IDEAL BULK MATERIAL IDEÁLNÍ SYPKÁ HMOTA

The International Journal of
TRANSPORT & LOGISTICS
Medzinarodny časopis
DOPRAVA A LOGISTIKA
UDC:622.647
IDEAL BULK MATERIAL
IDEÁLNÍ SYPKÁ HMOTA
Jiří ZEGZULKA, Roman HRADIL
VSB -Technical University Ostrava
Czech Republic
Abstract: In technical practice, in applications concerning bulk solids, all skills are concentrated
on optimising the structure from the viewpoint of geometric shapes, angles of wall inclinations
and a choice of ideal contact materials. Particularly, not last it is the measurement of angle of
internal friction and angle of external friction, these values are determined depending on
pressure, time, humidity, temperature and many other physical effects. This procedure is very
demanding both from the viewpoint of finances and time. Other disciplines dealing with liquids
and solid substances, e.g. the hydraulics and theory of elasticity and strength are based on
definition of ideal material and the theory is compared with results from experiments with ideal
material. In the field of granular (particulate) solids this procedure is not applied and it is not
described in detail even in available literature.
The paper specifies an ideal granular material from the viewpoint of mechanical-physical
properties to apply this mathematical and also physical model of material to examine the
technical application in the field of processing engineering, conveyance and preparation plants in
all industrial sectors. The model application will allow to find out hidden structural errors in
designing the equipment operating with bulk solids. Thus it is possible to save the sufficient
finances because according to literature up to 40% of so far produced devices do not operate in
this field.
Resume: V technické praxi je všechen um soustředěn na optimalizaci konstrukce z hlediska
geometrických tvarů, úhlů sklonu stěn, volby ideálních kontaktních materiálů. V neposlední řadě
je to proměřování úhlu vnitřního tření a úhlu vnějšího tření, tyto hodnoty se hledají v závislosti na
tlaku, čase, vlhkosti, teplotě a řadě dalších fyzikálních vlivů. Tento postup je časově i finančně
velmi náročný. Ostatní obory zabývající se tekutinou a pevnou hmotou, např.hydraulika a nauka
o pružnosti a pevnosti vychází z definice ideálního materiálu a teorii srovnávají s výsledky
experimentu s ideálním materiálem. V oblasti granulárních (partikulárních, sypkých) hmot tento
postup není aplikován a ani v dostupné literatuře blíže specifikován.
V příspěvku je specifikována ideální granulární hmota z hlediska mechanicko-fyzikálních
vlastností tak, aby bylo možno tento matematický a taktéž fyzikální model hmoty aplikovat na
kontrolu technických aplikací v oblasti procesního inženýrství, dopravy a úpravnictví ve všech
odvětvích průmyslu. Aplikace modelu umožní odhalení skrytých konstrukčních chyb při návrhu
zařízení pracujících se sypkými hmotami. Je možné tak ušetřit značné prostředky, neboť podle
literárních pramenů nepracuje v těchto oblastech až 40% všech dosud vyrobených zařízení.
11
T&L - 02/02
J. Zegzulka, R. Hradil, IDEAL BULK MATERIJAL…
1. INTRODUCTION
1. ÚVOD
In bibliography one may find various interpretation
for the definition of bulk material and the mass model
in general. There does not exist an uniform
interpretation of construction and definition of model
properties, the individual applied science disciplines
on their application models highlight properties
known from the field of their own interest. So,
somewhere an attention is paid purposefully to humid
cohesive materials, elsewhere to materials with nonspherical grain, and in other fields to inhomogeneous
mixtures of particles with various properties.
Seemingly, the easier situation is in the field of
materials with angles of internal friction approaching
to zero (perfect liquids) and materials with angles of
internal friction approaching to 90°.
V literatuře je možné najít různé interpretace
pojmu model sypké hmoty a obecně model hmoty.
Neexistuje jednotná interpretace stavby a definice
vlastností modelu, jednotlivé aplikační vědní
obory na svých aplikačních modelech zvýrazňují
vlastnosti známé z oblasti svých vlastních zájmů.
Tak je někde pozornost zaměřena účelově na vlhké
kohézní hmoty, jinde na hmoty s nekulovitými
zrny, jinde na nehomogenní směsi částic různých
vlastností. Zdánlivě jednodušší situace je v oblasti
hmot s úhly vnitřního tření blížícími se nule
(dokonale tekutiny) a hmot s úhlem vnitřního tření
blížící se 90°.
