0 z

4EK213 – Lineární modely
Parametrické programování
Úterý 11:00 – 12:30
Parametrické pravé strany
• Formulujeme parametrickou úlohu LP:
Ax = b0 + b1t
x0
z = cTx … max.
kde t … je reálné číslo z intervalu
T0 ≤ t ≤ T1
• Řešit tuto úlohu znamená vypočítat řadu
bází, které jsou optimální v jednotlivých
dílčích intervalech hodnot parametru t
© L&K
2
Příklad 10.1
•
Řešte úlohu LP s parametrickými pravými stranami:
.
z = 80x1 +60x2 … max.
2x1 + x2 ≤ 20 + 2t
x1 + x2 ≤
6 + 3t
0, j = 1, 2
xj 
kde 1 ≤ t ≤ 100
• Položíme t =1 a vypočteme:
b1= 20 +2.1=22
b2= 6 +3.1= 9
© L&K
3
Výchozí řešení
Zákl.prom.
x3
x4
zj
x1
2
1
–80
x2
1
1
–60
x3
1
0
0
x4
0
1
0
b0i
20
6
0
b1i
2
3
0
bi
22
9
0
Tab. 10.1
• Klíčový řádek určíme podle hodnot bi a ta-
bulku transformujeme
Zákl.prom.
x3
x1
zj
x1
0
1
0
x2
−1
1
20
x3
1
0
0
x4
−2
1
80
β0i
8
6
480
β1i
−4
3
240
βi
4
9
720
Tab. 10.2
© L&K
4
1. optimální báze
• Vektor OŘ je z tabulky 10.2:
x(1) = (6+3t, 0, 8- 4t, 0)T,
• V OŘ musí platit:
8 − 4t ≥ 0 → t ≤ 2
6 + 3t ≥ 0 → t ≥ - 2
• Dolní a horní hranice prvního intervalu:
t0(1) = 1 (=T0)
t1(1) = 2
• První dílčí interval je:
t 1, 2 
© L&K
5
• OŘ v intervalu t 1, 2  pro t =1:
x(1) = (9, 0, 4, 0)T,
z = 480+240.1=720
• Pro t =2 je OŘ v intervalu t 1, 2 :
x(2) = (12, 0, 0, 0)T,
z = 480+240.2= 960
• Pro t = 3 je řešení v tabulce 10.2 primárně nepřípustné:
x(3) = (15, 0, -4 , 0)T, z = 1200
• Novou optimální bázi počítáme DSM
© L&K
6
Pokračování výpočtu
•
Zvolíme klíčový řádek a klíčový sloupec:
s =1
x3
x1
zj
x1
0
1
0
s=2
x1
0
1
0
x2
x1
zj
x2
x3
x4
−1
1 −2
1
0
1
20
0
80
Tab. 10.3
x2
1
0
0
x3
−1
1
20
x4
2
−1
40
β0i(1)
8
6
480
β1i(1)
−4
3
240
β0i(2)
−8
14
640
β1i(2)
4
−1
160
Tab. 10.4
© L&K
7
2. optimální báze
• V tabulce 10.4 je optimální řešení
x(2) = (14-1t, -8+4t, 0, 0)T,
z = 640+160t
• Z podmínek nezápornosti je:
t ≤ 14
14-1.t ≥ 0
-8+4.t ≥ 0
t≥2
• Odtud je druhý interval hodnot t:
t   2, 14 
© L&K
8
• Všimněte si, že dolní hranice druhého
intervalu = horní hranici prvního
• Dosadíme−li t = 2 do obou OŘ,
dostaneme stejné řešení
x=(12, 0, 0, 0)T, z=960
• Na rozhraní dvou sousedních intervalů
tedy existují dvě optimální báze
•
Protože t1(2)<T1, pokračujeme ve výpočtu:
jakou metodou ........................................ ?
