MOPV - Informatika Ostravská Univerzita

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA
[ MOPV ]
METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU
Distanční opora
RNDr. Miroslav Liška, CSc.
OSTRAVA 2002
1
Simplexová metoda
je iterační výpočetní postup pro nalezení optimálního řešení úlohy
lineárního programování (pokud takové řešení existuje). Výchozím
bodem tohoto algoritmu je nalezení výchozího základního řešení
úlohy lineárního programování. Pokud je již takové řešení k dispozici,
potom simplexová metoda v jednotlivých krocích vypočte vždy nové
základní řešení s lepší nebo alespoň stejnou – v případě maximalizace
vyšší – hodnotou účelové funkce. Po konečném počtu kroků musí tedy
tento výpočetní postup vést k nalezení základního řešení s nejlepší
hodnotou účelové funkce nebo ke zjištění, že takové řešení neexistuje.
Při jeho nalezení se musí podle základní věty LP jednat o řešení
optimální.
Postup výpočtu pomocí simplexové metody se dělí na dvě fáze:
¾ I.fáze: nalezení výchozího základního řešení
¾ II. fáze: iterační postup vedoucí k optimalizaci účelové funkce
V některých speciálních případech je nalezení výchozího základního
řešení natolik snadné, že I. fáze výpočtu vlastně odpadá. V takovém
případě se celý postup označuje jako jednofázová simplexová metoda.
V obecném případě nemusí být však nalezení výchozího základního
řešení úlohy LP jednoduché. Potom mluvíme o dvoufázové
simplexové metodě.
2
Jednofázová simplexová metoda
Lze ji použít pouze v případě, že všechna vlastní omezení úlohy LP
jsou definována jako nerovnice typu "≤". Po převedení takovéto
soustavy nerovnic na ekvivalentní soustavu rovnic pomocí přídatných
proměnných dostáváme totiž soustavu rovnic v kanonickém tvaru.
Kanonický tvar
soustavy m lineárních rovnic o (m+n) proměnných je takový tvar, ve
kterém matice strukturních koeficientů obsahuje soustavu m
jednotkových vektorů, ze kterých lze vytvořit jednotkovou matici.
Pokud máme soustavu m lineárních rovnic o (m+n) proměnných
v kanonickém tvaru, potom z něj lze snadno odvodit základní řešení
této soustavy. V kanonickém tvaru jsou dva druhy proměnných :
¾ m základních proměnných – to jsou proměnné, kterým
odpovídají jednotkové vektory a jejichž hodnoty jsou v příslušném
základním řešení rovny hodnotám pravé strany
¾ n nezákladních proměnných - to jsou všechny ostatní proměnné,
jejichž hodnoty jsou v základním řešení rovny 0.
Příklad:
Balírny pražírny kávy plánují výrobu dvou směsí kávy Super a
Standard . Pro výrobu obou směsí mají k dispozici tři druhy kávových
bobů – K1, K2 a K3 postupně v kapacitě 40, 60 a 25 tun lišících se
kvalitou a nákupní cenou. Následující tabulka ukazuje skladbu obou
směsí (v tunách komponenty na 1 tunu směsi):
Na základě přímých a nepřímých nákladů souvisejících s výrobou a
vzhledem k předpokládaná ceně obou směsí byl vykalkulovaný zisk,
který činí 20 000 Kč resp. 14 000 Kč na jednu tunu směsi Super resp.
Standard. Management firmy chce samozřejmě naplánovat produkci
firmy tak, aby byl její celkový zisk maximální.
Po doplnění přídatných proměnných získáváme snadno soustavu tří
rovnic, které obsahují pět proměnných:
0,5x1+
0,25x2
+ x3
= 40
3
0,5x1+
0,5x2
+ x4
= 60
+ x5
0,25x2
= 25
Matice strukturních koeficientů:
Výchozí základní řešení
Základní proměnné jsou tedy x3, x4 a x5. Nezákladní proměnné jsou x1
a x2 . Pokud položíme tyto nezákladní proměnné rovny 0, potom
z dané soustavy rovnic snadno získáme hodnoty základních
proměnných
x3 = 40 , x4 = 60 , x5 = 25 .
Řešení získané uvedeným způsobem je, vzhledem k nezápornosti,
základním řešením dané úlohy.
Po získání výchozího základního řešení lze okamžitě přistoupit
v jednotlivých iteracích k testu optimality a ke zlepšování řešení. Celý
výpočet je organizován v tzv. simplexové tabulce.
Výchozí simplexová tabulka
Tabulka obsahuje: seznam základních proměnných, matici
strukturních koeficientů, vektor pravých stran a v posledním řádku
koeficienty účelové funkce v anulovaném tvaru, tj. tvaru, ve kterém
jsou všechny proměnné převedeny na levou stranu a na pravé straně je
absolutní člen, který udává počáteční hodnotu účelové funkce.
Anulovaný tvar účelové funkce je obecně
z – c1x1 – c2x2 - … - cnxn = 0
a konkrétně pro náš příklad
z - 20000 x1 - 14000 x2 = 0
4
Test optimality
Uvažujme simplexovou tabulku v libovolné s-tém kroku výpočtu.
Předpokládejme, že tato tabulka obsahuje (m+n) proměnných a m
omezujících podmínek s tím, že prvních n proměnných jsou
nezákladní proměnné a zbývajících m proměnných jsou základní
proměnné. Hodnoty všech základních proměnných včetně hodnoty
účelové funkce potom můžeme vyjádřit obecně následovně:
Xn+1 = β1 – α11 x1 - α12 x2 - … - α1n xn ,
Xn+2 = β2 – α21 x1 – α22 x2 - … - α2n xn ,
…
Xn+m = βm – αm1 x1 – αm2 x2 - … - αmn xn ,
zs
= β0 – z1 x1 - z2 x2 - … - zn xn .
Vzhledem k tomu, že nezákladní proměnné x1, x2 , …, xn mají
nulovou hodnotu, potom jsou vektor řešení v s-tém kroku výpočtu xs
hodnota účelové funkce zs
xs = (0, 0, …, 0, β1, β2, …, βm) , zs = β0
Předpokládejme, že v (s+1) kroku výpočtu se proměnná xk , k є {1, 2,
…, n} stane proměnnou základní. Tuto proměnnou budeme označovat
jako proměnnou vstupující. Vzhledem k tomu, že počet základních
proměnných je konstantní, musí tato proměnná nahradit některou
z původních základních proměnných. Tato proměnné se označuje jako
proměnná vystupující. Podívejme se tedy nyní, jak se změní hodnota
účelové funkce, pokud bude mít vstupující proměnná v (s+1) kroku
nezápornou hodnotu t : xk = t ≥0.
Nová hodnota účelové funkce bude po dosazení
Zs+1 = β0 –t zk.
Změna hodnoty účelové funkce, pokud se proměnná Xk
základní proměnnou je tedy
stane
∆ z (xk) = zs+1 – zs = -t* zk .
V jednotlivý krocích výpočtu je třeba dosáhnout v případě
maximalizace
přírůstku
hodnoty
účel.
funkce
tzn. ∆ z (xk) ≥ 0 (při minimalizaci ∆ z (xk) ≤ 0 )
5
Vzhledem k nezápornosti nové hodnoty vstupující proměnné t závisí
tedy znaménko hodnoty ∆ z (xk) pouze na hodnotě redukované ceny
zk
Mohou nastat tři možnosti:
1. ∆ z (xk) >0 ↔ zk < 0 - ke zvýšení hodnoty účel. funkce dojde
v případě, že je redukovaný cenový koeficient u vstupující
proměnné záporný
2. ∆ z (xk) < 0 ↔ zk > 0 – ke snížení hodnoty dojde v případě, že je
redukovaný cenový koeficient u vstupující proměnné kladný
3. ∆ z (xk) = 0 ↔ zk = 0 nebo t = 0 – hodnota funkce se nezmění ,
jestliže je reduk. cen. koeficient roven 0 nebo hodnota vstupující
proměnné rovna 0 .
Pokud nelze nalézt v daném kroku vstupující proměnnou, která by
vedla ke zvýšení (v případě maximalizace) nebo snížení
(minimalizace) hodnoty účelové funkce, potom základní řešení
obsažené v tomto kroku je řešením optimálním.
Výpočet nového základního řešení
Pokud je v nějakém kroku výpočtu porušen test optimality, znamená
to, že lze nalézt nové základní řešení, které bude mít lepší hodnotu
účelové funkce. Vlastní realizace výpočtu probíhá ve třech krocích:
1. volba vstupující proměnné
2. volba vystupující proměnné
3. přepočet simplexové tabulky tak, aby se vstupující proměnná
stala základní a vystupující proměnná nezákladní proměnnou.
1. Volba vstupující proměnné
Změna hodnoty účelové funkce v případě, že je proměnná xk
proměnnou vstupující, je určena vztahem ∆ z (xk) = -t* zk , kde t je
nová hodnota vstupující proměnné. Při výpočtu je samozřejmě snaha o
to, aby byla změna účelové funkce co nejvyšší, tzn. aby celý iterační
postup směřoval k optimálnímu řešení co nejrychleji. Nejjednodušším
postupem je zvolit vstupující proměnnou podle jednotkové změny
hodnoty účelové funkce, tzn. podle redukovaných cenových
koeficientů zj. Čím vyšší bude v absolutní hodnotě koeficient zj, tím
vyšší změnu hodnoty účel. funkce lze očekávat. Při volbě vstupující
proměnné je třeba mít na paměti, že
¾ záporné hodnoty zj signalizují možnost zvýšení hodnoty funkce
6
¾ kladné hodnoty zj signalizují možnost snížení hodnoty funkce
2. Volba vystupující proměnné
Vystupující proměnnou najdeme tak, že vypočteme minimální podíl
transformovaných hodnot pravé strany (βi) a kladných strukturních
koeficientů u vstupující proměnné (αik). Tento minimální podíl určuje
vystupující proměnnou.
Ve výchozí simplexové tabulce bude vstupující proměnnou proměnná
x1, u které je redukovaná cena z1 = -20 - na jednu jednotku této
proměnné dosáhneme tedy přírůstku hodnoty účel. funkce 20 tis. Kč
(u proměnné x2 by byl přírůstek pouze 14 tis. Kč). Pokud bude x1 = t,
potom budou nové hodnoty proměnných x3, x4, x5 rovny
x3 = 40 - 0,5t ≥ 0
x4 = 60 - 0,5t ≥ 0
x5 = 25
≥0
Zvolíme-li t= min [40/0,5, 60/0,5] = min [80, 120], potom x3 = 0, x4 =
20, x5 = 25 a vystupující proměnnou bude x3.
3. Přepočet simplexové tabulky
Vstupující proměnná určuje v simplexové tabulce tzv. klíčový
sloupec, vstupující proměnná tzv. klíčový řádek. Průsečíkem
klíčového sloupce a řádku je potom klíčový prvek.
