Trigonometrie

Projekt "Podpora
výuky v cizích jazycích na SPŠT"
Trigonometrie
MATA2
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR
1
Trigonometrie
Trigonometrie je oblastí matematiky, která se zabývá řešením úloh v obecném
trojúhelníku (v doslovném překladu z řečtiny znamená toto slovo měření trojúhelníku).
Již na základní škole a v 1. ročníku jste řešili úlohy týkající se trojúhelníku pravoúhlého
nebo rovnoramenného. My se v této kapitole naučíme řešit trojúhelník obecný. Nejdříve si
však zopakujeme to, co bychom již měli z dřívějška znát.
1.Opakování
V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C platí:
Pythagorova věta: Součet obsahů čtverců sestrojených nad odvěsnami je roven obsahu čtverce
sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku.
+ .
Sinus ostrého úhlu je poměr délky odvěsny protilehlé tomuto úhlu a délky přepony.
sinα sin Kosinus ostrého úhlu je poměr délky odvěsny přilehlé tomuto úhlu a délky přepony.
cosα
cosβ Tangens ostrého úhlu je poměr délek odvěsny protilehlé tomuto úhlu a odvěsny přilehlé.
tgα tg Kotangens ostrého úhlu je poměr délek odvěsny přilehlé tomuto úhlu a odvěsny protilehlé.
cotg cotgα 2
.
Trigonometry
Trigonometry is the mathematic area which is dealt with the solvetions of the tasks in a
general triangle (it literary means „ the measurement of a triangle“ in Greek).
You have already been solving the tasks regarding a rectangural or isosceles triangle at
the 1. class. We are going to learn to solve a general triangle in this chapter. Firstly, we have
to revise what we already know from the past.
1. Revision
In a rectangural triangle ABC with a right angle at the vertex C is valid:
The Pythagorean theorem: In any right triangle, the area of the square whose side is the
hypotenuse (the side opposite the right angle) is equal to the sum of the areas of the squares
whose sides are the two legs (the two sides that meet at a right angle).
+ The sine gives the ratio of the length of the side opposite to an angle to the length of the
hypotenuse.
sinα sin The cosine of an angle is the ratio of the length of the adjacent side to the length of the
hypotenuse.
cosα
cosβ The tangent of an angle is the ratio of the length of the opposite side to the length of the
adjacent side.
tgα tg The cotangent is the ratio of the length of the adjacent side to the length of the opposite side.
cotgα cotg 3
Obr.1.1.
Cvičení
1. Na břehu řeky je změřena vzdálenost || 20kolmá na směr . Z bodu je
vidět bod na protějším břehu pod úhlem 65°. Jak široká je řeka v místech , ?
2. Dvě přímé ulice se křižují v úhlu o velikosti β 51°. Místo na jedné z těchto ulic,
vzdálené od křižovatky 1625m, má být spojeno nejkratší cestou s druhou ulicí. Jak
dlouhá bude tato spojka?
2. Sinová věta
V předchozím článku jsme ukázali, jak lze užít znalosti o goniometrických funkcích
při řešení úloh, jejichž matematizací dospějeme k úkolu nalézt velikosti některých stran či
úhlů v pravoúhlém trojúhelníku.
Nyní se postupně seznámíme s několika větami, které mají základní důležitost při
hledání velikostí stran a úhlů v libovolném trojúhelníku (tede ne pouze v pravoúhlém).
V tomto článku uvedeme sinovou větu:
Pro každý trojúhelník ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α,β,γ a strany délky a, b, c, platí:
(*)
Poměr délky strany a hodnoty sinu velikosti protilehlého úhlu je v trojúhelníku konstantní.
( α |∢BAC|, β |∢ABC|, γ |∢ACB|, a |BC|, b |AC|, c |AB| )
4
Pic.1.1.
Exercise
1. It is measured the distance on the bank of the river || = 20 m which is orthogonal to
the direction AC. It is seen the point C on the opposite bank from the point B under
the angle 65 . How wide is the river at the place of A,C?
2. Two stright streets are crossed at the angle of the size β 51°. The place A on one the
street distants 1625 m from the crossroad is supposed to be joined the shortest way
with the other street. How long will the join be ?
