Statika_PaP

Transkript

Statika_PaP

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617
MECHANIKA I
© M.H. 2003
MECHANIKA I
STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST
Studijní obor (kód a název):
-1-
23-41-M/001 Strojírenství
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Úvodem
Cílem tohoto učebního textu je sloužit jako pomůcka (nahrazuje učebnici a částečně pracovní sešit)
při výuce předmětu MECHANIKA v 1. ročníku oboru STROJÍRENSTVÍ. Jednotlivé kapitoly jsou
rozvrženy do vyučovacích hodin, celková hodinová dotace za školní rok činí 68 hodin.
Obsah
Úvodem
2
Obsah
2
1. Úvod do mechaniky
3
1.1. Obsah a význam, rozdělení mechaniky, pohybové zákony
1.2. Opakování fyzikálních veličin, základní jednotky SI
3
3
2. Statika
3
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
3
4
4
7
17
18
26
36
49
Úvod, úkoly statiky, základní pojmy
Soustava sil na společné nositelce
Rovinná soustava sil se společným působištěm
Rovinná soustava sil neprocházející jedním bodem
Prostorová soustava sil
Prutové soustavy
Těžiště a stabilita
Statika jednoduchých mechanismů s pasivními odpory
Opakování statiky
49
3. Pružnost a pevnost (PaP)
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
Definice PaP, základní druhy namáhání
Tah, tlak
Prostý smyk
Průřezové moduly pro namáhání krutem a ohybem
Opakování
-2-
49
52
60
62
67
MECHANIKA I
© M.H. 2003
vyučovací hodina:
1.
1.1.
1.
ÚVOD DO MECHANIKY
OBSAH A VÝZNAM, ROZDĚLENÍ MECHANIKY, POHYBOVÉ ZÁKONY
Studiem přírodních jevů na zemi i ve vesmíru se zabývá několik vědních oborů, které společně
označujeme přírodní vědy.
Patří sem zejména fyzika, chemie, biologie a astronomie.
Součástí fyziky je i mechanika, jež se zabývá studiem mechanického pohybu – to je
mechanického přemísťování hmoty v prostoru a čase.
Rozdělení mechaniky:
- mechanika tuhých a poddajných těles (pružnost, pevnost)
- mechanika tekutin (kapalin, par a plynů)
- termomechanika (působení tepla na látky)
Další dělení:
- statika (pojednává o rovnováze tuhých těles, kapalin a plynů)
- kinematika (vyšetřuje pohyby bez zřetele na příčiny)
- dynamika (pojednává o pohybu a jeho příčinách)
vyučovací hodina:
1.2.
2.
OPAKOVÁNÍ FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, ZÁKLADNÍ JEDNOTKY SI
Pohyb hmoty se děje v prostoru a čase, proto hmotnost, délka a čas jsou základními veličinami
mechaniky. Namísto hmotnosti lze zavést sílu jako příčinu pohybu.
Rozdělení fyzikálních veličin:
- skaláry – jsou určeny pouze velikostí (hmotnost, čas, energie)
- vektory – jsou určeny velikostí, směrem a smyslem (síla, rychlost, zrychlení)
K číselnému vyjádření hodnot veličin používáme jednotky. Jednotky rozdělujeme na základní a
druhotné (odvozené). Uzákoněné základní jednotky jsou jednotky Mezinárodní měrové soustavy SI
(Systém Internationál d´Unités).
1. metr [m]
2. kilogram [kg]
3. ampér [A]
4. sekunda [s]
5. stupeň [deg; K; °C]
6. kandela [cd]
základní jednotka délky
základní jednotka hmotnosti
základní jednotka elektrického proudu
základní jednotka času
základní jednotka teplotního rozdílu
základní jednotka svítivosti
Násobky jednotek vyjadřujeme pomocí předpon a značek.
Předpona:
Značka:
Význam:
tera
T
1012
giga
G
109
mega
M
106
kilo
k
103
mili
m
10-3
mikro
µ
10-6
nano
n
10-9
piko
p
10-12
Příklad: Mpa = 106 Pa; km = 103 m
vyučovací hodina:
2.
3. a 4.
STATIKA
2.1. ÚVOD, ÚKOLY STATIKY, ZÁKLADNÍ POJMY
Část mechaniky STATIKA pojednává o skládání, rozkládání a rovnováze sil za klidu nebo při
rovnoměrném přímočarém pohybu.
Složit síly znamená nahradit tyto síly silou jedinou tak, aby měla na těleso tentýž účinek. Skládané
síly se nazývají složky, síla která je nahrazuje je výslednice.
-3-
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Rozložit sílu do složek znamená nahradit tuto sílu dvěma nebo více silami tak, aby měly
s rozkládanou silou stejný účinek.
Síly jsou v rovnováze, ruší-li se vzájemně ve svých účincích, takže není výslednice. Těleso je v klidu
nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře.
V technické praxi se jen vyjímečně vyskytují osamělá tělesa. Převážně jsou spolu spojena v soustavu
těles. Jednotlivé členy soustavy na sebe vzájemně působí. Toto vzájemné působení nazýváme síla.
Síla je vektor – je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Základní jednotkou síly je
newton [N].
Definice: síla 1N udělí tělesu o hmotnosti 1kg zrychlení 1m.s-2.
Zápis síly:
F [ x; y; α°; velikost v N ]
F1 [ 20; -10; 150°; 100 N ]
měřítko síly:
mF: 1mm = ? N
vyučovací hodina:
x,y ... souřadnice působiště
α° …. směrový úhel
5. a 6.
2.2. SOUSTAVA SIL NA SPOLEČNÉ NOSITELCE
Působiště síly (sílu) můžeme po nositelce libovolně posouvat aniž se změní její účinek.
Výslednice sil FV působí v téže vektorové přímce a rovná se algebraickému součtu všech sil.
Fv = F1 + F2 + F3 =
n
∑F
i
1
Síly jsou v rovnováze, je-li algebraický součet všech sil roven nule!
Příklad: Stanovte graficky i početně výslednici sil podle zadání (viz učebnice, pracovní sešit).
vyučovací hodina:
7. a 8.
2.3. ROVINNÁ SOUSTAVA SIL SE SPOLEČNÝM PŮSOBIŠTĚM
2.3.1. Grafické zjištění výslednice a uvedení silové soustavy do rovnováhy
Platí, že výslednice musí mít společné působiště s danou soustavou sil. Dvě síly o společném
působišti skládáme pomocí rovnoběžníku sil (silového obrazce).
-4-
MECHANIKA I
© M.H. 2003
x,y ...
α° ….
Fi = … [N]
Dáno:
souřadnice působiště
směrové úhly sil s osou x
velikosti sil
rovnoběžník sil
silový obrazec
Příklad: Stanovte graficky výslednici soustavy dvou sil podle zadání (viz učebnice, pracovní sešit).
Výslednici několika sil v rovině o společném působišti řešíme metodou postupného skládání dvou sil.
F1, F2 nahradíme částečnou výslednicí F1,2, tu složíme se silou F3 na konečnou výslednici FV.
zadání
rovnoběžník sil
silový obrazec
rovnoběžník sil
silový obrazec
silový mnohoúhelník
Příklad: Stanovte graficky výslednici soustavy sil podle zadání (viz učebnice, pracovní sešit).
Uvedení silové soustavy do rovnováhy
Jak jsme již uvedli, síly jsou v rovnováze, ruší-li se vzájemně ve svých účincích, takže není výslednice.
Silovou soustavu F1, F2, F3 uvedeme do rovnováhy přidáním síly FR, která je stejně velká jako FV ale
opačného smyslu. Silová soustava je v rovnováze, jestliže je silový mnohoúhelník uzavřen
šipkami v jednom sledu.
-5-
MECHANIKA I
vyučovací hodina:
© M.H. 2003
9.
2.3.2. Řešení výslednice dvou navzájem kolmých sil početně
rovnoběžník sil
silový obrazec
Dle Pythagorovy věty platí:
FV2 = F12 + F22 ⇒ FV =
(F
2
1
+ F22
)
Příklad: Stanovte početně výslednici soustavy dvou kolných sil podle zadání.
2.3.3. Početní řešení výslednice soustavy obecných sil o společném působišti
Řešení provádíme tak, že každou sílu rozložíme do dvou kolmých složek (do osy x a y). Příslušné
složky algebraicky sečteme do složek výslednice. Celkovou výslednici vypočteme z pravoúhlého
trojúhelníka. Směr a smysl rovněž stanovíme z výsledného trojúhelníka.
tgα =
Fy
Fx
Příklad: Stanovte početně velikost, směr a smysl výslednice soustavy sil podle zadání (viz učebnice,
pracovní sešit).
vyučovací hodina:
10. a 11.
2.3.4. Dvě složky síly, rozklad sil, rovnováha sil
Rozklad síly do dvou různoběžných složek je opakem skládání. Proto i zde při grafickém řešení
používáme rovnoběžník sil nebo silový obrazec (trojúhelník). Početní řešení je opět obdobné.
Příklad: Rozložte sílu do dvou složek podle zadání. Proveďte graficky i početně (viz učebnice,
pracovní sešit).
-6-
MECHANIKA I
vyučovací hodina:
© M.H. 2003
12.
2.4. ROVINNÁ SOUSTAVA SIL NEPROCHÁZEJÍCÍ JEDNÍM BODEM
2.4.1. Moment síly k bodu a k ose
Moment M síly F k bodu A vyjadřuje velikost a smysl točivého účinku síly F vzhledem k bodu A.
M = F ⋅r
[N.m]
r …
rameno síly (kolmá vzdálenost)
Moment považujeme za kladný, jestliže dojde účinkem síly k otáčení proti smyslu pohybu hodinových
ručiček. Jednotkou momentu síly je newtonmetr N.m.
Momentová věta:
Moment výslednice k libovolnému bodu se rovná algebraickému součtu momentů jednotlivých
složek k témuž bodu.
n
M = ∑ Mi
i =1
Příklad:
Určete výslednici F sil F1 =10 N a F2 =5 N, které jsou od sebe vzdáleny r1 = 2 m.
F * r = F1 * r1 + F2 * r2 ;
r2 = 0
vyučovací hodina:
F ⋅ r = F1 ⋅ r1 + F2 ⋅ r2 ; r2 = 0
…
…
dopočítejte si
13.
2.4.2. Moment silové dvojice
Silovou dvojici tvoří dvě stejně velké síly stejného směru, opačného smyslu, které jsou od sebe
vzdáleny o r (rameno dvojice).
Účinkem takové silové dvojice je rotace. Silová dvojice bude
rotovat v rovině proložené oběma silami. Smysl rotace je
určen vzájemnou polohou obou sil. Moment považujeme za
záporný, jestliže dojde k otáčení proti smyslu pohybu
hodinových ručiček.
-7-
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Účinek silové dvojice se nazývá moment silové dvojice
M =F ⋅r
[N.m]
r … rameno
vzdálenost)
síly
(kolmá
Silovou dvojici můžeme v rovině rotace přeložit a její účinek se nezmění.
Silovou dvojici můžeme v rovině rotace natočit a její účinek se nezmění.
Silovou dvojici můžeme v rovině rotace nahradit jinou silovou dvojicí v tom případě, má-li stejný
účinek (M = M).
M = F ⋅ 2r = 2 ⋅ F ⋅ r
M = 2F ⋅ r = 2 ⋅ F ⋅ r
Máme-li několik silových dvojic v jedné rovině, potom se jejich účinky sčítají.
