ASIMILACE MATEMATICKÉHO MODELU S MĚŘENÍMI V TERÉNU

ASIMILACE MATEMATICKÉHO MODELU S MĚŘENÍMI V TERÉNU

MODELY ŠÍŘENÍ ZNEČISTĚNÍ ŽIVOTNÍM PROSTŘEDÍM – OD
DETERMINISTICKÝCH ODHADŮ K PRAVDĚPODOBNOSTNÍMU
HODNOCENÍ
Petr PECHA, Ústav teorie informace a automatizace, AV ČR, Praha
Luboš HOUSA, absolvent FJFI ČVUT Praha, KM, softwarové inženýrství
1
Úvod
Práce na vývoji a implementaci pravděpodobnostního přístupu k hodnocení následků
mimořádných úniků škodlivin do životního prostředí byly zahájeny v rámci projektu 6/2003
(poskytovatel SÚJB) za spolupráce autorů s kolegy z ÚJV Řež, divize EGP. Výsledky
projektu v této oblasti jsou popsány v [18], konkrétním výsledkem je pak verze výpočetního
kódu HAVAR RP (Reliability Prediction). V současné době pokračuje vývoj v ÚTIA AV ČR
ve spolupráci s absolventy KM FJFI, výhledově s cílem vytvořit metodologický a SW základ
pro rozvoj moderních bayesovských metod pro podporu rozhodování v krizových situacích
vyvolaných nehodami jaderné či nejaderné povahy.
Aby nedošlo k nedorozumění ohledně zde zmiňované problematiky, vymezíme nejprve její
roli z hlediska celkového pohledu na bezpečnostní analýzy označované termíny PSA
(Probabilistic Safety Assessment) či PRA (Probabilistic Risk Assessment). Metody poskytují
komplexní pohled na bezpečnost jaderného zařízení, kdy se musí brát v úvahu
pravděpodobnost selhání různých komponent a následující vývoj na základě stromu poruch se
specifickými přechodovými procesy. Cílem je pak určování konzistentních měr bezpečnosti
formulovaných z numerických odhadů prováděných na pravděpodobnostním základě. Podle
typu analyzované oblasti a následků uveďme obvyklou klasifikaci užívanou v jaderné oblasti:
•
„PSA-úroveň 1“ - identifikuje a kvantifikuje sekvence událostí vedoucích ke ztrátě
integrity struktur aktivní zóny a k masivnímu poškození paliva;
•
„PSA-úroveň 2“ - vychází z výsledků analýz v předcházející úrovni 1 a pokračuje
v šetření následků v oblasti kontainmentu, přičemž poskytuje odhady izotopického
složení a dynamiky úniku aktivity do životního prostředí;
•
„PSA-úroveň 3“
- na základě předchozích analýz popisuje transport radionuklidů
při únicích vně jaderného zařízení, určuje distribuci aktivity v komponentách
životního prostředí a v konečné fázi odhaduje následky radiačních nehod na lidské
zdraví.
Ve fázi povolovacího řízení analýzy PSA a zvláště pak jejich úroveň 3 musejí demonstrovat
splnění bezpečnostních kritérií daných vyhláškami a prokázat tak způsobilost nového
technického díla bezpečně plnit svoji funkci. Jedním z postupů (například u kódu PC
COSYMA) takové pravděpodobnostní analýzy je volba jedné konkrétní sady všech vstupních
parametrů v konzervativním směru s výjimkou meteorologie, kdy výpočty v celém prostoru
kolem zdroje radioaktivního znečistění jsou mnohonásobně opakovány pro různé
meteorologické sekvence (určované například na základě výběru z dlouhodobých
povětrnostních statistik). V libovolném bodě prostoru jsou pak konstruovány distribuční
funkce sledovaných výstupních veličin, které například umožní stanovit, s jakou
pravděpodobností nebude přestoupen daný limit.
Ve světě bylo vypracováno několik výpočetních kódů, které se snaží provést úplnou analýzu
neurčitostí všech vstupních parametrů nebo alespoň dílčí analýzu neurčitostí některých
submodelů (atmosférický nebo depoziční, potravní řetězce, dosimetrický model) [3, 4, 9, 10,
11]. Vzhledem ke složitosti úlohy a její silné nelinearitě se jedná o mnohonásobné Monte
1
Carlo výpočty s následujícím statistickým zpracováním náhodných realizací výstupu. Je třeba
si tedy uvědomit, že principem takových procedur je vlastně opakované vyvolávání
deterministického jádra environmentálního modelu vždy s konkrétní realizací náhodných
vstupů modelu (i když se to děje automaticky).
Naše aspirace se netýkají celkového posuzování ani zpětného prokazování způsobilosti
provozu již pracujícího jaderného zařízení. Problém zúžíme na pravděpodobnostní analýzu
vztaženou k jednomu zcela konkrétnímu okamžiku, který ztotožníme s počátkem
mimořádného úniku radioaktivity do atmosféry. Nechť je k tomuto okamžiku k dispozici
popis konkrétní meteorologické situace a současně i její krátkodobá předpověď na 48 hodin.
Například pro hodinové sekvence bodových předpovědí (t. zn. vztažených k místu jaderného
zařízení) generované ČHMÚ jsou pro každý hodinový interval předpovídány (střední)
hodnoty rychlosti větru v referenční výšce (obvykle 10m nad zemí), směru větru, kategorie
stability atmosféry, výšky směšovací vrstvy, atmosférické srážky (mm/hod), … apod. Tyto
hodnoty považujeme za nejlepší odhad („best estimate“, dále označované též jako nominální)
dodávaný poskytovatelem dat, nicméně stochastický charakter jevů má za následek, že tyto
odhady jsou zatíženy pozorovacími, měřícími a modelovými chybami a takovým odhadům
skutečné (neznámé) hodnoty musí být přiřazen náhodný charakter.
Na základě předchozích úvah lze rozlišit dva základní přístupy k modelování, a sice:
•
tradiční deterministický přístup, kdy vstupním parametrům modelu jsou přiřazeny
jejich očekávané (případně konzervativní „nejhorší“) hodnoty, přičemž model
následně generuje vždy jedinou očekávanou hodnotu sledovaného výstupu (případně
její jedinou nejhorší hodnotu – v případě tzv. „worst-case“ analýz),
•
moderní pravděpodobnostní přístup, kdy většině nejdůležitějších vstupních
parametrů je přiřazen náhodný charakter včetně meteorologických charakteristik (u
nich nejde o časovou variabilitu, nýbrž o stochastický charakter ve výše zmíněném
smyslu).
Pravděpodobnostní přístup ve svém důsledku umožňuje statisticky popsat šíření vstupních
neurčitostí modelem, analyzovat citlivost výstupu na fluktuace jednotlivých vstupních
parametrů modelu a kvantifikovat prostorovou závislost chyb modelu, což souhrnně vyjadřují
termíny:
1. Analýza neurčitostí (AN), která ve svém důsledku umožní generovat
pravděpodobnostní odpovědi na otázky hodnocení následků mimořádných úniků.
2. Citlivostní studie (CS), umožňující definovat relevantní grupu náhodných vstupních
parametrů modelu, tzn. omezit se na ty parametry, které mají nezanedbatelný vliv na
fluktuace sledovaných výstupů.
3. Kovarianční matice (KM) chyb modelu, která definuje prostorové šíření fluktuací
modelovaných hodnot.
Z předchozího textu by již mělo být zřejmé, na co jsme problém zúžili a na co se
soustřeďujeme. Kromě dílčích analýz AN, CS a KM konečným cílem a záměrem je možnost
zpřesnit matematické modelování na základě korekcí se skutečnými pozorováními (měřeními)
v terénu, prováděných časově konsistentně s časovými kroky matematického modelu. Tato
procedura se nazývá asimilace modelu s měřeními a obecně je dnes považována za nezbytný
krok ke zvýšení spolehlivosti matematických odhadů a k přechodu od izolovaného
modelování k věrnějšímu popisu reality. Současně definovanou úlohu považujeme za jednu
z významných procedur z širokého spektra metod analýz PSA úrovně 3.
2
2
Matematicko-fyzikální model šíření znečistění životním prostředím
Deterministický model zavádí konceptuální schémata pro vyjádření přírodních procesů ve
formě soustav diferenciálních rovnic s příslušnými počátečními a okrajovými podmínkami.
Při dostatečné výpočetní kapacitě a aplikaci nových znalostí je možno tyto modely v určitých
směrech zpřesňovat a rozšiřovat jejich složitost, nicméně jakkoliv sofistikované
deterministické modely nemohou zcela do důsledků popsat přírodní procesy, které jsou ve své
podstatě fraktální a chaotické.