2. The sine theorem
We have been shown in previous article how to use the knowledge of goniometrical
functions in solving tasks giving to math we are able to find the size of some sides or angles
in a rectangular triangle.
Now, we are going to learn with a few theorems that have the basic importance at
looking for the sizes sides and angles in a general triangle (so not only in rectangular).
We mentioned the sine theorem in this article:
For each triangle ABC whose inner angles have the size of α,β,γ and lengths a,b,c is
valid:
α
β γ
(*)
The ratio of the length of the side and the value of the sine of the oppocite angle is
constant in a triangle.
α |∢BAC| β |∢ABC| γ |∢ACB| a |BC| b |AC|c |AB|
5
Sinovou větu užíváme k výpočtu neznámých délek stran a velikostí úhlů trojúhelníku v těchto
dvou případech:
a) je-li dána délka jedné strany a velikosti dvou vnitřních úhlů;
b) jsou-li dány délky dvou stran a velikost vnitřního úhlu proti jedné z nich.
Obr.2.1.
Příklad 1
V trojúhelníku ABC je dáno: α 0,845, β 0,682, c 5,24cm. Vypočítejte délky
zbývajících stran a velikost vnitřního úhlu γ.
Řešení.
Z věty usu o shodnosti trojúhelníků plyne, že bude existovat právě jedno řešení, tj. γ, a, b
budou určeny jednoznačně.
a) V každém trojúhelníku je součet velikostí všech vnitřních úhlů roven π, a proto
|∢| , - . / . - . 0,845 . 0,682 ≐ 1,615
b) S užitím sinové věty určíme délku strany BC, tj. a:
sin / sin ,
Odtud:
∙
sin /
0,748
≐ 55,24 ∙
8 cm ≐ 3,92cm
sin ,
0,999
6
The sine theorem is used for calculation of unknown sides and the sizes of angles of a triangle
in these two cases:
a) if it is given the length of one side and the sizes of two inner angles;
b) if it is given the lenghts of two sides and the size of one inner angle opposite the one
of them.
Pic. 2.1.
Exercise 1
In a triangle ABC is given α 0,845, β 0,682, c 5,24cm. Calculate the lengths of
the remaining sides and the size of inner angle γ.
Solution.
It is clear, from the asa (angle-side-angle) pattern, that there is only one solution, it means
γ, a, b will be determined definetly.
a) In each triangle is the sum of the sizes of all inner angles equals π, and thus
|∢| , - . / . - . 0,845 . 0,682 ≐ 1,615
b) Using the sine theorem we determine the lenght of the side BC, it is a:
:
;
where:
:
=,>?@
∙ ; ≐ <5,24 ∙ =,AAAB cm ≐ 3,92cm
7
c) Pomocí sinové věty vypočítáme nakonec délku strany AC, čili b:
sin / sin Z toho:
∙
sin 0,630
≐ 53,92 ∙
8 cm ≐ 3,30cm
sin /
0,748
Závěr: γ≐1,615,a≐3,92cm, b≐3,30cm
Přiklad 2
V trojúhelníku ABC je dáno: , 72°10′, 8,54, 10,82. Určete velikost
zbývajících vnitřních úhlů a délku strany a.
Řešení.
Z věty Sus o shodnosti trojúhelníků vyplývá, že α, β, a budou určeny jednoznačně.
a) Nejprve s užitím sinové věty vypočítáme velikosti úhlu ABC, tj. β:
sin sin ,
sin 8,54
∙ sin , ∙ sin 72°10′ ≐ 0,789 ∙ 0,9520 ≐ 0,751
10,82
K určení β je třeba vyřešit rovnici sin 0,751 o neznámé ∈ E0°, 180°F. Tato rovnice má
dva kořeny:
G ≐ 48°40′
≐ 131°20′
však nemůže být velikostí vnitřního úhlu ABC v uvažovaném trojúhelníku, protože
H , ≐ 203°30′ a přitom víme, že součet velikostí všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je
180°. Je tedy 48°40I .
8
c) By means of the sine we calculate the length of the side AC in the end, thus b:
:
J
from that:
∙
J
:
≐ <3,92 ∙
=,KL=
B cm ≐ 3,30cm
=,>?@
Summary: γ≐1,615, a≐3,92 cm, b≐3,30 cm
Exercise 2
In the triangle ABC is given: , 72°10′, 8,54, 10,82. Determine the size of
remaining inner angles and the lenght of the side a.
