SA1 skripta - MATEMATIKA online

Transkript

Matematická analýza 1
Přednášejı́cı́: doc. RNDr. Miroslav Kureš, PhD.
Cvičı́cı́: Mgr. Jana Hoderová, PhD.
Vysázel: Jan Nytra
Úvodnı́ informace
Toto je studijnı́ materiál k předmětu Matematická analýza 1. Obsahuje poznámky z přednášek
a také podklady pro cvičenı́. Přı́slušné cvičenı́ je zařazeno vždy za danou teoriı́. K navigaci je
možno použı́t bud’ záložky, nebo obsah skript - všechny položky jsou ”klikacı́”, tzn. odkazujı́
na přı́slušnou kapitolu atd.
Látka předmětu je rozdělena do 3 celků:
1. Úvod
2. Diferenciálnı́ počet funkce 1 proměnné
3. Integrálnı́ počet funkce 1 proměnné.
Pro dalšı́ informace a materiály navštivte matematiku online. Součástı́ tohoto studijnı́ho materiálu jsou i podpůrné materiály vytvořené v prostředı́ Maple, ve kterých je ukázána práce
s tı́mto softwarem. Tyto materiály jsou ke staženı́ také z matematiky online a pro otevřenı́
z tohoto textu je potřeba je umı́stit do stejné složky jako samotný studijnı́ text
Tento studijnı́ materiál vznikl za podpory projektu OP VK reg.č. CZ.1.07/2.4.00/17.0100
A-Math-Net - Sı́t’ pro transfer znalostı́ v aplikované matematice.
Obsah
1 Pilı́ře matematiky - teorie
1.1 Logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Teorie množin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Pilı́ře matematiky - cvičenı́
2.1 Logika, důkazy . . . . . .
2.2 Množiny . . . . . . . . . .
2.3 Relace . . . . . . . . . . .
2.4 Zobrazenı́ část 1 . . . . . .
2.5 Zobrazenı́ část 2 . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
3
10
10
13
15
17
18
3 Přirozená čı́sla
21
4 Celá čı́sla
22
5 Algebraické struktury
5.1 Grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
24
6 Konečná pole
6.1 Prvočı́selná pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Neprvočı́selná pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
26
27
7 Racionálnı́ čı́sla
30
8 Uspořádané pole
32
9 Archimédovská pole
34
10 Reálná čı́sla
10.1 Dedekindovy řezy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 vyjádřenı́ reálných čı́sel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
36
37
11 Mohutnost čı́selných množin (kardinalita)
38
12 Metrické prostory
41
13 Posloupnosti
45
14 Reálné posloupnosti - teorie
47
15 Reálné posloupnosti - cvičenı́
54
16 Funkce reálné proměnné - teorie
16.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Vlastnosti funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
58
59
17 Funkce reálné proměnné - cvičenı́
61
18 Limita funkce - teorie
18.1 Vlastnı́ limita ve vlastnı́m bodě . .
18.2 Limita zprava . . . . . . . . . . . .
18.3 Nevlastnı́ limita ve vlastnı́m bodě .
18.4 Vlastnı́ limita ve nevlastnı́m bodě .
18.5 Nevlastnı́ limita ve nevlastnı́m bodě
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
63
63
63
64
64
65
19 Limita funkce - cvičenı́
66
20 Spojitost funkce - teorie
67
21 Spojitost funkce - cvičenı́
70
22 Elementárnı́ funkce - teorie
22.1 Polynomy . . . . . . . . .
22.2 Racionálnı́ funkce . . . . .
22.3 Mocninné funkce . . . . .
22.4 Exponenciálnı́ funkce . . .
22.5 Logaritmické funkce . . .
22.6 Goniometrické funkce . . .
22.7 Cyklometrické funkce . . .
22.8 Hyperbolické funkce . . .
22.9 Hyperbolometrické funkce
.
.
.
.
.
.
.
.
.
71
73
78
80
81
82
83
89
95
95
23 Elementárnı́ funkce - cvičenı́
23.1 Rozklad na parciálnı́ zlomky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
96
.
.
.
.
.
.
.
.
.
24 Derivace - teorie
24.1 Úvod . . . . . . . . . . . . .
24.2 Základnı́ pravidla derivovánı́
24.3 Přehled základnı́ch vzorců .
24.4 Vyššı́ derivace . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
97
97
100
101
101
25 Derivace - cvičenı́
102
26 Věty o derivaci - teorie
26.1 Rolleova věta . . . . . . . . . . . . . . . . .
26.2 Lagrangeova věta (1. věta o střednı́ hodnotě)
26.3 Cauchyova věta (2. věta o střednı́ hodnotě) .
26.4 Bernoulliho věta (L’Hospitalovo pravidlo) . .
104
104
105
105
106
27 Věty o derivaci - cvičenı́
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
108
28 Diferenciál - teorie
109
28.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
28.2 Vyššı́ diferenciály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
29 Diferenciál - cvičenı́
111
30 Taylorův polynom - teorie
112
31 Taylorův polynom - cvičenı́
114
32 Extrémy funkce - teorie
32.1 Lokálnı́ extrémy funkce . . . . .
32.2 Významné body funkce . . . . .
32.3 Definice konkávnosti/kovexnosti
32.4 Globálnı́ extrémy funkce . . . .
115
115
118
119
120
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
33 Extrémy funkce - cvičenı́
121
34 Asymptoty - teorie
34.1 Vodorovné asymptoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34.2 Svislé asymptoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34.3 Šikmé asymptoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
122
123
123
35 Asymptoty - cvičenı́
124
36 Průběh funkce - teorie
125
37 Průběh funkce - cvičenı́
126
38 Primitivnı́ funkce, neurčitý integrál - teorie
38.1 Primitivnı́ funce . . . . . . . . . . . . . . . .
38.2 Přehled vzorců pro integrovánı́ . . . . . . . .
38.3 Základnı́ pravidla integrovánı́ . . . . . . . .
38.4 Metoda per partes . . . . . . . . . . . . . .
38.5 Substituce . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38.6 Intergrace racionálnı́ch funkcı́ . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
133
133
134
135
135
136
137
39 Primitivnı́ funkce, neurčitý integrál - cvičenı́
39.1 Přı́má integrace . . . . . . . . . . . . . . . . .
39.2 Integrace pomocı́ substituce . . . . . . . . . .
39.3 Integrace per partes . . . . . . . . . . . . . . .
39.4 Integrace racionálnı́ lomené funkce . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
140
140
141
142
143
40 Riemannův integrál - teorie
40.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . .
40.2 Zavedenı́ Riemannova integrálu .
40.3 Integrace některých funkcı́ . . . .
40.4 Vlastnosti Riemannova integrálu .
40.5 Newtonův integrál . . . . . . . .
40.6 Základnı́ věta integrálnı́ho počtu .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
144
144
145
147
148
148
149
41 Riemannův integrál - cvičenı́
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
150
42 Aplikace určitého integrálu - teorie
42.1 Obsah rovinné oblasti . . . . . . . .
42.2 Délka křivky . . . . . . . . . . . . .
42.3 Objem tělesa . . . . . . . . . . . .
42.4 Obsah pláště rotačnı́ho tělesa . . .
.
.
.
.
43 Aplikace určitého integrálu - cvičenı́
43.1 Obsah rovinné oblasti . . . . . . . . .
43.2 Objem tělesa . . . . . . . . . . . . .
43.3 Délka křivky . . . . . . . . . . . . . .
43.4 Porvch tělesa . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
151
151
153
154
156
.
.
.
.
157
157
158
159
159
44 Integrál jako funkce hornı́ meze
160
45 Nevlastnı́ integrály - teorie
163
46 Nevlastnı́ integrály - cvičenı́
165
1
1
Pilı́ře matematiky - teorie
1.1
Logika
- použı́váme logiku Aristotelovu (např. zákon vyloučeného třetı́ho atd.)
Výrok
- tvrzenı́, o kterém lze řı́ci, zda je pravdivé či nikoliv
- výrokem nejsou rozkazy, otázky a nesmysly (např. Colorless green ideas sleep furiously)
- z jednoduchých (atomárnı́ch) výroků můžeme pomoci logických spojek (∧ - konjunkce,
∨ - disjuknce, ⇒ - implikace, ⇐⇒ - ekvivalence)
Kvantifikátory
∀ - obecký (univerzálnı́)
∃ - existenčnı́
Negace
- při negaci výroků použı́váme opačný kvantifikátor
¬(A ∧ B) ⇐⇒ ¬A ∨ ¬B
¬(A ∨ B) ⇐⇒ ¬A ∧ ¬B
¬(A ⇒ B) ⇐⇒ A ∨ ¬B
Př.
výrok = Jestliže udělám zkoušku, půjdu oslavovat.
negace výroku = Udělám zkoušku a nepůjdu oslavovat.
¬(A ⇐⇒ B) ⇐⇒ (A ∨ ¬B) ∧ (B ∨ ¬A)
Stavebnı́ pilı́ře matematiky
a) primitivnı́ pojmy - ty, které nejsou definovány
Př. bod, množina
b) axiomy - tvrzenı́, která se nedokazujı́ (považujı́ se za platná)
Př. Existuje prázdná množina.
c) definice - zavedenı́ pojmu pomocı́ pojmů již známých
Př. Prvočı́slo je čı́slo, které má jen 2 dělitele - 1 a sebe samé.
d) teorémy (věty) - tvrzenı́, která se vyvozujı́ z axiomů a již dokázaných teorému a která
se dokazujı́ pomocı́ logiky
SA1
ÚM FSI VUT v Brně, 21. srpna 2011
2
Věta
A⇒B
Důkaz
a) přı́mý - po konečném počtu pravdivých výroků dojdeme od výroku A k výroku B, tj
A ⇒ V1 ⇒ V2 ⇒ . . . ⇒ Vn ⇒ B
b) nepřı́mý - provedeme obrácenou implikaci, tj ¬B ⇒ ¬A a tu pak dokazujeme přı́mo, tj.
¬B ⇒ V1 ⇒ V2 ⇒ . . . ⇒ Vn ⇒ ¬A
c) sporem - provedeme negaci výroku, tj. A ∧ ¬B a postupně dojdeme ke sporu: A ∧ ¬B ⇒
W1 ⇒ W2 ⇒ . . . ⇒ Wn ⇒ spor ⇒ platı́ A ⇒ B
d) matematickou indukcı́ - sestává ze třı́ kroků:
1) dokážeme výrok pro n = 1
2) uděláme předpoklad, že výrok platı́ pro n = k
3) a pak dokazujeme, že výrok platı́ pro n = k + 1
- řešı́me-li v realitě problém, provedeme abstrakci (převedenı́ na problém matematický)
a po jeho vyřešenı́ provedeme implementaci do reálného světa (aplikujeme nalezené řešenı́)
Př. Mějme primitivnı́ pojmy jélo, pnı́kat a blefa; axiomy:
1) Každé jélo pnı́kat nejméně 2 blefy.
2) Existuje alespoň jedna blefa, kterou pnı́kajı́ všechna jéla.
3) Kařdou blefu pnı́ká alespoň 1 jélo.
4) Množina blef je neprázdná.
a otázky:
1) Má systém konkrétnı́ realizaci (implementaci)?
2) Jsou axiomy nezávislé?
3) Dokažte větu: Existujı́ alespoň 2 blefy.
Věta
Prvočı́sel existuje nekonečně mnoho.
Důkaz
Provedeme jej sporem. Předpokládejme, že prvočı́sel je konečný počet. Označme je 2, 3, . . . , N .
Nynı́ sestrojme čı́slo a následovně
a = 2 · 3 · ... · N + 1
Takovéto čı́slo a nenı́ dělitelné žádným z čı́šel 2, 3, . . . , N ⇒ a je prvočı́slo a zároveň a >
N ⇒ spor ⇒ prvočı́sel je nekonečně mnoho.
SA1
1.2
3
Teorie množin
- jejı́ základy položil Cantor na přelomu 19./20. stoletı́
množina
= primitvinı́ pojem
- značı́me A, B, C, . . .
- x ∈ A značı́me přı́slušnost do množiny
- A = {x; x2 = 1} - za ; pı́šeme vlastnost prvků množiny
- prvkem může být cokoliv (funkce, matice, . . . )
Russelův paradox - katalogový problém
a) katalog všech pracı́ o matematice
1. Eukleides - Základy matematiky
..
.
32150. X. Y. - Poznámka o čı́slu 0
b) katalog všech pracı́ o sportu
1. Guinessova kniha rekordů
..
.
1280. Katalog všech pracı́ o sportu ⇒ tento katalog obsahuje sám sebe
c) katalog všech katalogů, které samy sebe neobsahujı́
1. Katalog všech pracı́ o matematice
Nynı́ si ovšem musı́me položit otázku. Lze tam zařadit i tento katalog? Dojdeme k tomu, že
to neumı́me rozhodnout ⇒ pojem autorefence (tzn. objekt ukazuje sám na sebe)
matematicky zapsáno A = {B; B ∈ B} ⇒ neumı́m rozhodnout, zda A ∈ A nebo A 6∈ A
⇓
Lze se zbavit nerozhodnutelných tvrzenı́? - 2. fundamentálnı́ otázka
⇓
Zavázı́ nás na pojem třı́da = množina, která obsahuje množinu.
SA1
4
1. krize matematiky - ve starověkém Řecku - nevěděli, že čı́slo může být i iracionálnı́
12 + 12 =
p2
⇒ 2q 2 = p2 ⇒ p2 sudé ⇒ p sudé ⇒ p dělitelné 4 ⇒ q 2 je sudé ⇒ q je sudé
q2
p
q
1
1
Obrázek 1: Úhlopřı́čka čtverce
ale p a q musı́ být nesoudělná
2. krize matematiky - při základech diferenciálnı́ho počtu
dy
⇒ zavedena limita
dx
3. krize matematiky - katalogový paradox
Kurt Gödel - našel odpovědi na 2 fundamentálnı́ otázky (Gödelův důkaz, VUTIUM)
1. Je matematika bezesporná? - uvnitř matematiky nelze dokázat jejı́ bezespornost
2. Lze se zbavit nerozhodnutelných tvrzenı́? - nerozhodnutelných tvrzenı́ se zbavit nelze
SA1
5
Relace (vztahy) v množinách
Potenčnı́ množina
- množina všech podmnožin množiny A
Př. A = {x, y, z} - obsahuje 3 prvky
P (A) = {∅, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {y, z}, {x, z}, {x, y, z}, } - 8 prvků ⇒ označenı́ 2A
2∅ = {∅}
Uspořádaná dvojice
(a, b) = {{a}, {a, b}} - množinová definice
a ∈ A, b ∈ B - prvky mohou být i ze stejné množiny
(a1 , . . . , an ) - uspořádaná n-tice
Kartézský součin
- množina všech uspořádaných dvojic
A × B = {(a, b), a ∈ A, b ∈ B}
binárnı́ relace R je podmnožina A × B
n-nárnı́ relace R je podmnožina A1 × . . . × An
Př. A = {x, y, z}, B = {a, b}
A × B = {(x, a), (x, b), (y, a), (y, b), (z, a), (z, b)}
R = {(x, b), (y, b), (z, a)}
Obrázek 2: Relace
Př. A - zaměstnanci, B - vozidla firmy
R = A × B - univerzálnı́ relace
R = ∅ - prázdná relace
inverznı́ relace R−1 k relaci R ⊆ A × B je podmnožina B × A definována takto:
(b, a) ∈ R−1 ⇐⇒ (a, b) ∈ R
SA1
6
Zobrazenı́ (= funkce)
- funkce je jistá relace R ⊆ A × B z množiny A do množiny B taková, že
(a, b) ∈ R, (a, b) ∈ R ⇒ b = b
(jeden vzor nemůže mı́t 2 obrazy)
- mı́sto R ⊆ A × B pak pı́šeme f : A → B a mı́sto (a, b) ∈ R zapisujeme f (a) = b
definičnı́ obor f : A → B je množina Domf = {a ∈ A; ∃ b ∈ B, f (a) = b}
obor hodnot f : A → B je množina Imf = {b ∈ B; ∃ a ∈ A, f (a) = b}
Obrázek 3: Zobrazenı́
Injekce (prostá funkce)
- speciálnı́ zobrazenı́ f : A → B takové, že platı́
f (a) = b, f (a) = b ⇒ a = a
Surjekce
- je f : A → B takové, že
Imf = B
(zobrazenı́ na množinu)
Bijekce
- je f : A → B takové, že
Domf = A
a f je současně injekce i surjekce ⇒ stejný počet prvků v obou množinách (důležité pro
porovnávánı́ nekonečných množin)
Je inverznı́ relace zobrazenı́ zase zobrazenı́m?
Obecně nemusı́. Ale pokud bude zobrazenı́ injektivnı́, bude i inverznı́ zobrazenı́ injektivnı́.
Značı́me pak
f −1
SA1
7
Relace (binárnı́) na množině
Řekneme, že relace R ⊆ A × A je:
a) reflexivnı́, jestliže (a, a) ∈ R ∀a ∈ A
b) symetrická, jestliže (a, b) ∈ R ⇐⇒ (b, a) ∈ R ∀a, b ∈ A
c) antisymetrická, jestliže (a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ⇒ a = b ∀a, b ∈ A
d) tranzitivnı́, jestliže (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R ∀a, b, c ∈ A
Př. A - lidé, B - mluvı́ stejným jazykem
reflexivnı́, symetrická relace
ekvivalence = reflexivnı́, symetrická a tranzitivnı́ relace
uspořádánı́ = reflexivnı́, antisymetrická a tranzitivnı́ relace
a) ekvivalence
1) A - studenti, R - studujı́ stejný ročnı́k
⇒ množina se rozpadne na třı́dy (podmožiny)
2) A = C, (x, y) ∈ R, jestliže x a y majı́ stejnou reálnou část
⇒ třı́dy = přı́mky rovnoběžné s osou y, reprezentanti = reálná čı́sla
(a) Studenti
(b) Komplexnı́ čı́sla
Obrázek 4: Ekvivalence
SA1
8
3) A = Z, (x, y) ∈ R, jestliže po dělenı́ 3 dostanu tentýž zbytek
{. . . , −3, 0, 3, 6, . . .}
{. . . , −2, 1, 4, 7, . . .}
{. . . , −4, −1, 2, 5, . . .}
⇒ disjunktnı́ třı́dy Z3 (množina zbytkových třı́d modulo 3)
Z3 = {C0 , C1 , C2 }
jednotlivé třı́dy pak značı́me
Ci = {x ∈ Z, zbytek po dělenı́ čı́sla x čı́slem m dá zbytek i}
b) uspořádánı́ - např. předci, adrešáře v PC, . . .
nesrovnatelné prvky
Obrázek 5: Uspořádánı́
v M: ≤
ostré uspořádánı́ - irreflexivnı́, (antisymetrická), tranzitivnı́ relace, značı́me <
Věta
Je-li R irreflexivnı́, tranzitivnı́ relace, pak je i antisymetrická. (tj. (a, b) ∈ R, (b, a) ∈
R⇒a=b)
Důkaz
Je-li ovšem (a, b) ∈ R, (b, a) ∈ R, pak z tranzitivity plyne, že (a, a) ∈ R, což nelze
(irreflexivita). Tzn., že předpoklad (a, b) ∈ R, (b, a) ∈ R nemůže nastat. Tzn. tvrzenı́
triviálně platı́.
SA1
9
Př. A = N, (x, y) ∈ R, jestliže x|y
4
6
2
9
3
10
5
RSA numbers
7
prvočı́sla
1
Obrázek 6: Uspořádánı́ - dělitelnost
RSA numbers - čı́sla, která lze rozložit na součin 2 prvočı́sel
částečně uspořádaná množina (poset) - existujı́ nesrovnatelné prvky, tzn.
∃ a, b ∈ M tak, že (a, b) 6∈ R ∧ (b, a) 6∈ R
úplně (lineárně) uspořádaná množina tzn.
pro ∀a, b ∈ M platı́, že (a, b) ∈ R ∨ (b, a) ∈ R
Operace (binárnı́)
- zobrazenı́ obecně A × B → C
Př. N × N → N
f (3, 5) = 8
3+5=8
n-árnı́ operace A1 × . . . × An → A
unárnı́ operace A → B
odmocnina, |x|, následnı́k
SA1
2
10
Pilı́ře matematiky - cvičenı́
2.1
Logika, důkazy
1. Rozhodněte, zda jde o výrok a u výroků určete pravdivostnı́ hodnotu:
