Učitel v roli žáka – součást profesní přípravy učitele Jedním z

Učitel v roli žáka – součást profesní přípravy učitele Jedním z

Učitel v roli žáka – součást profesní přípravy učitele
Jarmila Novotná, katedra matematiky a didaktiky matematiky PedF UK
Formální poznání, porozumění, příprava učitelů, matematické struktury
Jedním z hlavních problémů přípravy budoucích učitelů je stanovení rovnovážné
polohy mezi jejich teoretickými a praktickými znalostmi a dovednostmi.
V [4] jsou specifikovány tyto tři základní komponenty vzdělání budoucího učitele
matematiky:
1. Specifické znalosti:
1.1 Znalosti z matematiky (matematické pojmy a postupy, metodologie, vztahy k dalším
oblastem atd.)
1.2 Znalosti z psychologie a pedagogiky (obecné aspekty vyučovacího procesu, poznání
žáků, organizace vyučování, tvorba kurikula, otázky kontextu atd.)
1.3 Znalosti z didaktiky matematiky (strategie výuky/učení se pro jednotlivá témata,
kurikulární a pedagogické materiály atd.)
2. Znalosti, přesvědčení a postoje k matematice
3. Praktické dovednosti
Uvedené komponenty jsou pouze rámcové, nedávají odpověď na podstatnou otázku, a
to obsah a rozsah požadovaných znalostí budoucího učitele.
Studenti učitelství matematiky, kteří přicházejí na fakulty připravující učitele, prošli
kurzy matematiky na základních a středních školách. Přinášejí si s sebou nejen různě rozsáhlé a
různě hluboké znalosti pojmů a dovedností z matematiky, ale také zkušenost z toho, jak byli
sami matematice vyučováni. (Vycházíme samozřejmě z předpokladu, že student, který se
rozhodl věnovat vyučování matematice, má k tomuto oboru vybudován pozitivní vztah.)
Bohužel ne vždy je tento vztah doprovázen také zkušeností s jiným než instruktivním
způsobem výuky, matematika je často chápána jako izolovaný vyučovací předmět související
pouze formálně s jinými předměty nebo s problémy ze života. Různé přístupy k vyučování
matematice jsou uvedeny např. v [3], [7]. Pohled na matematiku, který si student budoval
dlouhodobě během celé školní docházky, přetrvává u studentů ještě dlouho po ukončení střední
školy. A pokud se nepodaří nevhodné postoje změnit během profesní přípravy na fakultě, vrací
se spolu s učitelem zpět do škol. Situace, kdy je matematika chápána pouze jako soubor pouček
a instrukcí, které je třeba se naučit, vede k prohlubující se formálnosti výuky matematiky,
nedostatku porozumění podstatě pojmů a k neschopnosti matematiku smysluplně využívat při
řešení reálných problémů.
Vliv předchozích zkušeností žáka z domova, ze školy a ze společnosti na výsledky
testů, získávání poznatků a jejich spojování do schémat je sledován v [9]. Podobně platí, že
předchozí zkušenosti učitele mohou výrazně ovlivnit schopnost jeho vcítění do poznávacích
procesů žáka, který se setkává s novými, často pro něho překvapivými, pojmy, jejich
vlastnostmi a vztahy (např. uspořádání kladných zlomků, kdy při stejném čitateli číslo s větším
jmenovatelem je menší, stojí v protikladu k dosavadní zkušenosti žáka s uspořádáním
přirozených čísel).
V [4] je citována řada studií věnovaných obtížím, se kterými se setkává začínající učitel
při svém nástupu do školní praxe. Ve svých výpovědích učitelé, kteří nastoupili do pedagogické
praxe, zdůrazňují mimo jiné malou připravenost na neobvyklé otázky žáka a rozlišení mezi
důležitými a nedůležitými pojmy.
Nestandardní struktury v přípravě budoucích učitelů matematiky
Zanedbává-li učitel při výuce rozvoj žákova myšlení [1] a soustředí se jen na úkol naučit
žáka předepsané znalosti a dovednosti, je často výsledkem takové výuky pouze formální
poznání. Jak tuto formálnost odhalit? Vše je zdánlivě v pořádku, žák správně definuje pojmy a
popisuje jejich vlastnosti, správně počítá. K odhalení formalismu jsou v [1] nabízeny některé
možné postupy, z nichž pro naše další úvahy použijeme hlavně objasnění, proč v nestandardní
situaci selže některý standardní postup. Přitom dlouhodobá pozorování budoucích učitelů při
jejich profesní přípravě i později v praxi ukazují, že není nijak vzácným případ, kdy poznání
budoucích učitelů je v mnoha směrech pouze formální. Různé možnosti, jak situaci v přípravě
a postojích učitelů zlepšit, jsou studovány v mnoha pracích z didaktiky matematiky, z prací
českých autorů uveďme např. [5], [6].
