvyšuje jeho vnitřnı́ energie. Tı́m roste i teplota tělesa a těleso samo
se stává intenzivnějšı́m zářičem, který emituje zářenı́ zpět k tělesu (tělesům), které (která)
je ozařuje (ozařujı́). Může docházet k velmi složitým situacı́m, které se často jenom obtı́žně
popisujı́, protože je nutno vzı́t do úvahy mnoho faktorů geometrických i fyzikálně chemických.
Pro vybrané situace (sdı́lenı́ tepla sálánı́m mezi paralelnı́mi deskami, mezi souosými válcovými
plochami a pod.) lze nalézt analytická řešenı́ problému ve specializovaných monografiı́ch (např.
[6] a [7]) Jednoduchý přı́pad představuje sdı́lenı́ tepla sálánı́m mezi malým objektem a velkým
povrchem, který ozařovaný objekt úplně obklopuje (malé těleso v peci, lidské tělo na pláži a
pod.), který popı́šeme v následujı́cı́ části.
Přı́kladem takové situace je (s jistým zjednodušujı́cı́m nadhledem) např. přı́prava pečeně
v troubě nebo vzorek sušený v radiačnı́ sušárně a dalšı́ situace, kdy objekt relativně malé
velikosti je umı́stěn tak, že je úplně obklopen velkým povrchem o konstantnı́ teplotě To ,
k výměně tepla sálánı́m tedy docházı́ pouze mezi povrchem objektu a obklopujı́cı́ jej plochou - viz obr. 6.3. Teplotu povrchu objektu označı́me Ts a budeme předpokládat, že má
T
8
KO
To
Ts
OBJEKT
Obr. 6.3: Sdı́lenı́ tepla sálánı́m mezi malým objektem konvexnı́ho tvaru a rozsáhlou jej obklopujı́cı́
plochou.
po celém povrchu tutéž hodnotu, která se však může měnit s časem. Hustota q̇ výsledného
tepelného toku vyměňovaného mezi objektem a jej obklopujı́cı́m povrchem je dána rozdı́lem
mezi tepelným tokem objektem emitovaným a tokem pohlcovaným
q̇ =
Q̇
= εe σTs4 − εa σTo4 .
A
(6.7)
61
Předpokládáme-li rovnost emisivity a absorptivity povrchu objektu (εe = εa ), platı́ pro hustotu tepelného toku q̇ zjednodušený vztah
q̇ = εe σ Ts4 − To4
.
(6.8)
V ustáleném stavu je výsledný tepelný tok mezi objektem a jej obklopujı́cı́m povrchem nulový
a rovnice (6.7) a (6.8) umožňujı́ určit teplotu povrchu objektu Ts v ustáleném stavu. Je zjevné,
že v přı́padech, kdy povrch objektu splňuje podmı́nku εe = εa , nabývá povrchová teplota
objektu hodnoty To .
Je zapotřebı́ podotknout, že rovnice (6.7) vyjadřuje pouze výslednou hustotu tepelného
toku mezi objektem a obklopujı́cı́ plochou a že se nejedná o bilanci energie, protože jsme
nebrali v úvahu akumulaci energie v objektu, vedenı́ tepla v objektu a v podložce a možné
procesy spotřeby či produkce tepla v objektu (např. chemickými či biologickými procesy).
A1, T1, ε1
A1, T1, ε1
NC
EP
A2, T2, ε2
a) paralelní rozsáhlé (nekonečné) desky
r2
r1
A2, T2, ε2
b) koncentrické (nekonečně) dlouhé válcové plochy
A2, T2, ε2
A1, T1, ε1
KO
A1, T1, ε1
r2
T!
!!
r1
A2, T2, ε2
d) malý konvexní objekt v rozsáhlé kavitě
c) koncentrické kulové plochy
Obr. 6.4: Speciálnı́ přı́pady výměny tepla sálánı́m mezi šedými difusnı́mi povrchy.
Q̇ =
Q̇ =
Q̇ =
Aσ T14 − T24
1
1
ε1 + ε2 − 1
A1 = A2 ≡ A
,
σA1 T14 − T24
,
1−ε2 r1
1
+
ε1
ε2
r2
4
σA1 T1 − T24
2 ,
1−ε2 r1
1
+
ε1
ε2
r2
Q̇ = σA1 ε1 T14 − T24
A1
r1
=
A2
r2
,
,
(6.9)
(6.10)
A1
r2
= 12
A2
r2
(6.11)
A1
≈ 0.
A2
(6.12)
62
6.5
Kombinované sdı́lenı́ tepla sálánı́m a konvekcı́
Objekt znázorněný na obr. 6.3 může být (a v praxi tomu tak bývá téměř vždy) plynným
prostředı́m a docházı́ tedy ještě k volnému či nucenému přestupu tepla z povrchu tělesa do
tohoto plynného prostředı́. Pro hustotu tepelného toku q̇ mezi povrchem tělesa a okolı́m platı́
v tomto přı́padě vztah
q̇ = σ(εe Ts4 − εa To4 ) + α(Ts − T∞ )
(6.13)
kde T∞ teplota plynného prostředı́ obklopujı́cı́ho objekt v dostatečné vzdálenosti od jeho
povrchu a α je součinitel přestupu tepla na povrchu objektu. Hodnotu součinitele přestupu
tepla určı́me z hodnoty Nusseltova kritéria
αl
,
λg
(6.14)
T!
!!
Nu =
Nu = C (Gr Pr)m .
NC
EP
kde l označuje charakteristický rozměr objektu a λg je tepelná vodivost plynného prostředı́
obklopujı́cı́ho objekt. Hodnota Nusseltova kritéria je závislá předevšı́m na charakteru prouděnı́
plynného prostředı́ u povrchu objektu, tj. na hodnotě Reynoldsova kritéria, Re, resp. kritéria
Grasshofova, Gr, a na fyzikálně-chemických vlastnostech tohoto prostředı́, tj. na hodnotě
Prandtlova kritéria, Pr, a určı́me ji pomocı́ vhodného kriteriálnı́ho vztahu (viz skripta [5]),
např. ze vztahu pro volnou (přirozenou) konvekci
(6.15)
Hodnoty konstant C a m v této rovnici lze pro konkrétnı́ přı́pady nalézt v literatuře, např.
[5].
1
KO
.
Q1
A1 , T1 , ε1
3
2
.
.
Q13
Q32
ε3,1
ε3,2
A3 , T3
.
-Q2
A2 , T2 , ε2
Obr. 6.5: Sdı́lenı́ tepla sálánı́m mezi rozsáhlými paralelnı́mi rovinnými stěnami (1, 2) s radiačnı́
zástěnou (3).
6.6
Radiačnı́ zástěny
Radiačnı́ zástěny zhotovené z materiálů s nı́zkou emisivitou (tudı́ž s vysokou reflexivitou)
se použı́vajı́ ke snı́ženı́ celkového radiačnı́ho tepelného toku mezi dvěma povrchy. Situace,
kdy je planárnı́ radiačnı́ zástěna (3) umı́stěna mezi dvěma paralelnı́mi planárnı́mi rozsáhlými
63
plochami (1 a 2) je ukázána na obr. 6.5. Radiačnı́ zástěny se zhotovujı́ z materiálů pro tepelné zářenı́ nepropustných (tj. s nulovou tramsmisivitou) a s difusnı́mi povrchy, tj. s povrchy
odrážejı́cı́mi a vyzařujı́cı́mi tepelné zářenı́ do všech směrů. Hodnota radiačnı́ho tepelného toku
mezi stěnami 1 a 2 v nepřı́tomnosti radiačnı́ zástěny je dána rovnicı́ (6.9). Po vloženı́ zástěny
je velikost tepelného toku dána rovnicı́
A1 σ T14 − T24
Q̇12 = 1
,
(6.16)
1−ε3,1
1−ε3,2
1
ε1 + ε3,1 + ε3,2 + ε2
T!
!!
v ustáleném stavu Q̇12 = Q̇13 = Q̇32 . Význam symbolů v rovnici (6.16) je zřejmý z obrázku
6.5.
Pokud je mezi povrchy 1 a 2 umı́stěno celkově N paralelnı́ch radiačnı́ch zástěn, je velikost
výsledného tepelného toku od povrchu 1 k povrchu 2 dána vztahem
A1 σ T14 − T24
Q̇12 =
,
(6.17)
PN 1
1
1
1
+
+
−
(N
+
1)
+
n=1 εn,1
ε1
εn,2
ε2
Q̇N zasten =
6.7
Úlohy
NC
EP
kde εn,1 označuje emisivitu povrchu n-té zástěny přivráceného (orientovaného) ke stěně 1 a
εn,2 emisivitu povrchu n-té zástěny přivráceného (orientovaného) ke stěně 2. Lze se snadno
přesvědčit, že pro N = 1 přejde rovnice (6.17) na tvar (6.16). Pokud majı́ všechny povrchy
v systému dvou stěn a N radiačnı́ch zástěn stejné hodnoty emisivity, platı́ pro snı́ženı́ tepelného
toku vztah
Q̇bez zasteny
N +1
.
(6.18)
KO
U6.1 Neizolované parnı́ potrubı́ procházı́ mı́stnostı́, jejı́ž stěny a vzduch v nı́ obsažený majı́
konstantnı́ teplotu 25◦ C. Trubka má vnějšı́ průměr 70 mm a teplota jejı́ho vnějšı́ho povrchu
je 200◦ C. Emisivita vnějšı́ho povrchu trubky je rovna 0,8. Jak velký je emisnı́ tepelný výkon
vyzařovaný z povrchu trubky a jak velký je výkon jejı́ho ozářenı́ stěnami mı́stnosti? Jak velké
jsou ztráty tepla připadajı́cı́ na 1 m délky trubky, jestliže koeficient přestupu tepla na povrchu
trubky má hodnotu 15 W m−2 K−1 ?
Výsledek: Emisnı́ výkon vyzařovaný z povrchu trubky je 2270,5 W m−2 , ozářenı́ trubky má
hodnotu 447 W m−2 . Tepelné ztráty připadajı́cı́ na 1 m délky trubky majı́ velikost 998 W.
U6.2 Horké spalné plyny v peci jsou od okolnı́ho vzduchu a stěn okolnı́ mı́stnosti, které majı́
teplotu 25◦ C, odděleny cihlovou stěnou pece o tloušt’ce 0,15 m. Stěna má tepelnou vodivost
1,2 W m−1 K−1 a jejı́ povrch má emisivitu o hodnotě 0,8. V ustáleném stavu bylo zjištěno,
že vnějšı́ povrch stěny pece má teplotu 100◦ C. Koeficient přestupu tepla volnou konvekcı́
z vnějšı́ho povrchu stěny do okolnı́ho vzduchu má hodnotu 20 W m−2 K−1 . Určete teplotu
vnitřnı́ho povrchu cihlové stěny pece.
Výsledek: Vnitřnı́ povrch cihlové stěny pece má teplotu 352 ◦ C.
U6.3 Vrstva pryskyřice na povrchu rovinné kovové desky je vystavena zářenı́ infračervené
lampy emitujı́cı́ rovnoměrně rozložený zářivý výkon 2000 W m−2 . Pryskyřice absorbuje 80%
dopadajı́cı́ho zářenı́ a hodnota jejı́ emisivity je 0,50. Okolo desky proudı́ vzduch o teplotě 20◦ C
64
a stěny okolnı́ mı́stnosti majı́ teplotu 30◦ C. a) Jakou teplotu bude mı́t vrstva pryskyřice v
ustáleném stavu, jestliže koeficient přestupu tepla z povrchu pryskyřice do okolnı́ho plynu má
hodnotu 15 W m−2 K−1 ? b) Jakou hodnotu musı́ mı́t součinitel přestupu tepla, má-li pryskyřice
mı́t teplotu nejvýše 50 ◦ C?
Výsledek: a) Pryskyřice bude mı́t teplotu 111◦ C, b) součinitel přestupu tepla musı́ mı́t hodnotu
55,8 W m−2 K−1 .
T!
!!
U6.4 Je známo, že v mı́stnosti, jejı́ž teplota je udržována na konstantnı́ teplotě, pocit’ujı́
osoby v nı́ pobývajı́cı́ v zimě chlad, zatı́mco v letnı́m obdobı́ se cı́tı́ v tepelné pohodě? Podejte
vysvětlenı́ tohoto jevu a podpořte je výpočtem. Uvažujte mı́stnost, ve které je po celý rok
udržována teplota vzduchu 20◦ C a jejı́ž stěny majı́ v létě teplotu 27◦ C a v zimě teplotu 14◦ C.
Lze předpokládat, že povrch těla (oděvu) osob v mı́stnosti má teplotu 32 ◦ C po celý rok a že
má emisivitu o hodnotě 0,90. Koeficient přestupu tepla na povrchu těla (oděvu) má hodnotu
2 W m−2 K−1 .
Výsledek: V zimě má intenzita celkového toku tepla z povrchu těla (119,4 W m−2 ) vı́ce než
dvojnásobnou hodnotu než v létě (52,26 W m−2 ). To je přı́činou pocitu většı́ho chladu v zimě.
NC
EP
U6.5 25 m dlouhá neizolovaná trubka parovodu je vedena vnitřkem budovy, jejı́ž stěny a
vzduch v nı́ obsažený majı́ teplotu 25◦ C. Trubka má vnějšı́ průměr 100 mm. Pára proudı́cı́
trubkou udržuje teplotu jejı́ho vnějšı́ho povrchu na konstantnı́ hodnotě 150◦ C. Koeficient
přestupu tepla volnou konvekcı́ z vnějšı́ho povrchu trubky má hodnotu 10 W m−2 K−1 . Povrch
trubky má emisivitu o hodnotě 0,8. a) Jak velký je celkový tok tepla (tepelné ztráty) z povrchu
trubky do okolı́? b) Jak vysoká bude cena tepelných ztrát za 1 rok, jestliže pára vedená trubkou
je vyráběna v parnı́m kotli vytápěném plynem, účinnost kotle je 0,9 a cena plynu činı́ 0,02 e
za 1 MJ−1 ?
KO
Výsledek: a) Tepelný tok z povrchu trubky má velikost 18,4 kW. b) Cena tepelných ztrát za
rok je e 12905.
U6.6 Žehlička s elektrickým výkonem 1000 W je postavena ve svislé poloze na žehlicı́m
prkně a jejı́ žehlicı́ plocha je vystavena okolnı́mu vzduchu s teplotou 20◦ C. Součinitel přestupu
tepla mezi žehlicı́ plochou žehličky a okolnı́m vzduchem má hodnotu 35W̃ m−2 K−1 . Určete,
jakou teplotu by měla žehlicı́ plocha žehličky, pokud by žehlička nebyla vybavena regulátorem
teploty. Velikost žehlicı́ plochy je 0,02 m2 a jejı́ emisivita má hodnotu 0,6.