V dalším textu zaměříme pozornost na analýzu mimořádných úniků škodlivin do atmosféry
z přízemních nebo vyvýšených zdrojů v bližších a středních vzdálenostech do 100 km od
zdroje znečistění. Pozornost bude soustředěna především na následující veličiny:
•
3-D rozložení koncentrace škodlivin ve vzduchu, umožňující například kontrolu
překročení prahových koncentrací chemických substancí,
•
2-D rozložení časových integrálů koncentrace škodlivin v přízemní vrstvě vzduchu,
které jsou důležité při krizovém zvládání jaderných událostí při rozhodování o
vyhlášení neodkladných opatření (jodová profylaxe, ukrytí či evakuace obyvatel)
v zasažených oblastech,
•
2-D rozložení plošných koncentrací škodlivin deponovaných na zemském povrchu
v okolí do 100 km od zdroje znečistění, což bude důležité hlavně pro případ dalšího
terestrického transportu radionuklidů a na něm závislých různých typů dávek záření a
jejich úvazků, užívaných v krizovém řízení pro klasifikaci závažnosti nehody a
rozhodování o aplikaci následných protiopatření na ochranu obyvatel. Může být
důležitá i depozice některých chemických látek.
Je důležité si uvědomit, že vyjmenované 3 typy výstupů modelu jsou hlavními řídícími
veličinami pro následné hodnocení důsledků nehod, pomocí nichž jsou potom dopočítávány
nejrůznější typy dávek záření a prováděna kvantifikace zdravotního rizika. Současně je třeba
za tím vidět složitost celého problému, kdy například pro radioaktivní úniky je nutné řešit
úlohu prostorově, pro každý nuklid z unikajícího spektra zvlášť a v závěru provést
superpozici následků přes celou grupu radionuklidů.
Matematicky formulováno, modelované výstupní veličiny lze obecně vyjádřit vektorem Y :
Y = ℜ(Z) , kde Y ≡ [Y1, Y2, Y3, …] ; Z ≡ [Z1, Z2, Z3, …, ZM] ;
(1a)
Velká písmena vyjadřují fakt, že příslušné proměnné mají náhodný charakter, jejich konkrétní
náhodné realizace budou označovány malými písmeny. Vektor Z vstupních parametrů modelu
ℜ má dimenzi M. Pokud se omezíme na jedinou výstupní proměnnou představovanou jednou
složkou Yi vektoru Y (například na jednu ze shora explicitně vyjmenovaných na začátku
tohoto odstavce), bude se jednat o analýzu jediné skalární proměnné (v dalším textu se bude
jednat většinou o prostorové rozložení depozice určitého jednoho testovaného nuklidu) podle
schématu:
Yi = Y = ℜGPM (Z)
(1b)
V dalším používáme fyzikální model ℜGPM advekce a disperze škodlivin ve vlečce unášené
větrem (a příslušných navazujících submodelů), který je formulován v přiblížení Gaussova
modelu v jeho jednoduché variantě GPM (Gaussian Plume Model) pro přímočaré šíření
(vyhovuje v blízkosti zdroje) a alternativně ve složitější verzi segmentovaného Gaussova
modelu GPMseg, který umožňuje respektovat časově proměnné sekvence krátkodobých
meteorologických předpovědí a modelovat situaci ve větších vzdálenostech. V tomto případě
3
jsou vstupní parametry Zm, m=1, …, M vyjádřeny jejich nominálními (očekávanými)
hodnotami zmnom. Pravděpodobnostní verze obou modelů, kdy vstupní parametry jsou
považovány za náhodné, umožňují modelovat šíření jejich neurčitostí modelem směrem ke
sledovaným výstupním veličinám. V současné době je algoritmus výpočetně náročného
pravděpodobnostního modelu GPMseg testován na jeho použití v procesu mnohonásobně
opakovaných cyklů.
3
Variabilita a neurčitost
Transportní procesy přenosu znečistění jsou ve své podstatě stochastické a příslušné
neurčitosti neumožňují dosáhnout přesné predikce (turbulentní mechanismy v atmosféře,
molekulární procesy suché a mokré depozice apod.). Jiné vstupní parametry mohou vykazovat
tak zvanou variabilitu, pokud se mění s časem či v prostoru nebo se jejich hodnoty mohou lišit
pro jednotlivé kategorie v rámci celé populace (dynamika úniku znečistění ze zdroje, suchá
depozice pro jednotlivé kategorie typu zemského povrchu, spotřeba potravin pro jednotlivé
věkové kategorie atd.). Z tohoto hlediska je třeba rozlišovat mezi neurčitostí a variabilitou.
Variabilta obecně vyjadřuje diference vstupní proměnné způsobené časovými, prostorovými
nebo mezikategoriálními závislostmi. Na druhé straně stochastické vlastnosti vedou
k neurčitostem vstupů v důsledku neúplné znalosti a neúplného popisu složitého systému,
parametrizace modelu nebo v důsledku chyb v určování datových konstant.
Ponechme stranou další podrobnosti a uveďme hlavní myšlenku, jakým způsobem popisované
programy ošetřují variabilitu některých proměnných. I když je fakt, že v určitých případech
lze variabilitu interpretovat jako (diskrétní) veličinu s určitou empirickou frekvenční funkcí,
v produktu HAVAR RP je důsledně použit princip nikoliv jediné veličiny s určitou distribucí,
nýbrž rozlišení na kategorie je provedeno již v samotné vstupní části. Tak například výstupy
(dávek, dávkových příkonů, zdravotního rizika) jsou generovány paralelně pro všechny
věkové kategorie. Stejně tak primární vstup celého prostorového rozložení typu zemského
povrchu kolem zdroje znečistění (kategorizován do pěti skupin: 1- vodní plocha, 2- tráva, 3zemědělské kultury, 4- lesy, 5- zástavba) umožní implicitně rozlišit skutečný lokálně závislý
typ povrchu a zahrnout jeho vliv na prostorové rozložení výstupů.
Ovšem v rámci konkrétní kategorie jsou uvažovány neurčitosti každé dílčí kategorie.
S časovými variacemi určité proměnné se obvykle vypořádáváme tak, že se provede její
středování v rámci určitého časového intervalu, přičemž se určují neurčitosti této střední
hodnoty. Tak například skutečná dynamika úniku škodlivin je nahrazována počástech
konstantními ekvivalentními (hodinovými) úniky s následným odhadem neurčitosti těchto
středních hodnot. Stejný princip může být použit i v případě prostorového středování
prováděný s ohledem na použitou polární výpočetní síť. U některých složitých konceptuálně
zaváděných charakteristik není hodnota pro jednotlivé kategorie považována za náhodnou,
nicméně podle její hodnoty jsou generovány neurčitosti dalších asociovaných proměnných.
Tak například pro konkrétní kategorii stability atmosféry podle Pasquillova třídění jsou
odvozovány neurčitosti koeficientů disperze nebo stochastické fluktuace středních hodnot
směru větru.
Metodami kvantifikace variability a neurčitostí vstupů se zabývá statistická analýza
náhodných simulací (pozorování). Jednou z možností jsou techniky vycházející z bayesovské
inference se zahrnutím určité apriorní informace o náhodných charakteristikách
analyzovaných dat. S rozvojem výpočetní techniky nabyly na významu postupy klasické
statistiky, kdy z analyzované populace nezávislých pozorování jsou postupně vybírány m-tice
prvků (s vracením), přičemž pro každý takový výběr se vypočítává požadovaná výběrová
distribuční statistika (například průměr, standardní odchylku, vychýlení). Pro velký počet
4
provedených výběrů se tak dostane stejný počet odhadů požadované hledané statistiky,
z nichž lze stanovit neurčitost distribuční statistiky celé populace. Naznačený postup popisuje
princip tzv. bootstrap simulace, která je možnou alternativou k další často používané metodě
maximální věrohodnosti pro odhad hledaných statistik. Výsledky analýz jsou následně
uplatněny při elicitačních procedurách expertů [2, 3, 4, 22] vyúsťujících v doporučení pro
volbu charakteristik variability nebo neurčitostí.
