Finanční management Zabezpečená pozice Určení ceny opce

Finanční management Zabezpečená pozice Určení ceny opce

Finanční management
• Máme-li dvě finanční aktiva - akcie a opci na tyto akcie - můžeme
dosáhnout bezrizikové zabezpečené pozice. Změna ceny jednoho aktiva
je doprovázena opačnou změnou ceny druhého. Mějme evropskou opci
na koupi akcie, které nevyplácejí žádné dividendy, dohodnutý termín je 6
měsíců. Nejsou žádné transakční náklady na koupi či prodej opce a akcií.
Předpokládejme bezrizikový výnos r (např. státní obligace).
Zabezpečená pozice
Cena opce, parita kupní a
prodejní opce, Black-Scholesův
vzorec, reálné opce
• Potom je očekávaná hodnota akcie : 2 / 3 * 1,2 *
50 + 1 / 3 * 0,9 * 50 = 55 Kč.
• A očekávaná hodnota opce : 2 / 3 * 10 + 1 / 3 * 0
= 6,67 Kč.
• Zabezpečenou pozicí můžeme v tomto případě
dosáhnout tím, že koupíme akcie a vypíšeme
opce. Cílem je dosáhnout bezrizikovou pozici.
Příslušný poměr mezi počtem akcií a opcí je
X * uS – Y * uV0 = X * dS – Y * dV0
odtud X / Y = (uV0 – dV0) / (uS – dS)
• Hedge ratio = (uV0 – dV0) / (uS – dS) = (10 – 0) /
(60 – 45) = 2 / 3, kde X je počet akcii a Y je počet
opcí.
• Předpokládejme, že na konci šestiměsíčního období jsou
dva možné stavy okolí. V jednom stavu je cena akcie vyšší
než současná, označíme uS, ve druhém je cena nižší a to
dS. S představuje současnou cenu akcie, u =1 + % zvýšení
ceny akcie od počátku do konce období a d = 1 - % snížení
ceny akcie od počátku do konce období. Pravděpodobnost,
že se cena akcie zvýší o 20 % je q např. 2/3,
pravděpodobnost, že se sníží o 10 % je 1 - q. Dále
předpokládejme, že úrok ze státních obligací na 6 měsíců je
5 % a dohodnutá cena z opce je 50 Kč ≡ Vs.
• Za předpokladu nulových transakčních nákladů
bude naše pozice na konci období vypadat takto
(máme např. dvě akcie a tři opce):
Cena akcie na konci období
Cena volné pozice v akciích
Cena těsné pozice v opcích
Hodnota kombinovaného držení
60
2*60 = 120
-3 * 10 = - 30
90
45
2*45 = 90
-3 * 0 = 0
90
• Skutečně nezávisle na ceně akcií je naše
hodnota kombinovaného držení stejná.
Pozn.: Procentní snížení a zvýšení ceny akcie u a d musí být větší než bezrizikový výnos.
Určení ceny opce
• Výnos výše uvedené dokonale zabezpečené pozice je
závislý na prémii, kterou za opci zaplatíme eventuelně
obdržíme. Protože uvedené držení je bezrizikové, na
dokonale fungujícím kapitálovém trhu nemůže mít výnos jiný,
než je tzv. bezrizikový výnos. V našem případě by výnos měl
být roven 5 %, tj. úroku státních obligací. Víme, že konečná
hodnota zabezpečené pozice je 90 Kč (za 6 měsíců! ) a dále,
že vydáme 100 Kč na nákup dvou akcií. Ovšem také na
počátku období obdržíme prémie za tři vypsané opce. Jaký
je čistý výnos této transakce? Použijeme srovnání pomocí
NPV, máme totiž různodobé peněžní toky. Označíme si
prémii za opce VoB. Jako diskontní míru musíme použít 5 %!
• 100 – 3 * P – 90 / 1,05 = 0
• P = (105 – 90) / 3,15 = 4,762
• Tak je počáteční investice 100 – 3 * 4,762 = 85,714 Kč a
výnos je 90 / 85,714, což je 5 %. Samozřejmě, že dvě
různé investice se stejným rizikem by měly mít stejný
výnos.
Pozn.: Očekávaný výnos akcie je (55 – 50) / 50 = 10 %
• Protože očekávaná hodnota akcie je 55 Kč na konci
období a očekávaný výnos opce je (6,667 - 4.762) / 4,762
= 40 %, kde 6,667 je očekávaná hodnota opce.