a) 3 · 3 = 10;
b) Praha je hlavnı́ město České republiky.
c) Pozor, schody jsou mokré!
d)
0
0
= 0;
2. Mějmě výroky A a B. Sestavte tabulku pravdivostnı́ch hodnot pro: negaci B, konjunkci,
disjunkci, implikaci a ekvivalenci výroků A a B.
3. Určete pravdivostnı́ hodnotu výrazu:
a) Je-li čı́slo 10 sudé, pak čı́slo 2 dělı́ čı́slo 11.
b) ((2 · 3 = 6) ∨ (3 · 4 = 14)) ⇒ (2 < 1)
c) ((1 < 2) ∧ (2 6= 2) ⇒ (3 · 5 = 16)
4. Uved’te ekvivalentnı́ výrok k dané negaci a pomocı́ tabulky pravdivostnı́ch hodnot tuto
ekvivalenci dokažte:
a) (¬(A ∧ B)) ⇐⇒ . . .
b) (¬(A ∨ B)) ⇐⇒ . . .
c) (¬(A ⇒ B)) ⇐⇒ . . .
d) (¬(A ⇐⇒ B)) ⇐⇒ . . .
5. Mějme výrok ve tvaru implikace A ⇒ B (napřı́klad výrok ∀x ∈ N : 6|x ⇒ 2|x).
Rozhodněte, které tvrzenı́ je pravdivé:
a) A je nutnou podmı́nkou pro B a B je postačujı́cı́ podmı́nkou pro A;
b) A je postačujı́cı́ podmı́nkou pro B a B je nutnou podmı́nkou pro A.
6. Znegujte složený výrok 2 < 3 ⇒ 2 · 3 = 6
7. Znegujte (1 + 2 = 3) ⇒ (1 > 2 ∨ 3 ≤ 4)
8. Znegujte ∀x ∈ N : x > 3 ⇒ 2x > 5)
9. Znegujte výrok: Všichni žijı́cı́ lidé jsou vyššı́ než 230 cm.
SA1
11
10. Dokažte, že jde o tautologie:
a) (A ⇒ B) ⇐⇒ (¬B ⇒ ¬A);
b) ¬(A ∧ B) ⇐⇒ (¬A ∨ ¬B);
c) (A ⇐⇒ B) ⇐⇒ ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A));
d) ¬(A ⇒ B) ⇐⇒ (A ∧ ¬B);
11. Dokažte, že (¬A ∨ B) ∧ (¬A ⇒ B) nenı́ kontradikce.
12. Rozhodněte, zda pro implikaci platı́ asociativnı́ zákon, tj. ověřte platnost ekvivalence
((A ⇒ B) ⇒ C) ⇐⇒ (A ⇒ (B ⇒ C)).
13. Rozhodněte, zda je relace implikace tranzitivnı́, tzn. zda platı́ ((A ⇒ B)∧(B ⇒ C)) ⇒
(A ⇒ C).
14. Detektiv vyšetřuje přı́pad vraždy. Vyšetřovánı́m se okruh podezřelých zúžil na 3 osoby
A, B, C. O přı́tomnosti podezřelých na mı́stě činu by žjištěno:
Jestliže byl v kritické době na mı́stě činu podezřelý C, pak tam nebyl podezřelý A,
ale byl tam podezřelý B. Neni pravda, že na mı́stě činu nebyl A a přitom tam nebyl
C. Pokud byl na mı́stě činu podezřelý A, nebyl tam C, a když tam nebyl C, byl tam
A. Detektiv promyslel všechny možnosti a zjistil, že mu informace k usvědčenı́ vraha
nestačı́. Při dalšı́m vyšetřovánı́ se však zjistilo, že pachatel byl na mı́stě činu sám.
Který z podezřelých je vrah?
15. Trenér má na závody poslat Adama, Břet’u nebo Čeňka. Přitom má splnit tyto podmı́nky:
Pojedou nejvýše dva závodnı́cı́, přitom pojede alespoň jeden. Pojede Adam, nebo
Čeněk, ale určitě ne současně. Nepojede-li Čeněk, pak nepojede ani Bret’a.
16. Pracovnı́k při obsluze stroje v danou chvı́li vı́, že:
a) Neběžı́-li motor, je vada v motoru nebo nejde proud.
b) Je-li vada v motoru, je třeba volat opraváře.
c) Proud jde.
Pracovnı́k vidı́, že motor neběžı́. Usoudı́: Neběžı́-li motor, je třeba volat opraváře.
Je jeho úsudek správný?
17. Máme dokázat tvrzenı́ A ⇒ B. Stručně popiště princip důkazu přı́mého, nepřı́mého a
sporem.
18. Dokažte přı́mo, nepřı́mo i sporem tvrzenı́ ∀x ∈ R : x > 0 ⇒ x +
1
x
≥ 2.
19. Dokažte přı́mo, nepřı́mo i sporem tvrzenı́ ∀x ∈ N : x ≥ 2 ⇒ 6x + 3 > 13.
20. Dokažte nepřı́mo tvrzenı́ ∀x ∈ N : x3 je sudé ⇒ x je sudé.
21. Dokažte přı́mo tvrzenı́ ∀a, b, c ∈ N : c|ab ⇒ c|a ∨ c|b.
22. Dokažte sporem, že log2 3 nenı́ racionálcı́ čı́slo.
SA1
23. Dokažte sporem, že
12
√
√
13 ≥ 2 2.
24. Dokažte, že součin dvou sudých čı́sel je dělitelný čtyřmi.
25. Dokažte, že pro libovolná reálná čı́sla a, b platı́ a2 + b2 ≥ 2ab.
26. Dokažte, že prvočı́sel je nekonečně mnoho.
27. Dokažte přı́mo. Kvadratická rovnice ax2 + bx + c = a, a 6= 0 má alespoň jeden kořen
rovný nule, právě když c = 0.
28. Necht’ má rovnice ax2 + bx + c = a, a 6= 0 celočı́selné koeficienty, přı́čemž a 6= 0 a b je
liché čı́slo. Dokažte, že rovnice nemůže mı́t dvojnásobný kořen.
29. Jak postupujeme přı́ důkazu výrokové formule V (n) matematickou indukcı́?
30. Dokažte matematickou indukcı́ tvrzenı́ ∀n ∈ N : 3|(22n − 7).
31. Dokažte matematickou indukcı́ tvrzenı́ ∀k ∈ N : 7|(62k − 8).
32. Dokažte matematickou indukcı́ tvrzenı́ 1 + 2 + . . . + n = n2 (n + 1).
33. Dokažte matematickou indukcı́ tvrzenı́ 1−3+5−7+. . .+(−1)n−1 (2n−1) = (−1)n−1 n.
34. Dokažte matematickou indukcı́ tvrzenı́ 12 + 22 + 32 + . . . + 3n−1 = 12 (3n − 1).
35. Pomocı́ matematické indukce určete vzorec pro výpočet délky strany an pravidelného
2n -úhelnı́ka (n > 1), který je vepsaný do kruhu o poloměru R.
36. Dokažte matematickou indukcı́, že n různých přı́mek v rovině, které majı́ společný
průsečı́k, rozděluje rovinu na 2n částı́.
SA1
2.2
13
Množiny
1. Mějme množiny A = {1, 4, 7, 9, 12} a B = {2, 4, 6, 9, 13}. Utvořte jejich průnik A ∩ B,
sjednocenı́ A ∪ B, rozdı́l A − B a rozdı́l B − A.
2. a) Mějme množinu A = {a, b, c}. Vypiště systém všech podmožin množiny A.
Pozn. systém všech podmnožin se označuje 2A .
b) Necht’ množina B je množina všech sudých přirozených čı́sel menšı́ch než 10. Vypiště
všechny jejı́ podmnožiny.
3. Mějme konečnou množinu B o n prvcı́ch. Kolik prvků má množina 2B ?
4. Uved’te přı́klad množina A, B tak, aby A ∈ B a současně A ⊆ B.
5. Je dána množina A = {0, 1, 2}. Přečtěte nahlas násldujı́cı́ výroky a rozhodněte, které
z nich jsou pravdivé a které nepravdivé:
a) 0 ∈ A;
b) {0} ∈ A;
c) 0 ⊆ A;
d) {0} ⊆ A;
e) {} ∈ A;
f) {} ⊆ A;
g) {∅} ∈ A;
h) {∅} ⊆ A;
i) {2} ∈ {2, {2}};
j) {2} ⊆ {2, {2}};
k) Množina {∅} nemá žádný prvek;
l) {1, 2} = {2, 1};
6. Uved’te formálnı́ definici množinových operacı́ (pozn. podobně, jako je uvedeno v a) )
a) A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}
b) A ∪ B =
c) A − B =
7. Dokažte, že pro libovolné množiny A, B, C platı́:
a) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C);
b) A − (B − C) = (A − B) − C;
c) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
8. Jsou dány množiny A = {a} a B = {x, y}. Určete množiny A × B a B × A.
SA1
14
9. Jsou dány množiny A = {1, 2, 3} a B = {3, 7}. Popiště (třeba i grafiky) množiny A×B,
B × A, B × B, B × 2B .
10. Udejte přı́klad množin A, B tak, aby množina A × B měla právě 32 podmnožin.
11. Jsou dány množiny A = {x : x ∈ R, |x − 3| < 1}, B = {x : x ∈ R, x2 − 4x + 3 ≤ 0}.
Spočtěte a v souřadnicovém systému zakreslete B ∪ (A − B), (A ∩ B) × (B − A).
SA1
2.3
15
Relace
1. Definujte pojem unárnı́ relace na množině M .
2. Definujte pojem (binárnı́) relace mezi množina A a B (v tomto pořadı́).
3. Jak přečteme zápis (x, y) ∈ R, je-li R relace? Uved’te jiný možný zápis relace R mezi
prvky x, y.
4. Uvažujme M jako množinu přı́buzných. M = {Adam (otec), Barbora (matka), Cyril
(syn), Dana (dcera), Emanuel (dědeček z otcovy strany)}.
a) Je dána unárnı́ relace R1 = {x ∈ M : x je mužského pohlavı́}.
b) Je dána binárnı́ relace R2 = {(x, y) ∈ M × M : (x, y) je ve vztahu otec a syn}.
c) Je dána binárnı́ relace R3 = {(x, y) ∈ M ×M : (x, y) je ve vztahu rodič a potomek}.
d) Je dána binárnı́ relace R4 = {(x, y) ∈ M × M : (x, y) je ve vztahu sourozenec
a sourozenec}.
e) Je dána ternárnı́ relace R5 = {(x, y, z) ∈ M × M × M : (x, y, z) je ve vztahu
prarodič, rodič a potomek}.
5. Udejte přı́klady dvou různých relacı́ mezi množinami A = {a, b, c, d} a B = {x, y, z}
a také zakreslete jejich uzlové grafy.
6. a) Co je to prázdná relace mezi množinami A a B a co je univerzálnı́ relace mezi
množinami A a B? Formálně tyto relace zapiště.
b) Zapiště, jak vypadá prázdná a univerzálnı́ relace mezi prázdnými množinami.
7. Definujte pojem (binárnı́) relace na množině M .
8. Je dána množina M = {a, b, c, d}. Zapiště libovolnou relaci na množině M , která má
alespoň 4 prvky. Relace znázorněte uzlovým grafem relace a tabulkou relace.
9. Definujte na množině M pojem relace reflexivnı́, symetrická, antisymetrická, tranzitivnı́, úplná.
10. Mějme množinu M = {a, b, c}. Udejte přı́klad relacı́ R1 , R2 , R3 , R4 pomocı́ tabulky
tak, aby každá z těchto relacı́ měla právě jednu z vlastnostı́ (pokud je to vůbec možné):
reflexivnı́, symetrická, antisymetriká, úplná.
11. Na množině A = {2, 3, 4, 6, 11} je dána relace R = {(x, y) : y je dělitelem x}.
Rozhodněte, zda tato relace je reflexivnı́, symetrická, tranzitivnı́.
12. Na množině A = {2, 3, 4, 6, 11} je dána relace R = {(x, y) : y je ciferný součet x}.
Rozhodněte, zda tato relace je reflexivnı́, symetrická, tranzitivnı́.
SA1
16
13. Je dána relace R na množině N. Rozhodněte, zda je relace R, S, A-S, T, Ú, je-li pro
x, y ∈ N:
a) xRy ⇐⇒ x · y je liché čı́slo;
b) xRy ⇐⇒ y = x ∨ y = 2x ∨ y = 3x;
c) xRy ⇐⇒ |x − y| − 3 ∨ x = y;
[R, A-S]
[R, S]
d) xRy ⇐⇒ x = y;
[R, S, A-S, T]
2
[A-S]
e) xRy ⇐⇒ y = x ;
SA1
[S, T]
2.4
17
Zobrazenı́ část 1
1. Mějme libovolné neprázdné množiny A a B. Definujte zobrazenı́ množiny A do množiny B:
a) korektně, tj. Necht’ f je relace mezi množinami A a B, splňujı́cı́ vlastnost, že . . . Pak
”
uspořádanou trojici (A, B, f ) nazýváme zobrazenı́m množiny A do množiny B.“
b) názorněji, tj. Zobrazenı́m f množiny A do B rozumı́me předpis, který . . .“
”
2. Rozhodněte, zda relace R v přı́kladu 11 (viz Relace) definuje na množině A zobrazenı́.
[nenı́ to zobrazenı́]
3. Rozhodněte, zda zadaný předpis f určuje zobrazenı́ množiny A do množiny B:
a) A = Z, B = N, f (x) = |x| ∀x ∈ Z.
[ne]
b) A = {a, b, c, d, e}, B = {u, v, w}, f (a) = u, f (c) = u, f (d) = w, f (x)e = w.
[ano]
4. Definujte zobrazenı́ injektivnı́ (tj. prosté), reps. surjektivnı́, resp. bijektivnı́.
5. Jaký je postup při důkazu, že zobrazenı́ f je injektivnı́, resp. nenı́ injektivnı́, resp. je
surjektivnı́, resp. nenı́ surjektivnı́?
6. Rozhodněte, zda relace R v přı́kladu 12 (viz Relace) definuje na množině A zobrazenı́.
Pokud ano, rozhodněte, zda jde o zobrazenı́ prosté.
[Je to zobrazenı́, nenı́ prosté]
7. U zobrazenı́ z přı́kladu 3 rozhodněte, zda jsou injektivnı́ nebo surjektivnı́.
[a) nenı́ zobrazenı́, b) nenı́ I, nenı́ S]
8. Dokažte, že mezi množinami A = Z a B = S existuje bijekce.
SA1
2.5
18
Zobrazenı́ část 2
1. Zakreslete si množiny A a B schématiky jako dva ovály. Zakreslete, co si představujete
pod pojmem:
a) Zobrazenı́ z množiny A do množiny B.
b) Zobrazenı́ množiny A do množiny B.
c) Zobrazenı́ z množiny A na množinu B (tj. zobrazenı́ mezi množinami).
d) Zobrazenı́ z množiny A na množinu B.
2. Zakreslete do souřadného systému x, y:
a) y = |x|;
b) y 2 = x.
Rozhodněte, která z křivek je grafem funkce a která naopak grafem funkce nenı́.
3. Mějme libovolné neprázdny množiny A a B. Definujte zobrazenı́ z množiny A do
množiny B:
”
uspořádanou trojici (A, B, f ) nazýváme zobrazenı́m z množiny A do množiny B.“
b) názorněji, tj. Zobrazenı́m f z množiny A do množiny B rozumı́me předpis f , který
”
. . .“ Použı́váme zápis b = f (a).
Poznámka: Zobrazenı́ f mezi čı́selnými množinami řı́káme častěji funkce a pı́šeme
f : A → B.
4. Mějme libovolné neprázdny množiny A a B. Definujte zobrazenı́ množiny A do
množiny B:
”
uspořádanou trojici (A, B, f ) nazýváme zobrazenı́m množiny A do množiny B.“
b) názorněji, tj. Zobrazenı́m f množiny A do množiny B rozumı́me předpis f , který
”
. . .“
Pozn. Jde tedy o situaci, kdy množina A je přı́mo definičnı́m oborem
5. Formulace: . . . zobrazenı́ na množině A . . . máme na mysli:
a) . . . zobrazenı́ z množiny A do množiny A . . . ,
b) . . . zobrazenı́ množiny A do množiny A . . . ?
6. Na množině A = {2, 3, 4, 6, 11} je dána relace R = {(x, y) : y je dělitelem x}.
Rozhodněte, zda relace R definuje na množině A zobrazenı́.
[nenı́ to zobrazenı́]
SA1
19
7. Rozhodnětem zda zadaný předpis f určuje zobrazenı́ množiny A do množiny B:
a) A = Z, B = N, f (x) = |x + 2| ∀x ∈ Z.
[ne, ale zobrazenı́ z mn. A do mn. B by to bylo]
b) A = {a, b, c, d, e}, B = {u, v, w}, f (a) = u, f (b) = u, f (c) = u, f (d) = w, f (e) = w;
[ano]
c) A = Z, B = S, f (x) = 2x ∀x ∈ Z;
[ano]
d) A = R, B = R, f (x) = sin x ∀x ∈ R;
[ano]
e) A = R, B = h−1; 1i, f (x) = sin x ∀x ∈ R;
[ano]
f) A = B = N, f (x) = x + 1 ∀x ∈ N;
(
1
pro x = 1
g) A = B = N, f (x) =
x − 1 pro x ≥ 2.
[ano]
[ano]
8. Definujte zobrazenı́ injektivnı́ (tj. prosté), resp. surjektivnı́, resp. bijektivnı́.
9. Jaký je postup při důkazu, že zobrazenı́ f je injektivnı́, resp. nenı́ injektivnı́, resp. je
surjektivnı́, resp. nenı́ surjektivnı́?
10. Na množině A = {2, 3, 4, 6, 11} je dána relace R = {(x, y) : y je ciferný součet x}.
Rozhodněte, zda relace R definuje na množině A zobrazenı́. Pokud ano, rozhodněte,
zda jde o zobrazenı́ prosté.
[Je to zobrazenı́, nenı́ prosté]
11. U zobrazenı́ z přı́kladu 7 rozhodněte, zda jsou injektivnı́ nebo surjektivnı́.
[a) nenı́ zobrazenı́, b) nenı́ I, nenı́ S, c), d) nenı́ I, nenı́ S, e) nenı́ I, je S, f ) je I, nenı́
S, g) nenı́ I, je S]
12. Rozhodněte, zda dané zobrazenı́ f : N → N je injektivnı́, resp. bijektivnı́, je-li:
a) f (x) = 2x − 1.
(
3
b) f (x) =
x−3
(
x−1
c) f (x) =
x+1
x+1 d) f (x) = 2
e) f (x) = 3x+1
2
[je I, nenı́ S]
pro x ≤ 3
pro x > 3.
pro xsudé
pro xliché.
[nenı́ I, je S]
[je B]
[nenı́ I, je S]
[je I, nenı́ S]
Pozn.: [a] znamená celou část čı́sla a.
SA1
20
13. Rozhodněte, zda dané zobrazenı́ f je injektivnı́, resp. surjektivnı́, je-li:
a) f : R → R, f (x) = x2 + 6
+
+
b) f : R → R , f (x) = (x + 1)
[je I, nenı́ S]
2
[je B]
14. Dokažte, že mezi množinami A = Z a B = S existuje bijekce.
15. Jsou dána bijektivnı́ zobrazenı́ f, g : R → R, f (x) = 3x − 4, g(x) = 2x + 53 . Zapiště
předpis pro zobrazenı́ f ◦ g a g ◦ f .
SA1
3 Přirozená čı́sla
3
21
Přirozená čı́sla
unárnı́ operace následnı́k definována takto
A’ = A ∪ {A}
∅’ = ∅ ∪ {∅} = {∅}
{∅}’ = {∅} ∪ {{∅}} = {∅, {∅}}
{∅, {∅}}’ = {∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
= zavedenı́ přirozených čı́sel (pomocı́ prázdné množiny)
Operace
Nynı́ na N zavedeme binárnı́ operace f : N × N → N (obecně f : A × B → C).
Př. f (3, 5) = 8
3+5=8
1. Sčı́tánı́
Operaci sčı́tánı́ zavedeme takto
A+∅=A
A + B’ = (A + B)’
Př. 4 + 2 =?
4 + 2 = 4 + 1’ = (4 + 1)’ = (4 + 0’)’ = ((4 + 0)’)’ = 5’ = 6 ⇒ 4 + 2 = 6
Operace sčı́tánı́ je komunitativnı́.
2. Násobenı́
Operaci násobenı́ zavedeme takto
A×∅=∅
A × B’ = A × B + A
Operace násobenı́ je komunitativnı́.
SA1
4 Celá čı́sla
4
22
Celá čı́sla
Uvažujme uspořádané dvojice přirozených čı́sel (a, b) ∈ N × N. Mezi takovými dvojicemi
zavedeme relaci ∼:
(a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a + d = b + c
(a − b = c − d)
relace ∼ je:
a) reflexivnı́ - tzn. (a, b) ∼ (a, b) ⇐⇒ a + b = b + a ∀(a, b) ∈ N × N
operace sčı́tánı́ je komunitativnı́ ⇒ je reflexivnı́
b) symetrická - tzn. (a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ (c, d) ∼ (a, b)
c) tranzitivnı́ - tzn. (a, b) ∼ (c, d) ∧ (c, d) ∼ (e, f ) ⇒ (a, b) ∼ (e, f )
(a + d = b + c, c + f = d + e ⇒ a + f = b + e)
⇓
a + d + c + f = b + c + d + e ⇒ a + f = b + e ⇒ je tranzitivnı́
⇒ relace ∼ je ekvivalence ⇒ N × N se rozpadne na třı́dy
(3, 1)
(1, 3)
(5, 5)
(4, 2) (10, 12) (4, 4)
2
−2
0
⇒ Z jsou třı́dy ekvivalence
Na Z nynı́ zavedeme operace:
1. sčı́tánı́ zavedeme následovně
(a, b) + (c, d) = (e, f ) = (a + c, b + d)
2. součin zavedeme takto
(a, b) × (c, d) = (e, f ) = (a · c + b · d, b · c + a · d)
SA1
5
23
Algebraické struktury
Algebraickou strukturou rozumı́me množinu s definovanými operacemi, které majı́ jisté vlastnosti:
5.1
Grupa
množina G s binárnı́ operacı́ ∗ splňujı́cı́:
G1)
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) ∀x, y, z ∈ G
asociativnı́ zákon (sdružovacı́ - sdružovánı́ do závorek)
G2)
∃ e ∈ G, x ∗ e = e ∗ x = x ∀x ∈ G
G3)
∀x ∈ G ∃ x−1 ∈ G, x ∗ x−1 = x−1 ∗ x = e
se nazývá grupa
prvek e nazveme neutrálnı́ prvek grupy G
prvek x−1 nazveme inverznı́ prvek prvku x
Př.
1. G = Z, ∗ = + ⇒ (Z, +)
2. G = Q − {0} = Q∗ , ∗ = × ⇒ (Q∗ , ·)