V oblasti sypkých hmot je historie spojená
s hledáním modelů v obou okrajových oblastech,
v oblasti hmot s úhlem vnitřního tření blížící se
nule. Jedná se například o model dokonalé tekuté
hmoty vyjádřené matematickým modelem –
potenciální proudění [10]. Aplikovatelnost tohoto
modelu v praxi je popsána v [9], je velmi omezená
na granulární hmoty s velmi nízkým úhlem
vnitřního tření. Druhou okrajovou možností je
aplikace modelu s úhlem vnitřního tření blížícím
se 90° a pak jsou aplikovatelné s velkou
úspěšností modely známé z nauky o pružnosti a
pevnosti vyjadřující stav napjatosti [5,6]. Od
samého počátku zájmu o výzkum granulárních
hmot jsou známy i pokusy o popsání skutečné
struktury
granulární
hmoty
v její bohaté
proměnnosti [8]. V [11] vytvořil Kvapil představu
fyzikálního modelu granulární hmoty tvořené
jemnozrným drceným mramorem, který splňoval
řadu očekávání vyplývajících z teorie, především
pro suché sypké jemnozrné hmoty. V [5] popisuje
podrobně a srozumitelně Schwedes modelové
vlastnosti granulárních hmot pomocí tokových
funkcí podle Jenikeho, což má patrně prozatím ze
známých teorií nejhlubší popisnou informační
hodnotu pro jednotlivé průmyslové aplikace.
In the field of bulk solids the history is associated with
investigating models in both boundary areas, in the
field of solids with angle of internal friction
approaching to zero. It is, for example, a model of
perfect liquid material expressed by mathematical
model – potential flowing [10]. The applicability of
this model in practice is described in [9], it is very
limited to granular materials with a very low angle of
internal friction. The other boundary possibility is the
application of model with angle of internal friction
approaching to 90° and then there are successfully
applied models known from the theory of elasticity
expressing the state of stress [5,6]. Since the early
beginnings of interest into research of granular
materials there have been known also attempts to
describe real structures of granular materials in its rich
diversity [8]. In [11] Kvapil presented an idea of
physical model of granular material consisting of fine
grain crushed marble which met many expectations
resulting from the theory, primarily for very fine grain
size materials. In [5] Schwedes describes
understandable model properties of granular materials
by means of flow functions according to Jennike
which has apparently the most thorough descriptive
information value so far from the known theories for
individual industrial applications.
V [6] jsou popsány obecné nároky na model sypké
hmoty jako jsou časová determinovanost,
kausalita,
objektivita,
nezávislost
na
souřadnicovém systému, nezávislost fyzikálních
proměnných, přípustnost platnosti z hlediska
základních zákonů fyziky atd.
In [6] there are described general demands for a model
of particulate materials, such as time determination,
causality, objectivity, independence on the coordinate
system, independence of physical variables,
permissible validity from the viewpoint of general
laws of physics, etc.
Nicméně definice ideální sypké hmoty s jejím
matematickým popisem a fyzikální realizací
v dostupné literatuře popsán není. Takový model
by umožňoval jednoduchou vstupní kontrolu
navrženého inženýrského díla. Pokud by dílo
nepracovalo plně s aplikací této modelové sypké
hmoty nemohlo by uspokojivě pracovat ani se
skutečnou sypkou hmotou.
However, the definition of ideal bulk material with its
mathematical description and physical realisation is
not described in available literature. Such a model
would permit a simple initial examination of the
designed engineering work. Should the work fail to
work fully with the application of this model
12
T&L - 02/02
J. Zegzulka, R. Hradil, IDEAL BULK MATERIJAL…
Projevy všech známých i dosud neznámých
zákonitostí toku se budou projevovat s touto
hmotou ideálně a vyváženě. Stavba vědy o
pohybu granulárních hmot by se tak přiblížila
standardům známým z okrajových oblasti stavby
hmot, tekutinám (vnitřní tření se blíží 0°) a
pevných hmotám (vnitřní tření se blíží 90°).
particulate material, it would be incapable to work
satisfactorily with the real particulate material.
Demonstrations of all known and so far unknown laws of
flow would appear ideal and balanced with this material.
Then the construction of science of movement of
granular materials would approach standards known
from boundary fields of the construction of materials,
liquids (the internal friction is close to 0°) and solid
materials (the internal friction is close to 90°).