4
Hlavní příčiny existence neurčitostí vstupních parametrů
Neurčitosti vstupující do modelů šíření znečistění lze klasifikovat jako charakteristiky týkající
se přirozené podstaty věci, pojmového (konceptuálního) vymezení (omezení) modelu a datové
(parametrické) oblasti:
•
Do první skupiny patří náhodné proměnné, jejichž neurčitosti vedou k nevyhnutelnému
faktu, že systém má stochastický charakter. Většina takových proměnných je náhodná
již ve svém principu, další mohou být modelovány jako náhodné přesto, že při
vynaložení velkého úsilí a prostředků by mohly být stanovovány (měřeny) přesně. Ze
znalosti vlivu šíření neurčitostí modelem můžeme určit oblasti, kde další alternativní
výzkum nebo případná další zpřesňování měřících technik mohou vést k redukci chyb a
tím ke zvyšování spolehlivosti predikce modelu.
•
Každý matematický model obsahuje jistá zjednodušení reality a zavádí tak další
neurčitosti do modelování. Již v samotném počátku při volbě výpočetního modelu je
nutné udělat kompromis mezi detailností popisu (Gaussův model, Lagrangeova
částicová schémata, podrobný eulerovský přístup) a časovou náročností a složitostí
výpočtu. Potom následuje celá řada dalších vynucených kroků týkajících se volby
alternativních submodelů transportu znečistění, detailnosti výpočetní mříže časového a
prostorového rozlišení, volby počátečních a okrajových podmínek atd. Ukazuje se, že
nedokonalá znalost fyzikální podstaty věci vedoucí k použití zjednodušených dílčích
poloempirických formulí představuje klíčový zdroj neurčitostí výsledné predikce.
•
Neurčitosti odhadu parametrů (konstant) modelu pramení z mnoha příčin. Některé
neurčitosti vyplývají z chyb měření (náhodné chyby analytických měřících zařízení,
systematická zkreslení v důsledku chybné kalibrace přístrojů), další například
z nepřesných transformací hodnot z nepřímých pozorování nebo z vyvozování závěrů o
náhodných charakteristikách parametrů modelu na základě experimentů provedených
s nereprezentativními vzorky.
Vzhledem ke složitosti modelování transportu aktivity životním prostředím a jejich zřejmé
nelinearitě ve vztahu ke vstupním parametrům jsou používány numerické metody založené na
Monte-Carlo postupech spočívajících v mnohonásobném opakování výpočtu se sekvencemi
předem vygenerovaných náhodných realizací vstupů. První fází výpočtů je tedy generování
náhodných realizací grupy vstupních parametrů, které předpokládá pečlivou analýzu
v několika krocích:
1. Identifikace množiny M vstupních parametrů, které nezanedbatelně přispívají
k neurčitosti predikce.
2. Definice distribuční funkce případně odhady dolní a horní hranice fluktuací
jednotlivých vstupních parametrů.
3. Odhady a zahrnutí míry korelace mezi jednotlivými vstupními parametry.
4. Volba vhodné metodiky generování realizací vstupních náhodných vektorů.
5
5. Provedení co největšího počtu K výběrů (který připouští kapacita výpočetního
zařízení) realizací náhodného vstupního vektoru.
Prvním krokem je tedy správný odhad rozsahu grupy vstupních parametrů modelu a jejich
náhodných charakteristik. Z literatury vyplývá, že model obvykle obsahuje velké množství
vstupních parametrů, z nichž jen určitá část svými fluktuacemi významněji ovlivňuje výstup.
To umožňuje na základě studií citlivosti provádět určitou redukci počtu parametrů a tak
definovat optimální rozměr M náhodného vstupního vektoru Z ≡ [Z1, Z2, Z3, …, ZM].
Pro vektor Z lze zavést některé jeho číselné (maticové) charakteristiky. K základním patří
vektorová střední hodnota a kovarianční matice. Střední hodnota náhodného vektoru se
definuje jako vektor středních hodnot jeho jednotlivých složek, tedy:
E[Z] = { E[Z1] , E[Z2] , ….. , E[ZM }
(2a)
Pro dvě náhodné veličiny Zi a Zk je kovariance cov(Zi,Zk ) definována podle:
cov(Zi,Zk ) = E[ (Zi - E[Zi]) . (Zk - E[Zk]) ]
(2b)
přičemž pro i=k přechází cov(ZiZi)na rozptyl D(Zi) .
Kovarianční matici C(Z) vstupního náhodného vektoru Z ≡ [Z1, Z2, Z3, …, ZM] lze zapsat
schématem:
cov(Z 1 , Z 2 )
⎡ D( Z1 )
⎢cov(Z , Z ) D( Z )
2
1
2
⎢
⎢
C (Z ) =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⎢
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⎢ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⎢cov(Z M , Z 1 ) cov(Z M , Z 2 )
⎣
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ cov(Z 1 , Z M ) ⎤
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ cov(Z 2 , Z M )⎥⎥
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎥
⎥
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎥
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ D( Z M ) ⎥⎦
(2c)
Rozsah grupy (to znamená počet M relevantních vstupních parametrů) se odhaduje na základě
analýzy významnosti vlivu parametru na výstupní veličiny (předběžné třídění a citlivostní
studie, přičemž statisticky nevýznamné parametry jsou dále charakterizovány pouze
deterministicky jejich nominálními hodnotami).
5
Charakteristiky neurčitostí vstupních parametrů modelů šíření znečistění
Existuje několik přístupů pro vyjádření neurčitostí v závislosti na doménách aplikace.
V oblasti transportních modelů připadají v úvahu metody vyplývající z teorie intervalové
matematiky, teorie „fuzzy sets“ a pravděpodobnostní analýzy [6, 7, 10]. Cílem intervalové
analýzy je odhadovat rozsahy hodnot sledovaných cílových veličin modelu v závislosti na
intervalových rozsazích vstupních parametrů. Aplikace teorie fuzzy množin umožňuje
vyjádřit takovou neurčitost, která místo klasicky chápané náhodnosti má spíše charakter jisté
vágnosti nebo nejasnosti pojmu. „Pojmy s neurčitě vymezenými hranicemi prostupují lidský
jazyk a myšlení, a hrají tak důležitou roli při výměně informací. Profesor Lofti Zadeh si této
okolnosti všimnul a učinil z ní základ nové ideje, kvantifikace neurčitosti. Výsledkem jeho
práce je koncept t. zv. fuzzy množin, množin, u kterých je pro každou věc z nějakého (vhodně
zvoleného) universa určen stupeň příslušnosti, kterým tato věc náleží množině.“ [19]. Fuzzy
logika našla uplatnění při řízení složitých systémů, například v oblasti konstrukce rozhraní pro
6
komunikaci s roboty v přirozené řeči jak v psané tak v mluvené formě, kdy expertní znalosti
operátora jsou převáděny do formy lingvistických pravidel.
V naší analýze zatím používáme výhradně pravděpodobnostní přiblížení, které je adekvátní
při použití ve fyzikálních systémech pro kvantitativní popis obsažených neurčitostí. Při
určování distribuční funkce náhodného rozložení vstupních parametrů se používají buď
statistické metody odhadu anebo distribuce je konstruována empiricky (a tím i subjektivně) na
základě expertních odhadů a doporučení. Použití statistických metod je podmíněno
dostatečným množstvím representativních dat (vzorků), kdy určité události je přiřazována
jistá pravděpodobnost interpretovaná v termínech frekvence výskytu události. Při dostatečně
velkém počtu pokusů je tato pravděpodobnost definována v klasickém smyslu jako poměr
počtu výskytu události k celkovému počtu pokusů. V případě nedostatečného množství dat
mohou být použity zmíněné subjektivní odhady distribucí doporučené experty v dané oblasti.
Na základě obecně přijatého souhlasu je nutné deklarovat následující vlastnosti náhodných
vstupních parametrů modelů:
•
Myslitelný rozsah jejich hodnot (např. horní a dolní meze možných hodnot)
•
Typ rozdělení náhodného parametru
•
Vzájemnou závislost mezi náhodnými hodnotami parametrů
K určování typu rozdělení poznamenejme, že je nutné respektovat obecně publikovaná
expertní doporučení (pokud jsou pro daný případ k dispozici). Je obecným pravidlem, že jen
zřídka lze experimentálně podpořit konkrétně provedený závěr. Pokud jsme nuceni přijmout
vlastní rozhodnutí, je třeba si uvědomit možný subjektivní prvek, který by při povrchním
postupu mohl vést ke zkreslení výsledků. Obecně doporučovaný postup pro tento případ říká,
že pokud máme minimální znalosti o možných náhodných charakteristikách, je rozumné se
omezit na rovnoměrné rozdělení v rámci definovaného rozsahu.