3. G = regulárnı́ matice daného řádu s operacı́ ∗ = ·
4. sčı́tánı́ vektorů
pologrupa - asociativnı́ grupoid
monoid - asociativnı́ grupoid, v kterém existuje neutrálnı́ prvek
Jestliže platı́ navı́c G4)
x ∗ y = y ∗ x ∀x, y ∈ G
hovořı́me o komutativnı́ (abelovské) grupě.
SA1
5.2
24
Pole
Množina F , která má alespoň 2 prvky, se 2 operacemi značenými +, · splňujı́cı́mi:
F1)
x + (y + z) = (x + y) + z
∀x, y, z ∈ F
F2)
∃ OF ∈ F tak, že x + OF = OF + x = x ∀x ∈ F
F3)
∀x ∈ F ∃ (−x) ∈ F tak, že x + (−x) = (−x) + x = OF
∀x ∈ F
F4)
x + y = y + x ∀x, y ∈ F
F5)
x · (y · z) = (x · y) · z
∀x, y, z ∈ F
F6)
∃ 1F ∈ F tak, že x · 1F = 1F · x = x ∀x ∈ F
F7)
∀x ∈ F ∃ x−1 ∈ F tak, že x · x−1 = x−1 · x = 1F
∀x ∈ F
F8) distributivnı́ zákony
x · (y + z) = x · y + x · z, (y + z) · x = y · x + z · x ∀x, y, z ∈ F
se nazývá pole (field, těleso).
F1 - F4 = komutativnı́ grupa k +
F5 - F7 = grupa k ·
F8 = distributiva
Požadujeme-li navı́c F9)
x · y = y · x ∀x, y, z ∈ F
hovořı́me o komutativnı́m poli.
SA1
25
Př.
1. (Q, +, ×)
2. (R, +, ×)
3. komplexnı́ čı́sla (C, +, ×), parakomplexnı́ čı́sla (a + bi, i2 = 1, a, b ∈ R), duálnı́ čı́sla
(a + bi, i2 = 0, a, b ∈ R)
4. čı́sla typu
a + bi + cj + dk, a, b, c, d ∈ R, i2 = j 2 = k 2 = −1, ij = −k, ji = k
nazýváme kvaterniony (H, +, ×) - nenı́ to komutativnı́ pole - použitı́ hydromechanice,
ve fyzice k popisu pohybu elementárnı́ch částic nebo rotace sfér
5. racionálnı́ funkce
2x3 + x + 2
x4 − x2 − 5x − 1
⇒ (Rac, +, ×)
Př. pole se 2 prvky
aditivnı́ operace
SA1
×
0 1
0 1
0
0 0
1 0
1
0 1
+
0 1
0
1
a multiplikativnı́ operace
6 Konečná pole
6
26
Konečná pole
Galois - existuje vždy jediné pole o pn prvcı́ch, kde p je prvočı́slo a n ∈ N; pole o jiném
počtu prvku neexistujı́
konečná pole:
a) prvočı́selná - počet prvků = p (n = 1) → 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
b) neprvočı́selná - počet prvků = pn , n ∈ N, n > 1 → 4, 8, 9, 16, 25, . . .
použitı́ v kryptografii
6.1
Prvočı́selná pole
+ a × se počı́tajı́ modulárně ⇒ modulárnı́ aritmetika (výsledek operace je vždy zbytek
po dělenı́ čı́slem p čı́sla, které bychom dostali, kdybychom operaci provedli standartně)
Ukázka na přı́kladu - mějme pole F5 . Počı́táme pak 4 + 3 (= 7 = 1 · 5 + 2) = 2, 4 · 3 (= 12 =
2 · 5 + 2) = 2
Zápis tabulek pro pole F5
aditivnı́
×
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
0
0 0 0 0 0
1
1 2 3 4 0
1
0 1 2 3 4
2
2 3 4 0 1
2
0 2 4 1 3
3
3 4 0 1 2
3
0 3 1 4 2
4
4 0 1 2 3
4
0 4 3 2 1
+
0 1 2 3 4
0
a multiplikativnı́
Př. F11
8+7=4
10 + 2 = 1
8·3=2
6·6=3
SA1
6 Konečná pole
6.2
27
Neprvočı́selná pole
pro pole Fpn reprezentujeme prvky jako polynomy stupně nejvýše n − 1 s koeficienty z Fp
Př. Pole F4
0 1
2
0 1 x
3
x+1
Př. F81 ⇒ 0, 1, 2, x, x + 1, . . . , 2x3 + 2x2 + 2x + 2 - polynom 2x3 + 2x2 + 2x + 2 je nejvyššı́
možný
1. sčı́tánı́ - v každém stupni sčı́táme modulo p
Př. F81
x3
+
+
2x2
3
+
2
0
+
2x
x
+ x
0
+
+
2
x +
2
Př. F4
+
0
1
x
x+1
0
0
1
x
x+1
1
1
0
x+1
x
x
x
x+1
0
1
x+1
x+1
x
1
0
2. násobenı́ - vybereme redukčnı́ polynom Pred stupně n, který je nerozložitelný (ireducibilnı́) na součin polynomů nižšı́ho stupně; vynásobı́me potom opět modulo p - je-li
výsledkem polynom stupně > n − 1, odečı́táme xi · Pred (pro vhodné i) tak dlouho, až
obdržı́me polynom stupně ≤ n − 1
Př. F4
nejprve musı́me vybrat Pred :
x2 = x · x
x2 + 1 = (x + 1) · (x + 1)
x2 + x = x · (x + 1)
x2 + x + 1 = Pred
SA1
6 Konečná pole
28
Multiplikativnı́ tabulka nakonec dopadne následovně
×
0
1
x
x+1
0
0
0
0
0
1
0
1
x
x+1
x
0
x
x+1
1
1
x
x+1
0 x+1
Nahradı́me-li polynomy opět čı́sly, dostáváme pro F4 následujı́cı́ tabulky
aditivnı́
×
0 1 2 3
1 2 3
0
0 0 0 0
1
0 3 2
1
0 1 2 3
2
2
3 0 1
2
0 2 3 1
3
3
2 1 0
3
0 3 1 2
+
0
1 2 3
0
0
1
a multiplikativnı́
Př. F9 = F32
0 1 2
3
4
0 1 2
x x+1
5
6
7
8
x+2
2x
2x + 1
2x + 2
Pak 7 + 8 = 3 protože
+
2x +
1
2x +
2
x
Dále vyberme Pred
x2 = x · x
x2 + 1 = Pred1
x2 + 2 = (x + 1) · (x + 2)
x2 + x = x · (x + 1)
x2 + 2x = x · (x + 2)
x2 + x + 1 = (x + 2) · (x+))
x2 + x + 2 = Pred2
x2 + 2x + 1 = (x + 1) · (x + 1)
x2 + 2x + 2 = Pred3
SA1
6 Konečná pole
29
Vezměme Pred = x2 + 1 a počı́tejme:
a) 7 · 8 =?
(2x + 1)(2x + 2)
x
2
+
x
2x
x2
+
2
+
2
→
-
x2
+
2
(x2
+
1)
⇒ 7·8=1
1
b) 6 · 6 =?
x2
2x · 2x = x2 →
(x2
-
+
⇒6·6=2
1)
2
c) 5 · 8 =?
(x + 2)(2x + 2)
2x2
+
2x
x
2x2
+
1
+
1
→
-
2x2
+
1
(x2
+
1)
x
x2
→
-
(x2
+
2
1)
⇒ 5·8=2
2
konečné pole je jen 1, ale mohou nám vyjı́t rozdı́lné tabulky (podle výběru Pred ) ⇒ existuje
tzv. izomorfismus = bijektivnı́ zobrazenı́, pro které platı́
ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b),
ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b)
tzn. zachovává operaci a jejı́ vlastnosti
Pozn.
Uloha o 36-důstojnı́cı́ch. Máme seřadit 36 důstojnı́ků z 6 různých pluků a 6 různých hodnostı́
do čtverce tak, aby v jedné řadě ani v jednom sloupci nestáli 2 důstojnı́cı́ ze stejného pluku
nebo stejné hodnosti.
Cvičenı́. Vyplňte tabulky pro F8 . V závislosti na výběru Pred vyjdou různé tabulky.
SA1
7
30
Racionálnı́ čı́sla
Uvažujme dvojice celých čı́sel (a, b) ∈ Z × Z∗ (Z × Z − {0}) a zaved’me mezi nimi relaci ∼:
a
c
(a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a · d = b · c
=
b
d
Věta
Relace ∼ je ekvivalence.
Důkaz
1. reflexivnı́ - tzn. (a, b) ∼ (a, b) ⇐⇒ a · b = b · a ∀(a, b) ∈ Z × Z∗
násobenı́ je komutativnı́ ⇒ je reflexivnı́
2. symetrická
3. tranzitivnı́ - tzn. (a, b) ∼ (c, d), (c, d) ∼ (e, f ) ⇒ (a, b) ∼ (e, f )
(a · d = b · c,
c · f = d · e)
Chceme dokázat, že a · f = b · e.
Je-li a = 0 platı́, protože a = 0 ⇒ c = 0 ⇒ e = 0 ⇒ 0 = 0
Je-li e = 0 platı́, protože e = 0 ⇒ c = 0 ⇒ a = 0 ⇒ 0 = 0
Předpokládejme dále, že a 6= 0, e 6= 0 ⇒ c 6= 0.
a · d · c · f = b · c · d · e ⇒ c · d · (a · f ) = c · d · (b · e). Jelikož platı́, že c 6= 0, d 6= 0,
můžeme vykrátı́t a dostáváme a · f = b · e.
⇓
(2, 3) (0, 1)
(4, 6) (0, 5)
2
3
0
1
p, q - nesoudělná, p ∈ Z, q ∈ N
Nynı́ na Q zaved’me operace:
1. sčı́tánı́
(a, b) + (c, d) = (e, f ) = (ad + bc, bd)
2. násobenı́
(a, b) · (c, d) = (e, f ) = (ac, bd)
SA1
a c
ad + bc
+ =
b d
bd
a c
ac · =
b d
bd
31
Věta
(Q, +, ·) je pole.
Důkaz
Jde o přı́me ověřenı́ axiomů pole.
√
Př. Tvořı́ množina čı́sel takových, že a + b 2, a, b ∈ Q pole?
Je třeba dokázat multiplikativnı́ inverzi. Např. vezměme a =
1
2
a b = 3.
√ −1
1
+3 2
= ?
2
√
√
1
1
−3 2
−3 2
12 √
2
2
2
=
+
2
= 1
=
−
71 71
− 18
− 71
4
4
1
2
1
√ ·
+3 2
1
2
1
2
√
−3 2
√
−3 2
a, b ∈ Q ⇒ je to pole
√
√
Cvičenı́ Je množina čı́sel a + b 2 + c 3 takových, že a, b, c ∈ Q, pole?
SA1
8
32
Uspořádané pole
Řekneme, že pole F je uspořádané, jestliže v něm existuje množina P ⊆ F tak, že platı́
právě jedna z možnostı́:
1. x ∈ P
2. −x ∈ P
3. x = OF
a dále
1. x ∈ P, y ∈ P ⇒ x + y ∈ P
2. x ∈ P, y ∈ P ⇒ x · y ∈ P
∀x, y ∈ F
∀x, y ∈ F
Př. Sestrojit P na množině Q.
P = Q+ , P - podmnožina pozitivnı́ch čı́sel
⇓
pokud najdeme P , je pole uspořádané
Př. F = R ⇒ P = R+
Věta
Konečná pole nejsou uspořádaná pole.
Věta
C nelze uspořádat
Důkaz
Předpokládejme, že 1 ∈ P . Předpokládejme dále, že také i ∈ P . Jenže pak také i2 = −1 ∈ P .
Což je ale spor, protože 1 ∈ P ∧ −1 ∈ P .
Zkusme předpokládat, že 1 ∈ P ∧ −i ∈ P . Jenže pak také (−i)2 = −1 ∈ P . Což je ale spor,
protože 1 ∈ P ∧ −1 ∈ P .
Takže at’ volı́me kombinaci prvků jakkoliv, vždy dojdeme ke sporu, tzn. že C nelze uspořádat.
Máme-li uspořádané pole, pak v něm lze zavést relaci ostrého uspořádánı́ takto
x < y ⇐⇒ y − x ∈ P
Pak zavedeme x ≤ y, jestliže x < y nebo x = y.
SA1
33
Věta
Pole Rac je uspořádané pole.
Každou racionálnı́ funkci lze zapsat v tzv. základnı́m tvaru
W+
U
V
kde U, V, W jsou polynomy a platı́
lc(W ) > 0 a degU < degV
Racionálnı́ funkce ve tvaru W +
SA1
U
V
patřı́ do P , jestliže lc(W ) > 0 nebo W = 0 ∧ lc(U ) > 0.
9
34
Archimédovská pole
Řekneme, že uspořádané pole F je archimédovské, jestliže pro každá x, y ∈ P existuje
nějaké n ∈ N tak, že
n·x>y
Je Q archimédovské pole?
např x =
1
1000
a y = 550000 ⇒ evidentně ano
Věta
Pole racionálnı́ch funkcı́ je archimédovské pole.
Důkaz
Vezměme např. x = t a y = t2 . Pokud vezmeme y − x = t2 − t, zjišt’ujeme, že y − x ∈ P ⇒
y > x. Nynı́ vynásobme člen x čı́slem n. Ovšem zjistı́me, že pro y − nx = t2 − nt opět platı́,
že y − nx ∈ P ⇒ y > nx. Tzn., že pro jakékoliv n bude y > nx ⇒ pole racionálnı́ch funkcı́
nenı́ uspořádané.
Jestliže pro nějaké y ∈ P existuje x ∈ P takové, že archimédovská vlastnost nenı́ splněna
(tzn. neexistuje n ∈ N tak, aby nx > y), pak toto x nazveme infinitezimálnı́ (nekonečně
malé) vzhledem k y.
Př. polynom
1
t
je infinitezinálmı́ vzhledem k 1
Jestliže pro nějaké x existuje y takové, že nenı́ splněna archimédovská vlastnost, pak toto y
nazveme infinitnı́ (nekonečně velké) vzhledem k x.
Tato cesta byla zavržena - ti, kteřı́ touto cesto pokračujı́ ⇒ nestandartnı́ analýza - použı́vá
nearchimédovské pole a přidá si infinitezimálnı́ prvky (, . . .)
Vezměme nynı́ Q, A ⊆ Q, A 6= ∅
Řekneme, že x ∈ Q je hornı́ závora A, jestliže x ≥ a pro ∀a ∈ A
Řekneme, že x ∈ Q je dolnı́ závora A, jestliže x ≤ a pro ∀a ∈ A
Nynı́ vezměme např. A = {a ∈ Q, a ≤ 1}. Tato množina má nekonečno mnoho hornı́ch závor
→ nejmenšı́ hornı́ závoru nazveme suprémum A a označı́me ji supA.
Obdobně největšı́ dolnı́ závoru množiny A nazveme infimum A a značı́me infA.
Řekneme, že A je shora ohraničená, jestliže existuje nějaká jejı́ hornı́ závora.
Řekneme, že A je zdola ohraničená, jestliže existuje nějaká jejı́ dolnı́ závora.
Maximum množiny A je jejı́ největšı́ prvek, značený maxA.
Minimum množiny A je jejı́ nejmenšı́ prvek, značený minA.
SA1
35
Mějme A ⊆ Q shora ohraničenou. Sestrojme nynı́ množinu A tak, aby:
1. aby existovalo maximum i suprémum - např.
A = {x ∈ Q, 0 ≤ x ≤ 10}
2. aby existovalo suprémum, ale ne maximum - např.
A = {x ∈ Q, 0 ≤ x < 10}
3. aby neexistovalo minimum ani suprémum - např.
A = {x ∈ Q, x · x < 2}
⇒ důvod pro zavedenı́ R
Řekneme, že uspořádané pole F je husté, jestliže pro každé 2 prvky x, y ∈ F takové, že
x < y existuje z ∈ F tak, že x < z < y.
Věta
Q je husté pole. (důkaz - např. aritmetický průměr - vezmeme-li 2 libovolná racionálnı́ čı́sla
x a y, x < y, a uděláme-li jejich aritmetický průměr, dostaneme racionálnı́ čı́slo z, pro které
bude platit x < z < y)
Věta
Rac je husté pole.
SA1
10
36
Reálná čı́sla
1. Dedekindovy řezy
2. cauchyovské posloupnosti
3. axiomatické zavedenı́
10.1
Dedekindovy řezy
Definujme množinu D ⊆ Q splňujı́cı́ 2 podmı́nky:
1. jestliže x ∈ D, pak ∃ y ∈ D takové, že x < y
2. jestliže x ∈ D a y je libovolné y ∈ Q a y < x, pak y ∈ D
a nazvěme ji Dedekindův řez.
Př.
1. Q → ozn. ∞
2. Q → ozn. −∞
3. Q− → ozn. O
4. A = {x ∈ Q, x < 1} . . . reálné čı́slo 1
5. A = {x ∈ Q, x · x < 2} . . . reálné čı́slo
√
2
Množinu všedh Dedekindových řezů označı́me R a nazveme ji rozšı́řená reálná čı́sla. Samotná
reálná čı́sla pak definujeme takto:
R = R − {−∞, ∞}
Operace:
1. součet Dedekindových řezů:
D + E = {x ∈ Q, x = d + e, d ∈ D, e ∈ E}
Poznámka k uspořádánı́ Dedekindových řezů. D ≤ E definujeme takto x ∈ D ⇒ x ∈
E.
Jestliže O ≤ D, nazveme D nezáporným Dedekindovým řezem.
Jestliže O > D, nazveme D záporným Dedekindovým řezem.
Dedekindův řez
Q− − E = {x ∈ Q, x = d − e, d < 0 ∧ e ∈ Q − E}
označme −E a nazveme opačný k E.
Odečı́tánı́ Dedekindových řezů pak definujeme takto
D + (−E) = {x ∈ Q, x = d − e, d ∈ D ∧ e ∈ Q − E}
SA1
37
2. součin Dedekindových řezů:
a) D, E jsou nezáporné Dedekindovy řezy
D · E = {x ∈ Q, x = d · e, d ∈ D ∧ d ≥ 0, e ∈ E}
b) D nezáporný a E záporný
D · E = −(D · (−E))
c) D záporný a E nezáporný
D · E = −(−D · E)
d) D, E záporné
D · E = (−D · (−E))
10.2
vyjádřenı́ reálných čı́sel
a) např. 3, 14159265 . . . - nekonečný desetinný rozvoj
b) pomocı́ řetězových zlomků - takový zlomek je jednoznačný a je-li čı́slo racionálnı́, je
konečný
Pozn. Racionálnı́ čı́slo má ukončený nebo periodický desetinný rozvoj.
Př.
1 = 0, 9 = 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + . . . =
Př.
80
11
80
11
0, 9
=1
1 − 0, 1
=?
celá část 7
⇓
80
11
−7=
3
;
11
1
3
11
⇓
11
3
− 3 = 23 ;
1
2
3
⇓
3
2
− 1 = 12 ;
⇓
2 − 2 = 0;
1
1
2
=
=
11
3
3
2
celá část 3
celá část 1
=2
konec ⇒
80
1
=7+
11
3 + 1+1 1
2
SA1
11
38
Mohutnost čı́selných množin (kardinalita)
čı́selné vyjádřenı́ počtu prvků
Př. A = {x, y, z} ⇒ |A| = 3 (cardA = 3)
|∅| = 0
|N| = ℵ0
Mohutnost nekonečných množin porovnáváme bijekcı́.
Demonstrace na vesmı́rném hotelu:
1) všechny pokoje jsou obsazené a přijede 1 host ⇒ řekneme stávajı́cı́m hostům, at’ se posunou do pokoje s čı́slem o 1 většı́
N0 = N ∪ {0}
N
1
-
0
2
-
1
3
-
2
4
-
3
5
..
.
-
4
..
.
|N ∪ {0}| = ℵ0
|N ∪ A| = ℵ0 − A konečná množina
2) přijede nekonečně mnoho nových hostů - stávajı́cı́m hostům řekneme, at’ se přesunou z
pokoje čı́sla x do pokoje 2x
sudá
N
1
-
2
2
-
4
3
-
6
4
..
.
-
8
..
.
|sudá| = ℵ0
|lichá| = ℵ0
SA1
39
3) celá čı́sla
N
Z
1
-
0
2
-
1
3
-
−1
4
-
2
5
..
.
-
−2
..
.
130
-
65
131
- −65
|Z| = ℵ0
4) racionálnı́ čı́sla - |p| + q . . . výšká racionálnı́ho čı́sla
N
Q
1
-
2
-
3
-
4
-
5
-
6
-
7
-
8
-
9
-
10
..
.
-
0
1
− 11
1
1
− 21
− 12
1
2
2
1
− 31
− 13
1
3
..
.
|Q| = ℵ0
Pozn. Zavedenı́ intervalů
Vezměme A = {x ∈ Q, x < 1} = reálné čı́slo 1. Vezmeme množinu všech Dedekindových
řezů B, pro něž platı́ B ≤ A. Tuto množinu označı́me (−∞, 1i.
Nynı́ vezmeme (−∞, 1i − A a výsledek označı́me (−∞, 1).
Obdobně dostaneme interval (−∞, 0). Interval h0, 1) pak dostaneme takto: h0, 1) = (−∞, 1)−
(−∞, 0).
SA1
40
Věta
|R| > ℵ0
Důkaz - Cantorova diagonálnı́ metoda
Dokážeme, že |h0, 1)| > ℵ0
Označme nynı́ postupně všechna čı́sla z h0, 1) takto:
a1 = 0, a11 a12 a13 a14
a2 = 0, a21 a22 a23 a24
a3 = 0, a31 a32 a33 a34
.. .. ..
..
..
..
..
. . .
.
.
.
.
Nynı́ sestrojı́me čı́slo b = 0, b1 b2 b3 b4 . . . takto:
(
1 pro aii 6= 1
bi =
2 pro aii = 1
⇒ b 6= a1 , b 6= a2 , . . . ⇒ b nenı́ v námi sestrojeném seznamu čı́sel z h0, 1)
ale b je v h0, 1) ⇒ spor ⇒ |h0, 1)| > ℵ0 ⇒ |R| > ℵ0
A = {x, y, z}
|A| = 3
|2A | = 8
|2N | = ℵ1
|R| = c - dodnes nevyřešeno, zda c = ℵ1
|C| = |R2 | = c
Bijekce mezi R a R2 .
[0, 325415] ⇒ [0, 351; 0, 245]
⇓
zobrazenı́ bodu do roviny
⇓
|R2 | = c
SA1
12
41
Metrické prostory
větsinou budeme pracovat s R
drtivá většina reálných čı́sel nemá název (zápis)
|Q| = ℵ0
|R − Q| = c ⇒ je jich vı́ce než Q
√ √
algebraická čı́sla - kořeny polynomů (x2 −2, . . .) - všechny odmocniny atd. ( 2, 32 1024, . . .)
|algebraická čı́sla| = ℵ0
√
transcedentnı́ čı́sla - taková iracionálnı́ čı́sla, která nejsou kořeny polynomů (π, e, 2 2 )
|transcendentnı́ čı́sla| = c
Teorie metrických prostorů
Mějme X 6= ∅, funkci ρ : X × X → R splňujı́cı́:
1. ρ(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y
∀x, y ∈ X
2. ρ(x, y) = ρ(y, x) ∀x, y ∈ X
3. ρ(x, y) + ρ(y, z) ≥ ρ(x, z) ∀x, y, z ∈ X (trojúhelnı́ková nerovnost)
Tuto funkci ρ nazveme metrika na X a množinu (X, ρ), na které funkci ρ definujeme,
nazveme metrický prostor.
Věta
ρ je nezáporná funkce.
Důkaz
ρ(x, x) = 0
ρ(x, x) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, x) ⇒ 2ρ(x, y) ≥ 0 ⇒ ρ(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X
Lze na každé množině X zavést metriku?
Ano, tzv. triviálnı́ metriku.
(
ρ(x, y) =
0
pro x = y
1
pro x 6= y
1. X = R × R (reálná rovina)
Máme body x = [x1 , x2 ], y = [y1 , y2 ]. Metriku definovanou
p
ρ(x, y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2
nazveme eukleidovskou metrikou.
SA1
42
Obecně pro vı́cedimenzionálnı́ prostor X = Rn platı́
v
u n
uX
ρ(x, y) = t (xi − yi )2
i=1
2. X = R × R (reálná rovina)
Máme body x = [x1 , x2 ], y = [y1 , y2 ]. Metriku definovanou
