průvodce předmětem geodézie iii

Transkript

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
FAKULTA STAVEBNÍ
ZDENĚK NEVOSÁD – JOSEF VITÁSEK
GEODÉZIE III
PRŮVODCE 01
PRŮVODCE PŘEDMĚTEM GEODÉZIE III
STUDIJNÍ OPORY
PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Průvodce předmětem Geodézie III · Průvodce 01
© prof. Ing. Zdeněk Nevosád, DrSc., doc. Ing. Josef Vitásek, Csc., Brno 2005
Obsah
OBSAH
1 Úvod ...............................................................................................................7
1.1 Cíle ........................................................................................................7
1.2 Požadované znalosti ..............................................................................7
1.3 Doba potřebná ke studiu .......................................................................8
1.4 Klíčová slova.........................................................................................8
2 Geodetické základy na území ČR ...............................................................9
2.1 Polohová bodová pole v ČR..............................................................9
2.1.1
Katastrální triangulace ........................................................10
2.1.2
Vojenská triangulace...........................................................10
2.1.3
Jednotná trigonometrická síť katastrální (JTSK) ..............11
2.1.4
Astronomicko-geodetická síť................................................14
2.1.5
Základní družicová síť ..........................................................15
2.1.6
Geodynamická síť GEODYN ...............................................16
2.1.7
Síť permanentních stanic CZEPOS ......................................17
2.1.8
Body ČSTS a PGZ ................................................................17
2.1.9
Podrobné polohové bodové pole (PPPB)..............................18
2.1.10 Volba zhušťovacích bodů a jejich stabilizace.......................19
3 Vybrané základní matematické operace ..................................................23
3.1 Výpočet směrníku (jižníku) a délky ze souřadnic...............................23
3.2 Metoda nejmenších čtverců (MNČ)....................................................25
3.3 Transformace rovinných souřadnic.....................................................28
3.3.1
Shodnostní transformace.......................................................29
3.3.2
Podobnostní transformace.....................................................29
3.3.3
Konformní transformace.......................................................30
3.3.4
Afinní transformace ..............................................................31
3.3.5
Projektivní transformace.......................................................31
3.3.6
Polynomické transformace....................................................32
3.3.7
Obecný průměr posunů identických bodů ............................32
3.3.8
Výpočet parametrů transformačních rovnic metodou
nejmenších čtverců................................................................33
3.4 Transformace prostorových souřadnic................................................35
3.4.1
Převod mezi pravoúhlými souřadnicovými systémy ............36
3.4.1.1 Podobnostní transformace.....................................................36
3.4.1.2 Afinní transformace ..............................................................37
3.4.1.3 Formální úpravy....................................................................38
3.4.1.4 Výpočet parametrů transformačních rovnic metodou
nejmenších čtverců................................................................39
3.5 Výpočet souřadnicových oprav transformovaných bodů....................40
3.5.1
Lineární interpolace ..............................................................41
3.5.2
Interpolace obecnými aritmetickými průméry......................42
3.5.3
Splajnové funkce...................................................................43
3.6 Přesnost transformace .........................................................................44
3.6.1
Metoda nejmenších čtverců ..................................................44
- 3 (176) -
3.6.2
Relativní polohová přesnost ............................................... 45
3.6.3
Souřadnicové odchylky identických bodů ........................ 47
3.6.4
Stupeň (míra) identity (homogenity).................................... 48
3.6.5
Závěr k transformacím souřadnic........................................ 50
4 Kritéria polohové přesnosti....................................................................... 51
5 Budování polohových bodových polí...................................................... 57
5.1 Určení polohy bodů z úhlů a délek (přibližné metody výpočtu) ........ 57
5.1.1
Rajon .................................................................................... 57
5.1.2
Polygonové pořady a sítě ..................................................... 59
5.1.2.1 Základní typy pořadů ........................................................... 61
5.1.2.2 Speciální typy polygonových pořadů................................... 69
5.1.3
Protínání vpřed ..................................................................... 75
5.1.3.1 Protínání vpřed z orientovaných směrů................................ 75
5.1.3.2 Protínání vpřed z úhlů .......................................................... 77
5.1.4
Protínání z délek................................................................... 79
5.1.5
Protínání zpět........................................................................ 82
5.1.5.1 Cassiniho řešení.................................................................... 82
5.1.5.2 Collinsovo řešení.................................................................. 84
5.1.6
Hansenova úloha .................................................................. 85
5.1.7
Měřické body určené na přímkách a kolmicích, průsečíky
přímek, průsečík se sekční čarou.......................................... 87
5.1.7.1 Výpočet souřadnic bodů na měřické přímce ........................ 87
5.1.7.2 Pevná měřická přímka .......................................................... 89
5.1.7.3 Volná měřická přímka .......................................................... 90
5.1.7.4 Průsečík dvou přímek........................................................... 92
5.1.7.5 Úhel dvou přímek................................................................. 93
5.1.7.6 Průsečík měřické přímky se sekční čarou ............................ 94
5.2 Terestrické sítě.................................................................................... 95
5.2.1
Úhlové sítě............................................................................ 96
5.2.2
Délkové sítě........................................................................ 101
5.2.2.1 Měřítková změna............................................................... 104
5.2.2.2 Šikmé délky........................................................................ 104
5.2.3
Výškové sítě ...................................................................... 105
5.2.4
Kombinované sítě – současná koncepce terestrických sítí. 107
5.2.4.1 Rovinné sítě - (2D)............................................................. 108
5.2.4.2 Prostorové sítě - (3D) ......................................................... 108
5.3 Družicové polohové systémy ......................................................... 111
5.3.1
Globální polohový systém (GPS)..................................... 111
5.3.2
Světový geodetický systém WGS 84 .............................. 116
5.3.3
Přijímací stanice a její základní části ................................. 117
5.3.4
Měřické metody.................................................................. 119
5.3.4.1 Určení časového intervalu .................................................. 120
5.3.4.2 Měření Dopplerovy frekvence ......................................... 123
5.3.5
Určení polohy bodu............................................................ 123
- 4 (176) -
Obsah
5.3.6
Diferenční globální polohový systém (DGPS) ...............128
5.3.7
Aplikace družicových měření v geodézii.........................130
5.4 Družicové sítě ...................................................................................132
5.4.1
Vyrovnání simultánních měření v prostorových souřadnicích132
5.4.2
Vyrovnání simultánních měření v rovinných souřadnicích a
výškách Bpv........................................................................138
5.5 Spojené družicové a terestrické sítě ..................................................141
5.5.1
Vyrovnání družicových vektorů a terestrických veličin .....142
5.5.2
Zpracování družicových měření DGPS, RTK terestrických
veličin..................................................................................150
5.6 Místní sítě..........................................................................................152
5.6.1
Vyrovnání rovinných souřadnic.........................................154
5.6.2
Vyrovnání rovinných souřadnic a výšek.............................154
6 Postup budování polohových bodových polí..........................................157
7 Dokumentace polohových bodů a databáze ...........................................161
8 Vyhledávání geodetických bodů..........................................................165
9 Závěr ..........................................................................................................169
9.1 Shrnutí...............................................................................................170
10 Studijní prameny ......................................................................................173
10.1 Seznam použité literatury..................................................................173
10.2 Seznam doplňkové literatury ............................................................176
- 5 (176) -
Úvod
1
Úvod
Předložený text je z velké části průvodcem třetí teoretické části předmětu Geodézie, zabývající se přehledem bodových poli v ČR, jejich budováním a především metodami výpočtu a vyrovnání souřadnic určovaných bodů, včetně
jejich analýzy přesnosti. S geodetickými bodovými poli úzce souvisí i technická dokumentace a příslušné databáze.. Podkladem pro průvodce Geodézií III
jsou skripta „Geodézie IV“ vydaná akademickým nakladatelstvím CERM,
s.r.o. v Brně v roce 2002. Tématika je však rozšířena o nové informace o geodetických sítích a o metodách jejich budování, které jsou už použity
v připravovaném novém vydání skript v r. 2006. Látka je probírána v rozsahu
bakalářského studia oboru geodézie a kartografie.
Autorem kapitol 1. až 4. a 5.2. až 9. je prof. Zdeněk Nevosád. Autorem kapitoly 5.1 je doc. Josef Vitásek. Autoři děkují za redakční úpravu Ing Leoši Brklovi, za naskenování 12 obrázků Ing. Jiřímu Vondrákovi, PhD., a Ing. Tomáši
Švábovi.
1.1
Cíle
Průvodce má usnadnit studium látky předepsané zkoušce. Jde především o
dobrou znalost vývoje Geodetických základů a bodových polí na území Česka
s důrazem na současný stav. Hlavním cílem třetí části předmětu Geodézie je
porozumět používanému matematickému aparátu, rovinným a prostorovým
transformacím souřadnic, jednoduchým metodám a technologiím výpočtu souřadnic bodů a souřadnicovému vyrovnání různých druhů geodetických sítí a
potřebným analýzám přesnosti včetně základních kritérií přesnosti. K tomu se
nutně řadí i podrobnější seznámení studujících s postupem budování bodových
polí počínaje od projektu sítí a stabilizace bodů, přes měřické výpočetní práce
až k vytvoření databází geodetických bodů.
1.2
Požadované znalosti
Student má u zkoušky prokázat dobrý přehled o základních a podrobných polohových a výškových bodových polí na území Česka, o základní gravimetrické sítí a hlavních mezinárodních sítích, jejichž součástí jsou i sítě v ČR. Nutným předpokladem k pochopení výpočetních metod a technologií při budování
geodetických sítí je i znalost matematických operací používaných zejména
k určení polohy bodů a k souřadnicovému vyrovnání a k příslušným odhadům
přesnosti. Předpokládá se znalost hlavních transformačních postupů včetně
aplikací MNČ a metod analýzy přesnosti .
K základním znalostem vyžadovaným při zkoušce patří výpočty souřadnic jednotlivých nebo několika polohových bodů a s nimi spojená přibližná řešení,
především souřadnic bodů určených rajóny, polygonovými pořady, jednoduchými metodami protínání a souřadnic měřických bodů. Stejně důležité jsou i
metody souřadnicových vyrovnání různých druhů terestrických sítí (úhlových,
délkových a kombinovaných), družicových sítí (měřené vektory a souřadnice)
a vyrovnání spojených sítí (terestrických a družicových). Studenti mají také
- 7 (176) -
ovládat základní technologie družicových měření a družicových metod určování polohy bodů. Dále je třeba znát význam, charakteristiky a odlišnosti souřadnicových vyrovnání tzv. místních sítí.
K požadovaným znalostem studentů se řadí i technologie budování geodetických bodových polí, hlavní metody vyhledávání geodetických polohových
bodů, technická dokumentace, struktura a používání databází bodových polí
v ČR.
1.3
Doba potřebná ke studiu
Pro absolventy střední průmyslové školy stavební 65 hodin a pro absolventy
jiných středních škol 78 hodin.
1.4
Klíčová slova
Polohové geodetické základy (PGZ), základní a podrobné polohové bodové
pole (ZPBP a PPBP), základní a podrobné výškové bodové pole (ZVBP a
PVBP), Jednotná trigonometrická síť katastrální JTSK, souřadnicový systém
JTSK (S-JTSK), ETRS 89, NULRAD, Astronomicko-geodetická síť (AGS),
GEODYN (Geodynamická síť v ČR), ČSTS (Česká státní trigonometrická síť),
CZEPOS, S-42 a S-42/83, souřadnicové systémy rovinné a prostorové, katastrální triangulace, Křovákovo kuželové zobrazení, stabilizace bodů polohových,
výškových a gravimetrických.
Směrník, jižník, metoda nejmenších čtverců (MNČ), rovnice oprav, souřadnicové přírůstky, váhová matice, matice váhových koeficientů, rovinné souřadnice, prostorové souřadnice, družicové veličiny (prostorové vektory, družicové
souřadnice); transformace rovinných a prostorových souřadnic: shodnostní,
podobnostní konformní, afinní a polynomické transformace, transformace
obecnými průměry posunů identických bodů, výpočet parametrů transformačních rovnic MNČ, výpočet souřadnicových oprav transformovaných bodů,
přesnost transformace, stupeň (míra) identity.
Kritéria polohové přesnosti (střední souřadnicové chyby, střední souřadnicová
chyba, střední polohová chyba, střední křivka chyb, střední elipsa a elipsoid
chyb
Rajón, polygonový pořad (vetknutý, jednostranně a oboustranně orientovaný,
volný), protínání vpřed, protínání zpět, protínání z délek. Hansenova úloha,
měřické body.
Terestrické sítě (úhlové, délkové, výškové a kombinované, Evropský terestrický referenční systém ETRS 89. Družicové polohové systémy (GPS, GLONASS, GALILEO), geocentrický systém WGS 84, družicové měřické metody,
družicové metody určení polohy bodů, diferenční globální polohový systém
(DGPS), metoda Real Time Kinematic (RTK), družicové sítě. Spojené družicové a terestrické sítě. Technologie budování bodových polí. Software.
Vyhledávání stabilizací geodetických bodů. Dokumentace polohových a výškových bodů. Databáze polohových a výškových bodů.
- 8 (176) -
Geodetické základy na území ČR
2
Geodetické základy se dosud dělí na polohové, výškové a tíhové [1], [5], [7 ],
[8] [15], [16], [20], [35], [36], [37], [54]. Polohové základy jsou definovány
referenčním elipsoidem, souřadnicovým systémem a jeho počátkem a orientací,
polohovými geodetickými základy (PGZ) a u rovinných souřadnicových systémů kartografickým zobrazením. Výškové základy se vztahují k ploše geoidu,
kvazigeoidu nebo elipsoidu, jsou definovány základní výškovou sítí (nivelační
nebo elipsoidickou) a zvoleným výškovým systémem. Tíhové základy jsou
určeny zvoleným tíhovým systémem a základním a základním tíhovým bodovým pole. V posledních letech se stále více prosazuje snaha o vybudování společných geodetických základů, které by tvořila síť bodů s přesnými údaj polohovými výškovými a tíhovými.
O výškových a tíhových základech pojednává např. Geodézie II [22], Geodézie
III [21] a publikace [1], [36], [37]
2.1
Polohová bodová pole v ČR
Polohové bodové pole se dělí podle přílohy k vyhlášce č.31/1995 Sb. na základní polohové bodové pole (ZPBP) a na podrobné polohové bodové pole
(PPBP) [47]. V nařízení vlády Sb. zák. č. 116/1995 jsou závaznými polohovými souřadnicovými systémy v ČR rovinný systém Jednotné trigonometrické
sítě katastrální (S-JTSK), rovinný systém 1942 (S-42) a trojrozměrné (družicové) systémy: světový geodetický referenční WGS 84 a evropský terestrický
referenční systém ETRS [47]. Pro všechny běžné geodetické práce se využívá
vesměs S-JTSK. Ve WGS 84 jsou měřeny všechny družicové body nových
geodetických polohových základů (GPZ) a zhušťovací body (ZhB). Družicové
sítě jsou vedeny v ETRS 89 a jsou zpravidla transformovány do S-JTSK. Systém WGS 84 je využíván v armádě ČR a v NATO. Družicový systém WGS 84
slouží kromě vojenských aplikací především k navigaci v letecké, lodní a pozemní dopravě. Je také využíván v různých mezinárodních projektech. Platnost
vojenského systému S-42 a jeho další verze S-42/83 skončila k 1.lednu 2006.
K tomuto datu mají vyjít změny v nařízení vlády a v jeho příloze, které upřesňují současný stav geodetických referenčních systémů a závazná mapová díla
na území státu.
Až do počátku devadesátých let minulého století se do ZPBP (ZBP) řadily body býv. Československé státní trigonometrické sítě a později České státní trigonometrické sítě (ČSTS). Tato síť se převážně shodovala s Jednotnou trigonometrickou sítí katastrální (JTSK), budovanou od dvacátých do šedesátých let
minulého století [35].
V posledních letech se vedle názvu ZPBP (ZBP) používá také termín polohové
geodetické základy (PGZ). PGZ jsou prakticky spojeny s budováním celostátní
družicové sítě v ETRS 89. Geodetické základy spravuje v ČR Zeměměřický
úřad (ZÚ) v Praze [24], [46]. Polohové geodetické základy tvořilo v roce 2001
10 bodů referenční sítě (NULRAD), 63 bodů Astronomicko-geodetické sítě
(AGS) a kolem 28 900 bodů České státní trigonometrické sítě (ČSTS). Kromě
toho se do PGZ řadí i 35 bodů geodynamické sítě, označované názvem GE-
- 9 (176) -
DODYN [1], [20]. K starším sítím patří ČSTS a AGS. Družicové sítě
NULRAD a GEODYN představují moderní a nejkvalitnější polohové geodetické základy. Naprostá většina bodů PGZ je totožná s body Jednotné trigonometrické sítě katastrální I. až V. řádu (JTSK).
Polohové základy se na území ČR budovaly až do osmdesátých let minulého
století v rovinných souřadnicových systémech. S nástupem družicových metod
na konci minulého století se začaly budovat prostorové polohové základy, které
lze definovat třemi nejdůležitějšími faktory: zaměřenou prostorovou sítí polohových bodů, zemským elipsoidem a s ním souvisejícím geocentrickým souřadnicovým systémem.
Na území ČR bylo postupně budováno několik základních polohových sítí [3],
[7], [35 ]. K nejvýznamnějším patří
-
2.1.1
katastrální triangulace za býv. Rakouska-Uherska (1821 – 1840),
II. vojenská triangulace za býv. Rakouska-Uherska (1862 – 1898),
Jednotná trigonometrická síť katastrální na území býv. Československa (1920 – 1957),
Astronomicko-geodetická síť na území býv. Československa (1931 –
1954),
družicová síť NULRAD a DOPNUL,
geodynamická síť GEODYN,
družicová síť CZEPOS.
Katastrální triangulace
Území Čech, Moravy a Slezska bylo pokryto částí plošné trigonometrické sítě,
sloužící ke katastrálnímu mapování v měřítku 1:2880 a později 1:2500 a
1:2000. Rakousko-Uhersko bylo rozděleno na několik poledníkových pásů, aby
nedocházelo k větším skreslením délek a ploch v Cassiniho příčném válcovém
zobrazení. Čechy
byly zobrazeny v souřadnicové soustavě s počátkem
v Gusterbergu a Morava s počátkem ve Svatém Štěpánu ve Vídni (obr. 2.1).
Velmi malá část území (Hlučínsko) má počátek v trigonometrickém bodě Pšov.
Použitý referenční elipsoid má velkou poloosu a = 6376 045 m a zploštění
1/f = 310. Bližší údaje uvádějí např. [2], [3], [6]. Staré katastrální soustavy jsou
významné ještě v současné době, protože je v nich zmapováno asi 70 % katastrálních map.
2.1.2
Vojenská triangulace
Kvalitní trigonometrická síť I. řádu byla vybudována ve II. vojenské triangulaci [3]. Síť byla vypočtena na Besselově elipsoidu a umístěna na základním
bodě Hermannskogel, kde byly zaměřeny astronomické souřadnice a azimut
výchozí strany. Na území ČR byl její rozměr ovlivněn geodetickou základnou
u Josefova. Pozdější měření a výpočty prokázaly, že síť byla stočena asi o 7″
až 10″. Chyba v orientaci byla způsobena hlavně tížnicovou odchylkou, která
v době budování sítě nebyla známá.
Síť je významná pro vytvoření JTSK.
- 10 (176) -
Obr. 2.1 Souřadnicové soustavy založené za Rakouska-Uherska
2.1.3
Jednotná trigonometrická síť katastrální (JTSK)
V letech 1920 – 1927 došlo k vybudování základní trigonometrické sítě I. řádu,
nepřipojené k sítím sousedních států. Jejím cílem bylo rychlé vyhotovení geodetických polohových základů, na které se mohla napojit podle potřeby všechna další geodetická měření. Z časových důvodů nedošlo k potřebným novým
Obr. 2.2 Základní trigonometrická síť I. řádu
- 11 (176) -
astronomickým měřením a k zaměření délkových geodetických základen. Do
sítě byla převzata starší úhlová měření z II. vojenské triangulace na 42 bodech
v Čechách a na 22 bodech na Podkarpatské Rusi. Na ostatních bodech byly
měřeny vodorovné úhly Schreiberovou metodou. Síť obsahovala celkem 268
bodů a vytvářela 456 trojúhelníků. Byla označena sítí I. řádu JTSK.
Postup budování JTSK je popsán např. v [15], [20].
Průměrná délka stran trojúhelníkové sítě I. řádu byla kolem 25 km. Do základní sítě byly postupně vkládány sítě II. až V. řádu. Budování JTSK
v jednotlivých částech území republiky postupovalo nerovnoměrně v různých
časových odstupech až do roku 1957. Přitom průměrná délka stran trojúhelníkových sítí dosáhla u II. řádu 13 km, u III. řádu 7 km, u IV. řádu 4 km a
v podrobné síti V. řádu 1,5 km až 2,5 km. Z uvedených statistických dat je
zřejmé, že průměrná vzdálenost sousedních trigonometrických bodů se zmenšuje se snižováním řádu sítě o jeden stupeň téměř na polovinu. Hustota bodů se
tak postupně zvyšuje téměř na čtyřnásobek. Všechny řády sítě tvoří jen triangulační sítě bez jakýchkoliv délkových měření, protože v době jejího budování
nebyly ještě známy elektronické dálkoměry a metoda měření dlouhých geodetických základen invarovými dráty byla příliš nákladná a zdlouhavá.
S-JTSK byl zaveden v r. 1927. Kartografickým základem se stalo konformní
kuželové zobrazení v obecné poloze a Besselův elipsoid. Ten byl nejprve nahrazen Gaussovou koulí. Posunem vrcholu velmi plochého kužele nad Finský
záliv a zmenšením poloměru náhradní koule o setinu procenta dosáhl autor
zobrazení Ing. Křovák nižších hodnot maximálního délkového a plošného
Obr. 2.3 Schéma souřadnicového systému JTSK
- 12 (176) -
skreslení [2], [3]. Délkové skreslení se tak pohybovalo v rozmezí od – 0,10 m
do + 0,14 m na jeden kilometr délky. Schéma souřadnicového systému
v zobrazovací rovině je na obr. 2.3. Průběh délkového skreslení je znázorněn
např. v publikaci [3] Další údaje o Křovákově zobrazení jsou např. ve skriptech
[20].
Je třeba mít na zřeteli, že S-JTSK byl vybudován v první polovině 20. století,
kdy geodetické základy ve vyspělých zemích tvořily přesné úhlové trojúhelníkové, tzv. trigonometrické sítě. Rozměr sítí byl odvozován z délek geodetických základen, měřených invarovými dráty. Byly zpravidla dlouhé několik
kilometrů a zaměření každé základny trvalo asi dva roky. Výjimku tvořily jen
krátké rajóny a polygonové pořady s délkami zpravidla do 200 m.
Pro úhlové sítě bylo vhodné volit konformní zobrazení, zachovávající do značné míry měřené úhly a umožňující snadno zhušťovat bodová pole jen úhlovým
měřením. První problémy začaly vznikat asi od šedesátých let minulého století
se stále rostoucím objemem délkových měření světelnými dálkoměry. Tyto
nesnáze se ještě rozšířily při začleňování přesných družicových měření (prostorových vektorů) do JTSK. Vlivem místních měřítkových deformací bylo nutné
k zachování homogenity bodového pole deformovat přesná dálkoměrná a družicová měření. Proto vznikla snaha zkorigovat stávající S-JTSK na nový málo
odlišný S-JTSK/95, který by dostatečně zkorigoval uvedené deformace a
umožnil mnohem lépe začleňovat do sítě družicová měření a délky.
První verze S-JTSK/95 byla vypracována na základě systému S-42/83, který
v té době obsahoval nejkvalitnější základní polohové bodové pole v býv. Československu. Druhá verze je již založena na GPZ zaměřených v rámci družicové sítě DOPNUL doplňované v rámci tzv. výběrové údržby zajišťované Zeměměřickým úřadem v Praze a na základě zaměřování zhušťovacích bodů KÚ
1 (sídlících v bývalých krajích). Třetí rozpracovaná verze předpokládá zpřesnění systému, pracovně označovaného S-JTSK/YY na základě nového vyrovnání 3500 bodů PGZ. Bližší údaje najde čtenář v článku [7].
Geodetické zeměpisné souřadnice φ, λ se ve čtyřech etapách převáděly na
pravoúhlé rovinné X,Y [20], [53]. Postup převodu je popsán včetně základních
matematických vztahů v [2].
Budování JTSK, která je na území Česka v podstatě totožná s ČSTS, se projektovalo na základních triangulačních listech (ZTL) o rozměrech 50 km x 50 km
a triangulačních listech (TL) s rozměry 10 km x 10 km [46] (viz stať 7). Soustava ZTL vznikla konstrukcí rovnoběžek s osami X,Y rovinné souřadnicové
soustavy, vedenými ve vzdálenostech po 50 km. Jeden ZTL má tedy obsah
2500 km2 a v měřítku 1:100 000 rozměr 0,50 m x 0,50 m. ZTL se označovaly
římskými číslicemi spojenými ve dvojčíslí tak, aby zároveň poskytovaly informaci o pravoúhlých souřadnicích jejich jihozápadního rohu. Např. DC –
MCCC udává souřadnice jihozápadního rohu ZTL Y = 600 km, X = 1300
km. Dalším dělením rovnoběžkami s osami X,Y po 10 km vzniklo v každém
ZTL 25 triangulačních listů (obr. 7.1). Jejich obsah je 100 km2 a rozměr
v měřítku 1:20 000 opět 0,50 m x 0,50 m. K označení TL se používá arabských číslic, vyjadřujících souřadnice jejich jihozápadního rohu . Např. 580 –
1280 definuje souřadnice Y = 580 km, X = 1280 km. V ZTL se projektovala
poloha bodů vyšších řádů JTSK s vyznačením jejich určení měřenými vodorovnými směry. V TL byla vyznačena trojúhelníková síť IV. řádu a trigonome-
- 13 (176) -
trické body V. řádu, tzv. podrobné trigonometrické sítě. Bližší informace o
budování sítí II., až V. řádu jsou uvedeny např. v publikacích [53], [16].
JTSK byla prakticky dobudována v 50. letech minulého století. Pak byla periodicky revidována, obnovována a doplňována. Dělení na sítě II. až V. řádu tak
postupně začalo ztrácet na významu. Proto dnes na území ČR je tato trigonometrická síť nazývána Českou státní trigonometrickou sítí (ČSTS). JTSK tvoří
základní polohové bodové pole i v dalších rovinných a prostorových systémech. Po druhé světové válce to byly prozatímní systémy S-1946 (prakticky
nepoužívaný) a S-1952 [35]. Později byla také transformována do vojenského
systému S-42 a byla znovu vyrovnána v S-42/83 [34].
2.1.4
Astronomicko-geodetická síť
Cílem JTSK bylo vybudování jednotných geodetických polohových základů na
území býv. Československa. Vzhledem k rychlosti jejího budování měla síť
některé nedostatky, především chybu v orientaci sítě, převzaté z II. Vojenské
triangulace Rakouska-Uherska, nižší měřítkovou stabilitu, způsobenou nepřítomností délek vhodných geodetických základen, nižší přesností převzatých
astronomických souřadnic a azimutů a nižší homogenitou základní trigonometrické sítě I. řádu [35]. Proto bylo rozhodnuto vybudovat nové kvalitnější geodetické polohové základy. Vznikla tak v letech 1931 až 1954 Astronomickogeodetická síť (AGS) [3], [20] (obr. 2.4), sestávající ze 144 bodů, 53 astronomických bodů, 6 základen zaměřených invarovými dráty a s gravimetrickým
měřením na více než 600 bodech I. a II. řádu JTSK. Průměrná délka stran trojúhelníkové sítě se zvětšila oproti síti I. řádu JTSK na 36 km. Síť byla částečně
spojena s trigonometrickými sítěmi sousedních zemí a za tehdejších politických podmínek se stala součástí Jednotné astronomicko-geodetické sítě
(JAGS) bloku tzv. Varšavské smlouvy. AGS tak tvořila na území býv. Československa geodetické polohové základy vojenského souřadnicového systému
označovaného S-42 [34]. Souřadnicové vyrovnání se uskutečnilo v Moskvě.
Bylo pro něj použito Krasovského referenčního elipsoidu. Rovinné souřadnice
X,Y jsou uváděny v šestistupňových pásech Gaussova zobrazení. Do tohoto
Obr. 2.4 Astronomicko-geodetická síť
- 14 (176) -
systému bylo převedeno i celé ZPBP (trigonometrické body I. až V. řádu JTSK). V pozdějších letech byla JAGS modernizována a vznikl novější souřadnicový mezinárodní systém S-42/83. U národní sítě AGS na území býv. Československa došlo především k zaměření nových a k zpřesnění některých jiných
měřených veličin. Podrobnější údaje najde čtenář ve skriptech [20] a
v publikaci [35].
V současné době je význam této nejpřesnější trigonometrické sítě spíše historický, protože nebyla použita v S-JTSK a jak již bylo uvedeno S-42/83 skončila svou úlohu v armádě s rokem 2005.
Kontrolní otázky
Jaký je vývoj geodetických polohových základů na území ČR?
Jaké jsou současné geodetické polohové základy na území ČR?
Jaký byl postup budování JTSK ?
Popište Křovákovo kuželové zobrazení!
Jaké byly vlastnosti a výhody Křovákova zobrazení a JTSK pro katastr a
mapování v době jejich vzniku ?
Jaké výhody má přinést připravovaný S-JTSK/95?
Definujte ZTL a TL a jejich účel!
Jaký byl význam AGS a jaké byly její aplikace pro geodetické základy?
Jaký byl vývoj souřadnicových systémů na území ČR od 19. století?
Poznámka
Pokud nebudete schopen odpovědět na některou z kontrolních otázek, je třeba
abyste si doplnil své znalosti ve skriptech [20] a v publikacích [2], [35], [53].
2.1.5
Základní družicová síť
PGZ procházejí od 90. let minulého století modernizací. Všechny body jsou
zaměřovány družicovými metodami a byly připojeny k evropskému referenčnímu rámci EUREF [35]. Staly se tak součástí evropského geocentrického systému ETRS 89. Nejprve bylo v r. 1991 v mezinárodní měřické kampani EUREF-CS/H-91 určeno pomocí družicových metod (GPS) 6 bodů na území býv.
Československa, z toho 3 body v ČR. Na to navazovalo zaměření dalších 12
bodů, z toho 7 bodů v ČR [7], [35]. Vznikla tak referenční síť, označovaná
NULRAD a obsahující v ČR celkem 10 bodů. Stala se v letech 1993 a 1994
základem k zaměření plošné družicové sítě DOPNUL (obr. 2.5), sestávající ze
176 bodů (včetně bodů sítě NULRAD). Z toho bylo dále využito 174 bodů.
Protože průměrná vzdálenost bodů sítě DOPNUL je kolem 21 km, bylo nutné
rozšířit družicovou síť o vybrané body ČSTS, vyhovující jak pro družicová
měření, tak i pro budování zhušťovacích bodů (ZhB) a ostatních podrobných
polohových bodů. Rozšíření sítě DOPNUL začalo v r. 1996 a má skončit v r.
2006 [39]. Celkem má obsahovat tato síť, tvořící nové PGZ a uskutečňovaná
- 15 (176) -
Obr. 2.5 Družicová síť DOPNUL
v rámci projektu tzv. výběrové údržby trigonometrických bodů, asi 3 500 bodů
s průměrnou vzdáleností sousedních bodů kolem 5 km. Uvedená hustota bodů
umožňuje jednoduché připojení prakticky všech zhušťovacích a podrobných
polohových bodů. Jedním z důležitých kritérií při výběru trigonometrických
bodů do družicové sítě ETRS 89 je jejich dostupnost. Je třeba zdůraznit, že
body družicové sítě PGZ v ETRS 89 jsou vesměs shodné s vybranými body
ČSTS. Mezi body družicové sítě nemohly být kvůli své poloze zvoleny body
AGS. Výjimku tvoří 9 bodů, které jsou součástí sítě NULRAD a 7 bodů sítě
DOPNUL [24].
2.1.6
Geodynamická síť GEODYN
Geodynamická síť ČR bodů tvoří první etapu moderních integrovaných geodetických základů sdružujících prostorovou polohu bodů a charakteristiky tíhového pole. Tato síť je součástí základního polohového bodového pole. Podle
•
stanice geodynamické sítě
■
stanice EUVN
Obr. 2.6 Geodynamická síť ČR (GEODYN)
- 16 (176) -
projektu byly body sítě zaměřeny třemi metodami: družicovými metodami
GPS, nivelací a gravimetricky. Síť je tvořena 32 body (obr. 2.6 [7]) a je propojena se středoevropskou geodynamickou sítí GEGRN [7]. Byla změřena ve 4
kampaních v letech 1995 a 1996. Bližší údaje jsou uvedeny např. v článku [7].
2.1.7
Síť permanentních stanic CZEPOS
K snadnému, rychlému a dostatečně přesnému určování polohy ZhB a ostatních PPB se v několika evropských státech vybudovali anebo budují sítě permanentních stanic DGNSS (Differential Global Navigation Satellite System)
např. německý SAPOS, rakouský AGREF, francouzský RGP anebo slovenský
SKPOS. V Česku byl zpracován a realizuje se ve spolupráci VÚGTK a ZÚ
v Praze projekt permanentní sítě DGPS (Differential Global Position Satellite
Systém). Síť DGNSS byla nazvána CZEPOS (Czech Positioning Systém) a
obsahuje 26 bodů (z toho 22 základních a 4 body záložní), které jsou anebo
budou současně body PGZ. Síť je uvedena na obr. 2.7 [9], [54].
• stanice základní sítě
о stanice vnější (externí)
Obr. 2.7 Síť permanentních stanic CZEPOS
Projekt CZEPOS předpokládá vybudování 22 (26) stanic DGNSS, vzdálených
od sebe kolem 60 km, což zajistí, aby vzdálenost k nejbližší permanentní stanici při určování polohy zhušťovacích a podrobných bodů nepřesáhla 40 km.
Celkem 22 stanic má být umístěno na střechách budov Katastrálních pracovišť.
Externí součástí sítě jsou i stávající dvě permanentní stanice GOPE (Pecný),
TUBO (VUT v Brně), ZU v Plzni a TU v Ostravě. Bližší údaje jsou uvedeny
např. v [7], [54].
V současné době je CZEPOS dokončována a probíhají testovací měření.
2.1.8
Body ČSTS a PGZ
Stabilizace bodů ČSTS a družicových PGZ jsou až na výjimky shodné. Poloha
trigonometrických bodů budovaných původně v sítích I. až V. řádu (JTSK)
- 17 (176) -
byla vybírána (projektována) tak, aby jejich stabilizace nebyly ohroženy,
umožňovaly pokud možno jednoduchou signalizaci a byly využitelné
k připojení různých druhů polohových sítí podrobného polohového bodového
pole zaměřovaných úhlově. Na území býv. Československé republiky byly
většinou trigonometrické body zřizovány na kopcích a vyvýšených místech,
zejména pokud se týká bodů I. až IV. řádu, protože vzdálenost sousedních bodů IV. řádu se pohybovala kolem 4 km. Jen v rovinatých oblastech (nížinách)
nemohla být tato zásada zcela dodržována. Byly zde podle potřeby vybírány
body s trvalou signalizací, jakou je obvykle věž kostelů, zámků apod.,
s podmínkou, že je možné měřit osnovy vnitřních směrů. Pro body V. řádu,
jejichž určení bylo dovoleno i bez měření osnov vnitřních směrů, byly často
voleny věže kostelů a zámků, protože byly v blízkém okolí dobře viditelné,
nevyžadovaly stabilizace ani signalizace a umožňovaly kvalitní určování bodů
podrobného polohového pole [16], [53]
Trigonometrické body jsou zpravidla stabilizovány [45] povrchovou značkou a
dvěma podzemními značkami, povrchovou značkou a jednou podzemní značkou, povrchovou značkou nebo čepovou nivelační značkou s křížkem (s otvorem) zabetonovanými ve skále se dvěma zajišťovacími body (nebo se čtyřmi
zabetonovanými nivelačními značkami), kovovým čepem s křížkem osazeným
do ploché střechy stavby (střešní stabilizace) se dvěma zajišťovacími body
nebo dvěma konzolovými značkami zapuštěnými do svislé plochy staveb (boční stabilizace). Trigonometrický bod s trvalou signalizací je vždy doprovázen
dvěma zajišťovacími body, zvolenými tak, aby mezi nimi byla realizovatelná
vzájemná záměra [46]. Schémata těchto stabilizací jsou uvedena ve skriptech
[20].
Kontrolní otázky
Jak vznikala základní družicová síť na území ČR?
Jaký je rozdíl mezi prostorovými souřadnicovými systémy WGS 84 a ETRS
89?
Proč není stabilizace bodů sítě DOPNUL shodná s body JTSK?
K čemu slouží síť GEODYN a jaký je její účel?
Jaký význam má síť permanentních stanic CZEPOS pro geodetické práce?
Jaký je rozdíl mezi pojmy ČSTS a PGZ?
Jaké jsou hlavní druhy stabilizací bodů ČSTS a DOPNUL?
Poznámka
Nebudete-li si jisti s odpovědí na některé otázky, je třeba si znovu projí látku
ve skriptech [20].
2.1.9
Podrobné polohové bodové pole (PPPB)
Podrobné polohové bodové pole se podle přílohy k vyhlášce č.31/1995 Sb. dělí
na zhušťovací body a ostatní body [39], [46]. Předtím se body PPBP dělily na
několik tříd přesnosti, s nejvyšší relativní přesností charakterizovanou střední
- 18 (176) -
chybou 0,02 m. Zhušťovací body nebyly systematicky udržovány, takže docházelo k jejich ztrátám a zničení. Proto byl v r. 1995 schválen projekt zhuštění
bodového pole, spojený s revizí dosavadních bodů a systematickým budováním
nových bodů. Zhušťovací body jsou dnes převážně určovány technologiemi
GPS. Mohou být také připojovány terestrickými metodami na vybrané body
trigonometrické body a body sítě DOPNUL. Do zhušťovacího bodového pole
jsou zařazovány i objekty vhodné k orientaci, např. věže kostelů apod. Vybudování zhušťovacího bodového pole v ČR bylo dokončeno v r. 2004. Měřické
práce vykonávalo sedm Katastrálních úřadů (KÚ I) v býv. krajích. Celkový
počet zhušťovacích bodů v ČR je odhadován kolem 35 000 [7], [39]. Hustota
bodového pole byla stanovena na jeden bod na 1 km2 v extravilánu a na dva
body na 1 km2 v intravilánu. V rozsáhlejších lesních komplexech a na místech
s nevhodným příjmem signálů nelze přímo zaměřovat body družicovými technologiemi. Proto se tu zpravidla zhušťovací body zaměřují terestrickými metodami až v případě navazujících geodetických prací.Všechny družicově určené
body jsou vedeny v geocentrických souřadnicích (X, Y, Z) a v rovinných souřadnicích S-JTSK. Po skončení všech měřických prací se uvažuje, že síť zhušťovacích bodů bude v jednotlivých regionech znovu vyrovnána v rámci rozšířené družicové sítě DOPNUL [7], [39]. V připravovaném novém zeměměřickém zákoně dochází k oddělení zhušťovacích bodů od ostatních bodů. Polohová bodová pole se tak prakticky dělí na tři druhy: polohové geodetické základy
(PGZ), zhušťovací polohové body (ZhB) a podrobné polohové bodové pole
(PPBP).
Charakteristikou přesnosti polohového určení bodů je v současné době relativní
střední souřadnicová chyba mXY = 0,02 m pro zhušťovací body a mXY = 0,06
m pro ostatní body. Mezní odchylka nesmí překročit dvaapůlnásobek uvedených chyb. Kromě střední souřadnicové chyby odvozené z vyrovnání MNČ je
možno polohovou přesnost odhadnout ze souřadnicových odchylek, získaných
přibližnými metodami vyrovnání (výpočtu) souřadnic bodů.
Správou a údržbou zhušťovacích bodů jsou pověřovány Katastrální úřady. U
ostatních podrobných polohových bodů jsou KÚ pověřeny jen jejich správou.
2.1.10 Volba zhušťovacích bodů a jejich stabilizace
Výběr polohy bodů a druhy jejich stabilizací jsou uvedeny ve vyhlášce
č.190/1996 Sb. [48]. Poloha bodů se vybírá tak, aby jejich stabilizace nebyla
ohrožena, bod bylo možné snadno signalizovat a aby byl dobře použitelný
k dalším měřickým pracím.
K volbě zhušťovacích bodů jsou vhodné zejména trvalé objekty, rovné střechy
domů, nivelační kameny a hřebové značky zasazené seshora a trvale signalizované body. Nevhodné jsou tovární komíny a stožáry různého účelu. Jako ostatní podrobné polohové body se hodí různé objekty trvalého rázu a místa, která
nepřekážejí využívání pozemků. Často se volí v blízkosti dopravních komunikací.
Zhušťovací body se stabilizuji dvěma značkami, jednou povrchovou a druhou
podzemní. Povrchovou značku tvoří zpravidla kamenný hranol o výšce 0,70 m
s opracovanou hlavou o rozměrech 0,16 m x 0,16 m x 0,10 m. Na horní čtvercové ploše hranolu je vytesán křížek. Podzemní značka je kamenná deska
s minimálními rozměry 0,20 m x 0,20 m x 0,07 m. Má také uprostřed vytesán
- 19 (176) -
křížek. Obě značky musí být umístěny ve vzdálenosti alespoň 0,20 m tak, aby
středy křížků ležely na svislici s mezní odchylkou do 5 mm. Pokud nelze použít podzemní značky, zřizuje se jeden zajišťovací bod, stabilizovaný buď stejným kamenným kvádrem jako u zhušťovacích bodů nebo jiným způsobem,
vhodným ke kvalitní stabilizaci, např. kovovou značkou osazenou v objektu.
Pokud hrozí poškození bodu, zřizuje se ochranné a signalizační zařízení, kterým je zpravidla červenobílá tyč (trubka) opatřená tabulkou s nápisem „GEODETICKÝ BOD – POŠKOZENÍ SE TRESTÁ“. Ochranná tyč se umisťuje ve
vzdálenosti 0,75 m od stabilizační značky. K trvale signalizovaným bodům se
umisťují dva zajišťovací body, stabilizované v maximální vzdálenosti 500 m
od zhušťovacího bodu tak, aby mezi nimi byla možná přímá záměra. Schématické nákresy základních značek jsou uvedeny např. ve skriptech [20].
Ostatní body podrobného polohového bodového pole se obvykle zřizují na objektech se stabilizační značkou (např. na nivelačních kamenech, tíhových stabilizacích, hraničních kamenech mezi obcemi, na mostcích nebo propustcích
s nivelační hřebovou značkou), na šachtách různých podzemních vedení (mimo
zastavěné části obcí) a na různých technických objektech, poskytujících trvalou
signalizaci (rohy budov apod.). Pokud se nenajdou vhodné objekty, stabilizují
se ostatní body také kamennými kvádry jako zhušťovací body. Je možné použít
i jiné kameny, pevně osazené k jinému účelu, pokud mají minimální rozměry
0,12 m x 0,12 m x 0,60 m, a doplnit je křížkem nebo důlkem. Lze také použít
vysekaného křížku do opracované rovinné plošky skály, kovových konzol,
čepových značek na budovách, čepů a ocelových trubek v betonových blocích
(s minimálními rozměry trubky 30 mm v průměru, o tloušťce stěny 3 mm a
délce 0,60 m nebo trubky dlouhé 0,50 m s plastovou hlavou o minimálních
rozměrech 80 mm x 80 mm x 50 mm) a kovových značek (o délce 0,1 m
s minimálním průměrem 8 mm a s plochou hlavou o průměru 25 mm, pokud
jsou zatlučeny do zpevněného povrchu, nebo o délce 0,04 m a s hmoždinkou,
pokud jsou zapuštěny do pevných konstrukcí.
Ze stabilizačních značek bodů podrobného polohového pole musí být zajištěna
orientace na sousední body stejné nebo vyšší přesnosti. V zastavěném území se
průměrná vzdálenost sousedních bodů zkracuje na 700 m a někdy klesá i na
300 m nebo až 150 m.
Další podrobnosti jsou uvedeny v příslušných předpisech a vyhláškách, např.
[6], [46], [48].
Kontrolní otázky
Na jaké druhy bodů se dělí PPBP?
Jaké jsou stabilizace zhušťovacích bodů a ostatních bodů PPBP?
Čím se řídí volba polohy zhušťovacích bodů?
Jaká je hustota zhušťovacích bodů?
Jakými metodami se zaměřuje poloha zhušťovacích bodů?
- 20 (176) -
Poznámka
Budete-li mít nesnáze s odpovědí na některou otázku, vraťte se ke studiu této
problematiky ve skriptech [20].
- 21 (176) -
Vybrané základní matematické operace
3
K porozumění geodetické výpočtů v rovinných nebo prostorových souřadnicových systémech je potřebná znalost základních matematických vztahů a operací, zejména analytické geometrie, vyrovnávacího počtu, vektorového a maticového počtu a teorie chyb a matematické statistiky. Jednoduché základní
vzorce a rovnice, které se často používají k řešení různých geodetických výpočtů a souřadnic bodů jsou uvedeny v publikaci [54]. Týkají se základních
vzorců rovinné a sférické trigonometrie.
3.1
Výpočet směrníku (jižníku) a délky ze souřadnic
Směrník σAB je orientovaný úhel, který svírá spojnice AB (směr, délka)
s kladným směrem osy X (obr. 3.1). Rovnoběžka s kladným směrem osy X
tvoří vždy levé rameno úhlu. Směrník nabývá jen kladných hodnot od 0 gon
do 400 gon (0g až 400g, 0o až 360o, 0 až 2π) a to ve směru pohybu hodinových ručiček. Délkou sAB se označuje vzdálenost obou bodů A, B
v zobrazovací rovině.
Výpočet směrníku σAB a délky sAB v zobrazovací rovině je běžnou úlohou
geodetických výpočtů [15], [30].). K řešení úlohy je třeba znát rovinné souřadnice XA, YA; XB, YB dvou bodů A, B.
a)
b)
Obr. 3.1 Směrník a délka spojnice dvou bodů A, B v rovině
Směrník je obecný pojem ve všech souřadnicových pravoúhlých rovinných
systémech. V S- JTSK je nazýván j i ž n í k e m , protože rovnoběžky
s kladnou částí osy X směřují přibližně k jihu. Směrník se vypočte ze vztahu
(obr. 3.1 a)
σ AB = arctg
YB − Y A
XB − XA
nebo σ AB = arcsin
YB − Y A
X − XA
≡ arccos B
. (3.1)
s AB
s AB
Směrníky se dělí do čtyř kvadrantů. Podrobnosti jsou uvedeny ve skriptech
[20].
- 23 (176) -
Délka sAB je dána Pythagorovou větou
s AB =
( X B − X A )2 + (YB − Y A )2
.
(3.2)
Přesnost výpočtu směrníku a délky je závislá na přesnosti souřadnicových rozdílů [15] skutečných chyb (3.2)
ε σ AB = ρ
sin σ AB
(ε XA − ε XB ) − ρ cos σ AB (ε YA − ε YB ).
s AB
s AB
Za předpokladu, že skutečné souřadnicové chyby vznikají jen ze zaokrouhlení
a dosahují maximálně absolutní hodnoty |5| mm, bude absolutní velikost chy0.014
by směrníku charakterizovat vztah 0 ≤ ε σ AB ≤ ρ
, kde sAB musí být dos AB
sazeno v metrech.
Protože skutečné chyby nejsou známé, je třeba k odhadu přesnosti použít
středních souřadnicových chyb mXA, mYA, mXB, mYB . Výsledná střední chyba
mσΑΒ se získá součtem kvadrátů jednotlivých členů rovnice [15], [20]
mσ2 AB = ρ 2
sin 2σ AB
+ ρ2
2
s AB
2
m XA
+ρ2
cos 2σ AB
2
s AB
sin 2σ AB
2
mYA
+ρ2
2
s AB
2
m XB
+
cos 2σ AB
2
s AB
2
mYB
.
Střední souřadnicové chyby mají zpravidla stejnou velikost mXY ≈ mXA ≈ mXB ≈
mYA ≈ mYB , takže po úpravě bude
mσ AB = ρ
2
s AB
m XY .
(3.3)
Z výrazu vyplývá, že velikost chyby směrníku je nepřímo úměrná délce sAB .
Čím větší je délka sAB , tím menší je vliv zaokrouhlení souřadnic na chybu ve
vypočteném směrníku σAB. Přehled o velikosti střední chyby mσBA v závislosti
na délce sAB poskytuje tabulka 2.3 ve skriptech [20], sestavená pro střední
chybu mXY ≈ 3 mm.
V praxi bývají střední souřadnicové chyby vyrovnaných nebo jinak vypočtených bodů zpravidla větší než chyby ze zaokrouhlování jejich souřadnic. Platí
to i pro body ČSTS v S-JTSK.
Skutečná chyba εsAB vypočtené délky sAB se odvodí z rovnice (3.2)
εsAB = cos σAB εXB – cos σAB εXA + sin σAB εYB - sin σAB εYA .
Nepřekračují-li chyby ze zaokrouhlení souřadnic absolutní hodnotu |5| mm,
nabývá skutečná chyba εsAB hodnot v mezích 0 ≤ │εsAB│≤ 14 mm.
