N(t)

1962
Zvlastni oUsk z Casopisu Inzenjrske stavby C. 11 - Vytiskla Polygrafia 1, v Praze
INt. ZDENlK P. BAtANT, Dopravopro;ekt Praha
DT 666.97-119
539.4.612
Vliv dotvarovani a smrstovani
u staticky neurcitych konstrukci z betonu ruzneho stari
Promena napjatosti konstrukce zpusobena dotvarovanim a smrstovanim. Pi'edpoklad afinity ki'ivek soucinitelu dotvarovanL Koeficient afinity dotvarovani. Vyjadi'eni atmosferickych vlivu redukovanym easem. Deformace staticky neurcite
konstrukce z betonu ruzneho stai'/ od dotvarovani a smrstovani. Pojem transformovane konstrukce se zmenenymi
moduly pruinosti. Obecne pi'etvarne vyminky staticky neurcite konstrukce tvol'i system simultannich linearnicll diferencialnich rovnic prveho 1'adu pro hodnoty staticky neurcite. Variacni formulace. Pocatecni podminky, nemeni·1i nebo
zmeni-li se staticke pusobeni. A.eseni systemu. Rozbor a specialni pi'/pady. Reologicky vyznam partikularniho reseni.
Pi'iblifne vzorce. Pi'iblizne i'eseni pi'etvarnymi moduly. Zavery pro navrll konstrukci.
PH vypoC'tu betonovych konstrukci se obvykle st,m
vdkereho betonu povazuje za stejne, pfestoze ve skutecnosti stejne stafi nikdy neexistuje. Jsou-1i rozdily starf
betonu nebo podil stalt:ho zatizeni male, je tento predpoklad dostateene vyhovujici. Je tomu tak u konstrukci vybetonovanych v kratke dobe do bedneni nebo montovanych
z prvkU stejneho stari, aniz se pritom pouzije stavebniho
betonu.
U mnoha modernich betonovych konstrukci, zvlaste
u konstrukci mostnich, nelze vsak vychazet z tohoto predpokladu, neboi u nich Casto spolupusobi casti, jejichz beton
je vyrazne odlisneho stan. K temto konstrukcim pam letmo betonovane mosty, spojite nosniky nebo nosnikove
rosty montovane z prefabrikatU, ktere jsou napr. z v)70bnich duvodu rozne stare. Dale k nim patfi montovane konstrukce spolupusobici s castmi, vybetonovanymi na stavenisti, konstrukce, vybetonovane do bedneni ve ve!kych Casovych odstupech, jako napr. ob10uky betonovane po 1amelach, konstrukce, vyrobene opakovanYm pouZitim bedneni a skruZi v pncnem nebo podelnt:m smeru mostu, atd.
Dotvarovani u techto konstrukd zpusobi promenu napjatosti s Casem, a to i kdyz se staticka neurcitost konstrukce
nezmenila. Nastava presun vnitfnfch sil do mist starsiho
betonu, ktery mme by! nekdy dosti znaeny. SmrStovani
zpusobuje tez promenu napjatosti, jinou nez pn stejne starem betonu.
Notnost uVaZovat vliv ruzneho stari betonu pri dotvarovani uklizaI jiz U. FinsterwaIder, ktery uskuteenil zjednoduseny vYpocet techto ucinkU u sdruZeneho ramoveho
letmo betonovaneho mostu s vlozenjrni klouby v Koblenzi [4]. UZil pritom zjednodusujiciho predpokladu, ze vdkery beton kaZde konzoly je navzajem stejne srary, a ze tedy
misto plynule promeny staff betonu existuje jediny skok
mezi obema konzolami. Pro vypocet uvazoval zjednodusenou, jedenkrat staticky neurcitou soustavu, a vliv rocni
doby nevzal v uvahu. SmrStovlini pH ru.znem stari betonu,
ani deformace pn jeho roznem stan se dosud nezkoumaIy,
ani dotvarovlini a smrsiovani betonovych konstrukci nebylo variaene formulovano.
CHem tohoto pojednani je predlozit obecn)' zpusob v~'­
poCtu promeny napjatosti a defonnad zpusobenych dotva~
rovanim a smcit'ovlinim u staticky neurcite konstrukee z bctonu rUzneho st,m, pri nemZ se bere v uvahu libovolna,
zejmena tez plynula promena stari betonu po konstrukci,
ktery pocetne zachycuje atmosfericke vlivy a ktery zahrnuje
tez pfipady zmeny statickeho pusobeni. Ukazeme pfitom
statickj v)-znam koeficientU systemu diferencialnich rovnie,
coz usnadni jejich V)'Pocet a zapamatovani a vysyetlime
reologiekj vyznam i'deni. Dale odvodime variacni formulaci dotvarovani a smrStovani, rovnice pro defonnaei konstrukce a pfiblizne rdeni pretvarnjrni moduly.
Prubeh dotvarovani a smrstovanf
Pi'i stalem napeti je probeh plasticke defonnace zpusobene dotvarovlinim v urCitem miste konstrukce urcen kfivkou soucinitele dotvarovarn, jejichZ hodnoty .uda.Yaji pomer defonnace plasticke k pruZne deformaci v tomto miste.
Prlibeh teto kfivky zavisi na mnoha faktorech. Pro usnadneni vypoCtu jej nonny vsech statU vice Ci mene idealizuji,
zjednodusuji. Vseehny normy vcetne CSN uVaZuji zavislost probehu pouze na ease. Norma DIN vsak Cini konecne
hodnoty zavisle jeste na krychelne pevnosti betonu, ktera
je tez funkci vice cinitelu.