Specifikací dílčích ztrátových prací v rámci
modelu ideální sypké hmoty se dají specifikovat
jednotlivé ztrátové práce vztahující se na
příslušnou sypkou hmotu a tím zvýraznit vliv
dílčích ztrátových prací na charakter toku
granulárních hmot. Specifikace dílčích ztrátových
prací je podrobně popsána Tomasem v [12].
By specification of partial lost works within the model of
ideal bulk material one may specify individual lost works
relating to the relevant bulk material, thereby
highlighting the effect of partial lost works on a character
of flow of granular substances. The specification of
partial lost works has been described in detail by Tomas
in [12].
V dalším je navržen matematický model ideální
sypké hmoty a její fyzikální realizace.
A mathematical model of ideal bulk material and its
physical realisation is suggested below.
2. IDEÁLNÍ SYPKÁ HMOTA – DEFINICE
2. IDEAL BULK MATERIAL - DEFINITION
Práce na modelu vycházela z předpokladu, že
existuje sypká hmota s ideálními vlastnostmi pro
kterou se uplatňují všechny triviální mechanismy
toku postupně. Může být brána jako hmota
s výchozími mechanicko-fyzikálními parametry
pro které musí navržené inženýreské dílo
pracovat, protože pro každou jinou sypkou hmotu
bude mít zařízení pro práci horší výchozí
podmínky. Kontrola funkčnosti díla aplikací
fyzikálního modelu ideální sypké hmoty ukáže
pak jednoznačně na slabá místa projektu.
The work on model was based on assumptions that there
exists a bulk material with ideal properties for which all
trivial mechanisms of flows are incrementally applied. It
may be taken as the mass with initial mechanicalphysical parameters for which the designed engineering
work must work, because for any other bulk material the
equipment will have the worse initial conditions for
work. Then the examination of functionality of the work
by application of physical model of ideal bulk material
will show unambiguously any weak points of the project.
Model ideální sypké hmoty navržené v tomto
příspěvku vychází ze skutečnosti, že hmoty se při
pohybu v podstatě vzájemně liší mírou vnitřní
ztrátové práce potřebné pro přemísťování částic
uvnitř hmoty. Jako míra vnitřní ztrátové práce se
bere jednak hodnota koeficientu úhlu vnitřního
tření, dále pak hodnota koeficientu určujícího
úměru mezi dvěma hlavními směry napětí, to je
koeficientu sypnosti.
A model of ideal bulk material suggested in this paper is
based on the fact that in principle the substances in
movement differ from each other by a rate of internal lost
work needed for dislocation of particles inside the
material. The value of coefficient of angle internal
friction is assumed as a rate of internal lost work and
further the value of coefficient determining the
proportion between principal orientation of stress, i.e. the
coefficient of repose.
Součin těchto dvou základních veličin, ať už
jejich definice vychází z jakékoli teorie je
invariantní vůči ostatním veličinám pro konkrétní
granulární hmotu a mechanismus toku.
The product of these two general quantities, regardless
on theory on which its definition is based, is invariant
against other quantities for the particular granular
materials and flow mechanism.
DEFINITION OF IDEAL BULK MATERIAL
DEFINICE IDEÁLNÍ SYPKÉ HMOTY :
Definition
Definice :
An ideal bulk material is bulk solid with a constant
angle of internal friction in rest with complete volume
of granular substance.
Ideální sypkou hmotou je sypká hmota
s konstantním úhlem vnitřního tření za klidu
v celém objemu granulární látky.
13
T&L - 02/02
J. Zegzulka, R. Hradil, IDEAL BULK MATERIJAL…
Úhel vnitřního tření je pro ideální sypkou hmotu
invariantní oproti všem vnějším i vnitřním vlivům
a zachovává si svou konstantní hodnotu bez
ohledu na další fyzikální a chemické veličiny,
především výšku sloupce materiálu, tlaku a času,
povrchové aktivitě částic. Důsledkem pak je také,
že úhel svahu je pro ideální sypkou hmotu zároveň
úhlem vnitřního tření a je také konstantní.
The angle of internal friction is invariant for ideal bulk
material against all external and internal effects and it
keeps its constant value regardless to other physical
and chemical quantities, primarily the height of
material column, pressure and time, surface activities
of particle. Then it also results that the angle of
inclination for ideal bulk material is simultaneously
the angle of internal friction and it is constant as well
as.