ρ(x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |
nazveme manhattanskou (poštáckou) metrikou.
x
y
Obrázek 7: Manhattanská metrika
3. X = R × R
ρ(x, y) = (x1 − y1 )
Toto nenı́ metrika, protože x 6= y a ρ(x, y) = 0
x
y
Obrázek 8: Př. nemetriky“
”
Pozn. Pro X = R splyne eukleidovská a manhattanská metrika:
p
(x − y)2 = |x − y|
SA1
43
Otevřená koule
Otevřená koule v metrickém prostotu X se středem x0 a poloměrem > 0 je definována
Bx0 , = {x ∈ X, ρ(x0 , x) < }
eukleidovská metrika X = R × R
manhattanská metrika X = R × R
y
y
x0
x0
x
x
(a) Eukleidovská metrika
(b) Manhattanská metrika
Obrázek 9: Otevřené koule
triviálnı́ metrika
< 1 - jen střed x0
> 1 - úplně celá množina
Otevřená množina
Řekneme, že A ⊆ X je otevřená, jestliže pro ∀a ∈ A ∃ > 0 tak, že:
Ba, ⊆ A
(tzn. ke každému a můžeme sestrojit otevřenou kouli, která je celá v A)
y
x
Obrázek 10: Otevřená množina
SA1
44
Př. prázdná množina, celá množina (triviálnı́ přı́pady), otevřené intervaly
Obrázek 11: Otevřené množiny
Uzavřená množina
Řekneme, že množina A je uzavřená, jestliže jejı́ doplněk je množina otevřená.
Př. uzavřený interval, jediný bod
Obrázek 12: Uzavřené množiny
Věta
Q nejsou uzavřená množina ani otevřená množina
∅ je zároveň uzavřená i otevřená množina
R je zároveň uzavřená i otevřená množina
)
clopen
Př. X = Q
clopen množiny - ∅, R, A = {x ∈ Q, x · x < 2} ⇒ nedokonalost Q
SA1
13 Posloupnosti
13
45
Posloupnosti
a1 , a2 , a3 , . . . ; {an }∞
n=1
zobrazenı́ a : N → X
a(1) = a1
a(2) = a2
většina posloupnostı́ bez pravidla, budeme brát X = R ⇒ reálné posloupnosti
2 způsoby zadánı́ posloupnosti:
1. explicitnı́ zadánı́
zadánı́ posloupnosti pomocı́ obecného členu an
Př. an =
n
nn +n!
⇒ a1 = 21 , a2 = 31 , a3 =
1
,
11
a4 =
1
,...
70
2. rekurentnı́ zadánı́
vyjádřenı́ obecného členu an pomocı́ členů předchozı́ch
Př. a1 = 0, a2 = 1, an = an−1 + an−2 , pro n ≥ 3
a3 = 1, a4 = 2, a5 = 3, a6 = 5 ⇒ Fibonacciho posloupnost
tuto posloupnost lze vyjádřit také tı́mto explicitnı́m předpisem
√
√
(1 + 5)n − (1 − 5)n
√
an =
2n 5
Př. Kobonovy trojúhelnı́ky. Jednotlivé členy této posloupnosti zı́skáváme jako maximálnı́
počet trojúhelnı́ků, které vzniknou při zkřı́ženı́ n přı́mek pro n ≥ 3. Nenı́ zatı́m znám explicitnı́ ani rekurentnı́ předpis. Je známo pouze pár prvnı́ch členů a to 1, 2, 5, 7, 11, . . .
(a) n = 3
(b) n = 4
(c) n = 5
Obrázek 13: Kobonovy trojúhelnı́ky
SA1
13 Posloupnosti
46
Řekneme, že posloupnost {an }∞
n=1 konverguje k a ∈ X, jestliže pro ∀ > 0 existuje N ∈ N
takové, že pro všechna n ≥ N platı́, že ρ(an , a) < . Pak pı́šeme
lim an = a
(n→∞)
a
1
2
N
Obrázek 14: Konvergentnı́ posloupnost
Řekneme, že posloupnost {a∞
n=1 } je cauchyovská, jestliže ∀ > 0 ∃ N ∈ N takové, že pro
∀m, n ≥ N platı́, že ρ(am , an ) < .
Platı́, že jestliže je posloupnost konvergentnı́, je také cauchyovská
Definice
Metrický prostor nazveme úplný, jestliže v něm je každá cauchyovská posloupnost konvergentnı́.
Věta
Q nenı́ úplný metrický prostor.
Důkaz
Vezmeme posloupnost
an = (1 +
Nynı́ počı́tejme a2 − a1 =
9
4
1 n
9 64 625
) = 2, , ,
,...
n
4 27 256
− 2 = 14 , a3 − a2 =
64
27
−
9
4
=
13
.
108
13
1
<
108
4
Evidentně se rozdı́ly mezi členy zmenšujı́ ⇒ je to cauchyovská posloupnost.
Nenı́ to ale konvergentnı́ posloupnost v rámci Q. (lim an = e 6∈ Q) ⇒ lim an v Q neexistuje.
alternativnı́ konstrukce R
Zúplněnı́m metrického prostoru Q. Ke všem cauchyovským posloupnostem najdeme limity
⇒ tyto limity vytvořı́ množinu R (limity 6∈ Q, ale budou ležet v nově zavedené množině R).
SA1
14
47
Reálné posloupnosti - teorie
a:N→R
okolı́ bodu x ∈ R bude libovolný otevřený interval obsahujı́cı́ x, značı́me O(x)
x
Obrázek 15: Okolı́ bodu
-okolı́ bodu x ∈ R je definováno jako interval (x − , x + ), značı́me O (x)
x
Obrázek 16: -okolı́ bodu
ryzı́ okolı́ bodu x ∈ R definujeme O(x) = O(x) − {x}
x
Obrázek 17: Ryzı́ okolı́ bodu
ryzı́ -okolı́ bodu x ∈ R definujeme O (x) = O (x) − {x}
x
Obrázek 18: Ryzı́ -okolı́ bodu
n=1 konverguje k a ∈ R, jestliže ∀O(a) ∃ N ∈ N tak, že ∀n ≥ N
platı́, že an ∈ O(a).
nynı́ to nemusı́ být -okolı́ ⇒ můžeme vzı́t asymetrické okolı́ bodu x
n=1 diverguje k ∞, jestliže pro ∀K ∈ R ∃N ∈ N tak, že pro
∀n ≥ N platı́, že an > K a pı́šeme
lim an = ∞
Posloupnost {an }∞
n=1 diverguje k −∞, jestliže pro ∀K ∈ R ∃ N ∈ N tak, že pro ∀n ≥ N
platı́, že an < K a pı́šeme
lim an = −∞
⇓
divergentnı́ posloupnost
Posloupnost, která nediverguje ani nekonverguje, se nazývá oscilujı́cı́.
SA1
48
Omezenost posloupnosti
1. shora omezená - ∃ K ∈ R, an < K
2. zdola omezená - ∃ K ∈ R, an > K
3. omezená (ohraničená) - omezená zdola i shora
Monotonnost posloupnosti
1. rostoucı́ - ∀n ∈ N platı́
an+1 > an
2. klesajı́cı́ - ∀n ∈ N platı́
an+1 < an
3. nerostoucı́ - ∀n ∈ N platı́
an+1 ≤ an
4. neklesajı́cı́ - ∀n ∈ N platı́
an+1 ≥ an
5. konstantnı́ - ∀n ∈ N platı́
an+1 = an
monotónnı́ - 1) až 4)
ryze monotónnı́ - 1) a 2)
n=1 má hromadný bod a ∈ R, jestliže pro ∀O(a) platı́, že
nekonečně mnoho bodů této posloupnosti ležı́ v O(a).
Př. Posloupnost 1, 0, 1, 0, . . . ⇒ 2 hromadné body
Př.
1 3 5 1 5 9 1 9 17
, , , , , , , , ,...
2 2 2 4 4 4 8 8 8
tato posloupnost má hromadné body 0, 1 a 2
n=1 má hromadný bod ∞, jestliže pro ∀K ∈ R platı́, že
nekonečně mnoho bodů splňuje, že an > K.
Např.:
1, 2, 3, 4, . . .
n=1 má hromadný bod −∞, jestliže pro ∀K ∈ R platı́, že
nekonečně mnoho bodů splňuje, že an < K.
SA1
49
Věta
Každá posloupnost má alespoň 1 hromadný bod.
Důkaz
Nenı́-li shora omezená, je hromadným bodem ∞.
Nenı́-li zdola omezená, je hromadným bodem −∞.
Předpokládejme dále, že posloupnost je omezená ⇒ an ∈ hK, Li. Pak alespoň v jednom
i, ( K+L
, Li ležı́ nekonečně mnoho bodů posloupnosti. Takto budeme
z intervalů hK, K+L
2
2
pokračovat až dostaneme v limitnı́m přı́padě bod ⇒ hromadný bod.
suprémum ze všech hromadných bodů posloupnosti se nazývá limes superior a označuje
lim sup an
infimum ze všech hromadných bodů posloupnosti se nazývá limes inferior a označuje
lim inf an
Př.
1 5 9
1 9 17
1 3 5
0, , , , 1, , , , 2, , , , 3, . . .
2 2 2
4 4 4
8 8 8
lim sup an = ∞, lim inf an = 0
posloupnost s nekonečně vysokým počtem hromadných bodů
1 1 3 1 3 5 7 1 3 5 7 9 11 13 15 1
, , , , , , , , , , , , , , , ,...
2 4 4 8 8 8 8 16 16 16 16 16 16 16 16 32
lim sup an = 1, lim inf an = 0
Restrikcı́ (zúženı́m) zobrazenı́ a : N → R na nekonečnou množinu J ⊆ N dostáváme vybranou podposloupnost.
Věta
Má-li posloupnost {an }∞
n=1 hromadný bod a, pak existuje jejı́ vybraná podposloupnost, která
konverguje k a.
Věta (Bolzano, Weierstrass)
Pro každou omezenou posloupnost {an }∞
n=1 existuje jejı́ vybraná podposloupnost, která je
konvergentnı́.
SA1
50
Výpočty limit
∞
{an }∞
n=1 , {bn }n=1 posloupnosti s vlastnı́mi limitami. Pak platı́ následujı́cı́ vztahy:
1.
lim(an ± bn ) = lim an ± lim bn
2.
lim(an · bn ) = lim an · lim bn
3.
lim
Př.
lim
an
bn
=
lim an
lim bn
n3 ( n1 + n12 + n23 )
n2 + n + 2
=0
=
lim
n3 − 1
n3 (1 − n13 )
Počı́táme-li limitu výrázů typu
P
,
Q
platı́:
P
1. lim Q
= ±∞, pro degP > degQ
P
= 0, pro degP < degQ
2. lim Q
P
3. lim Q
= podı́l lc, pro degP = degQ
Věta
V R platı́, že posloupnost je konvergentnı́ ⇐⇒ cauchyovská.
Důkaz
1) ⇒: Předpokládejme, že posloupnost {an }∞
n=1 je konvergentnı́, tj. konverguje k a ∈ R,
tzn. pro ∀ > 0, tedy i pro 2 (> 0), existuje N ∈ N tak, že |an − a| < 2 pro ∀n ≥ N a
také |am − a| < 2 pro ∀m ≥ N . Pak pro m, n ≥ N je |am − an | = |am − a + a − an | ≤
|am − a| + |an − a| < . Posloupnost je tedy také cauchovská.
2) ⇐: Předpokládejme, že posloupnost {an }∞
n=1 je cauchyovská. Předpokládejme dále, že
0 00
posloupnostt má 2 hromadné body a , a ∈ R. Tzn. existuje vybraná podposloupnost {aki }∞
i=1 ,
která konverguje k bodu a0 , tzn. pro ∀ > 0, tedy i pro 3 , ∃ N1 ∈ N tak, že |aki − a0 | < 3
00
pro ∀ki ≥ N1 a existuje vybraná podposloupnost {ali }∞
i=1 , která konverguje k bodu a , tzn.
∀ > 0, tedy i pro 3 , ∃ N2 ∈ N tak, že |ali − a00 | < 3 pro ∀li ≥ N2 . Protože je posloupnost
cauchyovská, existuje také N ∈ N tak, že |aki − ali | < 3 ∀ki , li ≥ N .
Nynı́ vezmeme N0 = max{N1 , N2 , N }
Pak pro ki , li ≥ N0 je |a0 −a00 | = |a0 −aki +aki −ali +ali −a00 | = |a0 −aki |+|aki −ali |+—a00 −ali | <
.
Ukázali jsme, že pro každé > 0 splňujı́ hromadné body a0 , a00 podmı́nku |a0 − a00 | < . Tzn.
a0 = a00 , tedy posloupnost má jediný hromadný bod ⇒ tı́m pádem je konvergentnı́.
Důsledek
R je úplný metrický prostor, tzn. každá cauchyovská posloupnost je zde konvergentnı́.
SA1
51
Stolzova věta
{bn }∞
n=1 je (alespoň od nějakého indexu) rostoucı́ posloupnost, tj lim bn = ∞.
{an }∞
n=1 dalšı́ posloupnost.
Pak platı́:
lim
an
an − an−1
= lim
bn
bn − bn−1
Důkaz
Předpokládáme, že
lim
an − an−1
=l
bn − bn−1
tzn. pro ∀ > 0, tedy i pro 2 , ∃ N ∈ N tak, že pro ∀n ≥ N je
l−
an − an−1
<
<l+
2
bn − bn−1
2
Vezmeme-li tedy jakékoliv n > N (pevně vybrané n), tak potom všechny zlomky
an−1 − an−2 an − an−1
aN +1 − aN aN +2 − aN +1 aN +3 − aN +2
,
,
, ... ,
,
bN +1 − aN bN +2 − aN +1 bN +3 − aN +2
bn−1 − an−2 bn − an−1
ležı́ mezi l −
2
a l + 2 . Mezi l −
2
a l+
2
ležı́ potom i zlomek
an − aN
bn − bN
({bn } rostoucı́
⇒ jmenovatelé zlomků jsou kladné ⇒ můžeme vzı́t průměr čitatelů i jmeno
průměr čitatelů
vatelů
⇒ dostáváme tak náš zlomek).
průměr jmenovatelů
Pak platı́:
an − aN
bn − bN − l < 2
Počı́táme:
1)
an
aN − lbN
bN
an − aN
−l =
+ 1−
−l
bn
bn
bn
bn − bN
Výpočet
aN − lbN
bN
an − aN
aN − lbN
bn − bN
an − aN
+ 1−
−l =
+
−l =
bn
bn
bn − bN
bn
bn
bn − bN
aN − lbN
bn − bN
an − aN − lbn + lbN
aN − lbN
an − aN − lbn + lbN
+
=
+
=
=
bn
bn
bn − bN
bn
bn
=
an − lbn
an lbn
an
=
−
=
−l
bn
bn
bn
bn
2)
an
− l ≤ aN − lbN + 1 − bN an − aN − l
bn
bn
bn
bn − bN
SA1
52
Výpočet - vı́me, že platı́
an − aN
aN − lbN b
N
<
bn − bN − l < 2 , 1 − bn < 1 ⇒ stačı́ ukázat, že 2
bn
Pamatujeme, že lim bn = ∞ ⇒ zlomek bude nabývat nekonečně malých hodnot (< 2 ).
⇓
Po těchto výpočtech nám vyjde
an
− l < , tzn. lim an = l.
bn
bn
Předpokládejme nynı́, že
lim
an − an−1
=∞
bn − bn−1
Tzn., že an −an−1 > bn −bn−1 (alespoň od určitého indexu). Jenže {bn } je rostoucı́ posloupnost
⇒ {an } také rostoucı́ posloupnost.
lim bn = ∞ ⇒ lim an = ∞
Pak můžeme počı́tat
lim
bn − bn−1
=0
an − an−1
Pro přı́pad vlastnı́ho čı́sla (limity) je už Stolzova věta dokázána. {an } je nynı́ vážně rostoucı́,
tzn.
bn
lim
=0
an
a odtud máme
an
lim
=∞
bn
(Tı́m je Stolzova věta dokázána pro vlastnı́ i nevlastnı́ limity.)
SA1
53
Př.
1K + 2K + 3K + . . . + nK
nK+1
9
, c3 = 36
...
např. pro K = 3 máme c1 = 1, c2 = 16
81
cn =
limcn =?
1K + 2K + 3K + . . . + nK
1K + 2K + . . . + nK − (1K + 2K + . . . + (n − 1)K )
lim
= lim
=
nK+1
nK+1 − (n − 1)K+1
nK
= lim
nK+1 − (n − 1)(nK −
= lim
K
1
!
nK−1 +
K
!
nK−2 −
2
K
3
=
!
nK−3 + . . . + (−1)K
nK
nK
1
=
lim
=
K+1
K+1
K
K
K
K
n
−n
+ kn + n + nižsı́ mocniny
kn + n + nižsı́ mocniny
K +1
⇒ pro K = 3 nám vyjde
lim cn =
SA1
1
4
15
54
Reálné posloupnosti - cvičenı́
I. část
1. Zakreslete zobrazenı́ f : N → R dané předpisem f (x) = 2 − x1 .
Jde o reálnou posloupnost, kterou lze také zapsat jako {an } (někdy se také pı́še {an }∞
n=1 ),
1
kde an = 2 − n .
2. a) Definujte pojem vlastnı́ limita reálné posloupnosti {an }.
b) Definujte pojem nevlastnı́ limita reálné posloupnosti {an }.
n
= 1.
n→∞ n + 1
Nápověda: ukažte, že ke každému > 0 existuje N = N () takové, že pro všechna
n > N platı́ |an − 1| < .
3. a) Pomocı́ definice limity posloupnosti dokažte, že lim
b) Doplňtě tabulku:
0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001
Nmin
(−1)n+1
= 0.
n→∞
n
0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001
Nmin
1
= 1.
n→∞ n!
Nápověda: ukažte, že ke každému > 0 existuje N = N () takové, že pro všechna
n > N platı́ |an − 1| < .
0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001
Nmin
6. a) Dokažte, že lim (−1)n n. = ∞, tj. že daná posloupnost diverguje.
n→∞
Nápověda: ukažte, že ke každému K > 0 existuje N = N (K) takové, že pro všechna
n > N platı́ |an | < K.
K
10 100 1000 10000
Nmin
7. Rozhod’něte, zda je posloupnost {2, 1 12 , 1 14 , 1 18 , . . .} monotónnı́ a pokuste se odhadnout
jejı́ limitu.
[1]
SA1
8. Odhadněte limn→∞
n
.
2n
55
[0]
9. Spočtěte následujı́cı́ limity:
n−1
;
n→∞ n + 1
b) lim (−1)n 0, 999n ;
a) lim
n→∞
2n + 1
;
n→∞
2n
2n + 3
d) lim
;
n→∞ 1 − 4 · 2n
5
e) lim 2 −
;
n→∞
2n
√
n
f) lim 3;
c) lim
n→∞
n2 + 2
;
n→∞ 4n2 + 1
sin n
;
lim
n→∞ n
2n + sin n
lim
;
n→∞ 3n − 1
n2
;
lim
n→∞ n − 1
n2 + 1
lim 3
;
n→∞ n + 5n − 7
1 + (−1)n
;
lim
n→∞
2
(n + 2)! + (n + 1)!
lim
;
n→∞ (n + 2)! − (n + 1)!
[0]
[1]
[− 14 ]
[2]
[1]
g) lim
[ 41 ]
h)
[0]
i)
j)
k)
l)
m)
1 + (−1)n
;
n→∞
2
3n2 − 123n − 1000
;
lim
n→∞
2n2 + n
−n2
lim
;
n→∞ 1000n + 2
n3 + 12n2 + 12n + 12
;
lim
n→∞
n4 − 1
n + (−1)n
lim
;
n→∞ n − (−1)n
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
lim
;
n→∞
n3
1
lim
;
n→∞ (1 − n)2
n) lim
o)
p)
q)
r)
s)
t)
SA1
[1]
[ 32 ]
[∞]
[0]
[neexistuje]
[1]
[neexistuje]
[ 23 ]
[−∞]
[0]
[1]
[1]
[0]
(−1)n
;
n→∞
n
nn
;
v) lim
n→∞ n!
2n
w) lim
;
n→∞ n!
u) lim
SA1
56
[0]
[∞]
[0]
57
II. část
1. Určete hodnotu následujı́cı́ch výrázů:
1
2
n−1
a) lim
;
+
+ ... +
n→∞
n2 n2
n2
Nápověda: Je třeba využı́t vztahu 1 + 2 + . . . + k = . . .
2
1
22
(n − 1)2
b) lim
;
+
+ ... +
n→∞
n2 n2
n2
Nápověda: Je třeba využı́t vztahu 12 + 22 + . . . + k 2 =
dokažte matematickou indukcı́.
2
1
32
(2n − 1)2
c) lim
;
+
+ ... +
n→∞
n3 n3
n3
k(k+1)(2k+1)
,
6
[ 21 ]
[ 31 ]
který si nejprve
Nápověda: Zkuste si nejprve odvodit vztah pro 12 + 32 + . . . + (2k − 1)2 =
1)2 = . . . = k(2k−1)(2k+1)
3
1
1
1
d) lim
+
+ ... +
;
n→∞
1·2 2·3
n(n + 1)
n
X
k 3 + 6k 2 + 11k + 5
e) lim
;
n→∞
(k
+
3)!
k=1
[ 34 ]
Pk
i=1 (2i −
[1]
[ 53 ]
Nápověda: Snahou je, najı́t v polynomu k 3 + 6k 2 + 11k + 5 činitel (k + 1)!, který by
se zkrátil. To se bohužel nepovede, ale zkuste rozložit na součin kořenových činitelů
polynom k 3 + 6k 2 + 11k + 5 + 1.
2. Definujte pojem hromadný bod posloupnosti.
3. Určete hromadné bofy posloupnosti:
a)
b)
1
;
2
1
;
2
1
;
2
1
;
3
1
;
4
2
;
3
3
;
4
1
;
4
c) an = 3 1
n
7
; . . . ; 21n ; 2 2−1
n ;...
8
3 1 2 3 4
; ; ; ; ;...
4 5 5 5 5
− n1 + 2(−1)n
1
;
8
2
;
4
[0, 1]
[všechna reálná čı́sla v intervalu h0, 1i]
[1, 5]
4. Definujte pojem limes superior a limes inferior posloupnosti {an }.
5. Odhadněte lim inf an a lim sup an :
n→∞
n→∞
a) an = (−1)n−1 2 +
b) an =
(−1)n
n
+
c) an = (−1)n n
d) an = n
SA1
(−1)n
3
n
1+(−1)n
2
[−2, 2]
[0, 1]
[−∞, ∞]
[0, ∞]
16
16.1
58
Funkce reálné proměnné - teorie
Úvod
f : R → R - reálná funkce reálné proměnné (f : N → R = posloupnosti)
Domf = definičnı́ obor
Imf = obor hodnot
přı́klady netradičnı́ch“ funkcı́:
”
1. Dirichletova funkce
(
χ(x) =
1
pro x ∈ Q
0
pro x 6∈ Q
2. Riemannova funkce
(
ρ(x) =
1
q
pro x ∈ Q (x = pq )
0
pro x 6∈ Q
3.
(
λ(x) =
k pokud je v desetinném rozvoji čı́sla x čı́slice 7 zastoupena k-krát
−1 pokud je v desetinném rozvoji čı́sla x čı́slice 7 zastoupena nekonečně mnohokrát
λ(3, 7) = 1
λ(3) = 0
λ( 71 ) = −1 ⇒ na žádnı́m intervalu tato funkce nenı́ shora omezená
restrikce (= zúženı́) - vybránı́ podmnožiny Domf
Př. f (x) = x2 , provedeme restrikci z Domf = R na Domf = h0, 1i
y
y
x
(a) Domf = R
1
x
(b) Domf = h0, 1i
Obrázek 19: Restrikce Domf
SA1
59
extenze (= rozšı́řenı́) - vezmeme nadmnožinu Domf a dodefinujeme funkčnı́ hodnoty
y
x
Obrázek 20: Extenze Domf
16.2
Vlastnosti funkce
1. Omezenost funkce:
a) shora omezená na množině M
∃ a ∈ R takové, že pro ∀x ∈ M platı́, že f (x) ≤ a
b) zdola omezená na množině M
∃ a ∈ R takové, že pro ∀x ∈ M platı́, že f (x) ≥ a