Jestliže bude k dispozici další expertní znalost směrem k podrobnějšímu určení typu
rozdělení, lze akceptovat příslušný lépe odpovídající typ jako je unimodální a symetrické
rozdělení (např. trojúhelníkového typu) nebo rozdělení respektující předpokládané zkosení
k dolní či horní mezi. Zkušenosti ukazují, že mnoho kladných fyzikálních, chemických,
biologických i toxikologických náhodných proměnných sleduje logaritmický trend. Proto pro
fluktuace většího rozsahu by měla být dávána přednost pracovat s logaritmy příslušných
hodnot a přizpůsobit uniformní, trojúhelníkové nebo normální rozdělení na logaritmická
(LogUniform, LogTriangular, LogNormal). Je třeba mít na paměti, že často i experti obtížně
formulují průběhy hustoty pravděpodobnosti v limitních dolních a horních oblastech. Je proto
lepší nadefinovat určité rozumné hraniční body a uvažovat omezená (truncated) rozdělení.
Pravděpodobnostní odhady následků úniků budou representativní jen tehdy, pokud předchozí
proces přiřazení náhodných charakteristik všem důležitým vstupním parametrům bude
korektní.
Pravděpodobnostní verze modelu GPM jsou implementovány do systému HAVAR-RP
vyvíjeného v rámci projektu 6/2003 [18]. Jedním z jeho subsystémů je interaktivní aplikace
GENERATOR vyvinutá a popsaná v [5], která implementuje metodu LHS (Latin Hypercube
Sampling) pro vzorkování náhodných vstupů. V první fázi uživatel interaktivně volí pro
každý parametr typ rozdělení a jeho charakteristiky včetně způsobu zadávání. Panely nabízejí
pro typ rozdělení následující volby:
-
normální, normální omezené
logaritmicko normální, logaritmicko normální omezené (LogNorm)
rovnoměrné
7
-
logaritmicky rovnoměrné (LogUni)
diskrétní rovnoměrné
trojúhelníkové
Způsoby zadání charakteristik (středních hodnot a rozptylů případně mezí) lze provádět
z nabídky:
-
standardní zadání (absolutní hodnoty)
standardní zadání (relativní hodnoty)
kvantily (0.05 a 0.95 ) - absolutně
kvantily (0.10 a 0.90 ) - absolutně
kvantily (0.05 a 0.95 ) - relativně
kvantily (0.10 a 0.90 ) - relativně
m-tá složka vstupního vektoru (1b) představuje m-tý náhodný vstupní parametr Zm . Nechť
má například normální rozdělení se střední hodnotu zmnom a rozptylem σm2 . Při absolutním
standardním formátu zadávání je myšleno přímé generování z rozdělení N(zmnom; σm ). Pokud
je specifikováno relativní zadávání, parametr je vyjádřen separací
Zm = zmnom . Cm
resp.
(Zm)a = (zmnom)a . Cm
(3)
Zde C je normalizovaná náhodná proměnná s mediánem 1.0 ( 0.5-kvantil) a mezemi či
disperzemi transformovanými z příslušných hodnot absolutní proměnné případně jejího
rozsahu (ten může být zadán i v libovolné škále, automaticky se provede převod do
normalizovaného tvaru). Index a v alternativním vztahu značí příslušnou kategorii
uvažovanou v rámci variability vstupní proměnné m (rozlišována na kategorie a ). Celá
situace je pro jednotlivá rozdělení podrobně rozebrána v [18] .
Aby náš výklad nebyl příliš obecný, ukazuje obrázek 2 konkrétně zvolené náhodné grupy
vstupních parametrů atmosférického a depozičního submodelu. Tabulka 1 popisuje grupu
submodelu potravních řetězců a tabulka 2 grupu dozimetrického submodelu. Tyto hodnoty
byly použity při analýze radiologického rizika mimořádných úniků radioaktivity [18] pomocí
kódu HAVAR RP. Vstupní grupy všech submodelů je třeba adaptovat na dostupná data v ČR.
6
Metody vzorkování
Jak již bylo řečeno, složitost problému a nelinearita jsou hlavním důvodem pro použití
numerického postupu, který umožňuje dosáhnout realistických výsledků. Proto je nezbytné
v prvním kroku zvolit vhodnou metodu vzorkování spočívající v generování M-tic realizací
{kz1, kz2, kz3, …. , kzM }k=1, … ,K vstupního náhodného vektoru Z , a to jak s ohledem na
dostatečně velký počet realizací K tak vzhledem ke korektnímu zahrnutí skutečných korelací
mezi vstupními parametry.
V prvním případě jde o volbu optimálního výběrového algoritmu. Naznačíme hlavní důvod,
proč nahrazujeme základní metodu hrubého Monte Carlo vzorkování metodou
stratifikovaného vzorkování LHS. I když hrubá metoda se snadno implementuje, její základní
nevýhodou je možná tvorba nepravidelných shluků realizací ve výběrovém prostoru, zvláště
pak při malém počtu pokusů. To si vynucuje generovat poměrně rozsáhlé vzorky (tisíce až
desetitisíce realizací), což v případě následující aplikace ve složitém environmentálním
modelu může vést k neúnosným dobám výpočtu resp. při zmenšené velikosti vzorku
k nestabilním výsledkům (myšleno ve smyslu srovnání výsledných hodnot s opakovaným
procesem). Ale ani při velkém počtu vzorků K nezaručuje hrubé MC vzorkování úplné
pokrytí všech oblastí výběrového prostoru. Je tedy zřejmé, že tato metoda není příliš vhodná
například pro určování extrémních hodnot kvantilů výstupních veličin simulovaných
8
matematickým modelem. Proto bylo třeba přejít k metodám stratifikovaného vzorkování,
v našem případě konkrétně k proceduře LHS, která rozvíjí myšlenku „vzorkování na základě
důležitosti“ (Importance Sampling).
Zjednodušeně řečeno, metoda LHS předem klade určitá deterministická pravidla na
mechanismus generování vzorků tak, aby vykazovaly lepší statistické vlastnosti. Představme
si případ, kdy rozsah každé náhodné veličiny m (m=1,…,M) je rozdělen na K disjunktních
intervalů, přičemž intervalové pravděpodobnosti nechť jsou stejné (jejich suma musí být 1.0).
Bez dalších podrobností konstatujme, že takto byl kartézský součin rozsahů všech
K náhodných veličin rozdělen na KM částí (hyperkostek), přičemž z nich provádíme výběr K
M-tic, který je uspořádán do výběrové matice GK,M . A právě pravidla tohoto výběru jsou
jádrem procedury LHS, kdy vždy do m-tého sloupce matice G (odpovídá m-té náhodné
veličině, m=1,M) jsou vybrány prvky tak, aby matice měla v každém tomto sloupci permutaci
čísel 1, …., K. Tak se zajistí, že každý dílčí interval každé náhodné veličiny bude použit ke
generování právě jednou. Výběry potom rovnoměrně pokrývají možné rozsahy náhodných
vstupů a s nimi prováděná analýza šíření neurčitostí environmentálním modelem je robustní i
pro menší rozsahy vzorků, což je u těchto složitých modelů naprosto podstatné.
K demonstraci principů vzorkování uvádíme obrázek 1, kde je v 2-D uveden případ dvou
náhodných proměnných X a Y (tedy M=2) rovnoměrně rozdělených vždy na intervalu <-1;
1>, přičemž kroužky znázorňují vygenerované hodnoty deseti dvojic (xk ; yk) (tedy počet
realizací dvojic je K=10, stejně jako počet dílčích subintervalů se stejnou pravděpodobností
výběru). První obrázek hrubé MC metody ukazuje možné náhodné shluky realizací. Naopak
realizace pro LHS vykazují „rovnoměrnější“ zaplnění výběrového prostoru a lze si docela
dobře představit, jak při zvětšujícím se počtu realizací K (a tím i při zhušťování pravidelné
čtvercové mřížky) rovnoměrné pokrytí celého výběrového prostoru se nejen zachová, ale i
zvýrazní. Obrázek 1 se vztahuje k případu pouze dvou proměnných (M=2), a tudíž jde o
znázornění v 2-D. Čtenář si jistě dovede představit případ M=3, kdy výběrový prostor by byl
znázorněn krychlí rozdělenou na K3 základních kostek. Induktivně lze pak pro velká M
vytušit princip rozdělení M-dimensionální nadkrychle výběrového prostoru na KM již
zmíněných hyperkostek.
