4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí

4 Vyhodnocení naměřených funkčních
závislostí
Kromě měření konstant je častou úlohou měření zjistit, jak nějaká veličina y (závisle
proměnná, jinak řečeno funkce) závisí na jiné proměnlivé veličině x (nezávisle proměnné,
jinak řečeno argumentu).
Každá taková funkční závislost je určena tabulkou, grafem, nebo analytickým zápisem. Při
vlastním měření ke zvoleným hodnotám x1 , x2 , ...xn (rostoucím nebo klesajícím)
zaznamenáváme do tabulky naměřené hodnoty y1 , y2 , ... yn . Dvojice hodnot xi , yi pak
vyneseme do grafu a podle přibližného tvaru křivky, spojující tyto body, rozhodneme, jakou
funkcí vyjádříme hledanou závislost y = y ( x) . Může to být funkce lineární, kvadratická popř.
i funkce s vyššími mocninami x. Časté jsou také funkce exponenciální či logaritmické.
V praxi se mohou vyskytnout dva případy:
1. Měřená závislost je známa a experiment ji více nebo méně přesně potvrdí. Je nutné tedy
najít „správné“ hodnoty koeficientů v analytickém vyjádření funkce. Touto
problematikou se zabývá vyrovnávací počet.
2. Fyzikální interpretace měřené závislosti není v literatuře jednoznačně popsaná, tzn. že
nemůžeme předem znát tvar funkční závislosti – tzv. modelovou funkci. Pak je možné
pokusit se vyslovit hypotézu o funkční závislosti a ověřit výsledky jinou metodou.
Je nutno zdůraznit, že tzv. modelová funkce musí být fyzikálně opodstatněná.
Předpokládáme-li lineární závislost, není vhodné proložit naši naměřenou závislost např.
kvadratickou funkcí, i kdybychom dospěli k „lepší“ shodě s naměřenými údaji. V takovém
případě musíme výsledky měření analyzovat a pokusit se nalézt zdroj možných chyb měření.
Využití počítačů v této problematice nám umožňuje nalézt analytické vyjádření funkce,
která nejlépe reprodukuje skutečně naměřenou funkční závislost i ve složitějším tvaru (např.
polynom n-tého stupně, logaritmická či exponenciální funkce, popřípadě jejich kombinace).
Při hledání vhodné funkce nesmíme zapomenout, že naměřené hodnoty závisle i nezávisle
proměnné jsou zatíženy chybami stejně jako naměřené hodnoty konstantní veličiny (tj.
chybami hrubými, soustavnými a nahodilými). Hodnoty v tabulce jsou tedy vyjádřením
funkce, která „osciluje“ kolem funkce hledané (uvažujeme-li chyby nahodilé), popřípadě je
posunuta vůči funkci hledané (jestliže jsme neodstranili chyby soustavné). Nejvíce patrné
jsou ovšem chyby hrubé, které vyloučíme pokud možno ještě před zpracováním.
Po zadání tvaru funkce nám vhodný program sám určí potřebné koeficienty (konstanty) ve
vzorci. Správnost těchto konstant pak určuje tzv. regresní koeficient, který se při úplné shodě
teorie s praktickým měřením rovná 1. Ve Fyzikálním praktiku půjde většinou o ověření
závislostí
y=
a + bx ,
y=
ebx ,
y=
ax b
00-4/1
4.1 Lineární závislost
Řada jednodušších fyzikálních zákonů a závislostí je lineární, grafem je tedy přímka vyjádřená
rovnicí
y= a + bx ,
(4.1)
kde a, b jsou konstanty.
Z vyrovnávacích metod je v tabulkových kalkulátorech nejčastěji používána metoda
nejmenších čtverců. Pracují s ní i kvalitnější programovatelné kapesní kalkulátory. Dává
dobré výsledky při normálním (gaussovském) rozložení chyb. Pokud však opomeneme
vyloučit hrubé chyby, výrazně zkreslují výsledek svým čtvercem.
Nemáme-li k dispozici program, můžeme určit hledané koeficienty graficky. Existují
grafické metody, které umožňují s dostatečnou přesností nalézt přímku, která se body
vynesenými do grafu prokládá. Zkušenější experimentátor je schopen v případech, že
požadavky na přesnost nejsou vysoké, proložit těmito body přímku „od oka“.
