124MTIB Kopecký - Katedra technických zařízení budov K11125

Komentáře

Transkript

124MTIB Kopecký - Katedra technických zařízení budov K11125
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
Fakulta stavební
Materiál a konstrukce
Šíření tepla, vzduchu a vlhkosti v budovách a stavebních prvcích
Pavel Kopecký
Praha 2014
Evropský sociální fond
Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti
OBSAH
Značení a jednotky .............................................................. vi 1 Úvod .............................................................................. 10 1.1 Motivace ........................................................................................ 10 1.2 Zákony zachování .......................................................................... 12 1.2.1 Bilance kontrolního objemu.............................................................................. 13 1.2.2 Bilance na rozhraní vrstev ................................................................................ 15 1.3 Rovnice kontinuity......................................................................... 15 2 Šíření tepla .................................................................... 18 2.1 Úvod.............................................................................................. 18 2.2 Šíření tepla vedením ...................................................................... 18 2.2.1 Základní vztahy ................................................................................................ 18 2.2.2 Jednorozměrné vedení tepla v ustáleném stavu ................................................ 20 Jednovrstvá stěna bez zdroje tepla ................................................................ 20 Vícevrstvá stěna bez zdroje tepla ................................................................... 22 Vícevrstvá stěna s konstantním zdrojem tepla na rozhraní vrstev.................. 24 Jednovrstvá stěna s konstantním zdrojem tepla působícím v celé tloušťce .... 26 Jednovrstvé mezikruží .................................................................................. 28 Vícevrstvé mezikruží ..................................................................................... 29 2.2.3 Jednorozměrné vedení tepla v neustáleném stavu ............................................ 29 Princip superpozice ....................................................................................... 29 Skoková změna povrchové teploty na polonekonečné desce........................... 33 Teplota na rozhraní dvou polonekonečných desek ......................................... 35 Periodicky kmitající povrchová teplota na polonekonečné desce .................... 36 Numerické metody řešení.............................................................................. 40 2.3 Šíření tepla prouděním .................................................................. 46 2.3.1 Základní vztahy ................................................................................................ 46 2.3.2 Větraná dutina ................................................................................................. 47 2.3.3 Konvektivně difuzní rovnice .............................................................................. 49 2.4 Šíření tepla sáláním ....................................................................... 51 2.4.1 Základní vztahy ................................................................................................ 51 Úvod ............................................................................................................. 51 Záření černého tělesa .................................................................................... 52 Vlastnosti reálných těles ............................................................................... 54 2.4.2 Solární záření ................................................................................................... 56 2.4.3 Dlouhovlnné záření mezi povrchy ..................................................................... 58 - ii -
2.5 Kombinovaný přenos tepla ............................................................. 60 2.5.1 Přestup tepla na vnitřním povrchu konstrukce ................................................. 60 2.5.2 Přestup tepla na vnějším povrchu konstrukce .................................................. 62 2.5.3 Šíření tepla v uzavřené dutině .......................................................................... 64 2.5.4 Šíření tepla ve větrané vzduchové dutině .......................................................... 65 2.5.5 Šíření tepla v nehomogenní vrstvě .................................................................... 66 2.5.6 Šíření tepla v obvodové stěně ............................................................................ 68 2.5.7 Šíření tepla přes nevytápěný prostor................................................................. 70 2.5.8 Šíření tepla obálkou budovy ............................................................................. 71 2.5.9 Energetická propustnost stavebních prvků ....................................................... 76 Jednosklo ..................................................................................................... 77 Neprůsvitná stěna......................................................................................... 78 Dvojsklo........................................................................................................ 79 2.6 Úlohy k procvičení ......................................................................... 80 3 Šíření vzduchu .............................................................. 83 3.1 Úvod.............................................................................................. 83 3.2 Tlakový rozdíl ................................................................................ 84 3.2.1 Tlakový rozdíl od rozdílu teplot ......................................................................... 84 3.2.2 Tlakový rozdíl od účinku větru ......................................................................... 86 3.2.3 Tlakový rozdíl od systému mechanického větrání ............................................. 88 3.3 Modelování výměny vzduchu ......................................................... 88 4 Šíření vlhkosti ............................................................... 89 4.1 Úvod.............................................................................................. 89 4.2 Vlhkost ve vzduchu ....................................................................... 90 4.3 Vlhkost v pórovitých materiálech ................................................... 94 4.3.1 Struktura pórovitého materiálu ........................................................................ 94 4.3.2 Vyjadřování vlhkosti ......................................................................................... 96 4.3.3 Zadržování vlhkosti v materiálu ........................................................................ 97 Hygroskopická oblast .................................................................................... 97 Nadhygroskopická oblast ............................................................................ 101 4.4 Difuze vodní páry......................................................................... 106 4.4.1 Základní vztahy .............................................................................................. 106 4.4.2 Jednorozměrná difuze vodní páry v ustáleném stavu ve stěně ........................ 112 Jednovrstvá stěna bez zdroje vodní páry ..................................................... 112 Vícevrstvá stěna bez zdroje vodní páry ........................................................ 114 Kondenzace vodní páry uvnitř konstrukce .................................................. 115 4.4.3 Jednorozměrná difuze vodní páry v neustáleném stavu .................................. 116 - iii -
Skoková změna hustoty vodní páry na povrchu polonekonečné desky......... 116 Periodicky kmitající hustota vodní páry na povrchu polonekonečné desky .. 117 4.5 Kapilární přenos .......................................................................... 118 4.5.1 Úvod .............................................................................................................. 118 4.5.2 Proudění vody v kapiláře ................................................................................ 119 Vodorovná kapilára ..................................................................................... 120 Svislá kapilára ............................................................................................ 121 4.5.3 Kapilární přenos v matematických modelech .................................................. 122 4.6 Proudění vzduchu........................................................................ 123 4.7 Úlohy k procvičení ....................................................................... 125 5 Tepelná a vlhkostní bilance budov ............................... 128 5.1 Tepelná bilance budovy v ustáleném stavu .................................. 128 5.1.1 Úvod .............................................................................................................. 128 5.1.2 Model podle ČSN EN ISO 13790 ..................................................................... 133 5.1.3 Solární tepelné zisky do budovy...................................................................... 137 5.1.4 Vnitřní tepelné zisky....................................................................................... 137 5.2 Tepelná bilance budovy v neustáleném stavu ............................... 138 5.2.1 Úvod .............................................................................................................. 138 5.2.2 Modely se sdruženými parametry ................................................................... 143 5.2.3 Solární tepelné zisky do budovy...................................................................... 147 5.3 Vlhkostní bilance budovy v ustáleném stavu ................................ 149 5.4 Vlhkostní bilance budovy v neustáleném stavu ............................ 150 5.5 Úlohy k procvičení ....................................................................... 153 Příloha: Elektrická analogie .............................................. 156 Vodivosti v sérii........................................................................................... 159 Vodivosti paralelně ..................................................................................... 159 Předepsaná hodnota teploty s vodivostí a předepsaný tok do uzlu ............... 160 Předepsané hodnoty teploty s vodivostmi do uzlu ........................................ 160 Literatura ......................................................................... 161 Rejstřík ............................................................................ 163 Summary .......................................................................... 165 - iv -
Předmluva
Tato kniha je určena všem zájemcům o šíření tepla, vzduchu a vlhkosti
v budovách a jejich prvcích. Text knihy stručně představuje základní
fyzikální principy, některé numerické metody a ukázky praktických aplikací
teoretických vztahů se zaměřením na aplikace v oblasti stavební tepelné
techniky. Cílem knihy je být dobře strukturovanou česky psanou učebnicí
stavební tepelné techniky. Další informace je možné hledat v kvalitních
učebnicích, jakými například jsou [1], [2], [3]. Někdy je velmi vhodné začít od
úplných základů s učebnicí středoškolské fyziky.
Kniha je sestavena tak, aby čtenář četl její obsah popořadě. Teorie šíření
tepla je využita jako základ pro navazující studium šíření vlhkosti. V textu se
klade zvláštní důraz na odvození rovnic, vyjadřování modelů v podobě
grafických schémat (analogie s elektrickými obvody) a ilustraci analogie
šíření tepla a vlhkosti. Část z textů této knihy vznikala pro potřeby předmětů
„Matematické modelování ve stavební fyzice“, základního kurzu „Stavební
fyziky“ a předmětu „Materiál a konstrukce“ vyučovanými na Katedře
konstrukcí pozemních staveb. I přes velkou péči věnovanou přípravě, je
téměř jisté, že text není zcela prostý chyb. Autor proto bude velmi vděčný,
když ho čtenář na případné chyby či nedostatky upozorní.
V Praze 8.8.2014
Pavel Kopecký
-v-
Značení a jednotky
symbol
vysvětlení
anglický termín
a
Teplotní vodivost
Thermal diffusivity
m2/s
av
Vlhkostní vodivost
Moisture diffusivity
m2/s
b
Tepelná jímavost
Thermal effusivity
Ws0,5/m2K
bv
Vlhkostní jímavost
Moisture effusivity
(m/s0,5)
c
Měrná tepelná kapacita
Specific heat capacity
J/(kg·K)
dp
Periodická hloubka tepelné
penetrace
Periodic thermal penetration
depth
m
dpv
Periodická hloubka
vlhkostní penetrace
Periodic moisture penetration
depth
m
ga
Hustota toku vzduchu
Density of air flow
kg/(m2s)
gv
Hustota difuzního toku
vodní páry
Density of vapor flow
kg/(m2s)
m
Hmotnost
Mass
kg
N
Teplotní difuzní funkce
Diffusion constant
1/s
pv
Částečný tlak vodní páry
Partial pressure of water vapor
Pa
q
Hustota tepelného toku
Density of heat flow
W/m2
sQ
Objemový zdroj tepla
Volumetric heat source
W/m3,
sm
Objemový zdroj vlhkosti
Volumetric moisture source
kg/(m3s)
sd
Ekvivalentní difuzní
tloušťka
Equivalent diffusion thickness
m
u
Hmotnostní vlhkost
Moisture content by mass
kg/kg
w
Objemová vlhkost
Moisture content by volume
kg/m3
t
Čas
Time
s
tp
Perioda
Period
s
A
Plocha
Area
m2
Aw
Součinitel nasákavosti
Water absorption coefficient
kg/m2√s
G
Hmotnostní tok
Mass flow
kg/s
Gv
Tok vodní páry
Vapor flow
kg/s
GG
Intenzita globálního
Irradiance
W/m2
- vi -
jednotka
solárního záření
K
Vodivost
Conductance
různé
Q
Teplo
Heat
J
R
Tepelný odpor
Thermal resistance
m2K/W
T
Teplota
Temperature
°C, K
Zp
Difuzní odpor (v případě,
že se počítá s rozdílem
částečných tlaků vodní
páry)
Diffusion resistance
m/s
Z
Difuzní odpor (v případě,
že se počítá s rozdílem
hustot vodní páry)
Diffusion resistance
s/m
x,y,z
Osy souřadného systému
Řecká písmena
c
Součinitel přestupu tepla
prouděním
Convective heat transfer
coefficient
W/(m2K)
r
Součinitel přestupu tepla
sáláním
Radiative heat transfer
coefficient
W/(m2K)

Součinitel přestupu vodní
páry prouděním (v případě,
že se počítá s rozdílem
hustot vodní páry)
Convective vapor transfer
coefficient
m/s

Součinitel difuze (v případě,
že se počítá s rozdílem
hustot vodní páry)
Vapor permeability
m2/s
p
Součinitel difuze v případě,
že se počítá s rozdílem
částečných tlaků vodní páry
Vapor permeability
kg/(m·s·Pa)

Emisivita
Emissivity
-

Tepelný tok
Heat flow
W

Relativní vlhkost
Relative humidity
-

Součinitel tepelné vodivosti
Thermal conductivity
W/(m·K)
 d
Objemová hmotnost
v suchém stavu
Density
kg/m3
v
Hustota vodní páry
Vapor concentration
kg/m3

Vlhkostní kapacita (sklon
Moisture capacity
-
- vii -
sorpční křivky)

Faktor difuzního odporu
Vapor resistance factor
-
C
Časová konstanta
Time constant
s

Úhlová frekvence
Angular frequency
rad/s
Indexy spodní
a
Vzduch
Air
A
Amplituda
Amplitude
ai
Vzduch, vnitřní
Air, internal
ae
Vzduch, vnější
Air, external
B
Přímé
Beam
c
Proudění
Convection
cav
Dutina
Cavity
cd
Vedení
Conduction
d
Difuze
Diffusion
D
Difuzní
Diffuse
dp
Rosný bod
Dew point
e
Vnější
External
ekv
Ekvivalentní
Equivalent
g
Zisk
Gain
G
Globální
Global
h
Horizontální
Horizontal
i
Vnitřní
Internal
in
Dovnitř
In
M
Průměrná
Mean
out
Ven
Out
p
Povrch
Surface
r
Sálání
Radiation
s
Solární anebo zdroj
Solar, or source
sat
Nasycený
Saturated
t
Skloněný
Tilted
tot
Celkový
Total
- viii -
T
Prostup tepla
Transmission
v
Vodní pára
Vapor
V
Větrání
Ventilation
Indexy horní
old
Hodnota veličiny v čase t -1
new
Hodnota veličiny v čase t
- ix -
1 Úvod
1.1 Motivace
Budovy jsou odděleny od venkovního prostředí stavebními prvky (stěnami,
střechou, podlahou na zemině), které jsou vystaveny proměnlivým
klimatickým podmínkám, jako například jsou solární záření, déšť, vítr a
teplota venkovního vzduchu. V obálce budovy proto stále probíhají různé
fyzikální procesy, jako například jsou přenos tepla, vlhkosti a vzduchu.
Stavební tepelná technika je obor, který se zabývá šířením tepla, vzduchu a
vlhkosti v budovách, stavebních prvcích, či samotných materiálech (viz
Obrázek 1).
Budova a okolí
Stavební prvky
Materiály
zoom
zoom
Kapalná fáze
Pevná fáze (skelet)
Plynná fáze (vlhký vzduch)
Obrázek 1: Různé úrovně zkoumání.
V minulosti se budovy navrhovaly na základě předchozí zkušenosti. V dnešní
době je vývoj nových materiálů a stavebních prvků příliš rychlý na to, aby se
taková zkušenost stačila vybudovat. Chybné použití materiálů a stavebních
prvků může vyústit v nekvalitní vnitřní prostředí budov, zbytečnou spotřebu
energie při jejich provozování, ba dokonce ve vážné poškození obálky budovy.
Jelikož se životnost nových staveb navrhuje v řádu několika desítek let, je
každá chyba v návrhu trestána dlouhodobě. Dříve nebo později se jedná o
finanční zátěž provozovatele, či obyvatele budov.
Chceme-li navrhovat kvalitní budovy, je bezesporu potřeba dobře porozumět
fyzikálním procesům, kterými jsou budovy ovlivňovány. Očekávané chování
budovy musí být známo ještě předtím, než padnou rozhodnutí, která lze
potom jen velmi těžko v průběhu návrhu měnit. Problematika šíření tepla a
hmoty je naneštěstí velmi komplexní. Obrázek 2 se snaží naznačit fyzikální
procesy, které v rámci nějakého stavebního prvku mohou probíhat.
- 10 -
ŠÍŘENÍ TEPLA
Krátkovlnné
záření
Povrchy venkovní
- Ostatní budovy
- Povrch země
- Obloha…
Přestup tepla
dlouhovlnným
zářením (sáláním)
Přestup tepla
prouděním vzduchu
Vedení tepla a
proudění
Skupenské
teplo
kondenzace
nebo
vypařování
Proudění
vzduchu
Sálání
Vedení
Vzduchová
dutina
Povrchy v místnosti
- Stěny
- Strop
- Podlaha
- Okna
- Otopná
tělesa…
Přestup tepla
dlouhovlnným zářením
(sáláním)
Přestup tepla
prouděním vzduchu
interiér
exteriér
ŠÍŘENÍ VLHKOSTI
Větrem
hnaný
déšť
Difuze a šíření
kapalné fáze
Voda
stékající po
povrchu
Přestup vodní
páry prouděním
vzduchu
Kondenzace nebo
vypařování na/z
vnějšího povrchu
exteriér
Zabudovaná
vlhkost
Kondenzace
nebo
vypařování
uvnitř
konstrukce
Přestup vodní páry
prouděním vzduchu
Proudění
vzduchu
Vzduchová
dutina
Vzlínající voda
Kondenzace nebo
vypařování na/z
vnitřního povrchu
interiér
Obrázek 2: Šíření tepla a vlhkosti probíhající uvnitř stavebního prvku, na jeho
povrchu či mezi jeho povrchem a obklopujícími povrchy.
Reálný experiment a teoretický výpočet představují dva možné způsoby jak
zkoumat nějaký problém. Experiment poskytuje reálnou informaci o
problému, a to i přes nejistoty měření. Měření je ale drahé, zdlouhavé a
poskytuje nekompletní informaci. Počet čidel k dispozici je vždy omezený.
Měření nicméně má svou nezastupitelnou úlohu ve výzkumu pro lepší
pochopení reality a při vývoji lepších matematických modelů. Výpočet je
- 11 -
druhou možností, jak zkoumat nějaký problém. Na rozdíl od měření jsou
výpočty levnější, rychlejší a poskytují podrobné informace. Stejně jako
měření jsou však výpočtové modely zatíženy nejistotami. Může se například
jednat o nejistoty vstupních údajů a nejistoty ve formulaci samotného
modelu. Vhodně zjednodušený a dostatečně ověřený výpočtový model má
svou nezastupitelnou úlohu při inženýrském návrhu budov a stavebních
prvků.
Fyzikální procesy jsou matematicky často popsány obyčejnými nebo
parciálními diferenciálními rovnicemi. Výstupem z modelu je informace o
rozložení nějakých vlastností reálného objektu v prostoru a čase. Sledujemeli pouze prostorové rozložení vlastností, hovoříme o ustáleném (stacionárním)
stavu. Jsou-li vlastnosti proměnné i v čase, hovoříme o neustáleném
(nestacionárním) stavu. Modely v ustáleném stavu nabízejí jednodušší
matematickou formulaci, větší možnosti analytických řešení a základní vhled
do problému. Jsou proto důležité pro inženýrskou praxi. Modely
v neustáleném stavu jsou složitější, ale lépe popisují realitu. Je potřeba
upozornit, že využití velmi podrobných modelů bohužel automaticky
neznamená kvalitnější výsledky a kvalifikovanější rozhodnutí uživatele. Počet
vstupních údajů do modelu a počet prvků v modelu nepochybně souvisí se
schopností uživatele zadat správné vstupní údaje, pochopit model a kvalitně
vyhodnotit výsledky.
Vyřešit diferenciální rovnice analyticky ve většině případů není možné. Proto
se dnes běžně využívají numerické metody řešení a s nimi související
počítačové aplikace. Numerickou metodou se obvykle nazývá na počítači
naprogramovaný postup, který řeší nějaký matematický problém. Počítač je
potřeba, protože počet prováděných operací je příliš veliký na to, aby je bylo
možné provádět ručně.
1.2 Zákony zachování
Zákon zachování energie a zákon zachování hmoty jsou dva základní
fyzikální principy. Oba v podstatě říkají, že energie ani hmota se nemůžou ze
zkoumaného systému ztratit. Množství (např. energie ve formě tepla, vodní
páry, vody v kapalné fázi, vzduchu,…) vstupující za časovou jednotku do
kontrolního objemu mínus množství z kontrolního objemu vystupující se
rovná množství v kontrolním objemu uloženému. Tyto dva principy tvoří
základní pilíř matematické analýzy.
- 12 -
1.2.1 Bilance kontrolního objemu
Φin (W)
Q (J)
Φout (W)
m (kg)
Gin (kg/s)
Φs (W)
Gout (kg/s)
Gs (kg/s)
Obrázek 3: Bilance kontrolního objemu.
Tepelná bilance (Obrázek 3, vlevo) je:
dQ
  in   out   s
dt
(J/s = W)
(1.1)
kde Q (J) je teplo akumulované v kontrolním objemu, Φin (W) je tepelný tok
vstupující do kontrolního objemu přes jeho povrch, Φout (W) je tepelný tok
vystupující z kontrolního objemu přes jeho povrch, a Φs (W) je tepelný tok od
zdroje tepla působícího uvnitř kontrolního objemu.
Vzájemný vztah veličin nazývaných teplo a tepelný tok objasňuje Obrázek 4.
Základní jednotkou pro teplo je 1 Joule = 1N·1m = kg m2 s-2 = 1 Ws.
V technické praxi se hojně využívá jednotky Wh (1 Wh = 3,6 kJ). Někdy
bývají používané i jiné jednotky, jako například jsou m3 zemního plynu, litry
topného oleje, kalorie. V praxi je důležité obě veličiny nezaměňovat mezi
sebou.
Φ (W)
Q 
t2
  dt
t1
t1
t
t2
Obrázek 4: Teplo vs. výkon.
Pokud ohříváme/ochlazujeme látku a nedochází ke změně jejího skupenství,
můžeme k vyjádření změny akumulovaného tepla použít rovnici:
dQ  mcdT
(1.2)
 Příklad 1. Dokonale izolovaný zásobník s vodou o objemu 150 litrů jsme ohřáli z 15 °C na
60 °C. Kolik tepla bylo potřeba dodat? Kolik by bylo potřeba dodat tepla, pokud by v nádrži
byl pouze vzduch?
- 13 -
Voda: dQ = 1000 kg/m3 × 0,15 m3 × 4200 J/(kg∙K) × (60 - 15)K = 28,35×106 J = 7,88×103 Wh
Vzduch: dQ = 1,2 kg/m3 × 0,15 m3 × 1010 J/(kg∙K) × (60 - 15)K = 8,18×103 J = 2,27 Wh
Do zásobníku s vodou jsme museli dodat přibližně 3500× více tepla než do zásobníku se
vzduchem.
Po dosazení rovnice (1.2) do (1.1) dostaneme:
mc
dT
 in  out  s
dt
(1.3)
Po dosazení za hmotnost kontrolního objemu dostaneme:
cV
dT
 in  out  s
dt
(1.4)
kde c tepelná kapacita vztažená na jednotku objemu (J/(m3·K)) a V je
objem (m3).
Hmotnostní bilance (Obrázek 3, vpravo) je:
dm
 Gin  Gout  Gs
dt
(kg/s)
(1.5)
kde m (kg) je hmotnost bilancované veličiny v kontrolním objemu, Gin (kg/s)
je hmotnostní tok vstupující do kontrolního objemu přes jeho povrch,
Gout (kg/s) je hmotnostní tok vystupující z kontrolního objemu přes jeho
povrch, a Gs (kg/s) je hmotnostní tok od zdroje bilancované veličiny, který
působí uvnitř kontrolního objemu.
Po dosazení za hmotnost dostaneme:
d  V 
 G in  G out  Gs
dt
(1.6)
V případě, že můžeme považovat objemovou hmotnost za konstantu, a v čase
se mění objem (např. zásobník s vodou), můžeme psát:

dV
 G in  G out  G s
dt
(1.7)
Také může nastat případ, že se mění hustota zachovávající se veličiny uvnitř
konstatního objemu (např. hustota vodní páry v místnosti), potom máme:
V
d
 G in  G out  G s
dt
(1.8)
Bilanční rovnice se někdy nazývají rovnicemi kontinuity. Společně
s rovnicemi pro vyjádření jednotlivých toků (např. Fourierův zákon v případě
vedení tepla, Fickův zákon v případě difuze vodní páry) vedou k odvození
základních vztahů.
- 14 -
1.2.2 Bilance na rozhraní vrstev
Častým problémem jsou bilance na rozhraní dvou vrstev. Může se například
jednat o rozhraní mezi vzduchem a pevným materiálem. Kontrolní objem se
v tomto případě redukuje na povrch, který má nulový objem. Teplo ani
hmota v něm tedy nemohou být uloženy. Levé strany rovnic (1.1) a (1.5)
proto jsou nulové a rovnice se redukují:
in  out  0
(J/s = W)
(1.9)
(kg/s)
(1.10)
Gin  Gout  0
Φin (W)
Φout (W)
Gin (kg/s) Gout (kg/s)
Obrázek 5: Tepelná a hmotnostní bilance na rozhraní vrstev.
1.3 Rovnice kontinuity
Uvažujme veškeré přítoky a odtoky v rámci kontrolního objemu ve tvaru
kvádru (viz Obrázek 6). Hustota nějaké obecné tokové veličiny je označena
jako j. Jedná se o vektor se třemi složkami jx, jy, jz.
z
jy (x,y+y,z)
jz (x,y,z+z)
y
x
z
jx (x+x,y,z)
jx (x,y,z)
jy (x,y,z)
x
y
jz (x,y,z)
Obrázek 6: Přítoky a odtoky přes stěny kontrolního objemu.
Celkový přítok do kontrolního objemu přes různé povrchy je:
J in  j x (x , y, z )y z  jy (x , y, z )x z  j z (x , y, z )x y
Celkový odtok z kontrolního objemu přes různé povrchy je:
- 15 -
(1.11)
J out  j x (x  x , y, z )y z  jy (x , y  y, z )x z  j z (x , y, z  z )x y
(1.12)
Hustotu tokové veličiny vycházející z kontrolního objemu lze aproximovat
jako její lineární přírůstek ke vstupujícímu množství podél příslušné délky
kontrolního objemu (viz Obrázek 7). Pro jednotlivé složky máme:
j x  x , y, z 
x
x
(1.13)
jy  x , y  y, z   jy  x , y, z  
jy  x , y, z 
y
y
(1.14)
j z  x , y , z  z   j z  x , y , z  
j z  x , y, z 
z
z
(1.15)
jx(x+x)
chyba
jx(x+x) - jx(x)
j x  x  x , y, z   j x  x , y, z  
možný skutečný průběh jx
jx(x)
jx ( x  x)  jx ( x) djx  x 

x
dx
djx
dx
x
x
x+x
Obrázek 7: Vysvětlení k rovnici (1.13).
Rozdíl mezi přítokem a odtokem tedy můžeme vyjádřit jako:
j x  x , y , z 


 x y z 
J in  J out   j x (x , y , z )y z   j x  x , y , z  y z 
x



j y  x , y , z 

 j y (x , y , z )x z   j y  x , y , z  x z 
y x z 
y


(1.16)

j z  x , y , z 

 j z (x , y , z )x y   j z  x , y , z  x y 
z  x  y 
z


Po algebraické úpravě dostaneme:
j x  x , y, z  jy  x, y, z  j z  x , y, z 
J in  J out



   j
x y z
x
y
z
(1.17)
kde divergence je operátor vyjadřující skalární součin:
    
div    
,
, 
 x y z 
(1.18)
- 16 -
Tečka za nabla (  ) je důležitá, protože zdůrazňuje, že se jedná o skalární
součin. V našem případě je divergence vektoru hustoty tokové veličiny:
    
jy j z
j
div  j     j  
,
,    j x , jy , j z   x 

x y z
 x y z 
Důležitou vlastností výrazu
(1.19)
(  j) je, že vyjadřuje rozdíl mezi toky
vstupujícími do kontrolního objemu a toky vystupujícími z kontrolního
objemu.
Rovnice kontinuity je obecné vyjádření pro zákon zachování nějaké veličiny:

   j  s
t
(1.20)
kde  je hustota zachovávající se veličiny a s je zdrojový člen, který vyjadřuje
rychlost přibývání zachovávající se veličiny v jednotce objemu.
Pro šíření tepla máme:
u
   q  sQ
t
(1.21)
kde u (J/m3) je hustota vnitřní energie (tj. vnitřní energie vztažená na
jednotku objemu), q (W/m2 = J/(m2s)) je hustota tepelného toku a sQ (W/m3)
je vnitřní zdroj tepla. Takovým vnitřním zdrojem může být teplo z chemické
reakce (například hydratace betonu).
Pro šíření vlhkosti máme:
w
   g  sm
t
(1.22)
kde w (kg/m3) je vlhkost vztažená na jednotku objemu (viz kapitola 4.3),
g (kg/(m2s)) je hustota vlhkostního toku a sm (kg/m3s) je vnitřní zdroj
vlhkosti. Takovým vnitřním zdrojem může například být kondenzace vodní
páry.
- 17 -
2 Šíření tepla
2.1 Úvod
Druhý
termodynamický
zákon
říká:
„Teplo nemůže
při
styku
dvou těles různých teplot samovolně přecházet z tělesa chladnějšího na
těleso teplejší“. Podmínkou šíření tepla tedy je existence rozdílu teplot. Teplo
se může šířit následujícími třemi způsoby (viz Obrázek 8):

vedením;

prouděním;

sáláním.
Vedení tepla je důležité v pevných látkách, proudění a sálání je v nich méně
významné. Proudění a sálání jsou naopak důležité v kapalinách a plynech,
např. ve vzduchové dutině uzavřené v pevném materiálu.
T1 > T 2
T1
qcd T2
T1
pohyb
tekutiny
qc
Tp2
Tp > T 1
qr
Tp
Tp1 > Tp2
Tp1
Obrázek 8: Šíření tepla vedením, prouděním, sáláním.
2.2 Šíření tepla vedením
2.2.1 Základní vztahy
Předpis pro hustotu tepelného toku qcd (W/m2) v homogenním materiálu se
nazývá 1. Fourierův zákon. Hustota tepelného toku je úměrná teplotnímu
gradientu a má opačný směr než vektor teplotního gradientu:
q cd   
dT
dx
(W/m2)
(2.1)
kde  je součinitel tepelné vodivosti (W/(m·K)), T je teplota (K), x je
souřadnice (m). Součinitel tepelné vodivosti se často zjednodušeně uvažuje
konstantní hodnotou. Ve skutečnosti jeho hodnota závisí na teplotě a
vlhkosti materiálu. Hodnota také může být různá ve směru souřadnicových
- 18 -
os. Například dřevo ve směru rovnoběžně s vlákny vykazuje přibližně dvakrát
až třikrát vyšší součinitel tepelné vodivosti, než ve směru kolmo na vlákna.
Nyní uvažujme tenký kontrolní objem s vnitřním zdrojem tepla (viz Obrázek
9).
SQ
qcd,x
A
qcd,x 
qcd,x
x
dx
T
dx
Obrázek 9: Jednorozměrný kontrolní objem.
Tepelná bilance kontrolního objemu je vyjádřena rovnicí:
dQ 
q


  qcd,x   q cd,x  cd,x dx   A  SQ
dt 
x


(W)
(2.2)
V případě, že materiál nemění své skupenství, můžeme časovou změnu
akumulovaného tepla vyjádřit jako (viz Obrázek 10):
dQ
T
T
T
 mc
 Vc
 cAdx
dt
t
t
t
(2.3)
kde t(s) je čas,  (kg/m3) je objemová hmotnost, c (J/(kg·K) je měrná tepelná
kapacita). Součin c (J/(m3K)) se nazývá objemová tepelná kapacita.
Q
Q
mc

tání

Obrázek 10: Závislost dodaného tepla na teplotě materiálu. Vlevo – materiál
nemění skupenství. Vpravo – materiál mění skupenství.
Po dosazení rovnice (2.3) do rovnice (2.2) dostaneme:
cAdx
T
q
  cd,x Adx  SQ
t
x
(2.4)
Po eliminaci objemu Adx z rovnice (2.4) a dosazení rovnice (2.1) dostaneme:
- 19 -
c
T


t
x
T 

 
  sQ
x 

(2.5)
V případě uvažování konstantních hodnot materiálových vlastností , c a 
a nulového vnitřního zdroje tepla sQ (W/m3) dostaneme:
T
 2T

t
c x 2
(2.6)
kde teplotní vodivost (m2/s) se nazývá poměr:
a

c
(m2/s)
(2.7)
Čím vyšší je hodnota teplotní vodivosti materiálu, tím rychleji se po změně
teploty okolí dostane teplota materiálu do rovnovážného stavu s teplotou
okolí. Většina stavebních materiálů má podobnou hodnotu teplotní vodivosti
(a ≈ 10-6 m2/s). Neexistuje totiž lehký materiál, který by současně měl vysoký
součinitel tepelné vodivosti, ani těžký materiál, který by měl nízký součinitel
tepelné vodivosti. Jistou výjimku představují kovy a také vzduch, které
dosahují a ≈ 10 -5 m2/s. Rovnice (2.6) se nazývá rovnice jednorozměrného
vedení tepla v neustáleném stavu nebo někdy také 2. Fourierův zákon.
2.2.2 Jednorozměrné vedení tepla v ustáleném stavu
Jednovrstvá stěna bez zdroje tepla
Uvažujme jednorozměrné vedení tepla v ustáleném stavu ve stěně vytvořené
z jedné vrstvy materiálu s tloušťkou L (viz Obrázek 11). Teplota na levé
straně stěny je T(x = 0) = T1. Teplota na pravé straně je T(x = L) = T2.
L
T1
T(x) T2
qcd
x
Obrázek 11: Jednovrstvá stěna.
Uvažujeme-li konstantní hodnotu součinitele tepelné vodivosti ( = konst.) a
žádný zdroj tepla v rámci stěny, rovnice (2.6) se zredukuje na:
d2T
0
dx 2
(2.8)
- 20 -
Řešení získáme integrací (2.8). Po první integraci máme:
dT
 C1  0
dx
(2.9)
Po druhé integraci dostáváme obecné řešení:
T  x   C1x  C2
(2.10)
kde C1 a C2 jsou integrační konstanty. Pro hustotu tepelného toku máme:
q cd  
dT
 C1
dx
(2.11)
Po dosazení okrajových podmínek do rovnice (2.10) získáme:
C2  T1
C1 
(2.12)
T2  T1
L
(2.13)
Výsledné řešení pro uvažované okrajové podmínky tedy je:
T  x   T1 
T2  T1
x
L
(2.14)
V ustáleném stavu je tedy průběh teploty v homogenní stěně z jednoho
materiálu přímka spojující teploty T1 a T2. Hustota tepelného toku je
konstantní hodnota, viz rovnice (2.11):
q cd  
T2  T1 T1  T2

L
R
(2.15)
kde R se nazývá tepelný odpor (m2K/W).
R 
L
(2.16)

K rovnici (2.15) se lze dostat i snadněji. Je potřeba si uvědomit, že hustota
tepelného toku je v ustáleném stavu konstantní hodnota nezávislá na x,
proto:
q cd
x2
T2
x1
T1
 dx    dT
(2.17)
Po úpravě rovnice (2.17) dostaneme rovnici (2.15).
- 21 -
Vícevrstvá stěna bez zdroje tepla
Nyní se zabýváme případem stěny vytvořené z více vrstev. Teplota na levé
straně stěny je T(x = 0) = T1. Teplota na pravé straně je T(x = L) = T2.
T(x)
T1 q
T2
1→x qx→2
qcd
T1
R(x) T(x) R – R(x)
T2
T1
R
T2
x
Obrázek 12: Vícevrstvá stěna a grafické schéma problému.
Využijeme předchozí závěr, že v ustáleném stavu je hustota tepelného toku
v jakémkoliv místě stěny konstantní hodnota. Hustota tepelného toku
přitékajícího zleva do uzlu T(x) musí být tedy stejná jako hustota tepelného
toku odtékajícího z uzlu T(x) doprava. Situaci je výhodné si představit
grafickým schématem (viz Obrázek 12, vpravo).
q1x  qx 2  qcd
(2.18)
Po dosazení rovnice (2.15) do rovnice (2.18) dostaneme:
T1  T  x  T  x   T2 T1  T2


