2. zkouškový test ITP LS 2014 2.6.2014 1) Vypočítejte ∫ (3 sin(3x

2. zkouškový test ITP LS 2014
1) Vypočítejte
Z integrál existuje.
2.6.2014
1
3 sin(3x − 1) + √
− (x + 5)9
5
2x + 6
2) Určete intervaly, na kterých integrál
vypočítejte.
3) Vypočítejte
R∞
4) Vypočítejte
ZZ
3
x2
Z
dx a určete intervaly, na kterých
ex
dx existuje a metodou substituce jej
1 + 3ex
x
dx. Použijte rozklad na pariální zlomky.
+ 2x − 8
(2x + y) dx dy, kde Ω je dolní půlkruh kruhu x2 + (y + 2)2 ≤ 4. Použijte
Ω
transformaci x = r cos ϕ, y = −2 + r sin ϕ, J = r.
5) Metodou variace konstanty nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice y′ +
y
= x.
x
6) Vypočítejte objem tělesa, které vznikne rotací rovinné oblasti Ω, ohraničené osou x,
osou y, grafem f (x) = 1 − sin x a přímkou x = π.
7) Nalezněte řešení diferenční rovnice: yn+2 − 4 yn+1 + 3yn = 0 vyhovující počátečním
podmínkám y0 = 1, y1 = 2.
Testy: Zaškrtněte správnou odpověď.
I) Obraz funkce f (t) = t et v Laplaceově transformaci je
R∞
Rt
R∞
a) (t + p) e−pt dt
b) t et e−pt dt
c) t e(1−p)t dp
0
0
0
II) Jedno z partikulárních řešení diferenciální rovnice
a) x + 1,
b) 5x − 3,
c) 4x − 5,
y ′′
−
d) −x − 1
4y ′
d)
R∞
t et e−pt dt.
0
− 5y = −5x − 9 je yp =
III) Jakobián transformace definované vztahy x = −2 + r cos ϕ, y = 5 + r sin ϕ je
a) 3 + r,
b) r − 6,
c) r,
d) (r − 2)(r + 5).
√
IV) Množina Ω = {[x, y]; y ≥ 3x ∧ x ≥ 0 ∧ 2 ≤ x2 + y 2 ≤ 4} je dána zápisem v polárních
souřadnicích√
π
(Nápověda: 3 = tan )
3
√
√
√
a) r ∈ h 2, 2i,
b) r ∈ h2, 4i,
c) r ∈ h 2, 2i,
d) r ∈ h 2, 2i,
Dπ π E
D πE
Dπ π E
π 2
ϕ
∈
,
,
,
,
,
ϕ
∈
0,
ϕ
∈
, π ,
ϕ∈
3 2
6
3 2
2 3
Z∞
x + 1
1
. Potom f (x)dx
V) Primitivní funkce k funkci f (x) =
je F (x) = ln (x − 1)(x − 2)
x + 2
0
je roven
a) ∞,
b) ln 2,
c) ln 1/2,
d) 0.
2. zkouškový test ITP LS 2014
Výsledky
1) − cos(3x − 1) +
5p
1
5
(2x + 6)4 − (x + 5)10 + C, intervaly: (−∞, −3); (−3, ∞).
8
10
1
ln (1 + 3ex ) + C, intervaly: R
3
3) +∞
16
4) −4π −
3
C
x2
5) y =
+
x
3
3 2
6) π − 4π
2
1
7) yn = (3n + 1)
2
Testy: Správné odpovědi jsou: I d), II a), III c), IV d), V b).
2)
2.6.2014