Na obr. 4.1 jsou zobrazeny
výsledky
měření
závislosti
brzdného napětí na frekvenci,
naměřené
při
stanovování
Planckovy konstanty. Závislost
je
vyrovnána
skupinovou
metodou graficky. Měření, jehož
obrazem je bod A, je zřejmě
zatíženo hrubou chybou, proto
jej
do
vyhodnocování
nezahrneme. Ostatní body jsou
rozděleny do dvou skupin, jsou
nalezena jejich těžiště a jimi je
proložena přímka. Bodu B byla
přisouzena dvojnásobná váha,
neboť při opakování měření jsme
obdrželi
stejnou
hodnotu
brzdného napětí.
Obr. 4.1 Přímka proložená naměřenými body grafickou metodou
Směrnice lineární závislosti
Prodloužíme-li přímku až po x = 0 , určíme koeficient a jako úsek na svislé ose.
Koeficient b , tj. směrnici lineární závislosti, určíme ze vzorce:
b=
y2 − y1
.
x2 − x1
! Pozor ! Z geometrie jste zvyklí určovat směrnici přímky jako tangentu jejího směrového
úhlu. To ovšem platí jen tehdy, jsou-li na obou osách zvolena stejná měřítka.
00-4/2
(4.2)
Obr. 4.2 Směrnice – zobrazení 1
Obr. 4.3 Směrnice – zobrazení 2
Na obr. 4.2 a 4.3 je zobrazena tatáž lineární závislost. Na svislé ose je však v druhém
případě jiné měřítko než na ose vodorovné. Při použití vztahu b = tg α vidíme, že při
vyhodnocení téže lineární závislosti dostaneme při zobrazení v různých měřítkách různý
výsledek.
Stanovíme-li však pro obě zobrazení směrnice hodnotu b výpočtem podle vztahu (4.2):
=
b1
56 mV
48 mV
= 8, 0 Ω , =
b2 = 8, 0 Ω
7, 0 mA
6, 0 mA
(4.3)
vyjde podle očekávání v obou případech stejná.
Je třeba zdůraznit, že směrnice není obecně bezrozměrné číslo. Rozměr, resp. jednotku
obdržíme po dosazení rozměrů (jednotek) veličin x, y do rovnice (4.2), tak jak je vidět
v rovnici (4.3).
4.2 Exponenciální a mocninná závislost
Máme-li zpracovat výsledky měření veličiny, jejíž závislost na nezávisle proměnné veličině je
exponenciální nebo mocninná, lze vhodným zobrazením – u exponenciální funkce
semilogaritmickým, u mocninné logaritmickým – převést tyto závislosti na lineární.
Postup používáme zejména tehdy, nemáme-li přístup k automatizovanému
zpracování, neboť vyrovnání lineární závislosti zvládneme jednoduchými prostředky. Snadno
pak z grafu určíme koeficienty v původní měřené závislosti.
Tato metoda má však své výhody i v případě počítačového zpracování měření, kdy nám
koeficienty funkce v hledané závislosti určí program přímo a nemuseli bychom tedy graf
„linearizovat“. Před samotným zpracováním je nutno totiž zjistit, zda měření neobsahuje hrubé
chyby. V transformované přímce postřehneme tyto chyby snáze než v exponenciální nebo
mocninné závislosti a můžeme je vyřadit.
Mnohdy také podle zalomení přímky zjistíme, že naměřené hodnoty je vhodné rozdělit do
dvou skupin a pro každou z nich určit jiné koeficienty prokládané funkce.
00-4/3
Exponenciální funkce
y = aebx ,
má tvar
(4.4)
po logaritmování (přirozené logaritmy) obdržíme:
ln=
y ln a + bx .
(4.5)
Provedeme následující transformaci: Y = ln y , X = x , A = ln a .
Po dosazení do (4.5) je vidět, že exponenciální závislost dostala tvar lineární funkce
Y= A + bX .
V souřadnicích X, Y bude
tedy funkce zobrazena
přímkou.