Skuteeny probeh teto kfivky se od ideaIni kfivky odlisuje
blavne znaenou zavislosti na atmosferickych pod.minkach,
zvl. teplote a vlhkosti, coi'. potvrzuji cetna pozorovaru (napi'.
most pres Neckar [8], str. 97, obr. 2,67). Konecna hodnota dotvarovlini pi'i stejne starem betonu vsak na techto
vlivech prakticky nezavisi, ponevadZ se atmosfericke vlivy
casteene po probehnuti roCnfuo cyklu a temer zee1a po probehnuti nekolika let vyrovnavaji. Proto pri stejne starem
betonu neni v praktickjch vypoerech tfeba atmosfericke
vlivy uVaZovat, neboi mis zajimaji hlavne krajni hodnoty,
tj. pocateCni a koneene.
U konstrukci z betonu z rUzneho staff vSak koneene
uOnky zavisi tez na tom, jak ve!ky je rozdil plastick)'ch deformaci jednotlivych Oistt rozneho stan v dobe DeZ zaCaIy
spolupusobit, tj. jak velka plastickli deformace probehla
.1
v jedne casti do te doby, neZ byla vybetonovina cast druM.
Tato deformace je ureena zmenou souCinitele dotvarovam
v dobe mezi vybetonovamm jednotlivjch casti. Je1ikoz je
tato doba kratka, nelze v ni pfedpokladat vyrovnam atmosferickjch vIivil a je tedy nutno vzit je v uvahu. Udelame to
tak, ze po urCen1 souCinitele dotvarovam misto skutecneho casu t dosadfme tzv. redukovany cas t, tj. ze
v roCnf dobe s velkYm dotvarovamm (letni mesice) zavedeme do poCtu urCitj nasobek Casoveho rozdllu apod.
Redukovany Cas t doporueujeme zhruba zavest v mesicich
cerven aZ srpen resp. aZ i skuteene doby, v mesicich prosinec aZ UDor i resp. aZ t skuteene doby a ve zbjvajicich
mesicich nezmenenou hodnotou. Do poCtu je nutno vzit
woven bud prvni, nebo druhe hodnoty redukCnfch koeficienro Casu, nebot jejich hodnoty si vzajemne odpovidaji.
Tak soueet redukovaneho Casu byl za jeden rok roven
prave jednomu roku. Osa skuteeneho Casu t a redukovaneho Casu t je vyznacena napf. v harmonogramu podle
obr.4.
Zvolme pocatek mefeni Casu pro celou konstrukci a
oznaeme t Cas (redukovany), mefeny od tohoto okamZiku.
Casu t odpovfda zakIadnf kfivka <pet) souCinitele dotvarovam, jejiZ pl1ibeh je pfedepsan normou. Pocatek Casu t
je vhodne voIit tak, aby Cas t vyjadfoval zhruba pl1imeme
staff betonu konstrukce.
V urCitem okamZiku, danem Casem t, rna beton v miste r
stan
Pro vjpocet zavedeme zjednodusujici pfedpoklad,
ze kfivka <p,(t) souCinitele dotvarovam v miste r je afinnlm
obrazem zakladni kfivky <pet), pficem! osou afinity je pfimka rovnobezna s osou Casu. Vyjma pfipad, kdy bereme
v uvahu rii.zny druh betonu (DIN), plati <p,(oo) = <p(oo)
a osou afinity je pak spoleena asymptota obou kfivek
(obr. I). Afinitu kfivek urCime podminkou, ze v Casech
t = tk a t -+ 00 zlistavaji hodnoty <p,(t) nezkresleny.
SouCinitele dotvarovam od Casu t" do Casu t oznaeme
skuteene, zkreslene atmosferickjmi vIivy. - 3. Pfedpoklad
afinity umomuje matematicke leSen1.
Pfedpoklad afinity je jedinyro pfedpokladem, jejz potfebujeme pro daISf matematicke feSen1. Jinak m1iZe pet) bjt
Iibovolna spojita rostoud funkce Casu.
Pl1ibeh smrSiovam je popsan hodnotami pomemeho
smrSteni E,mr(t) = Esmr(t) - Esm,(tk) od Casu tk do Casu t,
ktere jsou normami jednoduse zavadeny jako Umeme hodnotam pet), tj.
t
t,.
"i,.(t)
= <p,.(t) -<p,.(tk),
iP(t)
= <pet) -
<p(tk)
Za pfedpokladu afinity pak je
q;,.(t) = xp(t)
(I)
Esm(oo) E"m,(t) = <pC00) qJ,Ct)
=
Esm(oo)-
x qJC00) pet)
(3)
Deformace staticky urcite konstrukce od dotvarovani
a smrsiovanf
Mejme staticky urCitou konstrukci K, ktera je od staieho
zatlZeni namaMna nemennymi momenty M, normaInjmi
silami N a posouvajidmi silami T. U pfedpjate konstrukce
je nutno do staieho zatiZeni zahmout tez pfedpeti, ktere je
sice vIivem ztrat mime promenne, ale je momo je pfib1iZne
zavest konstantni stfedni hodnotou, kterou obdrZime odeCten1m vSech pocateCnfch a kratkodobych ztrat a zhruba
jedne poloviny ztrit dotvarovamm a smrSiovlinim. Nechi
M, N, Tjsou ohybove momenty a normalne a posouvajici
sily, ktere by vznikly zatiZenim veIiCinou X = 1. Pfedpokladame-Ii stejne staff betonu v rozsahu jednoho pl1ifezu,
jsou relativni pootoceni a podeIne a pficne posunuti dvou
sousednich prUfezli konstrukce vzdaIenych d" v miste r .
od Casu tk do Casu t, zpusobena dotvarovanim a smrsiovanim, rovna
Nds
qJ,(t) EF
Mds
<p,(t) EJ '
+ Esmr(t)ds,
O(Tds
qJ,.(t) GF
Zde znao J moment setrvaenosti a F plochu prUfezu T,
E modul prumosti v tlaku a tahu a G ve smyku, 0( rozdelovad Cislo smyku prUfezu.