-8-
MECHANIKA I
© M.H. 2003
M = M1 + M 2
M1 = −F1 ⋅ y
M 2 = −F2 ⋅ x
M = −F1 ⋅ y − F2 ⋅ x
Silová dvojice může být v rovnováze jen s jinou silovou dvojicí, která má stejně velký moment a je
opačně orientovaná.
F1 ⋅ r1 = F2 ⋅ r2
Příklad:
Řešte silové rovnice dle zadání
vyučovací hodina:
14.
2.4.3. Moment silové soustavy
Působí-li soutava několika sil, je jejich výsledný účinek roven účinku výslednice. Z toho vyplývá, že
součet momentů jednotlivých sil soustavy se rovná momentu výslednice.
n
M = ∑ M i ……
momentová věta
i =1
Úloha: Aplikace momentové věty - Nahrazení účinku dvou rovnoběžných sil účinkem síly jedné
(výslednice).
n
M = ∑ Mi
k počátku O
i =1
F ⋅ r = F1 ⋅ r1 + F2 ⋅ r2 ; r2 = 0
F = F1 + F2
F
F1
r = 1 ⋅ r1 =
⋅ r1
F
F1 + F2
Příklad:
Proveďte nahrazení účinku dvou rovnoběžných sil účinkem výslednice. Dáno F1[0;0;0°;20N],
F2[0;-30;0°;40N]
vyučovací hodina:
15.
-9-
MECHANIKA I
© M.H. 2003
2.4.4. Nahrazení síly silou na rovnoběžné nositelce
Danou sílu F na nositelce p přeneseme na rovnoběžnou nositelku q.
Přenesením F na novou nositelku q musíme přidat moment M=F.r.
Opačný postup – sečteme-li přenesenou sílu F1 a moment M, dostaneme původní sílu na nositelce p.
Příklad:
Nahraďte sílu F[40;0;90°;50N] a moment (silovou dvojici) M =1,5N.m jedinou silou. Proveďte
početní kontrolu obou soustav, účinky porovnejte.
r =
M 1,5
=
= 0,03m = 30mm
F 50
Kontrola:
1. Původní soustava
∑F
x
=0;
∑F
y
= 50 N ; ∑ M i = M − F ⋅ 0 ,04 = 1,5 − 2 = −0 ,5 Nm
2. Nová soustava se silou F1
∑F
x
=0;
∑F
y
= F1 = 50 N ;
∑M
i
= −F1 ⋅ 0 ,01 = −0 ,5 Nm
Závěr:
Účinky soustav jsou stejné.
vyučovací hodina:
2.4.5.
16.
Výslednice soustavy rovnoběžných sil - GRAFICKY
Postup:
Zvolíme dvě pomocné síly S0, S0´, které se vzájemně ruší a zadanou soustavu neovlivní. Jejich
nositelku vedeme tak, aby protímala nositelku síly F1 v bodě A0. Síly F1 a S0 sečteme pomocí silového
trojúhelníka mimo hlavní obrázek. Výslednice S1 bude procházet A0. Musí vždy platit, že tři úsečky
- 10 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
které tvoří v pólovém obrazci trojúhelník (S0, F1, S1) se musí v základním obrazci protínat v jednom
bodě (A0)!
Začínám tedy:
- složím S0 a F1 a dostanu výslednici S1. Musí se protínat v bodě A0
pokračuji dále:
a nakonec
- složím S3 a S0´ a dostanu výslednici FV. Musí se protínat v bodě A3
Tím dostanu velikost i polohu výslednice.
Příklad:
Zjistěte graficky velikost a polohu výslednice tří rovnoběžných sil. F1[10;0;90°;20N];
F2[25;20;270°;50N]; F 3[50;0;270°;20N]
Při praktickém řešení nevyznačujeme částečné výslednice (S1,S2,S3), ale pouze přímky a úsečky jim
odpovídající. Čára A0A1A2A3A0 je výslednicová čára, čára F1 F2 F3 FV (v pólovém obrazci) je
složková čára, úsečky 0,1,2,3 jsou pólové paprsky (vlákna) a bod P je pól. Říkáme, že jsme
provedli řešení pomocí pólového (vláknového) obrazce.
Postup:
1. zvolíme měřítko sil
2. nakreslíme obrazec umístění
3. nakreslíme vláknový obrazec => zjistíme velikost výslednice
4. vedeme rovnoběžky s vlákny v obrazci umístění
5. zjistíme polohu výslednice
průsečík [0,1,F1]
průsečík [3,0,FV]
=>
=>
=>
=>
A0
A1
A2
A3
- 11 -
MECHANIKA I
Rovnováha:
© M.H. 2003
Podmínkou rovnováhy je nulová výslednice i nulová výsledná dvojice.
∑F
i
∑F ⋅ r
=0;
i
i
=0
Graficky – uzavřená složková čára se šipkami v jednom směru a také uzavřená výslednicová čára.
vyučovací hodina:
2.4.6.
17.
Výslednice soustavy rovnoběžných sil - POČETNĚ
Souřadný systém zvolíme tak, aby např. osa y byla rovnoběžná s nositelkami sil. Pak tedy i výslednice
bude rovnoběžná s osou y.
K určení velikosti FV použijeme složkové rovnice do směru osy y.
n
FV = ∑ Fi
i =1
K určení polohy lze využít momentovou větu.
n
FV ⋅ xV = ∑ Fi ⋅ x i
i =1
Může se stát, že FV=0. Soustava nemá výslednici, ale její účinky lze nahradit výslednou dvojicí MV o
momentu
n
MV = ∑ Fi ⋅ x i
i =1
Pokud i MV=0, jde o rovnováhu.
Příklad:
Vypočítejte velikost a polohu výslednice soustavy sil FV a xV.
F1[10;0;90°;20N]; F 2[25;20;270°;50N]; F 3[50;0;270°;20N].
n
FV = ∑ Fi = F1 + ( −F2 ) + ( −F3 ) = 20 − 50 − 20 = −50 N
směr dolů
i =1
n
MV = FV ⋅ xV = ∑ Fi ⋅ x i = F1 ⋅ x1 − F2 ⋅ x 2 − F3 ⋅ x 3
i =1
xV =
MV 20 ⋅ 10 − 50 ⋅ 25 − 20 ⋅ 50
=
= 41mm
FV
− 50
- 12 -
porovnejte s grafickým řešením
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Kontrola:
1. Původní soustava
∑F
y
= 20 − 50 − 20 = −50 N ;
∑M
i
= 20 ⋅ 10 − 50 ⋅ 25 − 20 ⋅ 50 = −2050 Nmm
2. Nová soustava
∑F
y
∑M
= FV = −50 N ;
V
= −50 ⋅ 41 = −2050 Nm
Závěr:
Účinky soustav jsou stejné.
vyučovací hodina:
18. a 19.
2.4.7. Řešení vazbových sil na páce graficky i početně
Vazbové síly = síly druhotné, reakce.
Tělesa působí na podpory silami prvotními = akčními. Podpory kladou odpor silami druhotnými =
reakčními. Podle třetího pohybového zákona platí, že akce = reakce. Proto reakce (vazbové síly)
určujeme z podmínek statické rovnováhy.
Kloubové spojení
Může přenášet sílu všemi směry. Síla prochází středem kloubu.
Obecná podpora
Může přenášet sílu působící jen kolmo na podporu!
PÁKA – jeden pevný podporový bod – kloubové spojení.
Úloha:
Je dána síla F2 a směr síly F1. Stanovte velikost síly F1 a směr a smysl reakce FR na úhlové
páce. Proveďte grafické i početní řešení.
GRAFICKÉ ŘEŠENÍ
Při grafickém řešení musí být splněny dvě základní podmínky rovnováhy:
- Abychom mohli určit směr reakce v kloubové podpoře, musíme nalézt společné
působiště.
- Síly musí tvořit uzavřený silový trojúhelník
- 13 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
POČETNÍ ŘEŠENÍ
Početní řešení provedeme pomocí podmínek statické rovnováhy.
1.
∑M
2.
3.
F2 ⋅ b
a
i
=0
F1 ⋅ a − F2 ⋅ b = 0 ⇒ F1 =
∑F
ix
=0
F2 − FRx = 0 ⇒ FRx = F2
vylučuje pohyb v ose x
∑F
=0
FRy − F1 = 0 ⇒ FRy = F1
vylučuje pohyb v ose y
iy
vylučuje otáčení
FR = F12 + F22 [N]
Příklad:
Stanovte velikost síly F1 a směr a smysl reakce FR na úhlové páce. Proveďte grafické i
početní řešení. Dáno: F2= 50N; a=50mm; b=30mm.
Jednoramenná páka
Úloha:
Je dána síla F1 a směr síly F2. Stanovte velikost síly F2 a směr a smysl reakce FR v kloubu.
Proveďte grafické i početní řešení.
Aby byla rovnováha, výslednicová čára musí být uzavřena. Dostanu tak směr vlákna 2 a přenesu ho
do pólového obrazce. Zde získám velikost F2 a směr a smysl reakce FR.
průsečík [2,0,FR]
=>
=>
=>
A1
A2
A3
- 14 -
MECHANIKA I
Početně:
∑M
∑F
i0
iy
∑F
ix
© M.H. 2003
=0
F1 ⋅ a
b
F2 − F1 − FR = 0 ⇒ FR = F2 − F1
=0
v ose x síly nepůsobí
=0
F2 ⋅ b − F1 ⋅ a = 0 ⇒ F2 =
!
podmínka vyloučí otáčení
podmínka vyloučí posuv
Příklad: Stanovte velikost síly F2 a směr a smysl reakce FR v kloubu. Proveďte grafické i početní
řešení. Dáno: F1= 50N; a=50mm; b=30mm.
vyučovací hodina:
20. a 21.
2.4.8. Řešení vazbových sil nosníku na dvou podporách
Úloha:
Nosník na dvou podporách je zatížen silami F1, F2 a F3. Stanovte výslednici F a reakce
v podporách FA a FB.
GRAFICKÉ ŘEŠENÍ
průsečík [1,4,F ]
průsečík [1,5,FA]
průsečík [4,5,FB]
POČETNÍ ŘEŠENÍ
∑M
∑F
∑F
iA
=0
iy
=0
ix
=0
- 15 -
=>
=>
=>
=>
=>
=>
1
2
3
4
5
6
MECHANIKA I
∑M
=0
iA
∑F
iy
=0
© M.H. 2003
F1 ⋅ a − F2 ⋅ ( a + b ) + F3 ⋅ ( a + b + c ) − FB ⋅ l = 0 ⇒ FB
1
FB = ⋅ [F1 ⋅ a − F2 ⋅ (a + b ) + F3 ⋅ (a + b + c )]
l
F1 + F3 − F2 − FA − FB = 0 ⇒ FA
FA = F1 + F3 − F2 − FB
∑F
ix
=0
v ose x síly nepůsobí
Velikost výslednice
F = ∑ Fiy = FA + FB [ N ]
Vzdálenost xF výslednice od bodu A
∑M
iA
=0
F ⋅ x F = FB ⋅ l ⇒ x F
xF =
Příklad:
FB ⋅ l
[ mm ]
F
Nosník na dvou podporách je zatížen silami F1, F2 a F3. Stanovte výslednici F a reakce
v podporách FA a FB. Proveďte grafické i početní řešení, výsledky porovnejte. Uspořádání
dle obrázku.
GRAFICKÉ ŘEŠENÍ
Určíme měřítka:
průsečík [1,3,F]
průsečík [1,4,FA]
průsečík [3,4,FB]
=>
=>
=>
=>
=>
mF: 1mm = 10 N ; ml: 1mm = 10 mm
1
2
3
4
5
- 16 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
POČETNÍ ŘEŠENÍ
∑M
∑F
∑F
iA
=0
iy
=0
ix
=0
∑M
iA
=0
(v ose žádné síly nepůsobí!)
F1 ⋅ 300 + F2 ⋅ 600 − FB ⋅ 800 = 0 ⇒ FB
1
1
⋅ (F1 ⋅ 300 + F2 ⋅ 600 ) =
⋅ (100 ⋅ 300 + 200 ⋅ 600 )
800
800
FB = 187 ,5 N
FB =
∑F
iy
=0
FA + FB − F1 − F2 = 0 ⇒ FA
FA = F1 + F2 − FB = 100 + 200 − 187 ,5
FA = 112 ,5 N
Velikost výslednice
F = ∑ Fiy = FA + FB = 100 + 200 = 300 N
Vzdálenost xF výslednice od bodu A
∑M
iA
=0
F ⋅ x F = FB ⋅ 800 ⇒ x F
xF =
vyučovací hodina:
FB ⋅ 800 187 ,5 ⋅ 800
=
= 500 mm
F
300
22.
Praktické aplikace
vyučovací hodina:
23. a 24.
2.5. PROSTOROVÁ SOUSTAVA SIL
Prostorovou soustavu sil tvoří síly mimoběžné, nebo síly různoběžné, jejichž vektorové přímky
(nositelky) neleží v téže rovině.
Výslednice soustavy sil o společném působišti v prostoru
Každou sílu prostorové soustavy sil nejdříve rozložíme do os x, y, z. K výpočtu složek použijeme
pravoúhlý trojúhelník
Fy = F ⋅ cos β
Fx = F ⋅ cos α
Fz = F ⋅ cos γ
Rozložíme-li takto celou soustavu, dostaneme tři soustavy navzájem na sebe kolmých sil. Velikost
těchto částečných výslednic vypočteme stejně jako u sil v rovině
n
Fx = ∑ Fix
i =1
n
Fy = ∑ Fiy
i =1
- 17 -
n
Fz = ∑ Fiz
i =1
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Tyto částečné výslednice složíme v celkovou výslednici
V rovině xy leží částečné výslednice Fx a Fy a ty složíme v další částečnou výslednici Fxy.
Fxy = Fx2 + Fy2