Výsledek: Žehlicı́ plocha by dosáhla teploty 672◦ C.
U6.7 Tenká kovová deska je tepelně izolována na zadnı́ straně a jejı́ přednı́ strana je vystavena slunečnı́mu zářenı́. Absorptivita přednı́ho povrchu desky pro slunečnı́ zářenı́ má hodnotu
0,6. Intenzita slunečnı́ho zářenı́ dopadajı́cı́ho na desku činı́ 700 W m−2 a teplota okolnı́ho vzduchu je 25◦ C. Určete teplotu povrchu desky vystaveného slunečnı́mu zářenı́ v ustáleném stavu.
Předpokládejte hodnotu součinitele přestupu tepla na povrchu desky 50 W m−2 K−1 a zanedbejte ztráty tepla sálánı́m z neizolovaného povrchu desky.
Výsledek: Povrch desky bude mı́t teplotu 33,4◦ C.
65
66
KO
T!
!!
NC
EP
Kap. 7:
MIKROVLNNÝ A INDUKČNÍ OHŘEV
NC
EP
T!
!!
Mikrovlnný a indukčnı́ ohřev představujı́ modernı́ způsoby ohřevu materiálů, při kterých se
energie potřebná k ohřátı́ dodává bud’to přı́mo do objemu zahřı́vaného materiálu (mikrovlnný
ohřev, indukčnı́ ohřev elektricky vodivých materiálů) nebo do stěn nádoby, ve které je ohřı́vaný
materiál umı́stěn (indukčnı́ ohřev elektricky nevodivých materiálů), a to pomocı́ elektromagnetického zářenı́, kterému se materiál nebo nádoba s materiálem vystavı́. Nepoužı́vajı́ se žádná
pomocná teplonosná média, která by přı́padně mohla ohřı́vaný materiál znečistit nebo kontaminovat. Oba způsoby ohřevu proto nacházejı́ široké uplatněnı́ v potravinářských a přı́buzných
technologiı́ch, např. při sušenı́ dřeva, papı́rových výrobků, slinovánı́ keramických materiálů,
sušenı́ lepidel a nátěrů, sušenı́ potravin, sušenı́ textilu, spalovánı́ sazı́ ve filtrech výfukových
plynů, sterilizaci medicı́nských produktů atd.
x
λ
E
H
z
KO
y
Obr. 7.1: Šı́řenı́ elektromagnetického vlněnı́. E je intenzita elektrického pole elektrostatické složky
vlněnı́ (V m−1 ), H je intenzita magnetického pole magnetické složky vlněnı́ (A m−1 ), λ je vlnová délka
vlněnı́.
7.1
Mikrovlnný ohřev
Elektromagnetické zářenı́ vhodné frekvence (viz dále) do ozářeného materiálu částečně proniká, částečně se absorbuje (a je přeměněno na teplo), částečně materiálen procházı́ a částečně
je odraženo od povrchu materiálu. O velikosti jednotlivých podı́lů rozhodujı́ dielektrické vlastnosti materiálu a frekvence zářenı́.
Výhody: rychlý přenos tepla, objemový způsob ohřevu, rychlé zapnutı́ i vypnutı́, žádné
znečištěnı́ prostředı́ spalnými produkty... Lze využı́t i pro ohřev dielektrických materiálů.
Využı́vá se elektromagnetické zářenı́ o frekvencı́ch 102 MHz (nejčastěji 896 MHz, λ = 33, 5
cm) až 103 MHz (3000 MHz = 3 GHz), nejčastěji 2450 MHz. wavelengths of between 0.01
and 1 metre, corresponding to frequencies of between 30 and 0.3GHz V různých zemı́ch jsou
použı́vány různé frekvence - viz tabulka 7.1 (možné interakce s rádiovými vlnami).
67
a)
+ + + + +
-
-
-
-
+
b)
-
-
-
-
+ + + + +
+ + + + +
-
-
-
-
-
-
-
+
-
+ + + + +
T!
!!
-
-
-
+
-
-
+
-
-
-
Obr. 7.2: Reorientace dipólových molekul ve střı́davém elektromagnetickém poli a translačnı́ pohyb
iontů ve střı́davém elektromagnetickém poli.
NC
EP
Tabulka 7.1: Frekvence elektromagnetického zářenı́ povolené pro použitı́ v mikrovlnných zařı́zenı́ch
v různých zemı́ch
Frekvence
Tolerance
Územı́
(GHz)
(±)
0,434
0,2 %
Rakousko, Nizozemı́, Portugalsko, SRN, Švýcarsko
0,896
10 MHz
Velká Británie
0,915
13 MHz
Severnı́ a Jižnı́ Amerika
2,375
50 MHz
Albánie,Bulharsko, Mad’arsko, Rusko, Rumunsko,
KO
Česká republika, Slovensko
2,450
50 MHz
Celosvětově povolená frekvence s výjimkou států,
ve kterých je povolena frekvence 2,375 GHz
3,390
0,6%
Nizozemı́
5,800
5 MHz
Celosvětově povolená frekvence
6,780
0,6%
Nizozemı́
24,150
25 MHz
Celosvětově povolená frekvence
40,680
25 MHz
Velká Británie
Při ”nı́zkých”frekvencı́ch ohřev materiálu se teplo generuje v důsledku pohybu iontových
složek obsažených v materiálu. Při ”vysokých”frekvencı́ch vzniká teplo v materiálu disipacı́
mechanické energie při pohybu dipólových molekul (H2 O). Zařı́zenı́ pro mikrovlnný ohřev
obsahujı́ tzv. magnetron, zdroj elektromagnetického zářenı́, vlnovod, zařı́zenı́ přivádějı́cı́ elektromagnetické zářenı́ k ohřı́vanému materiálu a stı́nı́cı́ komory.
Dielektrické vlastnosti materiálu
ε = ε0 ε0 − iε00
(7.1)
68
kde ε0 je permitivita (dielektrická konstanta) vakua (8,86×10−12 F m−1 ), reálná část ε0 označuje
relativnı́ permitivitu (relativnı́ dielektrickou konstantu) materiálu a komplexnı́ část ε00 je tzv.
účinný (efektivnı́) dielekrický ztrátový faktor materiálu. Tyto dva parametry definujı́ tzv.
ztrátový úhel δ materiálu vztahem
tan δ =
ε00
ε0
(7.2)
T!
!!
Mikrovlnné zářenı́ je při průchodu materiálem pohlcováno (utlumováno) a jeho intenzita ve
směru od povrchu do nitra materiálu klesá. Pro kvantitativnı́ charakterizaci průniku mikrovlnného zářenı́ do materiálu se použı́vá tzv. hloubka penetrace dp , která je definována jako
.
vzdálenost, na které intenzita mikrovlnného zářenı́ poklesne na 1/e = 37% hodnoty na povrchu
materiálu i) . Hodnotu hloubky penetrace lze určit ze vztahu
√
i− 21
1
λ0 h
. λ 0 ε0
2
2
dp =
=
1 + tan δ − 1
,
(7.3)
2πε00
2πε00
kde λ0 je vlnová délka zářenı́. Hodnoty relativnı́ permitivity ε0, ztrátového faktoru ε00 a
hloubky penetrace pro některé (předevšı́m potravinářské) materiály uvádı́ tabulka 7.2.
NC
EP
Tabulka 7.2: Hodnoty relativnı́ permitivity, ztrátového faktoru a hloubky penetrace pro různé materiály při frekvenci mikrovlnného zářenı́ 2450 MHz.
KO
Materiál
Led (-12◦ C)
Voda (1,5◦ C)
Voda (25◦ C)
Voda (75◦ C)
0,1M NaCl (25◦ C)
Tuky a oleje (prům.)
Hovězı́ maso syrové (-15◦ C)
Hovězı́ maso syrové (+25◦ C)
Hovězı́ maso pečené (+23◦ C)
Vařené brambory (-15◦ C)
Vařené brambory (+23◦ C)
Vařený špenát (-15◦ C)
Vařený špenát (+23◦ C)
Polyethylén
Papı́r
Kovy
Vakuum
PV =
P
= 2πf ε0 ε||E||2
V
ε0
3,2
80,5
78
60,5
75,5
2,5
5,0
40
28
4,5
38
13
34
2,3
2,7
∞
1
ε00
0,0029
25,0
12,48
39,93
18,1
0,15
0,75
12
5,6
0,9
11,4
6,5
27,2
0,003
0,15
0
0
dp (cm)
1203
0,71
1,38
0,40
0,94
20,6
5,83
1,04
1,85
4,6
1,07
1,11
0,45
986
21,4
0
∞
(7.4)
kde V je objem, P disipovaný výkon, f frekvence, ε0 permitivita vakua,ε imaginárnı́ část
relativnı́ permitivity prostředı́ a E je intenzita el. pole [V m−1 ]. P/V zdrojový člen v bilanci
i)
V některých textech se hloubka penetrace definuje jako vzdálenost, na které intenzita zářenı́ poklesne na
50%.
69
enthalpie:
ρcp
∂T
P
+ λ∇2 T +
=0
∂τ
V
(7.5)
T!
!!
Z prvnı́ho členu je možno vypočı́tat rychlost ohřevu materiálu a z druhého rozloženı́ teploty
v materiálu.
Materiál je ohřı́ván v celém objemu ⇒ odlišný způsob varu oproti varu na topných plochách,
kde vzniká přehřátı́.
Aplikace:
- temperace potravin
- sušenı́ (atmosférické × vakuové)
- vařenı́
- pasterizace, sterilizace
Náklady: 2000 - 5000 Euro/1 kW
Účinnost: 50 - 70 %
VV
M
NC
EP
NZ + ŘE
MK
CHS
KO
Obr. 7.3: Schéma zařı́zenı́ pro mikrovlnný ohřev materiálů v komoře s kovovými (odrazivými )
stěnami. NZ+ŘE . . . napájecı́ zdroj a řı́dı́cı́ elektronika, M . . . magnetron, CHS. . . chladicı́ systém magnetronu, VV. . . vlnovod, MK. . . komora s ohřı́vaným materiálem.
vstup
sušeného
materiálu
mikrovlnné záření
z magnetronu
výstup vlhkého vzduchu
sušený materiál na pásovém dopravníku
venlátor
výstup
suchého
materiálu
Obr. 7.4: Schéma kontinuálnı́ mikrovlnné sušárny pro sypké materiály.
chybı́ kus textu, nevı́m jak a kam zařadit ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
70
7.2
Indukčnı́ ohřev
Při indukčnı́m ohřevu se využı́vá principu elektromagnetické indukce. Procházı́-li vinutı́m
cı́vky střı́davý elektrický proud vzniká v jádře cı́vky (a též v jejı́m okolı́) střı́davé elektromagnetické pole (viz např. [?]). Pokud je v tomto poli umı́stěn elektricky vodivý předmět (např.
kovové těleso) indukuje v něm střı́davé magnetické pole
Lze použı́t k ohřevu elektricky vodivých materiálů - předevšı́m kovů. Ohřı́vaný materiál
nepřicházı́ do styku s žádným teplosměnným médiem ⇒ žádná nežádoucı́ znečištěnı́. Snadno
se kontroluje, ohřev je rychlý a reprodukovatelný. domácı́ a kuchyňské sporáky vliv elektromagnetického pole na okolı́?
kovová nádoba
~
T!
!!
ohřívaný
materiál
NC
EP
indukční cívka
Obr. 7.5: Schéma uspořádánı́ nepřı́mého indukčnı́ho ohřevu elektricky nevodivého materiálu v kovové
nádobě.
Úlohy
KO
7.3
71
72
KO
T!
!!
NC
EP
Kap. 8:
Vybrané procesy sdı́lenı́ hmoty
Molekulárnı́ difuse
8.2
Sdı́lenı́ hmoty mezi fázemi
8.2.1
Konvektivnı́ transport hmoty
8.2.2
Sdı́lenı́ hmoty mezi pevnou fázı́ a kapalinou
8.2.3
Sdı́lenı́ hmoty mezi dvěma kapalinami
8.2.4
Sdı́lenı́ hmoty mezi kapalinou a plynem
8.2.5
Spotřeba kyslı́ku při růstu mikrobiálnı́ch buněk
8.2.6
Rovnováha při rozpouštěnı́ kyslı́ku
8.2.7
Měřenı́ koncentrace rozpuštěného kyslı́ku
8.2.8
Kriteriálnı́ rovnice pro objemový koeficient přestupu kyslı́ku
NC
EP
Úlohy
KO
8.3
T!
!!
8.1
U8.1 Kmen baktérie Azotobacter vinelandii produkujı́cı́ alginát je kultivován v promı́chávaném
fermentoru o objemu 15 m3 . Při daných provoznı́ch podmı́nkách fermentoru nabývá objemový
součinitel přestupu kyslı́ku v kultivačnı́m médiu (kL a) hodnoty 0,17 s−1 . Rozpustnost kyslı́ku
v médiu je přibližně 8 · 10−3 kg m−3 . a) Určete maximálně dosažitelnou koncentraci bakteriálnı́ch buněk v médiu, jestliže specifická rychlost spotřeby kyslı́ku (qO2 ) má hodnotu 12,5
mmol g−1 h−1 . b) Po náhodném přı́davku sı́ranu měd’natého do kultivačnı́ho média došlo k
poklesu specifické rychlosti spotřeby kyslı́ku na hodnotu 3 mmol g−1 h−1 . Jak se v důsledku
toho změnı́ hodnota maximálnı́ dosažitelné koncentrace buněk?
Výsledek: a) Maximálnı́ dosažitelná koncentrace buněk v médiu je 12,24 kg m−3 . b) Koncentrace buněk vzroste na 51 kg m−3 , tj. na 4,2-násobek.
U8.2 Vypočı́tejte hodnotu objemového součinitele přestupu kyslı́ku v promı́chávaném fermentoru s pracovnı́m objemem kultivačnı́ho média 12 m3 a vnitřnı́m průměrem 2,5 m při teplotě 30◦ C, jestliže vsádka ve fermentoru je promı́chávána turbinovým mı́chadlem o průměru
0,85 m s frekvencı́ otáčenı́ 120 min−1 . Přı́konové kritérium mı́chadla má hodnotu 5,1. Hustota
média je rovna 1040 kg m−3 a jeho viskozita má hodnotu 1, 78 cdot 10−3 Pa s. Objemový tok
0,7 0,2
vzduchu fermentorem je roven 28 m3 min−1 . K výpočtu použijte vztah kL a = 0, 002 VP
uG
, kde P je přı́kon dodávaný do vsádky mı́chadlem, V je objem vsádky a uG je rychlost plynu
73
vztažená na celý průřez fermentoru.
Výsledek: Objemový součinitel přestupu kyslı́ku bude mı́t hodnotu 0,22 s−1 .