3. MATHEMATICAL ANALYSIS OF PROBLEM
3. MATEMATICKÁ ANALÝZA
PROBLEMATIKY
From equations for calculation of internal lost work
for determination of size of flow profiles [1,2,3,4] and
also from the equations by Janssen [14] it is shown
that a rate of internal lost work is given by the product
of coefficient of angle of internal friction and
coefficient of repose. The mathematical analysis of
problem is presented below and it is searched a
physical interpretation and physical realisation of a
model of ideal bulk material.
V rovnicích pro výpočet vnitřní ztrátové práce pro
určení velikosti tokových profilů v [1,2,3,4] i
Jansenově rovnici [14] pro průběh horizontálního
tlaku vychází, že míra vnitřní ztrátové práce je dána
součinem koeficientu úhlu vnitřního tření a
koeficientu sypnosti. V dalším je provedena
matematická analýza problematiky a hledána fyzikální
interpretace a fyzikální realizace modelu ideální sypké
hmoty.
3.1 Analysis of the product k.f
3.1 ANALÝZA SOUČINU K.F
Initial equation:
Výchozí rovnice :
F( φ )
1
1
sin ( φ ) .
sin ( φ )
tan ( φ )
F( φ )
1
1
Calculation of the first derivation of function:
p
d
Derivation 1 ( φ )
F( φ )
dφ
2 . sin ( φ )
Derivation 1 ( φ )
2 . sin ( φ )
2
tan ( φ )
d
F( φ )
sin ( φ )
Po derivaci:
p
Derivation 1 ( φ )
1
cos ( φ )
sin ( φ ) .
dφ
2 . sin ( φ )
Derivation 1 ( φ )
2
2 . sin ( φ )
2
Calculation of extreme of the first derivation :
Výpočet extrému první derivace :
Derivation 1 ( φ ) 0
2 . sin ( φ ) 1
Derivation 1 ( φ ) 0
2 . sin ( φ ) 1
2
2 . sin ( φ )
cos ( φ )
2
0
2
2 . sin ( φ )
cos ( φ )
2
0
Extremes of the first derivation of function :
Extrémy první derivace funkce :
φ extreme 30 . deg
φ extreme 30 . deg
Calculation of the second derivation of function:
Výpočet druhé derivace funkce :
Derivation 2 ( φ )
d
2
dφ2
F( φ )
Derivation 2 ( φ )
14
d
2
dφ2
F( φ )
1
cos ( φ )
2
T&L - 02/02
J. Zegzulka, R. Hradil, IDEAL BULK MATERIJAL…
Derivation 2 ( φ )
2
.
5
12 . sin ( φ )
11 . cos ( φ )
cos ( φ )
Determination of quality of extreme:
Derivation
2 φ extreme
0.77
Derivation
Function course
Průběh funkce
30
0.1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
cos ( φ )
2 φ extreme
4
12
3.2 FYZIKÁLNÍ REALIZACE IDEÁLNÍ SYPKÉ HMOTY A
JEJÍ TECHNICKÁ INTERPRETACE
First derivation
První derivace
0.7
Second derivation
Druhá derivace
0
0.8
30
0.4
1.6
0.1
2.4
0.2
3.2
0.5
0.77
φ := 0 ⋅ deg, 0.1 ⋅ deg ..180 ⋅ deg
1
0.3
2
Find (φ) = 89.748 ⋅ deg > 0 jde o lokální maximum,
3.2. Geometric course of function nd its first
and second derivations
0
5 . sin ( φ ) . cos ( φ )
Určení kvality extrému:
Quality of the extreme is less then 0, this is local
maximum.
0.2
2
4
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
30
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Fig. 1 Graphic representation of the product k.f as function of angle of internal friction and the course of its first
and second derivation
Obr. 1 Grafický průběh součinu k.f jako funkce úhlu vnitřního tření a průběh jeho první a druhé derivace
3.3 Physical realisation of ideal bulk material and
its technical interpretation
3.3 FYZIKÁLNÍ REALIZACE IDEÁLNÍ SYPKÉ HMOTY A
JEJÍ TECHNICKÁ INTERPRETACE.
The objective of measurement is based on
assumptions that the model mass has the angle of
internal friction independent on material column and it
is identical at all places, independent on other
properties, such as the mass structure. The bulk
material consisting of balls complies with such
assumptions. Then the angle of internal friction
depends on geometric parameters of the mass
construction. The arrangement of particles in space
and the mechanism of movement of particle when
changing its position against other particles are
dominant effects pre-determining the mechanism of
flow, thus the energy demands for flow and thus its
rate which is called the angle of internal friction. The
angle of mass inclination consisting of balls is 30°.