Celková výslednice bude
F = Fxy2 + Fz2 = Fx2 + Fy2 + Fz2
cos α =
Rovnováha:
vyučovací hodina:
Fx
F
cos β =
Fy
F
cos γ =
Fz
F
F = 0 ⇒ Fx = 0 ; Fy = 0 ; Fz = 0
25.
2.6. PRUTOVÉ SOUSTAVY
Nosnou konstrukci mostů, jeřábů, sloupů, letadel, atd. tvoří často soustava prutů, tzv. příhradový
nosník.
- 18 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Tato prutová soustava se skládá z jednotlivých prutů, které jsou spolu spojeny styčníkovými plechy,
na kterých jsou pruty přinýtovány, přivařeny, přišroubovány, apod.. Toto spojení prutů na styčnících
zjednodušujeme a nahrazujeme spojením kloubovým.
Při řešení prutové soustavy (PS) musí být splněny všechny podmínky rovnováhy a dodržována
následující pravidla:
1. PS musí být dokonale tuhá, pruty musí tvořit staticky určité obrazce, kterými jsou trojúhelníky.
Podmínka statické určitosti:
z = 3 + 2 ⋅ (i − 3 ) = 2 ⋅ i − 3
z ….. počet prutů
i …… počet styčníků
2. Na uvolněných prutech musí být rovnováha sil
3. Musí být rovnováha sil působících v jednotlivých styčnících
Je-li soustava dokonale tuhá (viz obr.), můžeme snadno určit síly vzájemného působení
v podporách A(kloub) a B(obecná podpora).
4. PS nikdy nezatěžujeme mezi klouby! Potom všechny pruty přenášejí sílu pouze ve své ose
(osovou).
táhne ze styčníku
tlačí do styčníku
+
–
2.6.1. Řešení prutové soustavy – Cremonova metoda - grafická
Princip a použití bude vysvětleno v následující kapitole.
2.6.2. Řešení prutové soustavy – Styčníková metoda – grafická, početní
Styčníková metoda vychází z požadavku rovnováhy sil působících v jednotlivých styčnících, což je
rovnováha sil o společném působišti.
Obvykle nemí nutné kreslit silový obrazec pro každý styčník zvlášť. Provádíme tedy řešení v jednom
obrazci – Cremonův diagram.
- 19 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Zásady postupu řešení:
1.
2.
3.
4.
Nejdříve stanovit reakce.
Stanovit smysl obcházení jednotlivých styčníků.
Začít styčníkem, kde působí jen dvě osové síly.
Pokračovat tím styčníkem, kde jsou neznámé opět jen dvě osové síly.
vyučovací hodina:
Úloha:
26.
Stanovte síly v prutech prutové soustavy podle obrázku.
Pro názornost a pochopení provedeme určité kombinace řešení:
o
Styčníkovou metodu - pouze grafickou část včetně grafického stanovení reakcí. Pro
každý styčník provedeme silový obrazec zvlášť.
o
Cremonův diagram – reakce stanovíme početně.
o
Styčníkovou metodu – jen početně, reakce převezmeme z předchozího řešení.
STYČNÍKOVÁ METODA - GRAFICKÉ ŘEŠENÍ
Určíme si měřítka:
mF: 1mm = 1 kN ; ml: 1mm = 0,05 mm
- 20 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Smysl obcházení styčníků stanovíme ve smyslu pohybu hod. ručiček.
označení prutů
označení styčníků
1, 2, 3, 4, 5 …..
I, II, III, IV …..
Změřením a vynásobením měřítkem byly stanoveny reakce a síly v prutech:
FA= FB = 25 kN
S1= -35,5 kN
S2= 25 kN
S3= 50 kN
S4= -35,5 kN
S5= 25 kN
Poznámka:
Pro názornost používáme označení vnitřních sil v prutech S.
CREMONŮV DIAGRAM
1. Nejdříve stanovíme reakce
- 21 -
MECHANIKA I
∑M
∑F
iA
=0
=0
iy
© M.H. 2003
F 50
=
= 25 kN
2
2
FA + FB − F = 0 ⇒ FA = F − FB = 50 − 25 = 25 kN
F ⋅ 2 − FB ⋅ 4 = 0 ⇒ FB =
2. Smysl obcházení styčníků stanovíme ve smyslu pohybu hod. ručiček.
I …
II …
III …
IV …
Pořadí:
FA, 1, 2
1, 4, 3
2, 3, 5, F
5, 4, FB
Změřením a vynásobením měřítkem byly obdobně stanoveny reakce a síly v prutech:
FA= FB = 25 kN
S1= -35,5 kN
S2= 25 kN
S3= 50 kN
S4= -35,5 kN
S5= 25 kN
vyučovací hodina:
27.
STYČNÍKOVÁ METODA – POČETNÍ ŘEŠENÍ
1. Stanovení reakcí (převezmeme z předchozího řešení).
∑M
iA
=0
F ⋅ 2 − FB ⋅ 4 = 0 ⇒ FB =
FB = 25000 N
∑F
iy
=0
F 50
=
2
2
FA + FB − F = 0 ⇒ FA = F − FB = 50 − 25
FA = 25000 N
2. Styčník I
∑F
∑F
ix
=0
S1 musíme rozložit do složek v osách x, y
iy
=0
S2 složku v ose y nemá
- 22 -
MECHANIKA I
∑F
iy
=0
© M.H. 2003
S1 y − FA = 0 ; S1 y = S1 ⋅ sin 45° ⇒ S1 =
S1 = 35355 N
∑F
ix
=0
FA
25000
=
sin 45° sin 45°
S2 − S1 x = 0 ; S1 x = S1 ⋅ cos 45° ⇒ S2 = S1 ⋅ cos 45°
S2 = 35355 ⋅ cos 45°
S2 = 25000 N
3. Styčník II
∑F
ix
=0
S1 x − S4 x = 0 ⇒ S4 x = S1 x = S1 ⋅ cos 45°
S4 x
S1 x
S ⋅ cos 45°
=
= 1
= S1
cos 45° cos 45°
cos 45°
S4 = 35355 N
S4 =
∑F
iy
=0
S1 y − S3 + S4 y = 0 ⇒ S3 = S1 y + S4 y = S1 ⋅ sin 45° + S4 ⋅ sin 45°
S3 = 50000 N
4. Styčník III
∑F
ix
=0
S 2 − S5 = 0 ⇒ S5 = S 2
S5 = 25000 N
∑F
iy
=0
S3 − F = 0 ⇒ S3 = F
…. Platí
5. Styčník IV
Jelikož již všechny síly v prutech známe, je možné řešit styčník IV pro kontrolu.
- 23 -
MECHANIKA I
Příklad:
© M.H. 2003
Stanovte síly v prutech prutové soustavy podle obrázku.
Proveďte řešení:
a) styčníkovou metodou – graficky(včetně reakcí)
b) Cremonovým diagramem – reakce početně
c) styčníkovou metodou – početně
Získané výsledky porovnejte a proveďte rozbor.
vyučovací hodina:
28.
2.6.3. Řešení prutové soustavy – Průsečná metoda – početní
Tato metoda spočívává v tom, že prutovou soustavu přerušíme myšleným řezem nejvýše ve
třech prutech, z nichž pouze dva pruty s neznámými silami mohou vycházet z téhož styčníku.
Použijeme tři podmínky statické rovnováhy a z nich vypočteme tři neznámé osové síly
v přerušených prutech.
Úloha:
Stanovte síly v prutech 6,7,8, prutové soustavy podle obrázku.
- 24 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Postup:
1. Stanovení reakcí
∑F
iy
=0;
FA + FB − F1 − F2 = 0
vidíme, že
FA = FB
FA + FB = 100 kN
FA = FB = 50 kN
2. Stanovení sil v prutech.
Ke zbylé levé části soustavy musíme připojit síly, kterými odebraná pravá část na zbylou
působila aby nebyla porušena rovnováha. U sil předpokládáme tah a díváme se na ně jako na
síly vnější. Síly v prutech řešíme pomocí tří podmínek statické rovnováhy.
Pro styčník IV
∑M
i
=0;
FA ⋅ 3 − S6 ⋅ 2 = 0 ⇒ S6 =
S6 = 75 kN
∑F
=0;
iy
FA − F1 − S7 ⋅ sin α = 0 ⇒ FA − F1 = S7 ⋅ sin α ⇒ S7
S7 = 0
∑F
ix
=0;
3
3
⋅ FA = ⋅ 50
2
2
protože FA − F1 = 0 a S7 ⋅ sin α = 0 a sin α ≠ 0
(S7
S6 + S7 ⋅ cos α + S8 = 0
= 0)
S6 + S8 = 0 ⇒ S8 = −S6
S8 = −75 kN
Záporné znaménko znamená, že volený smysl S8 nebyl správný, síla působí v opačném smyslu.
Předností průsečné metody je, že můžeme nosník přerušit v kterémkoliv poli myšleným řezem a
vypočítat tři neznámé síly.
Při praktickém početním řešení používáme obvykle kombinace metody styčníkové a průsečné.
Příklad:
Stanovte síly v prutech 2,3,4, prutové soustavy podle obrázku.
- 25 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
1. Stanovení reakcí
∑F
iy
=0;
……….
2. Stanovení sil v prutech
Pro styčník II
∑M
∑F
∑F
i
=0;
………..
ix
=0;
………..
iy
=0;
………..
vyučovací hodina:
29.
2.7. TĚŽIŠTĚ A STABILITA
2.7.1. Těžiště složených čar
Každé těleso se skládá z nekonečného počtu částic, tzv. hmotných bodů. Každá tato částice má
určitou hmotnost, která se projevuje tíhovou silou.
Těžištěm tělesa T nazýváme bod, kterým stále prochází výslednice tíhových sil všech
hmotných bodů, ať těleso natočíme jakkoliv.
Těžiště úsečky
V důsledku souměrnosti je těžiště uprostřed její délky.
Souměrná lomená čára
Těžiště leží na ose souměrnosti a na spojnici těžišť obou úseků (ramen), z nichž se čára skládá.
- 26 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Nesouměrná lomená čára
Do těžišť obou ramen zavedeme síly F1, F2 úměrné délkám čar (F1=30, F2=20). Řešení provedeme
pomocí momentové věty pro osy x a y.
Početně:
FV = a + b = 50
Pro stanovení x
∑M = 0 ;
a
a2
+ F2 ⋅ 0 = FV ⋅ x ⇒ x =
2
2 ⋅ (a + b )
x = 9 mm
F1 ⋅
Pro stanovení y
∑M = 0 ;
b
b2
F1 ⋅ 0 + F2 ⋅ = FV ⋅ y ⇒ y =
2
2 ⋅ (a + b )
y = 4 mm
vyučovací hodina:
30.
Těžiště křivky
Vycházíme z představy, že každou křivku lze přibližně nahradit lomenou čarou, složenou z úseček.
Čím budou úsečky kratší, tím bude výsledek přesnější. Těžiště úseček už řešit umíme.
V technické praxi se vyskytují nejčastěji čáry složené z úseček a kruhových oblouků.
- 27 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Kruhový oblouk
Těžiště T kruhového oblouku je na ose souměrnosti oblouku ve vzdálenosti y od středu oblouku.
• Půlkružnice
y=
•
2 ⋅r
π
Kruhový oblouk
y =r⋅
arcα ° =
π
180
≅
2
⋅ r [ mm ]
3
sin α °
[ mm ]
arcα °
⋅α °
Délka oblouku jednotkové kružnice (r=1), který přísluší středovému úhlu α° se nazývá arcus úhlu α°.
Při řešení těžiště složených čar nejdříve složenou čáru rozdělíme na dílčí čáry, u kterých polohu
těžiště umíme určit. Nyní těžiště těchto dílčích čar určíme a zavedeme do nich síly úměrné délkám
čar. Vlastní řešení provedeme pomocí momentové věty. Součet momentů dílčích čar (v osách x i y)
k libovolnému bodu se rovná momentu výslednice k příslušné ose. Zjištěné souřadnice x a y jsou
potom hlavními těžištními osami a jejich průsečík určuje polohu těžiště T .
Početně:
n
FV = ∑ Fi
…..
velikost výslednice (délka složené čáry)
i =1
Pro stanovení xv
n
Fv ⋅ x v = ∑ Fi ⋅ x i
i =1
Pro stanovení yv
- 28 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
n
Fv ⋅ y v = ∑ Fi ⋅ y i [ N ⋅ mm ]
i =1
vyučovací hodina:
Příklad:
31.
Stanovte početně souřadnice těžiště složené čáry podle obrázku.
l1 = F1 = 282 ,74
l 2 = F2 = 200
FV = ∑ Fi = 782 ,74
l 3 = F3 = 300
stanovení xv
Fv ⋅ x v = ∑ Fi ⋅ x i = F1 ⋅ 90 + F2 ⋅180 + F3 ⋅ 330 ⇒ xV
1
(F1 ⋅ 90 + F2 ⋅180 + F3 ⋅ 330 )
FV
1
xV =
⋅ (282 ,74 ⋅ 90 + 200 ⋅180 + 300 ⋅ 330 )
782 ,74
xV = 204 ,98 ≈ 205 [ mm ]
xV =
stanovení yv
