PROBLÉM SINOVÉ VĚTY SINOVÁ VĚTA: Nechť ABC je libovolný

Komentáře

Transkript

PROBLÉM SINOVÉ VĚTY SINOVÁ VĚTA: Nechť ABC je libovolný
PROBLÉM SINOVÉ VĚTY
SINOVÁ VĚTA:
Nechť ABC je libovolný trojúhelník, jehož vnitřní úhly mají velikost α, β, γ, a jejich protější
strany délky a, b, c. Pak platí:
a
b
c


sin  sin  sin 
KOSINOVÁ VĚTA:
Nechť ABC je libovolný trojúhelník, jehož vnitřní úhly mají velikost α, β, γ, a jejich protější
strany délky a, b, c. Pak platí:
c 2  a 2  b 2  2ab cos 
a 2  b 2  c 2  2bc cos 
b 2  a 2  c 2  2ac cos 
Většina žáků třetích ročníků dává při řešení obecného trojúhelníku, pakliže mají na výběr,
přednost sinové větě před větou kosinovou. Připadá jim elegantnější a lépe se z ní vyjadřují
úhly. My si teď ukážeme, že není všechno zlato, co se třpytí (čímž ovšem nechci nikterak
zpochybňovat samotnou teorii!!).
Pozn. Pro pochopení následujícího textu je nutná znalost průběhu funkcí sinus a kosinus a dále
znalost řešení základních goniometrických rovnic ve tvaru f(x) = c, kde f je funkce sinus resp. kosinus,
c je reálná konstanta.
Příklad: Dopočítej úhly α, β v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 28 cm, b = 20 cm, γ = 40°.
Řešení užitím sinové věty:
Trojúhelník je zadán jednoznačně (věta sus), takže existuje jediné řešení. V první fázi si
nelze mezi výše uvedenými větami vybírat, jediné, co mohu vypočítat, je strana c (užitím
kosinové věty). To žákům obvykle nedělá problém, protože nemusejí nic ze vzorce pracně
vyjadřovat.
c 2  a 2  b 2  2ab cos 
c 2  28 2  20 2  2  28  20  cos 40
c 2  326,03
c  18,06 cm
Přesnou hodnotu uložím do paměti kalkulačky pod A (STO A). Později
tuto hodnotu vyvolám příkazem RCL A.
To by bylo. Zbývá dopočítat chybějící úhly. Tady už si lze vybrat, kterou větu použít. Použiju
tedy sinovou větu a pokusím se vypočítat úhel α.
a
c

sin  sin 
sin  sin 

a
c
Zlomky otočím. Velice elegantní krok!
sin  
a sin  28  sin 40

= 0,996773761
c
RCLA
Funkce sinus je kladná v I. a II. kvadrantu, dostanu tedy dvě potenciální „alfy“.
I.
α1 = 85°23´46,84´´
II.
α2 = 180° – 85°23´46,84´´ = 94°36´13,16´´
Který úhel α je ten správný? Oba určitě ne, úloha má, jak už bylo řečeno, jen jedno řešení.
Strana a je větší než strana c a oba úhly α1, α2 jsou větší než úhel γ, takže zatím nedokážu
rozhodnout (na rozdíl od většiny žáků, kteří ihned „skočí“ po hodnotě z I. kvadrantu a mají
vystaráno). Dopočítám tedy úhly β1 a β2.
β1 = 180° – γ – α1 = 54°36´13,16´´
β2 = 180° – γ – α2 = 45°23´46,84´´
Takže znova: Které řešení je správné? Seřadím strany a úhly podle velikosti.
Platí: a > b > c
Přitom α1 > β1 > γ a stejně tak α2 > β2 > γ.
A jsem v rejži! Je trojúhelník ABC ostroúhlý nebo tupoúhlý? Bohužel, bez alespoň přibližné
konstrukce daného trojúhelníku nedokážu rozhodnout. Smůla. Zkusím to tedy jinak.
Strana c  18,06 cm, o tom nemůže být pochyb. Vykašlu se na „alfu“ a zkusím nejdřív
dopočítat „betu“. Znovu užitím sinové věty.
sin  sin 