Z rovnosti virtuaInych praci vnitfnich a vnejsich sil, vy¢(t) ,rp,.(t)
Q)
't»}
kde Cislo
x = ;P,.(oo) = <p"(oo) -<p,(tk)
q;(oo)
<p(oo) -<p(tk)
(2)
nazveme koeficientem afinity dotvarovani v miste r. Jeho hodnota zavisi na Casech tk a tkr (redukovanych).
Pro urychleni vjpocru byl pro hodnoty x, odpovidajfci
pl1ibehu <pet) podle CSN 732001, sestrojen grafikon na
obr. 2.
t
0)
Pfedpoklad afinity je spInen pfesne jedine tehdy, rna-Ii
koeficient dotvarovam <p(t) Dischingerem zavedeny pl1ibeh pet) - I-e-t, kde plati (pro <p,.(oo) = p(oo)
~,_. tjJ(t),(Jr(t)
A~ _~,L.
~_ '¥"'"T
'PI"'I
~-...z:::.J..:l--=~A~tP~,,(t~)~~~~§§~~
A
/!'lJ-- t""""---'---------/
X
=
1 - (I-e-r"r)
I-(I-r")
== e(rr.r
-
r,,)
Rovnid (2) jsme zaved1i pfedpoklad afinity i pro pl1ibeh
<p(t) podle naSi nebo jine normy, kdy vSak neni zcela pfesne
spInen. Je to vsak opodstatneno temito skuteenostmi:
1. Odchylky jsou male a vzhledem k nemomosti pfesne
stanovit souCinitele dotvarovam, bezvjznamne. - 2. Atmosfericke vIivy zkresluji vSechny kfivky dotvarovam ve stejnem pomeru, Ci1i zachovavaji prave a jedine afinni vztah.
Pfedpokladat, Ze kfivky souCinitele dotlacovam jsou posunutjm obrazem zakladni kfivky, bylo by zcela chybne,
protoZe zde nelze brat v uvahu idealni kfivky, ale kfivky
2
q I
//
t,i
_Ii
Obr. 1. a) Idealn! ki'ivky; b) afinn! idealn! ki'ivky soucinitelu docvarovan!
konanych od Casu t1& do Casu t, plyne, Ze deformace c5(t)
ve smyslu ve1iCiny X od dotvarovam a smrsiovam pod staIyro zatiZenim od Casu t1& do Casu t se rovna
MM
NN
d(t) =
p,(t) EJ
p,(t) EF
J[-
K
+
+
Obr. 2. Hodnoty koeficientu afinity dotvarovani '" v zavislosti na casech ti: a tkr
(4)
kde K znaCi integraci pies oOOr ceJ.e konstrukce K. U prostorove konstrukce bychom V z8VOrce psali jeSte daISi obdobne cleny pro vliv kroutidch a pfiCnych ohybovych momentti a posouvajicich sil. Vliv posouvajicich a nekdy i normamych sil he pfibliZne zanedbat.
Deformacestaticky urcite konstrukce K vlivem dotvarovani a smdiovani od casu tit do
casu t je rovna filet) - nasobku pruzne defor,, , '
. 1
mace transformovane konstrukce K' s - nasob-
"
nymi moduly pruznosti pro dane stale zatizeni
•
E3111( 00)
a pomchna smrstenf " cp(oo) •
Oznaeme dale
Promena napjatosti staticky neurcite konstrukce
E'= E
x
Konstrukci s moduly pndnosti E', geometricky shodnou
s konstrukcfK, 'iIazveme transform~van~u konstrukci K'. Modul PruZnosti ve smylru transformovane
konstrukce se rorna G' = E'/2 (1 + 1') = G/x,
Rov. (4) miiZeme upravit na
- J[MM
NN
E'J + E'F +
tXt) = fP(t)
f
M" N"
M(t)
K'
N + a.TT] d
+ " E3111(00)
cp(oo)
G'F,
Nechi dana n-kdt staticky neurad konstrukce K pfejde
uvolnenim n staticky neuratYch, na ease zavislych vazeb
XICt) . ..., XnCt) na zvolenou zikladni statickyurCitou soustaw., ~e ~ ~, % sUy v prUfezu r na zakladni
soustave od staIeho zatfieni a
Ti ad zatiieni veliCinou X, = 1•.Paksily M(t), N(t), T(t) v pnifezu r na
staticky neurCite konstrukci jsou
(5)
PonevadZ zde hodnota integrilu znamena pruinou deformaci transformovllne konstrnkce,mliZeme vyslovit vetu:
= 9R + MIXl(t) + ... + MnXn(t)
(6)
a obdobne pro N(t) a T(l) (snadno bychom tez mohli rozsifit pro prostorove namahani prUfezu).
Dotvarovlini a sIlllilovlini betODU 'k:onstrukce zplisobi
promenu veliCin XI(t), .•., X.(t). PocateCnf podminky pro
XICt), ..., XII(l)·jsOU dany postupem $tavby konstrakce:
1. Nemeni-li se staticke plisobeni konstrukce, jako:napf.
PodmInka nenuloveho rdeni tohoto systemu zn{
A311
A3u
A<5 ln
+ 3'W A3 21 + 3'21) ••• A3n1 + 3'nl
+ 3'lU A<5 2Z + <5' 2Z' ••• A3nz + tJ'n2
+ 3' In,
+ 3' 2n,
A3 zn
••. A3nn
= 0 (10)
+ C1k1 (1) eAl~t) ••• + Cnk 1 (n)
2
~
1
Konstanty C1, ••• , Cn urCime z okrajovjch podminek,
tj. z pocateCnich hodtlot XI(tk), ••• Xn(tk). Pfi postupne
menene staticke neurCitosti nebo rektifikadch je nutno pro
kaZdy Casovj usek, v nemZ se nem~ni staticke piisobeni,
hledat zviastni reSeni podle pfislusnych poeateCnich podIninek.