Obr. 1. Náhodné výběry (páry realizací dvou náhodných veličin X a Y, každá je rovnoměrně
rozdělená na <-1;+1>) generované hrubou MC metodou a procedurou Latin Hypercube
Sampling (K=10, M=2)
9
Zvolenou grupu vstupních parametrů je nutné analyzovat také z hlediska možných
vzájemných korelací. Intuitivně lze například vycítit, že fluktuace horizontální a vertikální
disperze by mohly vykazovat určitou lineární závislost. Proto součástí expertních odhadů jsou
též doporučení na zavádění párových korelací. Na druhé straně je třeba potlačit falešné
korelace, které se mohou při procesu generování náhodných vzorků vyskytnout jako důsledek
použitého algoritmu (např. při párování náhodných výběrů u metody LHS). V literatuře [12]
je nabízeno řešení spočívající v možnosti předepsat algoritmu generování náhodných vstupů
předem zkonstruovanou korelační matici podle vztahu (2c). Výsledkem je zachování daných
pořadových korelací ve výsledné transformaci. Implementace tohoto postupu do aplikace
GENERATOR systému HAVAR-RP je blíže popsána v [5].
Již jsme zmínili, že jednou z cest zvyšování spolehlivosti predikce je zpřesňování odhadu
náhodných charakteristik neboli jejich redukovatelnost. Redukci však nelze provádět u
přirozených neurčitostí stochastického charakteru inherentně obsažených v systému. Na druhé
straně některé neurčitosti modelu a jeho parametrů mohou být až k určité mezi snižovány při
použití přesnějších měřících instrumentů a metod, zpřesněném scénáři úniku a při zlepšeních
ve formulaci modelu. Poslední zmínka odráží fakt, že v rámci existující koncepce modelu
některé neurčitosti jsou neredukovatelné, nicméně mohou být perspektivně snižovány
v souladu se zpřesňováním teorie a s rozvojem konceptuálního schématu modelu.
7
Návrh implicitních grup neurčitostí vstupních parametrů
Aplikaci předchozích závěrů budeme demonstrovat na simulaci transportu radionuklidů do
životního prostředí po jejich mimořádném úniku. Musí být uvažován řetězec jednotlivých
vzájemně provázaných submodelů podle schématu:
únik
→ atmosférický a → transport aktivity → dozimetrický model
radionuklidů
depoziční model
potravními řetězci
pro odhady dávek
{M1 neurčitostí}
{M2 neurčitostí}
{M3 neurčitostí}
Zde M1, M2 a M3 představují počet vstupních parametrů, jimž byl přiřazen náhodný
charakter. Jedná se o minimální návrh vytipovaný v [18] na základě obsáhlé rešerše
podložený publikovanými závěry o důležitosti jednotlivých vstupů. Bohužel je třeba
poznamenat, že doporučované závěry se poměrně dost liší a uplatňuje se zde subjektivní
názor jednotlivých autorů. Navíc důležitost konkrétního parametru se může podstatně měnit
s typem scénářů úniku. Z tohoto úhlu je třeba se dívat i na náš výběr uvedený na obrázku 2 a
v tabulkách 2 a 3. Počet neurčitostí je zde volen M1=12, M2=16, M3=9, nicméně vyvinuté
softwarové prostředky jsou obecné a umožňují tedy snadné rozšíření. Pro zajímavost uveďme,
že analýza neurčitostí (pouze základní statistiky) byla prováděna v systému COSYMA [3] pro
M1=24 , M2=35 a M3=100 (toto číslo je tak vysoké hlavně proto, že variabilita je zahrnuta
jako neurčitosti). Nicméně naše cíle jsou širší (směrem k asimilaci modelu s reálnými
měřeními) než je jen základní AN a tudíž i rozsah úlohy musí být optimalizován vzhledem
k omezení výpočetní náročnosti.
10
Obr. 2. Interaktivní zadávání náhodných charakteristik vstupních parametrů atmosférického
a depozičního modelu – 1. část. Dalších 7 parametrů se volí na pokračovacím menu, stručně:
6. faktor vymývání - elem. jód: log-rovnoměrné ; meze standardně relativně: <1; 100>
7. faktor vymývání - aerosoly: log-rovnoměrné ; meze standardně relativně: <2.3; 600>
8. faktor advekční rychl. vlečky: - rovnoměrné ; meze standardně relativně: <-1; 1>
9. korekce exponentu profilu větru: normální 3σ omez. ; N(μ=1.0, σ =0.15)
10. faktor vertikální disperze: log-normální; zadání kvantily, relativně <5%=1.0, 95%=4.0>
11. korekce směšovací výšky: trojúhelníkové symetrické; meze: <0.5; 1.5>
12. korekce tepel. vznosu : log-normální; zadání kvantily, relativně <5%=1.0, 95%=10.0>
Tab.1
Implicitní grupa neurčitostí dynamického ingesčního modelu systému HAVAR-RP
proměnná
FCM1: Intercepce na listové částifrakce
FCM2: Škálový faktor pro CRs-p
půda-rostlina Cs i Sr
FCM3: Vyluhování – relativní frakce
FCM4: Poločas odstranění weathering
FCM5: Plošná hust. kg/m2 kořenové
zóny(škálově)
FCM6: Transf. (*)
Cs do mléka (d.l-1) –
škála fluktuací
minimum
0.4
0.4
15.0
0.86
0.66
střední maximum
rozdělení
rozměr
hodnota
1.0
Normální, σ=
0.15 (1σ omez.)
LogUni
2.5
(relativně)
2.5
LogUni
(relativně)
25.0
35.0
trojúhelníkové
den-1
1.0
1.14
rovnoměrné
-
3.00
LogUni
(relativně)
-
11
FCM7: Transf. (*)
Sr do mléka (d.l-1) –
škála fluktuací
0.5
1.25
LogUni
(relativně)
LogUni
(relativně)
rovnoměrné
FCM8: Transf. (*)
I do mléka (d.l-1) –
0.66
3.0
škála fluktuací
FCM9: Transf. (*)
Cs do masa (d.kg-1) –
0.50
1.0
1.5
škála fluktuací
FCM10: Plošný výnos plodin 0.8
1.0
1.2
rovnoměrné
korekce
FCM11: Časový posun vegetace
-15
0
+15
rovnoměrné
(posun sklizně)
FCM12: Faktor zpracování pro
0.4
0.5
0.6
rovnoměrné
mouku
FCM13: Faktor zpracování pro
0.6
0.8
1.0
rovnoměrné
zeleninu
FCM14: Faktory spotřeby potravin
0.7
1.0
1.3
trojúhelníkové
FCM15: Krmné dávky skotu –
0.85
1.0
1.15
rovnoměrné
stájový výkrm
FCM16:
Doba zdržení ke konzumaci
2.0
normální σ=
0.86, (2σ mez.)
mléka (**)
(*)
…normalizovaný bezrozměrný náhodný faktor podle schématu (3)
(**)
… podle doporučení kódu OSCAAR [4]
den
den
Tab. 2
Implicitní grupa vstupních neurčitostí dosimetrického submodelu systému HAVAR-RP
proměnná
minimum
střední maximum
hodnota
0.875
1.00
DOS1: Flok (1) – lokační faktor
0.75
(frakce času setrvání v místě)
DOS2: SF- faktor stínění budov
0.10
0.20
0.30
DOS3: dfast – depozice Cs137,
0.40
0.52
0.71
koeficient formule ENV(t)
DOS4: T1/2fast – depozice Cs137,
0.41
1.1
1.4
poločas odstranění(rychlá složka)
DOS5: T1/2slow – depozice Cs137,
24.3
28.0
29.4
poločas odstranění (pomalá složka)
DOS6: FFfiltr – frakce interní filtrace
0.43
0.64
0.84
v budovách (cesta inhalace)
DOS7: kfast - koef. rychlé složky
3.6 E-9 2.63E-8 4.9 E-8
formule koeficientu resuspenze
DOS8: T1/2RESfast – poločas snížení
0.50
1.35
2.2
rychlé složky koef. resuspenze
DOS9: Fuainh (2)
0.5
1.0
1.5
(1)
… faktor setrvání (odhadnuto z COSYMA, RODOS)
(2)
… multiplikační faktor pro intenzitu dýchání (odhadnuto z MARC-2A)
8
rozdělení
rozměr
rovnoměrné
-
rovnoměrné
rovnoměrné
-
rovnoměrné
rok
rovnoměrné
rok
rovnoměrné
-
rovnoměrné
m-1
rovnoměrné
rok
rovnoměrné
-
Šíření neurčitostí modelem
Pro výběr vhodné metody AN a CS je podstatné, že fyzikální model ℜGPM je silně nelineární.
