Moderní metody optimalizace mechanických soustav

Moderní metody optimalizace mechanických soustav

Moderní metody optimalizace
mechanických soustav
Eduard Rohan Katedra mechaniky ZČU
Moderní metody v mechanice, 13.12.2006,
kurz ÚCV/KME – ZČU
1. Témata přednášky
• Co je optimální konstrukce?
• Jak měnit konstrukci?
• Optimalizace prutových soustav
Kritéria ???
• Layout optimization
• Optimální topologie těles
Vývoj . . .
• Volná materiálová optimalizace
• Využití metody homogenizace
• Tvarová optimalizace (úlohy s prouděním)
• Optimalizační metody používané v SO
• Jak vše spolu souvisí ???
. . . již 300 let se nemění.
Optimální ???
2. Co je optimální konstrukce?
• Kritéria optimality (Statika):
Minimální hmotnost,
Minimální poddajnost, maximální tuhost,
Minimální napětí, (limitní design),
Speciální: lokalizace plastické zóny, rovnoměrnost kontaktních napětí
• Některá výše uvedená kritéria jsou protichůdná ⇒
• Základní úlohy (Solid Mechanics):
Kritérium:
Omezení:
min. hmotnost max. napětí
min. hmotnost max. poddajnost
min. poddajnost max. hmotnost
• Speciální úlohy :
Optimalizace rozložení dané veličiny (teplotní pole, kontaktní napětí).
Optimalizace dynamických vlastností – ladění vlastních frekvencí.
Úlohy z oblasti interakce (Fluid dynamics) – proudění, aerodynamika (Shape Optimization)
Jak měnit konstrukci?
• Sizing optimization — optimalizace „rozměrůÿ
geometricky jednoduché části (prut, nosník), soustavy
parametry: průřezové charakteristiky, délky, průměry, . . .
• Shape optimization — tvarová optimalizace
3D / 2D / (1D) tělesa
parametry: popis části hranice (B-spline)
• Topology optimization — topologická optimalizace
zobecněná tvarová optimalizace — vznik nových hranic
parametry: „hustotaÿ — {0/1} design
• Topology & free material optimization
navíc: optimalizace matriálových parametrů
parametry: „hustota, parametry mikrostrukturyÿ
• Speciální:
optimalizace prolisu skořepin (Topography opt.)
optimální orientace vláken kompozitu
Maximalizace tuhosti — minimalizace poddajnosti
Nejčastěji používaná úloha (Minimum compliance design)
• Stavová úloha (pro daný design)
1
u = arg min{Φ(v) ≡ vT Av − vT f }
v
2
• Kritérium: Minimalizace práce vnějších sil
ψ(u) = uT f
• Stav u
Au = f
• A závisí na designu t, . . . . . . A = A(t),
⇒
• Optimalizační úloha
min ψ(u(t))
t∈D
⇔
1 T
max min{ v A(t)v − vT f } ,
t∈D v 2
D . . . množina přípustných designů (hmotnostní omezení)
(1)
3. Optimalizace prutových soustav
Optimální topologie – maximální tuhost
Michell, 1904
• Konstrukce — soustava elastických prutů.
• Základní struktura (Ground structure):
Designové parametry:
objemy prutů ti, i = 1, . . . , m
Velký počet designových proměnných:
n . . . počet uzlů
m . . . počet prutů ⇔ design. prom.
n
m=
, n = 10 × 10 ⇒ m = 4950
2
• Topologie ovlivněna změnou objemu prutů ti,
pro ti → 0 prut zanikne.
Formulace úlohy optimální topologie
Maximalizace tuhosti
MODEL:
Index prutu i = 1, . . . , m
Objem prutu ti = liAi (délka × průřez)
Posuvy: u.
Deformace prutu: uT bi
Matice tuhosti prutu (diáda)
E
tiAi = ti 2 bibTi
(li)
Pm
Celková matice tuhosti: A(t) = i=1 tiAi
Stavová úloha:
A(t)u = f
ψ(u) = uT f −→ min
Hmotnostní omezení: objem ≤ V
D ≡ {t ∈ IRm|
m
X
ti = V, ti ≥ 0}
i=1
Úloha sedlového bodu:
(
!
)
m
X
1 T
u
tiAi u − uT f
max min
u
t∈D
2
i=1
konvexní v u, lineární v t.
Úlohy s několika zatíženími (robustní design)
Různé zátěže: fk , k = 1, . . . , M , multiplikátor λk ≥ 0.
Optimalizace „nejhoršího případuÿ ⇒ maxt minλk
(M
X
max
min
min
λk
uk
t∈D
λ ≥0
k=1
Pk
k λk = 1
1 T
u
2 k
m
X
i=1
!)
tiAiuk − uTk fk
Efektivní metody řešení
• Snaha o snížení počtu „provázanýchÿ optimalizačních proměnných.
• Eliminace ti — reformulace:
Převod na „hladkou optimalizaciÿ
m
1X
ϕ(t, u) =
ti uT Aiu − uT f
2 i=1
minu, α −α − uT f
s. t. : V2 uT Aiu + α ≤ 0 , i = 1, . . . , m
Platí:
Konvexní programování: x = [u; α]
m
X
T
T
ti u Aiu ≤ V max u Aiu
minx −xT c
s. t.: gi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m,
i
i=1
Lze přeformulovat (Ai 0)