Používáme SW nástroje
(v
programu
Excel
nastavíme pro jednu z os
logaritmické
měřítko),
nebo semilogaritmický
papír (jedna z os má
předtištěné logaritmické
měřítko).
Obr. 4.4 Exponenciální funkce v semilogaritmickém zobrazení
U logaritmických os jsou na patřičných místech zobrazeny mocniny 10, neboť i když na
osu vynášíme logaritmus hodnoty, pro větší přehlednost připisujeme k dělícím bodům přímo
hodnoty, nikoliv jejich logaritmy. Při výpočtech musíme vzít v úvahu, že osa je dělena
v dekadických, nikoliv přirozených logaritmech.
Po vynesení bodů do semilogaritmického zobrazení provedeme podle potřeby vyrovnání
lineární závislosti a sestrojíme přímku. Směrnici této přímky, tj. koeficient b v závislosti
(4.4), obdržíme ze vztahu
b=
log y2 − log y1
ln10 .
x2 − x1
(4.6)
Do rovnice (4.6) dosazujeme souřadnice dvou dostatečně vzdálených bodů vyrovnávající
přímky. Nedosazujeme hodnoty z tabulky, ale dva body ležící na proložené přímce.
Nevolte vždy paušálně krajní body přímky, okrajové hodnoty měřeného intervalu jsou měřeny
obvykle s menší přesností.
Fyzikální rozměr koeficientu b je v tomto případě určen rozměrem jmenovatele zlomku,
neboť logaritmus veličiny je vždy bezrozměrné číslo.
Na obr. 4.4 je závislost relativního světelného toku na tloušťce pohlcujícího prostředí x při
absorpci světla, která má tvar Φ r = e − ax .
00-4/4
Závislost má v semilogaritmickém zobrazení (osa x má lineární a osa y logaritmické
měřítko) tvar klesající přímky. Směrnice této přímky k (přičemž k = – a) je
k=
log 2 − log 30
ln10 = −0,54 cm −1
(7, 0 − 2, 0) cm
Mocninnou závislost
y = axb
jednoduchého typu
(4.7)
lze také transformovat na závislost
lineární. Rovnici (4.7) logaritmujeme:
log
=
y log a + b log x
(4.8)
a po substituci Y = log y , X = log
x , A = log a obdržíme rovnici přímky
Y= A + bX .
(4.9)
V tomto případě, jak sami vidíte, musejí
mít obě osy logaritmické měřítko.
Takže v Excelu nastavíte logaritmické
měřítko u obou os nebo použijete
logaritmický papír (tj. obě osy mají
logaritmické měřítko).
Na obr. 4.5 je závislost výkonu
vyzařovaného žárovkou na teplotě vlákna
této žárovky.
Podle
Stefanova–Boltzmannova
zákona má být vyzařovaný výkon úměrný
čtvrté mocnině absolutní teploty:
P = ασ S T 4
.
Obr. 4.5 Mocninná závislost v logaritmickém zobrazení
V logaritmickém zobrazení tedy očekáváme přímku, jejíž směrnice je 4. Ze souřadnic dvou
bodů nalezené přímky vypočítáme směrnici přímky, tj. koeficient b , podle vztahu
b=
log y2 − log y1
.
log x2 − log x1
Po dosazení obdržíme
=
b
∆ log P
log 2, 4 − log 0, 2
=
= 4, 03 ,
∆ log T log1000 − log 540
což je v dobré shodě s ověřovaným Stefanovým–Boltzmannovým zákonem.
Na s. 25-28 si ukážeme postup vytvoření tohoto grafu v aplikaci MS Excel.
00-4/5
4.3 Zásady tvorby grafů
Grafické zobrazení je díky názornosti velmi časté a v odborné fyzikální literatuře je téměř
každá naměřená závislost doplněna grafem. Pro jejich zhotovování nejsou jednoznačná
pravidla – v každém oboru jsou trochu odlišné zvyklosti. Ve fyzikálním praktiku
doporučujeme držet se následujících zásad:
1. Grafy zhotovujeme na milimetrovém, popřípadě jiném speciálním grafickém papíře
(semilogaritmický, logaritmický, polární), obvykle formátu A4. V pravoúhlé soustavě
souřadnic se nezávisle proměnná vynáší na vodorovnou osu, přičemž kladné hodnoty
veličin vzrůstají vpravo a nahoru od počátku souřadnic. V polární soustavě souřadnic
musí ležet počátek čtení úhlů na vodorovné nebo svislé ose a kladný smysl úhlových
souřadnic musí odpovídat opačnému smyslu otáčení hodinových ručiček.