Je možné si sice představit rozvoj výstupní veličiny Y v okolí referenčního (nominálního)
vstupního vektoru Znom a zavést omezení jen na lineární členy (pro blízké okolí – bližší
diskuse je prováděna v [18]), nicméně pro praktické zvládnutí celé úlohy připadá pouze
numerické řešení založené na vzorkovacích metodách (sampling-based) spočívajících
v mnohonásobně opakovaném modelování transportu znečistění ve sledovaných
komponentách environmentálního modelu s jednotlivými realizacemi grupy vstupních
parametrů a jejich promítnutí do náhodných charakteristik sledovaných výstupů. Konkrétně,
každá jednotlivá realizace k vstupního náhodného vektoru {kz1, kz2, kz3, …. , kzM } je
dosazena do modelu (1b) a je proveden samostatný výpočet příslušné realizace náhodného
12
výstupu ky . Znovu zdůrazněme, že jsme se sice omezili na jedinou výstupní náhodnou
proměnnou Y, nicméně model vždy simuluje její prostorové rozložení kolem zdroje
(podrobněji dále). Mnohonásobným opakováním této sekvence dostáváme páry
{ y;
k
k
z1 , k z 2 k z 3 ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅, k z M
}
k =1, 2 , 3,..., K
(4)
které jsou základem navazující kvantitativní analýzy šíření neurčitostí modelem. Celkový
počet realizací K musí nabývat velkých hodnot, řádově několika tisíc. Nicméně na základě
předchozích úvah lze předpokládat, že použití LHS vzorkování bude dávat robustní výsledky i
pro menší K (několik stovek).
Stručně zmíníme numerický algoritmus simulačního modelu. Úloha je řešena numericky na
kartézské nebo polární výpočetní mříži s počátkem v místě úniku. V našem případě je pro
řešení zvolena polární mříž, kdy prostor kolem zdroje znečistění je rozdělen na 80
pravidelných úhlových segmentů a 35 radiálních (neekvidistantních) pásem (další zjemnění
sítě je plánováno). Dynamika úniku s trváním až několik desítek hodin je aproximována
ekvivalentními hodinovými segmenty (ve smyslu bilance uvolňované aktivity radionuklidů).
Pohyb každého hodinového segmentu je modelován v jeho dalších hodinových fázích
s využitím krátkodobých hodinových meteorologických předpovědí. Na obrázku 3 je tato
situace znázorněna formou šíření „gaussovské kapky“ (schématicky zobrazující například
koncentraci aktivity v ose mraku) v časových okamžicích 1, 2, 3, .. hodin po počátku úniku
segmentu (tzn. ve fázích 1, 2 3, …). Obdobně si lze snadno představit spojitou stáčející se
stopu vytvořenou suchou popřípadě i mokrou depozicí škodlivin pokud by šlo o modelování
depozice na zemském povrchu.
Matematický model provádí simultánní výpočty pro všechny hodinové segmenty úniku a
jejich následné fáze posuvů odpovídajících hodinovým meteorologickým předpovědím.
Rozložení modelovaných výstupních veličin je potom dáno superpozicí pro všechny
segmenty ve všech fázích a je tedy na polární síti vyjádřeno diskrétně vektorem dimenze N =
80 × 35 = 2 800. Tato rozměrnost indikuje náročnost uvažovaného problému. Poznamenejme,
že z hlediska asimilačních metod se tomuto řešení říká pole modelu (background field) nebo
též první odhad (first guess).
13
Obr. 3. Schéma k modelování postupu segmentované gaussovské vlečky znečistění nad terénem na
polární výpočetní síti kolem zdroje ( 80 úhlových směrů (paprsků); 35 neekvidistantních radiálních
pásem do 100 km kolem zdroje). Zobrazeno modelování pohybu hodinového segmentu úniku v jeho
dalších hodinových fázích.
Uvažujme jedinou náhodnou závisle proměnnou Y z řídících proměnných jmenovaných
v odstavci 2. Pokud nebude uvedeno jinak, výsledky vztahujeme k depozici určitého
radionuklidu na zemském povrchu okolo zdroje. Veličina Y se modeluje podle obecného
schématu (1b). Nicméně při konkrétním výpočtu na polární mříži je odpovídající odhad
veličiny Y modelem vyjádřen diskrétními hodnotami v bodech výpočetní mříže tvořících
vektor x a vztah (1b) pak formálně dává:
ℜGPM(kz1, kz2, kz3, …. , kzM ) ⇒ kx
(5)
Zde kz1, kz2, kz3, …. , kzM je jedna (konkrétně k-tá) realizace grupy vstupních náhodných
parametrů Gaussova modelu šíření vlečky škodlivin. Obecně vyjádřeno, N hodnot odhadu
analyzované výstupní veličiny Y v diskrétních bodech výpočtové polární sítě je tedy
vyjádřeno vektorem x≡ [X1, X2, … , XN ] dimenze N, kde N=2800 odpovídá počtu
výpočtových bodů. Poznamenejme, že hodnoty jsou řazeny do vektoru po paprscích, to
znamená vždy za sebou po 35ti hodnotách postupně od paprsku 1 do 80.
9
Statistické metody zpracování náhodných výstupů modelu
Jedná se o různé statistické metody zpracovávající výstupy mnohonásobného modelování
párů dat generovaných do schématu (4).
9.1
Analýza neurčitostí (AN)
Každý scénář úniku je popsán specifickými charakteristikami a příslušnými současně se
vyskytujícími podmínkami. Proto i v případě pravděpodobnostního přístupu je třeba získané
výsledky vztahovat k tomuto scénáři a neprovádět neopodstatněné generalizace. Výstupy
z analýzy neurčitostí mohou mít různou formu:
-
Vyhodnocování základních výběrových statistik.
-
Modelování frekvenčních a distribučních funkcí cílových veličin, vykreslování
histogramů a rozptylových diagramů.
-
Provádění kvantifikace vlivu neurčitostí pomocí percentilů (5%, 95% apod.) či různě
definovaných koeficientů neurčitosti.
-
Analýza korelací mezi výsledky a zvolenými vstupními parametry.
Základními výběrovými statistikami jsou například střední hodnota, medián, minimum a
maximum a standardní odchylka. Při korelačních testech jsou pro zvolenou závisle
proměnnou zkoumány korelace mezi dvěma nebo více vstupními parametry.
k
Konkrétně v našem případě mnohonásobně opakované modelové odhady x pro k=1 až
s
K jsou použity jak k odhadu neznámých hledaných skutečných hodnot x tak ke konstrukci
kovarianční matice chyb modelového odhadu. Pro odhad střední hodnoty náhodné veličiny
v bodě polární sítě n se používá statistický odhad (výběrový průměr)
1 K k
E[ X n ] =
.∑ x n
(6)
K k =1
Pro rozptyl v bodě n je použit odhad D(Xn) podle vztahu:
14
D( X n ) =
1 K k
.∑ ( x n − E[ X n ] ) 2
K − 1 i =1
(7)
Běžnými vzorci mohou být vyjádřeny momenty vyššího řádu (šikmost, špičatost) a korelační
koeficienty. Distribuční funkci CDF (Cumulative Density Function) odhadujeme empirickou
distribuční funkcí v bodě n :
1 K
n
CDFK ( x) =
(8)
∑ δ ( k xn < x )
K k =1
interpretovanou jako pravděpodobnost nepřekročení hodnoty x. Většinou se v odhadech
ptáme spíše na pravděpodobnost přestoupení určitého limitu xlim , vyjadřovanou termínem
výběrové statistiky CCDF (Complementary Cumulative Density Function) podle vztahu
n
CCDFK (xlim) = 1 - nCDFK (xlim)
Pro spojitou a monotónní distribuční funkci F(x) náhodné veličiny X se definuje kvantilová
funkce F-1(α). Pro 0 < α <1 se hodnota F-1(α) = xα nazývá α-kvantilem. Je zřejmá
interpretace α-kvantilu xα jako pravděpodobnosti α, se kterou nebude překročena hodnota xα.
Používá se též vyjádření pomocí percentilů, kde k-tý percentil je definován v souladu s
vyjádřením F-1(k/100). Obvykle mluvíme o k-tém percentilu, který nebude překročen
s pravděpodobností k/100. V našem případě pro odhad α-kvantilu nxα rozdělení výstupní
náhodné veličiny Xn v uzlu polární sítě n použijeme vztah:
n
xα = min { kxn : nCDFK ( kxn ) ≥ α }(k=1,…,K)
(9)
Dalšími důležitými statistikami jsou intervaly spolehlivosti (závisející na počtu náhodných
realizací K), a to jak pro výběrový průměr, tak pro kvantily. K jejich odhadu se užívá aplikace
Studentova rozdělení.