U8.3 Baktérie Serratia marcescens se použı́vá pro výrobu threoninu. Specifická rychlost
spotřeby kyslı́ku buňkami této baktérie nabývá maximálnı́ hodnoty 5 mmol g−1 h−1 . Při kultivaci ve vsádkovém promı́chávaném bioreaktoru dosahuje koncentrace buněk hodnoty 40
g dm−3 a objemový součinitel přestupu kyslı́ku má hodnotu 0,15 s−1 . Při podmı́nkách kultivace je rozpustnost kyslı́ku v kultivačnı́m médiu rovna 0,008 kg m−3 . Je rychlost metabolických
procesů v buňkách limitována rychlostı́ transportu kyslı́ku do kultivačnı́ho média?
T!
!!
Výsledek: Maximálnı́ rychlost spotřeby kyslı́ku buňkami (1, 78 · 10−3 kg m−3 s−1 ) je vyššı́ než
maximálnı́ rychlost přestupu kyslı́ku do média (1, 2 · 10−3 kg m−3 s−1 ), lze tedy předpokládat,
že metabolické procesy v buňkách jsou přestupem kyslı́ku limitovány.
NC
EP
U8.4 Geneticky modifikovaný kmen kvasinek je kultivován při teplotě 30◦ C v promı́chávaném bioreaktoru. Rychlost spotřeby kyslı́ku buňkami kvasinek činı́ 80 mmol dm−3 h−1 , kritická koncentrace kyslı́ku v médiu je rovna 0,004 mmol dm−3 . Rozpustnost kyslı́ku v médiu
je o 10% nižšı́ než jeho rozpustnost v čisté vodě za stejných podmı́nek. a) Určete minimálnı́
potřebnou hodnotu objemového součinitele přestupu kyslı́ku, bude-li médium aerováno vzduchem při tlaku 100 kPa. b) Jak by se hodnota součinitele přestupu změnila, pokud by k aeraci
byl použit čistý kyslı́k při stejném tlaku?
Výsledek: a) Potřebná minimálnı́ hodnota objemového součinitele přestupu kyslı́ku je 0,1 s−1 .
b) Při použitı́ čistého kyslı́ku 0,021 s−1 .
KO
U8.5 Vsádkový promı́chávaný fermentor o pracovnı́m objemu 200 dm3 obsahuje kulturu
baktérie Bacillus subtilis rostoucı́ při kultivačnı́ teplotě 28◦ C. Do fermentoru se přivádı́ vzduch
o teplotě 20◦ C s objemovým průtokem 0,2 m3 min−1 . Střednı́ hodnota tlaku ve fermentoru je
105 kPa. Objemový průtok plynu na výstupu z fermentoru byl zjištěn měřenı́m a jeho hodnota
je 189 dm3 min−1 . Plyn vystupujı́cı́ z fermentoru obsahuje 20,1 obj.% kyslı́ku. Koncentrace
kyslı́ku v kultivačnı́m médiu dosahuje 52% z koncentrace nasyceného roztoku. Rozpustnost
kyslı́ku v kultivačnı́m médiu při 28◦ C a střednı́m tlaku ve fermentoru je rovna 7, 8 · 10−3
kg m−3 . a) Určete rychlost přestupu kyslı́ku ve fermentoru. b) Určete hodnotu objemového
součinitele přestupu kyslı́ku.
Výsledek: a) Rychlost přestupu kyslı́ku ze vzduchu do média je 3, 607 · 10−3 mol s−1 . b) Objemový součinitel přestupu kyslı́ku má hodnotu 0,154 s−1 .
U8.6 Enzym invertasa je imobilizován na povrchu polymernı́ch kulovitých částic o průměru
1,6 mm. Hustota částic je 2750 kg m−3 . Částice jsou suspendovány v roztoku sacharosy o hustotě 1167 kg m−3 a dynamické viskozitě 3,28 mPa s pomocı́ lopatkového mı́chadla. Určete hodnotu součinitele přestupu hmoty pro sacharosu mezi roztokem a povrchem částic. Způsobilo by
zmenšenı́ velikosti částic na polovinu původnı́ velikosti významnou změnu hodnoty součinitele
přestupu hmoty? Pro výpočet součinitele přestupu použijte vztahy:
Sh =
q
4 + 1, 21 (Rep Sc)0,67 ,
0,33
Sh = 2 + 0, 6 Re0,5
,
p Sc
pro Rep Sc < 104 ,
pro Rep < 103 ,
74
kde Sh =
ks dp
D
je Sherwoodovo kritérium a Sc =
Reynoldsova kritéria pro částice, Rep =
Rep = Ar/18,
pro Ar < 36,
Rep = 0, 153 Ar
0,71
Rep = 1, 74 Ar0,5 ,
,
dp upL ρL
,
η
η
ρL D
je Schmidtovo kritérium. Hodnota
se vypočı́tá s použitı́m vztahů:
pro 36 < Ar < 8 · 104 ,
pro 8 · 104 < Ar < 3 · 109 ,
g d3 ρ (ρp −ρ )
L
p L
kde Ar =
je Archimédovo kritérium pro částice. V uvedených vztazı́ch je dp
η2
velikost částic, ρp je hustota částic, ρL a ηL jsou hustota a dynamická viskozita roztoku, g je
tı́hové zrychlenı́, upL je relativnı́ rychlost částic vůči kapalině. Symbol D = 0, 48 · 10−9 m2 s−1
označuje difusivitu sacharosy v roztoku, ks označuje součinitel přestupu hmoty.
T!
!!
Výsledek: Hodnota součinitele přestupu je 2, 90 · 10−5 m s−1 . Zmenšenı́ velikosti částic na
polovinu by způsobilo jen nepatrnou změnu hodnoty součinitele přestupu hmoty (ks = 2, 84 ·
10−5 m s−1 ).
NC
EP
U8.7 Z částic o průměru 1,6 mm popsaných v úloze U8.6 bylo ve válcové koloně o vnitřnı́m
průměru 85 mm vytvořeno lože, kterým byl čerpán stejný roztok sacharosy jako v úloze U8.6
s objemovým průtokem 7,25 dm3 min−1 . Určete hodnotu součinitele přestupu hmoty mezi
povrchem částic a protékajı́cı́m roztokem. Pro výpočet hodnoty součinitele přestupu hmoty
lze použı́t vztah
Sh = 0, 95 Rep 0,5 Sc0,33 ,
ve kterém je význam veličin stejný jako v úloze U8.6 a za upL se dosazuje mimovrstvová
rychlost roztoku. Vztah pro Sh platı́, pokud 10 <Rep < 104 .
Výsledek: Součinitel přestupu hmoty má hodnotu 1, 74 · 10−5 s−1 .
KO
U8.8 Uvažujte promı́chávanou vsádku z úlohy U8.6 s částicemi o velikosti 1,6 mm. Určete
koncentraci sacharosy na povrchu částic, jestliže enzymová hydrolýza sacharosy probı́há pouze
na povrchu částic, koncentrace sacharosy v roztoku má hodnotu 100 mol m−3 a reakci lze
popsat kinetikou 1. řádu s rychlostnı́ konstantou vztaženou na 1 m2 povrchu částic k10 =
4, 022 · 10−4 m s−1 . Jak se tato koncentrace změnı́, jestliže povrchová reakce se bude řı́dit
0
kinetikou Michaelise a Mentenové s konstantami Vmax
= 6, 25 · 10−3 mol m2 s−1 a Km = 25
mol m−3 ? Určete pro oba přı́pady též hodnotu reakčnı́ rychlosti na povrchu částic.
Výsledek: Koncentrace sacharosy na povrchu částic bude mı́t hodnotu 6,725 mol m−3 pro reakci
1. řádu a 15,98 mol m−3 pro reakci s kinetikou Michaelise a Mentenové. Reakčnı́ rychlosti
budou mı́t hodnoty: 2, 705 · 10−3 mol m2 s−1 (pro kinetiku 1. řádu) a 2, 437 · 10−3 mol m2 s−1
(pro kinetiku Michaelise a Mentenové).
75
76
KO
T!
!!
NC
EP
Kap. 9:
9.1
Adsorpce a chromatografie
Princip adsorpce, adsorbenty
T!
!!
A
B
C
E
NC
EP
D
C
E
D
C
E
B
C
B
9.2
KO
Obr. 9.1: Transport adsorbované složky v okolı́ a uvnitř částice adsorbentu.
Fázová rovnováha při adsorpci
Adsorpce složky A z tekuté fáze na pevný adsorbent je rovnovážným procesem:
Fázová rovnováha při adsorpci se popisuje závislostı́ rovnovážné koncentrace adsorbujı́cı́
se složky A v adsorbentu (C) na rovnovážné koncentraci složky A v tekuté fázi (v inertu B)
při konstantnı́ teplotě, tzv. adsorpčnı́ izotermou. V tomto textu, ve kterém adsorpcı́ mı́nı́me
téměř výhradně adsorpci z kapalných roztoků, budeme pro vyjádřenı́ rovnovážné koncentrace
složky A v adsorbentu použı́vat jejı́ relativnı́ hmotnostnı́ zlomek
XA =
mA,ads
,
mC
(9.1)
kde mA,ads je hmotnost složky A adsorbované na adsorbent o hmotnosti mC v rovnovážném
stavu.
Freundlichova izoterma
XA = b cqA
(9.2)
77
Langmuirova izoterma
XA =
Xmax b cA
1 + b cA
(9.3)
Těmkinova izoterma
XA = b ln (AT cA )
Isothermnı́ adsorpce v promı́chávaném rovnovážném stupni
surovina, Vf , cAF
adsorbent, mC , XAS
NC
EP
Vf , cAk
T!
!!
9.3
(9.4)
separace
Obr. 9.2: Adsorpce v jednom promı́chávaném stupni.
v libovolném časovém okamžiku τ od zahájenı́ procesu platı́ bilančnı́ rovnice pro složku A
KO
Vf (cAF − cA ) = mC (XA − XAS )
(9.5)
Po dosaženı́ rovnováhy, kterou obecně vyjádřı́me vztahem XAk = feq (cAk ), kde index k
označuje konečný, tj. rovnovážný stav (předpokládáme, že konečným stavem adsorpčnı́ho
procesu je stav rovnovážný, tj. že proces probı́hal po dostatečně dlouhou dobu za intenzivnı́ho
kontaktu mezi tekutionou a adsorbentem),
Jestliže lze rovnováhu popsat Freundlichovou izotermou, XAk = b cqAk , a dále za předpokladu
použitı́ čerstvého adsorbentu, tj. XAS = 0, přejde rovnice (9.5) na tvar
Vf (cAF − cAk ) = mC b cqAk
,
(9.6)
kde cAk je konečná koncentrace složky A v tekutině po adsorpci (v rafinátu).
cAF − cAk
mC
=
Vf
b cqAk
9.4
(9.7)
Opakovaná isothermnı́ adsorpce v rovnovážných stupnı́ch
Vf (cAF − cA1 ) = mC1 (XA1 − XAS )
,
(9.8)
Vf (cA1 − cA2 ) = mC2 (XA2 − XAS )
,
(9.9)
78
mC1 , XAS
Vf , cAF
mC2 , XAS
Vf , cA1
1.
Vf , cA2
2.
mC2 , XA2
mC1 , XA1
T!
!!
Obr. 9.3: Bilančnı́ schéma opakované adsorpce ve dvou promı́chávaných rovnovážných stupnı́ch.
uvažujeme-li Freundlichovu izotermu a čistý adsorbent, tj. XAi = b cqAi , i = 1, 2 a XAS = 0
,
mC2 b cqA2
,
Vf (cA1 − cA2 ) =
mC1 + mC2
1
=
Vf
b
q
cA1
cA2
mC1 + mC2
Vf
−
cAF − cA1 cA1 − cA2
+
cqA1
cqA2
(9.10)
(9.11)
,
(9.12)
=0
(9.13)
cAF
−1 q−1=0
cA1
(9.14)
KO
9.5
d
dcA1
NC
EP
Vf (cAF − cA1 ) = mC1 b cqA1
Isothermnı́ adsorpce v nehybné vrstvě adsorbentu
přidat vztahy pro výpočet tlakové ztráty přes vrstvu!!!!!!!!!!
9.6
Kapalinová elučnı́ chromatografie
9.7
Úlohy-9
U9.1
Měřenı́m byla zjištěna rovnovážná adsorpčnı́ data uvedená v tabulce:
∗
XAs
[mg/g]
∗
cAL [mg cm−3 ]
0,02
3, 20 · 10−9
0,08
3, 28 · 10−6
0,10
1, 00 · 10−5
0,50
3, 12 · 10−2
0,70
0, 168
1,00
1,00
∗ a c∗
kde XAs
AL označujı́ rovnovážné složenı́ adsorbujı́cı́ se složky v pevné a v kapalné fázi.
Určete hodnoty konstant Freundlichovy a Langmuirovy isothermy pro uvedená data.
Výsledek: Freundlichova isotherma má tvar: c∗As = 1, 00 c∗AL 0,20 . Langmuirovou isothermou
nelze daná data popsat.
79
U9.2
Měřenı́m byla zjištěna rovnovážná adsorpčnı́ data uvedená v tabulce:
∗
102 XAs
[kg/kg]
∗
cAL [kg m−3 ]
0,4142
0,05
0,7558
0,1
1,294
0,2
1,924
0,5
2,587
1
2,790
2
2,910
3
∗ označuje rovnovážný relativnı́ hmotnostnı́ zlomek adsorbujı́cı́ se složky v pevné fázi
kde XAs
∗
a cAL je rovnovážná hmotnostnı́ koncentrace složky v kapalné fázi. Určete hodnoty konstant
Langmuirovy isothermy pro uvedená data.
∗ =
Výsledek: Langmuirova isotherma pro uvedená data má tvar: XAs
0,095 c∗AL
1+2,753 c∗AL .
Výsledek: Kolona může mı́t minimálnı́ průměr 164 mm.
T!
!!
U9.3 Určete minimálnı́ průměr adsorpčnı́ kolony naplněné částicemi adsorbentu kulového
tvaru o průměru 100 µm, jestliže maximálnı́ přı́pustná tlaková ztráta v koloně je 300 kPa.
Roztok protékajı́cı́ kolonou má dynamickou viskozitu 1,1 mPa s, mezerovitost lože částic má
hodnotu 0,35. Objemový průtok kapaliny kolonou má hodnotu 1875 cm3 min−1 . Délka lože
částic adsorbentu je 1,25 m.
NC
EP
U9.4 Médium po fermentaci zbavené buněk obsahuje 8 · 10−5 mol dm−3 imunoglobulinu G.
Je zapotřebı́ zı́skat z média 90% přı́tomného imunoglobulinu adsorpcı́ na syntetický nepolárnı́
adsorbent. Pokusně bylo zjištěno, že rovnováhu při adsorpci lze popsat vztahem c∗As = 5, 5 ·
10−5 c∗AL 0 , 35, kde c∗As je rovnovážná koncentrace imunoglobulinu v adsorbentu (mol cm−3 )
a c∗AL je jeho rovnovážná koncentrace v kapalině (mol dm−3 ). Určete minimálnı́ množstvı́
adsorbentu potřebné pro zpracovánı́ 2 m3 fermentačnı́ho média v jednom promı́chávaném
adsorpčnı́m stupni.