2. Osy grafu musejí být popsány symbolem nebo názvem veličiny. Do kulaté závorky
nebo za lomítko uvedeme i její jednotku (není-li veličina bezrozměrná). Na vnější
stranu os vyneseme stupnici, jejíž body jsou přiměřeně daleko od sebe, abychom mohli
z grafu pohodlně odečítat. Čísla se píší vodorovně, a to i u svislé osy. Pokud je to
účelné, užíváme mocnin 10 popř. násobků jednotek. Souřadnice naměřených bodů
na osách nevyznačujeme, ty lze vyhledat v tabulce.
3. Měřítka a stupnice grafu volíme tak, aby vynášené křivky zaplňovaly co největší
plochu mezi osami. Do průsečíku os klademe nuly stupnic pouze v některých případech
(chceme-li např. ukázat, že graf neprochází počátkem souřadnic). Jinak začíná stupnice
hodnotou o něco menší než je nejmenší vynášená.
4. Chyba při odečítání obou souřadnic je stejná jen v té části křivky, kde směrnice
příslušné tečny je rovna 1. V místech, kde se křivky příliš přibližují rovnoběžkám
s některou osou, je chyba odečtu jedné či druhé souřadnice z grafu větší. Tuto chybu
nelze vždy odstranit pouhou změnou měřítek stupnic na osách.
5. Jednotlivé naměřené hodnoty v grafu výrazně označíme – nejlépe křížkem. Naprosto
nevhodné jsou pouhé tečky, které po vytažení křivky většinou zmizí. Potřebujeme-li do
jednoho grafického pole vynést více křivek a mohlo by dojít k záměně bodů,
odlišujeme je různými černobílými značkami (,,,,,⊗,⊕). Barvy použijeme
pouze tehdy, bude-li graf tisknut barevně a také barevně rozmnožován. Ke každé křivce
zapíšeme hodnotu parametru, který ji určuje.
6. Body nespojujeme lomenou křivkou, spojnice bodů nemá zpravidla žádný
fyzikální význam. Pokud je žádoucí vytvořit spojnici bodů, prokládáme hladkou
křivku (např. pomocí křivítka). Křivku volíme tak, aby neměla fyzikálně
neopodstatněné skoky, zlomy a extrémy, byla dostatečně hladká a měla přibližně stejný
počet bodů nad a pod čarou.
7. Graf musí mít svoje číslo a stručný a výstižný název. Pokud to situace vyžaduje
uvedeme i další potřebné údaje (datum, typ vzorku, parametry a podmínky měření,
apod.). Často musíme z grafu odečíst určitou hodnotu, kterou potřebujeme pro další
zpracování měření. Tyto význačné body označíme odlišně od naměřených hodnot, a to
jak na křivce, tak na příslušné ose.
Na následujícím obrázku jsou V–A charakteristiky diody, které budete měřit při zjišťování
výstupní práce elektronu z kovu. Každou z nich jsme měřili při jiné konstantní hodnotě
žhavicího proudu I ž .
00-4/6
Body, v nichž anodový proud I A dosahuje nasycení (charakteristika přejde v lineární), jsou
na křivce vyznačeny kolečkem a jejich souřadnice je vynesena na osu I A , neboť právě tyto
hodnoty I aN (v obrázku jsou vyznačeny I S1 , I S 2 , I S 3 ) potřebujeme k dalším výpočtům
.
Všechny zásady uvedené na předchozí straně platí i pro počítačovou tvorbu grafů.
Grafy ovšem v tomto případě netiskneme na milimetrový papír, ale na jednobarevný, nebo
je vkládáme přímo do textu.