c) omezená (ohraničená), je-li na množině M omezená shora i zdola
2. Monotónnost funkce:
a) rostoucı́
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ Domf
b) klesajı́cı́
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ Domf
c) neklesajı́cı́
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ Domf
d) nerostoucı́
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ Domf
e) konstantnı́
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ Domf
monotonnie - a), b), c) nebo d)
ryzı́ monotonnie - a) nebo b)
SA1
60
3. Sudost/lichost
Pro sudou či lichou funkci musı́ platit, aby měla souměrný Domf podle 0, tzn. x ∈
Domf ⇐⇒ −x ∈ Domf .
a) sudá funkce - f (x) = f (−x)
Př.: cos x, x2 , . . .
b) lichá funkce - f (x) = −f (−x)
Př.: sin x, x3 , . . .
y
y
x
x
(a) Sudá funkce
(b) Lichá funkce
Obrázek 21: Sudost/lichost funkce
4. Periodicita
1) existuje p > 0 tak, že ∀x ∈ Domf platı́, že f (x) = f (x + p)
2) mezi takovými p lze vybrat nejmenšı́ ⇒ perioda
Př. f (x) = sin x ⇒ p = 2π
Dirichtelova funkce periodická nenı́, protože nelze vybrat nejmenšı́ p.
SA1
17
61
Funkce reálné proměnné - cvičenı́
Grafy funkcı́ - načrtněte grafy funkcı́:
x
−x
2
3
−1
1
2
x
;
2
1. e ; e ; log0,2 x; ln x; x ; x ; x ; x ; sin x; sin 2x; sin tg x; sinh x =
...
−x−5
2. f1 (x) = 2 − 3−(x−1) ; f2 (x) = 1e
; f( x) = |31−x − 1|.
3. g1 (x) = log 1 (5 − x) − 4 + 2; g2 (x) = ln(x + 2).
ex −e−x
2
; cosh x;
e
4. h1 (x) = arcsin x; h2 (x) = arccos x; h3 (x) = arctg x; h4 (x) = arccotg x
5. f1 (x) = (x − 1)(x + 2); f2 (x) = (x + 1)(x − 2)(x + 3); f3 (x) = (1 − x2 )(2 + x);
f4 (x) = x2 − x4 .
Definičnı́ obor funkce
q
;
6. f (x) = (x − 2) 1+x
1−x
7. f (x) =
√
[h−1, 1i]
−x2 + 8x − 12;
[h2, 6i]
√
2 + x − x2 ;
√ √
9. f (x) = log −x2 + 8x − 12 − 3 ;
2x
10. f (x) = arcsin x+1
;
8. f (x) =
11. f (x) =
[h−1, 2i]
[h3, 5i]
[h− 31 , 1i]
x2
.
x+1
[x 6= −1]
Monotonnost - Dokažte, že dané funkce jsou na daném intervalu ostře rostoucı́, resp. ostře
klesajı́cı́:
12. f (x) = x2 pro x ∈ (0, ∞);
13. f (x) = tg x pro x ∈ − π2 , π2 ;
14. f (x) = cos x pro x ∈ (0, π).
Inverznı́ funkce - Najděte inverznı́ funkci a určete jejı́ definičnı́ obor:
15. f (x) = x2 pro x ∈ (−∞, 0);
√
16. f (x) = 1 − x2 pro x ∈ h−1, 0i;
17. f (x) =
SA1
1−x
1+x
pro x 6= −1.
62
Sudost, lichost - Rozhodněte u daných funkcı́:
1−x
18. f (x) = ln 1+x
;
√
19. f (x) = ln x + 1 + x2 ;
[lichá]
[lichá]
20. f (x) = ax + a−x pro a > 0.
[sudá]
Infimum a suprémum - Určete u následujı́cı́ch funkcı́:
21. f (x) = x2 pro x ∈ (−2, 5);
22. f (x) = x +
1
x
pro x ∈ (0, ∞);
23. Dokažte, že funkce f (x) =
SA1
x
1+x
pro x ∈ h0, ∞) má infimum m = 0 a suprémum M = 1.
18
18.1
63
Limita funkce - teorie
Vlastnı́ limita ve vlastnı́m bodě
Řekneme, že funkce f (x) má v bodě x0 limitu a a pı́šeme
lim f (x) = a
x→x0
jestliže pro ∀O(a) bodu a ∃ ryzı́ okolı́ O(x0 ) bodu x0 tak, že ∀x ∈ O(x0 ) platı́, že f (x) ∈ O(a).
y
b
a
x0
x
Obrázek 22: Vlastnı́ limita ve vlastnı́m bodě
18.2
Limita zprava
O+ (x0 ) = (x0 , x0 + ) - ryzı́ okolı́ zprava
x0
Obrázek 23: Ryzı́ okolı́ zprava
O− (x0 ) = (x0 − , x0 ) - ryzı́ okolı́ zleva
x0
Obrázek 24: Ryzı́ okolı́ zleva
Řekneme, že funkce f (x) má v bodě x0 limitu zprava a a pı́šeme
lim f (x) = a
x→x+
0
jestliže pro každé O(a) bodu a ∃ O(x0 ) bodu x0 tak, že ∀x ∈ O+ (x0 ) platı́, že f (x) ∈ O(a).
SA1
18.3
64
Nevlastnı́ limita ve vlastnı́m bodě
Řekneme, že funkce f (x) má v bodě x0 limitu rovnu ∞ a pı́šeme
lim f (x) = ∞
x→x0
jestliže pro ∀K ∈ R ∃ ryzı́ okolı́ O(x0 ) bodu x0 tak, že pro ∀x ∈ O(x0 ) platı́, že f (x) > K.
y
x
Obrázek 25: Nevlastnı́ limita ve vlastnı́m bodě
Obdobně pro nevlastnı́ limitu rovnu −∞
lim f (x) = −∞
x→x0
jestliže pro ∀K ∈ R ∃ ryzı́ okolı́ O(x0 ) bodu x0 tak, že pro ∀x ∈ O(x0 ) platı́, že f (x) < K.
18.4
Vlastnı́ limita ve nevlastnı́m bodě
Řekneme, že funkce f (x) má v ∞ limitu rovnu a a pı́šeme
lim f (x) = a
x→∞
jestliže pro každé O(a) bodu a ∃ L ∈ R takové, že pro ∀x > L platı́, že f (x) ∈ O(a).
y
a
x
Obrázek 26: Vlastnı́ limita ve nevlastnı́m bodě
SA1
18.5
65
Nevlastnı́ limita ve nevlastnı́m bodě
Řekneme, že funkce f (x) má v ∞ limitu rovnu ∞ a pı́šeme
lim f (x) = ∞
x→∞
jestliže pro ∀K ∈ R ∃ L ∈ R tak, že pro ∀x > L platı́, že f (x) > K.
y
K
L
x
Obrázek 27: Nevlastnı́ limita ve nevlastnı́m bodě
Věta
Funkce má v bodě (vlastnı́m nebo nevlastnı́m) nejvýše jednu limitu.
Věta
lim f (x) existuje ⇐⇒ existuje
x→x0
lim f (x) ∧ existuje lim+ f (x) a
x→x0 −
x→x0
a
lim f (x) = lim+ f (x)
x→x0 −
x→x0
a
x0
x0
a
x0
Obrázek 28: Existence limity
SA1
19 Limita funkce - cvičenı́
19
66
Limita funkce - cvičenı́
1. Definujte (pomocı́ a δ) vlastnı́ limitu funkce f : R → R ve vlastnı́m bodě.
2. Definujte vlastnı́ limitu funkce f : R → R v nevlastnı́m bodě.
3. Definujte nevlastnı́ limitu funkce f : R → R ve vlastnı́m bodě.
4. Určete limitu funkcı́ pro x → 0:
a) f (x) = x2 + 1
(
x2 + 1 pro x 6= 0
b) g(x) =
−1
pro x = 0
5. Odhadněte limitu funkcı́ pro x → 0:
a) f (x) = x3 − 2
(
x3 − 2 pro x 6= 0
b) g(x) =
1
pro x = 0
6. Spočtěte limity:
x2 − 4
x→2 x − 2
1
b) lim
1
x→∞ 1 + e x
cos x − sin x
c) limπ
x→ 4
cos 2x
[4]
a) lim
cos2 x
x→∞
x
1
lim+ arctg
x→0
x
3
sin x
lim+ − 1
x→0
e x
x − sin x
lim
x→∞ x + cos x
√
x2 − x
lim √
x→1
x−1
√
[
2
]
2
d) lim
[0]
e)
[ π2 ]
f)
g)
h)
x3 − 2x − 1
x→−1 x5 − 2x − 1
i) lim
SA1
[ 21 ]
[∞]
[1]
[3]
[ 31 ]
20
67
Spojitost funkce - teorie
Spojitost v bodě
Funkce f (x) je spojitá v bodě x0 , jestliže
lim f (x) = f (x0 )
x→x0
Spojitost na množině
Řekneme, že funkce f (x) je spojitá na množině M , jestliže je spojitá v každém bodě x ∈ M .
Dirichletova funkce - nenı́ spojitá v žádném bodě (protože v žádném bodě neexistuje limita)
Riemannova funkce - v x0 = 0 spojitá nenı́, protože
ρ(0) = 1 6= 0 = lim ρ(x)
x→0
Je spojitá v irracionálnı́ch čı́slech, tj. skoro všude“.
”
1. věta Weierstrassova
Funkce spojitá na uzavřeném intervalu je na tomto intervalu ohraničená.
2. věta Weierstrassova
Funkce spojitá na uzavřeném intervalu nabývá na tomto intervalu svého maxima i minima.
1. věta Bolzanova
Uvažujme funkci f (x) pojitou na uzavřeném intervalu ha, bi takovou, že f (a) · f (b) < 0. Pak
existuje c ∈ ha, bi tak, že f (c) = 0.
y
a
c
b
x
Obrázek 29: 1. Bolzanova věta
2. věta Bolzanova
Opět mějme funkce f (x) spojitou na uzavřeném intervalu. Zde nabývá všech hodnot mezi
svým maximem a minimem na tomto intervalu.
SA1
68
Browerova věta (O pevném bodě)
Uvažujme funkce f (x) spojitou na intervalu ha, bi, f (ha, bi) = ha, bi . . . spojité zobrazenı́
ha, bi do sebe. Pak existuje c ∈ ha, bi tak, že f (c) = c.
y
b
a
a c1
c2 b
x
Obrázek 30: Browerova věta
Důkaz
Je-li f (a) = a, pak vezmeme c = a.
Je-li f (b) = b, pak vezmeme c = b.
Předpokládejme, že f (a) 6= a a f (b) 6= b. Vezměme funkci g(x) = x − f (x). ⇒ g(a) > 0,
g(b) < 0 ⇒ g(a) · g(b) < 0. Funkce g(x) tak splňuje předpoklady 1. Bolzanovy věty ⇒
existuje c takové, že g(c) = 0.
0 = g(c) = c − f (c)
pak
c = f (c)
Znovu definice spojitosti funkce f v bodě x0
Řekneme, že funkce f (x) je spojitá v bodě x0 , jestliže pro ∀ okolı́ bodu f (x0 ) O(f (x0 )) existuje okolı́ bodu x0 O(x0 ) tak, že pro ∀x ∈ O(x0 ) platı́, že f (x) ∈ O(f (x0 )).
Nynı́ nahradı́me O(f (x0 )) výrazem (f (x0 ) − , f (x0 ) + ) a O(f (x0 )) výrazem (f (x0 ) −
δ, f (x0 ) + δ).
Spojitost na množině M (bodově)
Řekneme, že funkce f (x) je bodově spojitá na množině M , jestliže pro ∀x0 ∈ M a pro
∀O(f (x0 )) bodu f (x0 ) existuje Oδ (x0 ) (δ-okolı́, tj. (x0 − δ, x0 + δ)) tak, že pro ∀x ∈ Oδ (x0 )
platı́, že f (x0 ) ∈ O(f (x0 )).
⇒ δ je závislé na výběru x0 , tj. nenı́ univerzálnı́ pro množinu M
SA1
69
Stejnoměrná spojitost
Funkce f je stejnoměrně spojitá na množině M , jestliže pro ∀x0 ∈ M a pro ∀O(f (x0 ))
(s pevným ) bodu f (x0 ) existuje Oδ (x0 ) bodu x0 tak, že pro ∀x ∈ Oδ (x0 ) (tj. (x0 −δ, x0 +δ))
platı́, že f (x0 ) ∈ O(f (x0 )).
Nynı́ chmeme δ univerzálnı́.
stejnoměrně spojitá ⇒ bodově spojitá
Věta Heineho
Funkce spojitá na uzavřeném intervalu je zde stejnoměrně spojitá.
SA1
21 Spojitost funkce - cvičenı́
21
70
Spojitost funkce - cvičenı́
1. Rozhodněte, zda je funkce v bodě x0 = 0 spojitá:
(
sin x
pro x 6= 0
|x|
a) f (x) =
1
pro x = 0
( sin x pro x 6= 0
x
b) f (x) =
1
pro x = 0
(
sin x1 pro x 6= 0
c) f (x) =
1
pro x = 0
[ne]
[ano]
[ne]
2. Metodou půlenı́ intervalu najděte přibližné řešenı́ rovnice ex +x = 0 v intervalu h−1, 0i
s přesnostı́ 0, 2, vı́te-li, že řešenı́ je na tomto intervalu právě jedno.
Nápověda: Využijte Bolzanovu větu, která řı́ká: Necht’ f (x) je spojitá na ha, bi a
f (a) · f (b) < 0 ⇒ . . .
SA1
22
71
Elementárnı́ funkce - teorie
tj. takové, které lze bez problémů zderivovat (zintegrovat už obtı́žně) - mezi nejznámnějšı́
2
neelementárnı́ funkce patřı́ e−x , erf(x), Γx
Na množině elementárnı́ch funkcı́ zavedeme operace:
1. sčı́tánı́ f + g = h zavedeme takto
h(x) = f (x) + g(x)
y
y
y
=
+
1
x
1
x
x
Obrázek 31: Sčı́tánı́ funkcı́
sčı́táme po bodech (point-wise)
2. odečı́tánı́ f − g = h
3. násobenı́ f · g = h
4. dělenı́
f
g
=h
2
5. umocněnı́ - např. (sin x)x , zavedeme také po bodech
SA1
72
6. kompozice(skládánı́)
f ◦ g = f (g) . . . napřed g a potom f (čteme f po g)
g
Img
Domg
f
Imf
Domf
Obrázek 32: Kompozice funkcı́
může se stát, že nám vznikne prázdná funkce (tj. Img a Domf by byly disjunktivnı́)
⇒ množiny musı́ mı́t nějaký průnik
SA1
22.1
73
Polynomy
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 x0
an 6= 0
an 6= 0 ⇒ polynom stupně n proměnné x
a . . . koeficienty
an xn . . . vedoucı́ člen lt
an . . . vedoucı́ koecifient lc
4x3 . . . monom (tj. pouze 1 nenulový člen)
11 . . . polynom stupně 0
0 je polynom, ale nedefinovaného stupně
kořeny - taková r ∈ R, že f (r) = 0
1. nulový polynom f (x) = 0
všechno je kořenem, tj ∀x ∈ R, sudá i lichá funkce zároveň
y
x
Obrázek 33: Nulový polynom
2. konstantnı́ f (x) = a, a 6= 0
sudá funkce, nemá žádný kořen
y
x
Obrázek 34: Konstatnı́ polynom
SA1
74
3. lineárnı́ f (x) = ax + b, a 6= 0
1 kořen:
x1 = −
b
a
y
x1
x
Obrázek 35: Lineárnı́ polynom
SA1
75
4. kvadratické f (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0
0, 1 nebo 2 kořeny:
x1,2 =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
y
y
x1
x2
x
x1
(a) 2 reálné kořeny
x
(b) Dvojnásobný kořen
y
x
(c) 2 komplexnı́ kořeny
Obrázek 36: Kvadratické polynomy
SA1
76
5. kubické f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, a 6= 0
1, 2 nebo 3 kořeny (tj. alespoň 1) - pro výpočet kořenů existujı́ Cardanovy vzorce
y
y
x1
x2
x3
x
x1
(a) 3 reálné kořeny
x2
x
(b) 3 reálné kořeny
y
x1
x
(c) 1 reálný a 2 komplexně sdružené
kořeny
Obrázek 37: Kubické polynomy
SA1
77
6. kvartické f (x) = ax4 + bx3 + c2 x + dx + e, a 6= 0
0-4 kořeny
7. 5. stupně
1-5 kořenů ⇒ alespoň 1
polynomy od 5. stupně výš - pro výpočet kořenů nejsou obecné vzorce a nikdy nebudou (Abel) → kořeny lze přibližně zjistit tipovacı́“ metodou = půlenı́m intervalů
”
Základnı́ věty algebry
Polynom stupně n má n kořenů ∈ C, pokud počı́táme jejich násobnost
x2 + 2x + 1 = 0 ⇒ x1,2 = −1
Pn = (x − r1 )(x − r2 ) . . . (x − rn )
rozklad na reálné součinitele → lineárnı́ a kvardatické (na tzv. nerozložitelné)
každý kořen ∈ C má v rozkladu i svůj komplexně sdružený kořen → vynásobenı́m zı́skáme
kořen ∈ R
Př. f (x) = x6 − x5 + 4x4 − 4x3 + 4x2 − 4x
f (x) = x2 (x4 + 4x2 + 4) − x(x4 + 4x2 + 4) = (x2 − x)(x2 + 2)2 = x(x − 1)(x2 + 2)2
Př. f (x) = x4 + 1
√
√
f (x) = x4 + 2x2 + 1 − 2x2 = (x2 + 1)2 − 2x2 = (x2 + 2x + 1)(x2 − 2x + 1)
SA1
22.2
78
Racionálnı́ funkce
f (x) =
P (x)
Q(x)
P (x), Q(x) - polynomy; pokud Q(x) = 1 ⇒ racionálnı́ funkce celistvá (= polynom)
jmenovatel nesmı́ být nulový ⇒ omezenı́ Domf
a) ryzı́ racionálnı́ funkce - degP < degQ
b) neryzı́ racionálnı́ funkce - degP ≥ degQ ⇒ převod na součet polynomu a ryzı́ racionálnı́
funkce
každou racionálnı́ funkce převedeme na součet parciálnı́ch zlomků (později důležité při
integraci) typu:
1.
A
,
x−r
2.
A
,
(x−r)k
3.
Ax+B
,
x2 +px+q
4.
Ax+B
(x2 +px+q)k
r . . . kořen Q(x)
k≥2
x2 + px + q . . . nerozložitelný součinitel Q(x)
Postup pro určenı́ parciálnı́ch zlomků
1. převod neryzı́ racionálnı́ funkce a součet polynomu a ryzı́ racionálnı́ funkce
2. rozklad Q(x)
je-li nějaký součinitel v mocnině k, tak budeme mı́t zlomky s daným součinitelem v
mocnině 1 až k
Př. x5 (x − 1)2 ⇒
A B
C
D
E
F
G
+ 2+ 3+ 4+ 5+
+
x x
x
x
x
x − 1 (x − 1)k
P (x)
a
Q(x)
rovnici vynásobı́me polynomem Q(x) ⇒ metoda neurčitých koeficientů - porovnáváme
koeficienty u jednotlivých mocnin na obou stranách ⇒ soustava lineárnı́ch rovnic
3. nynı́ položı́me námi nalezené zlomky rovny původnı́ racionálnı́ funkci ve tvaru
SA1
79
Př.
f (x) =
2x6 + x3 + 5
x5 + 4x4 + 5x3
1. převedeme f (x) na racionálnı́ funkci ryzı́ - vydělı́me 2x6 + x3 + 5 polynomem
x5 + 4x4 + 5x3 ⇒ dostaneme
f (x) = 2x − 8 +
22x4 + 41x3 + 5
x5 + 4x4 + 5x3
2. rozložı́me jmenovatele
x5 + 4x4 + 5x3 = x3 (x2 + 4x + 5)
3. rozklad na parciálnı́ zlomky
22x4 + 41x3 + 5
A B
C
Dx + E
= + 2+ 3+ 2
5
4
3
x + 4x + 5x
x x
x
x + 4x + 5
4. vynásobı́me jmenovatelem a dostaneme
22x4 +41x3 +5 = Ax4 +4Ax3 +5Ax2 +Bx3 +4Bx2 +5Bx+Cx2 +4Cx+5C +Dx4 +Ex3
x0 : 5 = 5C
x1 : 0 = 5B + 4C
x2 : 0 = 5A + 4B + C
x3 : 41 = 4A + B + E
x4 : 22 = A + D
řešenı́m této soustavy dostáváme A =
dosazenı́ dostaneme
11
,B
25
= − 45 , C = 1, D =
539
,E
25
=
1001
25
a po
11
4
1
539x + 1001
2x6 + x3 + 5
= 2x − 8 +
− 2+ 3+
5
4
3
x + 4x + 5x
25x 5x
x
25x2 + 4x + 5
SA1
22.3
80
Mocninné funkce
f (x) = xa
1. a ∈ N ⇒ polynom
2. a = 0 ⇒ konstantnı́ funkce y = 1 s Domf = R − {0}
3. a ∈ Z, a < 0 ⇒ xa =
1
x−a
⇒ racionálnı́ funkce
4. a ∈ Q
a) a = n1 , n ∈ N
1
xa = x n =
√
n
x
√
n
x představuje čı́slo, pro něž platı́:
p · p · ... · p = x
v přı́padě, že jsou tato čı́sla 2, tak pouze to kladné z nich
Př.
√
4
16 = 2
n sudé ⇒ Domf = h0, ∞)
n liché ⇒ Domf = R
y
y
x
x
(a) y =
√
x
(b) y =
√
x
Obrázek 38: Domf mocninných funkcı́
b) a =
p
q
(základnı́ tvar čı́sla pq , p ∈ Z, q ∈ N)
p
xa = x q =
√
q
xp
3
Př. f (x) = x 7 ⇒ Domf = R − {0}
SA1
81
5. a ∈ R
Vezmeme posloupnost {an }∞
n=1 takovou, že lim an = a a an ∈ Q (racionálnı́ posloupnost). Pak
xa = xlim an = lim xan
a Domf = (0, ∞).
22.4
Exponenciálnı́ funkce
f (x) = ax
a > 0, Domf = R
y
y
1
y
1
x
1
x
(a) 0 < a < 1
(b) a = 1
x
(c) a > 1
Obrázek 39: Exponenciálnı́ funkce
Pozn.
ex . . . přirozená exponenciálnı́ funkce
SA1
22.5
82
Logaritmické funkce
inverznı́ k funkcı́m exponenciálnı́m
f (x) = loga x (ay = x)
a > 0, a 6= 1, Domf = (0, ∞)
y
ax
ax
1
y
loga x
1
x
1
1
x
loga x
(a) a > 1
(b) 0 < a < 1
Obrázek 40: Logaritmické funkce
obecná pravidla pro logaritmy:
log a · b = log a + log b
log ab = log a − log b
log ab = b · log a
SA1
22.6
83
Goniometrické funkce
a) Zavedenı́ pomocı́ jednotkové kružnice
cotgx
tgx
sin x
x
cos x
Obrázek 41: Jednotková kružnice
b) Zavedenı́ na trojúhelnı́ku
B
c
a
α
C
b
A
Obrázek 42: Zavedenı́ na trojúhelnı́ku
a
c
b
cos α =
c
a
sin α
tg α = =
b
cos α
b
cos α
cotg α = =
a
sin α
c
1
sec α = =
b
cos α
c
1
cosec α = =
a
sin α
sin α =
sin - lichý, perioda = 2π
cos - sudý, perioda = 2π
tg , cotg - liché, perioda = π
SA1
sec =
84
1
cos x
Domf = R − {(2n + 1) π2 }, n ∈ Z
Imf = (−∞, −1i ∪ h1, ∞)
y
1
π
2
π
3
2π
2π
x
−1
Obrázek 43: y = sec x
cosec x =
1
sin x
Domf = R − {nπ}, n ∈ Z
Imf = (−∞, −1i ∪ h1, ∞)
y
1
π
2
π
3
2π
2π
x
−1
Obrázek 44: y = cosec x
SA1
85
c) Zavedenı́ pomocı́ nekonečných řad
1+
1
1 1 1
+ + + ... =
2 4 8
1−
s1 = a1 = 12
s2 = a1 + a2 = 32
s3 = a1 + a2 + a3 =
..
.
1
2
=2⇒
∞
X
1
je konvergentnı́
n−1
2
n=1
7
4
sk = a1 + . . . + ak . . . součet konečného počtu k členů