Solution:
Using pattern sas about identical triangles si clear that α, β, a will be determined clearly.
a) First of all, using the sine theorem calculate the size of the angle ABC, it´s β:
J
sin ;
8,54
∙ sin , ∙ sin 72°10′ ≐ 0,789 ∙ 0,9520 ≐ 0,751
10,82
To determine β it is necessary to solve the equation sin 0,751 ∈ E0°, 180°F as
uknown. This equation has got two roots:
G ≐ 48°40′
≐ 131°20′
however, cannot be the size of inner angle ABC in the mentioned triangle because
H , ≐ 203°30′ and although we know that the sum of sizes of all inner angles in a
triangle is 180°. It is 48°40′
9
b) Určíme velikost úhlu CAB, tj. α:
/ 180° . . , ≐ 180° . 48°40I . 72°10I 59°10′
c) Zbývá vypočítat délku strany BC , tj. a. Využijeme opět sinovou větu:
/
sin / sin ,
:
=,N@N>
∙ ; ≐ <10‚82 ∙ =,AN=Bcm ≐9,79cm
Závěr: / ≐ 59°10′ , ≐ 48°40′ , ≐ 9,76cm
Sinovou větu lze v některých případech s výhodou užít při výpočtu obsahů
trojúhelníků.
Nejprve uvedeme jednu větu:
Pro obsah S trojúhelníku, jehož strany mají délky a, b, c a vnitřní úhly velikosti α, β, γ, platí
1
1
1
O sin , sin sin /
2
2
2
Důkaz.
Obr.2.2.
Víme, že obsah trojúhelníku lze vypočítat podle vzorce
G
O P ,
(1)
kde P je výška ke straně BC. Dále platí, že
P sin ,
10
(2)
b) We determine the size of the angle CAB, it is α:
/ 180° . . , ≐ 180° . 48°40′ . 72°10′ 59°10′
c) It remains to calculate the length of the side BC, ti means a. We use the sine again:
:
:
∙
:
;
≐ <10‚82 ∙
;
=,N@N>
=,AN=
B cm ≐9,79cm
Conclusion: / ≐ 59°10′ ≐ 48°40′ ≐ 9,76 cm
The sine theorem si possible to use in some cases with the advantage of using it in the
calculation of an area of a triangle.
At the beginning we state:
For the area (S) of a triangle whose sides have got the lengths a, b, c and the inner angles the
sizes α, β, γ, it is valid:
1
1
1
O sin , sin sin /
2
2
2
The proof:
Pic 2.2
We know that an area of a triangle can be calculated according to the figure
G
O P ,
(1)
where P is the hight to the side of BC. Further it is valid that
P sin ,
11
(2)
a také
P sin .
(3)
Dosadíme-li do (1) vztah (2), dostaneme
G
O sin ,;
po dosazení (3) do (1) obdržíme
G
O sin .
G
Poslední ze tří vztahů uvedených ve větě můžeme získat např. s využitím vzorce O P
.
Příklad 3
Určete obsah trojúhelníku, je-li dáno: 25,10 dm, / 63°, 38° .
Řešení.
Nejdříve pomocí sinové věty vypočítáme b, pak určíme γ a nakonec dosadíme dané a
G
vypočtené údaje do vzorce O sin ,.
sin sin /
25,1
25,1
∙ sin 5
∙ sin 38°8 Q ≐ 5
⋅ 0,61578 Q ≐ 17,34Q
sin /
sin 63°
0,8910
, 180° . / . 180° . 63° . 38° 79°
1
1
O sin , ≐ 5 ⋅ 25,1 ⋅ 17,4 ⋅ sin 79°8 Q ≐ E217,62 ∙ 0,9816FQ ≐ 213,6Q
2
2
Závěr: Obsah trojúhelníku je přibližně 213,6Q .
12
and also
P sin .
(3)
If we substitute to (1) relation (2), the result is:
G
O sin ,;
after the substitution (3) to (1) is given
G
O sin Last of the three relations mentioned in the theorem we can got, e.g. using the figure
G
O P
Example 3
Assess an area of a triangle whether it is given: 25,10 dm, / 63°, 38° .