Výsledek: Zapotřebı́ bude 0,16 m3 adsorbentu.
KO
U9.5 Do nádoby naplněné aktivnı́m uhlı́m byl vpraven roztok kyseliny octové, který vyplnil mezery ve vrstvě. Kyselina octová se adsorbuje na zrna uhlı́ při teplotě 60◦ C. Ad∗
=
sorpčnı́ zařı́zenı́ pracuje jako rovnovážný stupeň. Rovnováhu lze popsat vztahem XmA
0,4119
∗
∗
3, 019 cAL
, kde XmA je rovnovážná molalita kyseliny octové v adsorbentu (mol CH3 COOH
na 1 kg aktivnı́ho uhlı́) a c∗AL je rovnovážná molárnı́ koncentrace CH3 COOH v kapalině
(mol dm−3 ). Objem vrstvy adsorbentu Vb = 1, 34 m3 , mezerovitost vrstvy adsorbentu ε =
0, 434, vnitřnı́ mezerovitost částic je εp = 0, 570, hustota neporéznı́ho adsorbentu je ρC = 1820
kg m−3 . Určete potřebnou hmotnost adsorbentu, objem vodného roztoku kyseliny obsaženého
ve vrstvě a koncentraci kyseliny octové v roztoku po ustavenı́ rovnováhy, je-li původnı́ koncentrace v roztoku rovna 0,25 mol dm−3 .
Výsledek: Zapotřebı́ bude 594 kg adsorbentu, objem roztoku kyseliny octové je 0,582 m3 a po
ustavenı́ rovnováhy bude koncentrace kyseliny v roztoku mı́t hodnotu 0,0022 mol dm−3 .
U9.6 K dosaženı́ stejné výstupnı́ koncentrace jako v úloze U9.5 má být použito opakované
adsorpce ve dvou stupnı́ch. Určete množstvı́ adsorbentu v každém stupni, jestliže objem kapaliny a podmı́nky při adsorpci zůstanou stejné jako v úloze U9.5.
Výsledek: V prvnı́m stupni bude zapotřebı́ 156 kg adsorbentu, ve druhém stupni 87 kg.
U9.7 K adsorpci albuminu v promı́chávaném jednostupňovém adsorbéru se použı́vá ionexová pryskyřice. Adsorpčnı́ nádoba obsahuje 60 tun roztoku, který obsahuje 0,0012 hmotn.%
80
albuminu. K adsorpci je použito 10 kg čistého suchého ionexu. Rovnováha je popsána Lang∗
∗ = 254000 yA , kde X ∗ je rovnovážný relativnı́ hmotnostnı́ zlomek
muirovou isothermou XA
∗
A
1+30790 yA
∗
albuminu v adsorbentu a yA je rovnovážný hmotnostnı́ zlomek albuminu v kapalině. Jakých
hodnot nabudou koncentrace albuminu v ionexu a v roztoku po dosaženı́ rovnováhy? Jaký
podı́l albuminu přejde z roztoku do ionexu?
Výsledek: Relativnı́ hmotn. zlomek albuminu v ionexu bude mı́t hodnotu 0,07 a hmotn. zlomek
v roztoku nabude hodnoty 2, 78 · 10−7 . Do ionexu přejde 97,6% albuminu.
T!
!!
U9.8 Rovnováhu při adsorpci glukosy (G) a fruktosy (F) na iontoměničové pryskyřici při
∗ =
teplotě 30◦ C lze při nı́zkých koncentracı́ch obou sacharidů popsat lineárnı́mi vztahy: XG
0, 025 c∗G a XF∗ = 0, 044 c∗F , kde c∗i (i ≡ G, F) jsou rovnovážné hmotnostnı́ koncentrace v
kapalné fázi (kg m−3 ) a Xi∗ jsou relativnı́ hmotnostnı́ zlomky v pryskyřici. Do kolony dlouhé
0,5 m je přiváděn roztok se stejnými koncentracemi glukosy a fruktosy. Mimovrstvová rychlost
roztoku je 0,30 m min−1 . Mezerovitost vrstvy má hodnotu 0,4, hmotnostnı́ koncentrace ionexu
ρB = 1250 kg m−3 , objemový koeficient prostupu hmoty KC a = 0, 3 s−1 . Určete časy průniku
obou složek, má-li být splněno cGe = 0, 01 cGF a cF e = 0, 01 cF F .
KO
NC
EP
Výsledek: Čas průniku pro glukosu je 25 minut a pro fruktosu 45 minut.
81
82
KO
T!
!!
NC
EP
Kap. 10:
Obecné principy
surovina
→
→
retentát
T!
!!
10.1
Membránové separačnı́ procesy
MEMBRÁNA
hybná síla
permeát
snadno procházející složka
NC
EP
obtížně procházející složka
neprocházející složky
Obr. 10.1: Dělenı́ složek směsi při průchodu poréznı́ membránou.
KO
Hybné sı́ly:
∆ p ... tlakové membránové procesy
∆ c ... koncentračnı́ procesy
∆ϕ ... elektromembránové procesy
Surovina: plynná směs, kapalná homogennı́ směs (roztok), heterogennı́ směs (suspenze), koloidnı́ roztoky.
Princip dělenı́: složky procházejı́ membránou s různou rychlostı́ (rychlost permeace). Některé
složky mohou být membránou úplně zadrženy (filtračnı́ procesy). Různé rychlosti permeace
jsou výsledkem řady faktorů (velikosti částic, interakce s membránou, rozpustnost, tvar molekul či částic, elektrostatické interakce...).
Jde o kineticky řı́zené procesy - dělenı́ směsı́ při membrnových procesech je dáno rozdı́lnou
rychlostı́ permeace různých složek, žádná fázová rovnováha neurčuje dělenı́. Rychlost permeace složky je dána vlastnostmi složky a vlastnostmi membrány.
10.2
Vlastnosti a parametry membrán a membránových modulů
Typy membrán:
- poréznı́: propouštějı́ složky podle velikosti pórů v membráně
- neporéznı́(husté): propouštějı́ pouze nı́zkomolekulárnı́ složky - složka se v membráně rozpouštı́, pak difunduje.
Membrány
- syntetické
- přı́rodnı́/biologické
Aplikačnı́ formy membrán:
- ploché membrány
83
MEMBRÁNY
SYNTETICKÉ
PEVNÉ
ORGANICKÉ
NEPORÉZNÍ
ASYMETRICKÉ
PŮVOD
SKUPENSTVÍ
ANORGANICKÉ
MATERIÁL
STRUKTURA
PORÉZNÍ
SYMETRICKÉ
ASYMETRICKÉ
MORFOLOGIE
T!
!!
KAPALNÉ
BIOLOGICKÉ
Obr. 10.2: Klasifikace membrán z hlediska původu, vlastnostı́ a struktury.
Bilancovánı́ membránových procesů
KO
10.3
NC
EP
- trubky/vlákna: membránové moduly - ploché, vinuté, trubkové
Vlastnosti membrán a modulů:
- permeabilita membrány
- selektivita membrány
- rejekčnı́/retenčnı́ faktor
surovina
retentát
permeát
Obr. 10.3: Schématické znázorněnı́ membránového modulu.
Permeabilita (propustnost) membrány: vyjadřována v různých jednotkách
Pi =
tok složky membránou
síla
plocha membrány × ( tloušhybná
)
ťka membrány
(10.1)
permeance membrány:
Pmi =
Pi
δm
(10.2)
84
TOK NA PERMEÁTOVÉ
STRANĚ MEMBRÁNY
TOK NA RETENTÁTOVÉ
STRANĚ MEMBRÁMY
PROTIPROUDÉ USPOŘÁDÁNÍ
d)
b)
SOUPROUDÉ USPOŘÁDÁNÍ
e)
VOLNÝ ODTOK RETENTÁTU
c)
KŘÍŽOVÉ USPOŘÁDÁNÍ
DOKONALÉ PROMÍCHÁVÁNÍ
T!
!!
a)
Obr. 10.4: Možnosti uspořádánı́ toků retentátového a permeátového proudu v membránových modulech.
Sij =
(ci /cj )psm
(ci /cj )rsm
S ij =
ciP /cjP
ciR /cjR
10.4
NC
EP
Selektivita membrány - může se měnit podél membrány:
(10.3)
(10.4)
Koncentračnı́ polarizace membrán
KO
Koncentranı́ polarizace membrán - viz mikro- a ultrafiltrace Bilance ve vrstvě přiléhajı́cı́ k
membráně:
JV c − (−D
dc
) = JV cP
dx
(10.5)
kde prvnı́ člen vyjadřuje přı́tok, druhý člen zpětný to membrány. Třetı́ člen vyjadřuje průchod
membránou.
M=
cm
= exp(j)
cb
(10.6)
Di
(10.7)
δ
Při vysokých hodnotách polarizačnı́ho modulu M (M ≥ 1) se může tvořit gelová vrstva.
kci =
10.5
Membránová separace plynů
Kinetika membránových procesů
- vyjádřenı́ rychlosti/intenzity toku složky membránou. Mikro- a ultrafiltrace (viz dřı́ve).
- membránová separace plynů: v hustých membránách lze dělit směsi plynů (obohacovánı́
vzduchu kyslı́kem, membránové sušenı́ plynů, potravinářské obaly)
85
b)
POLARIZAČNÍ
FILM
JÁDRO KAPALINY
c
MEMBRÁNA
cM
-D dc
dx
cb
JV c
x
x
δ
δ
MEMBRÁNA
a)
JV cP
cP
0
T!
!!
Obr. 10.5: Koncentračnı́ polarizace membrány: a) vznik polarizačnı́ vrstvy u vstupnı́ho povrchu
membrány, b) koncentračnı́ profil zadržené složky u povrchu membrány.
i=1
plocha membrány
NC
EP
- plynné složky se v membráně rozpustı́, potom difundujı́
- hybná sı́la: rozdı́l parciálnı́ch tlaků složky mezi R a P stranou membrány
Pi
(pR xi − pP yi )
JV i =
δm
celkový tok permeátu
n
X
JV =
JV i
(10.8)
(10.9)
V̇P
(10.10)
JV
Známe-li selektivitu membrány Sij pro složky, můžeme vyjádřit koncentraci permeátu jako
funkci koncentrace v retentátu:
s
Sij p∗red
yi = B − xi B 2 −
(10.11)
Sij − 1
KO
Am =
pred + (1 − yi )(Sij − 1)
yi
pred [Sij − (Sij − 1)yi ]
kde pred je tzv. redukovaný tlak
pR
pred =
pP
1
pred
B = (1 +
+ pred xi )
2
Sij − 1
xi =
(10.12)
(10.13)
(10.14)
Řešenı́ membránové separace plynů: numericky, graficky
- bilance
- ”rovnováha”
zi ṅF = yi ṅP + xi ṅR
1
(zi ṅF − xi ṅR )
yi =
ṅP
ṅR
ṅF
yi = − xi + zi
ṅP
ṅP
(10.15)
(10.16)
(10.17)
Člen − ṅṅPR představuje směrnici pracovnı́ přı́mky.
86
yi 1
permeát
zi
xi
Obr. 10.6:
zahřátá kapalná
surovina
1
T!
!!
retentát
0
kapalný retentát
xi
NC
EP
yi
VAKUUM
permerát (páry)
Obr. 10.7: Schématické znázorněnı́ pervaporačnı́ho stupně.
10.6
Pervaporace
KO
Pervaporace je dělenı́ kapalných směsı́ těkavých složek. Kapalná směs se rozpouštı́ v membráně,
složky různou rychlostı́ permeujı́ a na permeátové straně se odpařujı́ ⇒ vlastnosti membrány
se velmi výrazně měnı́ od retentátové k permeátové straně ⇒ z toho vycházejı́ problémy s
teoretickým popisem.
Selektivita modulu:
S ij =
yi /xi
yj /xj
=
y¯i (1 − x̄i )
x̄i (1 − y¯i )
(10.18)
kde S ij je střednı́ hodnota po ploše membrány.
y¯i =
S ij x̄i
1 + (S ij − 1)x̄i
(10.19)
V dokonale promı́chávaném modulu platı́ x̄i ≡ xi (retentát) y¯i ≡ yi (permeát). Z bilance lze
odvodit vztah pro výpočet složenı́ permeátu
yi2 −
(S ij − 1)(zi + Θ) + 1
S ij zi
yi +
=0
(S ij − 1)Θ
(S ij − 1)Θ
(10.20)
Θ=
S ij zi − (S ij − 1)zi yi − yi
(S ij − 1)yi (1 − yi )
(10.21)
nebo
87
roztok soli
velmi hustá membrána
∆p > ∆π
rozpouštědlo (velmi zředěný roztok)
MEMBRÁNA
Obr. 10.8:
roztok
rozpouštědlo
cB,rsm
cB,psm → 0
NC
EP
Obr. 10.9:
T!
!!
permeace
pro výpočet podı́lu permeátu poskytujı́cı́ho žádané složenı́ permeátu. Hodnotu Θ lze též
vyčı́slit z enthalpické bilance
Θ=
(10.22)
Reverznı́ osmóza (hyperfiltrace)
KO
10.7
cpF (tf − tR )
∆kvýp,P
Tlak na retentátové straně musı́ být většı́ než tlak osmotický.
JV A =
PA
(∆p − ∆π)
δm
(10.23)
π(cBR ) − π(cBP )
(10.24)
π(cB ) = cB RT
(10.25)
Hoffmanova rovnice. Koncentračnı́ polarizace může být významná.
Aplikace: odsolovánı́ mořské, brakické, napájecı́, potravinářské, laboratornı́ vody.
10.8
Dialýza
Dialýza
Sloužı́ k oddělovánı́ nı́zkomolekulárnı́ch složek z roztoků difusı́ přes membránu. Membrána
nepropouštı́ vysokomolekulárnı́ složky (proteiny, nukleové kyseliny)
JB =
DB KB
(cB,rsm − cB,psm )
δm
(10.26)
88
R=
1
1
δm
+
+
DB KB
krsm kpsm
JB =
10.9
(10.27)
1
(cBbR − cBbP )
R
(10.28)
Úlohy
U10.1 Permeabilita paladiové membrány pro vodı́k byla zjišt’ována permeačnı́m pokusem s
čistým vodı́kem. V ustáleném stavu bylo zjištěno, že membránou o tloušt’ce 1 mm a s plochou
o velikosti 9 cm2 projde při teplotě 30◦ C za 50 s 1,526 molu vodı́ku. Tlakový rozdı́l vodı́ku
mezi retentátovou a permeátovou stranou membrány byl udržován na hodnotě 1,44 MPa.
Určete hodnotu permeability membrány pro vodı́k.