Výchozí simplexová tabulka našeho příkladu:
Přípustné řešení obsažené v této tabulce je charakterizováno vektorem
x1 = (0, 0, 40, 60, 25) a hodnota účelové funkce tohoto řešení je z1 = 0.
tabulka 1
V tabulce 1 je vstupující proměnná x1 a vystupující proměnná x3. Pro
přepočet simplexové tabulky se použije standardní Gaussova
eliminační metoda.
Vlastní přepočet je možné realizovat následujícím způsobem:
1.
Transformace klíčového řádku se provede tak, že celý řádek
vydělíme klíčovým prvkem a tím získáme na místě klíčového prvku
hodnotu 1.
7
2.
Transformace i-tého řádku simplexové tabulky (včetně řádku
účelové funkce). Transformovaný klíčový řádek, tj. ten který obsahuje
už hodnotu 1 na místě klíčového prvku, vynásobíme hodnotou (-ajk)
resp. (-zk) a přičteme k i-tému řádku resp. k řádku účelové funkce.
První krok výpočtu simplexovou metodou:
klíčový řádek:
1.řádek (tab.2) = 1.řádek (tab.1) / 0,5 = 1.řádek ( tab.1) * 2
2.ř. (tab.2) = 2.ř. (tab.1) +1.ř. (tab.2)*(-0,5)
3.ř. (tab.2) = 3.ř. (tab.1) + 1.ř.(tab. 2) * 0 = 3.ř. (tab1)
řádek účelové funkce:
4.ř. (tab.2) = 4.ř. (tab.1) + 1.ř. (tab.2) *20
tabulka 2
Tabulka 2 obsahuje přípustné řešení x2 = (80, 0, 0, 20, 25), které má
hodnotu účelové funkce z2 = 1600 [tis. Kč]. Přírůstek účelové funkce
vychází skutečně
∆ z (x1) = z2 – z1 = -t* z1 = -80 (-20) = 1600.
Řešení x2 není však ještě optimálním řešením úlohy LP. Redukovaná
cena z2 = -4 signalizuje, že dojde ke zvýšení účelové funkce, pokud se
proměnná x2 stane proměnnou vstupující. Vystupující proměnnou je
potom proměnná x4 , u které je minimální podíl βi / αik = 20/0,25 = 80.
Přepočet tabulky 2 podle nového klíčového prvku 0,25.
klíčový řádek:
2.řádek (tab.3) = 2.řádek (tab.2) / 0,25 = 2.řádek (tab.2) * 4
1.ř. (tab.3) = 1.ř. (tab.2) + 2.ř. (tab.3) * (-0,5)
3.ř. (tab.3) = 3.ř.(tab.2) + 2.ř. (tab.3) * (-0,25)
řádek účelové funkce
4.ř. (tab.3) = 4.ř. (tab.2) + 2.ř. (tab. 3) * 4
8
tabulka 3
Tabulka 3 obsahuje řešení x3 = (40, 80, 0, 5) s hodnotou účelové
funkce z3 = 1920 [tis. Kč]. Přírůstek hodnoty účelové funkce je zde
skutečně
∆ z (x2) = z3 – z2 = -t* z2 = -80 (-4) = 320.
Řešení obsažené v tab.3 je již řešením optimálním. Redukované ceny
u nezákladních proměnných jsou všechny kladné, tzn. nelze dosáhnout
dalšího zvýšení hodnoty účelové funkce.
Optimální výrobní program představuje tedy produkci 40 tun směsi
Super a 80 tun směsi Standard. Tento program přináší zisk 1 920 000
Kč.
9
Dvoufázová simplexová metoda
Tato metoda se používá, jestliže nejsou v úloze lineárního
programování všechny omezující podmínky ve tvaru nerovnic „≤“.
Potom není získání výchozího základního řešení této úlohy tak snadné
a představuje vlastně celou I. fázi výpočtu. Teprve II. fáze výpočtu se
potom zabývá optimalizací účelové funkce. Tato fáze je již naprosto
shodná s postupem, který byl popsán u jednofázové simplexové
metody.
Postup výpočtu dvoufázovou simplexovou metodou si ukážeme na
jednoduchém numerickém příkladu, ve kterém jsou úmyslně
definovány všechny tři možné typy omezujících podmínek.
Příklad:
Máme maximalizovat účelovou funkci
z = 2x1 + x2
za podmínek
3x1 – x2 ≤ 12
x1 + x2 ≥ 6
(1)
-x1 + 2x2 = 9
x1, x2 ≥ 0
Převedeme-li soustavu omezujících podmínek pomocí přídatných
proměnných na ekvivalentní soustavu rovnic, dostáváme v tomto
případě soustavu tří rovnic o čtyřech neznámých:
3x1 – x2 + x3
x1 + x2
-x1 + 2x2
= 12
– x4
=6
(2)
=9
Všimněte si způsobu doplňování přídatných proměnných:
•
U nerovnic typu „≤“ přídatnou proměnnou k levé straně nerovnice
přičítáme. Tato proměnná potom vyjadřuje rozdíl mezi pravou a
levou stranou nerovnice – je-li tedy například pravá strana nerovnice
kapacita suroviny, která je k dispozici při plánování výrobního
programu a levá strana je spotřeba této suroviny, potom přídatná
proměnná vyjadřuje nespotřebovanou kapacitu, tj. rozdíl mezi
kapacitou a spotřebou.
10
•
U nerovnic typu „≥“ přídatnou proměnnou od levé strany nerovnice
odečítáme. V tomto případě vyjadřuje přídatná proměnná rozdíl mezi
levou a pravou stranou nerovnice (levá strana nerovnice má být větší
nebo rovna pravé straně, musíme tedy od ní přídatnou proměnnou
odečíst). Vyjadřuje-li například omezení s nerovnicí „≥“ požadavek na
minimální produkci nějakého výrobku, potom hodnota přídatné
proměnné představuje, o kolik je v daném výrobním programu
uvedený požadavek překročen.
•
Pokud je nějaké omezení zadáno přímo ve tvaru rovnice „=“, potom se
přídatná proměnná k modelu samozřejmě nedoplňuje, neboť přídatné
proměnné nemají jinou roli než převést soustavu nerovnic a soustavu
rovnic.
Po doplnění přídatných proměnných do smíšených typů omezujících
podmínek však není získaná soustava rovnic v kanonickém tvaru.
Z této soustavy tedy nelze přímo získat její základní řešení. Pro
získání kanonického tvaru se proto tato soustava rovnic uměle
rozšiřuje o další proměnné, které budeme označovat jako pomocné
(umělé) proměnné. Ekvivalentní soustavu rovnic rozšířenou o
pomocné proměnné budeme označovat jako rozšířenou soustavu
rovnic.
V našem příkladu má rozšířená soustava rovnic po doplnění
pomocných proměnných následující podobu (pomocné proměnné zde
označujeme y1, y2):
3 x1 –
x1 +
=
9
x2 + x3
x2
= 12
– x4 + y1
=
- x1 + 2 x2
6
(3)
+ y2
Jaká jsou tedy pravidla pro doplňování pomocnýchproměnných
U nerovnic typu „≤“ pomocnou proměnnou nedoplňujeme, protože
přídatná proměnná přičtená při převodu této nerovnice na rovnici
sama o sobě zabezpečuje získání jednotkového vektoru v matici
strukturních koeficientů a může se tedy stát v této rovnici základní
proměnnou.
U omezujících podmínek typu „≥“ a „=“ je třeba pomocnou
proměnnou k levé straně nerovnice případně rovnice přičíst.
Pomocné proměnné budou v takto získané soustavě rovnic
základními proměnnými.
11
Shrnutí způsobu doplňování přídatných a pomocných proměnných pro
všechny typy omezujících podmínek přináší tabulka 1.
Tabulka 1 – Doplňování přídatných a pomocných proměnných
Rozšířená soustava rovnic je soustavou v kanonickém tvaru, základní
proměnné jsou zde postupně proměnné x3, y1 a y2. Základní řešení této
soustavy je dáno vektory x1 = (0, 0, 12, 0) a y1 = (6, 9) – vektor x1 je
vektor hodnot strukturních přídatných proměnných, vektor y1 je
vektorem hodnot uměle doplněných pomocných proměnných.
Dosadíme-li prvky vektoru x1 do soustavy (1) nebo (2), zjistíme však,
že řešení rozšířené soustavy rovnic není přípustným řešením dané
úlohy LP. Tuto skutečnost dokumentuje tabulka 2.
Tabulka 2 – Hodnoty přídatných a pomocných proměnných
Z tabulky 2 je patrné, že první omezující podmínka je pro řešení x1
splněn. Rozdíl mezi pravou a levou stranou je 12 a to je v tomto
případě hodnota přídatné proměnné x3. Druhé omezení splněno není –
rozdíl, který zde udává, o kolik toto omezení splněno není, je roven 6.
Všimněte si, že se tento rozdíl shoduje s hodnotou pomocné proměnné
y1. Podobně je to s omezením posledním – rozdíl udávající míru
nesplnění je 9 a to je hodnota pomocné proměnné y2.
Přípustné řešení úlohy LP tedy získáme pouze tehdy, budou-li
hodnoty všech pomocných proměnných rovny 0. Obsahem I. fáze
výpočtu dvoufázovou simplexovou metodou je proto vynulování
všech pomocných proměnných rozšířené soustavy rovnic. I. fáze
výpočtu může být zakončena dvěma způsoby:
Podařilo se vynulovat všechny pomocné proměnné a tím bylo získáno
výchozí přípustné řešení (je současně i řešením základním) dané úlohy
LP. Výpočet může dále pokračovat optimalizací účelové funkce, tedy
II. fází. Pomocné proměnné ve druhé fázi výpočtu už neuvažujeme.
Nepodařilo se vynulovat všechny pomocné proměnné. Potom
neexistuje řešení, které by vyhovovalo všem omezujícím podmínkám.
Úloha LP nemá tedy žádné přípustné řešení a ve výpočtu nemá smysl
dále pokračovat.
12
Technicky se může zabezpečit vynulování pomocných proměnných
dvěma základními způsoby:
1. Minimalizací pomocné účelové funkce, která je vhodnějším
postupem při „ručním“ výpočtu malých úloh LP.
2. Použitím prohibitních cenových koeficientů – tento postup je
zpravidla používán v programových systémech pro řešení úloh LP.
Minimalizace pomocné účelové funkce
Minimalizaci hodnot pomocných proměnných lze zabezpečit tak, že
zkonstruujeme pomocnou účelovou funkci z’, která bude definována
jako součet všech pomocných proměnných. Tuto pomocnou účelovou
funkce budeme minimalizovat:
z’ = Σiyi → min
Pokud se podaří získat minimální hodnotu z’ = 0, potom musí být,
vzhledem k nezápornosti všech proměnných, všechny pomocné
proměnné rovny 0. Tím je získáno výchozí přípustné řešení úlohy LP.