Solution.
Initially, by means of the sine theorem we calculate b, then determine γ and in the end,
G
substitute the given and calculated data to the figure O sin ,.
J
:
25,1
25,1
∙ sin 5
∙ sin 38°8 Q ≐ 5
⋅ 0,61578 Q ≐ 17,34Q
sin /
sin 63°
0,8910
, 180° . / . 180° . 63° . 38° 79°
1
1
O sin , ≐ 5 ⋅ 25,1 ⋅ 17,4 ⋅ sin 79°8 Q ≐ E217,62 ∙ 0,9816FQ ≐ 213,6Q
2
2
Conclusion: An area of triangle is aproximately 213,6Q .
13
Cvičení:
1. Větu sinovou lze formulovat také takto: poměr délek dvou stran v trojúhelníku se rovná
poměru hodnot sinů velikostí protilehlých úhlů. Uměl byste upravit vztah (∗) tak, aby toto
znění vyjadřoval?
2. Dokažte sinovou větu pro případ pravoúhlého trojúhelníku.
3. Určete délky zbývajících stran a velikosti zbývajících vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jeli dáno:
a) 20 cm, / 45° , 30°
b) 11,3 cm, / 1,135° , , 0,611°
c) 8,6 mm, 11,4 mm, , 74°20′
d) 0,72 dm, 0,37 dm, 1,868°
4. Určete velikost všech vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, je-li
T 3 T 5 , , 2/
5. Určete obsah trojúhelníku ABC, je-li dáno:
a) 6,4 dm, 4,7 dm, , 68°
b) 12,8 m, 9,6 m, 0,977°
3. Kosinová věta
Sinovou větu můžeme užít k určení neznámých délek stran a velikostí vnitřních úhlů
trojúhelníku tehdy, jestliže dva ze tří daných prvků jsou délka strany a velikost úhlu ležícího
proti ní. Tato věta nám však neumožní řešit trojúhelník, ve kterém jsou dány délky dvou stran
a velikost úhlu jimi sevřeného. V uvedeném případě můžeme použít kosinovou větu.
14
Exercise:
1. The sine theorem can be formulated also as: the ratio of the lenghts of two sides in
triangular equals the ratio of the figures of the sines of the sizes of opposite angles. Could you
adjust the relation (*) in the way it expresses this version?
2. Prove the sine theorem in case of a rectangural triangle.
3. Assess the lengths of remaining sides and the sizes of the remaining inner angles of the
triangle ABC whether it is given:
a) 20 cm, / 45° , 30°
b) 11,3 cm, / 1,135° , , 0,611°
c) 8,6 mm, 11,4 mm, , 74°20′
d) 0,72 dm, 0,37 dm, 1,868°
4. Determine the size of all inner angles of the triangle ABC, whether:
T 3 T 5 , , 2/
5. Assess an area of the triangle ABC, if:
a) 6,4 dm, 4,7 dm, , 68°
b) 12,8 m, 9,6 m, 0,977°
3. Cosine theorem
We can use the cosine theorem for deremining the unknown lengths of sides and sizes
of inner angles of triangles supposing two of three given elements are the length of a side and
the size of the angle lying opposite the side. The theorem cannot solve the triangle where are
the length of two sides and the size of the angle whose sides grip it. We can use the cosine
theorem in the stated case.
15
Kosinová věta
Pro každý trojúhelník ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α,β,γ a strany délky a, b, c platí:
a) H . 2bccos /
b) H . 2cacos c) H . 2abcos ,
Příklad 1
Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jehož délky stran jsou 6,9 mm,
4,3 mm, 3,1 mm.
Řešení.
Využijeme např. nejprve část a) kosinové věty k výpočtu α:
H . 2bccos /
Z toho
cos / V W V XV
YZ
?,LV WL,GV XK,AV
∙?,L∙L,G
≐ .0,7318.
Odtud / ≐ 137°
Velikost úhlu β, můžeme opět vypočítat z kosinové věty, část b). (Mohli bychom také použít
sinovou větu, neboť známe dvě strany a velikost úhlů proti jedné z nich.)