T!
!!
Výsledek: Permeabilita membrány má hodnotu 2, 355 · 10−8 mol s−1 Pa−1 m−1 .
NC
EP
U10.2 Permeabilita polyethylénové fólie pro kyslı́k má hodnotu 2, 315 · 10−12 kg m−1 s−1
Pa−1 (při teplotě 30◦ C). Fóliı́ o tloušt’ce 150 µm je obalena perforovaná papı́rová krabice
s ovocem, které metabolickými procesy spotřebovává 2,1 g kyslı́ku za hodinu. Krabice má
rozměry 0, 5 × 0, 6 × 0, 3 m. Odpor vlastnı́ krabice proti transportu kyslı́ku je zanedbatelný.
Jakou hodnotu bude mı́t parciálnı́ tlak kyslı́ku v krabici v ustáleném stavu, je-li krabice
obklopena vzduchem o tlaku 98 kPa?
Výsledek: Parciálnı́ tlak kyslı́ku v krabici bude mı́t hodnotu 20550 Pa.
KO
U10.3 Vzorek plynu vystupujı́cı́ho z bioreaktoru je veden hadičkou ze silikonového kaučuku
o vnějšı́m průměru 5 mm a s tloušt’kou stěny 0,25 mm do analyzátoru. Hadička má délku
5,2 m. Tlak plynu v hadičce je 125 kPa, okolnı́ tlak je 99 kPa. Plyn vystupujı́cı́ z bioreaktoru obsahuje 4,5 obj.% oxidu uhličitého, 16,5 obj.% kyslı́ku a 4,3 obj.% vodnı́ páry, zbytek
představuje dusı́k. Permeabilita silikonového kaučuku pro kyslı́k je 2, 7 · 10−11 m3 (m s Pa)−1 ,
pro oxid uhličitý 1, 78 · 10−10 m3 (m s Pa)−1 , pro vodnı́ páru 2, 38 · 10−9 m3 (m s Pa)−1 . Hodnoty permeabilit byly určeny za podmı́nek permeace. Určete, jaká množstvı́ uvedených složek
unikajı́ stěnou hadičky. Způsobı́ tyto úniky významnou změnu složenı́ vzorku před vstupem
do analyzátoru?
Výsledek: Kyslı́k bude pronikat do hadičky v množstvı́ 1, 46 · 10−6 m3 s−1 , unikat bude 3, 27 ·
10−4 m3 s−1 oxidu uhličitého a 4, 18·10−3 m3 s−1 vodnı́ páry. Složenı́ plynu se proto významně
změnı́.
U10.4 V jednostupňovém membránovém zařı́zenı́ se má obohacovat vzduch kyslı́kem tak,
aby jeho koncentrace v permeátu stoupla na 30 obj.%. Na vstupnı́ (retentátové) straně
membrány je udržován tlak 1 MPa, na straně permeátu je tlak 0,2 MPa. Permeát vystupuje při teplotě 40◦ C. Permeabilita použité membrány pro kyslı́k má hodnotu 4, 5 · 10−15
m3 (m s Pa)−1 (při normálnı́ch podmı́nkách). Tloušt’ka aktivnı́ vrstvy membrány je 10 µm. Selektivita membrány pro kyslı́k vůči dusı́ku má hodnotu 2,2. Požadovaný výkon zařı́zenı́ je 10
m3 h−1 obohaceného vzduchu (při podmı́nkách permeátu). Určete složenı́ retentátu, potřebnou
plochu membrány a relativnı́ podı́l permeátu. Na obou stranách membrány uvažujte ideálnı́
promı́chávánı́.
Výsledek: Retentát bude obsahovat 19 mol.% kyslı́ku. Potřebná plocha membrány je 2,5 m2 .
Podı́l permeátu je roven 0,179.
89
U10.5 Experimentálnı́ membrána pro reversnı́ osmózu byla použita ke zpracovánı́ odpadnı́
vody obsahujı́cı́ rozpuštěný Na2 CO3 . Pokusem byla zjištěna intenzita objemového toku čisté
vody membránou při tlakovém rozdı́lu 3 MPa a teplotě 30◦ C o hodnotě 1,5 m3 na 1 m2
membrány za 1 den. Provoznı́ zpracovánı́ odpadnı́ vody reversnı́ osmózou má probı́hat při
stejné teplotě, ale při tlakovém rozdı́lu 5 MPa. Retentát má obsahovat 0,05 kmol m−3 uhličitanu.
Proudy po obou stranách membrány lze považovat za ideálně promı́chávané. Určete intenzitu
objemového toku permeátu ideálnı́ membránou za předpokladu, že lze zanedbat koncentračnı́
polarizaci membrány. Určete též potřebnou plochu membrány, má-li se za 1 den zpracovat 125
m3 odpadnı́ vody obsahujı́cı́ 0,027 kmol m−3 Na2 CO3 .
Výsledek: Intenzita objemového toku permeátu bude mı́t hodnotu 2, 675·10−5 m s−1 . Potřebná
velikost plochy membrány je 24,9 m2 .
NC
EP
T!
!!
U10.6 Reversnı́ osmózou (RO) se zpracovává vodný roztok nı́zkomolekulárnı́ch látek, který
do RO modulu přitéká s objemovým průtokem 26 m3 za den. Koncentrace rozpuštěných
látek v roztoku je rovna 0,1 kmol m−3 a osmotický tlak tohoto roztoku je roven 0,46 MPa. Lze
předpokládat, že osmotický tlak roztoků uvedených látek je přı́mo úměrný jejich koncentraci v
roztoku. Koncentračnı́ polarizaci membrány při RO lze zanedbat. Při RO je aplikován tlakový
rozdı́l 3,0 MPa a relativnı́ podı́l permeátu Θ má hodnotu 0,4. Retenčnı́ faktor RO modulu
je roven 0,9. Pokusně zjištěná permeance membrány (Pm = P/δm ) pro čistou vodu je rovna
5·10−13 m s−1 Pa−1 . Určete objemové průtoky permeátu a retentátu, koncentraci rozpuštěných
látek v obou proudech a potřebnou plochu membrány v RO modulu.
Výsledek: Objemový průtok permeátu je 10,4 m3 /den, průtok retentátu 15,6 m3 /den. Retentát
obsahuje 156,3 mol m−3 rozp. látek, permeát obsahuje 15,63 mol m−3 rozp. látek. Je zapotřebı́
membrána o ploše 103 m2 .
KO
U10.7 Pomocı́ membránového zařı́zenı́ s membránou ze silikonového kaučuku se obohacuje
vzduch kyslı́kem. Je požadován permeát obsahujı́cı́ 27 mol.% kyslı́ku. Selektivita membrány
pro kyslı́k vůči dusı́ku má za podmı́nek separace hodnotu 2,1. Redukovaný tlak při separaci
pred = 2, 86. Na jakou hodnotu musı́ být nastaven relativnı́ podı́l permeátu, aby permeát měl
požadované složenı́?
Výsledek: Relativnı́ podı́l permeátu musı́ být nastaven na hodnotu 0,233.
U10.8 V membránovém separačnı́m zařı́zenı́ se methan zbavuje zbytkového oxidu uhličitého.
separace probı́há při teplotě 35◦ C a při tlaku 2 MPa na vstupnı́ (retentátové) straně membrány.
Permeabilita membrány pro CO2 za podmı́nek separace je rovna 1, 125·10−16 m2 s−1 Pa−1 , pro
methan 3, 6·10−18 m2 s−1 Pa−1 (permeability jsou vztaženy k podmı́nkám na retentátové straně
membrány). Plyn vstupujı́cı́ do separátoru obsahuje 90 mol.% CH4 a 10 mol.% CO2 . Tlak
na straně permeátu je roven 0,11 MPa, relativnı́ podı́l permeátu má hodnotu 0,5. Tloušt’ka
aktivnı́ vrstvy membrány je 1 µm. Určete hodnotu selektivity membrány pro CO2 vůči CH4 ,
složenı́ permeátu a retentátu a intenzity objemových toků obou výstupnı́ch proudů. Jaký bude
výkon separátoru, měřený objemovým tokem permeátu, je-li plocha membrány rovna 200 m2 ?
Výsledek: Selektivita membrány má hodnotu 31,25. Retentát bude obsahovat 1,68 obj.% oxidu
uhličitého a permeát 18,3 obj.%. Objemový průtok permeátu je 108 m3 h−1 (za podmı́nek na
permeátové straně).
90
U10.9 Z vodného roztoku methanolu se má odstraňovat voda pervaporacı́ (PV) kompositnı́
PVA-PAN membránou při pracovnı́ teplotě pervaporačnı́ho modulu 70◦ C. Na retentátové
straně membrány je udržován tlak 0,2 MPa. Hmotnostnı́ zlomek vody v retentátu má mı́t
maximálnı́ hodnotu 0,01, relativnı́ množstvı́ permeátu je rovno 0,115. Lze předpokládat, že
selektivita membrány pro vodu vůči methanolu má přibližně konstantnı́ hodnotu 7,75. Určete
složenı́ suroviny, které zajistı́ požadované složenı́ permeátu a dále určete plochu membrány
potřebnou pro zpracovánı́ 460 kg h−1 suroviny. Na jakou teplotu musı́ být zahřáta surovina,
nemá-li být do PV modulu dodáváno žádné dalšı́ teplo? Měřenı́m zjištěná závislost intenzity hmotnostnı́ho toku vody membránou na hmotnostnı́m zlomku vody v retentátu je dána
tabulkou:
wAR
ΦmA [kg m−2 h−1 ]
0
0
0,001
0,61
0,002
1,09
0,005
1,39
0,0075
1,72
0,010
2,15
0,0125
2,35
0,015
2,52
T!
!!
Měrná tepelná kapacita methanolu při pracovnı́ teplotě PV modulu je rovna 2,85 kJ kg−1 K−1 ,
měrná výparná enthalpie vody je rovna 2334 kJ kg−1 a měrná výparná enthalpie methanolu
je 1100 kJ kg−1 .
NC
EP
Výsledek: Surovina může obsahovat maximálně 1,72 hm.% vody. Surovinu je nutno zahřát na
teplotu 120◦ C. Potřebná plocha membrány je 1,8 m2 .
U10.10 Z vodného roztoku bı́lkoviny se odstraňuje přı́tomná rozpuštěná sůl dialýzou. Roztok bı́lkoviny má objem 50 cm3 a je uzavřen v dialyzačnı́ trubici s celkovým povrchem o velikosti 110 cm2 . Dialyzačnı́ trubice je tvořena membránou s tloušt’kou 120 µm, ve které má
rozpuštěná sůl difusivitu o hodnotě 7, 21 · 10−10 m2 s−1 . Počátečnı́ koncentrace soli v roztoku
je rovna 0,37 mol dm−3 . Součinitel přestupu hmoty na vnitřnı́ (retentátové) straně trubice je
roven 1, 6 · 10−5 m s−1 a na vnějšı́ straně má hodnotu 7, 8 · 10−5 m s−1 . Trubice je ponořena
v čisté vodě, jejı́ž objem je oproti objemu roztoku v trubici mnohonásobně většı́. Určete, za
jak dlouho poklesne koncentrace soli v trubici na 10% počátečnı́ hodnoty.
KO
Výsledek: K požadovanému poklesu koncentrace soli dojde za 2530 s.
U10.11 Roztok makromolekulárnı́ch látek obsahuje jako nežádoucı́ nečistotu fenol. K odstraněnı́ fenolu je navrhováno použitı́ kontinuálnı́ dialýzy v zařı́zenı́ sestávajı́cı́m z trubky
o vnitřnı́m průměru 8 cm, ve které je umı́stěno 20 dialyzačnı́ch membránových trubic zhotovených z kopolymeru polykarbonátu a polyétheru. Trubice majı́ vnějšı́ průměr 10 mm a
tloušt’ku stěny 50 µm. Difuzivita fenolu v materiálu membrány má hodnotu 1, 05·10−9 m2 s−1 .
Roztok makromolekulárnı́ch látek protéká vnitřkem trubic, koncentrace fenolu na vstupu je
rovna 0,028 mol dm−3 a objemový průtok roztoku má hodnotu 0,25 m3 h−1 . Dialyzačnı́ trubice
jsou na vnějšı́m povrchu obtékány vodou, která do zařı́zenı́ vstupuje s nulovou koncentracı́
fenolu a s objemovým průtokem 1,525 m3 h−1 . Určete potřebnou délku dialyzačnı́ch trubic při
protiproudém uspořádánı́ toků, má-li koncentrace fenolu ve vystupujı́cı́m roztoku poklesnout
na 10% hodnoty vstupnı́ koncentrace. Koeficient přestupu hmoty na vnitřnı́m povrchu trubic
má hodnotu 5, 6 · 10−4 m s−1 , na povrchu vnějšı́m má hodnotu 1, 37 · 10−4 m s−1 .
Výsledek: Potřebná délka trubic je 14,2 m.
U10.12 V pervaporačnı́m membránovém zařı́zenı́ se má odstraňovat voda ze směsi s isopropanolem. Zpracovávaná směs obsahuje 15 hmotn.% vody a je požadováno, aby jejı́ koncentrace v retentátu nepřesáhla 2 hmotn.%. Použitá membrána má tak vysokou selektivitu, že je
možno permeát považovat za čistou vodu. Do zařı́zenı́ vstupuje 10000 kg h−1 směsi. Měrná
91
výparná enthalpie permeátu je rovna 2260 kJ kg−1 a jeho měrná tepelná kapacita je rovna 4,2
kJ kg K−1 . Měrné tepelné kapacity suroviny a retentátu majı́ stejnou hodnotu 3,3 kJ kg−1 K−1 .
Pracovnı́ teplota modulu je 75◦ C. Určete velikost relativnı́ho podı́lu permeátu při pervaporaci
a potřebnou plochu membrány. Intenzita hmotnostnı́ho toku permeátu membránou je dána
vztahem ΦmP = 10 wF , kde wF je hmotnostnı́ zlomek vody v surovině a intenzita toku je
v kg m−2 h−1 .
KO
NC
EP
T!
!!
Výsledek: Relativnı́ podı́l permeátu má hodnotu 0,1327, potřebná plocha membrány je 884
m2 , surovinu je třeba zahřát na teplotu 166◦ C.
92
Kap. 11:
11.1
Bioreaktory a enzymové reaktory
Typy bioreaktorů
VF
T!
!!
DČ
VF
NC
EP
VF
ZM
OV
KN
KO
VF
Z
Obr. 11.1: Možné uspořádánı́ průtočného promı́chávaného bioreaktoru - chemostatu. KN - kultivačnı́
nádoba, ZM - zásobnı́k kultivačnı́ho média, Z - zásobnı́k, DČ - dávkovacı́ čerpadlo, OV - odběr vzorků,
VF - vzduchový filtr.