Záměr měření vychází z předpokladu, že
modelová hmota má úhel vnitřního tření
nezávislý na sloupci materiálu a je ve všech
místech stejný, nezávislý na jiných vlastnostech,
jako je například stavby hmoty. Těmto
předpokladům vyhovuje sypká hmota tvořená
kuličkami. Úhel vnitřního tření pak závisí na
geometrických parametrech stavby hmoty.
Uspořádání částic v prostoru a mechanismu
pohybu částice při změně její polohy vůči
ostatním částicím jsou dominantní vlivy
předurčující
mechanismus
toku,
tím
energetickou náročnost toku a tím i její míru,
kterou nazýváme úhlem vnitřního tření. Úhel
svahu hmoty tvořené kuličkami je 30°.
4. CONCLUSION
4. ZÁVĚR
The paper describes a proposal of a model of granular
material in a way to comply with descriptive equations
presenting a state of granular material and, in addition,
V příspěvku je předložen návrh modelu granulární
hmoty tak, aby vyhovoval popisným rovnicím
popisujícím stav granulární hmoty mimo jiné pro dvě
15
T&L - 02/02
J. Zegzulka, R. Hradil, IDEAL BULK MATERIJAL…
for two boundary conditions. The first boundary
condition is limitation of model by value of 0° for
ideal liquid and 90° for ideal solid material. The
presented physical model of granular material meets
both conditions.
okrajové podmínky. První okrajovou podmínkou
je omezení modelu hodnotou 0° pro ideální
tekutinu a 90° pro ideální pevnou hmotu. Oběma
podmínkám
předložený
fyzikální
model
granulární hmoty vyhovuje.
Further, model granular material does not change the
angle of internal friction in dependence on pressure by
virtue of which the angle of heap is simultaneously the
angle of internal friction. The experiment has
evidently proved this property of model granular
material.
Dále modelová granulární hmota nemění úhel
vnitřního tření v závislosti na tlaku, důsledkem
čehož je, že úhel hromady je zároveň úhlem
vnitřního tření. Tuto vlastnost modelové
granulární hmoty experiment plně prokázal.
V podstatě se dá tvrdit, že každé zařízení je
potřeba testovat na tuto ideální sypkou hmotu a
pokud se prokáže, že inženýrské dílo je s takovou
hmotou plně funkční, je naděje na funkci
v praktické aplikaci, pokud jsou při návrhu
zařízení
respektovány
vlastnosti
toku
granulárních hmot.
In general, it may be stated that every equipment must
be tested for this ideal bulk material and if it is proved
that the engineering work is fully functional with such
a material, this equipment may operate in practice
provided that in designing the equipment there have
been respected flow properties of granular materials.
Modelová hmota je tvořena částicemi o tvaru
ideálních koulí, je nestlačitelná, bez koheze s
úhlem vnitřního tření 30°, hodnota 30° je zároveň
úhlem hromady této granulární (sypké) hmoty.
The model material consists of particles with shapes
of ideal balls, it cannot be compressed, there is no
cohesion with the angle of internal friction of 30°, the
value of 30° is simultaneously the angle of heap of
this granular (bulk) material.
Model ideální sypké hmoty umožňuje :
The model of ideal bulk material enables to gain :
-
Idea on mass construction (ideal liquid, ideal
solid material)
Estimation of construction against invariant
quantity
It is possible to verify equations describing the
behaviour of bulk materials for stable flex point
Potential prognosis on behaviour of real
substances
Simple physical modelling and revision of
models of technical projects
Additional ideas on construction of granular
materials.
