Analýza odporových obvodů

ELEMENTÁRNÍ ANALÝZA ODPOROVÝCH OBVODŮ
Nezávislý zdroj napětí
Ideální zdroj:
§ Udržuje na svých svorkách napětí s daným časovým průběhem
§ Je schopen dodat libovolný proud, i nekonečně velký, tak, aby
v závislosti na zátěži zachoval na svých svorkách konstantní napětí
§ Je schopen dodat nekonečný výkon
Symbol:
Příklad časového průběhu napětí
Zatěžovací charakteristika v čase tk
Skutečný zdroj napětí:
§ Výkon, který je schopen dodat, je omezený
§ Maximální proud, který je schopen dodat, je omezený
Symbol:
Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 3:
ELEMENTÁRNÍ ANALÝZA ODPOROVÝCH OBVODŮ
-1-
Zatěžovací charakteristika: u(t) = ui (t) ¡ f [i(t)]
u(t) = ui (t) ¡ Ri i(t)
ui
ik
napětí naprázdno
(vnitřní napětí)
proud nakrátko
Zatěžovací charakteristika lineárního (silná černá přímka) a
nelineárního (tenká modrá křivka) zdroje napětí
Výkon, dodaný zdrojem napětí: Pu = U ¢ Iu
kde Iu je proud, protékající zdrojem napětí (kladné znaménko má proud
vytékající z kladné svorky)
º může být záporný (spotřebovává výkon, např. akumulátor v nabíječce)
Nezávislý zdroj proudu
Ideální zdroj:
§ Udržuje mezi svými svorkami konstantní proud daného časového průběhu
§ Na svých svorkách může mít nekonečné napětí, které je dáno zátěží, tak,
aby proud tekoucí mezi svorkami byl konstantní
§ Je schopen dodat nekonečný výkon
Symbol:
Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 3:
ELEMENTÁRNÍ ANALÝZA ODPOROVÝCH OBVODŮ
-2-
Zatěžovací charakteristika v časovém
okamžiku tk
Příklad časového průběhu proudu
Skutečný zdroj proudu:
§ Výkon, který je schopen dodat, je omezený
§ Maximální svorkové napětí je omezené
Zatěžovací
charakteristika:
i(t) = ii (t) ¡ g[u(t)]
i(t) = ii (t) ¡ Gi u(t)
Symbol:
ui
ik
napětí naprázdno
(vnitřní napětí zdroje)
proud nakrátko
Zatěžovací charakteristika lineárního (silná černá úsečka) a nelineárního
(tenká modrá křivka) zdroje proudu
Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 3:
ELEMENTÁRNÍ ANALÝZA ODPOROVÝCH OBVODŮ
-3-
!!! Pozor !!! – následující kombinace se z hlediska připojeného obvodu
stále chovají jako ideální zdroje
Ri
Ii
Ui
Ri
Výkon, dodaný zdrojem proudu: Pi = Ui ¢ I
kde Ui je napětí na zdroji proudu (kladné znaménko napětí je na svorce,
ze které vytéká proud)
º může být záporný (spotřebovává výkon)
Zaměnitelnost zdrojů
pokud jsou zatěžovací charakteristiky stejné, není možné z hlediska svorek
(měřením) určit, zda se jedná o reálný zdroj napětí, nebo proudu Æreálné
zdroje lze libovolně zaměnit
150W
i
i
u
75V
u
libovolný
obvod
0.5A
150W
up = ui ;
ui
ik =
Ri
up =
ii
= iiRi;
Gi
libovolný
obvod
ik = ii
Následující zdroje není možné zaměnit – jsou to ideální zdroje!
Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 3:
ELEMENTÁRNÍ ANALÝZA ODPOROVÝCH OBVODŮ
-4-
Příklad:
I = 1A, R1 = 100 W, R2 = 200 W,
R3 = 300 W
Ui = IR2 = 200 V
Ri = R2 + R3 = 500 Ð
Théveninův teorém
§ Libovolný lineární aktivní dvojpól („černá krabička“, která obsahuje
libovolný počet obvodových prvků – zdrojů, rezistorů, induktorů,
kapacitorů, …) může být nahrazen sériovým spojením zdroje napětí a
pasivního dvojpólu (rezistoru, nebo kombinace rezistorů, kapacitorů a
induktorů)
§ Výsledný odpor (impedance) pasivního dvojpólu je celkový odpor
(impedance) celého aktivního dvojpólu po vyjmutí zdrojů, z pohledu
svorek
§ Vyjmutí zdroje napětí: zdroj je zkratován (ideální zdroj napětí má
nulový vnitřní odpor)
§ Vyjmutí zdroje proudu: zdroj je rozpojen (ideální zdroj proudu má
nekonečně velký vnitřní odpor /a nezatížený nekonečně velké napětí/)
§ Řízené zdroje nelze z obvodu vyjmout!
§ Celkový odpor (impedance) je směrnicí úsečky zatěžovací
charakteristiky, i když obvod obsahuje řízené zdroje Æ jediná
možnost, pokud obvod obsahuje řízené zdroje
Up
Ri =
Ik
§ Nelze použít pro výpočet celkového výkonu obvodu (jiné proudové
poměry) – výkon není lineární funkce!
Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 3:
ELEMENTÁRNÍ ANALÝZA ODPOROVÝCH OBVODŮ
-5-
Nortonův teorém
§ Libovolný lineární aktivní dvojpól může být nahrazen paralelním
spojením ideálního zdroje proudu a pasivního dvojpólu
§ Výsledný odpor (impedance) pasivního dvojpólu je celkový odpor
(impedance) celého aktivního dvojpólu po vyjmutí zdrojů, z pohledu
svorek
Řízené zdroje
§ napětí (proud) je funkcí jiné obvodové veličiny (napětí nebo proudu)
§ reálné příklady řízených zdrojů – tranzistor, operační zesilovač
zdroj napětí řízený napětím zdroj napětí řízený proudem
uv = Kur
uv = Rir
zdroj proudu řízený napětím zdroj proudu řízený proudem
iv = Hir
iv = Gur
Ekvivalence aktivních dvojpólů
Sériové spojení zdrojů napětí
n
X
u(t) =
uk (t)
k=1
Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 3:
ELEMENTÁRNÍ ANALÝZA ODPOROVÝCH OBVODŮ
-6-
Paralelní spojení zdrojů proudu
n
X
i(t) =
ik (t)
k=1
Přemístění zdroje napětí:
Přemístění zdroje proudu:
Rozdělení obvodu:
Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 3:
ELEMENTÁRNÍ ANALÝZA ODPOROVÝCH OBVODŮ
-7-
Příklad rozdělení obvodu:
R1
R3
U1
R2
R4
→
R1
U1
+
R2
R3
U1
R4
Elementární obvody
– dělič napětí
· 2 nebo více obvodových prvků zapojených sériově
· společná obvodová veličina – proud
U1
I=
R1 + R2
U1
U2 = R2I = R2
R1 + R2
R1
I
U1
R2
U2
U2 = U1
R2
R1 + R2
Snadno lze rozšířit pro N rezistorů:
Uj = U1
– dělič proudu
i=1
· 2 nebo více prvků zapojených paralelně
· společná obvodová veličina – napětí
U = RI =
I
R1
I2 =
R2
Rj
N
X
Ri
U
R1 R2
I
R1 + R2
U
R1 R2 1
=I
R2
R1 + R2 R2
I2 = I
R1
R1 + R2
Rozšíření pro N rezistorů komplikovanější – pro 3
R1 R2 R3
R = ( R11 + R12 + R13 )¡1 = R1 R2 +R
1 R 3 +R2 R3
Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 3:
ELEMENTÁRNÍ ANALÝZA ODPOROVÝCH OBVODŮ
-8-
Metoda postupného zjednodušování
· v obvodu hledám sériové a paralelní kombinace pasivních prvků, které