Je-li minimum z’ > 0, potom nelze získat řešení, ve kterém by byly
všechny pomocné proměnné rovny 0. Úloha LP nemá potom vůbec
přípustné řešení.
Příklad:
V našem ilustračním příkladu obsahuje rozšířená soustava rovnic dvě
pomocné proměnné. Pomocná účelová funkce bude tedy
z’ = y1 + y2 → min
Ze soustavy (3) je
y1 = 6 – x1 – x2 + x4,
y2 = 9 + x1 – 2x2,
takže
z’ = y1 + y2 = 6 – x1 – x2 + x4 + 9 + x1 – 2x2 = 15 – 3x2 + x4
V anulovaném tvaru má potom pomocná účelová funkce tuto
konečnou podobu
z’ + 3x2 – x4 = 15
Výchozí simplexová tabulka rozšířená o pomocné proměnné a o řádek
pomocné účelové funkce bude mít následující podobu:
13
Tabulka 3 – Výchozí simplex. tabulka pro dvoufázovou simplex. metodu
V tab. 3 si všimněte, že koeficienty pomocné účelové funkce lze
snadno získat i tak, že sečteme řádky, ve kterých jsou pomocné
proměnné základními proměnnými (v našem případě 2. 3. řádek
tabulky). Ve sloupcích pomocných proměnných jsou však tyto
koeficienty vždy rovny 0 (viz předchozí úprava pomocné účelové
funkce z’).
Při řešení rozšířené úlohy je třeba si uvědomit především:
Vstupující proměnná se volí podle redukovaných cenových
koeficientů pomocné účelové funkce, kterou vždy minimalizujeme.
Klíčový sloupec je tedy určen maximálním kladným koeficientem
v řádku z’ – v tab. 3 je proto vstupující proměnná x2.
Volba klíčového řádku i přepočet simplexové tabulky se provádí
standardním způsobem popsaným v části o jednofázové simplexové
metodě – v tab. 3 je vystupující proměnná y2.
Řádek původní funkce z se pouze přepočítává jako kterýkoliv
jiný řádek v tabulce.
V tabulce 4 je dokončena minimalizace pomocné účelové funkce. Ve
dvou iteracích je nejprve vypočteno řešení x2 = (0, 9/2, 35/2, 0), y2 =
(3/2, 0) s hodnotou funkce z2 = 9/2 a z’2 = 3/2 a potom řešení x3 = (1,
5, 14, 0), y3 = (0, 0) s hodnotou funkce z3 = 7 a z’3 = 0. Řešení x3, y3
je již optimálním řešením rozšířené úlohy. Vzhledem k tomu, že je
v tomto řešení hodnota pomocné účelové funkce rovna 0, je řešení x3
současně výchozím základním řešením původní úlohy lineárního
programování.
14
Tabulka 4 – I. fáze – minimalizace pomocné účelové funkce z‘
Nalezením výchozího přípustného řešení končí I. fáze výpočtu
dvoufázovou simplexovou metodou. Ve výpočtu se poté pokračuj II.
fází, která spočívá v optimalizaci původní účelové funkce z. II. fáze
výpočtu našeho příkladu je ilustrována v tabulce 5. Všimněte si, že
v této tabulce již nejsou obsaženy pomocné proměnné, které lze po
jejich vynulování z modelu vyloučit, ani pomocná účelová funkce.
Vzhledem k maximalizaci funkce z není řešení x3 = (1, 5, 14, 0)
s hodnotou účelové funkce z3 = 7 řešením optimálním. Hodnotu
účelové funkce lze zlepšit tak, že zvolíme jako vstupující proměnnou
x4 – vystupující proměnná je potom x3 (viz tab. 5). Po přepočtu
simplexové tabulky podle klíčového prvku (5/3) získáme řešení x4 =
(33/5, 39/5, 0, 42/5) s hodnotou účelové funkce z4 = 21. Nalezením
řešení x4 končí II. fáze výpočtu, neboť toto řešení je již hledaným
optimálním řešením dané úlohy LP.
Tabulka 5 – II. fáze – optimalizace účelové funkce z
Celý postup výpočtu, který je obsažený v tabulkách 3 – 5, je
ilustrován graficky na obrázku. Na tomto obrázku je zvýrazněn
množina přípustných řešení – je to v tomto případě pouze jedna hrana
mezi body x3 a x4. V I. fázi výpočtu (tab. 4) jsme vycházeli z řešení x1
a ve dvou iteracích jsme přešli přes řešení x2, které také není
15
přípustné, k řešení x3. Tím skončila I. fáze, neboť řešení x3 je již
řešením přípustným. Ve II. fázi se v jedné iteraci vypočte optimální
řešení x4.
Obrázek – Množina přípustných řešení
16
Použití prohibitních cenových koeficientů
Místo zavedení pomocné účelové funkce lze dosáhnout efektu
minimalizace hodnot pomocných proměnných i jiným, relativně
jednodušším způsobem. Účelová funkce z se doplní o pomocné
proměnné, kterým se však přiřadí maximálně nevýhodné cenové
koeficienty ±M: +M v případě minimalizace a –M při maximalizaci
funkce z, kde M je ve srovnání s ostatními cenovými koeficienty
dostatečně velké kladné číslo. Vzhledem k nevýhodnosti prohibitních
cen u pomocných proměnných budou tyto proměnné prioritně zvoleny
jako vystupující a bude tedy dosaženo podobného efektu jako při
použití pomocné účelové funkce. Použití prohibitních sazeb není, ve
srovnání s pomocnou účelovou funkcí, z hlediska „ručního“ výpočtu
výhodnější. Tento postup je však používán v většině programových
produktů.
Příklad:
Pro ilustraci uvedeného postupu zapíšeme výchozí simplex. tabulku
s účelovou funkcí upravenou pomocí prohibitních saze. V našem
příkladu bude vypadat tato funkce následovně:
z = 2x1 +x2 –My1 – My2
Pokud však zapíšeme funkci do simplexové tabulky, budou u
pomocných proměnných (které jsou proměnnými základními)
porušeny jednotkové vektory (v řádku z nejsou nulové koeficienty ale
sazby M). Z tohoto důvodu je třeba dále tuto tabulku upravit tak, že
řádky obsahující pomocné proměnné vynásobíme hodnotou (-M) a
přičteme k řádku z. Výchozí simplexová tabulka pro náš příklad je
v tabulce 6. Další výpočet se realizuje už standardním způsobem
s tím, že se počítá samozřejmě pouze s upravenou účelovou funkcí.
Podle této funkce se zvolí klíčový sloupec (z2 = -3M – 1) – vystupující
proměnná určená klíčovým řádkem je potom y2. Tuto proměnnou lze
tedy vyloučit a v dalším průběhu výpočtu nemusí být už uvažována.
Tabulka 6 – použití prohibitních sazeb
17
Duální úloha
Teorie duality
Dualitou v úlohách lineárního programování se
rozumí
vzájemný
vztah
dvojice
přesně
d e f i n o v a n ý c h ú l o h l i n e á r n í h o p r o g r a m o v á n í . Ke
každé úloze lineárního programování lze zformulovat podle definice,
kterou uvedeme dále, jinou úlohu lineárního programování. První z
nich budeme označovat jako ú l o h u p r i m á r n í , druhou potom
jako ú l o h u d u á l n í .
Uvedené označení však svádí k tomu, že duální úloha je v jakémsi
podřízeném stavu k úloze primární, neboť je z ní odvozena. Takové
chápání duality by nebylo správné . Je třeba se uvědomit, že d u a l i t a
je vzájemným symetrickým vztahem obou úloh.
Pokud tedy budeme aplikovat proces transformace jedné úlohy na
druhou dvakrát po sobě, potom dostáváme zpět původní primární
úlohu:
primární úloha
transformace
duální úloha
transformace
primární úloha
Místo označení primární a duální úloha lze použít termín d v o j i c e
duálně sdružených úloh.
Praktický význam duality spočívá v tom, že vlastnosti duálních
modelů a vztahy mezi duálně sdruženými úlohami se využívá při
18
speciálních algoritmech pro řešení úloh LP. Velký význam má dualita
i v etapě ekonomické interpretace výsledků řešení.
Úlohy souměrně duálně sdružené
(souměrná dualita)
Principy konstrukce duálních úloh
Mějme úlohu lineárního programování ve tvaru I
I
Za podmínek
a11x1 + a12x2 + ................ + a1nxn ≤ b1
a21x1 + a22x2 + ................ + a2nxn ≤ b2
.............................................................
am1x1 + am2x2 + ................ + a mnxn ≤ bm
xj ≥ 0,
j = 1,2, ...., n
,
,
, (1)
,
nalézt maximum funkce
z = c1x1 + c2x2 + ................ + cnxn ,
Tuto úlohu nazveme p r i m á r n í .
Když každému omezení primární úlohy (1) přiřadíme jednu duální
proměnnou ui i =1,2, ...,m,
můžeme formulovat d u á l n í ú l o h u ve tvaru II
II
19
Za podmínek
a11u1 + a21u2 + ................ + am1um ≥ c1
a12u1 + a22u2 + ................ + a2mum ≥ c2
.............................................................
a1nu1 + a2nu2 + ................ + amnum ≥ cn
ui ≥ 0, i =1,2, ..., m
,
,
, (2)
,
nalézt minimum funkce
w = u1b1 + u2b2 + ................ + umbm ,
Úlohy (1) a (2). jsou tzv. symetrické duální úlohy. Vztah duality je
vztahem vzájemným, neboť kterákoliv z těchto úloh může být vzata
jako primární a naopak. Duální úloha má n omezení,k tedy tolik, kolik
má primární úlohy proměnných, a m proměnných, tedy tolik, kolik
má primární úloha omezení.
Definice:
V maticovém vyjádření mají symetrické duální úlohy tento tvar:
I. Primární model
II. Duální model
z = cTx Æ max.,
w = uTb Æ min.,
za podmínek
Ax ≤ b,
x ≥ 0.
za podmínek
ATu ≥ c,
u ≥ 0.
20
kde:
cT = (c1, c2, . . . . c n) je n-složkový řádkový vektor cenových
koeficientů
x = (x1, x2, . . . . x n) T
strukturních proměnných
je n-složkový sloupcový vektor
modelu
b = (b1, b2, . . . . b m) T
koeficientů pravé strany
je m-složkový sloupcový vektor
A
matice strukturních koef. o rozměru m n
W
modelu
hodnota účelové funkce duálního
u = (u1, u2, . . . . u m) T
proměnných duálního
je m-složkový sloupcový vektor
modelu
Při zápisu pomocí sumací v matematickém modelu duálně sdružených
úloh vypadá definice souměrné duality následovně:
n
∑
=
z
c
j
j = 1
n
∑
a
j = 1
x
j
ij
x
≤
j
x
b
≥ 0 , j = 1 , 2 ,...,
→
j
i
, i =
max
1 , 2 ,...,
m
n
Primární model:
Duální model:
Z obou zápisu je naprosto zřejmé, že v duálním modelu jsou obsaženy
stejné koeficienty jako v modelu primárním - samozřejmě s výjimkou
vektorů x a u, které označují vektor proměnných primárního a
duálního modelu.
u
m
∑
i = 1
i
≥ 0 , i = 1 , 2 ,...,
a
ij
u
i
≤ c
j
m
, j = 1 , 2 ,...,
n .