Očekávaný výnos opce je tedy vyšší než u akcie, na
kterou je tato opce vypsána, ale to odpovídá vyššímu
riziku spojenému s opcí. Důležité je, že když je prémie za
opci stanovena korektně, je výnos zabezpečené pozice
roven bezrizikovému výnosu.
1
Tendence pro korektní cenu za opci
• Co se stane, když cena za opci (prémie) bude na počátku
období odlišná od námi spočítané ceny 4,762 Kč? Např.
bude-li prémie za opci rovna 5 Kč? Jako racionální investor
si okamžitě půjčíme peníze za bezrizikový úrok 5 % a
investujeme do zabezpečené pozice. Náš výnos za 6 měsíců
je [90 - (100 - 3 * 5)] / (100 - 3*5) = 5,88 %.
• A protože výnos bezrizikové pozice je vyšší než náklady na
vypůjčení peněz, půjčíme si co nejvíce a budeme očekávat
čistý zisk. Musíme však prodávat opce a tak zvýšíme jejich
nabídku na trhu, jejich cena v důsledku toho bude klesat.
Naopak, bude-li opce podhodnocena, řekněme za 4,50 Kč,
koupíme opce, prodáme ihned nakrátko akcie a investujeme
hotovost do státních obligací. Na počátku období máme:
Black – Scholesův vzorec
• Jsou známé krátkodobé úrokové míry, které jsou konstantní.
• Ceny akcií jsou naprosto náhodné, mění se spojitě v čase s
rozptylem výnosů, který je úměrný druhé mocnině ceny. Potom je
distribuční funkce očekávaných cen akcie pro každý konečný
časový interval lognormální s konstantní hustotou
pravděpodobnosti.
• Z akcie nejsou vypláceny žádné dividendy ani jiné výnosy.
• Opce je evropského typu.
• Transakční náklady jsou nulové.
• Je možné si vypůjčit jakoukoliv částku pro koupi cenného papíru či
jeho zlomku za krátkodobou úrokovou míru.
• Krátkodobé prodeje nejsou nijak omezeny. Prodávající, který
nevlastní příslušný cenný papír, obdrží od kupujícího částku ve výši
aktuální ceny cenného papíru a v určeném časovém budoucím
okamžiku zaplatí kupujícímu částku rovnou aktuální ceně cenného
papíru v tomto budoucím okamžiku.
Hodnota takto sestrojené zabezpečené pozice je:
St −
Vo ( S t , t )
∂Vo ( S t , t )
∂S t
tři opce
dvě akcie
státní obligace
celkem
13,50
-100
100
13,50
Na konci období pro oba možné stavy okolí máme:
cena hodnota ztráta za hodnota kombinovaná
akcie
opce
akcie obligací
pozice
60
30
-120
105
15
45
0
-90
105
15
V obou případech máme jistý (Sic!) výnos (15-13,5)/13,5 = 11,11%
Za těchto předpokladů závisí hodnota opce pouze na ceně akcie, čase a na
proměnných, které jsou konstantní a známé. Poté je možné sestavit
zabezpečenou pozici z akcií a opcí, jejíž hodnota není závislá na ceně akcie,
ale pouze na čase a na hodnotě známých konstantních veličin. Počet opcí,
které musíme prodat pro zajištění nákupu jedné akcie, je:
1
∂Vo ( S t , t )
∂S t
Hodnota takto zabezpečené pozice je skutečně nezávislá na ceně akcie.
Pokud se cena akcie nepatrně změní o ∆St, změní se hodnota opce
přibližně o
∂V ( S , t )
o
∂S t
t
⋅ ∆S t
a hodnota všech opcí se změní o ∆St. Pak je změna hodnoty dlouhé pozice
v akciích vyrovnána změnou hodnoty krátké pozice v opcích.
Při znalosti pravděpodobnostního charakteru hodnoty opce můžeme za ∆Vc
dosadit:
∆Vo =
∂Vo ( S t , t )
1 ∂ 2Vo ( S t , t ) 2 2
∂V ( S , t )
⋅ ∆S t + ⋅
⋅ v ⋅ S t ⋅ ∆t + o t ⋅ ∆t
∂S t
2 ∂S t ⋅ ∂t
∂t
Změna hodnoty zabezpečené pozice za krátký časový interval ∆t je:
∆V ( S , t )
∆S t − o t
∂Vo ( S t , t )
∂St
Po dosazení za ∆Vc a po úpravách získáme diferenciální rovnici, která po
vyřešení a po využití okrajových podmínek pro hodnotu opce v okamžiku
realizace opčního kontraktu vede k výsledku:
2
Hodnota prodejní opce
Hodnota call option - kupní opce:
= hodnota kupní opce + PV(E) - P
• hodnota opce = beta * cena akci - úvěr
• Máme akcii + opci prodat tuto akcii za 100 (put!)