mohu nahradit celkovým odporem (impedancí)
· postupuji od konce obvodu směrem ke zdroji; postupně tak dostávám ze
složitějšího stále jednodušší obvod, až po elementární obvod, u kterého
mohu pomocí elementárních metod vypočítat napětí a proudy na
zbývajících prvcích
· nyní se vracím zpět k původnímu obvodu – vypočítané napětí (proudy)
rozděluji mezi jednotlivé prvky obvodu, dokud se nevrátím k původnímu
obvodu
Původní řešený obvod
· Hledám napětí U2
R1
U1
R2
R3
R4
Krok 1
Sloučím rezistory R3 a R4, které jsou zapojeny
sériově
R1
U1
R2
R34
R1
U1
R234
U234
R1
U1
R3
R2
U234
U2
R4
U2
R34 = R3 + R4
Krok 2
Sloučím paralelní kombinaci rezistorů R1 a R34;
rezistory R1 a R234 spolu tvoří jednoduchý dělič
napětí, které mohu vyjádřit
R2 ¢ R34
R234
R234 =
; U234 = U1
R2 + R34
R1 + R234
Krok 3 – zpět k původnímu obvodu
Nyní znám napětí na rezistorech R3 a R4, které
mohu rozdělit opět vzorcem pro dělič napětí
R4
U2 = U234
R3 + R4
Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 3:
ELEMENTÁRNÍ ANALÝZA ODPOROVÝCH OBVODŮ
-9-
Princip superpozice
§ Z obvodu, který je napájen N nezávislými zdroji napětí nebo proudu
vyjmu N -1 zdrojů, dílčí obvod bude napájen vždy pouze jedním
zdrojem
§ Hledaná obvodová veličina je součtem N příspěvků od jednotlivých
zdrojů
§ NELZE použít pro nelineární obvody!
§ NELZE vyjmout řízené zdroje!
§ NELZE sčítat dílčí příspěvky k výkonu na rezistorech od jednotlivých
zdrojů, vždy musí být nejdříve vyjádřen celkový proud, nebo napětí
(výkon není lineární, P = RI 2
Příklad – obvod výše, R1 = 100 W, R2 = 300 W, R3 = 200 W, U = 250 V, I = 1 A
Ux = Ux1 + Ux2 = I
R2R3
R2
+U
= 120 + 150 = 270 V
R2 + R3
R2 + R3
,
P R2
2702 !
=
= 243 W
300
2
PU = U IU = U ( R2 U+R3 ¡ I R2R+R
)=
3
PI
300
= 250 ¢ ( 250
500 ¡ 1 ¢ 500 ) = 250 ¢ (¡0:1) = ¡25 W
h
i
R2 R3
= UI ¢ I = I ¢ (R1 + R2+R3 ) + Ux2 I =
= [1 ¢ (100 + 120) + 150] ¢ 1 = 370 W
Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 3:
ELEMENTÁRNÍ ANALÝZA ODPOROVÝCH OBVODŮ
- 10 -
Transfigurace hvězda – trojúhelník
§ Vlastnosti všech párů svorek musí být stejné jak v zapojení do
trojúhelníka (∆), tak do hvězdy (Y)
§ Pro rezistory musí platit:
R01 + R02 =
R12(R23 + R31)
R12 + R23 + R31
R02 + R03 =
R23(R31 + R12)
R12 + R23 + R31
R01 + R03 =
R31(R12 + R23)
R12 + R23 + R31
§ Potom, transfigurace ∆-Y (náhrada zapojení ∆ ekvivalentním zapojením Y)
R01 =
R12 R31
R12 + R23 + R31
R02 =
R12 R23
R12 + R23 + R31
R01 =
R23 R31
R12 + R23 + R31
Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 3:
ELEMENTÁRNÍ ANALÝZA ODPOROVÝCH OBVODŮ
- 11 -
§ transfigurace Y-∆ (náhrada zapojení Y ekvivalentním zapojením ∆)
a) Pro vodivosti musí platit:
G03(G01 + G02)
G31 + G23 =
G01 + G02 + G03
G12 + G23 =
G02(G01 + G03)
G01 + G02 + G03
G12 + G31 =
G01(G02 + G03)
G01 + G02 + G03
b)
c)
G12 =
G01 G02
G01 + G02 + G03
G31 =
G01 G03
G01 + G02 + G03
G23 =
G02 G03
G01 + G02 + G03
R12 = R01 + R02 +
R01 R02
R03
R23 = R02 + R03 +
R02 R03
R01
R31 = R03 + R01 +
R03 R01
R02
Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 3:
ELEMENTÁRNÍ ANALÝZA ODPOROVÝCH OBVODŮ
- 12 -