© L&K
9
Pokračování výpočtu
Zákl.prom.
x2
x1
zj
x1
0
1
0
x2
1
0
0
x3
−1
1
20
x4
2
−1
40
β0i(2)
−8
14
640
β1i(2)
4
−1
160
Tab. 10.5
s=3
x2
x4
zj
x1
2
−1
40
x2
1
0
0
x3
−1
1
60
x4
0
1
0
β0i(3)
20
−14
1200
β1i(3)
2
1
120
Tab. 10.6
© L&K
10
3. optimální báze
Všechny koeficienty u β1i(3) jsou nezáporné,
hodnoty t nejsou shora omezeny
• Dosadíme tedy t1(3) =100:
výpočet končí
• Třetí báze je optimální pro
t   14, 100 
• Optimálním řešením ve třetím dílčím
intervalu je
x(3) = (0, 20+2t, 0, -14+t),
z(3) = 1200+120t
•
© L&K
11
Přehled optimálních řešení
s
1
2
3
Báze
x3
x1
z
x2
x1
z
x2
x4
z
βi (t0) βi (t1) β0i(s)
4
0
8
9
12
6
720
960
480
0
48
−8
12
0
14
960 2880 640
48
220
20
0
86
−14
2880 13200 1200
β1i(s)
−4
3
240
4
−1
160
2
1
120
Tab. 10.7
© L&K
12
Zakončení výpočtu
• Výpočet úlohy LP s parametrickými pravými stranami může skončit dvěma způsoby:
1. t1 (s) ≥ T1  výpočet končí
2. t1 (s) < T1, ale v klíčovém řádku není záporný koeficient 
pro t > t1 (s) neexistuje OŘ:
- dosadíme T1 = t1 (s)
 výpočet končí
© L&K
13
Příklad 10.2
•
Řešte úlohu LP s parametrickými pravými stranami:
.
x1 + x2 … max.
z=
4x1 + 6x2 ≤ 24 - t
4x1 + 2x2 ≤ 12 + t
0, j = 1, 2
xj 
kde 10 ≤ t ≤ 100
• Položíme t =10 a vypočteme:
b1= 24 - 1.10 =14
b2= 12 +1.10 = 22
© L&K
14
Tab. 10.8
• Vypočetli jsme v LPPro OŘ simplexovou
metodou pro t =10:
x=(7/2, 0, 0, 8), z=7/2
© L&K
15
1. optimální báze
• Určíme meze 1. dílčího intervalu ........... ?
• Optimální řešení v 1. intervalu je:
x(1) = (6-1/4t, 0, 0, -12+2t, )T,
z = 6-1/4t
• Pokračujeme ve výpočtu DSM
© L&K
16
Tab. 10.9
• Klíčový řádek je první
PROČ ................................................... ?
• Úloha nemá pro t > 24 přípustné řešení
PROČ ................................................... ?
• Dosadíme T1=24
© L&K
17
Nepřípustné výchozí řešení
• Po dosazení dolní meze T0 do b = b0 + b1t
může být některá pravá strana záporná
• Výchozí řešení je primárně nepřípustné
• První optimální bázi není možno počítat
simplexovou metodou
• Pokud není úloha duálně přípustná, musíme omezení se zápornou pravou stranou
násobit (-1)
© L&K
18
Příklad 10.3
•
Řešte úlohu LP s parametrickými pravými stranami:
.
z = 10x1 +10x2 … max.
x1 + x2 ≤ 13 + t
6 +2t
2x1 - x2 ≤
0, j = 1, 2
xj 
kde -4 ≤ t ≤ 24
• Položíme t = -4 a vypočteme ............ ?
© L&K
19
Tab. 10.10
• Druhé omezení jsme násobili (-1) a počítali dvoufázovou SM © L&K
20
1. optimální báze
Tab. 10.11
• Dolní
mez hodnot t je -4 (-4 > -8)
• Shora není interval omezen
• Vypočetli
jsme OŘ:
x = (8+t, 5, 0, 0)T, z = 130 + 10t
pro zadaný interval
t   -4, 24 
© L&K
21
Parametrické ceny
• Řešíme úlohu LP
Ax = b
x0
z = (c0 + c1t)Tx … max.