Fv ⋅ y v = ∑ Fi ⋅ y i = F1 ⋅ 260 + F2 ⋅100 + F3 ⋅ 0 ⇒ y V
- 29 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
1
(F1 ⋅ 260 + F2 ⋅100 )
FV
1
yV =
⋅ (282 ,74 ⋅ 260 + 200 ⋅100 )
782 ,74
y V = 119 ,5 [ mm ]
yV =
vyučovací hodina:
32.
2.7.2. Těžiště složených ploch
Při určování těžiště ploch vycházíme z poznatku, že těžiště obdélníka je v průsečíku jeho úhlopříček.
Pak jakoukoliv plochu rozdělíme na proužky o stejné tloušťce, které budeme považovat za obdélníky.
V nich najdeme těžiště, do kterých zavedeme síly, úměrné plochám těchto obdélníků. Výslednice
takto vzniklých soustav rovnoběžných sil (v osách x a y) prochází těžištěm plochy T.
Početně:
Fx = Fy =
n
∑F
i =1
i
Pro stanovení xT
n
Fy ⋅ xT = ∑ Fi ⋅ x i ⇒ xT
i =1
Pro stanovení yT
n
Fx ⋅ y T = ∑ Fi ⋅ y i ⇒ y T
i =1
- 30 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Těžiště plochy čtverce, kosočtverce, obdélníka, kosodélníka, kruhu, elipsy
Je v průsečíku jejich os souměrnosti (úhlopříček).
Těžiště plochy trojúhelníka
Je v průsečíku spojnic bodů, půlících strany trojúhelníka a protilehlých vrcholů.
Těžiště plochy lichoběžníka
vyučovací hodina:
33.
Těžiště plochy půlkruhu
- 31 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
y ´=
2
2 2⋅r 4⋅r 4
⋅y = ⋅
=
≅ ⋅ r [ mm ]
3
3 π
3 ⋅π 9
Těžiště plochy výseče kruhu
y´ =
2
2
sin α °
⋅y = ⋅r ⋅
[ mm ]
3
3
arcα °
Při řešení těžiště složených ploch nejdříve složenou plochu rozdělíme na dílčí plochy, u kterých
polohu těžiště umíme určit. Nyní těžiště těchto dílčích ploch určíme a zavedeme do nich síly úměrné
plochám. Vlastní řešení provedeme pomocí momentové věty. Součet momentů dílčích ploch (v
osách x i y) k libovolnému bodu se rovná momentu výslednice k příslušné ose. Zjištěné souřadnice x
a y jsou potom hlavními těžištními osami a jejich průsečík určuje polohu těžiště T .
Početně:
n
FV = ∑ Fi
…..
velikost výslednice (obsah složené plochy)
i =1
Pro stanovení xv
n
Fv ⋅ x v = ∑ Fi ⋅ x i
i =1
Pro stanovení yv
n
Fv ⋅ y v = ∑ Fi ⋅ y i
i =1
- 32 -
MECHANIKA I
vyučovací hodina:
Příklad:
© M.H. 2003
34.
Stanovte početně souřadnice těžiště složené plochy podle obrázku.
Rozdělení na plochy v tomto případě provedeme tak, že od obdélníka (600x500) odečteme obdélník
(200x200), kruh (φ150) a trojúhelník.
F1 = 600 ⋅ 500 = 300000
F2 = 200 ⋅ 200 = 40000
F3 =
π ⋅150
velký obdélník
malý obdélník - vybrání
2
= 17671,5
4
150 ⋅150
F4 =
= 11250
2
kruhový otvor
trojúhelník – zkosení hrany
Výsledná plocha(síla)
n
FV = ∑ Fi = F1 − F2 − F3 − F4 = 300000 − 40000 − 17671,5 − 11250
i =1
FV = 231078 ,5 [ N ]
Stanovení xv
Fv ⋅ x v = ∑ Fi ⋅ x i = F1 ⋅ 300 − F2 ⋅ 200 − F3 ⋅100 − F4 ⋅ 550 ⇒ xV
1
(F1 ⋅ 300 − F2 ⋅ 200 − F3 ⋅100 − F4 ⋅ 550 )
FV
1
xV =
⋅ (300000 ⋅ 300 − 40000 ⋅ 200 − 17671,5 ⋅100 − 11250 ⋅ 550 )
231078 ,5
xV =
xV = 320 ,4 [ mm ]
- 33 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Stanovení yv
Fv ⋅ y v = ∑ Fi ⋅ y i = F1 ⋅ 250 − F2 ⋅ 400 − F3 ⋅100 − F4 ⋅ 50 ⇒ y V
1
(F1 ⋅ 250 − F2 ⋅ 400 − F3 ⋅100 − F4 ⋅ 50 )
FV
1
yV =
⋅ (300000 ⋅ 250 − 40000 ⋅ 400 − 17671,5 ⋅100 − 11250 ⋅ 50 )
231078 ,5
yV =
y V = 245 ,2 [ mm ]
Těžiště těles – pro informaci
•
Koule a krychle – těžiště je v jejich geometrickém středu
•
Válec a hranol (i kosý) – těžiště je v polovině spojnice těžišť obou podstav
•
Kužel a jehlan – těžiště je v jedné čtvrtině spojnice těžiště podstavy s vrcholem
U složitějších těles určíme těžiště rozložením tělesa na tělesa jednoduchá a v jejich těžištích necháme
působit síly úměrné objemům těles. Další postup je stejný jako u čar a ploch.
Guldinovy věty
Slouží k vypočítání povrchu a objemu rotačních těles.
Povrch rotačního tělesa vypočítáme, vynásobíme-li délku tvořící čáry l drahou těžiště čáry T při
otáčení kolem osy.
P = 2 ⋅ π ⋅ xT ⋅ l [ mm 2 ]
Objem rotačního tělesa vypočítáme, vynásobíme-li obsah tvořící plochy S drahou těžiště plochy T při
otáčení kolem osy.
- 34 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
V = S ⋅ 2 ⋅ π ⋅ xT
vyučovací hodina:
35.
2.7.3. Stabilita součástí
Působí-li na těleso kromě tíhy ještě síla F, která jej vychýlí z rovnováhy, poté přestane působit:
a) a těleso se vrací do své původní polohy – má rovnováhu stálou neboli stabilní
b) a těleso se pohybuje dál – je jeho rovnováha vratká neboli labilní
c) a těleso zůstane v nové poloze – má rovnováhu volnou neboli indiferentní
Při pohybu je důležitá poloha těžiště:
a) stoupá
b) klesá
c) zůstává ve stejné výši
- 35 -
MECHANIKA I
vyučovací hodina:
Klopný moment
Moment stability
Pro rovnováhu platí:
© M.H. 2003
36.
M KL = F ⋅ b [N.m]
M S = G ⋅ a [N.m]
F ⋅b −G ⋅a = 0
V praxi se požaduje, aby M S byl vždy větší:
MS
>1
M KL
n …. míra bezpečnosti proti překlopení (n = 1,2 až1,5 )
M S = M KL ⋅ n ⇒ n =
Z uvedeného plyne, že stabilní jsou dostatečně těžká tělesa s velkou podstavou.
vyučovací hodina:
37.
2.8. STATIKA JEDNODUCHÝCH MECHANISMŮ S PASIVNÍMI ODPORY
2.8.1. Význam tření a jeho druhy
K uvedení tělesa z klidu do pohybu a k udržení tělesa v pohybu po podložce je třeba určité vnější síly.
Pohybující se těleso se zastaví, přestane-li tato vnější síla působit. Příčinou je odpor proti pohybu ve
stykových plochách těles. Tento odpor se nazývá tření. Příčinou je to, že těleso ani podložka nejsou
dokonale hladké.
- 36 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Tření užitečné - brzdy, třecí spojka, řemenové a lanové převody, vozovka-pneumatika, klíny, šrouby,
třecí převody, …
Nežádoucí tření - čepy v ložiskách, tření ve vedeních, …
Navíc při tření vzniká teplo, které je nutno bez užitku odvádět do okolí! Je proto nutné dobré mazání.
Druhy tření
Smykové
- vzniká při pohybu tělesa smykem (kluzem, vlečením). Působí vždy ve stykové ploše
a vždy proti směru pohybu.
Valivé
- vzniká při pohybu valivém mezi válcem a podložkou, protože nejsou dokonale tuhé.
Čepové
- vzniká v čepu uloženém v ložiskách a působí proti smyslu rotačního pohybu.
Vláknové
- vzniká při smýkání lan a pásů po nehybné válcové ploše.
vyučovací hodina:
38.
2.8.2. Tření smykové – vodorovná podložka, nakloněná rovina
Jednoduchým pokusem se zjišťovala velikost síly, která je zapotřebí k tomu, aby se břemeno
pohybovalo rovnoměrným pohybem.
Pro břemeno G1 to byla síla F1 , pro G2 síla F2 a pro G3 síla F3 .
Zjistilo se, že platí:
F
F1
F
F
= 2 = 3 = ... = = konst . = f …. součinitel smykového tření
G1 G2 G3
G
f závisí na drsnosti stykových ploch, na materiálech stykových ploch a na tom, jsou-li plochy suché,
nebo potřeny tenkou vrstvou maziva.
Odpor smykového tření Ft je přímo úměrný kolmému (normálovému) tlaku Fn .
Ft = Fn ⋅ t
Hodnoty f lze najít v tabulkách.
Kov na kov
- neopracované
- hladce opracované, suché
- hladce opracované, mírně mazané
- hladce opracované, vydatně mazané
Kov na dřevo
- suché
- mazané
Kov na ledě
- 0,02
0,38 – 0,56
0,10 – 0,15
Ferodo, fibr na kov - 0,40 – 0,7
- 37 -
0,22 – 0,31
0,15 – 0,20
0,12 – 0,15
0,03 – 0,08
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Pohyb na vodorovné podložce
Určete sílu F , která utáhne rovnoměrným pohybem břemeno tíhy G .
F − Ft = 0
F = Ft = G ⋅ f
Bude-li síla odkloněna o úhel
α
Fn = G
pak
Fx = F ⋅ cos α
Fy = F ⋅ sin α
Ft = (G − Fy ) ⋅ f = (G − F ⋅ sin α ) ⋅ f
Fx = Ft … podmínka rovnoměrného
pohybu
F ⋅ cos α = f ⋅ G − f ⋅ F ⋅ sin α
F ⋅ (cos α + f ⋅ sin α ) = f ⋅ G
F =G⋅
vyučovací hodina:
f
[N]
cos α + f ⋅ sin α
39.
Pohyb po nakloněné rovině
Fn = G ; Ft = Fn ⋅ f ; tgϕ =
Ft Fn ⋅ f
=
=f
Fn
Fn
Má-li zůstat těleso v klidu, pak F ≤ Ft
Velikost Ft je funkcí třecího úhlu ϕ
Velikost F je funkcí úhlu α
Má-li zůstat těleso v klidu, pak
- 38 -
α ≤ϕ
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Při pohybu musí platit naopak F ≥ Ft tedy
α ≥ϕ .
Podle obrázku lze také dokázat, že platí
f =
sin ϕ
= tgϕ .
cos ϕ
Nyní stanovme sílu F , která utáhne břemeno G po nakloněné rovině směrem nahoru, působí-li síla
rovnoběžně s nakloněnou rovinou.
Reakce podložky Fn = G ⋅ cos α
Tření Ft = f ⋅ G ⋅ cos α
Podmínka pohybu F ≥ Ft + G ⋅ sin α
F = Ft + G ⋅ sin α
F = f ⋅ G ⋅ cos α + G ⋅ sin α
F = G ⋅ (sin α + f ⋅ cos α ) [N]
Nakloněná rovina je samosvorná, udrží-li se na ní těleso bez zvláštní zdržující síly
Kdyby neexistovalo tření, byla by ideální síla pro tažení břemena
Účinnost nakloněné roviny
Fi = G ⋅ sin α
Fi
G ⋅ sin α
=
F G ⋅ sin α + f ⋅ G ⋅ cos α
sin α
η=
< 1 [--]
sin α + f ⋅ cos α
η=
u samosvorné nakloněné roviny je
vyučovací hodina:
α ≤ϕ .
η < 0 ,5 .
40.
2.8.3. Vzepření tyče ve vedení
Tyč vedenou ve dvou vedeních nelze posunout, jsou-li tato vedení příliš blízko u sebe a nepůsobí-li
síla přesně v ose. Tyč se ve vedení vzpříčí, je samosvorná.
- 39 -
MECHANIKA I
vyučovací hodina:
© M.H. 2003
41. a 42.
2.8.4. Tření na oblé ploše
Jednošpalíková brzda
Začínáme vždy u rotujícího členu.
PÁKA působí na BUBEN normálovou silou
Fn , která vyvolá tření Ft , působící proti
smyslu pohybu.
BUBEN působí na PÁKU stejnými silami, ale
opačného smyslu.
Tyto síly zachytíme RÁMEM.
Podmínka rovnováhy pro BUBEN
M − Ft ⋅ r = 0
Podmínka rovnováhy pro PÁKU
F ⋅ a − Ft ⋅ c − Fn ⋅ b = 0
Třecí podmínka
Ft = Fn ⋅ f
Řešíme tři rovnice o třech neznámých
M
f ⋅r
F ⋅ a − Fn ⋅ f ⋅ c − Fn ⋅ b = 0
M
M
M ⋅r M ⋅b
F ⋅a =
⋅f ⋅c +
⋅b =
+
f ⋅r
f ⋅r
r
f ⋅r
M ⋅c M ⋅b
F=
+
r ⋅a f ⋅r ⋅a
M b