Při formulaci duálního modelu je třeba vycházet z výše
uvedené definice.
21
Prvním důležitým krokem při této formulaci je převod primárního
matematického modelu na tvar, který je uveden v definice, tzn.:
při maximalizaci účelové funkce z je třeba převést všechna vlastní
omezení úlohy na typ „ ≤ “ .
při minimalizaci účelového funkce z je třeba všechna vlastní omezení
úlohy na typ „≥“.
Po této úpravě je už vlastní formulace duální úlohy velmi jednoduchá:
ke každému vlastnímu omezení primární úlohy přiřadíme jednu duální
proměnnou
ui, i=1,2,..,m - každé z těchto proměnných je přiřazena podmínka
nezápornosti.
ke každé proměnné xj, j=1,2,...,n primární úlohy přiřadíme vlastní
omezení duální úlohy - koeficienty tohoto omezení jsou určeny j-tým
sloupcem matice A, typ všech omezení musí opět korespondovat s
extrémem účelové funkce w („≤“ v případě maximalizace a „≥“ v
případě minimalizace),
koeficienty pravé stany v duální úloze jsou shodné s koeficienty
účelové funkce primární úlohy a naopak koeficienty účelové funkce
duální úlohy jsou shodné s koeficienty pravé strany primární úlohy,
extrém účelové funkce se mění z maximalizace na minimalizaci,
případně naopak.
Příklad:
Formulace souměrně sdruženého duálního modelu:
0,5 x1 + 0,25 x2 ≤ 40
0,5 x1 + 0,5 x2 ≤ 60
0,25 x2 ≤ 25
z = 20 x1 + 14 x2
Příslušný duální model bude mít tři duální proměnné a dvě duální
vlastní omezení.
22
Formulace uvedena v tabulce - 1:
Primární model
z = 20 x1 + 14 x2
→
Duální model
max
W = 40 u1 + 60 u2 + 25 u3
min
0,5 x1 + 0,25 x2 ≤ 40
u1 ≥ 0
0,5 x1 + 0,5 x2 ≤ 60
u2 ≥ 0
0,25 x2 ≤ 25
u3 ≥ 0
x1 ≥ 0
0,5 u1 +0,5 u2 ≥ 20
x2 ≥ 0
0,25 u1 + 0,5 u2 +0,25u3 ≥ 14
→
Tabulka 1 - Formulace souměrného duálního modelu
Z tabulky je patrné, že je každému vlastnímu omezení jedné úlohy
přiřazena podmínka nezápornosti úlohy druhé a naopak každé
proměnné s podmínkou nezápornosti je přiřazeno v druhé úloze
vlastní omezení. Dostáváme tak tedy v našem příkladu pět řádků
(kromě řádku obsahujícího účelové funkce obou úloh (1. řádek)), z
nichž každý obsahuje vlastní omezení jedné úlohy a podmínku
nezápornosti úlohy druhé. V každém řádku je tedy dvojice
omezujících podmínek - vlastní omezení jedné úlohy a podmínka
nezápornosti úlohy druhé. Tyto dvojice budeme dále označovat jako
dvojice duálně sdružených omezení.
Mezi řešeními sdružených úloh platí zajímavé vztahy. Hodnota
účelové funkce libovolného řešení primární úlohy nemůže být větší
než hodnota účelové funkce libovolného řešení duální úlohy. Hodnota
účelové funkce duální úlohy (minimalizační) je tedy horní mezí pro
hodnotu účelové funkce primární úlohy (maximalizační). Jestliže
nalezneme taková přípustná řešení obou úloh, jejichž hodnoty
účelových funkcí se rovnají, pak jsou to řešení optimální.
23
Věty o dualitě:
Věta 1.
Je-li x libovolné přípustné řešení primární úlohy a u libovolné
přípustné řešení duální úlohy, platí,
cTx ≤ bTu.
Důkaz:
Vynásobíme vlastní omezení primární úlohy vektorem u a vlastní
omezení duální úlohy vektorem x:
uTAx ≤ uTb
⇒c x≤u b
T
T
uTAx ≥ cTx
Věta 2.
Je-li x přípustné řešení primární úlohy a u přípustné řešení duální
úlohy, pro něž
cTx = bTu, pak x a u jsou optimální řešeními obou úloh.
Důkaz:
Označíme přípustná řešení sdružených úloh, jejichž hodnoty
účelových funkcí se rovnají, x0 a u0.
T
T
Platí-li c x0 = b u0, potom z věty plyne pro libovolné přípustné
T
T
řešení primární úlohy c x ≤ u 0 b, tj. cTx = cTx0 a pro libovolné
T
T
T
T
přípustné řešení duální úlohy u b ≥ c x0, tj. u b ≥ b u0. Je tedy
x0 optimálním řešením primární úlohy a u0 optimálním řešením
duální úlohy.
Kromě těchto dokázaných vztahů, platí mezi řešeními sdružených
úloh i další vztahy.
24
Věta 3.
Mají-li obě sdružené úlohy optimální řešení, pak se optimální
hodnoty účelových funkcí obou úloh sobě rovnají.
25
Úlohy nesouměrně duálně sdružené
(nesouměrná dualita)
Při definici souměrné duality jsme uvažovali pouze vlastní
omezení ve tvaru nerovnic " ≥ " nebo " ≤ ". V úlohách lineárního
programování se však vyskytují i vlastní omezení ve tvaru rovnic.
Jakým způsobem modifikuje výskyt takových omezení formulaci
duální úlohy bude ukázáno nyní:
V následujícím příkladu jsou v soustavě vlastních omezení obsaženy
všechny tři možné typy omezení - tj. jedna nerovnice " ≤ " a druhá "
≥ " a jedna rovnice:
Příklad:
3 x1 -
x2 ≤ 12
x1 + x2 ≥
6
-x1 + 2x2 = 9
z = 2x1 + x2
Vzhledem k maximalizaci účelové funkce z = 2x1 + x2 je třeba
převést nejprve všechna vlastní omezení na typ " ≤ ". Nerovnici x1 +
x2 ≥
6 stačí vynásobit (- 1). Rovnici
-x1 + x2 = 9 je možné
nahradit dvěma nerovnicemi:
-x1 + 2x2 ≤
x1 -2 x2
9
≥ -9
Původní soustava tří vlastních omezení se tak rozšiřuje o jedno další
omezení s tím , že původní rovnici přísluší dvě vlastní omezení v
rozšířené soustavě. Duální proměnné příslušející těmto dvěma
vlastním omezením označíme u3´ a u3´´, protože obě přísluší
shodnému původnímu vlastnímu omezení (rovnici). Formulace
duálního modelu příslušejícího této rozšířené soustavě vlastních
omezení je uvedena v tabulce -2 - v tomto případě se jedná o s o u m
ě r n o u d u a l i t u.
26
Primární model
z = 2 x1 + x 2
→
Duální model
max
W = 12 u1 - 6 u2 + 9*( u3 ´- u3 ´´)
min
3 x1 -
x2
≤ 12
u1 ≥ 0
- x1
x2
≤-6
u2 ≥ 0
- x 1 + 2 x2
≤ 9
u3 ´ ≥ 0
x1 + 2 x2
≤ -9
u3 ´ ≥ 0
-
x1 ≥ 0
3 u1 - u2 -
x2 ≥ 0
- u1 - u2 +2* (u3 ´- u3 ´´) ≥ 1
→
(u3 ´- u3 ´´) ≥ 2
Tabulka 2 -Formulace souměrného duálního modelu
Nyní budeme formulovat duální úlohu k nerozšířenému modelu, tj. k
modelu, ve kterém ponecháme třetí omezující podmínku ve tvaru
rovnice. Této rovnici přiřadíme duální proměnnou u3 . Vzhledem k
extrému účelové funkce musíme i zde vynásobit druhou nerovnici
hodnotou (-1), abychom toto omezení převedli na typ " ≤ ".
Formulace opět uvedena v tabulce:
Primární model
= 2 x1 + x2
Duální model
max
3 x1 -
x2
≤ 12
- x1
x2
≤-6
- x 1 + 2 x2
= 9
-
W = 12 u1 - 6 u2
min
+ 9 u3
u1 ≥ 0
u2 ≥ 0
u3 - libovolné
27
x1 ≥ 0
u3
≥ 2
- u 1 - u 2 + 2 u3
≥ 1
3 u1 - u2 x2 ≥ 0
Tabulka 3 -Formulace nesouměrného duálního modelu
Duální modely v tabulce 2 a 3 jsou téměř shodné - hlavní rozdíl
spočívá v tom, že je proměnná u3 z tabulky 3 nahrazena v tabulce 2 (
v souměrném modelu) rozdílem dvou proměnných (u3´ - u3´´). Duální
proměnná u3 byla přiřazena vlastnímu omezení - x1 + 2 x2 = 9 a
proměnné u3´ a u3´´ příslušely dvojici omezujících podmínek
odvozených z uvedené rovnice.
Pro všechny podmínky v souměrné dualitě - tedy i pro proměnné u3´ a
u3´´ platí podmínky n e z á p o r n o s t i .
Pro proměnnou u3 = u3´ - u3´´, která je definována jako rozdíl dvou
nezáporných hodnot však z pochopitelných důvodů podmínka
nezápornosti platit nemůže - rozdíl dvou nezáporných hodnot může
být stejně tak kladný, záporný nebo nulový. Z tohoto důvodu platí, že
duální proměnné příslušející vlastním omezením ve tvaru rovnice
nejsou omezeny podmínkami nezápornosti.
Obecná definice nesouměrné duality
I. Maximalizovat funkci
funkci
II. Minimalizovat
z = cTx,
w = uTb ,
za podmínek
za podmínek
ATu ≥ c,
Ax = b,
X≥0
u - libovolné
Nesouměrnost spočívá v tom , že dvojice duálně sdružených
omezení nejsou v tomto případě "kompletní". V souměrné dualitě
tyto dvojice obsahovaly vždy vlastní omezení ve tvaru nerovnice v
jedné úloze a podmínku nezápornosti v úloze druhé. V nesouměrné
dualitě nepřísluší vlastnímu omezení ve tvaru rovnice v jedné úloze
žádná omezující podmínka v úloze druhé (příslušná proměnná může
být libovolná).