kde t … je reálné číslo z intervalu T0 ≤ t ≤ T1
c0T...je pevná část cen,
c1T...je parametrická část cen
• Úlohu řešíme obdobně jako úlohu LP s
parametrickými pravými stranami
© L&K
22
Výchozí řešení
• Koeficient zj v účelové funkci rozdělíme
na dvě části:
zj = g0j + g1j t
(10.11)
kde
g0j = c0BT Bs−1 aj  c0j
(10.12)
g1j = c1BT Bs−1 aj  c1j
(10.13)
• Do (10.11) dosadíme t = T0
• Počítáme OŘ podle účelové funkce s koeficienty zj
© L&K
23
Příklad 10.4
• Je dána úloha LP s parametrickými cenami:
x1 + 2x2 ≤ 120
x1 + 4x2 ≤ 180
x1
≤ 110
(10.16)
x1
≥
0
x2 ≥
0
z = (40+6t)x1 + (60-2t)x2 ... max.
a interval hodnot parametru t:
0≤ t ≤ 40
© L&K
24
Výchozí řešení
Zákl.prom.
x1
x2
x3
x4
x5
βi
x3
x4
x5
zj
g0j
g1j
1
1
1
−40
−40
−6
2
4
0
−60
−60
2
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
120
180
110
0
0
0
Tab. 10.12
• Simplexovou
metodou počítáme podle
koeficientů zj optimální řešení
© L&K
25
1. optimální báze
S=1
x1
x2
x4
zj
g0j
g1j
x1
1
0
0
0
0
0
x2
0
1
0
0
0
0
x3
0
1/2
-2
30
30
−1
x4
0
0
1
0
0
0
x5
1
-1/2
1
10
10
7
βi
110
5
50
4700
4700
650
Tab. 10.13
• Řešení v tabulce je podle řádky z optimální
© L&K
26
• Řešení v tabulce 10.13 je duálně přípustné (a tedy optimální) pro hodnoty parametru t :
30 - t ≥ 0
t ≤ 30
10 +7t ≥ 0
t ≥ -10/7
• První dílčí interval hodnot je odtud:
t   0, 30 
• Optimální řešení je:
x(1) = (110, 5, 0, 50, 0)T,
z = 4700 + 650t
© L&K
27
Pokračování výpočtu
S=1
x1
x2
x4
g0j
g1j
x1
1
0
0
0
0
x2
0
1
0
0
0
x3
0
1/2
-2
30
−1
x4
0
0
1
0
0
x5
1
-1/2
1
10
7
βi
110
5
50
4700
650
Tab. 10.14
• Řešení v tabulce 10.14 není optimální
pro t > 30
• Pokračujeme ve výpočtu SM
© L&K
28
2. optimální báze
S=2
x1
x3
x4
g0j
•
g1j
x1
1
0
0
0
0
x2
0
2
4
-60
2
x3
x4
0
0
1
0
0
1
0
0
Tab. 10.17
0
0
x5
1
-1
-1
40
6
βi
110
10
70
4400
660
Tab. 10.15
• Stanovte podmínky duální přípustnosti
2. optimální báze ................................. ?
© L&K
29
• Z tabulky 10.15 jsou podmínky optimality:
- 60 + 2t ≥ 0
t ≥ 30
40 + 6t ≥ 0
t ≥ -20/3
• Odtud je
t   30, ∞ )
• V tabulce 10.15 je optimální řešení pro
t   30, 40 
• Optimálním řešením je vektor:
x = (110, 0, 10, 70, 0)T,
z = 4400 + 660t
© L&K
30
Příklad 10.5
• Je dána úloha LP s parametrickými cenami:
2x1 + 3x2 ≤ 14
2x1 + 2x2 ≤ 6
x1
≥ 0
x2 ≥ 0
z = (20+3t)x1 + (64+2t)x2 ... max.
a interval hodnot parametru t:
1≤ t ≤ 50
© L&K
31
Tab. 10.16
© L&K
32
• SM jsme vypočetli 1. optimální bázi pro:
t   1, 44 
• Pokračujeme ve výpočtu SM
• Další optimální báze již vyčerpává celý
zadaný interval:
t   44, 50 
© L&K
33