11.2
Kinetika enzymových reakcı́
S+E
r=
k+1
*
)
k−1
k
2
ES −→
E+P
(11.1)
Vmax S
KM + S
(11.2)
93
VF
ZM
T!
!!
RV
NC
EP
VF
D
Ž
KN
Obr. 11.2: Možné uspořádánı́ průtočného promı́chávaného bioreaktoru - turbidostatu. KN - kultivačnı́
nádoba, ZM - zásobnı́k kultivačnı́ho média, RV - regulačnı́ ventil, Ž - zdroj světla, D - detektor (optické
čidlo), VF - vzduchový filtr.
Kinetika růstu mikrobiálnı́ch buněk
11.3.1
Růstová křivka
11.3.2
Růstová rychlost buněk
KO
11.3
Růst mikrobiálnı́ch buněk, tj. zvyšovánı́ jejich počtu (množenı́ buněk) a zvětšovánı́ jejich
individuálnı́ hmotnosti představuje základnı́ životnı́ projev mikroorganismů. Při růstu buňky
spotřebovávajı́ substráty Si přı́tomné v prostředı́ (živném médiu), vytvářejı́ novou buněčnou
biomasu X a extracelulárnı́ produkty Pj . Schématicky lze buněčný růst popsat formálnı́ stechiometrickou rovnicı́
X
X
X+
Si −→ n X +
Pj ,
(11.3)
i
j
kde n > 1. Pro kvantifikaci růstu se zavádı́ extenzivnı́ růstová rychlost biomasy RX , tj.
rychlost růstu v celém objemu růstového prostředı́
RX =
dmX
d(V X)
dX
=
=V
,
dτ
dτ
dτ
(11.4)
kde V je (konstantnı́) objem kultivačnı́ho média (budeme nadále uvažovat pouze kultivaci
v kapalných médiı́ch) a X je koncentrace biomasy buněk mikroorganismu v objemové jednotce
94
ZRYCHLENÝ EXPONENCIÁLNÍ
RŮST
RŮST
ZPOMALENÍ STACIONÁRNÍ
FÁZE
RŮSTU
8
24
ODUMÍRÁNÍ
BUNĚK
0
4
12
16
20
28
32
T!
!!
X / g dm-3
LAG FÁZE
36
čas / hod.
40
44
48
52
NC
EP
Obr. 11.3: Typický průběh růstové křivky mikroorganismů při kultivaci v kapalném živném médiu.
Osa koncentracı́ biomasy je v logaritmickém měřı́tku.
média, která se vyjadřuje obvykle hmotnostı́ sušiny buněk v jednotkovém objemu (kg m−3 ,
rep. g dm−3 ). V praxi se běžně použı́vá (intenzivnı́) růstová rychlost biomasy vztažená na
jednotku objemu, tj.
rX =
RX
dX
=
,
V
dτ
(11.5)
µ=
KO
jejı́ž jednotkou jsou kg m−3 h−1 . Protože se hodnoty růstové rychlosti rX pro různé druhy
mikroorganismů poměrně značně odlišujı́, byla zavedena tzv. specifická růstová rychlost buněk
vztahem
rX
1 dX
=
,
X
X dτ
(11.6)
jejı́ž hodnoty (udávané obvykle v h−1 ) vykazujı́ oproti rX snı́ženou mezidruhovou proměnlivost.
Z výše uvedených definic vyplývá často užı́vané vyjádřenı́ (intenzivnı́) růstové rychlosti
dX
≡ rX = µX .
dτ
11.3.3
µ=
(11.7)
Monodova rovnice
µmax S
Ks + S
(11.8)
11.3.4
Logistická rovnice
11.3.5
Stechiometrické parametry růstu buněk a tvorby produktů
dX(t)
= X(t) [1 − X(t)]
dt
(11.9)
95
11.4
Vsádkový promı́chávaný bioreaktor
vystupující
plyny
vzduch
T!
!!
VR , X, S, P
RX = V rX = V
11.5
dX
dτ
NC
EP
Obr. 11.4: Bilančnı́ schéma vsádkového bioreaktoru.
(11.10)
Průtočný promı́chávaný bioreaktor (chemostat)
vystupující
plyny
KO
V, X0 , S0 , P0
VR , X, S, P
V, X, S, P
vzduch
Obr. 11.5: Bilančnı́ schéma kontinuálnı́ho průtočného bioreaktoru (chemostatu).
Uvažujme promı́chávaný průtočný bioreaktor schématicky zobrazený na obr. 11.5, ve
kterém rostou mikrobiálnı́ buňky spotřebovávajı́cı́ substrát S a vytvářejı́cı́ extracelulárnı́ produkt P. Předpokládejme, že objem kapalné vsádky v bioreaktoru, VR , zůstává v průběhu celého
procesu konstantnı́ (plyn procházejı́cı́ bioreaktorem je předem nasycen vodnı́mi parami, takže
se do něho již žádná dalšı́ voda z kultivačnı́ho média neodpařuje) a že teplota vsádky je konstantnı́ a objemové průtoky kapaliny na vstupu a výstupu reaktoru jsou udržovány na stejné
konstantnı́ hodnotě V̇ . Pak lze zapsat bilančnı́ rovnici hmotnosti biomasy v bioreaktoru ve
tvaru
V̇ X0 + VR rX = V̇ X + VR
dX
dτ
,
(11.11)
96
kde X0 je koncentrace biomasy ve vstupnı́m proudu a rX růstová rychlost biomasy buněk
při teplotě vsádky. V obecném přı́padě je nutno zahrnout do bilance i rychlost úhynu buněk
v reaktoru, kterou popı́šeme specifickou rychlostı́ odumı́ránı́ buněk kd . Bilančnı́ rovnice pro
hmotnost biomasy přejde na tvar
V̇ X0 + VR (µ − kd )X = V̇ X + VR
dX
dτ
,
(11.12)
který upravı́me vydělenı́m obou stran rovnice objemem vsádky v reaktoru VR
V̇
V̇
dX
X0 + (µ − kd ) X =
X+
VR
VR
dτ
.
(11.13)
D = V̇ /VR ,
přecházı́ bilančnı́ rovnice pro množstvı́ biomasy na tvar
DX0 + (µ − kd ) X = DX +
dX
dτ
,
T!
!!
Po zavedenı́ tzv. zřed’ovacı́ rychlosti D, která je definována vztahem
(11.14)
(11.15)
NC
EP
ze kterého vyjádřı́me rychlost změny koncentrace biomasy ve vsádce, tj. i ve výstupnı́m proudu
reaktoru, pro (obvyklý) přı́pad sterilnı́ho přı́toku do chemostatu, tj. pro X0 = 0
dX
= (µ − kd ) X − DX = X [(µ − kd ) − D] .
dτ
(11.16)
KO
Výraz v hranaté závorce na pravé straně rovnice (11.16), tj. (µ − kd ) − D, určuje, zda bude
koncentrace biomasy v chemostatu růst či klesat, nebo zda zůstane konstantnı́. Pokud bude
jeho hodnota záporná, může dojı́t k tzv. vymytı́ biomasy z reaktoru, kdy reaktor přejde do
triviálnı́ho ustáleného stavu s nulovou koncentracı́ biomasy, X = 0.
Po dosaženı́ ustáleného stavu a při sterilnı́m přı́toku do chemostatu, tj. pro X0 = 0, přejde
rovnice (11.15) na tvar
µ − kd = D
,
(11.17)
který lze dále upravit, jestliže lze předpokládat, že specifická rychlost úhynu buněk je zanedbatelná vůči specifické růstové rychlosti (kd µ), na konečný tvar
µ=D
.
(11.18)
Za specifickou růstovou rychlost lze do předchozı́ rovnice dosadit Monodův vztah (11.8) a
obdržı́me tak rovnici
µmax S
=D
KS + S
(11.19)
a po jednoduché algebraické úpravě obdržı́me vztah pro koncentraci limitujı́cı́ho substrátu
v chemostatu v ustáleném stavu
S=
KS D
µmax − D
.
(11.20)
Bilančnı́ rovnici pro množstvı́ substrátu v chemostatu zapı́šeme v obecném tvaru, který zahrnuje jednak spotřebu substrátu na růst biomasy, vyjádřenou růstovým výtěžkem YX/S , a
97
a)
10
X / kg m- 3
8
6
4
2
b)
0.05
0.10
0.15
D / h-
1
2.5
NC
EP
PrX / kg m
-3
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.00
0.05
0.10
0.20
0.25
0.20
0.25
T!
!!
0
0.00
0.15
KO
D / h-1
Obr. 11.6: a) Závislost koncentrace biomasy X v chemostatu v ustáleném stavu na zřed’ovacı́ rychlosti
D. b) Závislost produktivity chemostatu P rX na zřed’ovacı́ rychlosti D (body na křivkách označujı́
maxima produktivity). Hodnoty parametrů: YX/S = 0, 5; µmax = 0, 25 h−1 ; S0 = 20 kg m−3 . Hodnoty
saturačnı́ konstanty KS (v pořadı́ od nejvyššı́ křivky k nejnižšı́): 0,01 - 0,05 - 0,1 - 0,25 - 0,5 - 1 kg
m−3 .
dále spotřebu substrátu na produkci extracelulárnı́ho produktu P s tvorbou vázanou na růst
biomasy, vyjádřenou stechiometrickým koeficientem YP/S
V̇ S0 − VR µ X
1
YX/S
− VR µ X
1
YP/S
= V̇ S + VR
dS
.
dt
(11.21)
Pro ustálený stav a pro sterilnı́ vstupnı́ proud chemostatu, tj. pro X0 = 0, obdržı́me po
dosazenı́ zřed’ovacı́ rychlosti bilančnı́ rovnici pro množstvı́ substrátu ve tvaru
1
1
D (S0 − S) = µ X
+
,
(11.22)
YX/S
YP/S
který v přı́padě, že nenı́ vytvářen žádný extracelulárnı́ produkt přecházı́ na tvar
D (S0 − S) =
µX
.
YX/S
(11.23)
98
Protože v ustáleném stavu µ = D, lze tuto rovnici upravit na jednoduchý tvar
X = YX/S (S0 − S) ,
(11.24)
který po dosazenı́ koncentrace substrátu v ustáleném stavu z rovnice (11.20) a po úpravě
poskytne konečný vztah pro koncentraci biomasy v chemostatu
KS D
X = YX/S S0 −
.
(11.25)
µmax − D
Dmax =
T!
!!
Tento vztah je pro několik kombinacı́ hodnot parametrů graficky znázorněn na obr. 11.6a. Je
zřejmé, že při nı́zkých hodnotách saturačnı́ konstanty KS je přechod mezi stavem chemostatu
s vysokou koncentracı́ biomasy do stavu s koncentracı́ nulovou velmi náhlý a strmý. Provozovánı́ chemostatu v blı́zkosti tohoto přechodu je riskantnı́, protože může snadno dojı́t k
náhlému vymytı́ biomasy. Hodnotu maximálnı́ zřed’ovacı́ rychlosti, při které k vymytı́ biomasy
z chemostatu dojde, lze určit z rovnice (11.25), položı́me-li koncentraci biomasy X rovnu nule
µmax S0
.
KS + S0
(11.26)
NC
EP
Součin zřed’ovacı́ rychlosti D a koncentrace biomasy X udává hodnotu tzv. produktivity
chemostatu P rX v kg biomasy produkované v jednotkovém objemu média v chemostatu za
jednotku času. S použitı́m rovnice (11.25) lze pro produktivitu P rX odvodit vztah
KS D
P rX = D YX/S S0 −
,
(11.27)
µmax − D
KO
který je v grafické podobě znázorněn pro několik kombinacı́ hodnot parametrů v rovnici (11.27)
na obr. 11.6b. Je zjevné, že závislost P rX na D procházı́ maximem, pro které lze z rovnice
(11.27) odvodit vztah pro hodnotu zřed’ovacı́ rychlosti Dopt poskytujı́cı́ maximálnı́ hodnotu
produktivity chemostatu
!
r
KS
Dopt = µmax 1 −
.
(11.28)
KS + S0
Koncentrace biomasy v chemostatu Xopt odpovı́dajı́cı́ optimálnı́ hodnotě zřed’ovacı́ rychlosti
je pak dána vztahem
p
Xopt = YX/S S0 + KS − KS (KS + S0 ) .
(11.29)
11.6
Chemostat s recyklem buněk
Možnost vymytı́ biomasy z jednoduchého chemostatu popsaného v předchozı́ části představuje
riziko, které může být v některých přı́padech nepřı́pustné (např. kvůli možným ekonomickým
ztrátám) a byly proto hledány způsoby, jak pracovnı́ bod chemostatu stabilizovat. Jednı́m z
možných řešenı́ je použitı́ chemostatu s recyklem biomasy, který je schématicky znázorněn na
obr. 11.7. Výstupnı́ proud z chemostatu je veden do separátoru, resp. koncentrátoru biomasy,
ve kterém se biomasa částečně separuje od kapalného média a zvyšuje se tak jejı́ koncentrace
v kapalině na hodnotu C X1 , kde C je tzv. koncentračnı́ faktor separátoru (C > 1) a X1 je
koncentrace biomasy ve výstupnı́m proudu chemostatu. Proud zahuštěné buněčné suspense se
s objemovým průtokem α V̇ vede zpět do chemostatu. Symbol α označuje tzv. recyklačnı́ faktor
99
1
vystupující
plyny
V, X0 , S0 , P0
2
VR , X1, S, P
(1+α)V, X1, S, P
S
V, X, S, P
vzduch
Vr =( 1+α)V, Xr=CX1, S, P
T!
!!
Obr. 11.7: Bilančnı́ schéma průtočného bioreaktoru (chemostatu) s recyklem buněk. S označuje koncentrátor, resp. separátor biomasy.
NC
EP
chemostatu. Separátor, resp. koncentrátor biomasy pracuje bud’to na principu sedimentace
nebo využı́vá odstředivky nebo membránové separace. Parametry C a α jsou nastavitelnými
(alespoň v jistém rozmezı́) provoznı́mi parametry systému.
Bilančnı́ rovnice pro množstvı́ biomasy v chemostatu (subsystém vymezený na obr. 11.7
hranicı́ 1 ) má tvar
V̇ X0 + α V̇ C X1 − (1 + α) V̇ X1 + VR µ X1 = VR
dX1
,
dτ
(11.30)
který pro ustálený stav a sterilnı́ přı́tok do systému (X0 = 0) přecházı́ na jednoduššı́ podobu
α V̇ C X1 − (1 + α) V̇ X1 + VR µ X1 = 0 .
(11.31)
D=
KO
Po jednoduchých úpravách obdržı́me z rovnice (11.31) podmı́nku ustáleného stavu pro chemostat s recyklem biomasy v podobě
µ
.