R x 
R  R x 
R
(2.19)
kde R(x) je tepelný odpor od levé strany stěny až do x a R je tepelný odpor
celé stěny. Po úpravě dostaneme vztah pro T(x):
T  x   T1 
R x 
T2  T1 
R
(2.20)
Pro N materiálových vrstev, které mají tloušťku Li a součinitel tepelné
vodivosti i, platí:
N
R 
i 1
Li
(2.21)
i
 Příklad 2. Vypočítejte průběh teplot ve stěně, která se skládá z vrstvy betonu
tloušťky 0,25 m a vrstvy tepelné izolace tloušťky 0,15 m. Součinitel tepelné vodivosti betonu
uvažujte hodnotou 1,5 W/(m·K) a tepelné izolace 0,04 W/(m·K). Mezi povrchy stěny
dlouhodobě působí rozdíl teplot T1 - T2 = 20 - (-15) = 35 K. Uvažujte dvě varianty umístění
tepelné izolace - na chladnější straně stěny, na teplejší straně stěny.
Pro teplotu mezi oběma vrstvami máme: (T1-T12)/R1=(T1-T2)/R: T12=18,5°C (tepelná izolace ze
strany exteriéru), resp. (T1-T12)/R2=(T1-T2)/R: T12=-13,5°C (tepelná izolace ze strany interiéru)
- 22 -
Obrázek 13: Vlevo - průběh teplot ve stěně v případě tepelné izolace umístěné ze strany
exteriéru. Vpravo - průběh teplot ve stěně v případě tepelné izolace umístěné ze strany
interiéru.
Případů, kdy můžeme přímo zadat povrchové teploty, je velmi málo. Obvykle
jsou známy teploty obklopujících prostředí. Z prostředí do povrchu stěny,
případně z povrchu stěny do prostředí, se teplo šíří prouděním a sáláním.
Komplexní vliv tohoto působení lze nahradit odpory při přestupu tepla na
vnitřní Rsi (viz kapitola 2.5.1) a vnější straně stěny Rse (viz kapitola 2.5.2).
Odpory při přestupu tepla si lze představit jako další vrstvu nějakého
materiálu přilepenou na vnitřní a vnější stranu stěny. Rovnici (2.20) lze
zapsat jako:
T  x   T1 
R si  R  x 
T2  T1 
R si  R  R se
(2.22)
Teplota vnitřního povrchu stěny tedy je:
Tpi  T1 
Rsi
T2  T1 
Rsi  R  Rse
(2.23)
Rovnici (2.23) lze také zapsat jako:
T1  Tpi
Rsi

Rsi  R  Rse T1  T2
(2.24)
Podíl (T1 – Tpi)/(T1 – T2) vyjadřuje kvalitu konstrukce a nezávisí na hodnotách
teplot prostředí. Hodnota doplňující tento podíl do jedničky se nazývá
teplotní faktor vnitřního povrchu, který se v praxi používá pro posuzování
rizika kondenzace vodní páry na povrchu konstrukcí a rizika růstu plísní,
viz [18].
 Příklad 3. Vypočítejte průběh teplot v jednovrstvé stěně. Uvažujte stěnu vytvořenou
z betonu a z tepelné izolace. Výpočet proveďte pro případ zadaných povrchových teplot (1), a
- 23 -
pro zadané teploty prostředí s odpory při přestupu tepla (2). Odpory při přestupu tepla
uvažujte hodnotami 0,13 (m2K)/W resp. 0,04 (m2K)/W.
Obrázek 14: Vlevo - průběh teplot v jednovrstvé betonové stěně. Vpravo - průběh teplot
v jednovrstvé stěně z tepelné izolace.
V případě neizolované betonové stěny jsou odpory při přestupu tepla srovnatelné s tepelným
odporem stěny, což vede k velkému rozdílu mezi povrchovými teplotami a teplotami
prostředí (viz Obrázek 14, vlevo).
 Příklad 4. Uvažujte stěnu tloušťky 0,3 m vytvořenou z jedné vrstvy homogenního
materiálu. Mezi povrchy stěny dlouhodobě působí rozdíl teplot T1 - T2 = 20 - 4 = 16 K.
Vypočtěte hustotu tepelného toku procházejícího přes stěnu a množství tepla, které stěnou
projde za jedno otopné období (uvažujte 240 dnů). Uvažujte tyto materiály: tepelná izolace
( = 0,04 W/(m·K)), cihla ( = 0,8 W/(m·K)), beton ( = 1,3 W/(m·K))). Odpory při přestupu
tepla uvažujte hodnotami 0,13 (m2K)/W resp. 0,04 (m2K)/W.
Izolace: (T1-T2)/(Rsi+0,3/0,04+Rse)=2,1 W/m2, Q = 2,1 W/m2 × 240 × 24 h = 12 kWh/m2.
Cihla: (T1-T2)/(Rsi+0,3/0,8+Rse)=29,4 W/m2, Q = 29,4 W/m2 × 240 × 24 h = 169 kWh/m2.
Beton: (T1-T2)/(Rsi+0,3/1,5+Rse)=39,9 W/m2, Q = 39,9 W/m2 × 240 × 24 h = 230 kWh/m2.
U starší cihelné zástavby lze přibližně předpokládat, že potřebu tepla na vytápění určují pouze
tepelné ztráty, tj. vliv tepelných zisků v tepelné bilanci budovy je zanedbatelný. Pokud
uvažujeme současnou cenu energie 2 ÷ 5 Kč/kWh (podle druhu paliva), tak dostáváme, že
každým metrem čtverečním nezateplené cihelné stěny proteče nezanedbatelných
340 ÷ 850 Kč/(m2rok). Zateplením stěny 20 cm tepelné izolace lze snížit množství
procházejícího tepla přibližně na jednu desetinu.
Vícevrstvá stěna s konstantním zdrojem tepla na rozhraní vrstev
Ve vícevrstvé stěně působí konstantní zdroj tepla umístěný na rozhraní
vrstev (viz Obrázek 15). Prakticky se například může jednat o stěnové
vytápění či chlazení zabudované do stěny. Působící zdroj tepla je označený sQ
a jednotkou je v tomto případě W/m2. Tepelný odpor vrstev nalevo od zdroje
je označený R1 a tepelný odpor vrstev napravo od zdroje je označený R2.
- 24 -
sQ
sQ
T2
T1
T1
0
x
L
R1
R2
T(x)
T2
Obrázek 15: Vícevrstvá stěna se zdrojem tepla a grafické schéma problému.
Tepelná bilance v uzlu T(x):
T1  T  x 
T  x   T2
 sQ 
R1
R2
(2.25)
Odtud:
T x  
R 2T1  R1T2  sQ R1R 2
R
(2.26)
kde R = R1 + R2.Tepelný tok mezi levým povrchem stěny a místem, kde
působí zdroj, je:
q cd,1 
T1  T  x  T1  T2 sQ R 2


R1
R
R
(2.27)
q cd,2 
T  x   T2 T1  T2 sQ R1


R2
R
R
(2.28)
 Příklad 5. Vypočtěte průběh teplot ve stěně z příkladu 3. Z vnitřní strany stěny je navíc
umístěna cementová omítka, pod kterou je umístěno stěnové vytápění o tepelném výkonu
100 W/m2. Vypočtený průběh teplot porovnejte s průběhem, jaký by nastal bez působení
zdroje tepla. Odpory při přestupu tepla uvažujte hodnotami 0,13 (m2K)/W resp. 0,04 (m2K)/W.
Obrázek 16: Vlevo - průběh teplot v rámci stěny s tepelnou izolací umístěnou ze strany
exteriéru. Vpravo - průběh teplot v rámci stěny s tepelnou izolací umístěnou ze strany
interiéru.
- 25 -
Teploty na rozhraní mezi cementovou omítkou a betonovou stěnou jsou v obou případech
stejné. U obou variant nicméně existuje velký rozdíl tepelného chování v neustáleném stavu,
které je způsobeno rozdílným rozložením tepelné kapacity v rámci stěny.
Jednovrstvá stěna s konstantním zdrojem tepla působícím v celé
tloušťce
Uvažujeme jednovrstvou stěnu, viz Obrázek 11. Po celé tloušťce stěny však
působí objemový zdroj tepla označený jako sQ. Prakticky se například může
jednat o uvolňování hydratačního tepla. Zjednodušeně se předpokládá, že
velikost zdroje se nemění v čase ani v rámci tloušťky stěny. Rovnice (2.5) se
zredukuje do tvaru:
d2T sQ

0
dx 2 
(2.29)
Řešení získáme integrací (2.29). Po první integraci máme:
s
dT
  Q x  C1

dx
(2.30)
Po druhé integraci dostáváme obecné řešení:
T  x   C1x  C 2 
sQ 2
x
2
(2.31)
což představuje parabolický průběh. Pro hustotu tepelného toku máme:
q cd  x    
dT
  C1  sQ x
dx
což představuje
podmínek:
přímku.
(2.32)
Integrační
konstanty
určíme
C2  T1
C1 
z okrajových
(2.33)
T2  T1 sQ L

L
2
(2.34)
Výsledné řešení pro uvažované okrajové podmínky tedy je:
T  x   T1 
s
T2  T1
x  Q x L  x 
L
2
(2.35)
První dva členy rovnice (2.35) jsou identické s již známým řešením pro stěnu
bez zdroje tepla (rovnice (2.14)). Třetí člen představuje vliv zdroje tepla. Člen
nabývá nulové hodnoty na obou stranách stěny.
Pro hustotu tepelného toku máme:
- 26 -
q cd  x  
T1  T2 sQ

 2x  L 
R
2
(2.36)
kde R je tepelný odpor podle rovnice (2.16). Hustota tepelného toku v tomto
případě v rámci stěny není konstantní.
 Příklad 6. Uvažujte betonový deskový prvek dostatečně tenký a velký, aby se na něm dalo
považovat vedení tepla za jednorozměrné. Panel byl vyrobený v hale temperované na teplotu
15°C. Vypočtěte a vykreslete průběh teploty v rámci panelu, který by mohl nastat na konci
prvního dne po betonáži. Výpočty proveďte pro dvě různé tloušťky panelu (10 cm a 50 cm).
Předpokládejte, že za první den po betonáži se na 1 kg cementu uvolní 200 kJ tepla. V 1 m3
betonové směsi je zamícháno 350 kg cementu. Součinitel tepelné vodivosti betonu uvažujte
hodnotou 1,5 W/(m·K).
Průměrný výkon první den po betonáži: (200×1000) J/kg/(24×3600 s)= 2,31 W/kg
sQ = 2,31 W/kg × 350 kg/m3 = 810 W/m3
Využijeme řešení podle rovnice (2.35). Zároveň je ale potřeba si uvědomit některá
zjednodušení. Průběh teplot odpovídá ustálenému stavu. Množství uvolňovaného
hydratačního tepla samozřejmě není v čase konstantní a v čase se rychle se snižuje. Panel se
tedy nemůže nacházet v ustáleném stavu. Dalším zjednodušením modelu je, že v modelu se
neuvažují odpory při přestupu tepla. Odvádění tepla ve skutečnosti není tak rychlé, jak se
předpokládá ztotožněním povrchové teploty panelu s vnitřní teplotou v hale.
Obrázek 17: Vlevo - průběh teplot v rámci panelu. Vpravo - průběh hustot tepelných toků
v rámci panelu.
Na čtenáři zůstává, aby sám dopočítal průběh teplot numericky a porovnal takto vypočtený
průběh s analytickým řešením. Návod: Rozdělte panel na přiměřený počet kontrolních
objemů. Pro každý kontrolní objem sestavte jeho tepelnou bilanci. Za předpokladu
ustáleného stavu pro i-tý kontrolní objem máme:
K i Ti -1  Ti   K i +1 Ti +1  Ti   sQdi  0
(2.37)
kde di je tloušťka i-tého kontrolního objemu, Ti je teplota i-tého kontrolního objemu, a K je
vodivost mezi sousedními teplotními uzly (ve W/m2K, K = /d). Vznikne soustava lineárních
rovnic, kterou vyřešíte ve vhodném softwaru. Dejte si pozor na tepelnou bilanci krajních
kontrolních objemů, v kterých je nutné zahrnout změnu velikosti krajní vodivosti (K1 = /d/2),
či vliv odporů při přestupu tepla, pokud je uvažujete (K1 = 1/(Rsi+d/2/)).
- 27 -
Jednovrstvé mezikruží
Zabýváme se mezikružím s vnitřním poloměrem r1 a venkovním
poloměrem r2. Teplota na vnitřní straně je T(r = r1) = T1. Teplota na venkovní
straně je T(r = r2) = T2.
Φcd
r1
dr
T1
r
r2
l
T2
Obrázek 18: Jednorozměrné vedení tepla v ustáleném stavu v mezikruží.
Pro tepelný tok Φcd v místě r přes mezikruží délky l máme:
 cd r     2 rl  
dT
dr
(2.38)
Z předcházejícího případu jednovrstvé stěny víme, že v ustáleném stavu je
tepelný tok konstantní. Můžeme proto psát:
r2
 cd 
r1
T
2
dr
 2 l   dT
r
T1
(2.39)
Po vyjádření obou integrálů máme:
 cd 
2 l  T1  T2  T1  T2

R
 r2 
ln  
 r1 
(2.40)
kde tepelný odpor v (K/W) je:
r 
ln  2 
r
R   1
2 l 
(2.41)
Tepelný odpor mezikruží neroste při zvyšování tloušťky lineárně jako
v případě stěny, ale logaritmicky.
Teplota T(r) se vypočte z analogického vztahu k rovnici (2.20). Tepelný tok
bývá někdy výhodné vztahovat k jednomu metru délky mezikruží. Potom
máme:
 cd 2 T1  T2  T1  T2


l
R
 r2 
ln  
 r1 
(2.42)
- 28 -
kde tepelný odpor R’ má rozměr (m·K/W).
Vícevrstvé mezikruží
Řešení pro vícevrstvé mezikruží je analogické vícevrstvé stěně. Celkový
tepelný odpor mezikruží vytvořeného z N materiálových vrstev tedy je:
r 
ln  i 1 
r
R    i 
2i
i 1
N
(2.43)
Stejně jako u stěny mohou hrát roli odpory při přestupu tepla. Uvnitř
potrubí lze velmi často tento odpor zanedbat. Pro venkovní stranu potrubí
s povrchovou teplotou Tpe a odporem při přestupu tepla Rse (m2K/W) máme:
cd 
2 r2l Tpe  T2 
(2.44)
Rse
Po vztažení tepelného toku na jeden metr délky:
 cd Tpe  T2 Tpe  T2


Rse

l
Rse
2 r2
(2.45)
kde R’se je odpor při přestupu tepla v (m·K/W). Tento odpor je nepřímo
úměrný venkovnímu poloměru potrubí.
2.2.3 Jednorozměrné vedení tepla v neustáleném stavu
Princip superpozice
Mějme tenký plech tloušťky d a ploše A (viz Obrázek 19). V rámci
uvažovaného objemu plechu působí zdroj tepla Φs(t). Na obou površích
působí teplota T1(t). Výpočtem máme určit časový průběh teploty plechu T(t).
V
Φs
T1
T
Φs
A
K
T1
T1
T K
C
d
x
Obrázek 19: Tenký plech se zdrojem tepla.
- 29 -
T1
Ze zákona zachování energie máme:
C
dT
  s  2K T  T1 
dt
(W)
(2.46)
kde K (W/K) je vodivost mezi středem plechu a jeho povrchem, a kterou je
možné vypočítat jako:
K 

d 2
A
(2.47)
Tepelná kapacita C (J/K) uvažovaného objemu plechu se vypočítá jako:
C  cV
(2.48)
Rovnici (2.46) vyřešíme analyticky pro situaci, kdy dojde ke skokové změně
velikosti zdroje tepla (Φs(t = 0) = 0, Φs(t > 0) = Φs), a zároveň dojde ke skokové
změně povrchové teploty (T1(t = 0) = T0, T1(t > 0) = T1). K řešení využijeme
superpozici, která sčítá výsledné řešení komplexního problému z řešení
jednotlivých dílčích problémů. Toto sečtení lze provést pouze v případě
lineárního dynamického systému, a proto se často superpozice používá pro
řešení úloh z oblasti vedení tepla. V našem případě problém rozdělíme na
dva dílčí problémy (viz Obrázek 20).
Φs(t)
T1(t)
Φs(t)
0
T1(t)
T(t)
T(t)=T0
T1(t)
T1(t)
T1(t)
=
+
T1(t)=T0
0
0
T2(t)
T2(t)=0
Obrázek 20: Princip superpozice.
Nejprve tedy řešíme první dílčí problém, kdy je zdroj tepla nulový a dojde ke
skokové změně povrchové teploty (T1(t = 0) = T0, T1(t > 0) = T1). Rovnici (2.46)
přepíšeme do tvaru:
dT 2K
2K

T 
T1
dt
C
C
(2.49)
Řešení je možné hledat jako:
T  TH  TP
(2.50)
kde TH je řešení rovnice (2.49) bez pravé strany (homogenní diferenciální
rovnice) a TP je jedno partikulární řešení rovnice (2.49) s pravou stranou.
Nejprve tedy řešíme rovnici:
- 30 -
dT 2K
T 0

C
dt
(2.51)
Separujeme proměnné a integrujeme:
1
 T dT

2K
C
 dt
(2.52)
Po úpravě dostaneme řešení:
TH  C1e

2K
t
C
(2.53)
Rovnice (2.53) je vlastně řešení pro situaci, kdy na pravé straně rovnice
(2.49) vystupuje nulová hodnota teploty T1. Řešení rovnice bez pravé strany
samozřejmě musí splňovat i rovnici (2.49). Integrační konstantu však
uvažujeme jako funkci C1(t):
TP  C1 t  e

2K
t
C
(2.54)
dTp dC1  2CK t
 2K
e

 C1  
dt
dt
 C
 
e

2K
t
C
(2.55)
Po dosazení rovnic (2.54) a (2.55) do rovnice (2.49) dostaneme:
2K
2K
t
t


dC1  2CK t 2K
2K
2K
C


e
C1e
C1  e C 
T1
dt
C
C
C
(2.56)
Po algebraické úpravě dostaneme:
2K
t
dC1 2K

T1e C
dt
C
(2.57)
Po integraci posléze máme:
2K
C1 t   T1e C
t
(2.58)
Dosadíme (2.58) do (2.54) a dostaneme:
2K
t
TP  T1e C e

2K
t
C
 T1
(2.59)
Výsledným řešením rovnice (2.49) je:
T t   C1e

2K
t
C
 T1
(2.60)
kde integrační konstantu C1 určíme z počáteční podmínky T(t = 0) = T0.
- 31 -
C1  T0  T1
(2.61)
Po dosazení (2.61) do (2.60) dostáváme:
T t   T1  T0  T1   e

2K
t
C
(2.62)
Druhým dílčím problémem je skoková změna velikosti zdroje tepla. Teplota
na venkovní straně stěny se uvažuje nulovou hodnotou (viz Obrázek 20).
Rovnice (2.46) upravíme do tvaru:
dT 2K


T  s
C
C
dt
(2.63)
Obdobným postupem jako v předchozím případě bychom dospěli k řešení:
T t   C1e

2K
t
C

s
2K
(2.64)
kde integrační konstantu C1 určíme z počáteční podmínky T(t = 0) = 0.
C1  
s
2K
(2.65)
Po dosazení (2.65) do (2.64) tedy dostáváme:
T t  
2K

t 
s 
C
1  e

2K 

(2.66)
Nyní z rovnic (2.62) a (2.66) složíme výsledné řešení:
T t   T 1 t   T 2 t   T1 
s 
   2K t
  T0  T1  s   e C
2K 
2K 
(2.67)
S různými obdobami rovnice (2.67) se setkáme ještě několikrát. Funkce e-x se
zvyšujícím x se rychle přibližuje nule (e-1 ≈ 0,37, e-2 ≈ 0,14, e-3 ≈ 0,05).
Poměr C/2K se nazývá časová konstanta a má rozměr (s). V čase, který je
větší, než trojnásobek časové konstanty je tedy vliv exponenciálního členu
zanedbatelný, tj. systém se v tomto čase téměř nachází v novém ustáleném
stavu.
- 32 -
Skoková změna povrchové teploty na polonekonečné desce
Polonekonečná deska s konstantní počáteční teplotou T0 je vystavena
skokové změně povrchové teploty (viz Obrázek 21). Teplota se v čase t0 změní
z T0 na Tp.
T(z = 0,t > t0) = Tp
T(z,t = t0)=T0
z
Obrázek 21: Skoková změna povrchové teploty na polonekonečné desce.
Ačkoliv polonekonečné desky v reálném světě neexistují, poskytují analytická
řešení jednorozměrného vedení tepla v neustáleném stavu v polonekonečné
desce významný vhled do problematiky. Analytická řešení zde nejsou
odvozována. Teplotu uvnitř polonekonečné desky můžeme vypočítat
z analytického řešení rovnice (2.6):
 z 
T  z , t   T0  Tp  T0  erfc 

 4at 
(2.68)
kde erfc() je doplňková chybová funkce.
Hustota tepelného toku procházejícího dovnitř desky (z = 0) je:
q  z  0, t  
 Tp  T0 
 at
(W/m2)
(2.69)
(Ws0,5/(m2K))
(2.70)
kde tepelná jímavost je poměr:
b

a
 c
Hodnota tepelné jímavosti ovlivňuje velikost tepelného toku procházejícího
dovnitř materiálu po skokové změně teploty na jeho povrchu. Teplo, které
1m2 polonekonečné desky přijme za čas t1, se získá integrací (2.69):
 Tp  T0  t 1
 Tp  T0 
2
Q   q  t  dt 
b Tp  T0  t1
dt 
2 t1 

 at 0 t
a

0
t1
1
- 33 -
(2.71)
 Příklad 7. Polonekonečná deska je vystavena skokové změně povrchové teploty. Uvažujte
materiály, viz Tabulka 1. Teplota se v čase t0 změní z 0 °C na 1 °C.
Tabulka 1: Materiálové parametry
materiál

c
a
b
Poznámka
(W/m∙K)
(J/m K)
(m /s)
Ws /(m K)
Beton
1,30
2300×840
0,67∙10-6
1584
Tepelná izolace
(PPS)
0,04
20×1300
1,50∙10-6
32
a největší, b
nejmenší
Tepelná izolace
(dřevovlákno)
0,04
150×2100
0,13∙10-6
112
a nejmenší
3
2
0,5
2
b největší
Čím vyšší je hodnota teplotní vodivosti materiálu, tím rychleji se po změně teploty okolí
dostane teplota materiálu do rovnovážného stavu s teplotou okolí. Nejrychleji reaguje na
změnu teploty okolí pěnový polystyren, nejpomaleji dřevovlákno (viz Obrázek 22). Výsledek je
poměrně překvapivý, protože člověk by intuitivně předpokládal, že se nejrychleji ohřeje
beton. Nejvíce tepla přijme beton a oba druhy tepelné izolace řádově méně (viz Obrázek 23).
Obrázek 22: Teplota uvnitř polonekonečné desky (vlevo - po jedné hodině, vpravo – po
dvanácti hodinách).
Obrázek 23: Hustota tepelného toku na povrchu polonekonečné desky v čase.
- 34 -
Teplota na rozhraní dvou polonekonečných desek
Teoretickým případem jsou dvě polonekočné desky, každá na počátku o jiné
teplotě, které jsou dány do vzájemného dokonalého dotyku (viz Obrázek 24).
T(z,t = t0)=T1
q1
Tp
q2
T(z,t = t0)=T2
z
z=0
Obrázek 24: Dvě polonekonečné desky ve vzájemném kontaktu.
Pro teploty v obou materiálech máme:
z ≥ 0:
 z 
T  z , t   T2  Tp  T2  erfc 

 4a 2t 
(2.72)
z ≤ 0:
 z 
T  z , t   T1  Tp  T1  erfc 

 4a1t 
(2.73)
Na rozhraní obou desek musí platit tepelná bilance:
q1  q2  0
(2.74)
Po dosazení (2.69) do (2.74) dostaneme:
Tp 
b1T1  b2T2
b1  b2
(2.75)
Z rovnice (2.75) vyplývá, že teplota na rozhraní dvou polonekonečných desek
je konstantní (nezávislá na čase) a závisí pouze na tepelných jímavostech
materiálů obou desek a počátečních teplotách obou materiálů.
Tento závěr si můžeme dát do souvislosti s lidským vnímáním teploty
materiálu při dotyku bosou nohou. Materiály s vysokou hodnotou tepelné
jímavosti (např. kovy, beton) se nám zdají výrazně studené. Teplota na
rozhraní se totiž kvůli vysoké hodnotě tepelné jímavosti materiálu nastaví na
hodnotu blízkou teplotě materiálu. Materiály s nízkou hodnotou tepelné
jímavosti (např. dřevo) se nám naopak zdají příjemně vlažné. Tepelná
jímavost je proto důležitou vlastností nášlapné vrstvy podlah.
- 35 -
Periodicky kmitající povrchová teplota na polonekonečné desce
Polonekonečná deska je vystavena periodickému kolísání povrchové teploty:
Tp(t )  TM  TA sint 
(2.76)
kde TM je průměrná povrchová teplota, TA je amplituda povrchové teploty, tje
čas a ω je úhlová frekvence:

2
tp
(2.77)
kdetp je perioda kmitu.
Průběh teploty v čase uvnitř polonekonečné desky (v hloubce z) můžeme
spočítat z analytického řešení rovnice (2.6) pro okrajovou podmínku (2.76):
z

dp
T (z , t )  TM   TAe




z 
 sin  t 


dp 


(2.78)
kde dp (m) je periodická hloubka tepelné penetrace.
dp 
at p
(2.79)

Z rovnice (2.78) je zřejmé, že amplituda TA je exponenciálně tlumena
faktorem e
 z dp
a celý výsledný signál je zpožděn o z dp oproti průběhu
povrchové teploty. Amplituda teploty v hloubce z = dp je utlumena na 37 %
(e-1 = 0,368).
Hustota tepelného toku je:
z
q cd (z , t )  

2
z

 
TAe dp sin  t 
dp
dp 4 

(W/m2)
(2.80)
Hustota tepelného toku procházející dovnitř desky (z = 0) je:
q cd (z  0, t ) 
 2
dp


TA sin  t  
4

(W/m2)
(2.81)
I když to není na první pohled z rovnice (2.81) patrné, je tepelný tok
procházející dovnitř desky opět ovlivněn hodnotou tepelné jímavosti:
 2
dp

 2
at p



a
2
2
b
tp
tp
(2.82)

- 36 -
Teplo, které 1m2 polonekonečné desky přijme za polovinu délky periody tp/2
se získá integrací rovnice (2.81):
t p /2
Q 
 q t  dt  2bT
A
0
tp
2
(2.83)
Pro některé látky a základní stavební hmoty jsou uvedeny materiálové
parametry (viz Tabulka 2), s kterými jsme se seznámili v předchozím textu.
Tabulka 2: Materiálové parametry ovlivňující vedení tepla
c (J/m3K)
a (m2/s)
b (Ws0,5/m2K) dp (m/den)
materiál
 (W/m∙K)
Voda
0,60
1000×4200 0,14∙10-6
1587
0,06
Led
2,23
917×2200
1,11∙10-6
2121
0,17
Vzduch
0,026
1,2×1010
2,15∙10-5
6
0,77
Dřevo
0,15
450×2500
0,13∙10-6
411
0,06
OSB deska
0,13
650×1700
0,12∙10-6
379
0,06
Sádrokarton
0,22
750×1060
0,28∙10-6
418
0,09
Sklo
0,81
2600×840
0,37∙10-6
1330
0,10
Beton
1,30
2300×840
0,67∙10-6
1585
0,14
Zdivo
0,86
1800×900
0,53∙10-6
1180
0,12
Hliník
200
2700×870
8,51∙10-5
21675
1,53
Ocel
60
7800×500
1,54∙10-5
15297
0,65
Omítka z nepálené hlíny
1,0
1800×1000 0,56∙10-6
1342
0,12
Minerální vlákna
0,04
40
0,17
50×800
- 37 -
1,00∙10-6
 Příklad 8. Vypočtěte teplotu v zemině během roku. Povrchovou teplotu zeminy uvažujte
jako Tp = 8,78 + 11,29·sin(·t + 4,51), což odpovídá údajům pro Prahu. Výpočet proveďte pro
dvě různé zeminy, které se liší hodnotou součinitele tepelné vodivosti (zemina A:
 = 2,0 W/(m·K), zemina B:  = 0,6 W/(m·K)). Objemovou tepelnou kapacitu uvažujte pro obě
zeminy stejnou hodnotou 2×106 J/(m3K).
Obrázek 25: Vlevo - časový průběh teploty v zemině během jednoho roku pro dvě různé
hloubky pod povrchem země. Vpravo - časový průběh hustoty tepelného toku vstupujícího
do zeminy.
 Příklad 9. Vypočtěte časový průběh teploty v zemině. Povrchovou teplotu země uvažujte
harmonicky kmitající. Na začátku roku se navíc došlo ke třem týdnům velmi chladného
období. Teplota je v tomto velmi chladném období o 10°C nižší než je běžná hodnota.
Průběh povrchové teploty lze rozložit na periodickou část a obdélníkový puls (viz Obrázek
26):
t1
=
t0
0 t0
+
t1
-10
Obrázek 26: Rozklad průběhu venkovní povrchové teploty.
Obdélníkový puls lze složit ze dvou skokových změn (viz Obrázek 27).
0
-10
t0
t1
=
0
+10
t0
+ 0
t1
-10
Obrázek 27: Rozklad obdélníkového pulsu na dvě skokové změny.
Pro oba dílčí signály, z kterých se skládá výsledný průběh povrchové teploty (harmonické
kolísání povrchové teploty, skoková změna povrchové teploty) známe analytické řešení
rovnice vedení tepla. Výsledný průběh teploty v zemině se vypočítá superpozicí řešení dílčích
problémů.
- 38 -
 Příklad 10. Střed potrubí tepelného výměníku leží pod povrchem země v (x,z) = (0,D).
Tepelný tok q je vztažený na metr délky potrubí, jeho rozměr tedy je W/m. Záporná hodnota
tepelného toku se uvažuje tak, že teplo teče z potrubí směrem do okolní zeminy.
x
T=0
D
q
z
Obrázek 28: Jedno potrubí v hloubce D pod povrchem země.
Teplota ve vzdálenosti r od zdroje tepla q, který se v čase nemění, a působí na nekonečně
velké oblasti homogenního materiálu je:
T r  
q
ln r 
2
(2.84)
Řešení pro zdroj na polonekonečné oblasti je superpozicí řešení pro zdroj v nekonečné
oblasti a zrcadlového obrazu zdroje s opačným znaménkem tepelného toku (viz Obrázek 29):
D
-q
T=0
z-D
D
z +D
x
q
z
T(x,z)
Obrázek 29: Polonekonečná oblast s konstantním zdrojem tepla.
T x, z  
q
ln
2

x 2  z  D 
2
  2q ln 
x 2  z  D 
2

(2.85)
Po úpravě dostaneme:
 x 2   z  D 2
q
T  x, z  
ln 
2  x 2   z  D 2





(2.86)
- 39 -
Numerické metody řešení
Principy numerických metod jsou vysvětleny na případu jednorozměrného
neustáleného vedení tepla. Pro jednoduchost se zabývejme pouze stěnou
z homogenního materiálu, ve které probíhá jednorozměrné neustálené vedení
tepla. Stěnu rozdělíme na kontrolní objemy stejných tlouštěk (viz Obrázek
30).
A = 1 m2
Ti-1
T1 T2
…
Ti
…
qout,i
qin,i
x
Tn-1 Tn
Ti+1
x
x
Obrázek 30: Tepelná bilance i-tého kontrolního objemu.
Při odvozování rovnice vedení tepla jsme bilancovali tepelné toky na
elementárním objemu. Nyní uděláme totéž pro i-tý kontrolní objem. Plocha
kolmá na směr tepelného toku je 1 m2.
dQi
  q in,i  q out,i   1m 2
dt
(W)
(2.87)
Změna uloženého (akumulovaného) tepla v kontrolním objemu za čas dt se
rovná rozdílu přicházejícího a odcházejícího tepelného toku. Při odvozování
rovnice vedení tepla jsme ukázali, že změnu uloženého tepla můžeme vyjádřit
jako:
dQi  mc dTi
(J)
(2.88)
kde m je hmotnost kontrolního objemu v kg, c je měrná tepelná kapacita
v J/(kg·K) a dTi je změna teploty i-tého kontrolního objemu. Hmotnost
kontrolního objemu můžeme vyjádřit jako:
m  x  1m 2
(2.89)
Po dosazení (2.88) do (2.87) dostaneme:
 x  1m  c ddTt  q
2
i
in,i
 q out,i   1m 2
(2.90)
Zbývá dosadit za přitékající a odtékající tepelný tok do i-tého kontrolního
objemu:
- 40 -
q in,i  
Ti 1  Ti
T  Ti 1
q out,i   i
x
x
(W/m2)
(2.91)
Po dosazení rovnic (2.91) do rovnice (2.90) dostaneme:
xc
dTi  Ti 1  Ti
T  Ti 1 
 
 i

dt 
x
x 
(W/m2)
(2.92)
(J/(m2K))
(2.93)
(W/m2K)
(2.94)
Zavedeme označení:
C  c x
K 

x
Potom dostaneme:
C
dTi
 K Ti 1  Ti   K Ti  Ti 1 
dt
(2.95)
Ti-1 K Ti K Ti+1
C
Obrázek 31: Schéma tepelné bilance i-tého kontrolního objemu.
Rovnice (2.95) lze zkráceně zapsat jako:
x  f (x , u , t ) , s počáteční podmínkou x(t0 )  x0
(2.96)
kde x je vektor stavů (v našem případě se jedná o neznámé teploty), u je
vektor vstupů (v našem případě se jedná o známé teploty na krajích stěny), a
t je čas. Hledáme řešení rovnice (2.96) o krok h v čase dále. Aproximovat
funkci v jejím okolí lze pomocí Taylorova rozvoje:
x t 0  h   x t 0  
h
h2
h3

x t0  
x t 0  
x t0   
1!
2!
3!
x(t)
Numerické řešení
x(t0+h)
Exaktní řešení
x(t0)
t
h
Obrázek 32: Aproximace funkce x(t) v okolí x(t0).
Po dosazení rovnice (2.96) do rovnice (2.97) dostaneme:
- 41 -
(2.97)
h
h 2 df  x , u , t 

x t 0  h   x t 0   f  x , u , t  t 
0
1!
2!
dt
t0
(2.98)
Pokud není krok h příliš dlouhý, tak se nabízí aproximovat exaktní řešení
tečnou:
x t 0  h   x t 0   h  f  x , u , t  t
(2.99)
0
Neboli:
x t 0  h   x t 0 
 f  x , u, t  t
0
h
(2.100)
Numerické řešení je tedy založeno na nahrazení časových derivací přibližným
vyjádřením (diskretizace v čase). Numerické řešení zobrazují dynamický
systém popsaný diferenciálními rovnicemi na dynamický diskrétní systém
popsaný algebraickými rovnicemi (diferenciální rovnice se nahrazují
rovnicemi algebraickými).
V případě rovnice (2.95) máme:
C
Ti new  Ti old
 K Ti 1  Ti   K Ti  Ti 1 
t
(W/m2)
(2.101)
kde t je časový krok výpočtu. Index „new“ označuje hodnotu na konci
výpočtového kroku, tj. hodnotu, která se počítá, index „old“ označuje
hodnotu, která už je známa, (hodnota na počátku výpočtového kroku).
Z diferenciální rovnice (2.95) tak dostáváme rovnici algebraickou. Po úpravě
dostaneme:
Ti new  Ti old  Ti 1  2Ti  Ti 1 
K
t
C
(2.102)
kde činitel násobící závorku s teplotami se nazývá Fourierovo číslo:
Fo 
K
a t
t 
2
C
 x 
(-)
(2.103)
kde a je teplotní vodivost (a = /c). Pro krajní uzly je potřeba rovnici (2.102)
upravit s ohledem na uvažované okrajové podmínky (viz dále).
Teploty na pravé straně rovnice (2.102) označíme jako T . Tuto teplotu
vyjádříme jako:
Ti  Ti new  1    Ti old
(2.104)
kde  je číslo od nuly do jedné. Následující hodnoty faktoru 
k různým numerickým metodám:
- 42 -
vedou
old
  = 0 → explicitní metoda (Forward Euler), Ti  Ti ;
new
  = 1 → implicitní metoda (Backward Euler), Ti  Ti ;