-
představu o stavbě hmoty (ideální tekutina,
ideální pevná hmota)
posouzení konstrukce vůči invariantní
veličině
nabízí možnost verifikace rovnic
popisujících chování sypkých hmot pro
stabilní flexní bod
možnost prognózy chování skutečných látek
jednoduché fyzikální modelování a revize
modelů technických projektů
doplnění představ o stavbě granulárních
hmot
PRÁCE BYLA VYKONÁNA ČÁSTEČNĚ
V RÁMCI
ŘEŠENÍ
GRANTU
LN00B029
„MATERIÁLOVĚ
TECHNOLOGICKÉ
VÝZKUMNÉ
CENTRUM“,
VŠB
–
TU
OSTRAVA. ČÁSTEČNĚ S PODPOROU FIRMY
SM–ENGINEERING
S.R.O.,
ČESKÁ
REPUBLIKA
THE RESULT OF THE PROJECT LN00B029
„MATERIAL TECHNOLOGICAL RESEARCH
CENTRE“, VŠB – TU OSTRAVA WERE SUPPLIED
WITH SUBVENTION BY THE MINISTRY OF
EDUCATION OF CZECH REPUBLIC
Applied designation
P OUŽITÉ OZNAČOVÁNÍ
k – coefficient of repose
φ - angle of internal friction
k - koeficient sypnosti
φ - úhel vnitřního tření
16
T&L - 02/02
J. Zegzulka, R. Hradil, IDEAL BULK MATERIJAL…
REFERENCES / LITERATURA
[1]. Zegzulka J.: VLIV MECHANICKO-FYZIKÁLNÍCH VLASTNOSTÍ SYPKÝCH HMOT NA
KONSTRUKCI DOPRAVNÍCH, ÚPRAVNICKÝCH A SKLADOVACÍCH ZAŘÍZENÍ (THE
EFFECT OF MECHANICAL-PHYSICAL PROPERTIES OF BULK SOLIDS ON DESIGN OF
CONVEYANCE, PREPARATION AND STORAGE EQUIPMENT), Second Doctorate Work,
TU Ostrava, May 1999.
[2] Zegzulka J.: VELOCITY ISOLINES IN A FLOW OF BULK MATERIALS, Chisa 96,
Praha, p.1-19.
[3] Zegzulka J., Polák J.: THE EFFECT OF PRESSURE BEHAVIOUR IN BULK SOLIDS ON
FLOW PROFILES, Partec 98, Nürnberg, p. 286 - 295.
[4] Zegzulka J.: PŘÍSPĚVEK K URČENÍ VLIVU TOKU SYPKÝCH HMOT NA KONSTRUKCI
DOPRAVNÍCH A ÚPRAVNICKÝCH ZAŘÍZENÍ (THE CONTRIBUTION TO DETERMINATION
OF EFFECT OF FLOW OF BULK SOLIDS ON DESIGN OF CONVEYANCE AND
PREPARATION EQUIPMENT), Dissertation work, Ostrava 1992.
[5] Schwedes, J. :LAGERN UND FLIEßEN VON SCHÜTTGÜTERN, Hochschulkurs TU CaroloWilhelmina zu Braunschweig, Braunschweig, April 1992.
[6] Höhl H.W.: BERECHNUNG DES VERFORMUNGSVERHALTENS KOHÄSIVER
SCHÜTTGÜTER MIT DER FINITE-ELEMENTE-METHODE, Fakultät für Maschinenbau und
Elektrotechnik der technischen Universität Carolo-Wilhelmina zu Braunschweig, Dissertation,
1988, p.68-74
[7] Wilms H.: SPANUNGSBERECHNUNG IN SILOS MIT DER
CHARAKTERISTIKENMETHODE, Fakultät für Maschinenbau und Elektrotechnik der
technischen Universität Carolo-Wilhelmina zu Braunschweig, Dissertation, 1983, p.115-117.
[8] Luegers, O.: LEXIKON DER GESAMTEN TECHNIK, Deutsche Verlag-Anstalt Stuttgart,
Leipzig, Berlin, Wien, 1882, Zweiter Band, S.509-543.
[9] Ganiev, L.B.:Dviženie sypučich materialov v trubach i bunkerach, Mašinostrojenie,
Moskva 1968
[10] Noskievič, J.: POTENCIÁLNÍ PROUDĚNÍ (POTENTIAL FLOWING), VŠB Ostrava, 1984,
p.22-25
[11] Kvapil, R. :THEORIE TOKU SYPKÝCH A BALVANITÝCH HMOT V ZÁSOBNÍCÍCH
(THEORY OF FLOW OF BULK AND BOULDER MATERIALS IN BUNKERS), SNTL,
Praha 1955
[12] Tomas J.: MODELLIERUNG DES FLIEßVERHALTENS VON SCHÜTTGÜTERN AUF DER
GRUNDLAGE DER WECHSELWIRKUNGSKRÄFTE ZWISCHEN DEN PARTIKELN UND
ANWENDUNG BEI DER AUSLEGUNG VON BUNKERN, Bergakademie Freiberg , 1991
[13] Janssen, H.A.:VERSUCHE ÜBER GETREIDEDRUCK IN SILOZELLEN, Ing.39, 1885, S.
1045-1049.
17