~eseni napjatosti od dotvarovaru a smriiovaru lze tez
formulovat variacnim zpiisobem. Plati tate veta:
Ze vsech moznych rovnovaznych stavii konstrukce K v case t, charakterizovanych n parametry Xi.(t), •.•, Xn(t), nastane ve skutecnosti ten,
pri nemi je funkcional I[XI(t), ... , Xn(t)ffunkci
X 1 (t), ••• , Xn(t)
I[X1(t), .•., Xn(t)] =
=
I[! (d~ +,,) (~j) + ~~) + ct~ff)) +
K
.
+ N(t)"
esm(oo)] ds
ep(oo)
(12)
=J[~Y (~t) + ~
+ ~~ (~;t) + ~
"M(t))
+
dT(t) (dT(t)
GF
d~
+
"N(t))
+~
2"
T())
t
+
+ N(t) " esm(oo)
(12')
ep(oo) ds
PodIninka minima funkcionalu (12) zni
o!
= 0
OA.f
oM(t) =
,= 1, 2, ..., n, X!,. prl ------vOAC
x hn'
pro v:;ec
a
O~i
WI!
Y'
Mf
.{r (~ +,,) (~' + ~~i +ct~~f) +
K'
M(t)M
EF
+ N(t)Nc
E'J
B'F
+
ds
+
dep GF
aT(t)Ti) d
G' F
S
+
K'
(13)
Dosazenim za M(t) podle (6) plyne jii pfimo z posledni
rovnice system (8) pfetvamych rovnic, am je potvrzena
platnost variaCni formulace. Tato formulace umoziluje
pfib1iZna variaCni reSeni.
r~senr
a priblifne vzorce
PfedloZene feSeni je vlastn~ obdobou nebo spfse zobecnenim silove metody pro prume konstrukce, neboi vych8zf z pfetvamych vjminek. Mohli bychom si tez pfedstavit obdobu deforniaCni metody, vychazejici z rovnovaby
z.men vnitfnich sil za wovj olcamZik. PonevadZ vsak
jejich vyjadfeni je komplikovane, neni tento postup mozny.
Protoze jsou rovnice [51 line8rni, zUstava v platnosti
princip superpozice zatiZeni.
U prumych konstrukcl dosahujeme znaeneho zjednoduseni vjpoCtu volbou ortogonaInich staticky neurCitjch,
tj. volbou takovjch staticky neurCitjch, pro nei koeficienty
3ti pro i ¥= j jsou nulove. Zde vsak lze zvolit pouze staticky ne~Cite veliciny casteene ortogonaIni, ktere jsou
ortogonAlni bud jen pro prumou nebo jen pro transformovanou konstrukci. Prve ortogonaIni veliCiny jsou pro vjpoeet vhodnejsi. Pro oddeleny vjpocet poCatecniho a partikuIamiho feseni je mozno oba systemy ortogonalizovat
zavedenim riiznych staticky neurCitjch.
PartikuIami fe§eni se rovna ustaIenemu feseni na dane
konstrukci. ObdrZime jej poloZime-Ii v rovnici (8) dX1(t) =
dep
= 0, •.. , dXn(t) = 0 nebo tez jako reseni pro dane po-
cateCni podminky, vzriista-li ep(t) nade vsechny meze,
tj. lim X,(t) = Xtp, pfedpokladame-Ii ie tato limita
9i(I)--+-oo
K
+
J(
dep
dep
minimem. Tento funkcional lze tez psat ve tvaru
I[X1(t), ... ,Xn(t)]
+
BJ
Rozbor
eAn~t)
+ C k (1)eAl~t) + ... + Cnkz(n) eA,q;-(t) (11)
. .......... ..... . ... . . . . . . . .
Xn(t) = X np + Clkn(l) eA 'P(r) + .... + Cnkn(n) e.ln~t)
l
dep
K
+ 3'nn
coz je algebraicka rovnice n-teho stupn~ pro A. Jejf kofeny
oznacme Au As, ..., An. Je-Ii kofen ~ m-nasobny, je nutno
jemu odpovidajicl reSeni hledat ve tvaru eA';<t), qJ(t) • ~t),
..•, g;m-l(t), eA9'/'t) coz plati, ;estlize se hodnost matice deter-minantu (10) rovna n-l. Jinak n~ktera feSeni Xi(t) zavisf
-na men~ nei n libovolnych konstantach. Pro podrobn~jsi
rozbor odkazujeme crenafe na lit. [10], str. 310. Dosazenim
Ai za A do (10) obdrZimepom~rhodnot Yu .•., Yn, kterj se
rovna pom~ru subdeterminanru kl (j), ••• , k n (j) n~ktereho
radku. Obecne feseni systemu (6) se pak rovna
X 1Ct) = X ln
X 2Ct) = X 2P
= J(dM(t)
£8m( C)] d
+ ~'"u "ep(oo)
1=
M, + dN(t) + Ni + d~t) ctTi)
existuje. Zajimave je pOvSimnout si r-eologickeho vyz nam u partikuIamiho fe§eni pro aotvarovaru. Toto feseni
pfedstavuje totiz napjatost na konstrukci z idealn~ vazkeho
(viskozniho) materialu, u nehoz napeti jsou pfimo u.mema
rychlosti deformace podle prom~nne ,pet). ProtoZe beton
je material pruZnovazky (viskoelasticky), je skuteene feseni
pfechodem mezi fe§enim pruZnjm a partikularrum (vazkjm). Takto lze nahlednout, ze funkce X 1(t), ..., Xn(t),
jei jsou monoronnf, MUS! pro t ~ <X) mit limitu Xl (00), ... ,
Xn( 0) (obr. 3). Proto vsechny koreny charakteristicke
rovnice (10) mus! bjt reaine a zapome. .