Odpovídající střední chyba msAB vypočtené délky je dána rovnicí
ms2AB = cosσ2 AB mX2 A + cosσ2 AB mX2 B + sin σ2 AB mY2A + sin σ2 AB mY2B .
- 24 (176) -
Stejně jako u střední chyby směrníku je možno považovat střední souřadnicové
chyby přibližně za stejně veliké a označit je střední souřadnicovou chybou
mXY. Pak platí
m s AB = 2 m XY .
(3.4)
Z rovnice je patrné, že střední chyba msAB ve vypočtené délce sAB je prakticky konstantní. Platí to jak pro chyby ze zaokrouhlení, tak i pro střední souřadnicové chyby charakterizující přesnost polohy bodů z vyrovnání nebo jiných
geodetických výpočtů. Např. pro střední souřadnicovou chybu mXY = 3 mm je
odpovídající odhad střední chyby msAB v délce sAB 4,3 m. Pro střední souřadnicovou chybu mXY = 15 mm je msAB = 21 mm.
3.2
Metoda nejmenších čtverců (MNČ)
Metoda nejmenších čtverců je základní matematickou metodou používanou
v geodézii jak k výpočtu aritmetických průměrů měřických souborů tak zejména k vyrovnání všech druhů geodetických sítí. V geodetických pracích je třeba
používat dostatečných (pronikavých) kontrol, které zajišťují a ověřují spolehlivost výsledků měření. Při budování bodových polí jde zpravidla o vhodně volené nadbytečné veličiny. Protože měřené veličiny jsou vždy zatíženy malými
chybami, nevyhovují v malé míře přesně matematickým (geometrickým, fyzikálním a jiným) vztahům, které mezi nimi musí platit. Proto dochází k jejich
vyrovnání. Jeho cílem je připojit k výsledným měřeným veličinám Li/ takové
opravy vi, aby všechny vyrovnané veličiny Li přesně splňovaly uvedené
podmínky. K vyrovnání měřených veličin lze použít různých matematických
metod. MNČ. Je známá téměř dvě století. Jde o zkrácený název metody nejmenších čtverců oprav vi měřených veličin Li/ [4], [16]. Matematická formulace MNČ je
T
kde
Σpi vi2 ≡ v P v = min.,
⎡ v1 ⎤
⎡ p1 0 L 0 ⎤
⎢v ⎥
⎢0 p L 0⎥
2
⎥ , pi = k , k = konst.
v = ⎢ 2⎥ , P = ⎢
⎢M⎥
⎢ M. M. .M M. ⎥
mi2
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎣v n ⎦
⎣ 0 0 L pn ⎦
(3.5)
pro i = 1,2, …. n.
Symbolem mi2 se značí střední chyba metody měření, která bývá nahrazována odhadem střední empirické chyby mi2 , pi váha měřených veličin Li a index n vyjadřuje počet měřených veličin Li′.
MNČ je kvalitním matematickým zpracováním měřených a jiných veličin.
Mimo jiné poskytuje jednoznačné určení oprav. Přitom podmínka minima
čtverců oprav značně omezuje a zabraňuje výskytu velkých absolutních oprav,
pokud ovšem nejsou měření zatížena hrubými a systematickými chybami.
K výpočtu lze použít dvojího postupu, buď zprostředkujícího anebo podmínkového (korelátového) vyrovnání. Obě metody dávají totožné výsledky.
- 25 (176) -
K určení souřadnic bodů na počítačích se zpravidla používá zprostředkujícího
vyrovnání. Podrobné odvození je např. v publikacích [4], [16], 20]. Odvození
vychází ze základních rovnic
(
L i = f i X 1 , X 2 , .... X t
)
pro i = 1,2, …. n,
(3.6)
kde Li jsou skutečné hodnoty měřených anebo jiných veličin, X j funkce
z nich odvozené (v souřadnicových výpočtech zpravidla souřadnice určovaných bodů) pro j = 1,2, …. t .
Výsledky měření jsou blízké jejich správným hodnotám L i , ale obecně se
s nimi neshodují. Vyrovnané hodnoty Li, které se také v malé míře liší od skutečných hodnot L i se získají připojením oprav vi k měřeným veličinám Li/
Li = Li/ + vi .
Pomocí Taylorovy řady a zanedbáním členů druhých a vyšších řádů lze rovnici
napsat ve tvaru
Li = fi ( X o1 , X o 2 , .... X o t ) +
∂L
∂Li
∂L
δX 1 + i δX 2 + .... + i δX t ,
∂X 2
∂X t
∂X 1
kde X o j pro j = 1, 2, …. t jsou přibližné hodnoty vyrovnaných neznámých
funkcí a δXj jejich souřadnicové přírůstky. Pro vyrovnávané funkce Xj platí
vztah
Xj = X o j + δXj .
Pak rovnice oprav vi mají obecný tvar
T
vi = ai δX1 + bi δX2 + …. + zi δXt + ℓi ≡ ki δx + ℓi ,
ki = [ai, bi, …. zi] T, δx = [δX1, δX2, …. δXt] T,
kde
a ai =
(3.7)
∂Li
∂L
∂Li
, bi =
, ..., k i = i , ℓi = fi (Xo1, Xo2, … Xot) - Li/ ≡ Loi - Li/
∂X t
∂X 2
∂X 1
Obecně lze rovnice oprav vyjádřit vektorem
v = A δx + ℓ ,
⎡ v1 ⎤
⎢v ⎥
v = ⎢ 2⎥,
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣v n ⎦
⎡ a1
⎢a
A= ⎢ 2
⎢M
⎢
⎣a n
b1 L z1 ⎤
b2 L z 2 ⎥⎥
,
M M M⎥
⎥
bn L z n ⎦
(3.8)
⎡ δX 1 ⎤
⎢δX ⎥
δx = ⎢ 2 ⎥ ,
⎢ M ⎥
⎥
⎢
⎣ δX t ⎦
⎡l 1 ⎤
⎢l ⎥
ℓ = ⎢ 2⎥ .
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣l t ⎦
Počet rovnic oprav je totožný s počtem měřených veličin n a počet neznámých t s počtem vyrovnaných veličin.
K výpočtu extrémní hodnoty původní funkce (3.6) je třeba ji derivovat podle
vektoru neznámých δx a položit rovnu nule. Po úpravě se odvodí normální rovnice
kde
N δx + n = o ,
N = AT P A a n = AT P ℓ
- 26 (176) -
(3.9)
Řešením normálních rovnic bude
δx = - N -1 n .
(3.10)
Vektor neznámých vyrovnávaných funkcí je dán výrazem
kde
x = x | + δx ,
xT = [X1, X2, …. Xt] , x|T = [ X 1/ , X 2/ , .... X t/ ] .
(3.11)
Z rovnic oprav vi se vypočte střední jednotková chyba (pro váhu
po = 1)
Σ p v2
,
n −ν
mO =
kde ν značí počet nutně měřených veličin a jmenovatel n - ν ≡ r počet
nadbytečně měřených veličin.
Odhad vektoru středních chyb mX vyrovnaných neznámých Qx je dán diagonálou kovarianční matice
Mx = mO2 Qx ,
(3.12)
kde matice váhových koeficientů Qx se rovná inverzní matici N
tů normálních rovnic (3.9)
Qx ≡ N -1
⎡Q11
⎢Q
21
= ⎢
⎢ M
⎢
⎣⎢ Qt1
Vektor kvadrátů středních chyb mX
mX
Q12
Q22
M
Qt 2
-1
koeficien-
L Q1t ⎤
L Q2t ⎥⎥
.
M
M ⎥
⎥
L Qt t ⎦⎥
vyjadřuje vztah
⎡ Q11 ⎤ ⎡ m X2 1 ⎤
⎢Q ⎥ ⎢ 2 ⎥
m
2 ⎢ 22 ⎥
= mO
≡ ⎢ X2⎥ .
⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥
⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥
⎢⎣ Qt t ⎥⎦ ⎢⎣ m X t ⎥⎦
(3.13)
MNČ se v současné době používá zejména k vyrovnání sítí PGZ a souřadnic
zhušťovacích bodů prostorových souřadnicích a k souřadnicovému vyrovnání
polohových sítí v zobrazovací rovině. U ZhB a PPBP se obvykle vyrovnávají
malé plošné sítě nebo jeden, popřípadě několik bodů. Důvodem není ani tak
snaha o dosažení zvýšené polohové přesnosti určovaných bodů, ale především
požadavek zachování potřebné homogenity bodového pole. K výpočtu zpravidla slouží jednoduchý univerzální program na samočinných počítačích, který
využívá všech nadbytečných nebo kontrolně měřených veličin.
Metody nejmenších čtverců se mimo jiné také používá výpočtu parametrů
transformačních rovnic (statě 3.5.8 a 3.6.2.7).
Kontrolní otázky
Co je směrník a jak se liší od různých druhů azimutů?
Jak se počítají směrník (jižník) a délky ze souřadnic?
- 27 (176) -
Jaký je princip metody nejmenších čtverců (MNČ) a jaký je její účel
v geodetických výpočtech?
Jaké jsou základní vektorové a maticové vztahy pro vyrovnání zprostředkujících veličin?
Jak se odhaduje přesnost vyrovnaných neznámých a jejich funkcí?
Poznámka
Budete-li mít nesnáze v odpovědích na některé otázky, nepokračujte v dalším
studiu látky a vraťte k opakování uvedené problematiky. Bez porozumění základních matematických vztahů při výpočtu směrníku a MNČ nemůžete porozumět dalšímu textu.
3.3
Transformace rovinných souřadnic
Transformace souřadnic slouží k převodu polohových bodů z jednoho souřadnicového systému x,y do druhého X,Y. Někdy bývá k předběžnému určení
polohy bodů používán místní souřadnicový systém ξ,η , z kterého je pak třeba
body převést do stávajícího souřadnicového systému X,Y. Obecně je možno
psát transformační rovnice ve tvaru
X = f (x, y; ao, a1, a2, ….) ,
Y =g(x, y; bo, b1, b2, ….) ,
(3.14)
kde X, Y jsou výsledné souřadnice (např. v celostátním souřadnicovém systému JTSK) souřadnice x, y ve starém nebo pomocném systému a ao, a1, a2,
…., bo, b1, b2, …. vypočtené parametry (konstanty).
Při transformaci je důležité dodržet některé zásady:
-
identické body, jejichž souřadnice jsou známy v obou souřadnicových soustavách, mají být dostatečně spolehlivé a kvalitní,
všechny ostatní transformované body mají ležet uvnitř mnohoúhelníku, spojujícího okrajové identické body,
každému bodu v jedné souřadnicové soustavě má korespondovat jen
jediný bod druhé soustavy,
při transformaci každého bodu se má uplatňovat převážně vliv nejbližších identických bodů.
K hlavním druhům transformačních metod patří [16]:
-
shodnostní transformace,
podobnostní transformace,
konformní transformace,
afinní transformace,
projektivní transformace,
transformace s celistvou racionální funkcí (polynomická),
obecný průměr posunů identických bodů.
- 28 (176) -
3.3.1
Shodnostní transformace
Je charakterizována rovnicemi (obr. 3.2 a) [3], [16], [20]
X = Xo + x cos ω – y sin ω ≡ Xo + a x – b y
(3.15)
Y = Yo + x sin ω + y cos ω ≡ Yo + b x+ a y ,
Rovnice se často uvádějí ve tvaru
u = uo + R t , kde u = ⎡⎢ YX ⎤⎥ , uo =
⎣ ⎦
⎡cos ω
R= ⎢
⎣ sin ω
⎡X O ⎤
⎢⎣ YO ⎥⎦ ,
(3.16)
− sin ω ⎤ ⎡a − b⎤
≡⎢
, t = ⎡ x⎤ ,
⎥
⎥
⎢⎣ y ⎥⎦
cos ω ⎦ ⎣b a ⎦
Xo, Yo jsou souřadnice počátku Oxy systému x, y v systému X, Y , ω úhel
pootočení souřadnicových os x, y vzhledem k systému X, Y . Vektor uo vyjadřuje translaci souřadnicového systému x, y a matice R jeho rotaci.
K určení tří parametrů transformačního klíče (Xo, Yo, ω) je třeba znát alespoň
tři souřadnice dvou identických bodů. Transformované í obrazce mají v obou
systémech stejný tvar a velikost.
V některých učebnicích a skriptech jsou transformační rovnice odvozovány
pomocí vektorů. Odpovídající odvození najde čtenář ve skriptech [20].
Obr. 3.2 Shodnostní a podobnostní transformace
3.3.2
Obr. 3.3 Afinní transformace
Podobnostní transformace
Liší se od shodnostní jen zavedením měřítka
µ = S.s-1, kde S je délka
v systému X, Y a odpovídajicí délka s v systému x, y. Rovnice mají tvar
[16], [30]
X = Xo + µ x cos ω – µ y sin ω ≡ Xo + a x – b y,
Y = Yo + µ x sin ω + µ y cos ω ≡Yo + b x + a y .
- 29 (176) -
(3.17)
Jejich maticová úprava je
u = uo + µ R t nebo u =uo + Rµ t ,
⎡cos ω
− sin ω ⎤ ⎡a − b ⎤
.
≡
cos ω ⎥⎦ ⎢⎣b a ⎥⎦
Rµ = µ ⎢
⎣ sin ω
kde
(3.18)
Transformované obrazce zachovávají v obou systémech jen tvar, ale mají
obecně různou velikost. K určení čtyř parametrů Xo, Yo, µ, ω je třeba znát
alespoň všechny čtyři souřadnice dvou identických bodů.
Pokud se transformační rovnice odvozují v jednoduchých geodetických výpočtech jen ze dvou identických bodů M, N (stať 5.1), mohou se parametry
a,b transformačních rovnic vypočítat přímo ze souřadnicových rozdílů ∆xMN =
xN - yM, ∆yMN = yN - yM. Pak parametry a, b v rovnicích (3.18) jsou dány vytahy
a=
∆x MN ∆X MN + ∆y MN ∆YMN
2
2
∆x MN
+ ∆y MN
, b=
∆x MN ∆YMN − ∆y MN ∆X MN
2
2
∆x MN
+ ∆y MN
.
(3.19)
Odvození je uvedeno ve skriptech [20].
Ze známých parametrů A,B lze snadno vypočítat měřítko µ a úhel ω, který
svírají osy X,x nebo Y, y
µ2 = a2 + b2 , ω = arctg
b
.
a
(3.20)
V běžné geodetické praxi se vyskytují formální úpravy podobnostní transformace, jejichž účelem je podstatně zkrátit počet cifer transformovaných souřadnic. Často se používají redukované souřadnice Xr,Yr, xr,yr na těžiště T identických bodů v obou souřadnicových soustavách
X r i = X i − X T , Yr i = Yi = Yr , x r i = xi − xT , y r i = y i − yT ,
kde XT, YT, xT, yT jsou souřadnice těžiště. Pak transformační rovnice (3.17)
nabývají tvaru
X = XT + µ xr cos ω – µ yr sin ω ≡ XT + a xr – b yr,
(3.21)
Y = YT + µ xr sin ω + µ yr cos ω ≡ YT + b xr + a yr .
Jiná úprava spočívá v redukci souřadnic na posunuté počátky obou souřadnicových soustav do blízkosti transformovaného polohového bodového pole. Prakticky se redukce dosahuje odečtením konstant, sestávajících z prvních konstantních cifer souřadnic. Po transformaci se konstanty opět připočítávají
k transformovaným souřadnicím [16].
3.3.3
Konformní transformace
Transformační rovnice jsou odvozeny pomocí komplexních čísel [3], [16].
Výsledkem jsou vztahy
X =a +b x –d y +e(X2 –Y2)– 2f(X Y)+g X (X2 –3Y2) +h Y (Y2 –3X2) + … (3.22)
Y =b +d x+ c y +f(X2 –Y2)+2e(X Y) +h X (X2 –3Y2) +g Y (Y2 –3X2) + …
- 30 (176) -
U konformní transformace se zachovává tvar elementárních (diferenciálních)
obrazců. Porovnáním s předcházejícími rovnicemi (3.18) je možno konstatovat,
že při zanedbání nelineárních členů se transformační vztahy zjednoduší na podobnostní transformaci. Když se omezí rovnice na lineární a kvadratické členy,
získají se rovnice tzv. konformní kvadratické transformace se šesti
neznámými parametry (a,b,c,d,e,f) a při vynechání členů čtvrtého a vyšších
řádů vzniknou rovnice kubické konformní transformace s osmi neznámými parametry (a,b,c,d,e,f,g,h).
Všechny typy konformních transformací zachovávají jen tvar diferenciálních
obrazců.
3.3.4
Afinní transformace
Je dána obecně rovnicemi [3], [16]
X = Xo + µx x cos ωx – µy y sin ωy ≡ Xo + a x – b y ,
(3.23)
Y = Yo + µx x sin ωx + µy y cos ωy ≡ Yo + c x + d y ,
kde µx , µy jsou rozdílná měřítka v osách x, y , ωx, ωy úhlová stočení os x, y
vzhledem k osám X, Y (obr. 3.3) a a = µx cos ωx, b = µy sin ωy, c = µx sin ωx,
d = µy cos ωy .
Maticová úprava rovnic má tvar
⎡cos ω X
kde Rω = ⎢
⎣ sin ω X
u = uo + Rω Mµ t ,
− sin ω Y ⎤
⎡µ x
, Mµ = ⎢
⎥
cos ω Y ⎦
⎣0
(3.24)
0⎤
⎡a − b⎤
, RωMµ = ⎢
⎥
⎥.
µy⎦
⎣c d ⎦
K určení šesti parametrů transformačního klíče Xo,Yo, µx, µy, ωx, ωy je třeba
znát alespoň šest souřadnic tří identických bodů. Afinita je zvláštním případem
kolineace, kdy jeden z bodů promítání se posune do nekonečna.
Ke zjednodušení afinní transformace dochází volbou stejného úhlu stočení ω
os x, y , takže platí ωx ≡ ωy = ω . Transformace se nazývá ortogonální
afinní transformací [3] a je dána vztahem (3.16), (3.24)
u = uo + R Mµ t
(3.35)
(X = Xo + µx x cos ω – µy y sin ω , Y = Yo + µx x sin ω + µy y cos ω ) .
Počet určovaných parametrů transformačního klíče se snížil na pět Xo,Yo,µx, µy,
ω.
3.3.5
Projektivní transformace
Projektivní (kolineární) transformaci vyjadřují obecně rovnice [3], [16]
X =
a1 x + b1 y + c1
,
a x + by +1
Y=
a 2 x + b2 x + c 2
.
a x + by +1
(3.26)
Všechny přímky v jednom systému se převádějí opět jako přímky do druhého
systému a zachovává se na nich dvojpoměr bodových čtveřic.
- 31 (176) -
3.3.6
Polynomické transformace
Představuje obecné matematické pojetí transformačních rovnic pomocí různých typů řad. Známé jsou např. mocninové řady [16]
X = ao + a1 x + a2 y + a3 x2 + a4 xy + a5 y2 + …
(3.27)
Y = bo + b1 x + b2 y + b3 x2 + b4 xy + b5 y2 + …
Teoreticky lze rozšířit transformační klíč na libovolný počet členů. V běžné
praxi se zpravidla transformace omezuje jen na členy druhého nebo třetího
řádu.
3.3.7
Obecný průměr posunů identických bodů
Transformační rovnice mají formu obecných aritmetických průměrů posunů
identických bodů (obr. 3.4) [16], [35]
u
X = x + (∑ p j )
1
−1
u
∑ p j ∆xi
,
1
u
Y = y + (∑ p j )
−1
1
u
∑ p j ∆yi
,
(3.28)
1
kde ∆xi ≡Xi – xi , ∆yi ≡Yi - yi jsou rozdíly souřadnic identických bodů, u jejich celkový počet (použitých k transformaci) a pj váhy dané výrazem
pj =
konst.
,
s kj
sj =
a)
(X
− X i ) + (Y j − Yi ) .
2
j
2
b)
Obr. 3.4 Obecný aritmetický průměr
V rovnici značí sj délku mezi transformovaným bodem Pj a identickým
bodem Tj. Exponent k se zpravidla volí 1 nebo 2. Jung prokázal, že výhodnější je volba k = 2, při které se jednak do značné míry zachová konformnost transformace, jednak se výrazněji na výsledky převodu projeví vliv nejbližších identických bodů [3], [16]. Proto bývá tato transformace nazývána
Jungovou. Používala se od 30. let minulého století zejména v Německu
- 32 (176) -
k transformaci malých sítí zhušťovacích a podrobných bodů. V ČR byla použita k transformaci bodů V. řádu JTSK do S 42/83 koncem osmdesátých let.
Analýza transformační metody prokázala, že je třeba při výpočtu dodržovat
další zásady, kromě těch, které jsou uvedeny v úvodu statě 2.5:
-
-
3.3.8
transformovat lze jen za podmínky, že odpovídající souřadnicové
osy obou systémů jsou rovnoběžné (x || X, y || Y),
pokud se volí ve vahách exponent k = 1, počítají se souřadnice
transformovaných bodů jen z nejbližších okolních bodů; pro k = 2 je
vhodné používat i druhou řadu identických bodů přibližně
ve dvojnásobné vzdálenosti,
je třeba analyzovat rozptyl polohových odchylek identických bodů
∆si ( ≡ ∆xi2+∆yi2)0,5 nebo souřadnicových rozdílů ∆xi, ∆yi;
nespolehlivé identické body je třeba z výpočtu vyloučit,
značnou pozornost je třeba věnovat volbě vah pj, respektive exponentu k ve jmenovateli.
Výpočet parametrů transformačních rovnic metodou
nejmenších čtverců
Parametry transformačního klíče se až na výjimky odvozují z nadbytečného
počtu identických bodů. Takovými výjimkami mohou být např. jednotlivé polygonové pořady, některé jednoduché metody protínání a výpočty souřadnic
měřických bodů. Ve všech ostatních případech, zejména při doplňování bodů
PGZ a určování zhušťovacích bodů, má být vždy počet identických bodů nadbytečný. Proto je dále uvedena jen aplikace MNČ pro podobnostní transformaci, která je v geodetických pracích hojně používána (stať 3.2). Postup u všech
transformačních metod je podobný.
Rovnice oprav jsou obecně dány vektory (3.18) [3], [20]
v = un - u ′n ,
(3.29)
kde
⎡v ⎤
v= ⎢ X⎥,
⎣ vY ⎦
a
⎡u ⎤
un = ⎢ X ⎥ ,
⎣ uY ⎦
⎡ u X/ ⎤
u′n = ⎢ / ⎥
⎣ uY ⎦
vX = [vX1, vX2, …. vXn]T , vY = [vY1, vY2, …. vYn]T,
uX = [X1, X2, …. Xn]T, uY = [Y1, Y2, …. Yn]T,
u X/ = [ X 1/ , X 2/ , .... X n/ ]T , uY/ = [ Y1/ , Y2/ , ....Yn/ ]T.
Souřadnice Xi, Yi označují souřadnice identických bodů a X i/ , Yi / souřadnice
vypočtené transformačními rovnicemi. Po úpravě mají rovnice oprav tvar
v = A n x + un ,
⎡− j o − t y
kde An = ⎢
⎣ o − j −t x
(3.30)
t x ⎤ tx = [x1, x2, …. xn]T, ty = [y1, y2, …. yn]T,
,
− t y ⎥⎦ j = [1, 1, …. 1]T,
o = [0, 0, …. 0]T ,
x = [Xo, Yo, a, b]T ≡ [Xo, Yo, µ cos ω, µ sin ω] .
- 33 (176) -
Z rovnic oprav se sestaví normální rovnice
Nx+n = o,
(3.31)
kde N = An PAn, x = [Xo, Yo, a, b] ≡ [Xo, Yo, µ cos ω, µ sin ω],
n = AnT P ℓ, P je diagonální váhová matice, zpravidla se stejnými vahami
T
T
/
pi = 1, a ℓ = un .
Vektor x vyrovnávaných neznámých vyjadřuje rovnice
x = -N-1 n .
(3.32)
Transformační rovnice mají tvar (2.23)
u = uo + µ R t ,
⎡ X / + δX ⎤
X
uo = ⎡⎢ o ⎤⎥ ≡ ⎢ o/
⎥ .
⎣ Yo ⎦
⎣ Yo + δY ⎦
kde
Výpočet se zjednodušuje zavedením redukovaných souřadnic rXi, rYi, rxi, ryi
identických bodů v obou souřadnicových soustavách. Pak souřadnice těžiště
XT, YT jsou v transformačních rovnicích shodné se souřadnicemi počátku Xo,
Yo soustavy x, y . Počet normálních rovnic se tak sníží ze čtyř na dvě a matice
An a vektor ℓn nabývají tvaru
kde
⎡− r t y r t x ⎤
⎡ l ⎤
A
=
, rℓn = ⎢ r X ⎥ ,
r n
⎢ t
⎥
⎣ r lY ⎦
⎣ r x rty ⎦
[rx1, rx2, …. rxn]T , r t y = [ry1, ry2, …. ryn]T ,
rtx =
ℓ = [rℓ1, rℓ2, …. rℓn]T,
r X
(3.33)
ℓ = [rℓY1, rℓY2, …. rℓYn] ,
r Y
ℓXi = rXi (≡ Xi –Xo) ,
ℓYi = rYi (≡ Yi-Yo).
Odhad středních chyb vyrovnaných parametrů je vyjádřen vztahem
mx = mo2 Qx ,
(3.34)
kde vektor středních odchylek mx, střední jednotková chyba mo a matice
váhových koeficientů Qx znamenají
2 ⎤
⎡m Xo
⎢ 2 ⎥
m
mx = ⎢ Yo2 ⎥ ,
⎢ ma ⎥
⎢ 2⎥
⎢⎣ mb ⎥⎦
⎡Q XoXo
⎢Q
Qx = ⎢ YoXo
⎢ Qa Xo
⎢
⎣ QbXo
mo =
Σ pv 2
,
n −ν
Q XoYo
Q Xoa
QYoYo
QYoa
QaYo
Qaa
QbYo
Qba
Q Xob ⎤
QYob ⎥⎥
.
Qab ⎥
⎥
Qbb ⎦
Další podrobnosti jsou uvedeny v článku „K transformacím souřadnic“ ve
sborníku referátů: Profesor Josef Vykutil – 90. Hlavní úřad vojenské geografie
Praha. VZÚ 2002, str. 73-78.
- 34 (176) -
K zachování potřebné homogenity bodového pole je třeba transformované body opravit o vliv souřadnicových odchylek okolních identických bodů. Používané jsou zpravidla opravy vypočtené pomocí Jungovy transformace (stať
2.7.2) nebo pomocí splajnových funkcí (stať 2.7.3). Pro transformaci jen několika bodů v podrobném polohovém bodovém poli se používají i jednodušší
úpravy výpočtu oprav.
Kontrolní otázky
Jaké jsou základní druhy rovinných transformací?
Co je shodnostní a podobnostní transformace a jaký je jejich význam pro
praxi?
Popište konformní transformaci a její využití v geodézii!
Čím je charakteristická afinní a projektivní transformace a kde se využívají
v geodézii?
Co jsou polynomické transformace a jaké jsou jejich výhody a nevýhody?
Jaká je matematická definice transformace s obecným aritmetickým průměrem posunů identických bodů?
Jaká je technologie výpočtu parametrů transformačních rovnic pomocí
MNČ?
Poznámka
Je třeba dobře rozumět všem základním druhům transformací, protože jsou
běžně používány ve většině geodetických úloh týkajících se bodových polí.
Jestliže Vám některá kontrolní otázka činí potíže, znovu si prostudujte příslušnou látku ve skriptech nebo v doporučené literatuře.
3.4
Transformace prostorových souřadnic
Stejné druhy transformací jako u rovinných souřadnic je možno použít i pro
prostorové souřadnice. Systémy transformačních rovnic je však třeba rozšířit ze
dvou na tři souřadnice. K základním typům prostorových transformací patří
převod zeměpisných souřadnic a elipsoidických výšek na geocentrické nebo
topocentrické souřadnice a naopak, např.[3], [10], [20].
- 35 (176) -
3.4.1
Převod mezi pravoúhlými souřadnicovými systémy
Obr. 3.5 Schéma dvou souřadnicových systémů
V geodetické praxi přichází obvykle v úvahu transformace mezi dvěma prostorovými souřadnicovými systémy v souvislosti s družicovými metodami a
s fotogrammetrií. Zejména se používají podobnostní a afinní transformace,
které jsou dále stručně popsány. Podrobněji jsou uvedeny některé používané
úpravy výpočetního postupu a vyrovnání MNČ u podobnostní transformace.
Obecnou polohu obou souřadnicových systémů znázorňuje obr. 3.5.
3.4.1.1
Podobnostní transformace
Řešení se u shodnostní transformace rozkládá na tři dílčí rotace α, β, γ v osách
x, y, z a tři dílčí translace Xo, Yo, Zo (obr. 3.6). U podobnostní (Helmertovy)
transformace přistupuje ještě sedmý parametr měřítko µ [20], [28]
Podrobné odvození transformačních rovnic je uvedeno ve skriptech [20].
Transformační rovnice jsou dány vektorovou rovnicí
u = uo + µ R t ,
(3.35)
kde
⎡ a11 a12 a13 ⎤
u = [X,Y,Z]T , uo = [Xo,Yo,Z]T , R = ⎢a21 a22 a23 ⎥ ≡ [r1, r2, r3] , t = [x, y, z]T
⎢a a a ⎥
⎣ 31 32 33 ⎦
a µ je měřítko společné pro všechny tři osy. Přitom x, y, z značí souřadnice
bodů pomocné soustavy, z které se převádějí na souřadnice X,Y,Z dané soustavy a Xo,Yo,Zo posuny počátku pomocné soustavy.
Rotační matice R je odvozena z postupného otáčení pomocného souřadnicového systému x, y, z kolem os X,Y,Z (obr. 3.8) o úhly α, β, γ. Rotační matice
R je dána součinem dílčích rotačních matic R = Rγ Rβ Rα.. takže
- 36 (176) -
R=
(3.36)
⎡ cos β cos γ
= ⎢⎢− cos β sin γ
⎢⎣ sin β
cos α sin γ + sin α sin β cos γ
cos α cos γ − sin α sin β sin γ
− sin α cos β
sin α sin γ − cos α sin β cos γ ⎤
sin α cos γ + cos α sin β sin γ ⎥⎥ .
⎥⎦
cos α cos β
Podrobné odvození je ve skriptech [20] na str. 32 a 33.
Pokud jsou rotační úhly α, β, γ malé, k čemuž často dochází při zpracování
družicových sítí, rotační matice se zjednoduší na tvar [20]
⎡ 1
R = ⎢⎢− δγ
⎢⎣ δβ
δγ
− δβ ⎤
δα ⎥⎥ .
1 ⎥⎦
1
− δα
(3.37)
a)
a)
b)
Obr. 3.6 Otáčení souřadnicového systému x, y, z kolem os x, y′, z″ o úhly α, β, γ
3.4.1.2
Afinní transformace
U zjednodušené (ortogonální) afinní transformace se na rozdíl od podobnostní
transformace zavádějí různá měřítka µx, µy, µz v souřadnicových osách x, y, z .
Transformační klíč vyjadřuje rovnice [3], [32]
u = uo + R M µ t .
- 37 (176) -
(3.38)
Většina symbolů je stejná jako v rovnicí (3.35) s výjimkou měřítkové matice
Mµ, která je dána výrazem
⎡µ X
M µ = ⎢⎢ 0
⎢⎣ 0
0
µY
0
0 ⎤
0 ⎥⎥ .
µ Z ⎥⎦
K sestavení transformačních rovnic je třeba určit devět parametrů, tři složky
translace, tři složky rotace a tři měřítka. Transformované geometrické útvary
vykazují tvarovou deformaci v závislosti na rozdílnosti jednotlivých dílčích
měřítek.
3.4.1.3
Formální úpravy
V odborné literatuře se objevují různé formální úpravy transformačních rovnic
(např.Wolf a Moloděnskij [7], [28]). Podle prvního autora se rovnice pro podobnostní transformaci (3.35), (3.37) upravují na tvar
u = uo/ + CW δx,
(3.39)
kde
⎡1 0 0
u = [X, Y, Z]T , u = [ X o/ , Yo/ , Z o/ ]T , CW = ⎢⎢0 1 0
⎢⎣0 0 1
a
δx = [δXo, δYo, δZo, δµ, δα, δβ, δγ]T.
/
o
x
0
−z
y
z
0
z
−y
x
y⎤
−x ⎥⎥
0 ⎥⎦
Vyrovnané parametry transformačních rovnic jsou dány výrazy
X o = X o/ + δX o , Yo = Yo/ + δYo , Z o = Z o/ + δZ , µ = 1 + δµ ,
α = α o + δα , β = β o + δβ , γ = γ o + δγ .
Vhodnou úpravu výpočtu parametrů transformačních přináší redukce souřadnic
bodů na těžiště, které je dáno vztahy
XT =
ΣX i
ΣY
ΣZ i
Σx
, YT = i , Z T =
; xT = i ,
n
n
n
n
yT =
Σy i
Σz
, zT = i ,
n
n
kde n je počet identických bodů a i = 1,2,3,…..n. Redukované souřadnice
jsou
rXj
= Xj – XT ,
rxj
= xj – x T ;
rYj
= Yj – YT ,
rZj
ryj
= yj – y T ,
rzj
= Zj – ZT ;
= zj – z T ,
kde index j = 1,2,3, …. k a k je počet identických bodů.
Rovnice se dají vyjádřit ve tvaru
u = uT + C T δx T ,
(3.40)
0 −r z r y ⎤
⎡XT ⎤
⎡r x
⎡X ⎤
⎥
⎢
⎢
kde u= ⎢ Y ⎥ , uT = ⎢ YT ⎥ , CT = ⎢ r y r z
0 − r x ⎥⎥ , δxT = [δµ,δα,δβ,δγ]T.
⎢⎣ Z ⎥⎦
⎢⎣ Z T ⎥⎦
⎢⎣ r z − r y r x
0 ⎥⎦
- 38 (176) -
3.4.1.4
Výpočet parametrů transformačních rovnic metodou nejmenších
čtverců
U prostorové transformace se parametry transformačního klíče vesměs odvozují z nadbytečného počtu identických bodů. Identické body mají být rovnoměrně
rozloženy v transformované oblasti a z důvodu zachování homogenity bodového pole mají všechny transformované body ležet uvnitř obrazce vytvořeného
okrajovými identickými body. Postup u všech transformačních metod je podobný. V dalším textu je uvedena aplikace MNČ jen pro podobnostní transformaci. Postupy u jiných transformačních metod jsou obdobné a využívají
zpravidla rozvoje transformačních rovnic v Taylorovu řadu.
Prostorové transformace se často používá při zpracování družicových měření.
Vychází se přitom z rovnic (3.35), (3.39) a (3.40). Pokud jde o vzájemný převod topocentrických a geocentrických souřadnic, kdy odpovídající souřadnice
x, X; y, Y; z, Z svírají spolu velké úhly α, β, γ, je vhodné nejprve vypočítat
jejich přibližné hodnoty α′, β′, γ′ a pomocí nich převést souřadnice x, y, z na
přibližné souřadnice X′, Y′, Z′. K určení malých přírůstků úhlů δα, δβ, δγ lze
použít např. linearizovaných transformačních rovnic (3.39), (3.40)
Rovnice oprav jsou obecně dány vztahem (3.29) [3]
v = un - u′ n ,
(3.41)
kde
⎡v X ⎤
v = ⎢ v Y ⎥ , un =
⎢ ⎥
⎢⎣ v Z ⎥⎦
⎡u X/ ⎤
⎡u X ⎤
⎢ u ⎥ , u′ = ⎢ u / ⎥ ; v =
n
⎢ Y⎥ x
⎢ Y⎥
⎢ u Z/ ⎥
⎢⎣ u Z ⎥⎦
⎣ ⎦
⎡ X1 ⎤
⎢ ⎥
uX = ⎢ X 2 ⎥ , uY =
.
⎢X ⎥
⎣ n⎦
⎡Y1 ⎤
⎢Y2 ⎥
⎢ . ⎥ , uZ =
⎢Y ⎥
⎣ n⎦
⎡ Z1 ⎤
⎢Z 2 ⎥
/
⎢ . ⎥ ; uX =
⎢Z ⎥
⎣ n⎦
⎡ v X1 ⎤
⎢v ⎥
⎢ X 2 ⎥ , vy =
⎢ . ⎥
⎢⎣v X n ⎥⎦
⎡ vY1 ⎤
⎢v ⎥
⎢ Y2 ⎥ , vz =
⎢ . ⎥
⎢⎣vYn ⎥⎦
⎡ v Z1 ⎤
⎢v ⎥
⎢ Z2 ⎥ ,
⎢ . ⎥
⎢⎣v Z n ⎥⎦
⎡ X 1′ ⎤
⎢ X 2′ ⎥
/
⎢ . ⎥ , uY =
⎢X ′ ⎥
⎣ n⎦
⎡Y1′⎤
⎢Y2′ ⎥
/
⎢ . ⎥ , uZ =
⎢Y ′ ⎥
⎣ n⎦
⎡ Z1′ ⎤
⎢ Z 2′ ⎥
⎢ . ⎥.
⎢Z ′ ⎥
⎣ n⎦
Přitom Xi, Yi, Zi jsou souřadnice daných bodů a X i/ ,Yi / , Z i/ souřadnice transformované pomocí přibližných hodnot translace X o/ , Yo/ , Z o/ a rotace α /, β /,
γ /.
Po úpravě vzniknou rovnice
v = un – δuo – (1+ δµ) δR ≡ An δx + ℓn ,
⎡δX O ⎤
kde δuo = ⎢⎢ δYO ⎥⎥ , δR =
⎢⎣δZ O ⎥⎦
⎡−1
⎢
−1
AX= ⎢
⎢.
⎢
⎣⎢−1
0 0
− X 1'
0
(3.42)
⎡ 0 δγ −δβ ⎤
⎢−δγ 0 δα ⎥ , µ =1 + δµ , A =
n
⎥
⎢
⎢⎣ δβ −δα 0 ⎥⎦
Z 1'
0 0 − X 2'
. .
.
0 Z 2'
. .
0 0 − X n'
0 Z n'
⎡0 −1
−Y1' ⎤
⎢
'⎥
−Y2 ⎥
0 −1
, AY= ⎢
⎢. .
. ⎥
⎢
'⎥
−Yn ⎦⎥
⎣⎢0 −1
- 39 (176) -
⎡ AX ⎤
⎢A ⎥,
⎢ Y⎥
⎢⎣ AZ ⎥⎦
0 −Y1'
−Z 1'
0
0 −Y2'
.
.
−Z 2'
.
0
.
0 −Yn'
−Z n'
0
X 1' ⎤
⎥
X 2' ⎥
,
. ⎥
⎥
X n' ⎦⎥
⎡0 0 − 1 − Z 1'
⎢
0 0 − 1 − Z 2'
AZ = ⎢
⎢. . .
.
⎢
'
⎢⎣0 0 − 1 − Z n
⎡l X ⎤
ℓn = ⎢⎢l Y ⎥⎥ ,
⎢⎣ l Z ⎥⎦
Y1'
− X 1'
Y
−X
.
.
'
2
'
n
Y
'
2
− X n'
0⎤
⎥
0⎥
, δx = [δXo,δYo,δZo, δµ, δα,δβ,δγ]T,
⎥
.
⎥
0⎥⎦
⎡ X 1 − X 1′ ⎤
⎡ Y1 − Y1′ ⎤
⎡ Z 1 − Z 1′ ⎤
⎢ X − X 2′ ⎥
⎢Y2 − Y2′ ⎥
⎢ Z 2 − Z 2′ ⎥
ℓX = ⎢ 2
⎥ , ℓY = ⎢
⎥ , ℓZ = ⎢
⎥ .
.
⎥
⎥
⎢
⎢ . ⎥
⎢ .
⎢⎣ X n − X n′ ⎥⎦
⎢⎣Yn − Yn′ ⎥⎦
⎢⎣ Z n − Z n′ ⎥⎦
Další výpočet probíhá podobně jako ve stati 3.3.8 pro podobnostní transformaci v rovině. Rovnice jsou uvedeny ve skriptech [20].
Obdobný postup k odvození parametrů transformačních rovnic lze odvodit pro
souřadnice redukované na těžiště identických bodů.
Po transformaci bodů je třeba z důvodů zachování homogenity bodového pole
ještě ke všem transformovaným souřadnicím připočítat opravy vxj, vyj, vzj ,
zahrnující vliv odchylek δxi, δyi, δzi identických bodů.
Výsledné souřadnice Xj,Yj,Zj transformovaných bodů T = P, Q, R, … Z jsou
po zavedení oprav dány výrazy
XJ = X j/ + v X j , Y j = Y j/ + vY j Z j = Z j/ + v Z j .
(3.43)
Kontrolní otázky
Kde se v geodézii používají prostorové transformace?
Jaké jsou základní matematické vztahy definující shodnostní, podobnostní a
afinní prostorovou transformaci?
Jaký je postup výpočtu parametrů transformačních rovnic MNČ?
Jaké znáte úpravy transformačních rovnic?
Poznámka
Pokud nebudete znát odpověď na některou z otázek, prostudujte si znovu tuto
látku ve skriptech [20] nebo v jiné doporučené literatuře.
3.5
Výpočet souřadnicových oprav transformovaných
bodů
Pro dostatečně kvalitní převod polohových bodů z jednoho souřadnicového
systému do druhého je třeba k transformovaným bodům vypočítat souřadnicové opravy vx,vy,vz, závisející na souřadnicových odchylkách δX, δY, δZ (δX,
δY) mezi danými a transformovanými identickými body. Pokud by souřadnicové opravy nebyly určovány, docházelo by k menším nebo větším deformacím polohového bodového pole a to zejména v blízkosti identických bodů.
Souřadnicové opravy lze odvozovat různými způsoby. K hlavním patří lineární
- 40 (176) -
interpolace v uzavřených obrazcích (zpravidla v trojúhelnících), interpolace
obecnými aritmetickými průměry a interpolace pomocí splajnových funkcí. Ke
zjednodušení jsou v dalším textu uvedeny postupy určení souřadnicových
oprav jen pro rovinné souřadnice.
3.5.1
Lineární interpolace
Spočívá v lineárním rozdělování souřadnicových odchylek na transformované
body, ležící uvnitř elementárních obrazců (zpravidla trojúhelníků), vytvářených
z identických bodů. Princip metody je patrný z obr. 3.7 [16]. Např. ze souřadnicových odchylek δXi pro i = A,B,C se sestrojí osnova rovnoběžných izočar (úseček), vyjadřujících souřadnicové opravy v X o v celých centimetrech
(obr. 3.7 a). Po vynesení polohy transformovaných bodů se snadno z grafu stanoví opravy v X j pro jednotlivé transformované body Pj. Ještě jednodušší je
určení oprav z izočar v X o vynesených na obr. 3.7 b opět po centimetrech, jejichž velikost však končí hodnotou 5 mm.
Grafické zjišťování velikosti oprav se dnes už prakticky nepoužívá. K výpočtu
oprav lineární interpolací slouží obecné rovnice ve tvaru
vU j = vU A +
(vU B − vU A ) PAC + (vU C − vU A ) PAB
PO
,
(3.44)
kde označují P0,PAC ,PAB obsahy celého trojúhelníku A,B,C a dílčích trojúhelníků Pj,C,A a Pj,A,B, vU A , vU B , vU C souřadnicové odchylky identických bodů
A,B,C, index j transformovaný bod Pj a index U souřadnice X,Y (X,Y,Z) .
a)
b)
Obr. 3.7 Lineární interpolace souřadnicových oprav
Určitým nedostatkem lineární interpolace je nahrazení skutečného průběhu
izočar úsečkami. U více trojúhelníků polohové sítě jsou složité křivky izočar
- 41 (176) -
podstatě redukovány na polygonové čáry. Stejným postupem a lze určovat i
opravy v Z i transformovaných souřadnic Zi.
Lineární interpolace je starší metodou, která se dříve používala při transformacích polohových bodů v menších oblastech sítě.
3.5.2
Interpolace obecnými aritmetickými průméry
Souřadnicové opravy v X j , vY j transformovaných bodů Pj se počítají pomocí
rovnic pro obecný aritmetický průměr
k
k
i =1
i =1
δ X j = ( ∑ pi }−1 ∑ pi δX i ,
k
k
i =1
i =1
δ Y j = ( ∑ pi ) −1 ∑ pi δYi ,
(3.45)
kde index i ≡ 1, 2, 3, … k označuje nejbližší okolní identické body, použité
k výpočtu souřadnicových oprav. Váhy pi jsou voleny stejně jako při transformaci bodů (stať 3.3.7) buď nepřímo úměrné vzdálenostem si transformovaného bodu Pj od okolních identických bodů K nebo nepřímo úměrné kvadrátům vzdáleností si2
pi =
k
,
si
pi =
k
,
si2
kde k je vhodná konstanta.
Použije-li se prvního typu vah, je třeba omezit výpočet souřadnicových oprav
jen na nejbližší okolní identické body, protože opravy vzdálenějších bodů by
mohly porušovat homogenitu transformovaného bodového pole (obr. 3.8 a). U
druhého typu vah, který je považován za vhodnější, je vliv vzdálenějších identických bodů podstatně menší. Přesto je lépe volit pro výpočet oprav identické
body jen do určité vzdálenosti, zpravidla nepřesahující asi dvojnásobek vzdálenosti blízkých identických bodů (obr. 3.8 b).
a) pro váhy
pj =
k
sj
b) pro váhy
pj =
k
s 2j
Obr. 3.8 Příklady volby identických bodů k výpočtu souřadnicových oprav v X i , vY i
- 42 (176) -
Podrobnosti k výpočtu souřadnicových oprav transformovaných bodů jsou
uvedeny např. v publikacích [20], [35].
3.5.3
Splajnové funkce
Matematické výpočty a konstrukce křivek pomocí počítačů jsou v geodézii
používány řadu let především ke konstrukci a zákresu vrstevnic, např.
v softwaru MicroStation [43], [44]. Křivka v zobrazovací rovině X,Y je určena
řídícím polygonem, jehož lomové body reprezentují stejné hodnoty výškové,
jimiž prochází vrstevnice. V případě souřadnicových oprav vX, vY transformovaných bodů jde o izočáry stejných velikostí oprav pro jednotlivé souřadnice,
vyjádřené např. v centimetrech. Každá křivka se rozděluje na úseky přímé a
zakřivené, které je možno matematicky definovat. Zpravidla se používá částí
křivek až třetího stupně (kubických křivek). Systém matematického řetězce
vyplývá z obr. 3.9. Křivka je určena polygonem o vrcholech V1, V2, … Vn –1,
Vn.
Část křivky je definována třemi polygonovými body VK-1,VK,VK+1. Libovolný
bod V křivky určovaný mezi body VK, VK+1 je dán funkcí
PK(S) = [FK,X(s), FK,Y(s)]
pro 0 ≤ s ≤ S,
kde FK,X, FK,Y jsou kubické polynomy, s je vzdálenost interpolovaného bodu
PK od daného bodu VK a S je délka úseku VK, VK+1 (polygonové strany).
Kubické polynomy jsou definovány vztahy
FK,X = aX s3 + bX s2 + cX s + XK,
Obr. 3.9
FK,Y = aY s3 + bY s2 + cY s +YK.
(3.46)
Určení části křivky
Matematický výpočet je v praxi složitější, protože vychází z bodů, které nemají
stejnou velikost výšek nebo souřadnicových oprav, takže je třeba body izočar
interpolovat. Podrobnější údaje o splajnových funkcích najde čtenář např.
v publikacích [43], [44] atd.
Konstrukce izočar stejných oprav vX, vY ≡ konst. umožňuje stanovit jednoznačné opravy pro každý transformovaný bod. Kvalita výpočtu izočar je závislá na hustotě společných bodů a jejich míře identity.
- 43 (176) -
Kontrolní otázky
Jaký význam má výpočet souřadnicových oprav transformovaných bodů?
Jaký je princip metody lineární interpolace k určení souřadnicových oprav?
Jak se interpolují souřadnicové opravy pomocí obecných aritmetických
průměrů souřadnicových rozdílů identických bodů?
Jaký je princip interpolace souřadnicových oprav pomocí splajnových funkcí?
Poznámka
Výpočet souřadnicových oprav je důležitou součástí transformace. Vynecháním této závěrečné fáze výpočtu vede zpravidla k porušení homogenity stávajícího bodového pole, i když se v podstatě deformují měřené veličiny. Proto je
třeba kontrolním otázkám věnovat zvýšenou pozornost.
3.6
Přesnost transformace
Kvalitě transformačních rovnic a transformovaných souřadnic nebývá v praxi
věnována taková pozornost jako vlastním transformacím. Analýzy přesnosti
vycházejí z různých hledisek a přístupů. Relativně méně se týkají parametrů
transformačních rovnic. Větší pozornost je věnována přibližným odhadům
přesnosti transformovaných bodů. Ve článku [18] jsou stručně uvedeny tři metody: odhady polohové přesnosti metodou nejmenších čtverců (MNČ), relativní
polohová přesnost a odhady z vektorových odchylek identických bodů.