1 + α(1 − C)
(11.32)
Jmenovatel zlomku na pravé straně této rovnice má hodnotu menšı́ než 1 (protože C > 1),
a proto může chemostat s recyklem pracovat v ustáleném stavu i při hodnotách zřed’ovacı́
rychlosti D vyššı́ch, než je hodnota specifické růstové rychlosti biomasy µ. Bilančnı́ rovnice
pro množstvı́ limitujı́cı́ho substrátu v systému s hranicı́ 1 - viz obr. 11.7, tj. v samotném
chemostatu bez separátoru S, má tvar
V̇ S0 + α V̇ S = (1 + α) V̇ S + VR µ X1
dS
1
+ VR
.
YX/S
dt
(11.33)
Neuvažujeme zde tvorbu žádného extracelulárnı́ho produktu. Pro ustálený stav lze z předchozı́
rovnice vyjádřit koncentraci biomasy ve výstupnı́m proudu chemostatu v podobě
X1 =
D
YX/S (S0 − S) ,
µ
(11.34)
kde je zavedena zřed’ovacı́ rychlost D stejným způsobem jako pro jednoduchý chemostat, tj.
podle rovnice (11.14). Do rovnice (11.34) lze za µ dosadit z podmı́nky ustáleného stavu (11.32)
100
b)
8
8
6
6
X1 / kg m-3
4
2
2
0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0
0.00
0.30
D / h-1
c)
3.0
2.5
2.5
2.0
1.5
1.0
2.0
1.5
1.0
0.5
0.05
0.10
0.15
NC
EP
0.5
0.0
0.00
0.20
0.25
0.0
0.00
0.30
-1
D/h
0.05
0.10
d)
3.0
PrX / kg m-3h-1
PrX / kg m-3h-1
4
0.15
D / h-1
0.20
0.25
0.30
T!
!!
X1 / kg m-3
a)
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
D / h-1
Obr. 11.8: a),b): Závislosti koncentrace biomasy X1 na výstupu chemostatu s recyklem na zřed’ovacı́
rychlosti D; c),d): závislosti produktivity P rX = D X1 chemostatu s recyklem na zřed’ovacı́ rychlosti
D. Hodnoty parametrů: S0 =20 kg m−3 ; YX/S = 0, 3; µmax = 0, 25 h−1 ; α = 0, 5; C = 1, 5. KS = 0, 05
kg m−3 pro obr. a) a c); KS = 0, 2 kg m−3 pro obr. b) a d). Červené křivky ukazujı́ závislosti pro
chemostat s recyklem biomasy, modré křivky pro chemostat bez recyklu biomasy.
X1 =
KO
a obdržı́me tak konečný výraz pro koncentraci biomasy na výstupu z chemostatu (systém 1
na obr. 11.7)
YX/S (S0 − S)
,
1 + α(1 − C)
(11.35)
který však obsahuje neznámou koncentraci substrátu S, kterou můžeme obdržet spojenı́m Monodova vztahu (11.8) a rovnice (11.32). Po nevelkých algebraických úpravách tak dostaneme
vztah pro koncentraci limitujı́cı́ho substrátu na výstupu z chemostatu s recyklem v podobě
S=
KS [1 + α(1 − C)] D
,
µmax − [1 + α(1 − C)] D
(11.36)
který lze použı́t při výpočtech spolu s rovnicı́ (11.35). Obr. 11.8a,b ukazujı́ závislosti X1 na
D podle rovnice (11.35) pro dvě hodnoty saturačnı́ konstanty KS . Je zjevné, že zavedenı́m
recyklu biomasy se rozsah hodnot zřed’ovacı́ rychlosti, při kterých lze systém provozovat,
ve srovnánı́ s jednoduchým chemostatem značně rozšı́řil. Hodnota saturačnı́ konstanty KS
ovlivňuje strmost přechodu systému do stavu s vymytou biomasou (X1 = 0). Obr. 11.8c,d
ukazujı́ závislost produktivity P rX = D X1 na zřed’ovacı́ rychlosti. Je zřejmý výrazný vliv
hodnoty saturačnı́ konstanty KS na produktivitu chemostatu s recyklem i bez recyklu.
Bilancovánı́m množstvı́ biomasy v separátoru S (subsystém s hranicı́ 2 na obr. 11.7)
snadno obdržı́me výraz pro koncentraci biomasy X2 ve výstupnı́m proudu celého systému
X2 = [1 + α(1 − C)] X1 .
(11.37)
101
Koncentrace biomasy X2 je tedy o 100 × α(C − 1)% nižšı́ než koncentrace X1 a stejným
způsobem je nižšı́ i produktivita pro biomasu celého systému.
11.7
Dvoustupňový chemostat
V některých přı́padech se ukazuje jako výhodné zařadit dva chemostaty za sebe, jak je ukázáno
na obr. 11.9. Výstupnı́ proud z prvnı́ho chemostatu je vstupnı́m proudem druhého, objemy
obou členů systému jsou obecně rozdı́lné. Objemové průtoky média oběma členy majı́ stejnou hodnotu V̇ . Podmı́nky (teplota, hodnota pH atd.) v obou členech systému mohou být
vystupující
plyny
T!
!!
vystupující
plyny
V, X1 , S1 , P1
V, X0 , S0 , P0
V, X2, S2, P2
VR2 , X2, S2, P2
VR1 , X1, S1, P1
vzduch
NC
EP
vzduch
Obr. 11.9: Bilančnı́ schéma dvojstupňového chemostatu.
stejné nebo rozdı́lné. Toho se využı́vá např. v přı́padech, kdy v prvém členu kaskády probı́há
intenzivnı́ růst biomasy, která pak ve stacionárnı́ fázi růstové křivky v druhém členu produkuje žádaný produkt. Zde budeme předpokládat stejné podmı́nky v obou členech. Prvnı́ člen
kaskády je popsán stejnými vztahy, jaké jsme použili pro popis jednoduchého chemostatu.
Koncentrace substrátu v 1. členu je tedy dána vztahem
KS D1
,
µmax − D1
KO
S1 =
(11.38)
a koncentrace biomasy vztahem
X1 = YX/S (S0 − S1 ) = YX/S S0 −
K S D1
µmax − D1
.
(11.39)
Zřed’ovacı́ rychlost D1 v těchto rovnicı́ch je definována obvyklým způsobem, tj.
D1 = V̇ /VR1 .
(11.40)
Bilančnı́ rovnice pro biomasu v druhém členu kaskády má tvar
V̇ X1 + VR2 µ2 X2 = V̇ X2 + VR2
dX2
,
dτ
(11.41)
který pro ustálený stav vede ke vztahu pro X2
X2 =
D2 X1
= YX/S (S1 − S2 ) .
D 2 − µ2
(11.42)
kde
D2 = V̇ /VR2
(11.43)
102
a
µ2 =
µmax S2
.
KS + S2
(11.44)
Bilančnı́ rovnice pro množstvı́ limitujı́cı́ho substrátu ve druhém členu kaskády má tvar
V̇ S1 − VR2 µ2 X2
1
dS2
= V̇ S2 + VR2
,
YX/S
dτ
(11.45)
ze kterého snadno odvodı́me vztah pro S2 v ustáleném stavu
S2 = S1 −
µ2 X2 1
.
D2 YX/S
(11.46)
11.8
T!
!!
Rovnice (11.38) až (11.40), (11.42) až (11.44) a (11.46) řešı́me bud’to jako soustavu rovnic
nebo sekvenčnı́m způsobem v závislosti na tom, které veličiny jsou známy a které je zapotřebı́
vyčı́slit.
Úlohy-11
NC
EP
U11.1 Byla testována rychlost termické inaktivace amyloglukosidázy produkované mikroorganismem Endomycopsis bispora. Enzym byl inkubován při teplotě 40◦ C v roztoku pufru
o optimálnı́ hodnotě pH a byl zjišt’ován pokles jeho aktivity (reakčnı́ rychlosti). Enzym byl
použit v rozpustné formě a v podobě imobilizovaného preparátu připraveného uzavřenı́m enzymu do částic z polyakrylamidového gelu. Výsledky experimentů jsou uvedeny v tabulce:
Čas [min]
KO
0
3
6
9
15
20
25
30
40
Aktivita enzymu [µmol cm−3 min−1 ]
rozpustný
imobilizovaný
0,86
0,45
0,79
0,44
0,70
0,43
0,65
0,43
0,58
0,41
0,46
0,40
0,41
0,39
0,38
0,37
Určete hodnoty rychlostnı́ konstanty inaktivace 1. řádu a poločas enzymové aktivity pro obě
formy enzymu.
Výsledek: Rozpustný enzym: kd = 0, 0298 min−1 , τ1/2 = 23,3 min; imobilizovaný enzym:
kd = 0, 00541 min−1 , τ1/2 = 128 min.
U11.2 Enzym α-amyláza ze sladu je použı́vána k hydrolýze škrobu. Experimentálně byla
stanovena závislost reakčnı́ rychlosti hydrolýzy, r, na teplotě:
Teplota [◦ C]
20
30
40
60
r [mmol dm−3 s−1 ]
0,31
0,66
1,20
6,33
103
Určete hodnotu aktivačnı́ energie pro tuto enzymovou reakci.
Výsledek: Aktivačnı́ energie má hodnotu 61 kJ mol−1 .
U11.3 Závislost rychlostnı́ konstanty termické inaktivace enzymu na teplotě je popsána
Arrheniovou rovnicı́ kd = 2, 25 · 1027 exp −174200
, kde T je hodnota reakčnı́ teploty v KelRT
vinech a R = 8, 3144 J mol−1 K−1 je plynová konstanta. Hodnota kd vycházı́ v h−1 . Jaké jsou
hodnoty poločasu enzymové aktivity při teplotách 25◦ C a 55◦ C? Porovnejte hodnoty reakčnı́ch
rychlostı́ při uvedených teplotách, jestliže použijete hodnotu aktivačnı́ energie z úlohy U11.2.
Která teplota je výhodnějšı́ pro uskutečněnı́ enzymové reakce?
T!
!!
Výsledek: Při teplotě 25◦ C je poločas enzymové aktivity 1021 h a při teplotě 55◦ C poklesne
na 1,65 h. Poměr hodnot reakčnı́ch rychlostı́ při 55◦ C a 25◦ C je roven 9,5. Pro uskutečněnı́
reakce je výhodnějšı́ nižšı́ teplota, protože při nı́ je rychlost inaktivace enzymu podstatně nižšı́
než při 55◦ C, pokles rychlosti reakce je přitom přijatelný.
NC
EP
U11.4 V promı́chávaném vsádkovém reaktoru se při konstantnı́ teplotě a konstantnı́ hodnotě
pH uskutečňuje enzymová reakce. Počátečnı́ koncentrace substrátu je rovna 1,86 mol dm−3 .
Maximálnı́ reakčnı́ rychlost uvažované reakce je rovna 0,0025 mol dm−3 s−1 a Michaelisova konstanta enzymu má hodnotu 0,053 mol dm−3 . Určete reakčnı́ dobu potřebnou k dosaženı́ 97%-nı́
konverse substrátu pro přı́pad, kdy inaktivace enzymu v průběhu reakce nenı́ významná. Jak se
potřebná reakčnı́ doba změnı́, bude-li enzym podléhat termické inaktivaci s kinetikou prvnı́ho
řádu a s hodnotou inaktivačnı́ konstanty kd = 0, 0005 s−1 ?
KO
Výsledek: Požadované hodnoty konverze substrátu bude dosaženo za 796 s. Při současně
probı́hajı́cı́ inaktivaci enzymu se reakčnı́ doba prodloužı́ na 1015 s.
U11.5 Jaké hodnoty dosáhne konverze substrátu za 2900 s v promı́chávaném vsádkovém
reaktoru, ve kterém probı́há enzymová reakce s kinetikou Michaelise a Mentenové. Počátečnı́
koncentrace substrátu je rovna 1 mol dm−3 , maximálnı́ reakčnı́ rychlost je rovna 0,00031
mol dm−3 s−1 a Michaelisova konstanta Km = 0, 025 mol dm−3 . Inaktivaci enzymu v průběhu
reakce neuvažujte.
Výsledek: Konverze dosáhne hodnoty 85,1%.
U11.6 Uvažujte podmı́nky úlohy U11.5 a určete, jaké hodnoty dosáhne konverse substrátu
za 2900 s, pokud enzym v průběhu reakce podléhá termické inaktivaci 1. řádu s rychlostnı́
konstantou kd = 0, 00025 s−1 .
Výsledek: Konverze dosáhne hodnoty 61,6%.
U11.7 Vláknitý mikroorganismus byl kultivován ve vsádkovém systému. Jako jediný (limitujı́cı́) zdroj uhlı́ku byla použita glukóza. Při experimentu byla zjištěna data uvedená v
tabulce:
104
Čas
konc. biomasy
konc. substrátu
[h]
[g dm−3 ]
[g dm−3 ]
0
1,25
100
9
2,45
97
16
5,1
90,4
23
10,5
76,9
30
22
48,1
34
33
20,6
36
37,5
9,38
40
41
0,63
T!
!!
Určete hodnotu maximálnı́ růstové rychlosti mikroorganismu, hodnotu úhrnného růstového
výtěžku a maximálnı́ dosažitelnou koncentraci biomasy v přı́padě, bude-li použita počátečnı́
koncentrace glukózy 150 g dm−3 a stejná velikost inokula.
NC
EP
Výsledek: Maximálnı́ růstová rychlost je 0,105 h−1 , růstový výtěžek je roven 0,4 a je možno
dosáhnout koncentrace biomasy 61,25 g dm−3 .
U11.8 Při vsádkové kultivaci buněk aerobnı́ baktérie s methanolem jako zdrojem uhlı́ku
byla zı́skána data uvedená v tabulce:
konc. biomasy
konc. substrátu
[h]
[g dm−3 ]
[g dm−3 ]
0
0,2
9,23
2
0,211
9,21
4
0,305
9,07
8
0,98
8,03
10
1,77
6,8
12
3,2
4,6
14
5,6
0,92
16
6,15
0,077
18
6,2
0
KO
Čas
Určete hodnotu maximálnı́ růstové rychlosti, hodnotu úhrnného růstového výtěžku YX/S
a dobu zdvojenı́ biomasy.
Výsledek: Maximálnı́ růstová rychlost má hodnotu 0,29 h−1 , růstový výtěžek je roven 0,65 a
doba zdvojenı́ biomasy je rovna 2,38 h.
U11.9 Buňky baktérie Zymomonas mobilis (producent ethanolu) jsou kultivovány v chemostatu o pracovnı́m objemu 60 m3 . Vstupnı́ proud obsahuje 12 g dm−3 glukosy. Saturačnı́
konstanta KS = 0, 2 g dm−3 , maximálnı́ růstová rychlost µmax = 0, 3 h−1 a růstový výtěžek
YX/S = 0, 06. Specifická rychlost tvorby produktu qP = 3, 4 h−1 . Růst buněk se řı́dı́ Monodovou kinetikou. a) Jakou hodnotu musı́ mı́t zřed’ovacı́ rychlost, aby koncentrace substrátu
v ustáleném stavu ve výstupnı́m proudu činila 1,5 g dm−3 ? b) Jaká bude koncentrace buněk
105
ve výstupnı́m proudu při hodnotě zřed’ovacı́ rychlosti z předchozı́ho bodu? c) Jakou hodnotu
bude mı́t koncentrace ethanolu na výstupu z chemostatu za podmı́nek předchozı́ho bodu?