  = 0,5→ metoda Crank-Nicolson, Ti  0,5 Ti new  Ti old .
Existují mnohé další numerické metody řešení diferenciálních rovnic. Výše
zmíněné dávají dobrý vhled do problému.
Explicitní metoda.
old
Ti new  Ti old  Fo Ti old
 Ti old
1  2Ti
1 
(2.105)
Po úpravě dostaneme rovnici:
old
Ti new  FoTi old
 FoTi old
1  1  2Fo  Ti
1
(2.106)
Nevýhodou explicitní metody je, že není vždy numericky stabilní. Řešení
může začít vykazovat oscilace, které nejsou fyzikálně možné a jsou vytvořeny
numericky. K vyloučení takových oscilací je potřeba zajistit, aby váhy
násobící jednotlivé teploty v rovnici (2.106), byly kladnými hodnotami.
Podmínka pro stabilní časový krok výpočtu se tedy odvodí z:
1  2Fo   0
(2.107)
To vede ke vztahu:
 x 
t 
2
(2.108)
2a
Stabilní krok výpočtu je velmi ovlivněn tloušťkou kontrolního objemu a
vlastnostmi materiálu.
Implicitní metoda.
new
Ti new  Ti old  Fo Ti new
 Ti new
1  2Ti
1 
(2.109)
Po úpravě:
new
old
FoTi new
 FoTi new
1  1  2Fo  Ti
1  Ti
Maticový zápis rovnice (2.110):
- 43 -
(2.110)
0     
 

0
0  Ti new
1
   
Fo 0  Ti new   Ti old 

 

  Ti new
1 
  
       
0
 
 


 0 Fo 1  2Fo


0
0
 0
0
0
0
(2.111)
Výhodou implicitní metody je, že metoda je vždy numericky stabilní.
Nevýhodou je, že je nutné řešit soustavu rovnic. Matice koeficientů v rovnici
(2.111) je však třídiagonální a pro takové existují efektivní numerické
algoritmy řešení.
Pro vyřešení konkrétního problému je nutné správně zahrnout okrajové
podmínky. Rozlišují se následující typy okrajových podmínek:

Dirichletova,

Neumannova,

Newtonova.
Dirichletova podmínka předepisuje hodnotu veličiny na hranici, například
předepsaná hodnota teploty na povrchu stěny (viz Obrázek 33).
Tp
Tp 2K T1 K
T1 T2
T2
C
Obrázek 33: Předepsaná povrchová teplota.
Tepelná bilance 1. kontrolního objemu:
T1new  T1old
C
 2K Tp  T1   K T1  T2 
t
(2.112)
Neumannova podmínka předepisuje hodnotu toku na hranici. Velmi často se
jedná o tzv. adiabatickou okrajovou podmínku, kdy je hodnota tepelného
toku přes hranici předepsána nulovou hodnotou (viz Obrázek 34).
dokonalá
tepelná
izolace
T1 K
T1
T2
T2
C
Obrázek 34: Adiabatická okrajová podmínka.
Tepelná bilance 1. kontrolního objemu:
- 44 -
C
T1new  T1old
 0  K T1  T2 
t
(2.113)
Newtonova podmínka předepisuje tok na hranici rovnicí tok = součinitel
přestupu × rozdíl potenciálů, například tepelný tok prouděním = součinitel
přestupu tepla prouděním × rozdíl teplot. Častým případem může být
přestup tepla společně s předepsaným tokem (viz Obrázek 35).
solGGt
Te
Tp
T1 T2
K0
Tp K T1 K
T2
C
Te
Obrázek 35: Přestup tepla a solární záření dopadající na venkovní povrch
stěny.
Tepelná bilance v povrchovém uzlu:
K0 Te  Tp   solGGt  K1 Tp  T1   0
(2.114)
Jinak zapsáno:
K0 Tekv  Tp   K Tp  T1   0
, kde
Tekv  Te 
 solG Gt
K0
(2.115)
Tepelnou bilanci prvního kontrolního objemu je potom možné vyjádřit jako:
C
T1new  T1old
K 0K

Tekv  T1   K T1  T2   0
K0  K
t
- 45 -
(2.116)
2.3 Šíření tepla prouděním
2.3.1 Základní vztahy
Přenos tepla prouděním (konvekcí) je vyvolán tokem tekutiny. Proudící
tekutina s sebou unáší v ní uloženou energii (teplo) a přemisťuje ji například
v potrubí nebo ve stavebním prvku. Proudění vyvolané čerpadlem nebo
ventilátorem se nazývá vynucené. Proudění vyvolané rozdílem hustot
kapaliny (rozdílem teplot) se nazývá přirozené.
Přenos tepla prouděním nastává, pokud tekutina proudí podél povrchu a
existuje rozdíl mezi teplotou tekutiny a teplotou povrchu (viz Obrázek 36).
Tento proces se označuje jako přestup tepla prouděním.
pohyb
tekutiny
qc
T1
Tp > T 1
mezní vrstva
Tp
Obrázek 36: Přestup tepla prouděním.
Hustota tepelného toku se vyjadřuje součinem součinitele přestupu tepla
prouděním c (W/(m2K)) a rozdílu teploty povrchu Tp a teploty kapaliny T
(Newtonův zákon):
qc  c T  Tp 
(W/m2)
(2.117)
Výpočtu součinitele přestupu tepla prouděním se v literatuře věnuje rozsáhlá
teorie, viz např. [5], [7]. K výpočtu se používají bezrozměrná podobnostní
čísla: Nu – Nusseltovo číslo, Re – Reynoldsovo číslo, Pr – Prandtlovo číslo, Gr
– Grashofovo číslo, Ra – Rayleighovo číslo.
Součinitel přestupu tepla prouděním se počítá z Nusseltova čísla Nu:
c 

Dchar
Nu
(W/(m2K))
(2.118)
kde  je tepelná vodivost tekutiny (W/(m·K)), Dchar je charakteristický rozměr
(m). Nusseltovo číslo vyjadřuje poměr mezi tepelným tokem vyvolaným
prouděním a tepelným tokem bez vlivu proudění (pouze vedení). Vztahy pro
Nu je možné nalézt v literatuře pro definované geometrické konfigurace a
omezující podmínky platnosti.
- 46 -
Součinitel přestupu tepla prouděním můžeme orientačně vypočítat z
rychlosti proudění v blízkosti svislého povrchu (proudění rovnoběžné
s povrchem, rychlost proudění v ≤ 5 m/s), viz [1]:
c  6  4v
(2.119)
Součinitel přestupu tepla prouděním vzduchu v potrubí o kruhovém průřezu
(průměry 150 – 400 mm, v < 10 m/s) můžeme orientačně vypočítat z:
c  3v  3
(2.120)
kde v je průměrná rychlost vzduchu v potrubí dosazovaná v m/s.
U vnitřních povrchů v místnosti se typicky jedná o přirozené proudění.
Součinitel přestupu tepla prouděním můžeme orientačně vypočítat z, viz [1]:
 c  2 Tp  Ta
0,25
(2.121)
kde Tp - Ta je rozdíl mezi teplotou vnitřního vzduchu a vnitřní povrchovou
teplotou. Obvyklé hodnoty se pohybují v rozmezí 1 ÷ 3 W/(m2K), viz Obrázek
37.
Obrázek 37: Součinitel přestupu tepla prouděním.
Další informace k součiniteli přestupu tepla prouděním jsou uvedeny
například v [7], [32].
2.3.2 Větraná dutina
Častým případem technické praxe je proudění tekutiny potrubím, kanálem,
či dutinou (viz Obrázek 38).
T1
G
T2
c
Obrázek 38: Přenos tepla prouděním v potrubí.
- 47 -
Tepelný tok odevzdaný či přijatý do/z stěny potrubí, kanálu, či dutiny se
spočte:
c  G  c T1  T2 
(W)
(2.122)
kde G je hmotnostní tok tekutiny ny v kg/s, c je měrná tepelná kapacita
tekutiny v J/(kg·K), (voda 4200 J/(kg·K), vzduch 1010 J/(kg·K)), T1 je teplota
tekutiny na vstupu do potrubí a T2 je teplota tekutiny na výstupu z potrubí.
Teplota tekutiny na výstupu je ovšem často neznámá. Teplotu na výstupu je
možné vypočítat rozdělením potrubí, kanálu, či dutiny na několik
kontrolních objemů tloušťky x, na kterých sestavíme jejich tepelnou bilanci
(viz Obrázek 39).
Tp
G
T
T
dT
x
dx
x
Obrázek 39: Dutina s proudící kapalinou.
Tepelná bilance kontrolního objemu:
dT


x    c P x T  Tp   0
GcT  Gc  T 
dx


(W)
(2.123)
kde P je obvod potrubí či kanálu v m, výraz (Px) je tedy přestupová plocha
kontrolního objemu v m2. V rovnici (2.123) se zanedbává akumulace tepla
v kontrolním objemu.
Po úpravě:
dT  c P
 P
T  c Tp

Gc
Gc
dx
(2.124)
Rovnice (2.124) je typově stejná jako rovnice (2.49). Její analytické řešení již
tedy bylo odvozeno:
Tout
cP x
 Tp  Tin  Tp  e Gc
(2.125)
kde Tout je teplota tekutiny na výstupu z kontrolního objemu, Tin je teplota
tekutiny na vstupu do kontrolního objemu.
Pro potrubí kruhového průřezu máme:
- 48 -
P  2r
(2.126)
kde r je poloměr potrubí v m.
Pro dutinu se dvěma rovnoběžnými povrchy máme:
P  2B
(2.127)
kde B je šířka dutiny v m.
2.3.3 Konvektivně difuzní rovnice
Uvažujme homogenní stěnu s tloušťkou L, viz Obrázek 40. Průtok vzduchu
přes stěnu je označený jako ga (kg/(m2s)). Teplota na levé straně stěny je
T(x = 0) = T1. Teplota na pravé straně je T(x = L) = T2.
L
T1 T(x) T2
ga
qcd+qc
x
Obrázek 40: Jednorozměrné vedení a proudění v homogenní stěně.
Odvození rovnice popisující kombinované šíření tepla vedením a prouděním
vychází z obdobné bilance kontrolního objemu jako v případě pouhého
vedení.
   q cd  q c   c
T
t
(2.128)
V ustáleném stavu je teplota nezávislá na čase, rovnice (2.128) se proto
zredukuje na:
  qcd  qc   0
(2.129)
Po dosazení výrazů za jednotlivé hustoty tepelného toku dostaneme:

d 
dT

 g ac aT   0
 
dx 
dx

(2.130)
Jelikož uvažujeme konstantní součinitel tepelné vodivosti ( = konst.),
hustotu hmotnostního toku vzduchu (ga = konst.) a měrnou tepelnou
kapacitu vzduchu (ca = konst.), můžeme rovnici (2.130) přepsat do tvaru.
- 49 -

d2T
dT
 g ac a
0
2
dx
dx
(2.131)
Neboli:
d 2T 1 dT

0
dx 2 l dx
(2.132)
kde l (m) je délka definovaná jako:
l

(2.133)
gac a
Obecným řešení rovnice (2.132) je:
x
l
T  x   C1  l  e  C2
(2.134)
kde C1 a C2 jsou integrační konstanty.
Hustota tepelného toku vedením je:
q cd  
x
dT
1 x
 C1l e l  C1e l
dx
l
(2.135)
Hustota tepelného toku prouděním je:
x
x



l
q c  g ac aT  g ac a  C1le  C 2   g ac aC1
e l  g ac aC 2 
g
c
a
a


x
l
(2.136)
 C1e  g ac aC 2
Hustota tepelného toku vedením a prouděním je:
x
l
x
l
qcd  qc  C1e  C1e  gac aC2  gac aC2
(2.137)
Po dosazení okrajových podmínek do rovnice (2.134) získáme hodnoty
integračních konstant:
L
C1 
T2  T1
 L

l  e l  1


C2 
T1e l  T2
(2.138)
L
l
e 1
Výsledné řešení pro uvažované okrajové podmínky tedy je:
 xl

e 1

T  x   T1  L
T  T1 

 2
 e l 1


(2.139)
- 50 -
Pro hodnotu hustoty tepelného toku máme:
L
qcd  qc  gac a
T1e l  T2
(2.140)
L
l
e 1
2.4 Šíření tepla sáláním
2.4.1 Základní vztahy
Úvod
Přenos tepla sáláním je přenos energie mezi dvěma tělesy o různé teplotě
šířením elektromagnetických vln. Přenos tepla vedením a prouděním
vyžaduje rozdíl teplot v určité formě hmoty (pevná látka nebo kapalina).
Přenos tepla sáláním naproti tomu hmotu ke své existenci nepotřebuje.
Důkazem je naše každodenní osobní zkušenost s teplem od Slunce, které k
nám dorazí i přesto, že vzdálenost mezi Sluncem a Zemí je 150 milionů
kilometrů. Dalším rozdílem je, že tepelný tok sáláním není úměrný rozdílu
teplot, ale rozdílu čtvrtých mocnin absolutních teplot.
rentgenové
sálání
viditelné
gama záření
ultrafialové
Jako sálání se označuje určitý interval vlnových délek elektromagnetického
vlnění (přibližně mezi 0,1 – 100 m), viz Obrázek 41. Malou část vlnových
délek z tohoto intervalu (0,4 – 0,76 m) označujeme jako světelné záření (tj.
záření viditelné lidskému oku), viz Tabulka 3.
infra
červené
mikrovlny
10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103
104 105 106  (m)
Obrázek 41: Elektromagnetické spektrum.
Tabulka 3: Rozsahy vlnových délek pro jednotlivé barvy
Barva
 (m)
Fialová
0,40 - 0,45
Modrá
0,44 - 0,49
Zelená
0,49 - 0,57
- 51 -
rádiové vlny
Žlutá
0,57 - 0,59
Oranžová
0,59 - 0,62
Červená
0,62 - 0,76
Ve stavební tepelné technice se sálání rozlišuje na krátkovlnné a
dlouhovlnné. Toto rozlišování souvisí s jednou ze základních vlastností
sálání – rozložením vyzářené energie přes spektrum vlnových délek,
viz rovnice (2.141) a Obrázek 43. U sálání z povrchu o velmi vysoké teplotě
převažují krátké vlnové délky. Za krátkovlnné záření se ve stavební fyzice
obvykle označuje solární záření. U sálání z povrchu o nízké teplotě převažují
dlouhé vlnové délky. Za dlouhovlnné záření se ve stavební fyzice obvykle
označuje záření vydávané vnějšími či vnitřními povrchy budovy.
Záření černého tělesa
Černé těleso je fyzikální abstrakce (ideální těleso). Pohlcuje veškerou na něj
dopadající energii. Můžeme si ho představit například jako dutinu kulového
tvaru s malým otvorem (Obrázek 42, vlevo). Černé těleso má také tu
vlastnost, že vyzařuje záření difuzně, tj. rovnoměrně do všech směrů
(Obrázek 42, vpravo).
černé těleso
reálné těleso
Obrázek 42: Vlevo - model černého tělesa. Vpravo - směrové rozložení záření.
Tepelné záření černého tělesa je charakterizováno spektrálním rozložením
vyzařované výkonu (spektrální hustotou intenzity vyzařování), viz Obrázek
43:
E b 
C1
(W/(m2m))
 C2

  e T  1


5
(2.141)
kde C1 = 2hc02 = 3,742·108 Wm4/m2, C2 = hc0/k = 1,439·104 m·K (h je
Planckova konstanta, k je Boltzmannova konstanta, c0 je rychlost světla ve
vakuu). Rovnice (2.141) bývá označována jako Planckův zákon.
- 52 -
Obrázek 43: Spektrální hustota intenzity vyzařování černého tělesa při dané
teplotě.
Poloha maxima na křivce spektrální hustoty intenzity vyzařování nastává pro
danou teplotu tělesa T při určité vlnové délce max:
max 
2898
T
(m)
(2.142)
Rovnice (2.142) bývá označována jako Wienův zákon.
Povrchová teplota slunce dosahuje přibližně 5800 K. Maximum vyzářené
energie tedy odpovídá vlnové délce 0,5 m, která leží uvnitř viditelné oblasti.
Teplota povrchů v našem okolí, případně teplota lidského těla je přibližně
300 K. Maximum vyzářené energie připadá na 9,7 m. Oblast vlnových
délek tedy nezasahuje do viditelné oblasti a dlouhé vlny proto nevidíme
(viz Obrázek 43).
Integrací vztahu (2.141) přes všechny vlnové délky dostáváme StefanůvBoltzmannův zákon
pro celkovou intenzitu vyzařování černého tělesa
(plocha pod průběhem funkce E,b):

E b T    E b d 
0
 4C1
15C
4
2
 T 4
(W/m2)
(2.143)
kde  je Stefanova-Boltzmannova konstanta (5,67·10-8 W/m2·K4) a T je
absolutní teplota (teplota v Kelvinech).
 Příklad 11. Teplota vlákna standardní žárovky je přibližně 3000 K. Intenzita vyzařování
vlákna Eb ≈ T4 = 4,59·106 W/m2. Spektrální hustota intenzity vyzařování je rozložena zejména
do infračervené oblasti (max = 1 m). Velmi malá část záření připadá na viditelnou oblast.
Pouze malá část elektrické energie (≈ 5 %) se tedy přemění na světelné záření. Zbývající větší
část je infračervené záření.
- 53 -
Vlastnosti reálných těles
Reálná tělesa nevyzařují stejné množství energie jako černé těleso. Emisivita
(zářivost) je poměr mezi zářením vyzařovaným z povrchu reálného tělesa a
zářením vyzařovaným z povrchu černého tělesa o stejné teplotě jako je
teplota reálného tělesa. Z definice je zřejmé, že emisivita reálných těles je
vždy menší než 1.
Emisivita povrchu reálného tělesa není konstantou, závisí na teplotě
povrchu, vlnové délce a směru záření. V praxi se používá tzv. hemisférická
emisivita zprůměrovaná přes všechny směry. Pokud se emisivita definuje
pomocí spektrální hustoty intenzity vyzařování, tak se emisivita označuje
jako spektrální hemisférická emisivita:
   , T  
E   ,T 
E b  ,T 
(-)
(2.144)
(-)
(2.145)
Obdobně celková hemisférická emisivita je:

E T 
Eb T 
Průměrná emisivita (zářivost) povrchu reálného tělesa je poměr mezi
celkovou intenzitou vyzařování reálného tělesa o teplotě T a celkovou
intenzitou vyzařování černého tělesa o stejné teplotě jako je teplota reálného
tělesa.
Kvůli zjednodušení výpočtů se zavádí tzv. šedý povrch, resp. šedé těleso
(viz Obrázek 44). Emisivita povrchu šedého tělesa je nezávislá na vlnové
délce ( = konst.).
E
)
černé těleso o dané teplotě Eb
reálné těleso o dané teplotě E = Eb
šedé těleso o dané teplotě E = Eb

Obrázek 44: Šedé těleso.
Celková hemisférická emisivita tak stačí k vyjádření intenzity vyzařování
šedého tělesa:
E   Eb  T 4
(W/m2)
- 54 -
(2.146)
Záření není povrchy jen vyzařováno. Dopadající záření na nějaký povrch
(ozáření G) je povrchem odráženo, pohlcováno, případně část záření prochází
skrz (pokud se jedná o polopropustný materiál např. sklo).
G
q
q
q
Obrázek 45: Pohltivost, odrazivost, propustnost.
Platí zákon zachování energie:
G  q   q  q
(W/m2)
(2.147)
kde jednotlivé členy rovnice vyjadřují tepelný tok tělesem odražený, pohlcený
a procházející skrz. Po úpravě:
q  q  q


1
G
G
G
(-)
(2.148)
(-)
(2.149)
Neboli:
    1
kde jednotlivé členy jsou odrazivost , pohltivost , propustnost . Pro
nepropustné materiály ( = 0) platí:
  1
(-)
(2.150)
Pohltivost nezávisí na teplotě povrchu tělesa. Pohltivost ale velmi závisí na
teplotě zdroje, který záření vyzařuje (viz Tabulka 4).
Tabulka 4: Pohltivost různých povrchů.
Teplota zdroje
5800 K (krátkovlnné)
300 K (dlouhovlnné)
sol
=
Světlé povrchy
< 0,1
≈ 0,8
Tmavé povrchy
> 0,9
≈ 0,8
Sklo
≈ 0,1
≈ 0,8
Leštěné kovy
≈ 0,1
< 0,1
- 55 -
Sníh
0,28
0,97
Selektivní vrstvy
≈ 0,9
≈ 0,05
Povrchy současně vyzařují energii směrem k jiným povrchům a zároveň
pohlcují vyzařovanou energii z okolních povrchů. Uvažujme zvláštní případ,
kdy je velmi malý povrch o ploše A a teplotě T uzavřený uvnitř velké obálky
(tj. černého tělesa), která má teplotu Tp (viz Obrázek 46).
Tp
ATp4
AT4
T
A
Obrázek 46: Velmi malý povrch uzavřený uvnitř velké obálky.
Tepelná bilance na povrchu tělesa:
 ATp4   AT 4  0
(W)
Tp4   T 4
(2.151)
(2.152)
Ve stavebně-fyzikálních problémech můžeme často přibližně uvažovat, že
hodnota T i Tp se pohybuje ve stejném řádu. Pokud je teplota malého
povrchu v rovnováze s teplotou obálky (T = Tp), potom tedy platí:
 
(-)
(2.153)
Rovnice (2.153) bývá označována jako Kirchhoffův zákon. „Celková
hemisférická emisivita povrchu o teplotě T se rovná celkové hemisférické
pohltivosti pro záření, které je vysíláno černým tělesem o stejné teplotě“.
Energie pohlcená tělesem s vysokou pohltivostí musí být zase vyzářena.
Materiály s nízkou pohltivostí (např. leštěné kovy) proto mají nízkou
emisivitu. Povrchy běžných stavebních materiálů naopak mají vysokou
pohltivost, a tedy i emisivitu. Emisivita závisí na struktuře povrchu (oxidace,
drsnost, prach). Zoxidované kovy mnohem dosahují mnohem vyšší emisivity
než kovy s vyleštěným povrchem.
2.4.2 Solární záření
Zářivý výkon slunce a vzdálenost Země od Slunce se téměř nemění. Díky
tomu se také příliš nemění ozáření na vnější hranici atmosféry, které se
- 56 -
nazývá solární konstanta (Gsc = 1367 W/m2). V atmosféře dochází k
pohlcování, odrazu a rozptylu záření. Výsledkem je, že ozáření povrchu Země
je nižší, než je hodnota solární konstanty. Za jasného dne to může na plochu
kolmou k paprskům být až 1000 W/m2. Solární záření dopadající na povrch
se dělí na přímé záření a difuzní záření.
Difuzní z
oblohy
Přímé
Přímé
odražené Difuzní
od země odražené
od země
Obrázek 47: Vlevo - různé složky slunečního záření. Vpravo - solární geometrie
(obrázek je převzatý z [8]).
Přímé a difuzní ozáření na vodorovnou plochu se měří na některých
meteorologických stanicích. Z těchto hodnot lze přepočítat globální ozáření
skloněné a orientované plochy GGt. Izotropický model přepočtu je založený na
následující rovnici, viz [4]:
G Gt  G Bh
cos 
1  cos 
1  cos 
 G Dh
 G G Bh  G Dh 
cos  z
2
2
(2.154)
kde GBh (W/m2) je přímé ozáření na vodorovnou rovinu, GDh (W/m2) je
difuzní ozáření na vodorovnou rovinu, G je odrazivost terénu a okolních
ploch (albedo) a  je sklon plochy od vodorovné roviny. Podíl kosinů úhlu
dopadu  a zenitového úhlu z (definice úhlů viz Obrázek 47) zajišťuje
přepočet přímé složky záření z vodorovné na skloněnou rovinu. Izotropický
model zjednodušeně předpokládá, že veškeré difuzní záření je rovnoměrně
rozloženo po obloze.
Tepelný tok pohlcený povrchem při dopadu slunečních paprsků se spočte
jako:
q  solGGt
(W/m2)
(2.155)
kde sol (-) je pohltivost povrchu pro sluneční záření.
Výpočet ozáření na skloněnou a orientovanou rovinu je jedním z velmi
důležitých výpočtů při simulaci budov. Kromě isotropického modelu (rovnice
- 57 -
(2.154)) existuje řada dalších modelů pro přepočet. Podrobné informace lze
nalézt v [4], nebo česky v [8], [9].
2.4.3 Dlouhovlnné záření mezi povrchy
V aplikacích stavební tepelné techniky jsou důležité následující dva zvláštní
případy sálání mezi dvěma tělesy tvořícími obálku.
T1
r
T2
A1
A2
Obrázek 48: Obálka s dvěma povrchy o různé teplotě.
Malá plocha obklopená plochou velkou může například představovat oblohu
a povrch budovy, o otopné těleso a vnitřní povrchy místnosti, anebo
například o povrch teplotního čidla umístěného v místnosti. Velkou plochu je
možné považovat za černé těleso (2 ≈ 1). Tepelný tok sáláním je:
r  1A1 T14  T24 
(W)
(2.156)
Dva veliké rovnoběžné povrchy mohou například představovat dvě tabule
skla v okně, dva povrchy vzduchové dutiny v konstrukci, nebo absorbér a
zasklení solárního kolektoru. Pokud jsou obě plochy černými tělesy, tak
nedochází ke zpětnému odrazu a pro tepelný tok sáláním máme:
r  A  E b1  E b2   A T14  T24 
(W)
(2.157)
Pokud jsou obě plochy šedými tělesy, tak pro tepelný tok sáláním máme:
A T14  T24 
r 
1 1

1
1
(W)
(2.158)
2
Hustotu tepelného toku sáláním je výhodné vyjadřovat jako součin
součinitele přestupu tepla sáláním a rozdílu teplot (analogicky k rovnici
(2.117)):
qr  r T1  T2 
(W/m2)
V případě malé plochy obklopené plochou velkou tedy dostáváme:
- 58 -
(2.159)
T  T 
 r  1 T  T  T1  T2   1 4  1 2 
 2 
2
1
3
2
2
(W/(m2K))
(2.160)
V druhém případě dvou velikých rovnoběžných povrchů dostáváme:
r 
 T12  T22  T1  T2 
1
1

1
2
1
 T  T2 
4  1

 2 

1 1

1
1
3
W/(m2K))
(2.161)
2
Obvyklé hodnoty součinitele přestupu tepla sáláním se pohybují v rozmezí
3,5 ÷ 6 W/(m2K), viz Obrázek 49. Pokud by jeden z povrchů měl nízkou
emisivitu, tak se součinitel přestupu tepla sáláním redukuje pod hodnotu
1 W/(m2K).
Obrázek 49: Součinitel přestupu tepla sáláním, vlevo pro malou plochu
obklopenou plochou velkou, vpravo pro dva rovnoběžné povrchy.
 Příklad 12. Vypočítejte hustotu tepelného toku sáláním mezi dvěma rovnoběžnými
povrchy. Teplota povrchu na levé straně je T1 = 20 °C (293 K), teplota povrchu na pravé straně
je T2 = -15 °C (258 K).
1
T1
r
2
T2
Obrázek 50: Sálání mezi dvěma rovnoběžnými povrchy.
8
4
4
 r1 5,67  10  293  258 

 4,3 W/m2
q r1 
1
1
A

1
0,05 0,05
q r2
4
4
8
 r2 5,67  10  293  258 


 111,5 W/m2
1
1
A

1
0,8 0,8
Z předchozího porovnání vyplývá, že emisivita povrchů hraje významnou roli.
- 59 -
 Příklad 13. Vnitřní povrch jedné obvodové stěny sdílí s ostatními povrchy místnosti teplo
sáláním. Vypočtěte součinitel přestupu tepla sáláním. Střední teplotu povrchů lze přibližně
uvažovat rovnou obvyklé teplotě vzduchu v místnosti (15 - 25°C].
Tabulka 5: Součinitel přestupu tepla sáláním na vnitřním povrchu konstrukce.
ri (W/(m2K))
(T1+T2)/2
 = 0,1
 = 0,8
 = 0,9
288 K (15 °C)
0,54
4,35
4,89
293 K (20 °C)
0,57
4,58
5,15
298 K (25 °C)
0,60
4,82
5,42
2.5 Kombinovaný přenos tepla
2.5.1 Přestup tepla na vnitřním povrchu konstrukce
Uvažujeme vnitřní povrch obvodové konstrukce (viz Obrázek 51). Při jejím
povrchu dochází k přestupu tepla prouděním, který je důsledkem rozdílu
mezi teplotou povrchu konstrukce Tpi a teploty vnitřního vzduchu Tai.
Dochází také k přestupu tepla sáláním, který je důsledkem rozdílu mezi
teplotou povrchu konstrukce a střední teplotou okolních povrchů Tri.
Dlouhovlnné
Tpi záření
Vedení
tepla
Tri
qtot
Tai
Proudění
Tri
ri
Tpi
ci
Vnitřní povrchy

ci +ri
qtot
Tpi
Ti
Tai
Obrázek 51: Tepelná bilance vnitřního povrchu konstrukce.
Tepelná bilance na povrchu stěny:
qci  qri  qtot  0
(W/m2)
(2.162)
Jednotlivé členy rovnice je možné vyjádřit jako:
ci Tai  Tpi   ri Tri  Tp   qtot
(2.163)
Postupnými úpravami se dostaneme k:
ci  ri  Ti  Tpi   qtot
(2.164)
kde Ti je ekvivalentní vnitřní teplota:
- 60 -
Ti 
 ciTai   riTri
 0,5 Tai  Tri 
 ci   ri
(2.165)
Teplota Tri se často aproximuje jako vážený průměr teplot povrchů
stavebních prvků přes jejich plochy:
Tri 
A1Tp1  A2Tp2  ...
A1  A2  ...
(2.166)
Výraz (ci + ri) bývá v harmonizovaných technických normách označován
jako hidřívei). Převrácená hodnota Rsi = 1/(ci + ri) se nazývá odpor při
přestupu tepla na vnitřní straně. V inženýrských výpočtech se často
používají normové (smluvní) hodnoty. Typické hodnoty shrnuje Tabulka 6.
Tabulka 6: Typické hodnoty součinitele přestupu tepla na vnitřním povrchu
konstrukce.
ci
ci + ri
ri
2
(W/(m K))
Svislá stěna
1,3 – 2,5
Vodorovný povrch, tepelný tok
nahoru
1,5 – 2,9
Vodorovný povrch, tepelný tok
dolů
0,6 – 1,0
2
(W/(m K))
2
Rsi*
2
(W/(m K))
(m K)/W)
8
0,13
10
0,10
6
0,17
4,3 – 5,4
*Hodnoty dle [17].
Ve velmi dobře tepelně izolovaných budovách lze předpokládat, že teploty
povrchů jsou blízké teplotě vnitřního vzduchu. Potom se vztah (2.165)
zjednoduší na:
Ti  Tai
(2.167)
Vnitřní teplota definovaná rovnicí (2.165) se někdy nazývá operativní teplota.
Povrch lidského těla také sdílí teplo prouděním a sáláním, a proto je
operativní teplota blízká teplotě, kterou vnímá člověk při svém pobytu v
místnosti. Operativní teplota se proto používá pro hodnocení tepelné pohody
člověka.
 Příklad 14. Vypočítejte vnitřní povrchovou teplotu trojskla o součiniteli prostupu tepla
Ug = 0,7 W/m2K. Teplota venkovního prostředí je -15 °C, teplota vnitřního vzduchu je 21 °C a
teplota ostatních vnitřních povrchů v místnosti je 20 °C resp. 28 °C ve variantě se stropním a
stěnovým sálavým vytápěním.
- 61 -
ci
K
-15
21 K = 1/(1/Ug – Rsi) = 1/(1/0,7 – 0,13) = 0,77 W/m2K
Tpi
ri
20
Odhad součinitelů přestupu tepla: ci = 2,8 W/m2K, ri = 5 W/m2K. Povrchová teplota se určí
z tepelné bilance uzlu Tpi:
ci Tai  Tpi   ri Tri  Tpi   K Te  Tpi   0
Tpi 
 riTri   ciTai  K  Te 5  20  2,8  21  0,77  (15)

 17,2 C
 ri   ci  K
5  2,8  0,77
Teplota vnitřního povrchu zasklení je 17,2 °C. V případě sálavého vytápění by teplota
vnitřního povrchu zasklení byla 21,8 °C.
2.5.2 Přestup tepla na vnějším povrchu konstrukce
Uvažujeme vnější povrch konstrukce (viz Obrázek 52). Při jejím povrchu
dochází k přestupu tepla prouděním, který je důsledkem rozdílu mezi
teplotou povrchu Tpe a teploty venkovního vzduchu Tae. Dochází také
k přestupu tepla sáláním, který je důsledkem rozdílu mezi teplotou povrchu
a střední teplotou okolních povrchů Tre, jakými například jsou okolní budovy
a obloha. Na povrch s pohltivostí sol navíc dopadá sluneční záření.
solGGt
Krátkovlnné
záření
Tre
Dlouhovlnné
záření
Okolní
povrchy
Tae
Vedení tepla
Tae ce
re
Tpe
Proudění
Tpe qtot

ce+re Tpe qtot
Te
Tre
Obrázek 52: Tepelná bilance vnějšího povrchu konstrukce.
Tepelná bilance na povrchu stěny:
solGGt  qce  qre  qtot  0
(W/m2)
(2.168)
Jednotlivé členy rovnice je možné vyjádřit jako:
solGGt  ce Tae  Tpe   re Tre  Tpe   qtot
(2.169)
Postupnými úpravami se dostaneme k:
ce  re  Te  Tpe   qtot
(2.170)
- 62 -
kde Te je ekvivalentní venkovní teplota:
Te 
solGGt   cTae   reTre
 ce   re
(2.171)
Výraz (ce + re) bývá v harmonizovaných technických normách označován
jako hedřívee). Součinitel přestupu tepla sáláním a prouděním se sdružuje
do jediné hodnoty. Převrácená hodnota Rse = 1/(ce + re) se nazývá odpor při
přestupu tepla na venkovní straně.
Tabulka 7: Typické hodnoty součinitelů přestupu tepla na vnějším povrchu
konstrukce
re
re+ce
ce
2
2
2
Rse*
2
(W/(m K))
(W/(m K))
(W/(m K))
(m K)/W)
4-5
6 - 25
10 - 30
0,04
*Hodnota dle [17].
Významným faktorem v tepelné bilanci vnějšího povrchu může někdy být
sálání vůči obloze. Problémem je reálné stanovení teploty Tre, v tomto případě
pojmenovávané jako Tsky. Zjednodušené vztahy pro výpočet zdánlivé teploty
oblohy, viz Tabulka 8.
Tabulka 8: Zjednodušené vztahy pro výpočet zdánlivé teploty oblohy [1]
Vodorovný povrch, jasná obloha
Tsky 1,2Tae 14
(2.172)
Svislý povrch, jasná obloha
Tsky 1,1 Tae  5
(2.173)
Zatažená obloha
Tsky  Tae
(2.174)
Obloha je ve skutečnosti velmi zřídka zcela bez oblačnosti. Teploty jsou ve °C.
Při výpočtech tepelných ztrát přes konstrukci, například kvůli výpočtu
potřeby tepla na vytápění budovy, se často zanedbává vliv solárního záření a
předpokládá se zatažená obloha (Tre = Tae). V takovém případě se vztah
(2.171) zjednoduší na:
Te  Tae
(2.175)
Při výpočtech nesilových účinků na konstrukce (např. deformace vyvolané
vlivem teplotní roztažností materiálů), se často pracuje s případem, kdy na
povrch konstrukce slunce svítí, ale uvažuje se zatažená obloha Tre = Tae
(nepůsobí ochlazující vliv oblohy). V takovém případě se vztah (2.171)
zjednoduší na:
- 63 -
Te  Tae 
 solG Gt
 ce   re
(2.176)
 Příklad 15. Vypočítejte vnější povrchovou teplotu trojskla o součiniteli prostupu tepla
Ug = 0,7 W/m2K. Teplota venkovního vzduchu je 0 °C, teplota oblohy je -5 °C a vnitřní teplota
je 20 °C.
0
K = 1/(1/Ug – Rse) = 1/(1/0,7 – 0,04) = 0,72 W/m2K
ce
K
re
20
Tpe
-5
Odhad součinitelů přestupu tepla: re = 4 W/(m2K), ce = 3 W/(m2K), téměř bezvětří.
Povrchová teplota se určí z tepelné bilance uzlu Tpe:
ce Tae  Tpe   re Tsky  Tpe   K Ti  Tpe   0
Tpe 
reTsky  ceTae  K  Ti 4   5  3  0  0,72  20