4.4 Grafy v MS Excelu
Vzhledem k tomu, že většina studentů používá při zpracování protokolů počítač, zmíníme se
stručně i o zpracování grafů v tabulkovém procesoru MS Excel. Nepůjde samozřejmě
o vyčerpávající návod, většina z vás základní práci s Excelem ovládá. Zdůrazníme jenom
některé kroky při tvorbě grafů, v nichž studenti nejvíce chybují.
Nejlépe si vysvětlíme postup na konkrétní úloze, kterou budete měřit v laboratorním
cvičení z fyziky v letním semestru, a to na ověřování platnosti Stefanova-Boltzmannova
zákona. Podle Stefanova-Boltzmannova zákona (S-B zákon) je vyzářený výkon úměrný čtvrté
mocnině teploty vlákna, tedy
P = konst T 4 .
Má-li tento zákon platit, grafem musí být mocninná funkce.
Měřením a výpočty byly získány hodnoty V-A charakteristiky, příkon, odpor a teplota
vlákna žárovky a koeficient pohltivosti, které jsou uvedeny v následující tabulce:
00-4/7
U
V
I
mA
P
W
R
Ω
R/R0
-
T
K
α
-
0,4
1,0
2,0
4,0
5,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
51
86
128
193
219
245
289
332
367
402
0,020
0,086
0,256
0,772
1,095
1,470
2,312
3,320
4,404
5,628
7,84
11,63
15,63
20,73
22,83
24,49
27,68
30,12
32,70
34,83
2,48
3,68
4,94
6,56
7,23
7,75
8,76
9,53
10,35
11,02
583
818
1058
1354
1473
1566
1741
1872
2010
2120
0,436
0,475
0,506
0,568
0,576
0,605
0,623
0,669
0,668
0,689
Sloupce veličin T a P uspořádáte v Excelu vedle sebe, vyznačíte data v tabulce a kliknutím
na ikonu vyvoláte Průvodce grafem.
V prvním dialogovém okně 1/4 vyberete typ grafu. Pro fyzikální závislosti budete vždy
volit XY bodový graf. Jednotlivé body nespojujeme lomenou křivkou, spojnice bodů nemá
zpravidla žádný fyzikální význam.
Ve druhém okně 2/4 upravujete oblast dat, ve většině situací lze toto okno přeskočit. Po
stisknutí tlačítka „další“ přejdete na okno 3/4, kde zadáte název grafu a popis os, na posledním
4/4 zadáte umístění grafu.
Takto vytvořený graf můžete snadno znovu editovat, a to tak, že na něj 2krát kliknete
a otevřete ho tím pro úpravy.
00-4/8
Pak jej můžete dále doplňovat a formátovat, tentokrát klikáním pravým tlačítkem myši.
Tak např. můžete naměřenými body proložit křivku, která odpovídá dané závislosti a podívat
se, zda opravdu platí S-B zákon, tedy že P = konst T 4 .
Kliknete pravým tlačítkem myši na jeden z bodů grafu (ty se podsvítí) a zvolíte „přidat spojnici
trendu“. Poté volíte „typ trendu a regrese“, v našem případě funkci mocninnou a na kartě
možnosti zaškrtnete položku „zobrazit rovnici regrese“.
V grafu se objeví rovnice vyrovnané mocninné funkce. V exponentu jsme očekávali 4, nám
vyšla mocnina 4,37. Můžeme to však považovat za dobrou shodu s teorií – chyba nepřesahuje
5 %.
Takovýmto postupem můžete upravovat i další parametry grafu. Např. měřítko os, hodnoty
maxima a minima na osách, hodnoty průsečíku, písmo, legendu grafu, aj.
Regresní funkci volíme samozřejmě podle typu fyzikální závislosti, ne podle vzhledu grafu.
Nevolíme tedy lineární závislost, ale mocninnou, neboť S-B zákon má tvar P = konst T 4 . Naše
body jsou v přímce jen díky logaritmickému měřítku na obou osách (viz také s. 23).
00-4/9
Graf závislosti P(T)
10,000
y = 2E-14x 4,3756
P/W
1,000
0,100
0,010
100
1000
10000
T/K
Obr. 6.1: Ověření platnosti Stefanova-Boltzmannova zákona
00-4/10