H . 2abcos ,
Z toho
cos V W
V X V
L,GV WK,AV X?,LV
∙L,G∙K,A
Odtud plyne 25°10′.
16
≐ 0,9053 .
The cosine theorem
For each triangle ABC whose inner angles have the size of α,β,γ and lengths a,b,c is valid:
a) H . 2bccos /
b) H . 2cacos c) H . 2abcos ,
Example 1
Calculate the sizes of inner angles of triangle ABC whose length of sides are jsou 6,9
mm, 4,3 mm, 3,1 mm.
Solution.
Firstly, we use the part a) of the cosine theorem to calculate α:
H . 2bccos /
from that
cos / V W V XV
YZ
?,LV WL,GV XK,AV
∙?,L∙L,G
≐ .0,7318.
from that / ≐ 137°
We can calculatefrom the cosine theorem the size of the angle β, the part b). (We could use
the sinus theorem as well, because we know two sides and the sizes of angles opposite one of
them.)
H . 2abcos ,
From that
cos V W
V X V
L,GV WK,AV X?,LV
∙L,G∙K,A
From that 25°10′.
17
≐ 0,9053 .
Pro γ platí:
, 180° . / . ≐ 180° . 137° . 25°10I 17°50′
Závěr: / ≐ 137°, ≐ 25°10I , , ≐ 17°50′,
Příklad 2
V trojúhelníku ABC je 51,34 cm, 34,75 cm, , 64°30′.
Vypočítejte c, α, β.
Řešení.
Nejprve užitím kosinové věty určíme c:
H . 2 cos , E51,34 H 34,75 . 2 ∙ 51,34 ∙ 34,75 ∙ cos 64°30′F
≐ 2307,24 ≐ 48,03cm
Pomocí sinové věty určíme nyní např. EbychomovšemmohlyvypočítattakézčástiaF
kosinovévětyF:
sin sin sin 34,75
∙ sin , ≐
∙ sin 64°30′ ≐ 6,6530
48,03
Odtud G 40°46′ ; 139°14′ ; číslo však nemůže být velikostí vnitřního úhlu ABC
( k a tedy k ,, protože proti kratší straně leží menší úhel). Platí tedy, že |∢| G ≐ 40°46I .
Zbývá určit α:
/ 180° . . , ≐ 180 . 40°46I . 64°30I 74°44′
Závěr: ≐ 48,03, ≐ 40°46I , / ≐ 74°44′
18
For γ is valid:
, 180° . / . ≐ 180° . 137° . 25°10′ 17°50′
Conclusion: / ≐ 137°, ≐ 25°10′ , , ≐ 17°50′,
Example 2
In the triangle ABC is 51,34 cm, 34,75 cm, , 64°30′.
Calculate: c, α, β .
Solution.
Instantly, using the cosine theorem, we assess c:
H . 2 cos , E51,34 H 34,75 . 2 ∙ 51,34 ∙ 34,75 ∙ cos 64°30′F
≐ 2307,24
≐ 48,03 cm
By means of the sine we determine e.g., . ( is possible to calculate from the part a) of the
cosine too):
J
J
L?,>Nl
sin ∙ sin , ≐ ?@,=Ll ∙ sin 64°30′ ≐ 6,6530
From that G 40°46′ ; 139°14′; the number cannot be the size of the inner angle
ABC though ( k and so k , because apposite a shorter side lies a smaller angle).
Though, it si valid that |∢| G ≐ 40°46′
It remains to assess: α:
/ 180° . . , ≐ 180 . 40°46′ . 64°30′ 74°44′
Conclusion: ≐ 48,03, ≐ 40°46′ , / ≐ 74°44′
19
Cvičení:
1. Určete délky zbývajících stran a velikostí zbývajících vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, je
li dáno:
a) 16,9 mm, 21,82 mm, 19,4 mm
b) 2,6 dm, 2,4 dm, 1,8 dm
c) 64,1cm, 29,3cm, / 48°20′
d) 0,15cm, 0,27m, 110°59′
2. Vypočítejte velikost největšího nitřního úhlu trojúhelníku ABC, v němž je 74,
53m, 45m.
3. Určete velikost úhlu ACB v trojúhelníku ABC, pro který platí:
a) H . b) H H 4 Užití trigonometrie v praxi
Uvedeme několik příkladů možností využití trigonometrických vzorců při řešení úloh
z praxe.