V dalším textu se pokusíme odpovědět na tuto otázku: Má se budoucí učitel matematiky
setkat při své přípravě i s nestandardními matematickými strukturami, které při své učitelské
práci ve škole přímo nepoužije? Naše pozitivní odpověď je podložena touto úvahou: Má-li
učitel získat schopnost porozumět postojům a pocitům žáka, který se setkává s novou
matematickou strukturou „odporující“ jeho dřívější zkušenosti, musí sám mít zkušenost z
podobné situace. Málokdo z nás si pamatuje jasně své vlastní pocity ze školní docházky, kdy se
v podobné situaci ocitl (např. při přechodu od práce v oboru přirozených čísel ke zlomkům
nebo číslům záporným).
Předchozí úvahy budeme ilustrovat konkrétními ukázkami z přípravy budoucích učitelů
matematiky na Pedagogické fakultě Univerzity Karlovy v Praze.
Počítání v soustavách se základem různým od 10
S algoritmy pro písemné sčítání, odčítání, násobení a dělení přirozených čísel se žáci
setkávají již na 1. stupni základní školy. Později jsou tyto algoritmy zobecněny také pro
počítání s čísly desetinnými. Jejich správnému provádění je ve výuce věnována značná
pozornost a můžeme konstatovat, že, i když v dnešní době výkonných kalkulaček a počítačů v
menší míře než dříve, většina žáků se naučí tyto algoritmy mechanicky provádět. Žáci se
většinou nezamýšlejí nad tím, proč jednotlivé kroky provádějí a proč je provádějí právě v
předepsaném pořadí. Jedním z důvodů tohoto stavu je, že někteří učitelé nerozvíjejí přirozenou
zvídavost žáků, nenavozují situace, v nichž by bylo třeba odpovídat na otázku Proč?, omezují
se pouze na odpověď na otázku Jak?.
V předmětu Algebra a teoretická aritmetika [2] v 1. cyklu studia učitelství pro 2. a 3.
stupeň zařazujeme do kurzu Číselné obory počítání v soustavách o základu z  10. Algoritmy
pro písemné provádění početních operací jsou tvořeny opět stejnou posloupností kroků jako v
desítkové soustavě, student je však už neprovádí mechanicky, počítání v těchto soustavách ho
nutí zamýšlet se nad podstatou jednotlivých kroků. V takových situacích je účinné vést studenty
k tomu, aby se zamýšleli nad obtížemi, se kterými se mohou setkat žáci, kteří se s algoritmy pro
počítání v desítkové soustavě teprve seznamují.
Kritéria dělitelnosti
Jen málokterý absolvent základní školy nezná kritéria dělitelnosti čísly 2, 3, 4, 5, 9, 10.
Někteří se je pouze naučili vyslovit a použít, jiní měli možnost kritéria sami odhalit, případně i
dokázat jejich platnost.
Teprve v nestandardní situaci si studenti sami uvědomí, nakolik je jejich poznání pouze
formální a nakolik kritériím opravdu rozumějí. Míru formálnosti porozumění tomu, proč
kritéria platí, můžeme testovat opět s využitím počítání soustav o různých základech. Velmi
účinné je např. zjišťovat, zda v soustavě o daném základu z platí kritérium dělitelnosti číslem 3
nebo ne, odůvodňovat, proč tomu tak je nebo dokonce odhalovat kritéria jiná [8].
Funkční definice polynomu
Již na 2. stupni základní školy se žáci seznamují s lineárními a kvadratickými funkcemi.
Polynomy vyšších stupňů jsou důležitou součástí středoškolských kurzů matematiky. Přitom se
počítá vždy nad nekonečnými číselnými obory (celá, racionální, reálná, případně komplexní
čísla).