V
T
T
u Aiu − u f
min max
u  i

2

|
{z
}
−α
⇒ nehladká konvexní optimalizace
Používané numerické metody:
(2)
• Metody s vnitřní penaltou
(Penalty-Barrier-Multiplier methods),
multiplikátor = design
• Primárně duální,
• Semidefinitního programování.
Příklady optimálních topologií — maximální tuhost
Př. 1
Zákl. strukt.: N = 2(4 × 3) = 24
Pruty: N = 66
Redukce účelové funkce: 43.65%
Metoda: PBM (1 restart)
Př. 2 – hustší zákl. str.
Zákl. strukt.: N = 2(7 × 5) = 70
Pruty: m = 595
Redukce účelové funkce: 26.25%
Metoda: PBM (1 restart)
Př. 3
Zákl. strukt.: N = 2(8 × 4) = 64
Pruty: m = 408
Redukce účelové funkce: 21.21%
LABILNÍ KONSTRUKCE!
4. „Layout optimizationÿ
„full stress configurationÿ
Podmínky optimality — princip Michellových konstrukcí
Princip pro Topologickou optimalizaci těles
Maximalizace tuhosti — optimální volba
průřezu ai ≥ 0
compliance =
m
X
aiEli2i
i=1
Omezení hmotnosti ⇔ multiplikátor Λ ≥ 0
Omezení průřezu ⇔ multiplikátory λi ≥ 0
Karush–Kuhn–Tuckerovy podmínky ⇒
E2i = Λ − λi
λ i ai = 0
Λ(
m
X
i=1
aili − V 0) = 0
• Kriteria optimality: (OC)
r
E
ai > 0 ⇒
|i| = 1
Λ
r
E
ai = 0 ⇒
|i| ≤ 1
Λ
⇒ všechny pruty mají optimální (stejnou)
deformační energii Λ.
• Rozšíření na kontinuum: (COC)
ai −→ a(x, y, θ)
i −→ (x, y, θ)
5. Optimální topologie těles —
{0; 1}
design
Zdá se, dokonalosti není dosaženo tenkrát, když už není co přidat,
ale když už není, co ubrat. (Antoine de Saint-Exupéry, Země lidí)
Základní rozvržení
Optimální topologie
Metody – relaxovaný problém
• Volná materiálová optimalizace
SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization) → black & white design
• Homogenizace – materiál s mikrostrukturou
• Zobecněná tvarová otimalizace – level set methods
Volná materiálová optimalizace
M. Kočvara
MOPED
—
http://www.utia.cas.cz/user_data/kocvara/
semidefinitní
programování.
Určit: ρ & Eijkl
• Maximalizace tuhosti
• Cena materiálu – lokálně limitována hustotou ρ
Eijkl −→ ψ(E)
cena materiálu
...
• Vazba: maximální přípustná hmotnost
1
max
max
min aE (u, u) − L(u) ,
density ρ
elast.E 0 u∈U 2
0 ≤ ρmin
R ≤ ρ ≤ ρmax ≤ ∞ Ψ(E) ≤ ρ
Ω ρ dΩ ≤ V
kde
Z
aE (u, v) =
Eijkl ekl (u)eij (v) dΩ ,
L(v) . . . funkcionál vnějších zátěží
Ω
• Lokální optimalizace — anizotropní materiál s proměnnou tuhostí
Realizace ???
(3)
Lokálně extrémní materiály
• Pro dané deformační pole eij v každém bodě oblasti Ω
• Pro lokální limit hustoty ρ
hlavice femuru – idealizace (Wolf 1800)
• Určit optimální elastickou tuhost Eijkl
1
max
Eijkl ekl eij
2
E0
Ψ(E) ≤ ρ
• Řešení:
Eijkl = ρ
eij ekl
kek kek
(4)
(5)
v maticovém zápisu