9.2 Citlivostní studie (CS)
Citlivostní studie se zabývají odhadem důležitosti parciálního vlivu jednotlivých vstupních
parametrů (složek vstupního vektoru) na sledované výstupy. Důležitost efektů je v první fázi
CS posuzována na základě třídění a rozptylových diagramů, v dalších fázích jsou používány
přesnější techniky regresní a korelační analýzy včetně využití parciálních pořadových
korelací. Cílem je identifikovat ty vstupní parametry modelu, které mají nejdůležitější
příspěvek ke změnám v důsledcích, a tak určit relevantní grupu vstupních neurčitostí.
Obvykle se ukáže, že jen poměrně omezený počet z celkového množství neurčitých parametrů
je významný a fluktuace dalších mají zanedbatelný efekt na výstup.
Matematický přístup k CS popisujeme v [5,18] a zde vzhledem k rozsahu nebude uváděn.
Důležitou mírou vlivu plynoucí z prováděné regresní analýzy je koeficient determinace, který
při zkoumání dílčího vlivu vstupního parametru indikuje frakci rozptylu v pozorování závisle
proměnné vysvětlovanou regresí. Další mírou jsou parciální korelační koeficienty, poskytující
odhad lineární závislosti mezi závisle proměnnou a dílčím parametrem vstupu s odstraněním
vlivu ostatních parametrů. Obě kritéria jsou použita v interaktivním preprocesoru výstupů
systému HAVAR RP a aktivují se stisknutím tlačítka „citlivost“ na funkční liště (viz obr. 4).
9.3
Výpočet kovarianční matice (KM) chyb modelu
V úvodu článku jsme naznačili dva hlavní důvody, proč je nutné přejít k stochastickým
modelům. Prvním z nich je možnost formulovat odpovědi na otázky hodnocení následků na
15
pravděpodobnostním základě, což mnohem lépe vystihuje charakter úlohy. Druhý důvod
spočívá v nezbytnosti zvýšit věrohodnost predikce matematického modelu na základě
asimilace s daty měřenými v terénu s tím podstatným faktem, že do procedur objektivní
analýzy optimální asimilace musejí vstupovat informace jak o chybách modelu tak o chybách
měření. Ponechme zatím stranou rozbor pozorovacích chyb a zaměřme se na chyby modelu,
které budou representovány odpovídající kovarianční maticí chyb. Vycházíme z popisu
výsledků v diskrétních bodech polární výpočtové sítě podle vztahu (4). Mnohonásobně
opakované modelové odhady kx pro k=1 až K jsou použity jak k odhadu neznámých
skutečných hodnot xs tak ke konstrukci kovarianční matice chyb modelového odhadu, která je
jednou ze základních vstupů do procedur asimilace a určuje prostorové šíření chyb. Vektor
chyb modelu dimenze N se konstruuje podle:
k
ε = kx - xs ; obecně: ε = x - xs
(10)
Složky vektoru ε označíme ei , i=1, … , N. Základním statistickým předpokladem je
nevychýlenost našich odhadů, tedy E(ε) ≡ 0. Bez dalších podrobností uvedeme schéma
výpočtu kovarianční matice chyb modelu jako střední (očekávané) hodnoty součinu tohoto
vektoru a jeho transpozice, tedy
_______
B = ε ⋅ε T
_______
⎤
⎡ _____ ____
e
e
e
e
e1e N
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⎥
⎢ 1 1 1 2
_______
⎥
⎢ _____ ____
e
e
e
e
e
e
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⎥
⎢
2
1
2
2
2
N
=
⎢⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎥
⎥
⎢
_______
⎥
⎢ _____ ____
⎣e N e1 e N e2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ e N e N ⎦
(11)
K výpočtu očekávaných hodnot prvků bi j kovarianční matice B označených horním pruhem
lze za určitých předpokladů použít znalost velkého počtu K provedených realizací podle
bi j
_____
= ei e j
=
1 k =K
⋅∑
K k =1
(e
k
i
⋅ ke j
)
(12)
10 Ukázka aplikace pravděpodobnostního přístupu k hodnocení následků úniku
radionuklidů
V předchozích odstavcích je zmíněn způsob výpočtu výběrových charakteristik (vztahy (6, 7,
8) : střední hodnoty, rozptyly, frekvenční a distribuční funkce, komplementární distribuční
funkce) modelovaného výstupu z datových bloků (4). Je zřejmé, že znalost průběhu CDF
resp. CCDF rozšiřuje dimenzi informace ve srovnání s dřívější jedinou deterministickou
(očekávanou) hodnotou.
Hodnocení může probíhat na základě kvantilů (percentilů), jejichž výběrové hodnoty se
určují podle vztahu (9). V aktuálních literárních pramenech jsou běžná doporučení uvažovat
limitní hodnotu dávek pro kritickou skupinu ve formě 95% percentilu (0.95 kvantil). Tato
hodnota je vyšší než odpovídající limit pro deterministický přístup, přičemž je brán v úvahu
skutečný charakter úlohy vyplývající z existence variability a neurčitostí. Další možností
volby kritéria hodnocení na pravděpodobnostním základě mohou být volena s přihlédnutím
k rozsahu neurčitosti predikce na základě různě zaváděných faktorů, jako například:
-
faktor neurčitosti definovaný poměrem:
(95% percentil) / (5% percentil)
-
referenční koeficient neurčitosti podle :
(95% percentil ) / (nominální hodnota)
16
Statistické vyhodnocení výsledků stochastického modelování uloženého podle schématu (4)
provádí interaktivní výstupní subsystém produktu HAVAR RP. Jak ukazuje obrázek 4 hlavní
charakteristiky náhodného výstupu může uživatel volit přímo z nabídky na liště a informaci
dostává v grafické formě.
Celý tok výpočtů realizujících možnost pravděpodobnostního hodnocení je popsán řetězcem
interakt. preprocesor
grup neurčitostí
(generování K realizací)
mnohonásobné vyvolání
→ environmentálního modelu
( generování párů podle (4) )
výstupní statistický
→ preprocesor párů (4)
(interaktivní volby)
Závěrem ukážeme některé výsledky aplikace předchozího řetězce výpočtů na jednoduchém
scénáři úniku radionuklidů. Výška úniku byla 45 metrů, meteorologické podmínky byly
neměnné po celou dobu úniku (přímočaré šíření), byly použity SCK/CEN formule pro odhad
disperzních koeficientů pro kategorii stability atmosféry F. Byly modelovány náhodné
hodnoty depozice radionuklidu I131 v důsledku totálního úniku aktivity 2.2 E+16 Bq. Užití
statistického preprocesoru pro případ dílčí analýzy neurčitostí submodelu atmosférické
disperze a depozice je na obrázku 4. Jedná se o hodnoty pod osou mraku v místě vzdáleném
4.5 km od zdroje úniku. Byla uvažována grupa neurčitostí pro 12 náhodných vstupních
parametrů podle obrázku 2, bylo vygenerováno K=1000 (též testy s K=5000) náhodných
realizací (dvanáctic hodnot).
Náhodné charakteristiky pro roční efektivní dávku (v roce spadu) pro kojence na kilometru
52.5 pod osou mraku jsou znázorněny na obrázku 5. Ingesční příjem je uvažován
konzervativně (schéma lokální produkce – lokální spotřeba). Spektrum uniklých radionuklidů
je tvořeno třemi nuklidy s celkovými uniklými aktivitami: Sr90: 1.0E+14 Bq; I131: 2.2E+15
Bq; Cs137: 3.3E+16 Bq. V tomto případě šlo o simultánní modelování se zahrnutím
náhodných parametrů atmosférického modelu podle obrázku 2 s návazností na transport
v potravních řetězcích s 16-ti neurčitostmi podle tabulky 1, vždy pro K=1000. Neurčitosti
dosimetrického modelu nebyly uvažovány.
Obr. 4. Statistický preprocesor výsledků z analýzy neurčitosti daných schématem (4)
17
Obr. 5. Statistické rozdělení roční efektivní dávky pro kojence v místě pod osou mraku ve
vzdálenosti 52.5 km od zdroje znečistění
11 Témata pro další metodický rozvoj
Shora diskutovaná problematika zahrnuje ve směru ke konkrétní aplikaci celou řadu
zjednodušení a různých omezení, která je třeba podrobněji analyzovat, dopracovat,
zkompletovat a případně nahradit novými znalostmi. Nicméně dosažené výsledky a vyvinuté
programové prostředky umožňují otevřít diskusi o zavedení pravděpodobnostního přístupu
k hodnocení následků nehod do regulačních předpisů. Z pohledu metodického rozvoje do
popředí vystupují tři závažnější témata, k jejichž řešení by bylo možno nyní přistoupit,
konkrétně:
1. Použití rovnic chaosu v jejich polynomiálním vyjádření. Při rozvoji přesnosti
algoritmu (a tím i složitosti) matematického modelu transportu znečistění se za použití
čistě numerických vzorkovacích metod Monte Carlo modelování narazí na progresivní
nárůst nutných objemů výpočtu. Problémům vyplývajícím z rostoucí složitosti úlohy
by bylo možno se vyhnout aplikací metody SRSM (Stochastic Respond Surface
Method) v oblasti AN, která je hybridní metodou analytického přístupu a
stratifikovaného vzorkování a je založena na polynomiálním vyjádření chaosu
(Wiener, 1947). Vstupní proměnné jsou transformovány do standardizovaného tvaru
(obvykle normovaného normálního rozdělení N(0,1) ) a hledaný výstup se pomocí
nich vyjádří ve formě Hermitových polynomů s neznámými koeficienty. Tyto
koeficienty se určí na základě regresního modelu z omezeného počtu realizací
náhodného výstupu s původními netranformovanými vstupními parametry.