 0,7 C
re  ce  K
4  3  0,72
Teplota venkovního povrchu zasklení je -0,7 °C. Podchlazení povrchové teploty pod teplotu
venkovního vzduchu znamená nebezpečí kondenzace vodní páry a následného vytvoření
námrazy. Sami vyzkoušejte, co by se stalo, pokud a) zasklení je tvořeno dvojsklem, b) vnitřní
teplota je vyšší než 20 °C, c) není jasná obloha, d) více fouká vítr, e) emisivita venkovního
povrchu by byla snížená? V čem by se lišil případ střešního okna? Dopočtěte příklad pro
kontaktní zateplovací systém.
2.5.3 Šíření tepla v uzavřené dutině
Dutina je vrstva plynu, jejíž tloušťka je v porovnání s ostatními jejími
rozměry malá. Může se například jednat o vzduch, nebo o vzácný plyn
v případě dutiny mezi skly okna. V dutině s plynem dochází ke všem třem
druhům šíření tepla (viz Obrázek 54).
T1 > T2
sálání
T1
Tag
T2
proudění
vedení
rA
T1
T2
Tag
d
Obrázek 54: Šíření tepla v uzavřené dutině.
- 64 -
T1
c+cdA
T2 Φtot
Součinitel přestupu tepla sáláním se vypočítá z rovnice (2.161). Součinitel
přestupu tepla prouděním a vedením c se vypočítá z rovnice (2.118). Za
charakteristický rozměr se považuje tloušťka dutiny d. Případ, kdy je Nu = 1
vyjadřuje situaci bez proudění. Dochází k přenosu tepla pouhým vedením
tepla. Proudění je zanedbatelné ve velmi úzkých dutinách (d < 15 mm).
Tepelná bilance v uzlu T2:
r A T1  T2   c+cdA T1  T2   tot
(2.177)
V inženýrských výpočtech se pro vzduchové dutiny často využívají orientační
hodnoty jejich tepelného odporu. Hodnoty lze například hledat v [17].
Přenosem tepla prouděním ve svislých a skloněných vzduchových vrstvách
se zabývá publikace [10].
2.5.4 Šíření tepla ve větrané vzduchové dutině
Stavební prvky často obsahují větrané dutiny. Takové konstrukce se někdy
nazývají jako dvojplášťové. Větraná vzduchová dutina je napojená na
venkovní prostředí vstupním a výstupním otvorem. Dutina má délku x a
šířku B (viz Obrázek 55). Přestupová plocha tedy je A = xB. Průtok vzduchu
dutinou je označený jako Ga (kg/s) a předpokládá se, že jeho hodnota je
známa. Průtok vzduchu dutinou v reálné situaci závisí na mnoha
okolnostech. Hnacími silami jsou rozdíl tlaků kvůli rozdílu teplot vzduchu
v dutině a teploty venkovního vzduchu a rozdíl tlaků kvůli působení větru.
Jaký se nastaví průtok je zároveň ovlivněno hydraulickými odpory (vstupní
otvor, tření o stěny dutiny, výstupní otvor).
Ta,out
B
Φ1
x
sálání
T1 T T2
ag
proudění
rA
T1
c1A
Φout
T2 Φ
2
c2A
Tag
Φin
Ta,in
Obrázek 55: Šíření tepla ve větrané vzduchové dutině.
Tepelná bilance v uzlu T1:
1  r A Tl  T2   c1A T1  Tag   0
(2.178)
Tepelná bilance v uzlu T2:
- 65 -
r A Tl  T2   c2A Tag  T2   2  0
(2.179)
Tepelná bilance v uzlu Tag:
in  out  c1A T1  Tag   c2A Tag  T2   0
(2.180)
kde
 in  G ac aTa,in , resp.  out  G ac aTa,out
(2.181)
kde Ga (kg/s) je průtok vzduchu v dutině, ca (1010 J/(kg·K)) je měrná tepelná
kapacita vzduchu a Ta,out je teplota vzduchu na výstupu z dutiny.
Pokud uvažujeme dokonalé větrání dutiny, tak:
Tag  Tae
(2.182)
Pokud uvažujeme uzavřenou dutinu, tak máme:
in  out  0
(2.183)
Za předpokladu lineárního vzestupu teploty vzduchu v dutině můžeme psát:
Tag 
Ta,in  Ta,out
T
 2Tag  Ta,in
resp. a,out
2
(2.184)
Po dosazení zjednodušujícího předpokladu (2.184) do rovnice (2.181)
dostaneme:
2GacaTa,in  2GacaTag  c1A T1  Tag   c2A Tag  T2   0
(2.185)
2.5.5 Šíření tepla v nehomogenní vrstvě
V rámci nějaké vrstvy v obvodové konstrukci mohou být přítomny pravidelně
se opakující prvky s vyšším součinitelem tepelné vodivosti, než má
převažující materiál (viz Obrázek 56). Tyto prvky, tzv. systematické tepelné
mosty, zvyšují tepelný tok přes vrstvu. Tepelný tok přes nehomogenní vrstvu
v ustáleném stavu lze zjednodušeně odhadnout jako, kdyby vedení tepla bylo
pouze jednorozměrné. Za tohoto předpokladu můžeme psát:
cd  K1 T1  T2   K2 T1  T2 
(2.186)
- 66 -
Charakteristický
výsek A1*
2
d
1
T2
Φcd
řez
A2*
T1
t
W
K1
A1
T1
H
A2
T2 Φcd
K2
T1 Kekv T2
pohled
Obrázek 56: Nehomogenní vrstva se systematicky se opakujícími prvky.
Po dosazení vodivostí do rovnice (2.186) máme:
 cd  A1
1
d
T1  T2   A2
2
d
T1  T2    H W

t
1
d
 H t
2 
 T1  T2 
d 
(2.187)
Pro hustotu tepelného toku máme:
qcd

 

H W  t  1  H  t 2 


d
d
 cd  
T1  T2   U ekv T1  T2 
A
H W
(2.188)
kde Uekv je ekvivalentní součinitel prostupu tepla nehomogenní vrstvy:
U ekv
1
2 

 H W  t   H  t  
t  t
d
d

 1 1  2
H W
d Wd Wd
(2.189)
Zavedeme-li:
ft 
t
W
(2.190)
můžeme vztah (2.189) přepsat na:
U ekv 
1
d
1  f t  
2
d
f t  U 1 1  f t   U 2 f t
(2.191)
Alternativně také můžeme zavést ekvivalentní hodnotou součinitele tepelné
vodivosti nehomogenní vrstvy ekv:
- 67 -
ekv  U ekvd  1 1  f t   2 f t  1
A1*
A2*


2
A*
A*
(2.192)
kde A* je celková plocha charakteristického výseku a A1*, A2* jsou dílčí
plochy charakteristického výseku.
Velikost chyby závisí zejména na velikosti rozdílu hodnot součinitelů tepelné
vodivosti obou materiálů. Lze očekávat, že pro kovové prostupující prvky
bude chyba vyšší než například pro prostupující prvky ze dřeva. Pro složitější
situace je vhodnější vypočítat tok přes nehomogenní vrstvu řešením
dvojrozměrného vedení tepla. Norma [17] obsahuje inženýrské výpočtové
metody, jak započítat vliv dalších druhů systematických tepelných mostů.
 Příklad 16. Vypočtěte ekvivalentní hodnotu součinitele tepelné vodivosti vrstvy tepelné
izolace umístěné mezi krokvemi. Šířka krokve je 0,10 m a osová rozteč krokví 1,0 m. Součinitel
tepelné vodivosti tepelné izolace uvažujte 0,04 W/(m∙K), resp. 0,15 W/(m∙K) pro dřevo.
t/W = 0,1:
ekv = (1 - 0,1)×0,04 + 0,1×0,15 = 0,051 W/(m∙K).
2.5.6 Šíření tepla v obvodové stěně
Uvažujeme neprůsvitnou obvodovou stěnu (viz Obrázek 57). Vnější povrch
stěny je ovlivněn okolní teplotou vzduchu, teplotou okolních ploch, sluneční
zářením a rychlostí větru. Vnější povrch je dále ovlivněn srážkami,
povrchovou kondenzací a vypařováním. Vnitřní povrch je ovlivněn teplotou
vnitřního vzduchu a povrchovou teplotou okolních stavebních prvků. Kromě
toho i vnitřní povrch může být ovlivněn povrchovou kondenzací nebo
vypařováním. Uvažuje se lineární model, tj. vlhkostní vlivy jsou zanedbány a
materiálové vlastnosti jsou považovány za konstantní. Princip superpozice je
tedy možné použít.
Krátkovlnné
záření
 solG Gt
Dlouhovlnné
záření
Tre
Dlouhovlnné
záření
Tae
Vnější
povrchy
Tpe
Proudění
Vedení
tepla
Tpi
Tai
Proudění
 ce
Tae
Tri
 re
Tre
R0
Tpe
Tai
 ci
Tpi
 ri
Tri
Vnitřní povrchy
Obrázek 57: Přenos tepla v obvodové stěně
Schéma (viz Obrázek 58, vlevo) je ekvivalentní schématu (viz Obrázek 58,
vpravo).
- 68 -
solGGt
 ce
Tae
 re
R0
Tpi
Tpe
 solG Gt
Tai
 ci
 ri

Tri
Tre
R0
Rse
Te
Tpe
Rsi
Ti
Tpi
Obrázek 58: Tepelný model stavebního prvku - první zjednodušení.
Teplota Te je ekvivalentní venkovní teplota, do které nebyl zahrnutý vliv
pohlcovaného solárního záření. Hustota tepelného toku z vnitřního prostředí
do venkovního prostředí může být vyjádřena jako superpozice dvou složek
(viz Obrázek 59).
 solG Gt
 solG Gt
Te
Rse
Tpe
Rsi
R0
Tpi
Ti
=
Te
Rse
Rsi
R0
(1)
pi
T
(1)
pe
T
Ti
+
0
Rse
Rsi
R0
(2)
pe
T
(2)
pi
T
0
Obrázek 59: Superpozice dvou složek.
První tepelný obvod vyjadřuje vliv teplot na obou stranách stěny:
q (1) 
Ti  Te
T  Te
 i
 U Ti  Te 
R si  R 0  R se
RT
(2.193)
kde RT se nazývá tepelný odpor při prostupu tepla (m2K/W) a U se nazývá
součinitel prostupu tepla. Čím nižší je hodnota součinitele prostupu tepla,
tím nižší je tepelný tok přes konstrukci. Aby se omezila energetická
náročnost budov, jsou hodnoty součinitele prostupu tepla standardizovány.
České požadavky na hodnoty součinitele prostupu tepla lze nalézt v [18].
Druhý tepelný obvod vyjadřuje příspěvek solárního záření dopadajícího na
venkovní povrch prvku:
q (2) 
0   sol R seG Gt
  sol R seUG Gt   gG Gt
R si  R 0  R se
(2.194)
kde g (-) se nazývá propustnosti solárního záření pro neprůsvitný prvek.
Celková hustota tepelného toku přes obvodovou stěnu tedy je:
q  q (1)  q (2 )  U T i  T e   g G G t
(2.195)
Prvek může být stíněn, takže na něj dopadne jen zlomek slunečního záření.
Můžeme zavést celkový faktor stínění Fsh:
q  U T i  T e   g F shG G t
(2.196)
- 69 -
Pro klimatické podmínky České republiky je vnitřní teplota vyšší než
venkovní teplota téměř celý rok. Takže je přirozené nazvat první člen v
rovnici (2.196) tepelná ztráta a druhý člen solární tepelný zisk.
Hustota tepelného toku přes obvodovou stěnu by mohla být vyjádřena i jako:
q  U T i  T e 
(2.197)
kde venkovní ekvivalentní teplota je:
Te  Te  solFshRseGGt
(2.198)
Vzorec (2.198) je jiným způsobem zapsaný vzorec (2.171), příspěvek
solárního záření je zde započten ve zvýšení venkovní teploty.
Hustota tepelného toku přes obvodovou stěnu by mohla být vyjádřena i jako:
q  U ekv T i  T e 
(2.199)
kde Uekv je ekvivalentní hodnota součinitele prostupu tepla:
U ekv  U  gFsh
G Gt
Ti  Te
(2.200)
Příspěvek solárního záření je zde započten ve snížení součinitele prostupu
tepla.
2.5.7 Šíření tepla přes nevytápěný prostor
Zajímá nás tepelný tok v ustáleném stavu z prostoru vytápěného na teplotu
Ti přes obvodovou konstrukci, která sousedí s nevytápěným prostorem, do
venkovního prostředí o teplotě Te (viz Obrázek 60). Teplota v nevytápěném
prostoru je označena jako T1. K1 je vodivost konstrukce mezi vytápěným a
nevytápěným prostorem a K2 je vodivost mezi nevytápěným prostorem a
venkovním prostředím ve W/K.
Ti
Vytápěný
prostor
1
T1
Nevytápěný
prostor
Te
Ti
K2
K1
T1
Te
Venkovní
prostředí
Obrázek 60: Tepelná ztráta přes nevytápěný prostor.
Pro tepelný tok z vytápěného do nevytápěného prostoru máme:
- 70 -
1  K1 Ti  T1 
(2.201)
Tepelný tok z vytápěného prostoru do venkovního prostředí v případě, že
bychom neuvažovali s vlivem nevytápěného prostoru, je:
  K1 Ti  Te 
(2.202)
Z tepelné bilance v uzlu T1 můžeme odvodit vztah pro teplotu v nevytápěném
prostoru:
T1 
K 1Ti  K 2Te
K1  K 2
(2.203)
Pokud se vodivost K1 bude blížit nule, bude se teplota nevytápěného
prostoru blížit venkovní teplotě. A naopak, pokud vodivost K1 bude vysoká,
bude se teplota nevytápěného prostoru blížit teplotě vytápěného prostoru.
Poměr tepelných toků nám vyjádří, na kolik procent se tepelná ztráta přes
konstrukci sousedící s nevytápěným prostorem sníží v porovnání se situací,
kdy by nevytápěný prostor nebyl přítomný.
b
1

(2.204)
Po dosazení rovnic (2.201), (2.202) a (2.203) do (2.204) dostaneme:
b
K2
K1  K 2
(2.205)
Faktor b nabývá nulové hodnoty, když K1→∞ (velmi špatně tepelně izolovaná
konstrukce mezi vytápěným a nevytápěným prostorem. Opačným extrém je,
když K1→0, potom se hodnota b blíží jedné.
Rovnici (2.204) můžeme také přepsat do tvaru:
1  b  K1 Ti  Te 
(2.206)
Rovnice (2.206) je odlišným způsobem zapsaný vztah (P.1).
2.5.8 Šíření tepla obálkou budovy
Celkový tepelný tok prostupem obálkou budovy T (W) se skládá z dílčích
tepelných toků – například přes střechu, podlahu, stěny, okna a tepelné
mosty (viz Obrázek 61):
T  bsU s As  bpU pAp  U st Ast  U w Aw  UA Ti  Te 
- 71 -
(2.207)
kde Us je součinitel prostupu tepla střechy, Up je součinitel prostupu tepla
podlahy, Ust je součinitel prostupu tepla stěn, Uw je součinitel prostupu tepla
oken, U je přirážka na tepelné mosty, As je plocha střechy, Ap je plocha
podlahy, Ast je plocha stěn (plocha oken je odečtena od plochy fasád), Aw je
plocha oken. Veličiny označené jako b (-) jsou redukční činitele vyjadřující
například zlepšující vliv zeminy nebo nevytápěného suterénu (bp), nebo
nevytápěné půdy (bs).
Us, As (střecha)
bs·UsAs
A
Ust, Ast (stěny)
bp·UpAp
Ti
UstAst
UwAw
Te
Ti
HT
Te
U·A
Aw, Uw (okna) Up, Ap (podlaha)
Obrázek 61: Schéma jednoduché budovy a znázornění dílčích tepelných toků.
Vydělením rovnice (2.207) celkovou ochlazovanou plochou A se dostaneme
ke vztahu:
qT  U em Ti  Te 
(W/m2)
(2.208)
kde Uem je průměrný součinitel prostupu tepla obálky budovy ve W/(m2K):
U em 
HT
A
(2.209)
Průměrný součinitel prostupu tepla obálky budovy je tedy váženým
průměrem jednotlivých součinitelů prostupu tepla dílčích obvodových
konstrukcí přes jejich plochy:
U em  bsU s
A
As
A
A
 bpU p p  U st st  U w w  U
A
A
A
A
(2.210)
Plocha střechy může být vyjádřena jako:
As 
1
Ap
cos 
(2.211)
kde  je sklon střechy. U nízkých sklonů střechy tedy přibližně platí As ≈ Ap.
Potom můžeme psát:
U em  bsU s  bpU p 
Ap
A  2 Ap  A w
A
 U st
 U w w  U
A
A
A
- 72 -
(2.212)
V rovnici (2.212) se předpokládá, že okna jsou umístěna pouze ve fasádách.
Fasáda je definována jako celková plocha obálky budovy mínus plocha
střechy a podlahy. Tímto způsobem může být zahrnuta i členitost fasády,
pokud faktor Ap/A v sobě tuto korekci obsahuje.
Faktor Ap/A vyjadřuje, jakou část z ochlazované plochy tvoří plocha podlahy
budovy. Vyšší hodnoty představují přízemní rozsáhlé budovy. Nižší hodnoty
naopak mohou představovat bodové bytové domy s malou plochou podlahy
vzhledem k ochlazované ploše (a tedy velkou plochou fasád). Faktor Ap/A lze
snadno odhadovat z informací o budově, které jsou dnes běžně dostupné
z elektronických mapových podkladů – zastavěné plochy, obvodu zastavěné
plochy a výšky budovy (viz Obrázek 62).
h
Ap
Op
Obrázek 62: Běžně dostupné informace o budově.
Tabulka 9: Faktor Ap/A
Koncová sekce
Samostatně stojící
Plochá střecha
h
O p  2 a  b 
b
a
Fp 
h
Op  2a  b
b
a
- 73 -
1
2h
Op
Ap
Střední sekce
O p  2a
h
b
a
Samostatně stojící
Šikmá střecha
h1
h

O p  2 a  b 
Ap
1

A
Op

b
1 
1  cos    h A  h1 A
p
p


b
a
Koncová sekce
h1
h

Op  2a  b
Ap
1

A
O p h1 b

1 
1  cos    h A  2 A
p
p


b
Střední sekce
a
h

h1
O p  2a
b
Ap
1

A
Op

1 
1  cos    h A
p


a
Rovnici (2.212) lze dále rozepsat:
U em  bsU s  bpU p 
Ap
A A 
A A
 2A
 U st 1  p  w fas   U w w fas  U
A
A
Afas A 
Afas A

(2.213)
kde Afas je celková plocha fasády včetně plochy oken. Zavedeme následující
značení:
Fw 
Aw
A
A  2 Ap
A
Fp  p , Ffas  fas 
 1  2Fp
,
Afas
A
A
A
- 74 -
(2.214)
Faktor Fw vyjadřuje, jakou část tvoří z celkové plochy fasády plocha oken
(hovorově též nazývaný celkové procento prosklení). Po dosazení faktorů
(2.214), do rovnice (2.213) dostaneme:
U em  Fp bsU s  bpU p   1  Fw  1  2Fp U st  Fw 1  2Fp U w  U
(2.215)
Průměrný součinitel prostupu tepla obálky je funkcí součinitelů prostupu
tepla jednotlivých stavebních prvků a dvou geometrických faktorů.
Po aplikaci korekce na sklon střechy dostaneme obecnější vyjádření:
 
 bU

1
U em  Fp  s s  bpU p   1  Fw  1  1 
cos 
 cos 

 
 
1
...  Fw 1  1 
cos 
 
 
 Fp  U st  ...
 
(2.216)
 
 Fp  U w  U
 
kde  je sklon střechy.
 Příklad 17. Vypočítejte průměrný součinitel prostupu tepla pro pravděpodobná rozmezí
faktorů Fw a Fp a obvodové konstrukce v různé tepelně izolační úrovni (Tabulka 10).
Tabulka 10: Součinitel prostupu tepla obvodových konstrukcí
Úroveň tepelné izolace
Ust
Us
Up
Uw
U
bs
bp
(W/(m2K))
Fw
Fp
(-)
ČSN 730540-2 (2007)
0,38 0,24 0,45 1,7 0,05 1,0 0,50
Doporučené hodnoty pro
pasivní domy
0,12 0,10 0,15 0,8
0
1,0 0,90
0,05 –
0,5
0,09 –
0,36
Součinitele prostupu tepla obálky budovy jsou zobrazeny, viz Obrázek 61. Pokud faktor Fp
vzrůstá, tak součinitel prostupu tepla obálky budovy klesá, což je důsledek menšího
zastoupení plochy fasády v celkové ochlazované ploše. Dosažitelné hodnoty součinitele
prostupu tepla obálky budovy se pohybují mezi 0,15 – 0,20 W/(m2K). K tomuto výsledku jsou
potřeba součinitele prostupu tepla obvodových konstrukcí na úrovni doporučených hodnot
pro pasivní domy a přiměřené procento prosklení.
- 75 -
2
2
0.35
0. 4
0.30
0.10
0.10
0.20
5
0. 2
0.25
3
0.
0.20
0.15
0.
7
0.15
0. 2
0.30
Fw (-)
8
0.
0.40
9
0.
0.50
0.
35
0.20
Fp (-)
0. 6
0.25
0. 5
Fp (-)
5
0.35 0. 3
0.30
UT (W/(m K))
0. 1
5
UT (W/(m K))
0.10
0.10
0.20
0.30
Fw (-)
0.40
0.50
2
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
UT (W/(m K))
2
UT (W/(m K))
Obrázek 63: Součinitel prostupu tepla obálky budovy jako funkce parametrů Fp a Fw. Vlevo –
pro budovy podle požadavků ČSN730540-2 (2007). Vpravo – pro budovy v pasivním
standardu.
Czech code (2007)
Passive houses
0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35
Fp (-)
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
Czech code (2007)
Passive houses
0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
Fw (-)
Obrázek 64: Součinitel prostupu tepla obálky budovy jako funkce parametrů Fp a Fw. Vlevo –
jako funkce parametru Fp. Vpravo – jako funkce parametru Fw.
2.5.9 Energetická propustnost stavebních prvků
Hustotu tepelného toku od solárního záření procházejícího přes stavební
prvek lze vyjádřit jako:
q in  gG Gt  q in,dir  q in,indir
(2.217)
kde g je energetická propustnost a GGt je intenzita globálního solárního
záření dopadajícího na prvek (viz Obrázek 65).
GGt
qin
- 76 -
Obrázek 65: Energetická propustnost stavebního prvku.
Solární záření může přes prvek procházet přímo (průsvitné prvky), ale i
nepřímo, tj. vedením tepla přes prvek a následným přestupem tepla mezi
povrchem a vnitřním prostředím (sálání a proudění).
Jednosklo
Hustotu tepelného toku od solárních zisků procházejících přímo přes jednu
tabuli skla je možné vyjádřit jako:
q in,dir   G Gt
(2.218)
kde  je propustnost zasklení pro krátkovlnné (solární) záření.
Pro vyjádření nepřímých zisků je účelné využít principu superpozice a
problém rozdělit na dvě dílčí části. Zjednodušeně se předpokládá, že teplotní
gradient je v rámci tloušťky skla zanedbatelný a sklo je tedy možné nahradit
jedním teplotním uzlem.
solGGt
solGGt
Rsi
Te Rse
Tg
Ti
=
Rsi
0 Rse
Tg(1)
0
+
Rsi
Te Rse
Ti
Tg(2)
Obrázek 66: Jednosklo - schéma modelu a princip superpozice.
Hustotu tepelného toku z povrchu zasklení do vnitřního prostoru vyjádříme
jako:
qi  q
(1)
i
q
(2)
i
Tg(1)  0 Tg(2)  Ti


Rsi
R si
(2.219)
kde Tg je teplota zasklení, Ti je vnitřní teplota a Rsi je odpor při přestupu
tepla na vnitřní straně zasklení. První člen vyjadřuje hustotu tepelného toku,
která je výsledkem působení solárního záření pohlceného zasklením (bez
působení teplotního rozdílu). Jedná se tedy o vyjádření nepřímých zisků přes
zasklení. Druhý člen vyjadřuje hustotu tepelného toku, která je výsledkem
působení vnitřní a vnější teploty (bez působení solárního záření).
Teplotu zasklení je možné vyjádřit z tepelné bilance:
 solG Gt 
Tg(1)  0 Tg(1)  0

0
Rsi
R se
(2.220)
kde sol je pohltivost zasklení pro krátkovlnné záření. Po úpravě dostaneme:
- 77 -
Tg(1) 
RsiRse
 solG G
Rsi  Rse
(2.221)
Pro hustotu tepelného toku od nepřímých zisků tedy dostaneme:
q i(1)  q in,indir 
Rse
solG Gt
Rsi  Rse
(2.222)
Dosazením rovnic (2.218) a (2.222) do rovnice (2.217) lze získat vztah pro
energetickou propustnost jednoduchého zasklení:
g  
Rse
 sol
Rse  Rsi
(2.223)
Z rovnice (2.223) je zřejmé, že zvýšení solárních zisků lze dosáhnout
zvýšením propustnosti  a pohltivosti sol, případně zvýšením odporu při
přestupu tepla na vnější straně.
Neprůsvitná stěna
Stěna nepropouští solární záření přímo, proto qin,dir = 0.
solGG
solGG
Rsi
R0
Te Rse
Tse
Tsi
Ti 0 Rse
=
Rsi
R0
Tse(1)
Tsi(1)
R0
0 Te Rse
+
Tse(2)
Rsi
Ti
Tsi(2)
Obrázek 67: Stěna - schéma modelu a princip superpozice.
Hustotu tepelného toku z povrchu zasklení do vnitřního prostoru vyjádříme
jako:
q i  q i(1)  q i(2) 
Tsi(1)  0 Tsi(2)  Ti

Rsi
R si
(2.224)
kde qi(1) = qin,indir.
Pro hustotu tepelného toku od nepřímých zisků dostaneme:
q in,indir 
Rse
solG Gt
Rse  R0  Rsi
(2.225)
Energetická propustnost neprůsvitné stěny tedy je:
g
 solRse
Rse  R0  Rsi
  solRseU
(2.226)
- 78 -
kde U je součinitel prostupu tepla stěny. Z rovnice (2.226) je zřejmé, že
dnešní velmi dobře tepelně izolované neprůsvitné stavební prvky mají
zanedbatelnou energetickou propustnost.
Dvojsklo
Oproti zasklení s jedním sklem je situace složitější, protože v dutině mezi
skly dochází k opakovanému odrazu (viz Obrázek 68).
GGt
21GGt
exteriér
121GGt
12GGt
sol21GGt
sol1GGt
1GGt
interiér
1212GGt
2
1
Obrázek 68: Energetická propustnost dvojskla.
Hustotu tepelného toku od solárních zisků procházejících přímo přes
jednoduché zasklení je možné vyjádřit jako:
q in,dir  1 2 1  1 2  12 22  ... G Gt 
1 2
G Gt  1 2G Gt
1  1 2
(2.227)
kde  je propustnost tabule 1 a tabule 2 pro krátkovlnné záření,  je
odrazivost tabule 1 a tabule 2 pro krátkovlnné záření.
Pro vyjádření nepřímých zisků opět využijeme princip superpozice, kdy nás
zajímá pouze část tepelného toku, která je příspěvkem působení solárního
záření.
qs1
qs2
Rsi
R0
Te Rse
Ti
Tg2
Tg1
Obrázek 69: Dvojsklo - schéma modelu.
Vyjádření solárních zisků v jednotlivých uzlech:


q s1   sol,1G Gt 1  1  2  1 22  12 23  ...   sol,1
- 79 -
1  1 2  21
G Gt
1  1 2
(2.228)
q s2   sol,21G Gt 1  1 2  12 22  ...   sol,2
1
G Gt
1  1 2
(2.229)
Tepelná bilance v jednotlivých uzlech:
sol,1
0  Tg1(1) Tg1(1)  Tg2(1)
1  12  21
GG 

0
1  12
Rse
R0
Tg1(1)  Tg2(1) Tg2(1)  0
1
GG 

0
sol,2
1  12
R0
Rsi
(2.230)
(2.231)
Po úpravě:
sol,1
1  12  21
1  (1) 1 (1)
 1
GG  

 Tg1  R Tg2  0
1  12
0
 Rse R0 
(2.232)
sol,2
1
1 (1)  1
1  (1)
GG 
Tg1  

 Tg2   0
1  12
R0
 Rsi R0 
(2.233)
Řěšení soustavy rovnic vzhledem k Tg2:
 sol,1
(1)

Tg2
1  1  2   2 1
1
1
1 
 1
GG
  sol,2
GG 


1  1  2
1  1  2
R0
 R se R 0 
1  1
1  1
 1
 R  R  R  R   R2
0 
si
0 
0
 se
(2.234)
Pro energetickou propustnost dvojskla tedy dostaneme:
g 
 1 2
1

1  1  2 R si
 sol,1
1  1  2   2 1 1
1
1 
 1
  sol,2


1  1  2
R0
1  1  2  R se R 0 
1  1
1  1
 1
 R  R  R  R   R2
0 
si
0 
0
 se
(2.235)
Z prvního členu předchozího vzorce je zřejmé, že dominantní vliv na hodnotu
energetické propustnosti mají propustnosti obou skel pro krátkovlnné
záření. Druhý člen je násoben faktorem 1/Rsi, což ukazuje na logický závěr,
že se zvyšujícím se odporem při přestupu tepla na vnitřní straně se zmenšuje
nepřímý zisk do interiéru.
2.6 Úlohy k procvičení
Ú1. Vypočítejte, za jakou dobu se u elektromobilu vybije elektrická baterie o
kapacitě 20 kWh při průměrném výkonu elektromotoru 30×103 J/s?
Ú2. Uvažujte potrubí čtvercového průřezu o délce strany 0,3 m, přes které
proudí vzduch. Průměrná rychlost proudění vzduchu v potrubí je 5 m/s.
- 80 -
Hustotu vzduchu uvažujte hodnotou 1,2 kg/m3. Vypočtěte průtok vzduchu v
potrubí v m3/s a v kg/s.
Ú3. Uvažujte potrubí čtvercového průřezu o délce strany 0,15 m, přes které
proudí vzduch. Průměrná rychlost proudění vzduchu v potrubí je 1 m/s.
Teplota vzduchu na vstupu do potrubí je 10 °C. Teplota vzduchu na výstupu
z potrubí je 0 °C. Kolik tepla projde přes stěnu potrubí do okolí za 24 hodin?
Hustotu vzduchu uvažujte hodnotou 1,2 kg/m3. Měrnou tepelnou kapacitu
vzduchu uvažujte hodnotou 1010 J/(kg·K).
Ú4. Jaký teoretický tepelný výkon musí mít karma, aby dokázala ohřát vodu
pro jedno vysprchování. Uvažujte, že spotřeba teplé vody na jedno
vysprchování je 35 litrů za 5 minut. Teplotu vody na vstupu do karmy
uvažujte hodnotou 10 °C. Teplotu vody na výstupu z karmy uvažujte
hodnotou 45 °C. Měrná tepelná kapacita vody je 4200 J/(kg·K).
Ú5. Uvažujte 0,5 m3 materiálu obaleného v dokonalé tepelné izolaci.
Objemová hmotnost materiálu je 2500 kg/m3. Měrná tepelná kapacita
materiálu je 1000 J/(kg·K). Počáteční teplota je 10 °C. Jaké teploty materiál
dosáhne, budeme-li působit 500 Wattovým zdrojem tepla po dobu 24 hodin.
Ú6. Uvažujte průběh teplot v masivní stěně (viz obrázek). Kdy může dojít
k takovému průběhu teplot?
Ti
a) V zimě během noci.
b) V létě během deště.
exteriér
interiér
c)
V létě za silného
solárního záření.
d) V zimě během jasného
dne
Te
Ti
a) V zimě během jasné noci.
b) V létě během deště.
exteriér
interiér
c) V létě za silného solárního
záření.
d) V zimě během jasného dne
Tae
Ú7. Ovlivňuje barva šálku rychlost chladnutí kávy? Odpověď vysvětlete.
- 81 -
Ú8. V zimě přijedete do vymrzlé chaty a najdete v ní dvě stejně veliké nádoby
s ledem. Jedna nádoba je z kovu, zatímco druhá nádoba je z plastu. V chatě
po příjezdu začnete topit. V které nádobě led rozmrzne rychleji. Uveďte proč!
Ú9. Uvažujte venkovní stěnu, která se skládá z vrstvy betonu (součinitel
tepelné vodivosti 2,0 W/(m·K)) a transparentní tepelné izolace (součinitel
tepelné vodivosti 0,10 W/(m·K)). Transparentní tepelná izolace je umístěna
na venkovní straně stěny (viz obrázek). Předpokládejte, že na levém povrchu
stěny dlouhodobě působí teplota 20 °C, na pravém povrchu stěny
dlouhodobě působí teplota -15 °C, a že se tyto teploty v čase nemění.
a) Vypočtěte teplotu na rozhraní mezi betonem a transparentní tepelnou
izolací za předpokladu, že na stěnu nedopadá žádné solární záření.
b) Vypočtěte teplotu na rozhraní mezi betonem a transparentní tepelnou
izolací za předpokladu, že na stěnu dopadá solární záření o konstantní
intenzitě 500 W/m2. Uvažujte 50% propustnost transparentní izolace
pro solární záření.
c) Pro oba dva případy vypočtěte hustotu tepelného toku procházejícího
přes vrstvu betonu a vypočtené hodnoty porovnejte.
T1
T2
Transparentní
tepelná izolace
20 cm
20 cm
Ú10. Jakou materiálovou vlastnost budete sledovat, pokud chcete vybrat
materiál tvořící vnitřní povrchy v místnosti, a kterým chcete přispět ke
zvýšení tepelné stability místnosti?
Ú11. Proč je v parném letním dnu blízké okolí fontány s vodou chladnější
než okolní zástavba.
Ú12. Proč poklička na hrnci omezí rychlost chladnutí vody v hrnci?
- 82 -
3 Šíření vzduchu
3.1 Úvod
Aby došlo k šíření vzduchu mezi dvěma body, musí mezi těmito body
existovat rozdíl tlaků a cesta, která oba body spojuje. Vnitřní a vnější
prostředí budov je propojeno přes obálku budovy. Ta představuje složitý
soubor netěsností, spár, prostupů, napojení stavebních prvků, ale i
průvzdušností prvků v jejich ploše. Rozdíl tlaků vzduchu mezi vnitřním a
vnějším prostředím může být vyvolaný účinky větru, rozdílem teplot mezi
interiérem a exteriérem, nebo větracím či spalovacím zařízením, resp.
kombinací všech předchozích mechanizmů dohromady:
P  Ps  Pw  PV
(Pa)
(3.1)
kde Ps je tlakový rozdíl vyvolaný rozdílem teplot, Pw je tlakový rozdíl
vyvolaný účinky větru, PV je tlakový rozdíl od systému mechanického
větrání. Záporný rozdíl tlaků znamená, že je vzduch vytahován zevnitř
budovy směrem ven. Kladný rozdíl tlaků znamená, že je vzduch tlačen
z venkovního prostředí dovnitř budovy.
Závislost objemového průtoku vzduchu na působícím tlakovém rozdílu se
popisuje rovnicí:
Va  C  P n
(m3/h)
(3.2)
kde P (Pa) je tlakový rozdíl, C (m3/(h·Pa)) je součinitel proudění a n (-) je
exponent proudění. Součinitel proudění je průtok vzduchu při tlakovém
rozdílu 1 Pa. Rovnici (3.2) lze také zapsat jako:
log Va  log C  n  log P
(3.3)
což v grafu s logaritmickým měřítkem na obou osách představuje přímku,
jejíž sklon je exponent proudění a průsečík s osou y součinitel proudění.
Měříme-li průtok přes netěsnosti v obálce budovy a rozdíl tlaků, můžeme
z měření určit parametry C a n, které charakterizují vzduchotěsnost obálky
budovy. Schopnost obálky budovy propouštět vzduch, se v praxi nicméně
hodnotí pomocí jediného parametru, intenzity výměny vzduchu při tlakovém
rozdílu 50 Pa (n50):
n50 
Va,50
Vai
(1/h)
- 83 -
(3.4)
kde Va,50 (m3/h) je objemový průtok vzduchu při tlakovém rozdílu 50 Pa a
Vai (m3) je objem vnitřního vzduchu v budově. Veličina se stanovuje
experimentálním měřením na budově (tzv. Blower door test, viz [26]).
Požadavky na vzduchotěsnost obálky budovy i jejích částí jsou uvedeny v
normě [18]. Mimo celkovou úroveň vzduchotěsnosti obvodového pláště je
také důležité rozložení netěsností v rámci obálky budovy.
Proudění vzduchu přes obálku budovy má velký význam pro tepelnou a
vlhkostní bilanci budovy a pro kvalitu vnitřního prostředí. Proudění vzduchu
přes netěsnosti například může vést k značnému zvýšení tepelných ztrát
budovy a ke zvýšení rizika kondenzace vodní páry v okolí netěsností. Z výše
uvedených důvodů by obvodové konstrukce v ploše a jejich napojení měly
být vzduchotěsné. K tomu slouží systém vzduchotěsnících opatření. Jeho
spojitost by měla být zachována u všech plošných prvků, prostupujících
prvků a napojení. Systém vzduchotěsnících opatření by měl být jasně
vyznačený ve výkresech, včetně detailů, u kterých lze očekávat těžkosti
v dosažení kontinuity. Zvyšování vzduchotěsnosti obálky budovy může
vyvolat potřebu instalovat mechanický nebo jiný systém větrání, protože
přirozené větrání přes netěsnosti již nemusí dostačovat přívodu čerstvého
vzduchu.
3.2 Tlakový rozdíl
3.2.1 Tlakový rozdíl od rozdílu teplot
Budovy jsou v našich podmínkách v zimě vytápěné. Teplý vzduch uvnitř
budovy je obklopený chladnějším venkovním vzduchem. Hustota vzduchu
závisí na teplotě. Pokud je obálka budovy netěsná, tak teplý vnitřní vzduch
má tendenci odcházet netěsnostmi v horní části budovy směrem ven a na
jeho místo přichází přes netěsnosti ve spodní části budovy chladný vzduch.
Budovu lze přirovnat k horkovzdušnému balónu, resp. k bublině vzduchu
stoupající ke hladině moře. Uvedený princip se někdy nazývá komínový
efekt. Během léta může nastat situace, kdy je teplota vzduchu uvnitř budovy
nižší než teplota venkovního vzduchu a směr proudění je tedy opačný.
Teplotní rozdíl ale nebývá tak velký jako v zimě. Ve výšce takzvané neutrální
roviny je tlak v budově a tlak v exteriéru stejný.
Rozdíl tlaků závisí na rozdílu hustot vnitřního a vnějšího vzduchu a
vzdálenosti od neutrální roviny:
Ps  z  ae  ai  g
(Pa)
- 84 -
(3.5)
kde ae (kg/m3) je hustota venkovního vzduchu, ai (kg/m3) je hustota
vnitřního vzduchu, g (m2/s) je gravitační zrychlení, z (m) je vzdálenost od
neutrální roviny směrem dolů. Vztah (3.5) je možné vyjádřit pomocí
absolutních teplot. Po dosazení stavové rovnice ideálního plynu dostaneme:
 1 1
Ps  z  3456 
 