Studenti přicházející na Pedagogickou fakultu Univerzity Karlovy vědí, že dva
polynomy se rovnají, jestliže se rovnají jejich koeficienty u stejných mocnin, že vynásobíme-li
dva nenulové polynomy, bude součinem opět nenulový polynom, jak je definován stupeň
polynomu apod. V kurzu Polynomická algebra [2] je však zařazena také práce s funkčně
definovanými polynomy nad konečnými obory integrity, kde předchozí tvrzení neplatí: existují
zde polynomy s různými koeficienty u stejných mocnin, které se sobě rovnají, existují zde
nenulové polynomy, jejichž součinem je polynom nulový, nelze zde definovat stupeň
polynomu (při použití běžné definice stupně jako přirozeného čísla rovnajícího se nejvyšší
mocnině proměnné s nenulovým koeficientem, by nebyl určen jednoznačně). Tato situace je v
rozporu s předchozí zkušeností studentů a porozumět jí je pro mnohé z nich obtížné. Přitom ve
své budoucí učitelské praxi se s takovou strukturou nesetkají. Opět se před námi vynořuje
otázka, zda je třeba seznamovat studenty se strukturou, která výrazně přesahuje rámec kurzu
matematiky na základní nebo střední škole, kde budou vyučovat. Jak už je napsáno výše,
považujeme právě tento aspekt výuky matematiky pro budoucí učitele tohoto předmětu za
důležitý.
Závěrem
Jsme přesvědčeni a studenti, kteří fakultu dokončili a matematiku na školách učí, to
potvrzují, že reflexe vlastní zkušenosti pomáhá učiteli lépe pochopit myšlenkové procesy,
které se dějí v hlavě jeho žáků při řešení matematických úloh. Aby vyučování mohlo mít
charakter aktivní činnosti žáků [7], musí si učitelé sami být vědomi nebezpečí formalismu
skrytého v používání pouze instruktivních metod výuky a mít zkušenost s konstruktivním
přístupem k vyučování matematice. A v tom je možno vidět jeden z významů, který má práce v
nestandardních matematických strukturách pro budoucí učitele matematiky (ale nejen
matematiky).
Literatura
[1] Hejný, M. a kol.: Teória vyučovania matematiky. 2. vyd. Bratislava, SPN 1990.
[2] Novotná, J. - Trch, M.: Algebra a teoretická aritmetika. Sbírka příkladů. 2. část Polynomická algebra. 3. část – Základy algebry. [Skriptum.] Praha 1990, 1993.
[3] Littler, G.H. – Taylor, V.: Teaching strategies in mathematical education courses for student
teachers. In: Proceedings SEMT 95. Ed. M. Hejný, J. Novotná. Prague, Charles University
1995.
[4] Nieto, L.J.B.: Learning to teach mathematics: Types of knowledge. In: Becoming a primary teacher, Issues
from mathematics education. Ed. J. Giménez, S. Llinares, V. Sánchez. 1996.
[5] Tichá, M. - Koman, M.: Handels- und Beförderungssituationen als Thema für
Unterrichtseinheiten. In: Beiträge zum Mathematikunterrich. Ed. K.P.Müller. Franzbecker,
1996.
[6] Kubínová, M. - Novotná, J.: Students' independent work in mathematics out of school.
Mathematics Competitions, Vol. 10, No 2, 1997.
[7] Kuřina, F.: Matematika a matematická příprava učitelů prvního stupně. In: K aktuálním
otázkám matematické přípravy učitelů 1. stupně na ZŠ (OŠ) na Pedagogických fakultách v ČR
a SR. Ed. B. Novák. Olomouc 1997.
[8] Novotná, J. a kol.: Sbírka úloh z matematiky nejen pro přípravu k maturitě a přijímacím
zkouškám na vysoké školy. Praha, Scientia 1997.
[9] Pasch, M. a kol.: Od vzdělávacího programu k vyučovací hodině: jak pracovat s kurikulem.
Praha, Portál 1998. Anglický originál: Teaching as decision making, Longman, Addison
Wesley 1995.
[10] Stehlíková, N.: Algebraic structure – restricted atithmetics. In: Proceedings of the
International Conference on the Teaching of Mathematics. University of the Aegean, Samos,
Greece, July 3-6, 1998, pp. 281-283. Published by John Wiley & Sons, Inc. Ed. B. Barker.
Teacher in the role of a student – a component of teacher training
Jarmila Novotná, Department of Mathematics and Mathematical Education
Faculty of Education, Charles University, Prague
Formality of knowledge, understanding, teacher training, mathematical structures
One of the main objectives of teacher training is to determine the balance between
theoretical and practical knowledge and skills.
In [4], the following three basic components of future teacher education are specified:
1. Specific knowledge:
1.1 Knowledge of mathematics (mathematical concepts and procedures, methodology,
relationships with other areas etc.)
1.2 Psychological-pedagogical knowledge (general aspects of the teaching/learning
processes, getting to know students, management of the lesson, curriculum creation,
knowledge of the context etc.)