3.6.1
Metoda nejmenších čtverců
Při výpočtu parametrů transformačních rovnic (stať 3.3.8 a 3.4.1.4) [18]
x = x ′ + δ x ≡ x ′ − N −1 n
se z matic váhových koeficientů
Q X = N −1 n
vypočte chybová matice
M X = mo2 QX ,
jejíž diagonálu mX tvoří kvadráty odhadnutých středních chyb parametrů x
≡ [Xo, Yo, Zo, µ, α, β, γ]T transformačních rovnic - např. stať 3.3.8 a rovnice
(3.8) až (3.13)
m X2 = mo2 [QXoXo, QYoYo, QZoZo, Qµµ, Qαα, Qββ, Qγγ]T
(3.47)
Chybová vektor mT transformovaných souřadnic T (≡ P, Q, R, …. Z) sestává
z kvadrátů odhadovaných středních souřadnicových chyb
mT = [ mX2 P , ... mX2 Z ; mY2P , ... mY2Z ; mZ2P , ... mZ2Z ]T
- 44 (176) -
(3.48)
a je diagonálou kovarianční matice ST danou rovnicí [16], [20]
ST = mo2 FQxFT ≡ mo2 QT .
Prvky obdélníkové matice F jsou parciální derivace transformovaných souřadnic u podle vyrovnávaných parametrů (neznámých) x (δx).
Odhady středních chyb jsou závislé především na kvalitě identických bodů a na
jejich konfiguraci. Charakterizují spíše kvalitu transformace souboru identických bodů bodového pole jako celku a neposkytují jednoznačnou informaci o
míře identity jednotlivých bodů nebo částí sítě. Je to způsobeno zejména zjednodušeným výpočtem polohové přesnosti, kdy se v kovarianční matici používá
střední jednotkové chyby mo nebo směrodatné odchylky σo
Σpv 2
Σpv 2
2
, σo =
.
m =
3n − k
3n
2
o
(3.49)
V rovnicích značí vi souřadnicové opravy, n počet identických bodů a k
nutný počet souřadnic těchto bodů k odvození transformačních rovnic.
3.6.2
Relativní polohová přesnost
Podrobnější informace o kvalitě jednotlivých identických bodů nebo částí bodového pole poskytují odhady relativních odchylek, které jsou odvozovány jen
ze souřadnicových odchylek δXi, δYi, δZi omezených oblastí sítě, tvořící jednoduché obrazce a sestavené jen ze sousedních identických bodů. Zpravidla jde o
trojúhelníky a čtyřúhelníky, výjimečně o víceúhelníky (obr. 3.10). Takové odhady středních odchylek jsou významné pro různé další navazovací geodetické
práce uvnitř obrazců. Odhad středních relativních odchylek vyjadřují vztahy
[18]
δX o j =
2
rσ X o j =
r
r
σ Z2o j =
2
σ XYZ
oj =
1
tj
k
∑ δX i , δYo j =
1
1
tj
k
1
tj
∑ (δX i − δX o j ) 2 ,
1
tj
∑ (δZ
1
k
i
k
∑ δYi , δZ o j =
1
2
r σ Yo j =
1
tj
k
1
tj
∑ δZ ,
i
1
k
∑ (δY − δY
i
oj
)2 ,
(3.50)
1
− δZ Z o j ) 2 ,
1
1
2
r σ So j ,
3
r
σ S2o j = r σ X2 o j + r σ Y2o j + r σ Z2o j ,
kde δXoj, δYoj, δZoj jsou průměrné odchylky (opravy). Střední hodnoty rozdílů
rσXoj, rσYoj, rσZoj souřadnicových odchylek charakterizují relativní polohovou
přesnost v jednotlivých obrazcích. Přitom indexy j = 1, 2, 3, … značí číslo
obrazce a indexy 1 až k pouze identické body, týkající se tohoto obrazce. Jednoduššími a přehlednějšími kritérii relativní přesnosti jsou střední hodnoty
rσXYZoj rozdílů souřadnicových odchylek a střední hodnoty rσSoj relativních
délkových odchylek, platících pro zvolený obrazec.. Symbol tj značí počet
identických bodů v testovaném obrazci.
- 45 (176) -
K snadnějšímu porozumění odhadů relativní polohové přesnosti slouží příklad
jednoduché rovinné sítě na obr. 3.10. Představuje síť 12 identických bodů
A,B,C, … L v rovinném souřadnicovém systému X,Y . Polohové bodové pole
bylo rozděleno na j = 9 základních obrazců, z toho 8 trojúhelníků a jeden
šestiúhelník. U každého identického bodu jsou ve zvětšeném měřítku vyznačeny vektory odchylek. Číselné údaje o velikostech souřadnicových odchylek a
odhadech středních hodnot odpovídajících odchylek jsou v tabulkách 3.1 a 3.2.
Tabulka 3.1: Rovinné souřadnicové odchylky δXi, δYi (3.50) a střední hodnoty sou-
Obr. 3.10 Příklad vektorů odchylek jednoduché sítě identických bodů
řadnicových odchylek δXYi a délkové odchylky δS i na jednotlivých identických bodech i = A, B, … L. Odpovídající střední hodnoty souřadnicových odchylek σX, σY,
σXY a délkových odchylek σS (3.52), (3.53).
i
δXi (mm)
δYi (mm)
δXYi (mm)
δSi (mm)
A
21
43
33,8
47,9
B
-32
48
40,8
57,7
C
-20
22
21,0
29,7
D
25
24
24,5
34,7
E
43
-12
31,6
44,6
F
24
-29
26,6
37,6
G
-19
-27
23,3
33,0
H
-6
-29
20,9
29,6
I
-21
-16
18,7
26,4
J
-29
17
23,8
33,6
K
-26
-32
29,2
41,2
L
40
-9
29,0
41,0
- 46 (176) -
Střední hodnoty
odchylek
σX = 27,2 mm,
σY = 28,0 mm,
σXY = 27,6 mm,
σS = 39,0 mm
Tabulka 3.2: Odhady středních hodnot souřadnicových a délkových odchylek
σ X j , σ Y j , σ XY j , σ S j a odpovídající odhady středních hodnot relativních odchylek
r σ Xo j , r σ Yo j , r σ XYo j , r σ So j (3.50) v základních devíti obrazcích (obr. 3.10).
σXj
σYj
σ XY j
σSj
r σ Xo j
r σ Yo j
r σ XYo j
r σ So j
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
1
26,4
39,7
33,7
47,7
26,0
10,3
19,8
28,0
2
31,2
29,3
30,2
42,8
9,6
22,8
17,5
24,7
3
26,1
33,5
30,0
42,5
24,5
11,8
19,3
27,2
4
18,8
25,2
22,2
31,4
18,8
24,5
21,7
30,7
5
30,7
22,0
26,7
37,8
26,0
21,4
23,8
33,7
6
18,5
26,7
23,0
32,5
18,5
24,5
21,7
30,7
7
30,5
23,9
27,4
38,7
25,9
7,6
19,1
27,0
8
22,1
25,8
24,0
33,9
18,0
21,2
19,7
27,8
9
32,2
21,6
27,4
38,8
31,9
20,0
26,6
37,7
Jj
Střední hodnoty souřadnicových a délkových odchylek σ X j , σ Y j , σ XY j , σ S j
v tabulce 3.2 se vztahují k jednotlivým obrazcům j a jsou vypočteny z výrazů
σ X2 j =
1 u
1 u
1 2
2
2
2
2
2
2
2
∑ δX i , σ Y j = ∑ δYi , σ XY j = σ S j , σ S j = σ X j + σ Y j . (3.51)
tj 1
tj 1
2
Tabulka 3.2 prokazuje, že střední hodnoty relativních odchylek r σ
XYo j, r σ So j
jsou obvykle menší než střední hodnoty odpovídajících odchylek σ XYj , σ Sj
vypočtených ze všech souřadnicových odchylek δXi, δYi. V pěti obrazcích jde
dokonce o výrazné snížení použitých ukazatelů polohové přesnosti. Podobné
závěry lze vyslovit i z porovnání stejných relativních odchylek s příslušnými
odhady odchylek σ XY j , σ S j v první části tabulky 3.2.
3.6.3
Souřadnicové odchylky identických bodů
V praxi se někdy používají zjednodušená kritéria v posouzení polohové přesnosti transformace, která mají menší spolehlivost, protože zjednodušují odhad
polohové přesnosti transformovaných bodů jen na střední hodnoty vektorových
odchylek identických bodů. Souřadnicové odchylky δXi, δYi identických bodů Pi charakterizují rovnice [18]
δX i = X i − X i/ , δYi = Yi − Yi /
pro i = A., B, C, … N,
(3.52)
kde Xi, Yi, jsou souřadnice identických bodů a X i/ , Yi / souřadnice stejných
bodů získaných z transformačních rovnic.
- 47 (176) -
Pro součty oprav platí
n
n
1
1
∑ δX i , ∑ δYi = 0 ,
kde n označuje počet identických bodů.
Pro každý identický bod lze vypočítat buď velikost vektorové odchylky δSi
nebo střední hodnoty souřadnicové odchylky σ XYZ i , pro které platí rovnice
δS i2 = δX i2 + δYi 2 ,
1
3
2
2
σ XY
i = δS i .
(3.53)
Střední hodnoty souřadnicových odchylek σX, σY, souřadnicové odchylky σXY
a délkové odchylky σS, charakterizující celou síť identických bodů, jsou dány
vztahy
σ X2 =
1 n
1 n
1
2
2
2
δ
X
σ
=
δYi 2 , σ XY
= σ S2 ,
,
∑
∑
i
Y
n 1
n 1
2
σ S2 = σ X2 + σ Y2 .
(3.54)
Odhady středních hodnot souřadnicových a délkových odchylek (3.53), (3.54)
mají povšechný statistický charakter. Nerozlišují rozdílnou kvalitu různých
částí sítě a týkají se jen identických bodů bez přihlédnutí k souřadnicovým
opravám transformovaných bodů T ≡ P, Q, R, … Z. Proto jsou kritéria (2.63)
závislá na zvolené transformační metodě a poskytují tak zkreslené informace o
polohové přesnosti transformovaných bodů, jak je patrné v posledním sloupci
tabulky 3.1.
3.6.4
Stupeň (míra) identity (homogenity)
Pomocí vektorových odchylek, vyjádřených souřadnicovými odchylkami
(3.52)
δ X i = X i − X i/ , δ Yi = Yi − Yi / ,
kde Xi, Yi jsou souřadnice identických bodů v S-JTSK a X i/ , Yi / odpovídající souřadnice, získané z transformačních rovnic, se analyzuje míra identity jednotlivých identických bodů. U nejbližších okolních bodů kolem každého identického bodu (obr. 3.11), kterých bývá zpravidla pět až sedm (minimálně tři),
se odvozují polární souřadnice polohových odchylek v zobrazovací rovině
δ S i = (δ X i2 + δYi 2 ) 0,5 ,
α i = arctg
δ Yi
,
δ Xi
(3.55)
kde značí δSi délku odchylkového vektoru a αi jeho směrník.
Průměrné rozdíly δX o i , δYoi , vztahující se k testovanému bodu Pi jsou dány
vztahy
δX o i =
1 e
∑ δX i ,
t i i =1
δYoi =
- 48 (176) -
1 e
∑ δYi , pro e = 1, 2, 3 … ti .
t i i =1
a) v trojúhelníku
b) v mnohoúhelníku
Obr. 3.11 Polohové vektory odchylek identických bodů a určovaného bodu
K stanovení míry identity jednotlivých společných bodů
středních rozdílů polohových odchylek σ S i [20]
Pi
slouží odhad
σ S i = (σ Λ2 X i + σ ∆2Yi ) 0,5 ,
kde σ ∆ X i , σ ∆ Y i jsou odhady středních rozdílů souřadnicových odchylek.
σ ∆X i
⎡1 e
⎤
= ⎢ ∑ (δxi − δxoi ) 2 ⎥
⎣ ti 1
⎦
0,5
σ ∆Yi
⎡1 e
⎤
= ⎢ ∑ (δYi − δYo i ) 2 ⎥
⎣ ti 1
⎦
0, 5
.
(3.56)
Podle vhodně zvolených kritérií σK je třeba posuzovat stupeň identity testovaného identického bodu. Pro zhušťovací body je možno volit např. hodnotu
σSmax = 0,02 m. Pro některé případy lze volit nižší nebo vyšší hodnotu σSmax.
Kontrolní otázky
Jaký je postup při odhadu přesnosti parametrů transformačních rovnic?
Jak se odvozuje polohová přesnost transformovaných bodů pomocí MNČ?
Jaký je princip odhadu relativní polohové přesnosti transformovaných bodů?
Jak se odhaduje polohová přesnost transformovaných bodů pomocí vektorových odchylek identických bodů?
Jaké jsou rozdíly mezi uvedenými třemi metodami odhadu polohové přesnosti transformovaných bodů?
Co je to stupeň (míra) identity bodů v transformacích bodových polí (bodů)
a jakým způsobem se zjišťuje?
- 49 (176) -
Poznámka
Nebudete-li znát odpověď na některou z kontrolních otázek, prostudujte si pozorně znovu stať o výpočtu souřadnicových oprav!
3.7
Závěr k transformacím souřadnic
Transformacím souřadnic je v geodetické literatuře věnována už dlouhodobě
značná pozornost, např. [3], [11], [16], [20]. V době, kdy nebyly k dispozici
počítače, byly přibližné metody univerzálními způsoby výpočtu souřadnic
zhušťovacích bodů a transformace se požívaly u vetknutých pořadů (stať
5.1.2), Hansenovy úlohy(stať 4.1.6) [20] a v některých dalších geodetických
úlohách. Důležité byly zejména transformace trigonometrických sítí do jiných
souřadnicových systémů a zobrazovacích rovin. V býv. Československu to
byly např. převody JTSK do systémů S-52, S-42 a V. řádu JTSK do S-42/83,
kdy se k transformacím základního polohového bodového pole volila konformní transformace. Přesnosti transformovaných bodů však nebyla věnována
potřebná pozornost. Hlavním důvodem bylo značné zachování úhlojevnosti i
na kilometrové vzdálenosti, což bylo důležité vzhledem k tehdejším téměř univerzálním úhlovým metodám budování sítí zhušťovacích bodů (s výjimkou
polygonových pořadů).V inženýrské geodézii se dobře uplatňuje podobnostní
transformace, která dovoluje vhodně analyzovat jak posuny bodů a deformace
částí místních sítí, tak i kvalitu výchozích bodů. Ve fotogrammetrii se
k převodu snímkových souřadnic do ortogonálních systémů používají také
afinní a projektivní transformace.
Počítače dovolují odvozovat složité transformační postupy, takže zejména po
nástupu družicových měření a s nimi souvisejícím spojováním družicových a
terestrických sítí, se objevily analýzy řady polynomických tvarů transformačních rovnic s mnoha členy. Se zvyšujícím se počtem vhodně volených členů se
samozřejmě snižují maximální absolutní hodnoty souřadnicových oprav
z vyrovnání MNČ. Problémem však zůstává kvalita transformačních rovnic.
Snižování maximálních absolutních oprav identických bodů, související se
zvyšováním počtu členů transformačních rovnic, může sice vést formálně
k závěru, že se kvalita transformace zvyšuje, ale na druhé straně se také mohou
uměle snižovat velké polohové chyby identických bodů starší sítě, způsobené
změnami stabilizací některých bodů anebo jinými příčinami. Proto se dnes
v mezinárodní geodetické praxi vesměs používá podobnostní (Helmertovy)
transformace (statě 3.3.8 a 3.4.1.4), která dovoluje spolehlivě analyzovat míru
identity bodů. Podobnostní transformace se také stala hlavní metodou
k různým převodům souřadnic určených družicovými metodami.
- 50 (176) -
Kritéria polohové přesnosti
4
Kritéria polohové přesnosti jsou důležitým prostředkem k hodnocení kvality
určení polohy bodů v geodetických pracích. Odhaduje se vesměs relativní
přesnost polohy bodů. Jak bylo již zdůrazněno ve stati 2.4, jsou v projektech
geodetických prací měřeny vhodné nadbytečné veličiny, které vedle kontroly
poskytují možnost jejich vyrovnání zpravidla MNČ anebo jinými metodami
různé kvality. Nadbytečné veličiny umožňují na základě jejich oprav anebo
různých odchylek odhadovat jak přesnost měřených a vyrovnaných veličin, tak
i polohového určení bodů.
K odhadu polohové přesnosti bodů se používá různých kritérií [16], [20]. V
rovině jsou to zejména střední souřadnicové chyby mX, mY, střední křivka
chyb, střední polohová chyba mP a střední souřadnicová chyba mXY. Odpovídající kritéria v prostoru jsou střední souřadnicové chyby mX, mY, mZ, střední
elipsoid chyb, střední polohová chyba mP a střední souřadnicová chyba mXYZ.
Střední souřadnicové chyby m X , m Y jsou obecně dány variancemi
kovarianční matice QX (3.12). Pro libovolný bod P tedy platí vztahy
m X2 = mO2 Q XX , mY2 = mO2 QYY .
(4.1)
U prostorových souřadnic přistupuje k odhadu polohové přesnosti bodu P
ještě střední chyba mZ třetí souřadnice Z
m Z2 = mO2 QZZ .
(4.2)
Z vyrovnání souřadnic se získají jen odhady středních souřadnicových chyb
empirického charakteru, jejichž spolehlivost je závislá na vypočtené s t ř e d n í
j e d n o t k o v é c h y b ě mo (stať 3.2).
Odhady středních souřadnicových chyb se již počítaly u všech vyrovnaných
rovinných souřadnic bodů ČSTS (trigonometrických bodů) a počítají se také u
všech prostorových souřadnic vyrovnávaných MNČ v současně budovaných
družicových sítích (GPZ a sítě zhušťovacích bodů). Tyto odhady chyb se počítají i v souřadnicových vyrovnáních přesných geodetických sítí v inženýrské
geodézii.
Velikost souřadnicových chyb je závislá na orientaci souřadnicových os. Souřadnicové chyby jsou v podstatě složky polohového chybového vektoru mu.
Při otáčení souřadnicového vektoru v rovině vytvářejí koncové body složek
vektoru úpatnici střední elipsy chyb, tzv. střední křivku chyb (obr. 4.1).
Střední křivka chyb je geometrickým místem bodů středních souřadnicových
chyb a poskytuje informaci o jejich velikostech ve všech směrech v rovině od
určovaného bodu. Při výpočtu jejich extrémních hodnot lze zjistit, že má jednu
maximální a jeden minimální hodnotu. Obě složky jsou na sebe kolmé a jsou
zároveň dvěma osami střední křivky chyb. Křivka má také čtyři inflexní body,
symetricky rozmístěné vzhledem k jejím osám.
- 51 (176) -
Obr. 4.1 Znázornění základních kritérií polohové přesnosti v rovině
V prostoru vytvářejí střední souřadnicové chyby prostorový chybový útvar,
který má obdobné vlastnosti jako střední křivka chyb v rovině. Chybový útvar
má tři osy souměrnosti, totožné s osami středního elipsoidu chyb.
Konstrukce střední křivky chyb a odpovídajícího chybového útvaru je poměrně
složitá, takže se k odhadu polohové přesnosti vyrovnávaných bodů GPZ
(ČSTS) a jiných přesných bodových polí používá zpravidla střední elipsy
chyb (v rovině) a středního elipsoidu chyb (v prostoru). Jsou určeny
svými poloosami c, d (obr. 4.1) nebo c, d, e [4].
Rozbory středních souřadnicových chyb prokázaly že jejich součet kvadrátů je
u každého vyrovnávaného bodu konstantní a nezávislý na orientaci souřadnicových os. Platí tedy pro rovinné a prostorové body vztahy
2
m P2 = m X2 + mY2 ≡ konst.,
3
m P2 = m X2 + mY2 + m Z2 ≡ konst.
(4.3)
Druhá odmocnina z kvadratických součtů mP se nazývá střední polohovou chybou a je skalární hodnotou. Používá se k odhadu polohy vyrovnávaných bodů PPBP, zejména u ostatních bodů.
Protože poloosy střední elipsy a elipsoidu chyb jsou extrémními hodnotami
středních souřadnicových os a jsou na sebe vzájemně kolmé, musí zároveň i
jejich součty kvadrátů dávat kvadrát střední polohové chyby
2
m P2 = c 2 + d 2 (v rovině),
3
m P2 = c 2 + d 2 + e 2 (v prostoru).
(4.4)
Pokud se sestrojí kolem určovaného bodu kružnice o poloměru mP (obr. 3.1),
je patrné, že plocha kruhu je vždy větší než odpovídající plocha uzavřená
střední křivkou chyb nebo střední elipsou chyb. Stejný závěr platí o objemu
koule o poloměru mP a středního elipsoidu chyb.
V ČR se často jako kritéria polohové přesnosti bodů používá střední souřadnicová chyba m X Y v rovině a mX Y Z v prostoru. Střední souřadnicová
chyba je opět jen skalárem a je dána kvadratickým průměrem středních souřadnicových chyb, takže platí
mX Y
m X2 + mY2
=
2
nebo
- 52 (176) -
mX Y Z
m X2 + mY2 + m Z2
=
.
3
(4.5)
Střední souřadnicová chyba je přímo úměrná střední polohové chybě
mX Y =
2
mP
2
,
mXYZ =
3
mP
3
.
Rovnice (4.4) prokazují, že střední polohová 2mP je teoreticky v rovině o 41
% větší než střední souřadnicová chyba mXY. V prostoru je střední polohová
chyba 3mP o 73 % větší než střední souřadnicová chyba mXYZ.
Nevýhodou střední souřadnicové a střední polohové chyby je skutečnost, že
jsou skalárními veličinami a neposkytují přehled o velikostech střední chyby
v poloze v různých směrech.
Důležitým faktorem v chybové analýze je pravděpodobnost φ , že vyrovnaný
bod leží uvnitř vypočtené střední elipsy chyb nebo středního elipsoidu chyb,
popřípadě v kruhu opsaném střední polohovou chybou nebo střední souřadnicovou chybou [15]. Z teorie chyb je známo, že maximální pravděpodobnosti
polohy bodu uvnitř střední elipsy chyb nebo elipsoidu chyb jsou dány
2φe, 3φe
hodnotami [4]
φe (t=1) ≈ 0,393 ,
2
φe(t=1) ≈ 0,199 .
3
Pokud by se měly obě pravděpodobnosti zvýšit na velikost pravděpodobnosti
m ≡ σ u jednorozměrných veličin,
1φ(t=1) ≈ 0,683 základní střední chyby
bylo by nutné zvětšit parametr t (= ε/ m ), tj. poloosy střední elipsy chyb nebo
elipsoidu chyb na hodnoty 2 t ≈ 1,51 nebo 3 t ≈ 1,88.
Pravděpodobnosti platí jen za předpokladu, že je přesně známá základní střední
chyba m (základní střední jednotková chyba mo ). U empiricky získaných
středních chyb m (mo) je pravděpodobnost závislá na počtu n měřených veličin a r nadbytečně měřených veličin [4]. Rozdíl n – ν = n ′ je počet stupňů
volnosti vyrovnání polohové sítě, na kterém jsou závislé pravděpodobnosti
jednotlivých druhů polohových chyb, odvozených z oprav vi měřených veličin. Proto se dříve při testování velikosti středních polohových chyb uváděly
násobné koeficienty 1t, 2t, 3t, kterými se dosahovaly na základě Studentova
rozdělení pravděpodobností teoreticky stejné pravděpodobnosti 1φ, 2φ, 3φ pro
všechny jednorozměrné, dvojrozměrné a trojrozměrné chyby. Zpravidla byla
pravděpodobnost volena pro jednorozměrnou střední kvadratickou chybu
(68,3 %) nebo střední pravděpodobnou chybu popřípadě střední průměrnou
chybu. V posledních letech se často používá zvolené hladiny významnosti α,
zpravidla α = 0,05 nebo α = 0,01, která udává pravděpodobnost φ ≈ 0,95 nebo
φ ≈ 0,99 ve vypočtených intervalech spolehlivosti, vyjádřených polohovými
chybami mXα = 1 tα mX, mYα = 1tα mY, mZα = 1 tα mZ (střední souřadnicové chyby), mXYα = 2 tα mXY, , mPα = 2tα mPα (střední dvourozměrné polohové chyby) a
mXYZα = 3 tα mXYZ, mPα = 3 tα mP (střední trojrozměrné polohové chyby). Násobné
koeficienty 1tα, 2tα, 3 tα jsou uvedeny např. v publikacích [4], [10]. Vybrané
hodnoty těchto koeficientů jsou sestaveny v tabulce 4.1 pro stupně volnosti α
= 1, 2, 5, 10, 20, 50 a 100.
Největších změn dosahují koeficienty tα pro nízký stupeň volnosti. Přibližně
od n ′ = 5 a vyšší hodnoty se zmenšují koeficienty relativně pomalu. Ve větší
míře se intervaly spolehlivosti zavádějí zejména v zahraničí.
- 53 (176) -
Tabulka 4.1. Koeficienty 1tα, 2 tα , 3 tα vypočtené ze Studentovy funkce rozdělení pravděpodobnosti pro vybrané stupně volnosti n ′ a pro hladinu významnosti α = 0,05
[4], [10].
n′
tα
1
1
2
5
10
20
50
100
12,7
4,30
2,57
2,23
2,09
2,01
1,98
2
tα
20,0
6,16
3,40
2,86
2,64
2,52
2,48
3
tα
25,4
7,58
4,03
3,34
3,05
2,92
2,84
K projektům polohových bodových polí a zejména k optimalizaci projektů speciálních místních sítí se často počítají odhady středních elips chyb určovaných
bodů. Jejich výpočet a zákres se zajišťuje pomocí počítače a vhodných programů. Odvození parametrů středních elips chyb vychází z kovarianční matice
MX (stať 3.2). Pro každý určovaný bod se vybírá čtvercová submatice Kj o
čtyřech členech, obecně vyjádřených vztahem
⎡ m X2 j X j
Kj = ⎢
⎢⎣mY j m X j
m X j mY j ⎤
⎥,
mY2jY j ⎥
⎦
(4.6)
kde index j = 1,2,3, … t označuje určovaný bod Pj.
Ze submatic se vypočtou základní tři parametry střední elipsy chyb, tj. její poloosy c,d a úhel ω, který obě poloosy svírají se souřadnicovými osami X,Y
(obr. 3,1). Pomocí extrémních hodnot středních souřadnicových chyb mX, mY
se odvodí rovnice [4], [10]
(4.7)
tg 2ω j =
kde
2m X j mY j
m
2
Xj
−m
2
Yj
, c2=
1 2
1
(m X j + mY2j + g j ), d 2 = (m X2 j + mY2j − g j ),
2
2
g j = (m X2 j − mY2j + 4m X2 j mY2j ) .
Pro zákres středních elips chyb na grafickém podkladu sítě určovaných bodů se
volí vhodně velké měřítko.
Kontrolní otázky
Jaká jsou základní kritéria polohové přesnosti bodů?
Jak se vypočtou střední souřadnicové chyby ?
Co je střední souřadnicová chyba a střední polohová chyba?
Jak jsou definovány střední křivka chyb a střední elipsa chyb a jaký je jejich
význam pro souřadnicové výpočty?
- 54 (176) -
Jaká je pravděpodobnost jednotlivých základních kritérií přesnosti a pro jakou pravděpodobnost (hladinu významnosti) se mezinárodně upravují?
Poznámka
Pokud si nebudete jisti s některou odpovědí, znovu si prostudujte skripta [20],
popřípadě doporučenou literaturu [4], [10].
- 55 (176) -
Budování polohových bodových polí
5
Stručná informace o vývoji polohových geodetických základů (PGZ) je uvedena ve stati 2.1. Podrobněji se budováním PGZ zabývá vyšší geodézie. K jejich
hlavním znakům v dřívějších dobách, kdy byly zpravidla tvořeny trigonometrickou sítí, patří, kromě zaměření geodetické sítě bodů terestrickými metodami,
volba referenčního elipsoidu, umístění geodetické sítě na elipsoidu a její orientace. V posledním desetiletí se geodetické základy v ČR budují výhradně družicovými metodami v geocentrických prostorových souřadnicích. Také k zaměření několika desítek tisíc zhušťovacích bodů se používají družicové metody.
V těchto skriptech je nejdříve věnována pozornost terestrickým metodám určování polohy jednotlivých nebo několika zhušťovacích a podrobných polohových bodů, tvořících zpravidla podklad pro další běžné geodetické práce. Základními veličinami měřenými převážně terestrickými systémy (nazývanými často totálními stanicemi nebo elektronickými tachymetry) a nivelačními
přístroji, jsou osnovy vodorovných směrů, šikmé délky, zenitové úhly a převýšení. K výpočtu souřadnic se často používají přibližné metody, vycházející
z nutného počtu měřených veličin (stať 5.1). Pak následují stručná odvození
souřadnic různých druhů menších nebo větších sítí, zaměřených stejnými terestrickými veličinami a vyrovnávaných metodou nejmenších čtverců (stať
5.2). V další části textu je informativně popsán globální polohový systém
(GPS) s důrazem na principy souřadnicového vyrovnání družicových sítí (stať
5.3 a 5.4). V závěru jsou charakterizovány principy základních typů souřadnicových vyrovnání spojených družicových a terestrických sítí (stať 5.5) a místních (lokálních) sítí (stať 5.6).
5.1
Určení polohy bodů z úhlů a délek (přibližné metody výpočtu)
Při měření terestrickými přístroji se současně s polohou nově určovaných bodů
určuje i třetí rozměr, jejich výška. Metody určení polohy a výšky bodů závisí
od požadované přesnosti.. V následujících odstavcích budou uvedeny základní
metody umožňující určení polohy bodů vycházející z nutného počtu měřených
veličin. Způsoby určení výšek či převýšení jsou uvedeny v [49] a [21].
5.1.1
Rajon
Pod pojmem rajón se rozumí orientovaná a délkově zaměřená spojnice daného
a určovaného bodu.
Jsou dány souřadnice bodů A (XA, YA) a další body o daných souřadnicích B
(XB, YB)… k určení orientovaného jižníku αAP viz [29]. Zprostředkujícími veličinami jsou měřená délka SAP a měřené směry ψi, i + 1 na daném bodě A viz obr.
5.1.
- 57 (176) -
Y
P
B
SAP
A
αAP
X
Obr. 5.1
Výpočet rajónu
Souřadnice bodu P lze určit pomocí rovnic
X P = X A + S AP ⋅ cos α AP = X A + ∆X AP ,
(5.1)
YP = Y A + S AP ⋅ sin α AP = YP + ∆Y AP ,
kde
∆XAP = XP - XA,
∆YAP = YP - YA .
Znaménka souřadnicových rozdílů ∆XAP, ∆YAP jsou dána znaménky sinu a cosinu αAP.
Poznámka
Do vzdálenosti menší než 1500 m od stanoviska je možné budovat PBPP pomocí rajónů. Při dlouhých rajónech je však třeba zvážit homogenitu sítě.
V případě určení polohy nově určovaného bodu je nutné provést orientaci aspoň na dva body. Při délce rajónu větší než 800 m je nutné měřit směry ve
dvou skupinách. Délka rajónu nesmí být větší než nejvzdálenější orientace viz
[50]. Délku rajon je nutné před výpočtem souřadnic bodu převést do zobrazovací roviny viz [22]
V některých případech se měří zprostředkující veličiny na bodě, jehož souřadnice určujeme. Z měřených a daných veličin se vypočítá na místo orientovaného jižníku αAP jižník σAP a poloha nově určovaného bodu se vypočítá podle
rovnic (5.1)
Polohová přesnost nově určovaného bodu
Předpokládá se, že poloha daných bodů je bezchybná. Při určování polohové
chyby se vychází z rovnic (5.1).
- 58 (176) -
Podle [51] jsou střední souřadnicové chyby m x , m y rovny
2
m = cos α AP ⋅ m
⎛ mα
+ ∆Y ⎜⎜ AP
⎝ ρ
⎞
⎟⎟ ;
⎠
m = sin α AP ⋅ m
⎛ mα
+ ∆X ⎜⎜ AP
⎝ ρ
⎞
⎟⎟ .
⎠
2
X
2
Y
2
2
2
S AP
2
S AP
2
AP
2
AP
2
Poznámka
Podrobně i s příkladem je o přesnosti nově určovaného bodu pojednáno v [20].
Kontrolní otázky
Co se rozumí pod pojmem rajon?
Co potřebujeme znát pro výpočet souřadnic rajonu.?
V kterém směru se projeví chyba v měřené délce a v kterém chyba
v měřeném směru?
5.1.2
Polygonové pořady a sítě
Hustota bodů základního bodového pole (ZBPP) nedostačuje pro účely polohopisného měření ve velkých měřítkách, ani potřebám mapování. Z těchto důvodů je nutné (ZBPP) doplnit o další body určené nejenom polohově, ale i výškově. Jinými slovy vybudovat tzv. podrobné bodové polohové pole (PBPP). Za
současného stavu se PBPP podle [50] dělí na:
-
zhušťovací body
-
ostatní body podrobného bodového polohového pole.
Kategorie zhušťovacích bodů (dříve bodů podrobného bodového polohového
pole 1. třídy přesnosti) má předepsanou přesnost danou základní střední souřadnicovou chybou velikosti 0,02 m vztaženou k nejbližším bodům ZBPP.
Zhušťovací body se v současnosti budují převážně technologií GPS.
Kategorie ostatních bodů podrobného bodového polohového pole (dříve bodů
2. třídy přesnosti a nižší) je charakterizována přesností danou základní střední
souřadnicovou chybou 0,06 m vztaženou k nejbližším bodům ZBPP.
Ostatní body podrobného bodového polohového pole se převážně určují polygonovými pořady a rajóny nebo využitím technologie GPS. Mohou být také
určeny metodami protínání a trojúhelníkovými řetězci. V současnosti jsou tyto
body budovány tam, kde se vyžaduje při zeměměřických pracích vyšší hustota
bodů. O budování ZBPP a PBPP je pojednáno v [20], [40], [49].
Polygonový pořad je definován jako průmět prostorové lomené čáry do roviny.
Jeho vrcholy jsou polygonové body. Spojnice polygonových bodů se nazývají
polygonové strany. K určení polohy polygonových bodů se měří na polygonových bodech osnovy směrů, z nichž se určí vrcholové úhly. Délky stran se měří
dvakrát - tam a zpět. Orientace pořadů se děje směrovým připojením
z koncových bodů pořadů na body ZBPP, zhušťovací body a body PBPP.
- 59 (176) -
Z naměřených osnov směrů se na koncových bodech vypočítají orientované
jižníky.
Soubory polygonových pořadů tvoří polygonovou síť .
Poznámka
V případě, že na počátečním a koncovém bodě pořadu je možná jen jedna orientace, vypočítají se směrová připojení z jižníků vypočtených z daných souřadnic na počátečním a koncovém bodě a měřených směrů na těchto bodech.
K potlačení vlivu chyb z centrace se používá u polygonových pořadů trojpodstavcové soupravy (nucené centrace).
Pokud jsou koncovými body polygonových pořadů body ZBPP, které jsou trvale
signalizovány (např. věže kostelů) bývají u těchto bodů zbudovány zajišťovací
body, které mají stejnou polohovou přesnost jako body, ke kterým jsou zřizovány. Tyto body se používají jako koncové body polygonových pořadů.
Jsou-li zajišťovací body zničeny, nebo nebyly nalezeny, připojují se měření na
body ZBPP nepřímo viz [22]
Polygonové pořady o kterých je podrobně pojednáno v [20] je možno dělit na:
a) základní typy polygonových pořadů (1 až 3)
b) speciální typy polygonových pořadů (4 až 6)
1. Polygonový pořad oboustranně připojený a oboustranně orientovaný jedná se o základní polygonový pořad viz obr. 5.2.
2. Polygonový pořad oboustranně připojený a jednostranně orientovaný
viz obr. 5.3.
3. Polygonový pořad vetknutý - (oboustranně připojený bez orientací na
koncových bodech) viz obr. 5.4.
4. Polygonový pořad jednostranně připojený a jednostranně orientovaný
(dříve nazývaný volný polygonový pořad, končí na určovaném bodě)
viz obr. 5.5.
5. Polygonový pořad uzavřený s orientací na počátečním bodě (začíná a
končí na stejném bodě) obr. 5.6.
6. Polygonový pořad uzavřený neorientovaný ( v místní souřadnicové
soustavě – žádný z bodů pořadu není dán souřadnicemi ) obr. 5.7.
Poznámka
V následujících odstavcích týkajících se polygonových pořadů bude uveden jen
zkrácený postup výpočtu a chybových rozborů. Podrobné pojednání je uvedeno v [20].
- 60 (176) -
5.1.2.1
Základní typy pořadů
5.1.2.1.1
Polygonový pořad oboustranně připojený a oboustranně orientovaný
Jsou dány souřadnice počátečního a koncového bodu pořadu A (XA,YA),
B (XB,YB) a souřadnice dalších bodů k orientaci pořadu viz obr. 5.2.
K určení orientovaného jižníku αA1 na počátečním bodě, αB3 na koncovém bodě jsou měřeny osnovy směrů ψAi, ψBi a na polygonových bodech směry ψi'
1,i+1 k určení ω i . Dále pak délky polygonových stran Si,i+1 viz obr. 5.2.
Poznámka
U tohoto typu pořadu jsou měřeny tři nadbytečné veličiny uvnitř pořadu (jedna
délka a dva vrcholové úhly) a další veličiny při orientacích na dva a více orientační směry. Dochází tedy při výpočtu k vyrovnání úhlovému a souřadnicovému.
Y
ω1
αA1
SA1
A
ω3
ω2
1
3
S3B
S23
S12
αB3
2
B
X
Obr. 5.2
Polygonový pořad oboustranně připojený a oboustranně orientovaný
Postup výpočtu
1. Ze souřadnic daných bodů a osnov měřených směrů na počátečním a
koncovém bodě se vypočítají orientované jižníky αA1, αB3 viz [29].
2. Z naměřených směrů na vrcholech polygonového pořadu se vypočítají
úhly ω1'
ω i' = ψ i ,i +1 − ψ i ,i −1
.
3. Z orientovaných směrů αA1, α3B a vrcholových úhlů ω i' se vypočte úhlový uzávěr Oω
Oω = α B 3 − α B' 3 ,
- 61 (176) -
(5.2)
n
α B' 3 = α A1 + ∑ ω i' − i 2 R ,
kde
i =1
i2R značí počet odečtených 2R při výpočtu jednotlivých jižníků.
4. Vypočtený úhlový uzávěr Oω se porovná s dovolenou odchylkou ∆ω.
Je-li splněna podmínka Oω ≤ ∆ω , pokračuje se dále ve výpočtu.
V případě překročení ∆ω je nutné po ověření daných a zprostředkujících veličin měření opakovat.
5. Následuje rozdělení Oω a to rovnoměrně nejenom na všechny vrcholové úhly ω i' , ale i na orientované jižníky α A1 , α B 3 .
vωi =
Oω
;
n
ω i = ω i' + vω ;
α Ai' = α A1 + vω ; α B' 3 = α B 3 + vω .
kde n je počet bodů, na kterých bylo měřeno.
6. Vypočítají se vyrovnané jižníky viz [20]
σ A1 = α A' 1 + vωi
σ 12 = σ A' 1 + ω1 − 2 R
(5.3)
7. Následuje výpočet přibližných souřadnicových rozdílů ∆ Xi,i+1, ∆ Y i,i+1
z vyrovnaných jižníků σ i ,i +1 a délek stran S i , i +1 . (V případě uvedeném
na obr. 5.2 bude)
∆X A' 1 = S A1 ⋅ cos σ A1
M
∆X
∆X
'
AB
;
M
'
3B
∆Y A' 1 = S A1 ⋅ sin σ A1
= S 3 B ⋅ cos σ 3 B
4
M
∆Y
= ∑ S i , i +1 ⋅ cos σ i , i +1 ; ∆Y
'
3B
'
AB
1
M
;
(5.4)
= S 3 B ⋅ sin σ 3 B
4
= ∑ S i , i +1 ⋅ sin σ i , i +1 .
1
8. Vypočtou se souřadnicové uzávěry OX, OY ze souřadnicových rozdílů
daných bodů ∆XAB, ∆YAB a ze souřadnicových rozdílů vypočtených
'
'
z rovnic (5.4 ) ∆X AB
, ∆Y AB
'
'
O X = ∆X AB − ∆X AB
; OY = ∆Y AB − ∆Y AB
.
9. Vypočte se polohový uzávěr OP viz [20]
O P = O X2 + OY2
Polohový uzávěr musí splňovat podmínku
OP ≤ ∆ P ,
kde ∆P je mezní hodnota odchylky polohového uzávěru. Její velikost
závisí na požadované přesnosti.
Je-li splněna tato podmínka přistoupí se k výpočtu oprav v xi ,i +1 , v yi ,i +1 .
- 62 (176) -
Pokud není splněno, že OS ≤ ∆S je nutné po kontrole vstupních prvků
opakovat měření.
10. Vypočítají se opravy a vyrovnané souřadnicové rozdíly
∆X i , i +1 ,
∆Yi , i +1 .
Jelikož se polygonové pořady měří terestrickými přístroji, je správnější
rozdělit OX, OY rovnoměrně na vypočtené souřadnicové rozdíly ∆X i',i +1 ,
∆Yi ,' i +1 , potom bude:
v X i , i +1 =
OX
O
; vYi , i +1 = Y .
n −1
n −1
Souřadnicové rozdíly po opravách budou mít tvar
∆X i ,i +1 = ∆X i',i +1 + v X i ,i+1 ; ∆Yi ,i +1 = ∆Yi ,' i +1 + vYi ,i +1 .
11. Následuje výpočet vyrovnaných souřadnic určovaných bodů
X 1 = X A + ∆X A1 ; Y1 = YA + ∆YA1
X 2 = X 1 + ∆X 12 ; Y2 = Y1 + ∆Y12
(5.5)
X 3 = X 2 + ∆X 23 ; Y3 = Y2 + ∆Y23
X B = X 3 + ∆X 3 B ; YB = Y3 + ∆Y3 B .
Poznámka:
Doposud se převážně rozdělují OX, OY nejčastěji úměrně absolutním hodnotám
souřadnicových rozdílů (nerovnoměrně).
v X i ,i +1 =
OX
∑ ∆X i , i+1
⋅ ∆X i ,i +1 ; vYi ,i +1 =
OY
∑ ∆Yi , i +1
⋅ ∆Yi ,i +1
Takto rozdělované opravy na jednotlivé souřadnicové rozdíly neodpovídají
současné realitě. Při měření terestrickými přístroji jsou délky měřeny
v podstatě se stejnou přesností. V dřívějších dobách byly OX, OY rozdělovány
úměrně k délkám stran, což mělo při tehdejší technice měřených délek opodstatnění. Uvedený způsob rozdělování odchylek je v současnosti vhodný pro SJTSK, ve kterém jsou často souřadnicové odchylky převážně způsobeny nižší
kvalitou S-JTSK než měření terestrickými přístroji.
Polohová přesnost nově určených bodů
Pro snadnější odvození obecných rovnic se volí přímé pořady jen s jednou orientací na počátečním bodě o stejně dlouhých stranách, položené ve směru některé souřadnicové osy (v těchto případech ve směru osy Y). Dále se předpokládá, že jak orientační směry, tak i dané souřadnice jsou bezchybné. Tedy
úhlová odchylka je tvořena jen chybami ve vrcholových úhlech. ωi. Odvozené
závěry prakticky platí i pro pořady mírně zakřivené. Uvedené zjednodušení
bude platit i při určování přesností ostatních typů pořadů.
- 63 (176) -
Z uvedeného je patrno, že chyby měřených délek S i , i +1 mají vliv jen na velikost souřadnicové odchylky OY (nazývanou podélnou odchylkou). Podobně
všechny chyby v měření směrů (vrcholových úhlů ωi) ovlivňují jen souřadnicovou odchylku OX (nazývanou příčnou odchylkou).
K odvození středních chyb u tohoto typu pořadu se kromě uvedených zjednodušení předpokládá, že na koncovém bodě byla měřena jen jedna orientace.
Další poznatky k dané problematice jsou uvedeny v [15].
Podle [15] mají odvozené střední chyby m X i , mYi , mσ i , i +1 tvar
m X i = mω ⋅ s
mYi = m s
2
− ( j 2 − 4 j + 1) N − 3 j 2 + 3 j
12 ( N − 1) N
( j − 1)(N − j )
mσ i , i +1 = mω
kde
( j − 1)(N − j ) ( j − 1) N
N −1
N 3 + N 2 − 12 jN + 12 j 2
,
12 ( N − 1) N
j = i + 1, N = n + 2
Z chybových rozborů uvedených v [15] jsou střední chyby mYi stejné jako u
polygonových pořadů vetknutých, jednostranně orientovaných a oboustranně
připojených ukončených na dané body.
Naproti tomu se vlivem úhlového vyrovnání snížily velikosti středních chyb
m X i , mσ i , i +1 . Stejně jako u ostatních typů pořadů jsou střední souřadnicové
chyby m X i , mYi maximální uprostřed pořadu a směrem k oběma koncovým
bodům se zmenšují. Naopak střední chyby jižníků polygonových stran jsou
minimální uprostřed pořadu a maximální u první a poslední polygonové strany.
Poznámka
U všech typů pořadů se podle [15] přesnost vyrovnaných souřadnic a směrníků
bude často lišit od přesnosti teoretické. Skutečné chyby měřených veličin mají
jednak náhodný charakter, tj. náhodnou velikost i znaménko, jednak mohou být
přítomny v měřených veličinách systematické chyby různého druhu, popřípadě
i malé hrubé chyby, způsobené různými příčinami. Teoretickou přesnost a s ní
spojené chybové rozbory lze aplikovat na celé soubory polygonových pořadů,
kde se již uplatňuje z hlediska pravděpodobnosti zákon velkých čísel.
Nesprávné je také odvozovat přesnost polygonových bodů z vypočítaných souřadnicových odchylek O X , OY , Oω . Samozřejmě velké odchylky ukazují na
malou přesnost měřených veličin nebo malou přesnost polohy připojovacích
bodů, popřípadě orientačních směrů na připojovacích bodech. Malé souřadnicové odchylky a malé úhlové odchylky nejsou ještě důkazem vysoké přesnosti
určení souřadnic všech polygonových bodů. Příčinou malých odchylek může
být příznivé seskupení větších skutečných chyb měřených veličin, i když odpovídající skutečná polohová přesnost určení jednotlivých bodů není zdaleka
- 64 (176) -
tak vysoká. Ze souřadnicových odchylek O X , OY a úhlové odchylky Oω je
možno opět usuzovat na přesnost určení měřovaných bodů jen u celého souboru pořadů, měřovaných se stejnými chybami metody měření délek a úhlů.
5.1.2.1.2
Polygonový pořad oboustranně připojený a jednostranně orientovaný
Jsou dány souřadnice koncových bodů A (XA, YA), B (XB, YB) a souřadnice C
(XC, YC) … k orientaci polygonového pořadu na počátečním bodě. Měřeny jsou
zprostředkující veličiny ψA,i na počátečním bodě pořadu a ψ i −1, i +1 na vrcholech
pořadu. Dále pak délky stran Si,i+1 viz obr. 5.3. Uvedený typ pořadu je rozdílný
oproti pořadu uvedenému v 5.1.2.1.1 tím, že je možné provést orientaci jen na
počátečním bodě, což neumožňuje úhlové vyrovnání.
Tento typ pořadu může být použit v případě, že jeho délka je kratší než 1,5 km
Y
ω1
SA1
A
αA1
1
S12
ω2
S2B
B
2
C
X
[51].
Obr. 5.3
Polygonový pořad oboustranně připojený a jednostranně orientovaný
Postup výpočtu
1. Vypočítá se orientovaný jižník (směrník) αA1 [29].
2. Vypočítají se souřadnicové rozdíly ∆X i',i +1 , ∆Yi ,' i +1 .
3. Vypočítají se OX, OY a polohová odchylka OP, která se porovná s ∆P.
4. Vypočítají se opravy vX, vY, o které se opraví ∆X i',i +1 , ∆Yi ,' i +1 .
5. Vypočítají se vyrovnané souřadnice určovaných bodů.
Poznámka
Postup výpočtu mimo bod 1) je stejný jak je uvedeno v 5.1.2.1.1.
- 65 (176) -
Polohová přesnost nově určovaných bodů
Podle [15] jsou při vyrovnání polygonového pořadu přibližnými metodami
střední souřadnicové chyby m X i , mYi , mσ i , i +1 shodné s chybami pro vetknutý
polygonový pořad uvedenými v odstavci 5.1.2.1.3. Tato okolnost je způsobena
značným zjednodušením při odvození středních chyb, uvedených v odstavci
5.1.2.1.1.
Poznámka
Ve skutečnosti souřadnice bodů určených polygonovým pořadem oboustranně
připojeným a jednostranně orientovaným jsou mnohem spolehlivější s lepší
měřickou kontrolou, než určení polohy bodů vetknutým pořadem. Při výpočtu
vetknutého pořadu se nemusí projevit ani některá hrubá chyba v jednom vrcholovém úhlu ωi, pokud nezpůsobí nedovolený polohový uzávěr OP.
5.1.2.1.3
Polygonový pořad vetknutý
Poznámka
Uvedený typ pořadu je možno použít v případě, že má nejvýše 4 strany a jeho
délka nepřekročí 1,5 km viz [51]. Při využití tohoto typu pořadu je nutné vzít
v úvahu, že hustota stávajícího PBPP je větší tak, že vetknutý polygonový pořad může způsobit zhoršení homogenity bodového pole viz [40].
Polygonový pořad vetknutý lze řešit dvěma způsoby:
a) klasicky,
b) podobnostní transformací.