Příklad 1
Nosník KLM a rameny KM a LM je upevněn na svislé stěně (viz. obr.), / 35°, 72°.
V bodě M je nosník zatížen břemenem o tíze m 15000N. Vypočítejte velikost tahu na
rameno KM nosníku a velikost tlaku na rameno LM, tj. velikosti sil nG a n .
20
Exercise:
1. Determine the lengths of remaining sides and sizes of the remaining inner angles of the
triangle ABC, wheter:
a) 16,9 mm, 21,82 mm, 19,4 mm
b) 2,6 dm, 2,4 dm, 1,8 dm
c) 64,1cm, 29,3cm, / 48°20′
d) 0,15cm, 0,27m, 110°59′
2. Calculate the sizes of the largest inner angle of the trianlge ABC where is 74,
53m, 45m.
3. Assess the size of the angle ACB in the triangular ABC where given:
a) H . b) H H 4 Using trigonometry in practice
We state a few examples of possibilities of applying of trigonometric figures in
solving tasks in practice.
Example 1
The girder KLM and arms KM and LM is fixed on a vertical wall (vide picture), / 35°,
72°. At the point M the girder is loaded by the weight G = 15000 N. Calculate the size of
the pull on the arm KM on the girder and the size of the pressure LM, it is the size of strength
nG and n .
21
Obr.4.1.
Řešení.
MNOP je rovnoběžník (jde o tzv. rovnoběžník sil). Je tedy
|op| |qr|
|∢qop| . /, |∢oqp| /, |∢qpo| 180°
(viz obr.)
Obr.4.2.
Určíme nyní velikosti obou hledaných sil; užijeme sinovou větu:
a)
st
u
:
EJX:F
nG m
:
EJX:F
<15000 ∙
LN°
L>°
B o ≐ 14300o
22
Pic.4.1.
Solution.
MNOP is a parallelogram (it is about a parallelogram of strentgh). Thus, it si given
|op| |qr|
|∢qop| . /, |∢oqp| /, |∢qpo| 180°
(vide pic.)
Pic.4.2.
We determine the sizes of both looked for strength; using the sine theorem:
a)
st
u
:
EJX:F
nG m
:
EJX:F
<15000 ∙
LN°
B o ≐ 14300o
L>°
23
b)
sV
u
EG@=°XJF
vwxEJX:F
n m ∙
EG@=°XJF
EJX:F
<15000 ∙
G=@°
L>°
B o <15000 ∙
>°
L>°
B o ≐ 237000o
Závěr: Velikost síly nG je přibližně 14300N, velikost síly n se rovná přibližně 23700N.
Příklad 2
Je třeba určit vzdálenost míst U a V, která jsou oddělená rybníkem. K tomuto účelu byla od
místa U vytyčená přímá trasa se stanovišti K a L (viz obr. 2.55). Bylo naměřeno: / 115°30′, 104°30′; vzdálenost míst U, K je 110 metrů, vzdálenost K, L je 65 metrů.
obr.4.3.
Řešení.
Pomocí sinové věty nejprve určíme délku strany VL v trojúhelníku LKV a potom užitím
kosinové věty vypočteme délku strany UV v trojúhelníku LUV.
V trojúhelníku LKV je |∢yz{| 180° . / a |∢zy{| 180° . . E180° . /F / . .
Podle sinové věty je:
|{z|
|zy|
sin sinE/ . F
|{z| |zy| ∙
sin sin 104°20′
|65 ∙
} 325
sinE/ . F
sin 11° 10′
24
b)
sV
u
EG@=°XJF
vwxEJX:F
n m ∙
EG@=°XJF
EJX:F
<15000 ∙
G=@°
L>°
B o <15000 ∙
>°
B o ≐ 237000o
L>°
Conclusion: The sizes of the strength nG is aproximately 14300N, the size of the strength
equals n 23700N roughly
Example 2
It is necessary to assess the distance of places U and V which are divided by a pond. It was
defined stright way from the place U with the stands K and L (vide pic. 2.55) because of this
purpose. It was measured / 115°30′, 104°30′; the distance fo places U, K is 110 m,
K, L is 65 m.