28
Řešení duálně sdružených úloh
Pro nalezení optimálního řešení dvojice duálně sdružených úloh lze
použít, vzhledem k tomu, že se v obou případech jedná o standardní
úlohy lineárního programování, simplexovou metodou. Každou z
obou duálně sdružených úloh lze tedy řešit samostatně simplexovou
metodou
Příklad:
Optimální řešení duálně sdružených úloh
V kožedělném závodě se vyrábějí 3 druhy výrobků, na než se
spotřebovávají 2 druhy surovin (kůží), jejichž disponibilní množství
nelze zvýšit na udanou mez. Je třeba určit výrobní program
maximální výši zisku. Potřebné údaje jsou v tabulce 4.
Formulace primární úlohy:
0,2x3 ≤ 3000
0,2 x1 +
0,25 x2 + 0,3x3 ≤ 4200
xj ≥ 0 (j = 1, 2, 3 )
z = 12 x1 + 11 x2 +26 x3
→
MAX.
Formulace duální úlohy k primární úloze:
≥12
0,2 u1
0,25 u2 ≥11
0,2 u1 +
0,3 u2
≥26
ui ≥ 0 (i = 1, 2)
w = 3000 u1 + 4200 u2
→
MIN.
Obě úlohy převedeme na standardní tvar pomocí přídatných
proměnných.
U duální úlohy přidáme kromě přídatných proměnných i proměnné
pomocné (yi))
Pozn.:
U omezujících podmínek typu „≥“ a "=" je třeba pomocnou
proměnnou k levé straně nerovnice případně rovnice přičíst. Pomocné
29
proměnné budou v takto získané soustavě rovnic základními
proměnnými.
Řešíme simplexovou metodou:
V části simplexové tabulky obsahující poslední iteraci výpočtu jedné
ze sdružených úloh je i řešení druhé úlohy.
Z tabulky 5 (3. Iterace) lze tedy vyčíst i optimální řešení duální
úlohy uT= [60, 140/3] ( je v posledním řádku tabulky pod přídatnými
proměnnými, jejichž koeficienty vytvořily jednotkovou matici 1.
Iterace). Hodnoty přídatných proměnných lze zjistit rovněž z
posledního řádku tabulky 3. Iterace. Jsou zapsány ve sloupcích
původních strukturních proměnných u3 = 0, u4 = 2/3, u5 = 0.
I obráceně lze z tabulky řešení duální úlohy zjistit řešení úlohy
sdružené (tj. primární). Tedy optimální řešení primární úlohy z
tabulky 6 (duální řešení) je xT = [1000, 0, 14000, 0, 0]
z = 12 x1 + 11 x2 +26 x3
z = 12*1000+26*14000 = 376 000
w = 3000 u1 + 4200 u2
w = 3000*60 + 4200*140/3 = 376 000
Strukturní duální proměnné můžeme interpretovat jako ocenění jedné
jednotky kapacity ve vztahu k hodnotě účelové fce. Jedná se tedy o
marginální ocenění kapacit. Někdy se strukturní duální proměnné
označují jako stínové ceny.
Hodnoty duálních proměnných je třeba uvažovat pouze v
rámci určitých intervalů stability pro hodnoty pravé strany b.
Vlastní výpočet intervalů stability:
b1 + ∆b1
Bs-1
b2
≥0
:
:
bm
Bs-1
je inverzní matice báze v s-tém kroku výpočtu,
30
bi i = 1, 2, ….,m jsou prvky vektoru pravých stran
∆bi je hledaná přípustná změna pro hodnotu bi
31
Celočíselné programování
Mezi speciální úlohy lineárního programování (LP) lze zařadit i úlohy
celočíselného (lineárního) programování.
Jedná se o standardní úlohy LP, které jsou však doplněny o tzv.
podmínky celočíselnosti, (zabezpečují, aby všechny nebo některé
proměnné nabývaly pouze celočíselných hodnot). Tyto podmínky
vyplývají ze zadaného problému.
Kromě obecných celočíselných podmínek se mohou v úlohách LP
vyskytovat podmínky, aby proměnné nabývaly pouze hodnot 0 nebo
1, takové proměnné se označují jako bivalentní proměnná.Tyto
proměnné se používají i při formulaci přiřazovacího a okružního
dopravního problému, což jsou úlohy celočíselného programování.
Úlohy celočíselného programování, které obsahují pouze bivalentní
proměnné se označují jako úlohy bivalentního programování.
Úlohy celočíselného programování je možné klasifikovat podle
různých hledisek.
Jeden způsob klasifikace rozděluje tyto úlohy na úlohy s obecnými
podmínkami celočíselnosti a na bivalentní úlohy tak, jak bylo
uvedeno výše.
Jiná klasifikace vychází z toho, zda jsou kladeny podmínky
celočíselnosti na všechny proměnné modelu nebo pouze na jejich
podmnožinu – v prvním případě se hovoří o ryze celočíselných, ve
druhém o smíšeně celočíselných úlohách LP. (Řešení těchto úloh je
většinou velmi náročné, nejenom na výpočet, ale i z časového
hlediska.)
32
Metody řešení úloh celočíselného programování se dělí do několika
skupin podle jejich charakteru:
1. Metody řezných (sečných) nadrovin jsou vhodné pro řešení
ryze i smíšené celočíselných úloh, ve kterých jsou uvažovány
obecné podmínky celočíselnosti. Nejsou vhodné pro řešení
bivalentních úloh. Tyto metody vychází z množiny
přípustných řešení úlohy bez podmínek celočíselnosti. Pro tuto
množinu je vypočteno běžnou simplexovou metodou optimální
řešení. Pro takto zúženou množinu je opět vypočteno optimální
řešení. Po konečném počtu kroků vede tento postup k získání
řešení.
2. Kombinatorické metody jsou univerzálním nástrojem pro
řešení většiny typů úloh. Podstatou těchto metod je jejich
efektivní prohledávání. Bližší obecný popis metod typu není
možný, protože výpočetní realizace je u jednotlivých metod
poměrně odlišná.
3. Speciální metody obsahují např. maďarskou metodu (pro
výpočet optimálního řešení přiřazovacího problému nebo
speciální přibližné algoritmy pro řešení okružního dopravního
problému).
Množinu přípustných řešení a postup výpočtu optima budeme
ilustrovat na příkladu. Máme tedy úlohu
maximalizovat z = 2x1 + 3x2
za podmínek
Grafické znázornění:
4x1 + 3x2 ≤ 13
x1 + 2x2 ≤ 6
x1, x2 ≥ 0
x1, x2 - celé
:
Obr. 1.1 – množina přípustných
řešení úlohy celočíselného LP
Grafické znázornění množiny přípustných řešení této úlohy je na obr.
1.1. Stínování vyjadřuje množinu přípustných řešeni bez podmínek
celočíselnosti. Mřížka diskrétních bodů reprezentuje celočíselné
řešení, těchto bodů je v tomto případě 10. Je zřejmé, že optimální
řešení neceločíselné úlohy je dáno vektorem xopt = (8/5, 11/5),
33
hodnota účelové funkce tohoto řešení je zopt = 49/5. Jakékoli
zaokrouhlení, což je často první myšlenka, která vzniká při pokusu
získat celočíselné řešení, nevede k uspokojivým výsledkům.
Jakýmkoliv zaokrouhlením vektoru xopt nelze získat optimální řešení.
Toto řešení (jak po chvíli zjistíme) je xopt = (0,3) s hodnotou účelové
funkce zopt = 9.
V profesionálních programových systémech se pro řešení
celočíselných úloh LP používají nejčastěji tzv. metody větvení a mezí.
Tento princip je dostatečně obecný, takže jej lze použít na mnoho
úloh. Těchto metod je ovšem docela dost, proto se zmíníme konkrétně
o jedné - je to metoda autorek Land a Doig. Lze ji použít pro řešení
jak ryze, tak i smíšeně celočíselných úloh LP, ale předpokládejme zde,
že koeficienty účelové funkce jsou vždy celá čísla.
Prvním krokem uvedené metody je, že se standardním
postupem vypočte optimální řešení bez podmínek celočíselnosti.
Označme si vektor tohoto řešení
x° = (x1°, x2°, ...x n°) a jeho hodnotu účelové funkce z°. Pokud takto
vypočtené řešení vyhovuje podmínkám celočíselnosti, pak je to
optimální řešení a výpočet končí. V opačném případě se z množiny X°
vytvoří dvě podmnožiny - X1, X2 ( což označujeme jako větvení
velké množiny na dvě podmnožiny), z vektoru x° se vybere libovolně
jedna proměnná, která porušuje podmínku celočíselnosti (nechť se
jedná o proměnnou xk , jejíž hodnota je ve vektoru x° rovna xk0).
MnožinaX1 je charakterizována rozšířením o podmínku
[xk0] + l,
množina X2 je vytvořena z množiny X° rozšířením o podmínku
≤
[xk0]
xk ≥
xk
,
kde [xk0] představuje celou část z hodnoty xk0. Je-li tedy složka xk0
= 8/5, pak je množina X1 určena podmínkou xk ≥ [8/5] + 1 = 2 a
množina X2 podmínkou xk ≤ [8/5] = l. V každé z obou větví je
vypočteno optimální řešení bez uvažování podmínek celočíselnosti a
proces větvení v případě potřeby pokračuje dále podobné jako u
množiny X0.
Součástí uvedeného algoritmu dále je, že je v každé větvi odvozována
horní mez pro hodnotu účelové funkce celočíselného řešení. Např. na
naší množině X° je optimální řešení určeno vektorem x° s hodnotou
účelové funkce z° = 49/5. Protože je to jediné optimální, řešení na
množině X°, je zřejmé, že ryze celočíselné řešení nemůže mít hodnotu
účelové funkce vyšší než [49/5] = 9. Horní mez na množině X0 je tedy
rovna 9. U ryze celočíselných úloh lze získat horní mez pro hodnotu
celočíselného řešení na množině Xk jako [zk - ε ], kde zk je optimální
hodnota neceločíselného optima na množině Xk a ε je dostatečné
34
malé ( 10-9) kladné číslo. U smíšeně celočíselných úloh je však horní
mez v dané větvi rovna přímo vypočtené hodnotě účelové funkce.
Celý tento proces se provádí tak dlouho, pokud všechny vytvořené
větve nejsou uzavřeny jedním z následujících způsobů:
1.
2.
3.
Ve větvi je nalezeno řešení, které vyhovuje podmínkám
celočíselnosti
Ve větvi neexistuje žádné přípustné řešení
Ve větvi je nalezeno neceločíselné řešení a horní mez pro
hodnotu účelové funkce, odvozená z tohoto řešení, je nižší než
hodnota účelové funkce nějakého řešení, nalezeného již dříve v
některé z ostatních větví.
Po uzavření všech větví je nejlepší nalezené celočíselné řešení
současně hledaným optimálním řešením celočíselné úlohy.