b
c
sin  
b sin  20  sin 40

= 0,711981257
c
RCLA
Funkce sinus je kladná v I. a II. kvadrantu, dostávám tedy dvě potenciální „bety“. A rovnou
k nim dopočítám i obě „alfy“.
I.
β1 = 45°23´46,84´´
α1 = 180° – γ – β1 = 94°36´13,16´´
II.
β2 = 180° – 45°23´46,84´´ = 134°36´13,16´´
α2 = 180° – γ – β2 = 5°23´46,84´´
Tady je to jasné: α2 < β2, což je v přímém rozporu s nerovností a > b, která platí pro daný
trojúhelník. Platí tedy hodnoty pod I.
α = 94°36´
β = 45°24´
Právě jsme si, myslím, docela názorně ukázali, že použití sinové věty k určení úhlů
v trojúhelníku může být docela záludné. Nyní vyřešíme celý příklad znovu užitím pouze věty
kosinové.
Příklad: Dopočítej úhly α, β v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 28 cm, b = 20 cm, γ = 40°.
Řešení užitím kosinové věty:
Stranu c vypočítám stejným způsobem, c  18,06 cm (přesná hodnota = RCL A). Nyní
dopočítám úhel α užitím kosinové věty.
a 2  b 2  c 2  2bc cos
2bc cos  b 2  c 2  a 2
cos 
b2  c2  a2
2bc
Funkce kosinus má oproti sinu jednu velkou výhodu: v I. a II.
kvadrantu se liší znaménkem!
cos 
20 2  RCLA 2  28 2
= –0,080262503
2  20  RCLA
V této fázi výpočtu již vím, že úhel α je
tupý! Tedy žádné dvě řešení!
α = 94°36´
β = 180° – γ – α = 45°24´
Hotovo.

Podobné dokumenty

1.CHEMICKÉ VZORCE Průvodce studiem.

1.CHEMICKÉ VZORCE Průvodce studiem. Víme tedy, že ze známého empirického nebo molekulového vzorce sloučeniny lze stanovit poměr hmotností prvků ve sloučenině, její složení v hmotnostních zlomcích či procentech. Pro určení vzorce slou...

Více

páka a kladka

páka a kladka základě tzv. momentu síly. Platí, že velikosti síly a délky ramene jsou nepřímo úměrné. Tedy matematicky: M=F.a

Více

PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRIMA

PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRIMA sestrojí v pravoúhlé soustavě souřadnic graf přímé a nepřímé

Více

Metodika - ITV ČAS

Metodika - ITV ČAS Literární výchova – Výroky slavných o čase. List s výroky slavných osobností (autoři nejsou uváděni), je třeba pouze vytisknout a rozstříhat. Úkolem je najít správné dvojice, zkompletovat výrok a v...

Více

pdf soubor

pdf soubor míče v okamžiku když vlétá do okna? Odpor vzduchu zanedbáme. [řešení: Míč musí být vykopnut rychlostí 14.6 m/s, poloměr křivosti je 2.5 m. ] 3. (a) Člověk stojící na pohyblivém chodníku jedoucím ry...

Více

Stáhnout pdf

Stáhnout pdf Česká spořitelna varuje před novým virem, který dokáže obejít zabezpečení transakcí prostřednictvím SMS zpráv. Aplikace po přihlášení do elektronického bankovnictví nabízí uživateli instalaci bezpe...

Více

4.2.16 Kirchhoffovy zákony

4.2.16 Kirchhoffovy zákony ⇒ tři rovnice, ale třetí je pouze součtem předchozích dvou ⇒ prakticky jsou pouze dvě (jak jsme potřebovali) Obecný postup: ● Vyznačím si směry proudů. ● Zvolím uzle a zapíšu pro ně 1. Kirchhoffův ...

Více

kategorie B zadání - Zeměpisná olympiáda

kategorie B zadání - Zeměpisná olympiáda Pokud tvrzení není pravdivé, která/é sjezdovka/y tuto charakteristiku nesplňuje/í: Všechny sjezdovky mají cíl v údolí

Více