Y
2
S2B
S12
ω2
1
B
ω1
SAB
SA1
S‘AB
A
X
y
ω
x
Obr. 5.4
Polygonový pořad vetknutý
- 66 (176) -
Pro výpočet souřadnic nově určovaných bodů jsou dány souřadnice připojovacích bodů A ( XA , YA ), B ( XB, YB ). Zprostředkujícími veličinami jsou směry ψi–1, ψi+1 a délky stran Si,i+1. Úkolem je v našem případě vypočítat souřadnice
bodů 1 a 2 viz obr. 5.4.
Postup výpočtu
1. Nejprve se zvolí pomocná souřadnicová soustava viz obr. 5.4.
2. Vypočítají se jižníky σ i ,i +1 v pomocné soustavě.
σ A' 1 = 2 R
σ 12' = ω1
σ 2' B = σ 12' + ω 2 − 2 R .
3. Vypočítají se souřadnicové rozdíly ∆xi' ,i +1 , ∆yi' ,i +1
∆x 'A1 = S A1 ⋅ cos σ A' 1 = s A1 ;
∆y A' 1 = S A1 ⋅ sin σ A' 1 = O
∆x12' = S12 ⋅ cos σ 12' ;
∆y12' = S12 ⋅ sin σ 12'
∆x 2' B = S 2 B ⋅ cos σ 2' B ;
∆y 2' B = S 2 B ⋅ sin σ 2' B
n
∆x 'AB = ∑ S i ,i +1 ⋅ cos σ i',i +1 ;
1
(5.6)
n
'
∆y AB
= ∑ S i ,i +1 ⋅ sin σ i',i +1
1
'
4. Pro kontrolu se vypočítá délka SAB z daných souřadnic a délka S AB
ze
'
souřadnic v pomocné soustavě. Vypočte se OS = S AB − S AB a porovná
se s mezní odchylkou ∆S. V případě, že OS ≤ ∆S , pokračuje se
s dalším výpočtem. V případě nesplnění uvedené podmínky je nutné
vykonat nové měření. K určení souřadnic lze použít dvou výpočtů:
a) Pomocí úhlového stočení ω a délkového zkreslení.
b) Pomocí podobností transformace.
ad a) Výpočet pomocí úhlového stočení a délkového zkreslení
1)
Vypočte se úhel stočení ω viz obr. 5.4.
'
Nejprve se vypočítají jižníky σ AB , σ AB
.
σ AB = arctg
YB − Y A
;
XB − XA
'
σ AB
= arctg
yB − y A
.
xB − x A
Z rozdílu jižníku se určí úhel stočení ω
'
ω = σ AB − σ AB
.
(5.7)
- 67 (176) -
2)
Vypočítají se jižníky v systému S-JTSK opravením jižníků vypočítaných v místním souřadnicovém systému o úhel
stočení ω .
3)
Vypočítají se přibližné souřadnicové rozdíly ∆X i',i +1 ,
∆Yi ,' i +1 a souřadnice nově určovaných bodů Xi, Yi postupem
uvedeným v 5.1.2.1.1.
ad b) Výpočet souřadnic bodů pomocí podobnostní transformace
Poznámka
Pokud je při řešení výpočetních úloh v následujících odstavcích
použito transformace budou neznámé parametry pro rozlišení
shodnostní a podobnostní transformace rozlišeny symboly. Při
shodnostní transformaci bude parametr a 1 = cosω a a2 =
sinω2. U podobnostní transformace je parametr λ 1 ´= µ cos ω a
λ 2 = µ sin ω.
Nejprve se vypočítají souřadnice bodů v místním souřadnicovém systému stejným způsobem, jak je uvedeno v bodě 1 až 3 (
ad a ) v tomto odstavci. Následuje sestavení rovnic pro výpočet
parametrů λ1, λ2
⎡∆X AB ⎤ ⎡ ∆x AB
⎢ ∆Y ⎥ = ⎢ ∆y
⎣ AB ⎦ ⎣ AB
X = A⋅λ .
− ∆y AB ⎤ ⎡ λ1 ⎤
;
∆x AB ⎥⎦ ⎢⎣λ 2 ⎥⎦
(5.8)
Z toho
λ = A −1 ⋅ X .
Po výpočtu parametrů transformace λ1, λ2 se sestaví rovnice pro
souřadnicové rozdíly ∆X i ,i +1 , ∆Yi ,i +1
⎡∆X i ,i +1 ⎤ ⎡ ∆xi ,i +1
⎢ ∆Y ⎥ = ⎢ ∆y
⎣ i ,i +1 ⎦ ⎣ i ,i +1
− ∆y i ,i +1 ⎤ ⎡ λ1 ⎤
, (5.9)
∆xi ,i +1 ⎥⎦ ⎢⎣λ 2 ⎥⎦
po výpočtu souřadnicových rozdílů se vypočítají souřadnice nově určovaných bodů.
V případě uvedeném na obr. 5.4 mají rovnice pro výpočet souřadnic určovaných bodů tvar
X 1 = X A + λ1 ∆x A1 − λ 2 ∆y A1 ;
Y1 = Y A + λ1 ∆y A1 + λ 2 ∆x A1
X 2 = X 1 + λ1 ∆x12 − λ 2 ∆y12 ;
Y2 = Y1 + λ1 ∆y12 + λ 2 ∆x12
X B = X 2 + λ1 ∆x 2 B − λ 2 ∆y 2 B ;
YB = Y2 + λ1 ∆y 2 B + λ 2 ∆x 2 B .
- 68 (176) -
(5.10)
Poznámka
Při výpočtu souřadnic určovaných bodů transformací se neurčují
jižníky σ i ,i +1 . V případě potřeby se vypočítají ze souřadnic nově
určených bodů.
Odvození středních chyb je u vetknutých polygonových pořadů složitější, protože se nejprve určují souřadnice v pomocné souřadnicové soustavě a pak se
transformují do dané soustavy.
Podle [15] mají střední souřadnicové chyby m X i , mYi tvar
( j − 1)(N − j ) 2 jN − 2 N − 2 j + 2 j + 1 ;
6 ( N − 1)
2
m X i = mY s
mYi = m s
( j − 1)(N − j ) ,
N −1
kde j = i + 1; N = n + 2.
Střední souřadnicové chyby směrníků mσ i , i +1 mají tvar
mσ i , i +1 = mω
2 N 2 − 6 jN − N + 6 j 2
.
6 ( N − 1)
Na základě rozboru výsledných středních chyb [15] se dá konstatovat, že k
největšímu růstu středních chyb dochází v příčném směru, kde hodnota m X i dosahuje několikanásobku vlivu střední chyby měřeného úhlu na délku polygonové strany (mω ⋅ s ) . Mnohem méně narůstá střední chyba mYi ve směru pořadu. Obě uvedené střední chyby dosahují maximálních hodnot uprostřed pořadu.
Od středu pořadu k oběma koncovým bodům se jejich velikosti systematicky
snižují. Opačný charakter má střední chyba mσ i , i +1 , kde největší chyby jsou
v prvním a posledním jižníku. Jejich velikosti se snižují ke středu pořadu.
Nejmenší hodnoty dosahují uprostřed pořadu.
5.1.2.2
Speciální typy polygonových pořadů.
Pro některé případy v geodetické praxi není možné využít polygonových pořadů uvedených v odstavcích 5.1.2.1.1 až 5.1.2.1.3. Jedná se především o práce
v oblasti inženýrské geodézie, kde jsou kladeny vysoké požadavky na přesnost
zprostředkujících veličin, tedy i určovaných veličin. Z těchto důvodů nelze pro
mezní odchylky použít hodnot pro PBPP, ale speciálních odchylek stanovených pro různé typy prací.
- 69 (176) -
5.1.2.2.1
Polygonový pořad jednostranně připojený a jednostranně orientovaný (volný polygonový pořad)
Uvedený typ pořadu je znázorněn na obr. 5.5. Pořad je orientován jen na počátečním bodě, tedy není na konci úhlově ani délkově navázán na bod daný souřadnicemi, což neumožňuje kontrolu úhlového ani délkového vyrovnání.
Jsou dány souřadnice bodů A (XA, YA) a souřadnice bodů C (XC, YC) …, což
umožňuje jednak kontrolu, že stojíme na správném bodě a současně se kvalitněji určí orientace polygonového pořadu [29]. Zprostředkujícími veličinami
jsou měřené směry ψ Ai na daném bodě, ψ i −1, i +1 , na určovaných bodech a délky
stan S i , i +1 .
Y
ω1
SA1
A
1
S12
αA1
ω2
S23
3
2
C
X
Obr. 5.5
Polygonový pořad jednostranně připojený a jednostranně orientovaný
Postup výpočtu
1. Vypočítá se orientovaný jižník (směrník) α A1 .
2. Z naměřených směrů ψ i ,i +1 , ψ i ,i −1 se vypočítají vrcholové úhly ωi a jižníky σ i',i +1 viz 5.1.2.1.2
3. Vypočítají se souřadnicové rozdíly ∆X i ,i +1 , ∆Yi ,i +1
4. Vypočítají se souřadnice nově určovaných bodů
Podle [15] mají střední souřadnicové chyby i-tého bodu polygonového pořadu
tvar
- 70 (176) -
m X i = mω ⋅ s
j ( j − 1)(2 j − 1)
;
6
mYi = m s
j −1 .
Střední chyby mσ i , i +1 směrníků σ i , i +1 jednotlivých polygonových stran S i , i +1 se
určí podle rovnice
mσ i , i +1 = mω
j
Střední chyby m X n , mYn posledního bodu pořadu mají velikost
m X n = mω s
N ( N − 1)(2 N − 1)
6
; mYn = m s N − 1
kde j = i + 1; N = n + 2.
Podle [15] jsou střední chyby m X i v kolmém (příčném) směru k pořadu již u
pořadu se šesti stranami rovny téměř desetinásobku hodnoty mω ⋅ s . Nepříznivé hromadění chyb v příčném směru je velkou nevýhodou delších polygonových pořadů. Střední chyba v podélném směru mYi a střední chyba mσ i , i +1 roste
mnohem pomaleji.
5.1.2.2.2
Polygonový pořad uzavřený
Polygonové pořady uzavřené jsou charakterizovány tím, že koncový bod pořadu se ztotožňuje s bodem počátečním.
a) Polygonový pořad uzavřený s orientací na počátečním bodě
Jsou dány souřadnice stanoviště A (XA, YA) a další body o daných souřadnicích,
zprostředkujícími veličinami jsou měřené směry ψ A1 na daném bodě ψ i −1 , i +1 ,
na určovaných bodech a délky S i , i +1 . Úkolem je určit souřadnice bodů Xi, Yi
viz obr. 5.6.
- 71 (176) -
Y
4
S34
S4A
ω3
ω4
αA1
3
S23
A
SA1
ω2
ω1
S12
1
Obr. 5.6
2
X
Polygonový pořad uzavřený s orientací na počátečním bodě
Postup výpočtu
1. Vypočítá se orientovaný jižník (směrník) α A1 [29]
2. Vypočítá se úhlový uzávěr Oω
-
v případě měření vnitřních úhlů je součet úhlů v n-úhelníku roven
n
∑ ω = (n − 2) 2R
i
1
-
v případě měření vnějších úhlů je součet úhlů v n-úhelníku roven
n
∑ ω = (n + 2) 2R
i
1
úhlové odchylky Oω při měření vnitřních a vnějších směrů se určí z rovnic
n
n
1
1
Oω = (n − 2 ) 2 R − ∑ ω i' ; Oω = (n + 2 ) 2 R − ∑ ω i'
Je-li Oω ≤ ∆ω rozdělí se úhlový uzávěr rovnoměrně na jednotlivé
úhly ω i'
ω i = ω i' + vωi
Není-li splněna tato podmínka je nutné po kontrole vykonat nové měření.
3. Vypočítají se jižníky σ i ,i +1 jednotlivých stran
- 72 (176) -
α A1 = α A' 1 + vωi
σ 12 = σ A1 + ω 2 − 2 R
M
M
M
M
σ A1 = σ 4 A + ω A − 2 R
4. Vypočítají se přibližné souřadnicové rozdíly ∆X i',i +1 ; ∆Yi ,' i +1
∆X A' 1 = S A1 ⋅ cos σ A1 ;
M
∆X
n
M
'
4A
∑ ∆X
1
∆Y A' 1 = S A1 ⋅ sin σ A1
M
= S 4 A ⋅ cos σ 4 A
'
i , i +1
∆Y
'
4A
n
n
= ∑ S i ,i +1 ⋅ cos σ i ,i +1 ;
M
= S 4 A ⋅ sin σ 4 A
∑ ∆Y
1
'
i , i +1
1
(5.11)
n
= ∑ S i ,i +1 ⋅ sin σ i ,i +1
1
Jelikož polygonový pořad začíná a končí na stejném bodě, měla by být
n
∑ ∆X i,i +1 = O a
1
n
∑ ∆Y
i , i +1
= O .Součty v rovnicích (4.11) představují
1
hodnoty OX, OY.
5. Další zpracování je shodné s postupem uvedeným v 4.1.2.1.1 .
U polygonového pořadu uzavřeného s orientací na počátečním bodě je polohová přesnost za daných předpokladů přibližně stejná, jak je uvedeno v odstavci
4.1.2.1.1.
b) Polygonový pořad uzavřený neorientovaný
Uvedený typ polygonového pořadu se řeší v místní souřadnicové soustavě.
Jsou měřeny směry ψ i −1, i +1 a délky stran S i ,i +1 . Do jedné strany se vloží kladná
osa x viz obr. 5.7.Z měřených směrů se na jednotlivých vrcholech polygonového pořadu vypočítají úhly ω´i Vypočítá se úhlový uzávěr ( viz. 5.1.2.2.2.a. ),
rozdělí se opravy vω na jednotlivé úhly ω i' a vypočítají se vyrovnané jižníky
σ i ,i +1 .
- 73 (176) -
ω1
S15
S12
2
5
ω2
y
ω5
S45
S23
ω3
3
Obr. 5.7
ω4
S34
4
x
Polygonový pořad bez orientace na počátečním bodě (v místní souřadnicové soustavě)
Další zpracování je shodné s postupem uvedeným v 5.1.2.1.1.
Polohová přesnost je přibližně stejná jak je uvedeno v odstavci 5.1.2.1.1.
Kontrolní otázky
Jaké metody se používají pro budování bodů ZBPP a PBPP ?
Jaká je předepsaná přesnost pro ZBPP a PBPP a čím je charakterizována ?
Jaké máme typy polygonových pořadů ?
Co si představujete pod pojmem orientovaný směrník ?
Co je dáno a jakým způsobem se vypočtou souřadnice určovaných bodů
polygonového pořadu oboustranně orientovaném a oboustranně připojeném
?
Jaký je rozdíl mezi polygonovým pořadem oboustranně připojeným a jednostranně
orientovaný a polygonovým pořadem oboustranně orientovaným a oboustranně
připojeným ?
Jaké metody jsou pro výpočet polygonového pořadu vetknutého ?
Co si představujete pod pojmem polygonový pořad jednostranně připojený
a jednostranně orientovaný ?
- 74 (176) -
Jaké známe polygonové pořady uzavřené a jak se od sebe liší ?
5.1.3
Protínání vpřed
Při protínání vpřed se poloha nově určovaného bodu získá z měření na daných
bodech. Zprostředkujícími veličinami jsou osnovy směrů - protínání vpřed
z orientovaných směrů. V dřívějších dobách, kdy byla malá hustota bodového
pole a omezené možnosti výpočetní techniky, se velmi často používala metoda
protínání vpřed z úhlů. Zcela výjimečně, a to v inženýrské geodézii se k určení
polohy bodů užívá protínání z délek, kdy se délky měří z daných bodů.
V současnosti při budování PBPP se dálkoměry umísťují na určovaných bodech, což má spíše charakter protínání zpět. Podrobněji o určování polohy bodů metodami protínání vpřed je pojednáno v [ 20 ].
5.1.3.1
Protínání vpřed z orientovaných směrů
Úkolem je určit souřadnice bodu P (XP, YP) viz obr. 5.8. Jsou dány souřadnice
bodů A (XA, YA), B (XB, YB). Zprostředkujícími veličinami jsou měřené osnovy
směrů na daných bodech, kde kromě směrů na určovaný bod se měří na další
body o daných souřadnicích.
Obr. 5.8
Protínání vpřed z orientovaných směrů
Z naměřených osnov směrů se vypočítají orientované jižníky (směrníky)
αAP, αBP viz [29] .
Výpočet souřadnic určovaného bodu P se převede na analytické řešení průsečíku dvou přímek daných ve směrnicových tvarech viz obr. 5.8.
- 75 (176) -
Přímka m je dána bodem A a směrnicí αAP, přímka n bodem B a směrnicí αBP.
m: Yp = KA XP + QA ⇒ YP - KA XP = QA ,
n: YP = KB XP + QB ⇒ YP - KB XP = QB ,
kde
KA = tg αAP; KB = tg αBP.
Rovnice přepsané do maticového zápisu
⎡1 − K A ⎤ ⎡ YP ⎤ ⎡Q A ⎤
⎢1 − K ⎥ ⎢ X ⎥ = ⎢Q ⎥ .
B ⎦⎣
P⎦
⎣
⎣ B⎦
Posune-li se souřadnicová soustava do bodu A viz obr. 5.8, bude QA = 0 a
QB = ∆YAB - ∆XAB . KB.
Potom rovnice přejde na tvar
0
⎡1 − K A ⎤ ⎡ ∆Y AP ⎤ ⎡
⎤
⎢1 − K ⎥ ⎢∆X ⎥ = ⎢∆Y − ∆X ⋅ K ⎥ .
B ⎦⎣
AP ⎦
AB
B⎦
⎣
⎣ AB
(5.12)
Z rovnice se vypočítají souřadnice bodu P
⎡ YP ⎤ ⎡ Y A ⎤
⎡− K B
1
⎢X ⎥ = ⎢X ⎥ + K − K ⎢ −1
⎣ P⎦ ⎣ A⎦
A
B ⎣
0
K A ⎤⎡
⎤
.
⎢
⎥
1 ⎦ ⎣∆Y AB − ∆X AB K B ⎥⎦
Tedy
YP = Y A +
QB
KA ;
KA − KB
XP = XA +
QB
,
KA − KB
(5.13)
kde QB = ∆Y AB − ∆X AB K B .
Posunutím počátku do bodu B je možno určit souřadnice bodu P z bodu B
⎡ YP ⎤
⎡− K B
1
⎢X ⎥ = K − K ⎢ −1
⎣ P⎦
A
B ⎣
K A ⎤ ⎡∆YBA − K A ∆X BA ⎤
⎥.
1 ⎥⎦ ⎢⎣
0
⎦
V rovnici označíme ∆YBA − K A ∆X BA = Q A .
Souřadnice bodu P se vypočítají z rovnic
X P = YB +
QA
KB ;
KA − KB
XP = XB −
QA
.
KA − KB
(5.14)
Polohová přesnost určovaného bodu
Při určování přesnosti se opět předpokládá, že poloha daných bodů je bezchybná.
Při odvození se vychází z rovnic pro výpočet orientovaných jižníků α AP ; α BP
viz [29].
Podle [15] jsou střední chyby v orientovaných jižnících dány rovnicemi
- 76 (176) -
mα2 AP = mΨ2
tA +1
t +1
; mα2 BP = mΨ2 B
,
tA
tB
kde mΨ jsou střední chyby v měřených směrech; t A , t B z počtů směrů měřených na stanoviscích, ze kterých byly určovány Z A , Z B .
Za předpokladu t A = t B je mα AP = mα BP = mα . Potom bude střední chyba
v poloze nově určovaného bodu dána rovnicí
m P2 = mα2
2
2
S AP
+ S BP
.
sin 2 γ
V případě t A = t B = 1 bude střední chyba v poloze bodu stejná jako u protínání
vpřed z úhlů viz 5.1.3.2.
Za předpokladu, že mΨ u protínání vpřed z měřených úhlů a protínání vpřed
z měřených směrů je t A , t B 〉 1 , bude poloha nově určeného bodu protínáním
vpřed z měřených osnov směrů přesnější než z měřených úhlů, neboť se zvyšujícím se počtem orientací se hodnoty střední chyby zmenšují.
5.1.3.2
Protínání vpřed z úhlů
Jsou dány dva body o daných souřadnicích A (XA, YA), B (XB,YB). Úkolem je
určit souřadnice bodu P (XP, YP). K určení jeho polohy byly na daných bodech
měřeny vodorovné směry. Na bodě A směry ψAB, ψAP a na bodě B směry ψBP,
ψBA viz obr. 5.9. Z naměřených směrů se určí úhly α, β.
Obr. 5.9
Protínání vpřed z úhlů
- 77 (176) -
α = ψ AP − ψ AB ;
β = ψ BA − ψ BP .
(5.15)
S využitím shodnostní transformace se určí souřadnice nově určovaného bodu.
Poznámka
Souřadnice daných bodů A, B jsou v civilním sektoru převážně v systému SJTSK. Tato soustava bude považována za hlavní (značena velkými písmeny)
do které se budou transformovat souřadnice bodu P (xp ,yp) v pomocné souřadnicové soustavě (značena malými písmeny).
Postup výpočtu
Osa x pomocné soustavy se vloží do spojnice daných bodů A, B. ( shodnostní
transformace ). Za počátek se zvolí bod A viz obr. 5.9. Souřadnice identických
bodů v pomocné soustavě budou A (0, 0), B (SAB, 0).
Transformační parametry vypočítané z rovnic uvedených 3.3.1 mají tvar
a1 =
∆X AB
;
S AB
a2 =
∆Y AB
.
S AB
(5.16)
K sestavení zobrazení pro výpočet souřadnic bodu P v hlavní souřadnicové
soustavě je nutné nejprve určit souřadnice bodu P v pomocné soustavě.
Podle obr. 5.9 lze psát:
∆x AP = ∆y AP ⋅ cotg α ;
∆x PB = ∆y AP ⋅ cotg β .
(5.17)
Sečtením a odečtením rovnic ( 5.17 ) určíme ∆ xAP a ∆yAP
S AB
,
J
(5.18)
S AB
⋅ cotg α .
J
(5.19)
∆y AP =
kde J = (cotgα + cotgβ) .
∆x AP =
Zobrazení pro bod P bude mít tvar
⎡ X P ⎤ ⎡ X A ⎤ ⎡ ∆x AP
⎢ Y ⎥ = ⎢ Y ⎥ + ⎢∆y
⎣ P ⎦ ⎣ A ⎦ ⎣ AP
− ∆y AP ⎤ ⎡ a1 ⎤
∆x AP ⎥⎦ ⎢⎣a 2 ⎥⎦
Dosazením za a1, a2, ∆xAP, ∆yAP z rovnic 5.16, 5.18, 5.19 přejde rovnice na tvar
⎡ S AB
⎡ X P ⎤ ⎡ X A ⎤ ⎢ J cotg α
⎢Y ⎥ = ⎢Y ⎥ + ⎢ S
AB
⎣ P⎦ ⎣ A⎦ ⎢
J
⎣
Po úpravě bude
- 78 (176) -
⎤ ⎡ ∆X AB ⎤
⎥ ⎢ S AB ⎥
⎥ ⎢ ∆Y ⎥ .
S AB
cotg α ⎥ ⎢ AB ⎥
J
⎦ ⎢⎣ S AB ⎥⎦
−
S AB
J
⎡ X P ⎤ ⎡ X A ⎤ 1 ⎡cotg α
⎢Y ⎥ = ⎢Y ⎥ + J ⎢ 1
⎣
⎣ P⎦ ⎣ A⎦
− 1 ⎤ ⎡∆X AB ⎤
.
cotg α ⎥⎦ ⎢⎣ ∆Y AB ⎥⎦
Z toho
XP = XA +
∆X AB cotg α − ∆Y AB
;
J
∆Y AB cotg α + ∆X AB
J
YP = Y A +
(5.20)
Obdobně se dají určit souřadnice bodu P od bodu B
XP = XB −
∆X AB cotg β + ∆Y AB
;
J
YP = YB −
∆X AB − ∆Y AB cotg β
J
(5.21)
Podle [15] je střední polohová chyba m P dána rovnicí
m P2 = mω2
2
2
S AP
+ S BP
,
sin 2 γ
kde mω je střední chyba úhlů, γ je úhel při určovaném bodě P, SAP, SBP strany
v trojúhelníku.
Nejvhodnější poloha bodu P vzhledem k bodům A, B, kdy je střední polohová
chyba minimální, je podle [15] v případě, kdy
S AP = S BP = S AB
3
.
8
Z uvedeného vztahu vyplývá, že střední polohová chyba je minimální v případě
rovnoramenného trojúhelníku, který má úhly α = β = 39,18gon a γ = 121,63gon.
Poznámka
Protínání vpřed z úhlů se v praxi používá minimálně. Ve většině případů se
určuje poloha bodů z orientovaných směrů.
5.1.4
Protínání z délek
Protínáním z délek se rozumí určení polohy nově určovaného bodu pomocí
měřených délek viz obr. 5.10.
Jsou dány souřadnice bodů A (XA, YA), B (XB, YB). Úkolem je určit souřadnice
'
'
bodu P (XP, YP). Zprostředkujícími veličinami jsou měřené délky S AP
, S BP
.
'
Pokud je to možné, měří se pro kontrolu i délka S AB .
'
'
'
Měřené délky S AP
, S BP
, S AB
se nejprve převedou do roviny Křovákova zobrazení.
- 79 (176) -
Obr. 5.10
Délkové protínání
Postup výpočtu
Naměřené délky se opraví o fyzikální redukce - vliv tlaku a teploty a přístrojové opravy - součtová konstanta, matematické redukce. Dále pak následuje převedení délek do roviny příslušného zobrazení (v našem případě do S-JTSK).
Takto se vypočítají délky S AP , S BP , S AB . Podrobně o převodech délek do zobrazení je pojednáno v [22].
Pokud byla měřena délka mezi danými body, porovná se s délkou S AB vypočtenou ze souřadnic a to přímo v terénu . Vypočte se O S = SAB - SAB
Je-li OS menší než mezní odchylka ∆S pokračuje se dále ve výpočtu. K výpočtu
se použije transformace. Do spojnice daných bodů A, B viz obr. 5.10 se vloží
osa x. Do bodu A se umístí počátek pomocné souřadnicové soustavy. Souřadnice identických bodů v pomocné soustavě jsou
A (O, O), B (SAB, O). Ze souřadnic identických bodů se vypočítají transformační koeficienty a1, a2, které jako v 5.1.3.2 mají tvar
a1 =
∆X AB
S AB
;
a2 =
∆Y AB
S AB
.
(5.22)
Pro výpočet souřadnic bodu P v hlavní souřadnicové soustavě (v tomto případě
S- JTSK) je nutné určit souřadnice bodu P v pomocné soustavě.
Z obr. 5.10 lze psát
2
2
2
∆y AP
+ ∆x AP
= S AP
;
- 80 (176) -
2
2
∆y AP
+ (S AB − ∆x AP ) = S BP
.
2
(5.23)
Odečtením druhé rovnice od první je
2
∆x AP =
2
2
S AP
+ S AB − S BP
2 S AB
.
(5.24)
Dosazením rovnice do první rovnice (5.23) bude
2
2
∆y AP = S AP
− ∆x AP
.
Zobrazení pro bod P v maticovém zápisu
⎡X P ⎤ ⎡X A ⎤
1 ⎡ ∆x AP
⎢Y ⎥ = ⎢Y ⎥ +
⎢
⎣ P ⎦ ⎣ A ⎦ S AB ⎣∆y AP
− ∆y AP ⎤ ⎡∆X AB ⎤
.
∆x AP ⎥⎦ ⎢⎣ ∆Y AB ⎥⎦
Z toho
XP = XA +
∆x AP ∆X AB − ∆y AP ∆Y AB
S AB
, YP = Y A +
∆y AP ∆X AB + ∆x AP ∆Y AB
S AB
(5.25)
Polohová přesnost nově určeného bodu
Při určení přesnosti v poloze nově určovaného bodu se opět předpokládá bezchybnost daných bodů a mS AP = mS BP = mS .
Při odvození se vychází z rovnic
2
2
2
2
( X P − X A )2 + (YP − YA )2 = S AP
; ( X P − X B ) + (YP − YB ) = S BP
Podle [15] jsou střední souřadnicové chyby m X , mY dány rovnicemi
m X2 =
sin 2 σ BP + sin 2 σ AP 2
mS ;
sin 2 γ
mY2 =
cos 2 σ BP + cos 2 σ AP 2
mS
sin 2 γ
a střední polohová chyba rovnicí
m P2 =
2
⋅ mω2 ,
2
sin γ
kde γ je úhel při určovaném bodě a mω střední chyba v určovaném úhlu.
Z uvedené rovnice je patrno, že nejvýhodnější poloha bodu P (minimální polohová střední chyba) vzhledem ke spojnici daných bodů je v případě γ = 100gon
Kontrolní otázky
Co je dáno a co je nutné měřit při protínání vpřed z orientovaných směrů ?
Bude poloha nově určovaného bodu přesněji určena protínáním vpřed
z orientovaných směrů a nebo z měřených úhlů ?
- 81 (176) -
Zdůvodněte proč Vámi vybraná metoda za předpokladu, že mψ bude v obou
případech stejná dává přesnější výsledek ?
Pokud nebudeme měřit stejnosměrné úhly u protínání vpřed z úhlů bude
bez nákresu úloha jednoznačně zadaná ?
Při protínání vpřed z délek je možné pro výpočet použít přímo naměřených
délek ?
Je postačující pro spolehlivost určení polohy bodu protínáním vpřed jen
jedna kombinace?
5.1.5
Protínání zpět
Při určování polohy bodu metodami protínání vpřed byly měřeny zprostředkující veličiny na daných bodech. U určování polohy bodu metodou protínání
zpět jsou zprostředkující veličiny měřeny na bodě, jehož poloha se určuje.
Zprostředkujícími veličinami jsou vodorovné směry měřené na tři body o daných souřadnicích ( nutný počet ).
Pro výpočet protínání zpět je celá řada výpočetních postupů, které vždy vycházely z úrovně výpočetní techniky.
V uvedeném odstavci bude vysvětleno protínání zpět - Cassiniho řešení, které
se k výpočtům nejvíce používá. Pro zajímavost a jednoduchost i Collinsovo
řešení.
5.1.5.1
Cassiniho řešení
Myšlenka řešení vychází z Thaletovy poučky o obvodových úhlech nad průměrem kružnice. Sestrojí se kružnice k1 procházející dvěma danými body A a B a
bodem P jehož poloha se určuje viz obr. 5.11. Spojí-li se bod B se středem
kružnice S1 protne tato přímka kružnici v bodě T. Vznikne tak pravoúhlý trojúhelník BTA. Protože tětiva AB leží proti úhlu ω1, bude úhel ω1 i při vrcholu T.
Obr. 5.11
- 82 (176) -
Cassiniho řešení
Stejným postupem se vytvoří kružnice k2 procházející body B, C, P. Spojnice
bodu B se středem kružnice S2 protne kružnici k2 v bodě U. Vznikne pravoúhlý
trojúhelník BCU a při vrcholu U bude úhel ω2. Body B a P leží v průsecích
obou kružnic, proto úhly nad průměry obou kružnic jsou podle Thaletovy věty
pravé viz [ 20 ].
Dané a zprostředkující veličiny:
Jsou dány tři body A (XA, YA), B (XB, YB), C (XC, YC) a měřené směry ψPA, ψPB,
ψPC na určovaném bodě.
Postup výpočtu
1. Z naměřených směrů se vypočítají úhly ω1, ω2
ω1 = ψPB - ψPA ;
ω2 = ψPC - ψPB
2. Vypočítají se jižníky σAB, σCB a délky stran SAB, SBC.
3. Vypočítají se souřadnice bodů T, U.
X T = X B − ( X B − X A ) − (YB − Y A ) cotg ω1 ,
YT = YB − (YB − Y A ) + ( X B − X A ) cotg ω1
X U = X B + ( X C − X B ) − (YC − YB ) cotg ω 2 ,
YU = YB + (YC − YB ) + ( X C − X B ) cotg ω 2
4. Vypočítají se směrnice přímek m kT (T - U) a přímky n kB (B -P)
kT =
YU − YT
;
XU − XT
kB = −
1
.
kT
5. Vypočítají se souřadnice bodu P jako průsečík dvou přímek
YP − YT = k T ( X P − X T ) ⇒ YP − k T X P = YT − k T X T ,
YP − YB = k B ( X P − X B ) ⇒ Y P − k B X P = Y B − k B X B .
V maticovém zápisu budou mít rovnice tvar
⎡1 − k T ⎤ ⎡ YP ⎤ ⎡YT
⎢1 − k ⎥ ⎢ X ⎥ = ⎢Y
B ⎦⎣
P⎦
⎣
⎣ B
− kT X T ⎤
.
− k B X B ⎥⎦
Z toho
⎡ YP ⎤
1 ⎡− k B
⎢X ⎥ = k − k ⎢ −1
⎣ P⎦
T
B ⎣
k T ⎤ ⎡YT
1 ⎥⎦ ⎢⎣YB
− kT X T ⎤
.
− k B X B ⎥⎦
Po úpravách bude
YP =
(Y − YT ) + kT X T − k B X B
k B k T ( X T − X B ) + k T YB − k B YT
; XP = B
. (5.26)
kT − k B
kT − k B
Výpočet souřadnic bodu P se dá také řešit průsečíkem dvou přímek daných ve
směrnicových tvarech viz 5.1.3.1.
- 83 (176) -
Řešení úlohy selhává pokud obě kružnice k1 a k2 splynou v jednu kružnici. Potom dané body i bod určovaný leží na jedné kružnici - kritická kružnice. Úloha
nedává řešení také v případě, nachází-li se body v blízkosti této kružnice. Při
výpočtu se to pozná podle toho, že jmenovatel v rovnicích (5.26) je nebo se
blíží nule.
Více informací o polohové přesnosti nově určeného bodu je uvedeno v [ 20 ]
Při odvození se opět předpokládá, že dané body jsou bezchybné. Při výpočtu se
vychází z rovnic
ω1 = σ PB - σ PA , ω 2 = σ CP - σ PB
Chyba v poloze bodu podle [ 15 ] je dána výrazem
[
]
1
2
2
2
2
(
+ rPC
− 2rPB rPC ⋅ cos ω 2 ) + (rPA
+ rPB
− 2rPA rPB ⋅ cos ω1 )
m =
rPB
2
2A
2
P
kde rPi =
⎛ mΨ
⎜⎜
⎝ ρ
2
⎞
⎟⎟ ,
⎠
1
.
S Pi
Z rovnice je patrno, že střední polohová chyba m P je funkcí pěti proměnných délek S PA , S PB , S PC a úhlů ω1 , ω 2 . Podle [15] je m P minimální za předpokladu S PA = S PB = S PC a ω1 + ω 2 = 135gon.
5.1.5.2
Collinsovo řešení
Collinsova metoda výpočtu je uvedena jen graficky, bez odvození se stručným popisem. Toto řešení se často používalo v dřívějších dobách. Tak jako
5.1.5.1 jsou dány souřadnice bodů A, B, C a zprostředkující veličiny ω1, ω2.
Více o tomto řešení se můžete dozvědět např. v [ 15 ].
Bodu A, C a bodu P, jehož poloha se určuje, se opíše kružnice viz obr. 5.12.
Prodlouží se spojnice PB, která protne kružnici v bodě Q (Collinsův bod).
S využitím Thaletovy věty o obvodových úhlech nad tětivou se úhly ω1, ω2
objeví v trojúhelníku A,C,Q. Jelikož jsou dány souřadnice bodů A, C a úhly
ω1, ω2 , je možno vypočítat souřadnice bodu Q viz 5.1.3.2. Ze známých souřadnic bodů A,B,C,Q se určí úhly α, β, které se objeví v trojúhelníku A,C,P a
opět z daných souřadnic A, C a úhlů α, β se určí souřadnice určovaného bodu
P. Jak je patrno, celá úloha se řeší dvojím protínáním vpřed z měřených úhlů.
Úloha nemá řešení pokud určovaný bod P leží na spojnici A, C - kritická přímka a nebo pokud určovaný bod leží v její blízkosti.
- 84 (176) -
Obr. 5.12 Collinsovo řešení
Kontrolní otázky
Jaký je nutný počet daných bodů k určení polohy nového bodu metodou protínání zpět?
Vysvětlete princip řešení metodou Cassiniho.
Kdy Cassiniho metoda nedává řešení?
Vysvětlete princip řešení metodou Collinsovou.
Kde nedává Cassiniho metoda řešení?
Proč se upřednostňuje Cassiniho řešení před Collinsovým?
Jakým způsobem provedeme kontrolu vypočtených souřadnic?
5.1.6
Hansenova úloha
Úloha, která se používala v dřívějších dobách (malá hustota bodového pole a
možnost tehdy použitelné měřící techniky), řeší současné určení souřadnic
dvou bodů. Jsou dány dva body o souřadnicích A (XA, YA); B (XB, YB). Na bodech, jejichž poloha se určuje 1, 2, jsou měřeny vodorovné osnovy směrů.
Z osnov směrů se vypočítají úhly α1, α2, β1, β2. Úkolem je určit souřadnice
bodů 1 (X1, Y1), 2 (X2, Y2) viz obr. 5.13.
- 85 (176) -
Obr. 5.13
Hansenova úloha
Postup výpočtu
Do spojnice 1, 2 se vloží kladná osa x pomocné soustavy. Její počátek se umístí
do bodu 1. Délka S12 se neměří, ale volí se délkový modul ( v tomto případě
pro jednoduchost S12 = 1 = b).
Poznámka
Lépe je volit délku b přibližné délce základny .
K sestavení zobrazení pro výpočet transformačních parametrů λ1, λ2 je nutné
určit souřadnice identických bodů v pomocné soustavě viz obr. 5.13. Je-li b =
1 bude
xA =
cotg α 2
;
J
yA =
cotg α 1
1
, xB =
;
N
J
kde J = cotgα2 + cotgβ2, N = cotgα1 + cotgβ1.
Zobrazení pro identické body má tvar
⎡∆X AB ⎤ ⎡ ∆x AB
⎢ ∆Y ⎥ = ⎢∆y
⎣ AB ⎦ ⎣ AB
Z této rovnice se vypočítají λ1, λ2.
Souřadnice bodů 1, 2 se určí z rovnic
- 86 (176) -
− ∆y AB ⎤ ⎡ λ1 ⎤
.
∆x AB ⎥⎦ ⎢⎣λ 2 ⎥⎦
yB =
1
N
⎡ X 1 ⎤ ⎡ X A ⎤ ⎡∆x1 A
⎢ Y ⎥ = ⎢ Y ⎥ + ⎢∆y
⎣ 1 ⎦ ⎣ A ⎦ ⎣ 1A
− ∆y1 A ⎤ ⎡ λ1 ⎤ ⎡ X 2 ⎤ ⎡ X A ⎤ ⎡ ∆x A 2
,
=
+
∆x1 A ⎥⎦ ⎢⎣λ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ Y2 ⎥⎦ ⎢⎣ Y A ⎥⎦ ⎢⎣∆y A2
− ∆y A 2 ⎤ ⎡ λ1 ⎤
.
∆x A2 ⎥⎦ ⎢⎣λ 2 ⎥⎦
Rozepsáním maticového zápisu se obdrží souřadnice
bodu A:
X 1 = X A + ∆x1 A λ1 − ∆y1 A λ 2 , Y1 = Y A + ∆y1 A λ1 + ∆x1 A λ 2 ;
bodu B:
(5.27)
X 2 = X A + ∆x A2 λ1 − ∆y A2 λ 2 , Y2 = Y A + ∆y A 2 λ1 + ∆x A 2 λ 2
Úloha nemá řešení tehdy, leží-li některý z daných bodů na spojnici určovaných
bodů 1, 2.
Kontrolní otázky
Kolik je nutný počet daných bodů pro řešení?
Osnovy směrů se měří na daných nebo určovaných bodech?
Je nutné měřit délku pomocné základny?
Je vhodné volit délku b = 1 a nebo přibližně odpovídající délce 1,2?
5.1.7
Měřické body určené na přímkách a kolmicích, průsečíky
přímek, průsečík se sekční čarou
Při podrobném měření se veškeré měřené body určují v souřadnicích. Tyto
body se zaměřují z bodů o daných souřadnicích, které se převážně budují při
podrobném měření polygonovými pořady. Body o daných souřadnicích tvoří
kostru daných bodů - měřickou síť, kterou je nutno v řadě případů doplnit o
další body. Způsoby určení jsou uvedeny v tomto odstavci.
5.1.7.1
Výpočet souřadnic bodů na měřické přímce
Jsou dány souřadnice dvou bodů A (XA, YA), B (XB, YB) a zprostředkující veličiny měřené délky sA1, s12, s2B. Hledanými veličinami jsou souřadnice bodů 1
(X1, Y1), 2 (X2, Y2) viz obr. 5.14.
- 87 (176) -
Obr. 5.14
Výpočet souřadnic bodů na měřické přímce
Postup výpočtu
Z daných souřadnic bodů A, B se vypočítá délka SAB, která se porovná s délkou
měřenou s m = s A1 + s12 + s 2 B ( je potřeba zvážit kdy je nutné délku sm převést
do zobrazovací roviny). Jelikož dané délky a měřené jsou zatíženy chybami
bude S AB ≠ s m . Vypočítá se rozdíl délek OS, který se porovná s mezní odchylkou. Pokud je nutné převést délku sm do zobrazovací roviny, nejprve ji převedeme a potom porovnáme s délkou SAB vypočtenou ze souřadnic.
OS = S AB − s m ;
OS ≤ ∆S .
(5.28)
Je-li splněna podmínka (4.28) je možné přistoupit k výpočtu, při kterém je použito transformace viz obr. 5.14. Opět osa pomocné soustavy x je vložena do
spojnice bodů A, B a počátek do bodu A. Souřadnice identických bodů A, B a
bodů 1, 2 v pomocné soustavě jsou:
A (0, 0); B (sm, 0);
1 (sA1, 0); 2 (sA2, 0).
Zobrazení pro identické body v maticovém zápisu
⎡∆X AB ⎤ ⎡ s m
⎢ ∆Y ⎥ = ⎢ 0
⎣ AB ⎦ ⎣
0 ⎤ ⎡ λ1 ⎤
s m ⎥⎦ ⎢⎣λ 2 ⎥⎦
Z rovnice ( 5.29 ) vypočteme λ1 a λ2
λ1 =
∆X AB
;
sm
λ2 =
∆Y AB
.
sm
Zobrazení pro souřadnicové rozdíly ∆Xij, ∆Yij bude
⎡∆X ij ⎤ ⎡ s ij
⎢ ∆Y ⎥ = ⎢ 0
⎣ ij ⎦ ⎣
- 88 (176) -
0 ⎤ ⎡ λ1 ⎤
.
s ij ⎥⎦ ⎢⎣λ 2 ⎥⎦
(5.29)
Z toho
∆X ij = sij λ1 ;
∆Yij = sij λ 2 .
Podle obr. 5.14 bude
X 1 = X A + s A1λ1 ;
Y1 = Y A + s A1λ 2 ;
X 2 = X 1 + s12 λ1 ;
Y2 = Y1 + s12 λ 2 ;
X B = X 2 + s 2 B λ1 ;
YB = Y2 + s 2 B λ 2 .
(5.30)
Poznámka
Při výpočtu souřadnic je nutné pro kontrolu správnosti výpočtu dodržet postup
jak je uvedeno v rovnicích (5.30).
5.1.7.2
Pevná měřická přímka
Při měření podrobných bodů je někdy výhodné zaměřit je k měřické přímce
nebo polygonové straně metodou pravoúhlých souřadnic (metodou ortogonální).
Jsou dány souřadnice bodů A (XA, YA), B (XB, YB) a zprostředkující veličiny
staničením a kolmicemi (sA1, k1C); (s12, k2D); s2B, které jsou současně souřadnicemi v pomocné souřadnicové soustavě. Hledanými veličinami jsou souřadnice
bodů C (XC, YC), D (XD, YD). K výpočtu bude opět použito transformace viz
obr. 5.15.
Obr. 5.15
Pevná měřická přímka
Postup výpočtu
Postup zpracování i s výpočtem parametrů je stejný jako v 5.1.7.1.
Zobrazení pro výpočet souřadnicových rozdílů bude mít tvar
⎡∆X ik ⎤ ⎡ sik
⎢ ∆Y ⎥ = ⎢k
⎣ ik ⎦ ⎣ jk
− k jk ⎤ ⎡ λ1 ⎤
.
sik ⎥⎦ ⎢⎣λ 2 ⎥⎦
- 89 (176) -
(5.31)
Z toho
∆X ik = sik λ1 − k jk λ 2 ;
∆Yik = k jk λ1 + sik λ 2 .
Podle obr. 4.15bude
X C = X A + s A1λ1 − k1C λ2 ;
YC = Y A + k1C λ1 + s A1λ 2 ;
X D = X C + s12 λ1 + k CD λ 2 ;
YD = YC − k CD λ1 + s12 λ 2 ;
(5.32)
X B = X D + s 2 B λ1 + k 2 D λ 2 ; YB = YD − k 2 D λ1 + s 2 B λ 2 ;
kde k CD = −(k 2C + k1C ) ;
Při výpočtu je nutné postupovat tak, jak je to uvedeno v obr. 5.15.
Za předpokladu, že poloha daných bodů je bezchybná je přesnost v poloze nově určovaného bodu závislá na přesnosti úsečky sij , kolmici K jk , přesnosti
zařazení paty kolmice do spojnice daných bodů a na přesnosti vytyčení pravého úhlu.
Podle [30] bude střední chyba v poloze bodu dána vztahem
m =m
2
P
2
S ij
+m
2
K jk
⎛ sK
+ m + ⎜ jk
⎜ ρ
⎝
2
j
2
⎞ 2
⎟ mω
⎟
⎠
a střední polohová chyba je daná vztahem
m =m
2
P
5.1.7.3
2
S AP
+S
2
AP
⎛ mα AP
⎜
⎜ ρ
⎝
2
⎞
⎟ .
⎟
⎠
Volná měřická přímka
Tak jako 5.1.7.2 jsou opět dány souřadnice dvou bodů k jejíž spojnici je nutné
zaměřit podrobné body metodou pravoúhlých souřadnic. Překážkou při měření
je, že není přímá viditelnost mezi danými body. V tomto případě se volí vhodně zvolená přímka, ke které se dají pomocí úseček a kolmic zaměřit jak dané
body tak i body, jejichž souřadnice se mají určit viz obr. 5.16.
- 90 (176) -
Obr. 5.16
Volná měřická přímka
Jsou dány souřadnice bodů A (XA, YA), B (XB, YB) a zprostředkující veličiny
úsečkami sij a kolmicemi kjk daných a nově určovaných bodů ke zvolené měřické přímce.
K výpočtu je opět použito transformace.
Postup výpočtu
Kladná osa x pomocné soustavy se vloží do zvolené měřické přímky. Počátek
soustavy se může volit libovolně. V případě uvedeném na obr. 5.16 v patě
kolmice spuštěné z daného bodu A. Nejprve je nutné vykonat kontrolní výpočet
a to porovnáním délky SAB vypočítané ze souřadnic s délkou sAB vypočítanou z
naměřených veličin.
2
2
S AB = ∆X AB
+ ∆Y AB
;
s AB =
(k 4 B + k1 A )2 + s142
Vypočítá se OS a porovná s mezní odchylkou OS = S AB − s AB ;
(5.33)
OS ≤ ∆S .
Bude-li překročena mezní odchylka, je nutné po kontrole vstupních prvků vykonat nové měření.
V pomocné souřadnicové soustavě mají identické body souřadnice A (O, k1A),
B (S14, -k4B) a určované body C (s12, -k2C), D (s13, - k3D).
Rovnice pro výpočet transformačních parametrů viz obr. 5.16 budou mít tvar
⎡∆X AB ⎤ ⎡ s14
⎢ ∆Y ⎥ = ⎢− k
⎣ AB ⎦ ⎣ AB
k AB ⎤ ⎡ λ1 ⎤
;
s14 ⎥⎦ ⎢⎣λ 2 ⎥⎦
kde k AB = −(k 4 B + k1B ) , s14 = (s12 + s 23 + s 34 ) ;
- 91 (176) -
(5.34)
z toho
λ1 =
1
(s14 ∆X AB − k AB ∆YAB ) , λ2 = 12 (s14 ∆YAB + k AB ∆X AB ) .
2
S AB
S AB
Souřadnice C a D se vypočítají z rovnic uvedených v (5.1.7.2). Pro kontrolu
správnosti výpočtu se musí končit na bodě B viz obr. 5.18.
X C = X A + s12 λ1 + k AC λ 2 ; YC = Y A − k AC λ1 + s12 λ 2 ;
X D = X C + s 23 λ1 − k CD λ 2 ; YD = YC + k CD λ1 + s 23 λ 2 ;
(5.35)
X B = X D + s 34 λ1 + k DB λ 2 ; YB = YD − k DB λ1 + s 34 λ 2 ;
kde k AC = −(k1 A + k 2C ) , k CD = (k 2C + k 3 D ) , k DB = −(k 3 D + k 4 B ) .
5.1.7.4
Průsečík dvou přímek
Jsou dány přímky m a n. Přímka m je dána body A, B o souřadnicích A (XA, YA),
B (XB, YB). Přímka n je dána body C, D o souřadnicích C (XC, YC), D (XD, YD).
Úkolem je určit souřadnice průsečíku P (XP, YP) viz obr. 5.17.
Obr. 5.17
Průsečík dvou přímek
Rovnice přímek mají tvar
⎡X P
m: ⎢⎢ X A
⎢⎣ X B
YP 1⎤
⎡X P
⎥
Y A 1⎥ = 0 ; n: ⎢⎢ X C
⎢⎣ X D
YB 1⎥⎦
YP
YC
YD
1⎤
1⎥⎥ = 0 .