1.3 Knowledge of learning/teaching mathematics (learning/teaching strategies for specific
topics, curricular and pedagogical materials etc.)
2. Knowledge, beliefs and attitudes towards mathematics
3. Practical skills
The above components are only general, they do not answer the basic question about the
content and extent of knowledge required from future teachers.
Future teachers entering pedagogical faculties were taught mathematics at primary and
secondary schools. Their knowledge of mathematical concepts and skills is at different levels
and they also have different personal experience of how mathematics was taught. We assume
that the student – future mathematics teacher has a positive attitude towards this subject.
Unfortunately, this attitude is not always accompanied by having had experience with any
teaching strategy other than instructive teaching. Mathematics is often taught as an isolated
school subject only connected with other subjects or real life problems in a very formal way.
Different teaching methods are given, for example, in [3], [7]. The view of mathematics which
the student has built up during their school career, survives long after he/she leaves secondary
school. If we do not change any misconceptions which the students might have during their
teacher training at the faculty, these misconceptions will return with the teacher back to schools.
The situation, where mathematics is taught only as a set of precepts and instructions which have
to be learnt, leads to ever deeper formalism in the teaching of mathematics, resulting in a lack of
understanding of the conceptual structure of the subject and an inability to use mathematics
meaningfully when solving real problems.
The influence of a student‘s previous experience from his/her home, school and society
on test results, acquiring knowledge and its linking together into schemes, is followed in [9].
Similarly, a teacher’s previous experience can significantly influence his/her ability to get an
insight into cognitive processes of a student, who meets new, for him/her, often surprising
concepts, properties and relations. (For example, order in positive fractions; in the case of
fractions with the same numerator, the fraction with bigger denominator is smaller fraction.
This is in contradiction with a student’s previous experience with natural numbers order).
Several studies devoted to researching the obstacles that a trainee teacher faces when
beginning his/her teaching practice, are mentioned in [4]. Trainee teachers at the beginning of
their school practice emphasise, amongst other things, an unpreparedness for unusual questions
from students and for distinguishing between important and unimportant concepts.
Non-standard structures in future mathematics teachers training
When a teacher neglects the development of a student’s thinking during teaching and
concentrates only on teaching prescribed knowledge and skills, the result is often nothing but
formal knowledge. How do we discover such lack of understanding which such formal teaching
produces? Everything seems to be all right, the student correctly defines concepts and describes
their properties, and calculates without mistakes. To determine if such formal knowledge
exists, [1] offers some procedures, from which, for our purpose, we will choose the technique of
‘explanation why a standard procedure fails’. Long-lasting observations of future teachers
during their training and later in their practice show that cases where the future teachers’
knowledge is formal only, are not rare. Different possibilities of how to improve the situation in
teacher training and teachers’ attitudes are studied in many articles devoted to mathematics
education written by Czech authors such as [5] and [6].
In the following text we will try to answer the question, ‘Should a future mathematics
teacher meet, during his/her professional training, non-standard mathematical structures which
he/she will never use in school practice?’ We would give a positive answer which is based on
the following reflection; if a teacher is to gain the experience to understand the attitudes and
feelings of a student facing a new mathematical structure that “contradicts” his/her previous
experience, the teacher must have been placed in a similar situation. Only few of us can
remember clearly our own feelings from our days when we went to school, when we were in a
similar situation (e.g. passing from natural numbers to fractions or negative numbers).
We will now illustrate the previous considerations by concrete examples from the
courses for future mathematics teachers training at the Faculty of Education, Charles
University, Prague.
Calculations in non-decimal bases
Students face algorithms for written addition, subtraction, multiplication and division of
natural numbers already at the primary level. Later these algorithms are generalised for
calculating also with decimal numbers. Great attention is paid to the correct use of the
algorithms and we can state that (although nowadays due to powerful calculators and
computers to a lesser extent) most people learn to perform these algorithms mechanically.
Students do not usually try to understand why the separate steps are performed or why they are
performed in the given order. One of the reasons for this is that some teachers do not develop
the students’ natural thirst for knowledge and do not create situations where the question ‘why?’
is to be answered or even asked, they restrict themselves to the question ‘how?’ only.
In the course Algebra and Theoretical Arithmetic in the 1st cycle for future secondary
mathematics teachers training [2], calculations in non-decimal bases are included. Algorithms
for written calculations are the same as in the decimal base, but the student cannot perform them
mechanically, calculations in these bases force him/her to try to understand the basis of separate
steps of the procedure. In such situations it is very effective and salutary to ask the students to
identify where their difficulties were in the unfamiliar bases and therefore could they now
predict where they think children might have difficulties in base 10.
