3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky

3.2.7
Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky
Předpoklady: 3204, 3206
Pedagogická poznámka: U následujících příkladů (a u mnoha dalších příkladů z geometrie)
platí, že nedílnou součástí řešení je nápad (který se také nemusí dostavit). Proto
v průběhu přemýšlení o příkladu postrkuji třídu pomocí návodných otázek.
Př. 1:
V kružnici o poloměru r = 10 cm urči vzdálenost dvou rovnoběžných tětiv o délkách
12 cm a 18 cm.
12 cm
18 cm
r=10 cm
V obrázku není nic, co by umožňovalo spočítat jakoukoliv vzdálenost. Musíme „dostat známé
vzdálenosti k sobě“, nebo vytvořit trojúhelníky, je třeba využít vlastnosti kružnice ⇒
dokreslíme do obrázku další poloměry tak, aby končily u krajních bodů obou tětiv.
12 cm
18 cm
r=10 cm
r=10 cm
r=10 cm
Vzdálenost obou tětiv získáme jako rozdíl délek odvěsen ve vyznačených pravoúhlých
trojúhelnících s přeponou r = 10 cm .
Zelený trojúhelník (kratší tětiva): a1 = c12 − b12 = 102 − 62 = 64 = 8
Modrý trojúhelník (delší tětiva): a2 = c22 − b22 = 102 − 92 = 11
Vzdálenost obou tětiv? d = a1 − a2 = 8 − 19 cm ≐ 3, 64 cm
Př. 2:
V pravoúhlém trojúhelníku ABC ( ∢ACB = 90° ) je dáno: ta = 4 , tb = 19 . Urči
délky stran trojúhelníka.
Nakreslíme obrázek:
1
A
ta
B1
tb
B
C
A1
Hledáme trojúhelníky, u kterých známe dva údaje (a třetí můžeme zjistit), těžnice vycházejí
ze středů stran ⇒
A
b
B1
c
ta
0,5 b
tb
C
B
A1
0,5 a
a
Dvakrát můžeme využít Pythagorovu větu:
2
•
b
trojúhelník CBB1 : t = a +   ´
2
2
b
2
2
a
trojúhelník CAA1 : ta2 = b 2 +   ´
2
⇒ získali jsme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých
2
b2
2
19 = a +
4
2
a
42 = b 2 +
4
Substituce: a 2 = x , b 2 = y
y
y
x + = 19
x +
= 19
4
4
⇒
⇒ y = 12
x
15
+ y = 16
y = 45
4
4
Dosadíme do první rovnice a vypočteme x:
12
x + = 19 ⇒ x = 16
4
Návrat k původní proměnné:
a 2 = x = 16 ⇒ a = 16 = 4
•
( )
2
b 2 = y = 12 ⇒ b = 12 = 2 3
(
Určíme stranu c: c = a 2 + b 2 = 4 2 + 2 3
)
2
= 28 = 2 7
Trojúhelník ABC má strany o délkách a = 4 cm , b = 2 3 cm , c = 2 7 cm .
Pedagogická poznámka: U předchozího příkladu studenti většinou nejdříve zkouší spočítat
příklad dělením těžnic na části. Hlavním problém při řešení příkladu je pro
studenty fakt, že sestavení jedné rovnice pro jeden z pravoúhlých trojúhelníků jim
neumožní cokoliv dopočítat. Musí mít obě rovnice najednou, ale většina z nich
příklad vzdá ve chvíli, kdy zjistí, že použít jeden z trojúhelníků k vyřešení příkladu
nestačí.
Př. 3:
Je dán rovnostranný trojúhelník ABC se stranou délky a. Urči:
a) výšku v
b) poloměr kružnice opsané
c) poloměr kružnice vepsané
a) výšku v
C
a
v
a
A
B
C1
0,5a
a
Výška je v rovnostranném trojúhelníku zároveň těžnicí ⇒ rozdělí trojúhelník na dva shodné
pravoúhlé trojúhelníky.
a
V trojúhelníku CBC1 platí: a = v +  
2
2
a
3
v2 = a2 −
= a2
4 4
3
v=
a
2
2
2
2
b) poloměr kružnice opsané
střed kružnice opsané leží na průsečíku os stran
3
C
a
v
a
S
r
A
B
C1
a
osy stran jsou u rovnostranného trojúhelníku zároveň výškami i těžnicemi ⇒ střed kružnice je
v těžišti trojúhelníka a jeho poloměr je roven vzdálenosti SA , tedy dvěma třetinám výšky
2 3
2 3
r=
a=
a
3 2
6
c) poloměr kružnice vepsané
střed kružnice vepsané leží na průsečíku os úhlů
C
a
a
v
S
A
B
C1
a
osy úhlů jsou u rovnostranného trojúhelníku zároveň výškami i těžnicemi ⇒ střed kružnice
vepsané je v těžišti trojúhelníka a jeho poloměr je roven vzdálenosti SC1 , tedy třetině výšky
r=
1 3
3
a=
a
3 2
6
Př. 4:
Do rovnostranného trojúhelníka ABC o straně a je vepsán čtverec. Urči délku strany
čtverce.
Nakreslíme si obrázek:
4
C
v-x
0,5x
a
a
v
x
A
B
C1 0,5a
a
V obrázku můžeme najít dva podobné trojúhelníky. Z poměru vyznačených stran vyplývá:
x
a
x
a
2 = 2
=
v−x v
v−x v
vx = av − ax
av
vx + ax = av ⇒ x =
v+a
3
3
3
a
a
a2
a
3
3
2
2
2 =a
Dosadíme v =
a: x =
=
=
2
 3 
3
3+2
3+2
a + a a
+ 1
2
2
 2

Vepsaný čtverec musí mít délku strany x = a
Př. 5:
3
.
3+2
V ostroúhlém trojúhelníku ABC je vedena kolmice z bodu B na stranu AC s patou B0
a kolmice z bodu A na stranu BC s patou A0 . Dokaž, že platí △ ABC ∼△ A0 B0C .
Obrázek:
C
B0
b
a
A0
A
B
c
Trojúhelníky ABC a A0 B0C se shodují v úhlu γ . Další úhel nemůžeme najít.
Zkusíme postupovat jiným způsobem. Ještě jsme nevyužili pravých úhlů u vrcholů A0 B0 :
5
C
B0
b
a
A0
A
B
c
Podle věty uu jsou podobné trojúhelníky AA0C a BB0C (pravý úhel a úhel γ ) ⇒ musí platit
AA0 AC A0C
i rovnosti poměrů stran:
=
=
. Druhý a třetí zlomek v rovnosti obsahují strany
BB0 BC B0C
BC AC
AC A0C
trojúhelníků ABC a A0 B0C ⇒ upravíme s vztah:
=
⇒ 0 = 0 = poměr
BC B0C
BC
AC
odpovídajících stran u trojúhelníků ABC a A0 B0C je stejný ⇒ platí △ ABC ∼△ A0 B0C podle
věty sus.
Pedagogická poznámka: Samozřejmě, že předchozí příklad samostatně neudělá. Těm lepším
trocha zkoušení neuškodí. Jak je zmíněno i v textu příkladu, důležité je, aby si
studenti uvědomili, že v beznadějných situacích je možné postupovat i naslepo tak,
že se snažíme využít informací o speciálních vlastnostech ze zadání.
Př. 6:
Petáková:
strana 87/cvičení 41 c) e)
strana 88/cvičení 44
strana 88/cvičení 45
Shrnutí:
6