konvergentnı́ (formálnı́ součet

 s
lim sk
k→∞
∞(−∞)
divergentnı́


 neexistuje oscilujı́cı́
nynı́ čı́sla nahradı́me funkcemi
a)
a1 + a2 + a3 + . . . =
∞
X
an
n=1
nekonečná čı́selná řada
b)
f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + . . . =
∞
X
fn (x)
n=1
nekonečná funkčnı́ řada
a) je speciálnı́m přı́padem b)
SA1
86
Př.
∞
X
xn
n=1
f1 = x, f2 = x2 , f3 = x3 , . . .
y
y
y
x
x
x
(a) f1 = x
(b) f2 = x2
(c) f3 = x3
Obrázek 45: Nekonečná funkčnı́ řada
s(x) =
∞
X
fn (x)
n=1
pro x = 1 ⇒ 1 + 1 + 1 + 1 + . . . divergentnı́ řada
ale pro x =
1
2
1
1 1 1
+ + + ... = 2
2 4 8
1−
1
2
=1
funkčnı́ řada je konvergentnı́ v bodě x0 , jestliže tam konverguje jejı́ čı́selná řada
obor konvergence - množina všech takových x0 (oblast, kde je funkčnı́ řada konvergentnı́)
u této řady (−1, 1)
SA1
Nynı́ vezměme
∞
X
xn
n=0
n!
87
=1+x+
x 2 x3 x4
+
+
+ . . . = ex
2
6
24
y
y
x
x
(a) y = 1
(b) y = x
y
y
x
x
(c) y =
x2
2
(d) y =
x3
6
Obrázek 46: Zavedenı́ ex část 1
y
y
y
x
x
x
(a) s1
(b) s2
(c) s3
Obrázek 47: Zavedenı́ ex část 2
obor konvergence = R
pro x = 1 ⇒ e = e1 = 1 + 1 + 21 + 16 +
SA1
1
24
+ ...
88
Zavedeme-li nynı́ nekonečnou řadu
∞
x−
X
x2n−1
x5
x3
+
− ... =
(−1)n−1
6
120
(2n − 1)!
n=1
dostaneme nám známou funkci sin x
y
y
x
x
(a) s1
(b) s2
Obrázek 48: Zavedenı́ sin x
atd. až vážně dostaneme sin x
obdobně
∞
X
x 2 x4
x6
x2n
1−
+
−
+ ... =
(−1)n
= cos x
2
24 720
(2n)!
n=0
nynı́ počı́tejme
ix5
x2 ix3 x4
e = 1 + ix −
−
+
+
− . . . = cos x + i sin x
2
6
24 120
ix
tzv. eulerova identita, pro x = π ve tvaru
eiπ + 1 = 0
ix5
x2 ix3 x4
+
+
−
− . . . = cos x − i sin x
2
6
24 120
eix + e−ix
ix
−ix
2 cos x = e + e
⇒ cos x =
2
ix
e − e−ix
2i sin x = eix − e−ix ⇒ sin x =
2i
e−ix = 1 − ix −
ex + e−x
ex − e−x
e = cosh x + sinh x ⇒ cosh x =
, sinh x =
2
2
x
SA1
22.7
89
Cyklometrické funkce
inverznı́ k funkcı́m goniometrickým, předpona arc
pro konstrukci musı́me vybrat prostou (injektivnı́) část
1. f (x) = arcsin x
y = Sin x
Domf = h− π2 , π2 i
Imf = h−1, 1i
y
1
− π2
π
2
x
−1
Obrázek 49: y = Sin x
y −1 = arcsin x
Domf −1 = h−1, 1i
Imf −1 = h− π2 , π2 i
y
π
2
−1
x
1
− π2
Obrázek 50: y = arcsin x
SA1
90
2. f (x) = arccos x
y = Cos x
Domf = h0, πi
Imf = h−1, 1i
y
1
π
2
π
x
−1
Obrázek 51: y = Cos x
y −1 = arccos x
Domf −1 = h−1, 1i
Imf −1 = h0, πi
y
π
π
2
−1
x
1
Obrázek 52: y = arccos x
SA1
91
3. f (x) = arctg x
funkce lichá, prostá, převádı́ R2 na přı́mku
y = Tg x
Domf = − π2 , π2
Imf = R
y
− π2
π
2
x
Obrázek 53: y = Tg x
y −1 = arctg x
Domf −1 = R
Imf −1 = − π2 , π2
y
π
2
x
− π2
Obrázek 54: y = arctg x
SA1
92
4. f (x) = arccotg x
y = Cotg x
Domf = (0, π)
Imf = R
y
π
2
π
x
Obrázek 55: y = Cotg x
y −1 = arccotg x
Domf −1 = R
Imf −1 = (0, π)
y
π
π
2
x
Obrázek 56: y = arccotg x
SA1
93
5. f (x) = arcsec x
y = Sec x
Domf = h0, πi −
π
2
Imf = R
y
1
π
2
π
x
−1
Obrázek 57: y = Sec x
y −1 = arcsec x
Domf −1 = (−∞, −1i ∪ h1, ∞)
Imf −1 = h0, πi − { π2 }
y
π
π
2
−1
x
1
Obrázek 58: y = arcsec x
SA1
94
6. f (x) = arccosec x
y = Cosec x
Domf = h− π2 , π2 i − {0}
Imf = (−∞, −1i ∪ h1, ∞)
y
1
− π2
π
2
x
−1
Obrázek 59: y = Cosec x
y −1 = arccosec x
Domf −1 = (−∞, −1i ∪ h1, ∞)
Imf −1 = h− π2 , π2 i − {0}
y
π
2
−1
x
1
− π2
Obrázek 60: y = arccosec x
SA1
22.8
95
Hyperbolické funkce
ex − e−x
2
x
e + e−x
cosh x =
2
sinh x
tgh x =
cosh x
cosh x
1
cotgh x =
=
sinh x
tgh , x
1
sech x =
cosh x
1
cosech x =
sinh x
sinh x =
y
y
x
1
x
(a) sinh x
(b) cosh x
Obrázek 61: Hyperbolické funkce
funkce rostou exponenciálnı́ rychlostı́
22.9
Hyperbolometrické funkce
inverznı́ k hyperbolickým (opět musı́me vybı́rat jen určité části)
Př. f (x) = argsinh - argument hyperbolického sinu
SA1
23 Elementárnı́ funkce - cvičenı́
23
23.1
96
Elementárnı́ funkce - cvičenı́
Rozklad na parciálnı́ zlomky
U ryze lomených funkcı́ proved’te rozklad na parciálnı́ zlomky. U neryze Lomených nejprve
proved’te dělenı́ a teprve potom rozkláedejte.
x4 + 3x2 + 4x + 5
1.
x2 + 1
2.
x2 + 4x + 1
x−2
3.
x4 + 6x2 + x − 2
x4 − 2x3
4.
2x2 + 2x + 13
(x − 2)(x2 + 1)2
5.
4x + 3
x +2+ 2
x +1
13
x+6
x−2
2
1
(x +
1)(x2
+ x + 1)2
x4 − x3 + 3x2 − x + 1
6.
x5 + 2x3 + x
7.
x3 − 4x2 + x − 2
x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + 1
8.
x2 − 2
x4 − 2x3 + 2x2
1
1
x
−
+
(x2 + 1)2 x2 + 1 x
x
x
−
x2 + 1 (x − 1)2
1
x
1
− − 2+ 2
x x
x − 2x + 2
Pro ukázku práce se softwarem Maple klikněte zde.
SA1
24
24.1
97
Derivace - teorie
Úvod
- analogie se silničnı́m radarem - měřı́ naši okamžitou rychlost, tj. snažı́ se změřit o kolik
jsme se posunuli za co nejmenšı́ časový okamžik ⇒ ∆t → 0
s
∆s
s0
t0 ∆t
t
Obrázek 62: Silničnı́ radar
Pak
∆s
= s0 (t0 )
∆t→0 ∆t
v(t0 ) = lim
Definice derivace
y
t
f (x0 + h)
f (x0 )
x0 x0 + h
x
Obrázek 63: Definice derivace
Derivacı́ funkce v bodě x0 rozumı́me vlastnı́ limitu. Označujeme ji
y 0 (x0 ) =
dy
(x0 )
dx
a zapisujeme
f (x0 + h) − f (x0 )
h→0
h
y 0 (x0 ) = lim
SA1
98
Vyjde-li limita ±∞, nepovažujeme to za derivaci (tzv. nevlastnı́ derivace).
y
x
Obrázek 64: Nevlastnı́ derivace
Derivace zprava v bodě x0
lim+ =
x→x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
Uvažujeme li derivace
funkce ve všech bodech x0 → y 0 (x0 ), dostaneme derivaci funkce ⇒
dy
0
značı́me y = dx → dostáváme novou funkci.
y
y
x
∆x
(a) Nulová derivace
∆x
x
(b) Kladná derivace
Obrázek 65: Znaménko derivace
SA1
99
Platı́, že Domf 0 ⊆ Domf , Domf − Domf 0 = {hroty}. Existuje dokonce funkce, kde
Domf = R a Domf 0 = ∅ a f spojitá R.
y
y
x
x
(b) f 0 (x) =
(a) f (x) = ln x
1
x
Obrázek 66: Porovnánı́ grafu f a f 0 1
y
y
1
x
x
(a) f (x) = |x|
−1
(b) f 0 (x) = sgn x
Obrázek 67: Porovnánı́ grafu f a f 0 2
SA1
24.2
100
Základnı́ pravidla derivovánı́
Pro funkci vynásobenou konstantou platı́
(c · f )0 = c · f 0
Pro součet dvou funkcı́ f + g platı́
(f + g)0 = f 0 + g 0
Pro součin f · g platı́
(f · g)0 = f 0 · g + f · g 0
Pro podı́l
f
g
platı́
0
f
f 0 · g − f · g0
=
g
g2
Pro derivaci funkce inverznı́ platı́
f −1
0
=
1
f0
Pro derivaci funkce složené platı́
(f (g))0 = f 0 (g) · g 0
Pro derivaci funkce umocněné na funkci platı́
g 0
g·ln f 0
(f ) = e
SA1
=f
g
g · f0
g · ln f +
f
0
24.3
101
Přehled základnı́ch vzorců
(xa )0 = a · xa−1
(ex ) = ex
(ax )0 = ax ln a
1
x
1
(loga x) =
x ln a
0
(sin x) = cos x
(ln x)0 =
(cos)0 = − sin x
1
cos2 x
1
(cotg x)0 = − 2
sin x
1
(arcsin x)0 = √
1 − x2
1
(arctg x)0 =
1 + x2
(sinh x)0 = cosh x
(tg x)0 =
(cosh x)0 = sinh x
(argsinh x)0 = √
24.4
1
1 + x2
Vyššı́ derivace
(f 0 )0 = f 00 . . . druhá derivace f
d2 f
f =
dx2
00
f (25) - 25. derivace f
př:
f (x) = ln x
f (1) = x1
f (2) = − x12
f (3) = x23
f (4) = − x64
f (n) =
SA1
(−1)n−1 n − 1!
xn
25
102
Derivace - cvičenı́
Derivujte a dále neupravujte
1. a) f (x) = 6x5
b) y =
c) y =
3
x2
√
3
x7
d) f (x) = π
e) g(x) = sin2 x
f) h(x) = sin x2
2. a) y = cos3 x3
b) y = ln(x2 + x − 1)
c) f (x) = arctg (x2 + 1)
d) k(x) = 5(sin(2x + 3)2 )3
3. a) y = sin3 (cos2 (tg x))
4. a) y = (x2 + 3) sin x
b) z(x) = cos3 x ln3 x3
p
√
c) y = x sin x 1 − x2
d) y = x sin2 (x3 ) ln(x2 )
5. a) t(x) =
b) y =
tg x2
cotg x3
sin x
cos x
Určete přı́slušnou prvnı́ derivaci
6. a) s(t) = (t2 + 3t + 6) sin(5t),
b) x(s) = sin s ln(cos2 s),
dx(s)
ds
s(t) =?
=?
7. a) k(ω) = tg (aω 2 + ω b ), kde a, b ∈ R,
b) y(ω) = sin(ωt) cos(ω 2 t), kde t ∈ R,
dk(ω)
dω
dy(ω)
dω
=?
=?
Najděte prvnı́ derivaci funkce y = f (x) a zakreslete graf funkce f (x) a f 0 (x):
8. y = sin x
9. y = |x|
10. y = ln |x|
SA1
[f 0 (x) = cos x]
[f 0 (x) = sgn x, kde x 6= 0]
[f 0 (x) = x1 , kde x 6= 0]
103
Určete prvnı́ a druhou derivaci funkce y = f (x), která je dána parametricky
rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ I:
[f 0 (x) =
11. x = 4t + t2 , y = t3 + t
12. x = ln t, y = sin 2t
3t2 +1
,
4+2t
f 00 (x) =
6t2 +24t−2
]
(4+2t)3
[f 0 (x) = 2t cos 2t, f 00 (x) = 2t cos 2t − 4t2 sin 2t]
Určete rovnici tečny a normály ke grafu funkce y = f (x) v bodě T [xT , yT ], který
je bodem dotyku:
13. f (x) = x1 , T = 12 , ?
[t : 4x + y − 4 = 0, n : . . .]
√
[t : 2x − y + 2 − π2 = 0, n : . . .]
14. f (x) = 2 2 sin x, T = π4 , ?
15. f (x) = e−x cos 2x, T = [0, ?]
[t : x + y − 1 = 0, n : . . .]
SA1
26
26.1
104
Věty o derivaci - teorie
Rolleova věta
Předpokládejme, že funkce f (x) splňuje:
1. f (x) je spojitá na ha, bi
2. f (x) má na otevřeném intervalu (a, b) vlastnı́ nebo nevlastnı́ derivaci
3. f (a) = f (b)
Pak existuje c ∈ ha, bi takové, že f 0 (c) = 0.
y
a
b
x
Obrázek 68: Rolleova věta
Důkaz
Je-li f (x) kontantnı́ funkce, lze vzı́t c jako libovolný bod z ha, bi. Předpokládejme dále, že
f (x) nenı́ kontantnı́ funkce. Pak existuje bod m ∈ ha, bi takový, že f (x) nabývá v bodě m
svého maxima (viz. 2. Weierstrassova věta). Dle podmı́nky 2) má f (x) v bodě m vlastnı́ nebo
nevlastnı́ derivaci. Předpokládejme, že f 0 (m) > 0, tzn.
f (x) − f (m)
>0
x→m
x−m
f 0 (m) = lim
(m)
tzn. pro vhodné x ∈ O(m) (tj. pro x < m) je f (x)−f
> 0.
x−m
f (x)−f (m)
Ale pro x > m je x−m < 0, protože f (x) < f (m).
Tzn. že f 0 (m) 6≥ 0.
Obdobně pro předpoklad
f (x) − f (m)
<0
x→m
x−m
lim
nám vycházi, že f 0 (m) 6≤ 0.
Tedy f 0 (m) = 0 a stačı́ vzı́t c = m.
SA1
26.2
105
Lagrangeova věta (1. věta o střednı́ hodnotě)
Předpokládejme, že funkce f (x) splňuje:
1. f (x) je spojitá na ha, bi
2. f (x) má na (a, b) vlastnı́ nebo nevlastnı́ derivaci
Pak existuje c ∈ ha, bi takové, že:
f 0 (c) =
f (b) − f (a)
b−a
y
a
c
b
x
Obrázek 69: Lagrangeova věta
Důkaz
Vězměme g(x) = (b − a) · f (x) − (f (b) − f (a)) · x - vyrovná f (b) a f (a). Nynı́ už stačı́ dokázát
předpoklady Rolleovy věty pro g(x) ⇒ pak existuje c takové, že g 0 (c) = 0.
g 0 (x) = (b − a) · f 0 (x) − (f (b) − f (a))
0 = g 0 (c) = (b − a) · f 0 (c) − (f (b) − f (a))
f 0 (c) =
26.3
f (b) − f (a)
b−a
Cauchyova věta (2. věta o střednı́ hodnotě)
Předpokládejme, že f (x) a g(x) splňujı́:
1. f (x), g(x) jsou spojité na ha, bi
2. f (x) má na (a, b) vlastnı́ nebo nevlastnı́ derivaci a g(x) má na (a, b) vlastnı́ derivaci 6= 0
Pak existuje c ∈ ha, bi takové, že:
f 0 (c)
f (b) − f (a)
=
0
g (c)
g(b) − g(a)
Pozn. Lagrangeova věta je speciálnı́m přı́kladem věty Cauchyovy pro g(x) = x.
SA1
26.4
106
Bernoulliho věta (L’Hospitalovo pravidlo)
Předpokládejme, že x0 ∈ R (i ± ∞) a že bud’ 1) limx→x0 f (x) = limx→x0 g(x) = 0 nebo 2)
limx→x0 g(x) = ∞ nebo limx→x0 g(x) = −∞
Pak platı́, že:
f (x)
f 0 (x)
lim
= lim 0
x→x0 g(x)
x→x0 g (x)
za podminky, že obě limity existujı́ (toto pravidlo platı́ i pro jednostranné limity).
aplikace na neurčité výrazy: 00 ,
∞
,
∞
0∞, ∞ − ∞, 1∞ , ∞0 , 00
Přı́klady:
1.
cos x
sin x
= lim
=1
x→0
x→0 x
1
lim
2.
x100
100 · x99
100!
0
=
lim
= . . . = x = lim x = 0
x
x→∞ ex
x→∞
x→∞
e
e
e
lim
3.
lim (x · ln x) = lim+
x→0+
x→0
ln x
1
x
1
x
= lim+
− x12
x→0
= lim+ (−x) = 0
x→0
4.
lim
√
x→∞
x2 + x + 1 −
√
x2 − x + 1
a) obecný návod pro lim f = ∞, lim g = ∞
lim(f − g) = lim(f − g) ·
1
f ·g
1
f ·g
= lim
1
g
−
1
f
1
f ·g
b) při vhodném zadánı́ vynásobit 1“, tj. zlomkem odmocnin s opačným znaménkem
”
√
√x2 + x + 1 + √x2 − x + 1
√
√
lim
x2 + x + 1 − x2 − x + 1 √
=
x→∞
x 2 + x + 1 + x2 − x + 1
2
x + x + 1 − (x2 − x + 1)
−2x
=
√
√
=√
= √
x2 + x + 1 + x 2 − x + 1
x2 + x + 1 + x2 − x + 1 = lim
x→∞ √2x+1
2 x2 +x+1
2
+
√2x−1
2 x2 −x+1
= lim q
x→∞
2
4x2 +4x+1
4x2 +4x+4
+
q
4x2 −4x+1
4x2 −4x+4
=
2
=1
x→∞ 2
= lim
SA1
107
5.
x
1
1
1
lim 1 +
= lim ex·ln(1+ x ) = elimx→∞ x·ln(1+ x )
x→∞
x→∞
x
nynı́ budeme řešit použe exponent e
1
lim x · ln 1 +
x→∞
x
1+
= lim
1
x
1
x
x→∞
⇒
lim
x→∞
1
= lim
x+1
x
x→∞
1
1+
x
x
· − −x1 2
− x12
x
=1
x→∞ x + 1
= lim
= e1 = e
6.
lim
√
x
x→∞
1
1
x = lim x x = elimx→∞ x ·ln x
x→∞
opět vyřesı́me limitu v exponentu
1
ln x
= lim
=0
x→∞ x · 1
x→∞ x
lim
⇒
lim
x→∞
SA1
√
x
x = e0 = 1
27 Věty o derivaci - cvičenı́
27
108
Věty o derivaci - cvičenı́
Pomocı́ l’Hospitalova pravidla spočtěte následujı́cı́ limity:
a) lim
ex − e−x − 2x
x→0
x − sin x
[2]
b) lim (π − 2arctg x) ln x
[0]
x→∞
1
c) lim cotg x −
x→0
x
tg x
1
d) lim+
x→0
x
[0]
[1]
tg x − 1
sin 4x
[− 21 ]
x − sin x
x→0 1 − cos x
[0]
e) limπ
x→ 4
f) lim
g) lim (1 − x)tg
x→1
h) lim+
x→0
πx
2
[ π2 ]
ln x
ln sin x
[1]
x3 − 3x + 2
x→1 x4 − 4x + 3
[ 21 ]
arcsin x
x→0
x
[1]
arctg 2x
x→0 sin 3x
[ 32 ]
i) lim
j) lim
k) lim
1
[ √1e ]
l) lim (cos x) x2
x→0
1
[1]
m) lim x x
x→∞
3
[e3 ]
n) lim+ x 4+ln x
x→0
1
1
o) lim
−
x→1
x − 1 ln x
1
1
p) lim+
−
x→0
x sin x
q) lim+ (arcsin)tg x
[− 21 ]
[0]
[1]
x→0
SA1
28
28.1
109
Diferenciál - teorie
Úvod
Diferenciálem funkce f (x) v bodě x0 rozumı́me funkci (lineárnı́).
df (x0 ) = f 0 (x0 ) · dx = f 0 (x0 ) · (x − x0 )
y
df (x0 )
dx
x0
x
x
Obrázek 70: Diferenciál
Použitı́: např. pro přibližné výpočty
Př. spočtěte
√
16, 02
Zvolı́me f (x) =
√
x, x0 = 16 a f (x) zderivujeme
1
f 0 (x) = √ ,
2 x
dosazenı́m zı́skáme
f 0 (16) =
1
8
1
1
df (16) = (x − 16) = x − 2
8
8
pak pro x = 16, 02 máme
p
1
· 16.02 − 2 = 2, 0025 − 2 = 0, 0025 ⇒ 16, 02 ≈ 4.0025
8
Pozn.
oskulum - z latiny polibek
styk 0. stupně - kontantnı́ funkce protne funkci
styk 1. stupně - stejná 1. derivace
styk 2. stupně - stejná 2. derivace
SA1
28.2
110
Vyššı́ diferenciály
Pozn.
Jiný zápis diferenciálu:
f0 =
df
dx
a nultý diferenciál:
d0 f (x0 ) = f (x0 )
Druhý deferenciál pak zapı́šeme takto
d2 f (x0 ) = f 00 (x0 ) · dx2 = f 00 (x0 ) · (x − x0 )2 ⇒ f 00 =
d2 f
dx2
a obecně pro r-tý diferenciál
dr f (x0 ) = f (r) (x0 ) · (x − x0 )r
SA1
29 Diferenciál - cvičenı́
29
111
Diferenciál - cvičenı́
Vypočtěte diferenciál funkce:
1. f (x) = x sin(2x)
q
2. f (x) = 1+x
1−x
3. f (x) = x2 v bodě a = 1 při přı́rustku h = 0, 1. Znázorněte výsledek graficky.
Pomocı́ diferenciálu spočtěte přibližnou hodnotu a znázorněte výsledek graficky:
4. sin 35
5. arctg 0, 95
SA1
30
112
Taylorův polynom - teorie
Taylorův polynom řádu r funkce f v bodě x0 :
r
T (x0 ) =
r
X
di f (x0 )
i=0
i!
Taylorovým polynomem defakto nahradı́me původnı́ funkci (zvyšovánı́m jeho řádu dosáhneme
přesnějšı́ho nahrazenı́).
Pozn. Pokud x0 = 0 ⇒ Maclaurinův polynom.
Taylorova věta
f : R → R, x0 ∈ Domf , ∃ O(x0 ) bodu x0 tak, že pro ∀x ∈ O(x0 ) ex. derivace funkce f (x) v
bodě x až do řádu r + 1
Pak pro každé x ∈ O(x0 ) ex. c ∈ (x0 , x) tak, že:
f (x) = T r (x0 ) +
f (r+1) (c)
(x
(r+1)!
f (r+1) (c)
(x − x0 )r+1
(r + 1)!
− x0 )r+1 - Taylorův zbytek, tj. o kolik se lišı́me nalezeným polynomem
přibližovánı́m se x k x0 zvyšujeme přesnost, stejně tak zvyšovánı́m stupně Taylorova polynomu
Taylorův polynom řádu r: polynom stupně ≤ r
Př. f (x) = sin x
d2 f (x0 ) = 0
T 2 . . . ale polynom stupně 1
y
x
Obrázek 71: Řád vs. stupěň polynomu
SA1
113
Př. Spočtěte Maclaurinům polynom 5. řádu pro f (x) = ex .
d0 f = 1
d1 f = x
d2 f = x2
d3 f = x3
d4 f = x4
d5 f = x5
⇓
T 5 (x0 ) = 1 + x +
x2
2
+
x3
6
+
x4
24
+
x5
120
(viz. zavedenı́ goniometrických funkcı́)
SA1
31 Taylorův polynom - cvičenı́
31
114
Taylorův polynom - cvičenı́
Taylorův polynom:
1. Napište obecný tvar Taylorova polynomu řádu n v bodě a.
2. Napište obecný tvar Maclaurinova polynomu řádu n.
3. Napiště Taylorův polynom řádu 4 funkce f (x) = ln x v bodě a = 4.
[T4 (x) = ln 4 + 14 (x − 4) −
1
(x
32
− 4)2 +
1
(x
192
− 4)3 −
1
(x
1024
− 4)4 ]
4. Napiště Maclaurinův polynom řádu 4 funkce f (x) = xe−x .
[x − x2 + 12 x3 − 13 x4 ]
Aproximujte následujı́cı́ funkce v okolı́ bodu a = 0 polynomem nejvýše pátého
stupně:
+
x4
4!
+
x5
]
5!
6. y = sin x
[sin x ∼ x −
x3
3!
+
x5
]
5!
7. y = cos x
[cos x ∼ 1 −
x2
2!
+
x4
]
4!
5. y = ex
8. y =
[ex ∼ 1 + x +
1
1+x2
x2
2!
+
x3
3!
1
2
4
[ 1+x
2 ∼ 1 − x + x ]
Odhadněte absolutnı́ chybu v následujı́cı́ch přibližných vztazı́ch
9. ex ∼ 1 + x +
10. sin x ∼ x −
+ ... +
xn
n!
pro |x| ≤
1
2
x2
2!
x3
6
pro 0 ≤ x ≤ 1
[Je menšı́ než
3
]
(n+1)!
[Je menšı́ než
1
]
3840
SA1
32
32.1
115
Extrémy funkce - teorie
Lokálnı́ extrémy funkce
Definice monotónnosti
Řekneme, že funkce f (x) je na intervalu I rostoucı́, jestliže pro ∀x1 , x2 taková, že x1 < x2
⇒ f (x1 ) < f (x2 )
Nemůžeme pouze posuzovat derivaci, protože v hrotech funkce nenı́ jejı́ derivace definována.
Je-li ale derivace v určitém bodě definována, tak musı́ být kladná.
y
hroty
x
Obrázek 72: Hroty funkce
Definice lokálnı́ho extrému
Řekneme, že funkce f (x) má v bodě x0 ostré lokálnı́ minimum, jestliže ∃ O(x0 ) (ryzı́ okolı́
bodu x0 ) tak, že pro ∀x ∈ O(x0 ) je f (x) − f (x0 ) > 0
y
f (x0 )
x0
x
Obrázek 73: Lokálnı́ minimum
Obdobně řekneme, že funkce f (x) má v bodě x0 ostré lokálnı́ maximum, jestliže ∃ O(x0 )
(ryzı́ okolı́ bodu x0 ) tak, že pro ∀x ∈ O(x0 ) je f (x) − f (x0 ) < 0
SA1
116
Mějme napaměti:
1. v bodě, kde nastává lokálnı́ extrém, nemusı́ být derivace definována
y
x0
x
Obrázek 74: Minimum v hrotu funkce
2. pokud nastává v bodě x0 lokálnı́ extrém a zároveň je v tomto bodě definována derivace,
musı́ platit f 0 (x0 ) = 0 (viz. důkaz Rolleovy věty)
y
x0
x
Obrázek 75: Derivace v extrému
3. dále f 0 (x0 ) = 0 nezaručuje v bodě x0 lokálnı́ extrém
y
x0
x
Obrázek 76: Nulová druhá derivace
SA1
117
Předpokládejme nynı́, že f (x) má derivaci v bodě x0 . Pak nutnou podmı́nkou lokálnı́ho