PocateCni pruine feSeni a partikularni feseni jsou nejv:Yznamn~j§f sloZkou fe§eni, neboi pfedstavuj! dye meze,
mezi nimiZ leZf fe§eni skuteene, tj. plati
X,(tt)
S
Xc(t)
S
X,(oo)
S
X,p
pro t > tl; (obr. 3). Konstanty ~ a k,(1) obecneho reseni
maj! na hodnoty fe§eni mens! vIiv a postaa j'e urCit s mnohem men§f pfesnosti, zvl8§t~ vzhledem k tomu, ze souCinitele ~t) nelze pfedem pfesne stanovit.
u konstrukce zhotovene monoliticky v Case tic nebo pro
hodnoty daWho staleho zatiZenf, zavedeneho jiz na deftnitivnf soustave, jsou poOiteCnf podmfnkou hodnoty
X 1(tk), •••, Xn(tk), urcene reSenfm staticky neurate soustavy.
2. ZvY!i-Ii se staticka neuratost, tj. byla-li' konstrukce
vybetonovana v Oistech, jako celek (n-m)-krat staticky neuratjeh (n > m), ktere se v Case t = tic spoji uzavfe~
m statiekjeh vazeb, sehopnyeh prenest daWeh m statlcky
neurCitjeh veIiCin Xn_mll(t), .., Xn(t), jsou pocateCnf pod-
minky
Xi(tk)
=
lXi(tk)
+ IX,
Xi(tk) = IX,
pro i
pro i
~
~
n - m,
n-m+l,
kde 1Xi(tlc) jsou hodnoty na puvodnf soustave tesne ~red
zvysenfm statieke neuratosti a IX, hodnoty 00 dalsfho
staleho zatizeni (vcetne predpeti), ktere pHstoupilo tesne
po zvjseni statieke neureitosti, popripade od rektifikace,
byle-Ii vykomina ve smyslu nektere statieKy neurate. Speci:alne, kdyz jsou statieky urcite casti spojovany prid~
vazeb X1(t), ..., Xn(t) tak, ze v miste spojenf v o~u
pfioojeni je X,(tlc) = ... = Xn(tk) = 0, zavedeme Jednoduge tyto hodnoty. Tak tomu je napr. pH spojenf konzol
letmo betonovaneho mostu, montaiirostu nebo spojiteho
nosniku z prefabrikaru statieky uratjeh apod.
Dale oznaeme pruinou deformaci na zaIdadnf staticky
urate konstrukci K s moduly Eve smyslu veliCiny Xj(t)
jako ~j, je-Ii zpusobena stalyro iatiZenfm a jako ~'j, je-Ii
zpusobena zatiZenfm veliCinou Xi = 1. Obdobne prume
deformace zakladnf statistieky urate transformovane kon• K' s moduly E' = E
51.'
51.'
de'.
.
strukce
-oznaeme Uj
a UI
11 a eJ.ormaCl
x
lik .
,
od pomemyeh smritem ve
.
EBm(00)
'ak
OStl x fPC(0) ,J 0
51.'
U
[~'1
II
Veliciny X 1(t), •.. , Xn(t) m1iZeme tez povaZova!.za funkce
promenne
tj. za sloienou funkci t, nebol fP(t) je s~­
jita rostoucf funkee. Rovniee (7) pak m1iZeme deIit LtfPCt)
a provest limitnf preehod pro LtfP(t) ~ O. Dostaneme tak
Partikularnfm reSenfm nehomogennfho systemu jsou
konstanty XUJ • •••, X np, ktere jsou re!enfm systemu
n linearmeh rovnie
+ "'taX2P + ... + <5' 1nXnp + ~'1 + ~'amt = 0
<5' 21XIP + <5' 22X2P + ... + '" 2nXnp + <5' 2 + <5'
=0
X IP
(9)
Nenf-Ii konstrukce K vjjimkovjm pfipadem, plati totez
o transformovane konstrukci K', ponevadZ je tvarove
shodna s konstrukcf K. System (9) rna pak jedine resem.
Na zaklade rovnie (9) 1ze rid: PartikuIarnim fesenim je pruzna napjatost transformovane konstrukee pro dane stale zatizeni a pomerna smr!8sm
tenix
(00). Tuto napjatost 1ze urat kteroukoliv mefP(oo)
v
d
tOOou, uZfvanou k reSem pruzne napJatostl, napr. mete ou
silovou, deformaCnf, kteroukoIiv postupnou metodou atd.
~e!enf homogenniho systemu hledarne ve tvaru X 1(t) =
= YIeA~(f), •.. , Xn(t) = Yn~(f), kde A a Yl' •••, Yn jsou
konstanty, . jez je tfeba urat. Dosazenfm do homogennfho
systemu dostaneme pro Yl> ... , Yn system n linearmeh
homogennfeh rovnie
(A<5 11
+ ... + U2n dXn(t)
----=- + U S1X 1(t) + ..... +
(A"ln
+ ... + "In --=- +
dfP
+ ~'lnXn(t) + "'1 + (/8ml = 0
51.1
U 11
51.
51.'
dfP
X ()
1
t
0
eoz je system n simultannieh lineamieh nehomogennfeh
diferenciaInfeh rovnie prveho radu s konstantnfmi koeficienty pro nezname X 1(t), •.. , Xn(t).
Je to nejobecnej!i, v Case pojatj tvar pretvamyeh vYminek statieky neurate konstrukce, z nehoz plynou jako
speciaInf pripad heme pretvarne vjminky, nezavisle na
Case.
System lze reSit napr. eliminacf neznamyeh pomocf derivovam jednotlivYeh rovnie, CimZ reSenf prevedeme na
re!enf jedne lineami diferenciaInf rovniee obecne n-teho
radu pro jednu staticky neuratou ([10] str. 356). Velmi
ryehle re!em je mozne, uZijeme-li Laplaeeovy transformaee
(operatorovjm pocrem). Znalost jejfch zakonitosti neni
vSak bema. Zde ve struenosti ukaZeme prime resem systemu ([9] str. 310).