 Tae Tai 
(Pa)
(3.6)
Pokud si například představíme válec s otvorem pouze na jeho spodní straně
(viz Obrázek 70), v kterém je vzduchem o teplotě 20 °C, a v okolí válce je
teplota vzduchu -10 °C, tak tlak vzduchu se snaží válec nadzvednout, resp.
roztáhnout jeho stěny. Pokud bychom stejný válec chvíli nechali venku,
teploty se vyrovnají, a rozdíl tlaků přestane existovat. Pokud posléze
vezmeme válec dovnitř vytopené budovy, bude na jeho dno resp. stěny tlačit
studený vzduch.
Ps
neutrální rovina
z
-10° C 20° C
20° C -10° C
Ps
neutrální rovina
z
Obrázek 70: Přetlak ve válci s jedním otevřeným koncem.
 Příklad 18. Budova ČVUT, FSv má za svým hlavním vstupem atrium. Rovina zasklení atria
je přibližně 10 m nad úrovní podlahy. Vypočtěte přetlak vzduchu v úrovni zasklení, pokud je
teplota venkovního vzduchu -10 °C a teplota vzduchu uvnitř atria 20 °C. Atrium je napojené
na venkovní prostředí přes hlavní vchod do budovy, takže poloha neutrální roviny je v pozici
z = 0. Poloha zasklení odpovídá z = -10 m.
Ps = -10×3456 ×((1/263)-(1/293)) = -13,4 Pa.
Pokud si představíme stejný válec s otvorem na obou stranách (viz Obrázek
71), tak rozdíl teplot mezi vnitřkem válce a venkovním prostředím vyvolá tok
vzduchu skrz válec. Pro udržení toku vzduchu je samozřejmě potřeba vnitřní
vzduch stále ohřívat, protože, pokud by se to nedělo, vnitřní vzduch by
nahradil venkovní studený vzduch a rozdíl tlaků se neudržel.
- 85 -
T i < Te
T i > Te
Ps
neutrální rovina
Ti
Ps
Ti
Te
Te
z
z
Obrázek 71: Komínový efekt.
Neutrální rovina se nemusí vždy nacházet ve středu výšky budovy. Pokud je
vrchní část budovy děravější než spodní část budovy, tak se neutrální rovina
bude nacházet ve vrchní části budovy. Pokud je naopak vrchní část těsnější
v porovnání se spodní částí, tak se pozice neutrální roviny bude nacházet ve
spodní části budovy. Pokud je rozložení netěsností rovnoměrné, tak se
neutrální rovina bude nacházet ve středu výšky budovy.
neutrální rovina
neutrální rovina
neutrální rovina
Vrchní část děravější než spodek
Vrchní část těsnější než spodek
Obrázek 72: Poloha neutrální roviny.
3.2.2 Tlakový rozdíl od účinku větru
Rychlost i směr větru se v čase velmi mění a jsou ovlivněny drsností
povrchu. Rychlost i směr větru se v místě meteorologické stanice měří ve
výšce 10 m nad povrchem terénu. Lokální rychlost větru může být v místě
budovy značně odlišná od rychlosti větru naměřené na meteorologické
stanici.
Dynamický tvar větru je daný jako kinetická energie vztažená na jednotku
objemu:
Pw 
1
aw2
2
(Pa)
- 86 -
(3.7)
kde a (kg/m3) je hustota venkovního vzduchu a w (m/s) je rychlost větru.
Lokální dynamický tlak větru na libovolné místo povrchu budovy se
vyjadřuje jako:
Pw  Cp
1
aw2
2
(Pa)
(3.8)
kde Cp (-) je aerodynamický součinitel tlaku větru v daném místě na povrchu
budovy. Kladné hodnoty součinitele tlaku větru znamenají tlak větru na
fasádu. Záporné hodnoty součinitele tlaku větru znamenají sání.
Síla větru typicky vytváří na návětrné straně budovy přetlak, resp. na
závětrné straně podtlak. Na návětrné straně je tedy venkovní vzduch tlačen
přes netěsnosti v obálce do budovy (infiltrace). Na závětrné straně je vnitřní
vzduch vytahován ven (exfiltrace).
Směr větru
Obrázek 73: Přetlak vzduchu vyvolaný větrem.
Rozdíl tlaků mezi dvěma místy obvodového pláště můžeme vyjádřit jako:
1
Pw  Pw1  Pw2  Cp1  Cp2  aw2
2
(Pa)
-0,3
Směr větru
0,4
-0,6
-0,2
-0,3
Obrázek 74: Typické hodnoty aerodynamického součinitel tlaku větru
(průměrné hodnoty pro dané plochy).
- 87 -
(3.9)
3.2.3 Tlakový rozdíl od systému mechanického větrání
Systémy mechanického větrání většinou mohou zároveň přivádět a odvádět
vzduch z budovy. To znamená, že vlivem nerovnováhy mezi přiváděným
množstvím vzduchu, může nastat záporný i kladný tlakový rozdíl. Pokud je
přiváděno stejné množství vzduchu, jako je odváděno, tak se jedná o
rovnotlaké větrání. Pokud je do budovy přiváděno více vzduchu, než je
odváděno, tak se jedná o přetlakové větrání. V budově je tak vyšší tlak
vzduchu než ve venkovním prostředí, a zbývající vzduch je tlačen přes
netěsnosti obvodového pláště do venkovního prostředí, například funkční
spáry oken nebo záměrně navržené otvory. To může v dostatečně chladném
období vést ke kondenzaci vodní páry. Pokud je do budovy přiváděno méně
vzduchu, než je systémem větrání odváděno, tak se jedná o podtlakové
větrání.
3.3 Modelování výměny vzduchu
Intenzita větrání budovy je určena působením tlakových rozdílů vyvolaných
rozdílem teplot, větrem anebo systémem mechanického větrání a je velmi
proměnlivá v čase. Z tohoto důvodu, ale také vlivem nejistoty popisu
netěsností je modelování proudění vzduchu v budovách spojené se značnými
nejistotami. Proto se ve standardních výpočtech potřeby tepla na vytápění či
chlazení intenzita větrání velmi často předpokládá nějakou konstantní
hodnotou odvozenou například z doporučeného množství čerstvého vzduchu
pro člověka (≈ 30 m3/(h·os)).
Intenzita větrání budovy se vypočte
podělením objemem vnitřního vzduchu:
n
Va
Vai
z objemového
(1/s)
průtoku
vzduchu
(3.10)
Intenzita větrání 1 h-1 znamená, že se objem vnitřního vzduchu každou
hodinu jedenkrát vymění za venkovní vzduch. Pro odhad průměrné intenzity
větrání přes netěsnosti se používá vztah:
n
n50
20
(3.11)
- 88 -
4 Šíření vlhkosti
4.1 Úvod
Voda a vzduch jsou bezesporu nejdůležitější látky na Zemi. Voda se
vyskytuje ve třech skupenstvích: zmrzlá (led), jako kapalina a jako plyn.
Plynné skupenství nazýváme vodní parou. Vodní pára je tvořena jednotlivými
velmi malými molekulami H2O (průměr přibližně 0,28 × 10-9 m). Voda
v kapalné fázi je kvůli vodíkovým můstkům tvořena svazky jednotlivých
molekul, které tedy mají mnohem větší průměr. Některé materiály proto
mohou být propustné pro vodní páru, ale nepropustné pro vodu (Goretex).
Budova je vystavena působení řady zdrojů vlhkosti. Může se jednat o vlhkost
obsaženou ve venkovním vzduchu, zdroje vlhkosti pocházející z činnosti
člověka (vaření, sušení, sprchování), větrem hnaný déšť, zabudovanou
vlhkost z období výstavby, vlhkost zeminy, či netěsnost nějakého potrubí. Na
stavební prvky voda působí značně destruktivně.
Šíření vlhkosti je proces, při kterém je přenášena vlhkost, tj. vodní pára nebo
voda v kapalném stavu. Šíření vlhkosti může nastat pouze v materiálech,
které mají otevřený pórový systém. Vlhkost se může v pórovitém materiálu
šířit zejména následujícími třemi způsoby:

difuzí vodní páry,

prouděním vlhkého vzduchu,

kapilárním přenosem.
Šíření vlhkosti lze do určité míry chápat analogicky k šíření tepla.
V kontrolním objemu se namísto energie bilancuje hmota. Vlhkostní toky se
taktéž uvažují úměrné rozdílu potenciálů, často částečných tlaků vodní páry
anebo hustot vodní páry. Oproti šíření tepla ale existují podstatné odlišnosti.
Zejména se jedná o to, že vlhkost materiálu ani vlhkost vzduchu nemohou
růst do nekonečna, a že transportní součinitele jsou velmi závislé na vlhkosti
materiálu.
Procesy šíření tepla a šíření vlhkosti se vzájemně ovlivňují. Modelování
reálného kombinovaného přenosu tepla a vlhkosti je proto kvůli těmto
zpětným vazbám obtížnou úlohou. Některými zpětnými vazbami jsou:

latentní teplo skupenských změn (kondenzace – vypařování, mrznutí rozmrzání) - kondenzace znamená vývin tepla, které může zvýšit
teplotu v místě, kde dochází ke kondenzaci a omezit tak kondenzující
- 89 -
množství, vypařování naopak může snížit teplotu v místě, kde dochází
k vypařování a omezit tak vypařující množství.

závislost vlastností na teplotě – částečný tlak vodní páry na mezi
nasycení je nelineárně závislý na teplotě, sorpční křivky jsou teplotně
závislé;

závislost vlastností materiálu na vlhkosti – tepelná vodivost vlhkého
nebo zmrzlého materiálu je vyšší, tepelná kapacita vlhkého materiálu
je vyšší.
4.2 Vlhkost ve vzduchu
Vodní pára je jedním z několika plynů, ze kterých se sestává vzduch. Každý
milovník pěnivého moku ví, že pokud je pivo dobře vychlazené, povrch
sklenice se orosí. Voda, která se na chladném povrchu náhle objeví, je
důsledkem kondenzace vodní páry. V budovách kondenzát často pozorujeme
v místech, kde je dostatečně nízká povrchová teplota. Obvykle se například
jedná o povrch skleněných tabulí v oknech (viz Obrázek 75), či místa se
zhoršenou tepelnou izolací.
Obrázek 75: Kondenzace vodní páry na vnitřním povrchu zasklení okna.
Vzduch za obvyklých hodnot teploty a tlaku, které nastávají v budovách, je
možné uvažovat jako směs dvou ideálních plynů: suchého vzduchu a vodní
páry. Pro ideální plyn platí stavová rovnice:
pV  nRT
(4.1)
kde p (Pa) je tlak plynu, V (m3) je objem soustavy, n (mol) je látkové množství
(vyjadřuje počet částic plynu obsažených v objemu soustavy, T (K) je
termodynamická teplota a R (J/mol·K) je univerzální plynová konstanta
(8,314 J/(mol·K)). Rovnice (4.1) vyjadřuje, že tlak plynu v soustavě je
- 90 -
nepřímo úměrný objemu soustavy, a přímo úměrný teplotě, počtu částic a
plynové konstantě.
Látkové množství je možné vyjádřit jako poměr mezi hmotností všech částic
v objemu plynu m (kg) a jejich molární hmotností M (kg/mol):
pV 
m
RT
M
(4.2)
kde poměr R/M je konstanta v J/(kg·K) a její hodnota se pro různé plyny liší.
Celkový tlak směsi suchého vzduchu (index d) a vodní páry (index v) se
v ideálním plynu řídí Daltonovým zákonem:
Pa  pd  pv
(4.3)
kde Pa je atmosférický tlak vzduchu (≈ 101 325 Pa na hladině moře), pd je
částečný tlak suchého vzduchu a pv je částečný tlak vodní páry. Suchý
vzduch se sestává z dusíku N2, kyslíku O2, a dalších plynů (Ar, další vzácné
plyny, CO2, …), viz Tabulka 11.
Tabulka 11: Složení suchého vzduchu.
látka
Chemická značka
Objemový podíl
(%) ve vzduchu
Molární hmotnost (g/mol)
Dusík
N
78,09
28,01
Kyslík
O
20,95
32
Argon
Ar
0,93
39,95
Oxid uhličitý
CO
0,03
44
2
2
2
Částečný tlak suchého vzduchu můžeme vyjádřit jako součet částečných
tlaků jeho jednotlivých složek:
pd  pN2  pO2  pAr  ...
(4.4)
Pro částečný tlak suchého vzduchu z rovnice (4.2) máme:
pdV  mdRdT
(4.5)
kde Rd je plynová konstanta pro suchý vzduch, Rd = 287,04 J/(kg·K).
Obdobně pro částečný tlak vodní páry:
pvV  mvRvT
(4.6)
- 91 -
kde Rv je plynová konstanta pro vodní páru, Rv = 461,5 J/(kg·K). Zavedemeli hustotu (koncentraci) vodní páry jako:
mv
V
v 
(4.7)
dostaneme převodní vztah mezi částečným tlakem vodní páry a hustotou
vodní páry:
pv
R vT
v 
(4.8)
Rozmezí obvyklých hodnot pro v resp. pv je 0 ÷ 30 g/m3, resp. 0 ÷ 4000 Pa.
Vlhkost vzduchu se také někdy vyjadřuje jako hmotnost vodní páry vztažená
k hmotnosti suchého vzduchu (měrná vlhkost vzduchu):
x
m v  vV Rd pv
pv


 0,622
md dV R v pd
Pa  pv
(4.9)
Měrná entalpie vlhkého vzduchu a měrná vlhkost slouží při projektování
klimatizace k zobrazování úprav vlhkého vzduchu v takzvaném hx diagramu.
Vzduch při dané teplotě může pojmout jen určité množství vodní páry. Toto
maximální množství se nazývá částečný tlak nasycené vodní páry pv,sat,
hustota vodní páry na mezi nasycení v,sat , případně měrná vlhkost na mezi
nasycení xsat, a je nelineární funkcí teploty vzduchu (viz Obrázek 76).
30
4000
3500
20
3000
pv,sat (Pa)
v,sat (g/m3)
25
15
10
2500
2000
1500
1000
5
500
0
-20 -15 -10
-5
0
5 10
T (°C)
15
20
25
30
-20 -15 -10
-5
0
5 10
T (°C)
15
20
25
30
Obrázek 76: Hustota vodní páry na mezi nasycení (vlevo) a částečný tlak vodní
páry na mezi nasycení (vpravo).
V literatuře existuje řada vztahů pro výpočet pv,sat, viz například [1]:
n
pv,sat
T 

 a  b 

100 

(4.10)
kde T je teplota ve stupních Celsia a parametry a,b, n nabývají hodnot:
- 92 -
0  T  30 °C
a = 288.68 Pa, b = 1.098, n = 8.02
20  T  0 °C
a = 4.689 Pa, b = 1.486, n = 12.3
Alternativní vztahy pro výpočet pv,sat nabízí [20]:
pv ,sat  610,5  e
pv ,sat  610,5  e
17,269T
237,3T
21,875T
265,5T
pro T ≥ 0 °C
(4.11)
pro T < 0 °C
(4.12)
Relativní vlhkost vzduchu  (-) je definována jako skutečná hodnota hustoty
vodní páry vydělená hustotou vodní páry na mezi nasycení:

v
pv

 v,sat pv,sat
(4.13)
Relativní vlhkost tedy vyjadřuje míru nasycení vzduchu vodní parou při dané
teplotě. V praxi se také používá vyjadřování relativní vlhkosti v %.
 Příklad 19. Vypočtěte částečný tlak vodní páry a hustotu vodní páry pro venkovní vzduch
o teplotě -15 °C a relativní vlhkosti 85 % (mrazivý zimní den). Výpočet zopakujte pro teplý
letní den, kdy teplota vzduchu je 30 °C a relativní vlhkost 40 %.
Ze vzorce (4.10) máme: pv,sat(-15 °C) = 165 Pa a pv,sat(30 °C) = 4240 Pa. Z rovnice (4.8)
dostaneme hodnoty: v,sat(-15 °C) = 0,0014 kg/m3 a v,sat(30 °C) = 0,03 kg/m3. Z rovnice (4.13)
vypočítáme částečný tlak vodní páry nebo hustotu vodní páry. Pro mrazivý zimní den máme:
pv = 0,85 × 165 Pa ≈ 140 Pa, resp. v = 0,85 × 0,0014 kg/m3 = 0,0012 kg/ m3. Pro teplý letní
den máme: pv = 0,40 × 4242 Pa ≈ 1696 Pa, resp. v = 0,40 × 0,03 kg/m3 = 0,012 kg/ m3. Z
výsledků je zřejmé, že vzduch má v létě mnohem vyšší vlhkost než v zimě (viz Obrázek 77).
25
3
ve (g/m )
20
15
10
5
0
0
30
60
90
120 150 180 210 240 270 300 330 360
t (dny)
Obrázek 77: Koncentrace vodní páry ve venkovním vzduchu během roku (údaje pro Prahu)
Pro vyjádření vlhkosti vzduchu se někdy používá termín teplota rosného
bodu. Jde o teplotu, na kterou by se musel vzduch o dané teplotě a relativní
vlhkosti izobaricky ochladit, aby dosáhl relativní vlhkosti 100 %. Obrázek 78
- 93 -
ukazuje příklad grafického určení teploty rosného bodu (Tdp) pro vzduch o
teplotě 10 °C a relativní vlhkosti 60 %.
A
Tdp
Obrázek 78: Grafické určení teploty rosného bodu.
Z bodu A je možné dosáhnout křivku na mezi nasycení mnoha způsoby.
Pokud se pouze dodá vodní pára a nezmění teplota, jedná se o izotermický
děj (z bodu A svisle nahoru). Křivku je také možné dosáhnout pouhým
snížením teploty (z bodu A vodorovně vlevo), jak již bylo ukázáno (viz
Obrázek 78).
4.3 Vlhkost v pórovitých materiálech
4.3.1 Struktura pórovitého materiálu
Stavební materiály (s výjimkou kovů) jsou typické svojí pórovitou strukturou,
která je tvořena pevným skeletem a systémem pórů (viz Obrázek 79). U
některých materiálů jsou póry viditelné pouhým okem (pórobeton). U
některých materiálů se jedná o mikropóry viditelné pouze výkonným
mikroskopem. Póry rozdělujeme podle jejich velikosti na:

Submikroskopické póry (< 10-9 m)

Kapilární póry (10-9 – 10-3 m)

Makropóry (> 10-3 m)
- 94 -
Reprezentativní kontrolní objem
V
V = Vmat + Vpore
Kapalná fáze
Pevná fáze (Vmat)
Plynná fáze (směs suchého vzduchu a vodní páry)
Obrázek 79: Struktura pórovitého materiálu.
Objemová hmotnost v suchém stavu je definována jako poměr hmotnosti
vzorku ve vysušeném stavu md (kg) a celkového objemu vzorku V (m3):
d 
md
V
(4.14)
Hustota pevné fáze (skeletu) je definována jako poměr hmotnosti pevné fáze
mmat (kg) a objemu pevné fáze Vmat (m3):
 mat 
m mat
V mat
(4.15)
Hustota skeletu se pohybuje u organických materiálů v rozmezí
1450 ÷ 1650 kg/m3, u silikátových materiálů v rozmezí 2400 ÷ 3000 kg/m3 a
u plastových materiálů 900 ÷ 1300 kg/m3.
Otevřená pórovitost o (-) je definována jako poměr objemu otevřených pórů
Vpore,o (m3), tj. pórů spojených se vzduchem v okolí vzorku, a celkovému
objemu vzorku V (m3):
o 
V pore,o
V
(4.16)
Celková pórovitost  (-) je součtem otevřené pórovitosti o (-) a uzavřené
pórovitosti u (-):
  o  u
(4.17)
Uzavřené póry neumožňují přijímat do svého objemu vlhkost. Celkovou
pórovitost lze zjednodušeně odhadovat na základě znalosti objemové
hmotnosti materiálu a hustoty pevné fáze. Platí, že:
V mat
V mat V pore
1

 1 , neboli
V
V
V
(4.18)
m mat
 1
V mat
 mat
1
m mat  m pore
V
(4.19)
d
- 95 -
Jelikož platí, že mmat >> mpore, dostaneme:
 1
d
 mat
(4.20)
 Příklad 20. Odhadněte pórovitost smrkového dřeva (d = 500 kg/m3) a dubového dřeva
(d = 750 kg/m3). Hustotu skeletu uvažujte jednotně hodnotou 1500 kg/m3. Po dosazení
hodnot do vzorce (4.20) dostaneme pro smrkové dřevo  = 1 – (500/1500) = 0,70 a pro
bukové dřevo  = 1 – (750/1500) = 0,50.
Pórovitost sama o sobě nestačí k výstižnému popisu pórového systému. Dva
materiály o stejné pórovitosti ji mohou dosáhnout každý jiným způsobem.
Jeden může mít velké množství malých pórů, a druhý naopak menší
množství velkých pórů. Proto nás zajímá i zastoupení velikosti pórů
v kontrolním objemu materiálu.
4.3.2 Vyjadřování vlhkosti
Vlhkost pórovitého materiálu se obvykle vyjadřuje buď jako poměr hmotnosti
vlhkosti (vodní pára – index v, kapalné fáze – index l) a hmotnosti vzorku ve
vysušeném stavu, značeno u (kg/kg):
u
mv  ml
 uv  ul
md
(4.21)
nebo jako poměr hmotnosti vlhkosti a objemu vzorku, značeno w (kg/m3):
w
mv  ml
 w v  wl
V
(4.22)
Veličiny u a w jsou analogické veličinám x a v používaným pro vyjadřování
vlhkosti samotného vzduchu.
Z rovnic (4.21) a (4.22) vyplývá převodní vztah:
w  du
(4.23)
kde d je objemová hmotnost v suchém stavu, viz rovnice (4.14).
 Příklad 21. Typická hmotnostní vlhkost dřeva používaného pro stavební účely je 12 %.
Vypočtěte kolik vlhkosti je obsaženo v 1 m3 dřeva o objemové hmotnosti 500 kg/m3.
Z rovnice (4.23) dostaneme: w = 500 kg/m3 × 0,12 = 60 kg/m3. Pórobeton o stejné objemové
hmotnosti má při relativní vlhkosti 50 % (viz Obrázek 85) hmotnostní vlhkost 3 %, a tedy
w = 500 kg/m3 × 0,03 = 15 kg/m3. Tepelná izolace ze skleněných vláken o objemové
hmotnosti 18 kg/m3 má při relativní vlhkosti 50 % (viz Obrázek 85) hmotnostní vlhkost 1,5 %,
a tedy w = 18 kg/m3 × 0,015 = 0,27 kg/m3.
- 96 -
4.3.3 Zadržování vlhkosti v materiálu
Hygroskopická oblast
Nyní si představme pórovitý materiál o celkovém objemu V, v jehož pórech by
se vyskytoval pouze vlhký vzduch a žádná kapalná fáze (objem vzduchu
v pórovém systému =0V). Použijeme stavovou rovnici pro vodní páru a
dostáváme:
pv0V  m v R vT
(4.24)
Neboli:
wv 
mv
p
 p v,sat0
 v 0 
V
R vT
R vT
(4.25)
Objemová vlhkost materiálu by tedy měla být při konstantní teplotě lineárně
závislá na relativní vlhkosti.
 Příklad 22. Smrkové dřevo s pórovitostí 70 %, při teplotě 20 °C a relativní vlhkosti 50 %. Ze
vzorce (4.25) máme: w = (0,5 × 2337 × 0,70) / (461,5 × 293) = 0,006 kg/m3. Uvážíme-li
objemovou hmotnost 500 kg/m3, tak rovnovážná vlhkost pro relativní vlhkost 50 % je
0,10 kg/kg, tedy 0,10 × 500 = 50 kg/m3, viz Obrázek 85.
Materiály jsou reálně schopny pojmout mnohem více vlhkosti, než ukazuje
rovnice (4.25). Stěny pórů v kontaktu s vodní parou obsaženou
v obklopujícím vzduchu mají totiž kvůli existujícímu silovému poli tendenci
shromažďovat molekuly H2O na svém povrchu. Tento jev se nazývá adsorpce.
Při adsorpci dochází k hromadění molekul tekutiny (adsorbátu) na rozhraní
s pevnou fází nazývanou adsorbent (viz Obrázek 80).
kapilární
kondenzát
adsorbát
adsorbent
vlhký vzduch
Obrázek 80: Adsorpce a kapilární kondenzace.
Uvažujme nyní malý objem pórovitého materiálu, který je obklopen
vzduchem o určité relativní vlhkosti (viz Obrázek 81).
- 97 -
exsikátor
T = konst.

w
Nasycený roztok soli
Obrázek 81: Vzorek materiálu v prostředí o stálé teplotě a relativní vlhkosti.
Pokud bychom relativní vlhkost vzduchu v okolí vzorku postupně skokově
navyšovali, tak pro každou hodnotu relativní vlhkosti obklopujícího vzduchu
dosáhne materiál po určité době jisté rovnovážné vlhkosti. Křivka, která
charakterizuje rovnovážný stav mezi relativní vlhkostí vzduchu a vlhkostí
materiálu se nazývá sorpční křivka. Sorpční křivka většiny stavebních
materiálů má charakteristický esovitě prohnutý tvar (viz Obrázek 82).
u
(kg/kg)
usat
Voda volná
(přemístitelná)
ucap
ucrit
Voda
vázaná
0
 (-)
0,98 1
Hygroskopická oblast
Nadhygroskopická oblast
Obrázek 82: Sorpční křivka.
Výstižnější název je sorpční izoterma, protože existuje i malý vliv teploty na
polohu křivky. S rostoucí teplotou je pro molekuly vody obtížnější udržet se
na stěnách pórů, a proto rovnovážná vlhkost klesá (sorpční křivka se
posunuje směrem dolů).
Za konstantní teploty se z okolního vlhkého vzduchu může do pórovitého
materiálu uložit jen omezené množství vlhkosti (označena jako ucrit). Jako
hygroskopická oblast se obvykle nazývá interval mezi 0 % až do 98 %
relativní vlhkosti.
- 98 -
Při nízké relativní vlhkosti vzduchu (≈ 20 %) se na stěnách pórů vytváří jedna
vrstva molekul vody (monomolekulární adsorpce). Při vyšší relativní vlhkosti
vzduchu (≈ 20 - 40 %) se ukládají další vrstvy molekul vody (polymolekulární
adsorpce). Při ještě vyšší hodnotě relativní vlhkosti (> 40 %) může dokonce
dojít až k propojení protilehlých vrstev adsorbátu a vytvoření menisku volné
kapaliny. Tento jev se nazývá kapilární kondenzace. Ke kapilární kondenzaci
dochází nejdříve ve velmi tenkých pórech.
pevná fáze
pevná fáze
plyn
pevná fáze
pevná fáze
plyn
pevná fáze
pevná fáze
plyn
plyn
Voda
(1000 kg/m3)
Adsorbát (≈ 1500 ÷ 1800 kg/m3)
Obrázek 83: Monomolekulární adsorpce (vlevo), polymolekulární adsorpce
(uprostřed) a kapilární kondenzace uvnitř póru (vpravo).
Jestliže dochází ke kapilární kondenzaci, znatelně se zvyšuje kapacita
ukládání vody v pórovité struktuře materiálu. To je patrné z postupně se
zvyšujícího se sklonu sorpční křivky pro vyšší relativní vlhkosti. Sklon je
posléze tak strmý, že pro relativní vlhkosti blízké 100 % je obtížné
jednoznačně odečíst odpovídající hodnotu vlhkosti. Hodnoty relativní
vlhkosti vzduchu blízko stavu nasycení navíc neumíme přesně měřit.
V nadhygroskopické oblasti (0,98 <  < 1) je proto nutné měřit jiným
způsobem, než je exsikátorová metoda.
Proces, kdy je materiál postupně zpětně vysušován (relativní vlhkost
obklopujícího vzduchu se postupně snižuje) se nazývá desorpce. Hodnoty
rovnovážné vlhkosti při desorpci jsou vyšší než při sorpci. Tento fenomén se
nazývá hysterze. Pro některé materiály je hysterze důležitá (například pro
dřevo) a pro některé materiály zanedbatelná.
- 99 -
u
ucap

0
1
Obrázek 84: Hysterze sorpční křivky.
V literatuře lze nalézt různá parametrická vyjádření pro průběh sorpční
křivky. Například literatura [24] pro rozmezí 0,2 <  < 0,98 uvádí rovnici:
ln  

u  ucrit 1 

b 


1
c
(4.26)
kde a b, c jsou parametry. Obrázek 85 ukazuje sorpční křivky pro pórobeton,
dřevo a tepelnou izolaci ze skleněných vláken.
35
30
u (%)
25
20
2
15
1
10
5
0
0.1
3
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
 (-)
0.7
0.8
0.9
1
Obrázek 85: Sorpční křivky pro pórobeton (1), dřevo (2) a tepelnou izolaci ze
skleněných vláken (3), údaje převzaty z [24].
Sklon sorpční křivky se nazývá vlhkostní kapacita (), Obrázek 86. Tato
materiálová vlastnost je analogická měrné tepelné kapacitě. Sklon sorpční
křivky se mění, takže i vlhkostní kapacita se mění. Prakticky u všech
stavebních materiálů lze nicméně nalézt téměř lineární průběh sorpční
křivky v oblasti mezi 20 % a 70 % relativní vlhkosti.
- 100 -

du
d
(4.27)
u
(kg/kg)
= du/d
0
 (-)
Obrázek 86: Definice vlhkostní kapacity.
Nadhygroskopická oblast
Další značné množství vody se do materiálu nasaje, pokud materiál bude s
vodou v přímém kontaktu (viz Obrázek 87). Vlhkost, kterou materiál ve
styku s kapalnou vodou po jisté době dosáhne, je označena jako ucap. Stále
ještě nepůjde o stav, kdy dojde k úplnému naplnění všech pórů vodou.
Tohoto stavu je velmi obtížné dosáhnout a experimentálně se mu lze přiblížit
ve vakuu. Vlhkost ve stavu úplného nasycení pórů vodou se označuje jako
usat.
Obrázek 87: Pórovitý materiál ve styku s vodou.
Nejprve je potřeba odpovědět na otázku proč dojde k nasávání vody do
materiálu. Kvůli působení napětí v povrchové vrstvě na styku voda - vzduch
a adhezních sil mezi vodou a stěnou kapiláry se voda ve styku se stavebními
materiály chová jako smáčivá kapalina. Zda kapalina smáčí nebo nesmáčí, je
možné určit pomocí smáčivého úhlu (viz Obrázek 88):

smáčivé 0 <  < 90° (ostrý úhel) → v dostatečně tenké kapiláře je
vytahována i střední část hladiny vzhůru (např. voda);
- 101 -
nesmáčivé  > 90° (tupý úhel) → kapalina v kapiláře sestoupí níže
(např. rtuť).