F=
 + c  [N]
r ⋅a  f

M − Fn ⋅ f ⋅ r = 0 ⇒ Fn =
Úloha:
Odvoďte vztah pro stanovení brzdné síly pro jednošpalíkovou brzdu dle obrázku.
- 40 -
MECHANIKA I
vyučovací hodina:
© M.H. 2003
43.
2.8.5. Tření čepové
Otočné spojení členů mechanismu provádíme čepem uloženým v ložisku. Ve stykové ploše mezi
čepem a ložiskem vzniká tření, které působí proti pohybu.
Čep radiální - síla působí kolmo k ose otáčení
Čep axiální - síla působí v ose otáčení
Čepy radiální
Pro zjednodušení budeme uvažovat uložení čepu ve volné pánvi. Zde dochází ke styku v přímce. Při
otáčení se čep posune ze středu otáčení a tím se posune i vzájemné působení.
Při rotaci výslednice vzájemného působení FA tvoří se zatížením G silovou dvojici. Tuto silovou
dvojici, které říkáme moment čepového tření M Č , musíme při otáčení čepu překonávat.
MČ = G ⋅ ρ
M Č = G ⋅ r ⋅ sin ϕ
M Č = G ⋅ r ⋅ fČ [N.m]
sin ϕ =
ρ
⇒ ρ = r ⋅ sin ϕ
r
sin ϕ = fČ … součinitel čepového tření
- 41 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Čepy axiální
U nezaběhaného čepu předpokládáme, že se kolmý tlak rozloží rovnoměrně po styčné ploše.
G = Fn = ∑ ∆Fn
Na velmi malé výseči působí elementární reakce ∆Fn v jejím těžišti. Tuto výseč pokládáme za ∆ a
pak vzdálenost těžiště od středu je
2
⋅ r . Elementární reakce ∆Fn při otáčení čepu způsobuje
3
elementární tření ∆Ft = ∆Fn ⋅ f . Pak elementární moment čepového tření je
∆M č = ∆Ft ⋅
2
2
⋅ r = ∆Fn ⋅ f ⋅ ⋅ r .
3
3
Výsledný moment čepového tření je
M č = ∑ ∆M č = ∑ ∆Fn ⋅ f ⋅
2
2
⋅ r = ⋅ r ⋅ f ⋅ ∑ ∆Fn
3
3
2
M č = ⋅ r ⋅ f ⋅ G [N.m]
3
U zaběhaného čepu je čep více opotřebován na obvodu (delší dráha) a proto je kolmý tlak rozložen
nerovnoměrně. Uvažujeme, že těžiště elementární reakce ∆Fn působí ve vzdálenosti
1
⋅r .
2
Moment čepového tření potom je
Mč =
1
⋅ r ⋅ f ⋅ G [N.m]
2
Při velkém zatížení může vlivem velkého tlaku poblíž osy otáčení dojít k poruše materiálu. Tomu se
předchází vybráním středu čepu. Působiště elementárního tlaku potom uvažujeme na středové
kružnici vzniklého mezikruží.
- 42 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
M č = rS ⋅ f ⋅ G [N.m] ;
vyučovací hodina:
rS =
r1 + r2
[mm]
2
44.
2.8.6. Odpor při valení
Kdyby byly válec i vodorovná podložka dokonale tuhé, nedeformovala by se ani podložka ani válec.
Styk by byl pouze čárový, v povrchové úsečce válce. Tíha válce G je v rovnováze s reakcí podložky
Fn . Stačila by sebemenší vodorovná síla, aby uvedla válec do valivého pohybu.
U skutečných těles dochází k deformaci podložky a tím vznikají silové poměry dle pravého obrázku.
Tím se posune těžiště vzájemného působení a vzniklou silovou dvojici musíme překonávat jinou
silovou dvojicí.
Podmínka rovnováhy
F ⋅ a −G ⋅ς = 0 ;
ζ [mm] ... rameno valivého odporu (dzéta)
Rameno valivého odporu ζ závisí na materiálu podložky a válce. Lze jej nalézt v tabulkách.
Součin G ⋅ ς nazýváme momentem valivého odporu.
- 43 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Síla potřebná k překonání valivého odporu F = G ⋅
Síla bude nejmenší, jestliže amax = d ; Fmin = G ⋅
ς
a
ς
d
[N]
[N]
Naopak čím menší bude a , tím bude síla F větší. Má to však určitou hranici. Stalo by se, že místo
valení se válec bude smýkat. Tento případ nastane, když síla pro smýkání bude menší než síla pro
valení.
Pro valení
Fmax = G ⋅
Pro smýkání
F = G ⋅f
ς
amin
Aby nedošlo ke smýkání musí platit Fmax ≤ F .
G⋅
ς
amin
≤ G ⋅ f ⇒ amin =
ς
[-]
f
Trakční odpory
V praxi je většinou spojeno valení s uložením v čepech. Sílu, působící v ose válce lze pak stanovit ze
vzorce
F ⋅ r − G ⋅ ς − Mč = 0
G ⋅ ς − Mč
F=
[N]
r
vyučovací hodina:
45.
2.8.7. Tření vláknové, pásové brzdy
Při smýkání lan a pásů po nehybné válcové ploše vzniká vláknové tření. Síla na jedné straně je vždy
větší. Velikost zvětšení této síly je závislé na úhlu opásání, na použitém nosném prvku a na drsnosti
válcové plochy.
Pro zvedání platí
F1 > G
F1 = G ⋅ e fα [N]
F1 , F2 … síly vláknového tření
G
- 44 -
… tíha břemena
MECHANIKA I
Pro spouštění platí
© M.H. 2003
F2 < G
F2 = G ⋅
1
[N]
e fα
e … základ přirozených logaritmů
f … součinitel smykového tření
Výraz e
fα
pro různé f a
vyučovací hodina:
α
α … úhel opásání v obloukové míře
lze také najít v tabulkách.
46.
Pásová brzda
Úkolem je určit brzdící sílu F pro ubrždění momentu M .
uvolnění členů
zachycení účinků sil
do rámu brzdy
Fs1 = Fs 2 ⋅ e fα
Fs1 > Fs 2
Podmínka rovnováhy členu 2 (začínáme rotujícím členem)
M + Fs 2 ⋅ r − Fs1 ⋅ r = 0
Podmínka rovnováhy členu 3
F ⋅ a − Fs 2 ⋅ b = 0
⇒
Fs 2 = F ⋅
a
b
Podmínka vláknového tření
Získali jsme soustavu tří rovnic o třech neznámých.
- 45 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
M + Fs 2 ⋅ r − Fs 2 ⋅ e fα ⋅ r = 0
(
)
M − Fs 2 ⋅ r ⋅ e fα − 1 = 0
a
M − F ⋅ ⋅ r ⋅ e fα − 1 = 0
b
a
M = F ⋅ ⋅ r ⋅ e fα − 1
b
(
(
)
)
⇒
F=
M b
1
⋅ ⋅ fα
[N]
r a e −1
Při změně smyslu otáčení bubnu dojde ke změně brzdícího účinku a tím i síly F .
Rovnováha členu 3
F ⋅ a − Fs1 ⋅ b = 0
Změnou smyslu otáčení se změnila síla Fs 2 na Fs1 .
Pásová brzda součtová
Aby byla rovnováha na páce pro oba smysly otáčení stejná, provedeme následující úpravu
konstrukce.
Rovnice rovnováhy pro oba smysly
M + Fs 2 ⋅ r − Fs1 ⋅ r = 0
F ⋅ a − Fs1 ⋅ b − Fs 2 ⋅ b = 0 ⇒ F ⋅ a = Fs1 ⋅ b + Fs 2 ⋅ b
Síla F je větší. Je vidět, že musí překonávat obě síly. Proto
se jí říká součtová. (Účinky tahů v páse Fs1 a Fs 2 na páce se
sčítají). Je to cena za to, že se brzda hodí pro oba smysly
otáčení.
- 46 -
MECHANIKA I
vyučovací hodina:
© M.H. 2003
47.
Pásová brzda rozdílová
Potřebujeme-li aby byla ovládací síla F malá.
M + Fs 2 ⋅ r − Fs1 ⋅ r = 0
F ⋅ a + Fs1 ⋅ b − Fs 2 ⋅ c = 0 ⇒ F ⋅ a = Fs 2 ⋅ c − Fs1 ⋅ b
Z rovnováhy na páce vidíme, že síla Fs1 pomáhá brzdící síle F . Účinky tahů v páse Fs1 a Fs 2 na
páce se odčítají.
Řemenový převod
Vlivem smyslu otáčení
Fs1 > Fs 2
Fs1 = Fs 2 ⋅ e fα ⇒
Fs 2 =
M1 + Fs 2 ⋅ r1 − Fs1 ⋅ r1 = 0
Fs1
e fα
Naším úkolem je určit maximální sílu v řemenu, tedy Fs1 .
Fs1
⋅ r1 − Fs1 ⋅ r1 = 0
e fα
 e fα − 1 
F
1 