Příklad:
Postup výpočtu celočíselného optima metodou Land a Doig budeme
ilustrovat na výše uvedeném numerickém příkladu.
K lepšímu pochopení algoritmu uvádíme na obr. 1.2 a 1.3. jednak
grafické znázornění způsobu dělení původní množiny přípustných
řešení X0 na podmnožiny v jednotlivých větvích a optimální řešení
získané na těchto podmnožinách (x0,x1,...,x4) a jednak graf řešení,
která schématicky znázorňuje postup výpočtu.
Obr. 1.2 - Výpočet celočíselného optima metodou větvení a mezí
Prvním krokem výpočtu je nalezení optimálního řešení na množině
X0. To je na celé množině přípustných řešení bez podmínek
celočíselnosti. Toto řešení je dáno vektorem x0 = (8/5 , 11/5)
s hodnotou účelové funkce z0 = 49/5. Horní mez je = 9. Pro větvení
vybereme např. první neceločíselnou složku vektoru x0 a z původní
množiny X0 vytvoříme dvě podmnožiny X1 a X2 tak, že soustavu
omezujících podmínek rozšíříme o x1 ≥ [8/5]+1 = 2 a o x1 ≤ [8/5] = 1
viz obr 1.3. Množiny X1 a X2 jsou na obr 1.2. zvýrazněny
stínováním.Na obou těchto množinách je vypočteno optimální řešení.
Tato řešení jsou určena vektory x1 = (2, 5/3) a x1 = (1, 5/2). Jejich
hodnoty z1 = 9 a z2 = 19/2. Na podmnožinách odvozených z X1 nelze
35
tedy získat celočíselné řešení, které bude mít hodnotu účelové funkce
vyšší než 8 (horní mez je 8). Na množině X2 je horní mez rovna
[19/2] = 9.
x0
x0 = (8/5; 49/5)
Z0 = 49/5
x1; x1 ≥ 2
8
x2; x2 ≤ 1
9
x2 = (1, 5/2)
z2 = 19/2
x1 = (2; 5/3)
x1= 9
x4; x2 ≥ 3
x3; x2 ≤ 2
x4 = (0,3)
Z4 = 9
x3 = (1,2)
z3 = 8
STOP
STOP
Obr. 1.3 – Graf řešení metodou větvení a mezí
Ani jedno řešení x1 a x2 není celočíselné, pro další větvení vybereme
větev X2, protože hodnota horní meze je větší než na X1, proto lze
očekávat získání řešení s vyšší hodnotou účelové funkce. Z X2
vytvoříme podmnožiny X3 a X4 tak, že doplníme o podmínky x2 <
[5/2] = 2 a x2 ≥ [5/2] + 1 = 3. Na obou podmnožinách získáváme již
36
celočíselné řešení, konkrétně se jedná o řešeni x3 = (1,2) s hodnotou
účelové funkce z3 = 8 a x4 = (0,3) s hodnotou účelové funkce z4 = 9.
Tímto lze větvení ukončit (viz pravidlo l). Tedy nejlepší nalezené
řešení je x4 = (0,3) s hodnotou z4 = 9.
Pro doplnění uvedeme Gomoryho metodu, která patří do skupiny
metod řezných nadrovin, ale pouze v nejjednodušší verzi určenou pro
řešení ryze celočíselných úloh. První vypočteme simplexovou
metodou řešení bez podmínek celočíselnosti. Pokud splňuje toto
řešení podmínky celočíselnosti, je to optimální řešení celočíselné
úlohy a výpočet může skončit. V opačném případě se k soustavě
podmínek doplňuje nové omezeni - řezná nadrovina. Předpokládejme,
že základní proměnná v i-tém řádku simplexové tabulky porušuje
podmínku celočíselnosti. Nové omezení bude mít následující podobu:
∑ (-rij)xj + xn+1 = -ri0
kde j = 0, 1,...,n
rij – jsou celočíselné zbytky strukturních koeficientů i-tého řádku
simplexové tabulky,
ri0 – je celočíselný zbytek hodnoty prvé strany v i-tém řádku tabulky ,
tj. hodnoty základní proměnné, která porušuje podmínky
celočíselnosti
xn+1 – ji přídatná proměnná doplněná k tomuto novému omezení
Celočíselný zbytek je vždy číslo z intervalu <0,1). Pro ilustraci celočíselný. zbytek 8/5 je 3/5, protože 8/5 = 1+3/5 a celočís. zbytek
čísla -8/5 je 2/5, protože
8/5= -2+2/5.
Po doplnění řezné nadroviny do simplexové tabulky dostáváme v této
tabulce primárně nepřípustné řešení. Ve výpočtu pokračujeme duálně
simplexovou metodou. Po nalezení optima se situace opakuje - buď je
celočíselné, nebo se k soustavě omezení doplní další řezná nadrovina
stejným způsobem. Po konečném počtu kroků konverguje tento
postup k optimálnímu řešení. Ovšem v každém kroku se rozšiřuje
soustava o jedno nové omezení (řádek) a novou proměnnou (sloupec).
Vzhledem k tomu, že počet kroků může být i u malých úloh značný,
může se i do značných rozměrů rozrůst původní problém. S tím
souvisí i potenciální výpočetní problémy.
37
Příklady
• Celočíselné optimum
• Graf řešení
• Optimální řešení neceločíselné úlohy
• Gomoryho metoda
• Optimální řešení
38
Celočíselné optimum
Výpočet celočíselného optima metodou větvení a mezí m
Graf rešení
Grafické řešení metodou větvení a mezí
x0
x0 = (8/5; 49/5)
Z0 = 49/5
x1; x1 ≥ 2
8
x2; x2 ≤ 1
9
x2 = (1, 5/2)
z2 = 19/2
x1 = (2; 5/3)
x1 = 9
x3; x2 ≤ 2
x4; x2 ≥ 3
39
x3 =
z3 = 8
x4 = (0,3)
Z4 = 9
(1,2)
STOP
STOP
Postup výpočtu celočíselného optima budeme ilustrovat na stejném
numerickém příkladu jako předchozí metodu větvení a mezí.
Předpokladem pro použití Gomoryho metody je znalost optimálního
neceločíselného řešení.
Optimální řešení neceločíselné úlohy
Toto řešení pro náš příklad je uvedeno v tabulce:
Základní proměnná X1 X2 X3
X4
Bi
X1
1
0
2/5 -3/5 8/5
X2
0
1 -1/5 4/5 11/5
Zj
0
0
1/5 6/5 49/5
Toto řešení nesplňuje podmínky celočíselnosti.
Vybereme řádek s první neceločíselnou hodnotou základní proměnné
(x1 = 8/5) a podle něj zkonstruujeme nové omezení – řeznou
nadrovinu:
0*x1 – 0*x2 – 2/5x3 – 2/5x4 + x5 = - 3/5,
kde x5 je přidaná proměnná příslušející tomuto novému omezení. O
nové omezení rozšíříme předchozí tabulku a ve výpočtu budeme
pokračovat jedním krokem duálně simplexové metody.
Tento krok je uveden zde:
Gomoryho metoda
První krok výpočtu Gomoryho metody
40
X1
X2
X3
X4
X5
Bi
X1
1
0
2/5
-3/5
0
8/5
X2
0
1
-1/5
4/5
0
11/5
X5
0
0
-2/5
-2/5
1
-3/5
Yj
0
0
1/5
6/5
0
49/5
X1
1
0
0
-1
1
1
X2
0
1
0
1
-1/2
5/2
X3
0
0
1
1
-5/2
3/2
Zj
0
0
0
1
1/2
19/2
Toto řešení není celočíselné.
Pokračujeme dále. Vybereme opět řádek s první neceločíselnou
hodnotou základní proměnné (x2 = 5/2) a podle něj vytvoříme nové
omezení:
-1/2x5 + x6 = -1/2,
kde x6 je další přidaná proměnná. Po doplnění tohoto omezení do
tabulky a po provedení výpočtu jedním krokem duálně simplexové
metody dostáváme již celočíselné řešení.
Optimální celočíselné řešení je tedy charakterizované vektorem xc =
(0, 3, 4, 1) a hodnotou účelové funkce xc = 9.
Ve vektoru xc jsme neuvedli hodnoty proměnných x5, x6 tj. přidaných
proměnných dvou nově doplněných omezení (řezných nadrovin). Tyto
proměnné totiž nemají ve vztahu k původnímu modelu žádnou
interpretaci.
Optimální řešení
X1
X2
X3
X4
X5
X6
Bi
X1
1
0
0
-1
1
0
1
X2
0
1
0
1
-1/2
0
5/2
41
X3
0
0
1
1
-5/2
0
3/2
X6
0
0
0
0
-1/2
1
-1/2
Zj
0
0
0
1
½
0
19/2
X1
1
0
0
-1
0
2
0
X2
0
1
0
1
0
-1
3
X3
0
0
1
1
0
-5
4
X5
0
0
0
0
1
-2
1
Yj
0
0
0
1
0
1
9
42
Dopravní problém
(Speciální úlohy lineárního programování)
Mezi nejtypičtější úlohy lineárního programování patří tzv. distribuční úlohy
lineárního programování. Z distribučních úloh v této kapitole podrobněji
rozebereme dopravní problém a z formulačního hlediska se zmíníme o dalších
úlohách jako je přiřazovací problém, okružní dopravní problém a obecný
distribuční problém.
Dopravní problém – formulace ekonomického a
matematického modelu
V dopravním problému se typickém případě jedná o rozvržení rozvozu nějakého zboží
či materiálu z dodavatelských míst (zdroje) odběratelům (cílová místa) tak, aby byly
minimalizovány celkové náklady související s tímto rozvozem. V dopravním problému
je definováno m-zdrojů (dodavatelů) D1, D2, …, Dm s omezenými kapacitami a1, a2,
…, am (množství, které je dodavatel schopen v uvažovaném období dodat ) a ncílových míst (odběratelů) O1, O2, …, On se stanovenými požadavky b1, b2, …, bn
(množství, které odběratel v uvažovaném období požaduje). Vztah každé dvojice
zdroj-cílové místo je nějakým způsobem oceněn. Tímto oceněním mohou být
například vykalkulované náklady na přepravu jedné jednotky zboží mezi zdrojem a
cílovým místem nebo kilometrová vzdálenost mezi zdrojem a cílovým místem.
Kvantifikované ocenění vztahu zdrojů a cílových míst označím cij, i = 1, 2, …, m, j =
1, 2, …, n. Cílem řešení dopravního problému je naplánovat přepravu mezi zdroji a
cílovými místy, tzn. stanovit objem přepravy mezi každou dvojici zdroj-cílové místo
tak, aby nebyly překročeny kapacity zdrojů a aby byly uspokojeny požadavky cílových
míst. Z hlediska matematického modelu je tedy třeba stanovit hodnoty proměnných xij,
i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n, které vyjadřují objem přepravy mezi i-tým zdrojem a jtým cílovým místem.