e2I
eI eII 0
ρ
 eI eII e2II 0  ,
E= 2
2
eI + eII
0
0
0

(6)
⇒ jen 1 nenulové vlastní číslo — materiál je nestabilní pro jinou deformaci (úloha s jedinou zátěží).
• Silně ortotropní materiál — osy ortotropie ≡ osy hlavních deformací.
• Konstrukce kosti — remodelace ???
{0, 1} design — topologická optimalizace
• Topologická optimalizace – E = ρE0, kde ρ ∈ {0, 1}
• Takto nelze řešit ⇒ Relaxace:
měnící se mikrostruktura
ρ ∈ (0, 1] — „šedivý materiálÿ
Alternativy:
◦ SIMP – materiál s malou hustotou je cenově nevýhodný – penalizace, např.
0.0? . . . void
E = (ρ)p E0 , p > 1(= 3) ⇒ ρ =
1 − 0.0? . . . solid
◦ Homogenizace — šedivý materiál:
ρ = 0.235 , . . . existuje mikrostruktura ???
Problémy: G-uzávěr — omezení topologií mikrostruktury
Topologická optimalizace — penalizace (SIMP)
• SIMP — izotropní materiál „s penalizacíÿ
E = (ρ)p E0 ,
kde p > 1 , (p = 3)
• Designové proměnné: ρe pro každý element e
velmi mnoho designových proměnných
• Omezení:
Z
ρ dΩ ≤ V , 0 < ρmin ≤ ρ(x) ≤ 1
Ω
• Nežádoucí efekty — checkerboard effect
nevýhoda malé hustoty ρ
→ omezení perimetru souvislých oblastí
→ multigrid — filtrování
→ nekonformní FEM aproximace
Inverzní homogenizace — identifikace mikrostruktury pro lib. ρ ∈ (0, 1) — materiálové inženýrství?
Optimalizace desek, skořepin (2D geometrie): hustota = tloušťka ⇒ bez penalizace!
Optimální kompozity – homogenizace v topologické optimalizaci
• Parametrizace mikrostruktury 3 typy:
◦ Vrstvený kompozit + iterovaná homogenizace:
higher rank materials — optimální materiál
◦ Ortogonální mikrostruktura: obdélníkové kavity
◦ Čtvercové kavity — “sub-optimální materiál” (???)
• Design = mikrostruktura
pro každý strukturální element e (≈ FEM)
geometrie: µe, γe,
rotace:
θe
• Lokální úloha: najít „extrémníÿ materiál E(x), x ∈ Ω
E(x) = EH (µe, γe, θe), . . . homogenizace,
ρe = ρe(µe, γe), . . . hustota,
(7)
X
e
ρeVe ≤ V ,
0 ≤ ρe ≤ 1, . . . omezení.
Příklad: použití metody homogenizace v topologické optimalizaci
Optimalizace uložení ložisek převodovky – Maximalizace tuhosti
Ground structure
Síť konečných prvků
Vývoj optimální topologie
(M. Hajžman – semestrální práce)
Varianty v topologické optimalizaci
Co je cílem ?
A
black & white design — standardní materiál
B
„strukturovanýÿ materiál — mikrostruktura
6. Optimalizační metody používané v SO
Obecná forma úlohy SO:
min f (x) , x ∈ IRn
gi(x) ≤ 0 , i = 1, . . . , m
subject to
x ∈ [xmin, xmax] . . . „box constraintsÿ
Lagrangeova funkce úlohy:
L(x, λ) = f (x) +
m
X
λigi(x) ,
(8)
(9)
i=1
Úloha sedlového bodu:
L(x∗, λ∗) = max min L(x, λ)
(10)
L(λ∗) = max D(λ)
(11)
λi ≥0
x
Duální funkce: D(λ) = minx L(x, λ)
λi ≥0
Princip duálních metod:
• primární subproblém (mnoho designových proměnných xk ) se aproximuje ⇒ „efektivní metodouÿ
• duální subproblém – standardní metody (málo proměnných λi), jen triviální omezení λi ≥ 0
Gradientní metody & lokální aproximace
Známe x0 a f (x0), gi(x0) a gradienty,
chceme aproximovat f a omezení g, abychom určili další iteraci x1.
• Metody založené na kritériích optimality (OC)
• Metody matematického programování
Standardní:
SLP (optimalizace prutových soustav),
SQP obecná metoda pro „hladkou optimalizaciÿ,
Konzervativní metody, speciálně pro SO, ⇒ duální formulace
CONLIN (C. Fleury) konvexní linearizace,
MMA (K. Svanberg) pohyblivé asymptoty,
SACA (Chung) aproximace vyššího řádu,
PBM (Ben-Tal) vnitřní penalta s multiplikátorem
7. Konzervativní aproximace, duální subproblémy
lokální aproximace v IRn
• lineární – Taylorův rozvoj 1. řádu (SQP — aproximace aktivních omezení)
• kvadratická – kvazinewtonovské metody – aproximace Hessovy matice (SQP)