M1 = Fs1 ⋅ r1 − sfα1 ⋅ r1 = Fs1 ⋅ r1 ⋅ 1 − fα  = Fs1 ⋅ r1 ⋅  fα 
e
 e 
 e

M1 +
Fs1 =
M1 e fα
⋅
[N]
r1 e fα − 1
Fs 2 =
Fs1
[N]
e fα
- 47 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
vyučovací hodina:
48.
Praktické aplikace
vyučovací hodina:
49. a 50.
2.9. OPAKOVÁNÍ STATIKY
vyučovací hodina:
51.
3. PRUŽNOST A PEVNOST (PaP)
3.1. DEFINICE PAP, ZÁKLADNÍ DRUHY NAMÁHÁNÍ
3.1.1. Definice PaP, základní pojmy
Při řešení úloh PaP se předpokládá, že těleso je v klidu nebo v rovnoměrném pohybu. Úkolem nauky
o PaP je určit k předepsanému vnějšímu zatížení rozměry a deformaci tělesa tak, aby se nepřekročila
nejen mez pevnosti, ale ani mez pružnosti, za kterou se tělesa trvale deformují.
Mez pevnosti
- při jejím překročení součást praskne
Mez pružnosti - při jejím překročení se začíná součást trvale deformovat
Druhy namáhání:
1) tahem
2) tlakem
3) smykem (střihem)
4) krutem
5) ohybem
6) vzpěrem
Charakteristické zatížení
Zatěžující síly dělíme:
a) podle místa působení
VNĚJŠÍ (akční)
VNITŘNÍ (reakční)
b) podle výsledného účinku
OSAMĚLÉ SÍLY
F
M
MOMENTY SIL
⇒ posun
⇒ otáčení
c) podle polohy roviny zatížení a roviny průřezu
KOLMÉ NA PRŮŘEZ
ROVNOBĚŽNÉ S PRŮŘEZEM
Charakteristický průřez
plocha průřezu
modul průřezu
S
W
(tah, tlak, smyk)
(krut, ohyb)
- 48 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Napětí
Podíl, určující průměrnou (střední) hodnotu vnitřních sil, které působí na danou plochu.
Druhy napětí:
a) σ - normálová napětí (kolmá na průřez)
b) τ - tečná napětí (rovnoběžná s průřezem)
Charakteristická deformace
a)
b)
c)
d)
e)
tah
tlak
smyk
krut
ohyb
- prodloužení
- zkrácení
- posunutí
- zkroucení
- prúhyb
Výpočet charakteristické deformace
Součin charakteristického průřezu a modulu pružnosti bývá často nazýván TUHOST.
3.1.1. Zásady dimenzování součástí
Při návrhu součásti musí být splněna podmínka, že součást musí vyhovovat jak po stránce pevnosti,
tak i deformace.
Pevnostní rovnice
Tato rovnice slouží k výpočtu:
a) Návrhovému – návrh optimálních rozměrů průřezu
b) Únosnosti – pro navržené rozměry počítáme maximální možné zatížení
c) Kontrolnímu – zjišťujeme, zda skutečné napětí nepřekročí dovolené
Deformační rovnice
Tato rovnice opět slouží k výpočtu:
a) Návrhovému – návrh optimálních rozměrů průřezu
b) Únosnosti – pro navržené rozměry počítáme maximální možné zatížení
c) Kontrolnímu – zjišťujeme, zda skutečné napětí nepřekročí dovolené
d) Maximální deformace
- 49 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
vyučovací hodina:
52.
3.1.2. Základní druhy namáhání
o
Namáhání tahem
Definice:
Součást je namáhaná tahem, působí-li na ni dvě síly stejně velké, opačně orientované
a směřují ven z průřezu. Jsou kolmé na průřez a leží na společné nositelce.
Deformace:
prodloužení a zúžení průřezu
Pevnostní rovnice:
o
Namáhání tlakem
Definice:
Součást je namáhaná tlakem, působí-li na ni dvě síly stejně velké, opačně orientované
a směřují do průřezu. Jsou kolmé na průřez a leží na společné nositelce.
Deformace:
zkrácení a rozšíření průřezu
Pevnostní rovnice:
- 50 -
MECHANIKA I
o
© M.H. 2003
Namáhání smykem
Definice:
Součást je namáhaná smykem, působí-li na ni dvě síly stejně velké, opačně
orientované a rovnoběžné s průřezem.
Deformace:
posunutí části I proti části II
Pevnostní rovnice:
o
Namáhání krutem
Definice:
Součást je namáhaná krutem, působí-li na ni dvojice sil rovnoběžná s průřezem.
Deformace:
zkroucení
Pevnostní rovnice:
- 51 -
MECHANIKA I
o
© M.H. 2003
Namáhání ohybem
Definice:
Součást je namáhaná ohybem, působí-li na ni dvojice sil, jejíž rovina je kolmá k rovině
průřezu.
Deformace:
průhyb
Pevnostní rovnice:
vyučovací hodina:
53.
3.2. TAH, TLAK
3.2.1. Tahový diagram
Ke zjištění mechanických vlastností v tahu se provádí tahová zkouška:
Zkušební tyčinku normalizovaného tvaru upevníme do trhacího stroje, na nějž je napojeno kreslící
zařízení. To zaznamená průběh zkoušky do tzv.pracovního diagramu.
Pracovní diagram měkké uhlíkové oceli
- 52 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Protože hodnoty z pracovního diagramu nelze obecně využít (platí jen pro zkušební tyčinku),
zavádíme tzv. smluvní diagram.
Smluvní diagram měkké uhlíkové oceli
ε … poměrné prodloužení
R e , R m ..……. meze zjišťované z diagramu
σ K ,t , σ P ,t …… meze zjišťované výpočtem
Definice mezí
U - mez úměrnosti – (platí Hookův zákon) … obtížně zjistitelná
E - mez pružnosti (elasticity) – zůstává trvalá deformace 0,005% původní délky
K - mez kluzu – součást se prodlužuje i přes pokles napětí
P - mez pevnosti – objevují se první trhliny
S - bod přetržení
Veličiny charakterizující mechanické vlastnosti materiálu
1. Tažnost
δ=
l − l0
⋅ 100 [%]
l0
- 53 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
2. Kontrakce (poměrné zúžení)
ψ=
S0 − S
⋅ 100 [%]
S0
Obě tyto veličiny charakterizují HOUŽEVNATOST MATERIÁLU.
Podle tvaru tahového diagramu se posuzuje zejména pružnost (čím > σ E , tím je materiál pružnější) a
pevnost (čím > σ P , tím je materiál pevnější) a dále houževnatost materiálu.
Napětí na mezi kluzu je výchozí hodnotou pevnostních výpočtů houževnatých materiálů.
U vysokouhlíkových ocelí však není tato mez v diagramu výrazná, proto se za mez kluzu pokládá
napětí, při kterém po odlehčení tyčinky zůstává poměrné prodloužení o hodnotě ε = 0,002 , tedy
0,2% původní délky.Tato hodnota se označuje σ K ,t 0,2 = R P 0,2 = smluvní mez kluzu.
vyučovací hodina:
54.
3.2.2. Hookův zákon v tahu, deformační rovnice
Až do meze úměrnosti má křivka tahového diagramu tvar přímky => do této meze platí přímá úměra
mezi σ a ε .
Definice
Slovně : Až do meze úměrnosti je napětí přímo úměrné poměrnému prodloužení.
Matematicky: (rovnice přímky)
y = k ⋅ x dosazením σ a ε
E … modul pružnosti v tahu (závisí na druhu materiálu, viz ST [MPa])
- 54 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Z Hookova zákona lze odvodit vztah pro výpočet skutečné deformace (prodloužení) ∆l , tj.
deformační rovnici.
F
∆l
; ε=
S
l0
F ⋅ l0
F
∆l
σ = E ⋅ ε ⇒ = E ⋅ ⇒ ∆l =
S
l0
S ⋅E
σ=
Obecná deformační rovnice
Odvozená deformační rovnice pro ∆l
vyučovací hodina:
55.
3.2.3. Pevnostní rovnice v tahu a tlaku, dovolené napětí
Obecně platná pevnostní rovnice
Na základě této rovnice můžeme napsat pevnostní rovnice pro namáhání:
a) Tahem
b) Tlakem
Dovolené napětí
Je maximální přípustné napětí, při kterém dochází pouze
k pružným deformacím => v tahovém diagramu se bude tedy
nacházet pod mezí pružnosti (elasticity).
- 55 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Protože zjištění této meze je velmi zdlouhavé, dovolené napětí se počítá, nebo zjišťuje z tabulek.
Houževnaté materiály
σ D,t =
σ K ,t
k
⋅c =
0,6 ⋅ σ P ,t
k
⋅c
Pozn.: míra bezpečnosti k závisí na druhu materiálu, pro oceli obvykle bereme k = 1,5 ≅ 2 .
Křehké materiály
σ D,t =
σ P ,t
k
⋅c
Pozn.: míra bezpečnosti k závisí opět na druhu materiálu. Bereme obvykle k = 4 ≅ 6 .
Mez kluzu se volí:
Uhlíkové oceli σ P ,t ≤ 700MPa ….
σ K ,t ≈ 0,6 ⋅ σ P ,t
Slitinové oceli ………………………..
σ K ,t ≈ 0,8 ⋅ σ P ,t
vyučovací hodina:
56.
3.2.4. Druhy zatížení, nebezpečný průřez
Druhy zatížení
I. Statické
II. Míjivé
- 56 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
III. Střídavé
Úloha: Ve ST najděte tabulku součinitelů zatížení.
vyučovací hodina:
57.
Nebezpečný průřez
Je to nejvíce namáhaný příčný průřez součásti, tj. ten, ve kterém je největší napětí => zpravidla
nejmenší průřez součásti.
Příklad:
Nebezpečný průřez táhla, zeslabeného příčným otvorem.
S = h ⋅ (b − d )
Příklady:
1. Ocelové táhlo s průřezem b ⋅ h = 10 ⋅ 60mm má být zatíženo klidnou silou F = 69kN .
Zjistěte, zda rozměry a zatížení vyhovují je-li materiál 11343 , k = 7 .
2. Plochá ocelová tyč je zatížena tahem osovou silou F = 40kN . Jaké jsou optimální
h
, střídavé zatížení, materiál 11500 a k = 2 .
4
3. Jak velkou míjivou silou můžeme zatížit táhlo z oceli 11500 , nemá-li napětí překročit σ D,t .
Táhlo je průřezu 40 ⋅ 8mm a je v něm příčná díra 15mm . k = 2 .
průřezové rozměry b; h je-li b =
- 57 -
MECHANIKA I
vyučovací hodina:
© M.H. 2003
58.
3.2.5. Měrný tlak
V praxi se často setkáváme s tím, že dvě součásti funkčně spolu spojené (hřídel-ložisko, pero-náboj)
na sebe vzájemně působí – tlačí. V těchto případech je nutné zjistit, zda tlak ve styčných plochách,
tzv. měrný tlak, nepřesahuje dovolenou hodnotu.
Obecný výpočet
Dovolený tlak
pD = 0,7 ≅ 0,9 ⋅ σ D,d ……
(
)
pro součásti ve vzájemném klidu. Bere se hodnota té
součásti, která je menší!