Obecneresenf nehomogennfho systemu (9) dostaneme
jako soueet obecneho re!enf pHslu!neho. homog~IlIliho
systemu, tj. bez Clenu <5', a "'S1nj, a partikularnfho re!eni
nehomogennfho systemu (9).
(A<5 12
dXn(t)
-=-
dXt(t)
--=dfP
+ "'nnXn(t) + "'n + d'smn =
+ ... +
dX1(t)
dfP
~21
51. M M
V "
(7)
+ "nlLtXl(t) + ... + "nnLtXn(t) = 0
"11
dX~t)
dfP + ... + u .. ,. dX~t)
dfP + '" nlX I(t) + ... +
8m2
Sestavme nynf obeene pretvarne vyminky. Predstavme si, Ze po maly wovY okamZik Lt t jsou uvolneny
vazby X 1(t), ••., Xn(t). Za dobu Ltt vzniknou dotvarovAnim a smrilovAnim ve smyslu veIiCin X 1(t), •••, Xn(t)
deformace, odpovidajicf podle rovnice (5)' zmene LtfPCt)
souCinitele dotvarovam. Tyto plasticke defo~ce musi
bjt pak za dobu Lt t anulovany pruinjmi deformacemi,
zplisobenYmi zmenami LtX1(t), •••, LtXn(t) hodnot X 1(t),
•••, Xn(t). Z teto podminky obdrZime rovnice
iCt),
51.
uni
'" l l
8mj
+ ~'8ml + '" U X l(t) + ... + "'tnXn(t)] Lt~t) +
+ "llLtX1(t) + ... + ~lnLtXn(t) = 0
W + "'8m2 + "21 X l(t) + ... + '" IInXn(t)] Ltq:(t) +
+ "21 LtXl(t) + ... + "2nLtXn(t) = 0
(8)
+ '" u) Yl + (A"21 + ~'21) Y2 + ... +
+ (Adn1 + <5' nl) Yn = 0
+ <5'12) Yl + (A"22 + ~'22) Y2 + ... +
+ (A"n2 + ~'nJYn = 0
+ ~'ln) Yl + (A"an + '" 2n) Yz + ... +
+ (A"nn + ~'nn) Yn = 0
PH vice bez dvoj- d.'trojnasobne staticke neurCitosti je
jif pracnost pfesneho vjpoCtu neumeme ve1ka jeho vymamu a doporueujeme prOto napf. uVaZovat konstrukci
zjednoduSeneho~' 1 aZ 2-krit St:8ticky neurCit&o sjrstemu
neboaspon .na~9mto kystemu poctat ~ a ke(l), zatfmco
XiP' X,(tk) a C, urCime na soustave nezjednodusene.
x,,(t)
Xib
~(f!!1_
X,(tA)
V
xJ{fJl
' .,
D
.'. x.t~)~ ~:-,. ...
~
--
-
-,
.
-~
JCltr,
-
..
rov8ni (bezsmriiov6ni) pfi 'stejn! starem betonuZMnou'
zmenu napjatosti.
Priblizne reSeni pretvarnjmi moduly na idealnf
konstrukci
Nemem-li se staticke piJsobeni konstrukce, bjvaji nekdy
pfesuny napjatosti male. V tomto pnpade lze nekdy pouZit
pfibumeho fdem, ktere je obdobou vypoCtu napeti v pnifezu z rUznYch hmot metodou ide8lniho prufezu. PH tomto
feSeni vych8zime z pHblimeho pfedpokladu, Ze rozdeleni
namah8nf po konstrukci se dotvarovinfm nemeni. Podmineenjmi rovnicemi jsou pfetvame vjminky pro cely easovy
Usek od Casu t~ do Casu t. Snadno lze dokazat, !e tyto pfetv8rn.e. vjminky jsou totome s prumymi pfetv8mymi vyminkami konstrukce, jei m8 misto moduliJ E tzv. pfetvame
, :
Obr.3. PrObllh namahanI konstrukce v we
t
,p.~. p~¢~~ ~~ILS~,#t;.~~.~.~bliZ­
nych', ~~~, j~19-.miu.!~.J~p911YJ~d~~()~O,~t
K,(l) =T:.X;(tk)r.1<t?:±+:~,*I.~·~)·
(14&)
Tento Vzorec je 'pleSn1m' pro jedeiiicclf statickYneUrCitoa
konstrukci; jestliZe bylu'nf vhodrie zvolen pOO\tek Casu t,
tj. tak,aby byloX" '-1 (vhodnj odh8d stfednfho staff
betonu). Pfipomenme ide, fe' pro zeleiobetonove konstrukce je nutno vzh1edem k toma, ze beton· nepiJsobf
v tabu· a .Ze t1ak eventu81ne tez pfenasf tlakova vyztuZ,
volit asi t aZ souCinitele q;(t) pro t1ak (3). JeSte hrubsi
odhad skjta vzorec
t
X,Ccx:)
= X,(lk) + (0,60 aZ 0,95) [X,p -
X,(lk)] (14b)
ktert plati pro konstrukce, kde je celt pnlfez tlacen (pfed¢ti a k1enby). U !elezobetonovych konstrukd se pohybuje
koeficient vrozmezich 0,22 aZ 0,47. VetSi hodnoty koeficientu je 'zde tfeba volit, zai!ne-list8le zatiZenf na staticky
neurcitou konstrukci ptlsobit 'velmi brzo po dokonceni
beton8fe, mem! hodnoty, zai!ne:-1i poz~.