Hydrofilní
povrch


Hydrofobní
povrch
Obrázek 88: Smáčivý úhel.
Smáčivost není jenom vlastností samotné kapaliny. Například pro rozhraní
parafín/voda/vzduch se voda chová nesmáčivě (mazání běžeckých lyží
skluznými vosky).
Obrázek 89 ukazuje tenkou kapiláru vloženou do vody. Pokud je smáčivý
úhel ostrý, tak voda smáčí stěnu kapiláry a kvůli povrchovému napětí je
v dostatečně tenké kapiláře vytahována i střední část hladiny vzhůru.
Vytváří se konkávně zakřivený meniskus kapaliny. Sání působí na rozhraní
mezi vzduchem, vodou a pevnou fází a vytvoří se v dostatečně tenkých
kapilárách (< 10-3 m). Kvůli zakřivení menisku je tlak vody pod hladinou
v kapiláře (Pl2) mnohem nižší, než je tlak vzduchu (Pa). Voda se pohybuje
z místa vyššího tlaku do místa nižšího tlaku (Pl2 << Pl1). Pohyb ustane ve
výšce, ve které se vyrovná tíha sloupce vody (lgh) s kapilární tahovou sílou
(2rcos()).
h max 
2 cos 
l gr
(4.28)
kde hmax je maximální výška, do které kapalina vystoupá (viz Tabulka 12).
Výška vzlinutí je nepřímo úměrná poloměru kapiláry.
Tabulka 12: Výška vzlinutí pro různé poloměry kapiláry.
r (m)
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
hmax (m)
148,8
14,9
1,49
0,15
0,015
Rozdíl tlaků na rozhraní mezi vzduchem a vodou se nazývá kapilární tlak
(Pc = Pa - Pl). Pro případ válcové kapiláry máme vztah (Youngova-Laplaceova
rovnice):
Pc  Pa  Pl 
2 cos  2

r
r
(4.29)
- 102 -
kde Pa (Pa) je tlak vzduchu nad meniskem kapaliny (atmosférický tlak), Pl
(Pa) je tlak kapaliny pod meniskem,  je povrchové napětí vody vůči stěně
kapiláry (0,073 N/m při 20 °C), r je poloměr kapiláry. Voda se pohybuje
z místa nižšího kapilárního tlaku do místa vyššího kapilárního tlaku.
Pa
Pa >> Pl2
Pc2 = Pa - Pl2
Pl2
Pohyb
vody
Pl2 << Pl1
Pa
Pa = Pl1
Pc1 = Pa - Pl1 = 0
Pl1
Obrázek 89: Válcová kapilára se smáčivou kapalinou.
Ze vzorce je zřejmé, že kapilární tlak vzrůstá, když průměr kapiláry klesá
(viz Obrázek 90).
300
Pc (MPa)
250
200
150
100
50
0 -9
10
-8
10
-7
10
-6
10
d (m)
-5
10
-4
10
Obrázek 90: Závislost kapilárního tlaku na průměru kapiláry.
Z termodynamiky máme vztah mezi relativní vlhkostí vzduchu nad
meniskem kapaliny a kapilárním tlakem (Kelvinova rovnice), viz Obrázek 91:

Pc 

  w R vT 
  exp  
(4.30)
kde w je hustota vody (≈ 1000 kg/m3), Rv je plynová konstanta pro vodní
páru a T je termodynamická teplota.
- 103 -
 (-)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 -1
10
0
10
1
2
10
Pc (MPa)
10
Obrázek 91: Závislost relativní vlhkosti vzduchu nad meniskem kapaliny na
kapilárním tlaku.
Po dosazení rovnice (4.29) do (4.30) máme:
 2
1 

 r w RvT 
  exp  
(4.31)
 (-)
Relativní vlhkost tedy můžeme zobrazit jako závislost na průměru kapiláry
(viz Obrázek 91).
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 -9
10
-8
10
-7
10
-6
10
d (m)
-5
10
-4
10
Obrázek 92: Závislost relativní vlhkosti vzduchu nad meniskem kapaliny na
průměru kapiláry.
Obrázek 92 například ukazuje, že póry o průměru nižším než 10-8 m jsou
zaplněny vodou již při relativní vlhkosti 80 % (resp. při kapilárním tlaku
30 MPa). Všechny póry o vyšším průměru jsou při relativní vlhkosti 80 %
ještě prázdné. Pokud bychom znali četnost výskytu pórů v kontrolním
objemu podle jejich průměru, mohli bychom dopočítat vlhkost materiálu.
- 104 -
Četnost výskytu pórů ale neznáme, protože struktura reálných materiálů je
velmi složitá. Materiál není složený z dokonale válcových kapilár a povrch
kapilár není dokonale hladký.
Závislost vlhkosti materiálu na kapilárním tlaku lze experimentálně měřit.
Jedna z možných metod nejprve uvede vzorek do stavu volného nasycení, tj.
vzorek zkoušeného materiálu má na počátku zkoušky vlhkost wcap. Potom se
vzorek umístí do tlakové nádoby, v které se skokově zvyšuje tlak. Tím se z
materiálu vytlačuje voda, která se jímá v samostatné nádobce. Rovnováha
nastává, pokud se při nastavené tlakové úrovni v nádobce neobjevuje další
voda. Po dosažení rovnovážného stavu se tlak zvýší na vyšší úroveň a
zkouška pokračuje. Výsledkem je závislost w = f(Pc). Příklad měřených dat
pomocí výše popsané metody ukazuje Obrázek 93. Konec křivky (Pc ≥ 2.65
MPa) odpovídá hygroskopické oblasti.
250
(1)
(2)
3
w (kg/m )
200
hygroskopická oblast
150
100
calcium silikát
cihla
50
3
4
5
6
log10(Pc)
7
8
9
Obrázek 93: Retenční křivka vlhkosti (w = f(Pc)), body (1) pocházejí z měření
pomocí exsikátorů (hygroskopická oblast), body (2) pocházejí z měření
pomocí tlakových zkoušek (nadhygroskopická oblast), údaje převzaty z [28].
Změna sklonu retenční křivky souvisí s vyprazdňováním pórů. Pokud má
materiál velké zastoupení pórů podobné velikosti, tak se kapilární tlak
nebude příliš měnit, dokud se tyto póry nevyprázdní. Takové chování je
viditelné u cihly, kdy náhlý pokles retenční křivky nastává v rozmezí
log10(Pc) = 4,5 ÷ 5, což odpovídá průměrům pórů 10-6 m. Analogicky k rovnici
(4.27) můžeme definovat vlhkostní kapacitu materiálu, tentokrát
v nadhygroskopické oblasti:

du
dPc
(4.32)
Praktickým důsledkem rovnice (4.30) je, že retenční křivku vlhkosti můžeme
převést na závislost w = f(), viz Obrázek 94.
- 105 -
250
3
w (kg/m )
200
(1)
(2)
150
100
cihla
calcium silikát
50
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
 (-)
1
Obrázek 94: Sorpční křivka, (1) údaje z exsikátorů, (2) údaje z tlakových
zkoušek.
4.4 Difuze vodní páry
Difuze je obecný termín. Jde o proces, kdy látka přechází z prostředí, kde je
koncentrace látky vyšší, do prostředí s nižší koncentrací.
4.4.1 Základní vztahy
Předpis pro hustotu difuzního
toku vodní páry ve vzduchu gva
(kg/m2s) se nazývá 1. Fickův
zákon. Difuzní tok je úměrný
gradientu částečných tlaků vodní
páry a „teče“ ve směru opačném
než vektor gradientu částečných
tlaků vodní páry:
g va   pa
pv1 vzduch
gva
pv2
dx
Obrázek 95: Difuze vodní páry skrz
vrstvu samotného vzduchu.
dp v
dx
(kg/(m2s))
(4.33)
kde pv je částečný tlak vodní páry v Pa a pa (kg/(m·s·Pa) = s) je součinitel
difuze vodní páry v samotném vzduchu, který můžeme vypočítat jako:
 pa
2,306  10 5 Pa0

R v  T  Pa
1,81
 T

 273,15 


(kg/(m·s·Pa))
(4.34)
kde Pa0 je referenční tlak vzduchu a Pa je aktuální tlak vzduchu. Hodnota
součinitele difuze vodní páry v samotném vzduchu je tedy závislá na tlaku a
- 106 -
teplotě. Pro 20 °C je to přibližně 1,9 × 10-10 kg/(m·s·Pa). Závislost na
celkovém tlaku vzduchu lze pro inženýrské výpočty zanedbat (Pa0/Pa = 1).
-10
pa(kg/(msPa))
2
x 10
1.9
1.8
1.7
-20 -15 -10
-5
0
5 10
T (°C)
15
20
25
30
Obrázek 96: Součinitel difuze vodní páry v samotném vzduchu.
Hustota difuzního toku vodní páry přes pórovitý materiál gv v kg/(m2s) se
vyjadřuje jako:
gv  
 pa dpv
 dx
(kg/(m2s))
kde se nazývá faktor difuzního
odporu. Jedná se o bezrozměrnou
veličinu
nabývající
hodnot
v
rozmezí (1,∞). Difuze přes pórovitý
materiál se tedy považuje za difuzi
v samotném
vzduchu
zmenšenou
faktorem difuzního odporu, který má
vyjadřovat vliv pórové struktury
materiálu. Vztah (4.35) bývá také
zapisován jako:
gv  
pv1
(4.35)
pórovitý materiál
pv2
gv
dx
Obrázek 97: Difuze vodní páry skrz
vrstvu pórovitého materiálu.
1 dp v
  N dx
(kg/(m2s))
(4.36)
kde N se nazývá teplotní difuzní funkce (s-1), N = 1/dpa. Jelikož hodnota N je
velmi vysoká, je hustota difuzního toku velmi malá.
Za předpokladu konstantní teploty je možné z rovnice (4.8) vyjádřit derivaci
dpv/dx jako:
dp v
d v
 R vT
dx
dx
(4.37)
Pro hustotu difuzního toku dostaneme:
- 107 -
gv  
 pa dpv

 d v
dv
  pa R vT
  a
 dx

 dx
dx
(kg/(m2s))
(4.38)
(kg/(m2s))
(4.39)
Rovnici (4.38) lze také zapsat jako:
g v   p
dp v
d v
  
dx
dx
kde je součinitel difuze v m2/s a p je součinitel difuze v kg/(m·s·Pa) = s.
Vztah mezi oběma součiniteli difuze je viditelný z rovnice (4.38):
    p R vT
(4.40)
Z rovnic (4.38) a (4.39) je zřejmé, že:

 pa  a

p

(-)
(4.41)
Faktor difuzního odporu tedy vyjadřuje, kolikrát nepropustnější je materiál
vůči samotnému vzduchu. Čím vyšší je hodnota tohoto faktoru, tím je
materiál nepropustnější pro vodní páru (viz Tabulka 13). Faktor difuzního
odporu se měří miskovou metodou (metoda mokré nebo suché misky,
viz [21] a Obrázek 98).
Tabulka 13: Typické hodnoty faktoru difuzního odporu
Materiál
Faktor difuzního odporu (-)
Vzduch
1
Minerální vlna
2÷5
Pěnový polystyrén
40 ÷ 70
Extrudovaný polystyrén
100 ÷ 200
Dřevo rovnoběžně/kolmo k vláknům
5/150
OSB desky
50 ÷ 300
SDK desky
10
Hydroizolační pás na bázi PVC
10000 ÷ 20000
Asfaltový hydroizolační pás
25000 ÷ 50000
Zdivo z plných cihel
9
Železobeton
23 ÷ 32
Hodnota faktoru difuzního odporu materiálu závisí na otevřené pórovitosti
materiálu. Intuitivně lze odhadnout že, čím vyšší otevřená pórovitost, tím
- 108 -
více bude materiál otevřený difuzi vodní páry ( ~ 1/0). Hodnota faktoru
difuzního odporu materiálu ale také závisí na klikatosti pórů . Opět lze
odhadnout že, čím delší cestu musí molekula vodní páry urazit, tím vyšší
bude faktor difuzního odporu ( ~ ).
Obrázek 98: Misková metoda („wetcup“) pro měření faktoru difuzního odporu
Zejména u hygroskopických materiálů (např. dřevo a materiály na jeho bázi)
se výrazně vyšší hodnoty faktoru difuzního odporu naměří za nižších
relativních vlhkostí než za vyšších relativních vlhkostí (viz Obrázek 99).
400
350
300
 (-)
250
tangential
radial
200
150
100
50
0
0.2
0.3
0.4
0.5
 (-)
0.6
0.7
0.8
Obrázek 99: Faktor difuzního odporu dřeva jako funkce relativní vlhkosti,
údaje podle [27].
Hlavní důvod pro takové chování je, že za vysokých hodnot relativní vlhkosti
dochází k vytvoření ostrůvků kapaliny v tenčích pórech, a tedy k sériovému
propojení vlhký vzduchu – kapalina – vlhký vzduch. Ostrůvky kapaliny
zkracují cestu, kterou molekuly vodní páry musí urazit.
Nyní uvažujme tenký
(viz Obrázek 100).
kontrolní
objem
- 109 -
s
vnitřním
zdrojem
vlhkosti
Sm
g v,x
A
g v,x 
g v,x
x
dx
w
dx
Obrázek 100: Jednorozměrný kontrolní objem.
Vlhkostní bilance kontrolního objemu je vyjádřena rovnicí:
dm 
g


  g v,x   g v,x  v,x dx   A  Sm
x
dt



(kg/s)
(4.42)
kde m (kg) je hmotnost vlhkosti v kontrolním objemu a gv (kg/m2s) je hustota
difuzního toku. Pro jednoduchost předpokládáme, že do kontrolního objemu
přitéká vlhkost pouze difuzí vodní páry. Po úpravě dostaneme:
Adx
dw
g
  v,x Adx  Sm
dt
x
(kg/s)
(4.43)
Po eliminaci objemu Adx z rovnice (4.43) a zanedbání zdroje vlhkosti
dostaneme:
w
u
g
 d
  v,x
t
t
x
(kg/m3s)
(4.44)
Vyjádření pomocí částečných tlaků vodní páry. Po dosazení transportní
rovnice (4.35)do rovnice (4.44) dostáváme:
d
u
   pa pv 



t
x   x 
(kg/m3s)
(4.45)
Rovnici (4.45) bychom chtěli úpravami převést do analogického vyjádření
jako v případě vedení tepla (tj. za neznámou mít v rovnici částečný tlak vodní
páry). Vlhkost materiálu lze chápat jako složenou funkci u((t)), a proto:
du du d
d

   
dt
d dt
dt
(4.46)
Z předchozího textu víme, že derivace du/d vyjadřuje vlhkostní kapacitu
materiálu. Po dosazení rovnice (4.46) do rovnice (4.45) dostaneme:
d  

   pa pv 



t x   x 
(kg/m3s)
Po dosazení za relativní vlhkost máme:
- 110 -
(4.47)


pv


pv,sat T  
   pa pv 


d  


t
x   x 
(4.48)
Abychom rovnici (4.48) upravili do zcela analogické formy k rovnici vedení
tepla, musíme zavést řadu zjednodušujících předpokladů. Budeme uvažovat,
že:

teplota se nemění (izotermický případ), potom se také nemění částečný
tlak vodní páry na mezi nasycení pv,sat(T) = pv,sat a součinitel difuze
vodní páry ve vzduchu pa(T) = pa;

faktor difuzního odporu je nezávislý na hodnotě relativní vlhkosti;

sklon sorpční křivky je konstantní () = .
Za těchto předpokladů dostaneme rovnici zcela analogickou rovnici vedení
tepla:
pv,sat pa   2 pv 
pv



t
d  x 2 
(4.49)
Označíme:
av 
p v,sat pa
 d

p v,sat p
(m2/s)
d 
(4.50)
kde av je součinitel vlhkostní vodivosti. Jedná se o veličinu analogickou
teplotní vodivosti.
Vyjádření pomocí hustot vodní páry. Obdobným způsobem jako v předchozím
případě lze odvodit rovnici:
v v,sat a 2 v

t
d x 2
(4.51)
Vyjádření pomocí objemové vlhkosti. Vyjdeme z rovnice (4.45). Derivaci
dpv/dx vyjádříme jako:
dp v,sat T 
dp v
d
d
p v,sat T     

  p v,sat T 

dx
dx
dx
dx
(4.52)
Při uvažování izotermického případu (T = konst.) se rovnice (4.52) zjednoduší
na:
dp v
d
 p v,sat
dx
dx
(4.53)
Opět si pomůžeme řetězovým pravidlem o derivaci:
- 111 -
dp v
d dw pv,sat dw
 pv,sat

dx
dw d x
d dx
(4.54)
Dosadíme rovnici (4.54) do rovnice (4.44). Při uvažování konstantní hodnoty
součinitele difuze vodní páry ve vzduchu a faktoru difuzního odporu
dostaneme:
w  pv,sat pa  2w


t  d  x 2
(4.55)
Vyjádření pomocí relativní vlhkosti. Vyjdeme z rovnice (4.47) a posléze
dostaneme:
d  

   pa   pv,sat  



t x  
x

(4.56)
Poznámka: V reálných případech ovšem teplota není konstantní, sklon
sorpční křivky není konstantní a i faktor difuzního odporu není konstantní.
Zároveň předchozí odvození zanedbávalo transport vody v kapalném
skupenství. Rovnice nabízí pouze základní vhled do problematiky.
4.4.2 Jednorozměrná difuze vodní páry v ustáleném stavu ve stěně
Jednovrstvá stěna bez zdroje vodní páry
Problém je analogický vedení tepla. Uvažujme jednorozměrnou difuzi vodní
páry v ustáleném stavu ve stěně vytvořené z jedné vrstvy materiálu s
tloušťkou L (viz Obrázek 101). Částečný tlak vodní páry na levé straně stěny
je pv(x = 0) = pv1. Částečný tlak vodní páry na pravé straně je pv(x = L) = pv2.
L
pv1 pv(x) pv2
gv
x
Obrázek 101: Jednorozměrná difuze vodní páry v ustáleném stavu ve stěně.
V ustáleném stavu je levá strana rovnice (4.48) nulová. Pro jednorozměrný
případ bez zdroje vodní páry v rámci stěny (předpokládáme, že v rámci stěny
nedochází ke kondenzaci) z rovnice (4.48) máme:
- 112 -
d   pa dpv 

0
dx   dx 
(4.57)
Uvažujeme-li konstantní hodnotu faktoru difuzního odporu a konstantní
hodnotu součinitele difuze vodní páry ve vzduchu (T = konst.), rovnice (4.57)
se zredukuje na:
d 2 pv
0
dx 2
(4.58)
Řešení již známe (viz rovnice (2.10)):
p v  x   C1x  C 2
(4.59)
kde C1 a C2 jsou integrační konstanty. Pro hustotu difuzního toku máme:
gv  
 pa dpv

  pa C1
 dx

(4.60)
Po dosazení okrajových podmínek do rovnice (4.59) získáme:
C2  pv1 a C1 
p v2  p v1
L
(4.61)
Výsledné řešení pro uvažované okrajové podmínky tedy je:
p v  x   p v1 
x
 pv2  pv1 
L
(4.62)
V ustáleném stavu je tedy průběh částečného tlaku vodní páry úsečka
spojující tlaky pv1 a pv2. Hustota difuzního toku je konstantní hodnota:
gv  
 pa pv2  pv1 pv1  pv2 pv1  pv2


L

L
Zp
 pa
(4.63)
kde Zp (m/s) se nazývá difuzní odpor a výraz L se nazývá ekvivalentní
difuzní tloušťka, která se obvykle značí jako sd (m). Ekvivalentní difuzní
tloušťka se používá pro vyjádření difuzních vlastností tenkých vrstev, u
kterých se nedá přesně změřit jejich tloušťka (např. fólie, nátěry). Analogicky
k rovnici (2.16) můžeme psát:
Zp 
L
(m/s)
p
(4.64)
V případě, že bychom k vyjádření hustoty difuzního toku používali gradient
hustot vodní páry, dostaneme alternativní vyjádření k (4.63):
- 113 -
gv  
  a  v2   v1  v1  v 2  v1   v2


L
L
Z

 a
(4.65)
kde Z (s/m) je difuzní odpor:
Z 
L
(s/m)

(4.66)
 Příklad 23. Uvažujte trubičku délky 0,1 m s průměrem 0,01 m. V interiéru budovy uvažujte
hustotu vodní páry v1 = 0,008 kg/m3, v exteriéru v2 = 0,004 kg/m3. V trubičce je vzduch buď
v klidu, anebo proudí rychlostí 0,01 m/s. Pokud je vzduch v klidu probíhá pouze difuze vodní
páry: Gv = (v1 – v2/Zv) × A = 7,85 × 10-11 kg/s. V případě proudění vzduchu směrem do
exteriéru: Gc = v1 × průtok vzduchu = 0,008 kg/m3 × (0,01 m/s × A) = 6,28 × 10-9 kg/s.
Poměr Gc/Gv ≈ 80 (tj. rozdíl několika řádů!). Proudění vzduchu může být mnohem silnější
proces než samotná difuze. Neznamená to ovšem, že difuze je nevýznamná. Prakticky po celý
rok je kvůli vnitřním zdrojům vlhkost vzduchu uvnitř budov vyšší než ve venkovním prostředí
→ vodní pára většinu roku cestuje přes obálku budovy směrem do venkovního prostředí.
Vrstvení obvodové konstrukce a okrajové podmínky potom určují, zda bude či nebude
docházet ke kondenzaci vodní páry uvnitř konstrukce. Tradiční řešení je zabránit vstupu vodní
páry do konstrukce (parozábrana) - pozor ale na havarijní stavy či zabudovanou vlhkost. U
některých konstrukcí je parozábrana nutnost (například jednoplášťové ploché střechy). Druhý
možný přístup: dostatečně difuzně otevřený venkovní plášť, který zachová možnost vysychání
směrem ven. Ideální řešení je, aby difuzní odpor vrstev od interiéru k exteriéru klesal.
Vícevrstvá stěna bez zdroje vodní páry
Řešení je opět analogické již známému řešení jednorozměrného vedení tepla
v ustáleném stavu ve vícevrstvé stěně. Pro vyjádření částečného tlaku vodní
páry v místě vzdáleném x od levého kraje stěny platí analogický vztah k
(2.20):
pv  x   pv1 
Z p x 
 pv2  pv1 
Zp
(4.67)
kde Zp(x) je difuzní odpor od levé strany stěny až do vzdálenosti x a Zp je
celkový difuzní odpor stěny. Pro N materiálových vrstev platí:
Zp 
N
sd ,i

i 1
(4.68)
pa
Situaci je výhodné si představit grafickým schématem (viz Obrázek 102).
pv1
Zp(x) pv(x) Zp – Zp(x)
pv2
pv1
Zp
pv2
- 114 -
Obrázek 102: Vlhkostní bilance uzlu pv(x) vyjádřená grafickým schématem.
V ustáleném stavu je hustota difuzního toku vodní páry konstantní hodnota:
gv 
pv1  pv2
Zp
(4.69)
Kondenzace vodní páry uvnitř konstrukce
K vyšetření rizika kondenzace vodní páry uvnitř konstrukce se v
inženýrských výpočtech používá metodika z normy [20], která vychází
z literatury [22]. Zjednodušující předpoklady metody (ustálený stav,
jednorozměrné šíření vodní páry, zanedbání hygroskopické povahy
materiálů, zanedbání kapilárního transportu) mohou zásadně ovlivnit
spolehlivost výsledků. Metoda se sestává z několika po sobě jdoucích kroků.
 Nejprve se vypočítá průběh teplot v konstrukci v ustáleném stavu pro
uvažované teploty na krajích konstrukce.
 Z průběhu teplot v konstrukci se potom dopočte průběh částečného tlaku
vodní páry na mezi nasycení pv,sat(x), viz vzorec (4.10).
 Následně vypočítá teoretický průběh částečných tlaků vodní páry pv,teor(x),
viz vzorec (4.67).
 Průběh pv,sat a pv,teor se vynese v souřadnicové soustavě x = Zp, y = pv
(viz Obrázek 103).

Pokud pv,teor(x) < pv,sat(x), tak nedochází ke kondenzaci vodní páry uvnitř
konstrukce. Množství vodní páry, které konstrukcí prochází, se vypočte z:
gv 
pvi  p ve
Zp
(4.70)
 Pokud pv,teor(x) ≥ pv,sat(x), tak dochází ke kondenzaci vodní páry uvnitř
konstrukce. Hranice kondenzační oblasti se vymezí pomocí dotykových
bodů tečen vedených z pvi a pve k průběhu pv,sat (viz Obrázek 103).
Kondenzující množství se vypočte z hmotnostní bilance kondenzační
oblasti:
g v,cond  g vA  g vB
(kg/m2s)
(4.71)
kde
g vA 
pvi  pvA
p  pve
g vB  vB
a
Z pA
Z pB
(4.72)
- 115 -
pv
pv,sat,i
Oblast kondenzace
pv,sat
pvi
Nejvyšší možný
částečný tlak vodní
páry, aby nedošlo
ke kondenzaci
pv,teor
Zp parozábrany
Skutečný průběh
částečného tlaku
vodní páry
pvA
pvB
gvA
gvB
ZpA
ZpB
pv,sat,e
pve
Zp
Zp
Obrázek 103: Vyšetření kondenzace vodní páry uvnitř konstrukce.
V praxi se na konstrukci obvykle kladou dva požadavky. Prvním z požadavků
je, aby během roku došlo ke zpětnému odpaření kondenzátu, a nedošlo tedy
k postupnému zvyšování vlhkosti v průběhu životnosti konstrukce. Druhým
z požadavků je, aby množství kondenzátu, který se v průběhu roku může
v konstrukci nahromadit, bylo přiměřeně nízké. Maximální množství souvisí
s druhem materiálů vyskytujících se v kondenzační oblasti. Pro materiály na
bázi dřeva bývá za bezpečnou hodnotu považováno 0,1 kg/m2rok, pro
silikátové materiály 0,5 kg/m2rok. České požadavky lze nalézt v normě [18].
4.4.3 Jednorozměrná difuze vodní páry v neustáleném stavu
Vyjdeme z rovnice (4.51). Rovnice je zcela analogická rovnici vedení tepla.
Záměnou T → v, a → av dostaneme řešení.
Skoková změna hustoty vodní páry na povrchu polonekonečné desky
Polonekonečná deska s konstantní počáteční hustotou vodní páry v0 je
vystavena skokové změně hustoty vodní páry na povrchu desky. Hustota
vodní páry se v čase t0 změní z v0 na vp.
- 116 -
Hustotu vodní páry
z analytického řešení:
uvnitř
polonekonečné
desky
můžeme
z 

 4a vt 
spočítat

 v  z , t    v0    vp   v0  erfc 
(4.73)
Difuzní tok vodní páry procházející dovnitř desky (z = 0) je:
g v  z  0, t  
    vp   v0 
 a vt
(kg/(m2s))
(4.74)
(m/s0,5)
(4.75)
kde:
bv 


av
   d
 v,sat
je vlhkostní jímavost (veličina analogická tepelné jímavosti). Hodnota
vlhkostní vodivosti ovlivňuje rozložení hustoty vodní páry. Hodnota vlhkostní
jímavosti ovlivňuje velikost difuzního toku procházejícího dovnitř materiálu
po skokové změně hustoty vodní páry na jeho povrchu.
Periodicky kmitající hustota vodní páry na povrchu polonekonečné
desky
Polonekonečná deska je vystavena periodickému kolísání povrchové hustoty
vodní páry:
 vp (t )   vM   vA sin  t 
(4.76)
kde vM je průměrná povrchová hustota vodní páry, vA je amplituda
povrchové hustoty vodní páry, t je čas. Průběh hustoty vodní páry v čase
uvnitř polonekonečné desky můžeme spočítat z analytického řešení:
 v (z , t )   vM
z

dpv
   v Ae




z 
 sin  t 


dpv 


(4.77)
kde dpv (m) je periodická hloubka vlhkostní penetrace.
dpv 
a vt p
(4.78)

Difuzní tok procházející dovnitř polonekonečné desky (z = 0):
g v  z  0, t  
 2
dpv
 2 t
 vA sin 
 tp



4
(kg/m2s)
- 117 -
(4.79)
 Příklad 24. Uvažujte stěnu omítnutou třemi centimetry hliněné omítky ( = 10, d =
1600 kg/m3,  = 0,08. Uvažujte denní kolísání hustoty vodní páry na povrchu omítky.
Nejprve vypočteme hloubku vlhkostní penetrace – 3 mm. Z výsledku je zřejmé, že pouze
několik milimetrů z vrstvy omítky bude přispívat k ukládání vlhkosti. Hlubší vrstvy se
nezúčastní denní akumulace.
-3
11
x 10
v (kg/m3)
10
9
8
7
6
5
0
0.01
x (m)
0.02
0.03
Obrázek 104: Průběh hustoty vodní páry ve vrstvě omítky. Průběhy pro 2,4,…24 h.
4.5 Kapilární přenos
4.5.1 Úvod
Pokud materiál při styku s vodou do své struktury vodu přijímá, tak se
nazývá kapilárně aktivní, nebo někdy také hydrofilní. Opakem hydrofilního
materiálu je materiál hydrofobní, tj. kapilárně neaktivní. Hydrofobizace je
často provedena uměle nějakou úpravou materiálu, která zajistí tupý úhel
smáčení. Příkladem mohou být hydrofobní upravené povrchové vrstvy
kontaktních zateplovacích systémů.
Styk stavebního materiálu s vodou v kapalné fázi může například nastat
v důsledku působení větrem hnaného deště nebo působení zdroje spodní
vody. Přímý styk s vodou může také být způsoben nedbalým uskladněním
materiálu na stavbě nebo v důsledku netěsnosti ve vedení potrubí s vodou.
Při experimentálním sledování průběhu vzlínaní kapaliny v materiálu je
možné sledovat pozici rozhraní mezi kapilárně nasyceným materiálem a
materiálem s vlhkostí odpovídající rovnovážnému stavu s relativní vlhkostí
okolí (viz Obrázek 105).
- 118 -

wcap
x
w()
Obrázek 105: Vzorek materiálu částečně ponořený do vody.
U homogenních kapilárně aktivních materiálů lze pozici rozhraní v čase
vyjádřit jako:
x t   B t
(4.80)
kde B (m/s0.5) se nazývá sorptivita.
Pokud bychom sledovali přírůstek hmotnosti vzorku, tak u homogenních
kapilárně aktivních materiálů platí:
m t   m t0 
 Aw t
Ap
(kg/m2)
(4.81)
kde Aw (kg/m2s0,5) se nazývá součinitel nasákavosti, m(t) (kg) je hmotnost
vzorku v čase t, m(t) (kg) je hmotnost vzorku na počátku zkoušky a Ap (m2) je
plocha vzorku, která je v kontaktu s vodou.
Vztah mezi součinitelem nasákavosti Aw a sorptivitou B lze odvodit
z následující úvahy. Přírůstek hmotnosti vzorku lze vyjádřit jako:
m t   m t 0   wcap  Ap  x t  
(kg)
(4.82)
Po vydělení rovnice (4.82) kontaktní plochou vzorku a dosazení rovnic (4.80)
a (4.81) máme:
Aw  B  wcap
(4.83)
4.5.2 Proudění vody v kapiláře
Laminární proudění kapaliny ve válcové kapiláře o poloměru r popisuje
Hagen-Poisseuilleho zákon:
Gl  
 r 4 l dPl
8l dx
(kg/s)
- 119 -
(4.84)
kde l (kg/m3) je hustota kapaliny, l (kg/(m·s)) je dynamická viskozita
kapaliny (index l jako liquid). Pro hustotu toku prouděním ve válcové
kapiláře máme:
gl 
Gl
r 2 l dPl


r 2
8l dx
(kg/m2s)
(4.85)
Rovnici (4.85) také lze zapsat v analogické formě k rovnici (4.33):
gl  kl
dPl
dx
(4.86)
kde kl (kg/(m·s)) je permeabilita. Rovnici (4.86) lze pro element tloušťky x
zapsat jako (viz Obrázek 106):
gl 
Pl1  Pl 2 Pl

x
x
kl
kl
(4.87)
gl
Pl1
x
Pl2
dPl Pl 2  Pl1

x
dx
x
Obrázek 106: Proudění tekutiny v kapiláře.
Hustotu toku kapaliny zároveň lze vyjádřit jako:
gl  lv
(kg/(m2s))
(4.88)
kde v je střední rychlost proudění kapaliny v kapiláře. Dosazením rovnice
(4.88) do rovnice (4.87) a následující algebraickou úpravou získáme vyjádření
pro pokles tlaku v tekutině (tlakovou ztrátu) na elementu délky x:
Pl 
8l
v x
r2
(Pa)
(4.89)
Vodorovná kapilára
Na vodu ve vodorovné kapiláře působí kapilární síla, která „táhne“ vodu
směrem ven z kapiláry:
Fk  2r  cos 
(N)
(4.90)
Pohybující se voda je zároveň brzděna třecí silou o stěnu kapiláry:
Ff   r 2Pl  8l xv
(N)
- 120 -
(4.91)
Gravitační síla směřuje kolmo na směr pohybu a v rovnováze sil se tedy
neuplatní. Z rovnosti Fk = Ff dostaneme:
dx
2 r cos 
v 
dt
8l x
(4.92)
Řešení rovnice(4.92) lze získat separací proměnných:
 xdx 
x
2 r cos 
 dt
8l
(4.93)
 r cos 
t
2l
(4.94)
což je obdoba rovnice (4.80). Z rovnice plyne, že vodorovná kapilára může být
jakkoliv dlouhá, ale pohyb nikdy neskončí (viz průběh funkce √t). Pohyb
skončí jedině v případě, že kapalina dosáhne konce kapiláry a přestane tím
působit kapilární síla.
Svislá kapilára
Uvažujme kapiláru zobrazenou (viz Obrázek 107).