pD = (1 ≅ 20 ) MPa ………. pro součásti ve vzájemném pohybu. Značně kolísá, závisí
na druhu materiálu, tvrdosti, drsnosti povrchů, obvodové
rychlosti, mazání, rázech atd.
Příklady:
a) rovinná styčná plocha
ROVNÁ
p=
F
F
=
≤ pD [MPa]
S b⋅l
- 58 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
KLÍNOVÁ DRÁŽKA
Fn1 = Fn 2 =
p=
F
[N ]
2 ⋅ sin α
F
F
=
≤ pD [MPa ]
S 2 ⋅ b ⋅ sin α ⋅ l
b) zakřivená styčná plocha
TLAK MEZI HŘÍDELEM A LOŽISKEM
p=
Poznámka:
F
F
=
≤ pD [MPa ]
S d ⋅l
Další příklady aplikací měrného tlaku budou probírány ve 2. ročníku v předmětu
Stavba a provoz strojů.
- 59 -
MECHANIKA I
vyučovací hodina:
© M.H. 2003
59.
3.3. PROSTÝ SMYK
3.3.1. Definice, pevnostní rovnice
Namáhání prostým smykem vzniká tehdy, když dvě stejně velké síly opačného smyslu působí na
společné nositelce, procházející těžištěm průřezu. Materiál se brání snaze vnějších sil posunout po
sobě obě části vnitřní silou, která se projeví tečným napětím.
Tento ideální případ se vyskytuje jen u velmi přesného stříhání materiálu. V obecném případě síly
neleží na společné nositelce a kromě posuvu profilu dojde vždy ještě k ohybu.
V praxi tento přídavný ohyb většinou zanedbáváme, takže pevnostní rovnice má stejný tvar jako
rovnice v tahu a tlaku.
Pevnostní rovnice
n …….. počet střižných ploch
Z diagramu pro zkoušku smykem vyplývá:
τ k ,s =& 0,6 ⋅ σ k ,t
=>
τ D,s =& 0,6 ⋅ σ D,t ……
pro oceli
τ D,s =& (0,8 ≅ 1) ⋅ σ D,t .. pro litinu
- 60 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
vyučovací hodina:
60.
3.3.2. Deformační rovnice
Mysleme si, že nosník se skládá z jednotlivých vrstviček, které by se účinkem síly F po sobě
posunuly.
Původně vodorovné roviny nosníku se skloní o malý úhel γ .
tg γ = zkos
pro velmi malé úhly platí
∆l
=& γ
l
tg γ =
Až po mez úměrnosti mezi zkosem a napětím platí
τ = k ⋅γ
k…
konstanta
Dosadíme-li k = G , dostaneme Hookův zákon pro smyk
G … modul pružnosti ve smyku (závisí na druhu materiálu, viz ST [MPa])
G=
E
2 ⋅ (1 + µ )
µ …. Poissonova konstanta
Z Hookova zákona lze dosazením získat deformační rovnici.
∆l
F
;τ =
l
S
∆l
F
=
l
S ⋅G
γ=
S ⋅ G ……
tuhost ve smyku
- 61 -
G =&
3
⋅ E …. pro oceli
8
MECHANIKA I
© M.H. 2003
3.3.3. Stříhání materiálu
Při stříhání materiálu musíme materiál porušit a proto platí upravená pevnostní rovnice
O [mm ] …
t [mm ] ….
obvod střihu
tloušťka stříhaného materiálu
vyučovací hodina:
61.
3.3.4. Praktické aplikace
vyučovací hodina:
62.
3.4. PRŮŘEZOVÉ MODULY PRO NAMÁHÁNÍ KRUTEM A OHYBEM
Úvod
Při namáhání v tahu, tlaku a smyku jsme poznali, že charakteristickými veličinami byla velikost síly a
plochy průřezu. To tedy znamená, že u těchto druhů namáhání nezáleží na poloze, tvaru nebo
rozložení průřezu podle průřezové osy.
Jinak tomu bude u namáhání krutem a ohybem, o čemž se můžeme přesvědčit pokusem.
Pokus:
Vezměme rovné plastové pravítko obdélníkového průřezu a ohýbejme jej. Zjistíme, že
pravítko se daleko lehčeji ohne naležato než nastojato.
Vidíme tedy, že u ohybu (i krutu a vzpěru) není únosnost a deformace závislá jen na velikosti průřezu,
ale závisí i na poloze, tvaru a rozložení podél průřezové osy.
Charakteristickou veličinou je KVADRATICKÝ MOMENT PRŮŘEZU.
3.4.1. Kvadratický moment průřezu
je charakteristickou průřezovou veličinou pro krut, ohyb a vzpěr.
Označení:
Výpočet:
Jx , Jy , Jz
x, y , z …
Jx = ∑ ∆S ⋅ y 2
Jy = ∑ ∆S ⋅ x 2
osy, ke kterým moment počítáme
[mm ]
4
Tyto vztahy potřebujeme při odvozování rovnice pro ohyb,
kde jsou vztaženy na neutrální osu ( osu bez napětí a
deformace).
Součet součinů ∆S ⋅ x a ∆S ⋅ y se vztahuje na celou
plochu průřezu. Jelikož kvadratický moment roste s druhou
mocninou vzdálenosti od osy, proto se pravítko nastojato
daleko méně deformuje než naležato.
2
- 62 -
2
MECHANIKA I
© M.H. 2003
S ⋅ y T2 =/ ∑ ∆ S ⋅ y 2
POZOR !!!
3.4.2. Vztah mezi kvadratickým a polárním momentem průřezu
Kromě kvadratického momentu průřezu rozeznáváme ještě tzv. POLÁRNÍ MOMENT PRŮŘEZU J P , který
je vztažen k ose, která je k rovině kolmá.
Bod 0 , ve kterém osa protíná rovinu obrazce nazýváme PÓLEM.
Jelikož platí, že ρ = x + y , můžeme pak psát vztah
2
2
2
(
)
JP = ∑ ∆ S ⋅ ρ2 = ∑ ∆ S ⋅ x 2 + y 2 = ∑ ∆ S ⋅ x 2 + ∑ ∆ S ⋅ y 2 = J y + J x
JP = J x + J y
Polární moment průřezu je roven součtu kvadratických momentů průřezu ke dvěma vzájemně kolmým
osám, které se protínají v pólu.
vyučovací hodina:
63.
3.4.3. Kvadratické a polární momenty základních rovinných obrazců, průřezové moduly v krutu
a v ohybu
Kvadratické a polární momenty
Hodnoty pro základní geometrické tvary (kruh, čtverec, obdélník, mezikruží, … ) lze najít ve
Strojnických tabulkách.
Úloha: Vyhledej si ve Strojnických tabulkách hodnoty kvadratického a polárního momentu pro
základní geometrické obrazce. Nalezené výrazy zapiš do tabulky.
Průřezové moduly v krutu a v ohybu
V úvodní kapitole byly uvedeny vztahy pro určení napětí v ohybu a v krutu
Veličiny W o a W k jsou odvozeny z hodnot J a J P a platí pro ně:
- 63 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Modul průřezu v ohybu
W ox =
W oy =
Jx
e
Jy
e
[mm ]
3
Tento vztah platí vždy!
Modul průřezu v krutu
Wk =
[
JP
mm 3
e
]
U krutu platí pouze pro kruhové průřezy!
Úloha: Odvoď (vyhledej) W o a W k pro základní geometrické obrazce a zapiš je do tabulky.
vyučovací hodina:
64.
3.4.4. Steinerova věta
Osa, která prochází těžištěm se nazývá centrální osa a příslušný kvadratický moment průřezu
centrální kvadratický moment průřezu.
K ose
x platí
Jx = ∑ ∆ S ⋅ y 2
x1 platí
J x1 = ∑ ∆ S ⋅ y 12
y1 = y + a
pak platí
J x1 = ∑ ∆ S ⋅ (y + a ) = ∑ ∆ S ⋅ y 2 + ∑ 2 ⋅ a ⋅ y ⋅ ∆ S + ∑ ∆ S ⋅ a 2
2
Druhý člen
∑ 2 ⋅ a ⋅ y ⋅ ∆ S = 2 ⋅ a ⋅ ∑ y ⋅ ∆ S = 0 … lineární moment průřezu k ose procházející
těžištěm (je roven nule)
- 64 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Po úpravě lze psát Steinerovu větu
[
J x1 =J x +a 2 ⋅ S mm 4
]
Znění: Kvadratický moment průřezu k libovolné ose rovnoběžné s centrální osou se rovná
kvadratickému momentu průřezu k centrální ose, zvetšenému o součin velikosti průřezu a
druhé mocniny vzdálenosti obou os.
Centrální osy: - osy k sobě kolmé, procházející těžištěm
Poznánky:
Má-li průřez osu souměrnosti, je tato vždy hlavní centrální osou
Druhá osa jdoucí těžištěm je k hlavní ose kolmá
Má-li průřez osu souměrnosti, pak kvadratické momenty obou stran (částí) jsou stejné
Posuneme-li plochu rovnoběžně s osou, ke které kvadratický moment hledáme, pak se tento
kvadratický nezmění
vyučovací hodina:
65.
3.4.5. Kvadratické momenty a průřezové moduly složených průřezů
Při výpočtu platí zásada:
Kvadratické momenty průřezu lze slučovat tehdy a jen tehdy, jsou-li vztaženy ke společné ose!
U složených obrazců rozlišujeme dva základní případy:
a) Dílčí plochy mají společnou osu souměrnosti
n
Pak platí vztah
J = ∑ Ji
n …… počet ploch
i =1
Řešení si ukážeme na konkrétní úloze.
Úloha: Stanovte J x složené plochy podle obrázku.
Pro úlohu platí
J x = J x čtverce − J x kruhu + J x obdél níka
a4 π ⋅ d 4 b ⋅ h3
Jx =
−
+
12
64
12
- 65 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
b) Dílčí plochy nemají společnou osu souměrnosti
Jestliže nemají plochy společnou osu souměrnosti, pak všechny kvadratické momenty průřezu dílčích
ploch musíme převést z jejich těžišťových os na rovnoběžnou společnou neutrální osu a teprve pak je
sloučit.
Pak platí vztah
n
(
)
n
n
i =1
i =1
J = ∑ J i + S i ⋅ ai2 = ∑ J i + ∑ S i ⋅ ai2
i =1
n …… počet ploch
Pro řešení úloh tohoto typu je možno definovat obecný postup:
1. Zjistíme početně nebo graficky polohu těžiště daného složeného průřezu (viz Statika).
2. Rozdělíme průřez na základní obrazce, u kterých umíme kvadratické momenty průřezu určit,
nebo je známe.
3. Určíme kvadratický moment průřezu každé dílčí plochy k ose procházející jejím těžištěm,
rovnoběžné s centrální osou. Zatím tyto kvadratické momenty nemůžeme slučovat, protože
jsou stanoveny k různým osám.
4. Kvadratické momenty průřezu dílčích ploch převedeme pomocí Steinerovi věty na centrální
osu.
5. Převedené kvadratické momenty dílčích ploch sloučíme a dostaneme celkový kvadratický
moment průřezu.
6. Z kvadratického momentu vypočítáme průřezový modul v ohybu.
vyučovací hodina:
66.
3.4.6. Praktické aplikace
Úloha: Určete J x a W ox složeného profilu podle obrázku.
- 66 -
MECHANIKA I
© M.H. 2003
Rozbor úlohy:
J = J STOJINY + J PÁSNIC + J ŮHELNÍKŮ − J OTVORŮ
Vlastní řešení:
1. Stojina
J x1 =
b ⋅ h 3 10 ⋅ 300 3
=
= 22,5 ⋅ 10 6 mm 4
12
12
2. Pásnice
J x2
 b ⋅ h3
 130 ⋅ 10 3