1⎥⎦
Rozepsáním rovnic se obdrží
m: YP − Y A = ( X P − X A ) ⇒ YP − k A X P = Y A − k A X A
n:
YP − YC = k C ( X P − X C ) ⇒ YP − k C X P = YC − k C X C ,
kde k A = tg σ AB , k C = tg σ CD .
Rovnice v maticovém zápisu budou
- 92 (176) -
(5.36)
⎡1 − k A ⎤ ⎡ YP ⎤ ⎡Y A
⎢1 − k ⎥ ⎢ X ⎥ = ⎢Y
C ⎦⎣
P⎦
⎣
⎣ C
− kA X A ⎤
− k C X C ⎥⎦
(5.37)
Z toho
A ⋅ x = b , x = A −1 ⋅ b
V případě, že det A ≠ 0 vypočítají se souřadnice bodu P
⎡ YP ⎤
⎡− k C
1
⎢X ⎥ = k − k ⎢ −1
⎣ P⎦
A
C ⎣
k A ⎤ ⎡Y A
1 ⎥⎦ ⎢⎣YC
− kAX A ⎤
− k C X C ⎥⎦
rozepsáním rovnice a úpravách bude
YP =
(Y − YA ) + k A X A − k C X C
k A k C ( X A − X C ) + k AYC − k C Y A
, XP = c
(5.38)
k A − kC
k A − kC
Poznámka
Výpočet průsečíku dvou přímek lze vypočítat i ze vzorců uvedených v 5.1.3.1.
5.1.7.5
Úhel dvou přímek
Jsou dány dvě různoběžné přímky m a n. Přímka m je dána body A, B o souřadnicích A (XA, YA), B (XB, YB). Přímka n body C, D o souřadnicích C (XC,
YC), D (XD, YD). Úkolem je určit úhel, který svírají dané přímky viz obr. 5.18.
Obr. 5.18
Úhel dvou přímek
Obě přímky rozdělují roviny na čtyři konvexní neorientované úhly, z nichž dva
a dva mají stejnou velikost.
- 93 (176) -
Nejprve se vypočítají směrové vektory u, v . Postup výpočtu i s příklady je
uveden např.v [5].
u = B − A = ( X B − X A , YB − Y A ) = (u1 , u 2 ) ,
(5.39)
v = D − C = ( X D − X C , YD − YC ) = (v1 , v 2 ) ,
dosazením do vzorce pro skalární součin bude
cos ϕ =
u1v1 + u 2 v 2
u + u 22 ⋅ v12 + v 22
2
1
.
(5.40)
Jestliže je žádoucí určit úhel ψ, může se vypočítat ze vztahu ψ = π − ϕ , nebo
přímo a to tak, že ze směrových vektorů se opačně orientuje např. v.
Potom u = (u1u2); -v = (-v1, -v2)
cosψ =
− u1v1 − u 2 v 2
u12 + u 22 ⋅ v12 + v 22
.
Poznámka
Úhel dvou přímek se dá také určit rozdílem jižníků σAB, σCD:
ϕ = σ CD − σ AB .
5.1.7.6
(5.41)
Průsečík měřické přímky se sekční čarou
Měřická přímka je určena body A (XA, YA), B (XB, YB), z nichž každý leží na
sousedních mapových listech (sekcích) viz obr. 5.19. V řadě případů je potřeba
měřickou přímku zobrazit. Proto je nutné určit souřadnice průsečíku se sekční
čarou P (XP, YP).
Obr. 5.19
Průsečík měřické přímky se sekční čarou
- 94 (176) -
Podle obr. 5.19 lze psát
X P − X A = (YP − Y A )
X − XA
XB − XA
(YP − YA ) .
, XP = XA + B
YB − Y A
YB − Y A
V případě potřeby určení průsečíku měřické přímky s osou Y bude
YP − Y A = ( X P − X A )
Y − YA
YB − Y A
( X P − X A ) . (5.42)
, YP = Y A + B
XB − XA
XB − XA
Kontrolní otázky
Při výpočtu souřadnic bodů na měřické přímce a na kolmici se pro výpočet
λ1,λ2 použije délka měřená nebo délka vypočtená ze souřadnic?
Jakým způsobem provedeme kontrolu, že vypočtené souřadnice bodů na měřické přímce nebo na kolmici jsme určili správně?
Jakým způsobem ověříme, že při určování souřadnic bodů metodou volné
měřické přímky skutečně vycházíme a končíme na bodech o daných souřadnicích?
Jaký zvolíme výpočetní postup při určování souřadnic metodou volné měřické přímky, abychom současně kontrolovali správnost souřadnic nově určovaných bodů?
Jakými metodami lze vypočítat průsečík dvou přímek?
Jakým způsobem určíme souřadnice průsečíku přímky se sekční čarou?
5.2
Terestrické sítě
Názvem terestrické sítě jsou ve skriptech [20] označovány geodetické sítě,
jejichž body jsou zaměřeny jen terestrickými veličinami. K nim patří především osnovy vodorovných směrů, zenitové úhly a šikmé délky, měřené univerzálními přístroji (tzv. totálními stanicemi) a nivelační převýšení (měření nivelačními přístroji). K tomu mohou přistupovat azimuty měřené astronomicky
nebo gyroteodolity a souřadnicové rozdíly, získané inerciálními měřickými
systémy (IMS). Měřické metody, zpracování měření a měřických souborů a
převod výsledných měřených nebo fiktivních veličin do rovinných nebo prostorových souřadnicových systémů byly probírány v předchozích částech
předmětu geodézie a čtenář je najde např. v publikacích [21], [22], [29].
Všechny geodetické sítě se vyrovnávají MNČ. K snadnějšímu pochopení jsou
nejdříve probírána souřadnicová vyrovnání jednoduchých typů sítí, tj. sítě úhlové, délkové a výškové. Teprve pak dochází k odvození souřadnicového vyrovnání sítí kombinovaných, které se dnes v praxi převážně používají. Pokud
se používá rovinného zobrazení S-JTSK a normálních výšek Bpv, jsou výchozí
měřené veličiny definovány osnovami směrů ψij v Křovákově zobrazovací rovině, zenitovými úhly zij (vztaženými k tečné rovině referenčního elipsoidu),
šikmými délkami dij, nivelačními převýšeními nhij (normální převýšení), azimuty Aij v Křovákově zobrazení a odpovídajícími souřadnicovými rozdíly ∆Xij,
∆Yij, ∆Hij (odvozenými z měření IMS).
- 95 (176) -
5.2.1
Úhlové sítě
Úhlové sítě jsou nejstarším typem budovaných polohových sítí, protože běžná
geodetická měřická technika až do šedesátých let minulého století sestávala
převážně z teodolitů a nivelačních přístrojů. Prakticky sestávaly základní polohové sítě z trojúhelníků se všemi měřenými vodorovnými úhly. Proto se nazývaly trigonometrickými sítěmi. Pouze u zhušťovacích sítí nemusela síť tvořit
trojúhelníky, ale poloha všech bodů byla určena dostatečně hustými osnovami
vodorovných směrů a krátkých délek, zpravidla do 150 m až 200 m.
Odvození vyrovnání úhlové sítě v zobrazovací rovině vychází z příkladu společného určení rovinných souřadnic dvou bodů P (XP,YP), Q (XQ,YQ) na obr.
5.20. Oba body jsou polohově připojeny na nejbližší dané body K ≡ A,B,C,D
a orientačně navazují na další známé body K ≡F,G. Měřené osnovy směrů
ψPi, ψQi na bodech P,Q včetně společné oboustranné záměry ψPQ, ψQP a
směrů na body A,B,C,D,E se nazývají v n i t ř n í s m ě r y . Směry z okolních
bodů ψAP, ψDP, ψAQ, ψDQ na body P,Q se nazývají v n ě j š í směry. Pro
přesné sítě a dlouhé záměry se převádějí měřené směry do zobrazovací roviny
[15]. U zhušťovacích bodů a u krátkých záměr jsou korekce tak malé, že se
obvykle zanedbávají
Obr. 5.20 Schéma úhlové sítě se dvěma určovanými body P,Q
Pro každý měřený směr ψij je třeba sestavit rovnici oprav vψ ij . Rovnice oprav
je možno odvodit pro směry ψPQ a ψQP , měřené mezi určovanými body P,Q.
K odvození obecného tvaru rovnic oprav se v dalším textu používá označení
určovaných bodů symbolů T,U ≡ P, Q, R, …. Pak opravy směrů ψTU, ψUT
měřených mezi libovolnými dvěma určovanými body T,U vyjadřují vztahy
[16], [20]
vψTU = σTU - αTU , vψUT = σUT - αUT ,
(5.43)
kde σTU , σUT jsou vyrovnané směrníky mezi oběma body (σUT = σTU ± 200
gon) a αTU , αTU odpovídající vyrovnané orientované směry.
- 96 (176) -
Směrníky jsou dány rovnicemi
σTU = arctg
YU − YT
YT − YU
.
, σUT = arctg
X U −X T
X T −X U
Orientované směry αTU , αUT se vypočtou pomocí orientačních posunů osnov
směrů αoT , αoU podle vztahů
Σ(σ UK − ψ UK )
Σ(σ TK − ψ TK )
, αo U =
,
tT
tU
αTU = ψTU + αoT , αUT = ψUT + αoU , αoT =
kde tT, tU jsou počty měřených směrů v osnovách na určovaných bodech T,U
a indexy K označují opět okolní dané body, na které byly měřeny směry ψTK,
ψUK .
Vyrovnané souřadnice a orientační posuny se vyjádří součty jejich přibližných
hodnot X T/ , YT/ , X U/ , YU/ , α o/T , α o/ U a vyrovnávaných přírůstků δXT,δYT, δXU,δYU,
δαT,δαU
X T = X T/ +δX T , YT = YT/ + δYT , X U = X U/ + δX U , YU = YU/ + δYU ,
α o = α o/ + δα T , α o = α o/ + δα U .
T
T
U
U
Rozvojem směrníků σTU , σUT
ho a vyšších řádů lze napsat
v Taylorovu řadu se zanedbáním členů druhé-
/
σTU = σ TU
+
∂f
∂f TU
∂f
∂f
δX T + TU δYT + TU δX U + TU δYU ,
∂X T
∂YT
∂X U
∂YU
/
σUT = σ UT
+
∂f
∂f UT
∂f
δf
δX T + UT δYT + UT δX U + UT δYU ,
∂YT
∂X U
∂X T
δYU
kde přibližné směrníky
/
σ TU
≡ arctg
YU/ − YT/
,
X U/ −X T/
/
σ UT
≡ arctg
YT/ − YU/
X T/ −X U/
a parciální derivace
aψ
TU
cψ
aψ
cψ
TU
UT
UT
≡
/
∂f TU
sin σ TU
=ρ
,
/
∂X T
S TU
≡
/
/
sin σ TU
cos ρ TU
∂f TU
∂f TU
ρ
d
= −ρ
,
≡
=
,
ψ TU
/
/
∂X U
∂YU
S TU
S TU
≡
/
∂f UT
sin σ TU
=ρ
,
/
∂X T
S TU
/
∂f UT
sin σ TU
≡
= −ρ
,
/
∂X U
S TU
bψ
TU
≡
bψ UT ≡
dψ UT
/
∂f TU
cos σ TU
= −ρ
,
/
∂YT
S TU
/
∂fUT
cos σ TU
= −ρ
,
/
∂YT
S TU
/
∂f UT
cos σ TU
≡
=ρ
.
/
∂YU
S TU
- 97 (176) -
Rovnice oprav nabývají tvaru
vψTU = aψTU δXT + bψTU δYT + cψTU δXU + dψTU δYU – δαT + ℓψTU ,
(5.44)
vψUT = aψUT δXT + bψUT δYT + cψUT δXU + dψUT δYU – δαU + ℓψUT .
Přitom aψTU = aψUT ≡ -cψTU = -cψUT , bψTU = bψUT ≡ -dψTU = -dψUT a
/
/
lψ
= σ TU
− α o/T , l ψ
= σ UT
− α o/U .
TU
UT
Rovnice oprav mají maximálně pět neznámých veličin, pokud směr je měřen
mezi dvěma určovanými body, tj. čtyři souřadnicové přírůstky a jeden přírůstek
orientačního posunu. Pro směry měřené mezi jedním daným a jedním určovaným bodem se počet neznámých snižuje na tři, tj. dva souřadnicové přírůstky a
jeden přírůstek orientačního posunu. Rovnice oprav pro směry měřené mezi
danými body obsahují jen přírůstek orientačního posunu.
Některé výpočetní postupy využívají tzv. r e d u k o v a n ý c h r o v n i c
o p r a v , které vznikají eliminací vyrovnávaných orientačních posunů [16].
Redukované rovnice se odvozují zvlášť pro každou zaměřenou osnovu směrů.
Např. rovnice oprav pro osnovu směrů na bodě P mají tvar (obr. 5.20)
vψPQ = aψPQ δXP + bψPQ δYP + cψPQ δXQ + dψPQ δYQ - δαP + ℓψPQ ,
vψPA = aψPA δXP + bψPA δYP +
- δαP - ℓψPA ,
vψPB = aψPB δXP + bψPB δYP +
- δαP - ℓψPB ,
:
:
:
:
vψPK = aψPK δXP + bψPK δYP +
(5.45)
:
- δαP - ℓψPK .
Jejich součet je (pro i = Q, A, B, … K)
ΣvψPj ≡ 0 = δXP ΣaψPj+ δYP ΣbψPj+ δXQ cψPQ + δYQ dψPQ – tP δαP + ΣℓψPj ,
kde tP je počet měřených směrů na bodě P a index j označuje okolní body,
na které byla osnova směrů měřena.
Z rovnice se vypočte přírůstek orientačního posunu δαP a dosadí do původních rovnic oprav. Po eliminaci orientačního posunu nabývají r e d u k o v a n é
r o v n i c e o p r a v tvaru
vψi = aψ
Pi
aψ Pi = aψ Pi −
δX P + bψ δYP + cψ PQ δX Q + dψ PQ δYQ + lψ Pi ,
Pi
Σaψ Pi
tP
, bψ Pi = bψ Pi −
lψ Pi = l ψ Pi −
Σl ψ
tP
Pi
Σbψ
Pi
tP
, cψ PQ = cψ PQ −
cψ
PQ
tP
, dψ PQ = dψ PQ −
(5.46)
dψ PQ
tP
,
.
Eliminací orientačních posunů se výrazně sníží počet normálních rovnic. Jestliže původní rovnice oprav obsahují 2u + s neznámých (u je počet určovaných
bodů a s počet zaměřených osnov směrů), redukované rovnice oprav mají jen
2u vyrovnávaných neznámých souřadnicových přírůstků.
- 98 (176) -
Souřadnicové
vyrovnání libovolného počtu určovaných
s redukovanými rovnicemi oprav obecný tvar (stať 3.2)
bodů
vψ = Aψ δu + ℓψ,
⎡ vψ P ⎤
⎡ Aψ P ⎤
⎢v ⎥
⎢A ⎥
ψ
Q
⎢
⎥
⎢ ψQ ⎥
⎢ . ⎥
⎢ . ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ . ⎥
⎢ . ⎥
⎢vψ ⎥
⎢ Aψ ⎥
Z
kde vψ = ⎢
⎥ , Aψ = ⎢ Z ⎥ , δu =
⎢ vψ A ⎥
⎢ Aψ A ⎥
⎢v ⎥
⎢A ⎥
ψB
⎢
⎥
⎢ ψB ⎥
⎢ . ⎥
⎢ . ⎥
⎢ . ⎥
⎢ . ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢⎣v ψ N ⎥⎦
⎢⎣ Aψ N ⎥⎦
má
(5.47)
⎡l ψP ⎤
⎢l ⎥
⎡δX P ⎤
⎢ ψQ ⎥
⎢ δY ⎥
⎢ . ⎥
⎢ P⎥
⎥
⎢
⎢δX Q ⎥
⎢ . ⎥
⎥
⎢
⎥
⎢
⎢ δYQ ⎥ , ℓψ = ⎢l ψ Z ⎥ .
⎢ . ⎥
⎢l ψA ⎥
⎥
⎢
⎢l ⎥
⎢ . ⎥
⎢ ψB ⎥
⎢δX ⎥
⎢ . ⎥
⎢ Z⎥
⎢ . ⎥
⎣⎢ δYZ ⎦⎥
⎥
⎢
⎢⎣l ψ N ⎥⎦
Subvektory a submatice označují jednotlivé osnovy měřených směrů na určovaných i daných bodech (P,Q,R, … Z; A,B,C, …N).
Z normálních rovnic
Nψ δu + nψ = o,
Nψ = AψT Pψ Aψ ,
Kde
nψ = AψT Pψ ,
se vypočte vektor neznámých
−1
δu = − N ψ nψ .
(5.48)
Váhová matice Pψ je diagonální
⎡ PP
⎢ .
⎢
⎢0
Pψ = ⎢
⎢0
⎢ .
⎢
⎣⎢ 0
.
.
0
.
0
.
.
.
. PZ
0
.
.
0
PA
.
.
.
.
.
.
0
0
.
0 ⎤
. ⎥⎥
0 ⎥
⎥,
0 ⎥
. ⎥
⎥
PN ⎦⎥
kde
pij =
k
.
mψ2 i j
Pokud je použito na všech bodech stejné měřické metody a délky záměr nejsou
příliš rozdílné, volí se zpravidla váha všech měření stejná a rovna jedné.
Z vypočtených oprav vψ se odhadne střední jednotková chyba mψo pro váhu
po = 1
mψ2 o =
1
vψT Pψ vψ ,
n −ν
- 99 (176) -
kde n je počet všech měřených směrů a ν (≡ 2u + s) počet nutně měřených
směrů (neznámých).
Odhad středních souřadnicových chyb mx určovaných bodů poskytuje diagonála Vx kovarianční matice Mx (stať 3.2)
Mx = mψ2 o Qx , mx = Vx j , Qx = N ψ−1 ,
(5.49)
mx = [ m 2X , mY2 , m 2X , ... mY2 ], j = [1,1, 1, … 1]T.
P
P
Q
Z
Typickými úhlovými sítěmi na území ČR jsou JTSK a AGS. JTSK byla vybudována postupně. Do trigonometrické sítě I. řádu byly postupně vkládány sítě
II. až V. řádu [15], [20]. Celá JTSK byla zaměřena ve dvacátých až padesátých
letech minulého století.
M ě ř e n é a z i m u t y ATU zkvalitňují orientaci sítí a jejich částí. K vyrovnání
azimutů dochází, pokud jsou zaměřeny ve společné síti nebo její části alespoň
dva azimuty. Pak odvození rovnice oprav vychází ze vztahu
vαTU = σTU - αTU - δω .
(5.50)
Po rozvoji v Taylorovu řadu (stať 3.2) má rovnice oprav vypočteného směrníku
αTU , odvozeného z azimutu ATU , podobný obecný tvar jako u vodorovných
směrů ψTU (5.44)
vαTU = aαTU δXT + bαTU δYT + cαTU δXU + dαTU δYU – δω + ℓαTU.
(5.51)
Koeficienty aαTU , bαTU , cαTU , dαTU jsou totožné se směrovými koeficienty
aψTU , bψTU , cψTU , dψTU a δω je úhlové stočení souřadnicových os X,Y, které
/
se např. u JTSK pohybuje kolem 2 mgon, a absolutní člen ℓαTU = σ TU
− α TU .
/
Přibližný směrník σ TU
je vypočten z přibližných souřadnic X T/ ,YT/ , X U/ ,YU/
určovaných bodů T,U. Měřené azimuty se uplatňují jen v rovinných souřadnicích.
Z e n i t o v é ú h l y slouží v rovinných sítích k převodu šikmých délek dij na
délky sij v dané zobrazovací rovině. Někdy se však vyrovnávají současně i
výšky HV určovaných bodů T,U (= P,Q,R, …). Zenitové úhly se opravují o
opravu ze standardní refrakce δkij [16], [20], popřípadě i o opravu δtij, vyplývající z tížnicové odchylky, jde-li o elipsoidické výšky. Opravené zenitové úhly
jsou dány výrazy
kzij
= z ij/ + δ k ij ,
ezij
= z ij/ + δkij+ δtij.
Podrobnější údaje jsou v publikacích skriptech [16] a [20].
Zenitové úhly odlišné od 100 gonů mají vliv i na rovinné souřadnice Xt,Yt určovaných bodů. Obecný tvar výsledné rovnice oprav vzTU mezi určovanými
body T,U vyjadřuje rovnice
(5.52)
v zTU = a zTU δX T + bzTU δYT + c zTU δH T + d zTU δX U + e zTU δYU + f zTU δH U + l zTU ,
v níž je šest neznámých souřadnicových přírůstků δXT, δYT, δHT, δXU, δYU, δHU
- 100 (176) -
/
/
l zTU =Z TU
− zTU . Symbol Z TU
označuje zenitový úhel vy-
a absolutní člen
počtený z přibližných souřadnic X T/ , YT/ , H T/ , X U/ , YU/ , H U/
pomocí vztahu odvozeného z normálového řezu náhradní koule Země (viz obr.
4.25 na str. 90 ve skriptech [20])
/
Z TU
= arctg
2 R( R + H U/ ) s oTU
2 R 2 ( H U/ − H T/ ) − ( R + H T ) s o2TU
.
(2.53)
Z rovnice je možno odvodit zenitové koeficienty rovnice oprav, jejichž přibližné hodnoty jsou
a zTU = − ρ
d zTU = ρ
/
/
cos zTU
cos σ TU
/
STU
/
/
cos zTU
cos σ TU
,
,
bzTU = ρ
/
/
cos zTU
sin σ TU
e zTU = − ρ
/
S TU
/
/
cos zTU
sin σ TU
/
/
S TU
S TU
Další podrobnosti jsou uvedeny v publikacích [16], [20].
,
c zTU = ρ
/
sin zTU
, f zTU = − ρ
/
STU
/
sin zTU
/
S TU
,
.
Rovnice oprav jsou vhodné pro souřadnicové vyrovnání přesných prostorových
polohových sítí a místních sítí v inženýrské geodézii (stať 5.4.1 a 5.6).
Kontrolní otázky
Jaké jsou nedostatky sítě úhlových sítí (včetně JTSK) z hlediska současné
přístrojové techniky?
Jaký je počet neznámých ve vyrovnání úhlových sítí?
Jaký je postup výpočtu rovnic oprav měřených vodorovných směrů?
Co jsou redukované rovnice oprav vodorovných směrů a jak se odhaduje
přesnost vyrovnaných souřadnic?
Jak se volí váhy měřených vodorovných směrů a jak se odhaduje přesnost
vyrovnaných souřadnic a jejich funkcí?
Jaký je rozdíl mezi rovnicemi oprav vodorovných směrů a azimutů?
Jaký tvar mají rovnice oprav zenitových úhlů?
Poznámka
K porozumění metod vyrovnání je nutné dobře znát tvar rovnic oprav a postupy výpočtů MNČ včetně analýzy přesnosti. Nebudete-li znát odpovědi na
některé otázky, je třeba se vrátit k prostudování dané látky, popřípadě si vyžádat konzultaci.
5.2.2
Délkové sítě
Délkové sítě se začaly projektovat po druhé světové válce. S rozvojem prvních
elektronických dálkoměrů se začaly budovat i samostatné délkové sítě,
V současné době se samostatné délkové sítě používají jen výjimečně.
- 101 (176) -
Pokud se odvozují rovinné souřadnice určovaných bodů, převádějí se měřené
šikmé délky dij do zobrazovací roviny a v dalším textu se označují symbolem
sij. Přitom indexy i, j označují jak body dané K = A,B,C, … tak i body určované V ≡ T,U (=P,Q,R, …).
Rovnice oprav v STU mezi dvěma určovanými body v zobrazovací rovině vychází ze vztahu [20]
Obr. 5.21 Jednoduchá délková síť se dvěma určovanými body
vSTU = STU – sTU ,
(5.54)
kde STU = fS je délka vypočtená z vyrovnaných souřadnic obou určovaných
bodů T,U.
Vyrovnaná délka je součtem přibližných souřadnic X T/ ,YT/ , X U/ ,YU/ a jejich
vyrovnaných přírůstků δXT, δYT, δXU, δYU. Rozvojem v Taylorovu řadu je
/
vSTU = S TU
+
∂f S
∂f
∂f
δf
δX T + S δYT + S δX U + S δYU − sTU ,
δX U
∂X T
∂YT
∂YU
/
kde S TU
je délka vypočtená z přibližných souřadnic
/
S TU
= [ ( X T/ − X U/ ) 2 + (YT/ − YU/ ) 2 ] 0,5 .
Po výpočtu parciálních derivací
∂f S
∂f S
/
/
≡ a STU = − cos σ TU
,
≡ bSTU = − sin σ TU
,
∂X T
∂YT
∂f S
/
≡ c STU = cos σ TU
,
∂X U
∂f S
/
≡ d STU = sin σ TU
∂YU
je konečný tvar obecné rovnice oprav mezi dvěma určovanými body T,U
v STU = a STU δX T + bSTU δYT + c STU δX U + d STU δYU + l STU ,
kde
a STU = −c STU , bSTU = − d STU
a
(5.55)
/
l STU = STU
− sTU .
Rovnice oprav v STU pro délku mezi dvěma určovanými body má čtyři neznámé souřadnicové přírůstky δXT, δYT, δXU, δYU. Pro délky měřené mezi jedním
určovaným a jedním daným bodem se sníží počet neznámých na dvě, protože
- 102 (176) -
obě souřadnice daného bodu jsou konstantní. Např. pro opravy v S PK délek sPK,
měřenými mezi určovaným bodem P a danými okolními body K ≡ A,B,C,E
platí podle obr. 5.21 rovnice
v S P K = a S P K δX P + bS P K δY P + l S P K .
Z rovnic oprav se známým způsobem sestaví normální rovnice, vypočtou neznámé souřadnicové přírůstky a odhadnou střední souřadnicové chyby.
Vektorový zápis souřadnicového vyrovnání délkové sítě, podle něhož se obvykle programuje výpočet na počítačích, je dán základními rovnicemi [20]
vs = As δu + ℓs ,
kde
δu = − N s−1ns ,
m s2o =
1
v Ts Ps v s , (5.56)
n −ν
⎡v s ⎤
⎡ As ⎤
v s = ⎢ TU ⎥ , As = ⎢ TU ⎥ , δu=[δXP, δYP, δXQ, … , δYZ]T, N s = AsT Ps As ,
⎢⎣ v sT j ⎥⎦
⎣ AsTK ⎦
ns= AsT Ps ℓs , v sTU = [ v s PQ , v sPR , ... v sYZ ]T, v sT K = [ v S PK ,v SQK , ... v S Z K ]T,
⎡ As PT ⎤
⎢A ⎥
s
AsTU = ⎢ RT ⎥
⎢ . ⎥
⎥
⎢
⎣ As ZT ⎦
⎡ AsP K
⎢ 0
, As = ⎢
Tj
⎢ .
⎢
⎢⎣ 0
⎡P ⎤
Ps = ⎢ STU ⎥ ,
⎣ PsTK ⎦
PsTU
⎡ p S PQ
⎢ 0
=⎢
⎢ .
⎢
⎣⎢ 0
psij =
0
0
p S PR
.
0
.
0
0
k
m s2ij
0
.
AsQ K
.
.
.
0
0
0 ⎤
0 ⎥⎥
, ℓS =
. ⎥
⎥
AsZ K ⎥
⎦
⎡l sPK ⎤
⎢l ⎥
⎢ sQK ⎥ ,
⎢ . ⎥
⎥
⎢
⎢⎣l sZ K ⎥⎦
.
⎡ PsP K
0 ⎤
⎢ 0
0 ⎥⎥
, PSTK = ⎢
⎢ .
. ⎥
⎥
⎢
p SYZ ⎦⎥
⎢ 0
⎣
0
PsQ K
.
0
0 ⎤
.
0 ⎥⎥
,
.
. ⎥
⎥
0 PsZ K ⎥
⎦
.
Odhad vektoru mx kvadrátů středních souřadnicových chyb je dán diagonálou
Vx kovarianční matice Mx = m s2o Qx , kde
Q x = N S−1 , m x = [ m X2 P , mY2P , m X2 Q , ... mY2Z ]T .
m s2o =
Σ p s v s2
,
n −ν
p sij =
k
,
m s2ij
kde střední chyby msij rovinných délek sij se buď odhadují podle přibližného
vzorce ms = a + b s.10-6 nebo se volí konstantní pro všechny délky.
- 103 (176) -
5.2.2.1
Měřítková změna
Vzhledem k místním měřítkovým deformacím starších sítí, ke kterým patří
také JTSK, a k možné přítomnosti systematických chyb v měřených délkách, je
žádoucí, k zachování homogenity bodového pole a k dosažení dobré kvality
vyrovnání, zavádět do rovnic oprav měřítkovou změnu δµs (µs – 1). Udává o
jakou hodnotu se měřítko délek odchyluje od místního měřítka, které je nepřesně považováno za rovné jedné. Zavedením místního měřítka dochází
k záměrné úpravě měřených délek, které je třeba vhodně vložit do používaných
geodetických polohových základů. Obecné rovnice oprav v STU mezi určovanými body T,U a mezi určovaným bodem T a daným bodem K se tak rozšíří na tvar [16], [20]
v sTU = a sTU δX T + bsTU δYT + c sTU δX U + d sTU δYU - sTU δµs + ℓsTU ,
vsTK = asTK δXT + bsKj δYT
(5.57)
- sT K δµs + ℓsTK .
Pak se poněkud změní vektorový zápis souřadnicového vyrovnání
v s = Asµ δuµ + ℓs ,
−1
δuµ = − N sµ nsµ
(5.58)
a počet nadbytečně měřených délek se zmenší v rovnici pro odhad střední jednotkové chyby mso o jednu. Všechny submatice AsTU , AsT K se rozšíří o záporné jednotkové subvektory –j a vektor neznámých δuµ se zvětší o neznámou δµs.
5.2.2.2
Šikmé délky
Předcházející souřadnicové vyrovnání délkové sítě nevyužívá přímo měřených
šikmých délek dij, ale fiktivních délek, převedených do zobrazovací roviny.
Obvykle tato záměna nemá podstatný vliv na výsledky vyrovnání. V oblastech,
kde jsou větší výškové rozdíly mezi sousedními body a zejména v přesných
místních polohových sítích, je však vhodné sestavovat rovnice oprav v dij
přímo pro měřené šikmé délky d ij . Délku dTU je možno vyjádřit rovnicí
d TU
⎡ 2 r + H U/
/
/ 2⎤
= ⎢ sTU
+
−
(
H
H
) ⎥
U
T
r + H T/
⎣
⎦
0,5
.
(5.59)
Rovnice je odvozena pomocí kosinové věty z odpovídajícího trojúhelníku
v rovině normálového řezu náhradní koule Země o poloměru r = (MN)0,5.
Bližší podrobnosti najde čtenář v publikacích [16], [20]. Ve vztahu značí
H T/ , H U/ přibližné hodnoty výšek určovaných bodů T,U a sTU délku převedenou do hladinové plochy o výšce H T/ .
Rovnice oprav v dTU je dána základním vztahem
v dTU = DTU − d TU ,
(5.60)
kde DTU je délka vypočtená z vyrovnaných souřadnic XT,YT,HT,XU,YU,HU a
d TU
délka
měřená.
Po
dosazení
přibližných
souřadnic
- 104 (176) -
X T/ , YT/ , H T/ , X U/ , YU/ , H U/ a jejich přírůstků δXT,δYT, δHT,δXU,δYU,δHU a po
rozvoji rovnice v Taylorovu řadu nabývá rovnice oprav tvaru [16]
v d TU = a dTU δX T + bdTU δYT + c dTU δH T + d dTU δX U + edTU δYU + f dTU δH U
− d TU δµ d + l dTU ,
(5.61)
kde
/
/
/
/
/
a dTU = − cos σ TU
sin zTU
, bdTU = − sin σ TU
sin zTU
, c dTU = − cos σ TU
,
/
/
d dTU = cos σ TU
sin zTU
,
/
/
edTU = cos σ TU
sin zTU
,
/
f dTU = cos zTU
,
/
l dTU = DTU
− d TU .
V rovnici je uvedena jako sedmá neznámá měřítková změna δµd, která
do značné míry sníží systematický rozdíl různých měřítek dané sítě bodů a dél/
kových měření. Absolutní člen l dTU je rozdílem přibližné délky D TU
, vypočtené z přibližných souřadnic a měřené délky d TU .
Rovnice oprav v dTU měřených délek se využívají ve společném souřadnicovém vyrovnání rovinných souřadnic a výšek bodů určených osnovami směrů,
šikmými délkami a zenitovými úhly, např. v přesných polohových místních
sítích.
Kontrolní otázky
Jaký je postup výpočtu rovnic oprav délek v zobrazovací rovině?
Jaký má smysl zavedení měřítkové změny do rovnic oprav a proč často tato
neznámá v používaných software chybí?
Jak se liší rovnice oprav pro měřené šikmé délky od oprav délek
v zobrazovací rovině?
Poznámka
Nemůžete-li odpovědět na některou otázku, prostudujte si znovu látku o délkových sítích.
5.2.3
Výškové sítě
Protože problematika vyrovnání výškových sítí byla probírána ve skriptech
Geodézie III [21, je zde text omezen jen na nejnutnější souhrn rovnic potřebných v dalších statích. Všechna výšková měření se začleňují do ČSNS (České
státní nivelační sítě). Převýšení se zpravidla měří nebo odvozují třemi základními metodami: geometrickou nivelací, trigonometrickým určováním převýšení a z elipsoidických výšek, získaných z družicových měření. Vyrovnání nivelačních pořadů a sítí a výškových trigonometrických sítí, stejně jako převod
elipsoidických výšek do výškového systému ČSNS, je uvedeno v Geodézii III
[21].
- 105 (176) -
Rovnice oprav
v hTU vypočtených převýšení
/
hTU
vycházejí ze základního
vztahu (obr. 4.25 v [20])
/
v h TU = H U − H T − hTU
.
(5.62)
kde hTU = (HU – HT ) je převýšení mezi vyrovnávanými výškami HT, HU
libovolných dvou určovaných bodů T,U.
Vyrovnané výšky HT,HU jsou dány výrazy
H T = H T/ + δH T , H U = H U/ + δH U ,
kde H T/ , H U/ označují přibližné výšky a δHT,δHU jejich přírůstky odvozené
z vyrovnání. Rovnice oprav vycházejí ze základního vztahu (5.62)
Po dosazení a úpravě lze psát
v hTU = δH U − δH T + l hTU ,
/
kde l hTU = H U/ − H T/ − hTU
.
(5.63)
Pro převýšení hKT mezi výškou HT určovaného bodu T a danou výškou HK
bodu K nebo danou výškou HL bodu L a určovanou výškou HU bodu U
platí rovnice oprav
vhKT = δHT
vhUL =
+ ℓhKT ,
- δHU + ℓhUL .
Obecně je
v h = Ah δH + ℓh ,
kde
(5.64)
⎡ v hTU ⎤
⎥
⎢
vh = ⎢v hKT ⎥ , δH = [δHP, δHQ, … δHZ]T , ℓh =
⎢ vh ⎥
⎣ UL ⎦
⎡ l hTU ⎤
⎥
⎢
⎢ l hKT ⎥ .
⎢l h ⎥
⎣ :UL ⎦
Subvektory v hTU , ℓTU se vztahují k opravám převýšení mezi určovanými výškami bodů T,U a subvektory v hT K , v hLU , ℓhTK , ℓhLU k převýšením mezi
jedním bodem daným a jedním určovaným. Vektor δH obsahuje jen vyrovnávané přírůstky výšek bodů.
Z rovnic oprav (5.63) se odvodí normální rovnice, vektor δH vyrovnaných
/
přírůstků δHT přibližných výšek H T
a odpovídající vektor mH (≡
2
2
2
[ mH P , m H Q ,...mH Z ]T), jehož prvky tvoří odhady
kvadrátů středních chyb
mT2 vyrovnaných výšek HT (≡ H T/ + δHT ). Podobně je možno vypočítat od2
had vektoru m FH , obsahující kvadráty středních chyb m FH funkcí vyrovnaných výšek FH. Vyrovnání je charakterizováno vztahy
- 106 (176) -
(5.65)
Nh δH +nh =o, δH= -Nh-1 nh, mo2 =
kde
Nh = AhT Ph A , nh = AhT Ph ,
1
v hT Ph v h , Mh = mo2 Qh, Qh= N h−1 ,
n −ν
⎡ PhP
⎢ 0
Ph = ⎢
⎢ .
⎢
⎣ 0
0
PhQ
.
0
. 0 ⎤
. 0 ⎥⎥
.
.
. ⎥
⎥
. PhZ ⎦
Váhové matice PhT sestávají z diagonálních členů phTU , PhTK , PhLU , jejichž
indexy T,U = P,Q, … Z se vztahují k určovaným výškám bodů a K = A,B,C,
…A k daným výškám bodů.
5.2.4
Kombinované sítě – současná koncepce terestrických sítí
V současné době se zpravidla zakládají terestrické polohové sítě (různého druhu a účelu), buď jako sítě rovinné s osnovami vodorovných směrů a s délkami
převedenými do zobrazovací roviny, v nichž se navíc odvozují i výšky
v baltském systému, anebo sítě prostorové V obou případech se měří univerzálními aparaturami (totálními stanicemi) osnovy vodorovných směrů ψij, zenitové úhly z ij/ a šikmé délky dij. V běžných geodetických pracích se často
vyskytují polohové sítě malého rozsahu s jedním nebo několika málo určovanými polohovými body. Sítě mají rozmanitou konfiguraci a strukturu, jak prokazují příklady na obr. 5.22. Další schémata projektovaných sítí jsou uvedena
např. v [15], [16]. V ukázkách jsou vybrána kvalitní určení polohových bodů,
respektující jak zachování homogenity stávajícího bodového pole, tak potřebnou geometrickou kontrolu měřených veličin. Projekty sítí mají zachovávat
především dvě hlavní zásady: zaměřované body mají navazovat na nejbližší
dané body a každý bod má být určen alespoň jednou nebo dvěma nadbytečnými veličinami.
Obr. 5.22 Příklady polohových sítí malého rozsahu
Často se používají k výpočtu souřadnic zhušťovacích a ostatních bodů přibližné postupy, uvedené ve stati 5.1 a doprovázené různými kontrolními veličinami. Je třeba uvést, že i tyto jednoduché sítě je výhodné vyrovnávat metodou
nejmenších čtverců. Význam obecného postupu vyrovnání nespočívá jen
v dosažení vyšší kvality a homogenity polohové sítě, ale ve společném využití
všech měřených veličin a ve kvalitnějším odhadu středních souřadnicových
- 107 (176) -
nebo polohových chyb. Důležitým předpokladem je však dobře sestavený program, který respektuje dostatečnou variabilitu zadávání relativních vah pro
různé druhy měřených veličin a pro různé měřické metody.
5.2.4.1
Rovinné sítě - (2D)
K souřadnicovému vyrovnání rovinných sítí (X,Y) mají být měřené veličiny
převedeny do zobrazovací roviny [15], [10]. Přitom korekce osnov vodorovných směrů jsou zpravidla zanedbatelné. Je však třeba převádět měřené šikmé
délky dij na délky rovinné sij pomocí měřených zenitových úhlů z i/j a vztahů
uvedených v Geodézii II [22]. Prakticky se uplatňují ve vyrovnání MNČ dva
typy rovnic oprav vψ pro osnovy směrů ψij a v S i j pro rovinné délky sij.
ij
Ve vektorovém vyjádření platí (stať 5.2.1 a 5.2.2) [16]
(5.66)
v = A δx + ℓ, N δx + n = o , N = ATP A , n = ATP ℓ , δx = -N-1n ,
mo2 =
1
v T P v , M F = mo2 QF ,
n −ν
⎡vψ ⎤
, vψ = [vψP,vψQ,…vψZ, vψA, vψB,… vψN]T,
⎥
⎣v S ⎦
kde v = ⎢
⎡ δu ⎤
⎡A ⎤
vS = [vSP,vSQ,…vSZ] A= ⎢ ψ ⎥ , δx = ⎢⎢ δα ⎥⎥ ,
⎣ AS ⎦
⎢δµ S ⎥
T
⎣
⎦
⎡δu P ⎤
⎢δu ⎥
⎡δX ⎤
Q⎥
δu= ⎢
, δu T = ⎢ T ⎥ ,
⎢ . ⎥
⎣ δYT ⎦
⎢
⎥
⎣δuZ ⎦
⎡l ψ ⎤
⎥, P =
⎣l S ⎦
δα = [δαP,δαQ, … δαZ; δαA,δαB, … δαN]T ,ℓ = ⎢
⎡ Pψ ⎤
⎢P ⎥ ,
⎣ S⎦
ℓψ = [ℓψP,ℓψQ,…ℓψZ, ℓψA, ℓψB,…ℓψN]T, ℓS = [ℓSP,ℓSQ,…ℓSZ]T.
Subvektory a submatice jsou odvozeny v souřadnicovém vyrovnání úhlových
a délkových sítí ve statích 5.2.1 a 5.2.2. Subvektory vψT., vψK označují opravy
směrů ψTi, ψKi na určovaných bodech T = P,Q,,…, Z a na daných bodech K
= A,B, … Z, subvektory vS se týkají oprav rovinných délek sTU, sTK a subvektory ℓψT , ℓψK, ℓS vyjadřují absolutní členy rovnic oprav měřených směrů a
délek mezi určovanými body a mezi určovanými a danými body (v rovině).
K dosažení dobré homogenity bodového pole se doporučuje používat
v rovnicích oprav měřítkovou změnu δµs (stať 5.2.2.1).
5.2.4.2
Prostorové sítě - (3D)
Prostorové terestrické sítě, v nichž se vyrovnávají jak rovinné souřadnice Xi,Yi
zhušťovacích bodů v zobrazovací rovině (S-JTSK), tak i jejich výšky Hi
v baltském výškovém systému (Bpv), se zpravidla zaměřují univerzálními mi
aparaturami (sestávajících z teodolitů a dálkoměrů) viz Geodézie II [22]. Výsledkem měření jsou osnovy vodorovných směrů ψij, šikmé délky dij a zeni-
- 108 (176) -
tové úhly z ij/ . K výpočtu výšek Hi se kromě trigonometricky určených převýšení thij mohou používat převýšení nhij zaměřených geometrickou nivelací,
popřípadě převýšení ehij odvozená z elipsoidických výšek e hi/ , e h /j , určených
z družicových měření GPS.
V geodetické praxi se rozlišují dva základní typy souřadnicového vyrovnání.
První, přibližná metoda, je založena na vyrovnání fiktivních veličin,
tj. vodorovných délek sij, převedených ze zaměřených šikmých délek dij do
zobrazovací roviny, a převýšení thij odvozených z měřených šikmých délek
dij a zenitových úhlů zij (≡ z ij/ + δkij) [20]. Druhý, kvalitnější způsob, vychází
z vyrovnání jen přímo měřených veličin, tj. z osnov vodorovných směrů ψij,
zenitových úhlů z ij/ a šikmých délek dij.
a) Přibližná metoda souřadnicového vyrovnání poskytuje obvykle dostatečně
spolehlivé výsledky, takže je používána v některých programech a softwarech.
Je obecně charakterizována stejnými obecnými rovnicemi jako u předcházejících rovinných sítí. Vektory a matice však navíc obsahují složky pro převýšení
h
⎡vψ ⎤
⎡ Aψ ⎤
⎡lψ ⎤
⎡ Pψ
v = ⎢ v s ⎥ , A = ⎢ As ⎥ , ℓ = ⎢ l s ⎥ , P = ⎢ 0
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎢⎣ v h ⎥⎦
⎢⎣ Ah ⎥⎦
⎢⎣ l h ⎥⎦
⎢⎣ 0
0
Ps
0
0⎤
0 ⎥ . (5.67)
⎥
Ph ⎥⎦
Podobně se rozšíří i vyrovnané přírůstky souřadnic o neznámé δHi, takže bude
δX = [δu, δα]T, δu = [δuP, δuQ, … δuZ]T, δuP = [δXP, δYP, δHP],
δuQ = [δXQ, δYQ, δHQ],
……. , δuZ = [δXZ, δYZ, δHZ] .
Výsledné souřadnice určovaných bodů P,Q, … Z tvoří součty přibližných souřadnic X P/ , YP/ , H P/ , X Q/ , YQ/ , H Q/ ,..... X Z/ , YZ/ , H Z/ a jejich přírůstků δXP, δYP,
δHP, δXQ, δYQ, δHQ, … δXZ, δYZ, δHZ
X P = X P/ + δX P ,
YP = YP/ + δYP , H P = H P/ + δH P ,
X Q = X Q/ + δX Q , YQ = YQ/ + δYQ , H Q = H Q/ + δH Q ,
...........................
.......................
.......................
X Z = X Z/ + δX Z , YZ = YZ/ + δZ Z , H Z = H Z/ + δZH Z .
Odhad středních souřadnicových chyb poskytuje vektor
mx = [ m X2 P , mY2P , m H2 P , m X2 Q , mY2Q , m H2 Q , .... m X2 Z , mY2Z , m H2 Z ],
jehož prvky jsou shodné s diagonálou kovarianční matice Mx = mO2 Qx .
b)
Přesný postup souřadnicového vyrovnání vychází jen z přímo měřených
veličin ψij, z ij/ , dij, popřípadě z nivelovaných převýšení nhij (≡ H /j − H i/ ) anebo z převýšení ehij (≡ e H /j − e H i/ ), získaných z elipsoidických výšek metodou
GPS. Jednotlivé typy rovnic oprav uvedené již v předcházejících statích pro
- 109 (176) -
veličiny měřené na určovaných bodech T ≡ P,Q, … Z nebo mezi určovanými
a danými body K ≡ A,B, … N (ψij, zij, dij, hij) mají tvar
vψTU =aψTU δXT + bψTU δYT +
+dψTU δXU + eψTU δYU +
−δαT +lψTU ,
vz TU = azTU δXT +bzTU δYT +czTU δHT +d zTU δXU +ezTU δYU + f zTU δHU
+l zTU ,
(5.68)
vdTU =adTU δXT +bdTU δYT +cdTU δHT +ddTU δXU +edTU δYU + f dTU δHU −dTU δµS + l dTU ,
+ chTU δHT
vhTU =
+ f hTU δHU
+ l hTU ,
kde
/
/
/
/
l ψ TU = σ TU
, l dTU = S TU
− α o/ M − ψ TU , l zTU = Z TU
− δkTU − zTU
− sTU ,
l hTU = H U/ − H T/ − nδhTU
nebo l hTU = e H U/ − e H T/ − eδhTU .
Koeficienty u neznámých přírůstků souřadnic δXT,δYT,δZT, δXU,δYU,δZU jsou
uvedeny v rovnicích (5.46), (5.52), (5.60) a (5.63).
Vektory a matice v rovnicích oprav a v normálních rovnicích mají tvar
(5.69)
⎡vψ ⎤
⎢v ⎥
v= ⎢ z⎥, A=
⎢vd ⎥
⎢ ⎥
⎣vh ⎦
⎡ Aψ ⎤
⎢A ⎥
⎢ z ⎥,ℓ=
⎢ Ad ⎥
⎢ ⎥
⎣ Ah ⎦
⎡l ψ ⎤
⎢l ⎥
⎢ z ⎥ , δx =
⎢l d ⎥
⎢ ⎥
⎣l h ⎦
δµ = δµ ,
⎡ Pψ
⎢0
P= ⎢
⎢0
⎢
⎣0
⎡ δu ⎤
⎢δα ⎥ ,
⎢ ⎥
⎢⎣δµ ⎥⎦
0
Pz
0
0
⎡δα P ⎤
⎡δu P ⎤
⎢ . ⎥
⎢δu ⎥
⎢
⎥
⎢ Q⎥
⎢δα Z ⎥
δu = ⎢δu R ⎥ , δα= ⎢
⎥,
δα
A
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ . ⎥
⎢ . ⎥
⎢
⎥
⎢⎣δuZ ⎥⎦
⎣⎢δα N ⎦⎥
0⎤
0⎥
⎥.
0⎥
⎥
Ph ⎦
0
0
Pd
0
Váhové submatice Pψ, Pz, Pd, Ph jsou tvořeny vahami pψ i j , p zi j , p di j , p hi j
jednotlivých měřených veličin
pψ i j =
k
2
mψ i j
,
p zi j =
k
m z2i j
,
p di j =
k
md2i j
,
p hi j =
k
mh2i j
.
Důležitým předpokladem kvalitního vyrovnání souřadnic je správný odhad
středních chyb.
Konstantu k je možno zvolit libovolně, např. k = mo2 . Výsledné souřadnice
určovaných bodů P,Q, … Z a odhady jejich středních chyb jsou dány stejnými
vztahy jako u předcházejícího přibližného postupu vyrovnání.
- 110 (176) -
5.3
Družicové polohové systémy
K prvním významným družicovým systémům používaným v padesátých a šedesátých letech minulého století k budování geodetických základů se řadí Secor a balónové družice Geos a Pageos. Družicový systém NNSS (Navy Navigation Sattelite Systém). Začal se využívat k navigaci v r. 1967. Současně
sloužil k zaměřování polohových bodových polí, k upřesnění tvaru a rozměru
geoidu a k měření zemského tíhového pole. Je znám pod jménem TRANSIT.