Z odvozenycb.,t:Ovnidze,tCijako speciaIni.pfipad urat
vliv zmeny statickeho piIsobeni a smriiov8n1 s dotvarovanfm, jestliZe veSkert beton konstrukce je stejnestary Cnapf.
mond!:spojiieho iIosnfbi [5], [6J.Pro tento pfipad plati
d''J = d,J, dl = dJ, d'.1III=d sml pro vsechna ;,j. Transformovane konstrukce se ztotozm s
koilsti:ukCi. Partiku18rnf feSeni se ravni p~u feSeni na dane' konstrukci pro dane stale zatiZeni (,?cetne pfedpeti) a,pomema
rumou
Smritbrl'e;t:i":~~}~O~~y~~~'~stnrSt~ p~so-
hilo.od ~~tku..na d~vm.'s~~ta~,anebylo dotvaroVlini [31 [81 [ll}. NapiSeme:-li ,s~tem rovnie pro partikuIarni idem. a. pot:O~li
se- syst€Ip.6U pretvamych
vyminek~"zjist1m~ ·z.e~plati
' c.
iq
f
,
"-'
••
,
••
,
.. '- ..... ....: .... ·:"i ..., ... '."
dK,(t) , ._' ,1:. ~.:;.
:.
n;. ,' .. ;' ..
:.~IP; :";~;~~) ,"HZ:':,:' :':~~~:'~":~, rl~'
PH poeateCnich hodnodcli Xc(tktStaticky netifCitYch plyne
z
~to
diferenc:iAlnfch
. ".:
-,
.
rovmc .,
.
:~'~4(Q~·.X.'(k} +
+ [Xfj ~X.(t~)J (1 ~ e--9<t» .
(16)
X,(t):~ :deje podle'tCZe funkce.
~n1e si·~:f.i'toVDice (lS}inipn'~pod­
mfnkach zafdetU 1to~ty~) '-:Xip: PotVriujero-,
PI'OIIl!na'Vkch :hOOnot
ze nezmeni-li se stat:iI::kC pUsobeni,:nezpDsobi.samo dotYa,..
6
E
moduly pruinosti 1
+ rp (t)
• Konstrukci s temito mo-
duly nazveme ide81nf konstrukci.
si vztahu tohoto pfiblimeho feSeni k reSeni
pfesnemu, nemCni-li se ,staticke pUsobeni. Snadno se piesvedCfme, Ze poeateCni (prume) feSeni je totome s feSenim
na ide8lni konstrukci pro pfetVlirne moduly, odpovidajicl
q;(t) = 0 a partikularru feSeni pro moduly odpovidajfcl
q;(t) - 00. Predpok18d8me-li, Ze s rostoucim q;(t) se napjatost ide8lnf konstrukce mem podle monot6nnich funkcl,
plyne odtud, Ze napjatost ide81nf konstrukce leZi mezi napjatosti poeateCniho feseni na dane pruZne konstrukci a napjatosti partiku18rnfho feseni na transformovane (vazke)
konstrukci. Vyhovuje tedy pfibliZne resew pretvamYmi
moduly z8kladnim mezfm feSeni pfesneho.
Nekdy lze timto postupem ziskat uspokojive vts1edky.
NejvetSi chybu lze oCWvat tehdy, ie-li napjatost nejvice
vzd8lena pruZne i transformovane konstrukci, tj. asi pri
hodnotach 9'{t) = 1 aZ 2 (u konzol letmo betonovaneho
mostu chyba 20 aZ 30%). Ve vztahu ke dfive podanemu
reSem je dale velkou nevyhodou to, ze nedlid nejmenSi
pfedstavy 0 mezich pfesneho fdem, pficemZ mme svadet
poCtafe k vyCisloVlinise zbyteene velkou presnosti. Chyba
mu.ze bit znaena, aniz bychom to vedeli. Doporueujeme
proto postupovat dHve vyloZenYm zpiisobem.
VSimneme
Praktickj vypocet a zavery
Vlivy dotvarovaru a smriiovaru maji nejvetSi vyznam
u mostnich konstrukd. Typickym pfikladem konstrukce
sesloZite promenntm st8fim betonu jsou pfedpjate,
letmo betonovane mosty, u nichZ je nutno vliv dotvarov8n1 vZdy.. posoudit. Jejich staticky system mme bit
nizny - spojitt nosnik, eventu8!ne s klouby, ram, sdrufent ram, s vlo!enymi klouby nebo i bez nich. U tohoto
typu mosru je staff betonu po konzole plynule promenne
a mimoto dYe konzoly jednoho pole jsou rozne stare, protoZe je vthodne vyribet· je po sobe jedinyro beton8Znfm.
vozfkem. Spojime-li obe konzoly uprostfed pole kloubem,
vznikne v nem posouvajid sila, neboi kdyby konzoly nebyly spojeny, vyk8zala by mladsi konzola dotvarov8nim
vetSi priJhyb. Tato posouvajicl sila v jedne konzole zvetsuje momenty, v drube je zmensuje.. Krajni pole se nekdy
buduje teZ letmou betonaH sm&em z pilffe na pevnou
opCru. Konzola pak plasticky doseda na operu, reakce se
zvetSuji a vzriist8 moment v poli. Zmena momentuod dovaroVlini zde mme byt velmi znaena.
Pred posouzeniili'vlivu dOt\Jaro~ a smriiDVanf. musime znat· napfed .harmonograin betonovlnf kGnstrukce,
ert pfevedeme k redukovanemu Casu (6br. 4). Koefi-
nogram je na obr. 4, vySly momenty v lid pilife, zpusobene
zmenou
posouvajici sUy v kloubu vnitfniho pole od dotvaJ
J:&ubU
rovaru, v hodnote 2,5 % M g, coz je pomeme malo. Znamena to, ze byl zvolen takory prufez a excentricita kabelu,
iJ:Jub
~
I
18
u nehoz pfedpeti zhruba rusi uCinky vlastni vlihy na pruZny
I'
pnihyb.
(2
U montovanych spojitYch nosnikU a nosnikovYch rootu
!
se muze stat, ze jednotlive prefabrikaty jsou nizne stare
nebo jsou spojovany stavenistnim betonem. K zmenkni
0
uCinku dotvarovani je tfeba, aby jednotlive prvky byly
pokud mozno stejne stare, nebo aby se stavenistnim betonem spojovaly co nejmladsi prvky. Muze se vsak stat, ze
jsou k dispozici pouze prvky ru.zne stare. Pak je nutno
pouZit mene ui':inneho zpusobu - spojit prvky co nejpozdeji.