Výsledek: a) Potřebná hodnota zřed’ovacı́ rychlosti je D = 0, 265 h−1 ; b) koncentrace buněk ve
výstupnı́m proudu dosáhne hodnoty X = 0, 63 kg m−3 ; c) koncentrace ethanolu ve výstupnı́m
proudu bude mı́t hodnotu P = 8, 1 kg m−3 .
T!
!!
U11.10 Baktérie Pseudomonas sp. má dobu zdvojenı́ biomasy v exponenciálnı́ fázi růstu
při kultivaci na acetátu jako zdroji uhlı́ku rovnu 2,4 h. Růst baktérie se řı́dı́ Monodovou
kinetikou. Saturačnı́ konstanta má hodnotu KS = 1, 3 g dm−3 a růstový výtěžek YX/S = 0, 46
g biomasy na g spotřebovaného acetátu. Jestliže vstupnı́ proud chemostatu obsahuje 38 g dm−3
acetátu, určete: a) maximálnı́ přı́pustnou hodnotu zřed’ovacı́ rychlosti Dmax , b) koncentraci
substrátu ve výstupnı́m proudu při zřed’ovacı́ rychlosti D = 0, 8Dmax , c) koncentraci biomasy
ve výstupnı́m proudu při zřed’ovacı́ rychlosti D = 0, 5Dmax , d) produktivitu chemostatu pro
biomasu při zřed’ovacı́ rychlosti D = 0, 5Dmax .
NC
EP
Výsledek: a) Maximálnı́ specifická růstová rychlost má hodnotu µmax = 0, 289 h-1 a maximálnı́
hodnota zřed’ovacı́ rychlosti je Dmax = 0, 279 h−1 ; b) koncentrace substrátu ve výstupnı́m
proudu má hodnotu S = 4, 44 g dm−3 ; c) koncentrace biomasy ve výstupnı́m proudu je rovna
16,92 g dm−3 , d) produktivita chemostatu je rovna 2,36 g dm−3 h−1 .
U11.11 Fermentor o objemu 5 m3 je provozován v kontinuálnı́m režimu při koncentraci
substrátu na vstupu 20 kg m−3 . Mikroorganismus kultivovaný ve fermentoru má tyto růstové
charakteristiky: KS = 0, 8 kg m−3 , µmax = 0, 45 h−1 , YX/S = 0,55. a) Jakou hodnotu musı́
mı́t objemový průtok média fermentorem, má-li být dosaženo 90%-nı́ konverse substrátu,
b) Porovnejte hodnotu produktivity systému pro biomasu při 90%-nı́ konversi substrátu s
maximálně dosažitelnou produktivitou.
KO
Výsledek: a) Objemový průtok musı́ být nastaven na hodnotu 1,61 m3 h−1 ; b) maximálnı́
produktivita chemostatu má hodnotu Pmax = 3, 33 kg m−3 h−1 a produktivita dosažená při
90%-nı́ konverzi je P = 3, 19 kg m−3 h−1 .
U11.12 Chemostat s recyklem má objem 2 dm3 a objemový průtok vstupnı́ho proudu je
roven 0,25 dm3 h−1 . Mikroorganismus kultivovaný v chemostatu roste při limitaci jediným
substrátem - glukosou. Růstový výtěžek má hodnotu YX/S = 0, 65. Koncentrace glukosy ve
vstupnı́m proudu je rovna 20 g dm−3 . Maximálnı́ hodnota specifické růstové rychlosti mikroorganismu je rovna 0,25 h−1 a saturačnı́ konstanta má hodnotu 1,5 g dm−3 . Koncentračnı́
faktor chemostatu má hodnotu C = 1, 75 a recyklačnı́ poměr α = 0, 75. Systém pracuje v
ustáleném stavu, vstupnı́ proud neobsahuje žádnou biomasu a mikroorganismus neprodukuje
žádný extracelulárnı́ produkt. Určete: a) produktivitu tohoto chemostatu pro biomasu a koncentraci zbytkového substrátu ve výstupnı́m proudu, b) porovnejte výše vypočtené hodnoty
s hodnotami pro chemostat bez recyklu se stejným objemem a stejným objemovým průtokem.
Výsledek: a) Produktivita chemostatu s recyklem je rovna 1,59 g dm−3 h−1 , koncentrace substrátu
ve výstupnı́m proudu je rovna 0,42 g dm−3 . b) Chemostat bez recyklu dosáhne produktivity
pro biomasu o hodnotě 1,503 g dm−3 h−1 , koncentrace zbytkové glukosy bude rovna 1,5 g dm−3 .
U11.13 V kaskádě dvou chemostatů má prvnı́ člen objem 0,5 m3 a druhý má objem 0,3
m3 . Prvnı́ člen sloužı́ k růstu biomasy a druhý k produkci sekundárnı́ho metabolitu. Objemový průtok na vstupu do prvnı́ho členu je roven 0,1 m3 h−1 a vstupnı́ koncentrace glukosy
(substrátu) je rovna 5 g dm−3 . Hodnota maximálnı́ specifické růstové rychlosti je 0,3 h−1 ,
106
saturačnı́ konstanta je rovna 0,1 g dm−3 a růstový výtěžek YX/S je roven 0,4. a) Určete koncentraci substrátu a biomasy na výstupu z 1. členu kaskády. b) Za předpokladu, že růst
biomasy ve 2. členu je zanedbatelný, specifická rychlost tvorby produktu je rovna 0,02 h−1 a
YP/S = 0, 6 určete hodnoty koncentracı́ substrátu a produktu na výstupu z 2. členu.
KO
NC
EP
T!
!!
Výsledek: a) Koncentrace substrátu ve výstupnı́m proudu 1. členu je 0,2 g dm−3 , koncentrace
biomasy je rovna 1,92 g dm−3 . b) Na výstupu z 2. členu je koncentrace substrátu rovna 0,008
g dm−3 a koncentrace produktu je rovna 0,1152 g dm−3 .
107
108
KO
T!
!!
NC
EP
Seznam obrázků
Základnı́ (jednoduché) způsoby namáhánı́ materiálů. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vzájemné orientace sı́ly a plochy, na kterou sı́la působı́: a) obecná orientace, b) normálová
sı́la, c) tečná sı́la. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Stlačitelnost tekutin při namáhánı́ tlakem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Vrstva tekutiny mezi dvěma rovinnými deskami. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Deformace vrstvy tekutiny nacházejı́cı́ se mezi deskami. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Rheogram kapaliny s newtonovským chovánı́m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Některé přı́činy vzniku nenewtonovského chovánı́ kapalin. . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Tvar hladiny při mı́chánı́ kapalin rotačnı́m mı́chadlem ve válcové nádobě: a) pro newtonovské kapaliny, b) pro některé nenewtonovské kapaliny (”šplhánı́”po hřı́deli). . . .
1.9 Obecný rheogram nenewtonovské kapaliny s vyznačenı́m dvou hodnot zdánlivé viskozity.
1.10 Klasifikace nenewtonovských kapalin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Přı́klady rheogramů viskoplastických kapalin. A ... kapaliny binghamské, B, C ... kapaliny Herschelovy-Bulkleyovy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NC
EP
T!
!!
1.1
1.2
KO
1.12 Rheogramy pseudoplastických a dilatantnı́ch kapalin při různých hodnotách
indexu toku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13 Závislost zdánlivé viskozity tixotropnı́ch a rheopektických kapalin na době působenı́
napětı́. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.14 Rychlostnı́ profily při toku nenewtonovské kapaliny popsané mocninovým modelem trubkou kruhového průřezu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.16 Tvorba dobře promı́chávané oblasti - kaverny - při mı́chánı́ pseudoplastických kapalin
rychloběžným rotačnı́m mı́chadlem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.17 Závislost smykové rychlosti na frekvenci otáčenı́ mı́chadla a vzdálenosti od osy mı́chacı́
nádoby. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
10
11
12
13
14
14
15
16
16
17
. 18
. 19
. 21
. 24
. 25
6.1
Závislost intenzity zářenı́ emitovaného absolutně černým tělesem na vlnové délce zářenı́
a teplotě tělesa (Planckův vyzařovacı́ zákon, rovn. (6.1)). . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.1
9.2
9.3
Transport adsorbované složky v okolı́ a uvnitř částice adsorbentu. . . . . . . . . 77
Adsorpce v jednom promı́chávaném stupni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Bilančnı́ schéma opakované adsorpce ve dvou promı́chávaných rovnovážných
stupnı́ch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.1 Možné uspořádánı́ průtočného promı́chávaného bioreaktoru - chemostatu. KN - kultivačnı́ nádoba, ZM - zásobnı́k kultivačnı́ho média, Z - zásobnı́k, DČ - dávkovacı́
čerpadlo, OV - odběr vzorků, VF - vzduchový filtr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
11.2 Možné uspořádánı́ průtočného promı́chávaného bioreaktoru - turbidostatu. KN - kultivačnı́ nádoba, ZM - zásobnı́k kultivačnı́ho média, RV - regulačnı́ ventil, Ž - zdroj
světla, D - detektor (optické čidlo), VF - vzduchový filtr. . . . . . . . . . . . . . . . . 94
109
11.3 Typický průběh růstové křivky mikroorganismů při kultivaci v kapalném živném médiu.
Osa koncentracı́ biomasy je v logaritmickém měřı́tku. . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
11.4 Bilančnı́ schéma vsádkového bioreaktoru. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
11.5 Bilančnı́ schéma kontinuálnı́ho průtočného bioreaktoru (chemostatu). . . . . . . . . . 96
11.6 a) Závislost koncentrace biomasy X v chemostatu v ustáleném stavu na zřed’ovacı́
KO
NC
EP
T!
!!
rychlosti D. b) Závislost produktivity chemostatu P rX na zřed’ovacı́ rychlosti D (body
na křivkách označujı́ maxima produktivity). Hodnoty parametrů: YX/S = 0, 5; µmax =
0, 25 h−1 ; S0 = 20 kg m−3 . Hodnoty saturačnı́ konstanty KS (v pořadı́ od nejvyššı́
křivky k nejnižšı́): 0,01 - 0,05 - 0,1 - 0,25 - 0,5 - 1 kg m−3 . . . . . . . . . . . . . . . .
11.7 Bilančnı́ schéma průtočného bioreaktoru (chemostatu) s recyklem buněk. S označuje
koncentrátor, resp. separátor biomasy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.8 a),b): Závislosti koncentrace biomasy X1 na výstupu chemostatu s recyklem na zřed’ovacı́
rychlosti D; c),d): závislosti produktivity P rX = D X1 chemostatu s recyklem na
zřed’ovacı́ rychlosti D. Hodnoty parametrů: S0 =20 kg m−3 ; YX/S = 0, 3; µmax = 0, 25
h−1 ; α = 0, 5; C = 1, 5. KS = 0, 05 kg m−3 pro obr. a) a c); KS = 0, 2 kg m−3 pro obr.
b) a d). Červené křivky ukazujı́ závislosti pro chemostat s recyklem biomasy, modré
křivky pro chemostat bez recyklu biomasy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.9 Bilančnı́ schéma dvojstupňového chemostatu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
98
100
101
102
Seznam tabulek
4.2
7.1
7.2
T!
!!
4.1
. 11
. 12
. 23
. 29
Kriteriálnı́ rovnice pro výpočet součinitele přestupu hmoty při ultrafiltraci a
reversnı́ osmóze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Poznámky a vysvětlivky k tab. 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
NC
EP
2.1
Klasifikace materiálů podle hodnoty Debořina čı́sla . . . . . . . . . . . . . . .
Hodnoty objemového modulu pružnosti některých materiálů . . . . . . . . . .
Explicitnı́ vztahy pro výpočet hodnoty součinitele třenı́ λ při turbulentnı́m
toku mocninových kapalin potrubı́m (Reynoldsovo kritérium Ren je definováno
vztahem (1.28), m je index toku). Zpracováno podle Gao et Zhang [3]. . . .
Druhy dispersnı́ch soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Frekvence elektromagnetického zářenı́ povolené pro použitı́ v mikrovlnných
zařı́zenı́ch v různých zemı́ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Hodnoty relativnı́ permitivity, ztrátového faktoru a hloubky penetrace pro
různé materiály při frekvenci mikrovlnného zářenı́ 2450 MHz. . . . . . . . . . . 69
KO
1.1
1.2
1.3
1
2
KO
T!
!!
NC
EP
Literatura
[1] Novák V., Rieger F., Vavro K.: Haydraulické pochody v chemickém a potravinářském
průmyslu, SNTL, Praha. 1989.
T!
!!
[2] Dodge D.W., Metzner A.B.: Turbulent flow of non-newtonian systems. AIChE Journal
5(2), 189-204 (1959).
[3] Gao P., Zhang J.: J. Cent. South Univ. Technol.: (2007) s1-0077-05.
[4] Steffe J.F.: Rheological methods in food process engineering (2nd Ed.), Freeman Press,
East Lansing 1996.
NC
EP
[5] Hasal P., Schreiber I., Šnita D. a kol.: Chemické inženýrstvı́ I, Skriptum VŠCHT Praha,
Vydavatelstvı́ VŠCHT Praha, 2007.
[6] Sazima M., Kmonı́ček V., Schneller J., Ambrož J., Bayer Z., Černý V., Hlavačka V.,
Pikman M., Středa I., Šifner O.: Teplo, SNTL, Praha 1989 (ISBN: 80-03-00043-2).
[7] Sazima M., Berounský V., Dvořák L., Hlavačka V., Chyský J., Němeček M., Ota J.,
Prokop J., Šika J., Zemánek J.: Sdı́lenı́ tepla, SNTL, Praha 1993 (ISBN: 80-85341-42-5).
KO
[8] Incropera F.P., Dewitt D.P.: Fundamentals of Heat and Mass Transfer, Wiley, New York
2002 (ISBN: 0-471-38650-2).
[9] M. Shafiur Rahman (Editor): Food Properties Handbook. CRC Press, Boca Raton 2009.
[10] Harnby N., Edwards M.F., Nienow A.W.: Mixing in Process Industries. ButterworthHeineman, Oxford 1997.
[11] Bird R.B., Stewart W.E., Lightfoot E.N.: Transport Phenomena. John Wiley & Sons,
2007.
[12] Ortega-Rivas E.: Unit Operations of Particulate Solids: Theory and Practice. CRC Press,
Boca Raton 2012.
[13] Allen T.: Particle Size Measurement. Chapman and Hall, London 1990. (ISBN-13: 97894-010-6673-0)
3