Jeho činnost byla ukončena na počátku devadesátých let. Koncem osmdesátých let byl postupně uváděn do provozu podstatně kvalitnější a výkonnější
navigační systém GPS-NAVSTAR. Jeho polohová přesnost je tak vysoká, že
prakticky nahradil dřívější metody budování bodových polí pomocí měřených
úhlů (osnov směrů) a délek. V sedmdesátých letech se začal v Rusku vyvíjet
družicový navigační systém GLONASS (Глобальная навигационная
спутникoвая система). Systém je podobný GPS a je pod správou ruského ministerstva obrany [23]. V současné době se připravuje z iniciativy evropských
států projekt nového navigačního družicového systému nazvaný GALILEO,
který má být uveden do provozu v letech 2006 až 2008.
Družicová měření se používají v běžných geodetických pracích již řadu roků.
Proto bylo nutné zařadit družicové metody společně s terestrickými metodami
již do předmětu geodézie, který je zařazen do bakalářského studia. V této stati
jsou uvedeny jen základní pojmy o družicovém systému GPS, které umožňují
se seznámit s principy určování prostorové polohy bodů, jejich relativních poloh a diferenčních metod. Podrobné znalosti o družicových systémech získají
studenti ve vyšších ročnících magisterského studia, zejména v předmětech geodetická astronomie a kosmická geodézie, vyšší geodézie a geofyzika a geodynamika.
5.3.1
Globální polohový systém (GPS)
Globální polohový systém (GPS – Global Positioning System) uváděný také
jako NAVSTAR (Navigation System Timing and Ranging) je pasivní družicový rádiový navigační systém, kterým je možno určit prostorové souřadnice
(SD) bodů kdekoliv na povrchu Země nebo na pohybujících se objektech (lodě,
letadla, auta, rakety apod.). Je spravován ministerstvem obrany USA a je určen
především k navigaci. Vedle vojenských aplikací je možno jej používat pro
různé civilní účely, mezi jiným i v geodetických pracích [10], [11], [13], [28],
[42], [52].
Celý komplex GPS se dělí na tři segmenty: řídicí, kosmický a uživatelský. Vývoj systému začal v 70. letech na základě požadavků ozbrojených sil USA, aby
bylo pro uživatele zajištěno bezprostřední a plynulé získávání přesných informací o poloze objektů na povrchu Země a o poloze, rychlosti a času pohybujících se objektů. Od r. 1978 byly postupně vypouštěny družice a budován řídicí
segment. V roce 1993 byla možná navigace na kterémkoliv místě a
v kterémkoliv čase.
Řídicí (kontrolní) segment OCS (Operational Control Segment) sestává
ze tří částí: z hlavní řídicí stanice, z monitorovacích stanic a ze stanovišť pozemních antén. Hlavní řídicí stanice je umístěna na letecké základně
Falcon AFB v Colorado Springs v USA. Zde se shromažďují data z monitoro-
- 111 (176) -
vacích stanic, vypočítávají parametry drah jednotlivých družic a sledují a synchronizují jejich palubní hodiny. Hlavní monitorovací stanice jsou rozmístěny
na ostrovech Hawaj a Kvajalein v Tichém oceáně, Island Ascension
v Atlantiku, Diego Garcia na Čukotských ostrovech v Indickém oceáně a
v Colorado Springs (obr. 5.23) . Na každé stanici je přesný cesiový normál
(atomové hodiny) a přijímač k nepřetržitému měření tzv. pseudovzdáleností
k viditelným družicím. K výpočtu přesných efemerid se používá ještě dalších
13 stanic (Táhiti, Alaska, Ekvádor, USA, Argentina, Maspolamas, Anglie,
Jižní Afrika, Bahrain, Yakutsk, Jižní Korea, Austrálie a Nový Zéland). Pozemní antény jsou umístěny u tří monitorovacích stanic (Ascension, Diego
Garcia a Kwajalein). Rozmístění stanic uváděné na počátku devadesátých let je
na obr.5.24. Úkolem řídícího segmentu je předávání vypočtených efemerid a
parametrů družic na všechny družice, dříve jednou až dvakrát denně, nyní asi
po dvou hodinách. Platnost navigační zprávy je 4 hodiny. Řídící segment
kontroluje chod celého systému a vysílá datové a korekční zprávy jednotlivým
družicím.
Obr. 5.23 Rozmístění řídícího segmentu
Obr. 5.24 Ukázka družice GPS
Kosmický segment (obr. 5.23 a 5.24) se v současné době skládá z 27 až 28
aktivních družic, z nichž některé mají náhradní funkci. Nezbytný počet družic
je 24, aby byla zajištěna plná operační schopnost systému. Jejich funkcí je
generovat a vysílat nosné frekvence, kódy a navigační zprávu. K jejich důležitým součástem mimo jiné patří sluneční baterie (o ploše 7,25 m2), atomové
hodiny a počítač. Družice se pohybují v šesti orbitálních rovinách (obr. 5.25),
vždy po čtyřech družicích. Mírně eliptické dráhy družic jsou téměř kruhové
- 112 (176) -
(s velkou poloosou 26 560 km ±50 km), svírají s rovníkovou rovinou přibližně
55° ±3° (inklinace) a excentricita . Výška družic nad Zemí je asi 20 200 km a
oběžná doba je přibližně 12 hvězdných hodin (11h 58m občanského času). Družice jsou stabilizovány ve třech osách pomocí infračervených čidel a gyroskopů, které zajišťují kolmé nastavení plochy článku ke Slunci. Korekční motorky
slouží ke změnám polohy družic a jejich orientace. Stav družic je proměnlivý,
protože staré se ruší v závislosti na jejich technickém stavu a podle potřeby
jsou nahrazovány novými družicemi [52].
Rovnoměrné rozložení družic a jejich výška zajišťuje z každého místa na Zemi
přijímat kdykoliv rádiové signály nejméně ze čtyř a zpravidla z více družic.
Překážky v blízkosti družicových přijímačů mohou však narušit anebo zamezit
zaměření polohy bodů.
Obr. 5.25 Schéma orbit družic GPS
Družice vysílají signály na dvou nosných frekvencích L1,L2 v kódech C/A a P.
Do roku 2009 se připravuje pro autorizované uživatele vysílání dalšího Mkódu. Pro civilní uživatele GPS bude signál rozšířen o frekvenci L5. Signály
jsou generovány pomocí palubních časových standardů. Stabilita atomových
hodin na družicích je v rozmezí 1.10-13 až 1.10-15. Obě nosné frekvence, přenášející kódy a datové zprávy, jsou odvozeny ze základní frekvence fo = 10,23
MHz. Mají velikost L1 ≡ 154 fo = 1575,42 MHz, L2 ≡ 120 fo = 1 227,60 MHz,
což odpovídá vlnovým délkám 190 mm a 244 mm. Použitím dvou frekvencí se
snižuje chyba ετ měřeného časového intervalu τ způsobená nepřesnou znalostí vrstev ionosféry.
C/A kód je dvojkový s taktovou frekvencí 1,023 MHz. Má délku 1023 bitů
s opakovací periodou 1 ms. Pro rozlišení družic se používá 32 variant C/A
kódu. P kód je složitější. Jeho pseudonáhodná sekvence má frekvenci 10,23
MHz a délku 266,4 dne (asi 37 týdnů). Celkový počet 2,36.1014 bitů se dělí na
37 týdenních sekvencí o délkách 6,187 104.1012 bitů, které jsou přiděleny každé družici. Týdenní sekvence se opakují vždy v 0 hod světového času a to o
půlnoci ze soboty na neděli, což je začátek tzv. GPS týdne. Pořadové číslo týdenní sekvence je identifikačním znakem družice. Každý bit v obou kódech je
- 113 (176) -
časovou značkou systémového času GPS, jehož vztah k mezinárodnímu systémovému času TAI je pro každou družici jiný a je dán vztahem [23]
TAI – GPS = 19 s + Co + DC,
a) Trimble R 8
c) Leica GRX 1200
b) Ashtech
d) Topcon GP-SX 1
e) Geotracer
2000 RTK
Obr. 5.26 Některé typy družicových přijímačů
- 114 (176) -
kde Co je průměrná oprava systémového času (zpravidla několik mikrosekund) a DC oprava času družice na průměrný systémový čas (zpravidla až
několik desítek ns).
Navigační zprávu tvoří u každé družice datový řetězec, vysílaný na obou nosných frekvencích rychlostí 50 bitů za sekundu. Kompletní zpráva obsahuje 25
rámců (Frame) o 1500 bitech. Každý rámec trvá 30 s a je rozdělen na pět částí
(Subframe) o velikosti 300 bitů. Celá navigační zpráva trvá 12,5 minut. Mimo
jiné jsou v navigační zprávě uvedeny: číslo GPS týdne, předpověď přesnosti
určované psudovzdálenosti, údaje o kvalitě družice, údaje pro výpočet korekcí
palubních hodin, palubní efemeridy (parametry dráhy) družice, informace o
ionosféře, údaje o ostatních družicích atd. [23].
Uživatelský segment tvoří družicové přijímače různých typů, které přijímají signály z družic, dekódují je a zpracovávají je. Některé přijímače jsou
používány samostatně, jiné jsou součástí různých systémů. Některé typy družicových přijímačů jsou na obr. 5.26.Signály přijímané z družic slouží k určení
tranzitních časů a tím i k výpočtu pseudovzdáleností d i/ mezi anténou přijímače a anténami družic. Dále přinášejí informace o družicových hodinách,
drahách družic (tzv. efemerid), o stavu (kvalitě) družic a specifické informace
pro vojenské aplikace. K přenosu informací je zvolena technologie tzv. rozprostřeného spektra, což umožňuje utajení zpráv pro běžné uživatele a zvyšuje
odolnost systému proti aktivnímu rušení.
K měření tranzitního času τ se využívají dva pseudonáhodné kódy: C/A
(Clear Access nebo Coarse Acquisition), přístupný všem uživatelům, a kód P
(Protected nebo Precision), přístupný jen vybraným, tzv. autorizovaným uživatelům, aby se zamezilo vojenskému zneužití systému GPS. Kód P může být
pomocí kódu W převeden na kód Y. Kódy jsou posloupností hodnot 0 a 1 a
jsou dány přesnými matematickými definicemi. Modulace pomocí kódů zvyšuje odolnost vůči aktivnímu rušení, zvyšuje přesnost měření tranzitního času τ,
umožňuje rozlišit signály jednotlivých družic a zabezpečuje využití signálů jen
příjemci, znajícími jejich strukturu.
Systém GPS poskytuje dvě služby: přesnou polohovou službu (PPS) a standardní polohovou službu (SPS). Přesná polohová služba je přístupná jen autorizovaným uživatelům. Autorizaci poskytuje ministerstvo obrany USA. Uděluje ji vojenským uživatelům USA, NATO a některým dalším. Standardní polohová služba je přístupná všem uživatelům a není vázána na přímé poplatky.
Armáda ČR se stala autorizovaným uživatelem GPS v prosinci roku 2001. Ministerstvo obrany USA plánuje pro autorizované uživatele služby PPS vysílání
nového M-kódu a pro civilní aplikace rozšíření družicových signálů o frekvenci L5 [52].
- 115 (176) -
Obr. 5.27 Schéma posunu signálů
Obr. 5.28 Schéma korelační
technologie
Ke zpracování přijatého signálu se obvykle používá kódové korelační techniky.
Družicový přijímač generuje referenční kód, který je shodný s vysílaným kódem družice. Oba signály jsou vůči sobě posunovány tak, až dojde k maximální
korelaci. Tím se získá časový posun τ′, odpovídající
tranzitnímu času τ. Schéma korelace je uvedeno na obr. 5.27 a 5.28. Na obr.
5.28 jsou schématicky znázorněny odpovídající úseky obou porovnávaných
kódů. Porovnávané úseky jsou rozděleny na elementární části, tj šířky impulsů.
Pak lze sledovat a porovnávat maxima a minima obou signálů. Lomená čára na
horní části obrázku charakterizuje přijatý signál, který je deformován oproti
kódu generovanému v přijímači. Přesto lze vyznačit symbolem „x“ ta místa,
kde se maxima a minima shodují. Pokud nedochází ke shodě obou porovnávaných úseků, je souhlas v souladu s pravděpodobností náhodných jevů přibližně
padesátiprocentní. Teprve když posun zkoumaného úseku odpovídá měřenému
časovému intervalu τ′, vzroste náhle souhlas odpovídajících maxim a minim
na vysoké procento, jak je uvedeno na spodní části obrázku 5.28. Korelační
technologie měření časového posunu τ′ umožnila volit intenzitu vysílaných
kódů na úrovni šumu a přitom signály mohly být přijaty anténou o rozměrech
několika centimetrů. Prakticky se pro stanovení posunu τ′ obou signálů používá korelační funkce, která tlumí vliv náhodných chyb, způsobených fluktuacemi v přijímaném signálu.
Další podrobné údaje najde čtenář např. v publikacích [11], [13], [23], [28],
[52].
5.3.2
Světový geodetický systém WGS 84
Geodetický systém WGS 84, spojený s družicovým systémem GPS, je definován polohou a orientací os pravoúhlé souřadnicové soustavy, parametry referenčního elipsoidu a gravitačním modelem Země a geoidu.
Souřadnicový systém WGS 84 je pravotočivý a geocentrický. Jeho počátek je
v těžišti Země. Osa X je průsečnice referenčního nultého poledníku IERS (International Earth Rotation Service) a roviny procházející počátkem systému a
kolmou k ose Z (rovinou rovníku). Osa Y je průsečnicí poledníkové roviny,
- 116 (176) -
definované délkou 90˚, s rovinou rovníku. Osa Z směřuje do referenčního pólu
IERS (obr. 5.29).
Obr. 5.29 Souřadnicový systém WGS 84
Střed referenčního elipsoidu WGS 84 je také totožný s těžištěm Země (s počátkem pravoúhlého souřadnicového systému). Referenční nultý poledník prochází Greenwichem. Elipsoidické souřadnice se označují symboly B,L,H. Vyjadřují geodetickou zeměpisnou šířku, geodetickou zeměpisnou délku a elipsoidickou výšku (výšku nad elipsoidem WGS 84). Elipsoid WGS 84 je geocentrický hladinový rotační elipsoid, sloužící k zjednodušené definici geometrických a dynamických parametrů Země. Parametry elipsoidu jsou uvedeny např.
v tabulce 4.1 ve skriptech [20].
Podrobnější údaje o geocentrických a referenčních souřadnicových systémech
a jejich pohybech, o časových systémech, o pohybech družic a o určení jejich
souřadnic jsou např. v publikaci [11].
5.3.3
Přijímací stanice a její základní části
Družicový přijímač má několik základních částí: anténu s blokem anténní elektroniky, měřicí část s procesorem, řídicí a zobrazovací jednotku a médium pro
ukládání dat [23].
Antény mají buď pevnou anebo řízenou směrovou charakteristiku. Antény
s řízenou směrovou charakteristikou se používají v prostředí rušení ve vojenských letadlech a slouží k nastavení minima charakteristiky ve směru rušiče.
Měření jsou vztažena k fázovému centru, které obecně není shodné
s geometrickým centrem antény. Proto při přesných geodetických pracích se
bere ohled na excentricity antén. Součástí geodetických přijímačů bývá stínění
proti odraženým signálům od povrchu terénu. Anténní elektronika bývá spojena s anténou. Jejím hlavním účelem je zesílit přijímaný signál, filtrovat rušivé
signály, chránit anténu před atmosférickou elektřinou, dílčí testování přijímače
a převod signálu na požadovaný kmitočet.
Signál je veden z antény do měřicí části. Tam se signál zpracuje a procesor
zajišťuje potřebné výpočty, především polohy antény a další. Podle funkce
přijímací části se rozlišují tři typy přijímačů: vícekanálový (obsahuje minimálně čtyři kanály pro samostatné zpracování signálu z jednotlivých družic), sek-
- 117 (176) -
venčně měřící jedno- nebo dvoukanálové (měření k družicím jsou postupná) a
multiplexní (jednokanálové s menší přesností).
Řídicí a zobrazovací jednotka (zpravidla obrazovka nebo LCD displej)
je určena k obsluze přijímače přes softwarové rozhraní.
Zaváděč dat umožňuje zavádění různých dat, např. traťové body pro navigaci, kryptografické klíče SA a A-S atd.
Společnou charakteristikou přijímačů je především doba potřebná k dosažení prvních údajů o poloze zaměřovaného bodu po zapnutí přijímače,
způsoby výběru družic a autonomní sledování integrity.
Doba potřebná k určení souřadnic bodu je podkladem k rozdělení měřických
metod na tzv. teplý, studený a horký start. Teplý (normální) start předpokládá,
že v přijímači jsou již vyhodnoceny přibližný čas a poloha a v paměti jsou uloženy efemeridy družic. Doba měření bývá 2 až 2,5 minuty. Studeným startem
se nazývá případ, kdy žádný z předchozích údajů není k dispozici. Pak se doba
měření prodlužuje nejméně na 12,5 minut. Horkým startem se rozumí jen čas
reakvizice (obnovení) určení polohy. Po několik hodin je doba měření jen
v desítkách sekund.
Pro přesné práce si přijímače mohou vybírat družice ke kvalitnímu určení
polohy (rychlosti a času). Používají k tomu zpravidla čtyř kritérií: kvalita
(zdraví) družice, faktor DOP (vliv geometrie rozložení družic), faktor URA
(odhadnutá chyba ve vypočtené pseudovzdálenosti) a elevační úhel (výškový
úhel družice nad horizontem, bývá minimálně 5o).
Typy přijímačů se posuzují podle jejich významu pro praxi. Zpravidla se uvažuje jejich konstrukce, použití a přístup ke službám GPS [23].
Geodetické a mapovací přijímače, referenční stanice DGPS (diferenční globální polohový systém – stať 5.3.5) a některé typy navigačních přijímačů jsou
vybaveny dalšími možnostmi nastavení parametrů, které přispívají k významnému zvýšení spolehlivosti výsledků měření. Jsou to např. různé druhy masek
(elevační, PDOP a SNR), nastavení stáří korekce při DGPS, režimy autonomního určení polohy a režimy určení polohy DGPS. Elevační masky se používá k nastavení minimálního elevačního úhlu pro zpracování družicových
signálů. Výrobci doporučují minimální úhel v rozmezí 8° až 15°. Maska
PDOP je určena k nastavení přípustné velikosti polohových chyb zaměřovaných bodů, vyplývající z konfigurace (geometrického rozmístění) družic.
Maska SNR slouží k nastavení minimálního poměru intenzity signálu a
šumu. Pokud nejsou nastavené hodnoty u masek PDOP a SNR splněny, přijímač takové signály nezpracovává. Stáří korekce u DGPS výrazně
ovlivňuje polohovou přesnost zaměřovaných bodů. Proto výrobce doporučuje
určité stáří používané korekce, kterou by uživatel pro zvolenou polohovou
přesnost určení bodů neměl překročit. Existují tři základní režimy autonomního určení polohy bodu: 3D, 2D a 2D/3D. V režimu 3D jsou výsledkem zpracování signálů přijímaných nejméně ze čtyř družic, prostorové
souřadnice zaměřovaného bodu a časová korekce hodin přijímače. Nastavení
režimu 2D umožňuje určení polohy zaměřovaných bodů v rovinných souřadnicích a současně korekci hodin přijímače jen ze signálů tří družic. U DGPS se
rozlišují dva režimy, obvykle označované GPD a GPD/GPS. V režimu
GPD se využívá k výpočtu souřadnic bodů jen diferenčních korekcí. Při přeru-
- 118 (176) -
šení jejich příjmu se využívá poslední přijaté korekce až do stanovené doby
jejího stáří. V režimu GPD/GPS přechází po přerušení příjmu korekce výpočet
na autonomní určování polohy bodů.
Kontrolní otázky
Jaké znáte družicové systémy používané pro geodetické práce?
Popište globální polohový systém!
Z čeho sestává řídící (kontrolní) systém?
Z čeho sestává kosmický segment GPS?
Jaké signály vysílají družice GPS?
Jaké družicové přijímače GPS znáte?
Jaký je princip kódové korelační techniky u družicových přijímačů?
Čím je určen světový geodetický systém WGS 84?
Jaké jsou základní části přijímací stanice GPS?
Poznámka
Nebudete-li znát na některé otázky odpovědi, znovu se vraťte ke studiu této
látky ve skriptech a v doporučené literatuře.
5.3.4
Měřické metody
Činnost GPS spočívá v určování polohy bodů na povrchu Země a na pohybujících se objektech, v určování rychlosti pohybujících se objektů a v měření času. V družicových přijímačích se zpracovávají družicové signály a rekonstruují
jejich nosné vlny, jejichž frekvence L1,L2 jsou zatíženy Dopplerovským posunem. Přijaté rádiové signály z družic slouží k měření několika druhů veličin
[23], [52]:
-
kódová měření (měření časových intervalů τi′),
-
měření fázových rozdílů ∆ψ' mezi kódy C/A nebo P(Y) generovanými v přijímači a přijatými z družic
-
měření fázových rozdílů ∆φi′ mezi nosnými vlnami generovanými
v přijímači a
přijatými z družic,
-
měření dopplerovských frekvencí fDi,
-
interferometrická měření drah signálů ke dvěma přijímačům.
V geodetických pracích se vesměs odvozují tranzitní časy τi′ z kódových měření a z měření fázových rozdílů ∆φi′, vyjadřující diferencovaný celý počet
vlnových délek. Pro vojenské účely jsou často používány přijímače s měřením
fázových rozdílů ∆ψ, které poskytují o něco nižší přesnost určení polohy bodů.
Dopplerovské frekvence fDi mají význam především k určení rychlosti pohy- 119 (176) -
bujícího se objektu, na kterém je umístěn přijímač. Z jejich integrálů FDi lze
však také určit polohu přijímače. Interferometrická měření umožňují např. určit
směry a sklony [23].
5.3.4.1
Určení časového intervalu
K určení pseudovzdáleností di′ mezi anténami družic a přijímačů je třeba stanovit odpovídající tranzitní časy τi′. Lze je odvodit korelační technologií
z kódových měření, z měřených fázových rozdílů anebo kombinací obou druhů
měření [20].
Časové intervaly τi′ získané z kódových měření jsou zatíženy zejména
chybou z asynchronizace atomových hodin družice s hodinami přijímače (jde v
podstatě o dva časové systémy). Pseudovzdálenosti di′ se počítají ze vztahu
di′ = vi τi′ .
(5.70)
Také rychlosti vi šíření signálu podél jejich celých drah jsou zatíženy chybami
z nepřesné znalosti indexů lomu Ni.
Časové intervaly τi′ je možné změřit jak s kódem C/A tak s kódem P (Y).
Každý bit je zároveň časovou značkou signálů přicházejících do přijímače a
referenčního signálu generovaného přijímačem. Přesnost určení pseudovzdáleností se přibližně udává hodnotou 1 % délky bitu kódu nebo ještě nižší velikostí. Pro kód P (Y) je 1 % asi 0,3 m a pro kód C/A asi 3 m. Pro výpočet správné
délky d mezi družicí a pozemní stanicí platí rovnice
d = v (tR – tT) + v (∆tR – ∆tT)
kde značí tT čas vysílání určitého prvku kódu (bitu), tR čas příjmu stejného
prvku přijímačem,
∆tT, ∆tR opravy palubních a pozemních hodin a
v průměrnou rychlost šíření signálu. Po dosazení tR – tT = τ′, ∆tR – ∆tT = δt
se rovnice zjednoduší na tvar
d = v τ′ - v δt .
(5.71)
Oprava ∆tT je družicemi vysílána v navigační zprávě, takže teoreticky zůstává
v rovnici jen neznámá oprava ∆tR pozemních hodin přijímače. Opravu je možno prakticky určit nebo vyloučit, pokud se délky měří současně ke čtyřem a
více družicím. Ze známých poloh družic a ze čtyř měřených časových intervalů
τi′ se obecně dají vypočítat tři prostorové souřadnice X,Y,Z antény družicového přijímače na určovaném bodě a oprava ∆tR. Výsledné souřadnice se vyrovnávají MNČ prostorovým protínáním z délek z mnoha souborů měřených délek
di′.
Kvalitnější určení pseudovzdáleností vychází z fázových rozdílů ∆Φi′.
Jejich měření je obdobné jako u elektronických dálkoměrů [17]. Vychází
z rovnice
∆Φ′ = ΦT – ΦR ≡ 2π n + ∆φ / ,
(5.72)
kde ΦT, ΦR = ΦT – ω τ značí fáze stejného signálu v čase t na palubní a
pozemní stanici.
Určovaný fázový rozdíl ∆Φ′ sestává z celého počtu n period 2π nosných
vln, tzv. ambiguity a ze zbytku ∆φ′, pro nějž platí 0 ≤ ∆φ′ ≤ 2π. Vzhledem
k tomu, že lze měřit jen fázový rozdíl ∆φ′, a k přítomnosti chyb palubních a
pozemních hodin, bude přibližná hodnota ∆Φ′ vyjádřena vztahem (obr. 5.30)
- 120 (176) -
∆Φ′ ≡ ω
d′
= 2π n + ∆φ′.
v
Z toho délka
d′ = n λ +
∆ϕ ′
v ≡ n λ + ∆n λ
2π
pro 0 ≤ ∆n ≡
∆ϕ ′
≤ 2π , (5.73)
2πn
kde λ značí nosnou vlnovou délku signálu. Celý počet nosných vlnových délek lze určit např. kombinací kódových a fázových měření anebo z jiných nadbytečných měření.
Chyba měřeného fázového rozdílu nepřesáhuje jednu setinu periody 2π (1 %),
což pro vysílané nosné vlnové délky (λ1 ≈ 0,19 m, λ2 ≈ 0,24 m) odpovídá chybě délky d′ asi 2 mm. V rovnici zbývá určit celý počet period n (ambiguitu).
Ambiguity pro jednotlivé družice se vypočítávají speciálními postupy z dalších
měření [11].
Obr. 5.30 Schéma fázového rozdílu ∆Φ
Obr. 5.31 Plynulé měření fázového rozdílu ∆φ′
- 121 (176) -
K určování polohy bodů se podle potřeby používají první, druhé nebo třetí diference δΦ měřených fází ∆Φi′, které umožňují eliminovat některé systematické vlivy. Např. při plynulém měření fázového rozdílu ∆Φ′ signálu z jedné
Obr. 5.32 První fázová diference IδΦ
Obr. 5.33 Druhá fázová diference IIδΦ
Obr. 5.34 Určení třetí diference
IIIδΦ
družice v časovém intervalu ∆t = t2 – t1 není fázový rozdíl zatížen opravou
z palubních hodin ∆tT (obr. 5.31). Měří-li se fázové rozdíly ∆Φ1′, ∆Φ2′ sou-
- 122 (176) -
časně ke stejným družicím ze dvou pozemních stanic (obr. 5.32), opět se vyloučí oprava z palubních hodin výpočtem první diference IδΦ = ∆Φ1′ – ∆Φ2′.
Metoda tzv. druhé diference spočívá v současném měření ke dvěma a více družicím (obr. 5.33). Druhá diference IIδΦ = IδΦ1 - IδΦ2 má tu důležitou vlastnost, že je oproštěna od oprav palubních hodin i hodin přijímače. Lze vypočítat
i třetí diferenci IIIδΦ jako rozdíl dvou druhých diferencí (obr. 5.34), čímž se
vyloučí i neznámá n, vyjadřující celý počet vlnových délek λ.
5.3.4.2
Měření Dopplerovy frekvence
Dopplerův kmitočet se k přímému určení délky v geodetických aplikacích
prakticky nepoužívá [20]. Vlivem vzájemného pohybu družice a přijímače se
mění jejich vzdálenost a dochází k frekvenčnímu posunu, tzv. Dopplerově
frekvenci
fD =
2 vr
λ
,
kde vr je relativní rychlost obou objektů (bodů) a λ nosná vlnová délka.
Dopplerova frekvence umožňuje určovat rychlost přijímače, počet celých period (ambiguit) při kinematických měřeních a také polohu přijímače [17]. Dopplerovy frekvence se zejména používá ke korekcím fázových a kódových měf
ření. Korekce jsou dvě D ρ a
fD λ ∆tR . Dosahují velikosti i několika desíf
tek metrů. Podrobnosti najde čtenář např. v publikaci LAURILA, S.,H.:
Electronic Surveying and Navigation, Awilley –Interscience Pablication, John
Willey & sons, New York – London – Sydney – Toronto 1976.
5.3.5
Určení polohy bodu
Polohu bodu lze pomocí GPS odvodit různými metodami. Obvykle se dělí podle druhu určujících veličin, způsobu určení bodů, konfigurace a struktury sítě,
pohybu přijímače, účelu měření a s tím související polohové přesnosti, rychlosti výpočtu souřadnic bodů, atd.
a) Podle druhu určujících veličin se obvykle rozlišuje určení polohy
bodů pomocí pseudovzdáleností d i/ (obr. 5.35) a pomocí Dopplerových frekvencí (obr. 5.36). U obou způsobů je nutné znát přesně dráhy družic a jejich
souřadnice v době měření. Souřadnice družic lze vypočítat z efemerid vysílaných v navigační zprávě. Pro budování kvalitních polohových geodetických
základů je vhodnější získat přesnější souřadnice až po skončení měření (postprocessing).
- 123 (176) -
Obr. 5.35 Schéma určení polohy bodu pomocí vzdáleností di
Geometricky je dána poloha zaměřovaného bodu prostorovým protínáním ze
tří délek di. Protože však v měřených pseudovzdálenostech d i/ se objevuje
kromě tří prostorových souřadnic ještě neznámá časová korekce δt [20], [23],
zvyšuje se počet nutně měřených délek na čtyři.
Určení polohy bodu z měřených délek ukazuje schematicky obr. 5.35. Pro každou pseudovzdálenost d i/ (20) lze sestavit jednu rovnici, jejíž obecný tvar je
di = d i/ - vi δt,
(5.73)
kde di jsou opravené vzdálenosti mezi anténami družic a δt = ∆tR – ∆tT (stať
5.3.4.1)
Pseudovzdálenosti d i/ jsou dány vztahem
∆ϕ i
λ .
2π
/
d i/ = ni λ +
(5.74)
Vyrovnané délky di lze vyjádřit pomocí vyrovnaných prostorových souřadnic
X,Y,Z
[
di = ( X i − X ) + (Yi − Y ) + (Z i − Z )
2
2
]
2 0,5
(5.75)
V rovnicích značí δt korekci hodin přijímače, Xi,Yi,Zi souřadnice i-té družice v okamžiku měření, λ nosnou vlnovou délku a ∆φi′ měřený fázový rozdíl.
Ambiguity ni je možno odvodit z více měření, např. při nepřetržitém měření
fázového rozdílu, z Dopplerových frekvencí atd. K výpočtu souřadnic se používá MNČ.
Obr. 5.36 Schéma určení polohy bodu pomocí Dopplerovy frekvence
- 124 (176) -
Dopplerovy frekvence se užívalo k určení polohy bodu u družicového
systému Transit. U GPS je také možno určit polohu bodů pomocí Dopplerova
kmitočtu. Podrobné údaje a odvození polohy bodu je uvedeno ve skriptech
[16].
b) Způsoby určení polohy bodu
absolutní, relativní a diferenční.
se zařazují do tří základních skupin:
K absolutnímu určení polohy bodů se využívají zpravidla pseudovzdálenosti d i/ odvozené z transitních časů τi′ (obr. 5.35). K výpočtu souřadnic je třeba znát i souřadnice odpovídajících bodů na drahách družic. Vypočítávají se z efemerid vysílaných v navigační zprávě. Polohová přesnost určení
jednoho bodu je udávána v desítkách metrů. U geodetických metod se snižuje
polohová chyba na metry a může v současné době dosáhnout po zavedení
všech korekcí až velikosti kolem 0,5 m při zpracování měření
v postprocessingu.
Obr. 5.37 Schéma relativního určení polohy bodu
Metody relativního určení polohy bodů dosahují obvykle podstatně
vyšší přesnosti než absolutní metody. Proto jsou používány pro přesné geodetické práce, jako je např. budování světových, kontinentálních, národních a
místních polohových sítí, vytyčovací práce apod. Geometrický princip metod
je znázorněn na obr. 5.37. Psedudovzdálenosti d i/ , odvozené z fázových měření minimálně ke čtyřem stejným družicím, se měří simultánně (současně) alespoň ze dvou bodů P,Q. Dvojice přijímačů tvoří základnu, jejíž vektor d je
v prostorovém souřadnicovém systému vyjádřen buď souřadnicovými rozdíly
∆X, ∆Y, ∆Z nebo délkou d a prostorovým orientovaným směrem α. Kvalitní
způsoby určení relativní polohy bodů dosahují vysoké přesnosti, vyjádřené
odhadem chyby měřené základny kolem (5 ÷ 10) mm + 1.10-6 d. Často se
odhad chyby uvádí ve tvaru (5 ÷10) mm + 1 ppm. Relativní polohová chyba
vektoru je tedy řádově menší než absolutní polohová chyba. Prakticky může
dosahovat polohová chyba vektoru o délce až několika desítek kilometrů hodnoty menší než 0,01 m.
Pro diferenční metody GPS se používá zkratka DGPS. Principem metod
je současné využití nejméně dvou přijímačů, z nichž jeden, tzv. referenční, je
umístěn zpravidla na známém geodetickém bodě. Další jeden nebo více přijí-
- 125 (176) -
mačů slouží k určování relativní polohy bodů. Všechny přijímače musí měřit
pseudovzdálenosti alespoň ke čtyřem stejným družicím. Ze známých souřadnic
referenčního bodu se vypočítají buď přímo korekce k družicově určeným souřadnicím zaměřovaných bodů, nebo korekce k měřeným veličinám. Korekce
jsou vysílány např. rádiem k ostatním přijímačům anebo se později zavádějí do
následujících výpočtů polohy určovaných bodů. Korekce obvykle zajišťují
vyšší polohovou přesnost než metody absolutního určení polohy jednotlivých
bodů. Při společném použití pseudovzdáleností d i/ a fázových rozdílů ∆ϕ i/
v režimu C/A kódu lze dosáhnout přesnosti pod 1 m. Jsou-li měřeny fázové
rozdíly ∆ϕ i/ , dá se snížit chyba až na jeden centimetr. Uvedené metody s měřením fázových rozdílů bývají při kinematickém měření polohy bodů také
označovány zkratkou RTK (Real–Time kinematic). Diferenční metody včetně
RTK jsou v praxi často využívány [7], [40], [42]. Podle toho, v jakém časovém
intervalu jsou diferenční korekce počítány, rozlišují se diferenční metody
v reálném čase nebo s využitím postprocessingu.
c) Volba konfigurace a struktury sítě závisejí na požadované kvalitě
určovaných bodů a počtu nasazených přijímačů. Jedním z nejdůležitějších požadavků zachování homogenity daného polohového bodového pole je zásada
důsledně vkládat nové zaměřované body mezi body dané sítě tak, aby projektované body ležely uvnitř mnohoúhelníku vytvořeného z okrajových připojovacích bodů. Další zásadou je, aby poloha každého nového bodu byla nezávisle
kontrolována.
d) Měřické metody se dělí na statické a kinematické. Podle názvu je
zřejmé, že u statických metod se určuje poloha nepohybujících se přijímačů,
postavených na zvolených bodech. Kinematické metody jsou založeny na určování polohy bodů pohybujícího se přijímače, např. v autě, lodi, letadle balónu a apod. Některé měřické metody jsou uvedeny na obr. 5.38. Na obr. 5.38 a)
je znázorněna standardní statická metoda, typická pro PGZ a ZhB. Relativní
poloha bodů se zaměřuje simultánně v měřických sestavách se dvěma nebo
více družicovými přijímači. Další obr. 5.38 b) znázorňuje tzv. rychlou metodu,
označovanou anglickým názvem Stop and Go. Jeden přijímač je stále na daném
bodě A. Druhý nebo i další přijímače nepřetržitě měří a krátkou dobu, obvykle
několik sekund (postačuje 10 – 15 sekund), se zastavují na určovaných bodech
P,Q,R, … U statických metod se měří družicovými přijímači na každém bodě
obvykle několik minut až několik hodin se zvolenými intervaly záznamů měřických výsledků ke každé družici. Intervaly dosahují řádově velikosti několika
sekund [11]. Vznikají tak velké statistické soubory výsledků, které se po zavedení korekcí vyhodnocují a z nich se odvozují jak určované velikosti pseudovzdáleností, tak odhady jejich přesnosti a přesnosti vypočtených vektorů mezi
dvojicemi zaměřovaných bodů.
Princip kinematické metody je zakreslen na obr. 5.38 c. Jeden přijímač je stále
umístěn na výchozím daném bodě A. Druhý přijímač se pohybuje a nepřetržitě
proměřuje stanovenou trasu ve zvolených časových intervalech, např. dvě sekundy, anebo měří polohu jen na vybraných bodech.
- 126 (176) -
a) Standardní statická b) Rychlá statická metoda
metoda
c) Kinematická metoda
Obr. 5.38 Základní měřické metody GPS
a) dva přijímače
b) tři přijímače
Obr. 5.39 Příklady projektování polohových sítí
Na dalším obr. 5.39 je schematicky uvedeno několik příkladů projektování a
zaměření menších částí bodových polí se simultánním využitím dvou a tří přijímačů. Stejně jako u terestrických sítí představují projekty družicových sítí
kvalitní metody zaměření bodů. Body jsou navázány na okolní dané body a
nadbytečně měřené veličiny poskytují dobrou kontrolu měřených souřadnicových rozdílů (vektorů).
e) Využití družicových přijímačů GPS je mnohostranné [23], [52]. Geodetické práce tvoří jen zlomek měřických aplikací s družicovým systémem
v technické praxi. Byl vyvinut pro vojenské účely, především k určování polohy různých bodů a objektů, k navigaci lodí, letadel, vrtulníků, aut, tanků, řízených střel, k zaměřování letišť, k určování času, k určování náklonů a směrů.
- 127 (176) -
Dnes je nepostradatelný k navigaci v letecké a lodní dopravě včetně rybářských a rekreačních lodí, v některých druzích sportu atd. Často jsou družicové
přijímače součástí různých komplexních systémů, např. inerciálních navigačních systémů a řídících a dispečerských systémů. V geodetických pracích jsou
nejvíce používány k zaměřování polohových bodových polí (geodetických polohových základů a zhušťovacích bodů), k určování polohy jednotlivých bodů
a objektů, v mapování, k navigaci letadel a vrtulníků při leteckém snímkování,
k vytyčování bodů, k vyhledávání stabilizací geodetických bodů, k zaměřování
posunů a deformací a k dalším speciálním pracím. Typickým znakem geodetických měření s GPS je vysoká relativní polohová přesnost určení polohy.
f) Podle rychlosti výpočtu prostorových nebo elipsoidických souřadnic
zaměřovaných bodů se obvykle rozlišují metody s bezprostředním určením
souřadnic RTK (Real-Time kinematic) a metody, u nichž se registrují měřická
data a teprve později se zpracovávají (postprocessing). K výpočtům souřadnic
bodů dochází buď ještě v polních podmínkách nebo až na počítači v kanceláři.
g) Podle pohybu přijímače se měřické metody dělí stejně jako u způsobů určení polohy bodů na statické a kinematické. Přitom se rozeznávají
statická absolutní, kinematická absolutní, statická relativní a kinematická relativní určení polohy.
V geodetických pracích byly zpravidla až do nedávné doby výsledkem měření
GPS vektory mezi dvojicemi bodů. Jednotlivé vektory jsou vyjádřeny souřadnicovými rozdíly v pravoúhlém souřadnicovém systému
X,Y,Z
nebo
v elipsoidických souřadnicích B,L,H. Ukázka měřického protokolu jednoho
vektoru mezi body je v tabulce 4.2 ve skriptech [20]. V posledních několika
letech se stále více využívá metody DGPS a RTK, a to nejen v souvislosti
s výstavbou sítě CZEPOS, ale i k zajištění různých stavebních a jiných prací
v inženýrské geodézii.
5.3.6
Diferenční globální polohový systém (DGPS)
Diferenční metody, založené na principu relativních měření, zvyšují přesnost
určování polohy bodů ve srovnání s absolutními metodami [9],[40], [42]. Vycházejí z předpokladu, že v simultánních měřeních dvěma nebo více přijímači
GPS se vyskytují stejné (společné) chyby. Platí to zejména pro blízké přijímače. S jejich rostoucí relativní vzdáleností se některé chyby mohou poněkud
lišit. Jeden z přijímačů se volí jako referenční (referenční stanice) a umisťuje se
na známém geodetickém bodě. Společné chyby jsou tvořeny především zpožděním signálů při průchodu atmosférou, chybami družicových hodin a chybami
efemerid. Korekce vypočtené pro referenční stanice na známém (daném) geodetickém bodě se přenášejí na ostatní zaměřované body a jsou přibližně považovány za totožné. Chyby vznikající v přijímači mohou být odstraněny jen
dodatečným zpracováním.
Metody DGPS využívají různých druhů korekcí, zavádějí je v různém čase a na
různých místech. Rozlišují se korekce souřadnic přijímače, korekce měřených
veličin a korekce polohy a času družic. Korekce polohových souřadnic
se získají jako rozdíly daných souřadnic referenční stanice a souřadnic vypočtených z měření přijímačem na tomto bodě. Nevýhodou těchto korekcí je
požadavek, aby k určení polohy zaměřovaných bodů byly použity stejné druži-
- 128 (176) -
ce. Korekce měřených veličin jsou používány častěji. Jde o korekce
kódových a fázových měření. Korekcí polohy a času družic se využívá zpravidla jen u velkoplošných DGPS. Pak musí být zřízena síť sledovacích
stanic na velkém území, které předávají měření do hlavní stanice. Zde se pravidelně vypočítávají a vysílají uživatelům korekce prostorové polohy družic,
korekce chyb hodin družic a mapa korekcí ionosférického zpoždění nad celou
oblastí.
Korekce se vysílají v celé zájmové oblasti zpravidla pomocí rádia.
K základním požadavkům na rádiový kanál patří: pokrytí celého území, dostatečná přenosová rychlost a spolehlivost přenosu. S kvalitou přenosu korekcí
souvisí také volba frekvenčního pásma rádiového kanálu.
Pro geodetické metody určování polohy bodů se používá fázových měření a
budují se sítě referenčních stanic pro zvolené území (někdy celého státu), které
mají řídící a vyhodnocovací centrum. Řídicí stanice vyhodnocuje měření referenčních stanic a vypočítává diferenční korekce pro libovolný bod uvnitř sítě
referenčních stanic. V současné době je známý zejména systém RTK (RealTime kinematic). Je založený na zpracování fázových měření v reálném čase a
aplikuje se k přesnému určování polohy včetně řízení stavebních a povrchových důlních strojů a v mapování. [42]. V ČR se také už druhým rokem konají
zkušební měření v pražském regionu společností bys@t [42] s cílem vybudovat
celostátní síť RTK. Zároveň bylo zpracováno několik projektů celostátní sítě
RTK. Podle konečného projektu se v letech 2004 a 2005 uskutečnila výstavba
referenčních stanic na celém území ČR. Systém RTK je vybudován např. na
území Německa a buduje se na Slovensku. Jeho hlavní výhoda spočívá ve skutečnosti, že je možno používat jen jeden družicový přijímač k spolehlivému
určení bodu na několik centimetrů, zpravidla kolem 0,02 až 0,04 m. K přenosu
korekcí lze použít různých cest, např. přes družice, velkoplošný rádiový přenos
pomocí dlouhých vln nebo pásma VKV, Internet, místní privátní přenos, paketový (balíkový) přenos atd. Bližší údaje o DGPS najde čtenář např. v publikacích [11], [40] a [42].
Vybudované síť CZEPOS (obr. 2.7), sestávající z 22 základních stanic, pokrývá celou ČR [9]. Má sloužit k zjednodušenému určování zhušťovacích bodů
pomocí družicového systému GPS. Síť bude poskytovat dva hlavní výstupy:
-
data pro zpracování geodetických a navigačních měření po ukončených měřeních (postprocessing) a
-
služby pro určení polohy bodů v reálném čase.
Data pro dodatečné zpracování budou k dispozici registrovaným uživatelům
přes webové rozhraní v souborech ve formátu RINEX (Receiver Independent
Exchange format) s volitelným rozsahem a obsahem. Služby budou trojího
druhu: pro DGPS, pro kinematiku v reálném čase (RTK) ve formě virtuálních
referenčních stanic a pro kinematiku v reálném čase (RTK) ve formě plošných
korekcí.
Služby pro RTK budou k dispozici buď přes Internet nebo přes GSM.
Výhoda sítě CZEPOS spočívá jednak v zjednodušeném přístrojovém vybavení,
tvořícím jen jeden družicový přijímač a jedné aparatury k měření terestrických
veličin, jednak v relativně rychlém získání souřadnic určovaných polohových
bodů T.
- 129 (176) -
5.3.7
Aplikace družicových měření v geodézii
Využití GPS je značně široké. Družicové systémy byly vyvíjeny přednostně
pro vojenské potřeby, především k navigaci lodí, letadel, raket, pozemních vozidel, vojenských jednotek atd. V mnohem větší míře však dnes slouží
k navigaci všech druhů civilních dopravních prostředků. Vývoj družicových
systémů je také od počátku úzce spojen s geodézií a geodetickou astronomií.
V současné době tvoří družicový systém GPS jednu ze základních přístrojových technik v různých geodetických oblastech, především při budování geodetických polohových bodových polí, v geodynamice, v mapování, ve fotogrammetrii, v geografických informačních systémech, v inženýrské geodézii
atd. O významu GPS v geodézii a v ostatních příbuzných disciplinách svědčí
četné odborné semináře a konference na mezinárodní i národní úrovni, četné
učebnice, monografie odborná pojednání v různých časopisech a sbornících,
např. [11], [13], [20], [28], [39], [40], [41], [42], [52].
V Česku se od počátku devadesátých let se začalo orientovat budování polohových geodetických základů (PGZ) na družicové metody (stať
2.1.5, 2.1.6 a 2.1.7). Se zvyšujícím se počtem geodetických družicových přijímačů se také v druhé polovině devadesátých let přešlo na systematické využití
GPS při určování polohy zhušťovacích (stať 2.1.10). V současné době se
zařadila družicová měření hlavními metodami určování polohy bodů jak
v GPZ tak i v PPBP.
Družicové metody našly také značné uplatnění v různých speciálních
geodetických pracích. V letech 1995 a 1996 byla opakovaně zaměřena
v Česku Geodynamická síť [1]. Zeměměřický úřad používá GPS při zaměřování státních hranic [7], [38]. [39]. Přesná družicová měření slouží ke sledování
posunů a deformací ve speciálních (místních) sítích, např. [20]. Stále častěji se
využívá GPS ve vytyčovacích pracích, kdy pomocí vhodně umístěné referenční
stanice a souřadnic projektovaných bodů se na displeji řídící a zobrazovací
jednotky objevují údaje o souřadnicových rozdílech polohy antény a vytyčovaného bodu. Ve fotogrammetrii se používá GPS jednak k navigaci fotogrammetrických letadel a k určování souřadnic letadel při snímkování, jednak
k zaměřování souřadnic vlícovacích bodů. Některá další uplatnění družicových
metod v geodézii najde čtenář např. v publikacích [38], [39], v časopisech Geodetický a kartografický obzor, Zeměměřič a v řadě dalších publikací..
Všechny druhy geodetických prací s GPS vycházejí z určování prostorové polohy bodů. Souřadnice každého bodu jsou vyrovnávány z mnoha sérií vypočtených pseudovzdáleností mezi anténou přijímače a družicemi. Obecně lze vyjádřit vyrovnání prostorových pravoúhlých souřadnic určovaných bodů pomocí
vektoru oprav v měřených veličin. Linearizované rovnice oprav mají tvar [17]
v = A1 δx1 + A2 δx2 + A3 δx3 + A4 δx4 + ℓ ≡
4
∑ A δx + ℓ ,
i =1
i
i
(5.76)
kde vektory v, ℓ mají počet prvků totožný s počtem měřených veličin, submatice Ai obsahují parciální derivace měřených veličin podle vyrovnávaných
parametrů xi (pro i = 1,2,3,4) a vektor ℓ tvoří absolutní členy rovnic oprav.
Přitom vektor x1 je složen z dynamických parametrů (Kepplerovovské ele-
- 130 (176) -
menty, souřadnice pólu atd.), vektor x2 obsahuje souřadnice určovaných bodů,
vektor x3 parametry atmosféry a x4 parametry spojené s korekcemi hodin a
s počtem celých ambiguit (period nebo nosných vlnových délek). Vektory δxi,
vzniklé při linearizaci rovnic oprav, označují přírůstky vyrovnávaných neznámých.
Zpravidla se rovnice oprav omezují jen na výraz
v =A2 δx2 + A4 δx4 + ℓ ,
(5.77)
což je pro vyrovnání jednodušší a řešení je stabilnější.
Vyrovnání se týká absolutního určení polohy bodů, které zpravidla neposkytuje
dostačující polohovou přesnost pro geodetické aplikace. Z důvodů zvýšení
přesnosti se v geodézii používá relativních metod určení vektorů mezi dvojicemi simultánně určovaných bodů anebo relativního určení souřadnic více bodů ve zvolené konfiguraci simultánních družicových měření (bodů zaměřovaných ve společné měřické sestavě). Pak výsledkem měření GPS jsou vektory
mezi dvojicemi bodů anebo absolutní souřadnice více bodů zpravidla se stejným anebo málo odlišným systematickým chybovým polohovým vektorem.