V této
oblasti semianalytických metod konstrukce „plochy (hyperplochy) odezvy“ by bylo
možno navázat na dřívější práce prováděné na pracovišti ÚTIA v metodologicky
blízké oblasti modelování odezvy náhodných teplotních polí v palivové kazetě
rychlého reaktoru [13, 14].
2. Aplikace bayesovských metod inference [1] k aposteriornímu odhadu distribuce
výstupu výpočetně složitého deterministického envirmonmentálního modelu, která
vychází jak z expertní znalosti náhodných charakteristik vstupů tak z jakýchkoliv
dalších existujících údajů o vstupech a výstupech modelu. Právě v oblasti
bayesovských odhadů existují v oddělení adaptivních systémů v ÚTIA dlouholeté
18
zkušenosti, které by mohly být úspěšně využity i v oblasti tvorby moderních
softwarových nástrojů pro podporu krizového řízení.
3. Použití statistických metod objektivní analýzy v procesu asimilace reálných měření
s výsledky modelu. Jak již bylo řečeno v úvodu, jedním z hlavních cílů a záměrem je
možnost zpřesnit matematické modelování na základě korekcí se skutečnými
měřeními v terénu, prováděných časově konsistentně s časovými kroky
matematického modelu. Taková asimilace výsledků modelových odhadů s měřeními
představuje nezbytný krok ke zvýšení věrohodnosti matematického modelování. Ze
softwarového hlediska je třeba vyvinout systém tvořený dvěma vzájemně
spolupracujícími komponentami, a to subsystémem analýzy neurčitostí a asimilačním
subsystémem, jehož statistické metody musí při optimálních procedurách brát v úvahu
jak chyby modelu tak chyby měření. Vzhledem k tomu, že i v této problematice byly
ve spolupráci ÚTIA s FJFI dosaženy první výsledky, autoři předpokládají v dalším
článku navázat na zde presentované téma.
Poděkování: Práce byly iniciovány díky podpoře v rámci projektu 6/2003 (poskytovatel
SÚJB) s tématem „Vývoj programového vybavení pro hodnocení radiologických
důsledků vážných havárií“ (2003 – 2005).
Literatura
[1] Bates S.C., Cullen A., Raftery A.E.: Bayesian uncertainty assessment in
multicompartment deterministic simulation models for environmental risk assessment.
Environmetrics 2003; 14, pp 355-371.
[2] Goossens L.H.J., Harper F.T.: Joint EC/USNRC Expert Judgement Driven Radiological
Protection Uncertainty Analysis. J. Radiolog. Prot., Vol 18, 1998.
[3] Goossens L.H.J., Kraan B.C.P., Cooke R.M. (TUD), Jones J.A.(NRPB), Ehrhardt J.,
Fischer F., Hasemann I., (FZK): Overall Uncertainty Analysis, EUR 18826 EN, 2001.
[4] Homma T., Inoue Y., Tomita K.: OSCAAR Calculations for the Hanford Dose
Reconstruction Scenario of BIOMASS Theme 2. JAERI – Research 2000-049, 2000.
[5] Housa L. (školitel Pecha P.) : Pravděpodobnostní přístup posuzování závažnosti
radioaktivních úniků do atmosféry. Diplomová práce, KM FJFI-softwarové inženýrství,
(květen 2006).
[6] Irwin J.S., Hanna S.R. : Characterizing Uncertainty in Plume Dispersion Models. 9th Int.
Conf. on Harmonisation within Atmospheric Dispersion Modelling for Regulatory Purposes,
Vol.1, Garmisch-Partenkirchen, 1-4 June, 2004.
[7] Isukapalli S.S. : Uncertainty analysis of transport-transformation models. PhD thesis,
Rutgers, The State University of New Jersey, New Brunswick, New Jersey, U.S.A., 1999.
[8] Janoušek M., Vondráčková H., Pecha P., Hanuš J.: Výzkum a implementace algoritmů pro
zpracování meteorologických dat v reálném čase. Zpráva k projektu 6/2002-E04, spolupráce
ČHMÚ- ÚTIA AV ČR, 2004, 29 stran, deponováno na SÚJB.
[9] Jones J.A., Brown J.,(NRPB), Goossens L., Kraan B., Cooke R., (TUD), Ehrhardt J.,
Hasemann I., Fischer F., (FZK) : Uncertainty Analysis on the Probabilistic Accident
Consequence Code COSYMA. Radiological Prot. Bulletin No. 232, Dec. 2001.
[10] Kok Y. S., Eleveld H. : Sensitivity and Uncertainty Analysis of the Atmospheric
Dispersion Model NPK-PUFF. HARMON9 - Int. Conf. On Harmonisation within
19
Atmospheric Dispersion Modelling for Regulatory Purposes, Vol.1, Garmisch-Partenkirchen,
1-4 June, 2004.
[11] Leigh C.D., Thompson B.M., Campbell D.E., Longsine D.E., Kennedy R.A., Napier
B.A.: User’s Guide for GENII-S : A code for Statistical and Deterministic Simulations of
Radiation Doses to Humans from Radionuclides in the Environment. SANDIA REPORT,
SAND91-0561, UC-721, 1993
[12] McKay M. D. : Latin Hypercube Sampling as a Tool in Uncertainty Analysis of
Computer Models. LAUR 92-2338, 1992.
[13] Pecha P.: Reliability Analysis of Fuel Assemblies Based on Random Temperature Fields
Modelling. In: Proceedings 4.International Topical Meeting on Nuclear Reactor ThermalHydraulics. (Müller U., Rehme K., Rust K. eds.). G. Braun, Karlsruhe 1989, pp. 1325-1331.
[14] Pecha P.: Statistical treatment of thermal response values in fuel rods region. Jaderná
energie, 35 (1989), 9, 332-342.
[15] Pecha P., Kuča P., Pechová E.: Sensitivity study of influence of input parameters
variations for removal processes calculations on activity depletion in the radioactive plume
and deposition on the ground. In: 7th Int. Conf. on Harmonisation within Atmospheric
Dispersion Modelling …. EC JRC-EI, Ispra 2001, pp. 489-493.
[16] Pecha P., Pechová E.: Application of the COSYMA code for comparative analysis of a
certain accidental releases of radioactivity. In: Proceedings of the 4th International
Conference IMUG2002. Brookhaven National Laboratory, Upton 2002, pp. 5-15.
[17] Pecha P., Pechová E.: Modelling of random activity concentration fields in air for
purposes of probabilistic estimation of radiological burden. 10th Int. Conf. on Harmonisation
within Atmospheric Dispersion Modelling. Ioannina, Greece, 2005, pp. 540-544.
[18] Pecha P., Pechová E.: Pravděpodobnostní přístup k predikci důsledků úniku radioaktivity
do životního prostředí. Etapa E 02-c projektu 6/2003, 119 stran, deponováno na SÚJB, 2005.
[19] Punčochář M. : Nedaleko nekonečna. Academia, Praha, 2004. ISBN 80-200-1205-6.
[20] Saltelli A., Chan K., Scott E. M. : Sensitivity Analysis. J. Wiley & Sons, LTD, ISBN 0471- 99892-3, 2000.
[21] Vondráčková H., Janoušek M. (ČHMÚ), Pecha P., Hanuš J. (ÚTIA): Asimilace
matematického modelování úniku radionuklidů s aktuálními meteorologickými vstupy.
Zpráva k projektu 6/2002-E03-1, spolupráce ČHMÚ- ÚTIA AV ČR, 2003, 139 stran,
deponováno na SÚJB.
[22] Young M.: Joint EC/USNRC Uncertainty Study: Dispersion and Deposition Panel.
SANDIA NL, (1994).
20