2


= 2⋅
+ S ⋅ a  = 2 ⋅ 
+ 10 ⋅ 130 ⋅ 155 2  = 62,49 ⋅ 10 6 mm 4
 12

 12

3. Úhelníky
Z norem určíme velikost průřezu, vzdálenost těžiště a kvadratický moment průřezu k těžišťové
ose rovnoběžné s osou x .
S = 656 mm 2 ;
(
J x 3 = 4 ⋅ J x´ + S ⋅ a 2
)
e = 15 mm ;
J x´ = 14,6 ⋅ 10 4 mm 4
= 4 ⋅ 14,6 ⋅ 10 4 + 656 ⋅ 135 2 = 48,4 ⋅ 10 6 mm 4
(
)
4. Otvory
Vyřešíme bez použití Steinerovy věty rozdílem kvadratických momentů dvou obdélníků.
Jx4 = 2 ⋅
(
)
1
⋅ 6 ⋅ 320 3 − 286 3 = 9,37 ⋅ 10 6 mm 4
12
Celkový kvadratický moment
J x = J x1 + J x 2 + J x 3 − J x 4
J x = 22,5 ⋅ 10 6 + 62,49 ⋅ 10 6 + 48,4 ⋅ 10 6 − 9,37 ⋅ 10 6
J x = 124 ⋅ 10 6 mm 4
Modul průřezu v ohybu
W ox =
J x 124 ⋅ 10 6
=
= 7,75 ⋅ 10 5 mm 3
e
160
vyučovací hodina:
67. a 68.
3.5. OPAKOVÁNÍ
Literatura:
Mrňák L., Drla A.
Salaba S, Matěna A.
Hofírek M.
Hofírek M.
MECHANIKA – Pružnost a pevnost
MECHANIKA I - Statika
MECHANIKA STATIKA
MECHANIKA STATIKA pracovní sešit
- 67 -
SNTL
SNTL
Fragment
Fragment
1977
1982
1998
1998

Statika_PaP

Transkript

Podobné dokumenty

10. tisková zpráva 27. července 2015 Jaký byl první víkend 41

Ceník využití sportovišť

Na kole kolem řek, na hory i za vínem

Pozvánka na partnerské setkání klubu Spojme síly

4. tisková zpráva LFŠ 2015 - Novinky