• konvexní linearizace (CONLIN) – hybridní aproximace – linearizace v reciprokých proměnných yi =
f˜(x) = f (x0) +
(+)
X
∂f (x0)
i
∂xi
(xi −
f˜(x) = r +
i
+
i
• pohyblivé asymptoty (MMA) – linearizace v yi =
(+)
X
x0i )
(−)
X
∂f (x0)
∂xi
(xi −
1
xi
0
0 xi
xi )
xi
1
xi −Ai
(−)
X qi
pi
+
,
Ui − x i
x
−
L
i
i
i
kde r, pi, qi závisí na x0, f (x0), ∇f (x0) a asymptotách Li, Ui.
CONLIN a MMA
separovatelnost v souřadnicových směrech . . .
⇒ n nezávislých prim. úloh
konzervativni: g̃(x) ≤ g(x) . . .
⇒ vnitřní aproximace vazeb
Aproximace — konvexní? — konzervativní?
CONLIN aproximace:
MMA aproximace: (volba asymptot)
konvexní? ANO (x > 0)
konvexní? ANO
konzervativní? NE VŽDY
konzervativní? ANO
Reciproká aproximace & mechanika
• V mechanice ⇒ „exaktní aproximaceÿ
„Intermediate Variablesÿ: Iz , A, . . . průřezové charakteristiky
E
A u = F
l
1 Fl
u =
AE
m = lA
• KONVEXITA vs. KONKAVITA poddajnosti (K. Svanberg):
Poddajnost je
K(t) =
X
i
tiKi ,
⇒
◦ konvexní (ti)
◦ konkávní (1/ti) ⇒ význam pro minimalizaci hmotnosti
(⇒ vnitřní aproximace omezení, projekce)
Sekvenční programování
???
xk −→ xk+1
Subproblémy: optimální pokles cílové funkce ⇒ nová iterace xk+1.
SQP – sekvence kvadratických úloh
• kvadratická aprox. cílové funkce f (x)
• lineární aprox. omezení gi(x)
CONLIN / MMA a duální metoda
• konvexní aprox. cílové funkce f (x)
a omezení gi(x)
• ⇒ separace do n podúloh v xi
• formulace úlohy QP – KKT podmínky
kvazi-newtonovská metoda (BFGS) ⇒
směr poklesu f
projekce směru ⇒ přípustnost
linesearch ⇒ délka kroku
je-li „n mÿ, tvarová optimalizace
• analyt. řešení podúloh
⇒ duální funkce D(λ)
• úloha v λj , j = 1, . . . , m
max D(λ)
λj ≥0
je-li „n mÿ, topologická optimalizace
OptiStruct: adaptivní aproximace, CONMIN / CONLIN
8. Optimalizace tvaru
Základní charakteristika
Využívána paralelně s topologickou:
⇒ zefektivnění optimalizačního procesu
Dána topologie, hledá se část hranice
Nevznikají „nové hraniceÿ – designová hranice definována
Jakákoliv účelová funkce – ve spojení s citlivostní analýzou.
Nekonvexní (špatně podmíněná) optimalizace
mnoho lokálních minim
Většinou nutné přesíťování (adaptivní FEM) ⇒ náročnost
Omezení: hladkost hranice (B-spline, . . . )
Příklady — optimalizace páky (2D)
Optimalizace celé hranice, metoda konečných prvků
(autor: Dr. Ing. Petr Kočandrle, 1994)
počáteční design
optimalizovaný design – minimalizace hmotnosti
Příklady — optimalizace háku (3D)
Optimalizace profilu háku, metoda hraničních prvků
(autor: Dr. Ing. Petr Koška, 1997)
počáteční a optimalizovaný design
napětí – počáteční design
napětí – optimální design,
minimalizace hmotnosti
Příklady — optimalizace kontaktní hranice
Plasticita, velké deformace, variační nerovnice
(autor: E. Rohan, 1999)
rozložení kontaktních napětí
designová a kontaktní hranice
optimální design – plastická zóna
počáteční design – deformace
optimální design – deformace
9. Závěr
• Optimalizace konstrukcí — syntéza znalostí
mechaniky kontinua
Některé zdroje – autoři:
matematické optimalizace
◦ Bendsoe M.P., Pedersen P, Olhoff N.
(Denmark)
numerických metod
◦ Cherkaev A.V. (USA)
• Prolínání typů optimalizace
(např. topologická – tvarová)
• Aplikace:
zcela nepostradatelná při vývoji nových konstrukcí
využitelná i v oblasti biomechaniky (inverzní úlohy):
stavba kostí – optimální topologie, mikrostruktura
design implantátů – dřík endoprotéz
ergonomie a komfort – optimální svalové zatížení
◦ Allaire G. (France)
◦ Neitaanmaki P. (Finland)
◦ Rozvany G.I.N., Zowe J. (Germany)
◦ Nemirovski A., Ben-Tal A., Hassani
(Israel)
◦ Haslinger J., Hlaváček I., Kočvara M.
(Česká republika)