Složky jednotlivých vektorů mezi dvojicemi bodů jsou vyjádřeny souřadnicovými rozdíly v pravoúhlém souřadnicovém systému
X,Y,Z
nebo
v elipsoidických souřadnicích B,L,eH. Velké vektory chyb v poloze bodů jsou
prakticky stejné a přesnost simultánně určených souřadnicových rozdílů Xj′Xi′, Yj′-Yi′, Zj′-Zi′ (Bj′-Bi′, Lj′-Li′, eHj′-eHi′) se zvyšuje až o několik řádů vzhledem k původně vypočteným absolutním souřadnicím jednotlivých bodů. Ukázka zápisu takového polohového vektoru je uvedena např. v tabulce 4.2 skript
[20].
Kontrolní otázky
Jaké jsou základní měřické metody u družicových přijímačů?
Jak se měří odvozují časové intervaly z kódových měření a jaké je jejich
přesnost?
Jak se určují ambiguity?
K čemu slouží první, druhá a třetí diference ∆Ф při zpracovávání měřených
fázových rozdílů?
K čemu slouží měření Dopplerovy frekvence?
Jaký je princip určení polohy bodu pomocí pseudovzdáleností a
Dopplerovy frekvence?
Jaký je princip určení relativní polohy bodu metodou GPS?
Jaký je princip diferenčních metod GDS (DGPS, RTK)?
Jaké znáte základní měřické metody?
K čemu všemu se využívá družicových měření?
Popište metodu DGPS!
Jaký je význam metody RTK v současné době?
- 131 (176) -
pomocí
K čemu slouží družicové metody v geodézii?
Jak lze obecně vyjádřit vyrovnání prostorových souřadnic určených družicovými metodami?
Poznámka
Nebudete-li si vědět rady s odpovědí na některou otázku, znovu si prostudujte
příslušnou problematiku, popřípadě si vyžádejte konzultaci u učitele předmětu.
5.4
Družicové sítě
Zpracování družicových měření a odpovídající souřadnicové vyrovnání je
zpravidla založeno na MNČ. Metody souřadnicových výpočtů lze rozdělit na
přesné a přibližné. V přesných geodetických pracích, jako jsou např. měření
v PGZ, při zjišťování posunů a deformací apod., vycházejí výpočty zpravidla
z měřených vektorů a z měřických sestav (sérií). V každé sestavě se společně
odvozují absolutní prostorové souřadnice kXi, kYi, kZi (obr. 5.40) dvou anebo
více simultánně (společně) určovaných bodů ve WGS 84. Index i značí určovaný bod a k měřickou skupinu (sérii). Jak již bylo zdůrazněno, souřadnice
bodů v každé sestavě jsou zatíženy konstantními systematickými chybami,
dosahujícími běžně několika metrů. Celkově se projevují jako translace vzhledem ke geocentrickému počátku WGS 84.
V současné době se mohou zhušťovací body určovat i metodami DGPS a RTK,
jejichž výsledkem jsou souřadnice DXT, DYT, DZT. Přitom index T značí určované body (T = P, Q, R, S, …). Pokud se měří poloha bodů jen těmito metodami, jsou uvedené souřadnice definitivní. V případech společného používání
jak metod DGPS a RTK, tak i simultánních měření na dvou nebo několika bodech, je vhodné považovat oba druhy uvedených souřadnic za přibližné a vyrovnávat je MNČ.
Všechny výpočty probíhají výhradně na počítačích v softwarech, dodávaných
výrobci družicových přijímačů, nebo podle specializovaných programů. Kvalita výpočetních programů není stejná a je závislá na metodice a technologii měřických prací, na teoretickém řešení geodetických úloh, na použitých přibližných matematických operacích, na způsobech vylučování a snižování vlivu
systematických chyb, na velikosti odvozených vektorů a také na vzdálenostech
sousedních bodů. Vzhledem k existenci řady výpočetních postupů jsou v dalším textu uvedeny jen principy hlavních metod souřadnicového vyrovnání družicových měření a s nimi spojených převodů a transformací. Nejdříve jsou probírána vyrovnání polohových bodových polí, zaměřených simultánně dvěma
anebo více družicovými aparaturami [20]. Pak jsou uvedeny principy zpracování družicových a terestrických měření.
5.4.1
Vyrovnání simultánních měření v prostorových souřadnicích
Hlavní metody souřadnicových vyrovnání polohových bodových polí (PGZ,
ZhB a jiných sítí) z družicových vektorů a z měřických sestav je možno rozdělit na e t a p o v á a p ř í m á [20].
- 132 (176) -
a) V geodetické praxi se často používají metody e t a p o v é h o v y r o v n á n í
družicových měření. Jejich základem bývá spojení měřických sestav (sérií,
skupin simultánně měřených bodů) do volné sítě, která je vůči správné poloze
polohových bodů posunuta o konstantní souřadnicové posuny cXo, cYo, cZo.
Posuny mohou dosahovat až několik desítek metrů, v závislosti na kterou měřickou sestavu jsou ostatní sestavy napojeny. V další etapě se volná síť transformuje do daného bodového pole. Obě etapy zpravidla využívají metody nejmenších čtverců (MNČ).
S o u ř a d n i c o v é v y r o v n á n í v o l n é s í t ě . K exaktnímu spojení měřických sestav je vhodná např. prostorová podobnostní transformace (stať 3.4.1).
Při zhušťování bodového pole na menším území, např. u ZhB a u PPBP, je
možno výpočet zjednodušit a zanedbat relativně malé měřítkové změny a malá
relativní úhlová pootočení všech tří os. Ke spojení samostatných měřických
sestav (obr.5.40) v zprostředkujícím vyrovnání se tak rovnice oprav zjednodušují na tvar
= vXi - kXi - k c X/ , kvYi = vYi - kYi - k cY/ , kvZi = vZi - kZi - k c Z/ (5.78)
pro i = A,B, .. N; P,Q, .. Z,
kde kvXi,kvYi,kvZi jsou souřadnicové opravy a kXi, kYi, kZi souřadnice bodů, získané ze simultánních družicových měření v jednotlivých sestavách k = 1,2,3
… s. vXi,vYi,vZi jsou vyrovnané souřadnice všech bodů volné sítě,
/
/
/
relativní souřadnicové posuny měřických sestav vzhledem ke
k c X , k cY , k c Z
zvolené základní měřické sestavě a indexy i označují jak body určované (T =
P,Q,R, … Z) tak body dané (K = A,B,C ….N).
kvXi
a) dva družicové přijímače
b) tři družicové přijímače
Obr. 5.40 Schématický nákres měřických sestav spojovaných ve volnou síť
Rovnice oprav se upravují na tvar
kvXi
= δX i − k δc X/ + kℓXi ,
kℓXi
/
= v X oi - kXi - k c Xo
,
kvYi
kℓYi
(5.79)
= δYi - k δcY/ + kℓYi ,
/
= v Yoi - kYi - k cYo
,
kvZi
kℓZi
= δZ i - k δc Z/ + kℓZi ,
/
= v Z oi - kZi - k c Zo
,
kde v X oi , v Yoi , v Z oi jsou přibližné hodnoty vyrovnaných souřadnic bodů ve
volné síti, δX i , δYi , δZ i jejich korekce (přírůstky) odvozené z vyrovnání,
k
/
/
/
c Xo
, k cYo
, k c Zo
přibližné hodnoty souřadnicových posunů jednotlivých měřic-
kých sestav k (translace) a k δc X/ , k δcY/ , k δc Z/ korekce (přírůstky) souřadnico-
- 133 (176) -
vých posunů vypočtené z vyrovnání. Pro vyrovnané souřadnice bodů volné sítě
a pro vyrovnané souřadnicové přírůstky platí známé vztahy [20], [19]
= v X oi + δX i ,
vYi
= vYoi + δYi ,
/
= k c Xo
+ k δc X/ ,
/
k cY
/
= k cYo
+ k δcY/ ,
vXi
/
k cX
v Z i = v Z oi
/
k cZ
+ δZ i ,
(5.81)
/
= k c Zo
+ k δc Z/ .
/
/
Všechny relativní souřadnicové posuny k c Xo
, k cYo/ , k c Zo
pro k = 2,3,4 … s se
vztahují ke zvolené první měřické sestavě (k = 1).
Rovnice oprav jsou dány vektorem
vv = Av δx + ℓv ,
kde
⎡ 1v ⎤
⎢ v⎥
vv = ⎢ 2 ⎥ , Av =
⎢.⎥
⎢ ⎥
⎣ s v⎦
⎡ 1 A⎤
⎢ 2 A⎥
⎢ ⎥ , δx =
⎢ . ⎥
⎣⎢ s A⎦⎥
(5.82)
⎡ 1l⎤
⎢ 2 l⎥
⎡δu⎤
,
ℓ
=
⎢ ⎥,
v
⎢δ c ⎥
⎢. ⎥
⎣ ⎦
⎣⎢ s l ⎦⎥
⎡δu A ⎤
⎢δu ⎥
⎡ 1 δc ′ ⎤
⎡ k Ae ⎤
⎡ k ve ⎤
⎢ B⎥
⎢
⎥
⎢ A ⎥
⎢
⎥
′
⎢ . ⎥
vf
c
δ
k
2
⎥ , kv = ⎢
⎥ , kA = ⎢ k f ⎥ ,
δu = ⎢ ⎥ , δc = ⎢
⎢ . ⎥
⎢ . ⎥
⎢ . ⎥
⎢δu P ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢δuQ ⎥
⎣ k Am ⎦
⎣ k vm ⎦
⎣ s δc ′ ⎦
⎢
⎥
.
⎣
⎦
⎡δX i ⎤
δui = ⎢⎢ δYi ⎥⎥ ,
⎢⎣δZ i ⎥⎦
⎡ k le ⎤
⎡ k δc ⎤
⎢ l ⎥
⎢
⎥
/
= ⎢ k δc ⎥ , kℓ = ⎢ k f ⎥ .
k δc
⎢ . ⎥
⎢ k δc ⎥
⎣
⎦
⎢
⎥
⎣k lm ⎦
/
X
/
Y
/
Z
Indexy k =1,2,3, … s u subvektorů kv , kℓ a submatice kA se vztahují k
/
souřadnicím bodů v k-té měřické sestavě. Podobně subvektory k δc obsahují
souřadnicové posuny (translaci) k-té sestavy. Subvektory δui (i = A,B,C,
…N; P,Q,R, …Z) tvoří souřadnicové přírůstky δXi, δYi, δZi všech zaměřovaných bodů. Indexy e, f, … m se vztahují jen k souřadnicovým opravám bodů v
jednotlivých měřických sestavách.
Normální rovnice mají známý tvar (stať 3.2)
Nv δx + nv = o
(Nv = Av PAv , nv = Av P ℓv)
T
a neznámé vyjadřuje vztah
−1
δx = - N v nv .
- 134 (176) -
T
Počet rovnic oprav je shodný s počtem zaměřených souřadnic bodů ve všech
sestavách (1,2,3, …. k). Celkový počet neznámých ν je součtem trojnásobku
počtu t určovaných bodů a trojnásobku počtu sestav k (ν = 3 t + 3 k).
Po odhadu střední jednotkové chyby
mo2 =
Σpv 2
n −ν
se odhadne i velikost středních souřadnicových chyb m X i , mY i , m Z i jako součin střední jednotkové chyby mo a příslušných odmocnin váhových koeficientů QXiXi, QYiYi, QZiZi, které tvoří prvky diagonály kovarianční matice Mv =
mo2 Qv (stať 3.2)
m X2 i = mo2 Q X i X i ,
mY2i = mo2 QY iY i ,
m Z2 i = mo2 QZ i Z i .
Matice Qv váhových koeficientů je dána známým vztahem [20]
Qv = N v−1 .
Jak již bylo uvedeno, při spojování jednotlivých měřických sérií by bylo teoreticky správné uvažovat kromě složek translace ( c X/ , cY/ , c Z/ ) a rotace (δα, δβ, δγ)
i malou změnu měřítka kdµ. Výpočetní programy souřadnicového vyrovnání
volné sítě používají často i dalšího zjednodušeného postupu, spočívajícího jen
ve spojování vektorů vypočtených z jednotlivých měřických sestav, i když jde
o simultánní měření na více než dvou bodech.
V druhé etapě se volná síť převádí
prostorovou
podobnostní
transformací
do dané polohové sítě. Výpočet postupuje podle rovnic
uvedených ve stati 3.4.1.
V závěru souřadnicového vyrovnání se ověřuje k v a l i t a i d e n t i c k ý c h
b o d ů (stupeň identity) a vypočítávají se souřadnicové opravy transformovaných bodů některou z metod uvedených ve stati 3.6.4.
b) Přímé vyrovnání vychází také z absolutních souřadnic kXi, kYi, kZi, získaných v jednotlivých k-tých měřických sestavách. Tyto souřadnice jsou přímo
používány k souřadnicovému vyrovnání určovaných bodů v dané prostorové
síti. Obecný tvar rovnic oprav je podobný jako u etapového zpracování [20]
kvXi
= Xi – kXi – kcX ,
k vY i
= Yi – kYi – kcY ,
kvZi
= Zi - kZi - kcZ ,
(5.83)
kde Xi,Yi,Zi jsou vyrovnané souřadnice určovaných bodů a kcX,kcY,kcZ souřadnicové posuny.
Hlavní rozdíly spočívají v tom, že odpadá souřadnicové vyrovnání přírůstků
daných bodů a že souřadnicové posuny kcX, kcY, kcZ (translace) se přímo vztahují k daným bodům souřadnicového systému (ETRS 89 nebo WGS 84).
Translace jsou tedy při přímém vyrovnání obecně rozdílné od translací
v předcházejícím etapovém vyrovnání. Rovnice oprav kvXi, kvYi, kvZi lze tak
rozdělit na souřadnicové opravy určovaných bodů (T = P,Q,R, … Z) a bodů
daných K = A,B, … N). Stejně jako v rovnicích (5.79) je možno po úpravě
psát
- 135 (176) -
kvXT
= δXT - kδcX + kℓXT ,
kℓXT
= XoT – kXT – kcXo,
kvYT
= δYT - kδcY + kℓYT ,
kℓYT
= YoT – kYT − kcYo,
kvZT
= δZT - kδcZ + kℓZT, kℓZT = ZoT– kZT – kcZo ,
kvXK
= -kδcX + kℓXK,
kℓXK
= XK – kXK – kcXo,
kvYK
= -kδcY + kℓYK ,
kℓYK
= YK - kYK - kcYo,
kvZK
= -kδcZ + kℓZK ,
kℓZK
= ZK - kZK - kcZo,
(5.84)
kde XoT,YoT,ZoT označují přibližné hodnoty vyrovnaných souřadnic XT, YT, ZT
souřadnice daných bodů a kcXo,kcYo,kcZo přibližné hodnoty vyrovnaných souřadnicových posunů.
Další postup souřadnicového vyrovnání je obdobný s předcházejícím vyrovnáním volné sítě. Výsledkem jsou vyrovnané souřadnice XT,YT,ZT určovaných
bodů pro T = P,Q,R, … Z
X T = k X T/ + k c Xo + k δc X + δX T , YT = kYT/ + k cYo + k δcY + δYT ,
Z T = k Z T/ + k c Zo + k δc Z + δZ T .
(5.85)
Po výpočtu vyrovnaných souřadnic se zjišťuje stupeň identity daných bodů
(stať 3.6.4).
c) Prostorové souřadnicové vyrovnání je vhodné i pro geodetické polohové sítě
(PGZ a zhušťovací bodové pole) v r o v i n n é m z o b r a z e n í , např. v SJTSK. K výpočtu je možno použít různých metod. Zde je stručně uvedena
základní čtyřetapová varianta, kterou vyjadřuje přehledné schéma
rXK, rYK,
HK
→ RK,DηK →
ŠK,DK → UK,VK
→
→
→
1. etapa
BBK,BLK
→
2. etapa
→
kXi, kYi, kZi
WBK,WLK,eHK
→
pXK, pYK, pZK
vXi, vYi, vZi
(5.86)
3. etapa
/
/
/
p X i , p Yi , p Z i
→
wBT,wLT,eHT
→ vXT, vYT, vZT →
→
BBT,BLT
pXT, pYT, pZT
→ UT,VT
4. etapa
→ ŠT, DT
→ RT, DηT →
rXT,rYT,HT
V p r v n í e t a p ě se postupně převádějí rovinné souřadnice daných bodů
r XK, rYK a jejich výšky HK v baltském systému z S-JTSK na polární (RK,
DηK), kartografické na kouli (ŠK, DK), zeměpisné (UK, VK), zeměpisné (BBK,
BLK) na elipsoidu Besselově, zeměpisné (WBK, WLK, eHK) na elipsoidu WGS 84
a na prostorové souřadnice pXK, pYK, pZK. Podrobnosti jsou uvedeny ve skriptech [20].
- 136 (176) -
Elipsoidické výšky eHK (T = P,Q,R, …Z) bodů K se počítají jako součet
kvazigeoidických výšek HK a převýšení kvazigeoidu nad elipsoidem ζK [21]
eHK =
HK + ζK .
(5.87)
Druhá etapa spočívá ve spojení měřických sestav kXi,kYi,kZi ve volnou síť
vXi,vYi,vZi pro i = A,B, … N; P,Q,R, … Z (rovnice 5.78 až 5.82)..
Ve třetí etapě je třeba převést souřadnice vXi,vYi,vZi bodů volné sítě do
sítě odpovídajících identických bodů prostorovou podobnostní transformací
( p X i/ , p Yi / , p Z i/ ). Pak dochází k výpočtu oprav vXT, vYT, vZT určovaných bodů
(T = P,Q,R, …Z), např. některou metodou uvedenou ve stati 3.5. Tím se získají
vyrovnané prostorové souřadnice
p
X T = p X T/ + v X T , p YT = p YT/ + vY T , p Z T = p Z T/ + v Z T .
(5.88)
Ve čtvrté etapě se převádějí vyrovnané souřadnice určovaných bodů do
Křovákova zobrazení (rXT, rYT) a vypočtou se jejich výšky HT, obráceným
postupem než v 1. etapě.
Prostorové souřadnicové vyrovnání rovinných (zpravidla starších terestrických)
sítí je poněkud odlišné od výše uvedených družicových sítí. Souřadnice
pXK,pYK,pZK bodů JTSK, získané převodem z rovinných souřadnic Křovákova
zobrazení, se totiž vztahují k triangulační síti, vybudované v období 20. až 50.
let minulého století. I když byla udržována a některé její části obnovovány, jde
o síť, která je zatížena jak místními měřítkovými odchylkami, tak odchylkami
v její orientaci. Proto je nutné u etapových vyrovnání transformovat nejprve
volnou družicovou síť (vXi,vYi,vZi) podobnostní prostorovou transformací (stať
3.4.1.4) do převedeného bodového pole JTSK (pXK,pYK,pZK) a přihlédnout
k této okolnosti i při zpětném převodu vyrovnaných souřadnic určovaných bodů do S-JTSK.
Kontrolní otázky
Jaké jsou základní skupiny metod souřadnicového vyrovnání družicových
vektorů v prostorových souřadnicích?
Jaké jsou zpravidla etapy etapového vyrovnání prostorových souřadnic?
Co je principem přímé metody souřadnicového vyrovnání.
Jak se člení etapy souřadnicového vyrovnání při převodu rovinných souřadnic daných bodů a jejich výšek na prostorové souřadnice?
Poznámka
Nebudete-li znát odpověď na některou z otázek, znovu a pečlivěji prostudujte
metody vyrovnání v prostorových souřadnicích ze skript [20].
- 137 (176) -
5.4.2
Vyrovnání simultánních měření v rovinných souřadnicích a výškách Bpv
Podobně jako u prostorových souřadnic jsou etapová a přímá vyrovnání základními metodami zpracování družicových simultánních měření
v zobrazovací rovině (např. S-JTSK).
a) U e t a p o v ý c h v y r o v n á n í postupuje výpočet podle schématu
(5.89)
k
X i , k Yi , k Z i
(
→ S i / , Di /
→
vXi,vYi,vZi
→ R / , D/
i
ηi
→
Bi/ ,W L i/ , e H i ; B Bi/ , B L/i
→ r X i/ , rYi /
→ r X i/ , r Yi /
→
→ U i / ,Vi /
/
W
→ r X T , r YT , H T
.
Použité symboly mají stejný význam jako ve schématu (5.86).
Nejprve se spojí měřické sestavy (kXi,kYi,kZi) ve volnou síť (vXi.vY.,vZi), stejně
jako při zpracování družicových měření v prostorových souřadnicích. Ve druhé
etapě se volná síť převede do zobrazovací roviny S-JTSK ( r X i/ , r Yi / ). Třetí
etapu tvoří rovinná podobnostní transformace, kdy se souřadnice bodů převádějí na r X i/ , rYi / . Součástí etapy je zjišťování míry identity společných bodů
v obou soustavách ze souřadnicových odchylek δXi = rXi - r X i/ , δYi =
rYi
-
/
. Po výpočtu souřadnicových oprav vXT,vYT (stať 3.5) jsou výsledné souřadnice rXT, rYT určovaných bodů vyjádřeny vztahy
r Yi
r
X T = r X T/ + v X T ,
rYT
= r YT/ + vYT .
Zvlášť se odvozují výšky HT , zpravidla transformací elipsoidických výšek
/
e H i na identické (výškové) body s výškami HK , pomocí vztahu (5.87) [21]
HT = eHT - ζT .
Transformace se zjednoduší posunutím počátku obou soustav do těžiště identických bodů.
b) Přímé vyrovnání vychází z postupného převodu prostorových souřadnic k X i , k Yi , k Z i jednotlivých měřických sestav k (bodů simultánně měřených
družicovými přijímači) do zobrazovací roviny S-JTSK ( kr X i/ , krYi / ). Rovnice
oprav kvXT , kvYT a kvXK , kvYK rovinných souřadnic pro určované body (T =
A,B,C, …N) a pro dané body (K = P,Q,R, …Z) mají obecný tvar obdobný s
rovnicemi (5.79) přímého vyrovnání v předcházející stati 5.4.1
k vX T
= δX T − k δc X + k l X T ,
/
k l X T =r XoT −krXT −k cXo,
k vY T
= δYT − k δcY + k l Y T ,
/
k lY T =rYo T −krYT −k cYo,
- 138 (176) -
(5.90)
kde
k vXK
=− k δc X + k l X K ,
k l XK
= r X K − kr X K/ − k c Xo ,
k vYK t
=− k δcY + k l YK ,
k l YK
= r YK − kr YK/ − k cYo ,
rXoT, rYoT
označují přibližné hodnoty vyrovnaných souřadnic, δXT,δYT
souřadnicové přírůstky (korekce),
kr
X T/ , krYT/ rovinné souřadnice určovaných
bodů, kr X K/ , krYK/ rovinné souřadnice daných bodů převedené z k-té měřické
sestavy do zobrazovací roviny a rXK, rYK souřadnice daných bodů. Souřadnicové posuny kδcX (= kcXo+kδcX), kδcY (=kcYo+kδcY) k-té měřické sestavy jsou při
přímém vyrovnání obecně rozdílné od souřadnicových posunů v etapovém
vyrovnání.
Další postup je podobný jako u přímé metody vyrovnání prostorových souřadnic ve stati 5.4.1. Výsledkem jsou vyrovnané rovinné souřadnice XT,YT určovaných bodů a souřadnicové posuny kcX, kcY jednotlivých měřických sestav
rXT = k kr
X T/ + k c X + δX T ,
rYT
= kr YT/ + k cY + δYT .
(5.91)
c) U některých způsobů přímého vyrovnání se zavádějí do vyrovnání f i k t i v n í m ě ř e n é veličiny [20]. Z družicově zaměřených prostorových souřadnic v jednotlivých měřických sériích (kXi,kYi,kZi) nebo ze souřadnic vyrovnané volné sítě ( v X i/ , v Yi / , v Z i/ ) se odvozují fiktivní veličiny v zobrazovací
rovině. Prakticky se převádějí prostorové vektory dij na rovinné vektory sij
spojené s S-JTSK nebo se zvoleným místním souřadnicovým systémem. Indexy i, j označují libovolné dvojice daných a určovaných bodů K (≡ A,B,C,
… N), T (≡P,Q,R. … Z), mezi kterými byl družicově určen prostorový vektor.
Vektory sij převedené do zobrazovací roviny jsou určeny buď rovinnou délkou sij a směrníkem τij nebo rovinnými souřadnicovými rozdíly ∆X ij , ∆Yij .
Uvedené veličiny se počítají např. podle rovnic
sij = [( k r X j − k r X i ) 2 + ( k r Y j − k r Yi ) 2 ]0,5 ,
τij = arctg
k rY j − k r Yi
kr
∆X ij =
nebo
krXj – krXi,
X j −kr X i
∆Yij = krYj – krYi ,
,
(5.92)
(5.93)
kde index kr před souřadnicemi značí, že jde o rovinné souřadnice převedené
z k-té měřické sestavy do zobrazovací roviny (r).
Rovnice oprav pro oba druhy fiktivních rovinných veličin, odvozených
z vektoru dTU mezi dvěma určovanými body T,U mají obecný tvar [20]
v
S TU
= a STU δX T + bSTU δYT + c STU δX U + d STU δYU − sTU δµ S + l STU , (5.94)
+ ℓτTU ,
vτTU = aτTU δXT + bτTUδYT + cτTU δXU + dτTU δYU - δω
kde − a S
TU
≡ cS
aτTU ≡-cτTU
TU
= cos τTU , − bS
=ρ
TU
sin τ TU
/
S TU
2
= dS
TU
/
= sin τTU , l STU = S TU
− sTU ,
, − bτ TU ≡ dτ TU = ρ
cosτ TU
/
S TU
/
S TU
= [( r X oT − r X oU ) +( r YoT − rYoU ) 2 ]0,5 ,
- 139 (176) -
,
/
l τ TU = σ TU
− τ TU ,
nebo
/
v X TU = δXU – δXT - ∆X TU
δµ S + ∆YTU/ δω + (rXoU – rXoT – ∆X TU ),
(5.95)
/
vYTU = δYU - δYT - ∆YTU/ δµ S − ∆X TU
δω + (rYoU – rYoT – ∆YTU ) .
V rovnicích značí rXoT , rYoT , rXoU , rYoU přibližné souřadnice určovaných bo/
/
/
, σ TU
, ∆X TU
dů, δXT, δYT, δXU, δYU souřadnicové přírůstky, S TU
, ∆YTU/ označují přibližné délky, směrníky a souřadnicové rozdíly, vypočtené z uvedených
přibližných souřadnic r X oT , rYoT , r X oU , rYoU určovaných bodů a ze souřadnic
bodů daných. Symboly δµS, δω jsou změna měřítka a úhlové pootočení.
Pro vektor vypočtený mezi jedním určovaným bodem T a druhým daným bodem K se rovnice zjednodušují na tvar
= aSTK δXT +bSTK δYT – s TK δµS + ℓSTK ,
vS
TK
δω + ℓτTK ,
vτTK = aτTK δXT + bτTK δYT vX
nebo
TK
/
= aXTK δXT - ∆X TK
δµ S + ∆YTK/ δω + ℓXTK ,
/
vY = bYTK δYT - ∆YTK/ δµ S − ∆X TK
δω + ℓYTK .
TK
Pro vektory, určené jen mezi danými body, zůstávají v rovnicích oprav členy
s neznámými δµS, δω a absolutní členy.
Počet neznámých a tedy i počet normálních rovnic u je dán výrazem
u = 2(t – ν) + 2 ,
kde t je počet všech bodů a ν počet daných bodů. Z rovnic oprav se vypočtou
normální rovnice, přírůstky souřadnic a nakonec vyrovnané souřadnice. Váhové matice jsou vyjádřeny obecnými vztahy
⎡P
P= ⎢ s
⎣0
0⎤
Pτ ⎥⎦
nebo
⎡P
P = ⎢ ∆X
⎣⎢ 0
0 ⎤
,
P∆Y ⎥⎦⎥
kde PS , Pτ, P∆X, P∆Y jsou váhové submatice pro délky sij , směrníky τij a
souřadnicové rozdíly ∆Xij, ∆Yij družicově určených a do zobrazovací roviny
převedených vektorů dij. Získají se pomocí transformace kovariančních matic
Pij odvozených při výpočtu souřadnic z družicových měření. K vyrovnání lze
také použít přibližných vah
pS =
ij
k
m S2
pτ ij =
,
ij
k
,
mτ2ij
p X ij =
k
m∆2X ij
,
pYij =
k
m∆2Yij
,
kde střední chyby m S rovinných délek sij se buď odhadují podle přibližnéij
ho vzorce
m S = a + b sij 10 −6
ij
nebo se volí konstantní pro všechny délky.
Střední kvadratické chyby mτ ij , m∆X ij , m∆Yij se vztahují k odvozeným směrníkům τij a k souřadnicovým rozdílům ∆X ij , ∆Yij .
- 140 (176) -
Konstantu k je možno zvolit libovolně, např. k = mo2 . Výsledné souřadnice
určovaných bodů P, Q, … Z a odhady jejich středních chyb jsou dány stejnými vztahy jako v dřívějších vyrovnáních, např.ve stati 5.4.1.
Kontrolní otázky
Jaké základní skupiny metod souřadnicového vyrovnání družicových měření v rovině znáte.
Jaký je princip etapového vyrovnání v rovinných souřadnicích?
Jaký je postup přímého vyrovnání družicových vektorů převedených do roviny?
Co jsou to fiktivní měřené veličiny a jak se využívají při přímém souřadnicovém vyrovnání v rovině?
Poznámka
Pokud nejste schopen správně odpovědět na položené otázky, musíte si pozorněji zopakovat látku.
5.5
Spojené družicové a terestrické sítě
Vybudované polohové bodové pole je třeba podle potřeby obnovovat, doplňovat a vkládat do něho zhušťovací body nebo plošné sítě, sloužící k mapování
nebo jiným geodetickým účelům. Zpravidla jde o zhušťovací a podrobné polohové body, které se vyjadřují rovinnými souřadnicemi X,Y v S-JTSK a výškami H v baltském výškovém systému (Bpv). K určení polohy nových bodů
se používá družicových měření a veličin měřených terestrickými systémy. Výsledné souřadnice určovaných bodů se vypočítávají různými metodami, spočívajícími v etapovém nebo v obecném přímém souřadnicovém vyrovnání. Na
obr. 5.41 jsou uvedeny příklady spojených družicových a terestrických sítí,
které odpovídají kvalitnímu a spolehlivému určení polohy bodů a respektují
homogenitu stávajících polohových bodů [20].
Základní druhy měřených a fiktivních veličin u spojených družicových a terestrických sítí jsou:
-
družicové vektory dij ,
-
družicové souřadnice DXT, DYT, DZT ,
-
terestrické veličiny ψij , zij , dij , nhij
.
V geodetické praxi se dosud u spojených sítí družicových a terestrických převážně používala kombinace družicových vektorů dij a terestrických měření.
Vybrané metody jejich vyrovnání jsou stručně popsány ve stati 5.5.1.
V současné době, kdy je dobudovávána síť CZEPOS, přichází stále více
v úvahu zpracování družicových souřadnic (DGPS, RTK) a terestrických měření. Základní postupy jejich zpracování jsou schématicky uvedeny ve stati
5.5.2.
- 141 (176) -
Jedním ze základních požadavků na souřadnicové výpočty v zobrazovací rovině S-JTSK je zachování homogenity bodového pole (ČSTS). Metody souřadnicového vyrovnání spojených sítí mohou být různé. Některé dále uváděné
výpočetní postupy spočívají na rozdělení souřadnicových vyrovnání do dvou
nebo více etap. Jako příklad jsou schematicky popsány dvě metody. Jedna sestává ze dvou a druhá ze tří výpočetních etap. Třetím popisovaným postupem
je obecná metoda vyrovnání, kdy se společně vyrovnávají družicová měření i
veličiny, zaměřené terestrickými systémy. Uvedené tři metody (stať 5.5.1) se
vztahují jen k měřeným družicovým vektorům dij. Čtvrtá metoda se týká současných družicových metod DGPS nebo RTK, kdy společně zpracovávají polohové body s družicovými souřadnicemi DXT ,DYT, DZT a terestrické veličiny
(stať 5.5.2)..
V této stati jsou voleny indexy T pro družicově určované body a indexy U
pro body určené terestrickými veličinami.
Podrobnější údaje o metodách projektování a vyrovnání společných sítí jsou
uvedeny např. v skriptech [20], ve článku „K společnému projektu družicových a terestrických polohových sítí“ ve sborníku [42] na str. 88 až 90 a
v připravované publikaci [54].
Obr. 5.41 Příklady spojených družicových vektorů a terestrických sítí
5.5.1
Vyrovnání družicových vektorů a terestrických veličin
a) Často je používána d v o u e t a p o v á m e t o d a , spočívající na odděleném vyrovnání prostorových souřadnic bodů zaměřené družicové sítě a na následujícím samostatném vyrovnání veličin zaměřených terestrickými systémy
(osnov vodorovných směrů, délek a zenitových úhlů) [20].
- 142 (176) -
Schéma výpočetního postupu:
1. etapa
kXi,kYi,kZi
→
vypočtené
souřadnice
, vr Yi
zobrazovací rovina
vr X i
→
→
X i , v Yi v Z i
volná síť
v
r
→
elipsoid
Bi/ ,B Li/
Besselův
WGS 84
elipsoid
/
/
/
w Bi , w Li , e H i
→ vXT , vYT
souřadnicové opravy
X i/ , rYi /
podobnostní
→
rXT, rYT,
2. etapa
z i/j ,
dij
měřené směry, úhly a délky
→
HT
vyrovnané
souřadnice
transformace
Ψij,
→
B
(5.96)
rXU, rYU,
HU
vyrovnané souřadnice
V p r v n í e t a p ě se prostorové souřadnice kXi,kYi,kZi, získané v jednotlivých
sériích, spojují do volné sítě ( v X i , v Yi , v Z i ) a ta se převádí do zobrazovací
roviny ( vr X i , vrYi ). Pak se podobnostní transformací převede síť do daného
polohového bodového pole ( r X i/ , rYi / ). Po výpočtu souřadnicových oprav
vXT,vYT určovaných bodů T se získají jejich vyrovnané souřadnice rXT,rYT,
jak je např. uvedeno ve stati 5.4.2. Zvlášť se převádějí elipsoidické výšky
e H T na výšky HT v Baltském systému (Bpv), např. postupem uvedeným ve
stati 5.4.2 a postupem uvedeným v Geodézii III [21].
Ve d r u h é e t a p ě dochází k vyrovnání souřadnic rXU, rYU bodů U, určených osnovami směrů ψij, šikmými délkami dij a zenitovými úhly z ij/ . Indexy
i, j označují jak dané body K a družicově určované body T tak i body U
zaměřované terestrickými metodami (zpravidla terestrickými univerzálními
přístroji). Souřadnicové vyrovnání je uvedeno ve stati 5.4.
b) Některé metody převodu sestávají ze t ř í e t a p . První etapa bývá shodná
s předcházejícím postupem a je ukončena převodem souřadnic v X i/ ,vYi / ,v Z i/ z
volné družicové sítě do zobrazovací roviny . Přitom výšky Hi se odvozují opět
postupem uvedeným ve stati 5.4.2 a v geodézii III [21]. Ve druhé etapě dochází
k souřadnicovému vyrovnání bodů určených osnovami směrů ψij, zenitovými
úhly z ij/ a délkami dij (sij) v transformované volné družicové síti, čímž se získají souřadnice vr X U/ , vrYU/ , vr ZU/ bodů U zaměřených terestrickými metodami.
Ve třetí etapě se celá síť transformuje do sítě identických bodů v zobrazovací
rovině a získají se přibližné rovinné souřadnice r X T/ , rYT/ ; r X U/ , rYU/ . Po výpočtu souřadnicových oprav v X T , vYT ; v XU , vYU (stať 3.5) se získají konečné
- 143 (176) -
vyrovnané souřadnice určovaných bodů rXT, rYT, rXU, rYU. Zvlášť se opět odvozují výšky bodů HT,HU v baltském výškovém systému, přičemž indexy T
označují body určované družicově a indexy U body určené z terestrických
měření.
Schéma výpočetního postupu:
1. etapa
kXi, kYi, kZi
vypočtené
souřadnice
→ v X i , v Yi , v Z i
→
volná síť
w
Bi/ , w L/i , e H i/ ; B Bi/ , B L/i
WGS 84 Bessel
→
vr
X i/ , vr Yi / , v H i/
S-JTSK
2. etapa
(5.97)
→
ψij, z i/ j , dij
vr
X U/ , vrYU/ , H U/
měřené směry, zenitové úhly a délky
3. etapa
→
X T/ , r YT/ , r X U/ , r YU/ → v X T , vYT , v XU , vYU
transformace
souřadnicové
souřadnic
opravy
r
→
rXT,rYT,HT,rXU,rYU,HU
vyrovnané
souřadnice
Oba uvedené postupy převodu a vyrovnání dávají uspokojivé výsledky, je-li
stupeň identity společných bodů v zobrazovací rovině a v měřené síti
v požadované kvalitě.
c) K výpočtu vyrovnaných rovinných souřadnic bodů, určovaných kombinací
družicových měření a měřených osnov směrů a délek, je účelné použít
o b e c n é m e t o d y v y r o v n á n í . Výpočet probíhá buď v zobrazovací rovině (X, Y) a v baltském výškovém systému (Bpv) anebo v prostorových souřadnicích. V této stati je popsán princip souřadnicového vyrovnání v rovině. Tehdy je třeba nejprve transformovat prostorové souřadnice (kXi, kYi, kZi), získané
v jednotlivých měřických sériích (k) do rovinného zobrazení ( kr X i/ , kr Yi / ) a
vypočítat elipsoidické výšky e H i/ . Do obecného souřadnicového vyrovnání je
možno zahrnout i vyrovnání výšek. Pak se obecné rovnice oprav rozšíří i na
měřené zenitové úhly z ij/ , nivelovaná a trigonometricky určená převýšení nhij,
thij
a převýšení ehij určená z měření GPS (elipsoidických výšek).
Pro všechny měřené veličiny je třeba sestavit rovnice oprav. Jsou odvozeny
z rovnic, vyjadřujících závislost mezi měřenými veličinami a vyrovnanými
souřadnicemi [16], [19], [20]:
družicově určené souřadnice → rXi =
- 144 (176) -
kr
X i +k cX i ,
r Yi = kr Yi + k cY
,
(5.98)
fiktivní souřadnicové rozdíly (z družicových vektorů a z měření inerciálními
měřickými systémy)
→ ∆X ij = kr X j − kr X i , ∆Yij = krY j − kr Yi ,
fiktivní polární souřadnice z družicových vektorů
→ τij=arctg
∆Yij
, sij = (∆X ij2 + ∆Yij2 ) 0,5
∆X ij
vodorovné směry
→ ψij = σij – αi ,
směrník
→ σij (αij) = arctg
rY j − r Yi
r
azimut
X j −r X i
rY j − r Yi
→ Aij = arctg
r
X j −r X i
,
+γ,
2r (r + H j ) sijo
zenitový úhel
→ zij = arctg
rovinná délka
→ sij = [( r X j − r X j )2 + ( rY j − r Y j )2] 0,5,
šikmá délka
→ dij = [ sij2
2r 2 ( H j − H i ) − (r + H i ) d ijo
r+Hj
r + Hi
,
+ ( H j + H i ) 2 ] 0,5 ,
nivelovaná a trigonometricky určená převýšení→ nhij = H j -Hi , thij = Hj -Hi,
družicově určená převýšení → ehij = Hj - Hi + eδhij .
Rovnice oprav mají tvar (stať 5.2 a 5.4):
pro družicově určené a do zobrazovací roviny převedené souřadnice
k
v X i = δX i − k δc X + k l Y i ,
k
l X i = r X o i − kr X i/ − k c X o ,
k
vY i = δYi − k δcY + k l Y i ,
k
l Y i = r Yo i − kr Yi / − k cYo ,
k vX j =
k vY j
(5.99)
δX j − k δc X + k l X j , k l X j = r X oj − kr X /j − k c Xo ,
= δY j − k δcY + k l Y i , k l Y j = rYoj − krY j/ − k cYo ,
pro souřadnicové rozdíly ∆X ij , ∆Yij (fiktivní měřené veličiny vypočtené
z družicových vektorů GPS nebo IMS, převedených do zobrazovací roviny
(stať 5.4.2):
v X = δX j − δYi − ∆X ij/ δµ + ∆Yij/ δω + ( r X /j − r X i/ − ∆X ij ) ,
ij
vY = δY j − δYi − ∆Yij/ δµ − ∆X ij/ δω + ( r Y j/ − r Yi / − ∆Yij ),
ij
pro délky
sij a jejich směrníky τij (fiktivní měřené veličiny vypočtené
z družicových vektorů, převedených do zobrazovací roviny – stať 5.4.2):
- 145 (176) -
v sij = a sij δX i + bsij δYi + c sij δX j + d sij δY j − sij δµ S + ( S ij/ − sij ),
vτ ij = aτ ij δX i + bτ ij δYi + cτ ij δX j + dτ ij δY j
− δω + (τ ij/ − τ ij ),
pro vodorovné směry ψij (stať 5.2.1):
vψ ij = ρ
sin σ ij′
S ij′
δXi - ρ
cos σ ij′
S ij′
δYi - ρ
sin σ ij′
S ij′
δXj + ρ
cos σ ′
δYj – δαi + (σ′ij - α′ij),
S ij′
pro směrníky αij (stať 5.2.1):
sin σ ij′
vα ij = ρ
δX i − ρ
cos σ ij′
S ij′
+ (σ′ij – αij),
S ij′
sin σ ij′
δYi − ρ
S ij′
δX j + ρ
cos σ ij′
S ij′
δY j - δω
pro azimuty Aij (stať 5.2.1):
v Aij = ρ
sin σ ij′
δX i − ρ
cos σ ij′
S ij′
(σ′ij – γ - Aij), ,
S ij′
δYi − ρ
sin σ ij′
S ij′
δX j + ρ
cos σ ij′
S ij′
δY j - δA+
pro zenitové úhly zij (stať 5.2.1):
v zij = − ρ
+ρ
cos z ij cos σ ij′
S ij′
cos z ij cos σ ij′
S ij′
δX i − ρ
δX j + ρ
cos z ij sin σ ij′
S ij′
cos z ij sin σ ij′
S ij′
δYi + ρ
δY j − ρ
sin z ij
sin z ij
S ij′
S ij′
δH i +
δH j + ( Z ij′ − δk ij − z ij ) ,
pro vodorovné délky sij (stať 5.2.2):
v si j = -cos σ′ij δXi -sin σ′ij δYi + cos σ′ij δXj + sin σ′ij δYj – sij δµS+ (S′ij – sij);
pro šikmé délky dij (5.2.2.2):
v di j = -cos σ′ij sin zij δXi –sin σ′ij sin zij δYi –cos σ′ij δHi +
+cos σ′ij sin zij δXj +sin σ′ij sin zij δYi + cos σ′ij δHj - d i j δµ d + ( Di/j − d i j ),
pro nivelovaná a trigonometricky určená převýšení nhij, thij [21]:
n v hij
≡ tvhij = δHj – δHi + (Hoj - Hoi – hij),
pro převýšení ehij vypočtená z družicově určených elipsoidických výšek keHi,
keHj [21]:
e v hij
= δHj – δHi + (keHj – keHi - ehij).
V rovnicích vyjadřují symboly δXi,δYi, δXj,δYj, δHi,δHj vyrovnávané přírůstky
souřadnic, r X o i , r Yo i , H o i , r X o j , r Yo j , H o j přibližné souřadnice a výšky vyrovnávaných bodů, kcX (= kcXo+kδcX), kcY (= kcYo+kδcY) vyrovnané souřadnicové posuny bodů měřické sestavy v družicových sítích, ∆X ij , ∆Yij souřadnicové
rozdíly vektorů určených družicově (převedených do zobrazovací roviny) nebo
- 146 (176) -
zaměřených inerciálními měřickými systémy, sijo délky na náhradní kouli o
poloměru r, sij délky na náhradní kouli o poloměru r+Hi, σ ij/ přibližné hodnoty směrníků σij , S ij/ , Dij/ přibližné hodnoty rovinných délek sij a šikmých
délek dij, δµ, δµS , δµd měřítkové změny, δω stočení sítě, αij směrníky vypočtené z orientace směrů, α ij/ jejich přibližné hodnoty, δαi vyrovnané přírůstky směrníku (α ij = α ij/ + δα ) , γ konvergenci a eδhij opravy družicově určených převýšení ehij z nerovnoběžnosti kvazigeoidu a elipsoidu. V rovnicích
pro fiktivní měřené veličiny značí kr X i/ , kr Yi / , kr X /j , kr Y j/ přibližné souřadnice,
a sij , bsij , c sij , d sij délkové koeficienty, aτ ij , bτ ij , cτ ij , dτ ij směrníkové koeficienty, S ij/ ,τ ij/
vypočtenou délku a směrník z přibližných souřadnic a sij/ , τij
délku a směrník vektoru v zobrazovací rovině.
Počet neznámých ν je dán součtem dvojnásobného počtu t bodů určovaných
jen v rovině, trojnásobného počtu h bodů určovaných i výškově, počtu r
měřených osnov směrů, jednou měřítkovou změnou a jedním úhlovým stočením
u = 2t +3h + r + 2 .
Pro přesné práce je účelné zavádět různé změny měřítka δµ , δµ s , δµ d , u délek sij převedených z družicově určených vektorů a u délek měřených světelnými dálkoměry dij(sij). Z rovnic oprav se vypočtou normální rovnice, přírůstky souřadnic a nakonec vyrovnané souřadnice. Obecně je možno charakterizovat společné souřadnicové vyrovnání družicových a terestrických měření např.
rovnicemi (stať 5.2.4.1 a 5.4.2)
- 147 (176) -
v = Aδx + l , Nδx + n = o , Mx = mo2 Qx, δx = N −1n ,
kde
mo2
(5.100)
⎡ vX ⎤
⎡ AX ⎤
⎡lX ⎤
⎢v ⎥
⎢A ⎥
⎢l ⎥
Y
Y
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ Y ⎥
⎢ vψ ⎥
⎢ Aψ ⎥
⎢ lψ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
v = ⎢ v z ⎥ , A = ⎢ Az ⎥ , ℓ = ⎢ l z ⎥ nebo
⎢ vα ⎥
⎢ Aα ⎥
⎢ lα ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢v s ,d ⎥
⎢ As ,d ⎥
⎢l s ,d ⎥
⎢v ⎥
⎢A ⎥
⎢l ⎥
⎣ h⎦
⎣ h ⎦
⎣ h ⎦
⎡ AX , d ⎤
⎡l ∆X ,τ ⎤
⎢A ⎥
⎢l
⎥
Y
,
∆
τ
Y
,
τ
⎢
⎢
⎥
⎥
⎢ Aψ ⎥
⎢ lψ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
A = ⎢ Az ⎥ , ℓ = ⎢ l z ⎥
⎢ Aα ⎥
⎢ lα ⎥
⎢
⎢
⎥
⎥
A
l
⎢ s ,d ⎥
⎢ s ,d ⎥
⎢ A ⎥
⎢ l ⎥
⎣ h ⎦
⎣ h ⎦
1
vT P v ,
n −ν
⎡v X ,d ⎤
⎢v ⎥
⎢ Y ,τ ⎥
⎢ vψ ⎥
⎢
⎥
v = ⎢ v z ⎥,
⎢ vα ⎥
⎢
⎥
v
⎢ s ,d ⎥
⎢v ⎥
⎣ h ⎦
⎡ δu ⎤
⎢ δc ⎥
δx = ⎢ ⎥
⎢δα ⎥
⎢ ⎥
⎣ δk ⎦
nebo
⎡δX P ⎤
⎢ δY ⎥
⎢ P⎥
δu = ⎢δX Q ⎥ ,
⎥
⎢
⎢ . ⎥
⎢⎣ δYZ ⎥⎦
⎡ δu ⎤
δx = ⎢⎢δα ⎥⎥ ,
⎢⎣ δk ⎥⎦
⎡δα P ⎤
⎡ 1cX ⎤
⎢ . ⎥
⎢ c ⎥
⎥
⎢
⎢1 Y ⎥
⎢δα Z ⎥
δc = ⎢ 1 c Z ⎥ , δα = ⎢
⎥ , δk =
δα A ⎥
⎥
⎢
⎢
⎢ . ⎥
⎢ . ⎥
⎢⎣ S c Z ⎥⎦
⎥
⎢
⎣⎢δα N ⎦⎥
- 148 (176) -
⎡ δµ ⎤
⎢δµ ⎥
⎢ d⎥
⎢δµ s ⎥ .
⎢
⎥
⎢ δω ⎥
⎢⎣ . ⎥⎦
Váhová matice P je dána vztahem
⎡ PX
⎢0
⎢
⎢0
⎢
P =⎢0
⎢0
⎢
⎢0
⎢0
⎣
0
0
0
0
0
PY
0
0
0
0
0
Pψ
0
0
0
0
0
Pz
0
0
0
0
0
Pα
0
0
0
0
0
Ps ,d
0
0
0
0
0
0⎤
0 ⎥⎥
0⎥
⎥
0⎥
0⎥
⎥
0⎥
Ph ⎥⎦
0
0
0
0
0
0⎤
⎡ P∆X ( d )
⎢ 0
P∆Y (τ ) 0
0
0
0
0 ⎥⎥
⎢
⎢ 0
0
Pψ 0
0
0
0⎥
⎥
nebo
P =⎢ 0
0
0 Pz 0
0
0⎥ ,
⎢
⎢ 0
0
0
0 Pα
0
0⎥
⎥
⎢
0
0
0
0 Ps ,d 0 ⎥
⎢ 0
⎢ 0
0
0
0
0
0
Ph ⎥⎦
⎣
kde PX, PY, P∆X, P∆Y,( Pd , Pτ ), Pψ, Pz, Pα, Ps,Pd, Ph, jsou váhové submatice
pro souřadnice převedené z družicových měření (X,Y,Z nebo B,L,eH), pro fiktivní měřené veličiny ∆X , ∆Y (nebo d , τ), pro měřené vodorovné směry ψ,
pro zenitové úhly z, pro azimuty a směrníky (A,σ), pro měřené délky rovinné
s a prostorové d a pro převýšení hij.
