č. 29 - Podpora výuky a vzdělávání na GVN J. Hradec

Název projektu OPVK: Podpora výuky a vzdělávání na GVN J. Hradec
CZ.1.07/1.5.00/34.0766
Klíčová aktivita: IV/2
Číslo dokumentu: VY_42_INOVACE_M.S1.29
Typ výukového materiálu: Pracovní list pro žáka
Název výukového materiálu: Speciální geometrické objekty
Autor: PhDr. Jan Fiala, Ph.D.
Škola: Gymnázium V. Nováka Jindřichův Hradec
Obor vzdělávání: Gymnázium (všeobecné)
Ročník: I.
Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace
Vzdělávací obor: Matematika
Tématická oblast: Matematika - I.-IV. ročník osmiletého gymnázia
Datum vytvoření: 13. 4. 2013
Anotace: Pracovní list obsahuje pracovní postupy, pomocí nichž si žáci sestaví papírové
modely speciálních geometrických objektů, tzv. Möbiovy pásky a Kleinovy láhve, a experimentálně si ověří
jejich speciální vlastnosti.
Topologie je část geometrie, která se zabývá prostorem a
…v Möbiově
zkoumáním vlastností speciálních objektů. Tyto objekty
pásce
stejně bude
vykazují řadu odlišných vlastností, než na které jsme zvyklí
nějaký trik…!?
z hodin geometrie ve škole.
První objekt, se kterým se seznámíme, je tzv. Möbiova
páska (také Möbiův pás, pásek nebo list, ve starší literatuře se označoval jako Simonyho
prstenec). Je to plocha, která má jen jednu stranu a jednu hranu. V roce 1858 ji nezávisle na
sobě objevili matematici A. F. Möbius a J. B. Listing.
Möbiova páska našla postupně své uplatnění i v technické praxi na dopravnících nebo
jako nekonečná přehrávací smyčka s dvojnásobnou délkou záznamu.
[2]
Nejdříve si Möbiovu pásku sestavíme a pak ověříme její vlastnosti.
1.
Připrav si proužek tvrdého papíru šířky 5 cm a délky
asi 60 cm. Získáš ho slepením na délku dvou pásků
téže šířky.
2.
Vzniklý proužek slep svými konci k sobě tak, že
k jednomu konci přilepíš jedenkrát přetočený druhý
konec pásky. Vzniklá Möbiova páska bude vypadat
podobně, jako je na obrázku vpravo.
3.
Ověř první vlastnost Möbiovy pásky: Möbiova páska
má pouze jednu stěnu. Jak je to možné? Vezmi fix a přilož ho na libovolnou stěnu, toto
místo si označ křížkem. Fixem popisuj pásku čárou libovolně zvoleným směrem
(zvolený směr neměň) a pokračuj tak dlouho, až narazíš na křížek. Co takový popis
pásky znamená? Kolik stěn má Möbiova páska?
4.
Ověř druhou vlastnost Möbiovy pásky: Möbiova páska má pouze jednu hranu. Jak je to
možné? Vezmi fix a přilož ho na libovolnou hranu pásky, toto místo si označ puntíkem.
Fixem popisuj hranu pásky čárou libovolně zvoleným směrem (zvolený směr neměň) a
pokračuj tak dlouho, až narazíš na puntík. Co takový popis pásky znamená? Kolik hran
má Möbiova páska?
-1-
5.
Vytvoř Möbiovu pásku tak, že přetočení jednoho konce pásky bude dvojnásobné. Ověř,
zda vlastnosti takové pásky jsou stejné jako u Möbiovy pásky. Co se stane, bude-li počet
přetočení konce pásky trojnásobné, čtyřnásobné atd.?
6.
Rozstřihni Möbiovu pásku na délku na dvě stejně široké části. Co vzniklo za objekt?
7.
Rozstřihni Möbiovu pásku tak, že nebude rozstřižena přímo uprostřed. Co vzniklo za
objekt?
Nyní se seznámíme s topologickým
objektem, který nese název Kleinova láhev
(obrázek vlevo). Byla pojmenována po
německém matematikovi Felixi Kleinovi,
který ji jako první popsal v roce 1882. Je to
dvourozměrný geometrický útvar, který si
můžeme představit jako uzavřenou nádobu,
která ovšem nemá vnitřek ani vnějšek. Nelze
ji vytvořit v trojrozměrném prostoru, aniž by
se protínala. [3]
8.
Sestav podle návodu učitele papírový model Kleinovy láhve.
9.
Prohlédni si skleněný model Kleinovy láhve (obrázek vpravo).
[4]
10. Na
You
Tube
shlédni
video
s názvem
The
Klein
Bottle:
http://www.youtube.com/watch?v=E8rifKlq5hc
11. Pro Kleinovu láhev nelze rozhodnout, který bod prostoru je „venku“ a který „uvnitř“. Z
toho přímo plyne, že tato plocha má jen jeden povrch. (!) Experimentálně ověř.
Úlohy k procvičení a opakování:
1.
2.
*Möbiova páska inspirovala M. C. Eschera, který vytvořil známý obraz s názvem
Möbius Strip II, na kterém chodí po Möbiově pásce mravenci. Najdi obraz na Internetu.
*Möbiova páska se stala inspirací také řadě zahraničních filmařů. Najdeš nějaký film?
Literatura a zdroje obrázků:
1.
2.
3.
4.
Návod na sestavení Kleinovy láhve. Rozhledy matematicko-fyzikální Ročník 72, 1995,
str. 358. (Příloha)
David Benbennick, Möbius strip.jpg [online]. 2006 [cit. 13.4.2013]. Dostupný pod
licencí Wikimedia Commons:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:M%C3%B6bius_strip.jpg
Krishnavedala, KleinBottle-01.svg [online]. 2011 [cit. 13.4.2013]. Dostupný pod licencí
Wikimedia Commons: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:KleinBottle-01.svg
Maksim Acme klein bottle.jpg [online]. 2006 [cit. 13.4.2013]. Dostupný pod licencí
Wikimedia Commons: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Acme_klein_bottle.
jpg?uselang=cs
Další obrázky vytvořil autor textu.
Prohlašuji, že při tvorbě výukového materiálu jsem respektoval(a) všeobecně užívané právní a morální zvyklosti, autorská a jiná práva třetích
osob, zejména práva duševního vlastnictví (např. práva k obchodní firmě, autorská práva k software, k filmovým, hudebním a fotografickým
dílům nebo práva k ochranným známkám) dle zákona 121/2000 Sb. (Autorský zákon). Nesu veškerou právní odpovědnost za obsah a původ
svého díla.
Prohlašuji dále, že výše uvedený materiál jsem ověřil(a) ve výuce a provedl(a) o tom zápis do třídní knihy. Dávám souhlas, aby mé dílo bylo
dáno k dispozici veřejnosti k účelům volného užití (§ 30 odst. 1 zákona 121/2000 Sb.), tj. že k uvedeným účelům může být kýmkoliv
zveřejňováno, používáno, upravováno a uchováváno.
-2-
Příloha: Šablona pro sestavení modelu Kleinovy láhve [1]
-3-