Výše uvedený popis lze považovat za typickou formulaci ekonomického modelu
dopravního problému. Tuto formulaci lze přehledně vyjádřit ve formě tabulky
(tabulka 1).
Zdroje
D1
D2
Cílová místa
O1
O2
c11
c12
x11
x12
c21
c22
x21
x22
…
On
Kapacity
zdrojů
c1a
…
x1a
a1
c2n
…
43
x2n
a2
…
…
…
…
…
.
.
.
Dm
Požadavky
cíl. míst
cm1
cm2
xm1
xm2
cmn
…
xmn
am
∑ i ai
b1
b2
…
bn
∑ j bj
Tab. 1 – Formulace ekonomického modelu dopravního problému.
Při řešení dopravního problému je třeba uvažovat vztah celkové kapacity všech zdrojů
∑i ai (součet všech dílčích kapacit) a všech požadavků cílových míst ∑j bj (součet
požadavků). Pouze ve speciálním případě bude patrně platit
∑i ai = ∑j bj .
Takový dopravní problém budeme označovat jako vyrovnaný dopravní problém.
V tomto případě platí, že všechny požadavky budou přesně uspokojeny a všechny
kapacity budou vyčerpány. Dopravní problém, ve kterém
∑i ai ≠ ∑j bj
budeme označovat jako nevyrovnaný dopravní problém. Při převisu na straně
nabídky zůstane část kapacity nevyužita a podobně při převisu na straně poptávky
nebudou uspokojeny všechny požadavky.
My se v dalším textu budeme zabývat pouze vyrovnaným dopravním problémem,
neboť nevyrovnaný problém lze na vyrovnaný snadno převést. Tento převod se
realizuje tak, že
při převisu nabídky k modelu doplníme tzv. fiktivní cílové místo OF (fiktivní
odběratel), jehož požadavek bude roven ∑i ai - ∑j bj , tj. rozdílu mezi celkovými
kapacitami a požadavky – tabulka 1 bude tedy rozšířena o nový sloupec,
při převisu poptávky k modelu doplníme tzv. fiktivní zdroj DF (fiktivní dodavatel),
jehož kapacita bude rovna ∑j bj - ∑i ai , tj. rozdílu mezi sumou požadavků a kapacit –
tabulka 1 bude tedy rozšířena o nový řádek.
Zbývá poznamenat, že ocenění vztahu mezi zdroji a cílovými místy cij je u fiktivních
činitelů nulové.
44
Při formulaci matematického modelu vyrovnaného dopravního problému si je
třeba uvědomit, že model bude obsahovat m.n proměnných xij vyjadřujících objem
přepravy mezi i-tým zdrojem a j-tým cílovým místem a dále bude obsahovat (m+n)
vlastních omezení. Omezení jsou přitom dvojího druhu. Prvních m představuje bilanci
pro jednotlivé zdroje – součet dodávek ze zdrojů cílovým místům nesmí přesáhnout
kapacitu jednotlivých zdrojů (vzhledem k vyrovnanosti dopravního problému bude
roven této kapacitě). Řádkové součty proměnných v tabulce 1 se tedy rovnají
příslušným kapacitám. Zbývajících n omezení přísluší jednotlivým cílovým místům.
Součet dodávek do jednotlivých cílových míst by se měl rovnat, opět vzhledem
k vyrovnanosti dopravního problému, jednotlivým požadavkům. Matematický model
vyrovnaného dopravního problému vypadá proto následovně:
minimalizovat
z = c11x11 + c12x12 + … + c1nx1n + … + cm1xm1 + cm2xm2 + … +cmnxmn
za podmínek
x11 + x12 + … + x1n
= a1
x21 + x22 + … + x2n
u1
= a2
u2
.
.
.
.
.
..
.
.
xm1 + xm2 + … + xmn = am
x11
+ x21
x12
.
. . . + xm1
= b1
+ x21 . . .
+ xm2 = b2
v2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
+ x1n + x2n . . .
+ xmn = bn
um
v1
vn
xij ≥ 0, i = 1, 2, … , m, j = 1, 2, …, n.
Koeficienty cij budeme v matematickém modelu označovat jako cenové koeficienty.
Současně s formulaci matematického modelu budeme formulovat i model k němu
duálně sdružený. Ve výše uvedené formulaci jsme označili symboly u1, u2, …, um
duální proměnné příslušející kapacitnímu omezením a pro odlišení symboly v1, v2, …,
vn duální proměnné pro omezení jednotlivých požadavků. Duální model bude vypadat
následovně:
maximalizovat
45
f = a1u1 + a2u2 + … + amum + b1v1 + b2v2 + …+ bnvn
za podmínek
u1 + v1 ≤ c11,
u2 + v2 ≤ c12,
.
.
um + vn ≤ cmn.
Vlastní omezení duální úlohy lze přehledně zapsat v následující podobě:
xij ≥ 0 ui + vj ≤ ci j., i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n.
Nebo lze zapsat takto:
minimalizovat
z=
m
n
i =1
j =1
∑ ∑
cijxij
za podmínek
n
∑
xij = ai,
i = 1, 2, …, m,
xij = bj,
j = 1, 2, …, n,
j =1
m
∑
i =1
xij ≥ 0,
i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n.
Množina přípustných řešení vyrovnaného dopravního problému je určená soustavou
(m+n) lineárních rovnic, které obsahují m.n proměnných, a podmínkami nezápornosti.
Je však možné poměrně snadno ukázat, že hodnost rozšířené matice uvedené soustavy
lineárních rovnic
1




1



1
...
1
1
1
...
1
1
1
1
1
1
1
...
1
1
1
1
46
1
a1 
a2 
am 

b1 
b2 

bn 
není zrovna m+n, ale pouze m+n-1, že libovolný řádek uvedené matice lze získat jako
lineární kombinaci všech řádků ostatních. Důsledkem toho je, že v základním řešení
vyrovnaného dopravního problému je pouze m+n-1 základních proměnných.
Příklad:
Společnost Multicomp, s.r.o. má v ČR 3 střediska (Plzeň, Pardubice, Olomouc), ve
kterých montuje osobní počítače. Kapacita těchto středisek je 330, 150 a 220 ks
počítačů měsíčně. Tyto počítače jsou distribuovány smluvním odběratelům v Brně,
Praze, Ostravě a Liberci. Podle smluv dodá Multicomp jednotlivým odběratelům
postupně 180, 250, 160 a 110 ks počítačů. Distribuční náklady mezi středisky a
odběrateli byly vykalkulovány na 1 ks počítače ve výši, která je zřejmá z tabulky 2 –
údaj v pravém horním rohu každého pole (uvedené hodnoty jsou ve stovkách Kč).
Brno
Praha
Ostrava
Liberec
Plzeň
11
4
17
9
Pardubice
6
7
10
8
Olomouc
3
9
5
12
Kapacity
Požadavky
Tab. 2 – Dopravní problém – formulace ekonomického modelu.
Formulace matematický modelu našeho vyrovnaného dopravního problému
následnovně:
minimalizovat
z = 11x11 + 4x12 + 17x13 + 9x14 + 6x21 + 7x22 + 10x23 + 8x24 + 3x31 + 9x32 + 5x33 +
12x34
za podmínek
x11 + x12 + x13 + x14 = 330
Je-li počet kladných základních proměnných nižší než m+n-1, jedná se o
degenerované základní řešení.
x21 + x22 + x23 + x24 = 150
x31 + x32 + x33 + x34 = 220
x11
+ x21 + x31 = 180
x12
+ x22 + x32 = 250
47
x13
+ x23 + x33 = 160
x14
+ x24 + x34 = 110
xij ≥ 0, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4.
Řešení dopravního problému
Dopravní problém je možné řešit standardní simplexovou metodou. Metoda má tyto
kroky:
výpočet výchozího základního řešení
test optimality (v případě, že je řešení už optimální, ukončení výpočtu)
výpočet nového základního řešení s lepší (nižší) hodnotou účelové funkce – tento krok
zahrnuje podobně jako u simplexové metody:
volbu vstupující proměnné,
volbu vystupující proměnné,
přepočet tabulky, ve které je výpočet realizován.
1. Výpočet výchozího základního řešení
Při výpočtu základního řešení se zde vlastně jedná pouze o to, doplnit do tabulky 1
hodnoty proměnných tak, aby jejich řádkové součty byly rovny kapacitám a
sloupcové součty byly rovny požadavkům, a aby počet nenulových proměnných nebyl
vyšší než m+n-1. Pro výpočet je možno použít tří metod: metoda severozápadního
rohu, indexní metoda (metoda maticového minima) a metoda VAM.
Metoda severozápadního rohu
Příklad:
Tato metoda umístí v prvním kroku přepravu do pole s proměnnou x11, které je
v tabulce vlevo nahoře tedy na „severozápadě“. V našem případě představuje toto
pole přepravu mezi Brnem a Plzní, která bude ve výši 180 ks a tím je požadavek Brna
plně uspokojen a je třeba zredukovat kapacitu Plzně z původních 330 ks na 330 – 180
= 150 ks. Dále pokračujeme stejným způsobem.
Brno
Praha
Ostrava
Liberec
Plzeň
11
4
17
9
Pardubice
6
7
10
8
Olomouc
3
9
5
12
48
Kapacity
Požadavky
Tab. 3 – Dopravní problém – metoda severozápadního rohu.
Základní proměnná
Objem
Jednotkové
Podíl na
x11 (Plzeň – Brno)
180
1 100
198 000
x12 (Plzeň – Ostrava)
150
400
60 000
x21 (Pardubice – Praha)
100
700
70 000
x22 (Pardubice – Ostrava)
50
1 000
50 000
x33 (Olomouc – Ostrava)
110
500
55 000
x34 (Olomouc – Liberec)
110
1 200
132 000
Náklady celkem
xxx
xxx
565 000
Tab. 4 – Výpočet hodnoty účelové funkce.
Z tabulky 4 je vidět, že celkové náklady přepravy pro řešení získané metodou
severozápadního roku jsou 565 000 Kč.
Pozn.: Tato metoda poskytuje v typickém případě velmi špatné řešení, nebere totiž při
obsazování přepravy v úvahu vůbec náklady přepravy. Proto se tato metoda
nedoporučuje používat.
Indexní metoda (metoda maticového minima)
Příklad:
Tato metoda jako první umístí přepravu do pole s minimálními jednotkovými
přepravními náklady, v našem případě jde o pole Olomouc-Brno. Umisťujeme stejně
jako v předešlé metodě.
Brno
Plzeň
Praha
Ostrava
4
17
Pardubice
10
49
Liberec
8
Kapacity
Olomouc
3
5
Požadavky
Tab. 4.8 – Dopravní problém – indexní metoda
Hodnota účelové funkce tohoto řešení je 438 000 Kč, což je lepší výsledek než
v předchozí metodě.