Pic 4.3.
Solution.
Using the sine, first of all, we determine the length of side VL in the triangle LKV and
further using cosine, we calculate the length of side UV in the triangle LUV.
In the triangle LKV is |∢yz{| 180° . / a |∢zy{| 180° . . E180° . /F / . .
According to the sine is:
|{z|
|zy|
sin sinE/ . F
|{z| |zy| ∙
sin sin 104°20′
565 ∙
8 325
sinE/ . F
sin 11° 10′
25
V trojúhelníku VLU platí podle kosinové věty:
|{z| |{z| H |{z| . 2 ∙ |{z| ∙ |z~| ∙ sin / ≐
E325 H 45 . 2 ∙ 325 ∙ 45 ∙ cos 115°30′F 120242 |{~| 347
Závěr: Vzdálenost míst U a V je přibližně 347 metrů.
Cvičení:
1. Kosmická loď byla spatřena v určitém okamžiku pod výškovým úhlem o velikosti 23°10′ a její vzdálenost od pozorovacího místa na Zemi byla 592km (viz obr.). V jaké výšce
nad Zemí byla loď v okamžiku pozorování? (Poloměr Země  ≐ 6378km.)
Obr.4.4.
2. Je třeba zjistit výšku věže (viz obr.). Bylo naměřeno: / 30°34′.), 41°, vzdálenost
míst A, B je 14metrů.
Obr.4.5.
26
In the triangle VLU is valid according to the cosine:
|{z| |{z| H |{z| . 2 ∙ |{z| ∙ |z~| ∙ sin / ≐
E325 H 45 . 2 ∙ 325 ∙ 45 ∙ cos 115°30′F 120242
|{~| 347
Conclusion: The distance between places U and V is roughly 347 meteres.
Exercise:
1. A spaceship was seen at the particular moment under the altitudinal angle in the size of
23°10′ and its distance from the observational place on the Earth was 592 km (vide pic).
How high over the Earth was the ship at the moment of observation? (the diamter of the
Earth is  ≐ 6378km)
Pic. 4.4.
2. It is necessary to figer out the hight of the tower (vide pic.). It was measured: / 30°34′.), 41°, the distance of the places A, b is 14 m.
Pic. 4.5.
27
3. Síly nG , n , jejichž velikosti jsou po řadě 14N a 7,8N, působí v bodě A a svírájí úhel o
velikosti / 61°10′. Určete velikost síly nL , která působí též v bodě A a ruší účinek sil nG ,
n .
Obr.4.6.
4. Ze dvou oken, která jsou 8,8m nad sebou v budově stojí přímo u řeky, je vidět ve směru
kolmém na tok řeky místo A na protějším břehu řeky pod hloubkovými úhly / 12°50′,
6°10′ (viz obr.). Určete šířku řeky.
Obr.4.7.
5. Z místa A ležícího 158 metrů nad vodorovnou rovinou procházející patou věže (viz obr.
2.60) je vidět vrchol B věže pod hloubkovým úhlem o velikosti / 19°10′ a patu P věže pod
hloubkovým úhlem o velikosti 28°30′. Určete výšku věže.
Obr.4.8.
28
3. The forces nG , n , whose sizes are 14 N and 7,8 N causing at the point A and gripping the
angle at the size of / 61°10′. Assess the sizes of force that causes at the point A as well
and interferes the cause of forces nG , n
Pic. 4.6.
4. It is seen, in the perpendicular direction, the place A, on the opposite bank of the river
are angles / 12°50′, 6°10′, at the flow of the river from two windows which are 8,8
m over each other in a building standing just beside the river. Determine the windth of the
river.
Pic.4.7.
5. From the place A lying 158 m over the horizontal surface going through the base of the
tower (vide pic 2.60) is seen the top B of the tower under the angle / 19°10′ and the base P
of the tower under the angle 28°30′ Assess the hight of the tower.
Pic. 4.8.
29
Literatura:doc. RNDr. Oldřich Odvárko a kolektiv:Matematika pro střední odborné školy a
studijní obory středních odborných učilišť, 3. část
30
Literatura:doc. RNDr. Oldřich Odvárko a kolektiv:Matematika pro střední odborné školy a
studijní obory středních odborných učilišť, 3. část
31