minima v bodě x0 je f 0 (x0 ) = 0. Toto ale nenı́ postačujı́cı́ podmı́nkou pro určenı́ lokálnı́ho
minima (maxima).
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x − x0 ) + 12 f 00 (x0 ) · (x − x0 )2 + . . . + O((x − x0 )n ), x → x0 ⇒ O → 0 ⇒
zanedbáváme
f (x) − f (x0 ) = f 0 (x0 ) · (x − x0 ) + 12 (x0 ) · (x − x0 )2
podmı́nky pro lokálnı́ minimum:
f (x) − f (x0 ) > 0
(x − x0 ) neznámého znaménka ⇒ f 0 (x0 ) = 0
(x − x0 )2 kladné ⇒ f 00 (x0 ) > 0
postačujı́cı́ podmı́nkou pro lokálnı́ minimum je např.
f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) > 0
Postačujı́cı́ podmı́nkou lokálnı́ho minima je, aby některá sudá derivace byla kladná a všechny
předchozı́ byly nulové (z Taylorova polynomu).
Pro lokálnı́ maximum tak musı́ platit: f 00 (x0 ) < 0 a f 0 (x0 ) = 0.
SA1
32.2
118
Významné body funkce
O funkci již vı́me:
1.
f (x) = 0 ⇒ x je nulový bod
nulové body 6= body, kde docházı́ ke změně znaménka funkce
y
x
Obrázek 77: Změny znaménka funkce
2.
f 0 (x) = 0 ⇒ x je stacionárnı́ bod
stacionárnı́ body 6= body, kde docházı́ ke změně monotonnie
y
x
Obrázek 78: Změny monotonnosti funkce
3.
f 00 (x) = 0 ⇒ x je inflexnı́ bod
inflexnı́ body 6= body, kde docházı́ ke změně konkávnost/konvexnost
SA1
32.3
119
Definice konkávnosti/kovexnosti
Řekneme, že funkce f (x) je konvexnı́ na intervalu I, jestliže pro ∀x1 , x2 , x3 ∈ I taková, že
x1 < x2 < x3 platı́:
f (x3 ) − f (x1 )
f (x2 ) − f (x1 )
<
x2 − x1
x3 − x1
y
x1
x2
x3
x
Obrázek 79: Konvexnost
Pokud existuje f 00 (x), musı́ být kladná.
Obdobně řekneme, že funkce f (x) je konkávnı́ na intervalu I, jestliže pro ∀x1 , x2 , x3 ∈ I
taková, že x1 < x2 < x3 platı́:
f (x2 ) − f (x1 )
f (x3 ) − f (x1 )
>
x2 − x1
x3 − x1
y
x1
x2
x3
x
Obrázek 80: Konkávnost
SA1
32.4
120
Globálnı́ extrémy funkce
Řekneme, že funkce f má v bodě x0 ostré globálnı́ minimum, jestliže pro ∀x ∈ Domf
platı́, že
f (x) − f (x0 ) > 0
Řekneme, že funkce f má v bodě x0 ostré globálnı́ maximum, jestliže pro ∀x ∈ Domf
platı́, že
f (x) − f (x0 ) < 0
Řekneme, že funkce f má v bodě x0 neostré globálnı́ minimum, jestliže pro ∀x ∈ Domf
platı́, že
f (x) − f (x0 ) ≥ 0
Řekneme, že funkce f má v bodě x0 neostré globálnı́ maximum, jestliže pro ∀x ∈ Domf
platı́, že
f (x) − f (x0 ) ≤ 0
SA1
33 Extrémy funkce - cvičenı́
33
121
Extrémy funkce - cvičenı́
Určete lokálnı́ extrémy funkcı́:
1. y = x +
4
x
[−2 l.max, 2 l.min]
2. y = 4x3 − 3x4
p
3. y = 2x + 3 3 (2 − x)2
[1 l.max]
[0 l.max]
Určete globálnı́ (= absolutnı́) extrémy funkcı́:
4. y = x3 − 3x + 20,
5. y = x − 2 ln x,
x ∈ h−3, 3)
x ∈ h1, ei
Určete inflexnı́ body funkcı́:
6. y = xe−x
7. y =
x3 +2
2x
[2]
√
[− 3 2]
8. y =
ex
x+1
[žádné]
SA1
34
122
Asymptoty - teorie
Asymptoty jsou přı́mky (obecně křivky), ke kterým se funkce blı́žı́.
y
y
x
x
y
x
Obrázek 81: Asymptoty funkce
34.1
Vodorovné asymptoty
⇒ rovnoběžné s osou x
Pokud nám vyjde
lim f (x) = a ∈ R,
x→∞
řekneme, že, f (x) má pro x → ∞ asymptotickou přı́mku y = a
musı́me počı́tat i pro x → −∞ - přı́mky mohou obecně vyjı́t různě, např. u arctg x
SA1
34.2
123
Svislé asymptoty
1.
lim f (x) = +∞
x→x0 +
tak pak řekneme, že f (x) má pro x → x0 + asymptotickou přı́mku x = x0
2.
lim f (x) = −∞
x→x0 +
tak pak řekneme, že f (x) má pro x → x0 + asymptotickou přı́mku x = x0
3.
lim f (x) = +∞
x→x0 −
tak pak řekneme, že f (x) má pro x → x0 − asymptotickou přı́mku x = x0
4.
lim f (x) = −∞
x→x0 −
tak pak řekneme, že f (x) má pro x → x0 − asymptotickou přı́mku x = x0
34.3
Šikmé asymptoty
1.
lim
x→∞
f (x)
=a∈R
x
2.
lim (f (x) − ax) = b ∈ R
x→∞
pokud obě limity vyjdou vlastnı́, tak řekneme, že funkce f má asymptotickou přı́mku
y = ax + b
počı́tat i pro x → −∞
SA1
35 Asymptoty - cvičenı́
35
124
Asymptoty - cvičenı́
Určete asymptoty funkcı́:
1. y =
x3
2(x + 1)2
1
2. y = xe x
SA1
[x = −1, y = 21 x − 1]
[x = 0, y = x + 1]
36 Průběh funkce - teorie
36
125
Průběh funkce - teorie
1. Základnı́ vlastnosti funkce
a) určit Domf
b) Imf (pokud to u dané funkce jednoznačně jde)
c) sudost/lichost
d) periodocita
2. Zjištěnı́ znaménka funkce
a) f (x) = 0 ⇒ nulové body
Obrázek 82: Znaménko funkce
Pozn. Na čı́selnou osu zaneseme nulové body, body nespojitosti a nedefinovanosti.
3. Vyšetřenı́ monotonnie funkce
a) f 0 (x) = 0 ⇒ stacionárnı́ body → určit Domf 0
Obrázek 83: Monotonnie funkce
b) lokálnı́ extrémy (a určit v nich funkčnı́ hodnoty)
c) globálnı́ extrémy
4. Konvexnost/konkávnost
a) f 00 (x) = 0 ⇒ inflexnı́ body → určit Domf 00
Obrázek 84: Konvexnost/konkávnost funkce
5. Asymptoty
a) vodorovné
b) svislé
c) šikmé
6. Graf
SA1
37
126
Průběh funkce - cvičenı́
Vyšetřete průběh funkcı́:
1. y =
1 − x3
x2
2. y =
x3
2(x + 1)2
1
3. y = xe x
4. y =
2x
+x
−1
x2
5. f (x) =
(x − 1)3
x2
D(f ) = R − {0}, N = [1; 0], f 0 (x) =
f 00 (x) =
(x − 1)2 (x + 2)
, D(f 0 ) = D(f ), E = [−2; 6, 75],
x3
6(x − 1)
, D(f 00 ) = D(f ), x = 0 pro x → 0± , y = x − 3 pro x → ±∞.
x4
y
6
4
2
−6
−4
−2
2
4
6
8
x
−2
−4
−6
−8
−10
Obrázek 85: Průběh funkce - cvičenı́ 1
SA1
6. f (x) =
127
x2 − 2x
x2 − 2x + 2
D(f ) = R, N1 = [0; 0], N2 = [2; 0], f 0 (x) =
4(x − 1)
, D(f 0 ) = D(f ), E = [1; −1],
− 2x + 2)2
(x2
4(−3x2 + 6x − 2)
f (x) =
, D(f 00 ) = D(f ), I1 = [0, 42; −0, 5], I2 = [1, 58; −0, 5], y = 1
2
3
(x − 2x + 2)
pro x → ±∞.
00
y
1
0, 5
−15
−10
−5
5
10
15
x
−0, 5
−1
SA1
7. f (x) =
128
2x2 + 3x − 4
x2
D(f ) = R − {0}, N1 = [−2, 35; 0], N2 = [0, 85; 0], f 0 (x) =
E = [2, 67; 2, 56], f 00 (x) =
−3x + 8
, D(f 0 ) = D(f ),
3
x
6(x − 4)
, D(f 00 ) = D(f ), I = [4; 2, 5], y = 2 pro x → ±∞.
x4
y
2
1
−15
−10
−5
5
10
15
x
−1
−2
−3
SA1
8. f (x) =
129
x2
x2 − 1
D(f ) = R − {−1, 1}, N = [0; 0], f 0 (x) =
−2x
, D(f 0 ) = D(f ), E = [0; 0],
− 1)2
(x2
2(3x2 + 1)
, D(f 00 ) = D(f ), x = −1 pro x → −1± , x = 1 pro x → 1± ,
(x2 − 1)3
y = 1 pro x → ±∞.
f 00 (x) =
y
4
2
−4
−2
2
4
x
−2
−4
SA1
9. f (x) =
130
x3
x−1
D(f ) = R − {1}, N = [0; 0], f 0 (x) =
f 00 (x) =
x2 (2x − 3)
, D(f 0 ) = D(f ), E = [1, 5; 6, 75],
(x − 1)2
2x(x2 − 3x + 3)
, D(f 00 ) = D(f ), I = [0; 0], x = 1 pro x → 1± .
(x − 1)3
y
15
10
5
−4 −3 −2 −1
1
2
3
x
−5
−10
SA1
10. f (x) =
131
x2
3 − x2
√ √
D(f ) = R − {− 3, 3}, N = [0; 0], f 0 (x) =
6x
, D(f 0 ) = D(f ), E = [0; 0],
(3 − x2 )2
√
√
√
√
18(x2 + 1)
, D(f 00 ) = D(f ), x = − 3 pro x → − 3± , x = 3 pro x → 3± ,
f 00 (x) =
2
3
(3 − x )
y = −1 pro x → ±∞.
y
4
2
−4
−2
2
4
x
−2
−4
SA1
132
11. f (x) = (x − 2x)ex
D(f ) = R, N = [0, 5; 0], f 0 (x) = −(2x + 1)ex , D(f 0 ) = D(f ), E = [−0, 5; −0, 05],
f 00 (x) = −(2x + 3)ex , D(f 00 ) = D(f ), I = [−1, 5; −4, 5], y = 0 pro x → −∞.
y
1
−10
−5
5
x
−1
−2
−3
−4
SA1
38
38.1
133
Primitivnı́ funkce, neurčitý integrál - teorie
Primitivnı́ funce
Řekneme, ze funkce F je primitivnı́ funkcı́ k funkci f na intervalu I, jestliže:
F 0 (x) = f (x), pro ∀x ∈ I
Př.
f (x) = x5
6
F (x) = x6
Př.
f (x) = |x|
F (x) = sgn x ·
x2
2
y
y
x
x
(a) f (x) = |x|
(b) F (x) = sgn x ·
x2
2
Obrázek 92: Primitivnı́ funkce
Věta
Jestliže je f (x) na ha, bi spojitá, existuje k nı́ primitivnı́ funkce F (x).
Jestliže existuje F (x), tak jich existuje
R nekonečně mnoho - množina všech primitivnı́ch funkcı́
k funkci f (x)
=
neurčitý
integrál
(
f (x) dx).
R
mohutnost f (x) dx = c (kontinuum)
SA1
38.2
134
Přehled vzorců pro integrovánı́
Z
c dx = c · x + C
Z
xa dx =
Z
xa+1
+C
a+1
1
dx = ln |x| + C
x
Z
Z
ex dx = ex + C
ax dx =
ax
+C
ln a
Z
sin x dx = − cos x + C
Z
cos x dx = sin x + C
Z
1
dx = −cotg x + C
sin2 x
Z
1
dx = tg x + C
cos2 x
Z
1
dx = arctg x + C1 = −arccotg x + C2
1 + x2
Z
1
√
dx = arcsin x + C1 = − arccos x + C2
1 − x2
Z
√
1
√
dx = ln(x + x2 + a) + C a > 0
x2 + a
Z
1
x
1
dx = arctg + C
2
2
x +a
a
a
Z 0
f (x)
dx = ln |f (x)| + C
f (x)
SA1
38.3
135
Základnı́ pravidla integrovánı́
Předpokládejme, že tyto 3 integrály existujı́. Potom platı́, že nastává tato rovnost.
Z
Z
Z
(f ± g) dx = f (x) dx ± g(x) dx
Z
Např. pro f (x) = χ(x) a g(x) = −χ(x) neexistuje
(f + g) dx, protože neexistujı́ integrály
k f (x) a g(x)
Dále platı́:
Z
Z
c · f (x) dx = c ·
38.4
f (x) dx
Metoda per partes
Pro součin dvou funkcı́ u(x)v(x) platı́:
Z
Z
0
u · v dx = u · v + u0 · v dx
Důkaz
Předpokládejme, že u(x), v(x), u0 (x) a v 0 (x) majı́ na intervalu I své primitivnı́ funkce F . Pak
platı́:
(u · v)0 = u0 · v + u · v 0
Z
Z
0
u · v = u · v dx + u · v 0 dx
Z
Z
0
u · v dx = u · v + u0 · v dx
Př.
Z
u0 = ex u = ex
x · ex dx = v = x v0 = 1
Z
x
= x · e − ex dx + C = x · ex − ex + C = ex (x − 1) + C
Př.
Z
u0 = 1
u=x
ln x dx = v = ln x v 0 = 1
x
SA1
Z
= x · ln x + 1 dx + C = x ln x + x + C = x(ln x + 1) + C
136
Př.
Z
u0 = ex
x
u
=
e
x
x
e sin x dx = = e · sin x − ex cos x dx + C =
v = sin x v 0 = cos x Z
u0 = ex
x
u
=
e
x
x
x
=
= e · sin x − e · cos x − e · (− sin x) dx + C =
v = cos x v 0 = − sin x Z
Z
ex (sin x − cos x)
x
x
x
+C
= e · sin x − e · cos x − e · sin x dx + C ⇒ ex · sinx dx =
2
Z
Př.
Z
u0 = 1
u=x
arctg x dx = v = arctg x v 0 = 21
x +1
= x · arctg x −
38.5
Z
2x
1
dx + C =
= x · arctg x −
2
2
x +1
1
ln |x2 + 1| + C
2
Substituce
f definována na intervalu I, ϕ definováno na I (ϕ : J → I) ⇒ ϕ(J) = I, ϕ injektivnı́
zobrazenı́
R
Pak f (x) dx na I existuje právě tehdy, když existuje
Z
f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt
na J a platı́:
Z
F (x) =
a
Z
G(t) =
Př.
SA1
Z
f (x) dx =
0
f (ϕ0 (t))ϕ0 (t) dt = F (ϕ(t))
Z
f (ϕ(t))ϕ (t) dt =
x2 = t
Z
3
x2 ex dx = 2x dx = dt
x dx = dt
2
f (x) dx = G(ϕ−1 (x))
Z t
e
1
1 3
=
dt = et + C = ex + C
3
3
2
38.6
137
Intergrace racionálnı́ch funkcı́
1.
Př.
Z
A
dx = A ln |x − r| + C
x−r
Z
3
dx = 3 · ln |x + 4| + C
x+4
2.
Z
Př.
Z
A
1
A
dx
=
+C
(x − r)k
(1 − k) (x − r)k−1
3
dx =
(x − 2)53
Z
3
3
3
dt = − 52 + C = −
+C
53
t
52t
52(x − 2)52
3.
Z
Ax + B
dx
+ px + q
x2
1 - vhodnými úpravami převedu čitatel v derivaci jmenovatele (přı́padně jejı́ násobek)
a integrál rozdělit
2 - integrál s konstantou v čitateli ⇒ ten pak převést na derivaci arctg x
Př.
Z
3x − 8
3
dx =
2
x + 4x + 7
2
2x − 16
3
3
dx =
2
x + 4x + 7
2
Z
3
= ln |x2 + 4x + 7| −
2
Z
dx
=
x2 + 4x + 7
1
=√
3
Z
⇒
SA1
Z
x2
Z
t2
Z
2x + 4
3
dx−
2
x + 4x + 7
2
14
dx + C ⇒ řesı́me integrál
2
x + 4x + 7
Z
x + 2 = √3t
dx
=
√
(x + 2)2 + 3 dx = 3 dt
28
3
Z
x2 + 4x + 7
Z
x2
dx =
dx
+ 4x + 7
Z √
3 dt
=
=
3t2 + 3
dt
1
x+2
1
= √ arctg t + C = √ arctg √ + C ⇒
+1
3
3
3
3x − 8
3
14
x+2
dx = ln |x2 + 4x + 7| − √ arctg √ + C
+ 4x + 7
2
3
3
138
4.
Z
(x2
Ax + B
dx
+ px + q)k
1 - v čitateli dostat derivaci jmenovatele a integrál rozdělit
2 - provedeme substituce t = polynom ⇒ 1.integrál se vyřešı́ a řešı́mě druhý
R
1
3 - tlačı́me“ na tvar podobný derivaci arctg x, tj tvar (t2 −1)
k = Ik
”
4 - vyřešı́me podle rekurentnı́ho vzorce pro Ik+1 (odvozen z integrace per partes)
Př.
Z
2x + 5
dx =
2
(x + 2x + 9)2
Z
2x + 2
dx + 3
2
(x + 2x + 9)2
Vyřešı́me nejprve prvnı́ integrál
Z
x2 + 2x + 9 = u
2x + 2
dx
=
(2x + 2) dx = du
(x2 + 2x + 9)2
Z
(x2
dx
+ 2x + 9)2
Z
du
1
1
=
−
+
C
=
−
+C
=
u2
u
x2 + 2x + 9
Nynı́ řešı́me druhou část integrálu
Z
dx
=
2
(x + 2x + 9)2
Z
x + 1 = 2√2t
dx
=
√
((x + 1)2 + 8)2 dx = 2 2 dt
Z
√
2 2 dt
=
=
(8t2 + 8)2
√ Z
√ Z
2 2
2
dt
dt
= 2
=
2
2
2
8
(t + 1)
32
(t + 1)2
SA1
Označme
Z
(t2
139
dt
= Ik .
+ 1)k
Počı́tejme nynı́
Z
u= 1
2t
u0 = −k (t2 −1)
dt
k+1
(t2 −1)k
=
2
k
0
v =1
(t + 1)
v=t
Z
t
t2
+ 2k
dt =
= 2
(t + 1)k
(t2 + 1)k+1
Z
Z
t2 + 1 − 1
dt
dt
t
dt = 2
+ 2k
− 2k
2
k+1
k
2
k
2
(t + 1)
(t + 1)
(t + 1)
(t + 1)k+1
t
t
1
Ik = 2
+ 2kIk − 2kIk+1 ⇒ Ik+1 =
+ (2k − 1)Ik , I1 = arctg t
(t + 1)k
2k (t2 + 1)k
t
= 2
+ 2k
(t + 1)k
Z
1
I2 =
2
Z
⇒
t
+ arctg t
(t2 + 1)
pro k = 1
x+1
√
1
1
2x + 5
2 2
dx
=
−
+
2
(x2 + 2x + 9)2
x2 + 2x + 9 2 x+1
√
2 2
SA1
+ arctg
+1
x+1
√
2 2
+C
39
140
Primitivnı́ funkce, neurčitý integrál - cvičenı́
39.1
Přı́má integrace
Z
- časté využité základnı́ho vzorce
f 0 (x)
dx = ln |f (x)| + C
f (x)
5x2 − 3
√
dx
x
Z 1
2
3x − 2x + √
dx
2.
x3
Z x
3 cos2 x − 5
3.
dx
cos2 x
Z
4.
cotg x dx
Z
1.
Z √ 4
x + 2 + x−4
5.
dx
x3
Z
1
6.
dx
x ln x
Z
7.
x(x − 2)(x − 3) dx
SA1
39.2
141
Integrace pomocı́ substituce
- často nutno využı́t vzorce:
1 − cos 2x
,
2
1 + cos 2x
cos2 x =
:
2
Z
sin2 x
8.
dx
cos4 x
Z √
3
arctg x
9.
dx
1 + x2
Z
1
√
10.
dx
4x + 9
Z
1
11.
dx
7x − 9
Z
12.
ex cos(ex ) dx
sin2 x =
Z
13.
Z
14.
Z
15.
Z
16.
Z
17.
SA1
[
[
1 3
tg x, (substituce: tg x = t) ]
3
3p
3
(arctg x)4 , (substituce: arctg x = t) ]
4
[
[
1√
4x + 9, (substituce: 4x + 9 = t) ]
2
1
ln |7x − 9|, (substituce: 7x − 9 = t) ]
7
[sin(ex) , (substituce: ex = t) ]
1
ex
dx
x2
1
[ −e x , (substituce:
x3
√
dx
1 − x8
[
√
2x x2 + 1 dx
[
1
dx
x · ln x · ln(ln x)
2x
√
dx
1 + 4x
1
x
= t) ]
1
arcsin x4 , (substituce: x4 = t) ]
4
2 2
(x + 1)3 , (substituce: x2 + 1 = t) ]
3
[ ln | ln(ln x)| ]
[
√
1
ln 2x + 1 + 4x , (substituce: 2x = t) ]
ln 2
39.3
142
Integrace per partes
Z
- umět odvodit vzorec
Z
18.
Z
19.
Z
20.
Z
21.
Z
22.
0
u v dx = uv −
Z
uv 0 dx z derivace součinu uv:
x2 cos x dx
[ (x2 − 2) sin x + 2x cos x ]
x2 arctg x dx
[
x3
1
1
arctg x − x2 + ln(x2 + 1) ]
3
6
6
sin2 x dx
[
x
dx
sin2 x
1
(x − sin x cos x) ]
2
[ −xcotg x ln | sin x| ]
ex
[ (sin x + cos x) ]
2
x
e cos x dx
Z
23.
arcsin x dx
Z
24.
Z
25.
x2 sin(2x) dx
x3 cos x dx
[ x arcsin x +
[−
SA1
cos(ln x) dx
1 − x2 ]
x
1
x2
cos(2x) + sin(2x) + cos(2x) ]
2
2
4
[ (x3 − 6x) sin x + (3x2 − 6) cos x ]
Z
26.
√
[
x
(cos(ln x) sin(ln x)) ]
2
39.4
Integrace racionálnı́ lomené funkce
- nejprve nutné rozložit na parciálnı́ zlomky:
Z
6
27.
dx
x+5
Z
−2
28.
dx
(x − 8)2
Z
3x
29.
dx
x2 + 4
Z
5
dx
30.
2
x +2
Z
6x
dx
31.
2
x +x+2
Z
−2
32.
dx
x2 + 2x + 8
Z 4
x + 6x2 + x − 2
33.
dx
x4 − 2x3
Z
5
34.
dx
(2x − 3)3
Z
27
√
dx
35.
2x − 5
Z
8x − 31
36.
dx
2
x − 9x + 14
Z
11x2 − 2x − 33
dx
37.
x2 − 3
Z
4x2 + 4x − 11
38.
dx
(2x − 1)(2x + 3)(2x − 5)
Z
4 − 4x
dx
39.
2
4x − 4x + 1
Z
6x + 6
dx
40.
2x2 + 3x
SA1
143
[ x − 3 ln |x| −
1
+ 5 ln |x − 2| ]
2x2
[−
5
1
]
4 (2x − 3)2
√
27
[ √ ln | 2x − 5| ]
2
[ 3 ln |x − 2| + 5 ln |x − 7| ]
[ − ln |x −
√
3| − ln |x +
√
3| + 11x ]
1 (2x − 1)3 (2x − 5)3 [ ln ]
8
2x + 3
[ − ln |2x − 1| +
1
]
2x − 1
[ ln |2x3 + 3x2 ]
40
40.1
144
Riemannův integrál - teorie
Úvod
”sčı́tánı́ obdélnı́čků”
y
f (x)
x
Obrázek 93: Určitý integrál
Přı́klady jiných integrálů:
Lebesgueův integrál - vodorovné dělenı́ na obdélnı́čky
Stieltjesův integrál - využitı́ v pravděpodobnosti
Kurzweilův integrál - pojmenován po českém matematikovi
SA1
40.2
145
Zavedenı́ Riemannova integrálu
Mějme funkci f ohraničenou na ha, bi
y
f (x)
a = x0
x1
x2
x3
b = x4
x
Obrázek 94: Zavedenı́ Riemannova integrálu
interval ha, bi rozdělı́me = dělenı́ D
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b
dělenı́ nemusı́ být ekvidistantnı́ (libovolně veliké intervaly po dělenı́)
označne mi =
inf f (x)
a
Mi =
xi−1 ≤ x ≤ xi
sup f (x)
xi−1 ≤ x ≤ xi
s(f, D) =
n
X
mi (xi − xi−1 )
i=1
nazveme dolnı́ integrálnı́ počet - závisı́ na f a také na dělenı́ D = obsah obdélnı́čků pod
jednotlivými inf
odbodně hornı́ integrálnı́ počet:
S(f, D) =
n
X
Mi (xi − xi−1 )
i=1
SA1
146
sup s(f, D) - suprémum přes všechna možná D (suprémum všech dolnı́ch integrálnı́ch
D
součtů)
toto suprémum označı́me dolnı́ Riemannův integrál a označı́me jej:
Z b
sup s(f, D) =
f (x) dx
a
D
obdobně pro hornı́ Riemannův integrál:
Z
inf S(f, D) =
b
f (x) dx
a
D
Jestliže se hornı́ a dolnı́ Riemannovy integrály rovnajı́, je funkce f na intervalu ha, bi Riemannovsky integrovatelná ⇒
Z b
Z b
Z b
f (x) dx =
f (x) dx =
f (x) dx
a
SA1
a
a
40.3
147
Integrace některých funkcı́
1. Je Dirichtelova funkce riemannovsky integrovatelná na h0, 1i?
Pro každé dělenı́ vyjde
1
Z
f (x) dx = 0
0
a
1
Z
f (x) dx = 1
0
⇒ Dirichtelova funkce nenı́ riemannovky integrovatelná.
2. Je Riemannova funkce riemannovsky integrovatelná na h0, 1i?
(
1
x∈Q
ρ(x) q
0 x∈R−Q
1
Z
ρ(x) dx = 0
0
zjemňovánı́m dělenı́ jsme schopni zı́skat
Z
1
ρ(x) = 0
0
y
1
1
x
Obrázek 95: Integrace Riemannovy funkce
⇒ riemannovsky integrovatelná a vycházı́
Z 1
ρ(x) = 0
0
SA1
40.4
148
Vlastnosti Riemannova integrálu
1. aditiva vzledem k funkcı́m
Z b
Z b
Z b
(f + g)(x) dx =
f (x) dx +
g(x) dx
a
a
a
2. aditiva vzledem k integračnı́mu oboru a < c < b
Z b
Z c
Z b
f (x) dx
f (x) dx +
f (x) dx =
c
a
a
3. homogenita
b
Z
Z
c · f (x) dx = c ·
b
f (x) dx
a
a
aditivita + homogenita ⇒ linearita
40.5
Newtonův integrál
Existuje-li na ha, bi primitivnı́ funkce F (x) k funkci f (x), definujeme Newtonův integrál
Z
b
f (x) dx = F (b) − F (a)
(N )
a
tj. f (x) je na ha, bi newtonovsky integrovatelná
SA1
40.6
149
Základnı́ věta integrálnı́ho počtu
Obrázek 96: Integrovatelnost
Jestliže je funkce f (x) na ha, bi integrovatelná newtonovsky i riemannovsky, pak si jsou
Riemannův a Newtonův intergrál rovny
Z b
f (x) dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a)
a
tzn. platı́ Newton - Leibnitzova formule
Pozn. Zavádime-li při výpočtu substituci, musı́me přepočı́tat meze.
SA1
41 Riemannův integrál - cvičenı́
41
150
Riemannův integrál - cvičenı́
Určitý Riemannův integrál
Z
1
xarctg dx
1.
[
0
Z
2
2.
(x2 + 1)
1
Z
4
3.
1
Z
x
π
4
4.
3
2
dx
0
Z
5
5.
2
Z
ln 2
SA1
x−1
√
dx
4x − 2
ln 3
6.
1
1