Vc = N ( d 1 ) ⋅ S 0 − N ( d 2 ) ⋅ E ⋅ e − i⋅T
ln(
σ2
S0
) + (i +
) ⋅T
E
2
σ ⋅ T
ln(
S0
σ2
) + (i −
) ⋅T
E
2
= d1 − σ T
σ ⋅ T
d1 =
d2 =
Jiný způsob výpočtu ceny opce (pro 2 stavy)!
• Nemůže existovat arbitráž (stroj na peníze) => je jedno,
jaký postoj k riziku mají investoři => očekávaný výnos
z akcie = i
• pH * PH + pL * PL = i
pH a pL jsou pravděpodobnosti vzrůstu a poklesu
v bezrizikovém světě.
• Očekávaná cena opce pH * POH + pL * POL a převést na
současnou hodnotu.
• => 1 put opce + akcie = E + call opce !
• hodnota put opce + P = PV(E) + hodnota call
• Protože zakoupení kupní opce a investice PV(E) do bezrizikové
pozice má stejné platby jako zakoupení prodejní opce a jedné akcie.
Magna Charter jako opce
tryskové letadlo
- 550 tis. EUR
Příklad (viz tabule)
ka
táv
op
p
%
ká 60
so
=
vy n p
ízk
á
p = pop
40 távk
%
a
ka
táv
op
á p 0%
k
so
=8
vy
CF = 150
níz p
ká
p = pop
20 távk
%
CF = 960
a
CF = 220
CF = 30
vka
optá
ká p
vyso
40%
níz p =
k
p = á po
60 ptáv
%
ka
CF = 930
CF = 140
Tryskové letadlo můžete ve druhém roce prodat za 500.
Binomická mříž
• Pokud zkrátíme interval změny, dostáváme více
stavů
• Kombinujeme stavy tak, že vzestup=1/pokles
u = eσ
d = e −σ
δt
δt
Americká versus Evropská opce
• Kupní na akcii bez dividend.
• Rozdíl mezi vnitřní hodnotou opce a její
cenou je tzv. časová hodnota, která je před
vypršením vždy kladná => pokud opci
uplatním, přijdu o její časovou hodnotu => je
lepší nechat opci „živou“.
• Příklad
3
Úprava na dividendy
Úprava Black-Scholesova vzorce:
S* = S −
• kde D je dividenda,
• t je čas výplaty dividendy
• S* je cena akcie upravená o současnou
hodnotu dividend.
• Z toho se pak spočítá Pca.
• PS2 = po dividendě, PS1 = před dividendou.
• Pokud Pcd > Pca (vnitřní hodnota uplatnění opce
před dividendou > hodnota živé opce po dividendě),
tak se vyplatí ji předčasně uplatnit!
Hodnota opce s uplatněním:
• místo P použiji PS*,
• místo E stačí E -D (dividendy dostanu, stačí
mi tak méně peněz)
• a místo T použiji t (uplatním opci)
• Vyšší z obou hodnot je hodnota opce !
Vc = N ( d 1 ) ⋅ S * − N ( d 2 ) ⋅
ln(
d1 =
D
e it
Pojištění portfolia
• 1) Smlouva s pojišťovnou, že uhradí ztráty pod 100.
E−D
e i ⋅t
σ2
S*
) + (i +
) ⋅t
E−D
2
σ ⋅ t
d 2 = d1 − σ t
Programové obchodování
• 2) Zakoupení put opce na indexu akcií, který je
podobný investorovým.
•
•
Pomocí počítačů se automaticky: roste-li cena
akcií, prodávají se obligace a nakupují se akcie a
naopak.
Problémy: transakční náklady, krátké intervaly
(nemožnost změn).
• 3) Vytvoření syntetické put opce, což je kombinace
koupě a prodeje akcií a obligací. Cíle je dosaženo
dynamickou strategií: Buď prodám obligace a
koupím akcie nebo prodám akcie a koupím obligace
4