2r
Ff
x
Fg
Obrázek 107: Rovnováha sil působící na kapalinu ve svislé kapiláře.
Mimo kapilární síly a třecí síly působí směrem dolů tíha vody v kapiláře:
Fg   r 2x l g
(N)
(4.95)
Na kapalinu v kapiláře dále může působit síla od vnějšího tlaku (např.
injektáž) a třecí síla vzduchu nad meniskem kapaliny. Tyto síly nejsou
v následující analýze uvažovány.
Rovnováha sil (kladný směr uvažován ve směru pohybu kapaliny):
Fk  F f  Fg  0
(4.96)
Po dosazení vyjádření jednotlivých sil (rovnice (4.90) až (4.95)) a následné
úpravě dostaneme:
- 121 -
dx
2 r cos  r 2 l g
v 

dt
8l x
8l
(4.97)
Obrázek 108 ukazuje průběh vzestupu kapaliny v čase vypočtený řešením
rovnice (4.97). Z obrázku je zřejmé, že u silnějších kapilár kapalina vystoupá
rychleji do maximální možné výšky. To je způsobeno nižším třením
v takových kapilárách. U tenkých kapilár je tření významnější a brzdí proces
vzlinutí. Výška vzlinutí nicméně je u tenkých kapilár mnohem vyšší.
0.15
0.15
r=10-4m
r=10-4m
r=10-5m
r=10-5m
x (m)
0.1
x (m)
0.1
0.05
0.05
r=10-6m
r=10-3m
0
0
10
20
r=10-7m
30
 (s)
r=10-6m
r=10-3m
40
50
0
0
60
1
2
3
4
 (s0.5)
r=10-7m
5
6
7
8
Obrázek 108: Vzestup hladiny v kapiláře o různých poloměrech v čase.
4.5.3 Kapilární přenos v matematických modelech
Kapilární přenos je v numerických modelech řešen různými způsoby.
Hustotu toku lze vyjádřit i pomocí kapilárního tlaku. Jelikož atmosférický
tlak vzduchu uvažujeme konstantní, platí:
Pc  Pl
(Pa)
(4.98)
(kg/m2s)
(4.99)
Lze tedy psát:
g l  kl
dPc
dx
Kapalina se tedy přesunuje z místa nízkého kapilárního tlaku do místa
vyššího kapilárního tlaku.
Kapilární tlak je také možné vyjádřit pomocí relativní vlhkosti, viz rovnice
(4.30):
Pc   ln    w R vT
(4.100)
Dosazením rovnice (4.100) do rovnice (4.99) dostaneme:
gl  kl
d  ln    w R vT 
dx
 kl  w R v
d  ln    T 
dx
- 122 -
(4.101)
Po rozepsání derivace v rovnici (4.101) dostaneme:
 d  ln   
dT
gl  kl  w R v 
T  ln  

dx
dx





(4.102)
Po uplatnění pravidla o derivaci složené funkce dostaneme:
 1 d
dT 
gl  kl w Rv 
T  ln  

dx 
  dx
(4.103)
Jelikož se pohybujeme v nadhygroskopické oblasti, je přirozený logaritmus
relativní vlhkosti téměř nula. Druhý člen v rovnici (4.103) tedy je možné
zanedbat. Posléze dostáváme:
gl  
kl  w R vT d

dx
(4.104)
4.6 Proudění vzduchu
Přenos vodní páry může také být důsledkem proudění vzduchu. Proudící
vzduch s sebou unáší v něm obsaženou vodní páru a přemisťuje ji například
v potrubí nebo ve stavební konstrukci.
Tok vodní páry je dán objemovým tokem vzduchu vynásobeným hustotou
vodní páry:
Gv  Va v
(kg/s)
(4.105)
(m3/s)
(4.106)
kde Va je objemový průtok vzduchu:
G
Va  a
a
Pokud vzduch proudí podél povrchu a existuje rozdíl mezi hustotou vodní
páry v proudícím vzduchu a hustotou vodní páry v těsné blízkosti povrchu,
nastane přenos vodní páry prouděním. Mechanismus se označuje jako
přestup vodní páry prouděním a je analogický přestupu tepla prouděním.
Tok vodní páry gv v kg/(m2s) je dán jako součin součinitele přestupu vodní
páry (m/s) a rozdílu hustot vodní páry:
g v      v   vp 
(4.107)
Součinitel přestupu vodní páry  závisí na rychlosti proudění v blízkosti
povrchu a lze ho vypočítat ze součinitele přestupu tepla prouděním:
- 123 -
 
c
ac a
(4.108)
kde a je hustota vzduchu a ca je měrná tepelná kapacita vzduchu.
Analogicky k definici odporu při přestupu tepla můžeme zavést odpor při
přestupu vodní páry:
Z s 
1
(4.109)

Orientační hodnoty odporů při přestupu vodní páry používané ve stavební
fyzice: 360 s/m (vnitřní povrch), 60 s/m (vnější povrch). Hodnoty jsou
v porovnání s difuzními odpory vrstev v konstrukci o několik řádů nižší, a
proto se často zanedbávají. Zásadní význam naopak mají při kvantifikaci
odparu z volné hladiny anebo vysychání materiálu.
Vzduch v těsné blízkosti povrchu konstrukce má přibližně stejnou teplotu
jako je teplota jejího povrchu. Maximální množství vodní páry, které je
vzduch v těsné blízkosti povrchu schopen pojmout, tedy je v,sat(Tp). Vzduch v
okolí povrchu má hustotu vodní páry označenou jako v. Ke kondenzaci
vodní páry na povrchu konstrukce dojde, pokud:
 v   v,sat Tp 
(4.110)
Kondenzující množství je dáno jako:
g v,cond      v   v,sat Tp  
(4.111)
Pokud bude povrch mokrý po předchozí kondenzaci a hustota vodní páry
v okolí povrchu klesne pod hustotu vodní páry na mezi nasycení, dojde
k vypařování vodní páry z povrchu do obklopujícího vzduchu. Vypařující
množství se taktéž vypočítá podle (4.111).
Růst plísní na vnitřním povrchu konstrukce souvisí s hodnotou relativní
vlhkosti vzduchu při povrchu. Udává se, že pokud je dlouhodobě překročena
80% relativní vlhkost vzduchu při povrchu, je vysoká pravděpodobnost růstu
plísní na povrchu. Aby se růst plísní na povrchu vyloučil, musí teplota
vnitřního povrchu nabývat hodnoty takové, aby byla splněna podmínka:
 v  0, 8  v,sat Tp 
(4.112)
Nejnižší vnitřní povrchové teploty obvodového pláště jsou dosahovány
v místech tzv. tepelných mostů. Vhodným konstrukčním řešením je možné
tyto slabá místa úplně eliminovat, nebo alespoň omezit do té míry, že
- 124 -
hodnota povrchové teploty bude dostatečně vysoká ke splnění podmínky
(4.112).
4.7 Úlohy k procvičení
Ú1. Jaká může být maximální relativní vlhkost vnitřního vzduchu, při které
by ještě nedocházelo ke kondenzaci vodní páry na vnitřním povrhu stěny
před zateplením (viz obr. b))? Tepelné odpory při přestupu tepla uvažujte
hodnotami 0,13 m2K/W na vnitřní straně a 0,04 m2K/W na vnější straně.
Vnitřní teplota je 20 °C, venkovní -12 °C. Jaká může být maximální relativní
vlhkost vnitřního vzduchu, aby nedocházelo ke kondenzaci vodní páry na
vnitřním povrchu stěny zateplené polystyrenem (viz obr. a))? Odhadněte, o
kolik by se zvedla přípustná relativní vlhkost vnitřního vzduchu z části b),
kdyby bylo zateplení provedeno minerální vlnou namísto polystyrenem?
Odpověď zdůvodněte.
Ú2. Jakou tloušťku by musela mít tepelná izolace, viz obrázek, aby
povrchová teplota na vnitřní straně konstrukce byla 17,5 °C? Teplota
v interiéru je 21 °C, v exteriéru -10 °C. Tepelná izolace je umístěna na
exteriérové straně konstrukce. Tepelné odpory při přestupu tepla uvažujte
hodnotami 0,13 m2K/W na vnitřní straně, resp. 0,04 m2K/W na venkovní
straně. Odhadněte, jaká by musela být relativní vlhkost v interiéru, aby tato
povrchová teplota byla zároveň rosným bodem. Postup odhadu zakreslete do
grafu a okomentujte.
- 125 -
Ú3. Uvažujte budovu, v které trvale působí zdroj vlhkosti o velikosti 10
kg/den. Větrací jednotka přivádí do budovy vzduch o koncentraci vodní páry
4 g/m3. Vypočtěte, kolik vzduchu musí být přivedeno, aby koncentrace vodní
páry uvnitř budovy nepřesáhla 6 g/m3.
Ú4. Uvažujte budovu vytápěnou na konstantní teplotu 20 °C. Uvnitř budovy
trvale působí zdroj vlhkosti o velikosti 10 kg/den. Větrací jednotka přivádí do
budovy za hodinu 100 m3 vzduchu o koncentraci vodní páry 4 g/m3.
Vypočtěte koncentraci vodní páry uvnitř budovy.
Ú5. Uvažujte sklenici, na jejíž dno nalejete trochu horké vody. Dojde posléze
někde na povrchu sklenice ke kondenzaci vodní páry? Pokud odpovíte ano,
nakreslete, v kterém místě sklenice by se objevily kapičky vody. Svoji
odpověď zdůvodněte.
Ú6. Teplota uvnitř nevětrané uzavřené místnosti je 20 °C a koncentrace
vodní páry je 10 g/m3. Které z následujících tvrzení platí, jestliže ohřejeme
vzduch v místnosti na 30 °C?
a)
b)
c)
d)
Relativní vlhkost zůstane konstantní.
Absolutní vlhkost se zvýší.
Relativní vlhkost se sníží.
Teplota rosného bodu zůstane stejná.
Ú7. Jakým způsobem snížíte riziko kondenzace vodní páry na vnitřním
povrchu obvodové stěny?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Zvětšením tloušťky tepelné izolace ve skladbě stěny.
Snížením vlhkosti vzduchu v okolí stěny.
Umístěním parozábrany ve skladbě stěny.
Zvýšením teploty vzduchu v okolí stěny.
Umístěním vzduchotěsné vrstvy ve skladbě stěny.
Ofukováním vnitřního povrchu stěny teplým vzduchem.
Ú8. Na zrcadle se v koupelně při sprchování vytvoří kapičky vody. V jaké
z místností by se kapičky objevily dříve a ve větší míře? Uveďte proč!
- 126 -
a) V chladné místnosti.
b) V teplé místnosti.
Ú9. U odebraného vzorku dřeva jste zjistili hmotnostní vlhkost 10 %.
Vypočtěte kolik vlhkosti je obsaženo v 1 m3 daného vzorku (uvažujte
objemovou hmotnost v suchém stavu hodnotou 450 kg/m3).
Ú10.
Vypočtěte
maximální
objemovou
hmotnost
keramzitbetonu.
Předpokládejte, že se póry zaplní vodou o hustotě 1000 kg/m3. Znáte
následující parametry: Objemová hmotnost v suchém stavu = 1300 kg/m3,
Hustota pevné fáze = 2600 kg/m3, Poměr otevřené pórovitosti k celkové
pórovitosti = 0,65.
- 127 -
5 Tepelná a vlhkostní bilance budov
5.1 Tepelná bilance budovy v ustáleném stavu
5.1.1 Úvod
Tepelná bilance budovy zahrnuje následující tepelné toky (viz Obrázek 109):

tepelné zisky
‐ od slunce Φs;
‐ od vnitřních zisků Φi (teplo od obyvatel a elektrického vybavení);
‐ od soustavy vytápění a chlazení Φp (teoretický výkon zdroje
tepla);

akumulaci tepla Φacu;

tepelné ztráty
‐ tepelný tok prostupem tepla přes obvodové konstrukce ΦT;
‐ tepelný tok větráním ΦV.
s
i
p
Ti
T  V
 acu
Te
Tacu
Obrázek 109: Tepelná bilance budovy.
Tepelná bilance budovy může být zapsána jako:
s  i  p   T  V   acu  0
(5.1)
Změna teploty akumulační hmoty uvnitř budovy znamená změnu
akumulovaného tepla. Tepelný tok do akumulační hmoty lze vyjádřit jako:
acu  C
dTacu
dt
(5.2)
kde C (J/K) je účinná tepelná kapacita budovy. Ukládání tepla v budovách
obvykle probíhá s periodou jednoho dne. Během dne se akumulační hmota
ohřívá, zatímco v noci se akumulované teplo uvolňuje zpět. Pokud zvolíme
časový krok výpočtu dostatečně dlouhý, tak se střední hodnota tepelného
toku do akumulační hmoty blíží nule, a proto:
- 128 -
s  i  p   T  V   0
(5.3)
Všechny tepelné toky v rovnici (5.3) jsou uvažovány jako průměrné hodnoty
za dostatečně dlouhé časové období. V technické praxi se obvykle používá
časový krok jednoho měsíce.
Tepelné ztráty můžeme zapsat jako:
 T   V   H T  H V  T i  T e   H T i  T e 
(5.4)
kde Te je venkovní teplota, Ti je vnitřní teplota a H (W/K) je celkový měrný
tepelný tok budovy (prostup + větrání). Jeho velikost souvisí s tloušťkou
tepelné izolace v obvodových konstrukcích, intenzitou větrání, účinností
zpětného získávání tepla, ale také s procentuálním zastoupením oken
v obvodovém plášti zóny. Měrný tepelný tok H lze vyjádřit jako:
H  U em A  1   r 
nV ai
 ac a  U tot A
3600
(5.5)
kde Uem (W/(m2K)) je průměrný součinitel prostupu tepla obálky budovy (viz
kapitola 2.5.8), A je teplosměnná plocha obálky v m2, n je intenzita větrání
v h-1, Vai je objem vzduchu v budově v m3, r (-) je účinnost zpětného
získávání tepla, a je hustota vzduchu, ca je měrná tepelná kapacita
vzduchu. Literatura [16] definuje normové metody výpočtu měrného
tepelného toku prostupem i větráním.
Φs
Φi
HT
Ti
HV
Φp
Te
Te
Obrázek 110: Schéma tepelné bilance budovy v ustáleném stavu.
Nejprve nás zajímá situace, která neuvažuje zisky od systému vytápění a
chlazení (Φp = 0). Režim bude označovaný jako tzv. free-floating. Za tohoto
předpokladu se průměrná vnitřní teplota zóny za zkoumané období vypočítá
jako:
   i 
TiFF  Te   s

 H 
(5.6)
V případě, že uvažujeme se zisky od soustavy vytápění a chlazení (Φp ≠ 0),
dostaneme:
   i   p 
Ti  Te   s


 H  H 
(5.7)
- 129 -
Z porovnání rovnic (5.6) a (5.7) plyne, že výsledná vnitřní teplota je součtem
teploty ve free-floating režimu a příspěvku od systému vytápění a chlazení
(viz Obrázek 111):
 
Ti  TiFF   p 
H 
(5.8)
T Ti,min
Požadovaná teplota
Skutečný průběh
p
H
Ti
FF
s  i
H
Te
Skutečný průběh
t
t
t
t
Obrázek 111: Grafické znázornění rovnice (5.8).
Tepelný tok, který musí být dodaný, aby se udržela návrhová vnitřní teplota
Ti,min je:
p  H Ti,min  TiFF 
(5.9)
Po dosazení rovnice (5.6) do rovnice (5.9) dostaneme:
p  H Ti,min  Te    s  i 
(5.10)
Rovnice (5.10) vyjadřuje přímku se sklonem daným hodnotou měrného
tepelného toku a s průsečíkem definujícím hodnotu solárních a vnitřních
zisků (viz Obrázek 112).
p
vysoké H
nízké H
H
Ti,min  Te
s   i
Obrázek 112: Grafické vyjádření rovnice (5.10).
- 130 -
Potřeba tepla na vytápění se vypočte jako:
t2
t2
t1
t1
Qp   pdt   H Ti,min  TiFF  dt  H Ti,min  TiFF  t  H  H
(5.11)
kde H (K·s) je povrch mezi teplotou ve free-floating a návrhovou vnitřní
teplotou (viz Obrázek 113).
T
Ti,min
Návrhová vnitřní teplota
p
H
H
Ti FF
s  i
H
Te
t
t
t
t
Obrázek 113: Definice povrchu H.
Některé situace, které mohou nastat, je vhodné zdůraznit:
1) Tepelná ztráta je dominantním členem v bilanční rovnici:
H Ti,min  Te 
s   i 
  p  H Ti,min  Te 
(5.12)
Potřeba tepla na vytápění je přímo úměrná celkovému měrnému tepelnému
toku. Budovy v chladném klimatu, zejména staré ještě nezateplené budovy,
by mohly být dobře popsány rovnicí (5.12).
2) Tepelná ztráta větráním je vyrovnána tepelnými zisky.
H V Ti,min  Te     s   i    p  H T Ti,min  Te 
(5.13)
Potřeba tepla na vytápění je přímo úměrná měrnému tepelnému toku
prostupem tepla.
3) Hodnoty tepelných ztrát a tepelných zisků si jsou podobné, a tedy tepelné
zisky nemohou být zanedbány. Všechny nové budovy splňující nynější
požadavky (a to i v chladném podnebí) patrně budou v této skupině.
V praxi musí být kvůli účinnosti zdroje tepla dodáno do budovy více tepla,
než je teoretická potřeba tepla na vytápění, a proto:
- 131 -
 p,real 
p
(W)
SYS
(5.14)
kde sys (-) je celková účinnost systému vytápění a Φp,real je skutečný tepelný
výkon zdroje tepla. Systémová účinnost v sobě zahrnuje například ztráty při
spalování, distribuci, ukládání tepla, atd. Přesnou hodnotu není v praxi
jednoduché stanovit. V deklarativních výpočtech se používají dohodnuté
hodnoty účinností (viz Tabulka 14).
Tabulka 14: Účinnost několika systémů vytápění (podle [31])
Systém vytápění
sys
Plynové vytápění (standard)
0,84
Plynové vytápění (nízkoteplotní)
0,90
Plynové vytápění (kondenzační)
0,95
Tepelné čerpadlo
COP×0,95
Elektrické vytápění
0,93
Kotel na dřevo se zásobníkem tepla
0,70
Kotel na peletky se zásobníkem tepla
0,80
Po dosazení rovnice (5.14) do rovnice (5.10) a následném přeskupení
dostaneme:
 p,real  k1  k 2Te
(5.15)
kde průsečík k1 je:
k1 
HTi,min   s  i 
sys
a konstanta k2 je sklon:
Φp,real
k1
k2
Te
Te0
Obrázek 114: Grafické vyjádření rovnice (5.15).
- 132 -
k2 
H
sys
(5.16)
Teplota Te0 (viz Obrázek 114) označuje venkovní teplotu, při které se začíná
budova vytápět. Průsečík hodnoty teploty Te0 a průběhu teploty venkovního
prostředí definuje délku období vytápění (viz Obrázek 116).
Spotřeba tepla na vytápění může být snížena (viz Obrázek 115):

snížením celkového měrného tepelného toku (1), což představuje
zateplení či zavedení systému mechanického větrání,

snížením požadované vnitřní teploty, anebo zvýšením tepelných
zisků (2),

zvýšením systémové účinnosti (3), což představuje výměnu zdroje tepla
či otopné soustavy za zdroj či soustavu s vyšší účinností.
(2)
(3)
Φp,real
Před zavedením úsporných
opatření
(1)
Te
Obrázek 115: Spotřeba tepla na vytápění po zavedení úsporných opatření.
T
Te0
období bez vytápění
t
Te
1 rok
Obrázek 116: Délka období vytápění.
5.1.2 Model podle ČSN EN ISO 13790
Evropské země používají normu [19] k výpočtu potřeby tepla na vytápění.
Tepelná bilance budovy (viz Obrázek 117) je zde vyjádřena jako:
Q p  Q T  Q V    Qs  Q i 
(J)
(5.17)
kde QT + QV (J) je potřeba tepla na krytí tepelných ztrát, Qs (J) jsou solární
tepelné zisky, Qi (J) jsou vnitřní tepelné zisky, a Qp (J) je potřeba tepla na
vytápění. Rovnice (5.17) je analogická rovnici (5.10) s jednou výjimkou, která
- 133 -
se nazývá faktor využitelnosti tepelných zisků  (-).Faktor využitelnosti
tepelných zisků zahrnuje skutečnost, že pouze část vnitřních a solárních
tepelných zisků je využita ke snížení potřeby tepla na vytápění, zbytek vede k
nechtěnému zvyšování vnitřní teploty nad požadovanou teplotu Ti,min.
Solární Nevyužitelná část
tepelných zisků
zisky
Qs
(Qi + Qs) Tepelné ztráty QV
větráním
Potřeba
tepla na
vytápění
Qp
Spotřeba
tepla na
vytápění
Qp/sys
Celková
spotřeba
energie na
vytápění
Vnitřní
zisky
Ztráty systému
vytápění (např. ztráty
Qi
při spalování, ztráty
potrubí mimo
budovu,…)
Tepelné ztráty
QT
prostupem
Pomocná energie
 Oběhová čerpadla
 Ventilátory
 Měření a regulace
Obrázek 117: Tepelná bilance budovy podle [19].
Rovnice (5.17) může být zapsána ve tvaru:
 p t   T   V  t    s   i  t
(J)
(5.18)
kde t (s) je časový krok výpočtu a  (W) jsou jednotlivé tepelné toky
(průměrné hodnoty za časový krok výpočtu).
Tepelné ztráty jsou vypočteny pro požadovanou vnitřní teplotu:
T  V  H Ti,min  Te 
(5.19)
Solární zisky do budovy lze vyjádřit jako:
s  AGh,totG Gh
(W)
(5.20)
kde GGh (W/m2) je globální ozáření na vodorovnou rovinu, AGh,tot (m2) je
účinná plocha solární apertury celé budovy (další informace viz kapitola
5.1.3).
Po dosazení rovnic (5.19) a (5.20) do rovnice (5.18):
 sys  p,real  U tot A T i,m in  T e    A G h,totG G h    i
- 134 -
(W)
(5.21)
Celkový součinitel prostupu tepla a účinná plocha solární apertury závisí na
ploše oken, takže tyto parametry nejsou zcela nezávislé.
Kvůli porovnání mezi budovami se celková spotřeba vztahuje k nějaké
geometrické charakteristice budovy. Pokud se rovnice (5.21) vydělí
vytápěným objemem budovy, dostaneme:
sys  p,real
V
 U tot
A
A

Ti,min  Te    Gh,tot G Gh   i (W/m3)
V
V
V
(5.22)
Součin UtotA/V vyjadřuje tepelnou ztrátu budovy při teplotním rozdílu 1 K
vztaženou na 1m3 vytápěného objemu (rozměr W/(m3K)). Poměr A/V (1/m)
se nazývá faktor tvaru budovy a vyjadřuje skutečnost, že měrné tepelné
ztráty je možné snížit zmenšením ochlazované plochy při zachování
vytápěného objemu (zvýšení kompaktnosti, resp. snížení členitosti). Zvýšení
kompaktnosti využívají například tučňáci v koloniích, či právě narozená
mláďata choulící se k sobě. Faktor tvaru je také jedním z důvodů, proč jsou
novorozenci velmi náchylní k podchlazení.
6/a
5/a
4,67/a
4,5/a
4/a
3,67/a
3,5/a
Obrázek 118: Faktor tvaru A/V.
V inženýrské praxi se potřeba tepla na vytápění vztahuje k vytápěné
podlahové ploše. Toto není příliš šťastné, protože definice vytápěné plochy
bohužel není vždy jednoznačná, na rozdíl od definice vytápěného objemu.
Rovnici (5.22) lze zapsat jako:
 p,real
 k1 Ti,min  Te   k2G Gh  k3
V
(5.23)
kde Φp,real/V (W/m3) je skutečný výkon systému vytápění vztažený na 1m3
vytápěného prostoru. Konstanty k1, k2 and k3 jsou definovány:
k1 
 AGh,tot
 i
U tot A
; k2 
; k3 
sys V
sys V
sys V
(5.24)
Rovnice (5.23) vyjadřuje rovinu, viz Obrázek 119. Z rovnice (5.23) je zřejmé,
že pro minimalizaci spotřeby tepla na vytápění by se měly minimalizovat
parametr k1, resp. maximalizovat parametry k2 a k3. Parametr k1 zejména
závisí na tepelně izolační kvalitě obvodového pláště. Protože větrání závisí na
uživateli, je nicméně tento parametr také závislý na uživatelském chování.
Parametr k2 závisí na celkovém architektonickém návrhu budovy, ale někdy
- 135 -
také na uživatelském chování (pokud je přítomné ovladatelné stínění).
Parametr k3 závisí zejména na uživatelském chování. Všechny tři parametry
zároveň závisí na účinnosti systému vytápění.
Nulový měrný výkon (Φp,real/V = 0) je daný jako:
GGh 
k1
k
Ti,min  Te   3
k2
k2
(5.25)
k2
k3/k2
Φp,real/V
k3/k1
k3
k1
G Gh
Ti,min  Te
Φp,real/V = 0
Obrázek 119: Měrný výkon systému vytápění.
Rovnici (5.23) lze také zapsat jako:
 p,real
 k 0  k1Te  k 2G Gh
V
(5.26)
kde parametr k0 je definovaný jako:
k0  k1Ti,min  k3
(5.27)
Rovnice opět vyjadřuje rovinu, viz Obrázek 120.
Φp,real/V
k0
k0/k1
Te
k2
k0/k2
Φp,real/V = 0
k1
G Gh
Obrázek 120: Měrný výkon vytápění.
- 136 -
5.1.3 Solární tepelné zisky do budovy
Solární zisky prostupují do dobře tepelně izolované budovy zejména přes
zasklení oken. Solární zisk přes okno (průměrná hodnota během
výpočtového kroku) může být vyjádřený jako:
s  0,9g 0Fsh AwG Gt  AGtG Gt
(5.28)
kde g0 (-) je energetická propustnost zasklení pro kolmý úhel dopadu,
Aw (m2) je celková plocha okna. Faktor stínění Fsh (-) vyjadřuje souhrnný vliv
stínění rámem okna, ostěním, nadpražím, horizontem s venkovními
překážkami, a případnými vodorovnými markýzami a vertikálními žebry.
Faktor 0,9 snižuje energetickou propustnost kvůli šikmému úhlu dopadu.
V obvodovém plášti budovy je zabudováno N oken. Každé okno má svoji
vlastní plochu, energetickou propustnost a faktor stínění. Celkový solární
zisk do budovy se vypočte jako:
s,tot  AGt,1G Gt,1  AGt,2G Gt,2  ...  AGt,N G Gt,N
(5.29)
Rovnici (5.29) lze zapsat jako:
s,tot  Aw,Gt,1
GGt,1
G
G
GGh  Aw,Gt,2 Gt,2 GGh  ...  Aw,Gt,N Gt,N GGh
GGh
GGh
GGh
(5.30)
Neboli:
s,tot  AGh,totG Gh
(5.31)
kde Agh,tot (m2) je účinná plocha solární apertury celé budovy.
AGh,tot  AGt,1
GGt,1
G
G
 AGt,2 Gt,2  ...  AGt,M Gt,N
GGh
GGh
GGh
(5.32)
5.1.4 Vnitřní tepelné zisky
Vnitřní tepelné zisky se sestávají z tepelných zisků od obyvatel budovy a
tepelných zisků od umělého osvětlení a elektrických zařízení. Průměrné
vnitřní zisky se často vztahují k vytápěné ploše budovy. V literatuře lze
nalézt hodnoty od 2 W/m2 do 6 W/m2. Vyšší hodnoty odpovídají menším
bytům, zatímco nižší hodnoty odpovídají velkým bytům či rodinným domům
(viz Tabulka 15).
Tabulka 15: Hodnoty vnitřních zisků v bytových domech
Počet obyvatel
Podlahová
Spotřeba
- 137 -
Φos**
Φel
qos
qel
qi
plocha (m2)
elektrické
energie
(osvětlení+
vybavení)
(kWh/year)*
(W)
(W)
(W/m2) (W/m2) (W/m2)
1 dospělý
30
1250
42
143
1,40
4,76
6,16
2 dospělí
45
2000
84
228
1,87
5,10
6,97
2 dospělí+ 1 dítě
60
2500
112
285
1,87
4,75
6,62
2 dospělí + 2 děti
75
3000
140
342
1,87
4,56
6,43
2 dospělí + 2 děti
150
3000
140
342
0,93
2,28
3,21
2 dospělí + 2 děti
250
3000
140
342
0,56
1,37
1,93
*Pravděpodobné hodnoty pro podmínky ČR. Okolo průměrné hodnoty lze nicméně
očekávat veliký rozptyl, kvůli rozdílným uživatelským zvyklostem.
**Průměrná přítomnost osob se předpokládala 70 %.
Uvažujme jednoduchou budovu, viz Obrázek 62. Budova má N podlaží.
Vnitřní zisky lze vyjádřit jako:
 i  q i f i A pN
(5.33)
kde faktor fi (-) redukuje celkovou zastavěnou plochy o plochu obvodových
stěn a příček a qi (W/m2) jsou vnitřní zisky vztažené k vytápěné ploše
budovy.
Vnitřní zisky vztažené k vytápěnému objemu lze vyjádřit jako:
qi
 i q i f i Ap N


1
V
hAp
h0
fi
(5.34)
kde h0 je konstrukční výška (h0 = h/N). Protože parametry h0 a fi vykazují
malou variabilitu, lze používat následující přibližný vztah:
i
q
 i
V
3,3
(5.35)
5.2 Tepelná bilance budovy v neustáleném stavu
5.2.1 Úvod
Nevýhodou metod s dlouhým krokem výpočtu je jejich malá rozlišovací
schopnost. Simulační modely, které pracují s krátkým krokem výpočtu
- 138 -
(obvykle jedna hodina), nabízejí podstatné výhody: možnost jednoznačnějšího
zadání rychle se měnících vstupních údajů a možnost předpovědi okamžité
hodnoty teploty uvnitř zóny. Model s krátkým krokem výpočtu musí
zahrnout vliv akumulace tepla v konstrukci budovy.
Základní analýzu problému provedeme na jednouzlovém modelu budovy (viz
Obrázek 121). Model lze matematicky zapsat jako:
C
d Ti
  g  H Ti  Te 
dt
(5.36)
kde C (J/K) je účinná tepelná kapacita budovy. Výraz na levé straně rovnice
(5.36) je zjednodušeným modelem akumulace tepla v budově. Zjednodušeně
se předpokládá, že akumulační hmota uvnitř budovy je okamžitě dostupná
k akumulaci tepla (tj., že platí Ti = Tacu).
Φg = Φs + Φi + Φp
Ti H
Te
C
Obrázek 121: Schéma jednouzlového simulačního modelu.
Účinná tepelná kapacita budovy ovlivňuje množství akumulovaného tepla
v budově. Její velikost zejména souvisí s materiály, z kterých jsou vytvořeny
vnitřní povrchy v budově. Účinnou tepelnou kapacitu lze chápat jako:
C  Cext  Cint  Cfur
(5.37)
kde Cext je účinná tepelná kapacita ve stavebních prvcích napojených na
venkovní prostředí (stěny, střecha), Cint je účinná tepelná kapacita ve
stavebních prvcích uvnitř budovy (příčky, strop, podlaha na terénu), Cfur je
tepelná kapacita nábytku uvnitř budovy.
Cext  Cint   A j  j
(5.38)
j
kde index j značí stavební prvek, A je plocha prvku,  je plošná tepelná
kapacita v J/(m2K), kterou je možné vypočítat postupem z [15].
Místnost s oknem na jediné fasádě je důležitým jednoduchým případem. Pro
takovou místnost bez zisků od otopné soustavy a vnitřních zisků (freefloating režim) lze jednouzlový simulační model podle rovnice (5.36) přepsat
do následujícího tvaru:
C
dTiFF
 AGtG Gt  H TiFF  Te 
dt
(5.39)
- 139 -
kde TiFF je teplota uvnitř zóny ve free-floating režimu, GGt (W/m2) je globální
ozáření fasády, Te je venkovní teplota a AGt (m2) je účinná sběrná plocha
okna. Za zjednodušujícího předpokladu, že se účinná tepelná kapacita,
účinná plocha zasklení a měrný tepelný tok uvažují jako konstanty, lze
rovnici (5.39) přepsat do následujícího tvaru, viz [13]:
TiFF  Te   G Gt   C
dTiFF
dt
(5.40)
kde parametry C (s) a  (m2K/W) jsou poměry:
C 
C
H
(5.41)
 
AGt
H
(5.42)
Teplotu uvnitř zóny ve free-floating režimu (Obrázek 122) tedy ovlivňují dva
parametry C a , které můžeme ovlivnit stavebním řešením. Dále teplotu
uvnitř zóny ve free-floating režimu ovlivňuje klimatická lokalita – v čase se
měnící Te, GGt. Intenzita solárního záření je dále ovlivňována natočením
místnosti ke světovým stranám.
Pokud se teplota uvnitř zóny ve free-floating režimu pohybuje v definovaném
pásu komfortu (např. 20 až 27 °C), tak je dosaženo stavu, kdy zónu není
potřeba vytápět ani chladit, a zároveň je pravděpodobně dosaženo tepelné
pohody.
Ti
Ti,max
Pásmo
komfortu
TiFF(t)
Ti,min
t
t
t
Obrázek 122: Teplota uvnitř místnosti ve free-floating režimu.
Nyní se zabývejme stejnou místností (místnost s okny na jediné fasádě), ale s
vlivem systému vytápění a chlazení (Φp ≠ 0). Rovnici (5.36) upravíme na:
dTi    p 

Ti   Te   G Gt   C

dt   H 

(5.43)
Výsledná vnitřní teplota je tedy součtem teploty ve free-floating režimu a
příspěvku od systému vytápění a chlazení:
- 140 -
 
Ti  TiFF   p 
H 
(5.44)
Nyní mohou nastat tyto možnosti:
1. Vnitřní teplota ve free-floating režimu TiFF se nachází mezi teplotami Ti,min
a Ti,max, potom není potřeba zásahu systému vytápění a chlazení (p = 0);
2. TiFF < Ti,min, okamžitý výkon dodávaný systémem vytápění je:
 Hp  H Ti,min  TiFF 
(5.45)
Potřeba tepla na vytápění se vypočte:
Q pH 
t2
t2
t2
t1
t1
t1
H
  p dt 
FF
FF
 H Ti,min  Ti  dt  H  Ti,min  Ti  dt  H  H
(5.46)
3. TiFF > Ti,max, okamžitý výkon dodávaný systémem chlazení je:
 Cp  H Ti,max  TiFF 
(5.47)
Potřeba tepla na chlazení se vypočte:
Q pC 
t2
t2
t2
t1
t1
t1
C
  p dt 
FF
FF
 H Ti,max  Ti  dt  H  Ti,max  Ti  dt  H   C
(5.48)
C(C,)
Ti
Ti,max
Pásmo
komfortu
TiFF(t)
Ti,min
H(C,)
t
t
t
Obrázek 123: Vysvětlení ploch H a C.
Potřeby tepla jsou tedy závislé na:
 hodnotě teploty, na kterou chceme vytápět či chladit;
 průběhu
vnitřní
teploty
ve
free-floating
režimu,
který
závisí
na
parametrech C;
 a také na měrném tepelném toku H, který v rovnicích (5.46) a (5.48)
vystupuje jako násobitel.
- 141 -
Z analýzy je též zřejmé, že několik konstrukčně různých zón může mít
identický průběh vnitřní teploty ve free-floating režimu, ale rozdílné potřeby
tepla na vytápění a chlazení kvůli rozdílné hodnotě měrného tepelného toku
H.
Rovnici (5.36) je možné pro některé situace řešit analyticky. První situací,
kterou je možné prostředky matematické analýzy vyřešit, je skoková změna
okrajových podmínek. Počáteční vnitřní teplota je označena jako Ti(t) = Ti0.
V čase t t0 působí konstantní zisk Φg a konstantní teplota Te. Řešením
rovnice (5.36) pro tuto situaci je:
1
Ti (t )  Te 
  t t 0 
g

 (Ti0  Te  g )e  C
H
H
(5.49)
kde c je časová konstanta budovy, viz rovnice (5.41). V čase, který je větší,
než trojnásobek časové konstanty je vliv exponenciálního členu v rovnici
(5.49) zanedbatelný. Budova se v tomto čase téměř nachází v novém
ustáleném stavu. Běžná hodnota časové konstanty u budov je delší než 24 h.
V ustáleném stavu (e-∞ → 0):
Ti  Te 
g
H
(5.50)
Druhou situací, kterou lze analyticky vyřešit je periodická změna okrajových
podmínek. Venkovní teplota Te v tomto případě harmonicky kmitá okolo
průměrné teploty Te s úhlovou frekvencí a amplitudou Te.
Te (t )  Te  Te sin  t 
(5.51)
Tepelné zisky Φg do zóny jsou definovány podobnou periodickou funkcí.
 g (t )   g   g sin  t 
(5.52)
Řešením rovnice (5.41) pro tyto okrajové podmínky je:
1
 t

g  
 g  
1

c





sin
cos
Ti t    Te 
T

t


t
C
e






e
C
1
 
  1   2 2 
(5.53)
H
H

C


 
kde konstanta C1 je:
C1  Ti0  Te 
 g   C  
 g 

Te 
2 2 
H  1   C  
H 
- 142 -
(5.54)
Kvazistacionární stav
Ti
Ti
Ti
Ti0
t
Obrázek 124: Kvazistacionární stav.
V čase t= ∞ se e  limitně blíží nule. Řešení v kvazistacionárním stavu
(viz Obrázek 124) proto neobsahuje exponenciální člen. Další zjednodušení je
možné, protože:
sin t    C cos t    C cos t 
(5.55)
A následně:
 C
1

2 2
 C
1   C
(5.56)
Vnitřní teplotu lze tedy přibližně vyjádřit jako:


Ti (t )  Ti  Ti   cos  t    Ti  Ti  sin  t   
2

(5.57)
kde:
T i  Te 
Ti 
g
H
(5.58)
 g 
1 
Te 

 C 
H 
(5.59)
Průměrná vnitřní teplota v kvazistacionárním stavu je teplota v ustáleném
stavu (dlouhodobě působící průměrné okrajové podmínky) a nezávisí na
akumulačních schopnostech budovy, ale pouze na poměru mezi průměrnými
zisky a měrným tepelným tokem (tepelně izolační schopností budovy).
Tlumení kolísání vnitřní teploty závisí na časové konstantě budovy.
5.2.2 Modely se sdruženými parametry
Matematická analýza jednouzlového modelu budovy (model prvního řádu)
poskytla důležitý základní vhled do problematiky dynamického tepelného
chování budov. Jednouzlový model je však příliš zjednodušený na to, aby byl
použitelný pro praktické výpočty. Tepelná kapacita ve skutečnosti není
- 143 -
okamžitě dostupná a je nějakým způsobem rozmístěna ve stavebních
prvcích.
V této kapitole chceme odvodit zjednodušené modely se združenými
parametry, které umožní přesnější výpočty než model 1.řádu. Cílem je
vytvoření inženýrského simulačního modelu s redukovaným množstvím
vstupních údajů a jednoduchou strukturou. Model by měl umožnit
přiměřeně přesnou předpověď okamžitých hodnot potřeb tepla na vytápění,
chlazení a průběhu vnitřní teploty. Logickým přáním uživatele je zachovat
obdobnou strukturu vstupních údajů jako má měsíční metoda.
Budovy se obvykle skládají z těchto stavebních prvků:
 Konstrukce ve styku s venkovním prostředím (Ext) - obvodové stěny
(We) a střecha (R);
 Okna (W);
 Vnitřní konstrukce (Int) – vnitřní nosné stěny (Wi), příčky (P), stropy (C);
 Konstrukce ve styku se zeminou – (F);
Je zřejmé, že struktura modelu bude vycházet z této topologie. Pro
jednoduchost se budeme zabývat konkrétní místností, viz Obrázek 125.
We1
W
5
1
Wi
Tae
2
Tai
3
4
We2
P
Obrázek 125: Modelová místnost.
Podrobný model přenosu tepla v modelové místnosti může být poměrně
rozsáhlý (viz Obrázek 126). Je zřejmé, že takový model obsahuje větší počet
uzlů, a že se jedná se o strukturu s několika podobnými paralelními větvemi.
- 144 -
Φc
Tae
Větrání
Tae
Tai
We1
1
Tr1
Tae
Φr,1
We2
2
Tr2
Wi
3
P
4
Φr,4
vedení
Tae
5
Tr5
proudění
sálání
W
Obrázek 126: Podrobný model místnosti.
Redukci podrobného modelu provedeme v několika postupných krocích.
V prvním zjednodušení provedeme tyto kroky:
 Působení venkovních
ekvivalentní teplotou.
okrajových podmínek nahradíme venkovní
 Vzájemné sálání mezi povrchy nahradíme jednodušším modelem
(transformace trojúhelník hvězda - viz kapitola 6.5 v [6]).
 Posléze provedeme další transformaci (sériově paralelní transformace –
viz kapitola 4.4.3 v [6]).
 Zanedbá se akumulační schopnost okenních tabulí.
Po prvním zjednodušení dostaneme model, viz Obrázek 127. Vodivost K0 je
produktem sériově paralelní transformace a nemá fyzikální význam.
Φc - (ci/ri)Φr
Φr + (ci/ri)Φr
K0
Tai
W
Tra
větrání
Tp1
Tp2
Tp3
Tp4
…
We1
…
We2
…
Wi
…
P
Obrázek 127: Model místnosti po prvním zjednodušení.
- 145 -
Ext
Int
V druhém zjednodušení ponecháme ve stavebních prvcích pouze jeden uzel
s tepelnou kapacitou. Zároveň ztotožníme teplotu vzduchu a teplotu Tra do
jediné výsledné teploty Ti.
větrání
Φc + Φr
Ti
W
We1
Ext
We2
Wi
Int
P
Obrázek 128: Model místnosti po druhém zjednodušení.
Pro další zjednodušení sdružíme paralelní cesty s podobnou dynamikou
(stěny a střecha, vnitřní konstrukce), viz Obrázek 129.
Φc + Φr
Ti
Větrání+W
We+R
Wi+P+C
F
Obrázek 129: Zjednodušený model budovy 1.
Pokud zahrneme podlahu k ostatním obvodovým konstrukcím, anebo pokud
je podlaha adiabatická, tak máme:
- 146 -
Φc + Φr
Ti
Větrání+W
Φc + Φr
We+R
Wi+P+C
Obrázek 130: Zjednodušený model budovy 2.
Pro místnost s lehkým obvodovým pláštěm máme:
Φc + Φr
Ti
Větrání+W
Větrání+W
Wi+P+C
Obrázek 131: Zjednodušený model budovy 3.
Pro budovu bez vnitřních konstrukcí naopak máme:
Φc + Φr
Ti
Větrání+W
We+R
Obrázek 132: Zjednodušený model budovy 4.
5.2.3 Solární tepelné zisky do budovy
Vyjdeme z modelu popsaném rovnicí (2.154). Budeme předpokládat, že okna
jsou umístěna ve vertikální pozici, takže cos(/2) = 0. Ozáření vertikální
plochy lze zapsat jako:
G Gt 
cos 
G Bh  0,5G Dh   G 0,5 G Bh  G Dh 
cos  z
(5.60)
Solární zisky prostupují do dobře tepelně izolované budovy zejména přes
zasklení oken. Odrazivost, pohltivost a prostupnost zasklení jsou veličiny
závislé na úhlu dopadu, proto i výsledná energetická propustnost zasklení je
veličina závislá na úhlu dopadu. Pro praktické výpočty lze použít jednoduchý
model, viz [29]:
- 147 -
g  g0 1  tana  2 
(5.61)
kde g0 je energetická propustnost pro kolmý úhel dopadu, a je parametr
závisející na typu zasklení a je úhel dopadu. Dalším používaným modelem
je polynomický model publikovaný v [30].
Přímá složka solárního záření dopadá pod úhlem dopadu . Úhel dopadu
difuzního záření lze pro svislé plochy zjednodušeně uvažovat hodnotou 60°.
Stejný úhel dopadu lze zjednodušeně uvažovat pro odražené záření. Dále je
potřeba započítat možné stínění.
Tepelný tok od solárního záření prostupujícího přes zasklení jednoho okna
lze s využitím energetické propustnosti zasklení vypočítat jako:
s  FBg Ag
cos 
GBh  FSg60 Ag 0,5GDh  FGg60 Ag G 0,5 GBh  GDh 
cos z
(5.62)
kde Ag (m2) je plocha zasklení, g (-) je energetická propustnost zasklení,
která zohledňuje různý úhel dopadu jednotlivých složek záření, FB (-) je
faktor stínění pro přímou složku, FS (-) je faktor stínění pro difuzní složku
z oblohy a FG (-) je faktor stínění pro složky odražené od země. Solární zisk
podle rovnice (5.62) zahrnuje součet přímé a nepřímé složky.
Faktory stínění budeme zjednodušeně uvažovat jedinou hodnotou. Rovnice
(5.62) se potom zjednoduší na:
cos 


GBh  g60 Ag 0,5GDh  g60 Ag 0,5G GBh  GDh  
s  Fsh  g Ag
cos z


(5.63)
Rovnici (5.63) lze zapsat jako:
s  ADir   G Bt  ASkyG Dh  ARefG Gh
(5.64)
kde ADir( (m2) je účinná plocha zasklení pro přímou složku ozáření (závisí
na úhlu dopadu),
ADir   Fshg Ag
(5.65)
ASky (m2) je účinná plocha zasklení pro difuzní složku ozáření,
ASky Fshg60 Ag 0,5
(5.66)
a ARef (m2) je účinná plocha zasklení pro odraženou složku ozáření,
ARef Fshg60 Ag 0,5G  ASky G
(5.67)
Po dosazení rovnice (5.67) do rovnice (5.64) dostaneme:
- 148 -
s  ADir   G Bt  ASky G Dh  GG Gh 
(5.68)
V případě nedostatku vstupních údajů lze využít zjednodušený model, který
zanedbává závislost energetické propustnosti zasklení na úhlu dopadu.
s  A GtGGt
(5.69)
5.3 Vlhkostní bilance budovy v ustáleném stavu
Problém je analogický tepelné bilanci budovy. Vlhkostní bilance budovy
zahrnuje zdroje vlhkosti Gi, tok vodní páry větráním GV = GV,in – GV,out, tok
vodní páry prostupem přes obvodové konstrukce GT, akumulaci vlhkosti ve
stavebních prvcích Gacu a akumulaci vodní páry ve vzduchu v zóně Ga
(viz Obrázek 133). Významnými zdroji vlhkosti například jsou vaření, praní,
sprchování, sušení, lidské dýchání. Vzduch v budově se považuje za
dokonale promíchaný, takže jeho vlhkost vyjadřuje jediná hodnota
koncentrace vodní páry.
GV,out
Ga
v,i
GT
v,e
Gi
Gacu
GV,in
Obrázek 133: Vlhkostní bilance budovy.
Ze zákona zachování hmotnosti plyne, že veškeré působící hmotnostní toky
musí být v rovnováze:
Gi  GV,in  GV,out  GT  Gacu  Ga  0
(kg/s)
(5.70)
Prostup vodní páry přes obvodové konstrukce (difuze vodní páry) je
v porovnání s vlivem větrání zanedbatelný (GT ≈ 0). Ukládání vlhkosti a její
následný výdej je cyklický proces s periodou jednoho dne. Pokud zvolíme
časový krok výpočtu dostatečně dlouhý, tak se střední hodnota vlhkostního
toku do akumulační hmoty blíží nule, a proto lze psát:
Gi  GV,in  GV,out  0
(5.71)
Všechny vlhkostní toky jsou v rovnici (5.71) uvažovány jako průměrné
hodnoty za dostatečně dlouhé časové období. V technické praxi se obvykle
používá časový krok jednoho měsíce.
- 149 -
Přiváděné resp. odváděné množství vlhkosti lze stanovit jako:
GV,in  Va V,e , GV,out  Va V,i
(5.72)
kde Va (m3/s) je objemový průtok vzduchu. Po dosazení rovnice (5.72) do
rovnice (5.71) dostaneme:
Gi  Va (V,i  V,e )  0
(5.73)
Koncentrace vodní páry ve vnitřním vzduchu tedy je:
G
V,i  V,e   i
Va
(kg/m3)
(5.74)
Vztah (5.74) je analogie rovnice (5.50). Poměr velikosti zdroje a objemového
průtoku vzduchu v obytných budovách obvykle dosahuje hodnot 2 ÷ 4 g/m3.
Gi
v,i Va
v,e
Obrázek 134: Schéma vlhkostní bilance budovy v ustáleném stavu.
5.4 Vlhkostní bilance budovy v neustáleném stavu
Nejprve se zabývejme budovou, jejíž vnitřní povrchy tvoří materiál, který
znemožňuje akumulaci vlhkosti v povrchové vrstvě (hliníková fólie nalepená
na vnitřních površích). Pro takovou budovu máme:
dmv
 Gi  Va  v,i  v,e 
dt
(kg/s)
(5.75)
(kg/s)
(5.76)
kde hmotnost vodní páry uvnitř budovy je:
mv  viVai
kde Vai (m3) je objem vzduchu v budově. Objem vzduchu v budově je
konstantní, takže:
Vai
dvi
 Gi  Va  v,i  v,e 
dt
(kg/s)
(5.77)
Rovnice (5.77) je obdobná rovnici (5.36), takže můžeme využít již známá
analytická řešení pro skokovou změnu či pro periodické okrajové podmínky.
- 150 -
Gi
v,i Va
Va
v,e
Obrázek 135: Schéma jednouzlového simulačního modelu.
Ve skutečnosti k akumulaci vlhkosti také dochází v hygroskopických
materiálech obklopujících vzduch v budově. Může se jednat o ukládání
vlhkosti v nábytku, povrchových vrstvách stavebních prvků (obvodových
konstrukcí, příček, vnitřních nosných stěn, stropů), anebo například
v papíru. U většiny stavebních materiálů je aktivní vrstva pro denní
akumulaci vlhkosti tenká pouze několik milimetrů. Tloušťku této vrstvy je
možné přibližně ztotožnit s periodickou hloubkou vlhkostní penetrace,
viz rovnice (4.78).
A
w
v,i Gacu v,p v,acu
dpv
w…průměrná vlhkost
v povrchové vrstvě
parotěsná
vrstva
Obrázek 136: Aktivní vrstva pro akumulaci vlhkosti.
Po dosazení za jednotlivé členy v rovnici (5.70) dostaneme:
d
Gi  Va  v,i  v,e    A  v,i  v,p   Vai v,i  0
dt
(kg/s)
(5.78)
kde  (m/s) je součinitel přestupu vodní páry prouděním v blízkosti povrchu
akumulačního materiálu, A je plocha povrchu akumulační vrstvy a
v,p (kg/m3) je hustota vodní páry v těsné blízkosti povrchu akumulačního
materiálu.
Vlhkostní bilance povrchové vrstvy je:
Vacu
dw
du v,p  v,acu
A
 Vacud

Z ,acu
dt
dt
(kg/s)
(5.79)
Aby se zachovala analogie s modelem pro přenos tepla, potřebujeme na levou
stranu předchozí rovnice dostat v,acu. Vlhkost materiálu lze chápat jako
složenou funkci u((t)), a proto:
du du d
d

   
dt
d dt
dt
(5.80)
- 151 -
Relativní vlhkost vzduchu v obytných budovách se obvykle pohybuje v
rozmezí 20 – 80 %, takže sklon sorpční křivky lze uvažovat konstantní
(  , viz kapitola 4.3.3).
Dosadíme rovnici (5.80) do rovnice (5.79) a nahradíme relativní vlhkost:
 v,acu 
d

v,sat Tacu   v,p  v,acu


Vacud
A
dt
Z ,acu
(5.81)
kde Tacu označuje teplotu v uzlu v,acu. Poněvadž je aktivní akumulační vrstva
velmi tenká, je možné tuto teplotu nahradit povrchovou teplotou Tp.
V období, kdy je budova vytápěna se teplota vnitřních povrchů příliš nemění,
takže je možné zjednodušeně uvažovat hustotu vodní páry na mezi nasycení
konstantní hodnotou vypočtenou z průměrné vnitřní teploty budovy. Za
tohoto předpokladu můžeme psát:
Vacud dv,acu v,p  v,acu
A

v,sat
Z ,acu
dt
(5.82)
Model je možné zobrazit v následujícím schématu (viz Obrázek 137).
Gi
Va
v,i
K1 v,p K2
Va
K1 = ·A
Gi
v,e
v,acu

v,i
Va
K
Va
Vacud/v,sat
v,e
v,acu
K
K1K2
K1  K2
Vacud/v,sat
K2 = A/Z =A/(µdpv/2a)
Obrázek 137: Schéma dvojuzlového simulačního modelu.
Dvojuzlový model je možné dále zjednodušit, pokud budeme předpokládat,
že platí:
v,i  v,acu
(5.83)
Za tohoto předpokladu dostaneme jedinou rovnici:

Vacud  dv,i
 Gi  Va  v,i  v,e 
Va 


d
t
v,sat 

Gi
v,i
v,e
Va + Vacud/v,sat
Obrázek 138: Schéma jednouzlového simulačního modelu.
- 152 -
(5.84)
5.5 Úlohy k procvičení
Ú1. Dřevěný srub je objekt o venkovních rozměrech 6 × 6 × 2,5 m. Podlahu
srubu tvoří dřevěné trámy s dřevěnými fošnami tloušťky 3 cm. Podlahové
trámy jsou položené na podélných kamenných pasech, takže prostor pod
podlahou domu je provětrávaný. Venkovní stěna je sestavená z dřevěných
hranolů tloušťky 25 cm. Střechu tvoří dřevěné trámy s tepelnou izolací
umístěné mezi trámy, dřevěné fošny a hydroizolace. Uvažujte, že objekt nemá
žádná okna, a že tepelné ztráty větráním jsou stejně veliké jako ztráty
prostupem. Teplotu venkovního prostředí uvažujte hodnotou -10 °C. Kolik kg
dřeva o výhřevnosti 14 MJ/kg je nutné za jeden den nanosit do srubu a
posléze spálit, aby se dala uvnitř udržovat teplota 20 °C? Účinnost krbových
kamen uvažujte 50 %. Budou stačit k vytopení srubu kamna o jmenovitém
výkonu 10 kW?
Ú2. Uvažujte rohovou kancelář posledního podlaží administrativní budovy
podle obrázku. Strop místnosti a dvě stěny (z nichž jedna je prosklená) jsou
v kontaktu s venkovním prostředím, ostatní stěny a podlaha přiléhají
k prostorům o stejné vnitřní teplotě, jaká je v kanceláři. Venkovní teplotu
uvažujte -12 °C. Součinitel prostupu tepla prosklené stěny je 1,0 W/(m2K).
a) Vypočítejte, jaký musí být součinitel prostupu tepla stěny a střechy
(uvažujte stejný pro obě konstrukce), aby zdroj o výkonu 0,8 kW při dané
venkovní teplotě vytopil místnost na 20 °C. Vliv tepelných mostů zanedbejte.
Předpokládejte, že nesvítí slunce, uvnitř nejsou žádné osoby ani spotřebiče
a místnost se nevětrá.
b) Vypočítejte, jak se změní vnitřní teplota za předpokladu, že začne svítit
slunce. Uvažujte intenzitu dopadajícího slunečního záření na rovinu
prosklené stěny 50 W/m2 a energetickou propustnost slunečního záření
zasklením hodnotou 0,5. Předpokládejte, že paprsky dopadají kolmo na
rovinu okna. Je vnitřní teplota za těchto podmínek pro uživatele komfortní?
c) Navrhněte alespoň 2 opatření ke snížení vnitřní teploty z části b. Uveďte
jejich výhody případně nevýhody.
- 153 -
Ú3. Je uvažována venkovním vzduchem větraná půda. Plocha podlahy je
10 m x 10 m, sklon střešní roviny 45 °. Tepelný odpor štítových stěn a
střechy (včetně přestupových odporů) je 1,0 (m2K)/W, tepelný odpor podlahy
je 3,0 (m2K)/W. Teplota ve vytápěné zóně („pod půdou“) je 20 °C, teplota
venkovního vzduchu je -10 °C. Polovina střechy je vystavena solárnímu
záření o intenzitě 200 W/m2. Pohltivost vnějšího povrchu střechy uvažujte
hodnotou 0,8. Vypočtěte výslednou teplotu v prostoru půdy při intenzitě
výměny vzduchu 1,5 h-1 pro případ a) bez solárního záření a b) se solárním
zářením.
Ú4. Je uvažována místnost o objemu 50 m3 a intenzitou výměny vzduchu
0,5 1/h. Plocha venkovních stěn je 20 m2, plocha oken 5 m2. Součinitelé
prostupu tepla jsou 0,2 W/(m2K) pro stěny a 1,5 W/(m2K) pro okno. Denní
průměrný solární zisk je 100 W.
a) Jaký výkon musí být otopnou soustavou vyvinut pro udržení denní
průměrné teploty vnitřního vzduchu 20 °C během zimního období s teplotou
venkovního vzduchu -10 °C?
b) Jaký výkon musí být vyvinut otopnou soustavou v případě, že větrací
zařízení bude obsahovat zpětné získávání tepla z odpadního vzduchu
s účinností 75 %?
c) Jaký výkon bude potřeba pro udržení teploty vnitřního vzduchu 20 °C, při
teplotě venkovního vzduchu 25 °C a průměrném denním solárním zisku
300 W?
Ú5. Budova se během víkendu vytápí na sníženou hodnotu požadované
teploty. Cílem přerušovaného vytápění je úspora energie na vytápění.
Odvoďte, zda k vyšší úspoře potřeby tepla při přerušovaném vytápění povede
těžká nebo lehká stavba.
Ú6. Základové stěny průlezného prostoru pod budovou jsou postaveny z
betonových tvárnic tloušťky 250 mm. Ve stěnách jsou otvory pro zajištění
větrání prostoru venkovním vzduchem. Plocha zeminy uvnitř prostoru je
10 m x 10 m, průměrná výška prostoru je 0,9 m. Podlaha budovy má tepelný
odpor 2,0 (m2K)/W včetně přestupových odporů na obou stranách. Tepelná
vodivost betonové tvárnice je 1,3 W/(m·K). Teplota uvnitř budovy je 20 °C,
teplota venkovního vzduchu je -5 °C. Vypočtěte teplotu uvnitř
průlezného prostoru za předpokladu intenzity výměny vzduchu 0,05 a 5 1/h.
Ú7. Obytný prostor má podlahovou plochu 125 m2. Výška místnosti je
2,4 m. Produkce vlhkosti je 10 kg/den. Teplota venkovního vzduchu je -2 °C
během zimy a 16 °C během léta. Průměrná vnitřní teplota je 21 °C. Relativní
vlhkost venkovního vzduchu je 85 % během zimy a 50 % během léta.
- 154 -
Výměna vzduchu je 0,5 1/h během zimy a 1 1/h během léta. Vypočtěte
koncentraci vodní páry a relativní vlhkost vzduchu uvnitř budovy během léta
a zimy.
Ú8. V ložnici o objemu vzduchu 30 m3 spí dvě osoby. Intenzita výměny
vzduchu je 0,2 1/h, teplota vnitřního vzduchu je 20 °C. Předtím, než šly
osoby spát, byla ložnice dokonale vyvětrána, takže koncentrace vodní páry
vnitřního vzduchu byla totožná s koncentrací vodní páry venkovního
vzduchu. Jak dlouho potrvá, než se začne objevovat kondenzát na dvojitém
respektive trojitém zasklení okna? Teplota vnějšího vzduchu je 2 °C a
relativní vlhkost je 90 %. Součinitel prostupu tepla okna je 2,9 W/(m2K) a
1,9 W/(m2K). Součinitel přestupu tepla na vnitřní straně je 8 W/(m2K).
Produkce vlhkosti na jednu spící osobu je přibližně 40 g/h.
- 155 -
Příloha: Elektrická analogie
Zobrazení modelu do určitého grafického schématu je výhodné. Chceme
zobrazit strukturu modelu a ze struktury modelu hned odvodit matematický
popis modelu. Grafická schémata používaná v této knize vycházejí z analogie
s elektrickým proudem. Elektrický proud a další tokové veličiny
(např. tepelný tok) je možné považovat za analogické, viz Tabulka 16.
Tabulka 16: Elektrická analogie
Tepelný tok 

Elektrický proud I
T1  T2
R
I 
1  2
Rel

U
Rel
T1 – T2 je rozdíl teplot
1 - 2 je rozdíl elektrických potenciálů
R je tepelný odpor
(napětí)
Rel je elektrický odpor
Φ
I
T1
1
Rel
R
2
T2
Neznámé veličiny (například teploty) jsou zobrazeny jako uzly. Uzel může mít
nějakou akumulační schopnost (například tepelnou kapacitu). „Kvalita
cesty“ mezi uzly bude ohodnocena (například velikostí tepelného odporu
mezi uzly).
Základní prvky, z kterých se dají vytvářet grafická schémata modelů, jsou
představeny na příkladu šíření tepla (viz Tabulka 17). Typově obdobné prvky
je možné použít i pro šíření vlhkosti a šíření vzduchu.
- 156 -
Tabulka 17: Základní prvky
Přenos tepla
Prvek
Popis
Grafické
vyjádření
Uzel (neznámá
ve výpočtech),
např. teplota
Protože uzel nemá žádnou
akumulační schopnost, musí
být součet všech toků
směřujících do uzlu roven
nule. V elektrických
obvodech se toto tvrzení
nazývá prvním Kirchhoffovým
zákonem.
Uzel mající
kapacitu, např.
tepelnou
kapacitu
Jelikož uzel má akumulační
schopnost, součet všech toků
směřujících do uzlu musí být
roven akumulovanému
množství za nějaký časový
krok.
Vodivost
(conductance)
Předepsaná
hodnota
(např. teplota)
Ti
Ci
0
dTi
  m
dt
m
Ci

Ti +1
K
Ti
Ti  Ti 1
R
  K Ti  Ti 1 
Ti +1
T0
Předepsaný tok
(např. tepelný
tok)
m
m
Φ1 Ti Φ2
Ti
Platí tedy K=1/R. Zápis
pomocí vodivosti se často
používá z praktických
důvodů (vodivost není ve
jmenovateli).

Φ3
R
Odpor
(resistance), např.
tepelný odpor
Matematický vztah
0
Tboundary  T0
boundary  0
Složitější schémata je možné zjednodušovat (viz Tabulka 18). Theveninův
teorém z teorie elektrických obvodů říká, že libovolně složitý elektrický obvod
bez kondenzátorů, ale s mnoha různě zapojenými odpory, lze nahradit
obvodem s jediným odporem. Postupným „zjednodušováním“ lze složitě
vypadající model zapsat jednodušeji, nicméně plně ekvivalentně.
- 157 -
Tabulka 18: Ekvivalence v obvodech
Prvek
Popis
Ekvivalentní vyjádření
Odpory v sérii
Vodivosti v sérii
T1 K1 T12 K2
T1
T2
T2
R = R1+R2
T2
K 1K 2
K1  K 2
Odpory paralelně
R1
T1
R
T1
T1 R1 T12 R2 T2
T1 R R T2
1 2
R1  R2
T2
R2
Vodivosti paralelně
K1
T1
T1
T2
K
K = K1+K2
T2
K2
T1
K1
T
T2
Dvě předepsané
hodnoty (T1, T2)
s vodivostmi (K1, K2);
K1+K2
Tekv
Tekv 
K2
Několik toků do uzlu
Φ1
T
K 1T1  K 2T2
K1  K 2
Φ1 + Φ2
Φ2
K0
T
T0
Předepsaná hodnota
(T0) s vodivostí (K0) a
předepsaný tok (Φ0)
Φ0
Tekv
Tekv
K0
T
0
 T0 
K0
Φ je tok, K vodivost, R odpor, mezi vodivostí a odporem platí inverzní vztah
K = 1/R.
- 158 -
Vodivosti v sérii
T1
K1 T12 K2
T2

T1 K K T2
1 2
K1  K 2
Obrázek 139: Vodivosti v sérii.
Jelikož jde o ustálený stav, můžeme psát:
112  122  tot
K 1 T1  T12    tot
K 2 T12  T2    tot
T1  T12  
tot
K1
T12  T2  
tot
K2
Po sečtení rovnic:
T1  T2  
tot tot

K1
K2
 K 1K 2 
 K  K  T1  T2    tot
2 
 1
(P.1)
Vodivosti paralelně
K1
T1
K2
Φtot
T2
T1 K1+K2 T2

Obrázek 140: Vodivosti paralelně.
Bilance v uzlu T2:
K 1 T1  T2   K 2 T1  T2    tot
 K 1  K 2  T1  T2    tot
(P.2)
- 159 -
Předepsaná hodnota teploty s vodivostí a předepsaný tok do uzlu
K0
T0
Φ0
Φtot
Tekv
T
K0
T

Obrázek 141: Předepsaná hodnota teploty s vodivostí a předepsaný tok do
uzlu
Bilance v uzlu T:
K 0 T0  T    0   tot
K 0T0  K 0T   0   tot
T0 
0

 T  tot
K0
K0



K 0  T0  0  T    tot
K0


kde výraz T0 
0
je ekvivalentní teplota Tekv.
K0
K 0 Tekv  T    tot
(P.3)
Předepsané hodnoty teploty s vodivostmi do uzlu
T1
T2
K1
Φtot
T
Tekv
K2
K1+K2
T

Obrázek 142: Dvě předepsané hodnoty s vodivostmi do uzlu.
K 1 T1  T   K 2 T2  T    tot
K 1T1  K 2T2   K 1  K 2  T   tot
K1T1  K 2T2
tot
K1T1  K 2T2
T 
, označíme Tekv 
K1  K 2
K1  K 2
K1  K 2
 K 1  K 2 Tekv  T    tot
(P.4)
- 160 -
Literatura
[1] Hagentoft, C., E., Introduction to Building Physics, Studentliteratur,
2001. ISBN: 91-44-01896-7.
[2] Hens, H., Building Physics – Heat, Air and Moisture. Fundamentals and
Engineeering methods with Examples and Exercises. Ernst & Sohn
Verlag, 2007. ISBN: 978-3-433-01841-5.
[3] Hens, H., Applied Building Physics: Boundary Conditions, Building
Performance and Material Properties. Ernst & Sohn Verlag, 2010. ISBN:
978-3-433-02962-6.
[4] Duffie J., A., Beckmann, W., A., Solar engineering of thermal processes,
Wiley, 2006. ISBN: 978-0-471-69867-8.
[5] Incropera, de Witt, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, Wiley,
2006. ISBN: 978-0-471-45728-2.
[6] Davies, M., G., Building Heat Transfer, Wiley, 2004. ISBN: 978-0-47084731-2.
[7] ASHRAE, Handbook of Fundamentals, American Society of Heating,
Refrigerating, and Air-Conditioning Engineers, 2001. ISBN: 1883413885.
[8] Ženka, M., Disertační práce
[9] Staněk, K., Fotovoltaika pro budovy, Grada, 2012. ISBN: 978-80-2474278-6.
[10] ElSherbiny, S., M., Raithby, G., D., Hollands, K., G., T., Heat Transfer by
Natural Convection Across Vertical and Inclined Air Layers, Journal of
Heat Transfer, 1982.
[11] Navara, M., Němeček, A., Numerické metody. Vydavatelství ČVUT. Praha
2003. ISBN 80-01-02689-2.
[12] Gerald, C., G., Wheatley, P., O., Applied Numerical Analysis, ISBN 0201-59290-8.
[13] Keller, B., Klimagerechtes Bauen (Grundlagen – Dimensionierung Beispiele), B.G. Teubner Stuttgart, 1997.
[14] Burmeister, H., Keller, B., Climate surfaces: a quantitative buildingspecific representation of climates, Energy and Buildings 28, 1998.
[15] ČSN EN ISO 13786, Tepelné chování stavebních dílců - Dynamické
tepelné charakteristiky - Výpočtové metody.
[16] ČSN EN ISO 13789, Tepelné chování budov - Měrné tepelné toky
prostupem tepla a větráním - Výpočtová metoda.
[17] ČSN EN ISO 6946, Stavební prvky a stavební konstrukce - Tepelný odpor
a součinitel prostupu tepla - Výpočtová metoda.
- 161 -
[18] ČSN 730540-2, Tepelná ochrana budov - Část 2: Požadavky
[19] ČSN EN ISO 13790, Energetická náročnost budov - Výpočet spotřeby
energie na vytápění a chlazení, 2009.
[20] ČSN EN ISO 13788, Tepelně vlhkostní chování stavebních dílců a
stavebních prvků - Vnitřní povrchová teplota pro vyloučení kritické
povrchové vlhkosti a kondenzace uvnitř konstrukce - Výpočtové metody.
[21] ČSN EN ISO 12572, Tepelně vlhkostní chování stavebních materiálů a
výrobků – Stanovení prostupu vodní páry.
[22] Glaser, H., ‘‘Waermeleitung und Feuchtigkeitsdurchgang
Kuehlraumisolierungen, Kaltetechnik, Vol. 3, 1958.
durch
[23] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I., Matematické vzorce a metody,
Vydavatelství ČVUT, Praha, 2001. ISBN 80-01-01643-9.
[24] Hansen, K., K., Sorption isotherms: A catalogue, Technical report
162/86, Building materials laboratory, Technical University of Denmark,
1986.
[25] Kuenzel, H., dissertation thesis.
[26] Novák, J., Vzduchotěsnost obvodových plášťů budov, Grada, Praha,
2008. ISBN: 978-80-247-1953-5.
[27] Zillig, S., dissertation thesis.
[28] Carmeliet, J., Determination of the Moisture Capacity of Porous Building
Materials, Journal of Thermal Envelope and Building Science 25(3): 209237, 2002
[29] Montecchi, M., Polato, P., Simple
equations
to
predict
the
daylightingbehaviour of glazing by normal incidence spectrophotometry,
Rivista della Staz. Sper.
[30] Karlsson, J., Roos, A., Modelling the angular behaviour of the total solar
energy transmitance of windows, Solar Energy 69, 2000.
[31] TNI 730330, Zjednodušené výpočtové hodnocení a klasifikace obytných
budov s velmi nízkou potřebou tepla na vytápění - Bytové domy, 2010.
[32] Zmrhal, V., Sálavé chladicí systémy, Vydavatelství ČVUT, 2009.
- 162 -
Rejstřík
1 Hmotnostní bilance, 16 Hustota pevné fáze, 97 Hustota tepelného toku, 20 Hustota vodní páry na mezi nasycení, 94 Hydrofilní, 103 Hydrofilní materiál, 120 Hydrofobní, 103 Hydrofobní materiál, 120 Hygroskopická oblast, 100 Hysterze, 101 1. Fickův zákon, 108 A Adsorbát, 99 Adsorbent, 99 Adsorpce, 99 C I Celková pórovitost, 97 Intenzita výměny vzduchu při tlakovém rozdílu 50 Pa, 85 Č K Částečný tlak nasycené vodní páry, 94 Částečný tlak suchého vzduchu, 93 Částečný tlak vodní páry, 93 Černé těleso, 54 Kapilární kondenzace, 100 Kelvinova rovnice, 105 Komínový efekt, 86 Kondenzace uvnitř konstrukce, 116 Kontrolní objem, 15 Kvazistacionární stav, 144 D Daltonův zákon, 93 Difuzní odpor, 115 Divergence, 18 L Látkové množství, 93 E M Ekvivalentní difuzní tloušťka, 115 Elektrická analogie, 157 Emisivita, 56 Energetická propustnost, 78 Měrná vlhkost vzduchu, 94 Monomolekulární adsorpce, 100 N F Nadhygroskopická oblast, 101 Nehomogenní vrstva, 68 Neustálený stav, 14 Neutrální rovina, 86 Nevytápěný prostor, 72 Newtonův zákon, 48 Nusseltovo číslo, 48 Faktor difuzního odporu, 109 Faktor tvaru budovy, 136 Fourierův zákon, 20 Free‐floating, 130 G Grashofovo číslo, 48 O H Objemová hmotnost v suchém stavu, 97 Odpor, 158 Odpor při přestupu vodní páry, 125 Hagen‐Poisseuilleho zákon, 121 - 163 -
Stefanův‐Boltzmannův zákon, 55 Systematické tepelné mosty, 68 Odrazivost, 57 Operativní teplota, 63 Otevřená pórovitost, 97 T P Tepelná bilance, 15 Tepelná bilance budovy v neustáleném stavu, 140 Tepelná bilance budovy v ustáleném stavu, 129 Tepelná jímavost, 35 Tepelný odpor, 23 Tepelný tok, 157 Teplota rosného bodu, 95 Teplotní faktor vnitřního povrchu, 25 Teplotní vodivost, 22 Periodická hloubka vlhkostní penetrace, 119 Planckův zákon, 55 Plynová konstanta pro suchý vzdu, 93 Plynová konstanta pro vodní páru, 93 Podtlakové větrání, 90 Pohltivost, 57 Pohltivost pro sluneční záření, 60 Polymolekulární adsorpce, 100 Prandtlovo číslo, 48 Propustnost, 57 Přestup vodní páry, 125 Přetlakové větrání, 90 Přirozené proudění, 48 U R Rayleighovo číslo, 48 Relativní vlhkost vzduchu, 95 Reynoldsovo číslo, 48 Rovnice kontinuity, 16 Rovnotlaké větrání, 90 Rovnovážná vlhkost, 100 Rozdíl tlaků vyvolaný mechanickým větracím zařízením, 90 Rozdíl tlaků vyvolaný rozdílem teplot, 86 Rozdíl tlaků vyvolaný účinkem větru, 88 Růst plísní, 126 S Účinná tepelná kapacita budovy, 140 Univerzální plynová konstanta, 92 Ustálený stav, 14 Uzavřená dutina, 66 Uzavřená pórovitost, 97 Uzel, 158 V Větraná vzduchová dutina, 67 Vlhkost materiálu, 98 Vlhkostní bilance budovy v neustáleném stavu, 151 Vlhkostní bilance budovy v ustáleném stavu, 150 Vlhkostní jímavost, 118 Vlhkostní kapacita, 102 Vodivost, 158 Vynucené proudění, 48 W Smáčivost, 103 Smáčivý úhel, 103 Sorpční izoterma, 100 Sorpční křivka, 100 Sorptivita, 120 Součinitel difuze, 109 Součinitel nasákavosti, 121 Součinitel prostupu tepla, 71 Součinitel přestupu tepla sáláním, 60 Součinitel přestupu vodní páry, 125 Součinitel tepelné vodivosti, 20 Stefanova‐Boltzmannova konstanta, 55 Wienův posunovací zákon, 55, 58 Y Youngova‐Laplaceova rovnice, 104 Z zdroje vlhkosti, 91 - 164 -
Summary
This book briefly presents the basic physical principles of heat, air and
moisture transfer in buildings and building components, solution methods,
and some numerical examples. The text is written so that the reader should
read its contents from beginning to the end. The theory of heat transfer is
used as a basis for theory of air and moisture transfer.
The text put special emphasis on the derivation of formulae, illustration of
the analogy between heat and moisture transfer, and symbolic
representation of the models in the form of networks and basic physical
insight.
- 165 -

Podobné dokumenty

Výpočtové modely lineární lomové mechaniky heterogenních

Výpočtové modely lineární lomové mechaniky heterogenních predikovat jejich následné chování v průběhu zatěžování. Většina dosud publikovaných prací byla zaměřena na popis obecných koncentrátorů v isotropních prostředích. Tato oblast byla tedy již poměrně...

Více

document [] - Vysoké učení technické v Brně

document [] - Vysoké učení technické v Brně fullereny a uhlíkové nanotrubičky jsou jeho modifikací (obrázek 2.5). Rozlišujeme tři druhy grafenu podle počtu vrstev. Monovrstva a dvojvrstva grafenu má jednoduchá elektronová spektra, díky nimž ...

Více

DOPROVODNÝ TEXT K III. VÝUKOVÉMU KURZU

DOPROVODNÝ TEXT K III. VÝUKOVÉMU KURZU Inovace Ph.D. studia pro biotechnologické aplikace Reg. č.: CZ.1.07/2.2.00/15.0272

Více

Door hinges - Zeleziarstvo.sk

Door hinges - Zeleziarstvo.sk dostává se Vám do rukou katalog produktů TKZ Polná, spol. s r.o., společnosti s více než stoletou tradicí výroby kovového sortimentu. Z malé továrny se stal podnik moderního charakteru, kde s rozši...

Více

Ceník 1. 7. 2014 – 30. 6. 2015

Ceník 1. 7. 2014 – 30. 6. 2015 Ceník je platný od 1. 7. 2014 do 30. 6. 2015

Více

Energie v udržitelném územním plánování

Energie v udržitelném územním plánování • Energetické požadavky na nové budovy jsou stále přísnější, od roku 2020 musí být budovy v souladu s požadavkem na (téměř) nulovou spotřebou energie; • Požadavek na energetickou náročnost i pro

Více