Přibližné váhy pd, pτ, px, py, pψ, ps jsou odvozeny z odhadů odpovídajících
středních chyb měřených veličin a jsou dány známými vztahy [4], [16], [20]
pX ≈
pψ =
c
c
c
c
c
c
, pY ≈ 2 , p ∆X ≈ 2 , p ∆Y ≈ 2 , p d ≈ 2 , pτ ≈ 2 ,
2
mX
mY
m∆X
m ∆Y
md
mτ
c
c
c
, p z = 2 , pα = 2 ,
2
mψ
mz
mα
ps =
c
c
c
, pd = 2 , ph = 2 .
2
ms
md
mh
Přesnější váhy družicových měření a fiktivních veličin z nich odvozených je
možno získat transformací příslušných kovariančních matic.
Společné vyrovnání všech druhů měřených veličin poskytuje dobré výsledky a
má některé výhody před postupným etapovým vyrovnáním bodového pole.
Předpokladem je správný odhad vah a dobrá konfigurace a struktura projektu
sítě. Jedním z významných faktorů je zavedení měřítkové změny a úhlového
pootočení do rovnic oprav. Oba druhy těchto veličin je žádoucí uchovávat
v databázi polohového bodového pole, protože poskytují informace o místních
deformacích a o jejich změnách.
- 149 (176) -
5.5.2
Zpracování družicových měření DGPS, RTK terestrických veličin
Výstavbou sítě CZEPOS se staly aktuálními společné soubory družicových
souřadnic a terestrických veličin [7].
Základní metody souřadnicových výpočtů se dělí na zpracování
v prostorových souřadnicích a v rovinných souřadnicích. K zjednodušení výkladu je
zvoleno vyrovnání v zobrazovací rovině.
K výpočtu souřadnic určovaných bodů je možno přistupovat dvěma cestami:
-
přibližnou metodou, kdy zaměřené družicové souřadnice jsou definitivní a vyrovnávají se jen terestrická měření,
-
přesnější metodu, kdy zaměření družicové souřadnice se vyrovnávají společně s terestrickými veličinami.
Za kvalitní souřadnicové vyrovnání je třeba považovat společné vyrovnání
družicových souřadnic (DGPS a RTK) a terestrických veličin. Příklad spojené
družicové sítě DGPS nebo RTK a zhušťovacích bodů určených terestrickými
veličinami je znázorněn na obr. 5.42 a 5.43.
Obr. 5.42 Schéma družicově určených bodů T ≡ P, Q, R, S
- 150 (176) -
Obr. 5.43 Schéma bodů U ≡ 1,2,… 7 určených terestrickými veličinami
a) Při odděleném zpracování družicových a terestrických měření se pokládají
souřadnice určené metodami DGPS a RTK za definitivní [54].
Nejprve se převádějí prostorové souřadnice daných bodů K a zaměřené souřadnice družicově určených bodů do zobrazovací roviny a na normální výšky
podle schématu
X, Y, Z; DX, DY, DZ
→
rX
/
, rY /; r DX /, r DY /; rH /
dané souřadnice a
souřadnice v zobrazovací
souřadnice DGPS, RTK
rovině a v systému Bpv
Pak se vyrovnávají jen terestrická měření
Ψij , zij , dij , nhij
→
terestrické veličiny
(5.101)
r
X U/ , rYU/ , r H U/
v systémech rX /, rY /, H /
Na závěr se převádějí vyrovnané souřadnice do geodetické sítě
tr
X U/ , tr YU/ , t H U/
transformace do
geodetické sítě
→
v XU , vY U , v Z U
souřadnicové opravy
→
rXU
, rYU , HU
výsledné souřadnice
b) Společné souřadnicové vyrovnání družicových souřadnic (DGPS,
RTK) a terestrických veličin [54].
Vyrovnání lze rozdělit na tři části. Nejdříve se opět dané i zaměřené souřadnice
se převedou do zobrazovací roviny. Následuje společné vyrovnání družicových souřadnic a terestrických měření a výpočet končí transformací vyrovnaných souřadnic všech určovaných bodů do dané geodetické sítě. Postup je znázorněn na schématu.
- 151 (176) -
Převod prostorových souřadnic:
X, Y, Z; DX, DY, DZ
→
rX
/
, rY /; r DX /, r DY /; rH /
dané souřadnice a
souřadnice v zobrazovací
souřadnice DGPS, RTK
rovině a v systému Bpv
Souřadnicové vyrovnání:
rX
/
, rY /
→
souřadnice
(5.102)
r DX
/
, r DY /; ψij , sij
→ rX/V , rY/V , αi , µS
rovinné souřadnice bodů vyrovnané souřadnice,
daných bodů DGPS, RTK a terestrické
orientační posuny a
veličiny
měřítko délek
Transformace do dané polohové a výškové sítě:
/
/
rX V , rY V ,
H /V
→
/
/
trX V , trY V
, trH / →
XV , rYV , H
transformované sou-
výsledné sou-
a výšky
řadnice a výšky
řadnice bodů
V ( = T, U)
Kontrolní otázky
Jaké druhy veličin přicházejí v úvahu při společném vyrovnání družicových
a terestrických veličin?
Jaký je princip dvouetapové a tříetapové metody vyrovnání družicových vektorů a terestrických měření?
Popište obecnou metodu společného souřadnicového vyrovnání družicových
a terestrických veličin!
Jaké jsou základní metody souřadnicového vyrovnání družicových souřadnic (DGPS, RTK) a terestrických měření?
Poznámka
Znalost výpočetních metod je důležitá k pochopení problematiky souřadnicového vyrovnání polohových bodových polí. Proto je třeba porozumět principům jednotlivých typů výpočetních postupů a v případě, že ani po novém důkladném pročtení látky máte nedostatky v odpovědích na otázky, vyžádejte si
konzultaci.
5.6
Místní sítě
Místní geodetické polohové sítě, nazývané často lokálními sítěmi, se zakládají
z různých důvodů. Rozsáhlejší sítě se budují tehdy, je-li polohová přesnost
ČSTS nedostačující [20], [21]. Příkladem jsou místní sítě ve větších městech (v
Praze, v Brně apod.) a na poddolovaných územích (v Ostravě, ve Slaném
apod.). Menší speciální a přesné sítě se projektují zpravidla ke sledování posunů a deformací významných objektů, např. přehrad, velkých staveb, jeřábových
drah, vysokých pecí, cementárenských a vápenných pecí, ke sledování pohybu
- 152 (176) -
terénu (vrchních geologických vrstev), k vytyčování tunelů, velkých staveb,
podzemních děl atd.
K zaměřování místních sítí ve městech, na poddolovaných územích apod. jsou
vhodné kombinace družicových přijímačů s přesnými terestrickými systémy a
přístroji. Obvyklým znakem rozsáhlejších místních sítí je vedle vysoké relativní polohové přesnosti i větší hustota bodového pole, kdy průměrná vzdálenost
sousedních bodů je kratší než u býv. trigonometrické sítě V. řádu. Hustota bodů bývá často větší než u sítě zhušťovacích bodů (ZhB). U speciálních místních sítí malého rozsahu, sloužících ke sledování změn objektů se obvykle měří
jen osnovy vodorovných směrů, zenitové úhly, délky a převýšení přesnými
terestrickými přístroji. U některých místních sítí, sloužících k vytyčování bodů
nebo spojených s měřením v podzemí, se také kombinují družicová měření
s terestrickými. V dolech se vedle terestrických měření uplatňují i přesné inerciální měřické systémy. Vzdálenosti bodů bývají rozdílné a pohybují se zpravidla v rozmezí od několika desítek až do několika set metrů.
Konfigurace bodů sítě a její struktura jsou různé a závislé na účelu sítě. Všechny body mají být spolehlivě určeny z nadbytečného počtu měřených veličin.
Projekt sítě vychází z požadované relativní polohové přesnosti zaměřovaných
bodů a tuhosti sítě. Velkou pozornost je třeba věnovat nejen projektu místních
sítí, stabilizaci bodů, metodice a technologii určení posunů a deformací, ale i
matematickému zpracování výsledků, např.[16]. U bodů, zakládaných ke sledování změn objektů jsou voleny speciální stabilizace (např. hloubkové, železobetonové), které se často zřizují již při stavbě sledovaných objektů (např.
přehrad) nebo stabilizace pevně spojené s konstrukcí objektu (např. terčů u
cementárenských a vysokých pecí, u jeřábových drah, u mostů atd.).
Místní sítě, budované pro technické účely ve větších městech, se také napojují
na okolní body státní sítě (ČSTS) nebo družicové sítě (GPZ), aby je bylo možno později transformovat do S-JTSK a využít i pro ostatní běžné geodetické
práce. Typickým znakem místních sítí, sloužících ke sledování posunů a deformací objektů je jejich periodické proměřování ve vhodných časových intervalech, obvykle od několika měsíců do několika roků. Pak kvalita stabilizace
bodů sítí (včetně připojovacích) je rozhodující k spolehlivému určení jejich
polohových změn.
U řady speciálních místních sítí v inženýrské geodézii bývá odděleno určení a
výpočet rovinné polohy bodů od určení a výpočtu jejich výšek. K výpočtu rovinných souřadnic Xi, Yi bodů sítě se využívá jak terestrických tak družicových měření (osnov směrů ψij, vodorovných délek s ij získaných z měřených
šikmých délek a zenitových úhlů, popřípadě družicových vektorů d ij , převedených do zvolené roviny). Výšky Hi jsou odvozovány zvlášť z nivelačních
měření. Touto metodikou se obvykle budují např. místní sítě ke sledování
změn na vodních přehradách. V jiných místních sítích se z terestrických měření
společně určují jak rovinné souřadnice Xi, Yi tak výšky Hi všech bodů sítě.
Souřadnicové vyrovnání speciálních místních sítí tvoří základní výpočetní část.
V druhé části se jednak zkoumá kvalita daných (připojovacích) bodů, jejichž
neměnná poloha je zajišťována hloubkovými stabilizacemi nebo značkami zabetonovanými ve skále, jednak se určují posuny zvolených a kvalitně stabilizovaných bodů. Polohové změny bodů se obvykle odvozují pomocí podobnostní
- 153 (176) -
transformace volné sítě. Posuny bodů se spojitě sledují od první měřické etapy.
Ke zvýšení spolehlivosti sledování posunů bodů se doporučuje, pokud možno,
používat stejných měřických přístrojů a pomocných zařízení. S bližšími údaji o
místních sítích se studenti seznamují v předmětech inženýrské geodézie a účelové geodetické sítě.
5.6.1
Vyrovnání rovinných souřadnic
K souřadnicovému vyrovnání místní sítě (MNČ) v zobrazovací rovině se sestavují různé výpočetní programy, které obvykle vycházejí z rovnic oprav v Sij délek sij (převedených do roviny z měřených šikmých délek d ij a zenitových
úhlů
z′ij),
z rovnic oprav vψ ij měřených směrů
ψij
a z rovnic oprav
v S ,vψ ij délek sij a směrníků τij, nebo z rovnic oprav vxij, vyij souřadnicových
ij
rozdílů ∆X ij , ∆Yij , vypočtených z měřených vektorů (stať 5.4.2).
Postup vyrovnání je podobný jako u terestrických, družicových a spojených
terestrických a družicových sítí (stať 5.2, 5.4 a 5,5) [16], [20]. Základní rozdíl
spočívá v zavedení místního souřadnicového systému x,y, jehož počátek a orientace os se definuje tak, aby souřadnice všech bodů byly kladné.
K jednoznačnému určení systému je třeba zvolit tři souřadnice dvou bodů sítě.
Zpravidla se zaměřená síť vyrovnává jako síť volná. Po sestavení rovnic oprav
měřených veličin a odpovídajících normálních rovnic se postupně vypočtou
vyrovnané souřadnice xi,yi všech bodů sítě a jejich odhady středních souřadnicových chyb.
U místních sítí malého rozsahu není nutné převádět měřené veličiny do zobrazovací nebo jiné roviny. Pokud je místní síť vybudována k určování posunů a
deformací, vyrovnává se v každé měřické etapě zvlášť a transformuje se pomocí identických bodů na síť vyrovnanou v první měřické etapě. Pak je možno
postupně zjišťovat a testovat polohové změny bodů.
5.6.2
Vyrovnání rovinných souřadnic a výšek
Společné vyrovnání prostorových souřadnic Xi, Yi, Hi bodů místní sítě předpokládá kvalitní měření nejen šikmých délek dij , osnov směrů ψij a zenitových úhlů z ij/ ( z ij = z ij/ + δk ij ) , ale také přesné měření výšek terestrického systému (teodolitu a dálkoměru) a záměrných terčů. U speciálních místních sítí,
které slouží k zjišťování posunů a deformací a které mají obvykle malý rozsah,
se používá nucené centrace přístrojů a terčů a přesných metod určení jejich
výšek nad stabilizovanými body. Pokud je např. požadavek určit souřadnice
bodů s relativní polohovou chybou do 3 mm, neměly by chyby ve výškách měřických přístrojů a terčů přesáhnout chyby 1 mm až 1,5 mm. Metoda souřadnicového vyrovnání je stejná jako u kombinovaných terestrických sítí ve stati
5.2.4. Tvar rovnic oprav je shodný s rovnicemi ve stati 5.5. Sestavení koeficientů a absolutních členů normálních rovnic, výpočet neznámých a odhad středních souřadnicových chyb určovaných bodů jsou totožné s postupy uvedenými
ve statích 5.2, 5.4 a 5.5.
- 154 (176) -
Kontrolní otázky
K jakému účelu jsou budovány místní sítě a jaké je jejich základní rozdělení?
Jaký jsou postupy vyrovnání místních sítí v rovinných souřadnicích?
Jaké znáte metody vyrovnání místních sítích v rovinných souřadnicích a výškách nebo v prostorových souřadnicích?
Poznámka
Nebudete-li si vědět rady v odpovědi na některou otázku, důkladněji si prostudujte látku ve skriptech!
- 155 (176) -
Postup budování polohových bodových polí
6
Budování základních a zhušťovacích polohových bodů sestává z několika etap.
Vzhledem k udržovaným geodetickým základům v ČR Zeměměřickým úřadem
v Praze je v této stati věnována větší pozornost postupu zřizování zhušťovacích
a jiných bodů, které se převážně určují z družicových měření GPS [24]. Pouze
v případech, kdy není účelné z technických nebo ekonomických důvodů technologie GPS, zaměřují se polohové body pomocí terestrických měření (úhlů a
délek).
Postup určení zhušťovacích bodů ve zvolené lokalitě lze rozdělit do několika
etap: přípravné práce, rekognoskace, stabilizace a ochrana bodů, měřické práce, souřadnicové výpočty a vyrovnání a dokumentace. Přípravné práce.
Projekt sítě vychází vždy ze známých (daných) bodů, ležících v zhušťované
lokalitě, tj. z bodů trigonometrických, z dříve určených zhušťovacích bodů a
bodů orientačních (s méně přesnými souřadnicemi). Připojovací body mají být
rozloženy na celém zhušťovaném území. Je žádoucí, aby se všechny zhušťovací body nacházely uvnitř mnohoúhelníku tvořeném z okrajových daných bodů
v zájmovém území.
V přípravných pracích se nejprve sestrojí předběžný projekt zhušťovacích bodů. Na mapě se zvýrazní poloha daných (připojovacích) bodů a předběžně se
navrhne poloha nových bodů. Přitom vzdálenost sousedních bodů nemá překročit 1 km nebo 1500 m. Pro vybrané dané body se zhotoví výpisy geodetických údajů. Současně se připraví i nivelační údaje těch nivelačních bodů, které
jsou vhodné buď jako dané výškové body nebo k nivelačnímu připojení zaměřovaných bodů.
a) Rekognoskace
Podle předběžného projektu se v další etapě zhušťování bodového pole rekognoskují stávající (připojovací) body a upřesňuje se poloha nově určovaných
bodů. U každého daného bodu se kontroluje povrchová stabilizace (značka) a
ochranné zařízení. Výsledky kontroly se uvádějí do záznamu o rekognoskaci.
Nevhodné body se ze zhušťování vyřadí anebo se u trigonometrických bodů
požádá ZÚ o jejich přestabilizaci.
Výběr polohy nových bodů se řídí několika požadavky, k nimž zejména patří
využitelnost bodu pro geodetické práce, snadné zaměření bodů, umístění stabilizace bodů na nejméně ohrožených místech, přístupnost bodů a souhlas majitele nemovitosti se stabilizací. Současně se stanoví druh stabilizace a ochrany
bodů.
Na základě rekognoskace vznikne konečný projekt sítě zhušťovacích bodů a
jejich očíslování.
b) Stabilizace a ochrana bodů
Všechny určované body se stabilizují před měřením. Základní druhy stabilizací
jsou uvedeny ve stati 2.2.1. Nejčastějším typem ochrany bodů je ochranná tyč
v betonové patce s výstražnou tabulkou [6], [49]. Používá se také betonový
sloupek nebo betonová skruž. Pro každý bod se vyhotoví místopis, pokud
- 157 (176) -
možno, se dvěma různými místopisnými prvky. Oznámení o stabilizaci bodů
musí být doručeno vlastníku pozemku nebo budovy, kde je značka umístěna.
c) Měřické práce.
V konečném projektu sítě zhušťovacích bodů je na základě rekognoskace stanoveno, které body se měří družicovými metodami (technologií GPS) a které
terestrickými metodami. V technologickém postupu se dělí zaměření bodů
podle jejich druhu na body připojovací a určované. U družicových měření GPS
se rozlišují body staniční, z nichž se postupně zaměřuje několik okolních bodů,
a na body navazované. K základním způsobům měření se řadí tzv. GPS rajóny,
GPS protínání a GPS obrazce. Pod označením GPS rajóny se rozumí postupy,
kdy jeden družicový přijímač je v měřickém sestavě na jednom (staničním)
bodě a další jeden nebo více přijímačů postupně zaměřují ostatní body (navazovací). Název GPS protínání byl přisouzen měřické technologii, v které jsou
stálé stanice umístěny na dvou nebo více bodech (staničních) a ostatní družicové přijímače měří postupně na ostatních bodech (navazovacích). Třetím měřickým postupem jsou GPS obrazce, kdy se bodové pole rozkládá podle počtu
používaných družicových přijímačů (nejméně tří) na měřické sestavy o třech
anebo více simultánně zaměřovaných bodech.
Všechny určované body musí být zaměřeny nezávislou kontrolou. Významnou
úlohu v přípravě měřických prací má dobře připravený plán časového postupu
měření a přesunů družicových přijímačů na jednotlivé body. Délka observace
je závislá na zejména na vzdálenosti zaměřovaných bodů, na počtu a konfiguraci družic (hodnoty DOP) a na typu přijímačů. Při vyhovujícím DOP se měří
dvoufrekvenčním přijímačem a do vzdálenosti bodů do 10 km nejméně 10 minut a jednofrekvenčním přijímačem nejméně 30 minut [49]. Každá dílčí síť
zhušťovacích bodů se připojuje nejméně na dva body DOPNUL. Po dokončení
sítě CZEPOS a jejím uvedení do provozu se zaměřují zhušťovací body metodami DGPS a RTK.
U bodů určovaných terestrickými systémy se měří osnovy směrů nejméně ve
dvou skupinách a délky tak, aby rozdíly jejich dvojího měření nepřesáhly 0,02
m (do 1 km) až 0,03 m (nad 1 km). K určení zhušťovacích bodů se používají
plošné sítě, polygonové pořady, protínání a rajóny [6]. Výšky bodů se určují
pomocí družicových měření GPS, technickou nivelací a trigonometrickým určováním výšek.
e) Výpočetní práce.
K výpočtům vektorů a k souřadnicovému vyrovnání sítí z měření GPS se používají vhodné firemní softwary dodávané se zakoupenou přístrojovou technikou, nebo speciální softwary. Vhodné jsou postupy vycházející z MNČ a
schématicky popsané např. ve statích 5.2, 5.4 a 5.5. Výpočetní postupy ve stati
5.4 se týkají samostatných družicových sítí. Ve stati 5.2 je uvedeno souřadnicové vyrovnání jen terestrických sítí.. Obecný postup společného vyrovnání
družicových a terestrických měření je naznačen ve stati 5.5.
f) Dokumentace
Budování zhušťovacích bodových polí je zakončeno zpracováním technické
dokumentace, do které patří technická zpráva, záznam o rekognoskaci (ZOR,
hlášení závad a změn na připojovacích bodech), seznam rovinných souřadnic a
- 158 (176) -
výšek (S-JTSK,Bpv), seznam nových a dosavadních čísel zhušťovacích bodů
(kapitola 8), náčrt všech bodů, měřické a výpočetní dokumenty, geodetické
údaje zaměřených zhušťovacích bodů a potvrzení o oznámení zřízení měřických značek.
Podobným postupem jako sítě zhušťovacích bodů, které jsou zřizovány na celém území Česka, s výjimkou větších zalesněných oblastí, se budují místní sítě.
Liší se zejména nároky na relativní polohovou přesnost určovaných bodů, účelem místních sítí, stabilizacemi bodů, technologií měření, metodami zpracování
apod. (stať 5.6). Někdy jsou požadavky na kvalitu místních sítí vyšší než u
zhušťovacích bodů. Podrobnosti o místních sítích jsou uváděny v předmětu
inženýrská geodézie.
Podrobné polohové bodové pole, zakládané pro potřeby mapování se obvykle
vyznačuje poněkud nižšími požadavky na polohovou přesnost určovaných bodů, jednodušší stabilizací, která může být i dočasná, a také jednoduššími měřickými metodami a výpočetními postupy. Požadavky na kvalitu podrobných
polohových bodů jsou závislé na účelu, ke kterému jsou zřizovány, např. [24],
[46], [48].
Kontrolní otázky
Jaké jsou etapy budování polohových bodových polí?
Jaký je postup při projektování polohového bodového pole?
Jaký je cíl rekognoskace a jaké jsou základní typy stabilizace zhušťovacích
bodů?
Jaké jsou základní metody určování zhušťovacích bodů a odpovídající měřické metody?
Jak probíhají výpočetní práce a jaké jsou součásti dokumentace budovaného bodového pole?
Poznámka
Jde o jednoduchou látku, kde byste neměl mít problémy s jejím pochopením.
- 159 (176) -
Dokumentace polohových bodů a databáze
7
Až do počátku devadesátých let minulého století měla dokumentace trigonometrických a části zhušťovacích bodů převážně formu grafickou. Pro každý
bod byl vyhotoven tiskopis „Geodetické údaje“, který obsahoval všechny důležité informace o geodetickém bodu, především jeho číslo, název, číslo triangulačního listu, rovinné souřadnice a výšku, údaje o stabilizaci bodu a o přidružených bodech, místopis, katastrální území a další. Od r. l991 probíhal ve VÚGTK výzkum, jehož cílem bylo vypracování nové koncepce databází trigonometrických a zhušťovacích bodů, který by umožnil dát do provozu centrální
databázi v ZÚ a oboustrannou distribuci dat mezi Katastrálními úřady 1 (KÚ 1)
a ZÚ. Po několikaletém vývoji byla dokončena koncepce modelu databáze
ZPBP a zhušťovacích bodů [33]. Základem struktury je tabulka center bodů.
Jsou v ní uloženy odděleně souřadnice bodů a je sledován jejich vývoj.
K centru jsou vztaženy přidružené body, místopisy a údaje o podzemních
značkách. Body jsou členěny podle ZTL a TL a jsou u nich uvedeny údaje o
jejich umístění v mapových listech ZM 50 a SMO 5 a číslo katastrálního území
včetně parcelního čísla. Databáze také obsahuje orientace na okolní body, místopisy centra a přidružených bodů, geocentrické souřadnice v ERTS 89 (pokud
byly měřeny) a další údaje. Databáze obsahuje především 20 tabulek s údaji o
bodech, 21 tabulek spojených s lokalizací bodů a několik dalších tabulek.
Prakticky jsou v databázi ZÚ k dispozici všechny údaje o trigonometrických
bodech, požadované v Geodetických údajích, a některé další záznamy, důležité
pro revizi a údržbu bodů. Databáze byla připravována a postupně naplňována i
pro vedení úplných údajů pro ZhB. Také se ještě uvažuje o novém vyrovnání
ZhB v jednotlivých regiónech a oblastech, jejichž zaměření bylo dokončeno
v roce 2004. Nové souřadnicové vyrovnání by mělo navazovat na rozšířenou
síť družicových polohových základů DOPNUL, jejíž zaměření má být skončeno v roce 2006. Na přelomu dvacátého a jednadvacátého století byly pro potřeby geodetické praxe vyhotoveny formuláře k vyhledání geodetických údajů o
trigonometrických a zhušťovacích bodech. Příklady formulářů k vyhledání
trigonometrických a zhušťovacích bodů a jejich geodetické údajů jsou na obr.
8.1 a 8.2 skript [20]..
Od počátku roku 2004 jsou geodetické údaje o trigonometrických a zhušťovacích bodech přístupné na Internetu pod značkou „http//dataz.cuzk.cz“. Podobně
jsou přístupné i nivelační údaje o bodech ČSNS pod heslem
„http//nivelace.cuzk.cz“.
Vyhledávání v databázi je v současné době možné třemi způsoby:
•
podle úplného čísla (číslo TL a číslo bodu) s možností výpisu bodů ze zadaného TL, zadaného listu mapy ZM-50 nebo SMO-5,
•
zadaným středem území (X,Y) a vzdáleností,
•
podle katastrálního území,
•
pomocí ZTL a TL na území ČR.
Databáze poskytuje kompletní informace o číslech a souřadnicích bodů a jejich
umístění na mapových listech a ostatní geodetické údaje. Údaje o trigonometrických bodech jsou doplněny družicové body. Správu zajišťuje ZÚ v Praze.
- 161 (176) -
Správou zhušťovacích bodů jsou pověřeny Katastrální úřady. Jejich kompetence jen vyznačena na přehledce triangulačních listů. Data mají být průběžně
aktualizována. Databáze obsahuje celkem 69 000 center trigonometrických a
zhušťovacích bodů a přes 35 000 bodů přidružených, včetně bodů zničených a
všech změn souřadnic.
Současná databáze může poskytovat geodetické údaje ve formě tisku nebo výstupu do grafického souboru pro požadované body. Jedním z výstupů je i zápis
vybraných bodů do souborů. Pro potřeby ZABAGED, migrace do ISKN, dokumentace KÚ, pozemkové úřady a další zájemce jsou poskytovány hromadné
výpisy souřadnic do souborů. Databáze je zálohována exportem dat na pracovní stanici jeho uložením na ZIP disk.. Databáze je systematicky aktualizována.
Číslování bodů základního polohového pole a zhušťovacích bodů vychází
z triangulačních listů. Číslování bodů podrobného bodového pole je vedeno
podle katastrálních území, např. [6], [12].
Obecně má číslo každého základního polohového bodu (trigonometrického
bodu) tvar 0009 EEEE CCCO, kde čtyřčíslí EEEE je vyhrazeno pro číslo triangulačního listu (obr. 7.1). Trojčíslí CCC označuje pořadové číslo základního
bodu v rozsahu 1 až 199 nebo zhušťovacího bodu v rozmezí 201 až 499 [50].
a) číslování ZTL
b) rozdělení ZTL na triangu
lační listy (ZL)
Obr. 7.1 ZTL a TL
Body podrobného polohového pole mají být uváděny ve tvaru PPP 0000
CCCC, kde PPP označuje pořadové číslo katastrálního území v okresu podle
SPI a CCCC pořadové číslo podrobného polohového bodu v rozmezí 501 až
3999. Dočasně stabilizované body se číslují jako pomocné body vždy pro katastrální území. Mají stejný tvar jako ostatní body, pouze jejich pořadové číslo
začíná od 4001.
Údaje o číslování bodů jsou převzaty z předpisů a vyhlášek [50], [51] .
V současné době jsou k dispozici úplné databáze trigonometrických bodů
v ZÚ. Číslování databází ZhB není ještě jednotné a v některých KÚ 1 se poněkud liší. Je používáno typu číslování 10 nebo 12 cifer v několika kombinacích.
Deseticiferné číslování má dva tvary 09 TTTT CCCP pro ZhB a XX 0000
CCCC pro podrobné polohové body. V prvním případě označuje TTTT číslo
triangulačního listu, CCC číslo bodu (1 až 499 včetně základních polohových
- 162 (176) -
bodů) a P číslo přidruženého bodu. U ostatních (podrobných) bodů je XX pracovní číslo katastrálního území, CCCC číslo bodu (501 až 3999). U dvanácticiferných čísel se rozšiřuje prvé dvojčíslí u ZhB z 09 na 0009. U podrobných
bodů se nahrazují cifry XX čtyřčíslem KKKO, kde KKK značí číslo katastrálního území v okrese podle SPI (souboru popisných informací) a O se nahrazuje
pořadovým číslem sousedního okresu katastrálního území.
Správou polohových geodetických základů je podle příslušných zákonů a nařízení vlády a vyhlášek, např. [45], [46], [47] pověřen ZÚ v Praze. Podrobnosti
jsou uvedeny v článku [24]. Správa se týká především projektování základních
bodových polí, stabilizací bodů, měřických prací, souřadnicového vyrovnání a
dokumentace geodetických základů, jejichž důležitou součástí je databáze,
údržba a modernizace.
Kontrolní otázky
Co obsahují geodetické údaje o polohových bodech?
Jaké jsou základní databáze pro polohové a výškové bodové pole v ČR?
Jaké jsou způsoby vyhledávání polohových bodů v databázi ZÚ?
Jaká je koncepce číslování bodů základního polohového pole a zhušťovacích bodů?
Poznámka
Pokud budete chtít další informace o současných databázích ZÚ najdete je na
Internetu ZÚ nebo ČÚZK.
- 163 (176) -
Vyhledávání geodetických bodů
8
Při rekognoskaci polohového bodového pole nemusí být nalezena stabilizace
některého bodu. U bodů PGZ, které mají zpravidla jednu povrchovou a dvě
podzemní značky, se kontroluje neporušenost povrchové stabilizace, ochranného zařízení a zajišťovacích a orientačních bodů. Při pravidelných kontrolách
pracovníky ZÚ se pro každý bod vyhotovuje o výsledcích rekognoskace záznam. Zhušťovací body, zaměřené v posledních letech, mají obvykle jednu
povrchovou a jednu podzemní značku a ochranné zařízení. Není zatím stanoveno jak bude probíhat jejich údržba, zda budou pravidelně kontrolovány stabilizace jen u vybraných bodů, kdo bude kontrolu zajišťovat, popřípadě v jakých
časových intervalech. U podrobných polohových bodů, které jsou stabilizovány vesměs jen jednou značkou, probíhá kontrola jen při navazujících měřických pracích.
Pokud není povrchová značka bodu nalezena, je možno vyhledat podzemní
značku nebo zasypanou povrchovou značku různými metodami [16]. Dělí se
do několika skupin, tj. vyhledání stabilizace
-
pomocí místopisu,
-
z družicových měření,
-
z terestrických měření.
Nejjednodušší je vytyčení stabilizace hledaného bodu z místopisných údajů
(měr), které jsou pořízeny pro každý bod PGZ a u většiny zhušťovacích bodů
(kapitola 7), a jsou zakresleny v Geodetických údajích. Příklady takových místopisů jsou na obr. 8.3 až 8.5 ve skriptech [20].
Jednoduché je vytyčení stabilizační značky bodu z vektoru určeného ze simultánních měření se dvěma družicovými přijímači. Referenční přijímač je umístěn na vhodném známém bodě A a druhý přijímač v bodě P, v předpokládaném místě hledaného bodu B (obr. 8.1). Pomocí transformace se automaticky
převádějí prostorové souřadnice kXA, kYA, kZA, k XP, kYP, kZP do zobrazovací
roviny, např. S-JTSK, v němž jsou známy souřadnice obou bodů (XA,YA;
XB,YB). Transformací zaměřených prostorových souřadnic jsou současně vypočteny rovinné souřadnice stanoviska druhého přijímače XP,YP. Podle vytyčovacího programu se odvodí souřadnicové rozdíly ∆XPB , ∆YPB a vzdálenost
a směr k vytyčované poloze stabilizace bodu B. Pomocí těchto měr se iteračním postupem najde hledané místo značky. Jednoduché je vyhledání bodu pomocí DGPS nebo RTK, kdy měřič sleduje na displeji údaje o směru a vzdálenosti hledaného bodu a pohybuje se s anténou přímo k vytyčované poloze bodu.
- 165 (176) -
Obr. 8.1 Vytyčení bodu B
pomocí GPS
rajónem
Družicové přijímače lze použít k vyhledání bodu především v družicových
sítích, které v současné době tvoří jak rozšiřovaná síť DOPNUL, tak i sítě
zhušťovacích bodů budované v posledních letech jen pomocí GPS. Polohu
ostatních bodů trigonometrické sítě a zhušťovacích bodů v terénu, kde vlivem
různých překážek, lesních komplexů a odražených družicových signálů nelze
použít družicových přijímačů, je nutné vytyčit polohu hledaného bodu terestrickými metodami. Jsou založeny na veličinách měřených terestrickými systémy, především na osnovách směrů,zenitových úhlech a délkách. Podstatou
terestrických metod je určení pomocného bodu P v blízkosti hledaného bodu
B.
K základním terestrickým metodám vyhledání stabilizace bodu B patří rajón,
polygonový pořad a protínání ze směrů a délek. Na obr. 8.2 je poloha B určena směrníkem σAB a vodorovnou délkou sAB , vypočtenými ze známých souřadnic bodů A,B. Předpokladem jsou volné záměry mezi body A,B a orientačními body M,N.
Obr. 8.4 Vytyčení bodu B protínáním
polygonovým pořadem
ze směrů a délek
- 166 (176) -
V nepřehledném terénu je vhodné použít polygonového pořadu, vedeného mezi
danými body A,C tak, aby jeden z polygonových bodů, např. Q na obr. 8.3,
ležel v blízkosti určovaného bodu B. Z vyrovnaných souřadnic bodu Q
(XQ,YQ) a ze souřadnic hledaného bodu B (XB,YB) se vypočtou vytyčovací prvky sBQ, σBQ a z bodu Q se rajónem vytyčí poloha hledaného bodu B.
Další jednoduchou metodou je určení pomocného bodu P, ležícího v blízkosti
hledaného bodu B, protínáním ze směrů a délek. Např. na obr. 8.4 je bod P
určen měřenými směry ψPA, ψPC a délkami sPA, sPC na dané body A,C.
Z vyrovnaných souřadnic XP, YP a známých souřadnic XC, YC se vypočtou
prvky rajónu σPB, sPB a vytyčí se poloha bodu B.
Řada starších metod vyhledání stabilizace bodů, založená zejména na různých
metodách protínání jen ze směrů a úhlů nebo jen z délek, je uvedena např.
v publikaci [16]. Metody byly významné v době, kdy se k určování polohy
bodů používaly osnovy směrů, měřené teodolity, a později i první typy elektronických dálkoměrů.
Kontrolní otázky
Jaké jsou hlavní metody vyhledávání stabilizací geodetických bodů?
Jaké jsou postupy vyhledávání stabilizací geodetických bodů?
Jak se vyhledávají geodetické body pomocí družicových metod?
Poznámka
Při studiu věnujte současně s textem pozornost obrázkům, které znázorňují
jednotlivé metody vyhledávání bodů.
- 167 (176) -
Závěr
9
Závěr
Student má při zkoušce s geodézie III projevit následující znalosti o:
•
vývoji polohových, výškových a gravimetrických základů na území ČR,
•
Jednotné trigonometrické síti katastrální,
•
Křovákově konformním kuželovém zobrazení,
•
vývoji systému S-JTSK 95 a jeho účelu,
•
přehledně o Astronomicko-geodetické síti a jejím využití,
•
vývoji družicových geodetických základů,
•
družicových sítích DOPNUL a jejím rozšíření, GEODYN a CZEPOS,
•
současné ČSTS a PGZ a jejich stabilizaci,
•
podrobném polohovém bodovém poli na území ČR a jeho současném stavu,
•
zhušťovacích bodech a jejich stabilizaci,
•
podrobně o výpočtu směrníku (jižníku) a délky a odhadu jejich
přesnosti,
•
principu MNČ s důrazem na souřadnicové vyrovnání, o základních vztazích včetně odhadů přesnosti,
•
základních transformačních metodách
s důrazem na podobnostní transformaci,
•
výpočtu parametrů transformačních rovnic MNČ,
•
transformaci pomocí obecných průměrů posunů identických bodů,
•
metodách výpočtu souřadnicových oprav transformovaných bodů,
•
přesnosti transformace souřadnic,
•
stupni (míře) identity společných bodů při transformaci souřadnic,
•
základních kritériích polohové přesnosti bodů,
•
přibližných metodách výpočtu souřadnic polohových bodů, učených rajóny,
•
polygonovými pořady, protínáním vpřed, protínáním z délek, protínáním zpět, Hansenovou úlohou,
•
výpočtu souřadnic měřických bodů a průsečíku měřické přímky se
sekční čarou,
•
budování terestrických sítí a základních metodách jejich souřadnicového vyrovnání,
•
sítích úhlových, jejich vyrovnání a o jejich významu,
- 169 (176) -
v rovině
v prostoru
9.1
•
sítích délkových, jejich vyrovnání a o jejich významu,
•
zavedení místního měřítka délek a využití šikmých délek
v délkových sítích,
•
podrobně o souřadnicovém vyrovnání kombinovaných terestrických sítí včetně odhadů přesnosti,
•
výškových sítích a činnosti družicových systémů a jejich využití
v geodézii,
•
družicových přijímačích,
•
podrobně o měřických metodách v geodézii s důrazem na určení
časového intervalu
•
geodetickém systému WGS 84 a o ETRS 89,
•
metodách určení polohy bodů pomocí družicových metod,
•
diferenčním globálním polohovém systému DGPS a RTK,
•
aplikacích družicových metod v geodézii,
•
základních druzích družicových sítí,
•
metodách vyrovnání družicových vektorů,
•
metodách souřadnicového vyrovnání spojené sítě družicové a terestrické,
•
zpracování spojené sítě DGPS a RTK s terestrickými veličinami,
•
přehledně o vyrovnání místních sítí,
•
etapách budování polohových bodových polí,
•
základních metodách vyhledávání stabilizací bodů,
•
základní dokumentaci a databázích geodetických bodů.
Shrnutí
Studium předmětu Geodézie III je založeno na dobrých znalostech z předmětů
Geodézie I a II. Dále je třeba znát základní matematické metody získané
v předmětu matematika. Úvodní část studia tvoří získání dobrého přehledu o
vývoji a současném stavu geodetických sítí na území v ČR. Za hlavní náplň
studia je třeba považovat zpracování měřených a fiktivních veličin různými
postupy souřadnicových vyrovnání a z nich vyplývající odhadů přesnosti.
K získání celkového přehledu o budování polohových bodových polí je třeba
věnovat pozornost i etapám budování polohových sítí, principu číslování bodů
a databázím bodů.
Informace
K předložené látce jsou napsána skripta Geodézie IV [20] a z velké části připraven rukopis doplněného vydání opět z názvem Geodézie IV – Geodetické
sítě a jejich budování. Za základní studijní prameny je třeba považovat publi- 170 (176) -
Závěr
kace [3], [7], [8], [9], [11], [18], [20], [21], [22], [29], [33], [35], [42],[49] a
platné zákony, vyhlášky a technologie v resortu ČUZK.
Korespondenční úkoly
Zadání a pokyny k řešení úloh Vám budou zasílány na Vaše elektronické adresy, které bude nutné před zahájením semestru zaslat pověřenému pracovníkovi
ústavu.
- 171 (176) -
Studijní prameny
10
Studijní prameny
10.1 Seznam použité literatury
[1]
Beneš, F.: Správa a modernizace výškových základů. Sborník referátů
ze semináře: Prostorový referenční rámec v ČR. Ústav geodézie, FAST,
VUT v Brně, 2001, str. 11-14.
[2]
Böhm, J.: Matematická kartografie. Donátův fond, VŠT Dr. E. Beneše
v Brně.1951.
[3]
Böhm, J.: Vyšší geodézie, díl 2. ČVUT v Praze, 1990.
[4]
Böhm, J., Radouch, L., Hampacher, M.: Teorie chyb a vyrovnávací
počet. GKP v Praze, 1990.
[5]
Budínský, B.: Analytická a diferenciální geometrie. SNTL v Praze,
1983.
[6]
Bumba, J.: Geometrický plán. Příručka pro vyhotovitele a uživatele.
Linde Praha a.s., Praha 1999.
[7]
Černohorský, J., Kolář, R., Kostelecký, J., Šimek, J.: Rozvoj geodetických základů České republiky v kontextu EUREF. Geodetický a kartografický obzor, č. 4-5, 2004, str. 63-79, Vesmír, s.r.o., Praha.
[8]
Kolář, R., Kostelecký, J.: Zavádění pravidel určování polohy bodů
PPBP a podrobných bodů katastru nemovitostí technologiemi GPS do
právních předpisů. Sborník referátů ze semináře: Vývoj metod a technologií GPS v geodézii. ECON Brno, 2005, str. 24-28.
[9]
Kostelecký, J., Řezníček, J.: Síť pozemních stanic GPS pro určování
polohy na permanentních stanicích. Sborník referátů ze semináře: Vývoj metod a technologií GPS v geodézii. ECON Brno, 2005, str. 10-14.
[10]
Kratochvíl, V.: Polohové geodetické sítě – aplikace metody nejmenších
čtverců a transformace. VA v Brně, 2000.
[11]
Kratochvíl, V., Fixel, J.: Globální systém určování polohy – GPS. Využití v geodézii. VA v Brně 2001.
[12]
Machaň, J.: Evidence a registry podrobných bodových polí – současný
stav a a jeho přechod do zdokonaleného ISKN. Sborník referátů ze semináře: Prostorový referenční rámec v ČR. Ústav geodézie, FAST
VUT v Brně, ECON Brno 2001, str. 40-44.
[13]
Mervart, L.: Základy GPS. ČVUT v Praze, 1993.
[14]
Michalčák, S., Sokol, Š.: Geodézie. STU Bratislava, 1999.
[15]
Nevosád, Z.: Geodézie IV. Základní souřadnicové výpočty. VAAZ
v Brně, 1981.
[16]
Nevosád, Z.: Geodézie VI. Vyrovnání geodetických sítí. VAAZ v Brně,
1984.
[17]
Nevosád, Z.: Geodézie VII. Elektronické dálkoměry a teodolity. VA
v Brně, 1993.
- 173 (176) -
[18]
Nevosád, Z.: Odhady přesnosti transformovaných bodů. Sborník referátů ze semináře: Současný stav a vývoj bodových polí. ECON Brno
2004, str. 69-74.
[19]
Nevosád, Z.: New measurements in horizontal geodetic networks.Reports on geodesy, Proceedings of the international seminar
Podbanské. Waszawa 2001, str.21-27.
[20]
Nevosád, Z., Vitásek, J., Bureš, J.: Geodézie IV – Souřadnicové výpočty. FAST VUT v Brně, CERM 2002.
[21]
Nevosád, Z., Vitásek, J.: Geodézie III. VUT v Brně, Vutium 2000.
[22]
Nevosád. Z., Soukup, F., Vitásek, J.: Geodézie II. VUT v Brně, VUTIUM 1999.
[23]
Olšovský, V.: Globální systém určování polohy GPS – úvod do studia.
VA v Brně, 1999.
[24]
Provázek, J.: Správa a modernizace geodetických polohových základů.
Sborník referátů ze semináře: Prostorový referenční rámec v ČR. Ústav
geodézie, FAST VUT v Brně, 2001, str. 5-10.
[25]
Ratiborský, J.: Geodézie 10. ČVUT v Praze, 2000.
[26]
Srnka, E.: Matematická kartografie. VAAZ v Brně, 2001, str. 5-10.
[27]
Staněk, V., Hostinová, G.: Geodézia v stavebnictve. Jaga grup, Bratislava 1999.
[28]
Švábenský, O., Fixel, J., Weigel, J.: Základy GPS a jeho praktické aplikace. CERM VUT v Brně, 1995.
[29]
Vitásek, J., Nevosád, Z.: Geodézie I. VUT v Brně, CERM 1998.
[30]
Vitásek, J., Pažourek, J.: Vybrané kapitoly z geodézie. VUT v Brně,
CERM, 1993.
[31]
Vitásek, J., Soukup, F.: Geodézie 1/3, VUT v Brně, Ediční středisko,
Brno 1986.
[32]
Vykutil, J.: Vyšší geodézie. Kartografie, Praha 1982.
[33]
Zajíček, L.: Databáze základních bodových polí a zhušťovacích bodů.
Sborník referátů ze semináře: Současný stav a vývoj bodových polí.
ECON Brno 2004, str. 8-10.
[34]
Geodetický systém 1942/83 na čs. území. Topografická služba čs. armády. Praha 1992.
[35]
Kolektiv autorů: Geodetické referenční systémy v ČR. Vývoj od klasických ke geocentrickým systémům. VÚGTK a VZÚ, Praha 1998.
[36]
Vývoj gravimetrických základů na území České republiky. ZÚ v Praze,
1997.
[37]
Vývoj výškových základů na území ČR. ZÚ v Praze, 1997.
[38]
Sborník referátů se semináře: GPS a speciální geodetické práce. Ústav
geodézie, FAST VUT v Brně, ECON Brno 2000.
- 174 (176) -
Studijní prameny
[39]
Sborník referátů ze semináře: Prostorový referenční rámec v České
republice. Správa a modernizace. Ústav geodézie, FAST VUT v Brně,
ECON Brno 2001.
[40]
Sborník referátů ze semináře: GPS – diferenční systémy a RTK. Ústav
geodézie, FAST VUT v Brně, ECON Brno 2002.
[41]
Sborník referátů ze semináře: Současný stav a vývoj bodových polí.
Ústav geodézie, FAST VUT v Brně, ECON Brno 2004.
[42]
Sborník referátů ze semináře: Vývoj metod a technologií GPS
v geodézii. Ústav geodézie, FAST VUT v Brně, ECON Brno, 2005
[43]
MicroStation 95. Uživatelská příručka. Bentley Systems, 1995,
[44]
Bartoš, S.: MicroStation – průvodce programem, verze V5. Geodis Brno, s.r.o., 1995.
[45]
Zákon č. 200 ze dne 29. září 1994 o zeměměřictví a o změně a doplnění
některých zákonů souvisejících s jeho zavedením.
[46]
Vyhláška č. 31/1995 Sb. Českého úřadu zeměměřického a katastrálního
ze dne 1. Února 1995, kterou se provádí zákon č. 200/1994 Sb. o zeměměřictví a o změně a doplnění dalších zákonů, souvisejících s jeho
zavedením.
[47]
Nařízení vlády č. 116/1995 Sb., kterým se stanoví geodetické referenční
systémy, státní mapová díla závazná na celém území státu a jejich používání.
[48]
Vyhláška č.190/1996 Sb., kterou se provádí zákon č. 265/1992 S., o
zápisech vlastnických a jiných věcných práv k nemovitostem, ve znění
zákona č. 210/1193 Sb. a zákona č. 90/1996 Sb., a zákon České národní
rady č. 344/1992 Sb., o katastru nemovitostí České republiky (katastrální zákon), ve znění zákona č.89/1996 Sb.
[49]
Technologický postup pro revizi a zřizování zhušťovacích bodů.
ČÚZK, Praha 1997.
[50]
Návod pro obnovu katastrálního operátu mapování ve znění dodatku č.
1 ČÚZK č.j. 21/1977-23, 5239/1999-23. Český úřad zeměměřický a katastrální.
[51]
Návod pro vedení katastru nemovitostí ČÚZK č.j. 80/1999-23.
[52]
Global Positioning Systém GPS. Geografická služba AČR. Praha 2002.
[53]
Návod jak vykovávati katastrální měřické práce. Praha 1940, 1952,
Bratislava 1954.
[54]
Rukopis nového vydání: Geodézie IV – Geodetické sítě a jejich budování. Brno 2005.
- 175 (176) -
10.2 Seznam doplňkové literatury
[55]
Odborný časopis: Geodetický a kartografický obzor. Vesmír, s.r.o.,
Praha.
[56]
Odborný časopis: Zeměměřič. Klaudian, s.r.o., Praha
- 176 (176) -

průvodce předmětem geodézie iii

Transkript

Podobné dokumenty

ZDE

Nabídka výborně hodnocených vín MAGNUM Wines 90+

Pes a fena roku RK CZ 2013

Výsledky soutěže Pes a fena roku 2014 RK CZ

MONDIORING.CZ FMBB 2013, Slovinsko, Koper 30. 4. – 5. 5. 2013

ZDE - Klub bretaňských ohařů

fronte VR 38 EUROPE - Viroplastic CZ, as

Skotntzralost