Nekdy pouZivame jedne skruze a bedneni opakovane pro
Obr. 4. Pi'iklad harmonogramu betonaze z navrhu mostu v Praze
dye sousedni pole nebo skrm s bednenim posouvame
pres Vltavu
v pnenem sman anebo na jednom bedneni na stavenisti
cienty ~j a ~tj byly jizdnve vestatickem vypocru stanoveny. vyrabime postupne nosniky mostu. Spolupu.sobi-li tyto
Pn vypocru koeficienru ~/ a ~' t1 pro transformovanou kon- easti, je numo vzit v uvahu rozdil stan betonu.
UCinky smrSt:ovaru se vzhledem k niznemu 'Stan prostrukci stanovime napfed redukovane stan tkp, z neho pak
jevuji
u letmo betonovanych ramu bez vlozenych kloubu,
pro jednotlive hodnoty urCime koeficienty a ZOllsobime jimi
u montovanych ramu a oblouku, U oblouku betonovanych
hodnoty MMjdsfEJ, MtMjds/EJ, ... , ktere jsme jiz po lamelach apod.
dfive vycislili pro vypocet koeficienru ~j, ~tj. Z hodnot
Popsanym zpu.sobem lze pocitat vliv dotvarovani a smrSxMMjds/EJ, "MtM;dsjEJ, ... pak vypocreme ~/, b'tl> lovani i u konstrukci, v nichZ spolupusobi betonove casti
napf. podle Simpsonova pravidIa, eim podklad vypoetu s ocelorymi, nebol' oee! muzeme povazovat za beton neje hotov.
koneene stary, pro nejz dosadfme % = O.
Vlivy dotvarovaru a smrSrovani jsou nejryznamnt!jsi
Pfesuny napjatosti, urcene hodnotami Xi( 00) - XiCrk)
jsou tim vetsi, Cim vetsi jsou rozdily ve stafi betonu a tim u mosru vetsich rozpeti, protoze u nich vnitfni sily do stamensi, eim je beton v dobe osazeni kloubu stadi. VIi v leho zatiZeni maji vetSi podil.
rozdilu stafi betonu je vetsi nd vIiv stafi v dobe osazeni
Z nadhozenych pfildadu plyne, ze poznani reologickYch
vlastnosti
neni jen teoretickou zalezitosti, ale umoziiuje
kloubu. Pomeme maly vliv ma velikost icoo). Koneene
navrhovat
stavebni konstrukce bezpeeneji, hospodarneji
hodnoty vUbec nezavisi na prubehu -;PCt) s Casem. Nejmensich pfesunu napjatosti dosabneme jednak co nejrychlejsi a smeleji.
LITERATURA
betomiZi, jednak tez osazenim kloubU co nejpozdeji. Ve
skutecnosti je vsak nutno osadit klouby ihned po dokoneeni
[1] Bechyne St.: Betonove stavitelstvi III, sv. druhy, Praha
1956, SNTL
konzol, aby byla zarueena jejich vstficnost. UCinky lze
[2] Dasek V.: Statika ramovych konstruko;;i, Praha 1959,
zmensit rektifikacemi.
NCSAV
Ie dUlezite si uvedomit, ze nejvetsi vliv na velikost uein[3} Dischinger F.: EIastische und plastische Verformungen
der Eisenbetontragwerke und insbesondere Bogenbriicken,
kU od dotvarovani rna sarna velikost staIych momenru M,
Bauingenieur, 1937, str. 437
tj. soubmnych momenru od staIeho zatiZeni a pfedpeti,
[4} Finsterwalder U., Knittel G.: Die neue Moselbriicke
ktera je dana velikosti momenru od pfedpeti. Momenty od
in Koblenz, Bauingenieur, ~. 8/1954
pfedpeti pusobi v opaenem smyslu nez momenty od staIeho
[5J Grigar K.: U&ek dotla~ovani betonu pri zmene statickeho
pusobeni konstrukce, In!. stavby, c. 3/1955
zatiZeni, a proto je zmensuji. Do jake miry se meni ueinky
[6J Janda L.: Vliv dotIacovani betonu a vIiv promeny modulu
staleho zatizeni a pfedpeti, zavisi hlavne na excentricite
pruznosti s Cisem na spojite nosniky betonovane v)"Vojovou
kabelu, volbe rysky pnifezu a pomeru staIeho a nahodileho
metodou, Sbomik vedeckych praci CVUT-FIS, Praha
zatizeni. Muze se stat, ze ueinky piedpeti zhruba vyrovna1958, SNTL
[7} KlimeS J.: Betonove mosty III (skripta), Praha 1958, SNTL
vaji ueinky silleho zatiZeni. Piedem vsak tento piipad
[8} Leonhard F.: Predpjaty beton v praxi, Praha 1958,
pfedpokladat nelze, nebol nastat nemusi.
SNTL (preklad z nem~iny)
U vnitfnich konzo! letmo betonovanych mosru eini
[9} Stepanov V. V.: Kurs diferenciaInich rovnic, Praha 1952,
Prirodovedecke vydavatelstvi (pieldad z rustiny)
ucinky dotvarovani obycejne 1 az 6 % Mg. Pfi navrhu
velkeho letmo betonovaneho sdrmeneho ramoveho mostu [1O} Vojtech J.: zaIdady matematiky, II. dil, Praha 1945,
Jednota cesitYch matematikU a fysikil
5 klouby, 0 Ctyiech polich rozpeti 63 + 114 + 114 +
[11} Z u da K.: Navrhovani konstrukci z predpjateho betonu,
+ 63 m, v Praze pfes Vltavu pod Bulovkou, jehoz harmoPraha 1958, SNTL
l[
.::wlhn.i
I
6~ry
If
~~
II
~
o
7