Základní proměnná
Objem
Jednotkové
Podíl na
(přeprava odkud – kam)
přepravy
náklady
celk. náklady
x11 (Plzeň – Praha)
250
400
100000
x12 (Plzeň – Ostrava)
80
1700
136000
x21 (Pardubice – Ostrava)
40
1000
40000
x22 (Pardubice – Liberec)
110
800
88000
x33 (Olomouc – Brno)
180
300
54000
x34 (Olomouc – Ostrava)
40
500
20000
Náklady celkem
xxx
Xxx
438000
Indexní metoda poskytuje v typickém případě lepší řešení než metoda
severozápadního rohu. Tuto skutečnost však nelze brát jako pravidlo. Negativním
rysem indexní metody je, že sice zpočátku obsazuje přepravu do nejvýhodnějších polí,
ale může se snadno stát, ze nakonec je třeba obsadit pole s nejméně výhodnými
cenovými koeficienty.
Metoda VAM (Vogelova aproximační metoda)
Příklad:
Výpočet metodou VAM budeme ilustrovat na stejném příkladu. Tabulka 6 obsahuje 5
kroků výpočtu optimálního řešení. Tato metoda vychází z toho, že se pro každý řádek
a sloupec dopravního problému vypočítají tzv. DIFERENCE, což je rozdíl mezi
nejmenšími cenovými koeficienty v daném řádku či sloupci.. Vybere se pole, které má
nejnižší cenový koeficient v řádku nebo sloupci s maximální diferencí. Může nastat
situace, kdy existuje více řádků a sloupců se stejnou maximální diferencí. Pak
vybereme pole, které má nejnižší sazbu z těch polí, které leží v řádcích a sloupcích
50
s těmito maximálními diferencemi.Po obsazení pole dojde k vyloučení řádku a
sloupce. Přepočítáme diference a postup zopakujeme.
1 krok
Brno
Plzeň
Praha
Ostrava
4
17
Pardubice
Olomouc
10
3
Liberec
Kapacity
Diference
Kapacity
Diference
Kapacity
Diference
Kapacity
Diference
8
5
Požadavky
Diference
2 krok
Brno
Plzeň
Praha
Ostrava
4
17
Pardubice
Olomouc
10
3
Liberec
8
5
Požadavky
Diference
3 krok
Brno
Plzeň
Praha
Ostrava
4
17
Pardubice
Olomouc
10
3
Liberec
8
5
Požadavky
Diference
4 krok
Brno
Praha
Ostrava
Liberec
Plzeň
11
4
17
9
51
Pardubice
6
7
10
8
Olomouc
3
9
5
12
5 krok
Brno
Praha
Ostrava
Liberec
Plzeň
11
4
17
9
Pardubice
6
7
10
8
Olomouc
3
9
5
12
Požadavky
Diference
Kapacity
Diference
Požadavky
Diference
Tab. 6 – Dopravní problém – metoda VAM (1. – 5. krok).
Hodnota účelové funkce tohoto řešení je 366000 Kč a je tedy výrazně lepší než řešení
získané předchozími metodami.
Základní proměnná
Objem
Jednotkové
Podíl na
(přeprava odkud – kam)
přepravy
náklady
celk. náklady
x11 (Plzeň – Praha)
250
400
100000
x12 (Plzeň – Liberec)
80
900
72000
x21 (Pardubice – Brno)
120
600
72000
x22 (Pardubice – Liberec)
30
800
24000
x33 (Olomouc – Brno)
60
300
18000
x34 (Olomouc – Ostrava)
160
500
80000
Náklady celkem
xxx
xxx
366000
Metoda VAM poskytuje v typickém případě nejlepší řešení.
Test optimality
52
Po nalezení výchozího základního řešení je třeba provést test optimality, který spočívá
ve výpočtu redukovaných cenových koeficientů zij
zij = ui + vj – cij, i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n.
Pro každou základní proměnnou xij, která je v typickém případě kladná, platí podle
této věty zij = ui + vj – cij = 0, tedy ui + vj = cij. Aby řešení, jehož optimalitu
testujeme, bylo řešením optimálním, musí platit pro všechny nezákladní proměnné, že
jsou jejich redukované ceny nekladné. Dostáváme tedy dvě podmínky optimality:
Výpočetní realizace testu optimality:
Pro každé obsazené pole sestavíme rovnici ui + vj = cij. Dostáváme tedy soustavu
m+n-1 rovnic pro m+n neznámých. Tato soustava má jeden stupeň volnosti a proto
libovolně jednu z neznámých položíme rovnu nule a ostatní dopočítáme.
Duální proměnné vypočtené v prvním kroku použijeme pro ověření druhé podmínky
optimality, která udává, že redukované ceny zij pro nezákladní proměnné musí být
nekladné. Pokud tomu tak je, je testované základní řešení řešením optimálním.
Příklad:
Test optimality ukážeme na výchozím základním řešení našeho příkladu, tabulka 5.
Základní proměnné s jejich hodnotou a jim odpovídající rovnice ui + vj = cij uvádíme
Test optimality
1.
pro základní proměnné (typicky xij > 0) musí platit
zij = ui + vj – cij = 0,
2 přehledu:
v následujícím
ákl d í
ě
é(
x12 = 250
⇒
u1 + v2 = 4
x12 = 80
⇒
u1 + v3 = 17 ,
x12 = 40
⇒
u2 + v3 = 10 ,
x12 = 110
⇒
u2 + v4 = 8
,
x12 = 180
⇒
u3 + v1 = 3
,
x12 = 40
⇒
u3 + v3 = 5
.
0)
í l tit
,
Položíme-li například neznámou v3 = 0, potom pro ostatní duální proměnné
dostáváme již snadno – u1 = 17, u2 = 10, u3 = 5, v1 = -2, v2 = - 13 a v4 = -2. Pro
nezákladní proměnné vypočteme redukované ceny:
x11 = 0 ⇒
z11 = u1 + v1 – c11 = 17 – 2 – 11 = 4
53
,
x14 = 0 ⇒
z14 = u1 + v4 – c14 = 17 – 2 – 9 = 6
,
x21 = 0 ⇒
z21 = u2 + v1 – c21 = 10 – 2 – 6 = 2
,
x22 = 0 ⇒
z22 = u2 + v2 – c22 = 10 – 13 – 7 = -10 ,
x32 = 0 ⇒
z32 = u3 + v2 – c32 = 5 – 13 – 9 = -17
,
x34 = 0 ⇒
z34 = u3 + v4 – c34 = 5 – 2 – 12 = -9
.
Z uvedeného přitom plyne, že testované řešení není optimální, protože je zde test
optimality porušen u proměnných x11, x14 a x21, u kterých jsou redukované ceny
kladné.
3. Výpočet nového základního řešení
Volba vstupující proměnné
Provádí se stejně jako u simplexovy metody. Zvolí se ta proměnná, která nejvíce
porušuje test optimality. Volí se tedy podle maximálního kladného redukovaného
cenového koeficientu.
Zrs = max (zij )
zij > 0
Pokud toto určení není jednoznačné, zvolí se vstupující proměnná libovolně
z proměnných, které přicházejí v úvahu. Vstupující proměnná určuje klíčové pole.
V našem případě je vstupující proměnná x14 , protože redukovaná cena u této
proměnné je 6, a porušuje tak nejvíce test optimality.
Volba vystupující proměnné
Je třeba nejdříve zkonstruovat tzv. uzavřený kruh. Je to posloupnost obsazených polí,
která začíná a současně končí v klíčovém poli. Tento kruh je určen jednoznačně. Po
určení uzavřeného kruhu označíme jeho prvky střídavě symbolem +t a –t. V klíčovém
poli je přitom symbol +t. Vystupující proměnná je určená minimální hodnotou xij ,
které jsou označeny symbolem –t. Pokud je polí s touto minimální hodnotou více,
zvolí se vstupující proměnná libovolně z nich. Hodnota t určuje současně hodnotu
nově vstupující proměnné. V našem případě vychází jako vystupující proměnná x13 a
hodnota t =80.
Přepočet tabulky dopravního problému
K polím označeným +t se jednoduše hodnota t přičte a naopak od polí označených –t
se odečte. Ostatní pole zůstanou beze změny. V každém kroku výpočtu musí zůstat
zachován počet základních proměnných m+n-1. Změnu hodnoty účelové funkce pro
vstupující proměnnou xrs lze vypočítat podle vztahu ∆z(xrs) = -t* Zrs . V našem případě
dostáváme ∆z(x14 ) = -80*6 = -480 – hodnota účelové funkce se sníží o 48000 Kč.
54
V našem případě je vstupující proměnou tedy x14 . Klíčové pole a prvky uzavřeného
kruhu jsou v tabulce zvýrazněny. Vystupující proměnná je zřejmě x13 –hodnota t =
min (80,110) = 80. Hodnota účelové funkce se v prvním kroku snížila z hodnoty
438000 Kč o 48000 Kč a její nová hodnota je 390000 Kč.
V novém řešení opět realizujeme test optimality. V našem případě je porušen pouze u
proměnné x21 , jejíž cenový koeficient je roven 2 (má být záporný). Je to teda nová
vstupující proměnná. Vystupující proměnnou je x23 – hodnota t = min(120,180) = 120.
Změna hodnoty účelové funkce nového řešení je rovna
∆z(x21 )= -120*2 = -240 – nová výše nákladů je tedy 390000 – 24000 = 366000 Kč.
Přepočteme-li znovu tabulku dosáhneme již optimálního řešení, protože všechny
nezákladní proměnné již budou záporné. Všimněte si, že se jedná o řešení, které je
shodné s výchozím základním řešením vypočteným metodou VAM.
Brno
Praha
Ostrava
Liberec
Plzeň
4
4
17
6
Pardubice
2
-10
10
8
Olomouc
3
-17
5
-9
Brno
Praha
Ostrava
Liberec
-2
11
4
-6
17
9
Kapacity
ui
Kapacity
ui
Požadavky
vj
Plzeň
Pardubice
250
-4
7
2
6
Olomouc
3
10
120
5
-11
9
180
40 +
80
8
330
30
-9
12
150
1
220
6
Požadavky
180
250
160
110
9
4
11
9
vj
55
700
0
Brno
Plzeň
-4
11
Pardubice
6
Olomouc
3
60
Praha
4
250
-4
7
-9
9
Ostrava
-8
17
-2
10
5
160
Liberec
9
Kapacity
330
ui
0
8
30
-7
12
150
1
220
4
700
Požadavky
180
250
160
110
7
4
9
9
vj
Vyrovnaný dopravní problém má vždy optimální řešení.
Optimální řešení může být přitom buď jediné nebo alternativní. Jediné řešení má
dopravní problém v případě, že jsou všechny redukované cenové koeficienty u
nezákladních proměnných záporné. Pokud je alespoň jeden z těchto koeficientů roven
nule má dopravní problém alternativní řešení.
56