Criteria for divisibility
Only few students leaving basic schools do not know criteria for divisibility by numbers
2, 3, 4, 5, 9 and 10. Some of them only learned to recite and use them, others had the
opportunity to discover them for themselves, and possibly to prove them.
Only in a non-standard situation students can become conscious of the level of formality
of their knowledge. The level of formality in their knowledge can be explored using
non-decimal bases again. For example setting the student the task of discovering whether and
why the criterion of divisibility by 3 could be valid in a different base, or seeing whether or not
they could discover new criteria for divisibility in other bases [8] would indicate their level of
formal knowledge.
Functional definition of a polynomial
Already at the lower secondary levels student learn how to solve linear and quadratic
functions. Higher degree polynomials are an important component of upper secondary
mathematics courses. The infinite number sets (rational, real, possibly complex numbers) are
always used.
Students entering the Faculty of Education, Charles University, should know that two
polynomials are equal when the coefficients for the same powers of the variable are the same.
Also that the product of two non-zero polynomials is always a non-zero polynomial, and what a
polynomial degree is etc. The course Polynomial Algebra [2] contains work with polynomials
in finite domains of integrity, in which the previous statements made for infinite number sets
are not true. There exist polynomials which have different coefficients for the same powers of
the variable which are equal and non-zero polynomials whose product is the zero polynomial. It
is not possible to define the polynomial degree by defining it as the highest power of the
variable with a non-zero coefficient, since the degree would not be unique. This situation is in
contradiction with students’ previous experience and it is often difficult for them to grasp it.
We must point out that the students will not use similar structures in their school
practice. Therefore we face again the question whether it is necessary to present students with a
structure that goes significantly beyond the scope of primary and secondary mathematics which
they will teach. As we have already expressed above, we consider this aspect of mathematics
education important for future teachers.
Conclusions
It is our belief, and also students who have already graduated and are teaching
mathematics in schools confirm it, that reflection on one’s own experience helps the teacher to
better understand cognitive processes of problem solvers. To make mathematics education an
“active activity” for students [7], teachers must have experience of constructive approaches to
mathematics teaching in their training and be aware of the danger of the danger of formalism
hidden in the use of purely instructive teaching methods. In this, we see the importance of the
work with non-standard mathematical structures for future teachers of mathematics.
Literature
[1] Hejný, M. a kol.: Teória vyučovania matematiky. 2. vyd. Bratislava, SPN 1990.
[2] Novotná, J. - Trch, M.: Algebra a teoretická aritmetika. Sbírka příkladů. 2. část Polynomická algebra. 3. část – Základy algebry. [Skriptum.] Praha 1990, 1993.
[3] Littler, G.H. – Taylor, V.: Teaching strategies in mathematical education courses for student
teachers. In: Proceedings SEMT 95. Ed. M. Hejný, J. Novotná. Prague, Charles University
1995.
[4] Nieto, L.J.B.: Learning to teach mathematics: Types of knowledge. In: Becoming a primary
teacher, Issues from mathematics education. Ed. J. Giménez, S. Llinares, V. Sánchez. 1996.
[5] Tichá, M. - Koman, M.: Handels- und Beförderungssituationen als Thema für
Unterrichtseinheiten. In: Beiträge zum Mathematikunterrich. Ed. K.P.Müller. Franzbecker,
1996.
[6] Kubínová, M. - Novotná, J.: Students' independent work in mathematics out of school.
Mathematics Competitions, Vol. 10, No 2, 1997.
[7] Kuřina, F.: Matematika a matematická příprava učitelů prvního stupně. In: K aktuálním
otázkám matematické přípravy učitelů 1. stupně na ZŠ (OŠ) na Pedagogických fakultách v ČR
a SR. Ed. B. Novák. Olomouc 1997.
[8] Novotná, J. a kol.: Sbírka úloh z matematiky nejen pro přípravu k maturitě a přijímacím
zkouškám na vysoké školy. Praha, Scientia 1997.
[9] Pasch, M. et al.: Teaching as decision making, Longman, Addison Wesley 1995. Czech
translation: Od vzdělávacího programu k vyučovací hodině: jak pracovat s kurikulem. Praha,
Portál 1998.
[10] Stehlíková, N.: Algebraic structure – restricted atithmetics. In: Proceedings of the
International Conference on the Teaching of Mathematics. University of the Aegean, Samos,
Greece, July 3-6, 1998, pp. 281-283. Published by John Wiley & Sons, Inc. Ed. B. Barker.