[ − √ + 1 √ , (substituce: x2 + 1 = t2 ) ]
5
2
1
√ dx
(1 + x) x
sin x cos2 x dx
ex
dx
e2x − 1
π 1
− , (per partes) ]
4 2
[ 2arctg 2 −
π
, (substituce: x = t2 ) ]
2
√
1
(4 − 2), (substituce: cos x = t) ]
12
√
3 2
[
, (substituce: 4x − 2 = t) ]
2
1
1
1
[
ln − ln
, (substituce: ex = t) ]
2
2
3
[
42
151
Aplikace určitého integrálu - teorie
42.1
Obsah rovinné oblasti
1. obsah podgrafu:
y
f (x)
a
x
b
Obrázek 97: Obsah podgrafu
a) explicitnı́ zadánı́
Z
S=
b
f (x) dx
a
b) parametrické zadánı́
Z
S = β
α
ψ(t) · ϕ0 (t) dt
2. plocha mezi 2 grafy:
f (x)
y
g(x)
a
b x
Obrázek 98: Plocha mezi 2 rafy
Z
b
(f (x) − g(x)) dx
S=
a
SA1
152
Př. Odvod’me vzorec pro obsah elipsy.
y
b
a
x
Obrázek 99: Obsah elipsy
Z analytické rovnice elipsy
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
vyjádřı́me explicitnı́ předpis pro hornı́ část elipsy takto
r
x2
y = f (x) = b · 1 − 2
a
Pro jednoduchost vypočteme obsah elipsy jako 4-násobek jedné jejı́ části takto
Z a r
Z
x2
4b a √ 2
b · 1 − 2 dx =
S=4
a − x2 dx
a
a 0
0
zavedeme nynı́ substituci takto: x = a sin t ⇒ dx = a cos t dt, 0 → 0, a →
4b
S=
a
Z
π
2
Z
p
2
2
2
a − a sin t · a cos t dt = 4ab
0
π
2
2
Z
cos t dt = 2ab
0
π
2
⇒
π
2
(cos 2t + 1) dt =
0
π2
sin 2t
= 2ab
+ t = πab
2
0
(pokud a = b = r ⇒ S = πr2 )
SA1
42.2
153
Délka křivky
y
f (x)
a
x
b
Obrázek 100: Délka křivky
Z bp
l=
1 + (f 0 (x))2 dx
a
2. parametrické zadánı́
x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ ha, bi ⇒
Z
β
l=
p
(ϕ0 (t))2 + (ψ 0 (t))2 dt
α
Př. Odvod’me vzorec pro délku kruřnice.
Mohli bychom počı́tat z analytického vyjádřenı́ kruřnice
√
x2 + y 2 = R 2 ⇒ y = R 2 − x2
ale odmocnina by se asi integrovala obtı́žně. Zvolı́me proto parametrické vyjádřenı́ kružnice.
ϕ = R · cos t ⇒ ϕ0 = −R · sin t,
ψ = R · sin t ⇒ ψ 0 = R · cos t,
t ∈ h0, 2πi
Pak máme
Z
l=
0
SA1
2π
Z
p
2
2
2
2
R sin t + R cos t dt =
2π
R dt = [Rt]2π
0 = 2πR
0
42.3
154
Objem tělesa
1. S(x) plošný průřez obsahu, a ≤ x ≤ b
v každém x z ha, bi známe plošný obsah průřezu ⇒
Z b
S(x) dx
V =
a
Př.
z
1
√
√
3
2
y
x
Obrázek 101: Plošný průřez tělesa
√
S(0) = 1,
3
S(1) = ,
2
1
S
=
2
√
2+ 3
2
√
·
2
√
2+ 3
2
√
√
2+2 6+3
5+2 6
=
=
8
8
Ve výšce v platı́ pro délku odvěsny:
√
√
√
√
√
v = 2 + v( 3 − 2) = 2(1 − v) + 3 · v
Pak dostaneme
√ 2 1 √
1 √
2 · (1 − 2v − v 2 ) + 2 6(v − v 2 ) + 3v 2 =
Sv =
2(1 − v) + v 3 =
2
2
√
5 √
=
− 6 v 2 + ( 6 − 2)v + 1
2
⇒
S(x) =
Z
V =
0
1
√
5 √
− 6 x2 + ( 6 − 2)x + 1
2
"
√
5 √
− 6 x2 + ( 6 − 2)x + 1 dx =
2
5
2
−
#1
√ 3
√
6 x
( 6 − 2)x2
+
+x =
3
2
0
√
= ... =
SA1
5+ 6
6
155
2. objem tělesa vzniklého rotacı́ kolem osy x
a) explicitnı́ zadánı́
Z
b
f 2 (x) dx
V =π
a
b) parametrické zadánı́
Z
V = π β
α
ψ (t) · ϕ (t) dt
0
2
Př. Odvod’te objem kužele.
y
y=
r
v
·x
v
x
Obrázek 102: Objem kužele
Z
V =π
0
v
3 v
Z v
r 2
r2
r2
r2
x
v3
1
2
x dx = 2 · π
= 2 ·π·
x dx = 2 · π
= πvr2
v
v
v
3 0 v
3
3
0
3. objem tělesa, vzniklého rotacı́ kolem osy y
Z b
xf (x) dx
V = 2π
a
Př. Odvod’me objem anuloidu.
Budeme počı́tat pro rotaci půlkruhu. Polokružnice má rovnici
p
(x − R)2 + y 2 = r2 ⇒ y = r2 − (x − R)2
y
x
r
R
Obrázek 103: Objem anuloidu
SA1
156
x − R = rt
Z R+r p
dx = r dt
2
2
V = 2·2π
x r − (x − R) dx = R−r
R − r → −1
R+r →1
= 4πr
2
Z
1
Z
√
2
(R + rt) 1 − t2 dt = 4πr R
−1
2
1
√
Z 1
√
= 4π
(rt+R)·r
1 − t2 ·r dt =
−1
1 − t2 dt + r
−1
Z
1
= 4πr · R
√
1 − t2 dt + 0 = 4πr2 · R
−1
Z
1
Z
√
t 1 − t2 dt =
−1
0
√
Z
1−
t2
dt +
−1
1
√
1−
t2
dt =
0
t = sin u Z πp
Z 1√
2
dt
=
cos
u
du
2
2
2
1 − t dt = =
8πr
·
R
1 − sin2 u · cos u du =
= 4πr · R · 2
0
→
0
0
0
π
1→ 2
π2
Z π
Z π
2
2
sin 2u 1
cos 2u 1
2
2
2
2
cos u du = 8πr ·R
+
du = 8πr R
+ u
= 8πr ·R
=
2
2
4
2
0
0
0
= 2π 2 r2 R
42.4
Obsah pláště rotačnı́ho tělesa
Z
b
f (x)
S = 2π
p
1 + (f 0 (x))2 dx
a
2. parametrické zadánı́
Z
β
P = 2π
p
ψ(t) (ϕ0 (t))2 + (ψ 0 (t))2 dt
α
SA1
43
157
Aplikace určitého integrálu - cvičenı́
explicitnı́ rovnice
PLOŠNÝ OBSAH
OBJEM
DÉLKA KŘIVKY
POVRCH PLÁŠTĚ
parametrické rovnice
y = f (x), x ∈ ha, bi
x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ hα, βi
Z β
Z b
0
S=
f (x) dx
S=
ψ(t) · ϕ (t) dt
Zα β
Za b
2
2
0
[f (x)] dx
V =π
V = π [ψ(t)] · ϕ (t) dt
Z β α
Z b pa
p
0
2
0
2
2
L=
1 + [f (x)] dx
L=
[ϕ (t)] + [ψ(t)] dt
Z β α
Z ab
p
p
f (x) 1 + [f 0 (x)]2 dx P = ψ(t) [ϕ0 (t)]2 + [ψ(t)]2 dt
P = 2π
a
43.1
α
Obsah rovinné oblasti
1. Určete obsah plochy ohraničené křivkou y = x2 a osou x pro x ∈ h−3, 3i.
2. Určete obsah plochy ohraničené křivkami y = x3 a y = x pro x ∈ h1, 2i.
3. Určete obsah plochy ohraničené křivkami y =
2
1+x2
a y = xx .
[ 18 ]
[ 94 ]
[ π − 23 ]
4. Určete obsah plochy ohraničené křivkami y = x3 + x2 − 6x a osou x pro x ∈ h−3, 3i.
[ 28 32 ]
5. Určete obsah plochy ohraničené křivkami y = 2x2 a y = x2 a y = 1.
6. Určete obsah plochy ohraničené křivkami y = ex − 1 a y = e2x a x = 0.
√
[ 2 2−3
2
]
[ ln 4 − 12 ]
7. Určete obsah půlkruhu zadaného prametrickými rovnicemi x = r cos t, y = r sin t,
2
t ∈ h0, πi.
[ πr2 ]
8. Pomocı́ určitého integrálu určete obsah trojúhelnı́ka ABC, kde A = [−1, 0], A = [2, 0],
A = [0, 2].
[3]
SA1
43.2
158
Objem tělesa
9. Vypočtěte objem kuželu, který vznikne rotacı́ přı́mky y = 12 x − 1 kolem osy x pro
x ∈ h2, 6i.
[ π 16
]
3
10. Vypočtěte Přı́klad 14 pomocı́ vhodné parametrizace.
11. Vypočtěte objem tělesa, který vznikne rotacı́ plochy mezi křivkami y = x2 + 1, y = 0,
x = 1 a x = 0 kolem osy y.
[ 32 π ]
12. Vypočtěte objem tělesa, který vznikne rotacı́ plochy mezi křivkami y = 5x, y = 5x2 :
a) kolem osy x;
b) pro x ∈ h1, 4i kolem osy y;
[ 10
π]
3
[ 4590π ]
13. Vypočtěte objem tělesa, který vznikne rotacı́ plochy mezi křivkami y = 21 x2 + 1, y =
− 12 x + 4 a x = 0:
a) kolem osy x;
[ 92
π]
5
b) kolem osy y;
[ 4π ]
14. Odvod’te vztah pro objem rotačnı́ho komolého kuželu s poloměry podstav 0 < r1 ≤ r2
a výškou v.
Z
r2 − r1
[ V = π 0v
x + r1 dx ]
v
15. Určete objem elipsoidu, který vznikne rotacı́ elipsy dané parametrickými rovnicemi
x = a cos t, y = b cos t, t ∈ h0, 2πi kolem osy x.
[ 4πr2 ]
SA1
43.3
159
Délka křivky
16. Určete délku asteroidy dané parametrickými rovnicemi x = a cos3 t, y = b sin3 t,
t ∈ h0, 2πi.
[ 6a ]
43.4
Porvch tělesa
17. Pomocı́ Riemannova integrálu určete povrch koule o poloměru r, je-li tvořı́cı́ půlkružnice
dána:
√
[ 4πr2 ]
a) explicitně y = + r2 − x2 ;
b) parametricky x = r cos t, y = r sin t, kde t ∈ h0, πi;
[ 4πr2 ]
18. Určete
pláště tělesa, které vznikne rotacı́ části asteroidy x = a cos3 t, y = b sin3 t,
povrch
[ 65 πa2 ]
t ∈ 0, π2 kolem osy x.
19. Odvod’te vzorec pro povrch koule o poloměru r.
SA1
44
160
Integrál jako funkce hornı́ meze
Mějme f (x) na ha, bi riemannovsky integrovatelnou, pro x ∈ ha, bi
Z x
f (t) dt
a
nazveme integrál jako funkce hornı́ meze.
Př. y = x2 , ha, bi
x
Z
3 x
t
x3 1
t dt =
+
=
3 1
3
3
2
1
⇒ a má vliv na konstantu
Z
x
f (t) dt = 0 (pro x = a)
x
Z
a
Z
Z
f (t) dt = −
x<a⇒
Pozn.
x
a
f (t) dt
x
b
f (t) dt . . . integrál jako funkce dolnı́ meze
x
použitı́:
Z
dx
ln x
Z
zavedeme
a
x
dt
= Li(x) . . . zavedli jsme zcela konkrétnı́ funkci, tzv. funkci logaritmus inln t
tegrál Li(x)
SA1
161
Věta
Předpokládejme, ze f (x) je riemannovsky integrovatelná ja ha, bi. Pak je
Z x
f (t) dt
F (x) =
a
spojitá na ha, bi.
Důkaz
x0 ∈ ha, bi, > 0, funkce f (x) je riemannovsky integrovatelná na ha, bi, tzn. je zde omezená.
Tzn. existuje c ∈ R takové, že |f (x)| ≤ c. Označme δ = c .
Vezměme x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ ha, bi.
Pak
Z x0
Z x0
Z x
f (t) dt ≤ |x − x0 |c < δc = c = f (t) dt = f (t) dt −
|F (x0 ) − F (x)| = c
x
a
a
y
c
x0
x
x
Obrázek 104: F (x) omezená
Tzn. F (x) je spojitá.
SA1
162
Věta
Předpokládeje, že f (x) je riemannovsky integrovatelná na ha, bi a spojitá v x0 ∈ ha, bi. Pak
Z x
f (t)dt
F (x) =
a
má derivaci a platı́, že
F 0 (x0 ) = f (x0 ).
(Je-li x0 = a nebo x0 = b, jedná se o derivaci jednostrannou).
Důkaz
> 0, f (x) spojitá v x0 , tzn. pro 2 existuje δ > 0 takové, že ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ ha, bi
platı́ |f (x) − f (x0 )| < 2 .
Pro x 6= x0 , x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ ha, bi máme
Z x
Z x0
1
F (x) − F (x0 )
f
(x
)(x
−
x
)
0
0
=
=
−
f
(x
)
f
(t)
dt
−
f
(t)
dt
−
0
x − x0
x − x0
x − x0
a
a
Z
1
=
x − x0
x
Z
f (t) dt −
x0
1
≤
|x − x0 |
Z
· x
x0
x
x0
f (x0 ) dt =
|f (t) − f (x0 )| dt ≤
1
|x − x0 |
1
|x − x0 |
Z
· x
x0
Z x
· (f (t) − f (x0 ) dt ≤
x0
h i x 1
t = < .
dt =
2
|x − x0 | 2 x0 2
Tzn. F 0 (x0 ) = f (x0 ).
Důsledky
1. Je-li f (x) spojitá na ha, bi, pak
Z
F (x) =
x
f (t)dt
a
má derivaci na ha, bi a platı́
F 0 (x) = f (x)
tzn. F (x) je na ha, bi primitivnı́ funkcı́ k funkci f (x).
2. k funkci spojité na ha, bi existuje funkce primitivnı́ a to spojitá.
⇒ i pro Riemannovu funkci tak existuje primitivnı́ funkce F (x) a to v bodech spojitosti,
tj. v iracionálnı́ch čı́slech. F (x) tak existuje bodově, ne na určitém intervalu.
SA1
45
163
Nevlastnı́ integrály - teorie
∞
Z
x
Z
f (t) dt
f (x) dx = lim
x→∞
a
a
nazveme nevlastnı́ integrál vlivem meze.
y
f (x) =
1
x2
x
Obrázek 105: Nevlastnı́ integrál vlivem meze
Vyjde-li limita vlastnı́, tak řekneme, že integrál je konvergentnı́.
Vyjde-li limita nevlastnı́, tak řekneme, že integrál je divergentnı́.
Neexistuje-li limita, tak řekneme, že integrál je divergentnı́.
Př.
Z
1
∞
1
dx = lim
x→∞
x2
Z
Z
x
1
1
f (t) dt = lim −
+1=1
x→∞
x
b
b
Z
f (t) dt
f (x) dx = lim
x→−∞
−∞
Z
∞
Z
a
Z
f (x) dx =
−∞
∞
f (x) dx . . . nutno integrál rozdělit
f (x) dx +
−∞
x
a
Bude konvergentnı́, pokud budou konvergentnı́ oba integrály na pravé straně rovnosti.
y
1
f (x) = e−x
2
x
Obrázek 106: Gaussova křivka
SA1
164
Roste-li funkce na námi zkoumaném intervalu nadevšechny meze, tak počı́táme
Z b
Z x
f (x) dx = lim−
f (t) dt
x→b
a
a
a nazveme tento integrál nevlastnı́m integrálem vlivem funkce.
y
a
b
x
Obrázek 107: Nevlastnı́ integrál vlivem funkce
SA1
46
165
Nevlastnı́ integrály - cvičenı́
1. Spočtěte následujı́cı́ nevlastnı́ integrály:
Z 1
x ln x dx
a)
0
Z
∞
b)
1
Z
8
c)
0
Z
x3 + 1
dx
x4
[6]
1
2
(x − 1) 3
0
Z
dx
[6]
∞
e−ax cos bx dx
e)
0
Z
[ diverguje ]
1
√
dx
3
x
2
d)
[ − 14 ]
∞
a
[ a2 +b
2 ]
2
xe−x dx
f)
[ 12 ]
0
Z
∞
g)
1
Z
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
arctg x
dx
1 + x2
2
[ − 3π
]
32
1
1
dx
1 − x2
0
Z ∞
1
dx
2
−∞ 1 + x
Z ∞
1
√ dx
x x
1
Z ∞
1
dx
x2
2
Z ∞
1
√ dx
x
1
Z ∞
1
dx
2
x(x + 1)
1
Z ∞
1
dx
x ln x
2
Z ∞
1
√
dx
x x+1
1
Z ∞
x2 e−x dx
0
Z ∞
1
dx
−x
+ ex
−∞ e
Z ∞
cos x dx
[ π2 ]
√
[π]
[2]
[ 12 ]
[ diverguje ]
[ 12 ln 2 ]
[ ∞, diverguje ]
√
[ ln √2+1
]
2−1
[2]
[ π2 ]
[ diverguje ]
1
SA1
Z
∞
s)
1
Z
t)
1
x4 +2
166
[1 −
dx
π
4
]
∞
e−3x dx
[ 13 ]
0
Z
∞
2. Rozhodněte, pro která k > 0 konverguje, resp. diverguje integrál
1
1
dx.
xk
pro 0 < k ≤ 1 diverguje, pro k > 1 konverguje k čı́slu −
Z
0
1
1
dx.
xk
pro k ≥ 1 diverguje, pro 0 < k < 1 konverguje k čı́slu
Z
1
1−k
1
1−k
∞
e−kx dx.
0
pro všechna k > 0 konverguje k čı́slu
SA1
1
k
167
Věta (Srovnávacı́ kritérium integrálů)
Necht’ 0 ≤ f (x) ≤ g(x) v ha, bi, kde f (x) je v levém okolı́ bodu b neohraničená a inteZ b
grovatelná na všech ha, ci, a < c < b. Pak platı́, že konverguje-li integrál
g(x) dx, pak
a
Z b
Z b
Z b
g(x) dx.
f (x) dx, pak diverguje i
f (x) dx. Diverguje-li
konverguje také
a
a
a
5. Na základě srovnávacı́ho kritéria rozhodněte o konvergenci integrálů:
Z ∞
Z ∞
ln(x2 + 2)
1
a)
dx
Srovnávat např. s
dx, diverguje
x
x
1
1
Z ∞
Z ∞
1
x
dx
b)
dx, konverguje
3
x +1
x2
1
1
Z ∞
Z ∞
1
arctg x
dx
dx, diverguje
c)
x
x
1
1
Věta (Integrálnı́ kritérium pro konvergenci nekonečné řady
∞
X
an )
n=1
Necht’ f (x) je na intervalu ha, ∞), a > 0 taková spojitá nezáporná nerostoucı́ funkce, že
Z ∞
∞
X
an a integrál
f (x) dx
f (n) = an pro skoro všechna přirozená n. Pak nekonečná řada
n=1
a
zároveň konvergujı́ nebo divergujı́.
6. Na základě integrálnı́ho kritéria rozhodněte o konvergenci nekonečné řady:
a)
b)
c)
d)
∞
X
1+n
1 + n2
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
SA1
n
(n + 1)3
diverguje
konverguje
n
1 + n2
diverguje
1
−1
konverguje
n2
Seznam obrázků
168
Seznam obrázků
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
SA1
Úhlopřı́čka čtverce . . . . . . . . .
Relace . . . . . . . . . . . . . . . .
Zobrazenı́ . . . . . . . . . . . . . .
Ekvivalence . . . . . . . . . . . . .
Uspořádánı́ . . . . . . . . . . . . .
Uspořádánı́ - dělitelnost . . . . . .
Manhattanská metrika . . . . . . .
Př. nemetriky“ . . . . . . . . . . .
”
Otevřené koule . . . . . . . . . . .
Otevřená množina . . . . . . . . .
Otevřené množiny . . . . . . . . . .
Uzavřené množiny . . . . . . . . .
Kobonovy trojúhelnı́ky . . . . . . .
Konvergentnı́ posloupnost . . . . .
Okolı́ bodu . . . . . . . . . . . . .
-okolı́ bodu . . . . . . . . . . . . .
Ryzı́ okolı́ bodu . . . . . . . . . . .
Ryzı́ -okolı́ bodu . . . . . . . . . .
Restrikce Domf . . . . . . . . . . .
Extenze Domf . . . . . . . . . . .
Sudost/lichost funkce . . . . . . . .
Vlastnı́ limita ve vlastnı́m bodě . .
Ryzı́ okolı́ zprava . . . . . . . . . .
Ryzı́ okolı́ zleva . . . . . . . . . . .
Nevlastnı́ limita ve vlastnı́m bodě .
Vlastnı́ limita ve nevlastnı́m bodě .
Nevlastnı́ limita ve nevlastnı́m bodě
Existence limity . . . . . . . . . . .
1. Bolzanova věta . . . . . . . . . .
Browerova věta . . . . . . . . . . .
Sčı́tánı́ funkcı́ . . . . . . . . . . . .
Kompozice funkcı́ . . . . . . . . . .
Nulový polynom . . . . . . . . . . .
Konstatnı́ polynom . . . . . . . . .
Lineárnı́ polynom . . . . . . . . . .
Kvadratické polynomy . . . . . . .
Kubické polynomy . . . . . . . . .
Domf mocninných funkcı́ . . . . .
Exponenciálnı́ funkce . . . . . . . .
Logaritmické funkce . . . . . . . .
Jednotková kružnice . . . . . . . .
Zavedenı́ na trojúhelnı́ku . . . . . .
y = sec x . . . . . . . . . . . . . . .
y = cosec x . . . . . . . . . . . . . .
Nekonečná funkčnı́ řada . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
5
6
7
8
9
42
42
43
43
44
44
45
46
47
47
47
47
58
59
60
63
63
63
64
64
65
65
67
68
71
72
73
73
74
75
76
80
81
82
83
83
84
84
86
Seznam obrázků
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
SA1
Zavedenı́ ex část 1 . . . . . . . .
Zavedenı́ ex část 2 . . . . . . . .
Zavedenı́ sin x . . . . . . . . . .
y = Sin x . . . . . . . . . . . . .
y = arcsin x . . . . . . . . . . .
y = Cos x . . . . . . . . . . . .
y = arccos x . . . . . . . . . . .
y = Tg x . . . . . . . . . . . . .
y = arctg x . . . . . . . . . . . .
y = Cotg x . . . . . . . . . . . .
y = arccotg x . . . . . . . . . .
y = Sec x . . . . . . . . . . . . .
y = arcsec x . . . . . . . . . . .
y = Cosec x . . . . . . . . . . .
y = arccosec x . . . . . . . . . .
Hyperbolické funkce . . . . . .
Silničnı́ radar . . . . . . . . . .
Definice derivace . . . . . . . .
Nevlastnı́ derivace . . . . . . . .
Znaménko derivace . . . . . . .
Porovnánı́ grafu f a f 0 1 . . . .
Porovnánı́ grafu f a f 0 2 . . . .
Rolleova věta . . . . . . . . . .
Lagrangeova věta . . . . . . . .
Diferenciál . . . . . . . . . . . .
Řád vs. stupěň polynomu . . . .
Hroty funkce . . . . . . . . . .
Lokálnı́ minimum . . . . . . . .
Minimum v hrotu funkce . . . .
Derivace v extrému . . . . . . .
Nulová druhá derivace . . . . .
Změny znaménka funkce . . . .
Změny monotonnosti funkce . .
Konvexnost . . . . . . . . . . .
Konkávnost . . . . . . . . . . .
Asymptoty funkce . . . . . . . .
Znaménko funkce . . . . . . . .
Monotonnie funkce . . . . . . .
Konvexnost/konkávnost funkce
Průběh funkce - cvičenı́ 1 . . . .
Primitivnı́ funkce . . . . . . . .
169
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
87
87
88
89
89
90
90
91
91
92
92
93
93
94
94
95
97
97
98
98
99
99
104
105
109
112
115
115
116
116
116
118
118
119
119
122
125
125
125
126
127
128
129
130
131
132
133
Seznam obrázků
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
SA1
Určitý integrál . . . . . . . . . .
Zavedenı́ Riemannova integrálu
Integrace Riemannovy funkce .
Integrovatelnost . . . . . . . . .
Obsah podgrafu . . . . . . . . .
Plocha mezi 2 rafy . . . . . . .
Obsah elipsy . . . . . . . . . . .
Délka křivky . . . . . . . . . . .
Plošný průřez tělesa . . . . . .
Objem kužele . . . . . . . . . .
Objem anuloidu . . . . . . . . .
F (x) omezená . . . . . . . . . .
Nevlastnı́ integrál vlivem meze .
Gaussova křivka . . . . . . . . .
Nevlastnı́ integrál vlivem funkce
170
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
144
145
147
149
151
151
152
153
154
155
155
161
163
163
164

SA1 skripta - MATEMATIKA online

Transkript

Podobné dokumenty

Úloha 2.26 - Ústav teoretické fyziky a astrofyziky

(dvojný) integrál

BAKALÁˇRSKÁ PRÁCE

1 Základy 2 Výroková logika 3 Formáln´ı axiomatický systém logiky

Základy obecné algebry

4 - Petr Olšák

Pravděpodobnost a statistika

Iterační metody, úvod do funkcionální analýzy

8 Urcitý integrál, krivkový integrál a Cauchyovy integráln´ı vety

Základy funkcionáln´ı analýzy

22 Riemannova metrika a obsah plochy

Stieltjesu˚v integra´l (Kurzweilova teorie) Milan Tvrdy´

Deskriptivn´ı geometrie 1